%%%%%%%%%%%%%%%%%% PREAMBULE %%%%%%%%%%%%%%%%%% \documentclass[11pt,a4paper]{article} \usepackage{amsfonts,amsmath,amssymb,amsthm} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[french]{babel} \usepackage{mathptmx} \usepackage{fancybox} \usepackage{graphicx} \usepackage{ifthen} \usepackage{tikz} \usepackage{hyperref} \hypersetup{colorlinks=true, linkcolor=blue, urlcolor=blue, pdftitle={Exo7 - Exercices de mathématiques}, pdfauthor={Exo7}} \usepackage{geometry} \geometry{top=2cm, bottom=2cm, left=2cm, right=2cm} %----- Ensembles : entiers, reels, complexes ----- \newcommand{\Nn}{\mathbb{N}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Zz}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Qq}{\mathbb{Q}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\Rr}{\mathbb{R}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\Cc}{\mathbb{C}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\Kk}{\mathbb{K}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} %----- Modifications de symboles ----- \renewcommand{\epsilon}{\varepsilon} \renewcommand{\Re}{\mathop{\mathrm{Re}}\nolimits} \renewcommand{\Im}{\mathop{\mathrm{Im}}\nolimits} \newcommand{\llbracket}{\left[\kern-0.15em\left[} \newcommand{\rrbracket}{\right]\kern-0.15em\right]} \renewcommand{\ge}{\geqslant} \renewcommand{\geq}{\geqslant} \renewcommand{\le}{\leqslant} \renewcommand{\leq}{\leqslant} \newcommand{\dd}{\mathrm{d}} \newcommand{\Ker}{\mathop{\mathrm{Ker}}\nolimits} %----- Fonctions usuelles ----- \newcommand{\ch}{\mathop{\mathrm{ch}}\nolimits} \newcommand{\sh}{\mathop{\mathrm{sh}}\nolimits} \renewcommand{\tanh}{\mathop{\mathrm{th}}\nolimits} \newcommand{\cotan}{\mathop{\mathrm{cotan}}\nolimits} \newcommand{\Arcsin}{\mathop{\mathrm{arcsin}}\nolimits} \newcommand{\Arccos}{\mathop{\mathrm{arccos}}\nolimits} \newcommand{\Arctan}{\mathop{\mathrm{arctan}}\nolimits} \newcommand{\Argsh}{\mathop{\mathrm{argsh}}\nolimits} \newcommand{\Argch}{\mathop{\mathrm{argch}}\nolimits} \newcommand{\Argth}{\mathop{\mathrm{argth}}\nolimits} \newcommand{\pgcd}{\mathop{\mathrm{pgcd}}\nolimits} %----- Structure des exercices ------ \newcommand{\exercice}[1]{\video{0}} \newcommand{\finexercice}{} \newcommand{\noindication}{} \newcommand{\nocorrection}{} \newcounter{exo} \newcommand{\enonce}[2]{\refstepcounter{exo}\hypertarget{exo7:#1}{}\label{exo7:#1}{\bf Exercice \arabic{exo}}\ \ #2\vspace{1mm}\hrule\vspace{1mm}} \newcommand{\finenonce}[1]{ \ifthenelse{\equal{\ref{ind7:#1}}{\ref{bidon}}\and\equal{\ref{cor7:#1}}{\ref{bidon}}}{}{\par{\footnotesize \ifthenelse{\equal{\ref{ind7:#1}}{\ref{bidon}}}{}{\hyperlink{ind7:#1}{\texttt{Indication} $\blacktriangledown$}\qquad} \ifthenelse{\equal{\ref{cor7:#1}}{\ref{bidon}}}{}{\hyperlink{cor7:#1}{\texttt{Correction} $\blacktriangledown$}}}} \ifthenelse{\equal{\myvideo}{0}}{}{{\footnotesize\qquad\texttt{\href{http://www.youtube.com/watch?v=\myvideo}{Vidéo $\blacksquare$}}}} \hfill{\scriptsize\texttt{[#1]}}\vspace{1mm}\hrule\vspace*{7mm}} \newcommand{\indication}[1]{\hypertarget{ind7:#1}{}\label{ind7:#1}{\bf Indication pour \hyperlink{exo7:#1}{l'exercice \ref{exo7:#1} $\blacktriangle$}}\vspace{1mm}\hrule\vspace{1mm}} \newcommand{\finindication}{\vspace{1mm}\hrule\vspace*{7mm}} \newcommand{\correction}[1]{\hypertarget{cor7:#1}{}\label{cor7:#1}{\bf Correction de \hyperlink{exo7:#1}{l'exercice \ref{exo7:#1} $\blacktriangle$}}\vspace{1mm}\hrule\vspace{1mm}} \newcommand{\fincorrection}{\vspace{1mm}\hrule\vspace*{7mm}} \newcommand{\finenonces}{\newpage} \newcommand{\finindications}{\newpage} \newcommand{\fiche}[1]{} \newcommand{\finfiche}{} %\newcommand{\titre}[1]{\centerline{\large \bf #1}} \newcommand{\addcommand}[1]{} % variable myvideo : 0 no video, otherwise youtube reference \newcommand{\video}[1]{\def\myvideo{#1}} %----- Presentation ------ \setlength{\parindent}{0cm} \definecolor{myred}{rgb}{0.93,0.26,0} \definecolor{myorange}{rgb}{0.97,0.58,0} \definecolor{myyellow}{rgb}{1,0.86,0} \newcommand{\LogoExoSept}[1]{ % input : echelle %% NEW {\usefont{U}{cmss}{bx}{n} \begin{tikzpicture}[scale=0.1*#1,transform shape] \fill[color=myorange] (0,0)--(4,0)--(4,-4)--(0,-4)--cycle; \fill[color=myred] (0,0)--(0,3)--(-3,3)--(-3,0)--cycle; \fill[color=myyellow] (4,0)--(7,4)--(3,7)--(0,3)--cycle; \node[scale=5] at (3.5,3.5) {Exo7}; \end{tikzpicture}} } % titre \newcommand{\titre}[1]{% \vspace*{-4ex} \hfill \hspace*{1.5cm} \hypersetup{linkcolor=black, urlcolor=black} \href{http://exo7.emath.fr}{\LogoExoSept{3}} \vspace*{-5.7ex}\newline \hypersetup{linkcolor=blue, urlcolor=blue} {\Large \bf #1} \newline \rule{12cm}{1mm} \vspace*{3ex}} %----- Commandes supplementaires ------ \usepackage{graphics} \usepackage[all]{xy} \begin{document} %%%%%%%%%%%%%%%%%% EXERCICES %%%%%%%%%%%%%%%%%% \fiche{f00000, exo7, 2021/01/01} \titre{Tous les exercices} \vspace*{2cm} \tableofcontents \newpage \pdfcompresslevel=9 \section{ 100.01 Logique } \exercice{104, bodin, 1998/09/01} \enonce{000104}{} Soient $R$ et $S$ des relations. Donner la n\'egation de $R \Rightarrow S$. \finenonce{000104} \finexercice \exercice{105, bodin, 1998/09/01} \enonce{000105}{} D\'emontrer que $(1=2) \Rightarrow (2=3)$. \finenonce{000105} \finexercice \exercice{106, bodin, 1998/09/01} \video{nfJizOU7DbA} \enonce{000106}{} Soient les quatre assertions suivantes : $$ (a) \ \exists x\in \Rr \quad \forall y\in \Rr \quad x+y > 0 \quad ; \quad (b) \ \forall x\in \Rr \quad \exists y\in \Rr \quad x+y > 0 \ ;$$ $$ (c) \ \forall x\in \Rr \quad \forall y\in \Rr \quad x+y > 0 \quad ; \quad (d) \ \exists x\in \Rr \quad \forall y\in \Rr \quad y^2 > x .$$ \begin{enumerate} \item Les assertions $a$, $b$, $c$, $d$ sont-elles vraies ou fausses ? \item Donner leur n\'egation. \end{enumerate} \finenonce{000106} \finexercice \exercice{107, bodin, 1998/09/01} \video{ZCLCoGR3hcc} \enonce{000107}{} Soit $f$ une application de ${\Rr}$ dans ${\Rr}$. Nier, de la mani\`ere la plus pr\' ecise possible, les \' enonc\' es qui suivent : \begin{enumerate} \item Pour tout $x\in {\Rr}\ f(x)\leq 1$. \item L'application $f$ est croissante. \item L'application $f$ est croissante et positive. \item Il existe $x\in {\Rr}^+$ tel que $f(x)\leq 0$. \item Il existe $x\in \Rr$ tel que quel que soit $y\in \Rr$, si $xf(y)$. \end{enumerate} \noindent On ne demande pas de d\' emontrer quoi que ce soit, juste d'\' ecrire le contraire d'un \' enonc\' e. \finenonce{000107} \finexercice \exercice{108, bodin, 1998/09/01} \video{2tmyTz5_2Rw} \enonce{000108}{} Compl\'eter les pointill\'es par le connecteur logique qui s'impose : $\Leftrightarrow ,\ \Leftarrow,\ \Rightarrow.$ \begin{enumerate} \item $ x\in \Rr\ \ x^2=4 \ \ldots\ldots \ x=2$ ; \item $ z\in \Cc\ \ z=\overline{z} \ \ldots\ldots \ z\in\Rr$ ; \item $ x\in \Rr\ \ x=\pi \ \ldots\ldots \ e^{2ix}=1$. \end{enumerate} \finenonce{000108} \finexercice \exercice{109, bodin, 1998/09/01} \video{q07OjCbDg3o} \enonce{000109}{} Dans $\R^2$, on d\'efinit les ensembles $F_{1}=\{(x,y)\in\R^2,\ y\leq0\}$ et $F_{2}=\{(x,y)\in\R^2,\ xy\geq1,\ x\geq0\}$. On note $M_1M_2$ la distance usuelle entre deux points $M_1$ et $M_2$ de $\R^2$. \'Evaluer les propositions suivantes : \begin{enumerate} \item $ \forall\epsilon\in]0,+\infty[\quad \exists M_{1}\in F_{1}\quad \exists M_{2}\in F_{2} \qquad M_{1}M_{2}<\epsilon$ \item $ \exists M_{1}\in F_{1}\quad \exists M_{2}\in F_{2}\quad \forall\epsilon\in]0,+\infty[ \qquad M_{1}M_{2}<\epsilon$ \item $ \exists\epsilon\in]0,+\infty[\quad \forall M_{1}\in F_{1}\quad \forall M_{2}\in F_{2} \qquad M_{1}M_{2}<\epsilon$ \item $ \forall M_{1}\in F_{1}\quad \forall M_{2}\in F_{2}\quad \exists\epsilon\in]0,+\infty[ \qquad M_{1}M_{2}<\epsilon$ \end{enumerate} Quand elles sont fausses, donner leur n\'egation. \finenonce{000109} \finexercice \exercice{110, gourio, 2001/09/01} \video{QSbHxGnf-9M} \enonce{000110}{} Nier la proposition: ``tous les habitants de la rue du Havre qui ont les yeux bleus gagneront au loto et prendront leur retraite avant 50 ans''. \finenonce{000110} \finexercice \exercice{111, bodin, 1998/09/01} \enonce{000111}{} \'Ecrire la n\'egation des assertions suivantes o\`u $P, Q, R, S$ sont des propositions. \begin{enumerate} \item $P \Rightarrow Q$, \item $P$ et non $Q$, \item $P$ et ($Q$ et $R$), \item $P$ ou ($Q$ et $R$), \item ($P$ et $Q$) $\Rightarrow \ (R \Rightarrow S)$. \end{enumerate} \finenonce{000111} \finexercice \exercice{112, bodin, 1998/09/01} \video{FH3vTlYT23M} \enonce{000112}{} Nier les assertions suivantes : \begin{enumerate} \item tout triangle rectangle poss\`ede un angle droit ; \item dans toutes les \'ecuries, tous les chevaux sont noirs ; \item pour tout entier $x$, il existe un entier $y$ tel que, pour tout entier $z$, la relation $z0 \quad \exists \alpha >0 \qquad (|x-7/5|<\alpha \Rightarrow |5x-7|<\epsilon)$. \end{enumerate} \finenonce{000112} \finexercice \exercice{113, bodin, 1998/09/01} \enonce{000113}{Le missionnaire et les cannibales} Les cannibales d'une tribu se pr\'eparent \`a manger un missionnaire. D\'esirant lui prouver une derni\`ere fois leur respect de la dignit\'e et de la libert\'e humaine, les cannibales proposent au missionnaire de d\'ecider lui-m\^eme de son sort en faisant une courte d\'eclaration : si celle-ci est vraie, le missionnaire sera r\^oti, et il sera bouilli dans le cas contraire. Que doit dire le missionnaire pour sauver sa vie ? (d'apr\`es Cervant\`es) \finenonce{000113} \finexercice \exercice{114, ridde, 1999/11/01} \enonce{000114}{} La proposition $ \big( P \wedge Q \Rightarrow (\neg P) \vee Q \big)$ est-elle vraie ? \finenonce{000114} \finexercice \exercice{115, ridde, 1999/11/01} \enonce{000115}{} On suppose que la proposition $P$ est vraie ainsi que les propositions suivantes : \begin{enumerate} \item $ (\neg Q) \wedge P \Rightarrow \neg S$. \item $S \Rightarrow (\neg P) \vee Q$. \item $P \Rightarrow R \vee S$. \item $ S \wedge Q \Rightarrow \neg P$. \item $R \wedge \neg (S \vee Q) \Rightarrow T$. \item $R \Rightarrow (\neg P) \vee (\neg Q)$. \end{enumerate} La proposition $T$ est-elle vraie ? \finenonce{000115} \finexercice \exercice{116, ridde, 1999/11/01} \enonce{000116}{} Ecrire la n\'egation des phrases suivantes : \begin{enumerate} \item $ (\forall x) (\exists n)/ (x \leq n)$. \item $ (\exists M) / (\forall n) (\left|u_n\right| \leq M)$. \item $ (\forall x) (\forall y) (xy = yx)$. \item $ (\forall x) (\exists y)/ (yxy^{-1} = x)$. \item $ (\forall \epsilon>0) (\exists N \in \Nn)/ (\forall n \geq N) (\left|u_n\right| < \epsilon)$. \item $(\forall x \in \Rr) (\forall \epsilon >0) (\exists \alpha >0)/ (\forall f \in \mathcal{F}) (\forall y \in \Rr) (\left|x-y\right|<\alpha \Rightarrow \left|f (x)-f (y)\right|< \epsilon)$. \end{enumerate} \finenonce{000116} \finexercice \exercice{117, ridde, 1999/11/01} \enonce{000117}{} Comparer les diff\'erentes phrases (sont-elles \'equivalentes, contraires, quelles sont celles qui impliquent les autres...) \begin{enumerate} \item $ (\forall x) (\exists y)/ (x \leq y)$. \item $ (\forall x) (\forall y) (x \leq y)$. \item $ (\exists x) (\exists y)/(x \leq y)$. \item $ (\exists x)/(\forall y) (x \leq y)$. \item $ (\exists x)/(\forall y) (y0 \quad \exists N \in \Nn \text{ tel que } (n \geq N \Rightarrow 2-\epsilon < \frac{2n + 1}{n + 2} < 2 + \epsilon).$$ \finenonce{000119} \finexercice \exercice{120, bodin, 1998/09/01} \video{-Kid1jaNv5A} \enonce{000120}{} Soient $f,g$ deux fonctions de $\Rr$ dans $\Rr$. Traduire en termes de quantificateurs les expressions suivantes : \begin{enumerate} \item $f$ est major\'ee; \item $f$ est born\'ee; \item $f$ est paire; \item $f$ est impaire; \item $f$ ne s'annule jamais; \item $f$ est p\'eriodique; \item $f$ est croissante; \item $f$ est strictement d\'ecroissante; \item $f$ n'est pas la fonction nulle; \item $f$ n'a jamais les m\^{e}mes valeurs en deux points distincts; \item $f$ atteint toutes les valeurs de $\Nn$; \item $f$ est inf\'erieure \`a $g$; \item $f$ n'est pas inf\'erieure \`a $g$. \end{enumerate} \finenonce{000120} \finexercice \exercice{5103, rouget, 2010/06/30} \enonce{005103}{**IT} Exprimer à l'aide de quantificateurs les phrases suivantes puis donner leur négation. \begin{enumerate} \item ($f$ étant une application du plan dans lui-même) \begin{enumerate} \item $f$ est l'identité du plan. \item $f$ a au moins un point invariant (on dit aussi point fixe). \end{enumerate} \item ($f$ étant une application de $\Rr$ dans $\Rr$) \begin{enumerate} \item $f$ est l'application nulle. \item L'équation $f(x)=0$ a une solution. \item L'équation $f(x)=0$ a exactement une solution. \end{enumerate} \item ($(u_n)_{n\in\Nn}$ étant une suite réelle) \begin{enumerate} \item La suite $(u_n)_{n\in\Nn}$ est bornée. \item La suite $(u_n)_{n\in\Nn}$ est croissante. \item La suite $(u_n)_{n\in\Nn}$ est monotone. \end{enumerate} \end{enumerate} \finenonce{005103} \finexercice \exercice{5104, rouget, 2010/06/30} \enonce{005104}{*IT} Donner la négation des phrases suivantes \begin{enumerate} \item $x\geq3$ \item $0-1\right\}\\ A_5 & = & \left\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\,,\; |x-y|<1\right\}\\ \end{eqnarray*} \begin{enumerate} \item Représenter ces cinq ensembles. \item En déduire une démonstration géométrique de $$(|x+y|<1\;\mbox{ et }\;|x-y|<1) \Leftrightarrow |x|+|y|<1.$$ \end{enumerate} \finenonce{000135} \finexercice \exercice{136, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000136}{} Montrer que chacun des ensembles suivants est un intervalle, éventuellement vide ou réduit à un point $$I_1=\bigcap_{n=1}^{+\infty}\left[3,3+\frac{1}{n^2}\right[\;\mbox{ et }\; I_2=\bigcap_{n=1}^{+\infty}\left]-2-\frac{1}{n},4+n^2\right].$$ \finenonce{000136} \finexercice \exercice{137, cousquer, 2003/10/01} \video{a7iULB800tg} \enonce{000137}{} Montrez que chacun des ensembles suivants est un intervalle que vous calculerez. $$I=\bigcap_{n=1}^{+\infty}\left[-\frac{1}{n},2+\frac{1}{n}\right[\ \quad \mbox{ et }\quad \ J=\bigcup_{n=2}^{+\infty}\left[1+\frac{1}{n},n\right]$$ \finenonce{000137} \finexercice \exercice{138, ridde, 1999/11/01} \enonce{000138}{} Soient $E$ un ensemble et $A, B, C$ trois parties de $E$ telles que $A \cup B = A \cup C$ et $A \cap B = A \cap C$. Montrer que $B = C$. \finenonce{000138} \finexercice \exercice{139, ridde, 1999/11/01} \enonce{000139}{} Soient $E$ un ensemble et $A, B, C$ trois parties de $E$.\\ Montrer que $ (A \cup B) \cap (B \cup C) \cap (C \cup A) = (A \cap B) \cup (B \cap C) \cup (C \cap A)$. \finenonce{000139} \finexercice \exercice{140, ridde, 1999/11/01} \enonce{000140}{} Donner les positions relatives de $A, B, C \subset E$ si $A \cup B = B \cap C$. \finenonce{000140} \finexercice \exercice{141, ridde, 1999/11/01} \enonce{000141}{} Est-il vrai que $\mathcal{P} (A \cap B) = \mathcal{P} (A) \cap \mathcal{P} (B)$ ? Et $\mathcal{P} (A \cup B) = \mathcal{P} (A) \cup \mathcal{P} (B)$ ? \finenonce{000141} \finexercice \exercice{142, ridde, 1999/11/01} \enonce{000142}{} Montrer que $A \cap B = A \cap C \Leftrightarrow A \cap \complement B = A \cap \complement C $. \finenonce{000142} \finexercice \exercice{143, ridde, 1999/11/01} \enonce{000143}{} Donner la liste des \'el\'ements de $\mathcal{P} (\mathcal{P} (\left\{ 1, 2\right\}))$. \finenonce{000143} \finexercice \exercice{144, ridde, 1999/11/01} \enonce{000144}{} Soient $A, B \subset E$. R\'esoudre les \'equations \`a l'inconnue $X \subset E$ \begin{enumerate} \item $A \cup X = B$. \item $A \cap X = B$. \end{enumerate} \finenonce{000144} \finexercice \exercice{145, ridde, 1999/11/01} \enonce{000145}{} Soient $E, F, G$ trois ensembles. Montrer que $ (E \times G) \cup (F \times G) = (E \cup F)\times G$. \finenonce{000145} \finexercice \exercice{146, ridde, 1999/11/01} \enonce{000146}{} Soient $E, F, G, H$ quatre ensembles. Comparer les ensembles $ (E \times F) \cap (G \times H)$ et $ (E \cap G) \times (F \cap H)$. \finenonce{000146} \finexercice \exercice{147, ridde, 1999/11/01} \enonce{000147}{} Soit $E$ l'ensemble des fonctions de $\Nn$ dans $\left\{ 1, 2, 3\right\}$. Pour $i = 1, 2, 3$ on pose $A_i = \left\{ f \in E / f (0) = i \right\}$. Montrer que les $A_i$ forment une partition de $E$. \finenonce{000147} \finexercice \exercice{5112, rouget, 2010/06/30} \enonce{005112}{**T} $A$ et $B$ sont des parties d'un ensemble $E$. Montrer que : \begin{enumerate} \item $(A\Delta B=A\cap B)\Leftrightarrow(A=B=\varnothing)$. \item $(A\cup B)\cap(B\cup C)\cap(C\cup A)=(A\cap B)\cup(B\cap C)\cup(C\cap A)$. \item $A\Delta B=B\Delta A$. \item $(A\Delta B)\Delta C=A\Delta(B\Delta C)$. \item $A\Delta B=\varnothing\Leftrightarrow A=B$. \item $A\Delta C=B\Delta C\Leftrightarrow A=B$. \end{enumerate} \finenonce{005112} \finexercice \exercice{5113, rouget, 2010/06/30} \enonce{005113}{***IT} Soient $(A_i)_{i\in I}$ une famille de parties d'un ensemble $E$ indéxée par un ensemble $I$ et $(B_i)_{i\in I}$ une famille de parties d'un ensemble $F$ indéxée par un ensemble $I$. Soit $f$ une application de $E$ vers $F$. Comparer du point de vue de l'inclusion les parties suivantes~: \begin{enumerate} \item $f(\bigcup_{i\in I}A_i)$ et $\bigcup_{i\in I}f(A_i)$ (recommencer par $f(A\cup B)$ si on n'a pas les idées claires). \item $f(\bigcap_{i\in I}A_i)$ et $\bigcap_{i\in I}f(A_i)$. \item $f(E\setminus A_i)$ et $F\setminus f(A_i)$. \item $f^{-1}(\bigcap_{i\in I}B_i)$ et $\bigcap_{i\in I}f^{-1}(B_i)$. \item $f^{-1}(\bigcup_{i\in I}B_i)$ et $\bigcup_{i\in I}f^{-1}(B_i)$. \item $f^{-1}(F\setminus B_i)$ et $E\setminus f^{-1}(Bi)$. \end{enumerate} \finenonce{005113} \finexercice \exercice{5117, rouget, 2010/06/30} \enonce{005117}{***I Théorème de \textsc{Cantor}} \begin{enumerate} \item Montrer qu'il existe une injection de $E$ dans $\mathcal{P}(E)$. \item En considérant la partie $A=\{x\in E/\;x\notin f(x)\}$, montrer qu'il n'existe pas de bijection $f$ de $E$ sur $\mathcal{P}(E)$. \end{enumerate} \finenonce{005117} \finexercice \exercice{7186, megy, 2019/07/17} \enonce{007186}{} Soit $E$ un ensemble et $\mathcal O$ une partie de $\mathcal P(E)$. On dit que $\mathcal O$ est une \emph{topologie sur $E$} si les conditions suivantes sont vérifiées \begin{itemize} \item $\mathcal O$ est stable par intersection finie, autrement dit : pour tout $n\in \N^*$ et toute famille $U_1, \cdots U_n$ d'éléments de $\mathcal O$, on a $\bigcap_{i=1}^n U_i\in \mathcal O$. \item $\mathcal O$ est stable par union quelconque, autrement dit : pour tout ensemble $I$ et toute famille $(U_i)_{i\in I}$ d'éléments de $\mathcal O$, $\bigcup_{i\in I}U_i \in \mathcal O$. \item Les parties $\emptyset$ et $E$ sont des éléments de $\mathcal O$. \end{itemize} \begin{enumerate} \item Montrer que $\mathcal O_1=\{\emptyset, E\}$ et $\mathcal O_2=\mathcal P(E)$ sont des topologies sur $E$. \item Montrer que \[ \mathcal O_3 = \left\{U\in \mathcal P(E)\:\middle|\: U=\emptyset \text{ ou }{}^cU\text{ est fini}\right\} \] est une topologie sur $E$. \item Combien de topologies différentes y a-t-il si $E$ est l'ensemble vide ? S'il n'a qu'un seul élément ? Deux éléments ? Trois éléments ? \end{enumerate} \finenonce{007186} \finexercice \exercice{7187, megy, 2019/07/17} \enonce{007187}{} Dans l'ensemble $\R$, il existe une notion de \emph{partie bornée} : c'est une partie qui est incluse dans un segment du type $[-M,M]$, pour un certain $M$. Cet exercice montre comment généraliser cette notion de \emph{partie bornée} à un ensemble quelconque. Soit $E$ un ensemble et $\mathcal B$ une partie de $\mathcal P(E)$. On dit que $\mathcal B$ est une \emph{bornologie sur $E$} si les conditions suivantes sont vérifiées \begin{itemize} \item Si $A\in \mathcal B$ et $B\subseteq A$, alors $B\in \mathcal B$. \item Si $A\in \mathcal B$ et $B \in \mathcal B$, alors $A\cup B\in \mathcal B$. \item Pour tout $x\in E$, on a $\{x\} \in \mathcal B$. \end{itemize} Les éléments de $\mathcal B$ sont dits \emph{$\mathcal B$-bornés}, ou simplement \emph{bornés} s'il n'y a pas d'ambiguïté sur la bornologie utilisée. Dans la suite, on fixe un ensemble $E$. \begin{enumerate} \item Montrer que $\mathcal B_1=\{\emptyset, E\}$ est une bornologie de $E$. On l'appelle la \emph{bornologie triviale (ou : grossière)}. \item Montrer que l'ensemble $\mathcal B_2$ des parties finies de $E$ est une bornologie de $E$. On l'appelle la \emph{bornologie discrète}. \item Combien de bornologies différentes y a-t-il si $E$ est vide ? S'il contient (exactement) un élément ? Deux ? Trois ? \item On suppose maintenant que $E=\R$. Soit $\mathcal B_3$ l'ensemble des parties $A\subseteq \R$ bornées au sens classique, autrement dit \[ A\in \mathcal B_3 \iff \exists M\in \R, \forall a\in A, |a|\leq M\] Montrer que $\mathcal B_3$ est une bornologie. On l'appelle la \emph{bornologie usuelle sur $\R$}, et lorsqu'on parle de bornés de $\R$, il est implicite qu'on se réfère à cette bornologie (et non aux deux premières par exemple). \end{enumerate} \finenonce{007187} \finexercice \exercice{7188, megy, 2019/07/17} \enonce{007188}{} Soit $E$ un ensemble et $\mathcal A$ une partie de $\mathcal P(E)$. On dit que $\mathcal A$ est une \emph{algèbre de parties $E$} si les conditions suivantes sont vérifiées: \begin{itemize} \item $\mathcal A$ n'est pas vide. \item Si $X\in \mathcal A$, alors $E\setminus X$ aussi. \item $\mathcal A$ est stable par union finie, autrement dit : pour tout $n\in \N^*$ et toute famille $U_1, \cdots U_n$ d'éléments de $\mathcal A$, on a $\bigcup_{i=1}^n U_i\in \mathcal A$. \end{itemize} \begin{enumerate} \item Montrer que $\mathcal P(E)$ est une algèbre de parties de $E$. \item Montrer qu'une algèbre de parties de $E$ est stable par intersection finie. \item Combien d'algèbres de parties y a-t-il si $E$ a (exactement) un, deux, ou trois éléments ? \end{enumerate} \finenonce{007188} \finexercice \section{ 100.03 Absurde et contraposée } \exercice{148, bodin, 1998/09/01} \enonce{000148}{} Montrer que $\sqrt{2} \notin \Qq$. \finenonce{000148} \finexercice \exercice{149, bodin, 1998/09/01} \enonce{000149}{} Soit $X$ un ensemble et $f$ une application de $X$ dans l'ensemble $\mathcal{P}(X)$ des parties de $X$. On note $A$ l'ensemble des $x \in X$ v\'erifiant $x \notin f(x)$. D\'emontrer qu'il n'existe aucun $x \in X$ tel que $A=f(x)$. \finenonce{000149} \finexercice \exercice{150, bodin, 1998/09/01} \video{RDbMQTxMIuA} \enonce{000150}{} Soit $(f_n)_{n\in\Nn}$ une suite d'applications de l'ensemble $\Nn$ dans lui-m\^eme. On d\'efinit une application $f$ de $\Nn$ dans $\Nn$ en posant $f(n)=f_n(n)+1$. D\'emontrer qu'il n'existe aucun $p\in \Nn$ tel que $f=f_p$. \finenonce{000150} \finexercice \exercice{151, bodin, 1998/09/01} \video{RHiN60xhmoo} \enonce{000151}{} \begin{enumerate} \item Soit $p_{1},p_{2},\ldots ,p_{r}$, $r$ nombres premiers. Montrer que l'entier $N=p_{1}p_{2}\ldots p_{r}+1$ n'est divisible par aucun des entiers $p_{i}$. \item Utiliser la question pr\'ec\'edente pour montrer par l'absurde qu'il existe une infinit\'e de nombres premiers. \end{enumerate} \finenonce{000151} \finexercice \section{ 100.04 Récurrence } \exercice{152, bodin, 1998/09/01} \enonce{000152}{} D\'emontrer, en raisonnant par r\'ecurrence, que $10^{6n+2}+10^{3n+1}+1$ est divisible par $111$ quel que soit $n\in \Nn$. (Indication : $1000=9\times 111 +1$ ). \finenonce{000152} \finexercice \exercice{153, bodin, 1998/09/01} \video{SUMAdDoMPto} \enonce{000153}{} \label{ex104} Montrer : \begin{enumerate} \item $\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2} \quad \forall n \in \Nn^{*} \,.}$ \item $\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \quad \forall n \in \Nn^{*} \,.}$ \end{enumerate} \finenonce{000153} \finexercice \exercice{154, bodin, 1998/09/01} \enonce{000154}{} \textbf{En quoi le raisonnement suivant est-il faux ?} \\ Soit $\mathcal{P}(n)$ : $n$ crayons de couleurs sont tous de la m\^eme couleur. \begin{itemize} \item $\mathcal{P}(1)$ est vraie car un crayon de couleur est de la m\^eme couleur que lui-m\^eme. \item Supposons $\mathcal{P}(n)$. Soit $n+1$ crayons. On en retire $1$. Les $n$ crayons restants sont de la m\^eme couleur par hypoth\`ese de r\'ecurrence. Reposons ce crayon et retirons-en un autre ; les $n$ nouveaux crayons sont \`a nouveau de la m\^eme couleur. Le premier crayon retir\'e \'etait donc bien de la m\^eme couleur que les $n$ autres. La proposition est donc vraie au rang $n+1$. \item On a donc d\'emontr\'e que tous les crayons en nombre infini d\'enombrable sont de la m\^eme couleur. \end{itemize} \finenonce{000154} \finexercice \exercice{155, bodin, 1998/09/01} \video{6iVRvfkMLTw} \enonce{000155}{} Soit la suite $(x_n)_{n\in \Nn}$ d\'efinie par $x_0=4$ et $\displaystyle{x_{n+1}=\frac{2x_n^2-3}{x_n+2}}$. \begin{enumerate} \item Montrer que : $\forall n\in\Nn\quad x_n>3$. \item Montrer que : $\forall n\in\Nn \quad x_{n+1}-3>\frac{3}{2}(x_n-3)$. \item Montrer que : $\forall n\in\Nn \quad x_n \geqslant \left(\frac{3}{2}\right)^n+3$. \item La suite $(x_n)_{n\in\Nn}$ est-elle convergente ? \end{enumerate} \finenonce{000155} \finexercice \exercice{156, bodin, 1998/09/01} \enonce{000156}{} \begin{enumerate} \item Dans le plan, on consid\`ere trois droites $\Delta_{1},\Delta_{2},\Delta_{3}$ formant un ``vrai'' triangle : elles ne sont pas concourantes, et il n'y en a pas deux parall\`eles. Donner le nombre $R_{3}$ de r\'egions (zones blanches) d\'ecoup\'ees par ces trois droites. \item On consid\`ere quatre droites $\Delta_{1},\ldots,\Delta_{4}$, telles qu'il n'en existe pas trois concourantes, ni deux parall\`eles. Donner le nombre $R_{4}$ de r\'egions d\'ecoup\'ees par ces quatre droites. \item On consid\`ere $n$ droites $\Delta_{1},\ldots,\Delta_{n}$, telles qu'il n'en existe pas trois concourantes, ni deux parall\`eles. Soit $R_{n}$ le nombre de r\'egions d\'elimit\'ees par $\Delta_{1}\ldots\Delta_{n}$, et $R_{n-1}$ le nombre de r\'egions d\'elimit\'ees par $\Delta_{1}\ldots\Delta_{n-1}$. Montrer que $R_{n}=R_{n-1}+n$. \item Calculer par r\'ecurrence le nombre de r\'egions d\'elimit\'ees par $n$ droites en position g\'en\'erale, c'est-\`a-dire telles qu'il n'en existe pas trois concourantes ni deux parall\`eles. \end{enumerate} \finenonce{000156} \finexercice \exercice{157, ridde, 1999/11/01} \video{okAsZpWWB0M} \enonce{000157}{} Soit $X$ un ensemble. Pour $f \in \mathcal{F} (X, X)$, on d\'efinit $f^0 = id$ et par r\'ecurrence pour $n \in \Nn$ $f^{n + 1} = f^n \circ f$. \begin{enumerate} \item Montrer que $\forall n \in \Nn$ $f^{n + 1} = f \circ f^n$. \item Montrer que si $f$ est bijective alors $\forall n \in \Nn$ $ (f^{-1})^n = (f^n)^{-1}$. \end{enumerate} \finenonce{000157} \finexercice \exercice{158, gourio, 2001/09/01} \enonce{000158}{} Montrer que $$\forall n\geq 2,n!\leq \left( \frac{n+1}{2}\right) ^{n}.$$ \finenonce{000158} \finexercice \exercice{159, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000159}{} Pour tout entier naturel $n$, on pose $$ S_{n} = 1\cdot 2 + 2 \cdot 3+\cdots + (n-1)\cdot n$$ Démontrer que l'on a $$S_{n} = \frac{1}{3} n(n-1)(n+1)$$ \finenonce{000159} \finexercice \exercice{160, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000160}{} Pour $n\in \mathbb{N}$ on considère la propriété suivante~: $$P_{n}: \quad 2^n>n^2$$ \begin{enumerate} \item Pour quelles valeurs de $n$ l'implication $P_{n} \Longrightarrow P_{n+1}$ est-elle vraie~? \item Pour quelles valeurs de $n$ la propriété $P_{n}$ est-elle vraie~? \end{enumerate} \finenonce{000160} \finexercice \exercice{161, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000161}{} Que pensez-vous de la démonstration suivante~? \begin{enumerate} \item Pour tout $n\geq2$, on considère la propriété~: $$P(n) :\quad \mbox{$n$ points distincts du plan sont toujours alignés}$$ \item Initialisation~: $P(2)$ est vraie car deux points distincts sont toujours alignés. \item Hérédité~: On suppose que $P(n)$ est vraie et on va démontrer $P(n+1)$. \noindent Soit donc $A_{1}, A_{2},\ldots,A_{n}, A_{n+1}$ des points distincts. D'après l'hypothèse de récurrence, $A_{1}, A_{2},\ldots, A_{n}$ sont alignés sur une droite~$d$, et $A_{2},\ldots, A_{n}, A_{n+1}$ sont alignés sur une droite~$d'$. Les deux droites $d$ et $d'$ ayant $n-1$ points communs $ A_{2},\ldots, A_{n}$ sont confondues. Donc $A_{1}, A_{2},\ldots, A_{n}, A_{n+1}$ sont alignés, ce qui montre l'hérédité de la propriété. \item Conclusion~: la propriété $P(n)$ est vraie pour tout $n \geq 2$. \end{enumerate} \finenonce{000161} \finexercice \exercice{162, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000162}{} \begin{enumerate} \item Démontrer que pour tout entier naturel $n$, $9$ divise $10^n -1$. \item Soit $k$ un entier strictement positif. Étudier la propriété suivante~: pour tout entier naturel $n$, $k$ divise $(k+1)^n + 2$. \end{enumerate} \finenonce{000162} \finexercice \exercice{163, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000163}{} Démontrer que pour $n\geq 1$, le produit de $n$ entiers impairs est un entier impair. \finenonce{000163} \finexercice \exercice{164, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000164}{} On considère une suite $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$ telle que ~: $$u_0=0 \quad \mbox{et}\quad u_1=1 \quad\mbox{et}\quad \forall n\geq1,\; u_{n+1}=u_n+2u_{n-1}$$ Démontrer que~: \begin{enumerate} \item $\forall n\in \mathbb{N},\; u_n\in \mathbb{N}$, \item $\forall n\in \mathbb{N},\; u_n=\frac{1}{3}(2^n-(-1)^n)$. \end{enumerate} \finenonce{000164} \finexercice \exercice{165, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000165}{} Soit $b\geq 2$ un entier fixé. Démontrer que pour tout $N\in \mathbb{N}^{\ast}$, il existe un entier $n\in \mathbb{N}$ et des entiers $a_0,a_1,\ldots, a_n$ appartenant à $\{\,0,1,\ldots,b-1\,\}$ tels que~; $$N=a_0+a_1b+\cdots+a_nb^n\quad\mbox{et}\quad a_n\neq 0$$ \noindent Démontrer que pour chaque $N$, le système $(n,a_0,a_1,\ldots, a_n)$ est déterminé par la propriété ci-dessus. \noindent On dit que $a_0,a_1,\ldots,a_n$ sont les chiffres de l'écriture du nombre $N$ suivant la base~$b$. \finenonce{000165} \finexercice \exercice{166, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000166}{} Démontrer par récurrence que pour tout $k\in\mathbb{N}$, $k!$ divise le produit de $k$ entiers consécutifs~: $$\forall n\in \mathbb{N},\; k! \mid n(n+1)\cdots(n+k-1)$$ \finenonce{000166} \finexercice \exercice{167, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000167}{} Les propriétés $$P_n \;:\; 3 \mid 4^n-1 \;,\; \forall n \in \mathbb{N},$$ et $$Q_n \;:\; 3 \mid 4^n+1 \;,\; \forall n \in \mathbb{N},$$ sont-elles vraies ou fausses ? \finenonce{000167} \finexercice \exercice{168, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000168}{} \begin{enumerate} \item Calculer les restes de la division euclidienne de $1,4,4^2,4^3$ par $3$. \item Formuler, pour tout $n\in\mathbb{N}$, une hypothèse $\mathcal{P}(n)$ concernant le reste de la division euclidienne de $4^n$ par $3$. Démontrer que $\mathcal{P}(n)$ est vérifiée pour tout $n\in\mathbb{N}$. \item Pour tout $n\in\mathbb{N}$, le nombre $16^n+4^n +3$ est-il divisible par $3$. \end{enumerate} \finenonce{000168} \finexercice \exercice{169, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000169}{} D\'emontrer, en raisonnant par r\'ecurrence, que $3^{2n+2}-2^{n+1}$ est divisible par $7$ quel que soit $n\in \mathbb{N}$. \finenonce{000169} \finexercice \exercice{170, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000170}{} \begin{enumerate} \item Démontrer par récurrence: $$ \sum_{k=0}^n k = \frac{n(n+1)}{2} $$ \item Calculer de deux manières différentes: $$ \sum_{k=1}^{n+1} k^3 - \sum_{k=0}^n (k+1)^3. $$ \item En déduire: $$ \sum_{k=0}^n k^2 = {1 \over 6} (2n^3+3n^2+3n). $$ \end{enumerate} \finenonce{000170} \finexercice \exercice{171, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000171}{} Montrer que pour tout entier $n\geq 1$: $$\frac 1{1.2} + \frac 1{2.3} + \ldots + \frac 1{n.(n+1)} = \frac n{n+1}.$$ \finenonce{000171} \finexercice \exercice{172, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000172}{} Démontrer, en le déterminant qu'il existe un entier $n_0$ tel que $$ \forall n\geq n_0,\ 2^n\geq (n+2)^2. $$ \finenonce{000172} \finexercice \exercice{173, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000173}{} D\'emontrer par r\'ecurrence sur $n$ que pour tout $n\geq 2$ l'implication $$ [x>-1,x\not =0] \Rightarrow [ (1+x)^n >1+nx]$$ est vraie. \finenonce{000173} \finexercice \exercice{174, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000174}{} \begin{enumerate} \item Soit $n\in\mathbb{N}$; montrer que pour tout entier $k\geq 1$ on a $$n^k+kn^{k-1}\leq (n+1)^k.$$ \item Soit $b$ un réel positif ou nul. Montrer par récurrence, que pour tout $n\geq 1$ on a $$ (1+b)^n\leq 1+\frac{nb}{1!}+\frac{(nb)^2}{2!}+...+\frac{(nb)^n}{n!}.$$ \end{enumerate} \finenonce{000174} \finexercice \exercice{175, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000175}{} Montrer par récurrence que pour tout entier $n\in\mathbb{N}$, $$\left(a+b\right)^n=\sum_{k=0}^{n}C_n^k a^kb^{n-k},$$ pour tout réel $a$ et $b$. \finenonce{000175} \finexercice \exercice{176, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000176}{} On définit une suite $(F_n)$ de la fa\c con suivante : $$F_{n+1} = F_n+F_{n-1} ; \quad F_0=1 , F_1=1 \ .$$ \begin{enumerate} \item Calculer $F_n$ pour $1 -1,$ montrer que: $$(1+a_0)...(1+a_n) > 1+a_0+\ldots+a_n.$$ \finenonce{000179} \finexercice \exercice{7011, megy, 2016/08/25} \enonce{007011}{} Montrer $\forall n \in \N,\: \sum_{k=0}^n k^3=\frac{n^2(n+1)^2}{4}$. \finenonce{007011} \finexercice \exercice{7012, megy, 2016/08/25} \enonce{007012}{} Montrer que pour tout entier $n$ positif, l'entier $10^n - (-1)^n$ est divisible par $11$. \finenonce{007012} \finexercice \exercice{7013, megy, 2016/08/25} \enonce{007013}{} Soit $(u_n)_{n\in\N}$ la suite de nombres réels définie par $u_0=0$ et pour tout $n$ positif, $u_{n+1} = \sqrt{3u_n+4}$. Montrer que la suite est majorée par $4$. \finenonce{007013} \finexercice \exercice{7014, megy, 2016/08/25} \enonce{007014}{} Soit $(u_n)_{n\in\N}$ la suite de nombres réels définie par $u_0=0$ et pour tout $n$ positif, $u_{n+1} = 2u_n+1$. Calculer $u_n$ en fonction de $n$. \finenonce{007014} \finexercice \exercice{7015, megy, 2016/08/25} \enonce{007015}{} Soit $(u_n)_{n\in\N}$ la suite de nombres réels définie par $u_0=1$, $u_1=2$ et pour tout $n$ positif, $u_{n+2} = 5u_{n+1}-6u_n$. Calculer $u_n$ en fonction de $n$. \finenonce{007015} \finexercice \exercice{7016, megy, 2016/08/25} \enonce{007016}{} Soit $(u_n)_{n\in\N}$ la suite de nombres réels définie par $u_0=1$, $u_1=1$ et pour tout $n$ positif, $u_{n+2} = u_{n+1}+\frac{2}{n+2}u_n$. Montrer : $\forall n\in \N^*, \: 1\leq u_n \leq n^2$. \finenonce{007016} \finexercice \exercice{7017, megy, 2016/08/25} \enonce{007017}{} Montrer que pour tout $n\in \N$, la somme des $n$ premiers entiers positifs impairs est toujours le carré d'un entier. \finenonce{007017} \finexercice \exercice{7018, megy, 2016/08/25} \enonce{007018}{} Montrer : $\forall u\in \R, \forall n\in \N, |\sin(nu)|\leq n|\sin(u)|$. \finenonce{007018} \finexercice \exercice{7019, megy, 2016/08/25} \enonce{007019}{} % Bernoulli amélioré \begin{enumerate} \item Soit $a \in \R_+$. Montrer $ \forall n\in\N^*,\: (1+a)^n \geq 1+na + \frac{n(n-1)}{2}a^2$. \item Soit $(u_n)_{n\in\N}$ la suite définie par $u_n = \frac{3n}{3^n}$. Montrer que pour tout $n\in\N^*$, on a $0\leq u_n \leq\frac{3n}{2n^2+1}$. \end{enumerate} \finenonce{007019} \finexercice \exercice{7020, megy, 2016/08/25} \enonce{007020}{} Soit $a\in]0,\pi/2[$, et définissons une suite réelle par $u_0=2\cos(a)$ et pour tout $n\in\N$, $u_{n+1}=\sqrt{2+u_n}$. Montrer que pour tout $n\in\N$, on a $u_n=2\cos\left(\frac{a}{2^n}\right)$. \finenonce{007020} \finexercice \exercice{7021, megy, 2016/08/25} \enonce{007021}{} %(Bac Antilles-Guyane 2005) Définissons une suite par $u_0=1$ et pour tout $n \in\N$, $u_{n+1} = \frac12 u_n+n-1$. \begin{enumerate} \item Démontrer que pour tout $n\geq 3$, $u_n$ est positif. En déduire que pour tout $n\geq 4$, on a $u_n\geq n-2$. En déduire la limite de la suite. \item Définissons maintenant la suite $v_n=4u_n-8n+24$. Montrer que la suite $(v_n)$ est une suite géométrique, donner son premier terme et sa raison. Montrer que pour tout $n\in \N, u_n = 7\left(\frac{1}{2}\right)^n+2n-6$. Remarquer que $u_n$ est la somme d'une suite géométrique et d'une suite arithmétique dont on précisera les raisons et les premiers termes. En déduire une formule pour la quantité $u_0+u_1+...+u_n$ en fonction de l'entier $n$. \end{enumerate} \finenonce{007021} \finexercice \exercice{7022, megy, 2016/08/25} \enonce{007022}{} On considère la suite réelle $(u_n)_{n\in\N}$ définie par $u_0=2$ et pour tout $n\in\N,\: u_{n+1}=\sqrt{u_n}$. \begin{enumerate} \item Montrer que pour tout $n\in\N$, $u_n>1$. \item Montrer que pour tout réel $a\in]1;+\infty[$, on a $\frac{1}{\sqrt a+1} \leq \frac12$. \item En déduire que pour tout $n\in\N$, on a $u_{n+1}-1\leq \frac12\left(u_n-1\right)$. \item Montrer que pour tout $n\in\N$, $u_n-1 \leq \left(\frac12\right)^n$. En déduire la limite de la suite $(u_n)$. \end{enumerate} \finenonce{007022} \finexercice \exercice{7023, megy, 2016/08/25} \enonce{007023}{Récurrence de Cauchy et application} % https://www.artofproblemsolving.com/wiki/index.php?title=Cauchy_Induction Soit $A$ une partie de $\N^*$ contenant $1$ et telle que \begin{enumerate} \item $\forall n\in \N^*,\: n\in A \Rightarrow 2n \in A$; \item $\forall n\in \N^*,\: n+1\in A \Rightarrow n \in A$. \end{enumerate} Montrer que $A = \N^*$.\\ En déduire l'inégalité arithmético-géométrique : si $a_1, ..., a_n$ sont des réels positifs, alors on a \[ \sqrt[n]{a_1 a_2 ... a_n} \leq \frac{a_1+...+a_n}{n} \] \finenonce{007023} \finexercice \exercice{7024, megy, 2016/08/25} \enonce{007024}{} Démontrer que tout entier $n\geq 1$ peut s'écrire comme somme de puissances de deux distinctes. \finenonce{007024} \finexercice \exercice{7025, megy, 2016/08/25} \enonce{007025}{} Démontrer que tout entier $n\geq 1$ peut s'écrire de façon unique sous la forme $2^p(2q+1)$, avec $p$ et $q$ entiers. \finenonce{007025} \finexercice \exercice{7035, megy, 2016/11/20} \enonce{007035}{} Montrer que pour tout $n>1$ on a l'inégalité \[\frac 1{\sqrt 1} + \frac 1{\sqrt 2} + \cdots + \frac 1{\sqrt n} > \sqrt n.\] \finenonce{007035} \finexercice \exercice{7036, megy, 2016/11/20} \enonce{007036}{Une récurrence descendante} Montrer que pour tout entier $N\geq 2$, \[ \sqrt{2\sqrt{3\sqrt{4\sqrt{...\sqrt{(N-1)\sqrt{N}}}}}} < 3.\] \finenonce{007036} \finexercice \exercice{7037, megy, 2016/11/20} \enonce{007037}{Inégalité du binôme} Montrer que pour tous $a,b > 0$ distincts et tout $n >1$, on a l'inégalité \[ 2^{n-1} (a^n + b^n) > (a+b)^n.\] \finenonce{007037} \finexercice \exercice{7038, megy, 2016/11/20} \enonce{007038}{Variantes du raisonnement par récurrence} Parmi les énoncés suivants, lesquels permettent d'en déduire que $P_n$ est vraie pour tout $n \in \N$ ? \begin{enumerate} \item $P_0$ et $\forall n\in\N, P_n \Rightarrow (P_{2n}\wedge P_{2n+1})$; \item $P_0$, $P_1$ et $\forall n\geq 1, P_n \Rightarrow (P_{2n}\wedge P_{2n+1})$; \item $P_0$, $P_1$, $P_2$ et $\forall n\geq 2, P_n \Rightarrow (P_{2n}\wedge P_{2n+1})$; \item $P_0$, $P_1$ et $\forall n\geq 1, P_n \Rightarrow (P_{n-1}\wedge P_{n+1})$. \end{enumerate} \finenonce{007038} \finexercice \exercice{7039, megy, 2016/11/20} \enonce{007039}{Conducteur d'un sous-monoïde} Soit $P_n$ une assertion dépendant de $n \in \N$ telle que: \begin{enumerate} \item $P_0$ est vraie; \item $\forall n \in \N, P_n \Rightarrow (P_{n+3} \text{ et } P_{n+4})$. \end{enumerate} La propriété est-elle vraie pour tout $n \in \N$ ? Pour $n$ assez grand ? (Et si oui à partir de quel rang ?) Pour quels entiers est-elle vraie ? Répondre aux deux premières questions en remplaçant dans l'énoncé les nombres $3$ et $4$ par des paramètres entiers positifs $a$ et $b$ quelconques. % si a et b sont premiers entre eux, le conducteur est (a-1)(b-1), voir un livre d'algèbre commutative, chapitre cloture intégrale ? \finenonce{007039} \finexercice \exercice{7040, megy, 2016/11/20} \enonce{007040}{Nombres de Catalan} On définit une suite $(C_n)_{n\in\N}$ par $C_0=1$ et pour tout naturel $n$, $C_{n+1} = \sum_{k=0}^{n}C_kC_{n-k}$. \begin{enumerate} \item Calculer les cinq premiers termes de la suite; \item Montrer par récurrence que pour tout $n\geq 0$, $C_n \geq 2^{n-1}$; \item Montrer par récurrence forte que pour tout $n\geq 0$, $C_n \geq 3^{n-2}$; \item Tenter de montrer par une récurrence similaire à la précédente que pour tout $n\geq 0$, $C_n \geq 4^{n-2}$. À quel endroit ceci échoue-t-il ? Pourquoi est-il heureux que cela échoue ? \end{enumerate} \finenonce{007040} \finexercice \exercice{7041, megy, 2016/11/20} \enonce{007041}{} % récurrence forte Soit $x$ un réel tel que $x+\frac{1}{x}$ soit entier. Montrer que pour tout $n\in \N$, $x^n+\frac{1}{x^n}$ est entier. \finenonce{007041} \finexercice \exercice{7042, megy, 2016/11/20} \enonce{007042}{} % valeurs particulières, conjecturer une formule, % récurrence double ou forte Soit $(u_n)_{n\in\N}$ la suite réelle définie par $u_0=2$, $u_1=3$, et pour tout $n\in\N$, $u_{n+2}=3u_{n+1}-2u_n$. Déterminer $u_n$ en fonction de $n$. \finenonce{007042} \finexercice \exercice{7043, megy, 2016/11/20} \enonce{007043}{} % valeurs particulières, conjecturer une formule, % récurrence forte Soit $(u_n)_{n\in\N}$ la suite réelle définie par $u_0=1$ et pour tout $n\in\N$, $u_{n+1}=\sum_{k=0}^n u_k$. Déterminer $u_n$ en fonction de $n$. \finenonce{007043} \finexercice \exercice{7044, megy, 2016/11/20} \enonce{007044}{} Soit $n\in \N^*$. On trace $n$ cercles dans le plan. Montrer que l'on peut colorier chaque région du plan ainsi délimitée avec exactement deux couleurs, de manière à ce que deux régions séparées par un arc de cercle soient toujours de couleur différente. \finenonce{007044} \finexercice \exercice{7045, megy, 2016/11/20} \enonce{007045}{} Soit $n$ un entier supérieur ou égal à $2$. On place $2n$ points dans l'espace, et on trace $n^2+1$ segments entre ces points. Montrer que l'on a tracé au moins un triangle. \finenonce{007045} \finexercice \exercice{7046, megy, 2016/11/20} \enonce{007046}{} % Un peu difficile. Récurrence forte !!!!! Déterminer les valeurs de $n$ pour lesquelles le nombre \[ u_n := 1+\frac12 + \frac 13 + ... + \frac1n\] est entier. \finenonce{007046} \finexercice \section{ 100.05 Relation d'équivalence, relation d'ordre } \exercice{207, bodin, 1998/09/01} \enonce{000207}{} \begin{enumerate} \item Soit $E=\Nn\times\Nn$, on d\'efinit $\mathcal{R}$ par : $(a,b)\mathcal{R}(a',b')\Leftrightarrow a+b'=b+a'$. Montrer que $\mathcal{R}$ est une relation d'\'equivalence. Identifier $E/\mathcal{R}$. \item M\^emes questions avec $E=\Zz\times\Nn^*$ et $(p,q)\mathcal{R}(p',q') \Leftrightarrow pq'=p'q$. \end{enumerate} \finenonce{000207} \finexercice \exercice{208, bodin, 1998/09/01} \enonce{000208}{} Dans $\Rr^2$ on d\'efinit la relation $\mathcal{R}$ par : $$(x,y)\mathcal{R}(x',y')\Leftrightarrow y=y'.$$ \begin{enumerate} \item Montrer que $\mathcal{R}$ est une relation d'\'equivalence. \item D\'eterminer la classe d'\'equivalence de $(x,y)\in \Rr^2$. \end{enumerate} \finenonce{000208} \finexercice \exercice{209, bodin, 1998/09/01} \video{vf0_R5F6cfc} \enonce{000209}{} Dans $\Cc$ on d\'efinit la relation $\mathcal{R}$ par : $$z\mathcal{R}z'\Leftrightarrow |z|=|z'|.$$ \begin{enumerate} \item Montrer que $\mathcal{R}$ est une relation d'\'equivalence. \item D\'eterminer la classe d'\'equivalence de chaque $z \in \Cc$. \end{enumerate} \finenonce{000209} \finexercice \exercice{210, bodin, 1998/09/01} \enonce{000210}{} Soit $\mathcal{R}$ une relation binaire sur un ensemble $E$, sym\'etrique et transitive. Que penser du raisonnement suivant ? \begin{center} ``$x\mathcal{R} y \Rightarrow y\mathcal{R} x$ car $\mathcal{R}$ est sym\'etrique, \\ or $(x \mathcal{R} y \text{ et } y\mathcal{R} x) \Rightarrow x \mathcal{R} x$ car $\mathcal{R}$ est transitive,\\ donc $\mathcal{R}$ est r\'eflexive.'' \end{center} \finenonce{000210} \finexercice \exercice{211, gourio, 2001/09/01} \enonce{000211}{} \'Etudier la relation $\mathcal{R}$ d\'{e}finie sur $\R^{\R}$ (l'ensemble des applications de $\R$ dans $\R$) par: $$f\mathcal{R} g\Longleftrightarrow \exists A>0,\forall x\in \R,\left| x\right|>A\Rightarrow f(x)=g(x).$$ \finenonce{000211} \finexercice \exercice{212, gourio, 2001/09/01} \video{t7QwqxS5RzQ} \enonce{000212}{} Montrer que la relation $\mathcal{R}$ d\'{e}finie sur $\Rr$ par : $$x\mathcal{R} y\Longleftrightarrow xe^{y}=ye^{x}$$ est une relation d'\'{e}quivalence. Pr\'{e}ciser, pour $x$ fix\'{e} dans $\Rr$, le nombre d'\'{e}l\'{e}ments de la classe de $x$ modulo $\mathcal{R}$. \finenonce{000212} \finexercice \exercice{213, bodin, 1998/09/01} \enonce{000213}{} La relation ``divise'' est-elle une relation d'ordre sur $\Nn$ ? sur $\Zz$ ? Si oui, est-ce une relation d'ordre total ? \finenonce{000213} \finexercice \exercice{214, bodin, 1998/09/01} \enonce{000214}{} \'Etudier les propri\'et\'es des relations suivantes. Dans le cas d'une relation d'\'equivalence, pr\'eciser les classes ; dans le cas d'une relation d'ordre, pr\'eciser si elle est totale, si l'ensemble admet un plus petit ou plus grand \'el\'ement. \begin{enumerate} \item Dans $\mathcal{P}(E)$ : $A\mathcal{R}_1 B \Leftrightarrow A\subset B\quad ; \quad A\mathcal{R}_2 B \Leftrightarrow A\cap B=\emptyset$. \item Dans $\Zz$ : $a\mathcal{R}_3 b \Leftrightarrow a$ et $b$ ont la m\^eme parit\'e $\quad; \quad a\mathcal{R}_4 b \Leftrightarrow \exists n\in \Nn \ \,a-b=3n \quad ; \quad a\mathcal{R}_5 b \Leftrightarrow a-b$ est divisible par $3$. \end{enumerate} \finenonce{000214} \finexercice \exercice{215, ridde, 1999/11/01} \enonce{000215}{} Soient $ (X, \leq)$ et $ (Y, \leq)$ deux ensembles ordonn\'es (on note abusivement les deux ordres de la même façon). On d\'efinit sur $X \times Y$ la relation $ (x, y) \leq (x', y')$ ssi $ (x < x')$ ou $ (x = x'$ et $y \leq y')$. Montrer que c'est un ordre et qu'il est total ssi $X$ et $Y$ sont totalement ordonn\'es. \finenonce{000215} \finexercice \exercice{216, ridde, 1999/11/01} \enonce{000216}{} Un ensemble est dit bien ordonn\'e si toute partie non vide admet un plus petit \'el\'ement. \begin{enumerate} \item Donner un exemple d'ensemble bien ordonn\'e et un exemple d'ensemble qui ne l'est pas. \item Montrer que bien ordonn\'e implique totalement ordonn\'e. \item La r\'eciproque est-elle vraie ? \end{enumerate} \finenonce{000216} \finexercice \exercice{217, ridde, 1999/11/01} \video{6f56RN5_li0} \enonce{000217}{} Soit $ (E, \leq)$ un ensemble ordonn\'e. On d\'efinit sur $\mathcal{P} (E)\setminus\left\{ \emptyset \right\}$ la relation $\prec$ par $$X \prec Y \quad \text{ ssi } \quad (X = Y \ \text{ ou } \ \forall x \in X \ \forall y \in Y \ x \leq y).$$ V\'erifier que c'est une relation d'ordre. \finenonce{000217} \finexercice \exercice{218, ridde, 1999/11/01} \enonce{000218}{} Montrer que $a*b = \dfrac{a + b}{1 + ab}$ est une l.c.i sur $]-1, 1[$ et d\'eterminer ses propri\'et\'es. \finenonce{000218} \finexercice \exercice{3030, quercia, 2010/03/08} \enonce{003030}{Congruence des carr{\'e}s modulo 5} On d{\'e}finit la relation $\sim$ sur $\Z$ par $x \sim y \iff x^2 \equiv y^2 \mathrm{mod}\, 5$. \begin{enumerate} \item D{\'e}terminer l'ensemble quotient. \item Peut-on d{\'e}finir une addition quotient ? une multiplication quotient ? \end{enumerate} \finenonce{003030} \finexercice \exercice{3031, quercia, 2010/03/08} \enonce{003031}{Produit cart{\'e}sien} Soient deux relations d'{\'e}quivalence : ${\cal R}$ sur $E$, et ${\cal S}$ sur $F$. On d{\'e}finit sur $E \times F$ : $$(x,y) \sim (x',y') \iff x {\cal R} x' \text{ et } y {\cal S} y'.$$ \begin{enumerate} \item V{\'e}rifier que $\sim$ est une relation d'{\'e}quivalence. \item Soit $\phi : {E\times F} \to {\left(E/{\cal R}\right) \times \left(F/{\cal S}\right)}, {(x,y)} \mapsto {(\dot x, \dot y)}$ D{\'e}montrer que $\phi$ est compatible avec $\sim$, et que l'application quotient associ{\'e}e est une bijection. \end{enumerate} \finenonce{003031} \finexercice \exercice{3032, quercia, 2010/03/08} \enonce{003032}{$X \cup A = Y \cup A$} Soit $E$ un ensemble et $A \subset E$. On d{\'e}finit la relation sur ${\cal P}(E)$ : $$X \sim Y \iff X \cup A = Y \cup A.$$ \begin{enumerate} \item Montrer que c'est une relation d'{\'e}quivalence. \item Soit $\phi : {{\cal P}(E)} \to {{\cal P}(E\setminus A)}, X \mapsto {X \setminus A}$. \\ Montrer que $\phi$ est compatible avec $\sim$, et que l'application quotient associ{\'e}e est une bijection. \end{enumerate} \finenonce{003032} \finexercice \exercice{3033, quercia, 2010/03/08} \enonce{003033}{{\'E}quivalences sur $E^E$} Soit $E$ un ensemble non vide. On consid{\`e}re les relations sur $F = E^E$: \begin{align*} f \sim g &\iff \exists\ n \in \N^* \text{ tq } f^n = g^n,\cr f \approx g &\iff \exists\ m,n \in \N^* \text{ tq } f^n = g^m,\cr f \equiv g &\iff f(E) = g(E). \end{align*} \begin{enumerate} \item Montrer que $\sim$, $\approx$, $\equiv$ sont des relations d'{\'e}quivalence. \item Pour $f \in F$, on note $f^\sim$, $f^\approx$, $f^\equiv$ les classes d'{\'e}quivalence de $f$ modulo $\sim$, $\approx$, $\equiv$. \begin{enumerate} \item Comparer $f^\sim$, $f^\approx$. \item Montrer que toute classe d'{\'e}quivalence pour $\approx$ est r{\'e}union de classes d'{\'e}quivalence pour $\sim$. \item Que pouvez-vous dire de $f$ s'il existe $g \in f^\approx$ injective ? surjective ? \item M{\^e}me question avec $f^\equiv$. \end{enumerate} \end{enumerate} \finenonce{003033} \finexercice \exercice{3034, quercia, 2010/03/08} \enonce{003034}{Relation d'{\'e}quivalence quotient} Soient ${\cal R}$ et ${\cal S}$ deux relations d'{\'e}quivalence sur un ensemble $E$, telles que : $$\forall\ x,y \in E,\ x {\cal R} y \Rightarrow x {\cal S} y.$$ On d{\'e}finit $\dot{{\cal S}}$ sur $E/{\cal R}$ par : $\dot x \dot{{\cal S}} \dot y \iff x {\cal S} y$. V{\'e}rifier que $\dot{{\cal S}}$ est une relation d'{\'e}quivalence, puis d{\'e}finir une bijection entre $(E/{\cal R})/\dot{{\cal S}}$ et $E/{\cal S}$. \finenonce{003034} \finexercice \exercice{3035, quercia, 2010/03/08} \enonce{003035}{Compl{\'e}tion d'une relation r{\'e}flexive et transitive} Soit ${\cal R}$ une relation binaire sur un ensemble $E$ r{\'e}flexive et transitive. On d{\'e}finit les deux relations : $$\begin{matrix} x {\cal S} y &\iff &( x {\cal R} y \text{ et } y {\cal R} x),\cr x {\cal T} y &\iff &( x {\cal R} y \text{ ou } y {\cal R} x).\end{matrix}$$ Est-ce que ${\cal S}$ et ${\cal T}$ sont des relations d'{\'e}quivalence ? \finenonce{003035} \finexercice \exercice{3036, quercia, 2010/03/08} \enonce{003036}{Parties satur{\'e}es pour une relation d'{\'e}quivalence} Soit $\sim$ une relation d'{\'e}quivalence sur un ensemble $E$. Pour $A \subset E$, on d{\'e}finit $s(A) = \bigcup_{x \in A} \dot x$. \begin{enumerate} \item Comparer $A$ et $s(A)$. \item Simplifier $s(s(A))$. \item Montrer que : $\forall\ x \in E$, on a $(x \in s(A)) \iff (\dot x \cap s(A) \ne \varnothing)$. En d{\'e}duire $s(E\setminus s(A))$. \item D{\'e}montrer que $s\left(\bigcup_{i \in I} A_i \right) = \bigcup_{i \in I} s(A_i)$ et $s\left(\bigcap_{i \in I} A_i \right) \subset \bigcap_{i \in I} s(A_i)$. \item Donner un exemple d'inclusion stricte. \end{enumerate} \finenonce{003036} \finexercice \exercice{3037, quercia, 2010/03/08} \enonce{003037}{Ordre sur les fonctions} Soit $X$ un ensemble et $E = \R^X$. On ordonne $E$ par : $f \le g \iff \forall\ x \in X,\ f(x) \le g(x)$. \begin{enumerate} \item V{\'e}rifier que c'est une relation d'ordre. \item L'ordre est-il total ? \item Comparer les {\'e}nonc{\'e}s : {\it``$f$ est major{\'e}e''}, et {\it``$\{f\}$ est major{\'e}''}. \item Soit $(f_i)_{i\in I}$ une famille major{\'e}e de fonctions de $E$. Montrer qu'elle admet une borne sup{\'e}rieure. \end{enumerate} \finenonce{003037} \finexercice \exercice{3038, quercia, 2010/03/08} \enonce{003038}{$\sup \circ \inf$ et $\inf \circ \sup$} Soit $f : {\R^2} \to {\R}$ une fonction born{\'e}e. On d{\'e}finit les fonctions : $$g : {\R} \to {\R}, t \mapsto {\sup\{ f(t,y)\text{ tq } y\in \R\}}$$ $$ h : {\R} \to {\R}, t \mapsto {\inf\{ f(x,t)\text{ tq } x\in \R\}}$$ Montrer que $g$ et $h$ sont born{\'e}es, puis comparer $\sup h$ et $\inf g$. \finenonce{003038} \finexercice \exercice{3039, quercia, 2010/03/08} \enonce{003039}{Ordre lexicographique} On note $E = [-1, 1]^2$, et on d{\'e}finit sur $E$ la relation :\\ $(x,y) \preceq (x',y') \iff \Bigl( (x < x') \text{ ou }( x = x' \text{ et } y \le y')\Bigr)$ \hfill({\it ordre lexicographique}). \begin{enumerate} \item Pour $(a,b) \in E$, repr{\'e}senter graphiquement l'ensemble des majorants de $(a,b)$. \item Soit $A$ une partie non vide de $E$. Montrer que $A$ admet une borne sup{\'e}\-rieu\-re. \end{enumerate} \finenonce{003039} \finexercice \exercice{3040, quercia, 2010/03/08} \enonce{003040}{Distance entre un point et une partie} Pour $A \subset \R$ non vide et born{\'e}e, et $x \in \R$, on note : $$d(x,A) = \inf\{ |x-a| \text{ tq } a \in A\} \qquad (\text{\it distance de $x$ {\`a} $A$}).$$ Montrer que $\bigl|d(x,A) - d(y,A)\bigr| \le |x-y|$. \finenonce{003040} \finexercice \exercice{3041, quercia, 2010/03/08} \enonce{003041}{Parties adjacentes} Soient $A,B \subset \R$ v{\'e}rifiant : $$\begin{cases}\forall\ a \in A,\ \forall\ b \in B,\ a \le b \cr \forall\ \epsilon > 0,\ \exists\ a \in A,\ \exists\ b \in B \text{ tq } b-a \le \epsilon\end{cases}$$ (on dit que $A$ et $B$ sont {\it adjacentes\/}). Montrer que $\sup(A) = \inf(B)$. \finenonce{003041} \finexercice \exercice{3042, quercia, 2010/03/08} \enonce{003042}{borne sup $ \Rightarrow $ borne inf} Soit $E$ ordonn{\'e} tel que toute partie non vide et major{\'e}e admet une borne sup{\'e}rieure. Montrer que toute partie non vide et minor{\'e}e admet une borne inf{\'e}rieure. \finenonce{003042} \finexercice \exercice{3043, quercia, 2010/03/08} \enonce{003043}{Ordre sur $\R^2$} On d{\'e}finit sur $\R^2$ : $(x,y) \ll (x',y') \iff |x'-x| \le y'-y$. \begin{enumerate} \item V{\'e}rifier que c'est une relation d'ordre. \item Dessiner les ensembles des majorants et des minorants d'un couple $(a,b)$. \item L'ordre est-il total ? \item Soit $A = \{ (x,y) \in \R^2$ tq $x^2 + y^2 \le 1 \}$. D{\'e}terminer $\sup(A)$. \end{enumerate} \finenonce{003043} \finexercice \exercice{3044, quercia, 2010/03/08} \enonce{003044}{Propri{\'e}t{\'e}s de sup et inf} Un treillis est un ensemble ordonn{\'e} $E$ dans lequel pour tous $x,y \in E,\ \sup(x,y)$ et $\inf(x,y)$ existent. Soit $E$ un treillis. \begin{enumerate} \item Montrer que $\sup$ et $\inf$ sont des op{\'e}rations associatives. \item A quelle condition ont-elles des {\'e}l{\'e}ments neutres ? \item Montrer que : \begin{align*} &\forall\ x,y \in E,& &\sup\bigl(x,\inf(x,y)\bigr) = \inf\bigl(x,\sup(x,y)\bigr) = x,\\ &\forall\ x,y,z \in E,& &x \le z \Rightarrow \sup\bigl(x,\inf(y,z)\bigr) \le \inf\bigl(\sup(x,y),z\bigr),\\ &\forall\ x,y,z \in E,& &\inf\bigl(x,\sup(y,z)\bigr) \ge \sup\bigl(\inf(x,y),\inf(x,z)\bigr). \end{align*} \end{enumerate} \finenonce{003044} \finexercice \exercice{3045, quercia, 2010/03/08} \enonce{003045}{Ordre d{\'e}duit d'une loi idempotente} Soit $\cdot$ une op{\'e}ration commutative et associative sur $E$, telle que : $\forall\ x \in E,\ x\cdot x = x$. On d{\'e}finit la relation $\le$ sur $E$ par : $x \le y \iff x\cdot y = x$ \begin{enumerate} \item Reconna{\^\i}tre $\le$ quand $\cdot$ est $\cap$ sur ${\cal P}(X)$\quad (resp $\cup$). \item Montrer que $\le$ est une relation d'ordre. \item D{\'e}montrer que : $\forall\ x,y \in E,\ x\cdot y = \inf(x,y)$. \end{enumerate} \finenonce{003045} \finexercice \exercice{3046, quercia, 2010/03/08} \enonce{003046}{Borne sup{\'e}rieure parmi les intervalles} Soit $E$ l'ensemble des intervalles de $\R$ (y compris $\varnothing$) ordonn{\'e} par l'inclusion. Soient $I,J$ deux intervalles. Qu'est-ce que $\inf(I,J)$ ? $\sup(I,J)$ ? \finenonce{003046} \finexercice \exercice{3047, quercia, 2010/03/08} \enonce{003047}{Prolongement d'applications} Soit $E$ un ensemble et ${\cal E} = \{ (A,f)$ tq $A \subset E,\ A\ne\varnothing,$ et $f\in E^A \}$. On ordonne $\cal E$ par : $$(A,f) \preceq (B,g) \iff \begin{cases}A \subset B \cr \forall\ x \in A,\ f(x) = g(x)\end{cases}$$ (c'est-{\`a}-dire que la fonction $g$, d{\'e}finie sur $B$, prolonge la fonction $f$, d{\'e}finie seulement sur $A$). \begin{enumerate} \item Montrer que $\preceq$ est une relation d'ordre. L'ordre est-il total ? \item Soient $(A,f)$ et $(B,g)$ deux {\'e}l{\'e}ments de $\cal E$. Trouver une CNS pour que la partie $\{ (A,f), (B,g) \}$ soit major{\'e}e. Quelle est alors sa borne sup{\'e}rieure ? \item M{\^e}me question avec minor{\'e}e. \end{enumerate} \finenonce{003047} \finexercice \exercice{3048, quercia, 2010/03/08} \enonce{003048}{Point fixe d'une fonction croissante} Soit $f : {[0,1]} \to {[0,1]}$ croissante. On note $A = \{ x \in {[0,1]}$ tq $f(x) \le x \}$. \begin{enumerate} \item D{\'e}montrer que $A$ n'est pas vide. \item D{\'e}montrer que $f(A) \subset A$. \item Soit $a = \inf(A)$. Montrer que $f(a)$ minore $A$. \item En d{\'e}duire que $f(a) = a$. \end{enumerate} Cela prouve que toute application croissante de $[0,1]$ dans lui-m{\^e}me admet un point fixe. Montrer que c'est faux pour l'intervalle $[0,1[$. \finenonce{003048} \finexercice \exercice{3049, quercia, 2010/03/08} \enonce{003049}{Relation d'ordre sur un ensemble quotient} Soit $\cal R$ une relation sur $E$ r{\'e}flexive et transitive. On d{\'e}finit la relation : $x \sim y \iff x {\cal R} y$ et $y {\cal R} x$. \begin{enumerate} \item Montrer que $\sim$ est une relation d'{\'e}quivalence sur $E$.\par Sur $E/\sim$ on pose : $\dot x \le \dot y \iff x {\cal R} y$. \item Montrer que cette d{\'e}finition est ind{\'e}pendante des repr{\'e}sentants $x$ et $y$ choisis. \item Montrer que $\le$ est une relation d'ordre sur $E/\sim$. \end{enumerate} \finenonce{003049} \finexercice \exercice{3050, quercia, 2010/03/08} \enonce{003050}{Pas de borne sup{\'e}rieure dans $\Q$} Dans cet exercice, on admet que : $\forall\ x \in \Q,\ x^2 \ne 2$. \begin{enumerate} \item Soient $A = \{\ x \in \Z^{+*}$ tq $x^2 < 2\ \}$ et $B = \{\ x \in \Z^{+*}$ tq $x^2 > 2\ \}$. D{\'e}terminer $\sup(A)$ et $\inf(B)$. \item Soient $A = \{\ x \in \Q^{+*}$ tq $x^2 < 2\ \}$ et $B = \{\ x \in \Q^{+*}$ tq $x^2 > 2\ \}$. On veut d{\'e}montrer que $A$ n'admet pas de borne sup{\'e}rieure {\it dans $\Q$}. Pour cela, on suppose au contraire que $\alpha = \sup(A)$ existe ($\alpha \in \Q$), et on pose~$\beta = \frac 2\alpha$. \begin{enumerate} \item Montrer que $\beta = \inf(B)$. \item Montrer que : $\forall\ a \in A,\ \forall\ b \in B,$ ona $a \le b$. Que pouvez-vous en d{\'e}duire pour $\alpha$ et $\beta$ ? \item Obtenir une contradiction en consid{\'e}rant $\gamma = \frac {\alpha + \beta}2$. \end{enumerate} \end{enumerate} \finenonce{003050} \finexercice \exercice{7189, megy, 2019/07/23} \enonce{007189}{} Soit $E$ l'ensemble des droites du plan. Le parallélisme et l'orthogonalité sont-elles des relations réflexives, symétriques, antisymétriques, transitives ? \finenonce{007189} \finexercice \exercice{7190, megy, 2019/07/23} \enonce{007190}{} Soit $E$ un ensemble fini, de cardinal $n$. Combien de relations binaires y a-t-il sur $E$ ? De relations symétriques ? Réflexives ? \finenonce{007190} \finexercice \exercice{7191, megy, 2019/07/23} \enonce{007191}{} Soit $\leq$ une relation d'ordre sur un ensemble $E$, et $<$ la relation d'ordre strict associée, c'est-à-dire par définition : $x0$ un réel et $X=[0,l]\times [-1,1]$, et $\sim$ la relation d'équivalence la plus fine sur $X$ telle que $(0,y)\sim(l,-y)$ pour tout $y\in [-1,1]$. Décrire le graphe et les classes d'équivalence de la relation. Note : l'ensemble quotient $\mathcal M = X/\sim$ est donc l'ensemble obtenu en recollant le rectangle $X=[0,l]\times [-1,1]$ le long de deux bords opposés, en suivant une orientation opposée. On l'appelle le \emph{ruban de Möbius} (de longueur $l$). \finenonce{007195} \finexercice \exercice{7196, megy, 2019/07/23} \enonce{007196}{} Soient $\mathcal R$ et $\mathcal S$ des relations binaires sur $E$. On dit que $\mathcal R$ est plus fine que $\mathcal S$, ou encore que c'est est un raffinement, si $\forall x, y\in E, x\mathcal R y \implies x\mathcal S y$. De façon équivalente, $\mathcal R$ est plus fine que $\mathcal S$ si on a l'inclusion de graphes $\Gamma_{\mathcal R} \subseteq \Gamma_{\mathcal S}$. \begin{enumerate} \item Montrer que \og être plus fine que \fg{} est une relation d'ordre sur l'ensemble des relations binaires sur $E$. \item Soient $\mathcal R$ et $\mathcal S$ des relations binaires sur $E$. Montrer qu'il existe une relation binaire sur $E$ qui raffine à la fois $\mathcal R$ et $\mathcal S$, et qu'il existe aussi une relation binaire sur $E$ simultanément moins fine que $\mathcal R$ et $\mathcal S$. \end{enumerate} \finenonce{007196} \finexercice \exercice{7197, megy, 2019/07/23} \enonce{007197}{} Soit $f : \R\to \mathbb U, t\mapsto e^{it}$, et soit $\mathcal R$ la relation d'équivalence sur $\R$ définie par $x\mathcal R y \iff x\equiv y \pmod{2\pi}$. On note $\R/2\pi\Z$ l'ensemble quotient $\R/\mathcal R$. Montrer que l'application $f$ descend au quotient en une application $[f] :\R/2\pi\Z \to \mathbb U$ qui est une bijection. \finenonce{007197} \finexercice \exercice{7198, megy, 2019/07/23} \enonce{007198}{} (Produit de deux relations) Soient $\mathcal R$ et $\mathcal S$ deux relations sur $E$. Leur \emph{produit}, noté $\mathcal R \mathcal S$, est la relation binaire définie par: \[ \forall x,y\in E, x \mathcal R \mathcal S y \iff \exists a\in E, \: (x \mathcal R a \text{ et } a \mathcal S y) \] \begin{enumerate} \item Prouver par un exemple qu'en général, les relations $\mathcal R \mathcal S$ et $\mathcal S \mathcal R$ sont distinctes. \item Montrer que le produit de relations est néanmoins associatif, autrement dit si $\mathcal R$, $\mathcal S$ et $\mathcal T$ sont trois relations, on a \[ (\mathcal R \mathcal S) \mathcal T = \mathcal R (\mathcal S \mathcal T)\] \end{enumerate} \finenonce{007198} \finexercice \exercice{7199, megy, 2019/07/23} \enonce{007199}{} (Clôture transitive. Cet exercice utilise la notion de produit de relations) Soit $\mathcal R$ une relation sur $E$. Pour $n\in \N$ et $\mathcal R$ est une relation sur $E$, on définit alors par récurrence la relation $\mathcal R^n$ (en définissant $\mathcal R^0$ comme l'égalité, puis $\mathcal R^{n+1} = \mathcal R \mathcal R^n$). Montrer que toutes les relations suivantes sont égales: \begin{enumerate} \item $\bigvee_{n\geq 0} \mathcal R^n$; \item la relation dont le graphe est $\bigcup_{n\geq 0} \Gamma_{\mathcal R^{n}}$; \item la relation dont le graphe est l'intersection de tous les graphes de relations transitives qui contiennent $\Gamma_{\mathcal R}$. \item la plus fine relation parmi toutes les relations transitives moins fines que $\mathcal R$. \end{enumerate} Cette relation binaire (qui est donc transitive) est appelée \emph{clôture transitive} de $\mathcal R$. Montrer que si $\mathcal R$ est symétrique (resp. réflexive), sa clôture transitive l'est également. \finenonce{007199} \finexercice \exercice{7200, megy, 2019/07/23} \enonce{007200}{} Soit $E$ l'ensemble des couples de la forme $(I,f)$, où $I$ est un intervalle de $\R$ et $f$ est une fonction de $I$ dans $\R$. La relation $\preceq$ sur $E$ est définie par \[ (I,f)~\preceq~(J,g) ~\iff~ (I\subseteq J \text{ et } f=g|_I).\] Montrer qu'il s'agit d'une relation d'ordre. \finenonce{007200} \finexercice \exercice{7201, megy, 2019/07/23} \enonce{007201}{} Soit $E=\R^\R$ l'ensemble des fonctions de $\R$ dans $\R$ et $f, g\in E$. On dit que $f$ et $g$ ont \og même germe en zéro\fg{} et on note $f \underset{0}{=} g$ si: \[ \exists \epsilon>0, f|_{]-\epsilon,\epsilon[} = g|_{]-\epsilon,\epsilon[} \] \begin{enumerate} \item Montrer que $\underset{0}{=}$ est une relation d'équivalence sur $E$. \item Montrer que si $f \underset{0}{=} g$ alors $f(0)=g(0)$, mais que la réciproque est fausse. \item Montrer également que pour tout $a\in \R^*$, il existe deux fonctions $f$ et $g$ avec $f \underset{0}{=} g$ et $f(a)\neq g(a)$. \end{enumerate} La classe d'équivalence d'une fonction $f$ pour cette relation d'équivalence s'appelle le \emph{germe de $f$ en zéro}. Attention, cette relation d'équivalence n'est \textbf{pas} \og l'équivalence en zéro\fg{} qui sera par la suite introduite dans le cours d'analyse. \finenonce{007201} \finexercice \exercice{7202, megy, 2019/07/23} \enonce{007202}{} Soit $f : E\to F$, soit $\equiv_f$ la relation d'équivalence sur $E$ dont les classes d'équivalence sont les fibres de $f$, et soit $Q = E/\equiv_f$ l'ensemble quotient. \begin{enumerate} \item Montrer que $f$ passe au quotient en une application $\bar f : Q\to F$ qui est injective. \item Montrer qu'une relation d'équivalence $\mathcal R$ sur $E$ est plus fine que $\equiv_f$ si et seulement si $f$ passe au quotient par $\mathcal R$. \item En déduire quelles sont les relations d'équivalence les plus et moins fines telles que $f$ passe au quotient par $\mathcal R$. \end{enumerate} \finenonce{007202} \finexercice \exercice{7203, megy, 2019/07/23} \enonce{007203}{} (Coégalisateur) Soient $A$ et $B$ deux ensembles et $f$ et $g$ deux applications entre $A$ et $B$. On définit sur $B$ la relation binaire suivante : $\mathcal R$ est la relation d'équivalence la plus fine telle que $\forall a\in A, f(a)\mathcal R g(a)$. Le \emph{coégalisateur de $f$ et $g$} est par définition l'ensemble quotient $C = B/\mathcal R$. On note $\pi : B \to C$ la surjection canonique sur le quotient. On a alors $\pi\circ f = \pi \circ g$. Montrer que $C$ et $\pi$ vérifient la propriété suivante (dite \emph{propriété universelle du coégalisateur}): Pour tout ensemble $X$ et application $\phi : B \to X$ vérifiant $\phi\circ f = \phi\circ g$, il existe une unique application $h : C\to X$ telle que $\phi = h \circ \pi $. \finenonce{007203} \finexercice \exercice{7204, megy, 2019/07/23} \enonce{007204}{} (Somme amalgammée d'ensembles. Cet exercice utilise la notion de coégalisateur.) Soient $A$, $B$ et $C$ des ensembles et $f : C\to A$, $g : C\to B$ des applications. Soit $A\coprod B$ l'union disjointe de $A$ et $B$ et $i_A$ et $i_B$ les injections canoniques de $A$ et $B$ dans $A\coprod B$. Les deux applications $i_A \circ f$ et $i_B \circ g$ vont toutes deux de $C$ dans $A\coprod B$. Leur coégalisateur est appelé \emph{la somme amalgamée de $A$ et $B$ sous $C$}, est noté $A\coprod_C B$. La surjection canonique $A\coprod B \to A\coprod_C B$ est notée $\pi$ et on note $j_A = \pi \circ i_A$ et $j_B = \pi \circ i_B$. Montrer que $A\coprod_C B$ vérifie la propriété universelle suivante: Pour tout ensemble $D$ muni d'applications $\phi : A\to D$ et $\psi : B\to D$, il existe une unique application $h : A\coprod_C B \to D$ telle que $\phi = h\circ j_A$ et $\psi = h\circ j_B$. \finenonce{007204} \finexercice \exercice{7205, megy, 2019/07/23} \enonce{007205}{} (Écrasement d'une partie d'un ensemble) Soit $X$ un ensemble. Pour tout sous-ensemble $A\subseteq X$, on définit la relation binaire $\sim_A$ sur $X$ comme suit: \[ \forall (x,y)\in X^2, \: x\sim_A y \iff \left(x=y \text{ ou } \left(x\in A\text{ et } y\in A\right)\right).\] \begin{enumerate} \item Montrer que c'est une relation d'équivalence sur $X$. Quelles sont ses classes d'équivalence ? \item Soit $f$ une fonction de $X$ dans un ensemble $E$, constante sur $A$. Montrer qu'elle descend au quotient en une application $[f] : X/\sim_A \to E$. \item Montrer que pour tout ensemble $E$, l'application \[ \phi : \left\{f\in \mathcal F(X,E),\:\middle| \: f\text{ est constante sur } A\right\} \to \mathcal F(X/\sim_A, E), \] qui à $f$ associe $[f]$ est surjective. \item Identifier, parmi les relations d'équivalence étudiées dans le cours et les exercices du chapitre, celles qui sont des cas particuliers d'écrasements de parties. \end{enumerate} \finenonce{007205} \finexercice \exercice{7206, megy, 2019/07/23} \enonce{007206}{} (Cône sur un ensemble) Soit $X$ un ensemble et $Y = X\times [0,1]$. Soit $\mathcal R$ la relation d'équivalence la plus fine sur $Y$ telle que $\forall x,x'\in X, (x,0)\mathcal R (x',0)$. \begin{enumerate} \item Montrer que $(x,t)\mathcal R (x',t') \iff \left(t=t'=0)\text{ ou } (x,t)=(x',t')\right)$. \item Le cône sur $X$, noté $\operatorname{Cone}(X)$, est par définition $Y/\mathcal R$. Le nom de \og cône\fg{} peut s'expliquer à l'aide de l'exemple suivant. Définir une bijection entre $\operatorname{Cone}(\mathbb S^1)$ et l'ensemble \[ \left\{(x,y,z)\in \R^3\:\middle|\: z^2=x^2+y^2, \text{ et } 0\leq z \leq 1\right\}\] (qui est un vrai cône au sens usuel: faire un dessin). \end{enumerate} \finenonce{007206} \finexercice \exercice{7207, megy, 2019/07/23} \enonce{007207}{} (Suspension d'un ensemble) Soit $X$ un ensemble. Sur l'ensemble $X\times [-1,1]$, on considère la relation d'équivalence la plus fine vérifiant: \[ \begin{cases} \forall x,x'\in X, (x,-1)\mathcal R (x',-1)\\ \forall x,x'\in X, (x,1)\mathcal R (x',1) \end{cases} \] \begin{enumerate} \item Montrer que \[ (x,t)\mathcal R (x',t') \iff \big( t=t'=-1 \text{ ou } t=t'=1\text{ ou } (x,t)= (x',t')\big)\] L'ensemble quotient est appelé \emph{suspension de $X$}, et est noté $S(X)$. \item Soit $X=\{-1,1\}$. Montrer que l'application $f : X\times[-1,1] \to \R^2, \: (x,t) \mapsto (t,x\sqrt{1-t^2})$ est à valeurs dans le cercle unité du plan, noté $\mathbb S^1$, et passe au quotient en application injective de $S(X)$ vers $\R^2$ dont l'image est $\mathbb S^1$. Ceci formalise la phrase \og la suspension de deux points est un cercle.\fg \end{enumerate} (Note : plus généralement, on peut montrer que pour tout $n\in\N$, la suspension de la sphère $\mathbb S^n$ est en bijection naturelle avec la sphère $\mathbb S^{n+1}$. Cet exercice traite le cas $n=0$. ) \finenonce{007207} \finexercice \exercice{7208, megy, 2019/07/23} \enonce{007208}{} (Union/disjonction et intersection/conjonction de deux relations) Soient $\mathcal R$ et $\mathcal S$ deux relations sur $E$. On définit la disjonction (ou union), notée $\mathcal R \vee \mathcal S$, par : \[ x (\mathcal R \vee \mathcal S) y \iff (x \mathcal R y\text{ ou } x \mathcal S y)\] De façon équivalente, le graphe de $\mathcal R \vee \mathcal S$ est l'union des graphes de $\mathcal R$ et de $\mathcal S$. De même, on définit la conjonction (ou intersection) $\mathcal R \wedge \mathcal S$ comme la relation dont le graphe est l'intersection des deux graphes de $\mathcal R$ et $\mathcal S$, c'est-à-dire \[ x (\mathcal R \wedge \mathcal S) y \iff (x \mathcal R y\text{ et } x \mathcal S y).\] Si $\mathcal R$ et $\mathcal S$ sont des relations d'équivalence, montrer que $\mathcal R \wedge \mathcal S$ est une relation d'équivalence, mais pas forcément $\mathcal R \vee \mathcal S$. (Note : on peut définir la conjonction ou la disjonction d'un nombre quelconque de relations, à l'aide de l'union ou de l'intersection des graphes associés.) \finenonce{007208} \finexercice \section{ 100.99 Autre } \exercice{180, gourio, 2001/09/01} \enonce{000180}{} Quels sont les entiers $n$ $ $tels que $4^{n}\leq n!$ ? \finenonce{000180} \finexercice \exercice{181, gourio, 2001/09/01} \enonce{000181}{} Montrer que : $$\forall n\geq 2,u_{n}=\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{k}\notin \Nn.$$ \emph{Indication} : montrer que $$\forall n\geq 2,\exists (p_{n},q_{n})\in (\Nn^{*})^{2},u_{n}=\frac{2p_{n}+1}{2q_{n}}.$$ \finenonce{000181} \finexercice \exercice{182, gourio, 2001/09/01} \enonce{000182}{} Soit $f:\Nn^{*}\rightarrow \Nn^{*}$ une application v\'{e}rifiant : $$\forall n\in \Nn^{*},f(n+1)>f(f(n)).$$ Montrer que $f=Id_{\Nn^{*}}.$ \emph{Indications} : que dire de $k\in \Nn$ tel que $f(k)=\inf \{f(n)|n\in \Nn\}$? En d\'{e}duire que $\forall n>0,f(n)>f(0).$ Montrer ensuite que $\forall n\in \Nn, $ on a: $\forall m>n,f(m)>f(n)$ et $% \forall m\leq n,f(m)\geq m $ (on pourra introduire $k$ tel que $f(k)$ soit le plus petit entier de la forme $f(m) $ avec $m>n$). En d\'{e}duire que $f$ est strictement croissante et qu'il n'existe qu'une seule solution au probl\`{e}me. Laquelle ? \finenonce{000182} \finexercice \exercice{183, ridde, 1999/11/01} \enonce{000183}{} Pour $p \in \left\{ 1, 2, 3\right\}$ on note $S_{p} = \sum\limits_{k = 0}^n k^p$. \begin{enumerate} \item A l'aide du changement d'indice $i = n-k$ dans $S_{1}$, calculer $S_{1}$. \item Faire de même avec $S_{2}$. Que se passe-t-il ? \item Faire de même avec $S_{3}$ pour l'exprimer en fonction de $n$ et $S_{2}$. \item En utilisant l'exercice \ref{ex104}, calculer $S_{3}$. \end{enumerate} \finenonce{000183} \finexercice \exercice{184, ridde, 1999/11/01} \enonce{000184}{} Pour calculer des sommes portant sur deux indices, on a int\'erêt \`a repr\'esenter la z{o}ne du plan couverte par ces indices et \`a sommer en lignes, colonnes ou diagonales... Calculer : \begin{enumerate} \item $\sum\limits_{1\leq i \leq j \leq n}ij$. \item $\sum\limits_{1\leq i < j \leq n}i (j-1)$. \item $\sum\limits_{1\leq i < j \leq n} (i-1)j$. \item $\sum\limits_{1\leq i \leq j \leq n} (n-i) (n-j)$. \item $\sum\limits_{1\leq p, q \leq n} (p + q)^2$ (on posera $k = p + q$). \end{enumerate} \finenonce{000184} \finexercice \section{ 101.01 Application } \exercice{185, bodin, 1998/09/01} \video{MJjD9ZZkUuE} \enonce{000185}{} Soient $f : \Rr \rightarrow \Rr$ et $g : \Rr \rightarrow \Rr$ telles que $f(x) = 3x+1$ et $g(x)=x^2-1$. A-t-on $f\circ g=g\circ f$ ? \finenonce{000185} \finexercice \exercice{186, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000186}{} Soit l'application de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$, $f\colon x\mapsto x^2$. \begin{enumerate} \item Déterminer les ensembles suivants : $f([-3,-1])$, $f([-2,1])$, $f([-3,-1]\cup[-2,1])$ et $f([-3,-1]\cap[-2,1])$. Les comparer. \item Mêmes questions avec les ensembles $f^{-1}(\mathopen]-\infty,2])$, $f^{-1}([1,+\infty\mathclose[)$, $f^{-1}(\mathopen]-\infty,2]\cup\nolinebreak{}[1,+\infty\mathclose[)$ et $f^{-1}(\mathopen]-\infty,2]\cap\nolinebreak{}[1,+\infty\mathclose[)$. \end{enumerate} \finenonce{000186} \finexercice \exercice{2889, quercia, 2010/03/08} \enonce{002889}{Images directes et r{\'e}ciproques} Soit $f : E \to F$ une application, $A,A' \subset E$ et $B,B' \subset F$. \begin{enumerate} \item Simplifier $f(f^{-1}(f(A)))$ et $f^{-1}(f(f^{-1}(B)))$. \item Montrer que $f(A\cap f^{-1}(B)) = f(A)\cap B$. \item Comparer $f(A \mathop{\Delta} A')$ et $f(A) \mathop{\Delta} f(A')$. \item Comparer $f^{-1}(B \mathop{\Delta} B')$ et $f^{-1}(B) \mathop{\Delta} f^{-1}(B')$. \item A quelle condition sur $f$ a-t-on : $\forall\ A \subset E,\ f(E\setminus A) = F\setminus f(A)$ ? \end{enumerate} \finenonce{002889} \finexercice \exercice{2890, quercia, 2010/03/08} \enonce{002890}{$(X \cap A, X \cap B)$} Soit $E$ un ensemble, et $A,B$ deux parties fix{\'e}es de $E$. Soit $ \phi : {{\cal P}(E)} \to {{\cal P}(A) \times {\cal P}(B)}, X \mapsto {(X \cap A, X \cap B).}$ \begin{enumerate} \item Qu'est-ce que $\phi(\varnothing)$ ? $\phi( E\setminus(A \cup B))$ ? \item A quelle condition sur $A$ et $B$, $\phi$ est-elle injective ? \item Est-ce que le couple $(\varnothing, B)$ poss{\`e}de un ant{\'e}c{\'e}dent par $\phi$ ? \item A quelle condition sur $A$ et $B$, $\phi$ est-elle surjective ? \end{enumerate} \finenonce{002890} \finexercice \exercice{2891, quercia, 2010/03/08} \enonce{002891}{Partie stable par une application} Soit $f : E \to E$. Pour $n \in \N^*$, on note $f^n = \underbrace{f \circ f \circ \dots \circ f}_{n \text{ fois}}$\ , et $f^0 = \text{id}_E$. Soit $A \subset E$, $A_n = f^n(A)$, et $B = \bigcup_{n\in \N} A_n$. \begin{enumerate} \item Montrer que $f(B) \subset B$. \item Montrer que $B$ est la plus petite partie de $E$ stable par $f$ et contenant $A$. \end{enumerate} \finenonce{002891} \finexercice \exercice{2892, quercia, 2010/03/08} \enonce{002892}{Factorisation d'une application} \begin{enumerate} \item Soit $f : F \to E$ et $g : G \to E$ deux applications. Montrer qu'il existe une application $h : G \to F$ telle que $g = f\circ h$ si et seulement si : $g(G) \subset f(F)$.\\ A quelle condition $h$ est-elle unique ? \item Soit $f: E \to F$ et $g : E \to G$ deux applications. Montrer qu'il existe une application $h: F\to G$ telle que $g = h\circ f$ si et seulement si : $\forall\ x,y \in E,\ \bigl( f(x) = f(y) \Rightarrow g(x) = g(y) \bigr)$. \\ A quelle condition $h$ est-elle unique ? \end{enumerate} \finenonce{002892} \finexercice \exercice{2893, quercia, 2010/03/08} \enonce{002893}{Propri{\'e}t{\'e}s des applications $A \mapsto f(A)$ et $B \mapsto f^{-1}(B)$} Soit $f: E\to F$. On consid{\`e}re les applications $$\Phi: {{\cal P}(E)}\to {{\cal P}(F)}, A \mapsto{f(A)} \quad \text{ et } \quad \Psi :{{\cal P}(F)}\to {{\cal P}(E)}, B \mapsto {f^{-1}(B).}$$ Montrer que : \par\leavevmode\vtop{\halign{\bf#) \hfil&&#\hfil\cr 1&$f$ est injective &$\iff \Phi$ est injective &$\iff \Psi$ est surjective. \cr 2&$f$ est surjective &$\iff \Phi$ est surjective &$\iff \Psi$ est injective. \cr}} \finenonce{002893} \finexercice \exercice{2894, quercia, 2010/03/08} \enonce{002894}{${\varphi} \mapsto {f\circ\varphi}$ et ${\varphi} \mapsto {\varphi\circ f}$} Soit $f: E \to F$ une application, et $G$ un troisi{\`e}me ensemble ayant au moins deux {\'e}l{\'e}ments. On construit deux nouvelles applications : $$ {f_*} : {E^G} \to {F^G}, {\varphi} \mapsto {f\circ\varphi} \qquad\text{ et } \qquad {f^*} {G^F} \to {G^E}, {\varphi}\mapsto {\varphi\circ f} $$ Montrer que : \begin{enumerate} \item $f$ est injective $\iff f_*$ est injective $\iff f^*$ est surjective. \item $f$ est surjective $\iff f_*$ est surjective $\iff f^*$ est injective. \end{enumerate} \finenonce{002894} \finexercice \exercice{2895, quercia, 2010/03/08} \enonce{002895}{}[$h\circ g\circ f$, $g\circ f\circ h$ injectives et $f\circ h\circ g$ surjective] Soient $E \xrightarrow{f} F \xrightarrow{g} G \xrightarrow{h} E$ trois applications telles que $h\circ g\circ f$ et $g\circ f\circ h$ sont injectives et $f\circ h\circ g$ est surjective. Montrer que $f,g,h$ sont bijectives. \finenonce{002895} \finexercice \exercice{2896, quercia, 2010/03/08} \enonce{002896}{Parties satur{\'e}es pour la relation d'{\'e}quivalence associ{\'e}e {\`a} $f$} Soit $f:E\to F$ une application, et ${\cal S} = \{ X \subset E$ tq $f^{-1}(f(X)) = X \}$. \begin{enumerate} \item Pour $A \subset E$, montrer que $f^{-1}(f(A)) \in {\cal S}$. \item Montrer que ${\cal S}$ est stable par intersection et r{\'e}union. \item Soient $X \in {\cal S}$ et $A \subset E$ tels que $X \cap A = \varnothing$. Montrer que $X \cap f^{-1}(f(A)) = \varnothing$. \item Soient $X$ et $Y \in {\cal S}$. Montrer que $\overline X$ et $Y \setminus X$ appartienent {\`a} ${\cal S}$. \item Montrer que l'application $ {\cal S} \to {{{\cal P}}(f(E))}, A \mapsto {f(A)}$ est une bijection. \end{enumerate} \finenonce{002896} \finexercice \exercice{2897, quercia, 2010/03/08} \enonce{002897}{Conjugaison} Soit $E$ un ensemble et $f : E \to E$ bijective. La conjugaison par $f$ est l'application ${\Phi_f} : {E^E} \to {E^E}, \phi \mapsto {f\circ \phi\circ f^{-1}}$ \begin{enumerate} \item Montrer que $\Phi_f$ est une bijection de $E^E$. \item Simplifier $\Phi_f \circ \Phi_g$. \item Simplifier $\Phi_f(\phi) \circ \Phi_f(\psi)$. \item Soient $\cal I$, $\cal S$, les sous-ensembles de $E^E$ constitu{\'e}s des injections et des surjections. Montrer que $\cal I$ et $\cal S$ sont invariants par $\Phi_f$. \item Lorsque $\phi$ est bijective, qu'est-ce que $\Bigl(\Phi_f(\phi)\Bigr)^{-1}$ ? \end{enumerate} \finenonce{002897} \finexercice \exercice{2898, quercia, 2010/03/08} \enonce{002898}{Ensembles {\'e}quipotents} Soient $E,F$ deux ensembles. On dit que : \begin{tabular}{lll} $E$ est moins puissant que $F$ &s'il existe une injection &$f:\ E \to F$\\ $E$ est plus puissant que $F$ &s'il existe une surjection &$f:\ E \to F$\\ $E$ et $F$ sont {\'e}quipotents &s'il existe une bijection &$f:\ E \to F$. \end{tabular} \begin{enumerate} \item D{\'e}montrer que : ($E$ est moins puissant que $F$) $\iff$ ($F$ est plus puissant que $E$). \item Montrer que $\N$, $\N^*$, $\{n \in \N$ tq $n$ est divisible par $3 \}$, et $\Z$ sont deux {\`a} deux {\'e}quipotents. \item D{\'e}montrer que $E$ est moins puissant que ${\cal P}(E)$. \item Soit $f : E \to {{\cal P}(E)}$ quelconque et $A = \{ x \in E$ tq $x \notin f(x) \}$. Prouver que $A \notin f(E)$. \item Est-ce que $E$ et ${\cal P}(E)$ peuvent {\^e}tre {\'e}quipotents ? \item Soit $G$ un troisi{\`e}me ensemble. Si $E$ est moins puissant que $F$, d{\'e}montrer que $E^G$ est moins puissant que~$F^G$. \end{enumerate} \finenonce{002898} \finexercice \exercice{2899, quercia, 2010/03/08} \enonce{002899}{Affirmations} Soit $f: E\to F$. Que pensez-vous des affirmations suivantes ? \begin{enumerate} \item $\forall\ x \in E \quad \forall\ y \in F \quad f(x)=y.$ \item $\forall\ x \in E \quad \exists\ y \in F \text{ tel que } \quad f(x)=y.$ \item $\exists\ x \in E \text{ tel que } \quad \forall\ y \in F \quad f(x)=y.$ \item $\exists\ x \in E \text{ tel que } \quad \exists\ y \in F \text{ tel que } \quad f(x)=y.$ \item $\forall\ y \in F \quad \forall\ x \in E \quad f(x)=y.$ \item $\forall\ y \in F \quad \exists\ x \in E \text{ tel que } \quad f(x)=y.$ \item $\exists\ y \in F \text{ tel que } \quad \forall\ x \in E \quad f(x)=y.$ \item $\exists\ y \in F \text{ tel que } \quad \exists\ x \in E \text{ tel que } \quad f(x)=y.$ \end{enumerate} \finenonce{002899} \finexercice \section{ 101.02 Injection, surjection } \exercice{187, gourio, 2001/09/01} \enonce{000187}{} Donner des exemples d'applications de $\Rr$ dans $\Rr$ (puis de $\Rr^{2}$ dans $\Rr$) injective et non surjective, puis surjective et non injective. \finenonce{000187} \finexercice \exercice{188, bodin, 1998/09/01} \enonce{000188}{} Soit $f : \Rr \rightarrow \Rr$ d\'efinie par $f(x) = x^3-x$.\\ $f$ est-elle injective ? surjective ? D\'eterminer $f^{-1}([-1,1])$ et $f(\Rr_+)$. \finenonce{000188} \finexercice \exercice{189, bodin, 1998/09/01} \enonce{000189}{} Les fonctions suivantes sont-elles injectives ? surjectives ? bijectives ? $$ f : \Zz\rightarrow\Zz, \ n\mapsto 2n \quad ; \quad f : \Zz\rightarrow\Zz ,\ n\mapsto -n $$ $$ f:\Rr\rightarrow\Rr ,\ x\mapsto x^2 \quad ; \quad f : \Rr\rightarrow\Rr_+ ,\ x\mapsto x^2 $$ $$ f : \Cc\rightarrow\Cc ,\ z\mapsto z^2.$$ \finenonce{000189} \finexercice \exercice{190, ridde, 1999/11/01} \video{GVJXQpK7lpY} \enonce{000190}{} Les applications suivantes sont-elles injectives, surjectives, bijectives ? \begin{enumerate} \item $f : {\Nn} \to {\Nn}, {n} \mapsto {n + 1}$ \item $g : {\Zz} \to {\Zz}, {n}\mapsto{n + 1}$ \item $h : {\Rr^2} \to {\Rr^2}, {(x, y)}\mapsto{ (x + y, x-y)}$ \item $k : {\Rr \setminus \left\{ 1\right\}} \to {\Rr}, {x}\mapsto{\frac{x + 1}{x - 1}}$ \end{enumerate} \finenonce{000190} \finexercice \exercice{191, bodin, 1998/09/01} \video{n2-T6hM33AM} \enonce{000191}{} Soit $f : \Rr \rightarrow \Rr$ d\'efinie par $f(x) = 2x/(1+x^2)$. \begin{enumerate} \item $f$ est-elle injective ? surjective ? \item Montrer que $f(\Rr)=[-1,1]$. \item Montrer que la restriction $g : [-1,1] \rightarrow [-1,1]$ $g(x) = f(x)$ est une bijection. \item Retrouver ce r\'esultat en \'etudiant les variations de $f$. \end{enumerate} \finenonce{000191} \finexercice \exercice{192, bodin, 1998/09/01} \enonce{000192}{} L'application $ f : \Cc\setminus{\{0\}} \rightarrow \Cc, \ z\mapsto z+1/z$ est-elle injective ? surjective ? bijective ? \\ Donner l'image par $f$ du cercle de centre $0$ et de rayon $1$. \\ Donner l'image r\'eciproque par $f$ de la droite $i\Rr$. \finenonce{000192} \finexercice \exercice{193, bodin, 1998/09/01} \video{hBxRKn9zxFs} \enonce{000193}{} On consid\`ere quatre ensembles $A,B,C$ et $D$ et des applications $f:A\rightarrow B$, $g:B\rightarrow C$, $h:C\rightarrow D$. Montrer que : $$g\circ f\text{ injective } \Rightarrow f\text{ injective,}$$ $$g\circ f\text{ surjective } \Rightarrow g\text{ surjective.}$$ Montrer que : $$\big(\text{$g\circ f$ et $h\circ g$ sont bijectives }\big) \Leftrightarrow \big(\text{$f,g$ et $h$ sont bijectives}\big).$$ \finenonce{000193} \finexercice \exercice{194, ridde, 1999/11/01} \enonce{000194}{} Soit $f : X \rightarrow Y$. Montrer que \begin{enumerate} \item $\forall B \subset Y \, \, f (f^{-1} (B)) = B \cap f (X)$. \item $f$ est surjective ssi $\forall B \subset Y \, \, f (f^{-1} (B)) = B $. \item $f$ est injective ssi $\forall A \subset X \, \, f^{-1} (f(A)) = A $. \item $f$ est bijective ssi $\forall A \subset X \, \,f (\complement A) = \complement f (A).$ \end{enumerate} \finenonce{000194} \finexercice \exercice{195, ridde, 1999/11/01} \enonce{000195}{} Soit $f : X \rightarrow Y$. Montrer que les trois propositions suivantes sont \'equivalentes : \begin{enumerate} \item[i. ] $f$ est injective. \item[ii. ] $\forall A, B \subset X \, \, f (A \cap B) = f (A) \cap f (B)$. \item[iii. ]$\forall A, B \subset X \, \, A \cap B = \emptyset \Rrightarrow f (A) \cap f (B) = \emptyset$. \end{enumerate} \finenonce{000195} \finexercice \exercice{196, ridde, 1999/11/01} \enonce{000196}{} Soit $f : X \rightarrow Y$.On note ${\hat{f}} : {\mathcal{P} (X)} \to {\mathcal{P} (Y)}, {A} \mapsto {f (A)}$ et ${\tilde{f}} : {\mathcal{P} (Y)} \to {\mathcal{P} (X)}, {B} \mapsto {f^{-1} (B)}$. Montrer que : \begin{enumerate} \item $f$ est injective ssi $\hat{f}$ est injective. \item $f$ est surjective ssi $\tilde{f}$ est injective. \end{enumerate} \finenonce{000196} \finexercice \exercice{197, bodin, 1998/09/01} \video{h9jrsWR1bYw} \enonce{000197}{Exponentielle complexe} Si $z=x+iy$, $(x,y)\in \Rr^2$, on pose $e^z=e^x \times e^{iy}$. \begin{enumerate} \item D\'eterminer le module et l'argument de $e^z$. \item Calculer $e^{z+z'}, e^{\overline{z}}, e^{-z}, \left( e^z \right)^n \text{ pour } n \in \Zz$. \item L'application $\exp : \Cc \rightarrow \Cc, z \mapsto e^z$, est-elle injective ?, surjective ? \end{enumerate} \finenonce{000197} \finexercice \exercice{5110, rouget, 2010/06/30} \enonce{005110}{*IT} \label{exo:suprou8} Montrer que~:~($g\circ f\;\mbox{injective}\Rightarrow f\;\mbox{injective}$) et ($g\circ f\;\mbox{surjective}\Rightarrow g\;\mbox{surjective}$). \finenonce{005110} \finexercice \exercice{5114, rouget, 2010/06/30} \enonce{005114}{***IT} Montrer que les assertions suivantes sont équivalentes ($f$ est une application d'un ensemble $E$ dans lui-même)~: \begin{enumerate} \item $f$ est injective. \item $\forall X\in\mathcal{P}(E),\;f^{-1}(f(X))=X$. \item $\forall(X,Y)\in\mathcal{P}(E)^2,\;f(X\cap Y)=f(X)\cap f(Y)$. \item $\forall(X,Y)\in\mathcal{P}(E)^2,\;X\cap Y=\varnothing\Rightarrow f(X)\cap f(Y)=\varnothing$. \item $\forall(X,Y)\in\mathcal{P}(E)^2,\;Y\subset X\Rightarrow f(X\setminus Y)=f(X)\setminus f(Y)$. \end{enumerate} \finenonce{005114} \finexercice \section{ 101.03 Bijection } \exercice{198, bodin, 1998/09/01} \enonce{000198}{} Soient $a,\ b \in \Rr$ avec $a \not= 0$, et $f_{a,b} : \Rr \rightarrow \Rr$ telle que $f_{a,b}(x) = ax+b$. D\'emontrer que $f_{a,b}$ est une permutation et d\'eterminer sa r\'eciproque. \finenonce{000198} \finexercice \exercice{199, bodin, 1998/09/01} \video{7avL2IaR9fg} \enonce{000199}{} Soit $f: [0,1] \rightarrow [0,1]$ telle que $$f(x) = \begin{cases} x & \text{si}\ x\in[0,1]\cap\Qq,\\ 1-x & \text{sinon.} \end{cases} $$ D\'emontrer que $f \circ f= id$. \finenonce{000199} \finexercice \exercice{200, bodin, 1998/09/01} \video{j8JoMNuw-vc} \enonce{000200}{} Soit $ f:\Rr \rightarrow \Cc, \ t\mapsto e^{it}$. Changer les ensembles de départ et d'arrivée afin que (la restriction de) $f$ devienne bijective. \finenonce{000200} \finexercice \exercice{201, bodin, 1998/09/01} \enonce{000201}{} On appelle \emph{demi-plan de Poincar\'e} l'ensemble $\mathcal{P}$ des nombres complexes $z$ tels que $\Im{z}>0$, et \emph{disque unit\'e} l'ensemble $\mathcal{D}$ des nombres complexes $z$ tels que $|z|<1$. D\'emontrer que $z\mapsto\frac{z-i}{z+i}$ est une bijection de $\mathcal{P}$ sur $\mathcal{D}$. \finenonce{000201} \finexercice \exercice{202, bodin, 1998/09/01} \video{lZLGkwlniv4} \enonce{000202}{} Soit $f : [1,+\infty[\rightarrow[0,+\infty[$ telle que $f(x)=x^2-1$. $f$ est-elle bijective ? \finenonce{000202} \finexercice \exercice{203, ridde, 1999/11/01} \enonce{000203}{} Soient $A \xrightarrow{f} B \xrightarrow{g} C \xrightarrow{h} D$. Montrer que si $g \circ f$ et $h \circ g$ sont bijectives alors $f, g$ et $h$ le sont \'egalement. \finenonce{000203} \finexercice \exercice{204, ridde, 1999/11/01} \enonce{000204}{} Soient $A \xrightarrow{f} B \xrightarrow{g} C \xrightarrow{h} A$. Montrer que si $h \circ g \circ f$ et $g \circ f \circ h$ sont injectives et $f \circ h \circ g$ surjective alors $f, g$ et $h$ sont bijectives. \finenonce{000204} \finexercice \exercice{205, ridde, 1999/11/01} \enonce{000205}{} Soit $X$ un ensemble. Si $A \subset X$ on note $\chi _A$ la fonction caract\'eristique associ\'ee. Montrer que ${\Phi} : {\mathcal{P} (X)} \to {\mathcal{F} (X, \left\{ 0, 1 \right\})}$, ${A} \mapsto {\chi _A}$ est bijective. \finenonce{000205} \finexercice \exercice{206, gourio, 2001/09/01} \enonce{000206}{} Soit $E$ un ensemble non vide.\ On se donne deux parties $A$ et $B$ de $E$ et on d\'{e}finit l'application $f:\wp (E)\rightarrow \wp (E),$ $X\mapsto (A\cap X)\cup (B\cap X^{c}).$ Discuter et r\'{e}soudre l'\'{e}quation $f(X)=\emptyset$. En d\'{e}duire une condition n\'ecessaire pour que $f$ soit bijective. On suppose maintenant $B=A^{c}$. Exprimer $f$ \`{a} l'aide de la diff\'{e}rence sym\'{e}trique $\Delta$. Montrer que $f$ est bijective, pr\'{e}ciser $f^{-1}$. $f$ est-elle involutive (i.e. $f^{2}=id$) ? Quelle propri\'{e}t\'{e} en d\'{e}duit-on ? \finenonce{000206} \finexercice \exercice{5106, rouget, 2010/06/30} \enonce{005106}{**IT} Dans chacun des cas suivants, déterminer $f(I)$ puis vérifier que $f$ réalise une bijection de $I$ sur $J=f(I)$ puis préciser $f^{-1}$~: \begin{enumerate} \item $f(x)=x^2-4x+3$, $I=]-\infty,2]$. \item $f(x)=\frac{2x-1}{x+2}$, $I=]-2,+\infty[$. \item $f(x)=\sqrt{2x+3}-1$, $I=\left[-\frac{3}{2},+\infty\right[$. \item $f(x)=\frac{x}{1+|x|}$, $I=\Rr$. \end{enumerate} \finenonce{005106} \finexercice \exercice{5107, rouget, 2010/06/30} \enonce{005107}{**IT} Pour $z\neq i$, on pose $f(z)=\frac{z+i}{z-i}$. Montrer que $f$ réalise une bijection de $D=\{z\in\Cc/\;|z|<1\}$ sur $P=\{z\in\Cc/\;\Re(z)< 0\}$. Préciser $f^{-1}$. \finenonce{005107} \finexercice \exercice{5111, rouget, 2010/06/30} \enonce{005111}{**T} Parmi $f\circ g\circ h$, $g\circ h\circ f$ et $h\circ f\circ g$ deux sont injectives et une est surjective. Montrer que $f$, $g$ et $h$ sont bijectives. \finenonce{005111} \finexercice\exercice{5118, rouget, 2010/06/30} \enonce{005118}{**** Une bijection entre $\Nn^2$ et $\Nn$} Soit $\begin{array}[t]{cccc} f~:&\Nn^2&\rightarrow&\Nn\\ &(x,y)&\mapsto&y+\frac{(x+y)(x+y+1)}{2} \end{array}$. Montrer que $f$ est une bijection. Préciser, pour $n\in\Nn$ donné, le couple $(x,y)$ dont il est l'image. \finenonce{005118} \finexercice \section{ 101.99 Autre } \section{ 102.01 Binôme de Newton et combinaison } \exercice{219, bodin, 1998/09/01} \enonce{000219}{} D\'emontrer que si $p$ est un nombre premier, $p$ divise $C_p^k$ pour $1\le k \le p-1$. \finenonce{000219} \finexercice \exercice{220, bodin, 1998/09/01} \video{kV-ZtFtGAWI} \enonce{000220}{} En utilisant la fonction $x\mapsto(1+x)^n$, calculer : $$ \sum_{k=0}^{n}C_n^k \quad ; \quad \sum_{k=0}^{n}(-1)^k C_n^k \quad ; \quad \sum_{k=1}^{n}kC_n^k \quad ; \quad \sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k+1}C_n^k.$$ \finenonce{000220} \finexercice \exercice{221, bodin, 1998/09/01} \enonce{000221}{} D\'emontrer que $C_n^kC_{n-k}^{p-k}=C_p^kC_n^p$ (pour $0\le k \le p \le n$). En d\'eduire que $$ \sum_{k=0}^{n}C_n^kC_{n-k}^{p-k}=2^pC_n^p.$$ \finenonce{000221} \finexercice \exercice{222, bodin, 1998/09/01} \video{GNMFCMiipyM} \enonce{000222}{} En utilisant la formule du bin\^ome, d\'emontrer que : \begin{enumerate} \item $2^n+1$ est divisible par $3$ si et seulement si $n$ est impair ; \item $3^{2n+1}+2^{4n+2}$ est divisible par $7$. \end{enumerate} \finenonce{000222} \finexercice \exercice{223, bodin, 1998/09/01} \enonce{000223}{} D\'emontrer que $C_n^p=C_{n-1}^p+C_{n-1}^{p-1}$ pour $1\le p \le n-1$. \finenonce{000223} \finexercice \exercice{224, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000224}{} Montrer que, pour $p$ et $n$ entiers naturels non nuls tels que $1\le p\le n$, on a : $$p C_n^p=nC_{n-1}^{p-1}.$$ \finenonce{000224} \finexercice \exercice{225, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000225}{} \begin{enumerate} \item Montrer que: $$\sum_{k=0}^{p} C_n^kC_{n-k}^{p-k}= 2^pC_n^p , $$ où $p$ et $n$ sont des entiers naturels avec $0\le p\le n$. \item Avec les m\^emes notations, montrer que $$\sum_{k=0}^{p} (-1)^{k} C_n^k C_{n-k}^{p-k}= 0.$$ \end{enumerate} \finenonce{000225} \finexercice \exercice{226, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000226}{} \begin{enumerate} \item Soient $n$, $p$ et $q$ des entiers naturels tels que $0\le p,q\le n$. \item Montrer que l'on a $C_n^p=C_n^q$ si et seulement si $p=q$ ou $p+q=n$. \item Résoudre l'équation $$C_{2n+4}^{3n-1}=C_{2n+4}^{n^2-2n+3}.$$ \end{enumerate} \finenonce{000226} \finexercice \exercice{227, bodin, 1998/09/01} \enonce{000227}{} Soient $m,n\in\Nn^*$ et $p\in\Nn$. En utilisant la formule du bin\^ome, d\'emontrer que $m^{2p+1}+n^{2p+1}$ est divisible par $m+n$. \finenonce{000227} \finexercice \exercice{228, bodin, 1998/09/01} \enonce{000228}{} En utilisant la formule du bin\^ome montrer : $$(a)\ \sum_{k=0}^{n}(-1)^kC_n^k=0 \qquad (b)\ \sum_{k=0}^{n}k^2C_n^k=n(n-1)2^{n-2}+n2^{n-1}. $$ \finenonce{000228} \finexercice \exercice{229, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000229}{} Calculer le module et l'argument de $(1+i)^n$. En d\'eduire les valeurs de \begin{eqnarray*} S_1 & = & 1-C_n^2+C_n^4-C_n^6+\cdots\\ S_2 & = & C_n^1-C_n^3+C_n^5-\cdots \end{eqnarray*} \finenonce{000229} \finexercice \exercice{230, bodin, 1998/09/01} \enonce{000230}{} D\'emontrer les formules suivantes : \begin{enumerate} \item $C_n^m=C_m^{n-m}$ (on pourra utiliser le fait que $\mathcal{P}(E) \longrightarrow \mathcal{P}(E) A\mapsto A^c$ est une bijection.) \item $C_n^m=C_{n-1}^m+C_{n-1}^{m-1},$ \item $C_{n}^{m}=C_{n-2}^{m} +2C_{n-2}^{m-1}+C_{n-2}^{m-2}.$ \end{enumerate} \finenonce{000230} \finexercice \exercice{231, bodin, 1998/09/01} \enonce{000231}{} Soient $E$ un ensemble non vide et $X ,Y$ une partition de $E$. \begin{enumerate} \item Montrer que l'application suivante est une bijection : $$\mathcal{P}(E)\longrightarrow \mathcal{P}(X)\times \mathcal{P}(Y)$$ $$A\mapsto(A \cap X, A \cap Y)$$ \item Montrer que pour $p,q,r\in \Nn$ tel que $r \le p+q$ on a : $$\sum_{i+j=r}C_p^iC_q^j=C_{p+q}^r.$$ \item En d\'eduire que : $$\sum_{k=0}^{n}(C_n^k)^2=C_{2n}^n.$$ \end{enumerate} \finenonce{000231} \finexercice \exercice{232, ridde, 1999/11/01} \enonce{000232}{} Soit $E$ un ensemble, $a \in E$ et $f : \begin{cases} \mathcal{P} (E) \rightarrow \mathcal{P} (E) \\ X \mapsto X \cup \left\{ a\right\} \text{ si } a \notin X\\ X \mapsto X - \left\{ a\right\} \text{ si } a \in X \end{cases}$ \begin{enumerate} \item Montrer que $f$ est une bijection. \item On suppose d\'esormais que $E$ est fini et $\mathrm{Card} (E) = n$. On pose $\mathcal{P}_0 (E)$ l'ensemble des parties de $E$ de cardinal pair et $\mathcal{P}_1 (E)$ l'ensemble des parties de $E$ de cardinal impair. Montrer que $\mathrm{Card} (\mathcal{P}_0 (E)) = \mathrm{Card} (\mathcal{P}_1 (E))$. \item Calculer ces cardinaux et en d\'eduire la valeur de $\sum\limits_{k = 0}^n (-1)^k C_n^k$. \end{enumerate} \finenonce{000232} \finexercice \exercice{233, ridde, 1999/11/01} \enonce{000233}{} En utilisant la formule du binôme de Newton, montrer que $\sum\limits_{k = 0}^n (-1)^k C_n^k = 0$. En d\'eduire la valeur de $\sum\limits_{0 \leq 2k \leq n} C_n^{2k}$. \finenonce{000233} \finexercice \exercice{234, ridde, 1999/11/01} \enonce{000234}{} Soient $0 \leq p \leq n$. \begin{enumerate} \item Montrer par r\'ecurrence sur $n$ que $\sum\limits_{k = p}^n C_k^p = C_{n + 1}^{p + 1}$. \item \'Ecrire ces \'egalit\'es pour $p = 2$ et $p = 3$. \item En d\'eduire les sommes $$ S_2' = 1. 2 + 2. 3 + \ldots + (n-1).n \qquad S_2 = 1^2 + 2^2 + \ldots + n^2 $$ $$ S_3' = 1^2. 2 + 2^2. 3 + \ldots + (n-1)^2.n \qquad S_3 = 1^3 + 2^3 + \ldots + n^3 $$ \end{enumerate} \finenonce{000234} \finexercice \exercice{2900, quercia, 2010/03/08} \enonce{002900}{Calcul de sommes} Calculer $\sum_{k=0}^n\, kC_n^k$ et $\sum_{k=0}^n \frac{C_n^k}{k+1}$. \finenonce{002900} \finexercice \exercice{2901, quercia, 2010/03/08} \enonce{002901}{Calcul de sommes} Soient $n,p \in \N^*$ avec $n \ge p$. \begin{enumerate} \item V{\'e}rifier que $C_n^kC_k^p = C_n^pC_{n-p}^{k-p}$ pour $p \le k \le n$. \item Calculer $\sum_{k=0}^n \,(-1)^kC_n^kC_k^p$. \item En d{\'e}duire $\sum_{k=0}^n (-1)^kC_n^kk^p = 0$ si $p < n$. \end{enumerate} \finenonce{002901} \finexercice \exercice{2902, quercia, 2010/03/08} \enonce{002902}{Calcul de sommes} Soient $n,p \in \N^*$. Simplifier $\sum_{k=0}^p\,(-1)^kC_n^k$. \finenonce{002902} \finexercice \exercice{2903, quercia, 2010/03/08} \enonce{002903}{Sommes de cardinaux} Soit $E$ un ensemble fini de cardinal $n$. Calculer $\sum_{A \subset E} \mathrm{Card}\,(A)$, $\sum_{A,B \subset E} \mathrm{Card}\,(A\cap B)$, $\sum_{A,B \subset E} \mathrm{Card}\,(A\cup B)$. \finenonce{002903} \finexercice \exercice{2904, quercia, 2010/03/08} \enonce{002904}{Sommes d'entiers} Soit $n \in \N$. Calculer $\displaystyle\sum_{i+j=n}ij$ et $\displaystyle\sum_{i+j+k=n}ijk$. \finenonce{002904} \finexercice \exercice{2905, quercia, 2010/03/08} \enonce{002905}{Combinaisons avec r{\'e}p{\'e}titions} Soient $n,p \in \N$. On note $\Gamma_n^p$ le nombre de $n$-uplets $(x_1,\dots, x_n) \in \N^n$ tels que $x_1 + \dots + x_n = p$. \begin{enumerate} \item D{\'e}terminer $\Gamma_n^0$, $\Gamma_n^1$, $\Gamma_n^2$, $\Gamma_2^n$. \item D{\'e}montrer que $\Gamma_{n+1}^{p+1} = \Gamma_{n+1}^p + \Gamma_n^{p+1}$ (on classera les $(n+1)$-uplets tels que $x_1 + \dots + x_{n+1} = p + 1$ suivant que $x_1 = 0$ ou non). \item En d{\'e}duire que $\Gamma_n^p = C_{n+p-1}^p$. \end{enumerate} \finenonce{002905} \finexercice \exercice{2906, quercia, 2010/03/08} \enonce{002906}{Sommes de coefficients du bin{\^o}me} Soient $n,p \in \N$. Montrer que $\sum_{k=0}^n C_{p+k}^p = C_{p+n+1}^{p+1}$. \finenonce{002906} \finexercice \exercice{2907, quercia, 2010/03/08} \enonce{002907}{$C_n^p$ maximal} Soit $n \in \N$ fix{\'e}. D{\'e}terminer pour quelle valeur de $p$ le nombre $C_n^p$ est maximal (on {\'e}tudiera le rapport $C_n^p/C_n^{p+1}$). \finenonce{002907} \finexercice \exercice{2908, quercia, 2010/03/08} \enonce{002908}{Parit{\'e} de $C_n^p$} Soit $p \in \N^*$, et $n = 2^p$. \begin{enumerate} \item Soit $ k \in \{1,\dots, n-1\}$. V{\'e}rifier que $kC_n^k = nC_{n-1}^{k-1}$. \item En d{\'e}duire que : $\forall\ k \in \{1,\dots, n-1\}$, $C_n^k$ est pair. \item En d{\'e}duire que : $\forall\ k \in \{0,\dots, n-1\}$, $C_{n-1}^k$ est impair. \end{enumerate} \finenonce{002908} \finexercice \exercice{2909, quercia, 2010/03/08} \enonce{002909}{Formule de Vandermonde} Soient $a,b,c \in \N$. D{\'e}montrer que $\sum_{k=0}^c\,C_a^kC_b^{c-k} = C_{a+b}^c$ $\ldots$ \begin{enumerate} \item En calculant de deux mani{\`e}res $(1+x)^a(1+x)^b$. \item En cherchant le nombre de parties de cardinal $c$ dans $E\cup F$, o{\`u} $E$ et $F$ sont des ensembles disjoints de cardinaux $a$ et $b$. \item Application : Soient $n,p,q \in \N$. Montrer que $\sum_{k=0}^q\,C_q^kC_n^{p+k} = C_{n+q}^{p+q}$. \end{enumerate} \finenonce{002909} \finexercice \exercice{2910, quercia, 2010/03/08} \enonce{002910}{Formule d'inversion} Soit $(x_n)$ une suite de r{\'e}els. On pose $y_n = \sum_{k=0}^n C_n^kx_k$. Montrer que $(-1)^nx_n = \sum_{k=0}^n \,(-1)^kC_n^ky_k$. \finenonce{002910} \finexercice \exercice{2911, quercia, 2010/03/08} \enonce{002911}{Suite de Fibonacci} Soit $u_n = \sum_{p=0}^n C_{n-p}^p$. Montrer que $u_0 = u_1 = 1$ et : $\forall\ n \in \N,\ u_{n+2} = u_{n+1} + u_n$ ({\it suite de Fibonacci\/}). \finenonce{002911} \finexercice \exercice{5137, rouget, 2010/06/30} \enonce{005137}{IT Identités combinatoires} \emph{La difficulté va en augmentant graduellement de facile à assez difficile sans être insurmontable.} \begin{enumerate} \item Calculer $\binom{n}{0}+\binom{n}{1}+...+\binom{n}{n}$. \item Montrer que $\binom{n}{0}+\binom{n}{2}+\binom{n}{4}+...=\binom{n}{1}+\binom{n}{3}+\binom{n}{5}+...$ et trouver la valeur commune des deux sommes. \item Calculer les sommes $\binom{n}{0}+\binom{n}{3}+\binom{n}{6}+...$ et $\binom{n}{0}+\binom{n}{4}+\binom{n}{8}+...$. \item Montrer que $\forall n\in\Nn^*,\;\forall k\in\llbracket1,n\rrbracket,\;k\binom{n}{k}=n\binom{n-1}{k-1}$. \item Montrer que $\binom{n}{0}^2 +\binom{n}{1}^2 + ... +\binom{n}{n}^2 =\binom{2n}{n}$ (utiliser le polynôme $(1+x)^{2n}$). \item Calculer les sommes $0.\binom{n}{0}+1.\binom{n}{1}+ ...+n.\binom{n}{n}$ et $\frac{\binom{n}{0}}{1}+\frac{\binom{n}{1}}{2}+... +\frac{\binom{n}{n}}{n+1}$ (considérer dans chaque cas un certain polynôme astucieusement choisi). \item Montrer que $\binom{p}{p}+\binom{p+1}{p}... +\binom{n}{p}=\binom{n+1}{p+1}$ où $0\leq p\leq n$. Interprétation dans le triangle de \textsc{Pascal}~? \item \begin{enumerate} \item Soit $I_n=\int_{0}^{1}(1-x^2)^n\;dx$. Trouver une relation de récurrence liant $I_n$ et $I_{n+1}$ et en déduire $I_n$ en fonction de $n$ (faire une intégration par parties dans $I_n-I_{n+1}$). \item Démontrer l'identité valable pour $n\geq1$~:~$1-\frac{\binom{n}{1}}{3}+\frac{\binom{n}{2}}{5}+...+(-1)^n\frac{\binom{n}{n}}{2n+1} =\frac{2.4.....(2n)}{1.3...(2n+1)}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \finenonce{005137} \finexercice \exercice{5138, rouget, 2010/06/30} \enonce{005138}{**} Quel est le coefficient de $a^4b^2c^3$ dans le développement de $(a-b+2c)^9$. \finenonce{005138} \finexercice \exercice{5139, rouget, 2010/06/30} \enonce{005139}{**I} Développer $(a+b+c+d)^2$ et $(a+b+c)^3$. \finenonce{005139} \finexercice \exercice{5140, rouget, 2010/06/30} \enonce{005140}{***} Soit $(n,a,b)\in\Nn^*\times]0,+\infty[\times]0,+\infty[$. Quel est le plus grand terme du développement de $(a+b)^n$~? \finenonce{005140} \finexercice \exercice{5141, rouget, 2010/06/30} \enonce{005141}{*} Résoudre dans $\Nn*$ l'équation $\binom{n}{1}+\binom{n}{2}+\binom{n}{3}= 5n$. \finenonce{005141} \finexercice \exercice{5147, rouget, 2010/06/30} \enonce{005147}{*I Inégalité de \textsc{Bernoulli}} Montrer que, pour $a$ réel positif et $n$ entier naturel donnés, $(1+a)^n\geq1+na$. \finenonce{005147} \finexercice\exercice{5158, rouget, 2010/06/30} \enonce{005158}{****I} Soit $n\in\Nn^*$. \begin{enumerate} \item Montrer qu'il existe $(a_n,b_n)\in(\Nn^*)^2$ tel que $(2+\sqrt{3})^n=a_n+b_n\sqrt{3}$, puis que $3b_n^2=a_n^2-1$. \item Montrer que $E((2+\sqrt{3})^n)$ est un entier impair (penser à $(2-\sqrt{3})^n)$). \end{enumerate} \finenonce{005158} \finexercice\exercice{5278, rouget, 2010/07/04} \enonce{005278}{IT} \begin{enumerate} \item (***) Trouver une démonstration combinatoire de l'identité $\sum_{}^{}C_n^{2k}=\sum_{}^{}C_n^{2k+1}$ ou encore démontrer directement qu'un ensemble à $n$ éléments contient autant de parties de cardinal pair que de parties de cardinal impair. \item (****) Trouver une démonstration combinatoire de l'identité $kC_n^k=nC_{n-1}^{k-1}$. \item (****) Trouver une démonstration combinatoire de l'identité $C_{2n}^n=\sum_{k=0}^{n}(C_{n}^k)^2$. \end{enumerate} \finenonce{005278} \finexercice \exercice{5280, rouget, 2010/07/04} \enonce{005280}{***} Combinaisons avec répétitions. Montrer que le nombre de solutions en nombres entiers $x_i\geq0$ de l'équation $x_1+x_2+...+x_n=k$ ($k$ entier naturel donné) est $C_{n+k-1}^k$. (Noter $a_{n,k}$ le nombre de solutions et procéder par récurrence.) \finenonce{005280} \finexercice \section{ 102.02 Cardinal } \exercice{235, bodin, 1998/09/01} \enonce{000235}{} Montrer que $\Zz$ est d\'enombrable en utilisant l'application : $$ \phi:\Zz\rightarrow\Nn \begin{cases} n \mapsto 2n-1 & \text{ si } n>0 \, ;\\ n \mapsto -2n & \text{ sinon}. \end{cases} $$ \finenonce{000235} \finexercice \exercice{236, bodin, 1998/09/01} \video{zkb9m4IjyfM} \enonce{000236}{} Pour $A,B$ deux ensembles de $E$ on note $A\Delta B= (A\cup B )\setminus(A\cap B)$. Pour $E$ un ensemble fini, montrer : $$\text{Card\,} A\Delta B = \text{Card\,} A + \text{Card\,} B -2\text{Card\,} A\cap B.$$ \finenonce{000236} \finexercice \exercice{237, bodin, 1998/09/01} \video{YVY_dCYJms8} \enonce{000237}{} Soit $E$ un ensemble \`a $n$ \'el\'ements, et $A\subset E$ un sous-ensemble \`a $p$ \'el\'ements. Quel est le nombre de parties de $E$ qui contiennent un et un seul \'el\'ement de $A$ ? \finenonce{000237} \finexercice \exercice{238, bodin, 1998/09/01} \enonce{000238}{} D\'eterminer le nombre de mots distincts que l'on peut former avec $6$ voyelles et $20$ consonnes, chaque mot \'etant compos\'e de $3$ consonnes et $2$ voyelles, en excluant les mots qui renferment $3$ consonnes cons\'ecutives. \finenonce{000238} \finexercice \exercice{239, cousquer, 2003/10/01} \video{eXJ80BfW16o} \enonce{000239}{} On considère les mains de $5$~cartes que l'on peut extraire d'un jeu de $52$~cartes. \begin{enumerate} \item Combien y a-t-il de mains différentes~? \item Combien y a-t-il de mains comprenant exactement un as~? \item Combien y a-t-il de mains comprenant au moins un valet~? \item Combien y a-t-il de mains comprenant (à la fois) au moins un roi et au moins une dame~? \end{enumerate} \finenonce{000239} \finexercice \exercice{240, bodin, 1998/09/01} \enonce{000240}{} Soient $A,A' ,B ,B'$ quatre ensembles tels que : $$\mathrm{Card}(A)=\mathrm{Card}(A')=a \text{ et } \mathrm{Card}(B)=\mathrm{Card}(B')=b.$$ \begin{enumerate} \item D\'eterminer le nombre de bijections de $A \times B $ sur $A'\times B'$. \item Supposons maintenant que $\{A,B\},\ \{A' ,B'\}$ forment deux partitions de $E$, un ensemble. D\'eterminer le nombre de bijections $f :E \longrightarrow E$ telles que $f(A)=A'$ et $f(B)=B'$. \end{enumerate} \finenonce{000240} \finexercice \exercice{241, bodin, 1998/09/01} \enonce{000241}{} Soient $A$ et $B$ deux sous ensembles finis d'un ensemble $E$. \begin{enumerate} \item Montrer que : $\mathrm{Card}(A \cup B)=\mathrm{Card}(A)+\mathrm{Card}(B)-\mathrm{Card}(A \cap B) $. \item Montrer par r\'ecurrence que si $(F_i)_{1\le i\le n}$ est une famille de sous-ensembles finis de E alors : $$\mathrm{Card}({\displaystyle{\bigcup_{i=1}^{n}}}F_i)\le \sum_{i=1}^{n}\mathrm{Card}(F_i)$$ avec \'egalit\'e si les $F_i$ sont deux \`a deux disjoints. \end{enumerate} \finenonce{000241} \finexercice \exercice{242, ridde, 1999/11/01} \enonce{000242}{} Soient $1 \leq k \leq n$. D\'eterminer le nombre de $k$-uplets $ (i_1, \ldots, i_k)$ tels que $1 \leq i_1 < \ldots < i_k \leq n$. \finenonce{000242} \finexercice \exercice{2912, quercia, 2010/03/08} \video{kXaDLtNT8hI} \enonce{002912}{Permutations} Combien y a-t-il de bijections $f$ de $\{1,\dots,12\}$ dans lui-m{\^e}me poss{\'e}dant : \begin{enumerate} \item la propri{\'e}t{\'e} : $n$ est pair $ \Rightarrow $ $f(n)$ est pair ? \item la propri{\'e}t{\'e} : $n$ est divisible par 3 $ \Rightarrow $ $f(n)$ est divisible par 3 ? \item ces deux propri{\'e}t{\'e}s {\`a} la fois ? \item Reprendre les questions pr{\'e}c{\'e}dentes en rempla{\c c}ant {\it bijection\/} par {\it application.} \end{enumerate} \finenonce{002912} \finexercice \exercice{2913, quercia, 2010/03/08} \enonce{002913}{Permutations de couples} On doit placer autour d'une table ronde un groupe de $2n$ personnes, $n$ hommes et $n$ femmes, qui constituent $n$ couples. Combien existe-t-il de dispositions $\ldots$ \begin{enumerate} \item au total ? \item en respectant l'alternance des sexes ? \item sans s{\'e}parer les couples ? \item en remplissant les deux conditions pr{\'e}c{\'e}dentes ? \end{enumerate} \finenonce{002913} \finexercice \exercice{2914, quercia, 2010/03/08} \enonce{002914}{Nombre d'op{\'e}rations} \begin{enumerate} \item Combien existe-t-il d'op{\'e}rations internes sur un ensemble {\`a} $n$ {\'e}l{\'e}ments ? \item Combien sont commutatives ? \item Combien ont un {\'e}l{\'e}ment neutre ? \item Combien sont commutatives et ont un {\'e}l{\'e}ment neutre ? \end{enumerate} \finenonce{002914} \finexercice \exercice{2915, quercia, 2010/03/08} \enonce{002915}{Formule du crible} Soient $A_1, \dots, A_n$\ $n$ ensembles finis. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer $\mathrm{Card}\,(A_1\cup A_2 \cup A_3)$ et $\mathrm{Card}\,(A_1\cup A_2\cup A_3\cup A_4)$. \item Sugg{\'e}rer une formule pour $\mathrm{Card}\,(A_1\cup \dots \cup A_n)$. \label{devine} \end{enumerate} \item D{\'e}monstration de la formule : On note $E = \bigcup_{i=1}^n A_i$, et pour $x \in E$ on pose $f_i(x) = \begin{cases}1 &\text{si }x \in A_i \cr 0 &\text{ sinon.}\end{cases}$ \begin{enumerate} \item Soient $x_1,\dots,x_n \in \R$. D{\'e}velopper compl{\`e}tement $p = (1-x_1)\times \dots \times (1-x_n)$. \item En consid{\'e}rant la somme $\sum_{x \in E}\, (1-f_1(x)) \dots (1-f_n(x))$, d{\'e}montrer la formule \ref{devine}. \end{enumerate} \item Applications : \begin{enumerate} \item D{\'e}terminer le nombre d'applications $f : {\{1,\dots,p\}} \to {\{1,\dots,n\}}$ non surjectives. \item D{\'e}terminer le nombre de permutations d'un ensemble {\`a} $n$ {\'e}l{\'e}ments ayant au moins un point fixe. \end{enumerate} \end{enumerate} \finenonce{002915} \finexercice \exercice{2916, quercia, 2010/03/08} \enonce{002916}{In{\'e}galit{\'e}s pour la formule du crible} Soient $A_1, \dots, A_n$\ $n$ ensembles finis, et $E = \bigcup_{i=1}^n A_i$. \begin{enumerate} \item Montrer que $\mathrm{Card}\,(E) \le \sum_{i=1}^n \mathrm{Card}\,(A_i)$. Cas d'{\'e}galit{\'e} ? \item Montrer que $\mathrm{Card}\,(E) \ge \sum_{i=1}^n \mathrm{Card}\,(A_i) - \sum_{1\le i< j \le n} \mathrm{Card}\,(A_i\cap A_j)$. Cas d'{\'e}galit{\'e} ? \end{enumerate} \finenonce{002916} \finexercice \exercice{2917, quercia, 2010/03/08} \enonce{002917}{Couples $(A,B)$ tels que $A\cup B = E$} Soit $E$ un ensemble fini {\`a} $n$ {\'e}l{\'e}ments, et ${\cal E} = \{ (A,B) \in ({\cal P}(E))^2$ tq $A \cup B = E \}$. Chercher card(${\cal E}$). \finenonce{002917} \finexercice \exercice{2918, quercia, 2010/03/08} \enonce{002918}{Parties ne contenant pas d'{\'e}l{\'e}ments cons{\'e}cutifs} \begin{enumerate} \item Quel est le nombre de parties {\`a} $p$ {\'e}l{\'e}ments de $\{1, \dots, n\}$ ne contenant pas d'{\'e}l{\'e}ments cons{\'e}cutifs ? \item Soit $t_n$ le nombre de parties de $\{1, \dots, n\}$ de cardinal quelconque sans {\'e}l{\'e}ments cons{\'e}cutifs. \begin{enumerate} \item Montrer que $t_{n+2} = t_{n+1} + t_n$, $t_{2n+1} = t_n^2 + t_{n-1}^2$, et $t_{2n} = t_n^2 - t_{n-2}^2$. \item Calculer $t_{50}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \finenonce{002918} \finexercice \exercice{2919, quercia, 2010/03/08} \enonce{002919}{Nombre de relations d'{\'e}quivalence} Soit $R_n$ le nombre de relations d'{\'e}quivalence sur un ensemble {\`a} $n$ {\'e}l{\'e}ments. \begin{enumerate} \item Trouver une relation de r{\'e}currence entre $R_n$ et les $R_k$, $k < n$ \par (fixer un {\'e}l{\'e}ment, et raisonner sur la classe d'{\'e}quivalence de cet {\'e}l{\'e}ment). \item Calculer $R_n$ pour $n \le 6$. \end{enumerate} \finenonce{002919} \finexercice \exercice{2920, quercia, 2010/03/08} \enonce{002920}{Equivalence entre fonctions} Soient $E,F$, deux ensembles non vides. On d{\'e}finit deux relations sur $X = F^E$ par : $$\begin{matrix} f \sim g &\iff &\exists\ \phi : F \to F \text{ bijective tq } g=\phi\circ f,\hfill\cr f \equiv g &\iff &\bigl( \forall\ x,y \in E,\ f(x)=f(y)\iff g(x)=g(y)\bigr).\cr \end{matrix}$$ \begin{enumerate} \item Montrer que ce sont des relations d'{\'e}quivalence. \item Montrer que $f \sim g \Rightarrow f \equiv g$. \item On suppose $f\equiv g$. Montrer que $f \sim g$ dans les cas suivants : \begin{enumerate} \item $F$ est fini et $f$ est surjective. \item $F$ est fini et $f$ est quelconque. \item $E$ est fini. \end{enumerate} \item Chercher un contrexemple pour $E = F = \N$. \end{enumerate} \finenonce{002920} \finexercice \exercice{2921, quercia, 2010/03/08} \enonce{002921}{Tr{\`e}s bon ordre} Soit $E$ un ensemble ordonn{\'e} dans lequel toute partie non vide poss{\`e}de un plus grand et un plus petit {\'e}l{\'e}ment. \\ Montrer que $E$ est totalement ordonn{\'e} et fini. \finenonce{002921} \finexercice \exercice{2922, quercia, 2010/03/08} \enonce{002922}{{\'E}l{\'e}ment maximal} Soit $E$ un ensemble ordonn{\'e}. Un {\'e}l{\'e}ment $a \in E$ est dit {\it maximal\/} s'il n'existe pas de $b \in E$ tq $b > a$. \begin{enumerate} \item Si $E$ est totalement ordonn{\'e}, montrer que : {\it maximal\/} $\iff$ {\it maximum.} \item $E = \{1,2,3,4,5,6\}$ ordonn{\'e} par la divisibilit{\'e}. Chercher les {\'e}l{\'e}ments maximaux. \item Si $E$ est fini, montrer qu'il existe un {\'e}l{\'e}ment maximal. \item Si $E$ est fini et n'a qu'un seul {\'e}l{\'e}ment maximal, montrer que cet {\'e}l{\'e}ment est maximum. \end{enumerate} \finenonce{002922} \finexercice \exercice{2923, quercia, 2010/03/08} \enonce{002923}{Nombres de Catalan} Soient $x_1,\dots,x_n$ $n$ r{\'e}els. Pour calculer la somme $x_1+\dots+x_n$, on place des parenth{\`e}ses de fa{\c c}on {\`a} n'avoir que des additions de deux nombres {\`a} effectuer. Soit $t_n$ le nombre de mani{\`e}res de placer les parenth{\`e}ses (on pose $t_1 = 1$). \begin{enumerate} \item D{\'e}terminer $t_2,t_3,t_4$. \item Trouver une relation de r{\'e}currence entre $t_n$ et $t_1,\dots,t_{n-1}$. \end{enumerate} \finenonce{002923} \finexercice \exercice{5279, rouget, 2010/07/04} \enonce{005279}{***} Combien y a-t-il de partitions d'un ensemble à $pq$ éléments en $p$ classes ayant chacune $q$ éléments~? (Si $E$ est un ensemble à $pq$ éléments et si $A_1$,..., $A_p$ sont $p$ parties de $E$, $A_1$,..., $A_p$ forment une partition de $E$ si et seulement si tout élément de $E$ est dans une et une seule des parties $A_i$. Il revient au même de dire que la réunion des $A_i$ est $E$ et que les $A_i$ sont deux à deux disjoints.) \finenonce{005279} \finexercice\exercice{5281, rouget, 2010/07/04} \enonce{005281}{*} Combien y a-t-il de nombres de $5$ chiffres où $0$ figure une fois et une seule~? \finenonce{005281} \finexercice \exercice{5284, rouget, 2010/07/04} \video{4EJcG9wA3cI} \enonce{005284}{**I} On part du point de coordonnées $(0,0)$ pour rejoindre le point de coordonnées $(p,q)$ ($p$ et $q$ entiers naturels donnés) en se déplaçant à chaque étape d'une unité vers la droite ou vers le haut. Combien y a-t-il de chemins possibles~? \finenonce{005284} \finexercice \exercice{5285, rouget, 2010/07/04} \enonce{005285}{***I} De combien de façons peut-on payer $100$ euros avec des pièces de $10$, $20$ et $50$ centimes~? \finenonce{005285} \finexercice \exercice{5286, rouget, 2010/07/04} \enonce{005286}{****} \begin{enumerate} \item Soit $E$ un ensemble fini et non vide. Soient $n$ un entier naturel non nul et $A_1$,..., $A_n$, $n$ parties de $E$. Montrer la \og~formule du crible~\fg~: \begin{align*}\ensuremath \mbox{card}(A_1\cup...\cup A_n)&=\sum_{i=1}^{n}\mbox{card}(A_i)-\sum_{1\leq i_1< i_2\leq n}^{}\mbox{card}(A_{i_1}\cap A_{i_2})\\ &+...+(-1)^{k-1}\sum_{1\leq i_1 0$ : $f(p+1,q-1) = f(p,q)+1$ et $f(0,p+1) = f(p,0)+1$. \item Montrer que : $f(0,p+q) \le f(p,q) < f(0,p+q+1)$. \item Montrer que $g$ : $n \mapsto f(0,n)$ est strictement croissante. \item Montrer que $f$ est injective (on supposera $f(p,q) = f(p',q')$ et on montrera dans un premier temps que $p+q = p'+q'$). \item Montrer que $f$ est surjective. \end{enumerate} \finenonce{003051} \finexercice \exercice{3052, quercia, 2010/03/08} \enonce{003052}{Parties d{\'e}nombrables} Soit $(n_k)$ une suite d'entiers naturels. On dit que la suite est : \indent\vbox{\halign{&#\hfil\cr - presque nulle &s'il existe $p \in \N$ tq $\forall\ k \ge p,\ n_k = 0$\cr - stationnaire &s'il existe $p \in \N$ tq $\forall\ k \ge p,\ n_k = n_p$.\cr }} Montrer que les ensembles des suites presque nulles et des suites stationnaires sont d{\'e}nombrables. \finenonce{003052} \finexercice \exercice{3053, quercia, 2010/03/08} \enonce{003053}{Propri{\'e}t{\'e}s du pgcd et du ppcm} Soient $a,b \in \N$. On pose $m = \text{ppcm}(a,b)$ et $d = \text{pgcd}(a,b)$. \begin{enumerate} \item Soit $x$ un multiple commun {\`a} $a$ et $b$. En {\'e}crivant la division euclidienne de $x$ par $m$, montrer que $m \mid x$. \item Soit $x$ un diviseur commun {\`a} $a$ et $b$. Montrer que $\text{ppcm}(x,d)$ est aussi un diviseur commun {\`a} $a$ et $b$. En d{\'e}duire $x \mid d$. \item Comment qualifier $m$ et $d$ pour la relation d'ordre de divisibilit{\'e} ? \end{enumerate} \finenonce{003053} \finexercice \exercice{3054, quercia, 2010/03/08} \enonce{003054}{Bases de num{\'e}ration} Soit $b \in \N\setminus \{0,1\}$ et $p \in \N$. Montrer que pour tout entier $n \in \{0,\dots,b^p-1\}$, il existe un unique $p$-uplet $(n_0,\dots,n_{p-1})$ d'entiers naturels tel que : $$\forall\ k < p,\ n_k \in \{0,\dots,b-1\},\quad\text{et}\quad n = \sum_{k=0}^{p-1} n_kb^k.$$ \finenonce{003054} \finexercice \exercice{3055, quercia, 2010/03/08} \enonce{003055}{Bases de num{\'e}ration} Soit $n \in \N^*$. Montrer qu'il existe $p \in \N$ et $n_0,n_1,\dots,n_p \in \{1,2\}$ uniques tels que $n = \sum_{k=0}^p n_k2^k$. \finenonce{003055} \finexercice \exercice{3056, quercia, 2010/03/08} \enonce{003056}{Bases de num{\'e}ration} Soient $n,p \in \N^*$ avec $n < p!$. Montrer qu'il existe un unique $p$-uplet $(n_1,\dots,n_p)$ d'entiers naturels tel que $$\forall\ k \le p,\ n_k \le k,\quad\text{et}\quad n = \sum_{k=1}^p n_kk!.$$ \finenonce{003056} \finexercice \exercice{3057, quercia, 2010/03/08} \enonce{003057}{R{\'e}currence d'ordre 2} On note $a_n = 25^n + 2^{3n+4}$. \begin{enumerate} \item Trouver $a,b\in\Z$ tels que : $\forall\ n\in\N,\ a_{n+2} = a.a_{n+1} + b.a_n$. \item En d{\'e}duire que : $\forall\ n \in \N,\ a_n$ est divisible par $17$. \end{enumerate} \finenonce{003057} \finexercice \exercice{3058, quercia, 2010/03/08} \enonce{003058}{Ordre sur $\N^{\N}$} Soit $E = {\N}^{\N}$. Pour $f,g \in E$ avec $f\ne g$, on note $n_{f,g} = \min\{k$ tq $f(k) \ne g(k)\}$. On ordonne $E$ par : $$\forall\ f,g\in E,\ f \ll g \iff (f = g) \text{ ou }\bigl(f(n_{f,g}) < g(n_{f,g})\bigr).$$ \begin{enumerate} \item Montrer que c'est une relation d'ordre total. \item Montrer que toute partie de $E$ non vide admet une borne inf{\'e}rieure et toute partie de $E$ non vide et major{\'e}e admet une borne sup{\'e}rieure. \end{enumerate} \finenonce{003058} \finexercice \exercice{3059, quercia, 2010/03/08} \enonce{003059}{$f\circ f(n) = n+k$} On veut montrer qu'il n'existe pas d'application $f: {\N} \to {\N}$ v{\'e}rifiant : $\forall\ n \in \N,\ f(f(n)) = n + 1987$.\\ ({\it Olympiades 1987}) Soit $f$ une telle application. On pose : $$E = \{0,\dots,1986\}, \qquad F = \N\setminus E, \qquad G = f(\N) \cap E, \qquad H = E\setminus G.$$ D{\'e}montrer successivement : \begin{enumerate} \item $f$ est injective, \item $f(F) \subset F$, \item $f^{-1}(F) = F \cup G$, \item $f^{-1}(G) = H$, \end{enumerate} puis obtenir une contradiction. \finenonce{003059} \finexercice \exercice{3060, quercia, 2010/03/08} \enonce{003060}{$f(f(n)) < f(n+1)$} Soit $f : {\N} \to {\N}$ telle que : $\forall\ n \in \N,\ f(f(n)) < f(n+1)$. On veut montrer que $f = \text{id}_{\N}$. \par {\it (Olympiades 1977)} \begin{enumerate} \item Montrer que $\forall\ n\in \N,\ \forall\ x \ge n,\ f(x) \ge n$. \item Soit $n \in \N$ et $a \ge n$ tel que $f(a) = \min\{f(x)$ tq $x\ge n\}$. Montrer que $a=n$. \item En d{\'e}duire que $f$ est strictement croissante, puis conclure. \end{enumerate} \finenonce{003060} \finexercice \exercice{5282, rouget, 2010/07/04} \enonce{005282}{***I} Quelle est la probabilité $p_n$ pour que dans un groupe de $n$ personnes choisies au hasard, deux personnes au moins aient le même anniversaire (on considèrera que l'année a toujours $365$ jours, tous équiprobables). Montrer que pour $n\geq23$, on a $p_n\geq\frac{1}{2}$. \finenonce{005282} \finexercice \exercice{5283, rouget, 2010/07/04} \enonce{005283}{***} Montrer que le premier de l'an tombe plus souvent un dimanche qu'un samedi. \finenonce{005283} \finexercice \section{ 103.01 Divisibilité, division euclidienne } \exercice{249, bodin, 1998/09/01} \video{akuNAnpeHZM} \enonce{000249}{} Combien $15!$ admet-il de diviseurs ? \finenonce{000249} \finexercice \exercice{250, bodin, 1998/09/01} \video{6MywGfpcPic} \enonce{000250}{} Trouver le reste de la division par $13$ du nombre $100^{1000}$. \finenonce{000250} \finexercice \exercice{251, bodin, 1998/09/01} \video{NL9J5okSGCw} \enonce{000251}{} Sachant que l'on a $96842=256\times 375 + 842$, d\'eterminer, sans faire la division, le reste de la division du nombre $96842$ par chacun des nombres $256$ et $375$. \finenonce{000251} \finexercice \exercice{252, bodin, 1998/09/01} \enonce{000252}{} Soient $m\ge 1$ et $n\ge 2$ des entiers ; montrer que : \begin{enumerate} \item $n-1 |n^m-1$ ; \item $(n-1)^2|n^m-1 \text{ si et seulement si } n-1|m$. \end{enumerate} \finenonce{000252} \finexercice \exercice{253, bodin, 1998/09/01} \enonce{000253}{} Soit $a$ un entier relatif quelconque, d\'emontrer que le nombre $a(a^2-1)$ et, plus g\'en\'eralement, $a(a^{2n}-1)$ est divisible par $6$. \finenonce{000253} \finexercice \exercice{254, bodin, 1998/09/01} \video{I_npnj8Lb0M} \enonce{000254}{} D\'emontrer que le nombre $7^n+1$ est divisible par $8$ si $n$ est impair ; dans le cas $n$ pair, donner le reste de sa division par $8$. \finenonce{000254} \finexercice \exercice{255, bodin, 1998/09/01} \enonce{000255}{} Quel est le plus petit entier naturel qui, divis\'e par $8,15,18$ et $24$, donne respectivement pour reste $7,14,17$ et $23$ ? \finenonce{000255} \finexercice \exercice{256, bodin, 1998/09/01} \enonce{000256}{} Montrer que si $x$ et $y$ sont des entiers naturels tels que $x^2$ divise $y^2$, alors $x$ divise $y$. Application : d\'emontrer, par l'absurde, que $\sqrt{2}$ n'est pas rationnel. \finenonce{000256} \finexercice \exercice{257, bodin, 1998/09/01} \video{wEt81lOn-LA} \enonce{000257}{} Montrer que $\forall n\in \Nn$ : $$n(n+1)(n+2)(n+3) \text { est divisible par }24,$$ $$n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4) \text{ est divisible par }120.$$ \finenonce{000257} \finexercice \exercice{258, bodin, 1998/09/01} \enonce{000258}{} Trouver tous les entiers relatifs $n$ tels que $n^2+n+7$ soit divisible par $13$. \finenonce{000258} \finexercice \exercice{259, bodin, 1998/09/01} \enonce{000259}{} On consid\`ere le nombre $m = 2^np$, dans lequel $n$ d\'esigne un entier naturel quelconque et $p$ un nombre premier. Dresser la liste des diviseurs de $m$, y compris $1$ et $m$ lui-m\^eme, et calculer, en fonction de $m$ et $p$, la somme $S$ de tous ces diviseurs. \finenonce{000259} \finexercice \exercice{260, bodin, 1998/09/01} \enonce{000260}{} Le diviseur d'une division est \'egal \`a $45$ ; le reste est le carr\'e du quotient. Calculer le dividende entier naturel. \finenonce{000260} \finexercice \exercice{261, bodin, 1998/09/01} \enonce{000261}{} Trouver le plus petit entier naturel $n$ telle que le d\'eveloppement d\'ecimal de $1/n$ admette une plus petite p\'eriode de longueur $5$, c'est-\`a-dire $1/n = 0,abcde\, abcde \,ab\ldots$ avec $a,b,\ldots,e \in \{0,1,2,\ldots,9\}$. \finenonce{000261} \finexercice \exercice{262, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000262}{} Les nombres $a$, $b$, $c$, $d$ étant des éléments non nuls de $\mathbb{Z}$, dire si les propriétés suivantes sont vraies ou fausses, en justifiant la réponse. \begin{enumerate} \item Si $a$ divise $b$ et $c$, alors $c^2-2b$ est multiple de~$a$. \item S'il existe $u$ et $v$ entiers tels que $au+bv=d$ alors $\mbox{pgcd}(a,b)=\vert d\vert$. \item Si $a$ est premier avec $b$, alors $a$ est premier avec $b^3$. \item Si $a$ divise $b+c$ et $b-c$, alors $a$ divise $b$ et $a$ divise $c$. \item Si $19$ divise $ab$, alors $19$ divise $a$ ou $19$ divise $b$. \item Si $a$ est multiple de~$b$ et si $c$ est multiple de~$d$, alors $a+c$ est multiple de $b+d$. \item Si $4$ ne divise pas $bc$, alors $b$ ou $c$ est impair. \item Si $a$ divise $b$ et $b$ ne divise pas $c$, alors $a$ ne divise pas $c$. \item Si $5$ divise $b^2$, alors $25$ divise $b^2$. \item Si $12$ divise $b^2$, alors $4$ divise $b$. \item Si $12$ divise $b^2$, alors $36$ divise $b^2$. \item Si $91$ divise $ab$, alors $91$ divise $a$ ou $91$ divise $b$. \end{enumerate} \finenonce{000262} \finexercice \exercice{263, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000263}{} On définit les trois ensembles suivants : \begin{eqnarray*} E_1 & = & \left\{7n\,,\; n\in\mathbb{N}\right\}\\ E_2 & = & \left\{n\in\mathbb{N}\,\mbox{ tel que }\; n \mbox{ est multiple de } 4\right\}\\ E_3 & = & \left\{28n\,,\; n\in\mathbb{N}\right\} \end{eqnarray*} \begin{enumerate} \item Pour $1\leq i,j\leq 3$, déterminer si on a l'inclusion $E_i\subset E_j$. \item Ecrire $E_1\cap E_2$ sous la forme $E=\left\{n\in\mathbb{N}\,,\; \mathcal{P}(n)\right\}$. Montrer que $E_1\cap E_2=E_3$. \end{enumerate} \finenonce{000263} \finexercice \exercice{264, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000264}{} Montrer que si $r$ et $s$ sont deux nombres entiers naturels somme de deux carrés d'entiers alors il en est de même pour le produit $rs$. \finenonce{000264} \finexercice \exercice{265, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000265}{} Soit $n$ un entier relatif. Montrer que soit $8$ divise $n^2$, soit $8$ divise $n^2-1$, soit $8$ divise $n^2-4$. \finenonce{000265} \finexercice \exercice{266, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000266}{} Étant donnés deux nombres relatifs $n$ et $p$ montrer que soit $np$ est pair, soit $n^2-p^2$ est divisible par $8$. \finenonce{000266} \finexercice \exercice{267, cousquer, 2003/10/01} \video{0ClhoFc-5jQ} \enonce{000267}{} Montrer que si $n$ est un entier naturel somme de deux carr\'es d'entiers alors le reste de la division euclidienne de $n$ par $4$ n'est jamais \'egal \`a $3$. \finenonce{000267} \finexercice \exercice{268, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000268}{} \begin{enumerate} \item Soit $n$ un entier naturel dont le reste de la division euclidienne par 5 vaut $2$ ou $3$, montrer que $n^2 +1$ est divisible par $5$. \item Montrer que pour tout entier naturel $n$, l'entier $n^5-n$ est divisible par $5$. \end{enumerate} \finenonce{000268} \finexercice \exercice{269, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000269}{} Soit $n\in\mathbb{N}^*$. Montrer que parmi les trois entiers $n.(n+1)$, $n.(n+2)$ et $(n+1).(n+2)$, il y en a exactement deux qui sont divisibles par $3$. \finenonce{000269} \finexercice \exercice{270, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000270}{} \begin{enumerate} \item Pour tout couple de nombres r\'eels $(x,y)$ montrer, par r\'ecurrence, que pour tout $n \in \mathbb{N}^{*}$ on a la relation $$(*)\; x^{n}-y^{n} = (x-y).\sum_{k=0}^{n-1}x^{k}y^{n-1-k}.$$ Indication: on pourra \'ecrire de deux mani\`eres diff\'erentes la quantit\'e $y(x^{n}-y^{n}) + (x-y)x^{n}.$ \item \label{div} Soit $(a,b,p)$ des entiers \'el\'ements de $\mathbb{N}$. En utilisant la formule $(*),$ montrer que s'il existe un entier $l \in \mathbb{N}$ tel que $b = a+pl,$ alors pour tout $n \in \mathbb{N}^{*},$ il existe un entier $m \in \mathbb{N}$ tel que $b^{n} = a^{n}+pm.$ \item \label{divv} Soient $a,b,p$ des entiers \'el\'ements de $\mathbb{N}$, en utilisant la question \ref{div}, montrer que si $a-b$ est divisible par $p,$ $$\sum_{k=0}^{p-1}a^{k}b^{p-k-1}$$ est aussi divisible par $p.$ En d\'eduire, \`a l'aide de la question \ref{div} et de la formule $(*),$ que si $a-b$ est divisible par $p^{n}$ i.e. il existe un entier $l \in \mathbb{N}$ tel que $a-b = l.p^{n},$ alors $a^{p}-b^{p}$ est divisible par $p^{n+1}.$ \end{enumerate} \finenonce{000270} \finexercice \exercice{271, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000271}{} Calculer $2000^{2000}$ modulo $7$ et $2^{500}$ modulo $3$. \finenonce{000271} \finexercice \exercice{272, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000272}{} Soit $a,b \in {\mathbb{Z}}^2$ dont les restes modulo $11$ sont $7$ et $2$ respectivement. Donner le reste modulo $11$ de $a^2-b^2$. \finenonce{000272} \finexercice \exercice{273, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000273}{} \begin{enumerate} \item Montrer que $7$ divise $2222^{5555}+5555^{2222}$; \item montrer que que $11$ divise $$5^{10^{5^{10^{5^{10}}}}}+10^{5^{10^{5^{10^5}}}};$$ \item trouver un critère de divisibilité par $8$ puis par $6$. \end{enumerate} \finenonce{000273} \finexercice \exercice{274, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000274}{} Montrer que pour tout $n> 0$ : \begin{enumerate} \item $7 \hbox{ divise } 3^{2n+1}+2^{n+2}$ \item $11\hbox{ divise }2^{6n+3} +3^{2n+1}$ \item $6\hbox{ divise }5n^3+n$ \item $8 \hbox{ divise } 5^n +2.3^{n-1} +1$ . \end{enumerate} \finenonce{000274} \finexercice \exercice{275, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000275}{} \begin{enumerate} \item Déterminer la somme des chiffres de la somme des chiffres de la somme des chiffres de $3^{500}$. \item On se donne $51$ nombres compris entre $1$ et $100$. Montrer que parmi ces nombres il y en a nécessairement au moins deux tels que l'un divise l'autre. Montrer que l'on peut toujours trouver un ensemble de $50$ nombres compris entre entre $1$ et $100$ ne vérifiant pas la propriété de divisibilité ci-dessus. \end{enumerate} \finenonce{000275} \finexercice \exercice{276, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000276}{} Trouver les entiers positifs $n$ tels que $n-1$ divise $n^2+1$. \finenonce{000276} \finexercice \exercice{277, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000277}{} Montrer que pour chaque $n \in \mathbb{N}$, $4$ ne divise pas $n^2+1$. \finenonce{000277} \finexercice \exercice{278, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000278}{} Montrer que pour chaque entier positif $n$, $49$ divise $2^{3n+3}-7n-8$. \finenonce{000278} \finexercice \exercice{279, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000279}{} Trouver tous les entiers positifs $a$ tels que $a^{10}+1$ est divisible par $10$. \finenonce{000279} \finexercice \exercice{280, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000280}{} Quel est le chiffre des unités de $19971997^{10}$~? \finenonce{000280} \finexercice \exercice{281, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000281}{} Montrer que~: \begin{enumerate} \item Si un entier est de la forme $6k+5$, alors il est nécessairement de la forme $3k-1$, alors que la réciproque est fausse. \item Le carré d'un entier de la forme $5k+1$ est aussi de cette forme. \item Le carré d'un entier est de la forme $3k$ ou $3k+1$, mais jamais de la forme $3k+2$. \item Le carré d'un entier est de la forme $4k$ ou $4k+1$, mais jamais de la forme $4k+2$ ni de la forme $4k+3$. \item Le cube de tout entier est de la forme $9k$, $9k+1$ ou $9k+8$. \item Si un entier est à la fois un carré et un cube, alors c'est une puissance sixième, et il est de la forme $7k$ ou $7k+1$. \end{enumerate} \finenonce{000281} \finexercice \exercice{282, ridde, 1999/11/01} \enonce{000282}{} D\'eterminer les entiers $n \in \Nn$ tels que : \begin{enumerate} \item $n|n + 8$. \item $n-1|n + 11$. \item $n-3|n^3-3$. \end{enumerate} \finenonce{000282} \finexercice \exercice{283, ridde, 1999/11/01} \enonce{000283}{} Soit $k \in \Zz$. D\'eterminer les entiers $n \in \Nn^*$ tels que $ (n|2k + 1 \text{ et } n|9k + 4)$. \finenonce{000283} \finexercice \exercice{284, ridde, 1999/11/01} \enonce{000284}{} Montrer que $\forall (a, b) \in \Nn \times \Nn^*$ il existe un unique $r(a) \in \left\{ 0, \ldots, b-1\right\}$ tel qu'il existe $q \in \Nn$ avec $a = bq + r (a)$. \begin{enumerate} \item En utilisant ceci pour $b = 13$, d\'eterminer les entiers $n\in \Nn$ tels que $13|n^2 + n + 7$. \item Si $a \in \Nn$ et $b = 7$, d\'eterminer les valeurs possibles de $r (a^2)$ (on rappelle que $r (a^2)$ doit appartenir \`a $\left\{ 0, \ldots, b-1\right\}$).\\ Montrer alors que $\forall (x, y) \in \Nn^2$ $ (7|x^2 + y^2) \text{ ssi }(7|x \text{ et } 7|y)$. \item Montrer qu'un entier positif de la forme $8k + 7$ ne peut pas être la somme de trois carr\'es d'entiers. \end{enumerate} \finenonce{000284} \finexercice \exercice{285, gourio, 2001/09/01} \video{goNvkUJGM88} \enonce{000285}{} \begin{enumerate} \item Montrer que le reste de la division euclidienne par $8$ du carr\'{e} de tout nombre impair est $1$. \item Montrer de m\^{e}me que tout nombre pair v\'{e}rifie $x^{2}=0 \pmod{8} $ ou $x^{2}=4 \pmod{8}.$ \item Soient $a,b,c$ trois entiers impairs. D\'{e}terminer le reste modulo $8$ de $a^{2}+b^{2}+c^{2}$ et celui de $2(ab+bc+ca).$ \item En d\'{e}duire que ces deux nombres ne sont pas des carr\'{e}s puis que $ab+bc+ca$ non plus. \end{enumerate} \finenonce{000285} \finexercice \exercice{3090, quercia, 2010/03/08} \enonce{003090}{Sommes de nombres impairs} Soit $n\in\N$, $n\ge 2$. Montrer que si $N$ est la somme de $n$ nombres impairs cons{\'e}cutifs, alors $N$ n'est pas premier. \finenonce{003090} \finexercice \exercice{3091, quercia, 2010/03/08} \enonce{003091}{Petit th{\'e}or{\`e}me de Fermat} Soit $p \in \N$ premier. Montrer que pour $1 \le k \le p-1$, $p$ divise $C_p^k$. En d{\'e}duire que $\forall\ n \in \Z$, $n^p \equiv n (\mathrm{mod}\, p)$. \label{Fermat} \finenonce{003091} \finexercice \exercice{3092, quercia, 2010/03/08} \enonce{003092}{$(p-1)(p-2)...(p-n)/n!$} Soit $p \in \N^*$ premier et $n \in \N^*$, $n < p$. Montrer que $\frac {(p-1)(p-2) \dots (p-n)}{n!} - (-1)^n$ est un entier divisible par~$p$. \finenonce{003092} \finexercice \exercice{3093, quercia, 2010/03/08} \enonce{003093}{$n^7 \equiv n (\mathrm{mod}\, 42)$} Montrer que : $\forall\ n \in \Z$, $n^7 \equiv n (\mathrm{mod}\, {42})$. \finenonce{003093} \finexercice \exercice{3094, quercia, 2010/03/08} \enonce{003094}{Puissances de 10 modulo 7} \begin{enumerate} \item V{\'e}rifier $10^6 \equiv 1 (\mathrm{mod}\, 7)$. \item Montrer que $\sum_{k=1}^{10} 10^{10^k} \equiv 5 (\mathrm{mod}\, 7)$. \end{enumerate} \finenonce{003094} \finexercice \exercice{3095, quercia, 2010/03/08} \enonce{003095}{Puissances de 7} Quel est le dernier chiffre de $7^{7^{7^{7^{7^{7^7}}}}}$ ? \finenonce{003095} \finexercice \exercice{3096, quercia, 2010/03/08} \enonce{003096}{$3^x = 2^y + 1$} \begin{enumerate} \item Soient $x,y\in \N$, $y \ge 3$. Montrer par r{\'e}\-cur\-rence sur $y$ que : $3^x \equiv 1 (\mathrm{mod}\, {2^y}) \iff 2^{y-2}\mid x$. \item Trouver tous les couples d'entiers $x,y \in \N$ tels que $3^x = 2^y + 1$. \end{enumerate} \finenonce{003096} \finexercice \exercice{3097, quercia, 2010/03/08} \enonce{003097}{Suites r{\'e}currentes lin{\'e}aires} Montrer que pour tout $n \in \N$, $3^{2n+1} + 2^{n+2}$ est divisible par $7$. \finenonce{003097} \finexercice \exercice{3098, quercia, 2010/03/08} \enonce{003098}{Suites r{\'e}currentes lin{\'e}aires} D{\'e}terminer le reste de la division euclidienne de $2^{10n-7} + 3^{5n-2}$ par $11$. \finenonce{003098} \finexercice \exercice{3099, quercia, 2010/03/08} \enonce{003099}{$a \equiv b (\mathrm{mod}\, n) \Rightarrow a^n \equiv b^n (\mathrm{mod}\, {n^2})$} Soient $a,b \in \Z$ et $n \in \N^*$. Montrer que : $a \equiv b (\mathrm{mod}\, n) \Rightarrow a^n \equiv b^n (\mathrm{mod}\, {n^2})$. \finenonce{003099} \finexercice \exercice{3100, quercia, 2010/03/08} \enonce{003100}{$a^2 + b^2 + c^2 + 1 \not \equiv 0 (\mathrm{mod}\, 8)$} Montrer que : $\forall\ a,b,c \in \Z$, $a^2 + b^2 + c^2 + 1 \not \equiv 0 \mathrm{mod}\, 8$. \finenonce{003100} \finexercice \exercice{3101, quercia, 2010/03/08} \enonce{003101}{Cubes cons{\'e}cutifs} Montrer que la somme de trois cubes con\-s{\'e}\-cutifs est toujours divisible par 9. \finenonce{003101} \finexercice \exercice{3102, quercia, 2010/03/08} \enonce{003102}{$n^2 + 3n + 5$ mod 121} Montrer que : $\forall\ n \in \Z$, $n^2 + 3n + 5$ n'est pas divisible par 121. \finenonce{003102} \finexercice \exercice{3103, quercia, 2010/03/08} \enonce{003103}{$n\in\Z$, $n(2n+1)(7n+1)$ est divisible par 6} Montrer que pour tout entier $n\in\Z$, $n(2n+1)(7n+1)$ est divisible par 6. \finenonce{003103} \finexercice \exercice{3104, quercia, 2010/03/08} \enonce{003104}{$2^{32} + 1$ est divisible par 641} Montrer sans calculatrice que $2^{32} + 1$ est divisible par 641. \finenonce{003104} \finexercice \exercice{3105, quercia, 2010/03/08} \enonce{003105}{$3^x.7^y$ mod 10} Trouver tous les couples $(x,y) \in \N^2$ tels que $3^x7^y$ se termine par 1 en base 10. \finenonce{003105} \finexercice \exercice{3106, quercia, 2010/03/08} \enonce{003106}{$a^3 = \dots123456789$} Soit $a \in \N$ premier {\`a} 10. \begin{enumerate} \item Montrer que $a^4 \equiv 1 (\mathrm{mod}\,{10})$. \item Montrer que pour tout entier $k \in \N$, $a^{4\times10^k} \equiv 1 (\mathrm{mod}\, {10^{k+1}})$. \item En d{\'e}duire qu'il existe un nombre $x \in \N$ tel que $x^3$ se termine par $123456789$ en base 10. \end{enumerate} \finenonce{003106} \finexercice \exercice{3107, quercia, 2010/03/08} \enonce{003107}{$mn(m^{60} - n^{60})$ est divisible par 56786730} Montrer que pour tous entiers $m$ et $n$, le nombre $mn(m^{60} - n^{60})$ est divisible par 56786730. \finenonce{003107} \finexercice \exercice{3108, quercia, 2010/03/08} \enonce{003108}{$q\mid2^p-1$} Soient $p,q$ premiers impairs tels que $q\mid2^p-1$. Montrer que $q\equiv 1 (\mathrm{mod}\,{2p})$. \finenonce{003108} \finexercice \exercice{3109, quercia, 2010/03/08} \enonce{003109}{Divisibilit{\'e} par 7} Infirmer ou justifier le crit{\`e}re de divisibilit{\'e} par $7$ suivant retrouv{\'e} dans un vieux grimoire~: \emph{S{\'e}pare en unit{\'e}s et dizaines puis cherche la diff{\'e}rence entre le double des unit{\'e}s et les dizaines. Agis ainsi tant que tu as des dizaines et obtiens z{\'e}ro ou sept. Ainsi 364 devient 28 puis 14 puis enfin 7.} \finenonce{003109} \finexercice \exercice{5115, rouget, 2010/06/30} \enonce{005115}{*****} $k$ est un entier impair. Montrer par récurrence que, pour $n\geq1$, la somme $1^k+2^k+...+n^k$ est un entier divisible par $\frac{n(n+1)}{2}.$ \finenonce{005115} \finexercice \exercice{5116, rouget, 2010/06/30} \enonce{005116}{****} Pour $n\geq1$, on pose $H_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}$. Montrer que, pour $n\geq2$, $H_n$ n'est jamais un entier (indication~:~montrer par récurrence que $H_n$ est le quotient d'un entier impair par un entier pair en distingant les cas où $n$ est pair et $n$ est impair). \finenonce{005116} \finexercice\exercice{5157, rouget, 2010/06/30} \enonce{005157}{****} Montrer que pour $n\in\Nn$, $E(\frac{1}{3}(n+2-E(\frac{n}{25})))=E(\frac{8n+24}{25})$. \finenonce{005157} \finexercice \section{ 103.02 Sous-groupes de Z } \exercice{286, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000286}{} Montrer qu'il est équivalent dans $\mathbb{Z}$ de dire $m$ divise~$n$, ou $n\mathbb{Z}\subset m\mathbb{Z}$. \finenonce{000286} \finexercice \exercice{287, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000287}{} \begin{enumerate} \item Montrer que l'intersection de deux sous-groupes de $\mathbb{Z}$ est un sous-groupe de $\mathbb{Z}$. Caractériser le sous-groupe $a \mathbb{Z}\cap b \mathbb{Z}$. Caractériser les sous-groupes suivants~: $$2\mathbb{Z}\cap 3\mathbb{Z}\;; \quad 5 \mathbb{Z}\cap 13\mathbb{Z}\;; \quad 5 \mathbb{Z}\cap 25\mathbb{Z}.$$ \item Montrer que toute intersection de sous-groupes de $\mathbb{Z}$ est un sous-groupe de $\mathbb{Z}$. Caractériser l'intersection d'une famille finie de sous-groupes. Caractériser les sous-groupes suivants~: $$\bigcap_{n=1}^{17} 2^n \mathbb{Z}\;;\quad 4 \mathbb{Z}\cap 6\mathbb{Z}\cap 8\mathbb{Z}\cap 19\mathbb{Z}\cap 35\mathbb{Z}.$$ \end{enumerate} \finenonce{000287} \finexercice \exercice{288, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000288}{} \begin{enumerate} \item Déterminer $2\mathbb{Z}\cup 3\mathbb{Z}$. Est-ce un sous-groupe de $\mathbb{Z}$~? \item Déterminer~: $7\mathbb{Z}\cup 49\mathbb{Z}$~; $5\mathbb{Z}\cup 45\mathbb{Z}$~; $\bigcup_{n=1}^{28} 2^n \mathbb{Z}$. Ces ensembles sont-ils des sous-groupes de $\mathbb{Z}$~? \item Trouver une condition nécessaire et suffisante pour qu'une réunion de deux sous-groupes de $\mathbb{Z}$ soit un sous-groupe de~$\mathbb{Z}$. \end{enumerate} \finenonce{000288} \finexercice \exercice{289, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000289}{} \begin{enumerate} \item Soit $A$ une partie non vide de $\mathbb{Z}$~; montrer que la famille des sous-groupes contenant~$A$ n'est pas vide. Soit $H$ une partie contenant~$A$. Montrer l'équivalence des conditions suivantes~: \begin{enumerate} \item[i)] $H$ est l'intersection des sous-groupes de $\mathbb{Z}$ qui contiennent~$A$, \item[ii)] $H$ est le plus petit sous-groupe de $\mathbb{Z}$ qui contient~$A$, \item[iii)] $H$ est l'ensemble des sommes finies d'éléments de $A$ ou d'éléments dont l'opposé est dans~$A$. \end{enumerate} Si ces conditions sont vérifiées on dit que $H$ est le sous-groupe engendré par~$A$. \item Soient $m\mathbb{Z}$ et $n\mathbb{Z}$ deux sous-groupes de $\mathbb{Z}$. Montrer que $$m\mathbb{Z}+n\mathbb{Z}= \{mu+nv \mid u,v \in\mathbb{Z}\}$$ \begin{enumerate} \item[a)] est un sous-groupe de $\mathbb{Z}$, \item[b)] contient $m\mathbb{Z}$ et $n\mathbb{Z}$, \item[c)] est contenu dans tout sous-groupe de $\mathbb{Z}$ qui contient $m\mathbb{Z}$ et $n\mathbb{Z}$. \item[d)] Si $m\mathbb{Z}+n\mathbb{Z}= d\mathbb{Z}$, que peut-on dire de $d$~? \end{enumerate} \item Déterminer les sous-groupes engendrés par~: $14\mathbb{Z}\cup 35\mathbb{Z}$~; $4\mathbb{Z}\cup 8\mathbb{Z}\cup 6\mathbb{Z}\cup 64\mathbb{Z}$~; $2\mathbb{Z}\cup 3\mathbb{Z}$~; $4\mathbb{Z}\cup 21\mathbb{Z}$~; $5\mathbb{Z}\cup 25\mathbb{Z}\cup 7\mathbb{Z}$~; $\{70 ,4\}$. \end{enumerate} \finenonce{000289} \finexercice \section{ 103.03 Pgcd, ppcm, algorithme d'Euclide } \exercice{290, bodin, 1998/09/01} \video{uMmuJ-TCa6U} \enonce{000290}{} Calculer le pgcd des nombres suivants : \begin{enumerate} \item 126, 230. \item 390, 720, 450. \item 180, 606, 750. \end{enumerate} \finenonce{000290} \finexercice \exercice{291, bodin, 1998/09/01} \enonce{000291}{} \begin{enumerate} \item Calculer le ppcm des nombres : 108 et 144 ; 128 et 230 ; 6, 16 et 50. \item Montrer que si $a\ge 1$ et $b\ge 1$ sont des entiers de pgcd $d$ et, si on pose $a=da' ; b=db' $, le ppcm de $a$ et $b$ est $da'b'$. \item Montrer que si $a,b,c$ sont des entiers sup\'erieurs \`a $1$, on a : $$\text{ppcm}(a,b,c)=\text{ppcm}(\text{ppcm}(a,b),c).$$ \end{enumerate} \finenonce{000291} \finexercice \exercice{292, bodin, 1998/09/01} \video{haNOPZqNwMY} \enonce{000292}{} D\'eterminer les couples d'entiers naturels de pgcd 18 et de somme 360. De m\^eme avec pgcd 18 et produit 6480. \finenonce{000292} \finexercice \exercice{293, bodin, 1998/09/01} \enonce{000293}{} Si $a,b,c,d$ sont des entiers sup\'erieurs \`a $1$, montrer que l'on a : $$(a,b,c,d)=((a,b),(c,d))$$ o\`u ( , ) d\'esigne le pgcd . \finenonce{000293} \finexercice \exercice{294, bodin, 1998/09/01} \enonce{000294}{} \begin{enumerate} \item Soient $a,b,c$ des entiers relatifs tels que $(a,b)\not =(0,0)$, montrer que pour que l'\'equation $$ax+by=c$$ ait une solution $(x,y)$ en entiers relatifs $x$ et $y$, il faut et il suffit que le pgcd de $a$ et $b$ divise $c$. \item R\'esoudre en entiers relatifs les \'equations suivantes : $$7x-9y=1,$$ $$7x-9y=6,$$ $$11x+17y=5.$$ \end{enumerate} \finenonce{000294} \finexercice \exercice{295, bodin, 1998/09/01} \enonce{000295}{} Soient $a$ et $b$ deux entiers tels que $a\ge b\ge 1$ et $\mathrm{pgcd}(a,b)=1$. \begin{enumerate} \item Montrer que $\text{ pgcd}(a+b,a-b)=1$ ou $2$, \item Si pgcd$(a,b)=1 $, montrer que pgcd$(a+b,ab)=1$, \item Si pgcd$(a,b)=1 $, montrer que pgcd$(a+b,a^2+b^2)=1$ ou $2$. \end{enumerate} \finenonce{000295} \finexercice \exercice{296, bodin, 1998/09/01} \video{uekZIfTccPg} \enonce{000296}{} Calculer par l'algorithme d'Euclide : $\pgcd(18480,9828)$. En d\'eduire une \'ecriture de $84$ comme combinaison lin\'eaire de $18480$ et $9828$. \finenonce{000296} \finexercice \exercice{297, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000297}{} Déterminer le pgcd de $99\,099$ et $43\,928$. Déterminer le pgcd de $153\,527$ et $245\,479$. \finenonce{000297} \finexercice \exercice{298, bodin, 1998/09/01} \enonce{000298}{} D\'eterminer l'ensemble de tous les couples $(m,n)$ tels que $$ 955m+183n=1.$$ \finenonce{000298} \finexercice \exercice{299, bodin, 1998/09/01} \enonce{000299}{} Calculer, en pr\'ecisant la m\'ethode suivie, $$ a=\text{pgcd} (720,252) \quad\quad b = \text{ppcm} (720,252)$$ ainsi que deux entiers $u$ et $v$ tels que $720u+252v=a$. \finenonce{000299} \finexercice \exercice{300, bodin, 1998/09/01} \enonce{000300}{} D\'emontrer : $$ a\wedge(b_1b_2)=1 \Leftrightarrow (a\wedge b_1=1 \text{ et } a\wedge b_2 =1), $$ puis par r\'ecurence : $$ a\wedge(b_1 \ldots b_n)=1 \Leftrightarrow \forall i=1,\ldots,n\ \ a\wedge b_i =1. $$ \finenonce{000300} \finexercice \exercice{301, bodin, 1998/09/01} \enonce{000301}{} D\'emontrer pour $m,n \in \Nn^*$ : $$a^m \wedge b^n=1 \Rightarrow a \wedge b=1.$$ \finenonce{000301} \finexercice \exercice{302, bodin, 1998/09/01} \enonce{000302}{} D\'eteminer deux entiers naturels connaissant leur somme, $1008$, et leur pgcd, $24$. \finenonce{000302} \finexercice \exercice{303, bodin, 1998/09/01} \video{atC2uUlIQ64} \enonce{000303}{} Notons $a=1\;111\;111\;111$ et $b=123\;456\;789$. \begin{enumerate} \item Calculer le quotient et le reste de la division euclidienne de $a$ par $b$. \item Calculer $p=\, \text{pgcd}(a,b)$. \item D\'eterminer deux entiers relatifs $u$ et $v$ tels que $au+bv=p$. \end{enumerate} \finenonce{000303} \finexercice \exercice{304, bodin, 1998/09/01} \enonce{000304}{} Soient $m$ et $n$ deux entiers $(m>n>0)$ et $a \ge 2$ un entier. Montrer que le reste de la division euclidienne de $a^m-1$ par $a^n-1$ est $a^r-1$ o\`u $r$ est le reste de la division euclidienne de $m$ par $n$, et que le pgcd de $a^m-1$ et $a^n-1$ est $a^d-1$, o\`u $d$ est le pgcd de $m$ et $n$. \finenonce{000304} \finexercice \exercice{305, gourio, 2001/09/01} \video{IXE-IGeo-ts} \enonce{000305}{} R\'{e}soudre dans ${\Zz}:1665x+1035y=45.$ \finenonce{000305} \exercice{306, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000306}{} Montrer qu'il n'existe pas d'entiers $m$ et $n$ tels que $$m+n=101\quad \mbox{et} \quad \mbox{pgcd}(m,n)=3$$ \finenonce{000306} \finexercice \exercice{307, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000307}{} Soit $m$ et $n$ deux entiers positifs. \begin{enumerate} \item Si $\mbox{pgcd}(m,4)=2$ et $\mbox{pgcd}(n,4)=2$, montrer que $\mbox{pgcd}(m+n,4)=4$. \item Montrer que pour chaque entier $n$, $6$ divise $n^3-n$. \item Montrer que pour chaque entier $n$, $30$ divise $n^5-n$. \item Montrer que si $m$ et $n$ sont des entiers impairs, $m^2+n^2$ est pair mais non divisible par~$4$. \item Montrer que le produit de quatre entiers consécutifs est divisible par~$24$. \item Montrer que si $\mbox{pgcd}(a,b)=1$, alors \begin{itemize} \item $\mbox{pgcd}(a+b,a-b)\in \{1,2\}$, \item $\mbox{pgcd}(2a+b,a+2b)\in \{1,3\}$, \item $\mbox{pgcd}(a^2+b^2,a+b)\in \{1,2\}$, \item $\mbox{pgcd}(a+b,a^2-3ab+b^2)\in \{1,5\}$. \end{itemize} \end{enumerate} \finenonce{000307} \finexercice \exercice{308, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000308}{} Trouver une CNS pour que $ax+b\equiv 0 \ \rm{mod} \ n$ ait une solution. \finenonce{000308} \finexercice \exercice{309, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000309}{} \begin{enumerate} \item Calculer $\mbox{pgcd}(18,385)$ par l'algorithme d'Euclide, en déduire un couple $(u_0,v_0)\in\mathbb{Z}^2$ solution de l'équation $18u+385v=1$, avec $(u,v)\in\mathbb{Z}^2$. \item Fournir enfin l'ensemble des solutions entières de $$18u+385v=1;\quad 18u+385v=3;\quad 54u+1155v=3;\quad 54u+1155v=5.$$ \end{enumerate} \finenonce{000309} \finexercice \exercice{310, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000310}{} \noindent Trouver $a$ et $b$ entiers naturels tels que \begin{enumerate} \item $a+b=2070$ et $\mbox{ppcm}(a,b)=9180$ ; \item $a^2+b^2=5409$ et $\mbox{ppcm}(a,b)=360$ (on pourra commencer par montrer que $\mbox{pgcd}(a,b)$ divise $\mbox{pgcd}(5409,360)$ et considérer ensuite différents cas). \end{enumerate} \finenonce{000310} \finexercice \exercice{311, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000311}{} Résoudre dans $\mathbb{Z}$ les équations\,: $35x \equiv 7 \ \rm{mod} \ 4; \ \ 22x \equiv 33\ \rm{mod}\ 5 $ \finenonce{000311} \finexercice \exercice{312, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000312}{} Résoudre dans $\mathbb{Z}$ le système suivant\,: $$S : \left\{ \begin{array}{cccc} x&\equiv &4&\rm{mod}\ 6\\ x&\equiv &7&\rm{mod}\ 9 \end{array} \right. $$ On recherchera d'abord une solution particulière. \finenonce{000312} \finexercice \exercice{313, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000313}{} \begin{enumerate} \item Résoudre dans $\mathbb{Z}$ les équations\,: $\ x^2\equiv 2\ \rm{mod}\ 6;\quad \ x^3\equiv 3\ \rm{mod}\ 9$. \item Résoudre dans $\mathbb{Z}^2$ les équations suivantes\,: $5x^2 +2xy-3=0\ ;\quad y^2+4xy-2=0$. \end{enumerate} \finenonce{000313} \finexercice \exercice{314, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000314}{} Résoudre dans $\mathbb{Z}^2$ les équations suivantes\,: $$\begin{array}{lcr} \hbox{a) } 17x+6y=1 &\qquad & \hbox{b) } 27x+25y=1\\ \hbox{c) } 118x+35y=1 &\qquad & \hbox{d) } 39 x+26 y=1 \end{array}$$ \finenonce{000314} \finexercice \exercice{315, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000315}{} Montrer que si $a$ divise $42n+37$ et $7n+4$, pour une valeur de $n$ donnée, alors $a$ divise $13$. Quelles sont les valeurs possibles pour~$n$~? \finenonce{000315} \finexercice \exercice{316, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000316}{} Trouver $\mbox{pgcd}(-357,629)$ et trouver des entiers $x$ et $y$ tels que $$\mbox{pgcd}(-357,629)=-357x+629y$$ \finenonce{000316} \finexercice \exercice{317, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000317}{} Trouver $\mbox{pgcd}(2183,6313)=d$ et trouver des entiers $x$ et $y$ tels que $$d=2183x+6313y$$ \finenonce{000317} \finexercice \exercice{318, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000318}{} Supposons $\mbox{pgcd}(a,b)=d$ et soit $x_{0}$ et $y_{0}$ des entiers tels que $d=ax_{0}+by_{0}$. Montrer que~: \begin{enumerate} \item $\mbox{pgcd}(x_{0},y_{0})=1$, \item $x_{0}$ et $y_{0}$ ne sont pas uniques. \end{enumerate} \finenonce{000318} \finexercice \exercice{319, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000319}{} Soit $a$, $b$, $c$ des entiers. \begin{enumerate} \item Montrer que $\mbox{pgcd}(ca,cb)=\vert c\vert\;\mbox{pgcd}(a,b)$. \item Montrer que $\mbox{pgcd}(a^2,b^2)=(\mbox{pgcd}(a,b))^2$. \item Montrer que si $\mbox{pgcd}(a,b)=1$ et si $c$ divise $a$, alors $\mbox{pgcd}(c,b)=1$. \item Montrer que $\mbox{pgcd}(a,bc)=1 \iff \mbox{pgcd}(a,b)=\mbox{pgcd}(a,c)=1$. \item Montrer que si $\mbox{pgcd}(b,c)=1$ alors $\mbox{pgcd}(a,bc)=\mbox{pgcd}(a,b) \mbox{pgcd}(a,c)$. \item Montrer que $\mbox{pgcd}(a,b)=\mbox{pgcd}(a+b,\mbox{ppcm}(a,b))$. \end{enumerate} \finenonce{000319} \finexercice \exercice{320, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000320}{} En divisant un nombre par $8$, un élève a obtenu $4$ pour reste~; en divisant ce même nombre par $12$, il a obtenu $3$ pour reste. Qu'en pensez-vous~? Le fort en calcul de la classe, qui ne fait jamais d'erreur, a divisé le millésime de l'année par $29$, il a trouvé $25$ pour reste~; il a divisé le même millésime par $69$, il a trouvé $7$ pour reste. En quelle année cela se passait-il~? \finenonce{000320} \finexercice \exercice{321, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000321}{} Trouver deux nombres sachant que leur somme est $581$ et que le quotient de leur PPCM par leur pgcd est $240$. \finenonce{000321} \finexercice \exercice{322, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000322}{} Trouver les solutions entières de l'équation~: $$102x-18018y=18.$$ Combien y a-t-il de solutions telles que $x$ et $y$ soient compris entre entre $0$ et $4000$~? \finenonce{000322} \finexercice \exercice{323, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000323}{} Le pgcd de deux nombres est $12$~; les quotients successifs obtenus dans le calcul de ce pgcd par l'algorithme d'Euclide sont $8$, $2$ et~$7$. Trouver ces deux nombres. \finenonce{000323} \finexercice \exercice{324, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000324}{} Trouver les couples de nombres $a$ et $b$, divisibles par~$3$, vérifiant les propriétés suivantes~: leur ppcm est $7560$, et si on augmente chacun de ces nombres d'un tiers de sa valeur, le pgcd des deux nombres obtenus est $84$. \finenonce{000324} \finexercice \exercice{325, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000325}{} Un terrain rectangulaire dont les dimensions en mètres $a$ et $b$ sont des nombres entiers, a pour aire $3024\; \mbox{m}^2$. Calculer son périmètre sachant que le pgcd de $a$ et $b$ est~$6$. Combien y a-t-il de solutions possibles~? \finenonce{000325} \finexercice \exercice{326, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000326}{} \begin{enumerate} \item Dans $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$, écrire l'ensemble des multiples de $\bar x$, classe de $x$, pour $x$ variant de $0$ à $n-1$ dans chacun des cas suivants~: $\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$, $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$, $\mathbb{Z}/8\mathbb{Z}$. \item Dans $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$, montrer l'équivalence des trois propositions~: \begin{itemize} \item[i)] $\bar x$ est inversible~; \item[ii)] $x$ et $n$ sont premiers entre eux~; \item[iii)] $\bar x$ engendre $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$, c'est à dire que l'ensemble des multiples de $\bar x$ est $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$. \end{itemize} \item La classe de $18$ est-elle inversible dans $\mathbb{Z}/49\mathbb{Z}$~? Si oui, quel est son inverse~? (On pourra utiliser le théorème de Bézout). \end{enumerate} \finenonce{000326} \finexercice \exercice{327, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000327}{} Résoudre dans $\mathbb{Z}$ les équations suivantes~: \begin{enumerate} \item $91x-65y=156$. \item $135 x-54y=63$. \item $72x+35y=13$. \end{enumerate} \finenonce{000327} \finexercice \exercice{328, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000328}{} Résoudre dans $\mathbb{N}$ les équations suivantes~: \begin{enumerate} \item $31x-13y=1$. \item $31x-13y=-1$. \end{enumerate} \textit{Application~:} Au bord d'une piscine pleine d'eau, on dispose d'une cuve fixe de 31 litres munie à sa base d'un robinet de vidange, et d'un seau de 13 litres. Expliquer comment opérer pour obtenir exactement 1~litre dans le seau. \finenonce{000328} \finexercice \exercice{329, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000329}{} Résoudre dans $\mathbb{N}$ l'équation $77x+105y=2401$. \finenonce{000329} \finexercice \exercice{330, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000330}{} Dans un pays nommé ASU, dont l'unité monétaire est le rallod, la banque nationale émet seulement des billets de 95 rallods et des pièces de 14 rallods. \begin{enumerate} \item Montrer qu'il est possible de payer n'importe quelle somme entière (à condition bien sûr que les deux parties disposent chacune d'assez de pièces et de billets). \item On suppose que vous devez payer une somme~$S$, que vous avez une quantité illimitée de pièces et de billets, mais que votre créancier ne puisse pas rendre la monnaie. Ainsi, il est possible de payer si $S=14$, mais pas si $S=13$ ou si $S=15$\dots{} Montrer qu'il est toujours possible de payer si $S$ est assez grande. Quelle est la plus grande valeur de~$S$ telle qu'il soit impossible de payer~$S$~? \end{enumerate} \finenonce{000330} \finexercice \exercice{331, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000331}{} Trouver tous les points à coordonnées entières du plan d'équation $6x+10y+15z=1997$. Combien y a-t-il de solutions dans $\mathbb{N}^3$~? \finenonce{000331} \finexercice \exercice{332, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000332}{} \begin{enumerate} \item Trouver tous les points à coordonnées entières de la droite de l'espace d'équations $\left\{ \begin{array}{rcl} 4x-2y-z-5 & = & 0 \\ x+3y-4z-7 & = & 0 \end{array}\right.$. \item Même question avec la droite $\left\{ \begin{array}{rcl} x+3y-5z -5 & = & 0 \\ 4x-2y+z+13 & = & 0 \end{array}\right.$. \end{enumerate} \finenonce{000332} \finexercice \exercice{333, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000333}{} Résoudre dans $\mathbb{N}$ et dans $\mathbb{Z}$ l'équation $$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{15}$$ \finenonce{000333} \finexercice \exercice{334, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000334}{} Un coq coûte $5$ pièces d'argent, une poule $3$ pièces, et un lot de quatre poussins $1$ pièce. Quelqu'un a acheté $100$ volailles pour $100$ pièces~; combien en a-t-il acheté de chaque sorte~? \finenonce{000334} \finexercice \exercice{335, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000335}{} Soient $a$ et $b$ deux nombres entiers relatifs. On note $d$ leur pgcd. Construisons les suites $a_n$ et $b_n $ $n \in \mathbb{N},$ à valeurs dans $\mathbb{Z} $de la manière suivante : \begin{eqnarray*} a_0 &=& a\\ b_0 &=& b\\ \end{eqnarray*} et pour tout $n \in \mathbb{N},$ on pose $a_{n+1}= b_n$ et $b_{n+1}= r$ où $r$ est le reste de la division euclidienne de $a_n$ par $b_n.$ \begin{enumerate} \item Montrer que si $d_n$ est le pgcd de $a_n$ et $b_n$ alors $d_n$ est également le pgcd de $a_{n+1}$ et $b_{n+1}.$ \item Déduire de la questionh précédente que $d$ est le pgcd des nombres $a_n$ et $b_n$ pour tout $n \in \mathbb{N}.$ \item Montrer que la suite $b_n$ est strictement décroissante. Que peut-on en déduire? \item Déduire de ce qui précède que pour tout couple d'entiers relatifs $(a,b)$ il existe un couple d'entier relatifs $(u,v)$ tel que: $$ d = au+bv. $$ \end{enumerate} \finenonce{000335} \finexercice \exercice{3110, quercia, 2010/03/08} \enonce{003110}{} Soient $a,b,c \in \Z$ tels que $a\wedge b = 1$. Montrer que $a\wedge(bc) = a\wedge c$. \finenonce{003110} \finexercice \exercice{3111, quercia, 2010/03/08} \enonce{003111}{pgcd$( a+b, ppcm(a,b) )$} Soient $a,b$ entiers, $d = a \wedge b$, $m = a \vee b$. Chercher $(a+b) \wedge m$. \finenonce{003111} \finexercice \exercice{3112, quercia, 2010/03/08} \enonce{003112}{pgcd$((a-b)^3, a^3-b^3)$} Soient $a,b \in \Z$. Chercher $(a-b)^3 \wedge (a^3 - b^3)$. \finenonce{003112} \finexercice \exercice{3113, quercia, 2010/03/08} \enonce{003113}{pgcd$( n^3 + n, 2n + 1 )$} Soit $n \in \N$. Chercher $(n^3+n) \wedge (2n+1)$. \finenonce{003113} \finexercice \exercice{3114, quercia, 2010/03/08} \enonce{003114}{pgcd$( 15n^2+8n+6, 30n^2+21n+13 )$} Soit $n \in \N$. Chercher $(15n^2+8n+6) \wedge (30n^2+21n+13)$. \finenonce{003114} \finexercice \exercice{3115, quercia, 2010/03/08} \enonce{003115}{pgcd et ppcm impos{\'e}s} Soient $d,m \in \N^*$. Donner une condition n{\'e}c{\'e}ssaire et suffisante sur $d$ et $m$ pour qu'il existe $a,b \in \Z$ tels que $a\wedge b = d$ et $a\vee b = m$. R{\'e}soudre ce probl{\`e}me pour $d = 50$ et $m = 600$. \finenonce{003115} \finexercice \exercice{3116, quercia, 2010/03/08} \enonce{003116}{ppcm$(x,y) + 11$pgcd$(x,y) = 203$} Trouver les couples d'entiers $(x,y) \in \Z^2$ tels que : $x\vee y + 11(x\wedge y) = 203$. \finenonce{003116} \finexercice \exercice{3117, quercia, 2010/03/08} \enonce{003117}{$x^2+y^2 = 85113$, ppcm$(x,y) = 1764$} R{\'e}soudre : $$\begin{cases}x^2+y^2 = 85113\cr x\vee y = 1764.\end{cases}$$ \finenonce{003117} \finexercice \exercice{3118, quercia, 2010/03/08} \enonce{003118}{ppcm$(x,y) = 210$ pgcd$(x,y)$, $y - x =$ pgcd$(x,y)$} R{\'e}soudre : $\begin{cases} x \vee y = 210(x \wedge y)\cr y-x = x \wedge y.\end{cases}$ \finenonce{003118} \finexercice \exercice{3119, quercia, 2010/03/08} \enonce{003119}{pgcd$(x,y) = x+y-1$} R{\'e}soudre dans $\Z$ : $x \wedge y = x + y - 1$. \finenonce{003119} \finexercice \exercice{3120, quercia, 2010/03/08} \enonce{003120}{ppcm$(x,y) = x+y-1$} R{\'e}soudre dans $\Z^*$ : $x \vee y = x + y - 1$. \finenonce{003120} \finexercice \exercice{3121, quercia, 2010/03/08} \enonce{003121}{pgcd$(x,y) = x-y$, ppcm$(x,y) = 300$} R{\'e}soudre dans $\N^*$ : $\begin{cases}x \wedge y = x-y \cr x \vee y = 300.\end{cases}$ \finenonce{003121} \finexercice \exercice{3122, quercia, 2010/03/08} \enonce{003122}{pgcd$( a^n - 1, a^m - 1 )$} Soient $a,m,n\ \in \N^{*}$, $a\ge 2$, et $d = (a^n - 1) \wedge (a^m - 1)$. \begin{enumerate} \item Soit $n = qm + r$ la division euclidienne de $n$ par $m$. D{\'e}montrer que $a^n \equiv a^r (\mathrm{mod}\, {a^m - 1})$. \item En d{\'e}duire que $d = (a^r - 1) \wedge (a^m - 1)$, puis $d = a^{(n \wedge m)} - 1$. \item A quelle condition $a^m - 1$ divise-t-il $a^n-1$ ? \end{enumerate} \finenonce{003122} \finexercice \exercice{3123, quercia, 2010/03/08} \enonce{003123}{pgcd multiple} Soient $a_1, \dots, a_n \in \N^{*}$ et $b_i = \prod_{j \ne i} a_j$. Montrer que $a_1, \dots, a_n$ sont {\it deux {\`a} deux\/} premiers entre eux si et seulement si $b_1, \dots, b_n$ sont premiers entre eux {\it dans leur ensemble}. \finenonce{003123} \finexercice \exercice{3124, quercia, 2010/03/08} \enonce{003124}{{\'E}quations {\`a} coefficients entiers} Soient $a,b,c$ trois entiers relatifs. On consid{\`e}re l'{\'e}quation : $ax+by=c$, dont on recherche les solutions dans $\Z^2$. \begin{enumerate} \item Donner une condition n{\'e}c{\'e}ssaire et suffisante pour que cette {\'e}quation admette une solution. \item Soit $(x_0,y_0)$ une solution du probl{\`e}me de B{\'e}zout : $ax_0 + by_0 = d$. D{\'e}ter\-miner toutes les solutions de $ax + by = c$ en fonction de $a$, $b$, $c$, $d$, $x_0$ et $y_0$. \item R{\'e}soudre dans $\Z^2$ : $2520x - 3960y = 6480$. \end{enumerate} \finenonce{003124} \finexercice \exercice{3125, quercia, 2010/03/08} \enonce{003125}{{\'E}quations {\`a} coefficients entiers} R{\'e}soudre dans $\Z$ : \begin{enumerate} \item $95x + 71y = 46$. \item $20x - 53y = 3$. \item $12x + 15y + 20z = 7$. \end{enumerate} \finenonce{003125} \finexercice \exercice{3126, quercia, 2010/03/08} \enonce{003126}{Congruences simultan{\'e}es} \begin{enumerate} \item Soient $a,b,a',b' \in \Z$ avec $b \wedge b' = 1$. Montrer que le syst{\`e}me : $\begin{cases}x \equiv a (\mathrm{mod}\, b) \cr x \equiv a' (\mathrm{mod}\, {b'}) \end{cases}$ poss{\`e}de des solutions et qu'elles sont congrues entre elles modulo $bb'$. \item G{\'e}n{\'e}raliser. \end{enumerate} \finenonce{003126} \finexercice \exercice{3127, quercia, 2010/03/08} \enonce{003127}{Congruences simultan{\'e}es} R{\'e}soudre : \begin{enumerate} \item $\begin{cases}x\equiv 2 \hfill(\mathrm{mod}\, {140}) \cr x\equiv -3 \hfill(\mathrm{mod}\, {99}).\end{cases}$ \item $\begin{cases}x\equiv 3 \hfill(\mathrm{mod}\, 4)\cr x\equiv-2 \hfill(\mathrm{mod}\, 3)\cr x\equiv 7 \hfill(\mathrm{mod}\, 5).\end{cases}$ \end{enumerate} \finenonce{003127} \finexercice \exercice{3128, quercia, 2010/03/08} \enonce{003128}{Congruences simultan{\'e}es} Une bande de 17 pirates dispose d'un butin compos{\'e} de $N$ pi{\`e}ces d'or d'{\'e}gale valeur. Ils d{\'e}cident de se le partager {\'e}galement et de donner le reste au cuisinier (non pirate). Celui ci re{\c c}oit 3 pi{\`e}ces. Mais une rixe {\'e}clate et 6 pirates sont tu{\'e}s. Tout le butin est reconstitu{\'e} et partag{\'e} entre les survivants comme pr{\'e}c{\'e}demment; le cuisinier re{\c c}oit alors 4 pi{\`e}ces. Dans un naufrage ult{\'e}rieur, seuls le butin, 6 pirates et le cuisinier sont sauv{\'e}s. Le butin est {\`a} nouveau partag{\'e} de la m{\^e}me mani{\`e}re et le cuisinier re{\c c}oit 5 pi{\`e}ces. Quelle est alors la fortune minimale que peut esp{\'e}rer le cuisinier lorsqu'il d{\'e}cide d'empoisonner le reste des pirates~? \finenonce{003128} \finexercice \exercice{3129, quercia, 2010/03/08} \enonce{003129}{D{\'e}composition {\`a} coefficients positifs} Soient $a,b \in \N^*$ premiers entre eux. Montrer que~: $\forall\ x \ge ab$, $\exists\ u,v \in \N$ tels que $au + bv = x$. \finenonce{003129} \finexercice \section{ 103.04 Nombres premiers, nombres premiers entre eux } \exercice{336, bodin, 1998/09/01} \video{xFq39ocyF_c} \enonce{000336}{} Soient $a,b$ des entiers sup\'erieurs ou \'egaux \`a $1$. Montrer : \begin{enumerate} \item $(2^a-1) | (2^{ab}-1)$ ; \item $2^p-1 \text{ premier}\ \ \Rightarrow \ \ p \text { premier }$ ; \item $\pgcd(2^a-1,2^b-1) = 2^{\pgcd(a,b)}-1$. \end{enumerate} \finenonce{000336} \finexercice\exercice{337, bodin, 1998/09/01} \video{POYqKNGJr44} \enonce{000337}{} D\'emontrer que, si $a$ et $b$ sont des entiers premiers entre eux, il en est de m\^eme des entiers $a+b$ et $ab$. \finenonce{000337} \finexercice \exercice{338, bodin, 1998/09/01} \enonce{000338}{} R\'esoudre l'\'equation $29x-11y=1$ dans $\Zz$. On consid\`ere maintenant l'\'equation $29x-11y=5$. D\'eduire de ce qui pr\'ec\`ede une solution particuli\`ere de cette \'equation, puis en donner la solution g\'en\'erale. \finenonce{000338} \finexercice \exercice{339, bodin, 1998/09/01} \video{RR5gG5ZLCGs} \enonce{000339}{} Soit $p$ un nombre premier. \begin{enumerate} \item Montrer que $\forall i\in \Nn, 0< i < p$ on a : $$C_p^i\text{ est divisible par }p .$$ \item Montrer par r\'ecurence que : $$\forall p \text{ premier}, \forall a\in \Nn^* ,\text{ on a } a^p-a \text{ est divisible par } p.$$ \end{enumerate} \finenonce{000339} \finexercice \exercice{340, bodin, 1998/09/01} \enonce{000340}{} \begin{enumerate} \item Soit $(x,y,z)\in \Nn^3$ . Montrer que : \begin{eqnarray*} x^2+y^2=z^2\Leftrightarrow \exists (x',y',z')\in \Nn^3,\exists n\in \Nn \text{ tq } \\ \text{ pgcd}(x',y',z')=1 \\ {x'}^2+{y'}^2={z'}^2 \\ x=nx' \text{ et }y=ny' \text{ et } z=nz'. \end{eqnarray*} \item Soit$(x,y,z)\in \Nn^3$ tels que $x^2+y^2=z^2$. On suppose que pgcd$(x,y,z)=1$ \begin{enumerate} \item Montrer que $x$ et $y$ ne sont pas de m\^emes parit\'e. \item On suppose $x$ pair et $y$ impair. On pose : $$x=2u,\ z-y=2v,\ z+y=2w$$ avec $(u,v)\in \N^*$. Montrer que $v$ et $w$ sont premiers entre eux. \item Montrer que $$x=2mn,\ y=m^2-n^2,\ z=m^2+n^2$$ avec $m$ et $n$ entiers naturels de parit\'e diff\'erentes. \item Montrer que si $$x=2mn,\ y=m^2-n^2,\ z=m^2+n^2$$ alors $$x^2+y^2=z^2.$$ \end{enumerate} \end{enumerate} \finenonce{000340} \finexercice \exercice{341, bodin, 1998/09/01} \video{I-7jctXUUZk} \enonce{000341}{} \begin{enumerate} \item Montrer par r\'ecurrence que $\forall n\in \Nn ,\forall k\geqslant 1$ on a : $$2^{2^{n+k}}-1=\left( 2^{2^n}-1 \right) \times \prod_{i=0}^{k-1}(2^{2^{n+i}}+1).$$ \item On pose $F_n=2^{2^n}+1$. Montrer que pour $m\not= n$, $F_n$ et $F_m$ sont premiers entre eux. \item En d\'eduire qu'il y a une infinit\'e de nombres premiers. \end{enumerate} \finenonce{000341} \finexercice \exercice{342, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000342}{} Les nombres $a$, $b$, $c$, $d$ étant des éléments non nuls de $\mathbb{Z}$, dire si les propriétés suivantes sont vraies ou fausses, en justifiant la réponse. \begin{enumerate} \item Si $a$ divise $b$ et $b$ divise $c$, alors $a$ divise $c$. \item Si $a$ divise $b$ et $c$, alors $a$ divise $2b+3c$. \item S'il existe $u$ et $v$ entiers tels que $au+bv=4$ alors $\mbox{pgcd}(a,b)=4$. \item Si $7a-9b=1$ alors $a$ et $b$ sont premiers entre eux. \item Si $a$ divise $b$ et $b$ divise $c$ et $c$ divise $a$, alors $\vert a\vert = \vert b\vert$. \item \og $a$ et $b$ premiers entre eux\fg{} équivaut à \og $\mbox{ppcm}(a,b)=\vert ab\vert$\fg. \item Si $a$ divise $c$ et $b$ divise $d$, alors $ab$ divise $cd$. \item Si $9$ divise $ab$ et si $9$ ne divise pas $a$, alors $9$ divise $b$. \item Si $a$ divise $b$ ou $a$ divise $c$, alors $a$ divise $bc$. \item \og $a$ divise $b$\fg{} équivaut à \og $\mbox{ppcm}(a,b)=\vert b\vert$\fg. \item Si $a$ divise $b$, alors $a$ n'est pas premier avec $b$. \item Si $a$ n'est pas premier avec $b$, alors $a$ divise $b$ ou $b$ divise $a$. \end{enumerate} \finenonce{000342} \finexercice \exercice{343, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000343}{} \begin{enumerate} \item Soit $p \in \mathbb{Z}$ un nombre premier. Montrer que si $a\in \mathbb{Z}$ n'est pas congru à $0$ modulo $p$ alors $p $ ne divise pas $a$ et donc $\mbox{pgcd}(a,p)=1$. \item Soit $a\in \mathbb{Z}$ non congru à $0$ modulo $p$ avec $p$ premier. Montrer en utilisant le a) qu'il existe $u \in \mathbb{Z}$ non congru à $0$ modulo $p$ vérifiant $au \equiv 1[p]$. (Remarquer que cela donne un inverse de $a$ modulo $p$). \item Montrer que si $p$ n'est pas premier, il existe des éléments $a,u\in \mathbb{Z}$ non nuls modulo $p$ tels que $au\equiv 0[p]$. \end{enumerate} \finenonce{000343} \finexercice \exercice{344, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000344}{} \begin{enumerate} \item Montrer que deux entiers non nuls consécutifs sont toujours premiers entre eux. \item Montrer que pour tout entier naturel $n$, $\mbox{pgcd}((n+1)^2,n+2)=1$. \end{enumerate} \finenonce{000344} \finexercice \exercice{345, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000345}{} Prouver que pour vérifier qu'un entier $p$ est premier, il suffit de vérifier qu'il n'a pas de diviseurs inférieurs ou égaux à $\sqrt{p}$. \finenonce{000345} \finexercice \exercice{346, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000346}{Théorème de Wilson} \noindent Démontrer que tout nombre premier $p$ divise $(p-1)!+1$. \finenonce{000346} \finexercice \exercice{347, ridde, 1999/11/01} \enonce{000347}{} Montrer que les nombres suivants ne sont pas premiers : \begin{enumerate} \item $n^4-20n^2 + 4$ pour $n \in \Nn$. \item $\frac14 (n^3 + (n + 2)^3)$ pour $n \geq 2$. \item $a^4 + 4b^4$ pour $a, b \geq 2$. \end{enumerate} \finenonce{000347} \finexercice \exercice{348, ridde, 1999/11/01} \video{x73t94ZLjSU} \enonce{000348}{} Soit $X$ l'ensemble des nombres premiers de la forme $4k + 3$ avec $k \in \Nn$. \begin{enumerate} \item Montrer que $X$ est non vide. \item Montrer que le produit de nombres de la forme $4k + 1$ est encore de cette forme. \item On suppose que $X$ est fini et on l'\'ecrit alors $X = \left\{ p_1, \ldots, p_n\right\}$.\\ Soit $a = 4p_1 p_2 \ldots p_n - 1$. Montrer par l'absurde que $a$ admet un diviseur premier de la forme $4k + 3$. \item Montrer que ceci est impossible et donc que $X$ est infini. \end{enumerate} \finenonce{000348} \finexercice \exercice{349, gourio, 2001/09/01} \video{HuY48EkNke0} \enonce{000349}{} Soit $a\in \Nn $ tel que $a^{n}+1 $ soit premier, montrer que $\exists k\in \Nn,n=2^{k}.$ Que penser de la conjecture : $\forall n\in \Nn,2^{2^{n}}+1$ est premier ? \finenonce{000349} \finexercice \exercice{350, gourio, 2001/09/01} \enonce{000350}{} Soit $n $ un nombre premier et $p\in \{1,...,n-1\}, $ montrer que $n $% divise $C_{n}^{p}.$ \finenonce{000350} \finexercice \exercice{351, gourio, 2001/09/01} \enonce{000351}{} Soient $a$ et $b$ deux entiers sup\'{e}rieurs \`{a} 2 premiers entre eux, montrer que : $$\exists N_{0}\in \Nn,\forall n\geq N_{0},n\in \left\{ ax+by|(x,y)\in \Nn^{2}\right\} . $$ \finenonce{000351} \finexercice \exercice{3130, quercia, 2010/03/08} \enonce{003130}{pgcd $\times$ ppcm} Soient $a,b,c \in \N^*$. Quand a-t-on $\text{pgcd}(a,b,c) \times \text{ppcm}(a,b,c) = abc$ ? \finenonce{003130} \finexercice \exercice{3131, quercia, 2010/03/08} \enonce{003131}{pgcd $\times$ ppcm} Soient $a_1, \dots, a_n \in \N^{*}$ et $b_i = \prod_{j \ne i} a_j$. Montrer que : \\$\text{pgcd}( a_1, \dots, a_n ) \times \text{ppcm}( b_1, \dots, b_n) = \text{ppcm}( a_1, \dots, a_n ) \times \text{pgcd}( b_1, \dots, b_n) = \prod a_i$. \finenonce{003131} \finexercice \exercice{3132, quercia, 2010/03/08} \enonce{003132}{$ab$ est un carr{\'e} parfait} Soient $a,b \in \N^*$ premiers entre eux tels que $ab$ est un carr{\'e} parfait. Montrer que $a$ et $b$ sont des carr{\'e}s parfaits. \finenonce{003132} \finexercice \exercice{3133, quercia, 2010/03/08} \enonce{003133}{$a^n = b^m$} Soient $a,b \in \N^*$ et $m,n$ premiers entre eux tels que $a^n = b^m$. Montrer qu'il existe $c \in \N^*$ tel que $a = c^m$ et $b = c^n$. \finenonce{003133} \finexercice \exercice{3134, quercia, 2010/03/08} \enonce{003134}{Valuation 2-adique de $5^{2^n}-1$} Montrer que la plus grande puissance de $2$ divisant $5^{(2^n)} - 1$ est $2^{n+2}$. \finenonce{003134} \finexercice \exercice{3135, quercia, 2010/03/08} \enonce{003135}{$a^r-1$ premier~?} On suppose que $a^r-1$ est un nombre premier. Montrez que $r$ est premier, puis que $a$ vaut 2. R{\'e}ciproque ? \finenonce{003135} \finexercice \exercice{3136, quercia, 2010/03/08} \enonce{003136}{Nombres de Mersenne} On note $M_n = 2^n - 1$ ($n$-i{\`e}me nombre de Mersenne). \begin{enumerate} \item Montrer que : $M_n$ est premier $ \Rightarrow $ $n$ est premier. \item V{\'e}rifier que $M_{11}$ n'est pas premier. \end{enumerate} \finenonce{003136} \finexercice \exercice{3137, quercia, 2010/03/08} \enonce{003137}{$a^n + 1$ est premier} Soient $a,n \in \N$ tels que $a \ge 2$, $n \ge 1$, et $a^n + 1$ est premier. Montrer que $n$ est une puissance de $2$. \finenonce{003137} \finexercice \exercice{3138, quercia, 2010/03/08} \enonce{003138}{Nombre de diviseurs d'un nombre entier} Pour $n \in \N^*$, on note $d_n$ le nombre de diviseurs positifs de $n$. \begin{enumerate} \item Montrer que si $n = ab$ avec $a \wedge b = 1$, alors $d_n$ = $d_a d_b$. \item Montrer que $n$ est un carr{\'e} parfait si et seulement si $d_n$ est impair. \item Montrer que : $\prod_{d|n}d = {\sqrt n}^{d_n}$. \end{enumerate} \finenonce{003138} \finexercice \exercice{3139, quercia, 2010/03/08} \enonce{003139}{Nombres premiers congrus {\`a} 3 modulo 4} Montrer qu'il y a une infinit{\'e} de nombres premiers $p$ tels que $p \equiv -1 (\mathrm{mod}\, 4)$. \finenonce{003139} \finexercice \exercice{3140, quercia, 2010/03/08} \enonce{003140}{Nombres premiers congrus {\`a} 1 modulo 4} On rappelle que si $p$ est premier et $n\wedge p = 1$, alors $n^{p-1} \equiv 1(\mathrm{mod}\, p)$. \begin{enumerate} \item Soit $n\in \N$ et $p\ge 3$ un diviseur premier de $n^2+1$. Montrer que $p\equiv 1(\mathrm{mod}\, 4)$. \item En d{\'e}duire qu'il y a une infinit{\'e} de nombres premiers de la forme $4k+1$. \end{enumerate} \finenonce{003140} \finexercice \exercice{3141, quercia, 2010/03/08} \enonce{003141}{Intervalle sans nombres premiers} Trouver 1000 entiers cons{\'e}cutifs non premiers. \finenonce{003141} \finexercice \exercice{3142, quercia, 2010/03/08} \enonce{003142}{Factorisation de $1000!$} Quelle est la plus grande puissance de 6 divisant $1000\,!$ ? \finenonce{003142} \finexercice \exercice{3143, quercia, 2010/03/08} \enonce{003143}{$1/2 + 1/3 + \dots + 1/n$ n'est pas entier} Soit $n \in \N$, $n \ge 2$. Montrer que $x_n = 1 + \frac 12 + \frac 13 + \dots + \frac 1n$ est de la forme : $\frac {p_n}{2q_n}$ avec $p_n,q_n \in \N^*$ et $p_n$ impair. \finenonce{003143} \finexercice \section{ 103.99 Autre } \exercice{352, bodin, 1998/09/01} \enonce{000352}{} R\'esoudre en nombres entiers naturels l'\'equation : $$(x+1)(y+2)=2xy.$$ \finenonce{000352} \finexercice \exercice{353, bodin, 1998/09/01} \enonce{000353}{} Montrer que $(0,0,0)$ est le seul triplet $(x,y,z)$ d'entiers naturels tels que l'on ait : $$x^2+y^2=3z^2.$$ \finenonce{000353} \finexercice \exercice{354, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000354}{} Déterminer les solutions des équations\,: $$x^2-5x-11 \equiv 0\ \rm{mod}\ 17;\ \ \cos((n^2-8n+2)\pi/7)=1$$ \finenonce{000354} \finexercice \exercice{355, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000355}{} Un groupe de $N\geq 2$ personnes se réunit. Montrer qu'au moins deux personnes ont serré le meme nombre de mains. On pourra séparer les deux cas suivants : soit tout le monde a serré au moins une main, soit il existe quelqu'un qui n'a serré aucune main. \finenonce{000355} \finexercice \section{ 104.01 Forme cartésienne, forme polaire } \exercice{1, bodin, 1998/09/01} \video{g5vcj-DIa2M} \enonce{000001}{} Mettre sous la forme $a+ib$ ($a,b \in \Rr$) les nombres : $$ \frac{3+6i}{3-4i} \quad ; \quad \left(\frac{1+i}{2-i}\right)^2 + \frac{3+6i}{3-4i} \quad; \quad \frac{2+5i}{1-i} + \frac{2-5i}{1+i}. $$ \finenonce{000001} \finexercice \exercice{2, bodin, 1998/09/01} \enonce{000002}{} \'Ecrire les nombres complexes suivants sous la forme $a+ib$ ($a,b \in \Rr$) : $$ \frac{5+2i}{1-2i} \quad ; \quad \left(-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^3 \quad ; \quad \frac{(1+i)^9}{(1-i)^7}. $$ \finenonce{000002} \finexercice \exercice{3, cousquer, 2003/10/01} \video{2kur52c78pA} \enonce{000003}{} Écrire sous la forme $a+ib$ les nombres complexes suivants : \begin{enumerate} \item Nombre de module $2$ et d'argument $\pi /3$. \item Nombre de module $3$ et d'argument $-\pi /8$. \end{enumerate} \finenonce{000003} \finexercice \exercice{4, liousse, 2003/10/01} \enonce{000004}{} Placer dans le plan cart\'esien, les points d'affixes suivantes : $\begin{array}{lccr} z_1 =i, & z_2 =1+i, & z_3 = -2+2i, & z_4 = e^{-i\frac{\pi}{3}}. \end{array}$ \finenonce{000004} \finexercice \exercice{5, liousse, 2003/10/01} \enonce{000005}{} Mettre chacun des nombres complexes suivants sous la forme $a+ib,$ $a\in\Rr$ et $b\in\Rr.$ $$\frac{-2}{1-i\sqrt{3}}\hbox{, }\frac{1}{(1+2i)(3-i)}\hbox{, } \frac{1+2i}{1-2i},\hbox{ }\frac{2+5i}{1-i}+\frac{2-5i}{1+i}.$$ \finenonce{000005} \finexercice \exercice{6, liousse, 2003/10/01} \enonce{000006}{} \begin{enumerate} \item Mettre sous forme trigonom\'etrique les nombres complexes suivants : $z_1 =3+3i\hbox{, }z_2 =-1-\sqrt{3} i\hbox{, }z_3 = -\displaystyle\frac{4}{3}i\hbox{, } z_4=-2\hbox{, }z_5 =e^{i\theta}+e^{2i\theta}.$ \item Calculer $({1+i\sqrt {3}\over 2})^{2000}$. \end{enumerate} \finenonce{000006} \finexercice \exercice{7, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000007}{} Effectuer les calculs suivants : \begin{enumerate} \item $(3+2i)(1-3i)$. \item Produit du nombre complexe de module $2$ et d'argument $\pi /3$ par le nombre complexe de module $3$ et d'argument $-5\pi /6$. \item $\frac{3+2i}{1-3i}$. \item Quotient du nombre complexe de module $2$ et d'argument $\pi /3$ par le nombre complexe de module $3$ et d'argument $-5\pi /6$. \end{enumerate} \finenonce{000007} \finexercice \exercice{8, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000008}{} Calculer le module et l'argument des nombres complexes suivants, ainsi que de leurs conjugués : \begin{enumerate} \item $1+i(1+\sqrt2)$. \item $\sqrt{10+2\sqrt5}+i(1-\sqrt5)$. \item $\frac{\tan\varphi -i}{\tan\varphi +i}$ où $\varphi$ est un angle donné. \end{enumerate} \finenonce{000008} \finexercice \exercice{9, bodin, 1998/09/01} \enonce{000009}{} Repr\'esenter sous forme trigonom\'etrique les nombres : $$ 1+i \quad; \quad 1+i\sqrt{3} \quad; \quad \sqrt{3}+i \quad;\quad \frac{1+i\sqrt{3}}{\sqrt{3}-i}.$$ \finenonce{000009} \finexercice \exercice{10, bodin, 1998/09/01} \enonce{000010}{} \'Etablir les \'egalit\'es suivantes : \begin{enumerate} \item $(\cos (\pi/7) + i \sin (\pi/7))(\frac{1-i\sqrt{3}}{2})(1+i) = \sqrt{2}(\cos(5\pi/84)+i\sin(5\pi/84)),$ \item $(1-i)(\cos (\pi/5) + i \sin (\pi/5))(\sqrt{3}-i) = 2\sqrt{2}(\cos(13\pi/60)-i\sin(13\pi/60)),$ \item $\frac {\sqrt{2}(\cos (\pi/12) + i \sin (\pi/12))}{1+i} = \frac {\sqrt{3}-i}{2}.$ \end{enumerate} \finenonce{000010} \finexercice \exercice{11, bodin, 1998/09/01} \video{XzALEyZLQYc} \enonce{000011}{} Calculer le module et l'argument de $u = \frac{\sqrt{6}-i\sqrt{2}}{2}$ et $v = 1 - i$. En d\'eduire le module et l'argument de $w = \frac{u}{v}$. \finenonce{000011} \finexercice \exercice{12, bodin, 1998/09/01} \enonce{000012}{} \'Ecrire sous la forme partie r\'eelle-partie imaginaire, puis sous la forme module-argument le nombre complexe : $$ \left( \frac {1+i-\sqrt3(1-i)}{1+i} \right)^2.$$ \finenonce{000012} \finexercice\exercice{13, bodin, 1998/09/01} \video{-Kjd4SKjwEo} \enonce{000013}{} D\'eterminer le module et l'argument des nombres complexes : $$e^{e^{i\alpha}} \quad \text{ et } \quad e^{i\theta}+e^{2i\theta}.$$ \finenonce{000013} \finexercice \exercice{14, bodin, 1998/09/01} \enonce{000014}{} D\'eterminer le module et l'argument de $\frac{1+i}{1-i}$. Calculer $(\frac{1+i}{1-i})^{32}$. \finenonce{000014} \finexercice\exercice{15, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000015}{} Calculer $Z=(1+i\sqrt 3)^{2000}$. \finenonce{000015} \finexercice\exercice{16, bodin, 1998/09/01} \enonce{000016}{} Calculer $(1+i\sqrt{3})^5 + (1-i\sqrt{3})^5$ et $(1+i\sqrt{3})^5 - (1-i\sqrt{3})^5$. \finenonce{000016} \finexercice\exercice{17, bodin, 1998/09/01} \enonce{000017}{} Calculer le module et l'argument de $z = \frac{1}{1+i\tan \alpha}$. \finenonce{000017} \finexercice\exercice{18, bodin, 1998/09/01} \enonce{000018}{} Calculer les puissances $n$-i\`emes des nombres complexes : $$ z_1 = \frac{1+i\sqrt{3}}{1+i} \quad ; \quad z_2=1+j \quad ; \quad z_3=\frac{1+i\tan \theta}{1-i\tan \theta}.$$ \finenonce{000018} \finexercice \exercice{19, bodin, 1998/09/01} \enonce{000019}{} Comment choisir l'entier naturel $n$ pour que $(\sqrt{3}+i)^n$ soit un r\'eel ? un imaginaire ? \finenonce{000019} \finexercice \exercice{20, bodin, 1998/09/01} \video{8nXKgqMsucU} \enonce{000020}{} Soit $z$ un nombre complexe de module $\rho$, d'argument $\theta$, et soit $\overline{z}$ son conjugu\'e. Calculer $(z+\overline{z})(z^2+\overline{z}^2)\ldots(z^n+\overline{z}^n)$ en fonction de $\rho$ et $\theta$. \finenonce{000020} \finexercice\exercice{21, bodin, 1998/09/01} \enonce{000021}{partiel novembre 88} Soient $\alpha$ et $\beta$ deux nombres r\'eels. Mettre le nombre complexe $z = e^{i\alpha}+e^{i\beta}$ sous forme trigonom\'etrique $z = \rho e^{i\gamma}$ (indication : poser $u = \frac {\alpha + \beta}{2}$, $v = \frac {\alpha - \beta}{2}$). En d\'eduire la valeur de $$ \sum_{p=0}^{n}C_n^p \cos [p\alpha + (n-p)\beta ].$$ \finenonce{000021} \finexercice \exercice{22, liousse, 2003/10/01} \enonce{000022}{} \'Ecrire l'expression $(1+\cos \phi+i\sin \phi)$ sous forme trigonom\'etrique. En d\'eduire l'expression de $(1+\cos \phi+i\sin \phi)^{n}.$ \finenonce{000022} \finexercice \exercice{23, ridde, 1999/11/01} \enonce{000023}{} Mettre sous forme trigonom\'etrique $1 + e^{i\theta}$ où $\theta \in ]-\pi,\pi [$. Donner une interpr\'etation g\'eom\'etrique. \finenonce{000023} \finexercice\exercice{24, ridde, 1999/11/01} \enonce{000024}{} Montrer que si $\left|z\right| \leq k <1$ alors $1-k \leq \left|1 + z\right| \leq 1 + k$. Faire un dessin et montrer qu'il peut y avoir \'egalit\'e. \finenonce{000024} \finexercice\exercice{25, ridde, 1999/11/01} \enonce{000025}{} Montrer alg\'ebriquement et g\'eom\'etriquement que si $\left|z\right| = 1$ alors $\left|1 + z\right| \geq 1$ ou $\left|1 + z^2\right| \geq 1$. \finenonce{000025} \finexercice\exercice{26, ridde, 1999/11/01} \enonce{000026}{} R\'esoudre l'\'equation $\exp (z) = \sqrt{3} + 3i$. \finenonce{000026} \finexercice\exercice{2924, quercia, 2010/03/08} \enonce{002924}{$\sum z_i+z_j$} \begin{enumerate} \item Soient $u,v \in \C$. Montrer que $|u+v| + |u-v| \ge |u| + |v|$, et d{\'e}terminer les cas d'{\'e}galit{\'e}. \item Soient $z_1,z_2,z_3,z_4 \in \C$. Montrer que $\sum_{k=1}^4|z_k| \le \sum_{k=1}^3\sum_{\ell=k+1}^4 |z_k+z_\ell|$. \end{enumerate} \finenonce{002924} \finexercice \exercice{2927, quercia, 2010/03/08} \enonce{002927}{} Soient $a,b \in \mathbb{U}$ distincts et $z \in \C$. On note $u = \frac{z+ab\overline{z}-a-b}{a-b}$. Montrer que $u^2 \in \R$. \finenonce{002927} \finexercice\exercice{5119, rouget, 2010/06/30} \enonce{005119}{**IT} Calculer de deux façons les racines carrées de $1+i$ et en déduire les valeurs exactes de $\cos\left(\frac{\pi}{8}\right)$ et $\sin\left(\frac{\pi}{8}\right)$. \finenonce{005119} \finexercice \exercice{5127, rouget, 2010/06/30} \enonce{005127}{**I} Déterminer les complexes $z$ tels que $z$, $\frac{1}{z}$ et $z-1$ aient même module. \finenonce{005127} \finexercice\exercice{5128, rouget, 2010/06/30} \enonce{005128}{**I} On note $U$ l'ensemble des nombres complexes de module $1$. Montrer que~: $$\forall z\in\Cc,\;(z\in U\setminus\{-1\}\Leftrightarrow\exists x\in\Rr/\;z=\frac{1+ix}{1-ix}).$$ \finenonce{005128} \finexercice \exercice{5129, rouget, 2010/06/30} \enonce{005129}{**IT} Forme trigonométrique de $\frac{1+\cos\theta-i\sin\theta}{1-\cos\theta+i\sin\theta}$ et de $\frac{1+e^{i\theta}}{1-e^{i\theta}}$. \finenonce{005129} \finexercice \exercice{5130, rouget, 2010/06/30} \enonce{005130}{*T} Calculer $(1+i\sqrt{3})^9$. \finenonce{005130} \finexercice \exercice{7209, megy, 2019/12/27} \enonce{007209}{} Résoudre sur $\C$ l'équation $z^2+\overline{z}-1=0$. \finenonce{007209} \finexercice \exercice{7210, megy, 2019/12/27} \enonce{007210}{} Résoudre sur $\C$ l'équation $4z^2+8\lvert z\rvert -3=0$. \finenonce{007210} \finexercice \exercice{7211, megy, 2019/12/27} \enonce{007211}{} Résoudre sur $\C$ l'équation $iz^2-2\bar{z}+2-i=0$. \finenonce{007211} \finexercice\exercice{7518, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007518}{Parties réelles et imaginaires} \begin{enumerate} \item Soit $z=a+ib$ un nombre complexe non nul. Déterminer la partie réelle et la partie imaginaire de l'inverse de $z$. \item Soit $t$ un nombre réel et $z=a+ib$ un nombre complexe. Déterminer la partie réelle et la partie imaginaire de $\frac{z-t}{z+t}$. \item Soit $z$ un nombre complexe. Démontrer que $z$ est réel si et seulement si $\overline{z}=z$. \end{enumerate} \finenonce{007518} \finexercice \exercice{7519, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007519}{Modules} \begin{enumerate} \item Soit $z$ et $w$ deux nombres complexes. Démontrer que \begin{eqnarray*} |z+w|^2&=&|z|^2+2\Re (z\overline{w})+|w|^2\\ |z+w|^2+|z-w|^2&=&2(|z|^2+|w|^2)\\ |z+w|&\leq& |z|+|w|\\ ||z|-|w||&\leq&|z-w|. \end{eqnarray*} \item Montrer que l'ensemble $\Cc$ des nombres complexes muni de la distance définie par $$d(z,w):=|w-z|$$ est un espace métrique, c'est à dire que pour tous $(x,y,z)\in\Cc^3$, \begin{enumerate} \item $d(x,y)\geq 0$ \item $d(x,y)=0\iff x=y$ \item $d(y,x)=d(x,y)$ \item $d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)$. \end{enumerate} \end{enumerate} \finenonce{007519} \finexercice \exercice{7520, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007520}{Arguments} \begin{enumerate} \item Soit $\theta$ et $\theta'$ deux nombres réels. En utilisant les formules d'addition pour le calcul de $\cos(\theta+\theta')$ et $\sin(\theta+\theta')$, montrer que $$e^{i(\theta+\theta')}=e^{i\theta} e^{i\theta'}.$$ \item Soit $z$ et $z'$ deux nombres complexes. Déterminer $\arg (zz')$ en fonction de $\arg (z)$ et $\arg(z')$. \item En déduire l'écriture polaire de $z^n$, puis ses parties réelles et imaginaires. \item Déterminer $\cos (5\theta)$ en fonction de $\cos(\theta)$ et de $\sin(\theta)$. \end{enumerate} \finenonce{007520} \finexercice \section{ 104.02 Racine carrée, équation du second degré } \exercice{27, bodin, 1998/09/01} \video{BPzsFnvZypQ} \enonce{000027}{} Calculer les racines carr\'ees de $1,\ i,\ 3+4i,\ 8-6i,$ et $7+24i$. \finenonce{000027} \finexercice \exercice{28, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000028}{} Trouver les racines carrées de $3-4i$ et de $24-10i$. \finenonce{000028} \finexercice\exercice{29, bodin, 1998/09/01} \video{Q5kK2BZBffI} \enonce{000029}{} \begin{enumerate} \item Calculer les racines carr\'ees de $\frac{1+i}{\sqrt{2}}$. En d\'eduire les valeurs de $\cos(\pi/8)$ et $\sin(\pi/8)$. \item Calculer les valeurs de $\cos(\pi/12)$ et $\sin(\pi/12)$. \end{enumerate} \finenonce{000029} \finexercice\exercice{30, bodin, 1998/09/01} \enonce{000030}{} Montrer que les solutions de $az^2+bz+c=0$ avec $a$, $b$, $c$ r\'eels, sont r\'eelles ou conjugu\'ees. \finenonce{000030} \finexercice\exercice{31, bodin, 1998/09/01} \video{TC-3du7GQAQ} \enonce{000031}{} R\'esoudre dans $\Cc$ les \'equations suivantes : $$ z^2+z+1 = 0 \quad ; \quad z^2-(1+2i)z+i-1 = 0 \quad ; \quad z^2-\sqrt{3}z-i = 0 \quad ;$$ $$z^2-(5-14i)z-2(5i+12)=0 \ ; \ z^2-(3+4i)z-1+5i =0 \ ; \ 4z^2-2z+1=0 \ ;$$ $$z^4+10z^2 +169=0 \quad ; \quad z^4+2z^2 +4=0.$$ \finenonce{000031} \finexercice\exercice{32, bodin, 1998/09/01} \enonce{000032}{} Trouver les racines complexes de l'\'equation suivante : $$x^4-30x^2+289=0.$$ \finenonce{000032} \finexercice\exercice{33, bodin, 1998/09/01} \enonce{000033}{} Pour $z \in \Cc \setminus \{2i\}$, on pose $$f(z)=\frac{2z-i}{z-2i}.$$ \begin{enumerate} \item R\'esoudre l'\'equation $z^2=i, \ z \in \Cc.$ \item R\'esoudre l'\'equation $f(z)=z, \ z \in \Cc \setminus \{2i\}.$ \end{enumerate} \finenonce{000033} \finexercice\exercice{34, liousse, 2003/10/01} \enonce{000034}{} On note $j = e^{2 \pi \over 3}.$ \begin{enumerate} \item Mettre $j$ et $j^2$ sous forme alg\'ebrique. \item V\'erifier que $1+j+j^2 = 0$. \item Factoriser le polyn\^ome $z^3-8i$. \end{enumerate} \finenonce{000034} \finexercice \exercice{35, liousse, 2003/10/01} \enonce{000035}{} \begin{enumerate} \item Calculer les racines carr\'ees de $1+i$, $7+24i$, $i$, $5+12i$, $\frac{1+i\sqrt{3}}{\sqrt{3}+i}$. \item R\'esoudre les \'equations suivantes : \begin{enumerate} \item $z^2 + z +1 =0$ \item $z^2 + z -2 =0$ \item $z^2 -(5-14i)z -2(5i+12) =0$ \item $z^2 + 4z +5 =0$ \item $z^2 -(3+4i) z-1 +5i=0$ \item $z^4 -(1-i)z^2 -i =0$ \item $z^4 + 4z^3 + 6z^2 + 4z -15 =0$ \end{enumerate} \end{enumerate} \finenonce{000035} \finexercice \exercice{36, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000036}{} R\'esoudre dans $\mathbb{C}$ les \'equations suivantes : \begin{enumerate} \item $z^2-(11-5i)z+24-27i=0$. \item $z^3+3z-2i=0$. \end{enumerate} \finenonce{000036} \finexercice \exercice{37, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000037}{} On considère dans $\mathbb{C}$ l'équation $(E)$ suivante: $$ z^2-\left(1+a\right)\left(1+i\right)z+\left(1+a^2\right)i=0,$$ où $a$ est un paramètre réel. \begin{enumerate} \item Calculer en fonction de $a\in\mathbb{R}$ les solutions $z_1$ et $z_2$ de $(E)$ (indication: on pourra déterminer les racines carées complexes de $-2i(1-a)^2$). \item On désigne par $Z_1$ (resp. $Z_2$) les points du plan complexe d'affixe $z_1$ (resp. $z_2$) et par $M$ le milieu de $\left[Z_1,Z_2\right]$. Tracer la courbe du plan complexe décrite par $M$ lorsque $a$ varie dans $\mathbb{R}$. \end{enumerate} \finenonce{000037} \finexercice \exercice{38, liousse, 2003/10/01} \enonce{000038}{} \begin{enumerate} \item Pour $\alpha\in\Rr$, r\'esoudre dans $\Cc$ l'\'equation $z^2-2\cos(\alpha)z+1=0.$ En d\'eduire la forme trigonom\'etrique des solutions de l'\'equation : $$z^{2n}-2\cos(\alpha)z^n+1=0,\hbox{ o\`u $n$ est un entier naturel non nul.}$$ $$P_\alpha(z)=z^{2n}-2\cos(\alpha)z^n+1.$$ \begin{enumerate} \item Justifier la factorisation suivante de $P_\alpha$ : $$P_\alpha(z)=\left(z^2-2\cos\left(\frac{\alpha}{n}\right)+1\right) \left(z^2-2\cos\left(\frac{\alpha}{n}+\frac{2\pi}{n}\right)+1\right) \dots\left(z^2-2\cos \left(\frac{\alpha}{n}+\frac{2(n-1)\pi}{n}\right)+1\right).$$ \item Prouver, \`a l'aide des nombres complexes par exemple, la formule suivante : $$1-\cos\theta=2\sin^2\left(\frac{\theta}{2}\right),\quad\theta\in\Rr.$$ \item Calculer $P_\alpha(1)$. En d\'eduire $$\sin^2\left(\frac{\alpha}{2n}\right)\sin^2 \left(\frac{\alpha}{2n}+\frac{\pi}{n}\right)\dots\sin^2 \left(\frac{\alpha}{2n}+\frac{(n-1)\pi}{n}\right)= \frac{\sin^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)}{4^{n-1}}.$$ \end{enumerate} \item Pour tout $\alpha$ appartenant \`a $]0,\pi[$, et pour tout entier naturel $n\geq 2$, on pose : $$H_n(\alpha)=\sin\left(\frac{\alpha}{2n}+\frac{\pi}{2n}\right) \sin\left(\frac{\alpha}{2n}+\frac{2\pi}{n}\right)\dots \sin\left(\frac{\alpha}{2n}+\frac{(n-1)\pi}{n}\right).$$ \begin{enumerate} \item Montrer que, pour tout $\alpha$ non nul, on a : $$2^{n-1}H_n(\alpha)=\frac{\sin(\alpha/2)}{\sin(\alpha/2n)}.$$ \item Quelle est la limite de $H_n(\alpha)$ lorsque $\alpha$ tend vers $0$?\\ \item En d\'eduire que, pour tout entier naturel $n$ sup\'erieur ou \'egal \`a $2$, on a $$\sin\left(\frac{\pi}{n}\right) \sin\left(\frac{2\pi}{n}\right) \dots\sin\left(\frac{(n-1)\pi}{n}\right)=\frac{n}{2^{n-1}}.$$ \end{enumerate} \end{enumerate} \finenonce{000038} \finexercice \exercice{2945, quercia, 2010/03/08} \enonce{002945}{Position des racines carr{\'e}es} Soit $z \in \C$ et $p,q$ ses racines carr{\'e}es. A quelle condition $z,p,q$ forment-ils un triangle rectangle en $z$~? \finenonce{002945} \finexercice \exercice{2946, quercia, 2010/03/08} \enonce{002946}{{\'E}quations du second degr{\'e}} R{\'e}soudre dans $\C$ : $z^4 - (5-14i)z^2 -2(5i+12) = 0$. \finenonce{002946} \finexercice \exercice{2947, quercia, 2010/03/08} \enonce{002947}{Ensi P 91} R{\'e}soudre dans $\C$ : $z^4 + 6z^3 + 9z^2 + 100 = 0$. \finenonce{002947} \finexercice \exercice{2948, quercia, 2010/03/08} \enonce{002948}{} Comment faut-il choisir $m \in \C$ pour que l'{\'e}quation : $z^2 - (2+im)z - (1+im) = 0$ admette deux racines imaginaires conjugu{\'e}es ? \finenonce{002948} \finexercice \exercice{2949, quercia, 2010/03/08} \enonce{002949}{} \begin{enumerate} \item Soient $u,v \in \C$. V{\'e}rifier que $$\left(|u|^2-|v|^2\right)^2 = \left(\frac {|u+v|^2 + |u-v|^2}2\right)^2 - 4|uv|^2.$$ \item Soient $\alpha,\beta \in \C$. CNS pour que les racines de $z^2 + \alpha z + \beta = 0$ aient m{\^e}me module ? \end{enumerate} \finenonce{002949} \finexercice \exercice{2950, quercia, 2010/03/08} \enonce{002950}{Moyennes g{\'e}om{\'e}trique et arithm{\'e}tique} \begin{enumerate} \item Soient $u,v \in \C$. Montrer que $|u+v|^2 + |u-v|^2 = 2|u|^2 + 2|v|^2$. \item Soient $\alpha,\beta \in \C$, $m = \frac {\alpha+\beta}2$ et $\mu$ une racine carr{\'e}e de $\alpha\beta$. Montrer que $|\alpha|+|\beta| = |m+\mu| + |m-\mu|$. \end{enumerate} \finenonce{002950} \finexercice \exercice{5120, rouget, 2010/06/30} \enonce{005120}{**T} Résoudre dans $\Cc$ les équations suivantes~: \begin{enumerate} \item $z^2+z+1=0$ \item $2z^2+2z+1=0$ \item $z^2-2z\cos\theta+1=0$, $\theta$ réel donné. \item $z^2-(6+i)z+(11+13i)=0$ \item $2z^2-(7+3i)z+(2+4i)=0$. \end{enumerate} \finenonce{005120} \finexercice\exercice{5125, rouget, 2010/06/30} \enonce{005125}{**T} Résoudre dans $\Cc$ l'équation $z^4-(5-14i)z^2-2(5i+12)=0$. \finenonce{005125} \finexercice\exercice{7212, megy, 2019/12/27} \enonce{007212}{} Résoudre sur $\C$ l'équation \[ iz^3-(1+i)z^2+(1-2i)z+6+8i=0, \] sachant qu'elle possède une solution réelle. \finenonce{007212} \finexercice \exercice{7213, megy, 2019/12/27} \enonce{007213}{} Soit $a\in\C$. Résoudre sur $\C$ l'équation \[z^2 -2(1-i) z +a^2 -2i=0.\] Pour quelles valeurs de $a$ cette équation possède-t-elle au moins une racine réelle ? \finenonce{007213} \finexercice \section{ 104.03 Racine n-ieme } \exercice{39, liousse, 2003/10/01} \enonce{000039}{} \begin{enumerate} \item Pour quelles valeurs de $z\in\Cc$ a-t-on $\vert 1+iz\vert=\vert 1-iz\vert.$\\ On consid\`ere dans $\Cc$ l'\'equation $\left( \frac{1+iz}{1-iz}\right)^{n}=\frac{1+ia}{1-ia},$ o\`u $a\in\Rr.$ Montrer, sans les calculer, que les solutions de cette \'equation sont r\'eelles. Trouver alors les solutions.\\ Calculer les racines cubiques de $\frac{\sqrt{3}+i}{\sqrt{3}-i}$. \end{enumerate} \finenonce{000039} \finexercice \exercice{40, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000040}{} Pour tout nombre complexe $Z$, on pose $P(Z)=Z^4-1$. \begin{enumerate} \item Factoriser $P(Z)$ et en déduire les solutions dans $\mathbb{C}$ de l'équation $P(Z)=0$. \item Déduire de 1. les solutions de l'équation d'inconnue $z$ : $$((2z+1)/(z-1))^4=1$$ \end{enumerate} \finenonce{000040} \finexercice \exercice{41, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000041}{} Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation suivante : $\quad z^4 = \left(1-i\right)/\left(1+i\sqrt{3}\right).$ \finenonce{000041} \finexercice \exercice{42, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000042}{} R\'esoudre dans $\Cc$ l'\'equation $z^3 = \frac 14(-1+i)$ et montrer qu'une seule de ses solutions a une puissance quatri\`eme r\'eelle. \finenonce{000042} \finexercice \exercice{43, cousquer, 2003/10/01} \video{6B7bztuiRh8} \enonce{000043}{} Trouver les racines cubiques de $2-2i$ et de $11+2i$. \finenonce{000043} \finexercice \exercice{44, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000044}{} Calculer $\frac{\frac{1+i\sqrt3}{2}}{\frac{\sqrt2(1+i)}{2}}$ alg\'ebriquement, puis trigonom\'etriquement. En d\'eduire $\cos\frac{\pi}{12}$, $\sin\frac{\pi}{12}$, $\tan\frac{\pi}{12}$, $\tan\frac{5\pi}{12}$. R\'esoudre dans $\Cc$ l'\'equation $z^{24}=1$. \finenonce{000044} \finexercice \exercice{45, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000045}{} Trouver les racines quatrièmes de $81$ et de $-81$. \finenonce{000045} \finexercice \exercice{46, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000046}{} \begin{enumerate} \item Montrer que, pour tout $n\in\mathbb{N}^*$ et tout nombre $z\in\mathbb{C}$, on a: $$\left(z-1\right)\left(1+z+z^2+...+z^{n-1}\right)=z^n-1,$$ et en déduire que, si $z\neq 1$, on a: $$1+z+z^2+...+z^{n-1}=\frac{z^n-1}{z-1}.$$ \item \label{Q2} Vérifier que pour tout $x\in\mathbb{R}$ , on a $ \exp(ix)-1=2i\exp\left(\frac{ix}{2}\right)\sin\left(\frac{x}{2}\right).$ \item \label{Q3} Soit $n\in\mathbb{N}^*$. Calculer pour tout $x\in\mathbb{R}$ la somme: $$Z_n=1+\exp(ix)+\exp(2ix)+...+\exp((n-1)ix),$$ et en déduire les valeurs de \begin{eqnarray*} X_n&=&1+\cos(x)+\cos(2x)+...+\cos((n-1)x)\\ Y_n&=&\sin(x)+\sin(2x)+...+\sin((n-1)x). \end{eqnarray*} \end{enumerate} \finenonce{000046} \finexercice \exercice{47, bodin, 1998/09/01} \video{MJT-lI-lt-M} \enonce{000047}{} Calculer la somme $S_n = 1+z+z^2+\cdots+z^n$. \finenonce{000047} \finexercice \exercice{48, bodin, 1998/09/01} \video{b63m6T3TlsY} \enonce{000048}{} \begin{enumerate} \item R\'esoudre $z^3 = 1$ et montrer que les racines s'\'ecrivent $1$, $j$, $j^2$. Calculer $1+j+j^2$ et en d\'eduire les racines de $1+z+z^2 =0$. \item R\'esoudre $z^n = 1$ et montrer que les racines s'\'ecrivent $1,\epsilon,\ldots,\epsilon^{n-1}$. En d\'eduire les racines de $1+z+z^2+\cdots+z^{n-1} =0$. Calculer, pour $p \in \Nn$, $1+\epsilon^p+\epsilon^{2p}+\cdots+\epsilon^{(n-1)p}$. \end{enumerate} \finenonce{000048} \finexercice \exercice{49, liousse, 2003/10/01} \enonce{000049}{} R\'esoudre dans $\Cc$ : \begin{enumerate} \item $z^5 =1$. \item $z^5 =1-i$. \item $z^3 =-2+2i$. \item $z^{5}=\bar{z}.$ \end{enumerate} \finenonce{000049} \finexercice \exercice{50, bodin, 1998/09/01} \enonce{000050}{} \begin{enumerate} \item Calculer les racines $n$-i\`emes de $-i$ et de $1+i$. \item R\'esoudre $z^2-z+1-i=0$. \item En d\'eduire les racines de $z^{2n}-z^{n}+1-i=0$. \end{enumerate} \finenonce{000050} \finexercice \exercice{51, bodin, 1998/09/01} \enonce{000051}{} Soit $\epsilon$ une racine $n$-i\`eme de l'unit\'e ; calculer $$ S = 1 +2\epsilon+3\epsilon^2+\cdots+n\epsilon^{n-1}.$$ \finenonce{000051} \finexercice \exercice{52, bodin, 1998/09/01} \enonce{000052}{} R\'esoudre, dans $\Cc$, l'\'equation $(z+1)^n=(z-1)^n$. \finenonce{000052} \finexercice \exercice{53, bodin, 1998/09/01} \enonce{000053}{} R\'esoudre, dans $\Cc$, l'\'equation $z^n=\overline{z}$ o\`u $n \ge 1$. \finenonce{000053} \finexercice \exercice{54, bodin, 1998/09/01} \enonce{000054}{} R\'esoudre les \'equations suivantes : $$ z^6 = \frac{1+i\sqrt{3}}{1-i\sqrt{3}} \quad ; \quad z^4 = \frac{1-i}{1+i\sqrt{3}}.$$ \finenonce{000054} \finexercice \exercice{55, bodin, 1998/09/01} \enonce{000055}{} R\'esoudre $ z^6 +27 =0$. ($z \in \Cc$) \finenonce{000055} \finexercice \exercice{56, bodin, 1998/09/01} \video{sVzO_9JjHTM} \enonce{000056}{} \begin{enumerate} \item Soient $z_1$, $z_2$, $z_3$ trois nombres complexes distincts ayant le m\^eme cube. Exprimer $z_2$ et $z_3$ en fonction de $z_1$. \item Donner, sous forme polaire, les solutions dans $\Cc$ de : $$ z^6+(7-i)z^3 -8 -8i = 0.$$ (Indication : poser $Z=z^3$ ; calculer $(9+i)^2$) \end{enumerate} \finenonce{000056} \finexercice \exercice{57, ridde, 1999/11/01} \enonce{000057}{} R\'esoudre dans $\Cc$ l'\'equation $27 (z-1)^6 + (z + 1)^6 = 0$. \finenonce{000057} \finexercice \exercice{58, ridde, 1999/11/01} \enonce{000058}{} D\'eterminer les racines quatri\`emes de $-7-24i$. \finenonce{000058} \finexercice \exercice{59, liousse, 2003/10/01} \enonce{000059}{} Soit $\beta \in \Cc$ tel que $\beta^7=1$ et $\beta \not=1$. Montrer $${\beta \over 1+ \beta^2} + {\beta^2 \over 1+ \beta^4} + {\beta^3 \over 1+ \beta^6} =-2$$ \finenonce{000059} \finexercice \exercice{2939, quercia, 2010/03/08} \enonce{002939}{Racines de l'unit{\'e}} R{\'e}soudre : \begin{enumerate} \item $(z+1)^n = (z-1)^n$. \item $(z+1)^n = z^n = 1$. \item $z^4 - z^3 + z^2 - z + 1 = 0$. \item $1 + 2z + 2z^2 + \dots + 2z^{n-1} + z^n = 0$. \item $\left(\frac{1+ix}{1-ix}\right)^n = \frac{1+i\tan a}{1-i\tan a}$. \item $\overline x = x^{n-1}$. \item $\left(\frac{z+1}{z-1}\right)^3 + \left(\frac{z-1}{z+1}\right)^3 = 0$. \end{enumerate} \finenonce{002939} \finexercice \exercice{2940, quercia, 2010/03/08} \enonce{002940}{Sommes sur les racines de l'unit{\'e}} Soit $\omega = \exp\frac {2i\pi}n$. Calculer : \begin{enumerate} \item $\sum_{k=0}^{n-1} (1+\omega^k)^n$. \item $\sum_{k=0}^{n-1}\sum_{\ell=k}^{n-1} C_\ell^k \omega^{k+\ell}$. \end{enumerate} \finenonce{002940} \finexercice \exercice{2941, quercia, 2010/03/08} \enonce{002941}{Somme des puissances $p$-{\`e}mes des racines de l'unit{\'e}} Soient $n,p \in \N^*$ et $\mathbb{U}_n$ le groupe des racines $n$-{\`e}mes de 1. \begin{enumerate} \item Calculer $\sum_{x \in \mathbb{U}_n} x^p$. \item Soit $P$ un polyn{\^o}me {\`a} coefficients complexes de degr{\'e} inf{\'e}rieur ou {\'e}gal {\`a} $n-1$ et $M = \max\{|P(x)|,\ x \in\mathbb{U}_n\}$. Montrer que tous les coefficients de $P$ sont born{\'e}s par $M$. \end{enumerate} \finenonce{002941} \finexercice \exercice{2942, quercia, 2010/03/08} \enonce{002942}{$\sum \omega^{k^2}$} Soient $n \in \N^*$, $\omega = e^{2i\pi/n}$ et $Z = \sum_{k=0}^{n-1}\,\omega^{k^2}$. On demande de calculer $|Z|^2$. Pour cela $\ldots$ \begin{enumerate} \item {\'E}crire $|Z|^2$ comme une somme double. \item Regrouper les termes diagonalement en tenant compte de la p{\'e}riodicit{\'e} de la fonction $k \mapsto \omega^k$. \item Terminer le calcul. \end{enumerate} \finenonce{002942} \finexercice \exercice{2943, quercia, 2010/03/08} \enonce{002943}{ $e^{2i\pi/7}$} Soit $z = \exp\frac {2i\pi}7$ et $u = z + z^2 + z^4$, $v = z^3 + z^5 + z^6$. \begin{enumerate} \item Calculer $u+v$ et $u^2$. \item En d{\'e}duire $\sin\frac {2\pi}7 + \sin\frac {4\pi}7 + \sin\frac {8\pi}7$. \end{enumerate} \finenonce{002943} \finexercice \exercice{2944, quercia, 2010/03/08} \enonce{002944}{Calcul de produit} Simplifier $x = \prod_{p=2}^n\frac {p^3-1}{p^3+1}$ en utilisant $1,j,j^2$. \finenonce{002944} \finexercice \exercice{5122, rouget, 2010/06/30} \enonce{005122}{***} Soit $\alpha\in\left]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right[$ donné. Résoudre dans $\Cc$ l'équation $\left(\frac{1+iz}{1-iz}\right)^3=\frac{1+i\tan\alpha}{1-i\tan\alpha}$. \finenonce{005122} \finexercice\exercice{5126, rouget, 2010/06/30} \enonce{005126}{**} Résoudre dans $\Cc$ l'équation $(z^2+1)^n-(z-1)^{2n}=0$. \finenonce{005126} \finexercice \exercice{5131, rouget, 2010/06/30} \enonce{005131}{**T} Déterminer les racines quatrièmes de $i$ et les racines sixièmes de $\frac{-4}{1+i\sqrt{3}}$. \finenonce{005131} \finexercice\exercice{5135, rouget, 2010/06/30} \enonce{005135}{**I} On considère l'équation $(E)~:~(z-1)^n-(z+1)^n=0$ où $n$ est un entier naturel supérieur ou égal à $2$ donné. \begin{enumerate} \item Montrer que les solutions de $(E)$ sont imaginaires pures. \item Montrer que les solutions de $(E)$ sont deux à deux opposées. \item Résoudre $(E)$. \end{enumerate} \finenonce{005135} \finexercice\exercice{5313, rouget, 2010/07/04} \enonce{005313}{***I} Calculer $a_n=\prod_{k=1}^{n}\sin\frac{k\pi}{n}$, $b_n=\prod_{k=1}^{n}\cos(a+\frac{k\pi}{n})$ et $c_n=\prod_{k=1}^{n}\tan(a+\frac{k\pi}{n})$ en éliminant tous les cas particuliers concernant $a$. \finenonce{005313} \finexercice \exercice{7521, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007521}{Racines} \begin{enumerate} \item Déterminer les racines carrées et les racines cubiques de $i$. \item Déterminer les racines cubiques de $1$. \item Déterminer les racines carrées de $\sqrt{3}+3i$. \item Résoudre les équations $ z^2 + 2z -2+4i = 0 $ et $ z^6 - z^3 + 1 = 0$. \end{enumerate} \finenonce{007521} \finexercice \section{ 104.04 Géométrie } \exercice{60, bodin, 1998/09/01} \video{iiReM2y_jKk} \enonce{000060}{} D\'eterminer l'ensemble des nombres complexes $z$ tels que : \begin{enumerate} \item $\displaystyle{\left|\frac{z-3}{z-5}\right|=1},$ \item $\displaystyle{\left|\frac{z-3}{z-5}\right|= \frac{\sqrt{2}}{2}}.$ \end{enumerate} \finenonce{000060} \finexercice \exercice{61, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000061}{} \begin{enumerate} \item Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation (1) $ (z-2)/(z-1)=i.$ On donnera la solution sous forme algébrique. \item Soit $M,A,$ et $B$ les points d'affixes respectives $z,1,2$. On suppose que $M\neq A$ et que $ M\neq B$. Interpréter géométriquement le module et un argument de $(z-2)/(z-1)$ et retrouver la solution de l'équation (1). \end{enumerate} \finenonce{000061} \finexercice \exercice{62, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000062}{} Le plan $P$ est rapporté à un repère orthonormé et identifié à l'ensemble $\C$ des nombres complexes par $$ M(x,y) \mapsto x+iy = z, $$ où $z$ est appelé l'affixe de $M.$ Soit $f : P \mathrm{rg} P$ qui à tout point $M$ d'affixe $z$ associe $M'$ d'affixe $z' = \frac{z-i}{z+i}.$ \begin{enumerate} \item Sur quel sous ensemble de $P$, $f$ est-elle définie? \item Calculer $|z'|$ pour $z$ affixe d'un point $M$ situé dans le demi plan ouvert $$ H := \{ M(x,y) \in P \mid y > 0.\}? $$ \item En déduire l'image par $f$ de $H.$ \end{enumerate} \finenonce{000062} \finexercice \exercice{63, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000063}{} Le plan $P$ est rapporté à un repère orthonormé et on identifie $P$ à l'ensemble des nombres complexes $\C$ par $$ M(x,y) \mapsto x+iy = z, $$ où $z$ est appelé l'affixe de $M.$ Soit $g : P \mathrm{rg} P$ qui à tout point $M$ d'fixe $z \not= -1$ associe $g(M)$ d'affixe $z' = \frac{1-z}{1+z}$. \begin{enumerate} \item Calculer $z' + \bar{z'}$ pour $|z| = 1$. \item En déduire l'image du cercle de rayon $1$ de centre $0$ privé du point de coordonnées $(-1,0)$ par l'application $g.$ \end{enumerate} \finenonce{000063} \finexercice \exercice{64, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000064}{} Soit $C$ la courbe d'équation $x^2-xy+y^2 = 0$ dans le plan $P$ rapporté à un repère orthonormé. \begin{enumerate} \item La courbe $C$ a-t-elle des points d'intersection avec le rectangle ouvert $R$ dont les sommets sont : \begin{eqnarray*} A &=& (-3,2)\\ B &=& (4,2)\\ C &=& (4,-1)\\ D &=& (-3,-1).\\ \end{eqnarray*} \item Même question pour le rectangle fermé $R'$ de sommets : \begin{eqnarray*} A' &=& (-1,4)\\ B' &=& (2,4)\\ C' &=& (2,1)\\ D' &=& (-1,1).\\ \end{eqnarray*} \end{enumerate} \finenonce{000064} \finexercice \exercice{65, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000065}{} \label{exo:compl} D\'eterminer par le calcul et g\'eom\'etriquement les nombres complexes $z$ tels que $\Bigl\vert\frac{z-3}{z-5}\Bigr\vert=1$. G\'en\'eraliser pour $\Bigl\vert\frac{z-a}{z-b}\Bigr\vert=1$. \finenonce{000065} \finexercice \exercice{66, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000066}{} D\'eterminer par le calcul et g\'eom\'etriquement les nombres complexes $z$ tels que $\Bigl\vert\frac{z-3}{z-5}\Bigr\vert= k$ ($k>0$, $k\neq1$). G\'en\'eraliser pour $\Bigl\vert\frac{z-a}{z-b}\Bigr\vert=k$. \finenonce{000066} \finexercice \exercice{67, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000067}{} \begin{enumerate} \item Soit $A$, $B$, $C$ trois points du plan complexe dont les affixes sont respectivement $a$, $b$, $c$. On suppose que $a+jb+j^2c=0$ ; montrer que $ABC$ est un triangle \'equilat\'eral ($j$ et $j^2$ sont les racines cubiques complexes de $1$ --- plus pr\'ecis\'ement $j=\frac{-1+i\sqrt3}{2}$). R\'eciproque ? \item $ABC$ \'etant un triangle \'equilat\'eral direct du plan complexe, on construit les triangles \'equilat\'eraux directs $BOD$ et $OCE$, ce qui d\'etermine les points $D$ et $E$ ($O$ est l'origine du plan complexe). Quelle est la nature du quadrilat\`ere $ADOE$ ? Comparer les triangles $OBC$, $DBA$ et $EAC$. \end{enumerate} \finenonce{000067} \finexercice \exercice{68, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000068}{} Soit $H$ une hyperbole équilatère de centre $O$, et $M$ un point de $H$. Montrer que le cercle de centre $M$ qui passe par le symétrique de $M$ par rapport à $O$ recoupe $H$ en trois points qui sont les sommets d'un triangle équilatéral. \emph{Indications :} en choisissant un repère adéquat, $H$ a une équation du type $xy=1$, autrement dit en identifiant le plan de $H$ au plan complexe, $z^2-\bar z^2=4i$. En notant $a$ l'affixe de $M$, le cercle a pour équation $\vert z-a\vert^2=4a\bar a$. On pose $Z=z-a$ et on élimine $\bar Z$ entre les équations du cercle et de l'hyperbole. En divisant par $Z+2a$ pour éliminer la solution déjà connue du symétrique de $M$, on obtient une équation du type $Z^3-A=0$. \finenonce{000068} \finexercice \exercice{69, bodin, 1998/09/01} \video{MNGaSR9bknI} \enonce{000069}{} Montrer que pour $u,v \in \Cc$, on a $|u+v|^2+|u-v|^2=2(|u|^2+|v|^2).$ Donner une interprétation géométrique. \finenonce{000069} \finexercice \exercice{70, bodin, 1998/09/01} \enonce{000070}{} Soient $z,z' \in \Cc$ tels que $\text{Arg}(z)-\text{Arg}(z')=\frac{\pi}{2}$. \begin{enumerate} \item Montrer que $z\overline{z'}+\overline{z}z' = 0$. \item Montrer que $|z+z'|^2=|z-z'|^2=|z|^2+|z'|^2$. \end{enumerate} \finenonce{000070} \finexercice \exercice{71, bodin, 1998/09/01} \enonce{000071}{} \begin{enumerate} \item D\'eterminer l'ensemble des points $M$ du plan complexe, d'affixe $z$ tels que : $\overline{z}(z-1)=z^2(\overline{z}-1)$. \item D\'eterminer l'ensemble des points $M$ du plan complexe, d'affixe $z$ tels que les images de $1$, $z$, $1+z^2$ soient align\'ees. \end{enumerate} \finenonce{000071} \finexercice \exercice{72, bodin, 1998/09/01} \enonce{000072}{} Soit $s=(1-z)(1-iz)$. \begin{enumerate} \item D\'eterminer l'ensemble des images des nombres complexes $z$ tel que $s$ soit r\'eel. \item D\'eterminer l'ensemble des images des nombres complexes $z$ tel que $s$ soit imaginaire pur. \end{enumerate} \finenonce{000072} \finexercice \exercice{73, liousse, 2003/10/01} \enonce{000073}{} \begin{enumerate} \item Soit $A$ un point du plan d'affixe $\alpha = a+ib$. D\'eterminer l'ensemble des points $M$ du plan dont l'affixe $z$ v\'erifie $|z|^2 = \alpha \bar{z} + \bar{\alpha} z.$ \item Quelles conditions doivent v\'erifier les points $M_1$ et $M_2$ d'affixes $z_1$ et $z_2$ pour que $\frac{z_1}{z_2}$ soit r\'eel ? \item D\'eterminer les nombres complexes $z$ tels que les points du plan complexe d'affixes $z,$ $iz,$ $i$ forment un triangle \'equilat\'eral. \item Soit $z=a+ib$, mettre l'expression $\frac{z-1}{z+1}$ sous forme $A+iB$, . D\'eterminer l'ensemble des points du plan complexe d'affixe $z$ telle que l'argument de $\frac{z-1}{z+1}$ soit $\pi\over 2$. \end{enumerate} \finenonce{000073} \finexercice \exercice{74, gourio, 2001/09/01} \enonce{000074}{} D\'{e}terminer les nombres complexes $z $ tels que le triangle ayant pour sommets les points d'affixes $z,z^{2},z^{3} $ soit rectangle au point d'affixe $z$. \finenonce{000074} \finexercice \exercice{75, gourio, 2001/09/01} \enonce{000075}{} D\'{e}terminer les nombres complexes $z\in \Cc^{*}$ tels que les points d'affixes $z,\frac{1}{z}$ et $(1-z)$ soient sur un m\^{e}me cercle de centre O. \finenonce{000075} \finexercice \exercice{76, gourio, 2001/09/01} \enonce{000076}{} R\'{e}soudre dans $\Cc$ le syst\`{e}me: $$\left| z-1\right| \leq 1,\left| z+1\right| \leq 1.$$ \finenonce{000076} \finexercice \exercice{77, bodin, 1998/09/01} \video{wHlb0IsMB7Q} \enonce{000077}{} Soit $(A_{0},A_{1},A_{2},A_{3},A_{4})$ un pentagone r\'egulier. On note $O$ son centre et on choisit un rep\`ere orthonorm\'e $(O,\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$ avec $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{OA_{0}}$, qui nous permet d'identifier le plan avec l'ensemble des nombres complexes $\Cc$. %dessin $$ \includegraphics{../images/img000077-1} $$ \begin{enumerate} \item Donner les affixes $\omega_{0},\ldots,\omega_{4}$ des points $A_{0},\ldots,A_{4}$. Montrer que $\omega_{k}={\omega_{1}}^k$ pour $ k\in\{0,1,2,3,4\}$. Montrer que $1+\omega_{1}+\omega_{1}^2+\omega_{1}^3+\omega_{1}^4=0$. \item En d\'eduire que $\cos(\frac{2\pi}{5})$ est l'une des solutions de l'\'equation $4z^2+2z-1=0$. En d\'eduire la valeur de $\cos(\frac{2\pi}{5})$. \item On consid\`ere le point $B$ d'affixe $-1$. Calculer la longueur $BA_{2}$ en fonction de $\sin\frac{\pi}{10}$ puis de $\sqrt{5}$ (on remarquera que $\sin\frac{\pi}{10}=\cos\frac{2\pi}{5}$). \item On consid\`ere le point $I$ d'affixe $\frac{i}{2}$, le cercle $\mathcal{C}$ de centre $I$ de rayon $\frac{1}{2}$ et enfin le point $J$ d'intersection de $\mathcal{C}$ avec le segment $[BI]$. Calculer la longueur $BI$ puis la longueur $BJ$. \item \textbf{Application:} Dessiner un pentagone r\'egulier \`a la r\`egle et au compas. Expliquer. \end{enumerate} \finenonce{000077} \finexercice \exercice{2925, quercia, 2010/03/08} \enonce{002925}{{\'E}quations affines} \begin{enumerate} \item Montrer que toute droite du plan admet pour {\'e}quation complexe : $az + \overline{az} = b$ avec $a \in \C^*, b \in \R$. \item Soient $a,b,c \in \C$, $a,b$ non tous deux nuls. Discuter la nature de $E = \{ z \in \C$ tq $az + b\overline{z} = c \}$. \end{enumerate} \finenonce{002925} \finexercice \exercice{2926, quercia, 2010/03/08} \enonce{002926}{Transformation homographique} Soit $f : {\C\setminus\{i\}} \to {\C\setminus\{1\}}, z \mapsto {\frac {z+i}{z-i}}$ \begin{enumerate} \item Montrer que $f$ est bijective. \item D{\'e}terminer $f(\R)$, $f(\mathbb{U}\setminus\{i\})$, $f(i\R\setminus\{i\})$. \end{enumerate} \finenonce{002926} \finexercice \exercice{2928, quercia, 2010/03/08} \enonce{002928}{Triangle {\'e}quilat{\'e}ral} Soient $a,b,c \in \C$ distincts. Montrer que les propositions suivantes sont {\'e}quivalentes : \begin{enumerate} \item $\{a,b,c\}$ est un triangle {\'e}quilat{\'e}ral. \item $j$ ou $j^2$ est racine de $az^2 + bz + c = 0$. \item $a^2 + b^2 + c^2 = ab + ac + bc$. \item $\frac 1{a-b} + \frac 1{b-c} + \frac 1{c-a} = 0$. \end{enumerate} \finenonce{002928} \finexercice \exercice{2929, quercia, 2010/03/08} \enonce{002929}{Sommets d'un carr{\'e}} Soient $a,b,c,d \in \C$ tels que $$\begin{cases}a+ib &= c+id\cr a+c &= b+d.\end{cases}$$ Que pouvez-vous dire des points d'affixes $a,b,c,d$ ? En d{\'e}duire qu'il existe $z \in \C$ tel que $(z-a)^4 = (z-b)^4 = (z-c)^4 = (z-d)^4$. \finenonce{002929} \finexercice \exercice{2930, quercia, 2010/03/08} \enonce{002930}{Configuration de points} D{\'e}terminer les nombres $z \in \C$ tels que $\dots$ \begin{enumerate} \item $z,z^2,z^4$ sont align{\'e}s. \item $1,z,z^2$ forment un triangle rectangle. \item $z,\frac 1z,-i$ sont align{\'e}s. \end{enumerate} \finenonce{002930} \finexercice \exercice{2931, quercia, 2010/03/08} \enonce{002931}{$a+b+c=1$} Trouver $a,b,c \in \mathbb{U}$ tels que $\begin{cases} a+b+c = 1\cr abc = 1.\end{cases}$ \finenonce{002931} \finexercice \exercice{2932, quercia, 2010/03/08} \enonce{002932}{$u+v+w = 0$} Soient $u,v,w$ trois complexes unitaires tels que $u+v+w = 0$. Montrer que $u=jv=j^2w$ ou $u=jw=j^2v$. \finenonce{002932} \finexercice \exercice{2933, quercia, 2010/03/08} \enonce{002933}{$z+1/z = 2$} Trouver les complexes $z \in \C^*$ tels que $\left|z + \frac 1z\right| = 2$. \finenonce{002933} \finexercice \exercice{2934, quercia, 2010/03/08} \enonce{002934}{Symétrique par rapport à une droite} Les points $A,B,M$ ayant pour affixes $a,b,z$, calculer l'affixe du symétrique $M'$ de $M$ par rapport à la droite $(AB)$. \finenonce{002934} \finexercice \exercice{2935, quercia, 2010/03/08} \enonce{002935}{Orthocentre} Soient $a,b,c,d \in \C$ deux {\`a} deux distincts. Montrer que si deux des rapports $\frac {d-a}{b-c}, \frac {d-b}{c-a}, \frac {d-c}{a-b}$ sont imaginaires purs, alors le troisi{\`e}me l'est aussi. \finenonce{002935} \finexercice \exercice{2936, quercia, 2010/03/08} \enonce{002936}{Similitudes dans un triangle} On donne un triangle $ABC$, un r{\'e}el positif $k$ et un angle $\theta$. On note $S_M$ la similitude directe de centre $M$, de rapport $k$ et d'angle $\theta$. Soit $C_1$ d{\'e}duit de $C$ par $S_A$, $B_1$ d{\'e}duit de $B$ par $S_C$, $A_1$ d{\'e}duit de $A$ par $S_B$. Montrer que les deux triangles $ABC$ et $A_1B_1C_1$ ont m{\^e}me centre de gravit{\'e}. \finenonce{002936} \finexercice \exercice{2937, quercia, 2010/03/08} \enonce{002937}{Centre du cercle circonscrit} Soient $a,b,c \in \C$, affixes de points $A,B,C$ non align{\'e}s. Calculer l'affixe du centre du cercle circonscrit {\`a} $ABC$ en fonction de $a,b,c$. \finenonce{002937} \finexercice \exercice{2938, quercia, 2010/03/08} \enonce{002938}{Sph{\`e}re de $\R^3$} Soient $u,v \in \C$ tels que $u+v \ne 0$. On pose $x = \frac {1+uv}{u+v}$, $y = i\frac {1-uv}{u+v}$, $z = \frac {u-v}{u+v}$. \begin{enumerate} \item CNS sur $u$ et $v$ pour que $x,y,z$ soient r{\'e}els ? \item On suppose cette condition r{\'e}alis{\'e}e. Montrer que le point $M(x,y,z)$ dans l'espace appartient {\`a} la sph{\`e}re de centre $O$ et de rayon 1. \item A-t-on ainsi tous les points de cette sph{\`e}re ? \end{enumerate} \finenonce{002938} \finexercice \exercice{5121, rouget, 2010/06/30} \enonce{005121}{**IT Une construction du pentagone régulier à la règle et au compas} \begin{enumerate} \item On pose $z=e^{2i\pi/5}$ puis $a=z+z^4$ et $b=z^2+z^3$. Déterminer une équation du second degré dont les solutions sont $a$ et $b$ et en déduire les valeurs exactes de $\cos\left(\frac{2\pi}{5}\right)$, $\sin\left(\frac{2\pi}{5}\right)$, $\cos\left(\frac{4\pi}{5}\right)$, $\sin\left(\frac{4\pi}{5}\right)$, $\cos\left(\frac{\pi}{5}\right)$ et $\sin\left(\frac{\pi}{5}\right)$. \item Le cercle de centre $\Omega$ d'affixe $-\frac{1}{2}$ passant par le point $M$ d'affixe $i$ recoupe $(Ox)$ en deux points $I$ et $J$. Montrer que $\overline{OI}+\overline{OJ}=\overline{OI}.\overline{OJ}=-1$ et en déduire une construction à la règle et au compas, du pentagone régulier inscrit dans le cercle de centre $O$ et de rayon $1$ dont un des sommets est le point d'affixe $1$.\rule[-1mm]{0mm}{0mm} \item La diagonale $[AC]$ d'un pentagone régulier $(ABCDE)$ est recoupée par deux autres diagonales en deux points $F$ et $G$. Calculer les rapports $\frac{AF}{AC}$ et $\frac{FG}{AF}$. \end{enumerate} \finenonce{005121} \finexercice \exercice{5123, rouget, 2010/06/30} \enonce{005123}{****} \begin{enumerate} \item Soit $(ABC)$ un triangle dont les longueurs des côtés $BC$, $CA$ et $AB$ sont notées respectivement $a$, $b$ et $c$. Soit $I$ le centre du cercle inscrit au triangle $(ABC)$. Montrer que $I=\mbox{bar}\{A(a),B(b),C(c)\}$. \item Déterminer $z$ complexe tel que $O$ soit le centre du cercle inscrit au triangle $(PQR)$ dont les sommets ont pour affixes respectives $z$, $z^2$ et $z^3$. \end{enumerate} \finenonce{005123} \finexercice \exercice{5124, rouget, 2010/06/30} \enonce{005124}{***I} Soient $A$, $B$ et $C$ trois points du plan, deux à deux distincts, d'affixes respectives $a$, $b$ et $c$. Montrer que~:~ \begin{align*} ABC\;\mbox{équilatéral}&\Leftrightarrow j\;\mbox{ou}\;j^2\;\mbox{est racine de l'équation}\; az^2+bz+c=0\\ &\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2=ab+ac+bc\Leftrightarrow\frac{1}{b-c}+\frac{1}{c-a}+\frac{1}{a-b}=0. \end{align*} \finenonce{005124} \finexercice \exercice{5133, rouget, 2010/06/30} \enonce{005133}{**T} Pour $z\in\Cc\setminus\{1\}$, on pose $Z=\frac{1+z}{1-z}$. Déterminer et construire l'ensemble des points $M$ d'affixes $z$ tels que \begin{enumerate} \item $|Z|=1$. \item $|Z|=2$. \item $Z\in\Rr$. \item $Z\in i\Rr$. \end{enumerate} \finenonce{005133} \finexercice \exercice{5134, rouget, 2010/06/30} \enonce{005134}{*T} Nature et éléments caractéristiques de la transformation d'expression complexe~: \begin{enumerate} \item $z'=z+3-i$ \item $z'=2z+3$ \item $z'=iz+1$ \item $z'=(1-i)z+2+i$ \end{enumerate} \finenonce{005134} \finexercice \exercice{7004, megy, 2016/04/26} \enonce{007004}{Théorèmes de Thébault et de Van Aubel} Soit $ABCD$ un quadrilatère convexe direct. On construit quatre carrés qui s'appuient extérieurement sur les côtés $[AB]$, $[BC]$, $[CD]$ et $[DA]$. Les centres respectifs de ces carrés sont notés $P$, $Q$, $R$ et $S$. \begin{enumerate} \item Montrer que dans le carré construit sur $[AB]$, on a $p=\frac{a-ib}{1-i}$. Démontrer des relations analogues pour les autres carrés. \item Montrer le théorème de Van Aubel : $PQRS$ est un \emph{pseudo-carré}, c'est-à-dire que ses diagonales sont de même longueur et se croisent à angle droit. Pour cela, calculer $\frac{s-q}{r-p}$. \item (Théorème de Thébault) Dans le cas particulier où $ABCD$ est un parallélogramme, montrer que $PQRS$ est un carré. \end{enumerate} \finenonce{007004} \finexercice \exercice{7005, megy, 2016/04/26} \enonce{007005}{Point de Vecten} Soit $ABC$ un triangle direct. On construit trois carrés qui s'appuient extérieurement sur les côtés $[AB]$, $[BC]$ et $[CA]$. Les centres respectifs de ces carrés sont notés $P$, $Q$ et $R$. Le but est de montrer que $(AQ)$, $(BR)$ et $(CP)$ sont concourantes. Le point de concours est appelé \emph{point de Vecten} du triangle. \begin{enumerate} \item Montrer que dans le carré construit sur $[AB]$, on a $p=\frac{a-ib}{1-i}$. Démontrer des relations analogues pour les autres carrés. \item Montrer que $ABC$ et $PQR$ ont même centre de gravité. \item Montrer que $(AQ)$ et $(PR)$ sont perpendiculaires. Conclure. \end{enumerate} \finenonce{007005} \finexercice \exercice{7006, megy, 2016/04/26} \enonce{007006}{Théorème de Napoléon} Soit $ABC$ un triangle direct. Soient $P, Q, R$ tels que $CBP$, $ACQ$ et $BAR$ soient des triangles équilatéraux directs. On note $U, V, W$ les centres de gravité respectifs de ces trois triangles équilatéraux. Montrer que $UVW$ est équilatéral, de même centre de gravité que $ABC$, en utilisant la caractérisation des triangles équilatéraux. \finenonce{007006} \finexercice \exercice{7007, megy, 2016/04/26} % source possible : http://culturemath.ens.fr/maths/pdf/geometrie/cercles.pdf \enonce{007007}{Théorème de Ptolémée} On admet le résultat suivant:\\ \emph{Quatre points distincts d'affixes $a, b, c, d$ sont cocycliques ou alignés (resp. cocycliques ou alignés dans cet ordre) si et seulement si leur birapport \[ [a,b,c,d]:= \frac{(a-c)(b-d)}{(b-c)(a-d)} \] est un réel (resp. réel positif).}\\ Le but de l'exercice est de démontrer le théorème de Ptolémée dans sa version suivante: \\ {\bf Théorème} (Ptolémée) \emph{Soient $A$, $B$, $C$, $D$ quatre points du plan non alignés. Alors on a \[AC\cdot BD \leq AB\cdot CD + AD\cdot BC,\] avec égalité si et seulement si $A, B, C, D$ sont cocycliques dans cet ordre.} \begin{enumerate} \item (\'Echauffement) Montrer que pour tous $x, y, z \in \C$, \[ |x|\cdot |y-z| \leq |y| \cdot |z-x| + |z|\cdot|x-y|.\] \item Prouver le théorème si deux des points sont égaux. \item Dans la suite on suppose les points distincts deux à deux. En utilisant les affixes $a, b, c, d$ des points, prouver l'inégalité. \item \'Etudier le cas d'égalité et conclure. \end{enumerate} \finenonce{007007} \finexercice \exercice{7008, megy, 2016/04/26} % source possible: http://culturemath.ens.fr/maths/pdf/geometrie/cercles.pdf \enonce{007008}{Théorème des quatre cercles de Miquel} On admet le résultat suivant:\\ \emph{Quatre points distincts d'affixes $a, b, c, d$ sont cocycliques ou alignés si et seulement si leur birapport \[ [a,b,c,d]:= \frac{(a-c)(b-d)}{(b-c)(a-d)} \] est réel.}\\ Soient $\mathcal{C}_1 , \mathcal{C}_2 , \mathcal{C}_3$ et $\mathcal{C}_4$ quatre cercles du plan vérifiant la condition suivante :\\ $\mathcal{C}_1$ coupe $\mathcal{C}_2$ en deux points distincts $z_1$ et $w_1$, qui coupe $\mathcal{C}_3$ en deux points distincts $z_2$ et $w_2$, qui coupe $\mathcal{C}_4$ en deux points distincts $z_3$ et $w_3$, qui coupe $\mathcal{C}_1$ en deux points distincts $z_4$ et $w_4$. On suppose les huit points ci-dessus tous \emph{distincts}. \begin{enumerate} \item Démontrer que \[ \frac{[z_1 , w_2 , z_2 , w_1] \cdot [z_3, w_4, z_4, w_3]}{[z_2,w_3,z_3,w_2] \cdot [z_4 , w_1 ,z_1 , w_4]}=[z_1,z_3,z_2,z_4] \cdot [w_1,w_3,w_2,w_4]. \] \item En déduire que si $Z_1 , Z_2 , Z_3 , Z_4$ sont alignés ou cocycliques, alors il en est de même de $W_1 , W_2 , W_3 , W_4$. \end{enumerate} \finenonce{007008} \finexercice \exercice{7009, megy, 2016/04/29} \enonce{007009}{} Déterminer une équation complexe de la droite \begin{enumerate} \item contenant les points d'affixes $i$ et $1+2i$; \item contenant le point d'affixe $1+i$ et de vecteur normal d'affixe $2+i$; \item contenant le point d'affixe $1+i$ et de vecteur directeur d'affixe $2+i$. \end{enumerate} \finenonce{007009} \finexercice \exercice{7010, megy, 2016/04/29} \enonce{007010}{} Soient $A$ et $B$ deux points distincts d'affixes $a$ et $b$, et $\theta \in \R$. Déterminer l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tels que \[ \mathrm{Arg} \frac{z-b}{z-a} \equiv \theta [\pi].\] \finenonce{007010} \finexercice\exercice{7145, megy, 2017/05/01} \enonce{007145}{} Déterminer les éléments caractéristiques des transformations représentées par: \begin{enumerate} \item $z\mapsto (1-i )z + i$; \item $z\mapsto i \bar z + 1-i$; \item $z\mapsto 2i\bar z +3$; \item $ z\mapsto \bar z + 1$. \end{enumerate} \finenonce{007145} \finexercice \exercice{7146, megy, 2017/05/01} \enonce{007146}{} \'Ecrire en coordonnée complexe : \begin{enumerate} \item la rotation d'angle $\pi/4$ et de centre d'affixe $2+3i$; \item la réflexion d'axe d'équation $y=2x+1$. \end{enumerate} \finenonce{007146} \finexercice \exercice{7147, megy, 2017/05/01} \enonce{007147}{} \'Ecrire en coordonnée complexe les deux similitudes (directe et indirecte) envoyant les points d'affixes $2$ et $3$ sur ceux d'affixes $i$ et $3i$ et trouver leurs éléments caractéristiques. \finenonce{007147} \finexercice \exercice{7148, megy, 2017/05/01} \enonce{007148}{} Soit $a\in \C^*$, et soit $f$ la similitude directe du plan représentée par $z\mapsto a^2z+a-1$. Déterminer l'ensemble des paramètres $a$ pour lesquels $f$ est : \begin{enumerate} \item une translation; \item une homothétie de rapport $-4$; \item une rotation d'angle $\pi/2$. \end{enumerate} \finenonce{007148} \finexercice \exercice{7149, megy, 2017/05/01} \enonce{007149}{} Soit $ABC$ un triangle tel que $C$ soit l'image de $B$ par la rotation de centre $A$ et d'angle $\pi/2$. Soit $s$ une similitude envoyant $A$ sur $B$ et $B$ sur $C$. \begin{enumerate} \item Que peut valoir $s(C)$ ? \item On suppose que $s$ est directe. Déterminer son centre $\Omega$. On l'exprimera comme barycentre de $A$, $B$ et $C$. \item Si la similitude est indirecte, déterminer son centre et son axe. \end{enumerate} \finenonce{007149} \finexercice \exercice{7150, megy, 2017/05/01} \enonce{007150}{} Fixons un repère orthonormé direct du plan. À quelle condition sur les réels $a$, $b$, $c$, $d$, $e$ et $f$ la transformation $\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix}ax+cy+e\\ bx+dy+f\end{pmatrix}$ est-elle une similitude directe ? Indirecte ? Application : écrire en coordonnée complexe les applications \[ \phi : \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix}-2x-y-1\\ x-2y+1\end{pmatrix} \text{ et } \psi : \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix}-x+y\sqrt 3\\ x\sqrt 3+y\end{pmatrix} \] \finenonce{007150} \finexercice \exercice{7151, megy, 2017/05/01} \enonce{007151}{} %[d'après bac France, juin 2008] Le plan est muni d'un repère orthonormé direct $(O,\vec u, \vec v)$. On note $A$ et $B$ les points d'affixes $z_A=1-i$ et $z_B = 7+\frac72 i$. \begin{enumerate} \item Soit $s$ l'application du plan dans lui-même qui envoie un point d'affixe $z$ sur celui d'affixe \[ \frac23 iz +\frac13-\frac53 i.\] Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de $s$. % centre $A$... \item On note $B_0=B$ et pour tout $n\in \N$, on note $B_{n+1} = s(B_n)$. \begin{enumerate} \item Calculer la distance $AB_{n+1}$ en fonction de $AB_n$. \item Déterminer le plus petit entier $N$ vérifiant la propriété suivante : pour tout $n\geq N$, le point $B_n$ appartient au disque de centre $A$ et de rayon $10^{-2}$. On demande une formule exacte pour cet entier mais pas son écriture explicite en base $10$. \item Déterminer l'ensemble des entiers $n$ tels que les points $A$, $B$ et $B_n$ soient alignés. \end{enumerate} \end{enumerate} \finenonce{007151} \finexercice \exercice{7163, megy, 2017/06/11} \enonce{007163}{} \begin{enumerate} \item Soit $ABC$ un triangle. Montrer qu'il est équilatéral direct ssi les affixes (un repère orthonormé direct ayant été fixé) des sommets vérifient $a+bj+cj^2=0$. \item (Notations réinitialisées) Soit $O$ un point du plan, $\mathcal C$ un cercle de centre $O$, et $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ et $F$ des points distincts de $\mathcal C$ vérifiant (dans $\R/2\pi\Z$) l'égalité: \[ (\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}) =(\overrightarrow{OC},\overrightarrow{OD}) =(\overrightarrow{OE},\overrightarrow{OF}) =\pi/3.\] On note $M$ (resp. $N$, $P$) le milieu de $[BC]$ (resp. $[DE]$, $[FA]$). Montrer que $MNP$ est équilatéral direct. \end{enumerate} \begin{center} \includegraphics{../images/img007163-1} \end{center} \finenonce{007163} \finexercice \exercice{7164, megy, 2017/06/11} \enonce{007164}{} Soit $ABC$ un triangle équilatéral direct, et $M$ un point. On note $A'$ (resp. $B'$ et $C'$) le symétrique orthogonal de $M$ par rapport à la droite $(BC)$ (resp. $(CA)$ et $(AB)$). Le but de l'exercice est de démontrer que $ABC$ et $A'B'C'$ ont le même centre de gravité. \begin{enumerate} \item \'Ecrire en coordonnée complexe (relativement à un repère que l'on choisira judicieusement) la réflexion $\sigma_{AB}$ par rapport à l'axe $(AB)$. \item Conclure. \end{enumerate} \finenonce{007164} \finexercice \exercice{7166, megy, 2017/07/08} \enonce{007166}{} % parallélogramme de Varignon, minimisation de périmètre Soit $M_1M_2M_3M_4$ un parallélogramme direct du plan, de centre $O$, et $A$ un point quelconque du plan. On considère $B$ le symétrique de $A$ par rapport à $M_1$, $C$ le symétrique de $B$ par rapport à $M_2$, $D$ le symétrique de $C$ par rapport à $M_3$ et $E$ le symétrique de $D$ par rapport à $M_4$. \begin{center} \includegraphics{../images/img007166-1} \end{center} \begin{enumerate} \item Montrer que $E=A$. \item Montrer que si $z$ et $z'$ sont deux complexes, alors $|z+z'|+|z-z'|\geq 2|z|$. \item On fixe un repère orthonormé direct de centre $O$. Exprimer $a$, $b$, $c$ et $d$ puis le périmètre de $ABCD$ en fonction de $m_1$, $m_2$ et de $t=a-m_1+m_2$. \item On fait maintenant varier le point $A$. Montrer que le périmètre du quadrilatère $ABCD$ est minimal lorsque $AM_1OM_4$ est un parallélogramme. \end{enumerate} \finenonce{007166} \finexercice \section{ 104.05 Trigonométrie } \exercice{78, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000078}{} On rappelle la formule ($\theta\in\mathbb{R}$) : $$ e^{i\theta}=\cos \theta + i\sin \theta.$$ \begin{enumerate} \item Etablir les formules d'Euler ($\theta \in \mathbb{R}$) : \begin{eqnarray*} \cos \theta = \frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}\;\mbox{ et }\; \sin \theta = \frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}. \end{eqnarray*} \item En utilisant les formules d'Euler, linéariser (ou transformer de produit en somme) ($a,\,b\in \mathbb{R}$) : \begin{eqnarray*} 2\cos a \cos b \;\;\; ; \;\;\; 2\sin a \sin b \;\;\; ; \;\;\; \cos^2 a \;\;\; ; \;\;\; \sin^2 a. \end{eqnarray*} \item A l'aide de la formule : $e^{ix}e^{iy}=e^{i\left(x+y\right)}$ ($x,\,y\in\mathbb{R}$), retrouver celles pour $\sin(x+y)$, $\cos(x+y)$ et $\tan(x+y)$ en fonction de sinus, cosinus et tangente de $x$ ou de $y$; en déduire les formules de calcul pour $\sin(2x)$, $\cos(2x)$ et $\tan (2x)$ ($x,\,y \in \mathbb{R}$). \item Calculer $\cos x$ et $\sin x$ en fonction de $\tan {\displaystyle \frac{x}{2}}$ ($x \ne \pi + 2k\pi\,,\; k \in \mathbb{Z}$). \item Etablir la formule de Moivre ($\theta\in\mathbb{R}$) : $$ (\cos \theta + i \sin \theta)^n=\cos(n\theta)+i\sin(n\theta). $$ \item En utilisant la formule de Moivre, calculer $\cos(3x)$ et $\sin(3x)$ en fonction de $\sin x$ et $\cos x$. \end{enumerate} \finenonce{000078} \finexercice \exercice{79, bodin, 1998/09/01} \enonce{000079}{} \begin{enumerate} \item Calculer $\cos 5\theta$, $\cos 8\theta$, $\sin 6\theta$, $\sin 9\theta$, en fonction des lignes trigonom\'etriques de l'angle $\theta$. \item Calculer $\sin^3 \theta$, $\sin^4 \theta$, $\cos^5 \theta$, $\cos^6 \theta$, \`a l'aide des lignes trigonom\'etriques des multiples entiers de $\theta$. \end{enumerate} \finenonce{000079} \finexercice \exercice{80, cousquer, 2003/10/01} \video{yE-CGGcOrYA} \enonce{000080}{} En utilisant les nombres complexes, calculer $\cos 5\theta$ et $\sin5\theta$ en fonction de $\cos\theta$ et $\sin\theta$. \finenonce{000080} \finexercice \exercice{81, liousse, 2003/10/01} \enonce{000081}{} \begin{enumerate} \item Soit $\theta \in \Rr$. A l'aide de la formule de Moivre exprimer en fonction de $\cos \theta$ et de $\sin \theta$~:\\ \begin{enumerate} \item $\cos (2\theta)$ et $\sin (2\theta)$.\\ \item $\cos (3\theta)$ et $\sin (3\theta)$. En d\'eduire une \'equation du troisi\`eme degr\'e admettant pour solution $\cos(\frac{\pi}{3})$ et la r\'esoudre. \end{enumerate} \item Lin\'eariser les polynomes trigonom\'etriques suivants : $1+\cos ^2 x$, $ \cos ^3 x +2\sin^2 x$. \end{enumerate} \finenonce{000081} \finexercice \exercice{82, ridde, 1999/11/01} \enonce{000082}{} Exprimer $ (\cos 5x) (\sin 3x)$ en fonction de $\sin x$ et $\cos x$. \finenonce{000082} \finexercice \exercice{83, liousse, 2003/10/01} \enonce{000083}{} Soit $x$ un nombre r\'eel. On note $C = 1 + \cos x + \cos 2x + \ldots + \cos nx = \sum_{k=0}^n \cos kx$, et $S = \sin x + \sin 2x + \ldots + \sin nx = \sum_{k=0}^n \sin kx$. Calculer $C$ et $S$. \finenonce{000083} \finexercice \exercice{84, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000084}{} Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations : $$\sin x=\frac{1}{2}\,,\;\cos x=-\frac{1}{2}\,,\; \tan x=-1,$$ et placer sur le cercle trigonométrique les images des solutions; résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $$\cos (5x)=\cos \left(\frac{2\pi}{3}-x\right).$$ \finenonce{000084} \finexercice \exercice{85, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000085}{} Calculer $\sin (25 \pi/3), \cos (19 \pi/4), \tan (37 \pi/6).$ \finenonce{000085} \finexercice \exercice{86, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000086}{} Résoudre l'équation : $2\sin^2x-3\sin x-2=0$, puis l'inéquation : $2\sin^2x-3\sin x-2>0$. \finenonce{000086} \finexercice \exercice{87, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000087}{} Etudier le signe de la fonction donnée par $f(x)=\cos 3x+\cos 5x.$ \finenonce{000087} \finexercice \exercice{88, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000088}{} Simplifier, suivant la valeur de $x\in [-\pi,\pi]$, l'expression $\sqrt {1+\cos x}+|\sin x/2|$. \finenonce{000088} \finexercice \exercice{89, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000089}{} Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes: (donner les valeurs des solutions appartenant à $\left]-\pi, \pi\right]$ et les placer sur le cercle trigonométrique). \begin{enumerate} \item $ \sin\left(5x\right)=\sin\left(\frac{2\pi}{3}+x\right)$, \item $ \sin\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)=\cos\left(\frac{x}{3}\right)$, \item $\cos\left(3x\right)=\sin\left(x\right)$. \end{enumerate} \finenonce{000089} \finexercice \exercice{90, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000090}{} A quelle condition sur le réel $m$ l'équation $\sqrt{3}\cos(x)+\sin(x)=m$ a-t-elle une solution réelle ? Résoudre cette équation pour $m=\sqrt{2}$. \finenonce{000090} \finexercice \exercice{91, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000091}{} Résoudre dans $\mathbb{R}$ les inéquations suivantes: \begin{eqnarray*} \cos(5x) + \cos(3x) \leq \cos(x) \\ 2\cos^2(x) -9\cos(x) +4 >0. \end{eqnarray*} \finenonce{000091} \finexercice \exercice{92, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000092}{} R\'esoudre dans $\mathbb{R}$ les \'equations suivantes: \begin{enumerate} \item $\cos^2(x)-\sin^2(x)=\sin(3x)$. \item $\cos^4(x)-\sin^4(x)=1$. \end{enumerate} \finenonce{000092} \finexercice \exercice{2951, quercia, 2010/03/08} \enonce{002951}{Somme de coefficients binomiaux} A l'aide de formules du bin{\^o}me, simplifier : \begin{enumerate} \item $\sum_{k=0}^{[n/3]}\,C_n^{3k}$. \item $\sum_{k=0}^{[n/2]}\,C_n^{2k}(-3)^k$. \item $\sum_{k=0}^n\,C_n^k\cos(k\theta)$. \item $\sum_{k=0}^n\,C_n^k\sin\bigl((k+1)\theta\bigr)$. \item $\cos a + C_n^1\cos(a+b) + C_n^2\cos(a+2b) + \dots + C_n^n\cos(a+nb)$. \end{enumerate} \finenonce{002951} \finexercice \exercice{2952, quercia, 2010/03/08} \enonce{002952}{Sommes trigonom{\'e}triques} Simplifier : \begin{enumerate} \item $\sum_{k=0}^n\,k\cos(k\theta)$. \item $\sum_{k=1}^n\, \sin^3(k\theta)$. \end{enumerate} \finenonce{002952} \finexercice \exercice{2953, quercia, 2010/03/08} \enonce{002953}{{\'E}quation trigonom{\'e}trique} Soit $a \in \R$. R{\'e}soudre : $$\begin{cases}\cos(a) + \cos(a+x) + \cos(a+y) = 0\cr \sin(a) + \sin(a+x) + \sin(a+y) = 0.\end{cases}$$ \finenonce{002953} \finexercice \exercice{2954, quercia, 2010/03/08} \enonce{002954}{$\sum \cos^{2p}(x+k\pi/2p)$} Soit $\theta \in \R$. \begin{enumerate} \item Simplifier $\cos^4\theta + \cos^4\left(\theta + \frac \pi4\right) + \cos^4\left(\theta + \frac {2\pi}4\right) + \cos^4\left(\theta + \frac {3\pi}4\right)$. \item Simplifier $\cos^6\theta + \cos^6\left(\theta + \frac \pi6\right) + \dots + \cos^6\left(\theta + \frac {5\pi}6\right)$. \item Simplifier $\cos^{2p}\theta + \cos^{2p}\left(\theta + \frac \pi{2p}\right) + \dots + \cos^{2p}\left(\theta + \frac {(2p-1)\pi}{2p}\right)$. \end{enumerate} \finenonce{002954} \finexercice \exercice{2955, quercia, 2010/03/08} \enonce{002955}{$\sum\cos(kx)/\cos x^k = 0$} R{\'e}soudre : $\sum_{k=0}^{n-1}\,\frac {\cos(kx)}{\cos^kx} = 0$. \finenonce{002955} \finexercice \exercice{2956, quercia, 2010/03/08} \enonce{002956}{$\sum C_n^kx^{n-k}\cos(k\alpha) = 0$} R{\'e}soudre en $x$ : $x^n + C_n^1x^{n-1}\cos\alpha + \dots + C_n^n\cos(n\alpha) = 0$. \finenonce{002956} \finexercice \exercice{2957, quercia, 2010/03/08} \enonce{002957}{$\sum 2^{-k}/\cos\theta\dots\cos(2^k\theta)$} Simplifier $$\sum_{k=1}^n\, \frac 1 {2^k \cos\theta \cos2\theta \cos4\theta \dots \cos2^{k-1}\theta}.$$ \finenonce{002957} \finexercice \exercice{2958, quercia, 2010/03/08} \enonce{002958}{Calcul de $\tan(nx)$} Soit $n \in \N$, et $x \in \R$. Exprimer $\tan(nx)$ en fonction de $\tan x$. \finenonce{002958} \finexercice \exercice{2959, quercia, 2010/03/08} \enonce{002959}{$z = (1+ia)/(1-ia)$} Soit $z \in \mathbb{U}$. Peut-on trouver $a \in \R$ tel que $z = \frac {1+ia}{1-ia}$ ? \finenonce{002959} \finexercice \exercice{5063, rouget, 2010/06/30} \enonce{005063}{*IT} Résoudre dans $\Rr$ puis dans $[0,2\pi]$ les équations suivantes~: \begin{enumerate} \item $\sin x=0$, \item $\sin x=1$, \item $\sin x=-1$, \item $\cos x=1$, \item $\cos x=-1$, \item $\cos x=0$, \item $\tan x=0$, \item $\tan x=1$. \end{enumerate} \finenonce{005063} \finexercice \exercice{5064, rouget, 2010/06/30} \enonce{005064}{*IT} Résoudre dans $\Rr$ puis dans $[0,2\pi]$ les équations suivantes~: \begin{enumerate} \item $\sin x=\frac{1}{2}$, \item $\sin x=-\frac{1}{\sqrt{2}}$, \item $\tan x=-1$, \item $\tan x=\frac{1}{\sqrt{3}}$, \item $\cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}$, \item $\cos x=-\frac{1}{\sqrt{2}}$. \end{enumerate} \finenonce{005064} \finexercice \exercice{5065, rouget, 2010/06/30} \enonce{005065}{**IT} Résoudre dans $\Rr$ puis dans $I$ les équations suivantes~: \begin{enumerate} \item $\sin(2x)=\frac{1}{2},\;I=[0,2\pi]$, \item $\sin\left(\frac{x}{2}\right)=-\frac{1}{\sqrt{2}},\;I=[0,4\pi]$, \item $\tan(5x)=1,\;I=[0,\pi]$, \item $\cos(2x)=\cos^2x,\;I=[0,2\pi]$, \item $2\cos^2 x-3\cos x+1=0,\;I=[0,2\pi]$, \item $\cos(nx)=0\;(n\in\Nn^*)$, \item $|\cos(nx)|=1$, \item $\sin(nx)=0$, \item $|\sin(nx)|=1$, \item $\sin x=\tan x,\;I=[0,2\pi]$, \item $\sin(2x)+\sin x=0,\;I=[0,2\pi]$, \item $12\cos^2x-8\sin^2x=2,\;I=[-\pi,\pi]$. \end{enumerate} \finenonce{005065} \finexercice \exercice{5066, rouget, 2010/06/30} \enonce{005066}{**IT} Résoudre dans $I$ les inéquations suivantes~: \begin{enumerate} \item $\cos x\leq\frac{1}{2},\;I=[-\pi,\pi]$, \item $\sin x\geq-\frac{1}{\sqrt{2}},\;I=\Rr$, \item $\cos x>\cos\frac{x}{2},\;I=[0,2\pi]$, \item $\cos^2x\geq\cos(2x),\;I=[-\pi,\pi]$, \item $\cos^2x\leq\frac{1}{2},\;I=[0,2\pi]$, \item $\cos\frac{x}{3}\leq\sin\frac{x}{3},\;I=[0,2\pi]$. \end{enumerate} \finenonce{005066} \finexercice \exercice{5067, rouget, 2010/06/30} \enonce{005067}{*I} Calculer $\cos\frac{\pi}{8}$ et $\sin\frac{\pi}{8}$. \finenonce{005067} \finexercice \exercice{5068, rouget, 2010/06/30} \enonce{005068}{*I} Calculer $\cos\frac{\pi}{12}$ et $\sin\frac{\pi}{12}$. \finenonce{005068} \finexercice \exercice{5069, rouget, 2010/06/30} \enonce{005069}{***} Montrer que $\sum_{}^{}\cos\left(\pm a_1\pm a_2\pm...\pm a_n\right)=2^n\cos a_1\cos a_2...\cos a_n$ (la somme comporte $2^n$ termes). \finenonce{005069} \finexercice \exercice{5070, rouget, 2010/06/30} \enonce{005070}{***I} \begin{enumerate} \item Calculer $\prod_{k=1}^{n}\cos\left(\frac{a}{2^k}\right)$ pour $a$ élément donné de $]0,\pi[$ (penser à $\sin(2x)=2\sin x\cos x$). \item Déterminer $\lim_{n\rightarrow +\infty}\sum_{k=1}^{n}\ln\left(\cos(\frac{a}{2^k})\right)$. \end{enumerate} \finenonce{005070} \finexercice \exercice{5071, rouget, 2010/06/30} \enonce{005071}{**} Résoudre dans $\Rr$ l'équation $2^{4\cos^2x+1}+16.2^{4\sin^2x-3}=20$. \finenonce{005071} \finexercice \exercice{5072, rouget, 2010/06/30} \enonce{005072}{***} Soit $a$ un réel distinct de $\frac{1}{\sqrt{3}}$ et $-\frac{1}{\sqrt{3}}$. \begin{enumerate} \item Calculer $\tan(3\theta)$ en fonction de $\tan\theta$. \item Résoudre dans $\Rr$ l'équation~: $$\frac{3x-x^3}{1-3x^2}=\frac{3a-a^3}{1-3a^2}.$$ On trouvera deux méthodes, l'une algébrique et l'autre utilisant la formule de trigonométrie établie en 1). \end{enumerate} \finenonce{005072} \finexercice \exercice{5073, rouget, 2010/06/30} \enonce{005073}{****} On veut calculer $S=\tan9^\circ-\tan27^\circ-\tan63^\circ+\tan81^\circ$.\\ \begin{enumerate} \item Calculer $\tan(5x)$ en fonction de $\tan x$. \item En déduire un polynôme de degré $4$ dont les racines sont $\tan9^\circ$, $-\tan27^\circ$, $-\tan63^\circ$ et $\tan81^\circ$ puis la valeur de $S$. \end{enumerate} \finenonce{005073} \finexercice \exercice{5074, rouget, 2010/06/30} \enonce{005074}{***} Combien l'équation $$\tan x+\tan(2x)+\tan(3x)+\tan(4x)=0,$$ possède-t-elle de solutions dans $[0,\pi]$~? \finenonce{005074} \finexercice \exercice{5075, rouget, 2010/06/30} \enonce{005075}{**I} On veut calculer $\cos\frac{2\pi}{5}$ et $\sin\frac{2\pi}{5}$. Pour cela, on pose $a=2\cos\frac{2\pi}{5}$, $b=2\cos\frac{4\pi}{5}$ et $z=e^{2i\pi/5}$. \begin{enumerate} \item Vérifier que $a=z+z^4$ et $b=z^2+z^3$. \item Vérifier que $1+z+z^2+z^3+z^4=0$. \item En déduire un polynôme de degré $2$ dont les racines sont $a$ et $b$ puis les valeurs exactes de $\cos\frac{2\pi}{5}$ et $\sin\frac{2\pi}{5}$. \end{enumerate} \finenonce{005075} \finexercice \exercice{5076, rouget, 2010/06/30} \enonce{005076}{**I} Calculer une primitive de chacune des fonctions suivantes~: \begin{enumerate} \item $x\mapsto\cos^2x$, \item $x\mapsto\cos^4x$, \item $x\mapsto\sin^4x$, \item $x\mapsto\cos^2x\sin^2x$, \item $x\mapsto\sin^6x$, \item $x\mapsto\cos x\sin^6x$, \item $x\mapsto\cos^5x\sin^2x$, \item $x\mapsto\cos^3x$. \end{enumerate} \finenonce{005076} \finexercice \exercice{5077, rouget, 2010/06/30} \enonce{005077}{**} Calculer $I=\int_{\pi/6}^{\pi/3}\cos^4x\sin^6x\;dx$ et $J=\int_{\pi/6}^{\pi/3}\cos^4x\sin^7x\;dx$. \finenonce{005077} \finexercice \exercice{5078, rouget, 2010/06/30} \enonce{005078}{**} Démontrer les identités suivantes, en précisant à chaque fois leur domaine de validité~: \begin{enumerate} \item $\frac{1-\cos x}{\sin x}=\tan\frac{x}{2}$, \item $\sin\left(x-\frac{2\pi}{3}\right)+\sin x+\sin\left(x+\frac{2\pi}{3}\right)=0$, \item $\tan\left(\frac{\pi}{4}+x\right)+\tan\left(\frac{\pi}{4}-x\right)=\frac{2}{\cos(2x)}$, \item $\frac{1}{\tan x}-\tan x=\frac{2}{\tan(2x)}$. \end{enumerate} \finenonce{005078} \finexercice \exercice{5079, rouget, 2010/06/30} \enonce{005079}{***} Soit $k$ un réel distinct de $-1$ et de $1$. \begin{enumerate} \item Etudier les variations de $f_k~:~x\mapsto\frac{\sin x}{\sqrt{1-2k\cos x+k^2}}$. \item Calculer $\int_{0}^{\pi}f_k(x)\;dx$. \end{enumerate} \finenonce{005079} \finexercice \exercice{5080, rouget, 2010/06/30} \enonce{005080}{***I} Calculer les sommes suivantes~: \begin{enumerate} \item $\sum_{k=0}^{n}\cos(kx)$ et $\sum_{k=0}^{n}\sin(kx)$, ($x\in\Rr$ et $n\in\Nn$ donnés). \item $\sum_{k=0}^{n}\cos^2(kx)$ et $\sum_{k=0}^{n}\sin^2(kx)$, ($x\in\Rr$ et $n\in\Nn$ donnés). \item $\sum_{k=0}^{n}\dbinom{n}{k}\cos(kx)$ et $\sum_{k=0}^{n}\dbinom{n}{k}\sin(kx)$, ($x\in\Rr$ et $n\in\Nn$ donnés). \end{enumerate} \finenonce{005080} \finexercice \exercice{5081, rouget, 2010/06/30} \enonce{005081}{***} Résoudre le système $\left\{ \begin{array}{l} \cos a+\cos b+\cos c=0\\ \sin a+\sin b+\sin c=0 \end{array}\right.$ où $a$, $b$ et $c$ sont trois réels. \finenonce{005081} \finexercice \exercice{5082, rouget, 2010/06/30} \enonce{005082}{**} Montrer que $\cos^4\frac{\pi}{8}+\cos^4\frac{3\pi}{8}+\cos^4\frac{5\pi}{8}+\cos^4\frac{7\pi}{8}=\frac{3}{2}$. \finenonce{005082} \finexercice \exercice{5083, rouget, 2010/06/30} \enonce{005083}{***} \begin{enumerate} \item Résoudre dans $\Rr$ l'équation $\cos(3x)=\sin(2x)$. \item En déduire les valeurs de $\sin x$ et $\cos x$ pour $x$ élément de $\left\{\frac{\pi}{10},\frac{\pi}{5},\frac{3\pi}{10}\right\}$. \end{enumerate} \finenonce{005083} \finexercice\exercice{5162, rouget, 2010/06/30} \enonce{005162}{***} Montrer que $\forall n\in\Nn^*,\;\sum_{k=1}^{n}|\cos k|\geq\frac{n}{4}$ (remarquer que si $x\in[0;1],\;x^2\leq x$). \finenonce{005162} \finexercice \exercice{7255, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007255}{} Soit $\theta$ un nombre réel. \begin{enumerate} \item \`A l'aide des formules d'addition, calculer $\cos 2\theta$ et $\sin 2\theta$ en fonction de $\cos\theta$ et $\sin\theta$. \item Vérifier la validité des formules obtenues pour $\theta=\pi/2$ et $\theta=\pi/3$. \item Calculer $\cos 3\theta$ et $\sin 3\theta$ en fonction de $\cos\theta$ et $\sin\theta$. \item Vérifier la validité des formules obtenues pour $\theta=\pi/2$ et $\theta=\pi/3$. \end{enumerate} \finenonce{007255} \finexercice \exercice{7256, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007256}{} \begin{enumerate} \item Exprimer $\cos(a)\cos(b)$ en fonction de $\cos(a+b)$ et $\cos(a-b)$. \item En effectuant un changement de variables à préciser, montrer que pour tous réels $p$ et $q$ on a : \[ \cos(p)+\cos(q)=2\cos\left(\frac{p+q}{2}\right)\cos\left(\frac{p-q}{2}\right). \] \item En déduire les solutions de l'équation suivante : \[ \cos(x)+\cos(2x)+\cos(3x)=0. \] \end{enumerate} \finenonce{007256} \finexercice \exercice{7257, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007257}{} \begin{enumerate} \item Résoudre dans $\Rr$ l'équation $\sqrt{3} \cos(x) + \sin(x) = \sqrt{2}$. \item \`A l'aide une méthode similaire, résoudre l'équation $\cos(x) + \sin(x)=1$. \end{enumerate} \finenonce{007257} \finexercice \section{ 104.99 Autre } \exercice{93, bodin, 1998/09/01} \enonce{000093}{} Montrer que tout nombre complexe $z$ non r\'eel de module $1$ peut se mettre sous la forme $\frac{1+ir}{1-ir}$, o\`u $r \in \Rr$. \finenonce{000093} \finexercice \exercice{94, bodin, 1998/09/01} \enonce{000094}{} Soit $u$, $v$ des nombres complexes non r\'eels tels que $|u|=|v|=1$ et $uv\not= -1$. Montrer que $\frac{u+v}{1+uv}$ est r\'eel. \finenonce{000094} \finexercice \exercice{95, bodin, 1998/09/01} \enonce{000095}{} Calculer les sommes suivantes : $$\sum_{k=0}^{n}\cos(kx) \quad ; \quad \sum_{k=0}^{n}C_n^k\cos(kx).$$ \finenonce{000095} \finexercice \exercice{96, bodin, 1998/09/01} \video{JdTvqdw6lRE} \enonce{000096}{} Soit $\Zz[i] = \{ a+ib \ ; \ a,b \in \Zz \}$. \begin{enumerate} \item Montrer que si $\alpha$ et $\beta$ sont dans $\Zz[i]$ alors $\alpha + \beta$ et $\alpha\beta$ le sont aussi. \item Trouver les \'elements inversibles de $\Zz[i]$, c'est-\`a-dire les \'el\'ements $\alpha \in \Zz[i]$ tels qu'il existe $\beta \in \Zz[i]$ avec $\alpha\beta = 1$. \item V\'erifier que quel que soit $\omega \in \Cc$ il existe $\alpha \in \Zz[i]$ tel que $|\omega - \alpha| < 1$. \item Montrer qu'il existe sur $\Zz[i]$ une division euclidienne, c'est-\`a-dire que, quels que soient $\alpha$ et $\beta$ dans $\Zz[i]$ il existe $q$ et $r$ dans $\Zz[i]$ v\'erifiant : $$ \alpha = \beta q + r \qquad \text{avec} \qquad |r| < |\beta|.$$ (Indication : on pourra consid\'erer le complexe $\frac{\alpha}{\beta}$) \end{enumerate} \finenonce{000096} \finexercice \exercice{97, ridde, 1999/11/01} \enonce{000097}{} Montrer que $\forall z \in \Cc$ $\dfrac{\left|\Re (z)\right| + \left|\Im (z)\right|} {\sqrt 2} \leq \left|z\right| \leq \left|\Re (z)\right| + \left|\Im (z)\right| $. \'Etudier les cas d'\'egalit\'e. \finenonce{000097} \finexercice \exercice{98, ridde, 1999/11/01} \enonce{000098}{} Soit $ (a, b, c, d) \in \Rr^4$ tel que $ad-bc = 1$ et $c \neq 0$. Montrer que si $z \neq -\dfrac dc$ alors $\Im (\dfrac{az + b}{cz + d}) = \dfrac{\Im (z)} { \left|(cz + d)\right|^2}$. \finenonce{000098} \finexercice \exercice{99, ridde, 1999/11/01} \enonce{000099}{} Que dire de trois complexes $a$, $b$, $c$ non nuls tels que $\left|a + b + c\right| = \left|a\right| + \left|b\right| + \left|c\right|$. \finenonce{000099} \finexercice \exercice{100, gourio, 2001/09/01} \enonce{000100}{} \begin{enumerate} \item \'Etudier la suite $(z_{n})_{n\in \Nn} $ d\'{e}finie par: $z_{0}=4,$ $% z_{n+1}=f(z_{n})$ o\`{u} $f $ est l'application de $\Cc $ sur lui-m\^{e}me d\'{e}finie par : $$\forall z\in \Cc,f(z)=i+\frac{1}{4}(1-i\sqrt{3})z.$$ \emph{Indication }: on commencera par rechercher les coordonn\'{e}es cart\'{e}siennes de l'unique point $\alpha $ tel que $f(\alpha )=\alpha $, puis on s'int\'{e}ressera \`{a} la suite $(x_{n})_{n\in \Nn}$ d\'{e}finie par : $$\forall n\in \Nn,x_{n}=z_{n}-\alpha .$$ \item On pose $\forall n\in \Nn,l_{n}=\left| z_{n+1}-z_{n}\right|$. Calculer $$\lim_{n\rightarrow \infty }\sum_{k=0}^{n}l_{k}$$ et interpr\'{e}ter g\'{e}om\'{e}triquement. \end{enumerate} \finenonce{000100} \finexercice \exercice{101, liousse, 2003/10/01} \enonce{000101}{Examen octobre 1999} On d\'efinit une fonction $f$ de $\mathbb C-\{i\}$ dans $\mathbb C-\{1\}$ en posant $$f(z)={z+i \over z-i}.$$ \begin{enumerate} \item On suppose $z$ r\'eel. Quel est le module de $f(z)$~? \item Trouver les nombres complexes $z$ tels que $f(z)=z$. \end{enumerate} \finenonce{000101} \finexercice \exercice{102, liousse, 2003/10/01} \enonce{000102}{Examen novembre 2001} Soit $f$ la fonction de $\mathbb C$ dans $\mathbb C$ d\'efinie par $f(z) ={1+z\over 1-z}$. \begin{enumerate} \item Calculer les points fixes de la fonction $f$, c'est \`a dire les nombres complexes $z$ tels que $f(z) =z$. \item D\'eterminer les nombres complexes $z$ pour lesquels $f(z)$ est r\'eel. \end{enumerate} \finenonce{000102} \finexercice \exercice{103, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000103}{} \begin{enumerate} \item Montrer que si $x+y+z=a$, $yz+zx+xy=b$, $xyz=c$, alors $x$, $y$ et $z$ sont solutions de l'\'equation $Z^3-aZ^2+bZ-c=0$. Trouver $x$, $y$ et $z$ si on suppose $a=b=0$ et $c=-8$. \item R\'esoudre le syst\`eme $$\left\{\begin{array}{rcl} x+y+z & = & 4 \\ x^2+y^2+z^2 & = & 4 \\ x^3+y^3+z^3 & = & 1 \end{array}\right.$$ \end{enumerate} \finenonce{000103} \finexercice \exercice{5132, rouget, 2010/06/30} \enonce{005132}{***} Montrer que les solutions de l'équation $1+z+z^2+...+z^{n-1}-nz^n=0$ sont de module inférieur ou égal à $1$. \finenonce{005132} \finexercice\exercice{5136, rouget, 2010/06/30} \enonce{005136}{***T ESIM 1993} Pour $z\in\Cc$, on pose $\ch z=\frac{1}{2}(e^z+e^{-z})$, $\sh z=\frac{1}{2}(e^z-e^{-z})$ et $\tanh z=\frac{\sh z}{\ch z}$. \begin{enumerate} \item Quels sont les nombres complexes $z$ pour lesquels $\tanh z$ existe~? \item Résoudre dans $\Cc$ l'équation $\tanh z=0$. \item Résoudre dans $\Cc$ le système $\left\{ \begin{array}{l} |\Im z|<\frac{\pi}{2}\\ |\tanh z|<1 \end{array}\right.$. \item Montrer que la fonction $\tanh$ réalise une bijection de $\Delta=\{z\in\Cc/\;|\Im z|<\frac{\pi}{4}\}$ sur $U=\{z\in\Cc/\;|z|<1\}$. \end{enumerate} \finenonce{005136} \finexercice \section{ 105.01 Division euclidienne } \exercice{356, bodin, 1998/09/01} \enonce{000356}{} Effectuer la division euclidienne du polyn\^ome $P=X^5-X^4+2X^3+X^2 +4$ par $Q=X^2 -1$. M\^eme exercice lorsque $P=X^4-2X\cos(2\varphi )+1$ et $Q= X^2 -2X\cos(\varphi ) +1$. \finenonce{000356} \finexercice \exercice{357, bodin, 1998/09/01} \enonce{000357}{} Soit $P$ un polyn\^ome. Sachant que le reste de la division euclidienne de $P$ par $X-a $ est 1 et celui de la division de $P$ par $X-b $ est $-1$, $(a \not =b)$, quel est le reste de la division euclidienne de $P $ par $(X-a)(X-b)$ ? \finenonce{000357} \finexercice \exercice{358, bodin, 1998/09/01} \enonce{000358}{} Calculer le reste de la division euclidienne du polyn\^ome %$X^n$ par %le polyn\^ome $Q= X^2+1$ $X^n+X+1$ par le polyn\^ome $(X-1)^2$. \finenonce{000358} \finexercice \exercice{359, bodin, 1998/09/01} \enonce{000359}{} Pour quelles valeurs de $m $ le polyn\^ome $P=(X+1)^m -X^m-1$ est-il divisible par le polyn\^ome $Q=X^2+X+1$ ? \finenonce{000359} \finexercice \exercice{360, bodin, 1998/09/01} \enonce{000360}{} Montrer que le polyn\^ome $P(X)-X$ divise le polyn\^ome $P(P(X))-X$. \finenonce{000360} \finexercice \exercice{361, bodin, 1998/09/01} \enonce{000361}{} D\'eterminer $ a,b \in \Zz$ de fa\c con \`a ce que le polyn\^ome $aX^{n+1}-bX^n+1$ soit divisible par le polyn\^ome $(X-1)^2$. Calculer alors le quotient des deux polyn\^omes. \finenonce{000361} \finexercice \exercice{362, bodin, 1998/09/01} \enonce{000362}{} Existe-t-il un polyn\^ome $P$ de degr\'e 7 tel que $(X-1)^4 $ divise $P(X)+1$ et $(X+1)^4$ divise $P(X)-1$ ? \finenonce{000362} \finexercice \exercice{363, bodin, 1998/09/01} \enonce{000363}{} Effectuer les divisions par puissances croissantes de : \begin{enumerate} \item $P=1$ par $Q=1-X$, \`a l'ordre $n$, \item $P=1+X$ par $Q=1+X^2$ \`a l'ordre $5$, \item $P=X-\frac{X^3}{6}+\frac{X^5}{12}$ par $Q=1-2X^2 +X^4$ \`a l'ordre 5. \end{enumerate} \finenonce{000363} \finexercice \exercice{364, bodin, 1998/09/01} \enonce{000364}{} Effectuer les divisions euclidiennes de \\ $3X^5+4X^2+1 \ \text{ par }\ X^2+2X+3$,\\ $3X^5+2X^4-X^2+1 \ \text{ par }\ X^3+X+2$,\\ $X^4-X^3+X-2 \ \text{ par }\ X^2-2X+4$. \finenonce{000364} \finexercice \exercice{365, bodin, 1998/09/01} \enonce{000365}{} Dans $\Cc[X]$, effectuer les divisions euclidiennes de\\ $X^2-3iX-5(1+i) \ \text{ par }\ X-1+i$,\\ $4X^3+X^2$ \ \text{ par }\ $X+1+i$. \finenonce{000365} \finexercice \exercice{366, bodin, 1998/09/01} \enonce{000366}{} Effectuer la division selon les puissances croissantes de : $$X^{4}+X^{3}-2X+1\text{ par }X^{2}+X+1 \text{ \`a l'ordre }2.$$ \finenonce{000366} \finexercice \exercice{367, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000367}{} Soit $a$ et $b$ deux nombres complexes distincts, $m$ et~$n$ deux entiers naturels. Montrer que si les polynômes $(X-a)^m$ et $(X-b)^n$ divisent un polynôme $P$, alors le polynôme $(X-\nolinebreak a)^m(X-b)^n$ divise~$P$. \finenonce{000367} \finexercice \exercice{368, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000368}{} Pour $n\in\mathbb{N}$, quel est le reste de la division de $X^n+X+b$ par $(X-a)^2$~? \finenonce{000368} \finexercice \exercice{369, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000369}{} Pour $n\in \mathbb{N}$, montrer que le polynôme $(X-1)^{n+2}+X^{2n+1}$ est divisible par $X^2-X+1$. Trouver le quotient si $n=2$. \finenonce{000369} \finexercice \exercice{370, cousquer, 2003/10/01} \video{ndl3qcjN2vw} \enonce{000370}{} Chercher tous les polynômes $P$ tels que $P+1$ soit divisible par $(X-1)^4$ et $P-1$ par $(X+1)^4$. \medskip \emph{Indications.} Commencer par trouver une solution particulière $P_0$ avec l'une des méthode suivantes : \begin{enumerate} \item à partir de la relation de Bézout entre $(X-1)^4$ et $(X+1)^4$; \item en considérant le polynôme dérivé $P_0'$ et en cherchant un polynôme de degré minimal. \end{enumerate} Montrer que $P$ convient si et seulement si le polynôme $P-P_0$ est divisible par $(X-1)^4(X+1)^4$, et en déduire toutes les solutions du problème. \finenonce{000370} \finexercice\exercice{371, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000371}{} Effectuer la division de $A=X^6-2X^4+X^3+1$ par $B=X^3+X^2+1$~: \begin{enumerate} \item Suivant les puissances d\'ecroissantes. \item \`A l'ordre~$4$ (c'est-\`a-dire tel que le reste soit divisible par $X^5$) suivant les puissances croissantes. \end{enumerate} \finenonce{000371} \finexercice \exercice{372, ridde, 1999/11/01} \enonce{000372}{} D\'eterminer $a$ et $b$ dans $\Rr$ tels que $X^2 + 2$ divise $X^4 + X^3 + aX^2 + bX + 2$. \finenonce{000372} \finexercice \exercice{374, ridde, 1999/11/01} \enonce{000374}{} Soit $P$ un polynôme dont le reste de la division euclidienne par $X-1$ est $7$ et par $X + 5$ est $3$. Quel est le reste de la division euclidienne de $P$ par $X^2 + 4X -5$ ? \finenonce{000374} \finexercice \exercice{375, ridde, 1999/11/01} \enonce{000375}{} Effectuer la division euclidienne de $X^5-7X^4-X^2-9X + 9$ par $X^2-5X + 4$. \finenonce{000375} \finexercice \exercice{376, ridde, 1999/11/01} \enonce{000376}{} Soit $n \geq 1$. D\'eterminer le reste de la division euclidienne de $nX^{n + 1}- (n + 1)X^n + 1$ par $ (X-1)^2$. \finenonce{000376} \finexercice \exercice{377, ortiz, 1999/04/01} \enonce{000377}{} Soient $P,Q\in K[X]$ tels que $X^2+X+1$ divise $P(X^3)+XQ(X^3)$. Montrer que $P(1)=Q(1)=0$. R\'eciproque ? \finenonce{000377} \finexercice \exercice{378, gourio, 2001/09/01} \video{ypZfDoacMUs} \enonce{000378}{} Quels sont les polynômes $P\in\Cc[X]$ tels que $P'$ divise $P$? \finenonce{000378} \finexercice \exercice{3196, quercia, 2010/03/08} \enonce{003196}{D{\'e}composition en puissances croissantes} Soit $A \in { K[X]}$ de degr{\'e} $> 0$. Montrer que pour tout polyn{\^o}me $P \in { K_n[X]}$, il existe des polyn{\^o}mes $P_0,P_1,\dots, P_n$ uniques v{\'e}rifiant : $$\begin{cases}\deg P_i < \deg A\cr P = P_0 + P_1A + \dots + P_nA^n.\end{cases}$$ \finenonce{003196} \finexercice \exercice{3197, quercia, 2010/03/08} \enonce{003197}{Lin{\'e}arit{\'e} du reste et du quotient} Soit $B \in { K[X]}$ de degr{\'e} $n > 0$. On consid{\`e}re les applications : $$\Phi : { K[X]} \to { K_{n-1}[X]}, P \mapsto R$$ et $$\Psi : { K[X]} \to { K[X]}, P \mapsto Q\quad \text{ avec }P = QB + R.$$ \begin{enumerate} \item Montrer que $\Phi$ et $\Psi$ sont lin{\'e}aires. Chercher leurs noyaux et leurs images. \item Simplifier $\Phi(P_1P_2)$. \end{enumerate} \finenonce{003197} \finexercice \exercice{3198, quercia, 2010/03/08} \enonce{003198}{Endomorphisme $P \mapsto AP \bmod B$} Soit $E = K_3[X],\ A = X^4-1,\ B = X^4-X,$ et $\varphi : E \to E, P \mapsto {\text{reste de la div. euclid. de } AP \text{ par } B.}$ Chercher $\mathrm{Ker}\varphi$, $\Im\varphi$. \finenonce{003198} \finexercice \exercice{3199, quercia, 2010/03/08} \enonce{003199}{Congruences} Soient $P \in { K[X]}$, $a,b\in K$ distincts, et $\alpha = P(a)$, $\beta = P(b)$. \begin{enumerate} \item Quel est le reste de la division euclidienne de $P$ par $(X-a)(X-b)$ ? \item Trouver le reste de la division euclidienne de $(\cos\theta + X\sin\theta)^n$ par $X^2+1$. \end{enumerate} \finenonce{003199} \finexercice \exercice{3200, quercia, 2010/03/08} \enonce{003200}{Congruences} D{\'e}terminer les polyn{\^o}mes $P \in \Q_3[X]$ divisibles par $X+1$ et dont les restes des divisions par $X+2,X+3,X+4$ sont {\'e}gaux. \finenonce{003200} \finexercice \exercice{3201, quercia, 2010/03/08} \enonce{003201}{Calcul de pgcd} Calculer le pgcd de $P$ et $Q$ pour : \begin{enumerate} \item $P=X^4 + X^3 - 3X^2 - 4X - 1$\par $Q=X^3 + X^2 - X - 1$ \item $P=X^4 - 10X^2 + 1$\par $Q=X^4 -4X^3 + 6X^2 - 4X + 1$ \item $P=X^5 - iX^4 + X^3 - X^2 + iX - 1$\par $Q=X^4 - iX^3 + 3X^2 -2iX + 2$ \end{enumerate} \finenonce{003201} \finexercice \exercice{3202, quercia, 2010/03/08} \enonce{003202}{Coefficients de B{\'e}zout} Montrer que les polyn{\^o}mes $P$ et $Q$ suivants sont premiers entre eux. Trouver $U,V \in { K[X]}$ tels que ${UP + VQ = 1}$. \begin{enumerate} \item $P=X^4 + X^3 -2X +1$\par $Q=X^2 + X + 1$ \item $P=X^3 + X^2 +1$\par $Q=X^3 + X + 1$ \end{enumerate} \finenonce{003202} \finexercice \exercice{3203, quercia, 2010/03/08} \enonce{003203}{Division de $(X+1)^n - X^n - 1$ par $X^2 + X + 1$} Chercher le reste de la division euclidienne de $(X+1)^n - X^n - 1$ par $X^2 + X + 1$. \finenonce{003203} \finexercice \exercice{3204, quercia, 2010/03/08} \enonce{003204}{Ensi P 90} Pour quels $n\in \N$ le polyn{\^o}me $(1+X^4)^n - X^n$ est-il divisible par $1+X+X^2$ dans $\R[X]$ ? \finenonce{003204} \finexercice \exercice{3205, quercia, 2010/03/08} \enonce{003205}{Division de $(X-2)^2n + (X-1)^n - 1$ par $(X-1)(X-2)$} Soit $P_n = (X-2)^{2n} + (X-1)^n - 1$. \begin{enumerate} \item Montrer que $P_n$ est divisible par $X-1$ et par $X-2$. On note $Q_1$ et $Q_2$ les quotients correspondant. \item Montrer que $P_n$ est divisible par $(X-1)(X-2)$ et que le quotient est $Q_2-Q_1$. \item Montrer que ce quotient est {\'e}gal {\`a} : $$\Bigl((X-2)^{2n-2} - (X-2)^{2n-3} + \dots - (X-2) + 1\Bigr) + \Bigl((X-1)^{n-2} + (X-1)^{n-3} + \dots + (X-1) + 1\Bigr).$$ \end{enumerate} \finenonce{003205} \finexercice \exercice{3206, quercia, 2010/03/08} \enonce{003206}{Calcul de restes} Trouver les restes des divisions euclidiennes : \begin{enumerate} \item de $X^{50}$ par $X^2-3X+2$. \item de $\bigl(X+\sqrt3\bigr)^{17}$ par $X^2+1$. \item de $X^8 - 32X^2 + 48$ par $\bigl(X-\sqrt2\bigr)^3$. \end{enumerate} \finenonce{003206} \finexercice \exercice{3207, quercia, 2010/03/08} \enonce{003207}{Divisibilit{\'e}} Trouver $\lambda, \mu \in \C$ tels que $X^2+X+1$ divise $X^5 + \lambda X^3 + \mu X^2 + 1$. \finenonce{003207} \finexercice \exercice{3208, quercia, 2010/03/08} \enonce{003208}{Congruences} Soit $P \in { K[X]}$ tel que les restes des divisions de $P$ par $X^2+1$ et $X^2-1$ valent respectivement $2X-2$ et $-4X$. Quel est le reste de la division de $P$ par $X^4-1$ ? \finenonce{003208} \finexercice \exercice{3209, quercia, 2010/03/08} \enonce{003209}{pgcd$(X^n-1,X^m-1)$} Soient $m,n \in \N^*$. Chercher pgcd$( X^n-1,X^m-1)$. \finenonce{003209} \finexercice \exercice{3210, quercia, 2010/03/08} \enonce{003210}{Degr{\'e} minimal dans la formule de B{\'e}zout} Soient $P,Q \in { K[X]}$ non nuls et $D = \text{pgcd}(P,Q)$. \begin{enumerate} \item D{\'e}montrer qu'il existe $U,V \in { K[X]}$ uniques tels que : $\begin{cases} UP + VQ = D \cr \deg U < \deg Q - \deg D \hfill\cr \deg V < \deg P - \deg D .\end{cases}$ \item Montrer que la m{\'e}thode des divisions euclidiennes fournit $U$ et $V$. \end{enumerate} \finenonce{003210} \finexercice \exercice{3211, quercia, 2010/03/08} \enonce{003211}{Application $(U,V) \mapsto UA + VB$} Soient $A,B \in { K[X]}$, $p = \deg A$, $q = \deg B$. On consid{\`e}re l'application : $${\Phi} : {{ K_{q-1}[X]} \times { K_{p-1}[X]}} \to { K_{p+q-1}[X]}, {(U,V)} \mapsto {UA + VB}$$ D{\'e}montrer que : $A \wedge B = 1 \iff \Phi$ est bijective. \finenonce{003211} \finexercice \exercice{3212, quercia, 2010/03/08} \enonce{003212}{pgcd$(P(X),P(-X))$ et ppcm$(P(X),P(-X))$} Soit $P \in { K[X]}$. D{\'e}montrer que $\pgcd(P(X),P(-X))$ et $\mathrm{ppcm}(P(X),P(-X))$ sont pairs ou impairs. \finenonce{003212} \finexercice \exercice{3213, quercia, 2010/03/08} \enonce{003213}{$A\circ P | B\circ P \Rightarrow A | B$} Soient $A,B,P \in { K[X]}$ avec $P$ non constant. Montrer que si $A\circ P$ divise $B\circ P$, alors $A$ divise $B$. \finenonce{003213} \finexercice \exercice{5323, rouget, 2010/07/04} \enonce{005323}{***} Division euclidienne de $P=\sin aX^n-\sin(na)X+\sin((n-1)a)$ par $Q=X^2-2X\cos a+1$, $a$ réel donné. \finenonce{005323} \finexercice \exercice{6955, exo7, 2014/04/01} \video{c08DgsqArHw} % Mélange de 364 (bodin), 375 (ridde), 366 (bodin), 371 (cousquer) \enonce{006955}{} \begin{enumerate} \item Effectuer la division euclidienne de $A$ par $B$ : \begin{enumerate} \item $A=3X^5+4X^2+1,\ B=X^2+2X+3$ \item $A=3X^5+2X^4-X^2+1,\ B=X^3+X+2$ \item $A=X^4-X^3+X-2,\ B=X^2-2X+4$ \item $A=X^5-7X^4-X^2-9X+9,\ B=X^2-5X+4$ \end{enumerate} \item Effectuer la division selon les puissances croissantes de $A$ par $B$ à l'ordre $k$ (c'est-à-dire tel que le reste soit divisible par $X^{k+1}$) : \begin{enumerate} \item $A=1-2X+X^3+X^4,\ B=1+2X+X^2,\ k=2$ \item $A=1+X^3-2X^4+X^6,\ B=1+X^2+X^3,\ k=4$ \end{enumerate} \end{enumerate} \finenonce{006955} \finexercice\exercice{6956, blanc-centi, 2014/04/01} \video{J1GwUtSQ9D4} \enonce{006956}{} \`A quelle condition sur $a,b,c\in\Rr$ le polynôme $X^4+aX^2+bX+c$ est-il divisible par $X^2+X+1$ ? \finenonce{006956} \finexercice \section{ 105.02 Pgcd } \exercice{379, bodin, 1998/09/01} \enonce{000379}{} Calculer pgcd$(P,Q)$ lorsque : \begin{enumerate} \item $P=X^3-X^2-X-2$ et $Q=X^5-2X^4+X^2-X-2$, \item $P=X^4+X^3-2X+1$ et $Q=X^3+X+1$. \end{enumerate} \finenonce{000379} \finexercice \exercice{380, bodin, 1998/09/01} \enonce{000380}{} D\'eterminer le pgcd des polyn\^omes suivants :\\ $X^5+3X^4+X^3+X^2+3X+1 \text{ et } X^4+2X^3+X+2$,\\ $X^4+X^3-3X^2-4X-1 \text{ et } X^3+X^2-X-1$,\\ $X^5+5X^4+9X^3+7X^2+5X+3 \text{ et } X^4+2X^3+2X^2+X+1$. \finenonce{000380} \finexercice \exercice{381, bodin, 1998/09/01} \enonce{000381}{} D\'eterminer $A,B \in \Rr[X]$ tels que $(X^3+1)A+(X^2+X+1)B=1$. \finenonce{000381} \finexercice \exercice{382, bodin, 1998/09/01} \enonce{000382}{} Montrer qu'il existe deux polyn\^omes : $U, V$, v\'erifiant : $ (\star) \ (X-1)^nU+X^nV=1 $. D\'eterminer $U_1$ et $V_1$ de degr\'e strictement inf\'erieur \`a $n$, satisfaisant cette \'egalit\'e. En d\'eduire tous les polyn\^omes $U,V$ v\'erifiant $(\star)$. \finenonce{000382} \finexercice \exercice{383, bodin, 1998/09/01} \enonce{000383}{} Soient $P,Q$ deux polyn\^omes premiers entre eux. \begin{enumerate} \item Montrer qu'alors $P^n$ et $Q^m$ sont premiers entre eux o\`u $n,m$ sont deux entiers positifs. \item Montrer de m\^eme que $P+Q$ et $PQ$ sont premiers entre eux. \end{enumerate} \finenonce{000383} \finexercice \exercice{384, bodin, 1998/09/01} \enonce{000384}{} Soit $n$ un entier positif. \begin{enumerate} \item D\'eterminer le pgcd des polyn\^omes $(X^n-1)$ et $(X-1)^n$. \item Pour $n=3$ d\'emontrer qu'il existe un couple de polyn\^omes $(U,V)$ tel que $(X^3-1) U+ (X-1)^3V=X-1$. En donner un. \end{enumerate} \finenonce{000384} \finexercice \exercice{385, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000385}{} Montrer que les éléments $X^2+X$, $X^2-X$, $X^2-1$ de $\mathbb{R}[X]$ sont premiers entre eux, mais ne sont pas premiers entre eux deux à deux. \finenonce{000385} \finexercice \exercice{386, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000386}{} Trouver tous les polynômes $U$ et $V$ de ${\bf R}[X]$ tels que $AU+BV$ soit un pgcd de~$A$ et~$B$ avec $A=X^4-2X^3-2X^2+10X-7$ et $B=X^4-2X^3-3X^2+13X-10$. \finenonce{000386} \finexercice \exercice{387, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000387}{} Calculer le pgcd $D$ des polyn\^omes $A$ et $B$ d\'efinis ci-dessous. Trouver des polyn\^omes $U$ et~$V$ tels que $D=AU+BV$. \begin{enumerate} \item $A=X^5+3X^4+2X^3-X^2-3X-2$ \quad et\quad $B=X^4+2X^3+2X^2+7X+6$. \item $A=X^6-2X^5+2X^4-3X^3+3X^2-2X$ \quad et\quad $B=X^4-2X^3+X^2-X+1$. \end{enumerate} \finenonce{000387} \finexercice \exercice{388, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000388}{} Trouver le pgcd des trois polynômes~: \begin{eqnarray*} A & = & X^5+4X^4+6X^3+6X^2+5X+2 \\ B & = & X^2+3X+2 \\ C & = & X^3+2X^2+X+2. \end{eqnarray*} \finenonce{000388} \finexercice \exercice{389, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000389}{} Soit les polynômes de $\mathbb{R}[X]$~: \begin{eqnarray*} A & = & (X+3)^2(X+1)(X^2+1)^3 \\ B & = & (X+3)^2(X+2)^2(X^2+1) \\ C & = & (X+3)(X+2)(X^2+1)^2. \end{eqnarray*} \begin{enumerate} \item Combien $A$ possède-t-il de diviseurs normalisés~? et $B$~? et $C$~? \item Écrire le pgcd et le ppcm de $A$ et~$B$. \item Écrire le pgcd et le ppcm des trois polynômes~$A$, $B$ et~$C$. \end{enumerate} \finenonce{000389} \finexercice \exercice{390, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000390}{} \begin{enumerate} \item Trouver le pgcd de $X^{24}-1$ et $X^{15}-1$~; le pgcd de $X^{280}-1$ et $X^{60}-1$. \item Montrer que quels que soient les entiers positifs $b$ et~$q$, $X^{b}-1$ divise $X^{bq}-1$. En déduire que le reste de la division de $X^{a}-1$ par $X^{b}-1$ est $X^{r}-1$ où $r$ est le reste de la division dans $\mathbb{N}$ de $a$ par~$b$. Quel est alors le pgcd de $X^{a}-1$ et $X^{b}-1$~? Application~: trouver le pgcd de $ X^{5400}-1 $ et $ X^{1920}-1 $. \item $P$ étant un polynôme quelconque de $\mathbb{C}[X]$, et $a$ et~$b$ deux entiers naturels, quel est le pgcd de $P^a-1$ et $P^b-1$~? Indication~: utiliser le théorème de Bézout dans~$\mathbb{Z}$ et dans $\mathbb{C}[X]$. \end{enumerate} \finenonce{000390} \finexercice \exercice{391, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000391}{} Soit $A\in \mathbb{C}[X]$ et $B\in\mathbb{C}[X]$. \begin{enumerate} \item A-t-on $\mbox{pgcd}(A,B)=1\iff\mbox{pgcd}(A+B,AB)=1$~? \item A-t-on $\mbox{pgcd}(A,B)=\mbox{pgcd}(A+B,AB)$~? \end{enumerate} \finenonce{000391} \finexercice \exercice{392, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000392}{} Soit $n$ un entier strictement positif. \begin{enumerate} \item Démontrer qu'il existe un unique couple de polynômes $P$ et~$Q$ de degrés strictement inférieurs à~$n$ tels que $(1-X)^nP(X)+X^nQ(X)=1$. \item Démontrer que $P(1-X)=Q(X)$ et $Q(1-X)=P(X)$. \item Démontrer qu'il existe une constante $a$ telle que $$(1-X)P'(X)-nP(X)=aX^{n-1}.$$ En déduire les coefficients de~$P$ et la valeur de~$a$. \end{enumerate} \noindent{\sl Réponse~:\/} $a=-(2n-1)C_{2n-2}^{n-1}$. \finenonce{000392} \finexercice \exercice{393, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000393}{} Déterminer les polynômes $P\in \mathbb{R}[X]$ et $Q\in \mathbb{R}[X]$, premiers entre eux, tels que $P^2+Q^2=(X^2+1)^2$. En déduire que l'équation $x^2+y^2=z^2$ a une infinité de solutions (non proportionnelles) dans $\mathbb{Z}$. \finenonce{000393} \finexercice \exercice{394, ortiz, 1999/04/01} \enonce{000394}{} \begin{enumerate} \item Montrer que les polyn\^omes $X-1$ et $X-2$ sont premiers entre eux et en d\'eduire $d=\text{pgcd} ((X-1)^2,(X-2)^3)$ et des $U$ et $V$ polyn\^omes tels que $${U(X-1)^2+V(X-2)^3=d.}$$ \item D\'eterminer le polyn\^ome $P$, de degr\'e minimal, tel que le reste de la division euclidienne de $P$ par $(X-1)^2$ est $2X$ et le reste de la division euclidienne de $P$ par $(X-2)^3$ est $3X$. \end{enumerate} \finenonce{000394} \finexercice \exercice{395, ortiz, 1999/04/01} \enonce{000395}{} Montrer que les polyn\^omes complexes $P=X^{1998}+X+1$ et $Q=X^5+X+1$ sont premiers entre eux. \finenonce{000395} \finexercice \exercice{5317, rouget, 2010/07/04} \enonce{005317}{**IT} Déterminer le PGCD de $X^6-7X^4+8X^3-7X+7$ et $3X^5-7X^3+3X^2-7$. \finenonce{005317} \finexercice \exercice{6957, exo7, 2014/04/01} \video{DYun3S4_zgw} % Mélange de 379 (bodin), 380 (bodin), 387 (cousquer) \enonce{006957}{} \begin{enumerate} \item Déterminer les pgcd des polynômes suivants: \begin{enumerate} \item $X^3-X^2-X-2$ et $X^5-2X^4+X^2-X-2$ \item $X^4+X^3-2X+1$ et $X^3+X+1$ \item $X^5+3X^4+X^3+X^2+3X+1$ et $X^4+2X^3+X+2$ \item $nX^{n+1}-(n+1)X^n+1$ et $X^n-nX+n-1$ ($n\in\N^*)$ \end{enumerate} \item Calculer le pgcd $D$ des polynômes $A$ et $B$ ci-dessous. Trouver des polynômes $U$ et $V$ tels que $AU+BV=D$. \begin{enumerate} \item $A=X^5+3X^4+2X^3-X^2-3X-2$\\ et $B=X^4+2X^3+2X^2+7X+6$ \item $A=X^6-2X^5+2X^4-3X^3+3X^2-2X$\\ et $B=X^4-2X^3+X^2-X+1$ \end{enumerate} \end{enumerate} \finenonce{006957} \finexercice\exercice{6958, blanc-centi, 2014/04/01} \video{FljXmG2ie3Q} \enonce{006958}{} \ \begin{enumerate} \item Montrer que si $A$ et $B$ sont deux polynômes à coefficients dans $\Q$, alors le quotient et le reste de la division euclidienne de $A$ par $B$, ainsi que $\pgcd(A,B)$, sont aussi à coefficients dans $\Qq$. \item Soit $a,b,c\in\Cc^*$ distincts, et $0 P^2+a^2$ {\`a} racines simples} Soit $P \in {\R[X]}$ dont toutes les racines sont r{\'e}elles. \begin{enumerate} \item D{\'e}montrer que les racines de $P'$ sont aussi r{\'e}elles. \item En d{\'e}duire que : $\forall\ a \in \R^*$, les racines de $P^2+a^2$ sont simples. \end{enumerate} \finenonce{003232} \finexercice \exercice{3233, quercia, 2010/03/08} \enonce{003233}{$P$ et $Q$ ont m{\^e}me module} Soient $P,Q \in {\C[X]}$ tels que : $\forall\ z \in \C,\ |P(z)| = |Q(z)|$. D{\'e}montrer qu'il existe $u \in \C, |u| = 1$ tel que $P = uQ$. \finenonce{003233} \finexercice \exercice{3234, quercia, 2010/03/08} \enonce{003234}{Valeur moyenne} Soient $z_0,z_1,\dots,z_n \in \C$ tels que : $\forall\ P \in \C_{n-1}[X]$, on a $P(z_0) = \frac {P(z_1) +\dots+ P(z_n)}n$. \\ On note $\Phi(X) = \prod_{i=1}^n (X-z_i)$. \begin{enumerate} \item Calculer $\frac {\Phi(z_0)}{z_0-z_k}$. \item En d{\'e}duire que $\Phi(X) = \frac {(X-z_0)\Phi'(X)}n + \Phi(z_0)$. \item D{\'e}montrer que $z_1,\dots,z_n$ sont les sommets d'un polygone r{\'e}gulier de centre $z_0$. \item R{\'e}ciproque ? \end{enumerate} \finenonce{003234} \finexercice \exercice{3235, quercia, 2010/03/08} \enonce{003235}{$P(x)\ne14$} Soit $P \in {\Z[X]}$ tel que $P(x) = 7$ pour au moins 4 valeurs distinctes $x \in \Z$. \\ D{\'e}montrer que : $\forall\ x \in \Z$, on a $P(x) \ne 14$. \finenonce{003235} \finexercice \exercice{3236, quercia, 2010/03/08} \enonce{003236}{Nombre alg{\'e}brique rationnel} Soit $\alpha \in \C$. On dit que $\alpha$ est {\it alg{\'e}brique\/} s'il existe un polyn{\^o}me $P \in {\Q[X]}$ tel que $P(\alpha) = 0$. \\ Le polyn{\^o}me unitaire de plus bas degr{\'e} v{\'e}rifiant $P(\alpha) = 0$ est appel{\'e} : {\it polyn{\^o}me minimal de $\alpha$}. \begin{enumerate} \item Soit $\alpha$ alg{\'e}brique de polyn{\^o}me minimal $P$. D{\'e}montrer que $P$ est irr{\'e}\-duc\-tible dans ${\Q[X]}$ et que $\alpha$ est racine simple de $P$. \item Soit $\alpha$ alg{\'e}brique, et $P \in {\Q[X]}$ tel que $P(\alpha) = 0$. On suppose que la multiplicit{\'e} de $\alpha$ dans $P$ est strictement sup{\'e}rieure {\`a} $\frac 12\deg P$. D{\'e}montrer que $\alpha \in \Q$. \end{enumerate} \finenonce{003236} \finexercice \exercice{3237, quercia, 2010/03/08} \enonce{003237}{$P(\sqrt 2) = 0$} Soit $P \in {\Q[X]}$ tel que $P\bigl(\sqrt2\bigr) = 0$. D{\'e}montrer que $-\sqrt2$ est aussi racine de $P$ avec la m{\^e}me multiplicit{\'e} que~$\sqrt2$. \finenonce{003237} \finexercice \exercice{3238, quercia, 2010/03/08} \enonce{003238}{Polyn{\^o}me minimal de $2\cos(2\pi/7)$} Montrer que $x = 2\cos\frac {2\pi}7$ est racine de $X^3 + X^2 - 2X - 1$. Quelles sont les autres racines ? \finenonce{003238} \finexercice \exercice{3239, quercia, 2010/03/08} \enonce{003239}{Racines r{\'e}elles simples} Soit $P = \sum_{k=0}^n a_kX^k \in {\R[X]}$ dont les racines sont r{\'e}elles simples. \begin{enumerate} \item D{\'e}montrer que : $\forall\ x \in \R$, on a $P(x)P''(x) \le P'^2(x)$. \item D{\'e}montrer que : $\forall\ k \in \{1,\dots, n-1\},\ a_{k-1}a_{k+1} \le a_k^2$. \end{enumerate} \finenonce{003239} \finexercice \exercice{3240, quercia, 2010/03/08} \enonce{003240}{M{\'e}thode de Ferrari} Soit $P = X^4 - 6X^3 +7X^2 -18X - 8$. \par Trouver $Q \in {\R[X]}$ tel que deg$(Q) = {}$deg$(P-Q^2) = 2$, et $P-Q^2$ a une racine double. Factoriser alors $P$ sur $\R$. \finenonce{003240} \finexercice \exercice{3241, quercia, 2010/03/08} \enonce{003241}{Pgcd $\ne 1 \Leftrightarrow$ racine commune} Soient $P,Q \in {\Q[X]}$. Montrer que $P$ et $Q$ sont premiers entre eux si et seulement si $P$ et $Q$ n'ont pas de racine en commun dans $\C$. \finenonce{003241} \finexercice \exercice{3242, quercia, 2010/03/08} \enonce{003242}{Mines MP 2001} Soit $ K$ un corps de caract{\'e}ristique $p$. \begin{enumerate} \item Montrer que $\sigma\ :\ x \mapsto x^p$ est un morphisme de corps. \item Montrer que $\sigma$ est surjectif si et seulement si tout polyn{\^o}me $P\in K[X]$ irr{\'e}ductible v{\'e}rifie $P'\ne 0$. \end{enumerate} \finenonce{003242} \finexercice \exercice{3243, quercia, 2010/03/08} \enonce{003243}{Centrale MP 2001} Soit $P \in \R_n[X]\setminus\{0\}$. Pour $x\in\R$ on note $V(x)$ le nombre de changements de signe dans la suite $(P(x),P'(x),\dots,P^{(n)}(x))$ en convenant de retirer les termes nuls. Soient $\alpha<\beta$ deux r{\'e}els non racines de~$P$. Montrer que le nombre de racines de~$P$ dans $[\alpha,\beta]$, compt{\'e}es avec leur ordre de multiplicit{\'e}, a m{\^e}me parit{\'e} que~$V(\alpha)-V(\beta)$ et que $V(\alpha)-V(\beta)\ge 0$. \finenonce{003243} \finexercice \exercice{3244, quercia, 2010/03/08} \enonce{003244}{X MP$^*$ 2004} Soit $P\in\C[X]$ de degr{\'e} $d$ dont toutes les racines sont de module strictement inf{\'e}rieur {\`a}~$1$. Pour $\omega\in\mathbb{U}$ on note $\overline P$ le polyn{\^o}me dont les coefficients sont les conjugu{\'e}s de ceux de~$P$ et $Q(X) = P(X) + \omega X^d\overline P(1/X)$. Montrer que les racines de~$Q$ sont de module~$1$. \finenonce{003244} \finexercice \exercice{3245, quercia, 2010/03/08} \enonce{003245}{X MP$^*$ 2005} Soient $a_0,\dots,a_n\in\R$ tels que $|a_0| + \dots + |a_{n-1}| < a_n$. Soit $f(x) = a_0 + a_1\cos x + \dots + a_n\cos(nx)$. Montrer que les z{\'e}ros de~$f$ sont tous r{\'e}els (cad. si $x\in\C\setminus\R$, alors $f(x)\ne 0$). \finenonce{003245} \finexercice \exercice{3246, quercia, 2010/03/08} \enonce{003246}{Factorisation sur $\R$ de $X^8 + X^4 + 1$} Factoriser $X^8 + X^4 + 1$ sur $\R$. \finenonce{003246} \finexercice \exercice{3247, quercia, 2010/03/08} \enonce{003247}{Polyn{\^o}me irr{\'e}ductible sur $\Q$} D{\'e}montrer que $1 + (X-1)^2(X-3)^2$ est irr{\'e}ductible dans ${\Q[X]}$. \finenonce{003247} \finexercice \exercice{3248, quercia, 2010/03/08} \enonce{003248}{Polyn{\^o}mes positifs sur $\R$} Soit ${\cal E} = \{P \in {\R[X]}$ tq $\exists\ Q,R \in {\R[X]}$ tq $P = Q^2 + R^2 \}$. \begin{enumerate} \item Montrer que ${\cal E}$ est stable par multiplication. \item Montrer que ${\cal E} = \{P \in {\R[X]}$ tq $\forall\ x \in \R,\ P(x) \ge 0 \}$. \item (Centrale MP 2000, avec Maple) $P=65X^4-134X^3+190X^2-70X+29$. Trouver $A$ et $B$ dans $\Z [X]$ tels que $P=A^2+B^2$. \end{enumerate} \finenonce{003248} \finexercice \exercice{3249, quercia, 2010/03/08} \enonce{003249}{Lemme de Gauss} Soit $P \in {\Z[X]}$. On appelle {\it contenu de $P$\/} le pgcd des coefficients de $P$ (notation : cont($P$)). \begin{enumerate} \item Soient $P,Q \in {\Z[X]}$ avec cont$(P)=1$, et $R = PQ$. Soit $p$ un facteur premier de cont($R$). \begin{enumerate} \item Si $p$ est premier avec le coefficient constant de $P$, D{\'e}montrer que $p$ divise tous les coefficients de $Q$. \item Si $p$ divise le coefficient constant de $P$, se ramener au cas pr{\'e}c{\'e}dent. \item En d{\'e}duire que cont($Q$) = cont($R$). \end{enumerate} \item Lorsque cont$(P) \ne 1$, trouver cont($PQ$). \item Application : Soit $R \in {\Z[X]}$, et $P,Q \in {\Q[X]}$ tels que $R = PQ$. Montrer qu'il existe $P_1,Q_1 \in {\Z[X]}$ proportionnels {\`a} $P$ et $Q$ et tels que $R = P_1Q_1$. ({\it cad : un polyn{\^o}me {\`a} coefficients entiers r{\'e}ductible sur $\Q$ est aussi r{\'e}ductible sur $\Z$}) \end{enumerate} \finenonce{003249} \finexercice \exercice{3250, quercia, 2010/03/08} \enonce{003250}{Polyn{\^o}mes irr{\'e}ductibles sur $\Z$} D{\'e}montrer que $X^4 + X + 1$ et $X^6 + X^2 + 1$ sont irr{\'e}ductibles dans ${\Z[X]}$. \finenonce{003250} \finexercice \exercice{3251, quercia, 2010/03/08} \enonce{003251}{Polyn{\^o}mes irr{\'e}ductibles sur $\Z$} Soient $a_1, \dots, a_n \in \Z$ distincts. \begin{enumerate} \item Montrer que $(X-a_1) \dots (X-a_n) - 1$ est irr{\'e}ductible dans ${\Z[X]}$. \item M{\^e}me question avec $(X-a_1) \dots (X-a_n) + 1$, $n$ impair. \end{enumerate} \finenonce{003251} \finexercice \exercice{3252, quercia, 2010/03/08} \enonce{003252}{Crit{\`e}re d'irr{\'e}ductibilit{\'e} d'Eisenstein} Soit $P\in\Z[X]$, $P=X^n+a_{n-1}X^{n-1}+\dots+a_0X^0$ et $p$ un nombre premier tel que~: $$a_0\equiv 0 (\mathrm{mod}\, p),\quad\dots,\quad a_{n-1}\equiv 0 (\mathrm{mod}\, p),\quad a_0\not\equiv 0 (\mathrm{mod}\, {p^2}).$$ Montrer que $P$ est irr{\'e}ductible dans $\Z[X]$. \finenonce{003252} \finexercice \exercice{3253, quercia, 2010/03/08} \enonce{003253}{Irr{\'e}ductibilit{\'e} de $X^p-a$} Soit $ K$ un sous-corps de~$\C$, $a\in K$ et $p\in\N$ premier. Montrer que le polyn{\^o}me $X^p-a$ est irr{\'e}ductible sur~$ K$ si et seulement s'il n'a pas de racine dans~$ K$. \finenonce{003253} \finexercice \exercice{5318, rouget, 2010/07/04} \enonce{005318}{**T} Pour quelles valeurs de l'entier naturel $n$ le polynôme $(X+1)^n-X^n-1$ est-il divisible par $X^2+X+1$~? \finenonce{005318} \finexercice \exercice{5319, rouget, 2010/07/04} \enonce{005319}{***} Soit $P$ un polynôme à coefficients réels tel que $\forall x\in\Rr,\;P(x)\geq0$. Montrer qu'il existe deux polynômes $R$ et $S$ à coefficients réels tels que $P=R^2+S^2$. \finenonce{005319} \finexercice \exercice{5324, rouget, 2010/07/04} \enonce{005324}{****I Théorème de \textsc{Lucas}} Soit $P\in\Cc[X]$ de degré supérieur ou égal à $1$. Montrer que les racines de $P'$ sont barycentres à coefficients positifs des racines de $P$ (on dit que les racines de $P'$ sont dans l'enveloppe convexe des racines de $P$). Indication~:~calculer $\frac{P'}{P}$. \finenonce{005324} \finexercice \exercice{5325, rouget, 2010/07/04} \enonce{005325}{***} Trouver tous les polynômes divisibles par leur dérivée. \finenonce{005325} \finexercice \exercice{5328, rouget, 2010/07/04} \enonce{005328}{**T} Déterminer $a\in\Cc$ tel que $P=X^5-209X+a$ admette deux zéros dont le produit vaut $1$. \finenonce{005328} \finexercice \exercice{5329, rouget, 2010/07/04} \enonce{005329}{***T} Soit $(a_k)_{1\leq k\leq 5}$ la famille des racines de $P=X^5+2X^4-X-1$. Calculer $\sum_{k=1}^{5}\frac{a_k+2}{a_k-1}$. \finenonce{005329} \finexercice \exercice{5342, rouget, 2010/07/04} \enonce{005342}{} Décomposer en produit de facteurs irréductibles dans $\Rr[X]$ le polynôme $X^6-2X^3\cos a+1$ où $a$ est un réel donné dans $[0,\pi]$. \finenonce{005342} \finexercice \exercice{5345, rouget, 2010/07/04} \enonce{005345}{} Former une équation du sixième degré dont les racines sont les $\sin\frac{k\pi}{7}$ où $k\in\{-3,-2,-1,1,2,3\}$ puis montrer que ces six nombres sont irrationnels. \finenonce{005345} \finexercice \exercice{5349, rouget, 2010/07/04} \enonce{005349}{} Déterminer $\lambda$ et $\mu$ complexes tels que les zéros de $z^4-4z^3-36z^2+\lambda z+\mu$ soient en progression arithmétique. Résoudre alors l'équation. \finenonce{005349} \finexercice \exercice{5350, rouget, 2010/07/04} \enonce{005350}{} Soient $x_1$, $x_2$, $x_3$ les zéros de $X^3+2X-1$. Calculer $x_1^4+x_2^4+x_3^4$. \finenonce{005350} \finexercice \exercice{5351, rouget, 2010/07/04} \enonce{005351}{} Soient $x_1$,..., $x_8$ les zéros de $X^8+X^7-X+3$. Calculer $\sum_{}^{}\frac{x_1}{x_2x_3}$ (168 termes). \finenonce{005351} \finexercice \exercice{6959, exo7, 2014/04/01} \video{aYIfJ9ze69o} % Mélange 412 (cousquer), 423 (ridde) \enonce{006959}{} \begin{enumerate} \item Factoriser dans $\Rr[X]$ et $\Cc[X]$ les polynômes suivants : $$a)\ X^3-3\quad\quad b)\ X^{12}-1\quad\quad c)\ X^6+1\quad\quad d)\ X^9+X^6+X^3+1$$ \item Factoriser les polynômes suivants : $$a)\ X^2+(3i-1)X-2-i\quad\quad b)\ X^3+(4+i)X^2+(5-2i)X+2-3i$$ \end{enumerate} \finenonce{006959} \finexercice\exercice{6960, blanc-centi, 2014/04/01} \video{nC2gu_mKDR4} \enonce{006960}{} Trouver tous les polynômes $P$ qui vérifient la relation $$P(X^2)=P(X)P(X+1)$$ \finenonce{006960} \finexercice \exercice{6961, blanc-centi, 2014/04/01} \video{8EYEgxhsGFA} \enonce{006961}{} Soit $n\in\Nn$. Montrer qu'il existe un unique $P\in\Cc[X]$ tel que $$\forall z\in\Cc^* \qquad P\left(z+\frac{1}{z}\right) = z^n+\frac{1}{z^n}$$ Montrer alors que toutes les racines de $P$ sont réelles, simples, et appartiennent à l'intervalle $[-2,2]$. \finenonce{006961} \finexercice \exercice{6962, blanc-centi, 2014/04/01} \video{uMsrg-zPUko} \enonce{006962}{} \begin{enumerate} \item Soit $P=X^n+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots+a_1X+a_0$ un polynôme de degré $n\ge 1$ à coefficients dans $\Zz$. Démontrer que si $P$ admet une racine dans $\Zz$, alors celle-ci divise $a_0$. \item Les polynômes $X^3-X^2-109X-11$ et $X^{10}+X^5+1$ ont-ils des racines dans $\Z$? \end{enumerate} \finenonce{006962} \finexercice \exercice{6963, blanc-centi, 2014/04/01} \video{Ez8FgWWwzVE} \enonce{006963}{} Soient $a_0,\ldots,a_n$ des réels deux à deux distincts. Pour tout $i=0,\ldots,n$, on pose $$L_i(X)=\prod_{\substack{1\le j\le n \\ j\not= i}}\frac{X-a_j}{a_i-a_j}$$ (les $L_i$ sont appelés \emph{polynômes interpolateurs de Lagrange}). Calculer $L_i(a_j)$. Soient $b_0,\ldots,b_n$ des réels fixés. Montrer que $P(X)=\sum_{i=0}^nb_iL_i(X)$ est l'unique polynôme de degré inférieur ou égal à $n$ qui vérifie: $$P(a_j)=b_j \quad \text{ pour tout }j=0,\ldots,n.$$ \emph{Application.} Trouver le polynôme $P$ de degré inférieur ou égal à $3$ tel que $$P(0)=1\quad\text{et}\quad P(1)=0\quad\text{et}\quad P(-1)=-2\quad\text{et}\quad P(2)=4.$$ \finenonce{006963} \finexercice \section{ 105.04 Fraction rationnelle } \exercice{443, ridde, 1999/11/01} \enonce{000443}{} D\'ecomposer les fractions rationnelles suivantes : $$\frac{3}{X^3 + 1} \text{ sur } \Cc \text{ puis sur } \Rr$$ $$\frac{X^3}{X^3-1} \text{ sur } \Rr $$ $$\frac{X^2 + X + 1}{ (X-1)^2 (X + 1)^2} \text{ sur } \Rr $$ $$F (X) = \frac{1}{ (X^3-1)^2} \text{ sur } \Cc \text{ en remarquant que } F (jX) = F (X)$$ $$\frac{X^7 + 1}{ (X^2 + 1) (X^2 + X + 1)} \text{ sur } \Rr $$ $$\frac{3X^5 + 2X^4 + X^2 + 3X + 2}{X^4 + 1} \text{ sur } \Rr $$ $$\frac{1}{X^{2n} + 1} \text{ sur } \Cc \text{ puis sur } \Rr$$ $$\frac{X^3 + X}{ (X^2 + X + 1)^2} \text{ sur } \Rr $$ \finenonce{000443} \finexercice \exercice{444, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000444}{} \begin{enumerate} \item D\'ecomposer $\frac{X^3-3X^2+X-4}{X-1}$ en \'el\'ements simples sur $\mathbb{R}$. \item D\'ecomposer $\frac{2X^3+X^2-X+1}{X^2-3X+2}$ en \'el\'ements simples sur $\mathbb{R}$. \item D\'ecomposer $\frac{2X^3+X^2-X+1}{X^2-2X+1}$ en \'el\'ements simples sur $\mathbb{R}$. \item D\'ecomposer $\frac{X^4+2X^2+1}{X^2-1}$ en \'el\'ements simples sur $\mathbb{R}$. \item D\'ecomposer $\frac{X}{X^2-4}$ en \'el\'ements simples sur $\mathbb{R}$. \item D\'ecomposer $\frac{X^5+X^4+1}{X^3-X}$ en \'el\'ements simples sur $\mathbb{R}$. \item D\'ecomposer $\frac{X^5+X^4+1}{X(X-1)^4}$ en \'el\'ements simples sur $\mathbb{R}$. \item D\'ecomposer $\frac{X^5+X^4+1}{(X-1)^3(X+1)^2}$ en \'el\'ements simples sur $\mathbb{R}$. \item D\'ecomposer $\frac{X^7+3}{(X^2+X+2)^3}$ en \'el\'ements simples sur $\mathbb{R}$. \item D\'ecomposer $\frac{(3-2 i )X-5+3 i }{X^2+ i X+2}$ en \'el\'ements simples sur $\mathbb{C}$. \item D\'ecomposer $\frac{X+ i }{X^2+ i }$ en \'el\'ements simples sur $\mathbb{C}$. \item D\'ecomposer $\frac{X}{(X+ i )^2}$ en \'el\'ements simples sur $\mathbb{C}$. \item D\'ecomposer $\frac{X^2+1}{X^4+1}$ en \'el\'ements simples sur $\mathbb{R}$ et sur $\mathbb{C}$. \item D\'ecomposer $\frac{X}{X^4+1}$ en \'el\'ements simples sur $\mathbb{R}$ et sur $\mathbb{C}$. \item D\'ecomposer $\frac{X^2+X+1}{X^4+1}$ en \'el\'ements simples sur $\mathbb{R}$ et sur $\mathbb{C}$. \item D\'ecomposer $\frac{X^5+X+1}{X^4-1}$ en \'el\'ements simples sur $\mathbb{R}$ et sur $\mathbb{C}$. \item D\'ecomposer $\frac{X^5+X+1}{X^6-1}$ en \'el\'ements simples sur $\mathbb{R}$ et sur $\mathbb{C}$. \item D\'ecomposer $\frac{X^3-2}{X^4(X^2+X+1)^2}$ en \'el\'ements simples sur $\mathbb{R}$ et sur $\mathbb{C}$. \item D\'ecomposer $\frac{X}{(X^2+1)(X^2+4)}$ en \'el\'ements simples sur $\mathbb{R}$ et sur $\mathbb{C}$. \item D\'ecomposer $\frac{X^2-3}{(X^2+1)(X^2+4)}$ en \'el\'ements simples sur $\mathbb{R}$ et sur $\mathbb{C}$. \end{enumerate} \finenonce{000444} \finexercice \exercice{445, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000445}{} D\'ecomposition en \'el\'ements simples $\displaystyle\Phi={2x^4+x^3+3x^2-6x+1\over2x^3-x^2}.$ \finenonce{000445} \finexercice \exercice{446, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000446}{} D\'ecomposition en \'el\'ements simples $\displaystyle\Phi={2x^5-8x^3+8x^2-4 x+1\over x^3(x-1)^2}.$ \finenonce{000446} \finexercice \exercice{447, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000447}{} D\'ecomposition en \'el\'ements simples $\displaystyle\Phi={4x^6-2x^5+11x^4-x^3+11x^2+2x+3\over x(x^2+1)^3}.$ \finenonce{000447} \finexercice \exercice{448, ridde, 1999/11/01} \enonce{000448}{} Soient $a$ et $b$ deux r\'eels distincts et $F (X) = \dfrac1{ (X-a)^n (X-b)^n}$. En utilisant la formule de Taylor en $a$ pour $f (X) = (X-a)^n F (X)$, d\'ecomposer $F$ sur $\Rr$. \finenonce{000448} \finexercice \exercice{449, gourio, 2001/09/01} \enonce{000449}{} Donner une CNS sur $f\in \Cc(X)$ pour qu'il existe $g\in \Cc(X)$ tel que $f=g^{\prime }.$ \finenonce{000449} \finexercice \exercice{450, gourio, 2001/09/01} \enonce{000450}{} On appelle valuation une application $v :\Cc(X)\rightarrow {\Zz}\cup \{\infty \} $ telle que : $\lambda \in \Cc^{*}\Rrightarrow v(\lambda )=0,v(0)=\infty ,\exists a\in \Cc(X):v(a)=1$ $$\forall (f,g)\in \Cc(X)^{2},v(fg)=v(f)+v(g) $$ $$\forall (f,g)\in \Cc(X)^{2},v(f+g)\geq \min (v(f),v(g)) $$ (avec les convention \'{e}videntes $k+\infty =\infty ,\forall k\geq 1:k\infty =\infty ,0\infty =0$, etc.) D\'{e}terminer toutes les valuations de $\Cc(X)$ et montrer la formule (la somme portant sur toutes les valuations) : $$\forall f\in \Cc(X)-\{0\},\sum\limits_{v}v(f)=0. $$ \finenonce{000450} \finexercice \exercice{3270, quercia, 2010/03/08} \enonce{003270}{Substitution de fractions} Soit $F \in { K(X)}$ non constante et $P \in { K[X]}$, $P \ne 0$. \begin{enumerate} \item Montrer que $P\circ F \ne 0$. \item Montrer que l'application${ K(X)} \to { K(X)}, G \mapsto {G\circ F}$ est un morphisme injectif d'alg{\`e}bre. \item A quelle condition est-il surjectif ? \item Montrer que tous les isomorphismes de corps de ${ K(X)}$ sont de cette forme. \end{enumerate} \finenonce{003270} \finexercice \exercice{3271, quercia, 2010/03/08} \enonce{003271}{Multiplicit{\'e} des p{\^o}les} Soient $F, G_0, \dots, G_{n-1} \in { K(X)}$ telles que $F^n + G_{n-1}F^{n-1} + \dots + G_0 = 0$. Montrer que l'ensemble des p{\^o}les de $F$ est inclus dans la r{\'e}union des ensembles des p{\^o}les des $G_i$. \finenonce{003271} \finexercice \exercice{3272, quercia, 2010/03/08} \enonce{003272}{Ensemble image d'une fonction rationelle} \label{Imf} Soit $F \in {\C(X)}$. {\'E}tudier $F( \C\setminus \{\text{p{\^o}les}\} )$. \finenonce{003272} \finexercice \exercice{3273, quercia, 2010/03/08} \enonce{003273}{$F \circ G$ est un polyn{\^o}me} Trouver tous les couples $(F,G) \in \bigl({\C(X)}\bigr)^2$ tels que $F\circ G \in {\C[X]}$ (utiliser l'exercice \ref{Imf}). \finenonce{003273} \finexercice \exercice{3274, quercia, 2010/03/08} \enonce{003274}{Fractions invariantes} \begin{enumerate} \item Soit $F \in {\C(X)}$ telle que $F(e^{2i\pi/n}X) = F(X)$. Montrer qu'il existe une unique fraction $G \in {\C(X)}$ telle que $F(X) = G(X^n)$. \item Application : Simplifier $\sum_{k=0}^{n-1} \frac {X+e^{2ik\pi/n}}{X-e^{2ik\pi/n}}$. \end{enumerate} \finenonce{003274} \finexercice \exercice{3275, quercia, 2010/03/08} \enonce{003275}{Fractions invariantes} Soit $H = \{ F \in { K(X)}$ tel que $F(\scriptstyle X) = F(\frac 1X) \}$. \begin{enumerate} \item Montrer que : $F \in H \Leftrightarrow \exists\ G \in { K(X)}$ tel que $F(\scriptstyle X) = G\Bigl(\scriptstyle X+\frac 1X\Bigr)$. \item Montrer que $H$ est un sous-corps de ${ K(X)}$. \item Que vaut $\dim_H({ K(X)})$ ? Donner une base de ${ K(X)}$ sur $H$. \end{enumerate} \finenonce{003275} \finexercice \exercice{3276, quercia, 2010/03/08} \enonce{003276}{Formule de Taylor} Soit $F \in { K(X)}$ d{\'e}finie en $a \in K$. D{\'e}montrer qu'il existe une fraction $G_n$ d{\'e}finie en $a$ telle que : $$ F(X) = F(a) + (X-a)F'(a) + \dots + (X-a)^{n-1} \frac {F^{(n-1)}(a)}{(n-1)!} + (X-a)^nG_n(X). $$ \finenonce{003276} \finexercice \exercice{3277, quercia, 2010/03/08} \enonce{003277}{D{\'e}riv{\'e}e de $1/(x^2+1)$} Soit $F = \frac 1{X^2+1}$. Montrer qu'il existe un polyn{\^o}me $P_n \in {\Z_n[X]}$ tel que $F^{(n)} = \frac {P_n}{(X^2+1)^n}$. Montrer que les racines de $P_n$ sont r{\'e}elles et simples. \finenonce{003277} \finexercice \exercice{3278, quercia, 2010/03/08} \enonce{003278}{Fractions de degr{\'e} n{\'e}gatif} Soit $A = \{ F \in { K(X)}$ tels que $\deg F \le 0 \}$. D{\'e}montrer que $A$ est une sous-alg{\`e}bre de ${ K(X)}$. Chercher ses id{\'e}aux. \finenonce{003278} \finexercice \exercice{3279, quercia, 2010/03/08} \enonce{003279}{D{\'e}compositions pratiques des fractions rationnelles} %+--------------------------------------------------------+ %| D{\'e}compositions pratiques des fractions rationnelles | %+--------------------------------------------------------+ \def \FFF#1/#2 {\frac {#1}{#2}} \def \AAA#1{(x-1)^{#1}} \def \BBB#1{(x+1)^{#1}} \def \CCC#1{(x^2+1)^{#1}} \def \DDD#1{(x^2+x+1)^{#1}} %+----------------------------+ %| {\'e}l{\'e}ments de 1{\`e}re esp{\`e}ce | %+----------------------------+ \bigskip \textbf{{\'E}l{\'e}ments de 1{\`e}re esp{\`e}ce} \begin{align*} \FFF 1/(x^2-1)^5 =& \FFF1/32\AAA5 -\FFF5/64\AAA4 +\FFF15/128\AAA3 -\FFF35/256\AAA2 +\FFF35/256({x-1}) \\ -&\FFF35/256({x+1}) -\FFF35/256\BBB2 -\FFF15/128\BBB3 -\FFF15/64\BBB4 -\FFF1/32\BBB5 \cr \FFF \CCC2/\AAA6 =& \FFF4/\AAA6 + \FFF8/\AAA5 + \FFF8/\AAA4 + \FFF4/\AAA3 + \FFF1/\AAA2 \cr \FFF x^3+x+1/x^4\AAA3 =& -\FFF1/x^4 -\FFF4/x^3 -\FFF9/x^2 -\FFF17/x +\FFF3/\AAA3 -\FFF8/\AAA2 +\FFF17/{{x-1}} \cr \FFF (x^2-x+1)^2/x^2\AAA2 =& 1 + \FFF1/x^2 + \FFF1/\AAA2 \cr \FFF x^2/(x^2-1)^2 =& \FFF1/4\AAA2 + \FFF1/4({x-1}) + \FFF1/4\BBB2 + \FFF1/4({x+1}) \cr \end{align*} \bigskip %+----------+ %| x^2+1 | %+----------+ \textbf{Du type $x^2+1$} \begin{align*} \FFF x^2/(x^2+1)^2 =& \FFF -1/\CCC2 + \FFF 1/{{x^2+1}} \cr \FFF x/(x^4-1)^2 =& \FFF1/16\AAA2 -\FFF1/8({x-1}) - \FFF1/16\BBB2 -\FFF1/8({x+1}) + \FFF x/4\CCC2 + \FFF x/4({x^2+1}) \cr \FFF x/({x-1})\CCC2 =& \FFF 1/4({x-1}) + \FFF 1-x/2\CCC2 - \FFF x+1/4({x^2+1}) \cr \FFF x^6/\CCC2\BBB2 =& 1 +\FFF1/4\BBB2 - \FFF1/{{x+1}} + \FFF x/2\CCC2 - \FFF {x+1/4}/{{x^2+1}} \cr \FFF x^6/({x^2+1})\AAA3 =& x + 3 + \FFF x-1/4({x^2+1}) + \FFF 1/2\AAA3 + \FFF 5/2\AAA2 + \FFF 19/4({x-1}) \cr \end{align*} \bigskip %+------------+ %| x^2+x+1 | %+------------+ \textbf{Du type $x^2+x+1$} \begin{align*} \FFF x/x^4+x^2+1 =& \FFF 1/2(x^2-x+1) - \FFF 1/2(x^2+x+1) \cr \FFF x^4+1/x^4+x^2+1 =& 1 + \FFF x/2(x^2+x+1) - \FFF x/2(x^2-x+1) \cr \FFF x^4+1/x^2\DDD2 = & \FFF1/x^2 -\FFF2/x -\FFF1/\DDD2 + \FFF2x+2/{{x^2+x+1}} \cr \FFF 3x^5-5x^4+4x^2-11x+1/\DDD6 =& -\FFF 23x+6/\DDD6 + \FFF 13x+18/\DDD5 + \FFF 3x-11/\DDD4 \cr \end{align*} \bigskip %+-----------------------------------+ %| autres {\'e}l{\'e}ments de 2{\`e}me esp{\`e}ce | %+-----------------------------------+ \textbf{Autres {\'e}l{\'e}ments de 2{\`e}me esp{\`e}ce} \begin{align*} \FFF x^8/x^6-1 =& x^2 + \FFF1/6 \biggl( \FFF1/x-1 -\FFF1/x+1 +\FFF2x+1/x^2+x+1 -\FFF2x-1/x^2-x+1 \biggr) \cr \FFF 1/x^4+1 =& \FFF1/2\sqrt2 \biggl( \FFF x+\sqrt2/x^2+x\sqrt2+1 - \FFF x-\sqrt2/x^2-x\sqrt2+1 \biggr) \cr \FFF x/x^4+1 =& \FFF 1/2\sqrt2 \biggl( \FFF 1/x^2-x\sqrt2+1 - \FFF 1/x^2+x\sqrt2+1 \biggr) \cr \FFF 1/x^5+1 =& \FFF 1/5({x+1}) - \FFF1/5 \biggl( \FFF {\omega x-2}/{x^2-\omega x+1} + \FFF {\omega'x-2}/{x^2-\omega'x+1} \biggr),\quad \omega = \FFF1+\sqrt5/2 ,\omega' = \FFF1-\sqrt5/2 \cr \end{align*} \bigskip %+-----------------------+ %| racines de l'unit{\'e} | %+-----------------------+ \textbf{Racines de l'unit{\'e}} \begin{align*} \FFF x^n+1/x^n-1 =& 1 + 2\sum_{k=0}^{n-1} \FFF \omega^k/n(x-\omega^k) ,\quad \omega = e^{2i\pi/n}\cr \FFF 1/x^n-1 =& \sum_{k=1 ; 2k \ne n}^{n-1} \FFF 2x\cos\alpha_k-2/n(x^2-2x\cos\alpha_k+1) + \FFF1/n(x-1) \ \left[ - \FFF1/n(x+1) \text{ si n est pair} \right], \quad \alpha_k = \FFF2k\pi/n \cr \sum_{k=0}^{n-1} \FFF 1/x-\omega^k =& \FFF nx^{n-1}/x^n-1 ,\quad \omega = e^{2i\pi/n}\cr \sum_{k=0}^{n-1} \FFF 1/(x-\omega^k)^2 =& \FFF nx^{2n-2}+n(n-1)x^{n-2}/(x^n-1)^2 ,\quad \omega = e^{2i\pi/n}\quad(\text{d{\'e}riv{\'e}e})\cr \end{align*} \bigskip %+-----------------------------+ %| polyn{\^o}mes de Tchebychev | %+-----------------------------+ \textbf{Polyn{\^o}mes de Tchebychev} \begin{align*} \FFF 1/{\cos(n\arccos x)} =& \FFF1/n \sum_{k=0}^{n-1} \FFF (-1)^k\sin\beta_k/x-\cos\beta_k ,\quad \beta_k = \FFF(2k+1)\pi/2n \cr \tan(n\arctan x) =& \FFF1/n \sum_{k=0 ; 2k\ne n-1}^{n-1} \FFF1/\cos^2\beta_k(\tan\beta_k-x) \left[ + \FFF x/n \ \text{si n est impair} \right],\quad \beta_k = \FFF(2k+1)\pi/2n \cr \end{align*} \bigskip %+-----------+ %| divers | %+-----------+ \textbf{Divers} \begin{align*} \FFF x^{2n}/{\CCC n} =& \sum_{k=0}^n \FFF (-1)^kC_n^k/{\CCC k} \cr \FFF 1/(x^2-1)^n =& \sum_{k=0}^{n-1} \FFF \Gamma_n^k/2^{n+k} \biggl( \FFF (-1)^k/(x-1)^{n-k} + \FFF (-1)^n/(x+1)^{n-k} \biggr) \cr \FFF 1/{\CCC n} = & \sum_{k=0}^{n-1} \FFF (-1)^n\Gamma_n^k/2^{n+k} \biggl( \FFF {i^{k+n}}/(x-i)^{n-k} + \FFF {(-i)^{k+n}}/(x+i)^{n-k} \biggr) \cr \FFF n!/(x+1)(x+2)\dots(x+n) =& \sum_{k=1}^n \FFF (-1)^{k-1}kC_n^k/x+k \cr \FFF x^2/x^4-2x^2\cos\alpha+1 =& \FFF1/4\cos(\alpha/2) \biggl(\FFF x/x^2-2x\cos(\alpha/2)+1 - \FFF x/x^2+2x\cos(\alpha/2)+1 \biggr), \quad \alpha\not\equiv0(\mathrm{mod}\,\pi)\cr \end{align*} \finenonce{003279} \finexercice \exercice{3280, quercia, 2010/03/08} \enonce{003280}{Ensi PC 1999} D{\'e}composer en {\'e}l{\'e}ments simples sur $\R$ puis sur $\C$~: $\frac1{(X^2+2X+1)(X^3-1)}$. \finenonce{003280} \finexercice \exercice{3281, quercia, 2010/03/08} \enonce{003281}{Calcul de d{\'e}riv{\'e}es} Calculer les d{\'e}riv{\'e}es $p$-i{\`e}mes des fractions suivantes : \begin{enumerate} \item $\frac 1{X(X+1)\dots(X+n)}$. \item $\frac 1{X^2-2X\cos\alpha+1}$ ($\alpha\not\equiv0(\mathrm{mod}\,{\pi})$). \item $\frac 1{X^2-2X\sh\alpha-1}$ ($\alpha\in\R$). \end{enumerate} \finenonce{003281} \finexercice \exercice{3282, quercia, 2010/03/08} \enonce{003282}{Sommation de s{\'e}ries} A l'aide de d{\'e}composition en {\'e}l{\'e}ments simples, calculer : \begin{enumerate} \item $\sum_{n=1}^\infty \frac 1{n(n + 1)}$. \item $\sum_{n=1}^\infty \frac 1{n(n + 1)(n+2)}$. \item $\sum_{n=1}^\infty \frac n{n^4 + n^2 + 1}$. \end{enumerate} \finenonce{003282} \finexercice \exercice{3283, quercia, 2010/03/08} \enonce{003283}{Partie polaire pour un p{\^o}le d'ordre 2} Soit $F(X) = \frac 1{R(X)} = \frac 1{(X-a)^2Q(X)}$ avec $Q(a) \ne 0$. Chercher la partie polaire de $F$ en $a$ en fonction de $Q$ puis en fonction de~$R$. \finenonce{003283} \finexercice \exercice{3284, quercia, 2010/03/08} \enonce{003284}{} Soient $a_1,\dots,a_n \in K$ distincts et $P = (X-a_1)\dots(X-a_n)$. \begin{enumerate} \item D{\'e}composer en {\'e}l{\'e}ments simples la fraction $\frac {(1+X^2)^n}{P^2}$. \item Montrer que les coefficients des $\frac1{X-a_i}$ sont tous nuls si et seulement si : $(1+X^2)P'' - 2nXP' + n(n+1)P = 0$. \end{enumerate} \finenonce{003284} \finexercice \exercice{3285, quercia, 2010/03/08} \enonce{003285}{$P$ {\`a} racines $x_i$ simples $ \Rightarrow \sum x_i^k/P'(x_i) = 0$} Soit $P \in {\C_n[X]}$ $(n \ge 2)$ ayant $n$ racines distinctes : $x_1,\dots,x_n$. \begin{enumerate} \item D{\'e}montrer que $\sum_{i=1}^n \frac 1{P'(x_i)} = 0$. \item Calculer $\sum_{i=1}^n \frac {x_i^k}{P'(x_i)}$ pour $0 \le k \le n-1$. \end{enumerate} \finenonce{003285} \finexercice \exercice{3286, quercia, 2010/03/08} \enonce{003286}{Les racines de $P'$ sont des barycentres des racines de $P$} Soit $P \in {\C[X]}$ de racines $x_1,x_2,\dots,x_n$ avec les multiplicit{\'e}s $m_1,m_2,\dots,m_n$. \begin{enumerate} \item D{\'e}composer en {\'e}l{\'e}ments simples $\frac {P'}P$. \item En d{\'e}duire que les racines de $P'$ sont dans l'enveloppe convexe de $x_1,\dots,x_n$. \end{enumerate} \finenonce{003286} \finexercice \exercice{3287, quercia, 2010/03/08} \enonce{003287}{$F'(X)/F(X) = \dots$} Soient $a_1, \dots, a_n \in K$ distincts et $\alpha_1, \dots, \alpha_n \in K$. Existe-t-il $F \in { K(X)}$ telle que : $\frac {F'(X)}{F(X)} = \sum_{k=1}^n \frac {\alpha_k}{X-a_k}$ ? \finenonce{003287} \finexercice \exercice{3288, quercia, 2010/03/08} \enonce{003288}{$F(X+1) - F(X) = \dots$} Trouver les fractions $F \in {\R(X)}$ telles que : $F(X+1) - F(X) = \frac {X+3}{X(X-1)(X+1)}$. \finenonce{003288} \finexercice \exercice{3289, quercia, 2010/03/08} \enonce{003289}{Inversion de la matrice $(1/(a_i-b_j))$} Soient $a_1, \dots, a_n, b_1, \dots, b_n$, et $c$ des scalaires distincts. On note $A$ la matrice carr{\'e}e $\left( \frac 1{a_i-b_j} \right)$ et $B$ la matrice colonne $\left( \frac 1{a_i-c} \right)$. Montrer que l'{\'e}quation $AX = B$ poss{\`e}de une solution unique en consid{\'e}rant une fraction rationnelle bien choisie. \finenonce{003289} \finexercice \exercice{3290, quercia, 2010/03/08} \enonce{003290}{Racines de $(X^2+1)PP' + X(P^2+P'^2)$} Soit $P \in {\R[X]}$ ayant $n$ racines positives distinctes (entre autres). Factoriser le polyn{\^o}me $Q = (X^2+1)PP' + X(P^2+P'^2)$ en deux termes, faire appara{\^\i}tre $\frac {P'}P$, et D{\'e}montrer que $Q$ admet au moins $2n-2$ racines positives. \finenonce{003290} \finexercice \exercice{3291, quercia, 2010/03/08} \enonce{003291}{In{\'e}galit{\'e}} Soit $P\in\R[X]$ unitaire de degr{\'e}~$n$ et $Q(X) = X(X-1)\dots(X-n)$. Calculer $\sum_{k=0}^n\frac{P(k)}{\prod_{i\ne k}(k-i)}$ et en d{\'e}duire l'existence de $k\in{[[0,n]]}$ tel que $|P(k)|\ge \frac{n!}{2^n}$. \finenonce{003291} \finexercice \exercice{3292, quercia, 2010/03/08} \enonce{003292}{ENS MP 2002} \item Soit $P\in\C[X]$ admettant deux racines distinctes et tel que $P''$ divise $P$. Montrer que $P$ est {\`a} racines simples. \item Soit $P\in\R[X]$ admettant deux racines r{\'e}elles distinctes, et tel que $P''$ divise $P$. Montrer que $P$ est scind{\'e} sur~$\R$ et {\`a} racines simples. \finenonce{003292} \finexercice \exercice{3293, quercia, 2010/03/08} \enonce{003293}{Division de $X^3-1$ par $X^2+1$} \begin{enumerate} \item Effectuer la division suivant les puissances croissantes de $X^3-1$ par $X^2+1$ {\`a} l'ordre 3. \item En d{\'e}duire une primitive de $f$ : $x \mapsto \frac{x^3-1}{x^4(x^2+1)}$. \end{enumerate} \finenonce{003293} \finexercice \exercice{3294, quercia, 2010/03/08} \enonce{003294}{Division de $1$ par $(1-X)^2$} \begin{enumerate} \item Effectuer la division suivant les puissances croissantes {\`a} un ordre $n$ quelconque de $1$ par $(1-X)^2$. \item En d{\'e}duire $1 + 2\cos\theta + 3\cos2\theta + \dots + n\cos (n-1)\theta$, $n \in \N^*$, $\theta \in \R$. \end{enumerate} \finenonce{003294} \finexercice \exercice{3295, quercia, 2010/03/08} \enonce{003295}{Division de $1-X^2$ par $1 - 2X \cos t + X^2$} \begin{enumerate} \item Effectuer la division suivant les puissances croissantes {\`a} un ordre queclonque de $1-X^2$ par $1 - 2X\cos\theta + X^2$. \item En d{\'e}duire la valeur de $1 + 2\sum_{k=1}^n \cos k\theta$, ($\theta \not\equiv 0 (\mathrm{mod}\,{2\pi})$). \end{enumerate} \finenonce{003295} \finexercice \exercice{3296, quercia, 2010/03/08} \enonce{003296}{Coefficients de B{\'e}zout} Soient $P = 1 + 2X + 3X^2 + 3X^3 + 2X^4 + X^5$ et $Q = X^5$. \begin{enumerate} \item V{\'e}rifier que $P$ et $Q$ sont premiers entre eux. \item Trouver $U,V\in{ K[X]}$ tels que $UP + VQ = 1$ (utiliser une division suivant les puissances croissantes). \end{enumerate} \finenonce{003296} \finexercice \exercice{5335, rouget, 2010/07/04} \enonce{005335}{} Décomposer en éléments simples dans $C(X)$ les fractions rationnelles suivantes $$\begin{array}{lll} 1)\;\frac{X^2+3X+5}{X^2-3X+2}&2)\;\frac{X^2+1}{(X-1)(X-2)(X-3)}&3)\;\frac{1}{X(X-1)^2}\\ 4)\;\frac{X^2+1}{(X-1)^2(X+1)^2}&5)\;\frac{1}{(X-2)^3(X+2)^3}&6)\;\frac{X^6}{(X^3-1)^2}\\ 7/\;\frac{1}{X^6+1}&8)\;\frac{X^2+3}{X^5-3X^4+5X^3-7X^2+6X-2}&9)\;\frac{X}{(X^2+1)^3(X^2-1)}\\ 10)\;\frac{X^6+1}{X^5-X^4+X^3-X^2+X-1}&11)\;\frac{X^7+1}{(X^2+X+1)^3}&12)\;\frac{X^2+1}{X(X-1)^4(X^2-2)^2}\\ 13)\;\frac{1}{(X+1)^7-X^7-1}. \end{array}$$ \finenonce{005335} \finexercice \exercice{5336, rouget, 2010/07/04} \enonce{005336}{} Décomposer en éléments simples dans $C(X)$ les fractions rationnelles suivantes $$\begin{array}{lll} 1)\;\frac{1}{X^n-1}&2)\;\frac{1}{(X-1)(X^n-1)}&3)\;\frac{n!}{(X-1)(X-2)...(X-n)}\\ 4)\;\frac{X^2}{X^4-2X^2\cos(2a)+1}&5)\;\frac{1}{X^{2n}+1}. \end{array}$$ \finenonce{005336} \finexercice \exercice{5337, rouget, 2010/07/04} \enonce{005337}{} Soit $U_n$ l'ensemble des racines $n$-ièmes de l'unité dans $\Cc$. Ecrire sous forme d'une fraction rationnelle (ou encore réduire au même dénominateur) $F=\sum_{\omega\in U_n}^{}\frac{\omega X+1}{\omega^2X^2+\omega X+1}$. \finenonce{005337} \finexercice \exercice{5338, rouget, 2010/07/04} \enonce{005338}{} Soit $F=\frac{P}{Q}$ où $P$ et $Q$ sont des polynômes tous deux non nuls et premiers entre eux. Montrer que $F$ est paire si et seulement si $P$ et $Q$ sont pairs. Etablir un résultat analogue pour $F$ impaire. \finenonce{005338} \finexercice \exercice{5339, rouget, 2010/07/04} \enonce{005339}{} Montrer que $(\frac{1}{X-a})_{a\in\Cc}$ est libre dans $K(X)$. \finenonce{005339} \finexercice \exercice{5340, rouget, 2010/07/04} \enonce{005340}{} Calculer la dérivée $n$-ième de $\frac{1}{X^2+1}$. \finenonce{005340} \finexercice \exercice{5341, rouget, 2010/07/04} \enonce{005341}{} On pose $P=a(X-x_1) ... (X-x_n)$ où les $x_i$ sont des complexes non nécessairement deux à deux distincts et $a$ est un complexe non nul. Calculer $\frac{P'}{P}$. De manière générale, déterminer la décomposition en éléments simples de $\frac{P'}{P}$ quand $P$ est un polynôme scindé. Une application~:~déterminer tous les polynômes divisibles par leur dérivées. \finenonce{005341} \finexercice \exercice{6964, blanc-centi, 2014/04/08} \video{f93zdMxazWw} \enonce{006964}{} Existe-t-il une fraction rationnelle $F$ telle que $$\big(F(X)\big)^2=(X^2+1)^3 \ \ ?$$ \finenonce{006964} \finexercice\exercice{6965, blanc-centi, 2014/04/08} \video{7jn7oh2DdnQ} \enonce{006965}{} Soit $F=\frac{P}{Q}$ une fraction rationnelle écrite sous forme irréductible. On suppose qu'il existe une fraction rationnelle $G$ telle que $$G\left(\frac{P(X)}{Q(X)}\right)=X$$ \begin{enumerate} \item Si $G=\frac{a_nX^n+\cdots+a_1X+a_0}{b_nX^n+\cdots+b_1X+b_0}$, montrer que $P$ divise $(a_0-b_0X)$ et que $Q$ divise $(a_n-b_nX)$. \item En déduire que $F=\frac{P}{Q}$ est de la forme $F(X)=\frac{aX+b}{cX+d}$. \item Pour $Y=\frac{aX+b}{cX+d}$, exprimer $X$ en fonction de $Y$. En déduire l'expression de $G$. \end{enumerate} \finenonce{006965} \finexercice \exercice{6966, blanc-centi, 2014/04/08} \video{BDJWi5Od7uA} \enonce{006966}{} Soit $n\in\Nn^*$ et $P(X)=c(X-a_1)\cdots(X-a_n)$ (où les $a_i$ sont des nombres complexes et où $c\not=0$). \begin{enumerate} \item Exprimer à l'aide de $P$ et de ses dérivées les sommes suivantes: $$\sum_{k=1}^n\frac{1}{X-a_k}\quad\quad \sum_{k=1}^n\frac{1}{(X-a_k)^2}\quad\quad \sum_{\substack{1\le k,\ell\le n \\ k\not= \ell}}\frac{1}{(X-a_k)(X-a_\ell)}$$ \item Montrer que si $z$ est racine de $P'$ mais pas de $P$, alors il existe $\lambda_1,\hdots,\lambda_n$ des réels positifs ou nuls tels que $\sum_{k=1}^n\lambda_k=1$ et $z=\sum_{k=1}^n\lambda_ka_k$. Si toutes les racines de $P$ sont réelles, que peut-on en déduire sur les racines de $P'$ ? \end{enumerate} \finenonce{006966} \finexercice\exercice{6967, exo7, 2014/04/08} \video{KHEyahxXAKk} \enonce{006967}{} % De 444, cousquer Décomposer les fractions suivantes en éléments simples sur $\Rr$, par identification des coefficients. \begin{enumerate} \item $F=\frac{X}{X^2-4}$ \item $G=\frac{X^3-3X^2+X-4}{X-1}$ \item $H=\frac{2X^3+X^2-X+1}{X^2-2X+1}$ \item $K=\frac{X+1}{X^4+1}$ \end{enumerate} \finenonce{006967} \finexercice \exercice{6968, exo7, 2014/04/08} \video{cMc2VRPKaKI} \enonce{006968}{} Décomposer les fractions suivantes en éléments simples sur $\Rr$, en raisonnant par substitution pour obtenir les coefficients. \begin{enumerate} \item % De 444, cousquer $F=\frac{X^5+X^4+1}{X^3-X}$ \item % De 444, cousquer $G=\frac{X^3+X+1}{(X-1)^3(X+1)}$ \item % De 444, cousquer $H=\frac{X}{(X^2+1)(X^2+4)}$ \item % De 445, cousquer $K=\frac{2X^4+X^3+3X^2-6X+1}{2X^3-X^2}$ \end{enumerate} \finenonce{006968} \finexercice \exercice{6969, exo7, 2014/04/08} \video{S53f12bRBhE} \enonce{006969}{} Décomposer les fractions suivantes en éléments simples sur $\Rr$. \begin{enumerate} \item \`A l'aide de divisions euclidiennes successives : % De 447, cousquer $$F=\frac{4X^6-2X^5+11X^4-X^3+11X^2+2X+3}{X(X^2+1)^3}$$ \item \`A l'aide d'une division selon les puissances croissantes : % De 446, cousquer $$G=\frac{4X^4-10X^3+8X^2-4X+1}{X^3(X-1)^2}$$ \item Idem pour : % De 444, cousquer $$H=\frac{X^4+2X^2+1}{X^5-X^3}$$ \item A l'aide du changement d'indéterminée $X=Y+1$ : % De 444, cousquer $$K=\frac{X^5+X^4+1}{X(X-1)^4}$$ \end{enumerate} \finenonce{006969} \finexercice \exercice{6970, exo7, 2014/04/08} \video{ocbw3l8Wwl0} \enonce{006970}{} % De 444, cousquer \begin{enumerate} \item Décomposer les fractions suivantes en éléments simples sur $\Cc$. $$\frac{(3-2 i )X-5+3 i }{X^2+ i X+2} \qquad\qquad \frac{X+ i }{X^2+ i } \qquad\qquad \frac{2X}{(X+ i )^2}$$ \item Décomposer les fractions suivantes en éléments simples sur $\Rr$, puis sur $\Cc$. $$\frac{X^5+X+1}{X^4-1} \qquad\qquad \frac{X^2-3}{(X^2+1)(X^2+4)} \qquad\qquad \frac{X^2+1}{X^4+1}$$ \end{enumerate} \finenonce{006970} \finexercice\exercice{6971, blanc-centi, 2014/04/08} \video{FPyfOQL32Hg} \enonce{006971}{} On pose $Q_0=(X-1)(X-2)^2$, $Q_1=X(X-2)^2$ et $Q_2=X(X-1)$. \`A l'aide de la décomposition en éléments simples de $\frac{1}{X(X-1)(X-2)^2}$, trouver des polynômes $A_0,\ A_1,\ A_2$ tels que $A_0Q_0+A_1Q_1+A_2Q_2=1$. Que peut-on en déduire sur $Q_1$, $Q_2$ et $Q_3$? \finenonce{006971} \finexercice \exercice{6972, blanc-centi, 2014/04/08} \enonce{006972}{} Soit $T_n(x)=\cos\big(n \arccos(x)\big)$ pour $x\in [-1,1]$. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que pour tout $\theta\in[0,\pi]$, $T_n(\cos\theta)=\cos(n\theta)$. \item Calculer $T_0$ et $T_1$. \item Montrer la relation de récurrence $T_{n+2}(x) = 2xT_{n+1}(x)-T_n(x)$, pour tout $n \ge0$. \item En déduire que $T_n$ une fonction polynomiale de degré $n$. \end{enumerate} \item Soit $P(X)=\lambda(X-a_1)\cdots(X-a_n)$ un polynôme, où les $a_k$ sont deux à deux distincts et $\lambda\not=0$. Montrer que $$\frac{1}{P(X)}=\sum_{k=1}^n\frac{\frac{1}{P'(a_k)}}{X-a_k}$$ \item Décomposer $\frac{1}{T_n}$ en éléments simples. \end{enumerate} \finenonce{006972} \finexercice \section{ 105.05 Définition, degré, produit } \section{ 105.99 Autre } \exercice{424, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000424}{} Montrer que pour tout $n\in\mathbb{N}^{\ast}$ il existe un polynôme~$P_n$ et un seul tel que $$\forall \theta \in \mathbb{R},\; P_n(2\cos \theta )=2\cos n\theta.$$ Montrer que $P_n$ est unitaire et que ses coefficients sont entiers. En déduire les $r$~rationnels tels que $\cos r\pi $ soit rationnel. \finenonce{000424} \finexercice \exercice{425, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000425}{} Déterminer, s'il en existe, tous les idéaux $J$ de $\mathbb{R}[X]$ tels que~: $I(P) \subset J \subset\mathbb{R}[X]$, avec $I(P)$ idéal engendré par $P$ dans les cas suivants~: $$ P=X^2+X+1, \quad P=X^2+2X+1, \quad P=X^3+3X-4.$$ \finenonce{000425} \finexercice \exercice{426, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000426}{} Trouver un polyn\^ome~$P$ de degr\'e~$\leq2$ tel que $$P(1)=-2 \quad \mbox{et} \quad P(-2)=3 \quad \mbox{et} \quad P(0)=-1$$ \finenonce{000426} \finexercice \exercice{427, cousquer, 2003/10/01} \video{59DItk_pxuc} \enonce{000427}{} Trouver le polynôme $P$ de degré inférieur ou égal à $3$ tel que : $$P(0)=1\quad\text{et}\quad P(1)=0\quad\text{et}\quad P(-1)=-2\quad\text{et}\quad P(2)=4.$$ \finenonce{000427} \finexercice\exercice{428, ridde, 1999/11/01} \enonce{000428}{} Trouver les polynômes $P$ de $\Rr[X]$ tels que $\forall k \in \Zz \, \, \int_{k}^{k + 1}P (t)dt = k + 1$ (on pourra utiliser le polynôme $Q (x) = \int_0^x P (t)dt$). \finenonce{000428} \finexercice \exercice{429, ridde, 1999/11/01} \enonce{000429}{} Soit $ (P_0, P_1, \ldots, P_n)$ une famille de polynômes de $\mathbb{K}[X]$ telle que $\forall k \in \left\{ 0, \ldots, n\right\} \, \, \text{deg}P_k = k$. Montrer \`a l'aide d'une r\'ecurrence soigneuse que cette famille est libre. \finenonce{000429} \finexercice \exercice{430, ridde, 1999/11/01} \enonce{000430}{} Soit $n \in \Nn^*$ fix\'e et ${\Delta} : {\Rr_n [X]} \mapsto {\Rr_n [X]}$, ${P (X)} \mapsto {P (X + 1) -P (X)}$. \begin{enumerate} \item Montrer que $\Delta$ est lin\'eaire, i.e. que $\forall (a, b) \in \Rr^2$ et $ (P, Q) \in \Rr_n [X] \, \, \Delta (aP + bQ) = a\Delta (P) + b\Delta (Q)$. \item D\'eterminer $\ker (\Delta) = \left\{ P \in \Rr_n[X] / \Delta (P) = 0\right\}$. \item Soient $H_0 = 1$ et pour $k \in \left\{ 1, \ldots, n\right\} \, \, H_k = \dfrac 1{k ! } X (X-1)\ldots (X-k + 1)$. Calculer $\Delta (H_k)$. \item Soit $Q \in \Rr_{n-1}[X]$. Comment trouver $P \in \Rr_{n}[X]$ tel que $\Delta (P) = Q$. %(on pourra utiliser l'exercice $14$). \item D\'eterminer $P$ pour $Q = X^2$ tel que $P (1) = 0$. \item En d\'eduire la somme $1^2 + 2^2 + \ldots + n^2$. \end{enumerate} \finenonce{000430} \finexercice \exercice{431, gourio, 2001/09/01} \enonce{000431}{} R\'{e}soudre l'\'{e}quation d'inconnue $P\in \Cc[X]:P(X+1)P(X)=-P(X^{2}).$ \finenonce{000431} \finexercice \exercice{432, gourio, 2001/09/01} \enonce{000432}{} Soit $(P,Q)\in \Rr_{n}[X]^{2} $ tels que $\exists (a,A)\in (\Rr^{+*})^{2},\forall x\in ]-a,a[,\left| P(x)-Q(x)\right| \leq A\left|x^{n+1}\right| .$ Que dire de $P$ et $Q$ ? \finenonce{000432} \finexercice \exercice{433, gourio, 2001/09/01} \enonce{000433}{} Soient $W_{n}=(X^{2}-1)^{n}, \ L_{n}=\frac{1}{2^{n}n!}W_{n}^{(n)}.$ \begin{enumerate} \item Donner le degr\'{e} de $L_{n}$, son coefficient dominant, sa parit\'{e}, calculer $L_{n}(1).$ Donner $L_{0},L_{1},L_{2}.$ \item D\'{e}montrer : $\forall n\geq 1,(X^{2}-1)W_{n}^{^{\prime }}=2nXW_{n},$ en d\'{e}duire : $$\forall n\in \Nn,(X^{2}-1)L_{n}^{^{\prime \prime }}+ 2XL_{n}^{^{\prime}}-n(n+1)L_{n}=0.$$ \item Montrer ensuite : $\forall n\geq 1,L_{n}^{\prime }=XL_{n-1}^{^{\prime }}+nL_{n-1},$ puis $nL_{n}=XL_{n}^{^{\prime }}-L_{n-1}^{^{\prime }}.$ \item Montrer enfin que les polyn\^{o}mes $L_{n} $ peuvent \^{e}tre d\'{e}finis par la r\'{e}currence : $$(n+1)L_{n+1}=(2n+1)XL_{n}-nL_{n-1}.$$ \end{enumerate} \finenonce{000433} \finexercice \exercice{434, gourio, 2001/09/01} \enonce{000434}{} Montrer que si $n\geq 3,$ l'\'{e}quation $x^{n}+y^{n}=z^{n}$ n'a pas de solution non triviale (i.e. $xyz\neq 0$) dans $\Cc[X].$ \emph{Indication} : on peut supposer $x,y,z,$ sans facteurs communs.\ D\'{e}river la relation, la multiplier par $z$, \'{e}tudier le degr\'{e}. \finenonce{000434} \finexercice \exercice{435, gourio, 2001/09/01} \enonce{000435}{} Soit $n\in \Nn^{*},P\in \Cc[X]$ de degr\'{e} $n$, avec $P(0)=1,P(1)=0,$ montrer : $$\sup\limits_{\left| z\right| =1}\left| P(z)\right| \geq 1+\frac{1}{n}.$$ \emph{Indication} : $w_{k}=e^{\frac{2ik\pi }{n+1}},$ montrer $\sum \limits_{k=0}^{n}P(w_{k})=(n+1)a_{0.}$ \finenonce{000435} \finexercice \exercice{436, gourio, 2001/09/01} \enonce{000436}{} \begin{enumerate} \item Lemme : Soit $P\in \Cc[X]$ non constant, $z_{0}\in \Cc, $ montrer que $$\forall \epsilon >0,\exists z\in D(z_{0},\epsilon )=\{z\in \Cc|\left| z-z_{0}\right| \leq \epsilon \},\left| P(z)\right| >\left| P(z_{0})\right| .$$ \emph{Indications} : Ecrire $P(z_{0}+h)=P(z_{0})+\sum_{m=k}^{\deg P}\frac{h^{m}}{m!}% P^{(m)}(z_{0}) $o\`{u} $k$ est le plus petit entier strictement positif tel que $P^{(i)}(z_{0})\neq 0.$ On se propose de d\'{e}montrer le th\'{e}or\`{e}me de d'Alembert-Gauss : tout polyn\^{o}me non constant \`{a} coefficients complexes admet une racine complexe. \item Expliquer pourquoi le minimum de la fonction $z\rightarrow \left| P(z)\right| $ est atteint sur un disque centr\'{e} en $0$, mettons $D(0,\Rr),$ et expliquer pourquoi : $$\exists z_{0}\in \Cc,\left| P(z_{0})\right| = \inf\limits_{z\in \Cc}\left|P(z)\right| .$$ \item Montrer avec le lemme que $P(z_{0})=0.$ \end{enumerate} \finenonce{000436} \finexercice \exercice{437, gourio, 2001/09/01} \enonce{000437}{} Soit $n\in \Nn^{*},$ et $P(X)=(X+1)^{n}-(X-1)^{n}.$ Quel est le degr\'{e} de $P$ ? Le factoriser dans $\Cc[X].$ \finenonce{000437} \finexercice \exercice{438, gourio, 2001/09/01} \enonce{000438}{} Soit $P\in {\Rr}[X]$ un polyn\^{o}me dont tous les z\'{e}ros sont r\'{e}els et distincts, montrer que $\phi =(P^{\prime })^{2}-PP'' $ n'a pas de z\'{e}ro r\'{e}el. \finenonce{000438} \finexercice \exercice{439, ortiz, 1999/04/01} \enonce{000439}{} Soit $K\subseteq\Cc$ un corps pour les lois usuelles sur $\Cc$ et $P\in K[X]$ non constant. \begin{enumerate} \item Montrer que si $\alpha$ est racine de $P$ de multiplicit\'e $m\in [1,+\infty [ $ alors $\alpha$ est racine du polyn\^ome $P'$ avec la multiplicit\'e $m-1$. \item On suppose $K=\Rr$ et $P$ scind\'e sur $\Rr$. Montrer que $P'$ est scind\'e sur $\Rr$ (on utilisera le th\'eor\`eme de Rolle). \end{enumerate} \finenonce{000439} \finexercice \exercice{440, ortiz, 1999/04/01} \enonce{000440}{} Soient $m,n\in [1,+\infty[$, $d=\mathrm{pgcd} (m,n)$ et $P=X^m-1, Q=X^n-1, D=X^d-1 \in\Cc[X]$. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que si $x\in\Cc$ est racine commune de $P$ et $Q$ alors $x$ est racine de $D$ (on pourra utiliser l'\'egalit\'e de B\'ezout dans $\Zz$). \item Montrer que si $y\in\Cc$ est racine de $D$ alors $y$ est racine commune de $P$ et $Q$ (utiliser la d\'efinition de $d$). \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Soient $A,B\in \Cc[X]$ tels que toute racine de $A$ est racine de $B.$ Peut-on en d\'eduire que $A$ divise $B$? M\^eme question si les racines de $A$ sont simples. \item Montrer que les racines de $D$ et $P$ sont simples et en d\'eduire que $\mathrm{pgcd} (P,Q)=D$. \end{enumerate} \end{enumerate} \finenonce{000440} \finexercice \exercice{441, ortiz, 1999/04/01} \enonce{000441}{} Soient les polyn\^omes complexes $P_1=X^3-2$, $P_2=X^4+4$ et $P_3=X^4+4X^3+8$. \begin{enumerate} \item \'Etudier leur irr\'eductibilit\'e sur $\Cc$ et sur $\Rr$. \item Montrer que $P_1$ est irr\'eductible sur $\Q$ (on utilisera que $\sqrt[3]{2}\notin \Q$). \item Montrer que $P_2$ est r\'eductible sur $\Zz$. \item Montrer que $P_3$ est irr\'eductible sur $\Zz$. \end{enumerate} \finenonce{000441} \finexercice \exercice{442, ortiz, 1999/04/01} \enonce{000442}{} Soit $P=X^4-5X^3+9X^2-15X+18\in\Cc[X]$. D\'eterminer toutes les racines complexes de $P$ sachant que deux d'entre elles ont 6 pour produit. \finenonce{000442} \finexercice \exercice{3164, quercia, 2010/03/08} \enonce{003164}{Familles libres de polyn{\^o}mes} Soit $a,b \in K,\ a \ne b$. On pose $P_k = (X-a)^k(X-b)^{n-k}$. D{\'e}montrer que la famille $(P_0,\dots,P_n)$ est libre. \finenonce{003164} \finexercice \exercice{3165, quercia, 2010/03/08} \enonce{003165}{Formule de Van der Monde} Soit $n\in\N^*$. Pour $k\in{[[0,n]]}$ on pose $P_k = X^k(1-X)^{n-k}$. D{\'e}montrer que ${\cal B} = (P_0,\dots,P_n)$ est une base de~$\R_n[X]$. Calculer les composantes dans $\cal B$ de $\frac{d^n}{d x^n} \bigl(X^n(1-X)^n\bigr)$. En d{\'e}duire la valeur de $\sum_{k=0}^n (C_n^k)^2$. \finenonce{003165} \finexercice \exercice{3166, quercia, 2010/03/08} \enonce{003166}{Famille libre de polyn{\^o}mes} Soient $U,V \in K[X]$ non constants. On pose $P_k = U^kV^{n-k}$. Montrer que $(P_0,\dots,P_n)$ est libre \dots \begin{enumerate} \item lorsque $U \wedge V = 1$. \item lorsque $(U,V)$ est libre. \end{enumerate} \finenonce{003166} \finexercice \exercice{3167, quercia, 2010/03/08} \enonce{003167}{Ensi PC 1999} D{\'e}terminer les poly{\^o}mes $P \in \R_{2n-1}(X)$ tels que $P(X)+1$ est multiple de $(X-1)^n$ et $P(X)-1$ est multiple de $(X+1)^n$. \finenonce{003167} \finexercice \exercice{3168, quercia, 2010/03/08} \enonce{003168}{Op{\'e}rateur diff{\'e}rence} \label{opdiff} On note $U_p = \frac { X (X-1) \cdots (X-p+1) }{p!},\quad p \in \N$, et $\Delta : { K[X]} \to { K[X]}, P \mapsto {P(X+1) - P(X)}$ \begin{enumerate} \item D{\'e}montrer que la famille $(U_p)_{p \in \N}$ est une base de ${ K[X]}$. \item Calculer $\Delta^n(U_p)$. \item En d{\'e}duire que : $\forall\ P \in { K_n[X]}$, ona $P = P(0) + (\Delta P)(0)U_1 + (\Delta^2 P)(0)U_2 + \dots + (\Delta^n P)(0)U_n$. \item Soit $P \in { K[X]}$. D{\'e}montrer que :\par\indent $\bigl( \forall\ n \in \Z$, on a $P(n) \in \Z \bigr) \Leftrightarrow \bigl($ les coordonn{\'e}es de $P$ dans la base $(U_p)$ sont enti{\`e}res$\bigr)$. \item Soit $f : \Z \to \Z$ une fonction quelconque. D{\'e}montrer que $f$ est polynomiale si et seulement si~: $\exists\ n \in \N$ tq $\Delta^n(f) = 0$. \end{enumerate} \finenonce{003168} \finexercice \exercice{3169, quercia, 2010/03/08} \enonce{003169}{Libert{\'e} de $P(X), \dots, P(X+n)$} Soit $P \in { K[X]}$ de degr{\'e} $n$. D{\'e}montrer que la famille $\bigl(P(X), P(X+1), \dots, P(X+n)\bigr)$ est une base de~${ K_n[X]}$. (Utiliser l'op{\'e}rateur $\Delta$ de l'exercice \ref{opdiff}) \finenonce{003169} \finexercice \exercice{3170, quercia, 2010/03/08} \enonce{003170}{$(X+z_0)^n,\dots,(X+z_k)^n$ (Centrale MP 2003)} Soit $k\in\N^*$ et $z_0,\dots,z_k$ des complexes. Soient les polyn{\^o}mes $P_0 = (X+z_0)^n,\dots,P_k=(X+z_k)^n$. Donner une condition n{\'e}cessaire et suffisante pour que~$(P_0,\dots,P_k)$ soit une base de~$C_n[X]$. \finenonce{003170} \finexercice \exercice{3171, quercia, 2010/03/08} \enonce{003171}{$P-X \mid P\circ P - X$} \begin{enumerate} \item Soit $P \in { K[X]}$. D{\'e}montrer que $P-X$ divise $P\circ P-X$. \item R{\'e}soudre dans $\C$ : $(z^2+3z+1)^2 + 3z^2+8z+4 = 0$. \end{enumerate} \finenonce{003171} \finexercice \exercice{3172, quercia, 2010/03/08} \enonce{003172}{$P \mapsto P(X+1) + P(X-1) - 2P(X)$} Soit $\Phi : { K[X]} \to { K[X]}, P \mapsto {P(X+1)+P(X-1)-2P(X)}$ \begin{enumerate} \item Chercher $\deg(\Phi(P))$ en fonction de $\deg P$. \item En d{\'e}duire $\mathrm{Ker}\Phi$ et $\Im\Phi$. \item Montrer que : $\forall\ Q \in { K[X]},\ \exists!\ P \in { K[X]}$ tq $\begin{cases}\Phi(P) = Q \cr P(0) = P'(0) = 0.\end{cases}$ \end{enumerate} \finenonce{003172} \finexercice \exercice{3173, quercia, 2010/03/08} \enonce{003173}{$P \mapsto (X-a)(P'(X)+P'(a)) + P(X)-P(a)$} Soit $a\in K$ et $ \Phi : { K_n[X]} \to { K_n[X]}, P \mapsto {(X-a)(P'(X)+P'(a)) + P(X)-P(a).}$ Chercher $\mathrm{Ker} \Phi$ et $\Im \Phi$. \finenonce{003173} \finexercice \exercice{3174, quercia, 2010/03/08} \enonce{003174}{$A^3 + B = C^3 + D$} Soient $A,B,C,D \in {\R[X]}$ tels que : $\begin{cases} \deg A = \deg C = m \cr \deg B < 2m,\ \deg D < 2m \cr A^3 + B = C^3 + D.\cr \end{cases}$ Montrer que $A = C$ et $B = D$. Trouver un contre-exemple avec des polyn{\^o}mes {\`a} coefficients complexes. \finenonce{003174} \finexercice \exercice{3175, quercia, 2010/03/08} \enonce{003175}{$P(n) \mid P(n+P(n))$} Soit $P \in {\Z[X]},\ n \in \Z$, et $p = P(n)$. Montrer que $p$ divise $P(n+p)$. \finenonce{003175} \finexercice \exercice{3176, quercia, 2010/03/08} \enonce{003176}{$P(a/b) = 0 \Rightarrow a-kb$ divise $P(k)$} Soit $P \in {\Z[X]}$ et $a,b \in \Z^*$ premiers entre eux tels que $P\Bigl(\frac ab\Bigr) = 0$. \begin{enumerate} \item Montrer que $a$ divise le coefficient constant de $P$. \item Montrer que pour tout $k\in\Z$, $a-kb$ divise $P(k)$. \end{enumerate} \finenonce{003176} \finexercice \exercice{3177, quercia, 2010/03/08} \enonce{003177}{Automorphismes des polyn{\^o}mes} Pour $A \in { K[X]}$ on note ${\Phi_A} :{ K[X]} \to { K[X]}, P \mapsto {P\circ A}$ \begin{enumerate} \item D{\'e}montrer que les applications $\Phi_A$ sont les seuls endomorphismes d'alg{\`e}\-bre de ${ K[X]}$. \item A quelle condition $\Phi_A$ est-il un isomorphisme ? \end{enumerate} \finenonce{003177} \finexercice \exercice{3178, quercia, 2010/03/08} \enonce{003178}{Sous anneau non principal des polyn{\^o}mes} Soit $A = \{P \in { K[X]} \text { dont le coefficient de $X$ est nul} \}$. D{\'e}montrer que $A$ est un sous anneau non principal de~${ K[X]}$. \finenonce{003178} \finexercice \exercice{3179, quercia, 2010/03/08} \enonce{003179}{{\'E}quation $P^2+Q^2 = (X^2+1)^2$} Trouver $P,Q \in {\R[X]}$ premiers entre eux tels que $P^2 + Q^2 = (X^2+1)^2$. \finenonce{003179} \finexercice \exercice{3180, quercia, 2010/03/08} \enonce{003180}{{\'E}quation $X(X-1)P' + P^2 -(2X+1)P + 2X = 0$} Trouver tous les polyn{\^o}mes $P \in { K[X]}$ tels que : $X(X-1)P' + P^2 -(2X+1)P + 2X = 0$. \finenonce{003180} \finexercice \exercice{3181, quercia, 2010/03/08} \enonce{003181}{$P(X) + P(X+1) = 2X^n$} \begin{enumerate} \item Montrer qu'il existe un uni\-que polyn{\^o}me $P_n \in { K[X]}$ tel que $P_n(X) + P_n(X+1) = 2X^n$. \item Chercher une relation de r{\'e}currence entre $P_n'$ et $P_{n-1}$. \item D{\'e}composer $P_n(X+1)$ sur la base $(P_k)_{k \in \N}$. \item D{\'e}montrer que $P_n(1-X) = (-1)^nP_n(X)$. \end{enumerate} \finenonce{003181} \finexercice \exercice{3182, quercia, 2010/03/08} \enonce{003182}{$(1-X)^nP + X^nQ = 1$} \begin{enumerate} \item D{\'e}montrer qu'il existe $P,Q \in K_{n-1}[X]$ uniques tels que $(1-X)^nP + X^nQ = 1$. \item Montrer que $Q = P(1-X)$. \item Montrer que : $\exists\ \lambda \in K$ tel que $(1-X)P' - nP = \lambda X^{n-1}$. \item En d{\'e}duire $P$. \end{enumerate} \finenonce{003182} \finexercice \exercice{3183, quercia, 2010/03/08} \enonce{003183}{Endomorphismes qui commutent avec la d{\'e}rivation} Soit $\Phi \in \mathcal{L} { K[X]}$ commutant avec la d{\'e}rivation, c'est {\`a} dire : $\forall\ P \in { K[X]}$, on a $\Phi(P') = \Phi(P)'$. \begin{enumerate} \item D{\'e}montrer qu'il existe un unique suite $(a_k)_{k \in \N}$ de scalaires tels que : $$\forall\ P \in { K_n[X]}, \text{ on a } \Phi(P) = \sum_{k=0}^n a_kP^{(k)}.$$ (On {\'e}crit {\it formellement\/} : $\Phi = \sum_{k=0}^\infty a_k \text{D}^k$ avec $\text{D}(P) = P'$) \item D{\'e}composer ainsi l'endomorphisme $\Phi : P \mapsto P(X+1)$. \end{enumerate} \finenonce{003183} \finexercice \exercice{3184, quercia, 2010/03/08} \enonce{003184}{$P$ est positif $\Rightarrow P + P' + P" + \dots$ aussi} Soit $P \in {\R[X]}$ tel que : $\forall\ x \in \R$, on a $P(x) \ge 0$. D{\'e}montrer que : $\forall\ x \in \R$, on a $(P + P' + P'' + \dots )(x) \ge 0$. \finenonce{003184} \exercice{3185, quercia, 2010/03/08} \enonce{003185}{$P(\tan\alpha) = Q\Bigl(\frac 1{\cos\alpha}\Bigr)$} Soit $P \in {\R[X]}$. Existe-t-il $Q \in {\R[X]}$ tel que $\forall\ \alpha \in \left]-\frac\pi2, \frac\pi2\right[,\ P(\tan\alpha) = Q\Bigl(\frac 1{\cos\alpha}\Bigr)$ ? \finenonce{003185} \finexercice \exercice{3186, quercia, 2010/03/08} \enonce{003186}{$X^n + 1/X^n = P_n(X+1/X)$} \begin{enumerate} \item Montrer que pour tout entier $n \in \N$ il existe un unique polyn{\^o}me $P_n \in {\Z[X]}$ v{\'e}rifiant : $$\forall\ z \in \C^*,\ z^n + z^{-n} = P_n(z + z^{-1}).$$ \item D{\'e}terminer le degr{\'e}, le coefficient dominant, et les racines de $P_n$. \item Pour $P \in {\C[X]}$, on note $\tilde P$ le polyn{\^o}me tel que : $$\forall\ z \in \C^*,\ P(z) + P(z^{-1}) = \tilde P(z + z^{-1}).$$ {\'E}tudier l'application $P \mapsto \tilde P$. \end{enumerate} \finenonce{003186} \finexercice \exercice{3187, quercia, 2010/03/08} \enonce{003187}{Polytechnique MP$^*$ 2000} \begin{enumerate} \item Donner un isomorphisme $f$ en\-tre $\C^{n+1}$ et $\C_n[X]$. \item Montrer que $\sigma:{\C^{n+1}}\to{\C^{n+1}}, {(a_0,\dots,a_n)}\mapsto{(a_n,a_0,\dots,a_{n-1})}$ est lin{\'e}aire. \item Si $(P,Q)\in(\C[X])^2$, on d{\'e}finit le produit $\overline{PQ}$ comme le reste de la division euclidienne de $PQ$ par $X^{n+1}-1$. Montrer que l'application induite par~$\sigma$ sur~$\C_n[X]$ (c'est-{\`a}-dire $f\circ \sigma\circ f^{-1}$) est l'application qui {\`a}~$P$ associe $\overline{XP}$. \item Soit~$F$ un sous-espace de~$\C^{n+1}$ stable par~$\sigma$. Montrer qu'il existe un polyn{\^o}me $Q$ tel que $f(F) = \{\overline{RQ},\ R\in\C_n[X]\}$. \end{enumerate} \finenonce{003187} \finexercice \exercice{3188, quercia, 2010/03/08} \enonce{003188}{Centrale MP 2002} D{\'e}terminer tous les polyn{\^o}mes $P$ tels que $P(\C)\subset\R$ puis tels que $P(\Q )\subset\Q$ et enfin tels que $P(\Q )=\Q$. \finenonce{003188} \finexercice \exercice{3189, quercia, 2010/03/08} \enonce{003189}{Polytechnique MP 2002} Soient $x_1,\dots,x_n\in\C$ distincts et $y_1,\dots,y_n\in\C$. Trouver $E = \{P\in\C[X]\text{ tq }\forall\ i,\ P^{-1}(\{y_i\}) = \{x_i\}\}$. \finenonce{003189} \finexercice \exercice{3190, quercia, 2010/03/08} \enonce{003190}{ENS Ulm MP 2002} Soit $S\subset \N$ fini et $P=\sum_{s\in S} a_sX^s\in\C[X]$. \begin{enumerate} \item On suppose que les $a_s$ sont r{\'e}els. Montrer que $P$ a moins de racines strictement positives distinctes que la suite $(a_s)$ n'a de changement de signe. \item On suppose que $P$ v{\'e}rifie~: $\forall\ s\in S,\ P(s)=0$. Montrer que $P$ est nul. \end{enumerate} \finenonce{003190} \finexercice \exercice{3191, quercia, 2010/03/08} \enonce{003191}{$\sum_{k=1}^{100}\frac k{x-k}\ge 1$ (Ens Ulm-Lyon-Cachan MP$^*$ 2003)} Montrer que l'ensemble des solutions de l'in{\'e}quation $\sum_{k=1}^{100}\frac k{x-k}\ge 1$ est une r{\'e}union finie d'intervalles disjoints. Calculer la somme des longueurs de ces intervalles. \finenonce{003191} \finexercice \exercice{3192, quercia, 2010/03/08} \enonce{003192}{Polyn{\^o}me positif (Ens Ulm MP$^*$ 2003)} Soit~$P\in\R[X]$. Montrer~: ($\forall\ x\ge 0,\ P(x) > 0$) $\Leftrightarrow$ ($\exists\ \ell \in\N$ tq $(X+1)^\ell P(X)$ est {\`a} coefficients strictement positifs). \finenonce{003192} \finexercice \exercice{3193, quercia, 2010/03/08} \enonce{003193}{Diviseurs premiers de la suite $(P(n))$ (Ens ULM-Lyon-Cachan MP$^*$ 2003)} Soit $P\in\Z[X]$ non constant et $E$ l'ensemble des diviseurs premiers d'au moins un $P(n)$, $n\in\Z$. Montrer que~$E$ est infini. \finenonce{003193} \finexercice \exercice{3194, quercia, 2010/03/08} \enonce{003194}{Centrale MP 2004} Soit~$n\in\N^*$. Montrer l'existence de~$P_n\in\R[X]$ tel que $1+X-P_n^2$ est divisible par~$X^n$. \finenonce{003194} \finexercice \exercice{3195, quercia, 2010/03/08} \enonce{003195}{Polyn{\^o}mes {\`a} coefficients entiers, ULM-Lyon-Cachan MP$^*$ 2004} On donne un entier $n\ge 0$. Montrer qu'il existe des polyn{\^o}mes $P_0,\dots,P_n$ dans $\Z_n[X]$ tels que $\forall\ i,j\in{[[0,n]]},\ \int_{t=0}^1 t^iP_j(t)\,dt = \delta_{ij}$. \finenonce{003195} \finexercice \exercice{3254, quercia, 2010/03/08} \enonce{003254}{$a/b + b/c + c/a$} Soient $a,b,c$ les racines de $X^3 + pX + q$, $q \ne 0$. Calculer : $\sum_{\sigma \in S_3} \left( \frac {\sigma(a)}{\sigma(b)} + \frac {\sigma(b)}{\sigma(c)} + \frac {\sigma(c)}{\sigma(a)} \right)$. \finenonce{003254} \finexercice \exercice{3255, quercia, 2010/03/08} \enonce{003255}{$1/(x_i-1)$} Soient $x_1,x_2,x_3,x_4$ les racines de $X^4 + X + 1$. Calculer $\sum_{i=1}^4 \frac 1{x_i-1}$. \finenonce{003255} \finexercice \exercice{3256, quercia, 2010/03/08} \enonce{003256}{$x_i/(x_jx_k)$} Soient $x_1,\dots,x_8$ les racines de $X^8 + X^7 - X^2 + 3$. Calculer $\sum_{1\le i\le8 , 1\le j0 ;$$ \item $E = $ l'ensemble des fonctions $\Psi(t, x)$, \`a valeurs complexes, solutions de l'\'equation de Schr\"odinger~: $$i \hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi(t, x) = -\frac{\hbar}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}\Psi(x, t) + x^2\Psi(t, x)$$ o\`u $\hbar$ et $m$ sont des constantes ; \item $E = \textrm{ l'ensemble des suites}\,\,\, (x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ de nombres r\'eels ; \item $E = $ l'ensemble des polyn\^omes $P(x)$ \`a coefficients r\'eels ; \item $E = $ l'ensemble des polyn\^omes $P(x)$ \`a coefficients r\'eels de degr\'e inf\'erieur ou \'egal \`a $3$ ; \item $E = $ l'ensemble des polyn\^omes $P(x)$ \`a coefficients r\'eels divisibles par $(x - 1)$ ; \item $E = $ l'ensemble des fonctions continues sur l'intervalle $[0, 1]$ \`a valeurs r\'eelles ; \item $E = $ l'ensemble des fonctions continues sur l'intervalle $[0, 1]$ \`a valeurs r\'eelles et d'int\'egrale nulle ; \item $E = $ l'ensemble des fonctions d\'erivables sur l'intervalle $]0, 1[$ \`a valeurs r\'eelles ; \item $E = $ l'ensemble des fonctions r\'eelles qui s'annulent en $0 \in \mathbb{R}$. \item $E = $ l'ensemble des fonctions r\'eelles qui tendent vers $0$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$ ; \end{enumerate} \item Pour les op\'erations d'addition $\oplus$ construites, montrer que $E$ poss\`ede un \'el\'ement neutre (terme \`a d\'efinir), et que chaque \'el\'ement de $E$ poss\`ede un inverse. \end{enumerate} \finenonce{002778} \finexercice \exercice{2779, tumpach, 2009/10/25} \enonce{002779}{} Qu'est -ce qui emp\^eche de d\'efinir les m\^emes op\'erations que dans l'exercice pr\'ec\'edent sur les ensembles suivants~? \begin{enumerate} \item[(a)] $E = \textrm{l'ensemble des solutions}\,\,\, (x, y, z)\in \mathbb{R}^3\,\,\, \textrm{de l'\'equation} \quad \mathcal{S}_3~: x - 2y + 3z = 3 $ ; \item[(b)] $E = $ l'ensemble des fonctions $y(x)$ telles que $y''(x)\sin x + x^3 y^2(x) + y(x) \log x = 0, \forall x >0$ ; \item[(c)] $E = \mathbb{N}$ ; \item[(d)] $E = \mathbb{Z}$ ; \item[(e)] $E = \mathbb{R}^{+}$ ; \item[(f)] $ E = \mathbb{Q}^n$ ; \item[(g)] $E = \textrm{ l'ensemble des suites}\,\,\, (x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ de nombres positifs ; \item[(h)] $E = $ l'ensemble des fonctions r\'eelles qui prennent la valeur $1$ en $0$ ; \item[(i)] $E = $ l'ensemble des fonctions r\'eelles qui tendent vers $+\infty$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$ ; \end{enumerate} \finenonce{002779} \finexercice \exercice{3298, quercia, 2010/03/09} \enonce{003298}{Somme de sous-espaces} Soient $F,G,H$ trois sous-espaces d'un espace vectoriel $E$. Comparer $F \cap (G + (F \cap H))$ et $(F \cap G) + (F \cap H)$. \finenonce{003298} \finexercice \exercice{3299, quercia, 2010/03/09} \enonce{003299}{$F\cap G = F'\cap G'$} Soient $F,G,F',G'$ des sev d'un ev $E$. Montrer que si $F\cap G = F'\cap G'$ alors $\bigl( F+(G\cap F')\bigr) \cap \bigl( F+(G\cap G')\bigr) = F$. \finenonce{003299} \finexercice \exercice{3300, quercia, 2010/03/09} \enonce{003300}{$E$ n'est pas union de sous-espaces stricts} Soit $E$ un $ K$-ev non nul et $F_1,\dots,F_n$ des sev stricts de $E$. On veut montrer que $E \ne F_1 \cup \dots \cup F_n$ : \begin{enumerate} \item Traiter le cas $n = 2$. \item Cas général : on suppose $F_n \not\subset F_1 \cup \dots \cup F_{n-1}$ et on choisit $\vec x \in F_n \setminus (F_1 \cup \dots \cup F_{n-1})$ et $\vec y \notin F_n$. \begin{enumerate} \item Montrer que : $\forall\ \lambda \in K$, $\lambda\vec x + \vec y \notin F_n$. \item Montrer que : $\forall\ i \le n-1$, il existe au plus un $\lambda \in K$ tel que $\lambda\vec x + \vec y \in F_i$. \item Conclure. \end{enumerate} \end{enumerate} \finenonce{003300} \finexercice \exercice{3323, quercia, 2010/03/09} \enonce{003323}{Intersection et somme de sev} Soit $E$ un ev de dimension finie et $(F_i)_{i\in I}$ une famille de sous-espaces de $E$. On note $H = \bigcap_{i\in I} F_i$ et $S = \sum_{i\in I} F_i = {}$vect$\Big(\bigcup_{i\in I} F_i\Big)$. Montrer qu'il existe une partie finie, $J$, de $I$ telle que : $H = \bigcap_{i\in J} F_i$ et $S = \sum_{i\in J} F_i$. \finenonce{003323} \finexercice \exercice{5164, rouget, 2010/06/30} \enonce{005164}{*T} Soit $E$ le $\Rr$-espace vectoriel des applications de $[0,1]$ dans $\Rr$ (muni de $f+g$ et $\lambda.f$ usuels) (ne pas hésiter à redémontrer que $E$ est un $\Rr$ espace vectoriel). Soit $F$ l'ensemble des applications de $[0,1]$ dans $\Rr$ vérifiant l'une des conditions suivantes~: $$\begin{array}{llll} 1)\;f(0)+f(1)=0&2)\;f(0)=0&3)\;f(\frac{1}{2})=\frac{1}{4}&4)\;\forall x\in[0,1],\;f(x)+f(1-x)=0\\ 5)\;\forall x\in[0,1],\;f(x)\geq0&6)\;2f(0)=f(1)+3 \end{array}$$ Dans quel cas $F$ est-il un sous-espace vectoriel de $E$~? \finenonce{005164} \finexercice \exercice{5165, rouget, 2010/06/30} \enonce{005165}{**T} On munit $\Rr^n$ des lois produit usuelles. Parmi les sous-ensembles suivants $F$ de $\Rr^n$, lesquels sont des sous-espaces vectoriels~? $$\begin{array}{lll} 1)\;F=\{(x_1,...,x_n)\in\Rr^n/\;x_1=0\}&2)\;F=\{(x_1,...,x_n)\in\Rr^n/\;x_1=1\}\\ 3)\;F=\{(x_1,...,x_n)\in\Rr^n/\;x_1=x_2\}&4)\;F=\{(x_1,...,x_n)\in\Rr^n/\;x_1+...+x_n=0\}\\ 5)\;F=\{(x_1,...,x_n)\in\Rr^n/\;x_1.x_2=0\} \end{array}$$ \finenonce{005165} \finexercice \exercice{5166, rouget, 2010/06/30} \enonce{005166}{**} Soit $E$ un $\Kk$-espace vectoriel. Soient $A$, $B$ et $C$ trois sous-espaces vectoriels de $E$ vérifiant $A\cap B=A\cap C$, $A+B=A+C$ et $B\subset C$. Montrer que $B=C$. \finenonce{005166} \finexercice\exercice{5168, rouget, 2010/06/30} \enonce{005168}{**T} Soit $F$ le sous-espace vectoriel de $\Rr^4$ engendré par $u=(1,2,-5,3)$ et $v=(2,-1,4,7)$. Déterminer $\lambda$ et $\mu$ réels tels que $(\lambda,\mu,-37,-3)$ appartienne à $F$. \finenonce{005168} \finexercice \exercice{5169, rouget, 2010/06/30} \enonce{005169}{**T} Montrer que $a=(1,2,3)$ et $b=(2,-1,1)$ engendrent le même sous espace de $\Rr^3$ que $c=(1,0,1)$ et $d=(0,1,1)$. \finenonce{005169} \finexercice\exercice{5172, rouget, 2010/06/30} \enonce{005172}{**} Soient $E$ un $\Kk$-espace vectoriel et $A$, $B$ et $C$ trois sous-espaces de $E$. \begin{enumerate} \item Montrer que~:~$(A\cap B)+(A\cap C)\subset A\cap(B+C)$. \item A-t-on toujours l'égalité~? \item Montrer que~:~$(A\cap B)+(A\cap C)=A\cap(B+(A\cap C))$. \end{enumerate} \finenonce{005172} \finexercice \exercice{5173, rouget, 2010/06/30} \enonce{005173}{**T} Dans $E=\Rr^4$, on considère $V=\{(x,y,z,t)\in E/\;x-2y=0\;\mbox{et}\;y-2z=0\}$ et $W=\{(x,y,z,t)\in E/\;x+z=y+t\}$. \begin{enumerate} \item Montrer que $V$ et $W$ sont des sous espaces vectoriels de $E$. \item Donner une base de $V$, $W$ et $V\cap W$. \item Montrer que $E=V+W$. \end{enumerate} \finenonce{005173} \finexercice \exercice{5174, rouget, 2010/06/30} \enonce{005174}{***} Soit $\begin{array}[t]{cccc} f~:&[0,+\infty[\times[0,2\pi[&\rightarrow&\Rr^2\\ &(x,y)&\mapsto&(x\cos y,x\sin y) \end{array}$. \begin{enumerate} \item $f$ est-elle injective~?~surjective~? \item Soient $a$, $b$, $\alpha$ et $\beta$ quatre réels. Montrer qu'il existe $(c,\gamma)\in\Rr^2$ tel que~:~ $\forall x\in\Rr,\;a\cos(x-\alpha)+b\cos(x-\beta)=c\cos(x-\gamma)$. \item Soit $E$ le $\Rr$-espace vectoriel des applications de $\Rr$ dans $\Rr$. Soit $F=\{u\in E/\;\exists(a,b,\alpha,\beta)\in\Rr^4\;\mbox{tel que}\;\forall x\in\Rr,\;u(x)=a\cos(x-\alpha)+b\cos(2x-\beta)\}$. Montrer que $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$. \item Déterminer $\{\cos x,\sin x,\cos(2x),\sin(2x),1,\cos^2x,\sin^2x\}\cap F$. \item Montrer que $(\cos x,\sin x,\cos(2x),\sin(2x))$ est une famille libre de $F$. \end{enumerate} \finenonce{005174} \finexercice \exercice{5175, rouget, 2010/06/30} \enonce{005175}{**} Soit $C$ l'ensemble des applications de $\Rr$ dans $\Rr$, croissantes sur $\Rr$. \begin{enumerate} \item $C$ est-il un espace vectoriel (pour les opérations usuelles)~? \item Montrer que $V=\{f\in\Rr^\Rr/\;\exists(g,h)\in C^2\;\mbox{tel que}\;f= g-h\}$ est un $\Rr$-espace vectoriel. \end{enumerate} \finenonce{005175} \finexercice \exercice{5176, rouget, 2010/06/30} \enonce{005176}{**} Montrer que la commutativité de la loi $+$ est une conséquence des autres axiomes de la structure d'espace vectoriel. \finenonce{005176} \finexercice \exercice{5177, rouget, 2010/06/30} \enonce{005177}{***} Soient $E$ un $\Kk$-espace vectoriel et $A$, $B$ et $C$ trois sous-espaces vectoriels de $E$. Montrer que $$(A\cap B)+(B\cap C)+(C\cap A)\subset(A+B)\cap(B+C)\cap(C+A).$$ \finenonce{005177} \finexercice\exercice{5563, rouget, 2010/10/16} \enonce{005563}{** I} \label{ex:rou1} Soient $F$ et $G$ deux sous-espaces vectoriels d'un espace vectoriel $E$. Montrer que : $\left[(F\cup G\;\text{sous-espace de}\;E)\Leftrightarrow(F\subset G\;\text{ou}\;G\subset F)\right]$. \finenonce{005563} \finexercice \exercice{5564, rouget, 2010/10/16} \enonce{005564}{****} Généralisation de l'exercice \ref{ex:rou1}. Soient $n$ un entier supérieur ou égal à $2$ puis $F_1$, ... , $F_n$ $n$ sous-espaces de $E$ où $E$ est un espace vectoriel sur un sous-corps $\Kk$ de $\Cc$. Montrer que $\left[(F_1\cup ... \cup F_n\;\text{sous-espace de}\; E)\Leftrightarrow(\text{il existe}\;i\in\llbracket1,n\rrbracket/\;\displaystyle\bigcup_{j\neq i}F_j\subset F_i)\right]$. \finenonce{005564} \finexercice \exercice{6868, chataur, 2012/05/13} \video{QSafAt0zfGk} \enonce{006868}{} Montrer que les ensembles ci-dessous sont des espaces vectoriels (sur $\Rr$) : \begin{itemize} \item $E_1 = \big\{ f : [0,1] \to \Rr \big\}$ : l'ensemble des fonctions à valeurs r\'eelles d\'efinies sur l'intervalle $[0,1]$, muni de l'addition $f+g$ des fonctions et de la multiplication par un nombre r\'eel $\lambda \cdot f$. \item $E_2 = \big\{ (u_n) : \Nn \to \Rr \big\}$ : l'ensemble des suites r\'eelles muni de l'addition des suites définie par $(u_n)+(v_n)=(u_n+v_n)$ et de la multiplication par un nombre r\'eel $\lambda \cdot (u_n) = (\lambda \times u_n)$. \item $E_3 = \big\{ P \in \Rr[x] \mid \deg P \le n \big\}$ : l'ensemble des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à $n$ muni de l'addition $P+Q$ des polynômes et de la multiplication par un nombre r\'eel $\lambda \cdot P$. \end{itemize} \finenonce{006868} \finexercice \exercice{6869, chataur, 2012/05/13} \video{grzoTdCre2E} \enonce{006869}{} \begin{enumerate} \item D\'ecrire les sous-espaces vectoriels de $\Rr$ ; puis de $\Rr^2$ et $\Rr^3$. \item Dans $\mathbb{R}^3$ donner un exemple de deux sous-espaces dont l'union n'est pas un sous-espace vectoriel. \end{enumerate} \finenonce{006869} \finexercice \section{ 106.02 Système de vecteurs } \exercice{897, liousse, 2003/10/01} \enonce{000897}{} Soient dans $\Rr^3$ les vecteurs $\vec{v_1}(1,1,0)$, $\vec{v_2}(4,1,4)$ et $\vec{v_3}(2,-1,4)$. \begin{enumerate} \item Montrer que $\vec{v_1}$ et $\vec{v_2}$ ne sont pas colin\'eaires. Faire de m\^eme avec $\vec{v_1}$ et $\vec{v_3}$, puis avec $\vec{v_2}$ et $\vec{v_3}$. \item La famille $(\vec{v_1}, \vec{v_2}, \vec{v_3})$ est-elle libre ? \end{enumerate} \finenonce{000897} \finexercice \exercice{898, liousse, 2003/10/01} \enonce{000898}{} Les familles suivantes sont-elles libres ? \begin{enumerate} \item $\vec{v_1}(1,0,1)$, $\vec{v_2}(0,2,2)$ et $\vec{v_3}(3,7,1)$ dans $\Rr^3$. \item $\vec{v_1}(1,0,0)$, $\vec{v_2}(0,1,1)$ et $\vec{v_3}(1,1,1)$ dans $\Rr^3$. \item $\vec{v_1}(1,2,1,2,1)$, $\vec{v_2}(2,1,2,1,2)$, $\vec{v_3}(1,0,1,1,0)$ et $\vec{v_4}(0,1,0,0,1)$ dans $\Rr^5$. \item $\vec{v_1}(2,4,3,-1,-2,1)$, $\vec{v_2}(1,1,2,1,3,1)$ et $\vec{v_3}(0,-1,0,3,6,2)$ dans $\Rr^6$. \item $\vec{v_1}(2,1,3,-1,4,-1)$, $\vec{v_2}(-1,1,-2,2,-3,3)$ et $\vec{v_3}(1,5,0,4,-1,7)$ dans $\Rr^6$. \end{enumerate} \finenonce{000898} \finexercice \exercice{899, liousse, 2003/10/01} \enonce{000899}{} On consid\`ere dans $\Rr^n$ une famille de $4$ vecteurs lin\'eairement ind\'ependants : $(\vec{e_1}, \vec{e_2}, \vec{e_3}, \vec{e_4})$. Les familles suivantes sont-elles libres ? \begin{enumerate} \item $(\vec{e_1}, 2\vec{e_2}, \vec{e_3})$. \item $(\vec{e_1}, \vec{e_3})$. \item $(\vec{e_1}, 2\vec{e_1}+\vec{e_4}, \vec{e_4})$. \item $(3\vec{e_1}+\vec{e_3}, \vec{e_3}, \vec{e_2}+\vec{e_3})$. \item $(2\vec{e_1}+\vec{e_2}, \vec{e_1}-3\vec{e_2}, \vec{e_4}, \vec{e_2}-\vec{e_1})$. \end{enumerate} \finenonce{000899} \finexercice \exercice{900, liousse, 2003/10/01} \video{aMookydUKT4} \enonce{000900}{} Soient dans $\Rr^4$ les vecteurs $v_1=(1,2,3,4)$ et $v_2=(1,-2,3,-4)$. Peut-on d\'eterminer $x$ et $y$ pour que $(x,1,y,1) \in \text{Vect}\{ v_1, v_2 \}$ ? Et pour que $(x,1,1,y) \in \text{Vect}\{v_1,v_2 \}$ ? \finenonce{000900} \finexercice \exercice{901, liousse, 2003/10/01} \video{A-ieYnIs2KA} \enonce{000901}{} Dans $\Rr^4$ on consid\`ere l'ensemble $E$ des vecteurs $(x_1,x_2,x_3,x_4)$ v\'erifiant $x_1+x_2+x_3+x_4=0$. L'ensemble $E$ est-il un sous-espace vectoriel de $\Rr^4$ ? Si oui, en donner une base. \finenonce{000901} \finexercice \exercice{902, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000902}{} Dans l'espace $\mathbb{R}^4$, on se donne cinq vecteurs~: $V_1=(1,1,1,1)$, $V_2=(1,2,3,4)$, $V_3=(3,1,4,2)$, $V_4=(10,4,13,7)$, $V_5=(1,7,8,14)$. Chercher les relations de dépendance linéaires entre ces vecteurs. Si ces vecteurs sont dépendants, en extraire au moins une famille libre engendrant le même sous-espace. \finenonce{000902} \finexercice \exercice{903, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000903}{} Dans l'espace $\mathbb{R}^4$, on se donne cinq vecteurs~: $V_1=(1,1,1,1)$, $V_2=(1,2,3,4)$, $V_3=(3,1,4,2)$, $V_4=(10,4,13,7)$, $V_5=(1,7,8,14)$. À quelle(s) condition(s) un vecteur $B=(b_1,b_2,b_3,b_4)$ appartient-il au sous-espace engendré par les vecteurs $V_1$, $V_2$, $V_3$, $V_4$, $V_5$~? Définir ce sous-espace par une ou des équations. \finenonce{000903} \finexercice \exercice{904, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000904}{} Soient les vecteurs $e_1=(1,2,3,4)$, $e_2=(1,-2,3,-4)$ de $\mathbb{R}^4$. Peut-on déterminer $x$ et $y$ pour que $(x,1,y,1) \in\mbox{Vect}\{e_1,e_2\}$~? pour que $(x,1,1,y)\in \mbox{Vect}\{e_1,e_2\}$~? \finenonce{000904} \finexercice \exercice{905, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000905}{} Soit $E$ un espace vectoriel sur $\mathbb{R}$ et $x,y,z,t$ une famille libre d'éléments de $E$, les familles suivantes sont-elles libres~? \begin{enumerate} \item $x,2y,z$. \item $x,z$. \item $x,2x+t,t$. \item $3x+z, z, y+z$. \item $2x+y,x-3y,t, y-x$. \end{enumerate} \finenonce{000905} \finexercice \exercice{906, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000906}{} Dans $\mathbb{R}^4$, comparer les sous-espaces $F$ et $G$ suivants~: \begin{eqnarray*} F & = & \mbox{Vect}\{(1,0,1,1), (-1,-2,3,-1), (-5,-3,1,-5)\}\\ G & = & \mbox{Vect}\{(-1,-1,1,-1), (4,1,2,4)\} \end{eqnarray*} \finenonce{000906} \finexercice \exercice{907, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000907}{} On suppose que $v_1, v_2, v_3, \ldots,v_n$ sont des vecteurs indépendants de $\mathbb{R}^n$. \begin{enumerate} \item Les vecteurs $v_1-v_2, v_2-v_3, v_3-v_4, \ldots, v_n-v_1$ sont-ils linéairement indépendants~? \item Les vecteurs $v_1+v_2, v_2+v_3, v_3+v_4, \ldots, v_n+v_1$ sont-ils linéairement indépendants~? \item Les vecteurs $v_1, v_1+v_2, v_1+v_2+v_3, v_1+v_2+v_3+v_4, \ldots, v_1+v_2+ \cdots+v_n$ sont-ils linéairement indépendants~? \end{enumerate} \finenonce{000907} \finexercice \exercice{908, legall, 1998/09/01} \video{SmI00EAW31k} \enonce{000908}{} Soit $E$ le sous-espace vectoriel de ${\Rr}^3$ engendr\'e par les vecteurs $v_1=(2, 3, -1)$ et $v_2=(1, -1, -2)$ et $F$ celui engendré par $w_1=(3, 7, 0)$ et $w_2=(5, 0, -7)$. Montrer que $E$ et $F$ sont \'egaux. \finenonce{000908} \finexercice \exercice{909, legall, 1998/09/01} \enonce{000909}{} Prouver que dans ${ \Rr}^{3}$, les vecteurs $u_{1}=(2,3,-1)$ et $u_{2}=(1,-1,-2)$ engendrent le m\^eme s.e.v. que les vecteurs $v_{1}=(3,7,0)$ et $v_{2}=(5,0,-7)$.\\ \finenonce{000909} \finexercice \exercice{910, legall, 1998/09/01} \enonce{000910}{} \begin{enumerate} \item Montrer que les syst\`emes : $S_{1}=(1;\sqrt{2})$ et $S_{2}=(1;\sqrt{2};\sqrt{3})$ sont libres dans ${ \Rr}$ consid\'er\'e comme ${ \Qq}$-espace vectoriel. \item Soient, dans ${ \Rr}^{2}$, les vecteurs $u_{1}=(3+\sqrt{5},2+3\sqrt{5})$ et $u_{2}=(4,7\sqrt{5}-9)$. Montrer que le syst\`eme $(u_{1},u_{2})$ est ${ \Qq}$-libre et ${ \Rr}$-li\'e. \item Soient les vecteurs $v_{1}=(1-i,i)$ et $v_{2}=(2,-1+i)$ dans ${ \Cc}^{2}$. \begin{enumerate} \item Montrer que le syst\`eme $(v_{1},v_{2})$ est ${ \Rr}$-libre et ${\Cc}$-li\'e. \item V\'erifier que le syst\`eme $S=\{(1,0),(i,0),(0,1),(0,i)\}$ est une base de l'e.v. ${ \Cc}^{2}$ sur ${ \Rr}$, et donner les composantes des vecteurs $v_{1}, v_{2}$ par rapport \`a cette base. \end{enumerate} \end{enumerate} \finenonce{000910} \finexercice \exercice{911, legall, 1998/09/01} \enonce{000911}{} \begin{enumerate} \item On d\'efinit les fonctions suivantes : $f_{1} : t \mapsto \cos t .\mbox{ch}t, f_{2} : t \mapsto \cos t .\mbox{sh}t, f_{3} : t \mapsto \sin t .\mbox{ch}t, f_{4} : t \mapsto \sin t .\mbox{sh} t $. Montrer que le syst\`eme $(f_{1},f_{2},f_{3},f_{4})$ est libre dans ${ \Rr}^{ \Rr}$. \item M\^eme question pour la famille ${\mathcal F}=\{f_{\lambda} : t \mapsto e^{\lambda t}, \lambda \in { \Rr}\}$. \end{enumerate} \finenonce{000911} \finexercice \exercice{912, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000912}{} Dans $\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})$, les trois fonctions $x\mapsto\sin x$, $x\mapsto\sin 2x$, $x\mapsto\sin 3x$, sont-elles linéairement indépendantes~? Généraliser. \finenonce{000912} \finexercice \exercice{913, legall, 1998/09/01} \enonce{000913}{} Soit $E$ un ${ \Cc}$-espace vectoriel et $S_{1}=(e_{1},e_{2},...,e_{n})$ un syst\`eme libre dans $E$, $n\ge 2$. \begin{enumerate} \item On consid\`ere le syst\`eme $S_{2}=(e_{1}',e_{2}',...,e_{n}')$ d\'efini par : $e_{j}'=\sum_{k=1}^{j}e_{k}, 1\le j \le n$. $S_{2}$ est-il libre ? \item On consid\`ere le syst\`eme $S_{3} = (\epsilon_{1},\epsilon_{2},...,\epsilon_{n})$ d\'efini par : $\epsilon_{j}=e_{j}+e_{j+1}, 1\le j \le n-1$ et $\epsilon_{n}=e_{n}+e_{1}$. Montrer les r\'esultats suivants : \begin{enumerate} \item $S_{3}$ libre $\Rightarrow$ $S_{1}$ libre. \item $n$ impair : $S_{3}$ libre $\Leftrightarrow$ $S_{1}$ libre. \item $n$ pair : $S_{3}$ li\'e. \end{enumerate} \end{enumerate} \finenonce{000913} \finexercice \exercice{914, legall, 1998/09/01} \enonce{000914}{} Peut-on d\'eterminer des r\'eels $x, y$ pour que le vecteur $v=(-2,x,y,3)$ appartienne au s.e.v. engendr\'e dans ${ \Rr}^{4}$ par le syst\`eme $(e_{1},e_{2})$ o\`u $e_{1}=(1,-1,1,2)$ et $e_{2}=(-1,2,3,1)$ ? \finenonce{000914} \finexercice \exercice{915, ridde, 1999/11/01} \enonce{000915}{} Soient $f (x) = \cos (x)$, $g (x) = \cos (x) \cos (2x)$ et $h (x) = \sin (x) \sin (2x)$. D\'eterminer $\text{vect} (f, g, h)$. \finenonce{000915} \finexercice \exercice{916, ridde, 1999/11/01} \enonce{000916}{} Soit $\alpha \in \Rr$ et soit $f_{\alpha} : \Rr\rightarrow \Rr$ la fonction définie par $$ \begin{cases} f_{\alpha}(x)= 1 & \text{ si } x = \alpha \\ f_{\alpha}(x)= 0 & \text{ si } x \neq \alpha \end{cases} .$$ Montrer que la famille $ (f_{\alpha})_{\alpha \in\Rr}$ est libre. \finenonce{000916} \finexercice\exercice{917, ridde, 1999/11/01} \video{x8fXA1UP7LU} \enonce{000917}{} Soit $\alpha \in \Rr$ et $f_\alpha : \Rr \to \Rr$, $x\mapsto e^{\alpha x}$. Montrer que la famille $(f_\alpha)_{\alpha \in \Rr}$ est libre. \finenonce{000917} \finexercice \exercice{918, gourio, 2001/09/01} \enonce{000918}{} Montrer que les familles suivantes sont libres dans ${\Rr}^{{\Rr}},$ et ce quelque soit $N\in \Nn^{*}$ : $$\left( x\rightarrow \left| x-a\right| \right) _{a=1,3,5,...,2N+1};\left( x\rightarrow \cos nx\right) _{n=1,2,...,N};\left( x\rightarrow e^{ax}\right) _{a=1,...,N} $$ \finenonce{000918} \finexercice \exercice{2430, matexo1, 2002/02/01} \enonce{002430}{} Soit $E$ l'ensemble des suites r\'eelles $(u_n)_{n \ge 0}$. Pour tout $k \in \N$, on note $\delta_k$ l'\'el\'ement de $E$ dont les coordonn\'ees sont toutes nulles, sauf $\delta_{k,k} = 1$. Montrer que la famille infinie ${\cal B} = \{\delta_k\}_{k \in \N}$ est libre (en ce sens que toute sous-famille finie est libre). Soit $E_0$ le sous-ensemble des suites qui convergent vers z\'ero. Montrer que c'est un sous-espace vectoriel de $E$. Montrer que $\cal B$ est aussi une famille libre de $E_0$. \finenonce{002430} \finexercice \exercice{2435, matexo1, 2002/02/01} \enonce{002435}{} Soit $E$ un espace vectoriel r\'eel et $u$ un endomorphisme de $E$ tel que $u^2 = -I$. \begin{enumerate} \item Montrer que $u$ est bijectif. \item On suppose que les $2p-1$ vecteurs $x_1,\ldots,x_p, u(x_1),\ldots,u(x_{p-1})$ sont lin\'eairement ind\'ependants. Montrer que les $2p$ vecteurs $x_1,\ldots,x_p,$ $u(x_1),\ldots,u(x_p)$ sont lin\'eairement ind\'ependants. \item On suppose que $E$ est de dimension finie. Montrer que $E$ poss\`ede une base de la forme $x_1,\ldots,x_p, u(x_1),\ldots,u(x_p)$ et est de dimension paire. Donner la matrice de $u$ dans cette base. \end{enumerate} \finenonce{002435} \finexercice \exercice{2450, matexo1, 2002/02/01} \enonce{002450}{} Dans $\R^4$, on note $v_1 = {\null}^t(1, 2, 0, -1)$, $v_2 = {\null}^t(3, 2, -1, -1)$, $v_3 = {\null}^t(-1, 2, 1, -3)$ et $v_4 = {\null}^t(1, -1, 1, -1)$. Sont-ils lin\'eairement ind\'ependants\,? Trouver une relation de d\'ependance lin\'eaire entre eux. \finenonce{002450} \finexercice \exercice{2459, matexo1, 2002/02/01} \enonce{002459}{$\mathbb C$ isomorphe \`a un sous-espace de $\mathcal M_2 (\mathbb{R})$} Soit $E$ l'espace vectoriel des matrices carr\'ees r\'eelles d'ordre 2. \begin{enumerate} \item Montrer que les ``vecteurs" $$ I = \left( \begin{array}{cc} 1&0\\ 0&1 \end{array} \right), \, J = \left( \begin{array}{cc} 0&1 \\ -1&0 \end{array} \right), \, K = \left( \begin{array}{cc} 0&1 \\ 1&0 \end{array} \right), \, L = \left( \begin{array}{cc} 1&0 \\ 0&-1 \end{array} \right)$$ de $E$ sont lin\'eairement ind\'ependants. \item Montrer que tout \'el\'ement $X = \left( \begin{array}{cc} a&b\\ c&d \end{array} \right)$ de $E$ s'\'ecrit de fa\c con unique sous la forme $X = x_1 I + x_2 J + x_3 K + x_4 L$ et calculer $x_1, x_2, x_3, x_4$ en fonction de $a,b,c,d$. \item V\'erifier la relation $J^2 = -I$. Calculer $JX$ et $XJ$. Montrer que l'\'equation $XJ = JX$ est \'equivalente \`a $x_3 = x_4 = 0$. En d\'eduire que le sous-espace de $E$ engendr\'e par $I, J$ est isomorphe au corps des complexes $\mathbb C$. \end{enumerate} \finenonce{002459} \finexercice \exercice{2780, tumpach, 2009/10/25} \enonce{002780}{} Soient dans $\mathbb{R}^3$ les vecteurs $\vec{v_1}= (1,1,0)$, $\vec{v_2}= (4,1,4)$ et $\vec{v_3}= (2,-1,4)$. \begin{enumerate} \item Montrer que $\vec{v_1}$ et $\vec{v_2}$ ne sont pas colin\'eaires. Faire de m\^eme avec $\vec{v_1}$ et $\vec{v_3}$, puis avec $\vec{v_2}$ et $\vec{v_3}$. \item La famille $(\vec{v_1}, \vec{v_2}, \vec{v_3})$ est-elle libre ? \end{enumerate} \finenonce{002780} \finexercice \exercice{2781, tumpach, 2009/10/25} \enonce{002781}{} Les familles suivantes sont-elles libres ? \begin{enumerate} \item $\vec{v_1} = (1,0,1)$, $\vec{v_2} = (0,2,2)$ et $\vec{v_3} = (3,7,1)$ dans $\mathbb{R}^3$. \item $\vec{v_1}= (1,0,0)$, $\vec{v_2} = (0,1,1)$ et $\vec{v_3}= (1,1,1)$ dans $\mathbb{R}^3$. \item $\vec{v_1} = (1,2,1,2,1)$, $\vec{v_2} = (2,1,2,1,2)$, $\vec{v_3} = (1,0,1,1,0)$ et $\vec{v_4} = (0,1,0,0,1)$ dans $\mathbb{R}^5$. \item $\vec{v_1} = (2,4,3,-1,-2,1)$, $\vec{v_2} = (1,1,2,1,3,1)$ et $\vec{v_3} = (0,-1,0,3,6,2)$ dans $\mathbb{R}^6$. \item $\vec{v_1} = (2,1,3,-1,4,-1)$, $\vec{v_2} = (-1,1,-2,2,-3,3)$ et $\vec{v_3} = (1,5,0,4,-1,7)$ dans $\mathbb{R}^6$.\\ \end{enumerate} \finenonce{002781} \finexercice \exercice{2782, tumpach, 2009/10/25} \enonce{002782}{} On suppose que $v_1, v_2, v_3, \ldots,v_n$ sont des vecteurs ind\'ependants de $\mathbb{R}^n$. \begin{enumerate} \item Les vecteurs $v_1-v_2, v_2-v_3, v_3-v_4, \ldots, v_n-v_1$ sont-ils lin\'eairement ind\'ependants~? \item Les vecteurs $v_1+v_2, v_2+v_3, v_3+v_4, \ldots, v_n+v_1$ sont-ils lin\'eairement ind\'ependants~? \item Les vecteurs $v_1, v_1+v_2, v_1+v_2+v_3, v_1+v_2+v_3+v_4, \ldots, v_1+v_2+ \cdots+v_n$ sont-ils lin\'eairement ind\'ependants?\\ \end{enumerate} \finenonce{002782} \finexercice \exercice{3297, quercia, 2010/03/09} \enonce{003297}{Sev de $ K^3$ engendrés par deux vecteurs} On considère les vecteurs de $ K^3$ : $\vec a = (1, 2, 1)$, $\vec b = (1, 3, 2)$, $\vec c = (1, 1, 0)$, $\vec d = (3, 8, 5)$. Soient $F = \text{vect}(\vec a,\vec b\,)$ et $G = \text{vect}(\vec c,\vec d\,)$. Comparer $F$ et $G$. \finenonce{003297} \finexercice\exercice{3301, quercia, 2010/03/09} \enonce{003301}{\'Etude de liberté} \'Etudier la liberté des familles suivantes : \begin{enumerate} \item $E=\{ {\text{fcts}} : \R \to \R \}$, ${\cal F}=(\sin, \cos)$. \item $E=\{ {\text{fcts}} : {\R^{+*}} \to \R \}$, ${\cal F}=(f_a : x \longmapsto x^a),\ a\in\R$. \item $E=\{ {\text{fcts}} : \R \to \R \}$, ${\cal F}=(f_a : x \longmapsto |x-a|),\ a\in\R$. \end{enumerate} \finenonce{003301} \finexercice \exercice{3302, quercia, 2010/03/09} \enonce{003302}{Nombres algébriques} On considère que $\R$ est un $\Q$-espace vectoriel. \begin{enumerate} \item Montrer que la famille $\big(1,\sqrt2,\sqrt3\big)$ est libre. \item Montrer que la famille $(\ln p)$ où $p$ décrit l'ensemble des nombres premiers positifs est libre. \end{enumerate} \finenonce{003302} \finexercice \exercice{3303, quercia, 2010/03/09} \enonce{003303}{Modification des vecteurs d'une famille libre} Soit $E$ un espace vectoriel, $(\vec x_1,\dots,\vec x_n)$ une famille libre de vecteurs de $E$, et $\alpha_1,\dots,\alpha_n$ des scalaires. {\def\v#1{{\vec x_{\rlap{$\scriptstyle#1$}}\hskip 1pt}'} On pose $\vec y = \sum_{i=1}^n \alpha_i\vec x_i$, et $\v i = \vec x_i + \vec y$. \'Etudier à quelle condition la famille $(\v1,\dots,\v n\,)$ est libre. } \finenonce{003303} \finexercice \exercice{3304, quercia, 2010/03/09} \enonce{003304}{Polynômes trigonométriques} Soit $E$ l'ev $\R^\R$, $F$ le sev engendré par les fonctions $f_n\,:\,x \mapsto \cos(nx)$, $n \in \N$, et $G$ le sev engendré par les fonctions $g_n\,:\,x \mapsto \cos^nx$, $n \in \N$. Montrer que $F$ = $G$. \finenonce{003304} \finexercice\exercice{5167, rouget, 2010/06/30} \enonce{005167}{**T} Soit $\Rr^\Nn$ le $\Rr$-espace vectoriel des suites réelles (muni des opérations usuelles). On considère les trois éléments de $E$ suivants~:~$u=(\cos(n\theta))_{n\in\Nn}$, $v=(\cos(n\theta+a))_{n\in\Nn}$ et $w=(\cos(n\theta+b))_{n\in\Nn}$ où $\theta$, $a$ et $b$ sont des réels donnés. Montrer que $(u,v,w)$ est une famille liée. \finenonce{005167} \finexercice\exercice{5180, rouget, 2010/06/30} \enonce{005180}{***T} Dans $E=\Rr^\Rr$, étudier la liberté des familles suivantes $A$ de vecteurs de $E$~: \begin{enumerate} \item $a$, $b$ et $c$ étant trois réels donnés, $A=(f_a,f_b,f_c)$ où, pour tout réel $x$, $f_u(x)=\sin(x+u)$. \item $A=(f_n)_{n\in\Zz}$ où, pour tout réel $x$, $f_n(x)=nx+n^2+1$. \item $A=(x\mapsto x^\alpha)_{\alpha\in\Rr}$ (ici $E=(]0;+\infty[)^2$). \item $A=(x\mapsto|x-a|)_{a\in\Rr}$. \end{enumerate} \finenonce{005180} \finexercice\exercice{5566, rouget, 2010/10/16} \enonce{005566}{**} Les familles suivantes de $\Rr^4$ sont-elles libres ou liées ? Fournir des relations de dépendance linéaire quand ces relations existent. \begin{enumerate} \item $(e_1,e_2,e_3)$ où $e_1=(3,0,1,-2)$, $e_2=(1,5,0,-1)$ et $e_3=(7,5,2,1)$. \item $(e_1,e_2,e_3,e_4)$ où $e_1=(1,1,1,1)$, $e_2=(1,1,1,-1)$, $e_3=(1,1,-1,1)$ et $e_4=(1,-1,1,1)$. \item $(e_1,e_2,e_3,e_4)$ où $e_1=(0,0,1,0)$, $e_2=(0,0,0,1)$, $e_3=(1,0,0,0)$ et $e_4=(0,1,0,0)$. \item $(e_1,e_2,e_3,e_4)$ où $e_1=(2,-1,3,1)$, $e_2=(1,1,1,1)$, $e_3=(4,1,5,3)$ et $e_4=(1,-2,2,0)$. \end{enumerate} \finenonce{005566} \finexercice \exercice{5567, rouget, 2010/10/16} \enonce{005567}{***} Montrer que $(1,\sqrt{2},\sqrt{3})$ est une famille libre du $\Qq$-espace vectoriel $\Rr$. \finenonce{005567} \finexercice \exercice{5568, rouget, 2010/10/16} \enonce{005568}{**} Soit $f(x) =\ln(1+x)$ pour $x$ réel positif. Soient $f_1 = f$, $f_2=f\circ f$ et $f_3= f\circ f\circ f$. Etudier la liberté de $(f_1,f_2,f_3)$ dans $[0,+\infty[^{[0,+\infty[}$. \finenonce{005568} \finexercice \exercice{5569, rouget, 2010/10/16} \enonce{005569}{**} Soit $f_a(x)=|x-a|$ pour $a$ et $x$ réels. Etudier la liberté de la famille $(f_a)_{a\in\Rr}$. \finenonce{005569} \finexercice \exercice{5570, rouget, 2010/10/16} \enonce{005570}{**I} On pose $f_a(x)=e^{ax}$ pour $a$ et $x$ réels. Etudier la liberté de la famille de fonctions $(f_a)_{a\in\Rr}$. \finenonce{005570} \finexercice \exercice{5571, rouget, 2010/10/16} \enonce{005571}{**} Montrer que toute suite de polynômes non nuls de degrés deux à deux distincts est libre. Montrer que toute suite de polynômes non nuls de valuations deux à deux distinctes est libre. \finenonce{005571} \finexercice \exercice{5574, rouget, 2010/10/16} \enonce{005574}{**} \begin{enumerate} \item Calculer pour $p$ et $q$ entiers naturels donnés les intégrales suivantes : \begin{center} $J(p,q)=\int_{0}^{2\pi}\cos(px)\cos(qx)\;dx$, $K(p,q)=\int_{0}^{2\pi}\cos(px)\sin(qx)\;dx$ et $L(p,q)=\int_{0}^{2\pi}\sin(px)\sin(qx)\;dx$. \end{center} \item Montrer que la famille de fonctions $(\cos(px))_{p\in\Nn}\cup(\sin(qx))_{q\in\Nn^*}$ est libre. \end{enumerate} \finenonce{005574} \finexercice \exercice{6870, chataur, 2012/05/13} \video{5yA5SIqdVAQ} \enonce{006870}{} \begin{enumerate} \item Soient $v_1=(2,1,4)$, $v_2=(1,-1,2)$ et $v_3=(3,3,6)$ des vecteurs de $\Rr^3$, trouver trois r\'eels non tous nuls $\alpha,\beta,\gamma$ tels que $\alpha v_1+ \beta v_2 + \gamma v_3=0$. \item On considère deux plans vectoriels $$P_1=\{(x,y,z) \in \Rr^3 \mid x-y+z=0\}$$ $$P_2=\{(x,y,z) \in \Rr^3 \mid x-y=0\}$$ trouver un vecteur directeur de la droite $D=P_1\cap P_2$ ainsi qu'une \'equation param\'etr\'ee. \end{enumerate} \finenonce{006870} \finexercice \exercice{7410, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007410}{} Dans $\Rr^4$ on considère les quatre vecteurs $$v_1=(1,0,-1,1),\ \ v_2=(2,1,0,1), \ \ v_3 =(1,1,1,0), \ \ v_4=(3,1,-1,2). $$ Soit $V=Vect(v_1,v_2,v_3,v_4)$. De plus, soit $$H=\{(x,y,z,t)\in\Rr^4 \ / \ \ -3x+y+2z-t=0 \}.$$ \begin{enumerate} \item Montrer que $\dim V =2$. Le systême $(v_1,v_2,v_3,v_4)$ est-il libre? Est-il générateur de $\Rr^4$? \item Donner une base de $V$, la compléter en une base de $\Rr^4$. \item Calculer des équations cartésiennes pour $V$. \item Montrer que $H$ est un sous-espace vectoriel de $\Rr^4$. \item Trouver une représentation paramétrique de $H$, et en déduire une base de $H$. Que vaut $\dim H$? \item Montrer que $v_3\in H$ et que $v_1\notin H$. En déduire $\dim(V\cap H)$ et $\dim(V+H)$. \item Donner une base de $V\cap H$. \end{enumerate} \finenonce{007410} \finexercice \section{ 106.03 Somme directe } \exercice{919, liousse, 2003/10/01} \video{lE3VGElRQrs} \enonce{000919}{} Soient $v_1=(0,1,-2,1), v_2=(1,0,2,-1), v_3=(3,2,2,-1), v_4 = (0,0,1,0)$ et $v_5=(0,0,0,1)$ des vecteurs de $\Rr^4$. Les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Justifier votre r\'eponse. \begin{enumerate} \item $\text{Vect}\{ v_1, v_2, v_3 \} = \text{Vect}\{(1,1,0,0),(-1,1,-4,2)\}$. \item $(1,1,0,0) \in \text{Vect}\{ v_1, v_2 \} \cap \text{Vect}\{ v_2, v_3, v_4 \}$. \item $\dim(\text{Vect}\{ v_1, v_2 \} \cap \text{Vect}\{ v_2, v_3, v_4 \})=1$ (c'est-à-dire c'est une droite vectorielle). \item $\text{Vect}\{ v_1, v_2 \} + \text{Vect}\{ v_2, v_3, v_4 \}= \Rr^4$. \item $\text{Vect}\{ v_4, v_5 \}$ est un sous-espace vectoriel suppl\'ementaire de $\text{Vect}\{ v_1, v_2, v_3 \}$ dans $\Rr^4$. \end{enumerate} \finenonce{000919} \finexercice \exercice{920, cousquer, 2003/10/01} \video{ByyFihncOvA} \enonce{000920}{} On consid\`ere les vecteurs $v_1=(1,0,0,1)$, $v_2=(0,0,1,0)$, $v_3=(0,1,0,0)$, $v_4=(0,0,0,1)$, $v_5=(0,1,0,1)$ dans $\mathbb{R}^4$. \begin{enumerate} \item $\mbox{Vect}\{v_1,v_2\}$ et $\mbox{Vect}\{v_3\}$ sont-ils suppl\'ementaires dans $\mathbb{R}^4$ ? \item $\mbox{Vect}\{v_1,v_2\}$ et $\mbox{Vect}\{v_4, v_5\}$ sont-ils suppl\'ementaires dans $\mathbb{R}^4$ ? \item $\mbox{Vect}\{v_1,v_3,v_4\}$ et $\mbox{Vect}\{v_2,v_5\}$ sont-ils suppl\'ementaires dans $\mathbb{R}^4$ ? \item $\mbox{Vect}\{v_1,v_4\}$ et $\mbox{Vect}\{v_3, v_5\}$ sont-ils suppl\'ementaires dans $\mathbb{R}^4$ ? \end{enumerate} \finenonce{000920} \finexercice \exercice{921, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000921}{} Si $L,M,N$ sont trois sous-espaces vectoriels de $E$, a-t-on~: $$L\cap(M+N) = L\cap M + L \cap N\;?$$ \finenonce{000921} \finexercice \exercice{922, legall, 1998/09/01} \enonce{000922}{} Soit $E = \R[X]$ l'espace vectoriel des polyn\^omes. On d\'efinit $$E_a =\left\{ P\in E ; (X-a)/P\right\} $$ pour $a\in \R$. Montrer que si $a\not = b$ alors $E = E_a + E_b$. La somme est-elle directe? \finenonce{000922} \finexercice \exercice{923, ridde, 1999/11/01} \video{40VUaSvJ4DY} \enonce{000923}{} Soit $E = \Delta^1 (\Rr, \Rr)$ l'espace des fonctions dérivables et $F = \left\{ f \in E \mid f (0) = f' (0) = 0\right\}$. Montrer que $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$ et d\'eterminer un suppl\'ementaire de $F$ dans $E$. \finenonce{000923} \finexercice \exercice{924, legall, 1998/09/01} \enonce{000924}{} Soient $E$ un espace vectoriel, $F$ et $G$ deux sous-espaces vectoriels de $E$. On dit que $F$ et $G$ sont {\em suppl\' ementaires} dans $E$ lorsque $F\cap G =\{ 0 \} $ et $E=F+G$. On note $E=F\oplus G $. \begin{enumerate} \item Soient $e_1=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ \end{pmatrix} , e_2=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \\ \end{pmatrix} , e_3=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \\ \end{pmatrix} , e_4=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ \end{pmatrix} \hbox{ et } e_5=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \\ \end{pmatrix} $ des vecteurs de ${ \Rr}^4$. Posons $F= \hbox{Vect }\{ e_1 , e_2 \} , G= \hbox{Vect }\{ e_3 , e_4 \} , G'= \hbox{Vect }\{ e_3 , e_4 , e_5 \} $. Montrer que $E=F\oplus G $ et $E\not =F\oplus G' $. \item Supposons que $E$ est de dimension finie $n$, que $\hbox{dim }(F)=p$ et $E=F\oplus G $. \begin{enumerate} \item Calculer $\hbox{dim }(G)$. \item Montrer que tout \' el\' ement $x$ de $E$ se d\' ecompose d'une mani\`ere {\em unique} en une somme $x=y+z $ avec $y\in F$ et $z\in G$. \item Soient $\mathcal{F} =\{ f_1 , \cdots , f_k \}$ une famille libre de $F$ et $\mathcal{G} =\{ g_1 ,\cdots , g_l \}$ une famille libre de $G$. Montrer que la famille $\mathcal{F} \cup \mathcal{G} $ est libre. \item Soit $\varphi $ une application lin\' eaire de $E$ dans ${ \Rr}^q$, $q\in { \Nn}$. Construire deux applications lin\' eaires $\psi$ et $\psi '$ de $ E$ dans ${ \Rr}^q$ telles que : $\forall y \in F : \psi '(y)=0 , \forall z \in G : \psi (z)=0$ et $\forall x \in E : \varphi (x)=\psi (x)+\psi ' (x)$. \end{enumerate} \end{enumerate} \finenonce{000924} \finexercice \exercice{925, legall, 1998/09/01} \enonce{000925}{Caract\'erisation de la somme directe de trois s.e.v.} Soient $U, V, W$ des s.e.v. d'un e.v. $E$, v\'erifiant $(I) : U\cap V=\{0\}=(U+V)\cap W$. \begin{enumerate} \item D\'emontrer que $V\cap W=\{0\}=U\cap(V+W)$.\\ \item Montrer que $(I)$ \'equivaut \`a $$(II) : (\forall x \in U+V+W) (\exists ! (u,v,w) \in U\times V \times W) (x=u+v+w).$$ \end{enumerate} \finenonce{000925} \finexercice \exercice{926, gourio, 2001/09/01} \video{uLIAnT8Tc2w} \enonce{000926}{} Soit $$E=\big\{(u_{n})_{n\in \Nn}\in \Rr^{\Nn}\ |\ (u_{n})_{n} \text{ converge }\big\}.$$ Montrer que l'ensemble des suites constantes et l'ensemble des suites convergeant vers $0$ sont des sous-espaces suppl\'{e}mentaires dans $E.$ \finenonce{000926} \finexercice \exercice{2433, matexo1, 2002/02/01} \video{F1PmEC1haKY} \enonce{002433}{} Soit $f$ l'endomorphisme de $\R^3$ dont la matrice par rapport \`a la base canonique $(e_1, e_2, e_3)$ est $$A= \left( \begin{array}{ccc} 15 & -11 & 5 \\ 20 & -15 & 8 \\ 8 & -7 & 6 \end{array} \right).$$ Montrer que les vecteurs $$ e'_1 = 2e_1+3e_2+e_3,\quad e'_2 = 3e_1+4e_2+e_3,\quad e'_3 = e_1+2e_2+2e_3$$ forment une base de $\R^3$ et calculer la matrice de $f$ par rapport \`a cette base. \finenonce{002433} \finexercice \exercice{3305, quercia, 2010/03/09} \enonce{003305}{Supplémentaire commun, X MP$^*$ 2005} \begin{enumerate} \item Soit $A = \{P\in\R[X]$ tq $P=(1-X)Q(X^2)$ avec $Q\in\R[X]\}$. \begin{enumerate} \item Montrer que $A$ est un $\R$-ev et que l'on a $R[X] = A \oplus \{$ polynômes pairs $\}$. A-t-on $R[X] = A \oplus \{$ polynômes impairs $\}$~? \item Que peut-on dire si l'on remplace $Q(X^2)$ par une fonction $f$ paire~? \end{enumerate} \item Soient $E_1$, $E_2$ deux sev d'un ev~$E$ tels que $E_1$ et $E_2$ sont isomorphes et $E = E_1 \oplus E_2$. Montrer que $E_1$ et $E_2$ ont un supplémentaire commun. \end{enumerate} \finenonce{003305} \finexercice \exercice{3652, quercia, 2010/03/10} \enonce{003652}{} Soit $E = K_3[X]$, $F = \{ P \in E$ tq $P(0) = P(1) = P(2) = 0 \}$, $G = \{ P \in E$ tq $P(1) = P(2) = P(3) = 0 \}$, et $H = \{ P \in E$ tq $P(X) = P(-X) \}$. \begin{enumerate} \item Montrer que $F \oplus G = \{ P \in E$ tq $P(1) = P(2) = 0 \}$. \item Montrer que $F \oplus G \oplus H = E$. \end{enumerate} \finenonce{003652} \finexercice \exercice{3653, quercia, 2010/03/10} \enonce{003653}{Caractérisation des sommes directes} Soient $F_1$, $F_2$, $F_3$ trois sev de $E$. Montrer que $F_1+F_2+F_3$ est directe si et seulement si : $F_1 \cap F_2 = \{\vec 0\}$ et $(F_1 + F_2) \cap F_3 = \{\vec 0\}$. Généraliser. \finenonce{003653} \finexercice \exercice{3654, quercia, 2010/03/10} \enonce{003654}{Somme directe dans $E$ $ \Rightarrow $ somme directe dans $\mathcal{L}(E)$} Soit $E$ un $ K$-ev de dimension finie $n$ et ${\cal B} = ({\vec e}_1,\dots,{\vec e}_n)$ une base de $E$. On note $F_i = \{ u \in \mathcal{L}(E)$ tq $\Im u \subset \text{vect}({\vec e}_i)\}$. \begin{enumerate} \item Caractériser matriciellement les éléments de $F_i$. \item Montrer que $F_1 \oplus F_2 \oplus \dots \oplus F_n = \mathcal{L}(E)$. \end{enumerate} \finenonce{003654} \finexercice \exercice{3655, quercia, 2010/03/10} \enonce{003655}{Toute somme peut être rendue directe en réduisant les sev} Soit $E$ un $ K$-ev de dimension finie, $F_1$, $F_2$, \dots, $F_n$ des sev de $E$ tels que $F_1 + \dots + F_n = E$. Montrer qu'il existe des sev $G_1 \subset F_1$, \dots, $G_n \subset F_n$ tels que $G_1 \oplus G_2 \oplus \dots \oplus G_n = E$. \finenonce{003655} \finexercice \exercice{3656, quercia, 2010/03/10} \enonce{003656}{Somme et intersection} Soit $E$ un $ K$-ev, $E_1,\dots,E_n$ des sev tels que $E_1 \oplus \dots \oplus E_n = E$, $F$ un autre sev de $E$, et $F_i = E_i \cap F$. \begin{enumerate} \item Montrer que la somme $G = F_1 + \dots + F_n$ est directe. \item Comparer $F$ et $G$. \end{enumerate} \finenonce{003656} \finexercice \exercice{3657, quercia, 2010/03/10} \enonce{003657}{Somme directe d'endomorphismes} Soit $E$ un $ K$-ev, $E_1,\dots,E_n$ des sev tels que $E_1 \oplus \dots \oplus E_n = E$. Soient $u_1 \in \mathcal{L}({E_1}),\dots,u_n \in \mathcal{L}({E_n})$. \begin{enumerate} \item Montrer qu'il existe un unique endomorphisme $u \in \mathcal{L}(E)$ tel que pour tout $i$ : $u_{|F_i} = u_i$. \item Montrer que $\mathrm{Ker}(u) = \mathrm{Ker}(u_1) \oplus \dots \oplus \mathrm{Ker}(u_n)$ et $\Im (u) = \Im (u_1) \oplus \dots \oplus \Im (u_n)$. \end{enumerate} \finenonce{003657} \finexercice \exercice{3658, quercia, 2010/03/10} \enonce{003658}{Somme de projecteurs} Soit $E$ un $ K$-ev de dimension finie et $p_1,\dots,p_n$ des projecteurs tels que $p_1 + \dots + p_n = \mathrm{id}_E$. \begin{enumerate} \item Montrer que $\mathrm{tr}(p_i) = \mathrm{rg}(p_i)$. \item Montrer que $E = \Im(p_1) \oplus \dots \oplus \Im(p_n)$. \end{enumerate} \finenonce{003658} \finexercice \exercice{3659, quercia, 2010/03/10} \enonce{003659}{Projecteurs} Soit $E$ un espace vectoriel de dimension $n$, et $f_1,\ldots,f_n$ $n$ applications linéaires toutes non nulles. On suppose que~: $\forall\ (i,j)\in{[[1,n]]^2},\ f_i\circ f_j=\delta_{i,j}f_i$. Montrer les $f_i$ sont toutes de rang un. \finenonce{003659} \finexercice\exercice{5178, rouget, 2010/06/30} \enonce{005178}{**IT} Soient $u=(1,1,...,1)$ et $F=\mbox{Vect}(u)$ puis $G=\{(x_1,...,x_n)\in\Rr^n/\;x_1+...+x_n=0\}$. Montrer que $G$ est un sous-espace vectoriel de $\Rr^n$ et que $\Rr^n=F\oplus G$. \finenonce{005178} \finexercice\exercice{5185, rouget, 2010/06/30} \enonce{005185}{**} Soit $\Kk$ un sous-corps de $\Cc$ et $E$ un $\Kk$-espace vectoriel de dimension finie. Soient $f$ et $g$ deux endomorphismes de $E$ vérifiant $E=\mbox{Ker}f+\mbox{Ker}g=\mbox{Im}f+\mbox{Im}g$. Montrer que ces sommes sont directes. \finenonce{005185} \finexercice\exercice{5565, rouget, 2010/10/16} \enonce{005565}{** I} $E=\Kk^n$ où $\Kk$ est un sous-corps de $\Cc$. Soient $F=\{(x_1,...,x_n)\in E/\;x_1+...+x_n=0\}$ et $G=\text{Vect}\left((1,...,1)\right)$. Montrer que $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$. Montrer que $F$ et $G$ sont supplémentaires dans $E$. Préciser le projeté d'un vecteur $x$ de $E$ sur $F$ parallèlement à $G$ et sur $G$ parallèlement à $F$. \finenonce{005565} \finexercice \exercice{6871, chataur, 2012/05/13} \video{u7JkO7A-9ZA} \enonce{006871}{} Par des considérations géométriques répondez aux questions suivantes : \begin{enumerate} \item Deux droites vectorielles de $\mathbb{R}^3$ sont-elles suppl\'ementaires ? \item Deux plans vectoriels de $\mathbb{R}^3$ sont-ils suppl\'ementaires ? \item A quelle condition un plan vectoriel et une droite vectorielle de $\mathbb{R}^3$ sont-ils supplémentaires ? \end{enumerate} \finenonce{006871} \finexercice \exercice{7414, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007414}{} Soit $E$ l'espace vectoriel des fonctions de classe $\mathcal C^1$ de $\Rr$ dans $\Rr$. Soit $F$ l'ensemble de toutes les fonctions de $\Rr$ dans $\Rr$ qui s'\'{e}crivent $x\mapsto ax+b$, pour certains r\'{e}els $a$ et $b$. Soit enfin $G=\{f\in E | f(0)=0, f'(0)=0\}$. \begin{enumerate} \item Montrer que $F$ et $G$ sont des sous-espaces vectoriels de $E$. \item Montrer que $$E=F\oplus G.$$ \end{enumerate} \finenonce{007414} \finexercice \section{ 106.04 Base } \exercice{979, legall, 1998/09/01} \enonce{000979}{} Montrer que les vecteurs $\{ \begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 1 \\ \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} -1 \cr 1 \cr 0\cr \end{pmatrix} , \begin{pmatrix}1 \cr 0 \cr -1 \cr \end{pmatrix} \}$ forment une base de ${\Rr}^3$. Calculer les coordonn\' ees respectives des vecteurs $ \begin{pmatrix}1 \cr 0 \cr 0 \cr\end{pmatrix} , \begin{pmatrix}1 \cr 0 \cr 1\cr \end{pmatrix} , \begin{pmatrix}0 \cr 0 \cr 1 \cr \end{pmatrix}$ dans cette base. \finenonce{000979} \finexercice \exercice{980, liousse, 2003/10/01} \enonce{000980}{} Soient $\vec{v_1}(1,2,3,4), \vec{v_2}(2,2,2,6), \vec{v_3}(0,2,4,4), \vec{v_4}(1,0,-1,2), \vec{v_5}(2,3,0,1)$ dans $\Rr^4$. Soient $F=Vect\{\vec{v_1}, \vec{v_2}, \vec{v_3}\}$ et $G=Vect\{\vec{v_4}, \vec{v_5} \}$. D\'eterminer une base des sous-espaces $F\cap G,$ $F,$ $G$ et $F+G.$ \finenonce{000980} \finexercice \exercice{981, liousse, 2003/10/01} \video{vlr-D0jhb-Q} \enonce{000981}{} \begin{enumerate} \item Montrer que les vecteurs $v_1=(0,1,1)$, $v_2=(1,0,1)$ et $v_3=(1,1,0)$ forment une base de $\Rr^3$. Trouver les composantes du vecteur $w=(1,1,1)$ dans cette base $(v_1,v_2,v_3)$. \item Montrer que les vecteurs $v_1=(1,1,1)$, $v_2=(-1,1,0)$ et $v_3=(1,0,-1)$ forment une base de $\Rr^3$. Trouver les composantes du vecteur $e_1=(1,0,0)$, $e_2=(0,1,0)$, $e_3=(0,0,1)$ et $w=(1,2,-3)$ dans cette base $(v_1,v_2,v_3)$. \item Dans $\Rr^3$, donner un exemple de famille libre qui n'est pas g\'en\'eratrice. \item Dans $\Rr^3$, donner un exemple de famille g\'en\'eratrice qui n'est pas libre. \end{enumerate} \finenonce{000981} \finexercice \exercice{982, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000982}{} On considère dans $\mathbb{R}^4$, $F=\mbox{lin}\{a,b,c\}$ et $G=\mbox{lin}\{d,e\}$, avec $a=(1,2,3,4)$, $b=(2,2,2,6)$, $c=(0,2,4,4)$, $d=(1,0,-1,2)$ et $e=(2,3,0,1)$. Déterminer des bases des sous-espaces $F\cap G$, $F$, $G$, $F+G$. \finenonce{000982} \finexercice \exercice{983, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000983}{} Dans l'espace $\mathcal{P}_5$ des polynômes de degré $\leq 5$, on définit les sous-ensembles~:\newline $E_1=\{P\in\mathcal{P}_5 \mid P(0)=0\}$\newline $E_2=\{P\in\mathcal{P}_5 \mid P'(1)=0\}$\newline $E_3=\{P\in\mathcal{P}_5 \mid x^2+1 \mbox{ divise } P\}$\newline $E_4=\{P\in\mathcal{P}_5 \mid x\mapsto P(x) \mbox{ est une fonction paire}\}$\newline $E_5=\{P\in\mathcal{P}_5 \mid \forall x,\; P(x)=xP'(x)\}$. \begin{enumerate} \item Déterminer des bases des sous-espaces vectoriels $E_1$, $E_2$, $E_3$, $E_4$, $E_5$, $E_1\cap E_2$, $E_1\cap E_3$, $E_1\cap E_2\cap E_3$, $E_1\cap E_2\cap E_3\cap E_4$. \item Déterminer dans $\mathcal{P}_5$ des sous-espaces supplémentaires de $E_4$ et de $E_1\cap E_3$. \end{enumerate} \finenonce{000983} \finexercice \exercice{984, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000984}{} Dans $\mathbb{R}^4$ on considère l'ensemble $E$ des vecteurs $(x_1,x_2,x_3,x_4)$ vérifiant l'équation $x_1+x_2+x_3+x_4 =0$. L'ensemble $E$ est-il un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^4$~? Si oui, en donner une base. \finenonce{000984} \finexercice \exercice{985, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000985}{} Vrai ou faux ? On d\'esigne par $E$ un $\mathbb{R}$-espace vectoriel de dimension finie. \begin{enumerate} \item Si les vecteurs $x,y,z$ sont deux \`a deux non colin\'eaires, alors la famille $x,y,z$ est libre. \item Soit $x_1,x_2, \dots,x_p$ une famille de vecteurs. Si aucun n'est une combinaison lin\'eaire des autres, la famille est libre. \end{enumerate} \finenonce{000985} \finexercice \exercice{986, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000986}{} Étudier l'indépendance linéaire des listes de vecteurs suivantes, et trouver à chaque fois une base du sous-espace engendré. \begin{enumerate} \item $(1,0,1)$, $(0,2,2)$, $(3,7,1)$ dans $\mathbb{R}^3$. \item $(1,0,0)$, $(0,1,1)$, $(1,1,1)$ dans $\mathbb{R}^3$. \item $(1,2,1,2,1)$, $(2,1,2,1,2)$, $(1,0,1,1,0)$, $(0,1,0,0,1)$ dans $\mathbb{R}^5$. \item $(2,4,3,-1,-2,1)$, $(1,1,2,1,3,1)$, $(0,-1,0,3,6,2)$ dans $\mathbb{R}^6$. \item $(2,1,3,-1,4,-1)$, $(-1,1,-2,2,-3,3)$, $(1,5,0,4,-1,7)$ dans $\mathbb{R}^6$. \end{enumerate} \finenonce{000986} \finexercice \exercice{987, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000987}{} Dans $\mathbb{R}^3$, les vecteurs suivants forment-ils une base~? Sinon d\'ecrire le sous-espace qu'ils engendrent. \begin{enumerate} \item $v_1 =(1,1,1), v_2=(3,0,-1),v_3=(-1,1,-1).$ \item $v_1 =(1,2,3), v_2=(3,0,-1),v_3=(1,8,13).$ \item $v_1 =(1,2,-3), v_2=(1,0,-1),v_3=(1,10,-11).$ \end{enumerate} \finenonce{000987} \finexercice \exercice{988, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000988}{} Dans $\mathbb{R}^3$, comparer les sous-espaces $F$ et $G$ suivants~:\\ $F=\mbox{lin}\{(2,3,-1), (1,-1,-2)\}$ et $G=\mbox{lin}\{(3,7,0), (5,0,-7)\}$. \finenonce{000988} \finexercice \exercice{989, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000989}{} Dans $\mathbb{R}^4$, on considère les familles de vecteurs suivantes \\ $v_1=(1,1,1,1)$, $v_2=(0,1,2,-1)$, $v_3=(1,0,-2,3)$, $v_4=(2,1,0,-1)$, $v_5=(4,3,2,1)$. \\ $v_1=(1,2,3,4)$, $v_2=(0,1,2,-1)$, $v_3=(3,4,5,16)$. \\ $v_1=(1,2,3,4)$, $v_2=(0,1,2,-1)$, $v_3=(2,1,0,11)$, $v_4=(3,4,5,14)$.\\ Ces vecteurs forment-ils~: \begin{enumerate} \item Une famille libre~? Si oui, la compléter pour obtenir une base de $\mathbb{R}^4$. Si non donner des relations de dépendance entre eux et extraire de cette famille au moins une famille libre. \item Une famille génératrice~? Si oui, en extraire au moins une base de l'espace. Si non, donner la dimension du sous-espace qu'ils engendrent. \end{enumerate} \finenonce{000989} \finexercice \exercice{990, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000990}{} Si $E$ est un espace vectoriel de dimension finie, $F$ et $G$ deux sous-espaces de $E$, montrer que $F\cup G$ est un sous-espace vectoriel si et seulement si $F\subset G$ ou $G\subset F$. \finenonce{000990} \finexercice \exercice{991, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000991}{} On désigne par $E$ un $\mathbb{R}$-espace vectoriel de dimension finie. Les propriétés suivantes sont-elles vraies ou fausses~? \begin{enumerate} \item Soient $D_1,D_2,D_3$ des droites vectorielles de $\mathbb{R}^3$ distinctes deux à deux. Alors $\mathbb{R}^3$ est somme de $D_1,D_2,D_3$. \item Soient $F$ et $G$ des hyperplans vectoriels de $E$. Alors $E \neq F \cup G$. \item Soient $P_1$ et $P_2$ des plans vectoriels de $E$ tels que $P_1 \cap P_2 = \{0\}$. Alors $\dim E \ge 4$. \item Soient $F$ et $G$ des sous-espaces de dimension~$3$ de $\mathbb{R}^5$. Alors $F \cap G \ne\{0\}$. \item Soit $(e_1,e_2,e_3,e_4)$ la base canonique de $\mathbb{R}^4$ et $F=\mbox{lin}\{e_1,e_3\}$. Tout sous-espace vectoriel supplémentaire de $F$ contient $e_2$. \end{enumerate} \finenonce{000991} \finexercice \exercice{992, cousquer, 2003/10/01} \video{FZf39lWtpZw} \enonce{000992}{} \begin{enumerate} \item Soit $E=\Rr_n[X]$ l'espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à $n$. Montrer que toute famille de polyn\^omes $\{P_0,P_1,\ldots,P_n\}$ avec $\deg P_i = i$ (pour $i=0,1,\ldots,n$) forme une base de $E$. \item \'Ecrire le polyn\^ome $F=3X-X^2+8X^3$ sous la forme $F=a+b(1-X)+c(X-X^2)+d(X^2-X^3)$ ($a,b,c,d \in \Rr$) puis sous la forme $F=\alpha+\beta(1+X)+\gamma(1+X+X^2)+\delta(1+X+X^2+X^3)$ ($\alpha,\beta,\gamma,\delta \in \Rr$). \end{enumerate} \finenonce{000992} \finexercice \exercice{993, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000993}{} Dans l'espace vectoriel $\mathcal{P}_2$ des polynômes de degré $\leq 2$, on considère les polynômes $P_1=X^2+X(1-X)+(1-X)^2$, $P_2=X^2+(1-X)^2$, $P_3=X^2+1+(1-X)^2$, $P_4=X(1-X)$. Peut-on extraire de $\{P_1,P_2,P_3,P_4\}$ des bases de $\mathcal{P}_2$~? Si oui, les trouver toutes. \finenonce{000993} \finexercice \exercice{994, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000994}{} Soit $E$ l'ensemble des fractions rationnelles $F$ qui peuvent s'écrire $$ F=\frac{P}{(X-1)^3(X^2+1)^2}, \qquad P \mbox{ polynôme de degré }\leq 6.$$ Les fractions $\frac{1}{(X-1)}$, $\frac{1}{(X-1)^2}$, $\frac{1}{(X-1)^3}$, $\frac{1}{X^2+1}$, $\frac{X}{X^2+1}$, $\frac{1}{(X^2+1)^2}$, $\frac{X}{(X^2+1)^2}$ forment-elles une base de $E$~?\\ Que se passe-t-il si on suppose que $P$ décrit l'ensemble des polynômes de degré $\leq 9$~? \finenonce{000994} \finexercice \exercice{995, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000995}{} Problème de l'interpolation~: soit les cinq points $(x_1,y_1)=(-2,3)$, $(x_2,y_2)=(0,-2)$, $(x_3,y_3)=(1,5)$, $(x_4,y_4)=(5,1)$, $(x_5,y_5)=(6,7)$ de $\mathbb{R}^2$, et $\mathcal{P}_4$ l'espace vectoriel des polynômes de degré $\leq 4$. On veut trouver un polynôme~$F$ dans $\mathcal{P}_4$ tel que pour $i=1,\ldots,5$ on ait $F(x_i)=y_i$. \begin{enumerate} \item Sans effectuer les calculs, indiquer comment on pourrait calculer $a,b,c,d,e$ exprimant $F=a+bX+cX^2+dX^3+eX^4$ selon la base $\{1,X,X^2,X^3,X^4\}$ de $\mathcal{P}_4$. \item Montrer que $\{1,X+2,(X+2)X,(X+2)X(X-1), (X+2)X(X-1)(X-5)\}$ est une base de $\mathcal{P}_4$. Calculer directement (indépendamment de la question précédente) les coordonnées de $F$ dans cette base. \item Montrer que l'ensemble des polynômes $X(X-1)(X-5)(X-6),(X+2)(X-1)(X-5)(X-6), (X+2)X(X-5)(X-6), (X+2)X(X-1)(X-6),(X+2)X(X-1)(X-5)$ forment une base de $\mathcal{P}_4$. Calculer directement (indépendamment des questions précédentes) les coordonnées de~$F$ dans cette base. \item Dans laquelle des diverses bases ci-dessus le calcul de~$F$ vous paraît-il le plus simple~? \end{enumerate} \finenonce{000995} \finexercice \exercice{996, legall, 1998/09/01} \video{Pmhg9aR10aA} \enonce{000996}{} D\'eterminer pour quelles valeurs de $ t\in {\Rr} $ les vecteurs $$\big\{(1, 0, t), (1, 1, t), (t,0,1)\big\}$$ forment une base de $\Rr^3$. \finenonce{000996} \finexercice \exercice{997, legall, 1998/09/01} \enonce{000997}{} Soit $(\Sigma )$ le syst\`eme d'\' equations lin\' eaires : $$\left\lbrace \begin{array}{l} x+3y+2z= 0 \\ x+y+z+t= 0 \\ x-t= 0 \end{array}\right.$$ \noindent Montrer que l'ensemble des solutions de $(\Sigma )$ forme un sous-espace vectoriel $F$ de ${\Rr}^4$. D\' eterminer la dimension et une base de $F$. \finenonce{000997} \finexercice \exercice{998, legall, 1998/09/01} \enonce{000998}{} Soit $ a\in \R .$ On pose, pour tout $ p\in \Nn : A_p(X)=(X-a)^p $ et $ B_p(X)=X^p .$ \begin{enumerate} \item Montrer que $\epsilon = \{ A_0, \ldots, A_n\} $ est une base de $ \R _n[X] .$ \item Soit $ P\in \R _n[X] .$ Montrer que $ \displaystyle{ P(X)= \sum _{k=0}^n \frac{1}{ k!}P^{(k)}(a)A_k(X)} .$ (On pourra montrer que l'ensemble $ E $ des \'el\'ement de $ \R _n[X] $ qui satisfont \`a cette \'egalit\'e est un sous-espace vectoriel de $ \R _n[X] $ et contient une base.) \end{enumerate} \finenonce{000998} \finexercice \exercice{999, legall, 1998/09/01} \enonce{000999}{} On munit $E={ \Rr}^{*}_{+}\times { \Rr}$ de la loi interne ``addition'' + : $(a,b)+(a',b')=(aa',b+b')$, et de la loi externe . \`a coefficients r\'eels : $(\forall \lambda \in { \Rr}) \forall (a,b) \in E \lambda.(a,b)=(a^{\lambda},\lambda b)$. \begin{enumerate} \item V\'erifier que $(E,+,.)$ est un ${ \Rr}$-e.v. \item Les syst\`emes suivants sont-ils libres ou li\'es : ((1,0),(1,1)) ? ((2,1),(8,3)) ? ((2,1),(6,3)) ? \item V\'erifier que le syst\`eme $b=((2,0),(2,1))$ est une base de $E$ et d\'eterminer les composantes du vecteur $v=(x,y) \in E$ par rapport \`a la base $b$. \end{enumerate} \finenonce{000999} \finexercice \exercice{1000, legall, 1998/09/01} \enonce{001000}{} Pour $k=2,3,4$ montrer que $V_{k}$ est un s.e.v. de ${ \Cc}^{k}$, et en donner une base : $$V_{2}=\{(a,b)\in { \Cc}^{2}/a+ib=0\}, V_{3}=\{(a,b,c)\in { \Cc}^{3} /a+2b+3c=0\},$$ $$V_{4}=\{(a,b,c,d)\in { \Cc}^{4} /a+ib=b+ic=c+id\}.$$ \finenonce{001000} \finexercice \exercice{1001, legall, 1998/09/01} \enonce{001001}{} Soit $n \in { \Nn}$ et $E={ \Rr}_{n}[X]$, l'espace vectoriel des polyn\^omes \`a coefficients r\'eels, de degr\'e $\le n$. \begin{enumerate} \item Soit $\beta=(P_{0},P_{1},...,P_{n})$ un syst\`eme de $(n+1)$ polyn\^omes tels que, $\forall k$, $0\le k \le n$, $\text{deg}\,P_{k}=k$. Montrer que $\beta$ est une base de $E$. \item Soit $P$ un polyn\^ome de degr\'e $n$. Montrer que : $\gamma=(P,P',\ldots,P^{(n)})$ est une base de $E$ et d\'eterminer les composantes du polyn\^ome $Q$ d\'efini par : $Q(X)=P(X+a)$, ($a$ r\'eel fix\'e), dans la base $\gamma$. \item D\'emontrer que le syst\`eme $S=(X^{k}(1-X)^{n-k})_{0\le k \le n}$ est une base de $E$, et d\'eterminer, pour tout $p \in \{0,1,\ldots,n\}$, les composantes du polyn\^ome $X^{p}$ dans la base $S$. \end{enumerate} \finenonce{001001} \finexercice \exercice{1002, legall, 1998/09/01} \enonce{001002}{} Soient $\mathbf{v}_1 = (1,0,0,-1), \mathbf{v}_2 = (2,1, 0,1), \mathbf{v}_3 = (1,-1,1,-1), \mathbf{v}_4=(7,2,0,-1)$. Donner une base du sous-espace vectoriel $F =<\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3,\mathbf{v}_4>$. D\'eterminer un suppl\'ementaire $G$ de $F$ dans $\R^4$. \finenonce{001002} \finexercice \exercice{1003, legall, 1998/09/01} \enonce{001003}{} Soient le triplet $ {\mathbf v}_1 =(1,2,3,0), {\mathbf v}_2 =(-1,1,2,1), {\mathbf v}_3 =(1,5,8,1)$ et le triplet $ {\mathbf w}_1 =(0,3,5,1), {\mathbf w}_2 =(1,-1,1,0), {\mathbf w}_3 =(0,0,3,1)$. On consid\`ere les sous-espaces vectoriels $F= < {\mathbf v}_1 ,{\mathbf v}_2,{\mathbf v}_3>$ et $G= < {\mathbf w}_1 ,{\mathbf w}_2,{\mathbf w}_3>$. Donner une base des sous-espaces suivants $F,G, F\cap G$ et $F+G$. \finenonce{001003} \finexercice \exercice{1004, legall, 1998/09/01} \enonce{001004}{} Soit $$ E =\left\{ f_{\alpha,A} \in {\mathcal F}(\R,\R); (\alpha,A)\in \R^2,\quad f_{\alpha,A}(x) = A\cos(x+\alpha)\right\}. $$ Montrer que $E$ est un sous-espace vectoriel de ${\mathcal F}(\R,\R)$ et en donner une base. \finenonce{001004} \finexercice \exercice{1005, legall, 1998/09/01} \enonce{001005}{} Soit $E =\R^3$. On d\'efinit le syst\`eme $$S=\left\{ {\mathbf e}_1 =(1,1,1), {\mathbf e}_2 =(1,1,2), {\mathbf e}_3 =(1,2,3)\right\}$$ \begin{enumerate} \item Montrer que $S$ est une base de $E$. \item Calculer les coordonn\'ees de ${\mathbf v} = (5,7,12)$ dans cette base. \end{enumerate} \finenonce{001005} \finexercice \exercice{1006, legall, 1998/09/01} \video{G-Xa2ZmQUwQ} \enonce{001006}{} \begin{enumerate} \item Montrer que les vecteurs $v_1 =(1,-1,i)$, $v_2=(-1,i,1)$, $v_3 =(i,1,-1)$ forment une base de $\Cc^3$. \item Calculer les coordonnées de $v = (1+i,1-i,i)$ dans cette base. \end{enumerate} \finenonce{001006} \finexercice \exercice{1007, legall, 1998/09/01} \enonce{001007}{} \begin{enumerate} \item Montrer que les syst\`emes ${\mathbf s}_1= (1,\sqrt2)$ et ${\mathbf s}_2= (1,\sqrt2,\sqrt3)$ sont libres dans $\R$ consid\'er\'e comme un espace vectoriel sur $\Qq$. \item Soient dans $\R^2$, les vecteurs ${\mathbf u}_1 = (3+\sqrt5, 2+3\sqrt5)$ et ${\mathbf u}_2 = (4, 7\sqrt5 -9)$. Montrer que le syst\`eme $({\mathbf u}_1 ,{\mathbf u}_2)$ est $\Qq$--libre et $\R$--li\'e. \item Soient dans $\C^2$, les vecteurs ${\mathbf r}_1 = (1+i, 1-2i)$ et ${\mathbf r}_2 = (3i-1, 5)$. Montrer que le syst\`eme $({\mathbf r}_1 ,{\mathbf r}_2)$ est $\Rr$--libre et $\C$--li\'e. \end{enumerate} \finenonce{001007} \finexercice \exercice{1008, legall, 1998/09/01} \enonce{001008}{} D\' eterminer pour quelles valeurs de $t\in {\Rr}$ les polyn\^omes $ X^2+t/2\ , \ X-t \ ,\ (X+t+1)^2 $ forment une base de ${\Rr}_2[X]$. \finenonce{001008} \finexercice \exercice{1009, ridde, 1999/11/01} \enonce{001009}{} Etudier la libert\'e des familles \begin{enumerate} \item $ (1, 1), (1, 2)$. \item $ (2, 3), (-6, 9)$. \item $ (1, 3, 1), (1, 3, 0), (0, 3, 1)$. \item $ (1, 3), (-1, -2), (0, 1)$. \end{enumerate} \finenonce{001009} \finexercice \exercice{1010, ridde, 1999/11/01} \enonce{001010}{} Les familles suivantes sont-elles g\'en\'eratrices ? \begin{enumerate} \item $ (1, 1), (3, 1)$ dans $\Rr^2$. \item $ (1, 0, 2), (1, 2, 1)$ dans $\Rr^3$. \end{enumerate} \finenonce{001010} \finexercice \exercice{1011, ridde, 1999/11/01} \enonce{001011}{} On consid\`ere dans $\Rr^3$, $\Pi = \text{vect}\left\{ (1, 1, 1), (1, 1, -1)\right\}$ et $D = \text{vect} \left\{ (0, 1, -1)\right\}$. Montrer que $\Rr^3 = \Pi \oplus D$. \finenonce{001011} \finexercice \exercice{1012, ridde, 1999/11/01} \enonce{001012}{} D\'eterminer une base de $\left\{ (x, y, z) \in \Rr^3 / x + y + z = 0\right\}$. \finenonce{001012} \finexercice \exercice{1013, ridde, 1999/11/01} \enonce{001013}{} D\'eterminer une base de $D = \left\{ (x, y, z) \in \Rr^3 / x + y = 0, x-y + z = 0\right\}$. \finenonce{001013} \finexercice \exercice{3317, quercia, 2010/03/09} \enonce{003317}{Essai de bases} Montrer que dans $\R^3$, les trois vecteurs $\vec a = (1,0,1)$, $\vec b = (-1,-1,2)$ et $\vec c = (-2,1,-2)$ forment une base, et calculer les coordonnées dans cette base d'un vecteur $\vec x = (x,y,z)$. \finenonce{003317} \finexercice \exercice{3318, quercia, 2010/03/09} \enonce{003318}{Rang de vecteurs} Dans $\R^4$, trouver le rang de la famille de vecteurs : $$\vec a = (3,2,1,0),\quad \vec b = (2,3,4,5),\quad \vec c = (0,1,2,3),\quad \vec d = (1,2,1,2),\quad \vec e = (0,-1,2,1).$$ \finenonce{003318} \finexercice \exercice{3319, quercia, 2010/03/09} \enonce{003319}{Fonctions affines par morceaux} Soit $0=x_0 < x_1 < \dots < x_n = 1$ une subdivision de $[0,1]$ et $F$ l'ensemble des fonctions $f : {[0,1]} \to \R$ continues dont la restriction à chaque intervalle $[x_i,x_{i+1}]$ est affine. Montrer que $F$ est de dimension finie et trouver une base de $F$. \finenonce{003319} \finexercice \exercice{3320, quercia, 2010/03/09} \enonce{003320}{Projection et symétrie dans $ K^3$} Dans $ K^3$, on donne les sous espaces : $\begin{cases} H = \{\smash{\overrightarrow X} = (x,y,z) \text{ tq } x + y + z = 0 \} \cr K = \text{vect}(\overrightarrow U = (1,1,2)).\hfill \cr \end{cases}$ \begin{enumerate} \item Déterminer $\dim H$ et en donner une base. \item Démontrer que $H \oplus K = K^3$. \item Donner les expressions analytiques des projection et symétrie associées : $\pi_H$ et $s_H$. \end{enumerate} \finenonce{003320} \finexercice \exercice{3321, quercia, 2010/03/09} \enonce{003321}{Supplémentaires} Soit $E = H \oplus K$ et $(\vec e_1,\dots,\vec e_k)$ une base de $K$. \begin{enumerate} \item Montrer que pour tout $\vec a \in H,\ K_{\vec a} = \text{vect}(\vec e_1 + \vec a, \dots, \vec e_k + \vec a)$ est un supplémentaire de $H$. \item Montrer que si $\vec a \ne \vec b$, alors $K_{\vec a} \ne K_{\vec b}$. \end{enumerate} \finenonce{003321} \finexercice\exercice{5179, rouget, 2010/06/30} \enonce{005179}{****} \begin{enumerate} \item Soit $n$ un entier naturel. Montrer que si $n$ n'est pas un carré parfait alors $\sqrt{n}\notin\Qq$. \item Soit $E=\{a+b\sqrt{2}+c\sqrt{3}+d\sqrt{6},\;(a,b,c,d)\in\Qq^4\}$. Vérifier que $E$ est un $\Qq$-espace vectoriel puis déterminer une base de $E$. \end{enumerate} \finenonce{005179} \finexercice \exercice{5572, rouget, 2010/10/16} \enonce{005572}{**I} $E=\Rr_n[X]$. Pour $0\leqslant k\leqslant n$, on pose $P_k=X^k(1-X)^{n-k}$. Montrer que la famille $(P_k)_{0\leqslant k\leqslant n}$ est une base de $E$. \finenonce{005572} \finexercice \exercice{5573, rouget, 2010/10/16} \enonce{005573}{**I Polynômes d'interpolation de \textsc{Lagrange}} Soient $a_0$,..., $a_n$ $n+1$ nombres complexes deux à deux distincts et $b_0$,..., $b_n$ $n+1$ nombres complexes. Montrer qu'il existe une unique famille de $n+1$ polynômes à coefficients complexes de degré $n$ exactement vérifiant $\forall(i,j)\in\llbracket0,n\rrbracket$, $L_i(a_j)=1$ si $i=j$ et $0$ sinon. Montrer que la famille $(L_i)_{0\leqslant i\leqslant n}$ est une base de $\Cc_n[X]$. Montrer qu'il existe un unique polynôme $P$ de degré inférieur ou égal à $n$ vérifiant $\forall i\in\llbracket0,n\rrbracket$, $P(a_i) =b_i$. Expliciter $P$ puis déterminer tous les polynômes vérifiant les égalités précédentes. \finenonce{005573} \finexercice \section{ 106.05 Dimension } \exercice{1014, liousse, 2003/10/01} \enonce{001014}{} Calculer la dimension du sous-espace vectoriel de $\mathbb R^4$ engendr\'e par les vecteurs $ V_1=(0,1,2,3)$, $V_2=(1,2,3,4)$ et $V_3=(2,3,4,5)$. \finenonce{001014} \finexercice \exercice{1015, cousquer, 2003/10/01} \video{dSfb2GXKgeU} \enonce{001015}{} Soit $E$ est un espace vectoriel de dimension finie et $F$ et $G$ deux sous-espaces vectoriels de $E$. Montrer que : $$\dim(F+G) = \dim F+\dim G - \dim(F\cap G).$$ \finenonce{001015} \finexercice \exercice{1016, legall, 1998/09/01} \video{QdZN5i_YucI} \enonce{001016}{} Montrer que tout sous-espace vectoriel d'un espace vectoriel de dimension finie est de dimension finie. \finenonce{001016} \finexercice \exercice{1017, legall, 1998/09/01} \enonce{001017}{} Soient $P_0$, $P_1$, $P_2$ et $P_3\in\mathbb{R}_2[X]$ d\'efinis par $$P_0(X)=\frac{(X-1)(X-2)}{2},\;\;P_1(X)=\frac{X(X-1)}{2},$$ $$P_2(X)=2X(X-2),\;\;P_3(X)=\frac{(X-1)(X-3)}{3}.$$ Exprimer $1,\;X,\;X^2$ en fonction de $P_0,\;P_1$ et $P_2$. On note $F=Vect\{P_0,P_1\}$ et $G=Vect\{P_2,P_3\}$. Calculer $\dim F$, $\dim G$, $\dim(F+G)$ et $\dim(F\cap G)$. V\'erifier que $$\dim(F+G)=\dim(F)+\dim(G)-\dim(F\cap G).$$ \finenonce{001017} \finexercice \exercice{1018, legall, 1998/09/01} \enonce{001018}{} Donner la dimension du sous-espace $F$ de ${\mathcal F}(\R,\R)$ engendr\'e par $f_1(x) = \sin^2x, f_2(x) =\cos^2x, f_3(x) =\sin2x$ et $ f_4(x) =\cos2x$. \finenonce{001018} \finexercice \exercice{1019, legall, 1998/09/01} \video{mHpyqFvkVLI} \enonce{001019}{} On consid\`ere, dans ${\Rr}^4$, les vecteurs : $$v_1=(1, 2, 3, 4),\quad v_2= (1, 1, 1, 3),\quad v_3= (2, 1, 1, 1),\quad v_4=(-1, 0, -1, 2),\quad v_5=(2, 3, 0, 1).$$ Soit $F$ l'espace vectoriel engendr\'e par $\{v_1, v_2 , v_3\} $ et soit $G$ celui engendr\'e par $\{v_4, v_5\}$. Calculer les dimensions respectives de $F$, $G$, $F\cap G$, $F+G$. \finenonce{001019} \finexercice \exercice{1020, ridde, 1999/11/01} \enonce{001020}{} Soient $E = \left\{ (x, y, z, t) \in \Rr^4 / x + y + z + t = 0\right\}$ et $F = \left\{ (x, y, z, t) \in \Rr^4 / x + y = z + t \right\}$. D\'eterminer $\dim E, \dim F, \dim (E + F), \dim (E \cap F)$. \finenonce{001020} \finexercice \exercice{1021, ridde, 1999/11/01} \enonce{001021}{} Montrer que ${f} : {\Rr^3} \to {\Rr^3}$, ${(x, y, z)} \mapsto { (z, x-y, y + z)}$ est un automorphisme. \finenonce{001021} \finexercice \exercice{1022, ridde, 1999/11/01} \enonce{001022}{} Soit $E$ un $\Qq$-espace vectoriel de dimension $n$. Montrer que $$ n \text{ est pair} \Leftrightarrow \exists f \in \mathcal{L} (E) / \text{Im}f = \ker f$$ \finenonce{001022} \finexercice \exercice{1023, ridde, 1999/11/01} \enonce{001023}{} Montrer qu'il existe une unique forme lin\'eaire $f$ sur $\Rr^2$ telle que $f (1, 2) = 2$ et $f (-2, 1) = 5$. D\'eterminer le noyau et l'image de $f$. \finenonce{001023} \finexercice \exercice{1024, ridde, 1999/11/01} \enonce{001024}{} D\'eterminer suivant la valeur de $x \in \Rr$ le rang de la famille de vecteurs $e_1 = (1, x, -1), e_2 = (x, 1, x), e_3 = (-1, x, 1)$. \finenonce{001024} \finexercice \exercice{1025, ridde, 1999/11/01} \enonce{001025}{} Soit $E$ un espace vectoriel de dimension $3$ et $f \in \mathcal{L} (E)$ telle que $f^2 \neq 0$ et $f^3 = 0$. Soit $x_0 \in E / f^2 (x_0) \neq 0$. \begin{enumerate} \item Montrer que $ (x_0, f (x_0), f^2 (x_0))$ est une base. \item Montrer que l'ensemble des endomorphismes qui commutent avec $f$ est un sous-espace vectoriel de $\mathcal{L} (E)$ de base $ (id, f, f^2)$. \end{enumerate} \finenonce{001025} \finexercice \exercice{1026, ridde, 1999/11/01} \enonce{001026}{} Soit $E$ de dimension finie et $f \in \mathcal{L} (E)$. Montrer l'\'equivalence des trois propri\'et\'es : \begin{enumerate} \item[(i)] $\ker f = \ker f^2$. \item[(ii)] $\text{Im}f = \text{Im}f^2$. \item[(iii)] $E = \ker f \oplus \text{Im}f$. \end{enumerate} \finenonce{001026} \finexercice \exercice{1027, ridde, 1999/11/01} \video{GU9xDUgfz48} \enonce{001027}{} Soit $E$ et $F$ de dimensions finies et $u, v \in \mathcal{L} (E, F)$. \begin{enumerate} \item Montrer que $\text{rg} (u + v) \leq \text{rg} (u) + \text{rg} (v)$. \item En d\'eduire que $\left|\text{rg} (u) - \text{rg} (v)\right| \leq \text{rg} (u + v)$. \end{enumerate} \finenonce{001027} \finexercice \exercice{1028, gourio, 2001/09/01} \enonce{001028}{} Soit $(f,g)\in \left( L(E)\right) ^{2}$ o\`{u} $E$ est un ${K}$-espace vectoriel de dimension finie $n$, montrer les in\'{e}galit\'{e}s : $$\mathrm{rg}(f)+\mathrm{rg}(g)-n\leq \mathrm{rg}(f\circ g)\leq \inf (\mathrm{rg}(f),\mathrm{rg}(g)) $$ (on pourra utiliser $g_{|\ker (f \circ g)} = h$ dont on d\'eterminera le noyau) \finenonce{001028} \finexercice \exercice{1029, gourio, 2001/09/01} \enonce{001029}{} Soit $(f,g)\in \left( L(E)\right) ^{2}$ o\`{u} $E$ est un ${K}$-espace vectoriel de dimension finie $n$, tel que : $(f+g)$ est inversible et $fg=0$. Montrer que : $$rg(f)+rg(g)=n. $$ \finenonce{001029} \finexercice \exercice{1030, gourio, 2001/09/01} \enonce{001030}{} Soit $U$ un sous-espace vectoriel de $E$ espace vectoriel, et $$A=\{f\in L(E)|U\subset Ker(f)\}. $$ Montrer que $A$ est un sous-espace vectoriel de $L(E).$ Si $E$ est de dimension finie, quelle est la dimension de $A$ ? \finenonce{001030} \finexercice \exercice{1031, gourio, 2001/09/01} \enonce{001031}{} Soient $E_{0},E_{1},...,E_{n}$ $n+1$ espaces vectoriels sur un m\^{e}me corps commutatif ${K}$, de dimensions respectives $\alpha _{0},\alpha _{1},...,\alpha _{n}.$ On suppose qu'il existe $n$ applications lin\'{e}aires $f_{0},f_{1},...,f_{n-1}$ telles que : $$\forall k\in \{0,...,n-1\},f_{k}\in L(E_{k},E_{k+1}). $$ et de plus : \begin{itemize} \item $f_{0}$ est injective; \item $\forall j\in \{1,...,n-1\},\mathrm{Im} f_{j-1}=Ker(f_{j});$ \item $f_{n-1}$ est surjective. \end{itemize} Montrer que $$\sum\limits_{j=0}^{n}(-1)^{j}\alpha _{j}=0. $$ \finenonce{001031} \finexercice \exercice{1032, gourio, 2001/09/01} \enonce{001032}{} Soient $H_{1}$ et $H_{2}$ deux hyperplans de $E,$ espace vectoriel de dimension $n.$ Montrer que : $$\dim (H_{1}\cap H_{2})\geq n-2. $$ G\'{e}n\'{e}raliser. \finenonce{001032} \finexercice \exercice{1033, gourio, 2001/09/01} \enonce{001033}{} Donner un exemple d'endomorphisme d'un espace vectoriel injectif et non surjectif, puis d'un endomorphisme surjectif et non injectif. \finenonce{001033} \finexercice \exercice{1034, gourio, 2001/09/01} \enonce{001034}{} Soit $E $ un espace vectoriel de dimension finie et $f\in L(E)$, montrer l'\'{e}quivalence : $$E=\mathrm{Ker}(f)\oplus \mathrm{Im} (f)\Leftrightarrow \mathrm{Im} f=\mathrm{Im} f^{2}.$$ Donner un contre-exemple quand $\dim E=+\infty .$ \finenonce{001034} \finexercice \exercice{1035, gourio, 2001/09/01} \enonce{001035}{} Soit $(f,g)\in L(E,F)^{2}$ avec $E,F$ de dimension finie. On suppose $$\mathrm{rg}(f+g)=\mathrm{rg}(f)+\mathrm{rg}(g). $$ Montrer que : $$E=\mathrm{Ker}(f)+\mathrm{Im} f ; $$ $$\mathrm{Im} f\cap \mathrm{Im} g=\{0\}. $$ \finenonce{001035} \finexercice \exercice{1036, gourio, 2001/09/01} \enonce{001036}{} Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie, et $(f,g)\in L(E)^{2}$ avec $E=\mathrm{Im} f+\mathrm{Im} g=\mathrm{Ker}(f)+\mathrm{Ker}(g). $ Montrer que ces sommes sont directes. \finenonce{001036} \finexercice \exercice{1037, gourio, 2001/09/01} \enonce{001037}{} Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie, et $(f_{1},...,f_{k})$ des projecteurs de $E. $ Montrer l'\'{e}quivalence : $$\left[ \forall (i,j)\in \{1,...,k\}^{2},i\neq j\Rightarrow f_{i}f_{j}=0\right] \Leftrightarrow \sum\limits_{i=1}^{k}f_{i} \text{ est un projecteur}. $$ \finenonce{001037} \finexercice \exercice{1038, gourio, 2001/09/01} \enonce{001038}{} Soit $f\in L(E)$ o\`{u} $E$ est un ${K}$-espace vectoriel de dimension $n $, tel que : $$f^{2}=-Id. $$ \begin{enumerate} \item Montrer que $f$ est inversible et que la dimension de $E$ est paire, donc $n=2p.$ \item Soit $x\neq 0,$ monter que $x$ et $f(x)$ sont lin\'{e}airement ind\'{e}pendants, et qu'ils engendrent un sous-espace stable de $E.$ \item Montrer qu'il existe $p$ sous-espaces de dimension deux stables par $f$, $% E_{1}...E_{p}$ tels que : $E=\bigoplus\limits_{i=1}^{p}E_{i}.$ En d\'{e}duire une ``bonne'' formule de calcul de $f.$ \end{enumerate} \finenonce{001038} \finexercice \exercice{1039, gourio, 2001/09/01} \enonce{001039}{} Soit $E$ un ${K}$ espace vectoriel de dimension finie $n\geq 1.$ Soit $f\in L(E)$ nilpotente. On note $q\in \Nn^{*}$ l'indice de nilpotence de $f,$ i.e.: $$q=\inf \{j\in \Nn^{*}|f^{j}=0\}. $$ \begin{enumerate} \item Montrer que : $\exists x_{0}\in E$ tel que $\{x_{0},f(x_{0}),...,f^{q-1}(x_{o})\}$ soit libre. En d\'{e}duire $q\leq n.$ \item Soit $r=\dim Ker(f). $ Montrer que $r>0$ et que $$\frac{n}{r}\leq q\leq n+1-r. $$ \end{enumerate} \finenonce{001039} \finexercice \exercice{3322, quercia, 2010/03/09} \enonce{003322}{$\dim H = \dim K \Leftrightarrow H$ et $K$ ont un supplémentaire commun} Soient $H,K$ deux sev d'un ev $E$ de dimension finie. Montrer que $\dim H = \dim K$ si et seulement si $H \text{ et } K$ ont un supplémentaire commun (par récurrence sur codim$\,H$). \finenonce{003322} \finexercice\exercice{5183, rouget, 2010/06/30} \enonce{005183}{**IT} $E$ désigne l'espace vectoriel $\Rr^4$ (muni des opérations usuelles). On considère les vecteurs $e_1=(1,2,3,4)$, $e_2=(1,1,1,3)$, $e_3=(2,1,1,1)$, $e_4=(-1,0,-1,2)$ et $e_5=(2,3,0,1)$. Soient alors $F=\mbox{Vect}(e_1,e_2,e_3)$ et $G=\mbox{Vect}(e_4,e_5)$. Quelles sont les dimensions de $F$, $G$, $F\cap G$ et $F+G$~? \finenonce{005183} \finexercice \exercice{5184, rouget, 2010/06/30} \enonce{005184}{**IT} Soit $\Kk$ un sous-corps de $\Cc$, $E$ un $\Kk$-espace vectoriel de dimension finie $n\geq2$. Soient $H_1$ et $H_2$ deux hyperplans de $E$. Déterminer $\mbox{dim}_\Kk(H_1\cap H_2)$. Interprétez le résultat quand $n=2$ ou $n=3$. \finenonce{005184} \finexercice\exercice{5575, rouget, 2010/10/16} \enonce{005575}{***I} Soient $F$ et $G$ deux sous-espaces vectoriels d'un espace vectoriel de dimension finie sur $\Kk$. Démontrer que $\text{dim}(F+G)=\text{dim}F+\text{dim}G-\text{dim}(F\cap G)$. \finenonce{005575} \finexercice \exercice{5576, rouget, 2010/10/16} \enonce{005576}{**} \label{ex:rou14} Soient $F$, $G$ et $H$ trois sous-espaces d'un espace vectoriel $E$ de dimension finie sur $\Kk$. Montrer que : $\text{dim}(F+G+H)\leqslant\text{dim}F+\text{dim}G+\text{dim}H-\text{dim}(F\cap G)-\text{dim}(G\cap H)-\text{dim}(H\cap F)+\text{dim}(F\cap G\cap H)$. Trouver un exemple où l'inégalité est stricte. \finenonce{005576} \finexercice \exercice{5577, rouget, 2010/10/16} \enonce{005577}{***} \label{ex:rou15} Soient $F_1$, $F_2$,..., $F_n$ $n$ sous-espaces vectoriels d'un espace $E$ de dimension finie sur $\Kk$ $(n\geqslant2)$. Montrer que $\text{dim}(F_1+...+F_n)\leqslant\text{dim}F_1+ ... +\text{dim}F_n$ avec égalité si et seulement si la somme est directe. \finenonce{005577} \finexercice \exercice{5578, rouget, 2010/10/16} \enonce{005578}{**I} Soit $E$ un $\Kk$-espace vectoriel de dimension $n\geqslant3$. Montrer que l'intersection de $n-1$ hyperplans de $E$ est non nulle. \finenonce{005578} \finexercice \exercice{5579, rouget, 2010/10/16} \enonce{005579}{**} Soient $(x_1,..,x_n)$ une famille de $n$ vecteurs de rang $r$ et $(x_1,...,x_m)$ une sous famille de rang $s$ ($m\leqslant n$ et $s\leqslant r$). Montrer que $s\geqslant r+m-n$. Cas d'égalité ? \finenonce{005579} \finexercice \exercice{5580, rouget, 2010/10/16} \enonce{005580}{**} Soient $E$ et $F$ deux espaces vectoriels de dimension finie et soient $f$ et $g$ deux applications linéaires de $E$ dans $F$. Montrer que $|\text{rg}f-\text{rg}g|\leqslant\text{rg}(f+g)\leqslant\text{rg}f+\text{rg}g$. \finenonce{005580} \finexercice \exercice{5581, rouget, 2010/10/16} \enonce{005581}{**} Soient $E$, $F$ et $G$, trois $\Kk$-espaces vectoriels puis $f\in\mathcal{L}(E,F)$ et $g\in\mathcal{L}(F,G)$. Montrer que $\text{rg}f+\text{rg}g-\text{dim}F\leqslant\text{rg}(g\circ f)\leqslant\text{Min}\{\text{rg}f,\text{rg}g\}$. \finenonce{005581} \finexercice \section{ 106.99 Autre } \section{ 107.01 Définition } \exercice{927, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000927}{} \emph{Notations :\\ $\mathcal{C}$~: ensemble des fonctions numériques continues sur $[0,1]$.\\ $\mathcal{C}_d$~: ensemble des fonctions numériques ayant une dérivée continue sur $[0,1]$.\\ $\mathcal{C}(\mathbb{R})$ et $\mathcal{C}^1(\mathbb{R})$~: définis de façon analogue pour les fonctions définies sur $\mathbb{R}$.\\ $\mathcal{P}$~: ensemble des polynômes sur $\mathbb{R}$.\\ $\mathcal{P}_n$~: ensemble des polynômes sur $\mathbb{R}$, de degré $\leq n$.} \medskip Dire si les applications suivantes sont des applications linéaires~: \begin{enumerate} \item $\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} : x\mapsto 2x^2$. \item $\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} : x\mapsto 4x-3$. \item $\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} : x\mapsto \sqrt{x^2}$. \item $\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R} ^2 :(x,y)\mapsto (y,x)$. \item $\mathcal{C}\rightarrow \mathcal{C} : f \mapsto \{t\mapsto {f(t)\over1+t^2}\}$. \item $\mathcal{C} \rightarrow \mathbb{R} : f\mapsto f(3/4)$. \item $\mathcal{C} \rightarrow \mathbb{R} : f\mapsto f(1/4)-\int_{1/2}^1f(t)\,dt$. \item $\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R} :(x,y)\mapsto 3x+5y$. \item $\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R} : (x,y)\mapsto \sqrt{3x^2+5y^2}$. \item $\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R} : (x,y)\mapsto \sin(3x+5y)$. \item $\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2 : (x,y)\mapsto (-x,y)$. \item $\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R} :(x,y)\mapsto xy$. \item $\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R} : (x,y)\mapsto {x^2 y\over x^2+y^2} \mbox{ si } x^2+y^2 \ne0 \mbox{ et} 0 \mbox{ sinon}.$ \item $\mathcal{C} \rightarrow \mathcal{C}_d : f\mapsto \{x\mapsto e^{-x}\int_0^1f(t)\,dt\}$. \item $\mathcal{P} \rightarrow \mathcal{P}_n : A \mapsto $ quotient de $A$ par $B$ à l'ordre $n$ selon les puissances croissantes ($B$ et $n$ fixés, avec $B(0)\ne0$). \item $\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2 : M \mapsto M'$ défini par: ${\overrightarrow{OM'}= {\overrightarrow{OM}\over\bigl\Vert\overrightarrow{OM}\bigr\Vert} \mbox{ si } \overrightarrow{OM}\ne\overrightarrow 0 \mbox{ et } 0 \mbox{ sinon}.}$ \item $\mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R} : M\mapsto \overrightarrow{OM}\cdot \overrightarrow V$ où $\overrightarrow V=(4,-1,1/2)$. \item $\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^3 : x\mapsto (2x,x/\pi,x\sqrt2)$. \item $\mathcal{C} \rightarrow \mathbb{R} : f\mapsto \max_{t\in[0,1]}f(t)$. \item $\mathcal{C} \rightarrow \mathbb{R} : f\mapsto \max_{t\in[0,1]}f(t)-\min_{t\in[0,1]}f(t)$. \item $\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2 : (x,y)\mapsto $ la solution du système d'équations en $(u,v)$~: $$\left\{ \begin{array}{rcl} 3u-v & = & x \\ 6u+2v & = & y. \end{array} \right.$$ \item $\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2 : (x,y)\mapsto $ le symétrique de $(x,y)$ par rapport à la droite d'équation $x+y-a=0$ (discuter selon les valeurs de $a$). \item $\mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3 : (x,y,z)\mapsto $ la projection de $(x,y,z)$ sur le plan $x+y+z-a=0$ parallèlement à $Oz$ (discuter selon les valeurs de $a$). \item $\mathcal{C}_d \rightarrow \mathcal{C} : f\mapsto f'$. \item $\mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^2 : (x,y,z)\mapsto (2x-3y+z,x-y+z/3)$. \item $\mathbb{R} \rightarrow \mathcal{C}d : \lambda\mapsto $ la solution de l'équation différentielle $y'-{y\over x^2+1}=0$ valant $\lambda$ en $x_0=1$. \item $\mathcal{C}\rightarrow \mathbb{R} : f\mapsto \int_0^1\ln(1+\vert f(t)\vert)\,dt$. \item $\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} : x\mapsto $ la $17$-ième décimale de $x$ (en écriture décimale). \item $\mathcal{C}_d \rightarrow \mathbb{R} : f \mapsto f'(1/2)+\int_0^1{f(t)\,dt}$. \item $\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} : x\mapsto \ln(3^{x\sqrt2})$. \item $\mathbb{R} \times \mathcal{C}(\mathbb{R}) \rightarrow \mathcal{C}(\mathbb{R}) : (\lambda,f)\mapsto $ la primitive de $f$ qui vaut $\lambda$ en $x_0=\pi$. \item $\mathcal{C}^1(\mathbb{R}) \rightarrow \mathcal{C}(\mathbb{R}): f\mapsto \{x\mapsto f'(x)+f(x) \cdot \sin x\}$. \end{enumerate} \finenonce{000927} \finexercice \exercice{928, legall, 1998/09/01} \enonce{000928}{} Soient $f$ et $g$, applications de ${ \Cc}$ dans ${ \Cc}$, d\'efinies par $f(z)=\bar{z}$ et $g(z)=\Re (z)$. Montrer que $f$ et $g$ sont lin\'eaires sur ${ \Cc}$ en tant que ${ \Rr}$-e.v., et non lin\'eaires sur ${ \Cc}$ en tant que ${ \Cc}$-e.v. \finenonce{000928} \finexercice \exercice{929, legall, 1998/09/01} \video{4CS7MiS5AQA} \enonce{000929}{} D\'eterminer si les applications $f_{i}$ suivantes sont lin\'eaires : $$\begin{array}{rl} f_1 : \Rr^2 \to \Rr^2 & f_1(x,y)=(2x+y,x-y) \\ f_2 : \Rr^3 \to \Rr^3 & f_2(x,y,z)=(xy,x,y) \\ f_3 : \Rr^3 \to \Rr^3 & f_3(x,y,z)=(2x+y+z,y-z,x+y) \\ f_4 : \Rr^2 \to \Rr^4 & f_4(x,y)=(y,0,x-7y,x+y) \\ f_5 : \Rr_3[X] \to \Rr^3 & f_5(P) = \big( P(-1), P(0), P(1) \big) \\ \end{array} $$ \finenonce{000929} \finexercice \exercice{930, legall, 1998/09/01} \video{EQJ4bUFDuiQ} \enonce{000930}{} Soit $E$ un espace vectoriel de dimension $n$ et $\phi $ une application lin\'eaire de $E$ dans lui-m\^eme telle que $\phi ^n=0$ et $\phi ^{n-1}\not = 0$. Soit $x\in E$ tel que $\phi ^{n-1}(x )\not = 0$. Montrer que la famille $\{ x,\phi(x),\phi^2(x), \ldots ,\phi ^{n-1}(x)\} $ est une base de $E$. \finenonce{000930} \finexercice \exercice{2431, matexo1, 2002/02/01} \enonce{002431}{} Parmi les applications suivantes, lesquelles sont des formes lin\'eaires sur $C^\infty(\R)$\,: $$ f \mapsto f(0), \quad f \mapsto f(1) -1, \quad f \mapsto f''(3), \quad f \mapsto (f'(2))^2,\quad f \mapsto \int_0^1{f(t) dt}. $$ \finenonce{002431} \finexercice \exercice{2740, tumpach, 2009/10/25} \enonce{002740}{} \begin{enumerate} \item On munit $\mathbb{R}^2$ d'un rep\`ere orthonorm\'e $(O, \vec{i}, \vec{j})$. Montrer qu'une application lin\'eaire de $\mathbb{R}^{2}$ dans $\mathbb{R}^2$ est uniquement d\'etermin\'ee par ses valeurs sur les vecteurs $\vec{i}$ et $\vec{j}$. \item Quelle est la matrice de la sym\'etrie axiale par rapport \`a l'axe des abscisses dans la base $\{\vec{i}, \vec{j}\}$~? \item Quelle est la matrice de la projection orthogonale sur l'axe des abscisses dans la base $\{\vec{i}, \vec{j}\}$~? \item Quelle est la matrice de la rotation d'angle $\theta$ et de centre $O$ dans la base $\{\vec{i}, \vec{j}\}$~? \item Quelle est la matrice de l'homoth\'etie de centre $O$ et de rapport $k$ dans la base $\{\vec{i}, \vec{j}\}$~? \item Quelle est la matrice de la sym\'etrie centrale de centre $O$ dans la base $\{\vec{i}, \vec{j}\}$~? \item Est-ce qu'une translation est une application lin\'eaire~? \end{enumerate} \finenonce{002740} \finexercice \exercice{2741, tumpach, 2009/10/25} \enonce{002741}{} Soit $f$ la fonction de $\mathbb{R}^4$ dans $\mathbb{R}^4$ d\'efinie par~: $$ f(x, y, z, t) = \left(x + y + z + t, x + y + z + t, x + y + z + t, 2x + 2y + 2z + 2t\right). $$ \begin{enumerate} \item Montrer que $f$ est lin\'eaire et d\'eterminer sa matrice dans la base canonique de $\mathbb{R}^{4}$. \item V\'erifier que les vecteurs $\vec{a} = (1, -1, 0, 0)$, $\vec{b} = (0, 1, -1, 0)$ et $\vec{c} = (0, 0, 1, -1)$ appartiennent \`a $\ker f$. \item V\'erifier que le vecteur $\vec{d} = (5, 5, 5, 10)$ appartient \`a $\textrm{Im} f$. \end{enumerate} \finenonce{002741} \finexercice \exercice{2742, tumpach, 2009/10/25} \enonce{002742}{} Soit l'application $f~:\mathbb{R}^3\rightarrow \mathbb{R}^3$ donn\'ee par~: $$ f(x, y, z) = (x + 2y + z, 2x + y + 3z, -x -y -z). $$ \begin{enumerate} \item Justifier que $f$ est lin\'eaire. \item Donner la matrice de $A$ dans la base canonique de $\mathbb{R}^3$. \item \begin{enumerate} \item[(a)] D\'eterminer une base et la dimension du noyau de $f$, not\'e $\ker f$. \item [(b)] L'application $f$ est-elle injective~? \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Donner le rang de $f$ et une base de $\textrm{Im} f$. \item L'application $f$ est-elle surjective~? \end{enumerate} \end{enumerate} \finenonce{002742} \finexercice \exercice{3309, quercia, 2010/03/09} \enonce{003309}{Endomorphisme tel que tout vecteur non nul est propre} Soit $E$ un espace vectoriel et $f \in \mathcal{L}(E)$ tel que pour tout $\vec x \in E$, la famille $\bigl(\vec x, f(\vec x)\bigr)$ est liée. \begin{enumerate} \item Montrer que si $\vec x \ne \vec 0$, il existe un unique scalaire $\lambda_{\vec x}$ tel que $f(\vec x) = \lambda_{\vec x}\vec x$. \item Comparer $\lambda_{\vec x}$ et $\lambda_{\vec y}$ lorsque $(\vec x, \vec y)$ est libre. \item Montrer que $f$ est une homothétie. \end{enumerate} \finenonce{003309} \finexercice\exercice{3312, quercia, 2010/03/09} \enonce{003312}{Applications $\R$-linéaires sur $\C$} On considère que $\C$ est un $\R$-espace vectoriel. \begin{enumerate} \item Donner une base de $\C$. \item Montrer que tout endomorphisme de $\C$ peut se mettre sous la forme : $f(z) = az + b\overline{z}$, avec $a,b \in \C$. \item CNS sur $a$ et $b$ pour que $f$ soit bijectif ? \end{enumerate} \finenonce{003312} \finexercice \exercice{5170, rouget, 2010/06/30} \enonce{005170}{**T} \begin{enumerate} \item Vérifier qu'il existe une unique application linéaire de $\Rr^3$ dans $\Rr^2$ vérifiant $f((1,0,0))=(1,1)$ puis $f((0,1,0))=(0,1)$ et $f((0,0,1))=(-1,1)$. Calculer $f((3,-1,4))$ et $f((x,y,z))$ en général. \item Déterminer $\mbox{Ker}f$. En fournir une base. Donner un supplémentaire de $\mbox{Ker}f$ dans $\Rr^3$ et vérifier qu'il est isomorphe à $\mbox{Im}f$. \end{enumerate} \finenonce{005170} \finexercice \exercice{5186, rouget, 2010/06/30} \enonce{005186}{***I} Soit $E=\Rr_n[X]$, le $\Rr$-espace vectoriel des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à $n$ ($n$ entier naturel donné). Soit $\varphi$ l'application définie par~:~$\forall P\in E,\;\varphi(P)=P(X+1)-P(X)$. \begin{enumerate} \item Vérifier que $\varphi$ est un endomorphisme de $E$. \item Déterminer $\mbox{Ker}\varphi$ et $\mbox{Im}\varphi$. \end{enumerate} \finenonce{005186} \finexercice\exercice{5188, rouget, 2010/06/30} \enonce{005188}{**} Soit $\begin{array}[t]{cccc} f~:&\Cc&\rightarrow&\Cc\\ &z&\mapsto&z+a{\bar z} \end{array} $ où $a$ est un nombre complexe donné non nul. Montrer que $f$ est un endomorphisme du $\Rr$-espace vectoriel $\Cc$. $f$ est-il un endomorphisme du $\Cc$-espace vectoriel $\Cc$~?~Déterminer le noyau et l'image de $f$. \finenonce{005188} \finexercice \exercice{5189, rouget, 2010/06/30} \enonce{005189}{**} Soit $f\in\mathcal{L}(\Rr^2)$. Pour $(x,y)\in\Rr^2$, on pose $f((x,y))=(x',y')$. \begin{enumerate} \item Rappeler l'écriture générale de $(x',y')$ en fonction de $(x,y)$. \item Si on pose $z=x+iy$ et $z'=x'+iy'$ (où $i^2=-1$), montrer que~:~$\exists(a,b)\in\Cc^2/\;\forall z\in\Cc,\;z'=az+b{\bar z}$. \item Réciproquement, montrer que l'expression ci-dessus définit un unique endomorphisme de $\Rr^2$ (en clair, l'expression complexe d'un endomorphisme de $\Rr^2$ est $z'=az+b{\bar z}$). \end{enumerate} \finenonce{005189} \finexercice \section{ 107.02 Image et noyau, théorème du rang } \exercice{931, liousse, 2003/10/01} \enonce{000931}{} Soient $F$ et $G$ deux sous-espaces vectoriels de $\Rr^n$, on d\'efinit l'application $f:F \times G \rightarrow \Rr^n$ par $f(x_1,x_2)= x_1+x_2$. \begin{enumerate} \item Montrer que f est lin\'eaire. \item D\'eterminer le noyau et l'image de $f$. \end{enumerate} \finenonce{000931} \finexercice \exercice{932, liousse, 2003/10/01} \enonce{000932}{} Soit $f$ une application lin\'eaire de $\Rr^n$ dans $\Rr^n$. Montrer que les propri\'et\'es $(1)$ \`a $(3)$ sont \'equivalentes. $$\Rr^n=Im (f) \bigoplus Ker (f)\leqno(1)$$ $$Im (f)= Im (f^2)\leqno(2)$$ $$Ker (f)= Ker (f^2)\leqno(3)$$ \finenonce{000932} \finexercice \exercice{933, liousse, 2003/10/01} \enonce{000933}{} Soient : $E$, $F$ et $G$ trois sous espaces vectoriels de $\mathbb R^N$, $f$ une application lin\'eaire de $E$ dans $F$ et $g$ une application lin\'eaire de $F$ dans $G$. On rappelle que $g\circ f$ est l'application de $E$ dans $G$ d\'efinie par $ g\circ f(v) = g(f(v))$, pour tout vecteur $v$ de $E$. \begin{enumerate} \item Montrer que $g\circ f$ est une application lin\'eaire. \item Montrer que $f\big({\text Ker}(g\circ f) \big) = {\text Ker} g \cap {\text Im} f$. \end{enumerate} \finenonce{000933} \finexercice \exercice{934, cousquer, 2003/10/01} \video{pNH1v_tXHvg} \enonce{000934}{} Soit $E$ un espace vectoriel et soient $E_1$ et $E_2$ deux sous-espaces vectoriels de dimension finie de $E$, on d\'efinit l'application $f\colon E_1\times E_2 \to E$ par $f(x_1,x_2)=x_1+x_2$. \begin{enumerate} \item Montrer que $f$ est lin\'eaire. \item D\'eterminer le noyau et l'image de $f$. \item Que donne le th\'eor\`eme du rang ? \end{enumerate} \finenonce{000934} \finexercice \exercice{935, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000935}{} Soit $E$ l'espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à $n$. Pour $p\leq n$ on note $e_p$ le polynôme $x\mapsto x^p$. Soit $f$ l'application définie sur $E$ par $f(P)=Q$ avec $Q(x)=P(x+1)+P(x-1)-2P(x)$. \begin{enumerate} \item Montrer que $f$ est une application linéaire de $E$ dans $E$. \item Calculer $f(e_p)$~; quel est son degré~? En déduire $\ker f$, $\mbox{Im }f$ et le rang de $f$. \item Soit $Q$ un polynôme de $\mbox{Im }f$~; montrer qu'il existe un polynôme unique $P$ tel que~: $f(P)=Q$ et $P(0)=P'(0)=0$. \end{enumerate} \finenonce{000935} \finexercice \exercice{936, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000936}{} Soit $E$, $F$, $G$ trois espaces vectoriels, $f$ et $g$ deux applications linéaires $E\buildrel f\over\rightarrow\nolinebreak F\buildrel g\over\rightarrow \nolinebreak G$~; montrer que~: $$\ker(g\circ f) = f^{-1}(\ker g\cap\mbox{Im }f)=f^{-1}(\ker g).$$ \finenonce{000936} \finexercice \exercice{937, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000937}{} Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie, $F$ et $N$ deux sous-espaces vectoriels de $E$~; donner une condition nécessaire et suffisante pour qu'il existe une application linéaire $f$ de $E$ dans~$E$ vérifiant~: $f(E)=F$ et $\ker f=N$. \finenonce{000937} \finexercice \exercice{938, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000938}{} Soit $E$, $F$, $G$ trois espaces vectoriels de dimensions respectives $n$, $p$, $q$, $f$ et $g$ deux applications linéaires $E\buildrel f\over\rightarrow F\buildrel g\over\rightarrow G$ telles que $g\circ f=0$. Quelle relation existe-t-il entre le rang de $f$ et celui de $g$~? \finenonce{000938} \finexercice \exercice{939, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000939}{} Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie, $f$ une application linéaire de~$E$ dans~$E$~; montrer que les propriétés (1) à (3) sont équivalentes~: \begin{enumerate} \item[(1)] $ E=\mbox{Im }f \oplus\ker f$, \item[(2)] $ \mbox{Im }f = \mbox{Im }f^2$, \item[(3)] $\ker f=\ker f^2$. \end{enumerate} \finenonce{000939} \finexercice \exercice{940, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000940}{} Soit $E$ un espace vectoriel, et $u$ une application linéaire de~$E$ dans~$E$. Dire si les propriétés suivantes sont vraies ou fausses~: \begin{enumerate} \item Si $e_1,e_2,\ldots,e_p$ est libre, il en est de même de $u(e_1),u(e_2),\ldots,u(e_p)$. \item Si $u(e_1),u(e_2),\ldots,u(e_p)$ est libre, il en est de même de $e_1,e_2,\ldots,e_p$. \item Si $e_1,e_2,\ldots,e_p$ est génératrice, il en est de même de $u(e_1),u(e_2),\ldots,u(e_p)$. \item Si $u(e_1),u(e_2),\ldots,u(e_p)$ est génératrice, il en est de même de $e_1,e_2,\ldots,e_p$. \item Si $u(e_1),u(e_2),\ldots,u(e_p)$ est une base de $\Im u$, alors $e_1,e_2,\ldots,e_p$ est une base d'un sous-espace vectoriel supplémentaire de $\mathrm{Ker} u$. \end{enumerate} \finenonce{000940} \finexercice \exercice{941, legall, 1998/09/01} \enonce{000941}{} Soient $E$ un espace vectoriel et $\varphi $ une application lin\' eaire de $E$ dans $E$. On suppose que $\hbox {Ker } (\varphi ) \cap \hbox{Im }(\varphi )=\{ 0\}$. Montrer que, si $x \not \in \hbox {Ker } (\varphi )$ alors, pour tout $n\in { \Nn } : \varphi ^n(x)\not = 0$. \finenonce{000941} \finexercice \exercice{942, legall, 1998/09/01} \enonce{000942}{} Pour des applications lin\'eaires $f: E\rightarrow F$, $g: F\rightarrow G$, \'etablir l'\'equivalence $$g\circ f=0\Longleftrightarrow \text{Im} f\subset \text{Ker} g.$$ Soit $f$ un endomorphisme d'un e.v. $E$, v\'erifiant l'identit\'e $f^2+f-2i_E=0$. Etablir $\text{Im} (f-i_E)\subset \text{Ker} (f+2i_E)$; $\;\;\text{Im} (f+2i_E)\subset \text{Ker} (f-i_E)$; $\;\;E=\text{Ker}(f-i_E)\oplus \text{Ker}(f+2i_E)$. \finenonce{000942} \finexercice \exercice{943, legall, 1998/09/01} \video{yGZYazY1EhM} \enonce{000943}{} Soit $E$ un espace vectoriel de dimension $n$ et $f$ une application lin\' eaire de $E$ dans lui-m\^eme. Montrer que les deux assertions qui suivent sont \' equivalentes : \begin{enumerate} \item[(i)] $\ker f = \Im f$ \item[(ii)] $f^2=0 \ \text{ et } \ n=2\cdot \text{rg}(f)$ \end{enumerate} \finenonce{000943} \finexercice \exercice{944, legall, 1998/09/01} \enonce{000944}{} Soient $E$ un espace vectoriel et $F$ un sous-espace vectoriel de $E$ de dimension finie. Soit $f$ une application lin\' eaire de $E$ dans lui-m\^eme. \begin{enumerate} \item Montrer que, si $F\subset f(F)$ alors $f(F)=F$. \item Montrer que, si $f$ est injective et $f(F)\subset F$ alors $f(F)=F$. \end{enumerate} \finenonce{000944} \finexercice \exercice{945, ridde, 1999/11/01} \enonce{000945}{} Soient $f : E \rightarrow F$ et $g : F \rightarrow G$ deux applications lin\'eaires. Montrer que $\ker (f) \subset \ker (g \circ f)$ et $\text{Im} (g \circ f) \subset \text{Im} (f)$. \finenonce{000945} \finexercice \exercice{946, legall, 1998/09/01} \enonce{000946}{} Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie et $\varphi $ une application lin\' eaire de $E$ dans lui-m\^eme. Posons $K_n=\hbox{Ker }(\varphi ^n)$ et $I_n=\hbox{Im }(\varphi ^n)$. Montrer qu'il existe $n_0\in {\Nn}$ tel que pour tout $n\geq n_0$ on ait $K_n=K_{n_0}$. D\' eduiser en que pour tout $n\geq n_0$ on a \' egalement $I_n=I_{n_0}$. \finenonce{000946} \finexercice \exercice{947, ridde, 1999/11/01} \video{qUT7yUQxk4w} \enonce{000947}{} Soient $f$ et $g$ deux endomorphismes de $E$ tels que $f \circ g = g \circ f$. Montrer que $\ker f$ et $\Im f$ sont stables par $g$. \finenonce{000947} \finexercice \exercice{948, ridde, 1999/11/01} \enonce{000948}{} Soit $f \in \mathcal{L} (E)$ telle que $f^3 = f^2 + f$. Montrer que $E = \ker (f) \oplus \text{Im} (f)$ (on remarquera que $f \circ (f^2-f-id) = 0$). \finenonce{000948} \finexercice \exercice{949, ridde, 1999/11/01} \enonce{000949}{} Soit $f \in \mathcal{L} (E)$. Montrer que $\ker (f) \cap \text{Im} (f) = f (\ker (f\circ f))$. \finenonce{000949} \finexercice \exercice{950, gourio, 2001/09/01} \enonce{000950}{} Soit $U$ un sous-espace vectoriel de $E$ espace vectoriel, et $$A=\{f\in L(E)|U\subset \mathrm{Ker}(f)\}.$$ Montrer que $A$ est un sous-espace vectoriel de $L(E).$ \finenonce{000950} \finexercice \exercice{951, gourio, 2001/09/01} \enonce{000951}{} Donner des exemples d'applications lin\'{e}aires de $\Rr^{2}$ dans $\Rr^{2}$ v\'{e}rifiant : \begin{enumerate} \item $\mathop{\mathrm{Ker}}\nolimits(f)=\mathop{\mathrm{Im}}\nolimits (f).$ \item $\mathop{\mathrm{Ker}}\nolimits(f)$ inclus strictement dans $\mathop{\mathrm{Im}}\nolimits (f).$ \item $\mathop{\mathrm{Im}}\nolimits (f)$ inclus strictement dans $\mathop{\mathrm{Ker}}\nolimits(f).$ \end{enumerate} \finenonce{000951} \finexercice \exercice{952, gourio, 2001/09/01} \enonce{000952}{} Soit $(u,v)\in (L(E))^{2}$, tels que $u^{2}=u$ et $vu=0. $ Montrer que $$\mathrm{Im} (u+v)=\mathrm{Im} (u)+\mathrm{Im} (v).$$ \finenonce{000952} \finexercice \exercice{953, liousse, 2003/10/01} \enonce{000953}{} Soit $(\vec{e_1}, \vec{e_2}, \vec{e_3})$ une base de $\Rr^3$, et $\lambda$ un nombre r\'eel. D\'emontrer que la donn\'ee de $$\left\{\begin{array}{rcl}\phi(\vec{e_1})&=&\vec{e_1}+\vec{e_2} \\ \phi(\vec{e_2})&=&\vec{e_1}-\vec{e_2} \\ \phi(\vec{e_3})&=&\vec{e_1}+\lambda \vec{e_3} \end{array}\right.$$ d\'efinit une application lin\'eaire de $\Rr^3$ dans $\Rr^3$. Ecrire l'image du vecteur $\vec{v}=a_1 \vec{e_1}+a_2 \vec{e_2}+ a_3 \vec{e_3}$. Comment choisir $\lambda$ pour que $\phi$ soit injective ? surjective ? \finenonce{000953} \finexercice \exercice{954, cousquer, 2003/10/01} \video{nAFU6wBhyrE} \enonce{000954}{} Soit $E$ un espace vectoriel de dimension $3$, $\{e_1,e_2,e_3\}$ une base de $E$, et $t$ un param\`etre r\'eel. \\ D\'emontrer que la donn\'ee de $\left\{ \begin{array}{rcl} \phi(e_1) & = & e_1+e_2 \\ \phi(e_2) & = & e_1-e_2 \\ \phi(e_3) & = & e_1+t e_3 \end{array}\right.$ d\'efinit une application lin\'eaire $\phi$ de $E$ dans $E$. \'Ecrire le transform\'e du vecteur $x=\alpha_1e_1+\alpha_2e_2+\alpha_3e_3$. Comment choisir $t$ pour que $\phi$ soit injective ? surjective ? \finenonce{000954} \finexercice \exercice{955, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000955}{} $E$ étant un espace vectoriel de dimension $n$ sur $\mathbb{R}$, $f$ une application linéaire de~$E$ dans~$E$, construire dans les trois cas suivants deux applications linéaires bijectives $u$ et $v$ de~$E$ dans~$E$ telles que $f=u-v$. \begin{itemize} \item $f$ est bijective. \item $\mathrm{Ker} f+\mathrm{Im} f=E$. \item $f$ est quelconque. \end{itemize} \finenonce{000955} \finexercice \exercice{956, legall, 1998/09/01} \video{DY3GrL-j6C4} \enonce{000956}{} Pour les applications lin\'eaires suivantes, d\'eterminer $\ker f_i$ et $\Im f_i$. En d\'eduire si $f_i$ est injective, surjective, bijective. $$\begin{array}{rl} f_1 : \Rr^2 \to \Rr^2 & f_1(x,y)=(2x+y,x-y) \\ f_2 : \Rr^3 \to \Rr^3 & f_2(x,y,z)=(2x+y+z,y-z,x+y) \\ f_3 : \Rr^2 \to \Rr^4 & f_3(x,y)=(y,0,x-7y,x+y) \\ f_4 : \Rr_3[X] \to \Rr^3 & f_4(P) = \big( P(-1), P(0), P(1) \big) \\ \end{array} $$ \finenonce{000956} \finexercice \exercice{957, gourio, 2001/09/01} \enonce{000957}{} Soit $f\in L(E)$ non nul; montrer que $f$ est injective si et seulement si pour tout couple $(E_{1},E_{2})$ de sous-espaces suppl\'{e}mentaires de $E$, la somme $f(E_{1})+f(E_{2})$ est directe (i.e. $f(E_{1})$ et $f(E_{2})$ sont suppl\'{e}mentaires). \finenonce{000957} \finexercice \exercice{958, gourio, 2001/09/01} \enonce{000958}{} Soit $f\in L(E)$ o\`{u} $E$ est un $K-$espace vectoriel.\ On suppose : $$\forall x\in E,\exists \lambda \in K,f(x)=\lambda x.$$ Montrer : $$\exists \mu \in K,f=\mu id.$$ \finenonce{000958} \finexercice \exercice{959, legall, 1998/09/01} \video{ce0mL82x6Y0} \enonce{000959}{} Soit $E = \Rr_n[X]$ et soient $A$ et $B$ deux polyn\^omes \`a coefficients réels de degr\'e $n+1$. On consid\`ere l'application $f$ qui \`a tout polyn\^ome $P$ de $E$, associe le reste de la division euclidienne de $AP$ par $B$. \begin{enumerate} \item Montrer que $f$ est un endomorphisme de $E$. \item Montrer l'\'equivalence $$ f \hbox{ est bijective} \Longleftrightarrow \hbox{$A$ et $B$ sont premiers entre eux}. $$ \end{enumerate} \finenonce{000959} \finexercice \exercice{960, ridde, 1999/11/01} \enonce{000960}{} Soit $f \in \mathcal{L} (E)$ telle que $f^3 = f^2 + f + id$. Montrer que $f$ est un automorphisme. \finenonce{000960} \finexercice \exercice{961, legall, 1998/09/01} \enonce{000961}{} Soit $E$ un $\C$--espace vectoriel et $f \in{\mathcal L} (E)$ tel que $f^2 - 3f + 2Id =0_{{\mathcal L}(E)}$. \begin{enumerate} \item Montrer que $f$ est un automorphisme. \item Montrer que $E = \ker(f-Id) \oplus \ker(f-2Id)$. \item D\'eduire de 2. que si $E$ est de dimension finie $n$, il existe une base $\beta = (\epsilon_i)_{1\le i\le n}$, telle que $\forall i, f(\epsilon_i) = \lambda_i \epsilon_i$ avec $\lambda_i = 1$ ou $\lambda_i=2$. \end{enumerate} \finenonce{000961} \finexercice \exercice{962, legall, 1998/09/01} \enonce{000962}{} Montrer que si $p\sum_{j\neq i}\left|a_{i,j}\right| . $$ Montrer que $A$ est inversible. \finenonce{001069} \finexercice \exercice{1070, gourio, 2001/09/01} \enonce{001070}{} Montrer que si $(A,B)\in M_{n}({\Rr})$ et $AB=A+B$ alors $AB=BA$. \finenonce{001070} \finexercice \exercice{1071, gourio, 2001/09/01} \enonce{001071}{} Soit $M=\left( a_{i,j}\right) _{(i,j)\in \{1,...,n\}^{2}}\in M_{n}({\Rr}), $ montrer : $$\min\limits_{j}\max\limits_{i}a_{i,j}\geq \max\limits_{i}\min\limits_{j}a_{i,j}. $$ \finenonce{001071} \finexercice \exercice{1072, gourio, 2001/09/01} \enonce{001072}{} Soit $J\in M_{n}({\Rr})$ une matrice telle que : $J^{2}=I$ et $$E=\{A\in M_{n}({\Rr})|\exists (a,b)\in {\Rr}^{2};A=aI+bJ\}. $$ \begin{enumerate} \item Montrer que $E $ est un espace vectoriel stable par multiplication (Est-ce une alg\`{e}bre ?). En d\'{e}duire que : $$ \forall A\in E,\forall n\in \Nn,\exists (a_{n},b_{n})\in {\Rr}% ^{2};A^{n}=a_{n}I+b_{n}J $$ et calculer les coefficients $a_{n}$ et $b_{n}.$ \item Soit $S_{n}=\sum\limits_{k=0}^{n}\frac{A^{k}}{k!}.$ Calculer $(u_{n},v_{n})$ tel que $S_{n}=u_{n}I+v_{n}J$ en fonction de $a$ et de $b.$ Calculer les limites de $(u_{n})_{n\in \Nn}$ et de $(v_{n})_{n\in \Nn}.$ On pose $% e^{A}=uI+vJ$ o\`{u} $u=\lim\limits_{n\rightarrow \infty }u_{n},$ $% v=\lim\limits_{n\rightarrow \infty }v_{n}. $ Calculer $e^{-A\text{ }}$ et le produit $e^{-A\text{ }}e^{A\text{ }}.$ \item Application : $$ J=\left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} \right) ,A=\left( \begin{array}{cc} a & b \\ b & a \end{array} \right) . $$ Calculer $e^{A}.$ \end{enumerate} \finenonce{001072} \finexercice \exercice{1073, gourio, 2001/09/01} \enonce{001073}{} Soit $(A,B)\in (M_{n}(\Cc))^{2}$ tel que $\forall X\in M_{n}(\Cc),$ $AXB=0.$ Montrer que $A=0$ ou $B=0.$ \finenonce{001073} \finexercice \exercice{1074, gourio, 2001/09/01} \enonce{001074}{} Soit $(A,B)\in (M_{n}(\Cc))^{2}$ tel que $AB=I+A+A^{2}. $ Montrer que $AB=BA$ (\emph{Indication} : voir d'abord que $A$ est inversible). \finenonce{001074} \finexercice \exercice{1075, gourio, 2001/09/01} \enonce{001075}{} Soit $A\in M_{n}({\Rr}) $une matrice triangulaire \`{a} \'{e}l\'{e}ments diagonaux nuls, montrer que : $$A^{n}=0. $$ \finenonce{001075} \finexercice \exercice{1076, gourio, 2001/09/01} \enonce{001076}{} Calculer les puissances de : $$\left( \begin{array}{ll} a & b \\ 0 & a \end{array} \right) ,\ \left( \begin{array}{ll} a & b \\ b & a \end{array} \right) ,\ \left( \begin{array}{lll} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right) . $$ \finenonce{001076} \finexercice \exercice{1077, gourio, 2001/09/01} \enonce{001077}{} Soit $A\in M_{n}({\Rr}) $ nilpotente, on d\'{e}finit : $$\exp A=\sum_{i\geq 0}\frac{A^{i}}{i!}, $$ la somme \'{e}tant finie et s'arr\^{e}tant par exemple au premier indice $i $ tel que $A^{i}=0.$ Montrer que si $A$ et $B$ sont nilpotentes et commutent, alors $\exp(A+B)=\exp(A)\exp(B).$ En d\'{e}duire que $\exp(A)$ est toujours inversible et calculer son inverse. \finenonce{001077} \finexercice \exercice{1078, gourio, 2001/09/01} \enonce{001078}{} Calculer l'inverse de : $$ \left( \begin{array}{llll} 1 & ... & ... & 1 \\ 0 & 1 & ... & ... \\ ... & 0 & 1 & ... \\ 0 & ... & 0 & 1 \end{array} \right) ,\left( \begin{array}{llll} 1 & 2 & ... & n \\ 0 & 1 & 2 & ... \\ ... & 0 & 1 & 2 \\ 0 & ... & 0 & 1 \end{array} \right) . $$ \finenonce{001078} \finexercice \exercice{1079, gourio, 2001/09/01} \enonce{001079}{} Calculer l'inverse de : $$ \left( \begin{array}{llll} 1 & a & ... & a \\ 0 & 1 & a & ... \\ ... & 0 & 1 & a \\ 0 & ... & 0 & 1 \end{array} \right) ,a\in {\Rr}. $$ \finenonce{001079} \finexercice \exercice{1080, monthub, 2001/11/01} \enonce{001080}{Examen} Soient $(x_n)_{n \in \N}$ et $(y_n)_{n \in \N}$ deux suites réelles, vérifiant la relation de récurrence linéaire suivante : $$\Big\{ \begin{array}{rccc} x_{n+1}&=&-9 x_n &-18 y_n \\ y_{n+1}&=&6 x_n &+ 12y_n\\ \end{array}$$ avec $x_0=-137$ et $y_0=18$. On se propose dans ce problème de trouver les termes généraux de ces deux suites. \begin{enumerate} \item Montrer qu'il existe une matrice $A \in M_2(\R)$ telle que la relation de récurrence linéaire ci-dessus soit équivalente à la relation $U_{n+1}=AU_n$, où $U_n= \begin{pmatrix} x_n\\y_n \end{pmatrix}$. \item Trouver une expression de $U_n$ en fonction de $A$ et de $U_0$. \item Trouver le noyau de $A$, et en donner une base $B_1$. Calculer le rang de $A$. \item Montrer que l'ensemble des vecteurs $X \in \R^2$ tels que $AX=3X$ est un sous-espace vectoriel de $\R^2$. Quelle est sa dimension ? En donner une base, qu'on notera $B_2$. \item Montrer que la réunion $B_1 \cup B_2$ forme une base $B$ de $\R^2$. Soit $P$ la matrice formée des composantes des vecteurs de $B$ relativement à la base canonique de $\R^2$. Montrer que $P$ est inversible, et que le produit $P^{-1}AP$ est une matrice diagonale $D$ qu'on calculera. \item Montrer que $A^n=PD^nP^{-1}$. Calculer $D^n$, et en déduire $A^n$, pour tout $n \in \N$. \item Donner les termes généraux $x_n$ et $y_n$. \end{enumerate} \finenonce{001080} \finexercice \exercice{2442, matexo1, 2002/02/01} \video{ATfy0zSe_04} \enonce{002442}{} Pour toute matrice carrée $A$ de dimension $n$, on appelle trace de $A$, et l'on note $\textrm{tr}\, A$, la somme des éléments diagonaux de $A$\,: $$\textrm{tr}\, A = \sum_{i = 1}^n a_{i,i}$$ \begin{enumerate} \item Montrer que si $A, B$ sont deux matrices carrées d'ordre $n$, alors $\textrm{tr}(AB)=\textrm{tr} (BA)$. \item Montrer que si $f$ est un endomorphisme d'un espace vectoriel $E$ de dimension $n$, $M$ sa matrice par rapport à une base $e$, $M'$ sa matrice par rapport à une base $e'$, alors $\textrm{tr}\, M = \textrm{tr}\, M'$. On note $\textrm{tr}\, f$ la valeur commune de ces quantités. \item Montrer que si $g$ est un autre endomorphisme de $E$, $\textrm{tr}(f\circ g - g\circ f) = 0$. \end{enumerate} \finenonce{002442} \finexercice \exercice{2443, matexo1, 2002/02/01} \enonce{002443}{} On rappelle qu'une matrice carr\'ee $A$ d'ordre $n$ est dite {\em sym\'etrique} si $a_{i,j}=a_{j,i}, \forall\, i,j$, et {\em antisym\'etrique} si $a_{i,j}=-a_{j,i}$. \begin{enumerate} \item Combien y a-t-il de matrices antisym\'etriques diagonales\,? \item Montrer que $A {\,}^t A$ est sym\'etrique pour toute matrice carr\'ee $A$. \item Montrer que si $A, B$ sont sym\'etriques, leur produit $C = AB$ est sym\'etrique si et seulement si $AB = BA$. Que dire si elles sont antisym\'etriques\,? Si l'une est sym\'etrique et l'autre antisym\'etrique\,? \item Soit $P$ un polyn\^ome. Montrer que si $A$ est sym\'etrique, $P(A)$ l'est aussi. Que dire si $A$ est antisym\'etrique\,? \end{enumerate} \finenonce{002443} \finexercice \exercice{2444, matexo1, 2002/02/01} \video{GsaYq45QDFE} \enonce{002444}{} Soient $A, B$ deux matrices semblables (i.e. il existe $P$ inversible telle que $B = P^{-1} A P$). Montrer que si l'une est inversible, l'autre aussi\,; que si l'une est idempotente, l'autre aussi\,; que si l'une est nilpotente, l'autre aussi\,; que si $A = \lambda I$, alors $A = B$. \finenonce{002444} \finexercice \exercice{2445, matexo1, 2002/02/01} \enonce{002445}{} Soit $A$ une matrice carr\'ee d'ordre $n$ v\'erifiant pour tout $i\in\{1,\ldots,n\}$ $$ | a_{i,i} | > |a_{i,1}| + |a_{i,2}| +\ldots+ |a_{i,i-1}|+ |a_{i,i+1}| +\ldots+|a_{i,n}|.$$ Montrer que $A$ est inversible. \finenonce{002445} \finexercice \exercice{2446, matexo1, 2002/02/01} \enonce{002446}{} Une matrice carr\'ee r\'eelle $A$ est dite {\em stochastique} si $0 \le a_{i,j} \le 1, \forall\,i,j$ et $\displaystyle{\sum_{i=1}^n a_{i,j} = 1}$, $\forall j$. \begin{enumerate} \item Montrer que le produit de deux matrices stochastique est aussi une matrice stochastique. \item Soit $B = A^2$, $A_i = \sup_j a_{i,j}$, $a_i = \inf_j a_{i,j}$. Montrer que $a_i \le b_{i,j} \le A_i, \forall j$. \end{enumerate} \finenonce{002446} \finexercice \exercice{2747, tumpach, 2009/10/25} \enonce{002747}{} On consid\`ere les matrices suivantes~: $$ A = \left(\begin{array}{ccc}1& 2 & -1\\ 2 & 3 & -2\\ 0 &0 & 0\end{array}\right); \quad\quad B = \left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & -1\\ 2 & 0 & 4\\ 1 & 0 & -2\end{array}\right); \quad\quad C = \left(\begin{array}{cc} 2 &-2 \\ 1 & 1\\ 3 & 1\end{array}\right);$$ $$D = \left(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 3\end{array}\right);\quad\quad E = \left(\begin{array}{ccc}0 & 1 & 2 \end{array}\right). $$ Calculer \textit{lorsque cela est bien d\'efini} les produits de matrices suivants~: $AB$, $BA$, $AC$, $CA$, $AD$, $AE$, $BC$, $BD$, $BE$, $CD$, $DE$. \finenonce{002747} \finexercice \exercice{2748, tumpach, 2009/10/25} \enonce{002748}{} Soient les matrices suivantes~: $$ A = \left(\begin{array}{ccc}2& 5 & -1\\ 0 & 1 & 3\\ 0 &-2 & 4\end{array}\right); \quad\quad B = \left(\begin{array}{ccc}1 & 7 & -1\\ 2 & 3 & 4\\ 0 & 0 & 0\end{array}\right); \quad\quad C = \left(\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 0 & 4\\ -1 & 0\end{array}\right). $$ Calculer~: $(A - 2 B)C$, $C^{T}A$, $C^T B$, $C^{T}(A^T - 2 B^T)$, o\`u $C^T$ d\'esigne la matrice transpos\'ee de $C$. \finenonce{002748} \finexercice \exercice{2749, tumpach, 2009/10/25} \enonce{002749}{} Calculer $A^n$ pour tout $n\in\mathbb{Z}$, avec successivement $$ A = \left(\begin{array}{cc}\cos(a) & -\sin(a)\\ \sin(a) & \cos(a)\end{array}\right), \quad\quad\left(\begin{array}{cc}\cosh(a) & \sinh(a)\\ \sinh(a) & \cosh(a)\end{array}\right). $$ \finenonce{002749} \finexercice \exercice{2750, tumpach, 2009/10/25} \enonce{002750}{} Les matrices suivantes sont-elles inversibles? Si oui, calculer leurs inverses. $$ \left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3\\ 2 & 3 & 1\\ 3 & 1 & 2\end{array}\right), \left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & -1\\ 2 & 0 & 1\\1 & 1 & 3\end{array}\right), \left(\begin{array}{ccc} 2 & 1 & -1\\0 & 3 & 0\\0 & 2 & 1\end{array}\right). $$ \finenonce{002750} \finexercice \exercice{2751, tumpach, 2009/10/25} \enonce{002751}{} Inverser les matrices suivantes~: $$ \left(\begin{array}{cccc} 1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & -1 & -1\\ 1 & -1 & 1 & -1\\1 & -1 & -1 & -1\end{array}\right), \left(\begin{array}{cccc} 1 & a & a^2 & a^3\\ 0 & 1 & a & a^2\\ 0 & 0 & 1 & a\\ 0 & 0 & 0 &1\end{array}\right), \left(\begin{array}{cccc}1 & 2 & 3 & 4\\ 0 & 1 & 2 & 3\\ 0 & 0 & 1& 2\\ 0 & 0& 0&1\end{array}\right). $$ \finenonce{002751} \finexercice \exercice{2752, tumpach, 2009/10/25} \enonce{002752}{} L'\textit{exponentielle} d'une matrice carr\'ee $M$ est, par d\'efinition, la limite de la s\'erie $$ e^M = 1 + M + \frac{M^2}{2!} + \dots = \lim_{n\rightarrow+\infty} \sum_{k=0}^{n}\frac{M^k}{k!}. $$ On admet que cette limite existe en vertu d'un th\'eor\`eme d'analyse. \begin{enumerate} \item Montrer que si $AB = BA$ alors $e^{A+B} = e^A e^B$. On est autoris\'e, pour traiter cette question, \`a passer \`a la limite sans pr\'ecautions. \item Calculer $e^M$ pour les quatre matrices suivantes~: $$ \left(\begin{array}{ccc} a & 0 & 0\\0 & b & 0\\0 & 0& c \end{array}\right), \left(\begin{array}{ccc} 0 & a & b\\0 & 0 & c\\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right), \left(\begin{array}{cc} 0 & 1\\-1 & 0 \end{array}\right), \left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right). $$ \item Chercher un exemple simple o\`u $e^{A + B}\neq e^A e^B$. \end{enumerate} \finenonce{002752} \finexercice \exercice{2772, tumpach, 2009/10/25} \enonce{002772}{} On consid\`ere la matrice $A = \left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 1\\ 3 & 1 & 1\end{array}\right)$. \begin{enumerate} \item Soient $B = \left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0\end{array}\right)$ et $C = \left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1\\ 1 & 2 & 1\\ 0 & -1 & -1\end{array}\right)$. Montrer que $A B = A C$. La matrice $A$ peut-elle \^etre inversible~? \item D\'eterminer toutes les matrices $F$ de taille $(3, 3)$ telles que $A F = 0$, (o\`u $0$ est la matrice dont tous les coefficients sont nuls). \end{enumerate} \finenonce{002772} \finexercice \exercice{2773, tumpach, 2009/10/25} \enonce{002773}{} Pour quelles valeurs de $a$ la matrice $$ A = \left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1\\ 1 & 2 & 4\\ 1 & 3 & a\end{array}\right) $$ est-elle inversible~? Calculer dans ce cas son inverse. \finenonce{002773} \finexercice \exercice{2774, tumpach, 2009/10/25} \video{JhulB3S-Wf4} \enonce{002774}{} Soit $a $ et $b$ deux réels et $A$ la matrice $$ A = \left( \begin{array}{cccc} a & 2 & -1 & b\\ 3 & 0 & 1 & -4\\ 5 & 4 & -1 & 2 \end{array} \right) $$ Montrer que $\textrm{rg}(A) \geq 2$. Pour quelles valeurs de $a$ et $b$ a-t-on $\textrm{rg}(A) = 2$~? \finenonce{002774} \finexercice \exercice{2775, tumpach, 2009/10/25} \enonce{002775}{} Calculer l'inverse de la matrice suivante~: $$ A = \left(\begin{array}{cccc} 4 & 8 & 7 & 4\\1 & 3 & 2 & 1\\ 1 & 2 & 3 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}\right) $$ \finenonce{002775} \finexercice \exercice{3358, quercia, 2010/03/09} \enonce{003358}{Matrices en damier} Soit $M = (a_{ij}) \in \mathcal{M}_n(K)$. On dit que $M$ est {\it en damier\/} si $a_{ij} = 0$ pour $j-i$ impair. On note ${\cal D}$ l'ensemble des matrices $n\times n$ en damier. Montrer que ${\cal D}$ est une sous-algèbre de $\mathcal{M}_n(K)$. Quelle est sa dimension ? \finenonce{003358} \finexercice \exercice{3359, quercia, 2010/03/09} \enonce{003359}{Matrices stochastiques} Soit\\ ${\cal D} = \left\{ A=(a_{ij}) \in \mathcal{M}_n(\R) \text{ tq } \forall\ i,j,\ a_{ij} \ge 0 \text{ et } \forall\ i,\ \sum_{j=1}^n a_{ij} = 1 \right\}$. \begin{enumerate} \item Montrer que ${\cal D}$ est stable par multiplication. \item Déterminer les matrices $A \in {\cal D}$ inversibles telles que $A^{-1} \in {\cal D}$. \end{enumerate} \finenonce{003359} \finexercice \exercice{3360, quercia, 2010/03/09} \enonce{003360}{Matrices centrosymétriques} Soit $A = (a_{ij}) \in \mathcal{M}_n(K)$. On dit que $A$ est {\it centro-symétrique\/} si pour tous $i,j$ : $a_{n+1-i,n+1-j} = a_{ij}$. Montrer que si $A$ et $B$ sont centro-symétriques, il en est de même de $AB$. Montrer aussi que si $A$ est centro-symétrique et inversible alors $A^{-1}$ est aussi centro-symétrique. \finenonce{003360} \finexercice\exercice{3393, quercia, 2010/03/10} \enonce{003393}{\'Equation $AX = B$} Soit $A = \begin{pmatrix} 1&2&3\cr 2&3&4\cr 3&4&5 \cr\end{pmatrix}$. \begin{enumerate} \item Montrer que l'équation en $X$ : $AX = B$, $X,B \in \mathcal{M}_{3,n}(K)$, a des solutions si et seulement si les colonnes de $B$ sont des progressions arithmétiques (traiter d'abord le cas $n=1$). \item Résoudre $AX = \begin{pmatrix}3 &3 \cr 4 &5 \cr 5 &7 \cr\end{pmatrix}$. \end{enumerate} \finenonce{003393} \finexercice \exercice{3394, quercia, 2010/03/10} \enonce{003394}{\'Equation $AX = B$} Soient $A = \begin{pmatrix}-2&1&1 \cr 8&1&-5 \cr 4&3&-3 \cr\end{pmatrix}$ et $C = \begin{pmatrix} 1&2&-1 \cr 2&-1&-1 \cr -5&0&3 \cr\end{pmatrix}$. Existe-t-il une matrice $B$ telle que $BC = A$ ? \finenonce{003394} \finexercice \exercice{3395, quercia, 2010/03/10} \enonce{003395}{Calcul de $A^n$ par la formule du binôme} Soit $A = \begin{pmatrix} 1&0&0\cr 0&1&1\cr 1&0&1 \cr\end{pmatrix}$. En écrivant $A = I + J$, calculer $A^n$, $n \in \Z$. \finenonce{003395} \finexercice \exercice{3396, quercia, 2010/03/10} \enonce{003396}{Calcul de $A^n$ par polynôme annulateur} Soit $A = \begin{pmatrix} 1 &2 &3\cr 2 &3 &1\cr 3 &1 &2 \cr\end{pmatrix}$. \begin{enumerate} \item Vérifier que $(A-6I)(A^2-3I) = 0$. \item Soit $n\in\N$ et $P_n$ le polynôme de degré inférieur ou égal à 2 tel que $${P(6) = 6^n},\quad {P\bigl(\sqrt3\bigr) = \bigl(\sqrt3\bigr)^n},\quad \text{et } {P\bigl(-\sqrt3\bigr) = \bigl(-\sqrt3\bigr)^n}.$$ Montrer que $A^n = P_n(A)$. \item Même question pour $n \in \Zz$. \end{enumerate} \finenonce{003396} \finexercice \exercice{3397, quercia, 2010/03/10} \enonce{003397}{Calcul de $A^k$} Calculer $A^k$ pour $k \in \N$ : \begin{enumerate} \item $A = \begin{pmatrix}1 & &(2)\cr &\ddots \cr (2)& &1 \cr\end{pmatrix}$. \item $A = \begin{pmatrix} 1 &2 &3 &4 \cr 0 &1 &2 &3 \cr 0 &0 &1 &2 \cr 0 &0 &0 &1 \cr \end{pmatrix}$. \item $A = \begin{pmatrix} x^2 &xy &xz \cr xy &y^2 &yz \cr xz &yz &z^2 \cr \end{pmatrix}$. \end{enumerate} \finenonce{003397} \finexercice\exercice{5258, rouget, 2010/07/04} \enonce{005258}{**} Pour $x$ réel, on pose~: $$A(x)= \left( \begin{array}{cc} \ch x&\sh x\\ \sh x&\ch x \end{array} \right) .$$ Déterminer $(A(x))^n$ pour $x$ réel et $n$ entier relatif. \finenonce{005258} \finexercice \exercice{5262, rouget, 2010/07/04} \enonce{005262}{**} Soit $A=\left( \begin{array}{ccccc} 0&0&\ldots&0&1\\ 0& & &1&0\\ \vdots& & & &\vdots\\ 0&1&0& &0\\ 1&0&\ldots&\ldots&0 \end{array} \right) \in\mathcal{M}_p(\Rr)$. Calculer $A^n$ pour $n$ entier relatif. \finenonce{005262} \finexercice \exercice{5263, rouget, 2010/07/04} \enonce{005263}{**} Montrer que $\{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\left( \begin{array}{cc} 1&x\\ x&1 \end{array} \right),\;x\in]-1,1[\}$ est un groupe pour la multiplication des matrices. \finenonce{005263} \finexercice \exercice{5611, rouget, 2010/10/16} \enonce{005611}{**} Soient $A=(a_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant n}$ et $B=(b_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant n}$ deux matrices carrées de format $n$ telles que $a_{i,j}=0$ si $j\leqslant i+r -1$ et $b_{i,j}= 0$ si $j\leqslant i+s-1$ où $r$ et $s$ sont deux entiers donnés entre $1$ et $n$. Montrer que si $AB=(c_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant n}$ alors $c_{i,j}=0$ si $j\leqslant i+r+s-1$. \finenonce{005611} \finexercice \section{ 108.02 Noyau, image } \exercice{2436, matexo1, 2002/02/01} \enonce{002436}{} Soit $e = (e_1, e_2, e_3)$ la base canonique de $\R^3$ et $u$ l'endomorphisme dont la matrice dans cette base est $$ M = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} \right).$$ Chercher le noyau et l'image de $u$. Calculer son rang de deux mani\`eres. Calculer la matrice de $u^2$ dans la base $e$. Montrer que $u^2-3u=0$. \finenonce{002436} \finexercice \exercice{2449, matexo1, 2002/02/01} \enonce{002449}{} Calculer le rang de la matrice $$ A = \left( \begin{array}{ccc} -1& 1& 2 \\ -2& 2 & 4 \\ -1& 1& 2 \end{array} \right). $$ \finenonce{002449} \finexercice \exercice{5257, rouget, 2010/07/04} \enonce{005257}{**T} Soit $u$ l'endomorphisme de $\Rr^3$ dont la matrice dans la base canonique $(i,j,k)$ de $\Rr^3$ est~: $$M=\left( \begin{array}{ccc} 2&1&0\\ -3&-1&1\\ 1&0&-1 \end{array} \right) .$$ \begin{enumerate} \item Déterminer $u(2i-3j+5k)$. \item Déterminer $\mbox{Ker}u$ et $\mbox{Im}u$. \item Calculer $M^2$ et $M^3$. \item Déterminer $\mbox{Ker}u^2$ et $\mbox{Im}u^2$. \item Calculer $(I-M)(I+M+M^2)$ et en déduire que $I-M$ est inversible. Préciser $(I-M)^{-1}$. \end{enumerate} \finenonce{005257} \finexercice \exercice{5260, rouget, 2010/07/04} \enonce{005260}{**} Soit $\begin{array}[t]{cccc} f~:&\Rr_n[X]&\rightarrow&\Rr_{n+1}[X]\\ &P&\mapsto&Q=e^{X^2}(Pe^{-X^2})' \end{array}$. \begin{enumerate} \item Vérifier que $f\in(\mathcal{L}(\Rr_n[X],\Rr_{n+1}[X])$. \item Déterminer la matrice de $f$ relativement aux bases canoniques de $\Rr_n[X]$ et $\Rr_{n+1}[X]$. \item Déterminer $\mbox{Ker}f$ et $\mbox{rg}f$. \end{enumerate} \finenonce{005260} \finexercice \exercice{5269, rouget, 2010/07/04} \enonce{005269}{***T} Déterminer le rang des matrices suivantes~: $$\begin{array}{llll} 1) \left( \begin{array}{ccc} 1&1/2&1/3\\ 1/2&1/3&1/4\\ 1/3&1/4&m \end{array} \right) & 2)\left( \begin{array}{ccc} 1&1&1\\ b+c&c+a&a+b\\ bc&ca&ab \end{array} \right) & 3)\left( \begin{array}{cccc} 1&a&1&b\\ a&1&b&1\\ 1&b&1&a\\ b&1&a&1 \end{array} \right) & 4)\;(i+j+ij)_{1\leq i,j\leq n}\\ 5)\;(\sin(i+j))_{1\leq i,j\leq n} & 6)\; \left( \begin{array}{ccccc} a&b&0&\ldots&0\\ 0&a&\ddots&\ddots&\vdots\\ \vdots&\ddots&\ddots&\ddots&0\\ 0& &\ddots&\ddots&b\\ b&0&\ldots&0&a \end{array} \right). \end{array} $$ \finenonce{005269} \finexercice \exercice{5603, rouget, 2010/10/16} \enonce{005603}{***} Rang de la matrice $\left( \begin{array}{cccc} 1&\cos(a)&\cos(2a)&\cos(3a)\\ \cos(a)&\cos(2a)&\cos(3a)&\cos(4a)\\ \cos(2a)&\cos(3a)&\cos(4a)&\cos(5a)\\ \cos(3a)&\cos(4a)&\cos(5a)&\cos(6a) \end{array} \right)$. \finenonce{005603} \finexercice \exercice{5607, rouget, 2010/10/16} \enonce{005607}{**} Rang de la matrice $(i+j+ij)_{1\leqslant i,j\leqslant n}$. \finenonce{005607} \finexercice \exercice{5622, rouget, 2010/10/16} \enonce{005622}{***} Soient $A\in\mathcal{M}_n(\Cc)$ et $B$ l'élément de $\mathcal{M}_{np}(\Cc)$ défini par blocs par $B=\left( \begin{array}{cccc} A&0&\ldots&0\\ 0&\ddots&\ddots&\vdots\\ \vdots&\ddots&\ddots&0\\ 0&\ldots&0&A \end{array} \right)$. Déterminer le rang de $B$ en fonction du rang de $A$. \finenonce{005622} \finexercice \exercice{5623, rouget, 2010/10/16} \enonce{005623}{***} Soit $H$ un élément de $\mathcal{M}_n(\Cc)$ tel que $\forall A\in\mathcal{M}_n(\Cc),\;\exists\lambda_A\in\Cc/\;HAH=\lambda_AH$. Montrer que $\text{rg}H\leqslant 1$. \finenonce{005623} \finexercice \exercice{5624, rouget, 2010/10/16} \enonce{005624}{***} Soit $M\in\mathcal{M}_3(\Rr)$. Montrer que les deux propriétés suivantes sont équivalentes : \begin{center} (1) $M^2 = 0$ et (2) $\text{rg}M\leqslant 1$ et $\text{tr}M = 0$. \end{center} \finenonce{005624} \finexercice \section{ 108.03 Matrice et application linéaire } \exercice{1081, cousquer, 2003/10/01} \enonce{001081}{} Soit $h$ l'homomorphisme de $\mathbb{R}^3$ dans $\mathbb{R}^2$ défini par rapport à deux bases $(e_1,e_2,e_3)$ et $(f_1,f_2)$ par la matrice $A=\begin{pmatrix} 2 & -1 & 1\cr 3 & 2 &-3 \end{pmatrix}$. \begin{enumerate} \item On prend dans $\mathbb{R}^3$ la nouvelle base~: $$e'_1=e_2+e_3,\quad e'_2=e_3+e_1,\quad e'_3=e_1+e_2.$$ Quelle est la nouvelle matrice $A_1$ de $h$~? \item On choisit pour base de $\mathbb{R}^2$ les vecteurs~: $$f'_1=\frac{1}{2}(f_1+f_2), \quad f'_2=\frac{1}{2}(f_1-f_2)$$ en conservant la base $(e'_1,e'_2,e'_3)$ de $\mathbb{R}^3$. Quelle est la nouvelle matrice $A_2$ de $h$~? \end{enumerate} \finenonce{001081} \finexercice \exercice{1082, cousquer, 2003/10/01} \enonce{001082}{} Soit $h$ une application linéaire de rang $r$, de $E$, espace vectoriel de dimension~$n$, dans~$F$, espace vectoriel de dimension~$m$. \begin{enumerate} \item Préciser comment obtenir une base $(e_i)_{i=1}^n$ de $E$, et une base $(f_j)_{j=1}^m$ de $F$, telles que $h(e_k)=f_k$ pour $k=1,\ldots,r$ et $h(e_k)=0$ pour $k>r$. Quelle est la matrice de~$h$ dans un tel couple de bases~? \item Déterminer un tel couple de bases pour l'homomorphisme de $\mathbb{R}^4$ dans $\mathbb{R}^3$ défini dans les bases canoniques par~: $$h(x_1,x_2,x_3,x_4) = (y_1,y_2,y_3)\quad\mbox{avec}\quad \left\{\begin{array}{rcl} y_1 & = & 2x_1-x_2+x_3-x_4 \\ y_2 & = & x_2+x_3-2x_4 \\ y_3 & = & x_1+2x_2+x_3+x_4 \end{array}\right.$$ \item Même question pour l'application $f$ de $\mathbb{R}^3$ dans lui-même définie par~: $$ f(x,y,z)=(2x+y+z,-y+z,x+y).$$ \end{enumerate} \finenonce{001082} \finexercice \exercice{1083, cousquer, 2003/10/01} \enonce{001083}{} On désigne par $\mathcal{P}_2$ l'espace des polynômes sur~$\mathbb{R}$ de degré inférieur ou égal à~$2$. On désigne par $(e_0,e_1,e_2)$ la base canonique de $\mathcal{P}_2$ et on pose $$p_0=e_0, \quad p_1=e_1-\frac{1}{2}e_0,\quad p_2=e_2-e_1+\frac{1}{2}e_0.$$ \begin{enumerate} \item Montrer que tout polynôme de $\mathcal{P}_2$ peut s'écrire de façon unique sous la forme $p=b_0p_0 +b_1p_1+b_2p_2$. \item Écrire sous cette forme les polynômes~: $p'_0$, $p'_1$, $p'_2$, $p'$, $Xp'$, $p''$. \item Montrer que l'application $\varphi:\mathcal{P}_2 \to\mathcal{P}_2$ définie par $\varphi(p)=Xp'-\frac{1}{2}p'+\frac{1}{4}p''$ est une application linéaire. Préciser le noyau et l'image de cette application. Écrire les matrices de cette application par rapport à la base canonique $(e_i)$ et par rapport à la base $(p_i)$. Écrire la matrice de passage de la base $(e_i)$ à la base $(p_i)$~; quelle relation lie cette matrice aux deux précédentes~? \end{enumerate} \finenonce{001083} \finexercice \exercice{1084, legall, 1998/09/01} \enonce{001084}{} Soit $ f : \C \rightarrow \C $ l'application $ z \mapsto e^{i\theta }\bar{z} .$ On consid\`ere $ \C $ comme un $\R $-espace vectoriel et on fixe la base $ \epsilon =\{ 1,i\} .$ \begin{enumerate} \item Montrer que $ f $ est $\R $-lin\'eaire. \item Calculer $ A=\hbox{Mat}(f, \epsilon , \epsilon ) .$ \item Existent-ils $ x $ et $ y \in \C -\{ 0\} $ tels que $ f(x)=x $ et $ f(y) =-y ?$ Si c'est le cas d\'eterminer un tel $ x $ et un tel $ y .$ \item D\'ecrire g\'eom\'etriquement $ f .$ \item Soit $ g : \C \rightarrow \C $ l'application $ z \mapsto e^{i\rho }\bar{z} .$ Calculer $ A=\hbox{Mat}(g\circ f, \epsilon , \epsilon ) $ et d\'ecrire g\'eom\'etriquement $ g\circ f .$ \end{enumerate} \finenonce{001084} \finexercice \exercice{1085, legall, 1998/09/01} \enonce{001085}{} Soit $ f\in\mathcal{L}(\R ^3) $ telle que $ f^3=-f $ et $ f\not= 0 .$ \begin{enumerate} \item Montrer que $ \hbox{Ker}(f)\cap \hbox{Ker}(f^2+I) =\{ 0\} ,$ $ \hbox{Ker}(f)\not= \{ 0\} $ et $ \hbox{Ker}(f^2+I)\not= \{ 0\}. $ \item Soit $ x $ un \'el\'ement distinct de $ 0 $ de $ \hbox{Ker}(f^2+I) .$ Montrer qu'il n'existe pas $ \alpha \in \R $ tel que $ f(x)=\alpha x . $ En d\'eduire que $ \{ x, f(x)\} $ est libre. \item Calculer $ \hbox{dim}(\hbox{Ker}(f)) $ et $ \hbox{dim}(\hbox{Ker}(f^2+I)) .$ \item D\'eterminer une base $ \epsilon $ de $ \R ^3 $ telle que~: $ \hbox{Mat}(f, \epsilon )=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \cr 0 & 0 & -1 \cr 0 & 1 & 0 \cr \end{pmatrix} .$ \end{enumerate} \finenonce{001085} \finexercice \exercice{1086, legall, 1998/09/01} \enonce{001086}{} Soient $E$ un espace vectoriel de dimension $n$, $f$ une application lin\' eaire de $E$ dans lui-m\^eme et $x$ un \' el\' ement de $E$ tel que la famille $f(x), ...,f^n(x)$ soit libre. \begin{enumerate} \item Montrer que la famille $x,f(x),\ldots,f^{n-1}(x)$ est une base de $E$. D\' eduiser-en que $f$ est bijective. \item On suppose maintenant que $f^n(x)=x$. D\' eterminer la matrice de $f$ dans la base $x,f(x),\ldots,f^{n-1}(x)$. \end{enumerate} \finenonce{001086} \finexercice \exercice{1087, ridde, 1999/11/01} \video{SRrzcCzYHo0} \enonce{001087}{} Soit $\Rr^2$ muni de la base canonique $\mathcal{B}=(\vec{i}, \vec{j})$. Soit $f : \Rr^2 \to \Rr^2$ la projection sur l'axe des abscisses $\Rr \vec{i}$ parall\`element à $\Rr (\vec{i} + \vec{j})$. Déterminer $\textrm{Mat}_{\mathcal{B},\mathcal{B}}(f)$, la matrice de $f$ dans la base $(\vec{i}, \vec{j})$. Même question avec $\textrm{Mat}_{\mathcal{B}',\mathcal{B}}(f)$ où $\mathcal{B'}$ est la base $(\vec{i} - \vec{j}, -2\vec{i}+3\vec{j})$ de $\Rr^2$. Même question avec $\textrm{Mat}_{\mathcal{B}',\mathcal{B}'}(f)$. \finenonce{001087} \finexercice\exercice{1088, legall, 1998/09/01} \enonce{001088}{} Soit ${\Rr}[X]$ l'espace vectoriel des polyn\^omes \`a coefficients r\' eels. \begin{enumerate} \item Soit $n\in {\Nn}$. Montrer que ${\Rr}_n[X]$, ensemble des polyn\^omes \`a coefficients r\' eels et de degr\' e inf\' erieur ou \' egal \`a $n$, est un sous-espace vectoriel de ${\Rr}[X]$. Montrer que la famille $1,X,\ldots,X^n$ est une base de ${\Rr}_n[X]$. \item Soient $f$, $g$ et $h$ les applications de ${\Rr}[X]$ dans lui-m\^eme d\' efinies par : \setbox1=\vbox{\hbox{$f(P(X))=XP(X),$} \vskip1mm \hbox{$g(P(X))=P'(X),$} \vskip1mm \hbox{$h(P(X))=(P(X))^2.$} } \vskip1mm \centerline{\box1} \vskip1mm \noindent Montrer que les applications $f$ et $g$ sont lin\' eaires, mais que $h$ ne l'est pas. $f$ et $g$ sont-elles injectives ? Surjectives ? D\' eterminer la dimension de leurs noyaux respectifs. D\' eterminer l'image de $f$. \item On d\' esigne par $f_n$ et $g_n$ les restrictions de $f$ et de $g$ \`a ${\Rr}_n[X]$. Montrer que l'image de $g_n$ est incluse dans ${\Rr}_n[X]$ et celle de $f_n$ est incluse dans ${\Rr}_{n+1}[X]$. D\' eterminer la matrice de $g_n$ dans la base $1,X, ...,X^n$ de ${\Rr}_n[X]$. D\' eterminer la matrice de $f_n$ de la base $1,X, ...,X^n$ dans la base $1,X, ...,X^{n+1}$. Calculer les dimensions respectives des images de $f_n$ et de $g_n$. \end{enumerate} \finenonce{001088} \finexercice \exercice{1089, legall, 1998/09/01} \enonce{001089}{} Soient $ A=\begin{pmatrix}-1 & 2 \cr 1 & 0 \cr \end{pmatrix} $ et $ f $ l'application de $ M_2(\R ) $ dans lui-m\^eme $ M\mapsto AM .$ Montrer que $ f $ est lin\'eaire. D\'eterminer sa matrice dans la base canonique de $ M_2(\R ) .$ \finenonce{001089} \finexercice \exercice{1090, legall, 1998/09/01} \enonce{001090}{} Soit $\varphi $ une application lin\' eaire de ${\Rr}^2$ dans lui-m\^eme telle que $\varphi \not = 0$ et $\varphi ^2 = 0$. \begin{enumerate} \item Construire des exemples de telles applications. \item Soit $x\in {\Rr}^2$ tel que $\varphi (x)\not = 0$. Montrer que $\{ x , \varphi (x)\} $ est une base de ${\Rr}^2$. D\' eterminer la matrice de $\varphi $ dans cette base. \end{enumerate} \finenonce{001090} \finexercice \exercice{1091, legall, 1998/09/01} \enonce{001091}{} Soit $ E $ un espace vectoriel et $ \varphi \in \mathcal{L} (E) . $ \begin{enumerate} \item On suppose que $ \hbox{Ker} (\varphi )=\hbox{Ker} (\varphi ^2 ) .$ Soit $ p\geq 1 $ et $ x \in \hbox{Ker}(\varphi ^p) .$ Montrer que $ x \in \hbox{Ker}(\varphi ^{p-1}) .$ En d\'eduire que $ \hbox{Ker} (\varphi ^p) =\hbox{Ker} (\varphi ) $ pour tout $ p\geq 1 .$ \item Montrer de m\^eme que si $ \hbox{Ker} (\varphi ^2)= \hbox{Ker} (\varphi ^3 ) $ alors $ \hbox{Ker} (\varphi ^p) = \hbox{Ker} (\varphi ^2) $ pour tout $ p\geq 2 .$ \item On suppose d\'esormais que $\varphi $ est une application lin\' eaire de ${\Rr}^3$ dans lui-m\^eme telle que $ \varphi ^2 \not = 0 $. Soit $x\in {\Rr}^3$ tel que $\varphi ^2(x)\not = 0$. Montrer que $ \{ x , \varphi (x) , \varphi ^2(x)\} $ est une base de ${\Rr}^3$. D\' eterminer la matrice de $\varphi $ dans cette base. \end{enumerate} \finenonce{001091} \finexercice \exercice{1092, legall, 1998/09/01} \enonce{001092}{} Soient $E$ un espace vectoriel de dimension $3$ et $\varphi $ une application lin\' eaire de $E$ dans $E$ telle que $\varphi ^2=0$ et $\varphi \not =0$. Posons $r= \hbox{rg} (\varphi )$. \begin{enumerate} \item Montrer que $ \hbox{Im } (\varphi ) \subset \hbox {Ker } (\varphi )$. D\' eduiser-en que $r\leq 3-r$. Calculer $r$. \item Soit $e_1\in E$ tel que $\varphi (e_1)\not =0$. Posons $e_2=\varphi (e_1)$. Montrer qu'il existe $e_3\in \hbox {Ker } (\varphi )$ tel que la famille $\{ e_2 , e_3\} $ soit libre. Montrer que $\{ e_1 , e_2 , e_3\} $ est une base de $E$. \item D\' eterminer la matrice de $\varphi $ dans la base $\{ e_1 , e_2 , e_3\} $. \end{enumerate} \finenonce{001092} \finexercice \exercice{1093, legall, 1998/09/01} \video{A2_9r3WOfTM} \enonce{001093}{} \label{exo1093} Soit $E$ un espace vectoriel et $f$ une application linéaire de $E$ dans lui-m\^eme telle que $f^2=f$. \begin{enumerate} \item Montrer que $E= \Ker f \oplus \Im f$. \item Supposons que $E$ soit de dimension finie $n$. Posons $r= \dim \Im f$. Montrer qu'il existe une base $\mathcal{B}= ( e_1, \ldots ,e_n)$ de $E$ telle que : $f(e_i)=e_i$ si $i\le r$ et $f(e_i)=0$ si $i>r$. Déterminer la matrice de $f$ dans cette base $\mathcal{B}$. \end{enumerate} \finenonce{001093} \finexercice \exercice{1094, legall, 1998/09/01} \video{10aMCsQRMG4} \enonce{001094}{} Soit $f$ l'application de $\Rr_n[X]$ dans $\Rr[X]$ définie en posant pour tout $P(X)\in \Rr_n[X]$ : $f(P(X))=P(X+1)+P(X-1)-2P(X).$ \begin{enumerate} \item Montrer que $f$ est linéaire et que son image est incluse dans $\Rr_n[X]$. \item Dans le cas o\`u $n=3$, donner la matrice de $f$ dans la base $1,X, X^2, X^3$. Déterminer ensuite, pour une valeur de $n$ quelconque, la matrice de $f$ dans la base $1,X,\ldots,X^n$. \item Déterminer le noyau et l'image de $f$. Calculer leur dimension respective. \item Soit $Q$ un élément de l'image de $f$. Montrer qu'il existe un unique $P\in \Rr_n[X]$ tel que : $f(P)=Q$ et $P(0)=P'(0)=0$. \end{enumerate} \finenonce{001094} \finexercice\exercice{1095, cousquer, 2003/10/01} \enonce{001095}{} Soit $(e_1,e_2,e_3)$ une base de l'espace $E$ à trois dimensions sur un corps $K$. $I_E$ désigne l'application identique de $E$. On considère l'application linéaire $f$ de $E$ dans $E$ telle que~: $$f(e_1)= 2e_2+3e_3, \quad f(e_2)=2e_1-5e_2-8e_3, \quad f(e_3)=-e_1+4e_2+6e_3.$$ \begin{enumerate} \item Étudier le sous-espace $\ker(f-I_E)$~: dimension, base. \item Étudier le sous-espace $\ker(f^2+I_E)$~: dimension, base. \item Montrer que la réunion des bases précédentes constitue une base de~$E$. Quelle est la matrice de $f$ dans cette nouvelle base~? et celle de $f^2$~? \end{enumerate} \finenonce{001095} \finexercice \exercice{1096, cousquer, 2003/10/01} \enonce{001096}{} Soit $E$ un espace à $n$ dimensions et $f$ un endomorphisme de $E$. \begin{enumerate} \item Montrer que la condition $f^2=0$ est équivalente à $\mbox{Im} f \subset\ker f$. Quelle condition vérifie alors le rang de $f$~? On suppose dans le reste de l'exercice que $f^2=0$. \item \label{qu2}Soit $E_1$ un supplémentaire de $\ker f$ dans $E$ et soit $(e_1,e_2,\ldots,e_r)$ une base de $E_1$. Montrer que la famille des vecteurs $(e_1,e_2,\ldots,e_r,f(e_1),f(e_2),\ldots,f(e_r))$ est libre. Montrer comment on peut la compléter, si nécessaire, par des vecteurs de $\ker f$ de façon à obtenir une base de~$E$. Quelle est la matrice de~$f$ dans cette base~? \item Sous quelle condition nécessaire et suffisante a-t-on $\mbox{Im} f=\ker f$~? \item Exemple~: Soit $f$ l'endomorphisme de $\mathbb{R}^3$ dont la matrice dans la base canonique est $M(f)=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\cr 2 & 0 & 2\cr -1 & 0 & -1\end{pmatrix}$. Montrer que $f^2=0$. Déterminer une nouvelle base dans laquelle la matrice de $f$ a la forme indiquée dans la question~\ref{qu2}). \end{enumerate} \finenonce{001096} \finexercice \exercice{1097, cousquer, 2003/10/01} \video{jQcF6rnWgyI} \enonce{001097}{} Soient trois vecteurs $e_1,e_2,e_3$ formant une base de $\Rr^3$. On note $\phi$ l'application linéaire définie par $\phi(e_1)=e_3$, $\phi(e_2)=-e_1+e_2+e_3$ et $\phi(e_3)=e_3$. \begin{enumerate} \item Écrire la matrice $A$ de $\phi$ dans la base $(e_1,e_2,e_3)$. Déterminer le noyau de cette application. \item On pose $f_1=e_1-e_3$, $f_2=e_1-e_2$, $f_3=-e_1+e_2+e_3$. Calculer $e_1,e_2,e_3$ en fonction de $f_1,f_2,f_3$. Les vecteurs $f_1,f_2,f_3$ forment-ils une base de $\Rr^3$ ? \item Calculer $\phi(f_1), \phi(f_2), \phi(f_3)$ en fonction de $f_1,f_2,f_3$. Écrire la matrice $B$ de $\phi$ dans la base $(f_1,f_2,f_3)$ et trouver la nature de l'application $\phi$. \item On pose $P=\begin{pmatrix}1&1&-1\cr 0&-1&1\cr-1&0&1\cr\end{pmatrix}$. Vérifier que $P$ est inversible et calculer $P^{-1}$. Quelle relation lie $A$, $B$, $P$ et $P^{-1}$ ? \end{enumerate} \finenonce{001097} \finexercice\exercice{1098, legall, 1998/09/01} \enonce{001098}{} Soit $M_{\alpha , \beta }$ la matrice : $ M_{\alpha , \beta }= \begin{pmatrix} 1 &3 & \alpha & \beta \cr 2 & -1 & 2 & 1 \cr -1 & 1 & 2 & 0 \cr \end{pmatrix}\in M_{3,4}({\Rr})$. D\' eterminer pour quelles valeurs de $\alpha $ et de $\beta $ l'application lin\' eaire qui lui est associ\' ee est surjective. \finenonce{001098} \finexercice \exercice{1099, legall, 1998/09/01} \video{96dAjfnOIhI} \enonce{001099}{} Soient $A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \cr 3 & 4 & 1 \cr 5 & 6 & 1 \cr 7 & 8 & 1 \cr \end{pmatrix},\ B=\begin{pmatrix} 2 & 2 & -1 & 7 \cr 4 & 3 & -1 & 11 \cr 0 & -1 & 2 & -4 \cr 3 & 3 & -2 & 11 \cr \end{pmatrix} $. Calculer $\textrm{rg}(A)$ et $\textrm{rg}(B)$. Déterminer une base du noyau et une base de l'image pour chacune des applications linéaires associées $f_A$ et $f_B$. \finenonce{001099} \finexercice\exercice{1100, legall, 1998/09/01} \enonce{001100}{} Soit $E$ un espace vectoriel de dimension $n$ et $\varphi $ une application lin\' eaire de $E$ dans $E$. Montrer qu'il existe un polyn\^ome $P\in {\Rr} [X]$ tel que $P(f)=0$. (On pourra utiliser le fait que $\mathcal{L} (E)$ est isomorphe \`a $M_n({\Rr})$.) \finenonce{001100} \finexercice \exercice{1102, ridde, 1999/11/01} \enonce{001102}{} Même chose avec $A = \begin{pmatrix} 0&1& \dots &0 \\ \vdots & \ddots & \ddots & \vdots\\ \vdots & & \ddots &1\\ 0 & \dots & \dots &0 \end{pmatrix}$. \finenonce{001102} \finexercice \exercice{1103, ridde, 1999/11/01} \enonce{001103}{} Soit $f \in \mathcal{L} (\Rr^3)$ de matrice $\begin{pmatrix} 3&-1&1\\0&2&0\\1&-1&3 \end{pmatrix}$ dans la base canonique. D\'eterminer la matrice de $f$ dans la base $ (1, 0, -1), (0, 1, 1), (1, 0, 1)$. \finenonce{001103} \finexercice \exercice{1104, ridde, 1999/11/01} \video{VTTwQGImicw} \enonce{001104}{} Soit $f$ l'endomorphisme de $\Rr^2$ de matrice $A=\begin{pmatrix} 2&\frac 23\\ -\frac 52&-\frac 23 \end{pmatrix}$ dans la base canonique. Soient $e_1 = \begin{pmatrix} -2 \\ 3\end{pmatrix}$ et $e_2 = \begin{pmatrix} -2 \\ 5 \end{pmatrix}$. \begin{enumerate} \item Montrer que $\mathcal{B}'= (e_1, e_2)$ est une base de $\Rr^2$ et déterminer $\text{Mat}_{\mathcal{B}'}(f)$. \item Calculer $A^n$ pour $n \in \Nn$. \item Déterminer l'ensemble des suites réelles qui vérifient $\forall n \in \Nn$ $\begin{cases} x_{n + 1} = 2x_n + \dfrac 23 y_n \\ y_{n + 1} = -\dfrac 52 x_n - \dfrac 23 y_n \end{cases}$. \end{enumerate} \finenonce{001104} \finexercice\exercice{1105, ridde, 1999/11/01} \enonce{001105}{} Soit $E = \text{vect} (AB-BA, (A, B)\in M_n (\Qq)^2)$. \begin{enumerate} \item Montrer que $E = \ker \text{tr}$ (pour l'inclusion non triviale, on trouvera une base de $\ker \text{tr}$ form\'ee de matrices de la forme $AB-BA$). \item Soit $f \in M_n (\Qq)^*$ telle que $\forall (A, B)\in M_n (\Qq)^2 $ $f (AB) = f (BA)$. Montrer qu'il existe $\alpha \in \Rr$ tel que $f = \alpha \text{tr}$. \end{enumerate} \finenonce{001105} \finexercice \exercice{1106, ridde, 1999/11/01} \enonce{001106}{} Soient $A = \begin{pmatrix} 1&1\\0&1 \end{pmatrix}$ et ${\Phi} : {M_2 (\Rr)} \to {M_2 (\Rr)}$, ${M} \mapsto {AM-MA}$. Montrer que $\Phi$ est lin\'eaire, d\'eterminer sa matrice dans la base canonique et calculer $\ker \Phi$ et $\text{Im} \Phi$. \finenonce{001106} \finexercice \exercice{2565, delaunay, 2009/05/19} \enonce{002565}{} Soit $A=(a_{ij})_{1\leq i,j\leq n}$ une matrice carr\'ee $n\times n$. On veut d\'emontrer le r\'esultat suivant d\^u \`a Hadamard : Supposons que pour tout $i\in\{1,\cdots,n\}$, on ait $$|a_{ii}|>\sum_{j=1,j\neq i}^{n}|a_{ij}| $$ alors $A$ est inversible. \begin{enumerate} \item Montrer le r\'esultat pour $n=2$. \item Soit $B$, la matrice obtenue en rempla\c cant, pour $j\geq 2$, chaque colonne $c_j$ de $A$ par la colonne $$ c_j-{\frac{a_{1j}}{a_{11}}}c_1 ,$$ Calculer les $b_{ij}$ en fonction des $a_{ij}$. Montrer que si les coefficients de $A$ satisfont les in\'egalit\'es ci-dessus, alors pour $i\geq 2$, on a $$|b_{ii}|>\sum_{j=2,j\neq i}^{n}|b_{ij}| .$$ \item D\'emontrer le r\'esultat de Hadamard pour $n$ quelconque. \end{enumerate} \finenonce{002565} \finexercice\exercice{2585, delaunay, 2009/05/19} \enonce{002585}{} Soient $A$ et $B$ des matrices non nulles de $M_n(\R)$. On suppose que $A.B=0$. \begin{enumerate} \item D\'emontrer que $\Im B\subset \ker A$. \item On suppose que le rang de $A$ est \'egal \`a $n-1$, d\'eterminer le rang de $B$. \end{enumerate} \finenonce{002585} \finexercice\exercice{2776, tumpach, 2009/10/25} \enonce{002776}{} On d\'esigne par $\{e_1, e_2, \dots, e_n\}$ la base canonique de $\mathbb{R}^n$. \`A une permutation $\sigma\in \mathcal{S}_n$, on associe l'endomorphisme $u_\sigma$ de $\mathbb{R}^n$ suivant~: $$ \begin{array}{cccl} u_{\sigma}~:& \mathbb{R}^n & \longrightarrow & \mathbb{R}^n\\ & \left(\begin{array}{c}x_1\\ \vdots \\x_n\end{array}\right) & \longmapsto & \left(\begin{array}{c}x_{\sigma(1)}\\ \vdots \\x_{\sigma(n)}\end{array}\right) \end{array} $$ \begin{enumerate} \item Soit $\tau = (i j)$ une transposition. \'Ecrire la matrice de $u_{\tau}$ dans la base canonique. Montrer que $\textrm{det}(u_\tau) = -1$. \item Montrer que $\forall \sigma, \sigma'\in \mathcal{S}_n$, $u_{\sigma} \circ u_{\sigma'} = u _{\sigma'\circ\sigma}$. \item En d\'eduire que $\forall \sigma \in \mathcal{S}_n$, $\textrm{det}\, u_{\sigma} = \varepsilon(\sigma)$ o\`u $\varepsilon$ d\'esigne la signature. \end{enumerate} \finenonce{002776} \finexercice \exercice{3406, quercia, 2010/03/10} \enonce{003406}{Coefficients du binôme} Soit $A \in \mathcal{M}{n+1}(\Q)$ telle que $a_{ij} = C_{j-1}^{i-1}$. Interpréter $A$ comme la matrice d'un endomorphisme simple de $\Q_n[X]$. En déduire la matrice $A^{-1}$. \finenonce{003406} \finexercice \exercice{3407, quercia, 2010/03/10} \enonce{003407}{Coefficients du binôme} Soit $A \in \mathcal{M}_n(K)$ telle que $a_{ij} = (-1)^{n-j}C_{n-j}^{i-1}$. \begin{enumerate} \item Interpréter $A$ comme la matrice d'un endomorphisme de $ K_{n-1}[X]$. \item En déduire $A^3$. \end{enumerate} \finenonce{003407} \finexercice \exercice{5261, rouget, 2010/07/04} \enonce{005261}{***I} Soit $f$ un endomorphisme de $\Rr^3$, nilpotent d'indice $2$. Montrer qu'il existe une base de $\Rr^3$ dans laquelle la matrice de $f$ s'écrit $\left( \begin{array}{ccc} 0&0&0\\ 1&0&0\\ 0&0&0 \end{array} \right)$. \finenonce{005261} \finexercice \exercice{7411, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007411}{} Soit $f : \Rr^3 \rightarrow \Rr^3$ l'application linéaire définie par $$f(x,y,z) = (4x + y + z, 4x + 7y +2z, -6x -6y-z).$$ \begin{enumerate} \item \'Ecrire la matrice $A$ de $f$ dans la base canonique $\mathcal{B}$ de $\Rr^3$. \item Montrer que les vecteurs $v_1 = (1,0,-2)$, $v_2 = (1,-1,0)$ et $v_3 = (0,-1,1)$ forment une base de $\Rr^3$ que l'on note $\mathcal{B}'$. \item Déterminer la matrice de passage $[Id_{R^3}]_{\mathcal{B}'}^{\mathcal{B}}$ de $\mathcal{B}$ à $\mathcal{B}'$, et la matrice de passage $[Id_{R^3}]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}'}$ de $\mathcal{B}'$ à $\mathcal{B}$. \item Déterminer la matrice $M$ de $f$ dans la base $\mathcal{B}'$. \item En déduire $A^n$ pour tout $n \in \mathbb{N}^{*}$. \end{enumerate} \finenonce{007411} \finexercice \exercice{7412, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007412}{} Soit $\R[X]$ l'ensemble de polynômes dans $\R$ et soit $\R_{n}[X]$ l'ensemble des polynômes de degré au plus $n$. On considère l'application $\Phi:\R_{2}[X]\longrightarrow\R[X]$ définie par : \begin{equation*} \Phi(P)(X):=(2X+1)P(X)-(X^2-1)P'(X). \end{equation*} \begin{enumerate} \item Montrer que l'application $\Phi$ est un endomorphisme. \item Montrer que la matrice $A$ de l'application $\Phi$ dans la base $(1,X,X^2)$ s'écrit : \begin{equation*} A=\begin{pmatrix} 1&1&0\\ 2&1&2\\ 0&1&1 \end{pmatrix}. \end{equation*} \item Déterminer le rang de $\Phi$. \item En déduire que $\Phi$ est une application inversible. \item Déterminer une base du noyau de l'application $\Phi-Id$, où $Id$ désigne l'application identité. \item Montrer que la dimension de l'image de $\Phi-Id$ est de dimension $2$. Déterminer une base de l'image. \item Déterminer l'ensemble des polynômes de $\R[X]$ vérifiant l'identité : $2X\,P=(X^2-1)\,P'$. \end{enumerate} \finenonce{007412} \finexercice \section{ 108.04 Exemples géométriques } \exercice{3364, quercia, 2010/03/09} \enonce{003364}{Homographies} Pour $M = \begin{pmatrix} a&b\cr c&d \cr\end{pmatrix} \in GL_2(\R)$, on note ${f_M} : {\R \cup \{\infty\}} \to {\R \cup \{\infty\}}, x \mapsto {\frac {ax+b}{cx+d}}$ Montrer que $M \mapsto f_M$ est un morphisme de groupes. Quel est son noyau ? \finenonce{003364} \finexercice \section{ 108.05 Inverse, méthode de Gauss } \exercice{3361, quercia, 2010/03/09} \enonce{003361}{Conservation de l'inverse sur un sous-corps} Soit $M \in \mathcal{M}_n(\Q)$. Comparer les énoncés : \par {\bf1:} $M$ est inversible dans $\mathcal{M}_n(\Q)$. \par {\bf2:} $M$ est inversible dans $\mathcal{M}_n(\C)$. \finenonce{003361} \finexercice \exercice{3362, quercia, 2010/03/09} \enonce{003362}{Algèbre de matrices} On note $U = \begin{pmatrix} 1 &\dots &1 \cr \vdots &&\vdots \cr 1 &\dots &1 \cr \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_n(\R)$ et ${\cal A} = \{ aU + bI,\ a,b \in \R \}\quad (n \ge 2)$. \begin{enumerate} \item Montrer que ${\cal A}$ est une sous algèbre commutative de $\mathcal{M}_n(\R)$. \item Soit $M = aU+bI \in {\cal A}$. Montrer que $M$ possède un inverse dans ${\cal A}$ si et seulement si $b(b+na) \ne 0$, et le cas échéant, donner $M^{-1}$. \item Montrer que si $b(b+na) = 0$, alors $M$ n'est pas inversible dans $\mathcal{M}_n(\R)$. \item Trouver les matrices $M \in {\cal A}$ vérifiant : $M^n = I$. \end{enumerate} \finenonce{003362} \finexercice\exercice{3365, quercia, 2010/03/09} \enonce{003365}{Opérations par blocs} \begin{enumerate} \item Soient $A_1 \in \mathcal{M}_{n,p_1}(K)$, $A_2 \in \mathcal{M}_{n,p_2}(K)$, $B_1 \in \mathcal{M}_{p_1,q}(K)$, $B_2 \in \mathcal{M}_{p_2,q}(K)$. On pose $A = \begin{pmatrix} A_1 &A_2 \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_{n,p_1+p_2}(K)$ et $B = \begin{pmatrix} B_1 \cr B_2 \cr \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_{p_1+p_2,q}(K)$. Montrer que $AB = A_1B_1 + A_2B_2$. \item Soit $M = \begin{pmatrix}A & B \cr 0 & C \cr\end{pmatrix}$ où $A,B,0,C$ sont des matrices de tailles $p\times p$, $p \times q$, $q\times p$, $q \times q$ (matrice triangulaire par blocs). Montrer que $M$ est inversible si et seulement si $A$ et $C$ le sont. Le cas échéant, donner $M^{-1}$ sous la même forme. \item En déduire une nouvelle démonstration de la propriété : {\it L'inverse d'une matrice triangulaire est triangulaire.} \end{enumerate} \finenonce{003365} \finexercice \exercice{3366, quercia, 2010/03/09} \enonce{003366}{Décomposition d'une matrice en matrices inversibles} Soit $A \in \mathcal{M}_n(K)$. Montrer qu'il existe $U,V \in GL_n( K)$ telles que $A = U+V$. \finenonce{003366} \finexercice\exercice{3376, quercia, 2010/03/09} \enonce{003376}{Tout hyperplan de $\mathcal{M}_n(K)$ contient une matrice inversible} Soit $H$ un hyperplan de $\mathcal{M}_n(K)$ $(n\ge 2)$. \begin{enumerate} \item Montrer qu'il existe $A \in \mathcal{M}_n(K)$ telle que $H = \{ M \text{ tq } \mathrm{tr}(AM) = 0 \}$. \item En déduire que $H$ contient une matrice inversible. \end{enumerate} \finenonce{003376} \finexercice\exercice{3380, quercia, 2010/03/09} \video{dad4PGxRe4U} \enonce{003380}{$M$ antisymétrique $ \Rightarrow I+M$ est inversible} Soit $M \in \mathcal{M}_n(\R)$ antisymétrique. \begin{enumerate} \item Montrer que $I+M$ est inversible (si $(I+M)X = 0$, calculer ${}^t\!(MX)(MX)$). \item Soit $A = (I-M)(I+M)^{-1}$. Montrer que ${}^t\!A = A^{-1}$. \end{enumerate} \finenonce{003380} \finexercice \exercice{3381, quercia, 2010/03/09} \enonce{003381}{\'Equation $X^2 + X = A$} Soit $A = \begin{pmatrix} 1&1\cr 1&1 \cr\end{pmatrix}$. On veut résoudre l'équation dans $\mathcal{M}_{2}(K)$ : $X^2 + X = A$. Soit $X$ une solution et $\phi_A$, $\phi_X$ les endomorphismes de $ K^2$ de matrices $A$ et $X$ dans la base canonique. \begin{enumerate} \item Montrer que $X$ ou $X+I$ n'est pas inversible. \item Si $X$ n'est pas inversible, montrer que $X$ est proportionnelle à $A$ (on montrera que $\mathrm{Ker}\phi_X = \mathrm{Ker}\phi_A$ et $\Im\phi_X = \Im\phi_A$). \item Résoudre l'équation. \end{enumerate} \finenonce{003381} \finexercice \exercice{3382, quercia, 2010/03/09} \enonce{003382}{Groupes de matrices} Soit ${\cal G} \subset \mathcal{M}_n(K)$ tel que pour la multiplication, $\cal G$ soit un groupe. On note $J$ l'élément neutre et pour $M \in \cal G$, $\phi_M$ l'endomorphisme de $ K^n$ canoniquement associé à $M$. \begin{enumerate} \item Montrer que $\phi_J$ est une projection. \item Montrer que : $\forall\ M \in \cal G$, ${\phi_M}_{|\mathrm{Ker}\phi_J} = 0$ et ${\phi_M}_{|\Im\phi_J}$ est un isomorphisme de $\Im\phi_J$. \item En déduire que $\cal G$ est isomorphe à un groupe $GL_k( K)$. \end{enumerate} \finenonce{003382} \finexercice\exercice{3398, quercia, 2010/03/10} \enonce{003398}{Inversion de matrices} Inverser les matrices suivantes : \begin{enumerate} \item $\begin{pmatrix}0 & &(1) \cr &\ddots \cr (1)& &0 \cr\end{pmatrix}$. \item $\begin{pmatrix}a & &(b) \cr &\ddots \cr (b)& &a \cr\end{pmatrix}$. \item $\begin{pmatrix} 1 &1 & &(0) \cr &\ddots &\ddots \cr & &\ddots &1 \cr \span(0) & &1 \cr\end{pmatrix}$. \item $\begin{pmatrix} 1 &\bar\alpha &\bar\alpha^2 \cr \alpha &1 &\bar\alpha \cr \alpha^2 &\alpha &1 \cr \end{pmatrix}$, $\alpha \in \C$. \item $\begin{pmatrix} (0) &&a_n \cr &\cdots\cr a_1 &&(0) \cr\end{pmatrix}$. \item $\begin{pmatrix} 1+\frac 1{\lambda_1} &&(1) \cr &\ddots \cr (1) & &1+\frac 1{\lambda_n} \cr \end{pmatrix}$. \end{enumerate} \finenonce{003398} \finexercice \exercice{3399, quercia, 2010/03/10} \enonce{003399}{Effet des arrondis} Soient {\normalbaselineskip=15pt $A = \begin{pmatrix} 1 &\frac12 &\frac13 \cr \frac12 &\frac13 &\frac14 \cr \frac13 &\frac14 &\frac15 \cr \end{pmatrix}$} et $B = \begin{pmatrix} 1\phantom{.00} &0.5\phantom{0} &0.33 \cr 0.5\phantom{0} &0.33 &0.25 \cr 0.33 &0.25 &0.20 \cr \end{pmatrix}$. Calculer $A^{-1}$ et $B^{-1}$. \finenonce{003399} \finexercice\exercice{5267, rouget, 2010/07/04} \enonce{005267}{***} Soit $A=(a_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}$ $(n\geq2)$ définie par $$\forall i\in\{1,...,n\},\;a_{i,j}= \left\{ \begin{array}{l} i\;\mbox{si}\;i=j\\ 1\;\mbox{si}\;i>j\\ 0\;\mbox{si}\;i\sum_{j\neq i}^{}|a_{i,j}|$. Montrer que $A$ est inversible. \finenonce{005272} \finexercice \exercice{5274, rouget, 2010/07/04} \enonce{005274}{***I Matrice de \textsc{Vandermonde} des racines $n$-ièmes de l'unité} Soit $\omega=e^{2i\pi/n}$, $(n\geq 2)$. Soit $A=(\omega^{(j-1)(k-1)})_{1\leq j,k\leq n}$. Montrer que $A$ est inversible et calculer $A^{-1}$ (calculer d'abord $A\overline{A}$). \finenonce{005274} \finexercice \exercice{5276, rouget, 2010/07/04} \enonce{005276}{***I} Soit $A=(a_{i,j})_{1\leq i,j\leq n+1}$ définie par $a_{i,j}=0$ si $i>j$ et $a_{i,j}=C_{j-1}^{i-1}$ si $i\leq j$. Montrer que $A$ est inversible et déterminer son inverse. (Indication~:~considérer l'endomorphisme de $\Rr_n[X]$ qui à un polynôme $P$ associe le polynôme $P(X+1)$). \finenonce{005276} \finexercice\exercice{5597, rouget, 2010/10/16} \enonce{005597}{****} Montrer que tout hyperplan de $M_n(\Rr)$ contient des matrices inversibles. \finenonce{005597} \finexercice\exercice{5604, rouget, 2010/10/16} \enonce{005604}{***} Soit $A=(a_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant n}$ définie par $a_{i,j}=1$ si $i=j$, $j$ si $i=j-1$ et $0$ sinon. Montrer que $A$ est inversible et calculer $A^{-1}$. \finenonce{005604} \finexercice \exercice{5610, rouget, 2010/10/16} \enonce{005610}{***} Soient $a_1$,..., $a_n$ $n$ réels tous non nuls et $A=\left( \begin{array}{ccccc} 1+a_1&1&\ldots&\ldots&1\\ 1&\ddots&\ddots& &\vdots\\ \vdots&\ddots& &\ddots&\vdots\\ \vdots& &\ddots&\ddots&1\\ 1&\ldots&\ldots&1&1+a_n \end{array} \right)$. Inverse de $A$ en cas d'existence ? \finenonce{005610} \finexercice \exercice{5612, rouget, 2010/10/16} \enonce{005612}{**I} Calculer l'inverse de $\left( \begin{array}{cccccc} \dbinom{0}{0}&\dbinom{1}{0}&\dbinom{2}{0}&\ldots&\dbinom{n-1}{0}&\dbinom{n}{0}\\ \rule{0mm}{7mm}0&\dbinom{1}{1}&\dbinom{2}{1}&\ldots&\ldots&\dbinom{n}{1}\\ \rule{0mm}{7mm}\vdots&\ddots&\dbinom{2}{2}& & &\vdots\\ & & &\ddots& & \\ \vdots& & &\ddots&\dbinom{n-1}{n-1}&\vdots\\ 0&\ldots& &\ldots&0&\dbinom{n}{n} \end{array} \right)$. \finenonce{005612} \finexercice \exercice{5613, rouget, 2010/10/16} \enonce{005613}{***I} Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à $2$ et $\omega=e^{2i\pi/n}$. Soit $A =(\omega^{(j-1)(k-1)})_{1\leqslant j,k\leqslant n}$. Montrer que $A$ est inversible et calculer $A^{-1}$. \finenonce{005613} \finexercice \exercice{5617, rouget, 2010/10/16} \enonce{005617}{***I Théorème de \textsc{Hadamard}} Soit $A=(a_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant n}\in\mathcal{M}_n(\Cc)$ telle que $\forall i\in\llbracket1,n\rrbracket$, $|a_{i,i}| >\sum_{j\neq i}^{}|a_{i,j}|$. Montrer que $A\in\mathcal{GL}_n(\Cc)$. (Une matrice à diagonale strictement dominante est inversible.) \finenonce{005617} \finexercice \exercice{6872, bodin, 2012/05/29} \video{SbWnWREUACY} \enonce{006872}{} Calculer (s'il existe) l'inverse des matrices : $$ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{pmatrix} \qquad \begin{pmatrix} 1&2&1 \\ 1&2&-1\\ -2&-2&-1 \end{pmatrix} \qquad \begin{pmatrix} 1 &\bar\alpha &\bar\alpha^2 \cr \alpha &1 &\bar\alpha \cr \alpha^2 &\alpha &1 \cr \end{pmatrix} (\alpha \in \Cc) \qquad \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ \end{pmatrix} $$ $$ \begin{pmatrix} 1 & 1 & \cdots &\cdots & 1 \\ 0 & 1 & \ddots & & \vdots \\ & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ & \cdots & 0 & 1 & 1 \\ 0 & & \cdots & 0 & 1 \end{pmatrix} \qquad \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & \cdots & n \\ 0 & 1 & 2 & \cdots & \vdots \\ & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ \vdots & & 0 & 1 & 2 \\ 0 & \cdots & & 0 & 1 \end{pmatrix} $$ \finenonce{006872} \finexercice \exercice{7413, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007413}{} Pour un entier $n\geq 2$ et $x$ dans $\Rr$, considérons la matrice d'ordre $n$: \[ D_n = \left ( {\begin{array}{cccc} x & 1 & \ldots & 1 \\ 1 & x & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & 1 \\ 1 & \ldots & 1 & x \end{array} } \right ). \] \begin{enumerate} \item Calculer $det(D_2)$ et $det(D_3)$. \item Montrer d'abord que \[ det(D_n)= \left | {\begin{array}{ccccc} x+n-1 & x+n-1 & \ldots & \ldots & x+n-1 \\ 1 & x & 1& \ldots & 1 \\ \vdots & \ddots & \ddots &\ddots& \vdots \\ \vdots &\ldots & \ddots & \ddots & 1 \\ 1 & \ldots & \ldots & 1 & x \end{array} } \right |, \] et ensuite \[ det(D_n)= (x+n-1)\left | {\begin{array}{cccc} 1 & 1 & \ldots & 1 \\ 1 & x & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & 1 \\ 1 & \ldots & 1 & x \end{array} } \right |. \] \item En utilisant la méthode du pivot de Gauss, calculer $det(D_n)$ pour tout $n$. \item Pour chaque $n$, pour quelles valeurs de $x$ la matrice $D_n$ est-elle inversible? \end{enumerate} \finenonce{007413} \finexercice \section{ 108.06 Changement de base, matrice de passage } \exercice{3367, quercia, 2010/03/09} \enonce{003367}{Conjugaison} \begin{enumerate} \item Soit $P \in GL_n( K)$. Montrer que l'application ${\phi_P} : {\mathcal{M}_n(K)} \to {\mathcal{M}_n(K)}, M \mapsto {P^{-1}MP}$ est un isomorphisme d'algèbre. \item Soit $\phi$ : $A = (a_{ij}) \longmapsto A' = (a_{n+1-i,n+1-j})$. \begin{enumerate} \item Montrer que $\phi$ est un isomorphisme d'algèbre de $\mathcal{M}_n(K)$. \item Trouver une matrice $P \in GL_n( K)$ telle que $\phi = \phi_P$. \end{enumerate} \end{enumerate} \finenonce{003367} \finexercice \exercice{3368, quercia, 2010/03/09} \enonce{003368}{Chimie P' 1996} Soit $u\in\mathcal{L}({\R^3})$ ayant pour matrice dans la base canonique $M = \frac 12\begin{pmatrix}5 &1 &?\cr 2 &-1 &?\cr 1 &0 &0\cr\end{pmatrix}$ et $M' = \begin{pmatrix}1 &1 &0\cr 0&1 &1\cr 0 &0 &1\cr\end{pmatrix}$ dans une autre base. Donner la matrice de passage. \finenonce{003368} \finexercice \exercice{3400, quercia, 2010/03/10} \enonce{003400}{Changement de base} Soit $f$ l'application linéaire de $\R^4$ dans $\R^3$ dont la matrice relativement aux bases canoniques, $(\vec I, \vec J, \vec K, \vec L\,)$ et $(\vec i, \vec j, \vec k\,)$ est $\begin{pmatrix} 4 &5 &-7 &\phantom-7 \cr 2 &1 &-1 &3 \cr 1 &-1 &2 &1 \cr \end{pmatrix}$. On définit deux nouvelles bases : ${\cal B} = (\vec I, \vec J, 4\vec I+\vec J-3\vec L, -7\vec I+\vec K+5\vec L\,)$ et ${\cal B}' = (4\vec i+2\vec j+\vec k, 5\vec i+\vec j-\vec k, \vec k\,)$. Quelle est la matrice de $f$ relativement à ${\cal B}$ et ${\cal B}'$ ? \finenonce{003400} \finexercice \exercice{3401, quercia, 2010/03/10} \enonce{003401}{Matrices semblables} Soient $A = \begin{pmatrix} 1 &1 &0 &0 \cr 0 &1 &1 &0 \cr 0 &0 &1 &1 \cr 0 &0 &0 &1 \cr \end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix} 1 &2 &3 &4 \cr 0 &1 &2 &3 \cr 0 &0 &1 &2 \cr 0 &0 &0 &1 \cr \end{pmatrix}$. Montrer que $A$ et $B$ sont semblables. (On cherchera $P$ inversible telle que $PB = AP$) \finenonce{003401} \finexercice \exercice{3402, quercia, 2010/03/10} \enonce{003402}{Matrices semblables} \normalbaselineskip=15pt \def\D{\phantom{\scriptstyle-}\frac 12} \def\d{{\scriptstyle-}\frac12}% Montrer que $M = \begin{pmatrix} 2 &\d &\d \cr 0 &\D &\D \cr 1 &\d &\D \cr \end{pmatrix}$ et $N = \begin{pmatrix} 1 &1 &0 \cr 0 &1 &1 \cr 0 &0 &1 \cr\end{pmatrix}$ sont semblables. \finenonce{003402} \finexercice \exercice{3403, quercia, 2010/03/10} \enonce{003403}{Matrices non semblables} Montrer que $A = \begin{pmatrix} 1 &2 &3 \cr 0 &1 &2 \cr 0 &0 &1 \cr\end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix} 3 &1 &2 \cr 2 &0 &1 \cr 1 &0 &0 \cr\end{pmatrix}$ ne sont pas semblables. \finenonce{003403} \finexercice \exercice{3404, quercia, 2010/03/10} \enonce{003404}{Matrices non semblables} Soient $A = \begin{pmatrix} 29 & 38 &-18 \cr -11 &-14 & 7 \cr 20 & 27 &-12 \cr \end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix} 7 & -8 & 4 \cr 3 & -3 & 2 \cr -3 & 4 & -1 \cr \end{pmatrix}$. Montrer que $A$ et $B$ ont même rang, même déterminant, même trace mais ne sont pas semblables (calculer $(A-I)^2$ et $(B-I)^2$). \finenonce{003404} \finexercice \exercice{3405, quercia, 2010/03/10} \enonce{003405}{Ensi Physique P 1995} Les matrices $\left(\begin{smallmatrix}0&1&1&0\cr 0&0&1&0\cr 0&0&0&0\cr 0&0&0&0\cr\end{smallmatrix}\right)$ et $\left(\begin{smallmatrix}0&0&0&0\cr 0&0&1&1\cr 0&0&0&1\cr 0&0&0&0\cr\end{smallmatrix}\right)$ sont-elles semblables~? \finenonce{003405} \finexercice\exercice{3433, quercia, 2010/03/10} \enonce{003433}{Comatrice} Soit $n\ge 2$ et $A \in \mathcal{M}_n(K)$. \begin{enumerate} \item Si $A$ et $B$ sont inversibles, démontrer que $\text{com}\,(AB) = (\text{com}\, A)(\text{com}\, B)$. \item Démontrer le même résultat dans le cas général, en considérant les scalaires $\lambda$ tels que $A-\lambda I$ et $B-\lambda I$ soient inversibles. \item En déduire que si $A$ et $B$ sont semblables, alors $\text{com}\, A$ et $\text{com}\, B$ le sont. \end{enumerate} \finenonce{003433} \finexercice\exercice{3577, quercia, 2010/03/10} \enonce{003577}{Matrices réelles semblables sur $\C$} Soient $A,B \in \mathcal{M}_n(\R)$ semblables sur $\C$ : Il existe $P,Q \in \mathcal{M}_n(\R)$ telles que : $\begin{cases} P+iQ \in GL_n(\C) \cr (P+iQ)A = B(P+iQ). \cr \end{cases}$ \begin{enumerate} \item Montrer que : $\forall\ \lambda \in \R,\ (P+\lambda Q)A = B(P+\lambda Q)$. \item En déduire que $A$ et $B$ sont semblables sur $\R$. \end{enumerate} \finenonce{003577} \finexercice \exercice{5259, rouget, 2010/07/04} \enonce{005259}{***T} Soit $u$ l'endomorphisme de $\Rr^3$ dont la matrice dans la base canonique $(i,j,k)$ de $\Rr^3$ est~: $$M=\left( \begin{array}{ccc} 0&1&0\\ 0&0&1\\ 1&-3&3 \end{array} \right) .$$ \begin{enumerate} \item Montrer que $u$ est un automorphisme de $\Rr^3$ et déterminer $u^{-1}$. \item Déterminer une base $(e_1,e_2,e_3)$ de $\Rr^3$ telle que $u(e_1)=e_1$, $u(e_2)=e_1+e_2$ et $u(e_3)=e_2+e_3$. \item Déterminer $P$ la matrice de passage de $(i,j,k)$ à $(e_1,e_2,e_3)$ ainsi que $P^{-1}$. \item En déduire $u^n(i)$, $u^n(j)$ et $u^n(k)$ pour $n$ entier relatif. \end{enumerate} \finenonce{005259} \finexercice \exercice{5626, rouget, 2010/10/16} \enonce{005626}{**} Soient $M(a)=\left( \begin{array}{ccc} 4-a&1&-1\\ -6&-1-a&2\\ 2&1&1-a \end{array} \right)$ et $N(a)=\left( \begin{array}{ccc} 1-a&1&0\\ 0&1-a&0\\ 0&0&2-a \end{array} \right)$. $M(a)$ et $N(a)$ sont-elles semblables ? \finenonce{005626} \finexercice \exercice{5627, rouget, 2010/10/16} \enonce{005627}{***I} Soient $A$ et $B$ deux éléments de $\mathcal{M}_n(\Rr)$. Montrer que si $A$ et $B$ sont semblables dans $\mathcal{M}_n(\Cc)$, elles le sont dans $\mathcal{M}_n(\Rr)$. \finenonce{005627} \finexercice \section{ 108.99 Autre } \exercice{2434, matexo1, 2002/02/01} \enonce{002434}{} Soit $A$ une matrice carr\'ee qui commute avec toutes les matrices carr\'ees. Montrer que c'est une matrice scalaire. \finenonce{002434} \finexercice \exercice{2437, matexo1, 2002/02/01} \enonce{002437}{} Soit $A$ une matrice carr\'ee. \begin{enumerate} \item Montrer que $A^2 = I$ si et seulement si $(I-A)(I+A)=0$. Montrer que dans ce cas $A$ est inversible. \item Montrer que si $A$ est idempotente ($A^2 = A$), alors $B=I-A$ l'est aussi et que $AB=BA=0$. \item Montrer que $I$ est la seule matrice idempotente inversible. \end{enumerate} \finenonce{002437} \finexercice \exercice{2475, matexo1, 2002/02/01} \video{zf0ETNslBnc} \enonce{002475}{} \label{exo2475} Trouver toutes les matrices de $\mathcal{M}_3(\Rr)$ qui vérifient \begin{enumerate} \item $M^2 = 0$ ; \item $M^2 = M$ ; \item $M^2 = I$. \end{enumerate} \finenonce{002475} \finexercice\exercice{2693, matexo1, 2002/02/01} \enonce{002693}{} Un train qui ralentit avec une d{\'e}c{\'e}l{\'e}ration constante met 20s pour parcourir le premier km et 30s pour parcourir le deuxi{\`e}me km. On veut calculer la distance qu'il devra parcourir pour parvenir {\`a} l'arr{\^e}t. \begin{itemize} \item En prenant pour origine la position initiale du train, {\'e}crire l'{\'e}quation g{\'e}n{\'e}rale d'un mouvement uniform{\'e}ment d{\'e}c{\'e}l{\'e}r{\'e}. \item En d{\'e}duire un syst{\`e}me de deux {\'e}quations dont les inconnues sont la d{\'e}c{\'e}l{\'e}ration et la vitesse initiale du train, et r{\'e}soudre ce syst{\`e}me. \item Conclure. \end{itemize} \finenonce{002693} \finexercice \exercice{3363, quercia, 2010/03/09} \enonce{003363}{Quaternions} Montrer que ${\cal C} = \left\{ M = \begin{pmatrix} a&b\cr-b&a\cr\end{pmatrix} \in \mathcal{M}_2(\R) \right\}$ est un corps isomorphe à $\C$. Montrer que ${\cal H} = \left\{ M = \begin{pmatrix} a&b\cr-\overline b&\overline a \cr\end{pmatrix} \in \mathcal{M}_2(\C) \right\}$ est un corps non commutatif. \finenonce{003363} \finexercice\exercice{3369, quercia, 2010/03/09} \enonce{003369}{Centre de $GL_n( K)$} On note $(E_{ij})$ la base canonique de $\mathcal{M}_n(K)$. \begin{enumerate} \item Montrer que $F_{ij} = I + E_{ij}$ est inversible. \item En déduire que $\text{vect}\big(GL_n( K)\big) = \mathcal{M}_n(K)$. \item Quel est le centre de $GL_n( K)$ ? \end{enumerate} \finenonce{003369} \finexercice \exercice{3370, quercia, 2010/03/09} \enonce{003370}{Centre de $GL_n( K)$} Soit $f \in \mathcal{L}(E)$ ayant même matrice dans toutes les bases de $E$. Montrer que $f$ est une homothétie. \finenonce{003370} \finexercice \exercice{3371, quercia, 2010/03/09} \enonce{003371}{Centre des matrices triangulaires unipotentes} On note ${\cal G} = \{ A = (a_{ij}) \in \mathcal{M}_n(K)$ tq $a_{ij} = 0$ si $i>j$ et $a_{ii} = 1 \}$. \begin{enumerate} \item Montrer que $\cal G$ est un sous-groupe de $GL_n( K)$. \item En utilisant la base canonique de $\mathcal{M}_n(K)$, déterminer le centre de $\cal G$, et montrer que c'est un groupe commutatif isomorphe à $( K,+)$. \end{enumerate} \finenonce{003371} \finexercice \exercice{3372, quercia, 2010/03/09} \enonce{003372}{\'Equation $aX + (trX)A = B$} Soit $\alpha \in K$, et $A,B \in \mathcal{M}_n(K)$. \'Etudier l'équation d'inconnue $X \in \mathcal{M}_n(K)$ : $\alpha X + (\mathrm{tr} X)A = B$. \finenonce{003372} \finexercice \exercice{3373, quercia, 2010/03/09} \enonce{003373}{Commutant d'une matrice diagonale} Soit $A \in \mathcal{M}_n(K)$ et ${\cal C}_A = \{ M \in \mathcal{M}_n(K) \text{ tq } AM = MA \}$ ({\it commutant de $A$}). \begin{enumerate} \item Montrer que ${\cal C}_A$ est une sous-algèbre de $\mathcal{M}_n(K)$. \item Soit $A = \text{diag}(\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n)$ une matrice diagonale dont tous les $\lambda_i$ sont distincts. \begin{enumerate} \item Chercher ${\cal C}_A$. \item Soit $\phi : {\mathcal{M}_n(K)} \to {\mathcal{M}_n(K)}, M \mapsto {MA-AM}$ \par Montrer que $\Im \phi$ est l'ensemble des matrices à diagonale nulle. \end{enumerate} \end{enumerate} \finenonce{003373} \finexercice \exercice{3374, quercia, 2010/03/09} \enonce{003374}{Matrices de trace nulle} Soit $M \in \mathcal{M}_n(K)$ {\it non scalaire\/} telle que $\mathrm{tr} M = 0$. \begin{enumerate} \item Montrer qu'il existe une matrice colonne $X_1$ telle que $MX_1$ ne soit pas colinéaire à $X_1$. \item En déduire que $M$ est semblable à une matrice $N = \begin{pmatrix} 0 &\dots \cr \vdots &M_1 \cr \end{pmatrix}$ où $M_1 \in \mathcal{M}_{n-1}(K)$ et $\mathrm{tr} M_1 = 0$. \item Montrer que $M$ est semblable à une matrice à diagonale nulle. \item Montrer qu'il existe $A,B \in \mathcal{M}_n(K)$ telles que $M = AB-BA$. \end{enumerate} \finenonce{003374} \finexercice \exercice{3375, quercia, 2010/03/09} \enonce{003375}{Forme bilinéaire trace} \begin{enumerate} \item Soit $A \in \mathcal{M}_{n,p}(K)$ non nulle. Montrer que l'application ${f_A} : {\mathcal{M}_{p,n}(K)} \to { K}, X \mapsto {\mathrm{tr}(AX)}$ est une forme linéaire non nulle sur $\mathcal{M}_{p,n}(K)$. \item Réciproquement : Soit $\phi : {\mathcal{M}_{p,n}(K)} \to { K}$ une forme linéaire quelconque. Montrer qu'il existe une unique matrice $A \in \mathcal{M}_{n,p}(K)$ telle que $\phi = f_A$ (on pourra considérer l'application $A \mapsto f_A$). \item Soit $\phi : {\mathcal{M}_n(K)} \to K$ une forme linéaire vérifiant : $\forall\ X,Y \in \mathcal{M}_n(K),\ \phi(XY) = \phi(YX)$. \par Montrer qu'il existe $\lambda \in K$ tel que $\phi = \lambda\mathrm{tr}$. \end{enumerate} \finenonce{003375} \finexercice \exercice{3377, quercia, 2010/03/09} \enonce{003377}{Matrices magiques} Une matrice carrée $M$ est dite {\it magique} si les sommes des coefficients de $M$ par ligne et par colonne sont constantes. On note $s(M)$ leur valeur commune. Soit $U = \begin{pmatrix} 1 &\dots&1 \cr \vdots& &\vdots\cr 1 &\dots&1 \cr\end{pmatrix}$ et ${\cal M} = \{ \text{matrices } n\times n \text{ magiques}\}$. \begin{enumerate} \item Montrer que $\cal M$ est une sous-algèbre de $\mathcal{M}_n(K)$ et $s : {\cal M} \to K$ est un morphisme d'algèbre (calculer $MU$ et $UM$). \item Si $M$ est magique inversible, montrer que $M^{-1}$ est aussi magique. \item Montrer que $\cal M$ est la somme directe du sev des matrices magiques symétriques et du sev des matrices magiques antisymétriques. \item Pour $M \in \mathcal{M}_n(K)$, on note $\phi_M$ l'endomorphisme de $ K^n$ canoniquement associé à $M$. Soit ${\cal H} = \{ (x_1, \dots ,x_n) \in K^n \text{ tq } x_1 + \dots + x_n = 0 \}$ et ${\cal K} = \{ ( x, \dots, x) \in K^n \}$. \begin{enumerate} \item Montrer que : $M \in {\cal M} \iff {\cal H} \text{ et } {\cal K}$ sont stables par $\phi_M$. \item En déduire dim($\cal M$). \end{enumerate} \end{enumerate} \finenonce{003377} \finexercice \exercice{3378, quercia, 2010/03/09} \enonce{003378}{Matrices triangulaires nilpotentes} \begin{enumerate} \item Soit $A$ une matrice triangulaire à diagonale nulle. Montrer que $A$ est nilpotente. \item Soit $A \in \mathcal{M}_n(K)$ une matrice nilpotente d'indice $n$ et $\phi$ l'endomorphisme de $ K^n$ associé. On note $E_i = \mathrm{Ker} \phi^i$, et $\vec e_i$ un vecteur quelconque choisi dans $E_i \setminus E_{i-1}$ $(\vec e_1 \in E_1 \setminus \{\vec 0 \})$. \begin{enumerate} \item Justifier l'existence de $\vec e_i$. \item Montrer que la famille $(\vec e_i)$ est une base de $ K^n$. \item En déduire que $A$ est semblable à une matrice triangulaire à diagonale nulle. \end{enumerate} \end{enumerate} \finenonce{003378} \finexercice\exercice{3383, quercia, 2010/03/09} \enonce{003383}{Matrice vérifiant $A^k = I$} Soit $A \in \mathcal{M}_n(K)$ telle que $A^k = I\ (k \ne 0)$. On pose $B = I + A + A^2 + \dots + A^{k-1}$. Soient $u,v$ les endomorphismes de $ K^n$ matrices $A$ et $B$ dans la base canonique. \begin{enumerate} \item Montrer que : $\mathrm{Ker} (u-\mathrm{id}) = \Im v$,\quad $\Im(u-\mathrm{id}) = \mathrm{Ker} v$,\quad $\mathrm{Ker} v \oplus \Im v = K^n$. \item En déduire : $\mathrm{tr} B = k\mathrm{rg} B$. \end{enumerate} \finenonce{003383} \finexercice \exercice{3384, quercia, 2010/03/09} \enonce{003384}{$A > 0, X > 0$ et $A^kX = X$} Soit $A \in \mathcal{M}_{n,p}(\R)$. On dit que $A$ est positive si tous ses coefficients sont strictement positifs. Soit $M \in \mathcal{M}_n(\R)$ positive. On suppose qu'il existe $X \in \mathcal{M}_{n,1}(\R)$ positif et $k\in\N^*$ tels que $M^kX = X$. Montrer qu'il existe $Y \in \mathcal{M}_{n,1}(\R)$ positif tel que $MY = Y$. \finenonce{003384} \finexercice \exercice{3385, quercia, 2010/03/09} \enonce{003385}{Suite récurrente linéaire matricielle} Soient $A,B \in \mathcal{M}_n(K)$. Exprimer en fonction de $k$ le terme général de la suite $(M_k)$ de matrices de $\mathcal{M}_n(K)$ définie par : $\begin{cases} M_0 \text{ est donnée,}\cr M_{k+1} = AM_k + B. \cr\end{cases}$ \finenonce{003385} \finexercice \exercice{3386, quercia, 2010/03/09} \enonce{003386}{$A, A^2, A^3$ données $ \Rightarrow A^p$} Soit $A \in \mathcal{M}_n(K)$. On suppose qu'il existe $\lambda,\mu \in K$ et $U,V \in \mathcal{M}_n(K)$ tels que : $\begin{cases} A = \lambda U + \mu V \cr A^2 = \lambda^2U + \mu^2V \cr A^3 = \lambda^3U + \mu^3V.\cr\end{cases}$ \begin{enumerate} \item Montrer que : $\forall\ p \in \N^*,\ A^p = \lambda^pU + \mu^pV$ (chercher une relation linéaire entre $A$, $A^2$, $A^3$). \item On suppose ici $\lambda \ne \mu$, $\lambda\ne 0$ et $\mu\ne 0$. Soit $X$ un vecteur propre de $A$. Montrer que $X$ est vecteur propre de $U$ et de $V$ avec les valeurs propres $0,0$ ou $1,0$, ou $0,1$. \end{enumerate} \finenonce{003386} \finexercice \exercice{3387, quercia, 2010/03/09} \enonce{003387}{Idéaux de $\mathcal{M}_n(K)$} Une partie ${\cal I} \subset \mathcal{M}_n(K)$ est appelée {\it idéal à droite de $\mathcal{M}_n(K)$} si c'est un sous-groupe additif vérifiant : $$\forall\ A \in {\cal I},\ \forall\ B \in \mathcal{M}_n(K),\ AB \in {\cal I}.$$ Pour $A \in \mathcal{M}_n(K)$, on note ${\cal H}_A$ le sev de $\mathcal{M}_{n,1}(K)$ engendré par les colonnes de $A$, et ${\cal I}_A$ l'idéal à droite engendré par $A$ : ${\cal I}_A = \{ AM \text{ tq } M \in \mathcal{M}_n(K) \}$. \begin{enumerate} \item Soient $A,M \in \mathcal{M}_n(K)$. Montrer que : $M \in {\cal I}_A \iff {\cal H}_M \subset {\cal H}_A$. \item Soient $A,B \in \mathcal{M}_n(K)$. Montrer qu'il existe $C \in \mathcal{M}_n(K)$ telle que ${\cal H}_A + {\cal H}_B = {\cal H}_C$. Simplifier ${\cal I}_A + {\cal I}_B$. \item Soit $\cal I$ un idéal à droite de $\mathcal{M}_n(K)$. Montrer que $\cal I$ est un sev de $\mathcal{M}_n(K)$, puis qu'il existe $A \in \mathcal{M}_n(K)$ telle que ${\cal I} = {\cal I}_A$. \item Que peut-on dire des idéaux {\it à gauche\/} de $\mathcal{M}_n(K)$ ? \end{enumerate} \finenonce{003387} \finexercice \exercice{3388, quercia, 2010/03/09} \enonce{003388}{Classes d'équivalence dans $\mathcal{M}_{n,1}(\Z)$} \begin{enumerate} \item Soit $M \in \mathcal{M}_n(\Z)$. Montrer que $M \in GL_n(\Z)$ si et seulement si $|\det M| = 1$. \item Soit $X = \begin{pmatrix} x_1 \cr \vdots \cr x_n \cr \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_{n,1}(\Z)$ et $d$ le pgcd de $x_1, \dots, x_n$. Montrer qu'il existe $A \in GL_n(\Z)$ telle que $AX = \begin{pmatrix}d \cr 0\cr \vdots \cr 0 \cr \end{pmatrix}$ (par récurrence sur $n$). \item Soient $X,Y \in \mathcal{M}_{n,1}(\Z)$. CNS pour qu'il existe $A \in GL_n(\Z)$ telle que $AX = Y$ ? \end{enumerate} \finenonce{003388} \finexercice \exercice{3389, quercia, 2010/03/09} \enonce{003389}{Rayon spectral d'une matrice à coefficients positifs} Soit $A = (a_{ij}) \in \mathcal{M}_n(\R)$ avec : $\forall\ i,j,\ a_{ij} > 0$. On munit $\mathcal{M}_{n,1}(\R)$ de la relation d'ordre : $$(X \ge Y) \iff (\forall\ i,\ x_i \ge y_i),$$ et on pose pour $X \in \mathcal{M}_{n,1}(\R)$, $X \ge 0$, $X\ne 0$ : $$\left\{ \begin{array}{lll} R(X) &=& \text{sup}\{ r \ge 0 \text{ tq } AX \ge rX \}, \cr \hfil R &=& \text{sup}\{R(X) \text{ tq } X \ge 0, X \ne 0 \}. \cr \end{array}\right.$$ \begin{enumerate} \item Montrer que $R$ est fini et qu'il existe $X_0 \in \R^n$ tel que $R(X_0) = R$. \item Montrer que toutes les coordonnées de $X_0$ sont strictement positives. \item On pose $AX_0 = RX_0 + Y$. Montrer que $Y = 0$. \item Soit $\lambda$ une valeur propre complexe de $A$. Montrer que $|\lambda| \le R$, et $(|\lambda| = R) \Leftrightarrow (\lambda = R)$. \end{enumerate} \finenonce{003389} \finexercice \exercice{3390, quercia, 2010/03/09} \enonce{003390}{INT ingénieurs 93} Soit $E = \{ \text{matrices de } \mathcal{M}_n(\R) \text{ antisymétriques}\}$ et $f : E \to E, M \mapsto {^t\!AM+MA}$ où $A \in \mathcal{M}_n(\R)$. \begin{enumerate} \item Montrer que $f$ est un endomorphisme. \item Quelle est la trace de $f$ ? \end{enumerate} \finenonce{003390} \finexercice \exercice{3391, quercia, 2010/03/09} \enonce{003391}{Ensam PSI 1998} Soit $A = \begin{pmatrix}a_1 &1 &0 &\dots &0 \cr a_2 &0 &1 &\ddots &\vdots \cr \vdots &\vdots &\ddots &\ddots &0 \cr \vdots &\vdots & &\ddots &1 \cr a_n &0 &\dots &\dots &0 \cr\end{pmatrix} \in \mathcal{M}_n(K)$ et $\mathcal{C}(A)$ son commutant. Montrer que pour $M,N \in \mathcal{C}(A)$ on a~: $M=N \Leftrightarrow M$ et $N$ ont la même dernière colonne. En déduire que $\mathcal{C}(A) = K_{n-1}[A]$. \finenonce{003391} \finexercice \exercice{3392, quercia, 2010/03/09} \enonce{003392}{ENS MP 2002} Que dire des morphismes de groupe $\varphi : {GL_n(\R)} \to {\Z/p\Z}$~? \finenonce{003392} \finexercice \exercice{5264, rouget, 2010/07/04} \enonce{005264}{***} \begin{enumerate} \item Montrer qu'une matrice triangulaire supérieure est inversible si et seulement si ses coefficients diagonaux sont tous non nuls. \item Montrer que toute matrice triangulaire supérieure est semblable à une matirce triangulaire inférieure. \end{enumerate} \finenonce{005264} \finexercice \exercice{5265, rouget, 2010/07/04} \enonce{005265}{***} Soient $I=\left( \begin{array}{cc} 1&0\\ 0&1 \end{array} \right)$ et $J=\left( \begin{array}{cc} 1&1\\ 0&1 \end{array} \right)$ puis $E=\{M(x,y)=xI+yJ,\;(x,y)\in\Rr^2\}$. \begin{enumerate} \item Montrer que $(E,+,.)$ est un sous-espace vectoriel de $\mathcal{M}_2(\Rr)$. Déterminer une base de $E$ et sa dimension. \item Montrer que $(E,+,\times)$ est un anneau commutatif. \item Quels sont les inversibles de $E$~? \item Résoudre dans $E$ les équations suivantes~: $$a)\;X^2=I\quad b)\;X^2=0\quad c)\;X^2 = X.$$ \item Calculer $(M(x,y))^n$ pour $n$ entier naturel non nul. \end{enumerate} \finenonce{005265} \finexercice \exercice{5266, rouget, 2010/07/04} \enonce{005266}{****} Soit $A\in\mathcal{M}_{3,2}(\Rr)$ et $B\in\mathcal{M}_{2,3}(\Rr)$ telles que~: $$AB= \left( \begin{array}{ccc} 0&-1&-1\\ -1&0&-1\\ 1&1&2 \end{array} \right) .$$ Montrer l'existence d'au moins un couple $(A,B)$ vérifiant les conditions de l'énoncé puis calculer $BA$. (Indication. Calculer $(AB)^2$ et utiliser le rang.) \finenonce{005266} \finexercice \exercice{5268, rouget, 2010/07/04} \enonce{005268}{***I} Déterminer le centre de $\mathcal{M}_n(\Kk)$, c'est à dire l'ensemble des éléments de $\mathcal{M}_n(\Kk)$ qui commutent avec tous les éléments de $\mathcal{M}_n(\Kk)$ (utiliser les matrices élémentaires). \finenonce{005268} \finexercice \exercice{5270, rouget, 2010/07/04} \enonce{005270}{****} Montrer que tout hyperplan de $\mathcal{M}_n(\Kk)$ $(n\geq 2)$ contient au moins une matrice inversible. \finenonce{005270} \finexercice \exercice{5271, rouget, 2010/07/04} \enonce{005271}{***} Soit $f$ qui, à $P\in\Rr_{2n}[X]$ associe $f(P)=X(X+1)P'-2kXP$. Trouver $k$ tel que $f\in\mathcal{L}(\Rr_{2n}[X])$ puis, pour cette valeur de $k$, trouver tous les polynômes $P$ non nuls tels que la famille $(P,f(P))$ soit liée. \finenonce{005271} \finexercice \exercice{5273, rouget, 2010/07/04} \enonce{005273}{***I} Calculs par blocs. \begin{enumerate} \item Soit $M= \left( \begin{array}{cc} A&B\\ C&D \end{array} \right) $ et $N=\left( \begin{array}{cc} A'&B'\\ C'&D' \end{array} \right)$ avec $(A,A')\in(\mathcal{M}_{p,r}(\Kk))^2$, $(B,B')\in(\mathcal{M}_{p,s}(\Kk))^2$, $(C,C')\in(\mathcal{M}_{q,r}(\Kk))^2$ et $(D,D')\in(\mathcal{M}_{q,s}(\Kk))^2$. Calculer $M+N$ en fonction de $A$, $B$, $C$, $D$, $A'$, $B'$, $C'$ et $D'$. \item Question analogue pour $MN$ en analysant précisément les formats de chaque matrice. \end{enumerate} \finenonce{005273} \finexercice\exercice{5275, rouget, 2010/07/04} \enonce{005275}{***} Soit $A= \left( \begin{array}{cccc} 7&4&0&0\\ -12&-7&0&0\\ 20&11&-6&-12\\ -12&-6&6&11 \end{array} \right) $ et $u$ l'endomorphisme de $\Cc^4$ de matrice $A$ dans la base canonique de $\Cc^4$. \begin{enumerate} \item Déterminer une base de $\Cc^4$ formée de vecteurs colinéaires à leurs images. \item Ecrire les formules de changement de base correspondantes. \item En déduire le calcul de $A^n$ pour $n$ entier naturel. \end{enumerate} \finenonce{005275} \finexercice \exercice{5585, rouget, 2010/10/16} \enonce{005585}{***I} Soient $A\in\mathcal{M}_{3,2}(\Rr)$ et $B\in\mathcal{M}_{2,3}(\Rr)$ telles que $AB=\left( \begin{array}{ccc} 8&2&-2\\ 2&5&4\\ -2&4&5 \end{array} \right)$. Justifier l'existence de $A$ et $B$ puis calculer $BA$. \finenonce{005585} \finexercice\exercice{5594, rouget, 2010/10/16} \enonce{005594}{***} \label{ex:rou32} Soit $G$ un sous-groupe fini de $GL_n(\Rr)$ tel que $\sum_{M\in G}^{}\text{Tr}(M)=0$. Montrer que $\sum_{M\in G}^{}M=0$. \finenonce{005594} \finexercice \exercice{5595, rouget, 2010/10/16} \enonce{005595}{***} Soit $G$ un sous-groupe de $GL(E)$ avec $\text{dim}E=n$ et $\text{card}G=p$. Soit $F=\{x\in E/\;\forall g\in G,\;g(x)=x\}$. Montrer que $\text{dim}F= \frac{1}{p}\sum_{g\in G}^{}\text{Tr}g$. \finenonce{005595} \finexercice \exercice{5596, rouget, 2010/10/16} \enonce{005596}{***I} Soient $A_1$,..., $A_p$ $p$ matrices distinctes et inversibles de $M_n(\Rr)$ telles que $G=\{A_1,...,A_p\}$ soit stable pour la multiplication. Soit $A=A_1 + ... + A_p$. Montrer que $\text{Tr}A$ est un entier divisible par $p$. \finenonce{005596} \finexercice \exercice{5605, rouget, 2010/10/16} \enonce{005605}{***} Soient $n$ un entier naturel non nul puis $A\in\mathcal{M}_n(\Kk)$. Soit $f$ l'endomorphisme de $M_n(\Kk)$ qui à une matrice $X$ associe $AX+XA$. Calculer $\text{Tr}(f)$. \finenonce{005605} \finexercice \exercice{5606, rouget, 2010/10/16} \enonce{005606}{**} Soient $a$ un réel non nul et $A$ et $B$ deux éléments de $\mathcal{M}_n(\Rr)$. Résoudre dans $\mathcal{M}_n(\Rr)$ l'équation d'inconnue $M$ : $aM+ \text{Tr}(M)A=B$. \finenonce{005606} \finexercice \exercice{5608, rouget, 2010/10/16} \enonce{005608}{**} Soient $I=\left( \begin{array}{cc} 1&0\\ 0&1 \end{array} \right)$ et $J=\left( \begin{array}{cc} 1&1\\ 0&1 \end{array} \right)$. Soit $E=\{M(x,y)=xI+yJ,\;(x,y)\in\Rr^2\}$. \begin{enumerate} \item Montrer que $(E,+,.)$ est un $\Rr$-espace vectoriel et préciser sa dimension. \item Montrer que $(E,+,\times)$ est un anneau commutatif. \item Quels sont les éléments inversibles de l'anneau $(E,+,\times)$ ? \item Résoudre dans $E$ les équations : \begin{enumerate} \item $X^2=I$ \item $X^2=0$ \item $X^2=X$. \end{enumerate} \item Calculer $(M(x,y))^n$ pour $n$ entier naturel et $x$ et $y$ réels. \end{enumerate} \finenonce{005608} \finexercice \exercice{5609, rouget, 2010/10/16} \enonce{005609}{***} On appelle idéal bilatère de l'anneau $(\mathcal{M}_n(\Kk),+,\times)$ tout sous-ensemble I de $\mathcal{M}_n(\Kk)$ tel que \begin{center} a) $(I,+)$ est un groupe et b) $\forall A\in I$, $\forall M\in\mathcal{M}_n(\Kk)$, $AM\in I$ et $MA\in I$. \end{center} Déterminer tous les idéaux bilatères de l'anneau $(\mathcal{M}_n(\Kk),+,\times)$. \finenonce{005609} \finexercice \exercice{5618, rouget, 2010/10/16} \enonce{005618}{*I} Existe-t-il deux matrices carrées $A$ et $B$ telles que $AB-BA=I_n$. \finenonce{005618} \finexercice \exercice{5619, rouget, 2010/10/16} \enonce{005619}{**I} Soit $f$ une forme linéaire sur $\mathcal{M}_n(\Cc)$ telle que $\forall (A,B)\in(\mathcal{M}_n(\Cc))^2$, $f(AB) = f(BA)$. Montrer qu'il existe un complexe $a$ tel que $f=a\text{Tr}$. \finenonce{005619} \finexercice \exercice{5620, rouget, 2010/10/16} \enonce{005620}{***} Soit $A_n= \left( \begin{array}{cc} 1&-\frac{a}{n}\\ \frac{a}{n}&1 \end{array} \right)$ ($a$ réel donné). Calculer $\lim_{n \rightarrow +\infty}A_n^n$. \finenonce{005620} \finexercice \exercice{5621, rouget, 2010/10/16} \enonce{005621}{**} Soient $A$ une matrice carrée de format $n$ et $f$ l'application de $\mathcal{M}_n(\Cc)$ dans lui-même qui à une matrice $M$ associe $MA$. Trouver la matrice de $f$ dans la base canonique de $\mathcal{M}_n(\Cc)$ (ordonnée par l'ordre lexicographique). \finenonce{005621} \finexercice \exercice{5625, rouget, 2010/10/16} \enonce{005625}{***I} Soient $A$ et $B$ deux matrices carrées de format $n$ telles que $AB-BA=A$. Calculer la trace de $A^{2010}$. \finenonce{005625} \finexercice \exercice{5628, rouget, 2010/10/16} \enonce{005628}{**I Exponentielle d'une matrice nilpotente} Pour $A$ matrice nilpotente donnée, on pose $\text{exp}A=\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{A^k}{k!}$. \begin{enumerate} \item Montrer que si $A$ et $B$ commutent et sont nilpotentes alors $A+B$ est nilpotente et $\text{exp}(A+B) =\text{exp}A\times\text{exp}B$. \item Montrer que $\text{exp}A$ est inversible. \item Calculer $\text{exp}A$ où $A=\left( \begin{array}{ccccc} 0&1&0&\ldots&0\\ \vdots&\ddots&\ddots&\ddots&\vdots\\ & & &\ddots&0\\ \vdots& & &\ddots&1\\ 0&\ldots& &\ldots&0 \end{array} \right)$. \end{enumerate} \finenonce{005628} \finexercice \section{ 120.01 Les rationnels } \exercice{451, bodin, 1998/09/01} \video{1d2LZ6zGdjg} \enonce{000451}{} \begin{enumerate} \item D\'emontrer que si $r \in \Q$ et $ x \notin \Q $ alors $ r+x \notin \Q $ et si $r\not= 0$ alors $ r.x \notin \Q $. \item Montrer que $\sqrt 2 \not\in\Q$, \item En d\'eduire : entre deux nombres rationnels il y a toujours un nombre irrationnel. \end{enumerate} \finenonce{000451} \finexercice\exercice{452, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000452}{} Les nombres suivants sont-ils des rationnels ? des décimaux ? \\$a=1/3$,\quad $b=1/15$,\quad $c=1/25$,\quad $d=1/125$,\quad $e$,\quad $f=0,333\cdots3\cdots$,\quad $g=\sqrt2$,\quad\\ $h=0{,}123\,456\,789\,123\,456\,789\,123\cdots$,\quad $i=0{,}123\,456\,789\,101\,112\,131\,4\cdots$,\quad $j=\pi$,\quad $k=13/7$,\quad $l=27/17$. \finenonce{000452} \finexercice \exercice{453, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000453}{Un procédé géométrique d'approximation de $\sqrt2$} Dans le plan $xOy$, on porte sur $Ox$ une suite de points $a_1, a_2,\ldots,a_n,\ldots$ et sur $Oy$ une suite de points $b_1, b_2,\ldots,b_n,\ldots\,$, construites de la manière suivante : \begin{description} \item[(i)] $a_1=2$ et $b_1=1$, \item[(ii)] $a_n= {a_{n-1}+b_{n-1} \over2}$, \item[(iii)] $a_nb_n=2$ (le rectangle de côtés $a_n$ et $b_n$ a pour aire 2). \end{description} \begin{enumerate} \item Représentez cette suite de rectangles de côtés $a_n$ et $b_n$. \item Démontrez successivement que : $\forall n,\; b_n < a_n$ ; $(a_n)_{n \in\bf N}$ décroissante ; $(b_n)_{n\in\bf N}$ croissante. \item Calculez $a_n-b_n$ en fonction de $a_{n-1}-b_{n-1}$ et $a_n$. Montrez que l'on a l'inégalité : $$ a_n-b_n < {{(a_{n-1}-b_{n-1})}^2 \over4}.$$ \item Calculez les premiers termes de la suite $a_1, a_2,\ldots,a_6$. Combien de décimales exactes de $\sqrt2$ obtenez-vous à chaque pas ? Utilisez l'inégalité précédente pour montrer que le nombre de décimales exactes obtenues double \emph{grosso modo} à chaque pas. \end{enumerate} \finenonce{000453} \finexercice \exercice{454, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000454}{} Calculer avec une calculette : $\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\quad\mbox{et}\quad 1-\frac{1}{3}-\frac{1}{3}-\frac{1}{3}.$ Expliquer le résultat. \finenonce{000454} \finexercice \exercice{455, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000455}{} On considère les nombres rationnels inférieurs à $\sqrt{2}$. Y a-t-il un nombre rationnel juste avant $\sqrt{2}$, plus grand que tous les nombres rationnels inférieurs à $\sqrt{2}$ ? \noindent Une suite de nombres rationnels a-t-elle pour limite un nombre rationnel ? \noindent Une suite de nombres décimaux a-t-elle pour limite un nombre décimal ? \finenonce{000455} \finexercice \exercice{456, ridde, 1999/11/01} \enonce{000456}{} Soient $a$ et $b$ deux rationnels positifs tels que $\sqrt{a}$ et $\sqrt{b}$ soient irrationnels. Montrer que $\sqrt{a} + \sqrt{b}$ est irrationnel. \finenonce{000456} \finexercice \exercice{457, bodin, 1998/09/01} \video{KX375CPpZjU} \enonce{000457}{} Soit $p(x) = \sum_{i=0}^{n} a_i \cdot x^i$. On suppose que tous les $a_i$ sont des entiers. \begin{enumerate} \item Montrer que si $p$ a une racine rationnelle $\frac{\alpha}{\beta}$ (avec $\alpha$ et $\beta$ premiers entre eux) alors $\alpha$ divise $a_0$ et $\beta$ divise $a_n$. \item On consid\`ere le nombre $\sqrt 2+\sqrt 3$. En calculant son carr\'e, montrer que ce carr\'e est racine d'un polyn\^ome de degr\'e 2. En d\'eduire, \`a l'aide du r\'esultat pr\'ec\'edent qu'il n'est pas rationnel. \end{enumerate} \finenonce{000457} \finexercice\exercice{458, bodin, 1998/09/01} \enonce{000458}{} Trouver sous la forme $\frac{p}{q}$ des rationnels $x$ dont les d\'evelopements d\'ecimaux p\'eriodiques sont donn\'es par : \par $3,14\!\buildrel\frown\over{14}...\ ;\ \ \ \ 0,99\!\!\buildrel\frown\over{9}...\ ;\ \ \ \ 3,149\!\!\buildrel\frown\over{9}... $ \finenonce{000458} \finexercice \exercice{459, bodin, 1998/09/01} \video{0MkdQiQ4ceI} \enonce{000459}{} \begin{enumerate} \item Soit $N_n = 0,1997\,1997\ldots 1997$ ($n$ fois). Mettre $N_n$ sous la forme $\frac{p}{q}$ avec $p,q \in \Nn^*$. \item Soit $M = 0,1997\,1997\,1997\ldots\ldots$ Donner le rationnel dont l'\'ecriture d\'ecimale est $M$. \item M\^eme question avec : $ P = 0,11111\ldots + 0,22222\ldots +0,33333\ldots +0,44444\ldots+0,55555\ldots+0,66666\ldots +0,77777\ldots + 0,88888\ldots+0,99999\ldots $ \end{enumerate} \finenonce{000459} \finexercice\exercice{460, bodin, 1998/09/01} \enonce{000460}{} Montrer que l'ensemble $\{r^3\ ;\ r\in \Q\}$ est dense dans $\R$. \finenonce{000460} \finexercice \exercice{461, gourio, 2001/09/01} \video{cHENuXePV9g} \enonce{000461}{} Montrer que $\frac{\ln 3}{\ln 2}$ est irrationnel. \finenonce{000461} \finexercice\exercice{462, gourio, 2001/09/01} \enonce{000462}{} Soit $a\in \Rr$, montrer : $$\exists (p,q)\in \Zz\times \Nn^{*};\left| a-\frac{p}{q}\right| \leq \frac{1}{q^{2}}.$$ \emph{Indication} : consid\'{e}rer les parties fractionnaires de $0,a,2a,...,qa $ et la partition $[0,\frac{1}{q}[,[\frac{1}{q},\frac{2}{q}[,...[\frac{q-1}{q},1[$ de $[0,1[.$ \finenonce{000462} \finexercice \exercice{463, gourio, 2001/09/01} \enonce{000463}{} Montrer que l'ensemble des nombres dyadiques : $$\left\{ \frac{a}{2^{k}},(a,k)\in \Zz\times \Nn\right\}$$ est dense dans $\Rr$. \finenonce{000463} \finexercice \exercice{506, bodin, 1998/09/01} \video{lyrZpWFC8AM} \enonce{000506}{} Montrer que toute suite convergente est born\'ee. \finenonce{000506} \finexercice\exercice{507, bodin, 1998/09/01} \video{HI2i2rdz3_A} \enonce{000507}{} Montrer que la suite $(u_n)_{n\in\Nn}$ d\'efinie par $$u_n = (-1)^n+\frac{1}{n}$$ n'est pas convergente. \finenonce{000507} \finexercice \exercice{508, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000508}{} Étudier la suite $ u_n=\frac{a^n-b^n}{a^n+b^n}$, $a$ et $b$ étant donnés dans $\mathbb{R}_+^*$. \finenonce{000508} \finexercice \exercice{509, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000509}{} Les énoncés suivants sont-ils vrais ou faux~? \begin{enumerate} \item Si une suite positive est non majorée, elle tend vers $+\infty$. \item Si une suite d'entiers converge, elle est stationnaire. \item Si une suite a un nombre fini de valeurs, elle converge si et seulement si elle est stationnaire. \item Une suite est convergente si et seulement si elle est bornée. \item Si une suite n'est pas majorée, elle est minorée. \end{enumerate} \finenonce{000509} \finexercice \exercice{510, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000510}{} Soit $l$ un nombre réel. Peut-on dire qu'une suite qui vérifie $$\forall\epsilon\in\mathopen]0,1\mathclose[,\; \exists N\in\mathbb{N},\; \forall n>N,\; \vert u_n-l\vert<\epsilon$$ converge vers $l$~? \finenonce{000510} \finexercice \exercice{511, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000511}{} Construire une suite $u_n=v_nw_n$ (resp. $v_n+w_n$) convergente et telle que l'une au moins des suites $(v_n)$ et $(w_n)$ diverge. \finenonce{000511} \finexercice \exercice{3066, quercia, 2010/03/08} \enonce{003066}{Nombres irrationnels} Soit $a \in \Q^+$ tel que $\sqrt a \notin \Q$. Montrer qu'il existe $C>0$ tel que pour tout rationnel $r=\frac pq$, on a : $\bigl|r-\sqrt a\bigr| \ge \frac C{q^2}$. \finenonce{003066} \finexercice \exercice{3067, quercia, 2010/03/08} \enonce{003067}{Nombres irrationnels} Soient $a,b \in \Q^+$ tels que $\sqrt b \notin \Q^+$. Montrer qu'il existe $x,y \in \Q^+$ tels que $\sqrt x + \sqrt y = \sqrt{a+\sqrt b}$ si et seulement si $a^2-b$ est un carr{\'e} dans $\Q$. \finenonce{003067} \finexercice \exercice{3144, quercia, 2010/03/08} \enonce{003144}{Parties fractionnaires} Soit $x=\frac pq \in \Q^*$ avec $p,q$ entiers, $q\ge 1$, $p\wedge q = 1$. Calculer $\sum_{k=0}^{q-1} \text{frac}(kx)$. \finenonce{003144} \finexercice \exercice{3145, quercia, 2010/03/08} \enonce{003145}{D{\'e}nominateurs dans un sous-anneau} Soit $A$ un sous-anneau de $\Q$. On {\'e}crit les {\'e}l{\'e}ments de $A$ sous forme irr{\'e}ductible; soit $P$ l'ensemble des d{\'e}nominateurs. Montrer que $A = \left\{ \frac mp \text{ tels que } m \in \Z,\ p \in P\right\}$. \finenonce{003145} \finexercice \exercice{3146, quercia, 2010/03/08} \enonce{003146}{Les sous-anneaux de $\Q$ sont principaux} Soit $A$ un sous-anneau de $\Q$. Montrer que $A$ est principal (si $I$ est un id{\'e}al de $A$, consid{\'e}rer $I\cap \Z$). \finenonce{003146} \finexercice \exercice{3147, quercia, 2010/03/08} \enonce{003147}{D{\'e}composition en inverses} Soit $x\in\Q$, $0 k_i(k_i-1)$. \item R{\'e}ciproquement, soit une d{\'e}composition : $x = \frac1{n_0} + \dots + \frac1{n_p}$ avec $n_i \in \N^*$ et $n_{i+1} > n_i(n_i-1)$. Montrer que pour tout $i$, on a $n_i = k_i$. \end{enumerate} \finenonce{003147} \finexercice \exercice{3148, quercia, 2010/03/08} \enonce{003148}{Combinaison de fractions} Soient $\frac ab < \frac cd$ deux rationnels avec $a,c \in \Z$, et $b,d \in \N^*$. \begin{enumerate} \item Prouver que tout rationnel s'{\'e}crit : $x = \frac{ma+nc}{mb+nd}$ avec $m,n\in \Z$, et $mb+nd \ne 0$. \item {\'E}tudier l'unicit{\'e} d'une telle {\'e}criture. \item Montrer que $\frac{ma+nc}{mb+nd}$ est compris entre $\frac ab$ et $\frac cd$ si et seulement si $m$ et $n$ ont m{\^e}me signe. \end{enumerate} \finenonce{003148} \finexercice \exercice{3149, quercia, 2010/03/08} \enonce{003149}{{\'E}quations alg{\'e}briques} D{\'e}terminer $x \in \Q$ sachant que : \begin{enumerate} \item $2x^3-x^2+x+1 = 0$. \item $6x^5+11x^4-x^3+5x-6 = 0$. \item $2x^3-x-4 = 0$. \end{enumerate} \finenonce{003149} \finexercice \exercice{3150, quercia, 2010/03/08} \enonce{003150}{$x^y = y^x$} On cherche les couples $(x,y) \in \bigl(\Q^{+*}\bigr)^2$ tels que $x < y$ et $x^y = y^x$ ($x^y,y^x\in\R$). On pose $x = \frac pq$, $y = \frac {p'}{q'}$ (formes irr{\'e}ductibles), $d = pq'\wedge p'q$,\quad $pq' = ad$ et $p'q = bd$. \begin{enumerate} \item Montrer qu'il existe $m,n\in\N^*$ tels que : $p=m^a$, $p'=m^b$, $q=n^a$ et $q'=n^b$. \item En d{\'e}duire : $b-a = m^{b-a} - n^{b-a}$. \item Montrer que $b-a \le 1$ et conclure. \end{enumerate} \finenonce{003150} \finexercice \exercice{5209, rouget, 2010/06/30} \enonce{005209}{I} Montrer que les nombres suivants sont irrationnels. \begin{enumerate} \item (**) $\sqrt{2}$ et plus généralement $\sqrt[n]{m}$ où $n$ est un entier supérieur ou égal à $2$ et $m$ est un entier naturel supérieur ou égal à $2$, qui n'est pas une puissance $n$-ième parfaite. \item (**) $\log 2$. \item (****) $\pi$ (\textsc{Lambert} a montré en 1761 que $\pi$ est irrationnel, \textsc{Legendre} a démontré en 1794 que $\pi^2$ est irrationnel, \textsc{Lindemann} a démontré en 1882 que $\pi$ est transcendant). Pour cela, supposer par l'absurde que $\pi=\frac{p}{q}$ avec $p$ et $q$ entiers naturels non nuls et premiers entre eux. Considérer alors $I_n=\int_{0}^{p/q}\frac{x^n(p-qx)^n}{n!}\sin x\;dx$, $n\in\Nn^*$ et montrer que $I_n$ vérifie \begin{enumerate} \item $I_n$ est un entier relatif~; \item $I_n>0$~; \item $\lim_{n\rightarrow +\infty}I_n=0$ (voir devoir). \end{enumerate} \item (***) $e$ (\textsc{Hermite} a démontré en 1873 que $e$ est transcendant. C'est historiquement le premier \og~vrai~\fg~nombre dont on a réussi à démontrer la transcendance). Pour cela, établir que pour tout entier naturel $n$, $e=\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}+\int_{0}^{1}\frac{(1-t)^n}{n!}e^t\;dt$, puis que \textbf{pour tout} entier naturel non nul $n$, $0p} u_n$ et $B_p= \inf_{n>p} u_n$. Montrer que $(A_p)_{p\in\mathbb{N}}$ est une suite décroissante bornée et que $(B_p)_{p\in \mathbb{N}}$ est une suite croissante bornée. Soit $L = \lim_{p \to\infty} A_p$ et $l= \lim_{p \to\infty} B_p$. \begin{enumerate} \item Dans le cas particulier où $u_n= {n+2\over n+1} \cos{n\pi\over3}$, calculer $L$ et $l$. \item Montrer que : $$\displaylines{ \forall\epsilon>0,\;\exists p\in\mathbb{N},\;\forall n \geq p,\; u_n > l- \epsilon\cr \forall\epsilon>0,\;\forall p\in\mathbb{N},\;\exists n \geq p,\; u_n < l+ \epsilon \cr}$$ \item Interpréter ces propriétés. Énoncer des propriétés analogues pour $L$. Démontrez-les. \item Que peut-on dire de $(u_n)$ si $L=l$ ? \end{enumerate} \finenonce{000484} \finexercice \exercice{485, ridde, 1999/11/01} \enonce{000485}{} Soient $x$ et $y$ deux r\'eels strictement positifs. On pose $$ a = \frac{x + y}2 \qquad g = \sqrt{xy} \qquad h = \frac{2xy}{x + y} \qquad q = \sqrt{\frac12 (x^2 + y^2)}$$ Montrer que $a, g, h, q$ sont rang\'es dans un ordre ind\'ependant de $x$ et $y$. \finenonce{000485} \finexercice \exercice{486, ridde, 1999/11/01} \enonce{000486}{} Soient $A$ et $B$ deux parties non vides born\'ees de $\Rr$. \begin{enumerate} \item Montrer que $A \cup B$ est born\'ee et que $\sup (A \cup B) = \max ( \sup (A), \sup (B))$. \item Enoncer un r\'esultat analogue pour $\inf (A \cup B)$. \item Qu'en est-il pour $A \cap B$ ? \end{enumerate} \finenonce{000486} \finexercice \exercice{5210, rouget, 2010/06/30} \enonce{005210}{**IT} \label{exo:suprou2bis} Soient $A$ et $B$ deux parties de $\Rr$, non vides et bornées. Montrer que $\mbox{sup }A$, $\mbox{sup }B$, $\mbox{sup}(A+B)$, $\mbox{inf }A$, $\mbox{inf B}$, $\mbox{inf }(A+B)$ existent et que l'on a $\mbox{sup }(A+B)=\mbox{sup }A+\mbox{sup }B$ et $\mbox{inf }(A+B)=\mbox{inf }A+\mbox{inf }B$. ($A+B$ désigne l'ensemble des sommes d'un élément de $A$ et d'un élément de $B$). \finenonce{005210} \finexercice \exercice{5211, rouget, 2010/06/30} \enonce{005211}{**} Soit $A=\left\{\frac{1}{n}+(-1)^n,\;n\in\Nn^*\right\}$. Déterminer $\mbox{sup }A$ et $\mbox{inf }A$. \finenonce{005211} \finexercice \exercice{5212, rouget, 2010/06/30} \enonce{005212}{**IT} Soit $A$ une partie non vide et bornée de $\Rr$. Montrer que $\mbox{sup}\{|x-y|,\;(x,y)\in A^2\}=\mbox{sup }A-\mbox{inf }A$. \finenonce{005212} \finexercice \exercice{5213, rouget, 2010/06/30} \enonce{005213}{***IT} Soient $A$ et $B$ deux parties non vides et majorées de $\Rr$. Que dire de $\mbox{sup}(A\cap B)$, $\mbox{sup}(A\cup B)$, $\mbox{sup}(A+B)$ et $\mbox{sup}(AB)$~?~($A+B$ (resp. $AB$) désigne l'ensemble des sommes (resp. des produits) d'un élément de $A$ et d'un élément de $B$). \finenonce{005213} \finexercice \section{ 120.03 Propriétés des nombres réels } \section{ 120.04 Intervalle, densité } \section{ 120.99 Autre } \exercice{487, bodin, 1998/09/01} \enonce{000487}{} D\'emontrer par r\'ecurrence sur $n$ que pour tout $n\geq 2$ l'implication $$ [x>-1,x\not =0] \Rightarrow [ (1+x)^n >1+nx]$$ est vraie. \finenonce{000487} \finexercice \exercice{488, bodin, 1998/09/01} \enonce{000488}{} Soient $a_1,\ldots,a_n,\ b_1,\ldots,b_n \in \Rr$, les $a_i$ n'\'etant pas tous nuls. Soit $p(x) = \sum_{i=1}^n(a_i+xb_i)^2$. Montrer que le discriminant de cette \'equation du second degr\'e est $\le 0$. En d\'eduire que : $$ \left| \sum_{i=1}^n a_ib_i \right| \le \left( \sum_{i=1}^n a_i^2 \right)^{1/2}\left( \sum_{i=1}^n b_i^2 \right)^{1/2},$$ et que $$ \left( \sum_{i=1}^n (a_i+b_i )^2 \right)^{1/2} \le \left( \sum_{i=1}^n a_i^2 \right)^{1/2} + \left( \sum_{i=1}^n b_i^2 \right)^{1/2}.$$ \finenonce{000488} \finexercice \exercice{489, bodin, 1998/09/01} \enonce{000489}{} Deux entiers naturels distincts peuvent-ils v\'erifier la relation $a^b=b^a$ ? \finenonce{000489} \finexercice \exercice{490, bodin, 1998/09/01} \enonce{000490}{} R\'esoudre l'\'equation $\sqrt[4]{41+x}+\sqrt[4]{41-x}=4$, $x$ \'etant un r\'eel positif. \finenonce{000490} \finexercice \exercice{491, bodin, 1998/09/01} \enonce{000491}{} Si $a$ et $b$ sont des r\'eels positifs ou nuls, montrer que : $$ \sqrt{a}+\sqrt{b} \leqslant 2\sqrt{a+b}. $$ \finenonce{000491} \finexercice\exercice{492, bodin, 1998/09/01} \enonce{000492}{} Soient $x=(x_1,\ldots,x_n)$ et $y=(y_1,\ldots,y_n)\in\Rr^n$. On note $\|x\|_1=\sum_{i=1}^n|x_i|$ et $\|x\|_\infty=\text{max}_{1\le i \le n}|x_i|$. Montrer que dans les deux cas on a : $$ \|x+y\| \le \|x\| + \|y\|.$$ \finenonce{000492} \finexercice \exercice{493, bodin, 1998/09/01} \enonce{000493}{} Pout tout $x\in \Rr$ on note $E(x)$ sa partie enti\`ere et $\{x\}$ sa partie d\'ecimale. \begin{enumerate} \item Tracer les graphes des fonctions $x \mapsto E(x)$ et $x\mapsto \{x\}$. \item Montrer les relations suivantes : $E(x)+E(y) \le E(x+y)$, $E(x+n)=E(x)+n$ pour tout $n\in \Zz$, $E \left( \frac{E(nx)}{n} \right) = E(x)$ pour tout $n\in\Nn^*$. \item D\'eterminer $\lim E(x)$ et $\lim \{x\}$ lorsque $x \rightarrow -1_+$ et $x \rightarrow -1_-$. Ces fonctions ont-elles une limites lorsque $x \rightarrow -1$ ? \end{enumerate} \finenonce{000493} \finexercice \exercice{494, bodin, 1998/09/01} \enonce{000494}{} Pour tout $x,y\in \Rr$ et $\lambda > 0$ montrer que : $$ 2xy \le \frac{x^2}{\lambda}+\lambda y^2. $$ \finenonce{000494} \finexercice \exercice{495, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000495}{} Soit deux nombres réels $a$ et $b$ vérifiant : $-10,]x-\epsilon _{x},x+\epsilon _{x}[\subset A,$$ $$\forall x\in \Rr:(\forall \epsilon >0,]x-\epsilon ,x+\epsilon [\cap A\neq \emptyset )\Rightarrow x\in A.$$ Montrer que $A=\Rr.$ \finenonce{000500} \finexercice \exercice{501, gourio, 2001/09/01} \enonce{000501}{} Montrer : $$\forall n\geq 1,\forall x\in \Rr,\sum\limits_{k=0}^{n-1}E(x+\frac{k}{n})=E(nx).$$ \finenonce{000501} \finexercice \exercice{502, gourio, 2001/09/01} \enonce{000502}{} Soient $A$ et $B$ deux parties denses de $\Rr$, $AB$ et $A+B$ sont-elles denses ? \'Etude de la r\'{e}ciproque. \finenonce{000502} \finexercice \exercice{503, gourio, 2001/09/01} \enonce{000503}{} D\'{e}montrer que : $$\forall n\in \Nn^{*},E(\sqrt{n}+\sqrt{n+1})=E(\sqrt{4n+2}).$$ \finenonce{000503} \finexercice \exercice{3061, quercia, 2010/03/08} \enonce{003061}{Morphismes de $\R$} Soit $f : \R \to \R$ un morphisme de corps. \begin{enumerate} \item Montrer que : $\forall\ x \in \Q,\ f(x) = x$. \item Montrer que $f$ est une application croissante. \item En d{\'e}duire que $f = \mathrm{id}_\R$. \end{enumerate} \finenonce{003061} \finexercice \exercice{3062, quercia, 2010/03/08} \enonce{003062}{Parties denses} Soit $A \subset \R$ v{\'e}rifiant : $$\begin{cases}\forall\ x \in \R,\ \exists\ a,b\in A \text{ tq }a < x < b\cr \forall\ a,b \in A,\ \frac{a+b}2 \in A.\cr\end{cases}$$ Montrer que $A$ est dense dans $\R$. \finenonce{003062} \finexercice \exercice{3063, quercia, 2010/03/08} \enonce{003063}{Parties denses} Soir $A$ un sous-anneau de $\R$. Montrer que $A$ est dense dans $\R$ si et seulement si $A \cap ]0,1[ \ne \varnothing$. \finenonce{003063} \finexercice \exercice{3064, quercia, 2010/03/08} \enonce{003064}{Sous-groupes de $\R$} Soit $H$ un sous-groupe additif de $\R$, $H \ne \{0\}$. On pose $H^{+*} = H\cap\R^{+*}$, et $\alpha = \inf(H^{+*})$. \begin{enumerate} \item Si $\alpha \in H^{+*}$, montrer que $H = \alpha \Z$. \item Si $\alpha \notin H^{+*}$, montrer que $\alpha = 0$ et en d{\'e}duire que $H$ est dense dans $\R$. \end{enumerate} \finenonce{003064} \finexercice \exercice{3065, quercia, 2010/03/08} \enonce{003065}{Partie enti{\`e}re} \begin{enumerate} \def\f#1{\left[\frac{#1}b\right]} \item Soient $a\in\Z$ et $b\in\N^*$. Montrer que : $\f{a} + \f{a+1} + \dots + \f{a+b-1} = a$. \item Soient $a\in\R$ et $b\in\N^*$. Montrer que : $\f{a} + \f{a+1} + \dots + \f{a+b-1} = [a]$. \end{enumerate} \finenonce{003065} \finexercice \exercice{5146, rouget, 2010/06/30} \enonce{005146}{**I Moyennes arithmétique, géométrique et harmonique} Soient $x$ et $y$ deux réels tels que $00$. (Definition~:~$G$ est dense dans $\Rr$ si et seulement si~:~$(\forall x\in\Rr,\;\forall\varepsilon>0,\;\exists y\in G/\;|y-x|<\varepsilon)$. \item Application 1. Montrer que $\{a+b\sqrt{2},\;(a,b)\in\Zz^2\}$ est dense dans $\Rr$. \item Application 2 (groupe des périodes d'une fonction). \begin{enumerate} \item Soit $f$ une fonction définie sur $\Rr$ à valeurs dans $\Rr$. Montrer que l'ensemble des périodes de $f$ est un sous groupe de $(\Rr,+)$ (ce sous-groupe est réduit à $\{0\}$ si $f$ n'est pas périodique). \item Montrer qu'une fonction continue sur $\Rr$ qui admet $1$ et $\sqrt{2}$ pour périodes, est constante sur $\Rr$. \end{enumerate} \end{enumerate} \finenonce{005218} \finexercice \exercice{5219, rouget, 2010/06/30} \enonce{005219}{**} Montrer que $\{r^3,\;r\in\Qq\}$ est dense dans $\Rr$. \finenonce{005219} \finexercice \exercice{5982, bodin, 2010/12/06} \video{DJNMuwA-0Ts} \enonce{005982}{} Soit $x$ un r\'eel. \begin{enumerate} \item Donner l'encadrement qui définit la partie entière $E(x)$. \item Soit $(u_n)_{n\in \Nn^*}$ la suite définie par $u_n = \dfrac{E (x) + E (2x) + \ldots + E (nx)}{n^2}$. \\ Donner un encadrement simple de $n^2 \times u_n$, qui utilise $\sum_{k=1}^n k$. \item En déduire que $(u_n)$ converge et calculer sa limite. \item En d\'eduire que $\Qq$ est dense dans $\Rr$. \end{enumerate} \finenonce{005982} \finexercice\exercice{7169, megy, 2017/07/26} \enonce{007169}{} %[application directe d'AM>GM] Soient $a$ et $b$ deux réels. Montrer \[ ab \leq \frac{a^2}{4}+b^2.\] Généraliser. \finenonce{007169} \finexercice \exercice{7170, megy, 2017/07/26} \enonce{007170}{} %[application directe de'AM>GM] On considère deux réels positifs dont le produit vaut $100$. Leur somme a-t-elle une valeur minimale et si oui laquelle et dans quel(s) cas? \finenonce{007170} \finexercice \exercice{7171, megy, 2017/07/26} \enonce{007171}{} %[application directe de'AM>GM] Soit $n>0$ un entier. On considère $n$ réels positifs dont le produit vaut $1$. Leur somme a-t-elle une valeur minimale et si oui laquelle et dans quel(s) cas? \finenonce{007171} \finexercice \exercice{7172, megy, 2017/07/26} \enonce{007172}{} %[application directe d'AM>GM] Un magasin vend au même prix deux lots de trois cristaux. Le premier lot comporte trois cristaux cubiques de côté $a$, $b$ et $c$ respectivement. Le second lot comporte trois cristaux identiques en forme de parallélépipède de dimensions $a\times b \times c$. Quel lot est-il préférable d'acheter ? \finenonce{007172} \finexercice \exercice{7173, megy, 2017/07/26} \enonce{007173}{} %[Application directe] Soient $a$, $b$ et $c$ des réels positifs. Montrer que \[ \frac{a^2}{bc}+\frac{b^2}{ca}+\frac{c^2}{ab} \geq 3. \] \finenonce{007173} \finexercice \exercice{7174, megy, 2017/07/26} \enonce{007174}{} %[application directe] Soient $a_1$, ... $a_n$ des réels strictement positifs et $b_1$, ... $b_n$ les mêmes $n$ réels mais numérotés dans un ordre différent. Montrer que \[ \frac{a_1}{b_1} + ... + \frac{a_n}{b_n} \geq n. \] \finenonce{007174} \finexercice \exercice{7175, megy, 2017/07/26} \enonce{007175}{} %[séparer les termes] Soient $a, b \in \R^*$. Montrer que \[ (1+a^2)(1+b^2) \geq 4ab. \] \finenonce{007175} \finexercice \exercice{7176, megy, 2017/07/26} \enonce{007176}{} %[séparer les termes] Soient $a, b, c \in \R_+^*$. Montrer que \[ \left(a^2b+b^2c+c^2a\right)\left(ab^2+bc^2+ca^2\right) \geq 9 a^2b^2c^2 \] \finenonce{007176} \finexercice \exercice{7177, megy, 2017/07/26} \enonce{007177}{} %[application directe d'AM>GM après avoir développé et séparé les termes] % question ouverte Soient $a$ et $b$ deux réels positifs tels que $a+b=8$. Déterminer la valeur minimale de \[ \left(1+\frac1a\right)\left(1+\frac1b\right)\] et préciser pour quelles valeurs elle est atteinte. \finenonce{007177} \finexercice \exercice{7178, megy, 2017/07/26} \enonce{007178}{Cauchy-Schwarz} % application directe d'AM>GM après avoir développé Soient $a$, $b$, $c$ et $d$ quatre réels. Montrer que \[ (a^2+b^2)(c^2+d^2) \geq (ac+bd)^2.\] \finenonce{007178} \finexercice \exercice{7179, megy, 2017/07/26} \enonce{007179}{} Résoudre sur $\R$ l'équation \[ 2^x + x^2 = 2-\frac{1}{2^x}.\] \finenonce{007179} \finexercice \exercice{7180, megy, 2017/07/26} \enonce{007180}{} Résoudre le système \[ \left\{ \begin{matrix} 4x &+& \frac{18}{y} &=&14\\ 2y &+& \frac{9}{z} &=&15\\ 9z &+& \frac{16}{x} &=&17\\ \end{matrix} \right. \] \finenonce{007180} \finexercice \exercice{7181, megy, 2017/07/26} \enonce{007181}{} Soient $a$ et $b$ deux réels positifs. Montrer que \[ 2a^3+b^3 \geq 3a^2b.\] \finenonce{007181} \finexercice \exercice{7182, megy, 2017/07/26} \enonce{007182}{} %[séparation de termes] Soient $a$, $b$ et $c$ trois réels. Montrer que \[ a^3+b^3+c^3 \geq a^2b+b^2c+c^2a.\] \finenonce{007182} \finexercice \exercice{7183, megy, 2017/07/26} \enonce{007183}{} %[séparation de termes] Soient $a$, $b$ et $c$ trois réels. Montrer que \[ a^4+b^4+c^4 \geq abc(a+b+c).\] \finenonce{007183} \finexercice \exercice{7184, megy, 2017/07/26} \enonce{007184}{} %[séparation et groupement de termes] Soient $a$, $b$ et $c$ trois réels non nuls. Montrer que \[ \frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2} \geq \frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}. \] \finenonce{007184} \finexercice \exercice{7185, megy, 2017/07/26} \enonce{007185}{} %[modifier pour se ramener à un cas simple] Soient $a$, $b$ et $c$ des réels strictement positifs. Montrer que \[ \frac{c}{a} + \frac{a}{b+c} +\frac{b}{c} \geq 2. \] \finenonce{007185} \finexercice \section{ 121.01 Convergence } \exercice{504, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000504}{} \begin{enumerate} \item Dessiner les suites suivantes~: \begin{enumerate} \item $\displaystyle u_n = \frac{n^2-25}{2n^2+1}$\qquad (prendre 2~cm comme unité sur $Oy$) \item $u_n= (-1)^n$ \item $\displaystyle u_n =\frac{1}{n}\cos n \qquad v_n=\frac{1}{n} \vert\cos n\vert$ \qquad($n$ en radians) \item $u_n = \cos n$ \item $u_1=1$~; $u_2=2$~; $u_3=3$~; $u_4=-1$~; $u_n=2$ pour $n\ge 5$. \item $\displaystyle u_n=\frac{(-1)^n}{n^2+1}$ \qquad (prendre 10 cm comme unité sur $Oy$) \item $\displaystyle u_n= \cos\frac{n\pi}{6}$ \item $\displaystyle u_n = \sin\frac{1}{\sqrt{n}}$ \qquad (prendre 1 cm comme unité sur $Oy$) \item $u_n = n^2+1$ \item $\displaystyle u_n=\frac{1}{n+(-1)^n\sqrt{n}}$ \quad(pour $n\ge 2$) \end{enumerate} \item Classer les dessins par paquets en précisant vos critères. \item Pour chaque suite, pouvez-vous trouver $l$ et $n$ tels que $\vert u_n-l\vert<\frac{1}{10}$ ou $\frac{1}{100}$~? Mettre en relation avec le classement précédent. \item Les énoncés suivants sont-ils vrais ou faux ? \begin{enumerate} \item Une suite à termes positifs qui tend vers 0 est décroissante à partir d'un certain rang. \item Si une suite a une limite strictement positive, tous ses termes sont strictement positifs à partir d'un certain rang. Réciproque~? \end{enumerate} \end{enumerate} \finenonce{000504} \finexercice \exercice{505, bodin, 1998/09/01} \video{FRpMiQ8DOwI} \enonce{000505}{} Soit $(u_n)_{n\in\N}$ une suite de $\R$. Que pensez-vous des propositions suivantes : \par\noindent $\bullet$ Si $(u_{n})_n$ converge vers un r\'eel $\ell$ alors $(u_{2n})_n$ et $(u_{2n+1})_n$ convergent vers $\ell$. \par\noindent $\bullet$ Si $(u_{2n})_n$ et $(u_{2n+1})_n$ sont convergentes, il en est de m\^{e}me de $(u_{n})_n$. \par\noindent $\bullet$ Si $(u_{2n})_n$ et $(u_{2n+1})_n$ sont convergentes, de m\^{e}me limite $\ell$, il en est de m\^{e}me de $(u_{n})_n$. \finenonce{000505} \finexercice \exercice{512, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000512}{} Vrai ou faux : il existe une suite $(u_n)$ telle que $(u_{n+1}-u_n)$ tend vers~$0$ et qui diverge. \finenonce{000512} \finexercice \exercice{513, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000513}{} Encadrer la suite $(u_n)$ définie par $u_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{n^2+k^2}$. Que peut-on en déduire ? \finenonce{000513} \finexercice \exercice{514, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000514}{} \begin{enumerate} \item Que peut-on dire d'une suite qui vérifie $\lim_{n\to\infty}nu_n=0$~? \item Que peut-on dire d'une suite qui vérifie $\lim_{n\to\infty}nu_n=1$~? \item Que peut-on dire d'une suite qui vérifie $\lim_{n\to\infty}nu_n=+\infty$~? \end{enumerate} \finenonce{000514} \finexercice \exercice{515, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000515}{} Étant donné $k\in\mathbb{R}_+$, que peut-on dire d'une suite $(u_n)$ qui vérifie $\lim_{n\to\infty} \frac{u_{n+1}}{u_n} = k$ ? \textit{Application} : Étudier $u_n=\frac{1\cdot 2 \cdots n}{1\cdot 4\cdots(3n-2)}$. \finenonce{000515} \finexercice \exercice{516, ridde, 1999/11/01} \enonce{000516}{} Montrer qu'une partie $D$ est dense dans $\Rr$ ssi tout r\'eel est limite d'une suite de points de $D$. \finenonce{000516} \finexercice \exercice{517, ridde, 1999/11/01} \enonce{000517}{} Soit $A$ une partie born\'ee de $\Rr$ et $x$ un r\'eel. \begin{enumerate} \item Montrer que $x = \sup (A)$ ssi ($x$ majore $A$ et il existe une suite $ (x_n)_{n \in \Nn}$ de A qui converge vers $x$). \item \'Enoncer un r\'esultat analogue pour $\inf (A)$. \end{enumerate} \finenonce{000517} \finexercice \exercice{518, ridde, 1999/11/01} \enonce{000518}{} \'Etudier la convergence des suites :\\ $\sqrt{n^2 + n + 1}-\sqrt n \qquad \dfrac{n\sin (n)}{n^2 + 1} \qquad \dfrac1n + (-1)^n \qquad n \sum\limits_{k = 1}^{2n + 1}\dfrac 1{n^2 + k} \qquad \dfrac 1n \sum\limits_{k = 0}^{n-1}\cos (\dfrac1{\sqrt{n + k}})$ \finenonce{000518} \finexercice \exercice{519, ridde, 1999/11/01} \video{d6n_rWtLv1Y} \enonce{000519}{} Montrer qu'une suite d'entiers qui converge est constante \`a partir d'un certain rang. \finenonce{000519} \finexercice\exercice{520, ridde, 1999/11/01} \video{HZBJUfv7fSA} \enonce{000520}{} Soit $H_n = 1 + \dfrac12 + \cdots + \dfrac1n$. \begin{enumerate} \item En utilisant une int\'egrale, montrer que pour tout $n>0$ : $\dfrac1{n + 1} \leq \ln (n + 1)-\ln (n) \leq \dfrac1n$. \item En d\'eduire que $\ln (n + 1) \leq H_n \leq \ln (n) + 1$. \item D\'eterminer la limite de $H_n$. \item Montrer que $u_n = H_n-\ln (n)$ est d\'ecroissante et positive. \item Conclusion ? \end{enumerate} \finenonce{000520} \finexercice\exercice{521, ridde, 1999/11/01} \enonce{000521}{} Montrer qu'une suite monotone dont une suite extraite converge est convergente. \finenonce{000521} \finexercice \exercice{522, ridde, 1999/11/01} \enonce{000522}{} Montrer que $ (u_{n})$ converge ssi $ (u_{2n}), (u_{2n + 1}), (u_{3n})$ convergent (leurs limites n'\'etant pas n\'ecessairement \'egales). \finenonce{000522} \finexercice \exercice{523, monthub, 2001/11/01} \enonce{000523}{} Etudier la convergence de la suite $u_n=(-1)^n\dfrac{n+1}{n}$. \finenonce{000523} \finexercice \exercice{524, monthub, 2001/11/01} \video{WW2PHzsJGkw} \enonce{000524}{} Soit $q$ un entier au moins {\'e}gal {\`a} $2$. Pour tout $n\in \N$, on pose $u_n=\cos{\dfrac{2n\pi}{q}}$. \begin{enumerate} \item Montrer que $u_{n+q}=u_n$ pour tout $n \in \N$. \item Calculer $u_{nq}$ et $u_{nq+1}$. En d{\'e}duire que la suite $(u_n)$ n'a pas de limite. \end{enumerate} \finenonce{000524} \finexercice \exercice{525, gourio, 2001/09/01} \enonce{000525}{} Soit $(u_{n})_{n\in \Nn}$ une suite r\'{e}elle prenant toute les valeurs rationnelles. Montrer que $(u_{n})_{n\in \Nn}$ n'admet pas de limite. \finenonce{000525} \finexercice \exercice{526, gourio, 2001/09/01} \enonce{000526}{} Soit $(u_{n})_{n\in \Nn}$ une suite r\'{e}elle telle que $\lim\limits_{n \rightarrow \infty }u_{n}^{2}=\lambda$. Que dire de $(u_{n})_{n\in \Nn}$ ? \finenonce{000526} \finexercice \exercice{527, gourio, 2001/09/01} \enonce{000527}{} \begin{enumerate} \item Donner un exemple de suite born\'{e}e divergente, puis de suite divergente telle que $$\forall k\in \Nn,\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n+k}-x_{n}=0.$$ \item Donner un exemple de suite divergente qui a une seule valeur d'adh\'{e}rence (i.e. telle qu'il existe une seule extraction $\phi $ telle que $x_{\phi(n)\text{ }}$ converge). \item Donner un exemple de suite $(x_{n})_{n\in \Nn} $ divergente telle que $\forall k\geq 2,(x_{nk})_{n\in \Nn}$ converge. \end{enumerate} \finenonce{000527} \finexercice \exercice{528, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000528}{} Que peut-on dire des nombres réels $a$ et $b$ si $$\forall n \in\mathbb{N}^\ast,\; a-\frac{1}{n}\leq b \leq a+\frac{1}{n}~?$$ \finenonce{000528} \finexercice \exercice{529, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000529}{} Étudier la suite $(u_n)$ définie par~: $$u_n= \begin{cases} 0 & \text{ si } $n$ \text{ est premier }\cr 67+1/n & \text{ sinon }.\cr \end{cases}$$ Si cette suite converge, montrer que sa limite est inférieure à~$72$. Étudier la convergence de cette suite. \finenonce{000529} \finexercice \exercice{530, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000530}{} On donne la suite $(u_n)$ définie par~: $$ u_1= \sqrt2 \quad\mbox{et}\quad u_n = \sqrt{2-u_{n-1}}.$$ En étudiant les suites $(u_{2n})$ et $(u_{2n+1})$, montrer que la suite $(u_n)$ est convergente. \finenonce{000530} \finexercice \exercice{531, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000531}{} \begin{enumerate} \item Soit $(u_n)$, $(v_n)$, $(w_n)$ trois suites telles que pour $n$ assez grand on ait $v_n\leq u_n\leq w_n$. On suppose que $(v_n)$ et $(w_n)$ sont convergentes, et on note $v=\lim v_n$ et $w=\lim w_n$. Montrer que pour tout $\epsilon$ positif, on a $v-\epsilon\leq u_n \leq w+\epsilon$ pour $n$~assez grand (\emph{théorème d'encadrement}). Que peut-on en déduire si $v=w$~? \item Soit $(u_n)$ une suite convergente de limite~$l$. Montrer que la suite $$v_n = \frac{u_1+u_2+ \cdots+u_n}{n}$$ est convergente et a pour limite~$l$. Pour cela, encadrer $u_n$ à $\epsilon$~près pour $n$~assez grand, et en déduire un encadrement de~$v_n$. \end{enumerate} \finenonce{000531} \finexercice \exercice{532, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000532}{} Soit $\alpha$ un nombre irrationnel positif et $(p_n)$ et $(q_n)$ deux suites d'éléments de $\mathbb{N}^\ast$ telles que $\alpha= \lim_{n\to\infty}\frac{p_n}{q_n}$. Montrer que $$\lim_{n\to\infty} q_n =\lim_{n\to\infty} p_n=+\infty.$$ \finenonce{000532} \finexercice \exercice{533, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000533}{} Étudier la suite $u_n=\ln(1+\ln(2+\ln(3+\cdots+\ln(n-1+\ln n)\cdots)))$. \finenonce{000533} \finexercice \exercice{534, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000534}{} Montrer que pour $n\geq1$, l'équation $x^n+x^{n-1}+x^2+x-{n+1 \over n}=0$ admet une unique racine positive~; on la note $u_n$. Étudier la suite $(u_n)$. \finenonce{000534} \finexercice \exercice{535, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000535}{} Un ivrogne part à un instant donné d'un point donné. À chaque seconde, il fait un pas dans une direction inconnue (et qui peut changer de façon arbitraire à chaque pas). Comme il se fatigue, ses pas sont de plus en plus courts. Peut-on prévoir qu'au bout d'un certain temps il restera à moins d'un mètre d'une certaine position si on admet que la longueur de son $n$-ième pas est~: \begin{enumerate} \item $1/n$ mètre~? \item $1/n^2$ mètre~? \end{enumerate} \finenonce{000535} \finexercice \exercice{1193, legall, 1998/09/01} \enonce{001193}{} Soient $ (u_n)_{n\geq 2} $ d\'efinie par $ \displaystyle{ u_n =\prod_{k=2}^n \hbox{cos} (\frac{\pi}{2^k})} $ et $ \displaystyle{v_n =u_n \hbox{sin}(\frac{\pi} { 2^n})} .$ \begin{enumerate} \item Montrer que $ (u_n)_{n\geq 2} $ est convergente. \item Montrer que $ (v_n)_{n\geq 2} $ est une suite g\'eom\'etrique. En d\'eduire la limite de $ (u_n)_{n\geq 2} .$ \end{enumerate} \finenonce{001193} \finexercice \exercice{1194, legall, 1998/09/01} \enonce{001194}{} Soit $ (u_n)_{n\in { \Nn}} $ une suite born\' ee de nombres r\' eels telle que $ \displaystyle{\lim _{n\rightarrow \infty }(u_{n+1}-u_{n})=0} .$ Montrer que les valeurs d'adh\`erence de la suite $ (u_n)_{n\in { \Nn}} $ forment un intervalle de $ { \Rr} .$ \finenonce{001194} \finexercice \exercice{1195, legall, 1998/09/01} \enonce{001195}{} On d\' efinit par r\' ecurrence les suites $ (u_n)_{n\in { \Nn}} $ et $ (v_n)_{n\in { \Nn}} $ par~: $$u_0=1 , v_0=2 , u_{n+1}=\frac{ (u_n)^2}{ u_n+v_n} , v_{n+1}=\frac{ (v_n)^2}{ u_n+v_n} .$$ \begin{enumerate} \item Montrer par r\' ecurrence que l'on a $ u_n>0 $ et $ v_n>0 .$ \item Montrer que les suites $ (u_n)_{n\in { \Nn}} $ et $ (v_n)_{n\in { \Nn}} $ d\' ecroissent. En d\' eduire qu'elles convergent vers $ \ell $ et $ \ell ' $ respectivement. Montrer que l'on a $ \ell \ell '=0 .$ \item Montrer que la suite $ (v_n-u_n)_{n\in { \Nn}} $ est constante. En d\' eduire $ \ell $ et $ \ell ' .$ \end{enumerate} \finenonce{001195} \finexercice \exercice{1196, legall, 1998/09/01} \enonce{001196}{} Soient $ (u_n)_{n\in { \Nn}} $ et $ (v_n)_{n\in { \Nn}} $ deux suites de nombres r\' eels telles que $ 00$ il existe $N\in \Nn $ tel que, si $m,n \geq N$ alors $\vert u_n-u_m \vert < \epsilon .$ \begin{enumerate} \item Montrer que toute suite convergente est de Cauchy. Montrer que toute suite de Cauchy est born\'ee. \item Soit $u_n = 1 + \dfrac12 + \ldots + \dfrac1n$. Montrer que, pour tout $p\in \Nn ,$ $u_{2^p }\geq \dfrac {p+2}2 .$ En d\'eduire que $(u_n)_{n\in \Nn}$ tend vers l'infini. \item Une suite $(u_n)_{n\in \Nn }$ satisfait au crit\`ere $\cal{C '}$ lorsque, pour tout $\epsilon >0$ il existe $N\in \Nn $ tel que, si $n \geq N$ alors $\vert u_n-u_{n+1} \vert < \epsilon .$ Une suite satisfaisant au crit\`ere $\cal{C '}$ est-elle de Cauchy~? \item Montrer que les trois assertions qui suivent sont \'equivalentes~: \begin{enumerate} \item Toute partie major\'ee de $\Rr $ admet une borne sup\'erieure et toute partie minor\'ee de $\Rr $ admet une borne inf\'erieure. \item Toute suite de Cauchy est convergente. \item Deux suites adjacentes sont convergentes. \end{enumerate} \end{enumerate} \finenonce{001201} \finexercice \exercice{4668, quercia, 2010/03/16} \enonce{004668}{Limite de la partie enti{\`e}re d'une suite} Soit $(u_n)$ une suite r{\'e}elle convergeant vers $\ell \in \R$. La suite $([u_n])$ est-elle convergente ? \finenonce{004668} \finexercice \exercice{4669, quercia, 2010/03/16} \enonce{004669}{Limites doubles diff{\'e}rentes} Comparer $\lim_{n\to\infty} \left( \lim_{k\to\infty} \frac{n^k}{(n+1)^k} \right)$ et $\lim_{k\to\infty} \left( \lim_{n\to\infty} \frac{n^k}{(n+1)^k} \right)$. \finenonce{004669} \finexercice \exercice{4670, quercia, 2010/03/16} \enonce{004670}{Suites convergeant vers 0} \begin{enumerate} \item Soit $(u_n)$ une suite r{\'e}elle telle que $\frac {u_n}{1+u_n} \xrightarrow[n\to\infty]{} 0$. Montrer que $u_n \xrightarrow[n\to\infty]{} 0$. \item M{\^e}me question avec $\begin{cases} \frac {u_n}{1+u_n^2} \xrightarrow[n\to\infty]{} 0\cr (u_n) \text{ est born{\'e}e.}\cr\end{cases}$ \end{enumerate} \finenonce{004670} \finexercice \exercice{4671, quercia, 2010/03/16} \enonce{004671}{$u_nv_n \to 1$} Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites v{\'e}rifiant : $\begin{cases} 0 \le u_n \le 1 \cr 0 \le v_n \le 1 \cr u_nv_n \xrightarrow[n\to\infty]{} 1.\cr\end{cases}$ Que pouvez-vous dire de ces suites ? \finenonce{004671} \finexercice \exercice{4672, quercia, 2010/03/16} \enonce{004672}{S{\'e}rie altern{\'e}e} On pose $u_n = \frac {96\times(-1)^n}{(2n-3)(2n-1)(2n+1)(2n+3)(2n+5)}$ et $v_n = \sum_{k=0}^n\,u_k$. \begin{enumerate} \item {\'E}tudier les suites $(v_{2n})$ et $(v_{2n+1})$ et montrer que la suite $(v_n)$ est convergente. \item Calculer $\ell = \lim_{n\to\infty} v_n$ {\`a} $10^{-5}$ pr{\`e}s. \end{enumerate} \finenonce{004672} \finexercice \exercice{4673, quercia, 2010/03/16} \enonce{004673}{Croissance compar{\'e}e} Montrer que l'ensemble des entiers $n$ tels que $2^{n^2} < (4n)!$ est fini. \finenonce{004673} \finexercice \exercice{4674, quercia, 2010/03/16} \enonce{004674}{Limite de $n^{1/n}$} D{\'e}montrer, sans utiliser la fonction $\ln$, que $\sqrt[n]n \xrightarrow[n\to\infty]{} 1$. Chercher $\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{n!}$. \finenonce{004674} \finexercice \exercice{4675, quercia, 2010/03/16} \enonce{004675}{Croissance logarithmique compar{\'e}e} Soient $(a_n)$, $(b_n)$ deux suites strictement positives telles que : $\forall\ n \in \N,\ \frac {a_{n+1}}{a_n} \le \frac {b_{n+1}}{b_n}$. Montrer que si $b_n \xrightarrow[n\to\infty]{} 0$, alors $a_n \xrightarrow[n\to\infty]{} 0$. \finenonce{004675} \finexercice \exercice{4676, quercia, 2010/03/16} \enonce{004676}{Somme de parties enti{\`e}res} Soit $x\in\R$. Chercher $\lim_{n\to\infty} \frac {[x] + [2x] + \dots + [nx]}{n^2}$. \finenonce{004676} \finexercice \exercice{4677, quercia, 2010/03/16} \enonce{004677}{Divergence de $\cos(nt)$ et $\sin(nt)$} Soit $\theta \in \R$. Montrer que si $\theta \not \equiv 0 (\mathrm{mod}\, {\pi})$, les suites $(\cos(n\theta))$ et $(\sin(n\theta))$ sont toutes les deux divergentes (montrer que si l'une converge, alors l'autre aussi, puis obtenir une contradiction). \finenonce{004677} \finexercice \exercice{4678, quercia, 2010/03/16} \enonce{004678}{Somme des $1/k^{1/2}$} Soit $u_n = 1 + \frac1{\sqrt2} + \dots + \frac1{\sqrt n}$. \begin{enumerate} \item Chercher $\lim_{n\to\infty} (u_{2n}-u_n)$, puis $\lim_{n\to\infty} u_n$. \item Comparer $\frac 1{2\sqrt k}$, $\sqrt{k+1} - \sqrt k$, et $\sqrt k - \sqrt{k-1}$. En d{\'e}duire que la suite $\bigl(u_n - 2\sqrt n\bigr)$ est convergente. \end{enumerate} \finenonce{004678} \finexercice \exercice{4679, quercia, 2010/03/16} \enonce{004679}{Limite de $(1+1/n)^n$} \begin{enumerate} \item On pose $u_n = \frac 1{0!} + \frac 1{1!} + \dots + \frac 1{n!}$. \begin{enumerate} \item Montrer que la suite $(u_n)$ est convergente. \item Calculer le nombre $e = \lim_{n\to\infty}u_n$ {\`a} $10^{-7}$ pr{\`e}s. \end{enumerate} \item On note $v_n = \left(1+\frac1n\right)^{1/n}$. \begin{enumerate} \item D{\'e}velopper $v_n$ et montrer que $v_n \le e$. \item On fixe $p \in \N$ et $\varepsilon > 0$. Montrer que pour $n$ suffisament grand, $v_n \ge \sum_{k=0}^p \frac 1{k!} - \varepsilon$. \item Que pouvez-vous en d{\'e}duire ? \end{enumerate} \end{enumerate} \finenonce{004679} \finexercice \exercice{4680, quercia, 2010/03/16} \enonce{004680}{{\'E}tude de $C_{2n}^n/4^n$} On pose $u_n = \frac {1\times 3\times 5 \times \dots \times (2n-1)} {2\times 4\times 6 \times \dots \times (2n)}$. \begin{enumerate} \item Exprimer $u_n$ {\`a} l'aide de factorielles. \item Montrer que la suite $(u_n)$ est convergente. \item Soit $v_n = (n+1)u_n^2$. Montrer que la suite $(v_n)$ converge. Que pouvez-vous en d{\'e}duire pour $\lim_{n\to\infty}u_n$ ? \item On note $\alpha = \lim_{n\to\infty}v_n$. En {\'e}tudiant la suite $(nu_n^2)$, montrer que $\alpha > 0$. \end{enumerate} \finenonce{004680} \finexercice \exercice{4681, quercia, 2010/03/16} \enonce{004681}{Suite $a^n/\prod(1+a^k)$} Soit $a \in \C\setminus \mathbb{U}$. {\'E}tudier la suite de terme g{\'e}n{\'e}ral : $u_n = \frac {a^n}{(1+a)(1+a^2)\dots(1+a^n)}$. \finenonce{004681} \finexercice \exercice{4682, quercia, 2010/03/16} \enonce{004682}{Lemme de C{\'e}saro} Soit $(u_n)$ une suite r{\'e}elle. On pose $v_n = \frac {u_1 + \dots + u_n}n$. \begin{enumerate} \item Montrer que si $u_n \xrightarrow[n\to\infty]{} 0$, alors $v_n \xrightarrow[n\to\infty]{} 0$. \item Montrer que si $u_n \xrightarrow[n\to\infty]{} \ell$, alors $v_n \xrightarrow[n\to\infty]{} \ell$. ($\ell \in \overline{\R}$) \item Donner un exemple o{\`u} $(v_n)$ converge mais $(u_n)$ diverge. \end{enumerate} \finenonce{004682} \finexercice \exercice{4683, quercia, 2010/03/16} \enonce{004683}{Lemme de C{\'e}saro} \begin{enumerate} \item Soit $(b_n)$ une suite r{\'e}elle strictement croissante tendant vers $+\infty$, et $(a_n)$ une suite r{\'e}elle telle que :\par $\frac{a_n-a_{n-1}}{b_n-b_{n-1}} \xrightarrow[n\to\infty]{} \ell \in \R$. Montrer que $\frac{a_n}{b_n} \xrightarrow[n\to\infty]{} \ell$. \item Application : Quelle est la limite de $\frac{1^k + 2^k + \dots + n^k}{n^{k+1}}$ $(k \in \N)$ ? \end{enumerate} \finenonce{004683} \finexercice \exercice{4684, quercia, 2010/03/16} \enonce{004684}{C{\'e}saro g{\'e}n{\'e}ralis{\'e}} Soit $(u_n)$ une suite r{\'e}elle convergente, et $S_n = \frac 1{2^n} \sum_{p=0}^n\,C_n^pu_p$. {\'E}tudier la suite $(S_n)$. \finenonce{004684} \finexercice \exercice{4685, quercia, 2010/03/16} \enonce{004685}{Produit de Cauchy} Soient $(a_n)$, $(b_n)$ deux suites convergeant vers $a,b$. Montrer que $\frac {a_0b_n + a_1b_{n-1} + \dots + a_nb_0}{n+1} \xrightarrow[n\to\infty]{} ab$. \finenonce{004685} \finexercice \exercice{4686, quercia, 2010/03/16} \enonce{004686}{$x_n-ax_{n-1} \to 0$} Soit $(x_n)$ une suite r{\'e}elle et $\alpha \in\, ]0,1[$. On pose $$\left\{\begin{aligned}y_0 &=& x_0\hfill \cr y_n &=& x_n - \alpha x_{n-1}\text{ pour }n\ge 1.\end{aligned}\right.$$ \par Montrer que : $(x_n \xrightarrow[n\to\infty]{} 0) \Leftrightarrow (y_n \xrightarrow[n\to\infty]{} 0)$. \finenonce{004686} \finexercice \exercice{4687, quercia, 2010/03/16} \enonce{004687}{$x_n + x_{2n}/2 \to 1$} Soit $(x_n)$ une suite born{\'e}e telle que $x_n + \frac{x_{2n}}2 \xrightarrow[n\to\infty]{} 1$. Montrer que $x_n\xrightarrow[n\to\infty]{}\frac23$. \finenonce{004687} \finexercice \exercice{4688, quercia, 2010/03/16} \enonce{004688}{Approximation d'un irrationnel} Soit $x \in \R^*$ et $(r_n)$ une suite de rationnels convergeant vers $x$. On {\'e}crit $r_n = \frac {p_n}{q_n}$ avec $p_n\in\Z$, $q_n\in\N^*$. \begin{enumerate} \item Montrer que si l'une des suites $(p_n)$, $(q_n)$ est born{\'e}e, alors l'autre l'est aussi, et $x \in \Q$. \item En d{\'e}duire que si $x \in \R\setminus \Q$, alors $|p_n| \xrightarrow[n\to\infty]{} +\infty$ et $q_n \xrightarrow[n\to\infty]{} +\infty$. \end{enumerate} \finenonce{004688} \finexercice \exercice{4689, quercia, 2010/03/16} \enonce{004689}{Somme des chiffres de $n$} Pour $n \in \N^*$, on note $S(n)$ la somme des chiffres de l'{\'e}criture d{\'e}cimale de $n$. \begin{enumerate} \item Encadrer $S(n+1)$ en fonction de $S(n)$. En d{\'e}duire que la suite $\left(\frac {S(n+1)}{S(n)}\right)$ est born{\'e}e. \item Chercher $\inf\left\{\frac {S(n+1)}{S(n)} \text{ tq } n \in \N^*\right\}$, et $\sup\left\{\frac {S(n+1)}{S(n)} \text{ tq } n \in \N^*\right\}$. \item La suite $\left(\frac {S(n+1)}{S(n)}\right)$ est-elle convergente ? \end{enumerate} \finenonce{004689} \finexercice \exercice{4690, quercia, 2010/03/16} \enonce{004690}{{\'E}quation $x^n + x^{n-1} + \dots+ x - 1 = 0$} On consid{\`e}re l'{\'e}quation : $x^n + x^{n-1} + \dots + x - 1 = 0$. \begin{enumerate} \item Prouver qu'il existe une unique racine positive, $a_n$. \item Montrer que la suite $(a_n)$ est d{\'e}croissante. \item Montrer que $a_n \xrightarrow[n\to\infty ]{} \frac12$ (calculer $a_n^{n+1} - 1$). \end{enumerate} \finenonce{004690} \finexercice \exercice{4691, quercia, 2010/03/16} \enonce{004691}{Suite n'ayant qu'une valeur d'adh{\'e}rence} Soit $(u_n)$ une suite r{\'e}elle. On appelle {\it valeur d'adh{\'e}rence\/} toute limite d'une sous-suite convergente extraite de~$(u_n)$. \begin{enumerate} \item Quelles sont les valeurs d'adh{\'e}rence d'une suite convergente ? \item Quelles sont les valeurs d'adh{\'e}rence de la suite $(\cos(n\pi/3))$ ? \item Montrer que si la suite $(u_n)$ est born{\'e}e et diverge, elle a au moins deux valeurs d'adh{\'e}rence. \end{enumerate} \finenonce{004691} \finexercice \exercice{4692, quercia, 2010/03/16} \enonce{004692}{Limites sup et inf} Soit $(x_n)$ une suite born{\'e}e de r{\'e}els. On pose : $\begin{cases} y_n = \sup\{x_p \text{ tq } p\ge n\} \cr z_n = \inf\{x_p \text{ tq } p\ge n\}. \cr \end{cases}$ \begin{enumerate} \item Montrer que les suites $(y_n)$ et $(z_n)$ convergent. \item Montrer que $(x_n)$ converge si et seulement si $(y_n)$ et $(z_n)$ ont m{\^e}me limite. \end{enumerate} \finenonce{004692} \finexercice \exercice{4693, quercia, 2010/03/16} \enonce{004693}{Convergence vers $0$ et monotonie} Soit $(x_n)$ une suite de r{\'e}els strictement positifs convergeant vers 0. \begin{enumerate} \item Montrer qu'il existe une infinit{\'e} d'indices $n$ tels que $x_n = \max(x_n,x_{n+1},x_{n+2},\dots)$. \item Montrer qu'il existe une infinit{\'e} d'indices $n$ tels que $x_n = \min(x_0,x_1,\dots,x_n)$. \end{enumerate} \finenonce{004693} \finexercice \exercice{4694, quercia, 2010/03/16} \enonce{004694}{Convergence vers $0$ et monotonie} Soit $(u_n)$ une suite de r{\'e}els strictement positifs convergeant vers 0. Montrer qu'il existe une bijection $\sigma : {\N} \to {\N}$ telle que la suite $(u_{\sigma(n)})$ converge vers $0$ en d{\'e}croissant. \finenonce{004694} \finexercice \exercice{4695, quercia, 2010/03/16} \enonce{004695}{Fonction $\N \to \N$ injective} Soit $f : {\N} \to {\N}$ injective. Montrer que $f(n) \xrightarrow[n\to\infty]{} +\infty$. \finenonce{004695} \finexercice \exercice{4696, quercia, 2010/03/16} \enonce{004696}{Fonction $\N \to \N$ injective} Soit $f : {\N} \to {\N}$ injective. Montrer que $\frac{f(1)}{1^2} + \frac{f(2)}{2^2} + \dots + \frac{f(n)}{n^2} \xrightarrow[n\to\infty]{} +\infty$. \finenonce{004696} \finexercice \exercice{4697, quercia, 2010/03/16} \enonce{004697}{Radicaux it{\'e}r{\'e}s} Soit $u_n = \sqrt{ n + \sqrt{ n-1 + \dots + \sqrt 1 }}$. \begin{enumerate} \item Montrer que la suite $\left(\frac{u_n}{\sqrt n}\right)$ est born{\'e}e. \item D{\'e}terminer $\lim_{n\to\infty} \left(\frac{u_n}{\sqrt n}\right)$. \item D{\'e}terminer $\lim_{n\to\infty}(u_n-\sqrt n\,)$. \end{enumerate} \finenonce{004697} \finexercice \exercice{4698, quercia, 2010/03/16} \enonce{004698}{Ensae MP$^*$ 2000} Soit $(a_n)$ une suite de r{\'e}els sup{\'e}rieurs ou {\'e}gaux {\`a} $1$ telle que pour tous $n,m$, $a_{n+m}\le a_n\, a_m$. On pose $b_n=\frac{\ln a_n}{n}\cdotp$ Montrer que $(b_n)$ converge vers $\inf \{b_n\,|\, n\in\N^*\}$. \finenonce{004698} \finexercice \exercice{4699, quercia, 2010/03/16} \enonce{004699}{Polytechnique MP$^*$ 2000} Soit $h$ croissante de~$\R^+$ dans $\R^+$, tendant vers~$+\infty$ en~$+\infty$, et telle que $h(x+1)-h(x)$ tend vers~$0$ en~$+\infty$. Soit~$V$ l'ensemble des valeurs d'adh{\'e}rence de la suite de terme g{\'e}n{\'e}ral~$e^{ih(n)}$ Montrer que $V$ est exactement le cercle trigonom{\'e}trique (i.e. $\{z\in\C,\ |z|=1\}$). \finenonce{004699} \finexercice \exercice{4700, quercia, 2010/03/16} \enonce{004700}{$u_n^2+u_n-u_{n+1} \to 0$ (X MP$^*$ 2000)} Soit $u_n$ une suite r{\'e}elle born{\'e}e. On suppose que $u_n^2+u_n-u_{n+1}\xrightarrow[n\to\infty]{} 0$. Montrer que $u_n\rightarrow 0$. \finenonce{004700} \finexercice \exercice{4701, quercia, 2010/03/16} \enonce{004701}{Point fixe (Ensae MP$^*$ 2003)} Soit une fonction continue~$f$ de~$\R$ dans~$\R$ et~$x_0\in\R$. On d{\'e}finit $(x_n)_{n\in\N}$ par la relation de r{\'e}currence~: ${x_{n+1} = f(x_n)}$. Montrer que si la suite $(x_n)$ admet une unique valeur d'adh{\'e}rence alors elle est convergente. \finenonce{004701} \finexercice \exercice{4702, quercia, 2010/03/16} \enonce{004702}{Suite r{\'e}curente} Soit $u_0\in\N^*$ et $(u_n)$ la suite d{\'e}finie par la relation de r{\'e}currence~: $u_{n+1} = u_n^2+1$. Montrer qu'il exitste $a\in\R$ tel que $u_n = [a^{2^n}]$ pour tout~$n$ o{\`u} $[\ ]$ d{\'e}signe la partie enti{\`e}re. \finenonce{004702} \finexercice \exercice{5221, rouget, 2010/06/30} \enonce{005221}{***} Soit $(u_n)_{n\in\Nn}$ une suite réelle. Montrer que si la suite $(u_n)_{n\in\Nn}$ converge au sens de \textsc{Césaro} et est monotone, alors la suite $(u_n)_{n\in\Nn}$ converge. \finenonce{005221} \finexercice \exercice{5222, rouget, 2010/06/30} \enonce{005222}{**IT} \label{exo:suprou3bis} Pour $n$ entier naturel non nul, on pose $H_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}$ (série harmonique). \begin{enumerate} \item Montrer que~:~$\forall n\in\Nn^*,\;\ln(n+1)1$, la suite $(v_n)$ tend vers $+\infty$. Montrer que si $\ell=1$, tout est possible. \finenonce{005232} \finexercice \exercice{5233, rouget, 2010/06/30} \enonce{005233}{***} \begin{enumerate} \item Soit $u$ une suite de réels strictement positifs. Montrer que si la suite $(\frac{u_{n+1}}{u_n})$ converge vers un réel $\ell$, alors $(\sqrt[n]{u_n})$ converge et a même limite. \item Etudier la réciproque. \item Application~:~limites de \begin{enumerate} \item $\sqrt[n]{C_{2n}^n}$, \item $\frac{n}{\sqrt[n]{n!}}$, \item $\frac{1}{n^2}\sqrt[n]{\frac{(3n)!}{n!}}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \finenonce{005233} \finexercice \exercice{5234, rouget, 2010/06/30} \enonce{005234}{*} Soient $u$ et $v$ deux suites de réels de $[0,1]$ telles que $\lim_{n\rightarrow +\infty}u_nv_n=1$. Montrer que $(u_n)$ et $(v_n)$ convergent vers $1$. \finenonce{005234} \finexercice \exercice{5235, rouget, 2010/06/30} \enonce{005235}{**} Montrer que si les suites $(u_n^2)$ et $(u_n^3)$ convergent alors $(u_n)$ converge. \finenonce{005235} \finexercice \exercice{5236, rouget, 2010/06/30} \enonce{005236}{***T} Etudier les deux suites $u_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$ et $v_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}$. \finenonce{005236} \finexercice \exercice{5237, rouget, 2010/06/30} \enonce{005237}{**T} Etudier les deux suites $u_n=\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}$ et $v_n=u_n+\frac{1}{n.n!}$. \finenonce{005237} \finexercice \exercice{5238, rouget, 2010/06/30} \enonce{005238}{} Etudier les deux suites $u_n=\left(\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{k}}\right)-2\sqrt{n+1}$ et $v_n=\left(\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{k}}\right)-2\sqrt{n}$. \finenonce{005238} \finexercice \exercice{5241, rouget, 2010/06/30} \enonce{005241}{***} Montrer que, pour $n\geq2$, \begin{center} $\cos\left(\frac{\pi}{2^{n}}\right)=\frac{1}{2}\sqrt{2+\sqrt{2+...+\sqrt{2}}}$ ($n-1$ radicaux) et $\sin\left(\frac{\pi}{2^{n}}\right)=\frac{1}{2}\sqrt{2-\sqrt{2+...+\sqrt{2}}}$ ($n-1$ radicaux). \end{center} En déduire $\lim_{n\rightarrow +\infty}2^n\sqrt{2-\sqrt{2+...+\sqrt{2}}}$ ($n$ radicaux). \finenonce{005241} \finexercice \exercice{5242, rouget, 2010/06/30} \enonce{005242}{***} \begin{enumerate} \item Montrer que pour $x$ réel strictement positif, on a~:~$\ln(1+x)0,\;\exists n\in\Nn/\;|u_n-x|<\varepsilon$ (et de même pour $v$). \begin{enumerate} \item Montrer que le problème se ramène à démontrer que $\{na+2k\pi,\;n\in\Nn\;\mbox{et}\;k\in\Zz\}$ est dense dans $\Rr$. \item Montrer que $E=\{na+2k\pi,\;n\in\Nn\;\mbox{et}\;k\in\Zz\}$ est dense dans $\Rr$ (par l'absurde en supposant que $\mbox{inf}(E\cap\Rr_+^*)>0$ pour en déduire que $\frac{a}{2\pi}\in\Qq$). \item Conclure. \end{enumerate} \end{enumerate} \finenonce{005247} \finexercice \exercice{5250, rouget, 2010/07/04} \enonce{005250}{**I} Soit $(u_n)$ une suite réelle non majorée. Montrer qu'il existe une suite extraite de $(u_n)$ tendant vers $+\infty$. \finenonce{005250} \finexercice \exercice{5251, rouget, 2010/07/04} \enonce{005251}{***} Soit $(u_n)$ une suite de réels éléments de $]0,1[$ telle que $\forall n\in\Nn,\;(1-u_n)u_{n+1}>\frac{1}{4}$. Montrer que $(u_n)$ converge vers $\frac{1}{2}$. \finenonce{005251} \finexercice \exercice{5316, rouget, 2010/07/04} \enonce{005316}{****I} \begin{enumerate} \item Soient $p$ un entier naturel et $a$ un réel. Donner le développement de $(\cos a+i\sin a)^{2p+1}$ puis en choisissant astucieusement $a$, déterminer $\sum_{k=1}^{p}\cotan^2\frac{k\pi}{2p+1}$. En déduire alors $\sum_{k=1}^{p}\frac{1}{\sin^2\frac{k\pi}{2p+1}}$. \item Pour $n$ entier naturel non nul, on pose $u_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k^2}$. Montrer que la suite $(u_n)_{n\in\Nn^*}$ converge (pour majorer $u_n$, on remarquera que $\frac{1}{k^2}\leq\frac{1}{k(k-1)}$). \item Montrer que pour tout réel $x$ de $]0,\frac{\pi}{2}[$, on a $\cotan x<\frac{1}{x}<\frac{1}{\sin x}$. \item En déduire un encadrement de $u_n$ puis la limite de $(u_n)$. \end{enumerate} \finenonce{005316} \finexercice \exercice{5459, rouget, 2010/07/10} \enonce{005459}{**} Déterminer les limites quand $n$ tend vers $+\infty$ de $$1)\;u_n=\frac{1}{n!}\int_{0}^{1}\Arcsin^nx\;dx\;2)\;\int_{0}^{1}\frac{x^n}{1+x}\;dx\;3)\;\int_{0}^{\pi}\frac{n\sin x}{x+n}\;dx.$$ \finenonce{005459} \finexercice \section{ 121.02 Suite définie par une relation de récurrence } \exercice{536, monthub, 2001/11/01} \enonce{000536}{} Soit $(u_n)$ la suite réelle définie par récurrence en posant $u_0=1$ et $u_{n+1}=\sqrt{1+u_n}$ si $n\in\N^{*}$. \begin{enumerate} \item Montrer que $(u_n)$ est croissante et majorée. \item Montrer que $(u_n)$ converge vers le nombre réel positif $\ell$ qui vérifie $\ell^2-\ell-1=0$ et calculer $\ell$. \end{enumerate} \finenonce{000536} \finexercice \exercice{537, monthub, 2001/11/01} \enonce{000537}{} Etudier la suite $(u_n)$ d{\'e}finie par \[ u_{n+1}=\dfrac{1}{2}u_n(u_n^2-3u_n+4) \ \forall n\geq0. \] \finenonce{000537} \finexercice \exercice{538, ridde, 1999/11/01} \enonce{000538}{} \'Etudier les suites : \begin{enumerate} \item $u_0 = 0$ et $u_{n + 1} = \sqrt{u_n + 2}$. \item $u_0 \in \Rr$ et $u_{n + 1} = u_n-u_n^2$. \end{enumerate} \finenonce{000538} \finexercice \exercice{539, bodin, 2001/11/01} \video{WJahdgKkrdc} \enonce{000539}{} On consid\`ere la fonction $ f : \R \longrightarrow \R$ d\'efinie par $$f (x) = \frac{x^{3}}{9} + \frac{2 x}{3} + \frac{1}{9}$$ et on d\'efinit la suite $(x_{n})_{n \geq 0}$ en posant $x_{0} = 0$ et $x_{n + 1} = f (x_{n})$ pour $n \in \N.$ \begin{enumerate} \item Montrer que l'\'equation $x^{3} - 3 x + 1 = 0$ poss\`ede une solution unique $\alpha \in ]0, 1\slash 2[.$ \item Montrer que l'\'equation $f (x) = x$ est \'equivalente \`a l'\'equation $x^{3} - 3 x + 1 = 0$ et en d\'eduire que $\alpha $ est l'unique solution de l'\'equation $f (x) = x$ dans l'intervalle $[0 , 1\slash 2].$ \item Montrer que la fonction $f$ est croissante sur $\R^{+}$ et que $f (\R^{+}) \subset \R^{+}$. En d\'eduire que la suite $(x_{n})$ est croissante. \item Montrer que $f (1\slash 2) < 1 \slash 2$ et en d\'eduire que $ 0 \leq x_{n} < 1 \slash 2$ pour tout $ n \geq 0.$ \item Montrer que la suite $(x_{n})_{n \geq 0}$ converge vers $\alpha.$ \end{enumerate} \finenonce{000539} \finexercice\exercice{540, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000540}{} Soit $a\in \mathbb{R}$. On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=a$ et $u_{n+1}=e^{u_n}-2$ pour $n\geq 0$. \begin{enumerate} \item Étudier cette suite si $a=0$. \item Étudier cette suite si $a=-10$. \item Étudier cette suite si $a=3$. \item Généraliser en discutant selon la valeur de~$a$. \end{enumerate} \finenonce{000540} \finexercice \exercice{541, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000541}{} Étudier la suite définie par $u_{n+1}=1+\frac{u_n^3}{10}$ dans les cas suivants~: \begin{enumerate} \item $u_0=-4$. \item $u_0=-2$. \item $u_0=2$. \item $u_0=3$. \end{enumerate} \finenonce{000541} \finexercice \exercice{542, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000542}{} Étudier la suite $(u_n)$ définie par $u_0=0$ et $u_{n+1}=\frac{(u_n-3)^2}{4}$. \finenonce{000542} \finexercice \exercice{543, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000543}{} Étudier la suite définie par $u_{n+1}= e^{-u_n}$ et $u_0=0$. \finenonce{000543} \finexercice \exercice{544, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000544}{} Étudier la suite définie par $u_{n+1}= \cos u_n$ et $u_0=-8$. \finenonce{000544} \finexercice \exercice{545, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000545}{} Étudier la suite définie par $u_{n+1}= \frac{2u_n^3+7}{3(u_n^2+1)}$ et $u_0=2$. En déduire une valeur approchée à $10^{-8}$ près de la racine réelle du polynôme $X^3+3X-7$. \finenonce{000545} \finexercice \exercice{546, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000546}{} Étudier la suite définie par $u_0=0$ et $u_{n+1}=\frac{-u_n^2-u_n+24}{6}$ pour $n\geq 0$. \finenonce{000546} \finexercice \exercice{547, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000547}{} Étudier la suite définie par $u_0=0$ et $u_{n+1}=-\frac{3}{13}u_n^2 -\frac{1}{9}u_n+3$ pour $n\geq 0$. \finenonce{000547} \finexercice \exercice{548, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000548}{} Étudier la suite définie par $u_0=0$ et $u_{n+1}=-\frac{1}{5}u_n^2-\frac{1}{6}u_n+\frac{33}{10}$ pour $n\geq 0$. \finenonce{000548} \finexercice \exercice{549, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000549}{} Étudier la suite définie par $u_0=0$ et $u_{n+1}=\ln(e-1+u_n)$. \finenonce{000549} \finexercice \exercice{550, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000550}{} Discuter suivant les valeurs de $u_0$ la nature de la suite $u_{n+1}=e^{u_n}-2$. \finenonce{000550} \finexercice \exercice{551, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000551}{} Soient $a$ et $b$ deux réels strictement positifs~; on définit une suite $(u_n)$ par~: $$ u_0 \ge0 \quad{\rm et} \quad u_{n+1}= \sqrt{au_n+b}$$ \begin{enumerate} \item Montrer qu'il existe une valeur de $u_0$ pour laquelle cette suite est stationnaire. \item Montrer que si $u_0$ est distinct de cette valeur, $(u_n)$ est monotone et bornée. Trouver $\lim_{n \to\infty} u_n $. \end{enumerate} \finenonce{000551} \finexercice \exercice{552, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000552}{} Étudier suivant les valeurs données à $u_0$ appartenant à $\mathbb{C}$ les suites~: \begin{eqnarray*} u_{n+1} & = & \frac{u_n-2}{u_n +4}\\ u_{n+1} & = & \frac{u_n+2}{u_n+1}\\ u_{n+1} & = & \frac{-1}{u_n+1} \end{eqnarray*} \finenonce{000552} \finexercice \exercice{553, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000553}{} Soit $f\colon [0,1]\rightarrow [0,1]$. On considère $a\in [0,1]$ et la suite $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$ vérifiant $u_0=a$ et $\forall n\in \mathbb{N},\; u_{n+1}=f(u_n)$. Les propriétés suivantes sont-elles vraies ou fausses~: \begin{enumerate} \item Si $f$ est croissante, alors $(u_n)$ est croissante. \item Si $(u_n)$ est croissante, alors $f$ est croissante. \item Si $(u_n)$ est croissante et $f$ monotone, alors $f$ est croissante. \item Si $(u_n)$ converge vers une limite~$l$, alors $l$ est point fixe de~$f$. \item Si $f$ est dérivable, alors $(u_n)$ est bornée. \item Si le graphe de~$f$ est au dessus de la droite d'équation $y=x$, alors $(u_n)$ est croissante. \item Si $(u_n)$ converge vers un point fixe~$l$ de~$f$, alors $f$ est continue en~$l$. \end{enumerate} \finenonce{000553} \finexercice \exercice{554, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000554}{} Étudier la suite définie par $u_{n+1}= (1-u_n)^2$ (discuter suivant les valeurs de $u_0$). \finenonce{000554} \finexercice \exercice{555, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000555}{} Soit $f(x)=-x^3+x^2-x+1$ et $a\in [0,1]$. Étudier la suite définie par $u_0=a$ et $u_{n+1}=f(u_n)$. \finenonce{000555} \finexercice \exercice{556, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000556}{} Étudier la suite définie par $u_0=0$ et $u_{n+1}=\frac{1}{2}(1+u_n+\mathrm{E}(u_n))$ où $\mathrm{E}$ désigne la fonction \og partie entière\fg. \finenonce{000556} \finexercice \exercice{557, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000557}{} \begin{enumerate} \item Étudier la suite définie par récurrence par $u_0=a$ et $u_{n+1}=\cos u_n$, où $a$ est un nombre réel donné. \item Étudier la suite définie pour $n\geq1$ par $u_n=\underbrace{\cos(\cos(\cos(\cdots(\cos} _{n \; \rm fois\; cos} n)\cdots)))$. \end{enumerate} \finenonce{000557} \finexercice \exercice{558, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000558}{} \begin{enumerate} \item Étudier dans $\mathbb{C}$ une suite $(u_n)$ telle que $\forall n \in\mathbb{N}^\ast,\;u_{n+1}=u_n^2$. Discuter suivant~$u_0$. \item On considère dans $\mathbb{C}$ une suite $(v_n)$ telle que $\forall n,\; v_{n+1}={1\over2}\bigl(v_n+{A\over v_n}\bigr)$ où $A$ est un nombre complexe non nul donné. Étudier l'existence et la convergence de cette suite suivant les valeurs de $v_0$. On pourra noter $a$ une des racines carrées de $A$ et poser $w_n={v_n-a\over v_n+a}$. \end{enumerate} \finenonce{000558} \finexercice \exercice{559, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000559}{} \begin{enumerate} \item On donne $A\geq 0$, $B\geq 0$, $u_0\geq 0$~; étudier la suite définie par la relation de récurrence $\displaystyle u_{n+1}=\frac{A}{n+1} + B u_n$. \item Étudier la suite définie par $u_0=0$ et $\displaystyle u_{n+1}=\frac{\frac{4n}{n+1} -u_n}{2+u_n}$ (on pourra utiliser la question précédente pour terminer). \end{enumerate} \finenonce{000559} \finexercice \exercice{560, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000560}{} On considère la suite réelle définie par~: $$x_0=1 \quad\mbox{et} \quad x_{n+1}= \sqrt{2x_n+1}.$$ \begin{enumerate} \item Montrer que $x_n$ est supérieur ou égal à~$1$ pour tout~$n$. \item Montrer que si $(x_n)$ converge, sa limite $l$ vérifie $$l= \sqrt{2l+1}.$$ \item $l$ étant définie par l'égalité de 2), est-il possible de trouver $k\in\mathopen]0,1\mathclose[$ tel que $$\vert x_n-l\vert \leq k \vert x_{n-1}-l\vert.$$ Si oui en déduire que $\vert x_n-l\vert \leq k^n \vert x_0-l\vert$. Conclure. \end{enumerate} \finenonce{000560} \finexercice \exercice{561, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000561}{} En utilisant les méthodes de l'exercice précédent, étudier les suites définies par~: $$\displaylines{y_0=3\;;\quad y_{n+1}=\frac{4+3y_n}{3+2y_n},\cr z_0=1\;;\quad z_{n+1}=1+ \frac{1}{z_n}.}$$ \finenonce{000561} \finexercice \exercice{562, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000562}{} Soit une suite qui vérifie une relation de récurrence \begin{eqnarray} u_n & = & \frac{au_{n-1}+b}{cu_{n-1}+d} \label{eq1} \end{eqnarray} \begin{enumerate} \item Montrer que si la transformation homographique~: $x \mapsto y=\frac{ax+b}{cx+d}$ a deux points fixes distincts, $\alpha$ et~$\beta$, on peut écrire la relation (\ref{eq1}) sous la forme~: $\frac{u_n-\alpha}{u_n-\beta} = k\frac{u_{n-1}-\alpha}{u_{n-1}-\beta}$. Calculer $\frac{u_n-\alpha}{u_n-\beta}$ en fonction de $\frac{u_1-\alpha}{u_1-\beta}$. \item Montrer que si la transformation homographique a un seul point fixe $\gamma$, on peut mettre la relation (\ref{eq1}) sous la forme~: $\frac{1}{u_n-\gamma} = \frac{1}{u_{n-1}-\gamma}+k$. Calculer $\frac{1}{u_n-\gamma}$ en fonction de~$u_1$. \item Utiliser la méthode précédente pour étudier les suites $(u_n)$ définies par~: \begin{center} \renewcommand{\arraystretch}{2} \renewcommand{\tabcolsep}{2 em} \begin{tabular}{ll} a) $\displaystyle u_{n+1}=\frac{4u_n+2}{u_n+3}$,& b) $\displaystyle u_{n+1}=\frac{-3u_n-1}{u_n-3}$,\\ c) $\displaystyle u_{n+1}=\frac{5u_n-3}{u_n+1}$, & d) $\displaystyle u_{n+1}=\frac{2u_n-1}{u_n+4}$. \end{tabular} \end{center} Discuter suivant les valeurs de $u_1$~; préciser pour quelles valeurs de $u_1$ chaque suite est définie. \end{enumerate} \finenonce{000562} \finexercice \exercice{4703, quercia, 2010/03/16} \enonce{004703}{Étude de suites} Étudier la convergence de la suite $(u_n)$ définie par : \begin{enumerate} \item $u_0 = a > 1$, $u_{n+1} = \frac 12\left(u_n + \frac a{u_n}\right)$. \item $0 < u_0 < \frac {\sqrt5-1}2$, $u_{n+1} = 1 - u_n^2$. \item $u_{n+1} = u_n-u_n^2$. \item $u_0 = 0$, $u_{n+1} = u_n^2+\alpha$. \item $u_{n+1} = u_n + \frac{1+u_n}{1+2u_n}$. \item $u_0 \in\, [0,1]$, $u_{n+1} = \frac{\sqrt{u_n}}{\sqrt{u_n}+\sqrt{1-u_n}}$. \item $u_{n+1} = \sqrt{2-u_n}$. \item $u_{n+1} = \sqrt{4-3u_n}$. \item $u_{n+1} = \frac{u_n-\ln(1+u_n)}{u_n^2}$. \item $u_{n+1} = \frac3{2u_n^2+1}$. \item $u_0 > 0$, $u_{n+1} = u_n^\alpha$. \item $u_0 > 0$, $u_{n+1} = \alpha^{u_n}$. \end{enumerate} \finenonce{004703} \finexercice \exercice{4704, quercia, 2010/03/16} \enonce{004704}{Convergence quadratique} Soit $k\in\C$ fix{\'e}. {\'E}tudier la convergence de la suite $(a_n)$ d{\'e}finie par : $a_0\in \C$, $a_{n+1} = k a_n^2$. \finenonce{004704} \finexercice \exercice{4705, quercia, 2010/03/16} \enonce{004705}{$u_{n+1}(1-u_n) > 1/4$} Soit $(u_n)$ une suite r{\'e}elle telle que pour tout entier $n$ : $u_n \in\,[0,1]$ et $u_{n+1}(1-u_n) > \frac 14$.\par Montrer que cette suite converge vers $\frac 12$. \finenonce{004705} \finexercice \exercice{4706, quercia, 2010/03/16} \enonce{004706}{Radicaux it{\'e}r{\'e}s} Trouver $\lim_{n\to\infty} \sqrt{1 + \sqrt{1 + \dots + \sqrt{1}}}$ ($n$ radicaux). \finenonce{004706} \finexercice \exercice{4707, quercia, 2010/03/16} \enonce{004707}{Radicaux it{\'e}r{\'e}s} On consid{\`e}re la suite $(u_n)$ d{\'e}finie par : $u_0 > 0$, $u_{n+1} = \sqrt{ u_0 + \dots + u_n }$. Montrer que $u_n \xrightarrow[n\to\infty]{} +\infty$. \finenonce{004707} \finexercice \exercice{4708, quercia, 2010/03/16} \enonce{004708}{Radicaux it{\'e}r{\'e}s} On pose $u_n = \sqrt{1 + \sqrt{2 + \sqrt{ \dots + \sqrt{n-1 +\sqrt n}}}}$ et $v_n = \sqrt{1 + \sqrt{2 + \sqrt{ \dots + \sqrt{n-1 +\sqrt{2n}}}}}$. \begin{enumerate} \item Montrer que ces suites sont convergentes. \item On note $\lambda = \lim_{n\to\infty} u_n$. Montrer que $\lambda-u_n \le \frac n{2^n\sqrt{n!}}$. \end{enumerate} \finenonce{004708} \finexercice \exercice{4709, quercia, 2010/03/16} \enonce{004709}{Suites homographiques} Soient $a,b \in \R^*$. On d{\'e}finit la suite $(u_n)$ par : $\begin{cases} u_0 \in \R^* \cr u_{n+1} = a + \frac b{u_n}.\end{cases}$ On suppose $u_0$ choisi de sorte que pour tout $n \in \N$, $u_n \ne 0$. \begin{enumerate} \item Quelles sont les limites possibles pour $(u_n)$ ? \item On suppose que l'{\'e}quation $x^2 = ax + b$ poss{\`e}de deux racines r{\'e}elles $\alpha,\beta$ avec $|\alpha| > |\beta|$. {\'E}tudier la suite $(v_n) = \left(\frac{u_n-\alpha}{u_n-\beta}\right)$ et en d{\'e}duire $\lim u_n$. \end{enumerate} \finenonce{004709} \finexercice \exercice{4710, quercia, 2010/03/16} \enonce{004710}{Syst{\`e}me d'ordre 1} Soient $0 < x_0 < y_0$ et $(x_n)$, $(y_n)$ les suites d{\'e}finies par : $\begin{cases}x_{n+1} = \frac {x_n^2}{x_n+y_n}\cr y_{n+1} = \frac {y_n^2}{x_n+y_n}.\cr\end{cases}$ Montrer qu'elles sont convergentes et calculer leurs limites. \finenonce{004710} \finexercice \exercice{4711, quercia, 2010/03/16} \enonce{004711}{Syst{\`e}me d'ordre 1} {\'E}tudier la convergence des suites $(x_n)$, $(y_n)$ d{\'e}finies par : $0 < x_0 < y_0$ et $\begin{cases} x_{n+1} = \frac{2x_n+y_n}3 \cr y_{n+1} = \frac{2y_n+x_n}3.\cr\end{cases}$ \finenonce{004711} \finexercice \exercice{4712, quercia, 2010/03/16} \enonce{004712}{Syst{\`e}me d'ordre 1} {\'E}tudier la convergence des suites $(x_n)$, $(y_n)$ d{\'e}finies par : $0 < y_0 < x_0$ et $\begin{cases}x_{n+1} = \frac{x_n+y_n}2 \cr y_{n+1} = \frac{2x_ny_n}{x_n+y_n} .\cr\end{cases}$ \finenonce{004712} \finexercice \exercice{4713, quercia, 2010/03/16} \enonce{004713}{Syst{\`e}me d'ordre 1} Soient $0 < a < b$ et $(x_n),(y_n)$ les suites d{\'e}finies par : $\begin{cases}x_0 = a\cr y_0 = b\cr\end{cases}$ \quad et \quad $\begin{cases}x_{n+1} = \frac {x_n+y_n}2 \cr y_{n+1} = \sqrt{ x_{n+1}y_n }.\cr\end{cases}$ \begin{enumerate} \item Montrer que ces suites convergent vers la m{\^e}me limite. \item On pose $a = b\cos\varphi$. Exprimer cette limite en fonction de $b$ et $\varphi$. \end{enumerate} \finenonce{004713} \finexercice \exercice{4714, quercia, 2010/03/16} \enonce{004714}{Moyennes arithm{\'e}tique, g{\'e}om{\'e}trique, harmonique} \begin{enumerate} \item Soient $x,y,z \ge 0$. Montrer que $x^3+y^3+z^3 - 3xyz \ge 0$ (mettre $x+y+z$ en facteur). \item {\'E}tudier la convergence des suites $(a_n)$, $(b_n)$, $(c_n)$ d{\'e}finies par : $$0 < a_0 < b_0 < c_0,\quad \text{et}\quad \begin{cases}\frac 3{a_{n+1}} = \frac 1{a_n} + \frac 1{b_n} + \frac 1{c_n} \cr b_{n+1} = \sqrt[3]{a_nb_nc_n} \cr 3c_{n+1} = a_n + b_n + c_n. \cr\end{cases}$$ \end{enumerate} \finenonce{004714} \finexercice \exercice{4715, quercia, 2010/03/16} \enonce{004715}{Centrale MP 2000} On consid{\`e}re la fonction $f$ : $x \mapsto\ln \bigl(\frac{e^x-1}{x}\bigr)$ et la suite d{\'e}finie par $\begin{cases}u_0\in\R^*\cr u_{n+1}=f(u_n).\cr\end{cases}$ {\'E}tudier la suite $(u_n)$, puis la s{\'e}rie $\sum u_n$. \finenonce{004715} \finexercice \exercice{4716, quercia, 2010/03/16} \enonce{004716}{$u_{n+1}-u_n \to0$} Soit $f : {[a,b]} \to {[a,b]}$ continue et la suite $(u_n)$ d{\'e}finie par $u_0\in{[a,b]}$ et $u_{n+1} = f(u_n)$. Montrer que si $\lim(u_{n+1}-u_n) = 0$ alors la suite $(u_n)$ converge. \finenonce{004716} \finexercice \exercice{5228, rouget, 2010/06/30} \enonce{005228}{**T Récurrences homographiques} Déterminer $u_n$ en fonction de $n$ quand la suite $u$ vérifie~: \begin{enumerate} \item $\forall n\in\Nn,\;u_{n+1}=\frac{u_n}{3-2u_n}$, \item $\forall n\in\Nn,\;u_{n+1}=\frac{4(u_n-1)}{u_n}$ (ne pas se poser de questions d'existence). \end{enumerate} \finenonce{005228} \finexercice \exercice{5229, rouget, 2010/06/30} \enonce{005229}{**} Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ les suites définies par la donnée de $u_0$ et $v_0$ et les relations de récurrence $$u_{n+1}=\frac{2u_n+v_n}{3}\;\mbox{et}\;v_{n+1}=\frac{u_n+2v_n}{3}.$$ Etudier les suites $u$ et $v$ puis déterminer $u_n$ et $v_n$ en fonction de $n$ en recherchant des combinaisons linéaires intéressantes de $u$ et $v$. En déduire $\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n$ et $\lim_{n\rightarrow +\infty}v_n$. \finenonce{005229} \finexercice \exercice{5230, rouget, 2010/06/30} \enonce{005230}{**} Soient $(u_n)$, $(v_n)$ et $(w_n)$ les suites définies par la donnée de $u_0$, $v_0$ et $w_0$ et les relations de récurrence $$u_{n+1}=\frac{v_n+w_n}{2},\,v_{n+1}=\frac{u_n+w_n}{2}\;\mbox{et}\; w_{n+1}=\frac{u_n+v_n}{2}.$$ Etudier les suites $u$, $v$ et $w$ puis déterminer $u_n$, $v_n$ et $w_n$ en fonction de $n$ en recherchant des combinaisons linéaires intéressantes de $u$, $v$ et $w$. En déduire $\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n$, $\lim_{n\rightarrow +\infty}v_n$et $\lim_{n\rightarrow +\infty}w_n$. \finenonce{005230} \finexercice \exercice{5231, rouget, 2010/06/30} \enonce{005231}{***} Montrer que les suites définies par la donnée de $u_0$, $v_0$ et $w_0$ réels tels que $0-1\;\mbox{et}\;\forall n\in\Nn,\;u_{n+1}=\ln(1+u_n)\\ 3)\;u_0\in\Rr\;\mbox{et}\;\forall n\in\Nn,\;u_{n+1}=\sin u_n,&4)\;u_0\in\Rr\;\mbox{et}\;\forall n\in\Nn,\;u_{n+1}=\cos(u_n),\\ 5)\;u_0\in\Rr\;\mbox{et}\;\forall n\in\Nn,\;u_{n+1}=\sin(2u_n),&6)\;u_0\in\Rr\;\mbox{et}\;\forall n\in\Nn,\;u_{n+1}=u_n^2-2u_n+2. \end{array} $$ \finenonce{005425} \finexercice\exercice{5435, rouget, 2010/07/06} \enonce{005435}{***I} Soit $u_0\in]0,\frac{\pi}{2}]$. Pour $n\in\Nn$, on pose $u_{n+1}=\sin(u_n)$. \begin{enumerate} \item Montrer brièvement que la suite $u$ est strictement positive et converge vers $0$. \item \begin{enumerate} \item Déterminer un réel $\alpha$ tel que la suite $u_{n+1}^\alpha-u_n^\alpha$ ait une limite finie non nulle. \item En utilisant le lemme de \textsc{Cesaro}, déterminer un équivalent simple de $u_n$. \end{enumerate} \end{enumerate} \finenonce{005435} \finexercice \exercice{5436, rouget, 2010/07/06} \enonce{005436}{**I} Soit $u$ la suite définie par la donnée de son premier terme $u_0>0$ et la relation $\forall n\in\Nn,\;u_{n+1}=u_ne^{-u_n}$. Equivalent simple de $u_n$ quand $n$ tend vers $+\infty$. \finenonce{005436} \finexercice \section{ 121.03 Suites équivalentes, suites négligeables } \exercice{563, monthub, 2001/11/01} \video{FBzl-Zyr1e0} \enonce{000563}{} Posons $ u_2=1-\frac{1}{2^2}$ et pour tout entier $n\geq 3$, \[ u_n=\left(1-\frac{1}{2^2}\right)\left(1-\frac{1}{3^2}\right)\cdots\left(1-\frac{1}{n^2}\right).\] Calculer $u_n$. En d{\'e}duire que l'on a $\lim{u_n}=\dfrac{1}{2}$. \finenonce{000563} \finexercice\exercice{564, monthub, 2001/11/01} \enonce{000564}{} Calculer, lorsqu'elles convergent, les limites des suites d{\'e}finies par :\\ $u_n=n-\sqrt{n^2-n}$ \qquad $u_n=\sqrt{n(n+a)}-n$ \qquad $u_n=\dfrac{n}{2} \sin{\dfrac{n\pi}{2}}$ \qquad $u_n=\dfrac{\sin{n}^2-\cos{n}^3}{n}$. \finenonce{000564} \finexercice \exercice{565, monthub, 2001/11/01} \enonce{000565}{} Montrer que les suites d{\'e}finies pour $n\geq1$ par :\\ $u_n=\dfrac{n+1}{n}$ \qquad $u_n=\dfrac{n}{n+1}$ \qquad $u_n=\dfrac{1}{n^2+1}$ \qquad $u_n=\frac{n}{n^2+1} $\\[0.2cm] admettent toutes des limites que l'on calculera. \finenonce{000565} \finexercice \exercice{566, monthub, 2001/11/01} \enonce{000566}{} Soit $(u_n)_{n\in\N}$ la suite de nombres r{\'e}els d{\'e}finie en posant $u_0=0$ et $\forall n\geq1, \ u_{n+1}=\sqrt{6+u_n}$. Montrer que la suite $(u_n)_{n\in\N}$ est convergente et d{\'e}terminer sa limite. \finenonce{000566} \finexercice \exercice{567, monthub, 2001/11/01} \enonce{000567}{} Etudier la limite des suites suivantes : $a_n=\cos{(\dfrac{2^n}{n!})}$; $b_n=\sqrt[n]{3-\sin{n}^2}$; $c_n=\dfrac{n^3+2^n}{3^n}$; $d_n=\dfrac{n^2+(-1)^n}{n^2+\sqrt{n}}$; $e_n=(\cos{n})\sin{\dfrac{(-1)^n}{\sqrt{n}}}$. \finenonce{000567} \finexercice \exercice{568, cousquer, 2003/10/01} \video{M2V-1XVn_ig} \enonce{000568}{} D\'eterminer les limites lorsque $n$ tend vers l'infini des suites ci-dessous~; pour chacune, essayer de pr\'eciser en quelques mots la m\'ethode employ\'ee. \begin{enumerate} \item $\displaystyle 1\;;~-\frac{1}{2}\;;~\frac{1}{3}\;;~ \ldots\;;~\frac{(-1)^{n-1}}{n}\;;~\ldots$ \item $2/1$~; $4/3$~; $6/5$~; $\ldots$~; $2n/(2n-1)$~; $\ldots$ \item $0{,}23\;;~0{,}233\;;~\ldots\;;~0{,}233\cdots3\;;~\ldots$ \item $\displaystyle\frac{1}{n^2}+\frac{2}{n^2}+\cdots+\frac{n-1}{n^2}$ \item $\displaystyle\frac{(n+1)(n+2)(n+3)}{n^3}$ \item $\displaystyle\biggl\lbrack \frac{1+3+5+\cdots+(2n-1)}{n+1} - \frac{2n+1}{2}\biggr\rbrack$ \item $\displaystyle\frac{n+(-1)^n}{n-(-1)^n}$ \item $\displaystyle\frac{2^{n+1}+3^{n+1}}{2^n + 3^n}$ \item $\displaystyle\bigl(1/2+1/4+1/8+\cdots+1/2^n\bigr)$\quad puis\quad $\displaystyle \sqrt{2}\;;~\sqrt{2\sqrt{2}}\;;~ \sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2}}}\;;~\ldots$ \item $\displaystyle\biggl(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{9}-\frac{1}{27}+\cdots +\frac{(-1)^n}{3^n} \biggr)$ \item $\bigl( \sqrt{n+1}-\sqrt{n}\bigr)$ \item $\displaystyle\frac{n\sin(n!)}{n^2+1}$ \item D\'emontrer la formule $1+2^2+3^2+\cdots+n^2 = \frac{1}{6} n(n+1)(2n+1)$ ; en d\'eduire $\lim_{n \to\infty} \frac{1+2^2+3^2+\cdots+n^2}{n^3}$. \end{enumerate} \finenonce{000568} \finexercice\exercice{569, bodin, 2001/11/01} \video{sHmOnEw9rxQ} \enonce{000569}{} Soit $a>0$. On d\'efinit la suite $(u_n)_{n\geq 0}$ par $u_0$ un r\'eel v\'erifiant $u_0>0$ et par la relation $$u_{n+1}= \frac12 \left( u_n+\frac{a}{u_n}\right).$$ On se propose de montrer que $(u_n)$ tend vers $\sqrt a$. \begin{enumerate} \item Montrer que $${u_{n+1}}^2-a= \frac{({u_n}^2-a)^2}{4{u_n}^2}.$$ \item Montrer que si $n\geq 1$ alors $u_n \geq \sqrt a$ puis que la suite $(u_n)_{n\geq 1}$ est d\'ecroissante. \item En d\'eduire que la suite $(u_n)$ converge vers $\sqrt a$. \item En utilisant la relation ${u_{n+1}}^2-a= ({u_{n+1}}-\sqrt{a})({u_{n+1}}+\sqrt{a})$ donner une majoration de ${u_{n+1}}-\sqrt{a}$ en fonction de ${u_{n}}-\sqrt{a}$. \item Si $u_1-\sqrt a \leq k$ et pour $n\geq 1$ montrer que $$u_n - \sqrt a \leq 2\sqrt a \left( \frac k {2\sqrt a}\right)^{2^{n-1}}.$$ \item Application : Calculer $\sqrt{10}$ avec une pr\'ecision de 8 chiffres apr\`es la virgule, en prenant $u_0 = 3$. \end{enumerate} \finenonce{000569} \finexercice\exercice{570, bodin, 1998/09/01} \video{k8gZEvm5MQs} \enonce{000570}{} On consid\`ere les deux suites : $$u_n =1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots+\frac{1}{n!}\ ;\ n\in\N,$$ $$v_n = u_n+\frac{1}{n!}\ ;\ n\in\N.$$ \noindent Montrer que $(u_n)_n$ et $(v_n)_n$ convergent vers une m\^{e}me limite. Et montrer que cette limite est un \'el\'ement de $\R\backslash\Q$. \finenonce{000570} \finexercice\exercice{571, bodin, 1998/09/01} \video{4ehFn1cnohc} \enonce{000571}{} Soient $a$ et $b$ deux r\'eels, $a 0$. Montrer que $\sqrt{ab} \leqslant \frac{a+b}{2}$. \item Montrer les in\'egalit\'es suivantes ($b \geqslant a > 0$) : $$ a \leqslant \frac{a+b}{2} \leqslant b \qquad \text{et} \qquad a \leqslant \sqrt{ab} \leqslant b.$$ \item Soient $u_0$ et $v_0$ des r\'eels strictement positifs avec $u_0 < v_0$. On d\'efinit deux suites $(u_n)$ et $(v_n)$ de la fa\c{c}on suivante : $$ u_{n+1} = \sqrt{u_nv_n} \quad \text{et}\quad v_{n+1}=\frac{u_n+v_n}{2}.$$ \begin{enumerate} \item Montrer que $u_n \leqslant v_n$ quel que soit $n\in\Nn$. \item Montrer que $(v_n)$ est une suite d\'ecroissante. \item Montrer que $(u_n)$ est croissante En d\'eduire que les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont convergentes et quelles ont m\^eme limite. \end{enumerate} \end{enumerate} \finenonce{000572} \finexercice \exercice{573, ridde, 1999/11/01} \enonce{000573}{} Soit $x$ un r\'eel. \begin{enumerate} \item D\'eterminer la limite de $u_n = \dfrac{E (x) + E (2x) + \ldots + E (nx)}{n^2}$. \item En d\'eduire que $\Qq$ est dense dans $\Rr$. \end{enumerate} \finenonce{000573} \finexercice \exercice{574, ridde, 1999/11/01} \video{1x3LSvkKLsM} \enonce{000574}{} Soit $n \geq 1$. \begin{enumerate} \item Montrer que l'\'equation $\sum\limits_{k = 1}^n{x^k} = 1$ admet une unique solution, notée $a_n$, dans $[0, 1]$. \item Montrer que $ (a_n)_{n \in \Nn}$ est d\'ecroissante minor\'ee par $\frac12$. \item Montrer que $ (a_n)$ converge vers $\frac 12$. \end{enumerate} \finenonce{000574} \finexercice\exercice{575, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000575}{} Calculer suivant les valeurs de $x$~: $$\lim_{n\to\infty}\Bigl\lbrack \lim_{m\to\infty}\lbrack\cos(n!\pi x)\rbrack^{2m}\Bigr\rbrack.$$ \finenonce{000575} \finexercice \exercice{576, ridde, 1999/11/01} \enonce{000576}{} Soient $a_0$ et $b_0$ deux r\'eels fix\'es. On d\'efinit par r\'ecurrence les suites $ (a_n)$ et $ (b_n)$ par $a_{n + 1} = \dfrac{2a_n + b_n}{3}$ et $b_{n + 1} = \dfrac{a_n + 2b_n}{3}$. \begin{enumerate} \item Montrer que ces deux suites sont adjacentes. \item En calculant $a_n + b_n$, montrer qu'elles convergent vers $\dfrac{a_0 + b_0}2$. \end{enumerate} \finenonce{000576} \finexercice \exercice{577, ridde, 1999/11/01} \enonce{000577}{} Soit $ (u_n)$ une suite qui tend vers $0$. On pose $x_n = \dfrac1n \sum\limits_{k = 0} ^{n-1}u_k$. Montrer que $ (x_n)$ converge vers $0$ ( on pourra fixer $\epsilon$ puis s\'eparer la somme en deux et enfin choisir $N$... ). \finenonce{000577} \finexercice \exercice{578, ridde, 1999/11/01} \enonce{000578}{} D\'eterminer les limites de $\dfrac{n^{\ln (n)}}{\ln^n (n)} $ et $\sqrt[n]{n^2}$. \finenonce{000578} \finexercice \exercice{579, gourio, 2001/09/01} \enonce{000579}{} Soit $(u_{n})_{n\in \Nn\text{ }}$ une suite r\'{e}elle dont tous les termes sont non nuls et telle que : $$\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\left| \frac{u_{n+1}}{u_{n}}\right| =0.$$ Montrer que $\lim\limits_{n\rightarrow \infty }u_{n}=0.$ \finenonce{000579} \finexercice \exercice{580, gourio, 2001/09/01} \enonce{000580}{} \'Etudier la suite d\'{e}finie par r\'{e}currence : $$u_{0}=a>0,u_{n+1}=\sqrt{1+u_{n}.}$$ \finenonce{000580} \finexercice \exercice{581, gourio, 2001/09/01} \enonce{000581}{} \'Etudier la convergence et calculer la limite \'{e}ventuelle de la suite $(u_{n})_{n\in \Nn^{*}}$ d\'{e}finie par : $$\forall n\in \Nn^{*},u_{n}=\prod\limits_{k=1}^{n}(1+\frac{k}{n^{2}}).$$ \finenonce{000581} \finexercice \exercice{582, gourio, 2001/09/01} \enonce{000582}{} \'Etudier la convergence et calculer la limite \'{e}ventuelle de la suite $(u_{n})_{n\in \Nn}$ d\'{e}finie par : $$\forall n\in \Nn,u_{n}=\sum\limits_{k=0}^{n}\frac{1}{C_{n}^{k}}.$$ \finenonce{000582} \finexercice \exercice{583, gourio, 2001/09/01} \enonce{000583}{} Soit $\phi :\Nn\rightarrow \Nn$ bijective, telle que $\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\frac{\phi (n)}{n}=\ell.$ Calculer $\ell$. \finenonce{000583} \finexercice \exercice{584, gourio, 2001/09/01} \enonce{000584}{} Soit $\phi :\Nn\rightarrow \Nn$ injective; montrer que $\lim\limits_{n% \rightarrow \infty }\phi (n)=+\infty .$ \finenonce{000584} \finexercice \exercice{585, gourio, 2001/09/01} \enonce{000585}{} Soit $(u_{n})_{n\in \Nn}$ une suite born\'{e}e.\ On pose $v_{n}=u_{n+1}-u_{n}$ et $w_{n}=v_{n+1}-v_{n}$, et on suppose que $(w_{n})_{n\in \Nn} $ converge. Montrer que $\lim\limits_{n\rightarrow \infty }w_{n}=0$, puis que $\lim\limits_{n\rightarrow \infty }v_{n}=0.$ \finenonce{000585} \finexercice \exercice{586, gourio, 2001/09/01} \enonce{000586}{} Soit $(u_{n})_{n\in \Nn}$ une suite r\'{e}elle convergeant vers $\ell$ et $\phi$ une bijection de $\Nn$ sur $\Nn.$ (pas n\'{e}cessairement strictement croissante !). Montrer que $\lim\limits_{n\rightarrow \infty }u_{\phi(n)}=\ell.$ \finenonce{000586} \finexercice \exercice{587, gourio, 2001/09/01} \enonce{000587}{} Soient $(u_{n})_{n\in \Nn} $ et $(v_{n})_{n\in \Nn}$ deux suites r\'{e}elles telles que : $$\lim_{n\rightarrow \infty }u_{n}+v_{n}=\lim_{n\rightarrow \infty}u_{n}v_{n}=0.$$ Montrer que $$\lim_{n\rightarrow \infty }v_{n}=\lim_{n\rightarrow \infty }u_{n}=0.$$ \finenonce{000587} \finexercice \exercice{588, gourio, 2001/09/01} \enonce{000588}{} Soient $(u_{n})_{n\in \Nn} $ et $(v_{n})_{n\in \Nn}$ deux suites r\'{e}elles telles que : $$\lim_{n\rightarrow \infty }u_{n}=\lim_{n\rightarrow \infty }v_{n}=+\infty ,\lim_{n\rightarrow \infty }u_{n+1}-u_{n}=0.$$ Montrer que $$E=\{u_{n}-v_{m}|(n,m)\in \Nn^{2}\}$$ est dense dans $\Rr$. \finenonce{000588} \finexercice \exercice{589, gourio, 2001/09/01} \enonce{000589}{} Soient $(u_{n})_{n\in \Nn} $ et $(v_{n})_{n\in \Nn}$ deux suites \`{a} valeurs dans $[0,1]$ telles que : $$\lim_{n\rightarrow \infty }u_{n}v_{n}=1.$$ Montrer que : $$\lim_{n\rightarrow \infty }u_{n}=\lim_{n\rightarrow \infty }v_{n}=1.$$ \finenonce{000589} \finexercice \exercice{590, gourio, 2001/09/01} \enonce{000590}{} Soient $(u_{n})_{n\in \Nn} $ et $(v_{n})_{n\in \Nn}$ deux suites convergeant respectivement vers $\ell$ et $L$. \'Etudier la suite $(w_{n})_{n\in \Nn}$ d\'{e}finie par : $$\forall n\in \Nn,w_{n}=\frac{1}{n}\sum\limits_{k=0}^{n}u_{k}v_{n-k}.$$ \finenonce{000590} \finexercice \exercice{591, gourio, 2001/09/01} \enonce{000591}{} Soit $(u_{n})_{n\in \Nn}$ une suite born\'{e}e telle que : $$\lim\limits_{n\rightarrow \infty }(u_{n}+\frac{u_{2n}}{2})=1.$$ Que dire de $(u_{n})_{n\in \Nn}$? \finenonce{000591} \finexercice \exercice{592, gourio, 2001/09/01} \enonce{000592}{} Soit $f:\Cc\rightarrow \Cc$ d\'{e}finie par : $$\forall z\in \Cc,\text{ }f(z)=\frac{z+\left| z\right| }{2}.$$ \'Etudier la suite d\'{e}finie par : $$z_{0}\in \Cc,\forall n\in \Nn,z_{n+1}=f(z_{n}).$$ \emph{Indication} : on \'{e}crira $z_{n}=\rho _{n}e^{i\phi _{n}}, $o\`{u} $(\rho_{n},\phi _{n})\in \Rr^{+*}\times ]-\pi ,\pi [$ et on utilisera : $$\sin \phi =2^{n}\sin \frac{\phi }{2^{n}}\prod\limits_{i=1}^{n}\cos \frac{\phi }{2^{i}}.$$ \finenonce{000592} \finexercice \exercice{5252, rouget, 2010/07/04} \enonce{005252}{***I} Déterminer un équivalent le plus simple possible de chacune des suites suivantes quand $n$ tend vers $+\infty$. $$ \begin{array}{lllll} 1)\;\Arccos\frac{n-1}{n}&2)\;\Arccos\frac{1}{n}&3)\;\ch(\sqrt{n})&4)\;\left(1+\frac{1}{n}\right)^n&5)\;\frac{\Argch n}{\sqrt{n^4+n^2-1}}\\ 6)\;(1+\sqrt{n})^{-\sqrt{n}}&7)\;\ln(\cos\frac{1}{n})(\ln\sin\frac{1}{n})&8)\;(\frac{\pi}{2})^{3/5}-(\Arctan n)^{3/5} &9)\;\sqrt{1+\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}}-1 \end{array} $$ \finenonce{005252} \finexercice \exercice{5253, rouget, 2010/07/04} \enonce{005253}{***I} Montrer que $\sum_{k=0}^{n}k!\sim n!$. \finenonce{005253} \finexercice \exercice{5254, rouget, 2010/07/04} \enonce{005254}{***I} \begin{enumerate} \item Soient $u$ et $v$ deux suites réelles strictement positives. Pour $n\in\Nn$, on pose $U_n=\sum_{k=0}^{n}u_k$ et $V_n=\sum_{k=0}^{n}v_k$. Montrer que si $u_n\sim v_n$ et si $\lim_{n\rightarrow +\infty}V_n=+\infty$, alors $U_n\sim V_n$. \item Application. Trouver un équivalent de $\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{k}}$ et $\sum_{k=1}^{n}\ln(k)$. \end{enumerate} \finenonce{005254} \finexercice \exercice{5255, rouget, 2010/07/04} \enonce{005255}{****} Soit $(u_n)$ une suite réelle de limite nulle. Montrer que si $u_n+u_{2n}\sim\frac{3}{2n}$, alors $u_n\sim\frac{1}{n}$. A-t-on~:~si $u_n+u_{n+1}\sim\frac{2}{n}$, alors $u_n\sim\frac{1}{n}$~? \finenonce{005255} \finexercice \exercice{5256, rouget, 2010/07/04} \enonce{005256}{***I} Soit $u$ la suite définie par $u_0=\frac{\pi}{2}$ et, $\forall n\in\Nn,\;u_{n+1}=\sin(u_n)$. \begin{enumerate} \item Montrer que la suite $u$ est strictement positive, décroissante de limite nulle. \item On admet que si $u$ est une suite de limite nulle, alors, quand $n$ tend vers $+\infty$, $\sin(u_n)=u_n-\frac{u_n^3}{6}+o(u_n^3)$. Déterminer un réel $\alpha$ tel que la suite $v_n=u_{n+1}^\alpha-u_n^\alpha$ ait une limite réelle non nulle. En appliquant le lemme de \textsc{Césaro} à la suite $(v_n)$, en déduire un équivalent simple de $u_n$ quand $n$ tend vers $+\infty$. \end{enumerate} \finenonce{005256} \finexercice \section{ 121.04 Suite récurrente linéaire } \exercice{593, ridde, 1999/11/01} \enonce{000593}{} Que penser-vous de l'\'enonc\'e suivant : si $ (u_n) \sim (v_n)$ alors $ (e^{u_n}) \sim (e^{v_n})$. Donner un \'enonc\'e correct. \finenonce{000593} \finexercice \exercice{594, ridde, 1999/11/01} \enonce{000594}{} \begin{enumerate} \item Montrer que si $\forall n \in \Nn$ $u_n \neq 0$ et si $ (u_n) \rightarrow 0$ alors $ \ln (1 + u_n) \sim u_n$. \item Soit $a$ un r\'eel. D\'eterminer la limite de $ (1 + \dfrac an)^n$. \end{enumerate} \finenonce{000594} \finexercice \exercice{595, ridde, 1999/11/01} \enonce{000595}{} Comparer les suites suivantes : $$a_n = n^n, \qquad b_n = n^{\ln (n)}, \qquad c_n = e^{n^2}, \qquad d_n = (\ln n)^{n\ln n}$$ \finenonce{000595} \finexercice \exercice{596, gourio, 2001/09/01} \enonce{000596}{} Soient $(u_{n})_{n\in \Nn}$ et $(v_{n})_{n\in \Nn} $ deux suites r\'{e}elles de limite $+\infty $ telles que $u_{n}=o(v_{n}).$ Montrer qu'il existe une suite $(w_{n})_{n\in \Nn} $ de limite $+\infty $ telle que $u_{n}=o(w_{n})$ et $w_{n}=o(v_{n}).$ \finenonce{000596} \finexercice \exercice{597, gourio, 2001/09/01} \enonce{000597}{} Donner un exemple de suites $(u_{n})_{n\in \Nn}$ et $(v_{n})_{n\in \Nn} $ telles que $u_{n}=O(v_{n}) $ mais qu'on n'ait ni $u_{n}=o(v_{n}), $ ni $v_{n}=O(u_{n}).$ \finenonce{000597} \finexercice \exercice{598, gourio, 2001/09/01} \enonce{000598}{} \'Etude de $(u_{n})_{n\in \Nn }$ d\'{e}finie par : $$u_{0}\in [0,1],u_{n+1}=u_{n}^{2}.$$ Donner un \'{e}quivalent de $u_{n}$ quand $n\rightarrow \infty .$ \finenonce{000598} \finexercice \exercice{599, gourio, 2001/09/01} \enonce{000599}{} Montrer la r\'{e}ciproque du th\'{e}or\`{e}me de C\'{e}saro (i.e. $\lim\limits_{n\rightarrow \infty }u_{n}=l$) : \begin{enumerate} \item dans le cas o\`{u} $\lim\limits_{n\rightarrow \infty }v_{n}=l $ et $$u_{n+1}-u_{n}=O(\frac{1}{n}),$$ \item dans le cas o\`{u} $(u_{n})_{n\in \Nn}$ est croissante. \end{enumerate} \finenonce{000599} \finexercice \exercice{600, gourio, 2001/09/01} \enonce{000600}{} \'Etudier la suite $(u_{n})_{n\in \Nn}$ d\'{e}finie par $u_{0}=1 $ et $\forall n\in \Nn$ $u_{n+1}=u_{n}+\frac{2}{u_{n}}.$ En utilisant $v_{n}=\frac{u_{n}^{2}}{4},$ donner un \'{e}quivalent de $% u_{n}.$ \emph{Indication} : on montrera que $\lim\limits_{n\rightarrow \infty }v_{n+1}-v_{n}=1, $ on en d\'{e}duira un \'{e}quivalent de $v_{n} $ puis de $u_{n}.$ \finenonce{000600} \finexercice \exercice{601, gourio, 2001/09/01} \enonce{000601}{} Soit $(u_{n})_{n\in \Nn}$ la suite d\'{e}finie par $u_{n+1}=u_{n}+u_{n}^{2}. $ L'\'{e}tudier et, en utilisant $v_{n}=\frac{1}{u_{n}},$ en donner un \'{e}quivalent dans le cas $u_{0}\in ]-1;0]$. Que dire dans le cas $u_{0}\in ]0;\infty [$ ? (On \'{e}tudiera $v_{n}=\frac{\ln (u_{n})}{2^{n}}$.) \finenonce{000601} \finexercice \exercice{602, gourio, 2001/09/01} \enonce{000602}{} Soient $f$ et $g$ deux formes lin\'{e}aires sur un espace vectoriel $E$ telles que $fg=0.$ Montrer que $f=0$ ou $g=0.$ \'Etudier la suite $(x_{n})_{n\in \Nn}$ d\'{e}finie par $x_{0}=1,x_{n+1}=\frac{x_{n}}{1+nx_{n}^{2}}. $ En \'{e}tudiant $y_{n}=\frac{1}{x_{n+1}}-\frac{1}{x_{n}}$, en donner un \'{e}quivalent. \finenonce{000602} \finexercice \exercice{603, gourio, 2001/09/01} \enonce{000603}{} \'Etudier la suite $(u_{n})_{n\in \Nn}$ d\'{e}finie par : $$u_{0}\in ]0,\frac{\pi }{2}[,u_{n+1}=\sin u_{n}.$$ Donner $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{\sin ^{2}x}-\frac{1}{x^{2}}$ ,(r\'{e}ponse: $\frac{1}{3}$) en d\'{e}duire un \'{e}quivalent de $u_{n}^{-2} $ donc de $u_{n}.$ \finenonce{000603} \finexercice \exercice{604, gourio, 2001/09/01} \enonce{000604}{} Montrer que $\forall n\in \Nn^{*},\exists !x_{n}\in [n,n+1[$ solution de $ x-E(x)=\frac{1}{x^{2}}.$ Donner un \'{e}quivalent de $x_{n}$ puis faire un d\'{e}veloppement asymptotique de $x_{n}-n$ \`{a} l'ordre 5 en fonction de $\frac{1}{n}.$ \finenonce{000604} \finexercice \exercice{605, gourio, 2001/09/01} \enonce{000605}{} \'Etudier la convergence et calculer la limite \'{e}ventuelle de la suite $(u_{n})_{n\in \Nn^{*}}$ d\'{e}finie par : $$\forall n\in \Nn^{*},u_{n}=1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1} -...-\frac{1}{n^{2}}. $$ On montrera pr\'{e}alablement que : $$1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{n}=\ln n+\gamma +o(1) $$ quand $n\rightarrow \infty .$ \finenonce{000605} \finexercice \exercice{1202, ridde, 1999/11/01} \enonce{001202}{} Soit $ (u_n)$ d\'efinie par $u_0$ et $u_1$ strictement positifs et $u_{n + 1} = u_n + u_{n-1}$ pour $n \geq 1$. \begin{enumerate} \item Montrer que $\lim (\dfrac{u_{n + 1}}{u_n})$ existe et la d\'eterminer. Que remarquez-vous ? \item Soit $a_n = \dfrac{u_{n + 1}}{u_n}$. Exprimer $a_{n + 1}$ en fonction de $a_n$. \item Montrer que $a_{2n}$ et $a_{2n + 1}$ sont adjacentes. \item D\'eterminer un rationnel $r$ tel que $\left|r-\frac{1 + \sqrt 5}2\right|< 10^{-3}$. \end{enumerate} \finenonce{001202} \finexercice \exercice{1203, ridde, 1999/11/01} \enonce{001203}{} D\'eterminer $ (u_n)$ telle que \begin{enumerate} \item $u_0 = 1$, $u_1 = 3$, $u_{n + 2} = 4u_{n + 1}-4u_n$. \item $u_0 = 1$, $u_1 = i$, $u_{n + 2} = 4u_{n + 1}-5u_n$. \end{enumerate} \finenonce{001203} \finexercice \exercice{1204, ridde, 1999/11/01} \enonce{001204}{} D\'eterminer les suites born\'ees qui v\'erifient $u_{n + 2} = 3u_{n + 1}-2u_n$. \finenonce{001204} \finexercice \exercice{1205, ridde, 1999/11/01} \enonce{001205}{} D\'eterminer les suites convergentes qui v\'erifient $2u_{n + 2} = 7u_{n + 1}-3u_n$. \finenonce{001205} \finexercice \exercice{1206, ridde, 1999/11/01} \enonce{001206}{} Montrer que la suite $u_0 = 1$, $u_1 = 2$ et $u_{n + 2} = \sqrt{u_{n + 1}u_n}$ est bien d\'efinie et la d\'eterminer. \finenonce{001206} \finexercice \exercice{1207, ridde, 1999/11/01} \enonce{001207}{} D\'eterminer les suites $ (u_n)$ et $ (v_n)$ qui v\'erifient $\begin{cases}u_0 = 2 \\ v_0 = -2 \end{cases}$ et $\begin{cases} u_{n + 1} = u_n + v_n \\ v_{n + 1} = 3u_n-v_n \end{cases}$ \finenonce{001207} \finexercice \exercice{3068, quercia, 2010/03/08} \enonce{003068}{Ensi Chimie P' 93} \begin{enumerate} \item R{\'e}soudre $\begin{cases} u_{n+2} = \frac 12(u_{n+1} + u_n)\cr u_0 = a,\ u_1 = b.\cr\end{cases}$ \item Si $a=0$, trouver $\lim u_n$. \item R{\'e}soudre : $v_{n+2} = \sqrt{v_{n+1} v_n}$. \end{enumerate} \finenonce{003068} \finexercice \exercice{3069, quercia, 2010/03/08} \enonce{003069}{{\'E}quations de r{\'e}currence lin{\'e}aire} \begin{enumerate} \item R{\'e}soudre : $$\begin{cases} u_{n+2} - u_n = n-1 \cr u_0 = u_1 = 0.\end{cases}$$ \item R{\'e}soudre : $u_{n+2} + u_{n+1} + u_n = n$. \end{enumerate} \finenonce{003069} \finexercice \exercice{3070, quercia, 2010/03/08} \enonce{003070}{Syst{\`e}me r{\'e}current} On donne $u_0,v_0$. R{\'e}soudre le syst{\`e}me : $\begin{cases} 5u_n = 2u_{n-1} + 3v_{n-1} \cr 5v_n = 2v_{n-1} + 3u_{n-1}.\end{cases}$ \finenonce{003070} \finexercice \exercice{3071, quercia, 2010/03/08} \enonce{003071}{Caract{\'e}risation des suites polynomiales} Soit $(u_n)$ une suite de r{\'e}els. On d{\'e}finit les suites d{\'e}riv{\'e}es de $(u_n)$ : $$\begin{cases}(u'_n) = (u_{n+1} - u_n) \cr (u''_n) = (u'_{n+1} - u'_n) \cr \dots \cr \left(u^{(k+1)}_n\right) = \left(u^{(k)}_{n+1} - u^{(k)}_n\right).\end{cases}$$ \begin{enumerate} \item Exprimer $u^{(k)}_n$ en fonction de $u_n, u_{n+1}, \dots, u_{n+k}$. \item Montrer que la suite $(u_n)$ est polynomiale si et seulement s'il existe $k \in \N$ tel que $\left(u^{(k)}_n\right) = (0)$. \end{enumerate} \finenonce{003071} \finexercice \exercice{3072, quercia, 2010/03/08} \enonce{003072}{Nombre de nombres ne comportant pas 13} Soit $T_n$ le nombre d'entiers naturels de $n$ chiffres exactement ne comportant pas la s{\'e}quence 13 en nu\-m{\'e}\-ra\-tion d{\'e}cimale. \begin{enumerate} \item Montrer que $T_{n+2} = 10T_{n+1} - T_n$. \item Calculer $T_n$ en fonction de $n$. \end{enumerate} \finenonce{003072} \finexercice \exercice{3073, quercia, 2010/03/08} \enonce{003073}{$(\sqrt3+1)^{2n+1} - (\sqrt3-1)^{2n+1}$} On note $x_n = (\sqrt3 + 1)^{2n+1}$, $y_n = (\sqrt3 - 1)^{2n+1}$, et $z_n = [x_n]$. \begin{enumerate} \item Montrer que $z_n = x_n - y_n$. \item En d{\'e}duire que $2^{n+1}$ divise $z_n$. \end{enumerate} \finenonce{003073} \finexercice \exercice{5239, rouget, 2010/06/30} \enonce{005239}{**T} Déterminer $u_n$ en fonction de $n$ et de ses premiers termes dans chacun des cas suivants~: \begin{enumerate} \item $\forall n\in\Nn,\;4u_{n+2}=4u_{n+1}+3u_n$. \item $\forall n\in\Nn,\;4u_{n+2}=u_n$. \item $\forall n\in\Nn,\;4u_{n+2}=4u_{n+1}+3u_n+12$. \item $\forall n\in\Nn,\;\frac{2}{u_{n+2}}=\frac{1}{u_{n+1}}-\frac{1}{u_n}$. \item $\forall n\geq2,\;u_n= 3u_{n-1}-2u_{n-2}+n^3$. \item $\forall n\in\Nn,\;u_{n+3}-6u_{n+2}+11u_{n+1}-6u_n=0$. \item $\forall n\in\Nn,\;u_{n+4}-2u_{n+3}+2u_{n+2}-2u_{n+1}+u_n=n^5$. \end{enumerate} \finenonce{005239} \finexercice \section{ 121.05 Suite de Cauchy } \exercice{1208, vignal, 2001/09/01} \enonce{001208}{} Montrer que la suite $ \left(\frac{\sin n}{2^n}\right)_{n\in \Nn}$ est de Cauchy et que la suite $ \left((-1)^n+\frac{1}{n}\right)_{n\in \Nn}$ ne l'est pas. \finenonce{001208} \finexercice \exercice{1209, cousquer, 2003/10/01} \enonce{001209}{} Montrer que la suite définie par $$u_n=1+\frac{\cos1}{1!} + \frac{\cos2}{2!}+\cdots+\frac{\cos n}{n!}$$ est une suite de Cauchy. En déduire sa convergence. \finenonce{001209} \finexercice \exercice{1210, cousquer, 2003/10/01} \enonce{001210}{} Montrer que toute sous-suite extraite d'une suite de Cauchy est aussi une suite de Cauchy. Montrer que si $(u_n)$ est une suite de Cauchy, on peut trouver une sous-suite $(u_{n_k})$ de $(u_n)$ telle que~: $$\forall p\in\mathbf{N},\;\forall q\geq p,\; \vert u_{n_p}-u_{n_q}\vert\leq \frac{1}{2^p}.$$ \finenonce{001210} \finexercice \exercice{1211, cousquer, 2003/10/01} \enonce{001211}{} Une suite $(x_n)$ est définie par une relation de récurrence $x_{n+1}=a\sin x_n+b$ où $a$ est un nombre réel de $\mathopen]0,1\mathclose[$ et $b$ un nombre réel quelconque. Montrer que pour tout $p\in\mathbf{N}$, $\vert x_{p+1}-x_p\vert\leq a^p\vert x_1-x_0\vert$. En déduire que la suite $(x_n)$ est une suite de Cauchy. Combien de termes faut-il calculer pour obtenir une valeur approchée de $\lim x_n$ à $10^{-10}$ près si on suppose $a=1/2$, $b=5$, $x_0=1$~? \finenonce{001211} \finexercice \section{ 121.06 Suite dans Rn } \exercice{1901, maillot, 2001/09/01} \enonce{001901}{} Soit $x_n$ une suite de $\Rr^d$. Montrer que l'ensemble $A$ des valeurs d'adh\'erence de $x_n$ est ferm\'e. Indication: prouver que le compl\'ement de $A$ est ouvert. \finenonce{001901} \finexercice \exercice{1902, maillot, 2001/09/01} \enonce{001902}{} Soit $x_n$ une suite born\'ee de $\Rr^d$. Montrer que $x_n$ converge si et seulement si $A$ est un singleton. Indication: pour prouver la convergence, utiliser qu'une suite born\'ee de $\Rr^d$ a au moins une valeur d'adh\'erence. \finenonce{001902} \finexercice \exercice{1903, maillot, 2001/09/01} \enonce{001903}{} Soit $f:\Rr^d\rightarrow\Rr^d$ continue. Soit $x_0\in\Rr^d$. Soit $x_n$ la suite d\'efinie par $$x_{n+1}=f(x_n).$$ Supposons que $||x_n-x_{n+1}||\rightarrow 0$. Montrer que si $a\in\ A$ alors $f(a)=a$. Indication: appliquer la d\'efinition de la continuit\'e de $f$ en $a$ en termes de limites. \finenonce{001903} \finexercice \exercice{1904, maillot, 2001/09/01} \enonce{001904}{} Soit $x_n$ une suite born\'ee de $\Rr^d$. Supposons que $||x_n-x_{n+1}||\rightarrow 0$. Montrer que l'ensemble $A$ est non-vide, compact, connexe. Indication: pour la connexit\'e, supposer que $A=A_1\cup A_2$ avec $A_1$ et $A_2$ non-vides, disjoints, ferm\'es. Si $d=1$ conclure que $A=[a,b]$ avec $a\leq b$. \finenonce{001904} \finexercice \exercice{1905, maillot, 2001/09/01} \enonce{001905}{} Soit $f:\Rr\rightarrow\Rr$ continue. Soit $x_0\in\Rr$. Soit $x_n$ la suite d\'efinie par $$x_{n+1}=f(x_n).$$ Supposons que $x_n$ est born\'ee. Montrer que $x_n$ converge si et seulement si $$||x_n-x_{n+1}||\rightarrow 0.$$ Indication. Montrer qu'il suffit de prouver que $a=b$ dans $[a,b]=A$. Si $a0$, $u_n=\displaystyle{\frac{n!e^n}{n^{n+\frac{1}{2}}}}$ et $v_n=\ln u_n$. \begin{enumerate} \item Etudier la serie de terme g\'en\'eral ~$w_n$ o\`u, pour $n \geq 2,~w_n = v_n-v_{n-1}$ et $w_1=v_1$. \item En d\'eduire, en utilisant la convergence de la suite des sommes partielles de $w_n$, que la suite $u_n$ converge vers $\lambda >0$. \item D\'eterminer $\lambda$ en utilisant la formule de Wallis : $\lim _{n \rightarrow + \infty} \displaystyle{\frac{2^{2n}(n!)^2}{\sqrt{n}(2n)!}}= \sqrt{\pi}$. En d\'eduire un \'equivalent de $n!$. \emph{Indication} : Exprimer $n!$ (respectivement $(2n)!$) en fonction de $u_n$ (resp. de $u_{2n}$) et remplacer-les dans la formule de Wallis. \end{enumerate} \finenonce{001930} \finexercice \exercice{1932, gineste, 2001/11/01} \enonce{001932}{} Etudier la série de terme général $$ u_n=\frac{a^n2^{\sqrt{n}}}{2^{\sqrt{n}} + b^n } \mbox{ o\`u } a>0, \; b>0. $$ Indication : Chercher un équivalent suivant les valeurs de $b$. \finenonce{001932} \finexercice \exercice{1934, gineste, 2001/11/01} \enonce{001934}{Comparaison à des séries de Riemann et équivalent} Etudier les séries de termes généraux \begin{enumerate} \item $$ u_n=\cos(\frac{ \pi n^2 }{2n^2+an+1}) \mbox{ avec } a>0 $$ \item $$ v_n=e^{-\sqrt{n}} $$ \item $$ w_n=(1 - \frac{1}{n^2})^n $$ \end{enumerate} \finenonce{001934} \finexercice \exercice{1935, gineste, 2001/11/01} \enonce{001935}{} Soit $(u_n)$ une suite de réels strictement positifs, on suppose que $ \displaystyle \lim(\frac{u_{n+1}}{u_n})=1 $ et que $$ \frac{u_{n+1}}{u_n}=1 - \frac{\alpha}{n} + O(\frac{1}{n^{\beta}}) \mbox{ , o\`u } \alpha > 0 \ \ \beta > 1.$$ On pose $v_n=n^{\alpha}u_n$. Etudier $ \displaystyle \frac{v_{n+1}}{v_n} $ et montrer que $(v_n)$ a une limite finie. \ Application : Etudier la série de terme général $$u_n = \sqrt{n!} \sin 1 \sin \frac{1}{\sqrt{2}} \cdots \sin \frac{1}{\sqrt{n}} . $$ \finenonce{001935} \finexercice \exercice{1936, gineste, 2001/11/01} \enonce{001936}{} Déterminer la nature des séries de terme général: \[ \begin{array}{clclcl} 1. & \displaystyle \frac{n!}{n^n} & 2. & (\ch \sqrt{\ln n})^{-2} & 3. & n^{-(1+(1/n))} \\ \\ 4. & \displaystyle \frac{1}{\sqrt{n}} \ln \left(1+\frac{1}{\sqrt{n}} \right) & 5. & \displaystyle \frac{\ln n}{\ln (e^n-1)} & 6. & n^{\ln n}e^{-\sqrt{n}} \end{array} \] \finenonce{001936} \finexercice \exercice{1937, gineste, 2001/11/01} \enonce{001937}{} Étudier, suivant les valeurs de $p \in \Nn$, la nature de la série de terme général \[ u_n = \frac{1! + 2! + \cdots + n!}{(n+p)!} \cdotp \] \finenonce{001937} \finexercice \exercice{1938, gineste, 2001/11/01} \enonce{001938}{} Calculer les sommes des séries suivantes, en montrant leur convergence : \begin{enumerate} \item $\sum_{n \ge 0} (n+1)3^{-n}$ \item $\displaystyle \sum_{n \ge 0} \frac{n}{n^4+n^2+1}$ \item $\displaystyle \sum_{n \ge 3} \frac{2n-1}{n^3-4n}$ \end{enumerate} \finenonce{001938} \finexercice \exercice{1939, gineste, 2001/11/01} \enonce{001939}{} Soit $(u_n)$ une suite réelle positive et $ \displaystyle S_n=\sum_{p=0}^{n}u_p.$ Comparer la nature des séries $(\sum u_n)$ et $\displaystyle (\sum \frac{u_n}{S_n}).$ \finenonce{001939} \finexercice \exercice{1941, gineste, 2001/11/01} \enonce{001941}{Utilisation d'une série} Le but de cet exercice est de montrer la convergence de l'intégrale généralisée suivante $ \displaystyle \int_0^{\infty} \frac{dx}{1 + x^4 \sin^2 x}.$ Pour cela, on considère la série de terme général $$u_n=\int_{n\pi}^{(n+1)\pi} \frac{dx}{1 + x^4 \sin^2 x} .$$ Par un changement de variable, transformer $u_n$ en $$ u_n =\int_{0}^{\pi} \frac{dx}{1 + (n\pi + x)^4 \sin^2 x} $$ Encadrer ensuite $u_n$ par les termes de la suite $v_n$ o\`u $$ v_n =\int_{0}^{\pi} \frac{dx}{1 + (n\pi)^4 \sin^2 x} $$ Calculer explicitement l'intégrale $v_n$ et en déduire un équivalent de $u_n$. Conclure. \finenonce{001941} \finexercice \exercice{1942, gineste, 2001/11/01} \enonce{001942}{} Soit $u_n$ une suite décroissante à termes positifs. On suppose $(\sum u_n)$ converge. Montrer que $$ \lim_{n \rightarrow \infty} (nu_n)=0 .$$ Indication : Encadrer $\sum_{p+1}^n u_k$ pour $n>p$. Puis revenir aux définitions des limites avec les epsilons. \finenonce{001942} \finexercice \exercice{1943, gineste, 2001/11/01} \enonce{001943}{} Soient $\sum_{n \ge 0} u_n$, $\sum_{n \ge 0} v_n$ deux séries à termes réels strictement positifs. On suppose que $\sum_{n \ge 0} v_n$ converge, et que $$ \forall n \in \N, \; \frac{u_{n+2}}{u_n} \le \frac{v_{n+2}}{v_n} .$$ Montrer que $\sum_{n \ge 2} u_n$ converge. \finenonce{001943} \finexercice \exercice{1945, gineste, 2001/11/01} \enonce{001945}{Examen 2000} \begin{enumerate} \item On rappelle que la s\'erie harmonique altern\'ee converge et a pour somme $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n}=-\log 2.$$ Montrer la convergence des deux s\'eries $\sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k}\right)$ et $\sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2k+1}-\frac{1}{2k}\right)$ et calculer leur somme \`a l'aide du rappel ci dessus. \item D\'ecomposer en \'el\'ements simples la fraction rationnelle $\frac{1}{4x^3-x}$. \item Montrer la convergence de la s\'erie $\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{4k^3-k}$et calculer sa somme \`a l'aide de ce qui pr\'ec\`ede. \item L'int\'egrale impropre $\int_1^{\infty}\frac{dx}{4x^3-x}$ converge t-elle? Si oui, la calculer. \end{enumerate} \finenonce{001945} \finexercice \exercice{1949, gineste, 2001/11/01} \enonce{001949}{} Soit $0 < a < b$ et $(u_n)_{n\geq 0}$ d\'efini par $u_0=1$ et $\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{n+a}{n+b}$ pour $n\geq 0.$ Montrer que la limite de la suite $W_n=\log (n^{b-a}u_n)$ existe et est finie. En d\'eduire les valeurs de $a$ et $b$ telles que la s\'erie $\sum_{j=0}^{\infty} u_j$ converge. Calculer alors sa somme: pour cela expliciter sa somme partielle $s_n,$ en montrant d'abord que pour tout $n$ on a $$\sum_{j=0}^n[(j+1)+b-1]u_{j+1}=\sum_{j=0}^n[j +a]u_j.$$ \finenonce{001949} \finexercice \exercice{2718, matexo1, 2002/02/01} \enonce{002718}{} Par un calcul direct, montrer que les sommes partielles de la s\'erie harmonique $$S_n = \sum_{k=1}^n k^{-1}, \qquad n \ge 1$$ ne forment pas une suite de Cauchy. En d\'eduire que cette s\'erie diverge. \finenonce{002718} \finexercice \exercice{2719, matexo1, 2002/02/01} \enonce{002719}{} En discutant \'eventuellement selon la valeur des param\`etres r\'eels $\alpha $ et $\beta $, \'etudier les s\'eries de termes g\'en\'eraux positifs ($n\geq 2$) : $$\begin{array}{ll} \displaystyle \frac{n+\alpha}{n+\beta}, & \displaystyle \frac 1{n (n^2-1)}, \\ \displaystyle \sqrt{n^4+2n+1} -\sqrt{n^4+\alpha n}, \quad \alpha \leq 2, & \displaystyle \tan \left({\frac 1 n} \right) + \ln {n^2+\frac{\sqrt n}{n^2-n}}, \\ \displaystyle \left(\frac{2n+1}{3n+1}\right)^{\frac n 2}, & \displaystyle \frac 1{\left(1+1/\sqrt n \right)^{n \sqrt n}}, \\ \displaystyle \frac{n^n \alpha^n}{n!}, \phantom{\int} & \displaystyle \sqrt[n]{n} -1, \\ \displaystyle n^{\alpha} (\ln n)^{\beta}, & \displaystyle \int_n^{n+1/2} \frac 1{\sqrt{t^4+1}}dt, \\ \displaystyle \frac{1!+2!+\cdots+n!}{(n+k)!}, \quad k \in \Z, & \displaystyle n^{\alpha} \left[ (n+1)^{(n+1) / n} - (n-1)^{(n-1)/ n}\right], \\ \displaystyle \int_1^\infty \!\! \exp(-x^n)\,dx \text{ (indication : changer de variable $t=x^n$)}.& \end{array}$$ \finenonce{002719} \finexercice \exercice{2720, matexo1, 2002/02/01} \enonce{002720}{} Soit $(a_n)$ une suite de r\'eels strictement positifs tels que, au voisinage de $+\infty$, on ait $$ \frac{a_{n+1}}{a_n} = 1 + \frac{\alpha}{n} +o\left(\frac 1 n \right).$$ \begin{enumerate} \item Montrer que la s\'erie de terme g\'en\'eral $n^\alpha$ est de ce type ; rappeler pour quelles valeurs de $\alpha $ elle converge. \item Montrer que si $\alpha >-1$, la s\'erie de terme g\'en\'eral $a_n$ diverge, et que si $\alpha <-1$ elle converge. \item Application : \'etudier la s\'erie $$\sum_{n\geq 1}{1.3.5\ldots(2n-1)\over2.4.6\ldots(2n+2)}.$$ \item Montrer que si l'on a au voisinage de $+\infty$, $$ \frac{a_{n+1}}{a_n} = 1 - \frac 1 n +o \left(\frac 1{n \ln n} \right),$$ alors la s\'erie de terme g\'en\'eral $a_n$ diverge. \item Application : \'etudier la s\'erie $$\sum_{n\geq 1} \left(1-\exp (-1/n) \right).$$ \end{enumerate} \finenonce{002720} \finexercice \exercice{2721, matexo1, 2002/02/01} \enonce{002721}{} Soit $(u_n)$ la suite d\'efinie par $u_0 \in ]0,1[$ donn\'e et $u_{n+1}=u_n-{u_n}^2$. Montrer que cette suite converge et en donner la limite. Montrer que la s\'erie de terme g\'en\'eral ${u_n}^2$ converge et en donner la limite. Montrer que les s\'eries de terme g\'en\'eraux $u_n$ et $\ln(u_{n+1}/u_n)$ divergent. \finenonce{002721} \finexercice \exercice{2722, matexo1, 2002/02/01} \enonce{002722}{} Montrer qu'il existe deux r\'eels $\alpha$, $\beta$, tels que pour tout $n\in\N^*$, $$ \int_0^\pi (\alpha t+\beta t^2) \cos(nt) \,dt = \frac 1{n^2}.$$ En d\'eduire la valeur de $$S = \sum_{n=1}^{+ \infty} \frac 1{n^2}.$$ \finenonce{002722} \finexercice \exercice{2723, matexo1, 2002/02/01} \enonce{002723}{} Soit $(a_n)$ un suite de r\'eels strictement positifs telle que $\sum a_n$ converge. \'Etudier les s\'eries $$\sum a_n^2, \qquad \sum \frac{a_n}{1+a_n}, \qquad \sum a_n a_{2n}, \qquad \sum_{n\geq 1} \frac{\sqrt{a_n}}n.$$ \finenonce{002723} \finexercice \exercice{2725, matexo1, 2002/02/01} \enonce{002725}{} Justifier la convergence et calculer les sommes des s\'eries suivantes $$\begin{array}{ll} \displaystyle \sum_{n\geq 1} \frac 1{n(n+k)} \quad(k\in\N^*), & \displaystyle\sum \frac 9{(3n+1)(3n+4)}, \\ \displaystyle\sum \frac{n^2+n-3}{n!}, & \displaystyle\sum_{n\geq 2} \ln \frac{n^2}{n^2-1}. \end{array}$$ \finenonce{002725} \finexercice \exercice{5108, rouget, 2010/06/30} \enonce{005108}{**T} Montrer par récurrence que, pour tout $n\in\Nn^*$, $\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)(k+2)}=\frac{n(n+3)}{4(n+1)(n+2)}$. Trouver une démonstration directe. \finenonce{005108} \finexercice \exercice{5109, rouget, 2010/06/30} \enonce{005109}{***I} \begin{enumerate} \item Montrer par récurrence que, pour tout naturel non nul $n$, $\sum_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}$. En calculant la différence $(k+1)^2-k^2$, trouver une démonstration directe de ce résultat.\rule[-1mm]{0mm}{0mm} \item Calculer de même les sommes $\sum_{k=1}^{n}k^2$, $\sum_{k=1}^{n}k^3$ et $\sum_{k=1}^{n}k^4$ (et mémoriser les résultats). \item On pose $S_p=\sum_{k=1}^{n}k^p$. Déterminer une relation de récurrence permettant de calculer les $S_p$ de proche en proche. \end{enumerate} \finenonce{005109} \finexercice \exercice{5143, rouget, 2010/06/30} \enonce{005143}{Sommes télescopiques} \label{exo:suprou7} Calculer les sommes suivantes~: \begin{enumerate} \item (**) $\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)}$ et $\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)(k+2)}$ \item (***) Calculer $S_p=\sum_{k=1}^{n}k^p$ pour $n\in\Nn^*$ et $p\in\{1,2,3,4\}$ (dans chaque cas, chercher un polynôme $P_p$ de degré $p+1$ tel que $P_p(x+1)-P_p(x)=x^p$). \item (**) Calculer $\sum_{k=1}^{n}\Arctan\frac{1}{k^2+k+1}$ (aller relire certaines formules établies dans une planche précédente). \item (**) Calculer $\sum_{k=1}^{n}\Arctan\frac{2}{k^2}$. \end{enumerate} \finenonce{005143} \finexercice \exercice{5144, rouget, 2010/06/30} \enonce{005144}{I} Calculer les sommes suivantes~: \begin{enumerate} \item (**) $\sum_{1\leq i 0$ la nature de la série de terme général $\frac{u_n}{(S_n)^\alpha}$. \finenonce{005699} \finexercice \exercice{5704, rouget, 2010/10/16} \enonce{005704}{*} Nature de la série de terme général $u_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{(n+k)^p}$, $p\in]0,+\infty[$. \finenonce{005704} \finexercice \exercice{5705, rouget, 2010/10/16} \enonce{005705}{**} Déterminer un équivalent simple de $\frac{n!}{(a+1)(a+2)\ldots(a+n)}$ quand $n$ tend vers l'infini ($a$ réel positif donné). \finenonce{005705} \finexercice \section{ 122.02 Convergence absolue } \exercice{1933, gineste, 2001/11/01} \enonce{001933}{Utilisation des règles de Cauchy et d'Alembert} Etudier les séries de termes généraux \begin{enumerate} \item $$ u_n = \sqrt{n!} \sin x \sin \frac{x}{\sqrt{2}} \cdots \sin \frac{x}{\sqrt{n}} \mbox{ avec } x>0 .$$ \item $$ v_n=e^{an^2}(1 - \frac{a}{n})^{n^3} $$ \end{enumerate} \finenonce{001933} \finexercice \exercice{1940, gineste, 2001/11/01} \enonce{001940}{Séries à termes quelconques} Etudier les séries de termes généraux \begin{enumerate} \item $$ u_n=\frac{(-1)^n}{(\ln n) (n^{1/n})} $$ \item $$ v_n=\frac{(-1)^n}{\sqrt{n^\alpha + (-1)^n}} \mbox{ o\`u } \alpha > 0 $$ \item $$ w_n=\ln(1 + \frac{(-1)^n}{n^\alpha}) \mbox{ o\`u } \alpha > 0 $$ \end{enumerate} Indication : Des calculs de D.L. peuvent etre fructueux ... \finenonce{001940} \finexercice \exercice{1944, gineste, 2001/11/01} \enonce{001944}{Examen 2000} En justifiant votre r\'eponse, classer les dix s\'eries $\sum u_n$ suivantes en 4 cat\'egories \begin{itemize} \item GD: celles telles que $u_n$ ne tend pas vers 0; \item ZD: celles qui divergent et telles que $\lim u_n=0;$ \item AC: celles qui convergent absolument; \item SC: celles qui convergent, mais non absolument. \end{itemize} (Attention: pour pouvoir r\'epondre, certaines s\'eries demandent deux d\'emonstrations: par exemple pour montrer que $\sum u_n$ est SC, il faut montrer que $\sum u_n$ converge \emph{et} que $\sum|u_n|$ diverge. $$\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{(-1)^n}{n}+\frac{1}{n^2}\right);\ \sum_{n=1}^{\infty}\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right);\ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)^2;$$ $$ \sum_{n=1}^{\infty}\left[\frac{1}{n}-\log(1+\frac{1}{n})\right];\ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n!}{n^n}; \sum_{n=1}^{\infty}\left(1-(1-\frac{1}{n})^n\right); $$ $$ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^n+1000}{3^n+1};\ \sum_{n=1}^{\infty}(1-\cos\frac{\pi}{n});\ \sum_{n=1}^{\infty}\sin(\pi n)\sin(\frac{\pi}{n});\ \sum_{n=0}^{\infty}\left(\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{2^k}\frac{1}{3^{n-k}}\right). $$ \finenonce{001944} \finexercice \exercice{2724, matexo1, 2002/02/01} \enonce{002724}{} D\'eterminer, en fonction des param\`etres r\'eels $\alpha$, $\beta$, la nature des s\'eries de termes g\'en\'eraux ($n\geq 2$) $$\begin{array}{ll} \displaystyle (-1)^n n^\alpha, \phantom{\int} & \displaystyle n^\beta \left(1-(-1)^n n^\alpha\right), \\ \displaystyle \frac{(-1)^n}{n-\ln n}, & \displaystyle \exp \left( \frac{-1}{\sqrt n} -1 \right), \\ \displaystyle \ln \left(1- \frac{(-1)^n}n \right), & \displaystyle \frac{(-1)^n}{\sqrt n+(-1)^n}, \\ \displaystyle \sin \left( 2\pi \frac{n!}e \right) & \!\!\!\!\!\!\!\!\! (\mbox{on pourra utiliser que\,: } \displaystyle 1/e = \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{(-1)^k}{k!}). \end{array}$$ \finenonce{002724} \finexercice \section{ 122.03 Séries semi-convergentes } \exercice{1944, gineste, 2001/11/01} \enonce{001944}{Examen 2000} En justifiant votre r\'eponse, classer les dix s\'eries $\sum u_n$ suivantes en 4 cat\'egories \begin{itemize} \item GD: celles telles que $u_n$ ne tend pas vers 0; \item ZD: celles qui divergent et telles que $\lim u_n=0;$ \item AC: celles qui convergent absolument; \item SC: celles qui convergent, mais non absolument. \end{itemize} (Attention: pour pouvoir r\'epondre, certaines s\'eries demandent deux d\'emonstrations: par exemple pour montrer que $\sum u_n$ est SC, il faut montrer que $\sum u_n$ converge \emph{et} que $\sum|u_n|$ diverge. $$\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{(-1)^n}{n}+\frac{1}{n^2}\right);\ \sum_{n=1}^{\infty}\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right);\ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)^2;$$ $$ \sum_{n=1}^{\infty}\left[\frac{1}{n}-\log(1+\frac{1}{n})\right];\ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n!}{n^n}; \sum_{n=1}^{\infty}\left(1-(1-\frac{1}{n})^n\right); $$ $$ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^n+1000}{3^n+1};\ \sum_{n=1}^{\infty}(1-\cos\frac{\pi}{n});\ \sum_{n=1}^{\infty}\sin(\pi n)\sin(\frac{\pi}{n});\ \sum_{n=0}^{\infty}\left(\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{2^k}\frac{1}{3^{n-k}}\right). $$ \finenonce{001944} \finexercice \section{ 122.04 Séries alternées } \exercice{1931, roussel, 2001/09/01} \enonce{001931}{} Soit $S= \displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}} \displaystyle{\frac{(-1)^{n-1}}{n^3}}$. Donner une valeur approch\'ee de $S$ en garantissant une erreur inf\'erieure ou \'egale \`a $10^{-3}$. \finenonce{001931} \finexercice \exercice{1945, gineste, 2001/11/01} \enonce{001945}{Examen 2000} \begin{enumerate} \item On rappelle que la s\'erie harmonique altern\'ee converge et a pour somme $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n}=-\log 2.$$ Montrer la convergence des deux s\'eries $\sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k}\right)$ et $\sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2k+1}-\frac{1}{2k}\right)$ et calculer leur somme \`a l'aide du rappel ci dessus. \item D\'ecomposer en \'el\'ements simples la fraction rationnelle $\frac{1}{4x^3-x}$. \item Montrer la convergence de la s\'erie $\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{4k^3-k}$et calculer sa somme \`a l'aide de ce qui pr\'ec\`ede. \item L'int\'egrale impropre $\int_1^{\infty}\frac{dx}{4x^3-x}$ converge t-elle? Si oui, la calculer. \end{enumerate} \finenonce{001945} \finexercice \exercice{1948, gineste, 2001/11/01} \enonce{001948}{Permutation dans la série harmonique alternée : Pringsheim (1883)} Pour tout entier $n>0$, soit $u(n)=(-1)^n/n$ . Soit $\sigma$ une permutation des entiers $>0$ et soit $\tau$ la permutation réciproque. On suppose de plus que (1) pour tout entier $p>0$ on a $\tau(2p-1)<\tau(2p+1)$ et $\tau(2p)<\tau(2p+2).$ (2) Notant par $p(n)$ le nombre d'entiers $k$ tels que $1\leq k\leq n$ et $\sigma(k)$ est pair, alors $\alpha=\lim _{n\infty}p(n)/n$ existe et est dans $]0,1[.$ \begin{enumerate} \item Dans le cas particulier o\`u $\sigma$ est définie par $$\sigma(3p)=2p,\ \sigma(3p+1)=4p+1,\ \sigma(3p+2)=4p+3$$ pour tout entier $p>0,$ calculer explicitement $\tau$, et vérifier que $\sigma$ satisfait (1) et (2), en calculant $p(n)$ pour tout $n$ ainsi que $\alpha.$ \item On note $f(n)=\sum_{k=1}^n1/k-\log n,$ et on rappelle le fait, vu en cours, que $\lim _{n\infty}f(n)=\gamma$ existe (Constante d'Euler). On revient au cas général pour $\sigma$, on considère la série de terme général $v_n=u(\sigma(n))$ et on note $s_n=v_1+\cdots+v_n$. \item Montrer par récurrence que $s_n=\sum_{k=1}^{p(n)}\frac{1}{2k}-\sum_{k=1}^{n-p(n)}\frac{1}{2k-1}$ et que $$s_n=\frac{1}{2}f(p(n))+\frac{1}{2}f(n-p(n))-f(2n-2p(n)) +\frac{1}{2}\log\frac{p(n)}{n-p(n)}-\log 2.$$ En déduire que $\sum _{n=1}^{\infty}v_n$ converge et calculer sa somme en fonction de $\alpha.$ \end{enumerate} \finenonce{001948} \finexercice \exercice{5710, rouget, 2010/10/16} \enonce{005710}{**} Calculer $\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{3n+1}$. \finenonce{005710} \finexercice \section{ 122.05 Familles sommables } \exercice{4487, quercia, 2010/03/14} \enonce{004487}{Dénombrabilité} $A$ étant un ensemble infini dénombrable, les ensembles suivants sont-ils dénombrables~: \begin{enumerate} \item ${\cal P}(A)$~? \item $\{\text{parties finies de }A\}$~? \item $\{\text{suites périodiques à valeurs dans }A\}$~? \item $\{\text{suites ultimement périodiques à valeurs dans }A\}$~? \item $\{\text{relations d'ordre total sur } A\}$~? \end{enumerate} \finenonce{004487} \finexercice \exercice{4488, quercia, 2010/03/14} \enonce{004488}{Discontinuités d'une fonction monotone} \begin{enumerate} \item Soit $f:\R \to \R$ croissante. Montrer que l'ensemble des points de discontinuité de~$f$ est dénombrable (pour $[a,b]\subset \R$, considérer la famille $(f(x^+)-f(x^-))_{x\in{[a,b]}}$). \item Donner un exemple de fonction $f:\R \to \R$ croissante ayant une infinité dénombrable de discontinuités. \item $(**)$ Trouver une fonction $f:\R \to \R$ {\it strictement\/} croissante dont l'ensemble des points de discontinuité est égal à~$\Q$. \end{enumerate} \finenonce{004488} \finexercice \exercice{4489, quercia, 2010/03/14} \enonce{004489}{Ensemble non vide~?} Soit $(r_n)_{n\ge 1}$ une énumération des rationnels. On note $I_n = {\Bigl]r_n-\frac1{n^2}, r_n+\frac1{n^2}\Bigr[}$, $E = \bigcup_{n=1}^\infty I_n$ et $F = \R\setminus E$. Montrer que $F\ne \varnothing$ (ceci est choquant vu que les éléments de~$F$ sont, par définition, "loin" de chaque rationnel, pourtant c'est vrai) . \finenonce{004489} \finexercice \exercice{4490, quercia, 2010/03/14} \enonce{004490}{\'Etude de convergence} \'Etudier la finitude des sommes suivantes~: \begin{enumerate} \item $\sum_{(i,j)\in(\N^*)^2}\frac1{(i+j)^\alpha}$. \item $\sum_{(i,j)\in(\N^*)^2}\frac1{\strut i^\alpha +j^\alpha}$. \item $\sum_{x\in\Q\cap[1,+\infty[}\frac1{x^2}$. \item $\sum_{(p,q)\in\N^2}\frac1{a^p+b^q}$, ${a>1,b>1}$. \end{enumerate} \finenonce{004490} \finexercice \exercice{4491, quercia, 2010/03/14} \enonce{004491}{Série des restes} Calculer $\sum_{n=0}^{+\infty}\sum_{k=n}^{+\infty}\frac1{k!}$. \finenonce{004491} \finexercice \exercice{4492, quercia, 2010/03/14} \enonce{004492}{Série des restes} Calculer $\sum_{p=1}^{+\infty}\sum_{q=p}^{+\infty}\frac{(-1)^p}{q^3}$ en fonction de $\zeta(3)$. \finenonce{004492} \finexercice \exercice{4493, quercia, 2010/03/14} \enonce{004493}{Non interversion des sommations} On pose $a_{n,p} = \frac1{\strut n^2-p^2}$ si $n\ne p$ et $a_{n,n} = 0$. \begin{enumerate} \item Expliquer simplement pourquoi la suite double $(a_{n,p})_{(n,p)\in\N^2}$ n'est pas sommable. \item Calculer $\sum_{n=0}^\infty\sum_{p=0}^\infty a_{n,p}$ et $\sum_{p=0}^\infty\sum_{n=0}^\infty a_{n,p}$. \end{enumerate} \finenonce{004493} \finexercice \exercice{4494, quercia, 2010/03/14} \enonce{004494}{Identité remarquable} Montrer que pour $x\in\C$, $|x|<1$, on a l'égalité : $\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{x^{2n+1}}{1-x^{2n+1}}= \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{x^{n}}{1-x^{2n}}$. \finenonce{004494} \finexercice \exercice{4495, quercia, 2010/03/14} \enonce{004495}{Calcul de somme} Soit $z\in\C$ tel que $|z| < 1$. Montrer que $\sum_{n=1}^\infty \frac{z^n}{\strut 1-z^n} = \sum_{n=1}^\infty d(n)z^n$ où $d(n)$ est le nombre de diviseurs positifs de $n$. \finenonce{004495} \finexercice \exercice{4496, quercia, 2010/03/14} \enonce{004496}{Centrale MP 2000} Soit $S(t) = \sum_{n=1}^\infty \frac{t^n}{1+t^n}$. \begin{enumerate} \item Pour quelles valeurs de~$t$ $S(t)$ a-t-elle un sens~? \item Montrer que $S(t) = \sum_{k=1}^\infty (-1)^{k-1}\frac{t^k}{1-t^k}$. \item Soit $F_m(t) = \sum_{k=1}^m (-1)^{k-1}\frac{t^k(1-t)}{1-t^k}$. Montrer que $(F_m(t))$ converge uniformément vers $(1-t)S(t)$ sur $[0,1]$. En déduire la limite en~$1$ de $(1-t)S(t)$. On rappelle que $\ln2 = \sum_{m=1}^\infty \frac{(-1)^{m-1}}m$. \item Calculer le développement en série entière de~$S(t)$. Donner une interprétation arithmétique des coefficients de ce développement et préciser leur signe en fonction de~$n$. \end{enumerate} \finenonce{004496} \finexercice \exercice{4497, quercia, 2010/03/14} \enonce{004497}{Centrale MP 2002} Soient $a,b,c\in\N^*$. On pose $f(z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{z^{bn}}{1-z^{an+c}}$. \begin{enumerate} \item Étudier la convergence de la série et montrer qu'on peut intervertir $b$ et $c$ dans la formule. \item Développer en série entière~: $\sum_{m=1}^\infty\frac{z^{2m}}{1-z^m}$. \end{enumerate} \finenonce{004497} \finexercice \exercice{4498, quercia, 2010/03/14} \enonce{004498}{Calcul de sommes} Calculer les sommes suivantes : $A = \sum_{(p,q)\in(\N^*)^2}\frac1{p^2q^2}$, $B = \sum_{(p,q)\in(\N^*)^2 ; p|q}\frac1{p^2q^2}$ et $C = \sum_{(p,q)\in(\N^*)^2 ; p\wedge q=1}\frac1{p^2q^2}$. \finenonce{004498} \finexercice \exercice{4499, quercia, 2010/03/14} \enonce{004499}{Série harmonique alternée} On réordonne les termes de la série harmonique alternée en prenant tour à tour $p$ termes positifs puis $q$ termes négatifs, $p,q\ge 1$. Calculer la somme de la série correspondante. \finenonce{004499} \finexercice \exercice{4500, quercia, 2010/03/14} \enonce{004500}{Familles de carrés sommable} \begin{enumerate} \item Soit $P\in\R[X]$. Vérifier que~: $ \int_{t=-1}^1 P(t)\,d t + i \int_{\theta=0}^\pi P(e^{i\theta})e^{i\theta}\, d\theta=0$. En déduire~: $ \int_{t=0}^1P^2(t)\,d t \le \frac12 \int_{\theta=-\pi}^\pi |P(e^{i\theta})|^2\, d\theta$. \item Soient $2n$ réels positifs $a_1,\dots,a_n,b_1,\dots,b_n$. Montrer que $\sum_{k=1}^n\sum_{\ell=1}^n \frac{a_kb_\ell}{\strut k+\ell} \le \pi\sqrt{\sum_{k=1}^n a_k^2}\,\sqrt{\sum_{\ell=1}^n b_\ell^2}$. \item Soient $(a_k)_{k\in\N}$ et $(b_\ell)_{\ell\in\N}$ deux suites complexes de carrés sommables. Montrer que la suite double $\left(\frac{a_kb_\ell}{\strut k+\ell}\right)_{(k,\ell)\in\N^2}$ est sommable. \end{enumerate} \finenonce{004500} \finexercice \exercice{4501, quercia, 2010/03/14} \enonce{004501}{Associativité générale} Soit $(a_i)_{i\in I}$ une famille sommable et $(I_n)_{n\in\N}$ une suite croissante de parties de~$I$, non nécéssairement finies, telle que $\bigcup_{n\in\N}I_n = I$. Montrer que $\sum_{i\in I_n} a_i \to \sum_{i\in I} a_i$ lorsque $n\to\infty$. En déduire que si $(J_n)_{n\in\N}$ est une partition dénombrable de~$I$ alors $\sum_{i\in I}a_i = \sum_{n=0}^\infty\sum_{i\in J_n}a_i$. \finenonce{004501} \finexercice \exercice{4502, quercia, 2010/03/14} \enonce{004502}{Mines MP 2001} Déterminer l'ensemble de définition de $f(x) = \sum_{k=2}^\infty\frac{(-1)^k}{x+k}$. Montrer que $f$ est de classe $\mathcal{C}^\infty$ sur son domaine et la développer en série entière. \finenonce{004502} \finexercice \section{ 122.06 Fonction exponentielle complexe } \exercice{4403, quercia, 2010/03/12} \enonce{004403}{$\cos z$} Quels sont les complexes $z$ tels que $\cos z \in {[-1,1]}$ ? \finenonce{004403} \finexercice \exercice{4404, quercia, 2010/03/12} \enonce{004404}{$\lim((1+z/n)^n)$} Soit $z\in\C$. Montrer que $\left(1+\frac zn\right)^n \to e^z$ lorsque $n\to\infty$. \finenonce{004404} \finexercice \exercice{4405, quercia, 2010/03/12} \enonce{004405}{Inégalité} Soit $z \in \C$. Montrer que $|e^z-1| \le e^{|z|}-1 \le |z|e^{|z|}$. \finenonce{004405} \finexercice \exercice{4406, quercia, 2010/03/12} \enonce{004406}{Inégalité, Polytechnique MP$^*$ 2006} Soit $z=x+iy\in\C$ avec $x,y\in\R$ et $x\ne 0$. Montrer que $\Bigl|\frac{e^z-1}z\Bigr|\le\Bigl|\frac{e^x-1}x\Bigr|$. Que dire en cas d'égalité~? \finenonce{004406} \finexercice \exercice{4407, quercia, 2010/03/12} \enonce{004407}{Morphismes $(\R,+) \to (\C,*)$} Soit $f : \R \to {\C^*}$ telle que : $\forall\ x,y\in\R,\ f(x+y) = f(x)f(y)$. \begin{enumerate} \item Si $f$ est dérivable, montrer qu'il existe $\lambda \in \C$ tel que : $\forall\ x \in \R,\ f(x) = e^{\lambda x}$. \item Obtenir le même résultat si $f$ est seulement supposée continue (prendre une primitive, $F$, de $f$ et montrer qu'elle est de classe $\C^2$). \end{enumerate} \finenonce{004407} \finexercice \exercice{4408, quercia, 2010/03/12} \enonce{004408}{$e^z = z$} Montrer qu'il existe une infinité de complexes $z$ tels que $e^z = z$ (on calculera $x$ en fonction de $y$, et on étudiera l'équation obtenue). \finenonce{004408} \finexercice \exercice{4409, quercia, 2010/03/12} \enonce{004409}{\'Equations trigonométriques} Résoudre dans $\C$ : \begin{enumerate} \item $\cos z = 2$. \item $\ch z = -1$. \item $\sin z + \sin jz + \sin j^2z = 0$. \item $8\cos z + 4i\sin z = 7 + 5i$. \end{enumerate} \finenonce{004409} \finexercice \exercice{4410, quercia, 2010/03/12} \enonce{004410}{$|\cos|$ et $|\sin|$ sur le cercle unité} Calculer $\sup\{|\cos z| \text{ tel que } |z|\le 1\}$ et $\sup\{|\sin z| \text{ tel que } |z|\le 1\}$. \finenonce{004410} \finexercice \exercice{4411, quercia, 2010/03/12} \enonce{004411}{Courbes} Soient $M,M'$ deux points du plan d'affixes $z = x+iy$ et $z' = x'+iy'$. \begin{enumerate} \item On suppose que $z$ et $z'$ sont liés par la relation : $z' = e^z$. \'Etudier la courbe décrite par $M'$ lorsque $M$ décrit~: \begin{enumerate} \item une droite $x = $ cste. \label{droite verticale} \item une droite $y = $ cste. \label{droite horizontale} \item une droite quelconque. \end{enumerate} \item Reprendre les questions \ref{droite verticale} et \ref{droite horizontale} avec $z' = \cos z$. \end{enumerate} \finenonce{004411} \finexercice \exercice{4412, quercia, 2010/03/12} \enonce{004412}{Centrale MP 2002} Résoudre dans $\mathcal{M}_2(\C)$~: $\exp(M) = \begin{pmatrix}2i&1+i\cr0&2i\cr\end{pmatrix}$. \finenonce{004412} \finexercice \section{ 122.99 Autre } \exercice{1946, gineste, 2001/11/01} \enonce{001946}{Examen 2000} Soit $a>0$ fix\'e. Pour $n$ entier positif ou nul on définit $P_n(a)$ par $P_0(a)=1$, $P_1(a)=a$, $P_2(a)=a(a+1)$ et, plus g\'en\'eralement $P_{n+1}(a)=(n+a)P_n(a)$. Montrer que $$L(a)=\lim _{n\infty}\frac{P_n(a)}{n!n^{a-1}}$$ existe et est un nombre strictement positif. M\'ethode: consid\'erer la s\'erie de terme g\'en\'eral pour $n>0$: $u_n= \log(n+a)-a\log(n+1)+(a-1)\log n,$ comparer sa somme partielle d'ordre $n-1$ avec $\log \frac{P_n(a)}{n!n^{a-1}},$ et, ... l'aide d'un d\'eveloppement limit\'e en $1/n$ d'ordre convenable, montrer que, $\sum _{n=1}^{\infty}u_n$ converge. \finenonce{001946} \finexercice \exercice{1947, gineste, 2001/11/01} \enonce{001947}{} Soit $\alpha$ et $\beta$ deux nombres r\'eels ou complexes tels que $\alpha\beta=-1$ et $|\alpha|>1>|\beta|.$ Pour $n$ dans l'ensemble ${\bf Z}$ des entiers positifs ou n\'egatifs on pose $F_n=\frac{1}{\alpha-\beta}(\alpha^n-\beta^n)$ et $L_n=\alpha^n+\beta^n$ (si $\alpha+\beta=1$ ces nombres sont appel\'es entiers de Fibonacci (1225) et de Lucas (1891)). \begin{enumerate} \item Montrer par le crit\`ere de D'Alembert que la s\'erie $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{F_{2n+1}+1}$ converge et calculer la limite de $Q_n=L_n/F_n$ si $n\rightarrow +\infty.$ . \item On admet (identit\'e de Backstrom (1981)) que pour tous $n$ et $k$ de ${\bf Z}$ on a $$ \frac{1}{F_{4n-2k-1}+F_{2k+1}}+\frac{1}{F_{4n+2k+1}+F_{2k+1}}=\frac{1}{2L_{2k+1}} \left(Q_{2n+2k+1}-Q_{2n-2k-1}\right).$$ En faisant $k=0$ dans cette identit\'e, calculer la somme partielle d'ordre $2n$ de la s\'erie initiale, c'est \`a dire $s_{2n}=\sum_{j=1}^{2n}\frac{1}{F_{2j+1}+1}$ en montrant par r\'ecurrence sur $n$ que $s_{2n}=\frac{1}{2L_1} (Q_{2n+1}-Q_1).$ En d\'eduire la somme de la s\'erie en termes de $\alpha$ et $\beta.$ Donner une expression simple du terme g\'en\'eral de la s\'erie et de sa somme si $\alpha=\exp t$ et $\beta=-\exp (-t)$ si $t $ est r\'eel. \item Montrer que la s\'erie $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{F_{2n+1}+F_3}$ converge et calculer sa somme. \end{enumerate} \finenonce{001947} \finexercice \exercice{2656, matexo1, 2002/02/01} \enonce{002656}{} Indiquer pour quelles valeurs de $\alpha \in\R$ la s\'erie $$\sum_{n\geq 0}\alpha ^n$$ converge, et calculer sa somme. En d\'eduire l'\'ecriture en base 10 des nombres $1/9$ et $1/11$ et plus g\'en\'eralement en base $k$, du nombre $1/(k-1)$ et du nombre $1/(k+1)$. \finenonce{002656} \finexercice \exercice{2726, matexo1, 2002/02/01} \enonce{002726}{} En comparant avec les int\'egrales de Wallis $$I_n = \int_0^{\pi /2} \cos^n t\,dt,$$ d\'eterminer la nature et calculer la somme de la s\'erie $$\displaystyle \sum_{n\geq 1} (-1)^n 2^{-2n} C_{2n}^n.$$ \finenonce{002726} \finexercice \exercice{4413, quercia, 2010/03/14} \enonce{004413}{\'Etude de convergence} \'Etudier la convergence des séries de terme général : \begin{enumerate} \item $\left(1+\frac 1n\right)^n - e$. \item $\ch^\alpha n - \sh^\alpha n$. \item $2\ln(n^3+1) - 3\ln(n^2+1)$. \item $\sqrt[n] {n+1} - \sqrt[n] n$. \item $\arccos\left(\frac {n^3+1}{n^3+2} \right)$. \item $\frac {a^n}{1+a^{2n}}$. \item $\frac{(-1)^n}{\sqrt{n^2+n}}$. \item $\frac{(-1)^n}{\ln n}$. \item $\frac{1+(-1)^n\sqrt n}n$. \item $\frac{2.4.6\dots(2n)}{n^n}$. \item $\frac{1!+2!+\dots+n!}{(n+2)!}$. \item $\frac{1!-2!+\dots\pm n!}{(n+1)!}$. \item $\frac{(-1)^n}{\ln n + \sin(2n\pi/3)}$. \item $\sqrt{1+\frac{(-1)^n}{\sqrt n}}-1$. \item $\frac{(-1)^n}{\sqrt n + (-1)^n}$. \item $\frac{(-1)^{[\sqrt n\,]}}n$. \item $\frac{(\ln n)^n}{n^{\ln n}}$. \item $\frac1{(\ln n)^{\ln n}}$. \end{enumerate} \finenonce{004413} \finexercice \exercice{4414, quercia, 2010/03/14} \enonce{004414}{Centrale PC 1999} Soit la suite de terme général~: $u_n = (n^4+n^2)^{1/4}-P(n)^{1/3}$ où $P$ est un polynôme. A quelle condition sur~$P$ la série $\sum u_n$ converge-t-elle~? \finenonce{004414} \finexercice \exercice{4415, quercia, 2010/03/14} \enonce{004415}{Ensi PC 1999} Quelle est la nature de la série de terme général $\ln\Bigl(1+\frac{(-1)^n}{\sqrt{n(n+1)}}\Bigr)$~? \finenonce{004415} \finexercice \exercice{4416, quercia, 2010/03/14} \enonce{004416}{Mines MP 2000} Soit $\alpha >0$. Étudier la série $\sum u_n$, avec $u_n=\frac{(-1)^n}{\sqrt{n^{\alpha}+(-1)^n}}\cdotp$ \finenonce{004416} \finexercice \exercice{4417, quercia, 2010/03/14} \enonce{004417}{Mines MP 2003} Si $\alpha>0$, donner la nature des séries $\sum_{n\ge 2}\frac{(-1)^n}{(-1)^n+n^\alpha}$, $\sum_{n\ge 2}\ln\Bigl(1+\frac{(-1)^n}{n^\alpha}\Bigr)$ et $\sum_{n\ge 2}\frac1{n\ln n}$. \finenonce{004417} \finexercice \exercice{4418, quercia, 2010/03/14} \enonce{004418}{Ensi PC 1999} Soit $(u_n)$ une suite réelle telle que $\frac{u_{2n+1}}{u_{2n}}\to a$ et $\frac{u_{2n}}{u_{2n-1}}\to b$ lorsque $n\to\infty$. \'Etudier la convergence de $\sum u_n$. \finenonce{004418} \finexercice \exercice{4419, quercia, 2010/03/14} \enonce{004419}{Encadrement} Soient $\sum u_n$, $\sum v_n$, $\sum w_n$ trois séries réelles telles que $\sum u_n$ et $\sum w_n$ convergent, et ${u_n \le v_n \le w_n}$ pour tout~$n$. Montrer que $\sum v_n$ converge. \finenonce{004419} \finexercice \exercice{4420, quercia, 2010/03/14} \enonce{004420}{Calcul approché} Montrer que la série $\sum_{n=1}^\infty \Bigl(n\sin(0.4/n)\Bigr)^n$ converge. Calculer à la machine une valeur approchée à $10^{-8}$ près de sa somme. \finenonce{004420} \finexercice \exercice{4421, quercia, 2010/03/14} \enonce{004421}{Ensi MP 2002} On suppose que la série à termes positifs de terme général $u_n$ est divergente et on pose $S_n=\sum_{k=0}^n u_k$. Soit $f : {\R^+} \to {\R^+}$ une application continue décroissante. Comparer les énoncés~: 1. $f$ est intégrable 2. La série de terme général $u_nf(S_n)$ converge. \finenonce{004421} \finexercice \exercice{4422, quercia, 2010/03/14} \enonce{004422}{Centrale P' 1996} Montrer que la série $\sum_{n=1}^\infty \frac{n^2}{(1+n^2)^2}$ converge. Calculer une valeur approchée à $10^{-4}$ près de sa somme. \finenonce{004422} \finexercice \exercice{4423, quercia, 2010/03/14} \enonce{004423}{${C_{2n}^n}/{n4^n}$} L'une au moins des deux séries : $\sum \frac{C_{2n}^n}{n4^n}$ et $\sum \frac{n4^n}{C_{2n}^n}$ diverge. Dire pourquoi et dire laquelle. \finenonce{004423} \finexercice \exercice{4424, quercia, 2010/03/14} \enonce{004424}{$1/(1+n^2u_n)$, Mines-Ponts MP 2005} Soit $(u_n)$ une suite réelle positive et $v_n = \frac1{1+n^2u_n}$. Montrer que $\sum u_n$ converge $ \Rightarrow \sum v_n$ diverge. \'Etudier le cas où $\sum u_n$ diverge. \finenonce{004424} \finexercice \exercice{4425, quercia, 2010/03/14} \enonce{004425}{${a_n}/{(1+a_1)(1+a_2)\dots(1+a_n)}$} Soit $(a_n)$ une suite réelle positive. On pose $u_n = \frac {a_n}{(1+a_1)(1+a_2)\dots(1+a_n)}$. \begin{enumerate} \item Montrer que la série $\sum u_n$ converge. \item Calculer $\sum_{n=1}^\infty u_n$ lorsque $a_n = \frac 1{\sqrt n}$. \end{enumerate} \finenonce{004425} \finexercice \exercice{4426, quercia, 2010/03/14} \enonce{004426}{$1/a^{\text{nb de chiffres de }n}$} Pour $n \in \N^*$ on note $p_n$ le nombre de chiffres de l'écriture décimale de $n$ (sans zéros inutiles). Soit $a > 0$. \'Etudier la convergence et déterminer la somme éventuelle de la série $\sum_{k=1}^\infty \frac1{a^{p_k}}$. \finenonce{004426} \finexercice \exercice{4427, quercia, 2010/03/14} \enonce{004427}{Cauchy-Schwarz} Soient $(u_n)$, $(v_n)$ deux suites réelles telles que $\sum u_n^2$ et $\sum v_n^2$ convergent. \begin{enumerate} \item Montrer que $\sum u_nv_n$ converge. \item Montrer que $\sum (u_n+v_n)^2$ converge et : $\sqrt{\sum(u_n+v_n)^2} \le \sqrt{\sum u_n^2} + \sqrt{\sum v_n^2}$. \end{enumerate} \finenonce{004427} \finexercice \exercice{4428, quercia, 2010/03/14} \enonce{004428}{${(-1)^n}/(n^{3/4}+\cos n)$} Soit $u_n = \frac{(-1)^n}{n^{3/4}+\cos n}$. \begin{enumerate} \item La série $\sum u_n$ est-elle absolument convergente ? \item En écrivant $u_n = \frac{(-1)^n}{n^{3/4}} + v_n$, étudier la convergence de $\sum u_n$. \end{enumerate} \finenonce{004428} \finexercice \exercice{4429, quercia, 2010/03/14} \enonce{004429}{Reste d'une série alternée} On pose $u_n = \sum_{k=n}^\infty \frac {(-1)^k}{\sqrt{k+1}}$. \'Etudier la convergence de la série $\sum u_n$. \finenonce{004429} \finexercice \exercice{4430, quercia, 2010/03/14} \enonce{004430}{Calcul de sommes} Calculer les sommes des séries suivantes : \begin{enumerate} \item $\sum_{k=2}^\infty \frac 1{k^2-1}$. \item $\sum_{k=1}^\infty \frac 1{k(k+1)(k+2)}$. \item $\sum_{k=1}^\infty \frac 1{k(k+1)\dots(k+p)}$. \item $\sum_{k=0}^\infty \frac 1{k^3+8k^2+17k+10}$. \item $\sum_{k=1}^\infty \ln\left(1+\frac2{k(k+3)}\right)$. \item $\sum_{k=2}^\infty \ln\left(1-\frac1{k^2}\right)$. \item $\sum_{k=0}^\infty \ln\left(\cos\frac\alpha{2^k}\right)$. \item $\sum_{k=0}^\infty 2^{-k}\tan(2^{-k}\alpha)$. \item $\sum_{k=0}^\infty \frac{2k^3-3k^2+1}{(k+3)!}$. \item $\sum_{n=p}^\infty C_n^p x^n$. \item $\sum_{k=1}^\infty \frac{x^k}{(1-x^k)(1-x^{k+1})}$. \item $\sum_{k=1}^\infty \frac{k-n[k/n]}{k(k+1)}$. \end{enumerate} \finenonce{004430} \finexercice \exercice{4431, quercia, 2010/03/14} \enonce{004431}{} Convergence et somme de la série de terme général $u_n=\frac{\strut\lfloor\sqrt{n+1}\rfloor-\lfloor\sqrt{n}\rfloor}n$. \finenonce{004431} \finexercice \exercice{4432, quercia, 2010/03/14} \enonce{004432}{Chimie P 90} \begin{enumerate} \item Résoudre les équations différentielles : $y'' + 2y' + 2y = 0$, $y'' + 4y' + 4y = 2e^{-x}\cos x$. \item Soit $f$ la solution commune. On définit la série de terme général $u_n = \int_{x=n\pi}^{(n+1)\pi} f(x)\,dx$. Montrer que $\sum u_n$ converge et calculer sa somme. \end{enumerate} \finenonce{004432} \finexercice \exercice{4433, quercia, 2010/03/14} \enonce{004433}{$1/n^2(n+1)^2$} On admet que $\sum_{k=1}^\infty \frac1{k^2} = \frac{\pi^2}6$. Calculer $\sum_{k=1}^\infty \frac 1{k^2(k+1)^2}$. \finenonce{004433} \finexercice \exercice{4434, quercia, 2010/03/14} \enonce{004434}{$1/(1^2+2^2+...+n^2)$} On admet que $\sum_{k=1}^\infty \frac {(-1)^{k+1}}k = \ln 2$. Montrer que la série $\sum_{k=1}^\infty \frac1{1^2 + 2^2 + \dots + k^2}$ est convergente et calculer sa somme. \finenonce{004434} \finexercice \exercice{4435, quercia, 2010/03/14} \enonce{004435}{$\ln(n) + a\ln(n+1) + b\ln(n+2)$} Pour quelles valeurs de $a,b\in \R$ la série de terme général $\ln(n) + a\ln(n+1) + b\ln(n+2)$ est-elle convergente~? Calculer alors la somme de la série. \finenonce{004435} \finexercice \exercice{4436, quercia, 2010/03/14} \enonce{004436}{$\Arctan(1/(k^2+k+1))$} Montrer que $\sum_{k=0}^\infty \Arctan\Bigl(\frac1{k^2+k+1}\Bigr) = \frac \pi2$. (On pourra calculer $\tan s_n$) \finenonce{004436} \finexercice \exercice{4437, quercia, 2010/03/14} \enonce{004437}{$\Arctan(n+a) - \Arctan n$} Soit $a \in \R$. \begin{enumerate} \item Montrer que la série de terme général $\Arctan(n+a) - \Arctan n$ est convergente. \item On pose $S(a) = \sum_{k=0}^\infty (\Arctan(k+a) - \Arctan k)$. Trouver $\lim_{a\to+\infty} S(a)$. \end{enumerate} \finenonce{004437} \finexercice \exercice{4438, quercia, 2010/03/14} \enonce{004438}{Pile en porte à faux} Peut-on empiler 100 pièces de 1F de sorte que la dernière soit complètement en porte à faux ? (c'est-à-dire que sa projection sur un plan horizontal ne rencontre pas la projection de la première pièce) \finenonce{004438} \finexercice \exercice{4439, quercia, 2010/03/14} \enonce{004439}{Recherche d'équivalents} Par comparaison à une intégrale, donner un équivalent de : \begin{enumerate} \item $\sum_{k=n+1}^{2n} \frac 1{\sqrt k}$. \item $\sum_{k=2}^{n} \frac 1{k\ln k}$. \end{enumerate} \finenonce{004439} \finexercice \exercice{4440, quercia, 2010/03/14} \enonce{004440}{$\ln^2(k)$} Par comparaison à une intégrale, donner un équivalent de $u_n = \sum_{k=1}^n \ln^2k $. La série de terme général $\frac1{u_n}$ est-elle convergente ? \finenonce{004440} \finexercice \exercice{4441, quercia, 2010/03/14} \enonce{004441}{$k^{-2/3}$} Trouver la partie entière de $\sum_{k=1}^{10^9} k^{-2/3}$. \finenonce{004441} \finexercice \exercice{4442, quercia, 2010/03/14} \enonce{004442}{$(-1)^k\sqrt k$} On pose $u_n = \sum_{k=1}^{2n} (-1)^k\sqrt k$. Donner un équivalent de $u_n$ quand $n\to\infty$. (Regrouper les termes deux par deux puis comparer à une intégrale) \finenonce{004442} \finexercice \exercice{4443, quercia, 2010/03/14} \enonce{004443}{Constante d'Euler} Soit $f : {\R^+} \to {\R^+}$ décroissante. On pose $u_n = f(n)$ et $s_n = u_0 + \dots + u_n$. Montrer que la suite de terme général $s_n - \int_{t=0}^{n+1} f(t)\,d t$ est convergente. Donner une interprétation graphique de ce fait. Application : On pose $\gamma = \lim_{n\to\infty} \left(1 + \frac 12 + \dots + \frac 1n - \ln n\right)$. Justifier l'existence de $\gamma$ et montrer que $\frac 12 \le \gamma \le 1$. \finenonce{004443} \finexercice \exercice{4444, quercia, 2010/03/14} \enonce{004444}{Constante d'Euler (Centrale MP 2003)} Soit $S_n = \sum_{k=1}^{n-1}\frac1k - \frac1n - \ln n$ et $T_n = \sum_{k=1}^{n-1}\frac1k + \frac1n - \ln n$. Les suites $(S_n)$ et $(T_n)$ sont-elles adjacentes~? \finenonce{004444} \finexercice \exercice{4445, quercia, 2010/03/14} \enonce{004445}{Constante d'Euler, Mines-Ponts MP 2005} Soit $u_{n,k}$ le reste de la division du $n$ par $k$. Quelle est la limite de $\frac1n\sum_{k=1}^n\frac{u_{n,k}}k$~? \finenonce{004445} \finexercice \exercice{4446, quercia, 2010/03/14} \enonce{004446}{Mines MP 2003} Soit la suite de terme général $u_n = \frac{\ln 2}2 + \frac{\ln 3}3 + \dots + \frac{\ln n}n$. \begin{enumerate} \item Donner un équivalent de~$u_n$ en~$+\infty$. \item Montrer que la suite de terme général~: $v_n = u_n - \frac{\ln^2n}2$ est convergente. \item Soit $\ell = \lim_{n\to\infty} v_n$. Donner un équivalent de~$v_n-\ell$. \end{enumerate} \finenonce{004446} \finexercice \exercice{4447, quercia, 2010/03/14} \enonce{004447}{Centrale MP 2001} Donner un équivalent simple de $\sum_{k=0}^{n-1}\frac1{n^2-k^2}$. \finenonce{004447} \finexercice \exercice{4448, quercia, 2010/03/14} \enonce{004448}{$1/n\ln^2(n)$} \begin{enumerate} \item Prouver la convergence de la série de terme général $u_n = \frac1{n\ln^2 n}$. \item On note $S_n = \sum_{k=2}^n u_k$ et $S = \sum_{k=2}^\infty u_k$. Montrer que $\frac1{\ln(n+1)} \le S-S_n \le \frac1{\ln n}$ pour $n \ge 2$. \item Montrer que si $S_n$ est une valeur approchée de $S$ à $10^{-3}$ près alors $n > 10^{434}$. \item On suppose disposer d'une machine calculant un million de termes de la série par seconde avec 12 chiffres significatifs. Peut-on obtenir une valeur approchée de $S$ à $10^{-3}$ près ? (Remarque : 1 an $\approx$ 32 millions de secondes) \item Donner une valeur approchée de $S$ à $10^{-3}$ près. \end{enumerate} \finenonce{004448} \finexercice \exercice{4449, quercia, 2010/03/14} \enonce{004449}{$(x-1)\zeta(x) \to 1$} Pour $x > 1$ on note $\zeta(x) = \sum_{k=1}^\infty \frac 1{k^x}$. En comparant $\zeta(x)$ à une intégrale, trouver $\lim_{x\to1^+} (x-1)\zeta(x)$. \finenonce{004449} \finexercice \exercice{4450, quercia, 2010/03/14} \enonce{004450}{$u_n/(1+u_n)$} Soit $\sum u_n$ une série à termes positifs et $v_n = \frac{u_n}{1+u_n}$. Montrer que $\sum u_n$ et $\sum v_n$ ont même nature. \finenonce{004450} \finexercice \exercice{4451, quercia, 2010/03/14} \enonce{004451}{Série des restes} \begin{enumerate} \item Soit $(u_n)$ une suite réelle telle que $\sum |u_n|$ et $\sum n|u_n|$ convergent. On note $v_n = \sum_{k=n}^\infty u_k$. \begin{enumerate} \item Montrer que $nv_n \to 0$ lorsque $n\to\infty$. \item Montrer que $\sum_{n=1}^\infty v_n = \sum_{n=1}^\infty nu_n$. \end{enumerate} \item Application : Calculer lorsque c'est possible : $\sum_{k=1}^\infty kr^k$. \end{enumerate} \finenonce{004451} \finexercice \exercice{4452, quercia, 2010/03/14} \enonce{004452}{X MP$^*$ 2001} Soit $(u_n)$ une suite réelle positive, $U_n=\sum_{i=0}^n u_i$ et $\alpha>0$ un réel donné. On suppose $\frac{U_n}{nu_n}\to \alpha$ lorsque $n\to\infty$. Étudier la suite de terme général $\frac1{n^2u_n}\sum_{k=0}^n ku_k$. \finenonce{004452} \finexercice \exercice{4453, quercia, 2010/03/14} \enonce{004453}{$\sum nu_n$ converge} On considère une suite $(u_n)_{n\ge 1}$ telle que la série $\sum_{n\ge 1} n\, u_n$ converge. Montrer que la série $\sum_{n\ge 1} u_n$ converge. \finenonce{004453} \finexercice \exercice{4454, quercia, 2010/03/14} \enonce{004454}{$(u_n)$ décroit} Soit $(u_n)_{n\ge 1}$ une suite réelle positive décroissante telle que $\sum u_n$ converge. \begin{enumerate} \item Montrer que $nu_n \to 0$ lorsque $n\to\infty$. $\Bigl($considérer $\sum_{k=n+1}^{2n} u_k \Bigr)$ \item Montrer que $\sum_{n=1}^\infty n(u_n - u_{n+1})$ converge et a même somme que $\sum_{n=1}^\infty u_n$. \item Application : calculer pour $0 \le r < 1$ : $\sum_{k=1}^\infty kr^k$ et $\sum_{k=1}^\infty k^2r^k$. \end{enumerate} \finenonce{004454} \finexercice \exercice{4455, quercia, 2010/03/14} \enonce{004455}{$u_n/S_n$} Soit $(u_n)$ une suite à termes strictement positifs convergeant vers~$0$. On pose $S_n = \sum_{k=0}^n u_k$. \begin{enumerate} \item Si la série $\sum u_n$ converge, que dire de la série $\sum \frac{u_n}{S_n}$ ? \item Si la série $\sum u_n$ diverge, montrer que la série $\sum \frac{u_n}{S_n}$ diverge aussi. On pourra considérer $p_n = \prod_{k=1}^n \left(1-\frac{u_k}{S_k}\right)$. \end{enumerate} \finenonce{004455} \finexercice \exercice{4456, quercia, 2010/03/14} \enonce{004456}{Polytechnique MP$^*$ 2000} On donne une suite de réels strictement positifs $(a_n)$, décroissante et de limite nulle. Montrer que la série de terme général $\frac{a_n-a_{n+1}}{a_n}$ diverge. \finenonce{004456} \finexercice \exercice{4457, quercia, 2010/03/14} \enonce{004457}{$(u_n + u_{n+1} + \dots + u_{2n-1})/n$} Soit $\sum u_n$ une série à termes positifs. On pose $v_n = \frac{ u_n + u_{n+1} + \dots + u_{2n-1} }n$. Montrer que $\sum v_n$ a même nature que $\sum u_n$. \finenonce{004457} \finexercice \exercice{4458, quercia, 2010/03/14} \enonce{004458}{$\sum ku_k/n(n+1)$} Soit $(u_n)_{n\ge 1}$ une suite positive. On pose $v_n = \frac{1}{n(n+1)}\sum_{k=1}^n ku_k$. Montrer que les séries $\sum u_n$ et $\sum v_n$ ont même nature et éventuellement même somme. \finenonce{004458} \finexercice \exercice{4459, quercia, 2010/03/14} \enonce{004459}{$\sum ku_k/n^2$} Soit $\sum u_n$ une série à termes positifs convergente. \'Etudier la convergence de la série de terme général $v_n = \frac1{n^2}\sum_{k=1}^n ku_k$. \finenonce{004459} \finexercice \exercice{4460, quercia, 2010/03/14} \enonce{004460}{Principe d'accumulation} Soit $(u_n)$ une suite réelle positive décroissante. On pose $v_n = 2^nu_{2^n}$. Montrer que les séries $\sum u_n$ et $\sum v_n$ ont même nature. Applications : Retrouver la convergence des séries de Riemann $\sum\frac1{n^\alpha}$.\par \'Etudier la convergence des séries de Bertrand~: $\sum\frac1{n(\ln n)^\alpha}$. \finenonce{004460} \finexercice \exercice{4461, quercia, 2010/03/14} \enonce{004461}{$u_{n+1} = 1/{ne^{u_n}}$. Ensi P 90} Soit $(u_n)$ définie par : $u_1 \in \R$, $u_{n+1} = \frac1{ne^{u_n}}$. Quelle est la nature de la série $\sum u_n$ ? \finenonce{004461} \finexercice \exercice{4462, quercia, 2010/03/14} \enonce{004462}{$x_{n+1} = x_n + x_n^2$} Soit $(x_n)$ une suite définie par : $x_0 > 0$, $\forall\ n \in \N,\ x_{n+1} = x_n + x_n^2$. \begin{enumerate} \item Montrer que $x_n \to +\infty$ lorsque $n\to\infty$. \item On pose $u_n = 2^{-n}\ln x_n$. Montrer que la suite $(u_n)$ est convergente. (On étudiera la série $\sum u_{n+1}-u_n$) \item En déduire qu'il existe $\alpha > 0$ tel que $x_n \sim \alpha^{2^n}$. \end{enumerate} \finenonce{004462} \finexercice \exercice{4463, quercia, 2010/03/14} \enonce{004463}{$u_{n+1} = u_n - u_n^2$} On considère la suite $(u_n)$ définie par : $0 < u_0 < 1$ et $\forall\ n\in\N,\ u_{n+1} = u_n - u_n^2$. \begin{enumerate} \item Montrer que la suite $(u_n)$ converge. Quelle est sa limite ? \item Montrer que la série de terme général $u_n^2$ converge. \item Montrer que les séries de termes généraux $\ln\left(\frac{u_{n+1}}{u_n}\right)$ et $u_n$ divergent. \item Montrer que $u_n < \frac 1{n+1}$ et que la suite $(nu_n)$ est croissante. On note $\ell$ sa limite. \item On pose $u_n = \frac{\ell-v_n}n$. Montrer que la série de terme général $v_{n+1}-v_n$ converge. \item En déduire que $u_n$ est équivalent à $\frac 1n$. \end{enumerate} \finenonce{004463} \finexercice \exercice{4464, quercia, 2010/03/14} \enonce{004464}{$u_{n+1}/u_n = (n+a)/(n+b)$} Soit $(u_n)$ une suite définie par la donnée de $u_0 \in \R^*$ et la relation : $\forall\ n\in\N,\ \frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{n+a}{n+b}$ où $a$, $b$ sont deux constantes réelles ($-a,-b\notin\N$). \begin{enumerate} \item Montrer que $u_n$ est de signe constant à partir d'un certain rang. \item On pose $v_n = (n+b-1)u_n$. \'Etudier la convergence de la suite $(v_n)$ (on introduira la série de terme général $\ln(v_{n+1})-\ln(v_n)$). \item En déduire que la série $\sum u_n$ converge si et seulement si $a-b+1 < 0$ et calculer sa somme en fonction de $a,b,u_0$. \end{enumerate} \finenonce{004464} \finexercice \exercice{4465, quercia, 2010/03/14} \enonce{004465}{} On se donne $u_1$ et $a$ deux réels strictement positifs et l'on définit par récurrence la suite $(u_n)$ par $u_{n+1}=u_n+\frac1{n^a u_n}\cdotp$ Étudiez la limite de la suite $(u_n)$, et, quand $a\le1$, en donner un équivalent. \finenonce{004465} \finexercice \exercice{4466, quercia, 2010/03/14} \enonce{004466}{$1/{k^\alpha(n-k)^\alpha}$} Soit $\alpha > 0$. On pose $u_n = \sum_{k=1}^{n-1} \frac 1{k^\alpha(n-k)^\alpha}$. \'Etudier la convergence de $\sum u_n$. \finenonce{004466} \finexercice \exercice{4467, quercia, 2010/03/14} \enonce{004467}{Produit de Cauchy de trois séries} Soient $\sum a_n$, $\sum b_n$, $\sum c_n$ trois séries absolument convergentes de sommes $A$, $B$, $C$. On pose $u_n = \sum_{i+j+k=n} a_ib_jc_k$. Montrer que $\sum u_n = ABC$. \finenonce{004467} \finexercice \exercice{4468, quercia, 2010/03/14} \enonce{004468}{Produit de séries géométriques} Soient $a \in {[0,1[}$. \'Ecrire $\frac1{(1-a)^2}$ comme produit de deux séries. En déduire la somme de la série $\sum_{k=0}^\infty ka^k$. Calculer par la même méthode $\sum_{k=0}^\infty k^2a^k$. \finenonce{004468} \finexercice \exercice{4469, quercia, 2010/03/14} \enonce{004469}{Produit de séries géométriques} Pour $n \in \N$ on note $T_n$ le nombre de manières de décomposer $n$ francs avec des pièces de 1, 2, 5 et 10 francs ($T_0 = 1$). Montrer que : $$\forall\ x \in {[0,1[},\ \sum_{k=0}^\infty T_kx^k = \frac1{(1-x)(1-x^2)(1-x^5)(1-x^{10})}.$$ \finenonce{004469} \finexercice \exercice{4470, quercia, 2010/03/14} \enonce{004470}{$\sum u_k/2^{n-k}$} Soit $\sum u_n$ une série convergente. On pose $v_n = \frac{u_n}{1} + \frac{u_{n-1}}{2} + \dots + \frac{u_0}{2^n}$. \begin{enumerate} \item Montrer que $v_n \to 0$ lorsque $n\to\infty$. \item Montrer que $\sum v_n$ converge et donner sa valeur. \end{enumerate} \finenonce{004470} \finexercice \exercice{4471, quercia, 2010/03/14} \enonce{004471}{$\sum a_n/n^p = 0$} Soit $(a_n)$ une suite bornée telle que pour tout entier $p \ge 2$ : $\sum_{n=1}^\infty \frac{a_n}{n^p} = 0$. Montrer que : $\forall\ n\in\N^*,\ a_n = 0$. \finenonce{004471} \finexercice \exercice{4472, quercia, 2010/03/14} \enonce{004472}{$\sum x_{kn} = 0$} Soit $\sum_{n\ge1} x_n$ une série absolument convergente telle que pour tout entier $k \ge 1$ on a $\sum_{n=1}^\infty x_{kn} = 0$. Montrer que : $\forall\ n\in\N^*,\ x_n = 0$. \finenonce{004472} \finexercice \exercice{4473, quercia, 2010/03/14} \enonce{004473}{Césaro} \begin{enumerate} \item Soient $k,p \in \N$ avec $k \le p$. Montrer que $\sum_{n=k}^p \frac{{C_n^k}-C_n^{k+1}}{2^n} = \frac{C_{p+1}^{k+1}}{2^p}$. \item Soit $(u_n)$ une série convergente. On pose $v_n = \frac1{2^n} \sum_{p=0}^n C_n^pu_p$. Montrer que la série $(v_n)$ est convergente. \end{enumerate} \finenonce{004473} \finexercice \exercice{4474, quercia, 2010/03/14} \enonce{004474}{$nu_n\to 0$} Soit $(u_n)$ une série convergente à termes positifs décroissants. \begin{enumerate} \item Montrer que $nu_n\to 0$ lorsque $n\to\infty$. \item Montrer que $\sum_{u_k \ge 1/n} \frac 1{u_k} = \text{o}(n^2)$. \end{enumerate} \finenonce{004474} \finexercice \exercice{4475, quercia, 2010/03/14} \enonce{004475}{$u_n/R_n^p$} Soit $(a_n)$ une série positive convergente, $A = \sum_{k=0}^\infty a_k$, $R_n = \sum_{k=n}^\infty a_k$ et $p\in{]0,1[}$. \begin{enumerate} \item Montrer qu'il existe $C_p \in \R$ tel que $\sum_{n=0}^\infty \frac {a_n}{R_n^p} \le C_p A^{1-p}$. \item Trouver la meilleure constante $C_p$. \end{enumerate} \finenonce{004475} \finexercice \exercice{4476, quercia, 2010/03/14} \enonce{004476}{$u_{n+1} = u_n + {a_n}/{u_n}$} Soit $(a_n)$ une suite réelle positive et $(u_n)$ la suite définie par la relation de récurrence~: $u_{n+1} = u_n + \frac{a_n}{u_n}$ avec $u_0 > 0$. Montrer que la suite $(u_n)$ converge si et seulement si la série $\sum a_n$ converge. \finenonce{004476} \finexercice \exercice{4477, quercia, 2010/03/14} \enonce{004477}{Raabe-Duhamel} Soit $(u_n)$ une suite réelle positive telle que $\frac{u_{n+1}}{u_n} = 1 - \frac\alpha n + O\left(\frac 1{n^2}\right)$. Montrer qu'il existe $A > 0$ tel que $u_n\sim \frac A{n^\alpha}$. \finenonce{004477} \finexercice \exercice{4478, quercia, 2010/03/14} \enonce{004478}{Stirling$++$} Montrer que $n! = \left(\frac ne\right)^n\sqrt{2\pi n}\left(1+\frac 1{12n} + O\left(\frac 1{n^2}\right)\right)$. \finenonce{004478} \finexercice \exercice{4479, quercia, 2010/03/14} \enonce{004479}{Développement factoriel} Soit $\cal S$ l'ensemble des suites croissantes d'entiers $(q_i)$ telles que $q_0\ge 2$. \begin{enumerate} \item Si $s = (q_i) \in \cal S$, montrer que la série $\sum_{k=0}^\infty \frac1{q_0\dots q_k}$ converge. On note $\Phi(s)$ sa somme. \item Montrer que l'application $\Phi : {\cal S} \to {]0,1]}$ est bijective. \item Soit $s = (q_i) \in \cal S$. Montrer que $\Phi(s) \in\Q$ si et seulement si $s$ est stationnaire. \end{enumerate} \finenonce{004479} \finexercice \exercice{4480, quercia, 2010/03/14} \enonce{004480}{Développement asymptotique} \begin{enumerate} \item Montrer qu'il existe $C\in\R$ tel que $\sum_{k=1}^n \frac{\ln k}k = \frac12\ln^2(n) + C + o(1)$. \item Prouver~: $\frac{\ln2}2 - \int_{t=1}^3\frac{\ln t}t\,d t \le C \le \frac{\ln2}2 + \frac{\ln3}3 - \int_{t=1}^3\frac{\ln t}t\,d t$. \item Prouver~: $\sum_{k=1}^n \frac{\ln k}k = \frac12\ln^2(n) + C + \frac{\ln n}{2n} + o\Bigl(\frac{\ln n}{n}\Bigr)$. \end{enumerate} \finenonce{004480} \finexercice \exercice{4481, quercia, 2010/03/14} \enonce{004481}{} Soit $(u_n)$ une suite de complexes telle que $\frac{u_1+\dots+u_n}n\to\ell\in\C$ lorsque $n\to\infty$. Montrer que $\frac{1}{\ln(n)}\Bigl(\frac{u_1}1+\dots+\frac{u_n}n\Bigr)\to \ell$ lorsque $n\to\infty$. \finenonce{004481} \finexercice \exercice{4482, quercia, 2010/03/14} \enonce{004482}{} Soit $(u_n)$ une suite de complexes qui converge au sens de Césaro vers zéro. Étudiez la suite de terme général $v_n=\sum_{k=0}^n \frac{u_k}{n+k+1}\cdotp$ \finenonce{004482} \finexercice \exercice{4483, quercia, 2010/03/14} \enonce{004483}{Centrale MP 2000} Soient deux suites de termes généraux $u_n$ et $v_n$ définies par la donnée de $u_1$ et~$v_1$, tous deux réels, et les relations~: $$u_{n+1} = u_n - \frac{v_n}{n(n+1)}, \qquad v_{n+1} = v_n + \frac{u_n}{n(n+1)}.$$ Montrer que ces suites sont définies et bornées. \finenonce{004483} \finexercice \exercice{4484, quercia, 2010/03/14} \enonce{004484}{Produits infinis, Polytechnique 2000} On considère une suite $(a_n)$ de réels et on définit $P_N=\prod_{n=1}^N(1+a_n)$ et $S_N=\sum_{n=1}^N a_n$. \begin{enumerate} \item On suppose que pour tout $n$, $a_n\ge 0$. \begin{enumerate} \item Montrer que, pour tout $N$, $1+S_N\le P_N \le e^{S_N}$. \item Comparer les convergences respectives des suites $(S_N)$ et $(P_N)$. \end{enumerate} \item On suppose maintenant que pour tout $n$, $-1\le a_n\le 0$. \begin{enumerate} \item La relation précédente est-elle encore vérifiée ? \item Discuter de la convergence des suites $(S_N)$ et $(P_N)$. \end{enumerate} \item On suppose que $(a_n)$ est de signe quelconque et que pour tout $n$, $1+a_n> 0$. On suppose de plus que la série $\sum a_n$ converge. Montrer que $(P_N)$ a une limite et que cette limite est nulle si et seulement si $\sum a_n^2$ diverge. \item Complément. On suppose que la suite $(a_n)$ est complexe, que pour tout $n$ $|a_n|<1$ et que la série $\sum |a_n|$ est convergente. \begin{enumerate} \item Montrer que $\prod_{n=1}^{\infty} (1+|a_n|)$ existe, puis que $\prod_{n=1}^{\infty} (1+a_n)$ existe $\Bigl($on pourra démontrer et utiliser l'inégalité $\Bigl|\prod_{n=1}^{N} (1+a_n)-1\Bigr|\le \prod_{n=1}^{N} (1+|a_n|)-1\Bigr)$. \item Montrer que $\prod_{n=1}^{\infty} (1+a_n)$ n'est pas nul. \end{enumerate} \end{enumerate} \finenonce{004484} \finexercice \exercice{4485, quercia, 2010/03/14} \enonce{004485}{Polytechnique MP 2002} Trouver les fonctions $f : {[0,1]} \to \R$ continues vérifiant~: $\forall\ x\in{[0,1]},\ f(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{f(x^n)}{2^n}$. \finenonce{004485} \finexercice \exercice{4486, quercia, 2010/03/14} \enonce{004486}{ENS Cachan MP$^*$ 2005} Soit $P(n)=\max\{p \text{ premier},\, p\mid n\}$. Montrer que $\sum_{n}\frac{1}{nP(n)}$ converge. \finenonce{004486} \finexercice \exercice{5142, rouget, 2010/06/30} \enonce{005142}{IT} Cet exercice est consacré aux sommes de termes consécutifs d'une suite arithmétique ou d'une suite géométrique. \begin{enumerate} \item (*) Calculer $\sum_{i=3}^{n}i$, $n\in\Nn\setminus\{0,1,2\}$, $\sum_{i=1}^{n}(2i-1)$, $n\in\Nn^*$, et $\sum_{k=4}^{n+1}(3k+7)$, $n\in\Nn\setminus\{0,1,2\}$. \item (*) Calculer le nombre $1,1111...=\lim_{n\rightarrow +\infty}1,\underbrace{11...1}_n$ et le nombre $0,9999...=\lim_{n\rightarrow +\infty}0,\underbrace{99...9}_n$. \item (*) Calculer $\underbrace{1-1+1-...+(-1)^{n-1}}_n$, $n\in\Nn^*$. \item (*) Calculer $\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+...=\lim_{n\rightarrow +\infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{2^k}$. \item (**) Calculer $\sum_{k=0}^{n}\cos\frac{k\pi}{2}$, $n\in\Nn$. \item (**) Soient $n\in\Nn$ et $\theta\in\Rr$. Calculer $\sum_{k=0}^{n}\cos(k\theta)$ et $\sum_{k=0}^{n}\sin(k\theta)$. \item (***) Pour $x\in[0,1]$ et $n\in\Nn^*$, on pose $S_n=\sum_{k=1}^{n}(-1)^{k-1}\frac{x^k}{k}$. Déterminer$\lim_{n\rightarrow +\infty}S_n$. \item (**) On pose $u_0=1$ et, pour $n\in\Nn$, $u_{n+1}=2u_n-3$. \begin{enumerate} \item Calculer la suite $(u_n-3)_{n\in\Nn}$. \item Calculer $\sum_{k=0}^{n}u_k$. \end{enumerate} \end{enumerate} \finenonce{005142} \finexercice\exercice{5150, rouget, 2010/06/30} \enonce{005150}{***I Inégalité de \textsc{Cauchy}-\textsc{Schwarz}} Soient $n\in\Nn^*$ et $a_1$, $a_2$,..., $a_n$, $b_1$, $b_2$,..., $b_n$, $2n$ réels. Montrer que $$|\sum_{k=1}^{n}a_kb_k|\leq\sum_{k=1}^{n}|a_k|.|b_k|\leq\sqrt{\sum_{k=1}^{n}a_k^2}\sqrt{\sum_{k=1}^{n}b_k^2}.$$ (Indication. Considérer le polynôme $f(x)=\sum_{k=1}^{n}(a_k+b_kx)^2$, développer puis ordonner suivant les puissances décroissantes puis utiliser, dans le cas général, les connaissances sur le second degré). Retrouver alors le résultat de l'exercice \ref{exo:suprou4bis}. \finenonce{005150} \finexercice\exercice{5458, rouget, 2010/07/10} \enonce{005458}{**} Montrer que $\sum_{k=1}^{n}\sin\frac{k}{n}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2n}+o(\frac{1}{n})$. \finenonce{005458} \finexercice \exercice{5688, rouget, 2010/10/16} \enonce{005688}{} \label{ex:rou1ter} Nature de la série de terme général \begin{center} \begin{tabular}{llll} \textbf{1) (*)} $\ln\left(\frac{n^2+n+1}{n^2+n-1}\right)$&\textbf{2) (*)} $\frac{1}{n+(-1)^n\sqrt{n}}$&\textbf{3) (**)} $\left(\frac{n+3}{2n+1}\right)^{\ln n}$ &\textbf{4) (**)} $\frac{1}{\ln(n)\ln(\ch n)}$\\ \textbf{5) (**)} $\Arccos\sqrt[3]{1-\frac{1}{n^2}}$&\textbf{6) (*)} $\frac{n^2}{(n-1)!}$&\textbf{7)} $\left(\cos\frac{1}{\sqrt{n}}\right)^n-\frac{1}{\sqrt{e}}$&\textbf{8) (**)} $\ln\left(\frac{2}{\pi}\Arctan\frac{n^2+1}{n}\right)$\\ \textbf{9) (*)} $\int_{0}^{\pi/2}\frac{\cos^2x}{n^2+\cos^2x}\;dx$& \textbf{10) (**)} $n^{-\sqrt{2}\sin(\frac{\pi}{4}+\frac{1}{n})}$& \textbf{11) (**)} $e-\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$ \end{tabular} \end{center} \finenonce{005688} \finexercice \exercice{5689, rouget, 2010/10/16} \enonce{005689}{} Nature de la série de terme général \textbf{1) (***)} $\sqrt[4]{n^4+2n^2}-\sqrt[3]{P(n)}$ où $P$ est un polynôme. \qquad\textbf{2) (**)} $\frac{1}{n^\alpha}S(n)$ où $S(n) =\sum_{p=2}^{+\infty}\frac{1}{p^n}$. \textbf{3) (**)} $u_n$ où $\forall n\in\Nn^*$, $u_n=\frac{1}{n}e^{-u_{n-1}}$. \textbf{4) (****)} $u_n=\frac{1}{p_n}$ où $p_n$ est le $n$-ème nombre premier (indication : considérer $\sum_{n=1}^{N}\ln\left(\frac{1}{1-\frac{1}{p_n}}\right)=\sum_{n=1}^{N}\ln(1+p_n+p_n^2+\ldots)$). \textbf{5) (***)} $u_n=\frac{1}{n(c(n))^\alpha}$ où $c(n)$ est le nombre de chiffres de $n$ en base $10$. \textbf{6) (*)} $\frac{\left(\prod_{k=2}^{n}\ln k\right)^a}{(n!)^b}$ $a > 0$ et $b> 0$.\qquad \textbf{7) (**)} $\Arctan\left(\left(1+\frac{1}{n}\right)^a\right) -\Arctan\left(\left(1-\frac{1}{n}\right)^a\right)$. \textbf{8) (**)} $\frac{1}{n^\alpha}\sum_{k=1}^{n}k^{3/2}$.\qquad \textbf{9) (***) } $\left(\prod_{k=1}^{n}\left(1+\frac{k}{n^\alpha}\right)\right)-1$. \finenonce{005689} \finexercice \exercice{5690, rouget, 2010/10/16} \enonce{005690}{} Nature de la série de terme général \textbf{1) (***)} $\sin\left(\frac{\pi n^2}{n+1}\right)$\qquad\textbf{2) (**)} $\frac{(-1)^n}{n+(-1)^{n-1}}$\qquad\textbf{3) (**)} $\ln\left(1+\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}\right)$\qquad\textbf{4) (***)} $\frac{e^{in\alpha}}{n}$, $\frac{\cos(n\alpha)}{n}$ et $\frac{\sin(n\alpha)}{n}$ \textbf{5) (**)} $(-1)^n\frac{\ln n}{n}$\qquad\item $(-1)^n\frac{P(n)}{Q(n)}$ où $P$ et $Q$ sont deux polynômes non nuls\qquad \textbf{7) (****)} $(\sin(n!\pi e))^p$ $p$ entier naturel non nul. \finenonce{005690} \finexercice \exercice{5691, rouget, 2010/10/16} \enonce{005691}{} \label{ex:rou4} Calculer les sommes des séries suivantes après avoir vérifié leur convergence. \begin{center} \begin{tabular}{lll} \textbf{1) (**)} $\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{n+1}{3^n}$&\textbf{2) (**)} $\sum_{n=3}^{+\infty}\frac{2n-1}{n^3-4n}$&\textbf{3) (***)} $\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{(3n)!}$\\ \textbf{4) (*)} $\sum_{n=2}^{+\infty}\left(\frac{1}{\sqrt{n-1}}+\frac{1}{\sqrt{n+1}}-\frac{2}{\sqrt{n}}\right)$& \textbf{5) (**)} $\sum_{n=2}^{+\infty}\ln\left(1+\frac{(-1)^n}{n}\right)$&\textbf{6) (***)} $\sum_{n=0}^{+\infty}\ln\left(\cos\frac{a}{2^n}\right)$ $a\in\left]0,\frac{\pi}{2}\right[$\\ textbf{7)} $\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{\tanh\frac{a}{2^n}}{2^n}$ \end{tabular} \end{center} \finenonce{005691} \finexercice \exercice{5692, rouget, 2010/10/16} \enonce{005692}{*** I} Soit $(u_n)_{n\in\Nn}$ une suite décroissante de nombres réels strictement positifs telle que la série de terme général $u_n$ converge. Montrer que $u_n\underset{n\rightarrow+\infty}{=}o\left(\frac{1}{n}\right)$. Trouver un exemple de suite $(u_n)_{n\in\Nn}$ de réels strictement positifs telle que la série de terme général $u_n$ converge mais telle que la suite de terme général $nu_n$ ne tende pas vers $0$. \finenonce{005692} \finexercice \exercice{5693, rouget, 2010/10/16} \enonce{005693}{***} Soit $\sigma$ une injection de $\Nn^*$ dans lui-même. Montrer que la série de terme général $\frac{\sigma(n)}{n^2}$ diverge. \finenonce{005693} \finexercice \exercice{5694, rouget, 2010/10/16} \enonce{005694}{**} Soit $(u_n)_{n\in\Nn}$ une suite de réels strictement positifs. Montrer que les séries de termes généraux $u_n$, $\frac{u_n}{1+u_n}$, $\ln(1+u_n)$ et $\int_{0}^{u_n}\frac{dx}{1+x^e}$ sont de mêmes natures. \finenonce{005694} \finexercice \exercice{5695, rouget, 2010/10/16} \enonce{005695}{***} Trouver un développement limité à l'ordre $4$ quand $n$ tend vers l'infini de $\left(e-\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}\right)\times(n+1)!$. \finenonce{005695} \finexercice \exercice{5696, rouget, 2010/10/16} \enonce{005696}{***} Nature de la série de terme général $u_n=\sin\left(\pi(2+\sqrt{3})^n\right)$. \finenonce{005696} \finexercice \exercice{5700, rouget, 2010/10/16} \enonce{005700}{**} Soit $\alpha\in\Rr$. Nature de la série de terme général $u_n=\frac{1+(-1)^nn^\alpha}{n^{2\alpha}}$, $n\geqslant1$. \finenonce{005700} \finexercice \exercice{5701, rouget, 2010/10/16} \enonce{005701}{****} On sait que $1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\ldots=\ln2$. A partir de la série précédente, on construit une nouvelle série en prenant $p$ termes positifs, $q$ termes négatifs, $p$ termes positifs ... (Par exemple pour $p = 3$ et $q = 2$, on s'intéresse à $1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{7}+\frac{1}{9}+\frac{1}{11}-\frac{1}{6}-\frac{1}{8}+\ldots$). Convergence et somme de cette série. \finenonce{005701} \finexercice \exercice{5702, rouget, 2010/10/16} \enonce{005702}{***} Nature de la série de terme général $u_n=\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{(k(n-k))^\alpha}$. \finenonce{005702} \finexercice \exercice{5703, rouget, 2010/10/16} \enonce{005703}{} Convergence et somme éventuelle de la série de terme général \begin{center} \textbf{1) (**)} $u_n =\frac{2n^3-3n^2+1}{(n+3)!}$\qquad\textbf{2) (***)} $u_n=\frac{n!}{(a+1)(a+2)\ldots(a+n)}$, $n\geqslant1$, $a\in\Rr^{+*}$ donné. \end{center} \finenonce{005703} \finexercice \exercice{5706, rouget, 2010/10/16} \enonce{005706}{*} Nature de la série de terme général $u_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{(n+k)^p}$, $p\in]0,+\infty[$. \finenonce{005706} \finexercice \exercice{5707, rouget, 2010/10/16} \enonce{005707}{*** I} Développement limité à l'ordre $4$ de $\sum_{k=n+1}^{+\infty}\frac{1}{k^2}$ quand $n$ tend vers l'infini. \finenonce{005707} \finexercice \exercice{5708, rouget, 2010/10/16} \enonce{005708}{} Partie principale quand $n$ tend vers $+\infty$ de \begin{center} \textbf{1) (***)} $\sum_{p=n+1}^{+\infty}(-1)^p\frac{\ln p}{p}$\qquad\textbf{2) (**)} $\sum_{p=1}^{n}p^p$. \end{center} \finenonce{005708} \finexercice \exercice{5709, rouget, 2010/10/16} \enonce{005709}{***} Soit $p\in\Nn^*$, calculer $\sum_{p\in\Nn^*}^{}\left(\sum_{n\in\Nn^*,\;n\neq p}^{}\frac{1}{n^2-p^2}\right)$ et $\sum_{n\in\Nn^*}^{}\left(\sum_{p\in\Nn^*,\;p\neq n}^{}\frac{1}{n^2-p^2}\right)$. Que peut-on en déduire ? \finenonce{005709} \finexercice \exercice{5710, rouget, 2010/10/16} \enonce{005710}{**} Calculer $\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{3n+1}$. \finenonce{005710} \finexercice \exercice{5711, rouget, 2010/10/16} \enonce{005711}{****} Soient $(u_n)_{n\geqslant1}$ une suite réelle. Pour $n\geqslant 1$, on pose $v_n=\frac{u_1+\ldots+u_n}{n}$. Montrer que si la série de terme général $(u_n)^2$ converge alors la série de terme général $(v_n)^2$ converge et que $\sum_{n=1}^{+\infty}(v_n)^2\leqslant4\sum_{n=1}^{+\infty}(u_n)^2$ (indication : majorer $v_n^2 - 2u_nv_n$). \finenonce{005711} \finexercice \exercice{5712, rouget, 2010/10/16} \enonce{005712}{***} Convergence et somme de la série de terme général $u_n=\frac{\pi}{4}-\sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^k}{2k+1}$, $n\geqslant 0$. \finenonce{005712} \finexercice \section{ 123.01 Continuité : théorie } \exercice{639, bodin, 1998/09/01} \video{RMlTCZ6T9wc} \enonce{000639}{} Soit $I$ un intervalle ouvert de $\Rr$, $f$ et $g$ deux fonctions d\'efinies sur $I$. \begin{enumerate} \item Soit $a\in I$. Donner une raison pour laquelle : $$\left( \lim_{x\rightarrow a}f(x)=f(a) \right) \Rightarrow \left( \lim_{x\rightarrow a} |f(x)|=|f(a)| \right). $$ \item On suppose que $f$ et $g$ sont continues sur $I$. En utilisant l'implication d\'emontr\'ee ci-dessus, la relation $\sup(f,g)=\frac{1}{2}(f+g+|f-g|)$, et les propri\'et\'es des fonctions continues, montrer que la fonction $\sup(f,g)$ est continue sur $I$. \end{enumerate} \finenonce{000639} \finexercice\exercice{640, bodin, 1998/09/01} \enonce{000640}{} Soit $f$ une fonction de $\lbrack a,b \rbrack$ dans $\lbrack a,b\rbrack$ telle que pour tout $x$ et $x'$ ($x\neq x'$) de $\lbrack a,b \rbrack$ on ait : $\ \ \vert f(x)-f(x')\vert<\vert x-x'\vert.$ \begin{enumerate} \item Montrer que $f$ est continue sur $\lbrack a,b\rbrack$. \item Montrer que l'\'equation $f(x)=x$ admet une et une seule solution \mbox{dans $\lbrack a,b\rbrack$.} (On pourra introduire la fonction: $x\mapsto g(x)=f(x)-x$). \end{enumerate} \finenonce{000640} \finexercice \exercice{641, bodin, 1998/09/01} \enonce{000641}{} \begin{enumerate} \item Soit $f$ une fonction continue sur $]a,b[$ telle que $f(]a,b[)\subset [a,b]$. Montrer, par consid\'eration de $\phi(x)=f(x)-x$, qu'il existe $c$ dans $[a,b]$ tel que $f(c)=c$. \item Soit $f$ une fonction continue sur $[0,1]$ telle que $f(0)=f(1)$. Montrer qu'il existe $c$ dans $[0,\frac{1}{2}]$ tel que $f(c) = f(c+\frac{1}{2})$. \item Un mobile parcours, \`a vitesse continue, une distance $d$ en une unit\'e de temps. Montrer qu'il existe un intervalle d'une demi-unit\'e de temps pendant lequel il parcourt une distance $\frac{d}{2}$. \end{enumerate} \finenonce{000641} \finexercice \exercice{642, bodin, 1998/09/01} \video{Uh9semrdJvk} \enonce{000642}{} Soit $f:[a,b]\longrightarrow\R$ une fonction continue telle que $f(a)=f(b)$. Montrer que la fonction $g(t)=f(t+\frac{b-a}{2})-f(t)$ s'annule en au moins un point de $[a,\frac{a+b}{2}]$. \emph{Application :} une personne parcourt 4 km en 1 heure. Montrer qu'il existe un intervalle de 30 mn pendant lequel elle parcourt exactement 2 km. \finenonce{000642} \finexercice \exercice{643, ridde, 1999/11/01} \enonce{000643}{} Soit $f : \Rr \rightarrow \Rr$ continue telle que $\lim\limits_{ -\infty}f = -\infty$ et $\lim\limits_{ + \infty}f = + \infty$. Montrer que $f$ s'annule. Appliquer ceci aux polynômes de degr\'e impair. \finenonce{000643} \finexercice \exercice{644, ridde, 1999/11/01} \enonce{000644}{} Soit $f : \Rr \rightarrow \Rr^ + $ continue telle que $f (0) = 1$, $\lim\limits_{ -\infty}f = 0$ et $\lim\limits_{ + \infty}f = 0$. \begin{enumerate} \item Montrer qu'il existe $a>0$ tel que si $\left|x\right|>a$ alors $f (x) \leq \frac 12$. \item Montrer que $f$ est born\'ee et poss\`ede un maximum. \end{enumerate} \finenonce{000644} \finexercice \exercice{645, ridde, 1999/11/01} \video{ZeT60IE0owY} \enonce{000645}{} Soient $I$ un intervalle de $\Rr$ et $f : I \rightarrow \Rr$ continue, telle que pour chaque $x \in I$, $f (x)^2 = 1$. Montrer que $f = 1$ ou $f = -1$. \finenonce{000645} \finexercice \exercice{646, ridde, 1999/11/01} \video{gC6TqV9IOPg} \enonce{000646}{} Soit $f : \Rr^ + \rightarrow \Rr$ continue admettant une limite finie en $ + \infty$. Montrer que $f$ est born\'ee. Atteint-elle ses bornes ? \finenonce{000646} \finexercice\exercice{647, ridde, 1999/11/01} \enonce{000647}{} Soient $f$ et $g$ continues sur $[0, 1]$ telles que $\forall x \in [0, 1] \, \, f (x )0$ tel que $\forall x \in [0, 1] \, \, f (x ) + m t\big\}.$$ \finenonce{000653} \finexercice \exercice{654, gourio, 2001/09/01} \enonce{000654}{} Soit $f:\Rr^{+*}\rightarrow \Rr$ croissante telle que $x\rightarrow \frac{f(x)}{x}$ soit d\'{e}croissante ; montrer que $f$ est continue sur $\Rr^{+*}.$ \finenonce{000654} \finexercice \exercice{655, gourio, 2001/09/01} \enonce{000655}{} Soit $f:\Rr^{+*}\rightarrow \Rr$ une fonction v\'{e}rifiant : $$\forall x\in \Rr^{+*},f(x)e^{f(x)}=x.$$ Donner les variations de $f$ puis comparer $f$ et $\ln$ au voisinage de $+\infty.$ \finenonce{000655} \finexercice \exercice{656, gourio, 2001/09/01} \enonce{000656}{} Soit $f:{\Rr}^{+}\rightarrow {\Rr}$ croissante. Construire $g:{\Rr}^{+}\rightarrow {\Rr}$ continue telle que $f\leq g.$ \finenonce{000656} \finexercice \exercice{657, gourio, 2001/09/01} \enonce{000657}{} Donner un exemple d'application $f:{\Rr}\rightarrow {\Rr}$ non constante telle que : $$\forall x\in {\Rr}, f(x)=f(x^{2}). $$ On suppose $f$ continue en $0$ et en $1$, montrer que $f$ est constante. \finenonce{000657} \finexercice \exercice{658, gourio, 2001/09/01} \enonce{000658}{} Soit $f:[0,1]\rightarrow [0,1]$ continue. Montrer que : $$\forall n\in \Nn^{*},\exists a_{n}\in [0,1],f(a_{n})=a_{n}^{n}. $$ On suppose $f$ strictement d\'{e}croissante.\ Montrer que $a_{n}$ est unique et \'{e}tudier la suite $(a_{n})_{n\in \Nn^{*}}.$ \finenonce{000658} \finexercice \exercice{659, gourio, 2001/09/01} \enonce{000659}{} Existe-t-il une bijection continue de $[0,1[$ sur ${\Rr }$ ? \finenonce{000659} \finexercice \exercice{660, gourio, 2001/09/01} \enonce{000660}{} Soit $f:[0,1]\rightarrow [0,1]$ continue telle que $f\circ f=f$. On note $E_{f}=\{x\in [0,1]|f(x)=x\}$. Montrer que $E_{f}\neq \varnothing$ puis que c'est un intervalle de ${\Rr}$. Trouver toutes les fonctions $f:[0,1]\rightarrow [0,1]$ continues telles que $f \circ f = f$. \finenonce{000660} \finexercice \exercice{661, gourio, 2001/09/01} \enonce{000661}{} Soit $f:[0,1]\rightarrow {\Rr}$ continue, \'{e}valuer : $$\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\sum\limits_{k=1}^{n}(-1)^{k}f\left(\frac{k}{n}\right). $$ \finenonce{000661} \finexercice \exercice{662, gourio, 2001/09/01} \enonce{000662}{} Une fonction qui v\'{e}rifie la propri\'{e}t\'{e} des valeurs interm\'{e}diaires est-elle n\'{e}cessairement continue ? \finenonce{000662} \finexercice\exercice{663, gourio, 2001/09/01} \enonce{000663}{} Soit $f$ uniform\'{e}ment continue sur ${\Rr}^{+}$ telle que $\forall x\geq 0, $ la suite $\left( f(xn)\right) _{n\in \Nn} $ tend vers 0 quand $n\rightarrow \infty . $ Montrer $\lim\limits_{x\rightarrow \infty }f(x)=0.$ \finenonce{000663} \finexercice \exercice{664, gourio, 2001/09/01} \enonce{000664}{} Soit $f\in C({\Rr}^{+},{\Rr})$ admettant une limite finie en $+\infty $, montrer qu'alors $f$ est uniform\'{e}ment continue sur ${\Rr}^{+}.$ \finenonce{000664} \finexercice \exercice{665, gourio, 2001/09/01} \enonce{000665}{} Soit $f$ continue sur $[a,b]$, montrer : $$\forall \epsilon >0,\exists k\in {\Rr},\forall (x,y)\in [a,b]^{2},\left| f(x)-f(y)\right| \leq k\left| x-y\right| +\epsilon . $$ \finenonce{000665} \finexercice \exercice{666, gourio, 2001/09/01} \enonce{000666}{} Soit $(f,g)\in C([0,1],[0,1])^{2},$ tel que : $fg=gf.$ On veut montrer que $f-g$ s'annulle par deux m\'{e}thodes : \begin{itemize} \item par l'absurde, utiliser le fait que $(f-g)([0,1])$ est un segment ne contenant pas 0. \item par l'absurde, en examinant, si $f-g>0$ par exemple, $\min\{x\in [0,1]|f(x)=x\}.$ \end{itemize} Le r\'{e}sultat subsiste-t-il si l'on remplace $[0,1]$ par ${\Rr }$ ? \finenonce{000666} \finexercice \exercice{667, gourio, 2001/09/01} \enonce{000667}{} Soit $f:[0,1]\rightarrow {\Rr}$ continue, telle que $f(0)=f(1).$ Montrer que : $$\forall n\in \Nn^{*},\exists x_{n}\in \left[ 0,1-\frac{1}{n}\right] ,f\left( x_{n}+\frac{1}{n}\right) =f\left( x_{n}\right) . $$ \finenonce{000667} \finexercice \exercice{668, gourio, 2001/09/01} \enonce{000668}{} Soit $f$ continue de ${\Rr}$ dans ${\Rr}$, montrer que : $\lim\limits_{\left| x\right| \rightarrow \infty }\left| f(x)\right| =+\infty \Leftrightarrow $ l'image r\'{e}ciproque de toute partie born\'{e}e est born\'{e}e. \finenonce{000668} \finexercice \exercice{669, monthub, 2001/11/01} \enonce{000669}{} Soit $f : [a,b] \to \R$ une fonction continue. On veut d\'emontrer que $$ \sup_{a 0$. On suppose que $f$ est $T$-périodique cad : $\forall\ x \in \R,\ f(x+T) = f(x)$. \begin{enumerate} \item Si $f$ possède une limite en $+\infty$, montrer que $f$ est constante. \item Si $f$ est continue non constante, montrer que $f$ a une plus petite période. \item Si $f$ est continue, montrer que $f$ est bornée et atteint ses bornes. \end{enumerate} \finenonce{003845} \finexercice \exercice{3846, quercia, 2010/03/11} \enonce{003846}{Fonction ayant des limites à l'infini} Soit $f : {[0,+\infty[} \to \R$ une fonction continue ayant une limite finie en $+\infty$. \begin{enumerate} \item Montrer que $f$ est bornée. \item Montrer que $f$ admet un maximum ou un minimum absolu, mais pas nécéssairement les deux. \item Montrer que $f$ est uniformément continue. \end{enumerate} \finenonce{003846} \finexercice \exercice{3847, quercia, 2010/03/11} \enonce{003847}{Permutation de décimales} Pour $x \in {[0,1[}$, on note $x = \sum_{k=1}^\infty \frac{x_k}{10^k}$ le développement décimal propre de $x$. \begin{enumerate} \item Soit $f : {[0,1[} \to {[0,1[}$ définie par : $f(x) = \sum_{k=1}^\infty \frac{x_{k+1}}{10^k}$. Montrer que $f$ est continue par morceaux. \item Soit $g : {[0,1[} \to {[0,1[}$ définie par : $g(x) = \sum_{k=1}^\infty \left( \frac{x_{2k}}{10^{2k-1}} + \frac{x_{2k-1}}{10^{2k}} \right)$. Déterminer les points où $g$ est continue. \end{enumerate} \finenonce{003847} \finexercice\exercice{3849, quercia, 2010/03/11} \enonce{003849}{$\max(f,g)$} Soient ${f,g} : {\R} \to {\R}$ deux fonctions continues. On pose pour $x \in \R$ : $h(x) = \max\bigl(f(x),g(x)\bigr)$. Montrer que $h$ est continue. \finenonce{003849} \finexercice \exercice{3850, quercia, 2010/03/11} \enonce{003850}{Prolongement d'inégalités} \begin{enumerate} \item Soient ${f,g} : \R \to \R$ continues telles que : $\forall\ x,y \in \Q,\ f(x) < g(x)$. \begin{enumerate} \item Montrer que $f\le g$. \item Montrer qu'on n'a pas nécéssairement : $\forall\ x,y \in \R,\ f(x) < g(x)$. \end{enumerate} \item Soit $f : \R \to \R$ continue dont la restriction à $\Q$ est strictement croissante. Montrer que $f$ est strictement croissante. \end{enumerate} \finenonce{003850} \finexercice \exercice{3851, quercia, 2010/03/11} \enonce{003851}{Étude d'un sup} Soit $f : \R \to \R$ uniformément continue. On pose $g(x) = \sup\bigl(f([x,x+1])\bigr)$. Montrer que $g$ est continue. Même question en supposant seulement $f$ continue. \finenonce{003851} \finexercice \exercice{3852, quercia, 2010/03/11} \enonce{003852}{Weierstrass} Soient ${f,g}: {[a,b]}\to \R$ continues. On pose $h(t) = \sup\{f(x)+tg(x) \text{ tq } x \in {[a,b]}\}$. Montrer que $h$ est continue. \finenonce{003852} \finexercice \exercice{3853, quercia, 2010/03/11} \enonce{003853}{Weierstrass} Soit $f : {[a,b]} \to \R$ continue. Montrer que $\mathop{\sup}\limits_{[a,b]} f = \mathop{\sup}\limits_{]a,b[} f$. \finenonce{003853} \finexercice \exercice{3854, quercia, 2010/03/11} \enonce{003854}{Weierstrass} Soient ${f,g} : {[a,b]} \to \R$ continues. On suppose que : $\forall\ x \in {[a,b]},\ f(x) > g(x) > 0$. Montrer qu'il existe $k > 1$ tel que $f > kg$. \finenonce{003854} \finexercice \exercice{3855, quercia, 2010/03/11} \enonce{003855}{TVI à l'infini} Soit $f : {[0,+\infty[} \to \R$ continue ayant une limite $\ell \in \overline\R$ en $+\infty$. Montrer que $f$ prend toute valeur comprise entre $f(0)$ et $\ell$ ($\ell$ exclu). \finenonce{003855} \finexercice \exercice{3856, quercia, 2010/03/11} \enonce{003856}{$f(x)=g(x)$} \begin{enumerate} \item Soit $f : {[0,1]} \to {[0,1]}$ continue. Montrer qu'il existe $x \in {[0,1]}$ tel que $f(x) = x$. \item Soient ${f,g} : {[0,1]} \to {[0,1]}$ continues telles que $f\circ g = g\circ f$. Montrer qu'il existe $x \in {[0,1]}$ tel que $f(x) = g(x)$ (on pourra s'intéresser aux points fixes de~$f$). \end{enumerate} \finenonce{003856} \finexercice \exercice{3857, quercia, 2010/03/11} \enonce{003857}{$f$ continue décroissante $ \Rightarrow $ point fixe} Soit $f : \R \to \R$ continue décroissante. Montrer qu'il existe un unique réel $x$ tel que $f(x) = x$. \finenonce{003857} \finexercice \exercice{3858, quercia, 2010/03/11} \enonce{003858}{Mines MP 2002} Soit $f : \R \to \R$ continue telle qu'existe $a$ vérifiant $f\circ f(a)=a$. $f$ a-t-elle des points fixes~? Généraliser. \finenonce{003858} \finexercice \exercice{3859, quercia, 2010/03/11} \enonce{003859}{Cordes de longueur $1/n$} Soit $f : {[0,1]} \to \R$ continue telle que $f(0) = f(1)$. \begin{enumerate} \item Montrer qu'il existe $x \in \left[0,\frac 12\right]$ tel que $f(x) = f\left(x+\frac 12\right)$. \item Pour $n \in \N, n \ge 2$, montrer qu'il existe $x \in \left[0,1-\frac 1n\right]$ tel que $f(x) = f\left(x+\frac 1n\right)$. \item Trouver une fonction $f$ telle que : $\forall\ x\in \left[0,\frac35\right]$, $f(x) \ne f(x+\frac25)$. \item Montrer qu'il existe $a > 0$ tel que : $\forall\ b \in {]0,a]},\ \exists\ x \in {[0, 1-b]} \text{ tq } f(x) = f(x+b)$. \end{enumerate} \finenonce{003859} \finexercice \exercice{3860, quercia, 2010/03/11} \enonce{003860}{} Soient ${f,g} : {[a,b]} \to \R$ continues. On suppose que : $\forall\ x \in {[a,b]},\ \exists\ y \in [a,b] \text{ tq } f(x) = g(y)$. Montrer qu'il existe $x \in {[a,b]}$ tel que $f(x) = g(x)$. \finenonce{003860} \finexercice \exercice{3861, quercia, 2010/03/11} \enonce{003861}{TVI $+$ injective $ \Rightarrow $ continue} Soit $f : \R \to \R$. On dit que $f$ vérifie la propriété des valeurs intermédiaires si : $$\forall\ a,b\in\R \text{ avec } a < b, \forall\ y \text{ compris entre } f(a) \text{ et } f(b),\ \exists\ x \in {[a,b]} \text{ tq } f(x) = y.$$ \begin{enumerate} \item Montrer que si $f$ vérifie la propriété des valeurs intermédiaires et est injective, alors elle est continue. \item Trouver une fonction discontinue ayant la propriété des valeurs intermédiaires. \end{enumerate} \finenonce{003861} \finexercice \exercice{3862, quercia, 2010/03/11} \enonce{003862}{$f$ uc $ \Rightarrow f$(intervalle borné) $=$ intervalle borné} Soit $I$ un intervalle borné et $f : I \to \R$ uniformément continue. Montrer que $f(I)$ est un intervalle borné. \finenonce{003862} \finexercice \exercice{3863, quercia, 2010/03/11} \enonce{003863}{$f$ uc $ \Rightarrow |f(x)| \le a + b|x|$} Soit $f : \R \to \R$ uniformément continue. Montrer qu'il existe $a,b \in \R$ tels que : $\forall\ x \in \R,\ |f(x)| \le a + b|x|$. (prendre $\varepsilon = 1$ et majorer $|f(x) - f(0)|$) \finenonce{003863} \finexercice \exercice{3864, quercia, 2010/03/11} \enonce{003864}{Composition} Soient $f : D \to \R$ uniformément continue bornée et $g : \R \to \R$ continue. Montrer que $g\circ f$ est uniformément continue. \finenonce{003864} \finexercice \exercice{3865, quercia, 2010/03/11} \enonce{003865}{$\sin(t^2)$} Montrer que $t \mapsto \sin(t^2)$ n'est pas uniformément continue sur $\R$. \finenonce{003865} \finexercice \exercice{3866, quercia, 2010/03/11} \enonce{003866}{$f$ uc et $f(n) \to +\infty$} Soit $f : \R \to \R$ uniformément continue telle que $f(n) \to +\infty$ lorsque $n\to\infty$. Montrer que $f(x) \to +\infty$ lorsque $x\to\infty$. \finenonce{003866} \finexercice \exercice{3867, quercia, 2010/03/11} \enonce{003867}{$f(x+y) = f(x) + f(y)$} Soit $f : {\R} \to {\R}$ telle que : $\forall\ x,y \in \R,\ f(x+y) = f(x) + f(y)$. On pose $a = f(1)$. \begin{enumerate} \item Montrer que : $\forall\ x\in\Q$, $f(x) = ax$. \item On suppose $f$ continue. Montrer que : $\forall\ x \in \R$, $f(x) = ax$. \item On suppose que $f$ est bornée au voisinage de 0. Montrer que : $\forall\ x \in \R$, $f(x) = ax$. \end{enumerate} \finenonce{003867} \finexercice \exercice{3868, quercia, 2010/03/11} \enonce{003868}{$f(x^2) = f(x)$} Trouver toutes les fonctions $f : {[0,1]} \to {\R}$ continues telles que : $\forall\ x \in {[0,1]},\ f(x^2) = f(x)$. \finenonce{003868} \finexercice \exercice{3869, quercia, 2010/03/11} \enonce{003869}{$f(x+y)f(x-y) = f^2(x)f^2(y)$} Trouver toutes les fonctions $f : {\R} \to {\R}$ continues telles que : $\forall\ x,y \in \R,\ f(x+y)f(x-y) = f^2(x)f^2(y)$. \finenonce{003869} \finexercice \exercice{3870, quercia, 2010/03/11} \enonce{003870}{Polytechnique MP$^*$ 2000} Soit $f$ continue sur~$[a,b]$, à valeurs dans~$\R$, et $\delta$ un réel positif. On note $\omega(\delta) = \sup\{|f(x)-f(y)|\text{ tq } |x-y|\le\delta\}$. Montrer que $\omega(\delta)$ tend vers~$0$ quand $\delta$ tend vers~$0$, puis que $\omega$ est continue. \finenonce{003870} \finexercice \exercice{3871, quercia, 2010/03/11} \enonce{003871}{Ensae MP$^*$ 2003} Soient ${f,g} : {[0,1]} \to {[0,1]}$ continues telles que $f\circ g = g\circ f$. Montrer qu'il existe $x\in[0,1]$ tel que $f(x) = g(x)$. \finenonce{003871} \finexercice \exercice{3872, quercia, 2010/03/11} \enonce{003872}{Plus grande fonction lipschitzienne minorant~$f$ (Ens Lyon MP$^*$ 2003)} \ \begin{enumerate} \item Existe-t-il toujours~$\varphi$ lipschitzienne telle que $\varphi\le f$ où $f : {\R^n} \to \R$ est une application continue donnée~? \item Soit~$k>0$. Trouver une CNS sur~$f$ pour qu'il existe $\varphi : {\R^n}\to \R$ $k$-lipschitzienne minorant~$f$. \item On suppose cette CNS vérifiée pour~$k_0>0$. Montrer que si $k\ge k_0$ alors il existe $\varphi_k$, $k$-lipschitzienne minorant~$f$ et maximale pour l'ordre usuel des fonctions. \end{enumerate} \finenonce{003872} \finexercice \exercice{3873, quercia, 2010/03/11} \enonce{003873}{Suite $(f(nx))$ ENS Cachan MP$^*$ 2004} Soit $f : \R \to \R$ une fonction uniformément continue telle que pour tout~$x>0$ la suite $(f(nx))_{n\in\N}$ est convergente. Que peut-on dire de~$f$~? \finenonce{003873} \finexercice \exercice{5382, rouget, 2010/07/06} \enonce{005382}{***I} Soit $f$ une fonction réelle d'une variable réelle définie et continue sur un voisinage de $+\infty$. On suppose que la fonction $f(x+1)-f(x)$ admet dans $\Rr$ une limite $\ell$ quand $x$ tend vers $+\infty$. Etudier l'existence et la valeur eventuelle de $\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{f(x)}{x}$. \finenonce{005382} \finexercice \exercice{5383, rouget, 2010/07/06} \enonce{005383}{***} Soit $f$ une fonction définie sur un voisinage de $0$ telle que $\lim_{x\rightarrow 0}f(x)=0$ et $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(2x)-f(x)}{x}=0$. Montrer que $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)}{x}=0$. (Indication. Considérer $g(x)=\frac{f(2x)-f(x)}{x}$.) \finenonce{005383} \finexercice \exercice{5384, rouget, 2010/07/06} \enonce{005384}{**I} Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues en $x_0\in\Rr$. Montrer que $\mbox{Min}\{f,g\}$ et $\mbox{Max}\{f,g\}$ sont continues en $x_0$. \finenonce{005384} \finexercice \exercice{5385, rouget, 2010/07/06} \enonce{005385}{***I Distance d'un point à une partie} \label{exo:roudist} Soit $A$ une partie non vide de $\Rr$. Pour $x\in\Rr$, on pose $f(x)=\mbox{Inf}\{|y-x|,\;y\in A\}$. Montrer que $f$ est continue en tout point de $\Rr$. \finenonce{005385} \finexercice \exercice{5386, rouget, 2010/07/06} \enonce{005386}{**T} Montrer en revenant à la définition que $f(x)=\frac{3x-1}{x-5}$ est continue en tout point de $\Rr\setminus\{5\}$. \finenonce{005386} \finexercice \exercice{5387, rouget, 2010/07/06} \enonce{005387}{**IT} Montrer que la fonction caractéristique de $\Qq$ est discontinue en chacun de ses points. \finenonce{005387} \finexercice \exercice{5388, rouget, 2010/07/06} \enonce{005388}{****} Etudier l'existence d'une limite et la continuité éventuelle en chacun de ses points de la fonction définie sur $]0,+\infty[$ par $f(x)=0$ si $x$ est irrationnel et $f(x)=\frac{1}{p+q}$ si $x$ est rationnel égal à $\frac{p}{q}$, la fraction $\frac{p}{q}$ étant irréductible. \finenonce{005388} \finexercice \exercice{5389, rouget, 2010/07/06} \enonce{005389}{**IT} Etudier en chaque point de $\Rr$ l'existence d'une limite à droite, à gauche, la continuité de la fonction $f$ définie par $f(x)=xE(\frac{1}{x})$ si $x\neq0$ et $1$ si $x=0$. \finenonce{005389} \finexercice \exercice{5390, rouget, 2010/07/06} \enonce{005390}{**} Trouver $f$ bijective de $[0,1]$ sur lui-même et discontinue en chacun de ses points. \finenonce{005390} \finexercice \exercice{5391, rouget, 2010/07/06} \enonce{005391}{***} Soit $f$ une fonction continue et périodique sur $\Rr$ à valeurs dans $\Rr$, admettant une limite réelle quand $x$ tend vers $+\infty$. Montrer que $f$ est constante. \finenonce{005391} \finexercice \exercice{5392, rouget, 2010/07/06} \enonce{005392}{**I} Soit $A$ une partie non vide de $\Rr$. Pour $x$ réel, on pose $f(x)=d(x,A)=\mbox{Inf}\{|y-x|,\;y\in A\}$. Montrer que $f$ est Lipschitzienne. \finenonce{005392} \finexercice \exercice{5395, rouget, 2010/07/06} \enonce{005395}{***} Soit $f$ croissante de $[a,b]$ dans lui-même. Montrer que $f$ a un point fixe. \finenonce{005395} \finexercice \exercice{5396, rouget, 2010/07/06} \enonce{005396}{****} Soit $f$ croissante sur $[a,b]$ telle que $f([a,b])=[f(a),f(b)]$. Montrer que $f$ est continue sur $[a,b]$. \finenonce{005396} \finexercice \exercice{5398, rouget, 2010/07/06} \enonce{005398}{***IT} Soit $f$ continue sur $\Rr^+$ à valeurs dans $\Rr$ admettant une limite réelle quand $x$ tend vers $+\infty$. Montrer que $f$ est uniformément continue sur $\Rr^+$. \finenonce{005398} \finexercice \exercice{5401, rouget, 2010/07/06} \enonce{005401}{***} Soit $f$ périodique et continue sur $\Rr$. Montrer que $f$ est bornée et uniformément continue sur $\Rr$. \finenonce{005401} \finexercice \section{ 123.02 Continuité : pratique } \exercice{670, vignal, 2001/09/01} \video{AqwFsD85iiU} \enonce{000670}{} Soit $f : \R\setminus\{1/3\}\rightarrow \R$ telle que $f(x)= \frac{2x+3}{3x-1}$. Pour tout $\epsilon>0$ d\'eterminer $\delta$ tel que, ($x\not=1/3$ et $|x|\leq\delta)\Rightarrow |f(x)+3|\leq \epsilon$. Que peut-on en conclure ? \finenonce{000670} \finexercice\exercice{671, vignal, 2001/09/01} \video{xN3Z9gW5JEs} \enonce{000671}{} Soit $f$ la fonction r\'eelle \`a valeurs r\'eelles d\'efinie par $$f(x)=\left\{\begin{array}{ll} x & \hbox{ si } x< 1\\ x^2 & \hbox{ si }1\leq x\leq 4\\ 8\,\sqrt{x} & \hbox{ si } x>4 \end{array}\right.$$ \begin{enumerate} \item Tracer le graphe de $f$. \item $f$ est elle continue ? \item Donner la formule d\'efinissant $f^{-1}$. \end{enumerate} \finenonce{000671} \finexercice \exercice{672, vignal, 2001/09/01} \enonce{000672}{} Etudier la continuit\'e de $f$ la fonction r\'eelle \`a valeurs r\'eelles d\'efinie par $f(x)= \frac{\sin x}{x}$ si $x\not= 0$ et $f(0)=1$. \finenonce{000672} \finexercice \exercice{673, vignal, 2001/09/01} \enonce{000673}{} \begin{enumerate} \item Soit la fonction r\'eelle d\'efinie par $f(x)=1$ si $x\in\Q$ et $f(x)=0$ sinon. Montrer que $f$ n'admet pas de limite en tout point de $\R$. \item Soit la fonction r\'eelle d\'efinie par $f(x)=x$ si $x\in\Q$ et $f(x)=1-x$ sinon. En quels points de $\R$ $f$ est elle continue ? \end{enumerate} \finenonce{000673} \finexercice \exercice{674, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000674}{} On admet que pour tout $x\in \mathbb{R} , \vert \sin x \vert \leq \vert x\vert .$ \begin{enumerate} \item Montrer que $x\mapsto \sin x $ est continue en $0$ puis sur $\mathbb{R}$ tout entier. \item En déduire que $x\mapsto \cos x $ est continue sur $\mathbb{R}$. \end{enumerate} \finenonce{000674} \finexercice \exercice{675, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000675}{} Etudier la continuité sur $\mathbb{R}$ des fonctions suivantes : \begin{enumerate} \item $f_1(x)=x^2 \cos \frac{1}{x} \mbox{ si } x\not=0, \mbox{ et } f_1(0)=0$ ; \item $f_2(x)= \sin x\sin \frac{1}{x} \mbox{ si } x\not=0, \mbox{ et } f_2(0)=0$ ; \item $f_3(x)=x E(x) $ ; \item $f_4(x) = E(x) \sin(\pi x) $. \end{enumerate} \finenonce{000675} \finexercice \exercice{676, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000676}{} Montrer que l'application $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ définie par $\displaystyle{ f(x)=\frac{x}{1+\vert x\vert}}$ est strictement croissante puis que pour tout $y\in\quad]-1,1[ $ il existe un unique $x\in \mathbb{R}$ tel que $f(x)=y$. \finenonce{000676} \finexercice \exercice{677, bodin, 1998/09/01} \video{C7uoURImunQ} \enonce{000677}{} Les fonctions suivantes sont-elles prolongeables par continuit\'e sur $\R$ ? $$ a)\ f(x)=\sin x \cdot \sin \frac{1}{x}\ ;\ \ \ b)\ g(x)=\frac{1}{x}\ln\frac{e^x+e^{-x}}{2}\ ;$$ $$c)\ h(x)=\frac{1}{1-x}-\frac{2}{1-x^2}\ .$$ \finenonce{000677} \finexercice \exercice{678, bodin, 1998/09/01} \enonce{000678}{} \'Etudier la continuit\'e sur $\Rr$ des fonctions suivantes : \begin{enumerate} \item $f(x) = E(x)\sin(x)$, \item $g(x) = E(x)\sin(\pi x)$. \end{enumerate} \finenonce{000678} \finexercice \exercice{679, ridde, 1999/11/01} \enonce{000679}{} Etudier la continuit\'e de \begin{enumerate} \item $f (x) = x + \sqrt{x-\text{E} (x)}$. \item $g (x) = \text{E} (x) + \sqrt{x-\text{E} (x)}$. \end{enumerate} \finenonce{000679} \finexercice \exercice{680, ridde, 1999/11/01} \video{bdGeuvwKDQA} \enonce{000680}{} Soit $f : \Rr \rightarrow \Rr$ continue en $0$ telle que pour chaque $x \in \Rr$, $f(x) = f(2x)$. Montrer que $f$ est constante. \finenonce{000680} \finexercice\exercice{681, ridde, 1999/11/01} \enonce{000681}{} La fonction $\dfrac 1x$ est-elle lipschitzienne sur $]0, + \infty[$ ? sur $[1, + \infty[$ ? \finenonce{000681} \finexercice \exercice{682, bodin, 1998/09/01} \enonce{000682}{} Soit $f : [0,1]\longrightarrow \R$ d\'efinie par $f(0)=0$, $f(x)=1/2-x$ si $x\in ]0,1/2[$, $f(1/2)=1/2$, $f(x)=3/2-x$ si $x\in ]1/2,1[$ et $f(1)=1$. \begin{enumerate} \item Tracer le graphe de $f$. \'Etudier sa continuit\'e.\\ \item D\'emontrer que $f$ est une bijection de $[0,1]$ sur $[0,1]$.\\ \item D\'emontrer que pour tout $x\in [0,1]$, on a $ f(x)= \frac{1}{2}-x+\frac{1}{2}E(2x)-\frac{1}{2}E(1-2x)$. \end{enumerate} \finenonce{000682} \finexercice \exercice{683, bodin, 1998/09/01} \enonce{000683}{} \'Etudier la continuit\'e des fonctions suivantes : \begin{enumerate} \item $f_1(x)=x^2\cos \frac{1}{x} \text{\ \ si }x\not=0 \qquad f_1(0)=0$ ; \item $f_2(x)= \sin x\sin \frac{1}{x} \text{\ \ si }x\not=0 \qquad f_2(0)=0$ ; \item $f_3(x)=xE(x) \text{ sur } \Rr$ ; \item $f_4(x) = \left[ x-E(x)\right]^2 \text{\ \ et\ \ } f_5(x) = E(x)+f_4(x)$. \end{enumerate} \finenonce{000683} \finexercice \exercice{684, ridde, 1999/11/01} \enonce{000684}{} En \'etudiant la suite $u_0 \in \Rr$ et $u_{n + 1} = \cos (u_n)$, d\'eterminer une valeur approch\'ee \`a $10^{-5}$ pr\`es de l'unique r\'eel solution de $\cos (x) = x$. \finenonce{000684} \finexercice \exercice{685, gourio, 2001/09/01} \enonce{000685}{} Soit $f$ d\'{e}finie par $f(x)=E(x)+\sqrt{x-E(x)}, $ o\`{u} $E$ d\'{e}signe la partie enti\`{e}re. Donner le domaine de d\'{e}finition de $f,$ puis une relation entre $f(x+1)$ et $f(x)$. $f$ est-elle monotone?\ $f$ est-elle $k-$lipschitzienne sur $[a,1] $($a>0$) ? Et sur $[0,1]$ ? \'Etudier la continuit\'{e} de $f$ sur $[0,1]$ en utilisant la d\'{e}finition. D\'{e}duisez en la continuit\'{e} sur $\Rr$. \finenonce{000685} \finexercice \exercice{1212, legall, 1998/09/01} \enonce{001212}{} Soit $ f $ une fonction continue de $ [0,1] $ dans lui-m\^eme telle que $ f(0)=0 $ et pour tout couple $ (x,y) $ de $ [0,1]\times[0,1] $ on ait $ \vert f(x)-f(y)\vert \geq \vert x-y\vert .$ \begin{enumerate} \item Soit $ x $ un \' el\' ement de $ [0,1] .$ On pose $ x_0=x $ et $ x_{n+1}=f(x_n) .$ Montrer que la suite $ (x_n)_{n \in { \Nn}} $ est convergente. \item En d\' eduire que $ f(x)=x $ pour tout $ x\in [0,1] .$ \item Le r\' esultat reste-t-il vrai sans l'hypoth\`ese $ f(0)=0 ?$ \end{enumerate} \finenonce{001212} \finexercice \section{ 123.03 Limite de fonctions } \exercice{606, bodin, 1998/09/01} \enonce{000606}{} \'Ecrire les d\'efinitions des limites suivantes : $\lim_{x\to -\infty}f(x)=l$, $l\in\R$ ; $\lim_{x\to -\infty}f(x)=+\infty$ ; $\lim_{x\to x_0}f(x)=-\infty$, $x_0\in\R$.\\ (On pr\'ecisera sur quel type d'intervalle la fonction $f$ doit \^etre d\'efinie.) \finenonce{000606} \finexercice \exercice{607, bodin, 1998/09/01} \enonce{000607}{} Soit $f$ une fonction d\'efinie sur un intervalle $I$ contenant $x_0$ dans son int\'erieur. On suppose que $ \lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=u>0$. D\'emontrer qu'il existe $t>0$ tel que si $0<\vert x-x_0\vert < t$ alors $\vert f(x)\vert \geq \frac{u}{ 2}$. \finenonce{000607} \finexercice \exercice{608, bodin, 1998/09/01} \enonce{000608}{} Montrer que si une fonction $f$ d\'efinie sur $E\subset\R$ est continue en $x_0$ alors la fonction $\vert f\vert$ est, elle aussi, continue en $x_0$. Montrer que la r\'eciproque est fausse. \finenonce{000608} \finexercice \exercice{609, bodin, 1998/09/01} \video{db5yEXsEbYc} \enonce{000609}{} \begin{enumerate} \item D\'emontrer que $\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{ x}=1}$. \item Soient $m,n$ des entiers positifs. \'Etudier $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sqrt{1+x^m}- \sqrt{1-x^m}}{ x^n}}$. \item D\'emontrer que $\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{ x}(\sqrt{1+x+x^2}-1)= \frac{1}{ 2}}$. \end{enumerate} \finenonce{000609} \finexercice\exercice{610, bodin, 1998/09/01} \enonce{000610}{} Soit $f$ une fonction de variable r\'eelle telle que $\frac{f(x)}{|x|} \rightarrow \infty$ quand $x \rightarrow \infty$. Montrer que pour tout r\'eel $\alpha$ il existe $X_\alpha$ tel que $f(x)-|\alpha x| \ge |x|$ si $|x| \ge X_\alpha$. En d\'eduire que pour tout $\alpha$ r\'eel $f(x)-\alpha x \rightarrow \infty$ quand $x\rightarrow \infty$. \finenonce{000610} \finexercice \exercice{611, bodin, 1998/09/01} \enonce{000611}{} Soient $f$ et $g$ deux fonctions d\'efinies sur $\Rr_+$ telles que $$ \forall x\in \Rr_+ \ g(x) > 0 \text{ et } \lim_{x\rightarrow\infty} \frac{f(x)}{g(x)} = L \not= 0. $$ \begin{enumerate} \item Montrer que $$ \lim_{x \rightarrow \infty} f(x) = 0 \Leftrightarrow \lim_{x \rightarrow \infty} g(x) = 0. $$ \item Montrer que si $L>0$, $$ \lim_{x \rightarrow \infty} f(x) = \infty \Leftrightarrow \lim_{x \rightarrow \infty} g(x) = \infty. $$ \end{enumerate} \finenonce{000611} \finexercice \exercice{612, bodin, 1998/09/01} \video{OEzb_HFP0yM} \enonce{000612}{} \begin{enumerate} \item Montrer que toute fonction p\'eriodique et non constante n'admet pas de limite en $+\infty$. \item Montrer que toute fonction croissante et major\'ee admet une limite finie en $+\infty$. \end{enumerate} \finenonce{000612} \finexercice \exercice{613, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000613}{} Soit $I$ un intervalle de $\mathbb{R}$ et $x_0 \in I.$ Soient $f$ et $g$ deux fonctions de la variable réelle à valeurs réelles définies sur $\dot{I} := I-\{x_0\}.$ Montrer que si $f$ admet une limite à droite et une limite à gauche en $x_0$ et que de plus ces deux limites coïncident, alors $f$ admet une limite en $x_0$ dont la valeur est la valeur commune des limites à droite et à gauche. \finenonce{000613} \finexercice \exercice{614, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000614}{} Soient $P$ et $Q$ deux polynômes à coefficients réels de degré respectif $d$ et $d'.$ Etudier suivant les valeurs de $d$ et $d',$ et éventuellement de certains des coefficients de $P$ et $Q,$ $$ \lim_{x \rightarrow +\infty}P(x)/Q(x). $$ \finenonce{000614} \finexercice \exercice{615, ridde, 1999/11/01} \enonce{000615}{} Soit $f : \Rr^+ \rightarrow \Rr^+ $ croissante telle que $ \lim\limits_{ x \rightarrow + \infty}f (x + 1)-f (x) = 0 $. Montrer que $\lim\limits_{ x \rightarrow + \infty}\dfrac{f (x)}x = 0$. (on pourra utiliser des $\epsilon$, sommer des in\'egalit\'es et utiliser la monotonie de $f$ pour montrer qu'elle est born\'ee sur un segment).\\ Comment g\'en\'eraliser ce r\'esultat ? \finenonce{000615} \finexercice \exercice{616, vignal, 2001/09/01} \video{OYJj7QRtecs} \enonce{000616}{} Calculer lorsqu'elles existent les limites suivantes $$\begin{array}{lll} a)\ \lim_{x\rightarrow 0}\frac{x^2+2\,|x|}{x} &\quad b)\ \lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{x^2+2\,|x|}{x}& \quad c) \ \lim_{x\rightarrow 2}\frac{x^2-4}{x^2-3\,x+2}\\ \\ d) \ \lim_{x\rightarrow\pi}\frac{\sin^2x}{1+\cos x}& \quad e)\ \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1+x^2}}{x}& \quad f)\ \lim_{x\rightarrow +\infty}\sqrt{x+5}-\sqrt{x-3}\\ \\ g)\ \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sqrt[3]{1+x^2}-1}{x^2}& \quad h)\ \lim_{x\rightarrow 1}\frac{x-1}{x^n-1} \end{array}$$ \finenonce{000616} \finexercice\exercice{617, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000617}{} \begin{enumerate} \item Montrer que pour tout $0<\epsilon <1$ et pour $x \in \mathbb{R},$ on a: $$ |x-1| < \frac{\epsilon}{4} \Rightarrow |x^2+x-2| < \epsilon.$$ \item En déduire: $$ \lim_{x \rightarrow 1}x^2+x-1\;\mbox{ et }\; \lim_{x \rightarrow 1}(x^2+x-2)\cos x.$$ \end{enumerate} \finenonce{000617} \finexercice \exercice{618, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000618}{} \begin{enumerate} \item Montrer que pour tout $a \in \mathbb{R}^{+*},$ et pour tout couple de nombres réels $(x,y)$ appartenant à $]-\infty,-a]$ ou à $[a,\infty[,$ on~a: $$|\frac 1x - \frac 1y| \leq \frac 1{a^2}|x-y|.$$ \item En déduire que pour tout $x_0 \in \mathbb{R}^*$ et pour tout $\epsilon > 0$ il existe $\alpha > 0$ tel que : $$|x-x_0| < \alpha \;\Rightarrow\; |\frac 1x - \frac 1{x_0}| < \epsilon.$$ \item En déduire que la fonction $x \mapsto \frac 1x$ est continue en tout point de $\mathbb{R}^*.$ \end{enumerate} \finenonce{000618} \finexercice \exercice{619, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000619}{} \begin{enumerate} \item Pour tout $n$ entier naturel et tout couple de réels $(x,y)$, établir la formule : $$ x^n-y^n = (x-y).\sum_{k=0}^{n-1}x^ky^{n-1-k}. $$ \item Déduire de la question précédente que pour tout entier $n$ tout réel strictement positif $a$ et tout couple de réels $(x,y)$ tel que $|x| \leq a$ et $|y| \leq a,$ $$ |x^n-y^n| \leq na^{n-1}|x-y|. $$ \item Déduire de ce qui précède que pour tout $x_0 \in \mathbb{R},$ et pour tout $\epsilon > 0,$ il existe $\alpha > 0$ tel que: $$ |x-x_0| < \alpha \;\Rightarrow\; |x^n-x_0^n| < \epsilon. $$ Conclure. \item Sur quel sous ensemble $D$ de $\mathbb{R},$ la fonction de la variable réelle $f$ donnée par $$ f(x) := \frac{1-x^n}{1-x} $$ est-elle définie? Calculer les limites de $f$ aux bornes de $D.$ \end{enumerate} \finenonce{000619} \finexercice \exercice{620, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000620}{} \begin{enumerate} \item Rappeler que pour tout nombre réels $\epsilon > 0$ il existe un entier $n$ tel que: \begin{eqnarray*} \frac 1{2n\pi} &<& \epsilon\\ \frac 1{(2n+1)\pi} &<& \epsilon.\\ \end{eqnarray*} \item Montrer que pour tout nombre réel $l,$ et pour tout $\epsilon > 0,$ il existe $x \in ]-\epsilon,\epsilon[$ tel que: $$ |\sin \frac 1x -l | > \frac 12. $$ \item En déduire que la fonction $x \mapsto \sin \frac 1x$ n'a pas de limite lorsque $x$ tend vers $0.$ \item Montrer que la fonction définie par $f(x) =x \sin(\frac 1x)$ pour $x \not= 0$ et $f(0) =0$ est continue sur $\mathbb{R}.$ \end{enumerate} \finenonce{000620} \finexercice \exercice{621, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000621}{} Déterminer les limites suivantes: $$\mbox{a)} \quad \lim_{x \rightarrow +\infty}\sqrt{x^2+1}-x \qquad \mbox{b)} \quad \lim_{x \rightarrow 1}\frac 1{x-1}-\frac 2{x^2-1} $$ $$\mbox{c)} \quad \lim_{x \rightarrow 0^+}\sqrt{1+\frac 1x}-\sqrt{\frac 1x} \qquad \mbox{d)} \quad \lim_{x \rightarrow 4}\frac{\sqrt{2x+1}-3}{\sqrt{x-2}-\sqrt 2}$$ $$\mbox{e)} \quad \lim_{x \rightarrow +\infty}\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^2-1}\qquad \mbox{f)} \quad \lim_{x \rightarrow -\infty}x(\sqrt{1+x^2}-x)$$ \finenonce{000621} \finexercice \exercice{622, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000622}{} On rappelle les limites : $\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin x}x = 1 \;\mbox{ et }\; \lim_{x \rightarrow 0}\frac{1-\cos x}{x^2} = \frac 12. $ \\Calculer les limites suivantes: $$\mbox{a)} \quad \lim_{x \rightarrow 0^+}\sqrt x.\sin\frac 1{\sqrt x} \qquad \mbox{b)}\quad \lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin 2x}{\sin 3x} $$ $$\mbox{c)} \quad \lim_{x \rightarrow 0}\frac{x\sin x}{1-\cos x}\qquad \mbox{d)}\quad \lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin x - \sin 2x}{x^2} $$ $$\mbox{e)} \quad \lim_{x \rightarrow 0}x\frac{\tan x}{\cos^2 x-1} \qquad \mbox{f)}\quad \lim_{x \rightarrow 0}\frac{\tan x-\sin x}{\sin^3(\frac x2)}$$ \finenonce{000622} \finexercice \exercice{623, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000623}{} \noindent D\'eterminer les limites suivantes, en justifiant vos calculs. \begin{enumerate} \item $\displaystyle\lim_{x \rightarrow0^+}{x+2 \over x^2 \ln x}$ \item $\displaystyle\lim_{x \rightarrow0^+}2x \ln(x+\sqrt x)$ \item $\displaystyle\lim_{x \rightarrow+ \infty}{x^3-2x^2+3 \over x \ln x}$ \item $\displaystyle\lim_{x \rightarrow+ \infty}{e^{\sqrt x+1} \over x+2}$ \item $\displaystyle\lim_{x \rightarrow0^+}{\ln(3x+1) \over2x}$ \item $\displaystyle\lim_{x \rightarrow0^+}{x^x-1 \over\ln(x+1)}$ \item $\displaystyle\lim_{x \rightarrow- \infty}{2 \over x+1}\ln \Bigl({x^3+4 \over1-x^2}\Bigr)$ \item $\displaystyle\lim_{x \rightarrow{(-1)}^+}(x^2-1) \ln(7x^3+4x^2+3)$ \item $\displaystyle\lim_{x \rightarrow2^+}{(x-2)}^2 \ln(x^3-8)$ \item $\displaystyle\lim_{x \rightarrow0^+}{x(x^x-1) \over\ln(x+1)}$ \item $\displaystyle\lim_{x \rightarrow+ \infty}(x \ln x -x \ln(x+2))$ \item $\displaystyle\lim_{x \rightarrow+ \infty}{e^x-e^{x^2} \over x^2-x}$ \item $\displaystyle\lim_{x \rightarrow0^+}{{(1+x)}^{\ln x}}$ \item $\displaystyle\lim_{x \rightarrow+ \infty}{\Bigl({x+1 \over x-3}\Bigr)^x}$ \item $\displaystyle\lim_{x \rightarrow+ \infty}{\Bigl({x^3+5 \over x^2+2}\Bigr)^{x+1 \over x^2+1}}$ \item $\displaystyle\lim_{x \rightarrow+ \infty}{\Bigl({e^x+1 \over x+2}\Bigr)^{1 \over x+1}}$ \item $\displaystyle\lim_{x \rightarrow0^+}\bigl(\ln(1+x)\bigr)^{1\over\ln x}$ \item $\displaystyle\lim_{x \rightarrow+ \infty}{x^{(x^{x-1})} \over x^{(x^{x})}}$ \item $\displaystyle\lim_{x \rightarrow+ \infty}{(x+1)^x \over x^{x+1}}$ \item $\displaystyle\lim_{x \rightarrow+ \infty}{x \sqrt{\ln(x^2+1)} \over 1+e^{x-3}}$ \end{enumerate} \finenonce{000623} \finexercice \exercice{624, bodin, 1998/09/01} \enonce{000624}{} Soient $a,b$ des r\'eels positifs. $E(x)$ d\'esigne la partie enti\`ere de $x$. Montrer que : $$ \lim_{x\to 0^+}\frac{x}{a}E(\frac{b}{x})=\frac{b}{a} \qquad ;\qquad \lim_{x\to 0^+}\frac{b}{x}E(\frac{x}{a})=0.$$ \finenonce{000624} \finexercice \exercice{625, bodin, 1998/09/01} \enonce{000625}{} Calculer les limites suivantes : $$\lim_{x\to 1}\frac{x-1}{x^n-1};\; \lim_{x\to a}\frac{x^m-a^m}{x^p-a^p}\;(a>0,m,p\in \N^*); \;\lim_{h\to 0}\frac{(x+h)^n-x^n}{h}\;(x\in \R,n\in\N^*)$$ $$\lim_{x \to 0^+}(\sqrt{\frac{1}{x}+1}-\sqrt{\frac{1}{x}-1});\; \lim_{x\to -\frac{\pi}{4}}\frac{\cos{x}+\sin{x}}{4x+\pi} ;\;\lim_{x \to 0^+}\frac{\sqrt{x}-x}{\sqrt{x}+x}.$$ \finenonce{000625} \finexercice \exercice{626, bodin, 1998/09/01} \enonce{000626}{} En utilisant la d\'efinition d'une limite, montrer que : $$ a)\ \lim_{x\to-\frac{2}{3}}(3x+2)\sin\left(\frac{1}{3x+2}\right)=0\ ;\ \ \ b)\ \lim_{x\to 0^{+}} \frac{2}{1+e^{-\frac{1}{x}}}=2. $$ \finenonce{000626} \finexercice \exercice{627, bodin, 1998/09/01} \enonce{000627}{} Calculer les limites suivantes : $$a)\ \lim_{x\to 0^{+}}xE(\frac{1}{x}) \ ;\ \ \ b)\ \lim_{x\to +\infty}xE(\frac{1}{x})\ ;\ \ \ c)\ \lim_{x\to 0^{+}}\sqrt{x}E(\frac{1}{x})\ ;$$ $$\ d)\ \lim_{x\to +\infty}\frac{\sqrt{x+\sqrt{x}}+\sqrt{x}}{\sqrt{x+1}}\ ;\ \ \ e)\ \lim_{x\to +\infty}(\sqrt{x+5}-\sqrt{x-3}).$$ \finenonce{000627} \finexercice \exercice{628, bodin, 1998/09/01} \video{llaMFH13iLQ} \enonce{000628}{} Calculer, lorsqu'elles existent, les limites suivantes : $$ \lim_{x\rightarrow \alpha} \frac{x^{n+1}-\alpha^{n+1}}{x^n-\alpha^n}, $$ $$ \lim_{x\rightarrow 0} \frac{\tan x - \sin x}{\sin x(\cos 2x - \cos x)}, $$ $$ \lim_{x\rightarrow +\infty} \sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}-\sqrt{x}, $$ $$ \lim_{x\rightarrow \alpha^+} \frac{\sqrt{x}-\sqrt{\alpha}-\sqrt{x-\alpha}}{\sqrt{x^2-\alpha^2}}, \quad (\alpha >0) $$ $$ \lim_{x\rightarrow 0} xE\left(\frac{1}{x}\right), $$ $$ \lim_{x\rightarrow 2} \frac{e^x-e^2}{x^2+x-6}, $$ $$ \lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{x^4}{1+x^\alpha\sin^2x}, \text{ en fonction de $\alpha \in \Rr$.} $$ \finenonce{000628} \finexercice \exercice{629, ridde, 1999/11/01} \enonce{000629}{} D\'eterminer les limites suivantes : $$\frac{x}{2 + \sin (\frac 1x)} \qquad \text{ en } 0$$ $$\frac{x^3-3x^2 + 5x-3}{4x^4 + x^2 + x-6} \qquad \text{ en } 1$$ $$\frac{\sqrt{1 + \sin x}-\sqrt{1-\sin x}}{x}\qquad \text{ en } 0$$ $$\frac{\tan x}{\sqrt{x^2 + 4} + x-2}\qquad \text{ en } 0$$ $$\frac{1-\cos x}{x^2}\qquad \text{ en } 0$$ $$\frac{1-\sin x + \cos x}{\sin x + \cos x -1}\qquad \text{ en } \frac {\pi}2$$ $$\frac{\tan (x + \frac{\pi}4)-1}{\sqrt 3 -2\cos (x + \frac{\pi}6)} \qquad \text{ en } 0$$ \finenonce{000629} \finexercice \exercice{630, ridde, 1999/11/01} \enonce{000630}{} \'Etudier les asymptotes de $f (x) = e^{\frac 1x}\sqrt{x (x + 2)}$. \finenonce{000630} \finexercice \exercice{631, bodin, 1998/09/01} \enonce{000631}{} Montrer que $$\frac{\ln (x)}{x^\alpha} < \frac{2}{\alpha x^{\alpha/2}} \text{ o\`u } \alpha > 0.$$ En d\'eduire que $$\lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{\ln (x)}{x^\alpha} = 0,\ \ \alpha>0.$$ \finenonce{000631} \finexercice \exercice{632, bodin, 1998/09/01} \enonce{000632}{} Calculer les limites suivantes : $$ \text{a) }\ \lim_{x\rightarrow 0}\ \ \frac{x^2+2|x|}{x} \qquad \text{b) }\ \lim_{x\rightarrow 1}\ \ \frac{x^7-1}{x^6-1} \qquad \text{c) }\ \lim_{x\rightarrow 1}\ \ \frac{x^n-1}{x^m-1} \ \ n,m\in \Nn^* $$ $$ \text{d) }\ \lim_{x\rightarrow 0}\ \frac{1-\cos x}{x^2} \qquad \text{e) }\ \lim_{x\rightarrow 0}\ \frac{x\sin x}{1-\cos x} \qquad \text{f) }\ \lim_{x\rightarrow 0}\ \frac{\ln (1+x^3)}{x} $$ $$ \text{g) }\ \lim_{x\rightarrow 0}\ \frac{a^x-b^x}{x} \ \ a,b>0 \qquad \text{h) }\ \lim_{x\rightarrow 0}\ \frac{e^{-ax}-e^{-bx}}{x} \qquad \text{i) }\ \lim_{x\rightarrow \alpha^+}\ \frac{\sqrt{x}-\sqrt{\alpha}+\sqrt{x-\alpha}}{\sqrt{x^2-\alpha^2}}. $$ \finenonce{000632} \finexercice \exercice{633, gourio, 2001/09/01} \enonce{000633}{} Calculer : $$\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\ln (1+e^{-x})^{\frac{1}{x} },\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{x}{2+\sin \frac{1}{x}} ,\lim\limits_{x\rightarrow 0^{+}}x^{\frac{1}{\ln (e^{x}-1)}}.$$ \finenonce{000633} \finexercice \exercice{634, gourio, 2001/09/01} \enonce{000634}{} Calculer : $$\lim_{x\rightarrow 0^{+}}\left(\frac{1}{(\sin x)^{2}}-\frac{1}{(\sinh x)^{2}}\right).$$ \finenonce{000634} \finexercice \exercice{635, gourio, 2001/09/01} \video{rxI8iTwhH6E} \enonce{000635}{} Calculer : $$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{x}{2+\sin \frac{1}{x}} ,\ \ \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }(\ln (1+e^{-x}))^{\frac{1}{x}} ,\ \ \lim\limits_{x\rightarrow 0^{+}}x^{\frac{1}{\ln (e^{x}-1)}}.$$ \finenonce{000635} \finexercice \exercice{636, gourio, 2001/09/01} \enonce{000636}{} Trouver : $$\lim_{x\rightarrow 0^{+}}\frac{x^{x^{x}}\ln x}{x^{x}-1}$$ \finenonce{000636} \finexercice\exercice{637, gourio, 2001/09/01} \enonce{000637}{} Trouver pour $(a,b)\in (\Rr^{+*})^{2}$ : $$\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\left(\frac{a^{x}+b^{x}}{2}\right)^{\frac{1}{x}}.$$ \finenonce{000637} \finexercice \exercice{638, gourio, 2001/09/01} \video{UAO0DkHX2EQ} \enonce{000638}{} Trouver pour $(a,b)\in (\Rr^{+*})^{2}$ : $$\lim\limits_{x\rightarrow 0^{+}}\left(\frac{a^{x}+b^{x}}{2}\right)^{\frac{1}{x}}.$$ \finenonce{000638} \finexercice\exercice{3848, quercia, 2010/03/11} \enonce{003848}{$f(x+1) - f(x) \to a$} Soit $f : \R \to \R$ continue telle que $f(x+1) - f(x) \to a \in \overline{\R}$ lorsque $x\to+\infty$. \begin{enumerate} \item Montrer que $\frac {f(n)}n \to a$ lorsque $n\to\infty$. \item Montrer que $\frac {f(x)}x \to a$ lorsque $x\to\infty$. \end{enumerate} \finenonce{003848} \finexercice\exercice{5101, rouget, 2010/06/30} \enonce{005101}{**} Trouver $\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{(x^x)^x}{x^{(x^x)}}$. \finenonce{005101} \finexercice \section{ 123.04 Etude de fonctions } \exercice{686, vignal, 2001/09/01} \video{XW9frtB7vKc} \enonce{000686}{} D\'eterminer les domaines de d\'efinition des fonctions suivantes $$f(x)=\sqrt{\frac{2+3\,x}{5-2\,x}}\ ;\quad g(x)=\sqrt{x^2-2\,x-5}\ ;\quad h(x)=\ln\left(4\,x+3\right).$$ \finenonce{000686} \finexercice\exercice{687, vignal, 2001/09/01} \enonce{000687}{} Montrer que l'\'equation $x^7-3\,x^2+4\,x-1=0$ admet au moins une solution dans l'intervalle $]-1,1[$. M\^eme question pour l'\'equation $x^{29}+14\, x^{17}-7\,x^5+2=0$. \finenonce{000687} \finexercice \exercice{688, bodin, 1998/09/01} \enonce{000688}{} Soient $n \in \N^*$ et $d \in \R^+$. D\'emontrer en utilisant le th\'eor\`eme des valeurs interm\'ediaires que le polyn\^ome $P(X)=X^n-d$ a au moins une racine dans $\R$. \finenonce{000688} \finexercice \exercice{689, bodin, 1998/09/01} \enonce{000689}{} En \'etudiant les variations de la fonction $f$ d\'efinie sur $\rbrack 0,+\infty\lbrack$ par $\displaystyle{f(x)=x^{\frac{1}{x}}}$, trouver le plus grand \'el\'ement de l'ensemble $f(\N^*)$. \par En d\'eduire que quels soient $m$ et $n$ appartenant \`a $\N^*$, l'un des nombres $\sqrt[n]{m}$, $\sqrt[m]{n}$ est inf\'erieur ou \'egal \`a $\sqrt[3]{3}$. \finenonce{000689} \finexercice \exercice{690, bodin, 1998/09/01} \enonce{000690}{} Soit $f : \Rr \to \Rr$ définie par $f(x) = \frac{\cos x}{1+x^2}.$ Montrer que $f$ est major\'ee sur $\Rr$, minor\'ee sur $\Rr$. D\'eterminer $\sup_{x\in \Rr} f(x)$. \finenonce{000690} \finexercice\exercice{691, bodin, 1998/09/01} \enonce{000691}{} \begin{enumerate} \item Soit la fonction $f:\lbrack -1,+\infty\lbrack\to\R$, d\'efinie par $f(x)=\frac{1}{\sqrt{x^2+2x+2}}$. Montrer que $f$ admet une r\'eciproque que l'on explicitera. \item Trouver un intervalle de $\R$ sur lequel la fonction $g(x)=\tan(x^3)$ admette une fonction r\'eciproque (on pr\'ecisera alors le domaine de d\'efinition de cette r\'eciproque et son image). \end{enumerate} \finenonce{000691} \finexercice \exercice{692, gourio, 2001/09/01} \enonce{000692}{} Montrer que les fonctions suivantes ne sont pas des polyn\^{o}mes : $$x\rightarrow e^{x},\ \ x\rightarrow \ln x,\ \ x\rightarrow \sqrt{x^{2}+1},\ \ x\rightarrow \cos x.$$ \finenonce{000692} \finexercice \exercice{3874, quercia, 2010/03/11} \enonce{003874}{$f$ croissante et $f\circ f = \mathrm{id}$} Soit $f : \R \to \R$ croissante telle que : $\forall\ x \in \R,\ f\circ f(x) = x$. Montrer que : $\forall\ x \in \R,\ f(x) = x$. \finenonce{003874} \finexercice \exercice{3875, quercia, 2010/03/11} \enonce{003875}{$f$ croissante et $x \mapsto f(x)/x$ est décroissante} Soit $f : {]0,+\infty[} \to {\R}$ croissante telle que $g : {]0,+\infty[} \to {\R}, x \mapsto {\frac {f(x)}x}$ est décroissante. Montrer que $f$ est continue. \finenonce{003875} \finexercice \exercice{3876, quercia, 2010/03/11} \enonce{003876}{\'Etude de $x(2+\sin(1/x))$} On pose : $$\begin{cases} f(x) = |x|\left({2+\sin\left(\frac1x\right)}\right) &\text { si } x \ne 0,\cr f(0) = 0.\cr\end{cases}$$ Montrer que $f$ est continue, minimale en $0$, mais pour tout $\varepsilon > 0$, $f_{|[0,\varepsilon]}$ n'est pas monotone. \finenonce{003876} \finexercice \exercice{3877, quercia, 2010/03/11} \enonce{003877}{Borne supérieure de fonctions croissantes} Soit $f : {\R} \to {\R}$ une fonction bornée. On note ${\cal E} = \{g : \R \to \R \text{ croissantes tq } g \le f \}$, et pour $x\in\R$ : $\tilde f(x) = \sup\{ g(x) \text{ tq } g \in {\cal E} \}$. \begin{enumerate} \item Montrer que $\tilde f \in {\cal E}$. \item On suppose $f$ continue. Montrer que $\tilde f$ est aussi continue.\par (S'il existe un point $x_0 \in \R$ tel que $\lim_{x\to x_0^-} \tilde f(x) < \lim_{x\to x_0^+} \tilde f(x)$, construire une fonction de $\cal E$ supérieure à~$\tilde f\,$) \end{enumerate} \finenonce{003877} \finexercice \exercice{3878, quercia, 2010/03/11} \enonce{003878}{L'ensemble des points de discontinuité est dénombrable} Soit $f : {[a,b]} \to {\R}$ monotone. Pour $x \in {]a,b[}$, on pose $\delta(x) = \bigl|\lim_{y\to x^+} f(y) - \lim_{y\to x^-} f(y)\bigr|$ (saut de $f$ en $x$). \begin{enumerate} \item Pour $n \in \N^*$, montrer que $E_n = \left\{ x \in {]a,b[} \text{ tq } \delta(x) > \frac 1n \right\}$ est fini. \item En déduire que l'ensemble des points de discontinuité de $f$ est au plus dénombrable. \end{enumerate} \finenonce{003878} \finexercice \exercice{3879, quercia, 2010/03/11} \enonce{003879}{Fonction localement croissante} Soit $f : {\R} \to {\R.}$ On dit que $f$ est localement croissante si : $\forall\ x \in \R,\ \exists\ \varepsilon > 0 \text{ tq } f_{|]x-\varepsilon, x+\varepsilon[}$ est croissante. Montrer que : ($f$ est localement croissante) $ \Rightarrow $ ($f$ est croissante). (\'Etudier $E = \{ x \ge 0 \text{ tq } f_{|[0,x]}\text{ est croissante}\}$ et $F = \{ x \le 0 \text{ tq } f_{|[x,0]}\text{ est croissante}\}$) \finenonce{003879} \finexercice \exercice{3880, quercia, 2010/03/11} \enonce{003880}{Prolongement d'une fonction uniformément continue} Soit $f : {]0,1]} \to {\R}$ uniformément continue. Pour $x \in {]0,1]}$ on pose : $\begin{cases} g(x) = \sup\bigl(f(]0,x])\bigr) \cr h(x) = \inf\bigl(f(]0,x])\bigr).\cr\end{cases}$ \begin{enumerate} \item Montrer que $g$ et $h$ sont monotones. On note $\ell = \lim_{x\to0^+} g(x)$ et $m = \lim_{x\to0^+} h(x)$. \item En utilisant la continuité uniforme de $f$, montrer que $\ell = m$. \item En déduire que $f(x) \to \ell$, si $x\to0^+$. \end{enumerate} \finenonce{003880} \finexercice \exercice{3881, quercia, 2010/03/11} \enonce{003881}{$f$ continue, croissante sur $\Q$} Soit $f : {\R} \to {\R}$ continue telle que $f_{|\Q}$ est strictement croissante. Montrer que $f$ est strictement croissante. \finenonce{003881} \finexercice \exercice{3882, quercia, 2010/03/11} \enonce{003882}{Morphismes de $\R$} Soit $f : {\R} \to {\R}$ non identiquement nulle telle que : $\forall\ x,y \in \R,\ \begin{cases} f(x+y) &= f(x) + f(y) \cr f(xy) &= f(x)f(y). \cr\end{cases}$ Montrer que $f$ est croissante, puis $f = \mathrm{id}_{\R}$. \finenonce{003882} \finexercice \exercice{3883, quercia, 2010/03/11} \enonce{003883}{Point fixe pour une application croissante} Soit $f : {[0,1]} \to {[0,1]}$ croissante. Montrer qu'il existe $x \in {[0,1]}$ tel que $f(x) = x$. (\'Etudier $A = \{ x \in [0,1] \text{ tq } f(x) \le x \}$) \finenonce{003883} \finexercice \exercice{3884, quercia, 2010/03/11} \enonce{003884}{Fonction localement monotone à droite} Soit $f : \R \to \R$ continue telle que~: $\forall\ x\in\R,\ \exists\ \delta>0,\text{ tq }\forall\ y\in[x,x+\delta],\ f(y)\ge f(x)$. Montrer que $f$ est croissante. \finenonce{003884} \finexercice \exercice{3885, quercia, 2010/03/11} \enonce{003885}{Fonction affine} Soit $f : \R \to \R$ vérifiant~: $\forall\ x,y,z\in\R,\ |x-y|<|x-z| \Rightarrow |f(x)-f(y)|<|f(x)-f(z)|$. Montrer successivement que $f$ est injective, monotone, continue, et enfin affine. \finenonce{003885} \finexercice \exercice{3886, quercia, 2010/03/11} \enonce{003886}{Calcul de limite} Montrer que : $\forall\ x > 0,\ x - \frac {x^2}2 < \ln(1+x) < x$. En déduire $\lim_{n\to\infty} \left(1+\frac 1{n^2}\right)\left(1+\frac 2{n^2}\right) \dots \left(1+\frac n{n^2}\right)$. \finenonce{003886} \finexercice \exercice{3887, quercia, 2010/03/11} \enonce{003887}{Dérivées de $\exp(-1/x)$} On pose $f(x) = \begin{cases}\exp\left(-\frac 1x\right)& \text{ si } x > 0 \cr 0 & \text{ si } x = 0.\cr\end{cases}$ \begin{enumerate} \item Montrer que $f$ est de classe $\mathcal{C}^\infty$ sur $\R^{+*}$, et que $f^{(n)}(x)$ est de la forme $\frac {P_n(x)}{x^{2n}}\exp\left(-\frac 1x\right)$ où $P_n$ est une fonction polynomiale de degré inférieur ou égal à $n-1$ ($n \ge 1$). \item Montrer que $f$ est de classe $\mathcal{C}^\infty$ en $0^+$. \item Montrer que le polynôme $P_n$ possède $n-1$ racines dans $\R^{+*}$. \end{enumerate} \finenonce{003887} \finexercice \exercice{3888, quercia, 2010/03/11} \enonce{003888}{$(1+1/t)^t$} \begin{enumerate} \item Montrer que : $\forall\ t > 1,\ \left(1+\frac 1t\right)^t < e < \left(1+\frac 1{t-1}\right)^t$. \item Montrer que : $\forall\ x,y>0,\ \left(1+\frac xy\right)^y < e^x < \left(1+\frac xy\right)^{x+y}$. \end{enumerate} \finenonce{003888} \finexercice \exercice{3889, quercia, 2010/03/11} \enonce{003889}{$\ln(1+ax)/\ln(1+bx)$} Soient $0 < a < b$. Montrer que la fonction $f : {\R^{+*}} \to {\R}, x \mapsto {\frac {\ln(1+ax)}{\ln(1+bx)}}$ est croissante. \finenonce{003889} \finexercice \exercice{3890, quercia, 2010/03/11} \enonce{003890}{Inégalité} Soient $0 < a < b$. Montrer que : $\forall\ x > 0,\ ae^{-bx} - be^{-ax} > a-b$. \finenonce{003890} \finexercice \exercice{3891, quercia, 2010/03/11} \enonce{003891}{Formules d'addition pour les fonctions hyperboliques} Calculer $\ch(a+b)$, $\sh(a+b)$, $\tanh(a+b)$ en fonction de $\ch a$, $\sh a$, $\tanh a$, $\ch b$, $\sh b$, $\tanh b$. \finenonce{003891} \finexercice \exercice{3892, quercia, 2010/03/11} \enonce{003892}{Simplification de $a\ch x + b\sh x$} Soient $a,b \in \R$ non tous deux nuls. \begin{enumerate} \item Peut-on trouver $A,\varphi \in \R$ tels que : $\forall\ x \in \R,\ a\ch(x)+b\sh(x) = A\ch(x+\varphi)$ ? \item Peut-on trouver $A,\varphi \in \R$ tels que : $\forall\ x \in \R,\ a\ch(x)+b\sh(x) = A\sh(x+\varphi)$ ? \end{enumerate} \finenonce{003892} \finexercice \exercice{3893, quercia, 2010/03/11} \enonce{003893}{Somme de ch} Calculer $\sum_{k=0}^n\,\ch(kx)$. \finenonce{003893} \finexercice \exercice{3894, quercia, 2010/03/11} \enonce{003894}{Somme de sh} Soit $a \in \R$. Résoudre : $\sh a + \sh(a+x) + \sh(a+2x) + \sh(a+3x) = 0$. \finenonce{003894} \finexercice \exercice{3895, quercia, 2010/03/11} \enonce{003895}{Somme de th} Soit $x \in \R^*$. Vérifier que $\tanh x = 2\coth 2x - \coth x$. En déduire la convergence et la somme de la série de terme général $\frac1{2^n}\tanh\left(\frac{x}{2^n}\right)$. \finenonce{003895} \finexercice \exercice{3896, quercia, 2010/03/11} \enonce{003896}{Somme de $1/\sh$} Soit $x \in \R^*$. Vérifier que $\frac1{\sh x} = \coth \frac x2 - \coth x$. En déduire la convergence et la somme de la série de terme général $\frac1{\sh(2^nx)}$. \finenonce{003896} \finexercice \exercice{3897, quercia, 2010/03/11} \enonce{003897}{$\ch(nx)$ et $\sh(nx)$} Montrer que les fonctions : $x \mapsto \ch(n\Argch(x))$ et $x \mapsto \frac{\sh(n\Argch(x))}{\sqrt{x^2-1}}$ $(n \in \N)$ sont polynomiales. \finenonce{003897} \finexercice \exercice{3898, quercia, 2010/03/11} \enonce{003898}{$\ch x + \ch y = a$, $\sh x + \sh y = b$} Soient $a,b\in \R$. \'Etudier l'existence de solutions pour le système : $\begin{cases} \ch x+\ch y &= a\cr \sh x+\sh y &= b.\cr\end{cases}$ \finenonce{003898} \finexercice \exercice{3899, quercia, 2010/03/11} \enonce{003899}{Relation entre les fonctions hyperboliques et circulaires} Soit $y \in \left]-\frac \pi2, \frac \pi2\right[$. On pose $x = \ln\biggl(\tan\Bigl( \frac y2 + \frac \pi4\Bigr) \biggr)$. Montrer que $\tanh \frac x2 = \tan \frac y2$,\quad $\tanh x = \sin y$,\quad $\ch x = \frac 1{\cos y}$. \finenonce{003899} \finexercice \exercice{3900, quercia, 2010/03/11} \enonce{003900}{$\Argth((1+3\tanh x)/(3+\tanh x))$} Simplifier $\Argth\left(\frac {1+3\tanh x}{3+\tanh x}\right)$. \finenonce{003900} \finexercice \exercice{3901, quercia, 2010/03/11} \enonce{003901}{Équations diverses} Résoudre $\Argch x = \Argsh(x-\frac12)$. \finenonce{003901} \finexercice \exercice{3902, quercia, 2010/03/11} \enonce{003902}{Calcul de primitives} Déterminer des primitives des fonctions suivantes : \begin{enumerate} \item $f(x) = \frac 1{\sqrt{x^2+x+1}}$. \item $f(x) = \frac 1{x^2+x-1}$. \end{enumerate} \finenonce{003902} \finexercice \exercice{3903, quercia, 2010/03/11} \enonce{003903}{Racine d'une somme d'exponentielles} Soient $0 < a_1 < a_2 < \dots < a_p$ des réels fixés. \begin{enumerate} \item Montrer que pour tout réel $a > a_p$ il existe un unique réel $x_a > 0$ solution de l'équation : $a_1^x + \dots + a_p^x = a^x$. \item Pour $a < b$, comparer $x_a$ et $x_b$. \item Chercher $\lim_{a\to+\infty} x_a$ puis $\lim_{a\to+\infty} x_a\ln a$ \end{enumerate} \finenonce{003903} \finexercice \exercice{3904, quercia, 2010/03/11} \enonce{003904}{Centrale MP 2000} Soit ${f} : {\R^{+*}} \to {\R^{+*}}$ telle que : $\forall\ x,y>0,\ f(xf(y))=yf(x)$ et $f(x)\to +\infty$ lorsque $x\to 0^+$ \begin{enumerate} \item Montrer que $f$ est involutive. \item Montrer que $f$ conserve le produit. Que peut-on dire de la monotonie de $f$, de sa continuité ? \item Trouver $f$. \end{enumerate} \finenonce{003904} \finexercice \exercice{3905, quercia, 2010/03/11} \enonce{003905}{\'Equations trigonométriques} Résoudre les équations suivantes : % ---------------------------------------------- (–6+–2)cos‚ + (–6-–2)sin‚ = 2 \begin{enumerate} \item $(\sqrt6 + \sqrt2)\cos\theta + (\sqrt6 - \sqrt2)\sin\theta = 2$. % ------------------------------------------- sin‚ + sin2‚ + sin3‚ + sin4‚ = 0 \item $\sin\theta + \sin2\theta + \sin3\theta + \sin4\theta = 0$. % ---------------------------------------------------- cos‚ + cos2‚ + cos3‚ = 0 \item $\cos\theta + \cos2\theta + \cos3\theta = 0$. % -------------------------------------------------------- cos‚ - cos2‚ = sin3‚ \item $\cos\theta - \cos2\theta = \sin3\theta$. % -------------------------------------------------------- cos‚ + cos7‚ = cos4‚ \item $\cos\theta + \cos7\theta = \cos4\theta$. % ----------------------------------------------------- cos2‚ + cos12‚ = –3cos5‚ \item $\cos2\theta + \cos12\theta = \sqrt3\cos5\theta$. % -------------------------------------------------------- sin7‚ - sin‚ = sin3‚ \item $\sin7\theta - \sin\theta = \sin3\theta$. % ----------------------------------------------- cos‚ sin3‚ + cos3‚sin‚ = 3/4 \item $\cos^3\theta\sin3\theta + \cos3\theta\sin^3\theta = \frac 34$. % ------------------------------------------------------ sin‚sin3‚ = sin5‚sin7‚ \item $\sin\theta\sin3\theta = \sin5\theta\sin7\theta$. % --------------------------------------------------------------- 3tan‚ = 2cos‚ \item $3\tan\theta = 2\cos\theta$. % --------------------------------------------------------------- tan4‚ = 4tan‚ \item $\tan4\theta = 4\tan\theta$. % ------------------------------------------------- cotan‚ - tan‚ = cos‚ + sin‚ \item $\mathrm{cotan}\theta - \tan\theta = \cos\theta + \sin\theta$. % ----------------------------------------- tan(x) + tan(y) = 1, tan(x+y) = 4/3 \item $\begin{cases}\tan x + \tan y = 1\cr \tan(x+y) = 4/3.\end{cases}$ \end{enumerate} \finenonce{003905} \finexercice \exercice{3906, quercia, 2010/03/11} \enonce{003906}{Inéquations} % ------------------------------------------------------- cos‚ + cos(‚+ã/3) > 0 \begin{enumerate} \item Résoudre : $\cos\theta + \cos(\theta + \pi/3) > 0$. % ------------------------------------------------------------ 2cos‚ + sin‚ < 2 \item Résoudre : $2\cos\theta + \sin\theta < 2$. \end{enumerate} \finenonce{003906} \finexercice \exercice{3907, quercia, 2010/03/11} \enonce{003907}{Linéarisation} \ \\ $2\cos^2\theta = 1 + \cos2\theta$. \\ $2\sin^2\theta = 1 - \cos2\theta$. \\ $4\cos^3\theta = 3\cos\theta + \cos3\theta$. \\ $4\sin^3\theta = 3\sin\theta - \sin3\theta$. \\ $8\cos^4\theta = 3 + 4\cos2\theta + \cos4\theta$. \\ $8\sin^4\theta = 3 - 4\cos2\theta + \cos4\theta$. \\ $32\cos^6\theta = 10 + 15\cos2\theta + 6\cos4\theta + \cos6\theta$. \\ $32\sin^6\theta = 10 - 15\cos2\theta + 6\cos4\theta - \cos6\theta$. \\ $32\cos^4\theta\sin^2\theta = 2 + \cos2\theta - 2\cos4\theta - \cos6\theta$. \\ $32\sin^4\theta\cos^2\theta = 2 - \cos2\theta - 2\cos4\theta + \cos6\theta$. \\ $16\cos\theta\sin^4\theta = \cos5\theta - 3\cos3\theta + 2\cos\theta$. \\ $16\sin\theta\cos^4\theta = \sin5\theta + 3\sin3\theta + 2\sin\theta$. \\ $4\sin\theta \sin\left(\frac\pi3-\theta\right)\sin\left(\frac\pi3+\theta\right) = \sin3\theta$. \finenonce{003907} \finexercice \exercice{3908, quercia, 2010/03/11} \enonce{003908}{$\alpha+\beta+\gamma = \pi$} Soient $\alpha,\beta,\gamma \in \R$ tels que $\alpha+\beta+\gamma = \pi$. \begin{enumerate} \item Démontrer que : $1 - \cos\alpha + \cos\beta + \cos\gamma = 4\sin\frac\alpha2 \cos\frac\beta2 \cos\frac\gamma2$. \item Simplifier $\tan\frac\alpha2 \tan\frac\beta2 + \tan\frac\beta2 \tan\frac\gamma2 + \tan\frac\gamma2 \tan\frac\alpha2 $. \end{enumerate} \finenonce{003908} \finexercice \exercice{3909, quercia, 2010/03/11} \enonce{003909}{$\sin^2(\theta-\alpha), \sin^2\theta, \sin^2(\theta+\alpha)$ en progression arithmétique} Montrer qu'il existe $\theta \in {]0, \frac \pi2 [}$ tel que pour tout $\alpha \in \R$, les nombres $\sin^2(\theta-\alpha), \sin^2\theta, \sin^2(\theta+\alpha)$ soient en progression arithmétique. \finenonce{003909} \finexercice \exercice{3910, quercia, 2010/03/11} \enonce{003910}{Calcul de somme} Calculer $\tan p - \tan q$. En déduire la valeur de $S_n = \sum_{k=1}^n \frac 1{\cos(k\theta)\cos((k+1)\theta)}$, $\theta \in \R$. \finenonce{003910} \finexercice \exercice{3911, quercia, 2010/03/11} \enonce{003911}{Calcul de somme} Simplifier $\sum_{k=0}^{n-1} 3^k\sin^3\left(\frac\alpha{3^{k+1}}\right)$. \finenonce{003911} \finexercice \exercice{3912, quercia, 2010/03/11} \enonce{003912}{Calcul de somme} Calculer $\mathrm{cotan} x - 2\mathrm{cotan}2x$. Simplifier $\sum_{k=0}^n \frac 1{2^k}\tan\frac\alpha{2^k}$. \finenonce{003912} \finexercice \exercice{3913, quercia, 2010/03/11} \enonce{003913}{Heptagone régulier} Soit $ABCDEFG$ un heptagone (7 côtés) plan régulier. On pose $\alpha = AB$, $\beta = AC$, $\gamma = AD$ (distances). Montrer que $\frac 1\alpha = \frac 1\beta + \frac 1\gamma$. \finenonce{003913} \finexercice \exercice{5097, rouget, 2010/06/30} \enonce{005097}{**I} \begin{enumerate} \item Soit $f$ une fonction dérivable sur $\Rr$ à valeurs dans $\Rr$. Montrer que si $f$ est paire, $f'$ est impaire et si $f$ est impaire, $f'$ est paire. \item Soient $n\in\Nn^*$ et $f$ une fonction $n$ fois dérivable sur $\Rr$ à valeurs dans $\Rr$. $f^{(n)}$ désignant la dérivée $n$-ième de $f$, montrer que si $f$ est paire, $f^{(n)}$ est paire si $n$ est pair et impaire si $n$ est impair. \item Soit $f$ une fonction continue sur $\Rr$ à valeurs dans $\Rr$. A-t-on des résultats analogues concernant les primitives de $f$~? \item Reprendre les questions précédentes en remplaçant la condition \og~$f$ est paire (ou impaire)~\fg~par la condition \og~$f$ est $T$-périodique~\fg. \end{enumerate} \finenonce{005097} \finexercice \exercice{5098, rouget, 2010/06/30} \enonce{005098}{**} Trouver la plus grande valeur de $\sqrt[n]{n}$, $n\in\Nn^*$. \finenonce{005098} \finexercice \exercice{5099, rouget, 2010/06/30} \enonce{005099}{**I} \begin{enumerate} \item Etudier brièvement la fontion $x\mapsto\frac{\ln x}{x}$ et tracer son graphe. \item Trouver tous les couples $(a,b)$ d'entiers naturels non nuls et distincts vérifiant $a^b=b^a$. \end{enumerate} \finenonce{005099} \finexercice \exercice{5100, rouget, 2010/06/30} \enonce{005100}{} Résoudre dans $\Rr$ les équations ou inéquations suivantes~: \begin{enumerate} \item $(**)\;\ln|x+1|-\ln|2x+1|\leq\ln2$, \item $(*)\;x^{\sqrt{x}}=\sqrt{x}^x$, \item $(**)\;2\Argsh x=\Argch3-\Argth\frac{7}{9}$, \item $(**)\;\mbox{ln}_x(10)+2\mbox{ln}_{10x}(10)+3\mbox{ln}_{100x}(10)=0$, \item $(**)\;2^{2x}-3^{x-\frac{1}{2}}=3^{x+\frac{1}{2}}-2^{2x-1}$. \end{enumerate} \finenonce{005100} \finexercice\exercice{5102, rouget, 2010/06/30} \enonce{005102}{} Construire le graphe des fonctions suivantes~: \begin{enumerate} \item (*) $f_1(x)=2|2x-1|-|x+2|+3x$. \item (**) $f_{2}(x)=\ln(\ch x)$. \item (***) $f_3(x)=x+\sqrt{|x^2-1|}$. \item (**) $f_4(x)=|\tan x|+\cos x$. \item (***) $f_5(x)=\left(1+\frac{1}{x}\right)^x$ (à étudier sur $]0,+\infty[$). \item (**) $f_6(x)=\mbox{log}_2(1-\mbox{log}_{\frac{1}{2}}(x^2-5x+6))$. \end{enumerate} \finenonce{005102} \finexercice \exercice{5404, rouget, 2010/07/06} \enonce{005404}{**} Soit $f$ de $[0,1]$ dans lui-même telle que $\forall(x,y)\in([0,1])^2,\;|f(y)-f(x)|\geq|x-y|$. Montrer que $f=Id$ ou $f=1-Id$. \finenonce{005404} \finexercice \exercice{5443, rouget, 2010/07/10} \enonce{005443}{} Etude complète des fonctions suivantes \begin{enumerate} \item $f_1(x)=\frac{1+x^2}{x^3}(\Arctan x-\frac{x}{1+x^2})$. \item $f_2(x)=|\tan x|+\cos x$. \item $f_3(x)=x-\ln\left|\frac{120+60x+12x^2+x^3}{120-60x+12x^2-x^3}\right|$. \item $4_(x)=xe^{\frac{2x}{x^2-1}}$. \item $f_5(x)=\frac{1}{x}\ln\left(\frac{e^x-1}{x}\right)$. \item $f_6(x)=x+\sqrt{|x^2-1|}$. \item $f_7(x)=e^{/\ln x}$. \item $f_8(x)=\left(1+\frac{1}{x}\right)^x$. \item $f_9(x)=\mbox{log}_2(1-\mbox{log}_{\frac{1}{2}}(x^2-5x+6))$. \item $f_{10}(x)=E(x)+(x-E(x))^2$. \item $f_{11}(x)=\Arcsin\sqrt{\frac{1}{2}-x}+\Arcsin\sqrt{\frac{1}{2}+x}$. \item $f_{12}(x)=\frac{\Arcsin x}{x}$. \item $f_{13}(x)=e^{1/x}\sqrt{x+4}$. \item $f_{14}(x)=\Arccos(\frac{1}{\ch x})$. \item $f_{15}(x)=\ln(y+\sqrt{y^2-1})-\ln(\frac{1+x}{1-x})$ où $y=\frac{1+x^2}{1-x^2}$. \item $f_{16}(x)=\ln|\sh x-1|$. \item $f_{17}(x)=x^{(x^x)}$. \item $f_{18}(x)=(\cos x+\sin x)^{1/x}$. \item $f_{19}(x)=\sqrt[3]{x^3+1}-\sqrt{x^2-1}$. \item $f_{20}(x)=\Arcsin(2x-1)+2\Arctan\sqrt{\frac{1-x}{x}}$. \item $f_{21}(x)=\ln(\ch x)$. \item $f_{22}(x)=3^{2x-1}-5.3^{x-1}-x\ln3$. \item $f_{23}(x)=\ln\left|\frac{1}{e^x-1}\right|$. \end{enumerate} \finenonce{005443} \finexercice \section{ 123.05 Fonction continue par morceaux } \exercice{693, gourio, 2001/09/01} \enonce{000693}{} Soit $g:[a,b]\rightarrow {\Rr}$ une fonction telle que : $$\forall \epsilon >0,\exists \phi \in CM\left( [a,b],{\Rr}\right) ,\forall x\in [a,b],\left| g(x)-\phi (x)\right| <\epsilon . $$ Montrer que l'on peut choisir $\phi \in E\left( [a,b],{\Rr}\right)$, ie : $$\forall \epsilon >0,\exists \phi \in E\left( [a,b],{\Rr}\right) ,\forall x\in [a,b],\left| g(x)-\phi (x)\right| <\epsilon . $$ NB : CM pour continue par morceaux et E pour escalier. \finenonce{000693} \finexercice \exercice{694, gourio, 2001/09/01} \enonce{000694}{} Donner un exemple de fonction qu'on ne puisse approcher \`{a} $\epsilon$ pr\`{e}s par des fonctions en escaliers. \finenonce{000694} \finexercice \exercice{695, gourio, 2001/09/01} \enonce{000695}{} On dit qu'un ensemble $A$ de fonctions d\'{e}finies sur un intervalle $I=[a,b]$ de $\Rr$ est dense dans un ensemble $B$ si : $$\forall f\in B,\forall \epsilon >0,\exists g\in A,\forall x\in I,\left| f(x)-g(x)\right| <\epsilon . $$ Le cours dit par exemple que l'ensemble des fonctions en escaliers est dense dans l'ensemble des fonctions continues par morceaux si $I=[a,b].$ Montrer que l'ensemble des fonctions continues affines par morceaux est dense dans l'ensemble des fonctions continues sur un intervalle $I=[a,b]$. \finenonce{000695} \finexercice \exercice{696, gourio, 2001/09/01} \enonce{000696}{} On dit qu'une suite $(f_{n})_{n\in \Nn}$ de fonctions d\'{e}finies sur $I=[a,b]$ converge uniform\'{e}ment vers $f$ si : $$\forall \epsilon >0,\exists \Nn\in \Nn,\forall n\geq \Nn,\forall x\in I,\left| f_{n}(x)-f(x)\right| <\epsilon . $$ On suppose que $(f_{n})_{n\in \Nn}$ converge uniform\'{e}ment vers $f$ sur l'intervalle $[a,b]$, et que toutes les $f_{n}$ sont continues.\ Montrer que $\forall x\in [a,b],$ la suite $(f_{n}(x))_{n\in \Nn}$ est convergente, et donner sa limite. Montrer que $f$ est born\'{e}e et continue. On ne suppose plus que $(f_{n})_{n}$ converge uniform\'{e}ment mais seulement point par point (ie, $\forall x\in [a,b],$ la suite $(f_{n}(x))_{n\in \Nn}$ est convergente vers $f(x)$); de plus toutes les $f_{n}$ sont lipschitziennes de rapport $k$ ; montrer que $f$ est lipschitzienne de rapport $k$ et qu'il y a converge uniforme. \finenonce{000696} \finexercice \exercice{697, gourio, 2001/09/01} \enonce{000697}{} $f:[a,b]\rightarrow {\Rr}$ est \`{a} variation born\'{e}e si et seulement si : $$\exists \mu \in {\Rr}^{+},\forall d=\{a=x_{0},x_{1},...,x_{n}=b\}\text{ subdivision de }[a,b],\sum\limits_{i=1}^{n}\left| f(x_{i})-f(x_{i-1})\right| =\sigma (d)\leq \mu .$$ On appelle alors $V(a,b)=\sup\limits_{d \text{ subdivision}}\sigma (d)$ et on d\'{e}finit une fonction de $[a,b]$ dans ${\Rr}^{+}:x\rightarrow V(a,x). $ Montrer que toute fonction monotone est \`{a} variation born\'{e}e puis que $% x\rightarrow V(a,x)$ est croissante ainsi que $x\rightarrow V(a,x)-f(x).$ En d\'{e}duire que toute fonction \`{a} variation born\'ee est la diff\'{e}rence de deux fonctions croissantes (d'o\`{u} la nature de ses discontinuit\'{e}s). Une fonction continue, une fonction lipschitzienne sont-elles \`{a} variation born\'ee ? \finenonce{000697} \finexercice \section{ 123.06 Fonctions équivalentes, fonctions négligeables } \exercice{1213, ridde, 1999/11/01} \enonce{001213}{} \`A quelle condition sur $f$ et $g$ a-t-on $e^f \underset{a}{\sim} e^g$ ? \finenonce{001213} \finexercice \exercice{1214, ridde, 1999/11/01} \enonce{001214}{} Soient $f$ et $g$ \'equivalentes au voisinage de $a$ et strictement positives. Montrer que si $f$ admet en $a$ une limite dans $\bar{\Rr}$ diff\'erente de $1$ alors $\ln f \underset{a}{\sim} \ln g$. \finenonce{001214} \finexercice \exercice{1215, ridde, 1999/11/01} \enonce{001215}{} Montrer que si $f$ tend vers $0$ en $a$ alors $\ln (1 + f) \underset{a}{\sim} f$ et $e^f-1 \underset{a}{\sim} f$. \finenonce{001215} \finexercice \exercice{1216, ridde, 1999/11/01} \enonce{001216}{} \'Etudier en $ + \infty$ et $-\infty$ la fonction $f (x) = \sqrt[3]{x^3 + 1} + \sqrt{x^2 + x + 1}$. \finenonce{001216} \finexercice \exercice{1217, ridde, 1999/11/01} \enonce{001217}{} Calculer les limites de \begin{enumerate} \item $\dfrac{\sin x \ln (1 + x^2)}{x \tan x} \text{ en } 0$. \item $\dfrac{\ln (1 + \sin x)}{\tan (6x)} \text{ en } 0$. \item $ (\ln (e + x))^{\frac 1x} \text{ en } 0$. \item $(\ln (1 + e^{-x}))^{\frac 1x} \text{ en } + \infty$. \end{enumerate} \finenonce{001217} \finexercice \exercice{1218, ridde, 1999/11/01} \enonce{001218}{} Trouver un \'equivalent simple en $ + \infty$ de $(\dfrac{\ln (1 + x)}{\ln x})^x-1$. \finenonce{001218} \finexercice \exercice{1219, ridde, 1999/11/01} \enonce{001219}{} $$\text{Limite en } + \infty \text{ de }\sqrt [3]{{x}^{3}+{x}^{2}}-\sqrt [3]{{x}^{3}-{x}^{2}}$$ $$\text{\'Equivalent en } + \infty \text{ de } \sqrt {{x}^{2}+\sqrt {{x}^{4}+1}}-x\sqrt {2}$$ $$\text{Limite en 0 de }{\frac {\tan(ax)-\sin(ax)}{\tan(bx)-\sin(bx)}} $$ $$\text{Limite en } \frac{\pi}4 \text{ de } \left (x-{\frac {\pi }{4}}\right )\tan(x+{\frac {\pi }{4}}) $$ $$ \text{Limite en } \frac{\pi}4 \text{ de } {\frac {\cos(x)-\sin(x)}{\left (4\,x-\pi \right )\tan(x)}}$$ $$ \text{\'Equivalent en } 0 \text{ de } {\frac {\tan(x-x\cos(x))}{\sin(x)+\cos(x)-1}} $$ $$ \text{\'Equivalent en } \frac{\pi}4 \text{ de } \left (\tan(2\,x)+\tan(x+{\frac {\pi }{4}})\right )\left ( \cos(x+{\frac {\pi }{4}})\right )^{2} $$ $$ \text{Limite en 0 de }{x}^{\frac 1{1+2\,\ln (x)}} $$ $$\text{Limite en } \frac 12 \text{ de }\left (2\,{x}^{2}-3\,x+1\right )\tan(\pi \,x) $$ $$ \text{Limite en 0 de }{\frac {\left (\sin(x)\right )^{\sin(x)}-1}{\left (\tan(x) \right )^{\tan(x)}-1}} $$ $$\text{\'Equivalent en } + \infty \text{ de }\frac{\sqrt{1 + x^2}}{\sin (\frac 1x)} \ln (\frac x{x + 1}) $$ \finenonce{001219} \finexercice \exercice{1220, gourio, 2001/09/01} \enonce{001220}{} Soit $(f_{n})_{n\in \Nn}$ une suite de fonctions r\'{e}elles. Montrer qu'il existe $f:\Rr\rightarrow \Rr$ telle que $\forall n\in \Nn,f_{n}(t)=o(f(t))$ si $t\rightarrow \infty .$ \finenonce{001220} \finexercice \section{ 123.99 Autre } \exercice{5161, rouget, 2010/06/30} \enonce{005161}{***I} Montrer que $\forall n\in\Nn,\;(n\geq3\Rightarrow\sqrt{n}<\sqrt[n]{n!})$. (commencer par vérifier que pour $k=2,3,...,n$, on a~:~$(n-k+1)k>n$). \finenonce{005161} \finexercice\exercice{5163, rouget, 2010/06/30} \enonce{005163}{**I} Montrer que $\forall n\in\Nn,\;\forall x\in\Rr,\;|\sin(nx)|\leq n|\sin x|$. \finenonce{005163} \finexercice\exercice{5393, rouget, 2010/07/06} \enonce{005393}{**I} \label{exo:rouconti} Soit $f$ continue sur $[a,b]$ à valeurs dans $[a,b]$. Montrer que $f$ a un point fixe. \finenonce{005393} \finexercice \exercice{5394, rouget, 2010/07/06} \enonce{005394}{**I} Soit $f$ définie sur $[0,+\infty[$ à valeurs dans $[0,+\infty[$, continue sur $[0,+\infty[$ telle que $\frac{f(x)}{x}$ a une limite réelle $\ell\in[0,1[$ quand $x$ tend vers $+\infty$. Montrer que $f$ a un point fixe. \finenonce{005394} \finexercice \exercice{5397, rouget, 2010/07/06} \enonce{005397}{***} Soit $f$ continue sur $\Rr^+$ telle que, pour tout réel positif $x$, on ait $f(x^2)=f(x)$. Montrer que $f$ est constante sur $\Rr^+$. Trouver un exemple où $f$ n'est pas constante. \finenonce{005397} \finexercice \exercice{5399, rouget, 2010/07/06} \enonce{005399}{***I} Trouver tous les morphismes continus de $(\Rr,+)$. \finenonce{005399} \finexercice \exercice{5400, rouget, 2010/07/06} \enonce{005400}{***} Soient $a$ et $b$ deux réels tels que $01$$ soit d\'erivable sur $\Rr_+^*$. \finenonce{000699} \finexercice \exercice{700, bodin, 1998/09/01} \video{K9yZt1R0xW8} \enonce{000700}{} Soit $f : \Rr^* \longrightarrow \Rr$ d\'efinie par $\displaystyle{f(x)= x^2\sin \frac{1}{x} }$. Montrer que $f$ est prolongeable par continuit\'e en $0$ ; on note encore $f$ la fonction prolong\'ee. Montrer que $f$ est d\'erivable sur $\Rr$ mais que $f'$ n'est pas continue en $0$. \finenonce{000700} \finexercice \exercice{701, bodin, 1998/09/01} \enonce{000701}{} Calculer la fonction d\'eriv\'ee d'ordre $n$ des fonctions $f,g,h$ d\'efinies par : $$f(x) = \sin x \quad ; \quad g(x)=\sin^2x \quad ; \quad h(x)=\sin^3x+\cos^3x.$$ \finenonce{000701} \finexercice \exercice{702, bodin, 1998/09/01} \enonce{000702}{} Calculer les d\'eriv\'ees d'ordre $n$ des fonctions : $$f(x) = \frac{2x-5}{(x-2)^2(x+1)(x-3)}\qquad g(x) = \ln(1+x).$$ \finenonce{000702} \finexercice \exercice{703, bodin, 1998/09/01} \enonce{000703}{Formule de Leibnitz} \'Etant donn\'ees $u$ et $v$ des fonctions d\'erivables \`a l'ordre $n$ sur l'intervalle $I$, montrer par r\'ecurrence que la d\'eriv\'ee d'ordre $n$ du produit $uv$ sur cet intervalle est : $$(uv)^{(n)}=\sum_{k=0}^nC_n^k u^{(k)}v^{(n-k)}.$$ En d\'eduire les d\'eriv\'ees successives des fonctions : $$ x\mapsto x^2e^x \quad;\quad x\mapsto x^2(1+x)^n \quad;\quad x\mapsto \frac{x^2+1}{(x+1)^2}\quad;\quad x\mapsto x^{n-1}\ln x.$$ \finenonce{000703} \finexercice \exercice{704, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000704}{} Etudier la dérivabilité sur $\mathbb{R}$ des applications suivantes~: $$ f : x \mapsto x\vert x\vert, \qquad g : x \mapsto \frac{x}{1+\vert x\vert}, \qquad h : \mapsto \frac{1}{1+\vert x\vert}.$$ \finenonce{000704} \finexercice \exercice{705, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000705}{} Calculer les dérivées des fonctions~: \begin{enumerate} \item $x \mapsto \sqrt{1+x^2 \sin^2 x},\qquad x \mapsto \frac{\exp(1/x)+1} {\exp(1/x)-1}.$ \item $x \mapsto \log (\frac{1+\sin(x)} {1-\sin(x)}),\qquad x \mapsto (x(x-2))^{1/3}.$ \end{enumerate} \finenonce{000705} \finexercice \exercice{706, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000706}{} Soit $f$ une fonction dérivable sur $\mathbb{R}$. \begin{enumerate} \item Calculer la dérivée de $x\mapsto \hbox{sin} (f(x)^2)$ et de $ x \mapsto \hbox{sin} (f(x^2)).$ \item On suppose $f(x)\not =0$ pour tout $x\in \mathbb{R}$. Calculer la dérivée de $x\mapsto \hbox{log}(\vert f(x)\vert ).$ \end{enumerate} \finenonce{000706} \finexercice \exercice{707, ridde, 1999/11/01} \enonce{000707}{} Prolonger par continuit\'e en $0$ et \'etudier la d\'erivabilt\'e de \begin{enumerate} \item $f (x) = \sqrt{x} \ln x$. \item $g (x) = \dfrac{e^x-1}{\sqrt x}$. \end{enumerate} \finenonce{000707} \finexercice \exercice{708, ridde, 1999/11/01} \enonce{000708}{} Soit $ f : \begin{cases} \Rr \rightarrow \Rr \\ x \mapsto e^x \text{ si }x<0 \\ x \mapsto ax^2 + bx + c \text{ sinon} \end{cases}$ \\ D\'eterminer $a, b, c$ pour que $f$ soit $C^2$ (et $C^3$ ?). \finenonce{000708} \finexercice \exercice{709, ridde, 1999/11/01} \enonce{000709}{} Soit $f (x) = \exp (-\frac 1{x^2})$ si $x \neq 0$ et $f (0) = 0$. Montrer que $f$ est $C^{\infty}$ et que $\forall n \in \Nn \, \, f^{ (n)} (0) = 0$. \finenonce{000709} \finexercice \exercice{710, ridde, 1999/11/01} \enonce{000710}{} Soient $a$ et $b$ deux r\'eels et $f (x) = (x-a)^n (x-b)^n$. Calculer $f^{ (n)}$ et en d\'eduire $\sum\limits_{k = 0}^n (C_n^k)^2$. \finenonce{000710} \finexercice \exercice{711, gourio, 2001/09/01} \enonce{000711}{} Soit $f:{\Rr}\rightarrow {\Rr}$ d\'{e}finie par : $$\forall x\neq 0,f(x)=e^{-\frac{1}{x^{2}}},f(0)=0. $$ Montrer que $f\in C^{\infty }({\Rr},{\Rr})$ et calculer ses d\'{e}riv\'{e}es en 0. \finenonce{000711} \finexercice \exercice{712, gourio, 2001/09/01} \enonce{000712}{} Calculer la d\'{e}riv\'{e}e de $x\rightarrow \ln \cos (\pi +\frac{x^{2}-1}{ x^{2}+1}).$ \finenonce{000712} \finexercice \exercice{713, gourio, 2001/09/01} \enonce{000713}{} La fonction $x\rightarrow \cos \sqrt{x} $ est-elle d\'{e}rivable en $0 $ ? \finenonce{000713} \finexercice \exercice{714, gourio, 2001/09/01} \enonce{000714}{} En quels points la fonction $f:{\Rr}\rightarrow {\Rr}$ d\'{e}finie par : $$\forall x\in \Qq,f(x)=x^{2},\forall x\in {\Rr}-\Qq,f(x)=0, $$ est-elle d\'{e}rivable ? \finenonce{000714} \finexercice \exercice{1221, legall, 1998/09/01} \enonce{001221}{} Montrer que pour tout $ x \in { \Rr}_+ , \sin(x) \leq x .$ \finenonce{001221} \finexercice \exercice{1222, legall, 1998/09/01} \enonce{001222}{} Pour tout $ x \in ] 1, +\infty [ $ on pose $ f (x) =x \ln (x) -x .$ Montrer que $ f $ est une bijection de $ ] 1, +\infty [ $ sur $ ] -1, +\infty [ .$ On pose $ g=f^{-1} $ l'application r\'eciproque de $ f .$ Calculer $ g(0) $ et $ g'(0) .$ \finenonce{001222} \finexercice \exercice{1223, legall, 1998/09/01} \enonce{001223}{} \'Etudier la continuit\'e, la d\'erivabilit\'e, la continuit\'e de la d\'eriv\'ee pour les applications suivantes~: \begin{enumerate} \item $ \displaystyle { f :x \mapsto \hbox{sin }(\frac{1}{ x }) } $ si $ x\not = 0 $ et $ f(0)=0 .$ \item $ \displaystyle { g :x \mapsto x \hbox{sin }(\frac{1}{ x }) } $ si $ x\not = 0 $ et $ f(0)=0 .$ \item $ \displaystyle { h :x \mapsto x^2 \hbox{sin }(\frac{1}{ x }) } $ si $ x\not = 0 $ et $ f(0)=0 .$ \end{enumerate} \finenonce{001223} \finexercice \exercice{1224, legall, 1998/09/01} \enonce{001224}{} Soit $ g $ une fonction $ 2 $ fois d\' erivable sur $ [a,b] $ telle que $ g(a)=g(b)=0 $ et $ g''(x)\leq 0 $ pour tout $ x\in ]a,b[ .$ Montrer que pour tout $ x\in ]a,b[ , g(x)\geq 0 .$ \finenonce{001224} \finexercice \exercice{1225, legall, 1998/09/01} \enonce{001225}{} Soit $ f : { \Rr}\rightarrow { \Rr} $ une fonction deux fois d\'erivable telle que $ \forall x \in { \Rr} $ on ait $ f(x)\geq 0 ,$ $ f'(x)\geq 0 $ et $ f''(x)\geq 0 .$ \'Etudier $ \displaystyle{ \lim _{x \rightarrow \infty } f(x)} $ et $ \displaystyle{ \lim _{x \rightarrow \infty } \frac{f(x)}{ x}} .$ \finenonce{001225} \finexercice \exercice{1226, legall, 1998/09/01} \enonce{001226}{} Soit $ f $ une application continue de $ [a,b] $ \`a valeurs dans $ \R $ d\'erivable sur $ ]a,b] .$ Montrer que si $ \displaystyle{ \lim _{x\rightarrow a} f'(x)} $ existe, $ f $ est d\'erivable en $ a . $ \finenonce{001226} \finexercice \exercice{1227, legall, 2003/10/01} \enonce{001227}{} Soit $f:\Rr_+\rightarrow \Rr_+^*$ une fonction born\'ee deux fois d\'erivable et telle qu'il existe $\alpha > 0$ tel que, pour tout $x\in \Rr_+ ,$ on ait $\alpha f(x)\leq f''(x).$ \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que $f'$ a une limite en $+\infty .$ Quelle est la valeur de cette limite~? \item Montrer que $f$ est d\'ecroissante et que $\displaystyle{ \lim _{+\infty} f(x)=0}.$ \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Soit $g :x\mapsto \alpha f^2(x)-(f'(x))^2.$ Montrer que $g$ est croissante et a pour limite $0$ en $\infty$. \item En posant $f(x)=h(x)\exp (-\sqrt{\alpha}x)$, montrer que, pour tout $x\in \R _+ :f(x)\leq f(0)\exp (-\sqrt{\alpha}x)$. \end{enumerate} \end{enumerate} \finenonce{001227} \finexercice \exercice{2689, matexo1, 2002/02/01} \enonce{002689}{} Montrer que $$\forall x\in\R,\qquad |\sin x| \leq |x|,$$ $$\forall x\in[0,\frac \pi 2], \qquad 1-\cos x \leq x \sin x,$$ $$\forall x\in[-1,1],\qquad |\arcsin x| \leq \left| \frac x{\sqrt{1-x^2}} \right|.$$ \finenonce{002689} \finexercice \exercice{5413, rouget, 2010/07/06} \enonce{005413}{**} Déterminer dans chacun des cas suivants la dérivée $n$-ème de la fonction proposée~: $$1)\;x\mapsto x^{n-1}\ln(1+x)\;2)\;x\mapsto\cos^3x\sin(2x)\;3)\;x\mapsto\frac{x^2+1}{(x-1)^3}\;4)\;x\mapsto(x^3+2x-7)e^x.$$ \finenonce{005413} \finexercice \section{ 124.02 Théorème de Rolle et accroissements finis } \exercice{715, bodin, 1998/09/01} \video{J-dlr6vwO8A} \enonce{000715}{} Montrer que le polyn\^ome $P_n$ d\'efini par $$P_n(t)=\left[ \left( 1-t^2 \right)^n \right]^{(n)}$$ est un polyn\^ome de degr\'e $n$ dont les racines sont r\'eelles, simples, et appartiennent \`a $[-1,1]$. \finenonce{000715} \finexercice \exercice{716, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000716}{} Etudier la fonction $f: x\mapsto x^5-5x+1$ sur $\mathbb{R}$ et en déduire que l'équation $ x^5-5x+1=0 $ a trois solutions réelles. \finenonce{000716} \finexercice \exercice{717, legall, 1998/09/01} \video{w_zY_6IuJnE} \enonce{000717}{} Montrer que le polyn\^ome $ X^n+aX+b $, ($ a $ et $ b $ r\' eels) admet au plus trois racines r\' eelles. \finenonce{000717} \finexercice\exercice{718, legall, 1998/09/01} \enonce{000718}{} Soit $ f $ une fonction $ n $ fois d\' erivable sur $ ]a,b[ $ s'annulant en $ n+1 $ points de $ ]a,b[ .$ Montrer que si $ f^{(n)} $ est continue, il existe un point $ x_0 $ de $ ]a,b[ $ tel que $ f^{(n)}(x_0)=0 .$ \finenonce{000718} \finexercice\exercice{719, bodin, 1998/09/01} \enonce{000719}{} \'Etant donn\'e $y$ un r\'eel positif et $n$ un entier naturel pair, montrer que $(x+y)^n=x^n+y^n$ si et seulement si $x=0$. Cas $n$ impair ? \finenonce{000719} \finexercice \exercice{720, bodin, 1998/09/01} \enonce{000720}{} Soit $f$ une fonction continue et d\'erivable sur $[a,+\infty[$ et telle que $\lim_{x\rightarrow\infty}f(x)=f(a)$. Montrer qu'il existe un \'el\'ement $c$ dans $]a,+\infty [$ tel que $f'(c)=0$. \finenonce{000720} \finexercice \exercice{721, bodin, 1998/09/01} \video{wAM4vww5WSo} \enonce{000721}{} Dans l'application du th\'eor\`eme des accroissements finis \`a la fonction $$ f(x) =\alpha x^2+\beta x+\gamma$$ sur l'intervalle $[a,b]$ pr\'eciser le nombre ``$c$'' de $]a,b[$. Donner une interpr\'etation g\'eom\'etrique. \finenonce{000721} \finexercice\exercice{722, bodin, 1998/09/01} \enonce{000722}{} Appliquer la formule des accroissements finis \`a la fonction $$f(x)=a+bx+ce^{\alpha x}$$ (où $a,b,c,\alpha$ sont r\'eels, et $c$ et $\alpha$ sont non nuls) sur l'intervalle $[0,X]$. \begin{enumerate} \item Calculer ``$\theta$'' en fonction de $X$. \item En d\'eduire que $$x\mapsto \frac{1}{\alpha x}\ln \frac{e^{\alpha x}-1}{\alpha x}$$ est born\'ee sur $\Rr$. \end{enumerate} \finenonce{000722} \finexercice \exercice{723, bodin, 1998/09/01} \enonce{000723}{} Soit $f$ une fonction deux fois d\'erivable sur $[a,a+2h]$. Par introduction de la fonction $$g(t) = f(a+t+h)-f(a+t)$$ montrer qu'il existe $\alpha$ dans $]0,2[$ tel que $$f(a)-2f(a+h)+f(a+2h)=h^2f''(a+\alpha h).$$ \finenonce{000723} \finexercice \exercice{724, bodin, 1998/09/01} \video{CfqCgc6zKgg} \enonce{000724}{} Soient $x$ et $y$ r\'eels avec $00 $ pour tout $ \displaystyle{ x\in [0,1-\frac{1}{ n}[} .$ Montrer que $ f(1)>f(0) .$ \item On suppose d\'esormais que $ f(0)=f(1) .$ Montrer que, pour chaque $ n \in { \Nn} ,$ la fonction $ g_n $ s'annule en au moins un point de l'intervalle $ \displaystyle{ [0,1-\frac{1}{ n}]} .$ \end{enumerate} \finenonce{001228} \finexercice \exercice{1229, legall, 1998/09/01} \enonce{001229}{} Pour tout $ n $ entier sup\'erieur o\`u \'egal \`a $ 2 $, on consid\`ere le polyn\^ome de degr\' e $ n $ \`a coefficients r\' eels~: $$P_n(X)=X^n+X^{n-1}+X^2+X-1$$ \begin{enumerate} \item Soit $ n \geq 2 .$ Montrer que $ P_n $ a une unique racine r\' eelle positive que l'on nommera $ \lambda _n .$ (On pourra \'etudier l'application $ X\mapsto P_n(X) .$) \item Montrer que la suite $ (\lambda _n)_{n\geq 2} $ est croissante puis qu'elle converge vers une limite que l'on notera $ \ell .$ \item Montrer que $ \ell $ est racine du polyn\^ome $ X^2+X-1 .$ En d\' eduire sa valeur. \end{enumerate} \finenonce{001229} \finexercice \exercice{1230, legall, 1998/09/01} \enonce{001230}{} Soit $ f $ une fonction d'un intervalle $ I $ \`a valeurs dans $ \R $ d\'erivable sur $ I .$ Montrer que les propri\'et\'es suivantes sont \'equivalentes~: \begin{enumerate} \item $ f $ est strictement croissante sur $ I .$ \item $ f' $ est positive ou nulle sur $ I $ et $ \{ x\in I ; f'(x)>0\} $ est dense dans $ I .$ \end{enumerate} \finenonce{001230} \finexercice \exercice{1231, legall, 1998/09/01} \enonce{001231}{} \begin{enumerate} \item Soit $ f $ une application de $ { \Rr} $ dans $ { \Rr} $ d\'erivable en $ 0 .$ Montrer qu'il existe une application $ \epsilon $ de $ { \Rr} $ dans lui-m\^eme telle que $ \forall x\in { \Rr} : f(x)= f(0)+ xf'(0)+x \epsilon (x) $ et $ \displaystyle{\lim _{x\rightarrow 0} \epsilon (x)=0 } .$ Donner une interprtation g\'eom\'etrique de ce r\'esultat. \item En d\'eduire les limites des suites $ (u_n)_{n \geq 1} $ et $ (v_n)_{n\geq 1} $ d\'efinies en posant, pour tout $ n \in { \Nn}^* $~: $ \displaystyle{u_n = (n^3+1)^{\frac{1}{ 3}}-n} $ et $ \displaystyle{v_n=(1+\frac{\alpha}{ n})^{\frac{1}{ n}}} .$ \item Construire un exemple de suite $ (w_n)_{n \geq 1} $ avec, $ u_n<1 $ pour tout $ n \geq 1 $ et telle que $ \displaystyle{ \lim _{n\rightarrow \infty }w_n =1} .$ (On pourra s'inpirer de l'exemple de $ (v_n)_{n\geq 1} $ ci-dessus.) \end{enumerate} \finenonce{001231} \finexercice \exercice{1232, legall, 1998/09/01} \enonce{001232}{} \begin{enumerate} \item Montrer que pour tout $ x>0 $ on a~: $ \displaystyle{\frac {1}{ x+1}<\hbox{log}(x+1) -\hbox{log}(x)<\frac{1}{ x}} .$ \item En d\'eduire que pour tout entier $ n\geq 1 :$ $\displaystyle { \hbox{log}(n+1)< 1+ \frac{1}{ 2}+\cdots +\frac{1}{ n}<1+\hbox{log}(n)} .$ \item Posons $ \displaystyle{u_n=1+ \frac{1}{ 2}+\cdots +\frac{1}{ n}-\hbox{log}(n)} $ Montrer que la suite $ (u_n)_{n \in { \Nn}} $ est d\'ecroisante et convergente. \end{enumerate} \finenonce{001232} \finexercice \exercice{1233, legall, 1998/09/01} \enonce{001233}{} \begin{enumerate} \item Soit $ f $ une application continue d'un intervalle $ ]a,b[ $ \`a valeurs dans $ { \Rr} ,$ d\' erivable en $ c \in ]a,b[ .$ Montrer qu'il existe une (unique) application continue $ \epsilon $ de $ ]a,b[ $ dans $ { \Rr} $ telle que $ f(c)=0 $ et, pour tout $ x \in ]a,b[ $ distinct de $ c ,$ on ait~: $$ f (x)=f (c) +(x-c)f'(c)+ (x-c)\epsilon (x) $$ \item Montrer que la suite $ (S_n)_{n\geq 1} $ de terme g\'en\'eral~: $$S_n = \displaystyle\frac{ 1}{ n}+\displaystyle{\frac{ 1}{ n+1}}+\cdots + \displaystyle{\frac{ 1}{2n}} =\displaystyle{\sum _{\scriptstyle k=0}^{\scriptstyle n}\frac{1}{ n+k}}$$ est d\' ecroissante et qu'elle converge vers une limite que l'on nommera $ S .$ \item Pourquoi peut on dire, {\it a priori}, que $ \displaystyle{\frac{1}{ 2}}\leq S \leq 1 ?$ \item Soit $f : \rbrack -1, 1\lbrack \rightarrow { \Rr} $ une application continue, d\'erivable en $ 0 $ et telle que $ f(0)=0 .$ Montrer que la suite $ (\sigma _n(f))_{n\geq 1} $ de terme g\'en\'eral~: $$\sigma _n(f) = \displaystyle f\left( \frac{ 1}{ n}\right) +\displaystyle f\left(\frac{ 1}{ n+1}\right) +\cdots + \displaystyle f\left(\frac{ 1}{ 2n} \right) $$ converge vers $ f'(0)S $ (utiliser 1.). \item Montrer que $ \sigma _n(f)=\hbox{log }(2) $ lorsque $ f $ est l'application $ x\mapsto \hbox{log }(1+x) $ et en d\' eduire la valeur de $ S .$ \item Calculer la limite de la suite $ (\sigma _n)_{n\geq 1} $ de terme g\'en\'eral~: $$\sigma _n = \displaystyle \hbox{sin }\frac{ 1}{ n}+\displaystyle \hbox{sin }\frac{ 1}{ n+1}+\cdots + \displaystyle \hbox{sin }\frac{ 1}{ 2n} . $$ \item Plus g\' en\' eralement, quelle est la valeur pour $ p\in { \Nn}^* $ donn\' e, de la limite $ S_p $ de la suite $ (\sigma _n(p))_{n\geq 1} $ de terme g\'en\'eral~: $$\sigma _n(p) =\displaystyle{\sum _{\scriptstyle k=0}^{\scriptstyle pn}\frac{1}{ n+k}} ?$$ \end{enumerate} \finenonce{001233} \finexercice \exercice{1234, legall, 1998/09/01} \enonce{001234}{} Soit $ f $ une fonction d\' erivable et $ a $ un r\' eel. Soit $ h>0 $ un nombre r\' eel strictement positif fix\' e. \begin{enumerate} \item Montrer qu'il existe $ \theta \in ]0,1[ $ tel que $$\displaystyle{\frac {f(a+h)-2f(a)+f(a-h)}{ h}=f'(a+\theta h)-f'(a-\theta h)} .$$ \item Pour tout $ h\not = 0 $ on note : $ \displaystyle{ \varphi (h)=\frac{f(a+h)-2f(a)+f(a-h)}{ h^2}} .$ Montrer que si $ f''(a) $ existe, alors $ \displaystyle{\lim _{h\rightarrow 0}\varphi(h)=f''(a) }.$ \end{enumerate} \finenonce{001234} \finexercice \exercice{1235, legall, 2003/10/01} \enonce{001235}{} Soit $I$ un intervalle ouvert contenant $0$ et $1 $ et $f: I \rightarrow \Rr $ une fonction d\'erivable. On pose $p=f(1)-f(0).$ \begin{enumerate} \item Soit $g :[0,1]\rightarrow \Rr $ la fonction d\'efinie par $g(0)=f'(0)$ et $g(x)=\dfrac{f(x)-f(0)}{x}$ sinon. Montrer que si $u$ est un r\'eel compris entre $f'(0)$ et $p$ alors il existe $a\in [0,1] $ tel que $u=f'(a).$ \item Soit $h :[0,1]\rightarrow \Rr $ la fonction d\'efinie par $h(1)=f'(1)$ et $h(x)=\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}$ sinon. Montrer que si $v$ est un r\'eel compris entre $f'(1)$ et $p$ alors il existe $b\in [0,1] $ tel que $v=f'(b).$ \item Soit $w$ un r\'eel compris entre $f'(0)$ et $f'(1)$. Montrer qu'il existe $c\in [0,1] $ tel que $w=f'(c).$ \end{enumerate} \finenonce{001235} \finexercice \exercice{1236, legall, 2003/10/01} \enonce{001236}{} Soit $P(X)$ un polyn\^ome \`a coefficients complexes de degr\'e $3$ ayant trois racines distinctes. Montrer que les racines de $P'$ sont dans le triangle ayant pour sommet les racines de $P$ \finenonce{001236} \finexercice \section{ 124.04 Fonctions convexes } \exercice{3981, quercia, 2010/03/11} \enonce{003981}{Déterminant} Soit $f : \R \to \R$ convexe et $x < y < z$. Montrer que $\begin{vmatrix} 1 &x &f(x) \cr 1 &y &f(y) \cr 1 &z &f(z) \cr\end{vmatrix} > 0$. \finenonce{003981} \finexercice \exercice{3982, quercia, 2010/03/11} \enonce{003982}{Somme de fractions} Soient $x_1, x_2, \dots, x_n > 0$. Montrer que $\frac {x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_3} + \dots + \frac{x_n}{x_1} \ge n$. \finenonce{003982} \finexercice \exercice{3983, quercia, 2010/03/11} \enonce{003983}{Monotonie} Soit $f : {\R} \to {\R}$ convexe. Montrer que l'on a : -- soit $f$ est croissante sur $\R$.\par -- soit $f$ est décroissante sur $\R$.\par -- soit il existe $a \in \R$ tel que $f$ est décroissante sur $]-\infty,a]$, puis croissante sur $[a,+\infty[$. \finenonce{003983} \finexercice \exercice{3984, quercia, 2010/03/11} \enonce{003984}{Fonction convexe bornée} \begin{enumerate} \item Soit $f : {\R^+} \to {\R}$ convexe et bornée. Montrer que $f$ est décroissante. \item Soit $f : {\R} \to {\R}$ convexe et bornée. Montrer que $f$ est constante. \end{enumerate} \finenonce{003984} \finexercice \exercice{3985, quercia, 2010/03/11} \enonce{003985}{$f$ convexe majorée par $g$ affine} Soit $f : {\R^{+*}} \to \R$ convexe et $g : {\R^{+*}} \to \R$ affine. On suppose : $\begin{cases}\forall\ x > 0,\ f(x) \le g(x),\cr f(1) = g(1).\cr\end{cases}$ Montrer que $f = g$. \finenonce{003985} \finexercice \exercice{3986, quercia, 2010/03/11} \enonce{003986}{Position par rapport à une asymptote} Soit $f : {\R} \to {\R}$ convexe telle que ${\cal C}_f$ admet une asymptote d'équation $y = mx+p$ en $+\infty$. Montrer que ${\cal C}_f$ est au dessus de cette asymptote. \finenonce{003986} \finexercice \exercice{3987, quercia, 2010/03/11} \enonce{003987}{Fonction convexe dérivable} Soit $f : {\R} \to {\R}$ convexe dérivable. Montrer que $f'$ est continue. \finenonce{003987} \finexercice \exercice{3988, quercia, 2010/03/11} \enonce{003988}{\'Etude à l'infini} Soit $f : \R \to \R$ deux fois dérivable telle que : $f \ge 0$, $f' \ge 0$, $f'' \ge 0$. \begin{enumerate} \item \'Etudier l'existence des limites (dans $\overline\R\,$) en $+\infty$ de $f(x)$, $f'(x)$, $\frac {f(x)}x$. \item Même question pour les limites en $-\infty$ de $f(x)$, $f'(x)$, et $xf'(x)$. \end{enumerate} \finenonce{003988} \finexercice \exercice{3989, quercia, 2010/03/11} \enonce{003989}{Zéro de $f''$} Soit $f : {[0,+\infty[} \to {\R}$ deux fois dérivable telle que $f(x) \to f(0)$ lorsque $x\to{+\infty}$. Montrer qu'il existe $c \in {]0,+\infty[}$ tel que $f''(c) = 0$. \finenonce{003989} \finexercice \exercice{3990, quercia, 2010/03/11} \enonce{003990}{$f((x+y)/2) \le (f(x) + f(y))/2$} Soit $f : {[a,b]} \to {\R}$ continue telle que : $\forall\ x,y \in {[a,b]},\ f\left(\frac {x+y}2\right) \le \frac {f(x) + f(y)}2$. Montrer que $f$ est convexe. \finenonce{003990} \finexercice \exercice{3991, quercia, 2010/03/11} \enonce{003991}{Suites adjacentes} Soit $f : {[a,b]} \to {[c,d]}$ convexe, bijective, croissante. On définit les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ par : $$a \le u_0 \le v_0 \le b,\quad u_{n+1} = \frac {u_n + v_n}2,\quad v_{n+1} = f^{-1}\left(\frac {f(u_n) + f(v_n)}2\right).$$ Montrer que $(u_n)$ et $(v_n)$ convergent vers une même limite. \finenonce{003991} \finexercice \exercice{3992, quercia, 2010/03/11} \enonce{003992}{Polygone inscrit dans un cercle de périmètre maximum} Soit $n \ge 3$ et $A_1A_2\dots A_n$ un polygone convexe à $n$ côtés inscrit dans un cercle fixé. Montrer que le périmètre de ce polygone est maximal si et seulement si le polygone est régulier. \finenonce{003992} \finexercice \exercice{3993, quercia, 2010/03/11} \enonce{003993}{Fonctions logarithmiquement convexe} Soit $f : {\R} \to {\R^{+*}}$. Montrer que : ($\ln f$ est convexe) $\iff$ ($\forall\ \alpha > 0$, $f^\alpha$ est convexe). \finenonce{003993} \finexercice \exercice{3994, quercia, 2010/03/11} \enonce{003994}{Limite de $f(x) - xf'(x)$} Soit $f : \R \to \R$ convexe dérivable. \begin{enumerate} \item Montrer que $p = \lim_{x\to+\infty} (f(x) - xf'(x))$ existe. \item On suppose $p$ fini. En utilisant le fait que $f(x) - xf'(x)$ est bornée au voisinage de $+\infty$, montrer que $\frac{f(x)}x$ et $f'(x)$ admettent une même limite $m$ finie en $+\infty$. \item Montrer alors que $f(x) - mx - p \to 0$ lorsque $x\to {+\infty}$. \end{enumerate} \finenonce{003994} \finexercice \exercice{3995, quercia, 2010/03/11} \enonce{003995}{Fonction positive concave} Soit $f : {[0,+\infty[} \to {[0,+\infty[}$ concave. \begin{enumerate} \item Montrer que la fonction $x \longmapsto \frac {f(x)}x$ est décroissante sur $]0,+\infty[$. \item Montrer que : $\forall\ x,y \ge 0,\ f(x+y) \le f(x) + f(y)$. \end{enumerate} \finenonce{003995} \finexercice \exercice{3996, quercia, 2010/03/11} \enonce{003996}{Constante d'Euler} Soit $f : {[0,+\infty[} \to {\R}$ concave, dérivable, croissante. \begin{enumerate} \item Montrer que : $\forall\ x\ge 1,\ f(x+1)-f(x) \le f'(x) \le f(x)-f(x-1)$. \item On pose : $\begin{cases} u_n = f'(1) + f'(2) + \dots + f'(n) - f(n) \cr v_n = f'(1) + f'(2) + \dots + f'(n) - f(n+1).\cr\end{cases}$ Montrer que ces suites convergent. \item On prend $f(x) = \ln x$. Soit $\gamma = \lim_{n\to\infty} u_n$ (constante d'Euler). Calculer $\gamma$ à $10^{-2}$ près. \end{enumerate} \finenonce{003996} \finexercice \exercice{3997, quercia, 2010/03/11} \enonce{003997}{Tangentes passant par un point} Soit $f : \R \to \R$ convexe dérivable, et $A = (a,b) \in \R^2$. \'Etudier le nombre maximal de tangentes à ${\cal C}_f$ passant par $A$. \finenonce{003997} \finexercice \exercice{3998, quercia, 2010/03/11} \enonce{003998}{Caractérisation des fonctions convexes ou concaves par le TAF} Soit $f : \R \to \R$ dérivable telle que : $\forall\ a,b \in \R \text{ tq } a < b,\ \exists!\ c \in ]a,b[ \text{ tq } f(b) - f(a) = (b-a) f'(c)$. \begin{enumerate} \item Montrer que pour tout $a \in \R$, la fonction $b \longmapsto \frac {f(b)-f(a)}{b-a}$ est monotone sur $]-\infty,a[$ et sur $]a,+\infty[$. \item En déduire que $f$ est strictement convexe ou strictement concave. \end{enumerate} \finenonce{003998} \finexercice \exercice{3999, quercia, 2010/03/11} \enonce{003999}{Pseudo-dérivée seconde} Soit $f : {\R} \to {\R}$ continue. On suppose que : $\forall\ x \in \R,\ D^2f(x) = \lim_{h \to 0} \frac {f(x+h)+f(x-h)-2f(x)}{h^2}$ existe. \begin{enumerate} \item Si $f$ est de classe $\mathcal{C}^2$, calculer $D^2f(x)$. \item Soit $f$ quelconque et $a < b < c$ tels que $f(a) = f(b) = f(c)$. Montrer qu'il existe $x \in {]a,c[}$ tq $D^2f(x) \le 0$. On suppose à présent que : $\forall\ x \in \R, D^2f(x) \ge 0$. \item Soient $a < b < c$ et $P$ le polynôme de degré inférieur ou égal à 2 coïncidant avec $f$ aux points $a,b,c$. Montrer que $P'' \ge 0$. \item Calculer $P''$ en fonction de $a,b,c$ et $f(a),f(b),f(c)$. En déduire que $f$ est convexe. \end{enumerate} \finenonce{003999} \finexercice \exercice{4000, quercia, 2010/03/11} \enonce{004000}{Fonction convexe non dérivable sur un sous ensemble dénombrable} Soit $(a_n)$ une suite bornée de réels. On pose $f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac {|x-a_n|}{3^n}$. Montrer que $f$ est convexe, et n'est pas dérivable aux points $a_n$. \finenonce{004000} \finexercice \exercice{4001, quercia, 2010/03/11} \enonce{004001}{Convergence simple $+$ convexité $=>$ convergence uniforme sur un compact} Soit $(f_n)$ une suite de fonctions convexes sur $[a,b]$ convergeant simplement vers une fonction $f$ supposée continue. Soit $\varepsilon > 0$. \begin{enumerate} \item Montrer qu'il existe $p \in \N^*$ tel que : $\forall\ x,y \in {[a,b]},\ |x-y| \le \frac {b-a}p \Rightarrow |f(x) - f(y)| \le \varepsilon$. On choisit un tel $p$, et on fixe une subdivision $(a_k)$ de $[a,b]$ telle que $a_k = a + k\frac {b-a}p$. \item Soit $t \in {[0,1]}$. Encadrer $f_n\bigl(ta_k + (1-t)a_{k+1}\bigr)$ par deux fonctions affines de t en utilisant la convexité de~$f_n$. \item Montrer que la suite $(f_n)$ converge uniformément vers $f$. \end{enumerate} \finenonce{004001} \finexercice \exercice{4002, quercia, 2010/03/11} \enonce{004002}{DL d'une fonction convexe} Soit $f:\R \to \R$ convexe dérivable telle que $f(x) = a + bx + \frac {cx^2}2 + o_{x\to0} (x^2)$. Montrer que $f$ est deux fois dérivable en $0$ et $f''(0) = c$ (encadrer $f'(x)$ par les taux d'accroissements de $f$ entre $x - \varepsilon x$, $x$ et $x + \varepsilon x$). \finenonce{004002} \finexercice \exercice{4003, quercia, 2010/03/11} \enonce{004003}{DL d'une fonction convexe} Soit $f$ continue et croissante sur $\R^+$. On pose $F(x)= \int_0^x f$, et l'on suppose que $F(x)=x^2+ o(x)$. Montrer que $f(x)=2x+ o(\sqrt x)$. \finenonce{004003} \finexercice \section{ 124.99 Autre } \exercice{728, bodin, 1998/09/01} \enonce{000728}{} Soit $f: \Rr \longrightarrow \Rr$ d\'efinie par $f(x) = (1-k)^3x^2+(1+k)x^3$ o\`u $k$ est un nombre r\'eel. D\'eterminer les valeurs de $k$ pour lesquelles l'origine est un extremum local de $f$. \finenonce{000728} \finexercice\exercice{729, bodin, 1998/09/01} \enonce{000729}{} Appliquer la r\`egle de l'Hôpital aux calculs des limites suivantes : $$ \lim_{x\rightarrow 0}\ \ \left( \frac{1}{\sin^2x}-\frac{1}{x^2}\right), $$ $$ \lim_{x\rightarrow 0}\ \ (1-\cos x)\text{cotan}\, x. $$ \finenonce{000729} \finexercice \exercice{730, bodin, 1998/09/01} \enonce{000730}{} Calculer $$ \lim_{x\rightarrow 0}\ \ \frac{\cos (x^4)-1}{x^4e^x} ; $$ $$ \lim_{x\rightarrow 0}\ \ \frac{\ln{\cos ax}}{\ln {\cos bx}} ; $$ $$ \lim_{x\rightarrow 0}\ \ x^2\left( \exp \frac{1}{x} - \exp\frac{1}{x+1} \right). $$ \finenonce{000730} \finexercice \exercice{731, ridde, 1999/11/01} \enonce{000731}{} Soit $f \in C^2 (\Rr)$ telle que $\forall (x, y) \in \Rr^2 \, \, f (x + y)f (x-y) \leq f (x)^2$. Montrer que $\forall x \in \Rr \, \, f (x)f'' (x) \leq f' (x)^2$. \finenonce{000731} \finexercice \exercice{732, ridde, 1999/11/01} \enonce{000732}{} Soit $f : \Rr^ + \rightarrow \Rr$ d\'erivable telle que $\lim\limits_{ + \infty} f' = l$. Montrer qu'alors $\lim\limits_{ + \infty} \dfrac{f (x)}x = l$. \finenonce{000732} \finexercice \exercice{733, ridde, 1999/11/01} \video{_YeLn2_0Tso} \enonce{000733}{} D\'eterminer les extremums de $f (x) = x^4-x^3 + 1$ sur $\Rr$. \finenonce{000733} \finexercice\exercice{734, gourio, 2001/09/01} \enonce{000734}{} Quel est le lieu des points d'inflexion (puis des extr\'{e}mums locaux) de $ f_{\lambda } $ quand $\lambda $ d\'{e}crit ${\Rr}, $ o\`{u} : $$f_{\lambda }:x \mapsto \lambda e^{x}+x^{2}. $$ \finenonce{000734} \finexercice\exercice{735, gourio, 2001/09/01} \enonce{000735}{} Trouver les fonctions $f:{\Rr\rightarrow \Rr}$ d\'{e}rivables en $0 $ telles que : $$\exists \lambda \in {\Rr}^{+}-\{1\},\forall x\in {\Rr},f(\lambda x)=\lambda f(x). $$ \finenonce{000735} \finexercice \exercice{736, gourio, 2001/09/01} \enonce{000736}{} Soit $f$ d\'{e}rivable sur ${\Rr } $ telle que $f(\omega )=\omega . $ On d\'{e}finit une suite $(x_{n})_{n\in \Nn}$ par la donn\'{e}e de $x_{0}$ et la r\'{e}currence $x_{n+1}=f(x_{n}).$ Montrer que si $\left| f^{\prime }(\omega )\right| <1,\exists \epsilon >0,\forall x_{0}\in ]\omega -\epsilon ,\omega +\epsilon [,(x_{n})_{n\in \Nn}$ converge vers $w,$ et que si $\left| f^{\prime }(\omega )\right| >1 $ la suite $(x_{n})_{n\in \Nn}$ converge vers $w$ si et seulement si elle est stationnaire (i.e.\ $x_{n}=\omega $ \`{a} partir d'un certain rang). Que dire dans le cas $\left| f^{\prime }(\omega )\right| =1$ ? \finenonce{000736} \finexercice \exercice{737, gourio, 2001/09/01} \enonce{000737}{} Soit $f\in C^{1}([0;1],{\Rr}), $telle que $f(0)=0. $ Calculer : $$\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\sum\limits_{k=1}^{n}f(\frac{k}{n^{2}}). $$ \finenonce{000737} \finexercice \exercice{738, bodin, 2001/11/01} \video{MqjLEkOQD3w} \enonce{000738}{} Soient $f,g :[a , b] \longrightarrow \R$ deux fonctions continues sur $[a, b]$ ($a < b$) et d\'erivables sur $]a , b[.$ On suppose que $g' (x) \neq 0$ pour tout $x \in ]a , b[.$ \begin{enumerate} \item Montrer que $g (x) \neq g (a)$ pour tout $x \in ]a , b[.$ \item Posons $p = \frac{f (b) - f (a)}{g (b) - g (a)}$ et consid\'erons la fonction $h (x) = f (x) - p g (x)$ pour $x \in [a , b].$ Montrer que $h$ v\'erifie les hypoth\`eses du th\'eor\`eme de Rolle et en d\'eduire qu'il existe un nombre r\'eel $c \in ]a , b[$ tel que $$ \frac{f (a) - f (b)}{g (a) - g (b)} = \frac{f' (c)}{g' (c)}.$$ \item On suppose que $\lim_{x \to b^{-}} \frac{f' (x)}{g' (x)} = \ell,$ o\`u $\ell $ est un nombre r\'eel. Montrer que $$ \lim_{x \to b^{-}} \frac{f (x) - f (b)}{g (x) - g (b)} = \ell.$$ \item \emph{Application.} Calculer la limite suivante: $$ \lim_{x \to 1^{-}} \frac{\Arccos x}{\sqrt{1- x^{2}}}.$$ \end{enumerate} \finenonce{000738} \finexercice\exercice{739, bodin, 2001/11/01} \video{OFIk3Tj3QIA} \enonce{000739}{} Soit $n \geq 2$ un entier fix\'e et $f:\R^{+} = [0, + \infty[ \longrightarrow \R$ la fonction d\'efinie par la formule suivante: $$ f (x) = \frac{1 + x^n}{(1 + x)^n}, \ \ x \geq 0.$$ \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que $f$ est d\'erivable sur $\R^{+}$ et calculer $f' (x)$ pour $x \geq 0.$ \item En \'etudiant le signe de $f' (x)$ sur $\R^{+},$ montrer que $f$ atteint un minimum sur $\R^{+}$ que l'on d\'eterminera. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item En d\'eduire l'in\'egalit\'e suivante: $$ (1+ x)^n \leq 2^{n - 1} (1+ x^n), \ \ \forall x \in \R^{+}.$$ \item Montrer que si $x \in \R^{+}$ et $y \in \R^{+}$ alors on a $$ (x + y)^n \leq 2^{n - 1} (x^n + y^n).$$ \end{enumerate} \end{enumerate} \finenonce{000739} \finexercice\exercice{740, monthub, 2001/11/01} \video{EVKKvovB3ps} \enonce{000740}{} On consid\`ere la fonction $f : \R \to \R$ d\'efinie par \begin{equation*} f(t) = \begin{cases} e^{1/t} & \mathrm{\ si\ } t<0\\ 0 & \mathrm{\ si\ } t \geq 0 \end{cases} \end{equation*} \begin{enumerate} \item D\'emontrer que $f$ est d\'erivable sur $\R$, en particulier en $t=0$. \item Etudier l'existence de $f''(0)$. \item On veut montrer que pour $t<0$, la d\'eriv\'ee $n$-i\`eme de $f$ s'\'ecrit $$f^{(n)}(t)=\frac{P_n(t)}{t^{2n}}e^{1/t}$$ o\`u $P_n$ est un polyn\^ome. \begin{enumerate} \item Trouver $P_1$ et $P_2$. \item Trouver une relation de r\'ecurrence entre $P_{n+1}, P_n$ et $P'_n$ pour $n\in \N^*$. \end{enumerate} \item Montrer que $f$ est de classe $C^{\infty}$. \end{enumerate} \finenonce{000740} \finexercice\exercice{3932, quercia, 2010/03/11} \enonce{003932}{Limite double} Soit $f:\R \to \R$ continue en $0$. Montrer que $f$ est dérivable en $0$, et $f'(0) = \ell$ si et seulement si : $$\forall\ \varepsilon > 0,\ \exists\ \delta > 0 \text{ tq } \forall\ h,k\in {]0,\delta[},\ \left|\frac {f(h) - f(-k)}{h+k} - \ell\right| \le \varepsilon.$$ \finenonce{003932} \finexercice \exercice{3933, quercia, 2010/03/11} \enonce{003933}{Propriétés de parité et de périodicité} Soit $f:\R \to \R$ dérivable. \begin{enumerate} \item Que peut-on dire de $f'$ si on sait que $f$ est paire ? impaire ? périodique ? \item Que peut-on dire de $f$ si on sait que $f'$ est paire ? impaire ? périodique ? \item Montrer que si $f'$ est $T$-périodique et $f(T) \ne f(0)$, alors $f$ n'a pas de période (on étudiera $f(nT)$ pour $n\in\N$). \end{enumerate} \finenonce{003933} \finexercice \exercice{3934, quercia, 2010/03/11} \enonce{003934}{Propriété de parité} Soit $f:\R \to \R$ de classe $\mathcal{C}^1$ telle que la fonction $t \mapsto 2f(t) - tf'(t)$ est paire. $f$ est-elle paire~? \finenonce{003934} \finexercice \exercice{3935, quercia, 2010/03/11} \enonce{003935}{Injectivité locale} Soit $f:\R \to \R$ dérivable et $a \in \R$ tel que $f'(a) \ne 0$. \begin{enumerate} \item Montrer qu'il existe un voisinage $V$ de $a$ tel que $\forall\ x \in V\setminus\{a\},\ f(x) \ne f(a)$. \item Si $f'$ est continue au point $a$, montrer qu'il existe un voisinage $V$ de $a$ tel que $f_{|V}$ soit injective. \end{enumerate} \finenonce{003935} \finexercice \exercice{3936, quercia, 2010/03/11} \enonce{003936}{Dérivabilité de $|f|$} Soit $f:\R \to \R$ dérivable. Montrer que $|f|$ admet en tout point une dérivée à droite et une dérivée à gauche. \finenonce{003936} \finexercice \exercice{3937, quercia, 2010/03/11} \enonce{003937}{$f'(x) \to \ell$ et $f$ est bornée} \label{limfprime} Soit $f:\R \to \R$ dérivable et bornée telle que $f'(x) \to \ell$ lorsque $x \to +\infty$. Montrer que $\ell = 0$. \finenonce{003937} \finexercice \exercice{3938, quercia, 2010/03/11} \enonce{003938}{$\lim_\infty f'(x) = \lim_\infty f(x)/x$ } Soit $f:\R \to \R$ dérivable telle que $f'(x) \to \ell$ lorsque $x\to +\infty$. Montrer que $\frac {f(x)}x \to \ell$ lorsque $x\to +\infty$. Chercher un contrexemple pour la réciproque. \finenonce{003938} \finexercice \exercice{3939, quercia, 2010/03/11} \enonce{003939}{Centrale MP 2006} Soit $f : {\R^+} \to \R$ continue telle que $f(x) \int_{t=0}^x f^2(t)\,d t \to \ell\in\R^*$ lorsque $x\to+\infty$. Montrer qu'il existe $\alpha,\beta\in\R^*$ tels que $f(x)\sim \frac\alpha {x^\beta}$ en $+\infty$. \finenonce{003939} \finexercice \exercice{3940, quercia, 2010/03/11} \enonce{003940}{Propriété des valeurs intermédiaires pour $f'$} Soit $f : {[a,b]} \to \R$ dérivable. \begin{enumerate} \item On suppose que : $\forall\ x \in {[a,b]},\ f'(x) \ne 0$. Montrer que $f'$ est de signe constant. \item Dans le cas général, montrer que $f'([a,b])$ est un intervalle. \end{enumerate} \finenonce{003940} \finexercice \exercice{3941, quercia, 2010/03/11} \enonce{003941}{Propriété des valeurs intermédiaires pour $f'$} Soit $f : {[a,b]} \to \R$ dérivable. \begin{enumerate} \item On note $E = \{(x,y) \in {[a,b]}^2 \text{ tq } x < y\}$ et pour $(x,y) \in E$ : $\varphi(x,y) = \frac{f(x)-f(y)}{x-y}$. Montrer que $\varphi(E)$ est un intervalle. \item En déduire que $f'([a,b])$ est un intervalle. \end{enumerate} \finenonce{003941} \finexercice \exercice{3942, quercia, 2010/03/11} \enonce{003942}{Règle de l'Hospital} Soient ${f,g} : {[a,b]} \to \R$ dérivables avec : $\forall\ x \in {]a,b[},\ g'(x) \ne 0$. \begin{enumerate} \item Montrer qu'il existe $c \in {]a,b[}$ tel que : $\frac {f(b) - f(a)}{g(b)-g(a)} = \frac {f'(c)}{g'(c)}$. (Appliquer le théorème de Rolle à $f-\lambda g$, où $\lambda$ est un réel bien choisi) \item En déduire que si $\frac {f'(x)}{g'(x)} \to \ell$ lorsque $x\to {a^+}$, alors $\frac {f(x) - f(a)}{g(x)-g(a)} \to \ell$ lorsque $x\to {a^+}$ (règle de l'Hospital). \item Application : déterminer $\lim_{x\to 0^+} \frac {\cos x - e^x}{(x+1)e^x - 1}$. \end{enumerate} \finenonce{003942} \finexercice \exercice{3943, quercia, 2010/03/11} \enonce{003943}{Recherche de limite} Trouver $\lim_{x\to\pi/4} \frac {\ln(\sin x) - \ln(\cos x)}{\sin x - \cos x}$. \finenonce{003943} \finexercice \exercice{3944, quercia, 2010/03/11} \enonce{003944}{$f(a)=f(b)=0$, $f'(a)f'(b) > 0 \Rightarrow $ il existe un autre zéro} Soit $f : {[a,b]} \to {\R}$ dérivable telle que $f(a) = f(b) = 0$, et $f'(a) > 0$, $f'(b) > 0$. Montrer qu'il existe $c \in {]a,b[}$ tel que $f(c) = 0$, et $f'(c) \le 0$. \finenonce{003944} \finexercice \exercice{3945, quercia, 2010/03/11} \enonce{003945}{$f'(a) = f'(b)$} Soit $f : {[a,b]} \to \R$ dérivable telle que $f'(a) = f'(b)$. Montrer qu'il existe $c \in {]a,b[}$ tel que $f'(c) = \frac {f(c) - f(a)}{c-a}$. \finenonce{003945} \finexercice \exercice{3946, quercia, 2010/03/11} \enonce{003946}{Tangentes passant par un point donné} Soit $f : {[a,b]} \to \R$ dérivable, telle que $f(a) = f(b) = 0$. Montrer que pour tout $d \in \R\setminus[a,b]$, il existe une tangente à ${\cal C}_f$ passant par le point $(d,0)$. \finenonce{003946} \finexercice \exercice{3947, quercia, 2010/03/11} \enonce{003947}{Rolle itéré} Soit $f : {[a,b]} \to \R$ $n$ fois dérivable. \begin{enumerate} \item Si $f$ s'annule en $n+1$ points distincts dans $[a,b]$, montrer qu'il existe $c \in {]a,b[}$ tel que $f^{(n)}(c) = 0$. \item Si $f(a) = f'(a) = \dots = f^{(n-1)}(a) = f(b) = 0$, montrer qu'il existe $c \in {]a,b[}$ tel que $f^{(n)}(c) = 0$. \end{enumerate} \finenonce{003947} \finexercice \exercice{3948, quercia, 2010/03/11} \enonce{003948}{Rolle à l'infini} Soit $f : {[a,+\infty[} \to \R$ dérivable telle que $f(x) \to f(a)$ lorsque $x\to {+\infty}$. Montrer qu'il existe $x \in {]a,+\infty[}$ tel que $f'(x) = 0$. \finenonce{003948} \finexercice \exercice{3949, quercia, 2010/03/11} \enonce{003949}{Formule des accroissements finis avec $\theta = 1/2$} Soit $f:\R \to \R$ dérivable telle que : $\forall\ a,b \in \R,\ f(b) - f(a) = (b-a)f'\left(\frac {a+b}2\right)$. Montrer que $f$ est polynomiale de degré inférieur ou égal à 2. \finenonce{003949} \finexercice \exercice{3950, quercia, 2010/03/11} \enonce{003950}{Fonction $\mathcal{C}^\infty$ bornée} Soit $f:\R \to \R$ de classe $\mathcal{C}^\infty$ bornée. \begin{enumerate} \item Montrer que si une dérivée, $f^{(k)}$, $k\ge 2$, admet un nombre fini de zéros, alors les dérivées précédentes, $f^{(p)}$, $1\le p < k$, tendent vers $0$ en $\pm\infty$. \item En déduire que pour tout $k \ge 2$, $f^{(k)}$ s'annule au moins $k-1$ fois sur $\R$. \end{enumerate} \finenonce{003950} \finexercice \exercice{3951, quercia, 2010/03/11} \enonce{003951}{Distance à la corde} Soit $f : {[a,b]} \to \R$ de classe $\mathcal{C}^2$. \begin{enumerate} \item On suppose que $f(a) = f(b) = 0$. Soit $c \in {]a,b[}$. Montrer qu'il existe $d \in {]a,b[}$ tel que : $$f(c) = -\frac {(c-a)(b-c)}2 f''(d).$$ (Considérer $g(t) = f(t) + \lambda (t-a)(b-t)$ où $\lambda$ est choisi de sorte que $g(c) = 0$) \item Cas général : Soit $c \in {]a,b[}$. Montrer qu'il existe $d \in {]a,b[}$ tel que : $$f(c) = \frac {b-c}{b-a} f(a) + \frac {c-a}{b-a} f(b) -\frac {(c-a)(b-c)}2 f''(d).$$ \end{enumerate} \finenonce{003951} \finexercice \exercice{3952, quercia, 2010/03/11} \enonce{003952}{\'Ecart à un polynôme interpolateur} Soit $f:\R \to \R$ de classe $\mathcal{C}^n$, $a_1, \dots, a_n$ $n$ points distincts dans $\R$, et $P$ le polynôme de Lagrange prenant les mêmes valeurs que $f$ aux points $a_i$. On pose $Q(x) = \frac 1{n!} \prod_{i=1}^n (x-a_i)$. Montrer que : $\forall\ b \in \R,\ \exists\ c \in \R \text{ tq } f(b) = P(b) + Q(b)f^{(n)}(c)$ (considérer $g(t) = f(t) - P(t) - \lambda Q(t)$ où $\lambda$ est choisi de sorte que $g(b) = 0$). \finenonce{003952} \finexercice \exercice{3953, quercia, 2010/03/11} \enonce{003953}{Polynômes de Legendre} On pose $f(t) = (t^2-1)^n$. \begin{enumerate} \item Montrer que : $\forall\ k \in \{0,\dots,n-1\},\ f^{(k)}(1) = f^{(k)}(-1) = 0$. \item Calculer $f^{(n)}(1)$ et $f^{(n)}(-1)$. \item Montrer que $f^{(n)}$ s'annule au moins $n$ fois dans l'intervalle $]-1,1[$. \end{enumerate} \finenonce{003953} \finexercice \exercice{3954, quercia, 2010/03/11} \enonce{003954}{Racines de $x^n + ax + b$} Soit $n \in \N,\ n \ge 2$, et $a,b \in \R$. Montrer que l'équation $x^n + ax + b = 0$ ne peut avoir plus de deux racines réelles distinctes si $n$ est pair, et plus de trois racines réelles distinctes si $n$ est impair. \finenonce{003954} \finexercice \exercice{3955, quercia, 2010/03/11} \enonce{003955}{Racines de $P(x) - e^x$} Soit $P$ un polynôme. Montrer qu'il existe au plus un nombre fini de réels $x$ tels que $P(x) = e^x$. \finenonce{003955} \finexercice \exercice{3956, quercia, 2010/03/11} \enonce{003956}{Limite de $1/(n+1) + \dots + 1/2n$} On veut calculer $\ell = \lim_{n \to \infty} \frac 1{n+1} + \dots + \frac 1{2n}$. \begin{enumerate} \item Montrer l'existence de $\ell$. \item Soit $f : {[0,+\infty[} \to \R$ dérivable telle que $f(0) = 0$. Montrer que $f\left(\frac 1{n+1}\right) + \dots + f\left(\frac 1{2n}\right) \to \ell f'(0)$ lorsque $n\to \infty$. \item On prend $f(x) = \ln(1+x)$. Déterminer $\ell$. \end{enumerate} \finenonce{003956} \finexercice \exercice{3957, quercia, 2010/03/11} \enonce{003957}{Calcul de limite} Soit $f:\R \to \R$ dérivable telle que $f(0) = 0$. Chercher $\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n f\left(\frac k{n^2}\right)$. \finenonce{003957} \finexercice \exercice{3958, quercia, 2010/03/11} \enonce{003958}{Somme $1/k\ln k$} Pour $k\in\N$, $k\ge 2$, appliquer le théorème des accroissements finis à $x \mapsto\ln(\ln x)$ sur $[k,k+1]$. En déduire que la série de terme général $\frac1{k\ln k}$ est divergente. \finenonce{003958} \finexercice \exercice{3959, quercia, 2010/03/11} \enonce{003959}{$f'(x)f'(f(x)) = 1$} Trouver toutes les applications $f:\R \to \R$ dérivables telles que : $\begin{cases}\forall\ x \in \R,\ f'(x)f'(f(x)) = 1 \cr f(0) = 0 \text{ et } f'(0) > 0.\cr\end{cases}$ \finenonce{003959} \finexercice \exercice{3960, quercia, 2010/03/11} \enonce{003960}{$f\circ f = f$} Soit $f : {[0,1]} \to {[0,1]}$ dérivable telle que $f\circ f = f$. Montrer que $f$ est constante ou bien $f = \text{id}_{[0,1]}$. \finenonce{003960} \finexercice \exercice{3961, quercia, 2010/03/11} \enonce{003961}{Dérivabilité uniforme} Soit $f : {[a,b]} \to \R$ de classe $\mathcal{C}^1$. Démontrer que : $$\forall\ \varepsilon>0, \exists\ \delta>0 \text{ tq } \forall\ x,y \in [a,b], \text{ si } 0 < |x-y| < \delta, \text{ alors } \left|\frac {f(x)-f(y)}{x-y} - f'(x)\right| \le \varepsilon.$$ \finenonce{003961} \finexercice \exercice{3962, quercia, 2010/03/11} \enonce{003962}{Formes indéterminées} Soient ${u,v} : {\R} \to {\R}$ deux fonctions telles que : $\begin{cases}\forall\ x \in \R,\ u(x) \ne v(x) \cr \lim_{x\to0}u(x) = \lim_{x\to0}v(x) = a > 0.\cr\end{cases}$ \begin{enumerate} \item Chercher $\lim_{x\to0} \frac {u^v - v^v}{u - v}$. \item Chercher $\lim_{x\to0} \frac {u^v - v^u}{u^u - v^v}$. \end{enumerate} \finenonce{003962} \finexercice \exercice{3963, quercia, 2010/03/11} \enonce{003963}{$(1+k)(1+k^2)\dots(1+k^n)$} \begin{enumerate} \item Montrer que : $\forall\ x \ge -1,\ \ln(1+x) \le x$. \item Soit $k \in {]-1,1[}$. On pose $u_n = (1+k)(1+k^2)\dots(1+k^n)$. Montrer que la suite $(u_n)$ est convergente (traiter séparément les cas $k \ge 0$, $k < 0$). \end{enumerate} \finenonce{003963} \finexercice \exercice{3964, quercia, 2010/03/11} \enonce{003964}{Dérivée $n$-ème de $\cos^3x$} Calculer la dérivée $n^{\text{ème}}$ de la fonction $x \mapsto \cos^3 x$. \finenonce{003964} \finexercice \exercice{3965, quercia, 2010/03/11} \enonce{003965}{Dérivée $n$-ème de $\arctan x$ et $e^{x^3}$} \'Etablir une formule de récurrence pour les dérivées successives des fonctions : $f : x \mapsto \arctan x$ et $g : x \mapsto e^{x^3}$. \finenonce{003965} \finexercice \exercice{3966, quercia, 2010/03/11} \enonce{003966}{Dérivée $n$-ème de $(x^3+2x^2-5)e^{-x}$} Calculer la dérivée $n^{\text{ème}}$ de $x \mapsto (x^3+2x^2-5)e^{-x}$. \finenonce{003966} \finexercice \exercice{3967, quercia, 2010/03/11} \enonce{003967}{Ensi Chimie P 94} Soit $f(x) = e^{x\sqrt3}\sin x$. Calculer $f^{(n)}(x)$ pour $n\in\N$. \finenonce{003967} \finexercice \exercice{3968, quercia, 2010/03/11} \enonce{003968}{Dérivée $n$-ème de $x^n(1-x)^n$} Calculer la dérivée $n^{\text{ème}}$ de $x \mapsto x^n(1-x)^n$. En déduire la valeur de $\sum_{k=0}^n \bigl(C_n^k\bigr)^2$. \finenonce{003968} \finexercice \exercice{3969, quercia, 2010/03/11} \enonce{003969}{Dérivées $n$-èmes de $t^{n-1}\ln(t)$ et $t^{n-1}e^{1/t}$} Calculer $\frac {d^n}{d t^n}\left(t^{n-1}\ln t\right)$, et $\frac {d^n}{d t^n}\left(t^{n-1}\exp(1/t)\right)$ (essayer $n=1,2,3$). \finenonce{003969} \finexercice \exercice{3970, quercia, 2010/03/11} \enonce{003970}{Dérivée $n$-ème de $f(x^2)$} Soit $f : \R \to \R$ une fonction de classe $\mathcal{C}^n$. On pose $g(x) = f(x^2)$. \begin{enumerate} \item Montrer qu'il existe des entiers $a_{n,k}$ tels que : $\forall\ x,\ g^{(n)}(x) = \sum_{k= [(n+1)/2]}^n a_{n,k}f^{(k)}(x^2)(2x)^{2k-n}$. \item Calculer $a_{n,k}$ en fonction de $n$ et $k$. \end{enumerate} \finenonce{003970} \finexercice \exercice{3971, quercia, 2010/03/11} \enonce{003971}{Dérivée $n$-ème de $f(1/x)$} Soit $f$ une fonction $n$ fois dérivable sur un intervalle $I$ ne contenant pas $0$, et $g(x) = f\left(\frac 1x \right)$. \'Etablir : $g^{(n)}(x) = (-1)^n\sum_{p=0}^{n-1} \frac {(n-1)(n-2)\dots(n-p)}{x^{2n-p}} C_n^p f^{(n-p)}\left(\frac 1x \right)$. \finenonce{003971} \finexercice \exercice{3972, quercia, 2010/03/11} \enonce{003972}{Dérivées de $e^{-1/x^2}$} Soit $f : \R \to \R$ $$ \begin{cases}x \ne 0 &f(x) = \exp\left(-\frac 1{x^2}\right)\cr &f(0)=0.\cr\end{cases}$$ Montrer que $f$ est de classe $\mathcal{C}^\infty$ en $0$ et : $\forall\ k \in \N,\ f^{(k)}(0) = 0$. \finenonce{003972} \finexercice \exercice{3973, quercia, 2010/03/11} \enonce{003973}{$(f(2t)-f(t))/t$} Soit $f:\R \to \R$ continue telle que $\frac {f(2t)-f(t)}t \to a$ (si $t\to 0$. Montrer que $f$ est dérivable en $0$ et $f'(0) = a$. \finenonce{003973} \finexercice \exercice{3974, quercia, 2010/03/11} \enonce{003974}{$\sin x -3x/\pi + 4x^3/\pi^3 \ge 0$} On pose $f(x) = \sin x - \frac {3x}\pi + \frac {4x^3}{\pi^3}$. Montrer que : $\forall\ x \ge 0,\ f(x) \ge 0$ (chercher le signe de $f^{(4)}$). \finenonce{003974} \finexercice \exercice{3975, quercia, 2010/03/11} \enonce{003975}{Courbes homothétiques} Soit $a > 0,\ a \ne 1$. On note $\cal C$ la courbe d'équation : $y = \ln x$, et ${\cal C}'$ celle d'équation : $y = a\ln x$. \begin{enumerate} \item Montrer que $\cal C$ et ${\cal C}'$ ont une et une seule tangente commune. \item Montrer que $\cal C$ et ${\cal C}'$ sont homothétiques. \end{enumerate} \finenonce{003975} \finexercice \exercice{3976, quercia, 2010/03/11} \enonce{003976}{Matexo} Soit $f$ une application dérivable de $\R$ dans $\R$ telle que $\forall\ x\in\R,\quad f(x)f'(x)\ge 0$. Montrer que $f^{-1}(\R^*)$ est un intervalle. \finenonce{003976} \finexercice \exercice{3977, quercia, 2010/03/11} \enonce{003977}{Mines MP 2000} Montrer que pour tout $x$ réel, il existe $a(x)$ unique tel que $ \int_{t=x}^{a(x)} e^{t^2}\, d t=1$. Montrez que $a$ est indéfiniment dérivable, et que son graphe est symétrique par rapport à la deuxième bissectrice. \finenonce{003977} \finexercice \exercice{3978, quercia, 2010/03/11} \enonce{003978}{$\varphi(2x)=2\varphi(x)$ (Centrale MP 2003)} Trouver toutes les fonctions $\varphi : \R \to \R$ dérivables telles que $\forall\ x\in\R,\ \varphi(2x)=2\varphi(x)$. \finenonce{003978} \finexercice \exercice{3979, quercia, 2010/03/11} \enonce{003979}{$f' = f^{-1}$ (Ens Cachan MP$^*$ 2003)} On note~$E$ l'ensemble des fonctions~$f$ de classe~$\mathcal{C}^1$ bijectives de~$]0,+\infty[$ sur~$]0,+\infty[$ telles que $f' = f^{-1}$. \begin{enumerate} \item Trouver un élément de~$E$ du type $x \mapsto c x^m$, où $c$ et $m$ sont réels. \item Quelle est la limite en~$0$ de~$f$~? \item Montrer que~$f$ est un $\mathcal{C}^\infty$ difféomorphisme de~$]0,+\infty[$ sur~$]0,+\infty[$. \item Montrer que~$f$ admet un unique point fixe. \item Soit~$g$ un deuxième élément de~$E$. Montrer que $g$ admet le même point fixe que~$f$. \end{enumerate} \finenonce{003979} \finexercice \exercice{3980, quercia, 2010/03/11} \enonce{003980}{$f^{2} + (1+f')^{2} \le 1$, Polytechnique MP$^*$ 2006} Soit $f:\R \to \R$ dérivable telle que $f^{2} + (1+f')^{2} \le 1$. Montrer que $f$ est nulle. \finenonce{003980} \finexercice \exercice{5407, rouget, 2010/07/06} \enonce{005407}{***} Soit $f\in C^1([a,b],\Rr)$ telle que $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=\mbox{sup}\{f'(x),\;x\in[a,b]\}$. Montrer que $f$ est affine. \finenonce{005407} \finexercice \exercice{5410, rouget, 2010/07/06} \enonce{005410}{**} Soit $f$ une fonction convexe sur un intervalle ouvert $I$ de $\Rr$. Montrer que $f$ est continue sur $I$ et même dérivable à droite et à gauche en tout point de $I$. \finenonce{005410} \finexercice \exercice{5411, rouget, 2010/07/06} \enonce{005411}{*** Inégalités de convexité} \begin{enumerate} \item Soient $x_1$, $x_2$,..., $x_n$, $n$ réels positifs ou nuls et $\alpha_1$,..., $\alpha_n$, $n$ réels strictement positifs tels que $\alpha_1+...+\alpha_n=1$. Montrer que $x_1^{\alpha_1}..x_n^{\alpha_n}\leq\alpha_1x_1+...+\alpha_nx_n$. En déduire que $\sqrt[n]{x_1...x_n}\leq\frac{x_1+...+x_n}{n}$. \item Soient $p$ et $q$ deux réels strictement positifs tels que $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$. \begin{enumerate} \item Montrer que, pour tous réels $a$ et $b$ positifs ou nuls, $ab\leq\frac{a^p}{p}+\frac{b^q}{q}$ avec égalité si et seulement si $a^p=b^q$. \item Soient $a_1$,..., $a_n$ et $b_1$,..., $b_n$, $2n$ nombres complexes. Montrer que~: $$\left|\sum_{k=1}^{n}a_kb_k\right|\leq\sum_{k=1}^{n}|a_kb_k|\leq\left(\sum_{k=1}^{n}|a_k|^p\right)^{1/p} \left(\sum_{k=1}^{n}|b_k|^q\right)^{1/q}\;(\mbox{Inégalité de \textsc{Hölder}}).$$ \item Montrer que la fonction $x\mapsto x^p$ est convexe et retrouver ainsi l'inégalité de \textsc{Hölder}. \item Trouver une démonstration directe et simple dans le cas $p=q=2$ (inégalité de \textsc{Cauchy}-\textsc{Schwarz}). \end{enumerate} \end{enumerate} \finenonce{005411} \finexercice \exercice{5414, rouget, 2010/07/06} \enonce{005414}{***I} Montrer que la fonction définie sur $\Rr$ par $f(x)=e^{-1/x^2}$ si $x\neq0$ et $0$ si $x=0$ est de classe $C^\infty$ sur $\Rr$. \finenonce{005414} \finexercice \exercice{5417, rouget, 2010/07/06} \enonce{005417}{**** Toute fonction dérivée vérifie le théorème des valeurs intermédiaires} Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle ouvert $I$ à valeurs dans $\Rr$. Soient $a$ et $b$ deux points distincts de $I$ vérifiant $f'(a)0$ tel que $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}a}\vert f(x)\vert$ et $\displaystyle M_2=\sup_{x> a}\vert f''(x)\vert$. \begin{enumerate} \item En appliquant une formule de Taylor reliant $f(x)$ et $f(x+h)$, montrer que, pour tout $x>a$ et tout $h>0$, on a~: $\displaystyle \vert f'(x)\vert \leq \frac{h}{2}M_2+\frac{2}{h}M_0$. \item En déduire que $f'$ est bornée sur $]a,+\infty[$. \item \'Etablir le résultat suivant : soit $g : ]0,+\infty[ \rightarrow \Rr$ une application de classe $C^2$ à dérivée seconde bornée et telle que $\displaystyle \lim _{x\rightarrow +\infty }g(x)=0$. Alors $\displaystyle\lim _{x\rightarrow +\infty }g'(x)=0$. \end{enumerate} \finenonce{001268} \finexercice\exercice{1269, legall, 1998/09/01} \enonce{001269}{} Soient $ a,b,c \in { \Zz} $ tels que~: $ ae^2+be+c=0 .$ \begin{enumerate} \item En appliquant la formule de Taylor sur $ [ 0,1] $ \`a l'application $ \varphi : x \mapsto ae^x+ce^{-x} $ d\'emontrer que, pour tout $ n \in { \Nn} $ il existe $ \theta _n \in ]0,1[ $ tel que~: $$-b= \frac{ae^{\theta _n} +(-1)^n ce^{-\theta _n}}{ (n+1)!}+\sum _{k=0}^n \frac{a +(-1)^k c}{ k!} .$$ \item En d\'eduire que pour $ n $ assez grand $ ae^{\theta _n} +(-1)^n ce^{-\theta _n}=0 $ puis que $ a=b=c=0 .$ (On rappelle que $ \displaystyle{e=\sum _{n=1}^{\infty}\frac{1}{ n!} }.$) \end{enumerate} \finenonce{001269} \finexercice \exercice{1270, gourio, 2001/09/01} \enonce{001270}{} Soit $f\in C^{\infty }({\Rr},{\Rr})$ telle que $\forall n\in \Nn ,f^{(n)}(0)=0$ et $f^{(n)\text{ }}$ est born\'{e}e sur ${\Rr}$ avec $\sup\limits_{x\in {\Rr}}\left| f^{(n)}(x)\right| =o(\frac{n!}{a^{n}}),a$ constante fix\'{e}e. Montrer que $\forall x\in [-a,a],f(x)=0,$ puis que $f=0.$ \finenonce{001270} \finexercice \exercice{1271, gourio, 2001/09/01} \enonce{001271}{} Soit $P\in {\Rr}_{n}[X]$ tel que $P\geq 0$. On pose $Q=P+P^{\prime}+... +P^{(n)}.$ Montrer que $Q\geq 0.$ \finenonce{001271} \finexercice \exercice{1272, ridde, 1999/11/01} \enonce{001272}{} Soient $a$ et $b$ deux r\'eels tels que $a < b$ et $f \in C^3 ([a,b], \Rr)$. Montrer qu'il existe $c \in ]a, b[$ tel que $f (b) = f(a) + (b-a)f' (\dfrac{a + b}2) + \dfrac{ (b-a)^3}{24} f''' (c)$ (on pourra utiliser Taylor-Lagrange entre $a, \dfrac{a + b}2, b$). \finenonce{001272} \finexercice \exercice{2690, matexo1, 2002/02/01} \enonce{002690}{} Soit $f:[-a,a] \to \R$ une fonction de classe $C^2$. Montrer que $$\forall x \in [-a, a],\qquad |f'(x)| \leq \frac 1{2a} |f(a) -f(-a)| + \frac{a^2+x^2}{2a} \sup_{t \in [-a,a]} |f''(t)|.$$ Application : montrer que si $0 \leq x \leq \pi /2$, on a $\sin x \geq x \cos x -x^2$. \finenonce{002690} \finexercice \exercice{4004, quercia, 2010/03/11} \enonce{004004}{Déterminant} Soit $f:\R \to \R$ trois fois dérivable en $a$. \'Etudier $\lim_{h\to0}\frac1{h^4} \begin{vmatrix} 1 &f(a) &f(a+h) \cr 1 &f(a+h) &f(a+2h) \cr 1 &f(a+2h) &f(a+3h) \cr \end{vmatrix}$. \finenonce{004004} \finexercice \exercice{4005, quercia, 2010/03/11} \enonce{004005}{Dérivées nulles en $0$} Soit $f:\R \to \R$ de classe $\mathcal{C}^\infty$ telle que : \begin{align*}&\forall\ n \in \N,\ f^{(n)}(0) = 0, \\ &\exists\ \lambda>0 \text{ tq } \forall\ n\in\N,\ \sup\limits_\R \bigl|f^{(n)}\bigr| \le \lambda^nn!.\\ \end{align*} Montrer que $f$ est nulle sur l'intervalle $]-\frac1\lambda,\frac1\lambda[$, puis sur $\R$. \finenonce{004005} \finexercice \exercice{4006, quercia, 2010/03/11} \enonce{004006}{Fonctions absolument monotones} Soit $f:\R \to \R$ de classe $\mathcal{C}^\infty$ telle que pour tous $n\in\N$ et $x\in\R$, on a $f^{(n)}(x) > 0$. Montrer que pour tout entier $n$, $\frac{f(x)}{x^n}\to +\infty$ lorsque $x\to+\infty$. \finenonce{004006} \finexercice \exercice{4007, quercia, 2010/03/11} \enonce{004007}{Fonction $\mathcal{C}^\infty$ à support compact} Soit $f : {\R^+} \to \R$ de classe $\mathcal{C}^\infty$ telle que $f(0) = 1$, et : $\forall\ x \ge \frac12,\ f(x) = 0$. \begin{enumerate} \item Montrer que $\sup\limits_{\R^+} \bigl|f^{(n)}\bigr| \ge 2^nn!$. \item Montrer que pour $n \ge 1$, $\sup\limits_{\R^+} \bigl|f^{(n)}\bigr| > 2^nn!$. \end{enumerate} \finenonce{004007} \finexercice \exercice{4008, quercia, 2010/03/11} \enonce{004008}{Formule de Simpson} \begin{enumerate} \item Soit $f:\R \to \R$ de classe $\mathcal{C}^5$, impaire, telle que $f'(0) = 0$ et : $\forall\ x\in\R,\ |f^{(5)}(x)| \le M$. Montrer qu'il existe une constante $\lambda$ telle que : $\forall\ x \in \R,\ \left|f(x)-\frac x3f'(x)\right| \le \lambda M|x^5|$. \item Soit $f : {[a,b]} \to \R$ de classe $\mathcal{C}^5$ telle que : $$f'(a) = f'(b) = f'\left(\frac {a+b}2\right) = 0, \qquad \text{et}\quad \forall\ x\in{[a,b]},\ |f^{(5)}(x)| \le M.$$ Montrer que $\bigl|f(b)-f(a)\bigr| \le \frac {M(b-a)^5}{2880}$. \end{enumerate} \finenonce{004008} \finexercice \exercice{4009, quercia, 2010/03/11} \enonce{004009}{$f'(x) - (f(b)-f(a))/(b-a)$} Soit $f : {[a,b]} \to \R$ de classe $\mathcal{C}^2$. On note $M = \sup|f''|$ et on suppose $M>0$. \begin{enumerate} \item Montrer que : $\forall\ x \in {]a,b[}$, on a $\left|f'(x) - \frac {f(b)-f(a)}{b-a}\right| < M\frac {b-a}2$. \item Si $\left|f'(a) - \frac {f(b)-f(a)}{b-a}\right| = M\frac {b-a}2$, montrer que $f$ est polynomiale de degré inférieur ou égal à 2. \end{enumerate} \finenonce{004009} \finexercice \exercice{4010, quercia, 2010/03/11} \enonce{004010}{Matexo} Soit $f : {[-a,a]} \to \R$ de classe $\mathcal{C}^2$. Montrer que~: $$\forall\ x\in {[-a,a]},\ |f'(x)| \le \frac1{2a}|f(a)-f(-a)| + \frac{a^2+x^2}{2a}\sup|f''|.$$ Application. Montrer que si $0\le x\le \pi/2$ on a $\sin x \ge x\cos x - x^2$. \finenonce{004010} \finexercice \exercice{4011, quercia, 2010/03/11} \enonce{004011}{Limite de $\theta$} Soit $f:\R \to \R$ de classe $\mathcal{C}^{n+1}$. Pour $a$ fixé, on écrit la formule de Taylor-Lagrange : $$f(a+h) = f(a) + \dots + \frac {h^{n-1}}{(n-1)!}f^{(n-1)}(a) + \frac {h^n}{n!}f^{(n)}(a + h\theta_h).$$ Montrer que si $f^{(n+1)}(a) \ne 0$, alors pour $h$ suffisament petit, $\theta_h$ est unique et $\theta_h \to \frac 1{n+1}$ lorsque $h\to0$. \finenonce{004011} \finexercice \exercice{4012, quercia, 2010/03/11} \enonce{004012}{} \label{diffinie}Différences finies Soit $f:\R \to \R$ de classe $\mathcal{C}^\infty$ et $h > 0$. On pose : $$\Delta_hf(x) = \frac {f(x+h/2) - f(x-h/2)}h \qquad \text{et}\quad \Delta_h^p = \underbrace{\Delta_h \circ \Delta_h \circ \dots \circ \Delta_h}% _{p \text{ fois}}.$$ Par exemple, $\Delta_h^2f(x) = \frac {f(x+h) - 2f(x) + f(x-h)}{h^2}$. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que : $\forall\ x \in \R,\ \exists\ \theta \in {]-1,1[} \text{ tq } \Delta_hf(x) = f'\left(x + \frac {\theta h}2\right)$. \item Montrer que : $\forall\ x \in \R,\ \exists\ \theta'\in {]-1,1[} \text{ tq } \Delta_hf(x) = f'(x) + \frac {h^2}{24} f^{(3)}\left( x + \frac{\theta' h}2\right)$. \end{enumerate} \item Montrer par récurrence sur $p$ que : $$\forall\ x \in \R,\ \exists\ \theta_p \in {]-p,p[} \text{ tq } \Delta_h^pf(x) = f^{(p)}(x) + \frac {ph^2}{24} f^{(p+2)}\left( x + \frac{\theta_p h}2\right).$$ \end{enumerate} \finenonce{004012} \finexercice \exercice{4013, quercia, 2010/03/11} \enonce{004013}{$f$ et $f''$ sont bornées} Soit $f : \R \to \R$ une fonction de classe $\mathcal{C}^2$. On suppose : $\forall\ x \in \R,\ |f(x)| \le \alpha$ et $|f''(x)| \le \beta$. \begin{enumerate} \item Montrer que : $\forall\ h > 0,\ \forall\ x \in \R,\ |f'(x)| \le \frac {2\alpha}h + \frac {h\beta}2$. \item Pour quelle valeur de $h$ obtient-on la meilleure inégalité ? \end{enumerate} \finenonce{004013} \finexercice \exercice{4014, quercia, 2010/03/11} \enonce{004014}{Inégalité sur $f'$} Soit $f : {\R} \to {\R^+}$ une fonction de classe $\mathcal{C}^2$. On suppose : $\forall\ x \in \R,\ |f''(x)| \le M$. \begin{enumerate} \item Montrer que : $\forall\ x,y \in \R,\ f(x) + yf'(x) + \frac {y^2}2M \ge 0$. \item En déduire que : $\forall\ x \in \R,\ |f'(x)| \le \sqrt{2Mf(x)}$. \item On suppose que : $\forall\ x \in \R,\ |f'(x)| = \sqrt{2Mf(x)}$. Que pouvez-vous dire de $f$ ? \end{enumerate} \finenonce{004014} \finexercice \exercice{4015, quercia, 2010/03/11} \enonce{004015}{Majoration des dérivées de $f$} Soit $f:\R \to \R$ une fonction de classe $\mathcal{C}^n$ telle que $f$ et $f^{(n)}$ sont bornées sur $\R$. On veut montrer que les dérivées intermédiaires sont aussi bornées sur $\R$. \begin{enumerate} \item Cas $n = 2$ : Utiliser la formule de Taylor-Lagrange à l'ordre 2. \item Cas général : Utiliser l'exercice \ref{diffinie}. \end{enumerate} \finenonce{004015} \finexercice \exercice{4016, quercia, 2010/03/11} \enonce{004016}{$f''(x) \ge -\frac k{x^2}$} Soit $f : {]0,+\infty[} \to \R$ de classe $\mathcal{C}^2$ telle que $f(x) \to \ell\in\R$ lorsque $x\to0^+$, et : $\forall\ x > 0,\ f''(x) \ge -\frac k{x^2}$. Montrer que $xf'(x) \to 0$ lorsque $x\to0^+$ (écrire la formule de Taylor-Lagrange à l'ordre 2 entre $x$ et $x+\varepsilon x$). \finenonce{004016} \finexercice \exercice{4017, quercia, 2010/03/11} \enonce{004017}{Ens PC$^*$ 2001} Soient $P,Q$ deux polynômes à coefficients réels, non constants, de coefficients dominants positifs. On note $x_1 < x_2 < \dots < x_p$ les racines de $P'$ de multiplicités $m_1,\dots,m_p$ et $y_1 < y_2 < \dots < y_q$ celles de $Q'$ de multiplicités $n_1,\dots,n_q$. Montrer qu'il existe $f$, $\mathcal{C}^1$ difféomorphisme croissant de~$\R$ sur~$\R$, tel que $P\circ f = Q$ si et seulement si~: $$p=q, \qquad\forall\ i,\ P(x_i) = Q(y_i), \qquad\forall\ i,\ m_i = n_i.$$ \finenonce{004017} \finexercice \exercice{5418, rouget, 2010/07/06} \enonce{005418}{****} Soit $f$ une fonction de classe $C^3$ sur $\Rr$ vérifiant~:~$\forall(x,y)\in\Rr^2,\;f(x+y)f(x-y)\leq(f(x))^2$. Montrer que $\forall x\in\Rr,\;f(x)f''(x)\leq(f'(x))^2$ (Indication. Appliquer la formule de \textsc{Taylor}-\textsc{Laplace} entre $x$ et $x+y$ puis entre $x$ et $x-y$). \finenonce{005418} \finexercice \exercice{5457, rouget, 2010/07/10} \enonce{005457}{***} Partie principale quand $n$ tend vers $+\infty$ de $u_n=\sum_{k=1}^{n}\sin\frac{1}{(n+k)^2}$. \finenonce{005457} \finexercice \section{ 125.02 Calculs } \exercice{1237, legall, 1998/09/01} \enonce{001237}{} Donner le d\'eveloppement limit\'e en $ 0 $ des fonctions~: \begin{enumerate} \item $ x\mapsto \ln (\hbox{cos} (x)) $ (\`a l'ordre $ 6 $). \item $ x \mapsto \tan(x) $ (\`a l'ordre $ 7 $). \item $ x \mapsto \sin(\tan(x)) $ (\`a l'ordre $ 7 $). \item $ x\mapsto (\ln(1+x))^2 $ (\`a l'ordre $ 4 $). \item $ x\mapsto \exp(\sin(x)) $ (\`a l'ordre $ 3 $). \item $ x \mapsto \sin^6(x) $ (\`a l'ordre $ 9 .$) \end{enumerate} \finenonce{001237} \finexercice \exercice{1238, legall, 1998/09/01} \enonce{001238}{} \begin{enumerate} \item Soit $ f : { \Rr} \rightarrow { \Rr} $ la fonction d\'efinie par $ f(x)=0 $ si $ x \leq 0 $ et $ \displaystyle{ f(x)=\hbox{exp }(\frac{-1}{ x}) }$ sinon. Calculer, pour tout $ n \in { \Nn} ,$ le d\'eveloppement limit\'e de $ f $ en $ 0 .$ Quelles conclusions en tirer~? \item Soit $ g : { \Rr} \rightarrow { \Rr} $ la fonction d\'efinie par $ g(0)=0 $ et, si $ x \not = 0 :$ $ \displaystyle{ g(x)=x^3\hbox{sin} (\frac{1}{ x}) }.$ Montrer que $ g $ a un d\'eveloppement limit\'e d'ordre $ 2 $ en $ 0 $ mais n'a pas de d\'eriv\'ee seconde (en $ 0 $). \end{enumerate} \finenonce{001238} \finexercice \exercice{1239, ridde, 1999/11/01} \enonce{001239}{} D\'eterminer la limite en $0$ de $\dfrac{\arctan x - \sin x}{\tan x - \arcsin x}$. \finenonce{001239} \finexercice \exercice{1240, ridde, 1999/11/01} \enonce{001240}{} Faire un d\'eveloppement limit\'e ou asymptotique en $a$ \`a l'ordre $n$ de : \begin{enumerate} \item $\ln \cos x$ $n = 6$ $a = 0$. \item $\dfrac{\arctan x -x}{\sin x -x}$ $n = 2$ $a = 0$. \item $\ln \tan (\frac x2 + \frac{\pi}4)$ $n = 3$ $a = 0$. \item $\ln \sin x$ $n = 3$ $a = \frac{\pi}4$. \item $\sqrt[3]{x^3 + x}-\sqrt[3]{x^3-x}$ $n = 4$ $a = + \infty$. \item $ (1 + x)^{\frac 1x}$ $n = 3$ $a = 0$. \item $x (\sqrt{x^2 + \sqrt{x^4 + 1}}-x\sqrt 2)$ $n = 2$ $a = + \infty$. \end{enumerate} \finenonce{001240} \finexercice \exercice{1241, roussel, 2001/09/01} \enonce{001241}{} D\'eveloppements limit\'es ~en $0$ de : \begin{enumerate} \item $\cos x. \ln (1+x)$ \`a l'ordre $4$. \item $\displaystyle{\frac{1}{\cos x}}$ \`a l'ordre $4$. \item $\arcsin \left ( \ln(1+x^2) \right )$ \`a l'ordre $6$. \item $\displaystyle{\frac{\sinh x-x}{x^3}}$ ~\`a l'ordre $4$. \item $(1+x)^{\frac{1}{1+x}}$ \`a l'ordre $3$. \end{enumerate} \finenonce{001241} \finexercice \exercice{1242, roussel, 2001/09/01} \enonce{001242}{} Pour chacune des fonctions suivantes, donner les conditions sur $\epsilon (x)$ pour que ces fonctions soient des d\'eveloppements limit\'es ~au voisinage d'un point et \`a un ordre que vous pr\'eciserez. \begin{enumerate} \item $f_1(x)=x-\displaystyle{\frac{x^3}{3}}+x^2\epsilon (x)$ \item $f_2(x)=1-\displaystyle{\frac{2}{x^2}}+\displaystyle{\frac{1}{x^3}}+\displaystyle{\frac{1}{x^3}}\epsilon (x)$ \item $f_3(x)=(x-2)+\displaystyle{\frac{(x-2)^2}{5}}+(x-2)^3\epsilon (x)$ \item $f_4(x)=x^2-x+1+\displaystyle{\frac{1}{x}}+\displaystyle{\frac{1}{x}}\epsilon (x)$ \item $f_5(x)=x^3+3x^2-x+1+(x-1)^2\epsilon (x)$ \item $f_6(x)=(x-2)^2+(x-2)-2+(x-2)\epsilon (x)$ \item $f_7(x)=\{ 2x+x^2+1+x^2\epsilon (x)\}\{-x+3+x^2-x^3\epsilon (x)\}$ \end{enumerate} \finenonce{001242} \finexercice \exercice{1243, roussel, 2001/09/01} \video{eGl4xUQYh6Q} \enonce{001243}{} \begin{enumerate} \item Développement limité en $1$ à l'ordre $3$ de $f(x)=\sqrt{x}$. \item Développement limité en $1$ à l'ordre $3$ de $g(x)= e^{\sqrt{x}}$. \item Développement limité à l'ordre $3$ en $\frac\pi3$ de $h(x)=\ln (\sin x)$. \end{enumerate} \finenonce{001243} \finexercice \exercice{1244, roussel, 2001/09/01} \video{KCxPBmuttZE} \enonce{001244}{} Donner un développement limité à l'ordre $2$ de $f(x)= \displaystyle{\frac{\sqrt{1+x^2}}{1+x+\sqrt{1+x^2}}}$ en $0$. En déduire un développement à l'ordre $2$ en $+\infty$. Calculer un développement à l'ordre $1$ en $-\infty$. \finenonce{001244} \finexercice \exercice{1245, roussel, 2001/09/01} \enonce{001245}{} Donner un d\'eveloppements limit\'e ~en $0$ \`a l'ordre $10$ de : \begin{enumerate} \item $x \longmapsto \displaystyle{\int_{0}^{x} \cos t^2 dt}.$ \item $x \longmapsto \displaystyle{\int_{x}^{x^2} \frac{1}{\sqrt{1+t^4}}dt}= F(x^2)-F(x)$ o\`u $F$ est une primitive de $t \longmapsto \displaystyle{\frac{1}{\sqrt{1+t^4}}}.$ \end{enumerate} \finenonce{001245} \finexercice \exercice{1246, gourio, 2001/09/01} \enonce{001246}{} Donner le DL2 en $+\infty $ de : $$x\rightarrow \sqrt{\frac{x-2}{x+1}}e^{\frac{x}{x-1}}.$$ \finenonce{001246} \finexercice \exercice{2657, matexo1, 2002/02/01} \video{2r2CIG013os} \enonce{002657}{} Calculer $$\ell = \lim_{x\to+\infty}\left(\frac{\ln(x+1)}{\ln x}\right)^x.$$ Donner un équivalent de $$\left(\frac{\ln(x+1)}{\ln x}\right)^x - \ell$$ lorsque $x \to +\infty$. \finenonce{002657} \finexercice \exercice{2683, matexo1, 2002/02/01} \enonce{002683}{} A \begin{enumerate} \item Soient $a$ et $z$ deux réels. Soit $f$ une fonction de classe $C^{n+1}$ sur le segment d'extrémités $a$ et $z$ et $\phi$ un polynôme de degré $n$. Prouver que pour tout $t$ compris dans l'intervalle $[0,1]$, \[ {d\over dt}\sum_{m=1}^n (-1)^m (z-a)^m \phi^{(n-m)}(t) f^{(m)}\left(a+t(z-a)\right) \]\[ = -(z-a) \phi^{(n)}(t) f'\left(a+t(z-a)\right) + (-1)^n (z-a)^{n+1} \phi(t) f^{(n+1)}\left(a+t(z-a)\right) \] \item \begin{enumerate} \item Montrer que la fonction $t\mapsto {t \over e^t-1}$ est prolongeable par continuité en zéro, que son prolongement est indéfiniment dérivable et admet des développements limités en zéro de la forme: $$ 1 - {t/2} + {b_1 t^2 \over 2!} + {b_2 t^4 \over 4!} + \dots + {b_n t^{2n} \over (2n)!} +o(t^{2n+1}),$$ où les $b_i$ sont des réels qu'on ne cherchera pas à déterminer. Montrer que la dérivée $n^{i\grave eme}$ en zéro, notée $\phi_n(z)$, de la fonction $t\mapsto t {e^{zt}-1 \over e^t-1}$ est un polynôme en $z$ de degré $n$ et que $$\phi_n(z)= z^n - {1\over 2}nz^{n-1} + C_n^2 b_1 z^{n-2} + C_n^4 b_2 z^{n-4} + \dots + C_n^{2N} b_N z^{n-2N}$$ où $N=E({n-1\over2})$, $E$ désignant la fonction partie entière. \item Prouver que $nz^{n-1}=\phi_n(z+1) - \phi_n(z)$ \end{enumerate} \item Prouver que $$ \begin{matrix} (i) &\phi_n^{(n-k)}(1) = \phi_n^{(n-k)}(0)\ \ (2\leq k\leq n) &\quad & (ii) &\phi_n^{(n-2k-1)}(0) = 0 \ \ (1\leq k\leq N) \cr (iii) &\phi_n^{(n-2k)}(0) = {n! b_k \over (2k)!} \ \ (1\leq k\leq N) &\quad & (iv) &\phi_n^{(n-1)}(0) = -{1\over2} n! \cr (v) &\phi_n^{(n-1)}(1) = +{1\over2} n! & \quad &(vi) &\phi_n^{(n)} = n! \cr \end{matrix} $$ \item \begin{enumerate} \item On suppose $f$ de classe $C^{2n+1}$. Prouver que \begin{eqnarray*} 0 &=& f(z) - f(a) - {z-a \over 2} \left[ f'(z) + f'(a) \right] \\ &&+ \sum_{m=1}^{n-1} b_m {(z-a)^{2m} \over (2m)!} \left[ f^{(2m)}(z) - f^{(2m)}(a) \right] \\ && - {(z-a)^{2n+1} \over (2n)!} \int_0^1 \phi_{2n}(t) f^{(2n+1)}\Big( a+(z-a)t \Big) dt \end{eqnarray*} \item En déduire que si $F$ est de classe $C^{2n}$ sur $[a,a+r\omega]$ où $r\in \Nn$ et $\omega>0$, alors \begin{eqnarray*} \int_a^{a+r\omega} F(x)dx &=& \omega \Big[ {1\over2} F(a) + F(a+\omega) + \dots + F(a+{\scriptstyle (r-1)}\omega) + {1\over2} F(a+r\omega) \Big] \\ && - \sum_{m=1}^{n-1} b_m {\omega^{2m} \over (2m)!} \left[ F^{(2m-1)}(a+r\omega) - F^{(2m-1)}(a) \right] + R_n \end{eqnarray*} où \[ R_n={\omega^{2n+1} \over (2n)!} \int_0^1 \phi_{2n}(t) \sum_{m=0}^{r-1} F^{(2n)}(a+m\omega+\omega t) dt \; . \] \end{enumerate} \end{enumerate} B \begin{enumerate} \item Soit $u_k: x>0 \mapsto \ln(x+k)-\ln(k)+x\ln\left({k\over k+1}\right) \qquad(k\in \Nn^*)$\par Montrer que pour tout $x$ strictement positif, la série $\sum_{k\geq 1}u_k(x)$ est convergente. On pose pour la suite $G(x)=\ln(x)+\sum_{k=1}^{\infty}u_k(x)$ \item Prouver que $G$ vérifie l'équation fonctionnelle $$\forall x>0 \quad G(x+1)=G(x)-\ln(x).$$ \item En déduire que $\forall m\in \Nn \quad \exp(-G(m+1))=m!$ \item Soit $x$ et $y$ deux réels strictement positifs. Montrer que la série\par \centerline{$\sum_{k\geq1}\bigl[ \ln(y+k) - \ln(x+k) + (y-x)\ln\left({k\over k+1}\right) \bigr]$} est convergente et que sa somme est $G(y) - G(x) - \ln y + \ln x$. \item Prouver à l'aide de A que pour tous entiers strictement positifs $n$ et $p$ \begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n \ln(y+k) - \ln(x+k) &=& \int_0^n f(t)dt + {1\over2} \big( f(0)+f(n) \big) \\ &&+\sum_{h=1}^{p-1} {b_h\over(2h)!} \big( f^{(2h-1)}(n) - f^{(2h-1)}(0) \big) + T_{p,n}(x,y) \end{eqnarray*} où $f: t\mapsto \ln(y+t) -\ln(x+t)$ et $T_{p,n}(x,y)$ est une expression que l'on précisera. \item Prouver que $R_p(x,y)=\lim_{n \to +\infty}T_{p,n}(x,y)$ existe. \item On pose $g(z)=z\ln z - z - {1\over2} \ln z + \sum_{h=1}^{p-1} {b_h\over(2h)(2h-1)} {1\over z^{2h-1}}$. Montrer que $G(y)+g(y)=G(x)+g(x)+R_p(x,y)$ \item Montrer que $ R_p(x,y) = O\left( {1 \over \bigl[ \inf(x,y) \bigr]^{2p-1}} \right)$ quand $\inf(x,y)\to +\infty$. \item Prouver à l'aide de la formule de Stirling que $G(m)+g(m)\to {1\over2}\ln2\pi$ quand $m \to +\infty$. \item Montrer que $$G(y)= -y\ln y + y + {1\over2}\ln y - {1\over2}\ln2\pi - \sum_{h=1}^{p-1} {b_h\over(2h)(2h-1)} {1\over y^{2h-1}} + O({1\over y^{2p-1}})$$ \item Donner un développement asymptotique de $\ln(m!)$ quand $m$ tend vers $+\infty$ à un $O({1\over m^7})$ près. \end{enumerate} \finenonce{002683} \finexercice \exercice{4018, quercia, 2010/03/11} \enonce{004018}{Calculs de DL} \ \\ \textbf{Fonctions trigonométriques} % %+------------------------------+ %| Fonctions trigonométriques | %+------------------------------+ \begin{align*} x/\sin x &= 1 + x^2/6 + 7x^4/360 + o(x^4) \cr 1/\cos x &= 1 + x^2/2 + 5x^4/24 + o(x^4) \cr \ln(\sin x/x) &= -x^2/6 -x^4/180 -x^6/2835 + o(x^6) \cr \exp(\sin x/x) &= e(1 - x^2/6 + x^4/45) + o(x^4) \cr \sqrt{\tan x} &= 1 + h + h^2/2 + o(h^2), h = x-\pi/4 \cr \sin(x+x^2+x^3-x^4) &= x + x^2 + 5x^3/6 -3x^4/2 + o(x^4) \cr \ln(x\tan(1/x)) &= x^{-2}/3 + 7x^{-4}/90 + o(1/x^4) \cr (1-\cos x)/(e^x-1)^2 &= 1/2 - x/2 + x^2/6 + o(x^2) \cr \sin((\pi\cos x)/2) &=1 -\pi^2x^4/32 + \pi^2x^6/192 + o(x^6) \cr \cos x\ln(1+x) &= x - x^2/2 - x^3/6 + o(x^4) \cr (\sin x-1)/(\cos x+1) &= -1/2 + x/2 - x^2/8 + o(x^2) \cr \ln(2\cos x+\tan x) &= \ln2+x/2-5x^2/8+11x^3/24-59x^4/192 + o(x^4) \cr e^{\cos x} &= e(1 - x^2/2 + x^4/6) + o(x^5) \cr \end{align*} \textbf{Fonctions circulaires inverses} % %+----------------------------------+ %| Fonctions circulaires inverses | %+----------------------------------+ \begin{align*} \arcsin^2 x &= x^2 + x^4/3 + 8x^6/45 + o(x^6) \cr 1/\arcsin^2 x &= x^{-2} - 1/3 - x^2/15 + o(x^2) \cr \arctan\sqrt{(x+1)/(x+2)} &= \pi/4 - x^{-1}/4 + 3x^{-2}/8 \cr \arccos(\sin x/x) &= |x|/\sqrt3(1 - x^2/90) + o(1/x^3) \cr 1/\arctan x &= x^{-1} + x/3 -4x^3/45 +44x^5/945 + o(x^5) \cr \arcsin\sqrt x &= \pi/6+1/\sqrt3(2h-4h^2/3+32h^3/9) + o(h^3), h = x-1/4 \cr \arcsin(\sin^2 x) &= x^2 -x^4/3 +19x^6/90 -107x^8/630 + o(x^8) \cr \arctan(1+x) &= \pi/4 + x/2 - x^2/4 + x^3/12 + o(x^4) \cr \arcsin x/(x-x^2) &= 1 + x + 7x^2/6 + o(x^2) \cr e^{\arcsin x} &= e^{\pi/6}(1 + 2h/\sqrt3 + 2(1+\sqrt3)h^2/(3\sqrt3)) + o(h^2), h = x-1/2 \cr e^{1/x}\arctan x &= \frac\pi2+ (\frac\pi2-1)x^{-1} + (\frac\pi4-1)x^{-2} + (\frac\pi{12}-\frac16)x^{-3} + o(1/x^3) \cr \end{align*} \textbf{Exponentielle et logarithme} % %+-------------------------------+ %| Exponentielle et logarithme | %+-------------------------------+ \begin{align*} x/(e^x-1) &= 1 - x/2 + x^2/12 + o(x^2) \cr \ln x/\sqrt x &= h - h^2 + 23h^3/24 + o(h^3), h = x-1 \cr \ln((2-x)/(3-x^2)) &= \ln(2/3) - x/2 + 5x^2/24 + o(x^2) \cr \ln(1+x)/(1-x+x^2) &= x + x^2/2 - x^3/6 + o(x^3) \cr \ch x/\ln(1+x) &= x^{-1} + 1/2 + 5x/12 + o(x) \cr \ln(\ln(1+x)/x) &= -x/2 + 5x^2/24 - x^3/8 + o(x^3) \cr \ln(a^x+b^x) &= \ln2 + x\ln\sqrt{ab} + x^2\ln^2(a/b)/8 + o(x^2) \cr \exp(1/x)/x^2 &= e(1 - 3h + 13h^2/2 - 73h^3/6) + o(h^3), h = x-1 \cr \end{align*} \textbf{Fonctions hyperboliques inverses} % %+------------------------------------+ %| Fonctions hyperboliques inverses | %+------------------------------------+ \begin{align*} \Argth(\sin x) &= x + x^3/6 + x^5/24 + o(x^5) \cr \Argsh(e^x) &= \ln(1+\sqrt2) + 1/\sqrt2(x + x^2/4) + o(x^2) \cr \end{align*} \textbf{Formes exponentielles} % %+-------------------------+ %| Formes exponentielles | %+-------------------------+ \begin{align*} (1-x+x^2)^{1/x} &= e^{-1}(1 + x/2 + 19x^2/24) + o(x^2) \cr ((1+x)/(1-x))^\alpha &= 1 + 2\alpha x + 2\alpha^2x^2 + 2\alpha(2\alpha^2+1)x^3/3 + o(x^3) \cr (\sin x/x)^{2/x^2} &= e^{-1/3}(1 - x^2/90) + o(x^3) \cr (\sin x/x)^{3/x^2} &= e^{-1/2}(1 - x^2/60 - 139x^4/151200)+ o(x^4) \cr (1+\sin x)^{1/x} &= e(1 - x/2 + 7x^2/24) + o(x^2) \cr (1+\sin x + \cos x)^x &= 1 + x\ln2 + x^2(\ln^22+1)/2 + o(x^2) \cr (\sin x)^{\sin x} &= 1 - h^2/2 + 7h^4/24 + o(h^4), h = x-\pi/2 \cr (\tan x)^{\tan2x} &= e^{-1}(1 + 2h^2/3 + 4h^4/5) + o(h^4), h = x-\pi/4 \cr & \text{Développer d'abord $\ln((1+x)/(1-x))$} \cr \end{align*} \textbf{Radicaux} % %+------------+ %| Radicaux | %+------------+ \begin{align*} x\sqrt{(x-1)/(x+1)} &= 1/\sqrt3(2 + 5h/3 + h^3/54) + o(h^3), h = x-2 \cr \sqrt{1+\sqrt{1-x}} &= \sqrt2(1 - x/8 - 5x^2/128 - 21x^3/1024) + o(x^3) \cr \sqrt{1-\sqrt{1-x^2}} &= |x|/\sqrt2(1 + x^2/8 + 7x^4/128) + o(x^5) \cr e^x-\sqrt{1+2x} &= x^2 - x^3/3 + 2x^4/3 - 13x^5/15 + o(x^5) \cr (\sqrt[3]{x^3+x^2}+\sqrt[3]{x^3-x^2})/x &= 2 - 2x^{-2}/9 + o(1/x^3) \cr \end{align*} \finenonce{004018} \finexercice \exercice{4019, quercia, 2010/03/11} \enonce{004019}{EIT 1999} Calculer le développement limité de $\left(\frac{\tan x}x\right)^{1/x^2}$ en~$0$ à l'ordre~$3$. \finenonce{004019} \finexercice \exercice{5426, exo7, 2010/07/06} \enonce{005426}{IT} Etudier l'existence et la valeur éventuelle des limites suivantes \begin{enumerate} \item $\lim_{x\rightarrow \pi/2}(\sin x)^{1/(2x-\pi)}$ \item $\lim_{x\rightarrow \pi/2}|\tan x|^{\cos x}$ \item $\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(\cos(\frac{n\pi}{3n+1})+\sin(\frac{n\pi}{6n+1})\right)^n$ \item $\lim_{x\rightarrow 0}(\cos x)^{\ln|x|}$ \item $\lim_{x\rightarrow \pi/2}\cos x.e^{1/(1-\sin x)}$ \item $\lim_{x\rightarrow \pi/3}\frac{2\cos^2x+\cos x-1}{2\cos^2x-3\cos x+1}$ \item $\lim_{x\rightarrow 0}\left(\frac{1+\tan x}{1+\tanh x}\right)^{1/\sin x}$ \item $\lim_{x\rightarrow e,\;x1}\frac{x^x-1}{\ln(1-\sqrt{x^2-1})}$ \item $\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{x\ln(\ch x-1)}{x^2+1}$ \item $\lim_{x\rightarrow 0,\;x>0}\frac{(\sin x)^x-x^{\sin x}}{\ln(x-x^2)+x-\ln x}$ \item $\lim_{x\rightarrow +\infty}\left(\frac{\ln(x+1)}{\ln x}\right)^x$ \item $\lim_{x \rightarrow 1/\sqrt{2}}\frac{(\Arcsin x)^2-\frac{\pi^2}{16}}{2x^2-1}$ \item $\lim_{x\rightarrow +\infty}\left(\frac{\cos(a+\frac{1}{x})}{\cos a}\right)^x\;(\mbox{où}\;\cos a\neq0)$ \end{enumerate} \finenonce{005426} \finexercice \exercice{5427, exo7, 2010/07/06} \enonce{005427}{IT} Déterminer les développements limités à l'ordre demandé au voisinage des points indiqués~: \begin{enumerate} \item $\frac{1}{1-x^2-x^3}\;(\mbox{ordre}\;7\;\mbox{en}\;0)$ \item $\frac{1}{\cos x}\;(\mbox{ordre}\;7\;\mbox{en}\;0)$ \item $\Arccos\sqrt{\frac{x}{\tan x}}\;(\mbox{ordre}\;3\;\mbox{en}\;0)$ \item $\tan x\;(\mbox{ordre}\;3\;\mbox{en}\;\frac{\pi}{4})$ \item $(\ch x)^{1/x^2}\;(\mbox{ordre}\;2\;\mbox{en}\;0)$ \item $\tan^3x(\cos(x^2)-1)\;(\mbox{ordre}\;8\;\mbox{en}\;0)$ \item $\frac{\ln(1+x)}{x^2}\;(\mbox{ordre}\;3\;\mbox{en}\;1)$ \item $\Arctan(\cos x)\;(\mbox{ordre}\;5\;\mbox{en}\;0)$ \item $\Arctan\sqrt{\frac{x+1}{x+2}}\;(\mbox{ordre}\;2\;\mbox{en}\;0)$ \item $\frac{1}{x^2}-\frac{1}{\Arcsin^2x}\;(\mbox{ordre}\;5\;\mbox{en}\;0)$ \item $\int_{x}^{x^2}\frac{1}{\sqrt{1+t^4}}\;dt\;(\mbox{ordre}\;10\;\mbox{en}\;0)$ \item $\ln\left(\sum_{k=0}^{99}\frac{x^k}{k!}\right)\;(\mbox{ordre}\;100\;\mbox{en}\;0)$ \item $\tan\sqrt[3]{4(\pi^3+x^3)}\;(\mbox{ordre}\;3\;\mbox{en}\;\pi)$ \end{enumerate} \finenonce{005427} \finexercice \exercice{5428, exo7, 2010/07/06} \enonce{005428}{***} Soit $00$ et $b>0$. Pour $n\in\Nn^*$ et $x\in\Rr$, on pose $f_n(x)=\left(1+\frac{x}{n}\right)^n$. \begin{enumerate} \item Equivalent simple quand $n$ tend vers $+\infty$ de $f_n(a+b)-f_n(a)f_n(b)$. \item Même question pour $e^{-a}f_n(a)-1+\frac{a^2}{2n}$. \end{enumerate} \finenonce{005434} \finexercice \exercice{5437, rouget, 2010/07/06} \enonce{005437}{***I} \begin{enumerate} \item Montrer que l'équation $\tan x=x$ a une unique solution dans l'intervalle $[n\pi,(n+1)\pi]$ pour $n$ entier naturel donné. On note $x_n$ cette solution. \item Trouver un développement asymptotique de $x_n$ à la précision $\frac{1}{n^2}$. \end{enumerate} \finenonce{005437} \finexercice \exercice{5438, rouget, 2010/07/06} \enonce{005438}{} \begin{enumerate} \item Montrer que l'équation $x+\ln x=k$ admet, pour $k$ réel donné, une unique solution dans $]0,+\infty[$, notée $x_k$. \item Montrer que, quand $k$ tend vers $+\infty$, on a~:~$x_k=ak+b\ln k+c\frac{\ln k}{k}+o\left(\frac{\ln k}{k}\right)$ où $a$, $b$ et $c$ sont des constantes à déterminer. \end{enumerate} \finenonce{005438} \finexercice\exercice{5439, rouget, 2010/07/10} \enonce{005439}{**} Soit $f(x)=1+x+x^2+x^3\sin\frac{1}{x^2}$ si $x\neq0$ et $1$ si $x=0$. \begin{enumerate} \item Montrer que $f$ admet en $0$ un développement limité d'ordre $2$. \item Montrer que $f$ est dérivable sur $\Rr$. \item Montrer que $f'$ n'admet en $0$ aucun développement limité d'aucun ordre que ce soit. \end{enumerate} \finenonce{005439} \finexercice \exercice{5440, rouget, 2010/07/10} \enonce{005440}{**IT} Etude au voisinage de $0$ de $f(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{\Arcsin x}$ (existence d'une tangente~?) \finenonce{005440} \finexercice \exercice{5441, rouget, 2010/07/10} \enonce{005441}{**I} \begin{enumerate} \item La fonction $x\mapsto\Arccos x$ admet-elle en $1$ (à gauche) un développement limité d'ordre $0$~?~d'ordre $1$~? \item Equivalent simple de $\Arccos x$ en $1$. \end{enumerate} \finenonce{005441} \finexercice \exercice{5442, rouget, 2010/07/10} \enonce{005442}{***} \begin{enumerate} \item Développement limité à l'ordre $n$ en $0$ de $f(x)=\frac{1}{(1-x)^2(1+x)}$. \item Soit $a_k$ le $k$-ème coefficient. Montrer que $a_k$ est le nombre de solutions dans $\Nn^2$ de l'équation $p+2q=k$. \end{enumerate} \finenonce{005442} \finexercice \exercice{6888, bodin, 2012/09/05} \video{oBG5H6nDyhk} \enonce{006888}{} Donner le développement limité en $0$ des fonctions : \begin{enumerate} \item $\cos x \cdot \exp x$ \quad à l'ordre $3$ \item $\left( \ln (1+x) \right)^2$ \quad à l'ordre $4$ \item $\displaystyle{\frac{\sh x-x}{x^3}}$ \quad à l'ordre $6$ \item $\exp\big(\sin(x)\big)$ \quad à l'ordre $4$ \item $\sin^6(x)$ \quad à l'ordre $9$ \item $\ln \big(\cos(x)\big)$ \quad à l'ordre $6$ \item $\displaystyle{\frac{1}{\cos x}}$ \quad à l'ordre $4$ \item $\tan x$ \quad à l'ordre $5$ (ou $7$ pour les plus courageux) \item $(1+x)^{\frac{1}{1+x}}$ \quad à l'ordre $3$ \item $\arcsin \left ( \ln(1+x^2) \right )$ \quad à l'ordre $6$ \end{enumerate} \finenonce{006888} \finexercice \section{ 125.03 Applications } \exercice{1247, vignal, 2001/09/01} \video{HpQ-7NAmPFs} \enonce{001247}{} Calculer les limites suivantes $$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^{x^2}-\cos x}{x^2} \quad\quad\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\ln (1+x)-\sin x}{x} \quad\quad \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\cos x-\sqrt{1-x^2}}{x^4}$$ \finenonce{001247} \finexercice \exercice{1248, legall, 1998/09/01} \enonce{001248}{} Calculer les limites suivantes~: $\displaystyle{ \lim _{x\rightarrow 0} \frac{e^x-(\cos(x)+x)}{ x^2} , \lim _{x\rightarrow 0} \frac{x^3\arctan(x)-x ^4}{\cos(x^2)-1}.}$ \finenonce{001248} \finexercice \exercice{1249, legall, 1998/09/01} \video{LJLvAjm8KcY} \enonce{001249}{} \'Etudier la position du graphe de l'application $x\mapsto \ln(1+x+x^2)$ par rapport à sa tangente en $0$ et $1$. \finenonce{001249} \finexercice \exercice{1250, legall, 1998/09/01} \enonce{001250}{} Montrer que pour tout $ n \in { \Nn} , \displaystyle {\lim _{x\rightarrow +\infty }\frac{ e^x}{ x^n}=+\infty} .$ \finenonce{001250} \finexercice \exercice{1251, legall, 1998/09/01} \enonce{001251}{} \'Etablir pour tout $ x \in { \Rr}_+^* $ l'in\'egalit\'e~: $$\frac{3}{ 2} \sqrt{x}+\frac{3}{ 8 \sqrt{x+1}}<(x+1)^{3/2}-x^{3/2}<\frac{3}{ 2} \sqrt{x}+ \frac{3}{8 \sqrt{x}}.$$ \finenonce{001251} \finexercice \exercice{1252, legall, 1998/09/01} \enonce{001252}{} Montrer que pour tout $ x \in { \Rr}_+ , \displaystyle{\frac{x^2}{ 2} \leq e^x-x-1\leq \frac{x^2}{ 2} e^x} .$ \finenonce{001252} \finexercice \exercice{1253, ridde, 1999/11/01} \enonce{001253}{} Soit $f (x) = (\cos x)^{\frac 1x}$ pour $x \in ]-\frac{\pi}2, \frac{\pi}2[- \left\{ 0\right\}$. \begin{enumerate} \item Montrer que $f$ est prolongeable par continuit\'e en $0$. \item D\'eterminer un DL de $f$ en $0$ \`a l'ordre $2$. \item Etudier la d\'erivabilit\'e du prolongement de $f$. \end{enumerate} \finenonce{001253} \finexercice \exercice{1254, ridde, 1999/11/01} \enonce{001254}{} \'Etudier les branches infinies des fonctions : \begin{enumerate} \item $f (x) = x^2 \arctan (\frac 1{1 + x^2})$. \item $g (x) = x \sqrt{\frac{x-1}{3x + 1}}$. \end{enumerate} \finenonce{001254} \finexercice \exercice{1255, ridde, 1999/11/01} \enonce{001255}{} Soit $ (1)$ l'\'equation $x-E (x) = \frac 1 {x^2}$. \begin{enumerate} \item Montrer que pour tout $n \in \Nn^*$ il existe un unique $x_n \in [n, n + 1[$ solution de $ (1)$. \item D\'eterminer un \'equivalent de $x_n$. \item Faire un DAS de $x_n-n$ en $ + \infty$ en fonction de $\frac 1n$ \`a l'ordre $5$. \end{enumerate} \finenonce{001255} \finexercice \exercice{1256, gourio, 2001/09/01} \enonce{001256}{} Calculer pour $a\in \Rr^{+*}$ : $$\lim\limits_{x\rightarrow a}\frac{x^{a}-a^{x}}{x^{x}-a^{a}}% ,\lim\limits_{n\rightarrow \infty }(3(2)^{\frac{1}{n}}-2(3)^{\frac{1}{n}})^{n}$$ \finenonce{001256} \finexercice \exercice{1257, gourio, 2001/09/01} \enonce{001257}{} Calculer : $$\ell=\lim\limits_{x\rightarrow 0 }\left( \frac{\ln x+1}{\ln x}\right)^{x\ln x}$$ et donner un \'{e}quivalent de $\left( \frac{\ln x+1}{\ln x}\right) ^{x\ln x}-\ell$ quand $x\rightarrow 0 .$ \finenonce{001257} \finexercice \exercice{1258, gourio, 2001/09/01} \enonce{001258}{} Soit $x\in \Rr^{+}, $ on d\'{e}finit $(u_{n}(x))_{n}$ et $(v_{n}(x))_{n} $ par : $$\forall n\in \Nn,u_{n+1}(x)=\frac{u_{n}(x)+v_{n}(x)}{2},v_{n+1}(x)= \sqrt{u_{n}(x)v_{n}(x)},u_{0}(x)=1,v_{0}(x)=x.$$ \begin{enumerate} \item Montrer que ces deux suites convergent vers une m\^{e}me limite $\ell_{x}.$ \item Soit $f:\Rr^{+}\rightarrow \Rr$ d\'{e}finie par: $f(x)=\ell_{x}. $ Calculer $f(1),f(0),$ donner $f(\frac{1}{x})$ en fonction de $f(x)$ si $x>0.$ Montrer que $f$ est croissante, en d\'{e}duire le sens de variations de $x\rightarrow \frac{f(x)}{x}.$ \item Montrer que $f$ est d\'{e}rivable en $1$ (on utilisera $\sqrt{x}\leq f(x)\leq \frac{1+x}{2}$) puis que $\lim_{x\rightarrow \infty }f(x)=+\infty .$ \item Montrer que $f$ est continue sur $\Rr^{+*}, $ puis que $f$ est continue en $0.$ \item Donner l'allure du graphe de $f,$ pr\'{e}ciser la tangente en $0$ ainsi que le comportement asymptotique en $+\infty .$ \end{enumerate} \finenonce{001258} \finexercice \exercice{1259, gourio, 2001/09/01} \enonce{001259}{} Soit $n\in \Nn^{*},x\neq 0,$ on d\'{e}finit : $$u_{n}(x)=\left( \frac{1^{x}+2^{x}+...+n^{x}}{n}\right) ^{\frac{1}{x}}.$$ D\'{e}terminer $\ell_{n}=\lim\limits_{x\rightarrow 0}u_{n}(x).$ \finenonce{001259} \finexercice \exercice{1260, gourio, 2001/09/01} \enonce{001260}{} D\'{e}terminer : $$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{2\tan x-\sh 2x}{(1-\cos 3x)\arctan x}.$$ \finenonce{001260} \finexercice \exercice{1261, gourio, 2001/09/01} \enonce{001261}{} Soient $u,v,f$ d\'{e}finies par : $$u(x)=(x^{3}-2x^{2}+1)^{\frac{1}{3}},\ v(x)=\sqrt{x^{2}+x+1},\ f(x)=u(x)-v(x).$$ \begin{enumerate} \item Donner un \'{e}quivalent de $f$ au voisinage de $-\infty $, en d\'{e}duire $\lim\limits_{-\infty }f.$ \item D\'{e}teminer $\lim\limits_{x\rightarrow -\infty }u(x)-x,\lim\limits_{x\rightarrow -\infty }v(x)+x.$ En d\'{e}duire l'\'{e}quation d'une droite asymptote au graphe de $f $ en $-\infty $ et positionner $f$ par-rapport \`{a} cette asymptote. \item M\^{e}me \'{e}tude en $+\infty $. \end{enumerate} \finenonce{001261} \finexercice \exercice{1262, legall, 2003/10/01} \enonce{001262}{} Soit $g$ la fonction $x\mapsto \dfrac{\arctan x}{(\sin x)^3}-\dfrac {1}{x^2}$. \begin{enumerate} \item Donner le domaine de d\'efinition de $g$. \item Montrer qu'elle se prolonge par continuit\'e en $0$ en une fonction d\'erivable. \item D\'eterminer la tangente en $0$ au graphe de cette fonction et la position de ce graphe par rapport \`a celle-ci. \end{enumerate} \finenonce{001262} \finexercice \exercice{1263, legall, 2003/10/01} \enonce{001263}{} Soient $ f:x\mapsto \dfrac{x^3+2}{x^2-1}$ et $g :x\mapsto (x+1) \exp (\dfrac{1}{x-1})$ deux fonctions. D\'eterminer si leurs graphes respectifs ont des asymptotes puis la position de ces graphes par rapport \`a celles-ci. \finenonce{001263} \finexercice \exercice{1264, legall, 2003/10/01} \enonce{001264}{} Montrer que, pour tout $x$ r\'eel v\'erifiant $\vert x \vert \leq 1$~: $$ \displaystyle{ \left \vert \frac {x+\sin 2x}{x^9+x^2-3 }\right \vert }\leq 2 .$$ \finenonce{001264} \finexercice \exercice{1265, legall, 2003/10/01} \video{c-IqNr313V8} \enonce{001265}{} Déterminer: \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item $\displaystyle \lim _{x \rightarrow +\infty} \sqrt{x^2+3x+2} +x$ \item $\displaystyle \lim _{x \rightarrow -\infty} \sqrt{x^2+3x+2} +x$ \end{enumerate} \item $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^+}(\Arctan x)^{\frac{1}{x^2}}$ \item $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{(1+3x)^{\frac{1}{3}}-1-\sin x}{1-\cos x}$ \end{enumerate} \finenonce{001265} \finexercice \exercice{1266, legall, 2003/10/01} \enonce{001266}{} \begin{enumerate} \item Soit $g$ la fonction d\'efinie par~: $$\displaystyle{ g(x) =\frac{x+1}{1+x^2} +\Arctan x}.$$ \begin{enumerate} \item Quel est le domaine de d\'efinition de $g$~? \item Etudier ses variations. \item Montrer que $g$ s'annule une et une seule fois sur $\Rr$ en un point $\alpha $ compris entre $-1$ et $0$ (on ne demande pas de pr\'eciser la valeur de $\alpha$). \item Dessiner le graphe de $g$. \end{enumerate} \item Soit $f$ la fonction d\'efinie sur $\Rr$ par~: $$f(x)=(x+1)\Arctan x .$$ \begin{enumerate} \item Calculer la d\'eriv\'ee de $f$ et \'etablir son tableau de variation. \item Le graphe de $f$ a-t-il des points d'inflexion~? Si oui, donner les coordonn\'ees de ce (ou ces) point(s). \end{enumerate} \item Donner l'\'equation de la tangente au point d'abcisse $x=0$ au graphe de $f$ et la position de ce graphe par rapport \`a cette tangente (au voisinage de ce point). \item En utilisant les r\'esultats de l'exercice \textbf{???}, montrer que~: \begin{enumerate} \item $\displaystyle{\frac{ f(x) }{x}=(1+\frac{1}{x})(\frac{\pi}{2}-\Arctan \frac{1}{x}}) \hbox{ si }x>0 .$ \item $\displaystyle{\frac{ f(x) }{x}=(1+\frac{1}{x})(-\frac{\pi}{2}-\Arctan \frac{1}{x})}\hbox{ si }x<0.$ \end{enumerate} \item En d\'eduire l'existence d'une fonction $\epsilon $ telle que $\displaystyle {\lim _{x\rightarrow +\infty}\epsilon (\frac{1}{x})=0}$ et, pour tout $x>0$, on ait~: $$\displaystyle{ f(x)=\frac{\pi}{2}x+ (\frac{\pi}{2}-1)-\frac{1}{x}+\frac{1}{x}\epsilon (\frac{1}{x})}.$$ Etablir un r\'esultat analogue pour $x<0$. \item Quelles sont les asymptotes au graphe de $f$~? Pr\'eciser la position de ce graphe par rapport \`a ces asymptotes. \item Dessiner le graphe de $f$. \end{enumerate} \finenonce{001266} \finexercice \exercice{4020, quercia, 2010/03/11} \enonce{004020}{Fonctions circulaires et hyperboliques} \begin{enumerate} \item $\frac 1{\sin^2x} - \frac 1{\sh^2x} \to \frac 23$ lorsque $x\to 0$. \item $\frac {\sin x\sh x - \tan x\tanh x}{\sh^4x - \tanh^4x} \to -> -\frac1{12}$ lorsque $x\to 0$. \item $(\ch x)^\alpha - (\sh x)^\alpha \to \begin{cases}+\infty &\text{ si }\alpha>2,\cr 1 &\text{ si } \alpha=2,\cr 0 &\text{ si } \alpha<2.\cr\end{cases}$ lorsque $x\to +\infty$ \item $\frac {\exp(x^2) - \ch(x\sqrt2\,)}{(\ch x - \cos x)(\ch2x - \cos2x)} \to \frac1{12}$ lorsque $x\to 0$. \item $(2x^2-3x+1)\tan \pi x \to \frac1\pi$ lorsque $x\to 1/2$. \item $\frac{\cos\pi x}{4x^2-9} \to -> \frac\pi{12}$ lorsque $x\to 3/2$. \item $\frac{\sin 3x}{1-2\cos x} \to-\sqrt3$ lorsque $x\to \pi/3$. \item $\frac{e^{\sin x}-e^x}{\sin x-x} \to 1$ lorsque $x\to 0$. \item $\frac 1x \ln\ch x \to 1$ lorsque $x\to +\infty$. \end{enumerate} \finenonce{004020} \finexercice \exercice{4021, quercia, 2010/03/11} \enonce{004021}{Logarithme et exponentielle} \begin{enumerate} \item $\frac 1x\ln\Bigl(\frac {e^x-1}x \Bigr) \to \frac 12$. lorsque $x\to 0$ \item $\frac {x^x-1}{\ln x - x + 1} \to \pm\infty$ lorsque $x\to 1$. \item $\frac {x^a - a^x}{\log_a(x) - \log_x(a)} \to \frac{a^{a+1}\ln a(1-\ln a)}2$ lorsque $x\to a$. \item $\left(\frac{a^x+b^x}{1+c^x}\right)^{1/x} \to \exp\left(\frac{a+b-c}2\right)$ lorsque $x\to 0$. \item $\frac{x^{x^x}}{x^x-1} \to 0$ lorsque $x\to 0^+$. \end{enumerate} \finenonce{004021} \finexercice \exercice{4022, quercia, 2010/03/11} \enonce{004022}{Exposants variables} \begin{enumerate} \item $x^{\arcsin x} \to 1$ lorsque $x\to 0^+$. \item $\frac{(\sin x)^{\sin x}-1}{x^x-1} \to 1$ lorsque $x\to 0^+$. \item $(2-x)^{\tan(\pi x/2)} \to e^{2/\pi}$ lorsque $x\to 1$. \item $(2-x)^{\tan(\pi x/2)} \to -> 1$ lorsque $x\to 2^-$. \item $(\sin x + \cos x)^{1/x} \to e$ lorsque $x\to 0$. \item $(\cos 2x - 2\sin x)^{1/x} \to e^{-2}$. lorsque $x\to 0$ \item $(\sin x)^{\tan x} \to 1$. lorsque $x\to \pi/2$ \item $(\tan x)^{\cos x/\cos 2x} \to e^{-1/\sqrt2}$ lorsque $x\to \pi/4$. \item $(\tan x)^{\cos x/\cos 2x} \to 1$ lorsque $x\to (\pi/2)^-$. \item $(\sin x)^{1/\ln x} \to e$ lorsque $x\to 0^+$. \item $(\ln x)^{x-1} \to 1$ lorsque $x\to 1^+$. \item $(\ln x)^{\ln(e-x)} \to -> 1$ lorsque $x\to e^-$. \end{enumerate} \finenonce{004022} \finexercice \exercice{4023, quercia, 2010/03/11} \enonce{004023}{Radicaux} \begin{enumerate} \item $\frac {\sqrt{x+3} - \sqrt[3]{3x+5}}{1 - \tan(\pi x/4)} \to 0$ lorsque $x\to 1$. \item $\sh\sqrt{x^2+x} - \sh\sqrt{x^2-x} \to +\infty$ lorsque $x\to +\infty$. \item $\frac{\sqrt{3x+1}-\sqrt{x+1}}{\sin x} \to 1$ lorsque $x\to 0$. \end{enumerate} \finenonce{004023} \finexercice \exercice{4024, quercia, 2010/03/11} \enonce{004024}{Sommes de cotangentes} Soient $a_1,\dots,a_n \in \R$. CNS pour que $\sum_{k=1}^n a_k \mathrm{cotan}(kx)$ ait une limite finie en 0 ? \finenonce{004024} \finexercice \exercice{4025, quercia, 2010/03/11} \enonce{004025}{$\left({\frac1n \sum_{k=0}^{n-1} \Bigl(1+\frac kn\Bigr)^{1/p}}\right)^p$} On pose $u_{n,p} = \left({\frac1n \sum_{k=0}^{n-1} \Bigl(1+\frac kn\Bigr)^{1/p}}\right)^p$. Trouver : $v_p = \lim_{n\to\infty} u_{n,p}$, $v = \lim_{p\to\infty} v_p$, $w_n = \lim_{p\to\infty} u_{n,p}$ et $w = \lim_{n\to\infty} w_n$. \finenonce{004025} \finexercice \exercice{4026, quercia, 2010/03/11} \enonce{004026}{Ensi P 91} Calculer $\lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^n \sin \frac k{n^2}$ puis $\lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^n f\Bigl(\frac k{n^2}\Bigr)$ où $f$ est une fonction de classe $\mathcal{C}^2$ sur $\R$ vérifiant $f(0)=0$. \finenonce{004026} \finexercice \exercice{4027, quercia, 2010/03/11} \enonce{004027}{Recherche de tangentes} Pour chacune des courbes suivantes, déterminer la tangente pour $x=0$ et la position de la courbe par rapport à cette tangente. \begin{enumerate} \item $y = \frac{e^{\sin x}-1}x$. \item $y = \frac1{\sh x} - \frac 1x$. \item $y = \frac1{\arcsin x} - \frac 1x$. \item $y = (2e^x - e^{-x})^{1/x}$. \item $y = \frac 2{e^{2x}-1} - \frac1x$. \item $y = \sqrt{1+\sqrt{1+x}}$. \end{enumerate} \finenonce{004027} \finexercice \exercice{4028, quercia, 2010/03/11} \enonce{004028}{Comparaison de fonctions} On pose : $f(x) = 1/(1+x)$, $g(x) = e^{-x}$, $h(x) = \sqrt{1-2\sin x}$, $k(x) = \cos(\sqrt{2x})$. Préciser les positions relatives de $\mathcal{C}_f$, $\mathcal{C}_g$, $\mathcal{C}_h$, $\mathcal{C}_k$ au voisinage de $0$. \finenonce{004028} \finexercice \exercice{4029, quercia, 2010/03/11} \enonce{004029}{Recherche d'asymptotes} Rechercher si les courbes suivantes admettent une asymptote en $+\infty$ et déterminer la position s'il y a lieu : \begin{enumerate} \item $y = \sqrt{x(x+1)}$. \item $y = \sqrt{\frac{x^3}{x-1}}$. \item $y = (x^2-1)\ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right)$. \item $y = (x+1)\arctan(1+2/x)$. \item $y = x.\arctan x.e^{1/x}$. \item $y = e^{2/x}\sqrt{1+x^2}\arctan x$. \item $y = \sqrt{x^2-x}\exp\left(\frac 1{x+1}\right)$. \end{enumerate} \finenonce{004029} \section{ 125.04 Développements limités implicites } \exercice{4037, quercia, 2010/03/11} \video{jBtvOPwMUdQ} \enonce{004037}{tan$(x) = x$} \begin{enumerate} \item Montrer que l'équation $\tan x = x$ possède une unique solution $x_n$ dans $\left]n\pi-\frac \pi2, n\pi+\frac \pi2\right[$ $(n\in \N)$. \item Quelle relation lie $x_n$ et $\arctan(x_n)$ ? \label{relation} \item Donner un DL de $x_n$ en fonction de $n$ à l'ordre $0$ pour $n\to\infty$. \item En reportant dans la relation trouvée en \ref{relation}, obtenir un DL de $x_n$ à l'ordre 2. \end{enumerate} \finenonce{004037} \finexercice \exercice{4038, quercia, 2010/03/11} \enonce{004038}{maximum de $x\cos^nx$} On note $f_n(x) = x\cos^nx$. Soit $x_n \in \left[0,\frac \pi2 \right]$ tel que $f_n(x_n)$ soit maximal. \begin{enumerate} \item Existence et unicité de $x_n$ ? \item Chercher $\lim_{n \to \infty} x_n$. \item Montrer que $x_n^2 \sim \frac 1n$ ($n\to\infty$). \item Trouver un équivalent de $f_n(x_n)$. \end{enumerate} \finenonce{004038} \finexercice \exercice{4039, quercia, 2010/03/11} \enonce{004039}{Développement asymptotique} Soit $f : x \mapsto \frac{x+1}x e^x$. \begin{enumerate} \item Tracer la courbe $\mathcal{C}$ représentative de $f$. \item Soit $\lambda \in \R^+$. Si $\lambda$ est assez grand, la droite d'équation $y=\lambda$ coupe $\mathcal{C}$ en deux points d'abscisses $a < b$. \begin{enumerate} \item Montrer que $a \sim \frac1\lambda$, et $e^b \sim \lambda$ pour $\lambda \to +\infty$. \item Chercher la limite de $b^a$ quand $\lambda$ tend vers $+\infty$. \end{enumerate} \end{enumerate} \finenonce{004039} \finexercice \exercice{4040, quercia, 2010/03/11} \enonce{004040}{Polytechnique MP$^*$ 2000} Soit $f(x) = \frac{\ln|x-2|}{\strut\ln|x|}$. Montrer que pour tout~$n\in\N^*$, il existe un unique $x_n$ vérifiant $f(x_n)=1-\frac1n$. Trouver la limite et un équivalent de la suite~$(x_n)$ en $+\infty$. \finenonce{004040} \finexercice \exercice{4041, quercia, 2010/03/11} \enonce{004041}{} Soit $u_n$ une suite réelle telle que pour tout $n$ on ait $u_n^5+nu_n-1=0$. Trouver un développement asymptotique à deux termes de $u_n$. \finenonce{004041} \finexercice \exercice{4042, quercia, 2010/03/11} \enonce{004042}{Mines MP 2001} Montrez que pour $n$ entier ($n>0$) l'équation $e^x=n-x$ admet une unique solution positive $x_n$. Déterminer les trois premiers termes du développement asymptotique de $x_n$ en fonction de~$n$. \finenonce{004042} \finexercice \exercice{4043, quercia, 2010/03/11} \enonce{004043}{Centrale MP 2001} Pour tout $n$ entier naturel non nul, on donne $f_n(x) = nx^{n+1} - (n+1)x^n - \frac12$. \begin{enumerate} \item Montrer que $f_n$ admet une unique racine positive notée $x_n$. \item Montrer que la suite $(x_n)$ converge vers une limite~$\ell$ et trouver un équivalent de $x_n-\ell$. \end{enumerate} \finenonce{004043} \finexercice \section{ 125.05 Equivalents } \exercice{4044, quercia, 2010/03/11} \video{QO_S3C9WRgc} \enonce{004044}{Recherche d'équivalents} Donner des équivalents simples pour les fonctions suivantes : \begin{enumerate} \item $2e^x - \sqrt{1+4x} - \sqrt{1+6x^2}$, en $0$ \item $(\cos x)^{\sin x} - (\cos x)^{\tan x}$, en $0$ \item $\arctan x + \arctan \frac 3x -\frac {2\pi}3$, en $\sqrt3$ \item $\sqrt{x^2+1} -2\sqrt[3]{x^3+x} + \sqrt[4]{x^4+x^2}$, en $+\infty$ \item $\Argch\left(\frac1{\cos x}\right)$, en $0$ \end{enumerate} \finenonce{004044} \finexercice \exercice{4045, quercia, 2010/03/11} \video{OchDDAXSqog} \enonce{004045}{Approximation de cos} Trouver $a,b\in\R$ tels que $$\cos x - \frac{1+ax^2}{1+bx^2}$$ soit un $o(x^n)$ en $0$ avec $n$ maximal. \finenonce{004045} \exercice{4046, quercia, 2010/03/11} \enonce{004046}{Approximation de sin} Trouver $a,b\in\R$ tels que $\sin x - \frac{x+ax^3}{1+bx^2}$ soit infiniment petit d'ordre maximal. \finenonce{004046} \finexercice \exercice{4047, quercia, 2010/03/11} \enonce{004047}{Equivalent de $\arccos x$ en $1$} Simplifier $\arccos(1-2x^2)$, en trouver un équivalent pour $x \to 0$, puis donner un équivalent de $\arccos(u)$ pour~${u \to 1^-}$. \finenonce{004047} \finexercice \exercice{4048, quercia, 2010/03/11} \enonce{004048}{$\arcsin \circ \arctan - \arctan \circ \arcsin$} \begin{enumerate} \item Soient $P(X) = X + aX^3 + bX^5 + cX^7$ et $Q(X) = X + \alpha X^3 + \beta X^5 + \gamma X^7$. Chercher la partie de degré inférieur ou égale à 7 de $P\circ Q - Q \circ P$. \item Application : Donner le DL à l'ordre 7 en 0 de $\arcsin(\arctan x) - \arctan(\arcsin x)$. \end{enumerate} \finenonce{004048} \finexercice \exercice{4049, quercia, 2010/03/11} \enonce{004049}{$(u^v - v^u)/(u-v)$} Soient $u,v$ deux fonctions positives, $u \sim v$, $u \to 0$. Montrer que $\frac {u^v - v^u}{u-v} \sim -\ln(v)$. (\'Ecrire $u = v + w$ avec $w/v \to 0$) \finenonce{004049} \finexercice \exercice{4050, quercia, 2010/03/11} \enonce{004050}{Développement asymptotique d'une réciproque} Soit $f : {[-1,+\infty[} \to {[-e^{-1},+\infty[}, x \mapsto {xe^x.} $ Montrer que $f$ est bijective et $f^{-1}(x) \mathop{\sim}\limits_{+\infty} \ln(x)$. \finenonce{004050} \finexercice \exercice{4051, quercia, 2010/03/11} \enonce{004051}{\'Equivalent de $x^{x^{.^{.^{.^{\scriptstyle x}}}}}$} Chercher un équivalent simple en $0^+$ de $f_k(x) = x^{x^{.^{.^{.^{\scriptstyle x}}}}}$ ($k$ fois $x$). \finenonce{004051} \finexercice \exercice{4052, quercia, 2010/03/11} \enonce{004052}{$\sum_{k=1}^n \frac1{k^{1-\alpha}}$} Soit $\alpha \in {]0,1[}$. \begin{enumerate} \item Montrer que : $\forall n \in \N^*,\ \frac\alpha{(n+1)^{1-\alpha}} \le (n+1)^\alpha - n^\alpha \le \frac\alpha{n^{1-\alpha}}$. \item En déduire que $\sum_{k=1}^n \frac1{k^{1-\alpha}} \sim \frac{n^\alpha}{\alpha}$ pour $n\to\infty$. \end{enumerate} \finenonce{004052} \finexercice \exercice{4053, quercia, 2010/03/11} \enonce{004053}{$(1+a_n/n)^n$} \begin{enumerate} \item Soit $f(x) = \ln(1+x) - x$. \begin{enumerate} \item \'Etudier $f$. \item Chercher un équivalent simple de $f$ en $0$. \item Soit $(x_n)$ une suite de réels telle que $f(x_n) = o(1/n)$. Montrer que $nx_n^2 \to 0$ lorsque $n\to\infty$. \end{enumerate} \item Application : Soit $(a_n)$ une suite de réels. Montrer que les deux propriétés suivantes sont équivalentes : \begin{enumerate} \item $a_n = o(\sqrt n)$. \item $\left(1+\frac {a_n}n\right)^n \sim e^{a_n}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \finenonce{004053} \finexercice \section{ 125.99 Autre } \exercice{4030, quercia, 2010/03/11} \enonce{004030}{DL de $(\ch x)^(1/x)$} \begin{enumerate} \item Montrer que $\frac1x\ln(\ch x)$ admet en $+\infty$ un développement limité généralisé à tout ordre. \item En déduire le développement limité de $(\ch x)^{1/x}$ en $+\infty$ à un ordre $n$ quelconque. \end{enumerate} \finenonce{004030} \finexercice \exercice{4031, quercia, 2010/03/11} \enonce{004031}{Théorème de division} Soit $f : \R \to \R$ une fonction de classe $\mathcal{C}^n$. On pose $g(x) =\begin{cases}\frac {f(x)-f(0)}x &\text{ si } x \ne 0 \cr f'(0) &\text{ si } x=0. \cr\end{cases}$ \begin{enumerate} \item On suppose que $f(x) = o (x^n)$. \begin{enumerate} \item Démontrer que : $\forall\ p \le n,\ f^{(p)}(x) = o (x^{n-p})$, et : $\forall\ p < n,\ g^{(p)}(x) = o (x^{n-p-1})$. \item En déduire que $g$ est de classe $\mathcal{C}^{n-1}$ en $0$. \end{enumerate} \item Démontrer le même résultat dans le cas général. \item Soient ${f,g} : {\R} \to {\R}$ deux fonctions $\mathcal{C}^\infty$ telles que $f(0)=g(0)=0$ et $g'(0)\ne 0$. Montrer que $f/g$ se prolonge en une fonction $\mathcal{C}^\infty$ au voisinage de~$0$. \end{enumerate} \finenonce{004031} \finexercice \exercice{4032, quercia, 2010/03/11} \enonce{004032}{DL de $f^{-1}$} Soit $P \in \R[X]$ de valuation 1. Démontrer que pour tout entier $n \in \N$, il existe deux polynômes $Q_n$ et $R_n$ uniques tels que : $$\begin{cases}X = Q_n\circ P + R_n \cr \deg Q_n \le n < \text{v}(R_n).\cr\end{cases}$$ Application : Soit $f : \R \to \R$ bijective telle que $f(x) = a_1x + a_2x^2 + \dots + a_nx^n + o (x^n)$, avec~$a_1 \ne 0$. Démontrer que $f^{-1}$ admet un développement limité en $0$ à l'ordre $n$, et donner les deux premiers termes. \finenonce{004032} \finexercice \exercice{4033, quercia, 2010/03/11} \enonce{004033}{DL de $(1-e^x)^n$} Développer de deux manières $(1-e^x)^n$ en $0$ à l'ordre $n+2$. En déduire $\sum_{k=0}^n(-1)^kC_n^kk^p$ pour $p = 0,1,\dots,n+2$. \finenonce{004033} \finexercice \exercice{4034, quercia, 2010/03/11} \enonce{004034}{Approximation de $f''$} Soit $f : \R \to \R$ deux fois dérivable. Chercher $\lim\limits_{h\to0} \frac {f(x-h) - 2f(x) + f(x+h)}{h^2}$. \finenonce{004034} \finexercice \exercice{4035, quercia, 2010/03/11} \enonce{004035}{Dérivation d'un DL d'ordre 2} Soit $f : \R \to \R$ convexe dérivable telle que $f(a+h) = f(a) + hf'(a) + o (h^2)$. Démontrer que $f$ est deux fois dérivable en $a$ et $f''(a) = 0$ (comparer $f'(a+h)$ aux taux d'accroissement de $f$ entre $a$ et $a+h$, et entre $a+h$ et $a+2h$). \'Etudier le cas où $f(a+h) = f(a) + hf'(a) + \frac {Lh^2}2 + o (h^2)$. \finenonce{004035} \finexercice \exercice{4036, quercia, 2010/03/11} \enonce{004036}{$f(x+y)f(x-y) \le f^2(x)$} Soit $f : \R \to \R$ de classe $\mathcal{C}^2$ telle que : $\forall\ x,y \in \R,\ f(x+y)f(x-y) \le f^2(x)$. Montrer que : $\forall\ t \in \R,\ f(t)f''(t) \le f'^2(t)$. \finenonce{004036} \finexercice \section{ 126.01 Fonctions circulaires inverses } \exercice{741, bodin, 1998/09/01} \enonce{000741}{} \'Ecrire sous la forme $\frac{m}{n}\pi$ avec $m\in \Z$, $n\in\N^*$, $\vert m \vert$ et $n$ premiers entre eux, $\arcsin(\sin\alpha)$, $\arccos(\cos\alpha)$ et $\arctan(\tan\alpha)$ dans les cas: $\alpha=\frac{59}{5}\pi$; $\alpha=\frac{84}{5}\pi$; $\alpha=\frac{76}{5}\pi .$ \finenonce{000741} \finexercice \exercice{742, bodin, 1998/09/01} \enonce{000742}{} R\'esoudre les \'equations suivantes : \begin{enumerate} \item $\arctan(2x)+\arctan x= \frac{\pi}{4}$. \item $\arcsin(2x)-\arcsin(x\sqrt{3})=\arcsin(x)$. \end{enumerate} \finenonce{000742} \finexercice \exercice{743, gourio, 2001/09/01} \enonce{000743}{} R\'{e}soudre dans $\Rr$ l'\'{e}quation: $$\arctan (x)+ \arctan (\sqrt{3}x)=\frac{7\pi }{12}.$$ \finenonce{000743} \finexercice \exercice{744, bodin, 1998/09/01} \enonce{000744}{} Soient les fonctions $f:x\mapsto\arcsin(\sin x)$ et $g:x\mapsto\arctan\sqrt{\frac{1-\cos x}{1+\cos x}}.$ \begin{enumerate} \item Simplifier les expressions de $f(x)$ et $g(x)$. \item Construire les graphes de $f$ et $g$. \end{enumerate} \finenonce{000744} \finexercice \exercice{745, bodin, 1998/09/01} \video{_HL7BV1u578} \enonce{000745}{} Une statue de hauteur $s$ est placée sur un piédestal de hauteur $p$. \begin{enumerate} \item \`A quelle distance $x_0$ doit se placer un observateur (dont la taille est supposée négligeable) pour voir la statue sous un angle maximal $\alpha_0$? \item Vérifier que $\alpha_0=\Arctan \frac{s}{2\sqrt{p(p+s)}}$. \item Application à la statue de la liberté : haute de $46$ mètres avec un piédestal de $47$ mètres. \end{enumerate} \finenonce{000745} \finexercice\exercice{746, bodin, 1998/09/01} \enonce{000746}{} D\'emontrer les in\'egalit\'es suivantes : $$ \Arcsin a < \frac{a}{\sqrt{1-a^2}} \quad \text{ si } 0 \frac{a}{1+a^2} \quad \text{ si } a>0. $$ \finenonce{000746} \finexercice\exercice{747, bodin, 1998/09/01} \video{elLpf1K7wu4} \enonce{000747}{} \'Ecrire sous forme d'expression algébrique \begin{enumerate} \item $ \sin(\Arccos x),\quad \cos(\Arcsin x),\quad \cos(2 \Arcsin x)$. \item $ \sin(\Arctan x),\quad \cos(\Arctan x),\quad \sin(3 \Arctan x)$. \end{enumerate} \finenonce{000747} \finexercice\exercice{748, bodin, 1998/09/01} \enonce{000748}{} Tracer les courbes repr\'esentatives des fonctions $$ x \mapsto f(x) = \sin(\Arcsin x),\qquad x \mapsto f(x) = \Arcsin(\sin x). $$ \finenonce{000748} \finexercice \exercice{749, bodin, 1998/09/01} \video{s66EQAvtk84} \enonce{000749}{} Résoudre les équations suivantes: \begin{enumerate} \item $\Arccos x = 2\Arccos \frac{3}{4}$. \item $\Arcsin x = \Arcsin \frac{2}{5} + \Arcsin \frac{3}{5}$. \item $\Arctan {2x}+\Arctan x=\frac{\pi}{4}$. \end{enumerate} \finenonce{000749} \finexercice\exercice{750, bodin, 1998/09/01} \enonce{000750}{} Calculer $$ \Arctan \frac{1}{2}+\Arctan \frac{1}{5}+\Arctan \frac{1}{8}. $$ \finenonce{000750} \finexercice \exercice{751, bodin, 1998/09/01} \enonce{000751}{} Simplifier les expressions suivantes : $$ \Arctan (\tan x) \quad (-\frac{\pi}{2}1$ et $a>0$, $ab>1$ et $a<0$). \end{enumerate} \finenonce{005085} \finexercice\exercice{5087, rouget, 2010/06/30} \enonce{005087}{***I} Existence et calcul de $\int_{0}^{\sin^2x}\Arcsin\sqrt{t}\;dt+\int_{0}^{\cos^2x}\Arccos\sqrt{t}\;dt$. \finenonce{005087} \finexercice \exercice{5088, rouget, 2010/06/30} \enonce{005088}{**} Simplifier les expressions suivantes : \begin{enumerate} \item $f_1(x)=\Arcsin\left(\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\right)$. \item $f_2(x)=\Arccos\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right)$. \item $f_3(x)=\Arcsin\sqrt{1-x^2}-\Arctan\left(\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}\right)$. \item $f_4(x)=\Arctan\frac{1}{2x^2}-\Arctan\frac{x}{x+1}+\Arctan\frac{x-1}{x}$. \end{enumerate} \finenonce{005088} \finexercice \exercice{5089, rouget, 2010/06/30} \enonce{005089}{**I} Calculer $\Arctan\frac{1}{2}+\Arctan\frac{1}{5}+\Arctan\frac{1}{8}$. \finenonce{005089} \finexercice \exercice{5090, rouget, 2010/06/30} \enonce{005090}{***I} Calculer $u_n=\Arctan\frac{2}{1^2}+\Arctan\frac{2}{2^2}+...+\Arctan\frac{2}{n^2}$ pour $n$ entier naturel non nul donné puis déterminer $\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n$. (Utiliser l'exercice \ref{exo:suprou2} 4)) \finenonce{005090} \finexercice \exercice{5092, rouget, 2010/06/30} \enonce{005092}{** Mines de DOUAI 1984} On considère la fonction numérique $f$ telle que~: $$f(x)=(x^2-1)\Arctan\frac{1}{2x-1},$$ et on appelle $(\mathcal{C})$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé. \begin{enumerate} \item Quel est l'ensemble de définition $\mathcal{D}$ de $f$~? \item Exprimer, sur $\mathcal{D}\setminus\{0\}$, la dérivée de $f$ sous la forme~:~$f'(x)=2xg(x)$. \item Montrer que~:~$\forall x\in\Rr,\;2x^4-4x^3+9x^2-4x+1>0$ et en déduire le tableau de variation de $g$. \item Dresser le tableau de variation de $f$. \end{enumerate} \finenonce{005092} \finexercice \exercice{5095, rouget, 2010/06/30} \enonce{005095}{**} Simplifier les expressions suivantes \begin{enumerate} \item $\sin(2\Arcsin x)$, \item $\cos(2\Arccos x)$, \item $\sin^2\left(\frac{\Arccos x}{2}\right)$, \item $\ln(\sqrt{x^2+1}+x)+\ln(\sqrt{x^2+1}-x)$, \item $\Argsh\left(\frac{x^2-1}{2x}\right)$, \item $\Argch(2x^2-1)$, \item $\Argth\left(\sqrt{\frac{\ch x-1}{\ch x+1}}\right)$, \item $\frac{\ch(\ln x)+\sh(\ln x)}{x}$. \end{enumerate} \finenonce{005095} \finexercice \exercice{5096, rouget, 2010/06/30} \enonce{005096}{**} Résoudre dans $\Rr$ les équations suivantes~: \begin{enumerate} \item $\ch x=2$, \item $\Arcsin(2x)=\Arcsin x+\Arcsin(x\sqrt{2})$, \item $2\Arcsin x=\Arcsin(2x\sqrt{1-x^2})$. \end{enumerate} \finenonce{005096} \finexercice\exercice{5315, rouget, 2010/07/04} \enonce{005315}{***} Montrer que $\sum_{k=0}^{n-1}\cotan^2(\frac{\pi}{2n}+\frac{k\pi}{n})= n(n-1)$. (Indication. Poser $x_k=\cotan^2(\frac{\pi}{2n}+\frac{k\pi}{n})$ puis trouver un polynôme dont les $x_k$ sont les racines.) \finenonce{005315} \finexercice \exercice{5852, rouget, 2010/10/16} \enonce{005852}{*** I} Donner un développement à la précision $ \frac{1}{n^2}$ de la $n$-ième racine positive $x_n$ de l'équation $\tan x = x$. \finenonce{005852} \finexercice \exercice{5853, rouget, 2010/10/16} \enonce{005853}{*** I} Soit $z$ un nombre complexe. Déterminer $\lim_{n \rightarrow +\infty}\left(1+ \frac{z}{n}\right)^n$. \finenonce{005853} \finexercice \exercice{6973, blanc-centi, 2014/05/06} \video{70pEydvJEw4} \enonce{006973}{} Montrer que pour tout $x>0$, on a $$\Arctan\left(\frac{1}{2x^2}\right)=\Arctan\left(\frac{x}{x+1}\right)-\Arctan\left(\frac{x-1}{x}\right).$$ En déduire une expression de $\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n\Arctan\left(\frac{1}{2k^2}\right)$ et calculer $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}S_n$. \finenonce{006973} \finexercice \exercice{6974, blanc-centi, 2014/05/06} \video{pT2xX0g3eDA} \enonce{006974}{} Soit $z=x+iy$ un nombre complexe, où $x=\Re z$ et $y=\Im z$. On sait que si $z$ est non nul, on peut l'écrire de façon unique sous la forme $z=x+iy=re^{i\theta}$, où $\theta\in]-\pi,\pi]$ et $r=\sqrt{x^2+y^2}$. \begin{center} \begin{tikzpicture}[scale=1] \draw[->,>=latex, gray] (-0.5,0)--(4.5,0); \draw[->,>=latex, gray] (0,-0.5)--(0,3); \coordinate (A) at (3,2); \coordinate (Ax) at (3,0); \coordinate (Ay) at (0,2); \draw[thin] (0,0)--(A) node[midway,above] {$r$}; \draw[dashed,gray] (A)--(Ax); \draw[dashed,gray] (A)--(Ay); \fill (A) circle (2pt); \fill (0,0) circle (2pt); \node at (0,0) [below left] {$0$}; \node at (A) [above right] {$z=x+iy$}; \node at (Ax) [below] {$x$}; \node at (Ay) [left] {$y$}; \draw[->,>=latex] (0:1.6) arc (0:33.69:1.6); \node[right] at (16.5:1.6) {$\theta$}; \end{tikzpicture} \end{center} \begin{enumerate} \item Montrer que si $x>0$, alors $\theta=\Arctan\frac{y}{x}$. \item Montrer que si $\theta\in]-\pi,\pi[$, alors $\theta=2\Arctan\left(\frac{\sin\theta}{1+\cos\theta}\right)$. \item En déduire que si $z$ n'est pas réel négatif ou nul, on a l'égalité $$\theta=2\Arctan\left(\frac{y}{x+\sqrt{x^2+y^2}}\right).$$ \end{enumerate} \finenonce{006974} \finexercice \section{ 126.02 Fonctions hyperboliques et hyperboliques inverses } \exercice{757, gourio, 2001/09/01} \enonce{000757}{} Soit $f:\Rr^{2}\rightarrow \Rr^{2}$ d\'{e}finie par: $$\forall (x,y)\in \Rr^{2},f(x,y)=(\cos x+\ch y,\cos x\ch y).$$ Discuter et d\'{e}terminer selon $p\in \Rr$ l'image r\'{e}ciproque de $(4,p)$. On exprimera $y$ \`{a} l'aide d'un logarithme. D\'{e}terminer num\'{e}riquement cette image r\'{e}ciproque si $p=-2$. \finenonce{000757} \finexercice \exercice{758, gourio, 2001/09/01} \enonce{000758}{} \begin{enumerate} \item Montrer qu'il n'existe pas de fonction $f:[1;+\infty [\rightarrow \Rr$ v\'{e}rifiant: $$ \forall x\in \Rr, \quad f(\ch x)=e^{x}. $$ \item D\'{e}terminer toutes les fonctions $f:\Rr^{+*}\rightarrow \Rr$ telles que: $$ \forall x\in \Rr, \quad f(e^{x})=\ch x.$$ Pr\'{e}ciser le nombre de solutions. \item D\'{e}terminer toutes les fonctions $f:\Rr^{+}\rightarrow \Rr$ telles que: $$\forall x\in \Rr, \quad f(e^{x})=\ch x.$$ Pr\'{e}ciser le nombre de solutions ; y a t-il des solutions continues sur $\Rr^{+}$ ? \end{enumerate} \finenonce{000758} \finexercice\exercice{759, gourio, 2001/09/01} \enonce{000759}{} Calculer : $$\lim_{x\rightarrow +\infty }e^{-x}(\ch ^{3}x-\sh ^{3}x) \quad \text{ et }\quad \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }(x-\ln (\ch x)).$$ \finenonce{000759} \finexercice \exercice{760, bodin, 1998/09/01} \enonce{000760}{} Donner un expression plus simple de : $$y=\mathrm{argch}\sqrt{\frac{1+\mathrm{ch}\ x}{2}};\ \ \ y=\mathrm{argsh}(2x\sqrt{1+x^2});\ \ y=\mathrm{argth}\frac{x^2-1}{x^2+1}.$$ \finenonce{000760} \finexercice \exercice{761, gourio, 2001/09/01} \enonce{000761}{} Calculer pour $(n,a,b)\in \Nn^{*}\times \Rr^{2}$ : $$\sum\limits_{k=0}^{n-1}\ch (a+bk),\quad \sum\limits_{k=0}^{n-1}\sh (a+bk).$$ \finenonce{000761} \finexercice \exercice{762, bodin, 1998/09/01} \enonce{000762}{} Soit $(a,b)\in\R^2$, r\'esoudre le syst\`eme $\left\lbrace \begin{array}{c} \mathrm{ch}x+\mathrm{sh}y=a \\ \mathrm{sh}x+\mathrm{ch}y=b \end{array}\right.$. \finenonce{000762} \finexercice \exercice{764, bodin, 1998/09/01} \video{eW51oHrCmVU} \enonce{000764}{} Soit $x\in\R$. On pose $t=\Arctan(\sh x)$. \begin{enumerate} \item \'Etablir les relations $$\tan t=\sh x \qquad\qquad \frac{1}{\cos t}=\ch x \qquad\qquad \sin t=\tanh x$$ \item Montrer que $x = \ln \big(\tan\big(\frac{t}{2}+\frac{\pi}{4}\big)\big)$. \end{enumerate} \finenonce{000764} \finexercice\exercice{765, bodin, 1998/09/01} \enonce{000765}{} Montrer que $\ch nx$ et $\sh nx$ peuvent s'exprimer comme polynômes en $\ch x$ et $\sh x$. Calculer $\ch 3x$ et $\sh 3x$ en fonctions de $\ch x$ et $\sh x$. En d\'eduire $\tanh 3x$ en fonction de $\tanh x$. \finenonce{000765} \finexercice \exercice{766, bodin, 1998/09/01} \enonce{000766}{} Exprimer $\ch^n x$ et $\sh^n x$ au moyen de $\{ \sh px, \ch px \ ; \ 1 \le p \le n \}$. Expliciter $\ch^5x$ et $\sh^5x$. \finenonce{000766} \finexercice \exercice{767, bodin, 1998/09/01} \enonce{000767}{} Calculer les sommes $$1+\ch x + \ch 2x + \cdots + \ch nx \quad \text{et} \quad 1+\sh x + \sh 2x + \cdots + \sh nx.$$ \finenonce{000767} \finexercice \exercice{768, bodin, 1998/09/01} \enonce{000768}{} Simplifier $$ \Argth \frac{x^2-1}{x^2+1}. $$ \finenonce{000768} \finexercice \exercice{769, bodin, 1998/09/01} \enonce{000769}{} V\'erifier les \'egalit\'es $$ 2\Argth \tan x = \Argth \sin 2x,\qquad \Argsh (3x+4x^3) = 3 \Argsh x. $$ \finenonce{000769} \finexercice \exercice{770, bodin, 1998/09/01} \enonce{000770}{} Expliciter au moyen de la fonction logarithme $\Argch \frac{1}{x}$ et $\Argsh \frac{1}{x}$. \finenonce{000770} \finexercice \exercice{771, bodin, 1998/09/01} \enonce{000771}{} R\'esoudre $$ x^{\sqrt{x}} = \sqrt{x}^{x} ; $$ $$ xy = a^2 \text{ et } \ln^2 x+\ln^2 y = \frac{5}{2} \ln^2 a. $$ \finenonce{000771} \finexercice \exercice{772, bodin, 1998/09/01} \enonce{000772}{} Pr\'eciser les comportements \\ de $\displaystyle{x\mapsto \frac{x^2-e^x}{x-e}}$ quand $x \rightarrow e$,\\ de $\displaystyle{x\mapsto \sqrt{\ln(1+x)}-\sqrt{\ln x} }$ quand $x \rightarrow +\infty$,\\ de $\displaystyle{x\mapsto \frac{a^x-b^x}{x}}$ quand $x \rightarrow 0$. \finenonce{000772} \finexercice \exercice{773, bodin, 1998/09/01} \enonce{000773}{} D\'emontrer les in\'egalit\'es : $$ x- \frac{x^2}{2} < \ln (1+x) \text{ pour } x>0 \quad \text{et} \quad 1+x \le e^x \text{ pour tout $x$ r\'eel}.$$ \finenonce{000773} \finexercice \exercice{774, ridde, 1999/11/01} \enonce{000774}{} D\'eterminer $\lim\limits_{ + \infty} (x-\ln (\text{ch}x))$. \finenonce{000774} \finexercice \exercice{775, ridde, 1999/11/01} \enonce{000775}{} Montrer que $\forall x \in \Rr \, \, \text{ch} (2x) = 1 + 2\text{sh}^2 x$. En d\'eduire un \'equivalent de $\text{ch}x -1$ en $0$. \finenonce{000775} \finexercice \exercice{776, ridde, 1999/11/01} \video{_TunkNZcaeI} \enonce{000776}{} R\'esoudre l'\'equation $x^y = y^x$ o\`u $x$ et $y$ sont des entiers positifs non nuls. \finenonce{000776} \finexercice\exercice{777, ridde, 1999/11/01} \enonce{000777}{} R\'esoudre l'\'equation $\tan (3 \arcsin x) = 1$. On exprimera les trois solutions au moyen de radicaux. \finenonce{000777} \finexercice \exercice{5086, rouget, 2010/06/30} \enonce{005086}{*IT} \label{exo:suprou3} Etablir pour ch, sh et th les formules d'addition, de duplication et de linéarisation. \finenonce{005086} \finexercice \exercice{5091, rouget, 2010/06/30} \enonce{005091}{*} Etudier $f~:~x\mapsto\ln(\ch x)-x$. \finenonce{005091} \finexercice \exercice{5093, rouget, 2010/06/30} \enonce{005093}{**} Résoudre dans $\Rr$ l'équation $\sh(2+x)+\sh(2+2x)+...+\sh(2+100x)=0$. \finenonce{005093} \finexercice \exercice{5094, rouget, 2010/06/30} \enonce{005094}{**I} \begin{enumerate} \item Montrer que pour tout réel $x$ non nul, on a~:~$\tanh x=\frac{2}{\tanh(2x)}-\frac{1}{\tanh x}$. \item En déduire la valeur de $u_n=2^0\tanh(2^0x)+2^1\tanh(2^1x)+ \cdots +2^{n}\tanh(2^{n}x)$ pour $n$ entier naturel non nul et $x$ réel non nul donnés puis calculer la limite de $(u_n)$. \end{enumerate} \finenonce{005094} \finexercice \exercice{6975, blanc-centi, 2014/05/06} \video{g13-StbHolQ} \enonce{006975}{} Simplifier l'expression $\displaystyle\frac{2\ch^2(x)-\sh(2x)}{x-\ln(\ch x)-\ln 2}$ et donner ses limites en $-\infty$ et $+\infty$. \finenonce{006975} \finexercice \exercice{6976, blanc-centi, 2014/05/06} \video{pMuDpGtaNAM} \enonce{006976}{} Soit $x$ un réel fixé. Pour $n\in\Nn^*$, on pose $$C_n=\sum_{k=1}^n\ch(kx)\qquad\text{ et }\qquad S_n=\sum_{k=1}^n\sh(kx).$$ Calculer $C_n$ et $S_n$. \finenonce{006976} \finexercice \exercice{6977, blanc-centi, 2014/05/06} \video{GEaDEYtHv7U} \enonce{006977}{} Soit $a$ et $b$ deux réels positifs tels que $a^2-b^2=1$. Résoudre le système $$\left\{\begin{array}{l} \ch(x)+\ch(y)=2a\\ \sh(x)+\sh(y)=2b \end{array}\right.$$ \finenonce{006977} \finexercice \exercice{6978, blanc-centi, 2014/05/06} \video{UkRPGUQfPP8} \enonce{006978}{} Simplifier les expressions suivantes: \begin{enumerate} \item $\ch(\Argsh x),\quad \tanh(\Argsh x),\quad \sh(2\Argsh x)$. \item $ \sh(\Argch x),\quad \tanh(\Argch x),\quad \ch(3\Argch x)$. \end{enumerate} \finenonce{006978} \finexercice \exercice{6979, blanc-centi, 2014/05/06} \video{bRKLAqnlbBM} \enonce{006979}{} \'Etudier le domaine de définition de la fonction $f$ définie par $$f(x)=\Argch\left[\frac{1}{2}\left(x+\frac{1}{x}\right)\right]$$ et simplifier son expression lorsqu'elle a un sens. \finenonce{006979} \finexercice \exercice{6980, blanc-centi, 2014/05/06} \video{QkvgaXwOwyU} \enonce{006980}{} Montrer que l'équation $\Argsh x+\Argch x=1$ admet une unique solution, puis la déterminer. \finenonce{006980} \finexercice \section{ 126.99 Autre } \section{ 127.01 Théorie } \exercice{778, ridde, 1999/11/01} \enonce{000778}{} D\'eterminer les fonctions $f$ de $[a, b]$ dans $\Rr$ telles que $\int_{a}^{b}{f (t)dt} = (b-a) \sup\limits_{[a, b]}\left|f\right|$. \finenonce{000778} \finexercice \exercice{779, ridde, 1999/11/01} \enonce{000779}{} Soient $f \in C^{1} ([a, b], \Rr)$ et $I_{n} = \int_{a}^{b}{f (t)\sin (nt)dt}$. \begin{enumerate} \item A l'aide d'une int\'egration par parties, montrer que $I_{n} \rightarrow 0$. \item Montrer que ceci est encore vrai si $f$ est en escalier. \item En d\'eduire que le r\'esultat subsiste pour $f$ continue par morceaux. \end{enumerate} \finenonce{000779} \finexercice \exercice{780, ridde, 1999/11/01} \enonce{000780}{} Soient $00$, il existe $g_\epsilon$ intégrable sur $[a,b]$ telle que $\forall x\in[a,b],\; \vert f(x)-g_\epsilon(x)\vert \leq\epsilon$~; alors $f$ est intégrable. \item Si $f$ est intégrable sur $[a,b]$, alors $\vert f\vert$ est intégrable sur $[a,b]$. \item Si $\vert f\vert$ est intégrable sur $[a,b]$, alors $f$ est intégrable sur $[a,b]$. \item Si $f$ et $g$ sont des fonctions intégrables sur $[a,b]$, alors la fonction $fg$ est intégrable sur $[a,b]$. \item Si $f$ et $g$ sont des fonctions continues sur $[a,b]$, alors la fonction $fg$ est continue sur $[a,b]$, et $\int_a^bf(t)g(t)\,dt= \int_a^bf(t)\,dt\cdot\int_a^bg(t)\,dt$. \item Soit $f$ la fonction définie sur $[0,1]$ par $$\begin{cases} f\equiv\lambda_n& \text{ sur } \mathopen]\frac{1}{2^n},\frac{1}{2^{n-1}}] \text{ pour tout entier } n\geq1\cr f(0)=\mu\cr \end{cases}$$ où $(\lambda_n)$ est une suite bornée de nombres réels, et $\mu$ un nombre réel. Alors $f$ est intégrable. \item Soit $f$ bornée sur $[0,1]$, continue sauf au point $1/3$~; alors $f$ est intégrable sur $[0,1]$. \item Il existe $f\geq 0$ continue sur $[0,1]$, avec $f(1/2)>0$, et telle que $\int_0^1f(t)\,dt=0$. \item Soit $f$ intégrable sur $[a,b]$. Si $\int_a^bf(t)\,dt>0$ alors $f\geq 0$ sur $[a,b]$. \item Si $f$ est croissante sur $[a,b]$, elle est intégrable sur $[a,b]$ et de plus $F(x)=\int_a^xf(t)\,dt$ est croissante. \item Si $f\leq 0$ est continue sur $[a,b]$, alors $G(x)=\int_x^bf(t)\,dt$ est croissante sur $[a,b]$. \item Si $f$ est continue sur $[0,1]$, $H(x)=\int_0^{x^2}f(t)\,dt$ est dérivable sur $[0,1]$, et $\forall x\in[0,1],\;\allowbreak H'(x)=f(x^2)$. \end{enumerate} \finenonce{000798} \finexercice \exercice{799, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000799}{} Soit $\varphi$ une fonction bornée sur $[a,b]$~; comparer les assertions suivantes\footnote% {L'une des implications à étudier est très difficile~; on pourra admettre après avoir traité toutes les autres que celle qui reste est fausse.}~: \begin{enumerate} \item $\varphi$ a une primitive sur $[a,b]$. \item $\varphi$ est intégrable sur $[a,b]$. \item $\varphi$ est continue sur $[a,b]$. \item $\varphi$ est dérivable sur $[a,b]$. \end{enumerate} \finenonce{000799} \finexercice \exercice{800, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000800}{} Soit $f$ une fonction continue et strictement croissante de $[a,b]$ sur $[\alpha,\beta]$. On note $g$ la fonction réciproque de~$f$. Montrer que $$\int_a^bf(x)\,dx+\int_\alpha^\beta g(x)\,dx = b\beta-a\alpha$$ \finenonce{000800} \finexercice \exercice{801, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000801}{} Soit $f$ et $g$ deux fonctions intégrables sur $[a,b]$. On suppose que $f$ est monotone sur $[a,b]$ et que $g$ est positive sur $[a,b]$. Montrer qu'il existe $c\in[a,b]$ tel que $$\int_a^bf(t)g(t)\,dt=f(a)\int_a^cg(t)\,dt+f(b)\int_c^bg(t)\,dt$$ (considérer $\varphi(x)=f(a)\int_a^xg(t)\,dt+f(b)\int_x^bg(t)\,dt$). \finenonce{000801} \finexercice \exercice{802, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000802}{} Soit $f$ une fonction dérivable sur $[0,1]$, vérifiant~: \begin{enumerate} \item [i)] $0\leq f'\leq2$~; \item [ii)] $f'$ est décroissante~; \item [iii)] $f(0)=0$ et $f(1)=1$. \end{enumerate} Trouver le plus grand nombre $m$ et le plus petit nombre $M$ tels qu'on soit sûr d'avoir $m\leq\int_0^1f(t)\,dt\leq M$. Peut-il y avoir égalité~? \finenonce{000802} \finexercice \exercice{803, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000803}{} Soit $f$ définie et continue sur $[0,+\infty\mathclose[$, vérifiant $\lim_{x\to+\infty}f(x)=l$. Montrer que $\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x}\int_0^xf(t)\,dt=l$ (étant donné $\epsilon>0$, choisir $A$ assez grand pour que sur $[A,+\infty\mathclose[$ on ait $l-\epsilon\leq f(t)\leq l+\epsilon$~; puis encadrer $\frac{1}{x}\int_A^xf(t)\,dt$, pour $x>A$~; estimer l'erreur\dots{} et faire un dessin~!). Pour $x\geq 0$, on pose $F(x)=\int_0^x\sqrt{1+\frac{\sin^2 t}{1+t^2}}\,dt$. Étudier la branche infinie du graphe de $F$ quand $x\to+\infty$. \finenonce{000803} \finexercice \exercice{804, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000804}{Méthode des trapèzes} \begin{enumerate} \item Soit $f$ deux fois dérivable sur $[a,b]$, vérifiant $\vert f''\vert\leq M$ sur $[a,b]$. Soit $$\varphi(t)=f(t)-f(a)-(t-a)\frac{f(b)-f(a)}{b-a}-A(b-t)(t-a)$$ Soit $x\in\mathopen]a,b\mathclose[$~; on choisit $A=A(x)$ pour que $\varphi(x)=\nolinebreak 0$ (dessiner~!). Montrer qu'il existe $c_1,c_2\in[a,b]$ tels que $c_10$, et $x_k=a+(b-a).\frac kn$, $% k=0,1,...,n$. \end{enumerate} \finenonce{002083} \finexercice \exercice{2084, bodin, 2008/02/04} \enonce{002084}{} Les fonctions suivantes sont-elles int\'egrables au sens de Riemann? \begin{enumerate} \item $f(x)=[x]$ sur $[0,2]$ \item $g: [0,1] \rightarrow \R,\quad g(x)= \begin{cases} \left[\frac 1x\right] &\text{ si $00$ en un point $x_0\in [a,b]$. Montrer que $\int_a^b f(x) d x>0$. En déduire que : <>. \item On suppose que $\int_a^b f(x) d x=0$. Montrer qu'il existe $c\in [a,b]$ tel que $f(c)=0$. \item Application: on suppose que $f$ est une fonction continue sur $[0,1]$ telle que $\int_0^1 f(x) dx=\frac 12$. Montrer qu'il existe $d\in [0,1]$ tel que $f(d)=d$. \end{enumerate} \finenonce{002085} \finexercice \exercice{2086, bodin, 2008/02/04} \enonce{002086}{} Soit $f:[a,b]\rightarrow \R$ continue, positive; on pose $% m=\sup \{f(x),x\in [a,b]\}$. Montrer que \[ \lim_{n\rightarrow \infty }\left( \int_a^b(f(x))^n d x\right) _{}^{\frac 1n}=m. \] \finenonce{002086} \finexercice \exercice{2087, bodin, 2008/02/04} \enonce{002087}{} Soit $f:[0,1]\rightarrow {\R}$ une application strictement croissante telle que $f(0)=0,\ f(1)=1$. Calculer : $$\lim_{n\rightarrow \infty }\int_{0}^{1}f^{n}(t) d t. $$ \finenonce{002087} \finexercice \exercice{2091, bodin, 2008/02/04} \video{fKCXQ-Fl1Z8} \enonce{002091}{} Soit $f\,:\;\R\to\R$ une fonction continue sur $\R$ et $F(x)=\int_0^x f(t)d t$. Répondre par vrai ou faux aux affirmations suivantes: \begin{enumerate} \item $F$ est continue sur $\R$. \item $F$ est dérivable sur $\R$ de dérivée $f$. \item Si $f$ est croissante sur $\R$ alors $F$ est croissante sur $\R$. \item Si $f$ est positive sur $\R$ alors $F$ est positive sur $\R$. \item Si $f$ est positive sur $\R$ alors $F$ est croissante sur $\R$. \item Si $f$ est $T$-périodique sur $\R$ alors $F$ est $T$-périodique sur $\R$. \item Si $f$ est paire alors $F$ est impaire. \end{enumerate} \finenonce{002091} \finexercice \exercice{2092, bodin, 2008/02/04} \enonce{002092}{} \label{ex:compint} Soient $u$ et $v$ deux fonctions d\'erivables sur $\R$ et $f$ une fonction continue sur $\R$. \begin{enumerate} \item On pose $\displaystyle F(x)=\displaystyle \int_{u(x)}^{v(x)}f(t)d t$. Montrer que $F$ est d\'erivable sur $\R$ et calculer sa d\'eriv\'ee. \item Calculer la d\'eriv\'ee de $\displaystyle G(x)=\int_x^{2x}\frac{d t}{1+t^2+t^4}$. \end{enumerate} \finenonce{002092} \finexercice \exercice{2093, bodin, 2008/02/04} \enonce{002093}{} Soit $F(x)=\displaystyle \int_x^{x^2}\frac{1}{\ln t}d t$ \begin{enumerate} \item Quel est l'ensemble de d\'efinition de $F$. $F$ est-elle continue, d\'erivable sur son ensemble de d\'efinition ? \item D\'eterminer $\lim_{x\to 1^+} F(x)$ en comparant $F$ \`a $H(x)=\displaystyle \int_x^{x^2}\frac{1}{t\ln t}d t$. \end{enumerate} \finenonce{002093} \finexercice \exercice{2315, matexo1, 2002/02/01} \enonce{002315}{} \begin{enumerate} \item Soit $f$ une fonction continue d\'efinie sur un intervalle born\'e $[a,b] \subset \Rr$, telle que $$\int_a^b f(t)\,d t = (b-a) \min_{x\in [a,b]} f(x).$$ Montrer que $f$ est constante. \item Soient $u$, $v$, deux fonctions continues sur $[a,b]$, \`a valeurs dans $\Cc$. Montrer l'in\'egalit\'e de Cauchy-Schwarz $$\int_a^b |u(t) v(t)| \,d t \le \left( \int_a^b |u(t)|^2 \right)^{1/2} \left(\int_a^b |v(t)|^2 \right)^{1/2}.$$ Indication\,: poser, pour $\lambda \in \Cc$ arbitraire, $f_\lambda (t) = |\lambda u(t) +v(t)|^2$ et appliquer la question pr\'ec\'edente. \item Dans quels cas cette in\'egalit\'e est-elle une \'egalit\'e\,? \item Soit $C([a,b])$ l'espace des fonctions continues sur $[a,b]$, \`a valeurs r\'eelles. Montrer que $$ u \in C([a,b]) \mapsto \left(\int_a^b u(t)^2\,d t \right)^{1/2}$$ est une norme sur $C([a,b])$. \end{enumerate} \finenonce{002315} \finexercice \exercice{2316, matexo1, 2002/02/01} \enonce{002316}{} Soit $f$ une fonction continue sur l'intervalle $[a,b]\subset\Rr$, \`a valeurs dans $\left]0,+\infty\right[$. Montrer que $$ \int_a^b f(t)\,d t \times \int_a^b \frac 1{f(t)}\,d t \geq (b-a)^2.$$ Dans quels cas y a-t-il \'egalit\'e ? (On pourra utiliser l'in\'egalit\'e de Cauchy-Schwarz.) \finenonce{002316} \finexercice \exercice{2317, matexo1, 2002/02/01} \enonce{002317}{} Soit $f : [0,1]\to \Rr$ une fonction continue. \begin{enumerate} \item En utilisant la formule de la moyenne, montrer que $$\forall a\in[0,1[, \qquad \lim_{n\to\infty} \int_0^a f(t^n)\,d t=a f(0).$$ \item Montrer qu'il existe $M>0$, tel que $$\forall a\in[0,1[, \qquad \left| (a-1)f(0) + \int_a^1 f(t^n)\,d t \right| \leq 2 M(1-a).$$ En d\'eduire que $$\lim_{n\to\infty} \int_0^1 f(t^n)\,d t= f(0).$$ \end{enumerate} \finenonce{002317} \finexercice \exercice{2324, matexo1, 2002/02/01} \enonce{002324}{} Soient $f$ et $g$ deux fonctions r\'eelles p\'eriodiques de p\'eriode $T$ continues sur $\Rr$. On appelle {\sl produit de convolution} de $f$ et $g$ la fonction $h$ not\'ee $f \star g$ et d\'efinie par $$ h(x) = {1 \over T} \int_0^T f(t) g(x-t) ~dt. $$ \begin{enumerate} \item Montrer que $h$ est une fonction p\'eriodique de p\'eriode $T$. \item Montrer $$h(x)={1 \over T} \int_a^{a+T} f(t) g(x-t) ~dt, \qquad \forall a \in \Rr.$$ \item En d\'eduire que $f \star g = g \star f$. \end{enumerate} \finenonce{002324} \finexercice \exercice{4220, quercia, 2010/03/12} \enonce{004220}{Densité des fonctions en escalier} Soit $f : {[a,b]} \to \R$ continue telle que pour toute fonction $g : {[a,b]} \to \R$ en escalier, $ \int_{t=a}^b f(t)g(t)\,d t = 0$. Démontrer que $f = 0$. \finenonce{004220} \finexercice \exercice{4221, quercia, 2010/03/12} \enonce{004221}{Changements de signe} Soit $f : {[a,b]} \to \R$ continue non identiquement nulle, telle que : $\forall\ k \in \{ 0, 1, \dots, n-1 \},\ \int_{t=a}^b t^kf(t)\,d t = 0$. Démontrer, par récurrence, que $f$ change au moins $n$ fois de signe sur $]a,b[$ (raisonner par l'absurde). \finenonce{004221} \finexercice \exercice{4222, quercia, 2010/03/12} \enonce{004222}{Formule de la moyenne généralisée} Soient ${f,g} : {[a,b]} \to \R$ continues, $f$ positive. \begin{enumerate} \item Démontrer qu'il existe $c \in {[a,b]}$ tel que $ \int_{t=a}^b f(t)g(t)\,d t = g(c) \int_{t=a}^b f(t)\,d t$. \item Si $f$ ne s'annule pas, montrer que $c \in {]a,b[}$. \item Application : Soit $f$ continue au voisinage de $0$. Déterminer $\lim_{x\to 0}\frac1{x^2} \int_{t=0}^x tf(t)\,d t$. \end{enumerate} \finenonce{004222} \finexercice \exercice{4223, quercia, 2010/03/12} \enonce{004223}{Inégalité de Jensen} Soit $f : {[a,b]} \to \R$ continue et $g : \R \to \R$ continue convexe. Démontrer que $g\left(\frac 1{b-a} \int_{t=a}^b f(t)\,d t\right) \le \frac 1{b-a} \int_{t=a}^b g(f(t))\,d t$. \finenonce{004223} \finexercice \exercice{4224, quercia, 2010/03/12} \enonce{004224}{$\sqrt{1+f^2}$} Soit $f : {[0,1]} \to \R$ continue positive. On pose $A = \int_{t=0}^1 f(t)\,d t$. Montrer que $\sqrt{1+A^2} \le \int_{t=0}^1 \sqrt{1+f^2(t)}\,d t \le 1+A$. \finenonce{004224} \finexercice \exercice{4225, quercia, 2010/03/12} \enonce{004225}{Calcul de limite} Chercher $\lim_{x \to 0^+} \int_{t=x}^{2x} \frac{\cos t\,\ln(1+t^2)}{\sin^2t\,\sh t}\,d t$. \finenonce{004225} \finexercice \exercice{4226, quercia, 2010/03/12} \enonce{004226}{Calcul de limite} Pour $00$, il existe une suite $(I_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ d'intervalles $I_{n} = ]a_{n},b_{n}[$ telle que~: \begin{equation*} A \subset \bigcup_{n\in\mathbb{N}}I_{n}\quad \text{et}\quad \sum_{n\in\mathbb{N}}(b_{n}-a_{n})\leq\varepsilon. \end{equation*} \begin{enumerate} \item Montrer qu'une r\'eunion d\'enombrable d'ensembles n\'egligeables est un ensemble n\'egligeable. \item Montrer qu'une fonction born\'ee $f~:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}$ est int\'egrable au sens de Riemann sur $[a,b]$ si et seulement si l'ensemble des points o\`u $f$ n'est pas continue est \emph{n\'egligeable}. \end{enumerate} \finenonce{005921} \finexercice \exercice{5922, tumpach, 2010/11/11} \enonce{005922}{} Pour tout $n\in\mathbb{N}$, on d\'efinit $f_{n}~:]0,1]\rightarrow\mathbb{R}$ par~: $f_{n}(x)= n e^{-nx}$. Montrer que la suite $(f_{n})_{n\in\mathbb{R}}$ converge simplement vers une fonction $f$ sur $]0,1]$ mais que \begin{equation*} \int_{0}^{1}\lim_{n\rightarrow+\infty}f_{n}(x)\,dx \quad\neq\quad \lim_{n\rightarrow+\infty}\int_{0}^{1}f_{n}(x)\,dx. \end{equation*} V\'erifier que la convergence de $(f_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ vers $f$ n'est pas \emph{uniforme} sur $]0,1]$. \finenonce{005922} \finexercice \exercice{5923, tumpach, 2010/11/11} \enonce{005923}{} Montrer que, si $f~:[a,b] \rightarrow \mathbb{R}$ est une fonction int\'egrable au sens de Riemann, on a~: \begin{equation*} \frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f(t)\,dt=\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}f\left(a+k\frac{b-a}{n}\right). \end{equation*} En d\'eduire les limites suivantes~: \begin{equation*} a)\quad\lim_{n\rightarrow+\infty} \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\tan\frac{k}{n} \quad\quad\quad b)\quad\lim_{n\rightarrow+\infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{n}{n^2+k^2} \quad\quad\quad c)\quad\lim_{n\rightarrow+\infty}\sum_{k=1}^{n}\log\left(\frac{n}{n+k}\right)^{\frac{1}{n}} \end{equation*} \finenonce{005923} \finexercice \exercice{5924, tumpach, 2010/11/11} \enonce{005924}{} \begin{enumerate} \item Montrer que si $f~:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}$ est Riemann-int\'egrable, alors \begin{equation*}\int_{a}^{b}f(x)\,dx = \int_{a}^{b}f(a+b-x)\,dx. \end{equation*} \item Calculer (en utilisant 1.) les int\'egrales suivantes~: \begin{equation*} a)\quad\int_{0}^{\pi}\frac{x\sin x}{1+{\cos}^{2}x}\,dx\quad\quad\quad\quad b)\quad\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\log\left(1+\tan x\right)\,dx. \end{equation*} \end{enumerate} \begin{equation*} \textit{Rappel~:}\quad \tan(\alpha-\beta) = \frac{\tan(\alpha)-\tan(\beta)}{1+\tan(\alpha)\tan(\beta)} \end{equation*} \finenonce{005924} \finexercice \section{ 127.02 Somme de Riemann } \exercice{794, gourio, 2001/09/01} \enonce{000794}{} Soient $f$ et $g$ de ${\Rr}^{+}$ dans ${\Rr}$ croissantes.\ Montrer que : $$\forall x\in {\Rr}^{+},\left( \int_{0}^{x}f\right) \left( \int_{0}^{x}g\right) \leq x\int_{0}^{x}fg. $$ \emph{Indication} : on \'{e}tablira d'abord que, si $a_{1}\leq a_{2}\leq ...\leq a_{n}$ et $b_{1}\leq b_{2}\leq ...\leq b_{n},$ alors : $$\left( \frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}a_{i}\right) \left( \frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^{n}b_{i}\right) \leq \frac{1}{n}\sum \limits_{i=1}^{n}a_{i}b_{i}. $$ Remarquer que : $$\sum\limits_{1\leq i\leq j\leq n}(a_{i-}a_{j})(b_{i-}b_{j})\geq 0. $$ \finenonce{000794} \finexercice \exercice{840, gourio, 2001/09/01} \enonce{000840}{} Calculer : $$\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{(-1)^{k}}{2k+1} ,\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{(-1)^{k}}{k}. $$ \finenonce{000840} \finexercice \exercice{841, gourio, 2001/09/01} \enonce{000841}{} Calculer : $$ \lim\limits_{n\rightarrow \infty }\prod\limits_{k=1}^{n}\left( 1+\frac{k^{2} }{n^{2}}\right) ^{\frac{1}{n}}\ ;\ \lim\limits_{n\rightarrow \infty }n\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{e^{-\frac{n}{k}}}{k{{}^{2}}}\ ;\ \lim\limits_{n\rightarrow \infty }\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{n+k}{n^{2}+k{}} \ ;\ \lim\limits_{n\rightarrow \infty }\sum\limits_{k=1}^{n-1}\frac{1}{\sqrt{ n^{2}-k{{}^{2}}}}. $$ Soit $(u_{n})_{n\in \Nn^{*}\text{ }}$ la suite r\'{e}elle d\'{e}finie par : $$\forall n\in \Nn^{*},\text{ }u_{n}=\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{n}{n{{}^{2}} +k{{}^{2}}}. $$ Calculer : $$\ell=\lim\limits_{n\rightarrow \infty }u_{n} $$ et donner un \'{e}quivalent de $u_{n}-\ell.$ \finenonce{000841} \finexercice \exercice{842, gourio, 2001/09/01} \enonce{000842}{} Soient $f$ et $g$ continues de $[0,1]$ dans ${\Rr}.$ Calculer : $$\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\frac{1}{n}\sum\limits_{k=0}^{n-1}f\left(\frac{k} {n}\right) g\left(\frac{k+1}{n}\right). $$ \finenonce{000842} \finexercice \exercice{843, gourio, 2001/09/01} \enonce{000843}{} Calculer : $$\lim_{n\rightarrow \infty }\sum\limits_{k=0}^{n^{2}}\frac{n}{n^{2}+k^{2}}. $$ \finenonce{000843} \finexercice \exercice{844, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000844}{} Calculer les limites suivantes~: \begin{enumerate} \item $\displaystyle\lim_{n\to\infty} \frac{1+\sqrt2+\sqrt3+\cdots+\sqrt n}{n\sqrt n}$. \item $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{p=1}^n\frac{n}{n^2+p^2}$. \item $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{p=1}^n \ln\frac{(3n+6p-4)(n+2p)^2}{3n^3}$. \end{enumerate} \finenonce{000844} \finexercice \exercice{2100, bodin, 2008/02/04} \video{Mw9ODmfCvyM} \enonce{002100}{} Calculer la limite des suites suivantes : \begin{enumerate} \item $\displaystyle u_n=n\sum_{k=0}^{n-1}\frac 1{k^2+n^2}$ \item $\displaystyle v_n=\prod\limits_{k=1}^n\left(1+\frac{k^2}{n^2}\right) ^{\frac 1n}$ \end{enumerate} \finenonce{002100} \finexercice \exercice{4228, quercia, 2010/03/12} \enonce{004228}{Sommes de Riemann} \begin{enumerate} \item Trouver $\lim_{n\to\infty} \frac 1{n+1} + \frac 1{n+2} + \dots + \frac 1{kn}$ pour $k$ entier supérieur ou égal à $2$ fixé. \item Trouver $\lim_{n\to\infty} \frac 1{n^2} \Bigl( \sqrt{1(n-1)} + \sqrt{2(n-2)} + \dots + \sqrt{(n-1)1} \Bigr)$. \item Trouver $\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{\Bigl(1+\frac 1n\Bigr)\Bigl(1+\frac 2n\Bigr) \dots \Bigl(1+\frac nn\Bigr)}$. \item Trouver $\lim_{n\to\infty} \ln\left(1+\frac\pi n\right)\sum_{k=0}^{n-1} \frac1{2+\cos(3k\pi/n)}$. \item Donner un équivalent pour $n\to\infty$ de $\sum_{k=1}^n \sqrt k$. \item Soit $A_1A_2\dots A_n$ un polygone régulier inscrit dans un cercle de rayon 1. Chercher $\lim_{n\to\infty} \frac 1n\sum_{k=2}^n A_1A_k$. \end{enumerate} \finenonce{004228} \finexercice \exercice{4229, quercia, 2010/03/12} \enonce{004229}{Calcul de limite} Soit $f : {[0,1]} \to \R$ continue. Chercher $\lim_{n \to \infty} \frac 1{n^2} \sum_{1 \le i < j \le n} f\Bigl(\frac in\Bigr)f\Bigl(\frac jn\Bigr)$. \finenonce{004229} \finexercice \exercice{4230, quercia, 2010/03/12} \enonce{004230}{Moyenne géométrique} Soit $f : {[0,1]} \to \R$ continue. Montrer que $\Bigl(1+\frac1nf\bigl(\frac1n\bigr)\Bigr) \Bigl(1+\frac1nf\bigl(\frac2n\bigr)\Bigr)\dots \Bigl(1+\frac1nf\bigl(\frac nn\bigr)\Bigr) \to \exp \int_{t=0}^1 f(t)\,d t$ lorsque $n\to\infty$. (On pourra utiliser : $\forall\ x\ge -\frac12,\ x-x^2 \le \ln x \le x$) \finenonce{004230} \finexercice \exercice{4231, quercia, 2010/03/12} \enonce{004231}{} \begin{enumerate} \item Montrer que : $\forall\ x \ge 0,\ x-\frac{x^2}2 \le \ln(1+x) \le x$. \item Trouver $\lim_{n\to\infty}\prod_{k=1}^n\left(1+\frac1{k^2+n^2}\right)^n$. \end{enumerate} \finenonce{004231} \finexercice\exercice{4233, quercia, 2010/03/12} \enonce{004233}{Intégrale de $\ln|x-e^{it}|$} Pour $x \in \R,\ x \ne \pm1$, on pose $I = \int_{t=0}^{2\pi} \ln|x-e^{it}|\,d t$. En utilisant les sommes de Riemann, calculer $I$. \finenonce{004233} \finexercice\exercice{5446, rouget, 2010/07/10} \enonce{005446}{***IT} Limites de $$\begin{array}{llll} 1)\;\frac{1}{n^3}\sum_{k=1}^{n}k^2\sin\frac{k\pi}{n}&2)\;(\frac{1}{n!}\prod_{k=1}^{n}(a+k))^{1/n}\;(a>0\;\mbox{donné})&3)\;\sum_{k=1}^{n}\frac{n+k}{n^2+k}&4)\;\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{n^2-k^2}}\\ 5)\;\frac{1}{n\sqrt{n}}\sum_{k=1}^{n}E(\sqrt{k})&6)\;\sum_{k=1}^{n}\frac{k^2}{8k^3+n^3}&7)\;\sum_{k=n}^{2n-1}\frac{1}{2k+1}&8)\;n\sum_{k=1}^{n}\frac{e^{-n/k}}{k^2} \end{array} $$ \finenonce{005446} \finexercice \exercice{5447, rouget, 2010/07/10} \enonce{005447}{***I} Soit $f$ une fonction de classe $C^2$ sur $[0,1]$. Déterminer le réel $a$ tel que : $$\int_{0}^{1}f(t)\;dt-\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n-1}f(\frac{k}{n})\underset{n\rightarrow+\infty}{=}\frac{a}{n}+o(\frac{1}{n}).$$ \finenonce{005447} \finexercice \section{ 127.03 Longueur, aire, volume } \exercice{805, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000805}{} Construire la courbe paramétrée $C\left\lbrace\renewcommand{\arraystretch}{1.2} \begin{array}{l} x = \frac{\cos t}{1+\lambda\cos t} \\ y = \frac{\sin t}{1+\lambda\cos t} \end{array}\right.$ où $\lambda$ est un paramètre appartenant à $[0,1\mathclose[$. \\Calculer l'aire $S$ limitée par $C$ de deux façons~: \begin{itemize} \item En se ramenant au calcul de $\int_0^{2\pi}\frac{dt}{(1+\lambda\cos t)^2}$. \item En reconnaissant la nature géométrique de $C$. \end{itemize} \finenonce{000805} \finexercice \exercice{806, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000806}{} Représenter la courbe définie par son équation polaire $\rho=a\sin^3\frac{\theta}{3}$. Calculer sa longueur $L$ et les aires $A_1$ et $A_2$ limitées par les deux boucles qu'elle forme. \finenonce{000806} \finexercice \exercice{807, cousquer, 2003/10/01} \enonce{000807}{} On appelle \emph{tore} la figure obtenue par révolution d'un cercle de rayon $r$ autour d'une droite de son plan passant à distance $R$ de son centre (on suppose $r0$ un r\'eel. Calculer les valeurs de $$I(x) = \int_0^x{\arctan t \over 1+t^2} dt \qquad \mbox{\rm et} \qquad J(x) = \int_0^x{\arctan t \over (1+t)^2} dt. $$ Quelles sont leurs limites quand $x \to +\infty$\,? \finenonce{002329} \finexercice \exercice{2335, matexo1, 2002/02/01} \enonce{002335}{} Trouver les primitives des fonctions suivantes\,: $${ {1\over x \sqrt{x^2-1}}, \qquad {(4x^2+4x+5)^{-1/2}}, \qquad {\sin^4 x\over \cos^2 x}, \qquad {\arctan x \over 1+x^2}, \qquad {1\over x\,(1+\ln^2 x)}. }$$ \finenonce{002335} \finexercice \exercice{5470, rouget, 2010/07/10} \enonce{005470}{} Calculer les intégrales suivantes ($a$, $b$ réels donnés, $p$ et $q$ entiers naturels donnés) $$ \begin{array}{ll} 1)\;\int_{1/a}^{a}\frac{\ln x}{x^2+1}\;(00$, on pose $$ \Gamma (x) = \int_0^{+\infty} {t^{x-1} e^{-t}} dt $$ (on admettra que l'int\'egrale converge). Montrer que $\Gamma(x+1) = x \Gamma(x)$. Calculer la valeur de $\Gamma(1)$. En d\'eduire celle de $\Gamma(n)$, pour tout entier $n>0$. \item Soit $a>0$ un r\'eel, et $n>0$ un entier. Montrer que $$ \int {dt \over (x^2 + a^2)^n} = {1 \over a^{2n-1}} \int \cos^{2n-2}\theta d\theta \qquad \mbox{\rm o\`u}\qquad \theta = \arctan{x \over a}. $$ En d\'eduire la primitive de $\displaystyle{ x+4 \over (x^2+2x+2)^3 }$. \item Soient $x$ et $y$ deux r\'eels v\'erifiant $1>y>x>0$. Calculer $$ \lim_{x\to 0 \atop y\to 1} \int_x^y {\ln t \over (1+t)\sqrt{1-t^2}} dt. $$ \item Soit $f$ une fonction continue et positive sur $[0, +\infty[$. On pose pour tout $x>0$ et tout entier $n>0$ $$ u_n(x) = \left[ \int_0^x f(t)^n\ dt \right]^{1/n} $$ et $$ M(x) = \sup_{t \in [0, x]} \left| f(t) \right|. $$ \begin{enumerate} \item Montrer que $u_n(x) \leq M(x) x^{1/n}$. \item En utilisant la continuit\'e de $f$, montrer que, quel que soit $\varepsilon > 0$, il existe $\delta > 0$ tel que $u_n(x) \geq \delta^{1/n} [ M(x)-\varepsilon ]$. \item En d\'eduire que $$\lim_{n \to +\infty} u_n(x) = M(x).$$ \end{enumerate} \finenonce{002330} \finexercice \exercice{4266, quercia, 2010/03/12} \enonce{004266}{Diverses primitives} %+----------+ %| Divers | %+----------+ $$\begin{array}{ll} x^k\ln x & \frac{x^{k+1}}{k+1} \Bigl(\ln x - \frac1{k+1} \Bigr) \cr \ln(1+x^2) & x\ln(1+x^2) -2x + 2\Arctan x \cr \frac{x^2+a}{x^2+1} \Arctan x & \frac12 \bigl( (2x+(a-1)\Arctan x)\Arctan x - \ln(1+x^2)\bigr) \cr \Bigl(1-\frac1x \Bigr)e^{1/x} & xe^{1/x} \cr \frac x{\cos^2x} & x\tan x + \ln|\cos x| \cr \frac1{\sqrt{e^x-1}} & 2\Arctan\sqrt{e^x-1} \cr \Arctan\sqrt{\frac{x+1}{x+3}} & (x+2)\Arctan\sqrt{\frac{x+1}{x+3}} - \ln\bigl( \sqrt{x+1} + \sqrt{x+3}\, \bigr) \cr \Arcsin\sqrt{\frac x{x+1}} & x\Arcsin\sqrt{\frac x{x+1}} - \sqrt x + \Arctan \sqrt x \cr e^{\Arcsin x} & \frac{x+\sqrt{1-x^2}}2 e^{\Arcsin x} \cr x(\cos^2x)e^{-x} & \frac{e^{-x}}{50} \bigl( (3-5x)\cos 2x + (4+10x)\sin 2x - 25(x+1) \bigr) \cr (x^2+x+1)e^{2x}\cos x & (\frac{2x^2}5 + \frac{4x}{25} + \frac{39}{125} )e^{2x}\cos x + (\frac{x^2}5 - \frac{3x}{25} + \frac{27}{125} )e^{2x}\sin x \cr \end{array}$$ \finenonce{004266} \finexercice \exercice{4267, quercia, 2010/03/12} \enonce{004267}{Intégrales définies} %ÚÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ¿ %³ Intégrales définies ³ %ÀÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÙ $ \int_{t=0} ^{\pi/2} \cos^4t \,d t = \frac{3\pi}{16}$\par $ \int_{t=-\pi/2} ^{\pi/2} \sin^2t\cos^3t \,d t = \frac4{15}$\par $ \int_{t=0} ^{\pi/2} t^2\cos t \,d t = \frac{\pi^2}4 - 2$\par $ \int_{t=-\pi/2} ^{\pi/2} t^2\sin t\cos^2t \,d t = 0$\par $ \int_{t=0} ^{\pi/2} \frac{\sin t}{1+\cos^2t} \,d t = \frac \pi4$\par $ \int_{t=0} ^{\pi/2} \frac{d t}{1 + \sin t} = 1$\par $ \int_{t=0} ^{\pi/2} \frac{\sin^2t}{\sin t + \cos t} \,d t = -\frac1{\sqrt2} \ln(\sqrt2-1)$\par $ \int_{t=0} ^{\pi/2} \frac{\sin2t}{\sqrt{1-a\sin t}} \,d t = \frac{4(2-(a+2)\sqrt{1-a})}{3a^2}$\par % $ \int_{t=0} ^1 t\ln t \,d t = -\frac14$\par $ \int_{t=0} ^1 \Arcsin t \,d t = \frac\pi2 - 1$\par $ \int_{t=0} ^3 \frac{2t}{(1+t^2)(3+t^2)} \,d t = \frac12 \ln\frac52$\par $ \int_{t=0} ^1 \frac{t^2\Arctan t}{1+t^2} \,d t = \frac\pi4 - \frac{\pi^2}{32} - \ln\sqrt2$\par $ \int_{t=0} ^{\ln2} \sqrt{e^t-1} \,d t = 2-\frac\pi2$\par $ \int_{t=4} ^9 \frac{d t}{\sqrt t - 1} = 2 + 2\ln2$\par $ \int_{t=0} ^1 \frac{te^t}{\sqrt{e^t+1}} \,d t = 4\sqrt2 - 2\sqrt{e+1} + 4\ln\Bigl[ \frac{\sqrt{e+1}+1}{\sqrt2+1} \Bigr] - 2$\par $ \int_{t=0} ^1 \frac{\ln(1-a^2t^2)}{t^2} \,d t = a\ln\left|\frac{1-a}{1+a}\right| -\ln(1-a^2)$\par % $ \int_{t=0} ^1 \frac{d t}{2+\sqrt{1-t^2}} = \frac\pi6 (3 - \frac4{\sqrt3})$\par $ \int_{t=-1} ^1 \frac{d t}{t+\sqrt{t^2+1}} = \ln(1+\sqrt2) + \sqrt2$\par $ \int_{t=-1} ^1 \sqrt{1+t^2} \,d t = \ln(1+\sqrt2) + \sqrt2$\par \finenonce{004267} \finexercice \exercice{5450, rouget, 2010/07/10} \enonce{005450}{***} Etude complète de la fonction $f(x)=\frac{1}{x-1}\int_{1}^{x}\frac{t^2}{\sqrt{1+t^8}}\;dt$. \finenonce{005450} \finexercice \exercice{5451, rouget, 2010/07/10} \enonce{005451}{***} Pour $x$ réel, on pose $f(x)=e^{-x^2}\int_{0}^{x}e^{t^2}\;dt$. \begin{enumerate} \item Montrer que $f$ est impaire et de classe $C^\infty$ sur $\Rr$. \item Montrer que $f$ est solution de l'équation différentielle $y'+2xy=1$. \item Montrer que $\lim_{x\rightarrow +\infty}2xf(x)=1$. \item Soit $g(x)=\frac{e^{x^2}}{2x}f'(x)$. Montrer que $g$ est strictement décroissante sur $]0,+\infty[$ et que $g$ admet sur $]0,+\infty[$ un unique zéro noté $x_0$ vérifiant de plus $0-1 \, \, \ln (1 + x)\leq x.$\\ \item Soit $n \in \Nn^{*}.$ Montrer que $\forall x \in [0, n]\, \, (1-\frac{x}{n})^{n}\leq e^{-x} \leq (1 + \frac{x}{n})^{-n}.$\\ \item En d\'eduire que\\ $\displaystyle{\int _{0}^{\sqrt {n}}\!\left (1-{\frac {{t}^{2}}{n}}\right )^{n}{dt}} \leq \displaystyle{\int _{0}^{\sqrt {n}}\!{e^{-{t}^{2}}}{dt}} \leq \displaystyle{\int _{0}^{\sqrt {n}}\!\frac{1}{\left (1+{\frac {{t}^{2}}{n}}\right )^n}{dt}}. $ \\ Rappel (int\'egrales de Wallis) : $I_{n} = \displaystyle{\int _{0}^{{\frac {\pi }{2}}}\!\left (\cos(\theta)\right )^{n}{d\theta}} \sim \sqrt {\frac{\pi}{2n}}. $\\ \item Montrer que $\displaystyle{\int _{0}^{\infty } \frac 1{(1+{u}^{2})^n}{du}}$ existe et vaut $I_{2n-2}. $\\ \item Montrer que $\displaystyle{\int _{0}^{\infty }\!{e^{-{x}^{2}}}{dx}} $ existe et vaut $\frac{\sqrt\pi}{2} $. \end{enumerate} \finenonce{001281} \finexercice \exercice{1282, gourio, 2001/09/01} \enonce{001282}{} \'Etude de : $$f:{\Rr}\rightarrow {\Rr} $$ $$x\mapsto \int_{1}^{x}\frac{e^{t}}{t}dt. $$ Donner un \'{e}quivalent de $f$ en 0 et en $+\infty $. \finenonce{001282} \finexercice \exercice{1283, gourio, 2001/09/01} \enonce{001283}{} Soit $f$ une application $C^{2}$ de ${\Rr}$ dans ${\Rr}$ telle que $f+f^{^{\prime \prime }}\geq 0.$ Montrer que : $$\forall x\in {\Rr},f(x)+f(x+\pi )\geq 0. $$ \finenonce{001283} \finexercice \exercice{1284, gourio, 2001/09/01} \enonce{001284}{} Soit $f$ une application continue de ${\Rr}^{+}$ dans ${\Rr}$ et $F$ de ${\Rr}^{+*}$ dans ${\Rr}$ d\'{e}finie par : $$\forall x\in {\Rr}^{+*},F(x)=\frac{1}{x}\int_{0}^{x}f(t)dt. $$ \begin{enumerate} \item Montrer que si $f$ admet une limite $\ell$ en $+\infty $, alors $F$\ a aussi la limite $\ell$ en $+\infty .$ \item Donner un exemple o\`{u} $f$ n'a pas de limite en $+\infty $ mais o\`{u} $F$ tend vers $0$. \item Montrer que si $f\rightarrow \infty $ quand $x\rightarrow \infty $, alors $F\rightarrow \infty $ quand $x\rightarrow \infty .$ \end{enumerate} \finenonce{001284} \finexercice \exercice{1285, gourio, 2001/09/01} \enonce{001285}{} \'Etudier la fonction : $$h:x\rightarrow \int_{x}^{x^{2}}\frac{dt}{\log t}. $$ Domaine de d\'{e}finition, continuit\'{e} et d\'{e}rivabilit\'{e}, variations, limites aux bornes de ce domaine, et $\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\frac{h(x)}{x},\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{h(x)}{x}, $ \'{e}ventuellement convexit\'{e}. \finenonce{001285} \finexercice \exercice{1286, gourio, 2001/09/01} \enonce{001286}{} Donner un exemple d'une fonction continue positive telle que : $$\int_{0}^{\infty }f(u)du $$ existe mais telle qu'on n'ait pas : $$\lim\limits_{x\rightarrow \infty }f(x)=0. $$ Donner un exemple de fonction continue positive telle que : $$\int_{0}^{\infty }f(u)du $$ existe mais telle que : $$\int_{0}^{\infty }f^{2}(u)du $$ n'existe pas. \finenonce{001286} \finexercice \exercice{1287, gourio, 2001/09/01} \enonce{001287}{} Soit $f$ une fonction positive d\'{e}croissante de ${\Rr}^{+}$ dans ${\Rr},$ telle que $\int_{0}^{\infty }f$ existe. Montrer que : $$f(x)=o(\frac{1}{x}) $$ quand $x\rightarrow \infty .$ \finenonce{001287} \finexercice \exercice{1288, gourio, 2001/09/01} \enonce{001288}{} Soit $f$ une application continue par morceaux de ${\Rr}^{+}$ dans ${\Rr}$ poss\'{e}dant une limite $\ell$ en $+\infty $, telle que $\int_{0}^{\infty }f$ existe ; montrer que $\ell=0.$ Soit $f$ une application uniform\'{e}ment continue de ${\Rr}^{+}$ dans ${\Rr}$ telle que $\int_{0}^{\infty }f$ existe.\ Montrer que : $$\lim\limits_{x\rightarrow \infty }f(x)=0. $$ \finenonce{001288} \finexercice \exercice{1289, gourio, 2001/09/01} \enonce{001289}{} Soit $f$ une application continue de ${\Rr}^{+}$ dans ${\Rr}$ telle que $\int_{0}^{\infty }f^{2}$ existe.\ Montrer que quand $x\rightarrow\infty :$ $$\int_{0}^{x}f(t)dt=o(\sqrt{x}). $$ \finenonce{001289} \finexercice \exercice{1290, gourio, 2001/09/01} \enonce{001290}{} \'Etudier la nature de $$\int_{0}^{\infty }\frac{\sin t}{t^{\alpha }}dt $$ selon $\alpha \in {\Rr}.$ \finenonce{001290} \finexercice \exercice{1291, gourio, 2001/09/01} \enonce{001291}{} Convergence et calcul de : \[ \int_{0}^{1}\frac{\ln (1+t^{2})dt}{t^{2}}, \qquad \int_{0}^{\infty }\ln \left( 1+\frac{1}{t^{2}}\right) dt, \qquad \int_{1}^{\infty }\frac{\ln t}{t^{n}}dt. \] \finenonce{001291} \finexercice \exercice{1292, gourio, 2001/09/01} \enonce{001292}{} Soit $f:[1,\infty [\rightarrow {\Rr}^{+} $ continue telle que $$\int_{1}^{\infty }f(t)dt $$ converge. Montrer que $$\lim\limits_{x\rightarrow \infty }\frac{1}{x}\int_{1}^{x}tf(t)dt=0. $$ \finenonce{001292} \finexercice \exercice{1293, gourio, 2001/09/01} \enonce{001293}{} Soit $f\in C([1,\infty [,{\Rr}^{+})$ d\'{e}croissante, on pose : $$x_{n}=\sum_{k=1}^{n}f(k)-\int_{1}^{n}f(t)dt. $$ \begin{enumerate} \item Montrer que la suite $\left( x_{n}\right) _{n\in \Nn} $ converge. \item Montrer que la suite $S_{n}=\sum_{k=1}^{n}f(k) $ a une limite quand $n\rightarrow \infty $ si et seulement si $\int_{1}^{\infty }f $ converge, et que dans ce cas : $$\int_{n+1}^{\infty }f\leq \lim_{m\rightarrow \infty }\sum_{k=n+1}^{m}f(k)\leq \int_{n}^{\infty }f. $$ \item Montrer que si $\int_{1}^{\infty }f $ diverge on a: $S_{n}\backsim \int_{1}^{n}f $ quand $n\rightarrow \infty .$ \end{enumerate} \finenonce{001293} \finexercice \exercice{1294, gourio, 2001/09/01} \enonce{001294}{} Soit $f:]0;1] \rightarrow {\Rr } $ continue et monotone, telle que $\int_{0}^{1}f$ existe. Calculer $$\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}f\left( \frac{k}{n}\right).$$ \finenonce{001294} \finexercice \exercice{1295, gourio, 2001/09/01} \enonce{001295}{} Montrer que si $f:{\Rr}^{+}\rightarrow {\Rr}$ est uniform\'{e}ment continue, alors $$\int_{0}^{\infty }\exp (if(t)) dt $$ n'existe pas. \finenonce{001295} \finexercice \exercice{1296, gourio, 2001/09/01} \enonce{001296}{} Nature de : $$\int_{0}^{\infty }\sin t\sin \frac{1}{t}dt,\ \int_{0}^{\infty }\frac{e^{\sin t}}{t}dt,\ \int_{2}^{\infty }\frac{\sin t}{\sqrt{t}+\sin t}dt,\ \int_{0}^{1}\cos \ln t dt,\int_{0}^{\infty } \cos \exp t dt. $$ \finenonce{001296} \finexercice \exercice{1297, gourio, 2001/09/01} \enonce{001297}{} Nature et calcul de : $$\int_{0}^{\infty }\ln t\ln \left( 1+\frac{a^{2}}{t^{2}}\right) dt,a>0\ ;\ \int_{0}^{\infty }\exp \left( -t^{\frac{1}{n}}\right) dt,n\in \Nn^{*}\ ;\ \int_{0}^{1}\left( \frac{1}{t}-E(\frac{1}{t})\right) dt. $$ \finenonce{001297} \finexercice \exercice{1298, gourio, 2001/09/01} \enonce{001298}{} Convergence et calcul de : $$ \int_{0}^{\infty }\frac{dx}{1+\cosh ^{2}x}, \ \int_{1}^{\infty }\frac{dx}{\sinh x}, \ \int_{-\infty }^{\infty }\frac{dt}{\cosh t}.$$ \finenonce{001298} \finexercice \exercice{1299, gourio, 2001/09/01} \enonce{001299}{} Soient $f$ et $g $ deux fonctions de ${\Rr}^{+}$ dans ${\Rr}$ telles que $f\geq 0, g\geq 0, g=o(f) $ en $+\infty , $ et $ \int_{0}^{\infty }f $ n'existe pas. Montrer alors : $$\int_{0}^{x}g(u)du=o\left( \int_{0}^{x}f(u)du\right) $$ quand $x\rightarrow \infty .$ \finenonce{001299} \finexercice \exercice{1300, gourio, 2001/09/01} \enonce{001300}{} Soit $f:{\Rr}^{+}\rightarrow {\Rr}$ continue, tendant vers $\ell$ en $+\infty , $ montrer alors : $$\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\int_{0}^{\infty }\frac{f(t)n}{n^{2}+t^{2}}dt =\frac{\pi }{2}\ell. $$ \finenonce{001300} \finexercice \exercice{1301, gourio, 2001/09/01} \enonce{001301}{} Calculer : $$ \lim\limits_{a\rightarrow 0^{+}}\int_{a}^{3a}\frac{\tan t}{t^{2}}dt \ ,\ \lim\limits_{n\rightarrow \infty }\int_{0}^{1}\frac{x^{n}-x^{2n}}{1-x}dx.$$ \finenonce{001301} \finexercice \exercice{1302, gourio, 2001/09/01} \enonce{001302}{} Soit $f\in C({\Rr},{\Rr}) $ telle que $\int_{-\infty }^{\infty }f$ existe, montrer que $ F(x)=\int_{-\infty }^{\infty }f(t)\cos tx dt$ est uniform\'{e}ment continue sur ${\Rr}.$ \finenonce{001302} \finexercice \exercice{2331, matexo1, 2002/02/01} \enonce{002331}{} Sans les calculer, dire si les int\'egrales suivantes sont convergentes ou divergentes\,: \begin{eqnarray*} &&\int_0^1 {dt\over \sqrt[3]{t \sqrt{1-t}}}, \\ &&\int_0^{\pi/2} \tan t\ dt, \\ &&\int_0^1{dt\over\sqrt{\arcsin t} \ln(1-t)}. \end{eqnarray*} \finenonce{002331} \finexercice \exercice{2332, matexo1, 2002/02/01} \enonce{002332}{} Sans les calculer, dire si les int\'egrales suivantes sont convergentes ou divergentes\,: \begin{eqnarray*} &&\int_0^\infty{t^3-5t^2+1 \over 2t^5-2t^3+t^2+1}\ dt, \\ &&\int_1^\infty{{1\over t^2}\ln{t-1 \over t+1}\ dt},\\ &&\int_0^\infty{dt\over t \arg \cosh t}, \\ &&\int_0^1 \sin {1\over t}\ dt, \end{eqnarray*} \finenonce{002332} \finexercice \exercice{2333, matexo1, 2002/02/01} \enonce{002333}{} Soit $n \ge 0$ un entier. Montrer que l'int\'egrale $$I_n = \int_0^\infty t^n \exp(-t^2) dt$$ est convergente. La calculer en fonction de $n$, sachant que $I_0 = \sqrt{\pi}/2$. \finenonce{002333} \finexercice \exercice{2334, matexo1, 2002/02/01} \enonce{002334}{} On d\'efinit $$ F(x) = \int_0^x {\sin t\over t}\ dt $$ et pour tout $n \in \Nn$, on note $$u_n = F((n+1)\pi) - F(n\pi) = \int_{n\pi}^{(n+1)\pi} {\sin t\over t} dt.$$ \begin{enumerate} \item Montrer que $F(x)$ est bien d\'efinie pour tout $x \in \Rr$. \item Montrer que si $k \ge 1$, alors $${2\over(2k+1)\pi} < u_{2k} < {1\over k\pi}.$$ Trouver une in\'egalit\'e similaire pour $u_{2k+1}$, puis pour $u_{2k}+u_{2k+1}$. \item Montrer que la suite de terme g\'en\'eral $\displaystyle{v_n = \sum_{i=1}^n {1\over i^2}}$ admet une limite finie. En d\'eduire que $$ I = \int_0^\infty {\sin t\over t}\ dt$$ est convergente. \end{enumerate} \finenonce{002334} \finexercice \exercice{2337, matexo1, 2002/02/01} \enonce{002337}{} Soit $\varphi$ la fonction d\'efinie sur $\left[0,1\right[$ par $$\varphi (x) = \int_x^{x^2} {dt\over \ln t}.$$ Montrer que $\varphi (x)$ a une limite quand $x$ tend vers $1$ et la calculer. (Indication\,: comparer \`a $\displaystyle \int_x^{x^2} {1/ (t\ln t)}~dt$). \finenonce{002337} \finexercice \exercice{2338, matexo1, 2002/02/01} \enonce{002338}{} Dire si les int\'egrales suivantes sont convergentes (en discutant \'eventuellement suivant la valeur des param\`etres)\,: $$\int_0^1 {dt\over \sqrt t \sqrt[3]{1-t}},\quad \int_0^{\pi /2} \tan t\,dt,\quad \int_0^1 {dt\over t^\alpha |\ln t|^\beta } ,\quad \int_0^1 \cos(\ln t)\,dt,\quad \int_0^1 \sin{1\over t}\, dt,$$ $$ \int_0^\infty {t^2+t-1\over \sqrt t\,(t^3 -2t^2+3t-6)}\,dt,\quad \int_0^\infty t^\alpha \,[1-e^{-1/\sqrt t}]\,dt,\quad \int_0^\infty {\ln t - \ln(1-e^{-t})\over t} e^{-\alpha t}\, dt. $$ \finenonce{002338} \finexercice \exercice{2339, matexo1, 2002/02/01} \enonce{002339}{} Montrer la convergence des int\'egrales suivantes puis les calculer\,: $$ \int_0^{\pi /2} {dt\over \cos\alpha \cos t +1}, \quad \int_0^1 {dt\over \sqrt t +\root3\of t}, \quad \int_a^b {dt\over \sqrt{(t-a)(b-t)}},$$ $$ \int_{-\infty }^0 {dt\over e^{2t} +e^t-6} ,\quad \int_a^\infty {dt\over t^2\sqrt{t^2+a^2}},\ (a>0), \quad \int_1^{+\infty } {t^3-t^2-1 \over t^6+2t^4+t^2}\,dt. $$ \finenonce{002339} \finexercice \exercice{4268, quercia, 2010/03/12} \enonce{004268}{\'Etude de convergence} % $\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{ d t}{e^t+t^2e^{-t}} $ (cv)\par $\int_1^{+\infty} \frac{ e^{\sin t}}{t} \,d t $ (dv)\par $\int_0^1 \frac{ t^\alpha-1}{\ln{t}} \,d t$ (cv ssi $\alpha > -1 $)\par $\int_{e^2}^{+\infty} \frac{ d t}{t(\ln t)(\ln\ln t)} $ (dv)\par $\int_0^{+\infty} \ln\Bigl( \frac{1+t^2}{1+t^3} \Bigr) \,d t $ (dv)\par $\int_0^{+\infty} \Bigl(2+(t+3)\ln\bigl(\frac{ t+2}{t+4} \bigr)\Bigr) d t $ (cv)\par $\int_0^{+\infty} \frac{ {t\ln t}}{(1+t^2)^\alpha{}} \,d t$ (cv ssi $\alpha > 1 $)\par $\int_0^1 \frac{ d t}{1-\sqrt t} $ (dv)\par $\int_0^{+\infty} \frac{ (t+1)^\alpha-t^\alpha}{t^\beta} \,d t$ (cv ssi $0 < \beta-\alpha < 1$ ou $\alpha = 0 $)\par $\int_0^{+\infty} \sin(t^2)\,d t $ (cv)\par $\int_0^1 \frac{ d t}{\arccos{t}} $ (cv)\par $\int_0^{+\infty} \frac{ \ln(\Arctan{t})}{t^\alpha} \,d t$ (dv)\par $\int_1^{+\infty} \frac{ {\ln(1+1/t)\,d t}}{(t^2-1)^\alpha}$ (cv ssi $0<\alpha<1$)\par $\int_0^1 \frac{ |\ln{t}|^\beta}{(1-t)^\alpha} \,d t$ (cv ssi $\alpha < \beta+1$)\par $\int_0^{+\infty} t^\alpha\bigl(1-e^{-1}{\sqrt t}\bigr)\,d t$ (cv ssi $-1<\alpha<-\frac 12$)\par $\int_0^1 \sin\bigl(\frac1t\bigr)e^{-1}{t}t^{-k}\,d t$ (cv)\par \finenonce{004268} \finexercice \exercice{4269, quercia, 2010/03/12} \enonce{004269}{Fractions rationnelles} % $\int_0^{+\infty} \frac{ d t}{(1+t^2)^2} = \frac{\pi}{4} $\par $\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{ d t}{t^2+2t+2} = \pi $\par $\int_0^{+\infty} \frac{ d t}{(1+t^2)^4} = \frac{ 5\pi}{32} $\par $\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{ d t}{(t^2+1)(t^2-2t\cos\alpha+1)} = \frac{\pi}{2|\sin\alpha|} $\par $\int_0^{+\infty} \frac{ 2t^2+1}{(t^2+1)^2} \,d t = \frac{ 3\pi}{4} $\par $\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{ t^2\,d t}{(t^2+1)(t^2+a^2)} = \frac{ \pi}{1+|a|} $\par $\int_0^{+\infty} \frac{ d t}{1+t^4} = \frac{\pi}{2\sqrt2} $\par $\int_0^{+\infty} \frac{ t^2\,d t}{1+t^4} = \frac{\pi}{2\sqrt2} $\par $\int_1^{+\infty} \frac{ d t}{t^6(1+t^{10})} = \frac{ 4-\pi}{20} $\par \finenonce{004269} \finexercice \exercice{4270, quercia, 2010/03/12} \enonce{004270}{Fonctions trigonométriques} % $\int_0^{2\pi} \frac{ d t}{2+\sin{t}} = \frac{ 2\pi}{\sqrt3} $\par $\int_{-\pi}^\pi \frac{ 2d t}{2+\sin t+\cos t} = 2\pi\sqrt2 $\par $\int_0^{\pi/2} \sqrt{\tan t}\, d t = \int_0{+\infty} \frac{ 2t^2\,d t}{1+t^4} = \frac{ \pi}{\sqrt2} $\par $\int_0^{\pi/2} \frac{ d t}{3\tan{t}+2} = \frac{ {\pi+3\ln(3/2)}}{13} $\par $\int_0^\pi \frac{ d t}{(a\sin^2t+b\cos^2t)^2} = \frac{ \pi(a+b)}{2\sqrt{ab}^3} $\par $\int_0^{\pi/4} \cos t\ln(\tan t)\,d t = -\ln(1+\sqrt2\,)$\par \finenonce{004270} \finexercice \exercice{4271, quercia, 2010/03/12} \enonce{004271}{Radicaux} % $\int_0^1 \sqrt{ \frac{ t}{1-t} }\,d t = \frac{ \pi}{2} $\par $\int_1^{10} \frac{d t}{\sqrt[3]{t-2}} = \frac{9}{2} $\par $\int_a^b \frac{d t}{\sqrt{(t-a)(b-t)}} = \pi $\par $\int_0^1 \frac{ t^5\,d t}{\sqrt{1-t^2}} = \frac{ 8}{15} $\par $\int_{-1}^1 \frac{ d t}{(1+t^2)\sqrt{1-t^2}} = \frac{ \pi}{\sqrt2} $\par\penalty5000 $\int_0^1 \frac{ d t}{(4-t^2)\sqrt{1-t^2}} = \frac{ \pi}{4\sqrt3} $\par $\int_0^1 \frac{ t\,d t}{\sqrt{(1-t)(1+3t)}} = \frac{ 2\pi}{9\sqrt3} + \frac{1}{3} $\par $\int_0^1 \frac{ d t}{(1+t){\sqrt[3]{t^2-t^3}}} = \frac{ \pi{\root 3 \of 4}}{\sqrt3} $\par $\int_0^1 \Arctan\sqrt {1-t^2} \,d t = \frac{ \pi(\sqrt2-1)}{2} $\par $\int_1^{+\infty} \frac{ d t}{t\sqrt{t^{10}+t^5+1}} = \frac{1}{5} \ln\biggl(1+\frac{2}{\sqrt3} \biggr)$\par $\int_0^{+\infty} \frac{ d t}{(1+t^2)\sqrt{t}} = \frac{\pi}{\sqrt2} $\par \finenonce{004271} \finexercice \exercice{4272, quercia, 2010/03/12} \enonce{004272}{Exponentielles} % $\int_2^{+\infty} \frac{ e^t\,d t}{(e^{2t}-5e^t+6)(e^t-1)} = \ln\biggl( \frac{ e^2-2}{\sqrt{e^4-4e^2+3}} \biggr) $\par $\int_0^{+\infty} \frac{ d t}{\ch^4t+\sh^4t} = \frac{ \ln(\sqrt2+1)}{\sqrt2} $\par \finenonce{004272} \finexercice \exercice{4273, quercia, 2010/03/12} \enonce{004273}{Divers} % $\int_0^{+\infty} te^{-\sqrt t} \,d t = 12 $\par $\int_0^1 \Arcsin t \,d t = \frac{\pi}{2} - 1 $\par $\int_0^1 \frac{ \ln(1-t^2)}{t^2} \,d t = -2\ln 2 $\par $\int_0^{+\infty} \frac{ t^3\ln{t}}{(1+t^4)^3} \,d t = -\frac{1}{32} $\par $\int_0^{\pi/2} \ln\sin t\,d t = -\frac{ \pi\ln2}{2} $\par $\int_0^1 \frac{ \ln{t}}{\sqrt{1-t}} \,d t = 4\ln2 - 4 \ (u = \sqrt{1-t}\,) $\par $\int_0^{+\infty} \frac{ \ln{t}}{1+t^2} \,d t = 0\ (u = 1/t)$\par $\int_0^1 \frac{ \ln{t}}{(1+t)\sqrt{1-t^2}} \,d t = \ln2 - \frac{\pi}{2} \biggl( u = \sqrt{{\frac{1-t}{1+t}}}\,\biggr)$\par $\int_0^1 \frac{ d t}{\sqrt{1+t}+\sqrt{1-t}} = \sqrt2 + \ln(\sqrt2 - 1) $\par $\int_0^{+\infty} \ln\Bigl(1+\frac{ a^2}{t^2} \Bigr)\,d t = a\pi$\par $\int_0^{+\infty}\ln\left|\frac{1+t}{1-t} \right|\frac{ t\,d t}{(a^2+t^2)^2} = \frac{\pi}{2|a|(a^2+1)} $\par \finenonce{004273} \finexercice \exercice{4274, quercia, 2010/03/12} \enonce{004274}{Centrale PC 1999} Soit $(a_k)$ une suite de réels telle que $\sum_{k=0}^n a_k = 0$. \'Etudier la convergence de $ \int_{t=0}^{+\infty} \sum_{k=0}^n a_k\cos(a_kt)\frac{d t}t$. \finenonce{004274} \finexercice \exercice{4275, quercia, 2010/03/12} \enonce{004275}{Chimie P 91} Existence et calcul de $f(x) = \int_0^\pi\frac{dt}{1-x\cos t}$. \finenonce{004275} \finexercice \exercice{4276, quercia, 2010/03/12} \enonce{004276}{Chimie P 1996} Convergence et calcul de $ \int_{t=0}^{+\infty}\frac{t\,d t}{\sh t}$ (on pourra décomposer l'intégrande en somme d'une série de fonctions). \finenonce{004276} \finexercice \exercice{4277, quercia, 2010/03/12} \enonce{004277}{Calcul par récurrence} On pose $I_n = \int_{t=0}^{\pi/2} \cos(2nt)\ln(\sin t)\,d t$ ($n\in\N^*$). Calculer $2nI_n - (2n+2)I_{n+1}$ et en déduire $I_n$ en fonction de~$n$. \finenonce{004277} \finexercice \exercice{4278, quercia, 2010/03/12} \enonce{004278}{Calcul par récurrence} Soit $\alpha \in\, ]0,\pi[$ et $I_n = \int_{t=0}^\pi \frac{\cos nt\,d t}{1-\sin\alpha\cos t} $. Calculer $I_n+I_{n+2}$ en fonction de $I_{n+1}$ puis exprimer $I_n$ en fonction de $\alpha$ et $n$. \finenonce{004278} \finexercice \exercice{4279, quercia, 2010/03/12} \enonce{004279}{Calcul par récurrence} Calculer par récurrence : $I_n = \int_{t=0}^1 \frac{t^n\,d t}{\sqrt[4]{t^3(1-t)}} $. \finenonce{004279} \finexercice \exercice{4280, quercia, 2010/03/12} \enonce{004280}{Mines-Ponts 1999} Calculer $I_n = \int_{t=0}^{+\infty}\frac{d t}{(t+1)(t+2)\dots(t+n)}$. \finenonce{004280} \finexercice \exercice{4281, quercia, 2010/03/12} \enonce{004281}{Calcul de $\int_0^\infty \sin t/t\,d t$} \begin{enumerate} \item A l'aide d'une intégration par parties, montrer que $ \int_{t=0}^{+\infty} \frac{\sin t}t \,d t = \int_{t=0}^{+\infty} \frac{\sin^2 t}{t^2} \,d t$. \item Montrer que $I_n = \int_{t=0}^{\pi/2} \frac{\sin^2 nt}{t^2}\,d t$ est comprise entre $A_n = \int_{t=0}^{\pi/2} \frac{\sin^2 nt}{\sin^2 t}\,d t$ et $B_n = \int_{t=0}^{\pi/2} \mathrm{cotan}^2 t\sin^2 nt\,d t$. \item Calculer $A_n+A_{n+2} - 2A_{n+1}$ et $A_n-B_n$. En déduire les valeurs de $A_n$ et $B_n$ en fonction de $n$. \item Lorsque $n\to\infty$ montrer que $\frac{I_n}n \to J = \int_{t=0}^{+\infty} \frac{\sin^2 t}{t^2}\,d t$ et donner la valeur de cette dernière intégrale. \end{enumerate} \finenonce{004281} \finexercice \exercice{4282, quercia, 2010/03/12} \enonce{004282}{$\int_0^\infty \text{périodique}/t\,d t$} Soit $f:\R \to \R$ continue, périodique de période $T > 0$. On note $m = \frac1T \int_{t=0}^T f(t)\,d t$. Montrer que $ \int_{t=T}^{+\infty} \frac{f(t)}t\,d t$ converge si et seulement si $m=0$. \finenonce{004282} \finexercice \exercice{4283, quercia, 2010/03/12} \enonce{004283}{$\int_0^\infty f(t)/t\,d t$} Soit $f$ une application continue de $[1,+\infty[$ dans $\R$. Montrer que si l'intégrale $ \int_{t=1}^{+\infty} f(t)\,d t$ converge, il en est de même de l'intégrale $ \int_{t=1}^{+\infty} \frac{f(t)}t\,d t$. On pourra introduire la fonction $F(x) = \int_{t=1}^x f(t)\,d t$. \finenonce{004283} \finexercice \exercice{4284, quercia, 2010/03/12} \enonce{004284}{Polynôme$\times e^{-t}$} Soit $\varphi : {\R_n[X]} \to {\R^{n+1}}, P \mapsto {(a_0,\dots,a_n)}$ avec $a_k = \int_{t=0}^{+\infty} e^{-t}t^kP(t)\,d t$. \begin{enumerate} \item Justifier l'existence de $\varphi$. \item Montrer que $\varphi$ est un isomorphisme d'espace vectoriel. \end{enumerate} \finenonce{004284} \finexercice \exercice{4285, quercia, 2010/03/12} \enonce{004285}{Constante d'Euler} Calculer $ \int_{t=1}^{+\infty} \frac{t-[t]}{t^2} \,d t$ en fonction de la constante d'Euler. \finenonce{004285} \finexercice \exercice{4286, quercia, 2010/03/12} \enonce{004286}{Constante d'Euler} Soit $\gamma$ la constante d'Euler. Montrer que~\dots \begin{enumerate} \item $ \int_{t=0}^{+\infty} e^{-t}\ln t\,d t = -\gamma$. \item $ \int_{t=0}^1 \frac{1-e^{-t}-e^{-1/t}}t\,d t = \gamma$. \item $ \int_{t=0}^1 \left(\frac 1t + \frac 1{\ln(1-t)}\right)d t = \gamma$. \end{enumerate} \finenonce{004286} \finexercice \exercice{4287, quercia, 2010/03/12} \enonce{004287}{Sommes de Riemann} Soit $f : {[a,b[} \to {\R^+}$ continue croissante. On pose $S_n = \frac{b-a}n \sum_{k=0}^{n-1} f\Bigl(a+k\frac{b-a}n \Bigr)$. \begin{enumerate} \item Si $ \int_{t=a}^b f(t)\,d t$ converge, montrer que $S_n \to \int_{t=a}^b f(t)d t$ lorsque $n\to\infty$. \item Si $ \int_{t=a}^b f(t)\,d t$ diverge, montrer que $S_n \to +\infty$ lorsque $n\to\infty$. \end{enumerate} \finenonce{004287} \finexercice \exercice{4288, quercia, 2010/03/12} \enonce{004288}{Sommes de Riemann} Calculer $\lim_{n\to\infty} \frac 1{\sqrt{n^2-1}} + \frac 1{\sqrt{n^2-4}} + \dots + \frac 1{\sqrt{n^2-(n-1)^2}}$. \finenonce{004288} \finexercice \exercice{4289, quercia, 2010/03/12} \enonce{004289}{Comparaison série-intégrale} Soit $f : {[0,+\infty[} \to \R$ continue décroissante telle que $ \int_{}^{+\infty} f(t)\,d t$ converge. \begin{enumerate} \item Montrer que la série $\sum_{k=0}^\infty f(k)$ converge et encadrer le reste : $\sum_{k=n}^\infty f(k)$ à l'aide d'intégrales de $f$. \item Application : Pour $\alpha > 1$, donner un équivalent pour $n \to \infty$ de $\sum_{k=n}^\infty \frac1{k^\alpha} $. \end{enumerate} \finenonce{004289} \finexercice \exercice{4290, quercia, 2010/03/12} \enonce{004290}{Comparaison série-intégrale} Soit $f : {\R^+} \to \R$. On pose, sous réserve de convergence, $g(t) = \sum_{n=0}^\infty f(nt)$ pour $t>0$. \begin{enumerate} \item Si $f$ est monotone et intégrable, montrer que $g(t)$ existe pour tout $t>0$ et que l'on a $\smash{tg(t)\to \int_{u=0}^{+\infty} f(u)\,d u}$ lorsque $t\to0^+$. \item Même question en supposant $f$ de classe $\mathcal{C}^1$ et $f$,$f'$ intégrables. \item On suppose maintenant $f$ de classe $\mathcal{C}^2$ et $f$, $f'$, $f''$ intégrables. Montrer que $g(t) = \frac1t \int_{u=0}^{+\infty} f(u)\,d u + \frac{f(0)}2 + O_{t\to0^+}(t)$. \end{enumerate} \finenonce{004290} \finexercice \exercice{4291, quercia, 2010/03/12} \enonce{004291}{Valeur moyenne d'une variable aléatoire à densité} Soit $f : {[0,+\infty[} \to {\R^+}$ continue telle que $ \int_{t=0}^{+\infty} tf(t) \,d t$ converge. On pose $F(x) = \int_{t=x}^{+\infty} f(t)\,d t$. \begin{enumerate} \item Justifier l'existence de $F(x)$, et montrer que $F(x) = o \Bigl({\frac1x }\Bigr)$ pour $x\to+\infty$. \item Montrer que $ \int_{t=0}^{+\infty} F(t) \,d t = \int_{t=0}^{+\infty} tf(t) d t$. \end{enumerate} \finenonce{004291} \finexercice \exercice{4292, quercia, 2010/03/12} \enonce{004292}{$\int_0^\infty f(t)/t^2\,d t$} Soit $f : {\R^+} \to {\R^+}$ une fonction de classe $\mathcal{C}^1$ vérifiant : $\exists\ \alpha > 0 \text{ tel que } \forall\ x \ge 0,\ f'(x) \ge \alpha$. Montrer que $ \int_{t=1}^{+\infty} \frac{f(t)}t\,d t$ diverge. \finenonce{004292} \finexercice \exercice{4293, quercia, 2010/03/12} \enonce{004293}{$x(f(x)-f(x+1))$} Soit $f : {[1,+\infty[} \to {\R^+}$ une fonction décroissante telle que $ \int_{t=1}^{+\infty} f(t)\,d t$ converge. Montrer que $xf(x) \to 0$ lorsque $x\to+\infty$, puis que $ \int_{t=1}^{+\infty} t(f(t)-f(t+1))\,d t$ converge, et calculer la valeur de cette intégrale. \finenonce{004293} \finexercice \exercice{4294, quercia, 2010/03/12} \enonce{004294}{$f(|t-1/t|)$} Soit $f : {[0,+\infty[} \to \R^+$ une fonction continue telle que $ \int_{t=0}^{+\infty} f(t) \,d t$ converge. Montrer que $ \int_{t=0}^{+\infty} f(t) \,d t = \int_{u=0}^{+\infty} f\Bigl(\Bigl| u - \frac1u \Bigr|\Bigr) \,d u$. \finenonce{004294} \finexercice \exercice{4295, quercia, 2010/03/12} \enonce{004295}{$(f(ax) - f(x))/x$} \begin{enumerate} \item Soit $f : {]0,{+\infty}[} \to \R$ une fonction continue telle que $\begin{cases} f(x) \to \ell \cr f(x) \text{ si } x\to{0^+}\to L \text{ si } x\to{+\infty} .\cr\end{cases}$ Pour $a > 0$, établir la convergence et calculer la valeur de $ \int_{t=0}^{+\infty} \frac {f(at) - f(t)}t \,d t$. \item Application : Calculer $ \int_{t=0}^1 \frac{t-1}{\ln t}\,d t$. \end{enumerate} \finenonce{004295} \finexercice \exercice{4296, quercia, 2010/03/12} \enonce{004296}{$f(t+a)-f(t)$, Ensi PC 1999} \begin{enumerate} \item Soit $f : {\R^+} \to {\R^+}$ continue ayant une limite finie en~$+\infty$. Montrer que $ \int_{t=0}^{+\infty} (f(t+a) - f(t))\,d t$ converge. \item Calculer $ \int_{t=0}^{+\infty} (\arctan(t+1) - \arctan(t))\,d t$. \end{enumerate} \finenonce{004296} \finexercice \exercice{4297, quercia, 2010/03/12} \enonce{004297}{Valeur moyenne} Soit $f:\R \to \R$ continue par morceaux telle que $ \int_{t=-\infty}^{+\infty}|f(t)|\,d t$ converge. On pose $F(x) = \frac12 \int_{t=x-1}^{x+1}f(t)\,d t$. Montrer que $ \int_{t=-\infty}^{+\infty}F(t)\,d t = \int_{t=-\infty}^{+\infty}f(t)\,d t$. Démontrer le même résultat en supposant seulement la convergence de $ \int_{t=-\infty}^{+\infty}f(t)\,d t$. \finenonce{004297} \finexercice \exercice{4298, quercia, 2010/03/12} \enonce{004298}{$(\int tf(t)\,d t)/x$} Soit $f : {[0,+\infty[} \to \R$ continue telle que $ \int_{t=0}^{+\infty} f(t)\,d t$ converge. Montrer que $\frac1x \int_{t=0}^x tf(t)\,d t \to 0$ lorsque $x\to+\infty$. \finenonce{004298} \finexercice \exercice{4299, quercia, 2010/03/12} \enonce{004299}{$f$ uniformément continue} Soit $f : {[0,+\infty[} \to {\R}$ uniformément continue telle que $ \int_{t=0}^{+\infty} f(t)\,d t$ converge. \begin{enumerate} \item Montrer que $f(t) \to 0$ lorsque $t\to{+\infty}$(raisonner par l'absurde). \item Si $f$ est positive, montrer que $ \int_{t=0}^{+\infty} f^2(t)\,d t$ converge. \item Donner un contre-exemple si $f$ n'est pas de signe constant. \end{enumerate} \finenonce{004299} \finexercice \exercice{4300, quercia, 2010/03/12} \enonce{004300}{$f$ décroissante $ \Rightarrow xf(x) \to 0$} Soit $f : {[0,+\infty[} \to \R$ continue telle que $ \int_{t=0}^{+\infty} f(t)\,d t$ converge. \begin{enumerate} \item Si $f(x) \to L$ lorsque $x\to{+\infty}$, combien vaut $L$ ? \item Donner un exemple où $f$ n'a pas de limite en $+\infty$. \item Si $f$ est décroissante, montrer que $xf(x) \to 0$ lorsque $x\to{+\infty}$. \end{enumerate} \finenonce{004300} \finexercice \exercice{4301, quercia, 2010/03/12} \enonce{004301}{$\int e^{-t}/t,d t$} On pose $f(x) = \int_{t=x}^{+\infty} \frac{e^{-t}}t \,d t$. \begin{enumerate} \item Chercher $\lim_{x\to{+\infty}} f(x)$. \item A l'aide d'une intégration par parties, donner un équivalent de $f(x)$ pour $x\to{+\infty}$. \item Donner un équivalent de $f(x)$ pour $x\to0^+$. \end{enumerate} \finenonce{004301} \finexercice \exercice{4302, quercia, 2010/03/12} \enonce{004302}{Intégrale de Gauss} \begin{enumerate} \item Montrer que pour $0 \le x \le \sqrt n$ on a : $\Bigl(1-\frac{x^2}n\Bigr)^n \le e^{-x^2}$ et pour $x$ quelconque : $e^{-x^2} \le \Bigl(1+\frac{x^2}n\Bigr)^{-n}$. \item Calculer les intégrales $I_n = \int_{t=0}^{\sqrt n} \Bigl(1-\frac{t^2}n\Bigr)^n\, d t$ et $J_n = \int_{t=0}^{+\infty} \Bigl(1+\frac{t^2}n\Bigr)^{-n}\, d t$ en fonction des intégrales : $K_p = \int_{t=0}^{\pi/2} \cos^pt\,d t$. \item On admet que $K_p \sim \sqrt{\frac\pi{2p}}$ quand $p\to\infty$. Calculer $ \int_{t=0}^{+\infty} e^{-t^2}\,d t$. \end{enumerate} \finenonce{004302} \finexercice \exercice{4303, quercia, 2010/03/12} \enonce{004303}{Intégrales de Gauss} On admet que $ \int_{t=0}^{+\infty} e^{-t^2}\,d t =\frac{\sqrt\pi}2$. Calculer les intégrales : $I_n = \int_{t=0}^{+\infty} e^{-t^2}t^{2n}\,d t$ pour $n \in \N$. \finenonce{004303} \finexercice \exercice{4304, quercia, 2010/03/12} \enonce{004304}{Mines-Ponts MP 2005} Nature et calcul de $ \int_{x=0}^{+\infty} \exp\Bigl(-\bigl(x-\frac 1x\bigr)^2\Bigr)\,d x$~? \finenonce{004304} \finexercice \exercice{4305, quercia, 2010/03/12} \enonce{004305}{} Existence de $ \int_{x=0}^{+\infty} \sin(x^4+x^2+x)\,d x$. \finenonce{004305} \finexercice \exercice{4306, quercia, 2010/03/12} \enonce{004306}{$\cos(P(t))$} Soit $P$ un polynôme à coefficients réels de degré supérieur ou égal à 2. Montrer que $ \int_{t=0}^{+\infty} \cos(P(t))\,d t$ converge. \finenonce{004306} \finexercice \exercice{4307, quercia, 2010/03/12} \enonce{004307}{Ensi PC 1999} Soient $I = \int_{u=0}^{+\infty} \frac{d u}{(1+u^2)(1+u^n)}$ et $J = \int_{u=0}^{+\infty} \frac{u^n\,d u}{(1+u^2)(1+u^n)}$ ($n\in\N$). Prouver que ces intégrales convergent, qu'elles sont égales et les calculer. \finenonce{004307} \finexercice \exercice{4308, quercia, 2010/03/12} \enonce{004308}{$f$ et $f''$ de carrés sommables} Soit $f:\R \to \R$ de classe $\mathcal{C}^2$ telle que $ \int_{t=0}^{+\infty}f^2(t)\,d t$ et $ \int_{t=0}^{+\infty}f''^2(t)\,d t$ convergent. Montrer que $ \int_{t=0}^{+\infty}f'^2(t)\,d t$ converge. \finenonce{004308} \finexercice \exercice{4309, quercia, 2010/03/12} \enonce{004309}{$f' \le 1$, Ulm 1999} Soit $f : {\R^+} \to {\R^+}$ de classe $\mathcal{C}^1$, intégrable. \begin{enumerate} \item On suppose $f' \le 1$. Montrer que $f(x)\to0$ lorsque $x\to+\infty$. \item Est-ce encore vrai si on suppose seulement $f'\le 1+g$ avec $g$ intégrable~? \end{enumerate} \finenonce{004309} \finexercice \exercice{4310, quercia, 2010/03/12} \enonce{004310}{Intégrales emboitées} \'Etablir la convergence et calculer la valeur de $ \int_{x=0}^{+\infty} \int_{t=x}^{+\infty}\frac{\sin t}t\,d t\,d x$. \finenonce{004310} \finexercice \exercice{4311, quercia, 2010/03/12} \enonce{004311}{Centrale MP 2001} Soit $f$ de classe $\mathcal{C}^2$ sur $\R^+$ à valeurs dans $\R$ telle que $f^2$ et $f''^2$ sont intégrables sur $\R^+$. Montrer que $ff''$ et $f'^2$ sont intégrables sur $\R^+$, que $f$ est uniformément continue et qu'elle tend vers zéro en $+\infty$. \finenonce{004311} \finexercice \exercice{4312, quercia, 2010/03/12} \enonce{004312}{X MP$^*$ 2000} Donnez un équivalent pour $x\to+\infty$ de $ \int_{t=0}^x \Bigl|\frac{\sin t}{t}\Bigr|\,d t$. \finenonce{004312} \finexercice \exercice{5713, rouget, 2010/10/16} \enonce{005713}{} Etudier l'existence des intégrales suivantes \begin{center} \begin{tabular}{lll} \textbf{1) (**)} $\int_{0}^{+\infty}\left(x+2 -\sqrt{x^2+4x+1}\right)\;dx$&\textbf{2) (**)} $\int_{1}^{+\infty}\left(e -\left(1+\frac{1}{x}\right)^x\right)\;dx$&\textbf{3) (**)} $\int_{0}^{+\infty}\frac{\ln x}{x+e^x}\;dx$\\ \rule[-6mm]{0mm}{14mm}\textbf{4) (***)} $\int_{0}^{+\infty}\left(\sqrt[3]{x+1}-\sqrt[3]{x}\right)^{\sqrt{x}}\;dx$& \textbf{5) (**)} $\int_{1}^{+\infty}e^{-\sqrt{x^2-x}}\;dx$&\textbf{6) (**)} $\int_{0}^{+\infty}x^{-\ln x}\;dx$\\ \rule[-6mm]{0mm}{0mm}\textbf{7) (**)} $\int_{0}^{+\infty}\frac{\sin(5x)-\sin(3x)}{x^{5/3}}\;dx$&\textbf{8) (**)} $\int_{0}^{+\infty}\frac{\ln x}{x^2-1}\;dx$&\textbf{9) (**)} $\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{e^{-x^2}}{\sqrt{|x|}}\;dx$\\ \textbf{10) (**)} $\int_{-1}^{1}\frac{1}{(1+x^2)\sqrt{1-x^2}}\;dx$&\textbf{11) (**)} $\int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt[3]{x^2-x^3}}\;dx$&\textbf{12) (***)} $\int_{0}^{1}\frac{1}{\Arccos(1-x)}\;dx$. \end{tabular} \end{center} \finenonce{005713} \finexercice \exercice{5714, rouget, 2010/10/16} \enonce{005714}{} Etudier l'existence des intégrales suivantes. \begin{center} \begin{tabular}{ll} \textbf{1) (***) I} $\int_{2}^{+\infty}\frac{1}{x^a\ln^bx}\;dx$ (Intégrales de \textsc{Bertrand})&\textbf{2) (**)} $\int_{0}^{\pi/2}(\tan x)^a\;dx$\\ \rule[-6mm]{0mm}{14mm}\textbf{3) (**)} $\int_{1}^{+\infty}\left(\left(1+\frac{1}{x}\right)^{1+\frac{1}{x}}- a-\frac{b}{x}\right) dx$& \textbf{4) (***)} $\int_{0}^{+\infty}\frac{1}{x^a(1+x^b)}\;dx$ \end{tabular} \end{center} \finenonce{005714} \finexercice \exercice{5715, rouget, 2010/10/16} \enonce{005715}{} \label{ex:rou3} (Hors programme) Etudier la convergence des intégrales impropres suivantes : \begin{enumerate} \item \textbf{(**)} $\displaystyle \int_{0}^{+\infty}\frac{\sin x}{x}\;dx$ \item \textbf{(**)} $\displaystyle \int_{0}^{+\infty}\frac{\sin x}{x^a}\;dx$ \item \textbf{(**)} $\displaystyle \int_{0}^{+\infty}e^{ix^2}\;dx$ \item \textbf{(**)} $\displaystyle \int_{0}^{+\infty}x^3\sin(x^8)\;dx$ \item \textbf{(**)} $\displaystyle \int_{0}^{+\infty}\cos(e^x)\;dx$ \item \textbf{(****)} $\displaystyle \int_{0}^{+\infty}\frac{1}{1+x^3\sin^2x}\;dx$ \end{enumerate} \end{center} \finenonce{005715} \finexercice \exercice{5716, rouget, 2010/10/16} \enonce{005716}{} Existence et calcul de : \begin{center} \begin{tabular}{ll} \textbf{1) (** I)} $I_n=\int_{0}^{+\infty}\frac{1}{(x^2+1)^n}\;dx$&\textbf{2) (très long)} $\int_{2}^{+\infty}\frac{1}{(x-1)^3(x^4+1)}\;dx$\\ \textbf{3) (** I)} $\int_{0}^{+\infty}\frac{1}{x^3+1}\;dx$& \textbf{4) (***)} $\int_{0}^{+\infty}\frac{1}{(x+1)(x+2)\ldots(x+n)}\;dx$\\ \rule[-6mm]{0mm}{14mm}\textbf{5)(***)} $\int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt{(1-x)(1+ax)}}\;dx$&\textbf{6) (**)} $\int_{0}^{+\infty}\frac{1}{(e^x+1)(e^{-x}+1)}\;dx$\\ \rule[-6mm]{0mm}{0mm}\textbf{7) (**)} $\int_{0}^{+\infty}\frac{1}{5\ch x+3\sh x+4}\;dx$&\textbf{8) (***)} $\int_{0}^{+\infty}\left(2+(t+3)\ln\left(\frac{t+2}{t+4}\right)\right)dt$\\ \textbf{9) (** I)} $\int_{0}^{+\infty}\frac{x\Arctan x}{(1+x^2)^2}\;dx$& \rule[-6mm]{0mm}{0mm}\textbf{10) (I très long)} $\int_{0}^{+\infty}\frac{x\ln x}{(x^2+1)^a}\;dx$ (calcul pour $a\in\left\{\frac{3}{2},2,3\right\}$)\\ \rule[-7mm]{0mm}{0mm}\textbf{11) (***)} $\int_{0}^{\pi/2}\sqrt{\tan x}\;dx$&\textbf{12) (*** I)} $\int_{0}^{+\infty}\frac{e^{-at}-e^{-bt}}{t}\;dt$ ($0 < a < b$) \end{tabular} \end{center} \finenonce{005716} \finexercice \exercice{5717, rouget, 2010/10/16} \enonce{005717}{} Deux calculs de $I =\int_{0}^{\pi/2}\ln(\sin x)\;dx$. \textbf{1) (** I)} En utilisant $J=\int_{0}^{\pi/2}\ln(\cos x)\;dx$, calculer $I$ (et $J$). \textbf{2) (*** I)} Calculer $P_n=\prod_{k=1}^{n-1}\sin\frac{k\pi}{2n}$ (commencer par $P_n^2$) et en déduire $I$. \finenonce{005717} \finexercice \exercice{5718, rouget, 2010/10/16} \enonce{005718}{** I} En utilisant un développement de $\frac{1}{1-t}$, calculer $\int_{0}^{1}\frac{\ln t}{t-1}\;dt$. \finenonce{005718} \finexercice \exercice{5719, rouget, 2010/10/16} \enonce{005719}{*** I} \label{ex:rou7bis} Calculer $\int_{0}^{1}\frac{t-1}{\ln t}\;dt$ (en écrivant $\int_{0}^{x}\frac{t-1}{\ln t}\;dt=\int_{0}^{x}\frac{t}{\ln t}\;dt-\int_{0}^{x}\frac{1}{\ln t}\;dt$). \finenonce{005719} \finexercice \exercice{5720, rouget, 2010/10/16} \enonce{005720}{} \textbf{1) (** I)} Trouver un équivalent simple quand $x$ tend vers $+\infty$ de $e^{x^2}\int_{x}^{+\infty}e^{-t^2}\;dt$. \textbf{2) (***)} Montrer que $\int_{a}^{+\infty}\frac{\cos x}{x}\;dx\underset{a\rightarrow0}{\sim}-\ln a$. \textbf{3) (*)} Montrer que $\int_{0}^{1}\frac{1}{x^3+a^2}\;dx\underset{a\rightarrow+\infty}{\sim}\frac{1}{a^2}$. \finenonce{005720} \finexercice \exercice{5721, rouget, 2010/10/16} \enonce{005721}{***} Etude complète de $f~:~x\mapsto\int_{x}^{x^2}\frac{1}{\ln t}\;dt$. \finenonce{005721} \finexercice \exercice{5722, rouget, 2010/10/16} \enonce{005722}{***} (Hors programme) Convergence et calcul de $\int_{1}^{+\infty}\frac{(-1)^{E(x)}}{x}\;dx$. \finenonce{005722} \finexercice \exercice{5723, rouget, 2010/10/16} \enonce{005723}{***} Soit $f$ définie, continue, positive et décroissante sur $[1,+\infty[$, intégrable sur $[1,+\infty[$. \begin{enumerate} \item Montrer que $xf(x)$ tend vers $0$ quand $x$ tend vers $+\infty$. \item Existence et calcul de $\int_{1}^{+\infty}x(f(x+1)-f(x))dx$. \end{enumerate} \finenonce{005723} \finexercice \exercice{5724, rouget, 2010/10/16} \enonce{005724}{***} \begin{enumerate} \item Soit $f$ de classe $C^1$ sur $\Rr^+$ à valeurs dans $\Rr$ telle que l'intégrale $\int_{0}^{+\infty}f(x)\;dx$ converge en $+\infty$. Montrer que $\int_{0}^{+\infty}f'(x)\;dx$ converge en $+\infty$ si et seulement si $f(x)$ tend vers $0$ quand $x$ tend vers $+\infty$. \item \begin{enumerate} \item On suppose que $f$ est une fonction de classe $C^2$ sur $\Rr^+$ à valeurs dans $\Rr$ telle que $f$ et $f''$ admettent des limites réelles quand $x$ tend vers $+\infty$. Montrer que $f'$ tend vers $0$ quand $x$ tend vers $+\infty$. \item En déduire que si les intégrales $\int_{0}^{+\infty}f(x)\;dx$ et $\int_{0}^{+\infty}f''(x)\;dx$ convergent alors $f$ tend vers $0$ quand $x$ tend vers $+\infty$. \end{enumerate} \end{enumerate} \finenonce{005724} \finexercice \exercice{5725, rouget, 2010/10/16} \enonce{005725}{***} Soit $f$ de classe $C^2$ sur $\Rr$ à valeurs dans $\Rr$ telle que $f^2$ et $(f'')^2$ soient intégrables sur $\Rr$. Montrer que $f'^2$ est intégrable sur $\Rr$ et que $\left(\int_{-\infty}^{+\infty}f'^2(x)\;dx\right)^2\leqslant\left(\int_{-\infty}^{+\infty}f^2(x)\;dx\right)\left(\int_{-\infty}^{+\infty}f''^2(x)\;dx\right)$. Cas d'égalité ? \finenonce{005725} \finexercice \exercice{5925, tumpach, 2010/11/11} \enonce{005925}{} \begin{enumerate} \item \emph{Le but de cette question est de montrer que $\int_{0}^{+\infty} \frac{\sin t}{t}\, dt$ n'est pas absolument convergente.} Pour $n\in\mathbb{N}$, on pose~: \begin{eqnarray*} u_{n} = \int_{n\pi}^{(n+1)\pi} \frac{|\sin t|}{t} \, dt. \end{eqnarray*} Montrer que pour $n\geq 0$, $\frac{2}{(n+1)\pi} \leq u_{n}$. En d\'eduire que $\int_{0}^{+\infty} \frac{|\sin t|}{t}\, dt$ est divergente. \item \emph{Deuxi\`eme formule de la moyenne.} Soient $f$ et $g$ deux fonctions Riemann-int\'egrables sur $[a, b]$, admettant des primitives not\'ees $F$ et $G$ respectivement. Supposons que $F$ est positive et d\'ecroissante. Montrer qu'il existe $y\in [a,b]$ tel que~: \begin{equation*} \int_{a}^{b}F(x)g(x)\,dx = F(a)\int_{a}^{y}g(x)\,dx. \end{equation*} \item En d\'eduire que $\int_{0}^{+\infty} \frac{\sin t}{t}\, dt$ est convergente. \item \emph{Le but de cette question est de calculer la valeur de cette int\'egrale.} Pour tout nombre r\'eel $\lambda\geq 0$, on pose~: \begin{equation*} \left\{ \begin{array}{lll} f(t, \lambda) &=& e^{-\lambda t}\,\frac{\sin t}{t}\quad\quad \text{pour}\quad t> 0\\ f(0, \lambda) &=& 1. \end{array}\right. \end{equation*} \begin{enumerate} \item Pour $0< x \leq y$, d\'emontrer que l'on a~: \begin{equation*} \left|\int_{x}^{y} f(t, \lambda)\, dt\right| \leq \frac{2}{x} e^{-\lambda x}. \end{equation*} \item En d\'eduire que les int\'egrales g\'en\'eralis\'ees $\,\int_{0}^{+\infty} f(t, \lambda)\, dt\,$ sont convergentes, uniform\'ement pour $\lambda\geq0$. On pose, pour $\lambda \geq 0$, \begin{equation*} F(\lambda) = \int_{0}^{+\infty} e^{-\lambda t}\,\frac{\sin t}{t}\,dt. \end{equation*} D\'emontrer que la fonction $F$ est continue pour $\lambda \geq 0$. \item D\'emontrer que la fonction $F$ est d\'erivable pour $\lambda > 0$ et que sa d\'eriv\'ee est \'egale \`a l'int\'egrale g\'en\'eralis\'ee convergente \begin{equation*} F'(\lambda) = - \int_{0}^{+\infty} e^{-\lambda t}\sin t \,dt. \end{equation*} \item Calculer cette derni\`ere int\'egrale g\'en\'eralis\'ee, par exemple en int\'egrant par parties sur $[0, x]$ et en calculant la limite quand $x\rightarrow +\infty$. \item En d\'eduire la valeur de $F(\lambda)$ pour $\lambda\geq0$ \`a une constante additive pr\`es. D\'emontrer que $F(\lambda)\rightarrow 0$ quand $\lambda \rightarrow +\infty$. En d\'eduire la valeur de la constante additive, puis la valeur de l'int\'egrale $\int_{0}^{+\infty} \frac{\sin t}{t}\, dt$. \end{enumerate} \end{enumerate} \finenonce{005925} \finexercice \section{ 127.99 Autre } \exercice{1273, legall, 1998/09/01} \enonce{001273}{} Soit $ f :[0,1]\rightarrow { \Rr} $ une fonction de classe $ C ^1 .$ Montrer que $ \displaystyle{\lim _{n\rightarrow \infty } \int _0 ^1 \hbox{cos}(nt)f(t)dt=0 } .$ \finenonce{001273} \finexercice \exercice{1274, legall, 1998/09/01} \enonce{001274}{} Soit $ f :[0,1]\rightarrow { \Rr} $ une fonction continue telle que $ f(0)=0 .$ Montrer que $$ \displaystyle{\lim _{n\rightarrow \infty } \int _0 ^1 f(t^n)dt=0 } .$$ G\'en\'eraliser au cas o\`u $ f(0) $ est quelconque. \finenonce{001274} \finexercice \exercice{1275, legall, 1998/09/01} \enonce{001275}{} Soit $ f :[a,b]\rightarrow { \Rr} $ une fonction int\'egrable. \begin{enumerate} \item Montrer que $ f $ est born\'ee. On pose $ \displaystyle{ M=\sup _{x\in [a,b]}\vert f(x)\vert } .$ \item Soient $ x $ et $ y\in [a,b] $ Montrer que $ \displaystyle{ \vert \int _x ^y f(t)dt\vert \leq M\vert x-y\vert } .$ En d\'eduire que l'application $ \displaystyle{F:x\mapsto \int _a ^x f(t)dt } $ est continue sur $ [a, b] .$ \item Soit $ x_0\in [a,b] .$ Montrer que si $ f $ est continue en $ x_0 $ alors $ F $ est d\'erivable en $ x_0 .$ \end{enumerate} \finenonce{001275} \finexercice \exercice{1276, legall, 1998/09/01} \enonce{001276}{} Soit $ f :[0,1]\rightarrow { \Rr} $ une fonction continue. Montrer que $$ \displaystyle{\lim _{n\rightarrow \infty } \int _0 ^1 nt^nf(t^n)dt = \int _0 ^1 f(t)dt } .$$ (On pourra faire le changement de variable $ u=t^n $). \finenonce{001276} \finexercice \exercice{1277, legall, 1998/09/01} \enonce{001277}{} Soit $ f :[a,b]\rightarrow { \Rr} $ une fonction de classe $ C^1 $ telle que $ f(a)=f(b)=0 .$ Posons ${M=\sup _{x\in [a,b]} \vert f'(x)\vert } .$ Montrer que $ \displaystyle{ \vert \int _a^bf(t)dt\vert \leq M\frac{ (b-a)^2}{ 4} } .$ (Indication~: faire des d\'e\-ve\-lop\-pements limit\'es de $ \displaystyle{ x\mapsto \int _a^xf(t)dt } $ et $ \displaystyle{ x\mapsto \int _x^bf(t)dt } ).$ \finenonce{001277} \finexercice \exercice{1278, gourio, 2001/09/01} \enonce{001278}{} Soit $f$ continue sur $[0,1]$ avec $f(1)\neq 0$, montrer : $$\int_{0}^{1}x^{n}f(t)dt\sim \frac{f(1)}{n}. $$ En d\'{e}duire : $$\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\int_{0}^{n}e^{-2t}\left( 1-\frac{t}{n}\right) ^{n}dt$$ On posera $u=1-\frac{1}{n} $ puis $v=ue^{2(u-1)}.$ \finenonce{001278} \finexercice \exercice{1279, gourio, 2001/09/01} \enonce{001279}{} Donner un d\'{e}veloppement : $$\int_{0}^{1}\frac{e^{t}}{1+t^{n}}dt=a+\frac{b}{n}+o(\frac{1}{n}). $$ \finenonce{001279} \finexercice \exercice{2327, matexo1, 2002/02/01} \enonce{002327}{} Calculer les int\'egrales $$ I = \int_0^x {\exp 2t \cos 3t ~dt} \qquad \mbox{\rm et}\qquad J = \int_0^x{\exp 2t \sin3t ~dt}.$$ \finenonce{002327} \finexercice \exercice{2328, matexo1, 2002/02/01} \enonce{002328}{} Soient $a \neq 0$ un r\'eel, et $y>x>0$. \begin{enumerate} \item Calculer la valeur de $$ I(x,y) = \int_x^y{ \ln \left( 1+ {a^2 \over x^2} \right) dt}. $$ \item Montrer que $I(x,y)$ a une limite $I_0(y)$ quand $x$ tend vers z\'ero et la calculer. \item Montrer que $I_0(y)$ a une limite quand $y$ tend vers $+\infty$ et la calculer. \end{enumerate} \finenonce{002328} \finexercice \exercice{4238, quercia, 2010/03/12} \enonce{004238}{École de l'air 94} On note $I_n = \int_0^\pi \frac{\cos nx}{2-\cos x}\,d x$, $J_n = \int_0^{\pi/2} \frac{\cos nx}{2-\cos x}\,d x$, $K_n = \int_0^{\pi/2} \frac{\cos nx}{2+\cos x}\,d x$.\par Montrer que pour tout $n\in \N$, on a $I_n = J_n + (-1)^nK_n$ et $I_{n+1} = 4I_n - I_{n-1}$. En déduire $I_n$ en fonction de $n$. \finenonce{004238} \finexercice \exercice{4239, quercia, 2010/03/12} \enonce{004239}{Calcul d'intégrale} Calculer pour tout $n \in \N^*$~: $I_n = \int_{x=0}^\pi \frac{dx}{1+\cos^2(nx)}$. \finenonce{004239} \finexercice \exercice{4240, quercia, 2010/03/12} \enonce{004240}{$\Arcsin$ et $\Arccos$} Simplifier $ \int_{t=0}^{\sin^2x} \Arcsin\sqrt t\,d t + \int_{t=0}^{\cos^2x} \Arccos\sqrt t\,d t$. \finenonce{004240} \finexercice\exercice{4244, quercia, 2010/03/12} \enonce{004244}{Calcul de limite} Étudiez la limite de la suite définie par $u_n=\frac n2-\sum_{k=1}^n\frac{n^2}{(n+k)^2}\cdotp$ \finenonce{004244} \finexercice\exercice{4246, quercia, 2010/03/12} \enonce{004246}{\'Echange de décimales} Soit $f : {[0,1]} \to {[0,1]}$ définie par $f(0,a_1a_2a_3\dots) = 0,a_2a_1a_3\dots$ (échange des deux $1^{\text{ères}}$ décimales). Montrer que $f$ est continue par morceaux et calculer $ \int_{t=0}^1 f(t)\,d t$. \finenonce{004246} \finexercice \exercice{4247, quercia, 2010/03/12} \enonce{004247}{$\int f(t)\cos(t)\,d t$} Soit $f : {[0,2\pi]} \to \R$ convexe de classe $\mathcal{C}^2$. Quel est le signe de $I = \int_{t=0}^{2\pi} f(t)\cos t\,d t$ ? \finenonce{004247} \finexercice \exercice{4248, quercia, 2010/03/12} \enonce{004248}{Convexité} Soit $f:\R \to \R$ convexe et $g(x) = \int_{t=x-1}^{x+1} f(t)\,d t$. Montrer que $g$ est convexe. \finenonce{004248} \finexercice\exercice{4249, quercia, 2010/03/12} \enonce{004249}{Expression d'une primitive $n$-ème de $f$} Soit $f : {[a,b]} \to \R$ continue et $g(x) = \int_{t=a}^x \frac {(x-t)^{n-1}}{(n-1)!} f(t)\,d t$. Montrer que $g^{(n)} = f$. \finenonce{004249} \finexercice \exercice{4250, quercia, 2010/03/12} \enonce{004250}{Théorème de division} Soit $f:\R \to \R$ de classe $\mathcal{C}^{n+p}$ telle que $f(0) = f'(0) = \dots = f^{(n-1)}(0) = 0$. On pose $g(x) = \frac {f(x)}{x^n}$ pour $x \ne 0$ et $g(0) = \frac {f^{(n)}(0)}{n!}$. \begin{enumerate} \item \'Ecrire $g(x)$ sous forme d'une intégrale. \item En déduire que $g$ est de classe $\mathcal{C}^p$ et $|g^{(p)}(x)| \le \frac {p!}{(p+n)!}{\sup\{|f^{(n+p)}(tx)| \text{ tel que } 0 \le t \le 1 \}}$. \end{enumerate} \finenonce{004250} \finexercice \exercice{4251, quercia, 2010/03/12} \enonce{004251}{Fonction absolument monotone} Soit $f : {[0, a[} \to \R$ de classe $\mathcal{C}^\infty$ telle que $f$ et toutes ses dérivées sont positives sur $[0, a[$. \begin{enumerate} \item Montrer que la fonction $g_n : x \longmapsto \frac 1{x^{n}}\left(f(x) - f(0) - \dots - \frac {x^{n-1}}{(n-1)!}f^{(n-1)}(0)\right)$ est croissante. \item On fixe $r \in {]0,a[}$. Montrer que la série de Taylor de $f$ converge vers $f$ sur $[0,r[$. \end{enumerate} \finenonce{004251} \finexercice \exercice{4252, quercia, 2010/03/12} \enonce{004252}{Deuxième formule de la moyenne} Soient ${f,g} : {[a,b]} \to \R$ continues, $f$ positive décroissante. On note $G(x) = \int_{t=a}^x g(t)\,d t$, et $$M = \sup\{ G(x),\ x \in {[a,b]} \}\qquad m = \inf\{ G(x),\ x \in {[a,b]} \}.$$ \begin{enumerate} \item On suppose ici que $f$ est de classe $\mathcal{C}^1$. Démontrer que $mf(a) \le \int_{t=a}^b f(t)g(t)\,d t \le Mf(a)$. \item Démontrer la même inégalité si $f$ est seulement continue, en admettant qu'elle est limite uniforme de fonctions de classe $\mathcal{C}^1$ décroissantes. \item Démontrer enfin qu'il existe $c \in {[a,b]}$ tel que $ \int_{t=a}^b f(t)g(t)\,d t = f(a) \int_{t=a}^c g(t)\,d t$. \end{enumerate} \finenonce{004252} \finexercice \exercice{4253, quercia, 2010/03/12} \enonce{004253}{Inégalité de la moyenne} Soient ${f,g} : {[a,b]} \to {\R}$ continues, $f$ décroissante, et $0 \le g \le 1$. On note $G(x) = a + \int_{t=a}^x g(t)\,d t$. Démontrer que $ \int_{t=a}^b fg(t)\,d t \le \int_{t=a}^{G(b)} f(t)\,d t$. \finenonce{004253} \finexercice \exercice{4254, quercia, 2010/03/12} \enonce{004254}{Une inégalité} Soit $f : {[a,b]} \to \R$ de classe $\mathcal{C}^1$ telle que $f(a) = 0$ et $\forall\ t \in {[a,b]},\ 0 \le f'(t) \le 1$. Comparer $ \int_{t=a}^b f^3(t)\,d t$ et $\left( \int_{t=a}^b f(t)\,d t \right)^2$. On introduira les fonctions : $F(x) = \int_{t=a}^x f(t)\,d t$, $G(x) = \int_{t=a}^x f^3(t)\,d t$, et $H = F^2 - G$. \finenonce{004254} \finexercice \exercice{4255, quercia, 2010/03/12} \enonce{004255}{Intégrales de Wallis} On note $I_n = \int_{t=0}^{\pi/2} \cos^nt\,d t$. \begin{enumerate} \item Comparer $I_n$ et $ \int_{t=0}^{\pi/2} \sin^nt\,d t$. \item En coupant $\left[0,\frac\pi2\right]$ en $[0,\alpha]$ et $\left[\alpha,\frac\pi2\right]$, démontrer que $I_n \to 0$ pour $n\to\infty$. \item Chercher une relation de récurrence entre $I_n$ et $I_{n+2}$. En déduire $I_{2k}$ et $I_{2k+1}$ en fonction de $k$. \item Démontrer que $nI_nI_{n-1} = \frac \pi2$. \item Démontrer que $I_n \sim I_{n-1}$ et en déduire un équivalent simple de $I_n$ puis de $C_{2n}^n$ pour $n \to \infty$. \end{enumerate} \finenonce{004255} \finexercice \exercice{4256, quercia, 2010/03/12} \enonce{004256}{Norme $L^\infty$} Soit $f : {[a,b]} \to {\R^+}$ continue non identiquement nulle. On pose $I_n = \int_{t=a}^b f^n(t)\,d t$ et $u_n = \sqrt[n]{I_n}$. Soit $M = \max\{ f(x)\text{ tel que } a \le x \le b \}$ et $c \in {[a,b]}$ tel que $f(c) = M$. \begin{enumerate} \item Comparer $M$ et $u_n$. \item En utilisant la continuité de $f$ en $c$, démontrer que : $\forall\ \varepsilon \in{]0,M[}$ il existe $\delta > 0$ tel que $I_n \ge \delta(M-\varepsilon)^n$. \item En déduire $\lim_{n\to\infty} u_n$. \end{enumerate} \finenonce{004256} \finexercice \exercice{4257, quercia, 2010/03/12} \enonce{004257}{Lemme de Lebesgue} Soit $f : {[a,b]} \to {\R}$ continue. Montrer que $ \int_{t=a}^b f(t)\cos(nt)\,d t \to 0$, (lorsque $n\to\infty$) $\dots$ \begin{enumerate} \item si $f$ est de classe $\mathcal{C}^1$. \item si $f$ est en escalier. \item si $f$ est continue. \end{enumerate} \finenonce{004257} \finexercice \exercice{4258, quercia, 2010/03/12} \enonce{004258}{Plus grande fonction convexe minorant $f$} \begin{enumerate} \item Soit $(f_i)$ une famille de fonctions convexes sur un intervalle $I$. On suppose que : $\forall\ x \in I,\ f(x) = \sup(f_i(x))$ existe. Montrer que $f$ est convexe. \item Soit $f : I \to {\R}$ minorée. Montrer qu'il existe une plus grande fonction convexe minorant $f$. On la note $\tilde f$. \item Soit $f : {[0,1]} \to {\R^+}$ croissante. Montrer que $ \int_{t=0}^1 \tilde f(t)d t \ge \frac 12 \int_{t=0}^1 f(t)d t$ (commencer par le cas où $f$ est en escalier). \end{enumerate} \finenonce{004258} \finexercice \exercice{4259, quercia, 2010/03/12} \enonce{004259}{Centrale PC 1998} Soit $f : {[a,b]} \to {\R^{+*}}$ continue. \begin{enumerate} \item Montrer qu'il existe une subdivision de $[a,b]$~: ${a=x_0 < x_1 < \dots < x_n = b}$ telle que~: $\forall\ k \in [[0,n-1]],\ \int_{t=x_k}^{x_{k+1}}f(t)\,d t = \frac1n \int_{t=a}^{b}f(t)\,d t$. \item Étudier $\lim_{n\to\infty} \frac1n \sum_{k=0}^{n-1}f(x_k)$. \end{enumerate} \finenonce{004259} \finexercice \exercice{4260, quercia, 2010/03/12} \enonce{004260}{Mines MP 2000} Soit ${f} : {\R} \to {\C}$ de classe $\mathcal{C}^1$, $2\pi$ périodique, ne s'annulant pas. Montrer que $I(f)=\frac{1}{2\pi i} \int_0^{2\pi} \frac{f'}{f}$ est un entier. \finenonce{004260} \finexercice \exercice{4261, quercia, 2010/03/12} \enonce{004261}{Fonctions affines} Soit $E = \mathcal{C}([a,b])$, et $F=\{f\in \mathcal{C}^2([a,b]),\text{ tel que } f(a)=f'(a)=f(b)=f'(b)=0\}$. \begin{enumerate} \item Soit $f\in E$. Montrer qu'il existe $g\in F$ vérifiant $g''=f$ si et seulement si $ \int_{x=a}^b f(x)\,d x = \int_{x=a}^b xf(x)\,d x = 0$. \item Soit $f\in E$ telle que $ \int_{x=a}^b f(x)g''(x)\,d x = 0$ pour toute fonction $g\in F$. Montrer que $f$ est affine. \end{enumerate} \finenonce{004261} \finexercice \exercice{4262, quercia, 2010/03/12} \enonce{004262}{Mines MP 2001} Soit $a<0n$~? \finenonce{001111} \finexercice \exercice{1112, barraud, 2003/09/01} \enonce{001112}{} Soit $A\in\mathcal{M}_{n,n}(\R)$. On considère l'application $\Phi_{A}$ suivante~: $$ \Phi_{A}~: \begin{array}{ccc} (\R^{n})^{n} &\rightarrow & \R \\ M=(C_{1},...,C_{n})&\mapsto &\det(AM) \end{array} $$ Montrer que $\Phi_{A}$ est $n$-linéaire. Calculer $A \times \left(\begin{array}{c|c} \begin{smallmatrix} 0&1\\1&0 \end{smallmatrix} &0\\ \hline 0&\mathrm{id}_{n-2} \end{array}\right) $. En déduire que $\Phi_{A}(e_{2},e_{1},e_{3}...e_{n})=-\Phi_{A}(e_{1},e_{2},e_{3}...e_{n})$. Plus généralement, montrer que $\Phi_{A}$ est alternée. Montrer que $\Phi_{A}(M)=\det(A)\det(M)$. En déduire que~: $$ \forall (A,B)\in\mathcal{M}_{n,n}(\R),\qquad \det(AB)=\det(BA)=\det(A)\det(B) $$ \finenonce{001112} \finexercice \exercice{1113, barraud, 2003/09/01} \enonce{001113}{} Dans $\R^{3}$ muni de sa base canonique, on considère les applications $\omega$ et $\alpha$ suivantes~: $$ \omega~: \begin{array}{ccl} \R^{3}\times\R^{3} & \rightarrow & \R \\ \begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\\y_{3}\end{pmatrix} & \mapsto & x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1} \end{array} \quad\text{ et }\quad \alpha~: \begin{array}{ccl} \R^{3} & \rightarrow & \R \\ \begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix} & \mapsto & x_{3} \end{array} $$ \begin{enumerate} \item Montrer que $\omega$ est antisymétrique et bilinéaire. A l'aide de $\omega$ et $\alpha$, on définit une nouvelle application, notée $\omega\wedge\alpha$, de la façon suivante~: $$ \omega\wedge\alpha~: \begin{array}{ccl} \R^{3}\times\R^{3}\times\R^{3} & \rightarrow & \R \\ (X,Y,Z) & \mapsto & \omega(X,Y)\alpha(Z) +\omega(Y,Z)\alpha(X) +\omega(Z,X)\alpha(Y) \end{array} $$ \item Montrer que $\omega\wedge\alpha$ est alternée. \item Montrer que $\omega\wedge\alpha$ est trilinéaire. \item Calculer $\omega\wedge\alpha(e_{1},e_{2},e_{3})$. En déduire que $\forall(X,Y,Z)\in(\R^{3})^{3}\ \omega\wedge\alpha(X,Y,Z)=\det(X,Y,Z)$ \end{enumerate} \finenonce{001113} \finexercice \exercice{3427, quercia, 2010/03/10} \enonce{003427}{Changements de signe} Soit $A = (a_{ij}) \in \mathcal{M}_n(K)$ et $A' = ((-1)^{i+j}a_{ij})$. Comparer $\det A$ et $\det A'$. \finenonce{003427} \finexercice \exercice{3428, quercia, 2010/03/10} \enonce{003428}{Somme des colonnes, Matexo} Soit $M$ une matrice carrée d'ordre $n$, et $M'$ la matrice déduite de $M$ en rempla\c{c}ant, pour tout $j$, la $j$-ième colonne par la somme des colonnes de~$M$ d'indices différents de~$j$. Comparer les déterminants de~$M$ et~$M'$. \finenonce{003428} \finexercice \exercice{3438, quercia, 2010/03/10} \enonce{003438}{Trace d'un endomorphisme} Soit $E$ un ev de dimension $n$, $f \in \mathcal{L}(E)$, et $\vec u_1 , \dots, \vec u_n$, $n$ vecteurs de $E$. On note $\det$ le déterminant dans une base fixée de $E$. Démontrer que : $$ \det( f(\vec u_1), \vec u_2, \dots, \vec u_n ) + \det( \vec u_1, f(\vec u_2), \vec u_3, \dots, \vec u_n ) + \dots + \det( \vec u_1, \vec u_2, \dots, f(\vec u_n )) = \det( \vec u_1, \vec u_2, \dots, \vec u_n ) \mathrm{tr}(f). $$ \finenonce{003438} \finexercice\exercice{5635, rouget, 2010/10/16} \enonce{005635}{**} Soient $A=(a_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant n}$ une matrice carrée et $B= (b_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant n}$ où $b_{i,j}=(-1)^{i+j}a_{i,j}$. Calculer $\text{det}(B)$ en fonction de $\text{det}(A)$. \finenonce{005635} \finexercice \exercice{5636, rouget, 2010/10/16} \enonce{005636}{***I} On définit par blocs une matrice $A$ par $A=\left( \begin{array}{cc} B&D\\ 0&C \end{array} \right)$ où $A$, $B$ et $C$ sont des matrices carrées de formats respectifs $n$, $p$ et $q$ avec $p+q=n$. Montrer que $\text{det}(A)=\text{det}(B)\times\text{det}(C)$. \finenonce{005636} \finexercice \section{ 200.02 Calcul de déterminants } \exercice{1114, legall, 1998/09/01} \enonce{001114}{} Calculer les d\'eterminants des matrices suivantes : $ \begin{pmatrix} a & c & c & b \cr c & a & b & c \cr c & b & a & c \cr b & c & c & a \cr \end{pmatrix} $ $ \begin{pmatrix} c & a & b & c \cr a & c & c & b \cr b & c & c & a \cr c & b & a & c \cr \end{pmatrix} $ $ \begin{pmatrix} a & x & y & z \cr b & x & y & z \cr c & x' & y' & z' \cr d & x' & y' & z' \cr \end{pmatrix} $ $ \begin{pmatrix} 1+a & b & a & b \cr b & 1+a & b & a \cr a & b & 1+a & b \cr b & a & b & 1+a \cr \end{pmatrix} $ $ \begin{pmatrix} a & a & a^2 & b+c+d \cr a & b & b^2 & c+d+a \cr a & c & c^2 & d+a+b \cr a & d & d^2 & a+b+c \cr \end{pmatrix} $ $ \begin{pmatrix} 1 & 0 & a & a^2 \cr 0 & 1 & b & b^2 \cr 1 & 0 & c & c^2 \cr 0 & 1 & d & d^2 \cr \end{pmatrix} $ \finenonce{001114} \finexercice \exercice{1115, legall, 1998/09/01} \enonce{001115}{} Calculer, pour tout $ t\in {\Rr} $ le rang des matrices $ M_t=\begin{pmatrix} 1 & t & 1 \cr t & 1 & 1 \cr 1 & t & 1 \cr \end{pmatrix} $ et $ N_t=\begin{pmatrix} 1 & 1 & t \cr 1 & t & 1 \cr t & 1 & 1 \cr \end{pmatrix}.$ \finenonce{001115} \finexercice \exercice{1116, legall, 1998/09/01} \enonce{001116}{} \begin{enumerate} \item Soient $ A \in M_p({\Rr}) $ et $ B \in M_q({\Rr}).$ Calculer (en fonction de $ \hbox{det}(A) $ et $ \hbox{det}(B) $) le d\'eterminant de la matrice $ M =\begin{pmatrix}A & 0\cr 0 & B \cr \end{pmatrix} \in M_{p+q}({\Rr}).$ (On pourra pour cela d\'ecomposer $ M $ comme produit de deux matrices de d\'eterminant \'evident et utiliser la multiplicativit\'e du d\'eterminant.) \item Soient $ A \in M_p({\Rr}) ,$ $ B \in M_q({\Rr}) $ et $ C \in M_{p,q}({\Rr}) .$ Calculer le d\'eterminant de la matrice $ M =\begin{pmatrix}A & C\cr 0 & B \cr \end{pmatrix} \in M_{p+q}({\Rr}) .$ (On pourra g\'en\'eraliser la m\'ethode de 1.) \end{enumerate} \finenonce{001116} \finexercice \exercice{1117, ridde, 1999/11/01} \enonce{001117}{} Sans calcul, montrer que $\begin{vmatrix} 2 & 0 &4 \\5&2&7\\2&5&5\\ \end{vmatrix}$ est divisible par $17$. \finenonce{001117} \finexercice \exercice{1118, ridde, 1999/11/01} \enonce{001118}{} Soit $\Delta (x) = \det (a_{i, j} (x))$ de taille $n = 2$ ou $3$ avec $a_{i, j}$ des fonctions d\'erivables. \begin{enumerate} \item Montrer que $\Delta' (x)$ est la somme des $n$ d\'eterminants obtenus en remplaçant successivement dans $\Delta (x)$ chaque colonne par sa d\'eriv\'ee. \item Calculer $\begin{vmatrix} x + a_1 &x&x\\x&x + a_2&x\\x&x&x + a_3 \\ \end{vmatrix}$ et $\begin{vmatrix} 1 + x&1&1\\1&1 + x&1\\1&1&1 + x\\ \end{vmatrix}$. \end{enumerate} \finenonce{001118} \finexercice \exercice{1119, ridde, 1999/11/01} \enonce{001119}{} Calculer $\begin{vmatrix} 1&1&1\\x&y&z\\x^2&y^2&z^2\\ \end{vmatrix}$ et d\'eterminer la condition d'inversibilit\'e de la matrice. \finenonce{001119} \finexercice \exercice{1120, ridde, 1999/11/01} \enonce{001120}{} La famille $ (2, 1, 0)$, $ (1, 3, 1)$, $ (5, 2, 1)$ est-elle libre ? \finenonce{001120} \finexercice \exercice{1121, ridde, 1999/11/01} \enonce{001121}{} Calculer $\begin{vmatrix} a&b&c\\c&a&b\\b&c&a \end{vmatrix}$. \finenonce{001121} \finexercice \exercice{1122, ridde, 1999/11/01} \enonce{001122}{} Calculer $\begin{vmatrix} 1&\sin x&\cos x\\ 1&\sin y&\cos y\\1&\sin z&\cos z\\ \end{vmatrix}$ \finenonce{001122} \finexercice \exercice{1123, liousse, 2003/10/01} \enonce{001123}{} Soit $n$ un entier sup\'erieur ou \'egal \`a 3. On se place dans $\Rr^{n}.$ On note $e_i$ le vecteur de $\Rr^{n}$ dont la i-i\`eme composante est \'egale \`a 1 et toutes les autres sont nulles. \'Ecrire la matrice $n\times n$ dont les vecteurs colonnes $C_i$ sont donn\'es par $C_i= e_i+e_n$ pour $1\leq i\leq n-1$ et $C_n=e_1+e_2+e_n.$ Calculer alors son d\'eterminant. \finenonce{001123} \finexercice \exercice{1124, liousse, 2003/10/01} \enonce{001124}{} On note $a,$ $b,$ $c$ des r\'eels. Calculer les d\'eterminants suivants. $$D_1=\left\vert\begin{array}{cccc}1&0&0&1\\0&1&0&0\\1&0&1&1\\ 2&3&1&1\end{array}\right\vert\hbox{, } D_2=\left\vert\begin{array}{cccc}a+b+c&b&b&b\\c&a+b+c&b&b\\c&c&a+b+c&b\\ c&c&c&a+b+c\end{array}\right\vert\hbox{, } D_3=\left\vert\begin{array}{ccccc}1&0&3&0&0\\0&1&0&3&0\\a&0&a&0&3\\ b&a&0&a&0\\0&b&0&0&a\end{array}\right\vert$$ G\'en\'eraliser le calcul de $D_2$ \`a un d\'eterminant $n\times n$ du m\^eme type. \finenonce{001124} \finexercice \exercice{1125, liousse, 2003/10/01} \enonce{001125}{} On note $a_1,\cdots,a_n$ des r\'eels. Calculer les d\'eterminants $n\times n$ suivants. $$D_1=\left\vert\begin{array}{cccc}1&1&\cdots&1\\a_1&a_2&\cdots&a_n\\a_1^2& a_2^2&\cdots&a_n^2\\ \vdots&&&\vdots\\a_1^{n-1}&a_2^{n-1}&\cdots&a_n^{n-1}\end{array}\right\vert \hbox{, } D_2=\left\vert\begin{array}{ccccc}a_1&a_2&a_3&\cdots&a_n\\a_2&a_2&a_3&\cdots&a_n\\a_3&a_3& a_3&\cdots&a_n\\ \vdots&&&&\vdots\\a_n&a_n&a_n&\cdots&a_n\end{array}\right\vert$$ \finenonce{001125} \finexercice \exercice{1126, liousse, 2003/10/01} \enonce{001126}{} Montrer que \[ \left| \begin{array}{ccc} \cos a & \cos b & \cos c \\ \sin a & \sin b & \sin c \\ 1 & 1 & 1 \end{array} \right| =\sin \left( c-b\right) +\sin \left( b-a\right) +\sin \left( a-c\right) =4\sin \frac{c-b}{2}\sin \frac{b-a}{2}\sin \frac{a-c}{2} \] \finenonce{001126} \finexercice \exercice{1127, liousse, 2003/10/01} \enonce{001127}{} Soient $a,$ $b$ deux r\'eels distincts. Calculer le d\'eterminant suivant. $$D_1=\left\vert\begin{array}{ccccc}a&b&\cdots&b&b\\b&a&\cdots&b&b\\ \vdots&&&&\vdots\\b&b&\cdots&a&b\\b&b&\cdots&b&a\end{array}\right\vert$$ \finenonce{001127} \finexercice \exercice{1128, liousse, 2003/10/01} \enonce{001128}{} Calculer le d\'eterminant de la matrice suivante : $$\left(\begin{array}{cccc} m&0&1&2m\\ 1&m&0&0\\ 0&2m+2&m&1\\ m&0&0&m\\ \end{array} \right).$$ Calculer alors, suivant la valeur du param\`etre $m$, le rang de cette matrice. \finenonce{001128} \finexercice \exercice{1129, barraud, 2003/09/01} \enonce{001129}{} Calculer le déterminant $$\Delta_{n}=\left\vert \begin{matrix} 3 &1 &0 & &0\\ 0 &3 &1 &\ddots& \\ -4&0 &3 &\ddots&0\\ &\ddots&\ddots&\ddots&1\\ 0 & &4 &0 &3 \end{matrix} \right\vert $$ en fonction de $n$. (vérifier que $-1$ est racine de $X^{3}-3X^{2}+4$) \finenonce{001129} \finexercice \exercice{1130, barraud, 2003/09/01} \enonce{001130}{} Calculer les déterminants suivants : $$ \Delta_1= \left\vert \begin{matrix} 1&2&3&4 \\ 2&3&4&1 \\ 3&4&1&2 \\ 4&1&2&3 \end{matrix} \right\vert \qquad \Delta_2= \left\vert \begin{matrix} a&a&b&0 \\ a&a&0&b \\ c&0&a&a \\ 0&c&a&a \end{matrix} \right\vert \qquad \Delta_3= \left\vert \begin{matrix} a_1 &a_2 &\cdots&a_n \\ a_1 &a_1 &\ddots&\vdots \\ \vdots&\ddots&\ddots&a_2 \\ a_1 &\cdots&a_1 &a_1 \end{matrix} \right\vert $$ \finenonce{001130} \finexercice \exercice{1131, barraud, 2003/09/01} \enonce{001131}{} Soit $(a,x,y)\in\R^3$. Pour $n\in\N$, $n\geq2$, on note $A_n$ le déterminant suivant : $$ A_n= \left\vert \begin{matrix} a &x &\cdots&x \\ y &a &0 & \\ \vdots&0 &\ddots& \\ y & & &a \end{matrix} \right\vert $$ Montrer que $\forall n\in\N,n\geq3,\;A_n=aA_{n-1}-xya^{n-2}$. En déduire une expression de $A_n$ en fonction de $n,a,x$ et $y$. \finenonce{001131} \finexercice \exercice{1132, barraud, 2003/09/01} \enonce{001132}{} Soit $(a,b)\in\R^2$ avec $a\neq b$. Pour $n\in\N$, $n\geq2$, on note $B_n$ le déterminant suivant : $$ B_n= \left\vert \begin{matrix} a+b &a & &0 \\ b &\ddots&\ddots& \\ &\ddots&\ddots&a \\ 0 & &b &a+b \end{matrix} \right\vert $$ Montrer que $\forall n\in\N,n\geq4,\;B_n=(a+b)B_{n-1}-abB_{n-2}$ Montrer que $$ \forall n\in\N,n\geq2,\;B_n=\frac{a^{n+1}-b^{n+1}}{a-b}. $$ \finenonce{001132} \finexercice \exercice{1133, barraud, 2003/09/01} \enonce{001133}{} On s'intéresse aux suites réelles $(u_{n})_{n\in\N}$ satisfaisant la relation de récurrence $$ \forall n\in\N\qquad u_{n+2}=\sqrt{2}u_{n+1}-u_{n} \rlap{\hspace{1cm}($\star$)} $$ \begin{enumerate} \item Déterminer toutes les suites complexes satisfaisant la relation $(\star)$. \item Déterminer toutes les suites réelles satisfaisant la relation $(\star)$. On considère maintenant le déterminant d'ordre $n$ suivant : $$ \Delta_{n}=\left| \begin{matrix} \sqrt{2} & 1 & & \hspace{-3ex}\raisebox{-2ex}[0pt][0pt]{\text{\LARGE{$0$}}} \\ 1 & \ddots & \ddots & \\ & \ddots & \ddots & 1 \\ \hspace{3ex}\raisebox{1ex}[0pt][0pt]{\text{\LARGE{$0$}}} & & 1 & \sqrt{2} \\ \end{matrix}\, \right| $$ \item Calculer $\Delta_{n+2}$ en fonction de $\Delta_{n+1}$ et $\Delta_{n}$ pour $n\in\N$ (on pose $\Delta_{0}=1$). En déduire la valeur de $\Delta_{n}$ en fonction de $n$. \end{enumerate} \finenonce{001133} \finexercice \exercice{1134, barraud, 2003/09/01} \enonce{001134}{} Calculer les déterminants suivants~: $$ \left| \begin{matrix} 2 & 3 \\ -1& 4 \end{matrix} \right| \quad \left| \begin{matrix} 1 & 0 & 2 \\ 3 & 4 & 5 \\ 5 & 6 & 7 \end{matrix} \right| \quad \left| \begin{matrix} 1 & 0 & 6 \\ 3 & 4 & 15\\ 5 & 6 & 21 \end{matrix} \right| \quad \left| \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & 5 \\ 4 & 1 & 3 \end{matrix} \right| $$ \finenonce{001134} \finexercice \exercice{1135, barraud, 2003/09/01} \enonce{001135}{} Calculer les déterminants suivants~: $$ \left| \begin{matrix} -4 &1 &1 &1 &1 \\ 1 &-4&1 &1 &1 \\ 1 & 1&-4&1 &1 \\ 1 &1 &1 &-4&1 \\ 1 &1 &1 &1 &-4 \end{matrix} \right| \quad \left| \begin{matrix} 1 & a & b+c \\ 1 & b & c+a \\ 1 & c & a+b \end{matrix} \right| \quad \left| \begin{matrix} 1 & a_{1}^{} & a_{1}^{2} & a_{1}^{3} \\ 1 & a_{2}^{} & a_{2}^{2} & a_{2}^{3} \\ 1 & a_{3}^{} & a_{3}^{2} & a_{3}^{3} \\ 1 & a_{4}^{} & a_{4}^{2} & a_{4}^{3} \end{matrix} \right| \quad \left| \begin{matrix} 1 & a_{1}^{} & a_{1}^{2} &\hdots& a_{1}^{n-1} \\ 1 & a_{2}^{} & a_{2}^{2} &\hdots& a_{2}^{n-1} \\ \vdots&\vdots&\vdots& &\vdots\\ 1 & a_{n}^{} & a_{n}^{2} &\hdots& a_{n}^{n-1} \end{matrix} \right| $$ \finenonce{001135} \finexercice \exercice{1136, barraud, 2003/09/01} \enonce{001136}{} Les nombres 119, 153 et 289 sont tous divisibles par 17. Montrer, sans le développer que le déterminant $\left| \begin{matrix} 1&1&9\\1&5&3\\2&8&9 \end{matrix} \right| $ est divisible par 17. \finenonce{001136} \finexercice \exercice{1137, barraud, 2003/09/01} \enonce{001137}{} Calculer les d\'eterminants suivants : $$ \Delta_1 = \left\vert \begin{matrix} a&c&c&b \\ c&a&b&c \\ c&b&a&c \\ b&c&c&a \end{matrix}- \right\vert \qquad \Delta_2 = \left\vert \begin{matrix} c&a&b&c \\ a&c&c&b \\ b&c&c&a \\ c&b&a&c \end{matrix} \right\vert \qquad \Delta_3 = \left\vert \begin{matrix} a & 0 & b & 0 \\ 0 & a & 0 & b \\ c & 0 & d & 0 \\ 0 & c & 0 & d \end{matrix} \right\vert $$ \finenonce{001137} \finexercice \exercice{1138, barraud, 2003/09/01} \enonce{001138}{} Pour $(a_{0},\dots,a_{n-1)}\in\R^{n}$, on note $A_{(a_{0}\dots a_{n})}$ la matrice $$ A_{(a_{0}\dots a_{n-1})}= \left\vert \begin{matrix} 0 & 0 & \cdots & 0 & a_{0} \\ 1 & 0 & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 1 & \ddots & 0 & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & 0 & a_{n-2} \\ 0 & \cdots & 0 & 1 & a_{n-1}-\lambda \\ \end{matrix} \right\vert $$ et à $\lambda\in\R$, on associe $\Delta_{(a_{0}\dots a_{n-1})}(\lambda)=\det(A_{(a_{0},...,a_{n-1})}-\lambda\mathrm{id})$. Calculer $\Delta_{(a_{0}\dots a_{n-1})}(\lambda)$ en fonction de $\Delta_{(a_{1}\dots a_{n-1})}(\lambda)$ et $a_{0}$. En déduire $\Delta_{(a_{0}\dots a_{n-1})}(\lambda)$. \finenonce{001138} \finexercice \exercice{1139, barraud, 2003/09/01} \enonce{001139}{} Calculer les déterminants suivant~: $$ \left\vert \begin{matrix} a_{11} &a_{12} &\cdots &a_{1n}\\ 0 &a_{22} &\ddots &\vdots\\ \vdots &\ddots &\ddots &a_{n-1,n} \\ 0 &\cdots &0 &a_{nn} \end{matrix} \right\vert \qquad \left\vert \begin{matrix} p &q & & \hspace{-1ex}\raisebox{-2ex}[0ex][0ex]{\Large 0} \\ 1 &p &\ddots & \\ &\ddots &\ddots &q \\ \hspace{1ex}\raisebox{1ex}[0ex][0ex]{\Large 0} & &1 &p \end{matrix} \right\vert \qquad \left\vert \begin{matrix} 1 &0 & &1 \\ 1 &1 &\ddots & \\ &\ddots &\ddots &0 \\ 0 & &1 &1 \end{matrix} \right\vert \qquad \left\vert \begin{matrix} a+b & a & \cdots & a \\ a & a+b & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & a \\ a & \cdots & a & a+b \end{matrix} \right\vert $$ \finenonce{001139} \finexercice \exercice{1140, barraud, 2003/09/01} \enonce{001140}{} Soit $B\in\mathcal{M}_{n,m}(\R)$ et $C\in\mathcal{M}_{m,m}(\R)$. On considère l'application $\phi$ suivante~: $$ \phi~: \begin{array}{ccc} \mathcal{M}_{n,n}(\R) & \rightarrow & \R \\ A & \mapsto & \det \begin{pmatrix} A & B \\ 0 & C \end{pmatrix} \end{array} $$ Etudier la multi-linéarité de $\phi$ par rapport aux colonnes de $A$. Calculer $\phi(\mathrm{id})$. En déduire que $$ \det \begin{pmatrix} A & B \\ 0 & C \end{pmatrix}=\det(A)\det(C) $$ Soit $M= \begin{pmatrix} A_{1}&\cdots & \\ &\ddots &\vdots\\ 0 & & A_{k} \\ \end{pmatrix} $ une matrice triangulaire par blocs. Montrer que $\det(M)=\det(A_{1})\cdots\det(A_{k})$ \finenonce{001140} \finexercice \exercice{1141, barraud, 2003/09/01} \enonce{001141}{} Calculer le déterminant suivant~: $$\Delta=\left| \begin{matrix} 0 & a_{12}& a_{13}& a_{14}& a_{15} \\ -a_{21}& 0 & a_{23}& a_{24}& a_{25} \\ -a_{31}&-a_{32}& 0 & a_{34}& a_{35} \\ -a_{41}&-a_{42}&-a_{43}& 0 & a_{45} \\ -a_{51}&-a_{52}&-a_{53}&-a_{54}& 0 \\ \end{matrix} \right|$$ Comment généraliser ce résultat en dimension plus grande~? \finenonce{001141} \finexercice \exercice{1142, barraud, 2003/09/01} \enonce{001142}{} Calculer les déterminants suivants~: $$ \left| \begin{matrix} 1 &1 &1 &1 \\ \cos x & \cos y & \cos z & \cos t \\ \cos2x & \cos2y & \cos2z & \cos2t \\ \cos3x & \cos3y & \cos3z & \cos3t \end{matrix} \right| \qquad \left\vert \begin{matrix} 1 & 2 & 3 & \cdots & n \\ -1 & 0 & 3 & & n \\ -1 & -2 & 0 & & n \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ -1 & -2 & -3 & \cdots & 0 \end{matrix} \right\vert \qquad \left\vert \begin{matrix} 0 & 1 & 2 & \cdots & n-1 \\ 1 & 0 & 1 & \ddots & \cdots \\ 2 & 1 & \ddots & \ddots & 2 \\ \vdots & \ddots & \ddots & 0 & 1 \\ n-1 & \cdots & 2 & 1 & 0 \end{matrix} \right\vert $$ \finenonce{001142} \finexercice \exercice{1143, barraud, 2003/09/01} \video{64911kcKNmg} \enonce{001143}{} Soit $(a_{0},...,a_{n-1})\in\C^{n}$, $x\in\C$. Calculer $$ \Delta_{n}= \left| \begin{matrix} x & 0 & & a_{0} \\ -1 &\ddots &\ddots &\vdots \\ &\ddots &x & a_{n-2} \\ 0 & & -1 & x+a_{n-1} \end{matrix} \right| $$ \finenonce{001143} \finexercice\exercice{1144, barraud, 2003/09/01} \enonce{001144}{} Soit $(a_1,a_2,a_3)\in(\mathbb{K})^{3}$. On note $j=e^{\frac{2i\pi}{3}}$, et on considère les deux matrices suivantes : $$ A= \begin{pmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ a_3 & a_1 & a_2 \\ a_2 & a_3 & a_1 \end{pmatrix} \qquad\text{ et } V= \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & j & j^2 \\ 1 & j^2 & j \end{pmatrix} $$ Calculer le produit $AV$, puis $\det(AV)$ en fonction de $\det(V)$, et en déduire $\det(A)$. \finenonce{001144} \finexercice \exercice{1145, barraud, 2003/09/01} \video{YveAcpVpK2g} \enonce{001145}{} Soit $a$ un réel. On note $\Delta_n$ le déterminant suivant : $$ \Delta_n = \left\vert \begin{matrix} a & 0 & \cdots & 0 & n-1 \\ 0 & a & \ddots & \vdots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & 0 & 2 \\ 0 & \cdots & 0 & a & 1 \\ n-1 & \cdots & 2 & 1 & a \end{matrix} \right\vert $$ \begin{enumerate} \item Calculer $\Delta_n$ en fonction de $\Delta_{n-1}$. \item Démontrer que : $\displaystyle \forall n\geq2\quad \Delta_n=a^n-a^{n-2}\sum_{i=1}^{n-1}{i^2}$. \end{enumerate} \finenonce{001145} \finexercice \exercice{1146, barraud, 2003/09/01} \enonce{001146}{} Soit $a$ un réel différent de 1. Pour $n\in\N$, $n\geq2$, on note $$ D_n = \left\vert \begin{matrix} 1+a^2 & a & 0 & \cdots & 0 \\ a & 1+a^2 & a & \ddots & \vdots \\ 0 & a & \ddots & \ddots & 0 \\ \vdots & \ddots & \ddots & 1+a^2 & a \\ 0 & \cdots & 0 & a & 1+a^2 \end{matrix} \right\vert $$ Calculer $D_n$ en foncion de $D_{n-1}$ et $D_{n-2}$. Monter que $ D_n=\frac{1-a^{2\rlap{$\scriptscriptstyle n+2$}}}{1-a^{2}} \hphantom{\scriptscriptstyle n+2}. $ Combien vaut $D_n$ si $a=1$ ? \finenonce{001146} \finexercice \exercice{1147, barraud, 2003/09/01} \enonce{001147}{} Soient $a,b,c$ trois réels et $\Delta_{n}$ le déterminant de taille $n$ suivant~: $$ \Delta_{n}=\left\vert \begin{array}{c@{\ }c@{}c@{\ }c} a & b & & 0 \\[-1ex] c & \ddots & \ddots & \\[-2ex] & \ddots & \ddots & b \\[-1ex] 0 & & c & a \\ \end{array} \right\vert $$ \begin{enumerate} \item On pose $\Delta_{0}=1$, $\Delta_{1}=a$. Montrer que $\forall n\in\N, \Delta_{n+2}=a\Delta_{n+1}-bc\Delta_{n}$. \item On suppose que $a^{2}=4bc$. Montrer par récurrence que~: $$\forall n\in\N, \Delta_{n}=(n+1)\,\frac{a^{n}}{2^{n}}$$ \end{enumerate} \finenonce{001147} \finexercice \exercice{1148, barraud, 2003/09/01} \enonce{001148}{} Calculer le déterminant suivant~: $$ \Delta=\left\vert \begin{matrix} 1 &2 &4 &8 \\ 1 &3 &9 &27\\ 1 &4 &16&64\\ 1 &5 &25&125 \end{matrix} \right\vert $$ \finenonce{001148} \finexercice \exercice{1149, barraud, 2003/09/01} \enonce{001149}{} Soit $\Delta_{n}$ le déterminant de taille $n$ suivant~: $$ \Delta_{n}=\left\vert \begin{matrix} 3 & 1 & 0 &\cdots & 0 \\ 2 & 3 & 1 &\ddots &\vdots \\ 0 & 2 & 3 &\ddots & 0 \\ \vdots &\ddots&\ddots &\ddots & 1 \\ 0 &\cdots& 0 & 2 & 3 \end{matrix} \right\vert $$ \begin{enumerate} \item Montrer que $\forall n\in\N^{*}, \Delta_{n+2}=3\Delta_{n+1}-2\Delta_{n}$ (avec la convention $\Delta_{0}=1$, $\Delta_{1}=3$). \item Montrer par récurrence que $\forall n\in\N^{*}, \Delta_{n}=2^{n+1}-1$ \end{enumerate} \finenonce{001149} \finexercice \exercice{1150, barraud, 2003/09/01} \enonce{001150}{} Soit $u$ l'application de $\R_{n}[X]$ dans $\R_{n}[X]$ définie par $u(P)=P+P'$. Calculer $\det u$. Même question lorsque $u(P)=XP'+P(1)$. \finenonce{001150} \finexercice \exercice{2448, matexo1, 2002/02/01} \enonce{002448}{} Calculer les d\'eterminants suivants $$\left| \begin{array}{cc} 4 & 5 \\ -7 & 8 \end{array} \right|, \qquad \left| \begin{array}{ccc} 1 & 3 & 2 \\ -1 & -2 & 3 \\ 4 & 0 & 1 \end{array} \right|, \qquad \left| \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 3 & 2 \\ -1 & 1 & 8 &-5 \\ 2 & 0 & 6 & 3 \\ -1 & 0 & -3 & -7 \end{array} \right|.$$ \finenonce{002448} \finexercice \exercice{2452, matexo1, 2002/02/01} \enonce{002452}{} Calculer par r\'ecurrence le d\'eterminant $$ \Delta_n = \left| \begin{array}{ccccc} a_1+b_1 & b_1 & b_1 & \ldots & b_1 \\ b_2 & a_2+b_2 & b_2 & \ldots & b_2 \\ \ldots&\ldots &\ldots&\ldots&\ldots\\ b_n & b_n &\ldots&\ldots& a_n+b_n \end{array}\right|.$$ \finenonce{002452} \finexercice \exercice{2453, matexo1, 2002/02/01} \video{NwFtb_SYHA8} \enonce{002453}{Déterminant de Vandermonde} Montrer que $$\left| \begin{array}{ccccc} 1 & t_1 & t_1^2 & \ldots & t_1^{n-1} \\ 1 & t_2 & t_2^2 & \ldots & t_2^{n-1} \\\ \ldots&\ldots&\ldots& \ldots & \ldots \\ 1 & t_n & t_n^2 & \ldots & t_n^{n-1} \end{array}\right| = \prod_{1 \le i < j \le n} (t_j - t_i) $$ \finenonce{002453} \finexercice \exercice{2454, matexo1, 2002/02/01} \enonce{002454}{} Soit $M$ une matrice carr\'ee d'ordre $n$, et $M'$ la matrice d\'eduite de $M$ en rempla\c{c}ant, pour tout $j$, la $j$-i\`eme colonne par la somme des colonnes de $M$ d'indices diff\'erents de $j$. Montrer que $\det M' = (-1)^{n-1} (n-1) \det M $. \finenonce{002454} \finexercice \exercice{2455, matexo1, 2002/02/01} \enonce{002455}{} Calculer le d\'eterminant d'ordre $n$ $$\left| \begin{array}{ccccccc} -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & -1 & 1 & 1 & 0 & \ldots & 0 \\ \ldots &\ldots & \ldots&\ldots&\ldots&\ldots & \ldots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \ldots& -1 &1 \end{array}\right|.$$ \finenonce{002455} \finexercice \exercice{2456, matexo1, 2002/02/01} \enonce{002456}{} Calculer le d\'eterminant $$ D_n = \left| \begin{array}{ccccc} 3 & 1 & 1 & \ldots & 1 \\ 1 & 4 & 1 & \ldots & 1 \\ \ldots&\ldots&\ldots& \ldots & \ldots \\ 1 & 1 & 1 & \ldots & n+2 \end{array}\right|.$$ \finenonce{002456} \finexercice \exercice{2458, matexo1, 2002/02/01} \enonce{002458}{} Soit $E$ l'espace vectoriel des matrices carr\'ees d'ordre $n$ r\'eelles, et $A \in E$ fix\'ee. On d\'efinit une application $u_A$ de $E$ sur lui-m\^eme par $u_A(B) = AB$. Montrer que c'est un endomorphisme de $E$ et que $\det u_A = (\det A)^n $. \finenonce{002458} \finexercice \exercice{2466, matexo1, 2002/02/01} \enonce{002466}{} Soit la matrice $$A=\left( \begin{array}{ccc} m-2 & 2 & -1 \\ 2 & m & 2 \\ 2m & 2m+2 & m+1 \end{array}\right).$$ \begin{enumerate} \item Calculer $\det A$. \item Soit $u$ l'endomorphisme de $\R^3$ dont la matrice par rapport \`a la base canonique est $A$. Pour quelles valeurs de $m$ est-ce un isomorphisme de $\R^3$\,? \item On pose $m = 1$. Trouver une base du noyau de $u$. \end{enumerate} \finenonce{002466} \finexercice \exercice{2578, delaunay, 2009/05/19} \enonce{002578}{} Soient $a,b,c$ des r\'eels v\'erifiant $a^2+b^2+c^2=1$ et $P$ la matrice r\'eelle $3\times3$ suivante : $$P=\begin{pmatrix}a^2&ab&ac \\ ab&b^2&bc \\ ac&bc&c^2\end{pmatrix}$$ \begin{enumerate} \item Calculer le d\'eterminant de $P$. \item D\'eterminer les sous-espaces vectoriels de $\R^3$, $\ker P$ et $\Im P$. \item Soit $Q=I-P$, calculer $P^2$, $PQ$, $QP$ et $Q^2$. \item Caract\'eriser g\'eom\'etriquement $P$ et $Q$. \end{enumerate} \finenonce{002578} \finexercice\exercice{2582, delaunay, 2009/05/19} \enonce{002582}{} Soit $a\in\R$ et $A$ la matrice suivante $$A=\begin{pmatrix}1&0&a \\ 0&a&1 \\ a&1&0\end{pmatrix}$$ \begin{enumerate} \item Calculer le d\'eterminant de $A$ et d\'eterminer pour quelles valeurs de $a$ la matrice est inversible. \item Calculer $A^{-1}$ lorsque $A$ est inversible. \end{enumerate} \finenonce{002582} \finexercice \exercice{2753, tumpach, 2009/10/25} \video{d4ZZDotSUcw} \enonce{002753}{} \begin{enumerate} \item Calculer l'aire du parall\'elogramme construit sur les vecteurs $\vec{u} = \left(\begin{array}{c}2\\3\end{array}\right)$ et $\vec{v} = \left(\begin{array}{c}1\\4\end{array}\right)$. \item Calculer le volume du parall\'el\'epip\`ede construit sur les vecteurs \\ $\vec{u} = \left(\begin{array}{c}1\\2\\0\end{array}\right)$, $\vec{v} = \left(\begin{array}{c}0\\1\\3\end{array}\right)$ et $\vec{w} = \left(\begin{array}{c}1\\1\\1\end{array}\right)$. \item Montrer que le volume d'un parall\'el\'epip\`ede dont les sommets sont des points de $\Rr^3$ \`a coefficients entiers est un nombre entier. \end{enumerate} \finenonce{002753} \finexercice \exercice{2754, tumpach, 2009/10/25} \enonce{002754}{} Calculer les d\'eterminants des matrices suivantes~: $$ \left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3\\ 2 & 3 & 0\\ 3 & 0 & 1\end{array}\right), \left(\begin{array}{cccc} 1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 1 \end{array}\right), \left( \begin{array}{ccc}2 & 7 & 1\\-1 & 2 & 0\\ 3 & 5 & 1 \end{array}\right),$$ $$ \left(\begin{array}{cccc} 2 & 1 & 2\\ 3 & 1 & 3\\ 1 & 0& 6\end{array}\right), \left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3\\ 2 & 3 & 1\\ 3 & 1 & 2\end{array}\right), \left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & -1\\ 2 & 0 & 1\\1 & 1 & 3\end{array}\right). $$ \finenonce{002754} \finexercice \exercice{2755, tumpach, 2009/10/25} \enonce{002755}{} Calculer les d\'eterminants des matrices suivantes~: $$ \left(\begin{array}{cccc} 0 & 1 & 2 & 3\\ 1 & 2 & 3 & 0\\ 2 & 3 & 0 & 1\\3 & 0 & 1 & 2\end{array}\right), \left(\begin{array}{cccc} 0 & 1 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 1 &0\end{array}\right), \left(\begin{array}{cccc}1 & 2 & 1 & 2\\ 1 & 3 & 1 & 3\\ 2 & 1 & 0& 6\\ 1 & 1& 1&7\end{array}\right). $$ \finenonce{002755} \finexercice \exercice{2756, tumpach, 2009/10/25} \enonce{002756}{} Calculer les d\'eterminants des matrices suivantes~: $$ \left(\begin{array}{cccc} 0 & 1 & 2 & 3\\ 1 & 3 & 6 & 10\\ 1 & 4 & 10 & 20\\1 & 5 & 15 & 35\end{array}\right), \left(\begin{array}{cccc} a & b & c & d\\ -a & b & \alpha & \beta\\ -a & -b& c & \gamma\\ -a & -b & -c &d\end{array}\right), \left(\begin{array}{cccc}-1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & -1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & -1& 1\\ 1 & 1& 1&-1\end{array}\right). $$ \finenonce{002756} \finexercice \exercice{2757, tumpach, 2009/10/25} \enonce{002757}{} Calculer les d\'eterminants des matrices suivantes~: $$ \left(\begin{array}{cccc} a & b &c & d\\ e & f& g & 0\\h& k & 0 & 0\\l & 0 & 0 & 0\end{array}\right), \left(\begin{array}{cccc} a & 0 & 0 & 0\\b & c & 0 & 0\\d & e & f & 0\\g & h & k & l\end{array}\right), \left(\begin{array}{cccc}a & b & c & d\\ 0 & e & f & g\\ 0 &0 &h & k\\ 0&0&0&l\end{array}\right). $$ \finenonce{002757} \finexercice \exercice{2758, tumpach, 2009/10/25} \enonce{002758}{} Soit $M = (m_{ij})$ une matrice carr\'ee de taille $n$. On construit \`a partir de $M$ la matrice $N = (n_{ij})$ de la mani\`ere suivante~: pour tout couple d'indices $i, j$, on appelle $M_{ij}$ la matrice obtenue \`a partir de $M$ en rayant la ligne $i$ et la colonne $j$ ; alors $n_{ij} = (-1)^{i+j}\det(M_{ji})$. D\'emontrer que $MN = NM = \det(M)I$, o\`u $I$ d\'esigne la matrice identit\'e. En d\'eduire une m\'ethode d'inversion de matrices passant par le calcul de d\'eterminants, et l'appliquer \`a la matrice $$ M = \left(\begin{array}{cccc}3 & -2 & 0 & -1\\0 & 2 & 2 & 1\\1& -2 & -3 & -2\\ 0 & 1 & 2 & 1\end{array}\right). $$ \finenonce{002758} \finexercice \exercice{2759, tumpach, 2009/10/25} \enonce{002759}{} Calculer les inverses des matrices suivantes de deux mani\`eres diff\'erentes~: $$ A = \left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\2 & 5 & 4\\-1 & 0 & 2 \end{array}\right); \quad\quad B = \left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & -1\\1 & 2 &3 \\1 & 3 & 6 \end{array}\right);$$ $$ C = \left(\begin{array}{cccc} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & 2 & 0\\ 0 & 2 & 0 & 3\\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}\right);\quad\quad D = \left(\begin{array}{cccc} 1 & 1 & 1 & 1\\ 0 &-1 & -2 &-3\\ 0 & 0 &1 & 3\\ 0 & 0 & 0&-1 \end{array}\right). $$ \finenonce{002759} \finexercice \exercice{2760, tumpach, 2009/10/25} \enonce{002760}{} En utilisant le d\'eterminant montrer que chacun des syst\`emes suivants admet une solution unique. R\'esoudre chacun de ces syst\`eme en inversant la matrice de ses coefficients~: $$ \left\{\begin{array}{ccccccc} x & + & y & + & z & = &1\\ 2x & + & 3y & + & 4z & = & 2\\ && y &+ & 4z & = & 3 \end{array}\right. $$ $$ \left\{\begin{array}{cccccccc} x & + & y & + & z & + & t & = 1\\ x & + &y & - & z & - & t & = 0\\ x & - & y & - & z& + &t & = 2\\ x & - & y & + & z & - & t & = 3 \end{array}\right. $$ \vspace{.2cm} $$ \left\{ \begin{array}{cccccc} 3x & + & 2y & - & z & = -1\\ x&+&y&-&3z& = 1\\ 3x& + &2y &&&= 0\\ \end{array} \right. $$ \finenonce{002760} \finexercice \exercice{3451, quercia, 2010/03/10} \enonce{003451}{Calcul de déterminants} Calculer les déterminants suivants : \begin{enumerate} \item $\begin{vmatrix} x &a &b &x \cr %+---------+ b &x &x &a \cr %| x,a,b | x &b &a &x \end{vmatrix}$. %+---------+ \item $\begin{vmatrix} a-b-c &2a &2a \cr %+-----------------+ 2b &b-c-a &2b \cr %| a-b-c, 2a, 2a | 2c &2c &c-a-b \cr \end{vmatrix}$. %+-----------------+ \item $\begin{vmatrix} a+b &b+c &c+a \cr %+---------------+ a^2+b^2 &b^2+c^2 &c^2+a^2 \cr %| a+b b+c c+a | a^3+b^3 &b^3+c^3 &c^3+a^3 \cr \end{vmatrix}$. %+---------------+ \item $\begin{vmatrix} a+b &ab &a^2+b^2 \cr %+-----------------+ b+c &bc &b^2+c^2 \cr %| a+b ab a¿+b¿ | c+a &ca &c^2+a^2 \cr \end{vmatrix} $. %+-----------------+ \item $\begin{vmatrix} a^2 &b^2 &ab \cr %+-------------+ b^2 &ab &a^2 \cr %| a¿ b¿ ab | ab &a^2 &b^2 \cr \end{vmatrix}$. %+-------------+ \item $\begin{vmatrix} a & b & &(0) \cr %+-------------------------+ c & \ddots & \ddots \cr %| Matrice tridiagonale | & \ddots & \ddots & b \cr %+-------------------------+ (0)& & c & a \cr \end{vmatrix}$. \label{tridiag} \item $\begin{vmatrix}a &b &\dots &b \cr %+-----------+ b &\ddots &(0) &\vdots \cr %| anneau | \vdots &(0) &\ddots &b \cr %+-----------+ b &\dots &b &a \cr\end{vmatrix}$. %+---------------------------+ %| Déterminants de Pascal | %+---------------------------+ \item $\begin{vmatrix} C_n^0\hfill & C_n^1\hfill & \dots & C_n^p\hfill \cr C_{n+1}^0 & C_{n+1}^1 & \dots & C_{n+1}^p \cr \vdots & \vdots & & \vdots \cr C_{n+p}^0 & C_{n+p}^1 & \dots & C_{n+p}^p \cr \end{vmatrix}$. %+--------------+ %| ai+bi, bi | %+--------------+ \item $\begin{vmatrix} a_1 + b_1 & b_1 & \dots & \dots & b_1 \cr b_2 & a_2 + b_2 & b_2 & \dots & b_2 \cr \vdots & & \ddots & & \vdots \cr \vdots & & & \ddots & b_{n-1} \cr b_n & \dots & \dots & b_n & a_n + b_n \cr \end{vmatrix}$. \item $\begin{vmatrix} a_1-b_1 &\dots &a_1-b_n \cr %+-----------+ \vdots &\dots &\vdots \cr %| ai-bj | a_n-b_1 &\dots &a_n-b_n \cr \end{vmatrix}$, $(n \ge 3)$. %+-----------+ \item $\begin{vmatrix} 1 & 2 & \dots & n \cr %+--------------------------+ 2 & 3 & \dots & 1 \cr %| Déterminant circulant | \vdots& \vdots& & \vdots\cr %+--------------------------+ n & 1 & \dots & n-1 \cr\end{vmatrix}$. \item $\begin{vmatrix} 0 &1 &2 &\dots &n-1 \cr %+-----------+ 1 &0 &1 & &\vdots \cr %| |i-j| | 2 &1 &0 &\ddots &2 \cr %+-----------+ \vdots & &\ddots &\ddots &1 \cr n-1 &\dots &2 &1 &0 \cr\end{vmatrix}$. Pour \ref{tridiag} : Chercher une relation de récurrence linéaire d'ordre 2. On notera $\alpha$ et $\beta$ les racines dans $\C$ de l'équation caractéristique, et on exprimera le déterminant en fonction de $\alpha$ et $\beta$. \end{enumerate} \finenonce{003451} \finexercice \exercice{3452, quercia, 2010/03/10} \enonce{003452}{Factorisation de polynômes} Déterminer les cas d'annulation des déterminants suivants, puis les calculer : \begin{enumerate} \item $\begin{vmatrix}1 & & & (1) \cr & 1-x & & \cr & & \ddots & \cr (1) & & & n-x \cr \end{vmatrix} $. \item $\begin{vmatrix}x & a_1 & a_2 & \dots & a_n \cr a_1 & x & a_2 & \dots & a_n \cr \vdots& & \ddots& & \vdots\cr \vdots& & & \ddots& a_n \cr a_1 & a_2 & \dots & a_n & x \cr \end{vmatrix}$. \item $\begin{vmatrix}a &b &c &\dots &z \cr b &b &c & &z \cr c &c &c & &z \cr \vdots& & &\ddots&\vdots\cr z &z &z &\dots &z \cr \end{vmatrix}$. \item $\begin{vmatrix}\frac 1{a+x} & \frac 1{a+y} & \frac 1{a+z} \cr \frac 1{b+x} & \frac 1{b+y} & \frac 1{b+z} \cr \frac 1{c+x} & \frac 1{c+y} & \frac 1{c+z} \cr\end{vmatrix}$. \end{enumerate} \finenonce{003452} \finexercice \exercice{3453, quercia, 2010/03/10} \enonce{003453}{Calcul par dérivation} \begin{enumerate} \item Soient ${a,b,c,d} : \R \to \R$ des fonctions dérivables et $f(x) = \begin{vmatrix} a(x) &b(x) \cr c(x) & d(x) \end{vmatrix}$. Montrer que $f$ est dérivable et que : $f'(x) = \begin{vmatrix} a'(x) &b(x) \cr c'(x) &d(x) \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a(x) &b'(x) \cr c(x) &d'(x) \end{vmatrix}$. \item Généraliser à un déterminant $n\times n$. \item Application : Calculer $\begin{vmatrix} 1 & \cos x & \sin x \cr 1 & \cos (x+\alpha) & \sin (x+\alpha) \cr 1 & \cos (x+\beta) & \sin (x+\beta) \cr\end{vmatrix}$. \end{enumerate} \finenonce{003453} \finexercice \exercice{3454, quercia, 2010/03/10} \enonce{003454}{$\det( A + (\alpha) )$} Soit $A \in \mathcal{M}_n(K)$ et $U = \begin{pmatrix} 1 &\dots &1 \cr \vdots & &\vdots \cr 1 &\dots &1 \cr \end{pmatrix}$. \begin{enumerate} \item Démontrer que : $\det(A + \alpha U) = \det A + \alpha \sum \text{cofacteurs de } A$. \item En déduire la valeur de $D(a,b,c) = \begin{vmatrix}a & b & \dots & b \cr c & \ddots & \ddots & \vdots \cr \vdots & \ddots & \ddots & b \cr c & \dots & c & a \end{vmatrix}$, \begin{enumerate} \item pour $b \ne c$. \item pour $b = c$. \end{enumerate} \end{enumerate} \finenonce{003454} \finexercice \exercice{3455, quercia, 2010/03/10} \enonce{003455}{Déterminant tridiagonal, Matexo} Soit $n\in\N^*$, $(a_1,a_2,\ldots,a_n)\in{(\R^*_+)}^n$, $(b_1,b_2,\ldots,b_{n-1})\in{(\R^*_+)}^{n-1}$ et $(c_1,c_2,\ldots,c_{n-1})\in{(\R^*_-)}^{n-1}$. Montrer que le déterminant de la matrice suivante est strictement positif : $$ \begin{vmatrix} a_1 &b_1 & & & & \cr c_1 &a_2 &b_2 & & 0 & \cr &c_2 &a_3 &\ddots & & \cr & &\ddots &\ddots &\ddots & \cr & 0 & &\ddots &\ddots &b_{n-1} \cr & & & &c_{n-1} &a_n \cr\end{vmatrix}. $$ \finenonce{003455} \finexercice \exercice{3456, quercia, 2010/03/10} \enonce{003456}{Déterminants de Vandermonde} Soient $a_1, \dots ,a_n \in K$. Le déterminant de Vandermonde associé aux $a_i$ est : $V(a_1,\dots,a_n) = \det\Bigl(a_i^{j-1}\Bigr)$. \begin{enumerate} \item Calculer et factoriser $V(a,b)$ et $V(a,b,c)$. \item Pour $x \in K$, montrer que $V(a_1,\dots,a_n,x) = V(a_1,\dots,a_n)\prod_{i=1}^n(x-a_i)$. \item En déduire l'expression générale de $V(a_1,\dots,a_n)$. \end{enumerate} \finenonce{003456} \finexercice \exercice{3457, quercia, 2010/03/10} \enonce{003457}{Racines de l'unité} On note $\omega = e^{2i\pi/n}$, $\alpha = e^{i\pi/n}$ et $D$ le déterminant $n \times n$ : $D = \det\Bigl( \omega^{(k-1)(l-1)} \Bigr)$. \begin{enumerate} \item Calculer $D^2$. \item Montrer que $D = \prod_{k < \ell}(\omega^\ell - \omega^k) = \prod_{k < \ell}\left(\alpha^{k+\ell}\cdot 2i\sin\frac {\ell-k}n \pi\right)$. \item Exprimer $D$ sous forme trigonométrique. \end{enumerate} \finenonce{003457} \finexercice \exercice{3458, quercia, 2010/03/10} \enonce{003458}{Cosinus} Soient $\alpha_1, \dots, \alpha_n \in \R$. Mettre le déterminant : $\det\Bigl( \cos( (j-1)\alpha_i ) \Bigr)$ sous la forme d'un déterminant de Vandermonde. \finenonce{003458} \finexercice \exercice{3459, quercia, 2010/03/10} \enonce{003459}{$(x_i+y_j)^k$} Soit $k \le n-1$ et $M = \Bigl( (x_i+y_j)^k \Bigr)$. \'Ecrire $M$ comme produit de deux matrices et calculer $\det M$. \finenonce{003459} \finexercice \exercice{3460, quercia, 2010/03/10} \enonce{003460}{$P(i+j)$} Soit $P \in K_{n-1}[X]$ et $A = \Bigl( P(i+j) \Bigr) \in \mathcal{M}_n(K)$. Développer $P(i+j)$ par la formule de Taylor et écrire $A$ comme produit de deux matrices. En déduire $\det A$. \finenonce{003460} \finexercice \exercice{5362, rouget, 2010/07/06} \enonce{005362}{**} Montrer que $\left| \begin{array}{ccc} -2a&a+b&a+c\\ b+a&-2b&b+c\\ c+a&c+b&-2c \end{array}\right|=4(b+c)(c+a)(a+b)$. \finenonce{005362} \finexercice \exercice{5363, rouget, 2010/07/06} \enonce{005363}{**} Pour $a$, $b$ et $c$ deux à deux distincts donnés, factoriser $\left| \begin{array}{cccc} X&a&b&c\\ a&X&c&b\\ b&c&X&a\\ c&b&a&X \end{array}\right|$. \finenonce{005363} \finexercice \exercice{5364, rouget, 2010/07/06} \enonce{005364}{***} Calculer : \begin{enumerate} \item $\mbox{det}(|i-j|)_{1\leq i,j\leq n}$ \item $\mbox{det}(\sin(a_i+a_j))_{1\leq i,j\leq n}$ ($a_1$,...,$a_n$ étant $n$ réels donnés) \item $\left| \begin{array}{cccccc} a&0&\ldots& &\ldots&b\\ 0&a&\ddots& &b&0\\ \vdots&0&\ddots& &0&\vdots\\ \vdots&0& &\ddots&0&\vdots\\ 0&b& & &a&0\\ b&0&\ldots& &\ldots&a \end{array} \right|$ \item $\left|\begin{array}{ccccc} 1&1&\ldots& &1\\ 1&1&0&\ldots&0\\ \vdots&0&\ddots&\ddots&\vdots\\ \vdots&\vdots&\ddots&1&0\\ 1&0&\ldots&0&1 \end{array} \right|$ \item $\mbox{det}(C_{n+i-1}^{j-1})_{1\leq i,j\leq p+1}$ \item $\left|\begin{array}{cccccc} -X&1&0&\ldots&\ldots&0\\ 0&-X&1&\ddots& &\vdots\\ \vdots&\ddots&\ddots&\ddots&\ddots&\vdots\\ \vdots& &\ddots&\ddots&\ddots&0\\ 0&\ldots&\ldots&0&-X&1\\ a_0&\ldots& &\ldots&a_{n-2}&a_{n-1}-X \end{array} \right|$ \end{enumerate} \finenonce{005364} \finexercice \exercice{5365, rouget, 2010/07/06} \enonce{005365}{**** Déterminant de \textsc{Cauchy} et déterminant de \textsc{Hilbert}} Soit $A=\left(\frac{1}{a_i+b_j}\right)_{1\leq i,j\leq n}$ où $a_1$,..., $a_n$, $b_1$,...,$b_n$ sont $2n$ réels tels que toutes les sommes $a_i+b_j$ soient non nulles. Calculer $\mbox{det}A$ (en généralisant l'idée du calcul d'un déterminant de \textsc{Vandermonde} par l'utilisation d'une fraction rationnelle) et en donner une écriture condensée dans le cas $a_i=b_i=i$. \finenonce{005365} \finexercice \exercice{5366, rouget, 2010/07/06} \enonce{005366}{****} Soit $A=(a_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}$ où, pour tout $i$ et tout $j$, $a_{i,j}\in\{-1,1\}$. Montrer que $\mbox{det}\;A$ est un entier divisible par $2^{n-1}$. \finenonce{005366} \finexercice \exercice{5369, rouget, 2010/07/06} \enonce{005369}{**I} Soit $A=(a_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}$ et $B=(b_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}$ avec $b_{i,j}=(-1)^{i+j}a_{i,j}$. Montrer que $\mbox{det}B=\mbox{det}A$. \finenonce{005369} \finexercice \exercice{5371, rouget, 2010/07/06} \enonce{005371}{**** Déterminant circulant} Soit $A= \left( \begin{array}{cccccc} a_1&a_2&\ldots& &\ldots&a_n\\ a_n&a_1&a_2& & &a_{n-1}\\ a_{n-1}&a_n&a_1& & &a_{n-2}\\ \vdots& &\ddots&\ddots& &\vdots\\ & & &\ddots&\ddots&\vdots\\ a_2&a_3&\ldots& &a_n&a_1 \end{array} \right) $ et $P=(\omega^{(k-1)(l-1)})_{1\leq k,l\leq n}$ où $\omega=e^{2i\pi/n}$. Calculer $P^2$ et $PA$. En déduire $\mbox{det}A$. \finenonce{005371} \finexercice \exercice{5372, rouget, 2010/07/06} \enonce{005372}{***I} Calculer $\mbox{det}(\mbox{com}A)$ en fonction de $\mbox{det}A$ puis étudier le rang de $\mbox{com}A$ en fonction du rang de $A$. \finenonce{005372} \finexercice \exercice{5373, rouget, 2010/07/06} \enonce{005373}{***I Dérivée d'un déterminant} Soient $a_{i,j}$ ($(i,j)$ élément de $\{1,...,n\}^2$) $n^2$ fonctions de $\Rr$ dans $\Rr$, dérivables sur $\Rr$ et $A=(ai,j)_{1\leq i,j\leq n}$. Calculer la dérivée de la fonction $x\mapsto\mbox{det}(A(x))$. Applications. Calculer \begin{enumerate} \item $\left|\begin{array}{ccccc} x+1&1&\ldots& &1\\ 1&x+1&\ddots& &\vdots\\ \vdots&\ddots&\ddots&\ddots&\vdots\\ \vdots& &\ddots&\ddots&1\\ 1&\ldots&\ldots&1&x+1 \end{array} \right|$ \item $\left|\begin{array}{ccccc} x+a_1&x&\ldots& &x\\ x&x+a_2&\ddots& &\vdots\\ \vdots&\ddots&\ddots&\ddots&\vdots\\ \vdots& &\ddots&\ddots&x\\ x&\ldots&\ldots&x&x+a_n \end{array} \right|$ \end{enumerate} \finenonce{005373} \finexercice \exercice{5374, rouget, 2010/07/06} \enonce{005374}{***I} Calculer \begin{enumerate} \item $\left|\begin{array}{ccccc} 0&1&\ldots& &1\\ 1&0&\ddots& &\vdots\\ \vdots&\ddots&\ddots&\ddots&\vdots\\ \vdots& &\ddots&0&1\\ 1&\ldots&\ldots&1&0 \end{array} \right|$ et $\left|\begin{array}{ccccc} 1&1&\ldots& &1\\ 1&0&\ddots& &\vdots\\ \vdots&\ddots&\ddots&\ddots&\vdots\\ \vdots& &\ddots&0&1\\ 1&\ldots&\ldots&1&0 \end{array} \right|$ \item $\mbox{det}((i+j-1)^2)$ \item $\left|\begin{array}{ccccc} a&b&\ldots& &b\\ b&a&\ddots& &\vdots\\ \vdots&\ddots&\ddots&\ddots&\vdots\\ \vdots& &\ddots&a&b\\ b&\ldots&\ldots&b&a \end{array} \right|$ \item $\left|\begin{array}{ccccc} a_1+x&c+x&\ldots&\ldots&c+x\\ b+x&a_2+x&\ddots& &\vdots\\ \vdots&\ddots&\ddots&\ddots&\vdots\\ \vdots& &\ddots&a_{n-1}+x&c+x\\ b+x&\ldots&\ldots&b+x&a_n+x \end{array} \right|$$b$, $c$ complexes distincts \item $\left|\begin{array}{ccccc} 2&1&0&\ldots&0\\ 1&2&\ddots&\ddots&\vdots\\ 0&\ddots&\ddots&\ddots&0\\ \vdots&\ddots&\ddots&2&1\\ 1&\ldots&0&1&2 \end{array} \right|$. \end{enumerate} \finenonce{005374} \finexercice \exercice{5376, rouget, 2010/07/06} \enonce{005376}{} Donner une base du sous-espace vectoriel de $\Rr^5$ défini par~: $$\left\{ \begin{array}{l} x_1+2x_2-x_3+3x_4+x_5=0\\ x_2+x_3-2x_4+2x_5=0\\ 2x_1+x_2-5x_3-4x_5=0 \end{array} \right..$$ \finenonce{005376} \finexercice \exercice{5637, rouget, 2010/10/16} \enonce{005637}{***I Déterminants de \textsc{Vandermonde}} Soient $x_0$,..., $x_{n-1}$ $n$ nombres complexes. Calculer $\text{Van}(x_0,...,x_{n-1})= \text{det}(x_{j-1}^{i-1})_{1\leqslant i,j\leqslant n}$. \finenonce{005637} \finexercice \exercice{5638, rouget, 2010/10/16} \enonce{005638}{****I Déterminant de \textsc{Cauchy}} Soient $a_1$,..., $a_n$, $b_1$,..., $b_n$ $2n$ nombres complexes tels que toutes les sommes $a_i+b_j$, $1\leqslant i,j\leqslant n$, soient non nulles. Calculer $C_n=\text{det}\left(\frac{1}{a_i+b_j}\right)_{1\leqslant i,j\leqslant n}$. Cas particulier : $\forall i\in\llbracket1,n\rrbracket$, $a_i= b_i =i$ (déterminant de \textsc{Hilbert}). \finenonce{005638} \finexercice \exercice{5640, rouget, 2010/10/16} \enonce{005640}{**} Calculer $\text{det}(\sin(a_i+a_j))_{1\leqslant i,j\leqslant n}$ où $a_1$,..., $a_n$ sont $n$ réels donnés ($n\geqslant 2$). \finenonce{005640} \finexercice \exercice{5641, rouget, 2010/10/16} \enonce{005641}{**} Calculer $\text{det}(a_i+b_j)_{1\leqslant i,j\leqslant n}$ où $a_1$,..., $a_n$, $b_1$,\ldots, $b_n$ sont $2n$ complexes donnés. \finenonce{005641} \finexercice \exercice{5642, rouget, 2010/10/16} \enonce{005642}{**} Calculer $\text{det}((a+i+j)^2)_{1\leqslant i,j\leqslant n}$ où $a$ est un complexe donné. \finenonce{005642} \finexercice \exercice{5643, rouget, 2010/10/16} \enonce{005643}{****} Soient $x_1$,..., $x_n$ $n$ entiers naturels tels que $x_1<... 1$. Montrer qu'il existe une matrice triangulaire inf\'erieure $L$ v\'erifiant $l_{i,j} = 0$ si $j > i+1$ et une triangulaire sup\'erieure $U$ v\'erifiant $u_{i,i} = 1$ et $u_{i,j} = 0$ si $i > j+1$ telles que $A = LU$, et que ces matrices sont uniques. En d\'eduire la solution du syst\`eme lin\'eaire $Ax = b$, o\`u $b$ est un vecteur donn\'e dans $\R^n$. \finenonce{002465} \finexercice \exercice{2478, matexo1, 2002/02/01} \enonce{002478}{} \catcode`\@=11 \def\system#1{\left\{\null\,\vcenter{\openup1\jot\m@th \ialign{\strut\hfil$##$&$##$\hfil&&\enspace$##$\enspace& \hfil$##$&$##$\hfil\crcr#1\crcr}}\right.} \catcode`\@=12 R{\'e}soudre $$S_1\system{ &x&+&\cosh a\ &y&+&\cosh 2a\ &z&=&&\cosh 3a\cr \cosh a\ &x&+&\cosh 2a\ &y&+&\cosh 3a\ &z&=&&\cosh 4a\cr \cosh 2a\ &x&+&\cosh 3a\ &y&+&\cosh 4a\ &z&=&&\cosh 5a\cr}$$ et $$ S_2 \system{ &x_1&+&&x_2&+&\ldots&&+&&x_n&=&&1\cr &x_1&+&2&x_2&+&\ldots&&+&n&x_n&=&&0\cr &x_1&+&2^2&x_2&+&\ldots&&+&n^2&x_n&=&&0\cr & & & & & &\vdots&& & & & &&\cr &x_1&+&2^{n-1}&x_2&+&\ldots&&+&n^{n-1}&x_n&=&&0\cr} $$ \finenonce{002478} \finexercice \exercice{2731, tumpach, 2009/10/25} \enonce{002731}{} D\'ecider, pour chacun des syst\`emes d'\'equations aux inconnues $x_1$, $x_2$, $\dots$, $x_n$ et aux param\`etres $s$, $t$, s'il est lin\'eaire~: $$ \begin{array}{ll} a) \left\{ \begin{array}{ccccc}x_1\sin(t) &+ & x_2 & = &3\\x_1 e^t & +& 3 x_2 & = & t^2\end{array}\right. & b) \left\{ \begin{array}{cccccc}\frac{1}{x_1} & + \frac{2}{x_2} & +\dots & +\frac{n}{x_n} & = &n!\\x_1 & + \frac{x_2}{2} & + \dots & + \frac{x_n}{n} & = &\frac{1}{n!}\end{array}\right. \\\end{array} $$ $$ c)\left\{ \begin{array}{ccc}\sqrt{(x_1 + sx_2 + t)^2 - 4sx_2(x_1 + t)} & = & 0\\x_1 \ln s - \pi x_2 + e^t x_n & = & 0\end{array}\right. $$ $$ d)\left\{ \begin{array}{ccc}(1 + sx_1)(3 + t x_2) - (2 + t x_1)(5 + s x_2) & = & 8\\(x_3 + s)^2 - (x_3 - s)^2 + x_2 & = & 0\end{array}\right. $$ \finenonce{002731} \finexercice \exercice{2732, tumpach, 2009/10/25} \enonce{002732}{} En appliquant l'algorithme de Gauss, r\'esoudre le syst\`eme lin\'eaire suivant~: $$ \mathcal{S} ~: \left\{ \begin{array}{ccccccccc} 2x_1 & + & 4x_2 & - & 6x_3 & - & 2x_4 & = & 2\\ 3x_1 & + & 6x_2 & - & 7x_3 & + & 4x_4 &= & 2\\ 5x_1 & + & 10 x_2 & - & 11 x_3 & + & 6x_4 & = & 3 \end{array} \right.. $$ \finenonce{002732} \finexercice \exercice{2733, tumpach, 2009/10/25} \enonce{002733}{} R\'esoudre le syst\`eme~: $$ \left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 1 & 2\\-1 & 2 & 0 & 1\\ 3 & 2 & 1 & 2\\4 & 3 & 2 & 3\\1 & -1 & 1 & -2 \end{array} \right) \left(\begin{array}{c}x \\ y \\ z \\ t\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ -1 \\ 3 \\ 1\end{array}\right). $$ \finenonce{002733} \finexercice \exercice{2734, tumpach, 2009/10/25} \enonce{002734}{} R\'esoudre le syst\`eme~: $$ \left(\begin{array}{ccccc} 1 & 0 & 2 & 1 & 1\\2 & 1 & 3 & -1 & 2\\ -2 & -1 & 1 & -3& 2\\3 & 2 & 0 & 1&-1 \end{array} \right) \left(\begin{array}{c}x \\ y \\ z \\ t\\u\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right). $$ \finenonce{002734} \finexercice \exercice{2735, tumpach, 2009/10/25} \enonce{002735}{} Soit $a$ un nombre r\'eel. On \'etudie le syst\`eme lin\'eaire suivant~: $$ \mathcal{S}_{a}~: \left\{\begin{array}{ccccccc} x & - & 2y & + & 3z & = & 2\\ x & + & 3y & - & 2z & = & 5\\ 2x & - & y & + & az & = & 1 \end{array}\right. $$ \begin{enumerate} \item En fonction des valeurs du param\`etre $a$, d\'eterminer si le syst\`eme $\mathcal{S}_{a}$ peut~: \begin{enumerate} \item[(i)] n'admettre aucune solution ; \item[(ii)] admettre exactement une solution ; \item[(iii)] admettre une infinit\'e de solutions. \end{enumerate} \item R\'esoudre le syst\`eme $\mathcal{S}_a$ lorsque celui-ci admet une (des) solution(s). \end{enumerate} \finenonce{002735} \finexercice \exercice{2736, tumpach, 2009/10/25} \enonce{002736}{} Les vecteurs complexes $(z, w)$ et $(z', w')$ sont li\'es par la formule $(z', w') = (z + iw, (1+i)z + (1-2i)w)$. Un \'etudiant qui n'aime pas les nombres complexes pose $z = x + iy$, $w = u + iv$, $z' = x' + i y'$ et $w' = u'+iv'$. \begin{enumerate} \item Exprimer $(x', y', u', v')$ en fonction de $(x, y, u, v)$. \item R\'esoudre le syst\`eme $(x', y', u', v') = (1, 2, 3, 4)$. \end{enumerate} \finenonce{002736} \finexercice \exercice{2737, tumpach, 2009/10/25} \enonce{002737}{} Un cycliste s'entra\^ine chaque dimanche en faisant l'aller-retour d'Issy \`a Labat. Le trajet Issy-Labat n'est pas horizontal~: il y a des mont\'ees, des descentes et du plat. En mont\'ee, notre cycliste fait du quinze kilom\`etres \`a l'heure, en plat du vingt, en descente du trente. L'aller lui prend deux heures et le retour trois. Sur la portion du trajet qui n'est pas plate, la pente moyenne est de cinq pour cent. \begin{enumerate} \item Quelle est la distance d'Issy \`a Labat, quelle est la plus haute de ces deux villes, et quelle est leur diff\'erence d'altitude~? \item Un autre cycliste, plus sportif, fait du vingt kilom\`etres \`a l'heure en mont\'ee, trente en plat et quarante en descente. Sachant que l'aller-retour Issy-Labat lui prend seulement trois heures quarante, d\'eterminer les trois longueurs~: de la partie du trajet qui monte, de celle qui descend, de celle qui est \`a plat. \end{enumerate} \finenonce{002737} \finexercice \exercice{2738, tumpach, 2009/10/25} \enonce{002738}{} Soient $a$, $b$, et $c$ trois nombres r\'eels. \begin{enumerate} \item Quelle relation doivent satisfaire les param\`etres $a$, $b$ et $c$ pour que le syst\`eme suivant ait au moins une solution~? $$ \mathcal{S}_{abc}~: \left\{\begin{array}{ccccccc} x & + & 2y & - & 3z & = & a\\ 2x & + & 6y & - & 11z & = & b\\ x & - & 2y & + & 7z & = & c \end{array}\right. $$ \item Est-ce que le syst\`eme $\mathcal{S}_{abc}$ peut avoir une unique solution~? \end{enumerate} \finenonce{002738} \finexercice \exercice{2739, tumpach, 2009/10/25} \enonce{002739}{} R\'esoudre, suivant les valeurs de $m$~: $$\mathcal{S}_1~:\; \left\{\begin{array}{ccccl} x & + & (m+1)y &=& m+2 \\ mx & + & (m+4)y &=&3 \end{array}\right.$$ $$\mathcal{S}_2~:\; \left\{\begin{array}{rcccl} mx & + &(m-1)y & =& m+2 \\ (m+1)x & - &my &=&5m+3 \end{array}\right.$$ \finenonce{002739} \finexercice \exercice{2768, tumpach, 2009/10/25} \video{NxowOl4QnIA} \enonce{002768}{} \begin{enumerate} \item Résoudre de quatre manières différentes le système suivant (par substitution, par la méthode du pivot de Gauss, en inversant la matrice des coefficients, par la formule de Cramer)~: $$ \left\{\begin{array}{ccccc}2x & + & y & = & 1\\ 3x & + & 7y & = & -2 \end{array}\right. $$ \item Choisir la méthode qui vous para\^it la plus rapide pour résoudre, selon les valeurs de $a$, les systèmes suivants~: $$ \left\{\begin{array}{ccccc} ax & + & y & = & 2\\ (a^2 + 1)x & + & 2ay & = & 1 \end{array} \right. \qquad \left\{\begin{array}{ccccc} (a + 1)x & + & (a - 1)y & = & 1\\ (a - 1)x & + & (a + 1)y & = & 1 \end{array} \right. $$ \end{enumerate} \finenonce{002768} \finexercice \exercice{2769, tumpach, 2009/10/25} \enonce{002769}{} R\'esoudre le syst\`eme suivant de $5$ \'equations \`a $6$ inconnues~: $$ \left\{\begin{array}{cccccccccccl} 2x & + & y & + & z & - & 2u & + & 3v & - &w & = 1\\ 3x & + & 2y & + & 2z & - & 3u & + & 5v & - & 3w & = 4\\ 2x & + &2y & + & 2z & -&2u & +& 4v &- &4w& = 6\\ x & + & y &+& z & - & u &+& 2v & -& 2w & = 3\\ 3x & & && & - &3u & + & 3v & + & 3w & = -6 \end{array}\right. $$ \finenonce{002769} \finexercice \exercice{3408, quercia, 2010/03/10} \enonce{003408}{Système avec paramètre} \'Etudier l'existence de solutions du système : $$\left\{\begin{array}{ccccccc} x &+& y &+& (1-m)z &=& m+2 \cr (1+m)x &-& y &+& 2z &=& 0 \cr 2x &-& my &+& 3z &=& m+2. \cr\end{array}\right.$$ \finenonce{003408} \finexercice \exercice{3409, quercia, 2010/03/10} \enonce{003409}{Système avec paramètre} \'Etudier l'existence de solutions du système : $$\left\{\begin{array}{ccccccc} x &-& my &+& m^2z &=& m \cr mx &-& m^2y &+& mz &=& 1 \cr mx &+& y &-& m^3z &=& -1. \cr\end{array}\right.$$ \finenonce{003409} \finexercice \exercice{3410, quercia, 2010/03/10} \enonce{003410}{Système avec paramètre} \'Etudier l'existence de solutions du système : $$\left\{\begin{array}{ccccccc} x &+& my &+& z &=& 1 \cr (m+1)x &+& 2y &+& (m-3)z &=& -1 \cr (m-1)x & & &-& 3z &=& -1.\cr \end{array}\right.$$ \finenonce{003410} \finexercice \exercice{3411, quercia, 2010/03/10} \enonce{003411}{Système avec paramètre} \'Etudier l'existence de solutions du système : $$\left\{\begin{array}{ccccccc} 3mx &+& (3m-7)y &+& (m-5)z &=& m-1 \cr (2m-1)x &+& (4m-1)y &+& 2mz &=& m+1 \cr 4mx &+& (5m-7)y &+& (2m-5)z &=& 0. \cr\end{array}\right.$$ \finenonce{003411} \finexercice \exercice{3412, quercia, 2010/03/10} \enonce{003412}{Système avec paramètre} \'Etudier l'existence de solutions du système : $$\left\{\begin{array}{ccccccc} x &+& y &+& z &= &1 \cr ax &+& by &+& cz &= &d \cr a(a-1)x &+& b(b-1)y &+& c(c-1)z &= &d(d-1). \cr\end{array}\right.$$ \finenonce{003412} \finexercice \exercice{3413, quercia, 2010/03/10} \enonce{003413}{Système avec paramètre} \'Etudier l'existence de solutions du système : $$\left\{\begin{array}{ccccccccc} x &+& y &+& z &+& t &=& a \cr x &-& y &-& z &+& t &=& b \cr -x &-& y &+& z &+& t &=& c \cr -3x &+& y &-&3z &-&7t &=& d.\cr\end{array}\right.$$ \finenonce{003413} \finexercice \exercice{3414, quercia, 2010/03/10} \enonce{003414}{Système avec paramètre} \'Etudier l'existence de solutions du système : $$\left\{\begin{array}{ccccccccc} 4x &+&3y &+&2z &+& t &=& a \cr x &+&4y &+&3z &+&2t &=& b \cr 2x &+& y &+&4z &+&3t &=& c \cr 3x &+&2y &+& z &+&4t &=& d.\cr\end{array}\right.$$ \finenonce{003414} \finexercice \exercice{3415, quercia, 2010/03/10} \enonce{003415}{Système avec paramètre} \'Etudier l'existence de solutions du système : $$\left\{\begin{array}{ccccccc} x\cos2\alpha &+& y\cos\alpha &+& z &=& a \cr x\cos2\beta &+& y\cos\beta &+& z &=& b \cr x\cos2\gamma &+& y\cos\gamma &+& z &=& c.\cr\end{array}\right.$$ \finenonce{003415} \finexercice \exercice{3416, quercia, 2010/03/10} \enonce{003416}{Système avec paramètre} \'Etudier l'existence de solutions du système : $$\left\{\begin{array}{l}ax-by=p\cr by-cz=q\cr cz-ax=r.\cr\end{array}\right.$$ \finenonce{003416} \finexercice \exercice{3417, quercia, 2010/03/10} \video{V12UnKijqcg} \enonce{003417}{} \'Etudier l'existence de solutions du système : $$\left\{\begin{array}{ccccccc} ax &+& by &+& z &=& 1 \cr x &+& aby &+& z &=& b \cr x &+& by &+& az &=& 1.\cr\end{array}\right.$$ \finenonce{003417} \finexercice \exercice{3418, quercia, 2010/03/10} \enonce{003418}{Système avec paramètre} \'Etudier l'existence de solutions du système : $$\left\{\begin{array}{ccccccc} \frac x{1+a} &+& \frac y{1+2a} &+& \frac z{1+3a} &=& 1 \cr \frac x{2+a} &+& \frac y{2+2a} &+& \frac z{2+3a} &=& 1 \cr \frac x{3+a} &+& \frac y{3+2a} &+& \frac z{3+3a} &=& 1.\cr\end{array}\right.$$ \finenonce{003418} \finexercice \exercice{3419, quercia, 2010/03/10} \enonce{003419}{Système incompatible} Soit $(S) \iff AX = B$ un système linéaire incompatible. Montrer que les lignes de $A$ sont liées. \finenonce{003419} \finexercice \exercice{3420, quercia, 2010/03/10} \enonce{003420}{Combinaison de formes linéaires} Soient $f,f_1,\dots,f_p$ des formes linéaires sur $ K^n$ linéairement indépendantes. Montrer que $f$ est combinaison linéaire de $f_1, \dots, f_p$ si et seulement si $\mathrm{Ker} f \supset \mathrm{Ker} f_1 \cap \dots \cap \mathrm{Ker} f_p$. Indication : \'Etudier le système $$ \left\{\begin{array}{lll} f_1(x) &=& 0 \cr \quad\vdots \cr f_p(x) &=& 0 \cr f(x) &=& 1.\cr \end{array}\right.$$ Le résultat est-il encore vrai si on ne suppose pas $(f_1, \dots, f_p)$ libre ? \finenonce{003420} \finexercice \exercice{3421, quercia, 2010/03/10} \enonce{003421}{Base antiduale} Soient $f_1, \dots, f_n$, $n$ formes linéaires indépendantes sur un ev $E$ de dimension $n$. Montrer qu'il existe une base $(\vec e_i)$ de $E$ telle que $f_i = {\vec e_i}^{\;*}$. \finenonce{003421} \finexercice \exercice{3422, quercia, 2010/03/10} \enonce{003422}{Orthogonal d'un sev} Soit $E$ un $ K$-ev de dimension $n$ et $F$ un sev de $E^*$ dimension $p$. On note $F^\bot = \{ \vec x \in E \text{ tq } \forall\ f \in F \text{ on a } f(\vec x) = 0 \}$. Chercher $\dim F^\bot$. \finenonce{003422} \finexercice \exercice{3423, quercia, 2010/03/10} \enonce{003423}{Système de Vandermonde} Soient $\alpha_1, \dots, \alpha_n$, $n$ scalaires distincts et $M$ la matrice $\big(\alpha_i^{j-1}\big)$ (matrice de Vandermonde). Montrer que $M$ est inversible en interprétant le système $MX = 0$ dans $ K_{n-1}[x]$. \finenonce{003423} \finexercice \exercice{3424, quercia, 2010/03/10} \video{wKgDXlqxneE} \enonce{003424}{Formule d'intégration numérique} Trouver trois réels $\alpha, \beta, \gamma$ tels que pour tout polynôme de degré $\le 3$ on ait : $$ \int_{2}^4 P(x)\; dx = \alpha P(2) + \beta P(3) + \gamma P(4).$$ \finenonce{003424} \finexercice \exercice{3425, quercia, 2010/03/10} \enonce{003425}{Système non linéaire} Résoudre le système : $$\left\{ \begin{array} {lll} x^3y^2z^6 &=& 1 \cr x^4y^5z^{12} &=& 2 \cr x^2y^2z^5 &=& 3.\cr \end{array}\right.$$ \begin{enumerate} \item Lorsque $x,y,z$ sont réels strictement positifs. \item Lorsque $x,y,z \in \C$. \end{enumerate} \finenonce{003425} \finexercice\exercice{3431, quercia, 2010/03/10} \enonce{003431}{Comatrice, Ensi P 91} Soit $A \in \mathcal{M}_n(\R)$. \'Etudier le rang de $\text{com}(A)$ en fonction du rang de $A$. \finenonce{003431} \finexercice \exercice{3432, quercia, 2010/03/10} \enonce{003432}{Comatrice} Soit $n\ge 2$ et $A \in \mathcal{M}_n(K)$. \begin{enumerate} \item Calculer $\text{com}\,(\text{com}\, A)$ dans le cas où $A$ est inversible. \item Si $\mathrm{rg} A \le n-2$, démontrer que $\text{com}\, A = 0$. \item Si $\mathrm{rg} A = n-1$, démontrer que $\mathrm{rg}(\text{com}\, A)= 1$. \item Dans le cas général, démontrer que $\text{com}\,(\text{com}\, A) = (\det A)^{n-2}A$. \end{enumerate} \finenonce{003432} \finexercice\exercice{3461, quercia, 2010/03/10} \enonce{003461}{Calcul de rang} Chercher les rangs des matrices suivantes : \begin{enumerate} \item $\begin{pmatrix} 1 &2 &-4 &-2 &-1 \cr 0 &-2 &4 &2 &0 \cr 1 &1 &-2 &-1 &1 \cr \end{pmatrix}$. \item $\begin{pmatrix} 0 &-1 &2 &-2 \cr -7 &-7 &2 &-8 \cr 0 &4 &-6 &6 \cr 2 &-2 &0 &-2 \cr \end{pmatrix}$. \item $\begin{pmatrix} 1 &7 &2 &5 \cr -2 &1 &1 &5 \cr -1 &2 &1 &4 \cr 1 &4 &1 &2 \cr \end{pmatrix}$. \item $\begin{pmatrix} 1 &4 &-1 &2 &4 \cr 2 &0 &-3 &-1 &7 \cr -2 &3 &2 &1 &4 \cr \end{pmatrix}$. \end{enumerate} \finenonce{003461} \finexercice \exercice{3462, quercia, 2010/03/10} \enonce{003462}{Calcul de rang} Chercher $\mathrm{rg}\begin{pmatrix}1 &-1 & 0 & 1 \cr m & 1 &-1 &-1 \cr 1 &-m & 1 & 0 \cr 1 &-1 & m& 2 \cr\end{pmatrix}$ en fonction de $m\in\C$. \finenonce{003462} \finexercice \exercice{3463, quercia, 2010/03/10} \enonce{003463}{Calcul de rang} Chercher $\mathrm{rg}\begin{pmatrix} \lambda &1 &\phantom-5 \cr -1 &4 &\lambda \cr 3 & -1 &5 \end{pmatrix}$ et le cas échéant, donner une relation de dépendance linéaire entre les lignes. \finenonce{003463} \finexercice \exercice{3464, quercia, 2010/03/10} \enonce{003464}{Calcul de rang} Chercher $\mathrm{rg}\begin{pmatrix} 2&\phantom-4&-5&-7 \cr -1&3&1&2 \cr 1&a&-2&b \end{pmatrix}$ en fonction de $a$ et $b$. \finenonce{003464} \finexercice \exercice{3465, quercia, 2010/03/10} \enonce{003465}{Matrice à trou} Soient $A \in \mathcal{M}_{3,2}(K),\ B \in \mathcal{M}_{2,2}(K),\ C \in \mathcal{M}_{2,3}(K)$ telles que $ABC = \begin{pmatrix} 1&1&\phantom-2 \cr -2&x&1 \cr 1&-2&1 \end{pmatrix}$. Trouver $x$. \finenonce{003465} \finexercice \exercice{3466, quercia, 2010/03/10} \enonce{003466}{Factorisation, Centrale P' 1996} Soit la matrice carrée d'ordre~$n$, $I_p$ ($p\le n$), telle que le $i$-ème terme diagonal vaut 1 si $i$ est compris entre $p$ et~$n$, tous les autres coefficients étant nuls. Quelle sont les conditions sur~$A$ (matrice carrée d'ordre~$n$) pour qu'il existe~$B$ telle que $AB=I_p$~? \finenonce{003466} \finexercice \exercice{3467, quercia, 2010/03/10} \enonce{003467}{\'Echange de lignes} Soit $A \in \mathcal{M}_n(K)$ inversible et $B$ la matrice obtenue en échangeant dans $A$ les colonnes $i$ et $j$. Montrer que $B$ est aussi inversible. Comment passe-t-on de $A^{-1}$ à $B^{-1}$ ? \finenonce{003467} \finexercice \exercice{3468, quercia, 2010/03/10} \enonce{003468}{Matrices de rang 1} Soit $M \in \mathcal{M}_n(K)$. Montrer que : \smallskip \leavevmode\hfil $\mathrm{rg}(M) = 1 \iff$ il existe $C$, colonne et $L$, ligne, non nulles, telles que $M = CL$. \hfil \smallskip \finenonce{003468} \finexercice \exercice{3469, quercia, 2010/03/10} \enonce{003469}{Matrices de projection de rang 1} Soit $A \in \mathcal{M}_n(K)$ de rang 1. Montrer que $A$ est une matrice de projection si et seulement si $\mathrm{tr} A = 1$. \finenonce{003469} \finexercice \exercice{3470, quercia, 2010/03/10} \enonce{003470}{Calcul de rang} Soient $x_1, \dots, x_p, y_1, \dots y_p \in K$. On note $A,B$ les matrices de termes généraux $x_i + y_j$ et $(x_i+y_j)^2$. Chercher les rangs de A et~B. \finenonce{003470} \finexercice \exercice{3471, quercia, 2010/03/10} \enonce{003471}{Juxtaposition de matrices} Soient $A \in \mathcal{M}_{n,p}(K)$ et $B \in \mathcal{M}_{n,q}(K)$. On considère $C = (A\ B) \in \mathcal{M}_{n,p+q}(K)$. Montrer que : $\mathrm{rg}(C) = \mathrm{rg}(A) \Leftrightarrow \exists\ P \in \mathcal{M}_{p,q}(K)$ tq $B = AP$. \finenonce{003471} \finexercice \exercice{3472, quercia, 2010/03/10} \enonce{003472}{$\mathrm{rg}(A) = \mathrm{rg}({}^t\!AA)$} Soit $A \in \mathcal{M}_n(\R)$, et $B = {}^t\!AA$. \begin{enumerate} \item Montrer que : $\forall\ Y \in \mathcal{M}_{n,1}(\R)$, ${}^tYY = 0 \Leftrightarrow Y = 0$. \item Montrer que : $\forall\ X \in \mathcal{M}_{n,1}(\R)$, $BX = 0 \Leftrightarrow AX = 0$. \item En déduire que $\mathrm{rg}(A) = \mathrm{rg}(B)$. \item Trouver une matrice $A \in \mathcal{M}_2(\C)$ telle que $\mathrm{rg}(A) \ne \mathrm{rg}({}^t\!AA)$. \end{enumerate} \finenonce{003472} \finexercice \exercice{3473, quercia, 2010/03/10} \enonce{003473}{Rang de $\Re(M)$} Soit $M \in \mathcal{M}_n(\C)$ de rang 1. On écrit $M = P + iQ$ avec $P,Q \in \mathcal{M}_n(\R)$. Montrer que rg$(P) \le 2$. \finenonce{003473} \finexercice \exercice{3474, quercia, 2010/03/10} \enonce{003474}{Calcul de rang} Soit $M = \Bigl(\cos (i+j-1)\theta \Bigr) \in \mathcal{M}_n(\R)$. Déterminer $\mathrm{rg} M$ en fonction de $\theta$. \finenonce{003474} \finexercice \exercice{3475, quercia, 2010/03/10} \enonce{003475}{Décomposition en blocs} Soit $M = \begin{pmatrix} A & B \cr C & D \cr \end{pmatrix}$ une matrice carrée décomposée en blocs. On suppose que $A$ est inversible. Montrer que $\mathrm{rg} M = \mathrm{rg} A + \mathrm{rg} (D - CA^{-1}B)$. \finenonce{003475} \finexercice \exercice{3476, quercia, 2010/03/10} \enonce{003476}{$MA=0$, Chimie P' 90} Soit $A \in \mathcal{M}_n(\R)$ et $E = \{ M \in \mathcal{M}_n(\R)$ tq $MA = 0 \}$. Quelle est la structure de $E$, sa dimension~? \finenonce{003476} \finexercice \exercice{3477, quercia, 2010/03/10} \enonce{003477}{Rang des applications $X \mapsto AX, XB, AXB$} Soient $A \in \mathcal{M}_{n,p}(K)$ et $B \in \mathcal{M}_{q,r}(K)$. Chercher le rang des applications : $$ f : {\mathcal{M}_{p,q}(K)} \to {\mathcal{M}_{n,q}(K)}, X \mapsto {AX}\qquad g : {\mathcal{M}_{p,q}(K)} \to {\mathcal{M}_{p,r}(K)} X \mapsto{XB} $$ $$ h : {\mathcal{M}_{p,q}(K)} \to {\mathcal{M}_{n,r}(K)} X \mapsto{AXB} $$ (on transformera $A$ et $B$ en matrices canoniques équivalentes) \finenonce{003477} \finexercice \exercice{3478, quercia, 2010/03/10} \enonce{003478}{Rang de $X \mapsto AX - XA$} Soit $A \in \mathcal{M}_{2}(K)$. Chercher le rang de l'application ${\mathcal{M}_{2}(K)}\to {\mathcal{M}_{2}(K)}, M \mapsto{AM-MA}$ \finenonce{003478} \finexercice \exercice{3479, quercia, 2010/03/10} \enonce{003479}{Matrice antisymétrique $3\times3$} Soit $M \in \mathcal{M}_3(K)$ antisymétrique. Quel est le rang de $M$ ? \finenonce{003479} \finexercice \exercice{3480, quercia, 2010/03/10} \enonce{003480}{Matrices antisymétriques} Soit $A=(a_{ij}) \in \mathcal{M}_n(K)$ antisymétrique. \begin{enumerate} \item On suppose $a_{12} \ne 0$, et on décompose $A$ sous la forme : $A = \begin{pmatrix} J &U \cr {-{}^tU} &V\cr\end{pmatrix}$ avec $J = \begin{pmatrix} 0 &a_{12} \cr -a_{12} &0 \cr\end{pmatrix}$.\par Soit $P = \begin{pmatrix} I_2 &-J^{-1}U \cr 0 &I_{n-2}\cr\end{pmatrix}$. \begin{enumerate} \item Montrer que $P$ existe et est inversible. \item Calculer $AP$. \item En déduire que $\mathrm{rg}(A) = 2 + \mathrm{rg}({}^tUJ^{-1}U + V)$. \end{enumerate} \item Dans le cas général, montrer que $\mathrm{rg}(A)$ est pair. \end{enumerate} \finenonce{003480} \finexercice \exercice{3481, quercia, 2010/03/10} \enonce{003481}{Matrice à diagonale dominante} Soit $M=(a_{ij}) \in \mathcal{M}_n(\C)$. On dit que $M$ est {\it à diagonale dominante\/} si : $\forall\ i,\ |a_{ii}| > \sum_{j\ne i}|a_{ij}|$. \begin{enumerate} \item On transforme $M$ en $M' = \begin{pmatrix} a_{11} &\ a_{12}&\dots &a_{1n} \cr 0 \cr \vdots & &M_1 \cr 0 \cr \end{pmatrix}$ par la méthode du pivot. Montrer que $M_1$ est à diagonale dominante. \item En déduire que $M$ est inversible. \end{enumerate} \finenonce{003481} \finexercice \exercice{3482, quercia, 2010/03/10} \enonce{003482}{Rang par blocs, Matexo} Soit une matrice $M$ de rang $r$ telle que~: $$M=\begin{pmatrix} M_r&M_2\cr M_1&M_3\cr\end{pmatrix},$$ où la matrice $M_r$ est carrée de rang $r$ et de taille $r$. Montrer que $M_3=M_1M_r^{-1}M_2$. \finenonce{003482} \finexercice \exercice{3483, quercia, 2010/03/10} \enonce{003483}{$\mathrm{rg}(BC)$, Centrale MP 2006} \begin{enumerate} \item Soient deux matrices $B \in \mathcal{M}_{n,r}(\R)$ et $C \in \mathcal{M}_{r,n}(\R)$ de même rang $r$. Montrer que $A = BC$ est de rang $r$. \item Réciproquement, soit $A \in \mathcal{M}_n(\R)$ de rang $r \ge 1$. Montrer qu'il existe des matrices $B$ et $C$ comme précédemment telles que $A = BC$. \item Déterminer explicitement une telle décomposition pour $A = \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 \cr 2 & 3 & 4 & 5 \cr 3 & 4 & 5 & 6 \cr 4 & 5 & 6 & a\cr\end{pmatrix}$, $a \in \R$. \item Supposons de plus $A$ symétrique. Montrer que $CB$ est aussi de rang $r$. \end{enumerate} \finenonce{003483} \finexercice \exercice{3484, quercia, 2010/03/10} \enonce{003484}{$PA$ nilpotente} Soit $A\in\mathcal{M}_n(K)$. Montrer que $A$ est non inversible si et seulement s'il existe $P\in GL_n( K)$ telle que $PA$ est nilpotente. \finenonce{003484} \finexercice \exercice{5367, rouget, 2010/07/06} \enonce{005367}{***} Résoudre le système $MX=U$ où $M=\left( \begin{array}{ccccc} 1&1&\ldots&\ldots&1\\ 1&2&\ldots&\ldots&n\\ 1&2^2&\ldots&\ldots&n^2\\ \vdots&\vdots& & &\vdots\\ 1&2^{n-1}&\ldots&\ldots&n^{n-1} \end{array} \right)$. \finenonce{005367} \finexercice \exercice{5375, rouget, 2010/07/06} \enonce{005375}{} Résoudre (en discutant en fonction des différents paramètres) les systèmes suivants~: $$ \begin{array}{ccc} 1)\;\left\{ \begin{array}{l} 2x+3y+z=4\\ -x+my+2z=5\\ 7x+3y+(m-5)z=7 \end{array} \right.& 2)\;\left\{ \begin{array}{l} 2x+my+z=3m\\ x-(2m+1)y+2z=4\\ 5x-y+4z=3m-2 \end{array} \right.& 3)\;\left\{ \begin{array}{l} x+y+z+t=3\\ x+my+z-mt=m+2\\ mx-y-mz-t=-1 \end{array} \right.\\ 4)\;\left\{ \begin{array}{l} x+2y+3z+mt=m-1\\ 2x+y+mz+3t=1\\ 3x+my+z+2t=0\\ mx+3y+2z+t=0 \end{array} \right.&5)\;\left\{ \begin{array}{l} mx+y+z=m+2\\ -x-y+mz=m-2\\ -mx+y+mz=-m\\ x-y-mz=m-4 \end{array} \right.&6)\; \left\{ \begin{array}{l} x+y+z=1\\ ax+by+cz=m\\ \frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=\frac{1}{m} \end{array} \right.\\ 7)\; \left\{ \begin{array}{l} (b+c)^2x+b^2y+c^2z=1\\ a^2x+(c+a)^2y+c^2z=1\\ a^2x+b^2y+(a+b)^2z=1 \end{array} \right.&8)\;\left\{ \begin{array}{l} ax+by+cz=p\\ cx+ay+bz=q\\ bx+cy+az=r \end{array} \right.& \\ 9)\;\left\{ \begin{array}{l} x+y+z=0\\ ax+by+cz=2\\ a^2x+b^2y+c^2z=3 \end{array} \right.&(\mbox{où}\;a,\;b,\;\mbox{et}\;c\;\mbox{sont les racines de l'équation}&t^3-t+1=0). \end{array}$$ \finenonce{005375} \finexercice \exercice{5378, rouget, 2010/07/06} \enonce{005378}{} Résoudre le système~:~$x_1+x_2=0$, $x_{k-1}+x_k+x_{k+1}=0$ pour $k=2,...,n-1$, $x_{n-1}+x_n=0$. \finenonce{005378} \finexercice \exercice{5381, rouget, 2010/07/06} \enonce{005381}{} Soient $a_1$,..., $a_n$, $b_1$,..., $b_n$ $2n$ nombres complexes deux à deux distincts tels que les sommes $a_i+b_j$ soient toutes non nulles. Résoudre le système $\sum_{j=1}^{n}\frac{x_j}{a_i+b_j}=1$, pour tout $i=1,...,n$ (en utilisant la décomposition en éléments simples de $R=\sum_{j=1}^{n}\frac{x_j}{X+b_j}$). \finenonce{005381} \finexercice\exercice{5639, rouget, 2010/10/16} \enonce{005639}{**} Résoudre le système $MX = U$ où $M =(j^{i-1})_{1\leqslant i,j\leqslant n}\in M_n(\Rr)$, $U=(\delta_{i,1})_{1\leqslant i\leqslant n}\in M_{n,1}(\Rr)$ et $X$ est un vecteur colonne inconnu. \finenonce{005639} \finexercice \exercice{7026, megy, 2016/10/28} \enonce{007026}{} % source : une partie de ces systèmes provient de Lebossé & Hémery, classe de troisième (!), 1964. Résoudre les systèmes suivants, en précisant auparavant le domaine de résolution. \[ \begin{cases} \frac{x+2}{x}=\frac{y+1}{y-2}\\ \frac{5x+1}{5x-2}=\frac{y-1}{y-2} \end{cases} \quad \begin{cases} \frac{(x+3)^2+(y-1)^2}{x^2+y^2}=1\\ 3x+2y=73 \end{cases} \quad \begin{cases} \frac{(x-1)^2-(x-5)^2}{(y+1)^2-(y-1)^2}=1\\ 2y-x=45 \end{cases} \] \[ \begin{cases} \frac{5}{x}+\frac{4}{y}=18\\ \frac{3}{x}-\frac{7}{y}=-55 \end{cases} \quad \begin{cases} \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=3\\ \frac{2}{x}+\frac{3}{y}=9 \end{cases} \quad \begin{cases} \frac{1-2x}{x}+\frac{3}{y}=0\\ \frac{1-x}{x}+\frac{3-y}{y}=0 \end{cases} \] \[ \begin{cases} \frac{3}{4(x-2)}+\frac{7}{3(y-1)}=41\\ \frac{5}{2(x-2)}-\frac{3}{5(y-1)}=11 \end{cases} \quad \begin{cases} \frac{9}{x-y}+\frac{10}{x+y}=75\\ \frac{12}{x-y}+\frac{25}{x+y}=135 \end{cases} \] \finenonce{007026} \finexercice \exercice{7027, megy, 2016/10/28} \enonce{007027}{} La somme de deux nombres $x$ et $y$ est $29$. La différence de leurs carrés est $145$. Quels sont ces nombres ? \finenonce{007027} \finexercice \exercice{7028, megy, 2016/10/28} \enonce{007028}{} Trouver les dimension d'un triangle rectangle d'hypoténuse 13 cm et d'aire 30 cm${}^2$. \finenonce{007028} \finexercice \exercice{7029, megy, 2016/10/28} \enonce{007029}{} Dans une station de métro, les usagers ont à leur disposition un tapis roulant de 300m de long. Un piéton marchant à vitesse constante fait l'aller-retour sur le tapis roulant. À l'aller, il met 1 minute et 30 secondes. Au retour, à contre-sens, il met 4 minutes et 30 secondes. Déterminer la vitesse du piéton et celle du tapis roulant. \finenonce{007029} \finexercice \exercice{7030, megy, 2016/10/28} \enonce{007030}{} Résoudre le système suivant sur $\R_+^*$ puis sur le domaine de définition maximal: \[ \begin{cases} xy=1\\ x/y=2\\ \end{cases} \] \finenonce{007030} \finexercice \exercice{7031, megy, 2016/10/28} \enonce{007031}{} Résoudre dans $\R_+^*$ le système suivant: \[ \begin{cases} xyz=1\\ xy^2z^4=2\\ xy^3z^9=3 \end{cases} \] \finenonce{007031} \finexercice \exercice{7032, megy, 2016/10/28} \enonce{007032}{} % vu dans un cours de Term ES Soient $a, b, c$ trois réels et $f : \R\to \R, \: x\mapsto ae^x+bx+c$. On suppose que le graphe de $f$ contient le point de coordonnées $(0,1)$, et que sa tangente en ce point contient également le point de coordonnées $(2,3)$. On suppose enfin que le graphe admet une tangente horizontale au point d'abscisse $\ln(3)$. Déterminer $a, b, c$. \finenonce{007032} \finexercice \exercice{7033, megy, 2016/10/28} \enonce{007033}{} % tag primaire : systèmes linéaires 200.03 % tags secondaires : géométrie plane, isométries planes Soient $a_1 ,...,a_n $ des points du plan complexe.\\ Déterminer à quelle(s) condition(s) il existe au moins un polygone à $n$ sommets $z_1 ,...,z_n $ tel que~:\\ ($a_i $ est le milieu de $\left[ {z_i ,z_{i + 1} } \right]$ et $a_n $ est le milieu de $\left[ {z_n ,z_1 } \right]$.) \finenonce{007033} \finexercice \exercice{7034, megy, 2016/10/28} \enonce{007034}{} % tag primaire : systèmes linéaires % tags secondaires : exponentielle, fonctions usuelles Résoudre le système suivant: \[ \begin{cases} 8^x = 10y\\ 2^x = 5y \end{cases} \] \finenonce{007034} \finexercice \section{ 200.04 Applications } \exercice{1151, legall, 1998/09/01} \enonce{001151}{} Soit $ E $ un espace vectoriel r\'eel de dimension finie $ n $ et $ \varphi \in \mathcal{L} (E) $ telle que $ \varphi ^2 =-\hbox{id}_E .$ \begin{enumerate} \item Donner des exemples de telles applications dans le cas $ n=2 $ ou $ 4 .$ \item Montrer que de telles applications existent si et seulement si $ n $ est pair. \end{enumerate} \finenonce{001151} \finexercice \exercice{1152, legall, 1998/09/01} \enonce{001152}{} Inverser les matrices $ \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 & 0 \cr 2 & 1 & 0 & 0 \cr 0 & 0 & 1 & 2 \cr 0 & 0 & 2 & 1 \cr \end{pmatrix} $ et $ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 \cr 0 & 1 & 0 & 1 \cr 1 & 0 & -1 & 0 \cr 0 & 1 & 0 & -1 \cr \end{pmatrix} $ ainsi que leurs produits. \finenonce{001152} \finexercice \exercice{3443, quercia, 2010/03/10} \enonce{003443}{Résultant} Soient $P = a_0 + a_1X + \dots + a_pX^p$, et $Q = b_0 + b_1X + \dots + b_qX^q$, avec $a_p \ne 0,\ b_q \ne 0$. \def\fleche{$\hskip2pt \mathord\leftarrow\mkern-6mu \cleaders\hbox{$\mkern-2mu\mathord-\mkern-2mu$}\hfill \mkern-6mu\mathord\rightarrow \hskip2pt$} Le résultant de $P$ et $Q$ est : $\text{Res}(P,Q) = \left|\vcenter{ \halign{&\hskip3pt$#$\hfil\hskip3pt\cr a_0 & & & &b_0 & \cr a_1 &\ddots& & &\vdots &\ddots \cr \vdots &\ddots&\ddots& &\vdots &\ddots&b_0 \cr a_p &\ddots&\ddots&a_0 &b_{q-1}\hidewidth&\ddots&\vdots \cr &\ddots&\ddots&a_1 &b_q &\ddots&\vdots \cr & &\ddots&\vdots & &\ddots&b_{q-1}\hidewidth\cr & & &a_p & & &b_q \cr \multispan4\fleche &\multispan3\fleche \cr \noalign{\vskip-0.5\baselineskip} \multispan4 $q$ &\multispan3 $p$ \cr} \vskip-\baselineskip}\hskip5pt\right|$\quad $\vcenter{\hbox{les positions non remplies} \hbox{correspondent à des zéros.}}$\vspace{0.2cm}\\ En considérant l'application ${\Phi} : { K_{q-1}[X] \times K_{p-1}[X]} \to { K_{p+q-1}[X]}, {(U,V)} \mapsto {UP+VQ,}$ montrer que : $\text{Res}(P,Q) \ne 0 \iff P \wedge Q = 1$. Application : CNS pour que le polynôme $P = X^4 + aX + b$ ait une racine multiple ? \finenonce{003443} \finexercice \exercice{3444, quercia, 2010/03/10} \enonce{003444}{Système unisolvent} Soient $E$ un ensemble quelconque et ${f_1, \dots, f_n} : E \to K$ des fonctions. Montrer par récurrence sur $n$ que la famille $(f_1, \dots, f_n)$ est libre dans $ K^E$ si et seulement s'il existe des éléments $x_1, \dots, x_n$ de $E$ tels que $\det\bigl( f_i(x_j) \bigr) \ne 0$. \finenonce{003444} \finexercice\exercice{3445, quercia, 2010/03/10} \enonce{003445}{$\prod a_{i\sigma(i)} =$ cste} Soit $A = (a_{ij}) \in \mathcal{M}_n(K)$ telle qu'il existe $a \ne 0$ tel que : $\forall\ \sigma \in S_n,\ \prod_{i=1}^n a_{i\sigma(i)} = a$. Montrer que $\mathrm{rg} A = 1$. \finenonce{003445} \finexercice \exercice{3446, quercia, 2010/03/10} \enonce{003446}{Combinaison linéaire des solutions} Soit $(S) \iff AX = B$ un système linéaire de $n$ équations à $n$ inconnues de Cramer. Montrer que pour tous scalaires $c_1,\dots,c_n$, on a : $$c_1x_1 + \dots + c_nx_n = -\frac1{\det A}\left|\, \vcenter{\offinterlineskip \halign{\strut\hfil$#$\hfil&&\quad\hfil$#$\hfil\cr & &\hfill\vrule &b_1 \cr &A &\hfill\vrule &\vdots \cr \multispan3\hrulefill\vrule depth0pt &b_n \cr c_1 &\dots &c_n &0 \cr }} \,\right|.$$ \finenonce{003446} \finexercice \exercice{3447, quercia, 2010/03/10} \enonce{003447}{Problème d'interpolation de Lagrange} Soit $A$ un {\it anneau\/} commutatif, $x_1,\dots,x_n\in A$. Démontrer l'équivalence entre les propositions suivantes~: {\bf a.} Le déterminant de Vandermonde de $x_1,\dots,x_n$ est un élément inversible de~$A$~; {\bf b.} Pour tous $y_1,\dots,y_n\in A$, il existe un unique polynôme $P\in A_{n-1}[X]$ tel que $P(x_i)=y_i$ pour $i=1,\dots,n$. Donner un exemple d'anneau $A$ et un problème d'interpolation dans $A$ (en des points $x_i$ distincts) n'ayant pas de solution. \finenonce{003447} \finexercice \exercice{3448, quercia, 2010/03/10} \enonce{003448}{Polytechnique MP 2002} Soit $p$ un nombre premier et $a_0,\dots ,a_{p-1}\in\Z$. Montrer que le déterminant de la matrice $A=(a_{j-i\text{ mod }p})\in\mathcal{M}_p(\Z)$ vérifie~: $\det (A)\equiv a_0+\dots +a_{p-1}$ mod $p$. {\it Indication: écrire $A=\sum_{k=0}^{p-1} a_kJ^k$ et calculer $A^p$.} \finenonce{003448} \finexercice \exercice{3449, quercia, 2010/03/10} \enonce{003449}{Centrale MP 2002} Soit un déterminant symétrique réel d'ordre impair dont les coefficients sont entiers, les diagonaux étant de plus pairs. Montrer que ce déterminant est pair. \finenonce{003449} \finexercice \exercice{3450, quercia, 2010/03/10} \enonce{003450}{Formule de Cauchy-Binet} Soit $M=(a_{ij})\in\mathcal{M}_{np}(K)$ et $q\in[[1,\min(n,p)]]$. Pour $X=\{x_1,\dots,x_q\}$ et $Y=\{y_1,\dots,y_q\}$ avec $1\le x_1< x_2< \dots< x_q\le n$ et $1\le y_1< y_2< \dots< y_q\le p$ on note $\Delta_{X,Y}(M)$ le déterminant de la matrice $q\times q$ de terme général $a_{x_i,y_j}$. \begin{enumerate} \item Soient $M\in\mathcal{M}_{np}(K)$ et $N\in\mathcal{M}_{pn}(K)$ avec $n\le p$. Montrer que $\det(MN) = \sum_{X\subset[[1,p]];\mathrm{Card}\, X = n}\Delta_{[[1,n]],X}(M)\Delta_{X,[[1,n]]}(N)$ (considérer les deux membres comme des fonctions des colonnes de~$N$). \item Donner une formule pour $\det(MN)$ quand $n>p$. \item Soient $M\in\mathcal{M}_{np}(K)$, $N\in\mathcal{M}_{pq}(K)$ et $r\in{[[1,\min(n,q)]]}$. Montrer, pour $X\subset{[[1,n]]}$ et $Y\subset{[[1,q]]}$ avec $\mathrm{Card}\,(X) = \mathrm{Card}\,(Y) = r$~: $\Delta_{X,Y}(MN) = \sum_{Z\subset{[[1,p]]} ;\mathrm{Card}\,(Z)=r}\Delta_{X,Z}(M)\Delta_{Z,Y}(N)$. \end{enumerate} \finenonce{003450} \finexercice \exercice{5377, rouget, 2010/07/06} \enonce{005377}{} Dans le plan, on donne $n$ points $A_1$, ... , $A_n$. Existe-t-il $n$ points $M_1$,..., $M_n$ tels que $A_1$ soit le milieu de $[M_1,M_2]$, $A_2$ soit le milieu de $[M_2,M_3]$,..., $A_{n-1}$ soit le milieu de $[M_{n-1},M_n]$ et $A_n$ soit le milieu de $[M_n,M_1]$. \finenonce{005377} \finexercice \section{ 200.99 Autre } \exercice{1153, liousse, 2003/10/01} \enonce{001153}{} Montrer que $\left| \begin{array}{ccc} 1+a & a & a \\ b & 1+b & b \\ c & c & 1+c \end{array} \right| =1+a+b+c$ sans le d\'{e}velopper. \finenonce{001153} \finexercice \exercice{1154, legall, 1998/09/01} \enonce{001154}{} Une matrice carr\'ee $ A=(a_{ij})_{i,j\in \{ 1,\ldots, n \} }\in M_n({\Rr}) $ est dite triangulaire sup\'erieure lorsque pour tout $ i>j $~: $ a_{ij}=0 .$ \begin{enumerate} \item Montrer que le produit de deux matrices triangulaires sup\'erieures est une matrice triangulaire sup\'erieure. \item D\'emontrer que $ \hbox{det}(A)=a_{11}\cdots a_{nn} .$ \item Soit $ E $ un espace vectoriel, $ \epsilon =\{ e_1 , \ldots, e_n\} $ une base de $ E $ et $ \varphi \in \mathcal{L} (E) .$ On note $ E_i $ l'espace vectoriel engendr\'e par $ \{ e_1, \ldots, e_i\} $, pour tout $ 1\leq i\leq n .$ Montrer que $ \hbox{Mat} (\varphi , \epsilon ) $ est triangulaire sup\'erieure si et seulement si $ \varphi (E_i )\subset E_i $ pour tout $ 1\leq i\leq n .$ \item D\'emontrer que l'inverse d'une matrice triangulaire sup\'erieure est une matrice triangulaire sup\'erieure. \end{enumerate} \finenonce{001154} \finexercice \exercice{1155, legall, 1998/09/01} \enonce{001155}{} On consid\`ere les matrices~: $$ I=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \cr 0 & 1 & 0 & 0 \cr 0 & 0 & 1 & 0 \cr 0 & 0 & 0 & 1 \cr \end{pmatrix} \hskip10mm N= \begin{pmatrix} 0 & 3 & 1 & 3 \cr 0 & 0 & 0 & 1 \cr 0 & 0 & 0 & -1 \cr 0 & 0 & 0 & 0 \cr \end{pmatrix} \hskip5mm A=I+N .$$ \begin{enumerate} \item Pour tout $ n \in \N ^* $ calculer $ \hbox{det}(A^n) .$ \item Calculer $ N^2 $ et $ N^3 .$ \item Pour tout $ n \in \N ^* $ donner le rang de $ N^n $ et celui de $ A^n .$ \item En utilisant 1., donner, en fonction de $ n \in \N ^* ,$ l'expression de la matrice $ M(n)=A^n .$ \item Pour $ n \in \N ^* ,$ justifier la formule $ (A^n)^{-1}=M(-n) .$ Expliquer et justifier l'\' ecriture~: $ A^n=M(n) $ pour tout $ n \in \Z .$ \end{enumerate} \finenonce{001155} \finexercice \exercice{1156, legall, 1998/09/01} \enonce{001156}{} Soit $ S $ la matrice $ 5 \times 5 $ \`a coefficients r\' eels : $ S=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 & 0\cr 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \cr 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \cr 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \cr 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \cr \end{pmatrix} .$ \begin{enumerate} \item Calculer $ \hbox{det }(S) .$ D\' eterminer (de pr\' ef\' erence sans calcul) $ S^{-1} .$ \item Montrer qu'il existe deux sous espaces vectoriels $ E_1 $ et $ E_2 $ de $ {\Rr }^5 $ de dimension respective $ 2 $ et $ 3 $ tels que~: ${\Rr }^5=E_1 \oplus E_2 \oplus E_3 $ et $ S(E_1) \subset E_1 $ $ S(E_2) \subset E_2 .$ \item Montrer qu'il existe $ x \in E_2 $ tels que $ Sx= x .$ En d\' eduire que la d\' ecomposition qui pr\' ec\' ede n'est pas unique. \end{enumerate} \finenonce{001156} \finexercice \exercice{1157, ridde, 1999/11/01} \enonce{001157}{} Soit $A \in M_3 (\Rr)$ anti-sym\'etrique. Calculer $\det (A)$. Ce r\'esultat vaut-il encore pour $A \in M_2 (\Rr)$ ? \finenonce{001157} \finexercice \exercice{1158, ridde, 1999/11/01} \enonce{001158}{} Soient $n = 2$ ou $3$ et $A \in M_n (\Qq)$. \begin{enumerate} \item Montrer que si $\forall X \in M_n (\Qq)$ $\det (A + X) = \det (X)$ alors $A = 0$. \item Soit $B \in M_n (\Qq)$ telle que $\forall X \in M_n (\Qq)$ $\det (A + X) = \det (B + X)$. Montrer que $A = B$. \end{enumerate} \finenonce{001158} \finexercice \exercice{1159, gourio, 2001/09/01} \enonce{001159}{} Soit $\left( A,B\right) \in M_{n}({\Rr})^{2}$ tel que $A^{2}+B^{2}=AB$ et $AB-BA $ inversible. Montrer que $3$ divise $n.$ \finenonce{001159} \finexercice \exercice{1160, gourio, 2001/09/01} \enonce{001160}{} Montrer que si $ n\in \Nn-\{0,1\},A\in M_{n}({\Rr})$, on a : $$\det(\mathrm{Com}(A))=\det(A)^{n-1}.$$ \finenonce{001160} \finexercice \exercice{1161, gourio, 2001/09/01} \enonce{001161}{} Montrer que si $ n\in \Nn^{*}, A\in M_{n}({\Rr})$ : $$\mathrm{rg}(A)=n\Rightarrow \mathrm{rg}(\mathrm{Com}(A))=n ; $$ $$\mathrm{rg}(A)=n-1\Rightarrow \mathrm{rg}(\mathrm{Com}(A))=1 ; $$ $$\mathrm{rg}(A)\leq n-2\Rightarrow \mathrm{rg}(\mathrm{Com}(A))=0. $$ \finenonce{001161} \finexercice \exercice{1162, gourio, 2001/09/01} \enonce{001162}{} Soit $ A=\left( a_{i,j}\right) _{(i,j)\in \{1,...,n\}^{2}}\in M_{n}({\Rr})$ telle que : \begin{eqnarray*} \forall i &\in &\{1,...,n\},\sum_{j=1}^{n}a_{i,j}\leq 1, \\ \forall (i,j) &\in &\{1,...,n\}^{2},a_{i,j}\in [0,1[. \end{eqnarray*} Montrer que $ \left| \det(A)\right| <1.$ \finenonce{001162} \finexercice \exercice{2451, matexo1, 2002/02/01} \enonce{002451}{} Soit $A = (a_{i,j})$ une matrice complexe dont les coefficients v\'erifient $|a_{i,j}| \le 1$. Montrer que $|\det A| \le 1$. \finenonce{002451} \finexercice \exercice{2457, matexo1, 2002/02/01} \enonce{002457}{} Soit $A, B$ deux matrices carr\'ees d'ordre $n$, $A$ inversible. \begin{enumerate} \item Montrer que $\det(A +\lambda B)$ est un polyn\^ome en $\lambda$ de degr\'e $n$. Quels sont ses termes de plus haut et de plus bas degr\'e ? \item En d\'eduire que si $A$ est une matrice inversible, pour toute matrice $B$, il existe $\varepsilon_0 > 0$ tel que $A +\varepsilon B$ soit aussi inversible, $\forall \varepsilon \in [-\varepsilon_0,\varepsilon_0]$. \end{enumerate} \finenonce{002457} \finexercice \exercice{3426, quercia, 2010/03/10} \enonce{003426}{$\det(I-AB) = \det(I-BA)$} Soient $A \in \mathcal{M}_{p,q}(K)$ et $B \in \mathcal{M}_{q,p}(K)$. Montrer que $\det(I_p-AB) = \det(I_q-BA)$. (Commencer par le cas où $A$ est la matrice canonique de rang $r$) \finenonce{003426} \finexercice\exercice{3429, quercia, 2010/03/10} \enonce{003429}{$\det(A^2+B^2)$} \begin{enumerate} \item Soient $A,B \in \mathcal{M}_n(\R)$ telles que $AB = BA$. Montrer que $\det(A^2 + B^2) \ge 0$. \item Chercher $A,B$ ne commutant pas telles que $\det(A^2 + B^2) < 0$. \end{enumerate} \finenonce{003429} \finexercice \exercice{3430, quercia, 2010/03/10} \enonce{003430}{Déterminant par blocs} Soient $A,B,C,D \in \mathcal{M}_n(K)$ avec $A$ inversible et $AC=CA$. On considère $M = \begin{pmatrix} A & B \cr C & D \cr \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_{2n}(K)$. Montrer que $\det M = \det(AD-CB)$. \finenonce{003430} \finexercice\exercice{3434, quercia, 2010/03/10} \enonce{003434}{Système linéaire homogène} On considère un système linéaire homogène : $(S) \iff AX = 0$, avec $A \in \mathcal{M}_{n,p}(K)$, $n < p$ et $\mathrm{rg} A = n$. \begin{enumerate} \item Montrer qu'on peut compléter $A$ en une matrice $B = \begin{pmatrix} A \cr A' \cr \end{pmatrix}$ inversible. \item Montrer que les colonnes $n+1$ à $p$ de ${}^{t\!}\text{com}\, B$ constituent une base des solutions de $(S)$. \item Consid\'erer l'exemple suivant : $$(S) \iff \left\{ \begin{array} {lllllllll} x &+& 2y &+& 3z &+& 4t &=& 0 \cr 2x &+& 3y &+& 4z &+& 5t &=& 0. \cr \end{array} \right.$$ \end{enumerate} \finenonce{003434} \finexercice \exercice{3435, quercia, 2010/03/10} \enonce{003435}{Inégalité} Soit $A = (a_{ij}) \in \mathcal{M}_n(\R)$. Démontrer que : $|\det A| \le \prod_{i=1}^n \sum_{j=1}^n |a_{ij}|$. Quand y a-t-il égalité ? \finenonce{003435} \finexercice \exercice{3436, quercia, 2010/03/10} \enonce{003436}{Déterminants $2\times2$ imposés} \def \dddd#1#2{\text{det}\bigl(\vec #1,\vec #2\bigr)}\relax Soient $\vec a, \vec b, \vec c, \vec d$ quatre vecteurs d'un ev $E$ de dimension 2. On note $\det$ le déterminant dans une base fixée de $E$. \begin{enumerate} \item Démontrer que : $\dddd ab \dddd cd + \dddd ac \dddd db + \dddd ad \dddd bc = 0$. \par (Commencer par le cas où $(\vec a,\vec b)$ est libre) \item On donne six scalaires : $d_{ab}, d_{ac}, d_{ad}, d_{cd}, d_{db}, d_{bc}$ tels que $d_{ab} d_{cd} + d_{ac} d_{db} + d_{ad} d_{bc} = 0$. \par Montrer qu'il existe des vecteurs $\vec a, \vec b, \vec c, \vec d$ tels que : $\forall\ x,y,\ d_{xy} = \d xy$. \end{enumerate} \finenonce{003436} \finexercice\exercice{3437, quercia, 2010/03/10} \enonce{003437}{Décomposition d'un vecteur en dimension 3} \def \dddd #1#2#3{\det(\vec #1,\vec #2, \vec #3)}\relax Soient $\vec a, \vec b, \vec c, \vec d$ quatre vecteurs d'un ev $E$ de dimension 3. On note : det le déterminant dans une base fixée de~$E$. Démontrer que : $\d abc \vec d = \dddd abd \vec c + \dddd adc \vec b + \dddd dbc \vec a$. \finenonce{003437} \finexercice\exercice{3439, quercia, 2010/03/10} \enonce{003439}{$\det( u + n )$} Soient $u,n \in \mathcal{L}(E)$ deux endomorphismes d'un $\C$-ev de dimension finie, $u$ inversible, $n$ nilpotent, avec $u\circ n = n \circ u$. \begin{enumerate} \item Démontrer que $\det n = 0$. \item Chercher le polynôme caractéristique de $n$. En déduire que $\det(\text{id}_E + n ) = 1$. \item Démontrer que $\det( u + n ) = \det u$. \end{enumerate} \finenonce{003439} \finexercice \exercice{3440, quercia, 2010/03/10} \enonce{003440}{Sev stables} Soit $f \in \mathcal{L}(E)$ tel qu'il existe deux sev $F,G$ supplémentaires et stables par $f$. Démontrer que $\det f = (\det f_{|F})(\det f_{|G})$. \finenonce{003440} \finexercice \exercice{3441, quercia, 2010/03/10} \enonce{003441}{Groupe $SL_n( K)$} On note $SL_n( K) = \{ M \in \mathcal{M}_n(K) \text{ tq } \det M = 1 \}$. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Démontrer que $SL_n( K)$ est un groupe pour le produit matriciel. \item Démontrer que $SL_n( K)$ est engendré par les matrices : $I + \lambda E_{ij}$, $( j \ne i )$ où $(E_{ij})$ est la base canonique de $\mathcal{M}_n(K)$, et $\lambda \in K$ (transformer une matrice $M \in SL_n( K)$ en $I$ par opérations élémentaires). \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Soit $M \in \mathcal{M}_n(\Z)$. Démontrer que $M$ a une inverse dans $\mathcal{M}_n(\Z)$ si et seulement si $\det M = \pm1$. \item Démontrer que le groupe $SL_n(\Z)$ est engendré par les matrices $I + E_{ij}$, $( j \ne i )$. \end{enumerate} \end{enumerate} \finenonce{003441} \finexercice \exercice{3442, quercia, 2010/03/10} \enonce{003442}{Déterminant de $X \mapsto AX$} Soit $A \in \mathcal{M}_n(K)$ et ${f_A} : {\mathcal{M}_n(K)} \to {\mathcal{M}_n(K)}, X \mapsto {AX.}$ Calculer $\det f_A$. \finenonce{003442} \finexercice\exercice{5368, rouget, 2010/07/06} \enonce{005368}{***I} Soit $(A,B)\in(M_n(\Rr))^2$ et $C=\left( \begin{array}{cc} A&B\\ -B&A \end{array} \right)\in M_{2n}(\Rr)$. Montrer que $\mbox{det}C\geq0$. \finenonce{005368} \finexercice \exercice{5370, rouget, 2010/07/06} \enonce{005370}{***I} Déterminer les matrices $A$, carrées d'ordre $n$, telles que pour toute matrice carrée $B$ d'ordre $n$ on a $\mbox{det}(A+B)=\mbox{det}A+\mbox{det}B$. \finenonce{005370} \finexercice \exercice{5379, rouget, 2010/07/06} \enonce{005379}{} Soit $E$ un ensemble contenant au moins $n$ éléments et $(f_1,f_2...,f_n)$ un $n$-uplet de fonctions de $E$ dans $\Cc$. Montrer que les propositions suivantes sont équivalentes~: \begin{enumerate} \item la famille $(f_1,...,f_n)$ est libre ; \item il existe $n$ éléments $a_1$, $a_2$,..., $a_n$ dans $E$ tels que $\mbox{det}(f_i(a_j))_{1\leq i,j\leq n}\neq0$. \end{enumerate} \finenonce{005379} \finexercice \exercice{5380, rouget, 2010/07/06} \enonce{005380}{} Déteminer l'inverse de $A=(a_{i,j})$ telle que $a_{i,i+1}=a_{i,i-1}=1$ et $a_{i,j}=0$ sinon. \finenonce{005380} \finexercice \exercice{5614, rouget, 2010/10/16} \enonce{005614}{**I} \label{ex:rou17} Soit $A$ une matrice carrée de format $n$. Calculer le déterminant de sa comatrice. \finenonce{005614} \finexercice \exercice{5615, rouget, 2010/10/16} \enonce{005615}{***I} \label{ex:rou18bis} Soit $A$ une matrice carrée de format $n$. Etudier le rang de $\text{com}A$ en fonction du rang de $A$. \finenonce{005615} \finexercice \exercice{5616, rouget, 2010/10/16} \enonce{005616}{***} Résoudre dans $\mathcal{M}_n(\Rr)$ l'équation $M=\text{com}M$ ($n\geqslant2$). \finenonce{005616} \finexercice \exercice{5648, rouget, 2010/10/16} \enonce{005648}{***} Soit $A$ une matrice carrée complexe de format $n$ ($n\geqslant 2$) telle que pour tout élément $M$ de $M_n(\Cc)$, on ait $\text{det}(A+M)=\text{det}A+\text{det}M$. Montrer que $A = 0$. \finenonce{005648} \finexercice \section{ 201.01 Valeur propre, vecteur propre } \exercice{1597, legall, 1998/09/01} \enonce{001597}{} Soit $ m \in \R $ et $ A_m\in M_3 (\R ) $ la matrice $ \begin{pmatrix} m & 1 & 1 \cr 1 & m & 1 \cr 1 & 1 & m\cr \end{pmatrix} .$ \begin{enumerate} \item Calculer les valeurs propres de $ A_m $ et une base de vecteurs propres. \item D\'eterminer suivant les valeurs de $ m $ le rang de $ A_m .$ D\'eterminer lorsque cela est possible $ A_m^{-1} .$ \item Lorsque $ A_m $ n'est pas inversible d\'eterminer le noyau et l'image de $ A_m .$ \end{enumerate} \finenonce{001597} \finexercice \exercice{1598, legall, 1998/09/01} \enonce{001598}{} Soit $A \in \mathcal{O}_n(\R)$. Montrer que si $-1$ n'est pas valeur propre de $A$, alors il existe une matrice $Q$ antisym\'etrique (i.e. ${}^tQ = -Q$) telle que $A = (I + Q)^{-1}(I - Q) = (I - Q)(I + Q)^{-1}$ et qu'on a $A \in \mathcal{SO}_n(\R)$. R\'eciproque ? \finenonce{001598} \finexercice \exercice{1599, ortiz, 1999/04/01} \enonce{001599}{} Soient $E$ un K-espace vectoriel de dimension finie et $f,g\in \mathcal{L}(E)$. Montrer que si $\lambda$ est valeur propre de $g\circ f$ alors $\lambda$ est valeur propre de $f\circ g$ (on distinguera les cas $\lambda=0$ et $\lambda\not= 0$). \finenonce{001599} \finexercice \exercice{1600, roussel, 2001/09/01} \enonce{001600}{} \begin{enumerate} \item Soient $f$ et $g$ deux endomorphisme s d'un espace vectoriel $E$ de dimension $n$ sur \\ $K=\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$, ayant chacun $n$ valeurs propres distinctes dans $K$. Montrer que $$ f \circ g = g \circ f \quad \Longleftrightarrow \quad f \mbox{~et~} g \mbox{~ont les m\^emes vecteurs propres}.$$ \item Supposons maintenant que $K=\mathbb{C}$ et que $ f \circ g = g \circ f $. Si $u$ est un endomorphisme ~on dit qu'un espace vectoriel $F$ est $u$-stable si $u(F) \subset F$. Montrer que tout sous-espace propre de $f$ est $g$-stable. \emph{Remarque} : On peut montrer par r\'ecurrence sur $n$ qu'il existe un vecteur propre commun \`a $f$et $g$. On admettra ce r\'esultat. \item Consid\'erons $f$ et $g$ deux endomorphismes de $\mathbb{R}^3$ dont les matrices dans la base canonique sont respectivement $$ M = \left ( \begin{array}{cccc} 5 & -4 & -4 \\ 1 & 0 & -2 \\ 1 & -1 & 1 \\ \end{array} \right ) ~~~~~\text{et}~~~~~N = \left ( \begin{array}{ccc} -2 & 2 & 2 \\ 1 & -1 & -2 \\ -2 & 2 & 3 \\ \end{array} \right ) $$ \begin{itemize} \item V\'erifier que $f \circ g = g \circ f$ et d\'eterminer les sous-espaces propres de $M$ et $N$. \item D\'eterminer une base de $\mathbb{R}^3$ dans laquelle les matrices de $f$ et $g$ sont diagonales. \end{itemize} \end{enumerate} \finenonce{001600} \finexercice \exercice{1601, roussel, 2001/09/01} \enonce{001601}{} Soient $A \in \mathcal{M}_4 \left (\mathbb{R} \right )$ et $B \in \mathcal{M}_3 \left (\mathbb{R} \right )$. Soit $f$ l'endomorphisme ~associ\'e \`a la matrice $A$. $$ A = \left ( \begin{array}{cccc} 5 & ~3 & -1 & 3 \\ 0 & -1 & ~1 & 2 \\ 0 & ~2 & ~1 & 2 \\ 0 & ~0 & ~0 & 1 \\ \end{array} \right ) ~~~~~~~~~~B = \left ( \begin{array}{ccc} 5 & ~3 & -1 \\ 0 & -1 & ~1 \\ 0 & ~2 & ~1 \\ \end{array} \right ) $$ \begin{enumerate} \item \emph{Uniquement} en examinant la matrice $A$, trouver deux valeurs propres ~et un vecteur propre de $A$, puis deux sous-espaces $f-$stables. \item Que repr\'esente la matrice $B$? \end{enumerate} \finenonce{001601} \finexercice \exercice{1602, barraud, 2003/09/01} \enonce{001602}{} Soit $u\in\mathrm{End}(E)$. On note $\chi_{u}=(-1)^{n}X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots+a_{0}$. Montrer que $$ a_{0}=\det(u) \qquad \text{ et } \qquad a_{n-1}=(-1)^{n-1}\mathrm{tr}(u) $$ \finenonce{001602} \finexercice \exercice{1603, barraud, 2003/09/01} \enonce{001603}{} Soient $u$ et $v$ deux endomorphismes de $E$. Montrer que $u\circ v$ et $v\circ u$ ont les m\^{e}mes valeurs propres. \finenonce{001603} \finexercice \exercice{1604, barraud, 2003/09/01} \enonce{001604}{} Soient $u$ et $v$ deux endomorphismes de $E$ qui commutent, c'est \`{a} dire tels que $u\circ v=v\circ u$. On suppose que $v$ admet $n$ valeurs propres distinctes. Montrer qu'il existe une base de $E$, form\'{e}e de vecteurs propres communs \`{a} $u$ et \`{a} $v$. En d\'{e}duire qu'il existe $(a_{0},\ldots,a_{n-1})\in\mathbb{K}^{n}$ tel que $ \quad u=a_{0}\mathrm{id}+a_{1}v+\cdots+a_{n-1}v^{n-1} $ \finenonce{001604} \finexercice \exercice{1605, barraud, 2003/09/01} \enonce{001605}{} On considère les matrices suivantes : $$ A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & -1 \\ -1 & -1 & 0 & 1 \\ -2 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \qquad B=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & -1 \\ -1 & -1 & 0 & 1 \\ -1 & -1 & 1 & 3 \\ -1 & 0 & -1 & -1 \end{pmatrix} \qquad C=\begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & -1 & -1 \end{pmatrix} $$ En effectuant le moins de calculs possible, \begin{enumerate} \item montrer que \hspace{1cm} $\{0\}\subset\mathrm{Ker} A\subset\mathrm{Ker} A^{2}\subset\mathrm{Ker} A^{3}=\R^{4}$\\ et déterminer les dimensions respectives de $\mathrm{Ker} A$ et $\mathrm{Ker} A^{2}$, \item déterminer un vecteur $e_{1}$ tel que $\R^{4}=\mathrm{Ker} A^{2}\oplus\mathrm{Vect}(e_{1})$, \item montrer que $(e_{1},Ae_{1},A^{2}e_{1})$ est une famille libre, \item montrer que $Ae_{1}\in\mathrm{Ker} A^{2}$, et que $\mathrm{Ker} A^{2}=\mathrm{Ker} A\oplus\mathrm{Vect}(Ae_{1})$, \item montrer que $A^{2}e_{1}\in\mathrm{Ker} A$ et déterminer un vecteur $e_{2}$ tel que $\mathrm{Ker} A=\mathrm{Vect}(A^{2}e_{1})\oplus\mathrm{Vect}(e_{2})$, \item montrer que $(e_{1},Ae_{1},A^{2}e_{1},e_{2})$ est une base de $\R^{4}$. \item Soit $P$ la matrice de passage de la base canonique à la base $(A^{2}e_{1},Ae_{1},e_{1},e_{2})$. Caluler $P^{-1}AP$. \end{enumerate} Adapter ce travail à l'étude de $B$ et $C$ \finenonce{001605} \finexercice \exercice{1606, barraud, 2003/09/01} \enonce{001606}{} Soit $J$ la matrice $$J= \begin{pmatrix} 1 &\cdots &1\\ \vdots& &\vdots\\ 1 &\cdots &1 \end{pmatrix} $$. \begin{enumerate} \item Trouver une relation entre $J$ et $J^{2}$. \item En déduire les valeurs propres de $J$ et calculer leurs multiplicités. \item Donner le polynôme caractéristique de $J$. \end{enumerate} \finenonce{001606} \finexercice \exercice{1607, barraud, 2003/09/01} \enonce{001607}{} Soient $A$ et $B$ deux matrices de $\mathcal{M}_{n}(\R)$ telles que $$ AB-BA=A $$ Le but de cet exercice est de montrer que $A$ est nilpotente, c'est à dire $$\exists k\in\N, A^{k}=0.$$ On note $E$ l'espace vectoriel $\mathcal{M}_{n}(\R)$ et on considère l'application~:\quad $$\displaystyle \psi \begin{array}{ccc} E & \rightarrow & E \\ M &\mapsto & MB-BM \end{array} $$ \begin{enumerate} \item Montrer que $\psi$ est linéaire de $E$ dans $E$. \item Montrer par récurrence que~: $\forall k\in\N\quad \psi(A^{k})=kA^{k}$. \item On suppose que $\forall k\in\N, A^{k}\neq0$. Montrer que $\psi$ a une infinité de valeurs propres. \item Conclure. \end{enumerate} \finenonce{001607} \finexercice \exercice{1608, barraud, 2003/09/01} \enonce{001608}{} Soit $M$ la matrice suivante~: $M= \begin{pmatrix} 1 &1 &0 \\ -1&0 &0 \\ 2 &0 &-1 \end{pmatrix} $. Calculer le polynôme caractéristique de $M$. En déduire $M^{-1}$. \finenonce{001608} \finexercice \exercice{1609, barraud, 2003/09/01} \enonce{001609}{} Soit $f$ un endomorphisme de $E=\C^{n}$. Soit $\pi_{1},...,\pi_{N}$ des endomorphismes tous non nuls de $E$ et $\lambda_{1},...,\lambda_{N}$ $N$ nombres complexes distincts. On suppose que~: $$ \forall m\in\N \quad f^{m}=\sum_{k=1}^{N}\lambda_{k}^{m}\pi_{k}. $$ \begin{enumerate} \item Montrer que $\forall P\in\C[X],\quad P(f)=\sum_{k=1}^{N}P(\lambda_{k})\pi_{k}$ \medskip On considère le polynôme $Q=\prod_{1\leq k\leq N}(X-\lambda_{k})$ et pour chaque $p\in\{1,...,N\}$ les polynômes suivants~: $$ Q_{p}=\prod_{\substack{ 1\leq k\leq N \\k\neq p}} (X-\lambda_{k})\qquad\text{et}\qquad \tilde Q_{p}=\frac{1}{Q_{p}(\lambda_{p})}\ Q_{p} $$ \item Calculer $Q(f)$. Qu'en déduit-on pour $f$~? \item Montrer que $Sp(f)\subset\{\lambda_{1},...,\lambda_{N}\}$ \item Montrer que $\tilde Q_{p}(f)=\pi_{p}$. Vérifier alors que $\pi_{p}\circ\pi_{q}= \left\{ \begin{array}{l} 0 \text{ si } p\neq q\\ \pi_{p} \text{ si } p=q \end{array} \right. $ \item Calculer $f\circ\pi_{p}$. En déduire que $Sp(f)=\{\lambda_{1},...,\lambda_{N}\}$. \medskip On note $E_{p}$ l'espace propre associé à la valeur propre $\lambda_{p}$. \item Montrer que $\mathrm{Im}\pi_{p}\subset E_{p}$. Réciproquement, pour $x\in E_{p}$, montrer que $x\in\mathrm{Ker}\pi_{q}$ pour $q\neq p$ (on calculera par exemple $\pi_{q}\circ f(x)$ de deux façons différentes) puis que $x=\pi_{p}(x)$. En déduire que $E_{p}\subset\mathrm{Im}\pi_{p}$. \item En déduire que $\mathrm{Im}\pi_{p}=E_{p}$ et que $\mathrm{Ker}\pi_{p}=\bigoplus_{q\neq p}E_{q}$. Décrire géométriquement $\pi_{p}$. \end{enumerate} \finenonce{001609} \finexercice \exercice{1610, barraud, 2003/09/01} \enonce{001610}{} On considère l'application suivante~: $$ f: \begin{array}{ccc} \R_{n}[X] &\rightarrow &\R_{n}[X] \\ P &\mapsto &(X^{2}-1)P'-(nX+a)P \end{array} $$ Vérifier que cette application est bien définie. Déterminer ses valeurs propres, et les espaces propres associés. \finenonce{001610} \finexercice \exercice{1611, barraud, 2003/09/01} \enonce{001611}{} Soit $E$ un espace vectoriel de dimension $n$ et $u$ un endomorphisme de $E$ ayant $n$ valeurs propres distinctes $\{\lambda_{1},...,\lambda_{n}\}$. \begin{enumerate} \item Montrer que l'ensemble $\mathrm{Com}=\{v\in\mathcal{L}(E,E)/ uv=vu\}$ des endomorphismes de $E$ qui commutent avec $u$ est un espace vectoriel. \item \begin{enumerate} \item Soit $v$ un élément de $\mathrm{Com}$. Montrer que $v$ préserve les espaces propres de $u$ (c'est à dire que si $E_{\lambda}$ est un espace propre de $u$ associé à la valeur propre $\lambda$, on a $\forall x\in E_{\lambda}, v(x)\in E_{\lambda}$). \item Donner la dimension des espaces propres de $u$ et montrer que si $x$ est un vecteur propre de $u$ alors c'est aussi un vecteur propre de $v$. \item A l'aide d'une base convenablement choisie, décrire tous les éléments de $\mathrm{Com}$, et montrer que $\mathrm{Com}$ est de dimension $n$. \end{enumerate} \item Montrer que $\mathrm{Vect}(\mathrm{id},u,u^{2},...,u^{n-1})\subset \mathrm{Com}$. \item On veut maintenant étudier l'indépendance linéaire de la famille $\{\mathrm{id},u,u^{2},...,u^{n-1}\}$. Pour cela, on considère $n$ réels $\alpha_{0},...,\alpha_{n-1}$ tels que $\sum_{i=0}^{n}\alpha_{i}u^{i}=0$. \begin{enumerate} \item Montrer que les $(\alpha_{i})$ sont solution du système~: $$ (*)\ \left\{ \begin{array}{ccccccccccc} \alpha_{0} &+&\alpha_{1} \lambda_{1} &+&\alpha_{2} \lambda_{1}^{2} &+&... &+&\alpha_{n-1}\lambda_{1}^{n-1} &=&0\\ \alpha_{0} &+&\alpha_{1} \lambda_{2} &+&\alpha_{2} \lambda_{2}^{2} &+&... &+&\alpha_{n-1}\lambda_{2}^{n-1} &=&0\\ \vdots&&\vdots&&\vdots&&&&\vdots&&\vdots\\ \alpha_{0} &+&\alpha_{1} \lambda_{n} &+&\alpha_{2} \lambda_{n}^{2} &+&... &+&\alpha_{n-1}\lambda_{n}^{n-1} &=&0 \end{array} \right. $$ \item On rappel que~: $ \begin{vmatrix} 1&\lambda_{1}&\lambda_{1}^{2}&...&\lambda_{1}^{n-1}\\ 1&\lambda_{2}&\lambda_{2}^{2}&...&\lambda_{2}^{n-1}\\ \vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\\ 1&\lambda_{n}&\lambda_{n}^{2}&...&\lambda_{n}^{n-1} \end{vmatrix}=\prod\limits_{1\leq i\lambda_2$ les valeurs propres de $A$, $E_1$ et $E_2$ les sous-espaces propres associ\'es. D\'eterminer une base $(\vec{\varepsilon_1},\vec{\varepsilon_2})$ de $\R^2$ telle que $\vec{\varepsilon_1}\in E_1$, $\vec{\varepsilon_2}\in E_2$, les deux vecteurs ayant des coordonn\'ees de la forme $(1,y)$. \item Soit $\vec x$ un vecteur de $\R^2$, on note $(\alpha,\beta)$ ses coordonn\'ees dans la base $(\vec{\varepsilon_1},\vec{\varepsilon_2})$. D\'emontrer que, pour $n\in\N$, on a $$A^n\vec x=\alpha\lambda_1^n\vec{\varepsilon_1}+\beta\lambda_2^n\vec{\varepsilon_2}$$ \item Notons $A^n\vec x=\begin{pmatrix}a_n \\ b_n\end{pmatrix}$ dans la base canonique de $\R^2$. Exprimer $a_n$ et $b_n$ en fonction de $\alpha$, $\beta$, $\lambda_1$ et $\lambda_2$. En d\'eduire que, si $\alpha\neq 0$, la suite ${\frac{b_n}{a_n}}$ tend vers $\sqrt2$ quand $n$ tend vers $+\infty$. \item Expliquer, sans calcul, comment obtenir \`a partir des questions pr\'ec\'edentes une approximation de $\sqrt2$ par une suite de nombres rationnels. \end{enumerate} \finenonce{002595} \finexercice \exercice{2596, delaunay, 2009/05/19} \enonce{002596}{} Soit $P(X)$ un polyn\^ome de $\C[X]$, soit $A$ une matrice de $M_n(\C)$. On note $B$ la matrice : $B=P(A)\in M_n(\C)$. \begin{enumerate} \item D\'emontrer que si $\vec x$ est un vecteur propre de $A$ de valeur propre $\lambda$, alors $\vec x$ est un vecteur propre de $B$ de valeur propre $P(\lambda)$. \item Le but de cette question est de d\'emontrer que les valeurs propres de $B$ sont toutes de la forme $P(\lambda)$, avec $\lambda$ valeur propre de $A$. Soit $\mu\in\C$, on d\'ecompose le polyn\^ome $P(X)-\mu$ en produit de facteurs de degr\'e $1$ : $$P(X)-\mu=a(X-\alpha_1)\cdots(X-\alpha_r).$$ \begin{enumerate} \item D\'emontrer que $$\det(B-\mu I_n)=a^n\det(A-\alpha_1I_n)\cdots\det(A-\alpha_rI_n).$$ \item En d\'eduire que si $\mu$ est valeur propre de $B$, alors il existe une valeur propre $\lambda$ de $A$ telle que $\mu=P(\lambda)$. \end{enumerate} \item On note $S_A$ l'ensemble des valeurs propres de $A$, d\'emontrer que $$S_B=\{P(\lambda)/\ \lambda\in S_A\}.$$ \item Soient $\lambda_1,\dots,\lambda_r$ les valeurs propres de $A$ et soit $Q(X)$ le polyn\^ome : $$Q(X)=(X-\lambda_1)\cdots(X-\lambda_r),$$ on note $C$ la matrice $C=Q(A)$. \begin{enumerate} \item D\'emontrer que $S_C=\{0\}$. \item En d\'eduire que le polyn\^ome caract\'eristique de $C$ est $(-1)^nX^n$ et que $C^n=0$. \end{enumerate} \end{enumerate} \finenonce{002596} \finexercice \exercice{2761, tumpach, 2009/10/25} \enonce{002761}{} \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Soit $f~:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}^2$ l'application lin\'eaire d\'efinie par $$ f\left(\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right) =\frac{1}{5} \left(\begin{array}{c}3x + 4y\\ 4x - 3y\end{array}\right). $$ \item \'Ecrire la matrice de $f$ dans la base canonique de $\mathbb{R}^2$. On la notera $A$. \item Montrer que le vecteur $\vec{v}_1 = \left(\begin{array}{c}2 \\1\end{array}\right)$ est vecteur propre de $f$. Quelle est la valeur propre associ\'ee~? \item Montrer que le vecteur $\vec{v}_2 = \left(\begin{array}{c}-1 \\2\end{array}\right)$ est \'egalement vecteur propre de $f$. Quelle est la valeur propre associ\'ee~? \item Calculer graphiquement l'image du vecteur $\vec{v}_3 = \left(\begin{array}{c}1\\ 3\end{array}\right).$ Retrouver ce r\'esultat par le calcul. \item Montrer que la famille $\{\vec{v}_1, \vec{v}_2\}$ forme une base de $\mathbb{R}^2$. \item Quelle est la matrice de $f$ dans la base $\{\vec{v}_1, \vec{v}_2\}$~? On la notera $D$. \item Soit $P$ la matrice dont la premi\`ere colonne est le vecteur $\vec{v}_1$ et dont la deuxi\`eme colonne est le vecteur $\vec{v}_2$. Calculer $P^{-1}$. \item Quelle relation y-a-t-il entre $A$, $P$, $P^{-1}$ et $D$~? \item Calculer $A^n$, pour $n\in\mathbb{N}$. \end{enumerate} \item M\^eme exercice avec la matrice $A = \left(\begin{array}{cc}2 & -3\\ -1 & 0\end{array}\right)$ et les vecteurs $\vec{v}_1 = \left(\begin{array}{c}3 \\-1\end{array}\right)$, $\vec{v}_2 = \left(\begin{array}{c}1 \\1\end{array}\right)$ et $\vec{v}_3 = \left(\begin{array}{c}0 \\4\end{array}\right)$. \end{enumerate} \finenonce{002761} \finexercice \exercice{2762, tumpach, 2009/10/25} \enonce{002762}{} D\'eterminer le polyn\^ome caract\'eristique des matrices suivantes $$ \left(\begin{array}{cc}0 & 1 \\1 & 0\end{array}\right),\quad \left(\begin{array}{ccc}0 & 1 & 1\\1 & 0 & 1\\1 & 1 & 0\end{array}\right),\quad \left(\begin{array}{cccc}0 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 0 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 0 & 1\\1 & 1 & 1 & 0\end{array}\right). $$ \finenonce{002762} \finexercice \exercice{2763, tumpach, 2009/10/25} \enonce{002763}{} Rechercher les valeurs propres et vecteurs propres des matrices suivantes~: $$ \left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 1\\ 0 & 1 & -1\end{array}\right), \quad \left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 4\\0 & 7 & -2\\ 4 & -2 & 0\end{array}\right),\quad \left(\begin{array}{ccc} 1 & -1 & -1 \\ -1 & a^2 & 0 \\ -1 & 0 & a^2 \end{array} \right) \quad(a\neq 0). $$ \finenonce{002763} \finexercice \exercice{2764, tumpach, 2009/10/25} \enonce{002764}{} Trouver une matrice carr\'ee inversible $P$ telle que $B = PAP^{-1}$ soit diagonale, et \'ecrire la matrice $B$ obtenue, pour les matrices $A$ suivantes~: $$ \left(\begin{array}{ccc}2 & 0 & 0\\0 & 1 & -4\\0 &-4 & 1\end{array}\right),\quad \left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 1\\0 & 1 & 0\\1 & 0 & 1\end{array}\right),\quad \left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 4\\0 & 7&-2\\4 & -2 & 0\end{array}\right). $$ \finenonce{002764} \finexercice \exercice{2765, tumpach, 2009/10/25} \enonce{002765}{DS mai 2008} Soit la matrice $$ A = \left(\begin{array}{ccc}7 & 3 & -9\\-2 & -1 & 2\\2 & -1 & -4\end{array}\right) $$ qui repr\'esente $f$, un endomorphisme de $\mathbb{R}^3$ dans la base canonique $\mathcal{B} = \{\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\}$. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que les valeurs propres de $A$ sont $\lambda_1 = -2$, $\lambda_2 = 1$ et $\lambda_3 = 3$. \item En d\'eduire que l'on peut diagonaliser $A$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item D\'eterminer une base $\mathcal{B}' = \{\vec{v}_1, \vec{v}_2, \vec{v}_3\}$ de vecteurs propres tels que la matrice de $f$ dans la base $\mathcal{B}'$ soit $$ D = \left(\begin{array}{ccc}\lambda_1 & 0 & 0\\ 0 & \lambda_2 & 0\\ 0 & 0 &\lambda_3\end{array}\right). $$ \item Pr\'eciser la matrice de passage $P$ de la base $\mathcal{B}$ \`a la base $\mathcal{B}'$ ; quelle relation lie les matrices $A$, $P$, $P^{-1}$ et $D$~? \end{enumerate} \item Montrer que pour tout entier $n\in\mathbb{N}$, on a $A^n = P D^{n} P^{-1}$. \item Apr\`es avoir donn\'e $D^n$, calculer $A^n$ pour tout $n\in\mathbb{N}$. \end{enumerate} \finenonce{002765} \finexercice \exercice{2766, tumpach, 2009/10/25} \enonce{002766}{DS mai 2008} Soit la matrice $A = \left(\begin{array}{ccc}-3 & -2 & -2\\2 & 1 & 2\\ 2 & 2 & 1\end{array}\right).$ \begin{enumerate} \item Calculer les valeurs propres de $A$. \item \begin{enumerate} \item Donner une base et la dimension de chaque sous-espace propre de $A$. \item $A$ est diagonalisable ; justifier cette affirmation et diagonaliser $A$. \end{enumerate} \end{enumerate} \finenonce{002766} \finexercice \exercice{2767, tumpach, 2009/10/25} \enonce{002767}{} On consid\`ere la matrice $$ A = \left(\begin{array}{cccc}1 & 0 & 0 & 0\\a & 1 & 0 & 0 \\a' & b & 2 & 0\\ a'' & b' & c & 2\end{array}\right). $$ \`A quelles conditions les inconnue doivent-elles satisfaire pour que cette matrice soit diagonalisable~? Ces conditions \'etant remplies, fournir une base de vecteurs propres pour $A$. \finenonce{002767} \finexercice \exercice{2777, tumpach, 2009/10/25} \enonce{002777}{} \begin{enumerate} \item Calculer les valeurs propres et les vecteurs propres de la matrice $$ A = \left(\begin{array}{ccc}0 & 2 & -2\\1 & -1 & 2\\1 & -3 & 4\end{array}\right). $$ \item Calculer $A^n$ pour tout $n\in\mathbb{N}$. \end{enumerate} \finenonce{002777} \finexercice \exercice{3379, quercia, 2010/03/09} \enonce{003379}{Valeurs propres de $AB$ et $BA$} Soient $A \in \mathcal{M}_{n,p}(K)$ et $B \in \mathcal{M}_{p,n}(K)$. On note $C = I_n - AB$ et $D = I_p - BA$.\par ($I_n,I_p = $ matrices unité d'ordres $n$ et $p$) \begin{enumerate} \item Montrer que si $C$ est inversible, alors $D$ l'est aussi (résoudre $DX = 0$). \item Le cas échéant, exprimer $D^{-1}$ en fonction de $A,B,C^{-1}$. \item En déduire que $AB$ et $BA$ ont les mêmes valeurs propres non nulles. Examiner le cas de la valeur propre $0$ si $n = p$. \end{enumerate} \finenonce{003379} \finexercice\exercice{3499, quercia, 2010/03/10} \enonce{003499}{Calcul de valeurs propres} Chercher les valeurs propres des matrices : \begin{enumerate} \item $\begin{pmatrix}0 &\dots &0 &1 \cr \vdots & &\vdots &\vdots \cr 0 &\dots &0 &n-1 \cr 1 &\dots &n-1 &n \cr \end{pmatrix}$. \item $\begin{pmatrix}0 &\sin\alpha &\sin2\alpha \cr \sin\alpha &0 &\sin2\alpha \cr \sin2\alpha &\sin\alpha &0 \end{pmatrix}$. \end{enumerate} \finenonce{003499} \finexercice \exercice{3500, quercia, 2010/03/10} \enonce{003500}{Calcul de valeurs propres} Soient $a_1,\dots,a_n \in \R$. Chercher les valeurs et les vecteurs propres de la matrice $A = \begin{pmatrix} & & & a_1 \cr &(0) & & \vdots \cr & & & a_{n-1} \cr a_1 &\dots &a_{n-1} & a_n \cr \end{pmatrix}$. On distinguera les cas : \begin{enumerate} \item $(a_1,\dots,a_{n-1}) \ne (0,\dots,0)$. \item $(a_1,\dots,a_{n-1}) = (0,\dots,0)$. \end{enumerate} \finenonce{003500} \finexercice \exercice{3501, quercia, 2010/03/10} \enonce{003501}{Polynômes de Chebychev} Soit $A = \begin{pmatrix} 0 &1 & &(0) \cr 1 &\ddots &\ddots \cr &\ddots &\ddots &1 \cr (0)& &1 &0 \cr \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_n(\R)$. \begin{enumerate} \item Calculer $D_n(\theta) = \det(A+(2\cos\theta) I)$ par récurrence. \item En déduire les valeurs propres de $A$. \end{enumerate} \finenonce{003501} \finexercice \exercice{3502, quercia, 2010/03/10} \enonce{003502}{Matrice tridiagonale} Déterminer les valeurs propres de la matrice $A = \begin{pmatrix} 1 &-1 & & &(0) \cr -1 &2 &-1 & & \cr &\ddots &\ddots &\ddots & \cr & &-1 &2 &-1 \cr (0)& & &-1 &1 \cr\end{pmatrix} \in \mathcal{M}_n(\R)$. \finenonce{003502} \finexercice\exercice{3506, quercia, 2010/03/10} \enonce{003506}{Esem 91} Soit $C_{pq} = \begin{pmatrix} U_{pq} &(0) &U_{pq} \cr (0) &(0) &(0) \cr U_{pq} &(0) &U_{pq} \cr \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_n(\R)$ où $U_{pq}$ est la matrice $p\times q$ dont tous les coefficients valent~1. Chercher les éléments propres de $C_{p,q}$. \finenonce{003506} \finexercice\exercice{3508, quercia, 2010/03/10} \enonce{003508}{Sommes par lignes ou colonnes constantes} Soit $A \in \mathcal{M}_n(K)$ telle que la somme des coefficients par ligne est constante ($=S$). Montrer que $S$ est une valeur propre de $A$. Même question avec la somme des coefficients par colonne. \finenonce{003508} \finexercice \exercice{3509, quercia, 2010/03/10} \enonce{003509}{Matrices stochastiques} Soit $M=(m_{ij}) \in \mathcal{M}_n(\R)$ telle que : $\begin{cases} \forall\ i,j,\ m_{ij} \ge 0 \cr \forall\ i,\ m_{i,1} + m_{i,2} + \dots + m_{i,n} = 1.\cr \end{cases}$ ({\it matrice stochastique\/}) \begin{enumerate} \item Montrer que 1 est valeur propre de $M$. \item Soit $\lambda$ une valeur propre complexe de $M$. Montrer que $|\lambda| \le 1$ (si $(x_1,\dots,x_n)\in \C^n$ est un vecteur propre associé, considérer le coefficient $x_k$ de plus grand module). Montrer que si tous les coefficients $m_{ij}$ sont strictement positifs alors $|\lambda| = 1 \Rightarrow \lambda = 1$. \end{enumerate} \finenonce{003509} \finexercice\exercice{3511, quercia, 2010/03/10} \enonce{003511}{$(X-a)P'$} Soit $E = K_n[X]$ et $u : E \to E, P \mapsto {(X-a)P'.}$ Chercher les valeurs propres et les vecteurs propres de $u$. \finenonce{003511} \finexercice \exercice{3512, quercia, 2010/03/10} \enonce{003512}{$X(X-1)P' -2nXP$} Soit $E = K_{2n}[X]$ et $u : E \to E, P \mapsto {X(X-1)P'-2nXP.}$ Chercher les valeurs propres et les vecteurs propres de $u$. \finenonce{003512} \finexercice \exercice{3513, quercia, 2010/03/10} \enonce{003513}{$X^3P \bmod (X-a)(X-b)(X-c)$} Soient $\alpha, \beta, \gamma \in K$ distincts, et $\varphi : { K_2[X]} \to { K_2[X]}, P\mapsto R$ où $R$ est le reste de la division euclidienne de $X^3P$ par $(X-\alpha)(X-\beta)(X-\gamma)$. Chercher les valeurs et les vecteurs propres de $\varphi$. \finenonce{003513} \finexercice \exercice{3514, quercia, 2010/03/10} \enonce{003514}{$P(2-X)$} Déterminer les éléments propres de l'endomorphisme $\theta : { K[X]} \to { K[X]}, P \mapsto {P(2-X).}$ \finenonce{003514} \finexercice \exercice{3515, quercia, 2010/03/10} \enonce{003515}{$P(X+1) - P'$} Déterminer les éléments propres de l'endomorphisme $\theta : { K[X]} \to { K[X]}, P \mapsto {P(X+1) - P'.}$ \finenonce{003515} \finexercice \exercice{3516, quercia, 2010/03/10} \enonce{003516}{Eivp 91} Soit $f \in \mathcal{L}({\R_n[X]})$ qui à $P$ associe $(X-a)P'+P-P(a)$. Donner la matrice de $f$ dans la base $(X^k)_{0\le k\le n}$. Chercher $\Im f$, $\mathrm{Ker} f$ et les éléments propres de $f$. \finenonce{003516} \finexercice\exercice{5655, rouget, 2010/10/16} \enonce{005655}{***} Soit $E=\Rr_{3}[X]$. Pour $P$ élément de $E$, soit $f(P)$ le reste de la division euclidienne de $AP$ par $B$ où $A= X^4-1$ et $B = X^4 - X$. Vérifier que $f$ est un endomorphisme de $E$ puis déterminer $\text{Ker}f$, $\text{Im}f$ et les valeurs et vecteurs propres de $f$. \finenonce{005655} \finexercice \exercice{5660, rouget, 2010/10/16} \enonce{005660}{****} Soit $E$ un $\Cc$-espace vectoriel de dimension finie non nulle. Soient $u$ et $v$ deux endomorphismes de $E$ tels que $\exists(\alpha,\beta)\in\Cc^2/\;uv - vu =\alpha u + \beta v$. Montrer que $u$ et $v$ ont un vecteur propre en commun. \finenonce{005660} \finexercice \exercice{5674, rouget, 2010/10/16} \enonce{005674}{***} $E =C^0(\Rr,\Rr)$. Pour $f$ élément de $E$, $\varphi(f)$ est l'application définie par : \begin{center} $\forall x\in\Rr^*$, $(\varphi(f))(x) =\frac{1}{x}\int_{0}^{x}f(t)\;dt$ si $x\neq 0$ et $(\varphi(f))(0) =f(0)$. \end{center} \begin{enumerate} \item Montrer que $\varphi$ est un endomorphisme de $E$. \item Etudier l'injectivité et la surjectivité de $\varphi$. \item Déterminer les éléments propres de $\varphi$. \end{enumerate} \finenonce{005674} \finexercice \section{ 201.02 Diagonalisation } \exercice{1612, liousse, 2003/10/01} \enonce{001612}{} Soient trois vecteurs $e_1,$ $e_2,$ $e_3$ formant une base de $\Rr^{3}.$ On note $T$ l'application lin\'eaire d\'efinie par $T(e_1)=T(e_3)=e_3$ et $T(e_2)=-e_1+e_2+e_3.$ \begin{enumerate} \item D\'eterminer le noyau de cette application lin\'eaire. Donner la matrice $A$ de $T$ dans la base donn\'ee.\\ \item On pose $f_1=e_1-e_3,$ $f_2=e_1-e_2,$ $f_3=-e_1+e_2+e_3.$ Calculer $e_1,$ $e_2,$ $e_3$ en fonction de $f_1,$ $f_2,$ $f_3.$ Les vecteurs $f_1,$ $f_2,$ $f_3$ forment-ils une base de $\Rr^{3}$ ?\\ \item Calculer $T(f_1),$ $T(f_2),$ $T(f_3)$ en fonction de $f_1,$ $f_2,$ $f_3.$ \'Ecrire la matrice $B$ de $T$ dans cette nouvelle base.\\ \item On pose $P=\left (\begin{array}{rcl}1&1&-1\\0&-1&1\\-1&0&1 \end{array}\right ).$ V\'erifier que $P$ est inversible et calculer $P^{-1}.$ Quelle relation relie $A,$ $B,$ $P$ et $P^{-1}$ ? \end{enumerate} \finenonce{001612} \finexercice \exercice{1614, liousse, 2003/10/01} \enonce{001614}{} Soit $E$ un espace vectoriel de dimension $n$ et $f$ une application lin\'eaire de $E$ dans $E$. \begin{enumerate} \item Montrer que la condition $f^2=0$ est \'equivalente \`a $Im f \subset Ker f$. Quelle condition v\'erifie alors le rang de $f$ ? On suppose dans la suite que $f^2=0$. \item Soit $F$ un suppl\'ementaire de $Ker f$ dans $E$ et soit $(e_1, \ldots , e_r)$ une base de $F$. Montrer que la famille des vecteurs $(e_1, \ldots , e_r,f(e_1), \ldots , f(e_r))$ est libre. Montrer comment la compl\'eter si n\'ecessaire par des vecteurs de $Ker f$ pour obtenir une base de $E$. Quelle est la matrice de $f$ dans cette base ? \item Sous quelle condition n\'ecessaire et suffisante a-t-on $Im f= Ker f$ ? \item Exemple. Soit $f$ une application lin\'eaire de $\Rr^3$ dans $\Rr^3$ de matrice dans la base canonique $M(f) = \left( \begin{array}{ccc} 1&0&1 \\ 2&0&2 \\ -1&0&-1 \\ \end{array}\right)$. Montrer que $f^2=0$. D\'eterminer une nouvelle base dans laquelle la matrice de $f$ a la forme indiqu\'ee dans la question 2). \end{enumerate} \finenonce{001614} \finexercice \exercice{1615, liousse, 2003/10/01} \enonce{001615}{} Soit $A=\left (\begin{array}{cc} 1&4\\2&3\end{array}\right ).$ Trouver les valeurs propres de $A$ et les sous-espaces propres correspondant. En d\'eduire une matrice inversible $P$ telle que $P^{-1}AP$ soit diagonale. \finenonce{001615} \finexercice \exercice{1616, liousse, 2003/10/01} \enonce{001616}{} Soit $A=\left (\begin{array}{ccc} 4&1&-1\\2&5&-2\\1&1&2\end{array}\right ).$ Diagonaliser $A.$ \finenonce{001616} \finexercice \exercice{1617, liousse, 2003/10/01} \enonce{001617}{} Soit $A=\left (\begin{array}{ccc} 1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{array}\right ).$ Trouver, sans calculer le polyn\^ome caract\'eristique, les valeurs propres de $A.$ Cette matrice est-elle diagonalisable ? \finenonce{001617} \finexercice \exercice{1618, liousse, 2003/10/01} \enonce{001618}{} On consid\`ere les matrices suivantes $$A=\left (\begin{array}{ccc} 3&1&1\\2&4&2\\1&1&3\end{array}\right )\hbox{ } B=\left (\begin{array}{ccc} 1&2&2\\1&2&-1\\-1&1&4\end{array}\right )\hbox{ } C=\left (\begin{array}{ccc} 1&1&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right )$$ Ces matrices sont-elles diagonalisables ? Si oui, les r\'eduire. \finenonce{001618} \finexercice \exercice{1619, liousse, 2003/10/01} \enonce{001619}{} Soit $n$ un entier strictement sup\'erieur \`a 1. Soit $A$ une matrice $n\times n$ telle que $A^{n}=0$ et $A^{n-1}\ne 0.$ Soit $x_0$ un vecteur de $\Rr^{n}$ tel que $A^{n-1}x_0\ne 0.$ Montrer que $(x_0,Ax_0,A^{2}x_0,\cdots,A^{n-1}x_0)$ est une base de $\Rr^{n}.$ Comment s'\'ecrit la matrice $A$ dans cette base ? Application : on pose $A=\left(\begin{array}{ccc}2&1&2\\-1&-1&-1\\ -1&0&-1\end{array}\right).$ Calculer $A^{3}$ et donner une base de $\Rr^{3}$ dans laquelle $A$ a une forme simple. \finenonce{001619} \finexercice \exercice{1620, liousse, 2003/10/01} \enonce{001620}{} On consid\`ere la matrice $$M=\left (\begin{array}{ccc} 3&2&1\\-1&0&-1\\-1&-1&1\end{array}\right )$$ Est-elle diagonalisable ? Justifier. \'Ecrire alors $M$ sous une forme plus simple. \finenonce{001620} \finexercice \exercice{1621, liousse, 2003/10/01} \enonce{001621}{} Soit $T$ l'application lin\'eaire de $\mathbb R^3$ dans $\mathbb R^3$ d\'efinie par sa matrice $A$ dans la base canonique $(e_1,e_2,e_3)$ de $\mathbb R^3$ : $$ A= {\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 1 & 3& -1 \\ 1 & -1& 3\end{pmatrix}}.$$ \begin{enumerate} \item Donner un base de Ker $T$ et Im$T$. \item \begin{enumerate} \item Calculer le polyn{\^o}me caract\'eristique de $T$, puis ses valeurs propres. \item Justifier, sans calcul, que $T$ soit diagonalisable et \'ecrire une matrice diagonale semblable \`a $A$ . \item Calculer une base de $\mathbb R^3$ form\'ee de vecteurs propres de $T$. \end{enumerate} \item Soient $f_1= -2e_1+e_2+e_3$ , $f_2=e_1+e_2+e_3$ et $f_3 = 2e_1+3e_2 -e_3$ trois vecteurs de $\mathbb R^3$. \begin{enumerate} \item Justifier que $(f_1,f_2,f_3)$ est une base de $\mathbb R^3$ et \'ecrire la matrice $P$ de passage de la base $(e_1,e_2,e_3)$ \`a la base $(f_1,f_2,f_3)$. \item Calculer $P^{-1}$. \item Ecrire la matrice $D$ de $T$ dans la base $(f_1,f_2,f_3)$ . \end{enumerate} \item Quelle relation relie $A^3$, $D^3$, $P$ et $P^{-1}$ ? En d\'eduire $A^3$. \end{enumerate} \finenonce{001621} \finexercice \exercice{1622, barraud, 2003/09/01} \enonce{001622}{} Lorsque c'est possible, diagonaliser les matrices suivantes : $$ \begin{pmatrix} 2 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \\ 2 & -2 & 1 \end{pmatrix} \qquad \begin{pmatrix} 3 & -3 & -4 & -1 \\ 0 & 2 & 0 & -1 \\ 2 & -4 & -3 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & -1 \end{pmatrix} \qquad \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & -1 & 1 \\ 2 & -1 & 1 & 1 \\ 3 & -1 & -1 & 3 \end{pmatrix} \qquad \begin{pmatrix} 3 & -1 & 7 & -14\\ 4 & -1 & 7 & -15\\ 0 & 0 & 3 & -4 \\ 0 & 0 & 2 & -3 \end{pmatrix} $$ \finenonce{001622} \finexercice \exercice{1623, barraud, 2003/09/01} \enonce{001623}{} Pour quelles valeurs de $(a,b,c)\in\C^{2}$ la matrice $A= \begin{pmatrix} 1&a&1&0\\ 0&1&b&2\\ 0&0&2&c\\ 0&0&0&2 \end{pmatrix} $ est-elle diagonalisable~? On ne cherchera pas à réduire explicitement $A$. \finenonce{001623} \finexercice \exercice{1624, barraud, 2003/09/01} \enonce{001624}{} Soit $u$ l'application suivante : $$ u: \begin{array}{rcl} \R_{2}[X] & \rightarrow & \R_{2}[X] \\[2ex] P & \mapsto & (2X+1)P-(X^{2}-1)P' \end{array} $$ Montrer que $u$ est bien d\'{e}finie et lin\'{e}aire. D\'{e}terminer les valeurs propres de $u$, et, si c'est possible, diagonaliser $u$. \finenonce{001624} \finexercice \exercice{1625, barraud, 2003/09/01} \enonce{001625}{} Soit $A\in\mathcal{M}_{n}(\R)$. Montrer que si $\lambda$ est une valeur propre complexe de $A$, alors $\bar{\lambda}$ est aussi une valeur propre de $A$. De m\^{e}me, montrer que si $x$ est un vecteur propre complexe de $A$, alors $\bar{x}$ (o\`{u} $\bar{x}$ d\'{e}signe le vecteur dont les composantes sont les conjugu\'{e}es des composantes de $x$) est aussi un vecteur propre complexe de $A$. Diagonaliser $ A= \begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix} $. \finenonce{001625} \finexercice \exercice{1626, barraud, 2003/09/01} \enonce{001626}{} Soit $A_{t}$ la matrice $ A_{t}= \begin{pmatrix} t & 1 & \cdots & 1 \\ 1 & t & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & 1 \\ 1 & \cdots & 1 & t \end{pmatrix} $. Sans calculer le polyn\^{o}me caract\'{e}ristique de $A_{t}$, montrer que $(t-1)$ est valeur propre. D\'{e}terminer l'espace propre associ\'{e}. Que dire de la multiplicit\'{e} de la valeur propre $(t-1)$ ? En d\'{e}duire le spectre de $A_{t}$. $A_{t}$ est-elle diagonalisable ? \finenonce{001626} \finexercice \exercice{1627, barraud, 2003/09/01} \enonce{001627}{} Pour quelles valeurs de $a$, $b$ et $c$ les matrices suivantes sont-elles diagonalisables ? $$ \begin{pmatrix} 1 & a & 1 \\ 0 & 1 & b \\ 0 & 0 & c \end{pmatrix} \hspace{3cm} \begin{pmatrix} 0 & 0 & a \\ 0 & 0 & b \\ a & b & c \end{pmatrix} $$ \finenonce{001627} \finexercice \exercice{1628, barraud, 2003/09/01} \enonce{001628}{} Soient $u$ et $v$ deux endomorphismes diagonalisables de $E$, qui commutent (c'est \`{a} dire tels que $u\circ v=v\circ u$). On note $\lambda_{1},\ldots,\lambda_{p}$ (resp. $\mu_{1},\ldots,\mu_{q}$) les valeurs propres de $u$ (resp. de $v$), et $F_{1},\ldots,F_{p}$ les espaces propres associ\'{e}s (resp. $G_{1},\ldots,G_{q}$). \begin{enumerate} \item Montrer que chaque $G_{j}$ (resp. $F_{i}$) est stable par $u$ (resp. $v$) (c'est \`{a} dire que $u(G_{j})\subset G_{j}$). \item On pose $H_{ij}=F_{i}\cap G_{j}$. Soit $i\in\{1,\ldots,p\}$. Montrer que $F_{i}$ est la somme directe des espaces $(H_{ij})_{1\leq j\leq q}$. \item En d\'{e}duire l'\'{e}nonc\'{e} suivant : {\sl Lorsque deux endomorphismes diagonalisables $u$ et $v$ commutent, il existe une base form\'{e}e de vecteurs propres communs \`{a} $u$ et \`{a} $v$ (en d'autres termes, $u$ et $v$ sont diagonalisables simultan\'{e}ment dans la m\^{e}me base).} \end{enumerate} \finenonce{001628} \finexercice \exercice{1629, barraud, 2003/09/01} \enonce{001629}{} Les matrices suivantes sont-elles diagonalisables, triangularisables ? Si oui, les réduire. $$ A_{1}=\begin{pmatrix} 3 &-1 & 1 \\ 2 & 0 & 1 \\ 1 &-1 & 2 \end{pmatrix} \qquad A_{2}=\begin{pmatrix} 3 & 2 &-2 \\ -1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \qquad A_{3}=\begin{pmatrix} 13 &-5 &-2 \\ -2 & 7 &-8 \\ -5 & 4 & 7 \end{pmatrix} \qquad $$ \finenonce{001629} \finexercice \exercice{1630, barraud, 2003/09/01} \enonce{001630}{} Soit $f$ un endomorphisme diagonalisable d'un espace vectoriel $E$ et $P$ un polynôme. Montrer que $P(f)$ est diagonalisable. \finenonce{001630} \finexercice \exercice{1631, barraud, 2003/09/01} \enonce{001631}{} Soit $P_{0}$ un polynôme de $\R_{n}[X]$, et $f$ l'application suivante : $$ f: \begin{array}{rcl} \R_{n}[X] & \rightarrow & \R_{n}[X] \\[1ex] P & \mapsto & R= \text{ reste de la division euclidienne de $P$ par $P_{0}$} \end{array} $$ A l'aide d'un polynôme annulateur de $f$, montrer que $f$ est diagonalisable. \finenonce{001631} \finexercice \exercice{1632, barraud, 2003/09/01} \enonce{001632}{} Soit $\alpha$ et $\beta$ deux réels, et $A$ la matrice suivante : $$ A=\begin{pmatrix} 1 & -\alpha & -\alpha & 1 \\ 1-\beta & \alpha & \alpha-1 & -\beta \\ \beta & -\alpha & 1-\alpha & 1+\beta \\ 0 & \alpha & \alpha & 0 \end{pmatrix} $$ A quelle condition sur $\alpha$ et $\beta$, $A$ est-elle diagonalisable ? On suppose $\alpha=0$ et $\beta=0$. Vérifier que $A(A-I)=0$. En déduire $A^{n}$ et $(A+I)^{-1}$ . \finenonce{001632} \finexercice \exercice{1633, barraud, 2003/09/01} \enonce{001633}{} Les matrices suivantes sont-elles diagonalisables, triangularisables, sur $\R$ et sur $\C$ ? Lorsqu'elles sont diagonalisables, donner une matrice diagonale semblable. $$ A= \begin{pmatrix} 3 & 2 &-1 &-2 \\ 1 & 3 &-1 &-1 \\ 2 & 2 & 0 &-2 \\ 1 & 2 &-1 & 0 \end{pmatrix} \qquad B= \begin{pmatrix} 1 & 2 &-1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 &-1 \\ 3 &-4 & 5 &-3 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \qquad C= \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 1 &-1 & 0 \\ -4 & 2 & 2 \end{pmatrix} $$ Réduire explicitement $A$ et $C$. \finenonce{001633} \finexercice \exercice{1634, barraud, 2003/09/01} \enonce{001634}{} On considère un endomorphisme $f$ d'un $\C$ espace vectoriel $E$ de dimension finie $n$, tel que $f^2$ est diagonalisable. Le but de cet exercice est de démontrer que : $$ f\text{ est diagonalisable }\Leftrightarrow \mathrm{Ker} f=\mathrm{Ker} f^2 $$ \begin{enumerate} \item On suppose que $f$ est diagonalisable. On note $\alpha_{1},...,\alpha_{r}$ les valeurs propres (distinctes) de $A$, et $E_{1},...,E_{r}$ les espaces propres associés. \begin{enumerate} \item Montrer que si $\mathrm{Ker} f=\{0\}$ alors $\mathrm{Ker} f^{2}=\{0\}$. \item On suppose maintenant que $\mathrm{Ker} f\neq\{0\}$. On note $\alpha_{\alpha_{1}},...,\alpha_{\alpha_{r}}$ les autres valeurs propres de $f$, et $E_{0},...,E_{r}$ ses espaces propres. En utilisant que $E=E_{0}\oplus E_{1}\oplus ...\oplus E_{r}$, montrer que si $f^{2}(x)=0$ alors $f(x)=0$. En déduire que $\mathrm{Ker} f=\mathrm{Ker} f^2$. \end{enumerate} \item On suppose que $\mathrm{Ker} f=\mathrm{Ker} f^2$. \begin{enumerate} \item Montrer que si $\mu$ est une valeur propre de $f$, alors $\mu^2$ est une valeur propre de $f^2$. \begin{enumerate} \item Soit $\lambda$ une valeur propre non nulle de $f^2$, et $\mu$ et $-\mu$ ses deux racines complexes. Montrer que $$ \mathrm{Ker}(f-\mu\mathrm{id})\subset\mathrm{Ker}(f^2-\lambda\mathrm{id}) \quad\text{ et que }\quad \mathrm{Ker}(f+\mu\mathrm{id})\subset\mathrm{Ker}(f^2-\lambda\mathrm{id}). $$ \item Montrer que $$ \mathrm{Ker}(f^2-\lambda\mathrm{id})=\mathrm{Ker}(f-\mu\mathrm{id})\oplus\mathrm{Ker}(f+\mu\mathrm{id}) $$ (remarquer que $\forall y\in \mathrm{Ker} f^{2}\;\; y=\frac{1}{2\mu}((f+\mu\mathrm{id})(y)-(f-\mu\mathrm{id})(y))$). \end{enumerate} \item Montrer (avec soin) que $f$ est diagonalisable. \end{enumerate} \end{enumerate} \finenonce{001634} \finexercice \exercice{1635, barraud, 2003/09/01} \enonce{001635}{} La matrice suivante est-elle diagonalisable, triangularisable~? Effectuer explicitement la réduction. $$ A= \begin{pmatrix} 3& 2& 4\\ -1& 3&-1\\ -2&-1&-3 \end{pmatrix} $$ \finenonce{001635} \finexercice \exercice{1636, barraud, 2003/09/01} \enonce{001636}{} Soit $J=\left( \begin{smallmatrix} \frac{1}{2}&\frac{1}{2} \\[.5ex] \frac{1}{2}&\frac{1}{2} \end{smallmatrix}\right) $ et $A= \begin{pmatrix} 0 &\vline& J \\ \hline J &\vline&0 \end{pmatrix}$. Calculer $A^{2}$, puis $A^{3}$. A l'aide d'un polynôme annulateur de $A$, montrer que $A$ est diagonalisable. Sans chercher à calculer le polynôme caractéristique de $A$, donner un ensemble fini contenant toutes les valeurs propres de $A$, puis donner les valeurs valeurs propres elles mêmes ainsi que leurs multiplicités. En déduire le polynôme caractéristique de $A$. \finenonce{001636} \finexercice \exercice{1637, barraud, 2003/09/01} \enonce{001637}{} On considère une matrice $A\in\mathcal{M}_{nn}(\C)$ et l'application $\phi_{A}$ définie par~: $$ \phi_{A}: \begin{array}{ccc} \mathcal{M}_{nn}(\C) & \rightarrow & \mathcal{M}_{nn}(\C)\\ B &\mapsto &AB \end{array} $$ \begin{enumerate} \item Montrer que $\phi_{A}$ est linéaire. Le but de l'exercice est de montrer que $\phi_{A}$ est diagonalisable si et seulement si $A$ est diagonalisable. \item Calculer $\phi_{A}^{2}(B)$, puis $\phi_{A}^{k}(B)$ pour $k\in\N$. En déduire que si $P$ est un polynôme, alors $P(\phi_{A})=\phi_{P(A)}$. \item En déduire que $P$ est un polynôme annulateur de $A$ si et seulement si $P$ est un polynôme annulateur de $\phi_{A}$. \item Montrer que $\phi_{A}$ est diagonalisable si et seulement si $A$ l'est. \end{enumerate} \finenonce{001637} \finexercice \exercice{1638, barraud, 2003/09/01} \enonce{001638}{} A $n$ nombres complexes $(a_{1},...,a_{n})\in\C^{n}$ avec $a_{2}\neq 0$, on associe la matrice $A_{n}= \begin{pmatrix} a_{1} &a_{2} &\cdots &a_{n} \\ a_{2} & & & \\ \vdots& &\text{\huge{0}} & \\ a_{n} & & & \end{pmatrix} $. \begin{enumerate} \item Quel est le rang de $A_{n}$. Qu'en déduit-on pour le polynôme caractéristique $\chi_{n}$ de $A_{n}$~? \item Calculer $\chi_{2}$, $\chi_{3}$. \item On pose $b_{n}=a_{2}^{2}+\cdots+a_{n}^{2}$. Par récurrence, montrer que $\chi_{n}=(-X)^{n-2}(X^{2}-a_{1}X-b_{n})$. \item Si $b_{n}=0$, $A_{n}$ est-elle diagonalisable~? \item Si $b_{n}\neq0$, à quelle condition $A_{n}$ est-elle diagonalisable~? \end{enumerate} \finenonce{001638} \finexercice \exercice{1639, barraud, 2003/09/01} \enonce{001639}{} Soit $A$ la matrice $A= \begin{pmatrix} 1&-1&-1\\ -1& 1&-1\\ -1&-1& 1 \end{pmatrix} $. Calculer $^{t}\!A$. La matrice $A$ est-elle diagonalisable~? Trouver une matrice $P$ orthogonale telle que $P^{-1}AP$ soit diagonale. \finenonce{001639} \finexercice \exercice{1640, barraud, 2003/09/01} \enonce{001640}{} Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie, et $u$ un endomorphisme de $E$ tel que $u^{p}=0$ pour un certain entier $p$. Quelles sont les valeurs propres de $u$. A quelle condition $u$ est-il diagonalisable~? Montrer que $u^{n}=0$. \finenonce{001640} \finexercice \exercice{1641, barraud, 2003/09/01} \enonce{001641}{} Déterminer les valeurs propres des matrices suivantes. Sont-elles diagonalisables, triangularisables~? $$ A=\begin{pmatrix} 3 &0 &0 \\ 2 &2 &0 \\ 1 &1 &1 \end{pmatrix} \qquad B=\begin{pmatrix} 2 &-2 &1 \\ 3 &-3 &1 \\ -1 &2 &0 \end{pmatrix} $$ A l'aide du polynôme caractéristique de $B$, calculer $B^{-1}$. \finenonce{001641} \finexercice \exercice{1642, barraud, 2003/09/01} \enonce{001642}{} Soit $A$ la matrice $A= \begin{pmatrix} 1&-1&-1\\ -1& 1&-1\\ -1&-1& 1 \end{pmatrix} $. \begin{enumerate} \item Calculer $^{t}\!A$. La matrice $A$ est-elle diagonalisable~? \item Diagonaliser $A$. \item Diagonaliser $A$ dans une base orthonormée (pour le produit scalaire usuel de $\R^{3}$). \end{enumerate} \finenonce{001642} \finexercice \exercice{1643, barraud, 2003/09/01} \enonce{001643}{} Dans l'espace vectoriel $\R_{3}[X]$, on considère l'application linéaire suivante~: $$ u~: \begin{array}{rcl} \R_{3}[X] & \rightarrow & \R_{3}[X] \\[2ex] P & \mapsto & P (0)X^{3} +P'(0)X^{2} +\frac{1}{2}P''(0)X +\frac{1}{6}P'''(0) \end{array} $$ \begin{enumerate} \item Ecrire la matrice $A$ de $u$ dans la base canonique. Calculer $A^{2}$. \item $u$ est-elle diagonalisable~? Si oui, donner une base de $\R^{3}[X]$ formée de vecteurs propres de $u$. \end{enumerate} \finenonce{001643} \finexercice \exercice{1644, barraud, 2003/09/01} \enonce{001644}{} On considère un réel $\alpha$ et l'application $T_{\alpha}$ suivante : $$ T_{\alpha} : \begin{array}{ccl} \R[X] & \rightarrow & \R[X] \\ P & \mapsto & X(X-1)P''+(1+\alpha X)P' \end{array} $$ \begin{enumerate} \item Montrer que pour tout entier $n>0$, la restriction de $T_{\alpha}$ à $\R_{n}[X]$ défini un endomorphisme de $\R_{n}[X]$. \item On suppose pour cette question que $n=3$. \begin{enumerate} \item Ecrire la matrice de $T_{\alpha}$ dans la base $(1,X,X^{2},x^{3})$. \item Déterminer les valeurs propores de $T_{\alpha}$. On les note $\lambda_{0},\lambda_{1},\lambda_{2},\lambda_{3}$. \item Déterminer les valeurs de $\alpha$ pour lesquelles $T_{\alpha}$ a des valeurs propres multiples. \item Donner un vecteur propre de $T_{\alpha}$ pour chaque valeur propre, lorsque $\alpha=-1$, puis $\alpha=-4$. L'endomorphisme $T_{-4}$ est-il diagonalisable ? \end{enumerate} \item On suppose maintenant $n>3$. \begin{enumerate} \item Ecrire la matrice de $T_{\alpha}$ dans la base $(1,X,X^{2},...,X^{n})$. \item Déterminer les valeurs propores de $T_{\alpha}$. On les note $\lambda_{0},\lambda_{1},...,\lambda_{n}$. \item Déterminer les valeurs de $\alpha$ pour lesquelles $T_{\alpha}$ a des valeurs propres multiples. Dans chaque cas, donner la liste des valeurs propres avec leurs multiplicités \item Déterminer la dimension de $\mathrm{Ker} T_{\alpha}$ et de $\mathrm{Im} T_{\alpha}$ lorsque $\alpha\notin\{1-n,...,-1,0\}$. \item Déterminer $\mathrm{Ker} T_{\alpha}$ pour $\alpha=-1$, puis $\alpha=0$. L'endomorphisme $T_{0}$ est-il diagonalisable ? \item Lorsque $\alpha=p-1$ avec $p\in\{1,...,n\}$, donner un polynôme $P$ de degré inférieur ou égal à $n$ tel que $T_{\alpha}(P)=0$. En déduire $\mathrm{Ker} T_{\alpha}$. Préciser sa dimension. \item Soit $\lambda_{k}$ une valeur propre simple de $T_{\alpha}$. Donner un vecteur propre de $T_{\alpha}$ associé à $\lambda_{k}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \finenonce{001644} \finexercice \exercice{1645, legall, 1998/09/01} \enonce{001645}{} Soient $\R^n$ euclidien, $f \in \textbf{O}_n(\R)$. Montrer que $f$ est diagonalisable si et seulement si $f$ est une sym\'etrie orthogonale. \finenonce{001645} \finexercice \exercice{1646, legall, 1998/09/01} \enonce{001646}{} Diagonaliser en base orthonormale les matrices suivantes : $$A = \left(\begin{array}{cccc}0&\ldots&0&a_1\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\ 0&\ldots&0&a_{n-1}\\ a_1&\ldots&a_{n-1}&a_n\end{array} \right), a_i \in \R; B = \left(\begin{array}{cccc} a&b& & \\ b&\ddots&\ddots&\\ &\ddots&\ddots&b\\ & & b& a\end{array}\right), a,b \in \R.$$ Peut-on d\'eterminer $a, b$ tels que $B$ soit la matrice d'un produit scalaire ? \finenonce{001646} \finexercice \exercice{1647, legall, 1998/09/01} \enonce{001647}{} Montrer que si $A$ est une matrice sym\'etrique r\'eelle, alors $A + iI$ est inversible. \finenonce{001647} \finexercice \exercice{1648, bodin, 1999/11/01} \enonce{001648}{} Soit $f$ un endomorphisme de $\C^3$ dont la matrice par rapport \`a la base canonique est : $$ M= \left( \begin{array}{ccc} 2 & -1 & 1 \\ -1 & k & 1 \\ 1 &1 & 2 \end{array} \right), \; \mbox{o\`u} \; k\in\C. $$ \emph{(a)} D\'eterminer, suivant les valeurs de $k$, la dimension du noyau de $f$. \\ \emph{(b)} Montrer que $M$ admet une valeur propre r\'eelle enti\`ere ind\'ependante de $k$, et calculer toutes les valeurs propres de $M$. \\ \emph{(c)} Indiquer toutes les valeurs de $k$ pour lesquelles on obtient des valeurs propres multiples. Pour quelles valeurs de ces $k$ la matrice $M$ est-elle semblable \`a une matrice diagonale? \finenonce{001648} \finexercice \exercice{1649, legall, 1998/09/01} \enonce{001649}{} Soit $ A\in M_n(\Rr) $ telle que $ A^2=-I .$ \begin{enumerate} \item Montrer que $ n $ est pair, $ n=2p .$ \item Calculer $ Sp_{\R}(A) $ et montrer $ Sp_{\C}(A)= \{ i,-i\} .$ Pour quelle raison $ A $ est elle diagonalisable sur $ \C $~? \item Montrer que si $ \{ y_1 , \ldots y_k \} $ est une base de $ E_i , $ alors $ \{ \overline{y_1} , \ldots \overline{y_k} \} $ est une base de $ E_{-i} .$ Quelle est donc la valeur de $ k $~? \item D\'emontrer que $ A $ est semblable (dans $ M_n (\R ) $) \`a une matrice diagonale par blocs dont chacun des blocs diagonaux est $ \begin{pmatrix}0 & -1\cr 1 & 0 \cr \end{pmatrix} .$ (on pourra utiliser la question 3.) \end{enumerate} \finenonce{001649} \finexercice \exercice{1650, legall, 1998/09/01} \enonce{001650}{} Soient $\ M $ et $ N \in M_n (\mathbb{K} ) .$ On note $ \varphi _M \in \mathcal{L} (M_n (\mathbb{K} )) $ l'application $ N\mapsto MN-NM .$ \begin{enumerate} \item Soient $ A= \begin{pmatrix}3 & -4\cr 2 & -3 \cr \end{pmatrix} $ et $ B= \begin{pmatrix}1 & 2\cr 0 & 1 \cr \end{pmatrix} .$ Diagonaliser $ A $ et montrer que $ B $ n'est pas diagonalisable. \item Montrer que si $ N $ est un vecteur propre associ\'e \`a une valeur propre non nulle $ \lambda $ de $ \varphi _M $ alors $ N $ est nilpotente. (on pourra \'etablir que pour tout $ k \in \N : MN^k-N^kM=k\lambda N^k $.) \item Montrer que l'identit\'e n'appartient pas \`a l'image de $ \varphi _M .$ (utiliser la trace.) \item Soit $ D=\begin{pmatrix}1 & 0 \cr 0 & -1 \cr \end{pmatrix} .$ Diagonaliser $ \varphi _D $ puis $ \varphi _A .$ Montrer que $ \varphi _B $ n'est pas diagonalisable. \item Montrer que si $ M $ est diagonalisable, $ \varphi _M $ est diagonalisable. \item Etablir la r\'eciproque lorsque $ M $ a au moins une valeur propre. \end{enumerate} \finenonce{001650} \finexercice \exercice{1651, legall, 1998/09/01} \enonce{001651}{} Soit $ E $ un $ \mathbb{K}$-espace vectoriel. Une application $ p \in \mathcal{L} (E) $ est nomm\'ee projecteur lorsque $ p^2=p .$ \begin{enumerate} \item Montrer que si $ p $ est un projecteur $ 1-p $ est un projecteur. Montrer que $ \hbox{Im}(p)\oplus \hbox{Ker}(p)=E .$ \item On suppose que $ \mathbb{K} = \R .$ Soient $ p $ et $ q $ deux projecteurs tels que $ p+q $ soit aussi un projecteur. Montrer que~: \begin{enumerate} \item $ pq=qp=0 .$ \item $ \hbox{Im}(p+q)=\hbox{Im}(p)+\hbox{Im}(q) .$ \item $ \hbox{Ker}(p+q)=\hbox{Ker}(p)\cap \hbox{Ker}(q) .$ \end{enumerate} On suppose d\'esormais $ E $ de dimension finie et $ \mathbb{K} =\R .$ \item Montrer que tout projecteur est diagonalisable et que deux projecteurs sont semblables si et seulement si ils ont m\^eme trace. \item Montrer que toute matrice diagonalisable est combinaison lin\'eaire de projecteurs. \end{enumerate} \finenonce{001651} \finexercice \exercice{1652, legall, 1998/09/01} \enonce{001652}{} Soient $ E $ un $ \mathbb{K} $-espace vectoriel de dimension finie, $ P\in {\mathbb{K}}[X] $ et $ u \in \mathcal{L} (E) .$ On note $ P (Sp(u))=\{ P(\lambda ) ; \lambda \in Sp(u)\} .$ \begin{enumerate} \item On suppose que $ u $ est diagonalisable. Montrer que $ P (Sp(u))= Sp(P(u)) .$ \item Montrer, dans le cas g\'en\'eral, $ P (Sp(u))\subset Sp(P(u)) .$\vskip1mm \item Lorsque $ \mathbb{K} = \C $ montrer que $ Sp(P(u))\subset P (Sp(u)) .$ Ce r\'esultat est-il vrai lorsque $ \mathbb{K} = \R $~? \end{enumerate} \finenonce{001652} \finexercice \exercice{1653, legall, 1998/09/01} \enonce{001653}{} Soit $ E $ un $ \mathbb{K} $-espace vectoriel de dimension finie et $ f \in \mathcal{L} (E) $ telle que $ f^2 $ soit diagonalisable. Montrer que $ f $ est diagonalisable si et seulement si $ \hbox{Ker}(f)=\hbox{Ker}(f^2) .$ \finenonce{001653} \finexercice \exercice{1654, legall, 1998/09/01} \enonce{001654}{} Soit $ f \in \mathcal{L} (\R ^3) $ d\'etermin\'ee par sa matrice $ M=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \cr 1 & 1 & 1 \cr -1 & 1 & 1 \cr \end{pmatrix} $ dans une base $ \{ e_1, e_2,e_3\} $ de $ \R ^3 .$ \begin{enumerate} \item Montrer que $ M $ est diagonalisable. \item Montrer que la restriction de $ f $ a tout sous-espace stable est diagonalisable. \item En d\'eduire tous les sous-espaces de $ \R ^3 $ stables par $ f .$ \end{enumerate} \finenonce{001654} \finexercice \exercice{1655, legall, 1998/09/01} \enonce{001655}{} Soit $ M \in M_n(\mathbb{K} ) $ et $ \varphi _M\in \mathcal{L} (M_n(\mathbb{K} )) $ l'application $ N\mapsto MN $. Montrer que $ \varphi _M $ est diagonalisable si et seulement si $ M $ est diagonalisable. (utiliser le polyn\^ome minimal.) \finenonce{001655} \finexercice \exercice{1656, legall, 1998/09/01} \enonce{001656}{} Soit $ E $ un $ \mathbb{K} $-espace vectoriel de dimension finie et $ f \in \mathcal{L} (E) $ diagonalisable. Montrer que les propri\'et\'es suivantes sont \'equivalentes~: \vskip1mm (i) La famille $ \{ id, f, f^2, \ldots , f^{n-1}\} $ est libre. \vskip1mm (ii) Il existe $ x \in E : \{ x, f(x), f^2(x), \ldots , f^{n-1}(x)\} $ engendre $ E .$ \vskip1mm (iii) Les valeurs propres de $ f $ sont simples. \finenonce{001656} \finexercice \exercice{1657, legall, 1998/09/01} \enonce{001657}{} Soit $ \rho $ l'application de $ \R _4[X] $ dans lui-m\^eme qui \`a un polyn\^ome $ P $ associe le reste de la division euclidienne de $ P $ par $ (X^2-1) .$ \begin{enumerate} \item Montrer que $ \rho $ est lin\'eaire. \item Montrer que $ \rho ^2= \rho .$ En d\'eduire que $ \rho $ est diagonalisable. \item D\'eterminer (de pr\'ef\'erence sans calcul) une base de vecteurs propres pour $ \rho .$ \end{enumerate} \finenonce{001657} \finexercice \exercice{1658, roussel, 2001/09/01} \enonce{001658}{} Soit $f$ l'endomorphisme de $\mathbb{R}^{3}$, dont la matrice dans la base canonique $\{e_1, e_2, e_3\}$ est $$A = \left ( \begin{array}{ccc} ~3 & 2 & -2 \\ -1 & 0 & ~1 \\ ~1 & 1 & ~0 \\ \end{array} \right ) $$ \begin{enumerate} \item Calculer les valeurs propores de $A$. L'endomorphisme $f$ est-il diagonalisable ? \item Calculer $(A-I)^2$. En d\'eduire $A^n$, en utilisant la formule du bin\^ome de Newton. \item Soient $P(X)=(X-1)^2$ et $Q \in \mathbb{R}[X]$. Exprimer le reste de la division euclidienne de $Q$ par $P$ en fonction de $Q(1)$ et $Q'(1)$, o\`u $Q'$ est le polyn\^ome d\'eriv\'e de $Q$.\\ En remarquant que $P(A)=0$ (on dit alors que $P$ est un polyn\^ome ~annulateur de $A$) et en utilisant le r\'esultat pr\'ec\'edent avec un choix judicieux du polyn\^ome ~$Q$, retrouver $A^n$. \item Montrer que l'image de $\mathbb{R}^{3}$ par l'endomorphisme ~$(A-I)$ est un sous-espace de dimension $1$, dont on d\'esignera une base par $\epsilon_2$. D\'eterminer ensuite un vecteur $\epsilon_3$ tel que $f(\epsilon_3)= \epsilon_2 + \epsilon_3$. Soit enfin $\epsilon_1$, un vecteur propre de $f$, non colin\'eaire \`a $\epsilon_2$. Ecrire $\tilde{A}$, la matrice de $f$ dans la base $\left \{\epsilon_1, \epsilon_2, \epsilon_3 \right \}$, ainsi que la matrice de passage $P$ et son inverse $P^{-1}$. Retrouver $A^n$. \end{enumerate} \finenonce{001658} \finexercice \exercice{1659, ortiz, 1999/04/01} \enonce{001659}{} Soit $f$ un automorphisme d'un $\Cc$-espace vectoriel $E$ de dimension finie. Montrer que $f$ est diagonalisable si et seulement si $f^2$ est diagonalisable. \finenonce{001659} \finexercice \exercice{1660, ortiz, 1999/04/01} \enonce{001660}{} Les questions sont ind\'ependantes. $K$ d\'esigne $\Rr$ ou $\Cc$, $E$ est un $K$-espace vectoriel de dimension finie $n$, $\mathcal{B}=(e_1,...,e_n)$ est une base fix\'ee de $E$ et $f$ un endomorphisme de $E$. \begin{enumerate} \item Quels sont les valeurs propres de l'endomorphisme nul de $E$ ? \item On suppose que la matrice de $f$ dans $\mathcal{B}$ est $M=\left(\begin{smallmatrix} 3&2&4\\-1&3&-1\\-2&-1&-3\end{smallmatrix}\right)$. \begin{enumerate} \item 2 est-il valeur propre de $f$ ? \item Le vecteur $2e_1+e_2+e_3$ est-il un vecteur propre de $f$ ? \end{enumerate} \item Pourquoi un vecteur de $E$ ne peut-il \^etre vecteur propre relativement \`a deux valeurs propres distinctes ? \item \begin{enumerate} \item Est-il vrai que si $\lambda$ est une valeur propre de $f$ et si $P$ est un polyn\^ome annulateur de $f$ alors $\lambda$ est racine de $P$? \item Est-il vrai que si $\lambda$ est une racine d'un polyn\^ome annulateur de $f$ alors $\lambda$ est une valeur propre de $f$ ? \end{enumerate} \item Montrer que si $f^2-2f+\text{Id}_E=0$ alors $1$ est valeur propre de $f.$ \item Montrer qu'il existe toujours au moins un scalaire $\alpha$ tel que $f-\alpha \text{Id}_E$ est bijectif. \item Donner un exemple d'endomorphisme $f$ de $E$ avec $n=2$ tel que la somme de deux vecteurs propres de $f$ n'est pas un vecteur propre de $f$. \item On suppose que $E=E_1\oplus E_2$ et que si $x\in E$ s'\'ecrit $x_1+x_2$ avec $x_1\in E_1$ et $x_2\in E_2$ alors $f(x)=2x_1-3x_2$. \begin{enumerate} \item Quel r\'esultat assure l'existence d'un tel endomorphisme ? \item Montrer que $f$ est diagonalisable. \end{enumerate} \item La matrice $M=\left(\begin{smallmatrix} 1&0&1\\0&1&0\\0&0&1\end{smallmatrix}\right)$ est-elle diagonalisable ? \item Si l' endomorphisme $f$ admet 0 pour valeur propre et est diagonalisable, que peut-on dire de la dimension du noyau de $f$ ? \end{enumerate} \finenonce{001660} \finexercice \exercice{1661, ortiz, 1999/04/01} \enonce{001661}{} \'Etudier le caract\`ere diagonalisable des matrices suivantes et le cas \'ech\'eant, les diagonaliser : \begin{enumerate} \item $ A=\left(\begin{smallmatrix} -2&1&1\\ 8&1&-5\\ 4&3&-3 \end{smallmatrix}\right) \in\mathcal{M}_3(\Rr), $ \item $ B =\left(\begin{smallmatrix} 1&-1&1&0&1\\ 0&0&1&1&0\\ 0&-1&2&0&1\\ 0&0&0&1&-2\\ 0&0&0&2&-3 \end{smallmatrix}\right) \in \mathcal{M}_5(\Rr),$ \item $C=\left(\begin{smallmatrix} 0&1&0&0\\ 1&k&1&1\\ 0&1&0&0\\ 0&1&0&0 \end{smallmatrix}\right) \in \mathcal{M}_4(\Cc),k\in\Cc . $ \end{enumerate} \finenonce{001661} \finexercice \exercice{1662, ortiz, 1999/04/01} \enonce{001662}{} Soient $A\in \mathcal{M}_n(K)$ telle que $\text{tr}(A)\not= 0$ et $$ f: \mathcal{M}_n(K)\to\mathcal{M}_n(K), M\mapsto \text{tr} (A)M-\text{tr}(M)A.$$ \begin{enumerate} \item Montrer que $f$ est un endomorphisme de $\mathcal{M}_n(K)$. \item Montrer que $\mathcal{T}=\left\{ M\in \mathcal{M}_n(K): \text{tr}(M)=0\right\}$ et $\text{vect}(A)$ sont des sous-espaces propres de $f$. \item En d\'eduire que $f$ est diagonalisable et \'ecrire la matrice r\'eduite de $f$. \end{enumerate} \finenonce{001662} \finexercice \exercice{1663, ortiz, 1999/04/01} \enonce{001663}{} Montrer que si le polyn\^ome minimal d'un endomorphisme $f$ d'un $K$-espace vectoriel de dimension finie admet une racine $\lambda\in K$ alors $\lambda$ est valeur propre de $f$. \finenonce{001663} \finexercice \exercice{1664, ortiz, 1999/04/01} \enonce{001664}{} \'Etudier le caract\`ere diagonalisable des matrices suivantes \begin{enumerate} \item $A=\left( \begin{array}{ccc} 3&2&4\\ -1&3&-1\\ -2&-1&-3 \end{array} \right) \in\mathcal{M}_3(\Rr)$, \item $B=\left( \begin{array}{cccc} 0&\ldots &0&1\\ \vdots&&\vdots&\vdots\\ 0&\ldots &0&1\\ 1&\ldots&1&0 \end{array} \right)\in\mathcal{M}_n(\Rr),n\ge 2$, \end{enumerate} \finenonce{001664} \finexercice \exercice{1665, ortiz, 1999/04/01} \enonce{001665}{} Soient $E$ un $K$-espace vectoriel de dimension $n$ et $f$ un endomorphisme de $E$ de rang $1$. \begin{enumerate} \item Montrer que si $f$ est diagonalisable alors $\text{tr}(f)\not= 0$. \item Montrer qu'il existe $\lambda\in K$ tel que le polyn\^ome cararact\'eristique de $f$ s'\'ecrive $${\chi_f=(-1)^nX^{n-1}(X-\lambda)}.$$ \item \begin{enumerate} \item Montrer que $f$ est diagonalisable si et seulement si $\text{tr}(f)\not= 0$. \item R\'eduire sans calcul la matrice $A=\left( \begin{smallmatrix} 1&1&-1\\ -2&-2&2\\ 1&1&-1 \end{smallmatrix}\right) \in \mathcal{M}_3(\Rr)$ et donner sans calcul les sous-espaces vectoriels propres. \end{enumerate} \end{enumerate} \finenonce{001665} \finexercice \exercice{1666, ortiz, 1999/04/01} \enonce{001666}{} Soient les matrices $A=\left( \begin{smallmatrix} 4&0&0\\ 2&3&0\\ -1&0&1 \end{smallmatrix}\right) \in \mathcal{M}_3(\Rr)$, $D=\left( \begin{smallmatrix} 4&0&0\\ 0&3&0\\ 0&0&1 \end{smallmatrix}\right) \in \mathcal{M}_3(\Rr)$. \begin{enumerate} \item Soit $Y\in\mathcal{M}_3(\Rr)$ telle que $Y^2=D$. \begin{enumerate} \item Montrer que $Y$ et $D$ commutent. \item En d\'eduire que $Y$ est diagonale puis d\'eterminer $Y$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que $A$ est diagonalisable. \item En d\'eduire les solutions $X\in\mathcal{M}_3(\Rr)$ de l'\'equation $X^2=A$. \end{enumerate} \end{enumerate} \finenonce{001666} \finexercice \exercice{1667, ortiz, 1999/04/01} \enonce{001667}{} Soient $E$ un $\Cc$-espace vectoriel de dimension $n$ et $f$ un endomorphisme de $E.$ \begin{enumerate} \item Montrer que si $f$ est diagonalisable alors $f^2$ est diagonalisable et $\text{rg}(f)=\text{rg}(f^2).$ \item Soit $\mu\in\Cc\setminus\left\{0\right\}$. Montrer que $\ker(f^2-\mu^2\text{Id}_E)= \ker(f-\mu\text{Id}_E)\oplus \ker(f+\mu\text{Id}_E).$ \item On suppose $\text{rg}(f)=\text{rg}(f^2).$ \begin{enumerate} \item Montrer que $\ker(f)=\ker(f^2).$ \item On suppose en outre que $f^2$ est diagonalisable. Montrer que $f$ est diagonalisable. \end{enumerate} \end{enumerate} \finenonce{001667} \finexercice \exercice{1668, ortiz, 1999/04/01} \enonce{001668}{} On consid\`ere la matrice par blocs $A=\left( \begin{array}{cc}O&-I_n\\ I_n&0 \end{array}\right )\in\mathcal{M}_{2n}(\Cc).$ \begin{enumerate} \item Calculer $A^2.$ \item Rechercher les \'el\'ements propres de $A.$ La matrice $A$ est-elle diagonalisable ? \end{enumerate} \finenonce{001668} \finexercice \exercice{1669, roussel, 2001/09/01} \enonce{001669}{} On d\'esigne par $E$ l'espace vectoriel des polyn\^ome s \`a coefficients r\'eels, et par $E_n$, le sous-espace des polyn\^ome s de degr\'e au plus $n$. \begin{enumerate} \item Montrer que pour tout $x$ dans $\mathbb{R}, ~~ \Delta P(x)=(x+1)P'(x)+2P(x)$ d\'efinit une application lin\'eaire de $E$ dans $E$. Quel est le degr\'e de $\Delta P$ lorsque $P$ appartient \`a $E_n$? \item On consid\`ere $\Delta_2$, la restriction de $\Delta $ au sous-espace $E_2$. D\'eterminer les valeurs propres ~de $\Delta_2$. L'endomorphisme ~$\Delta_2$ est-il diagonalisable ? Est-ce que $\Delta_2$ est un isomorphisme ? \item En utilisant la d\'efinition des valeurs propres, calculer les valeurs propres ~et les polyn\^ome s propres de $\Delta $. \end{enumerate} \finenonce{001669} \finexercice \exercice{1670, roussel, 2001/09/01} \enonce{001670}{} Pour tout \'el\'ement non nul $a=(a_1, a_2, \ldots ,a_n)$ de $\mathbb{R}^{n}$, on consid\`ere l'endomorphisme ~$u$ de $\mathbb{R}^{n}$ dont la matrice dans la base canonique $\{e_{ij},i,j=1,2, \ldots, n \}$ est la matrice $A=\left ( \alpha _{i,j}\right )$ o\`u $\alpha _{i,j}=a_ia_j$. \begin{enumerate} \item D\'eterminer le noyau et l'image de $u$. \item En d\'eduire les sous-espaces propres de $u$. D\'eterminer les valeurs propres de $u$. L'endomorphisme $u$ est-il diagonalisable ? \item Quel est le polyn\^ome caract\'eristique de $u$? \end{enumerate} \finenonce{001670} \finexercice \exercice{1671, roussel, 2001/09/01} \enonce{001671}{} Soit $B$ une matrice diagonalisable ~de $\mathcal{M}_n \left (\mathbb{R} \right )$. On d\'efinit son rayon spectral par $$\rho(B)= \max \left \{ |\lambda| \mbox{~~avec~~} \lambda \mbox{~~est une valeur propre ~de~~} B \right \}.$$ \begin{enumerate} \item Montrer que $\lim _{k \longrightarrow + \infty} B^k= 0$. \item En d\'eduire que $I-B$ est inversible et que $(I-B)^{-1}= \displaystyle{\sum _{k=0}^{+ \infty}} B^{k}$. \end{enumerate} \finenonce{001671} \finexercice \exercice{1672, gineste, 2001/11/01} \enonce{001672}{Endomorphisme diagonalisable de $\Rr^2$} On considère l'endomorphisme $a$ de $E=\Rr^2$ dont la matrice représentative $A=[a]_e^e$ dans la base canonique $e$ est $\left[ \begin{array}{ll}7&-10\\5&-8 \end{array} \right].$ Calculer la trace, le déterminant, le polynôme caractéristique et le spectre de $a$. Quel théorème du cours garantit l'existence d'une base $f=(\vec{f}_1,\vec{f}_2)$ de vecteurs propres? Choisir ensuite $f$ telle que $[\mathrm{id}_E]_f^e$ et $[\mathrm{id}_E]_e^f$ soient à coefficients entiers. Dessiner $\vec{f}_1$ et $\vec{f}_2$, en prenant des unités d'axes assez petites. Dessiner quelques vecteurs $\vec{x}$ et leurs images $a(\vec{x})$ à l'aide de $f$. Trouver deux matrices $P$ et $D$ carrées d'ordre 2 telles que $D$ soit diagonale, $P$ inversible et $A=PDP^{-1}$. Calculer $[a^{50}]_f^f$, $[a^{50}]_e^e$ et $A^{50}$. Calculer $\lim_{n\infty}\frac{1}{3^{2n}}a^{2n}.$ \finenonce{001672} \finexercice \exercice{1673, gineste, 2001/11/01} \enonce{001673}{Endomorphisme d'un espace de matrices} Soit $K$ un corps commutatif quelconque, et soit $F=\mathcal{M}_n(K)$ l'espace vectoriel sur $K$ des matrices carrées d'ordre $n$ à coefficients dans $K.$ Si $i$ et $j$ sont des entiers compris entre 1 et $n$, on note par $F_{ij}$ l'élément de $F$ dont le coefficient $(i,j)$ est 1 et dont les autres coefficients sont nuls. Montrer que les $F_{ij}$ forment une base de $F$. Dimension de $F$? Soit $D$ dans $F$ et diagonale. Soient $\alpha$ et $\beta$ dans $K$ et soit l'endomorphisme $\Phi$ de $F$ qui à la matrice $X$ fait correspondre la matrice $\Phi(X)=\alpha XD+ \beta DX.$ Calculer $\Phi(F_{ij}).$ $\Phi$ est il un endomorphisme diagonalisable? Donner son polynôme caractéristique en fonction des coefficients de $D$ et de $\alpha$ et $\beta$. \finenonce{001673} \finexercice \exercice{1674, gineste, 2001/11/01} \enonce{001674}{} Soit $\theta\in]0,\pi[$. On considère les deux matrices d'ordre $n$: $$ A=\left[ \begin{array}{llllll}0&1&0&\cdots&0&0\\ 1&0&1&\cdots&0&0\\ 0&1&0&\cdots&0&0\\ \cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\ 0&0&0&\cdots&0&1\\ 0&0&0&\cdots&1&0 \end{array} \right], B=\left[ \begin{array}{llllll} 2\cos \theta&1&0&\cdots&0&0\\ 1&2\cos \theta&1&\cdots&0&0\\ 0&1&2\cos \theta&\cdots&0&0\\ \cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\ 0&0&0&\cdots&2\cos \theta&1\\ 0&0&0&\cdots&1&2\cos \theta \end{array} \right]$$ Montrer par récurrence que $\det B=\frac{\sin(n+1)\theta}{\sin \theta}$ (Méthode: développer par rapport à la dernière ligne). Montrer que $\det B$ s'annule pour $n$ valeurs distinctes de $\theta$ de $]0,\pi[$, et les déterminer. Si $P_A$ est le polynôme caractéristique de $A$, calculer $P_A(-2\cos \theta)$ et déduire de ce qui précède les valeurs propres de $A.$ Montrer que les valeurs propres des matrices $2I_n+A$ et $2I_n-A$ sont strictement positives. \finenonce{001674} \finexercice \exercice{2469, matexo1, 2002/02/01} \enonce{002469}{} Soit $a,b,c$ trois r\'eels et $u$ l'endomorphisme de $\R^3$ ayant pour matrice $$M = \left( \begin{array}{ccc} 1&a&b\\ 0&1&c \\ 0&0&-1 \end{array} \right).$$ Discuter la possibilit\'e de le diagonaliser selon les valeurs de $a,b,c$. \finenonce{002469} \finexercice \exercice{2477, matexo1, 2002/02/01} \enonce{002477}{} Soit $A$ une matrice carr\'ee r\'eelle d'ordre $n$ non nulle et nilpotente. \begin{enumerate} \item Montrer que $I-A$ n'est pas diagonalisable. \item G\'en\'eraliser en montrant que si $B$ est une matrice diagonalisable dont toutes les valeurs propres sont \'egales, alors $B+A$ n'est pas diagonalisable. \item Montrer qu'il existe $A, B$ dans ${\mathcal M}_2(\R)$, $A \neq 0$ nilpotente et $B$ diagonalisable, telles que $A+B$ soit diagonalisable. \end{enumerate} \finenonce{002477} \finexercice \exercice{2563, delaunay, 2009/05/19} \enonce{002563}{} Soit $M$ la matrice r\'eelle $3\times3$ suivante : $$M=\begin{pmatrix}0&2&-1\\3&-2&0\\-2&2&1\end{pmatrix}$$ \begin{enumerate} \item D\'eterminer les valeurs propres de $M$. \item Montrer que $M$ est diagonalisable. \item D\'eterminer une base de vecteurs propres et $P$ la matrice de passage. \item On a $D=P^{-1}MP$, pour $k\in\N$ exprimer $M^k$ en fonction de $D^k$, puis calculer $M^k$. \end{enumerate} \finenonce{002563} \finexercice \exercice{2566, delaunay, 2009/05/19} \enonce{002566}{} Soit $$A=\begin{pmatrix}1&0&0 \\ 0&1&0 \\ 1&-1&2\end{pmatrix}$$ D\'emontrer que $A$ est diagonalisable et trouver une matrice $P$ telle que $P^{-1}AP$ soit diagonale. \finenonce{002566} \finexercice \exercice{2567, delaunay, 2009/05/19} \enonce{002567}{} Soit $$A=\begin{pmatrix}1&1&-1 \\ 0&1&0 \\ 1&0&1\end{pmatrix}$$ Factoriser le polyn\^ome caract\'eristique de $A$. La matrice $A$ est-elle diagonalisable dans $\R$~? dans $\C$ ? \finenonce{002567} \finexercice \exercice{2568, delaunay, 2009/05/19} \enonce{002568}{} Soit $$A=\begin{pmatrix}a&c \\ c&d\end{pmatrix}\in M_2(\R)$$ D\'emontrer que $A$ est diagonalisable dans $\R$. \finenonce{002568} \finexercice \exercice{2572, delaunay, 2009/05/19} \enonce{002572}{} ({\it 9 points}) Soit $A$ la matrice de $M_3(\R)$ suivante : $$A=\begin{pmatrix}1&0&1 \\ -1&2&1 \\ 1&-1&1\end{pmatrix}$$ \begin {enumerate} \item D\'emontrer que les valeurs propres de $A$ sont $1$ et $2$. \item D\'eterminer les sous-espaces propres de $A$. La matrice $A$ est-elle diagonalisable ? \item D\'eterminer les sous-espaces caract\'eristiques de $A$. \item D\'eterminer une base de $\R^3$ dans laquelle la matrice de l'endomorphisme associ\'e \`a $A$ est $$B=\begin{pmatrix}2&0&0 \\ 0&1&1 \\ 0&0&1\end{pmatrix}$$ En d\'eduire la d\'ecomposition de Dunford de $B$. \item R\'esoudre le syst\`eme diff\'erentiel $$\left\{\begin{align*}x'&=x+z \\ y'&=-x+2y+z \\ z'&=x-y+z\end{align*}\right.$$ \end {enumerate} \finenonce{002572} \finexercice \exercice{2573, delaunay, 2009/05/19} \enonce{002573}{} ({\it 7 points}) On consid\`ere la suite $(u_n)_{n\in\N}$ d\'efinie par $u_0=0$, $u_1=1$ et par la relation de r\'ecurrence $$u_{n+1}={\frac{1}{2}}(u_n+u_{n-1}). $$ \begin {enumerate} \item D\'eterminer une matrice $A\in M_2(\R)$ telle que pour tout $n\geq1$ on ait $$\begin{pmatrix}u_{n+1} \\ u_n\end{pmatrix}=A^n\begin{pmatrix}u_1 \\ u_0\end{pmatrix}.$$ Justifier. \item D\'eterminer le polyn\^ome caract\'eristique $P_A(X)$ de $A$ et calculer ses racines $\lambda_1$ et $\lambda_2$. \item Soit $R_n(X)=a_nX+b_n$ le reste de la division euclidienne de $X^n$ par $P_A(X)$. Calculer $a_n$ et $b_n$ (on pourra utiliser les racines $\lambda_1$ et $\lambda_2$). \item Montrer que $A^n=a_nA+b_nI_2$, en d\'eduire que la matrice $A^n$ converge lorsque $n$ tend vers $+\infty$ vers une limite $A_{\infty}$ que l'on d\'eterminera. Calculer $\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n$. \end {enumerate} \finenonce{002573} \finexercice \exercice{2574, delaunay, 2009/05/19} \enonce{002574}{} ({\it 5 points}) Soit $A$ une matrice carr\'ee, $A\in M_n(K)$ ($K=\R$ ou $\C$). On rappelle que la trace d'une matrice est la somme de ses coefficients diagonaux et que ${\rm tr}(BAB^{-1})={\rm tr}A$. D\'emontrer que $\det(\exp A)={\rm e^{trA}}$ dans les cas suivants : \begin {enumerate} \item $A$ diagonalisable. \item $A$ triangulaire sup\'erieure ayant une diagonale de z\'eros. \item $A$ trigonalisable. \item $A$ quelconque. \end {enumerate} \finenonce{002574} \finexercice \exercice{2575, delaunay, 2009/05/19} \enonce{002575}{} ({\it 4 points}) On suppose qu'une population $x$ de lapins et une population $y$ de loups sont gouvern\'ees par le syst\`eme suivant d'\'equations diff\'erentielles : $$(S)\ \ \left\{ \begin{align*}x'&= 4x-2y \\ y'&= x+y\end{align*}\right.$$ \begin {enumerate} \item Diagonaliser la matrice $$A=\begin{pmatrix}4&-2 \\ 1&1 \\ \end{pmatrix}.$$ \item Exprimer le syst\`eme $(S)$ et ses solutions dans une base de vecteurs propres de $A$. \item Repr\'esenter graphiquement les trajectoires de $(S)$ dans le rep\`ere $(Oxy)$. \item Discuter graphiquement l'\'evolution de la population des lapins en fonction des conditions initiales. \end {enumerate} \finenonce{002575} \finexercice \exercice{2576, delaunay, 2009/05/19} \enonce{002576}{} ({\it 9 points}) Soit $u$ l'endomorphisme de $\R^3$, dont la matrice dans la base canonique est $$A=\begin{pmatrix}3&2&-2 \\ -1&0&1 \\ 1&1&0 \\ \end{pmatrix}$$ \begin {enumerate} \item Calculer les valeurs propres de $A$. L'endomorphisme $u$ est-il diagonalisable ? \item Calculer $(A-I)^2$. Montrer que $A^n=nA+(1-n)I$ en utilisant la formule du bin\^ome de Newton. \item Soient $P(X)=(X-1)^2$ et $Q\in\R[X]$. Exprimer le reste de la division euclidienne de $Q$ par $P$ en fonction de $Q(1)$ et $Q'(1)$, o\`u $Q'$ est le polyn\^ome d\'eriv\'e de $Q$. En remarquant que $P(A)=0$ et en utilisant le r\'esultat pr\'ec\'edent avec un choix judicieux du polyn\^ome $Q$, retrouver $A^n$. \item \begin {enumerate} \item Montrer que l'image de $\R^3$ par l'endomorphisme $u-\mathrm{Id}$ est un sous-espace vectoriel de dimension $1$, on notera $\varepsilon_2$ une base. \item D\'eterminer un vecteur $\varepsilon_3$ tel que $u(\varepsilon_3)=\varepsilon_2+\varepsilon_3$. D\'eterminer un vecteur propre $\varepsilon_1$ de $u$ non colin\'eaire \`a $\varepsilon_2$. \item Montrer que $(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3)$ est une base de $\R^3$.Ecrire la matrice de $u$ dans cette base, ainsi que les matrices de passage. \item Retrouver $A^n$. \end {enumerate} \end {enumerate} \finenonce{002576} \finexercice \exercice{2577, delaunay, 2009/05/19} \enonce{002577}{} ({\it 7 points}) Soient $M$ et $A$ deux matrices de ${\cal{M}}_n(\R)$ telles que $MA=AM$. On suppose que $M$ admet $n$ valeurs propres distinctes. \begin {enumerate} \item Soit $x$ un vecteur propre de $M$ de valeur propre $\lambda$, montrer que $MAx=\lambda Ax,$ en d\'eduire que les vecteurs $x$ et $Ax$ sont colin\'eaires, puis que tout vecteur propre de $M$ est un vecteur propre de $A$. \item On note maintenant $\lambda_1,\cdots,\lambda_n$ les valeurs propres de $M$ et $\mu_1,\cdots,\mu_n$ celles de $A$. \begin {enumerate} \item Montrer par r\'ecurrence sur $n$ l'\'egalit\'e suivante : $$\begin{vmatrix}1 &\lambda_1 &\cdots &\lambda_1^{n-1} \\ \vdots& & &\vdots \\ 1 &\lambda_n &\cdots & \lambda_n^{n-1}\end{vmatrix}= \prod_{1\leq i 0$ et $\alpha_i \ge 0$ pour $1 \le i \le n-1$. \begin{enumerate} \item Montrer qu'il existe une unique racine dans $\R^{+*}$ pour $P_n$. \item Soit $A = \begin{pmatrix} 1 &1 &0 &\dots &0 \cr 2 &0 &1 &\ddots &\vdots \cr \vdots &\vdots &\ddots &\ddots &0 \cr \vdots &\vdots & &\ddots &1 \cr n &0 &\dots &\dots &0 \cr\end{pmatrix}$. Montrer que $A$ admet une unique valeur propre réelle strictement positive. \end{enumerate} \finenonce{003528} \finexercice \exercice{3529, quercia, 2010/03/10} \enonce{003529}{Ensi Physique 93} Soient $x_1,\dots,x_n,y_1,\dots,y_n \in \C$. Calculer $\Delta_n = \det(I+(x_iy_j))$. \finenonce{003529} \finexercice \exercice{3530, quercia, 2010/03/10} \enonce{003530}{Centrale MP 2000} On considère la matrice de $M_n(\C)$, $A=\begin{pmatrix}0 & a & \dots & a\cr b & \ddots & \ddots & \vdots \cr \vdots & \ddots & \ddots & a\cr b & \dots & b & 0\cr\end{pmatrix}$, $a\ne b$. \begin{enumerate} \item Montrer que le polynôme caractéristique de $A$ est $\frac{(-1)^n}{a-b}(a(X+b)^n-b(X+a)^n)$. \item Montrer qu'en général les valeurs propres de $A$ sont sur un cercle. \end{enumerate} \finenonce{003530} \finexercice \exercice{3531, quercia, 2010/03/10} \enonce{003531}{Centrale MP 2000} Soit $a_1,\dots,a_n,b_1,\dots,b_n \in \R$ et $A_n=\begin{pmatrix}a_1+b_1 & b_2 &\dots &\dots &b_n\cr b_1 &a_2+b_2 & b_3 &\dots &b_n\cr \vdots &b_2 &\ddots &\vdots &\vdots\cr \vdots &\vdots & & \ddots& \vdots\cr b_1 & b_2 & \dots &b_{n-1} & a_n+b_n\cr\end{pmatrix}$ \begin{enumerate} \item Calculer $\det A_n$. \item Calculer $\chi_A$ le polynôme caractéristique de $A$. \item On suppose $a_10$. Montrer que $A_n$ est diagonalisable $\Bigl($on pourra utiliser ${\chi_A(t)}/{\prod_{i=1}^n(a_i-t)}\Bigr)$. \item Le résultat reste-t-il vrai si l'on suppose $a_1\le a_2\le \dots \le a_n$ et, pour tout $i$, $b_i>0$ ? \end{enumerate} \finenonce{003531} \finexercice \exercice{3532, quercia, 2010/03/10} \enonce{003532}{Polynômes caractéristiques} Soit $A \in \mathcal{M}_n(K)$ inversible et $B = A^{-1}$, $C = A^2$. Exprimer les polynômes caractéristiques $\chi_B$ et $\chi_C$ en fonction de $\chi_A$. \finenonce{003532} \finexercice \exercice{3533, quercia, 2010/03/10} \enonce{003533}{Matrice compagnon} Soit $P = a_0 + a_1X + \dots + a_{n-1}X^{n-1} - X^n \in K_n[X]$. La matrice compagnon de $P$ est $M = \begin{pmatrix} 0 &\span (0) &a_0 \cr 1 &\ddots & &a_1 \cr &\ddots &0 &\vdots \cr (0)& &1 &a_{n-1} \cr \end{pmatrix}$. Soit $E$ un $ K$-ev de dimension $n$, ${\cal B} = ({\vec e}_1,\dots,{\vec e}_n)$ une base de $E$ et $\varphi$ l'endomorphisme de $E$ de matrice $M$ dans~$\cal B$. \begin{enumerate} \item Déterminer le polynôme caractéristique de $M$. \item Calculer $\varphi^k({\vec e}_1)$ pour $0 \le k \le n$. \item En déduire que $P(M) = 0$. \end{enumerate} \finenonce{003533} \finexercice \exercice{3534, quercia, 2010/03/10} \enonce{003534}{Matexo} Soient $A,B \in \mathcal{M}_n(\C)$. Montrer que $\text{spec}(A) \cap \text{spec}(B) = \varnothing$ si et seulement si $\chi_A(B)$ est inversible. Application~: Soient $A,B,P$ trois matrices carrées complexes avec $P\ne 0$ telles que $AP = PB$. Montrer que $A$ et $B$ ont une valeur popre commune. \finenonce{003534} \finexercice \exercice{3535, quercia, 2010/03/10} \enonce{003535}{Matrices à spectres disjoints} Soient $A,B\in\mathcal{M}_n(\C)$. Montrer l'équivalence entre~: (a)~: $\forall\ C\in\mathcal{M}_n(\C)$, il existe un unique $X\in\mathcal{M}_n(\C)$ tel que $AX-XB=C$. (b)~: $\forall\ X\in\mathcal{M}_n(\C)$ on a $AX = XB \Rightarrow X=0$. (c)~: $\chi_B(A)$ est inversible. (d)~: $A$ et $B$ n'ont pas de valeur propre en commun. \finenonce{003535} \finexercice \exercice{3536, quercia, 2010/03/10} \enonce{003536}{$AB$ et $BA$ ont même polynôme caractéristique} Soient $A,B \in \mathcal{M}_n(K)$. \begin{enumerate} \item Montrer que $AB$ et $BA$ ont les mêmes valeurs propres. \item Montrer que si $A$ ou $B$ est inversible, alors $AB$ et $BA$ ont même polynôme caractéristique. \item Dans le cas général, on note $M = \begin{pmatrix} BA &-B\cr 0 &0 \end{pmatrix}$, $N = \begin{pmatrix} 0 &-B\cr 0 &AB \end{pmatrix}$, $P = \begin{pmatrix} I_n & 0\cr A &I_n \end{pmatrix}$ ($M,N,P \in \mathcal{M}_{2n}(K)$). Vérifier que $MP$ = $PN$, montrer que $P$ est inversible, et conclure. \end{enumerate} \finenonce{003536} \finexercice \exercice{3537, quercia, 2010/03/10} \enonce{003537}{$\det(I+A\overline A) \ge 0$} Soit $A \in \mathcal{M}_n(\C)$. \begin{enumerate} \item Soit $\lambda \in \C$ une valeur propre non nulle de $A\overline A$, et $X$ un vecteur propre associé. Montrer que $A\overline X$ est aussi vecteur propre de $A\overline A$. \item Lorsque $\lambda \notin \R^+$, montrer que $X$ et $A\overline X$ sont linéairement indépendants. \item En déduire que $\det(I + A\overline A ) \in \R^+$. \end{enumerate} \finenonce{003537} \finexercice \exercice{3538, quercia, 2010/03/10} \enonce{003538}{Centrale PC 1999} Soit l'application $\Phi : {\mathcal{M}_n(\R)} \to {\mathcal{M}_n(\R)}, M \mapsto {^tM.}$ Calculer sa trace par un moyen simple. \finenonce{003538} \finexercice \exercice{3539, quercia, 2010/03/10} \enonce{003539}{Multiplicité d'une valeur propre} Soit $E$ un $ K$-ev de dimension finie, $u\in \mathcal{L}(E)$ et $\lambda\in\text{Sp}(u)$. Montrer que la multiplicité de $\lambda$ dans le polynôme minimal de~$u$ est égale au nombre de facteurs invariants de~$u$ ayant $\lambda$ pour racine. \finenonce{003539} \finexercice \exercice{3540, quercia, 2010/03/10} \enonce{003540}{Fermat pour la trace, ULM-Lyon-Cachan MP$^*$ 2005} Soit $p$ premier et $A\in\mathcal{M}_n(\Z)$. Montrer que $\mathrm{tr}(A^p)\equiv \mathrm{tr}(A) \pmod p$. \finenonce{003540} \finexercice\exercice{5656, rouget, 2010/10/16} \enonce{005656}{***} Soit $A$ une matrice rectangulaire de format $(p,q)$ et $B$ une matrice de format $(q,p)$. Comparer les polynômes caractéristiques de $AB$ et $BA$. \finenonce{005656} \finexercice \exercice{5657, rouget, 2010/10/16} \enonce{005657}{*** I} \label{ex:rou7} Soient $u$ et $v$ deux endomorphismes d'un espace vectoriel de dimension finie. On suppose que $u$ et $v$ commutent et que $v$ est nilpotent. Montrer que $\text{det}(u+v)=\text{det}u$. \finenonce{005657} \finexercice \exercice{5666, rouget, 2010/10/16} \enonce{005666}{**} \label{ex:rou16} Soit $A$ une matrice antisymétrique réelle. Etudier la parité de son polynôme caractéristique. \finenonce{005666} \finexercice \exercice{5678, rouget, 2010/10/16} \enonce{005678}{**} Soient $A$ et $B$ deux matrices carrées complexes de format $n$. Montrer que $A$ et $B$ n'ont pas de valeurs propres communes si et seulement si la matrice $\chi_A(B)$ est inversible. \finenonce{005678} \finexercice \exercice{5679, rouget, 2010/10/16} \enonce{005679}{**} Soit $f$ un endomorphisme d'un $\Kk$-espace vectoriel de dimension finie et $P$ un polynôme. Montrer que $P(f)$ est inversible si et seulement si $P$ et $\chi_f$ sont premiers entre eux. \finenonce{005679} \finexercice \section{ 201.04 Sous-espace stable } \exercice{1675, ortiz, 1999/04/01} \enonce{001675}{} Soit l'endomorphisme $f$ de $\Rr^3$ canoniquement associ\'e \`a la matrice $M=\left(\begin{smallmatrix} 1&1&0\\-1&2&1\\1&0&1\end{smallmatrix}\right)$. Le plan $P$ d'\'equation $y+z=0$ est-il stable par $f$ ? La droite $\text{vect}\left\{(1,1,1)\right\}$ est-elle stable par $f$ ? \finenonce{001675} \finexercice \exercice{1676, ortiz, 1999/04/01} \enonce{001676}{} que $f^3+f^2+f=0$ o\`u $E$ est un $\Rr$-espace vectoriel de dimension finie et soit $F=\text{Im\,} f$. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que $F$ est un sous-espace vectoriel stable par $f.$ \item Montrer que $\ker f\cap \text{Im\,} f=\left\{0\right\}$. \item En d\'eduire que la restriction $g$ de $f$ \`a $F$ est un automorphisme de $F$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que si $\lambda \in\text{Sp}_{\Rr}(f)$ alors $\lambda =0$. \item En d\'eduire que le rang de $f$ est pair (raisonner par l'absurde et \'etudier les racines r\'eelles du polyn\^ome caract\'eristique de $g$). \end{enumerate} \end{enumerate} \finenonce{001676} \finexercice \exercice{1677, ortiz, 1999/04/01} \enonce{001677}{} Soient $f\in\mathcal{L}(E)$ et $a\in E.$ \begin{enumerate} \item Montrer que le plus petit sous-espace vectoriel de $E$ contenant $a$ et stable par $f $ est $F_a=\text{vect}\left\{f^k(a):k\in\Nn\right\}$. \item Montrer que si $\dim(E)=n$ alors $F_a=\text{vect}\left\{f^k(a):k=0,...,n-1\right\}.$ \item Soit l'endomorphisme $f$ de $\Rr^3$ canoniquement associ\'e \`a la matrice $A=\left( \begin{smallmatrix} 1&1&-1\\ -2&-2&2\\ 1&1&-1 \end{smallmatrix}\right) \in \mathcal{M}_3(\Rr)$. Montrer qu'il n'existe pas $a\in \Rr^3$ tel que $F_a=\Rr^3.$ G\'en\'eraliser \`a un endomorphisme diagonalisable. \end{enumerate} \finenonce{001677} \finexercice \exercice{1678, ortiz, 1999/04/01} \enonce{001678}{} Soient $f\in\mathcal{L}(E)$, $F$ un sous-espace vectoriel de $E$ stable par $f$ et $g$ l'endomorphisme de $F$ induit par $f$. \begin{enumerate} \item Montrer que si $P\in K[X]$ v\'erifie $P(f)=0$ alors $P(g)=0$. \item En d\'eduire que si $f$ est diagonalisable alors $g$ est diagonalisable. \item Application : trouver tous les sous-espaces vectoriels stables par l'endomorphisme $f$ de $\Rr^3$ canoniquement associ\'e \`a la matrice $A=\left( \begin{smallmatrix} 1&1&-1\\ -2&-2&2\\ 1&1&-1 \end{smallmatrix}\right) \in \mathcal{M}_3(\Rr)$. \end{enumerate} \finenonce{001678} \finexercice \exercice{1679, ortiz, 1999/04/01} \enonce{001679}{} \begin{enumerate} \item Montrer que $A=\left( \begin{smallmatrix} 3&2&4\\ -1&3&-1\\ -2&-1&-3 \end{smallmatrix}\right) \in \mathcal{M}_3(\Rr)$ est trigonalisable. $A$ est-elle diagonalisable ? R\'eduire $A$ et d\'eterminer son polyn\^ome minimal. \item M\^eme question pour $A=\left( \begin{smallmatrix} 2&-1&2\\ 5&-3&3\\ -1&0&-2 \end{smallmatrix}\right) \in \mathcal{M}_3(\Rr)$. \end{enumerate} \finenonce{001679} \finexercice \exercice{1680, ortiz, 1999/04/01} \enonce{001680}{} Quel est le polyn\^ome caract\'eristique d'un endomorphisme nilpotent d'un $\Cc$-espace vectoriel de dimension finie ? \finenonce{001680} \finexercice \exercice{1681, ortiz, 1999/04/01} \enonce{001681}{} Soit $A\in\mathcal{M}_n(\Rr)$ et soient $\lambda_1,...,\lambda_n$ ses valeurs propres complexes. Exprimer $\text{tr}(A^p)$ o\`u $p\in\Nn$ en fonction des $\lambda_j,$ $j=1,...,n.$ \finenonce{001681} \finexercice \exercice{1682, ortiz, 1999/04/01} \enonce{001682}{} Soient $f$ et $g$ deux endomorphismes de $E$ tels que $fg=gf$. \begin{enumerate} \item Soit $x\in E$. Montrer que si $n\in\Nn$ et $f(x)=g(x)$ alors $f^n(x)=g^n(x)$. \par {\textit{Dans toute la suite, on suppose $g$ nilpotent.}} \item \begin{enumerate} \item D\'eduire de {1.} que si $f$ est inversible alors $f+g$ est inversible. \item D\'eduire de {(a)} que si $f+g$ est inversible alors $f$ est inversible. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Soit $h\in\mathcal{L}(E)$ nilpotent. Montrer que $\det(h+\text{Id}_E)=1$. \item Montrer que $\det(f+g)=\det(f)$ (on distinguera selon que $f$ est inversible ou non et on utilisera les questions pr\'ec\'edentes. \end{enumerate} \end{enumerate} \finenonce{001682} \finexercice \exercice{1683, ortiz, 1999/04/01} \enonce{001683}{} Soient $E$ un $K$-espace vectoriel, $f$ et $g$ des endomorphismes de $E$ tels que $f\circ g=g\circ f$ et $P$ un polyn\^ome de $K[X].$ \begin{enumerate} \item Montrer que $P(g)$ et $f$ commutent. \item Montrer que le noyau et l'image de l'endomorphisme $P(g)$ sont stables par $f$. Donner des cas particuliers de cette situation. \end{enumerate} \finenonce{001683} \finexercice \exercice{1684, ortiz, 1999/04/01} \enonce{001684}{} Soient $E$ un $K$-espace vectoriel de dimension finie, $f$ un endomorphisme de $E$ et $F$ un sous-espace vectoriel de $E$ stable par $f.$ On d\'esigne par $g$ l'endomorphisme de $F$ induit par $f$ sur $F$. \begin{enumerate} \item Montrer que $\text{Sp}(g)\subseteq \text{Sp}(f)$. \item Montrer que si $P(f)=0$ alors $P(g)=0$. En d\'eduire que le polyn\^ome minimal de $g$ divise celui de $f$. \end{enumerate} \finenonce{001684} \finexercice \exercice{1685, ortiz, 1999/04/01} \enonce{001685}{} Soient $E$ un $\Rr$-espace vectoriel de dimension finie, $f$ un endomorphisme de $E$. Montrer que si $f$ admet un sous-espace vectoriel propre de dimension $p\geq 2$ alors il admet une infinit\'e de sous-espaces vectoriels stables par $f$. \finenonce{001685} \finexercice \exercice{3609, quercia, 2010/03/10} \enonce{003609}{Droites et hyperplans stables} Soit $E$ un $\C$-ev de dimension finie et $u \in \mathcal{L}(E)$. \begin{enumerate} \item Montrer qu'il existe une droite vectorielle stable par $u$. \item Montrer qu'il existe un hyperplan stable par $u$ (considérer $\Im(u-\lambda\mathrm{id})$ où $\lambda$ est une valeur propre de $u$). \item Donner un exemple où ces propriétés sont en défaut pour un $\R$-ev. \end{enumerate} \finenonce{003609} \finexercice \exercice{3610, quercia, 2010/03/10} \enonce{003610}{Plan stable pour une valeur propre non réelle} Soit $M \in \mathcal{M}_n(\R)$ et $\lambda = a+ib$ une valeur propre non réelle de $M$ ($a \in \R$, $b \in \R^*$). On note X un vecteur propre complexe de $M$. \begin{enumerate} \item Montrer que $\overline X$ est aussi vecteur propre de $M$. \item Montrer que $(X,\overline X)$ est libre dans $\C^n$. \item Soient $U = \frac12(X+\overline X)$, $V = \frac1{2i}(X-\overline X)$. Montrer que $(U,V)$ est libre dans $\R^n$. \end{enumerate} \finenonce{003610} \finexercice \exercice{3611, quercia, 2010/03/10} \enonce{003611}{Plans stables} Soit $E$ un $ K$-ev de dimension finie et $f\in\mathcal{L}(E)$. \begin{enumerate} \item Soit $F$ un plan vectoriel. Montrer que si $F$ est stable par~$f$ alors il existe $P\in K_2[x]$ non nul tel que $F \subset \mathrm{Ker} P(f)$. \item Réciproquement, si $P\in K_2[x]$ est irréductible, montrer que $\mathrm{Ker} P(f)$ contient un plan stable par~$f$. \item Si $ K = \R$ montrer que $f$ admet toujours une droite ou un plan stable. \end{enumerate} \finenonce{003611} \finexercice \exercice{3612, quercia, 2010/03/10} \enonce{003612}{Recherche de sev stables} Soit $A = \begin{pmatrix} 1 &1 &\phantom-0 \cr -3 &-2 &0 \cr 0 &0 &1 \cr \end{pmatrix}$. \begin{enumerate} \item Déterminer les sev de $\R^3$ stables pour l'endomorphisme associé à $A$. \item Quelles sont les matrices réelles commutant avec $A$ ? \end{enumerate} \finenonce{003612} \finexercice \exercice{3613, quercia, 2010/03/10} \enonce{003613}{$u$ diagonalisable $ \Rightarrow $ diagonalisable dans un sev stable} Soit $E$ un $ K$-ev de dimension finie et $u \in \mathcal{L}(E)$ diagonalisable. Montrer que si $F$ est un sev stable par $u$, alors $u_{|F}$ est diagonalisable. \finenonce{003613} \finexercice \exercice{3614, quercia, 2010/03/10} \enonce{003614}{Plan affine stable} Soit $E = \R^3$ et $H:x+2y+3z=1$ un plan {\it affine\/} de $E$. Montrer que si $H$ est stable par $f\in\mathcal{L}(E)$ alors $1$ est valeur propre de~$f$. \finenonce{003614} \finexercice \exercice{3615, quercia, 2010/03/10} \enonce{003615}{Endomorphisme cyclique} Soit $f \in \mathcal{L}(E)$ un endomorphisme cyclique et $F$ un sous-espace vectoriel stable par $f$. Montrer que $f_{|F}$ est aussi cyclique. \finenonce{003615} \finexercice \exercice{3616, quercia, 2010/03/10} \enonce{003616}{Endomorphismes semi-simples.} Un endomorphisme $f$ est dit semi-simple si tout sous-espace stable par~$f$ admet un supplémentaire stable par~$f$. Montrer qu'un endomorphisme d'un $\C$-ev de dimension finie est semi-simple si et seulement s'il est diagonalisable. \finenonce{003616} \finexercice \exercice{3617, quercia, 2010/03/10} \enonce{003617}{$\chi_u$ irréductible} Soit $u$ un endomorphisme de $E$, espace vectoriel de dimension $n$ sur le corps $ K$. Montrez que seuls $\{0\}$ et $E$ sont stables par $u$ si et seulement si $\chi_u$ est irréductible sur $ K$. \finenonce{003617} \finexercice \exercice{3618, quercia, 2010/03/10} \enonce{003618}{Polytechnique MP$^*$ 2000} Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie, $f$ un endomorphisme de~$E$ tel que tout sous-espace de~$E$ admette un supplémentaire stable par~$f$. Que peut-on dire de~$f$~? Réciproque~? \finenonce{003618} \finexercice \exercice{3619, quercia, 2010/03/10} \enonce{003619}{Sous-espaces stables (Centrale MP 2003)} Soit $f\in\mathcal{L}(\R^3)$ ayant pour matrice $M=\left(\begin{smallmatrix}1&1&1\cr1&1&1\cr-1&1&1\cr\end{smallmatrix}\right)$ dans la base canonique de~$\R^3$. Déterminer les sous-espaces de~$\R^3$ stables par~$f$. \finenonce{003619} \finexercice \exercice{5683, rouget, 2010/10/16} \enonce{005683}{***} Soit $f$ l'endomorphisme de $\Rr^3$ dont la matrice dans la base canonique est $A$. Trouver les sous espaces stables par $f$ dans chacun des cas suivants : \begin{enumerate} \item $A =\left( \begin{array}{ccc} 1&1&-1\\ 1&1&1\\ 1&1&1 \end{array} \right)$ \item $A=\left( \begin{array}{ccc} 2&2&1\\ 1&3&1\\ 1&2&2 \end{array} \right)$ \item $A=\left( \begin{array}{ccc} 6&-6&5\\ -4&-1&10\\ 7&-6&4 \end{array} \right)$. \end{enumerate} \finenonce{005683} \finexercice \exercice{5686, rouget, 2010/10/16} \enonce{005686}{**} \label{ex:rou36} Soit $f$ un endomorphisme d'un espace vectoriel $E$ de dimension finie non nulle et $F$ un sous-espace non nul de $E$ stable par $f$. On suppose que $f$ est diagonalisable. Montrer que la restriction de $f$ à $F$ est un endomorphisme diagonalisable de $F$. \finenonce{005686} \finexercice \section{ 201.05 Trigonalisation } \exercice{1686, ortiz, 1999/04/01} \enonce{001686}{} Trigonaliser les matrices r\'eelles suivantes : \begin{enumerate} \item $A=\left(\begin{smallmatrix} -2&1&1\\ 8&1&-5\\ 4&3&-3 \end{smallmatrix}\right),$\quad \item $B=\left(\begin{smallmatrix} 3&2&-2\\-1&0&1\\1&1&0\end{smallmatrix}\right) .$ \end{enumerate} \finenonce{001686} \finexercice \exercice{1687, bodin, 1999/11/01} \enonce{001687}{} Mettre sous forme triangulaire les matrices suivantes : \[ \begin{array}{ll} \left( \begin{array}{ccc} 4 & 2 & -2 \\ 1 & 5 & -1 \\ 1 & 3 & 1 \end{array}\right); \quad & \qquad \frac{1}{2} \left( \begin{array}{ccc} 0 & 2 & 2 \\ 1 & 3 & -1 \\ -1 & 3 & 3 \end{array}\right). \end{array} \] \finenonce{001687} \finexercice \exercice{1688, ortiz, 1999/04/01} \enonce{001688}{} Soient les matrices \`a coefficients r\'eels suivantes $${ A=\left(\begin{smallmatrix} -2&-3&2\\ 1&2&-2\\ 2&4&-3 \end{smallmatrix}\right),\quad B =\left(\begin{smallmatrix} 1&-1&1&0&1\\ 0&0&1&1&0\\ 0&-1&2&0&1\\ 0&0&0&1&-2\\ 0&0&0&2&-3 \end{smallmatrix}\right) \quad C =\left(\begin{smallmatrix} 0&1&0&2\\ -3&0&4&0\\ 0&1&0&3\\ -1&0&1&0\\ \end{smallmatrix}\right). }$$ \begin{enumerate} \item Trigonaliser les matrices $A$, $B$ et $C.$ \item D\'eterminer le polyn\^ome minimal de $A$, $B$ et $C.$ \end{enumerate} \finenonce{001688} \finexercice \exercice{1689, ortiz, 1999/04/01} \enonce{001689}{} Soit $f$ l'endomorphisme de l'espace vectoriel canonique $\Rr^3$ dont la matrice dans la base canonique $\mathcal{B}$ est $${A=\left(\begin{smallmatrix} 1&1&-1\\-1&3&-3\\-2&2&-2\end{smallmatrix}\right).}$$ \begin{enumerate} \item Montrer que $\Rr^3=\ker f^2 \oplus \ker(f-2\text{Id}).$ \item Trouver une base $\mathcal{B}'$ de $\Rr^3$ telle que $${\text{mat}(f,\mathcal{B}')=\left(\begin{smallmatrix} 0&1&0\\0&0&0\\0&0&2\end{smallmatrix}\right).}$$ \item Soit $g\in\mathcal{L}(\Rr^3)$ tel que $g^2=f$. Montrer que $\ker f^2$ est stable par $g$. En d\'eduire qu'un tel endomorphisme $g$ ne peut exister. \end{enumerate} \finenonce{001689} \finexercice \exercice{1690, legall, 1998/09/01} \enonce{001690}{} Soit $ \displaystyle{ A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \cr 1/2 & 3/2 & -1/2 \cr -1/2 & 1/2 & 3/2 \cr \end{pmatrix} \in M_3(\R )} $ et $ f $ l'endomorphisme lin\'eaire de $ \R ^3 $ ayant pour matrice $ A $ dans la base canonique $ \epsilon $ de $ \R ^3 .$ \begin{enumerate} \item Calculer le polyn\^ome caract\'eristique de $ A .$ \item Trouver une base $ \epsilon '=\{ e_1, e_2 ,e_3 \} $ de $ \R ^3 $ telle que $ \hbox{Mat} (f, \epsilon ')=\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \cr 0 & 1 & 1 \cr 0 & 0 & 1 \cr \end{pmatrix} .$ \item Soit $ g \in \mathcal{L} (\R ^3) $ un endomorphisme tel que $ f\circ g=g\circ f .$ Montrer que $ \hbox{Ker}(f-2Id) $ et $ \hbox{Ker}(f-Id)^2 $ sont laiss\'es stables par $ g .$ En d\'eduire que la matrice de $ g $ dans $ \epsilon ' $ est de la forme $ \hbox{Mat} (g, \epsilon ')=\begin{pmatrix} \lambda & 0 & 0 \cr 0 & a & b \cr 0 & c & d \cr \end{pmatrix} $ avec $ \begin{pmatrix} a & b \cr c & d \cr \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \cr 0 & 1 \cr \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 & 1 \cr 0 & 1 \cr \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a & b \cr c & d \cr \end{pmatrix} .$ Pr\'eciser les valeurs possibles de $ a , b , c $ et $ d .$ \item Soit $ F=\{ B\in M_3(\R ) ; AB=BA\} .$ Montrer que $ F $ est un sous-espace vectoriel de $ M_3(\R ) .$ Calculer sa dimension (on pourra utiliser la question 3.). \end{enumerate} \finenonce{001690} \finexercice \exercice{1691, ortiz, 1999/04/01} \enonce{001691}{} Les questions sont ind\'ependantes. $K$ d\'esigne $\Rr$ ou $\Cc$, $E$ est un $K$-espace vectoriel de dimension finie $n$, $\mathcal{B}=(e_1,...,e_n)$ est une base fix\'ee de $E$ et $f$. un endomorphisme de $E$. \begin{enumerate} \item Donner un exemple de matrice de $M_2(K)$ non trigonalisable. \item Donner un exemple de matrice de $M_n(K)$ \`a la fois non diagonalisable et trigonalisable. \item D\'eterminer sans calculs les valeurs propres complexes de $f$ s i sa matrice dans $\mathcal{B}$ est $M=\left(\begin{smallmatrix} 1&0&1\\0&1&0\\1&0&1\end{smallmatrix}\right)$. \item On suppose que $n=3$ et que la matrice de $f$ dans la base $\mathcal{B}$ est $M=\left(\begin{smallmatrix} 3&2&4\\-1&3&-1\\-2&-1&-3\end{smallmatrix}\right)$. Montrer que le plan d'\'equation $x+2z=0$ est stable par $f.$ \item Que peut-on dire d'un vecteur g\'en\'erateur d'une droite stable par $f$ ? \item Montrer que si l'endomorphisme $f$ est trigonalisable alors il admet au moins un sous-espace vectoriel stable par $f$ et de dimension $k\in[ 0,n]$ fix\'ee. \end{enumerate} \finenonce{001691} \finexercice \exercice{3578, quercia, 2010/03/10} \enonce{003578}{Trigonalisation de matrices} Soit $A = \begin{pmatrix} -1 &\phantom-2 & 0 \cr 2 &2 &-3 \cr -2 &2 &1 \cr \end{pmatrix}$ et $\varphi$ l'endomorphisme de $\R^3$ canoniquement associé à $A$. \begin{enumerate} \item Vérifier que $A$ n'est pas diagonalisable. \item Chercher deux vecteurs propres de $A$ linéairement indépendants. \item Compléter ces vecteurs en une base de $\R^3$. \item \'Ecrire la matrice de $\varphi$ dans cette base. \item Résoudre le système différentiel : $X' = AX$. \end{enumerate} \finenonce{003578} \finexercice\exercice{3620, quercia, 2010/03/10} \enonce{003620}{$AB=0$} Soient $A,B\in\mathcal{M}_n(\C)$ telles que $AB = 0$. Montrer que $A$ et $B$ sont simultanément trigonalisables. \finenonce{003620} \finexercice \exercice{3621, quercia, 2010/03/10} \enonce{003621}{Produit de matrices nilpotentes} Soient $A_1,\dots,A_n\in\mathcal{M}_n(K)$ nilpotentes et commutant deux à deux. Montrer que $A_1\dots A_n = 0$. \finenonce{003621} \finexercice \exercice{3622, quercia, 2010/03/10} \enonce{003622}{Matrices nilpotentes} Soit $A\in\mathcal{M}_n(\C)$. Montrer que $A$ est nilpotente si et seulement si pour tout $k\in\N^*$ on a $\mathrm{tr}(A^k)=0$. \finenonce{003622} \finexercice \exercice{3623, quercia, 2010/03/10} \enonce{003623}{Mines MP 2003} Soit~$E$ un ev de dimension finie et $(u_n)$ une suite d'endomorphismes diagonalisables convergeant vers~$u\in\mathcal{L}(E)$. $u$ est-il diagonalisable~? \finenonce{003623} \finexercice \exercice{3624, quercia, 2010/03/10} \enonce{003624}{Mines-Ponts MP 2005} On donne une matrice carrée réelle $M$ d'ordre $n$. Soient $\alpha,\beta$ les multiplicités de zéro dans $\chi_M$ et $\mu_M$. Montrer que $\dim(\mathrm{Ker} M) = \alpha$ si et seulement si $\beta = 1$. \finenonce{003624} \finexercice \exercice{5677, rouget, 2010/10/16} \enonce{005677}{***} Soient $f$ et $g$ deux endomorphismes d'un $\Cc$-espace vectoriel de dimension finie non nulle qui commutent. Montrer que $f$ et $g$ sont simultanément trigonalisables. \finenonce{005677} \finexercice \section{ 201.06 Réduction de Jordan } \exercice{1692, bodin, 1999/11/01} \enonce{001692}{} Soit $E$ un espace vectoriel r\'eel de dimension $4$. Soit: \[ U= \left( \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 4 & 1 & -2 \\ 2 & 1 & 2 & -1 \\ 1 & 2 & 1 & 0 \end{array} \right) \] la matrice d'un endomorphisme $u$ de $E$ dans la base canonique de $E$. \begin{enumerate} \item Calculer le polyn\^ome caract\'eristique de $u$. D\'eterminer les sous-espaces propres $E_1$ et $E_2$. Pourquoi $u$ est-il non diagonalisable? Est-il triangularisable ? \item D\'eterminer les sous-espaces caract\'eristiques $F_1$ et $F_2$. Pour $k=1,2$, donner l'ordre $\beta_k$ du nilpotent $(u-\lambda_k. \mathrm{id}_E)\vert_{F_k}$ ($\lambda_1=1$, $\lambda_2=2$). \item Si $v\in F_2$ et $v\notin \ker(u-2. \mathrm{id}_E)^{\beta_2-1}$, montrer que $f_1=(u-2. \mathrm{id}_E)^{\beta_2-1}(v)$, $f_1=(u-2. \mathrm{id}_E)^{\beta_2-2}(v)$, \ldots, $f_{\beta_2}=v$ forment une base de $F_2$. \item On note \( f=\left\lbrace f_1,\ldots,f_4\right\rbrace \) la compl\'et\'ee de la base pr\'ec\'edente par une base de $F_1$. V\'erifier que $T=[u]_f^f$ est triangulaire. D\'ecomposer $T$ sous la forme $D+N$, o\`u $D$ est diagonale, $N$ est nilpotente, et $DN=ND$. Calculer $T^5$. \end{enumerate} \finenonce{001692} \finexercice \exercice{1693, bodin, 1999/11/01} \enonce{001693}{} Quel est le polyn\^ome caract\'eristique d'un endomorphisme nilpotent d'un $\Cc$-espace vectoriel de dimension finie ? \finenonce{001693} \finexercice \exercice{1694, bodin, 1999/11/01} \enonce{001694}{} Donner toutes les r\'eduites de Jordan de $\mathcal{M}_n(\Cc)$ des endomorphismes nilpotents pour $1\le n \le 4$. \finenonce{001694} \finexercice \exercice{1695, bodin, 1999/11/01} \enonce{001695}{} Soit $ \rho $ l'application de $ \R_4[X] $ dans lui-m\^eme qui \`a un polyn\^ome $ P $ associe le reste de la division euclidienne de $ P $ par $ (X^2-1) .$ \begin{enumerate} \item Montrer que $ \rho $ est lin\'eaire. \item Montrer que $ \rho ^2= \rho .$ En d\'eduire que $ \rho $ est diagonalisable. \item D\'eterminer (de pr\'ef\'erence sans calcul) une base de vecteurs propres pour $ \rho .$ \end{enumerate} \finenonce{001695} \finexercice \exercice{1696, bodin, 1999/11/01} \enonce{001696}{} Les matrices $ \begin{pmatrix}0 & 0 & 1 & 0 \cr 0 & 0 & 0 & 1 \cr 0 & 0 & 0 & 0 \cr 0 & 0 & 0 & 0 \cr \end{pmatrix} $ et $ \begin{pmatrix}0 & 1 & 0 & 0 \cr 0 & 0 & 1 & 0 \cr 0 & 0 & 0 & 1 \cr 0 & 0 & 0 & 0 \cr \end{pmatrix} \in M_4(\C ) $ ont-elles une racine carr\'ee~? \finenonce{001696} \finexercice \exercice{1697, bodin, 1999/11/01} \enonce{001697}{} R\'eduire sous la forme de Jordan les matrices suivantes : $$ \begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 \cr 1 & 1 & 2 \cr 1 & -1 & 0\cr \end{pmatrix}, \qquad \begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 &0 \cr 0 & 0 & 1 & 0 \cr 0 & 1 & 2 & 2 \cr 0& 1 & -1 & 1\cr \end{pmatrix},\qquad \begin{pmatrix} 3 & -1 & 1 &-7 \cr 9 & -3 & -7 & -1 \cr 0 & 0 & 4 & -8 \cr 0& 0 & 2 & -4\cr \end{pmatrix}. $$ \finenonce{001697} \finexercice \exercice{1698, bodin, 1999/11/01} \enonce{001698}{} Soit $E$ un $\Cc$-espace vectoriel de dimension finie $n$. Soit $f\in\mathcal{L}(E)$ un endomorphisme nilpotent d'indice $N$ (le plus petit entier $p$ tel que $f^p = 0$). Montrer que $$N=n \Leftrightarrow \text{rang} f = n-1.$$ \finenonce{001698} \finexercice \exercice{2589, delaunay, 2009/05/19} \enonce{002589}{} On consid\`ere la matrice suivante $$A=\begin{pmatrix}1&-1&0 \\ 1&0&-1 \\ -1&0&2\end{pmatrix}$$ et $f$ l'endomorphisme de $\R^3$ associ\'e. \begin{enumerate} \item Factoriser le polyn\^ome caract\'eristique de $A$. \item D\'eterminer les sous-espaces propres et caract\'eristiques de $A$. \item D\'emontrer qu'il existe une base de $\R^3$ dans laquelle la matrice de $f$ s'\'ecrit $$B=\begin{pmatrix}1&1&0 \\ 0&1&1 \\ 0&0&1\end{pmatrix}.$$ \item Ecrire la d\'ecomposition de Dunford de $B$ (justifier). \end{enumerate} \finenonce{002589} \finexercice\exercice{2602, delaunay, 2009/05/19} \enonce{002602}{} Soit $A$ la matrice $$A=\begin{pmatrix}3&2&4 \\ -1&3&-1 \\ -2&-1&-3\end{pmatrix}$$ et $f$ l'endomorphisme de $\R^3$ associ\'e. \begin{enumerate} \item Factoriser le polyn\^ome caract\'eristique de $A$. \item D\'eterminer les sous-espaces propres et caract\'eristiques de $A$. \item D\'emontrer qu'il existe une base de $\R^3$ dans laquelle la matrice de $f$ est $$B=\begin{pmatrix}-1 &0& 0 \\ 0&2&1 \\ 0&0&2\end{pmatrix}$$ et trouver une matrice $P$ inversible telle que $A=PBP^{-1}$. \item Ecrire la d\'ecomposition de Dunford de $B$ (justifier). \item Calculer $\exp B$. \end{enumerate} \finenonce{002602} \finexercice\exercice{3581, quercia, 2010/03/10} \enonce{003581}{Décomposition de Dunford} Soit $A\in\mathcal{M}_n(\C)$. Montrer qu'il existe deux matrices $D,N$ telles que $A = D+N$, $D$ est diagonalisable, $N$ est nilpotente, $DN=ND$. \finenonce{003581} \finexercice \exercice{3582, quercia, 2010/03/10} \enonce{003582}{$M$ et ${}^tM$ sont semblables} Montrer qu'une matrice compagnon est semblable à sa transposée. En déduire que pour toute $M\in\mathcal{M}_n(K)$ les matrices $M$ et ${}^tM$ sont semblables. \finenonce{003582} \finexercice \exercice{3583, quercia, 2010/03/10} \enonce{003583}{Réduction de Jordan (Mines MP 2003)} Soit $f\in\mathcal{L}(\R^3)$ telle que $\mathrm{Spec}(f) = \{\lambda\}$ et $\dim(\mathrm{Ker}(f-\lambda\mathrm{id}))=2$. Montrer qu'il existe une base~$\cal B$ dans laquelle $\mathrm{Mat}(f) = \begin{pmatrix}\lambda&0&0\cr0&\lambda&1\cr0&0&\lambda\cr\end{pmatrix}$. \finenonce{003583} \finexercice\exercice{5670, rouget, 2010/10/16} \enonce{005670}{*** Décomposition de \textsc{Dunford}} \label{ex:rou20} Soit $E$ un $\Kk$-espace vectoriel de dimension finie non nulle et $f$ un endomorphisme de $E$ dont le polynôme caractéristique est scindé sur $\Kk$. Montrer qu'il existe un couple d'endomorphismes $(d,n)$ et un seul tel que $d$ est diagonalisable, $n$ est nilpotent $n$ et $f = d+n$. \finenonce{005670} \finexercice \section{ 201.07 Applications } \exercice{1703, barraud, 2003/09/01} \enonce{001703}{} Soit $A\in\mathcal{M}_{3}(\R)$ la matrice $$ A= \begin{pmatrix} 0&1&1\\ 1&0&1\\ 0&0&1 \end{pmatrix} $$ Donner un polynôme annulateur de $A$ de degré aussi petit que possible. En déduire $A^{-1}$, $A^{3}$, et $A^{5}$. \finenonce{001703} \finexercice \exercice{1704, barraud, 2003/09/01} \enonce{001704}{} Résoudre les systèmes différentiels suivants $$ \left\{ \begin{array}{ccccccc} \frac{dx}{dt} & = & 4x &+& 6y \\[1.5ex] \frac{dy}{dt} & = & -3x &-& 5y \\[1.5ex] \frac{dz}{dt} & = & -3x &-& 6y &-& 5z \end{array} \right. \qquad \left\{ \begin{array}{ccccccc} \frac{dx}{dt} & = & 2x &+& y &+& z \\[1.5ex] \frac{dy}{dt} & = & 3x &+& 3y &+& 4z \\[1.5ex] \frac{dz}{dt} & = & -3x &-& y &-& 2z \end{array} \right. $$ \finenonce{001704} \finexercice \exercice{1705, barraud, 2003/09/01} \enonce{001705}{} Déterminer toutes les suites $(u_{n})$ telles que : $$ \begin{cases} \forall n\in \N \quad u_{n+3}+u_{n+2}+u_{n+1}+u_{n}=0\\ u_{0}=1, u_{1}=2, u_{2}=0 \end{cases} $$ Résoudre l'équation différentielle : $$ \begin{cases} f'''+f''+f'+f=0\\ f(0)=1, f'(0)=0, f''(0)=0 \end{cases} $$ \finenonce{001705} \finexercice \exercice{1706, barraud, 2003/09/01} \enonce{001706}{} Résoudre le système différentiel suivant : $$ \left\{ \begin{array}{rcrcrcr} \frac{dx}{dt} &=& 2x(t) &+& 2y(t) &+& 2z(t) \\ \frac{dy}{dt} &=& x(t) &+& 3y(t) &+& 2z(t) \\ \frac{dz}{dt} &=& -x(t) &-& y(t) &-& z(t) \end{array} \right. $$ Donner toutes les solutions qui satisfont $x(0)=1$, $y(0)=2$, $z(0)=-1$. \finenonce{001706} \finexercice \exercice{1707, barraud, 2003/09/01} \enonce{001707}{} Réduire la matrice $$ A= \begin{pmatrix} 0& 1& 1\\ 1& 1& 0\\ 1&-3& 4 \end{pmatrix} $$ \textit{(c'est à dire étudier la diagonalisabilité ou la triangularisabilité de $A$, et donner une matrice $P$ telle que $P^{-1}AP$ soit aussi simple que possible)} \medskip \textbf{\it Application~:} Déterminer toutes les fonctions dérivables $x,y,z$ de $\R$ dans $\R$ satisfaisant les conditions~: $$ \left\{ \begin{aligned} x'&=y+z\\ y'&=x+y\\ z'&=x-3y+4z \end{aligned} \right.\qquad \text{ et }\qquad \left\{ \begin{aligned} x(0)&=1\\ y(0)&=0\\ z(0)&=0 \end{aligned} \right. $$ \textit{(on rappelle qu'il n'est pas utile de calculer $P^{-1}$... )} \finenonce{001707} \finexercice \exercice{1708, barraud, 2003/09/01} \enonce{001708}{} Déterminer toutes les suites $(u_{n})_{n\in\N}$ à valeur complexes telles que~: $$ \forall n\in\N, u_{n+3}+2 u_{n+2}+2u_{n+1}+u_{n}=0. $$ Montrer que les suites réelles satisfaisant cette relation sont les suites de la forme~: $$ u_{n}=A(-1)^{n}+B\cos(\frac{2n\pi}{3}+\phi) $$ où $A,B$ et $\phi$ sont des réels. \finenonce{001708} \finexercice \exercice{1709, barraud, 2003/09/01} \enonce{001709}{} Etant donnés quatre nombres réels $(u_{0},v_{0},w_{0},x_{0})$, on définit quatre nouveaux nombres $(u_{1},v_{1},w_{1},x_{1})$ en calculant les moyennes suivantes : $u_{1}= \frac{2u_{0}+ v_{0}+ w_{0}+ x_{0}}{5}$, $v_{1}= \frac{ u_{0}+2v_{0}+ w_{0}+ x_{0}}{5}$, $w_{1}= \frac{ u_{0}+ v_{0}+2w_{0}+ x_{0}}{5}$, et $x_{1}= \frac{ u_{0}+ v_{0}+ w_{0}+2x_{0}}{5}$. En itérant ce procédé, on définit quatre suites $(u_{n})$, $(v_{n})$, $(w_{n})$, et $(x_{n})$ telles que pour tout $n\in\N$ on ait : $$ \left\{ \begin{array}{r@{\,}l} u_{n+1}&= \frac{1}{5} (2u_{n}+ v_{n}+ w_{n}+ x_{n}) \\[1.5ex] v_{n+1}&= \frac{1}{5} ( u_{n}+2v_{n}+ w_{n}+ x_{n}) \\[1.5ex] w_{n+1}&= \frac{1}{5} ( u_{n}+ v_{n}+2w_{n}+ x_{n}) \\[1.5ex] x_{n+1}&= \frac{1}{5} ( u_{n}+ v_{n}+ w_{n}+2x_{n}) \end{array} \right. $$ \begin{enumerate} \item Ecrire la matrice $A$ associée à cette relation de récurrence, et la matrice $B=5A$. Que dire de la diagonalisabilité de $B$ ? \item Sans calculer le polynôme caractéristique de $B$, montrer que $1$ est valeur propre de $B$. Quelle est la dimension de l'espace propre associé ? Que dire de la multiplicité de $1$ comme valeur propre de $B$ ? \item En utilisant la trace de $B$, déterminer toutes les valeurs propres de $B$. \item Donner un polynôme annulateur de $B$ de degré 2. \item En déduire l'existence de deux réels $a_{n}$ et $b_{n}$, que l'on calculera, tels que $B^{n}=a_{n}B+b_{n}I$. \item Calculer $\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}{\frac{a_{n}}{5^{n}}}$ et $\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}{\frac{b_{n}}{5^{n}}}$. En déduire que la suite de matrices $(A^{n})_{n\in\N}$ est convergente et donner sa limite. {\it (On rappelle qu'une suite de matrices $M_{n}$ est dite convergente si chaque suite de coefficient est convergente. On pourra utiliser sans démonstration la continuité des opérations élémentaires sur les matrices pour cette notion de limite, c'est à dire que : \\ \ - si $(\lambda_{n})$ est une suite convergente alors pour toute matrice $M$, la suite $(\lambda_{n}M)$ est convergente et $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}(\lambda_{n}M) = (\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\lambda_{n})M$ \\ \ - si $(M_{n})$ est une suite de matrices convergente alors pour tout vecteur $X$, la suite de vecteurs $(M_{n}X)$ est convergente et $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}(M_{n}X) = (\lim\limits_{n\rightarrow\infty} M_{n})X$.)} \item En déduire que les suites $(u_{n})_{n\in\N}$, $(v_{n})_{n\in\N}$, $(w_{n})_{n\in\N}$, et $(x_{n})_{n\in\N}$ sont convergentes, et donner leur limite. \end{enumerate} \finenonce{001709} \finexercice \exercice{1710, barraud, 2003/09/01} \enonce{001710}{} Donner toutes les suites $(x_{n})$, $(y_{n})$ et $(z_{n})$ telles que~: {\it(on notera $\omega=e^{\frac{i\pi}{3}}$)} $$ \forall n\in\N,\ \left\{ \begin{array}{r} x_{n+1}= x_{n}+y_{n}\\ y_{n+1}= y_{n}+z_{n}\\ z_{n+1}= z_{n}+x_{n} \end{array} \right. $$ Parmi les solutions de ce système, donner celle qui satisfait $x_{0}=2$ et $y_{0}=z_{0}=1$. \finenonce{001710} \finexercice \exercice{1711, barraud, 2003/09/01} \enonce{001711}{} Soit $a$ un réel. On considère le système à $n$ équations et $n$ inconnues suivant~: $$ \left\{ \begin{array}{lccccc} a\,x_{1} - x_{2} = 0 \\ -x_{p-1}+a\,x_{p} -x_{p+1} = 0 & (2\leq p\leq n-1)\\ -x_{n-1}+a\,x_{n} = 0 \end{array} \right. $$ \'Ecrire la matrice $A_{n}$ associée à ce système. On note $D_{n}=\det A_{n}$. Calculer $D_{n}$ en fonction de $D_{n-1}$ et $D_{n-2}$ \finenonce{001711} \finexercice \exercice{1712, barraud, 2003/09/01} \enonce{001712}{} On considère la matrice $A= \begin{pmatrix} a&-b&-c&-d\\ b& a& d&-c\\ c&-d& a& b\\ d& c&-b& a \end{pmatrix} $, avec $(b,c,d)\neq(0,0,0)$. \begin{enumerate} \item Calculer $A{}^t{A}$. Que vaut $\det A$ au signe près~? \item En étudiant le signe du terme en $a^{4}$ dans le déterminant de $A$, montrer que $\det A=(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2})^{2}$. Sans calcul supplémentaire, en déduire que le polynôme caractéristique de $A$ est $\chi_{A}=((a-X)^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2})^{2}$. \item $A$ est-elle diagonalisable sur $\R$~? (justifier) \item On se place maintenant dans le cas où $a=1$, $b=c=d=-1$. Vérifier que $(i\sqrt{3},1,1,1)$ et $(-1,i\sqrt{3},-1,1)$ sont des vecteurs propres de $A$, puis diagonaliser $A$ sur $\C$. \item Application~: résoudre le système récurent suivant (il n'est pas nécessaire de calculer l'inverse de la matrice de passage de la question précédente). On notera $\omega=1/2+i\sqrt{3}/2=e^{i\pi/3}$. $$ \left\{ \begin{array}{ccr} u_{n+1} &=& u_{n}+v_{n}+w_{n}+h_{n}\\ v_{n+1} &=&-u_{n}+v_{n}-w_{n}+h_{n}\\ w_{n+1} &=&-u_{n}+v_{n}+w_{n}-h_{n}\\ h_{n+1} &=&-u_{n}-v_{n}+w_{n}+h_{n} \end{array} \right. \qquad \left\{ \begin{array}{ccr} u_{0} &=&1\\ v_{0} &=&0\\ w_{0} &=&0\\ h_{0} &=&0 \end{array} \right. $$ \end{enumerate} \finenonce{001712} \finexercice \exercice{1713, ortiz, 1999/04/01} \enonce{001713}{} R\'esoudre le syst\`eme diff\'erentiel $X'=AX$ o\`u $A$ est la matrice : $$A=\left( \begin{matrix} 3&2&4\\ -1&3&-1\\ -2&-1&-3 \end{matrix}\right) \in \mathcal{M}_3(\Rr) .$$ \finenonce{001713} \finexercice \exercice{1714, ortiz, 1999/04/01} \enonce{001714}{} Soit la matrice $A=\left( \begin{smallmatrix} 3&2&4\\ -1&3&-1\\ -2&-1&-3 \end{smallmatrix}\right) \in \mathcal{M}_3(\Rr).$ Par diff\'erentes m\'ethodes, calculer $A^n$, pour $n\in\Nn$. Montrer que la formule obtenue a un sens pour $n\in\Zz$ et donner plusieurs m\'ethodes pour \'etablir sa validit\'e dans ce cas. \finenonce{001714} \finexercice \exercice{1715, ortiz, 1999/04/01} \enonce{001715}{} Soit l'endomorphisme $f\in\mathcal{L}(\Rr^3)$ dont la matrice dans la base canonique de $\Rr^3$ est : $${ M=\left( \begin{smallmatrix} -2&1&1\\ 8&1&-5\\ 4&3&-3 \end{smallmatrix}\right). }$$ \begin{enumerate} \item D\'eterminer toutes les droites vectorielles de $\Rr^3$ stables par $f$. \item D\'eterminer toutes les plans vectoriels $P$ de $\Rr^3$ stables par $f$ (on commencera par \'etudier le polyn\^ome caract\'eristique de la restriction de $f$ \`a $P$). \item Donner la liste de tous les sous-espaces vectoriels de $\Rr^3$ stables par $f$. \end{enumerate} \finenonce{001715} \finexercice \exercice{1716, bodin, 1999/11/01} \enonce{001716}{} Calculer les puissances et l'exponentielle ($e^M=\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{M^k}{k!}$) des matrices suivantes : $$ B= \begin{pmatrix} 4&1&0\\ 0&4&1\\ 0&0&4 \end{pmatrix},\qquad A= \begin{pmatrix} 3&2&4\\ -1&3&-1\\ -2&-1&-3 \end{pmatrix}. $$ \finenonce{001716} \finexercice \exercice{1717, bodin, 1999/11/01} \enonce{001717}{} Soit $E$ un espace vectoriel r\'eel de dimension finie $n$. Soit $f\in\mathcal{L}(E)$ diagonalisable. Donner une condition n\'ecessaire et suffisante pour qu'il existe $g\in\mathcal{L}(E)$ tel que $g^2=f$. Dans le cas d'existence de $g$, donner le nombre exact de $g$ tel que $g^2=f$. \medskip \noindent {\emph{Application}} Soit : \[ M= \left( \begin{array}{ccc} 5 & 1 & -1 \\ 2 & 4 & -2 \\ 1 & -1 & 3 \end{array} \right). \] Montrer qu'il existe $N\in\mathcal{M}_3(\R)$ telle que $N^2=M$. D\'eterminer une $N$. \finenonce{001717} \finexercice \exercice{1718, bodin, 1999/11/01} \enonce{001718}{} Soit $M\in\mathcal{M}_n(\Cc)$. Montrer que $M$ et ${}^tM$ sont semblables.\\ \emph{Indication} : le montrer d'abord pour des blocs de Jordan n'ayant que des $1$ au-dessus de la diagonale. \finenonce{001718} \finexercice \exercice{1719, bodin, 1999/11/01} \enonce{001719}{} Soit $M\in\mathcal{M}_n(\Cc)$. Donner une condition n\'ecessaire et suffisante sur $M$ pour que $M$ et $2M$ soient semblables. \finenonce{001719} \finexercice \exercice{1720, ortiz, 1999/04/01} \enonce{001720}{} Soit $a\in\mathcal{L}(E)$ un endomorphisme d'un $K$-espace vectoriel de dimension $n$ ayant $n$ valeurs propres distinctes. On pose $$ \mathcal{C}=\left\{u\in\mathcal{L}(E):au=ua\right\}. $$ \begin{enumerate} \item Soit $u\in\mathcal{C}$. \begin{enumerate} \item Montrer que tout sous-espace vectoriel propre de $a$ est stable par $u$. \item En d\'eduire que $u$ est diagonalisable. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que $\mathcal{C}$ est un sous-espace vectoriel de $\mathcal{L}(E)$ et que $\dim\mathcal{C}=n$. \item Montrer que la famille $(\text{Id}_E,a,...,a^{n-1})$ est une famille libre de $\mathcal{L}(E)$ (raisonner par l'absurde et utiliser le polyn\^ome minimal de $a$.) \item En d\'eduire que $\mathcal{C}=\left\{P(u):P\in K[X]\right\}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \finenonce{001720} \finexercice \exercice{1721, ortiz, 1999/04/01} \enonce{001721}{} Soient $f\in\mathcal{L}(E)$ un endomorphisme et $a\in E$ tels que la famille $(a,f(a),...,f^{n-1}(a))$ est une base de $E$. \begin{enumerate} \item Soit $P\in K[X]\setminus\left\{0\right\}$ un polyn\^ome annulateur de $f$. Montrer que $\deg(P)\ge n$ (raisonner par l'absurde). \item En d\'eduire que le polyn\^ome minimal de $f$ est (au signe pr\`es) le polyn\^ome caract\'eristique de $f$. \end{enumerate} \finenonce{001721} \finexercice \exercice{1722, ortiz, 1999/04/01} \enonce{001722}{} Donner un exemple de deux matrices de $\mathcal{M}_4(\Rr)$ ayant m\^eme polyn\^ome caract\'eristique et m\^eme polyn\^ome minimal et pourtant non semblables. Qu'en est-il pour deux matrices de $\mathcal{M}_2(\Rr)$ ? \finenonce{001722} \finexercice \exercice{1723, ortiz, 1999/04/01} \enonce{001723}{} Soit le $\Rr$-espace vectoriel $$\mathcal{S}=\left\{ (u_n)_{n\in\Nn}\in \Rr^{\Nn}:\forall n\ge 3, u_n=3u_{n-1}-3u_{n-2}+u_{n-3} \right\}.$$ \begin{enumerate} \item Montrer que l'application $${f: \mathcal{S}\to \Rr^3, u=(u_n)_{n\in\Nn}\mapsto(u_0,u_1,u_{2})}$$ est un isomorphisme de $\Rr$-espace vectoriels. \item Soient la matrice $ A= \left(\begin{smallmatrix} 0&1&0\\ 0&0&1\\ 1&-3&3 \end{smallmatrix}\right)\in \mathcal{M}_3(\Rr) ,$ $\sigma\in\mathcal{L}(\Rr^3)$ l'endomorphisme canoniquement associ\'e \`a $A$ et, pour $n\ge 2,$ $U_n=(u_{n-2},u_{n-1},u_{n})\in \Rr^3$. Montrer que $\sigma(U_{n-1})=U_n$ et en d\'eduire une base de $\mathcal{S}$. \end{enumerate} \finenonce{001723} \finexercice \exercice{1724, legall, 1998/09/01} \enonce{001724}{} Soient $ (x_n)_{n \in \N } , $ $ (y_n)_{n \in \N } $ et $ (z_n)_{n \in \N } $ trois suites de nombres r\'eels satisfaisant aux relations de r\'ecurrence~: $$\left\{ \begin{matrix} x_{n+1} &= & y_n & - & x_n & + & z_n \cr y_{n+1} &= & x_n & - & y_n & + & z_n \cr z_{n+1} &= & x_n & + & y_n & - & z_n \cr \end{matrix} \right.$$ Calculer les valeurs de $ x_n , $ $ y_n $ et $ z_n $ en fonction de $ x_0 , $ $ y_0 $ et $ z_0 .$ \finenonce{001724} \finexercice \exercice{1725, legall, 1998/09/01} \enonce{001725}{} Soit $ E $ un $ \mathbb{K} $-espace vectoriel de dimension finie et $ f \in \mathcal{L} (E) $ telle que $ f^2=f .$ Pour quelles valeurs de $ t\in \R $ l'endomorphisme $ f_t=id+tf $ est inversible ? Calculer $ f_t^{-1} .$ \finenonce{001725} \finexercice \exercice{1726, legall, 1998/09/01} \enonce{001726}{} Etudier les solutions (suivant $ A $) dans $ M_2 (\C ) $ de l'\'equation $ X^2=A .$ \finenonce{001726} \finexercice \exercice{1727, legall, 1998/09/01} \enonce{001727}{} Soit $ A\in M_n(\mathbb{K} ) .$ On note $ C(A)=\{ B \in M_n(\mathbb{K} ) ; AB=BA\} .$ \begin{enumerate} \item On suppose que $ A $ a des valeurs propres simples. Montrer que les propri\'et\'es suivantes sont \'equivalentes~: \vskip1mm \hskip1mm i) $ B\in C(A) .$ \vskip1mm \hskip1mm ii) $ B $ a une base de vecteurs propres en commun avec $ A .$ \vskip1mm \hskip1mm iii) Il existe $ P\in \mathbb{K} _{n-1}[X] $ tel que $ B=P(A) .$ \vskip1mm \hskip1mm iv) Il existe $ P\in \mathbb{K} [X] $ tel que $ B=P(A) .$ \vskip1mm \item On suppose que $ n =3 $ (pour simplifier) et que $ A $ est diagonalisable avec une valeur propre double. D\'eterminer $ C(A) .$ \end{enumerate} \finenonce{001727} \finexercice \exercice{1728, legall, 1998/09/01} \enonce{001728}{} {{\em Les parties I, II, III et IV peuvent \^etre trait\'ees ind\'ependamment les unes des autres.}} Soient $ M_a=\begin{pmatrix} a+1 & 1-a & a-1 \cr -1 & 3 & 2a-3 \cr a-2 & 2-a & 3a-2 \cr \end{pmatrix}\in M_3(\R ) $ une matrice d\'ependant d'un param\`etre r\'eel $ a $ et $ f_a $ l'endomorphisme lin\'eaire de $ \R ^3 $ ayant pour matrice $ M_a $ dans la base canonique de $ \R ^3 .$ \vskip1mm On nomme {\em racine carr\'ee} d'une matrice $ M\in M_n(\R ) $ toute matrice $ N \in M_n(\R ) $ telle que $ N^2=M .$ \vskip1mm On d\'esigne par $ I $ la matrice identit\'e et, pour toute base $ \epsilon $ de $ \R ^3 ,$ on note $ \hbox{Mat}(f_a,\epsilon) $ la matrice repr\'esentant l'endomorphisme $ f_a $ dans la base $ \epsilon .$ \vskip2mm \centerline{{\bf I}} \begin{enumerate} \item Calculer les valeurs propres de $ M_a $ en fonction de $ a .$ Pour quelle raison la matrice $ M_a $ est-elle triangularisable~? \item Pour quelles valeurs du param\`etre $ a $ la matrice $ M_a $ est-elle diagonalisable~? \vskip2mm \centerline{{\bf II}} \centerline{{\em On pose maintenant (questions 3 et 4) $ a=2 .$}} \item Diagonaliser $ M_2 .$ D\'eterminer une racine carr\'ee $ A $ de $ M_2 .$ \item \begin{enumerate} \item Soit $ g \in \mathcal{L} (\R ^3) $ telle que $ g^2=f_2 .$ Montrer que $ g $ est diagonalisable (on pourra d\'eterminer le polyn\^ome minimal de $ f_2 $). Montrer que les sous-espaces propres de $ f_2 $ sont laiss\'es stables par $ g .$ \item D\'emontrer que la matrice $ \begin{pmatrix} 4 & 0 \cr 0 & 4 \cr \end{pmatrix} $ a une infinit\'e de racines carr\'ees. En d\'eduire l'existence d'une infinit\'e de racines carr\'ees de $ M_2 .$ \end{enumerate} \vskip2mm \centerline{{\bf III}} \item On pose $ a=1 .$ Montrer que $ M_1=2I+N $ avec $ N $ nilpotente (telle que $ N^2=0 $). En d\'eduire la valeur de $ (M_1)^n $, pour tout $ n \in \N .$ D\'eterminer deux r\'eels $ \alpha $ et $ \beta $ tels que $ \alpha I +\beta N $ soit une racine carr\'ee de $ M_1 .$ \vskip2mm \centerline{{\bf IV}} \centerline{{\em On pose d\'esormais (questions 6 et 7) $ a=0 .$}} \item Montrer que $ \R ^3=\hbox{Ker}(f_0^2)\oplus \hbox{Ker}(f_0-2I) .$ D\'eterminer une base $ \epsilon $ de $ \R ^3 $ telle que l'on ait~: $\hbox{Mat}(f_0, \epsilon )=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \cr 0 & 0 & 0 \cr 0 & 0 & 2 \cr \end{pmatrix} .$ \item Soit $ g \in \mathcal{L} (\R ^3) $ un endomorphisme tel que $ g^2=f_0 .$ Montrer que $ \hbox{Ker}(f_0^2) $ est laiss\'e stable par $ g .$ En d\'eduire que $ f_0 $ n'a pas de racine carr\'ee. %8) D\'eterminer les sous-espaces de $ \R ^3 $ stables par $ f_0 .$ \end{enumerate} \finenonce{001728} \finexercice \exercice{2590, delaunay, 2009/05/19} \enonce{002590}{} La suite de Fibonacci $0,1,1,2,3,5,8,13,...$ est la suite $(F_n)_{n\geq 0}$ d\'efinie par la relation de r\'ecurrence $F_{n+1}=F_{n}+F_{n-1}$ pour $n\geq1$, avec $F_0=0$ et $F_1=1$. \begin{enumerate} \item D\'eterminer une matrice $A\in M_2(\R)$ telle que, pour tout $n\geq1$, $$\begin{pmatrix}F_{n+1} \\ F_n\end{pmatrix}=A^n\begin{pmatrix}F_{1} \\ F_0\end{pmatrix}.$$ \item Montrer que $A$ admet deux valeurs propres r\'eelles distinctes que l'on note $\lambda_1$ et $\lambda_2$ avec $\lambda_1<\lambda_2$. \item Trouver des vecteurs propres $\varepsilon_1$ et $\varepsilon_2$ associ\'es aux valeurs propres $\lambda_1$ et $\lambda_2$, sous la forme $\displaystyle\begin{pmatrix}\alpha \\ 1\end{pmatrix}$, avec $\alpha\in\R$. \item D\'eterminer les coordonn\'ees du vecteur $\displaystyle\begin{pmatrix}F_1 \\ F_0\end{pmatrix}$ dans la base $(\varepsilon_1,\varepsilon_2)$, on les note $x_1$ et $x_2$. \item Montrer que $\displaystyle\begin{pmatrix}F_{n+1} \\ F_n\end{pmatrix} =\lambda_1^nx_1\varepsilon_1+\lambda_2^nx_2\varepsilon_2$. En d\'eduire que $$F_n={\frac{\lambda_1^n}{\lambda_1-\lambda_2}}-{\frac{\lambda_2^n}{\lambda_1-\lambda_2}}\ .$$ \item Donner un \'equivalent de $F_n$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$. \end{enumerate} \finenonce{002590} \finexercice \exercice{2597, delaunay, 2009/05/19} \enonce{002597}{} Soit $A$ la matrice $$A=\begin{pmatrix}1&-1&0 \\ 1&0&-1 \\ -1&0&2\end{pmatrix}$$ et $f$ l'endomorphisme de $\R^3$ associ\'e. \begin{enumerate} \item Factoriser le polyn\^ome caract\'eristique de $A$. \item D\'eterminer les sous-espaces propres et caract\'eristiques de $A$. \item D\'emontrer qu'il existe une base de $\R^3$ dans laquelle la matrice de $f$ est $$B=\begin{pmatrix}1 & 1 & 0 \\ 0&1&1 \\ 0&0&1\end{pmatrix}$$ et trouver une matrice $P$ inversible telle que $A=PBP^{-1}$. \item Ecrire la d\'ecomposition de Dunford de $B$ (justifier). \item Pour $t\in\R$, calculer $\exp tB$. \item Donner les solutions des syst\`emes diff\'erentiels $Y'=BY$ et $X'=AX$. \end{enumerate} \finenonce{002597} \finexercice \exercice{2598, delaunay, 2009/05/19} \enonce{002598}{} \begin{enumerate} \item On note $(\vec e_1, \vec e_2, \vec e_3)$ la base canonique de $\R^3$. Soit $A$ la matrice $$A=\begin{pmatrix}1&0&0 \\ 0&2&0 \\ 0&0&3\end{pmatrix}.$$ Donner sans calcul les valeurs propres de $A$ et une base de vecteurs propres. \item On cherche \`a d\'eterminer, s'il en existe, les matrices $B$ telles que $\exp B=A$. \begin{enumerate} \item Montrer que si $A=\exp B$, alors $AB=BA$. \item En d\'eduire que la base $(\vec e_1,\vec e_2, \vec e_3)$ est une base de vecteurs propres de B. \item D\'eterminer toutes les matrices $B\in M_3(\R)$ telles que $\exp B=A$. Justifier. \end{enumerate} \item Soit la matrice $C$, $$C=\begin{pmatrix}0&1&0 \\ 0&0&1 \\ 0&0&0\end{pmatrix}.$$ Montrer qu'il n'existe pas de matrice $D\in M_3(\R)$ telle que $C=\exp D$. \item Calculer le polyn\^ome caract\'eristique et le polyn\^ome minimal de $C$. \item Supposons qu'il existe une matrice $E\in M_3(\R)$ telle que $E^2=C$. Notons $Q_E(X)$ son polyn\^ome minimal et $Q_C(X)$ le polyn\^ome minimal de $C$. \begin{enumerate} \item Montrer que $Q_E(X)$ divise $Q_C(X^2)$. \item En d\'eduire que $E^3=0$ et que $C^2=0$. \item D\'eduire de ce qui pr\'ec\`ede qu'il n'existe pas de matrice $E$ telle que $E^2=C$. \end{enumerate} \item Soient $F$ et $G$ des matrices de $M_3(\R)$ telles que $F=\exp G$. D\'emontrer que pour tout $n\in \N^*$, il existe une matrice $H$ telle que $H^n=F$. \end{enumerate} \finenonce{002598} \finexercice \exercice{3585, quercia, 2010/03/10} \enonce{003585}{Ensi PC 1999} Soit $A=\begin{pmatrix}-1&2&1\cr2&-1&-1\cr-4&4&3\cr\end{pmatrix}$. \begin{enumerate} \item Calculer $A^n$. \item Soit $U_0=\begin{pmatrix}-2\cr4\cr1\end{pmatrix}$ et $(U_n)$ défini par la relation~: $U_{n+1} = AU_n$. Calculer $U_n$ en fonction de~$n$. \item Soit $X(t) = \begin{pmatrix}x(t)\cr y(t)\cr z(t)\cr\end{pmatrix}$. Résoudre $\frac{d X}{d t} = AX$. \end{enumerate} \finenonce{003585} \finexercice \exercice{3586, quercia, 2010/03/10} \enonce{003586}{Puissances de $A$} Soit $A \in \mathcal{M}_{3}(\R)$ ayant pour valeurs propres $1,-2,2$, et $n\in \N$. \begin{enumerate} \item Montrer que $A^n$ peut s'écrire sous la forme : $A^n = \alpha_n A^2 + \beta_n A + \gamma_n I$ avec $\alpha_n,\beta_n,\gamma_n \in \R$. \item On considère le polynôme $P = \alpha_n X^2 + \beta_n X + \gamma_n$. Montrer que : $P(1) = 1$, $P(2) = 2^n$, $P(-2) = (-2)^n$. \item En déduire les coefficients $\alpha_n,\beta_n,\gamma_n$. \end{enumerate} \finenonce{003586} \finexercice \exercice{3587, quercia, 2010/03/10} \enonce{003587}{Suites récurrentes linéaires} Soit $(u_n)$ une suite réelle vérifiant l'équation de récurrence : $u_{n+3} = 6u_{n+2} - 11u_{n+1} + 6u_n$. \begin{enumerate} \item On pose $X_n = \begin{pmatrix} u_n\cr u_{n+1} \cr u_{n+2} \cr \end{pmatrix}$. Montrer qu'il existe une matrice $A \in \mathcal{M}_{3}(\R)$ telle que $X_{n+1} = AX_n$. \item Diagonaliser $A$. En déduire $u_n$ en fonction de $u_0$, $u_1$, $u_2$ et $n$. \end{enumerate} \finenonce{003587} \finexercice \exercice{3588, quercia, 2010/03/10} \enonce{003588}{Centrale P' 1996} Soit $f$, endomorphisme d'un espace vectoriel $E$ de dimension~$n$. \begin{enumerate} \item On suppose que pour tout sous-ev $D$ de dimension~1 il existe $x\in D$ tel que $E = \text{vect}(x,f(x),f^2(x),\dots)$. Que dire de $E$ et $f$~? \item On suppose qu'il existe $x\in E$ tel que $E = \text{vect}(x,f(x),f^2(x),\dots)$. Montrer que si $f$ est diagonalisable alors ses valeurs propres sont toutes distinctes. Montrer que si $f$ est nilpotente alors $f^{n-1}\ne 0$. \end{enumerate} \finenonce{003588} \finexercice \exercice{3589, quercia, 2010/03/10} \enonce{003589}{Chimie P' 1996} Soit $(M_n)$ une suite de points dans le plan, de coordonnées $(x_n,y_n)$ définies par la relation de récurrence~: $$\left\{ \begin{array}{lllll} x_{n+1} &= &-x_n + 2y_n\cr y_{n+1} &= &-3x_n + 4y_n.\cr \end{array}\right.$$ \begin{enumerate} \item Montrer que, quelque soit $M_0$, les points $M_n$ sont alignés. \item Étudier la suite $(M_n)$ quand $n$ tend vers l'infini. \item Quelle est la limite de $y_n/x_n$ (utiliser une méthode géométrique)~? \end{enumerate} \finenonce{003589} \finexercice \exercice{3590, quercia, 2010/03/10} \enonce{003590}{Commutant d'une matrice à valeurs propres distinctes} \begin{enumerate} \item Soit $D = \text{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)$ une matrice diagonale à valeurs propres distinctes. \begin{enumerate} \item Montrer qu'une matrice $M$ commute avec $D$ si et seulement si $M$ est diagonale. \item Montrer que pour toute matrice $M$ diagonale, il existe un polynôme $P \in K_{n-1}[X]$ unique tel que $M = P(D)$. \end{enumerate} \item Soit $A \in \mathcal{M}_n(K)$ une matrice à valeurs propres distinctes. Montrer que les matrices $M$ commutant avec $A$ sont les polynômes en $A$. \end{enumerate} \finenonce{003590} \finexercice \exercice{3591, quercia, 2010/03/10} \enonce{003591}{$XY = YX = A$} Soit $A = \begin{pmatrix} 1 &1 \cr 1 &1 \cr \end{pmatrix}$. \begin{enumerate} \item $A$ est-elle diagonalisable ? \item Trouver toutes les matrices $X,Y \in \mathcal{M}_{2}(K)$ telles que $XY = YX = A$. \end{enumerate} \finenonce{003591} \finexercice \exercice{3592, quercia, 2010/03/10} \enonce{003592}{Racine carrée} Soit $A = \begin{pmatrix} 9 &0 &0 \cr 1 &4 &0 \cr 1 &1 &1 \cr \end{pmatrix}$. Trouver les matrices $M \in \mathcal{M}_{3}(\R)$ telles que $M^2 = A$. \finenonce{003592} \finexercice \exercice{3593, quercia, 2010/03/10} \enonce{003593}{ Ensi Physique 93} Soit $A = \begin{pmatrix}5 &-4 &1 \cr 8 &-7 &2 \cr 12 &-12&4 \cr\end{pmatrix}$. Trouver une matrice $B$ différente de $A$ et $-A$ telle que $B^2=A$. \finenonce{003593} \finexercice \exercice{3594, quercia, 2010/03/10} \enonce{003594}{Esigelec 91} Trouver le commutant de $\begin{pmatrix}2&-2&1\\ 2&-3&2\\ 1&2&0\end{pmatrix}$. \finenonce{003594} \finexercice \exercice{3595, quercia, 2010/03/10} \enonce{003595}{Centrale MP 2000} Si $A\in M_n(\C)$, on note $C(A)$ le commutant de $A$. \begin{enumerate} \item Pour $n=2$, montrer que $C(A)$ est de dimension $2$ ou $4$, en donner une base. \item Pour $n\in \N^*$, montrer que $C(A)$ est de dimension $\ge n$ (traiter d'abord le cas où $A$ est diagonalisable). \end{enumerate} \finenonce{003595} \finexercice \exercice{3596, quercia, 2010/03/10} \enonce{003596}{Ulm MP$^*$ 2001} En se déplaçant uniquement sur les arêtes d'un cube de côté 1, combien y a-t-il de chemins de longueur~$n$ pour aller d'un point à un autre~? \finenonce{003596} \finexercice \exercice{5651, rouget, 2010/10/16} \enonce{005651}{**} Soit $A =\left( \begin{array}{ccc} 1&2&2\\ 2&1&2\\ 2&2&1 \end{array} \right)$. Pour $n$ entier relatif donné, calculer $A^n$ par trois méthodes différentes. \finenonce{005651} \finexercice \exercice{5652, rouget, 2010/10/16} \enonce{005652}{**} Résoudre dans $\mathcal{M}_3(\Rr)$ l'équation $X^2 = A$ où $A =\left( \begin{array}{ccc} 3&0&0\\ 8&4&0\\ 5&0&1 \end{array} \right)$. \finenonce{005652} \finexercice \exercice{5653, rouget, 2010/10/16} \enonce{005653}{**} Soit $A = \left( \begin{array}{ccc} 3&1&0\\ -4&-1&0\\ 4&8&-2 \end{array} \right)$. \begin{enumerate} \item Vérifier que $A$ n'est pas diagonalisable. \item Déterminer $\text{Ker}(A-I)^2$. \item Montrer que $A$ est semblable à une matrice de la forme $\left( \begin{array}{ccc} a&0&0\\ 0&b&c\\ 0&0&b \end{array} \right)$ \item Calculer $A^n$ pour $n$ entier naturel donné. \end{enumerate} \finenonce{005653} \finexercice \exercice{5664, rouget, 2010/10/16} \enonce{005664}{***} Soient $a$ et $b$ deux réels tels que $|a|\neq|b|$. Soit $A=\left(\begin{array}{cccc} 0&b&\ldots&b\\ a&\ddots&\ddots&\vdots\\ \vdots&\ddots&\ddots&b\\ a&\ldots&a&0 \end{array} \right)$. Montrer que les images dans le plan complexe des valeurs propres de $A$ sont cocycliques. (Indication : pour calculer $\chi_A$, considérer $f(x) =\left| \begin{array}{cccc} -X+x&b+x&\ldots&b+x\\ a+x&\ddots&\ddots&\vdots\\ \vdots&\ddots&\ddots&b+x\\ a+x&\ldots&a+x&-X+x \end{array} \right|$.) \finenonce{005664} \finexercice \exercice{5665, rouget, 2010/10/16} \enonce{005665}{***I Matrices stochastiques} Soit $A=(a_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant n}\in\mathcal{M}_n(\Rr)$ telle que $\forall(i,j)\in\llbracket1,n\rrbracket^2,\;a_{i,j}\in[0,1]$ et $\forall i\in\llbracket1,n\rrbracket$, $\sum_{j=1}^{n}a_{i,j}= 1$. \begin{enumerate} \item Montrer que $1$ est valeur propre de $A$. \item Soit $\lambda$ une valeur propre de $A$. \begin{enumerate} \item Montrer que $|\lambda|\leqslant 1$. \item Montrer qu'il existe un réel $\omega$ de $[0,1]$ tel que $|\lambda-\omega|\leqslant 1-\omega$. Conséquence géométrique ? \end{enumerate} \end{enumerate} \finenonce{005665} \finexercice \exercice{5668, rouget, 2010/10/16} \enonce{005668}{***I Déterminant circulant} \label{ex:rou18} \begin{enumerate} \item Soit $J_n=\left( \begin{array}{ccccc} 0&1&0&\ldots&0\\ \vdots&\ddots&\ddots&\ddots&\vdots\\ \vdots& & &\ddots&0\\ 0& & &\ddots&1\\ 1&0&\ldots&\ldots&0 \end{array} \right)$ (de format $n\geqslant 3$). Diagonaliser $J_n$. \item En déduire la valeur de $\left| \begin{array}{ccccc} a_0&a_1&\ldots&a_{n-2}&a_{n-1}\\ a_{n-1}&a_0&a_1& &a_{n-2}\\ \vdots& &\ddots&\ddots&\vdots\\ a_2& &\ddots&a_0&a_1\\ a_1&a_2&\ldots&a_{n-1}&a_0 \end{array} \right|$. \end{enumerate} \finenonce{005668} \finexercice \exercice{5669, rouget, 2010/10/16} \enonce{005669}{***I Matrices de permutations} Pour $\sigma\in S_n$, $n\geqslant 2$, on définit la matrice $P_\sigma$ par $P_\sigma=(\delta_{i,\sigma(j)})_{1\leqslant i,j\leqslant n}$. \begin{enumerate} \item Calculer $\text{det}(P_\sigma)$ pour tout $\sigma\in S_n$. \item \begin{enumerate} \item Montrer que $\forall(\sigma,\sigma')\in S_n^2$, $P_\sigma\times P_{\sigma'}=P_{\sigma\circ\sigma'}$. \item On pose $G=\{P_\sigma,\;\sigma\in S_n\}$. Montrer que $(G,\times)$ est un groupe isomorphe à $S_n$. \end{enumerate} \item Soit $A=(a_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant n}\in \mathcal{M}_n(\Cc)$. Calculer $AP_\sigma$. \item Trouver les valeurs propres d'une matrice de pemutation (on pourra utiliser le résultat hors programme : toute permutation se décompose de manière unique à l'ordre près des facteurs en produit de cycles à supports disjoints). \end{enumerate} \finenonce{005669} \finexercice \exercice{5671, rouget, 2010/10/16} \enonce{005671}{**} Trouver une matrice carrée $A$ vérifiant $A^4 - 3A^3 + A^2 - I = 0$. \finenonce{005671} \finexercice \exercice{5672, rouget, 2010/10/16} \enonce{005672}{**I} Calculer $\left| \begin{array}{cccc} a&b&\ldots&b\\ b&a&\ddots&\vdots\\ \vdots&\ddots&\ddots&b\\ b&\ldots&b&a \end{array} \right|$. \finenonce{005672} \finexercice \exercice{5676, rouget, 2010/10/16} \enonce{005676}{**I} Résoudre dans $\mathcal{M}_3(\Cc)$ l'équation $X^2=\left(\begin{array}{ccc} 0&1&0\\ 0&0&1\\ 0&0&0 \end{array} \right)$. \finenonce{005676} \finexercice \exercice{5680, rouget, 2010/10/16} \enonce{005680}{** (ESTP1994)} Soit $M_{a,b}=\left( \begin{array}{cccc} 1&1&0&0\\ 0&1&a&0\\ 0&0&1&b\\ 0&0&0&1 \end{array} \right)$. Peut-on trouver deux matrices distinctes semblables parmi les quatre matrices $M_{0,0}$, $M_{0,1}$, $M_{1,0}$ et $M_{1,1}$ ? \finenonce{005680} \finexercice \exercice{5684, rouget, 2010/10/16} \enonce{005684}{***} Résoudre dans $\mathcal{M}_3(\Cc)$ l'équation $X^2= \left( \begin{array}{ccc} 1&3&-7\\ 2&6&-14\\ 1&3&-7 \end{array} \right)$. \finenonce{005684} \finexercice \exercice{5685, rouget, 2010/10/16} \enonce{005685}{} Commutant de $\left( \begin{array}{ccc} 1&0&-1\\ 1&2&1\\ 2&2&3 \end{array} \right)$. \finenonce{005685} \finexercice \section{ 201.08 Polynôme annulateur } \exercice{1574, legall, 1998/09/01} \enonce{001574}{} Soit $ A\in M_3 (\R ) $ la matrice $ \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \cr 1 & 0 & 1 \cr 0 & 0 & 1\cr \end{pmatrix} .$ Calculer le polyn\^ome minimal de $ A .$ En d\'eduire $ A^{-1} ,$ $ A^{3} $ et $ A^{5} .$ \finenonce{001574} \finexercice \exercice{1575, legall, 1998/09/01} \enonce{001575}{} Soit $ P\in \C [X] $ tel que $ P(0)=0 $ et $ P'(0)\not = 0 .$ Soit $ E $ un $ \C $-espace vectoriel de dimension finie et $ f \in \mathcal{L} (E) $ telle que $ P(f)=0 .$ Montrer que $ \hbox{Ker}(f)=\hbox{Ker}(f^2) ;$ en d\'eduire $ E=\hbox{Ker}(f)\oplus \hbox{Im}(f).$ \finenonce{001575} \finexercice \exercice{1576, legall, 1998/09/01} \enonce{001576}{} Soit $ E $ un $ \mathbb{K} $-espace vectoriel de dimension finie $ n $ et $ f \in \mathcal{L} (E) $ tel que $ \hbox{rg}(f-id)=1 .$ On note $ H = \hbox{Ker}(f-id) .$ \begin{enumerate} \item Soit $ \{ e_1, \cdots , e_{n-1}\} $ une base de $ H $ et $ e_n \notin H .$ Montrer que $ \{ e_1, \ldots , e_{n}\} $ est une base de $ E $ et donner l'allure de la matrice de $ f $ dans cette base. \item Montrer que le polyn\^ome $ (X-1)(X-\hbox{det}(f)) $ annule $ f .$ Donner une condition n\'ec\'essaire et suffisante pour que $ f $ soit diagonalisable. \end{enumerate} \finenonce{001576} \finexercice \exercice{1577, barraud, 2003/09/01} \enonce{001577}{} Soit $E$ un espace vectoriel de dimension $n$, et $u$ un endomorphisme de $E$ nilpotent, c'est à dire tel que $\exists m\in\N, u^{m}=0$. Montrer que $u^{n}=0$ \finenonce{001577} \finexercice \exercice{1578, barraud, 2003/09/01} \enonce{001578}{} Déterminer toutes les matrices $A$ de $\mathcal{M}_{2,2}(\R)$ telles que $$ A^{2}-3A+2\mathrm{id}=0 $$ Même question pour $$ A^{3}-8A^{2}+21A-18\mathrm{id}=0 $$ \finenonce{001578} \finexercice \exercice{1579, barraud, 2003/09/01} \enonce{001579}{} \'Enoncer le théorème de Cayley-Hamilton. Le démontrer dans le cas particulier où le polynôme caractéristique est scindé à racines simples. \finenonce{001579} \finexercice \exercice{1580, barraud, 2003/09/01} \enonce{001580}{} \begin{enumerate} \item Réduire la matrice $$ A= \begin{pmatrix} 2& 0& 0\\ 3& -4& 3\\ 3& -6& 5 \end{pmatrix} $$ \item Donner un polynôme annulateur de $A$ de degré 2. \item En déduire qu'il existe des coefficients $a_{n}$ et $b_{n}$ tels que $A^{n}=a_{n}A+b_{n}$ et les calculer en fonction de $n$. \end{enumerate} \finenonce{001580} \finexercice \exercice{1581, bodin, 1999/11/01} \enonce{001581}{} Soit $A\in\mathcal{M}_2(\C)$ de trace non nulle. Montrer que toute matrice $M\in\mathcal{M}_2(\C)$ qui commute avec $A^2$ commute aussi avec $A$. (\emph{Indication :} utiliser Cayley-Hamilton.) \finenonce{001581} \finexercice \exercice{1582, ortiz, 1999/04/01} \enonce{001582}{} Que peut-on dire d'un endomorphisme d'un $K$-espace vectoriel de dimension finie annul\'e par les polyn\^omes $P=1-X^3$ et $Q=X^2-2X+1$? \finenonce{001582} \finexercice \exercice{1583, ortiz, 1999/04/01} \enonce{001583}{} Soient $E$ un $K$-espace vectoriel de dimension finie et $f\in\mathcal{L}(E).$ On suppose que le polyn\^ome minimal de $f$ est $P=(X-2)(X-1)^2.$ Quel est le polyn\^ome minimal de $f+\text{Id}_E$? \finenonce{001583} \finexercice \exercice{1584, ortiz, 1999/04/01} \enonce{001584}{} Soit $M\in\mathcal{M}_n(K)$ une matrice diagonale. Si $P\in K[X]$, calculer $P(M)$ et en d\'eduire le polyn\^ome minimal de $M.$ \finenonce{001584} \finexercice \exercice{1585, ortiz, 1999/04/01} \enonce{001585}{} En appliquant la m\'ethode utilis\'ee en cours pour d\'emontrer l'existence d'un polyn\^ome annulateur d'un endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension finie, d\'eterminer le polyn\^ome minimal de la matrice $B=\left(\begin{smallmatrix} 2&1\\-1&1\end{smallmatrix}\right)$. \finenonce{001585} \finexercice \exercice{1586, ortiz, 1999/04/01} \enonce{001586}{} Quel est le polyn\^ome minimal d'un endomorphisme d'une droite vectorielle ? \finenonce{001586} \finexercice \exercice{1587, ortiz, 1999/04/01} \enonce{001587}{} Soient $E$ un espace vectoriel de dimension $n\ge 2$ et $f$ un endomorphisme de $E$ de rang 1. Montrer que le polyn\^ome minimal de $f$ est de la forme $X(X-\lambda).$ \finenonce{001587} \finexercice \exercice{1588, ortiz, 1999/04/01} \enonce{001588}{} D\'eterminer les endomorphismes d'un $K$-espace vectoriel $E$ de dimension finie $n$ dont le polyn\^ome minimal est de degr\'e 1. \finenonce{001588} \finexercice \exercice{1589, ortiz, 1999/04/01} \enonce{001589}{} \begin{enumerate} \item Montrer que $P=(X-1)^2(X-2)$ est un polyn\^ome annulateur de la matrice $A=\left(\begin{smallmatrix} 1&0&0\\0&1&0\\0&0&2\end{smallmatrix}\right)$ et en d\'eduire le polyn\^ome minimal de la matrice $A$. \item Soit $B\in\mathcal{M}_2(\Cc)$. Calculer explicitement $B^2-\text{tr}(B)\,B+\det(B)I_2$. En d\'eduire le polyn\^ome minimal de la matrice $B=\left(\begin{smallmatrix} 3&1\\-1&1\end{smallmatrix}\right)$. \end{enumerate} \finenonce{001589} \finexercice \exercice{1590, ortiz, 1999/04/01} \enonce{001590}{} Soient $E$ un $K$-espace vectoriel de dimension finie, $f\in\mathcal{L}(E)$ et $P$ son polyn\^ome minimal. Montrer que $f$ est bijective si et seulement si $P(0)\not= 0.$ \finenonce{001590} \finexercice \exercice{1591, ortiz, 1999/04/01} \enonce{001591}{} Soit $f$ un endomorphisme d'un $\Rr$-espace vectoriel $E$ de dimension 3. Montrer que $f$ admet un plan stable (on discutera en fonction du caract\`ere trigonalisable de $f$). \finenonce{001591} \finexercice \exercice{1592, ortiz, 1999/04/01} \enonce{001592}{} Soit $f$ un endomorphisme d'un $K$-espace vectoriel $E$ de dimension finie tel que $${f^4=f^2+f.}$$ \begin{enumerate} \item Montrer que $\ker(f^3-f-\text{Id})\oplus \ker f=E.$ \item \begin{enumerate} \item Montrer que $\text{Im\,} f\subseteq \ker(f^3-f-\text{Id}).$ \item En d\'eduire que $\text{Im\,} f= \ker(f^3-f-\text{Id}).$ \end{enumerate} \end{enumerate} \finenonce{001592} \finexercice \exercice{1593, ortiz, 1999/04/01} \enonce{001593}{} D\'eterminer le polyn\^ome minimal de la matrice $A=\left(\begin{smallmatrix} 7&3&-4\\-6&-2&5\\4&2&-1\end{smallmatrix}\right).$ \finenonce{001593} \finexercice \exercice{1594, ortiz, 1999/04/01} \enonce{001594}{} Soient $J=\left(\begin{smallmatrix} 1&1\\1&1\end{smallmatrix}\right)$ et la matrice par blocs \`a coefficients r\'eels suivante $${M=\begin{pmatrix}O&\frac 12 J\\\frac 12 J&O\end{pmatrix}.}$$ \begin{enumerate} \item Calculer $M^2$ et $M^3$ et en d\'eduire que $M$ est diagonalisable. \item D\'eterminer le polyn\^ome caract\;eristique et le polyn\^ome minimal de $M$. \end{enumerate} \finenonce{001594} \finexercice \exercice{1595, gineste, 2001/11/01} \enonce{001595}{} On considére la matrice $$ A=\left[ \begin{array}{rrr}3&-2&-1\\ 2&-1&1\\ 6&3&-2 \end{array} \right].$$ Calculer son polynôme caractéristique, calculer $A^2$ et déduire de ces calculs et du théorème de Cayley-Hamilton l'inverse de $A.$ \finenonce{001595} \finexercice \exercice{1596, gineste, 2001/11/01} \enonce{001596}{} On se place dans $E=\C\,\,^4$ muni de sa base canonique $b=(e_1,e_2,e_3,e_4).$ On d\'esigne par $j$ l'endomorphisme de $E$ dont la matrice dans $b$ est la matrice suivante $$J=\left( \begin{array}{cccc} 0&1 &0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1\\ 1&0&0&0 \end{array} \right)\in M_4(\C).$$ \begin{enumerate} \item D\'eterminer l'image de $b$ par $j,$ $j^2,$ $j^3,$ et $j^4.$ \item En d\'eduire $J^2,$ $J^3$ et $J^4.$ \item D\'eterminer un polyn\^ome annulateur non nul de $J.$ \item Montrer que si $P\in\C[X]$ avec $\mathrm{deg}(P)\leq 3$ v\'erifie $P(J)=0$ alors $P=0$. \item En d\'eduire le polyn\^ome minimal de $J.$ \item Montrer que $J$ est diagonalisable. \item D\'eterminer les valeurs propres de $J.$ \end{enumerate} \finenonce{001596} \finexercice \exercice{2569, delaunay, 2009/05/19} \enonce{002569}{} Soit $A$ la matrice suivante $$A=\begin{pmatrix}0&1&1 \\ 1&0&1 \\ 1&1&0\end{pmatrix}$$ Calculer $A^2$ et v\'erifier que $A^2=A+2I_3$. En d\'eduire que $A$ est inversible et donner son inverse en fonction de $A$. \finenonce{002569} \finexercice \exercice{2588, delaunay, 2009/05/19} \enonce{002588}{} Soit $N$ une matrice nilpotente, il existe $q\in\N$ tel que $N^q=0$. Montrer que la matrice $I-N$ est inversible et exprimer son inverse en fonction de $N$. \finenonce{002588} \finexercice \exercice{3518, quercia, 2010/03/10} \enonce{003518}{\'Etude d'une matrice} Soit $A=\begin{pmatrix}a_1 &1 & &(0)\cr a_2 & &\ddots & \cr \vdots & & &1 \cr a_n &(0)& &0 \cr\end{pmatrix}$ où les $a_i$ sont des réels positifs ou nuls, avec $a_1a_n > 0$. \begin{enumerate} \item Quel est le polynôme caractérique de~$A$~? \item Montrer que $A$ admet une unique valeur propre $r>0$ et que l'on a~$r < 1 + \max(a_1,\dots,a_n)$. \item Soit $\lambda$ une valeur propre complexe de~$A$. Montrer que $|\lambda| \le r$ et $|\lambda|=r \Rightarrow \lambda=r$. \item Montrer qu'il existe un entier $k$ tel que $A^k$ a tous ses coefficients strictement positifs. \end{enumerate} \finenonce{003518} \finexercice\exercice{3541, quercia, 2010/03/10} \enonce{003541}{Matrice bitriangulaire} Donner une CNS sur $a,b\in\C$ pour que la matrice $M=\begin{pmatrix}0&&(a)\cr&\ddots\cr(b)&&0\cr\end{pmatrix}$ soit diagonalisable. \finenonce{003541} \finexercice \exercice{3542, quercia, 2010/03/10} \enonce{003542}{$A^2 = A$ et $tr(A) = 0$} Trouver les matrices $A \in \mathcal{M}_n(\R)$ telles que $A^2 = A$ et $\mathrm{tr}(A) = 0$. \finenonce{003542} \finexercice \exercice{3543, quercia, 2010/03/10} \enonce{003543}{Matexo} Soient $E$ un ev de dimension finie sur $\C$ et $u$ un endomorphisme de $E$. On suppose que $u^3 = u^2, u \ne \mathrm{id}, u^2 \ne 0, u^2 \ne u$. \begin{enumerate} \item Montrer qu'une valeur propre de $u$ ne peut être que $0$ ou $1$. \item Montrer que $1$ et $0$ sont effectivement valeurs propres de $u$. \item Montrer que u {\it n'est pas} diagonalisable. \item Montrer que $E = {\rm Im} (u^2) \oplus {\rm Ker} (u^2)$. \item Monter que $u|_F$ avec $F= {\rm Im} (u^2)$ est l'identité. \end{enumerate} \finenonce{003543} \finexercice \exercice{3544, quercia, 2010/03/10} \enonce{003544}{INT gestion 94} Soit $A=\left(\begin{smallmatrix}1&1&1&1\cr -1&1&-1&1\cr -1&1&1&-1\cr -1&-1&1&1\cr\end{smallmatrix}\right)$.\par \begin{enumerate} \item Calculer $\det A$. \item Calculer $(A-xI)(\,{}^t\!A-xI)$ et en déduire $\chi_A(x)$. \item Montrer que $A$ est $\C$-diagonalisable. \end{enumerate} \finenonce{003544} \finexercice \exercice{3545, quercia, 2010/03/10} \enonce{003545}{$X^nP(1/X)$} Soit $E = K_n[X]$ et $ u : E \to E, P \mapsto {X^nP(1/X).}$ \begin{enumerate} \item Déterminer $u\circ u$. En déduire que $u$ est diagonalisable. \item Donner une base de vecteurs propres de $u$. \end{enumerate} \finenonce{003545} \finexercice \exercice{3546, quercia, 2010/03/10} \enonce{003546}{TPE 93} Soit $A \in \mathcal{M}_n(\C)$ telle que $A = A^{-1}$. $A$ est-elle diagonalisable ? Calculer $e^A$. ($e^A = \sum_{k=0}^\infty \frac{A^k}{k!}$) \finenonce{003546} \finexercice \exercice{3547, quercia, 2010/03/10} \enonce{003547}{Ensi Physique 93} Soit $E$ un ev de dimension finie et $u \in \mathcal{L}(E)$ tel que $\mathrm{rg}(u)=1$. Montrer que : $$\Im u \subset \mathrm{Ker} u \Leftrightarrow u \text{ n'est pas diagonalisable.}$$ \finenonce{003547} \finexercice \exercice{3548, quercia, 2010/03/10} \enonce{003548}{$u^2$ diagonalisable} Soit $E$ un $\C$-ev de dimension finie et $u \in GL(E)$ tel que $u^2$ est diagonalisable. Montrer que $u$ est diagonalisable. \finenonce{003548} \finexercice \exercice{3549, quercia, 2010/03/10} \enonce{003549}{Ensi PC 1999} Soit $A\in\mathcal{M}_n(\C)$ inversible diagonalisable et $B\in \mathcal{M}_n(\C)$, $p\in\N^*$ tels que $B^p=A$. \begin{enumerate} \item Montrer que $B$ est diagonalisable. \item Si $A$ n'est pas inversible la conclusion subsiste-t-elle~? \end{enumerate} \finenonce{003549} \finexercice \exercice{3550, quercia, 2010/03/10} \enonce{003550}{Ensi P 90} Soit $E$ un espace vectoriel de dimension $n$ et $p \in \mathcal{L}(E)$ tel que $p^2$ est un projecteur. Quelles sont les valeurs propres éventuelles de $p$ ? Montrer que $p$ est diagonalisable si et seulement si $p^3=p$. \finenonce{003550} \finexercice \exercice{3551, quercia, 2010/03/10} \enonce{003551}{$A^3 = A + I$} Soit $A \in \mathcal{M}_n(\R)$ telle que $A^3 = A + I$. Montrer que $\det(A) > 0$. \finenonce{003551} \finexercice \exercice{3552, quercia, 2010/03/10} \enonce{003552}{Mines-Ponts PC 1999} Soit $A \in \mathcal{M}_n(\R)$ telle que $A^3 + A^2 + A = 0$. Montrer que $\mathrm{rg} A$ est pair. \finenonce{003552} \finexercice \exercice{3553, quercia, 2010/03/10} \enonce{003553}{Esem 91} Soit $A \in \mathcal{M}_n(\C)$ telle que $A^n = I$ et $(I,A,\dots,A^{n-1})$ est libre. Montrer qu'alors on a $\mathrm{tr}(A) = 0$. \finenonce{003553} \finexercice \exercice{3554, quercia, 2010/03/10} \enonce{003554}{$A^p = I$ et $\mathrm{spec}(A) \subset \R \Rightarrow A^2 = I$} Soit $A \in \mathcal{M}_n(\R)$. On suppose que les valeurs propres de $A$ sont réelles et qu'il existe $p \ge 1$ tel que $A^p = I$. Montrer que $A^2 = I$. \finenonce{003554} \finexercice \exercice{3555, quercia, 2010/03/10} \enonce{003555}{$P(u) = \sum P(\lambda_i) u_i$} Soit $E$ un $ K$-ev de dimension finie et $u \in \mathcal{L}(E)$. \begin{enumerate} \item On suppose $u$ diagonalisable et on note $\lambda_1,\dots,\lambda_p$ ses valeurs propres distinctes. \begin{enumerate} \item Montrer qu'il existe des endomorphismes $u_1,\dots,u_p$ tels que pour tout polynôme $P \in K[X]$, on ait :\par $P(u) = \sum_{i=1}^p P(\lambda_i) u_i$. \item Montrer qu'il existe un polynôme $P_i$ tel que $u_i = P_i(u)$. \end{enumerate} \item Réciproquement, soit $u,u_1,\dots,u_p\in\mathcal{L}(E)$ et $\lambda_1,\dots,\lambda_p\in K$ tels que pour tout $P\in K[X]$, $P(u) = \sum_{i=1}^p P(\lambda_i) u_i$. Montrer que $u$ est diagonalisable et $\mathrm{Sp}(u) \subset \{\lambda_1,\dots,\lambda_p\}$. \end{enumerate} \finenonce{003555} \finexercice \exercice{3556, quercia, 2010/03/10} \enonce{003556}{Mines PSI 1998} Soit $f$ un endomorphisme diagonalisable d'un ev~$E$ de dimension finie, $\lambda$ une valeur propre de~$f$ et $p_\lambda$ le projecteur sur le sous-espace propre associé parallèlement à la somme des autres sous-espaces propres. Montrer que $p_\lambda$ est un polynôme en~$f$. \finenonce{003556} \finexercice \exercice{3557, quercia, 2010/03/10} \enonce{003557}{Endomorphismes anticomutant (Centrale MP 2003)} Soit~$E$ un~$\C$-ev de dimension~$n\in\N^*$ et $u_1,\dots,u_p$ ($p\ge 2$) des endomorphismes de~$E$ vérifiant~: $$\forall\ k,\ u_k^2 = -\mathrm{id}_E, \quad\forall\ k\ne\ell,\ u_k\circ u_\ell = -u_\ell\circ u_k.$$ \begin{enumerate} \item Montrer que les~$u_k$ sont des automorphismes et qu'ils sont diagonalisables. \item Montrer que~$n$ est pair. \item Donner le spectre de chaque~$u_k$. \item Donner les ordres de multiplicité des valeurs propres des~$u_k$. \item Calculer~$\det(u_k)$. \end{enumerate} \finenonce{003557} \finexercice \exercice{3558, quercia, 2010/03/10} \enonce{003558}{Ensi PC 1999} Soit $E$ un ev de dimension finie et $u\in \mathcal{L}(E)$ tel que $u\circ u = 0$. \begin{enumerate} \item Quelle relation y a-t-il entre $\mathrm{Ker} u$ et $\Im u$~? Montrer que $2\mathrm{rg} u \le \dim E$. \item On suppose ici $\dim E = 4$ et $\mathrm{rg} u = 2$. Montrer qu'il existe une base $(\vec{e_1},\vec{e_2},\vec{e_3},\vec{e_4})$ de~$E$ telle que~: $u(\vec{e_1}) = \vec{e_2}$, $u(\vec{e_2}) = \vec{0}$, $u(\vec{e_3}) = \vec{e_4}$, $u(\vec{e_4}) = \vec{0}$. \item On suppose $\dim E = n$ et $\Im u = \mathrm{Ker} u$. Est-ce que $u$ est diagonalisable~? \end{enumerate} \finenonce{003558} \finexercice \exercice{3559, quercia, 2010/03/10} \enonce{003559}{Réduction de $M$ tq $M^3 = I$} Soit $M \in \mathcal{M}_{3}(\R)$ telle que $M \ne I$, et $M^3 = I$. \begin{enumerate} \item Quelles sont les valeurs propres complexes de $M$ ? (On vérifiera que ce sont effectivement des valeurs propres de $M$) \item Montrer que $M$ est semblable à $\begin{pmatrix} 1 &0 &0 \cr 0 &-1/2 &-\sqrt3/2 \cr 0 &\sqrt3/2 &-1/2 \cr \end{pmatrix}$. \end{enumerate} \finenonce{003559} \finexercice \exercice{3560, quercia, 2010/03/10} \enonce{003560}{Centrale PSI 1998} Soient $u,v,h$ trois endomorphismes de $\R^n$ tels que~: $$u\circ v = v\circ u,\quad u\circ h - h\circ u = -2u,\quad v\circ h - h\circ v = -2v.$$ \begin{enumerate} \item Cas particulier, $n=3$, $\text{Mat}(u) = \begin{pmatrix} 0&1&0\cr 0&0&1\cr 0&0&0\cr\end{pmatrix}$. Déterminer si $v$ et $h$ existent et si oui, les donner. \item Cas général. \begin{enumerate} \item Que peut-on dire de $\mathrm{tr}(u)$ et $\mathrm{tr}(v)$~? \item Montrer que $u$ et $v$ sont non inversibles. Montrer que $\mathrm{Ker} u$ et $\mathrm{Ker} v$ sont stables par~$h$. \item Déterminer $u^k\circ h - h\circ u^k$ pour $k\in\N$. Déterminer $P(u)\circ h - h \circ P(u)$ pour $P\in\R[X]$. \item Quel est le polynôme minimal de~$u$~? \end{enumerate} \end{enumerate} \finenonce{003560} \finexercice \exercice{3561, quercia, 2010/03/10} \enonce{003561}{Indépendance du polynôme minimal par rapport au corps} Soient $ K\subset L$ deux corps et $A\in \mathcal{M}_n(K)$. On note $\mu_ K(A)$ et $\mu_{L}(A)$ les polynômes minimaux de~$A$ en tant que matrice à coefficients dans $ K$ ou dans $L$. Montrer que ces polynômes sont égaux. \finenonce{003561} \finexercice \exercice{3562, quercia, 2010/03/10} \enonce{003562}{Polynôme minimal et caractéristique} Soit $A\in\mathcal{M}_n(K)$. Montrer que $\chi_A$ et $\mu_A$ ont les mêmes facteurs irréductibles. \finenonce{003562} \finexercice \exercice{3563, quercia, 2010/03/10} \enonce{003563}{X MP$^*$ 2004} Caractériser les polynômes $P$ tels que~: $\forall\ A\in\mathcal{M}_n(\C)$, $(P(A) = 0) \Rightarrow (\mathrm{tr}(A)\in\Z)$. \finenonce{003563} \finexercice \exercice{3564, quercia, 2010/03/10} \enonce{003564}{TPE MP 2005} Soient $A,B,C\in\mathcal{M}_n(\C)$ telles que $AC = CB$ et $\mathrm{rg}(C) = r$. Montrer que $A$ et $B$ ont au moins $r$ valeurs propres communes. \finenonce{003564} \finexercice \exercice{3565, quercia, 2010/03/10} \enonce{003565}{Polynôme minimal imposé, Centrale MP 2005} Le polyn{\^o}me $X^{4}+X^{3}+2X^{2}+X+1$ peut-il {\^e}tre le polyn{\^o}me minimal d'une matrice de $M_{5}(\R)$ ? \finenonce{003565} \finexercice \exercice{3566, quercia, 2010/03/10} \enonce{003566}{$\mathrm{Ker} u^p \oplus \Im u^p$, Polytechnique MP$^*$ 2006} Soit $E$ un $ K$-ev de dimension~$n$. Soit $u\in\mathcal{L}(E)$, $P$ son polynôme minimal et $p$ le plus petit exposant de~$X$ dans l'écriture de~$P$. \begin{enumerate} \item Si $p=0$, que dire de~$u$~? \item Si $p=1$, montrer que $E=\Im u \oplus \mathrm{Ker} u$. \item Dans le cas général, montrer que $E = \mathrm{Ker} u^p \oplus \Im u^p$. \end{enumerate} \finenonce{003566} \finexercice\exercice{5658, rouget, 2010/10/16} \enonce{005658}{****} Soit $A$ une matrice carrée de format $n$. Montrer que $A$ est nilpotente si et seulement si $\forall k\in\llbracket1,n\rrbracket$, $\text{Tr}(A^k) =0$. \finenonce{005658} \finexercice \exercice{5659, rouget, 2010/10/16} \enonce{005659}{*** I} \label{ex:rou9} Soient $f$ et $g$ deux endomorphismes d'un espace vectoriel de dimension finie vérifiant $fg - gf = f$. Montrer que $f$ est nilpotent. \finenonce{005659} \finexercice \section{ 201.99 Autre } \exercice{1699, bodin, 1999/11/01} \enonce{001699}{} Soit $u\in\mathcal{L}(\R^4)$ de matrice dans la base canonique : \[ A= \left( \begin{array}{cccc} 1 & -1 & 2 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 1 & 0 \end{array} \right). \] \begin{enumerate} \item D\'eterminer le polyn\^ome caract\'eristique $P_u$ de $u$. Trouver les valeurs propres et les sous-espaces caract\'eristiques $F_i$. \item Donner une base suivant laquelle la matrice de $u$ se d\'ecompose en deux blocs diagonaux. \item Donner les projections $p_i$ de $\R^4$ sur $F_i$. \end{enumerate} \finenonce{001699} \finexercice \exercice{1700, legall, 1998/09/01} \enonce{001700}{} Soit $ A\in M_3 (\R ) $ telle que $ A^3=-A $ et $ A \not = 0 .$ Montrer que $ A $ est semblable \`a $ \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \cr 0 & 0 & -1 \cr 0 & 1 & 0 \cr \end{pmatrix} .$ \finenonce{001700} \finexercice \exercice{1701, ortiz, 1999/04/01} \enonce{001701}{} Soient $n\in\Nn\setminus\left\{0\right\}$ et $f$ l'endomorphisme de l'espace vectoriel $\Rr^{2n}$ dont la matrice dans la base canonique est la matrice par blocs $M=\left(\begin{smallmatrix} I_n&I_n\\O_n&O_n\end{smallmatrix}\right)\in \mathcal{M}_{2n}(\Rr)$ . \begin{enumerate} \item D\'eterminer le polyn\^ome caract\'eristique de $M$. \item \begin{enumerate} \item D\'eterminer le noyau de $f$. \item Montrer que $f$ est diagonalisable. \end{enumerate} \end{enumerate} \finenonce{001701} \finexercice \exercice{1702, barraud, 2003/09/01} \enonce{001702}{} Soit $E$ un $\R$-espace vectoriel de dimension finie $n$, et $u$ un endomorphisme de $E$. Soit $x_{0}\in E\setminus\{0\}$. On note $x_{k}=u^{k}(x_{0})$ et $F$ le sous espace vectoriel engendré par la famille $\{x_{k}, k\in\N\}$, c'est à dire l'ensemble des combinaisons linéaires finies de vecteurs de ${x_{k}, k\in\N}$~: $$ F=\left\{x\in E\ /\ \exists N\in\N, \exists(\alpha_{0}\dots\alpha_{N})\in\R^{N+1},\ x=\sum_{i=0}^{N}\alpha_{i}x_{i}\right\} $$ \begin{enumerate} \item Montrer que $F$ est stable par $u$, c'est à dire que $\forall x\in F, u(x)\in F$. \item Montrer qu'il existe un entier $k\leq n$ tel que $(x_{0},x_{1},\dots,x_{k})$ soit libre et $(x_{0},x_{1},\dots,x_{k+1})$ soit liée. Montrer alors qu'il existe des scalaires $(a_{0},a_{1},\dots,a_{k})$ tels que $$ x_{k+1}=a_{0}x_{0}+a_{1}x_{1}+\dots+a_{k}x_{k} $$ \item\label{q:P0(u)x0=0} En déduire que le polynôme $P_{0}=X^{k+1}-\sum_{i=0}^{k}a_{i}X^{i}$ satisgfait $\big(P_{0}(u)\big)(x_{0})=0$. \item\label{q:x=P(u)x0} Montrer que pour tout $x$ de $F$, il existe un polynôme $P\in\R[X]$ tel que $x=\big(P(u)\big)(x_{0})$. \item A l'aide des questions (\ref{q:P0(u)x0=0}) et (\ref{q:x=P(u)x0}), montrer que $\forall x\in F, \exists R\in\R_{k}[X], x=\big(R(u)\big)(x_{0})$. {\it(on pourra effectuer la division eulidienne de $P$ par $P_{0}$)} \item En déduire que $(x_{0}\dots x_{k})$ est une base de $F$. \item Ecrire la matrice de la restriction $u_{|_{F}}$ de $u$ à $F$ dans cette base. Quel est le polynôme caractéristique de $\tilde{u}$~? \item Montrer qu'il existe une base $\mathcal{B}$ de $E$ dans la quelle $$ \mathrm{Mat}_{_{\mathcal{B}}}(u)= \begin{pmatrix} C_{1} &0 &\cdots&0\\ 0 &C_{2}& &\vdots\\ \vdots& &\ddots&0 \\ 0 &\cdots&0 &C_{r} \end{pmatrix} $$ où les matrices $C_{i}$ sont des matrices Compagnon. \end{enumerate} \finenonce{001702} \finexercice \exercice{3519, quercia, 2010/03/10} \enonce{003519}{$f \mapsto f(2x)$} Soit $E = \{ f : \R \to \R \text{ continues}$ tq $f(x)\to 0$ lorsque $x\to\pm\infty \}$, $\varphi : \R \to \R, x \mapsto {2x}$ et $u : E \to E, f \mapsto {f \circ \varphi.}$ Montrer que $u$ n'a pas de valeurs propres (si $u(f) = \lambda f$, étudier les limites de $f$ en $0$ ou $\pm\infty$). \finenonce{003519} \finexercice \exercice{3520, quercia, 2010/03/10} \enonce{003520}{Ensi Physique P 94} Soit $E$ le sous-espace vectoriel de $\mathcal{C}(\R^+,\R)$ des fonctions ayant une limite finie en $+\infty$. Soit $T \in \mathcal{L}(E)$ défini par $T(f)(x) = f(x+1).$ Trouver les valeurs propres de~$T$. \finenonce{003520} \finexercice \exercice{3521, quercia, 2010/03/10} \enonce{003521}{\'Equation intégrale} Soit $E = \mathcal{C}([0,+\infty[ \to\R)$ et $u : E \to E, f \mapsto {\tilde f}$ avec $\tilde f(x) = \frac1x \int_{t=0}^x f(t)\,d t$. \begin{enumerate} \item Montrer que $\tilde f$ peut être prolongée en une fonction continue sur $[0,+\infty[$. \item Chercher les valeurs propres et les vecteurs propres de $u$. \end{enumerate} \finenonce{003521} \finexercice \exercice{3522, quercia, 2010/03/10} \enonce{003522}{Endomorphisme sur les suites} Soit $E$ l'espace vectoriel des suites réelles $u=(u_n)_{n\ge 1}$ et $f$ l'endomorphisme de~$E$ défini par~: $$(f(u))_n = \frac{u_1+2u_2+\dots+nu_n}{n^2}.$$ Quelles sont les valeurs propres de~$f$~? \finenonce{003522} \finexercice \exercice{3523, quercia, 2010/03/10} \enonce{003523}{Opérateur intégral} Soit $E = \mathcal{C}([0,1],\R)$ et $f : E \to E, u {\tilde u}$ avec $\tilde u(x) = \int_{t=0}^1 \min(x,t)u(t)\,d t$. Chercher les valeurs propres et les vecteurs propres de $f$. \finenonce{003523} \finexercice\exercice{3579, quercia, 2010/03/10} \enonce{003579}{Somme de projecteurs} Soit $E$ un $ K$-ev de dimension finie et $u \in \mathcal{L}(E)$. Montrer que $u$ est diagonalisable si et seulement s'il existe des projecteurs $p_1,\dots,p_k \in \mathcal{L}(E)$ et des scalaires $\lambda_1,\dots,\lambda_k$ tels que : $\begin{cases} u = \lambda_1p_1 + \dots + \lambda_kp_k\cr \forall\ i\ne j,\ p_i\circ p_j = 0.\cr \end{cases}$ \finenonce{003579} \finexercice \exercice{3580, quercia, 2010/03/10} \enonce{003580}{$A^3$ est semblable à $A^4$} Quelles sont les matrices $A \in \mathcal{M}_{3}(\C)$ telles que $A^3$ est semblable à $A^4$ ? On étudiera séparément les cas : \begin{enumerate} \item $A$ a 3 valeurs propres distinctes. \item $A$ a 2 valeurs propres distinctes \item $A$ a une seule valeur propre. \end{enumerate} \finenonce{003580} \finexercice\exercice{3584, quercia, 2010/03/10} \enonce{003584}{$A$ et $2A$ sont semblables} Soit~$A\in\mathcal{M}_n(\C)$ nilpotente. Montrer que~$A$ et $2A$ sont semblables. \finenonce{003584} \finexercice \exercice{3597, quercia, 2010/03/10} \enonce{003597}{Matrice bloc} Soit $A \in \mathcal{M}_n(K)$ et $M = \begin{pmatrix} A &0 \cr A &A \cr\end{pmatrix} \in \mathcal{M}_{2N}(K)$. \begin{enumerate} \item Comparer les valeurs propres de $A$ et $M$. \item Soit $P \in K[X]$ et $Q = XP'$. Montrer que $P(M) = \begin{pmatrix} P(A) & 0 \cr Q(A) & P(A) \cr \end{pmatrix}$. \item A quelle condition sur $A$, $M$ est-elle diagonalisable ? \end{enumerate} \finenonce{003597} \finexercice \exercice{3598, quercia, 2010/03/10} \enonce{003598}{Ensi P 90} Soit $M \in \mathcal{M}_n(\C)$ diagonalisable. Soit $A = \begin{pmatrix}M&M\cr M&M\cr\end{pmatrix} \in \mathcal{M}_{2n}(\C)$. La matrice $A$ est-elle diagonalisable ? \finenonce{003598} \finexercice \exercice{3599, quercia, 2010/03/10} \enonce{003599}{Matrice bloc} Soit $A \in GL_n(\C)$ et $M = \begin{pmatrix} 0 &A \cr I &0 \cr \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_{2n}(\C)$. Montrer que $M$ est diagonalisable si et seulement si $A$ l'est. (Chercher les sous-espaces propres de $M$ en fonction de ceux de $A$) \finenonce{003599} \finexercice \exercice{3600, quercia, 2010/03/10} \enonce{003600}{Matrice bloc} Soit $M = \begin{pmatrix} A &B \cr C &D \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_n(K)$ diagonalisable avec $A$ carrée d'ordre $p$. Soit $\lambda$ une valeur propre de $M$ de multiplicité $m$. Montrer que si $p > n-m$, alors $\lambda$ est valeur propre de $A$. \finenonce{003600} \finexercice \exercice{3601, quercia, 2010/03/10} \enonce{003601}{Réduction par blocs (Centrale MP 2003)} Soit~$A\in\mathcal{M}_n(\R)$ et $B = \begin{pmatrix}0&A\cr A&2A\cr\end{pmatrix}\in\mathcal{M}_{2n}(\R)$. Déterminer $\mathrm{Spec}(B)$ et fonction de $\mathrm{Spec}(A)$. \finenonce{003601} \finexercice \exercice{3602, quercia, 2010/03/10} \enonce{003602}{ $A^m\to 0$ lorsque $m\to\infty$ (Mines MP 2003)} \smallskip Soit $A=\begin{pmatrix}a^2&ab&ab&b^2\cr ab&a^2&b^2&ab\cr ab&b^2&a^2&ab\cr b^2&ab&ab&a^2\cr\end{pmatrix}$. Représenter dans un plan l'ensemble des couples~$(a,b)$ tels que $A^m \to 0$ lorsque $m\to\infty-$. \finenonce{003602} \finexercice \exercice{3603, quercia, 2010/03/10} \enonce{003603}{Chimie P 1996} Soit $E$ un espace vectoriel réel de dimension~$n$ et $f$ un endomorphisme de~$E$. Est-il vrai que~: $f$ est diagonalisable $\Leftrightarrow$ $\mathrm{Ker} f + \Im f = E$~? \finenonce{003603} \finexercice \exercice{3604, quercia, 2010/03/10} \enonce{003604}{$u$ diagonalisable $ \Rightarrow Ker(u-\lambda\mathrm{id}) + Im(u-\lambda\mathrm{id})$ est directe} Soit $E$ un $ K$-ev de dimension finie et $u \in \mathcal{L}(E)$ diagonalisable. Pour $\lambda \in \text{spec}(u)$, on note $E_\lambda = \mathrm{Ker}(u-\lambda\mathrm{id})$ et $F_\lambda = \Im(u-\lambda\mathrm{id})$. Montrer que $E_\lambda \oplus F_\lambda = E$. \finenonce{003604} \finexercice \exercice{3605, quercia, 2010/03/10} \enonce{003605}{$\mathrm{Ker} f \oplus \Im f$} Soit $E$ un $ K$-ev de dimension finie et $f \in \mathcal{L}(E)$. On suppose qu'il existe $P\in K[X]$ tel que $P(f) = 0$ et $P'(0)\ne 0$. Montrer que $\mathrm{Ker} f \oplus \Im f = E$. \finenonce{003605} \finexercice \exercice{3606, quercia, 2010/03/10} \enonce{003606}{$rg(f-\lambda\mathrm{id})$} Soit $E$ un $\C$-ev de dimension finie et $f\in\mathcal{L}(E)$. Montrer que $f$ est diagonalisable si et seulement si pour tout $\lambda\in\C$ on a $rg(f-\lambda\mathrm{id}) = rg(f-\lambda\mathrm{id})^2$. \finenonce{003606} \finexercice \exercice{3607, quercia, 2010/03/10} \enonce{003607}{Nombre de noyaux et d'images} Soit $E$ un $ K$-ev de dimension finie et $u\in \mathcal{L}(E)$. Montrer que les ensembles ${\cal K} = \{\mathrm{Ker}(P(u)),\ P\in K[X]\}$ et ${\cal I} = \{\Im(P(u)),\ P\in K[X]\}$ sont finis et ont même cardinal. \finenonce{003607} \finexercice \exercice{3608, quercia, 2010/03/10} \enonce{003608}{$\dim(\mathrm{Ker} f^2) = 2\dim(\mathrm{Ker} f)$, Mines-Ponts MP 2005} Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie et $f\in\mathcal{L}(E)$ tel que $\dim(\mathrm{Ker} f^2) = 2\dim(\mathrm{Ker} f) = 2d$. Montrer que s'il existe $g\in\mathcal{L}(E)$ et $k\in\N^*$ tels que $g^k = f$ alors $k$ divise $d$. \finenonce{003608} \finexercice\exercice{5661, rouget, 2010/10/16} \enonce{005661}{***} Soit $E =SL_2(\Zz) =\{\text{matrices carrées de format}\;2\;\text{à coefficients dans}\;\Zz\;\text{et de déterminant}\;1\}$. \begin{enumerate} \item Montrer que $(E,\times)$ est un groupe \item Soit $A$ un élément de $E$ tel que $\exists p\in\Nn^*/\;A^p = I_2$. Montrer que $A^{12} = I_2$. \end{enumerate} \finenonce{005661} \finexercice \exercice{5662, rouget, 2010/10/16} \enonce{005662}{****} Montrer que toute matrice de trace nulle est semblable à une matrice de diagonale nulle. \finenonce{005662} \finexercice \exercice{5681, rouget, 2010/10/16} \enonce{005681}{****} Trouver $A$ dans $\mathcal{M}_n(\Rr)$ telle que la comatrice de $A$ soit $\left( \begin{array}{cccc} 1&0&\ldots&0\\ 2&\vdots& &\vdots\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ n&0&\ldots&0 \end{array} \right)$. \finenonce{005681} \finexercice \exercice{5687, rouget, 2010/10/16} \enonce{005687}{**I} Soit $A$ une matrice carrée réelle de format $n\geqslant 2$ vérifiant $A^3+A^2+A=0$. Montrer que le rang de $A$ est un entier pair. \finenonce{005687} \finexercice \section{ 202.01 Endomorphisme du plan } \exercice{1517, barraud, 2003/09/01} \enonce{001517}{} Dessiner l'allure du Shadock ci dessous après qu'il ait subi l'action de l'endomorphisme de $\R^{2}$ dont la matrice dans la base canonique est $$ A= \begin{pmatrix} 1/2 & 0\\ 0 & 2 \end{pmatrix} \quad B= \begin{pmatrix} 1 & 1/2\\ 0 & 1 \end{pmatrix} \quad C= \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix} \quad D= \begin{pmatrix} 1/2 &-\sqrt{3}/2\\ \sqrt{3}/2 & 1/2 \end{pmatrix} \quad E= \begin{pmatrix} 1 &-1\\ -1/2 & 3/2 \end{pmatrix} $$ Ecrire la matrice de la dernière transformation dans la base $((2,1),(-1,1))$. $$ \includegraphics{../images/img001517-1} $$ \finenonce{001517} \finexercice \exercice{1518, barraud, 2003/09/01} \enonce{001518}{} Retrouver la matrice (dans la base indiquée sur le premier dessin) de la transformation subie par chacun des Shadocks ci-dessous. $$ \includegraphics[height=8cm, keepaspectratio]{../images/img001518-1} $$ \finenonce{001518} \finexercice \exercice{2564, delaunay, 2009/05/19} \enonce{002564}{} Soit $E$ un espace vectoriel sur un corps $K$ ($K=\R$ ou $\C$), on appelle {\it projecteur} un endomorphisme $p$ de $E$ v\'erifiant $p\circ p=p$. Soit $p$ un projecteur. \begin{enumerate} \item Montrer que $\mathrm{\mathrm{Id}}_E-p$ est un projecteur, calculer $p\circ(\mathrm{Id}_E-p)$ et $(\mathrm{Id}_E-p)\circ p$. \item Montrer que pour tout $\vec x\in \Im p$, on a $p(\vec x)=\vec x$. \item En d\'eduire que $\Im p$ et $\ker p$ sont suppl\'ementaires. \item Montrer que le rang de $p$ est \'egal \`a la trace de $p$. (On rappelle que la trace de la matrice d'un endomorphisme ne d\'epend pas de la base dans laquelle on exprime cette matrice.) \end{enumerate} \finenonce{002564} \finexercice \section{ 202.02 Endomorphisme auto-adjoint } \exercice{1525, legall, 1998/09/01} \enonce{001525}{} Soit $ (E , \langle , \rangle ) $ un espace euclidien et $ p \in \mathcal{L} (E) $ un projecteur. Montrer que $ p $ est orthogonal si et seulement si $ p=p^* .$ \finenonce{001525} \finexercice \exercice{1526, legall, 1998/09/01} \enonce{001526}{} Soit $ (E , \langle , \rangle ) $ un espace euclidien et $ \varphi \in \mathcal{L} (E) .$ Soit $ F $ un sous-espace vectoriel de $ E .$ \begin{enumerate} \item Soit $ F $ un sous-espace vectoriel de $ E .$ Montrer que si $ \varphi = \varphi^* $ et $ \varphi (F)\subset F $ alors $ \varphi (F^\perp )\subset F^\perp .$ \item Soit $ F $ un espace propre de $ \varphi .$ Montrer que si $ \varphi \circ \varphi^* =\varphi ^*\circ \varphi $ alors $ \varphi (F^\perp )\subset F^\perp .$ \end{enumerate} \finenonce{001526} \finexercice \exercice{1527, legall, 1998/09/01} \enonce{001527}{} Soient $ A $ et $ B $ deux matrices sym\'etriques positives. Soit $ k \in \N ^* .$ \begin{enumerate} \item Montrer que tout vecteur propre de $ A^k $ est vecteur propre de $ A .$ \item Si $ A^k = B^k $ alors $ A = B .$ \item Que se passe-t-il sans l'hypoth\`ese $ A $ et $ B $ sym\'etriques positives ? \end{enumerate} \finenonce{001527} \finexercice \exercice{1528, legall, 1998/09/01} \enonce{001528}{} Soit $ (E , \langle , \rangle ) $ un espace euclidien et $ \varphi \in \mathcal{L} (E) .$ \begin{enumerate} \item Montrer que $ \varphi ^*\circ \varphi $ est sym\'etrique et que $ \hbox{Sp}( \varphi ^*\circ \varphi )\subset \R _+ . $ \item On note respectivement $ \lambda $ et $ \mu $ la plus grande et la plus petite valeur propre de $ \varphi ^*\circ \varphi .$ Montrer, pour tout $ x \in E ,$ l'in\'egalit\'e~: $$\mu \Vert x\Vert ^2\leq \Vert \varphi (x)\Vert ^2\leq \lambda \Vert x\Vert ^2 .$$ \end{enumerate} \finenonce{001528} \finexercice \exercice{1529, legall, 1998/09/01} \enonce{001529}{} Soit $ (E , \langle , \rangle ) $ un espace euclidien et $ \varphi \in \mathcal{L} (E) .$ \begin{enumerate} \item Montrer que si $ \varphi =\varphi ^* $ et $ \forall x \in E : \langle x , \varphi (x) \rangle =0 $ alors $ \varphi =0 .$ \item Montrer que les propri\'et\'es suivantes sont \'equivalentes~: \vskip1mm \hskip2mm {\em i)} $ \varphi \circ \varphi^* =\varphi ^*\circ \varphi .$ \vskip1mm \hskip2mm {\em ii)} $ \forall x,y\in E : \langle \varphi (x),\varphi (x) \rangle = \langle \varphi ^*(x), \varphi ^*(x)\rangle .$ \vskip1mm \hskip2mm {\em iii)} $ \forall x \in E : \Vert \varphi (x) \Vert = \Vert \varphi ^* (x)\Vert .$ \item Si $ \hbox{dim}(E)=2 $ et si $ \varphi \circ \varphi^* =\varphi ^*\circ \varphi $ alors la matrice de $ \varphi $ dans une base orthonorm\'ee est soit sym\'etrique, soit de la forme $ \begin{pmatrix} a & -b \cr b & a \cr \end{pmatrix} $ avec $ b \not =0 .$ \item On suppose d\'esormais que $ \hbox{dim}(E)=3 $ et que $ \varphi \circ \varphi^* =\varphi ^*\circ \varphi .$ \begin{enumerate} \item Montrer que $ \varphi $ a au moins une valeur propre r\'eelle qu'on notera $ \lambda .$ Montrer que $ E_{\lambda } $ et $ E_{\lambda }^\perp $ sont laiss\'es stables par $ \varphi $ et $ \varphi ^* .$ \item Montrer que si $ \varphi $ n'est pas sym\'etrique, il existe une base orthonorm\'ee $ \epsilon $ de $ E $ et deux r\'eels $ a $ et $ b $ (avec $ b\not =0 $) tels que $ \hbox{Mat}(\varphi ,\epsilon ) =\begin{pmatrix} a & -b & 0 \cr b & a & 0 \cr 0 & 0 & \lambda \cr \end{pmatrix} .$ \end{enumerate} \end{enumerate} \finenonce{001529} \finexercice \exercice{1530, legall, 1998/09/01} \enonce{001530}{} Soit $ E $ un espace euclidien de dimension $ 3 .$ \begin{enumerate} \item Soit $ \{ e_1, e_2 ,e_3 \} $ une base orthonorm\'ee de $ E .$ Soient $ x=x_1e_1+x_2e_2+x_3e_3 $ et $ y=y_1e_1+y_2e_2+y_3e_3 $ deux vecteurs de $ E .$ Calculer $ \langle x,y\rangle $ en fonction des coefficients $ x_i $ et $ y_i $ (pour $ i\in \{ 1,2,3\} $). \item On consid\`ere $ u \in \mathcal{L} (E) $ un endomorphisme auto-adjoint. On note $ \lambda $ sa plus petite valeur propre et $ \lambda ' $ sa plus grande valeur propre. Montrer que l'on a, pour tout $ x $ appartenant \`a $ E ,$ les in\'egalit\'es~: $$ \lambda \Vert x\Vert ^2 \leq \langle u(x),x\rangle \leq \lambda ' \Vert x\Vert ^2.$$ (On utilisera une base orthonorm\'ee convenable.) \item Soit $ v \in \mathcal{L} (E) $ un endomorphisme quelconque. Montrer que $ \displaystyle {u= \frac{1}{ 2} (v+v^*)} $ est auto-adjoint. Soient $ \mu $ une valeur propre de $ v ,$ $ \lambda $ la plus petite valeur propre de $ u $ et $ \lambda ' $ la plus grande valeur propre de $ u .$ Montrer que $ \lambda \leq \mu \leq \lambda ' .$ \end{enumerate} \finenonce{001530} \finexercice \exercice{1531, legall, 1998/09/01} \enonce{001531}{} \begin{enumerate} \item Soit $A =(a_{ij}) \in \textbf{M}_n(\R)$. Montrer que $S = {}^t\! A\cdot A$ est une matrice sym\'etrique dont tous les valeurs propres $\lambda_1, \dots, \lambda_n$ sont positives. D\'emontrer l'\'egalit\'e : $\sum_{i=1}^n \lambda_i = \sum_{1\leq i,j\leq n} a^2_{ij}$. \item Soit $S \in \textbf{M}_n(\R)$ une matrice sym\'etrique. Existe-t-il une matrice $A \in \textbf{M}_n(\R)$ telle que $S = {}^t\! A\cdot A$ ? Donner une condition n\'ecessaire et suffisante sur $S$ pour que $A$ soit inversible. Application \`a $S = \left(\begin{array}{cc}2&1\\ 1&2\end{array}\right)$. \end{enumerate} \finenonce{001531} \finexercice \exercice{1532, legall, 1998/09/01} \enonce{001532}{} Soit $(E,<,>)$ un espace euclidien de dimension $p$. A chaque $n$-uple $(x_1, \dots, x_n)$ d'\'el\'ements de $E$ on associe le nombre (d\'eterminant de Gram) $$G(x_1, \dots, x_n) = \textrm{d\'et}()_{i,j=1,\dots,n}.$$ \begin{enumerate} \item Montrer que $x_1, \dots, x_n$ sont li\'es si et seulement si $G(x_1, \dots, x_n) = 0$ ; montrer que si $x_1, \dots, x_n$ sont ind\'ependants, on a $G(x_1, \dots, x_n) > 0$. \item Montrer que, pour toute permutation $\sigma$ de $\{1, \dots, n\}$, on a $G(x_{\sigma(1)}, \dots, x_{\sigma(n)}) = G(x_1, \dots, x_n)$, et que la valeur de $G(x_1, \dots, x_n)$ n'est pas modifi\'ee si l'on rajoute \`a un des vecteurs, soit $x_i$, une combinaison lin\'eaire des autres vecteurs $x_j (j\not= i)$. Calculer $G({\alpha}x_1, \dots, x_n)$ (${\alpha} \in \R$). \item On suppose $x_1, \dots, x_n$ ind\'ependants. Soit $x \in E$, et soit $d(x,H)$ la distance de $x$ \`a l'hyperplan $H = \textrm{Vect}(x_1, \dots, x_n)$. Montrer que $\displaystyle{d(x,H)^2 = \frac{G(x, x_1, \dots, x_n)}{G(x_1, \dots, x_n)}}$. \end{enumerate} \finenonce{001532} \finexercice \exercice{1533, ortiz, 1999/04/01} \enonce{001533}{} Diagonaliser tr\`es rapidement la matrice $${M=\left(\begin{smallmatrix} 0&1&1\\1&0&1\\1&1&0\end{smallmatrix}\right)\in\mathcal{M}_3(\Rr).}$$ \finenonce{001533} \finexercice \exercice{1534, ortiz, 1999/04/01} \enonce{001534}{} Montrer que l'endomorphisme de l'espace vectoriel euclidien canonique $\Rr^3$ de matrice dans la base canonique de $\Rr^3$ $${ C=-\frac 19\left(\begin{smallmatrix} 4&1&-8\\ 7&4&4\\ 4&-8&1 \end{smallmatrix}\right) }$$ est un automorphisme orthogonal. \finenonce{001534} \finexercice \exercice{1535, ortiz, 1999/04/01} \enonce{001535}{} Soient $E$ un espace vectoriel euclidien et $f$ un endomorphisme de $E$ tel que $${\forall x\in E, {\|f(x)\|}\le {\|x\|}.}$$ \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Soit $x\in E$ tel que $f^{\ast}(x)=x$. Montrer que ${\|f(x)-x\|}^2={\|f(x)\|}^2-{\|x\|}^2.$ \item En d\'eduire que $\ker (f^{\ast}-\text{Id})\subseteq \ker (f-\text{Id}).$ \end{enumerate} \item Soit $h$ un endomorphisme de $E.$ Montrer que $(\text{Im\,} h)^{\perp}\subseteq \ker h^{\ast}.$ \item En d\'eduire que les sous-espace vectoriels $\ker (f-\text{Id})$ et $\text{Im\,} (f-\text{Id})$ sont suppl\'ementaires et orthogonaux. \end{enumerate} \finenonce{001535} \finexercice \exercice{1536, ortiz, 1999/04/01} \enonce{001536}{} Soit $\, E\, $ un espace euclidien de dimension $\, 3\, .$ \begin{enumerate} \item Soit $\, ( e_1, e_2 ,e_3 ) \, $ une base orthonorm\'ee de $\, E\, .$ Soient $\, x=x_1e_1+x_2e_2+x_3e_3\, $ et $\, y=y_1e_1+y_2e_2+y_3e_3\, $ deux vecteurs de $\, E\, .$ Calculer $\, \langle x,y\rangle \, $ en fonction des coefficients $\, x_i\, $ et $\, y_i\, $ (pour $\, i\in \{ 1,2,3\}\, $). \item On consid\`ere $\, u \in \mathcal{L} (E)\, $ un endomorphisme auto-adjoint. On note $\, \lambda _1\, $ sa plus petite valeur propre et $\, \lambda _2\, $ sa plus grande valeur propre. Montrer que l'on a, pour tout $\, x \, $ appartenant \`a $\, E\, $ les in\'egalit\'es~: $$ \lambda _1 \Vert x\Vert ^2 \leq \langle u(x),x\rangle \leq \lambda _2 \Vert x\Vert ^2.$$ (On utilisera une base orthonorm\'ee convenable.) \item Soit $\, v \in \mathcal{L} (E)\, $ un endomorphisme quelconque. Montrer que $\, \displaystyle {u= {\frac{1}{2}} (v+v^*)}\, $ est auto-adjoint. Soient $\, \lambda \, $ une valeur propre de $\, v\, ,$ $\, \lambda _1\, $ la plus petite valeur propre de $\, u\, $ et $\, \lambda _2\, $ la plus grande valeur propre de $\, u\, .$ Montrer que $\, \lambda _1 \leq \lambda \leq \lambda _2\, .$ \end{enumerate} \finenonce{001536} \finexercice \exercice{1537, ortiz, 1999/04/01} \enonce{001537}{} \begin{enumerate} \item Soient $E$ un espace vectoriel euclidien, $f\in\mathcal{L}(E)$ un endomorphisme sym\'etrique positif. Montrer que si $x\in E$ alors $(f(x)|x)\geq 0.$ \item Soit $M=\left( m_{i,j}\right) _{i,j}\in \mathcal{M}_n(\Rr)$ sym\'etrique positive. Montrer que pour tout $i=1,..,n,\;m_{ii}\geq 0$ et tr$% (M)\geq 0$ \item Soient $A,\;B\in \mathcal{M}_n(\Rr)$ sym\'etriques positives. \begin{enumerate} \item Montrer qu'il existe $D\in \mathcal{M}_n(\Rr)$ diagonale et $% M\in \mathcal{M}_n(\Rr)$ sym\'etrique positive telle que tr$(AB)=$tr$(DM).$ \item En d\'eduire que tr$(AB)\leq $tr$(A)$tr$(B).$ \end{enumerate} \end{enumerate} \finenonce{001537} \finexercice \exercice{1538, legall, 2003/10/01} \enonce{001538}{} Soit $ (E, \langle , \rangle ) $ un espace euclidien et $f \in \mathcal{L} (E) $ un endomorphisme autoadjoint. Montrer que les trois propri\'et\'es suivantes sont \'equivalentes~: \begin{enumerate} \item $\forall x \in E ,\langle f(x), x\rangle \geq 0$. \item Il existe $g\in \mathcal{L} (E)$ tel que $f=g^*g.$ \item Il existe $h\in \mathcal{L} (E)$ tel que $h=h^*$ et $f=h^2.$ \end{enumerate} \finenonce{001538} \finexercice \exercice{1539, legall, 2003/10/01} \enonce{001539}{} Soit $ (E, \langle , \rangle ) $ un espace euclidien et $ f \in \mathcal{L} (E) $ un endomorphisme. Montrer que $\Vert f\Vert =\Vert f^*\Vert $. \finenonce{001539} \finexercice \exercice{1540, legall, 2003/10/01} \enonce{001540}{} Soit $ (E, \langle , \rangle ) $ un espace euclidien (de dimension finie) et $ f \in \mathcal{L} (E) $ un endomorphisme autoadjoint. On note $X=\{ x\in E ; \langle f(x),x \rangle \leq 1\} .$ Montrer que $X$ est compacte si et seulement si toutes les valeurs propres de $f$ sont strictement positives. \finenonce{001540} \finexercice \section{ 202.03 Autres endomorphismes normaux } \exercice{1541, legall, 1998/09/01} \enonce{001541}{} Soit $ (E , \langle , \rangle ) $ un espace euclidien. Un endomorphisme $ \varphi \in \mathcal{L} (E) $ est dit antisym\'etrique lorsque $ \varphi ^*=-\varphi .$ \begin{enumerate} \item Montrer que $ \varphi $ est antisym\'etrique si et seulement si $ \forall x \in E , \langle \varphi (x),x \rangle =0 .$ (on pourra remarquer que $ \varphi +\varphi ^* $ est autoadjoint.) \item Montrer que si $ \varphi $ est antisym\'etrique alors $ (\hbox{Ker}(\varphi))^\perp =\hbox{Im} (\varphi ) $ puis que $ \hbox{rg}(\varphi ) $ est pair. \end{enumerate} \finenonce{001541} \finexercice \exercice{1542, legall, 1998/09/01} \enonce{001542}{} Soit $ (E , \langle , \rangle ) $ un espace euclidien. Soit $ \varphi \in \mathcal{L} (E) $ un endomorphisme antisym\'etrique c'est-\`a-dire tel que $ \varphi ^*=-\varphi .$ \begin{enumerate} \item Montrer que si $ \lambda \in Sp(\varphi ) $ alors $ \lambda =0 .$ Montrer que $ (\hbox{Ker}(\varphi ))^\perp $ est stable par $ \varphi .$ \item \begin{enumerate} \item Montrer que $ \varphi ^2 $ est sym\'etrique. \item Montrer que si $ x $ est un vecteur propre associ\'e \`a une valeur propre $ \mu $ de $ \varphi ^2 $ alors $ E_x= \hbox{vect}\{ x, \varphi (x)\} $ et $ E_x ^\perp $ sont laiss\'es stables par $ \varphi .$ \item Montrer que $ \mu >0 .$ D\'eterminer une base $ \{ e_1,e_2\} $ de $ E_x $ telle que la matrice de la restriction de $ \varphi $ ˆ $ E_x $ dans $ \{ e_1,e_2\} $ soit $ \begin{pmatrix} 0 & -\sqrt{\mu } \cr \sqrt{\mu } & 0 \cr \end{pmatrix}. $ \end{enumerate} \item Montrer que $ E $ est somme directe orthogonale de $ \hbox{Ker} (\varphi ) $ et de plans stables. \end{enumerate} \finenonce{001542} \finexercice \section{ 202.04 Endomorphisme orthogonal } \exercice{1543, barraud, 2003/09/01} \enonce{001543}{} Soit $f$ une transformation orthogonal d'un espace euclidien $E$. Montrer que $$ \mathrm{Ker}(f-\mathrm{id})=\mathrm{Im}(f-\mathrm{id})^{\bot} $$ En déduire que si $(f-\mathrm{id})^{2}=0$, alors $f=\mathrm{id}$. \finenonce{001543} \finexercice \exercice{1544, barraud, 2003/09/01} \enonce{001544}{} Déterminer la nature des transformations de $\R^{3}$ dont les matrices dans la base canonique sont les suivantes : $$ A=\frac{1}{3} \begin{pmatrix} 1 & -2 & -2 \\ -2 & 1 & -2 \\ 2 & 2 & -1 \end{pmatrix} \qquad B=\frac{1}{3} \begin{pmatrix} 2 & 2 & -1 \\ -1 & 2 & 2 \\ 2 & -1 & 2 \end{pmatrix} \qquad C= \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ -1 & 0 & 0 \end{pmatrix} $$ \finenonce{001544} \finexercice \exercice{1545, barraud, 2003/09/01} \enonce{001545}{} Diagonaliser dans une base orthonormale (pour le produit scalaire canonique de $\R^{3}$) la matrice suivante : $$ A= \begin{pmatrix} 5 & -1 & 2 \\ -1 & 5 & 2 \\ 2 & 2 & 2 \end{pmatrix} $$ Interpréter géométriquement la transformation de $\R^{3}$ représentée par cette matrice. \finenonce{001545} \finexercice \exercice{1546, barraud, 2003/09/01} \enonce{001546}{} Diagonaliser les matrices suivantes dans des bases orthonormées~: $$ A= \begin{pmatrix} 4&i&-i\\ -i&4&1\\ i &1&4 \end{pmatrix} \qquad B= \begin{pmatrix} 1&i\sqrt{2}&0\\ -i\sqrt{2}&1&-i\sqrt{2}\\ 0 &i\sqrt{2}&1 \end{pmatrix} \qquad C= \begin{pmatrix} -1& 0&-3i& 0\\ 0& 1& 0& 3i\\ 3i& 0& -1& 0\\ 0&-3i& 0& 1\\ \end{pmatrix} $$ \finenonce{001546} \finexercice \exercice{1547, barraud, 2003/09/01} \enonce{001547}{} Soit $A=(a_{ij})_{\substack{1\leq i\leq n\\1\leq j\leq n}}$ une matrice symétrique réelle. Montrer que ses valeurs propres $\lambda_{1},\ldots,\lambda_{n}$ vérifient $$ \sum_{i=1}^{n}{\lambda_{i}}=\sum_{i=1}^{n}{a_{i,j}^{2}} $$ \finenonce{001547} \finexercice \exercice{1548, barraud, 2003/09/01} \enonce{001548}{} Soit $\mathcal{B}=(e_{1},\ldots,e_{n})$ une base orthogonal d'un espace euclidien $E$. On dit qu'un endomorphisme $f$ de $E$ conserve l'orthogonalité de $\mathcal{B}$ si et seulement si $(f(e_{1}),\ldots,f(e_{n}))$ est une famille orthogonale. Montrer que $f$ conserve l'orthogonalité de $\mathcal{B}$ si et seulement si $\mathcal{B}$ est une base de vecteurs propres de ${}^t{f}\,f$. Montrer que pour tout endomorphisme $f$ de $E$, il existe une base orthogonale dont $f$ conserve l'orthogonalité. \finenonce{001548} \finexercice \exercice{1549, barraud, 2003/09/01} \enonce{001549}{Décomposition polaire} \begin{enumerate} \item Soit $r$ un endomorphisme symétrique d'un espace euclidien $E$. On dit que $r$ est positif, si toutes ses valeurs propres sont positives. Montrer que si $r$ est défini positif, il existe un et un seul endomorphisme symétrique $s$ positif tel que $s^{2}=r$. On appelle $s$ racine carrée positive de $r$. On dit que $r$ est défini positif si et seulement si toutes ses racines sont strictement positives. Montrer que si $r$ est défini positif, alors sa racine positive aussi. \item Soit $f$ un endomorphisme de $E$. Montrer que ${}^t{f}f$ est symétrique et positif. Montrer que si en plus $f$ est bijective, ${}^t{f}f$ est défini positif. \item On suppose maintenant que $f$ est une bijection. Soit $s$ la racine carrée positive de ${}^t{f}f$. Montrer que $u=f\circ s^{-1}$ est une transformation orthogonale. En déduire que tout endomorphisme bijectif de $E$ peut s mettre sous la forme : $$ f=u\circ s $$ où $u$ et une transformation orthogonale, et $s$ est symétrique défini positif. Montrer que cette décomposition, appelée décomposition polaire de $f$ est unique. \item Que se passe-t-il si $f$ n'est pas bijective ? \end{enumerate} \finenonce{001549} \finexercice \exercice{1550, barraud, 2003/09/01} \enonce{001550}{} Dans l'espace vectoriel $\R^{4}$ muni de son produit scalaire canonique, on considère l'endomorphisme $f$ dont la matrice dans la base canonique est : $$ A =\frac{1}{7} \begin{pmatrix} -1 & -4 & 4 & -4 \\ -4 & 5 & 2 & -2 \\ 4 & 2 & 5 & 2 \\ -4 & -2 & 2 & 5 \end{pmatrix} \rlap{\qquad {(\it attention au $\frac{1}{7}$...)}} $$ \begin{enumerate} \item Sans calculs, dire pourquoi $f$ est diagonalisable dans une base orthonormée. \item Montrer que $f$ est orthogonal. En déduire les seules valeurs propres possibles pour $f$. \item Sans calculer le polynôme caractéristique de $f$, déterminer à l'aide de la trace l'ordre de multiplicité des valeurs propres de $f$. En déduire le polynôme caractéristique de $f$. \item Déterminer l'espace propre $E_{1}$ associé à la valeur propre 1. En donner une base, puis lui appliquer le procédé de Schmidt pour obtenir une base orthonormée de $E_{1}.$ \item Montrer que l'espace propre $E_{-1}$ associé à la valeur propre -1 satisfait $E_{-1}=(E_{1})^{\bot}$. En utilisant l'équation caractérisant $E_{1}$, en déduire un vecteur générateur de $E_{-1}$. \item Donner une base orthonormée dans laquelle la matrice de $f$ est diagonale. Donner une interprétation géométrique de $f$. \end{enumerate} \finenonce{001550} \finexercice \exercice{1551, barraud, 2003/09/01} \enonce{001551}{} \noindent\textbf{A --- } Soit $E$ un espace vectoriel et $u$ et $v$ deux endomorphismes de $E$ diagonalisables qui commutent (c'est à dire qui satisfont $u\circ v=v\circ u$). On note $\lambda_{1}...\lambda_{k}$les valeurs propres de $u$ et $E_{1}...E_{k}$ les espaces propres associés. \begin{enumerate} \item Montrer que $v(E_{i})\subset E_{i}$. \item On note $v_{i}=v_{|_{E_{i}}}$ la restriction de $v$ à $E_{i}$. Soit $P\in\C[X]$, montrer que $P(v_{i})=P(v)_{|_{E_{i}}}$. \item En déduire que $v_{i}$ est diagonalisable. Soit $B_{i}$ une base de $E_{i}$ formée de vecteurs propres de $v_{i}$. Montrer que $B=\bigcup\limits_{i=1}^{k}B_{i}$ est une base de $E$ formée de vecteurs propres à la fois pour $u$ et pour $v$. \item En déduire que $u$ et $v$ sont diagonalisables dans une même base. Montrer que $u-v$ est diagonalisable. \end{enumerate} \medskip \noindent \textbf{B --- \it Application~:} On considère maintenant une matrice $A\in M_{n,n}(\R)$, et on lui associe l'endomorphisme $w_{A}\in\mathrm{End}(M_{n,n}(\R))$ suivant~: $$ w: \begin{array}{ccc} \mathcal{M}_{n,n}(\R) & \rightarrow & \mathcal{M}_{n,n}(\R)\\ M &\mapsto & AM-MA \end{array} $$ Le but de l'exercice est de montrer que si $A$ est diagonalisable, $w_{A}$ l'est aussi. On note $$ u_{A}: \begin{array}{ccc} \mathcal{M}_{n,n}(\R) & \rightarrow & \mathcal{M}_{n,n}(\R)\\ M &\mapsto & AM \end{array} \qquad\text{ et }\qquad v_{A}: \begin{array}{ccc} \mathcal{M}_{n,n}(\R) & \rightarrow & \mathcal{M}_{n,n}(\R)\\ M &\mapsto & MA \end{array} $$ \begin{enumerate} \item Montrer que $\forall k\in\N, (u_{A})^{k}=u_{A^{k}}$. En déduire que $\forall P\in\C[X], P(u_{A})=u_{P(A)}$, puis que tout polynôme annulateur de $A$ est un polynôme annulateur de $u_{A}$. \item Montrer que $$ A \text{ diagonalisable }\Rightarrow u_{A}\text{ diagonalisable} $$ On admet sans démonstration que le même résultat est vrai pour $v_{A}$~: $$ A \text{ diagonalisable }\Rightarrow v_{A}\text{ diagonalisable} $$ \item Montrer que $u_{A}\circ v_{A}=v_{A}\circ u_{A}$. \item En déduire que $$ A \text{ diagonalisable }\Rightarrow w_{A}\text{ diagonalisable} $$ \end{enumerate} \finenonce{001551} \finexercice \exercice{1552, barraud, 2003/09/01} \enonce{001552}{} Dans un espace euclidien $(E,<\cdot ,\cdot>)$, on considère un vecteur $v$ non nul, un scalaire $\lambda$ et l'endomorphisme~: $$ u: \begin{array}{ccl} E & \rightarrow &E \\ x &\mapsto &x+\lambda v \end{array} $$ \begin{enumerate} \item Pour $x\in E$, calculer $\Vert u(x)\Vert^{2}$. \item Donner une condition nécessaire et suffisante sur $\lambda$ et $v$ pour que $u$ soit une transformation orthogonale. \item Lorsque $u$ est orthogonale, dire a priori quelles sont les valeurs propres possibles de $u$, puis dire si elles sont effectivement valeur propre en étudiant les espaces propres associés. \item Lorsque $u$ est orthogonale, donner une interprétation géométrique de $u$. \end{enumerate} \finenonce{001552} \finexercice \exercice{1553, barraud, 2003/09/01} \enonce{001553}{} On considère un espace euclidien $(E,<>)$. On dit qu'un endomorphisme $u$ de $E$ est une similitude de $E$ si et seulement si il existe un réel $\lambda>0$ tel que $$ u^{*}u=\lambda\mathrm{id} $$ Montrer que les trois assertions suivantes sont équivalentes : \begin{enumerate} \item[\it(i)] $u$ est une similitude \item[\it(ii)] $u$ est colinéaire à une transformation orthogonale, c'est à dire $$ \exists\alpha\in\R\setminus\{0\},\ \exists v\in O(E)\ /\ u=\alpha v $$ \item[\it(iii)] $u$ conserve l'orthogonalité, c'est à dire : $$ \forall(x,y)\in E^{2}, =0\Rightarrow =0 $$ {\it Pour (i)$\Leftrightarrow$(ii), on pourra commencer par montrer que (ii)$\Rightarrow$(i). Pour (i)$\Rightarrow$(iii), on commencera par montrer que $x$ et $u^{*}u(x)$ sont toujours colinéaires, c'est à dire que $$\forall x\in E\exists\lambda_{x}/u^{*}u(x)=\lambda_{x}x$$ puis on montrera que $\lambda_{x}$ est indépendant de $x$.} \end{enumerate} \finenonce{001553} \finexercice \exercice{1554, barraud, 2003/09/01} \enonce{001554}{} Dans un espace euclidien $E$, on considère un vecteur unitaire $a$, et à un réel $k\neq -1$ on associe l'endomorphisme $u_{k}$ de $E$ défini par~: $$ u_{k}(x)=ka + x $$ \begin{enumerate} \item Montrer que $u_{k}$ est un isomorphisme. Déterminer $u_{k}^{-1}$. \emph{(on pourra commencer par calculer $$)} \item Rappeler la caractérisation de l'adjoint d'un endomorphisme, et montrer que $u$ est auto adjoint. \item Pour quelles valeurs de $k$ $u$ est-il orthogonal~? Interpréter alors géométriquement cette transformation. \item Déterminer les valeurs propres et vecteurs propres de $u_{k}$. \end{enumerate} \finenonce{001554} \finexercice \exercice{1555, ortiz, 1999/04/01} \enonce{001555}{} \begin{enumerate} \item Soient $E$ un espace vectoriel euclidien, $f$ un endomorphisme de $E$ et $A=\left(a_{ij}\right)_{1\le i,j\le n}\in\mathcal{M}_n(\Rr)$ la matrice de $f$ dans une base orthonormale donn\'ee $\mathcal{B}=(e_1,...,e_n)$ de $E$. Pour $i,j\in\left\{1,...,n\right\}$, exprimer $a_{ij}$ en fonction de $f$ et des vecteurs $e_i$ et $e_j$. \item Soient $A=\left(a_{ij}\right)_{1\le i,j\le n}\in\mathcal{O}_n(\Rr)$ et $S=\sum_{1\le i,j\le n}a_{ij}$. \begin{enumerate} \item Montrer qu'il existe $u\in E$ tel que $S=(u\vert f(u))$. \item En d\'eduire que $|S|\le n$. \end{enumerate} \end{enumerate} \finenonce{001555} \finexercice \exercice{1556, ortiz, 1999/04/01} \enonce{001556}{} Soient $A=\left(a_{ij}\right)_{1\le i,j\le n}\in\mathcal{O}_n(\Rr)$ et $A_{ij}$ le cofacteur $(i,j)$ de $A$. Montrer que $\det A>0$ si et seulement si $a_{ij}$ et $A_{ij}$ sont de m\^eme signe. \finenonce{001556} \finexercice \exercice{1557, ortiz, 1999/04/01} \enonce{001557}{} Que peut-on dire d'une matrice carr\'ee r\'eelle \`a la fois sym\'etrique et orthogonale ? D\'eterminer la nature et les \'el\'ements caract\'eristiques de l'endomorphisme de l'espace vectoriel euclidien canonique $\Rr^3$ de matrice $ A=\frac {1}{7}\left(\begin{smallmatrix} -2&6&-3\\ 6&3&2\\ -3&2&6 \end{smallmatrix}\right)$ dans la base canonique de $\Rr^3.$ \finenonce{001557} \finexercice \exercice{1558, ortiz, 1999/04/01} \enonce{001558}{} Quelles sont les isom\'etries vectorielles d'un espace vectoriel euclidien qui sont diagonalisables. \finenonce{001558} \finexercice \exercice{1559, ortiz, 1999/04/01} \enonce{001559}{} Soient $E$ un espace vectoriel euclidien et $f$ un endomorphisme de $E$ tel que \begin{center}$\forall x\in E, \|{f(x)}\|\le \|{x}\|.$\end{center} \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Soit $x\in E$ tel que $f^{\ast}(x)=x$. Montrer que $\|{f(x)-x}\|^2=\|{f(x)}\|^2-\|{x}\|^2.$ \item En d\'eduire que $\ker (f^{\ast}-\text{Id})\subseteq \ker (f-\text{Id}).$ \end{enumerate} \item Soit $h$ un endomorphisme de $E.$ Montrer que $(\text{Im\,} h)^{\perp}\subseteq \ker h^{\ast}.$ \item En d\'eduire que les sous-espace vectoriels $\ker (f-\text{Id})$ et $\text{Im\,} (f-\text{Id})$ sont suppl\'ementaires et orthogonaux. \end{enumerate} \finenonce{001559} \finexercice \exercice{1560, ortiz, 1999/04/01} \enonce{001560}{} D\'eterminer une matrice diagonale $D\in\mathcal{M}_2(\Rr)$ et une matrice orthogonale $U\in\mathcal{O}_2(\Rr)$ telles que $UDU^{-1}=\left( \begin{smallmatrix} 1&\frac 12 \\ \frac 12&1 \end{smallmatrix}\right).$ \finenonce{001560} \finexercice \exercice{1561, legall, 1998/09/01} \enonce{001561}{} Soit $ (E , \langle , \rangle ) $ un espace euclidien et $ u \in \mathcal{L} (E) .$ Montrer que les propri\'et\'es suivantes sont \'equivalentes~: \vskip1mm \hskip1mm {\em i)} $ u^*=u^{-1} .$ \vskip1mm \hskip1mm {\em ii)} $ \forall x \in E , \Vert u(x)\Vert=\Vert x\Vert .$ \vskip1mm \hskip1mm {\em iii)} $ \forall x ,y \in E , \langle u(x), u(y)\rangle =\langle x,y\rangle .$ \vskip1mm \hskip1mm {\em iv)} L'image par $ u $ d'une base orthonorm\'ee de $ E $ est une base orthonorm\'ee de $ E .$ \vskip1mm \hskip1mm {\em v)} L'image par $ u $ de toute base orthonorm\'ee de $ E $ est une base orthonorm\'ee de $ E .$ \finenonce{001561} \finexercice \exercice{1562, legall, 1998/09/01} \enonce{001562}{} Soit $ (E , \langle , \rangle ) $ un espace euclidien et $ \varphi \in \mathcal{O} (E) .$ Soit $ F $ un sous-espace vectoriel de $ E .$ Montrer que si $ \varphi (F)\subset F $ alors $ \varphi (F^\perp )\subset F^\perp .$ A-t-on \'egalit\'e~? \finenonce{001562} \finexercice \exercice{1563, legall, 1998/09/01} \enonce{001563}{} Soit $ (E , \langle , \rangle ) $ un espace euclidien de dimension $ 3 $ et $ u\in \mathcal{O} ^-(E) .$ On pose $ F=\hbox{Ker}(u+id) .$ \begin{enumerate} \item Montrer que $ F\not = \{ 0\} .$ Montrer que $ F $ et $ f^\perp $ sont stables par $ u .$ Pour quelle raison $ \hbox{dim} (F)\not = 2 ?$ \item On suppose $ E\not = F .$ Montrer que la restriction de $ u $ \`a $F^\perp$ est une rotation. \item En d\'eduire qu'il existe $ \theta \in \R $ et une base $ \epsilon$ de $ E $ tels que~: $$ \hbox{Mat} (u, \epsilon )=\begin{pmatrix} \cos (\theta ) & \sin (\theta ) & 0 \cr -\sin (\theta ) & \cos (\theta ) & 0 \cr 0 & 0 & -1 \cr \end{pmatrix} .$$ \end{enumerate} \finenonce{001563} \finexercice \exercice{1564, legall, 1998/09/01} \enonce{001564}{} Soit $ (E , \langle , \rangle ) $ un espace euclidien de dimension $ 4 $ et $ \epsilon =\{ e_1, \cdots , e_4\} $ une base orthonorm\'ee de $ E .$ Soit $ A $ la matrice $ \displaystyle{ A=\frac{1}{ 4} \begin{pmatrix} 0 & -2 \sqrt{2} & 2 \sqrt2 & 0 \cr 2 \sqrt{2} & 1 & 1 & -\sqrt {6} \cr -2 \sqrt{2} & 1 & 1 & \sqrt {6} \cr 0 & \sqrt {6} & \sqrt {6} & 2 \cr \end{pmatrix} } $ et $ u \in \mathcal{L} (E) $ l'endomorphisme d\'etermin\'e par $ \hbox{Mat}(u, \epsilon )=A .$ \begin{enumerate} \item Montrer que $ u \in \mathcal{O} ^+(E) .$ \item Montrer que l'espace vectoriel $ F $ engendr\'e par $ e_1 $ et $ u(e_1) $ est stable par $ u .$ Montrer que la restriction de $ u $ \`a $ F $ est une rotation. \item Montrer que $ F^\perp $ est stable par $ u $ et est engendr\'e par $ e_4 $ et $ u(e_4) .$ La restriction de $ u $ \`a $ F^\perp $ est-elle une rotation~? \end{enumerate} \finenonce{001564} \finexercice \exercice{1565, legall, 1998/09/01} \enonce{001565}{} Soit $ A=(a_{i,j})\in \mathcal{O}(n,\R) .$ Montrer pour tout $ j \in \{ 1, \cdots , n\} $ l'\'egalit\'e~: $ \displaystyle{ \sum _{i=1}^n a_{i,j}^2=1 .}$ En d\'eduire que si $ A $ est triangulaire sup\'erieure elle est diagonale. \finenonce{001565} \finexercice \exercice{1566, legall, 1998/09/01} \enonce{001566}{} Soit $ (E , \langle , \rangle ) $ un espace euclidien et $ u \in \mathcal{O} (E) .$ On pose $ v =id-u .$ \begin{enumerate} \item Montrer que $ \hbox{Ker}(v)=\hbox{Im} (v)^\perp .$ \item Montrer que $ \displaystyle{ \lim _{n \rightarrow \infty }\frac{1}{ n} \sum _{p=0}^{n-1}u^p (x)} $ est la projet\'e orthogonal de $ x $ sur $ \hbox{Ker}(v) .$ \end{enumerate} \finenonce{001566} \finexercice \exercice{1567, legall, 1998/09/01} \enonce{001567}{} Soit $ (E , \langle , \rangle ) $ un espace euclidien et $ s \in \mathcal{L} (E) $ telle que $ s^2=id .$ \begin{enumerate} \item Montrer que $ E=\hbox{Ker}(s-Id)\oplus \hbox{Ker}(s+Id) .$ \item Montrer que les propri\'et\'es suivantes sont \'equivalentes~: \vskip1mm \hskip1mm {\em i)} $ s \in \mathcal{O} (E) .$ \vskip1mm \hskip1mm {\em ii)} $ \hbox{Ker}(s-Id) \perp \hbox{Ker}(s+Id) .$ \vskip1mm \hskip1mm {\em iii)} $ s=s^* .$ \item On note d\'esormais $ s_F $ l'unique sym\'etrie $ s \in \mathcal{O} (E) $ telle que $ F=\hbox{Ker}(s+Id) .$ Montrer que pour tout $ u\in \mathcal{O} (E) $ on a~: $ us_Fu^{-1}=s_{u(F)} .$ \item Montrer que si $ f $ est une application de $ E $ dans lui-m\^eme laissant stables toutes les droites vectorielles (c'est \`a dire que pour tout $ x\in E $ il existe $ \lambda _x \in \R $ tel que $ f(x)=\lambda _x x $) alors $ f $ est lin\'eaire. \item En d\'eduire que $ Z(\mathcal{O} (E))=\{ id, -id\} $ et que si $ n\geq 3 $ alors $ Z(\mathcal{O} ^+ (E))=\{ id, -id\} \cap \mathcal{O} ^+(E) .$ (on pourra appliquer 3.) dans le cas o\`u $ F $ est une droite ou un plan.) \item Que se passe-t-il lorsque $ n=1 $ et $ n=2 ?$ \end{enumerate} \finenonce{001567} \finexercice \exercice{1568, ridde, 1999/11/01} \enonce{001568}{} Soit $E$ un espace euclidien et $u\in O (E)$ telle que $\ker (u-id) \neq E$. Soit $x\in E$ tel que $u (x) \neq x$. On pose $y = u (x)$. Alors on sait qu'il existe une unique r\'eflexion $r$ telle que $r (y) = x$. \begin{enumerate} \item Montrer que $\ker (u-id) \subset \ker (r-id)$. \item Montrer que $\dim \ker (r\circ u-id) >\dim \ker (u-id)$. \item Montrer par r\'ecurrence que toute isom\'etrie vectorielle est la compos\'ee de r\'eflexions. \end{enumerate} \finenonce{001568} \finexercice \exercice{1569, ridde, 1999/11/01} \enonce{001569}{} Soit $A = (a_{i, j}) \in O_{n} (\Rr)$. Montrer que $\forall (i, j) \, \left|a_{i, j}\right| \leq 1$ et que $\left|\sum_{i, j}a_{i, j}\right| \leq n$. \finenonce{001569} \finexercice \exercice{1570, gourio, 2001/09/01} \enonce{001570}{} Soit $ E$ euclidien, $ n\in \Nn^{*}, \left(x_{1},...,x_{n},y_{1}, ...,y_{n}\right) \in E^{2n}$ tels que : $$\forall (i,j)\in \{1,...,n\}^{2},\left( x_{i}|x_{j}\right) =\left(y_{i}|y_{j}\right) . $$ Montrer qu'il existe un endomorphisme orthogonal $ f$ de $ E$ tel que : $$\forall i\in \{1,...,n\},f(x_{i})=y_{i.} $$ \finenonce{001570} \finexercice \section{ 202.99 Autre } \exercice{1519, barraud, 2003/09/01} \enonce{001519}{} On consid\`ere l'application suivante~: $$ \alpha~:\begin{array}{ccc} \R_{n}[X] & \rightarrow & \R_{n}[X] \\ P &\mapsto & \int_{0}^{1}P(t)dt \end{array} $$ Montrer que $\alpha$ est une forme lin\'eaire sur $\R_{n}[X]$. Pour $i\in\{0,...,n\}$, on note $\alpha_{i}$ l'application $$ \alpha_{i}~:\begin{array}{ccc} \R_{n}[X] & \rightarrow & \R_{n}[X] \\ P &\mapsto & P(i/n) \end{array} $$ Montrer que $\alpha_{i}$ est une forme lin\'eaire sur $\R_{n}[X]$, et montrer que la famille $(\alpha_{0},...,\alpha_{n})$ est une base de ${\R_{n}[X]}^{*}$. En d\'eduire que~: $$ \exists (\lambda_{0},...,\lambda_{n})\in\R^{n+1}, \forall P\in\R_{n}[X]\quad \int_{0}^{1}P(t)dt = \sum_{i=0}^{n}\lambda_{i}P(i/n) $$ \finenonce{001519} \finexercice \exercice{1520, barraud, 2003/09/01} \enonce{001520}{} On consid\`ere l'application $u$ suivante~: $$ u~:\begin{array}{ccc} \R_{n}[X] & \rightarrow & \R_{n}[X] \\ P &\mapsto & P' \end{array} $$ Calculer ${}^{t}u(\alpha)$ lorsque~: $$ \alpha~: P\mapsto P(0) \qquad \qquad \qquad \alpha~: P\mapsto \int_{0}^{1}P(t)dt $$ \finenonce{001520} \finexercice \exercice{1521, barraud, 2003/09/01} \enonce{001521}{} On appelle \emph{trace} d'une matrice $A$, et on note $\mathrm{tr}(A)$, la somme de ses coefficients diagonaux. \begin{enumerate} \item Montrer que l'application $ \begin{smallmatrix} \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})&\rightarrow &\mathbb{K} \\ A &\mapsto &\mathrm{tr}(A) \end{smallmatrix} $ est une forme lin\'{e}aire sur $\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})$. \item Montrer que : $\forall(A,B)\in(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}))^{2},\ \mathrm{tr}(AB)=\mathrm{tr}(BA)$. En d\'{e}duire que deux matrices semblables ont m\^{e}me trace. \item Existe-t-il deux matrices $A$ et $B$ de $\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})$ telles que $AB-BA=I$ ? \end{enumerate} \finenonce{001521} \finexercice \exercice{1522, barraud, 2003/09/01} \enonce{001522}{} Soient $E$ et $F$ deux espaces vectoriels et soit $f\in\mathcal{L}(E,F)$. Montrer que $(\mathrm{Im} f)^{\bot}=\mathrm{Ker}{}^t{f}$. En d\'{e}duire que $f$ est surjective si et seulement si ${}^t{f}$ est injective. Lorsque $E$ et $F$ sont de dimension finies, montrer que $\mathrm{rg}(f)=\mathrm{rg}({}^t{f})$. En d\'{e}duire que pour toute matrice $A\in\mathcal{M}_{m,n}(\mathbb{K})$ on a $\mathrm{rg}(A)=\mathrm{rg}({}^t(A))$. \finenonce{001522} \finexercice \exercice{1523, barraud, 2003/09/01} \enonce{001523}{} Soit $f\in\mathrm{End}(\R^{3})$ tel que $f^{2}=0$. Montrer qu'il existe $\alpha\in{(\R^{3})}^{*}$ et $v\in\R^{3}$ tels que $$ \forall x\in \R^{3} \;\; f(x)=\alpha(x)\,v. $$ \textit{\small(Indication : commencer par montrer que $\mathrm{rg}(f)\leq 1$)} \finenonce{001523} \finexercice \exercice{1524, barraud, 2003/09/01} \enonce{001524}{} On considère un espace euclidien $(E,<>)$. On rappelle que l'adjoint $u^{*}$ d'un endomorphisme $u$ est l'endomorphisme caractérisé par~: $$ \forall (x,y)\in E^{2},\ = $$ On dit qu'un endomorphisme $u$ de $E$ est une similitude de $E$ si et seulement si $u$ est la composée d'une homotétie et d'une isométrie, c'est à dire si et seulement si~: $$ \exists\alpha\in\R\setminus\{0\},\ \exists v\in O(E)\ /\ u=\alpha v. $$ \begin{enumerate} \item Redémontrer l'équivalence entre les trois caractérisations suivantes des isométries~: \begin{align*} v\text{ est une isométrie} &\Leftrightarrow \forall x\in E\quad \Vert v(x)\Vert=\Vert x\Vert\\ &\Leftrightarrow \forall (x,y)\in E^{2}\quad =\\ &\Leftrightarrow v^{*}v=\mathrm{id} \end{align*} \end{enumerate} \bigskip On veut montrer l'équivalence des assertions suivantes~: \begin{enumerate} \item[{\it(i)}] $u$ est une similitude \item[{\it(ii)}] il existe un réel $\lambda>0$ tel que $$ u^{*}u=\lambda\mathrm{id} $$ \item[{\it(iii)}] $u$ conserve l'orthogonalité, c'est à dire : $$ \forall(x,y)\in E^{2}, =0\Leftrightarrow =0 $$ \end{enumerate} \bigskip \begin{enumerate} \setcounter{enumi}{1} \item Montrer que $(i)\Rightarrow (ii)$, puis que $(ii)\Rightarrow(i)$. \item Montrer que $(i)\Rightarrow(iii)$. \item On suppose $(iii)$. \begin{enumerate} \item Soit $x\in E$, $x\neq 0$.Montrer que $$ \forall y\in E \quad x\bot y\Leftrightarrow u^{*}u(x)\bot y $$ \item En déduire que $u^{*}u(x)$ appartient à la droite engendrée par $x$. On note $\lambda_{x}$ le réel tel que $u^{*}u(x)=\lambda_{x} x$. \item Montrer que~: $\forall t\in\R,\ \lambda_{tx}=\lambda_{x}$ \item Montrer que, pour tout couple $(x,y)$ de vecteurs linéairement indépendants de $E$, on a~: $\lambda_{x}=\lambda_{y}$. \item En déduire que l'application $x\mapsto\lambda_{x}$ est constante. Conclure. \end{enumerate} \end{enumerate} \finenonce{001524} \finexercice \exercice{3567, quercia, 2010/03/10} \enonce{003567}{\'Equation $AM = \lambda M$} Soit $A \in \mathcal{M}_n(K)$. Déterminer les scalaires $\lambda$ et les matrices $M \in \mathcal{M}_n(K)$ telles que $AM = \lambda M$. \finenonce{003567} \finexercice \exercice{3568, quercia, 2010/03/10} \enonce{003568}{$v \mapsto v\circ u$ (Centrale MP 2003)} Soit~$E$ un espace vectoriel de dimension finie et $u\in\mathcal{L}(E)$. On considère l'application~$\Phi_u$ qui à $v\in\mathcal{L}(E)$ associe~$v\circ u$. \begin{enumerate} \item Montrer que $\Phi_u\in\mathcal{L}({\mathcal{L}(E)})$. \item Montrer l'équivalence~: ($u$ est diagonalisable) $\Leftrightarrow$ ($\Phi_u$ est diagonalisable)\dots \begin{enumerate} \item en considérant les polynômes annulateurs de~$u$ et de~$\Phi_u$. \item en considérant les spectres et sous-espaces propres de~$u$ et de~$\Phi_u$. \end{enumerate} \end{enumerate} \finenonce{003568} \finexercice \exercice{3569, quercia, 2010/03/10} \enonce{003569}{Matexo} Soit $E$ un $ K$-espace vectoriel de dimension $n$, $(F,G)$ deux sous-espaces vectoriels de $E$ tels que $E = F \oplus G$. On note $p$ la projection sur $F$ parallèlement à~$G$. Soit $E_p = \{f\in\mathcal{L}(E) \text{ tq } f\circ p = p\circ f\}$. Quelle est la dimension de $E_p$ ? \finenonce{003569} \finexercice \exercice{3570, quercia, 2010/03/10} \enonce{003570}{$f \mapsto p\circ f\circ p$} Soit $p \in \mathcal{L}(E)$ une projection et $\Phi : {\mathcal{L}(E)} \to {\mathcal{L}(E)}, f \mapsto {p\circ f\circ p.}$ Déterminer les éléments propres de $\Phi$. \finenonce{003570} \finexercice \exercice{3571, quercia, 2010/03/10} \enonce{003571}{$f \mapsto u\circ f$ et $f \mapsto f\circ u$} Soit $E$ un $ K$-ev de dimension finie et $u \in \mathcal{L}(E)$ diagonalisable. On considère les applications% ${\mathcal{L}(E)} \to {\mathcal{L}(E)}$ $ {\varphi : f \mapsto u\circ f}$ ${\psi : f \mapsto f\circ u}$ \begin{enumerate} \item Montrer que $\varphi$ et $\psi$ sont diagonalisables. \item Montrer que $\varphi-\psi$ est diagonalisable. \end{enumerate} \finenonce{003571} \finexercice \exercice{3572, quercia, 2010/03/10} \enonce{003572}{$u\circ v - v\circ u = \mathrm{id}$} Soient $u,v$ deux endomorphisme d'un espace vectoriel $E$ non nul tels que $u\circ v - v\circ u = \mathrm{id}_E$. \begin{enumerate} \item Simplifier $u^k\circ v - v\circ u^k$ pour $k\in\N$ puis $P(u)\circ v - v\circ P(u)$ pour $P\in K[X]$. \item Montrer que $u$ et $v$ n'ont pas de polynômes minimaux. \end{enumerate} \finenonce{003572} \finexercice \exercice{3573, quercia, 2010/03/10} \enonce{003573}{Ensi PC 1999} Soit $E$ un ev réel de dimension finie et $f,g\in \mathcal{L}(E)$, $\alpha\in\R^*$ tels que $f\circ g - g\circ f = \alpha f$. \begin{enumerate} \item Montrer pour tout entier naturel~$n$~: $f^n\circ g - g\circ f^n = \alpha n f^n$. \item Montrer qu'il existe~$n\in\N$ tel que $f^n = 0$ (raisonner par l'absurde et considérer l'application $h \mapsto h\circ g - g\circ h$ de $\mathcal{L}(E)$ dans $\mathcal{L}(E)$). \end{enumerate} \finenonce{003573} \finexercice \exercice{3574, quercia, 2010/03/10} \enonce{003574}{X MP$^*$ 2001} Soit $f$ un endomorphisme de $E$ (ev de dimension finie sur $ K$) tel que $\chi_f$ soit irréductible. Montrez que pour aucun endomorphisme $g$ le crochet de Lie $[f,g] = f\circ g - g\circ f$ n'est de rang un. \finenonce{003574} \finexercice \exercice{3575, quercia, 2010/03/10} \enonce{003575}{$\frac12(p\circ u + u\circ p)$ (Mines MP 2003)} Soit~$E$ un espace vectoriel de dimension $n$ finie, $p$ un projecteur de rang~$r$ et $\varphi : {\mathcal{L}(E)} \to {\mathcal{L}(E)}, u \mapsto {\frac12(p\circ u + u\circ p).}$ \begin{enumerate} \item Est-ce que~$\varphi$ est diagonalisable~? \item Déterminer les valeurs propres de~$\varphi$ et les dimensions des sous-espaces propres. \end{enumerate} \finenonce{003575} \finexercice \exercice{3576, quercia, 2010/03/10} \enonce{003576}{Crochet de Lie (Ens Cachan MP$^*$ 2003)} Soit $\Phi : {\mathcal{M}_n(\C)}\to {\mathcal{M}_n(\C)}$ un automorphisme d'ev tel que~: $\forall\ A,B\in\mathcal{M}_n(\C),\ \Phi([A,B]) = [\Phi(A),\Phi(B)]$ où $[X,Y] = XY - YX$. Montrer~: $\forall\ D\in\mathcal{M}_n(\C)$, ($D$ est diagonalisable) $\Leftrightarrow$ ($\Phi(D)$ est diagonalisable). {\it Indication~: considérer $\phi_D$ : $X \mapsto[D,X]$ et montrer que ($D$ est diagonalisable) $\Leftrightarrow$ ($\phi_D$ est diagonalisable).} \finenonce{003576} \finexercice\exercice{3625, quercia, 2010/03/10} \enonce{003625}{Base de $( K^3)^*$} Dans $ K^3$ on considère les formes linéaires : $f_1(\vec x) = x+y-z$, $f_2(\vec x) = x-y+z$, $f_3(\vec x) = x+y+z$. \begin{enumerate} \item Montrer que $(f_1,f_2,f_3)$ est une base de $( K^3)^*$. \item Trouver la base duale. \end{enumerate} \finenonce{003625} \finexercice \exercice{3626, quercia, 2010/03/10} \enonce{003626}{Base de $( K^3)^*$} Dans $ K^3$ on considère les formes linéaires : $f_1(\vec x) = x+2y+3z$, $f_2(\vec x) = 2x+3y+4z$, $f_3(\vec x) = 3x+4y+6z$. \begin{enumerate} \item Montrer que $(f_1,f_2,f_3)$ est une base de $( K^3)^*$. \item Trouver la base duale. \end{enumerate} \finenonce{003626} \finexercice \exercice{3627, quercia, 2010/03/10} \enonce{003627}{Base de $( K^n)^*$} Pour $\vec x = (x_1,\dots,x_n) \in K^n$ on pose $f_i(\vec x) = x_i+x_{i+1}$ et $f_n(\vec x) = x_n+x_1$. Déterminer si ${\cal F} = (f_1,\dots,f_n)$ est une base de $( K^n)^*$ et, le cas échéant, déterminer la base duale. \finenonce{003627} \finexercice \exercice{3628, quercia, 2010/03/10} \enonce{003628}{Bases duale des polynômes} Soit $E = K_n[X]$. Montrer que la famille ${\cal F} = (f_0,\dots,f_n)$ est une base de $E^*$ et donner la base duale lorsque~\dots \begin{enumerate} \item $f_i(P) = P(x_i)$ où $x_0,\dots,x_n$ sont des scalaires distincts. \item $f_i(P) = P^{(i)}(0)$. \item $f_i(P) = P^{(i)}(x_i)$ où $x_0,\dots,x_n$ sont des scalaires quelconques. (Ne pas chercher la base duale pour cet exemple) \end{enumerate} \finenonce{003628} \finexercice \exercice{3629, quercia, 2010/03/10} \enonce{003629}{Base duale des polynômes} Soit $E = \R_{2n-1}[X]$, et $x_1,\dots,x_n \in \R$ distincts. On note : $${\phi_i} : E\to \R, P \mapsto {P(x_i)} ; \qquad {\psi_i} : E \to \R, P \mapsto {P'(x_i)}$$ \begin{enumerate} \item Montrer que $(\phi_1,\dots,\phi_n,\psi_1,\dots,\psi_n)$ est une base de $E^*$. \item Chercher la base duale. On notera $P_i = \prod_{j\ne i}\frac{X-x_j}{x_i-x_j}$ et $d_i = P_i'(x_i)$. \end{enumerate} \finenonce{003629} \finexercice \exercice{3630, quercia, 2010/03/10} \enonce{003630}{Intégrale} Soit $E = \R_3[X]$. On considère les formes linéaires : $f_i : P \mapsto \int_{t=-1}^1 t^iP(t)\,d t$. \begin{enumerate} \item Montrer que $(f_0,f_1,f_2,f_3)$ est une base de $E^*$. \item Trouver la base duale. \end{enumerate} \finenonce{003630} \finexercice \exercice{3631, quercia, 2010/03/10} \enonce{003631}{\'Evaluations et intégrale} Soit $E = \R_3[X]$ et $a,b,c \in \R$ distincts. On considère les formes linéaires sur E : $$f_a\ :\ P \mapsto P(a),\quad f_b\ :\ P \mapsto P(b),\quad f_c\ :\ P \mapsto P(c),\quad \varphi\ :\ P \mapsto \int_{t=a}^b P(t)\,d t.$$ \'Etudier la liberté de $(f_a,f_b,f_c,\varphi)$. \finenonce{003631} \finexercice \exercice{3632, quercia, 2010/03/10} \enonce{003632}{Base duale de $(1, X, X(X-1), \dots)$} Soit $E = K_n[X]$. On note $P_0 = 1$, $P_i = X(X-1)\cdots(X-i+1)$ pour $i\ge1$, et $f_i : P \mapsto P(i)$. \begin{enumerate} \item Montrer que $(P_0,\dots,P_n)$ est une base de $E$ et ${\cal B} = (f_0,\dots,f_n)$ est une base de $E^*$. \item Décomposer la forme linéaire $P_n^*$ dans la base $\cal B$. (On pourra utiliser les polynômes : $Q_i = \prod_{1\le j\le n; j\ne i}(X-j)$) \item Décomposer de même les autres formes linéaires $P_k^*$. \end{enumerate} \finenonce{003632} \finexercice \exercice{3633, quercia, 2010/03/10} \enonce{003633}{Base duale de $((X-a)^k(X-b)^{n-k})$} Soit $E = K_n[X]$ et $a,b \in K$ distincts. On pose $P_k = (X-a)^k(X-b)^{n-k}$. \begin{enumerate} \item Montrer que $(P_0,\dots,P_n)$ est une base de $E$. \item On suppose $n = 2$ et on prend comme base de $E^*$ : ${\cal B} = (f_a,f_c,f_b)$ où $f_x(P) = P(x)$ et $c = \frac{a+b}2$. Exprimer les formes linéaires $(P_0^*,P_1^*,P_2^*)$ dans $\cal B$. \end{enumerate} \finenonce{003633} \finexercice \exercice{3634, quercia, 2010/03/10} \enonce{003634}{Formes linéaires liées} Soient $f_1,\dots,f_n$ des formes linéaires sur $ K^n$ telles qu'il existe $\vec x \in K^n$ non nul tel que $f_1(\vec x) = \dots = f_n(\vec x) = 0$. Montrer que $(f_1,\dots,f_n)$ est liée. \finenonce{003634} \finexercice \exercice{3635, quercia, 2010/03/10} \enonce{003635}{$(P(X),\dots,P(X+n))$ est une base des polynômes} Soit $E = K_n[X]$, $Q \in E$ de degré $n$ et $Q_i = Q(X+i)$ ($0 \le i \le n$). \begin{enumerate} \item Montrer que $(Q,Q',Q'',\dots,Q^{(n)})$ est libre. \item Montrer que toute forme linéaire sur $E$ peut se mettre sous la forme :\par $f : P \mapsto \alpha_0 P(0) + \alpha_1 P'(0) + \dots + \alpha_nP^{(n)}(0)$. \item Soit $f \in E^*$ telle que $f(Q_0) = \dots = f(Q_n) = 0$. Montrer que $f=0$.\par (considérer le polynôme $P = \alpha_0Q + \dots + \alpha_nQ^{(n)}$) \item Montrer que $(Q_0,\dots,Q_n)$ est une base de $E$. \end{enumerate} \finenonce{003635} \finexercice \exercice{3636, quercia, 2010/03/10} \enonce{003636}{$\varphi((X-a)P) = 0$} Soit $E = K_n[X]$. Soit $\varphi \in E^*$ telle que : $\forall\ P \in K_{n-1}[X],\ \varphi((X-a)P) = 0$. Montrer qu'il existe $\lambda \in K$ tel que : $\forall\ P \in E,\ \varphi(P) = \lambda P(a)$. \finenonce{003636} \finexercice \exercice{3637, quercia, 2010/03/10} \enonce{003637}{Forme linéaire sur les polynômes} Montrer l'existence et l'unicité d'une forme linéaire $\Phi$ sur $\R_n[X]$ telle que : $\Phi(1) = 0$, $\Phi(X) = 1$ et $\Phi(P) = 0$ pour tout polynôme $P \in \R_n[X]$ tel que $P(0) = P(1) = 0$. \finenonce{003637} \finexercice \exercice{3638, quercia, 2010/03/10} \enonce{003638}{Système unisolvent} Soient $f_1,\dots,f_n : \R \to \R$ $n$ fonctions linéairement indépendantes. On pose $E = \text{vect}(f_1,\dots,f_n)$ et pour $x \in \R$, $ {\delta_x} : E \to \R, f \mapsto {f(x).}$ \begin{enumerate} \item Montrer que la famille $(\delta_x)_{x\in\R}$ engendre $E^*$. \item En déduire qu'il existe $x_1,\dots,x_n \in \R$ tels que $\det M \ne 0$ où $M$ est la matrice de terme général $f_i(x_j)$. \end{enumerate} \finenonce{003638} \finexercice \exercice{3639, quercia, 2010/03/10} \enonce{003639}{Polynômes à deux variables} Soit $f : {\R^2} \to \R$. On dit que $f$ est polynomiale si elle est de la forme : $f(x,y) = \sum_{i,j} a_{ij}x^iy^j$, la somme portant sur un nombre fini de termes. Le degré de $f$ est alors $\max(i+j \text{ tq } a_{ij} \ne 0)$. On note $E_k$ l'ensemble des fonctions $\R^2 \to \R$ polynomiales de degré inférieur ou égal à $k$. \begin{enumerate} \item Montrer que $E_k$ est un $\R$-ev de dimension finie et donner sa dimension. \item Soient $A=(0,0)$, $B=(1,0)$, $C=(0,1)$. Montrer que les formes linéaires $f \mapsto f(A)$, $f \mapsto f(B)$, $f \mapsto f(C)$ constituent une base de $E_1^*$. \item Chercher de même une base de $E_2^*$. \item Soit $T$ le triangle plein $ABC$ et $f \in E_1$. Montrer que $ \int_{}^{}\!\! \int_T^{} f(x,y)\,d xd y = \frac{f(A)+f(B)+f(C)}6$. \item Chercher une formule analogue pour $f \in E_2$. \end{enumerate} \finenonce{003639} \finexercice \exercice{3640, quercia, 2010/03/10} \enonce{003640}{Polynômes trigonométriques} On note $f_n(x) = \cos nx$ et $g_n(x) = \sin nx$ ($x \in \R$, $n \in \N$). Soit $E_n$ l'espace engendré par la famille ${\cal F}_n = (f_0,\dots,f_n,g_1,\dots,g_n)$. \begin{enumerate} \item Montrer que pour $k \ge 1$, $(f_k,g_k)$ est libre. \item Soit $\varphi : {E_n} \to {E_n}, f \mapsto {f''}$. Chercher les sous-espaces propres de $\varphi$. En déduire que ${\cal F}_n$ est libre. \item On note $a_k = \frac{2k\pi}{2n+1}$ et ${\varphi_k} : {E_n} \to \R, f \mapsto {f(a_k).}$ Montrer que $(\varphi_0,\dots,\varphi_{2n})$ est une base de $E_n^*$. (On utilisera la fonction $f : x \mapsto \prod_{k=1}^n (\cos x - \cos a_k)$) \item Soit $N \in \N^*$. On note $b_k = \frac{2k\pi}N$ et ${\psi_k} : {E_n}\to \R, f \mapsto {f(b_k).}$ Montrer que $(\psi_0,\dots,\psi_{N-1})$ est libre si et seulement si $N \le 2n+1$, et engendre $E_n^*$ si et seulement si $N \ge 2n+1$. \end{enumerate} \finenonce{003640} \finexercice \exercice{3641, quercia, 2010/03/10} \enonce{003641}{trace sur $\mathcal{M}_n(K)$} Soit $E = \mathcal{M}_n(K)$. Pour $A \in \mathcal{M}_n(K)$, on note $ {\phi_A} : E \to K, M \mapsto {\mathrm{tr}(AM).}$ \begin{enumerate} \item Montrer que $E^* = \{ \phi_A \text{ tq } A \in E\}$. \item On note $\cal S$ l'ensemble des matrices symétriques et $\cal A$ l'ensemble des matrices antisymétriques. Montrer que ${\cal S}^\circ = \{ \phi_A \text{ tq } A \in {\cal A}\}$ et ${\cal A}^\circ = \{ \phi_A \text{ tq } A \in {\cal S}\}$. \end{enumerate} \finenonce{003641} \finexercice \exercice{3642, quercia, 2010/03/10} \enonce{003642}{Suites de Fibonacci} Soit $E$ l'ensemble des suites $u=(u_n)$ à termes réels telles que pour tout $n$ : $u_{n+2} = u_{n+1} + u_n$. \begin{enumerate} \item Montrer que $E$ est un $\R$-ev de dimension finie. \item Soient $ {f_0} : E \to \R, u \mapsto {u_0}$ et ${f_1} : E \to \R, u \mapsto {u_1.}$ Trouver la base duale de $(f_0,f_1)$. \end{enumerate} \finenonce{003642} \finexercice \exercice{3643, quercia, 2010/03/10} \enonce{003643}{Combinaison de formes linéaires} Soit $E$ un $ K$-ev de dimension finie et $f$, $f_1,\dots,f_p \in E^*$. Montrer que $f$ est combinaison linéaire de $f_1,\dots,f_p$ si et seulement si $\mathrm{Ker} f \supset \mathrm{Ker} f_1 \cap \dots \cap \mathrm{Ker} f_p$. \finenonce{003643} \finexercice \exercice{3644, quercia, 2010/03/10} \enonce{003644}{Combinaison de formes linéaires} Soit $E$ un $ K$-ev de dimension finie et $f_1,\dots,f_p \in E^*$. On considère l'application : $$\Phi : E \to { K^p}, {\vec x} \mapsto {\Bigl(f_1(\vec x),\dots,f_p(\vec x)\Bigr)}$$ Montrer que $\Phi$ est surjective si et seulement si $(f_1,\dots,f_p)$ est libre. \finenonce{003644} \finexercice \exercice{3645, quercia, 2010/03/10} \enonce{003645}{Orthogonaux d'une somme directe} Soit $E$ un $ K$-ev de dimension finie et $F,G$ deux sev de $E$ tels que $F\oplus G = E$. \begin{enumerate} \item Montrer que $F^\circ \oplus G^\circ = E^*$. \item Montrer que $F^\circ$ est naturellement isomorphe à $G^*$ et $G^\circ$ à $F^*$. \end{enumerate} \finenonce{003645} \finexercice \exercice{3646, quercia, 2010/03/10} \enonce{003646}{$f(u) \ne 0$ et $g(u) \ne 0$} Soit $E$ un $ K$-ev de dimension finie et $f,g \in E^*$ toutes deux non nulles. Montrer qu'il existe un vecteur $\vec u \in E$ tel que $f(\vec u) \ne 0$ et $g(\vec u) \ne 0$. \finenonce{003646} \finexercice \exercice{3647, quercia, 2010/03/10} \enonce{003647}{$p$ formes linéaires} Soit $E$ un $ K$-ev. On suppose qu'il existe $p$ formes linéaires $f_1,\dots,f_p$ telles que : $$\forall\ \vec x \in E,\ (f_1(\vec x) = \dots = f_p(\vec x) = 0) \Rightarrow (\vec x = \vec 0).$$ Montrer que $E$ est de dimension finie inférieure ou égale à $p$. \finenonce{003647} \finexercice \exercice{3648, quercia, 2010/03/10} \enonce{003648}{$\det(f_i(u_j)) \ne 0$} Soit $E$ un $ K$-ev de dimension finie $n$, ${\vec u}_1,\dots,{\vec u}_n \in E$ et $f_1,\dots,f_n \in E^*$. Soit $M$ la matrice de terme général $f_i({\vec u}_j)$. Montrer que si $\det M \ne 0$, alors $({\vec u}_1,\dots,{\vec u}_n)$ est une base de $E$ et $(f_1,\dots,f_n)$ est une base de $E^*$. \finenonce{003648} \finexercice \exercice{3649, quercia, 2010/03/10} \enonce{003649}{$e_n^*$ imposé} Soit $E$ un $ K$-ev de dimension finie $n$, ${\cal F} = ({\vec e}_1,\dots, {\vec e}_{n-1})$ une famille libre de $E$ et $f \in E^*\setminus\{0\}$. Montrer qu'on peut compléter $\cal F$ en une base ${\cal B} = ({\vec e}_1,\dots,{\vec e}_n)$ telle que $f = e_n^*$ si et seulement si $f({\vec e}_1) = \dots = f({\vec e}_{n-1}) = 0$. Y~a-t-il unicité de ${\vec e}_n$ ? \finenonce{003649} \finexercice \exercice{3650, quercia, 2010/03/10} \enonce{003650}{Modification élémentaire} Soit $E$ un $ K$-ev de dimension finie $n$, ${\cal B} = ({\vec e}_1,\dots,{\vec e}_n)$ une base de $E$, et ${\cal B}' = ({\vec e}_1{}',\dots,{\vec e}_n{}')$ déduite de $\cal B$ par une opération élémentaire (échange de deux vecteurs, multiplication d'un vecteur par un scalaire non nul, addition à un vecteur d'un multiple d'un autre). \'Etudier comment on passe de la base duale ${\cal B}^*$ à ${\cal B}'^*$ en fonction de l'opération effectuée. \finenonce{003650} \finexercice \exercice{3651, quercia, 2010/03/10} \enonce{003651}{Séparation} Soit $E$ un $ K$-ev de dimension finie. \begin{enumerate} \item Soient $\vec x,\vec y \in E$ avec $\vec x \ne \vec y$. Montrer qu'il existe $f \in E^*$ telle que $f(\vec x) \ne f(\vec y)$. \item Soit $V$ un sev de $E^*$ ayant la propriété : $\forall\ \vec x,\vec y \in E,\ \vec x\ne\vec y \Rightarrow \exists\ f \in V \text{ tq } f(\vec x) \ne f(\vec y)$. Montrer que $V = E^*$. \end{enumerate} \finenonce{003651} \finexercice \section{ 203.01 Groupe, sous-groupe } \exercice{1303, ridde, 1999/11/01} \enonce{001303}{} Soit $ABC$ un triangle \'equilat\'eral du plan. \begin{enumerate} \item D\'eterminer l'ensemble des rotations qui laissent invariant $\left\{ A, B, C\right\}$. \item Montrer que c'est un groupe pour la loi $\circ$. \item Faire de même avec un carr\'e. \end{enumerate} \finenonce{001303} \finexercice \exercice{1304, cousquer, 2003/10/01} \enonce{001304}{Entiers modulo $n$} Étant donné un entier naturel $n$, on appelle classe d'un entier relatif $p$ modulo $n$ l'ensemble $\overline p = \{p+kn\mid k\in\mathbb{Z}\}$. L'ensemble des classes modulo $n$ est noté $\mathbb{Z}_n$. \begin{enumerate} \item Écrire la liste des éléments distincts de $\mathbb{Z}_2$, $\mathbb{Z}_3$, $\mathbb{Z}_4$ et~$\mathbb{Z}_5$. \item Montrer que si $x\in\overline p$ et $y\in\overline q$, alors $x+y\in \overline{p+q}$ et $xy\in\overline{pq}$. \item En posant $\overline p+\overline q=\overline{p+q}$ et $\overline p\cdot\overline q=\overline{pq}$, on définit deux lois de composition, addition et multiplication sur $\mathbb{Z}_n$.\\ Écrire la table d'addition et de multiplication de $\mathbb{Z}_4$. \end{enumerate} Même question pour $\mathbb{Z}_2$, $\mathbb{Z}_3$, et~$\mathbb{Z}_5$. \finenonce{001304} \finexercice \exercice{1305, cousquer, 2003/10/01} \enonce{001305}{} \begin{enumerate} \item Montrer que les transformations géométriques qui conservent globalement un rectangle forment un groupe. Faire l'étude de ce groupe. \item Étudier le groupe $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$. \item Montrer qu'il n'existe que deux sortes de groupes à quatre éléments. \end{enumerate} \finenonce{001305} \finexercice \exercice{1306, cousquer, 2003/10/01} \enonce{001306}{} \begin{enumerate} \item Étudier le groupe des isométries du carré. \item Écrire la liste des éléments du groupe $\mathfrak{S}_4$ des permutations de quatre lettres. Trouver des sous-groupes de ce groupe isomorphes aux groupes du rectangle, du triangle équilatéral, du carré. \end{enumerate} \finenonce{001306} \finexercice \exercice{1307, cousquer, 2003/10/01} \enonce{001307}{Permutations d'un ensemble de $n$ éléments} \begin{enumerate} \item Une permutation de l'ensemble de $n$ éléments $\{1,2,\ldots,n\}$ est une bijection de cet ensemble dans lui-même. Il est commode de désigner une telle permutation $s$ par le tableau de valeurs suivant~: $s= \left(\begin{array}{cccc} 1 & 2&\cdots&n\\ s(1)&s(2)&\cdots&s(n) \end{array}\right)$. On note $\frak{S}_n$ l'ensemble de ces permutations pour $n$ donné. \item Écrire les éléments de $\frak{S}_2$ et de $\frak{S}_3$. \item Établir les tables de composition de ces deux ensembles. \item De la table de $\frak{S}_3$ on peut extraire des parties \emph{stables} ne faisant intervenir que certains éléments~; lesquelles~? Peut-on les trouver toutes. \item Voyez-vous des analogies (totales ou partielles) entre ces tables et des situations rencontrées plus haut~? \item On peut obtenir tous les éléments de $\frak{S}_3$ à partir de la composition de certains d'entre-eux~; lesquels~? \item Combien d'éléments possède $\frak{S}_n$~? Combien de cases contient la table de composition de $\frak{S}_4$, $\frak{S}_5,\ldots$~? Pourrait-on étudier $\frak{S}_4$ et $\frak{S}_5$ à partir de ces tables~? \end{enumerate} \finenonce{001307} \finexercice \exercice{1308, ridde, 1999/11/01} \enonce{001308}{} Soient les quatre fonctions de $\Rr^*$ dans $\Rr^*$ $$ f_1 (x) = x \qquad f_2 (x) = \frac 1x \qquad f_3 (x) = -x \qquad f_4 (x) = -\frac 1x$$ Montre que $G = \left\{ f_1, f_2, f_3, f_4\right\}$ est un groupe pour la loi $\circ$. \finenonce{001308} \finexercice \exercice{1309, ridde, 1999/11/01} \enonce{001309}{} Montrer qu'il existe une seule table possible pour un groupe d'ordre $3$. Est-ce vrai pour $4$ ? \finenonce{001309} \finexercice \exercice{1310, ridde, 1999/11/01} \enonce{001310}{} Montrer que si $X$ contient au moins trois \'el\'ements alors $ \sigma (X)$ n'est pas ab\'elien. \finenonce{001310} \finexercice \exercice{1311, ortiz, 1999/04/01} \enonce{001311}{} Les ensembles suivants, pour les lois consid\'er\'ees, sont-ils des groupes ? \begin{enumerate} \item $]-1,1[$ muni de la loi d\'efinie par $x\star y=\frac{x+y}{1+xy}$ ; \item $\{z\in\Cc:{|z|}=2\}$ pour la multiplication usuelle ; \item $\Rr_+$ pour la multiplication usuelle; \item $\left\{x\in\Rr\mapsto ax+b : a\in\Rr\setminus\left\{0\right\},b\in\Rr\right\}$ pour la loi de composition des applications. \end{enumerate} \finenonce{001311} \finexercice \exercice{1312, ortiz, 1999/04/01} \enonce{001312}{} Soit $K=\left\{\text{Id}, f_1,f_2,f_3\right\}$ o\`u $ f_1,$ $f_2,$ et $f_3$ sont les permutations de $E=\left\{1,2,3,4\right\}$ d\'efinies par $${f_1=\left(\begin{smallmatrix} 1&2&3&4\\2&1&4&3\end{smallmatrix}\right) ,f_2=\left(\begin{smallmatrix} 1&2&3&4\\3&4&1&2\end{smallmatrix}\right) ,f_3=\left(\begin{smallmatrix} 1&2&3&4\\4&3&2&1\end{smallmatrix}\right).}$$ Montrer que $K$ est un sous-groupe de $\mathcal{S}_4$. \finenonce{001312} \finexercice \exercice{1313, ortiz, 1999/04/01} \enonce{001313}{} Soit l'ensemble $${\mathcal{J}=\left\{ \left ( \begin{array}{ll} x&x\\ x&x \end{array} \right )\in \mathcal{M}_2(\Rr): x\in \Rr\setminus\left\{0\right\} \right\}.}$$ Montrer que, muni de la multiplication usuelle des matrices, $\mathcal{J}$ est un groupe ab\'elien. \finenonce{001313} \finexercice \exercice{1314, ortiz, 1999/04/01} \enonce{001314}{} Pour la multiplication usuelles des matrices carr\'ees, les ensembles suivants sont-ils des groupes : $${ \text{GL}(2,\Rr)\cap\mathcal{M}_2(\Zz),\quad \left\{M\in\mathcal{M}_2(\Zz):\det M=1\right\} \text{ ?} }$$ \finenonce{001314} \finexercice \exercice{1315, ortiz, 1999/04/01} \enonce{001315}{} Soit $G$ un ensemble muni d'une loi de composition interne associative, admettant un \'el\'ement neutre \`a droite et tel que chaque \'el\'ement de $G$ admette un sym\'etrique \`a droite. Montrer que $G$ est un groupe. \finenonce{001315} \finexercice \exercice{1316, ortiz, 1999/04/01} \enonce{001316}{} Soient $(G,.)$ un groupe et $a,b\in G.$ On suppose que $${(1): ab^2=b^3a \quad\text{ et }(2): ba^2=a^3b.}$$ \begin{enumerate} \item Montrer, en utilisant seulement (1), que $a^2b^8a^{-2}=b^{18}$ puis que $a^3b^8a^{-3}=b^{27}.$ \item En d\'eduire, en utilisant (2), que $a^3b^8a^{-3}=b^{18}$ et enfin que $a=b=1.$ \end{enumerate} \finenonce{001316} \finexercice \exercice{1317, ortiz, 1999/04/01} \enonce{001317}{} \begin{enumerate} \item L'ensemble $\Rr\setminus\left\{-1\right\}$ muni de la loi $\star$ d\'efinie par $\forall a,b\in \Rr,a\star b=a+b+ab$ est-il un groupe~~? \item L'ensemble $E=\left\{-1,1,i,-i \right\}\subseteq \Cc$ muni de la loi usuelle de multiplication dans $\Cc$ est-il un groupe~? \item L'ensemble $E=\left\{\left(\begin{smallmatrix} a&0\\0&0 \end{smallmatrix}\right) :a\in \Rr\setminus\left\{0\right\}\right\}$ muni de la loi de multiplication usuelle des matrices de $\mathcal{M}_2(\Rr)$ est-il un groupe ? \item L'ensemble $\mathcal{S}_2(\Rr) $ des matrices sym\'etriques r\'eelles d'ordre 2 muni de la loi de multiplication usuelle des matrices de $\mathcal{M}_2(\Rr)$ est-il un groupe ? \end{enumerate} \finenonce{001317} \finexercice \exercice{1318, ridde, 1999/11/01} \enonce{001318}{} Soient $ (G, \star)$ et $ (H, \triangle)$ deux groupes. On d\'efinit sur $G \times H$ la loi $\heartsuit$ par $ (x, y) \heartsuit (x', y') = (x \star x', y \triangle y')$. \begin{enumerate} \item Montrer que $ (G \times H, \heartsuit)$ est un groupe. \item Si $G$ est de cardinal 2, dresser la table de $G \times G$ et la reconna\^{\i}tre parmi les exemples des exercices pr\'ec\'edents. \end{enumerate} \finenonce{001318} \finexercice \exercice{1319, ridde, 1999/11/01} \enonce{001319}{} Montrer que si $H$ et $K$ sont des sous-groupes de $G$ alors $H \cap K$ est un sous-groupe de $G$. Est-ce vrai pour $H \cup K$ ? \finenonce{001319} \finexercice \exercice{1320, ridde, 1999/11/01} \enonce{001320}{} Si $G$ est un groupe, on appelle centre de $G$ et on note $Z (G)$ l'ensemble $\left\{ x \in G / \forall y \in G, xy = yx\right\}$. \begin{enumerate} \item Montrer que $Z (G)$ est un sous-groupe de $G$. \item Montrer que $G$ est commutatif ssi $Z (G) = G$. \item Calculer $Z (\sigma_3)$. \end{enumerate} \finenonce{001320} \finexercice \exercice{1321, legall, 1998/09/01} \enonce{001321}{} On nomme $M_n({\Zz})$ l'ensemble des matrices de taille $n\times n$ \`a coefficients entiers relatifs. - Soit $M\in M_n({\Zz})$. Montrer que pour que $M$ admette un inverse \' el\' ement de $M_n({\Zz})$ il faut et il suffit que $\det (M)\in \{ -1,1\} $. - D\' emontrer que $Gl_n({\Zz})=\{ M\in M_n({\Zz})\ ; \det (M)\in \{ -1,1\} \} $ est un sous-groupe de $Gl_n({\Rr})$. \finenonce{001321} \finexercice \exercice{1322, legall, 1998/09/01} \enonce{001322}{} \begin{enumerate} \item L'ensemble des matrices $\begin{pmatrix} a & c \cr b & d \cr \end{pmatrix} $ avec $a,b,c,d\in {\Rr}$ tels que $ad-bc\not = 0 $ et $a^2-b^2-c^2-d^2 \leq 1$ est il un sous-groupe de $Gl_2({\Rr})$ ? \item L'ensemble des matrices $\begin{pmatrix} a & b \cr 0 & a^{-1} \cr \end{pmatrix}$ avec $a\in {\Rr}^*$ et $b\in {\Rr}$ est-il un sous groupe de $Gl_2({\Rr})$ ? \item Existe-t-il une valeur $M\in {\Rr}$ telle que l'ensemble des matrices $\begin{pmatrix} a & c \cr b & d \cr \end{pmatrix}$ avec $a,b,c,d\in {\Rr}$ tels que $ad-bc\not = 0 $ et $ a\leq M$ forme un sous-groupe de $Gl_2({\Rr})$ ? \end{enumerate} \finenonce{001322} \finexercice \exercice{1323, legall, 1998/09/01} \enonce{001323}{} Soit $ G $ un groupe, $ H $ et $ K $ deux sous-groupes de $ G .$ Montrer que $ H\cup K $ est un sous-groupe de $ G $ si et seulement si $ H\subset K $ ou $ K\subset H .$ \finenonce{001323} \finexercice \exercice{1324, ortiz, 1999/04/01} \enonce{001324}{} D\'eterminer le sous-groupe de $\Zz$ engendr\'e par les entiers 24, 36 et $-54.$ \finenonce{001324} \finexercice \exercice{1325, ortiz, 1999/04/01} \enonce{001325}{} Les questions sont ind\'ependantes. Soit $j$ le nombre complexe $e^{\frac {2i\pi}{3}}.$ \begin{enumerate} \item D\'eterminer le sous-goupe du groupe additif $\Cc$ engendr\'e par $i$ et $j$. \item D\'eterminer le sous-goupe du groupe multiplicatif $\Cc^{\ast}$ engendr\'e par $i$ et $j$. \end{enumerate} \finenonce{001325} \finexercice \exercice{1326, ortiz, 1999/04/01} \enonce{001326}{} Soit $G$ un groupe engendr\'e par $a$ et $b.$ Montrer que $\cap\subseteq Z(G)$ o\`u $Z(G)$ d\'esigne le centre de $G.$ \finenonce{001326} \finexercice \exercice{1327, gourio, 2001/09/01} \enonce{001327}{} Soit $G$ un sous-groupe de $(\Rr,+)$ avec $G \neq \{0\}$. \begin{enumerate} \item Montrer l'existence de $\alpha =\inf (G\cap \Rr^{+*})$. \item Si $\alpha >0$ montrer que $G=\alpha \Zz.$ \item Si $\alpha =0$ montrer que $G$ est dense dans $\Rr.$ \end{enumerate} \finenonce{001327} \finexercice \exercice{1328, gourio, 2001/09/01} \enonce{001328}{} Soit $G$ un groupe. Montrer que l'ensemble $Aut(G)$ des automorphismes de $G$ est un groupe pour la loi de composition. Soit $H $ un sous-groupe de $Aut(G)$, et $\pi :G\rightarrow \wp (G)$ d\'{e}finie par : $\pi (x)=\{f(x)|f\in H\}.$ Montrer que $\pi (G)$ est une partition de $G.$ \finenonce{001328} \finexercice \exercice{1329, hilion, 2003/10/01} \enonce{001329}{} Soit $E$ un ensemble muni d'une loi interne $\star$. On appelle translation à droite (resp. à gauche) par $a\in E$, l'application $d_{a}$ (resp. $g_{a})$ de $E$ dans $E$ définie par $d_{a}(x)=a\star x$ (resp. $g_{a}(x)=x\star a$). \begin{enumerate} \item Montrer que dans un groupe les translations à droite et à gauche sont des bijections. \item Réciproquement, si la loi $\star$ de $E$ est associative, et que les translations à droite et à gauche sont des bijections, on va montrer que $(E,\star)$ est un groupe. \begin{enumerate} \item Montrer que pour tout $x\in E$, il existe un unique élément $e_{x}\in E$ (resp. $f_{x}\in E$) tel que $e_{x}\star x=x$ (resp. $x\star f_{x}=x$). \item Si $x,y \in E$, montrer que $e_{x}=e_{y}$ (noté $e$ dorénavant) et $f_{x}=f_{y}$ (noté $f$ dorénavant). \item Montrer que $e=f$ (noté $e$ dorénavant). \item Montrer que pour tout $x\in E$, il existe un unique élément $\bar{x}\in E$ (resp. $\bar{\bar{x}}\in E$) tel que $\bar{x}\star x=e$ (resp. $x\star\bar{\bar{x}}=e$). \item Montrer que $\bar{x}=\bar{\bar{x}}$. \item Conclure. \end{enumerate} \end{enumerate} \finenonce{001329} \finexercice \exercice{1330, hilion, 2003/10/01} \enonce{001330}{} Si $K$ est un sous-groupe de $H$ et $H$ un sous-groupe de $G$, montrer que $K$ est un sous-groupe de $G$. \finenonce{001330} \finexercice \exercice{1331, hilion, 2003/10/01} \enonce{001331}{} \begin{enumerate} \item Soit $(G,.)$ un groupe. Montrer l'équivalence de: \begin{description} \item{i)} $G$ est abélien. \item{ii)} Pour tout $a,b\in G$, on a: $(ab)^{2}=a^{2}b^{2}$. \item{iii)} Pour tout $a,b\in G$, on a: $(ab)^{-1}=a^{-1}b^{-1}$. \item{iv)} L'application $f$ de $G$ dans $G$ définie par $f(x)=x^{-1}$ est un automorphisme. \end{description} \item En déduire que si pour tout $x\in G$, $x^{2}=e$, alors $G$ est abélien. \end{enumerate} \finenonce{001331} \finexercice \exercice{1332, hilion, 2003/10/01} \enonce{001332}{} \begin{enumerate} \item Les ensembles $\Nn,\Zz,\Rr, \Rr_{+}, \Rr_{+}^{*}, \Cc, \Cc^{*}$ munis des lois $+$ ou $\times$ sont-ils des groupes ? Quand c'est le cas, chercher des sous-groupes non triviaux. \item $\left\{x\in\Rr\mapsto ax+b : a\in\Rr\setminus\left\{0\right\},b\in\Rr\right\}$ muni de la loi de composition des applications est-il un groupe ? \end{enumerate} \finenonce{001332} \finexercice \exercice{1333, hilion, 2003/10/01} \enonce{001333}{} Quel est le plus petit sous-groupe de $(\Rr,+)$ (resp. de $(\Rr^*,\times)$) contenant 1 ? Contenant 2 ? \finenonce{001333} \finexercice \exercice{1334, hilion, 2003/10/01} \enonce{001334}{} Soit $\lambda\in\Cc$ fixé. Montrer que $S_{\lambda}=\{ \exp(i\lambda t): t\in \Rr \}$ est un sous-groupe de $(\Cc,\times)$. Pour quelles valeurs de $\lambda$ retrouve-t-on des sous-groupes bien connus? A quoi ressemblent les courbes $S_{\lambda}$ ? Que peut-on dire, en terme de morphisme, de l'application $t\mapsto\exp(i\lambda t)$ ? \finenonce{001334} \finexercice \exercice{1343, legall, 1998/09/01} \enonce{001343}{} D\' ecrire tous les homomorphismes de groupes de ${\Zz}$ dans ${\Zz}$. D\' eterminer ceux qui sont injectifs et ceux qui sont surjectifs. \finenonce{001343} \finexercice \exercice{1344, ortiz, 1999/04/01} \enonce{001344}{} Pour tout couple $(a,b)$ de $\Rr^2$, on pose la matrice $M_{a,b}=\left(\begin{smallmatrix} a&-b\\b&a\end{smallmatrix}\right).$ Soit $\mathcal{S}=\left\{M_{a,b}:(a,b)\in \Rr^2\setminus \left\{(0,0)\right\}\right\}$. Soit l'application $f: \mathcal{S} \to\Rr, M_{a,b}\mapsto a^2+b^2$. \begin{enumerate} \item Montrer que $\mathcal{ S }$ est un groupe pour la loi usuelle de multiplication des matrices carr\'ees. \item Montrer que $f$ est un morphisme du groupe $\left(\mathcal{ S },\times\right)$ dans le groupe multiplicatif $\Rr\setminus\left\{(0,0)\right\}$. \end{enumerate} \finenonce{001344} \finexercice \exercice{1345, legall, 1998/09/01} \enonce{001345}{} Soit $f:{\Rr}\rightarrow {\Cc}^*$ l'application qui \`a tout $x\in {\Rr}$ associe $e^{ix}\in {\Cc}^*$. Montrer que $f$ est un homomorphisme de groupes. Calculer son noyau et son image. $f$ est-elle injective ? \finenonce{001345} \finexercice \exercice{1346, ortiz, 1999/04/01} \enonce{001346}{} Traduire en termes d'homomorphisme de groupes les propri\'et\'es traditionnelles suivantes : \begin{enumerate} \item $\ln(xy)=\ln x+\ln y$ ; \item $\det(MM')= \det(M)\det(M')$ ; \item $|{zz'}|=|{z}||{z'}|$ ; \item $(xy)^{\frac 12}=x^{\frac 12}y^{\frac 12}$ ; \item $e^{z+z'}= e^{z}e^{z'}$ ; \item $\overline{z+z'}=\overline{z}+\overline{ z'}$. \end{enumerate} \finenonce{001346} \finexercice \exercice{1347, ortiz, 1999/04/01} \enonce{001347}{} Pour tout couple $(a,b)$ de $\Rr^2$, on pose $M_{a,b}=\left(\begin{smallmatrix} a&-b\\b&a\end{smallmatrix}\right),$ $\mathcal{ S }=\left\{M_{a,b}:(a,b)\in \Rr^2\right\}$ et $\mathcal{ S}^{\ast}=\mathcal{ S}\setminus\left\{M_{0,0}\right\}.$ Soit l'application $f: \mathcal{ S }\to\Cc, M_{a,b}\mapsto a+ib$. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que $\mathcal{ S }$ est un sous-groupe du groupe additif usuel $\mathcal{M}_2(\Rr).$ \item Montrer que $\mathcal{ S }^{\ast}$ est un sous-groupe multiplicatif de ~~$\text{GL}_2(\Rr).$ \end{enumerate} \item Montrer que $f$ est un isomorphisme du groupe $\left(\mathcal{ S },+\right)$ sur le groupe additif ~$\Cc$. \item \begin{enumerate} \item Montrer que $f$ d\'efinit un homomorphisme du groupe $\left(\mathcal{ S }^{\ast},\times\right)$ sur le groupe multiplicatif~$\Cc^{\ast}$. \item D\'eterminer le noyau et l'image de cet homomorphisme. \end{enumerate} \item Montrer que $\Omega=\left\{M_{a,b}:(a,b)\in \Rr^2,a^2+b^2=1\right\}$ est un sous-groupe distingu\'e du groupe multiplicatif $\mathcal{ S }^{\ast}$. \end{enumerate} \finenonce{001347} \finexercice \exercice{1348, gourio, 2001/09/01} \enonce{001348}{} Soit $G$ un groupe.\ Montrer que l'application $x\rightarrow x^{-1}$ est un morphisme si et seulement si $G$ est commutatif.\ On suppose $G$ fini; soit $\phi$ un morphisme involutif de $G $ dont le seul point fixe est $e$, montrer que : $$\forall z\in G,\exists t\in G,z=t(\phi (t))^{-1}.$$ En d\'{e}duire $\phi$ puis que $G$ est commutatif. \finenonce{001348} \finexercice \exercice{1349, legall, 1998/09/01} \enonce{001349}{} Montrer que les groupes $ (\R ,+) $ et $ (\R ^*_+ ,\times ) $ sont isomorphes. \finenonce{001349} \finexercice \exercice{1350, ridde, 1999/11/01} \enonce{001350}{} Montrer que $\mathbb{U}_2 \times \mathbb{U}_3$ est isomorphe \`a $\mathbb{U}_6$. Est-ce que $\mathbb{U}_2 \times \mathbb{U}_2 $ est isomorphe est $\mathbb{U}_4$ ? Pouvez-vous conjecturer \`a quelle condition $\mathbb{U}_n \times \mathbb{U}_m$ est isomorphe \`a $\mathbb{U}_{nm}$ ? \finenonce{001350} \finexercice \exercice{1351, ortiz, 1999/04/01} \enonce{001351}{} Soit $G$ un groupe. \begin{enumerate} \item Montrer que l'ensemble des automorphismes de $G$ muni de la loi de composition des applications est un groupe. Ce groupe est not\'e $\text{Aut}\,(G).$ \item V\'erifier que l'application $\phi:G\to \text{Aut}\,(G)$ qui associe \`a $g\in G$ l'application $\phi_g:G\to G, x\mapsto gxg^{-1}$ est un morphisme de groupes. D\'eterminer son noyau $Z(G),$ dit \textit{centre} de $G.$ \item D\'eterminer $\text{Aut}\,(\Q)$ et $\text{Aut}\,(\Zz).$ \end{enumerate} \finenonce{001351} \finexercice \exercice{1352, hilion, 2003/10/01} \enonce{001352}{} Soit $(G,.)$ un groupe. On appelle conjugaison par $a\in G$, l'application $f_{a}$ de $G$ dans $G$ définie par $f_{a}(x)=a.x.a^{-1}$. \begin{enumerate} \item Montrer que $f_{a}$ est un automorphisme de $G$. \item Soit $\Gamma=\{f_{a}:a\in G\}$. Montrer que $(\Gamma,\circ)$ est un groupe. \item Soit $\Phi:G\rightarrow\Gamma,a\mapsto f_{a}$. Vérifier que $\Phi$ est un morphisme. Est-il injectif ? (indication: préciser ce morphisme lorsque $G$ est abélien). \end{enumerate} \finenonce{001352} \finexercice \exercice{1353, ortiz, 1999/04/01} \enonce{001353}{} \begin{enumerate} \item Les sous-groupes $(\Q,+)$ et $(\Zz,+)$ sont-ils isomorphes ? \item Les sous-groupes $(\Q,+)$ et $(\Q\setminus\left\{0\right\},\times)$ sont-ils isomorphes ? \end{enumerate} \finenonce{001353} \finexercice \exercice{1354, ortiz, 1999/04/01} \enonce{001354}{} Montrer que les groupes multiplicatifs $\Rr\setminus\left\{0\right\}$ et $\Cc\setminus\left\{0\right\}$ ne sont pas isomorphes. \finenonce{001354} \finexercice \exercice{1385, cousquer, 2003/10/01} \enonce{001385}{} \begin{enumerate} \item On suppose que $\varphi$ est un isomorphisme de $(G,\ast)$ sur $(G',\diamond)$. Si $e$ est l'élément neutre de $G$, que peut-on dire de $\varphi(e)$~? Si $x'$ est l'inverse de $x$ dans $G$, que peut-on dire de $\varphi(x')$~? Si $G$ est d'ordre $n$, que peut-on dire de l'ordre de $G'$~? \item Pouvez-vous citer des exemples de groupes~? de groupes isomorphes~? \item Si $(G,\ast)$ est un groupe fini et si on établit la table de la loi $\ast$, peut-on rencontrer deux fois le même élément dans la même ligne, dans la même colonne~? Établir les tables de composition possibles pour des groupes à $2$, $3$, $4$ éléments. Pouvez-vous donner des exemples de groupes correspondant à ces tables. Retrouver éventuellement des groupes isomorphes. \end{enumerate} \finenonce{001385} \finexercice \exercice{1386, legall, 1998/09/01} \enonce{001386}{} Soient $ p $ un nombre premier et $ G $ un groupe d'ordre $ p .$ Montrer que $ G $ est cyclique et donner la liste des g\'en\'erateurs de $ G .$ \finenonce{001386} \finexercice \exercice{1387, legall, 1998/09/01} \enonce{001387}{} Soit $ G $ un groupe d'ordre $ pn $ avec $ p $ premier. \begin{enumerate} \item On consid\`ere deux sous-groupes $ H $ et $ H' $ de $ G $ d'ordre $ p $ avec $ H\not = H' .$ Montrer que $ H\cap H'=\{ e\} .$ \item En d\'eduire que le nombre d'\'el\'ements d'ordre $ p $ dans $ G $ est un multiple de $ p-1 .$ \end{enumerate} \finenonce{001387} \finexercice \exercice{1388, legall, 1998/09/01} \enonce{001388}{} D\'eterminer (\`a isomorphisme pr\`es) tous les groupes d'ordre $ 4 .$ \finenonce{001388} \finexercice \exercice{1389, legall, 1998/09/01} \enonce{001389}{} \begin{enumerate} \item Soit $ G $ un groupe dans lequel tout \'el\'ement (distinct de l'\'el\'ement neutre) est d'ordre $ 2 .$ Montrer que $ G $ est commutatif. \item Soit $ G $ un groupe d'ordre pair. Montrer que $ G $ contient au moins un \'el\'ement d'ordre $ 2 .$ \end{enumerate} \finenonce{001389} \finexercice \exercice{1390, ortiz, 1999/04/01} \enonce{001390}{} Montrer que tout morphisme de groupes de $\Q$ dans un groupe fini $G$ est trivial. \finenonce{001390} \finexercice \exercice{1391, ortiz, 1999/04/01} \enonce{001391}{} Soit $G$ un groupe et $H$ une partie finie non vide de $G.$ On suppose que $H$ est stable pour la loi de $G.$ Montrer $H$ est un sous-groupe de $G.$ \finenonce{001391} \finexercice \exercice{1392, gourio, 2001/09/01} \enonce{001392}{} Soit $G$ un groupe fini de cardinal $2n $ ($n\geq 2$), poss\'{e}dant 2 sous-groupe $H$ et $H^{\prime } $ tels que : $$\mathrm{Card}(H)=\mathrm{Card}(H^{\prime })=n$$ et $$H\cap H^{\prime }=\{e\}.$$ \begin{enumerate} \item Montrer que $G-(H\cup H^{\prime })$ est un singleton, not\'{e} $\{a\}.$ \item Soit $h\in H-\{e\}$, montrer que $hH^{\prime }\subset \{h,a\}$, en d\'{e}duire que $hH^{\prime }=\{h,a\} $ puis que $n=2.$ \item On \'{e}crit $G=\{a,e,h,h^{\prime }\}, $ donner la table de $G $ (puis un exemple d'un tel groupe). \end{enumerate} \finenonce{001392} \finexercice \exercice{2438, matexo1, 2002/02/01} \enonce{002438}{} Soit $G$ l'ensemble des matrices d'ordre 2 inversibles. \begin{enumerate} \item Montrer que $G$ est un groupe pour le produit matriciel. Est-il commutatif\,? \item Montrer que si $A\in G, B \in G$ v\'erifient $A^2 = B^2 = ABAB = I$, alors $A = A^{-1}, B = B^{-1}$ et $AB = BA$. \item Trouver deux \'el\'ements de $G$ v\'erifiant $A^2 = B^2 = I$ et $AB \neq BA$. \end{enumerate} \finenonce{002438} \finexercice \exercice{2439, matexo1, 2002/02/01} \enonce{002439}{} Soit $G$ l'ensemble des matrices de la forme $$ \left( \begin{array}{cc} 1 & x \\ 0 & 1 \end{array} \right), \qquad x \in \R.$$ Montrer que c'est un groupe multiplicatif isomorphe au groupe additif r\'eel. \finenonce{002439} \finexercice \exercice{2440, matexo1, 2002/02/01} \enonce{002440}{} Soit $G$ le groupe multiplicatif des matrices complexes d'ordre $n$. Parmi les sous-ensembles suivants de $G$, lesquels sont des sous-groupes ? \begin{itemize} \item[---] les matrices \`a coefficients r\'eels\,; \item[---] les matrices inversibles\,; \item[---] les matrices r\'eelles inversibles \`a coefficients positifs\,; \item[---] les matrices diagonales inversibles\,; \item[---] les matrices v\'erifiant $a_{i,i} \neq 0, \forall i$, et triangulaires sup\'erieures ($a_{i,j} = 0$ si $i > j$). \item[---] les matrices v\'erifiant $a_{i,j}= \overline{a_{j,i}}, \forall i,j$. \end{itemize} \finenonce{002440} \finexercice \exercice{2727, tumpach, 2009/10/25} \enonce{002727}{} On munit l'ensemble $G = \{a, b, c, d\}$ d'une loi de composition interne dont la table de Pythagore est $$ \begin{tabular}{r|rrrr} $\star$ & \textbf{a} & \textbf{b}&\textbf{c}&\textbf{d}\\ \hline \textbf{a} & c & a & c & a\\ \textbf{b}& a & d& c& b\\ \textbf{c}& c & c& c & c\\ \textbf{d} & a & b & c & d \end{tabular} $$ (La premi\`ere ligne se lit $a \star a = a$, $a \star b = a$, $a \star c = c$,\ldots.) \begin{enumerate} \item Cette loi poss\`ede-t-elle un \'el\'ement neutre~? \item Cette loi est-elle commutative~? \item Cette loi est-elle associative~? \item Est-ce une loi de groupe~? \end{enumerate} \finenonce{002727} \finexercice \exercice{2728, tumpach, 2009/10/25} \enonce{002728}{} On d\'efinit une permutation $\sigma$ de l'ensemble $\{1, 2, \dots, 15\}$ par la suite finie des entiers $\sigma(1)$, $\sigma(2), \dots, \sigma(15)$. Par exemple $$ \sigma_1 = \left( \begin{array}{ccccccccccccccc} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15\\ 2 & 7 & 1 & 14 & 3 & 12 & 8 & 9 & 6 & 15 & 13 & 4 & 10 & 5 & 11 \end{array} \right) $$ signifie $\sigma(1) = 2, \sigma(2) = 7$, etc\dots Soient $$ \sigma_2 = \left( \begin{array}{ccccccccccccccc} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15\\ 7 & 6 & 5 & 8 & 9 & 3 & 2 & 15 & 4 & 11 & 13 & 10 & 12 & 14 & 1 \end{array} \right) $$ $$ \sigma_3 = \left( \begin{array}{ccccccccccccccc} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15\\ 1 & 15 & 2 & 14 & 3 & 13 & 4 & 12 & 5 & 11 & 6 & 10 & 7 & 9 & 8 \end{array} \right) $$ $$ \sigma_4 = \left( \begin{array}{ccccccccccccccc} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15\\ 2 & 4 & 6 & 8 & 10 & 12 & 14 & 15 & 13 & 11 & 9 & 7 & 5 & 3 & 1 \end{array} \right) $$ \begin{enumerate} \item Pour $i=1, \dots, 4$, \begin{itemize} \item d\'ecomposer $\sigma_i$ en cycles \`a supports disjoints. \item d\'eterminer l'ordre de $\sigma_i$. \item d\'eterminer la signature de $\sigma_i$. \end{itemize} \item Calculer les puissances successives du cycle $\sigma = (10\,\,\,15\,\,\,11\,\,\,13)$. Quel est l'inverse de $\sigma_1$~? \item Calculer $\sigma_2^{2008}$. \item D\'eterminer, sans fatigue excessive, la signature de $$ \sigma_3\circ \sigma_4 \circ \sigma_{3}^{-4} \circ \sigma_{4}^{3}\circ \sigma_3\circ \sigma_4 \circ \sigma_3 \circ \sigma_4 \circ \sigma_3^{-1} \circ \sigma_4^{-6}. $$ \item Combien y a-t-il de permutations $g$ de $\{1, \dots, 15\}$ telles que $\sigma_1\circ g = g\circ \sigma_1$~? \end{enumerate} \finenonce{002728} \finexercice \exercice{2729, tumpach, 2009/10/25} \enonce{002729}{} \begin{enumerate} \item Montrer que les ensembles $G$ suivants, munis des lois $\star$ donn\'ees, sont des groupes. Pr\'eciser quel est l'\'el\'ement neutre de $G$ et quel est l'inverse d'un \'el\'ement quelconque $x\in G$. \begin{enumerate} \item $G = \mathbb{Z}$, $\star = $ l'addition des nombres ; \item $G = \mathbb{Q}^{*}$ (ensemble des rationnels non nuls), $\star = $la multiplication des nombres ; \item $G = \mathbb{Q}^{+*}$ (ensemble des rationnels strictement positifs), $\star = $ la multiplication des nombres ;\item $G = \mathbb{R}$, $\star = $ l'addition des nombres ; \item $G = \mathbb{R}^{+*}$, $\star = $ la multiplication des nombres ; \item $G = \mathbb{C}$, $\star = $ l'addition des nombres ; \item $G = \mathbb{C}^{*}$, $\star = $ la multiplication des nombres ; \item $G = \{z \in\mathbb{C}, |z| = 1\}$, $\star = $ la multiplication des nombres ; \item $G = \{e^{i\frac{2\pi k}{n}}, k = 0, 1, \dots, n-1\}$, $\star = $ la multiplication des nombres ($n$ est un entier fix\'e) ; \item $G = \textrm{l'ensemble des bijections d'un ensemble non vide} \,\,\,E$, $\star =$ la composition des applications ; \item $G$ = l'ensemble des isom\'etries de l'espace euclidien $\mathbb{R}^{3}$ (muni du produit scalaire standard), $\star =$ la composition des applications ; \item $G$ = l'ensemble des isom\'etries du plan euclidien $\mathbb{R}^{2}$ (muni du produit scalaire standard) qui pr\'eservent une figure donn\'ee, $\star =$ la composition des applications. \end{enumerate} \item Donner un morphisme de groupes entre $(\mathbb{R}, +)$ et $(\mathbb{R}^{+*}, \cdot)$ ; \item Donner un morphisme de groupes entre $(\mathbb{R}^{+*}, \cdot)$ et $(\mathbb{R}, +)$ ; \item Donner un morphisme de groupes surjectif entre $(\mathbb{C}, +)$ et $(\mathbb{C}^*, \cdot)$ ; \end{enumerate} \finenonce{002729} \finexercice \exercice{2730, tumpach, 2009/10/25} \enonce{002730}{} Dire pour quelle(s) raison(s) les op\'erations $\star$ suivantes ne munissent pas les ensembles $G$ donn\'es d'une structure de groupe~? \begin{enumerate} \item[(a)] $G = \mathbb{N}$, $\star = $ l'addition des nombres ; \item[(b)] $G = \mathbb{N}^{*}$, $\star = $ la multiplication des nombres ; \item[(c)] $G =\mathbb{R}$, $\star = $ la multiplication des nombres ; \end{enumerate} \finenonce{002730} \finexercice \exercice{2965, quercia, 2010/03/08} \enonce{002965}{Groupe produit} Soient $G,H$ deux groupes multiplicatifs. On munit $G\times H$ de l'op{\'e}ration : $$\forall\ g,g'\in G,\ \forall\ h,h'\in H, \qquad (g,h)\cdot(g',h') = (gg',hh').$$ \\ Montrer que $\cdot$ d{\'e}finit une loi de groupe sur $G\times H$. \finenonce{002965} \finexercice \exercice{2966, quercia, 2010/03/08} \enonce{002966}{Essai de tables} Les op{\'e}rations suivantes sont-elles des lois de groupe ? \begin{enumerate} \item $$\begin{array}{c|ccc} &a &b &c \\ \hline a &a &a &a \\ b &a &b &b \\ c &a &b &c \end{array} $$ \item $$\begin{array}{c|ccc} &a &b &c \\ \hline a &b &c &a \\ b &c &a &b \\ c &a &b &c \end{array} $$ \item $$\begin{array}{c|cccc} &a &b &c &d \\ \hline a &a &b &c &d \\ b &b &a &d &c \\ c &d &c &b &a \\ d &c &d &a &b \end{array} $$ \end{enumerate} \finenonce{002966} \finexercice \exercice{2967, quercia, 2010/03/08} \enonce{002967}{Translations surjectives} Soit $G$ un ensemble non vide muni d'une op{\'e}ration interne $\cdot$ associative telle que : $$\forall\ a,b \in G,\ \exists\ x,y \in G \text{ tq } a = x\cdot b = b\cdot y.$$ Montrer que $(G,\cdot)$ est un groupe. \finenonce{002967} \finexercice \exercice{2968, quercia, 2010/03/08} \enonce{002968}{Transport de structure} Soit $G$ un groupe multiplicatif, $E$ un ensemble, et $\phi : G \to E$ une bijection. On d{\'e}finit une op{\'e}ration $\star$ sur $E$ par : $$\forall\ x,y \in E,\ x \star y = \phi\Bigl( \phi^{-1}(x)\phi^{-1}(y) \Bigr).$$ Montrer que $\star$ est une loi de groupe et que les groupes $G$ et $E$ sont isomorphes. \finenonce{002968} \finexercice \exercice{2969, quercia, 2010/03/08} \enonce{002969}{Transport de structure} Pour tout $x,y \in \R$, on pose $x \star y = x \sqrt{1+y^2} + y \sqrt{1+x^2}$. \begin{enumerate} \item V{\'e}rifier que $\sqrt{1+(x\star y)^2} = \sqrt{1+x^2}\sqrt{1+y^2} + xy$. \item Montrer que $(\R, \star)$ est un groupe. \item Montrer que l'application $\sh$ est un isomorphisme entre $(\R,+)$ et $(\R, \star)$. \end{enumerate} \finenonce{002969} \finexercice \exercice{2970, quercia, 2010/03/08} \enonce{002970}{Transport de structure} Pour tout $x,y \in \R$, on pose $x \star y = \root{\scriptstyle 3}\of {x^3+y^3}$. Montrer que $(\R,\star)$ est un groupe isomorphe {\`a} $(\R,+)$. \finenonce{002970} \finexercice \exercice{2971, quercia, 2010/03/08} \enonce{002971}{Loi associative r{\'e}guli{\`e}re} Soit $E$ un ensemble fini muni d'une op{\'e}ration interne $*$ associative pour laquelle tout {\'e}l{\'e}ment est r{\'e}gulier {\`a} droite et {\`a} gauche. Montrer que $E$ est un groupe. \finenonce{002971} \finexercice \exercice{2972, quercia, 2010/03/08} \enonce{002972}{Partie finie stable par produit} Soit $G$ un groupe multiplicatif et $H$ une partie finie de $G$ non vide, stable par multiplication. Montrer que $H$ est un sous-groupe de $G$. \finenonce{002972} \finexercice \exercice{2973, quercia, 2010/03/08} \enonce{002973}{Centre d'un groupe et commutant} Soit $G$ un groupe multiplicatif. On note $Z(G) = \{ a \in G$ tq $\forall\ b \in G,$ on a $ab = ba\}$ ({\it centre de $G$\/}), et pour ${a \in G\colon}$ $C(a) = \{ b \in G$ tq $ab = ba\}$ ({\it commutant de $a$\/}). Montrer que $Z(G)$ et $C(a)$ sont des sous-groupes de $G$. \finenonce{002973} \finexercice \exercice{2974, quercia, 2010/03/08} \enonce{002974}{ Loi $\Delta$} Soit $E$ un ensemble et $G = {\cal P}(E)$. \begin{enumerate} \item Montrer que $(G,\Delta)$ est un groupe commutatif. \item Pour $a \in E$, on note ${\phi_a} : G \to {\Z/2\Z}$ d{\'e}finie par $\begin{cases} X &{\dot 0 \text{ si } a \notin X}\cr X &{\dot 1 \text{ si } a \in X}\cr\end{cases}$. \par Montrer que $\phi_a$ est un morphisme de groupes. \item On prend $E = \{1,\dots, n\}$ et on note \begin{align*} \Phi : G &\to {\bigl({\Z/2\Z}\bigr)^n}, \\ X &\mapsto (\phi_1(X),\dots,\phi_n(X)) . \end{align*} Montrer que $\Phi$ est un isomorphisme de groupes. \end{enumerate} \finenonce{002974} \finexercice \exercice{2975, quercia, 2010/03/08} \enonce{002975}{Sous-groupes embo{\^\i}t{\'e}s} Soit $G$ un groupe additif, et $H,K,L$ trois sous-groupes de $G$ v{\'e}rifiant : $H \subset K$, $H \cap L = K \cap L$, $H + L = K + L$. D{\'e}montrer que $H = K$. \finenonce{002975} \finexercice \exercice{2976, quercia, 2010/03/08} \enonce{002976}{$\mathrm{Card}\,(HK)$} Soit $G$ un groupe fini et $H,K$ deux sous-groupes de $G$. On consid{\`e}re l'application $\phi : {H\times K} \to G, {(h,k)} \mapsto {hk}$ \begin{enumerate} \item Est-ce que $\phi$ est un morphisme de groupes ? \item Soit $z \in HK$, $z=h_0k_0$ avec $h_0 \in H$ et $k_0 \in K$. \par Montrer que les ant{\'e}c{\'e}dents de $z$ par $\phi$ sont les couples $(h_0t,t^{-1}k_0)$ avec $t \in H \cap K$. \item En d{\'e}duire que : $\mathrm{Card}\,(HK)\mathrm{Card}\,(H\cap K) = \mathrm{Card}\,(H)\mathrm{Card}\,(K)$. \item Montrer que : ($HK$ est un sous-groupe de $G$) $\iff$ ($HK \subset KH$) $\iff$ ($HK = KH$). \end{enumerate} \finenonce{002976} \finexercice \exercice{2978, quercia, 2010/03/08} \enonce{002978}{Sous-groupes d'un groupe cyclique} Soit $n \in \N^*$ et $G = \Z/n\Z$. Soit $k \in \Z$ et $d = k \wedge n$. \begin{enumerate} \item D{\'e}terminer l'ordre de $\dot k$ dans $G$. \item Montrer que $\dot k$ et $\dot d$ engendrent le m{\^e}me sous-groupe de $G$. \item Quels sont tous les sous-groupes de $G$ ? \end{enumerate} \finenonce{002978} \finexercice \exercice{7290, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007290}{} \begin{enumerate} \item Soit $(G,\star)$ un groupe. Donner la définition du sous-groupe engendré par une partie $P$ de $G$. \item Soit $(G,\star)$ un groupe. Décrire le sous-groupe engendré par un élément $g$ de $G$. \item Décrire le sous-groupe engendré par un élément $n$ de $(\Z,+)$. \end{enumerate} \finenonce{007290} \finexercice \exercice{7291, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007291}{} \begin{enumerate} \item Dire si les couples suivants sont des groupes : $(\Z,+)$ ; $(\Z,\times)$ ; $(\C^*,+)$ ; $(\C^*, \times)$. \item Déterminer une loi de composition interne pour laquelle $\{-1,1\}$ est un groupe. Même question avec $\R\times\R$. \item Soit $(G,\star)$ un groupe et $E$ un ensemble. Montrer que l'ensemble $\mathcal{A}(E,G)$ des applications de $E$ dans $G$ peut être muni d'une structure naturelle de groupe. \item L'ensemble $\{a,b,c\}$ muni de la loi de composition interne définie par la table $$\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline \star& a&b&c\\ \hline a&a&b&c\\ \hline b&b&a&b\\ \hline c& c& b&a\\\hline \end{array} $$ admet-il un élément neutre ? est-il commutatif ? tout élément admet-il un symétrique ? est-il un groupe ? \item La réunion de deux sous-groupes d'un groupe $G$ est-elle un sous-groupe ? Et l'intersection ? \item Donner l'exemple d'un ensemble avec une loi de composition interne sans élément neutre. \end{enumerate} \finenonce{007291} \finexercice \exercice{7292, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007292}{} Soit $(E,\star)$ un ensemble muni d'une loi interne associative avec un élément neutre, noté $\varepsilon$. \begin{enumerate} \item Démontrer qu'il n'y a pas d'autre élément neutre. \item Soit $x$ un élément qui admet un symétrique $x'$. Démontrer qu'il n'y a pas d'autre symétrique. \item Soit $x$ et $y$ dans $E$ qui admettent un symétrique. Déterminer un symétrique de $x\star y$. \end{enumerate} \finenonce{007292} \finexercice \exercice{7293, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007293}{} \begin{enumerate} % \item Soit $H$ un sous-groupe de $(\Z,+)$ contenant $\{2,7\}$. Montrer que $1$ est dans $H$. \item Montrer que $1$ est dans le sous-groupe de $(\Z,+)$ engendré par $\{2,7\}$. \item Quel est le sous-groupe engendré par $\{2,7\}$ ? \end{enumerate} \finenonce{007293} \finexercice \exercice{7294, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007294}{} Soit $a$ et $b$ deux entiers non tous nuls et $$ le sous-groupe de $(\Z,+)$ engendré par $\{a,b\}$. \begin{enumerate} \item Montrer que $a\Z$ est inclus dans $$. \item Montrer que $a\Z+b\Z$ est inclus dans $$. \item Montrer que $a\Z+b\Z$ est un sous-groupe de $(\Z,+)$, contenant $\{a,b\}$. \item Montrer que $$ est inclus dans $a\Z+b\Z$. \item Montrer que $$ est $a\Z+b\Z$. \item Montrer que $=a\Z+b\Z=\pgcd(a,b)\Z$. \end{enumerate} \finenonce{007294} \finexercice \exercice{7295, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007295}{} \begin{enumerate} \item Déterminer $45\Z \cap 60\Z$. \item Déterminer $56\Z+63\Z$. \item Trouver les sous-groupes de $\Z$ contenant $48\Z$ et donner les relations d'inclusion existant entre eux. \end{enumerate} \finenonce{007295} \finexercice \exercice{7296, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007296}{} \begin{enumerate} \item L'application $F~:(\Z,+)\to (\Z,+)$, $n\mapsto 1$ est-elle un morphisme de groupes ? \item Déterminer deux morphismes de groupes de $(\R,+)$ vers $(\R_+^\star,\times)$. \end{enumerate} \finenonce{007296} \finexercice \exercice{7297, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007297}{} \begin{enumerate} \item Soit $F$ un morphisme de groupes de $(\Z,+)$ dans lui-même. Montrer qu'il suffit de connaître $F(1)$ pour connaître l'image de chaque entier par $F$. \item Existe-t-il un morphisme de groupes de $(\Z,+)$ dans lui-même tel que $F(2)=3$ ? \item Déterminer tous les morphismes de groupes de $(\Z,+)$ dans lui-même tels que $F(2)=~4$. \item Montrer qu'une condition nécessaire et suffisante sur $(a,b)\in \Z^2$ pour qu'il existe un morphisme de groupes de $(\Z,+)$ dans lui-même tel que $F(2)=a$ et $F(5)=b$ est : $5a=2b$. \end{enumerate} \finenonce{007297} \finexercice \exercice{7298, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007298}{} Soit $E=\{a,b\}$ un ensemble à deux éléments. On cherche à déterminer toutes les structures de groupes sur cet ensemble. \begin{enumerate} \item Si $a$ est l'élément neutre, quel doit être le symétrique de $b$ ? En déduire la table de multiplication dans ce cas. \item Combien y a-t-il de structures de groupes différentes sur $E$ ? \end{enumerate} \finenonce{007298} \finexercice \exercice{7299, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007299}{} Soit $E = \Q^2 \setminus \{(0,0)\}$, et $\star$ la loi de composition interne définie par : $$ (x,y) \star (x',y') = (xx'-yy',xy'+yx').$$ $(E,\star)$ est-il un groupe ? commutatif ? \finenonce{007299} \finexercice \exercice{7300, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007300}{} Soit $E$ un ensemble, on note $\mathcal{P}(E)$ l'ensemble des parties de $E$. Si $A, B \in \mathcal{P}(E)$, on note $A\Delta B = (A \cup B) \setminus (A \cap B)$ la \emph{différence symétrique} de $A$ et $B$. Montrer que pour toute partie $A$ de $E$, $A^2 = A$ et que le triplet $(\mathcal{P}(E),\Delta,\cap)$ forme un anneau commutatif. \finenonce{007300} \finexercice \exercice{7301, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007301}{} Soit $G$ un groupe tel que $\forall x\in G, x\star x=e_G$. Montrer que tout élément de $G$ est son propre inverse. Calculer pour tout $(a,b)\in G^2$, le produit $a\star b\star a^{-1}\star b^{-1}$ et montrer que $G$ est abélien. \finenonce{007301} \finexercice \exercice{7343, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007343}{} \begin{enumerate} Voici la table d'un groupe $G$. $$\begin{array}{|c||c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline * & a & b & c & d & e & f & g & h & i& j& k & l\\ \hline\hline a & d & j & g & & h & i & & e & f& b & & k \\ \hline b & & g & j & & l & e & d & i & k& a & h & \\ \hline c & b & a & d & & & k & j & l & e & g & f & h \\ \hline d & & & c & d & & & & h & i & & & l \\ \hline e & & f & & e & d & b & l & j & c & h & a & g \\ \hline f & i & l & h & & & d & e & c & a & k & j & b \\ \hline g & j & d & & g & f & l & & k & h& c & i & e \\ \hline h & l & i & & h & a & j & k & b & & e & d & c \\ \hline i & f & & e & i & c & a & h & & d & l & b & j \\ \hline j & & c& b & j & k & & a & f & l & d & e & i \\ \hline k & e & h & l & k & j & c & i & d & & & g & a \\ \hline l & & e & k & l & b & g & & a & j& i& c & d \\ \hline\end{array} $$ \item La compléter. \item Le groupe est-il commutatif ? \item Déterminer l'ordre de $b$. \end{enumerate} \finenonce{007343} \finexercice \exercice{7344, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007344}{} Considérons le groupe $\displaystyle\left(\mathbb{F}_{53} \right)^\times$. Quels sont les ordres possibles d'un élément de ce groupe ? Combien d'éléments de chaque ordre ce groupe possède -t-il ? Déterminer en le justifiant un générateur de ce groupe. \finenonce{007344} \finexercice \exercice{7354, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007354}{} Montrer que tout groupe cyclique d'ordre $n$ est isomorphe à $\Z/n\Z$. \finenonce{007354} \finexercice \exercice{7355, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007355}{} Montrer que les deux permutations $\tau=(1,2)$ et $c=(1,2,3)$ engendrent le groupe symétrique $\mathcal{S}_3$. On pourra construire un arbre dont $Id$ est la racine et tel qu'en chaque noeud partent deux branches, l'une marquée $\tau$, l'autre $c$. \finenonce{007355} \finexercice \exercice{7356, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007356}{} \begin{enumerate} \item Donner la liste des permutations du groupe symétrique $\mathcal{S}_4$. \item Les deux permutations $\tau=(1,3)$ et $c=(1,2,3,4)$ engendrent-elles le groupe symétrique $\mathcal{S}_3$ ? \end{enumerate} \finenonce{007356} \finexercice \exercice{7357, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007357}{} \begin{enumerate} \item Construire à la règle et au compas un hexagone régulier $E$. \item Une translation de vecteur non nul peut-elle conserver globalement l'hexagone $E$ ? \item Quels sont les centres et les angles des rotations du plan euclidien orienté qui conservent globalement l'hexagone $E$ ? \item Quelles sont les symétries orthogonales du plan euclidien orienté qui conservent globalement l'hexagone $E$ ? \item Quelles sont les symétries orthogonales glissées du plan euclidien orienté qui conservent globalement l'hexagone $E$ ? \item Soit $r$ une rotation d'angle minimal non nul qui conserve globalement l'hexagone $E$ et $s$ une symétrie orthogonale qui conserve globalement $E$. Quel est l'ordre de $r$ ? et celui de $s$ ? \item \'Ecrire $r$ comme composée de $s$ suivie d'une autre symétrie orthogonale. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques (centre, axe, angle...) de l'isométrie $rs$. \item Donner la liste des éléments du groupe $D_{12}$ des isométries du plan euclidien orienté qui conservent globalement l'hexagone $E$. On n'utilisera dans les notations seulement une rotation $r$ et une symétrie $s$. \item \`A l'aide de l'écriture de $r$ comme composée de deux symétries, calculer $sr$. \item En déduire les produits $rsrs$, $rsr^2s$, $r^3sr^4s$. \end{enumerate} \finenonce{007357} \finexercice \exercice{7358, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007358}{} \begin{enumerate} \item Montrer que le groupe $GL_2(\mathbb{F}_2)$ des matrices inversibles de taille $2\times 2$ à coefficients dans le corps $\mathbb{F}_2=\Z/2\Z$ est un groupe de cardinal $(2^2-1)(2^2-2)=6$. \item On a vu en cours que tout groupe d'ordre $6$ est isomorphe soit au groupe cyclique $\Z/6\Z$, soit au groupe symétrique $\mathcal{S}_3$ et que ces deux groupes ne sont pas isomorphes. Auquel de ces deux groupes, le groupe $GL_2(\mathbb{F}_2)$ est-il isomorphe ? \end{enumerate} \finenonce{007358} \finexercice \exercice{7359, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007359}{} \begin{enumerate} \item Enoncer le théorème de Lagrange. \item Donner l'exemple de deux groupes finis de même ordre non isomorphes. Justifier le fait que les deux groupes choisis ne sont pas isomorphes. \item Donner la définition d'un sous-groupe \emph{distingué}. \item L'anneau $(\Z/24\Z,+,\times)$ est-il intègre ? Justifier. \item Effectuer la division euclidienne de $X^3+2X^2-5X+8$ par $X^2-1$ dans $\Z/5\Z[X]$. \item Effectuer la division euclidienne de $X^3+2X^2-5X+8$ par $2X^2-1$ dans $\Z/5\Z[X]$. \end{enumerate} \finenonce{007359} \finexercice \exercice{7360, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007360}{} \begin{enumerate} \item Calculer les produits dans $\mathcal{S}_7$, $(1,2)(1,3)$ et $(1,2)(2,3)(1,2)$. \item L'ensemble des transpositions de $\mathcal{S}_7$ est-il un sous-groupe de $\mathcal{S}_7$ ? \end{enumerate} \finenonce{007360} \finexercice \exercice{7361, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007361}{} \begin{enumerate} \item Montrer que $1$ est dans le sous-groupe de $(\Z,+)$ engendré par $\{3,8\}$. \item Quel est le sous-groupe engendré par $\{3,8\}$ ? \item Quel est le sous-groupe engendré par $\{3,8,15\}$ ? \end{enumerate} \finenonce{007361} \finexercice \exercice{7362, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007362}{} \begin{enumerate} \item Le sous-ensemble $28\Z+18\Z$ de $\Z$ est-il un sous-groupe de $\Z$ ? Si oui, le déterminer. \item Le sous-ensemble $28\Z\cup 18\Z$ de $\Z$ est-il un sous-groupe de $\Z$ ? Si oui, le déterminer. \item Le sous-ensemble $28\Z\cap 18\Z$ de $\Z$ est-il un sous-groupe de $\Z$ ? Si oui, le déterminer. \item Donner l'exemple d'un groupe commutatif non cyclique. \item Donner l'exemple d'un groupe non commutatif infini. \item Donner la définition d'un anneau. \item Démontrer que tout groupe fini d'ordre premier est cyclique. \end{enumerate} \finenonce{007362} \finexercice \exercice{7363, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007363}{} \begin{enumerate} \item Quels sont les ordres possibles des éléments d'un groupe d'ordre $6$ ? \item Quels sont les éléments inversibles de $(\Z/7\Z,\times)$ ? \item Ecrire la table de multiplication de $((\Z/7\Z)^\star,\times)$. \item Déterminer s'il en existe un générateur de $((\Z/7\Z)^\star,\times)$. \item Combien $((\Z/7\Z)^\star,\times)$ a-t-il de générateurs ? \item Le groupe $\Z/2\Z\times \Z/4\Z$ est-il cyclique ? \item Le groupe des inversibles de $\Z/20\Z$ est-il cyclique ? \end{enumerate} \finenonce{007363} \finexercice \exercice{7364, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007364}{} Dans le groupe $\mathcal{S}_7$ des permutations de l'ensemble fini $\{1,2,\cdots,7\}$ on considère les deux permutations $$\alpha=(157)(43) \quad \text{ et } \quad \beta=(26).$$ \begin{enumerate} \item Montrer que $\alpha\beta=\beta\alpha$. \item Déterminer l'ordre de $\alpha$ et de $\beta$. \item Calculer $\alpha^{-1}$ et $\beta^{-1}$. \item Montrer que $S=\{\alpha^i\beta^j, 0\leq i \leq 5, 0\leq j\leq 1\}$ est un sous-groupe de $\mathcal{S}_7$. \item Calculer l'ordre de $S$. \item Montrer que tout sous-groupe de $\mathcal{S}_7$ qui contient $\alpha$ et $\beta$ contient $S$. \item Que peut-on déduire des questions 4. et 6. précédentes ? \item Déterminer l'ordre de $\alpha\beta$. \item Le sous-groupe $S$ est-il cyclique ? \end{enumerate} \finenonce{007364} \finexercice \exercice{7365, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007365}{} \begin{enumerate} \item Calculer les produits de matrices $ADA^{-1}$ et $BDB^{-1}$ dans $GL(2,\R)$ où $$A=\begin{pmatrix}0&1\\2&0\end{pmatrix} \quad \text{ et } \quad B=\begin{pmatrix}1&4\\0&1\end{pmatrix}\quad \text{ et } \quad D=\begin{pmatrix}2&0\\0&3 \end{pmatrix}$$ \item Le sous-groupe de $GL(2,\R)$ des matrices diagonales inversibles est-il distingué dans $GL(2,\R)$ ? \item Calculer le produit de matrices $AB$ dans $GL(2,\R)$. \item L'application trace de $GL(2,\R)$ dans $(\R,+)$ est-elle un morphisme de groupes ? \end{enumerate} \finenonce{007365} \finexercice \exercice{7366, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007366}{} \begin{enumerate} \item Décomposer en produit de cycles à supports disjoints la permutation $$\sigma=\left(\begin{array}{ccccccc} 1&2&3&4&5&6&7 \\ 7&6&3&1&4&2&5 \end{array} \right).$$ \item Déterminer son ordre. \item Ecrire sa puissance $\sigma ^6$. \item Ecrire son inverse en produit de cycles à supports disjoints. \item La décomposer en produit de moins de $7$ tranpositions. \end{enumerate} \finenonce{007366} \finexercice \exercice{7367, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007367}{} \begin{enumerate} \item Quels sont les éléments inversibles de l'anneau $(\Z/11\Z)$ ? \item Déterminer un générateur $g$ du groupe $(\Z/11\Z)^\star$ des inversibles de l'anneau $(\Z/11\Z)$. \item Ecrire chaque élément de $(\Z/11\Z)^\star$ comme puissance de $g$. \end{enumerate} \finenonce{007367} \finexercice \section{ 203.02 Ordre d'un élément } \exercice{1335, cousquer, 2003/10/01} \enonce{001335}{} On appelle \emph{ordre d'un élément} d'un groupe fini $(G,\ast)$ l'ordre du sous-groupe engendré dans $G$ par cet élément. \begin{enumerate} \item Montrer que si $x$ est d'ordre $p$, $p$ est le plus petit entier tel que $x^p=e$. \item Déterminer les ordres des éléments des groupes rencontrés au \textbf{I}. \item Soit $(G,\ast)$ un groupe fini, $a$ un élément de $G$, $H$ un sous-groupe d'ordre $p$ de $G$~; on note $aH$ l'ensemble $\{a\ast y\mid y\in H\}$.\newline a) Montrer que pour tout $a\in G$, $aH$ a $p$ éléments.\newline b) Montrer que si $a\in G$ et $b \in G$, $(aH=bH)$ ou $(aH\cap bH=\emptyset)$.\newline c) En déduire que l'ordre de $H$ divise l'ordre de~$G$. \item Montrer que si $G$ est un groupe fini d'ordre $n$, les ordres de tous ses éléments divisent~$n$. \item Trouver des sous-groupes de $\mathbb{Z}_2$, $\mathbb{Z}_3$, $\mathbb{Z}_4$, $\mathbb{Z}_5$, $\mathbb{Z}_6$, $\frak{S}_2$, $\frak{S}_3$. \item Si $G$ est un groupe d'ordre~$5$, que peut-on dire de l'ordre de ses éléments~? En déduire les tables de composition possibles pour un groupe d'ordre~$5$. Que peut-on dire de deux groupes quelconques d'ordre~$5$~? Mêmes questions pour les groupes d'ordre~$23$. Généraliser. \end{enumerate} \finenonce{001335} \finexercice \exercice{1336, legall, 1998/09/01} \enonce{001336}{} Soit $H$ un groupe ab\' elien. Un \' el\' ement $x\in H$ est dit d'ordre fini lorsque il existe $n\in {\Nn}$ tel que la somme $x+...+x$ ($n$-fois) soit \' egale \`a $0$. Montrer que l'ensemble des \' el\' ements d'ordre fini de $H$ est un sous-groupe ab\' elien de $H$. \finenonce{001336} \finexercice \exercice{1337, legall, 1998/09/01} \enonce{001337}{} Soit $G$ un groupe, $e$ son \' el\' ement neutre. Un \' el\' ement $g$ de $G$ est dit {\em d'ordre $n\in {\Nn}$} si $g^n=e$ et $g^k\not = e$ pour tout entier $k 1$ montrer que tout élément de $\mathbb{A}$ est algébrique de degré 1 ou 2 sur $\R$. En déduire qu'alors $\mathbb{A}$ est isomorphe à~$\C$. \end{enumerate} \finenonce{003326} \finexercice \exercice{3352, quercia, 2010/03/09} \enonce{003352}{Sous algèbres} Soit $E$ un ev de dimension finie et $\cal A$ une sous-algèbre de $\mathcal{L}(E)$. Montrer que si $f \in \cal A$ et $f$ est bijective, alors $f^{-1} \in \cal A$. \par On pourra étudier l'application $\phi : {\cal A} \to {\cal A}, g \mapsto {f\circ g.}$ \finenonce{003352} \finexercice\exercice{7324, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007324}{} \begin{enumerate} \item Donner la définition d'un groupe. \item Dire si les couples suivants sont des groupes : $(\Z,+)$ ; $(\Z,\times)$ ; $(\C^*,+)$ ; $(\C^*, \times)$. Lorsque la réponse est "non", on indiquera une propriété des groupes qui fait défaut (on ne demande pas de justification lorsque la réponse est "oui"). \item Quels sont les idéaux de l'anneau $(\Z,+,\times)$ ? \item Quels sont les idéaux de l'anneau $(\R[X],+,\times)$ ? \end{enumerate} \finenonce{007324} \finexercice \exercice{7325, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007325}{} \begin{enumerate} \item L'entier $51606$ appartient-il à $2569 + 247\Z$ ? \item L'entier $-1601$ est-il un représentant de la classe $[-7387]_{ 2893}$ de $\Z/2893\Z$? \item Calculer l'élément $2169$ dans $\Z/17\Z$. Le résultat doit être représenté par un nombre compris entre $0$ et $16$. \item Calculer l'élément $11 ^{329}$ dans $\Z/13\Z$. Le résultat doit être représenté par un nombre compris entre $0$ et $12$. \end{enumerate} \finenonce{007325} \finexercice \exercice{7326, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007326}{} On note $\mathbb{F}_{11}$ le corps fini $\Z/11\Z$. Considérons le groupe $\displaystyle\left(\mathbb{F}_{11} \right)^\times$. Quels sont les ordres possibles d'un élément de ce groupe ? Combien d'éléments de chaque ordre ce groupe possède-t-il ? Déterminer tous les générateurs de ce groupe. \finenonce{007326} \finexercice \exercice{7327, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007327}{} \begin{enumerate} \item Déterminer la liste des inversibles de $\Z/15\Z$. Déterminer l'ordre de chaque élément dans $\left(\Z/15\Z\right)^\times $. \item Déterminer la liste des inversibles de $\Z/3\Z\times \Z/5\Z$. Déterminer l'ordre de chaque élément dans $\left(\Z/3\Z\times \Z/5\Z\right)^\times $. \item Donner un isomorphisme de groupes de $\left(\Z/15\Z\right)^\times $ dans $\left(\Z/3\Z\times \Z/5\Z\right)^\times$. \end{enumerate} \finenonce{007327} \finexercice \exercice{7328, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007328}{} \begin{enumerate} \item Le polynôme $(X^2+X+1)^3$ est-il irréductible dans $\mathbb{F}_2[X]$ ? \item Donner la liste des polynômes irréductibles de $\mathbb{F}_2[X]$ de degré $2$ et $3$. \item Donner un polynôme irréductible de degré $4$ de $\mathbb{F}_2[X]$. \item Ecrire dans $\mathbb{F}_2[X]$, une relation de Bezout pour $X^3+X^2+1$ et $X^2+X+1$. \end{enumerate} \finenonce{007328} \finexercice \exercice{7329, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007329}{} \begin{enumerate} \item Combien le corps $\mathbb{F}_2[X]/(X^3+X+1)$ a-t-il d'éléments ? \item Déterminer la liste des éléments et la table de multiplication de l'anneau quotient $$\mathbb{F}_2[X]/(X^2+X+1).$$ \item Multiplier $[X^5+X^4+6X]$ par $[X^4+7X^5+9X^3+4X^2]$ dans $\mathbb{F}_2[X]/(X^2+X+1)$ et donner le résultat avec un représentant de la liste précédente. \item Déterminer un inverse de $[X^3+X^2+1]$ dans $\mathbb{F}_2[X]/(X^2+X+1).$ \end{enumerate} \finenonce{007329} \finexercice \exercice{7330, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007330}{} Résoudre dans $\R[X]$ le système de congruences $$\left\{\begin{array}{cccc} P&=&X&[X^2+X+1]\cr P&=&3&[X^2+X] \end{array} \right.$$ \finenonce{007330} \finexercice \exercice{7331, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007331}{} \begin{enumerate} \item Le polynôme $X^2+1$ est-il irréductible dans $\mathbb{F}_3[X]$ ? \item Quelle est alors la structure de l'ensemble quotient $A=\mathbb{F}_3[X]/(X^2+1)$ ? \item Quelle relation vérifie la classe $\alpha$ du polynôme $X$ dans ce quotient ? \item Donner la liste des éléments de $A$. \item Déterminer l'ordre multiplicatif de $\alpha$ dans $A^\times$. \item Déterminer l'ordre multiplicatif de $a:=\alpha+2$ dans $A^\times$. \item Etablir la table des puissances de $a$. \item Calculer $(2+a) (2+2a)$. \item Calculer $a^3+a^2$ comme puissance de $a$. \item Calculer $(1+2a)^{-1}$. \end{enumerate} \finenonce{007331} \finexercice \exercice{7332, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007332}{} \begin{enumerate} \item Montrer que le polynôme $X^3+X+1$ est irréductible dans $\mathbb{F}_2[X]$. \item Quelle est alors la structure de l'ensemble quotient $A=\mathbb{F}_2[X]/(X^3+X+1)$ ? \item Quel est le cardinal de $A$ ? Soit $\alpha$ la classe du polynôme $X$ dans ce quotient $A$. Donner la liste des éléments de $A$. \item Sans calculs, mais en justifiant votre réponse, dire ce que valent les quantités suivantes $$\alpha+\alpha, \ \ \alpha^3+\alpha+1, \ \ \ \alpha^7.$$ \item Déterminer l'ordre multiplicatif de $\alpha$ dans $A^\times$. \item Etablir la table des puissances de $\alpha$. \item Calculer $(1+\alpha) (1+\alpha^2)$. \item Calculer $\alpha^3+\alpha^2$ comme puissance de $\alpha$. \item Calculer $(1+\alpha)^{-1}$. \end{enumerate} \finenonce{007332} \finexercice \exercice{7348, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007348}{} Alice et Bernard décident d'utiliser l'algorithme d'El Gamal. Il utilise le corps $\mathbb{F}_{19}$ avec l'élément $G=15$. \begin{enumerate} \item Déterminer l'ordre de $15$ dans $\mathbb{F}_{19}^\times$. \item Bernard choisit sa clé privée $c=4$. Déterminer sa clé publique $C=G^c$. \item Alice choisit une clé temporaire privée $d=5$. Quelle est sa clé publique $D$ ? Elle souhaite envoyer le message $m=17$. Elle le chiffre en utilisant la clé publique $C$ de Bernard par $(M_1,M_2)=(D,mC^d)$. Calculer ce message chiffré. \item Comment Bernard retrouve-t-il le message $m$ ? \item Dans un second envoi, Bernard reçoit $(8,3)$. Quel est le message $m$ envoyé cette fois par Alice ? Quelle clé privée a-t-elle utilisé cette fois ? \end{enumerate} \finenonce{007348} \finexercice \section{ 203.07 Groupe de permutation } \exercice{1402, hilion, 2003/10/01} \enonce{001402}{} \begin{enumerate} \item Déterminer $\text{card}(S_{3})$ et écrire tous les éléments de $S_{3}$, puis écrire la table de $S_{3}$ et en déduire tous les sous-groupes de $S_{3}$. \item On considère $T$ un triangle équilatéral du plan, de sommets $A,B,C$. \begin{enumerate} \item Montrer que les isométries du plan qui préservent $T$ forment un groupe pour la loi $\circ$, que l'on note $G$. \item Montrer qu'un élément de $G$ induit une permutation de l'ensemble $\{A,B,C\}$. On construit ainsi une application $\phi$ de $G$ dans $S_{3}$. \item Montrer que $\phi$ est un isomorphisme. \end{enumerate} \end{enumerate} \finenonce{001402} \finexercice \exercice{1403, hilion, 2003/10/01} \enonce{001403}{} On considère le groupe symétrique $S_n$. \begin{enumerate} \item Déterminer $\text{card}(S_{n})$. \item Calculer $(3 4) (4 5) (2 3) (1 2) (5 6) (2 3) (4 5) (3 4) (2 3)$. \item Rappel: la permutation $\sigma= \begin{pmatrix} a_{1} & a_{2} & \dots & a_{k} \\ a_{2} & a_{3} & \dots & a_{1} \end{pmatrix}$ est un cycle de longueur $k$, que l'on note $(a_{1}\; a_{2} \dots a_{k})$. Si $\tau\in S_n$, montrer que $\tau\sigma\tau^{-1}=(\tau(a_{1})\; \tau(a_{2}) \dots \tau(a_{k}))$. \item Rappel: toute permutation se décompose en produit de cycles à supports disjoints, et cette décomposition est unique à l'ordre près. Décomposer les permutations suivantes en produits de cycles à supports disjoints: $\begin{pmatrix} 1&2&3&4&5 \\ 3&4&5&1&2 \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} 1&2&3&4&5&6&7 \\ 7&6&1&2&3&4&5 \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} 1&2&3&4&5&6&7&8 \\ 6&2&5&7&8&1&3&4 \end{pmatrix}$ \item Rappel: il existe un unique morphisme de $S_n$ dans $(\{-1,1\},\times)$ non trivial, appelé signature, et noté $\epsilon$. Une manière de calculer $\epsilon(\tau)$ (o\`u $\tau\in S_n$) consiste à décomposer $\tau$ en produit de $p$ transpositions (ie cycles de longueur 2): alors $\epsilon(\tau)=(-1)^p$. Montrer que la signature d'un cycle de longueur $k$ vaut $(-1)^{k-1}$. En déduire comment se calcule la signature d'une permutation à partir de sa décomposition en produit de cycles disjoints. \end{enumerate} \finenonce{001403} \finexercice \exercice{1404, barraud, 2003/09/01} \enonce{001404}{} Comment passer de 1234 à 2314 en échangeant seulement deux chiffres à chaque étape~? Y a-t-il plusieurs façons d'y parvenir~? Même question pour 1234 et 4312. Peut-on obtenir n'importe quelle permutation des chiffres 1234 par ce procédé~? \finenonce{001404} \finexercice \exercice{1405, barraud, 2003/09/01} \enonce{001405}{} Représenter graphiquement les permutations suivantes. Les décomposer en produit de cycles à supports disjoints, puis en produits de transpositions. $$ \sigma_{1}= \left( \begin{array}{@{}c@{}} 1234567\\1425376 \end{array} \right) \qquad \sigma_{2}= \left( \begin{array}{@{}c@{}} 1234567\\2471635 \end{array} \right) \qquad \sigma_{3}= \left( \begin{array}{@{}c@{}} 1234567\\3261547 \end{array} \right) \qquad \sigma_{4}= \left( \begin{array}{@{}c@{}} 1234567\\7146253 \end{array} \right) $$ Calculer la signature des permutations ci-dessus. Calculer le produit $\sigma_{1}\sigma_{2}\sigma_{3}$ et sa signature. Comparer ce résultat aux précédents. \finenonce{001405} \finexercice \exercice{1406, barraud, 2003/09/01} \enonce{001406}{} Soient $a,b,c$ trois éléments distincts de $\{1,...,n\}$. Calculer le produit $(ab)(bc)(ab)$. En déduire que $\mathcal{S}_{n}$ est engendré par les permutations $\{(1,i)\}_{2\leq, i\leq n}$, c'est à dire que toute permutation s'écrit comme produit de transpositions de cette forme. Montrer que $\mathcal{S}_{n}$ est engendré par $(12)$ et $(123...n)$. \finenonce{001406} \finexercice \exercice{1407, barraud, 2003/09/01} \enonce{001407}{} Décrire tous les morphismes de groupe de $(\mathcal{S}_{n},\circ)\rightarrow (\{+1,-1\},\cdot)$, c'est les applications $\phi~:\mathcal{S}_{n}\rightarrow\{+1,-1\}$ satisfaisant~: $$ \forall (\sigma,\sigma')\in\mathcal{S}_{n}^{2},\quad \phi(\sigma\sigma')=\phi(\sigma)\phi(\sigma') $$ \textbf{Indication}~: Commencer par montrer que toutes les transpositions ont même image. \finenonce{001407} \finexercice \exercice{1408, barraud, 2003/09/01} \enonce{001408}{} Dans $\R^{n}$, on désigne par $(e_{1},...,e_{n})$ la base canonique. A une permutation $\sigma\in\mathcal{S}_n$, on associe l'endomorphisme $u_{\sigma}$ de $\R^{n}$ suivant~: $$ u_{\sigma}~: \begin{array}{rcl} \R^{n} & \rightarrow & \R^{n} \\ \left(\begin{smallmatrix} x_{1}\\\vdots\\x_{n} \end{smallmatrix}\right) &\mapsto & \left(\begin{smallmatrix} x_{\sigma(1)}\\\vdots\\x_{\sigma(n)} \end{smallmatrix}\right) \end{array} $$ \begin{enumerate} \item Soit $\tau=(ij)$ une transposition. \'Ecrire la matrice de $u_{\tau}$ dans la base canonique. Montrer que $\det(u_{\tau})=-1$. \item Montrer que $\forall\sigma,\sigma'\in\mathcal{S}_n,\ u_{\sigma}\circ u_{\sigma'}=u_{\sigma\circ\sigma'}$. \item En déduire que $\forall\sigma\in\mathcal{S}_n,\ \det u_{\sigma}=\epsilon(\sigma)$ où $\epsilon$ désigne la signature. \end{enumerate} \finenonce{001408} \finexercice \exercice{1409, barraud, 2003/09/01} \enonce{001409}{} On note $\mathcal{S}_n$ le groupe sym\'{e}trique des permutations sur $n$ \'{e}l\'{e}ments. Soit $\rho$ un \emph{morphisme de groupes} de $(\mathcal{S}_n,\circ)$ dans $(\{-1,1\},\cdot)$, c'est \`{a} dire une application de $\mathcal{S}_n$ dans $\{-1,1\}$ satisfaisant $$ \forall(\sigma,\tau)\in\mathcal{S}_n\;\; \rho(\sigma\tau)=\rho(\sigma)\rho(\tau) $$ \begin{enumerate} \item Calculer $\rho(\mathrm{id})$. Pour tout cycle $\gamma$ de longueur $p$, calculer $\gamma^{p}$. En d\'{e}duire que lorsque $p$ est impair, $\rho(\gamma)=1$. \item On suppose que pour toute transposition $\tau$, $\rho(\tau)=1$. Montrer que $\forall\sigma\in\mathcal{S}_n,\;\rho(\sigma)=1$ \item On suppose maintenant qu'il existe une transposition $\tau_{0}=(a,b)$ pour laquelle $\rho(\tau_{0})=-1$. \begin{enumerate} \item[(a)] Pour un \'{e}l\'{e}ment $c\in\{1,\ldots,n\}\setminus\{a,b\}$, calculer $(a,b)(a,c)$. En d\'{e}duire que $\rho(a,c)=-1$. \item[(b)] Pour deux \'{e}l\'{e}ments distincts $c$ et $d$ de $\{1,\ldots,n\}$, calculer $(a,c)(a,d)(a,c)$. En d\'{e}duire que $\rho(c,d)=-1$. \item[(c)] En déduire que pour toute transposition $\tau$, $\rho(\tau)=-1$ puis montrer que pour toute permutation $\sigma\in\mathcal{S}_n$, $\rho(\sigma)$ est la signature de $\sigma$. \end{enumerate} \item Quels sont tous les morphismes de groupes de $(\mathcal{S}_n,\circ)$ dans $(\{-1,1\},\cdot)$ ? \item On consid\`{e}re l'application $\varphi$ suivante : $$ \varphi : \begin{array}{ccc} \mathcal{S}_n & \rightarrow & \{-1,1\} \\[3mm] \sigma & \mapsto & \prod_{i=1}^{n}\frac{\sigma(i)-\sigma(j)}{i-j} \end{array} $$ Montrer que $\forall(\sigma,\tau)\in\mathcal{S}_n,\; \varphi(\sigma\tau)=\varphi(\sigma)\varphi(\tau)$. En d\'{e}duire que $$ \forall\sigma\in\mathcal{S}_n,\;\;\epsilon(\sigma)=\prod_{i=1}^{n}\frac{\sigma(i)-\sigma(j)}{i-j}, $$ o\`{u} $\epsilon(\sigma)$ d\'{e}signe la signature de $\sigma$. \end{enumerate} \finenonce{001409} \finexercice \exercice{1410, legall, 1998/09/01} \enonce{001410}{} Soit $ G $ un groupe d'ordre $ 2n $ et $ H $ un sous-groupe de $ G $ d'ordre $ n $ ($ H $ est donc d'indice deux dans $ G $). \begin{enumerate} \item Montrer que si $ g \in G $ et $ g\not \in H ,$ on a $ H\cap gH=\emptyset $ puis que $ G=H\cup gH .$ \item En d\'eduire que pour tout $ g \in G , g^2\in H .$ \item On suppose d\'esormais $ G=\mathcal{A} _4 $ le groupe des permutations paires de l'ensemble $ \{1,2,3,4 \} .$ Soit $ \sigma =(a,b,c) $ un $ 3$-cycle. Montrer que $ \sigma $ peut s'\'ecrire comme le carr\'e d'une permutation paire c'est \`a dire qu'il existe $ \varphi \in \mathcal{A}_4 $ telle que $ \varphi ^2=\sigma .$ En d\'eduire que $ \mathcal{A} _4 $ ne poss\`ede pas de sous-groupe d'ordre $ 6 .$ \end{enumerate} \finenonce{001410} \finexercice \exercice{1411, legall, 1998/09/01} \enonce{001411}{} D\' eterminer tous les \' el\' ements $\sigma \in S_n$ tels que $\sigma ^2=\sigma $. \finenonce{001411} \finexercice \exercice{1412, legall, 1998/09/01} \enonce{001412}{} \begin{enumerate} \item Rappeler $ \vert S_3\vert .$ Montrer que $ S_3 $ ne contient pas d'\'el\'ement d'ordre $ 6 .$ \item Montrer que $ S_3 $ contient un unique sous-groupe d'ordre $ 3 .$ D\'eterminer tous les sous-groupes d'ordre $ 2 $ de $ S_3 .$ \item D\'eduire de ce qui pr\'ec\`ede tous les sous-groupes de $ S_3 .$ \end{enumerate} \finenonce{001412} \finexercice \exercice{1413, bodin, 1999/11/01} \enonce{001413}{examen juin 1999} Soit $GL_2(\Rr)$ l'ensemble des matrices inversibles $2\times 2$ \`a c\oe fficients r\'eels. $GL_2(\Rr)$ est naturellement muni d'une structure de groupe par la multiplication usuelle des matrices. Soit $$A=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{pmatrix} \qquad \text{ et } \qquad B=\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \\ \end{pmatrix}. $$ \begin{enumerate} \item Montrer que $A$ et $B$ appartiennent \`a $GL_2(\Rr)$. \item Quels sont les ordres de $A$ et $B$ ? \item Montrer que $AB = -BA$ et en d\'eduire que : \begin{enumerate} \item $G = \big\{ I, A, B, AB, -I, -A, -B, -AB \big\}$ est un groupe (pour la loi multiplicative des matrices ; $I$ esl la matrice identit\'e) ; \item $G$ est le sous-groupe de $GL_2(\Rr)$ engendr\'e par $\{ A,B\}$. \end{enumerate} \item On munit $\Rr^2$ de sa structure euclidienne orient\'ee canonique. \begin{enumerate} \item Montrer que $G$ est inclus dans $O_2(\Rr)$ (le groupe orthogonal). \item D\'eterminer l'intersection de $G$ et de $SO_2(\Rr)$ (le groupe sp\'ecial orthogonal). \item D\'eterminer la nature g\'eom\'etrique des $8$ \'el\'ements de $G$. \end{enumerate} \end{enumerate} \finenonce{001413} \finexercice \exercice{1414, bodin, 1999/11/01} \enonce{001414}{examen juin 1999} \hfil I \\ Soit $(G,\cdot)$ un groupe. On d\'efinit le centre $\mathcal{Z}(G)$ de $G$ par : $$\mathcal{Z}(G) = \big\{ x \in G\ /\ \forall a \in G \ \ ax=xa \big\}.$$ Montrer que $\mathcal{Z}(G)$ est un sous-groupe de $G$. Que peut-on dire de $\mathcal{Z}(G)$ si $G$ est ab\'elien ? \bigskip \hfil II \\ On d\'esigne par $\mathcal{A}_n$ le groupe altern\'e d'ordre $n$ (rappel : c'est le sous-groupe de $(\mathcal{S}_n,\circ)$ form\'e des permutations de $E_n = \{1,2,\ldots,n\}$ de signature $+1$.) On se propose de d\'eterminer le centre de $\mathcal{A}_n$ pour $n\geq 3$. \begin{enumerate} \item Donner la liste des \'el\'ements de $\mathcal{A}_3$ et de $\mathcal{Z}(\mathcal{A}_3)$. \item On suppose d\'esormais $n\geq 4$. Dans cette question on fixe $i,j,k$ trois \'el\'ements distincts de $E_n$. \begin{enumerate} \item V\'erifier que le $3$-cycle $(i,j,k)$ est dans $\mathcal{A}_n$. \item Soit $s\in \mathcal{S}_n$, montrer que $s\circ(i,j,k) = (s(i),s(j),s(k)) \circ s$. \item En d\'eduire que si $s \in \mathcal{Z}(\mathcal{A}_n)$ alors l'image de $\{i,j,k\}$ par $s$ est $\{i,j,k\}$. \end{enumerate} \item Pour $n=4$, on note $E_4= \{ i,j,k,\ell\}$. Si $s \in \mathcal{Z}(\mathcal{A}_4)$ montrer que $s(\ell) = \ell$. En d\'eduire $\mathcal{Z}(\mathcal{A}_4)= \{ \text{id} \}$. \item Pour $n \geq 5$, soit $s \in \mathcal{Z}(\mathcal{A}_n)$, soit $i,j,k,\ell,m$ cinq \'el\'ements distincts de $E_n$. En consid\'erant les ensembles $\{i,j,k\}$ et $\{i,\ell,m\}$ montrer que $s = \text{id}$ et d\'eterminer $\mathcal{Z}(\mathcal{A}_n)$ % \item Soit $H$ un sous-groupe de $G$. A-t-on $\mathcal{Z}(H) \subset % \mathcal{Z}(G)$ ? \end{enumerate} \finenonce{001414} \finexercice \exercice{1415, legall, 1998/09/01} \enonce{001415}{} Quel est l'ordre maximal d'un \'el\'ement de $ S_4 ?$ De $ S_5 ?$ De $ A_5 ?$ \finenonce{001415} \finexercice \exercice{1416, legall, 1998/09/01} \enonce{001416}{} On d\'esigne par $ K $ le sous-ensemble $ \{ id, (1,2)(3,4), (1,3)(2,4),(1,4)(2,3)\} $ de $ S_4 .$ \begin{enumerate} \item Montrer que $ K $ est un sous-groupe distingu\'e de $ S_4 $ et de $ A_4 .$ \item Pour quelle raison $ K $ est-il isomorphe \`a $ \Z /2\Z \times \Z /2\Z ?$ Calculer le quotient $ A_4/K .$ \item Montrer que le quotient $ S_4/K $ est isomorphe \`a $ S_3 .$ \item Donner un exemple de sous groupe distingu\'e de $ K $ et non de $ S_4 .$ Quelle conclusion peut-on en tirer~? \end{enumerate} \finenonce{001416} \finexercice \exercice{1417, legall, 1998/09/01} \enonce{001417}{} Calculer $ Z(S_n) $ suivant les valeurs de $ n\in \N .$ \finenonce{001417} \finexercice \exercice{1418, ortiz, 1999/04/01} \enonce{001418}{} Trouver la d\'ecomposition en produit de cycles \`a supports disjoints, la signature, l'ordre et une d\'ecomposition en produit de transpositions des permutations suivantes de ${\cal S}_{10}:$% $${ \sigma =\left( \begin{array}{cccccccccc} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\ 3 & 7 & 1 & 4 & 2 & 6 & 9 & 8 & 5 & 10 \end{array} \right) ,\ }$$ $${ \varphi =\left( 10,3,4,1\right) \left( 8,7\right) \left( 4,7\right) \left( 5,6\right) \left( 2,6\right) \left( 2,9\right) .\bigskip }$$ Calculer $\sigma ^{1998}\;$et $\varphi ^{1998}.$ \finenonce{001418} \finexercice \exercice{1419, ortiz, 1999/04/01} \enonce{001419}{} ${\cal A}_4$ d\'esigne le groupe des permutations paires sur l'ensemble $E=\left\{ 1,2,3,4\right\} .$ \begin{enumerate} \item Quels sont les ordres des \'el\'ements de ${\cal A}_4$ ? En d\'eduire la liste de ces \'el\'ements sous forme d\'ecompos\'ee en produit de cycles \`a supports disjoints. \item Montrer que les permutations $s=(1\;2)(3\;4)$ et $r=(1\;2\;3)$ engendrent ${\cal A}_4.$ \item Montrer que ${\cal A}_4$ admet un unique sous-groupe $H$ d'ordre 4 (on examinera d'abord les ordres des \'el\'ements d'un tel sous-groupe) et que ce sous-groupe est un sous-groupe distingu\'e de ${\cal A}_4$. \end{enumerate} \finenonce{001419} \finexercice \exercice{1420, ortiz, 1999/04/01} \enonce{001420}{} Le groupe $G=\mathcal{S}_3\times \mathcal{S}_3$ est-il ab\'elien ? D\'eterminer tous les sous-groupes de $G$ d'ordre 4. \finenonce{001420} \finexercice \exercice{1421, ortiz, 1999/04/01} \enonce{001421}{} Quel est le nombre de $k$-cycles dans $\mathcal{S}_k$ puis dans $\mathcal{S}_n$ o\`u $k\leq n$ ? \finenonce{001421} \finexercice \exercice{1422, ortiz, 1999/04/01} \enonce{001422}{} Soit $G$ un sous-groupe de $\mathcal{S}_n.$ \begin{enumerate} \item Montrer que si $G$ est d'ordre impair alors $G$ ne contient aucune permutation impaire. \item Montrer que si $G$ contient au moins une permutation impaire, alors $G$ contient autant de permutations paires que de permutations impaires. \end{enumerate} \finenonce{001422} \finexercice \exercice{1423, ortiz, 1999/04/01} \enonce{001423}{} Soient $a=(1,2)(3,4),b=(1,3)(2,4),c=(1,4)(2,3)\in \mathcal{A}_4,$ $X=\left\{a,b,c\right\},$ $V=\left\{a,b,c,\text{Id}\right\}$ et $\Phi:\mathcal{S}_4\to\mathcal{S}(X),g\in G\mapsto \Phi_g=\left[ x\mapsto gxg^{-1}\right].$ \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que $V$ est un sous-groupe distingu\'e de $\mathcal{A}_4$ (on pourra \'etudier l'ordre des \'elements de $\mathcal{A}_4$). \item Montrer que $$ est un sous-groupe distingu\'e de $V$ et n'est pas un sous-groupe distingu\'e de $\mathcal{A}_4.$ \end{enumerate} \item Montrer que $\Phi$ est un homomorphisme de groupes. \item \begin{enumerate} \item Calculer $\Phi(g)$ pour $g=(1,2)$ puis $g=(1,2,3).$ \item En d\'eduire que $\Phi$ est surjectif. \end{enumerate} \item Montrer que $\mathcal{S}_4/V$ est isomorphe \`a $\mathcal{S}_3.$ \item Ecrire la d\'ecomposition de $\mathcal{A}_4$ suivant les classes modulo $V.$ \end{enumerate} \finenonce{001423} \finexercice \exercice{1424, ortiz, 1999/04/01} \enonce{001424}{} \begin{enumerate} \item D\'eterminer le centre du groupe $\mathcal{S}_n.$ \item \begin{enumerate} \item Montrer qu'un groupe $G_1\times G_2$ contient un sous-groupe distingu\'e isomorphe \`a $G_1.$ \item Montrer que les groupes $\mathcal{S}_n$ et $\Zz/2\Zz\times\mathcal{A}_n$ ne sont pas isomorphes si $n\geq 3$. \end{enumerate} \end{enumerate} \finenonce{001424} \finexercice \exercice{1425, ortiz, 1999/04/01} \enonce{001425}{} \begin{enumerate} \item Montrer que dans $\mathcal{S}_n$ on a $f\circ (a,b)\circ f^{-1}=(f(a),f(b))$. \item Montrer que les permutations $(1,...,n)$ et $(1,2)$ engendrent $\mathcal{S}_n$ (on rappelle que les transpositions engendrent $\mathcal{S}_n$). \end{enumerate} \finenonce{001425} \finexercice \exercice{1426, ortiz, 1999/04/01} \enonce{001426}{} \begin{enumerate} \item Montrer que $\mathcal{S}_n$ est isomorphe \`a un sous-groupe de $\mathcal{A}_{n+2}.$ \item Montrer que $\mathcal{S}_4$ n'est pas isomorphe \`a un sous-groupe de $\mathcal{A}_5.$ \item Montrer que $\mathcal{S}_5$ n'est pas isomorphe \`a un sous-groupe de $\mathcal{A}_6.$ \end{enumerate} \finenonce{001426} \finexercice \exercice{1427, gourio, 2001/09/01} \enonce{001427}{} Montrer que tout groupe fini est isomorphe \`{a} un sous-groupe de $S_{n}$ (groupe sym\'{e}trique) $ $pour un certain $n$. \finenonce{001427} \finexercice \exercice{3074, quercia, 2010/03/08} \enonce{003074}{G{\'e}n{\'e}rateurs de ${\cal S}_n$} Soit $n \in \N^*$. Montrer que ${\cal S}_n$ est engendr{\'e} par les sous-ensembles suivants : \begin{enumerate} \item $A = \{ (i,i+1)$ tq $1 \le i < n \}$. \item $B = \{ (1\ i)$ tq $2 \le i \le n \}$. \item $C = \{ (1\ 2), (1\ 2\ \cdots\ n) \}$. \end{enumerate} \finenonce{003074} \finexercice \exercice{3075, quercia, 2010/03/08} \enonce{003075}{G{\'e}n{\'e}rateurs de ${\cal S}_n$} Montrer que toute permutation de ${\cal S}_n$ s'{\'e}crit de mani{\`e}re unique : $\sigma = c_2^{\alpha_2}\circ c_3^{\alpha_3} \circ \dots \circ c_n^{\alpha_n}$ o{\`u} $c_i = (1\ 2\ \cdots\ i)$ et $0 \le \alpha_i < i$. \finenonce{003075} \finexercice \exercice{3076, quercia, 2010/03/08} \enonce{003076}{${\cal A}_n$ est engendr{\'e} par les 3-cycles} \begin{enumerate} \item Calculer $(a\,b\,c) \circ (b\,c\,d)$. \item Montrer que le sous-groupe altern{\'e} ${\cal A}_n$ est engendr{\'e} par les 3-cycles ($n \ge 3$). \end{enumerate} \finenonce{003076} \finexercice \exercice{3077, quercia, 2010/03/08} \enonce{003077}{${\cal A}_n$ est engendr{\'e} par les 3-cycles} Soit $n \in \N,n \ge 4$. \begin{enumerate} \item Soit $i,j \in \{3,\dots,n \}\ , i \ne j $.\par D{\'e}composer en cycles {\`a} supports disjoints la permutation : $\sigma=(1\ i\ 2)\circ(1\ 2\ j)\circ(1\ i\ 2)$. \item On note $\cal H$ le sous-groupe de ${\cal A}_n$ engendr{\'e} par les 3-cycles $(1\ 2\ k)$,\quad $3 \le k \le n$. \begin{enumerate} \item Montrer que : $\forall\ i,j \ge 3$, avec $i \ne j$, $\cal H$ contient $(1\ 2)\circ(i\ j)$ et $(i\ j)\circ(1\ 2)$. \item Montrer que : $\forall\ j \ge 3$, $\cal H$ contient $(1\ 2)\circ(1\ j)$ et $(1\ 2)\circ(2\ j)$. \item Montrer que : $\forall\ i \ne j$, $\forall\ k \ne l$,\quad $(i\ j)\circ(k\ l) \in \cal H$. \item Montrer que ${\cal H}={\cal A}_n$. \end{enumerate} \end{enumerate} \finenonce{003077} \finexercice \exercice{3078, quercia, 2010/03/08} \enonce{003078}{Signature en fonction du nombre d'orbites} Soit $\sigma \in {\cal S}_n$. On note $c$ le nombre de cycles {\`a} supports disjoints constituant $\sigma$, et $f$ le nombre de points fixes. Calculer $\epsilon(\sigma)$ en fonction de $n$, $c$, et $f$. \finenonce{003078} \finexercice \exercice{3079, quercia, 2010/03/08} \enonce{003079}{Nombre de transposition pour engendrer un cycle} Soit $\sigma \in S_n$. On appelle {\it orbite de $\sigma$\/} toute partie $X$ de $\{1,\dots,n\}$ sur laquelle $\sigma$ induit une permutation circulaire. (Les orbites sont les supports des cycles de $\sigma$, et les singletons constitu{\'e}s de points fixes) On note $N(\sigma)$ le nombre d'orbites de $\sigma$. \begin{enumerate} \item Montrer que si $\tau$ est une transposition, alors $N(\tau\circ\sigma) = N(\sigma) \pm 1$. \item Application : Quel est le nombre minimal de transpositions n{\'e}c{\'e}ssaires pour obtenir un $n$-cycle ? \end{enumerate} \finenonce{003079} \finexercice \exercice{3080, quercia, 2010/03/08} \enonce{003080}{Conjugaison} Soient $\sigma, \sigma' \in {\cal S}_n$. On dit que $\sigma$ et $\sigma'$ sont conjugu{\'e}es s'il existe $\rho \in {\cal S}_n$ tel que $\sigma' = \rho \circ \sigma \circ \rho^{-1}$. \begin{enumerate} \item Montrer que tout conjugu{\'e} d'un $k$-cycle est encore un $k$-cycle. \item Montrer que $\sigma$ et $\sigma'$ sont conjugu{\'e}es si et seulement si les cycles {\`a} supports disjoints de $\sigma$ et $\sigma'$ ont deux {\`a} deux m{\^e}mes longueurs. \end{enumerate} \finenonce{003080} \finexercice \exercice{3081, quercia, 2010/03/08} \enonce{003081}{Caract{\'e}risation de la signature} Soit $E$ un ensemble fini et $f : {{\cal S}_E} \to {\C^*}$ un morphisme de groupes. \begin{enumerate} \item Si $\sigma$ est une transposition, que peut-on dire de $f(\sigma)$ ? \item Montrer que deux permutations conjugu{\'e}es ont m{\^e}me image par $f$. \item En d{\'e}duire que $f$ est la fonction constante $1$, ou bien $f$ est la signature. \end{enumerate} \finenonce{003081} \finexercice \exercice{3082, quercia, 2010/03/08} \enonce{003082}{Calcul de signature} Soit $$\sigma = \begin{pmatrix}1 &2 &3 &\dots &n &n+1 &n+2 &\dots &2n \cr 1 &3 &5 &\dots &2n-1 &2 &4 &\dots &2n \end{pmatrix}.$$ Calculer $\varepsilon(\sigma)$. \finenonce{003082} \finexercice \exercice{3083, quercia, 2010/03/08} \enonce{003083}{Centre de ${\cal S}_E$} Soit $E$ un ensemble ayant au moins trois {\'e}l{\'e}ments. \begin{enumerate} \item Pour $a,b \in E$ distincts et $\sigma \in {\cal S}_E$, simplifier $\sigma \circ (a\ b) \circ \sigma^{-1}$. \item Quelles sont les permutations $\sigma$ qui commutent avec $(a\ b)$ ? \item En d{\'e}duire que le centre de ${\cal S}_E$ est r{\'e}duit {\`a} $\{$id$_E\}$. \end{enumerate} \finenonce{003083} \finexercice \exercice{3084, quercia, 2010/03/08} \enonce{003084}{Commutant d'un $n$-cycle} Soit $\sigma = (1\ 2\ \dots \ n) \in {\cal S}_n$. Trouver toutes les permutations $\rho \in {\cal S}_n$ commutant avec $\sigma$. (Reconna{\^\i}tre $\rho \circ \sigma \circ \rho^{-1}$) \finenonce{003084} \finexercice \exercice{3085, quercia, 2010/03/08} \enonce{003085}{Commutant d'un produit de 5-cycles} Dans ${\cal S}_{10}$, quelles sont les permutations qui commutent avec $\sigma = (1\ 2\ 3\ 4\ 5)\circ(6\ 7\ 8\ 9\ 10)$ ? \finenonce{003085} \finexercice \exercice{3086, quercia, 2010/03/08} \enonce{003086}{Puissances d'un $k$-cycle} Soit $\sigma$ un $k$-cycle de ${\cal S}_n$ et $p \in \Z$. \begin{enumerate} \item Si $p \mid k$, montrer que $\sigma^p$ est le produit de $p$ cycles {\`a} supports disjoints de longueur $\frac kp$. \item Montrer que pour $p \wedge k = 1$, $\sigma^p$ est un $k$-cycle (utiliser l'{\'e}galit{\'e} de B{\'e}zout). \item Dans le cas g{\'e}n{\'e}ral, {\'e}tudier la d{\'e}composition en cycles de $\sigma^p$. \end{enumerate} \finenonce{003086} \finexercice \exercice{3087, quercia, 2010/03/08} \enonce{003087}{Ordre maximal} Trouver l'ordre maximal d'une permutation de ${\cal S}_{10}$. \finenonce{003087} \finexercice \exercice{3088, quercia, 2010/03/08} \enonce{003088}{Sous-groupe d'indice 2 dans ${\cal S}_n$} Soit $H$ un sous-groupe de ${\cal S}_n$ d'ordre $\frac {n!}2$. On note $K = {\cal S}_n \setminus H$. \begin{enumerate} \item Pour $\sigma \in H$, montrer que $\sigma H = H$ et $\sigma K = K$. \item Soit $\sigma \in {\cal S}_n$. D{\'e}terminer les ensembles $\sigma H$, $\sigma K$, $H\sigma$, $K\sigma$ suivant que $\sigma \in H$ ou $\sigma \in K$. \item En d{\'e}duire que si deux permutations sont conjugu{\'e}es, alors elles sont toutes deux dans $H$ ou toutes deux dans $K$. \item Montrer enfin que $H = {\cal A}_n$. \end{enumerate} \finenonce{003088} \finexercice \exercice{3089, quercia, 2010/03/08} \enonce{003089}{D{\'e}nombrement} Combien y a-t-il de permutations de ${\cal S}_{26}$ comportant trois points fixes, deux 3-cycles, un 5-cycle, et deux 6-cycles~? \finenonce{003089} \finexercice \exercice{5353, rouget, 2010/07/04} \enonce{005353}{**IT} Soit $\sigma$ l'élément de $S_{12}$~:~$\sigma=(3\;10\;7\;1\;2\;6\;4\;5\;12\;8\;9\;11)$. \begin{enumerate} \item Combien $\sigma$ possède-t-elle d'inversions~?~Que vaut sa signature~? \item Décomposer $\sigma$ en produit de transpositions. Retrouvez sa signature. \item Déterminer les orbites de $\sigma$. \item Déterminer $\sigma^{2005}$. \end{enumerate} \finenonce{005353} \finexercice \exercice{5354, rouget, 2010/07/04} \enonce{005354}{***IT} \label{exo:suprou2ter} Démontrer que $S_n$ est engendré par $\tau_{1,2}$, $\tau_{1,3}$,...,$\tau_{1,n}$. \finenonce{005354} \finexercice \exercice{5355, rouget, 2010/07/04} \enonce{005355}{***IT} Démontrer que $A_n$ est engendré par les cycles de longueur $3$ (pour $n\geq3$). \finenonce{005355} \finexercice \exercice{5356, rouget, 2010/07/04} \enonce{005356}{***I} Démontrer que $S_n$ est engendré par $\tau_{1,2}$ et le cycle $(2\;3\;...\;n\;1)$. \finenonce{005356} \finexercice \exercice{5357, rouget, 2010/07/04} \enonce{005357}{***I} Soit $(G,\times)$ un groupe. Montrer que $(G,\times)$ est isomorphe à un sous-groupe de $(S(G),\circ)$ et que, en particulier, tout groupe fini d'ordre $n$ est isomorphe à un sous-groupe de $S_n$ (théorème de \textsc{Cayley}). (Indication~:~montrer que pour chaque $x$ de $G$, l'application $y\mapsto xy$ est une permutation de $G$.) \finenonce{005357} \finexercice \exercice{5358, rouget, 2010/07/04} \enonce{005358}{***} Soit $\sigma$ une permutation de $\{1,...,n\}$ et $k$ le nombre d'orbites de $\sigma$. Montrer que $\varepsilon(\sigma)=(-1)^{n-k}$. \finenonce{005358} \finexercice \exercice{5359, rouget, 2010/07/04} \enonce{005359}{***I} $\sigma$ étant une permutation de $\{1,...,n\}$ donnée, on définit la matrice notée $P_\sigma$, carrée d'ordre $n$ dont le terme ligne $i$ colonne $j$ est $\delta_{i,\sigma(j)}$ (où $\delta_{i,j}$ est le symbôle de \textsc{Kronecker}. On note $G$ l'ensemble des $P_\sigma$ où $\sigma$ décrit $S_n$. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item $\sigma$ et $\sigma'$ étant deux éléments de $S_n$, calculer $P_\sigma\times P_{\sigma'}$. \item En déduire que $(G,\times)$ est un sous-groupe de $(GL_n(\Rr),\times)$, isomorphe à $(S_n,\circ)$ (les matrices $P_\sigma$ sont appelées \og~matrices de permutation~\fg). \end{enumerate} \item (Une utilisation des $P_\sigma$) $A$ étant une matrice carrée donnée, calculer $AP_\sigma$ et $P_\sigma A$. Que constate-t-on~? \end{enumerate} \finenonce{005359} \finexercice \exercice{5360, rouget, 2010/07/04} \enonce{005360}{***I} \label{exo:suprou8ter} $A_1$, $A_2$,...,$A_p$ sont $p$ matrices carrées d'ordre $n$, deux à deux distinctes et inversibles. On suppose que $\{A_1,...,A_p\}$ est stable pour $\times$. Montrer que $\{A_1,...,A_p\}$ est un sous groupe de $(GL_n(\Rr),\times)$. \finenonce{005360} \finexercice \exercice{5361, rouget, 2010/07/04} \enonce{005361}{***} Dans $E=\Rr^n$, on considère l'hyperplan $H$ d'équation $x_1+...+x_n=0$ dans la base canonique $(e_i)_{1\leq i \leq n}$ de $E$. Pour $\sigma\in S_n$ donnée, on considère l'endomorphisme $f_\sigma$ de $E$ défini par~:~$\forall i\in E,\;f_\sigma(e_i)=e_{\sigma(i)}$. On pose alors $p=\frac{1}{n!}\sum_{\sigma\in S_n}^{}f_\sigma$. Montrer que $p$ est une projection dont on déterminera l'image et la direction. \finenonce{005361} \finexercice \section{ 203.99 Autre } \exercice{2960, quercia, 2010/03/08} \enonce{002960}{$x + y - xy$} \begin{enumerate} \item Sur $E = [0,1]$, on d{\'e}finit l'op{\'e}ration : $x * y = x + y - xy$. V{\'e}rifier que $*$ est interne, et {\'e}tudier ses propri{\'e}t{\'e}s (commutativit{\'e}, associativit{\'e}, {\'e}l{\'e}ment neutre, {\'e}l{\'e}ments sym{\'e}trisables, {\'e}l{\'e}ments r{\'e}guliers). \item M{\^e}mes questions avec $E = ]-\infty, 1[$. \end{enumerate} \finenonce{002960} \finexercice \exercice{2961, quercia, 2010/03/08} \enonce{002961}{$x \mapsto axa$ surjective} Soit $*$ une op{\'e}ration associative sur $E$, et $a \in E$ tel que l'application% $ E \to E, x \mapsto {a*x*a}$ soit surjective. Montrer qu'il existe un {\'e}l{\'e}ment neutre, et que $a$ est sym{\'e}trisable. \finenonce{002961} \finexercice \exercice{2962, quercia, 2010/03/08} \enonce{002962}{Op{\'e}ration induite sur les parties} Soit $*$ une op{\'e}ration sur $E$. Pour $A,B \subset E$, on pose $A*B = \{a*b$ tq $a \in A,\ b \in B \}$. \begin{enumerate} \item {\'E}tudier les propri{\'e}t{\'e}s de $*$ sur ${\cal P}(E)$ en fonction de celles de $*$ sur $E$ (commutativit{\'e}, associativit{\'e}, {\'e}l{\'e}ment neutre, {\'e}l{\'e}ments sym{\'e}trisables). \item Est-ce que $*$ est distributive par rapport {\`a} $\cup$ ? \end{enumerate} \finenonce{002962} \finexercice \exercice{2963, quercia, 2010/03/08} \enonce{002963}{Loi sur $\Z^2$} On d{\'e}finit l'op{\'e}ration dans $\Z^2$ : $(a,b) * (a',b') = (aa', ab'+b)$. \begin{enumerate} \item {\'E}tudier les propri{\'e}t{\'e}s de cette op{\'e}ration. \item Pour $z \in \Z$, on pose $f_{a,b}(z) = az+b$. Montrer que $\phi : {\Z^2} \to {\Z^{\Z}}, {(a,b)} \mapsto {f_{a,b}}$ est un morphisme pour $*$ et $\circ$. \item Est-ce un isomorphisme ? \end{enumerate} \finenonce{002963} \finexercice \exercice{2964, quercia, 2010/03/08} \enonce{002964}{Composition de relations} Soit $E$ un ensemble, et $\cal F$ l'ensemble des relations binaires sur $E$. Pour $R,S \in \cal F$, on d{\'e}finit la relation $R\ast S$ par~: $$x (R\ast S) y \iff \exists\ z \in E\text{ tq }x R z\text{ et }z S y.$$ A toute fonction $f : E \to E$, on associe la relation : $y R_f x \iff y = f(x)$. \begin{enumerate} \item Montrer que $\ast$ est associative, mais non commutative en g{\'e}n{\'e}ral. \item Simplifier $R_f \ast R_g$. \item Est-ce que $\ast$ admet un {\'e}l{\'e}ment neutre ? \end{enumerate} \finenonce{002964} \finexercice \exercice{2986, quercia, 2010/03/08} \enonce{002986}{Groupe sans sous-groupe non trivial} Soit $G$ un groupe n'ayant pas de sous-groupe non trivial. Montrer que $G$ est monog{\`e}ne, fini, et que $\mathrm{Card}\, G$ est un nombre premier. \finenonce{002986} \finexercice \exercice{2987, quercia, 2010/03/08} \enonce{002987}{Groupe di{\'e}dral} Soit $n \in \N$, $n \ge 3$. On note $\omega = \exp\frac {2i\pi}n$ et : $${f_k} : {\C} \to {\C}, z \mapsto {\omega^kz} \qquad {g_k} : {\C} \to {\C}, z \mapsto{\omega^k\overline z} \qquad (0 \le k < n)$$ \begin{enumerate} \item Montrer que $G = \{f_0,\dots,f_{n-1}, g_0,\dots,g_{n-1}\}$ est un groupe pour la composition des applications. \item Soit $a > 0$ et $A_k$ le point du plan d'affixe $a\omega^k$. Montrer que $G$ repr{\'e}sente le groupe des isom{\'e}tries du polygone $A_0\dots A_{n-1}$. \item $G$ est-il cyclique ? \item Montrer que $G$ est engendr{\'e} par les applications $f_1$ et $g_0$ et que l'on a : $f_1\circ g_0 = g_0\circ f_1^{-1}$. \item Soit $H$ un groupe quelconque engendr{\'e} par deux {\'e}l{\'e}ments $\rho$ et $\sigma$ tels que $\begin{cases}\rho \text{ est d'ordre } n\cr \sigma \text{ est d'ordre } 2\cr \rho\sigma = \sigma\rho^{-1}.\end{cases}$ \par Montrer que $G$ et $H$ sont isomorphes. \end{enumerate} \finenonce{002987} \finexercice \exercice{2988, quercia, 2010/03/08} \enonce{002988}{Groupe d'ordre pair} Soit $G$ un groupe fini de cardinal pair. Montrer qu'il existe un {\'e}l{\'e}ment d'ordre 2. \finenonce{002988} \finexercice \exercice{2989, quercia, 2010/03/08} \enonce{002989}{Groupe d'ordre impair} Soit $G$ un groupe fini de cardinal impair. Montrer que : $\forall\ x \in G,\ \exists!\ y \in G$ tq $x = y^2$. \finenonce{002989} \finexercice \exercice{2990, quercia, 2010/03/08} \enonce{002990}{Groupe d'exposant 2} Soit $G$ un groupe fini tel que : $\forall\ x \in G,\ x^2 = e$. \begin{enumerate} \item Montrer que $G$ est commutatif (consid{\'e}rer $(xy)(xy)$). \item Soit $H$ un sous-groupe de $G$ et $x \in G \setminus H$. On note $K$ le sous groupe engendr{\'e} par $H \cup \{x\}$. \par Montrer que $\mathrm{Card}\, K = 2\mathrm{Card}\, H$. \item En d{\'e}duire que $\mathrm{Card}\, G$ est une puissance de 2. \end{enumerate} \finenonce{002990} \finexercice \exercice{2991, quercia, 2010/03/08} \enonce{002991}{Groupes d'ordre 6} D{\'e}terminer tous les groupes finis de cardinal 6 (on admettra que dans un tel groupe, il existe un {\'e}l{\'e}ment $a$ d'ordre 2, et un {\'e}l{\'e}ment $b$ d'ordre 3). \finenonce{002991} \finexercice \exercice{2992, quercia, 2010/03/08} \enonce{002992}{Groupe d'homographies} Soit $E = \R \setminus \{0,1\}$, et $ f : E \to E, x \mapsto {\frac 1x}$, \qquad $ g : E \to E, x \mapsto {1-x}$ V{\'e}rifier que $f$ et $g$ sont des bijections et d{\'e}terminer le groupe engendr{\'e} par $f$ et $g$ pour la loi $\circ$. \finenonce{002992} \finexercice \exercice{2993, quercia, 2010/03/08} \enonce{002993}{Groupes de similitudes} Pour $\alpha \in \C^*$ et $\beta \in \C$, on note ${f_{\alpha,\beta}} : {\C} \to {\C}, z \mapsto {\alpha z + \beta}$ \begin{enumerate} \item Montrer que l'ensemble des fonctions $f_{\alpha,\beta}$ est un groupe pour la loi $\circ$. Est-il commutatif ? \item A quelle condition sur $\alpha,\beta$, $f_{\alpha,\beta}$ est-elle d'ordre fini ? \end{enumerate} \finenonce{002993} \finexercice \exercice{2994, quercia, 2010/03/08} \enonce{002994}{Th{\'e}or{\`e}me de Lagrange} Soit $G$ un groupe fini et $H$ un sous-groupe de $G$. On d{\'e}finit une relation sur $G$ par : $$\forall\ x,y \in G,\ x \sim y \iff \exists\ h \in H \text{ tel que } x = hy.$$ \begin{enumerate} \item Montrer que $\sim$ est une relation d'{\'e}quivalence. Quelle est la classe de $e$ ? \item Soit $a \in G$. Montrer que $\dot a$ est {\'e}quipotent {\`a} $H$. \item En d{\'e}duire que $\mathrm{Card}\, H$ divise $\mathrm{Card}\, G$ ({\it Th{\'e}or{\`e}me de Lagrange\/}). \end{enumerate} \finenonce{002994} \finexercice \exercice{2995, quercia, 2010/03/08} \enonce{002995}{Relation d'{\'e}quivalence avec deux sous-groupes} Soient $H,K$ deux sous-groupes d'un groupe $G$. Pour $x,y \in G$, on pose : $$x \sim y \iff \exists\ h \in H,\ \exists\ k \in K \text{ tq } y = hxk.$$ \begin{enumerate} \item Montrer que c'est une relation d'{\'e}quivalence. \item Pour $x \in G$, soit $G_x = \{(h,k) \in H\times K$ tq $hxk^{-1} = x\}$. Montrer que $G_x$ est un sous-groupe de $H\times K$. \item Si $H$ et $K$ sont finis, montrer que chaque classe d'{\'e}quivalence est finie de cardinal divisant $\mathrm{Card}\,(H)\mathrm{Card}\,(K)$. \end{enumerate} \finenonce{002995} \finexercice \exercice{2996, quercia, 2010/03/08} \enonce{002996}{Groupe d'ordre $ab$} Soit $G$ un groupe commutatif fini d'ordre $n = ab$ avec $a \wedge b = 1$. On pose $A = \{x \in G$ tq $x^a = e\}$ et $B = \{x \in G$ tq $x^b = e\}$. \begin{enumerate} \item Montrer que $A$ et $B$ sont des sous-groupes de $G$. \item Montrer que $A \cap B = \{e\}$ et $AB = G$. \end{enumerate} \finenonce{002996} \finexercice \exercice{2997, quercia, 2010/03/08} \enonce{002997}{Sous-groupes de type fini de $\Q$} \begin{enumerate} \item Soit $H$ un sous-groupe additif de $\Q$ engendr{\'e} par un nombre fini d'{\'e}l{\'e}ments. Montrer que $H$ est monog{\`e}ne. \item Trouver un sous-groupe non trivial de $\Q$ qui n'est pas engendr{\'e} par une famille finie. \end{enumerate} \finenonce{002997} \finexercice \exercice{2998, quercia, 2010/03/08} \enonce{002998}{$(\Q,+)$ et ($\Q^{+*},\times)$ ne sont pas isomorphes} Montrer que les groupes $(\Q, +)$ et $(\Q^{+*}, \times )$ ne sont pas isomorphes (penser {\`a} $\sqrt 2$). \finenonce{002998} \finexercice \exercice{2999, quercia, 2010/03/08} \enonce{002999}{Sous-groupe infini de $\C^*$} Soit $p$ un entier naturel premier. On appelle $G$ l'ensemble des $z\in \C$ pour lesquels existe $n\in\N$ tel que $z^{p^n}=1$. \begin{enumerate} \item Montrer que $G$ est un groupe multiplicatif infini o{\`u} tout {\'e}l{\'e}ment est d'ordre fini. \item Montrer que tout sous-groupe $H$ de $G$, distinct de $G$, est cyclique (on pourra consid{\'e}rer un {\'e}l{\'e}ment $z_0$ de $G\setminus H$ et montrer que l'ordre des {\'e}l{\'e}ments de $H$ n'exc{\`e}de pas celui de $z_0$). \end{enumerate} \finenonce{002999} \finexercice \exercice{3000, quercia, 2010/03/08} \enonce{003000}{Th{\'e}or{\`e}me du rang} Soit $f: G \to {G'}$ un morphisme de groupes o{\`u} $G$ est un groupe fini. Montrer que $\mathrm{Card}\,(\mathrm{Ker} f) \times \mathrm{Card}\,(\Im f) = \mathrm{Card}\,(G)$. \finenonce{003000} \finexercice \exercice{3001, quercia, 2010/03/08} \enonce{003001}{Centre d'un $p$-groupe} Soit $G$ un groupe fini de cardinal $p^k$ o{\`u} $p$ est un nombre premier et $k\in\N^*$. On note $Z$ le centre de $G$. \begin{enumerate} \item En consid{\'e}rant l'action de $G$ sur lui-m{\^e}me par automorphismes int{\'e}rieurs montrer que $\mathrm{Card}\,(Z) \equiv 0 \bmod p$. \item En d{\'e}duire que tout groupe d'ordre $p^2$, $p$ premier, est commutatif et est isomorphe soit {\`a} $\Z/p^2\Z$ soit {\`a} $(\Z/p\Z)^2$. \end{enumerate} \finenonce{003001} \finexercice \exercice{3002, quercia, 2010/03/08} \enonce{003002}{Sous groupes et g{\'e}n{\'e}rateurs de $\Z^2$} On consid{\`e}re le groupe $G = \Z^2$. Une {\it base\/} de $G$ est une famille $(\alpha=(a,a'), \beta=(b,b'))$ engendrant $G$. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que $(\alpha,\beta)$ est une base de $G$ si et seulement si $\det(\alpha,\beta) = \pm 1$. \item Montrer que $\alpha = (a,a')$ appartient {\`a} une base de $G$ si et seulement si $a\wedge a' = 1$. \end{enumerate} \item Soit $H$ un sous-groupe non trivial de $G$. On note $H' = \{ux+vy \text{ tq } u\in\Z,\ v\in\Z, (x,y)\in H\}$, $n$ le plus petit {\'e}l{\'e}ment de~$H'$ strictement positif et $u\in\Z$, $v\in\Z$, $(x,y)\in H$ tels que $ux+vy = n$. \begin{enumerate} \item Montrer que $u\wedge v = 1$ et que $x$ et $y$ sont divisibles par $n$. \item On pose $\alpha = (x/n,y/n)$ et $\beta = (-v,u)$. Montrer que $(\alpha,\beta)$ est une base de $G$ et qu'il existe $p\in \N$ tel que $(n\alpha,np\beta)$ engendre $H$. \end{enumerate} \end{enumerate} \finenonce{003002} \finexercice \exercice{3003, quercia, 2010/03/08} \enonce{003003}{Partie g{\'e}n{\'e}ratrice d'un groupe fini} Soit $G$ un groupe fini de cardinal~$n$. Montrer qu'il existe une partie g{\'e}n{\'e}ratrice de~$G$ de cardinal inf{\'e}rieur ou {\'e}gal {\`a}~$\log_2(n)$. \finenonce{003003} \finexercice \exercice{3004, quercia, 2010/03/08} \enonce{003004}{Groupe fini ?} Soit $G$ un groupe ayant un nombre fini de sous-groupes. Montrer que $G$ est fini. \finenonce{003004} \finexercice \exercice{7349, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007349}{Questions de cours} \begin{enumerate} \item Soit $(E,\star)$ un ensemble muni d'une loi de composition interne associative avec un élément neutre, noté $\varepsilon$. Soit $x$ et $y$ deux éléments de $E$ qui admettent un symétrique. Déterminer un symétrique de $x\star y$. \item Retrouver la caractérisation de l'injectivité d'un morphisme à partir de son noyau. \end{enumerate} \finenonce{007349} \finexercice \exercice{7350, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007350}{} Considérons le groupe $(\Zz , +)$. Le sous-ensemble $4\Zz$ est par définition l'ensemble des multiples entiers de $4$, autrement dit $$4\Zz =\{p\in \Zz , \exists m\in \Zz \ \ p=4m\}.$$ \begin{enumerate} \item Les sous-ensembles $4\Zz$ et $6\Zz$ sont-ils stables pour la loi $+$ ? Sont-ils alors des sous-groupes ? \item Le sous-ensemble $4\Zz \cap 6\Zz$ est-il un sous-groupe ? (indication~: on pourra énumérer ses premiers éléments positifs) \item Le sous-ensemble $2\Zz \cup 3\Zz$ est-il un sous-groupe ? \end{enumerate} \finenonce{007350} \finexercice \exercice{7351, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007351}{Intersection-Réunion} Soit $E$ un ensemble et $\mathcal{P}(E)$ l'ensemble de ses parties. \begin{enumerate} \item Déterminer les propriétés de la loi $(\mathcal{P}(E),\cup )$ (commutativité, associativité, existence et unicité des éléments neutres, éléments symétrisables). \item Déterminer les propriétés de la loi $(\mathcal{P}(E),\cap )$. \item La loi $\cup$ est-elle distributive par rapport à la loi $\cap$ ? \end{enumerate} \finenonce{007351} \finexercice \exercice{7352, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007352}{Sur un ensemble à deux éléments} Soit $E=\{a,b\}$ un ensemble à deux éléments. On cherche à déterminer toutes les structures de groupe sur cet ensemble. \begin{enumerate} \item Si $a$ est l'élément neutre, quel doit être le symétrique de $b$ ? En déduire la table de multiplication dans ce cas. \item Combien y a-t-il de structures de groupes différentes sur $E$ ? \end{enumerate} \finenonce{007352} \finexercice \exercice{7353, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007353}{Groupes ordonnés} Soit $G$ un ensemble muni d'une relation d'ordre $\leq$ et d'une structure de groupe $\star$. On dit que $(G,\star ,\leq)$ est un {\em groupe ordonné} si $$\forall a\in G,\ \ \forall (x,y)\in G^2,\ \ \left(x\leq y\Rightarrow \left( a\star x \leq a\star y \quad \text{ et } \quad x\star a \leq y\star a\right)\right).$$ \begin{enumerate} \item $(\Rr ,+, \leq)$ est-il un groupe ordonné ? \item $(\Rr^\star ,\times , \leq)$ est-il un groupe ordonné ? \end{enumerate} \finenonce{007353} \finexercice \exercice{7375, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007375}{} \begin{enumerate} \item Quelle loi fait de l'ensemble de inversibles de l'anneau $\Z/17\Z$ un groupe ? Ce groupe est-il cyclique ? \item Combien un groupe cyclique d'ordre $91$ a-t-il de générateurs ? \item Décomposer en produits de cycles à supports disjoints, la permutation $$s=\left(\begin{array}{ccccccccc} 1&2&3&4&5&6&7&8&9\\ 5&7&2&6&1&9&3&8&4\end{array} \right).$$ \item Décomposer en produits de transpositions, la permutation $$\sigma=\left(\begin{array}{ccccccccc} 1&2&3&4&5&6&7&8&9\\ 9&8&6&7&2&3&1&4&5\end{array} \right).$$ \item Le polynôme $P(t_1,t_2,t_3,t_4)=t_1t_2+t_2t_3+t_3t_4+t_4t_1$ en quatre variables est-il symétrique ? \end{enumerate} \finenonce{007375} \finexercice \exercice{7376, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007376}{} \begin{enumerate} \item Combien l'anneau $\Z/24\Z$ a-t-il d'éléments inversibles ? \item Donner un isomorphisme entre $\Z/24\Z$ et un groupe produit. \item Le groupe des inversibles de $\Z/24\Z$ est-il cyclique ? Si oui, combien a-t-il de générateurs ? \end{enumerate} \finenonce{007376} \finexercice \exercice{7377, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007377}{} \begin{enumerate} \item Factoriser $221$ en produit de nombres premiers. \item Déterminer l'ensemble des solutions entières de l'équation $$(X-3)(X-5)=0\pmod{221}.$$ \end{enumerate} \finenonce{007377} \finexercice \exercice{7378, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007378}{} \begin{enumerate} \item Sur le cercle unité, on a marqué les éléments du groupe des racines de l'unité d'ordre $8$. Soit $\zeta = \exp(2i \pi/8)$. Représenter sur un cercle unité les éléments du sous-groupe engendré par~$\zeta^3$. \item Soit la racine de l'unité $z = \exp(16 i \pi/11)$. Déterminer son ordre dans le groupe $\C^\star$. Déterminer l'ordre de $z^8$. Déterminer l'argument de $z^8$. \end{enumerate} \finenonce{007378} \finexercice \exercice{7379, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007379}{} \begin{enumerate} \item Calculer, avec l'algorithme de Hörner appliqué au polynôme $P(x)=x^2-7$, une valeur approchée à $10^{-1}$ près de $\sqrt{7}$. \item Calculer avec l'algorithme de Hörner une valeur approchée à $10^{-2}$ près de $\sqrt{7}$. \end{enumerate} \finenonce{007379} \finexercice \exercice{7380, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007380}{} \begin{enumerate} \item Combien l'anneau $\Z/24\Z$ a-t-il d'éléments inversibles ? \item Quelle loi fait de l'ensemble des inversibles de l'anneau $\Z/24\Z$ un groupe ? \item Le groupe des inversibles de $\Z/17\Z$ est-il cyclique ? Si oui, combien a-t-il de générateurs ? \item Combien un groupe cyclique d'ordre $91$ a-t-il de générateurs ? \item Décomposer en produits de cycles à supports disjoints la permutation $$\left(\begin{array}{ccccccccc} 1&2&3&4&5&6&7&8&9\\ 5&7&8&6&1&3&9&4&2\end{array} \right).$$ \item Décomposer en produits de transpositions la permutation $$\left(\begin{array}{ccccccccc} 1&2&3&4&5&6&7&8&9\\ 9&8&6&7&2&3&1&4&5\end{array} \right).$$ \end{enumerate} \finenonce{007380} \finexercice \exercice{7381, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007381}{} \begin{enumerate} \item Donner un isomorphisme entre $\Z/24\Z$ et un groupe produit. \item Le groupe des inversibles de $\Z/24\Z$ est-il cyclique ? Si oui, combien a-t-il de générateurs ? \end{enumerate} \finenonce{007381} \finexercice \exercice{7382, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007382}{} \begin{enumerate} \item Factoriser $221$ en produit de nombres premiers. \item Déterminer l'ensemble des solutions de l'équation $$(X-3)(X-5)=0\pmod{221}.$$ \end{enumerate} \finenonce{007382} \finexercice \exercice{7383, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007383}{} \begin{enumerate} \item Donner la définition d'un idéal dans un anneau commutatif. \item Soit $I$ un idéal de l'anneau $\Z[i]$ des entiers de Gauss. Montrer qu'il existe un entier de Gauss $a$ tel que $I$ soit l'ensemble des multiples de $a$. \end{enumerate} \finenonce{007383} \finexercice \exercice{7384, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007384}{} Voici la table d'un groupe $G$. Quel est l'ordre de $G$ ? Le groupe $G$ est-il nécessairement commutatif ? Compléter la table en énonçant précisément les propriétés utilisées. $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline * & a & b & c &d & e &f\\ \hline a & e & d & & b &a & \\ \hline b & & e & & f & &d \\ \hline c & b &f & & e & & \\ \hline d &f & & e &c & &b \\ \hline e & & b & & & &\\ \hline f & d & c & b & & & e\\ \hline \end{array} $$ Le groupe est-il cyclique ? \finenonce{007384} \finexercice \exercice{7385, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007385}{} On rappelle que $\mathbb{F}_5$ désigne le corps $\Z/5\Z$ à cinq éléments. \begin{enumerate} \item Montrer que l'anneau quotient $\mathbb{F}_{25}:=\mathbb{F}_5[X]/(X^2+2X+1)$ est un corps. Combien a-t-il d'éléments ? \item Si $a$ est un élément non nul de $\mathbb{F}_{25}$, que valent $5a$, $a^2+2a+1$ et $a^{24}$ ? \item Soit $x$ un élément de $\mathbb{F}_{25}$ tel que $x^2+3x+3=0$. Quel est l'ordre multiplicatif de $x$ ? \end{enumerate} \finenonce{007385} \finexercice \exercice{7386, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007386}{} \begin{enumerate} \item Quels sont les ordres possibles des éléments de $\left((F_{19})^\times ,\times\right)$ ? \item Le groupe $\left((F_{19})^\times ,\times\right)$ est-il cyclique ? si oui, combien a-t-il de générateurs ? \item Quel est l'ordre multiplicatif de l'élément $12$ du corps $F_{19}$ ? \end{enumerate} \finenonce{007386} \finexercice \exercice{7387, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007387}{} On admet que $271$ et $281$ sont deux nombres premiers. \begin{enumerate} \item Peut-on écrire $271$ comme somme de deux carrés ? Si oui, faîtes le. On pourra trouver une racine $c$ de $-1$ modulo $271$, puis calculer le $\pgcd(271, c+i)$ dans l'anneau $\Z[i]$ des entiers de Gauss. \item Peut-on écrire $281$ comme somme de deux carrés ? Si oui, faîtes le. On pourra trouver une racine $c$ de $-1$ modulo $281$, puis calculer le $\pgcd(281, c+i)$ dans l'anneau $\Z[i]$ des entiers de Gauss. \end{enumerate} \finenonce{007387} \finexercice \exercice{7388, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007388}{} \begin{enumerate} \item Rappeler la liste à isomorphisme près des groupes d'ordre $4$. \item Rappeler la liste à isomorphisme près des groupes d'ordre $5$. \item Le nombre premier $173$ peut-il s'écrire comme somme de deux carrés ? \item Quelle loi fait de $\Z/135\Z$ un groupe ? Combien le groupe $\Z/135\Z$ a-t-il de générateurs ? \end{enumerate} \finenonce{007388} \finexercice \exercice{7389, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007389}{} \begin{enumerate} \item Donner la définition d'un idéal dans un anneau commutatif. \item Soit $I$ un idéal de l'anneau $\Z[i]$ des entiers de Gauss. Montrer qu'il existe un entier de Gauss $a$ tel que $I$ soit l'ensemble des multiples de $a$. \end{enumerate} \finenonce{007389} \finexercice \exercice{7390, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007390}{} On admet $281$ est un nombre premier. \begin{enumerate} \item Peut-on écrire $281$ comme somme de deux carrés ? Si oui, faîtes le. \item Factoriser $280$. On choisit $x=3$. On admet que $3^{35}=60[281]$. Déterminer une racine $c$ de $-1$ modulo $281$. \item Calculer le $\pgcd(281, c+i)$ dans l'anneau $\Z[i]$ des entiers de Gauss. \end{enumerate} \finenonce{007390} \finexercice \exercice{7391, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007391}{} \begin{enumerate} \item Donner la définition d'un groupe. \item Dire si les couples suivants sont des groupes : $(\Z,+)$ ; $(\Z,\times)$ ; $(\C^*,+)$ ; $(\C^*, \times)$. Lorsque la réponse est "non", on indiquera une propriété des groupes qui fait défaut (on ne demande pas de justification lorsque la réponse est "oui"). \item Quels sont les idéaux de l'anneau $(\Z,+,\times)$ ? \item Quels sont les idéaux de l'anneau $(\R[X],+,\times)$ ? \end{enumerate} \finenonce{007391} \finexercice \exercice{7392, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007392}{} \begin{enumerate} \item L'entier $51606$ appartient-il à $2569 + 247\Z$ ? \item L'entier $-1601$ est-il un représentant de la classe $[-7387]_{ 2893}$ de $\Z/2893\Z$? \item Calculer l'élément $2169$ dans $\Z/17\Z$. Le résultat doit être représenté par un nombre compris entre $0$ et $16$. \item Calculer l'élément $11 ^{329}$ dans $\Z/13\Z$. Le résultat doit être représenté par un nombre compris entre $0$ et $12$. \end{enumerate} \finenonce{007392} \finexercice \exercice{7393, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007393}{} Voici la table d'un groupe $G$. Quel est l'ordre de $G$ ? Le groupe $G$ est-il nécessairement commutatif ? Compléter la table en énonçant précisément les propriétés utilisées. $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline * & a & b & c & d & e\\ \hline a & & & d & & c \\ \hline b & e & &a & & d \\ \hline c & &a & & & \\ \hline d & & & &d &e \\ \hline e & & &b & & a \\ \hline \end{array} $$ \finenonce{007393} \finexercice \exercice{7394, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007394}{} Considérons le groupe $\displaystyle\left(\mathbb{F}_{41} \right)^\times$. Quels sont les ordres possibles d'un élément de ce groupe ? Combien d'éléments de chaque ordre ce groupe possède -t-il ? Déterminer en le justifiant un générateur de ce groupe. \finenonce{007394} \finexercice \exercice{7395, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007395}{} \begin{enumerate} \item Montrer que le polynôme $X^3+X+1$ est irréductible dans $\mathbb{F}_2[X]$. \item Quelle est alors la structure de l'ensemble quotient $A=\mathbb{F}_2[X]/(X^3+X+1)$ ? \item Quel est le cardinal de $A$ ? Soit $\alpha$ la classe du polynôme $X$ dans ce quotient $A$. Donner la liste des éléments de $A$. \item Sans calculs, mais en justifiant votre réponse, dire ce que valent les quantités suivantes $$\alpha+\alpha, \ \ \alpha^3+\alpha+1, \ \ \ \alpha^7.$$ \item Déterminer l'ordre multiplicatif de $\alpha$ dans $A^\times$. \item Etablir la table des puissances de $\alpha$. \item Calculer $(1+\alpha) (1+\alpha^2)$. \item Calculer $\alpha^3+\alpha^2$ comme puissance de $\alpha$. \item Calculer $(1+\alpha)^{-1}$. \end{enumerate} \finenonce{007395} \finexercice \exercice{7396, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007396}{} \begin{enumerate} \item Enoncer le théorème de Lagrange. \item Soit $G$ un groupe et $a$ un élément d'ordre $k$ dans $G$. Soit $p$ un entier naturel. Quel est l'ordre de $a^p$ ? \item Le groupe $\mathcal{S}_3$ des permutations de $\{1,2,3\}$ est-il cyclique ? (justifier) \item Enoncer le théorème de la division euclidienne dans $k[X]$. \item Enoncer le théorème de la division euclidienne dans $\Z[i]$. \end{enumerate} \finenonce{007396} \finexercice \exercice{7397, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007397}{} \begin{enumerate} \item La classe $[51]$ est-elle inversible dans l'anneau $\Z/131\Z$. Si oui, calculer $92\times 51^{-1}$ dans $\Z/131\Z$. Le résultat doit être représenté par un nombre compris entre 0 et 130. \item Trouver l'ensemble des diviseurs de zéro dans $\Z/16\Z$. (Dans cet exercice on ne considère pas le 0 comme un diviseur de zéro.) Représenter chaque classe par un nombre compris entre 1 et 15. \end{enumerate} \finenonce{007397} \finexercice \exercice{7398, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007398}{} \begin{enumerate} \item On rappelle que le seul polynôme irréductible de degré $2$ sur $\mathbb{F}_2$ est $X^2+X+1$. Montrer que le polynôme $X^4+X+1$ est irréductible dans $\mathbb{F}_2[X]$. \item On note $A:=\mathbb{F}_2[X]/$ l'anneau quotient de $\mathbb{F}_2[X]$ par l'idéal engendré par $P$. La classe de $3X^5+X^2+X+7$ est-elle nulle dans $A$ ? L'anneau $A$ est-il un corps ? Combien a-t-il d'éléments ? \item On note $\alpha$ la classe du polynôme $X$ dans $A$. Déterminer $\alpha^4$ et $\alpha^{15}$ comme polynômes de degré au plus $3$ en $\alpha$. \item Le polynôme $X^{15}-1$ est-il un multiple de $X^4+X+1$ dans $\mathbb{F}_2[X]$ ? \end{enumerate} \finenonce{007398} \finexercice \exercice{7399, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007399}{} \begin{enumerate} \item On considère le code binaire, linéaire engendré par la matrice $$\left(\begin{array}{ccccccccccccccc} 1&0&0&1&1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\ 0&1&0&0&1&1&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\ 0&0&1&0&0&1&1&0&0&0&0&0&0&0&0\\ 0&0&0&1&0&0&1&1&0&0&0&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&1&0&0&1&1&0&0&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&0&1&0&0&1&1&0&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&0&0&1&0&0&1&1&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&0&0&0&1&0&0&1&1&0&0&0\\ 0&0&0&0&0&0&0&0&1&0&0&1&1&0&0\\ 0&0&0&0&0&0&0&0&0&1&0&0&1&1&0\\ 0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&1&0&0&1&1\\ \end{array}\right)$$ Quel est son alphabet ? sa longueur ? sa dimension ? un polynôme générateur ? son nombre de mots ? \item Le code est-il cyclique ? \item Ecrire une matrice de contrôle. Montrer que la distance du code est au moins $3$. Combien d'erreurs peut-on alors détecter ? combien d'erreurs peut-on alors corriger ? \item Le mot $(0,0,0,1,0,1,1,1,1,1,1,0,0,1,1)$ est-il un mot de code ? Si non, en supposant qu'il n'a qu'une erreur, écrire le mot de code dont il provient. \end{enumerate} \finenonce{007399} \finexercice \exercice{7400, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007400}{} \begin{enumerate} \item Le nombre $613$ est-il premier ? \item Peut-il s'écrire comme somme de deux carrés ? \item Calculer $35^2$ modulo $613$. \item Effectuer la division euclidienne de $613$ par $35+i$ dans l'anneau $\Z[i]$ des entiers de Gauss. \item Ecrire $613$ comme somme de deux carrés. \end{enumerate} \finenonce{007400} \finexercice \exercice{7401, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007401}{} \begin{enumerate} \item Enoncer le théorème de la division euclidienne dans $k[X]$. \item Enoncer le théorème de la division euclidienne dans $\Z[i]$. \item Soit $G$ un groupe et $a$ un élément de $G$ d'ordre $n$. Soit $k$ un entier naturel. Quel est l'ordre de $a^k$ ? \item Démontrer que tout groupe d'ordre $13$ est commutatif. \item Donner l'exemple d'un nombre premier qui ne peut pas s'écrire comme somme de deux carrés. \end{enumerate} \finenonce{007401} \finexercice \exercice{7402, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007402}{} \begin{enumerate} \item Les groupes $\Z/9\Z$ et $\Z/3\Z\times \Z/3\Z$ sont-ils isomorphes ? \item Les groupes $\mathbb{F}_7$ et $\Z/2\Z\times \Z/3\Z$ sont-ils isomorphes ? Justifier. \item Les groupes $(\mathbb{F}_7)^\star$ et $\Z/2\Z\times \Z/3\Z$ sont-ils isomorphes ? Justifier. \end{enumerate} \finenonce{007402} \finexercice \exercice{7403, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007403}{} \begin{enumerate} \item On rappelle que le seul polynôme irréductible de degré $2$ sur $\mathbb{F}_2$ est $X^2+X+1$. Montrer que le polynôme $X^4+X^3+1$ est irréductible dans $\mathbb{F}_2[X]$. \item On note $A:=\mathbb{F}_2[X]/(X^4+X^3+1)$ l'anneau quotient de $\mathbb{F}_2[X]$ par l'idéal engendré par $P$. L'anneau $A$ est-il un corps ? Combien a-t-il d'éléments ? \item On note $\alpha$ la classe du polynôme $X$ dans $A$. Déterminer $\alpha^4$ et $\alpha^{15}$ comme polynômes de degré au plus $3$ en $\alpha$. \item Déterminer toutes les puissances de $\alpha$, $\alpha$ jusqu'à $\alpha^{15}$, comme polynômes de degré au plus~$3$ en $\alpha$. \item Déterminer $\alpha^7+\alpha^8+\alpha^9$ comme polynômes de degré au plus $3$ en $\alpha$. \item Ecrire l'inverse de $1+\alpha+\alpha^3$ comme puissance de $\alpha$. \end{enumerate} \finenonce{007403} \finexercice \exercice{7404, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007404}{} Alice et Bernard décident d'utiliser l'algorithme d'El Gamal. Il utilise le corps $\mathbb{F}_{13}$ avec l'élément $G=2$. \begin{enumerate} \item Quels sont les ordres possibles des éléments de $\mathbb{F}_{19}^\times$. Déterminer l'ordre de $2$ dans $\mathbb{F}_{19}^\times$. \item Bernard choisit sa clé privée $c=3$. Déterminer sa clé publique $C=G^c$. \item Alice choisit une clé temporaire privée $d=7$. Quelle est sa clé publique $D$ ? Elle souhaite envoyer le message $m=11$. Elle le chiffre en utilisant la clé publique $C$ de Bernard par $(M_1,M_2)=(D,mC^d)$. Expliciter ce message chiffré. \item Comment Bernard retrouve-t-il le message $m$ ? \item Dans un second envoi, Bernard reçoit $(8,3)$. Quel est le message $m$ envoyé cette fois par Alice ? Quelle clé privée a-t-elle utilisé cette fois ? \end{enumerate} \finenonce{007404} \finexercice \exercice{7405, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007405}{Questions de cours} \begin{enumerate} \item \'Enoncer le théorème de Lagrange. \item Donner l'exemple de deux groupes finis de même ordre non isomorphes. Justifier le fait que les deux groupes choisis ne sont pas isomorphes. \item Donner la définition d'un sous-groupe \emph{distingué}. \item L'anneau $(\Z/24\Z,+,\times)$ est-il intègre ? Justifier. \item Effectuer la division euclidienne de $X^3+2X^2-5X+8$ par $X^2-1$ dans $\Z/5\Z[X]$. \item Effectuer la division euclidienne de $X^3+2X^2-5X+8$ par $2X^2-1$ dans $\Z/5\Z[X]$. \end{enumerate} \finenonce{007405} \finexercice \exercice{7406, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007406}{} \begin{enumerate} \item Calculer les produits dans $\mathcal{S}_7$, $(1,2)(1,3)$ et $(1,2)(2,3)(1,2)$. \item L'ensemble des transpositions de $\mathcal{S}_7$ est-il un sous-groupe de $\mathcal{S}_7$ ? \end{enumerate} \finenonce{007406} \finexercice \exercice{7407, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007407}{} \begin{enumerate} \item Montrer que $1$ est dans le sous-groupe de $(\Z,+)$ engendré par $\{3,8\}$. \item Quel est le sous-groupe engendré par $\{3,8\}$ ? \item Quel est le sous-groupe engendré par $\{3,8,15\}$ ? \end{enumerate} \finenonce{007407} \finexercice \exercice{7408, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007408}{} \begin{enumerate} \item Décomposer en produit de cycles à supports disjoints la permutation $$\sigma=\left(\begin{array}{ccccccc} 1&2&3&4&5&6&7 \\ 7&6&3&1&4&2&5 \end{array} \right).$$ \item Déterminer son ordre. \item Ecrire sa puissance $\sigma ^6$. \item Ecrire son inverse en produit de cycles à supports disjoints. \item La décomposer en produit de moins de $7$ transpositions. \end{enumerate} \finenonce{007408} \finexercice \exercice{7409, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007409}{} \begin{enumerate} \item Quels sont les éléments inversibles de l'anneau $(\Z/11\Z)$ ? \item Déterminer un générateur $g$ du groupe $(\Z/11\Z)^\star$ des inversibles de l'anneau $(\Z/11\Z)$. \item Ecrire chaque élément de $(\Z/11\Z)^\star$ comme puissance de $g$. \end{enumerate} \finenonce{007409} \finexercice \section{ 204.01 Produit scalaire, norme } \exercice{1450, barraud, 2003/09/01} \enonce{001450}{} A deux polynômes $P=a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}$ et $Q=b_{0}+b_{1}X+b_{2}X^{2}$ de $\R_{2}[X]$, on associe $$ =(a_{0}+a_{1})b_{0}+(a_{0}+3a_{1})b_{1}+3a_{2}b_{2} $$ Montrer qu'il s'agit d'un produit scalaire. \finenonce{001450} \finexercice \exercice{1451, barraud, 2003/09/01} \enonce{001451}{} Pour quelles valeurs de $\lambda$ les formes bilinéaires ci-dessous définissent-elles un produit scalaire sur $\R^{3}$ ? \begin{enumerate} \item $f(x,y)= x_{1}y_{1} +6x_{2}y_{2} +3x_{3}y_{3} +2x_{1}y_{2} +2x_{2}y_{1} +3\lambda x_{1}y_{3} +3\lambda x_{3}y_{1} $ \item $g(x,y)= x_{1}y_{1} +10x_{2}y_{2} + 6x_{1}y_{2} +\lambda x_{3}y_{3} - x_{2}y_{3} - x_{3}y_{2} $ \item $h(x,y)= 2x_{1}y_{1} + 7x_{1}y_{2} + 7x_{2}y_{1} + 8x_{2}y_{2} - 3x_{3}y_{3} +\lambda x_{2}y_{3} +\lambda x_{3}y_{2} $ \item $i(x,y)=(x_{1}+x_{2})(y_{1}+y_{2}) +(x_{1}+x_{3})(y_{1}+y_{3}) +(x_{2}+x_{3})(y_{2}+y_{3}) -\lambda(x_{1}+x_{2}+x_{3})(y_{1}+y_{2}+y_{3})$ \end{enumerate} \finenonce{001451} \finexercice \exercice{1452, barraud, 2003/09/01} \enonce{001452}{} Vérifier que l'application $\phi~:\R^{3}\times\R^{3}\rightarrow \R$ définie ci-dessous est une forme bilinéaire symétrique et déterminer la forme quadratique qui lui est associée~: $$ \phi\big((x,y,z),(x',y',z')\big)= xx'+ 2yy' + 2yz' + 2y'z + zz'. $$ S'agit-il d'un produit scalaire~? \medskip Vérifier que l'application $q~:\R^{3}\rightarrow \R$ définie ci-dessous est une forme quadratique et déterminer la forme bilinéaire symétrique qui lui est associée~: $$ q\big((x,y,z)\big)= x^{2}+ 3(x+y-z)^{2} + (z-y)^{2}. $$ S'agit-il d'une norme euclidienne~? \finenonce{001452} \finexercice \exercice{1453, barraud, 2003/09/01} \enonce{001453}{} Sur $\R_{3}[X]$ on considère les formes bilinéaires suivantes. Dire lesquelles sont des produits scalaire. \begin{align*} \phi(P,Q)&=\int_{-1}^{1}P(t)Q(t)dt\\ \phi(P,Q)&=\int_{-1}^{1}P'(t)Q(t)+P'(t)Q(t)dt\\ \phi(P,Q)&=\int_{-1}^{1}P'(t)Q'(t)dt + P(0)Q(0) \end{align*} \finenonce{001453} \finexercice \exercice{1454, barraud, 2003/09/01} \enonce{001454}{} Pour quelles valeurs de $\lambda$ les formes bilinéaires ci-dessous définissent-elles un produit scalaire sur $\R^{3}$ ? \begin{enumerate} \item $f(x,y)= x_{1}y_{1} +6x_{2}y_{2} +3x_{3}y_{3} +2x_{1}y_{2} +2x_{2}y_{1} +3\lambda x_{1}y_{3} +3\lambda x_{3}y_{1} $ \item $g(x,y)= x_{1}y_{1} +10x_{2}y_{2} + 6x_{1}y_{2} +\lambda x_{3}y_{3} - x_{2}y_{3} - x_{3}y_{2} $ \item $h(x,y)= 2x_{1}y_{1} + 7x_{1}y_{2} + 7x_{2}y_{1} + 8x_{2}y_{2} - 3x_{3}y_{3} +\lambda x_{2}y_{3} +\lambda x_{3}y_{2} $ \item $i(x,y)=(x_{1}+x_{2})(y_{1}+y_{2}) +(x_{1}+x_{3})(y_{1}+y_{3}) +(x_{2}+x_{3})(y_{2}+y_{3}) -\lambda(x_{1}+x_{2}+x_{3})(y_{1}+y_{2}+y_{3})$ \end{enumerate} \finenonce{001454} \finexercice \exercice{1455, legall, 1998/09/01} \enonce{001455}{} Soient $ x = (x_1, x_2) $ et $ y = (y_1, y_2) $ appartenant \`a $ \R ^2 .$ Pour quelles valeurs de $ a, b, c, d \in \R $ l'application $ f(x, y) = ax_1y_1 + bx_1y_2 + cx_2y_1 + dx_2y_2 $ est-elle un produit scalaire sur $ \R ^2 $? \finenonce{001455} \finexercice \exercice{1456, legall, 1998/09/01} \enonce{001456}{} Soient $x,y$ et $z$ trois r\'eels tels que $ x^2+2y^2+3z^2\leq 1$. Montrer l'in\' egalit\'e : ${(x+y+z)^2 \leq \frac{11}{6}}.$ (On pourra par exemple appliquer l'in\'egalit\'e de Cauchy-Schwarz \`a certains vecteurs de $ \R ^3 $ pour un produit scalaire bien choisi.) \finenonce{001456} \finexercice \exercice{1457, legall, 1998/09/01} \enonce{001457}{} Soient $ x,y $ et $ z $ trois r\'eels tels que $ x^2+y^2+z^2\leq 1 .$ Montrer que $ (x+2y+3z)^2\leq 14 .$ \finenonce{001457} \finexercice \exercice{1458, legall, 1998/09/01} \enonce{001458}{} Soient $E$ un $\R$-espace vectoriel non nul, $\varphi$ un produit scalaire sur $E$, $(a,b,c) \in \R^3$. $\psi : E\times E \to \R$ l'application d\'efinie par $\psi(x,y) = a\varphi(x,x) + b\varphi(x,y) + c\varphi(y,y)$. Trouver une condition n\'ecessaire et suffisante sur $(a,b,c)$ pour que $\psi$ soit un produit scalaire sur $E$. \finenonce{001458} \finexercice \exercice{1459, legall, 1998/09/01} \enonce{001459}{} \begin{enumerate} \item Soient $ (E, \langle , \rangle ) $ un espace euclidien et $ \Vert . \Vert $ la norme associ\'ee~; $ n \in \N ^* ,$ et $ v_1, \dots, v_n \in E .$ Montrer l'in\'egalit\'e~: $ \displaystyle\Vert \sum_{i=1}^n v_i\Vert^2 \leq\ n\sum_{i=1}^n \Vert v_i\Vert^2 .$ \item Soient $ n \in \N ^* ,$ $ x_1, \dots, x_n \in \R _+^* $ tels que $ \displaystyle{\sum_{i=1}^n x_i = 1} .$ Montrer que $ \displaystyle{\sum_{i=1}^n \frac{1}{ x_i} \geq n^2} .$ Etudier le cas d'\'egalit\'e. \end{enumerate} \finenonce{001459} \finexercice \exercice{1460, barraud, 2003/09/01} \enonce{001460}{} Montrer que $$ \forall(x_{1},...,x_{n})\in\R^{n},\sum_{i=1}^{n}{x_{i}}\leq \sqrt{n}\left(\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}\right)^{\frac{1}{2}}. $$ Etudier le cas d'égalité. Soit $f$ et $g$ deux applications continues de $[0,1]$ dans $\R$. Montrer que : $$ \forall (f,g)\in C^{0}([0,1],\R)\qquad \left(\int_{0}^{1}f(t)g(t)dt\right)^{2} \leq \int_{0}^{1}f^{2}(t)dt\int_{0}^{1}g^{2}(t)dt. $$ Etudier le cas d'égalité. Soit $f$ une application continue d'un intervalle $[a,b]$ dans $\R$. Montrer que : $$ \forall f\in C^{0}([a,b],\R)\qquad \left(\int_{a}^{b}f(t)dt\right)^{2} \leq (b-a)\int_{a}^{b}f^{2}(t)dt. $$ Etudier le cas d'égalité. \finenonce{001460} \finexercice \exercice{1461, barraud, 2003/09/01} \enonce{001461}{} Rappeler l'énoncé de l'inégalité de Cauchy-Schwarz. Montrer que pour toute fonction continue d'un segment $[a,b]$ dans $\R$, on a $$ \left(\int_{a}^{b}{f(t)dt}\right)^{2}\leq (b-a)\int_{a}^{b}{\Big(f(t)\Big)^{2}dt} $$ Pour quelles fonctions a-t-on l'égalité ? \finenonce{001461} \finexercice \exercice{1462, ridde, 1999/11/01} \enonce{001462}{} Soit $E = \left\{ f : \Rr \rightarrow \Rr \text{ continue $2\pi$-p\'eriodique}\right\}$. Montrer que $\langle f|g \rangle = \int_{0}^{2\pi}{f (t)g (t)dt}$ est un produit scalaire sur $E$. \finenonce{001462} \finexercice \exercice{1463, ridde, 1999/11/01} \enonce{001463}{} Soit $E = \Rr_{n}[X]$. Montrer que $\langle P|Q \rangle = \sum\limits_{k = 0}^{n}{P (k)Q (k)}$ est un produit scalaire sur $E$. \finenonce{001463} \finexercice \exercice{1464, ridde, 1999/11/01} \enonce{001464}{} Soit $E$ un espace euclidien et $f$ et $g$ deux fonctions de $E$ dans $E$ qui v\'erifient : $\forall (x, y)\in E^{2} \, \langle f (x)|y \rangle = \langle x|g (y)\rangle$. Montrer que $f$ et $g$ sont lin\'eaires. \finenonce{001464} \finexercice \exercice{1465, ridde, 1999/11/01} \enonce{001465}{} Soient $a_{1}, \ldots, a_{n},b_{1}, \ldots, b_{n}, c_{1}, \ldots, c_{n} $ des r\'eels positifs.\\ Montrer que $\sum\limits_{k = 1}^{n}{a_{k}b_{k}c_{k}} \leq \sum\limits_{k = 1}^{n}{a_{k}^{2}c_{k}} \sum\limits_{k = 1}^{n}{b_{k}^{2}c_{k}}$. \finenonce{001465} \finexercice \exercice{1466, ridde, 1999/11/01} \enonce{001466}{} Soit $E$ un espace euclidien de dimension $n$ et $x_{1}, \ldots, x_{p}$ des vecteurs de $E$ tels que si $i \neq j$ alors $\langle x_{i}|x_{j} \rangle <0$. Montrer par r\'ecurrence sur $n$ que $p \leq n + 1$. \finenonce{001466} \finexercice \exercice{1467, gourio, 2001/09/01} \enonce{001467}{} Soit $ E $ un espace euclidien, et $ \left( e_{1},...,e_{n}\right) $ des vecteurs unitaires v\'{e}rifiant : $$\forall x\in E,\left\| x\right\| ^{2}=\sum_{i=1}^{n}\left\langle x,e_{i}\right\rangle ^{2}. $$ Montrer que $ \left( e_{1},...,e_{n}\right) $ est une base orthonormale (i.e. une base qui est aussi une famille orthonormale). (NB: on ne suppose pas que la dimension de l'espace est $ n.$) \finenonce{001467} \finexercice \exercice{1468, gourio, 2001/09/01} \enonce{001468}{} \begin{enumerate} \item Montrer que sur $ M_{n}({\Rr})$ l'application : $$\left( A,B\right) \rightarrow tr(^{t}AB) $$ est un produit scalaire. \item Soit $ N$ la norme associ\'{e}e, montrer que : $$\forall (A,B)\in M_{n}({\Rr}), N(AB)\leq N(A)N(B). $$ \item Montrer que : $$\forall A\in M_{n}({\Rr}),\left| tr(A)\right| \leq \sqrt{n}N(A). $$ \end{enumerate} \finenonce{001468} \finexercice \exercice{1469, gourio, 2001/09/01} \enonce{001469}{} Soit $ E$ un espace euclidien et $ f $ et $ g $ deux fonctions de $ E$ dans $ E$ telles que : $$\forall (x,y)\in E^{2},\left\langle f(x),y\right\rangle =\left\langle x,g(y)\right\rangle .$$ Montrer que $ f$ et $ g$ sont lin\'{e}aires. \finenonce{001469} \finexercice \exercice{1470, gourio, 2001/09/01} \enonce{001470}{} Soit $ E$ un espace euclidien, montrer que : $$\forall (x,y)\in E^{2},\left\| x+y\right\| ^{2}+1\leq 2\left( 1+\left\| x\right\| ^{2}\right) \left( 1+\left\| y\right\| ^{2}\right) . $$ \finenonce{001470} \finexercice \exercice{1471, gourio, 2001/09/01} \enonce{001471}{} Soit $ E$ un espace euclidien et $ f:E\rightarrow E$ tel que $ f(0)=0 $ et : $$\forall (x,y)\in E^{2},\left\| f(x)-f(y)\right\| =\left\| x-y\right\| . $$ Montrer que $ f$ est lin\'{e}aire. \finenonce{001471} \finexercice \exercice{1472, gourio, 2001/09/01} \enonce{001472}{} On munit $ {\Rr}[X]$ du produit scalaire : $$(P,Q)\rightarrow \int_{0}^{1}P(t)Q(t)dt. $$ Existe t-il $ A\in {\Rr}[X] $ tel que : $$\forall P\in {\Rr}[X],(P|A)=P(0)\ ? $$ \finenonce{001472} \finexercice \exercice{1473, gourio, 2001/09/01} \enonce{001473}{} Soit $ E$ un espace euclidien et $ f $ un endomorphisme de $E,$ tel que : $$\forall (x,y)\in E^{2},(x|y)=0\Rightarrow (f(x)|f(y))=0. $$ Montrer : $$\exists \alpha \in {\Rr}^{+},\forall (x,y)\in E^{2},(f(x)|f(y))=\alpha(x|y).$$ \finenonce{001473} \finexercice \exercice{1474, legall, 2003/10/01} \enonce{001474}{} Soit $ (E, \langle , \rangle ) $ un espace euclidien et $ f \in \mathcal{L} (E) $ un endomorphisme tel que $\forall x, y \in E $ tels que $\langle x,y\rangle =0,$ on ait $ \langle f(x), f(y)\rangle =0 $. Montrer qu'il existe $k\in \Rr _+$ tel que, pour tout $x\in E$~: $\Vert f(x)\Vert =k \Vert x\Vert .$ \finenonce{001474} \finexercice \exercice{2426, matexo1, 2002/02/01} \enonce{002426}{} On consid\`ere l'espace vectoriel $\R^n$ ($n \ge 2$), et $p \ge 1$ un nombre r\'eel. On d\'efinit l'application $$ N_p: \R^n \to \R, x = (x_1,\ldots,x_n) \mapsto N_p(x) = \left( \sum_{i=1}^n |x_i|^p \right)^{\frac 1 p}.$$ \begin{enumerate} \item Montrer que $N_p$ est une norme sur $\R_n$\,; on la note aussi $\|\cdot\|_p$. Dans les cas o\`u $p \neq 1$, $p \neq 2$, on pourra s'aider de la relation suivante (admise)\,: $$ \sum_{i=1}^n |a_i b_i| \leq \left(\sum_{i=1}^n |a_i|^p \right)^{\frac 1 p} \left(\sum_{i=1}^n |b_i|^{\frac p{p-1}} \right)^{\frac{p-1}p} \qquad\qquad \forall a, b\in \R^n.$$ \item On d\'efinit, pour tout $x\in \R^n$, $N_\infty(x) = \lim_{p\to\infty} \|x\|_p$. Montrer que cette limite existe pour tout $x$, et que $N_\infty(x) = \max_{1 \leq i \leq n} |x_i|$. D\'emontrer qu'il s'agit aussi d'une norme sur $\R^n$\,; on la note aussi $\|\cdot\|_\infty$. \item Dessiner les ``boules'' $\{x\in\R^2,\ N_p(x)\leq 1\}$ dans les cas o\`u $p=1$, $p=2$, $p=\infty$. \`A quoi ressemblent les cas des valeurs interm\'ediaires\,? \end{enumerate} \finenonce{002426} \finexercice \exercice{2460, matexo1, 2002/02/01} \enonce{002460}{} {\sc Identit\'e du parall\'elogramme} \bigskip Soit $E$ un $\R$-espace vectoriel norm\'e. \begin{enumerate} \item On suppose que la norme de $E$ v\'erifie la relation \begin{equation} \label{eq} \forall x,y\in E, \qquad 2\bigl(\|x\|^2 +\|y\|^2\bigr) =\|x+y\|^2 + \|x-y\|^2. \end{equation} On d\'efinit $p : E\times E \to \R$ par $$p(x,y) = \frac 1 2 \bigl(\|x+y\|^2 - \|x\|^2 -\|y\|^2\bigr).$$ Montrer que $p$ est un produit scalaire sur $E$. \item R\'eciproquement, si $E$ est un espace euclidien dont le produit scalaire est not\'e $\langle x,y \rangle$, montrer que la norme euclidienne (d\'efinie par $\|x\| =\sqrt{\langle x,x \rangle}$) v\'erifie (\ref{eq}), et que $\langle x,y \rangle=p(x,y)$. \item Dans le cas o\`u $E=\R^n$, pour quelles valeurs de $q\geq 1$ les normes $\|\cdot\|_q$ v\'erifient-elles (\ref{eq})\,? \end{enumerate} \finenonce{002460} \finexercice \exercice{2461, matexo1, 2002/02/01} \enonce{002461}{} Soit $E=\R[X]$ l'espace des polyn\^omes \`a coefficients r\'eels. On d\'efinit $p : E\times E\to \R$ par $$ p(u, v) = \int_{-1}^1 u(t) v(t)\,d t.$$ \begin{enumerate} \item Montrer que $p$ est un produit scalaire sur $E$, et que $u \mapsto \sqrt{p(u,u)}$ est une norme sur~$E$. \item Soit $E_2 \subset E$ le sous-espace des polyn\^omes de degr\'e $\leq 2$, et $u\in E$ d\'efini par $u(t) = t^4$. D\'eterminer la projection orthogonale $u_0$ de $u$ sur $E_2$. En d\'eduire la valeur de $$ \inf_{(a,b,c)\in \R^3} \int_{-1}^1 (t^4 -at^2-bt -c)^2 \,d t.$$ \end{enumerate} \finenonce{002461} \finexercice \exercice{2671, matexo1, 2002/02/01} \enonce{002671}{} \begin{enumerate} \item Sur l'espace $\R^n$, d\'efinir une distance $d$, telle que $\forall x,y \in \R^n$, on a $d(x,y)\leq 1$. Est-il possible de choisir $d$ de sorte que, en plus, $x\mapsto \sqrt{d(x,0)}$ soit une norme\,? \item On consid\`ere l'ensemble $S$ constitu\'e des points de $\R^3$ de norme euclidienne \'egale \`a 1 (``sph\`ere unit\'e''). Si $x$, $y$, sont deux \'el\'ements de $S$, il existe au moins un cercle de rayon 1 trac\'e sur $S$ et passant par ces points (dans quels cas en existe-t-il plusieurs\,?)\,; on note $d(x,y)$ la longueur du plus court arc de ce cercle joignant $x$ et $y$ (``distance g\'eod\'esique'' --- comparer avec la distance sur la sph\`ere terrestre). Montrer que $d$ est une distance sur $S$\,; pourquoi $x\mapsto \sqrt{d(x,0)}$ n'est-elle pas une norme\,? \end{enumerate} \finenonce{002671} \finexercice \exercice{3660, quercia, 2010/03/11} \enonce{003660}{Produits scalaires~?} Dire si les applications suivantes sont des produits scalaires : \begin{enumerate} \item $E = \R^2$, $(x,x') \mid (y,y') = axy + bxy' + cx'y + dx'y'$ (étudier $(1,t) \mid (1,t),\ t \in \R$). \item $E = \R^n$, $(x_1,\dots,x_n) \mid (y_1,\dots,y_n) = a\sum\limits_i x_iy_i + b\sum\limits_{i\ne j} x_iy_j$ $\Bigl($On montrera que $\left(\sum x_i\right)^2 \le n\sum x_i^2\Bigr)$. \item $E = \R_n[X]$, $(P \mid Q) = \sum_{i=0}^{n} P(i)Q(i)$. \end{enumerate} \finenonce{003660} \finexercice \exercice{3661, quercia, 2010/03/11} \enonce{003661}{Base de Schmidt} Trouver une base orthonormée de $\R_3[X]$ pour le produit scalaire : $(P\mid Q) = \int_{t=-1}^1 P(t)Q(t)\,d t$. \finenonce{003661} \finexercice \exercice{3662, quercia, 2010/03/11} \enonce{003662}{Base de Schmidt} Soit $E = \R_2[X]$ muni du produit scalaire : $(P\mid Q) = \sum_{i=0}^4 P(i)Q(i)$. Chercher une base orthonormée de $E$. \finenonce{003662} \finexercice \exercice{3663, quercia, 2010/03/11} \enonce{003663}{Inversion} Soit $E$ un espace vectoriel euclidien. On pose pour $\vec x \ne \vec 0$ : $i(\vec x) = \frac{\vec x}{\|\vec x\,\|^2}$. \begin{enumerate} \item Montrer que $i$ est une involution et conserve les angles de vecteurs. \item Vérifier que : $\forall\ \vec x,\vec y \in E \setminus\{\vec 0\}$, $\|i(\vec x) - i(\vec y)\| = \frac{\|\vec x - \vec y\,\|}{\|\vec x\,\|\,\|\vec y\,\|}$. \item Déterminer l'image par $i$ : \begin{enumerate} \item d'un hyperplan affine ne passant pas par $\vec 0$. \item d'une sphère passant par $\vec 0$. \item d'une sphère ne passant pas par $\vec 0$. \end{enumerate} \end{enumerate} \finenonce{003663} \finexercice \exercice{3664, quercia, 2010/03/11} \enonce{003664}{Inégalité de Ptolémée} Soit $E$ un espace euclidien. \begin{enumerate} \item Pour $\vec x \in E\setminus\{\vec 0\}$, on pose $f(\vec x) = \frac{\vec x}{\|\vec x\,\|^2}$. Montrer que : $\forall\ \vec x,\vec y \in E \setminus\{\vec 0\}$, $\|f(\vec x) - f(\vec y)\| = \frac{\|\vec x - \vec y\,\|}{\|\vec x\,\|\,\|\vec y\,\|}$. \item Soient $\vec a,\vec b,\vec c,\vec d \in E$. Montrer que $\|\vec a-\vec c\,\|\,\|\vec b-\vec d\,\| \le \|\vec a-\vec b\,\|\,\|\vec c-\vec d\,\| + \|\vec b-\vec c\,\|\,\|\vec a-\vec d\,\|$. Indication : se ramener au cas $\vec a = \vec 0$ et utiliser l'application $f$. \end{enumerate} \finenonce{003664} \finexercice \exercice{3665, quercia, 2010/03/11} \enonce{003665}{Calcul de distance} On munit $E = \R_n[X]$ du produit scalaire : Pour $P = \sum_i a_iX^i$ et $Q = \sum_i b_iX^i$, $(P\mid Q) = \sum_i a_ib_i$. Soit $H = \{ P \in E \text{ tq } P(1) = 0 \}$. \begin{enumerate} \item Trouver une base orthonormale de $H$. \item Calculer $d(X,H)$. \end{enumerate} \finenonce{003665} \finexercice \exercice{3666, quercia, 2010/03/11} \enonce{003666}{Expression analytique} Soit $E$ un espace euclidien de dimension 4, ${\cal B} = (\vec e_1, \dots, \vec e_4)$ une base orthonormée de $E$, et $F$ le sous-espace vectoriel d'équations dans $\cal B$ : $$\begin{cases} x+y+z+t = 0\cr x+2y+3z+4t =0 \cr\end{cases}$$ \begin{enumerate} \item Trouver une base orthonormée de $F$. \item Donner la matrice dans $\cal B$ de la projection orthogonale sur $F$. \item Calculer $d(\vec e_1, F)$. \end{enumerate} \finenonce{003666} \finexercice \exercice{3667, quercia, 2010/03/11} \enonce{003667}{Projection sur un hyperplan} On munit $\R^n$ du produit scalaire usuel. Soit $H = \{ (x_1,\dots,x_n) \in \R^n \text{ tq } a_1x_1 + \dots + a_nx_n = 0 \}$ où $a_1,\dots,a_n$ sont des réels donnés non tous nuls. Chercher la matrice dans la base canonique de la projection orthogonale sur $H$. \finenonce{003667} \finexercice \exercice{3668, quercia, 2010/03/11} \enonce{003668}{Caractérisation des projections orthogonales} Soit $E$ un espace vectoriel euclidien et $p \in \mathcal{L}(E)$ une projection. Montrer que : $p$ est une projection orthogonale $\Leftrightarrow \forall\ \vec x,\vec y \in E,\ (\vec x\mid p(\vec y)) = (p(\vec x)\mid \vec y)$\par $\Leftrightarrow \forall\ \vec x \in E,\ \|p(\vec x)\| \le \|\vec x\,\|$. (Pour la deuxième caractérisation, considérer $\vec x \in (\mathrm{Ker} p)^\perp$ et faire un dessin) \finenonce{003668} \finexercice \exercice{3669, quercia, 2010/03/11} \enonce{003669}{Projection sur un sous-espace vectoriel de dimension finie} Soit $E$ un espace vectoriel muni d'un produit scalaire (de dimension éventuellement infinie) et $(\vec u_1,\dots,\vec u_n)$ une famille orthonormée de $E$. On note $F = \text{vect}(\vec u_1,\dots,\vec u_n)$. \begin{enumerate} \item Démontrer que $F \oplus F^\perp = E$ et $F^{\perp\perp} = F$ (on utilisera la projection associée aux $\vec u_i$). \item Soit $\vec x \in E$. Démontrer que $\sum_{i=1}^n (\vec x\mid \vec u_i)^2 \le \|\vec x\,\|^2$. Quand a-t-on égalité ? \item Application : Soit $f : {[0,2\pi]} \to {\R}$ continue. On appelle {\it coefficients de Fourier de $f$\/} les réels : $$ c_k(f) = \int_{t=0}^{2\pi} f(t)\cos(kt)\,d t \qquad \text{et} \qquad s_k(f) = \int_{t=0}^{2\pi} f(t)\sin(kt)\,d t.$$ Démontrer l'inégalité de Bessel : $ \int_{t=0}^{2\pi} f^2(t)\,d t \ge \frac {c_0(f)^2}{2\pi} + \sum_{k=1}^\infty \frac {c_k(f)^2 + s_k(f)^2}\pi$. \end{enumerate} \finenonce{003669} \finexercice \exercice{3670, quercia, 2010/03/11} \enonce{003670}{Composition de projecteurs} Soient $F$, $G$ deux sous-espaces vectoriels d'un espace vectoriel euclidien $E$ tels que $F^\perp \perp G^\perp$. On note $p_F$ et $p_G$ les projections orthogonales sur $F$ et sur $G$. Montrer que $p_F + p_G - p_{F\cap G} = \mathrm{id}_E$ et $p_F \circ p_G = p_G \circ p_F = p_{F\cap G}$. \finenonce{003670} \finexercice \exercice{3671, quercia, 2010/03/11} \enonce{003671}{Projecteurs commutant} Soit $E$ un espace vectoriel euclidien et $p$, $q$ deux projections orthogonales. Montrer que $p$ et $q$ commutent si et seulement si $(\Im p\cap\Im q)^\bot \cap \Im p$ et $(\Im p\cap\Im q)^\bot \cap \Im q$ sont orthogonaux. \finenonce{003671} \finexercice\exercice{3672, quercia, 2010/03/11} \enonce{003672}{Caractérisation des bases orthonormales} Soit $E$ un espace vectoriel euclidien, et $\vec e_1,\dots,\vec e_n$ des vecteurs unitaires tels que : $\forall\ \vec x \in E, \quad \|\vec x\,\|^2 = \sum_{i=1}^n (\vec x\mid \vec e_i)^2$. \begin{enumerate} \item Démontrer que $(\vec e_1,\dots,\vec e_n)$ est une base orthonormale de $E$. \item On remplace l'hypothèse : $\vec e_i$ unitaire par : $\dim E = n$. \begin{enumerate} \item Démontrer que $(\vec e_1,\dots,\vec e_n)$ est une base de $E$. \item Démontrer que : $\forall\ \vec x,\vec y \in E,\ (\vec x \mid\vec y) = \sum_{i=1}^n (\vec x\mid \vec e_i)(\vec y\mid \vec e_i)$. \item On note $G$ la matrice de Gram de $\vec e_1,\dots,\vec e_n$. Démontrer que $G^2 = G$ et conclure. \end{enumerate} \end{enumerate} \finenonce{003672} \finexercice \exercice{3673, quercia, 2010/03/11} \enonce{003673}{Matrice de Gram} Soient $\vec x_1,\dots,\vec x_n$ des vecteurs d'un espace vectoriel euclidien $E$, et $G$ leur matrice de Gram. \begin{enumerate} \item Montrer que $\mathrm{rg} G = \mathrm{rg}(\vec x_1,\dots,\vec x_n)$. \item Montrer que $\det G$ est inchangé si on remplace $\vec x_k$ par $\vec x_k - \sum_{i\ne k} \lambda_i \vec x_i$. \item Soit $F = \text{vect}(\vec x_1,\dots,\vec x_n)$ et $\vec x \in E$. On note $d(\vec x,F) = \min(\|\vec x-\vec y\,\|, \vec y \in F)$. \par Montrer que $d(\vec x,F)^2 = \frac {\text{Gram}(\vec x_1,\dots,\vec x_n, \vec x)}{\text{Gram}(\vec x_1,\dots,\vec x_n)}$. \end{enumerate} \finenonce{003673} \finexercice \exercice{3674, quercia, 2010/03/11} \enonce{003674}{Gram$(u(e_i))$} Soit $E$ un espace vectoriel euclidien, $u \in \mathcal{L}(E)$ et $(\vec e_1,\dots,\vec e_n)$ une base quelconque de $E$. On note $G$ le déterminant de Gram. Montrer que $G(u(\vec e_1),\dots,u(\vec e_n)) = (\det u)^2 G(\vec e_1,\dots,\vec e_n)$. \finenonce{003674} \finexercice \exercice{3675, quercia, 2010/03/11} \enonce{003675}{\'Equation du second degré} Soient $E$ espace vectoriel euclidien, $\vec a \in E$ et $\alpha,\beta,\gamma \in \R$. Résoudre l'équation $\alpha (\vec x\mid \vec x) + \beta (\vec x\mid \vec a) + \gamma = 0$. \finenonce{003675} \finexercice \exercice{3676, quercia, 2010/03/11} \enonce{003676}{Vecteur défini par ses produits scalaires} Soient ${f_1,f_2,\dots,f_n} : {[0,1]} \to {\R}$ continues. Existe-t-il $f : {[0,1]} \to {\R}$ continue telle que : $\forall\ i,\ \int_{t=0}^1 f(t)f_i(t)\,d t = 1$ ? \finenonce{003676} \finexercice \exercice{3677, quercia, 2010/03/11} \enonce{003677}{Décomposition $QR$} \begin{enumerate} \item Soit $M \in \mathcal{M}_n(\R)$ inversible. Montrer qu'il existe une matrice orthogonale, $P$, et une matrice triangulaire supérieure à coefficients diagonaux positifs, $T$, uniques telles que $M = PT$. \item Application : inégalité de Hadamard. Soit $E$ un espace vectoriel euclidien, $(\vec e_1,\dots,\vec e_n)$ une base orthonormée, et $\vec u_1,\dots,\vec u_n$ des vecteurs quelconques. Démontrer que $|\det_{(\vec e_i)}(\vec u_j)| \le \prod_j \|\vec u_j\|$. \'Etudier les cas d'égalité. \end{enumerate} \finenonce{003677} \finexercice \exercice{3678, quercia, 2010/03/11} \enonce{003678}{Coefficients diagonaux dans la méthode de Schmidt} Soit $E$ un espace euclidien, ${\cal B} = (\vec u_1,\dots,\vec u_n)$ une base de $E$ et ${\cal B}' = (\vec e_1,\dots,\vec e_n)$ la base orthonormée déduite de $\cal B$ par la méthode de Schmidt. On note $P$ la matrice de passage de $\cal B$ à ${\cal B}'$. Montrer que $P_{ii} \times d(\vec u_i, \text{vect}(\vec u_1,\dots,\vec u_{i-1})) = 1$. \finenonce{003678} \finexercice \exercice{3679, quercia, 2010/03/11} \enonce{003679}{Coordonnées des vecteurs de Schmidt} Soit $E$ un espace euclidien, ${\cal B} = (\vec u_1,\dots,\vec u_n)$ une base de $E$ et ${\cal B}' = (\vec e_1,\dots,\vec e_n)$ la base orthonormée déduite de $\cal B$ par la méthode de Schmidt. On note $G_n$ le déterminant de Gram de $\vec u_1,\dots,\vec u_n$, et $\Delta_{i,n}$ le cofacteur de $(\vec u_i\mid \vec u_n)$ dans $G_n$. Montrer que $\vec e_n = \frac1{\sqrt{G_{n-1}G_n}}\sum_{i=1}^n \Delta_{i,n}\vec u_i$. \finenonce{003679} \finexercice \exercice{3680, quercia, 2010/03/11} \enonce{003680}{$\det({}^t\!AA)$} Soit $A \in \mathcal{M}_{n,p}(\R)$. Montrer que $\det(^tAA) \ge 0$. \finenonce{003680} \finexercice \exercice{3681, quercia, 2010/03/11} \enonce{003681}{Angles $> 2\pi/3$} Soit $E$ un espace euclidien de dimension supérieure ou égale à 3. Existe-t-il trois vecteurs $\vec u_1,\vec u_2,\vec u_3$ unitaires faisant entre eux deux à deux des angles strictement supérieurs à $\frac {2\pi}3$ ? \finenonce{003681} \finexercice \exercice{3682, quercia, 2010/03/11} \enonce{003682}{Polynômes orthogonaux} Soit $E$ = $\R[X]$. On pose $(P \mid Q) = \int_{t=0}^1 P(t)Q(t)\,d t$ \begin{enumerate} \item Démontrer que $(\ \mid\ )$ est un produit scalaire sur $E$. \item Démontrer qu'il existe une unique famille $(P_0, P_1, \dots, P_n,\dots )$ de polynômes vérifiant : $$\begin{cases}\deg P_i = i\cr \text{le coefficient dominant de $P_i$ est strictement positif}\cr \text{la famille $(P_i)$ est orthonormée.}\cr \end{cases}$$ \end{enumerate} \finenonce{003682} \finexercice \exercice{3683, quercia, 2010/03/11} \enonce{003683}{Centrale PSI 1997} Soit $E = \R_n[X]$ et $(P\mid Q) = \int_{t=0}^1 P(t)Q(t)\,d t$. \begin{enumerate} \item Montrer que $E$, muni de $(\ \mid\ )$, est un espace euclidien. \item Soit $K = \R_{n-1}[X]^\bot$ et $P \in K\setminus\{0\}$. Quel est le degré de~$P$~? \item Soit $\Phi\ :\ x \mapsto \int_{t=0}^1 P(t)t^x\,d t$. Montrer que $\Phi$ est une fonction rationnelle. \item Trouver $\Phi$ à une constante multiplicative près. \item En déduire les coefficients de~$P$. \item En déduire une base orthogonale de~$E$. \end{enumerate} \finenonce{003683} \finexercice \exercice{3684, quercia, 2010/03/11} \enonce{003684}{Réduction en carrés d'une forme quadratique} Soient $f_1, \dots, f_p$ $p$ formes linéaires sur $\R^n$ telles que $\mathrm{rg}(f_1, \dots, f_p) = n$. En considérant le produit scalaire : $ (\vec x \mid \vec y) = \sum_{i=1}^p f_i(\vec x)f_i(\vec y) $, démontrer qu'il existe $n$ formes linéaires $g_1, \dots, g_n$ telles que : $$\forall\ \vec x \in \R^n,\ \sum_{i=1}^p f_i(\vec x)^2 = \sum_{i=1}^n g_i(\vec x)^2.$$ Exemple : réduire $x^2 + (x+y)^2 + (x+2y)^2$ \finenonce{003684} \finexercice \exercice{3685, quercia, 2010/03/11} \enonce{003685}{Famille de vecteurs unitaires équidistants} Soit $E$ un espace vectoriel euclidien, et $(\vec x_1,\dots,\vec x_n)$ une famille libre. Démontrer qu'il existe une famille $(\vec u_1,\dots,\vec u_n)$ vérifiant~: $$\begin{cases} \vec u_i \text{ est unitaire} \cr \|\vec u_i-\vec u_j\| = 1 \cr \text{vect}(\vec u_1,\dots,\vec u_i) = \text{vect}(\vec x_1,\dots,\vec x_i).\cr\end{cases} $$ Démontrer que toute famille $(\vec u_1,\dots,\vec u_n)$ vérifiant les deux premières propriétés est libre. \finenonce{003685} \finexercice \exercice{3686, quercia, 2010/03/11} \enonce{003686}{Famille obtusangle} Soit $E$ un espace vectoriel euclidien et $\vec u_1,\dots,\vec u_n$ une famille de vecteurs vérifiant : $\forall\ i\ne j,\ (\vec u_i \mid \vec u_j) < 0$. \begin{enumerate} \item On suppose $(\vec u_1,\dots,\vec u_n)$ libre. Soit $(\vec e_1,\dots,\vec e_n)$ la famille de Schmidt associée et $M$ la matrice de passage de $(\vec u_1,\dots,\vec u_n)$ à $(\vec e_1,\dots,\vec e_n)$. Montrer que $M$ est à coefficients positifs. \item Dans le cas général, démontrer par récurrence sur $n$ que $\mathrm{rg}(\vec u_1,\dots,\vec u_n) \ge n-1$. \item Si $\mathrm{rg}(\vec u_1,\dots,\vec u_n) = n-1$, démontrer que toute famille de $n-1$ vecteurs extraite de $(\vec u_1,\dots,\vec u_n)$ est libre, et que les composantes dans cette famille du vecteur retiré sont strictement négatives. \end{enumerate} \finenonce{003686} \finexercice \exercice{3687, quercia, 2010/03/11} \enonce{003687}{$F + F^\perp \ne E$} Soit $E = \mathcal{C}([0,1])$ muni du produit scalaire : $(f\mid g) = \int_{t=0}^1 fg(t)\,d t$, et $F = \{ f \in E \text{ tq } f(0) = 0 \}$. Montrer que $F^\perp = \{0\}$. \finenonce{003687} \finexercice \exercice{3688, quercia, 2010/03/11} \enonce{003688}{Forme linéaire sur les polynômes} On munit $\R_2[X]$ du produit scalaire : $(P\mid Q) = \int_{t=0}^1 PQ(t)\,d t$. \begin{enumerate} \item Vérifier que c'est effectivement un produit scalaire. \item Soit $\varphi : {\R_2[X]} \to {\R}, P \mapsto {P(0).}$ Trouver le polynôme $A$ tel que : $\forall\ P \in \R_2[X],\ \varphi(P) = (A\mid P)$. \end{enumerate} \finenonce{003688} \finexercice \exercice{3689, quercia, 2010/03/11} \enonce{003689}{Norme uniforme sur les polynômes} Soit $P \in \R[X]$ de degré inférieur ou égal à 3 tel que $ \int_{t=-1}^1 P^2(t)\,d t = 1$. Montrer que $\sup\{ |P(x)|\text{ tq } -1\le x \le 1\} \le 2\sqrt2$. Indications : Pour $a\in\R$ montrer qu'il existe $P_a\in\R_3[X]$ tel que : $\forall\ P\in\R_3[X],\ P(a) = \int_{t=-1}^1 P(t)P_a(t)\,d t$. Calculer explicitement $P_a$, et appliquer l'inégalité de Cauchy-Schwarz. \finenonce{003689} \finexercice \exercice{3690, quercia, 2010/03/11} \enonce{003690}{Centrale MP 2000} Soit $E=\mathcal{C}^1([0,1],\R)$ et $\varphi (f,g)= \int_{[0,1]} fg+f'g'$. \begin{enumerate} \item Montrer que $\varphi$ est un produit scalaire. \item Soit $V=\{f\in E\, |\, f(0)=f(1)=0\}$ et $W=\{f\in E \, |\, f''=f\}$. Montrer que $V$ et $W$ sont supplémentaires orthogonaux et exprimer la projection orthogonale sur $W$. \item Soit $E_{\alpha \beta}=\{f\in E\, |\, f(0)=\alpha \text{ et } f(1)=\beta\}$. Déterminer $\inf\limits_{f\in E_{\alpha \beta}} \int_{[0,1]} f^2+f'^2$. \end{enumerate} \finenonce{003690} \finexercice \exercice{3691, quercia, 2010/03/11} \enonce{003691}{Polytechnique MP$^*$ 2000} Soit~$H$ un espace euclidien, $(y_j)_{j\in I}$ une famille de vecteurs de~$H$ telle qu'il existe $A$ et~$B$ strictement positifs vérifiant~: $$\forall\ x\in H,\ A\|x\|^2 \le \sum_{j\in I}(x\mid y_j)^2 \le B\|x\|^2.$$ \begin{enumerate} \item Montrer que $(y_j)_{j\in I}$ engendre~$H$. \item On choisit $H=\R^2$. Montrer que $y_1=\left(\begin{smallmatrix}0\cr1\end{smallmatrix}\right)$, $y_2=\left(\begin{smallmatrix}-\sqrt3/2\cr-1/2\cr\end{smallmatrix}\right)$, $y_3=y_2$ conviennent. \item Si $A=B=1$ et $\|y_j\|=1$ pour tout~$j$, montrer que $(y_j)_{j\in I}$ est une base orthonormale. \item Si $A=B$, montrer que pour tout~$x\in H$, $x=\frac1A\sum_{j\in I}(x\mid y_j)y_j$. \end{enumerate} \finenonce{003691} \finexercice \exercice{3692, quercia, 2010/03/11} \enonce{003692}{$\|u(x)\| \le \|x\|$} Soit $E$ un espace euclidien et $u\in\mathcal{L}(E)$ tel que $\forall\ x\in E,\ \|u(x)\| \le \|x\|$. Montrer que $E = \mathrm{Ker}(u-\mathrm{id})\mathop\oplus\limits^\perp\Im(u-\mathrm{id})$. \finenonce{003692} \finexercice \exercice{3693, quercia, 2010/03/11} \enonce{003693}{X MP$^*$ 2000} Soit $E$ un espace euclidien de dimension $n>1$. Trouver toutes les fonctions $f$ de $E$ dans $\R$ continues telles que $u\perp v \Rightarrow f(u+v)=f(u)+f(v)$. \finenonce{003693} \finexercice \exercice{5482, rouget, 2010/07/10} \enonce{005482}{***} Pour $A=(a_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}\in\mathcal{M}_n(\Rr)$, $N(A)=\mbox{Tr}(^tAA)$. Montrer que $N$ est une norme vérifiant de plus $N(AB)\leq N(A)N(B)$ pour toutes matrices carrées $A$ et $B$. $N$ est-elle associée à un produit scalaire~? \finenonce{005482} \finexercice \exercice{5483, rouget, 2010/07/10} \enonce{005483}{***} Soit $E$ un $\Rr$ espace vectoriel de dimension finie. Soit $||\;||$ une norme sur $E$ vérifiant l'identité du parallèlogramme, c'est-à-dire~:~$\forall(x,y)\in E^2,\;||x+y||^2+||x-y||^2=2(||x||^2+||y||^2)$. On se propose de démontrer que $||\;||$ est associée à un produit scalaire. On définit sur $E^2$ une application $f$ par~:~$\forall(x,y)\in E^2,\;f(x,y)=\frac{1}{4}(||x+y||^2-||x-y||^2)$. \begin{enumerate} \item Montrer que pour tout $(x,y,z)$ de $E^3$, on a~:~$f(x+z,y)+f(x-z,y)=2f(x,y)$. \item Montrer que pour tout $(x,y)$ de $E^2$, on a~:~$f(2x,y)=2f(x,y)$. \item Montrer que pour tout $(x,y)$ de $E^2$ et tout rationnel $r$, on a~:~$f(rx,y)=rf(x,y)$. On admettra que pour tout réel $\lambda$ et tout $(x,y)$ de $E^2$ on a~:~$f(\lambda x,y)=\lambda f(x,y)$ ( ce résultat provient de la continuité de $f$). \item Montrer que pour tout $(u,v,w)$ de $E^3$, $f(u,w)+f(v,w)=f(u+v,w)$. \item Montrer que $f$ est bilinéaire. \item Montrer que $||\;||$ est une norme euclidienne. \end{enumerate} \finenonce{005483} \finexercice \exercice{5485, rouget, 2010/07/10} \enonce{005485}{**} Sur $\Rr[X]$, on pose $P|Q=\int_{0}^{1}P(t)Q(t)\;dt$. Existe-t-il $A$ élément de $\Rr[X]$ tel que $\forall P\in\Rr[X],\;P|A=P(0)$~? \finenonce{005485} \finexercice \exercice{5495, rouget, 2010/07/10} \enonce{005495}{***} Soit $(e_1,...,e_n)$ une base quelconque de $E$ euclidien. Soient $a_1$,..., $a_n$ $n$ réels donnés. Montrer qu'il existe un unique vecteur $x$ tel que $\forall i\in\{1,...,\},\;x|e_i=a_i$. \finenonce{005495} \finexercice \exercice{5496, rouget, 2010/07/10} \enonce{005496}{****} Soit $E$ un espace vectoriel euclidien de dimension $n\geq1$. Une famille de $p$ vecteurs $(x_1,...,x_p)$ est dite obtusangle si et seulement si pour tout $(i,j)$ tel que $i\neq j$, $x_i|x_j<0$. Montrer que l'on a nécessairement $p\leq n+1$. \finenonce{005496} \finexercice \exercice{5629, rouget, 2010/10/16} \enonce{005629}{**I} \begin{enumerate} \item Soient $n\in\Nn^*$ et $E=\Cc_n[X]$. Pour $a\in\Cc$, on définit l'application $\varphi_a$ par : $\forall P\in E,\;\varphi_a(P)=P(a)$. Montrer que pour tout $a\in E$, $\varphi_a\in E^*$. \item Soient $a_0$, $a_1$,\ldots, $a_n$ $n+1$ nombres complexes deux à deux distincts. Montrer que la famille $\left(\varphi_{a_0},\ldots,\varphi_{a_n}\right)$ est une base de $E^*$ et déterminer sa préduale. \item Montrer qu'il existe $(\lambda_0,\ldots,\lambda_n)\in\Cc^{n+1}$ tel que $\forall P\in\Cc_n[X],\;\int_{0}^{1}P(t)\;dt=\lambda_0P(a_0)+\ldots+\lambda_nP(a_n)$ puis donner la valeur des $\lambda_i$ sous la forme d'une intégrale. \end{enumerate} \finenonce{005629} \finexercice \exercice{5630, rouget, 2010/10/16} \enonce{005630}{**} Sur $E =\Rr_3[X]$, on pose pour tout $P\in E$, $\varphi_1(P)=P(0)$ et $\varphi_2(P) = P(1)$ puis $\psi_1(P) =P'(0)$ et $\psi_2(P) = P'(1)$. Montrer que $(\varphi_1,\varphi_2,\psi_1,\psi_2)$ est une base de $E^*$ et trouver la base dont elle est la duale. \finenonce{005630} \finexercice \exercice{5631, rouget, 2010/10/16} \enonce{005631}{**} Soit $E$ un $\Kk$-espace vectoriel et $\varphi$ et $\psi$ deux formes linéaires sur $E$. On suppose que pour tout $x$ de $E$, on a $\varphi(x)\psi(x) = 0$. Montrer que $\varphi= 0$ ou $\psi= 0$. \finenonce{005631} \finexercice \exercice{5632, rouget, 2010/10/16} \enonce{005632}{***} \begin{enumerate} \item Soient $n\in\Nn^*$ puis $\varphi_1$,..., $\varphi_n$ et $\varphi$ $n+1$ formes linéaires sur un $\Kk$-espace vectoriel $E$ de dimension finie. Montrer que : $\left(\exists(\lambda_1,...,\lambda_n)\in\Kk^n/\;\varphi =\lambda_1\varphi_1+...+\lambda_n\varphi_n\Leftrightarrow\displaystyle\bigcap_{i=1}^{n}\text{Ker}\varphi_i\subset\text{Ker}\varphi\right)$. \item Signification du résultat précédent : dans $\Rr^3$, équation d'un plan $P$ contenant $D~:~\left\{ \begin{array}{l} x+y+z=0\\ 2x+3z=0 \end{array} \right.$ et le vecteur $u=(1,1,1)$ ? \end{enumerate} \finenonce{005632} \finexercice \exercice{5633, rouget, 2010/10/16} \enonce{005633}{***} Soient $n\in\Nn^*$ puis $\varphi_1$,..., $\varphi_n$ $n$ formes linéaires sur un $\Kk$-espace $E$ de dimension $n$. Montrer que la famille $(\varphi_1,...,\varphi_n)$ est liée si et seulement si il existe un vecteur $x$ non nul tel que $\forall i\in\llbracket1,n\rrbracket,\;\varphi_i(x) = 0$. \finenonce{005633} \finexercice \exercice{5634, rouget, 2010/10/16} \enonce{005634}{**} Rang du système de formes linéaires sur $\Rr^4$ \begin{center} $\begin{array}{l} f_1 = x_1 + 2x_2 - x_3 - 2x_4\\ f_2 = x_1 + x_2 + mx_3 + x_4\\ f_3 = x_1+ x_3 + (m+4)x_4\\ f_4=x_2 - 3x_3 - mx_4 \end{array} $ ? \end{center} \finenonce{005634} \finexercice \exercice{5773, rouget, 2010/10/16} \enonce{005773}{*** I} Soit $E=\Rr[X]$. Pour $(P,Q)\in E^2$, on pose $\varphi(P,Q)=\int_{0}^{+\infty}P(t)Q(t)e^{-t}\;dt$. Pour $n\in\Nn$, on pose $h_n=(X^ne^{-X})^{(n)}e^X$. \begin{enumerate} \item Montrer que $\varphi$ est un produit scalaire sur $E$. \item \begin{enumerate} \item Pour $n\in\Nn$, préciser les coefficients de $h_n$. Montrer que la famille $(h_n)_{n\in\Nn}$ est une base de $E$. \item Montrer que la famille $(h_n)_{n\in\Nn}$ est une base orthogonale de l'espace préhilbertien $(E,\varphi)$. \item Pour $n\in\Nn$, déterminer $\|h_n\|$. En déduire une base orthonormée de l'espace préhilbertien $(E,\varphi)$. \end{enumerate} \end{enumerate} \finenonce{005773} \finexercice \exercice{5774, rouget, 2010/10/16} \enonce{005774}{** I Polynômes de \textsc{Tchebychev}} Soit $E=\Rr[X]$. Pour $(P,Q)\in E^2$, on pose $\varphi(P,Q)=\int_{-1}^{1}\frac{P(t)Q(t)}{\sqrt{1-t^2}}\;dt$. Pour $n\in\Nn$, on note $T_n$ le $n$-ème polynôme de \textsc{Tchebychev} de première espèce c'est-à-dire l'unique polynôme tel que $\forall\theta\in\Rr$, $T_n(\cos\theta)=\cos(n\theta)$. \begin{enumerate} \item Montrer que $\varphi$ est un produit scalaire sur $E$. \item \begin{enumerate} \item Montrer que $(T_n)_{n\in\Nn}$ est une base orthogonale de l'espace préhilbertien $(E,\varphi)$. \item Pour $n\in\Nn$, déterminer $\|T_n\|$. \end{enumerate} \end{enumerate} \finenonce{005774} \finexercice \exercice{5775, rouget, 2010/10/16} \enonce{005775}{** I} On note $E$ l'ensemble des suites réelles de carrés sommables c'est-dire les suites réelles $(u_n)_{n\in\Nn}$ telles que \begin{center} $\sum_{n=0}^{+\infty}u_n^2<+\infty$. \end{center} \begin{enumerate} \item Montrer que $E$ est un $\Rr$-espace vectoriel. \item Pour $(u,v)\in E^2$, on pose $\varphi(u,v)=\sum_{n=0}^{+\infty}u_nv_n$. Montrer que $\varphi$ est un produit scalaire sur $E$. \end{enumerate} \finenonce{005775} \finexercice \exercice{5776, rouget, 2010/10/16} \enonce{005776}{* I} Soit $\Phi$ l'application qui à deux matrices carrées réelles $A$ et $B$ de format $n$ associe $\text{Tr}({^t}A\times B)$. Montrer que $\Phi$ est un produit scalaire sur $\mathcal{M}_n(\Rr)$. Est ce que $\Phi$ est un produit scalaire sur $\mathcal{M}_n(\Cc)$ ? \finenonce{005776} \finexercice \exercice{5777, rouget, 2010/10/16} \enonce{005777}{****} Soit $E$ un $\Rr$-espace vectoriel muni d'une norme, notée $\|\;\|$, vérifiant l'identité du parallélogramme. Montrer que cette norme est hilbertienne. \finenonce{005777} \finexercice \exercice{5778, rouget, 2010/10/16} \enonce{005778}{**} Soit $E$ un espace préhilbertien réel et $(e_1,...,e_n)$ une famille de $n$ vecteurs unitaires de $E$ ($n\in\Nn^*$) telle que pour tout vecteur $x$ de $E$, on ait $\|x\|^2 =\sum_{k=1}^{n}\left(x|e_k\right)^2$. Montrer que la famille $(e_1,...,e_n)$ est une base orthonormée de $E$. \finenonce{005778} \finexercice \exercice{5788, rouget, 2010/10/16} \enonce{005788}{**** I} Soit $E$ un espace euclidien de dimension $n$ non nulle. Soit $(x_1,...,x_p)$ une famille de $p$ vecteurs de $E$ ($p\geqslant 2$) . On dit que la famille $(x_1,...,x_p)$ est une famille obtusangle si et seulement si $\forall(i,j)\in\llbracket1,p\rrbracket^2$ $(i0$ et $q$ une forme quadratique sur $E$. \begin{enumerate} \item $q$ peut-elle \^etre injective ? \item Trouver une condition n\'ecessaire et suffisante sur $q$ pour qu'elle soit surjective. \end{enumerate} \finenonce{001509} \finexercice \exercice{1510, bodin, 1999/11/01} \enonce{001510}{examen juin 1999} Soit $a$ un nombre r\'eel. Soit $q$ la forme quadratique d\'efinie sur $\Rr^3$ par $$q(v)=x^2+(1+a)y^2+(1+a+a^2)z^2+2xy-2ayz$$ pour $v=(x,y,z)$. Soit $f$ la forme bilin\'eaire sym\'etrique associ\'ee \`a $q$. \begin{enumerate} \item D\'eterminer une d\'ecomposition de $q$ en combinaison lin\'eaire de carr\'es de formes lin\'eaires ind\'ependantes. \item Donner le rang et la signature de $q$ suivant les valeurs de $a$. \item Pour quelles valeurs de $a$, $f$ d\'efinit-elle un produit scalaire ? \end{enumerate} \finenonce{001510} \finexercice \exercice{1511, ortiz, 1999/04/01} \enonce{001511}{} Soit $q$ la forme quadratique de $\Rr^3$ de matrice $A= \left(\begin{smallmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{smallmatrix}\right) $ dans la base canonique $\mathcal{B}=(e_1,e_2,e_3)$ de $\Rr^3.$ \begin{enumerate} \item Donner l'expression analytique de $q$ dans $\mathcal{B}$ et expliciter sa forme polaire $f$. \item V\'erifier que $\mathcal{B}^{^{\prime }}=(e_1,-\frac 12e_1+e_2,-e_2+e_3)$ est une base $\Rr^3$ et donner la matrice de $q$ dans cette base. Expliciter $q$ dans cette base. \item Trouver le rang et la signature de $q$. \end{enumerate} \finenonce{001511} \finexercice \exercice{1512, ortiz, 1999/04/01} \enonce{001512}{} Soient $E=\Rr_2\left[ X\right] $ et $q$ l'application de $E$ dans $\Rr$ d\'efinie par $q(P)=P(0)P(1).$ \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que $q$ est une forme quadratique sur $E$. \item D\'eterminer la matrice de $q$ dans la base canonique de $E$. \item La forme $q$ est-elle positive, n\'egative ? \end{enumerate} \item Soit $P:=X^2+X+1$ et $V=$vect($P$). D\'eterminer $V^{\bot }$ et $V^{\bot \bot }.$ \item D\'eterminer le rang de $q$ puis son noyau. \item D\'eterminer le c\^one isotrope $C(q)$ de $q$ et constuire une base de $E$ form\'ee de vecteurs isotropes. $C(q)$ est-il un sous-espace vectoriel de $E$ ? \item D\'eterminer une base $(P_0,P_1,P_2)$ de $E$ telle que $q(a_0P_0+a_1P_1+a_2P_2)=a_0^2-a_1^2$ et donner la signature de $q.$ \end{enumerate} \finenonce{001512} \finexercice \exercice{1513, ortiz, 1999/04/01} \enonce{001513}{} Soit $q$ une forme quadratique sur un $\Rr$-espace vectoriel $E$, que l'on suppose d\'efinie (\emph{i.e.} son c\^one isotrope est $\left\{0\right\}$). Montrer que $q$ garde un signe constant sur $E$ (on pourra raisonner par l'absurde et consid\'erer $q(a+tb)$ o\`u $a$ et $b$ sont des vecteurs bien choisis et $t\in\Rr$). \finenonce{001513} \finexercice \exercice{1514, ortiz, 1999/04/01} \enonce{001514}{} \begin{enumerate} \item Diagonaliser $A= \left(\begin{smallmatrix} 11 & -5 & 5 \\ -5 &3 & -3 \\ 5 & -3 & 3 \end{smallmatrix}\right) .$ \item Soit $q$ la forme quadratique de $\Rr^3$ de matrice $A$ dans la base canonique de $\Rr^3.$ Utiliser la question pr\'ec\'edente pour trouver une base $q$-orthogonale, d\'eterminer la signature de $q$ et une d\'ecomposition de $q$ en combinaison lin\'eaire de carr\'es de formes lin\'eaires ind\'ependantes. \end{enumerate} \finenonce{001514} \finexercice \exercice{1515, ortiz, 1999/04/01} \enonce{001515}{} D\'eterminer la signature de la forme quadratique $${q:\left( x,y,z\right) \in \Rr^3\mapsto \left( 2x+y-z\right) ^2-\left( 3x-y+2z\right) ^2+\left( 5y-7z\right) ^2.}$$ \finenonce{001515} \finexercice \exercice{1516, ortiz, 1999/04/01} \enonce{001516}{} Soit la forme quadratique $q$ d\'efinie par $${ q:\left( x_1,x_2,x_3,x_4\right) \in \Cc^4\mapsto x_1x_2+x_2x_4-x_3x_4-2x_1x_4-2x_2x_3-x_1x_3}.$$ \begin{enumerate} \item Montrer, sans r\'eduire $q$, qu'il existe une base $q$-orthonormale de $\Cc^4.$ \item En expliciter une. \end{enumerate} \finenonce{001516} \finexercice \exercice{3713, quercia, 2010/03/11} \enonce{003713}{\'Etude de signe} Déterminer si les formes quadratiques suivantes sont positives : \begin{enumerate} \item $q(x,y) = (1-\lambda)x^2 + 2\mu xy + (1+\lambda)y^2$. \item $q(x,y,z) = x^2 + y^2 + 2z(x\cos\alpha + y\sin \alpha)$. \item $q(x,y,z,t) = x^2 + 3y^2 + 4z^2 + t^2 + 2xy + xt$. \end{enumerate} \finenonce{003713} \finexercice \exercice{3714, quercia, 2010/03/11} \enonce{003714}{Ensi PC 1999} La matrice $A = \begin{pmatrix}4&1&1\cr1&4&1\cr1&1&4\cr\end{pmatrix}$ est-elle une matrice de produit scalaire~? \finenonce{003714} \finexercice \exercice{3715, quercia, 2010/03/11} \enonce{003715}{Calcul de signature} Soit $A\in\mathcal{M}_n(\R)$ à coefficients strictement positifs. Déterminer la signature de la forme quadratique sur~$\R^n$ définie par~: $q(x_1,\dots,x_n) = \sum_{i,j} a_{i,j}(x_i-x_j)^2$. \finenonce{003715} \finexercice \exercice{3716, quercia, 2010/03/11} \enonce{003716}{Signature de ${}^t\!AA$} Soit $A \in \mathcal{M}_{n,p}(\R)$. \begin{enumerate} \item Montrer que ${}^t\!AA$ est la matrice d'une forme quadratique positive sur $\R^p$. \item Déterminer sa signature en fonction de~$\mathrm{rg} A$. \end{enumerate} \finenonce{003716} \finexercice \exercice{3717, quercia, 2010/03/11} \enonce{003717}{Décomposition en carrés} Décomposer en carrés la forme quadratique définie sur~$\R^n$ par~: $q(x_1,\dots,x_n) = \sum_{1\le i\le j\le n} x_ix_j = \frac12\sum_{i\ge 1} x_i^2 + \frac12\Bigl(\sum_{i\ge1} x_i\Bigr)^2$. On posera $y_i = x_i + (x_{i+1} + \dots + x_n)/(i+1)$. \finenonce{003717} \finexercice \exercice{3718, quercia, 2010/03/11} \enonce{003718}{Rang d'une décomposition en carrés} Soit $q$ une forme quadratique sur un espace vectoriel $E$ de dimension finie et $f_1,\dots,f_p\in E^*$, $\alpha_1,\dots,\alpha_p\in \R$ tels que ${q = \alpha_1f_1^2 + \dots + \alpha_pf_p^2}$. Montrer que $\mathrm{rg}(f_1,\dots,f_p) \ge \mathrm{rg}(q)$. \finenonce{003718} \finexercice \exercice{3719, quercia, 2010/03/11} \enonce{003719}{Différentielle d'une forme quadratique} Soit $q$ une forme quadratique sur $\R^n$ et $f$ la forme bilinéaire symétrique associée. Montrer que : $\forall\ \vec x,\vec y \in \R^n,\ dq_{\vec x}(\vec y) = 2f(\vec x,\vec y)$. \finenonce{003719} \finexercice \exercice{3720, quercia, 2010/03/11} \enonce{003720}{$q(a)q(x)-f^2(a,x)$} Soit $f$ une forme bilinéaire symétrique sur~$E$ et $q$ la forme quadratique associée.\par On pose pour~$x\in\ E$~: $\varphi(x) = q(a)q(x)-f^2(a,x)$. \begin{enumerate} \item Montrer que $\varphi$ est une forme quadratique sur~$E$. \item Si $E$ est de dimension finie comparer les rangs de $\varphi$ et~$q$. \item Dans le cas général, déterminer le noyau de la forme polaire de~$\varphi$ en fonction de celui de~$f$ et de~$a$. \end{enumerate} \finenonce{003720} \finexercice \exercice{3721, quercia, 2010/03/11} \enonce{003721}{$\mathrm{tr}(A^2)$} Soit pour $A\in\mathcal{M}_n(\R)$~: $q(A) = \mathrm{tr}(A^2)$. Montrer que $q$ est une forme quadratique sur~$\mathcal{M}_n(\R)$ et déterminer sa signature (indication~: étudier les restrictions de~$q$ aux sous-espaces vectoriels des matrices symétriques et antisymétriques). \finenonce{003721} \finexercice \exercice{3722, quercia, 2010/03/11} \enonce{003722}{Adjoint} Soit $E$ un $\R$-espace vectoriel de dimension finie et $f$ une forme bilinéaire symétrique non dégénérée sur~$E$. \begin{enumerate} \item Si $u\in\mathcal{L}(E)$ montrer qu'il existe un unique endomorphisme $v\in\mathcal{L}(E)$ tel que~: $$\forall\ x,y\in\ E,\ f(u(x),y) = f(x,v(y)).$$ On note $v=u^*$. \item Montrer que l'application $u \mapsto u^*$ est un anti-isomorphisme involutif de l'algèbre~$\mathcal{L}(E)$ (c'est-à-dire un isomorphisme linéaire tel que $(u\circ v)^* = v^*\circ u^*$ et $u^{**}=u$). \end{enumerate} \finenonce{003722} \finexercice \exercice{3723, quercia, 2010/03/11} \enonce{003723}{Restriction d'une forme quadratique à un sous-espace vectoriel} Soit $E$ un $\R$-espace vectoriel de dimension finie $n\ge 1$ et $q$ une forme quadratique sur~$E$ de signature $(n-1,1)$. Soit~$H$ un sous-espace vectoriel de~$E$ de dimension~$d\ge 1$. \begin{enumerate} \item On suppose qu'il existe $x\in\ H$ tel que~$q(x) < 0$. Montrer que la signature de $q_{|H}$ est $(d-1,1)$. \item On suppose que $q_{|H}$ est positive, quelle est sa signature~? \end{enumerate} \finenonce{003723} \finexercice \exercice{3724, quercia, 2010/03/11} \enonce{003724}{Mineurs principaux\label{mineursppx}} Soit $n\ge 2$ et $A$ une matrice réelle symétrique $n\times n$ représentant une forme quadratique~$q$. On appelle mineurs principaux de~$A$ les déterminants~: $$\Delta_k(A) = \det\bigl((a_{i,j})_{i,j\le k}\bigr).$$ On suppose que tous les mineurs principaux de~$A$ sont non nuls, montrer que la signature de~$q$ est $(r,s)$ où $s$ est le nombre de changements de signe dans la suite $(1,\Delta_1,\dots,\Delta_n)$ et $r=n-s$. \finenonce{003724} \finexercice \exercice{3725, quercia, 2010/03/11} \enonce{003725}{Diagonale dominante} Soit $A = (a_{ij})\in\mathcal{M}_n(\R)$ symétrique. On dit que $A$ est à diagonale faiblement dominante si pour tout $i$ on a $a_{ii}\ge \sum_{j\ne i}|a_{ij}|$ et que $A$ est à diagonale fortement dominante si pour tout $i$ on a $a_{ii}> \sum_{j\ne i}|a_{ij}|$. Montrer que si $A$ est à diagonale fortement dominante alors $A$ est définie positive et si $A$ est à diagonale faiblement dominante alors $A$ est positive. \finenonce{003725} \finexercice \exercice{3726, quercia, 2010/03/11} \enonce{003726}{Formes quadratiques de signature donnée} Soit $E$ un $\R$-espace vectoriel de dimension~$n$, on note~: \halign{\indent\indent#\hfil\quad&#\hfil\cr Quad$(E)$ &l'ensemble des formes quadratiques sur~$E$~;\cr Quad$^*(E)$ &l'ensemble des formes quadratiques sur~$E$ de rang~$n$~;\cr Quad$_{p,q}(E)$ &l'ensemble des formes quadratiques sur~$E$ de signature $(p,q)$.\cr } \begin{enumerate} \item Montrer que $\mathrm{Quad}^*(E)$ est dense dans $\mathrm{Quad}(E)$. \item Montrer que si $p+q=n$ alors $\mathrm{Quad}_{p,q}(E)$ est ouvert dans $\mathrm{Quad}(E)$. \item Montrer que $\mathrm{Quad}_{p,q}(E)$ est connexe par arcs. \end{enumerate} \finenonce{003726} \finexercice \exercice{3727, quercia, 2010/03/11} \enonce{003727}{$1/(\lambda_i+\lambda_j)$} \begin{enumerate} \item Soit ${f_1,\dots,f_n} : I \to \R$ des fonctions continues de carrés intégrables sur l'intervalle~$I$. On pose $a_{i,j} = \int_I f_if_j$. Montrer que la matrice $(a_{i,j})$ est définie positive ssi la famille $(f_1,\dots,f_n)$ est libre. \item En déduire que si $\lambda_1$,\dots,$\lambda_n$ sont des réels strictement positifs distincts alors la matrice de terme général $1/(\lambda_i+\lambda_j)$ est définie positive. \end{enumerate} \finenonce{003727} \finexercice \exercice{3728, quercia, 2010/03/11} \enonce{003728}{Matrice des inverses} Soit $A = (a_{i,j})\in \mathcal{M}_n(\R)$ à coefficients tous non nuls. On note $A'$ la matrice de coefficient général $1/a_{i,j}$. \begin{enumerate} \item Trouver les matrices $A$ telles que $A$ et $A'$ sont symétriques définies positives (examiner les cas $n=1$, $n=2$, $n=n$). \item Trouver les matrices $A$ telles que $A$ et $A'$ sont symétriques positives (examiner les cas $n=2$, $n=3$, $n=n$). \end{enumerate} \finenonce{003728} \finexercice \exercice{3729, quercia, 2010/03/11} \enonce{003729}{Centrale MP 2000} Soit $S$ une matrice carrée d'ordre~$n$, à coefficients réels, symétrique définie positive. Soit~$X=\begin{pmatrix}x_1\cr\vdots\cr x_n\cr\end{pmatrix}$. Montrer que $q$ : $X \mapsto\begin{vmatrix}0&x_1&\dots&x_n\cr x_1\cr\vdots&&S\cr x_n\cr\end{vmatrix}$ est définie négative. \finenonce{003729} \finexercice \exercice{3730, quercia, 2010/03/11} \enonce{003730}{Polytechnique MP$^*$ 2000} On considère sur $\R^n$ la forme quadratique : $q(x)=\alpha \| x\| ^2 +\beta (x|a)^2$ où $\alpha >0$, $\beta $ réel et $a\in \R^n$. Discuter de la signature et du rang de $q$. \finenonce{003730} \finexercice \exercice{3731, quercia, 2010/03/11} \enonce{003731}{Ensae MP$^*$ 2000} Soit $q$ une forme quadratique non nulle sur $M_2(\C)$ telle que $q(AB)=q(A) q(B)$. Déterminer $q$. \finenonce{003731} \finexercice \exercice{3732, quercia, 2010/03/11} \enonce{003732}{Déterminant de Gram, X MP$^*$ 2005} Soit $E$ un espace vectoriel réel de dimension quelconque, $(x_{1},\ldots,x_{n})$ et $(y_{1},\ldots,y_{n})$ deux familles de vecteurs de $E$ et $\phi$ une forme bilinéaire symétrique positive. Montrer que $(\det [\phi(x_{i}, y_{j})])^{2}\le \det [\phi(x_{i}, x_{j})]\times \det [\phi(y_{i}, y_{j})]$. \finenonce{003732} \finexercice \exercice{5807, rouget, 2010/10/16} \enonce{005807}{**} Soit $E =\mathcal{L}(\Rr^2)$. Soit $(\lambda,\mu)\in\Rr^2$. On pose \begin{center} $\forall f\in\mathcal{L}(\Rr^2)$, $Q(f) =\lambda\text{Tr}(f^2) +\mu\text{det}(f)$. \end{center} \begin{enumerate} \item Vérifier que $Q$ est une forme quadratique sur $E$. \item Déterminer en fonction de $\lambda$ et $\mu$ le rang et la signature de $Q$. Analyser en particulier les cas $(\lambda,\mu) = (1,0)$ et $(\lambda,\mu) = (0,1)$. \end{enumerate} \finenonce{005807} \finexercice \exercice{5808, rouget, 2010/10/16} \enonce{005808}{**} Soit $Q$ une forme quadratique sur un $\Rr$-espace vectoriel $E$. On note $\varphi$ sa forme polaire. On suppose que $\varphi$ est non dégénérée mais non définie. Montrer que $Q$ n'est pas de signe constant. \finenonce{005808} \finexercice \exercice{5809, rouget, 2010/10/16} \enonce{005809}{*** I} Soient $f_1$, $f_2$,..., $f_n$ $n$ fonctions continues sur $[a,b]$ à valeurs dans $\Rr$. Pour $(i,j)\in\llbracket1,n\rrbracket^2$, on pose $b_{i,j}=\int_{a}^{b}f_i(t)f_j(t)\;dt$ puis pour $(x_1,...x_n)\in\Rr^n$, $Q((x_1,...,x_n)) =\sum_{1\leqslant i,j\leqslant n}^{}b_{i,j}x_ix_j$. \begin{enumerate} \item Montrer que $Q$ est une forme quadratique positive. \item Montrer que $Q$ est définie positive si et seulement si la famille $(f_1,...,f_n)$ est libre. \item Ecrire la matrice de $Q$ dans la base canonique de $\Rr^n$ dans le cas particulier : $\forall i\in\llbracket1,n\rrbracket$, $\forall t\in[a,b]$, $f_i(t)=t^{i-1}$. \end{enumerate} \finenonce{005809} \finexercice \exercice{5810, rouget, 2010/10/16} \enonce{005810}{***} Soit $S$ une matrice symétrique réelle, définie positive. Pour $(x_1,...,x_n)\in\Rr^n$, on pose \begin{center} $Q((x_1,...,x_n)) = -\text{det}\left(\begin{array}{cccc} 0&x_1&\ldots&x_n\\ x_1& & & \\ \vdots& &S& \\ x_n& & & \end{array} \right)$. \end{center} Montrer que $Q$ est une forme quadratique définie positive. \finenonce{005810} \finexercice \section{ 204.03 Espace orthogonal } \exercice{1475, legall, 1998/09/01} \enonce{001475}{} Montrer que l'application $ (A, B)\mapsto tr({}^t\! AB) $ de $M_2(\R)\times M_2(\R)$ \`a valeurs dans $ \R $ est un produit scalaire. Calculer l'orthogonal de l'ensemble des matrices diagonales puis celui des matrices sym\'etriques. \finenonce{001475} \finexercice \exercice{1476, legall, 1998/09/01} \enonce{001476}{} Soit $ (E , \langle , \rangle ) $ un espace euclidien, $ F $ et $ G $ deux sous-espaces vectoriels de $ E .$ Montrer que~: \begin{enumerate} \item Si $ F\subset G $ alors $ G^\perp \subset F^\perp .$ \item $ (F+G)^\perp = F^\perp \cap G ^\perp .$ \item $ (F\cap G)^\perp = F^\perp +G ^\perp .$ \item Si $\hbox{dim}(E) $ est finie, alors $ (F^\perp )^\perp =F .$ \end{enumerate} \finenonce{001476} \finexercice \exercice{5792, rouget, 2010/10/16} \enonce{005792}{**} On munit $E =\mathcal{M}_3(\Rr)$ muni du produit scalaire usuel. \begin{enumerate} \item Déterminer l'orthogonal de $\mathcal{A}_3(\Rr)$. \item Calculer la distance de la matrice $M =\left( \begin{array}{ccc} 0&1&0\\ 0&0&1\\ 0&0&0 \end{array} \right)$ au sous-espace vectoriel des matrices antisymétriques. \end{enumerate} \finenonce{005792} \finexercice \section{ 204.04 Projection, symétrie } \exercice{1477, barraud, 2003/09/01} \enonce{001477}{} Déterminer la matrice dans la base canonique de $\R^{3}$ de la projection orthogonale sur le plan d'équation $x+2y-3z=0$. En déduire la matrice de la symétrie orthogonale par rapport à ce plan. \medskip Dans un espace euclidien de dimension $n$, on considére un sous-espace $F$ de dimension $r$ et $(f_{1},...,f_{r})$ une base de orthonormée de cet espace. On not $p_{F}$ la projection orthogonale sur $F$, c'est à dire la projection sur $F$ associée à la décomposition $E=F\oplus F^{\bot}$. Montrer que : $$ \forall v\in F, \qquad p_{F}(v)=f_{1} +f_{2} +\cdots +f_{r} $$ \finenonce{001477} \finexercice \exercice{1478, barraud, 2003/09/01} \enonce{001478}{} Dans $\R^{3}$ muni de son produit scalaire canonique, déterminer la projection orthogonale sur le plan d'équation $x+y+z=0$ de $(1,0,0)$, et plus généralement d'un vecteur $(x,y,z)$ quelconque. Donner la matrice de cette projection ainsi que celle de la symétrie orthogonale par rapport à ce plan. \medskip Dans un espace euclidien de dimension $n$, on considère un sous-espace $F$ de dimension $r$ et $(f_{1},...,f_{r})$ une base de orthonormée de cet espace. On not $p_{F}$ la projection orthogonale sur $F$, c'est à dire la projection sur $F$ associée à la décomposition $E=F\oplus F^{\bot}$. Montrer que : $$ \forall v\in F, \qquad p_{F}(v)=f_{1} +f_{2} +\cdots +f_{r} $$ \finenonce{001478} \finexercice \exercice{1479, legall, 1998/09/01} \enonce{001479}{} Soit $ (E , \langle , \rangle ) $ un espace euclidien et $ p \in \mathcal{L} (E) $ un projecteur. Montrer que $ p $ est orthogonal (c'est-\`a-dire $ \hbox{Ker}(p)\perp \hbox{Im}(p) $) si et seulement si~: $ \forall x \in E : \Vert p(x)\Vert \leq \Vert x\Vert .$ \finenonce{001479} \finexercice \exercice{1480, legall, 1998/09/01} \enonce{001480}{} Soit $ (E , \langle , \rangle ) $ un espace euclidien et $ F $ un sous-espace vectoriel de $ E .$ On note $ p $ la projection orthogonale sur $ F $ et on pose, pour tout $ \displaystyle{ x\in E : d(x, F)= \inf _{y\in F}\Vert x-y\Vert } .$ Soit $ z \in F .$ \begin{enumerate} \item Montrer que pour tout $ x\in F , $ les trois conditions sont \'equivalentes~: \begin{enumerate} \item[(i)] $ d(x,F)=\Vert x-z\Vert .$ \item[(ii)] $ z=p(x) .$ \item[(iii)] $ \forall y \in F , y\perp (x-z) .$ \end{enumerate} \item En d\'eduire $ \displaystyle{ \inf _{a,b\in \R } \int _0 ^1 (x^2-ax-b)^2dx } .$ \end{enumerate} \finenonce{001480} \finexercice \exercice{1481, legall, 1998/09/01} \enonce{001481}{} Soit $ (E , \langle , \rangle ) $ un espace euclidien de dimension sup\'erieure ou \'egale \`a $ 2 .$ Soient $ x $ et $ y \in E .$ Montrer que~: \begin{enumerate} \item Si $ \Vert x\Vert = \Vert y\Vert ,$ alors il existe un hyperplan $ H $ de $ E $ tel que $ y = s(x) $ o\`u $ s $ est la sym\'etrie orthogonale par rapport \`a $ H .$ \item Si $ \langle x, y\rangle = \Vert y\Vert ^2 ,$ alors il existe un hyperplan $ H $ de $ E $ tel que $ y = p(x) $ o\`u $ p $ est la projection orthogonale sur $ H .$ \end{enumerate} \finenonce{001481} \finexercice \exercice{1482, legall, 1998/09/01} \enonce{001482}{} Dans $ \R ^3 $ muni du produit scalaire euclidien canonique, donner la matrice de la projection orthogonale sur le plan d'\'equation $ x + 2y - 3z = 0 .$ Donner la matrice de la sym\'etrie orthogonale par rapport \`a ce m\^eme plan. \finenonce{001482} \finexercice \exercice{1483, legall, 1998/09/01} \enonce{001483}{} Soit $ (E , \langle , \rangle ) $ un espace euclidien et $ F $ un sous-espace vectoriel muni d'une base orthonormale $ (e_1, \ldots, e_m) .$ Soit $ p $ la projection orthogonale sur $ F .$ \begin{enumerate} \item Montrer que $ \displaystyle{\forall x \in E , p(x) = \sum_{i=1}^m \langle x,e_i\rangle e_i} .$ \item Donner de m\^eme l'expression de la sym\'etrie orthogonale par rapport \`a $ F $ et la projection orthogonale sur $ F^\perp .$ \end{enumerate} \finenonce{001483} \finexercice \exercice{1484, ridde, 1999/11/01} \enonce{001484}{} Quelle est la transformation de $\Rr^{3}$ dont la matrice dans la base canonique est $\frac{1}{7} \begin{pmatrix} -2 & 6&-3\\ 6&3&2\\-3&2&6\\ \end{pmatrix}$ ? \finenonce{001484} \finexercice \exercice{1485, ridde, 1999/11/01} \enonce{001485}{} D\'eterminer la matrice dans la base canonique de $\Rr^{4}$ de la projection orthogonale sur $\mathrm{Vect} (v_{1}, v_{2})$ où $v_{1} = (1, -1, 0, 0)$ et $v_{2} = (0, 1, 0, 1)$. \finenonce{001485} \finexercice \exercice{1486, ridde, 1999/11/01} \enonce{001486}{} Soient $E$ un espace euclidien, $u$ un vecteur non nul et $H = u^{\bot}$. Soient $p$ la projection orthogonale sur $H$ et $s$ la sym\'etrie orthogonale par rapport \`a $H$. \begin{enumerate} \item Montrer que $\forall x \in E \qquad p (x) = x-\frac{\langle x|u \rangle} {\left\| u\right\|^{2}}u$. \item Montrer que $\forall x \in E \qquad s (x) = x-2\frac{\langle x|u \rangle} {\left\| u\right\|^{2}}u$. \item On consid\`ere dans $\Rr^{3}$ le plan $ (\Pi : x-y + z = 0)$. D\'eterminer la matrice dans la base canonique de la sym\'etrie orthogonale par rapport \`a $\Pi$. \end{enumerate} \finenonce{001486} \finexercice \exercice{1487, ortiz, 1999/04/01} \enonce{001487}{} Soit $\left(E,\;|\;\right)$ un espace vectoriel de dimension $n$. \begin{enumerate} \item Soient $F$ et $G$ des sous-espace vectoriels de $E$. Montrer que $\left(F\cap G\right)^\perp=F^\perp+G^\perp $. \item Soient $\mathcal{B}=(e_1,...,e_n)$ une base orthonormale de $E$ et $(a_1,...,a_n)\in\Rr^n\setminus \left\{(0,...,0)\right\} $ et $H$ le sous-espace vectoriel de $E$ d'\'equation cart\'esienne $\sum_{k=1}^{n}a_kx_k=0$ dans $\mathcal{B}.$ \begin{enumerate} \item D\'eterminer l'orthogonale de $H$. \item D\'eterminer la distance du vecteur $x=\sum_{k=1}^{n}x_ke_k$ de $E$ au sous-espace vectoriel $H$. \end{enumerate} \item Soit $P$ le sous-espace vectoriel de l'espace vectoriel $\Rr^4$ d\'efini par $${u=(x_1,x_2,x_3,x_4)\in P\Leftrightarrow x_1+x_2+x_3+x_4=x_2+2x_3+3x_4=0.}$$ \begin{enumerate} \item D\'eterminer une base de $P^\perp$ puis une base orthonormale de $P^\perp$. \item En d\'eduire une expression analytique de la projection orthogonale de $\Rr^4$ sur $P$. \end{enumerate} \end{enumerate} \finenonce{001487} \finexercice \exercice{1488, ortiz, 1999/04/01} \enonce{001488}{} Soient $E$ un espace vectoriel euclidien, $F$ et $G$ deux sous-espace vectoriels suppl\'ementaires de $E$ et $p$ le projecteur de $E$ d'axe $F$ et de direction $G$. \begin{enumerate} \item On suppose que $F\perp G$. Montrer que $\forall x\in E, \|p(x)\|\le\|x\|.$ \item On suppose que $\forall x\in E, \|p(x)\|\le\|x\|$. \begin{enumerate} \item Soient $a\in F$ et $b\in G$. Montrer que $\|a+b\|\ge\|a\|$. \item En d\'eduire que $F\perp G$. \end{enumerate} \end{enumerate} \finenonce{001488} \finexercice \exercice{1489, ortiz, 1999/04/01} \enonce{001489}{} Soit $\alpha=\inf\left\{\int_{-1}^{1}\left(ax^2+bx+c-|{x}|\;\right)^2dx:a,b,c\in\Rr\right\}$. \begin{enumerate} \item D\'eterminer un espace vectoriel euclidien $(E,\,|\,)$, un sous-espace vectoriel $F$ de $E$ et $v\in E$ tel que $\alpha=\text{d}(v,F)^2$. \item D\'eterminer $p\in F$ tel que $\alpha=\text{d}(v,p)^2$ et $\alpha$. \end{enumerate} \finenonce{001489} \finexercice \exercice{1490, ridde, 1999/11/01} \enonce{001490}{} Soit $E$ un espace euclidien (de dimension finie), $F$ et $G$ deux sous-espaces vectoriels de $E$. D\'eterminer $ (F + G)^{\bot}$ et $ (F \cap G)^{\bot}$ en fonction de $F^{\bot}$ et $G^{\bot}$. \finenonce{001490} \finexercice \exercice{1491, ridde, 1999/11/01} \enonce{001491}{} D\'eterminer $\inf\limits_{ (a, b)\in \Rr^{2}} \int_{0}^{1}{ (e^{x}- (ax + b))^{2}dx}$. \finenonce{001491} \finexercice \exercice{1492, gourio, 2001/09/01} \enonce{001492}{} Calculer : $$\inf\limits_{(a,b)\in {\Rr}^{2}}\int_{0}^{1}x^{2}\left| \ln x-ax-b\right|^{2}dx. $$ \finenonce{001492} \finexercice \exercice{3733, quercia, 2010/03/11} \enonce{003733}{Isométries affines} Soit $E$ un espace euclidien de dimension $n$. Soit $f : E \to E$ une application non nécéssairement linéaire. \begin{enumerate} \item On suppose que $f$ conserve le produit scalaire. Démontrer que $f$ est linéaire. \item On suppose que $f$ conserve les distances, c'est à dire : $\forall\ \vec x,\vec y \in E,\ \| f(\vec x) - f(\vec y) \| = \|\vec x - \vec y\,\|$. Démontrer que $f = f(\vec0) + g$, avec $g \in {\cal O}(E)$. \end{enumerate} \finenonce{003733} \finexercice \exercice{3734, quercia, 2010/03/11} \enonce{003734}{Projection sur vect($u$)} Soit $E$ un espace euclidien de dimension $n$. Soit $\vec u$ un vecteur unitaire de matrice $U$ dans une base orthonormée $\cal B$. \begin{enumerate} \item Montrer que $U^tU$ est la matrice dans $\cal B$ de la projection orthogonale sur vect$(\vec u)$. \item Trouver la matrice de la symétrie associée. \end{enumerate} \finenonce{003734} \finexercice \exercice{3735, quercia, 2010/03/11} \enonce{003735}{$\vec x + \lambda (\vec x\mid \vec v)\vec v$} Soit $\vec v \in E\setminus\{\vec0\}$ et $\lambda \in \R$. On pose pour $\vec x \in E$ : $f(\vec x) = \vec x + \lambda (\vec x\mid \vec v)\vec v$. Déterminer $\lambda$ pour que $f \in {\cal O}(E)$. Reconnaître alors $f$. \finenonce{003735} \finexercice \exercice{3736, quercia, 2010/03/11} \enonce{003736}{Composition de symétries} Soit $E$ un espace euclidien de dimension $n$. Soient $F,G$ deux sous-espaces de $E$ tels que $F \perp G$. On note $s_F$ et $s_G$ les symétries orthogonales de bases $F$ et~$G$. Montrer que $s_F\circ s_G = s_G \circ s_F = s_{(F\oplus G)^\perp}$. \finenonce{003736} \finexercice \exercice{3737, quercia, 2010/03/11} \enonce{003737}{Composition de symétries} Soit $E$ un espace euclidien de dimension $n$. Soient $F,G$ deux sous-espaces de $E$ tels que $F \subset G$. On note $s_F$ et $s_G$ les symétries orthogonales de bases $F$ et~$G$. Montrer que $s_F\circ s_G = s_G \circ s_F = s_{F\oplus G^\perp}$. \finenonce{003737} \finexercice \exercice{3738, quercia, 2010/03/11} \enonce{003738}{Condition pour que deux symétries commutent} Soit $E$ un espace euclidien de dimension $n$. Soient $H,K$ deux hyperplans de $E$, et $s_H$, $s_K$ les symétries associées. Démontrer que $s_H$ et $s_K$ commutent si et seulement si $H = K$ ou $H^\perp \subset K$. \finenonce{003738} \finexercice \exercice{3739, quercia, 2010/03/11} \enonce{003739}{Similitudes} Soit $E$ un espace euclidien de dimension $n$. Soit $f \in \mathcal{L}(E)$ et $\lambda > 0$. On dit que $f$ est une similitude de rapport $\lambda$ si : $\forall\ \vec x \in E,\ \|f(\vec x)\| = \lambda\|\vec x\,\|$. \begin{enumerate} \item Montrer que $f$ est une similitude de rapport $\lambda$ si et seulement si : $\forall\ \vec x,\vec y\in E,\ (f(\vec x)\mid f(\vec y)) = \lambda^2(\vec x\mid\vec y)$. \item Caractériser les similtudes par leurs matrices dans une base orthonormée. \item Montrer que $f$ est une similitude si et seulement si $f$ est non nulle et conserve l'orthogonalité, c'est à dire~: $\forall\ \vec x,\vec y\in E,\ \vec x\perp\vec y \Rightarrow f(\vec x)\perp f(\vec y)$. \end{enumerate} \finenonce{003739} \finexercice \exercice{3740, quercia, 2010/03/11} \enonce{003740}{Similitudes} On définit l'application $\varphi : A\in\mathcal{M}_n(\R) \mapsto \sum_{i,j}a_{i,j}^2$. Trouvez les matrices $P\in GL_n(\R)$ telles que pour tout $A$ on ait $\varphi(P^{-1}AP)=\varphi(A)$. \finenonce{003740} \finexercice \exercice{3741, quercia, 2010/03/11} \enonce{003741}{Sous-espaces stables} Soit $E$ un espace euclidien de dimension $n$. Soit $u \in {\cal O}(E)$ et $F$ un sous-espace vectoriel stable par $u$. Montrer que $F^\perp$ est aussi stable par $u$. \finenonce{003741} \finexercice \exercice{3742, quercia, 2010/03/11} \enonce{003742}{Projection sur le sous-espace invariant} Soit $E$ un espace euclidien de dimension $n$. Soit $u \in {\cal O}(E)$. On note $v = \text{id}_E - u$. \begin{enumerate} \item Montrer que $\mathrm{Ker} v = (\Im v)^\perp$. \item Soit $p$ la projection orthogonale sur $\mathrm{Ker} v$. Montrer que : $\forall\ \vec x \in E,\ \frac 1m\sum_{k=0}^{m-1}u^k(\vec x) \to p(\vec x)$ lorsque $m\to\infty$. \end{enumerate} \finenonce{003742} \finexercice \exercice{3743, quercia, 2010/03/11} \enonce{003743}{Endomorphismes orthogonaux diagonalisables} Quels sont-ils ? \finenonce{003743} \finexercice \exercice{3744, quercia, 2010/03/11} \enonce{003744}{Valeurs propres d'une isométrie} Soit $E$ un espace euclidien de dimension $n$. Soit $f \in {\cal O}(E)$. \begin{enumerate} \item On suppose $n$ impair et $f \in {\cal O}^+(E)$. Montrer que 1 est valeur propre de $f$. (comparer $\det(f-\mathrm{id})$ et $\det(f^{-1}-\mathrm{id})$) \item Que peut-on dire quand $n$ est pair ? \item Soit $n$ quelconque, $f \in {\cal O}^{-}(E)$. Montrer que $-1$ est valeur propre de $f$. \end{enumerate} \finenonce{003744} \finexercice \exercice{3745, quercia, 2010/03/11} \enonce{003745}{Caractérisation des symétries orthogonales} Soit $M \in {\cal O}(n)$. \begin{enumerate} \item Montrer que $M$ est la matrice d'une symétrie orthogonale si et seulement si $M$ est symétrique. \item Dans ce cas, déterminer la base et la direction de cette symétrie en fonction des matrices $I+M$ et $I-M$. \end{enumerate} \finenonce{003745} \finexercice \exercice{3746, quercia, 2010/03/11} \enonce{003746}{$f$ orthogonal antisymétrique} Soit $E$ un espace euclidien de dimension $n$. Soit $f\in{\cal O}(E)$. Montrer que les énoncés suivants sont équivalents : $$f\circ f = -\mathrm{id}_E \iff \forall\ \vec x\in E,\ f(\vec x) \perp \vec x \iff \forall\ \vec x,\vec y \in E,\ (f(\vec x)\mid \vec y) = -(\vec x\mid f(\vec y)).$$ \finenonce{003746} \finexercice \exercice{3747, quercia, 2010/03/11} \enonce{003747}{Centre de O(E)} Soit $E$ un espace euclidien de dimension $n$. Soit $f \in {\cal O}(E)$, et $s$ une réflexion par rapport à un hyperplan $H$. Soit $\vec u \in H^\perp, \vec u \ne \vec0$. \begin{enumerate} \item Montrer que $f\circ s \circ f^{-1}$ est aussi une symétrie et en donner la base. \item En déduire que $f$ et $s$ commutent si et seulement si $\vec u$ est vecteur propre de $f$. \item Quel est le centre de $O(E)$ ? \end{enumerate} \finenonce{003747} \finexercice \exercice{3748, quercia, 2010/03/11} \enonce{003748}{Nombre de réflexions nécéssaires pour engendrer une application donnée} Soit $E$ un espace euclidien de dimension $n$. Soit $f \in {\cal O}(E)$. On note $F = \mathrm{Ker}(f - \text{id}_E)$ et $p = \text{codim}(F)$. \begin{enumerate} \item Montrer qu'on peut décomposer $f$ en produit d'au plus $p$ réflexions. \item Inversement, si $f$ est un produit de $k$ réflexions, démontrer que $p \le k$. \item Application : trouver $f\in {\cal O}(E)$ qui se décompose en $n$ réflexions et pas moins. \end{enumerate} \finenonce{003748} \finexercice \exercice{3749, quercia, 2010/03/11} \enonce{003749}{Prolongement d'une transformation orthogonale} Soit $E$ un espace euclidien de dimension $n$. \begin{enumerate} \item Soit $F$ un sous-espace vectoriel de $E$ et $f : F \to E$ une application orthogonale. Démontrer qu'on peut prolonger $f$ en une application orthogonale de $E$ dans $E$. \item Soient $\vec u_1,\dots,\vec u_n$, $\vec v_1,\dots,\vec v_n$ des vecteurs de $E$ tels que : $\forall\ i,j,\ (\vec u_i \mid \vec u_j) = (\vec v_i \mid \vec v_j)$. \begin{enumerate} \item Si $\sum \lambda_i \vec u_i = \vec0$, démontrer que $\sum \lambda_i \vec v_i = \vec0$. \item En déduire qu'il existe $f \in {\cal O}(E)$ telle que : $\forall\ i,\ f(\vec u_i) = \vec v_i$. \end{enumerate} \end{enumerate} \finenonce{003749} \finexercice \exercice{3750, quercia, 2010/03/11} \enonce{003750}{Action de ${\cal O}(E)$ sur les sous-espaces vectoriels} Soit $E$ un espace euclidien de dimension $n$. Soient $F,G$ deux sous-espaces vectoriels de $E$ de même dimension. \begin{enumerate} \item Montrer qu'il existe $u \in {\cal O}(E)$ tel que $u(F) = G$. \item $(*)$ Montrer qu'il existe $u \in {\cal O}(E)$ tel que $u(F) = G$ et $u(G) = F$. \end{enumerate} \finenonce{003750} \finexercice \exercice{3751, quercia, 2010/03/11} \enonce{003751}{Transformations orthogonales sur $\mathcal{M}_n(\R)$} $E = \mathcal{M}_n(\R)$ muni du produit scalaire : $(A\mid B) = \mathrm{tr}({}^tAB)$. \begin{enumerate} \item Vérifier que c'est un produit scalaire. \item Soit $P \in {\cal O}(n)$. Montrer que les applications $\begin{cases} \phi_P : A \longmapsto AP \cr \psi_P : A \longmapsto P^{-1}AP \cr\end{cases}$ sont orthogonales. \item Réciproquement, si $\phi_P$ ou $\psi_P \in {\cal O}(\mathcal{M}_n(\R))$, est-ce que $P \in {\cal O}(n)$ ? \end{enumerate} \finenonce{003751} \finexercice \exercice{3752, quercia, 2010/03/11} \enonce{003752}{$A$ = com$(A)$} Quelles sont les matrices $A \in \mathcal{M}_n(\R)$ égales à leur comatrice ? \finenonce{003752} \finexercice \exercice{3753, quercia, 2010/03/11} \enonce{003753}{$A{}^t\!A + A + {}^t\!A = 0$} \begin{enumerate} \item Trouver les matrices $A \in \mathcal{M}_n(\R)$ telles que : $A{}^t\!A + A + {}^t\!A = 0$. \item Montrer que pour une telle matrice, $|\det A| \le 2^n$. \end{enumerate} \finenonce{003753} \finexercice \exercice{3754, quercia, 2010/03/11} \enonce{003754}{Somme des coefficients d'une matrice orthogonale} Soit $P \in {\cal O}(n)$. A l'aide de l'inégalité de Cauchy-Schwarz, démontrer que : $\big|\sum_{i,j} P_{ij}\big| \le n$. Quand a-t-on égalité ? \finenonce{003754} \finexercice \exercice{3755, quercia, 2010/03/11} \enonce{003755}{Groupe engendré par les réflexions} Soit $E$ un espace vectoriel hermitien et $G$ le sous-groupe de~$U(E)$ engendré par les réflexions. \begin{enumerate} \item On suppose ici $\dim E\ge 2$. Soient $u,v\in E$. Montrer qu'il existe une réflexion $\sigma$ échangeant $u$ et~$v$ si et seulement si $\|u\| = \|v\|$ et $(u\mid v)\in\R$. \item Montrer que $G = \{f\in U(E)\ \text{ tq }\det(f)\in\{-1,1\}\}$. \end{enumerate} \finenonce{003755} \finexercice \exercice{3756, quercia, 2010/03/11} \enonce{003756}{Orthotrigonalisation} Montrer que tout endomorphisme d'un espace vectoriel hermitien est trigonalisable en base orthonormale. \finenonce{003756} \finexercice \exercice{3757, quercia, 2010/03/11} \enonce{003757}{Réduction des endomorphismes orthogonaux et unitaires} \begin{enumerate} \item Soit $G$ un sous groupe compact de $GL_n(\C)$. Si $M\in G$ montrer que $\mathrm{Sp}(M)\subset\mathbb{U}$. En déduire que tout élément de~$G$ est diagonalisable. \item Soit $M\in U_n(\C)$. Montrer que $M$ est diagonalisable et qu'il existe une base orthonormée de~$\C^n$ propre pour~$M$. \item Soit $M\in O_n(\R)$. Montrer qu'il existe $P\in O_n(\R)$ telle que $P^{-1}MP$ est diagonale par blocs~: $P^{-1}MP = \mathrm{diag}(\pm1,\dots,\pm1,R_1,\dots,R_k)$ où chaque~$R_i$ est une matrice de la forme~: $R_i = \begin{pmatrix}\cos\theta_i &-\sin\theta_i\cr \sin\theta_i &\cos\theta_i\cr\end{pmatrix}$. \end{enumerate} \finenonce{003757} \finexercice \exercice{3758, quercia, 2010/03/11} \enonce{003758}{Groupes orthogonaux égaux} Soit $E$ un $\R$-espace vectoriel de dimension finie et $\|\ \|_1$, $\|\ \|_2$ deux normes euclidiennes telles que les groupes orthogonaux associés sont égaux. Que peut-on dire de ces normes~? \finenonce{003758} \finexercice \exercice{3759, quercia, 2010/03/11} \enonce{003759}{Calcul de norme} Soit $f : {\R^n} \to {\R^n}, {(x_1,\dots,x_n)} \mapsto {(x_1-x_n,x_2-x_1,\dots,x_n-x_{n-1}).}$ Avec la structure euclidienne canonique de~$\R^n$, calculer la norme de~$f$. \finenonce{003759} \finexercice \exercice{3760, quercia, 2010/03/11} \enonce{003760}{Densité (Ens Ulm MP$^*$ 2003)} ${\cal O}_n(\Q)$ est-il dense dans~${\cal O}_n(\R)$~? \finenonce{003760} \finexercice \exercice{3761, quercia, 2010/03/11} \enonce{003761}{Centrale MP 2003} On considère l'endomorphisme de~$\R^3$ de matrice dans la base canonique~: $A = \begin{pmatrix}a^2 &ab-c &ac+b\cr ab+c &b^2 &bc-a\cr ac-b &bc+a &c^2\cr\end{pmatrix}$ avec~$a,b,c\in\R$. Déterminer $a,b,c$ de sorte que~$f$ soit une isométrie, et la préciser. \finenonce{003761} \finexercice \exercice{5486, rouget, 2010/07/10} \enonce{005486}{***I Matrices et déterminants de \textsc{Gram}} Soit $E$ un espace vectoriel euclidien de dimension $p$ sur $\Rr$ ($p\geq2$). Pour $(x_1,...,x_n)$ donné dans $E^n$, on pose $G(x_1,...,x_n)=(x_i|x_j)_{1\leq i,j\leq n}$ (matrice de \textsc{Gram}) et $\gamma(x_1,...,x_n)=\mbox{det}(G(x_1 , ... , x_n))$ (déterminant de \textsc{Gram}). \begin{enumerate} \item Montrer que $\mbox{rg}(G(x_1,...,x_n))=\mbox{rg}(x_1, ... ,x_n)$. \item Montrer que $(x_1,...,x_n)$ est liée si et seulement si $\gamma(x_1,...,x_n)=0$ et que $(x_1,...,x_n)$ est libre si et seulement si $\gamma(x_1,...,x_n)>0$. \item On suppose que $(x_1,...,x_n)$ est libre dans $E$ (et donc $n\leq p$). On pose $F=\mbox{Vect}(x_1,...,x_n)$. Pour $x\in E$, on note $p_F(x)$ la projection orthogonale de $x$ sur $F$ puis $d_F(x)$ la distance de $x$ à $F$ (c'est-à-dire $d_F(x)=||x-p_F(x)||$). Montrer que $d_F(x)=\sqrt{\frac{\gamma(x,x_1,...,x_n)}{\gamma(x_1,...,x_n)}}$. \end{enumerate} \finenonce{005486} \finexercice \exercice{5488, rouget, 2010/07/10} \enonce{005488}{**I} Matrice de la projection orthogonale sur la droite d'équations $3x=6y=2z$ dans la base canonique orthonormée de $\Rr^3$ ainsi que de la symétrie orthogonale par rapport à cette même droite. De manière générale, matrice de la projection orthogonale sur le vecteur unitaire $u=(a,b,c)$ et de la projection orthogonale sur le plan d'équation $ax+by+cz=0$ dans la base canonique orthonormée de $\Rr^3$. \finenonce{005488} \finexercice \exercice{5494, rouget, 2010/07/10} \enonce{005494}{**I} Existence, unicité et calcul de $a$ et $b$ tels que $\int_{0}^{1}(x^4-ax-b)^2\;dx$ soit minimum (trouver deux démonstrations, une dans la mentalité du lycée et une dans la mentalité maths sup). \finenonce{005494} \finexercice \exercice{5504, rouget, 2010/07/15} \enonce{005504}{**T} Dans $\Rr^3$, espace vectoriel euclidien orienté rapporté à la base orthonormée directe $(i,j,k)$, déterminer l'image du plan d'équation $x+y=0$ par \begin{enumerate} \item la symétrie orthogonale par rapport au plan d'équation $x-y+z=0$, \item la symétrie orthogonale par rapport au vecteur $(1,1,1)$, \item par la rotation d'angle $\frac{\pi}{4}$ autour du vecteur $(1,1,1)$. \end{enumerate} \finenonce{005504} \finexercice \exercice{5509, rouget, 2010/07/15} \enonce{005509}{**T} Dans $\Rr^3$, soient $(D)$ $\left\{ \begin{array}{l} x+y+z=1\\ x-2y-z=0 \end{array} \right.$ et $(\Delta)~:~6x=2y=3z$ puis $(P)~:~x+3y+2z=6$. Déterminer la projection de $(D)$ sur $(P)$ parallèlement à $(\Delta)$. \finenonce{005509} \finexercice \exercice{5520, rouget, 2010/07/15} \enonce{005520}{**} Soient $(D)$ la droite dont un système d'équations cartésiennes est $\left\{ \begin{array}{l} x+y+z=1\\ x-2y-z=0 \end{array} \right.$ et $(P)$ le plan d'équation cartésienne $x+3y+2z=6$. Déterminer la projetée (orthogonale) de $(D)$ sur $(P)$. \finenonce{005520} \finexercice \section{ 204.05 Orthonormalisation } \exercice{1493, legall, 1998/09/01} \enonce{001493}{} R\'esoudre l'\'equation $(1-x)^2 + (x-y)^2 + (y-z)^2 + z^2 = \frac{1}{4}$ pour $(x,y,z) \in \R^3$. \finenonce{001493} \finexercice \exercice{1494, legall, 1998/09/01} \enonce{001494}{} \begin{enumerate} \item Soit $F$ le sous-espace de $\R^5$ engendr\'e par $u = (1, 2, 3, -1,2)$ et $v = (2, 4, 7, 2, -1)$. Trouver une base de l'orthogonal $F^\perp$ de $F$. \item Trouver une base orthonormale du sous-espace $E$ de $\C^3$ engendr\'e par $v_1 = (1, i, 0)$ et $v_2 = (1, 2, 1-i)$. \end{enumerate} \finenonce{001494} \finexercice \exercice{1495, legall, 1998/09/01} \enonce{001495}{} Soit $F$ un sous-espace d'un espace euclidien $E$. Montrer qu'il existe une base orthonormale de $F$ qui est inclue dans une base orthonormale de $E$. \finenonce{001495} \finexercice \exercice{1496, legall, 1998/09/01} \enonce{001496}{} \begin{enumerate} \item Soit $A = \left(\begin{array}{ccc}2&1&1\\1&1&1\\1&1&2\end{array}\right)$. Montrer que $A$ d\'efinit un produit scalaire $\varphi$ sur $\R^3$. Construire une base orthonormale pour $\varphi$. \item Consid\'erons une base $\{v_1 = (1,1,1), v_2 = (0,1,1), v_3 = (0,0,1)\}$ de l'espace euclidien $\R^3$. Utiliser le proc\'ed\'e d'orthogonalisation de Schmidt pour transformer $\{v_i\}$ en une base orthonormale. \end{enumerate} \finenonce{001496} \finexercice \exercice{1497, legall, 1998/09/01} \enonce{001497}{} Soient $E = \R_n[X], I_n = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty} t^ne^{\frac{-t^2}{2}}dt$. \begin{enumerate} \item Montrer que l'int\'egrale $I_n$ est convergente. Que vaut $I_{2p+1}$ ?\par Soit $\varphi : E \times E \to \R$ d\'efinie par $\varphi(P,Q) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}P(t)Q(t)e^{\frac{-t^2}{2}}dt$. \item Montrer que $\varphi$ est un produit scalaire. \item On suppose $n = 2$. Ecrire la matrice associ\'ee \`a $\varphi$ dans la base $(1,X,X^2)$. Construire une base orthonormale $(P_0,P_1,P_2)$ par le proc\'ed\'e d'orthogonalisation de Schmidt appliqu\'e \`a $(1,X,X^2)$. \end{enumerate} \finenonce{001497} \finexercice \exercice{1498, legall, 1998/09/01} \enonce{001498}{} R\'eduire en somme de carr\'es ind\'ependants les formes suivantes : \begin{enumerate} \item $9x^2 - 6y^2 - 8z^2 + 6xy - 14xz + 18xw + 8yz + 12yw - 4zw$ \item $x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 - 2x_4^2 - 2x_1x_2 + 2x_1x_3 - 2x_1x_4 + 2x_2x_3 - 4x_2x_4$ \end{enumerate} \finenonce{001498} \finexercice \exercice{1499, ortiz, 1999/04/01} \enonce{001499}{} $\Rr^3$ est muni de sa structure canonique d'espace vectoriel euclidien. V\'erifier que les vecteurs $e_1=(1,0,1),$ $e_2=(1,0,2)$ et $e_3=(1,1,1)$ forment une base de $\Rr^3$ et en d\'eterminer l'orthonormalis\'ee de Gram-Schmidt. \finenonce{001499} \finexercice \exercice{1500, ortiz, 1999/04/01} \enonce{001500}{} $\Rr^4$ est muni de sa structure canonique d'espace vectoriel euclidien. Soient $e_1=(1,0,1,0)$ et $e_2=(1,-1,1,-1)$ et $F=\text{vect}(e_1,e_2)$. \begin{enumerate} \item D\'eterminer une base orthonormale de $F.$ \item D\'eterminer la matrice dans la base canonique de $\Rr^4$ du projecteur orthogonal sur $F.$ \item D\'eterminer la distance du vecteur $(1,1,1,1)$ au sous-espace vectoriel $F.$ \end{enumerate} \finenonce{001500} \finexercice \exercice{1501, ortiz, 1999/04/01} \enonce{001501}{} On munit le $\Rr$-espace vectoriel $\Rr_2[X]$ du produit scalaire d\'efini par $${\phi:\Rr_2[X]\to\Rr_2[X], (P,Q)\mapsto\int_{-1}^{1}P(t)Q(t)dt.}$$ \begin{enumerate} \item D\'eterminer l'orthonormalis\'ee de Gram-Schmidt de la base canonique de $\Rr_2[X]$. \item D\'eterminer la distance du polyn\^ome $P=X^2+X+1$ au sous-espace vectoriel $F$ de $\Rr_2[X]$ form\'e des polyn\^omes $f$ tels que $f'(0)=0.$ \end{enumerate} \finenonce{001501} \finexercice \exercice{1502, ortiz, 1999/04/01} \enonce{001502}{} Soit $f:\Rr^3\times\Rr^3\to \Rr$ d\'efinie de la mani\`ere suivante : si $u=(x,y,z)$ et $u'=(x',y',z')$ alors $${f(u,u')=2xx'+yy'+2zz'+xy'+yx'+xz'+zx'+yz'+zy'.}$$ \begin{enumerate} \item Montrer que $f$ est un produit scalaire sur l'espace vectoriel canonique $\Rr^3$. \item Soit $P$ le sous-espace vectoriel de $\Rr^3$ d'\'equation cart\'esienne $2x-y+z=0$. \begin{enumerate} \item D\'eterminer l'orthogonal du sous-espace vectoriel $P$. \item D\'eterminer un sous-espace vectoriel de $\Rr^3$ dont l'orthogonal est $P$. \end{enumerate} \item D\'eterminer l'orthonormalis\'ee de Gram-Schmidt de la base canonique de $\Rr^3$ pour le produit scalaire $f$. \end{enumerate} \finenonce{001502} \finexercice \exercice{1503, ridde, 1999/11/01} \enonce{001503}{} Orthonormaliser dans $\Rr^{3}$ la famille $x_{1} = (1, -2, 2)$, $x_{2} = (-1, 0, -1)$, $x_{3} = (5, -3, 7)$. \finenonce{001503} \finexercice \exercice{1504, ridde, 1999/11/01} \enonce{001504}{} D\'eterminer une base orthonorm\'ee de $\Rr_{2}[X]$ muni du produit scalaire $\langle P|Q \rangle = \int_{0}^{1}{P (t)Q (t)dt}$. \finenonce{001504} \finexercice \exercice{1505, barraud, 2003/09/01} \enonce{001505}{} On considère la forme bilinéaire $b$ de $\R^{4}$ définie par : $$ b(x,y)=x_{1}y_{1}+2x_{2}y_{2}+4x_{3}y_{3}+18x_{4}y_{4} + x_{1}y_{3}+ x_{3}y_{1} +2x_{2}y_{4}+2x_{4}y_{2} +6x_{3}y_{4}+6x_{4}y_{3} $$ où $x_{1},x_{2},x_{3}$ et $y_{1},y_{2},y_{3}$ sont les coordonnées de $x$ et $y$ dans la base canonique. \begin{enumerate} \item Montrer qu'il s'agit d'un produit scalaire. \item Ecrire la matrice de $b$ dans la base canonique. \item Trouver une base orthonormée pour $b$. \end{enumerate} \finenonce{001505} \finexercice \exercice{1506, barraud, 2003/09/01} \enonce{001506}{} On considère un espace euclidien $(E,<>)$. \begin{enumerate} \item \textbf{Théorème de Pythagore :} Soient $u$ et $v$ deux vecteurs orthogonaux de $E$. Calculer $||u+v||^{2}$. Illustrer le résultat obtenu à l'aide d'un dessin. \item \textbf{Projection orthogonale et distance à un sous-espace :} Soit $F$ un sous-espace de $E$. On rappelle que $E=F\oplus F^{\bot}$, et donc que tout vecteur $x$ de $E$ se décompose de manière unique en une somme $x=x_{1}+_{2}$ avec $x_{1}\in F$ et $x_{2}\in F^{\bot}$. Le vecteur $x_{1}$ s'appelle alors la projection orthogonale de $x$ sur $F$. \begin{enumerate} \item Montrer que l'application $p$ qui à un vecteur asocie sa projection orthogonale sur $E$ est une application linéaire. Vérifier que : $\forall y\in F, =0$. \item\label{q: proj-realise-d} On considère maintenant un vecteur $x$ de $E$. On appelle distance de $x$ à $F$ le nombre $\mathrm{dist}(x,F)=\inf_{y\in F}\Vert x-y\Vert$. Pour $y\in F$, vérifier que $x-p(x)$ et $y-p(x)$ sont orthogonaux. Utiliser alors la question 1 pour montrer que $||x-y||^{2}\geq ||x-p(x)||^{2}$. Illustrer sur un dessin. En déduire que $\mathrm{dist}(x,F)=||x-p(x)||$. \item\label{q: proj-en-coord} Soit $(e_{1},\ldots,e_{r})$ une base orthonormée de $F$. Montrer que $p(x)=\sum_{i=1}^{r}\;e_{i}$. \end{enumerate} \item \textbf{Espace de polynômes :} Sur l'espace $E=\R_{3}[X]$, on considère la forme bilinéaire définie par : $$ =\frac{1}{2}\int_{-1}^{1}P(t)Q(t)dt. $$ \begin{enumerate} \item Montrer qu'il s'agit d'un produit scalaire (on admet que l'intégrale sur $[-1,1]$ d'une fonction $f$ continue et positive est nulle si et seulement si $f$ est nulle sur $[-1,1]$) \item\label{q: Schmidt} A l'aide du procédé de Schmidt appliqué à la base $(1,X,X^{2})$, construire une base orthonormée de $\R_{2}[X]$ pour ce produit scalaire. \item On considère le polynôme $P_{0}=X^{3}$. Calculer la projection orthogonale de $X^{3}$ sur $\R_{2}[X]$. En déduire que pour ce produit scalaire, on a : $$ \mathrm{dist}(X^{3},\R^{2}[X])=\frac{2}{5\sqrt{7}}\ . $$ \end{enumerate} \end{enumerate} \finenonce{001506} \finexercice \exercice{1507, barraud, 2003/09/01} \enonce{001507}{} Soit $(E,<,>)$ un espace euclidien, $x_{0}$ un point de $E$ et $F$ un sous espace vectoriel de $E$. On note $\pi$ la projection orthogonale de $E$ sur $F$. On rappelle que pour $x\in E$, $\pi(x)$ est caractérisé par les relations~: $$ \pi(x)\in F\qquad\text{ et }\qquad x-\pi(x)\in F^{\bot} $$ Le but de cette partie est de montrer que la projection orthogonale de $x_{0}$ sur $F$ est le point de $F$ le plus proche de $x_{0}$. \begin{enumerate} \item En utilisant que $x_{0}-y=(x_{0}-\pi(x_{0}))+(\pi(x_{0})-y)$, montrer que $$ \Vert x_{0}-y\Vert^{2}=\Vert x_{0}-\pi(x_{0})\Vert^{2}+\Vert y-\pi(x_{0})\Vert^{2}. $$ \item En déduire que $\inf\limits_{y\in F}\Vert x_{0}-y\Vert^{2}=\Vert x_{0}-\pi(x_{0})\Vert^{2} $, c'est à dire que~: $$ \forall y\in F,\ \Vert x_{0}-y\Vert^{2}\geq\Vert x_{0}-\pi(x_{0})\Vert^{2} $$ A quelle condition a-t-on égalité dans la relation ci-dessus~? \item Soit $(e_{1},\dots,e_{k})$ une base orthonormée de $F$. Montrer que $\pi(x_{0})=\sum_{i=1}^{k}e_{i}$ \item Déduire des deux questions précédentes que $$ \inf\limits_{y\in F}\Vert x_{0}-y\Vert^{2}=\Vert x_{0}-\sum_{i=1}^{k}e_{i}\Vert^{2} =\Vert x_{0}\Vert^{2}-\sum_{i=1}^{k}^{2} $$ \bigskip {Application}~: Le but est maintenant de déterminer $$ \alpha=\inf\limits_{a,b\in \R^{2}}\int_{-1}^{1} (e^{t}-at-b)^{2}dt. $$ On considère à cet effet l'espace $F=\R_{1}[X]$, comme sous espace de $E=F\oplus\R f_{0}$ où $f_{0}$ est la fonction définie par $f_{0}(t)=e^{t}$. On admettra sans démonstration que $=\int_{-1}^{1}f(t)g(t)dt$ est un produit scalaire sur $E$. \item Donner une base orthonormée $(P_{1},P_{2})$ de $\R_{1}[X]$ pour ce produit scalaire. \item Calculer $$, $$, et $\Vert f_{0}\Vert^{2}$. En déduire que $$ \alpha=\frac{e^{2}-e^{-2}}{2}-(2e^{-1})^{2}-\Big(\frac{e-e^{-1}}{2}\Big)^{2}. $$ \item Même question avec le calcul de $\alpha'=\inf\limits_{a,b\in \R^{2}}\int_{-1}^{1} (e^{t}-at^{2}-bt-c)^{2}dt. $~: commencer par chercher une base orthonormée de $\R_{2}[X]$ pour le même produit scalaire, et en déduire $\alpha'$. \end{enumerate} \finenonce{001507} \finexercice \exercice{1508, barraud, 2003/09/01} \enonce{001508}{} A deux polynômes $P$ et $Q$ de $\R_{n}[X]$, on associe le nombre $$ \phi(P,Q)=\int_{0}^{1}P'(t)Q'(t)dt+P(0)Q(0) $$ \begin{enumerate} \item Montrer que $\phi$ est un produit scalaire sur $\R_{n}[X]$. \item Lorsque $n=2$, donner une base orthonormée pour ce produit scalaire. \end{enumerate} \finenonce{001508} \finexercice \exercice{5484, rouget, 2010/07/10} \enonce{005484}{**IT} Dans $\Rr^4$ muni du produit scalaire usuel, on pose~:~$V_1=(1,2,-1,1)$ et $V_2=(0,3,1,-1)$. On pose $F=\mbox{Vect}(V_1,V_2)$. Déterminer une base orthonormale de $F$ et un système d'équations de $F^\bot$. \finenonce{005484} \finexercice \exercice{5500, rouget, 2010/07/10} \enonce{005500}{****I} Sur $E=\Rr_n[X]$, on pose $P|Q=\int_{-1}^{1}P(t)Q(t)\;dt$. \begin{enumerate} \item Montrer que $(E,|)$ est un espace euclidien. \item Pour $p$ entier naturel compris entre $0$ et $n$, on pose $L_p=((X^2-1)^p)^{(p)}$. Montrer que $\left(\frac{L_p}{||L_p||}\right)_{0\leq p\leq n}$ est l'orthonormalisée de \textsc{Schmidt} de la base canonique de $E$. Déterminer $||Lp||$. \end{enumerate} \finenonce{005500} \finexercice\exercice{5772, rouget, 2010/10/16} \enonce{005772}{*** I Polynômes de \textsc{Legendre}} Soit $E =\Rr[X]$. On munit $E$ du produit scalaire $P|Q =\int_{-1}^{1}P(t)Q(t)\;dt$. \begin{enumerate} \item Pour $n\in\Nn$, on pose $L_n=\left((X^2-1)^n\right)^{(n)}$. \begin{enumerate} \item Montrer que la famille $(L_n)_{n\in\Nn}$ est une base orthogonale de l'espace préhilbertien $(E,\;|\;)$. \item Déterminer $\|L_n\|$ pour $n\in\Nn$. \end{enumerate} \item Déterminer l'orthonormalisée de \textsc{Schmidt} de la base canonique de $E$. \end{enumerate} \finenonce{005772} \finexercice \exercice{5779, rouget, 2010/10/16} \enonce{005779}{***} Soit $f$ une fonction continue sur $[0,1]$, non nulle à valeurs réelles positives. Pour $P$ et $Q$ polynômes donnés, on pose $\Phi(P,Q) = \int_{0}^{1}f(t)P(t)Q(t)\;dt$. \begin{enumerate} \item Montrer que $\Phi$ est un produit scalaire sur $\Rr[X]$. \item Montrer qu'il existe une base orthonormale $(P_n)_{n\in\Nn}$ pour $\Phi$ telle que, pour tout entier naturel $n$, $\text{deg}(P_n)= n$. \item Soit $(P_n)_{n\in\Nn}$ une telle base. Montrer que chaque polynôme $P_n$, $n\in\Nn^*$, a $n$ racines réelles simples. \end{enumerate} \finenonce{005779} \finexercice \exercice{5789, rouget, 2010/10/16} \enonce{005789}{**I Inégalité de \textsc{Hadamard}} \label{exo:sperou4} Soit $E$ un espace euclidien de dimension $n\geqslant1$ et $\mathcal{B}$ une base orthonormée de $E$. Montrer que pour tout $n$-uplet de vecteurs $(x_1,...x_n)$, on a : $\left|\text{det}_{\mathcal{B}}(x_1,...,x_n)\right|\leqslant\|x_1\|...\|x_n\|$. Cas d'égalité ? \finenonce{005789} \finexercice \exercice{5790, rouget, 2010/10/16} \enonce{005790}{**} Montrer que pour toute matrice carrée $A$ réelle de format $n$, on a $|\text{det} A|\leqslant\sqrt{\prod_{j=1}^{n}\left(\sum_{i=1}^{n}a_{i,j}^2\right)}$. \finenonce{005790} \finexercice \exercice{5806, rouget, 2010/10/16} \enonce{005806}{**} Rang et signature des formes quadratiques suivantes : \begin{enumerate} \item $Q((x,y,z)) = 2x^2-2y^2-6z^2+3xy-4xz+7yz$. \item $Q((x,y,z)) = 3x^2+3y^2+3z^2-2xy-2xz-2yz$ \item $Q((x,y,z,t)) = xy + yz+zt+tx$. \item $Q((x,y,z,t)) = x^2+(4+\lambda)y^2+(1+4\lambda)z^2+\lambda t^2+4xy+2xz+4(1-\lambda)yz+2\lambda yt+(1-4\lambda)zt$. \item $Q((x_1,...,x_5)) =\sum_{1\leqslant i} = \int_{-1}^1 P(t)Q(t)\,d t$ et on considère $$u : E \to {\R[x]}, {P(x)} \mapsto {2xP'(x) + (x^2-1)P''(x).}$$ \begin{enumerate} \item Montrer que l'on définit un produit scalaire et que $u$ est un endomorphisme. \item Montrer que $u$ est diagonalisable et que si $P_k,P_\ell$ sont des vecteurs propres de valeurs propres distinctes, alors ${{<}P_k,P_\ell{>=} 0}$. \item \'Eléments propres de $u$ pour $n=3$ ? \end{enumerate} \finenonce{003769} \finexercice \exercice{3770, quercia, 2010/03/11} \enonce{003770}{$(X^2-1)P'' + (2X+1)P'$} Pour $P,Q \in \R_n[X]$ on pose $(P\mid Q) = \int_{t=-1}^1 \sqrt{\frac{1-t}{1+t}}P(t)Q(t)\,d t$ et $\Phi(P) = (X^2-1)P'' + (2X+1)P'$. \begin{enumerate} \item Vérifier que $(P\mid Q)$ existe et qu'on définit ainsi un produit scalaire sur $\R_n[X]$. \item Montrer que pour ce produit scalaire, $\Phi$ est auto-adjoint $\Bigl($calculer $ \int_{t=-1}^1 (1-t)^{3/2}(1+t)^{1/2}P''(t)Q(t)\,d t$ par parties$\Bigr)$. \item Déterminer les valeurs propres de $\Phi$ et montrer qu'il existe une base propre de degrés étagés. \end{enumerate} \finenonce{003770} \finexercice \exercice{3771, quercia, 2010/03/11} \enonce{003771}{$\mathrm{Ker} u + \Im u = E$} Soit $u \in \mathcal{L}(E)$ auto-adjoint. Montrer que $\mathrm{Ker} u \mathop{\oplus}\limits^\perp \Im u = E$. \finenonce{003771} \finexercice \exercice{3772, quercia, 2010/03/11} \enonce{003772}{$u\circ v$ autoadjoint ?} Soient $u,v \in \mathcal{L}(E)$ auto-adjoints. Montrer que $u\circ v$ est auto-adjoint si et seulement si $u\circ v = v\circ u$. \finenonce{003772} \finexercice \exercice{3773, quercia, 2010/03/11} \enonce{003773}{Composée de projecteurs} Soient $p,q$ deux projecteurs orthogonaux. \begin{enumerate} \item Montrer que $p\circ q \circ p$ est auto-adjoint. \item Montrer que $(\Im p + \mathrm{Ker} q) \mathop{\oplus}\limits^\perp (\mathrm{Ker} p \cap \Im q) = E$. \item En déduire que $p\circ q$ est diagonalisable. \end{enumerate} \finenonce{003773} \finexercice \exercice{3774, quercia, 2010/03/11} \enonce{003774}{Autoadjoint et orthogonal} Quels sont les endomorphismes de $E$ à la fois auto-adjoints et orthogonaux ? \finenonce{003774} \finexercice \exercice{3775, quercia, 2010/03/11} \enonce{003775}{Spectre et rang d'une matrice antisymétrique} Soit $M \in \mathcal{M}_n(\R)$ antisymétrique et $f$ l'endomorphisme de $\R^n$ canoniquement associé à $M$. \begin{enumerate} \item Montrer que les valeurs propres de $M$ sont imaginaires pures. \item Montrer que $\mathrm{Ker} f \perp \Im f$. En déduire que $g = f_{|\Im f}$ est un isomorphisme de $\Im f$. \item Montrer que $g^2$ est diagonalisable. En déduire que $\mathrm{rg}(M)$ est pair. \end{enumerate} \finenonce{003775} \finexercice \exercice{3776, quercia, 2010/03/11} \enonce{003776}{Racine carrée} Soit $A \in \mathcal{M}_n(\R)$ symétrique définie positive. Montrer qu'il existe une unique matrice $B \in \mathcal{M}_n(\R)$ symétrique définie positive telle que $B^2 = A$. Calculer $B$ lorsque $A = \begin{pmatrix} 1 &2 \cr 2 &5 \cr\end{pmatrix}$. \finenonce{003776} \finexercice \exercice{3777, quercia, 2010/03/11} \enonce{003777}{$A = {}^tBB$} Soit $A \in \mathcal{M}_n(\R)$. Montrer que $A$ est symétrique définie positive si et seulement s'il existe $B \in GL_n(\R)$ telle que $A = {}^tBB$. \finenonce{003777} \finexercice \exercice{3778, quercia, 2010/03/11} \enonce{003778}{Mineurs principaux positifs} Soit $A \in \mathcal{M}_n(\R)$ symétrique. Pour $1 \le p \le n$, on note $\Delta_p$ le déterminant de la sous-matrice $(a_{ij})_{1\le i\le p ; 1\le j\le p}$. \begin{enumerate} \item Montrer que si $A$ est définie positive, alors tous les déterminants $\Delta_p$ sont strictement positifs. \item Réciproque : on suppose $\Delta_1 > 0, \dots, \Delta_n > 0$. Montrer qu'il existe une matrice $B$ triangulaire supérieure inversible telle $A = {}^tBB$. En déduire que $A$ est définie positive. \end{enumerate} \finenonce{003778} \finexercice \exercice{3779, quercia, 2010/03/11} \enonce{003779}{$q$ positive $ \Rightarrow q(x) = \|u(x)\|^2$} Soit $E$ un espace euclidien et $q$ une forme quadratique positive. Montrer qu'il existe un endomorphisme $u$ auto-adjoint tel que : $\forall\ \vec x \in E$, $q(\vec x) = \|u(\vec x)\|^2$. \finenonce{003779} \finexercice \exercice{3780, quercia, 2010/03/11} \enonce{003780}{$A$ symétrique et $A^k = I$} Soit $A \in \mathcal{M}_n(\R)$ symétrique telle qu'il existe $k \in \N^*$ tel que $A^k = I$. Montrer que $A^2 = I$. \finenonce{003780} \finexercice \exercice{3781, quercia, 2010/03/11} \enonce{003781}{$\sum_{i,j} a_{ij}^2$} Soit $A = (a_{ij}) \in \mathcal{M}_n(\R)$ symétrique de valeurs propres $\lambda_1,\dots,\lambda_n$. Montrer que $\sum_{i,j} a_{ij}^2 = \sum_i \lambda_i^2$. \finenonce{003781} \finexercice \exercice{3782, quercia, 2010/03/11} \enonce{003782}{$u$ autoadjoint et tr$(u) = 0$} Soit $u \in \mathcal{L}(E)$ auto-adjoint tel que $\mathrm{tr}(u) = 0$. \begin{enumerate} \item Montrer qu'il existe un vecteur $\vec x$ non nul tel que $u(\vec x) \perp \vec x$. \item En déduire qu'il existe une base orthonormée $(\vec e_i)$ telle que : $\forall\ i,\ (u(\vec e_i) \mid \vec e_i) = 0$. \end{enumerate} \finenonce{003782} \finexercice \exercice{3783, quercia, 2010/03/11} \enonce{003783}{Matrices symétriques commutant} Soit $(A_i)$ une famille de matrices $n\times n$ réelles symétriques commutant deux à deux. Montrer qu'il existe une matrice symétrique $A$ et des polynômes $P_i$ tels que : $\forall\ i,\ A_i = P_i(A)$. \finenonce{003783} \finexercice \exercice{3784, quercia, 2010/03/11} \enonce{003784}{Valeurs propres de $AB$} Soient $A,B \in \mathcal{M}_n(\R)$ symétriques, $B$ définie positive. Montrer que les valeurs propres de $AB$ sont réelles. \finenonce{003784} \finexercice \exercice{3785, quercia, 2010/03/11} \enonce{003785}{$\mathrm{tr}(AB) \le \mathrm{tr}(A)\mathrm{tr}(B)$} Soient $A,B \in \mathcal{M}_n(\R)$ symétriques positives. Montrer que $0 \le \mathrm{tr}(AB) \le \mathrm{tr}(A)\mathrm{tr}(B)$. \finenonce{003785} \finexercice \exercice{3786, quercia, 2010/03/11} \enonce{003786}{$\det(A+B) \ge \det(A) + \det(B)$} Soient $A,B \in \mathcal{M}_n(\R)$ symétriques définies positives. Montrer que $\det(A+B) \ge \det(A) + \det(B)$. \finenonce{003786} \finexercice \exercice{3787, quercia, 2010/03/11} \enonce{003787}{$f$ quelconque, il existe une BON dont l'image est orthogonale} Soit $f \in \mathcal{L}(E)$. Montrer qu'il existe une base orthonormée $(\vec e_1,\dots,\vec e_n)$ dont l'image par $f$ est une famille orthogonale. \finenonce{003787} \finexercice \exercice{3788, quercia, 2010/03/11} \enonce{003788}{Quotients de Rayleigh} Soit $f \in \mathcal{L}(E)$ auto-adjoint et $\lambda_1 \le \lambda_2 \le \dots \le \lambda_n$ ses valeurs propres. \begin{enumerate} \item Montrer que : $\forall\ \vec x \in E,\ \lambda_1 \|\vec x\,\|^2 \le (f(\vec x)\mid\vec x) \le \lambda_n \|\vec x\,\|^2$. \item Montrer que si l'une de ces deux inégalités est une égalité pour un vecteur $\vec x\ne\vec 0$, alors $\vec x$ est vecteur propre de~$f$. \item Soit $(\vec e_1,\dots,\vec e_n)$ une base orthonormée de $E$ telle que pour tout $i$ : $(f(\vec e_i)\mid\vec e_i) = \lambda_i$. Montrer que : $\forall\ i,\ f(\vec e_i) = \lambda_i\vec e_i$. \end{enumerate} \finenonce{003788} \finexercice \exercice{3789, quercia, 2010/03/11} \enonce{003789}{Spec$(A+B)$} Soient $A,B \in \mathcal{M}_n(\R)$ symétriques, $\lambda,\lambda'$ leurs plus petites valeurs propres et $\mu,\mu'$ leurs plus grandes valeurs propres. Montrer que toute valeur propre de $A+B$ est comprise entre $\lambda+\lambda'$ et $\mu+\mu'$. \finenonce{003789} \finexercice \exercice{3790, quercia, 2010/03/11} \enonce{003790}{Comparaison de valeurs propres} Soient $h \in \mathcal{L}(E)$ autoadjoint, $\vec x_0 \in E$ unitaire, $p$ la projection orthogonale sur $\text{vect}(\vec x_0)$, et $f = h+p$. On note $\lambda_1 \le \dots \le \lambda_n$ les valeurs propres de $h$ et $\mu_1 \le \dots \le \mu_n$ celles de $f$. Montrer que $\lambda_1 \le \mu_1 \le \dots \le \lambda_n \le \mu_n$. \finenonce{003790} \finexercice \exercice{3791, quercia, 2010/03/11} \enonce{003791}{Mines P' 1996} Soit $E$ un espace euclidien et $f\in\mathcal{L}(E)$. \begin{enumerate} \item Montrer~: $\mathrm{Ker} f = \Im f \Rightarrow f + f^* \in GL(E)$. \item Montrer la réciproque lorsque l'on a $f^2 = 0$. \end{enumerate} \finenonce{003791} \finexercice \exercice{3792, quercia, 2010/03/11} \enonce{003792}{Rayon spectral} Soit $f\in\mathcal{L}(E)$. Montrer que $\|f\|^2 =\max\{|\lambda| \text{ tq } \lambda\in\mathrm{Sp}(f^*\circ f)\}$. \finenonce{003792} \finexercice \exercice{3793, quercia, 2010/03/11} \enonce{003793}{Décomposition polaire d'un endomorphisme} Soit $f\in\mathcal{L}(E)$. \begin{enumerate} \item En considérant l'endomorphisme $f^*\circ f$, montrer que si~$f$ est inversible alors $f$ se décompose de manière unique sous la forme $f = u\circ h$ avec $u$ unitaire et $h$ hermitien positif. \item Si $f$ est non inversible, montrer qu'une telle décomposition existe mais n'est pas unique (on rappelle que $U(E)$ est compact). \item Montrer que l'application $f \mapsto (u,h)$ est continue sur $GL(E)$. \end{enumerate} \finenonce{003793} \finexercice \exercice{3794, quercia, 2010/03/11} \enonce{003794}{Endomorphismes normaux} Soit $E$ un espace vectoriel hermitien. Un endomorphisme $u\in\mathcal{L}(E)$ est dit normal si $u$ et~$u^*$ commutent. \begin{enumerate} \item Soit $u$ normal, montrer que si $F$ est un sous-espace propre de~$u$ alors $F^\perp$ est stable par~$u$. En déduire que $u$ est diagonalisable en base orthonormale. La réciproque est-elle vraie~? \item Soit $u\in\mathcal{L}(E)$. Montrer l'équivalence entre les propriétés suivantes~: {\obeylines% (1) $u$ est normal. (2) $\forall\ x\in E, \|u(x)\|=\|u^*(x)\|$. (3) Tout sous-espace vectoriel stable par~$u$ est stable par~$u^*$. (4) Si un sous-espace vectoriel $F$ est stable par~$u$ alors $F^\perp$ est stable par $u$. (5) Il existe $P\in\C[X]$ tel que $u^* = P(u)$. \par} \end{enumerate} \finenonce{003794} \finexercice \exercice{3795, quercia, 2010/03/11} \enonce{003795}{$\|u(x)\| = \|v(x)\|$} Soit $E$ un espace hermitien non nul et $u,v\in\mathcal{L}(E)$. Montrer l'équivalence~: $$\Bigl(\forall\ x\in E,\ \|u(x)\|=\|v(x)\|\Bigr)\Leftrightarrow \Bigl(\exists\ w\in\ U(E)\text{ tq } u = w\circ v\Bigr).$$ \finenonce{003795} \finexercice \exercice{3796, quercia, 2010/03/11} \enonce{003796}{$(u(x)\mid x)$ est réel} Soit $E$ un espace vectoriel hermitien et $u\in\mathcal{L}(E)$. \begin{enumerate} \item Montrer que $u=u^*$ si et seulement si pour tout~$x\in E$, $(u(x)\mid x)$ est réel. \item On suppose $u$ autoadjoint positif. Montrer~: $\forall\ x\in E,\ \|u(x)\|^4 \le (x\mid u(x))\times(u(x)\mid u^2(x))$. \end{enumerate} \finenonce{003796} \finexercice \exercice{3797, quercia, 2010/03/11} \enonce{003797}{Série d'autoadjoints positifs} Soit $H$ un espace de Hilbert et $(u_n)$ une suite d'endomorphismes de~$H$ autoadjoints positifs continus telle que la suite $(u_0+\dots+u_n)$ est bornée dans~${\cal L}_c(H)$. Montrer que pour tout~$x\in H$ la série $\sum_{n=0}^\infty u_n(x)$ est convergente. \finenonce{003797} \finexercice \exercice{3798, quercia, 2010/03/11} \enonce{003798}{Mines MP 2000} Soit $A\in M_n(\R)$ telle que $A^3={}^t\!A A$. $A$ est-elle diagonalisable dans $M_n(\R)$, dans $M_n(\C)$ ? \finenonce{003798} \finexercice \exercice{3799, quercia, 2010/03/11} \enonce{003799}{Centrale MP 2000 (avec Maple)} Soit~$E$ un espace euclidien, $u$ et~$v$ deux endomorphismes auto-adjoints de~$E$, $u$ étant défini positif. \begin{enumerate} \item Montrer qu'il existe un unique endomorphisme~$w$ tel que $u\circ w + w\circ u = v$. Que peut-on dire de~$w$~? \item On suppose~$E$ de dimension~$3$, rapporté à une base orthonormale dans laquelle $u$ et~$v$ ont pour matrices respectives $A=\begin{pmatrix}4&1&1\cr 1&4&-1\cr1&-1&4\cr\end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix}0&\phantom-0&-1\cr 0&0&1\cr -1&1&3\cr\end{pmatrix}$. Déterminer~$w$. \item On revient au cas général. Si~$v$ est défini positif, que dire de~$w$~? Si~$w$ est défini positif, que dire de~$v$~? \end{enumerate} \finenonce{003799} \finexercice \exercice{3800, quercia, 2010/03/11} \enonce{003800}{Polytechnique MP$^*$ 2000} Soit $E$ un espace euclidien et $s$ une symétrie de~$E$. \begin{enumerate} \item Que dire de $s^*\circ s$~? \item Un polynôme $P$ est dit réciproque si $P(X) = X^nP\Bigl(\frac1X\Bigr)$, pour $P$ de degré~$n$.\par Montrer que~: $P(X) = \det(X\mathrm{id}+s^*\circ s)$ est un polynôme réciproque. \item Montrer que $P(1)\ge 2^n$. A quelle condition y a-til égalité~? Y a-t-il des conditions sur~$s$~? \item Soit la matrice $A = \begin{pmatrix}A_1&A_2\cr A_3&A_4\cr\end{pmatrix}$, carrée, d'ordre~$n$, symétrique définie positive, où $A_1$ et $A_4$ sont carrées d'ordres respectifs $p$ et~$q$. Montrer que $\det(A)\le \det(A_1)\det(A_4)$. \end{enumerate} \finenonce{003800} \finexercice \exercice{3801, quercia, 2010/03/11} \enonce{003801}{Cachan MP$^*$ 2000} On note $P$ l'ensemble des fonctions~$f$ polynomiales par morceaux, continues sur $[0,1]$ et vérifiant ${f(0)=f(1)=0}$. Si $f$ et~$g$ sont des fonctions de~$P$, on note $(f\mid g) = \int_{t=0}^1f'(t)g'(t)\,d t$. \begin{enumerate} \item Que dire de~$P$ muni de cette application~? \item Montrer que si $x\in{[0,1]}$, il existe $g_x\in P$ telle que $\forall\ f\in P,\ (g_x\mid f) = f(x)$. \item On considère $n$ réels vérifiant~: $0 0$. \finenonce{003826} \finexercice \exercice{3827, quercia, 2010/03/11} \enonce{003827}{Calcul de minimums} Calculer le minimum sur $\R^2$ de $f : {\R^2} \to \R, {(a,b)} \mapsto { \int_{x=0}^\pi (\sin x-ax^2-bx)^2\,d x.}$ \finenonce{003827} \finexercice \exercice{3828, quercia, 2010/03/11} \enonce{003828}{Calcul de minimums} \begin{enumerate} \item Soit $\varphi : {\R^n} \to \R$ définie par $\varphi(x_1,\dots,x_n) = \int_{t=0}^1 (1+tx_1+\dots+t^nx_n)^2\,d t$. Montrer que $\varphi$ admet un minimum absolu et le calculer lorsque $n=3$. \item Même question avec $\psi(x_1,\dots,x_n) = \int_{t=0}^{+\infty} e^{-t}(1+tx_1+\dots+t^nx_n)^2\,d t$. \end{enumerate} \finenonce{003828} \finexercice \exercice{3829, quercia, 2010/03/11} \enonce{003829}{Trouvez le produit scalaire} Soit $(P_n)_{n\in \N}$ une suite de polynômes de degrés étagés ($\deg P_n = n$). Montrer qu'il existe un unique produit scalaire sur $\R[X]$ pour lequel la famille $P_n$ est orthonormée. \finenonce{003829} \finexercice \exercice{3830, quercia, 2010/03/11} \enonce{003830}{Décomposition de Cholesky} Soit $A \in \mathcal{M}_n(\R)$ symétrique définie positive. \begin{enumerate} \item Montrer qu'il existe une matrice $T$ triangulaire supérieure telle que $A = {}^tTT$. Montrer que $T$ est unique si on impose la condition : $\forall\ i,\ T_{ii} > 0$. \item Application : Montrer que $\det A \le \prod_{i=1}^n a_{ii}$. \end{enumerate} \finenonce{003830} \finexercice \exercice{3831, quercia, 2010/03/11} \enonce{003831}{Changement de base unitaire} Soit $E$ un espace vectoriel hermitien et $\cal B$, ${\cal B}'$ deux bases orthonormées de $E$. On note $P$ la matrice de passage de $\cal B$ à ${\cal B}'$. Montrer que ${}^t\overline PP = I$. Que peut-on dire de $\det P$ ? \finenonce{003831} \finexercice \exercice{3832, quercia, 2010/03/11} \enonce{003832}{Déterminant de Gram} Soit $E$ un espace préhilbertien et $\vec u_1,\dots,\vec u_n \in E$. On note $G = (g_{ij}) \in \mathcal{M}_n(K)$ la matrice de Gram de ces vecteurs ($g_{ij} = (\vec u_i\mid\vec u_j)$). \begin{enumerate} \item On suppose $E$ de dimension finie, rapporté à une base orthonormée ${\cal B} = (\vec e_1,\dots,\vec e_p)$. Exprimer $G$ en fonction de $M = \text{Mat}_{\cal B}(\vec u_1,\dots,\vec u_n)$. \item En déduire que $\det(G)$ est un réel positif ou nul, et nul si et seulement si les vecteurs $\vec u_i$ sont liés. \item Montrer le même résultat sans supposer que $E$ est de dimension finie. \item Examiner le cas particulier $n=2$. \item Application : Le tétraèdre $ABCD$ est tel que $AB=AC=AD=1$ et $(AB,AC) \equiv \frac \pi4$, $(AB,AD) \equiv \frac \pi3$, $(AC,AD) \equiv \frac\pi2$. Calculer son volume. \end{enumerate} \finenonce{003832} \finexercice \exercice{3833, quercia, 2010/03/11} \enonce{003833}{Congruence des matrices de Gram} Soit $E$ un espace vectoriel hermitien et $\cal B$, ${\cal B}'$ deux bases quelconques. On note $P$ la matrice de passage de $\cal B$ à ${\cal B}'$, et $G,G'$ les matrices de Gram de $\cal B$ et ${\cal B}'$. Quelle relation y a-t-il entre $P$, $G$ et $G'$ ? \finenonce{003833} \finexercice \exercice{3834, quercia, 2010/03/11} \enonce{003834}{Normes euclidiennes} \begin{enumerate} \item Montrer que les applications : $${N_1} : {\R^2} \to \R, {(x,y)} \mapsto {\sqrt{x^2+xy+y^2}} \quad\text{et}\quad {N_2} : {\R^2} \mapsto \R, {(x,y)} \mapsto {\sqrt{2x^2-xy+y^2}}$$ sont des normes. \item Montrer qu'il existe $\alpha,\beta > 0$ tels que : $\forall\ (x,y)\in\R^2,\ \alpha N_2(x,y) \le N_1(x,y) \le \beta N_2(x,y)$. \item Trouver les meilleures constantes $\alpha,\beta$ (\'etudier si $N_1(x,y)^2 - \lambda N_2(x,y)^2$ est positive, négative). \end{enumerate} \finenonce{003834} \finexercice \exercice{3835, quercia, 2010/03/11} \enonce{003835}{Famille duale de $1,X,X^2,\dots$} \begin{enumerate} \item Montrer qu'il existe des polynômes $P_0,\dots,P_n \in \R_n[X]$ tels que : $\forall\ i,j\le n,\ \int_{t=0}^{+\infty} e^{-t}t^iP_j(t)\,d t = \delta_{ij}$. \item Montrer qu'il n'existe pas de suite de polynômes $(P_0,\dots,P_n,\dots)$ telle que : $\forall\ i,j\in\N,\ \int_{t=0}^{+\infty} e^{-t}t^iP_j(t)\,d t = \delta_{ij}$. \end{enumerate} \finenonce{003835} \finexercice \exercice{3836, quercia, 2010/03/11} \enonce{003836}{Inégalité de Cauchy-Schwarz} Soit $E$ l'ensemble des fonctions : $[a,b] \to \R^{+*}$ continues et $\Phi : E \to \R, f \mapsto { \int_a^b f\times \int_a^b 1/f.}$ Montrer que $\min\limits_{f\in E} \Phi(f) = (b-a)^2$ et chercher les fonctions réalisant le minimum. \finenonce{003836} \finexercice \exercice{3837, quercia, 2010/03/11} \enonce{003837}{Intégrale double} Soit $D$ le disque unité fermé de $\R^2$. On considère l'espace $E$ des fonctions $f : D \to \R$ de classe $\mathcal{C}^1$ nulles sur le bord, $C$, de $D$. Pour $f,g \in E$, on pose $(f\mid g) = \iint_D \Bigl( \frac{\partial f}{\partial x} \frac{\partial g}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{\partial g}{\partial y} \Bigr) d x d y$. Montrer que c'est un produit scalaire. \finenonce{003837} \finexercice \exercice{3838, quercia, 2010/03/11} \enonce{003838}{Forme quadratique associée à la matrice de Gram} Soit $E$ un espace euclidien, $(\vec e_1,\dots,\vec e_n)$ une base de $E$, $G$ sa matrice de Gram et $G^{-1} = (a_{ij})$. Montrer que : $\forall\ \vec x\in E,\ \sum_{i,j} a_{ij} (\vec e_i\mid \vec x) (\vec e_j\mid \vec x) = \|\vec x\,\|^2$. \finenonce{003838} \finexercice \exercice{3839, quercia, 2010/03/11} \enonce{003839}{Orthogonal des polynômes} Soit $E = \mathcal{C}([0,1],\R)$ muni du produit scalaire usuel, $F$ le sous-espace vectoriel des fonctions polynomiales et $g$ la fonction exponentielle sur $[0,1]$. \begin{enumerate} \item Montrer que $g\notin F$. \item Montrer qu'il existe une suite $(f_n)$ de fonctions polynomiales convergeant vers $g$ pour la norme eucli\-dienne. \item En déduire que $F$ n'a pas de supplémentaire orthogonal. \end{enumerate} \finenonce{003839} \finexercice \exercice{3840, quercia, 2010/03/11} \enonce{003840}{Orthogonal d'un hyperplan} Soit $E = \mathcal{C}([0,1],\R)$ muni du produit scalaire usuel et, pour $f \in E$ : $\varphi(f) = \int_{t=0}^{1/2} f(t)\,d t$. \begin{enumerate} \item Montrer que $\varphi$ est continue. \item Montrer que $H = \mathrm{Ker}\varphi$ est fermé. \item Montrer que $H^\bot = \{0\}$. \end{enumerate} \finenonce{003840} \finexercice \exercice{3841, quercia, 2010/03/11} \enonce{003841}{Produit scalaire} Soit $E = \mathcal{C}([a,b],\R)$ et $ u : {[a,b]} \to \R$ une fonction continue par morceaux. On pose pour $f,g \in E$ : $(f\mid g) = \int_{t=a}^b u(t)f(t)g(t)\,d t$. \begin{enumerate} \item A quelle condition sur $u$ définit-on ainsi un produit scalaire ? \item Soient $u,v$ deux fonctions convenables. A quelle condition les normes associées sont-elles équivalentes~? \end{enumerate} \finenonce{003841} \finexercice \exercice{3842, quercia, 2010/03/11} \enonce{003842}{Produit scalaire~?} Soit $E = \mathcal{C}([a,b],\R)$ et $(a_n)$ une suite d'éléments de $[a,b]$. Pour $f,g \in E$, on pose : $(f\mid g) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f(a_n)g(a_n)}{2^n}$. \begin{enumerate} \item A quelle condition sur la suite $(a_n)$ définit-on un produit scalaire ? \item Soient $a=(a_n)$ et $b=(b_n)$ deux telles suites telles que les ensembles $\{a_n,n\in\N\}$ et $\{b_n,n\in\N\}$ sont distincts. Montrer que les normes correspondantes sont non équivalentes. \item Question ouverte~: à quelle condition les normes associées à deux suites $(a_n)$ et $(b_n)$ sont-elles équivalentes~? \item Montrer qu'il n'existe pas de suite $(a_n)$ pour laquelle $E$ soit complet. \end{enumerate} \finenonce{003842} \finexercice \exercice{3843, quercia, 2010/03/11} \enonce{003843}{Ulm MP$^*$ 2000} $V$ est un espace hermitien et $u,v,w$ trois vecteurs unitaires. Montrer que~: $$\sqrt{1-|(u\mid v)|^2} \le \sqrt{1-|(u\mid w)|^2} + \sqrt{1-|(v\mid w)|^2}.$$ \finenonce{003843} \finexercice \exercice{3844, quercia, 2010/03/11} \enonce{003844}{Ulm MP$^*$ 2000} Soit $A\in \mathcal{M}_n(\C)$. Montrer qu'elle admet une décomposition~$A=UT\,^tU$ avec $U$ unitaire et $T$ triangulaire supérieure si et seulement si le spectre de~$A\overline A$ est inclus dans~$\R^+$. \finenonce{003844} \finexercice \section{ 204.09 Problèmes matriciels } \exercice{3807, quercia, 2010/03/11} \enonce{003807}{$I + a(X^tY - Y^tX)$ inversible} Soient $X,Y \in \mathcal{M}_{n,1}(\R)$ indépendantes, $a \in \R$ et $M$ la matrice $n\times n$ telle que $m_{ij} = x_iy_j - x_jy_i$. A quelle condition $I + aM$ est-elle inversible ? \finenonce{003807} \finexercice \exercice{3808, quercia, 2010/03/11} \enonce{003808}{Matrice orthogonale pour une forme $(p,q)$} Soit $J = \begin{pmatrix}I_n&0\cr0&-I_p\cr\end{pmatrix}$, et $M = \begin{pmatrix}A&B\cr C&D\end{pmatrix}$ telle que ${}^tMJM = J$. Montrer que $A$ et $D$ sont inversibles. \finenonce{003808} \finexercice \exercice{3809, quercia, 2010/03/11} \enonce{003809}{Calcul d'inverse} Soit $A = \begin{pmatrix} a &-b &-c &-d \cr b & a & d &-c \cr c &-d & a & b \cr d & c &-b & a \cr \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_4(\R)$, avec $a,b,c,d$ non tous nuls. Démontrer que $A$ est inversible et calculer $A^{-1}$. \finenonce{003809} \finexercice \exercice{3810, quercia, 2010/03/11} \enonce{003810}{Matrices normales} Soit $A \in \mathcal{M}_n(\C)$ de valeurs propres $\lambda_1, \dots, \lambda_n$. Montrer que $AA^* = A^*A \iff \mathrm{tr}(AA^*) = |\lambda_1|^2+ \dots + |\lambda_n|^2$. \finenonce{003810} \finexercice \exercice{3811, quercia, 2010/03/11} \enonce{003811}{$f$ normal, $f^2=-\mathrm{id}$} Soit $f \in \mathcal{L}(E)$ tel que $f\circ f^* = f^*\circ f$ et $f^2 = -$id. Montrer que $f$ est orthogonal. \finenonce{003811} \finexercice \exercice{3812, quercia, 2010/03/11} \enonce{003812}{Chimie P 1996} Soit $S$, matrice orthogonale d'ordre impair, de coefficients fonction de~$t$ dérivables. Montrer que $\frac{d S}{d t}$ n'est pas inversible. \finenonce{003812} \finexercice \exercice{3813, quercia, 2010/03/11} \enonce{003813}{Chimie P 1996} Déterminer $a$, $b$, $c$, réels non nuls pour que la matrice $M = -\frac23\openup 3pt\begin{pmatrix}-\frac12&\frac ac &\frac ab\cr \frac ca &-\frac12 &\frac ca\cr \frac ba &\frac ac &-\frac12\cr\end{pmatrix}$ soit la matrice d'une isométrie. \finenonce{003813} \finexercice \exercice{3814, quercia, 2010/03/11} \enonce{003814}{Noyaux de $A$ et ${}^tA$} Soit~$A\in\mathcal{M}_n(\R)$ telle que pour tout~$X\in\mathcal{M}_{n,1}(\R)$ on a $\mathrm{tr}({}^tXAX)\ge 0$. Comparer les noyaux de~$A$ et ~${}^tA$. \finenonce{003814} \finexercice \exercice{3815, quercia, 2010/03/11} \enonce{003815}{Matrice orthogonale ?} \begin{enumerate} \item Peut-on définir sur $\R^2$ une structure euclidienne telle que l'endomorphisme $f$ dont la matrice dans la base canonique est $M = \begin{pmatrix}1&1\cr-3&-2\cr\end{pmatrix}$ soit une rotation~? \item Généraliser à une matrice $M\in\mathcal{M}_2(\R)$ quelconque. \item Généraliser à une matrice $M\in\mathcal{M}_n(\R)$ quelconque. \end{enumerate} \finenonce{003815} \finexercice \exercice{3816, quercia, 2010/03/11} \enonce{003816}{Valeurs propres d'une matrice complexe} Soit~$M\in\mathcal{M}_n(\C)$ et $\lambda\in\mathrm{spec}(M)$. Montrer que $\Re(\lambda)$ est compris entre la plus grande et la plus petite valeur propre de $\frac12(M+M^*)$. \finenonce{003816} \finexercice \exercice{3817, quercia, 2010/03/11} \enonce{003817}{Centrale MP 2001} \begin{enumerate} \item Montrer que toute matrice symétrique réelle positive a ses coefficients diagonaux positifs. Montrer que si l'un des coefficients diagonaux $u_{ii}$ est nul, alors pour tout $j$ on a $u_{ij} = 0$. \item $U$ est une matrice symétrique réelle positive de la forme $U = \begin{pmatrix}A&C\cr{}^tC&B\cr\end{pmatrix}$ avec $A$ et $B$ carrées. Montrer que la matrice $U' = \begin{pmatrix}A&C\cr0&0\cr\end{pmatrix}$ est diagonalisable. \end{enumerate} \finenonce{003817} \finexercice \exercice{3818, quercia, 2010/03/11} \enonce{003818}{Centrale MP 2001} \begin{enumerate} \item Pour $M\in GL_n(\R)$ montrer l'existence de deux matrices orthogonales $U$ et $V$ telles que $^tUMV$ soit diagonale. \item Même question pour $M\in\mathcal{M}_n(\R)$. \item Déterminer $U$ et $V$ pour $M=\begin{pmatrix}0 &1 &\phantom-1\cr -1 &0 &1\cr -1 &-1 &0\cr\end{pmatrix}$. \end{enumerate} \finenonce{003818} \finexercice \exercice{3819, quercia, 2010/03/11} \enonce{003819}{X MP$^*$ 2001} Soit $A\in\mathcal{M}_n(\R)$ telle que $A^2 = -I_n$. \begin{enumerate} \item Montrer que $n$ est pair. \item Montrer que $A$ est semblable à~$A' = \begin{pmatrix}0 &-I_{n/2}\cr I_{n/2}&0\cr\end{pmatrix}$. \item On suppose $A\in{\cal O}(n)$. Montrer que $A$ est semblable à la matrice~$A'$ précédente avec une matrice de passage orthogonale. \end{enumerate} \finenonce{003819} \finexercice \exercice{3820, quercia, 2010/03/11} \enonce{003820}{X MP$^*$ 2001} Soient $A$ et $B$ deux matrices hermitiennes et $C=A+B$. On note $a_1\ge a_2\ge \dots\ge a_n$ les valeurs propres de la première, $b_1\ge b_2\ge \dots\ge b_n$ celles de la deuxième, $c_1\ge c_2\ge \dots\ge c_n$ celles de la troisième. Montrez que pour tout $i$ on a $c_i\ge a_i+b_n$. {\it Indication~:} se ramener au cas $b_n=0$. \finenonce{003820} \finexercice \exercice{3821, quercia, 2010/03/11} \enonce{003821}{Centrale MP 2002} Soient $n \in \N^*$, $S_n(\R)$ l'espace des matrices $n\times n$ symétriques à coefficients réels, $S_n^{+}(\R)$ le sous-ensemble des matrices positives, $S_n^{++}(\R)$ le sous-ensemble des matrices définies positives et $\phi \in \mathcal{L}({S_n(\R)})$. On suppose que $\phi (S_n^{++}(\R))=S_n^{++}(\R)$. \smallskip \begin{enumerate} \item Montrer que : $\forall\ M \in S_n(\R),\ \exists\ A \in \R^+ \text{ tq } \forall\ \lambda > A,\ M + \lambda I_n \in S_n^{++}(\R)$. \item Montrer que $\phi \in GL(S_n(\R))$ et que $\phi (S_n^+(\R))=S_n^+(\R)$. \item On suppose $n = 2$ et $\phi (I_2) = I_2$. Montrer que : $\forall\ M \in S_2(\R),\ \chi_{\phi (M)}=\chi_M$. Montrer que $\det(\varphi (M))=\det(M)$ (i.e. $\phi$ conserve le déterminant). \end{enumerate} \finenonce{003821} \finexercice \exercice{3822, quercia, 2010/03/11} \enonce{003822}{Mines MP 2002} Déterminer $\{M \in {\cal{M}}_n(\R) \text{ tq } M(^tMM)^2=I_n\}$. \finenonce{003822} \finexercice \exercice{5489, rouget, 2010/07/10} \enonce{005489}{**} $E=\Rr^3$ euclidien orienté rapporté à une base orthonormée directe $\mathcal{B}$. Etudier les endomorphismes de matrice $A$ dans $\mathcal{B}$ suivants~: $$\begin{array}{lll} 1)\;A=-\frac{1}{3} \left( \begin{array}{ccc} -2&1&2\\ 2&2&1\\ 1&-2&2 \end{array} \right) &2/\;A=\frac{1}{4} \left( \begin{array}{ccc} 3&1&\sqrt{6}\\ 1&3&-\sqrt{6}\\ -\sqrt{6}&\sqrt{6}&2 \end{array} \right)&3/\;A=\frac{1}{9} \left( \begin{array}{ccc} 8&1&4\\ -4&4&7\\ 1&8&-4 \end{array} \right). \end{array} $$ \finenonce{005489} \finexercice \exercice{5490, rouget, 2010/07/10} \enonce{005490}{***} Soit $M=\left( \begin{array}{ccc} a&b&c\\ c&a&b\\ b&c&a \end{array} \right)$ avec $a$, $b$ et $c$ réels. Montrer que $M$ est la matrice dans la base canonique orthonormée directe de $R^3$ d'une rotation si et seulement si $a$, $b$ et $c$ sont les solutions d'une équation du type $x^3-x^2+k=0$ où $0\leq k\leq\frac{4}{27}$. En posant $k=\frac{4\sin^2\varphi}{27}$, déterminer explicitement les matrices $M$ correspondantes ainsi que les axes et les angles des rotations qu'elles représentent. \finenonce{005490} \finexercice \exercice{5780, rouget, 2010/10/16} \enonce{005780}{*** I Matrices et déterminants de \textsc{Gram}} Soit $E$ un espace préhilbertien réel. Pour $n\in\Nn^*$ et $(x_1, ... , x_n)$ dans $E^n$, on pose $G(x_1, ... , x_n) =\left(x_i | x_j\right)_{1\leqslant i,j\leqslant n}$ (matrice de \textsc{Gram}) puis $\gamma(x_1, ... , x_n) = \text{det}(G(x_1 , ... , x_n))$ (déterminant de \textsc{Gram}). \begin{enumerate} \item Montrer que $\text{rg}(G(x_1, ... , x_n)) =\text{rg}(x_1, ... ,x_n)$. \item Montrer que la famille $(x_1, ... ,x_n)$ est liée si et seulement si $\gamma(x_1, ... , x_n) = 0$ et que la famille $(x_1, ... , x_n)$ est libre si et seulement si $\gamma(x_1, ... , x_n) > 0$. \item On suppose que la famille $(x_1, ... , x_n)$ est libre dans $E$. On pose $F =\text{Vect} (x_1, ... , x_n)$. Pour $x\in E$, on note $p_F(x)$ la projection orthogonale de $x$ sur $F$ puis $d(x,F)$ la distance de $x$ à $F$ (c'est-à-dire $d(x,F) =\|x-p_F(x)\|^2$). Montrer que $d(x,F) =\sqrt{\frac{\gamma(x,x_1,\ldots,x_n)}{\gamma(x_1,\ldots,x_n)}}$. \end{enumerate} \finenonce{005780} \finexercice \exercice{5786, rouget, 2010/10/16} \enonce{005786}{*** I} Montrer que la matrice de \textsc{Hilbert} $H_n =\left(\frac{1}{i+j-1}\right)_{1\leqslant i,j\leqslant n}$ est définie positive. \finenonce{005786} \finexercice \exercice{5787, rouget, 2010/10/16} \enonce{005787}{*** I} \label{ex:rou2} \begin{enumerate} \item Soit $A$ une matrice carrée réelle de format $n$ et $S ={^t}AA$. Montrer que $S\in\mathcal{S}_n^+(\Rr)$. \item Réciproquement, montrer que pour toute matrice $S$ symétrique positive, il existe une matrice $A$ carrée réelle de format $n$ telle que $S ={^t}AA$. A-t-on l'unicité de $A$ ? \item Montrer que $S$ est définie positive si et seulement si $A$ est inversible. \item Montrer que $\text{rg}(A) =\text{rg}(S)$. \item (Racine carrée d'une matrice symétrique positive) Soit $S$ une matrice symétrique positive. Montrer qu'il existe une et une seule matrice $R$ symétrique positive telle que $R^2 = S$. \end{enumerate} \finenonce{005787} \finexercice \exercice{5791, rouget, 2010/10/16} \enonce{005791}{***} Soit $A$ une matrice orthogonale. Montrer que la valeur absolue de la somme des coefficients de $A$ est inférieure ou égale à $n$. Cas d'égalité si de plus tous les coefficients de $A$ sont positifs ? \finenonce{005791} \finexercice \exercice{5794, rouget, 2010/10/16} \enonce{005794}{***} Soit $A$ une matrice carrée réelle symétrique positive de format $n$. Montrer que $1 +\sqrt[n]{\text{det}(A)}\leqslant\sqrt[n]{\text{det}(I_n+A)}$. \finenonce{005794} \finexercice \exercice{5795, rouget, 2010/10/16} \enonce{005795}{**} Déterminer $\text{card}(O_n(\Rr)\cap\mathcal{M}_n(\Zz))$. \finenonce{005795} \finexercice \exercice{5798, rouget, 2010/10/16} \enonce{005798}{**} Soit $A$ une matrice carrée réelle. Montrer que les matrices ${^t}AA$ et $A{^t}A$ sont orthogonalement semblables. \finenonce{005798} \finexercice \exercice{5799, rouget, 2010/10/16} \enonce{005799}{*** I} Montrer que le produit de deux matrices symétriques réelles positives est à valeurs propres réelles positives. \finenonce{005799} \finexercice \exercice{5800, rouget, 2010/10/16} \enonce{005800}{*** I} Soient $A$ et $B$ deux matrices carrées réelles symétriques positives. Montrer que $\text{det}A +\text{det}B\leqslant\text{det}(A+B)$. \finenonce{005800} \finexercice \exercice{5804, rouget, 2010/10/16} \enonce{005804}{**} La matrice $\left( \begin{array}{cccc} n-1&-1&\ldots&-1\\ -1&\ddots&\ddots&\vdots\\ \vdots&\ddots&\ddots&-1\\ -1&\ldots&-1&n-1 \end{array} \right)$ est-elle positive ? définie ? \finenonce{005804} \finexercice \exercice{5805, rouget, 2010/10/16} \enonce{005805}{***} $O_n(\Rr)$ est-il convexe ? $O_n(\Rr)$ contient-il trois points alignés? \finenonce{005805} \finexercice \exercice{5813, rouget, 2010/10/16} \enonce{005813}{** I} \label{ex:rou8} Soit $A$ une matrice carrée réelle symétrique définie positive. Montrer qu'il existe une matrice triangulaire inversible $T$ telle que $A ={^t}TT$. \finenonce{005813} \finexercice \exercice{5814, rouget, 2010/10/16} \enonce{005814}{*** I} Soit $A$ une matrice carrée réelle symétrique définie positive. Montrer que le déterminant de $A$ est inférieur ou égal au produit de ses coefficients diagonaux (utiliser l'exercice \ref{ex:rou8}). \finenonce{005814} \finexercice \section{ 204.99 Autre } \exercice{5487, rouget, 2010/07/10} \enonce{005487}{**I} Soit $a$ un vecteur non nul de l'espce euclidien $\Rr^3$. On définit $f$ de $\Rr^3$ dans lui même par~:~$\forall x\in\Rr^3,\;f(x)=a\wedge(a\wedge x)$. Montrer que $f$ est linéaire puis déterminer les vecteurs non nuls colinéaires à leur image par $f$. \finenonce{005487} \finexercice \exercice{5492, rouget, 2010/07/10} \enonce{005492}{***I Inégalité de \textsc{Hadamard}} Soit $\mathcal{B}$ une base orthonormée de $E$, espace euclidien de dimension $n$. Montrer que~:~$\forall(x_1,...,x_n)\in E^n,\;|\mbox{det}_{\mathcal{B}}(x_1,...,x_n)|\leq||x_1||...||x_n||$ en précisant les cas d'égalité. \finenonce{005492} \finexercice \exercice{5497, rouget, 2010/07/10} \enonce{005497}{***} Soit $P\in\Rr_3[X]$ tel que $\int_{-1}^{1}P^2(t)\;dt=1$. Montrer que $\mbox{sup}\{|P(x)|,\;|x|\leq1\}\leq2$. Cas d'égalité~? \finenonce{005497} \finexercice \exercice{5498, rouget, 2010/07/10} \enonce{005498}{**IT} Soit $r$ la rotation de $\Rr^3$, euclidien orienté, dont l'axe est orienté par $k$ unitaire et dont une mesure de l'angle est $\theta$. Montrer que pour tout $x$ de $\Rr^3$, $r(x)=(\cos\theta)x+(\sin\theta)(k\wedge x)+2(x.k)\sin^2(\frac{\theta}{2})k$. Application~:~écrire la matrice dans la base canonique (orthonormée directe de $\Rr^3$) de la rotation autour de $k=\frac{1}{\sqrt{2}}(e_1+e_2)$ et d'angle $\theta=\frac{\pi}{3}$. \finenonce{005498} \finexercice \exercice{5499, rouget, 2010/07/10} \enonce{005499}{**} Soit $f$ continue strictement positive sur $[0,1]$. Pour $n\in\Nn$, on pose $I_n=\int_{0}^{1}f^n(t)\;dt$. Montrer que la suite $u_n=\frac{I_{n+1}}{I_n}$ est définie et croissante. \finenonce{005499} \finexercice\exercice{5796, rouget, 2010/10/16} \enonce{005796}{} Soit $f$ une application de $\Cc$ dans $\Cc$, $\Rr$-linéaire. \begin{enumerate} \item Montrer qu'il existe deux complexes $a$ et $b$ tels que pour tout $z\in\Cc$, $f(z) =az + b\overline{z}$. \item Calculer $\text{Tr}(f)$ et $\text{det}(f)$ en fonction de $a$ et $b$. \item C.N.S. pour que $f$ soit autoadjoint dans $\Cc$ muni de sa structure euclidienne canonique. \end{enumerate} \finenonce{005796} \finexercice \exercice{5802, rouget, 2010/10/16} \enonce{005802}{*** I} Soit $f$ un endomorphisme d'un espace euclidien de dimension $n$ qui conserve l'orthogonalité. Montrer qu'il existe un réel positif $k$ tel que $\forall x\in E$, $\|f(x)\| = k\|x\|$. \finenonce{005802} \finexercice \section{ 205.01 Arithmétique de Z } \exercice{2658, matexo1, 2002/02/01} \enonce{002658}{} Le but de cet exercice est de montrer que $$\forall n\geq3 \quad \pi(2n+1)\geq \ln2\times{2n+1 \over \ln(2n+1)}$$ o{\`u} $\pi(x)$ d{\'e}signe le nombre d'entiers premiers inf{\'e}rieurs ou {\'e}gaux {\`a} $x$. a) Calculer $I_{p,q}=\int_0^1 x^p(1-x)^qdx$ pour $p$ et $q$ entiers naturels. b) Soit $D_n$ le ppmc de $n+1,\ n+2,\dots,\ 2n+1$. A l'aide de $I_{n,n}$, {\'e}tablir l'in{\'e}galit{\'e} $D_n\geq{(2n+1)!\over(n!)^2}$ c) Montrer que $D_n\leq (2n+1)^{\pi(2n+1)}$ et en d{\'e}duire la minoration de $\pi(2n+1)$ annonc{\'e}e au d{\'e}but de l'exercice. \finenonce{002658} \finexercice \exercice{5291, rouget, 2010/07/04} \enonce{005291}{**} Montrer que le produit de quatre entiers consécutifs, augmenté de 1, est un carré parfait. \finenonce{005291} \finexercice \exercice{5292, rouget, 2010/07/04} \enonce{005292}{***T} \begin{enumerate} \item Montrer que $\forall n\in\Zz,\;6|5n^3+n$. \item Montrer que $\forall n\in\Nn,\;7|4^{2^n}+2^{2^n}+1$. \end{enumerate} \finenonce{005292} \finexercice \exercice{5293, rouget, 2010/07/04} \enonce{005293}{***IT} Un entier de la forme $8n+7$ ne peut pas être la somme de trois carrés parfaits. \finenonce{005293} \finexercice \exercice{5294, rouget, 2010/07/04} \enonce{005294}{**IT} Pour $n\in\Nn^*$, on pose $(1+\sqrt{2})^n=a_n+b_n\sqrt{2}$ où $(a_n,b_n)\in(\Nn^*)^2$. Montrer que $a_n\wedge b_n=1$. \finenonce{005294} \finexercice \exercice{5295, rouget, 2010/07/04} \enonce{005295}{****} Montrer que, pour tout entier naturel $n$, $2^{n+1}$ divise $E((1+\sqrt{3})^{2n+1})$. \finenonce{005295} \finexercice \exercice{5296, rouget, 2010/07/04} \enonce{005296}{***IT} Soient $A$ la somme des chiffres de $4444^{4444}$ et $B$ la somme des chiffres de $A$. Trouver la somme des chiffres de $B$. (Commencer par majorer la somme des chiffres de $n=a_0+10a_1...+10^pa_p$.) \finenonce{005296} \finexercice \exercice{5297, rouget, 2010/07/04} \enonce{005297}{**} Montrer que si $p$ est premier et $8p^2+1$ est premier alors $8p^2-1$ est premier. \finenonce{005297} \finexercice \exercice{5298, rouget, 2010/07/04} \enonce{005298}{**I} \begin{enumerate} \item Montrer que $\forall(k,n)\in(\Nn^*)^2,\;[k\wedge n=1\Rightarrow n|C_n^k]$. \item Montrer que $\forall n\in\Nn^*,\;(n+1)|C_{2n}^n$. \end{enumerate} \finenonce{005298} \finexercice \exercice{5299, rouget, 2010/07/04} \enonce{005299}{**T} Résoudre dans $(\Nn^*)^2$ les équations ou systèmes d'équations suivants~: $$1)\;\left\{ \begin{array}{l} x+y=56\\ x\vee y=105 \end{array} \right. \quad 2)\;\left\{ \begin{array}{l} x\wedge y=x-y\\ x\vee y=72 \end{array} \right.\quad3)\;x\vee y-x\wedge y=243.$$ \finenonce{005299} \finexercice \exercice{5300, rouget, 2010/07/04} \enonce{005300}{***} Montrer que la somme de cinq carrés parfaits d'entiers consécutifs n'est jamais un carré parfait. \finenonce{005300} \finexercice \exercice{5301, rouget, 2010/07/04} \enonce{005301}{***IT} Pour $n\in\Nn$, on pose $F_n=2^{2^n}+1$ (nombres de \textsc{Fermat}). Montrer que les nombres de Fermat sont deux à deux premiers entre eux. \finenonce{005301} \finexercice \exercice{5302, rouget, 2010/07/04} \enonce{005302}{***} Soit $(u_n)_{n\in\Nn}$ la suite définie par $u_0=0$, $u_1=1$ et $\forall n\in\Nn,\;u_{n+2}=u_{n+1}+u_n$ (suite de \textsc{Fibonacci}). \begin{enumerate} \item Montrer que $\forall n\in\Nn^*,\;u_{n+1}u_{n-1}-u_n^2=(-1)^n$ et en déduire que $\forall n\in\Nn^*,\;u_n\wedge u_{n+1}=1$. \item Montrer que $\forall n\in\Nn,\;\forall m\in\Nn^*,\;u_{m+n}=u_mu_{n+1}+u_{m-1}u_n$ et en déduire que $u_m\wedge u_n=u_{m\wedge n}$ pour $m$ et $n$ non nuls. \end{enumerate} \finenonce{005302} \finexercice \exercice{5303, rouget, 2010/07/04} \enonce{005303}{***I} On veut résoudre dans $\Zz^3$ l'équation $x^2+y^2=z^2$ (de tels triplets d'entiers relatifs sont appelés triplets pythagoriciens, comme par exemple $(3,4,5)$). \begin{enumerate} \item Montrer que l'on peut se ramener au cas où $x\wedge y\wedge z=1$. Montrer alors que dans ce cas, $x$, $y$ et $z$ sont de plus deux à deux premiers entre eux. \item On suppose que $x$, $y$ et $z$ sont deux à deux premiers entre eux. Montrer que deux des trois nombres $x$, $y$ et $z$ sont impairs le troisième étant pair puis que $z$ est impair. On suppose dorénavant que $x$ et $z$ sont impairs et $y$ est pair. On pose $y=2y'$, $X=\frac{z+x}{2}$ et $Z=\frac{z-x}{2}$. \item Montrer que $X\wedge Z=1$ et que $X$ et $Z$ sont des carrés parfaits. \item En déduire que l'ensemble des triplets pythagoriciens est l'ensemble des triplets de la forme $$(d(u^2-v^2),\;2duv,\;d(u^2+v^2))$$ où $d\in\Nn$, $(u,v)\in\Zz^2$, à une permutation près des deux premières composantes. \end{enumerate} \finenonce{005303} \finexercice \exercice{5304, rouget, 2010/07/04} \enonce{005304}{**} Résoudre dans $\Nn^2$ l'équation $3x^3+xy+4y^3=349$. \finenonce{005304} \finexercice \exercice{5305, rouget, 2010/07/04} \enonce{005305}{***} Résoudre dans $(\Nn^*)^2$ l'équation d'inconnue $(x,y)$~:~$\sum_{k=1}^{x}k!=y^2$. \finenonce{005305} \finexercice \exercice{5306, rouget, 2010/07/04} \enonce{005306}{***} Montrer que $n=4...48...89$ ($p$ chiffres $4$ et $p-1$ chiffres $8$ et donc $2p$ chiffres) (en base $10$) est un carré parfait. \finenonce{005306} \finexercice \exercice{5307, rouget, 2010/07/04} \enonce{005307}{***I} Montrer que tout nombre impair non divisible par $5$ admet un multiple qui ne s'écrit (en base $10$) qu'avec des $1$ (par exemple, $37.1=37$, $37.2=74$, $37.3=111$). \finenonce{005307} \finexercice \exercice{5308, rouget, 2010/07/04} \enonce{005308}{***} Soit $u_n=10...01_2$.($n$ chiffres égaux à $0$). Déterminer l'écriture binaire de~: \begin{enumerate} \item $u_n^2$, \item $u_n^3$, \item $u_n^3-u_n^2+u_n$. \end{enumerate} \finenonce{005308} \finexercice \exercice{5309, rouget, 2010/07/04} \enonce{005309}{**I} \label{exo:suprou19} \begin{enumerate} \item Déterminer en fonction de $n$ entier non nul, le nombre de chiffres de $n$ en base $10$. \item Soit $\sigma(n)$ la somme des chiffres de $n$ en base $10$. \begin{enumerate} \item Montrer que la suite $\left(\frac{\sigma(n+1)}{\sigma(n)}\right)_{n\geq 1}$ est bornée. Cette suite converge-t-elle~? \item Montrer que pour tout naturel non nul $n$, $1\leq\sigma(n)\leq9(1+\log n)$. \item Montrer que la suite $(\sqrt[n]{\sigma(n)})_{n\geq1}$ converge et préciser sa limite. \end{enumerate} \end{enumerate} \finenonce{005309} \finexercice \exercice{5310, rouget, 2010/07/04} \enonce{005310}{***I} \begin{enumerate} \item (Formule de \textsc{Legendre}) Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à $2$ et $p$ un nombre premier. Etablir que l'exposant de $p$ dans la décomposition de $n!$ en facteurs premiers est $$E(\frac{n}{p})+E(\frac{n}{p^2})+E(\frac{n}{p^3})+...$$ \item Par combien de $0$ se termine l'écriture en base $10$ de $1000!$~? \end{enumerate} \finenonce{005310} \finexercice \exercice{5311, rouget, 2010/07/04} \enonce{005311}{***I Petit théorème de \textsc{Fermat}} Soit $p$ un nombre premier. \begin{enumerate} \item Montrer que, pour tout entier $k$ tel que $1\leq k\leq p-1$, $p$ divise $C_p^k$. \item Montrer que $\forall a\in\Nn^*$, $a^p\equiv a$ $(p)$ (par récurrence sur $a$). \end{enumerate} \finenonce{005311} \finexercice \exercice{5312, rouget, 2010/07/04} \enonce{005312}{***I Théorème de \textsc{Wilson}} Soit $p$ un entier supérieur ou égal à $2$. Montrer que~:~$(p-1)!\equiv-1\;(p)\Rightarrow$ $p$ est premier (en fait les deux phrases sont équivalentes mais en Sup, on sait trop peu de choses en arithmétique pour pouvoir fournir une démonstration raisonnablement courte de la réciproque). \finenonce{005312} \finexercice \section{ 205.02 Anneau Z/nZ, théorème chinois } \exercice{1393, legall, 1998/09/01} \enonce{001393}{} Donner la liste des g\'en\'erateurs de $ (\Z /n\Z ,+) .$ \finenonce{001393} \finexercice \exercice{1394, ortiz, 1999/04/01} \enonce{001394}{} Soit le groupe $G$ (additif) $\Zz/40\Zz.$ \begin{enumerate} \item Soit $H$ le sous-groupe de $G$ engendr\'e par $\overline{12}$ et $\overline{20}.$ Montrer que $H$ est le sous-groupe de $G$ engendr\'e par $\overline{4} $ et trouver son ordre. \item Caract\'eriser les g\'en\'erateurs de $G.$ Combien en compte-t-on? \item D\'eterminer l'ordre de $\overline{15}.$ \end{enumerate} \finenonce{001394} \finexercice \exercice{1395, ortiz, 1999/04/01} \enonce{001395}{} \begin{enumerate} \item Montrer qu'il n'existe aucun \'el\'ement d'ordre 3 dans le groupe $\Zz/2\Zz\times \Zz/4\Zz.$ \item En d\'eduire les morphismes de groupes de $\Zz/3\Zz$ dans $\Zz/2\Zz\times \Zz/4\Zz.$ \end{enumerate} \finenonce{001395} \finexercice \exercice{1396, ortiz, 1999/04/01} \enonce{001396}{} Soit $f$ un morphisme de groupes de $\Zz/15\Zz$ dans $\Zz/18\Zz.$ \begin{enumerate} \item Montrer que $f$ est caract\'eris\'e par $f(\overline 1).$ \item D\'eterminer les ordres possibles de $f(\overline 1).$ \item En d\'eduire la liste des morphismes de groupes de $\mathbb{Z}/15\mathbb{Z}$ dans $\mathbb{Z}/18\mathbb{Z}.$ \end{enumerate} \finenonce{001396} \finexercice \exercice{1397, ortiz, 1999/04/01} \enonce{001397}{} Soit $G$ le groupe-produit $\left( \Zz/2\Zz\right) \times \left( \Zz/4\Zz\right) .$ \begin{enumerate} \item Donner la liste des \'el\'ements de $G$ et d\'eterminer l'ordre de chacun d'entre eux. $G$ est-il cyclique ? \item Donner la liste des sous-groupes de $G$ et en constuire le treillis. \end{enumerate} \finenonce{001397} \finexercice \exercice{1398, ortiz, 1999/04/01} \enonce{001398}{} \begin{enumerate} \item Soit $f:\Zz \to \Zz/3\Zz \times \Zz/5\Zz$ d\'efinie par $f(n)=( \overline{n},\widetilde{n} ).$ \begin{enumerate} \item Montrer que $f$ est un morphisme de groupes. \item D\'eterminer le noyau de $f.$ \end{enumerate} \item En d\'eduire que les groupes $\left( \Zz/3\Zz\right) \times \left( \Zz/5\Zz\right)$ et $ \Zz/15\Zz$ sont isomorphes. \end{enumerate} \finenonce{001398} \finexercice \exercice{1399, ortiz, 1999/04/01} \enonce{001399}{} Les groupes $\Zz/8\Zz,$ $\left(\Zz/2\Zz\right)\times \left(\Zz/4\Zz\right)$ et $\left(\Zz/2\Zz\right)^3$ sont-ils isomorphes ? \finenonce{001399} \finexercice \exercice{1400, hilion, 2003/10/01} \enonce{001400}{} On note $R_n$ la rotation du plan de centre $O$, d'angle $2\pi/n$, $S$ la symétrie par rapport à l'axe $(Ox)$. \begin{enumerate} \item Montrer que $S^2=id$, $(R_n)^n=id$ et $R_nS=SR_n^{-1}$. \item Montrer que le sous-groupe des isométries du plan engendré par $R_n$ et $S$ (ie le plus petit sous-groupe des isométries du plan qui contient $R_n$ et $S$) est de cardinal $2n$. On le note $D_n$: c'est le groupe dihédral d'ordre $2n$. \item Montrer que $D_n$ préserve un polygone régulier à $n$ côtés, centré en $O$. \item En vous aidant de ce qui précède, construire un isomorphisme entre $D_3$ et $S_3$. \end{enumerate} \finenonce{001400} \finexercice \exercice{1401, hilion, 2003/10/01} \enonce{001401}{} Soit $\mathbb{H}=\biggl\lbrace \begin{pmatrix} z & w \\ -\bar{w} & \bar{z} \end{pmatrix} : (z,w)\in\Cc^2\biggr\rbrace$ l'ensemble des quaternions. $\mathbb{H}^*$ désigne $\mathbb{H}$ privé de la matrice nulle. On note $\mathbf{1}= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, $\mathbf{i}= \begin{pmatrix} i & 0 \\ 0 & i \end{pmatrix}$, $\mathbf{j}= \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$, $\mathbf{k}= \begin{pmatrix} 0 & i \\ -i & 0 \end{pmatrix}$. \begin{enumerate} \item Montrer que $\mathbb{H}^*$ est un sous-groupe de $GL_n(\Cc)$. \item Montrer que $\mathbf{i}^2=\mathbf{j}^2=\mathbf{k}^2=\mathbf{1}$, $\mathbf{i}\mathbf{j}=\mathbf{k}$, $\mathbf{j}\mathbf{k}=\mathbf{i}$, $\mathbf{k}\mathbf{i}=\mathbf{j}$, $\mathbf{j}\mathbf{i}=-\mathbf{k}$, $\mathbf{k}\mathbf{j}==\mathbf{i}$, $\mathbf{i}\mathbf{k}=-\mathbf{j}$. \item En déduire que le sous-groupe de $\mathbb{H}^*$ engendré par $\mathbf{i}$, $\mathbf{j}$ et $\mathbf{k}$ est d'ordre 8. On le note $H_8$. \item Ecrire la table de $H_8$. \item Vérifier que les groupes (tous de cardinal 8) $H_8$, $\Zz/2\Zz\times\Zz/2\Zz\times\Zz/2\Zz$, $\Zz/2\Zz\times\Zz/4\Zz$, $\Zz/8\Zz$ et $D_4$ sont 2 à 2 non isomorphes. \end{enumerate} \finenonce{001401} \finexercice \exercice{3151, quercia, 2010/03/08} \enonce{003151}{{\'E}quations lin{\'e}aires} R{\'e}soudre dans $\Z/37\Z$ : \begin{enumerate} \item $$\left\{ \begin{aligned}\dot3x + \dot7y &= \dot3\cr \dot6x - \dot7y &= \dot0.\end{aligned}\right.$$ \item $x^2 - \dot{\overline{31}}x + \dot{\overline{18}} = \dot0$. \end{enumerate} \finenonce{003151} \finexercice \exercice{3152, quercia, 2010/03/08} \enonce{003152}{{\'E}quation alg{\'e}brique} \begin{enumerate} \item Dresser la liste des cubes dans $\Z/13\Z$. \item Soient $x,y,z \in \Z$ tels que $5x^3 + 11y^3 + 13z^3 = 0$. Montrer que 13 divise $x,y,z$. \item L'{\'e}quation : $5x^3 + 11y^3 + 13z^3 = 0$ a-t-elle des solutions enti{\`e}res ? \end{enumerate} \finenonce{003152} \finexercice \exercice{3153, quercia, 2010/03/08} \enonce{003153}{Ordre d'un entier modulo $n$} \begin{enumerate} \item Soient $n,p \ge 2$. Montrer que : $n \wedge p = 1 \iff \exists\ k > 0$ tel que $n^k \equiv 1 (\mathrm{mod}\, p)$. \item Soit $n$ un entier impair non divisible par 5. Montrer qu'il existe un multiple de $n$ qui s'{\'e}crit $1...1$ en base~10. \end{enumerate} \finenonce{003153} \finexercice \exercice{3154, quercia, 2010/03/08} \enonce{003154}{Th{\'e}or{\`e}me chinois} Soient $n,p \in \N^*$ tels que $n \wedge p = 1$. Pour $x\in\Z$ on note $\overline{x}^{\,n}$, $\overline{x}^{\,p}$ et $\overline{x}^{\,np}$ les classes d'{\'e}quivalence de $x$ modulo $n$, $p$ et $np$. \begin{enumerate} \item Montrer que l'application $\phi : {\Z/\bigl(np\Z\bigr)} \to {\bigl(\Z/n\Z\bigr) \times \bigl(\Z/p\Z\bigr)}, {\overline x^{\,np}} \mapsto {(\overline x^{\,n}, \overline x^{\,p})}$ est un morphisme d'anneaux. \item En d{\'e}duire que $\varphi(np) = \varphi(n)\varphi(p)$ ($\varphi$ = fonction d'Euler). \item V{\'e}rifier que l'hypoth{\`e}se $n \wedge p = 1$ est n{\'e}c{\'e}ssaire. \end{enumerate} \finenonce{003154} \finexercice \exercice{3155, quercia, 2010/03/08} \enonce{003155}{Th{\'e}or{\`e}me de Wilson} Soit $n \ge 2$. Montrer que $n$ est premier si et seulement si $(n-1)! \equiv -1 (\mathrm{mod}\, n)$. \finenonce{003155} \finexercice \exercice{3156, quercia, 2010/03/08} \enonce{003156}{$(\Z/2^n\Z)^*$} \begin{enumerate} \item Montrer que pour tout entier $a$ impair et tout $n\ge 3$ : $a^{2^{n-2}} \equiv 1 (\mathrm{mod}\, {2^n})$. \item Le groupe $\bigl(\Z/2^n\Z\bigr)^*$ est-il cyclique ? \end{enumerate} \finenonce{003156} \finexercice \exercice{3157, quercia, 2010/03/08} \enonce{003157}{{\'E}quation alg{\'e}brique} \begin{enumerate} \item D{\'e}montrer que $f$ est une permutation de $E$. \item Chercher l'ordre de $f$ pour $\circ$. \item En d{\'e}duire que le nombre de points fixes de $f$ est congru {\`a} $\mathrm{Card}\, E$ modulo 3. \item D{\'e}montrer que ce nombre est inf{\'e}rieur ou {\'e}gal {\`a} 2. \item Combien l'{\'e}quation $x^2-x+\dot1 = \dot0$ a-t-elle de racines dans $\Z/p\Z$ en fonction de $p$ ? \item Pour $p=37$, r{\'e}soudre l'{\'e}quation. \end{enumerate} \finenonce{003157} \finexercice \exercice{3158, quercia, 2010/03/08} \enonce{003158}{Carr{\'e}s dans $\Z/p\Z$} Soit $p$ un nombre premier impair. Montrer que $\dot k$ est un carr{\'e} dans l'anneau $\Z/p\Z$ si et seulement si $k^{(p+1)/2} \equiv k (\mathrm{mod}\, p)$. \finenonce{003158} \finexercice \exercice{3159, quercia, 2010/03/08} \enonce{003159}{Test de primalit{\'e} de Rabin-Miller} Soit $n$ un entier premier impair sup{\'e}rieur ou {\'e}gal {\`a}~$3$~: $n=q2^p+1$ avec $p$ impair et soit $a\in\Z$ premier {\`a}~$n$. On consid{\`e}re la suite $(b_0,b_1,\dots,b_p)$ d'entiers compris entre $0$ et $n-1$ d{\'e}finie par~: $$b_0\equiv a^q(\mathrm{mod}\, n),\quad b_1\equiv b_0^2(\mathrm{mod}\, n),\quad\dots,\quad b_p\equiv b_{p-1}^2(\mathrm{mod}\, n).$$ \begin{enumerate} \item Montrer que $b_p = 1$. \item Si $b_0\ne 1$ montrer qu'il existe un indice $i$ tel que $b_i = n-1$. \end{enumerate} \finenonce{003159} \finexercice \exercice{3160, quercia, 2010/03/08} \enonce{003160}{Coefficients du bin{\^o}me} Soit $p$ un nombre premier. Montrer que $\sum_{k=0}^pC_p^kC_{p+k}^k\equiv 2^p+1(\mathrm{mod}\,{p^2})$. \finenonce{003160} \finexercice \exercice{3161, quercia, 2010/03/08} \enonce{003161}{Suite r{\'e}currente (Mines MP 2003)} On consid{\`e}re la suite $(x_n)$ {\`a} valeurs dans~$\Z/11\Z$ telle que pour tout~$n$ on ait $x_{n+3} = 4(x_{n+2}+x_{n+1}+x_n)$. D{\'e}terminer les diff{\'e}rents comportements possibles de $(x_n)$. \finenonce{003161} \finexercice \exercice{3162, quercia, 2010/03/08} \enonce{003162}{$-3$ est-il un carr{\'e} ?} Soit $p$ un nombre premier impair. \begin{enumerate} \item Montrer qu'une {\'e}quation du second degr{\'e}~: $x^2 + ax + b = \dot 0$ admet une solution dans $\Z/p\Z$ si et seulement si son discriminant~: $a^2 - 4b$ est un carr{\'e} dans $\Z/p\Z$. \item On suppose que $p\equiv 1 (\mathrm{mod}\, 3)$~: $p=3q+1$. \begin{enumerate} \item Montrer qu'il existe $a\in(\Z/p\Z)^*$ tel que $a^q\ne \dot 1$. \item En d{\'e}duire que $-\dot 3$ est un carr{\'e}. \end{enumerate} \item R{\'e}ciproquement, on suppose que $-\dot 3$ est un carr{\'e} dans $\Z/p\Z$. Montrer que $p\equiv 1 (\mathrm{mod}\, 3)$. \end{enumerate} \finenonce{003162} \finexercice \exercice{3163, quercia, 2010/03/08} \enonce{003163}{Indicateur d'Euler} Soit $n\ge 3$. Montrer que $\varphi(n)$ est pair et que $\sum_{x\wedge n = 1, 1\le x\le n} x = \frac{n\varphi(n)}2$. \finenonce{003163} \finexercice \section{ 205.03 Groupe fini commutatif } \section{ 205.04 Arithmétique de K[X] } \section{ 205.05 Corps fini } \section{ 205.06 Applications } \section{ 205.99 Autre } \section{ 220.01 Convergence normale } \section{ 220.02 Critères de Cauchy et d'Alembert } \section{ 220.03 Rayon de convergence } \exercice{4564, quercia, 2010/03/14} \enonce{004564}{Vrai ou faux ?} Dire si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses. En donner une démonstration ou un contre-exemple. \begin{enumerate} \item Les séries $\sum a_nz^n$ et $\sum (-1)^na_nz^n$ ont même rayon de convergence. \item Les séries $\sum a_nz^n$ et $\sum (-1)^na_nz^n$ ont même domaine de convergence. \item Si la série $\sum a_nz^n$ a un rayon de convergence infini, alors elle converge uniformément sur $\R$. \item Si $\sum a_nx^n$ a un rayon de convergence fini $R > 0$, alors sa somme admet une limite infinie en $(-R)^+$ ou en~$R^-$. \item Si $f(x) = \sum a_nx^n$ a un rayon de convergence infini et si les $a_n$ sont strictement positifs, alors pour tout entier~$p$, $\frac{f(x)}{x^p} \to +\infty$ lorsque $x\to+\infty$. \end{enumerate} \finenonce{004564} \finexercice \exercice{4565, quercia, 2010/03/14} \enonce{004565}{Calculs de rayons} Trouver le rayon de convergence de la série entière $\sum a_nz^n$ : \begin{enumerate} \item $a_n \to \ell \ne 0$ lorsque $n\to\infty$ \item $(a_n)$ est périodique non nulle.\par \item $a_n = \sum_{d\mid n} d^2$. \item $a_n = \frac{n^n}{n!}$. \item $a_{2n} = a^n$, $a_{2n+1} = b^n$,\par $0 0$. Déterminer les rayons de convergence des séries : \begin{enumerate} \item $\sum a_n^2 z^n$. \item $\sum \frac {a_n}{n!} z^n$. \item $\sum \frac{n!\,a_n}{n^n}z^n$. \end{enumerate} \finenonce{004570} \finexercice \exercice{4571, quercia, 2010/03/14} \enonce{004571}{Séries paire et impaire} On suppose que les séries $\sum a_{2n}z^n$ et $\sum a_{2n+1}z^n$ ont pour rayons de convergence $R$ et $R'$. Déterminer le rayon de convergence de $\sum a_nz^n$. \finenonce{004571} \finexercice \exercice{4572, quercia, 2010/03/14} \enonce{004572}{Division par $z-\rho$} Soit $a(z) = \sum_{n=0}^\infty a_nz^n$ une série entière de rayon de convergence infini et $\rho > 0$. On définit la série entière $b(z) = \sum_{n=0}^\infty b_nz^n$ de sorte que $(z-\rho)b(z) = a(z)$ en cas de convergence de $b(z)$. \begin{enumerate} \item Prouver l'existence et l'unicité des coefficients $b_n$. \item Quel est le rayon de convergence de $b(z)$ ? \end{enumerate} \finenonce{004572} \finexercice \exercice{4573, quercia, 2010/03/14} \enonce{004573}{Développer peut être dangereux} Pour $n\in\N$ et $x\in\R$ on pose $u_n(x) = \Bigl(\frac{x(1-x)}2\Bigr)^{4^n}$. \begin{enumerate} \item Déterminer le domaine de convergence de la série $\sum_{n=0}^\infty u_n(x)$. \item On développe $u_n(x)$ par la formule du binôme~: $u_n(x) = \sum_{4^n\le k \le 2.4^n}a_kx^k$. Montrer que le rayon de convergence de la série entière $\sum_{k\ge 1} a_kx^k$ est égal à~$1$ (en convenant que les $a_k$ non définis valent zéro). \end{enumerate} \finenonce{004573} \finexercice \exercice{5745, rouget, 2010/10/16} \enonce{005745}{**} Déterminer le rayon de convergence de la série entière proposée dans chacun des cas suivants : \begin{enumerate} \item $\sum_{n=1}^{+\infty}(\ln n)^n z^n$ \item $\sum_{n=1}^{+\infty}\left(\sqrt{n}\right)^nz^n$ \item $\sum_{n=0}^{+\infty}\left(\ln(n!)\right)^2 z^n$ \item $\sum_{n=1}^{+\infty}\left(\frac{1}{2}\left(\ch\frac{1}{n}+\cos\frac{1}{n}\right)\right)^{n^4}z^n$ \item $\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{C_{2n}^n}{n^n}z^n$ \item $\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\left(\ln(n!)\right)^a}{n!^b}z^n$ \item $\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{a^n}{1+b^n}z^n$, $(a,b)\in(\Rr_+^*)^2$ \end{enumerate} \finenonce{005745} \finexercice \exercice{7544, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007544}{Calcul de rayon de convergence} \begin{enumerate} \item Déterminer le rayon de convergence de la série $\sum 2^{2n}z^{2n}$. \item Déterminer la limite de $\frac{2^{2(n+1)}}{2^{2n}}$. \end{enumerate} \finenonce{007544} \finexercice \exercice{7545, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007545}{Opérations sur les rayons de convergence} Soit $\sum a_n z^n$ et $\sum b_nz^n$ deux séries entières de rayon de convergence respectif $R_1$ et $R_2$. \begin{enumerate} \item Montrer que le rayon de convergence de $\sum(a_n+b_n)z^n$ est supérieur à $\min(R_1,R_2)$ avec égalité si $R_2\not=R_1$. \item Montrer que le rayon de convergence de $\sum(a_nb_n)z^n$ est supérieur à $R_1R_2$. \end{enumerate} \finenonce{007545} \finexercice \section{ 220.04 Propriétés de la sommme d'une série entière } \section{ 220.05 Calcul de la somme d'une série entière } \exercice{4581, quercia, 2010/03/14} \enonce{004581}{Sommation de séries entières} Calculer les sommes des séries suivantes : \begin{enumerate} \item $\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{2n-1}$. \item $\sum_{n=0}^\infty n^2x^n$. \item $\sum_{n=0}^\infty n^3x^n$. \item $\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{(n+1)(n+3)}$. \item $\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^nx^{2n+1}}{4n^2-1}$. \item $\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{4n-1}$, $x\ge0$. \item $\sum_{n=0}^\infty \frac{n+3}{2n+1}x^n$. \item $\sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}n\ch(na)$. \item $\sum_{n=0}^\infty \frac{n\sin^2(n\theta)}{2^n}$. \item $\sum_{n=0}^\infty \frac{n^2+1}{n+1}x^n$. \item $\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{(2n)!}$. \item $\sum_{n=0}^\infty \frac{\sin^2(n\theta)}{n!}x^{2n}$. \item $\sum_{n=0}^\infty \frac{n^5x^n}{n!}$. \item $\sum_{n=0}^\infty \frac{x^{3n}}{(3n)!}$. \item $\sum_{n=1}^\infty C_{2n}^{n+1} x^n$. \item $\sum_{n=0}^\infty \frac1{n!} \int_{t=1}^x\ln^nt\,d t$. \item $\sum_{n=1}^\infty \left(1+\frac12+\dots+\frac1n\right)x^n$. \end{enumerate} \finenonce{004581} \finexercice \exercice{4582, quercia, 2010/03/14} \enonce{004582}{Suite récurrente linéaire} On définit deux suites $(u_n)$ et $(v_n)$ par : $\begin{cases} u_0 = 1\cr v_0 = 0\cr\end{cases}$ et $\begin{cases}u_{n+1} = u_n + 2v_n\cr v_{n+1} = u_n+v_n.\cr\end{cases}$ Déterminer le rayon de convergence et la somme de la série entière $\sum_{n=0}^\infty u_nx^n$. \finenonce{004582} \finexercice \exercice{4583, quercia, 2010/03/14} \enonce{004583}{Série matricielle, Centrale MP 2000} \begin{enumerate} \item Montrer l'existence de~$f(z) = \sum_{k=1}^{\infty} kz^k$ pour~$z\in\C$, $|z|<1$. \item Soit~$A\in\mathcal{M}_n(\C)$. Montrer que $\sum_{k=1}^{\infty} kA^k$ converge si et seulement si les valeurs propres de~$A$ sont de module strictement inférieur à~$1$. \item La somme $S = \sum_{k=1}^\infty kA^k$ est-elle inversible~? \end{enumerate} \finenonce{004583} \finexercice \exercice{4584, quercia, 2010/03/14} \enonce{004584}{Série des traces (Centrale MP 2003)} \smallskip Soit~$A=\left(\begin{smallmatrix}1&1&1\cr1&1&0\cr1&0&0\cr\end{smallmatrix}\right)\in\mathcal{M}_{3}(\R)$. \begin{enumerate} \item Montrer que~$A$ est diagonalisable et admet trois valeurs propres réelles dont on précisera les parties entières. \item On pose $t_n = \mathrm{tr}(A^n)$. Exprimer $t_n$ en fonction de $t_{n-1},t_{n-2},t_{n-3}$. \item Déterminer le rayon de convergence de la série entière $\sum_{n=0}^\infty t_nz^n$ et calculer sa somme. \end{enumerate} \finenonce{004584} \finexercice \exercice{4585, quercia, 2010/03/14} \enonce{004585}{Centrale MP 2000} \smallskip Calculer $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{3n+1}\cdotp$ \finenonce{004585} \finexercice \exercice{4586, quercia, 2010/03/14} \enonce{004586}{$\sum P(n)x^n$, Ensi P 91} Rayon et somme de $\sum P(n)x^n$ où $P$ est un polynôme de degré $p$. \finenonce{004586} \finexercice \exercice{4587, quercia, 2010/03/14} \enonce{004587}{$\sum e^{in\theta}/2^n$, Ensi P 91} Calculer $\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin n\theta}{2^n}$ et $\sum_{n=1}^\infty \frac{\cos n\theta}{n2^n}$. \finenonce{004587} \finexercice \exercice{4588, quercia, 2010/03/14} \enonce{004588}{Ensae MP$^*$ 2000} Soit $(u_n)$ définie par, pour tout $n\in \N$, $\sum_{k=0}^n\frac{u_{n-k}}{k!\strut}=1$. Trouver la limite de $(u_n)$. \finenonce{004588} \finexercice\exercice{5746, rouget, 2010/10/16} \enonce{005746}{} Calculer les sommes suivantes dans leur intervalle ouvert de convergence après avoir déterminé le rayon de convergence de la série proposée. \begin{center} \begin{tabular}{llll} \textbf{1) (**)} $\sum_{n=2}^{+\infty}\frac{1}{n(n-1)}x^n$&\textbf{2) (**)} $\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{3n}{n+2}x^n$&\textbf{3) (** I)} $\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{x^n}{2n+1}$&\textbf{4) (**)} $\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{n}{(2n+1)!}x^n$\\ \textbf{5) (*)} $\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{x^{4n}}{(4n)!}$&\textbf{6) (**)} $\sum_{n=0}^{+\infty}(\ch n)x^n$&\textbf{7) (** I)} $\sum_{n=1}^{+\infty}\left(\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}\right)x^n$&\textbf{7)} $\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{n^2+4n-1}{n!(n+2)}x^n$\\ \textbf{9) (** I)} $\sum_{n=1}^{+\infty}n^{(-1)^n}x^n$&\textbf{10) (*)} $\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^n\frac{x^{4n-1}}{4n}$&\textbf{11) (**)} $\sum_{n=0}^{+\infty}(n^2+1)2^{n+1}x^n$&\textbf{12) (**)} $\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^{n+1}nx^{2n+1}$ \end{tabular} \textbf{13) (***)} $\sum_{n=0}^{+\infty}a_nx^n$ où $a_0 = a_1 = 1$ et $\forall n\in\Nn$, $a_{n+2}= a_{n+1} + a_n$\rule{7.7cm}{0cm} \textbf{14) (**)} $\sum_{n=0}^{+\infty}a_nx^n$ où $a_n$ est le nombre de couples $(x,y)$ d'entiers naturels tels que $x+5y = n$.\rule{3.3cm}{0cm} \end{center} \finenonce{005746} \finexercice \exercice{5752, rouget, 2010/10/16} \enonce{005752}{***} Calculer $\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n}\cos\left(\frac{2n\pi}{3}\right)x^n$ pour $x$ dans $]-1,1[$. \finenonce{005752} \finexercice \exercice{5753, rouget, 2010/10/16} \enonce{005753}{*** I} Calculer $\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{x^n}{4n^2-1}$ pour $x$ dans $]-1,1[$ et en déduire les sommes $\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{4n^2-1}$ et $\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{4n^2-1}$. \finenonce{005753} \finexercice \exercice{5754, rouget, 2010/10/16} \enonce{005754}{****} Pour $n$ entier naturel, on pose $u_n=\frac{(-1)^n}{2n+1}\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{4k+1}$. Convergence et somme de la série (numérique) de terme général $u_n$. \finenonce{005754} \finexercice \exercice{5757, rouget, 2010/10/16} \enonce{005757}{**} On pose $a_0 = 1$ et $b_0 = 0$ puis pour tout entier naturel $n$, $\left\{ \begin{array}{l} a_{n+1}=-a_n-2b_n\\ b_{n+1}=3a_n+4b_n \end{array} \right.$. Rayons et sommes de $\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{a_n}{n!}x^n$ et $\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{b_n}{n!}x^n$. \finenonce{005757} \finexercice \exercice{5758, rouget, 2010/10/16} \enonce{005758}{*** I} Rayon de convergence et somme de $\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{nC_{2n}^n}x^n$. \finenonce{005758} \finexercice \exercice{5763, rouget, 2010/10/16} \enonce{005763}{***} \label{ex:rou19x} Soit $I_n$ le nombre d'involutions de $\llbracket1,n\rrbracket$. Rayon de convergence et somme de la série entière associée à la suite $\left(\frac{I_n}{n!}\right)_{n\in\Nn^*}$. \finenonce{005763} \finexercice \section{ 220.06 Développement en série entière } \exercice{4574, quercia, 2010/03/14} \enonce{004574}{Développements en série entière} Développer en série entière les fonctions suivantes : \begin{enumerate} \item $\ln(1+x+x^2)$. \item $(x-1)\ln(x^2-5x+6)$. \item $x\ln(x+\sqrt{x^2+1}\,)$. \item $\frac{x-2}{x^3-x^2-x+1}$. \item $\frac1{1+x-2x^3}$. \item $\frac{1-x}{(1+2x-x^2)^2}$. \item $\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}$. \item $\Arctan(x+1)$. \item $\Arctan(x+\sqrt3\,)$. \item $ \int_{t=0}^x \frac{\ln(t^2-5t/2+1)}t\,d t$. \item $\Bigl(\frac{(1+x)\sin x}x\Bigr)^2$. \item $ \int_{t=x}^{2x} e^{-t^2}\,d t$. \item $e^{-2x^2} \int_{t=0}^x e^{2t^2}\,d t$. \item $\frac{\Arcsin \sqrt x}{\sqrt{x(1-x)}}$. \item $\sin\left(\frac13\Arcsin x\right)$. \end{enumerate} \finenonce{004574} \finexercice \exercice{4575, quercia, 2010/03/14} \enonce{004575}{Ensi PC 1999} Développer en série entière~: $\ln(\sqrt{1-2x\ch a + x^2})$. \finenonce{004575} \finexercice \exercice{4576, quercia, 2010/03/14} \enonce{004576}{$e^{x^2}/(1-x)$} Développer en série entière $\frac{e^x}{1-x}$ puis $\frac{e^{x^2}}{1-x}$. \finenonce{004576} \finexercice \exercice{4577, quercia, 2010/03/14} \enonce{004577}{Mines-Ponts MP 2004} Développer en série entière $f(x) = \sqrt{x+\sqrt{1+x^2}}$. \finenonce{004577} \finexercice \exercice{4578, quercia, 2010/03/14} \enonce{004578}{DSE d'une fraction rationnelle par récurrence linéaire} Développer $f(x) = \frac x{1-x-x^2}$ en série entière en utilisant la relation : $(1-x-x^2)f(x) = x$. \finenonce{004578} \finexercice \exercice{4579, quercia, 2010/03/14} \enonce{004579}{Produit de polynômes} Quel est le coefficient de $x^n$ dans $\Bigl(1+x+\dots+x^n\Bigr) \Bigl(1+2x+\dots+(n+1)x^n\Bigr) \Bigl(1+4x+\dots+(n+1)^2x^n\Bigr)$ ? \finenonce{004579} \finexercice \exercice{4580, quercia, 2010/03/14} \enonce{004580}{Développement en série entière de $\zeta(1+x)-1/x$} \begin{enumerate} \item Vérifier que pour~$x\in{]0,+\infty[}$ on a~: $\zeta(1+x)-\frac1x = \sum_{n=1}^\infty\Bigl( \frac1{n^{1+x}} - \frac1x\bigl(\frac1{n^x}-\frac1{(n+1)^x}\bigr)\Bigr)$. \item Pour $p\in\N$ on pose $\gamma_p = \lim_{k\to\infty}\Bigl(\frac{\ln^p(1)}1 + \dots + \frac{\ln^p(k)}k - \frac{\ln^{p+1}(k+1)}{p+1}\Bigr)$. Justifier l'existence de $\gamma_p$ et montrer que $|\gamma_p| \le (p/e)^p$. \item Montrer alors que pour~$x\in{]0,1[}$ on a~: $\zeta(1+x)-\frac1x = \sum_{p=0}^\infty \frac{(-1)^p\gamma_p}{p!}x^p$. \end{enumerate} \finenonce{004580} \finexercice\exercice{4589, quercia, 2010/03/14} \enonce{004589}{$\prod_{n=1}^\infty (1-q^nx)$} Soit $q \in {]-1,1[}$ et $f(x) = \prod_{n=1}^\infty (1-q^nx)$. \begin{enumerate} \item Montrer que $f(x)$ existe pour tout $x \in \R$ et que $f$ est développable en série entière au voisinage de 0. On admettra que si une fonction $g$ est DSE alors $e^g$ l'est. \item A l'aide de la relation : $f(x) = (1-qx)f(qx)$, calculer les coefficients du développement de $f$ et le rayon de convergence. \end{enumerate} \finenonce{004589} \finexercice \exercice{4590, quercia, 2010/03/14} \enonce{004590}{Fonction non DSE} Soit $f(x) = \sum_{n=0}^\infty e^{-n+n^2ix}$. Montrer que $f$ est de classe $\mathcal{C}^\infty$ sur $\R$ mais n'est pas développable en série entière autour de $0$. \finenonce{004590} \finexercice \exercice{4591, quercia, 2010/03/14} \enonce{004591}{Ens Ulm-Lyon-Cachan MP$^*$ 2003} Soit~$\alpha>0$. On considère la fonction $f_\alpha$ : $x \mapsto\sum_{n=1}^\infty e^{-n^\alpha}e^{inx}$. Montrer que~$f$ est $\mathcal{C}^\infty$. Donner une CNS sur~$\alpha$ pour que~$f$ soit développable en série entière en tout point de~$\R$. \finenonce{004591} \finexercice \exercice{4592, quercia, 2010/03/14} \enonce{004592}{Théorème de réalisation de Borel} Soit $(a_n)$ une suite complexe donnée, on construit dans cet exercice une fonction $f:\R \to \R$ de classe $\mathcal{C}^\infty$ telle que pour tout entier~$n$ on ait $f^{(n)}(0) = n!\,a_n$. Soit $\varphi : \R \to \R$ une fonction de classe $\mathcal{C}^\infty$ vérifiant~: $\forall\ x\in{[-1,1]},\ \varphi(x)=1$ et $\forall\ x\notin{[-2,2]},\ \varphi(x)=0$ (l'existence de $\varphi$ fait l'objet de la question {2.}). On pose $\varphi_n(x) = x^n\varphi(x)$, $M_n = \max(\|\varphi_n'\|_\infty,\dots,\|\varphi_n^{(n)}\|_\infty)$ et $f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_nx^n\varphi(\lambda_nx)$ où $(\lambda_n)$ est une suite de réels strictement positifs, tendant vers $+\infty$ et telle que $\sum |a_n|M_n/\lambda_n$ converge. \begin{enumerate} \item Montrer que $f$ est bien définie, est de classe $\mathcal{C}^\infty$ sur $\R$ et vérifie $f^{(n)}(0) = n!\,a_n$. \item Construction de~$\varphi$~: à l'aide de fonctions du type $x \mapsto\exp(-1/x)$ construire une fonction~$\psi$ de classe $\mathcal{C}^\infty$ sur~$[0,+\infty[$ nulle sur $[0,1]\cup[2,+\infty[$ et strictement positive sur~$]1,2[$. Vérifier alors que $\varphi(x) = \int_{t=|x|}^{+\infty}\psi(t)\,d t\Bigm/ \int_{t=0}^{+\infty}\psi(t)\,d t$ convient. \end{enumerate} \finenonce{004592} \finexercice \exercice{5747, rouget, 2010/10/16} \enonce{005747}{} Développer en série entière les fonctions suivantes : \begin{center} \begin{tabular}{lll} \textbf{1) (*)} $\frac{1}{(x-1)(x-2)}$&\textbf{2) (*** I)} $\frac{1}{x^2-2tx+1}$, $t\in\Rr$&\textbf{3) (*)} $\ln(x^2-5x+6)$\\ \textbf{4) (**)} $\Arctan\left(\frac{x\sin a}{1-x\cos a}\right)$, $a\in]0,\pi[$& \textbf{5) (**)} $\frac{1}{(x-1)(x-2)\ldots(x-p)}$&\textbf{6) (*** I)} $(\Arcsin x)^2$\\ \textbf{7) (*)} $\int_{0}^{x}\cos(t^2)\;dt$&\textbf{8) (*** I)} $\int_{-\infty}^{x}\frac{dt}{t^4+t^2+1}$& \textbf{9) (**)} $\cos x\ch x$. \end{tabular} \end{center} \finenonce{005747} \finexercice \exercice{5748, rouget, 2010/10/16} \enonce{005748}{* I} Pour $x$ réel, on pose $f(x)=\left\{ \begin{array}{l} \frac{\sin x}{x}\;\text{si}\;x\neq0\\ \rule{0mm}{4mm}1\;\text{si}\;x=0 \end{array} \right.$. Montrer que $f$ est ce classe $C^\infty$ sur $\Rr$. \finenonce{005748} \finexercice \exercice{5756, rouget, 2010/10/16} \enonce{005756}{***} Pour $x$ réel, on pose $F(x) =e^{-x^2}\int_{0}^{x}e^{t^2}\;dt$. En développant $F$ en série entière par deux méthodes différentes, montrer que pour tout entier naturel $n$, \begin{center} $\sum_{k=0}^{n}(-1)^{n-k}\frac{1}{(2k+1)k!(n-k)!}=(-1)^n\frac{2^{2n}n!}{(2n+1)!}$. \end{center} \finenonce{005756} \finexercice \exercice{5761, rouget, 2010/10/16} \enonce{005761}{**** I Développement en série entière de la fonction $x\mapsto\tan x$} Pour $x\in\left]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right[$, on pose $f(x) =\tan x$. \begin{enumerate} \item Montrer qu'il existe une suite de polynômes $(P_n)_{n\in\Nn}$ telle que pour tout entier naturel $n$, $f^{(n)}= P_n\circ f$ et que les $P_n$ sont à coefficients entiers naturels. (Utiliser $\tan' = 1+\tan^2$). \item En utilisant la formule de \textsc{Taylor}-\textsc{Laplace}, montrer que la série de \textsc{Taylor} à l'origine de $f$ a un rayon de convergence $R$ supérieur ou égal à $\frac{\pi}{2}$. \item On note $a_n$ les coefficients du développement précédent et $g$ la somme de la série entière associée à la suite $(a_n)_{n\in\Nn}$. Montrer que pour tout entier naturel non nul $n$, $(n+1)a_{n+1}= \sum_{k=0}^{n}a_ka_{n-k}$. En déduire que pour tout $x$ de $\left]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right[$, $f(x) = g(x)$ et que $R=\frac{\pi}{2}$. \item Calculer $a_0$, $a_1$, $a_2$,..., $a_7$. \item Vérifier que la fonction $x\mapsto\tanh x$ est développable en série entière. Préciser le rayon et la valeur des coefficients en fonction des $a_n$. \end{enumerate} \finenonce{005761} \finexercice \exercice{5762, rouget, 2010/10/16} \enonce{005762}{***} Développer en série entière $F(x)=\int_{0}^{+\infty}e^{-t^2}\sin(tx)\;dt$ et en déduire que pour tout réel $x$, $F(x)=\frac{e^{-x^2/4}}{2}\int_{0}^{x}e^{t^2/4}\;dt$. \finenonce{005762} \finexercice \exercice{7564, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007564}{Calculs} Développer si possible en séries entières au voisinage de $0$ les applications \begin{enumerate} \item $f(z)=\sin (z)^2$. \item $g(z)=\cos (z^2-1)$. \item $h(z)=\frac{2z+1}{(z^2+1)(z+1)^2}$. \end{enumerate} \finenonce{007564} \finexercice \exercice{7565, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007565}{Intégrale} Soit $a$ et $b$ deux nombres complexes tels que $|a|<1<|b|$ et $m,n$ deux entiers naturels. Déterminer la valeur de $$\int_{\partial\Delta}\frac{d\xi}{(\xi-a)^m(\xi-b)^n}.$$ \finenonce{007565} \finexercice \exercice{7566, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007566}{Equation différentielle} Déterminer toutes les applications holomorphes $f$ sur $\Cc$ telles que $f''+f=0$. \finenonce{007566} \finexercice \exercice{7567, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007567}{Prolongement} Soit $c$ un point de $\Cc^-$. \begin{enumerate} \item Déterminer un développement en séries entières $\sum_n a_n (z-c)^n$ centré en $c$ de la branche principale du logarithme $\log$. \item Déterminer le rayon de convergence du développement précédent. \item La somme $\sum_{n=0}^{+\infty} a_n (z-c)^n$ coïncide-t-elle avec $\log$ sur l'intersection de $\Cc^-$ et de son disque de convergence. \end{enumerate} \finenonce{007567} \finexercice \exercice{7568, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007568}{Nombres de Bernouilli} On définit les nombres de Bernouilli comme les nombres complexes $B_n$ tels que sur le domaine de convergence $$\frac{z}{e^z-1}=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{B_n}{n!}z^n.$$ \begin{enumerate} \item Montrer que le rayon de convergence de la série précédente est $2\pi$. \item A partir de la relation $\frac{z}{e^z-1}\frac{e^z-1}{z}=1$ déterminer une relation de récurrence entre les $B_n$. \item Exprimer $\frac{e^z-1}{z}$ en fonction de $\frac{\sinh(z/2)}{\cosh(z/2)}$ et en déduire que pour $n$ impair plus grand que $3$, $B_n=0$. \item Calculer $B_0, B_1\cdots B_8$. \item Montrer que tous les $B_n$ sont rationnels. \item La suite des $B_n$ est-elle bornée ? \end{enumerate} \finenonce{007568} \finexercice \section{ 220.07 Etude au bord } \exercice{4593, quercia, 2010/03/14} \enonce{004593}{\'Etude sur le cercle de convergence} Pour $x \in \R$ on pose $f(x) = \sum_{n=1}^\infty x^n\sin\frac1{\sqrt n}$. \begin{enumerate} \item Déterminer le rayon de convergence, $R$, de cette série. \item \'Etudier la convergence de $f$ pour $x = \pm R$. \item Déterminer $\lim_{x\to R^-} f(x)$. \end{enumerate} \finenonce{004593} \finexercice \exercice{4594, quercia, 2010/03/14} \enonce{004594}{Coefficients équivalents $ \Rightarrow $ séries équivalentes} Soit $(a_n)$ une suite de réels strictement positifs. On suppose que le rayon de convergence de la série entière $A(x) = \sum_{n=0}^\infty a_nx^n$ est 1 et que la série diverge pour $x = 1$. \begin{enumerate} \item Montrer que $A(x) \to +\infty$ lorsque $x\to1^-$. \item Soit $(b_n)$ une suite telle que $b_n \sim a_n$ et $B(x) = \sum_{n=0}^\infty b_nx^n$. Montrer que $B(x) \sim A(x)$ pour $x\to1^-$. \end{enumerate} \finenonce{004594} \finexercice \exercice{4595, quercia, 2010/03/14} \enonce{004595}{Produit de Cauchy} Soit $(c_n)$ le produit de Cauchy de la suite $(a_n)$ par la suite $(b_n)$. Montrer que si les trois séries $\sum a_n$, $\sum b_n$ et $\sum c_n$ convergent vers $A$,$B$,$C$, alors $C = AB$ (considérer les séries entières $\sum a_nz^n$, $\sum b_nz^n$ et $\sum c_nz^n$). \finenonce{004595} \finexercice \exercice{4596, quercia, 2010/03/14} \enonce{004596}{Produit de Cauchy} Soit $(c_n)$ le produit de Cauchy de la suite $(a_n)$ par la suite $(b_n)$. On suppose que la série $A(z) = \sum_{n=0}^\infty a_nz^n$ a un rayon $R > 0$ et que $b_n/b_{n+1} \to \lambda$ lorsque $n\to\infty$ avec $|\lambda| < R$. Montrer que $c_n/b_n\to A(\lambda)$ lorsque $n\to\infty$. \finenonce{004596} \finexercice \section{ 220.08 Equations différentielles } \exercice{4597, quercia, 2010/03/14} \enonce{004597}{\'Equation différentielle} Montrer que l'équation $3xy' + (2-5x)y = x$ admet une solution développable en série entière autour de $0$. Calculer $y(1)$ à $5.10^{-5}$ près. \finenonce{004597} \finexercice \exercice{4598, quercia, 2010/03/14} \enonce{004598}{DSE de tan} \begin{enumerate} \item En utilisant la relation : $\tan' = 1 + \tan^2$, exprimer $\tan^{(n)}$ en fonction de $\tan,\dots,\tan{(n-1)}$. En déduire que~: $\forall\ x \in {[0,\pi/2[}$, $\tan^{(n)}(x) \ge 0$. \item Montrer que la série de Taylor de $\tan$ en 0 converge sur $]-\pi/2,\pi/2[$. \item Soit $f$ la somme de la série précédente. Montrer que $f' = 1+f^2$ et en déduire que $f = \tan$. \item Prouver que le rayon de convergence est exactement $\pi/2$. \end{enumerate} \finenonce{004598} \finexercice \exercice{4599, quercia, 2010/03/14} \enonce{004599}{DSE de $(\Arcsin x)^2$} On pose $f(x) = \frac{\Arcsin x}{\sqrt{1-x^2}}$. \begin{enumerate} \item Montrer que $f$ admet un développement en série entière au voisinage de $0$ et préciser le rayon de convergence. \item Chercher une équation différentielle d'ordre 1 vérifiée par $f$. En déduire les coefficients du développement en série entière de $f$. \item Donner le développement en série entière de $\Arcsin^2 x$. \end{enumerate} \finenonce{004599} \finexercice \exercice{4600, quercia, 2010/03/14} \enonce{004600}{$\sum_{n=0}^\infty \frac 1{\strut C_{2n}^n}$} On pose $f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{\strut C_{2n}^n}$. \begin{enumerate} \item Déterminer le rayon de convergence et montrer que $f$ vérifie l'équation : $x(4-x)y' - (x+2)y = -2$. \item Résoudre l'équation précédente pour $x > 0$ (utiliser le DL de $f$ en 0 à l'ordre 1 pour fixer la constante) et en déduire la somme de la série $\sum_{n=0}^\infty \frac 1{\strut C_{2n}^n}$. \end{enumerate} \finenonce{004600} \finexercice \exercice{4601, quercia, 2010/03/14} \enonce{004601}{Calcul de somme} On pose $f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{n!\,x^{2n+1}}{1.3.5\dots(2n+1)}$. \begin{enumerate} \item Déterminer le rayon de convergence. \item \'Etudier la convergence aux bornes de l'intervalle de convergence. \item Calculer $f(x)$. \end{enumerate} \finenonce{004601} \finexercice \exercice{4602, quercia, 2010/03/14} \enonce{004602}{Fonction génératrice du nombre de partitions} On note $T_n$ le nombre de partitions d'un ensemble à $n$ éléments. \begin{enumerate} \item Montrer que $T_{n+1} = \sum_{k=0}^n {\binom{n}{k}}T_k$. \item Montrer que $\sum_{n=0}^\infty \frac{T_nx^n}{n!} = e^{e^x-1}$. \end{enumerate} \finenonce{004602} \finexercice \exercice{4603, quercia, 2010/03/14} \enonce{004603}{Suite récurrente} Soit $(a_n)$ la suite réelle définie par : $a_0 = 1$, $2a_{n+1} = \sum_{k=0}^n C_n^k a_ka_{n-k}$. On pose $f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{a_n}{n!}x^n$. \begin{enumerate} \item Montrer que le rayon de convergence est non nul. \item Calculer $f(x)$. \item En déduire $a_n$ en fonction de $n$. \end{enumerate} \finenonce{004603} \finexercice \exercice{4604, quercia, 2010/03/14} \enonce{004604}{Fonction $\zeta$\label{recurzeta}} Pour $|x| < 1$ on pose~: $Z(x) = \sum_{n=1}^\infty \zeta(2n)x^n$. Montrer que $Z$ vérifie l'équation différentielle~: $2xZ'(x) - 2Z^2(x) + Z(x) = 3x\zeta(2)$ (écrire $Z(x)$ comme somme d'une série double, intervertir les sommations, remplacer et \dots\ simplifier). En déduire la relation de récurrence~: $\forall\ n\ge 2,\ (n+\frac12)\zeta(2n) = \sum_{p=1}^{n-1}\zeta(2p)\zeta(2n-2p)$. \finenonce{004604} \finexercice \exercice{4605, quercia, 2010/03/14} \enonce{004605}{DSE de tan} On note $\zeta_i(n) = \sum_{k=0}^\infty \frac1{(2k+1)^n}$ et $Z_i(x) = \sum_{n=1}^\infty \zeta_i(2n)x^n$. En s'inspirant de l'exercice~\ref{recurzeta} montrer que $Z_i$ vérifie l'équation différentielle~: $2xZ_i'(x) - 2Z_i^2(x) - Z_i(x) = x\zeta_i(2)$. Déterminer alors deux réels $\alpha$ et $\beta$ tels que $T(x) = Z_i(x^2)/x$ soit égal à~$\alpha\tan\beta x$ sur~$]-1,1[$. \finenonce{004605} \finexercice \exercice{4606, quercia, 2010/03/14} \enonce{004606}{DSE de $\tan x$.} \begin{enumerate} \item Pour $a,b\in\R$ avec $b\not\equiv 0(\mathrm{mod}\,{\pi})$, vérifier l'identité suivante~: $\frac{(1+ia) - e^{ib}(1-ia)}{1-e^{ib}} = 1 - \frac a{\tan(b/2)}$. \item Pour $a,b\in\C$ et $n\in\N^*$, vérifier l'identité suivante~: $a^n + b^n = \prod_{k=0}^{n-1}(a-be^{i(2k+1){\frac \pi n}})$. \item Pour $x\in\R$ et $p\in\N^*$, vérifier l'identité suivante~: $\frac{\Bigl(1+\frac{ix}{2p}\Bigr)^{2p} + \Bigl(1-\frac{ix}{2p}\Bigr)^{2p}}{\vrule height 10pt width 0pt 2} = \prod_{k=0}^{p-1}\Bigl(1-\frac{x^2}{4p^2\tan^2\frac{(2k+1)\pi}{4p}}\Bigr)$. \item Démontrer alors~: $\forall\ x\in{]-\frac\pi2,\frac\pi2[},\ \ln(\cos x) = \sum_{k=0}^\infty\ln\Bigl(1-\frac{4x^2}{(2k+1)^2\pi^2}\Bigr)$. \item En déduire~: $\forall\ x\in{]-\frac\pi2,\frac\pi2[},\ \tan x = \sum_{k=0}^\infty \frac{8x}{(2k+1)^2\pi^2 - 4x^2}$. \item Pour $n\in\N$ avec $n\ge 2$, vérifier l'identité suivante~: $\sum_{k=0}^\infty \frac1{(2k+1)^n} = \frac{2^n-1}{\vrule height 10pt width 0pt 2^n}\zeta(n)$. \item Démontrer enfin~: $\forall\ x\in{]-\frac\pi2,\frac\pi2[},\ \tan x = \sum_{n=1}^\infty \frac{2(4^n-1)}{\pi^{2n}}\zeta(2n)x^{2n-1}$. \end{enumerate} \finenonce{004606} \finexercice \section{ 220.09 Intégrales } \exercice{4607, quercia, 2010/03/14} \enonce{004607}{$ \int_{t=0}^1 t^t\,d t$} \begin{enumerate} \item A l'aide d'un développement en série entière, montrer que $ \int_{t=0}^1 t^t\,d t = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{n^n}$. \item Calculer la valeur commune des deux membres à $10^{-5}$ près. \end{enumerate} \finenonce{004607} \finexercice \exercice{4608, quercia, 2010/03/14} \enonce{004608}{$ \int_{t=0}^1 \ln(t)\ln(1-t)\,d t$} On admet que $\sum_{n=1}^\infty \frac 1{n^2} = \frac{\pi^2}6$. Calculer $ \int_{t=0}^1 \ln(t)\ln(1-t)\,d t$. \finenonce{004608} \finexercice \exercice{4609, quercia, 2010/03/14} \enonce{004609}{Centrale PSI 1997} Établir la convergence puis calculer la valeur de $ \int_{t=0}^1 \frac{\ln(t^2)\ln(1-t^2)}{t^2}\,d t$. \finenonce{004609} \finexercice \exercice{4610, quercia, 2010/03/14} \enonce{004610}{$ \int_{t=0}^x \frac{\ln(1-t)}t\,d t$} Montrer que pour $x \in {]-1,1[}$ : $\sum_{n=1}^\infty \frac {x^n}{n^2} = - \int_{t=0}^x \frac{\ln(1-t)}t\,d t$. En déduire la valeur de $ \int_{t=0}^1 \frac{\ln(1-t)}t\,d t$. \finenonce{004610} \finexercice \exercice{4611, quercia, 2010/03/14} \enonce{004611}{Intégrale elliptique} Montrer que la longueur d'une ellipse de demi-axes $a,b$ est : $L = 2\pi\sqrt{\frac{a^2+b^2}2}\sum_{p=0}^\infty \left(\frac{a^2-b^2}{a^2+b^2}\right)^{2p}\frac{C_{4p}^{2p} C_{2p}^p} {4^{3p}(1-4p)}$. \finenonce{004611} \finexercice \exercice{4612, quercia, 2010/03/14} \enonce{004612}{Norme $L^2$} Soit $f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_nz^n$ une série de rayon $R>0$. Montrer, pour~$0\le r< R$~: $\sum_{n=0}^\infty |a_n|^2r^{2n} = \frac 1{2\pi} \int_{\theta=0}^{2\pi}|f(re^{i\theta})|^2\, d\theta$. \finenonce{004612} \finexercice \exercice{5751, rouget, 2010/10/16} \enonce{005751}{*** I} Pour $n\in\Nn$, on pose $W_n=\int_{0}^{\pi/2}\cos^nt\;dt$. Rayon de convergence et somme de la série entière associée à la suite $(W_n)_{n\in\Nn}$. \finenonce{005751} \finexercice \section{ 220.10 Analycité } \exercice{4613, quercia, 2010/03/14} \enonce{004613}{Série à valeurs réelles} Soit $f(z) = \sum a_nz^n$ une série de rayon $R>0$ telle que pour tout $z\in \mathring D(0,R)$ on a $f(z)\in\R$. Montrer que $f$ est constante. \finenonce{004613} \finexercice \exercice{4614, quercia, 2010/03/14} \enonce{004614}{Formules de Cauchy\label{Cauchy}} Soit $U$ un ouvert de~$\C$ contenant $0$ et $f : U \to \C$ analytique. On note $\sum_{n=0}^\infty a_nz^n$ le développement en série entière de $f$ en~$0$, $R$ son rayon et~$d$ la distance de~$0$ à~$\mathrm{fr}(U)$ ($d=+\infty$ si $U=\C$). \begin{enumerate} \item Montrer, pour $0 0$, la fonction $z \mapsto f(z)e^{-a|z|}$ est bornée sur $\C$.\par \indent 2: $\sqrt[n]{n!\,|a_n|} \to 0$ lorsque $n\to\infty$.\par On utilisera les formules de Cauchy (cf. exercice~\ref{Cauchy}). \finenonce{004616} \finexercice \exercice{4617, quercia, 2010/03/14} \enonce{004617}{Centrale MP 2000} Soit $(a_n)$ une suite réelle avec $a_0=0$ et $a_1=1$. On note $f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_nz^n$. On suppose que $f$ est injective et que le rayon de convergence de la série entière vaut 1. On considère $\Omega ^+=\{z\in \C\,|\, \Im z >0\}$ et $D=\{z\in \C\,|\, |z|<1\}$. \begin{enumerate} \item Montrer que, pour tout $z\in D$, $f(z)\in \R$ si et seulement si $z\in \R$. \item Montrer que $f(D\cap \Omega ^+)\subset \Omega ^+$. \item Montrer que, pour tout $|r|<1$, $a_n=\frac{2}{\strut\pi r^n} \int_{\theta=0}^{\pi}\Im (f(re^{i\theta})) \sin (n\theta)\, d \theta$. \item Montrer que $|\sin (n\theta)|\le n|\sin \theta |$. En déduire que $|a_n|\le n$. \end{enumerate} \finenonce{004617} \finexercice \section{ 220.99 Autre } \exercice{4618, quercia, 2010/03/14} \enonce{004618}{Anneau des séries entières} Soit $A$ l'ensemble des suites $(a_n)$ de complexes telles que la série entière $\sum a_nz^n$ a un rayon non nul. On munit~$A$ de l'addition terme à terme et du produit de Cauchy noté $*$. \begin{enumerate} \item Vérifier que $A$ est un anneau intègre. Quels sont les éléments de~$A$ inversibles~? \item Soit $I_k =\{a=(a_n)\in A\text{ tel que } a_0=\dots=a_k = 0\}$. Montrer que les idéaux de~$A$ sont $\{0\}$, $A$ et les $I_k$, $k\in\N$. \item Soit $f(x) = 2-\sqrt{\frac{1-2x}{\strut 1-x}}$. Montrer que $f$ est développable en série entière sur $]-\frac12,\frac12[$ et que si $f(x) = \sum_{n=0}^\infty u_nx^n$ alors la suite $(u_n)$ vérifie la relation de récurrence~: $2u_{n+1} = 1 + \sum_{k=1}^n u_ku_{n+1-k}$. \item Soit $a=(a_n)\in A$ avec $a_0=1$ et $|a_n|\le 1$ pour tout~$n$. Montrer qu'il existe une unique suite $b=(b_n)\in A$ telle que $b_0 = 1$ et $b*b = a$. Pour prouver que le rayon de convergence de~$b$ est non nul on établira par récurrence que $|b_n| \le u_n$. \item Pour $a\in A$ quelconque, étudier l'équation $b*b = a$ d'inconnue~$b\in A$. \end{enumerate} \finenonce{004618} \finexercice \exercice{4619, quercia, 2010/03/14} \enonce{004619}{Ulm MP$^*$ 2000} Soit $z_1,\dots,z_p\in \C$, $p_1,\dots,p_p \in \R^+$ tels que $\sum_{i=1}^p p_i=1$, et $\omega \in \R$. Pour $n>p$ on pose $z_n=e^{i\omega}\sum_{j=1}^p z_{n-j}p_j$. Étudier la suite $(z_n)$. \finenonce{004619} \finexercice \exercice{4620, quercia, 2010/03/14} \enonce{004620}{X MP$^*$ 2001} Soit $D$ le disque ouvert de~$\C$ de centre~$0$ et rayon~$1$. \begin{enumerate} \item Soit $\varphi(z) = \sum_{n\in\N}a_nz^n$ une série entière de rayon $R\ge 1$ et $r\in{]0,1[}$. Montrer que $$a_n = \frac1{2\pi r^n} \int_{\theta=0}^{2\pi}\varphi(re^{i\theta})e^{-in\theta}\, d\theta.$$ \item Soit $E$ l'ensemble des fonctions de~$\overline D$ dans~$\C$ continues et dont la restriction à~$D$ est somme d'une série entière. Montrer que $f \mapsto\|f\| = \sup\{|f(z)|,\ z\in\overline D\}$ définit une norme sur~$E$ et que pour cette norme $E$ est complet. \item Montrer que l'ensemble des polynômes à coefficients complexes est dense dans~$E$. \end{enumerate} \finenonce{004620} \finexercice \exercice{4621, quercia, 2010/03/14} \enonce{004621}{Centrale MP 2002} \begin{enumerate} \item Développer en série entière $f$ : $z \mapsto z(1-z)^{-2}$. Montrer que $f$ est injective sur $\mathring D(0,1)$. \item Soit $f(z)=z+\sum_{n=2}^{+\infty} a_nz^n$ la somme d'une série entière de rayon de convergence au moins $1$ à coefficients réels. On suppose $f$ injective sur $\mathring D(0,1)$ et on veut prouver~: $\forall\ n\ge 1, |a_n|\le n$. \begin{enumerate} \item Montrer pour $|z|<1$ que $f(z)\in\R\Leftrightarrow z\in\R$ et en déduire~: $\Im(z)\ge 0 \Rightarrow \Im(f(z))\ge 0$. \item Pour $0 0$ donné. Montrer que pour $n$ suffisamment grand, $P_n$ n'a pas de racine dans le disque fermé de centre $0$ et de rayon $R$. \finenonce{005749} \finexercice \exercice{5750, rouget, 2010/10/16} \enonce{005750}{**** Inverse d'une série entière} Soit $\sum_{n=0}^{+\infty}a_nz^n$ une série entière de rayon $R > 0$ et telle que $a_0 = 1$ (ou plus généralement $a_0\neq 0$). \begin{enumerate} \item Montrer qu'il existe une et une seule suite $(b_n)_{n\in\Nn}$ telle que $\forall n\in\Nn$, $\sum_{k=0}^{n}a_kb_{n-k}=\delta_{0,n}$. \item Montrer que la série entière $\sum_{n=0}^{+\infty}b_nz^n$ a un rayon strictement positif. \end{enumerate} \finenonce{005750} \finexercice \exercice{5755, rouget, 2010/10/16} \enonce{005755}{***} Soit $A$ une matrice carrée complexe de format $p\in\Nn^*$. Rayon de convergence et somme en fonction de $\chi_A$ de la série entière $\sum_{n=0}^{+\infty}\text{Tr}(A^n)z^n$. \finenonce{005755} \finexercice \exercice{5759, rouget, 2010/10/16} \enonce{005759}{*** I} Soient $(a_n)_{n\in\Nn}$ et $(b_n)_{n\in\Nn}$ deux suites de réels strictement positifs telles que la suite $\left(\frac{a_n}{b_n}\right)_{n\in\Nn}$ ait une limite réelle $k$. (En particulier $a_n\underset{n\rightarrow+\infty}{=}o(b_n)$ si $k = 0$ et $a_n\underset{n\rightarrow+\infty}{\sim}b_n$ si $k = 1$).On suppose de plus que la série entière associée à la suite $(a_n)_{n\in\Nn}$ a un rayon de convergence égal à $1$ et que la série de terme général $a_n$ diverge. \begin{enumerate} \item Montrer que $\lim_{x \rightarrow 1}\frac{\sum_{n=0}^{+\infty}a_nx^n}{\sum_{n=0}^{+\infty}b_nx^n}= k$. \item \textbf{Applications.} \begin{enumerate} \item Equivalent simple quand $x$ tend vers $1$ de $\sum_{n=1}^{+\infty}\ln nx^n$. \item Déterminer $\lim_{x \rightarrow 1}(1-x)^p\sum_{n=0}^{+\infty}n^{p-1}x^n$ où $p$ est un entier naturel non nul donné. \end{enumerate} \end{enumerate} \finenonce{005759} \finexercice \exercice{5760, rouget, 2010/10/16} \enonce{005760}{} Soit $(a_n)_{n\in\Nn}$ une suite à valeurs dans $\{-1,1\}$. Pour $x$ réel on pose $f(x) =\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{a_n}{n!}x^n$. On suppose que pour tout entier naturel $p$ et tout réel positif $x$, $|f^{(p)}(x)|\leqslant 1$. Déterminer $f$. \finenonce{005760} \finexercice \exercice{5764, rouget, 2010/10/16} \enonce{005764}{*** I Dénombrement de parenthésages} \label{ex:rou20x} \begin{enumerate} \item Soit $E$ un ensemble non vide muni d'une loi interne et $a_n$ le nombre de parenthésages possibles d'un produit de $n$ éléménts de $E$ (($a_1 = 1$ conventionnellement), $a_2 = 1$, $a_3 = 2$, $a_4 = 5$, ...). Montrer que pour tout $n\geqslant 2$, $a_n =\sum_{k=1}^{n-1}a_ka_{n-k}$. \item Soit $f$ la série entière associée à la suite $(a_n)$. On suppose momentanément le rayon $R$ de cette série strictement positif. Montrer que pour tout $x$ de $]-R,R[$, $(f(x))^2 -f(x)+ x = 0$. \item Calculer $R$ et $f$. \item En déduire $a_n$. \end{enumerate} \finenonce{005764} \finexercice \exercice{7546, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007546}{Estimations de reste} Montrer que pour tout $N\in\Nn$, et tout $z\in\Delta$, $$\left|\exp(z)-\sum_0^N\frac{z^n}{n!} \right|\leq \frac{2}{(N+1)!}.$$ \finenonce{007546} \finexercice \exercice{7547, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007547}{Dérivation} Montrer que pour tout entier naturel $k$ et tout $z\in\Delta$, $$\frac{1}{(1-z)^{k+1}}=\sum_{n=k}^{+\infty} \binom{n}{k} z^{n-k}.$$ \finenonce{007547} \finexercice \section{ 221.01 Calcul de coefficients } \exercice{1951, legall, 2003/10/01} \enonce{001951}{} Soit $f$ la fonction $2\pi $-p\'eriodique sur $\Rr$ telle que $f(x)=\vert x \vert $ si $\vert x \vert \leq \pi .$ \begin{enumerate} \item D\'eterminer la s\'erie de Fourier de $f$. \item Calculer $\displaystyle{ \int _{-\pi}^\pi \vert x\vert ^2dx}$. En d\'eduire la valeur de $\displaystyle{ \sum _{p=0} ^{\infty } \frac{1}{(2p+1)^4}}.$ \item Calculer $\displaystyle{ \sum _{p=1}^\infty \frac{1}{n^4}}$. \item Montrer que $\vert x\vert = \displaystyle{\frac{\pi }{2} -\frac{4}{\pi} \sum _{p=0}^\infty \frac{ \cos (2p+1)x }{(2p+1)^2}}$. En d\'eduire les valeurs de $\displaystyle{ \sum _{p=0}^\infty \frac{1}{(2p+1)^2}}$ puis $\displaystyle{ \sum _{p=1}^\infty \frac{1}{n^2}}$. \end{enumerate} \finenonce{001951} \finexercice \exercice{1952, legall, 2003/10/01} \enonce{001952}{} Soit $f$ la fonction $2\pi $-p\'eriodique sur $\Rr$ telle que $f(x)=x^2$ si $\vert x \vert \leq \pi .$ \begin{enumerate} \item D\'eterminer la s\'erie de Fourier de $f$. \item Calculer $\displaystyle{ \int _{-\pi}^\pi x^4dx}.$ En d\'eduire la valeur de $\displaystyle{ \sum _{p=1}^\infty \frac{1}{n^4}}.$ \item Montrer que $x^2= \displaystyle{\frac{\pi ^2}{3} +4 \sum _{n=1}^\infty \frac{(-1)^n \cos nx }{n^2}}.$ En d\'eduire $\displaystyle{ \sum _{p=1}^\infty \frac{1}{n^2}}.$ \end{enumerate} \finenonce{001952} \finexercice \exercice{1955, legall, 2003/10/01} \enonce{001955}{} Soit $f: \Rr \rightarrow \Rr $ l'application $x\mapsto \displaystyle{\int _0^{+\infty}\frac{\cos tx}{1+t^2}dt}.$ \begin{enumerate} \item Montrer que $\forall x\in \Rr : xf(x)=2\displaystyle{\int _0^{+\infty}\frac{t\sin tx}{(1+t^2)^2}dt}.$ \item Montrer que $f$ est de classe $C^2$ puis, en d\'erivant l'expression ci-dessus, que $\forall x\in \Rr _+^* : f''(x)=f(x).$ \item Donner une expression de $f$ sur $\Rr _+^*$ puis sur $\Rr$. \end{enumerate} \finenonce{001955} \finexercice \exercice{4622, quercia, 2010/03/14} \enonce{004622}{Développements} Calculer le développement des fonctions $f$ $2\pi$-périodiques telles que : \begin{enumerate} \item $f(x) = \pi-|x|$ sur $]-\pi,\pi[$. \item $f(x) = \pi-x$ sur $]0,2\pi[$. \item $f(x) = x^2$ sur $]0,2\pi[$. \item $f(x) = \max(0,\sin x)$. \item $f(x) = |\sin x|^3$. \end{enumerate} \finenonce{004622} \finexercice \exercice{4623, quercia, 2010/03/14} \enonce{004623}{Chimie P' 1996} Établir la convergence puis calculer $ \int_{t=0}^{\pi/2} \frac{\sin(nt)}{\sin t}\,d t$. En déduire les coefficients de Fourier de $f$~: $f(t) = \ln|\tan(t/2)|$. \finenonce{004623} \finexercice \exercice{4624, quercia, 2010/03/14} \enonce{004624}{Chimie P 1996} Développer en série de Fourier $f\ :\ t \mapsto \frac1{1-\cos\alpha\cos t}$ avec $0<\alpha<\pi$. Indication~: on pourra utiliser une relation de récurrence entre les coefficients à partir de $(1-\cos\alpha\cos t)f(t) = 1$. \finenonce{004624} \finexercice \exercice{4625, quercia, 2010/03/14} \enonce{004625}{Mines MP 2002} Soit $a\in {]-1,1[}$ et $g$ : $x \mapsto\frac{1-a\cos x}{ 1-2a\cos x +a^2}$. \begin{enumerate} \item Prouver~: $\forall\ x\in\R,\ g(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a^n\cos nx$. \item Quel est le mode de convergence de la série~? \item Soit $f : \R \to \C$ continue par morceaux et $2\pi$-périodique. Montrer que $h$ : $x \mapsto \int_{t=0}^{2\pi}g(x-t)f(t)\,d t$ est somme d'une série trigonométrique uniformément convergente. Que peut-on déduire pour~$h$~?\vrule height 12pt width 0pt \item Soit $\lambda\in\R$. Trouver toutes les fonctions $f : \R \to \C$ continues par morceaux et $2\pi$-périodiques telles que~: $\forall\ x\in\R,\ f(x)=\lambda \int_{t=0}^{2\pi}g(x-t)f(t)\,d t +\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos nx}{n^2}$. \end{enumerate} \finenonce{004625} \finexercice \exercice{4626, quercia, 2010/03/14} \enonce{004626}{Usage d'une série entière} \begin{enumerate} \item Existe-t-il une fonction $f:\R \to \R$ continue telle que les coefficients de Fourier soient : $a_n = \frac1{2^n}$ et $b_n = 0$~? \item Application : calculer $ \int_{t=0}^\pi \frac{d t}{5-4\cos t}$. \end{enumerate} \finenonce{004626} \finexercice \exercice{4627, quercia, 2010/03/14} \enonce{004627}{ $1/(\cos x + \ch a)$} Soit $a > 0$. \begin{enumerate} \item Développer en série entière : $f(x) = \frac1{x+e^a}$. \item En déduire le développement en série de Fourier de $g(x) = \frac1{\cos x + \ch a}$. \end{enumerate} \finenonce{004627} \finexercice \exercice{4628, quercia, 2010/03/14} \enonce{004628}{Décomposition en $\sin^2$} Montrer que : $\forall\ x \in \R,\ |\sin x| = \frac8\pi\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin^2nx}{4n^2-1}$. \finenonce{004628} \finexercice \exercice{4629, quercia, 2010/03/14} \enonce{004629}{DSF de $f*g$, Mines PSI 1998} Soient ${f,g} : \R \to \C$ continues $2\pi$-périodiques. On pose pour $x \in \R$ : $h(x) = \frac1{2\pi} \int_{t=0}^{2\pi} f(x-t)g(t)\,d t$. \begin{enumerate} \item Montrer que $h$ est $2\pi$-périodique, continue, et calculer les coefficients de Fourier exponentiels de $h$ en fonction de ceux de $f$ et de $g$. \item Pour $g$ fixée, déterminer les valeurs et vecteurs propres de $f \mapsto h$. \end{enumerate} \finenonce{004629} \finexercice \exercice{4630, quercia, 2010/03/14} \enonce{004630}{DSF d'une série} On pose $f(x) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} e^{-(x-2n\pi)^2}$. Montrer que $f$ est définie sur~$\R$, $2\pi$-périodique et de classe~$\mathcal{C}^1$. Déterminer sa série de Fourier. \finenonce{004630} \finexercice \exercice{4631, quercia, 2010/03/14} \enonce{004631}{Calcul de séries} Soit $f$ la fonction $2\pi$-périodique telle que : $\forall\ x \in {[-\pi,\pi[},\ f(x) = e^x$. \begin{enumerate} \item Chercher le développement en série de Fourier de $f$. \item En déduire les sommes des séries : $S = \sum_{n=1}^\infty \frac1{n^2+1}$ et $S' = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n^2+1}$. \end{enumerate} \finenonce{004631} \finexercice \exercice{4632, quercia, 2010/03/14} \enonce{004632}{$\sum_{n=1}^\infty \frac{a}{n^2+a^2}$ (Centrale MP 2003)} \begin{enumerate} \item Soit~$a\in\R$. Développer en série de Fourier la fonction $2\pi$-périodique valant~$e^{ax}$ sur~$]0,2\pi]$. Soit~$a\in\R$. On pose~$I(a) = \int_{u=0}^{+\infty}\frac{e^{-u}}{1-e^{-u}}\sin(au)\,d u$. \item Exprimer $I(a)$ sous forme d'une série sans intégrale. \item Calculer $ \int_{u=0}^{+\infty}e^{-u}\sin(au)\,d u$. \item Conclure. \end{enumerate} \finenonce{004632} \finexercice \exercice{4633, quercia, 2010/03/14} \enonce{004633}{$\sum_{n=1}^\infty \frac{a}{n^2+a^2}$ (Centrale MP 2000)} \begin{enumerate} \item Donner le développement en série de Fourier de la fonction $2\pi$-périodique définie sur~$]0,2\pi[$ par $f(x) = e^{ax}$ avec $a\ne 0$. \item Calculer $\sum_{n\ge1}\frac{a}{a^2+n^2}$. En déduire $\sum_{n\ge 1}\frac1{n^2}$. \item Que vaut $\lim_{a\to+\infty}\,\sum_{n\ge1}\frac{a}{a^2+n^2}$~? \end{enumerate} \finenonce{004633} \finexercice \exercice{4634, quercia, 2010/03/14} \enonce{004634}{Calcul de séries, Matexo} On considère la fonction $2 \pi$-périodique sur $\R$ définie par $f(x) = x \sin {\frac x 2}\quad \text{ si } 0 \le x < 2\pi$. \begin{enumerate} \item Calculer les coefficients de Fourier de $f$. \item Quelle est la nature de la série de Fourier $S_f$ de $f$ ? \item En déduire la somme de la série $\sum^\infty_{n=1}\, \frac{(-1)^{n-1}}{4 n^2 - 1}$. \end{enumerate} \finenonce{004634} \finexercice \exercice{4635, quercia, 2010/03/14} \enonce{004635}{$\sin(\pi a)/\pi a$} Soit $a \in \R\setminus\Z$. \begin{enumerate} \item Développer en série de Fourier la fonction définie sur $[-\pi,\pi]$ par : $f(x) = \cos(ax)$. \item Soit $g(t) = \sum_{n=1}^\infty \ln\left(1-\frac{t^2}{n^2}\right)$. Justifier l'existence et la dérivabilité de $g$ et la calculer. \end{enumerate} \finenonce{004635} \finexercice \exercice{4636, quercia, 2010/03/14} \enonce{004636}{$\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin n}n = \sum_{n=1}^\infty \frac{\sin^2 n}{n^2}$} \begin{enumerate} \item Développer en série de Fourier la fonction $f$, $2\pi$-périodique telle que $f(x) = \frac{\pi-x}2$ pour $0 \le x < 2\pi$. \item Donner les développements en série de Fourier de $f(x+1)$ et $f(x-1)$. \item Montrer que $\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin n}n = \sum_{n=1}^\infty \frac{\sin^2 n}{n^2}$. \end{enumerate} \finenonce{004636} \finexercice \exercice{4637, quercia, 2010/03/14} \enonce{004637}{$f(x+\pi)$} Soit $f:\R \to \R$ $2\pi$-périodique continue par morceaux. Que peut-on dire des coefficients de Fourier de $f$ si l'on~a~: \begin{enumerate} \item $\forall\ x \in \R,\ f(x+\pi) = f(x)$ ? \item $\forall\ x \in \R,\ f(x+\pi) = -f(x)$ ? \end{enumerate} \finenonce{004637} \finexercice \exercice{4638, quercia, 2010/03/14} \enonce{004638}{$f$ est-elle $\pi$-périodique ?} Soit $f \in {\cal D}$. On note $c_k$ les coefficients de Fourier exponentiels de $f$. Montrer que $f$ est $\pi$-périodique si et seulement si $c_k$ est nul pour tout $k$ impair (noter que la série de Fourier de $f$ peut ne pas converger vers $f$). \finenonce{004638} \finexercice \exercice{4639, quercia, 2010/03/14} \enonce{004639}{DSF de $f'$} Soit $f:\R \to \R$ continue, $2\pi$-périodique de classe $\mathcal{C}^1$ par morceaux. On note $a_k$, $b_k$ les coefficients de Fourier de~$f$. Calculer les coefficients de Fourier de $f'$ en fonction de ceux de $f$. En déduire que $ka_k \to 0$ et $kb_k \to 0$ lorsque $k\to\infty$. \finenonce{004639} \finexercice \exercice{4640, quercia, 2010/03/14} \enonce{004640}{DSF de $f'$} Soit $f : {[0,2\pi]} \to \R$ de classe $\mathcal{C}^1$. On considère la fonction $g$, $2\pi$-périodique coïncidant avec $f$ sur $[0,2\pi[$. Soient $a_n,b_n$ les coefficients de Fourier de $g$. \begin{enumerate} \item Montrer que $a_n = o\left(\frac1n\right)$ et $b_n = \frac{f(0)-f(2\pi)}{\pi n} + o\left(\frac1n\right)$. \item Donner le développement en série de Fourier de $g'$. \end{enumerate} \finenonce{004640} \finexercice \exercice{4641, quercia, 2010/03/14} \enonce{004641}{DSF d'une primitive de $f$} Soit $f$ continue $2\pi$-périodique, $F(x) = \int_{t=0}^x f(t)\,d t$, $a_n, b_n$ les coefficients de Fourier trigonométriques de~$f$ et $C = \frac1{2\pi} \int_{t=0}^{2\pi} (\pi-t)f(t)\,d t$. Montrer~: $$\forall\ x\in\R,\ F(x) = \frac{a_0x}2 + C + \sum_{n=1}^\infty \frac{a_n\sin nx - b_n\cos nx}n. $$ \finenonce{004641} \finexercice \exercice{4642, quercia, 2010/03/14} \enonce{004642}{Concavité, ENS} Soit $f:\R \to \R$ continue $2\pi$-périodique paire dont la restriction à $[0,2\pi]$ est concave. Montrer que les coefficients de Fourier trigonométriques de~$f$ vérifient~: $a_k \le 0$ pour $k\ge 1$. \finenonce{004642} \finexercice \exercice{5782, rouget, 2010/10/16} \enonce{005782}{} Développer en série de \textsc{Fourier} les fonctions suivantes puis déterminer la valeur des sommes indiquées : \textbf{1) (**)} $f~:~\Rr\rightarrow\Rr$ $2\pi$-périodique paire telle que $\forall x\in[0,\pi]$, $f(x)=1-\frac{2x}{\pi}$. En déduire $\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{(2n+1)^2}$, $\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^2}$ et $\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^4}$. \textbf{2) (**)} $f~:~\Rr\rightarrow\Rr$ $2\pi$-périodique impaire telle que $\forall x\in[0,\pi]$, $f(x)=x(\pi-x)$. En déduire $\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)^3}$, $\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{(2n+1)^6}$ et $\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^6}$. \textbf{3) (**)} $f~:~\Rr\rightarrow\Rr$ $2\pi$-périodique telle que $\forall x\in]-\pi,\pi]$, $f(x)=\sin\left(\frac{x}{2}\right)$. En déduire $\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^n\frac{2n+1}{16n^2+16n+3}$. \textbf{4) (***)} $f~:~\Rr\rightarrow\Rr$ $2\pi$-périodique telle que $\forall x\in[-\pi,\pi]$, $f(x)=\ch(\lambda x)$ ($\lambda$ réel strictement positif donné). En déduire $\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{\lambda^2+n^2}$, $\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{\lambda^2+n^2}$ et $\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{(\lambda^2+n^2)^2}$. \textbf{5) (**)} $f~:~\Rr\rightarrow\Rr$ telle que $\forall x\in\Rr$, $f(x)=\text{sup}(0,\sin x)$. En déduire $\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{4p^2-1}$. \finenonce{005782} \finexercice \exercice{5783, rouget, 2010/10/16} \enonce{005783}{***} Soit $a\in\Cc\setminus[-1,1]$. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Développer en série trigonométrique la fonction $f~:~t\mapsto\frac{1}{a-\cos t}$ (utiliser la racine de plus petit module, notée $b$, de l'équation $z^2-az+1=0$). \item La série obtenue est-elle la série de \textsc{Fourier} de $f$ ? \end{enumerate} \item Déduire de 1) la valeur des intégrales $I_n=\int_{0}^{\pi}\frac{\cos(nt)}{a-\cos t}\;dt$, $n\in\Nn$. \end{enumerate} \finenonce{005783} \finexercice \exercice{5784, rouget, 2010/10/16} \enonce{005784}{*** I} (un développement en série de fonctions de $\frac{\pi}{\sin(\pi z)}$ et $\mathrm{cotan}(\pi z)$). Soit $\alpha\in\Cc\setminus\Zz$. Soit $f$ l'application de $\Rr$ dans $\Cc$, $2\pi$-périodique telles que $\forall x\in[-\pi,\pi]$, $f(x)=\cos(\alpha x)$. \begin{enumerate} \item Développer la fonction $f$ en série de \textsc{Fourier}. \item En déduire que pour tout $z\in\Cc\setminus\Zz$, \begin{center} $\frac{\pi}{\sin(\pi z)}=\frac{1}{z}+\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^n\frac{2z}{z^2-n^2}$ et $\pi\mathrm{cotan}(\pi z)=\frac{1}{z}+\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{2z}{z^2-n^2}$. \end{center} \end{enumerate} \finenonce{005784} \finexercice \exercice{5785, rouget, 2010/10/16} \enonce{005785}{**} Développer en série de \textsc{Fourier} la fonction $f~:~x\mapsto x-E(x)-\frac{1}{2}$. \finenonce{005785} \finexercice \section{ 221.02 Convergence, théorème de Dirichlet } \exercice{4650, quercia, 2010/03/14} \enonce{004650}{Phénomène de Gibbs pour $\sin kx/k$} Soit $f_n(x) = \sum_{k=1}^n \frac{\sin kx}k$. \begin{enumerate} \item Calculer l'abscisse, $x_n$, du premier maximum positif de $f_n$. \item Déterminer $\lim_{n\to\infty} f_n(x_n)$. \end{enumerate} \finenonce{004650} \finexercice \exercice{4651, quercia, 2010/03/14} \enonce{004651}{Convergence uniforme} Soit $\sum_{n=1}^\infty (a_n \cos nx + b_n\sin nx)$ une série trigonométrique convergeant uniformément sur un intervalle $[\alpha,\beta]$. Montrer que les suites $(a_n)$ et $(b_n)$ tendent vers 0. \finenonce{004651} \finexercice \exercice{4652, quercia, 2010/03/14} \enonce{004652}{Convergence uniforme} Soit $(a_n)$ une suite décroissante de limite nulle. Montrer que la série $\sum_{n=1}^\infty a_n\sin nx$ converge uniformément sur $\R$ si et seulement si $na_n \to 0$ lorsque $n\to\infty$. Pour le sens direct : utiliser le critère de convergence uniforme de Cauchy et l'inégalité : $\sin x \ge \frac{2x}\pi$ sur $[0,\pi/2]$. \finenonce{004652} \finexercice \exercice{4653, quercia, 2010/03/14} \enonce{004653}{Fonction continue dont la série de Fourier diverge en 0} \begin{enumerate} \item Soit $f : \R \to \C$ paire, $2\pi$-périodique, telle que, pour tout $x\in [0,\pi]$, $f(x)=\sum_{p=1}^{\infty}\frac{1}{p^2}\sin \Bigl((2^{p^3}+1)\frac{x}{2}\Bigr)$. Vérifier que $f$ est définie et continue sur $\R$. \item Soit $A_0 = \frac{1}{\pi} \int_0^{\pi} f(t)\,d t$, pour $n\in \N^*$, $A_n=\frac{2}{\pi} \int_0^{\pi} f(t) \cos (nt)\,d t$. Pour $\nu \in \N$, on pose $a_{0,\nu}=\frac12 \int_0^{\pi} \sin \Bigl((2\nu +1)\frac{t}{2}\Bigr)\,d t $ et $a_{n,\nu}= \int_0^{\pi} \cos (nt)\sin \Bigl((2\nu +1)\frac{t}{2}\Bigr)\,d t $. Pour $q\in \N$, on note $s_{q,\nu}=\sum_{i=0}^q a_{i,\nu}$. Montrer que si $\nu$ est fixé, $s_{n,\nu}\to0$ lorsque $n\to\infty$. Calculer explicitement les $a_{n,\nu}$. En déduire que, pour tout $q$, pour tout $\nu$, $s_{q,\nu}>0$, et prouver que $\mathop{\max}\limits_{q\in \N} (s_{q,\nu})=s_{\nu,\nu}$. \item Montrer qu'il existe $B>0$ tel que, pour tout $\nu \ge 1$, $s_{\nu,\nu}\ge B \ln \nu$. \item Montrer que, pour tout $n\in \N$, $A_n=\frac{2}{\pi}\sum_{p=1}^{\infty} \frac{1}{p^2}a_{n,2^{p^3-1}}$. \item Pour $n\in \N ^*$, on pose $T_n=\frac{\pi}{2} \sum_{k=0}^{n} A_k$. Vérifier que $T_n=\sum_{p=1}^{\infty} \frac{1}{p^2} s_{n,2^{p^3-1}}$. Montrer qu'il existe $D>0$ tel que, pour tout $p\ge 1$, $T_{2^{p^3-1}}\ge Dp$, et constater que la série de Fourier de $f$ diverge au point $0$. \end{enumerate} \finenonce{004653} \finexercice \exercice{4654, quercia, 2010/03/14} \enonce{004654}{$\sum_{n=-\infty}^\infty R(n)e^{inx}$, $R =$ fraction rationnelle} Soit $R$ une fraction rationnelle à coefficients complexes, de degré strictement négatif, n'ayant pas de pôle dans $\Z$. On pose $f(x) = \sum_{n=-\infty}^\infty R(n)e^{inx}$. \begin{enumerate} \item \'Etudier l'existence et la continuité de $f$. \item Montrer que $f$ est de classe $\mathcal{C}^\infty$ sur $\R\setminus 2\pi\Z$. \end{enumerate} \finenonce{004654} \finexercice \exercice{4655, quercia, 2010/03/14} \enonce{004655}{$\sum_{n=1}^\infty \frac{\cos nx}{P(n)}$, $P =$ polynôme} \begin{enumerate} \item Donner le développement en série de Fourier de la fonction $f$ $2\pi$-périodique telle que $f(x) = (\pi-x)^2$ sur $]0,2\pi[$. \item Soit $P$ un polynôme de degré 2 sans racines dans $\N^*$. On pose $g(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{\cos nx}{P(n)}$. Montrer que $g$ est de classe $\mathcal{C}^1$ par morceaux. \end{enumerate} \finenonce{004655} \finexercice \exercice{4656, quercia, 2010/03/14} \enonce{004656}{Noyau de Féjer} Soit $f : \R \to \C$ $2\pi$-périodique continue, $f_n$ sa $n$-ème somme de Fourier et $g_n = \frac{f_0 + \dots + f_n}{n+1}$. \begin{enumerate} \item Exprimer $g_n$ à l'aide d'un produit de convolution, $g_n = f*k_n$. \item Montrer que la suite $(k_n)$ constitue une suite d'approximations de la mesure de Dirac sur $]-\pi,\pi[$. Ceci montre que la moyenne des sommes partielles de la série de Fourier de~$f$ converge uniformément vers~$f$ {\it pour toute $f$ continue}. \end{enumerate} \finenonce{004656} \finexercice \section{ 221.03 Formule de Parseval } \exercice{1953, legall, 2003/10/01} \enonce{001953}{} Soit $f : \Rr \rightarrow \Rr $ une fonction $2\pi $-p\'eriodique, $C^2$ et telle que $\displaystyle{ \int _0^{2\pi}f(t)dt=0}$ et, $\forall t\in [0,2\pi ], \vert f(t)\vert \geq \vert f''(t)\vert .$On note respectivement $(c_n)_{n\in \Zz}$ et $(c''_n)_{n\in \Zz}$ les coefficients de Fourier (complexes) de $f$ et $f''$. \begin{enumerate} \item Calculer $c_0$ puis calculer $c''_n$ en fonction de $c_n$. \item A l'aide du th\'eor\`eme de Parseval, en d\'eduire que $c_n=0$ pour $\vert n\vert \geq 2.$ \item Montrer qu'il existe $\varphi \in [0,2\pi ]$ et $\rho \in \Rr _+$ tels que $f(t)=\rho \cos (t+\varphi )$ pour tout $t\in [0,2\pi ].$ \end{enumerate} \finenonce{001953} \finexercice \exercice{1954, legall, 2003/10/01} \enonce{001954}{} Soit $f : \Rr \rightarrow \Cc $ une fonction $2\pi $-p\'eriodique, $C^1$ et telle que $\displaystyle{ \int _0^{2\pi}f(t)dt=0}.$ On note respectivement $(c_n)_{n\in \Zz}$ et $(c'_n)_{n\in \Zz}$ les coefficients de Fourier (complexes) de $f$ et $f'$. \begin{enumerate} \item Calculer $c_0$ puis donner une relation entre $c_n$ et $c'_n$. \item En d\'eduire que que $\displaystyle{ \int _0^{2\pi}\vert f(t)\vert ^2dt\leq \int _0^{2\pi}\vert f'(t)\vert ^2dt}.$ \item Dans quel cas l'\'egalit\'e a-t-elle lieu ? \end{enumerate} \finenonce{001954} \finexercice \exercice{4643, quercia, 2010/03/14} \enonce{004643}{ENS MP 2002} Soit $f: {[0,1]} \to \R$ de classe $\mathcal{C}^2$ telle que $f(0)=f(1)=0$. \begin{enumerate} \item Montrer que l'on peut prolonger $f$ en une fonction impaire et $2$-périodique. \item En déduire l'existence de $c>0$ indépendant de $f$ tel que $\|f\|_{\infty}\le c\|f''\|_2$. \end{enumerate} \finenonce{004643} \finexercice \exercice{4644, quercia, 2010/03/14} \enonce{004644}{Inégalité de Wirtinger} Soit $f : {[0,2\pi]} \to \R$ de classe $\mathcal{C}^1$ telle que $ \int_{t=0}^{2\pi} f(t)\,d t = 0$ et $f(0) = f(2\pi)$. Montrer que $ \int_{t=0}^{2\pi} f^2(t)\,d t \le \int_{t=0}^{2\pi} f'^2(t)\,d t$ et déterminer les cas d'égalité. \finenonce{004644} \finexercice \exercice{4645, quercia, 2010/03/14} \enonce{004645}{Inégalité isopérimétrique} \begin{enumerate} \item Soient $f,g$ deux applications $2\pi$-périodiques réelles de classe $\mathcal{C}^1$. Montrer que~: $2 \int_0^{2\pi}fg' \le \int_0^{2\pi}f'^2 + \int_0^{2\pi}g'^2$. \item Soit $\Gamma$ un arc $\mathcal{C}^1$, fermé, simple, de longueur $2\pi$. Montrer que l'aire du domaine limité par~$\Gamma$ est inférieure ou égale à~$\pi$. \end{enumerate} \finenonce{004645} \finexercice \exercice{4646, quercia, 2010/03/14} \enonce{004646}{$|f''| \le |f|$} Trouver les fonctions $f:\R \to \R$ $2\pi$-périodiques de classe $\mathcal{C}^2$ telles que $ \int_{t=0}^{2\pi}f(t)\,d t = 0$ et $|f''| \le |f|$. \finenonce{004646} \finexercice \exercice{4647, quercia, 2010/03/14} \enonce{004647}{Calcul de $(f\mid g)$} Soient ${f,g} : \R \to \C$ $2\pi$-périodiques, continues par morceaux. On note $c_n(f)$ et $c_n(g)$ les coefficients de Fourier exponentiels de $f$ et $g$. Montrer que : $\sum_{n=-\infty}^{+\infty} \overline{c_n(f)}c_n(g) = \frac1{2\pi} \int_{t=0}^{2\pi} \overline{f(t)}g(t)\,d t.$ \finenonce{004647} \finexercice \exercice{4648, quercia, 2010/03/14} \enonce{004648}{Une série trigonométrique qui n'est pas une série de Fourier} On pose $f(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{\sin nx}{\sqrt n}$. \begin{enumerate} \item Montrer que $f$ est bien définie sur~$\R$, $2\pi$-périodique et continue sur $\R\setminus2\pi\Z$. \item Calculer $\lim_{a\to0^+} \int_{t=a}^{\pi-a}f(t)\sin(pt)\,d t$ et en déduire que $f$ n'a pas de développement en série de Fourier (et donc n'est pas continue en~$0$). \end{enumerate} \finenonce{004648} \finexercice \exercice{4649, quercia, 2010/03/14} \enonce{004649}{X MP$^*$ 2001} Soit $a>0$ et $f$ continue sur $[0,a]$ à valeurs réelles. On suppose que pour tout $x\in\R$ on a $ \int_{t=0}^a f(t)\cos(xt)\,d t=0$. Montrer que $f$ est nulle. \finenonce{004649} \finexercice \section{ 221.99 Autre } \exercice{1950, legall, 2003/10/01} \enonce{001950}{} Soit $f$ une fonction int\'egrable au sens de Riemann p\'eriodique de p\'eriode $2\pi $. On d\'esigne par~: $\displaystyle{ \frac{a_0}{2}+ \sum _{k=1}^\infty(a_k \cos (kx)+ b_k \sin (kx))}$ sa s\'erie de Fourier et on pose, pour tout $n\in \Nn : \displaystyle{ S_n(x)=\frac{a_0}{2}+ \sum _{k=1}^n(a_k \cos (kx)+ b_k \sin (kx))}.$ \begin{enumerate} \item Soit $\theta \in \Rr-2\pi \Zz .$ Montrer $\displaystyle{ \frac{1}{2}+ \sum _{k=1}^n \cos (k\theta)=\frac{\sin (n+\frac{1}{2})\theta} {2\sin \frac{\theta }{2}}}.$ \item Etablir que $ \displaystyle{ S_n(x)=\frac{1}{\pi}\int _{-\pi}^\pi \frac {\sin (n+\frac{1}{2})(x-t)}{2\sin \frac{(x-t)}{2}}f(t)dt}$. \item En d\'eduire $ \displaystyle{ S_n(x)=\frac{1}{2\pi}\int _{-\pi}^\pi f(x+\theta ) \frac{\sin (n+\frac{1}{2})\theta} {\sin \frac{\theta }{2}}d\theta } $. \item Calculer $\displaystyle{ \int _{0}^\pi \frac{\sin (n+\frac{1}{2})\theta} {\sin \frac{\theta }{2}}d\theta } .$ \end{enumerate} \finenonce{001950} \finexercice \exercice{4657, quercia, 2010/03/14} \enonce{004657}{Formule sommatoire de Poisson} Soit $f : \R \to \C$ de classe $\mathcal{C}^1$. On suppose qu'il existe $a>1$ tel que $f(x) = O(1/|x|^a)$ et $f'(x) = O(1/|x|^a)$ lorsque $|x|\to\infty$, et on pose $F(x) = \sum_{n\in \Z}f(x+2n\pi)$. Montrer que $F$ est bien définie, $\mathcal{C}^1$ et $2\pi$-périodique. En déduire la formule sommatoire de Poisson~: $$\sum_{n\in\Z}f(2n\pi) = \frac1{\sqrt{2\pi}} \sum_{n\in\Z} \hat f(n).$$ \finenonce{004657} \finexercice \exercice{4658, quercia, 2010/03/14} \enonce{004658}{Formule d'échange} Soient ${f,g} : \R \to \C$ de classe $\mathcal{C}^1$ telles que $f,f',g,g'$ sont intégrables. Montrer~: $$ \int_{t=-\infty}^{+\infty}\hat f(t)g(t)\,d t = \int_{t=-\infty}^{+\infty} f(t)\hat g(t)\,d t.$$ \finenonce{004658} \finexercice \exercice{4659, quercia, 2010/03/14} \enonce{004659}{$ \int_{t=a}^b f(t)|\sin nt|\,d t$} \begin{enumerate} \item Développer en série de Fourier la fonction : $x \mapsto |\sin x|$. \item Application : Soit $f : {[a,b]} \to \R$ continue. Montrer que $ \int_{t=a}^b f(t)|\sin nt|\,d t \to \frac2\pi \int_{t=a}^b f(t)\,d t$ lorsque $n\to\infty$. \end{enumerate} \finenonce{004659} \finexercice \exercice{4660, quercia, 2010/03/14} \enonce{004660}{\'Equation différentielle} Montrer que l'équation : $y^{(4)}+y''+y = |\sin x|$ admet une et une seule solution $\pi$-périodique. \finenonce{004660} \finexercice \exercice{4661, quercia, 2010/03/14} \enonce{004661}{\'Equation différentielle} Soit $k \in \R$. Résoudre l'équation différentielle $y'' + k^2y = \sum_{n=1}^\infty \frac{\cos nx}{n^2}$. \finenonce{004661} \finexercice \exercice{4662, quercia, 2010/03/14} \enonce{004662}{\'Equirépartition modulo 1} \begin{enumerate} \item Soit $f:\R \to \R$ de classe $\mathcal{C}^1$ 1-périodique, $\alpha \in \R\setminus \Q$ et $x \in \R$. Montrer que $\frac{f(x) + f(x+\alpha) + \dots + f(x+n\alpha)}{n+1} \to \int_{t=0}^1 f(t)\,d t$ lorsque $n\to\infty$. \item Montrer que le résultat est encore vrai en supposant seulement $f$ continue. \item En déduire la nature de la série $\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin^2 n}n$. \end{enumerate} \finenonce{004662} \finexercice \exercice{4663, quercia, 2010/03/14} \enonce{004663}{Cachan MP$^*$ 2000} Soit un réel $\beta > 1$ et $a_k = \iint_{[0,1]^2}e^{-|x-x'|^\beta}e^{2i\pi k(x-x')}\,d x\,d x'$. Trouver un équivalent quand $n$ tend vers l'infini de $\sum_{|k|>n\text{ ou }|\ell|>n} a_ka_\ell$, $k$ et~$\ell$ étant des entiers relatifs. \finenonce{004663} \finexercice \exercice{4664, quercia, 2010/03/14} \enonce{004664}{Algèbre de séries trigonométriques} Soit $E$ l'ensemble des fonctions de~$\R$ dans~$\C$ de la forme~: $f(x)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_ne^{2i\pi nx}$ où $\sum |c_n|$ converge. On pose pour $f\in E$~: $\|f\| = \sum_{n=-\infty}^{+\infty}|c_n|$. \begin{enumerate} \item Justifier la définition de $\|f\|$ et montrer que $E$ est un espace vectoriel normé complet. \item Montrer que $E$ est une $\C$-algèbre et que $\|fg\| \le \|f\|\,\|g\|$. \item Soit $\varphi : E \to \C$ un morphisme d'algèbres. \begin{enumerate} \item On suppose $\varphi$ continu, montrer qu'il existe $z_0\in\mathbb{U}$ tel que $\forall\ f\in E,\ \varphi(f) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty}c_nz_0^n$. \item Vérifier que la formule précédente définit effectivement un morphisme continu de~$E$ dans~$\C$. \end{enumerate} \end{enumerate} \finenonce{004664} \finexercice \exercice{4665, quercia, 2010/03/14} \enonce{004665}{Mines MP 2002} Déterminer la nature de la série de terme général $u_n=(-1)^n \int_{t=0}^1 \cos (nt^2)\,d t$. \finenonce{004665} \finexercice \exercice{4666, quercia, 2010/03/14} \enonce{004666}{Ens Lyon MP$^*$ 2003} On note~: $E^{\phantom 1} = \{\text{fonctions continues }2\pi\text{-périodiques }f : \R \to \C\}$ ;\par $E^1 = \{f\in E \text{ de classe }\mathcal{C}^1\}$ ;\par $E_n = \{f\in E\text{ tel que }\forall\ k\in[[-n,n]],\ {\textstyle \int}_{t=0}^{2\pi}f(t)e^{-ikt}\,d t = 0\}$ ;\par $E_n^1 = E_n \cap E^1.$ On considère sur~$E$ la norme~$\|\ \|_2$ $\Bigl(\|f\|_2 = \sqrt{\frac1{2\pi}\int |f|^2}\;\Bigr)$. \begin{enumerate} \item Montrer que~$D : {E_0^1} \to {E_0}, f \mapsto {f'}$ est une bijection. \item $D$ est-elle continue~? \item Montrer que~$D^{-1}$ est continue. \item Montrer que~$D^{-1}(E_n) = E_n^1$ et calculer $\|\kern-1.2pt|D^{-1}_{|E_n}\|\kern-1.2pt|$. \end{enumerate} \finenonce{004666} \finexercice \exercice{4667, quercia, 2010/03/14} \enonce{004667}{Quatre racines, ENS Cachan MP$^*$ 2005} Soit $f$ à valeurs réelles, de classe $\mathcal{C}^{2}$, $2\pi$-p{\'e}riodique, de moyenne nulle. Montrer que $g=f+f''$ s'annule au moins quatre fois sur $[0,2\pi[$. \finenonce{004667} \finexercice \exercice{5781, rouget, 2010/10/16} \enonce{005781}{**} \begin{enumerate} \item Soit $f$ la fonction définie sur $\Rr$, $2\pi$-périodique et impaire telle que $\forall x\in\left]0,\frac{\pi}{2}\right[$, $f(x)=\sin\left(\frac{x}{2}\right)$. Déterminer $f(x)$ pour tout réel $x$. \item Soit $f$ la fonction définie sur $\Rr$, $2\pi$-périodique et paire telle que $\forall x\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right]$, $f(x)=\sin\left(\frac{x}{2}\right)$. Déterminer $f(x)$ pour tout réel $x$. \end{enumerate} \finenonce{005781} \finexercice \section{ 222.01 Convergence simple, uniforme, normale } \exercice{2683, matexo1, 2002/02/01} \enonce{002683}{} A \begin{enumerate} \item Soient $a$ et $z$ deux réels. Soit $f$ une fonction de classe $C^{n+1}$ sur le segment d'extrémités $a$ et $z$ et $\phi$ un polynôme de degré $n$. Prouver que pour tout $t$ compris dans l'intervalle $[0,1]$, \[ {d\over dt}\sum_{m=1}^n (-1)^m (z-a)^m \phi^{(n-m)}(t) f^{(m)}\left(a+t(z-a)\right) \]\[ = -(z-a) \phi^{(n)}(t) f'\left(a+t(z-a)\right) + (-1)^n (z-a)^{n+1} \phi(t) f^{(n+1)}\left(a+t(z-a)\right) \] \item \begin{enumerate} \item Montrer que la fonction $t\mapsto {t \over e^t-1}$ est prolongeable par continuité en zéro, que son prolongement est indéfiniment dérivable et admet des développements limités en zéro de la forme: $$ 1 - {t/2} + {b_1 t^2 \over 2!} + {b_2 t^4 \over 4!} + \dots + {b_n t^{2n} \over (2n)!} +o(t^{2n+1}),$$ où les $b_i$ sont des réels qu'on ne cherchera pas à déterminer. Montrer que la dérivée $n^{i\grave eme}$ en zéro, notée $\phi_n(z)$, de la fonction $t\mapsto t {e^{zt}-1 \over e^t-1}$ est un polynôme en $z$ de degré $n$ et que $$\phi_n(z)= z^n - {1\over 2}nz^{n-1} + C_n^2 b_1 z^{n-2} + C_n^4 b_2 z^{n-4} + \dots + C_n^{2N} b_N z^{n-2N}$$ où $N=E({n-1\over2})$, $E$ désignant la fonction partie entière. \item Prouver que $nz^{n-1}=\phi_n(z+1) - \phi_n(z)$ \end{enumerate} \item Prouver que $$ \begin{matrix} (i) &\phi_n^{(n-k)}(1) = \phi_n^{(n-k)}(0)\ \ (2\leq k\leq n) &\quad & (ii) &\phi_n^{(n-2k-1)}(0) = 0 \ \ (1\leq k\leq N) \cr (iii) &\phi_n^{(n-2k)}(0) = {n! b_k \over (2k)!} \ \ (1\leq k\leq N) &\quad & (iv) &\phi_n^{(n-1)}(0) = -{1\over2} n! \cr (v) &\phi_n^{(n-1)}(1) = +{1\over2} n! & \quad &(vi) &\phi_n^{(n)} = n! \cr \end{matrix} $$ \item \begin{enumerate} \item On suppose $f$ de classe $C^{2n+1}$. Prouver que \begin{eqnarray*} 0 &=& f(z) - f(a) - {z-a \over 2} \left[ f'(z) + f'(a) \right] \\ &&+ \sum_{m=1}^{n-1} b_m {(z-a)^{2m} \over (2m)!} \left[ f^{(2m)}(z) - f^{(2m)}(a) \right] \\ && - {(z-a)^{2n+1} \over (2n)!} \int_0^1 \phi_{2n}(t) f^{(2n+1)}\Big( a+(z-a)t \Big) dt \end{eqnarray*} \item En déduire que si $F$ est de classe $C^{2n}$ sur $[a,a+r\omega]$ où $r\in \Nn$ et $\omega>0$, alors \begin{eqnarray*} \int_a^{a+r\omega} F(x)dx &=& \omega \Big[ {1\over2} F(a) + F(a+\omega) + \dots + F(a+{\scriptstyle (r-1)}\omega) + {1\over2} F(a+r\omega) \Big] \\ && - \sum_{m=1}^{n-1} b_m {\omega^{2m} \over (2m)!} \left[ F^{(2m-1)}(a+r\omega) - F^{(2m-1)}(a) \right] + R_n \end{eqnarray*} où \[ R_n={\omega^{2n+1} \over (2n)!} \int_0^1 \phi_{2n}(t) \sum_{m=0}^{r-1} F^{(2n)}(a+m\omega+\omega t) dt \; . \] \end{enumerate} \end{enumerate} B \begin{enumerate} \item Soit $u_k: x>0 \mapsto \ln(x+k)-\ln(k)+x\ln\left({k\over k+1}\right) \qquad(k\in \Nn^*)$\par Montrer que pour tout $x$ strictement positif, la série $\sum_{k\geq 1}u_k(x)$ est convergente. On pose pour la suite $G(x)=\ln(x)+\sum_{k=1}^{\infty}u_k(x)$ \item Prouver que $G$ vérifie l'équation fonctionnelle $$\forall x>0 \quad G(x+1)=G(x)-\ln(x).$$ \item En déduire que $\forall m\in \Nn \quad \exp(-G(m+1))=m!$ \item Soit $x$ et $y$ deux réels strictement positifs. Montrer que la série\par \centerline{$\sum_{k\geq1}\bigl[ \ln(y+k) - \ln(x+k) + (y-x)\ln\left({k\over k+1}\right) \bigr]$} est convergente et que sa somme est $G(y) - G(x) - \ln y + \ln x$. \item Prouver à l'aide de A que pour tous entiers strictement positifs $n$ et $p$ \begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n \ln(y+k) - \ln(x+k) &=& \int_0^n f(t)dt + {1\over2} \big( f(0)+f(n) \big) \\ &&+\sum_{h=1}^{p-1} {b_h\over(2h)!} \big( f^{(2h-1)}(n) - f^{(2h-1)}(0) \big) + T_{p,n}(x,y) \end{eqnarray*} où $f: t\mapsto \ln(y+t) -\ln(x+t)$ et $T_{p,n}(x,y)$ est une expression que l'on précisera. \item Prouver que $R_p(x,y)=\lim_{n \to +\infty}T_{p,n}(x,y)$ existe. \item On pose $g(z)=z\ln z - z - {1\over2} \ln z + \sum_{h=1}^{p-1} {b_h\over(2h)(2h-1)} {1\over z^{2h-1}}$. Montrer que $G(y)+g(y)=G(x)+g(x)+R_p(x,y)$ \item Montrer que $ R_p(x,y) = O\left( {1 \over \bigl[ \inf(x,y) \bigr]^{2p-1}} \right)$ quand $\inf(x,y)\to +\infty$. \item Prouver à l'aide de la formule de Stirling que $G(m)+g(m)\to {1\over2}\ln2\pi$ quand $m \to +\infty$. \item Montrer que $$G(y)= -y\ln y + y + {1\over2}\ln y - {1\over2}\ln2\pi - \sum_{h=1}^{p-1} {b_h\over(2h)(2h-1)} {1\over y^{2h-1}} + O({1\over y^{2p-1}})$$ \item Donner un développement asymptotique de $\ln(m!)$ quand $m$ tend vers $+\infty$ à un $O({1\over m^7})$ près. \end{enumerate} \finenonce{002683} \finexercice \exercice{4503, quercia, 2010/03/14} \enonce{004503}{\'Etude de convergence} Soit $\alpha \in \R$ et $f_n(x) = n^\alpha x(1-x)^n$ pour $x \in {[0,1]}$. \begin{enumerate} \item Trouver la limite simple des fonctions $f_n$. \item Y a-t-il convergence uniforme ? \end{enumerate} \finenonce{004503} \finexercice \exercice{4504, quercia, 2010/03/14} \enonce{004504}{\'Etude de convergence} On pose $f_n(x) = x^n(1-x)$ et $g_n(x) = x^n\sin(\pi x)$. \begin{enumerate} \item Montrer que la suite $(f_n)$ converge uniformément vers la fonction nulle sur $[0,1]$. \item En déduire qu'il en est de même pour la suite $(g_n)$. (On utilisera la concavité de sin sur $[0,\pi]$) \end{enumerate} \finenonce{004504} \finexercice \exercice{4505, quercia, 2010/03/14} \enonce{004505}{Non interversion limite-intégrale} Soit $f_n(x) = n\cos^nx\sin x$. \begin{enumerate} \item Chercher la limite simple, $f$, des fonctions $f_n$. \item Vérifier que $ \int_{t=0}^{\pi/2} f(t)\,d t\ne \lim_{n\to\infty} \int_{t=0}^{\pi/2} f_n(t)\,d t$. \end{enumerate} \finenonce{004505} \finexercice \exercice{4506, quercia, 2010/03/14} \enonce{004506}{Non interversion limite-intégrale} \begin{enumerate} \item Déterminer la limite simple des fonctions $f_n : x \mapsto \frac{x^ne^{-x}}{n!}$ sur $\R^+$ et montrer qu'il y a convergence uniforme. (On admettra la formule de Stirling : $n! \sim n^ne^{-n}\sqrt{2\pi n}$) \item Calculer $\lim_{n\to\infty} \int_{t=0}^{+\infty} f_n(t)\,d t$. \end{enumerate} \finenonce{004506} \finexercice \exercice{4507, quercia, 2010/03/14} \enonce{004507}{\'Etude de convergence} Soit ${f_n} : {[0,+\infty[} \to {\R}$, $\begin{cases} x \le n &(1- x/n)^n \cr x > n &0. \cr\end{cases}$ \begin{enumerate} \item Déterminer la limite simple, $f$, des fonctions $f_n$. \item Montrer que : $\forall\ x\in \R^+,\ 0 \le f_n(x) \le f(x)$. \item Montrer que $(f_n)$ converge uniformément vers $f$ sur tout segment $[0,a]$. \item Démontrer que la convergence est uniforme sur $\R^+$. \end{enumerate} \finenonce{004507} \finexercice \exercice{4508, quercia, 2010/03/14} \enonce{004508}{\'Etude de convergence} \'Etudier la convergence simple, uniforme, de la suite de fonctions : $f_n : x \mapsto \left(1+\frac xn\right)^{-n}$. \finenonce{004508} \finexercice \exercice{4509, quercia, 2010/03/14} \enonce{004509}{\'Etude de convergence} Soit $f_n(x) = \frac {nx}{1+n^2x^2}$. \'Etudier la convergence simple, puis uniforme des $f_n$ sur $\R^+$ puis sur $[\alpha,+\infty[$, pour $\alpha > 0$. \finenonce{004509} \finexercice \exercice{4510, quercia, 2010/03/14} \enonce{004510}{$f(nx)$, $f(x/n)$} Soit $f : {\R^+} \to \R$ continue, non identiquement nulle, telle que $f(0) = 0$ et $f(x) \to 0$ lorsque $x\to+\infty$. On pose $f_n(x) = f(nx)$ et $g_n(x) = f\left(\frac xn\right)$. \begin{enumerate} \item Donner un exemple de fonction $f$. \item Montrer que $f_n$ et $g_n$ convergent simplement vers la fonction nulle, et que la convergence n'est pas uniforme sur $\R^+$. \item Si $ \int_{t=0}^{+\infty} f(t)\,d t$ converge, chercher $\lim_{n\to\infty} \int_{t=0}^{+\infty} f_n(t)\,d t$ et $\lim_{n\to\infty} \int_{t=0}^{+\infty} g_n(t)\,d t$. \end{enumerate} \finenonce{004510} \finexercice \exercice{4511, quercia, 2010/03/14} \enonce{004511}{\'Equation différentielle dépendant d'un paramètre} Soit $y_n$ la solution de l'équation : $(*_n) \Leftrightarrow \left(1+\frac1n\right)y'' - \left(2+\frac1n\right)y' + y = 0$ vérifiant les conditions initiales~: $y(0) = 0$, $y'(0) = 1$. \begin{enumerate} \item Calculer explicitement $y_n$. \item Déterminer la limite simple, $y$, des fonctions $y_n$. \item Vérifier que $y$ est solution de l'équation limite de $(*_n)$ avec les mêmes conditions initiales. \end{enumerate} \finenonce{004511} \finexercice \exercice{4512, quercia, 2010/03/14} \enonce{004512}{$f\circ f\circ ...\circ f$} Soit $f : {[-1,1]} \to {[-1,1]}$ une fonction continue vérifiant : $\forall\ x \ne 0,\quad |f(x)| < |x|$. On pose $f_0(x) = x$, puis $f_{n+1}(x) = f(f_n(x))$. \'Etudier la convergence simple des $f_n$. \finenonce{004512} \finexercice \exercice{4513, quercia, 2010/03/14} \enonce{004513}{\'Etude de convergence} On pose $f_0(t) = 0$, $f_{n+1}(t) = \sqrt{t+f_n(t)}$, pour $t \ge 0$. \begin{enumerate} \item Déterminer la limite simple, $\ell$, des fonctions $f_n$. \item Y a-t-il convergence uniforme sur $\R^+$ ? \item Démontrer que : $\forall\ t > 0,\ |f_{n+1}(t) - \ell(t)| \le \frac {|f_n(t) - \ell(t)|}{2f_{n+1}(t)}$. \item En déduire que la suite $(f_n)$ converge uniformément sur tout intervalle $[a,+\infty[$, avec $a>0$. (Remarquer que $f_n - \ell$ est bornée pour $n \ge 1$) \end{enumerate} \finenonce{004513} \finexercice \exercice{4514, quercia, 2010/03/14} \enonce{004514}{Approximation de la racine carrée par la méthode de Newton} On définit une suite de fonctions ${f_n} : {\R^{+*}} \to {\R^{+*}}$ par récurrence : $\begin{cases} f_0(x) = x \cr f_{n+1}(x) = \frac 12\left({f_n(x) + \frac x{f_n(x)}}\right).\cr \end{cases}$ \'Etudier la convergence simple, puis uniforme des $f_n$ $\left({\text{considérer } g_n(x)= \frac {f_n(x) - \sqrt x}{f_n(x) + \sqrt x}}\right)$. \finenonce{004514} \finexercice \exercice{4515, quercia, 2010/03/14} \enonce{004515}{Approximation polynomiale de la racine carrée} On considère la suite $(f_n)$ de fonctions sur $[0,1]$ définie par les relations : $f_0 = 0$, $f_{n+1}(t) = f_n(t) + \frac{t-f_n^2(t)}2$. \'Etudier la convergence simple, uniforme, des fonctions $f_n$. \finenonce{004515} \finexercice \exercice{4516, quercia, 2010/03/14} \enonce{004516}{Suite ayant deux limites} Trouver une suite de polynômes $(P_n)$ convergeant simplement (resp. uniformément) vers la fonction nulle sur $[0,1]$ et vers la fonction constante égale à 1 sur $[2,3]$. Remarque~: une telle suite a donc des limites distinctes dans $\R[x]$ pour les normes de la convergence uniforme sur $[0,1]$ et sur $[2,3]$. \finenonce{004516} \finexercice\exercice{4522, quercia, 2010/03/14} \enonce{004522}{Limite simple de polynômes de degrés bornés} Soit $p \in \N$ fixé et $(P_n)$ une suite de fonctions polynomiales de degrés inférieurs ou égaux à $p$ convergeant simplement vers $f$ sur un intervalle $[a,b]$. \begin{enumerate} \item Démontrer que $f$ est polynomiale de degré inférieur ou égal à $p$, et que les coefficients des $P_n$ convergent vers ceux de $f$. \item Montrer que la convergence est uniforme. \end{enumerate} \finenonce{004522} \finexercice \exercice{4523, quercia, 2010/03/14} \enonce{004523}{Polynômes à coefficients entiers, ENS Lyon MP$^*$ 2005} On consid{\'e}re $f : x\mapsto 2x(1-x)$ d{\'e}finie sur $[0,1]$. \begin{enumerate} \item \'Etude de la suite de fonction $g_{n}$, avec $g_{n}=f^{n}=f\circ\ldots\circ f$. \item Soit $[a,b]\subset {]0,1[}$ et $h$ continue sur $[a,b]$. Montrer que $h$ est limite uniforme sur $[a,b]$ d'une suite de polyn{\^o}mes {\`a} coefficients entiers. \end{enumerate} \finenonce{004523} \finexercice \exercice{4524, quercia, 2010/03/14} \enonce{004524}{Théorèmes de Dini} Soit $(f_n)$ une suite de fonctions continues ${[a,b]} \to {\R}$ convergeant simplement vers une fonction continue $f$. \begin{enumerate} \item On suppose que chaque fonction $f_n$ est croissante. Montrer qu'il y a convergence uniforme. \item On suppose qu'à $x$ fixé la suite $(f_n(x))$ est croissante. Montrer qu'il y a convergence uniforme. \end{enumerate} \finenonce{004524} \finexercice \exercice{4525, quercia, 2010/03/14} \enonce{004525}{Théorème d'Ascoli} Soit $(f_n)$ une suite de fonctions ${[a,b]} \to {\R}$ convergeant simplement vers $f$. On suppose que toutes les fonctions $f_n$ sont $k$-Lipchitizennes (avec le même $k$). \begin{enumerate} \item Soit $(a_0,a_1,\dots,a_N)$ une subdivision régulière de $[a,b]$. On note $M_n = \max\{|f_n(a_i)-f(a_i)|\text{ tel que } 0\le i \le N\}$. Encadrer $\|f_n-f\|_{\infty}$ à l'aide de $M_n$. \item Montrer que $f_n$ converge uniformément vers $f$. \end{enumerate} \finenonce{004525} \finexercice\exercice{5726, rouget, 2010/10/16} \enonce{005726}{} Etudier les suites de fonctions suivantes (convergence simple, convergence uniforme, convergence localement uniforme) \begin{center} \textbf{1) (**)} $f_n(x)=\frac{nx}{1+n^2x^2}$\quad\textbf{2) (**)} $f_n(x) = e^{-x}\sum_{k=0}^{n}\frac{x^k}{k!}$\quad\textbf{3) (**)} $f_n(x) = n(1-x)^n\sin\left(\frac{\pi x}{2}\right)$. \end{center} \finenonce{005726} \finexercice \exercice{5727, rouget, 2010/10/16} \enonce{005727}{*** I} Pour $n\in\Nn^*$, on pose $f_n(x)=\left\{\begin{array}{l} \left(1-\frac{x}{n}\right)^n\;\text{si}\;x\in[0,n]\\ \rule{0mm}{5mm}0\;\text{si}\;x\geqslant n \end{array} \right.$. \begin{enumerate} \item Montrer que la suite $(f_n)_{n\in\Nn^*}$ converge uniformément sur $\Rr^+$ vers la fonction $f~:~x\mapsto e^{-x}$. \item A l'aide de la suite $(f_n)_{n\in\Nn^*}$, calculer l'intégrale de \textsc{Gauss} $\int_{0}^{+\infty}e^{-x^2}\;dx$. \end{enumerate} \finenonce{005727} \finexercice \exercice{5729, rouget, 2010/10/16} \enonce{005729}{** I} Soit $(P_n)_{n\in\Nn}$ une suite de polynômes convergeant uniformément sur $\Rr$ vers une fonction $f$. Montrer que $f$ est un polynôme. \finenonce{005729} \finexercice \exercice{5732, rouget, 2010/10/16} \enonce{005732}{**} Etudier (convergence simple, convergence absolue, convergence uniforme, convergence normale) les séries de fonctions de termes généraux : \begin{enumerate} \item $f_n(x) = nx^2e^{-x\sqrt{n}}$ sur $\Rr^+$ \item $f_n(x) =\frac{1}{n+n^3x^2}$ sur $\Rr_+^*$ \item $f_n(x) = (-1)^n\frac{x}{(1+x^2)^n}$. \end{enumerate} \finenonce{005732} \finexercice \exercice{5733, rouget, 2010/10/16} \enonce{005733}{** I} Montrer que pour tout réel $a > 0$, $\int_{0}^{1}\frac{1}{1+x^a}\;dx=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{1+na}$. \finenonce{005733} \finexercice \exercice{7542, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007542}{Le cas très particulier des polynômes} Soit $d$ un entier naturel. Montrer qu'une suite de polynômes $(P_n(z))_{n\in\Nn}$ de degré au plus $d$ converge localement uniformément sur $\Cc$ si et seulement si les $d+1$ suites de ses coefficients convergent, si et seulement si, il existe $d+1$ points $c_i$ de $\Cc$ tels que les suites $(P_n(c_i))_{n\in\Nn}$ convergent. \finenonce{007542} \finexercice \exercice{7543, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007543}{Un exemple} \begin{enumerate} \item Montrer que la série $\sum_{n\geq 1}\frac{(-1)^n}{z+n}$ converge de façon compacte sur $\Cc-\{-1,-2,-3\cdots\}$. \item La convergence est-elle normale ? \end{enumerate} \finenonce{007543} \finexercice \section{ 222.02 Continuité, dérivabilité } \exercice{4517, quercia, 2010/03/14} \enonce{004517}{Fonction orthogonale aux polynômes} Soit $f : {[a,b]} \to \R$ continue telle que pour tout entier~$k$ on a $ \int_{t=a}^b f(t)t^k\,d t = 0$. Que peut-on dire de~$f$~? \finenonce{004517} \finexercice \exercice{4518, quercia, 2010/03/14} \enonce{004518}{Approximation de $f$ et $f'$} Soit $f : {[a,b]} \to \R$ de classe $\mathcal{C}^1$. \begin{enumerate} \item Montrer qu'il existe une suite de polynômes $(P_n)$ telle que $P_n$ converge uniformément vers $f$ et $P_n'$ converge uniformément vers $f'$. \item Si $f$ est $\mathcal{C}^\infty$, peut-on trouver une suite de polynômes $(P_n)$ telle que pour tout $k$ la suite $(P_n^{(k)})$ converge uniformément vers $f^{(k)}$~? \end{enumerate} \finenonce{004518} \finexercice \exercice{4519, quercia, 2010/03/14} \enonce{004519}{Limite de $f_n(x_n)$} Soient ${f_n} : D \to \R$ des fonctions continues convergeant vers une fonction continue $f$ et $(x_n)$ une suite d'éléments de $D$ convergeant vers $x \in D$. \begin{enumerate} \item Si les fonctions $f_n$ convergent uniformément, montrer que $f_n(x_n) \to f(x)$ lorsque $n\to\infty$. \item Donner un contre-exemple lorsqu'il y a seulement convergence simple. \end{enumerate} \finenonce{004519} \finexercice \exercice{4520, quercia, 2010/03/14} \enonce{004520}{Compositon et convergence} Soit $f_n$ convergeant uniformément vers $f$, et $g$ une fonction continue. Démontrer que $g \circ f_n \to g \circ f$ uniformément. \finenonce{004520} \finexercice \exercice{4521, quercia, 2010/03/14} \enonce{004521}{$f_n \circ g_n$} Soit ${f_n} : {[a,b]} \to {[c,d]}$ et ${g_n} : {[c,d]} \to \R$ des fonctions continues convergeant uniformément vers les fonctions $f$ et $g$. Montrer que $g_n\circ f_n$ converge uniformément vers $g\circ f$. \finenonce{004521} \finexercice \exercice{4526, quercia, 2010/03/14} \enonce{004526}{\'Equicontinuité} Soit $(f_n)$ une suite de fonctions continues sur $D \subset \R$ convergeant uniformément vers une fonction $f$. Montrer que les fonctions $f_n$ sont {\it équi-continues\/} c'est à dire : $$\forall\ x\in D,\ \forall\ \varepsilon > 0,\ \exists\ \delta > 0 \text{ tel que } \forall\ n\in\N,\ \forall\ y \in {]x-\delta,x+\delta[}\cap D,\ |f_n(x)-f_n(y)| < \varepsilon.$$ \finenonce{004526} \finexercice \exercice{4527, quercia, 2010/03/14} \enonce{004527}{Limite simple de fonctions convexes} Soit ${f_n} : {[a,b]} \to \R$ des fonctions continues convexes convergeant simplement vers une fonction continue $f$. Montrer que la convergence est uniforme. \finenonce{004527} \finexercice\exercice{5728, rouget, 2010/10/16} \enonce{005728}{*** I Polynômes de \textsc{Bernstein}. Théorème de \textsc{Weierstrass}} Soit $f$ une application continue sur $[0,1]$ à valeurs dans $\Rr$. Pour $n$ entier naturel non nul, on définit le $n$-ème polynôme de \textsc{Bernstein} associé à $f$ par \begin{center} $B_n(f) =\sum_{k=0}^{n}\dbinom{n}{k}f\left(\frac{k}{n}\right)X^k(1-X)^{n-k}$. \end{center} \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer $B_n(f)$ quand $f$ est la fonction $x\mapsto 1$, quand $f$ est la fonction $x\mapsto x$, quand $f$ est la fonction $x\mapsto x(x-1)$. \item En déduire que $\sum_{k=0}^{n}\dbinom{n}{k}(k-nX)^2X^k(1-X)^{n-k}= nX(1-X)$. \end{enumerate} \item En séparant les entiers $k$ tels que $\left|x-\frac{k}{n}\right|>\alpha$ et les entiers $k$ tels que $\left|x-\frac{k}{n}\right|\leqslant\alpha$ ($\alpha>0$ donné), montrer que la suite de polynômes $(B_n(f))_{n\in\Nn^*}$ converge uniformément vers $f$ sur $[0,1]$. \item Montrer le théorème de \textsc{Weierstrass} : soit $f$ une application continue sur $[a,b]$ à valeurs dans $\Rr$. Montrer que $f$ est limite uniforme sur $[a,b]$ d'une suite de polynômes. \end{enumerate} \finenonce{005728} \finexercice \exercice{5730, rouget, 2010/10/16} \enonce{005730}{**} Soit $f(x) =\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{x^n\sin(nx)}{n}$. \begin{enumerate} \item Montrer que $f$ est de classe $C^1$ sur $]-1,1[$. \item Calculer $f'(x)$ et en déduire que $f(x) =\Arctan\left(\frac{x\sin x}{1-x\cos x}\right)$. \end{enumerate} \finenonce{005730} \finexercice \exercice{5731, rouget, 2010/10/16} \enonce{005731}{**} Soit $f(x) =\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{\ln(nx)}$. \begin{enumerate} \item Domaine de définition de $f$. On étudie ensuite $f$ sur $]1,+\infty[$. \item Continuité de $f$ et limites de $f$ en $1$ et $+\infty$. \item Montrer que $f$ est de classe $C^1$ sur $]1,+\infty[$ et dresser son tableau de variation. \end{enumerate} \finenonce{005731} \finexercice \exercice{5734, rouget, 2010/10/16} \enonce{005734}{**} Pour $n\in\Nn^*$, soit $f_n(t) = (-1)^n\ln\left(1+\frac{t^2}{n(1+t^2)}\right)$. \begin{enumerate} \item Etudier la convergence simple et uniforme de la série de terme général $f_n$ puis la continuité de la somme $f$. \item Montrer que $\lim_{t \rightarrow +\infty}f(t) =\ln\left(\frac{2}{\pi}\right)$ à l'aide de la formule de \textsc{Stirling}. \end{enumerate} \finenonce{005734} \finexercice \exercice{5735, rouget, 2010/10/16} \enonce{005735}{**} Pour $n\in\Nn^*$ et $t\in\Rr$, soit $f_n(t) =\frac{\Arctan(nt)}{n^2}$. Etude complète de $f =\sum_{n=1}^{+\infty}f_n$ : domaine de définition, parité, limites, continuité, dérivabilité (vérifier que $f$ n'est pas dérivable en $0$), allure du graphe. \finenonce{005735} \finexercice \section{ 222.03 Suites et séries d'intégrales } \exercice{5738, rouget, 2010/10/16} \enonce{005738}{** I} Pour $n\in\Nn^*$, on pose $f_n(x)=\left\{\begin{array}{l} \left(1-\frac{x^2}{n}\right)^n\;\text{si}\;x\in[0,\sqrt{n}]\\ \rule{0mm}{5mm}0\;\text{si}\;x>\sqrt{n} \end{array} \right.$. \begin{enumerate} \item Montrer que la suite $(f_n)_{n\in\Nn^*}$ converge simplement sur $\Rr^+$ vers la fonction $f~:~x\mapsto e^{-x^2}$. \item A l'aide de la suite $(f_n)_{n\in\Nn^*}$, calculer l'intégrale de \textsc{Gauss} $\int_{0}^{+\infty}e^{-x^2}\;dx$. \end{enumerate} \finenonce{005738} \finexercice \exercice{5739, rouget, 2010/10/16} \enonce{005739}{**} Montrer que $\int_{0}^{1}x^{-x}\;dx =\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^n}$ et $\int_{0}^{1}x^{x}\;dx =\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{n^n}$. \finenonce{005739} \finexercice \exercice{5740, rouget, 2010/10/16} \enonce{005740}{**} \label{ex:rou3bis} Montrer que $\int_{0}^{+\infty}\frac{x^2}{e^x-1}\;dx=2\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^3}$. \finenonce{005740} \finexercice \exercice{5741, rouget, 2010/10/16} \enonce{005741}{**} Calculer $\int_{0}^{+\infty}\frac{x}{\sh x}\;dx$ en écrivant cette intégrale comme somme d'une série. \finenonce{005741} \finexercice \exercice{5742, rouget, 2010/10/16} \enonce{005742}{**} Calculer $\int_{0}^{1}\frac{\ln x}{1+x^2}\;dx$ et $\int_{0}^{+\infty}\frac{\ln x}{1+x^2}\;dx$. \finenonce{005742} \finexercice \exercice{5743, rouget, 2010/10/16} \enonce{005743}{**} \begin{enumerate} \item Montrer que pour $x$ réel de $[0,1[$, $-\ln(1-x) =\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{x^n}{n}$. \item Montrer que $\int_{0}^{1}\frac{\ln(t)\ln(1-t)}{t}\;dt =\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^3}$. \end{enumerate} \finenonce{005743} \finexercice \exercice{5744, rouget, 2010/10/16} \enonce{005744}{*** I} Montrer que pour tout réel $x$, $\int_{0}^{+\infty}\frac{\cos(xt)}{\ch t}\;dt = 2\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^n\frac{2n+1}{(2n+1)^2+x^2}$ \finenonce{005744} \finexercice \section{ 222.04 Suite et série de matrices } \exercice{5864, rouget, 2010/10/16} \enonce{005864}{**} Déterminer $\lim_{n \rightarrow +\infty}\left( \begin{array}{cc} 1&- \frac{a}{n}\\ \frac{a}{n}&1 \end{array} \right)^n$ ($a$ réel strictement positif donné). \finenonce{005864} \finexercice \exercice{5865, rouget, 2010/10/16} \enonce{005865}{***} Soit $A\in\mathcal{M}_p(\Cc)$, $p\geqslant1$. Montrer que les trois propositions suivantes sont équivalentes : \textbf{(1)} $\text{Sp}(A)\subset B_o(0,1)$ (disque unité ouvert). \textbf{(2)} $\lim_{n \rightarrow +\infty}A^n=0$ \textbf{(3)} La série de terme général $A^n$, $n\in\Nn$, converge. \finenonce{005865} \finexercice \exercice{5866, rouget, 2010/10/16} \enonce{005866}{**} Soit $A=\left( \begin{array}{cc} 4/3&-5/6\\ 5/3&-7/6 \end{array} \right)$. Convergence et somme de la série de terme général $A^n$, $n\in\Nn$. \finenonce{005866} \finexercice \exercice{5867, rouget, 2010/10/16} \enonce{005867}{** I} On munit $\mathcal{M}_p(\Cc)$ d'une norme sous-multiplicative notée $\|\;\|$. Soit $A$ un élément de $\mathcal{M}_p(\Rr)$ tel que $\|A\|<1$. Montrer que la série de terme général $A^n$, $n\in\Nn$, converge puis que $\sum_{n=0}^{+\infty}A^n=(I-A)^{-1}$. En déduire que $\|(I-A)^{-1}-(I+A)\|\leqslant \frac{\|A\|^2}{1-\|A\|}$. \finenonce{005867} \finexercice \exercice{5868, rouget, 2010/10/16} \enonce{005868}{** I} Soit $A\in\mathcal{M}_n(\Cc)$. Montrer qu'il existe $p_0\in\Nn$ tel que $\forall p\geqslant p_0$, $\sum_{k=0}^{p} \frac{A^k}{k!}\in GL_n(\Rr)$. \finenonce{005868} \finexercice \exercice{5869, rouget, 2010/10/16} \enonce{005869}{** I} Calculer $\text{exp}(tA)$, $t\in\Rr$, si \begin{enumerate} \item $A=\left( \begin{array}{ccc} 3&2&2\\ 1&0&1\\ -1&1&0 \end{array} \right)$ \item $A=\left( \begin{array}{ccc} 4&1&1\\ 6&4&2\\ -10&-4&-2 \end{array} \right)$ \end{enumerate} \finenonce{005869} \finexercice \exercice{5870, rouget, 2010/10/16} \enonce{005870}{**} Soit $A=\left( \begin{array}{ccc} 0&1/2&-2\\ 1/2&0&0\\ 0&0&-1/2 \end{array} \right)$. Calculer $\ln(I_3+tA)=\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n-1}t^n}{n}A^n$ en précisant les valeurs de $t$ pour lesquelles la série converge. \finenonce{005870} \finexercice \exercice{5871, rouget, 2010/10/16} \enonce{005871}{** I Exponentielle d'un endomorphisme anti-symétrique de $\Rr^3$} \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Soit $\overrightarrow{\omega}\in\Rr^3$. Pour $\overrightarrow{x}\in\Rr^3$, on pose $f_{\overrightarrow{\omega}}(\overrightarrow{x})=\overrightarrow{\omega}\wedge\overrightarrow{x}$. Vérifier que $f_{\overrightarrow{\omega}}\in\mathcal{A}(\Rr^3)$. \item Réciproquement, soit $f\in\mathcal{A}(\Rr^3)$. Montrer qu'il existe un vecteur $\overrightarrow{\omega}$ unique tel que $f=f_{\overrightarrow{\omega}}$. \end{enumerate} \item Soit $\overrightarrow{\omega}\in\Rr^3$. Montrer que $\text{exp}(f_{\overrightarrow{\omega}})$ est une rotation dont on déterminera l'axe (quand celui-ci est défini) et l'angle. \end{enumerate} \finenonce{005871} \finexercice \exercice{5872, rouget, 2010/10/16} \enonce{005872}{**} Pour $A\in\mathcal{M}_n(\Cc)$, calculer $\lim_{p \rightarrow +\infty}\left(I_n+ \frac{A}{p}\right)^p$. \finenonce{005872} \finexercice \exercice{5873, rouget, 2010/10/16} \enonce{005873}{**} Montrer que $\forall A\in\mathcal{M}_n(\Rr)$, $\text{exp}(A)$ est un polynôme en $A$. \finenonce{005873} \finexercice \section{ 222.99 Autre } \exercice{4528, quercia, 2010/03/14} \enonce{004528}{Fonction définie par une série} On pose $f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{\arccos(\cos nx)}{n!}$. \begin{enumerate} \item Montrer que $f$ est définie sur $\R$, continue, paire et $2\pi$-périodique. \item Calculer $f(0)$, $f(\pi)$, $f\left(\frac\pi2\right)$. \end{enumerate} \finenonce{004528} \finexercice \exercice{4529, quercia, 2010/03/14} \enonce{004529}{Fonction définie par une série (Centrale MP 2003)} Soit~$f(a) = \sum_{n=0}^\infty e^{-a^2n^2}$ sous réserve de convergence $(a\in\R$). \begin{enumerate} \item Domaine de définition de~$f$~? \item Limite de~$af(a)$ quand $a\to0$~? \item Limite de~$f(a)$ quand $a\to+\infty$~? \end{enumerate} \finenonce{004529} \finexercice \exercice{4530, quercia, 2010/03/14} \enonce{004530}{Fonction $\zeta$ de Riemann} Soit $\zeta(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac1{n^x}$. \begin{enumerate} \item Déterminer le domaine de définition de $\zeta$. Montrer que $\zeta$ est de classe $\mathcal{C}^\infty$ sur ce domaine. \item Prouver que $\zeta(x) \to 1$ lorsque $x\to+\infty$ $\Bigl($majorer $\sum_{n=2}^\infty \frac1{n^x}$ par comparaison à une intégrale$\Bigr)$. \item Prouver que $\zeta(x) \to +\infty$ lorsque $x\to1^+$. \end{enumerate} \finenonce{004530} \finexercice \exercice{4531, quercia, 2010/03/14} \enonce{004531}{Fonction $\zeta$ de Riemann et constante d'Euler} Soit $\zeta(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac1{n^x}$ et $\gamma = \lim_{n\to\infty}\left(\frac 11 + \dots + \frac 1n -\ln(n) \right)$. Montrer que $\gamma = 1 + \sum_{n=2}^\infty\left(\frac 1n + \ln\left(1-\frac 1n\right)\right)$ puis que $\gamma = 1 - \sum_{k=2}^\infty\frac{\zeta(k)-1}k$. \finenonce{004531} \finexercice \exercice{4532, quercia, 2010/03/14} \enonce{004532}{Fonction définie par une série} \begin{enumerate} \item \'Etudier la convergence simple, uniforme, de la série de fonctions : $f(x) = \sum_{n=0}^\infty ne^{-nx}$. \item Calculer $f(x)$ lorsque la série converge (intégrer terme à terme). \end{enumerate} \finenonce{004532} \finexercice \exercice{4533, quercia, 2010/03/14} \enonce{004533}{Fonction définie par une série} \begin{enumerate} \item \'Etudier la convergence de la série $f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac1{1+x^n}$. \item Montrer que $f$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur son domaine de définition. \item Tracer la courbe représentative de $f$ sur $]1,+\infty[$. \end{enumerate} \finenonce{004533} \finexercice \exercice{4534, quercia, 2010/03/14} \enonce{004534}{Fonction définie par une série} Soit $g(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n!\,(x+n)}$. \begin{enumerate} \item Déterminer le domaine, $D$ de définition de $g$ et prouver que $g$ est de classe $\mathcal{C}^\infty$ sur $D$. \item Montrer que la quantité : $xg(x) - g(x+1)$ est constante sur $D$. \item Tracer la courbe représentative de $g$ sur $]0,+\infty[$. \item Donner un équivalent de $g(x)$ en $+\infty$ et en $0^+$. \end{enumerate} \finenonce{004534} \finexercice \exercice{4535, quercia, 2010/03/14} \enonce{004535}{Fonction définie par une série} \begin{enumerate} \item\'Etablir la convergence simple sur $\R$ de la série de fonctions : $f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac {(\sin x)^2}{\ch nx}$. \item Montrer que la convergence est uniforme sur toute partie de la forme $\R\setminus[-\alpha,\alpha]$, $\alpha > 0$. Que pouvez-vous en déduire pour $f$ ? \end{enumerate} \finenonce{004535} \finexercice \exercice{4536, quercia, 2010/03/14} \enonce{004536}{Fonction définie par une série} Soit $u_n(x) = (-1)^n\ln\left(1+\frac x{n(1+x)}\right)$ et $f(x) = \sum_{n=1}^\infty u_n(x)$. \begin{enumerate} \item Montrer que la série $f(x)$ converge simplement sur $\R^+$. \item Majorer convenablement le reste de la série, et montrer qu'il y a convergence uniforme sur $\R^+$. \item Y a-t-il convergence normale ? \end{enumerate} \finenonce{004536} \finexercice \exercice{4537, quercia, 2010/03/14} \enonce{004537}{Fonction définie par une série} Soit $f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac1{x(x+1)\dots(x+n)}$. \begin{enumerate} \item \'Etablir l'existence et la continuité de $f$ sur $\R^{+*}$. \item Calculer $f(x+1)$ en fonction de $f(x)$. \item Tracer la courbe de $f$. \end{enumerate} \finenonce{004537} \finexercice \exercice{4538, quercia, 2010/03/14} \enonce{004538}{Fonction définie par une série} \begin{enumerate} \item \'Etudier la convergence simple, uniforme, de $f(x) = \sum_{n=0}^\infty \bigl(\Arctan(x+n) - \Arctan(n)\bigr)$. \item Montrer que $f$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\R$. \item Chercher une relation simple entre $f(x)$ et $f(x+1)$. \item Trouver $\lim_{x\to+\infty} f(x)$. \end{enumerate} \finenonce{004538} \finexercice \exercice{4539, quercia, 2010/03/14} \enonce{004539}{Conversion série-intégrale} Montrer, pour $x > 0$ : $\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n+x} = \int_{t=0}^1 \frac{t^{x-1}}{t+1}\,d t$. \finenonce{004539} \finexercice \exercice{4540, quercia, 2010/03/14} \enonce{004540}{Fonction $\Gamma$} Soit $f_n(x) = \frac{n^x}{(1+x)(1+x/2)\dots(1+x/n)}$. \begin{enumerate} \item \'Etudier la convergence simple des fonctions $f_n$. \item On note $f = \lim f_n$. Calculer $f(x)$ en fonction de $f(x-1)$ lorsque ces deux quantités existent. \item Montrer que $f$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur son domaine de définition (on calculera $f_n'(x)/f_n(x)$). \end{enumerate} \finenonce{004540} \finexercice \exercice{4541, quercia, 2010/03/14} \enonce{004541}{Ensi Chimie P' 93} \'Etudier la convergence de la suite de fonctions définies par : $f_n(x) = \frac{n(n+1)}{x^{n+1}} \int_0^x (x-t)^{n-1}\sin t\,d t$. \finenonce{004541} \finexercice \exercice{4542, quercia, 2010/03/14} \enonce{004542}{Convergence de $f^{(n)}$} Soit $f\in \mathcal{C}^{\infty}(\R)$. On définit la suite $(f_n)_{n\in\N^*}$ par $f_n = {f}^{(n)}$ (dérivée $n$-ème). On suppose que ${(f_n)}_{n\ge 1}$ converge uniformément vers $\varphi$. Que peut-on dire de $\varphi$ ? \finenonce{004542} \finexercice \exercice{4543, quercia, 2010/03/14} \enonce{004543}{Ensi PC 1999} Soit $f_n(x) = \frac{(-1)^n\cos^nx}{n+1}$. \begin{enumerate} \item \'Etudier la convergence de $f(x) = \sum_{n=0}^\infty f_n(x)$. \item Montrer la convergence de la série de terme général $u_n = \int_{x=0}^{\pi/2} f_n(x)\,d x$. \item En déduire $\sum_{n=0}^\infty u_n$ sous forme d'une intégrale. \end{enumerate} \finenonce{004543} \finexercice \exercice{4544, quercia, 2010/03/14} \enonce{004544}{Développement de $\coth(x)$} \begin{enumerate} \item Décomposer en éléments simples sur $\C$ la fractions rationnelle~: $F_n(X) = \frac1{(1+X/n)^n-1}$. \item En déduire pour $x\in\R^*$~: $\coth x = \frac1{e^{2x}-1} - \frac1{e^{-2x}-1} = \frac1x + \sum_{k=1}^\infty\frac{2x}{x^2+k^2\pi^2}$. \item En déduire la valeur de $\zeta(2)$. \end{enumerate} \finenonce{004544} \finexercice \exercice{4545, quercia, 2010/03/14} \enonce{004545}{$\sum\sin(n)/n$} Pour $n\in\N^*$ et $x\in[-1,1]$ on pose $u_n(x)=\frac{x^n\sin(nx)}n$. \begin{enumerate} \item Montrer que la série $\sum_{n=1}^\infty u_n(x)$ converge uniformément sur $[-1,1]$ vers une fonction continue, $f$. \item Justifier la dérivabilité de~$f$ sur $]-1,1[$ et calculer $f'(x)$. En déduire $f(x)$. \item En déduire la valeur de $\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin n}n$. \end{enumerate} \finenonce{004545} \finexercice \exercice{4546, quercia, 2010/03/14} \enonce{004546}{Fonctions $\zeta$ et $\eta$} Pour $x>1$ on pose $\zeta(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac1{\strut n^x}$ et pour $x>0$~: $\eta(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{\strut n^x}$. \begin{enumerate} \item \'Etablir pour $x>1$~: $\eta(x) = (1-2^{1-x})\zeta(x)$. En déduire $\zeta(x) \sim \frac 1{x-1}$ pour $x\to1^+$. \item Montrer que $\zeta(x) = \frac 1{x-1} + \gamma + o(1)$. On remarquera que $\frac 1{x-1} = \int_{t=1}^{+\infty} \frac{d t}{\strut t^x}$. \item En déduire la valeur de $\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n\ln n}n$. \end{enumerate} \finenonce{004546} \finexercice \exercice{4547, quercia, 2010/03/14} \enonce{004547}{Centrale MP 2000} Pour~$y\in\R$ et~$n\in\N^*$, on pose $a_n(y) = \frac{\cos(ny)}{\sqrt n}$. \begin{enumerate} \item Déterminer le rayon de convergence de la série entière $\sum a_n(y)x^n$. \item Soit~$D=\{(x,y)\in\R^2,\ |x|<1\}$ et $F(x,y) = \sum_{n=1}^{+\infty} a_n(y)x^n$. Montrer que $F$, $\frac{\partial F}{\partial x}$ et $\frac{\partial F}{\partial y}$ existent en tout point de~$D$. \end{enumerate} \finenonce{004547} \finexercice \exercice{4548, quercia, 2010/03/14} \enonce{004548}{Série lacunaire} Soit $(p_n)$ une suite d'entiers naturels, strictement croissante et telle que $p_n/n\to\infty$ lorsque $n\to\infty$. On pose pour $x\in{]-1,1[}$~: $f(x)=\sum_{n=0}^\infty x^{p_n}$. Montrer que $(1-x)f(x)\to 0$ lorsque $x\to1^-$. \finenonce{004548} \finexercice \exercice{4549, quercia, 2010/03/14} \enonce{004549}{Fonctions réciproques (Pugin, MP$^*$-2001)} Soit $(f_n)$ une suite de fonctions $[a,b]\to[c,d]$ continues, bijectives, strictement croissantes, convergeant simplement vers une fonction $f$ : $[a,b]\to[c,d]$ elle aussi continue, bijective strictement croissante. \begin{enumerate} \item Montrer qu'il y a convergence uniforme (deuxième théorème de Dini, considérer une subdivision de~$[a,b]$). \item Montrer que les fonctions réciproques $f_n^{-1}$ convergent simplement vers une fonction~$g$ et que $g = f^{-1}$. \item Montrer que $(f_n^{-1})$ converge uniformément vers~$f^{-1}$. \end{enumerate} \finenonce{004549} \finexercice \exercice{4550, quercia, 2010/03/14} \enonce{004550}{Mines MP 2001} Soit $(f_n)$ une suite de fonctions continues sur le compact $K$, à valeurs réelles et convergent uniformément sur $K$ vers la fonction $f$. A-t-on $\sup f_n\to \sup f$ lorsque $n\to\infty$ ? \finenonce{004550} \finexercice \exercice{4551, quercia, 2010/03/14} \enonce{004551}{Mines MP 2001} Pour $x\in\R^+$ et $n\in\N$, $n\ge 2$ on pose $f_n(x) = \frac{xe^{-nx}}{\ln n}$ et $S(x) = \sum_{n=2}^\infty f_n(x)$ sous réserve de convergence. \begin{enumerate} \item \'Etudier la convergence simple, normale, uniforme de la série $\sum f_n$ sur $\R^+$. \item Montrer que $S$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\R^{+*}$. \item Montrer que $S$ n'est pas dérivable à droite en $0$. \item Montrer que $x^kS(x)$ tend vers $0$ en $+\infty$ pour tout $k\in\N$. \end{enumerate} \finenonce{004551} \finexercice \exercice{4552, quercia, 2010/03/14} \enonce{004552}{Centrale MP 2001} Convergence et limite en $1^-$ de $f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(1-x)x^n}{1+x^n}$. \finenonce{004552} \finexercice \exercice{4553, quercia, 2010/03/14} \enonce{004553}{Centrale MP 2001} Soit $S(t) = \sum_{n=1}^\infty \frac{t^n}{1-t^n}$. \begin{enumerate} \item Pour quelles valeurs de $t$, $S$ est-elle définie~? Est-elle continue~? \item Montrer qu'au voisinage de~$1^-$ on a $S(t) = -\frac{\ln(1-t)}{1-t} + O\Bigl(\frac1{1-t}\Bigr)$. On pourra développer $\ln(1-t)$ en série entière. \end{enumerate} \finenonce{004553} \finexercice \exercice{4554, quercia, 2010/03/14} \enonce{004554}{Centrale MP 2002} On pose $\phi (x)= d(x,\Z)=\inf\{ |x-n| \text{ tel que } n\in\Z\}$. \begin{enumerate} \item Montrer que $f$ : $\R\ni x \mapsto \sum_{n=0}^{+\infty} (\frac34) ^n\phi (4^nx)$ est définie et continue. \item Montrer que $\phi$ est lipschitzienne. Que peut-on en déduire pour $f$~? \item Montrer que $f$ n'est dérivable en aucun point. \end{enumerate} \finenonce{004554} \finexercice \exercice{4555, quercia, 2010/03/14} \enonce{004555}{ENS Lyon-Cachan MP 2002} Soin $(a_n)_{n\ge 1}$ une suite complexe telle que la série $\sum a_n$ converge. On pose~: $f(h) = \sum_{n=1}^\infty a_n\frac{\sin^2(nh)}{(nh)^2}$ si $h\ne 0$ et $f(0) = \sum_{n=1}^\infty a_n$. Étudier le domaine de définition et la continuité de~$f$. \finenonce{004555} \finexercice \exercice{4556, quercia, 2010/03/14} \enonce{004556}{Centrale MP 2002} Soit $f : \R \to \R$ continue et $2\pi$-périodique. Pour $n\in\N^*$, on pose $F_n(x)=\frac{1}{n} \int_{t=0}^nf(x+t)f(t)\,d t$. \begin{enumerate} \item Montrer que la suite $(F_n)$ converge vers une fonction $F$ que l'on précisera. \item Nature de la convergence~? \item Prouver $\|F\|_{\infty}= |F(0)|$. \end{enumerate} \finenonce{004556} \finexercice \exercice{4557, quercia, 2010/03/14} \enonce{004557}{Approximation par des fractions rationnelles} Soit $f:\R \to \R$ continue, ayant même limite finie~$\ell$ en $\pm\infty$. Montrer que $f$ est limite uniforme sur~$\R$ de fractions rationnelles. \finenonce{004557} \finexercice \exercice{4558, quercia, 2010/03/14} \enonce{004558}{Fonction définie par une série} On pose pour $x\in\R$~: $f(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{\sqrt{n^2+x^2}}$. \begin{enumerate} \item Déterminer $\lim_{x\to\infty}f(x)$. \item Chercher un équivalent de~$f(x)$ en $+\infty$. \end{enumerate} \finenonce{004558} \finexercice \exercice{4559, quercia, 2010/03/14} \enonce{004559}{Recherche d'équivalents, Centrale MP 2006} Déterminer un équivalent au voisinage de $0$ de $S_{1}(x) = \sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{\sh{(nx)}}}$ et $S_{2}(x) = \sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{\sh^{2}{(nx)}}}$. \finenonce{004559} \finexercice \exercice{4560, quercia, 2010/03/14} \enonce{004560}{Étude de $\sum t^{p-1}\sin(px)$ pour~$x\in{]0,\pi[}$, TPE MP 2005} \begin{enumerate} \item Calculer $S_n(t) = \sum_{p=1}^n t^{p-1}\sin(px)$ puis $S(t) = \lim_{n\to\infty} S_n(t)$. \item Calculer $ \int_{t=0}^1 S_n(t)\,d t$ et $ \int_{t=0}^1 S(t)\,d t$. \item En déduire que $\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin nx}n$ converge et donner sa valeur. \end{enumerate} \finenonce{004560} \finexercice \exercice{4561, quercia, 2010/03/14} \enonce{004561}{Fraction rationnelle de meilleure approximation (Ens Ulm-Lyon-Cachan MP$^*$ 2003)} On note~$R$ l'ensemble des fractions rationnelles continues sur~$[0,1]$ et pour $m,n\in\N$~: $R_{m,n} = \{f\in R\text{ tel que }\exists\ P,Q\in\R[X]\text{ tel que }\deg(P)\le m,\ \deg(Q)\le n\text{ et }f=P/Q\}$. \begin{enumerate} \item $R$ est-il un espace vectoriel~? Si oui en trouver une base. Même question pour~$R_{m,n}$. \item Soient $m,n$ fixés. On note $d = \inf\{\|g-f\|,\ f\in R_{m,n}\}$ où $g$ désigne une fonction continue de~$[0,1]$ dans~$\R$ et ${\|h\| = \sup\{|h(x)|,\ x\in[0,1]\}}$. Montrer qu'il existe $r_0\in R_{m,n}$ tel que $\|g-r_0\| = d$. \end{enumerate} \finenonce{004561} \finexercice \exercice{4562, quercia, 2010/03/14} \enonce{004562}{Dérivation multiple, ULM-Lyon-Cachan MP$^*$ 2005} \begin{enumerate} \item Soit $(f_n)$ une suite de fonctions de classe~$\mathcal{C}^1$ sur $[a,b]$ telle que $(f_n')$ converge uniformément vers $g$ et il existe $x_1$ tel que $(f_n(x_1))$ converge. Montrer que $(f_n)$ converge uniformément sur~$[a,b]$ vers $f$ telle que $f'=g$. \item Soit $(f_n)$ une suite de fonctions de classe~$\mathcal{C}^p$ sur $[a,b]$ telle que $(f_n^{(p)})$ converge uniformément vers $g$ et il existe $x_1,\dots,x_p$ distincts tels que $(f_n(x_i))$ converge. Montrer que $(f_n)$ converge uniformément sur~$[a,b]$ vers $f$ telle que $f^{(p)}=g$. \end{enumerate} \finenonce{004562} \finexercice \exercice{4563, quercia, 2010/03/14} \enonce{004563}{Exponentielle, Polytechnique MP$^*$ 2006} Soient $A,B\in \mathcal{M}_n(\R)$. Montrer que : $\exp(A) - \exp(B) = \int_{s=0}^1\exp(sA) (A-B) \exp((1-s)B)\,d s$. \finenonce{004563} \finexercice \exercice{5736, rouget, 2010/10/16} \enonce{005736}{**} Pour $x>0$, on pose $f(x) =\sum_{n=0}^{+\infty}e^{-x\sqrt{n}}$. Trouver un équivalent simple de $f$ en $0$ à droite. \finenonce{005736} \finexercice \exercice{5737, rouget, 2010/10/16} \enonce{005737}{***} Pour $x\in]-1,1[$, on pose $f(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}x^{n^2}$. Trouver un équivalent simple de $f$ en $1$. \finenonce{005737} \finexercice \section{ 223.01 Limite } \exercice{1784, drutu, 2003/10/01} \enonce{001784}{} \'Etudier l'existence des limites suivantes : \begin{enumerate} \item $\mathrm{lim}_{\begin{smallmatrix}(x,y)\to (0,0)\\ x+y\ne 0\end{smallmatrix}} \frac{x^2y}{x+y}$ \item $\mathrm{lim}_{\begin{smallmatrix}(x,y,z)\to (0,0,0)\\2x^3+yz^2 \ne 0\end{smallmatrix}} \frac{xyz+z^3}{2x^3+yz^2}$ \item $\mathrm{lim}_{\begin{smallmatrix}(x,y)\to (0,0)\\(x,y)\ne (0,0)\end{smallmatrix}} \frac{|x|+|y|}{x^2+y^2}$ \item $\mathrm{lim}_{\begin{smallmatrix}(x,y)\to (0,0)\\ x \ne \pm y\end{smallmatrix}} \frac{x^4y}{x^2-y^2}$ \item $\mathrm{lim}_{\begin{smallmatrix}(x,y,z)\to (0,0,0)\\(x,y,z) \ne (0,0,0)\end{smallmatrix}} \frac{xy+yz}{x^2+2y^2+3z^2}$ \end{enumerate} \finenonce{001784} \finexercice \exercice{1785, drutu, 2003/10/01} \enonce{001785}{} Soit $f \colon \R^2 \setminus \{(0,0)\} \to \R$ la fonction d\'efinie par \[ f(x,y) = \frac{x^2y^2}{x^2y^2 + (x-y)^2} . \] Montrer que \begin{equation} \lim_{x\to 0}\lim_{y\to 0}f(x,y) = \lim_{y\to 0}\lim_{x\to 0}f(x,y) = 0 \label{non} \end{equation} et que $\lim_{(x,y)\to (0,0)} f(x,y)$ n'existe pas. \finenonce{001785} \finexercice \exercice{1786, drutu, 2003/10/01} \enonce{001786}{} Soit $$f : \R^2 \to \R , \quad f(x,y) = \left\{ \begin{array}{cc} (x+y)\sin \frac{1}{x} \sin \frac{1}{y} & \mbox{ si }xy \neq 0 \\ 0 & \mbox{ si } xy = 0 \end{array} \right .$$ D\'emontrer que les deux limites it\'er\'ees $$\lim_{x\to 0}\lim_{y\to 0}f(x,y) \quad \mbox{ et } \lim_{y\to 0}\lim_{x\to 0}f(x,y)$$ n'existent pas, et que $$\lim_{(x,y)\to (0,0)}f(x,y)$$ existe et est \'egale \`a $0$. \finenonce{001786} \finexercice \exercice{1787, drutu, 2003/10/01} \enonce{001787}{} D\'eterminer les limites lorsqu'elles existent: \begin{enumerate} \item $\lim_{(x,y)\to (0,0)} \frac{x}{x^2+y^2} $ \item$ \lim_{(x,y)\to (0,0)} \frac{(x+2y)^3}{x^2+y^2} $ \item$ \lim_{(x,y)\to (1,0)} \frac{\log (x+e^y)}{\sqrt{x^2+y^2}} $ \item $\lim_{(x,y)\to (0,0)} \frac{x^4+y^3-xy}{x^4+y^2} $ \item $ \lim_{(x,y)\to (0,0)} \frac{x^3y}{x^4+y^4} $ ; \item $ \lim_{(x,y)\to (0,0)} \frac{(x^2+y^2)^2}{x^2-y^2} $ ; \item $ \lim_{(x,y)\to (0,0)} \frac{1-\cos xy}{y^2} $ ; \item $ \lim_{(x,y)\to (0,0)} \frac{\sin x}{\cos y-\cosh x} $ \end{enumerate} \finenonce{001787} \finexercice \exercice{1788, drutu, 2003/10/01} \enonce{001788}{} Pour chacune des fonctions $f$ suivantes, \'etudier l'existence d'une limite en $(0,0,0)$ : \begin{enumerate} \item $f(x,y,z)= \frac{xyz}{x+y+z}$ ; \item $f(x,y,z)= \frac{x+y}{x^2-y^2+z^2}$. \end{enumerate} \finenonce{001788} \finexercice \exercice{1789, maillot, 2001/09/01} \enonce{001789}{} \'Etudier la continuité des fonctions définies sur $\R^2$ par \begin{align*} &f_1(x,y)=\frac{xy}{x^2+y^2} \qquad &\text{si }\quad (x,y)\neq (0,0),\\ &f_1(0,0)=0.\\ &f_2(x,y)=\frac{x^3+y^3}{x^2+y^2} \qquad &\text{si}\quad (x,y)\neq (0,0),\\ &f_2(0,0)=0. \end{align*} \finenonce{001789} \finexercice \exercice{1790, maillot, 2001/09/01} \enonce{001790}{partiel 1999} \begin{enumerate} \item \'Etudier la continuit\'e de la fonction $f_1:\R^2\rightarrow\R$ d\'efinie par \[f_1(x,y)=\begin{cases} \frac{(\sin x)\, (\sin y)}{\sqrt{\vert x\vert}+ \sqrt{\vert y\vert}} &\text{si\ } (x,y)\neq (0,0)\\ 0 &\text{si\ } (x,y)= (0,0). \end{cases}\] \item Soit $a>0$ fix\'e. \'Etudier la continuit\'e de la fonction $f_2:\R^2\rightarrow\R$ d\'efinie par \[f_2(x,y)=\begin{cases} \frac{{\vert x\vert}^a\, {\vert y\vert}^a}{x^2+ y^2} &\text{si\ } (x,y)\neq (0,0)\\ 0 &\text{si\ } (x,y)= (0,0). \end{cases}\] \item \'Etudier la continuit\'e de la fonction $f_3:\R^2\rightarrow\R$ d\'efinie par \[f_3(x,y)=\begin{cases} y-x^2 &\text{si\ } y>x^2\\ 0 &\text{si\ } y\le x^2. \end{cases}\] \item On d\'efinit une fonction continue de l'ouvert $U=\{(x,y,z)\in \R^3 \mid xyz\neq 0\}$ dans $\R$ en posant $$ f_4(x,y,z)=(x^2+y^2+z^2)\, \sin{\frac1x}\, \sin{\frac1y}\, \cos{\frac1z}.$$ \'Etudier la possibilit\'e de prolonger $f_4$ en une fonction continue sur $\R^3$. \end{enumerate} \finenonce{001790} \finexercice \exercice{1791, ridde, 1999/11/01} \enonce{001791}{} Prolonger par continuit\'e la fonction ${g}:{(\Rr^{2})^{*}}\to{\Rr}$, ${ (x, y)} \mapsto {xy\ln (x^{2} + y^{2})}$. \finenonce{001791} \finexercice \exercice{1792, gourio, 2001/09/01} \enonce{001792}{} Soit $ f:{\Rr}^{2}\rightarrow {\Rr}$ telle que $ \forall (x,y)\in {\Rr} ^{2},f(x,.)$ et $ f(.,y) $ sont continues. Montrer qu'il existe une suite $ \left( g_{n}\right) _{n\in \Nn } $ d'applications continues sur $ {\Rr} ^{2}$ telles que : $$\forall (x,y)\in {\Rr}^{2},\lim\limits_{n\rightarrow \infty }g_{n}(x,y)=f(x,y). $$ \finenonce{001792} \finexercice \exercice{2621, debievre, 2009/05/19} \enonce{002621}{} Pour chacune des suites $(u_n)_n$ dans le plan $\R^2$ ci-dessous, placer quelques-uns des points $u_n$ dans le plan et d\'ecrire qualitativement le comportement de la suite lorsque $n$ tend vers l'infini. \'Etudier ensuite la convergence de chacune des suites et d\'eterminer la limite le cas \'ech\'eant. \begin{enumerate} \item $u_n=(\frac{4n^2}{n^2+4n+3}, \cos\frac1n)$ \item $u_n=(\frac{n^2\arctan n}{n^2+1}, \sin(\frac{\pi}{4}\exp(-{\frac1n})))$ \item $u_n=(\sinh n, \frac{\ln n}{n})$ \item $u_n=(a^n\cos (n\alpha), a^n\sin (n\alpha))$, en fonction de $a\in \R$, $a>0$ et $\alpha\in\R$. \end{enumerate}\finenonce{002621} \finexercice \exercice{2649, debievre, 2009/05/19} \enonce{002649}{} On consid\`ere une suite $(u_n)_n$, de terme g\'en\'eral $u_n\in\R^2$. \begin{enumerate} \item Donner la d\'efinition de convergence pour une telle suite. (Ceci est une question de cours!) \item Soit la suite de terme g\'en\'eral $u_n=(\tanh(n), \cos(n) \exp(-n^2))$. \'Etudier sa convergence. \end{enumerate} \finenonce{002649} \finexercice \exercice{5553, rouget, 2010/07/15} \enonce{005553}{**T} Etudier l'existence et la valeur éventuelle d'une limite en $(0,0)$ des fonctions suivantes : \begin{enumerate} \item $\frac{xy}{x+y}$ \item $\frac{xy}{x^2+y^2}$ \item $\frac{x^2y^2}{x^2+y^2}$ \item $\frac{1+x^2+y^2}{y}\sin y$ \item $\frac{x^3+y^3}{x^2+y^2}$ \item $\frac{x^4+y^4}{x^2+y^2}$. \end{enumerate} \finenonce{005553} \finexercice \exercice{5887, rouget, 2010/10/16} \enonce{005887}{** I} Etudier l'existence et la valeur éventuelle des limites suivantes : \begin{enumerate} \item $ \frac{xy}{x^2+y^2}$ en $(0,0)$ \item $ \frac{x^2y^2}{x^2+y^2}$ en $(0,0)$ \item $ \frac{x^3+y^3}{x^2+y^4}$ en $(0,0)$ \item $ \frac{\sqrt{x^2+y^2}}{|x|\sqrt{|y|}+|y|\sqrt{|x|}}$ en $(0,0)$ \item $ \frac{(x^2-y)(y^2-x)}{x+y}$ en $(0,0)$ \item $ \frac{1-\cos\sqrt{|xy|}}{|y|}$ en $(0,0)$ \item $ \frac{x+y}{x^2-y^2+z^2}$ en $(0,0,0)$ \item $ \frac{x+y}{x^2-y^2+z^2}$ en $(2,-2,0)$ \end{enumerate} \finenonce{005887} \finexercice \section{ 223.02 Continuité } \exercice{1793, gourio, 2001/09/01} \enonce{001793}{} Trouver les fonctions $ f$ continues sur $ {\Rr}^{2}$ telles que : $$\forall (x,y)\in {\Rr}^{2},f(x,y)=f(x+y,x-y). $$ \finenonce{001793} \finexercice \exercice{1794, drutu, 2003/10/01} \enonce{001794}{} Etudier la continuit\'e sur $\R^2$ de la fonction suivante : \begin{enumerate} \item $$f(x,y) = \left\{ \begin{array}{cc} \frac{x^2y^2}{x^2+y^2} & \mbox{ si }(x,y) \neq (0,0) \\ 0 & \mbox{ sinon. } \end{array} \right .$$ \item $$f(x,y) = \left\{ \begin{array}{cc} \frac{x^2y}{x^2+y^2} & \mbox{ si }(x,y) \neq (0,0) \\ 0 & \mbox{ sinon. } \end{array} \right .$$ \item $$f(x,y) = \left\{ \begin{array}{cc} \frac{x^4y}{x^4+y^6} & \mbox{ si }(x,y) \neq (0,0) \\ 0 & \mbox{ sinon. } \end{array} \right .$$ \item $$f(x,y) = \left\{ \begin{array}{cc} \frac{xy^4}{x^4+y^6} & \mbox{ si }(x,y) \neq (0,0) \\ 0 & \mbox{ sinon. } \end{array} \right .$$ \item $$f(x,y) = \left\{ \begin{array}{cc} y^2\sin \frac{x}{y} & \mbox{ si }y \neq 0 \\ 0 & \mbox{ sinon. } \end{array} \right .$$ \item $$f(x,y) = \left\{ \begin{array}{cc} xe^{\arctan \frac{y}{x}} & \mbox{ si }x \neq 0 \\ 0 & \mbox{ sinon. } \end{array} \right .$$ \end{enumerate} \finenonce{001794} \finexercice \exercice{1795, drutu, 2003/10/01} \enonce{001795}{} On d\'efinit la fonction $f$ sur $\R^2 \setminus \{ (x,x) \; ;\; x\in \R \}$ par $$ f(x,y)= \frac{\sin x -\sin y}{x-y}\; . $$ Peut-on prolonger $f$ en une fonction continue sur $\R^2$ ? \finenonce{001795} \finexercice \exercice{1796, drutu, 2003/10/01} \enonce{001796}{} Etudier la continuit\'e en $(0,0)$ des fonctions suivantes : \begin{enumerate} \item $$f(x,y) = \left\{ \begin{array}{cc} \frac{(x+y)^4}{x^4+y^4} & \mbox{ si }(x,y) \neq (0,0) \\ 1 & \mbox{ sinon. } \end{array} \right .$$ \item $$f(x,y) = \left\{ \begin{array}{cc} \frac{|x|^3|y|^5}{(x^2+y^2)^2} & \mbox{ si }(x,y) \neq (0,0) \\ 0 & \mbox{ sinon. } \end{array} \right .$$ \item $$f(x,y) = \left\{ \begin{array}{cc} \frac{e^{xy}-1}{x^2+y^2} & \mbox{ si }(x,y) \neq (0,0) \\ 0 & \mbox{ sinon. } \end{array} \right .$$ \end{enumerate} \finenonce{001796} \finexercice \exercice{1797, drutu, 2003/10/01} \enonce{001797}{} \begin{enumerate} \item $$ f(x,y)=\left\{ \begin{array}{cc} \frac{(x+2y)^3y^3}{x^4+y^4} & \mbox{ si }(x,y) \neq (0,0) \\ 0 & \mbox{ sinon. } \end{array} \right . $$ \item $$ f(x,y)=\left\{ \begin{array}{cc} \frac{x^6+x^2y^2}{x^2+y^2} & \mbox{ si }(x,y)\neq (0,0) \\ 0 & \mbox{ si }(x,y)=(0,0) \end{array} \right . $$ \item $$ f(x,y)=\left\{ \begin{array}{cc} e^{\frac{x}{y}} & \mbox{ si }y \neq 0 \\ 0 & \mbox{ sinon. } \end{array} \right . $$ \item $$ f(x,y)=\left\{ \begin{array}{cc} \frac{\sin xy}{y} & \mbox{ si }y \neq 0 \\ x & \mbox{ sinon. } \end{array} \right . $$ \item $$ f(x,y)=\left\{ \begin{array}{cc} \frac{\ln (1+x)-\ln (1+y)}{x-y} & \mbox{ si }x \neq y \\ \frac{1}{1+x} & \mbox{ sinon. } \end{array} \right . $$ d\'efinie sur $D=\{(x,y) \mid x\geq 0, y\geq 0\}$. \end{enumerate} \finenonce{001797} \finexercice \exercice{2650, debievre, 2009/05/19} \enonce{002650}{} Soit $f:\R^2\to\R$ d\'efinie par \begin{eqnarray*} f(x,y)&=&\frac{x^2y}{x-y},\quad \mathrm{si}\ x\not=y\\ &=& x,\quad \mathrm{si}\ x=y. \end{eqnarray*} \begin{enumerate} \item Calculer les d\'eriv\'ees partielles $\frac{\partial f}{\partial x}(1,-2)$ et $\frac{\partial f}{\partial y}(1,-2)$. \item Pour tout $v=(\cos \theta, \sin \theta)$, calculer $D_vf(1,-2)$. Pour quelles valeurs de $\theta\in [0,2\pi[$, $D_vf(1,-2)=0$ ? \item \'Etudier la continuit\'e de $f$ au point $(1,1)\in\R^2$. \item \'Etudier la continuit\'e de $f$ au point $(0,0)\in\R^2$. \item Montrer que les d\'eriv\'ees partielles $\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)$ et $\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)$ existent et les d\'eterminer. \item Montrer que la d\'eriv\'ee directionnelle $D_vf(0,0)$ existe pour $v=(1,1)$, et la d\'eterminer. On constatera que l'\'egalit\'e $D_vf(0,0)=\partial_xf(0,0) + \partial_yf(0,0)$ n'est pas satisfaite. Expliquer pourquoi cela ne contredit aucun th\'eor\`eme du cours. \end{enumerate} \finenonce{002650} \finexercice \exercice{5554, rouget, 2010/07/15} \enonce{005554}{***} On pose $\begin{array}[t]{cccc}f_{x,y}~:&[-1,1]&\rightarrow&\Rr\\ &t&\mapsto&xt^2+yt \end{array}$ puis $F(x,y) =\underset{t\in[-1,1]}{\text{sup}}f_{x,y}(t)$. Etudier la continuité de $F$ sur $\Rr^2$. \finenonce{005554} \finexercice \exercice{5900, rouget, 2010/10/16} \enonce{005900}{**} Soit $(E,\|\;\|)$ un espace vectoriel normé et $B=\{x\in E/\;\|x\| < 1\}$. Montrer que $\begin{array}[t]{cccc} f~:&E&\rightarrow&B\\ &x&\mapsto& \frac{x}{1+\|x\|} \end{array}$ est un homéomorphisme. \finenonce{005900} \finexercice \exercice{5901, rouget, 2010/10/16} \enonce{005901}{**} $E =\Rr^n$ est muni de sa structure euclidienne usuelle. Montrer que $\begin{array}[t]{cccc} f~:&E&\rightarrow&\Rr\\ &x&\mapsto&\|x\|_2 \end{array}$ est différentiable sur $E\setminus\{0\}$ et préciser $df$. Montrer que $f$ n'est pas différentiable en $0$. \finenonce{005901} \finexercice \section{ 223.03 Différentiabilité } \exercice{1798, ridde, 1999/11/01} \enonce{001798}{} Soit $f : \begin{cases} \Rr^{2} \rightarrow \Rr \\ (x, y) \mapsto x \text{ si } \left|x\right|>\left|y\right|\\ (x, y) \mapsto y \text{ si } \left|x\right|<\left|y\right|\\ (x, y) \mapsto 0 \text{ si } \left|x\right| = \left|y\right|\\ \end{cases} $. \\ \'Etudier la continuit\'e de $f$, l'existence des d\'eriv\'ees partielles et leur continuit\'e. \finenonce{001798} \finexercice \exercice{1799, ridde, 1999/11/01} \enonce{001799}{} Soit $f : \begin{cases} \Rr^{2} \rightarrow \Rr \\ (x, y) \mapsto \frac{\sin (xy)} {\left|x\right| + \left|y\right|} \text{ si } (x, y) \neq (0,0)\\ (0, 0) \mapsto 0\\ \end{cases}$.\\ \'Etudier la continuit\'e de $f$ et l'existence des d\'eriv\'ees partielles.$f$ est-elle $C^{1}$ ? \finenonce{001799} \finexercice \exercice{1800, ridde, 1999/11/01} \enonce{001800}{} Soit la fonction $f \colon \R^{2} \longrightarrow \R$ d\'efinie par \[ \begin{array}{lll} f(x, y)= xy\frac{x^{2}-y^{2}} {x^{2} + y^{2}}& \mathrm{ si } &(x, y) \neq (0,0),\\ f(0, 0)= 0 \end{array} \] \'Etudier la continuit\'e de $f$. Montrer que $f$ est de classe $C^{1}$. \finenonce{001800} \finexercice \exercice{1801, ridde, 1999/11/01} \exercice{} \enonce{001801}{} Soit $f : \R \rightarrow \R$ d\'erivable. Calculer les d\'eriv\'ees partielles de : \[ g (x, y) = f (x + y),\qquad h (x, y) = f (x^{2} + y^{2}), \qquad k (x, y) = f (xy) \] \finenonce{001801} \finexercice \exercice{1802, ridde, 1999/11/01} \enonce{001802}{} Soit $f : \begin{cases} \Rr^{2} \rightarrow \Rr \\ (x, y) \mapsto \frac{x^{5}} { (y-x^{2})^{2} + x^{6}} \text{ si } (x, y) \neq (0,0)\\ (0, 0) \mapsto 0\\ \end{cases}$.\\ Montrer que $f$ admet une d\'eriv\'ee en $ (0, 0)$ suivant tout vecteur mais n'admet pas de d\'eveloppement limit\'e \`a l'ordre 1 en $ (0, 0)$. \finenonce{001802} \finexercice \exercice{1803, gourio, 2001/09/01} \enonce{001803}{} Soit $f : \R^{2} \rightarrow \R$, d\'efinie par \[ \begin{array}{lll} f(x, y)=x &\mathrm{si}& \left|x\right|>\left|y\right|\\ f(x, y)=y &\mathrm{ si }&\left|x\right|<\left|y\right|\\ f(x, y)= 0 &\mathrm{ si }& \left|x\right| = \left|y\right|. \end{array} \] \'Etudier la continuit\'e de $f$, l'existence des d\'eriv\'ees partielles et leur continuit\'e. \finenonce{001803} \finexercice \exercice{1804, gourio, 2001/09/01} \enonce{001804}{} Soit $ a\in {\Rr}^{2}$ fix\'{e} ; l'application $ x\rightarrow \left\langle x,a\right\rangle $ de $ {\Rr}^{2}$ usuel dans $ {\Rr}$ est-elle continue, admet-elle des d\'{e}riv\'{e}es partielles, celles-ci sont elles continues ? \finenonce{001804} \finexercice \exercice{1805, gourio, 2001/09/01} \enonce{001805}{} Soit $ f$ la fonction d\'{e}finie sur $ {\Rr}^{2}$ par : \begin{itemize} \item si $ \left| x\right| \leq y,$ $ f(x,y)=x^{2}.$ \item $ f(x,y)=y^{2}$ sinon. \end{itemize} \'Etudier la continuit\'{e} de $ f$ et l'existence de d\'{e}riv\'{e}es partielles. \finenonce{001805} \finexercice \exercice{1806, gourio, 2001/09/01} \enonce{001806}{} Montrer qu'une norme $ N$ sur $ {\Rr}^{2} $ ne peut avoir des d\'{e}riv\'{e}es partielles qui existent et qui soient continues en $ 0.$ \finenonce{001806} \finexercice \exercice{1807, maillot, 2001/09/01} \enonce{001807}{} Soient $\alpha>0$ et $f~:\,\R^2 \to \R$ d\'efinie par $$\left \{\begin{array}{l} \displaystyle f(x,y) = \frac{|x|^\alpha y}{x^2+y^4} \quad \mbox{si }(x,y)\neq (0,0)\\ f(0,0)=0 \end{array}\right.$$ \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que $$\displaystyle \forall (x,y)\neq (0,0)\quad \left|f(x,y)\right|\leq \left(x^2+y^4\right)^{\frac{2\alpha -3}4}.$$ \item Calculer $\displaystyle \lim_{ \begin{array}{c}y\to 0\\y\neq 0\end{array}} \left|f(y^2,y)\right|$. \item \'Etudier la continuit\'e de $f$ en (0,0). \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que $$\displaystyle\forall (x,y)\neq (0,0)\quad \frac{\left|f(x,y)\right|}{\sqrt{x^2+y^2}}\leq |x|^{\alpha-2}.$$ \item Calculer $\displaystyle \lim_{ \begin{array}{c}x\to 0\\x \neq 0\end{array}} \frac{\left|f(x,x)\right|}{\sqrt 2 |x|}.$ \item \'Etudier la diff\'erentiabilit\'e de $f$ en (0,0). \end{enumerate} \end{enumerate} \finenonce{001807} \finexercice \exercice{1808, drutu, 2003/10/01} \enonce{001808}{} \begin{enumerate} \item Calculer la d\'eriv\'ee de la fonction $F(x,y)=e^{x^2+y^2}$ au point $P(1,0)$ suivant la bissectrice du premier quadrant. \item Calculer la d\'eriv\'ee de la fonction $F(x,y,z)=x^2-3yz+5$ au point $P(1,2,1)$ dans une direction formant des angles \'egaux avec les trois axes de coordonn\'ees. \item Calculer la d\'eriv\'ee de la fonction $F(x,y,z)=xy+yz+zx$ au point $M(2,1,3)$ dans la direction joignant ce point au point $N(5,5,15)$. \end{enumerate} \finenonce{001808} \finexercice \exercice{1809, drutu, 2003/10/01} \enonce{001809}{} Etudier la continuit\'e, ainsi que l'existence et la continuit\'e des d\'eriv\'ees partielles premi\`eres, des fonctions suivantes : \begin{enumerate} \item $$ f(x,y)=\left\{ \begin{array}{cc} \frac{x|y|}{\sqrt{x^2+y^2}} & \mbox{ si }(x,y) \neq (0,0) \\ 0 & \mbox{ sinon. } \end{array} \right . $$ \item $$ f(x,y)=\left\{ \begin{array}{cc} \frac{x\sin y - y\sin x}{x^2+y^2} & \mbox{ si }(x,y) \neq (0,0) \\ 0 & \mbox{ sinon. } \end{array} \right . $$ \item $$ f(x,y)=\left\{ \begin{array}{cc} e^{x \ln (x^2+y^2)} & \mbox{ si }(x,y) \neq (0,0) \\ 1 & \mbox{ sinon. } \end{array} \right . $$ \end{enumerate} \finenonce{001809} \finexercice \exercice{1810, drutu, 2003/10/01} \enonce{001810}{} On d\'efinit la fonction $$ f(x,y)=\left\{ \begin{array}{cc} \frac{x^3-y^3}{x^2+y^2} & \mbox{ si }(x,y) \neq (0,0) \\ 0 & \mbox{ sinon. } \end{array} \right . $$ Montrer que $\frac{\partial f}{\partial x} (x,y)$ et $\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)$ existent en tout point de $\R^2$ et que $f$ est continue mais pas diff\'erentiable en $(0,0)$. \finenonce{001810} \finexercice \exercice{1811, drutu, 2003/10/01} \enonce{001811}{} Soit $f:\rbrack 0,1\lbrack \times \rbrack 0,1\lbrack \to \R $, $$ f(x,y)=\left\{ \begin{array}{cc} x(1-y) & \mbox{ si }x\leq y \\ y(1-x) & \mbox{ si }x > y \end{array} \right . $$ Etudier la continuit\'e et la diff\'erentiabilit\'e de $f$. \finenonce{001811} \finexercice \exercice{1812, drutu, 2003/10/01} \enonce{001812}{} Soit $f:\R^2 \to \R $, $$ f(x,y)=\left\{ \begin{array}{cc} \frac{x^2y+xy^2}{x^2+y^2} & \mbox{ si }(x,y)\neq (0,0) \\ 0 & \mbox{ si }(x,y)=(0,0) \end{array} \right . $$ Montrer que $f$ est continue en $(0,0)$ et admet des d\'eriv\'ees partielles dans toutes les directions, mais n'y est pas diff\'erentiable. \finenonce{001812} \finexercice \exercice{1813, drutu, 2003/10/01} \enonce{001813}{} Soit $f:\R^2 \to \R $, $$ f(x,y)=\left\{ \begin{array}{cc} x^2y^2\sin \frac{1}{x} & \mbox{ si }x\neq 0 \\ 0 & \mbox{ si }x=0\; . \end{array} \right . $$ Montrer que la fonction $f$ est diff\'erentiable en tout point de $\R^2$ mais que $\partial_1f$ et $\partial_2f$ ne sont pas continues en certains points de $\R^2$. \finenonce{001813} \finexercice \exercice{1814, drutu, 2003/10/01} \enonce{001814}{} Etudier la diff\'erentiabilit\'e et la continuit\'e des d\'eriv\'ees partielles de la fonction $f:\R^2 \to \R $, $$ f(x,y)=\left\{ \begin{array}{cc} (x^2+y^2)^{3/2}\sin \frac{1}{x^2+y^2} & \mbox{ si }(x,y)\neq (0,0) \\ 0 & \mbox{ si }(x,y)= (0,0)\; . \end{array} \right . $$ \finenonce{001814} \finexercice \exercice{1815, drutu, 2003/10/01} \enonce{001815}{} Etudier la diff\'erentiabilit\'e en $(0,0)$ des fonctions d\'efinies par \begin{enumerate} \item $$ f(x,y)=\left\{ \begin{array}{cc} \frac{x^3y}{x^4+y^2} & \mbox{ si }(x,y) \neq (0,0) \\ 0 & \mbox{ sinon. } \end{array} \right . $$ \item $$ f(x,y)=\left\{ \begin{array}{cc} \frac{xy^3}{x^4+y^2} & \mbox{ si }(x,y) \neq (0,0) \\ 0 & \mbox{ sinon. } \end{array} \right . $$ \end{enumerate} \finenonce{001815} \finexercice \exercice{1816, drutu, 2003/10/01} \enonce{001816}{} Calculer les d\'eriv\'ees partielles (d'ordre un) des fonctions suivantes en un point arbitraire du domaine de d\'efinition. \begin{enumerate} \item $f(x,y)=x^2e^{xy}$ ; \item $g(x,y,z)=x^2y^3\sqrt{z}$ ; \item $h(x,y)=\ln (x+\sqrt{x^2+y^2})$. \end{enumerate} \finenonce{001816} \finexercice \exercice{1817, drutu, 2003/10/01} \enonce{001817}{} Calculer les d\'eriv\'ees partielles (d'ordre un) de la fonction $f(x,y)=\sqrt{xy+\frac{x}{y}}$ en $(2,1)$. \finenonce{001817} \finexercice \exercice{1818, drutu, 2003/10/01} \enonce{001818}{} On d\'efinit la fonction $$ f(x,y)=\left\{ \begin{array}{cc} \frac{xy}{x^2+y^2} & \mbox{ si }(x,y) \neq (0,0) \\ 0 & \mbox{ sinon. } \end{array} \right . $$ Montrer que $\frac{\partial }{\partial x} f(x,y)$ et $\frac{\partial }{\partial y}f(x,y)$ existent en tout point de $\R^2$ bien que $f$ ne soit pas continue en $(0,0)$. \finenonce{001818} \finexercice \exercice{1819, drutu, 2003/10/01} \enonce{001819}{} \begin{enumerate} \item Calculer la d\'eriv\'ee de la fonction $F(x,y)=x^2-xy-2y^2$ au point $P(1,2)$ dans une direction formant avec l'axe $Ox$ un angle de $\frac{\pi}{3}$. \item Calculer la d\'eriv\'ee de la fonction $F(x,y)=x^3-2x^2y+xy^2+1$ au point $P(1,2)$ dans la direction joignant ce point au point $M(4,6)$. \item Calculer la d\'eriv\'ee de la fonction $F(x,y)=\ln \sqrt{x^2+y^2}$ au point $P(1,1)$ suivant la bissectrice du premier quadrant. \end{enumerate} \finenonce{001819} \finexercice \exercice{1820, drutu, 2003/10/01} \enonce{001820}{} Calculer les diff\'erentielles des fonctions suivantes en un point arbitraire du domaine de d\'efinition : \begin{enumerate} \item $f(x,y)=\sin ^2 x+\cos ^2 y$ ; \item $f(x,y)=\ln \left( 1+\frac{x}{y}\right)$. \end{enumerate} \finenonce{001820} \finexercice \exercice{1821, drutu, 2003/10/01} \enonce{001821}{} Calculer $df\, (1,1)$, si $f(x,y)=\frac{x}{y^2}$. \finenonce{001821} \finexercice \exercice{1822, drutu, 2003/10/01} \enonce{001822}{} Calculer la d\'eriv\'ee de la fonction $F(x,y,z)=\ln \left( e^x+e^y+e^z\right)$ \`a l'origine dans une direction formant avec les axes de coordonn\'ees $x,y,z$ les angles $\alpha ,\beta , \gamma$. \finenonce{001822} \finexercice \exercice{2628, debievre, 2009/05/19} \enonce{002628}{} Trouver l'\'equation du plan tangent pour chaque surface ci-dessous, au point $(x_0,y_0,z_0)$ donn\'e: \begin{enumerate} \item $z=\sqrt{19-x^2-y^2},\quad (x_0,y_0,z_0)=(1,3,3)$; \item $z=\sin(\pi xy)\exp(2x^2y-1), \quad (x_0,y_0,z_0)=(1,1/2,1)$. \end{enumerate} \finenonce{002628} \finexercice \exercice{2629, debievre, 2009/05/19} \enonce{002629}{} On demande \`a un \'etudiant de trouver l'\'equation du plan tangent \`a la surface d'\'equation $z=x^4-y^2$ au point $(x_0,y_0,z_0)=(2,3,7)$. Sa r\'eponse est \[ z=4x^3(x-2)-2y(y-3). \] \begin{enumerate} \item Expliquer, sans calcul, pourquoi cela ne peut en aucun cas \^etre la bonne r\'eponse. \item Quelle est l'erreur commise par l'\'etudiant? \item Donner la r\'eponse correcte. \end{enumerate} \finenonce{002629} \finexercice \exercice{2630, debievre, 2009/05/19} \enonce{002630}{} Trouver les points sur le parabolo\"\i de $z=4x^2 +y^2$ o\`u le plan tangent est parall\`ele au plan $x+2y+z=6$. M\^eme question avec le plan $3x+5y-2z=3$. \finenonce{002630} \finexercice \exercice{2631, debievre, 2009/05/19} \enonce{002631}{} Soit $C$ le c\^one d'\'equation $z^2= x^2+y^2$ et $C^+$ le demi-c\^one o\`u $z \geq 0$. Pour un point quelconque $M_0$ de $C\setminus \{(0,0,0)\}$, de coordonn\'ees $(x_0,y_0,\pm \sqrt{x_0^2+y_0^2})$, on note ${\cal P}_{M_0}$ le plan tangent au c\^one $C$ en $M_0$. \begin{enumerate} \item D\'eterminer un vecteur normal et l'\'equation du plan ${\cal P}_{M_0}$. \item Montrer que l'intersection du c\^one $C$ avec le plan vertical d'\'equation ${y=ax}$ o\`u $a\in \R$ est constitu\'ee de deux droites ${\cal D}_1$ et ${\cal D}_2$ et que l'intersection du demi-c\^one $C^+$ avec ce plan vertical est constitu\'ee de deux demi-droites ${\cal D}^+_1$ et ${\cal D}^+_2$. \item Montrer que le plan tangent au c\^one $C$ est le m\^eme en tout point de ${\cal D}_1\setminus \{(0,0,0)\}$ (respectivement en tout point de ${\cal D}_2\setminus \{(0,0,0)\}$). \end{enumerate} \finenonce{002631} \finexercice \exercice{2632, debievre, 2009/05/19} \enonce{002632}{} Soit $f$ la fonction d\'efinie sur $\R^2$ par $f(x,y)= x^2-2y^3$. \begin{enumerate} \item D\'eterminer l'\'equation du plan tangent ${\cal P}_{M_0}$ au graphe $G_f$ de $f$ en un point quelconque $M_0$ de $G_f$. \item Pour le point $M_0$ de coordonn\'ees $(2,1,2)$, d\'eterminer tous les points $M$ tels que le plan tangent en $M$ soit parall\`ele \`a ${\cal P}_{M_0}$. \end{enumerate} \finenonce{002632} \finexercice \exercice{2633, debievre, 2009/05/19} \enonce{002633}{} Soit la fonction $f\colon\R^2\to\R$ d\'efinie par $$ f(x,y)=\frac{xy^2}{x^2+y^2}, \quad (x,y)\not=(0,0) $$ et $f(0,0)=0$. \begin{enumerate} \item Montrer que $f$ est continue et que, quel que soit $v\in\R^2$, la d\'eriv\'ee directionnelle $D_vf(x,y)$ existe en chaque $(x,y)\in\R^2$ mais que $f$ n'est pas diff\'erentiable en $(0,0)$. \item La d\'eriv\'ee directionnelle $D_vf(0,0)$ est-elle lin\'eaire en $v$? Les droites appartenant \`a la famille des droites passant par l'origine et de vecteurs directeurs $(v, D_vf(0,0))\in\R^3$, forment-elles un plan? Expliquer comment on peut observer la r\'eponse sur la figure. \item Le vecteur $v$ \'etant fix\'e, qu'est-ce qu'on peut dire de la continuit\'e de $D_vf(x,y)$ en $(x,y)$? {\center \includegraphics[height=6cm, keepaspectratio]{../images/img002633-1} } \end{enumerate} \finenonce{002633} \finexercice \exercice{2634, debievre, 2009/05/19} \enonce{002634}{} Utiliser une approximation affine bien choisie pour calculer une valeur approch\'ee des nombres suivants: \[ \exp[\sin(3.16)\cos(0.02))], \quad \arctan[\sqrt{4.03}-2\exp(0.01)]. \] \finenonce{002634} \finexercice \exercice{2651, debievre, 2009/05/19} \enonce{002651}{} \begin{enumerate} \item Soit $f:D\subset \R^m\to\R^n$ et $a\in D$. Donner la d\'efinition de ``$f$ est diff\'erentiable en $a$''. \item Montrer que, si $f$ est diff\'erentiable en $a$, alors toutes ses d\'eriv\'ees partielles existent. Exprimer le lien entre la diff\'erentielle $d f_a$ de $f$ en $a$ et les d\'eriv\'ees partielles de $f$ en $a$. \item Les affirmations suivantes, sont-elles vraies ou fausses? On justifiera bri\`evement sa r\'eponse. (A) Si $f$ est diff\'erentiable en $a$, alors elle y est continue. (B) Si toutes les d\'eriv\'ees partielles de $f$ en $a$ existent, alors $f$ est diff\'erentiable en $a$. \end{enumerate} \finenonce{002651} \finexercice \exercice{2652, debievre, 2009/05/19} \enonce{002652}{} Utiliser une approximation affine bien choisie pour calculer une valeur approch\'ee de $$\exp[-0.02\sqrt{4.03}].$$ \finenonce{002652} \finexercice \exercice{5555, rouget, 2010/07/15} \enonce{005555}{***T} Déterminer la classe de $f$ sur $\Rr^2$ où $f(x,y)=\left\{\begin{array}{l} 0\;\text{si}\;(x,y)=(0,0)\\ \frac{xy(x^2-y^2)}{x^2+y^2}\;\text{si}\;(x,y)\neq(0,0) \end{array} \right.$. \finenonce{005555} \finexercice \exercice{5888, rouget, 2010/10/16} \enonce{005888}{*** I} Pour $(x,y)\in\Rr^2$, on pose $f(x,y) =\left\{ \begin{array}{l} \frac{xy(x^2-y^2)}{x^2+y^2}\;\text{si}\;(x,y)\neq(0,0)\\ \rule{0mm}{5mm}0\;\text{si}\;(x,y)=(0,0) \end{array} \right.$. Montrer que $f$ est de classe $C^1$ (au moins) sur $\Rr^2$. \finenonce{005888} \finexercice \exercice{5894, rouget, 2010/10/16} \enonce{005894}{** I} Extremums des fonctions suivantes : \begin{enumerate} \item $f(x,y) = x^3+3x^2y -15x-12y$ \item $f(x,y) = -2(x-y)^2+x^4+y^4$. \end{enumerate} \finenonce{005894} \finexercice \exercice{5895, rouget, 2010/10/16} \enonce{005895}{*** I} Soit $\begin{array}[t]{cccc} f~:&GL_n(\Rr)&\rightarrow&M_n(\Rr)\\ &A&\mapsto&A^{-1} \end{array}$. Montrer que $f$ est différentiable en tout point de $M_n(\Rr)\setminus\{0\}$ et déterminer sa différentielle. \finenonce{005895} \finexercice \exercice{5896, rouget, 2010/10/16} \enonce{005896}{*} Déterminer $\text{Max}\{|\sin z|,\;z\in\Cc,\;|z|\leqslant1\}$. \finenonce{005896} \finexercice \exercice{5899, rouget, 2010/10/16} \enonce{005899}{**} Déterminer la différentielle en tout point de $\begin{array}[t]{cccc} f~:&\Rr^3\times\Rr^3&\rightarrow&\Rr\\ &(x,y)&\mapsto&x.y \end{array}$ et $\begin{array}[t]{cccc} g~:&\Rr^3\times\Rr^3&\rightarrow&\Rr\\ &(x,y)&\mapsto&x\wedge y \end{array}$. \finenonce{005899} \finexercice \section{ 223.04 Dérivée partielle } \exercice{2622, debievre, 2009/05/19} \enonce{002622}{} D\'eterminer, pour chacune des fonctions suivantes, le domaine de d\'efinition $D_f$. Pour chacune des fonctions, calculer ensuite les d\'eriv\'ees partielles en chaque point du domaine de d\'efinition lorsqu'elles existent: \begin{enumerate} \item $f(x,y)=x^2\exp(xy)$, \item $f(x,y)=\ln(x+\sqrt{x^2+y^2})$, \item $f(x,y)=\sin^2 x+ \cos^2y$, \item $f(x,y,z)=x^2y^2\sqrt{z}$. \end{enumerate} \finenonce{002622} \finexercice \exercice{2623, debievre, 2009/05/19} \enonce{002623}{} Soit $f$ la fonction sur $\R^2$ d\'efinie par $f(x,y)= x\cos y + y\exp x$. \begin{enumerate} \item Calculer ses d\'eriv\'ees partielles. \item Soit $v=(\cos \theta, \sin \theta)$, $\theta\in [0,2\pi[$. Calculer $D_vf(0,0)$. Pour quelle(s) valeurs de $\theta$ cette d\'eriv\'ee directionnelle de $f$ est-elle maximale/minimale? Que cela signifie-t-il? \end{enumerate} \finenonce{002623} \finexercice \exercice{2624, debievre, 2009/05/19} \enonce{002624}{} Soit $f:\R^2\rightarrow \R$ la fonction d\'efinie par $f(x,y)=(x^2+y^2)^x$ pour $(x,y)\not=(0,0)$ et $f(0,0)= 1$. \begin{enumerate} \item La fonction $f$ est-elle continue en $(0,0)$? \item D\'eterminer les d\'eriv\'ees partielles de $f$ en un point quelconque distinct de l'origine. \item La fonction $f$ admet-elle des d\'eriv\'ees partielles par rapport \`a $x$, \`a $y$ en $(0,0)$? \end{enumerate} \finenonce{002624} \finexercice \exercice{2625, debievre, 2009/05/19} \enonce{002625}{} Soit $f\colon \R^2\rightarrow \R$ la fonction d\'efinie par \begin{eqnarray*} f(x,y)&=&\frac{x^2y +3y^3}{x^2+y^2} \ \mathrm{ pour }\ (x,y)\not=(0,0),\\ f(0,0)&=& 0. \end{eqnarray*} \begin{enumerate} \item La fonction $f$ est-elle continue en $(0,0)$? Justifier la r\'eponse. \item La fonction $f$ admet-elle des d\'eriv\'ees partielles par rapport \`a $x$, \`a $y$ en $(0,0)$? Donner la ou les valeurs le cas \'ech\'eant et justifier la r\'eponse. \item La fonction $f$ est-elle diff\'erentiable en $(0,0)$? Justifier la r\'eponse. \item D\'eterminer les d\'eriv\'ees partielles de $f$ en un point $(x_0,y_0)\not=(0,0)$. \item D\'eterminer l'\'equation du plan tangent au graphe de $f$ au point $(1,1,2)$. \item Soit $F:\R^2\rightarrow \R^2$ la fonction d\'efinie par $F(x,y)=(f(x,y),f(y,x))$. D\'eterminer la matrice jacobienne de $F$ au point $(1,1)$. La fonction $F$ admet-elle une r\'eciproque locale au voisinage du point $(2,2)$? \end{enumerate} \finenonce{002625} \finexercice \exercice{2626, debievre, 2009/05/19} \enonce{002626}{} Soit $f\colon\R^3 \rightarrow \R$ une fonction de classe $C^1$ et soit $g\colon \R^3 \rightarrow \R$ la fonction d\'efinie par \[ g(x,y,z) = f(x-y,y-z,z-x). \] Montrer que \begin{equation} \frac{\partial g}{\partial x} + \frac{\partial g}{\partial y} + \frac{\partial g}{\partial z} = 0. \label{ex3} \end{equation} \finenonce{002626} \finexercice \exercice{2627, debievre, 2009/05/19} \enonce{002627}{} On consid\`ere les fonctions $f\colon \R^2\longrightarrow \R^3$ et $g\colon \R^3\longrightarrow \R$ d\'efinies par \[ f(x,y)=(\sin (xy), y\cos x, xy\sin(xy)\exp(y^2)),\quad g(u,v,w)= uvw . \] \begin{enumerate} \item Calculer explicitement $g\circ f$. \item En utilisant l'expression trouv\'ee en (1), calculer les d\'eriv\'ees partielles de $g\circ f$. \item D\'eterminer les matrices jacobiennes $J_f(x,y)$ et $J_g(u,v,w)$ de $f$ et de $g$. \item Retrouver le r\'esultat sous (2.) en utilisant un produit appropri\'e de matrices jacobiennes. \end{enumerate} \finenonce{002627} \finexercice\exercice{4136, quercia, 2010/03/11} \enonce{004136}{Calcul de dérivées partielles} Calculer les dérivées partielles des fonctions : \begin{enumerate} \item $f(x,y,z) = (x+z)^{(y^z)}$\quad \item $f(x,y) = \min(x,y^2)$ \qquad \item $f(x,y) = \begin{cases}\frac {g(x)-g(y)}{x-y} &\text{ si } x \ne y \cr g'(x) &\text{ si } x = y.\end{cases}$ \end{enumerate} \finenonce{004136} \finexercice \exercice{4137, quercia, 2010/03/11} \enonce{004137}{DL d'ordre 1} Soit $f : {\R^3} \to \R$ de classe $\mathcal{C}^1$ telle que $f(0,1,1) = 0$, $\frac{\partial f}{\partial x}(0,1,1) = 1$, $\frac{\partial f}{\partial y}(0,1,1) = 2$, $\frac{\partial f}{\partial z}(0,1,1) = 3$. Peut-on déterminer $\lim_{t\to0} \frac{f(t^2,\ch t,e^t)}{f(t,\cos t,\ch t)}$ ? \finenonce{004137} \finexercice \exercice{4138, quercia, 2010/03/11} \enonce{004138}{Simplification} Soit $f(x,y) = \arcsin\left(\frac{1+xy}{\sqrt{(1+x^2)(1+y^2)}}\right)$ et $g(x,y) = \arctan x - \arctan y$. \begin{enumerate} \item Vérifier que $f$ est définie sur $\R^2$. \item Calculer les dérivées partielles premières de $f$ et de $g$. \item Simplifier $f$ à l'aide de $g$. \end{enumerate} \finenonce{004138} \finexercice \exercice{4139, quercia, 2010/03/11} \enonce{004139}{Somme des angles d'un triangle} Sur quelle partie $D$ de $\R^3$ la fonction $$f : (x,y,z) \mapsto \arccos\Bigl(\frac{x^2+y^2-z^2}{2xy}\Bigr) + \arccos\Bigl(\frac{y^2+z^2-x^2}{2yz}\Bigr) + \arccos\Bigl(\frac{z^2+x^2-y^2}{2zx}\Bigr)$$ est-elle définie ? Montrer que $f$ est constante lorsque $x,y,z$ sont strictement positifs. \finenonce{004139} \finexercice \exercice{4140, quercia, 2010/03/11} \enonce{004140}{Intégrale fonction de paramètres} Soit $f : {\R^2} \to \R$ de classe $\mathcal{C}^1$ et $g : {\R^n} \to \R, {(x_1,\dots,x_n)} \mapsto { \int_{t=0}^1 f(t,x_1t+x_2t^2 + \dots + x_nt^n)\,d t.}$ Montrer que $g$ est de classe $\mathcal{C}^1$ et calculer ses dérivées partielles. \finenonce{004140} \finexercice \exercice{4141, quercia, 2010/03/11} \enonce{004141}{Dérivées secondes composées} Soient ${u,v,f,g} : {\R^2} \mapsto \R$ des fonctions de classe $\mathcal{C}^2$ liées par la relation : $$\forall\ (x,y) \in {\R^2},\ f(x,y) = g(u(x,y),v(x,y)).$$ Calculer les dérivées partielles premières et secondes de $f$ en fonction de celles de $g$. \finenonce{004141} \finexercice \exercice{4142, quercia, 2010/03/11} \enonce{004142}{Les polynômes complexes sont harmoniques} Soient $P \in \C[X]$ et $f : {\R^2} \to \C, {(x,y)} \mapsto {P(x+iy).}$ Montrer que $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = 0$. \finenonce{004142} \finexercice \exercice{4143, quercia, 2010/03/11} \enonce{004143}{Laplacien en polaires} Soit $f : {\R^2} \to \R$ de classe $\mathcal{C}^2$, et $g(\rho,\theta) = f(\rho\cos\theta,\rho\sin\theta)$. On pose $\Delta f = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}$ (laplacien de $f$). \begin{enumerate} \item Calculer $\frac{\partial g}{\partial \rho}$, $\frac{\partial g}{\partial \theta}$, $\frac{\partial^2 g}{\partial \rho^2}$, $\frac{\partial^2 g}{\partial \theta^2}$ en fonction des dérivées partielles de $f$. \item Exprimer $\Delta f$ en fonction des dérivées de $g$. \end{enumerate} \finenonce{004143} \finexercice \exercice{4144, quercia, 2010/03/11} \enonce{004144}{Laplacien en sphériques} Soient $f : {\R^3} \mapsto \R$ de classe $\mathcal{C}^2$, $\Phi : {\R^3} \to {\R^3}, {(r,\theta,\varphi)} \mapsto {(x,y,z)}$ avec $\begin{cases} x = r\cos\theta\cos\varphi\cr y = r\sin\theta\cos\varphi\cr z = r\sin\varphi,\cr \end{cases}$ et $F = f\circ \Phi$. Vérifier que : $$(\Delta f)\circ \Phi = \frac{\partial^2 F}{\partial r^2} + \frac2r\frac{\partial F}{\partial r} + \frac1{r^2}\frac{\partial^2 F}{\partial \varphi^2} -\frac{\tan\varphi}{r^2}\frac{\partial F}{\partial \varphi} +\frac1{r^2\cos^2\varphi}\frac{\partial^2 F}{\partial \theta^2}.$$ {\it Pour cet exercice, il est conseillé de prendre la feuille dans le sens de la longueur, et d'y aller calmement, en vérifiant ses calculs.} \finenonce{004144} \finexercice \exercice{4145, quercia, 2010/03/11} \enonce{004145}{Laplacien en dimension $n$} Soit $f$ une application de classe $\mathcal{C}^2$ de $\R^{+*}$ dans $\R$. On définit une application $F$ de $\R^n\setminus\{\vec 0\}$ dans $\R$ par : $F(x_1,\dots,x_n) = f(\sqrt{x_1^2 + \dots + x_n^2}\,)$. Calculer le laplacien de $F$ en fonction de $f$. \finenonce{004145} \finexercice \exercice{4146, quercia, 2010/03/11} \enonce{004146}{Contre-exemple au théorème de Schwarz} Soit $f:\R \to \R$ une fonction $\pi$-périodique de classe $\mathcal{C}^2$. On pose pour $(x,y) \in \R^2$ : $g(x,y) = r^2f(\theta)$ avec $(x,y)=(r\cos\theta,r\sin\theta)$. Calculer $\frac{\partial g}{\partial x}(0,y)$ et $\frac{\partial g}{\partial y}(x,0)$ en fonction de $f$. En déduire les valeurs de $\frac{\partial^2 g}{\partial y \partial x}(0,0)$ et $\frac{\partial^2 g}{\partial x \partial y}(0,0)$. Construire un exemple précis (donner $g(x,y)$ en fonction de $x$ et $y$) pour lequel ces deux dérivées sont distinctes. \finenonce{004146} \finexercice \exercice{4147, quercia, 2010/03/11} \enonce{004147}{Contre-exemple au théorème de Schwarz (Centrale MP 2003)} \smallskip Soit $f(x,y) = \frac{x^3y}{x^2+y^2}$ si $(x,y)\ne 0$ et $f(0,0)=0$. \begin{enumerate} \item \'Etudier la continuité de~$f$ et de ses dérivées partielles premières sur~$\R^2$. \item Montrer que~$\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(0,0)\ne\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}(0,0)$. \end{enumerate} \finenonce{004147} \finexercice \exercice{4148, quercia, 2010/03/11} \enonce{004148}{Dérivées d'ordre $k$ distinctes} Trouver ${f_k} : {\R^2} \to \R$ de classe $\mathcal{C}^k$ telle que les $k+1$ dérivées d'ordre $k$ en $(0,0)$ soient distinctes. \finenonce{004148} \finexercice \exercice{4149, quercia, 2010/03/11} \enonce{004149}{Les isométries conservent le laplacien} Soit $\varphi : {\R^2} \to {\R^2}$ une isométrie pour la norme $\|\ \|_2$. \begin{enumerate} \item Montrer que la matrice jacobienne de $\varphi$ est constante, égale à la matrice dans la base canonique de $\R^2$ de la partie linéaire de $\varphi$. \item Soit $f : {\R^2} \to \R$ de classe $\mathcal{C}^2$. Montrer que $(\Delta f)\circ \varphi = \Delta(f\circ \varphi)$. \end{enumerate} \finenonce{004149} \finexercice \exercice{4150, quercia, 2010/03/11} \enonce{004150}{Changement de variables affine} Soit $\varphi : {\R^2} \to {\R^2}$ une application affine. \begin{enumerate} \item Montrer que la matrice jacobienne, $J$, de $\varphi$ est constante. \item Soit $f : {\R^2} \to \R$ de classe $\mathcal{C}^2$. Pour $A \in \R^2$, on note $H_f(A) = \begin{pmatrix} \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(A) &\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}(A) \cr \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(A) &\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(A) \cr\end{pmatrix}$ ({\it matrice Hessienne de $f$}). Montrer que : $\forall\ A \in \R^2,\ H_{f\circ\varphi}(A) = {}^tJH_f(\varphi(A))J$. \end{enumerate} \finenonce{004150} \finexercice \exercice{4151, quercia, 2010/03/11} \enonce{004151}{Formule de Leibniz} Soient ${f,g} : {\R^2} \to \R$ de classe $\mathcal{C}^n$. Calculer $\frac{\partial^n(fg)}{\partial x^k\partial y^{n-k}}$ en fonction des dérivées de $f$ et $g$. \finenonce{004151} \finexercice \exercice{4152, quercia, 2010/03/11} \enonce{004152}{Intégration de formes différentielles} Déterminer les fonctions $f : {D \subset {\R^2}} \to \R$ vérifiant : \begin{enumerate} \item $\begin{cases} \frac{\partial f}{\partial x} = \frac {2+x}y \cr \frac{\partial f}{\partial y} = \frac {2+y}x \cr\end{cases}$ \item $\begin{cases} \frac{\partial f}{\partial x} = \frac {1-y}{(x+y+1)^2} \cr \frac{\partial f}{\partial y} = \frac {2+x}{(x+y+1)^2} \cr\end{cases}$ \item $\begin{cases} \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{y^2}{(x+y)^2} \cr \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{x^2}{(x+y)^2} \cr \end{cases}$ \item $\begin{cases} \frac{\partial f}{\partial x} = 2x + \frac 1y \cr \frac{\partial f}{\partial y} = 2y - \frac x{y^2} \cr \end{cases}$ \end{enumerate} \finenonce{004152} \finexercice \exercice{4153, quercia, 2010/03/11} \enonce{004153}{Formes différentielles exactes} Trouver les fonctions $f:\R \to \R$ de classe $\mathcal{C}^1$ telles que la forme différentielle $\omega = f(y)(xe^y\,dx + y\,dy)$ soit exacte. Déterminer alors ses primitives. \finenonce{004153} \finexercice \exercice{4154, quercia, 2010/03/11} \enonce{004154}{} Quelles sont les applications $f : {\R^2} \to \R$ de classe $\mathcal{C}^1$ telles que la forme différentielle : \par $\omega = f(x,y)\,d(x^2+y^2)$ soit exacte ? \finenonce{004154} \finexercice \exercice{4155, quercia, 2010/03/11} \enonce{004155}{} Trouver les fonctions ${f,g} : \R \to \R$ de classe $\mathcal{C}^1$ telles que la forme différentielle :\par $\omega = 2xz\,dx + f(y)g(z)\,dy + \left(x^2+\frac{y^2}2\right)dz$ soit exacte. Déterminer alors ses primitives. \finenonce{004155} \finexercice \exercice{4156, quercia, 2010/03/11} \enonce{004156}{\'Equation associée à une différentielle exacte} \begin{enumerate} \item Déterminer les fonctions $f : {\R^{+*}\times \R^{+*}} \to \R$ vérifiant : $\begin{cases} \frac{\partial f}{\partial x}(x,y) = \frac {\ln x + y - 1}{x^2y} \cr \frac{\partial f}{\partial y}(x,y) = \frac {\ln x }{xy^2} \cr\end{cases}$ \item Application : Résoudre l'équation différentielle : $(x\ln x) y' + (\ln x + y - 1)y = 0$. \end{enumerate} \finenonce{004156} \finexercice \exercice{4157, quercia, 2010/03/11} \enonce{004157}{\'Equation aux dérivées partielles} Trouver les fonctions polynomiales $f : {\R^2} \to \R$ vérifiant : $x\frac{\partial f}{\partial x} + y\frac{\partial f}{\partial y} = 4f$. \finenonce{004157} \finexercice \exercice{4158, quercia, 2010/03/11} \enonce{004158}{DL d'ordre 2} Soit $f : {\R^2} \to \R$ de classe $\mathcal{C}^2$. Démontrer que : $$f(a+h,b+k) = f(a,b) + \left( h\frac{\partial f}{\partial x} + k\frac{\partial f}{\partial y} \right)(a,b) + \frac 12 \left( h^2\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + 2hk\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} + k^2\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} \right)(a,b) + o(h^2+k^2).$$ \finenonce{004158} \finexercice \exercice{4159, quercia, 2010/03/11} \enonce{004159}{Ajustement linéaire} Problème d'ajustement linéaire : Etant donné $n$ couples de réels $(x_i,y_i)\ 1 \le i \le n$, on cherche une droite $D$ d'équation $y = ax+b$ telle que $\mu(a,b) = \sum_{i=1}^n (y_i-ax_i-b)^2$ soit minimal. On note $\overline x = \frac 1n \sum_{i=1}^n x_i$, $\overline y = \frac 1n \sum_{i=1}^n y_i$, $\overline {x^2} = \frac 1n \sum_{i=1}^n x_i^2$, $\overline {xy} = \frac 1n \sum_{i=1}^n x_iy_i$, et on suppose $\overline {x^2} \ne \overline x^2$. \begin{enumerate} \item Résoudre le problème. \item Interpréter la relation $\overline {x^2} \ne \overline x^2$ à l'aide de l'inégalité de Cauchy-Schwarz. \end{enumerate} \finenonce{004159} \finexercice \exercice{4160, quercia, 2010/03/11} \enonce{004160}{Jacobien des fonctions symétriques} Soit $f : {\R^n} \to {\R^n}, {(x_1,\dots,x_n)} \mapsto {(\sigma_1,\dots,\sigma_n)}$ où $\sigma_1,\dots,\sigma_n$ sont les fonctions symétriques élémentaires de $x_1,\dots,x_n$. Calculer le déterminant jacobien de~$f$. \finenonce{004160} \finexercice \exercice{4161, quercia, 2010/03/11} \enonce{004161}{Changement de variables} On pose $f(x,y) = (x+y,xy) = (u,v)$. Montrer que $f$ induit un $\mathcal{C}^1$-difféomorphisme de $U$ sur $V$ où $U$ et $V$ sont des ouverts de $\R^2$ à préciser. Chercher l'expression de $f^{-1}$ et vérifier que le produit des matrices jacobiennes est égal à $I$. \finenonce{004161} \finexercice \exercice{4162, quercia, 2010/03/11} \enonce{004162}{Changement de variables} Soit $f : {\R^3} \to {\R^3}, {(x,y,z)} \mapsto {(e^{2y}+e^{2z}, e^{2x}-e^{2z}, x-y).}$ Montrer que $f$ induit un $\mathcal{C}^1$-difféomorphisme de $\R^3$ sur un ouvert à préciser. \finenonce{004162} \finexercice \exercice{4163, quercia, 2010/03/11} \enonce{004163}{Inégalité de Taylor-Lagrange} Soit $U$ un ouvert convexe de $\R^p$ et $f : U \to \R$ de classe $\mathcal{C}^2$ dont les dérivées secondes sont bornées : $$\forall\ i,j,\ \forall\ A \in U,\ \left|\frac{\partial^2 f}{\partial {x_i}\partial {x_j}}(A)\right| \le M.$$ \begin{enumerate} \item Montrer que : $\forall\ A,B \in U,\ \bigl|f(B)-f(A) - df_A(\vec{AB})\bigr| \le \frac{M\|\vec{AB}\|_1^2}2$. \item Montrer que : $\forall\ A,B \in U,\ \bigl|f(B)-f(A) - df_C(\vec{AB})\bigr| \le \frac{M\|\vec{AB}\|_1^2}4$ où $C$ est le milieu de $[A,B]$. \end{enumerate} \finenonce{004163} \finexercice \exercice{4164, quercia, 2010/03/11} \enonce{004164}{Application du théorème des fonctions implicites} On considère la courbe d'équation $e^{x-y} = 1+2x+y$. Donner la tangente à cette courbe et la position par rapport à la tangente au point $(0,0)$. \finenonce{004164} \finexercice \exercice{4165, quercia, 2010/03/11} \enonce{004165}{Théorème des fonctions implicites} \begin{enumerate} \item Montrer que l'équation : $x^3+y^3-3xy=1$ définit au voisinage de $0$ une fonction implicite : $y=\varphi(x)$ telle que $\varphi(0)=1$. \item Donner le DL de $\varphi$ en $0$ à l'ordre $3$. \end{enumerate} \finenonce{004165} \finexercice \exercice{4166, quercia, 2010/03/11} \enonce{004166}{Théorème des fonctions implicites, Ensi P 91} Montrer que l'égalité $2e^{x+y} + y - x = 0$ définit $y = \varphi(x)$ au voisinage de $(1,-1)$. Calculer $\varphi'(1)$ et $\varphi''(1)$. \finenonce{004166} \finexercice \exercice{4167, quercia, 2010/03/11} \enonce{004167}{\'Equation implicite $x\ln x = y\ln y$} Soit $f(x,y) = x\ln x - y\ln y$ $(x,y > 0)$. Pour $k \in \R$, on considère la courbe $\mathcal{C}_k$ d'équation $f(x,y) = k$. \begin{enumerate} \item Suivant la position de $(a,b) \in \mathcal{C}_k$, préciser l'orientation de la tangente à $\mathcal{C}_k$ en $(a,b)$. \item Dresser le tableau de variations de $\phi(t) = t\ln t$. \item Dessiner $\mathcal{C}_0$. (\'Etudier en particulier les points $(0,1), (1,0)$ et $\Bigl(\frac 1e,\frac 1e\Bigr)$ à l'aide de DL) \item Indiquer l'allure générale des courbes $\mathcal{C}_k$ suivant le signe de $k$. \end{enumerate} \finenonce{004167} \finexercice \exercice{4168, quercia, 2010/03/11} \enonce{004168}{Fonction implicite} Soit $f:\R \to \R$ de classe $\mathcal{C}^1$. \begin{enumerate} \item Montrer que, sous une condition à préciser, l'équation $y-zx=f(z)$ définit localement $z$ fonction implicite de $x$ et $y$. \item Montrer que l'on a alors : $\frac{\partial z}{\partial x} + z\frac{\partial z}{\partial y} = 0$. \end{enumerate} \finenonce{004168} \finexercice \exercice{4169, quercia, 2010/03/11} \enonce{004169}{\'Equation fonction de deux paramètres} Soit l'équation $(*) \Leftrightarrow x^5 + \lambda x^3 + \mu x^2 -1 = 0$. Montrer qu'il existe un voisinage, $V$, de $(0,0)$ et $\varphi : V \to \R$ tels que~: \begin{align*}&\varphi \text{ est } \mathcal{C}^\infty\\ &\varphi(0,0) = 1\cr &\forall\ (\lambda,\mu)\in V,\ \varphi(\lambda,\mu) \text{ est racine simple de } (*).\\ \end{align*} Donner le DL à l'ordre $2$ de $\varphi$ en $(0,0)$. \finenonce{004169} \finexercice \exercice{4170, quercia, 2010/03/11} \enonce{004170}{Changement de variable singulier, Matexo} On considère la fonction de $\R^2$ sur lui-même définie par $f(x,y)=(u,v)$, où $$u(x,y)=x \sqrt{1+y^2} + y \sqrt{1+x^2}\quad \hbox{et}\quad v(x,y)=(x + \sqrt{1+x^2})(y+\sqrt{1+y^2}).$$ Calculer sa matrice jacobienne. Est-elle inversible localement ? Caractériser $f (\R^2)$. \finenonce{004170} \finexercice \exercice{4171, quercia, 2010/03/11} \enonce{004171}{Longueur d'un arc de courbe} \def\arc#1{\mathop{#1}\limits^\frown} Soit $f : {U \subset \R^n} \to {\R^p}$ de classe $\mathcal{C}^1$ dont les dérivées partielles sont bornées sur~$U$ et $t\in I\ \mapsto M_t$ une courbe paramétrée dans $U$ de classe $\mathcal{C}^1$. Pour $a,b\in I$ comparer les longueurs des arcs $\arc{M_aM_b}$ et $\arc{f(M_a)f(M_b)}$. \finenonce{004171} \finexercice \exercice{4172, quercia, 2010/03/11} \enonce{004172}{Différentielle du déterminant} Soit $f : {\mathcal{M}_n(\R)} \to \R, M \mapsto {\det M.}$ Montrer que $f$ est de classe $\mathcal{C}^1$ et que l'on a pour $M,H\in\mathcal{M}_n(\R)$~: $d f_M(H) = \mathrm{tr}(^t\mathrm{com}(M)H)$. Application~: soit $M\in\mathcal{M}_n(\R)$ et $P_M(X) = (-1)^nX^n + \dots + a_1X + \det(M)$. Exprimer $a_1$ en fonction des cofacteurs de~$M$. \finenonce{004172} \finexercice \exercice{4173, quercia, 2010/03/11} \enonce{004173}{Mise en facteur de $x$ et $y$} Soit $U$ un ouvert convexe de~$\R^2$ contenant~$(0,0)$ et $f : U \to \R$ une fonction de classe $\mathcal{C}^\infty$ telle que $f(0,0) = 0$. \begin{enumerate} \item Montrer qu'il existe ${g,h} : U \to \R$ de classe $\mathcal{C}^\infty$ telles que~: $$\forall\ (x,y)\in U,\ f(x,y) = xg(x,y) + yh(x,y).$$ \item Y a-t-il unicité de $g$ et $h$~? \item Généraliser au cas où $U$ n'est pas convexe. \end{enumerate} \finenonce{004173} \finexercice \exercice{4174, quercia, 2010/03/11} \enonce{004174}{Fonctions convexes} Soit $U$ un ouvert convexe de~$\R^n$ et $f : U \to \R$. On dit que $f$ est convexe lorsque~: $$\forall\ x,y\in U,\ \forall\ t\in{[0,1]},\ f(tx+(1-t)y) \le tf(x) + (1-t)f(y).$$ On dit que $f$ est strictement convexe si l'inégalité précédente est stricte lorsque $x\ne y$ et $0 0$ vérifiant~: $$\forall\ x\in E,\ \forall\ h\in E,\ (d f_x(h)\mid h) \ge \alpha\|h\|^2.$$ \begin{enumerate} \item Montrer pour $x,y\in E$~: $(f(x)-f(y)\mid x-y) \ge \alpha\|x-y\|^2$. En déduire que $f(E)$ est fermé. \item Montrer que $f(E)$ est ouvert puis que $f$ est un $\mathcal{C}^1$-difféomorphisme de~$E$ sur~$E$. \end{enumerate} \finenonce{004179} \finexercice \exercice{4180, quercia, 2010/03/11} \enonce{004180}{Difféomorphisme} Soit $f:\R \to \R$ de classe $\mathcal{C}^1$ et $k$-lipschitzienne avec $k<1$ et $\varphi : {\R^2} \to {\R^2}, {(x,y)} \mapsto {(x+f(y),y-f(x)).}$ Montrer que $\varphi$ est un $\mathcal{C}^1$-difféomorphisme de~$\R^2$ sur~$\R^2$. \finenonce{004180} \finexercice \exercice{4181, quercia, 2010/03/11} \enonce{004181}{Partiellement dérivable $ \Rightarrow $ continue~?} Soit $U$ un ouvert de~$\R^2$. \begin{enumerate} \item Donner un exemple de fonction $f : U \to \R$ ayant en tout point des dérivées partielles premières, mais discontinue en au moins un point. \item Soit $f : U \to \R$ ayant en tout point des dérivées partielles premières {\it bornées\/} sur~$U$. Montrer que~$f$ est continue. \end{enumerate} \finenonce{004181} \finexercice \exercice{4182, quercia, 2010/03/11} \enonce{004182}{Point non extrémal} On pose pour $(x,y)\in\R^2$~: $$f(x,y) = x^2+y^2-2x^2y - \frac{4x^6y^2}{(x^4+y^2)^2}\quad\text{si }(x,y)\ne 0, \qquad f(0,0)=0.$$ \begin{enumerate} \item Montrer que $f$ est continue sur $\R^2$. \item Soit $\theta\in\R$ fixé et $g_\theta(r) = f(r\cos\theta,r\sin\theta)$. Montrer que $g_\theta$ admet un minimum local strict en~$r=0$. \item Calculer $f(x,x^2)$. Conclusion~? \end{enumerate} \finenonce{004182} \finexercice \exercice{4183, quercia, 2010/03/11} \enonce{004183}{Contre-exemple au théorème de Leibniz} On pose~: $f(x,y) = \begin{cases} x &\text{ si } y\ge0 \text{ et } 0\le x\le \sqrt y~;\cr 2\sqrt y - x &\text{ si } y\ge0 \text{ et } \sqrt y < x\le 2\sqrt y~;\cr 0 &\text{ si } y\ge0 \text{ et } 2\sqrt y < x \text{ ou } x\le 0~;\cr -f(x,-y) &\text{ si } y<0.\cr\end{cases} $ et~: $F(y) = \int_{x=0}^1 f(x,y)\,d x$. Faire un dessin, vérifier que $f$ est continue sur~$\R^2$, calculer $F(y)$ pour $-\frac14 \le y \le \frac 14$, $F'(0)$ et $ \int_{x=0}^1 \frac{\partial f}{\partial y}(x,0)\,d x$. \finenonce{004183} \finexercice \exercice{4184, quercia, 2010/03/11} \enonce{004184}{Centrale MP 2000} Soit ${f} : {\R^n} \to {\R^n}$ de classe $\mathcal{C}^1$ et $c>0$ tels que, pour tous $x,y$, $\| f(x)-f(y)\| \ge c \|x-y\|$. \begin{enumerate} \item Montrer que pour tous $x,h$, $\|d f_x(h)\|\ge c\|h\|$. \item Montrer que $f$ est un $\mathcal{C}^1$-difféomorphisme sur $\R^n$ (pour la surjectivité on considèrera, si $a\in \R^n$, le minimum de $\|f(x)-a\|^2$). \end{enumerate} \finenonce{004184} \finexercice \exercice{4185, quercia, 2010/03/11} \enonce{004185}{Centrale MP 2000} Soit $\Omega$ un ouvert borné de $\R^2$ et ${u} : {\overline{\Omega}} \to {\R}$ continue sur $\overline{\Omega}$ et $\mathcal{C}^2$ sur $\Omega$. \begin{enumerate} \item On suppose que $\Delta u>0$. Montrer que $\max\limits_{(x,y)\in \overline{\Omega}}u(x,y)= \max\limits_{(x,y)\in \overline{\Omega}\setminus \Omega}u(x,y)$. \item Même question en supposant seulement $\Delta u \ge 0$. \item Soit $00$, $\|\ \|$ la norme euclidienne sur $\R^n$ et $f : {\R^n} \to \R$ de classe $\mathcal{C}^2$. On suppose que $f(x)/\|x\| \to +\infty$ lorsque $\|x\|\to\infty$, et qu'en tout point la matrice hessienne de $f$ est définie positive. On pose $g(y)= \sup\{ (x\mid y) -f(x),\ x\in \R^n\}$. Étudier les propriétés de $g$. \finenonce{004189} \finexercice \exercice{4190, quercia, 2010/03/11} \enonce{004190}{$\int \varphi\circ f$, X MP$^*$ 2004} Soit~$E$ l'ensemble des fonctions continues de~$[0,1]$ dans~$\R$. On y définit une norme par~: $\|f\|=\sqrt{ \int_{t=0}^1 f^2(t)\,d t}$. Soit $\varphi : \R \to \R$ de classe $\mathcal{C}^2$ telle que $\varphi''$ est bornée. Pour~$f\in E$ on pose $T(f) = \int_{t=0}^1\varphi(f(t))\,d t$. \begin{enumerate} \item Montrer que l'application ainsi définie~$T : E \to \R$ est continue. \item Montrer que~$T$ est différentiable en tout point. \end{enumerate} \finenonce{004190} \finexercice \exercice{5556, rouget, 2010/07/15} \enonce{005556}{***T} Soit $\begin{array}[t]{cccc}f~:&\Rr^2&\longrightarrow&\Rr\\ &(x,y)&\mapsto&\left\{ \begin{array}{l} 0\;\text{si}\;y=0\\ y^2\sin\left(\frac{x}{y}\right)\;\text{si}\;y\neq0 \end{array} \right. \end{array} $. \begin{enumerate} \item Etudier la continuité de $f$. \item Etudier l'existence et la valeur éventuelle de dérivées partielles d'ordre 1 et 2. On montrera en particulier que $\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}$ et $\frac{\partial^2f}{\partial y\partial x}$ sont définies en $(0,0)$ mais n'ont pas la même valeur. \end{enumerate} \finenonce{005556} \finexercice \exercice{5557, rouget, 2010/07/15} \enonce{005557}{***} Le laplacien d'une application $g$ de $\Rr^2$ dans $\Rr$, de classe $C^2$ sur $\Rr^2$ est $\Delta g =\frac{\partial^2g}{\partial x^2}+\frac{\partial^2g}{\partial y^2}$. Déterminer une fontion de classe $C^2$ sur un intervalle $I$ de $\Rr$ à préciser à valeurs dans $\Rr$ telle que la fonction \begin{center} $g(x,y) =f\left(\frac{\cos2x}{\ch2y}\right)$ \end{center} soit non constante et ait un laplacien nul sur un sous-ensemble de $\Rr^2$ le plus grand possible (une fonction de Laplacien nul est dite harmonique). \finenonce{005557} \finexercice \exercice{5893, rouget, 2010/10/16} \enonce{005893}{*} Soit $f$ une application de $\Rr^n$ dans $\Rr$ de classe $C^1$. On dit que $f$ est positivement homogène de degré $r$ ($r$ réel donné) si et seulement si $\forall\lambda\in]0,+\infty[$, $\forall x\in\Rr^n$, $f(\lambda x) =\lambda^rf(x)$. Montrer pour une telle fonction l'identité d'\textsc{Euler} : \begin{center} $\forall x = (x_1,...,x_n)\in \Rr^n$ $\sum_{i=1}^{n}x_i \frac{\partial f}{\partial x_i}(x) = rf(x)$. \end{center} \finenonce{005893} \finexercice \section{ 223.05 Différentielle de fonctions composées } \section{ 223.06 Différentielle seconde } \exercice{2635, debievre, 2009/05/19} \enonce{002635}{} Calculer les diff\'erentielles suivantes, sans calculer des d\'eriv\'ees partielles, en utilisant les propri\'et\'es des diff\'erentielles de sommes, produits et compos\'ees:\\ \[ \mathrm{(a)}\ \mathrm{d} \left(\ln(xy)\right) \quad \mathrm{(b)}\ \mathrm{d} \left(xyz(1+\sinh(yz))\right) \quad \mathrm{(c)}\ \mathrm{d} \left(\sin(x^2y) \mathrm e^{x-y}\right) \] \finenonce{002635} \finexercice \exercice{2636, debievre, 2009/05/19} \enonce{002636}{} \begin{enumerate} \item Y a-t-il une fonction $g\colon \R^2\to\R$ telle que \[ \mathrm{d} g = x^2y^2 \mathrm{d} x + x^3 y\mathrm{d} y? \] \item Trouver les fonctions $b\colon\R^2\to\R$ telles qu'il existe $g\colon \R^2\to\R$ satisfaisant \`a la condition \[ \mathrm{d} g = x^2y^2 \mathrm{d} x + b(x,y)\mathrm{d} y. \] \'Etant donn\'ee alors la fonction $b$, d\'eterminer toutes les fonctions $g$ correspondantes. \end{enumerate} \finenonce{002636} \finexercice \exercice{2637, debievre, 2009/05/19} \enonce{002637}{} Soit $g\colon\R_{>0}\times \R_{>0}\to \R$ une fonction de classe $C^1$ telle que $g(1,1)=3$ et dont la diff\'erentielle vaille \begin{equation}\label{eq} \mathrm{d} g= (2xy+y^2)\mathrm{d} x + (x^2+2xy) \mathrm{d} y. \end{equation} Soit \[ h\colon \R_{>0}\times\R_{>0} \longrightarrow \R_{>0}\times\R_{>0} \] l'application de classe $C^1$ d\'efinie par \[ h(x,y)= (u(x,y), v(x,y))=(x^2y, xy^2)\in \R_{>0}\times \R_{>0}. \] \begin{enumerate} \item Calculer $\mathrm{d} u+\mathrm{d} v$. \item D\'eterminer $g$ \`a partir du calcul pr\'ec\'edent et (\ref{eq}), et sans autre calcul. \item Montrer que $h$ est une bijection. (On pourra calculer explicitement $h^{-1}$.) \item D\'eterminer explicitement $\mathrm{d} (g\circ h^{-1})$. \item Calculer les matrixes jacobiennes $J_h(x,y)$ et $J_{h^{-1}}(u,v)$ et v\'erifier par un calcul direct que \[ J_h(x,y)J_{h^{-1}}(h(x,y))=I_2, \] o\`u $I_2$ est la matrice identit\'e d'ordre 2. \end{enumerate} \finenonce{002637} \finexercice \exercice{2638, debievre, 2009/05/19} \enonce{002638}{} Calculer les matrices hessiennes des fonctions $f$ d\'efinies par les expressions suivantes sur leur domaine de d\'efinition naturel: \[ \sin(xyz), \quad \sin^2(y/x). \] \finenonce{002638} \finexercice \exercice{2639, debievre, 2009/05/19} \enonce{002639}{} Soit $f\colon \R^2\setminus\{(0,0)\}\longrightarrow \R$ une fonction de classe $C^2$ et soient $r$ et $\theta$ les coordonn\'ees polaires standard dans le plan de telle sorte que l'association \[ ]0,+\infty[\times ]0,2\pi[\longrightarrow \R^2\setminus\{(0,0)\}, \quad (r,\theta)\longmapsto (x,y)=(r\cos\theta, r\sin\theta), \] soit un changement de variables. Soit $F$ la fonction d\'efinie par \[ F(r,\theta)=f(r\cos\theta, r\sin\theta). \] C'est \lq\lq l'expression de $f$ en coordonn\'ees polaires\rq\rq. Montrer que \begin{equation} \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x,y)+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(x,y)= \frac{\partial^2F}{\partial r^2}(r,\theta)+\frac{1}{r}\frac{\partial F}{\partial r}(r,\theta)+\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 F}{\partial \theta^2}(r,\theta). \label{laplace} \end{equation} Cette formule calcule ``le Laplacien en coordonn\'ees polaires.'' L'exercice ne d\'epend pas de la connaissance du Laplacien cependant. \finenonce{002639} \finexercice \exercice{2640, debievre, 2009/05/19} \enonce{002640}{} Les variables \'etant not\'ees $x$ et $t$, trouver la solution g\'en\'erale $f\colon\R^2\to\R$ de ``l'\'equation des ondes'', \`a savoir \begin{equation}\label{eq:ondes} \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}-\frac{\partial^2 f}{\partial t^2}=0. \end{equation} Trouver ensuite la solution unique de l'\'equation des ondes qui satisfait aux conditions initiales \begin{equation} f(x,0)=\sin x, \ \frac{\partial f}{\partial t}(x,0)=-\cos x. \label{in} \end{equation} \finenonce{002640} \finexercice\exercice{5889, rouget, 2010/10/16} \enonce{005889}{*** I} Soit $f(x,y) =\left\{ \begin{array}{l} y^2\sin\left( \frac{x}{y}\right)\;\text{si}\;y\neq0\\ \rule{0mm}{5mm}0\;\text{si}\;y=0 \end{array} \right.$. Déterminer le plus grand sous-ensemble de $\Rr^2$ sur lequel $f$ est de classe $C^1$. Vérifier que $ \frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}(0,0)$ et $ \frac{\partial^2f}{\partial y\partial x}(0,0)$ existent et sont différents. \finenonce{005889} \finexercice \exercice{5904, rouget, 2010/10/16} \enonce{005904}{***} Trouver une application non constante $f~:~]-1,1[\rightarrow\Rr$ de classe $C^2$ telle que l'application $g$ définie sur $\Rr^2$ par $g(x,y) = f\left( \frac{\cos(2x)}{\ch(2y)}\right)$ ait un laplacien nul sur un ensemble à préciser. (On rappelle que le laplacien de $g$ est $\Delta g = \frac{\partial^2g}{\partial x^2}+ \frac{\partial^2g}{\partial y^2}$. Une fonction de laplacien nul est dite harmonique.) \finenonce{005904} \finexercice \exercice{5905, rouget, 2010/10/16} \enonce{005905}{*** I} Soit $f~:~\Rr^2\rightarrow\Rr^2$ de classe $C^2$ dont la différentielle en tout point est une rotation. Montrer que $f$ est une rotation affine. \finenonce{005905} \finexercice \section{ 223.07 Extremums locaux } \exercice{2641, debievre, 2009/05/19} \enonce{002641}{} Pour chacune des fonctions suivantes \'etudier la nature du point critique donn\'e : \begin{enumerate} \item $f(x,y)=x^2-xy+y^2$ au point critique $(0,0)$ ; \item $f(x,y)=x^2+2xy+y^2+6$ au point critique $(0,0)$ ; \item $f(x,y)=x^3+2xy^2-y^4+x^2+3xy+y^2+10$ au point critique $(0,0)$. \end{enumerate} \finenonce{002641} \finexercice \exercice{2642, debievre, 2009/05/19} \enonce{002642}{} Trouver les points critiques de la fonction $f$ suivante et d\'eterminer si ce sont des minima locaux, des maxima locaux ou des points selle. \[ f(x,y)=\sin x+y^2-2y+1 \] \finenonce{002642} \finexercice \exercice{2643, debievre, 2009/05/19} \enonce{002643}{} \begin{enumerate} \item Soit $f$ une fonction r\'eelle d'une variable r\'eelle de classe ${\rm C}^2$ dans un voisinage de $0\in \mathbb R$ telle que $f(0)=0$ et $f^\prime(0)\not=0$. Montrer que la fonction r\'eelle $F$ des deux variables $x$ et $y$ d\'efinie dans un voisinage de $(0,0)$ par $F(x,y)= f(x) f(y)$ n'a pas d'extremum relatif en $(0,0)$. Est-ce que le point $(0,0)$ est quand m\^eme critique? Si oui caract\'eriser sa nature. \item D\'eterminer les points critiques, puis les minima et les maxima locaux de \[ f(x,y)=\sin(2\pi x)\sin(2\pi y). \] Remarque: en utilisant la p\'eriodicit\'e de la fonction, on peut limiter le nombre de cas \`a \'etudier. \end{enumerate} \finenonce{002643} \finexercice \exercice{2644, debievre, 2009/05/19} \enonce{002644}{} D\'eterminer l'\'equation du plan tangent \`a la surface de niveau \[\sin(\pi xy)+\sin(\pi yz) =1,\] au point de coordonn\'ees $(1,\frac{1}{6}, 1)$. Identifier, en ce point, un vecteur perpendiculaire \`a la surface. Votre r\'esultat est-il compatible avec la figure ci-dessous ? Expliquer. {\center \includegraphics[height=8cm, keepaspectratio]{../images/img002644-1}} \finenonce{002644} \finexercice \exercice{2645, debievre, 2009/05/19} \enonce{002645}{} Soit $\cal C$ la courbe plane d'\'equation $f(x,y)=ye^{x}+e^y\sin(2x)=0$. \begin{enumerate} \item Appliquer le th\'eor\`eme des fonctions implicites \`a la courbe ${\cal C}$ au point $(0,0)$. \item D\'eterminer la limite de $y/x$ quand $(x,y)$ tend le long la courbe ${\cal C}$ vers $(0,0)$. \end{enumerate} \finenonce{002645} \finexercice \exercice{2646, debievre, 2009/05/19} \enonce{002646}{} \begin{enumerate} \item D\'eterminer les points stationnaires de la fonction $f$ de deux variables d\'efinie par $f(x,y)= x\hskip 2pt (x+1)^2 - y^2$ et pr\'eciser la nature de chacun d'eux. \item Tracer la courbe constitu\'ee des points tels que $f(x,y)=0$ et $x \geq 0$. (\emph{Indication}: \'Etudier la fonction $x\mapsto \sqrt{x} \hskip 2pt (x+1)$ pour $x\geq 0$). \item Montrer que le point $(-1,0)$ est un point isol\'e de la partie \[ {\cal C}=\{(x,y); f(x,y)=0\} \] du plan, c'est-\`a-dire, le point $(-1,0)$ appartient \`a cette partie et il existe un nombre r\'eel $\varepsilon >0$ tel que $D_{\varepsilon} \cap {\cal C} =\{(-1,0)\}$ o\`u $D_{\varepsilon}$ est le disque ouvert centr\'e en $(-1,0)$ et de rayon $\varepsilon$. \item \'Enoncer le th\'eor\`eme des fonctions implicites. \item Montrer que, quel que soit le point $(x_0,y_0)$ de ${\cal C}$ distinct de $(-1,0)$, au moins une des deux alternatives (i) ou (ii) ci-dessous est v\'erifi\'ee: \begin{enumerate} \item[(i)] Il existe une fonction $h$ de classe $C^1$ de la variable $x$ d\'efinie dans un intervalle ouvert appropri\'e telle que $h(x_0)=y_0$ et telle que, pour qu'au voisinage de $(x_0,y_0)$ les coordonn\'ees $x$ et $y$ du point $(x,y)$ satisfassent \`a l'\'equation $f(x,y)=0$ il faut et il suffit que $y=h(x)$. \item[(ii)] Il existe une fonction $k$ de classe $C^1$ de la variable $y$ d\'efinie dans un intervalle ouvert appropri\'e telle que $h(y_0)=x_0$ et telle que, pour qu'au voisinage de $(x_0,y_0)$ les coordonn\'ees $x$ et $y$ du point $(x,y)$ satisfassent \`a l'\'equation $f(x,y)=0$ il faut et il suffit que $x=k(y)$. \end{enumerate} \end{enumerate} \finenonce{002646} \finexercice \exercice{2654, debievre, 2009/05/19} \enonce{002654}{} On consid\`ere la fonction $$f(x,y)=(1+2\cos^2(\pi x))(1-\exp(-y^2))+\sin(\pi x).$$ Son graphe est reproduit dans la figure ci-dessous. \centerline{\includegraphics[height=8cm, keepaspectratio]{../images/img002654-1}} \begin{enumerate} \item Trouver tous les points critiques de $f$ et d\'eterminer leur nature. Vos r\'esultats sont-ils compatibles avec le graphe de la fonction, reproduit ci-dessus? \item D\'eterminer l'\'equation du plan tangent au graphe de $f$ au point de coordonn\'ees $(1, 1, f(1,1))$. Tracer la droite d'intersection de ce plan avec le plan $xOy$. \end{enumerate} \finenonce{002654} \finexercice \exercice{4191, quercia, 2010/03/11} \enonce{004191}{\'Etude de points critiques} Chercher les extrémums des fonctions $f(x,y)$ suivantes : \begin{enumerate} \item $3xy - x^3 - y^3$ \item $-2(x-y)^2+x^4+y^4$ \item $x^2y^2(1+3x+2y)$ \item $2x+y-x^4-y^4$ \item $\frac {xy}{(x+y)(1+x)(1+y)},\ x,y> 0$ \item $xe^y + ye^x$ \item $x(\ln^2x + y^2)$, $x>0$ \item $\sqrt{x^2+(1-y)^2} + \sqrt{y^2+(1-x)^2}$ \item $MA+MB-MO$,\quad $O = \text{mil}(A,B)$ \end{enumerate} \finenonce{004191} \finexercice \exercice{4192, quercia, 2010/03/11} \enonce{004192}{Distances aux sommets d'un triangle} Soit $A \in \R^p$ fixé et $f : {\R^p} \to \R, M \mapsto {AM^2}$ $g : {\R^p} \to \R, M \mapsto {AM}$ (distance euclidienne) \begin{enumerate} \item Calculer les gradients de $f$ et $g$ en un point $M$. \item Soient $A,B,C$ trois points non alignés du plan. Trouver les points $M$ du plan réalisant le minimum de : \begin{enumerate} \item $MA^2 + MB^2 + MC^2$. \item $MA + MB + MC $. \item $MA\times MB\times MC$. \end{enumerate} \end{enumerate} \finenonce{004192} \finexercice \exercice{4193, quercia, 2010/03/11} \enonce{004193}{Aire d'un triangle} Soit $ABC$ un triangle de cotés $a,b,c$. \begin{enumerate} \item Calculer l'aire, $S$, de $ABC$ en fonction de $a,b,c$. \item Montrer que $\frac{S}{a^2+b^2+c^2}$ est maximal lorsque $ABC$ est équilatéral. \end{enumerate} \finenonce{004193} \finexercice \exercice{4194, quercia, 2010/03/11} \enonce{004194}{Centrale MP 2000} On considère un vrai triangle $ABC$ et $f$ la fonction définie par~: $f(M) = d(M,AB)\times d(M,AC)\times d(M,BC)$. Montrer que $f$ admet un maximum à l'intérieur du triangle~$ABC$, et caractériser géométriquement le point~$M_0$ où~$f$ est maximale. \finenonce{004194} \finexercice \exercice{4195, quercia, 2010/03/11} \enonce{004195}{Loi de réfraction} Soient dans $\R^2$ : $A=(0,a)$, $B=(b,-c)$ et $M=(x,0)$ ($a,b,c > 0$). Un rayon lumineux parcourt la ligne brisée $AMB$ à la vitesse $v_1$ de $A$ à $M$ et $v_2$ de $M$ à $B$. On note $\alpha_1 = \overline{(\vec j,\vec{MA})}$ $\alpha_2 = \overline{(-\vec j,\vec{MB})}$. \begin{enumerate} \item Faire une figure. \item Montrer que le temps de parcours est minimal lorsque $\frac {\sin\alpha_1}{v_1} = \frac {\sin\alpha_2}{v_2}$. \end{enumerate} \finenonce{004195} \finexercice \exercice{4196, quercia, 2010/03/11} \enonce{004196}{Centrale MP 2001} Soit $f$ une forme linéaire sur $E$ espace euclidien et $g(x) = f(x)e^{-\|x\|^2}$. Montrer que $g$ admet un minimum et un maximum. \finenonce{004196} \finexercice \exercice{4197, quercia, 2010/03/11} \enonce{004197}{Centrale MP 2001} $D_1$, $D_2$, $D_3$ sont trois droites d'un plan portant les côtés d'un triangle équilatéral de côté~$a$. On pose $$\varphi : {D_1\times D_2\times D_3} \to \R, {(M,N,P)} \mapsto {MN+NP+PM.}$$ Déterminer $\min\varphi$ et les triplets $(M,N,P)$ où ce minimum est atteint. \finenonce{004197} \finexercice \exercice{4198, quercia, 2010/03/11} \enonce{004198}{Centrale MP 2006} $E$ désigne l'espace affine euclidien classique. $D_1$, $D_2$, $D_3$ sont trois droites deux à deux non parallèles. \smallskip Soit $f : {D_1\times D_2\times D_3} \to \R, {(M_1,M_2,M_3)} \mapsto {\|\vec{M_1M_2}\|^2 + \|\vec{M_2M_3}\|^2 + \|\vec{M_3M_1}\|^2.}$ \begin{enumerate} \item Montrer que $f$ admet un minimum atteint pour un unique triplet. \item Dans le cas où $D_1$, $D_2$, $D_3$ sont coplanaires et délimitent un triangle équilatéral, trouver ce triplet. \end{enumerate} \finenonce{004198} \finexercice \exercice{4199, quercia, 2010/03/11} \enonce{004199}{Plus court chemin, ENS Ulm-Lyon-Cachan MP$^*$ 2005} D{\'e}terminer le plus court chemin entre les p{\^o}les nord et sud d'une sph{\`e}re en dimension $3$. \finenonce{004199} \finexercice \exercice{4200, quercia, 2010/03/11} \enonce{004200}{Extremums liés, ENS Ulm-Lyon-Cachan MP$^*$ 2005} Soit $B$ la boule unit{\'e} de $\R^{n}$, $f$ de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur $B$ et $x\in B$ tel que $f(x)=\max\{f(y),\, y\in B\}$. Montrer que $\nabla f(x)=\lambda x$ avec $\lambda \ge 0$. \finenonce{004200} \finexercice \exercice{5558, rouget, 2010/07/15} \enonce{005558}{**T} Trouver les extrema locaux de \begin{enumerate} \item $\begin{array}[t]{cccc} f~:&\Rr^2&\rightarrow&\Rr\\ &(x,y)&\mapsto&x^2+xy+y^2+2x+3y \end{array}$ \item $\begin{array}[t]{cccc} f~:&\Rr^2&\rightarrow&\Rr\\ &(x,y)&\mapsto&x^4+y^4-4xy \end{array}$ \end{enumerate} \finenonce{005558} \finexercice \exercice{5559, rouget, 2010/07/15} \enonce{005559}{***} Maximum du produit des distances aux cotés d'un triangle $ABC$ du plan d'un point $M$ intérieur à ce triangle (on admettra que ce maximum existe). \finenonce{005559} \finexercice \exercice{5560, rouget, 2010/07/15} \enonce{005560}{**} Soit $a$ un réel strictement positif donné. Trouver le minimum de $f(x,y)=\sqrt{x^2+(y-a)^2}+\sqrt{y^2+(x-a)^2}$. \finenonce{005560} \finexercice\exercice{5902, rouget, 2010/10/16} \enonce{005902}{***} Maximum du produit des distances d'un point $M$ intérieur à un triangle $ABC$ aux cotés de ce triangle. \finenonce{005902} \finexercice \exercice{5903, rouget, 2010/10/16} \enonce{005903}{*} Minimum de $f(x,y) =\sqrt{x^2+(y-a)^2}+\sqrt{(x-a)^2+y^2}$, $a$ réel donné. \finenonce{005903} \finexercice \section{ 223.08 Fonctions implicites } \exercice{2653, debievre, 2009/05/19} \enonce{002653}{} On consid\`ere la courbe $\mathcal C$ d'\'equation $$y^2(x^2+1)+x^2(y^2+1)=1.$$ \begin{enumerate} \item Montrer qu'il existe un unique $b>0$ tel que le point de coordonn\'ees $(1/2,b)$ se trouve sur $\mathcal C$. D\'eterminer $b$, puis d\'eterminer l'\'equation de la droite tangente \`a $\mathcal C$, passant par $(1/2,b)$. \item Trouver l'unique fonction $\varphi:x\in ]-1,1[\to\varphi(x)\in\R^+$ telle que $(x,\varphi(x))\in\mathcal C$ pour tout $x\in]-1,1[$. Montrer que $\varphi(-x)=\varphi(x)$ et que $\varphi$ est d\'ecroissante sur $[0,1[$. Tracer $\mathcal C$. \item \'Enoncer le th\'eor\`eme des fonctions implicites et montrer qu'il existe exactement deux points de la courbe $\mathcal C$ o\`u le th\'eor\`eme des fonctions implicites ne s'applique pas pour \'ecrire, au voisinage de chacun de ces deux points, $y$ comme fonction de $x$. \end{enumerate} \finenonce{002653} \finexercice \exercice{5890, rouget, 2010/10/16} \enonce{005890}{**} Montrer que $\begin{array}[t]{cccc} \varphi~:&\Rr^2&\rightarrow&\Rr^2\\ &(x,y)&\mapsto&(e^x-e^y , x+y) \end{array}$ est un $C^1$-difféomorphisme de $\Rr^2$ sur lui-même. \finenonce{005890} \finexercice \exercice{5891, rouget, 2010/10/16} \enonce{005891}{***} Soit $n\in\Nn$. Montrer que l'équation $y^{2n+1}+ y - x = 0$ définit implicitement une fonction $\varphi$ sur $\Rr$ telle que : $(\forall(x,y)\in\Rr^2),\;[y^{2n+1}+ y - x = 0\Leftrightarrow y =\varphi(x)]$. Montrer que $\varphi$ est de classe $C^\infty$ sur $\Rr$ et calculer $\int_{0}^{2}\varphi(t)\;dt$. \finenonce{005891} \finexercice \exercice{5892, rouget, 2010/10/16} \enonce{005892}{***} Donner un développement limité à l'ordre $3$ en $0$ de la fonction implicitement définie sur un voisinage de $0$ par l'égalité $e^{x+y}+y-1 = 0$. \finenonce{005892} \finexercice \section{ 223.99 Autre } \exercice{1861, gourio, 2001/09/01} \enonce{001861}{} Soit $ f:{\Rr}^{2}\rightarrow {\Rr} $ admettant des d\'{e}riv\'{e}es partielles continues en $ 0$ et telle que : $$\forall a\in {\Rr}^{2}-\{0\},\forall t>0,f(ta)=tf(a). $$ Montrer que $ f$ est lin\'{e}aire. \finenonce{001861} \finexercice \exercice{1862, gourio, 2001/09/01} \enonce{001862}{} Soit $ f:{\Rr}^{2}\rightarrow {\Rr}$ une application $ C^{1 } $ sur un ouvert convexe $ O$ telle que : $$\forall a\in O,\frac{\partial f}{\partial x_{1}}(a)=\frac{\partial f}{ \partial x_{2}}(a)=0 .$$ Montrer que $ f$ est constante sur $ O.$ \finenonce{001862} \finexercice \exercice{1863, drutu, 2003/10/01} \enonce{001863}{} Soit $f:\R^n\to \R$ une application diff\'erentiable. Montrez que si $\| \nabla f(x)\| \leq M,\; \forall x\in \R^n$, alors $$ |f(x)-f(y)|\leq M\| x-y\|,\; \forall x,y \in \R^n \; . $$ \finenonce{001863} \finexercice \exercice{1864, gineste, 2001/11/01} \enonce{001864}{In\'egalit\'e de Cauchy-Schwarz} \begin{enumerate} \item Montrer que : $ \forall x_1,x_2, \cdots , x_n \in \R \; \; (x_1 + x_2 + \cdots + x_n)^2 \leq n(x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2) $ \item D\'eterminer : $m = \text{Inf} \{ (\sum_{i=1}^n x_i)(\sum_{i=1}^n 1/x_i) \mbox{ tels que } x_1,x_2, \cdots , x_n > 0 \} $ \item D\'eterminer : $M= \sup \{ |x + 2y + 3z + 4t| \mbox{ tels que } (x,y,z,t) \in \R^4 \; , x^2+y^2+z^2+t^2 \leq 1 \} $ \end{enumerate} \finenonce{001864} \finexercice \exercice{2648, debievre, 2009/05/19} \enonce{002648}{} On consid\`ere la fonction $f(x,y)=2x^2 + y^2$, $(x,y)\in\R^2$. \begin{enumerate} \item Tracer les lignes de niveau $f(x,y)=2, f(x,y)=4$. \item Tracer le graphe de la fonction $f$. Expliquer votre dessin en quelques phrases, en identifiant notamment les intersections du graphe de $f$ avec les plans parall\`eles aux trois plans des coordonn\'ees. \end{enumerate} \finenonce{002648} \finexercice \exercice{2655, debievre, 2009/05/19} \addcommand{\usepackage{graphics}} \enonce{002655}{} On consid\`ere les quatre surfaces $\Sigma_1, \Sigma_2, \Sigma_3, \Sigma_4$, d\'efinies par les \'equations suivantes: \begin{eqnarray*} z^2-\exp(2x^2+y^2)=0&(\Sigma_1)\\ z=x^2+3y^2+4&(\Sigma_2)\\ z-(x-2y)^2-4=0&(\Sigma_3)\\ \exp(x^2+y^2)+\exp(y^2+z^2)=3&(\Sigma_4) \end{eqnarray*} Les quatre surfaces sont trac\'ees dans les parties A, B, C et D de la figure sur la page suivante. Indiquer quelle surface correspond \`a quelle partie de la figure. On justifiera tr\`es bri\`evement ses r\'eponses. \centerline{ %\hskip-8cm \begin{tabular}{cc} \includegraphics[height=8cm, keepaspectratio]{../images/img002655-3}& \includegraphics[height=8cm, keepaspectratio]{../images/img002655-2}\\ A&B\\ \includegraphics[height=8cm, keepaspectratio]{../images/img002655-4}& \includegraphics[height=8cm, keepaspectratio]{../images/img002655-1}\\ C&D\end{tabular} } \finenonce{002655} \finexercice \exercice{2684, matexo1, 2002/02/01} \enonce{002684}{} Soit la fonction $f$ d\'efinie sur $\R_+^n$ par $f(x_1,\dots,x_n) = \sqrt[n]{x_1\ldots x_n}$. Chercher ses extrema quand $x_1+\cdots+x_n = n$. En d\'eduire que la moyenne g\'eom\'etrique de $n$ nombres positifs est plus petite que leur moyenne arithm\'etique. \finenonce{002684} \finexercice \exercice{5561, rouget, 2010/07/15} \enonce{005561}{**} Trouver toutes les applications $\varphi$ de $\Rr$ dans $\Rr$ de classe $C^2$ telle que l'application $f$ de $U=\{(x,y)\in\Rr^2/\;x\neq0\}$ dans $\Rr$ qui à $(x,y)$ associe $\varphi\left(\frac{y}{x}\right)$ vérifie : \begin{center} $\frac{\partial^2f}{\partial x^2}-\frac{\partial^2f}{\partial y^2}=\frac{y}{x^3}$. \end{center} \finenonce{005561} \finexercice \exercice{5562, rouget, 2010/07/15} \enonce{005562}{**} Trouver toutes les applications $f$ de $\Rr^2$ dans $\Rr$ vérifiant \begin{enumerate} \item $2\frac{\partial f}{\partial x}-\frac{\partial f}{\partial y}=0$ (en utilisant le changement de variables $u=x+y$ et $v=x+2y$) \item $x\frac{\partial f}{\partial x}+ y\frac{\partial f}{\partial y}=\sqrt{x^2+y^2}$ sur $D=\{(x,y)\in\Rr^2/\;x>0\}$ (en passant en polaires). \end{enumerate} \finenonce{005562} \finexercice \section{ 224.01 Intégrale multiple } \exercice{1907, ridde, 1999/11/01} \enonce{001907}{} Calculer $I_1 = \iint\limits_{D} (x + y)e^{-x}e^{-y}dxdy$ où $D = \left\{ (x, y)\in \Rr^{2}/x, y\geq 0, x + y \leq 1\right\}$. Calculer $I_2 = \iint\limits_{D} (x^{2} + y^{2})dxdy$ où $D = \left\{ (x, y)\in \Rr^{2}/x^{2} + y^{2}y\right\}$. Calculer $I_3 = \iint\limits_{D} \frac{xy}{1 + x^{2} + y^{2}}dxdy$ où $D = \left\{ (x, y)\in [0, 1]^{2}/x^{2} + y^{2} \geq 1\right\}$. Calculer $I_4 = \iint\limits_{D} \frac{1}{y\cos (x) + 1}dxdy$ où $D = [0, \frac{\pi}{2}]\times [0, \frac{1}{2}]$. Calculer $I_5 = \iiint\limits_{D} zdxdydz$ où $D = \left\{ (x, y, z)\in (\Rr^{ + })^{3}/y^{2} + z \leq 1, x^{2} + z \leq 1\right\}$. Calculer $I_5 = \iint\limits_{D} xydxdy$ où $D = \left\{ (x, y)\in \Rr^{2}/x, y>0, \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} \leq 1\right\}$ avec $a, b>0$. \finenonce{001907} \finexercice \exercice{1908, ridde, 1999/11/01} \enonce{001908}{} Repr\'esenter et calculer le volume de $\left\{ (x, y, z)\in \Rr^{3}/-1\leq z \leq 1, x^{2} + y^{2} \leq z^{2} + 1\right\}$. \finenonce{001908} \finexercice \exercice{1909, ridde, 1999/11/01} \enonce{001909}{} D\'eterminer le centre de gravit\'e du culbuto (homog\`ene), \emph{i.e.} le cône $$\left\{ (x, y, z)\in \Rr^{3}/z \in [0, 1], x^{2} + y^{2} \leq z^{2}\right\}$$ auquel on adjoint sur sa base une demi-boule. \finenonce{001909} \finexercice \exercice{1910, maillot, 2001/09/01} \enonce{001910}{} Soit $D=[0,1]^2$. Calculer~: $$\iint_D \frac{dx\,dy}{(x+y+1)^2}.$$ \finenonce{001910} \finexercice \exercice{1911, maillot, 2001/09/01} \enonce{001911}{} Soit $D$ le disque de centre $(0,1)$ et de rayon $1$ du plan. Calculer~: $$\iint_D (x^2+y^2) \, dx\, dy.$$ \finenonce{001911} \finexercice \exercice{1912, maillot, 2001/09/01} \enonce{001912}{} Soit $D=\{x\ge0,y\ge0,x^2+y^2-2y\ge0,x^2+y^2-1\le 0\}$. Calculer~: $$\iint_D \sqrt{x^2+y^2} \, dx\, dy.$$ \finenonce{001912} \finexercice \exercice{1913, maillot, 2001/09/01} \enonce{001913}{} Soit $D=\{(x^2+y^2)^2\le xy\}$. Calculer~: $$\iint_D \sqrt{xy} \, dx\, dy.$$ \finenonce{001913} \finexercice \exercice{1914, maillot, 2001/09/01} \enonce{001914}{} Soient $a,b>0$. Calculer l'aire de l'ellipse $E=\{ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} \le 1 \}$ par deux m\'ethodes diff\'erentes. (On rappelle que l'aire d'un domaine $D$ vaut $\iint_D dx\, dy$.) \finenonce{001914} \finexercice \exercice{1915, maillot, 2001/09/01} \enonce{001915}{} Soit $a>0$ et $D$ le domaine d\'elimit\'e par la courbe d'\'equation polaire $\rho=a(1+\cos \theta)$. Calculer l'aire de $D$. \finenonce{001915} \finexercice \exercice{1916, maillot, 2001/09/01} \enonce{001916}{} Soient $00$ et $D=\{y^2-2px\le 0,x^2-2py\le 0\}$. Calculer~: $$\iint_D e^{\frac{x^3+y^3}{xy}} \, dx\, dy.$$ (Indication~: poser $x=u^2v$ et $y=uv^2$.) \finenonce{001917} \finexercice \exercice{1918, maillot, 2001/09/01} \enonce{001918}{} Soit $R>0$, $D_R=\{x^2+y^2\le R^2, x>0, y>0\}$ et $K_R=[0,R]^2$. Montrer que~: $$\iint_{D_R} e^{-(x^2+y^2)}\, dx\, dy \le \iint_{K_R} e^{-(x^2+y^2)}\, dx\, dy \le \iint_{D_{2R}} e^{-(x^2+y^2)}\, dx\, dy.$$ En d\'eduire l'existence et la valeur de $$\lim_{R\rightarrow +\infty} \int_0^R e^{-t^2}\, dt.$$ \finenonce{001918} \finexercice \exercice{1919, maillot, 2001/09/01} \enonce{001919}{} Soient $a,R>0$. Dans le plan $(yOz)$, soit $D$ le disque de centre $(0,a,0)$ et de rayon $R$. En tournant autour de l'axe $(Oz)$, le disque $D$ engendre un domaine $T$ (appel\'e un tore plein). Calculer le volume de $T$ (c'est-\`a-dire l'int\'egrale triple $\iiint_T dx\, dy\, dz$). \finenonce{001919} \finexercice \exercice{1920, maillot, 2001/09/01} \enonce{001920}{} Soit $D=\{x^2+y^2\le 1, 0\le z\le 1-x^2+y^2\}$. Calculer le volume de $D$. \finenonce{001920} \finexercice \exercice{1921, maillot, 2001/09/01} \enonce{001921}{} Soit $D=\{x\ge 0, y\ge 0, z\ge 0, x+y+z\le 1\}$. Calculer~: $$\iiint_D \frac{dx\, dy\, dz}{(1+x+y+z)^3}.$$ \finenonce{001921} \finexercice \exercice{1922, maillot, 2001/09/01} \enonce{001922}{} Quel est le volume d\'elimit\'e par deux cylindres de r\'evolution d'axes $(Ox)$ et $(Oy)$ et de m\^eme rayon $R>0$~? \finenonce{001922} \finexercice \exercice{1923, drutu, 2003/10/01} \enonce{001923}{} En utilisant un changement de variables, calculer l'int\'egrale de $f$ sur $D$ avec \begin{enumerate} \item $D=\{ (x,y)\in \R^2 \mid \pi^2 < x^2+y^2 \leq 4\pi^2 \}\; ;\; f(x,y)=\sin \sqrt{x^2+y^2}$ ; \item $D=\left\{ (x,y)\in \R^2 \mid \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} \leq 1 \right\}\; \mbox{avec }a\, ,\, b>0\; ;\; f(x,y)=x^2+y^2$ ; \item $D=\{ (x,y,z)\in \R^3 \mid x^2+y^2 \leq 1\, ,\, 0\leq z\leq h \}\; \mbox{avec }h>0 \; ;\; f(x,y,z)=z$ ; \item $D=\{ (x,y)\in \R^2 \mid 0 < x^2\leq y\leq 2x^2\, ,\, 1/x\leq y \leq 2/x \}\; ;\; f(x,y)=x+y$ (changement de variable $u=y/x^2\, ,\, v=xy$) ; \item $D=\{ (x,y,z)\in \R^3 \mid x\geq 0\, ,\, y\geq 0\, ,\, z\geq 0\, ,\, x^2+y^2+z^2 \leq 1 \}\; ;\; f(x,y,z)=xyz $ ; \item $D=\{ (x,y,z)\in \R^3 \mid 1\leq x^2+y^2+z^2 \leq 4 \}\; ;\; f(x,y,z)=(x^2+y^2+z^2)^\alpha $. \end{enumerate} \finenonce{001923} \finexercice \exercice{1924, drutu, 2003/10/01} \enonce{001924}{} Identifier les ensembles suivants et calculer leur aire s'ils sont dans $\R^2$, leur volume s'ils sont dans $\R^3$. \begin{enumerate} \item $D=\left\{ (x,y)\in \R^2 \mid \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} \leq 1 \right\}$ avec $a,b>0$ ; \item $D=\left\{ (x,y,z)\in \R^3 \mid \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2} \leq 1 \right\}$ avec $a,b,c>0$ ; qu'obtient-on dans le cas particulier o\`u $D$ est la boule unit\'e de $\R^3$ ? \item $D=\left\{ (x,y,z)\in \R^3 \mid x^2 +y^2 \leq R\, ,\, 0\leq z\leq h \right\}$ avec $R,h>0$ ; \item $D=\left\{ (x,y,z)\in \R^3 \mid x\geq 0\, ,\, y\geq 0\, ,\, z\geq 0\, ,\, x+y+z \leq 1 \right\}$ ; \item $D=\left\{ (x,y,z)\in \R^3 \mid x^2+y^2\leq z^2/h^2 \, ,\, 0\leq z\leq h \right\}$ avec $h>0$. \end{enumerate} \finenonce{001924} \finexercice \exercice{1925, drutu, 2003/10/01} \enonce{001925}{} Calculer les coordonn\'ees du centre d'inertie (de gravit\'e) du domaine $D$ : \begin{enumerate} \item $D=\left\{ (x,y)\in \R^2 \mid \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} \leq 1\, ,\, x\geq 0\, ,\, y\geq 0 \right\}$ (le quart d'ellipse) ; \item $D=\left\{ (x,y)\in \R^2 \mid x^2+y^2 \leq 1\, ,\, x\geq 0 \, ,\, |y|\leq ax \right\}$ ; \item $D=\{ (x,y)\in \R^2 \mid x^2+y^2\leq 9\, ,\, (x-1)^2+y^2\geq 1 \}$. \end{enumerate} \finenonce{001925} \finexercice \exercice{1926, drutu, 2003/10/01} \enonce{001926}{} \begin{enumerate} \item {\bf{Th\'eor\`eme de Guldin}} Soit $D_0$ un domaine trac\'e dans le demi-plan $\{ (x,0,z)\in \R^3 \mid x\geq 0 \}$. Si l'on fait tourner $D_0$ autour de l'axe $Oz$, on obtient un domaine $D$ de $\R^3$. En utilisant les coordonn\'ees cylindriques. montrer que $$ Vol\, (D) = 2\pi Aire\, (D_0)\cdot x_G\, , $$ o\`u $(x_G,z_G)$ sont les coordonn\'ees du centre d'inertie du domaine $D_0$. \item Calculer les volumes des domaines suivants : \begin{enumerate} \item le tore obtenu en faisant tourner autour de $Oz$ le domaine $D_0=\{ (x,0,z)\mid \frac{(x-c)^2}{a^2} +\frac{z^2}{b^2}\leq 1 \}$, o\`u $a0$. \end{enumerate} \end{enumerate} \finenonce{001926} \finexercice \exercice{1927, legall, 2003/10/01} \enonce{001927}{} On pose $I= \displaystyle{\int _\Rr e^\frac{-t^2}{2}dt }$ et $J= \displaystyle{\int \! \! \! \int _{\Rr ^2} e^\frac{-(x^2+y^2)}{2}dxdy. }$ Calculer $J$ et en d\'eduire la valeur de $I$. \finenonce{001927} \finexercice \exercice{1928, legall, 2003/10/01} \enonce{001928}{} On note $D$ le domaine d\'elimit\'e par les droites $x=0,$ $y=x+2$ et $y=-x$. \begin{enumerate} \item Calculer (directement) $I= \displaystyle{\int \! \! \! \int _{D} (x-y)dxdy. }$ \item Calculer $I$ au moyen du changement de variable $u=x+y$ et $v=x-y.$ \end{enumerate} \finenonce{001928} \finexercice \exercice{1929, legall, 2003/10/01} \enonce{001929}{} Soit $D=\{ (x,y) ; x\geq 0, y\geq 0, x^2+y^2\leq 1\} $. Calculer $\displaystyle{\int \! \! \! \int _{D} (4-x^2-y^2)dxdy. }$ \finenonce{001929} \finexercice \exercice{4381, quercia, 2010/03/12} \enonce{004381}{Intégrales doubles} Calculer $\iint_D^{} f(x,y)\,d xd y$ : \begin{enumerate} \item $D=\{y\ge0, x+y\le1, y-x\le1\}$, \par\nobreak $f(x,y)=x^2y$. \item $D=\{x^2+y^2\le R^2\}$, \par\nobreak $f(x,y)=x^2y$. \item $D=\{\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} \le 1\}$, \par\nobreak $f(x,y)=x^2 + y^2$. \item $D=\{0 \le x \le 1-\frac{y^2}4\}$, \par\nobreak $f(x,y)=x^2 + y^2$. \item $D=\{x^2+y^2 \le 1\}$, \par\nobreak $f(x,y)=(x+y)^2$. \item $D=\{x^2+y^2 \le 1\}$, \par\nobreak $f(x,y)=\frac{(x+y)^2}{x^2+y^2+1}$. \item $D=\{x\ge0, y\ge0, x+y\le1\}$, \par\nobreak $f(x,y)=x+y+1$. \item $D=\{|x+y|\le1,|x-y|\le1\}$, \par\nobreak $f(x,y)=\ln(x+y+1)$. \item $D=\{x\ge0, y\ge0, x+y\le\pi\}$, \par\nobreak $f(x,y)=(x+y)\sin x\sin y$. \item $D=\{|x|\le x^2+y^2\le 1\}$, \par\nobreak $f(x,y)=(1+x^2+y^2)^2$. \item $D=\{x\ge0, y\ge0, x+y\le a\}$, \par\nobreak $f(x,y)=x+y+\sqrt{a^2+(x+y)^2}$. \item $D=\{x\ge0, y\ge0, x^2+y^2\le 1\}$, \par\nobreak $f(x,y)=xy\sqrt{x^2+4y^2}$. \item $D=\{x^2+y^2-2y \le 0\}$, \par\nobreak $f(x,y)=y\exp(x^2+y^2-2y)$. \item $D=\{y^2 \le 2px, x^2 \le 2py\}$, \par\nobreak $f(x,y)=\exp\left(\frac{x^3+y^3}{xy}\right)$. \end{enumerate} \finenonce{004381} \finexercice \exercice{4382, quercia, 2010/03/12} \enonce{004382}{ESEM 94} Calculer $I = \iint_\Delta xy\,d xd y$ où $\Delta = \{(x,y) \text{ tel que } y\ge 0 \text{ et } (x+y)^2 \le 2x/3 \}$. \finenonce{004382} \finexercice \exercice{4383, quercia, 2010/03/12} \enonce{004383}{Ensi PC 1999} Calculer $I = \iint_\Delta (x^2 + xy + y^2)\,d xd y$ où $\Delta = \{(x,y) \text{ tel que } y\ge 0 \text{ et } x^2+y^2-2x\le 0 \text{ et } x^2+y^2-2y\le 0 \}$. \finenonce{004383} \finexercice \exercice{4384, quercia, 2010/03/12} \enonce{004384}{Intégrales triples} Calculer $\iiint_D^{} f(x,y,z)\,d xd yd z$ : \begin{enumerate} \item $D=\{0\le x\le1, 0\le y\le1, 0\le z\le1\}$, \par\nobreak $f(x,y,z)=\frac1{(x+y+z+1)^3}$. \item $D=\{x^2+y^2+z^2 \le R^2\}$, \par\nobreak $f(x,y,z)=\frac1{\sqrt{a^2-x^2-y^2-z^2}} \quad(a>R>0)$. \item $D=\{x\ge0, y\ge0, z\ge0, x+y+z\le1\}$, \par\nobreak $f(x,y,z)=xyz$. \item $D=\{x\ge0, y\ge0, z\ge0, x+y+z\le1\}$, \par\nobreak $f(x,y,z)=\frac1{(x+y+z+1)^2}$. \item $D=\{x^2+y^2\le R^2, 0\le z\le a\}$, \par\nobreak $f(x,y,z)=x^3+y^3+z^3-3z(x^2+y^2)$. \item $D=\{x^2+y^2\le z^2, 0\le z\le 1\}$, \par\nobreak $f(x,y,z)=\frac z{(x^2+y^2+1)^2}$. \item $D=\left\{\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} \le 1\right\}$, \par\nobreak $f(x,y,z)=x^2+y^2$. \end{enumerate} \finenonce{004384} \finexercice \exercice{4385, quercia, 2010/03/12} \enonce{004385}{Ensi Chimie P 93} \begin{enumerate} \item Calculer $\iiint_D \frac{d x\,d y\,d z}{(1+x^2z^2)(1+y^2z^2)}$ avec $D = \{(x,y,z) \text{ tel que } 0\le x \le 1,\ 0\le y\le 1,\ 0\le z\}$. \item En déduire $ \int_{t=0}^{+\infty} \Bigl(\frac{\Arctan t}t\Bigr)^2d t$. \end{enumerate} \finenonce{004385} \finexercice \exercice{4386, quercia, 2010/03/12} \enonce{004386}{Ensi Chimie P 93} Soit $I = \int_0^1\frac{\ln(1+x)}{1+x^2}\,d x$.\par En calculant $J=\iint_D\frac{x\,d x\,d y}{(1+x^2)(1+xy)}$ avec $D = \{(x,y) \text{ tel que } 0\le x \le 1,\ 0\le y\le 1\}$ de deux façons différentes, trouver $I$. \finenonce{004386} \finexercice \exercice{4387, quercia, 2010/03/12} \enonce{004387}{Ensi Chimie P 93} Soit $T$ un tore plein d'axe $(Oz)$ et de rayons $R$, $r$ ($R > r$). Calculer $\iiint_T(x^2+y^2)\,d x\,d y\,d z$. \finenonce{004387} \finexercice \exercice{4388, quercia, 2010/03/12} \enonce{004388}{$MF + MF'$} Soit $\cal E$ l'ellipse d'équation $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ ($0 0$ on note $\Delta_a = [0,a] \times [0,a]$ et $C_a$ le quart de disque d'équations : $x^2+y^2 \le a^2$, $x\ge0$, $y\ge0$. \begin{enumerate} \item Encadrer l'intégrale sur $\Delta_a$ de $f(x,y) = e^{-x^2-y^2}$ par les intégrales de $f$ sur des domaines du type $C_b$. \item Calculer $\iint_{C_b}^{} f(x,y)\,d xd y$ en polaires et en déduire la valeur de $I$. \end{enumerate} \end{enumerate} \finenonce{004390} \finexercice \exercice{4391, quercia, 2010/03/12} \enonce{004391}{$ \int_{t=0}^1 \frac{\ln t}{1-t^2}\,d t$} \begin{enumerate} \item Calculer $A = \iint_{0\le y\le x\le 1}^{} \frac{d xd y}{(1+x^2)(1+y^2)}$. \item Démontrer la convergence des intégrales :\par $B = \int_{\theta=0}^{\pi/4} \frac{\ln(2\cos^2\theta)}{2\cos2\theta} d\theta$, $C = \int_{\theta=0}^{\pi/4} \frac{\ln(2\sin^2\theta)}{2\cos2\theta} d\theta$, et $D = \int_{t=0}^1 \frac{\ln t}{1-t^2}\,d t$. \item Démontrer que $A = B$ (passer en coordonnées polaires dans $A$). \item Calculer $B+C$ et $B-C$ en fonction de $D$. \item En déduire les valeurs de $C$ et $D$. \end{enumerate} \finenonce{004391} \finexercice \exercice{4392, quercia, 2010/03/12} \enonce{004392}{Aires} Calculer l'aire des domaines suivants : \begin{enumerate} \item $D$ est la partie du disque unité située dans la concavité de l'hyperbole d'équation $xy = \frac{\sqrt3}4$. \item $D$ est l'intersection des domaines limités par les ellipses d'équation $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ et $\frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1$. \end{enumerate} \finenonce{004392} \finexercice \exercice{4393, quercia, 2010/03/12} \enonce{004393}{Ensi P 90} Soit $\cal P$ le plan rapporté au repère $(O,\vec i,\vec j)$. Calculer l'aire du domaine délimité par la courbe d'équation $x^{2/3}+y^{2/3} = a^{2/3}$. \finenonce{004393} \finexercice \exercice{4394, quercia, 2010/03/12} \enonce{004394}{Chimie P 91} On considère les courbes planes : ${\cal Q}_i$ : $(x^2 = 2q_iy)$ et ${\cal P}_i$ : $(y^2 = 2p_ix)$. On suppose $0 < q_1 < q_2$ et $0 < p_1 < p_2$. Calculer l'aire du ``quadrilatère'' limité par ${\cal P}_1$,${\cal P}_2$,${\cal Q}_1$ et ${\cal Q}_2$. \finenonce{004394} \finexercice \exercice{4395, quercia, 2010/03/12} \enonce{004395}{Chimie P 1996} Calculer l'aire délimitée par la courbe d'équation $(y-x)^2 = a^2-x^2$. \finenonce{004395} \finexercice \exercice{4396, quercia, 2010/03/12} \enonce{004396}{Volumes} Calculer le volume des domaines suivants : \begin{enumerate} \item $D$ est l'intersection du cylindre de révolution d'axe $Oz$ de rayon $a$ et de la boule de centre $O$ de rayon 1 ($0 < a < 1$). \item $D$ est l'intersection de la boule de centre $O$ de rayon 1 et du cône de révolution d'axe $Oz$ et de demi-angle~$\frac\pi4$. \item $D$ est le volume engendré par la rotation d'un disque de rayon $r$ autour d'une droite coplanaire avec le disque, située à la distance $R > r$ du centre du disque (tore de révolution ou chambre à air). \end{enumerate} \finenonce{004396} \finexercice \exercice{4397, quercia, 2010/03/12} \enonce{004397}{Ensi Physique P 94} Calculer le volume intérieur au paraboloïde d'équation $x^2+y^2 = 2pz$ et extérieur au cône d'équation $x^2+y^2 = \lambda^2z^2$ ($p>0$, $\lambda>0$). \finenonce{004397} \finexercice \exercice{4398, quercia, 2010/03/12} \enonce{004398}{Volume} Dans le plan $Oxy$ on considère la courbe $\mathcal{C}$ d'équation polaire $\rho = a\sqrt{\cos 2\theta}$ $(a>0,\ -\frac\pi4 \le \theta \le \frac\pi4 )$. En tournant autour de $Ox$, $\mathcal{C}$ engendre une surface dont on calculera le volume qu'elle limite (on posera $x = \rho\cos\theta$, $y=\rho\sin\theta\cos\phi$, $z=\rho\sin\theta\sin\phi$). \finenonce{004398} \finexercice \exercice{4399, quercia, 2010/03/12} \enonce{004399}{Volume} On coupe une demi-boule par un plan $P$ parallèle à sa base. Quelle doit être la position de $P$ pour que les deux morceaux aient même volume ? (Donner un résultat approché) \finenonce{004399} \finexercice \exercice{4400, quercia, 2010/03/12} \enonce{004400}{Somme double} Soit $f : {[0,1]} \to \R$ continue. Chercher $\lim_{n\to\infty} \frac1{n^2} \sum_{0\le i\le j \le n} f\left(\frac in\right)f\left(\frac jn\right)$. \finenonce{004400} \finexercice \exercice{4401, quercia, 2010/03/12} \enonce{004401}{Nombre de couples $(a,b)$ tel que $a^2+b^2 \le n$} Pour $n \in \N$ on pose $E_n = \{ (p,q)\in \N^2 \text{ tel que } p^2+q^2 \le n \}$ et $C_n = \mathrm{Card}\,(E_n)$. Interpréter $C_n$ comme une aire et donner un équivalent de $C_n$ lorsque $n\to\infty$. \finenonce{004401} \finexercice \exercice{4402, quercia, 2010/03/12} \enonce{004402}{Ens MP 2002} Soit $f\in\mathcal{C}([0,1],\R^+)$ telle que $ \int_0^1f = 1$. Pour $\psi\in\mathcal{C}([0,1],\R)$ on pose $$\Lambda_n(\psi) = \int_0^1\!\dots \int_0^1\psi\Bigl(\frac{x_1+\dots+x_n}n\Bigr)f(x_1)\dots f(x_n)\,d x_1\dots d x_n.$$ Montrer que $\Lambda_n(\psi)\to\psi\Bigl( \int_{x=0}^1xf(x)\,d x\Bigr)$ lorsque $n\to\infty$. \finenonce{004402} \finexercice \exercice{5908, rouget, 2010/10/16} \enonce{005908}{**} Calculer les intégrales multiples suivantes \begin{enumerate} \item $I=\displaystyle\iint_{D}(x+y)\;dxdy$ où $D=\{(x,y)\in\Rr^2/\;x\leqslant1,\;y\leqslant1,\;x+y\geqslant1\}$. \item $I=\displaystyle\iint_{[-1,1]^2}|x+y|\;dxdy$. \item $I=\displaystyle\iint_{D}xy\;dxdy$ où $D$ est la partie du plan limitée par les paraboles d'équations respectives $y=x^2$ et $x=y^2$. \item $I=\displaystyle\iint_{x^2+y^2\leqslant1} \frac{1}{1+x^2+y^2}\;dxdy$. \item $I=\displaystyle\iint_{x\leqslant x^2+y^2\leqslant1} \frac{dxdy}{(1+x^2+y^2)^2}$. \item $I=\displaystyle\iiint_{0\leqslant x\leqslant y\leqslant z\leqslant1}xyzdxdydz$. \item $I=\displaystyle\iiint_{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\leqslant1}zdxdydz$. \end{enumerate} \finenonce{005908} \finexercice \exercice{5910, rouget, 2010/10/16} \enonce{005910}{***} Soient $(p_1,p_2,q_1,q_2)\in]0,+\infty[^4$ tel que $p_1 0$ de $I(x) = \int_{t=0}^{+\infty} \frac{\sin t}{t+x}\,d t$. \item Déterminer $\lim_{x\to+\infty} I(x)$. \end{enumerate} \finenonce{004318} \finexercice \exercice{4319, quercia, 2010/03/12} \enonce{004319}{Calcul de limite} Soit $f : {[0,1]} \to \R$ continue. Chercher $\lim_{x\to0^+} \int_{t=0}^1 \frac{xf(t)}{x^2+t^2}\,d t$. \finenonce{004319} \finexercice \exercice{4320, quercia, 2010/03/12} \enonce{004320}{Calcul d'équivalent, Mines 1999} Donner un équivalent pour $x\to+\infty$ de $ \int_{t=0}^{+\infty}\frac{\sin t}{x^2+t^2}\,d t$. \finenonce{004320} \finexercice \exercice{4321, quercia, 2010/03/12} \enonce{004321}{ Calcul de limite} Soit $a > 0$. Donner le DL en $x=1$ à l'ordre 3 de $f(x) = \int_{t=a/x}^{ax} \frac{\ln t}{a^2+t^2}\,d t$. \finenonce{004321} \finexercice \exercice{4322, quercia, 2010/03/12} \enonce{004322}{$(\int f^x)^{1/x}$} Soit $f : {[a,b]} \to {\R^+}$ continue. On pose $\varphi(x) = \left({ \int_{t=a}^b (f(t))^x\,d t}\right)^{1/x}$. \begin{enumerate} \item Montrer que $\varphi(x) \to \max(f)$ lorsque $x\to+\infty$. \item On suppose $f > 0$ et $b-a = 1$. Montrer que $\varphi(x) \to \exp\left({ \int_{t=a}^b\ln(f(t))\,d t}\right)$ lorsque $x\to0^+$. \end{enumerate} \finenonce{004322} \finexercice \exercice{4323, quercia, 2010/03/12} \enonce{004323}{$t^nf(t)$} Soit $I_n = \int_{t=0}^1 t^n\ln(1+t^2)\,d t$. Montrer que $I_n \to 0$ lorsque $n\to\infty$. \finenonce{004323} \finexercice \exercice{4324, quercia, 2010/03/12} \enonce{004324}{$t^nf(t)$} Soit $f : {[0,1]} \to \R$ continue. Montrer que $ \int_{t=0}^1 t^nf(t)\,d t = \frac{f(1)}n + o\Bigl(\frac1n\Bigr)$. \finenonce{004324} \finexercice \exercice{4325, quercia, 2010/03/12} \enonce{004325}{$f(t^n)$} \begin{enumerate} \item Soit $f : {[0,1]} \to \R$ continue. Montrer que $ \int_{t=0}^1 f(t^n)\,d t \to f(0)$ lorsque $n\to\infty$. \item Chercher un équivalent pour $n\to\infty$ de $ \int_{t=0}^1 \frac{t^n\,d t}{1+t^n}$. \item Chercher un équivalent pour $n\to\infty$ de $-1 + \int_{t=0}^1 \sqrt{1+t^n}\,d t$. \end{enumerate} \finenonce{004325} \finexercice \exercice{4326, quercia, 2010/03/12} \enonce{004326}{$f(t^n)$} Donner les deux premiers termes du DL pour $n\to\infty$ de $I_n = \int_{t=0}^1 \frac{d t}{1+t^n}$. \finenonce{004326} \finexercice \exercice{4327, quercia, 2010/03/12} \enonce{004327}{$f(t^n)$} Donner les deux premiers termes du DL pour $n\to\infty$ de $I_n = \int_{t=0}^1 \sqrt{1+t^n}\,d t$. \finenonce{004327} \finexercice \exercice{4328, quercia, 2010/03/12} \enonce{004328}{$f(t^n)$} Chercher un équivalent pour $n\to\infty$ de $ \int_{t=1}^{1+1/n} \sqrt{1+t^n}\,d t$. \finenonce{004328} \finexercice \exercice{4329, quercia, 2010/03/12} \enonce{004329}{Calcul de limite} Déterminer $\lim_{n\to\infty} \int_{x=0}^{\pi/2} \frac{\sin^nx}{x+2}\,d x$. \finenonce{004329} \finexercice \exercice{4330, quercia, 2010/03/12} \enonce{004330}{Calcul de limite} Soit $f : {[0,1]} \to \R$ continue. Déterminer $\lim_{n\to\infty} \int_{t=0}^1 nf(t)e^{-nt}\,d t$. \finenonce{004330} \finexercice \exercice{4331, quercia, 2010/03/12} \enonce{004331}{$(1-x/n)^n$, Ensi PSI 1998} Soit $x\in{[0,n]}$. Montrer que $(1-x/n)^n \le e^{-x}$. En déduire $\lim_{n\to\infty} \int_{x=0}^n(1-x/n)^n\,d x$. \finenonce{004331} \finexercice \exercice{4332, quercia, 2010/03/12} \enonce{004332}{\'Equation intégrale, Ensi P 91} Déterminer les fonctions $f \in \mathcal{C}^0(\R,\R)$ telles que : $\forall\ x\in \R,\ f(x) + \int_0^x (x-t)f(t)\,dt = 1$. \finenonce{004332} \finexercice \exercice{4333, quercia, 2010/03/12} \enonce{004333}{$\tan^nt$, Ensi Physique P 94} On pose $I_n = \int_0^{\pi/4} \tan^nt\,d t$.\par \begin{enumerate} \item Montrer que $I_n \to 0$ lorsque $n\to\infty$. \item Calculer $I_n$ en fonction de~$n$. \item Que peut-on en déduire~? \end{enumerate} \finenonce{004333} \finexercice \exercice{4334, quercia, 2010/03/12} \enonce{004334}{Calcul de limite, École de l'air 94} Chercher $\lim_{n\to\infty} \int_0^1\frac{t^n-t^{2n}}{1-t}\,d t$. \finenonce{004334} \finexercice \exercice{4335, quercia, 2010/03/12} \enonce{004335}{Approximation de la mesure de Dirac} Soit $f : {[a,b]} \to {\R^+}$ continue atteignant son maximum en un unique point $c \in {]a,b[}$. \begin{enumerate} \item Soit $\mu > 0$ tel que $[c-\mu,c+\mu] \subset [a,b]$. Chercher $\lim_{n\to\infty} \biggl( \int_{t=a}^b f^n(t)\,d t\biggm/ \int_{t=c-\mu}^{c+\mu} f^n(t)\,d t\biggr)$. \item Soit $g : {[a,b]} \to {\R^+}$ continue. Chercher $\lim_{n\to\infty} \biggl( \int_{t=a}^b f^n(t)g(t)\,d t\biggm/ \int_{t=a}^b f^n(t)\,d t\biggr)$. \end{enumerate} \finenonce{004335} \finexercice \exercice{4336, quercia, 2010/03/12} \enonce{004336}{\'Equation intégrale} Soit $f : {[0,+\infty[} \to {\R^+}$ continue telle que $f(x) \int_{t=0}^x f^2(t)\,d t \to \ell\ne 0$ (lorsque $x\to+\infty$). Trouver un équivalent de $f$ en~$+\infty$. \finenonce{004336} \finexercice \exercice{4337, quercia, 2010/03/12} \enonce{004337}{Convolution} Soient ${f,g} : \R \to \R$ continues et $a,b \in \R$. On pose $\varphi(x) = \int_{t=a}^b f(t)g(x-t)\,d t$. \begin{enumerate} \item Montrer que $\varphi$ est continue et que si $g$ est de classe $\mathcal{C}^k$, alors $\varphi$ l'est aussi. \item Montrer que si $f$ est de classe $\mathcal{C}^1$ (et $g$ continue), alors $\varphi$ est aussi de classe $\mathcal{C}^1$. \end{enumerate} \finenonce{004337} \finexercice \exercice{4338, quercia, 2010/03/12} \enonce{004338}{Convolution (Mines MP 2003)} Soient $f,g\in\mathcal{C}([0,+\infty[,\R)$. On pose $h(x) = \int_{t=0}^x f(x-t)g(t)\,d t$. \begin{enumerate} \item Existence et continuité de~$h$. \item Peut-on inverser $f$ et $g$~? \item On suppose $f$ intégrable sur~$[0,+\infty[$ et $g$ bornée. Montrer que~$h$ est bornée. \item On prend $f(x) = \frac{\sin x}x$ et $g(x) = \cos(\alpha x)$ avec $0\le\alpha\le 1$. $h$ est-elle bornée (on pourra étudier les cas $\alpha=0$ et $\alpha=1$)~? \end{enumerate} \finenonce{004338} \finexercice \exercice{4339, quercia, 2010/03/12} \enonce{004339}{Calcul d'intégrale} \begin{enumerate} \item Calculer $\varphi(a) = \int_{t=0}^1 \frac{d t}{1+at}$. \item En déduire la valeur de $ \int_{t=0}^1 \frac{td t}{(1+at)^2}$. \end{enumerate} \finenonce{004339} \finexercice \exercice{4340, quercia, 2010/03/12} \enonce{004340}{Fonction définie par une intégrale} On pose $\varphi(x) = \int_{t=0}^1 e^{-x/t}\,d t$. \begin{enumerate} \item Montrer que $\varphi$ est de classe $\mathcal{C}^\infty$ sur $\R^{+*}$. \item Vérifier que $\varphi''(x) = \frac{e^{-x}}x$. \end{enumerate} \finenonce{004340} \finexercice \exercice{4341, quercia, 2010/03/12} \enonce{004341}{Fonction définie par une intégrale, Mines 1999} Soit $I(\alpha) = \int_{x=0}^{+\infty} \frac{x^{\alpha-1}}{1+x}\,d x$. Montrer que $I(\alpha)$ existe et définit une fonction de classe $\mathcal{C}^1$ sur $]0,1[$. \'Ecrire $I(\alpha)$ comme somme d'une série. \finenonce{004341} \finexercice \exercice{4342, quercia, 2010/03/12} \enonce{004342}{Fonction définie par une intégrale} On pose pour $x \ge 0$ : $f(x) = \int_{t=0}^{+\infty} \frac{\ln(x^2+t^2)}{1+t^2}\,d t$. Calculer explicitement $f'(x)$ et en déduire $f(x)$ (on calculera $f(0)$ à l'aide du changement de variable $u = 1/t$). \finenonce{004342} \finexercice \exercice{4343, quercia, 2010/03/12} \enonce{004343}{Fonction définie par une intégrale} On pose $I(x) = \int_{t=0}^{\pi/2} \ln(\cos^2t + x^2\sin^2t)\,d t$. \begin{enumerate} \item Montrer que $I$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\R^{+*}$. \item Calculer $I'(x)$ et en déduire $I(x)$. \end{enumerate} \finenonce{004343} \finexercice \exercice{4344, quercia, 2010/03/12} \enonce{004344}{Intégrale de Gauss} On considère les fonctions définies par : $f(x) = \left({ \int_{t=0}^x e^{-t^2}\,d t}\right)^2$ et $g(x) = \int_{t=0}^1 \frac{e^{-x^2(1+t^2)}}{1+t^2}\,d t$. \begin{enumerate} \item Montrer que $f$ et $g$ sont dérivables et calculer $f'$ et $g'$. \item Montrer que $f(x) + g(x) = \frac\pi4$ pour tout $x \in \R^+$. \item En déduire la valeur de $ \int_{t=0}^{+\infty} e^{-t^2}\,d t$. \end{enumerate} \finenonce{004344} \finexercice \exercice{4345, quercia, 2010/03/12} \enonce{004345}{Intégrale de Gauss, Ensi PC 1999} On donne~: $ \int_{t=0}^{+\infty} e^{-t^2}\,d t =\frac{\sqrt\pi}2$. Existence et valeur de $ \int_{t=0}^{+\infty} e^{-(t^2+a^2/t^2)}\,d t$. \finenonce{004345} \finexercice \exercice{4346, quercia, 2010/03/12} \enonce{004346}{Fonction définie par une intégrale} \begin{enumerate} \item Soit $I(x) = \int_{t=0}^{+\infty} e^{-t^2}\cos(2xt)\,d t$. Prouver que $I$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\R$. \item Chercher une relation simple entre $I$ et $I'$. \item En déduire la valeur de $I(x)$ $\Bigl($on admet que $I(0) = \frac{\sqrt\pi}2\Bigr)$. \end{enumerate} \finenonce{004346} \finexercice \exercice{4347, quercia, 2010/03/12} \enonce{004347}{Fonctions définies par des intégrales} On pose, pour $x$ réel, $F(x) = \int^{+\infty}_{t=0} \frac{1 - \cos tx}{t^2}\, d t$ et $G(x) = \int^{+\infty}_{t=0} \frac{1 - \cos tx}{t\sqrt{1+t^2}}\,d t$. \begin{enumerate} \item Montrer que les intégrales $F(x)$ et $G(x)$ convergent absolument pour tout $x$ réel et que $F(x) = |x| F(1)$. \item Montrer que la fonction $F-G$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur~$\R$. En déduire que $G$ est $\mathcal{C}^1$ sur $\R^*$ et n'est pas dérivable en~$0$. \end{enumerate} \finenonce{004347} \finexercice \exercice{4348, quercia, 2010/03/12} \enonce{004348}{Théorème de division des fonctions $\mathcal{C}^\infty$} Soit $f:\R \to \R$ de classe $\mathcal{C}^\infty$ et $g(x) = \begin{cases}\frac{f(x)-f(0)}x & \text{ si } x \ne 0\cr f'(0) & \text{ si } x = 0.\cr\end{cases}$ Vérifier que $g(x) = \int_{t=0}^1 f'(tx)\,d t$. En déduire que $g$ est de classe $\mathcal{C}^\infty$. Montrer de même que la fonction $g_k : x \mapsto \frac1{x^k}\left({f(x) - f(0) - xf'(0) - \dots - \frac{x^{k-1}}{(k-1)!}f^{(k-1)}(0)}\right)$ se prolonge en une fonction de classe $\mathcal{C}^\infty$ en 0. \finenonce{004348} \finexercice \exercice{4349, quercia, 2010/03/12} \enonce{004349}{$y''+y = f$} Soit $f:\R \to \R$ continue. On pose $g(x) = \int_{t=0}^x f(t)\sin(x-t)\,d t$. Montrer que $g$ est l'unique solution de l'équation différentielle : $y''+y = f(x)$ telle que $y(0) = y'(0) = 0$. \finenonce{004349} \finexercice \exercice{4350, quercia, 2010/03/12} \enonce{004350}{Fonction définie par une intégrale} Soit $f:\R \to \R$ continue. On définit pour $x \in \R^*$ et $y \in \R$ : $g(x,y) = \frac 1x \int_{t=x}^{xy} f(t)\,d t$. \begin{enumerate} \item Montrer que $g$ peut être prolongée en une fonction continue sur $\R^2$. \item On suppose de plus $f$ dérivable en 0. Montrer que $g$ est de classe $\mathcal{C}^1$. \end{enumerate} \finenonce{004350} \finexercice \exercice{4351, quercia, 2010/03/12} \enonce{004351}{Fonctions définies par des intégrales} Construire les courbes représentatives des fonctions suivantes : \begin{enumerate} \item $f(x) = \int_{t=-\pi/2}^{\pi/2} |x+t|\sin t\,d t$.\par \item $f(x) = \int_{t=x}^{x^2} \frac{d t}{\ln t}$. \item $f(x) = \int_{t=x}^{x^2} \frac{d t}{\sqrt{t^4+t^2+1}}$. \item $f(x) = \int_{t=0}^1 \frac{e^t\,d t}{t+x}$. \item $f(x) = \int_{t=0}^{\pi/2} x\exp\Bigl(\frac{\sin t}x\Bigr)d t$. \item $f(x) = \int_{t=0}^x \frac{\ln(1+xt)}{1+t^2}\,d t$. \end{enumerate} \finenonce{004351} \finexercice \exercice{4352, quercia, 2010/03/12} \enonce{004352}{Fonction définie par une intégrale} Montrer qu'il existe un unique réel $x \in {[0,\pi]}$ tel que $ \int_{\theta=0}^\pi \cos(x\sin\theta)\, d\theta = 0$. Calculer une valeur approchée de $x$ à $10^{-2}$ près. \finenonce{004352} \finexercice \exercice{4353, quercia, 2010/03/12} \enonce{004353}{Développement en série, Ensam PSI 1998, Mines MP 1999} Soit $I(\alpha) = \int_{x=0}^{+\infty} \frac{\sin\alpha x}{e^x-1}\,d x$. \begin{enumerate} \item Justifier l'existence de $I(\alpha)$. \item Déterminer les réels $a$ et~$b$ tels que~: $I(\alpha) = \sum_{n=1}^\infty \frac a{b+n^2}$. \item Donner un équivalent de $I(\alpha)$ quand $\alpha\to+\infty$. \end{enumerate} \finenonce{004353} \finexercice \exercice{4354, quercia, 2010/03/12} \enonce{004354}{Formule de Stirling} Montrer que $\Gamma(x+1) \sim x^xe^{-x}\sqrt{2\pi x}$ pour $x$ réel tendant vers $+\infty$. \finenonce{004354} \finexercice \exercice{4355, quercia, 2010/03/12} \enonce{004355}{Développement en série, Mines 1999} Soit $\theta\in{]0,\pi[}$. Montrer que $ \int_{t=0}^1 \frac{d t}{e^{-i\theta}-t} = \sum_{n=1}^\infty \frac{\exp(in\theta)}n$. \finenonce{004355} \finexercice \exercice{4356, quercia, 2010/03/12} \enonce{004356}{Fonction définie par une intégrale, X 1999} \begin{enumerate} \item Calculer $f(a) = \int_{t=0}^{+\infty} e^{-t^2}\cos(at)\,d t$. \item Soit $g(a) = \int_{t=0}^{+\infty} e^{-t^2}\frac{\sin(at)}t\,d t$~; calculer $\lim_{a\to+\infty} g(a)$. \end{enumerate} \finenonce{004356} \finexercice \exercice{4357, quercia, 2010/03/12} \enonce{004357}{Développement asymptotique} Soient $J(x) = \int_{t=0}^{\pi/2}\frac{d t}{\sqrt{\sin^2t + x^2\cos^2t}}$ et $K(x) = \int_{t=0}^{\pi/2}\frac{\cos t\,d t}{\sqrt{\sin^2t + x^2\cos^2t}}$. Calculer $\lim_{x\to0^+}(J(x)-K(x))$ et montrer que $J(x) = -\ln x + 2\ln2 + o_{x\to0^+}(1)$. \finenonce{004357} \finexercice \exercice{4358, quercia, 2010/03/12} \enonce{004358}{Transformée de Laplace} Soit $f : {[0,+\infty[} \to \R$ continue telle que $ \int_{t=0}^{+\infty}f(t)\,d t$ converge (pas forcément absolument). On pose $\varphi(a) = \int_{t=0}^{+\infty}e^{-at}f(t)\,d t$. \begin{enumerate} \item Montrer que $\varphi$ est de classe $\mathcal{C}^\infty$ sur $]0,+\infty[$. \item Montrer que $\varphi$ est continue en $0$. \end{enumerate} \finenonce{004358} \finexercice \exercice{4359, quercia, 2010/03/12} \enonce{004359}{} On pose pour $n\ge2$~: $v_n= \int_{x=0}^1 \frac 1{1+x^n}\, d x$. Montrer que la suite $(v_n)$ converge. Nature de la série $\sum(v_n-1)$ ? \finenonce{004359} \finexercice \exercice{4360, quercia, 2010/03/12} \enonce{004360}{} On pose pour $n\ge2$ $u_n= \int_{x=0}^{+\infty} \frac1{1+x^n}\, d x$. Montrer que la suite $(u_n)$ converge, puis que la série $\sum(u_n-1)$ converge également. \finenonce{004360} \finexercice \exercice{4361, quercia, 2010/03/12} \enonce{004361}{Centrale MP 2000} Domaine de définition de~$I(\alpha) = \int_{x=0}^{+\infty}\frac{x\ln x}{(1+x^2)^\alpha}\,d x$. Calculer $I(2)$ et~$I(3)$. Déterminer la limite de $I(\alpha)$ en~$+\infty$. \finenonce{004361} \finexercice \exercice{4362, quercia, 2010/03/12} \enonce{004362}{Centrale MP 2000} On considère $f(x)= \int_{t=0}^{+\infty}\frac{d t}{t^x(1+t)}$. \begin{enumerate} \item Domaine de définition, monotonie, convexité de $f$ (sans dériver $f$). \item Continuité, dérivabilité, calcul de $f^{(k)}(x)$. \item Donner un équivalent de $f(x)$ en $0$ et en $1$. \item Calculer $f(1/n)$ pour $n\in \N$, $n\ge 2$. \end{enumerate} \finenonce{004362} \finexercice \exercice{4363, quercia, 2010/03/12} \enonce{004363}{Ensae MP$^*$ 2000} Soit $\alpha \in \R$. Trouver la limite de $u_n=\sum_{k=1}^n \frac{\sin (k\alpha)}{n+k}\cdotp$ \finenonce{004363} \finexercice \exercice{4364, quercia, 2010/03/12} \enonce{004364}{Polytechnique MP$^*$ 2000} Existence et continuité de $f(x) = \int_{t=-\infty}^{+\infty} \frac{e^{-|x+t|}\cos(x+t)}{\sqrt{|t|}(1+|t|)}\,d t$. Montrer que $f$ est intégrable. \finenonce{004364} \finexercice \exercice{4365, quercia, 2010/03/12} \enonce{004365}{Centrale MP 2001} \begin{enumerate} \item Développer, pour tout $x>0$, $s(x) = \int_{t=0}^{+\infty}\frac{\sin t}{e^{xt}-1}\,d t$ en série de fractions rationnelles. \item Montrer qu'en $0^+$, $s(x)$ est équivalente à $\frac\pi{2x}$. \end{enumerate} \finenonce{004365} \finexercice \exercice{4366, quercia, 2010/03/12} \enonce{004366}{X MP$^*$ 2001} \'Etudier $ \int_{t=0}^{+\infty} \frac{e^{-tx}}{1+t^2}\,d t$. \finenonce{004366} \finexercice \exercice{4367, quercia, 2010/03/12} \enonce{004367}{Ensi MP 2004} \smallskip Soit $f(x) = \int_{t=0}^{+\infty}\frac{e^{-t^2x}}{1+t^2}\,d t$. \begin{enumerate} \item Trouver le domaine de définition de~$f$. \item Montrer que $f$ est dérivable sur $\R^{+*}$. \item Calculer $f-f'$. \item Donner un équivalent simple de~$f'(x)$ pour $x\to+\infty$. \item Montrer que $f(x) = \frac{\sqrt\pi}{2\sqrt x} - \frac{\sqrt\pi}{4x\sqrt x} + o\Bigl(\frac1{x\sqrt x}\Bigr)$. \item Tracer la courbe de~$f$. \end{enumerate} \finenonce{004367} \finexercice \exercice{4368, quercia, 2010/03/12} \enonce{004368}{Ensea MP 2004} Soit $\alpha>0$. \begin{enumerate} \item Montrer que $f : x \mapsto e^{-\alpha x} \int_{\theta=0}^\pi \cos(x\sin\theta)\, d\theta$ est intégrable sur $\R^+$. \item Calculer $I = \int_{x=0}^{+\infty}f(x)\,d x$. Indication~: écrire $I = \lim_{a\to+\infty} \int_{x=0}^a f(x)\,d x$. \end{enumerate} \finenonce{004368} \finexercice \exercice{4369, quercia, 2010/03/12} \enonce{004369}{X MP$^*$ 2000} Étudier la limite en $0+$ de $I(x) = \int_{t=0}^{+\infty} \frac{e^{-t}-\cos t}{t}e^{-xt}\, d t$. \finenonce{004369} \finexercice \exercice{4370, quercia, 2010/03/12} \enonce{004370}{$\zeta$ et $\Gamma$} Montrer, pour $x>1$~: $\zeta(x)\Gamma(x) = \int_{t=0}^{+\infty} \frac{t^{x-1}}{e^t-1}\,d t$. \finenonce{004370} \finexercice \exercice{4371, quercia, 2010/03/12} \enonce{004371}{Centrale MP 2002} Soit $f$ : $x \mapsto \int_{t=0}^{+\infty}\frac{d t}{t^{x+1}+t+1}$. Déterminer son domaine de définition~; étudier sa continuité et sa monotonie. Calculer $ \int_{t=1}^{+\infty}\frac{d t }{t^{x+1}+t}$ et en déduire des équivalents et les limites de~$f$ en~$0$ et en~$+\infty$. \finenonce{004371} \finexercice \exercice{4372, quercia, 2010/03/12} \enonce{004372}{Polytechnique MP 2002} Soit $\alpha\in{]0,\frac\pi2[}$ et $\lambda\in\R$. Chercher un équivalent pour $n\to\infty$ de $I_n = \int_{x=0}^{\alpha}\sin(x)\exp(\lambda n\sin^2(x))\,d x$. \finenonce{004372} \finexercice \exercice{4373, quercia, 2010/03/12} \enonce{004373}{Centrale MP 2004} Soit~$(a_n)_{n\in\N}$ la suite définie par $a_0=1$ et $a_n = \frac1{n!} \int_{t=0}^1t(t-1)\dots(t-n)\,d t$. \begin{enumerate} \item Quel est le rayon de convergence de la série entière $\sum_{n=0}^\infty a_nx^n$~? \item Donner un équivalent de~$a_n$. \end{enumerate} \finenonce{004373} \finexercice \exercice{4374, quercia, 2010/03/12} \enonce{004374}{$\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin(nx)}n$, Mines-Ponts MP 2004} Soit $u_n(t)$ le terme général d'une série~: $u_n(t)= t^{n-1}\sin(nx)$ avec $0< x< \pi$. \begin{enumerate} \item \'Etudier la convergence de la série. \item Calculer $\sum_{p=0}^n u_p(t) = S_n(t)$. Mettre $S_n(t)$ sous la forme $\frac{P_n(t)}{Q(t)}$ avec $Q(t)>\alpha$, $\alpha>0$. \item Calculer $\lim_{n\to\infty} S_n(t)$ et $\lim_{n\to\infty} \int_{t=0}^1 S_n(t)\,d t$. \item En déduire $\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin(nx)}n$. \end{enumerate} \finenonce{004374} \finexercice \exercice{4375, quercia, 2010/03/12} \enonce{004375}{Lemme de Lebesgue, Centrale MP 2004} Soit $f$ continue par morceaux définie sur $\R$, à valeurs dans $\C$. \begin{enumerate} \item Soient $a,b\in\R$. Montrer que $ \int_{t=a}^b f(t) \cos(nt)\,d t\to0$ lorsque $n\to\infty$. \item On suppose que $f$ est intégrable sur $]0,+\infty[$. Soit $u_n= \int_{t=0}^{n\pi} \sin^2(nt) f(t)\,d t $. Montrer que $(u_n)_{n \in \N}$ admet une limite quand $n\to\infty$ et la préciser. \end{enumerate} \finenonce{004375} \finexercice \exercice{4376, quercia, 2010/03/12} \enonce{004376}{Suite d'intégrales, Centrale MP 2004} Soit $(f_n)_{n\in\N^*}$ une suite de fonctions définie par~: $\forall\ n\in\N^*,\ \forall\ x\in{[0,1]},\ f_n(x) = \Bigl(\frac{x+x^n}2\Bigr)^n$. \begin{enumerate} \item Montrer que~$(f_n)$ converge simplement vers une fonction~$\varphi$. \item \begin{enumerate} \item La convergence est-elle uniforme~? \item La convergence est-elle monotone~? \end{enumerate} \item Soit, pour~$n\in\N^*$, $J_n = \int_{x=0}^1f_n(x)\,d x$. Montrer que~$J_n\sim \frac2{n^2}$. \end{enumerate} \finenonce{004376} \finexercice \exercice{4377, quercia, 2010/03/12} \enonce{004377}{Mines-Ponts MP 2004} \smallskip Soit $f(x) = \int_{t=0}^1\frac{1-t}{\ln t}t^x\,d t$. Étudier le domaine de définition de~$f$, sa dérivabilité, puis calculer $f(x)$. \finenonce{004377} \finexercice \exercice{4378, quercia, 2010/03/12} \enonce{004378}{Mines-Ponts MP 2004} Soit $I(a) = \int_{x=0}^{+\infty}\frac{\sh x}xe^{-ax}\,d x$. \begin{enumerate} \item Quel est le domaine de définition de~$I$~? \item Étudier la continuité et la dérivabilité de~$I$. \item Calculer $I(a)$. \end{enumerate} \finenonce{004378} \finexercice \exercice{4379, quercia, 2010/03/12} \enonce{004379}{ENS Lyon MP${}^*$ 2004} \begin{enumerate} \item Soit $f : {[a,b]} \to \R$ de classe $\mathcal{C}^2$ et $F(x) = \int_{t=a}^b f(t)e^{-itx}\,d t$ avec $a<00$. \begin{enumerate} \item Montrer que, pour tout $f\in E$, il existe un unique $g$ de $\mathcal{C}^1(\R^+,\R)$ tel que $\begin{cases}g'+ag=f\cr g(0)=b.\cr\end{cases}$ \item Montrer que si $f$ est intégrable sur $\R^+$, $g$ l'est également. Relation entre $ \int_{t=0}^{+\infty}f(t)\,d t$ et $ \int_{t=0}^{+\infty}g(t)\,d t$. \end{enumerate} \finenonce{004063} \finexercice \exercice{4064, quercia, 2010/03/11} \enonce{004064}{Systèmes différentiels à coefficients constants} \def\qpar{}% $x,y,z$ sont des fonctions de $t$. Résoudre les systèmes : \begin{enumerate} \item $\begin{cases} x' = 2y + 2z\cr y' = -x + 2y + 2z\cr z' = -x + y + 3z.\cr\end{cases}$ % \item $\begin{cases} y'+y = z \cr z'+2z = y-1. \cr\end{cases}$ % \item $\begin{cases} y' = y+z+ \sin t\cr z'=-y+3z.\cr\end{cases}$ % \item $\begin{cases} x' = x+y-z \cr y'=2x+y-2z\cr z'=-2x+2y+z.\cr\end{cases}$ \item $\begin{cases} x' = 2x + y + z \cr y' = x - y - z \cr z' = -x + 2y + 2z.\cr\end{cases}$ % \item $\begin{cases} x' = 2x + z + \sh t\cr y' = x - y - z + \ch t\cr z' = -x + 2y + 2z - \ch t.\cr\end{cases}$ \end{enumerate} \finenonce{004064} \finexercice \exercice{4065, quercia, 2010/03/11} \enonce{004065}{Système différentiel à coefficients non constants} Résoudre le système différentiel suivant : $\begin{cases}(t^2+1)x' = tx + y + 2t^2-1\cr (t^2+1)y' = x - ty + 3t.\cr\end{cases}$ \finenonce{004065} \finexercice \exercice{4066, quercia, 2010/03/11} \enonce{004066}{Lemme des noyaux, Matexo} Soit $(p,q)\in\R^2$ et $(E)$ l'équation~: $y'' + p y' + q y = 0$. On note $S$ l'ensemble des solutions de $(E)$ et $D$ l'application de $S$ dans $S$ définie par $D(f) = f'$. \begin{enumerate} \item $D$ peut elle être une homothétie ? \item Déterminer les valeurs de $p$ et $q$ pour lequelles $D$ n'est pas un isomorphisme de~$S$. \item Vérifiez que $D\circ D + p D + q\mathrm{id}_S=0$ et montrer qu'il existe des nombres complexes $r_1$ et $r_2$ tels que : $(D - r_1 \mathrm{id}_S) \circ (D - r_2 \mathrm{id}_S) = 0$. \item Les applications $D - r_1 \mathrm{id}_S$, $D - r_2 \mathrm{id}_S$ peuvent-elles être inversibles ? \end{enumerate} \finenonce{004066} \finexercice \exercice{4067, quercia, 2010/03/11} \enonce{004067}{$y'' + x\ y' + y = 0$, Matexo} On désigne par $y$ la solution de l'équation différentielle $y'' + x\ y' + y = 0$, avec les conditions de Cauchy $y(0) = 0, y'(0) = 1$. \begin{enumerate} \item Montrer que les dérivées de $y$ vérifient $y^{(n)} + x\ y^{(n-1)} + (n-1)\ y^{(n-2)} = 0, \quad \forall n \geq 2$. \item Calculer par récurrence les dérivées successives de $y$ en zéro. \item Montrer que $y$ admet le développement limité à l'origine $(x \to 0)$: $$y(x) = x - \frac{2 x^3}{3!} + \frac{8x^5}{5!} +\dots + \frac{(-2)^kk!\,x^{2k+1}}{(2 k+1)!} + o(x^{2k+2}).$$ \end{enumerate} \finenonce{004067} \finexercice \exercice{4068, quercia, 2010/03/11} \enonce{004068}{$f''(x) + f(-x) = x\cos x$} Trouver les fonctions $f:\R \to \R$ de classe $\mathcal{C}^2$ telles que : $\forall\ x \in R,\ f''(x) + f(-x) = x\cos x$. \finenonce{004068} \finexercice \exercice{4069, quercia, 2010/03/11} \enonce{004069}{$y'' + \frac {2y'}{\tanh x} + y = 0$} On considère l'équation différentielle : $(*) \iff y'' + \frac {2y'}{\tanh x} + y = 0$. \begin{enumerate} \item On pose $z(x) = y'(x) + \frac {y(x)}{\tanh x}$. \'Ecrire l'équation différentielle (d'ordre 1) sur $z$ déduite de $(*)$. \item Résoudre sur $]-\infty,0[$ et $]0,+\infty[$ l'équation en $z$, puis $(*)$. \item Parmi les solutions trouvées, quelles sont celles prolongeables en 0 ? On note $y_0$ la solution de $(*)$ telle que $y_0(x) \to 1$ lorsque $x\to0$. \item Démontrer que $y_0$ est de classe $\mathcal{C}^1$ et que $\frac {y_0'(x)}{\tanh x}$ admet une limite finie en $0$. En déduire que $y_0$ est de classe $\mathcal{C}^2$ sur $\R$. \item Est-ce que l'aire comprise entre la courbe de $y_0$ et l'axe des abscisses est finie~? \end{enumerate} \finenonce{004069} \finexercice \exercice{4070, quercia, 2010/03/11} \enonce{004070}{$y'' + 2xy' + (x^2-1)y = 0$} Soit $E = \mathcal{C}^\infty(\R,\C)$ et $\Phi : E \to E$, définie par $\Phi(f) = g$ où $g$ est l'application ${g:t \mapsto f'(t)+tf(t).}$ \begin{enumerate} \item Trouver les valeurs propres et les vecteurs propres de $\Phi$. \item Trouver les valeurs propres et les vecteurs propres de $\Phi^2$. \item Résoudre l'équation : $y'' + 2xy' + (x^2-1)y = 0$. \end{enumerate} \finenonce{004070} \finexercice \exercice{4071, quercia, 2010/03/11} \enonce{004071}{$x^2f''(x) + xf'(x) = \lambda f(x)$} Déterminer les éléments propres des endomorphismes suivants : \begin{enumerate} \item $E = \R[X]$ $\Phi(P)(X) = X^2P''(X) + XP'(X)$. \item $E = \mathcal{C}^\infty(]0,+\infty[)$ $\Phi(f)(x) = x^2f''(x) + xf'(x)$. \item $E = \mathcal{C}^\infty(]0,1[)$ $\Phi(f)(x) = \sqrt{\frac {1-x}x}f'(x)$. \end{enumerate} \finenonce{004071} \finexercice \exercice{4072, quercia, 2010/03/11} \enonce{004072}{$AP' - nA'P = \lambda P$} Soit $A$ un polynôme à coefficients réels de degré 2 donné. Au polynôme $P$ de degré inférieur ou égal à $2n$ on fait correspondre le polynôme $Q = AP' - nA'P$. \begin{enumerate} \item Montrer qu'on définit ainsi un endomorphisme $\Phi$ de $\R_{2n}[X]$. \item Chercher les valeurs propres et les vecteurs propres de $\Phi$ dans les cas particuliers :\par \begin{enumerate} \item $A = X^2-1$, \item $A = X^2$, \item $A = X^2+1$. \end{enumerate} \end{enumerate} \finenonce{004072} \finexercice \exercice{4073, quercia, 2010/03/11} \enonce{004073}{\'Equation intégrale} Trouver les applications $g : {\R^+} \to {\R^+}$ continues vérifiant pour tout $x > 0$ : $$\frac12 \int_{t=0}^x g^2(t)\,dt = \frac1x\left( \int_{t=0}^x g(t)\,d t\right)^2.$$ \finenonce{004073} \finexercice \exercice{4074, quercia, 2010/03/11} \enonce{004074}{Inéquations différentielles} Soient ${a,b} : \R \to \R$ continues, et $y,z$ solutions de $\begin{cases}y(0) = z(0)\cr y' = a(t)y + b(t)\cr z'\le a(t)z + b(t).\end{cases}$ Démontrer que : $\forall\ t \ge 0$, on a $y(t) \ge z(t)$. \finenonce{004074} \finexercice \exercice{4075, quercia, 2010/03/11} \enonce{004075}{Tangentes parallèles ou concourantes} Soit l'équation $(*) \Leftrightarrow y' = a(x)y + b(x)$ et $x_0$ un réel fixé. Montrer que les tangentes aux courbes intégrales au point d'abscisse $x_0$ sont parallèles ou concourantes. \finenonce{004075} \finexercice \exercice{4076, quercia, 2010/03/11} \enonce{004076}{$y' + ay =$ fct périodique} Soit $\lambda \in \C$ et $\varphi : \R \to \C$ $T$-périodique. On considère l'équation : $(*) \Leftrightarrow y' + \lambda y = \varphi(x)$. \begin{enumerate} \item Montrer que si $y$ est solution de $(*)$, alors $y(x+T)$ est aussi solution. \item En déduire que $y$, solution de $(*)$, est $T$-périodique si et seulement si $y(0) = y(T)$. \item Montrer que, sauf pour des valeurs exceptionnelles de $\lambda$, l'équation $(*)$ admet une et une seule solution $T$-périodique. \end{enumerate} \finenonce{004076} \finexercice \exercice{4077, quercia, 2010/03/11} \enonce{004077}{Coefficients périodiques} Soit l'équation $(*) \Leftrightarrow y' + a(x)y = b(x)$ où $a,b$ sont des fonctions continues, $T$-périodiques. \begin{enumerate} \item Montrer que si $y$ est solution de $(*)$, alors la fonction définie par $z(x) = y(x+T)$ est aussi solution. \item En déduire que si $ \int_{t=0}^T a(t)\,d t \ne 0$, alors $(*)$ admet une unique solution $T$-périodique. \end{enumerate} \finenonce{004077} \finexercice \exercice{4078, quercia, 2010/03/11} \enonce{004078}{\'Equation intégrale} Soit $E = \{ \text{fcts : } [0,1] \to \R \text{ continues } \}$ et $\Phi : E \to E, f \mapsto g$ avec $g(x) = \int_{t=0}^1 \inf(t,x)f(t)\,d t$. Chercher les valeurs propres et les fonctions propres de $\Phi$. \finenonce{004078} \finexercice \exercice{4079, quercia, 2010/03/11} \enonce{004079}{Matexo} Soit $k\in\R^*$ fixé. On considère : $E=\{f\in\mathcal{C}^2([0,1],\R)\text{ tq } f(0) = 0 \text{ et } f(1)=3\}$. Déterminer $\displaystyle \inf_{f\in E} \int_{t=0}^1 (f'(t)+kf(t))^2\,d t$. {\it Indication~: poser $f'+kf = g$ et calculer $f(1)$ en fonction de~$g$.} \finenonce{004079} \finexercice \exercice{4080, quercia, 2010/03/11} \enonce{004080}{Ulm-Lyon-Cachan MP$^*$ 2000} Soient $u,v,w$ trois applications bornées et de classe~$\mathcal{C}^1$ sur~$\R$, à valeurs dans~$\R^3$, vérifiant~: $u'+v' = w$; $w'=-v$; $ \int_{0}^{\infty}\|u'\|^2<+\infty$. On suppose qu'il existe une suite de terme général $t_n$ tendant vers~$+\infty$ telle que $u(t_n)$ tend vers~$a\in\R^3$. \begin{enumerate} \item Montrer que la suite de terme général $u_n=\frac1{2\pi} \int_{t=t_n}^{t_n+2\pi} u(t)\,d t$ tend vers~$a$. \item Montrer que les suites de termes généraux $v_n=\frac1{2\pi} \int_{t=t_n}^{t_n+2\pi} v(t)\,d t$ et $w_n=\frac1{2\pi} \int_{t=t_n}^{t_n+2\pi} w(t)\,d t$ tendent vers~$0$. \end{enumerate} \finenonce{004080} \finexercice \exercice{4081, quercia, 2010/03/11} \enonce{004081}{Centrale MP 2001} Soit $f$ continue et intégrable sur~$\R$. On considère l'équation différentielle $(E)$ : $y' - y + f = 0$. \begin{enumerate} \item Montrer que $(E)$ admet une unique solution $F$ bornée sur~$\R$. \item Montrer que $F$ est intégrable sur $\R$ et comparer $ \int_{-\infty}^{+\infty} F$ et $ \int_{-\infty}^{+\infty} f$. \end{enumerate} \finenonce{004081} \finexercice \exercice{4082, quercia, 2010/03/11} \enonce{004082}{Centrale MP 2001} Trouver les fonctions $f,g$ continues vérifiant~: $ \int_{t=0}^x f(t)\,d t = x - 1 + g(x)$ et $ \int_{t=0}^x g(t)\,d t = x - 1 + f(x)$. \finenonce{004082} \finexercice \exercice{4083, quercia, 2010/03/11} \enonce{004083}{X MP$^*$ 2000} On considère l'équation différentielle $y'=\sin(x+y)$. Montrer que pour toute condition initiale l'intervalle maximal est $\R$. Ensemble des points d'inflexion des courbes solutions ? \finenonce{004083} \finexercice \exercice{4084, quercia, 2010/03/11} \enonce{004084}{Polytechnique PC 2002} Soit l'équation différentielle~: $(E)\Leftrightarrow u''(x) + (k-2d\cos(x))u(x)= 0$. \begin{enumerate} \item Existence et domaine de définition des solutions maximales $A$ et $B$ telles que $A(0)=1$, $A'(0)=0$ et $B(0)=0$, $B'(0)=1$. \item Montrer que $A$ est paire et $B$ est impaire. \item Montrer que $A(k,d,x) = A(k,0,x) + 2d \int_{t=0}^xB(d,0,x-t)A(k,d,x)\cos(t)\,d t$. \end{enumerate} \finenonce{004084} \finexercice \exercice{4085, quercia, 2010/03/11} \enonce{004085}{$f \mapsto f+f'$ (Mines MP 2003)} Soit~$E$ l'ensemble des fonctions $f : \R \to \R$ de classe $\mathcal{C}^\infty$ telle que pour tout~$k\in\N$, $f^{(k)}$ est bornée. Soit $u : E \to E, f \mapsto {f+f'.}$ \begin{enumerate} \item Montrer que $u\in\mathcal{L}(E)$. \item Est-ce que~$u$ est injectif~? \item Est-ce que~$u$ est surjectif~? \end{enumerate} \finenonce{004085} \finexercice \exercice{4086, quercia, 2010/03/11} \enonce{004086}{Centrale MP 2004} On considère l'équation différentielle~: $-y'' + \frac y{p^2} = f$ où $p\in\N^*$ et $f$ est une fonction continue donnée. \begin{enumerate} \item Donner les solutions de cette équation. Montrer que $x \mapsto - \int_{t=0}^x pf(t)\sh\Bigl(\frac{x-t}p\Bigr)\,d t$ est solution. \item Montrer qu'il existe une unique solution telle que $y(0) = y(1) = 0$. On la note $u_p$. \item Montrer que $(u_p)$ converge simplement vers une fonction que l'on déterminera. \end{enumerate} \finenonce{004086} \finexercice \exercice{4087, quercia, 2010/03/11} \enonce{004087}{Centrale MP 2004} Soit $\lambda\in\R$ et $({\cal E})\Leftrightarrow \frac{d^2 u(x)}{d x^2} + (1-\lambda)x^2u(x) = 0$. \begin{enumerate} \item Montrer que les solutions de~$({\cal E})$ sont de la forme $H(x)e^{-x^2/2}$ où $H$ est une fonction développable en série entière. \item Déterminer les valeurs de~$\lambda$ telles que $H$ soit une fonction polynomiale non nulle. \end{enumerate} \finenonce{004087} \finexercice \exercice{4088, quercia, 2010/03/11} \enonce{004088}{Lemme de Gronwall (X MP$^*$ 2003)} Soient~$f,g$ deux fonctions continues et $a\in\R$ vérifiant~: $\forall\ t\ge 0,\ g(t)\ge 0\quad\text{et}\quad f(t)\le a + \int_{u=0}^t f(u)g(u)\,d u.$ Montrer~: $\forall\ t\ge0,\ f(t)\le a\exp\Bigl( \int_{u=0}^t g(u)\,d u\Bigr)$. \finenonce{004088} \finexercice \exercice{4089, quercia, 2010/03/11} \enonce{004089}{$y''+y \ge 0$} Soit $f : \R \to \R$ de classe $\mathcal{C}^2$ telle que : $\forall\ x \in \R,\ f(x) + f''(x) \ge 0$. Montrer que : $\forall\ x \in \R,\ f(x) + f(x+\pi) \ge 0$. \finenonce{004089} \finexercice \exercice{4090, quercia, 2010/03/11} \enonce{004090}{$f'' + f' + f \to 0$} Soit $f : \R \to\R$ de classe $\mathcal{C}^2$ telle que $f''(t) + f'(t) + f(t) \to 0$ lorsque $t\to+\infty$. Démontrer que $f(t) \to 0$ lorsque $t\to\infty$. \finenonce{004090} \finexercice \exercice{4091, quercia, 2010/03/11} \enonce{004091}{$f'' \ge f + 2/ch(x)^3$, Centrale PC 1997} Soit $f$ de classe $\mathcal{C}^2$ de $\R$ dans~$\R$ telle que $f(0) = f'(0) = 0$ et pour tout $x$~: $f''(x) \ge f(x) + \frac 2{\ch(x)^3}$. Montrer pour tout $x$~: $f(x) \ge \frac{\sh(x)^2}{\ch(x)}$. \finenonce{004091} \finexercice \exercice{4092, quercia, 2010/03/11} \enonce{004092}{$y'+ay = b$, $y(-\infty) = 0$} Soit ${a,b} : \R \to \R$ continues telles que : $\forall\ x\in\R,\ a(x)\ge 1$ et $b(x)\to 0$ lorsque $x\to+\infty$. \begin{enumerate} \item Montrer que toute solution de l'équation : $y' + ay = b$ tend vers $0$ en $+\infty$. \item On suppose $b(x)\to 0$ lorsque $x\to-\infty$. Montrer qu'il y a une unique solution $y$ qui tend vers $0$ en $-\infty$. \end{enumerate} \finenonce{004092} \finexercice \exercice{4093, quercia, 2010/03/11} \enonce{004093}{ $y'' + ay = 0$, $a > 0 \Rightarrow y$ s'annule} Soit $a : \R \to {\R^{+*}}$ une fonction continue. \begin{enumerate} \item Soit $y$ une solution de l'équation $ y'' + a(x)y = 0$. Montrer que $y$ s'annule au moins une fois sur $\R$. \item Soit $z$ une solution de l'équation $ z'' - a(x)z = 0$. Montrer que $z=0$ ou bien $z$ s'annule au plus une fois sur $\R$. \end{enumerate} \finenonce{004093} \finexercice \exercice{4094, quercia, 2010/03/11} \enonce{004094}{$y'' + ay' = 0$ $a$ croissante positive $=> y$ est bornée} Soit $a : \R \to \R$ une fonction de classe $\mathcal{C}^1$ croissante strictement positive et $y$ une solution de l'équation : $y'' + a(t)y = 0$. Montrer que $y$ est bornée au voisinage de $+\infty$ (on étudiera $z = y^2 + y'^2/a$). \finenonce{004094} \finexercice \exercice{4095, quercia, 2010/03/11} \enonce{004095}{$y'' + ay =0$, $a$ intégrable} Soit $a : {\R^+} \to \R$ continue intégrable. Montrer l'équation $y'' + a(t)y =0$ admet des solutions non bornées sur $[0,+\infty[$ (on commencera par prouver que si $y_1,y_2$ sont deux solutions alors le déterminant wronskien de $y_1$ et $y_2$ est constant). \finenonce{004095} \finexercice \exercice{4096, quercia, 2010/03/11} \enonce{004096}{Zéros entrelacés (Centrale MP 2003)} Soient $r$ et $q$ deux fonctions continues définies sur~$I={[a,b]}$ telles que~: $\forall\ x\in I,\ r(x)\ge q(x)$. On considère les équations différentielles~: $$(E_1)\Leftrightarrow y'' + qy = 0, \qquad (E_2)\Leftrightarrow z'' + rz = 0.$$ \begin{enumerate} \item Soit~$y$ une solution de~$(E_1)$ et $x_0,x_1$ deux zéros consécutifs de~$y$. $y'(x_0)$ et $y'(x_1)$ peuvent-ils être nuls~? Que dire de leurs signes~? \item Soit~$z$ une solution de~$(E_2)$. On considère $W(x) = \begin{vmatrix}y(x)&z(x)\cr y'(x)&z'(x)\cr\end{vmatrix}$. Calculer $W'(x)$ et $W(x_1)-W(x_0)$. \item Montrer que $z$ a un zéro dans~$]x_0,x_1[$ ou $z(x_0)=z(x_1)=0$. \item Soit~$u$ une solution de~$(E_1)$. Montrer que $u$ est soit proportionnelle à~$y$, soit admet un unique zéro dans~$]x_0,x_1[$. \end{enumerate} \finenonce{004096} \finexercice \exercice{4097, quercia, 2010/03/11} \enonce{004097}{Zéros des solutions de $y''+ay'+by = 0$} On considère l'équation $(*) \iff y'' + a(t)y' + b(t)y = 0$, avec $a,b$ continues. \begin{enumerate} \item Soit $y$ une solution non nulle de $(*)$. Montrer que les zéros de $y$ sont isolés. \item Soient $y,z$ deux solutions de $(*)$ non proportionelles. \begin{enumerate} \item Montrer que $y$ et $z$ n'ont pas de zéros commun. \item Montrer que si $u,v$ sont deux zéros consécutifs de $y$, alors $z$ possède un unique zéro dans l'intervalle $]u,v[$ (étudier $\frac zy$). \end{enumerate} \end{enumerate} \finenonce{004097} \finexercice \exercice{4098, quercia, 2010/03/11} \enonce{004098}{$y'' + \left(1+\frac\lambda{t^2}\right)y = 0$} Soit $\lambda > 0$ et $y$ une solution de $y'' + \left(1+\frac\lambda{t^2}\right)y = 0$. Montrer que pour tout $a \in \R$, $y$ a un zéro dans l'intervalle $]a,a+\pi[$. (\'Etudier $z = y'\varphi - y\varphi'$ où $\varphi(t) = \sin(t-a)$) \finenonce{004098} \finexercice \exercice{4099, quercia, 2010/03/11} \enonce{004099}{$y'' + e^t y = 0$} Soit $y : \R \to \R$ une solution non identiquement nulle de $y'' + e^t y = 0$. \begin{enumerate} \item Montrer que l'ensemble des zéros de $y$ est infini dénombrable. \item On note $a_n$ le $n$ème zéro positif de $y$. En utilisant les fonctions $\begin{cases} \varphi(t) = \sin\Bigl(e^{a_n/2}(t-a_n)\Bigr) \cr \psi(t) = \sin\Bigl(e^{a_{n+1}/2}(t-a_n)\Bigr),\cr\end{cases}$ montrer que $\frac\pi{e^{a_{n+1}/2}} \le a_{n+1}-a_n \le \frac\pi{e^{a_n/2}}$. \item Donner un équivalent de $a_n$ quand $n\to\infty$. \end{enumerate} \finenonce{004099} \finexercice \exercice{4100, quercia, 2010/03/11} \enonce{004100}{Conditions aux limites} Soient ${f,g} : {[a,b]} \to \R$ continues avec $f$ positive. Montrer qu'il existe une unique solution pour le problème aux limites~: $y'' = f(t)y + g(t)$, $y(a) = y(b) = 0$. \finenonce{004100} \finexercice \exercice{4101, quercia, 2010/03/11} \enonce{004101}{Comparaison de solutions} Soient ${p,q} : \R \to \R$ continues avec : $\forall\ x \in \R,\ q(x) < 0$. Soient ${y,z} : \R \to \R$ de classe $\mathcal{C}^2$ vérifiant : $$\begin{cases}\forall\ x \in \R,\ y''+p(x)y'+q(x)y \le z''+p(x)z'+q(x)z\cr y(a) \le z(a),\ y'(a) a,\ y(x) < z(x)$. \finenonce{004101} \finexercice \exercice{4102, quercia, 2010/03/11} \enonce{004102}{Système différentiel à coefficients positifs} Soit $A : {\R^+} \to {\mathcal{M}_n(\R)}, t \mapsto {(a_{ij}(t))}$ continue avec~: $\forall\ t\ge 0,\ \forall\ i,j,\ a_{ij}(t)\ge 0$ et $X$ une solution du système différentiel $X'(t) = A(t)X(t)$. Montrer que si toutes les coordonnées de $X(0)$ sont positives ou nulles il en est de même pour $X(t)$ pour tout~$t$ (commencer par le cas strictement positif). \finenonce{004102} \finexercice \exercice{4103, quercia, 2010/03/11} \enonce{004103}{Intégrale fonction d'un paramètre} On pose $f(x) = \int_{t=0}^{+\infty} e^{-t}e^{itx} \frac {d t}{\sqrt t}$. Former une équation différentielle satisfaite par $f$. En déduire $f$. \finenonce{004103} \finexercice \exercice{4104, quercia, 2010/03/11} \enonce{004104}{Ulm MP$^*$ 2000} Soit $I=[a,b]\subset \R$. On suppose que la fonction $\Delta$ est strictement positive sur $I$. On pose $E=\{f\in \mathcal{C}^2(I) \, |\, f(a)=f(b)=0\}$. On considère enfin l'opérateur $K:f\mapsto \frac{f''}{\Delta}\cdotp$ \begin{enumerate} \item Montrer que Sp$(K)\subset {]-\infty,0[}$. \item Trouver un produit scalaire $(\ \mid\ )$ pour lequel deux vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes sont orthogonaux. \item On suppose que $I=\R^+$ et que $\Delta (x)\ge 1$ pour $x\ge 2$. Soit $\lambda <0$. \begin{enumerate} \item Montrer qu'il existe une unique $f_{\lambda}\in \mathcal{C}^1(\R^+,\R)$ telle $\begin{cases}f''_{\lambda}=\lambda \Delta f_\lambda\cr f_{\lambda}(0)=0\cr f'_{\lambda}(0)=1.\cr\end{cases}$ \item Montrer $f_{\lambda}$ a une infinité dénombrable de zéros $(x_00$, $t_0\in\R$ tels que~: $\forall\ t\ge t_0,\ f(t)\le g(t) + k \int_{u=t_0}^t f(u)\,d u$. Montrer que~: $\forall\ t\ge t_0,\ f(t) \le g(t) + k \int_{u=t_0}^t e^{k(t-u)}g(u)\,d u$. \item Soient ${A,B} : \R\to {\mathcal{M}_n(\R)}$ continues, $T>t_0$, $K>0$ et $\eta>0$ tels que~: $\forall\ t\in[t_0,T],\ \|\kern-1.2pt|A(t)\|\kern-1.2pt|\le K$ et $\|\kern-1.2pt|A(t)-B(t)\|\kern-1.2pt|\le\eta$. On note~$M_0$ (resp. $N_0$) la solution du problème de Cauchy~: $M(t_0)=I,\ M'(t) = A(t)M(t)$ (resp. $N(t_0)=I,\ N'(t) = B(t)N(t)$). Montrer que~: $\forall\ t\in[t_0,T],\ \|\kern-1.2pt|M_0(t)-N_0(t)\|\kern-1.2pt| \le e^{K(t-t_0)}(e^{\eta(t-t_0)}-1)$. \item On note $X_0$ (resp. $Y_0$) la solution du problème de Cauchy dans~$\R^n$~: $X(t_0) = \alpha,\ X'(t) = A(t)X(t)$ (resp. $Y(t_0) = \alpha,\ Y'(t) = B(t)Y(t)$) où $\alpha\in\R^n$. Quelle majoration a-t-on sur $\|X_0(t)-Y_0(t)\|$~? \end{enumerate} \finenonce{004109} \finexercice \exercice{5874, rouget, 2010/10/16} \enonce{005874}{**} Résoudre sur $\Rr$ l'équation différentielle proposée : \begin{enumerate} \item $y'+y = 1$ \item $2y'-y =\cos x$ \item $y'-2y = xe^{2x}$ \item $y''-4y'+4y = e^{2x}$ \item $y''+4y =\cos(2x)$ \item $y''+2y'+2y=\cos x\ch x$. \end{enumerate} \finenonce{005874} \finexercice \exercice{5875, rouget, 2010/10/16} \enonce{005875}{*** I} \begin{enumerate} \item Soit $\alpha\in\Cc$ tel que $\text{Re}(\alpha) > 0$. Soit $f~:~\Rr\rightarrow\Rr$ de classe $C^1$ sur $\Rr$. On suppose que quand $x$ tend vers $+\infty$, $f'+\alpha f$ tend vers $\ell\in\Cc$. Montrer que $f(x)$ tend vers $ \frac{\ell}{\alpha}$ quand $x$ tend vers $+\infty$. \item Soit $f~:~\Rr\rightarrow\Cc$ de classe $C^2$ sur $\Rr$ telle que $\lim_{x \rightarrow +\infty}(f+f'+f'')(x) = 0$. Montrer que $\lim_{x \rightarrow +\infty}f(x) = 0$. \item Soient $n\in\Nn^*$ et $f~:~\Rr\rightarrow\Cc$ de classe $C^n$ sur $\Rr$. On note $D$ l'opérateur de dérivation. Soit $P$ un polynôme de degré $n$ unitaire dont tous les zéros ont des parties réelles strictement négatives. Montrer que $\lim_{x \rightarrow +\infty}(P(D))(f)(x)= 0\Rightarrow\lim_{x \rightarrow +\infty}f(x) = 0$. \end{enumerate} \finenonce{005875} \finexercice \exercice{5876, rouget, 2010/10/16} \enonce{005876}{*** I} Soit $f$ une application de classe $C^2$ sur $\Rr$ à valeurs dans $\Rr$ telle que $\forall x\in\Rr$, $f(x)+f''(x)\geqslant 0$. Montrer que $\forall x\in\Rr$, $f(x)+f(x+\pi)\geqslant 0$. \finenonce{005876} \finexercice \exercice{5877, rouget, 2010/10/16} \enonce{005877}{*** I} Résoudre sur l'intervalle $I$ proposé : \begin{enumerate} \item $xy'-2y = 0$ ($I=\Rr$) \item $xy' -y = 0$ ($I=\Rr$) \item $xy'+y = 0$ ($I=\Rr$) \item $xy'-2y = x^3$ ($I=]0,+\infty[$) \item $x^2y'+2xy = 1$ ($I=\Rr$) \item $2x(1-x)y'+(1-x)y = 1$ ($I=]-\infty,0[$, $]0,1[$, $]1,+\infty[$, $]-\infty,1[$, $]0,+\infty[$, $\Rr$) \item $|x|y' + (x-1)y = x^3$ ($I=\Rr$). \end{enumerate} \finenonce{005877} \finexercice \exercice{5878, rouget, 2010/10/16} \enonce{005878}{*** I} Déterminer le rayon de convergence puis calculer $\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^{n-1} \frac{C_{2n}^n}{2n-1}x^n$ quand $x$ appartient à l'intervalle ouvert de convergence. En déduire la valeur de $\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^{n-1}C_{2n}^n}{(2n-1)4^n}$. \finenonce{005878} \finexercice \exercice{5879, rouget, 2010/10/16} \enonce{005879}{**} Résoudre les systèmes suivants : \begin{enumerate} \item $\left\{ \begin{array}{l} x'=4x-2y\\ y'=x+y \end{array} \right.$\quad\item $\left\{ \begin{array}{l} x'=x-y+ \frac{1}{\cos t}\\ y'=2x-y \end{array} \right.$ sur $\left]- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right[$\quad\item $\left\{ \begin{array}{l} x'=5x-2y+e^t\\ y'=-x+6y+t \end{array} \right.$ \item $\left\{ \begin{array}{l} x'=5x+y-z\\ y'=2x+4y-2z\\ z'=x-y+z \end{array} \right.$\quad\item $\left\{ \begin{array}{l} x'=2x+y\\ y'=-x\\ z'=x+y+z \end{array} \right.$ (trouver la solution telle que $x(0)=0$, $y(0)=1$ et $z(0)=-1$). \end{enumerate} \finenonce{005879} \finexercice \exercice{5880, rouget, 2010/10/16} \enonce{005880}{**} Soit $A\in\mathcal{S}_n^+(\Rr)$. Montrer que pour toute solution de $X'=AX$, la fonction $t\mapsto\|X(t)\|_2$ est croissante sur $\Rr$. \finenonce{005880} \finexercice \exercice{5881, rouget, 2010/10/16} \enonce{005881}{**} Résoudre les systèmes : \begin{enumerate} \item $\left\{ \begin{array}{l} x'=- \frac{1}{2t}x+ \frac{1}{2t^2}y+2t\\ y'= \frac{1}{2}x+ \frac{1}{2t}y+t^2 \end{array} \right.$ sur $]0,+\infty[$\quad\item $\left\{ \begin{array}{l} (t^2+1)x'=tx-y+2t^2-1\\ (t^2+1)y'=x+ty+3t \end{array} \right.$ \item $\left\{ \begin{array}{l} \sh(2t)x'=\ch(2t)x-y\\ \sh(2t)y'=-x+\ch(2t)y \end{array} \right.$ sur $]0,+\infty[$ sachant qu'il existe une solution vérifiant $xy = 1$. \end{enumerate} \finenonce{005881} \finexercice \exercice{5882, rouget, 2010/10/16} \enonce{005882}{*** I} Résoudre les équations différentielles suivantes : \begin{enumerate} \item $(2x+1)y''+ (4x-2)y' - 8y = 0$ sur $\left]- \frac{1}{2},+\infty\right[$ puis sur $\Rr$. \item $(x^2+x)y''- 2xy'+ 2y = 0$ sur $]0,+\infty[$. \item $4xy''- 2y'+ 9x^2y = 0$ sur $]0,+\infty[$. \item $(1+x)y''- 2y'+ (1-x)y = xe^{-x}$ sur $]-1,+\infty[$. \item $y''+4y'+4y = \frac{e^{-2x}}{\sqrt{x^2+1}}$. \item $4xy''+2y'-y = 0$ sur $]0,+\infty[$. \end{enumerate} \finenonce{005882} \finexercice \exercice{5883, rouget, 2010/10/16} \enonce{005883}{**} Trouver les fonctions $f$ dérivables sur $\Rr$ vérifiant $\forall x\in\Rr$, $f'(x) + f(-x) = e^x$. \finenonce{005883} \finexercice \exercice{5884, rouget, 2010/10/16} \enonce{005884}{***} Trouver toutes les fonctions $f$ dérivables sur $]0,+\infty[$ vérifiant $\forall x >0$, $f'(x) = f\left( \frac{3}{16x}\right)$. \finenonce{005884} \finexercice \exercice{5885, rouget, 2010/10/16} \enonce{005885}{*** I} Trouver toutes les applications $f~:~\Rr\rightarrow\Rr$, continues sur $\Rr$ telles que $\forall(x,y)\in\Rr^2$, $f(x)f(y) =\int_{x-y}^{x+y}f(t)\;dt$. \finenonce{005885} \finexercice \exercice{5886, rouget, 2010/10/16} \enonce{005886}{*** I} Montrer que $\forall x>0$, $\int_{0}^{+\infty} \frac{e^{-tx}}{1+t^2}\;dt=\int_{0}^{+\infty} \frac{\sin t}{t+x}\;dt$. \finenonce{005886} \finexercice \section{ 225.05 Equations différentielles non linéaires } \exercice{4110, quercia, 2010/03/11} \enonce{004110}{\'Equations à variables séparables} \begin{enumerate} \item $y' = y(1+y)$. \item $y' = \sin x\cos y$. \item $2yy'\sqrt x = \sqrt{y^2-1}$. \item $1+xy' = e^y$, condition initiale : $y(1)=1$. \item $y' = \sqrt{|y|}$ : étudier les problèmes de raccordements. \end{enumerate} \finenonce{004110} \finexercice \exercice{4111, quercia, 2010/03/11} \enonce{004111}{\'Equations homogènes} \begin{enumerate} \item $y-xy' = \sqrt{x^2+y^2}$. \item $y' = \frac{x-y}{x+y}$. \item $(x^2+y^2)y' = 2xy$. \item $(x+y)y' = 2x-y$. \end{enumerate} \finenonce{004111} \finexercice \exercice{4112, quercia, 2010/03/11} \enonce{004112}{\'Equations de Bernouilli} \begin{enumerate} \item $xy'+y = xy^3$. \item $2xy'+y = \frac{2x^2}{y^3}$. \item $\sqrt x y' - y + (x+2\sqrt x)\sqrt y = 0$. \item $xy'+y = (xy)^{3/2}$. \item $x^3y' = y(3x^2+y^2)$. \end{enumerate} \finenonce{004112} \finexercice \exercice{4113, quercia, 2010/03/11} \enonce{004113}{\'Equations de Riccati} \begin{enumerate} \item $x^2(y'+y^2) = xy-1$. \end{enumerate} \finenonce{004113} \finexercice \exercice{4114, quercia, 2010/03/11} \enonce{004114}{Divers ordre 1} $(x^2-y^2-1)y' = 2xy$ : poser $z = \frac{y}{x^2+y^2-1}$. \finenonce{004114} \finexercice \exercice{4115, quercia, 2010/03/11} \enonce{004115}{Centrale MP 2004} Soit $n>0$ et $(S)\Leftrightarrow\begin{cases}x'(t) = \frac2nx(t)y(t)\cr y'(t) = -x^2(t)+y^2(t).\cr\end{cases}$ \begin{enumerate} \item Soit $\gamma$ : $t \mapsto(x(t),y(t))$ une solution de~$(S)$. Trouver une autre solution présentant une symétrie avec $\gamma$. Peut-on avoir comme solution $\sigma(t) = \lambda\gamma(\mu t)$~? En déduire une propriété géométriques des solutions maximales de~$(S)$. \item Déterminer les courbes du plan formées des points $(x_0,y_0)$ où les solutions de~$(S)$ ont des tangentes parallèles aux axes $(Ox)$ et $(Oy)$. En déduire quelques solutions particulières. \item A supposer qu'il existe $\Phi : {I\subset \R} \to \R$ telle que $\gamma(t) = (x(t),y(t))$ vérifie $y(t) = \Phi(x(t))$, déterminer $\Phi$ et en déduire toutes les courbes intégrales. \end{enumerate} \finenonce{004115} \finexercice \exercice{4116, quercia, 2010/03/11} \enonce{004116}{Chimie P 91} Résoudre numériquement le système $$\begin{cases} y'=-y\cr z'=y-z\cr y(0)=1 \text{ et } z(0)=0. \end{cases}$$ Prendre $h = 0.1$ et faire un tableau avec $10$ valeurs. Faire la résolution analytique. \finenonce{004116} \finexercice \exercice{4117, quercia, 2010/03/11} \enonce{004117}{\'Equations d'ordre 2} \begin{enumerate} \item $y'' = \sin y$, $y(0) = \frac\pi2$, $y'(0) = \sqrt 2$. \item $2(2a-y)y'' = y'^2$. \item $yy''=y'^2-y^2$ : poser $z=y'/y$. \end{enumerate} \finenonce{004117} \finexercice \exercice{4118, quercia, 2010/03/11} \enonce{004118}{Centrale MP 2000} Existe-t-il des solutions de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\R$ de l'équation différentielle : $y'+2\sqrt y =0$ ? Que peut-on dire de l'équation : $y'^2=4y$ ? \finenonce{004118} \finexercice \exercice{4119, quercia, 2010/03/11} \enonce{004119}{\'Etude qualitative : $y'=x^3+y^3$} Soit $y$ la solution maximale de l'équation $y' =x^3+y^3$ telle que $y(0) = a \ge 0$, et $I = {]\alpha,\beta[}$ son intervalle de définition. Montrer que $y$ est strictement croissante sur $[0,\beta[$, que $\beta$ est borné, et que $y \to +\infty$ lorsque $x\to\beta^-$. \finenonce{004119} \finexercice \exercice{4120, quercia, 2010/03/11} \enonce{004120}{\'Etude qualitative : $y'=x-e^y$} Soit $y$ une solution maximale de l'équation $y'=x-e^y$. \begin{enumerate} \item Montrer que $y$ est décroissante puis croissante. \item Montrer que $y$ est définie jusqu'en $+\infty$ et que sa courbe représentative admet une branche parabolique horizontale. \item Montrer que $\alpha > -\infty$ et que $y \to +\infty$ lorsque $x\to\alpha^-$. \end{enumerate} \finenonce{004120} \finexercice \exercice{4121, quercia, 2010/03/11} \enonce{004121}{\'Etude qualitative : $x'=\cos(t) + \cos(x)$} Soit $x$ la solution maximale du problème de Cauchy~: $x'=\cos(t) + \cos(x)$, $x(0) = x_0 \in{]0,\pi[}$. Montrer que $x$ est définie sur $\R$ et~: $\forall\ t>0,\ 0 0, t_0 < 0$. Soit $]t_1,t_2[$ le domaine d'existence de $y$. \begin{enumerate} \item Montrer que si $y_0 \ge -2t_0$, alors $y$ est strictement croissante sur $[t_0,t_2[$. \item Montrer que $t_1 = -\infty$. (sinon, $y$ et $y'$ seraient bornées sur $]t_1,t_0]$.) \item Donner l'allure générale de la courbe de $y$. \end{enumerate} \item Résoudre l'équation en posant $z(t) = \frac {\exp(t^2)}{y(t)}$. \end{enumerate} \finenonce{004124} \finexercice \exercice{4125, quercia, 2010/03/11} \enonce{004125}{\'Equation admettant simultanément $t$ et $\sin t$ comme solution} Existe-t-il une fonction $f : (y,t) \to f(y,t)$ de classe $\mathcal{C}^1$ et $n \in \N^*$ tels que l'équation : $y^{(n)} = f(y,t)$ admette les deux solutions $y(t) = t$ et $y(t) = \sin t$ sur $\R$ ? Même question avec l'équation $y^{(n)} = f(y^{(n-1)}, \dots, y, t )$. \finenonce{004125} \finexercice \exercice{4126, quercia, 2010/03/11} \enonce{004126}{$y'' = F(x,y)$, $y(a) = \alpha$, $y(b) = \beta$} Soit $F : {[a,b]\times \R} \to \R$ de classe $\mathcal{C}^1$ telle que pour tout $x \in {[a,b]}$, l'application $y \mapsto F(x,y)$ est strictement croissante. Montrer que pour tous $\alpha,\beta \in \R$, il existe au plus une solution à l'équation : $y'' = F(x,y)$ avec les conditions aux limites $y(a) = \alpha$, $y(b) = \beta$. \finenonce{004126} \finexercice \exercice{4127, quercia, 2010/03/11} \enonce{004127}{Comparaison d'équations} Soient $y,z$ solutions de $\begin{cases} y' = f(y,t)\cr z'=g(z,t)\cr y(0) = z(0) \cr \end{cases}$ où $f$,$g$ sont deux fonctions localement lipschitziennes telles que : $$\begin{cases} \forall\ u,t,\ f(u,t) \le g(u,t) \cr \forall\ u,v,t,\ u \le v \Rightarrow f(u,t) \le f(v,t).\cr \end{cases}$$ \begin{enumerate} \item Pour $\varepsilon > 0$, on note $z_\varepsilon$ la solution de $\begin{cases} z'_\varepsilon = g(z_\varepsilon,t) + \varepsilon \cr z_\varepsilon(0) = y(0).\cr\end{cases}$ Montrer que $z_\varepsilon \ge y$ (sur leur domaine commun de définition). \item Démontrer que $z_\varepsilon \to z$\ lorsque $varepsilon\to0^+$ uniformément sur tout intervalle borné. Conclusion ? \end{enumerate} \finenonce{004127} \finexercice \exercice{4128, quercia, 2010/03/11} \enonce{004128}{\'Etude de l'équation} $\begin{cases} y'' + \sin y = 0 \cr y(0) = 0,\ y'(0) = \alpha \ge 0.\cr\end{cases}$ Soit $y$ la solution maximale. On a l'intégrale première : $\frac {y'^2}2 - \cos y = C = \alpha^2 - 1$. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que $y$ est définie sur $\R$. \item Montrer que $y$ est impaire. \end{enumerate} \item On suppose ici que $C > 1$. \begin{enumerate} \item Montrer qu'il existe un plus petit $T > 0$ tel que $y(T) = 2\pi$. \item Montrer que : $\forall\ t \in \R,\ y(t+T) = y(t) + 2\pi$. \end{enumerate} \item On suppose ici que $-1 < C < 1$: On pose $C = -\cos \theta$, et $F(x) = \int_{u=0}^x \frac {d u}{\sqrt{2(\cos u - \cos \theta)}}$. \begin{enumerate} \item Soit $a$ maximal tel que $y'(t) > 0$ sur $[0,a[$. Montrer que $y(a) = \theta$ et $F(\theta) = a$. \item Montrer que $y$ est $4a$-périodique. \end{enumerate} \item \'Etudier les cas $C = 1$, $C = -1$. \end{enumerate} \finenonce{004128} \finexercice \exercice{4129, quercia, 2010/03/11} \enonce{004129}{Résolution approchée de $y' = f(y,t),\ y(a) = y_0$ par la méthode d'Euler} On suppose que $f$ est bornée par $M$ et $|f(y,s)-f(z,t)| \le K(|y-z|+|s-t|)$. On divise $[a,b]$ en $n$ intervalles $[a_k, a_{k+1}]$, $a_k = a + k\frac {b-a}n$ et on approche la solution $y$ par la fonction $z$, continue affine par morceaux définie par : $$\begin{cases} z(a_0) = y_0 \cr \text{sur } ]a_k, a_{k+1}[,\ z' = f(z(a_k),a_k). \cr\end{cases}$$ \begin{enumerate} \item Soit $\varepsilon_k = |z(a_k) - y(a_k)|$. Montrer que : $\forall\ t \in {[a_k, a_{k+1}]},\quad |y(t)-z(t)| \le kh^2(M+1) + (1+Kh)\varepsilon_k$ $\Bigl(h = \frac {b-a}n \Bigr)$. \item En déduire que $\sup|y-z| \le (M+1)(e^{K(b-a)}-1) \frac {b-a}n$. \end{enumerate} \finenonce{004129} \finexercice \exercice{4130, quercia, 2010/03/11} \enonce{004130}{Lyon MP$^*$ 2000} \begin{enumerate} \item Soit~$f$ une application minorée et de classe~$\mathcal{C}^1$ sur~$\R$, à valeurs dans~$\R$. Montrer qu'il existe une suite $(a_n)$ telle que la suite $(f'(a_n))$ tende vers~$0$. \item Soit~$f$ une application minorée et de classe~$\mathcal{C}^2$ sur~$\R^p$, à valeurs dans~$\R$. Montrer qu'il existe une suite $(a_n)$ de~$\R^p$ telle que la suite $(d f(a_n))$ tende vers~$0$, c'est à dire $\nabla f(a_n)$ tend vers~$0$. \end{enumerate} \finenonce{004130} \finexercice \exercice{4131, quercia, 2010/03/11} \enonce{004131}{ENS MP$^*$ 2001} Soit un vecteur $v=(v_1,v_2,v_3)$ de~$\R^3$ muni de sa base canonique $(e_1,e_2,e_3)$. Montrer qu'il existe une unique fonction $u = (u_1,u_2,u_3)$ de classe~$\mathcal{C}^1$ de~$\R$ dans~$\R^3$ telle que $u' + u\wedge u' = -u\wedge(u_3e_3)$ et $u(0) = v$. {\it Indication : étudier la fonction $p \mapsto p + u\wedge p$ avant de pouvoir évoquer le théorème de Cauchy-Lipschitz.} \finenonce{004131} \finexercice \exercice{4132, quercia, 2010/03/11} \enonce{004132}{Centrale MP 2001} On définit une suite de fonctions sur $[0,1]$ de la manière suivante~: $f_0$ est la fonction constante $1$ et pour tout $x\in{[0,1]}$ et $n\in\N$, $f_{n+1}(x) = 1 + \int_{t=0}^x f_n(t-t^2)\,d t$. \begin{enumerate} \item En étudiant $f_{n+1}-f_n$ montrer que la suite $(f_n)$ converge uniformément sur~$[0,1]$. On note $f$ sa limite. \item Montrer que $f$ est de classe $\mathcal{C}^\infty$ sur $[0,1]$. Que valent $f'(0)$ et $f'(1)$~? \item \'Etudier la concavité de~$f$. \item Montrer que pour tout $x\in{[0,1]}$ on a $1+x \le f(x)\le \exp(x)$. \end{enumerate} \finenonce{004132} \finexercice \exercice{4133, quercia, 2010/03/11} \enonce{004133}{ENS MP 2002} Soient $f : {\R^2} \to \R, {(t,x)} \mapsto {f(t,x)}$ de classe $\mathcal{C}^1$, et $a,b$ des réels tels que $a0\text{ et }f(t,b)<0$. \begin{enumerate} \item Que peut-on dire des solutions du problème de Cauchy $E_y$ : $( x'(t)=f(t,x(t)),\ x(0)=y\in [a,b])$~? \item Montrer que toute solution maximale est définie sur $\R^+$ et à valeurs dans $[a,b]$. \item Montrer qu'il existe une solution de $E_y$ qui est $T$-périodique. \end{enumerate} \finenonce{004133} \finexercice \exercice{4134, quercia, 2010/03/11} \enonce{004134}{X MP$^*$ 2005} Soit $J$ un intervalle de~$\R$ et $f : {J\times \R^n} \to {\R^n}$ continue. On suppose qu'il existe $a,b$ continues de $J$ dans $\R^+$ telles que, pour tous $t,y$~: $(f(t,y)\mid y) \le a(t)\|y\|^2 + b(t)$. Montrer que toute solution maximale de $y' = f(t,y)$ est définie sur $J$ entier. \finenonce{004134} \finexercice \exercice{4135, quercia, 2010/03/11} \enonce{004135}{Système autonome, ENS Ulm-Lyon-Cachan MP$^*$ 2006} On considère le système différentiel : $$(V) \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} x' = x(1-y) \\ y' = y(x-1).\\ \end{array}\right.$$ dont on cherche les solutions $(x, y)$ définies sur $\R$ à valeurs dans $(\R^{+*})^{2}$. \begin{enumerate} \item Trouver une fonction $f \in \mathcal{C}^{2}((\R^{+*})^{2}, \R)$ telle que pour toute solution $(x, y)$ de $V$, $f(x, y)$ soit constante. \item Montrer que les solutions de $(V)$ sont périodiques. \end{enumerate} \finenonce{004135} \finexercice \section{ 225.06 Equations aux dérivées partielles } \exercice{4201, quercia, 2010/03/11} \enonce{004201}{$2\frac{\partial f}{\partial x} + 3\frac{\partial f}{\partial y} = 4f$} Résoudre l'équation $2\frac{\partial f}{\partial x} + 3\frac{\partial f}{\partial y} = 4f$ avec la {\it condition aux limites\/} : $f(t,t) = t\ (t \in \R)$. (\'Etudier $\varphi : t \mapsto f(a+bt,a+ct)$ avec $a,b,c$ bien choisis) \finenonce{004201} \finexercice \exercice{4202, quercia, 2010/03/11} \enonce{004202}{$\frac{\partial f}{\partial x} - \frac{\partial f}{\partial y} =$ cste} Déterminer les applications $f$ de classe $\mathcal{C}^1$ de ${\R^2}$ dans $\R$ vérifiant : $\frac{\partial f}{\partial x} - \frac{\partial f}{\partial y} = a$ où $a$ est une constante réelle donnée. On utilisera le changement de variable : $u = x+y$, $v = x-y$. \finenonce{004202} \finexercice \exercice{4203, quercia, 2010/03/11} \enonce{004203}{$x\frac{\partial f}{\partial x} = y\frac{\partial f}{\partial y}$} Résoudre sur $(\R^{+*})^2$ : $x\frac{\partial f}{\partial x} = y\frac{\partial f}{\partial y}$, en posant $\begin{cases} u = xy \cr v = \frac xy. \end{cases}$ \finenonce{004203} \finexercice \exercice{4204, quercia, 2010/03/11} \enonce{004204}{$x\frac{\partial f}{\partial x} + y\frac{\partial f}{\partial y} = 2$} Soit $U$ l'ouvert de ${\R^2}$ : $U = \{(x,y) \text{ tq } x > 0,\ y > 0\}$. Trouver les applications $f : U \to \R$ de classe $\mathcal{C}^1$ vérifiant~: $x\frac{\partial f}{\partial x} + y\frac{\partial f}{\partial y} = 2$. On utilisera le changement de variable : $u = xy$, $v = \frac yx$. \finenonce{004204} \finexercice \exercice{4205, quercia, 2010/03/11} \enonce{004205}{$x\frac{\partial f}{\partial x} = -y\frac{\partial f}{\partial y}$} Résoudre sur ${\R^2} \setminus \{(0,0)\}$ : $x\frac{\partial f}{\partial x} = -y\frac{\partial f}{\partial y}$, en posant $\begin{cases}x = \rho\cos\theta \cr y = \rho\sin\theta. \end{cases}$ \finenonce{004205} \finexercice \exercice{4206, quercia, 2010/03/11} \enonce{004206}{$y\frac{\partial f}{\partial x} - x\frac{\partial f}{\partial y} = 2f$} Soit $f : U \to \R$ de classe $\mathcal{C}^1$ vérifiant : $y\frac{\partial f}{\partial x} - x\frac{\partial f}{\partial y} = 2f$. où $U$ est un ouvert de ${\R^2}$. On pose $g(\rho,\theta) = f(\rho\cos\theta,\rho\sin\theta)$. Calculer $\frac{\partial g}{\partial \rho}$, $\frac{\partial g}{\partial \theta}$, puis trouver $f$ \dots \begin{enumerate} \item Si $U = \{(x,y) \text{ tq } x > 0\}$. \item Si $U = {\R^2}$. \end{enumerate} \finenonce{004206} \finexercice \exercice{4207, quercia, 2010/03/11} \enonce{004207}{Ensi Physique P 94} Résoudre l'équation aux dérivées partielles suivante~: $2xy\frac{\partial f}{\partial x} + (1+y^2)\frac{\partial f}{\partial y} = 0$ en utilisant, par exemple, le changement de variable~: $x=\frac{u^2+v^2}2$ et $y=\frac uv$. \finenonce{004207} \finexercice \exercice{4208, quercia, 2010/03/11} \enonce{004208}{Fonctions homogènes} Soit $\Omega = \{ (x,y) \in {\R^2} \text{ tq } (x,y) \ne (0,0) \}$, et $f : \Omega \to \R$ une fonction de classe $\mathcal{C}^1$. Montrer que $f$ est positivement homogène de degré $\alpha$ si et seulement si : $$\forall\ (x,y)\in\Omega,\ x\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) + y\frac{\partial f}{\partial y}(x,y) = \alpha f(x,y).$$ (On étudiera $g(\rho,\theta) = f(\rho\cos\theta,\rho\sin\theta)$) \finenonce{004208} \finexercice \exercice{4209, quercia, 2010/03/11} \enonce{004209}{} Résoudre l'équation : $x^2\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + 2xy\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} + y^2\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = \alpha(\alpha-1)f$ où $\alpha$ est un réel fixé, $\alpha \ne \frac 12$. On posera $x=\rho\cos\theta$, $y=\rho\sin\theta$. \finenonce{004209} \finexercice \exercice{4210, quercia, 2010/03/11} \enonce{004210}{\'Equation d'ordre 2 à coefficients constants} Soient $a,b,c \in \R$ non tous nuls. On considère l'équation aux dérivées partielles : $$(*) \Leftrightarrow a\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + b\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} + c\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = 0$$ où $f$ est une fonction inconnue : ${\R^2} \to \R$ de classe $\mathcal{C}^2$. Soient $\alpha,\beta\in \R$ distincts, fixés. On fait le changement de variable : $u = x+\alpha y$, $v = x+\beta y$. \begin{enumerate} \item \'Ecrire l'équation déduite de $(*)$ par ce changement de variable. \item En déduire que l'on peut ramener $(*)$ à l'une des trois formes réduites :\par $(1) : \frac{\partial^2 g}{\partial u \partial v} = 0$, \qquad $(2) : \frac{\partial^2 g}{\partial u^2} = 0$, \qquad $(3) : \frac{\partial^2 g}{\partial u^2} + \frac{\partial^2 g}{\partial v^2} = 0$. \end{enumerate} \finenonce{004210} \finexercice \exercice{4211, quercia, 2010/03/11} \enonce{004211}{$x^2\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + 2xy\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} + y^2\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = 0$} Trouver les applications $f : {(\R^{+*})^2} \to \R$ de classe $\mathcal{C}^2$ vérifiant : $x^2\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + 2xy\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} + y^2\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = 0$. On utilisera le changement de variables : $u = xy$, $v = \frac xy$. \finenonce{004211} \finexercice \exercice{4212, quercia, 2010/03/11} \enonce{004212}{$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = \frac y{x^3}$} Soit $g : \R \to \R$ de classe $\mathcal{C}^2$ et $f : {\R^*\times \R} \to \R, {(x,y)} \mapsto {g(y/x).}$ Trouver $g$ telle que $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = \frac y{x^3}$. \finenonce{004212} \finexercice \exercice{4213, quercia, 2010/03/11} \enonce{004213}{$\frac{\partial^2 g}{\partial x^2} - 4\frac{\partial^2 g}{\partial y^2} = 1$} Soit $f : {\R^2} \to \R$ de classe $\mathcal{C}^2$. On pose $g(x,y) = f(2x+y,2x-y)$. \begin{enumerate} \item Calculer les dérivées partielles secondes de $g$ en fonction de celles de $f$. \item Trouver $f$ telle que $\frac{\partial^2 g}{\partial x^2} - 4\frac{\partial^2 g}{\partial y^2} = 1$. \end{enumerate} \finenonce{004213} \finexercice \exercice{4214, quercia, 2010/03/11} \enonce{004214}{$x^2\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} - y^2 \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = 0$} On considère l'équation aux dérivées partielles sur $\Omega = (\R^{+*})^2$ : $x^2\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} - y^2 \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = 0$. Résoudre cette équation en posant $\begin{cases} u = xy \cr v = \frac xy. \end{cases}$ \finenonce{004214} \finexercice \exercice{4215, quercia, 2010/03/11} \enonce{004215}{$f(\cos x/\ch y)$ harmonique} Soit $f : {]-1,1[} \to \R$ de classe $\mathcal{C}^2$. On considère $g : {D \subset {\R^2}} \to \R, {(x,y)} \mapsto {f\Bigl(\frac {\cos x}{\ch y}\Bigr).}$ Déterminer $f$ pour que $g$ vérifie : $\frac{\partial^2 g}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 g}{\partial y^2} = 0$. \finenonce{004215} \finexercice \exercice{4216, quercia, 2010/03/11} \enonce{004216}{$(x,y) \mapsto (x^2-y^2,2xy)$ préserve les fonctions harmoniques} Pour $(x,y) \in {\R^2}$, on pose $u = x^2-y^2$, $v = 2xy$. Soit $F : {\R^2} \to \R, {(u,v)} \mapsto {F(u,v)}$ et $f$ définie par : $f(x,y) = F(u,v)$. Montrer que $\frac{\partial^2 F}{\partial u^2} + \frac{\partial^2 F}{\partial v^2} = 0$ entraîne $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = 0$. \finenonce{004216} \finexercice \exercice{4217, quercia, 2010/03/11} \enonce{004217}{$x\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + y\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} + \frac{\partial f}{\partial x} = y$} Soit $f : {\R^2} \to \R$ de classe $\mathcal{C}^2$ et $g(u,v) = f(uv,u+v)$. \begin{enumerate} \item Calculer $\frac{\partial^2 g}{\partial u \partial v}$. \item Résoudre l'équation : $x\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + y\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} + \frac{\partial f}{\partial x} = y$. \end{enumerate} \finenonce{004217} \finexercice \exercice{4218, quercia, 2010/03/11} \enonce{004218}{$f(\sqrt{x^2+y^2+z^2})$ tq $\Delta f = -f$} Soit $f:\R \to \R$ de classe $\mathcal{C}^2$ et $g(x,y,z) = \frac {f(r)}r$ avec $r = \sqrt{x^2+y^2+z^2}$. Déterminer $f$ de sorte que $\frac{\partial^2 g}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 g}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 g}{\partial z^2} = -g$. \finenonce{004218} \finexercice \exercice{4219, quercia, 2010/03/11} \enonce{004219}{$x^4 \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} - \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = 0$} \begin{enumerate} \item Trouver les fonctions $g : {\{(u,v)\in\R^2\text{ tq } u > v\}} \to \R$ de classe $\mathcal{C}^2$ vérifiant : $\frac{\partial }{\partial u}\Bigl(g+v\frac{\partial g}{\partial v}\Bigr) = \frac{\partial}{\partial v}\Bigl(g+u\frac{\partial g}{\partial u}\Bigr)$ (penser au théorème de Poincaré). \item Résoudre sur $\R^{+*}\times\R$ l'équation : $x^4 \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} - \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = 0$ en posant $u = y+\frac 1x$, $v = y-\frac 1x$. \end{enumerate} \finenonce{004219} \finexercice \exercice{5898, rouget, 2010/10/16} \enonce{005898}{*** I} Résoudre les équations aux dérivées partielles suivantes : \begin{enumerate} \item $2 \frac{\partial f}{\partial x}- \frac{\partial f}{\partial y}= 0$ en posant $u = x+y$ et $v = x+2y$. \item $x \frac{\partial f}{\partial y}-y \frac{\partial f}{\partial x}=0$ sur $\Rr^2\setminus\{(0,0)\}$ en passant en polaires. \item $x^2 \frac{\partial^2f}{\partial x^2}+2xy \frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}+y^2 \frac{\partial^2f}{\partial y^2}= 0$ sur $]0, +\infty[\times\Rr$ en posant $x = u$ et $y = uv$. \end{enumerate} \finenonce{005898} \finexercice \section{ 225.99 Autre } \section{ 229.01 Ouvert, fermé, intérieur, adhérence } \exercice{1741, drutu, 2003/10/01} \enonce{001741}{} Repr\'esenter graphiquement et d\'eterminer si les ensembles suivants sont des ouverts. $A=\{(x,y)\in \R^2 \mid 0<\vert x-1\vert <1 \}$ ; $B=\{(x,y)\in \R^2 \mid 0 4\} \\ C=\{(x,y)\in {[0,1]\times [0,1]} \mid \cos(x)\ge 0\} \end{gather*} \finenonce{001754} \finexercice \exercice{1755, maillot, 2001/09/01} \enonce{001755}{} On se propose de montrer que tout ouvert de $\R$ est une réunion d'intervalles ouverts disjoints. On considère donc un ouvert $U\subset\R$ et pour tout $x\in U$ on pose $$C(x)=\{y\in [x,+\infty[\ \mid [x,y]\subset U\} \cup \{y\in ]-\infty,x[\ \mid [y,x]\subset U\}.$$ \begin{enumerate} \item Montrer que $C(x)$ est un intervalle ouvert pour tout $x$. (Considérer $\inf_{y\in C(x)}y$ et $\sup_{y\in C(x)}y$.) \item Pour tous $x,y$ dans $U$, montrer qu'on a $C(x)=C(y)$ ou $C(x)\cap C(y)=\emptyset$. \item Conclure. \end{enumerate} \finenonce{001755} \finexercice \exercice{1756, maillot, 2001/09/01} \enonce{001756}{} Soit $E$ un espace vectoriel norm\'e. Soient $A$ et $B$ deux parties de $E$. Montrer~: \begin{enumerate} \item $C_{\stackrel{\circ}{A}}= \overline{C_A}$, $C_{\bar A}= \stackrel{\circ} {C_A}$ \item $\overline{A \cup B} = \bar A\cup \bar B$\par En \textbf{d\'eduire} $\stackrel{\circ}{\overbrace{A\cap B}}=\stackrel{\circ}{A} \cap \stackrel{\circ}{B}$. \item $\overline{A \cap B} \subset \bar A\cap \bar B$\par En \textbf{d\'eduire} $\stackrel{\circ}{A} \cup \stackrel{\circ}{B} \subset \stackrel{\circ}{\overbrace{A\cup B}}$.\par Donner un exemple pour lequel l'inclusion r\'eciproque n'est pas r\'ealis\'ee. \end{enumerate} \finenonce{001756} \finexercice \exercice{1757, maillot, 2001/09/01} \enonce{001757}{} Soit $A$ une partie d'un espace vectoriel norm\'e $E$. On rappelle que la fronti\`ere de $A$ est l'ensemble $\mathrm{Fr}(A)=\bar A- \stackrel{\circ}{A}$. Montrer que~: \begin{enumerate} \item $ \mathrm{Fr}(A)=\{x\in E \mid \forall \epsilon>0, B(x,\epsilon)\cap A \neq\emptyset \text{\ et\ } B(x,\epsilon)\cap C_A\neq\emptyset\}$ \item $\mathrm{Fr}(A)=\mathrm{Fr}(C_A)$ \item $A$ est ferm\'e si et seulement si $\mathrm{Fr}(A)$ est inclus dans $A$. \item $A$ est ouvert si et seulement si $\mathrm{Fr}(A)\cap A=\emptyset$. \end{enumerate} \finenonce{001757} \finexercice \exercice{1758, maillot, 2001/09/01} \enonce{001758}{} Soit $A$ une partie d'un espace vectoriel norm\'e $E$. \begin{enumerate} \item Montrer que $\bar A$ est l'ensemble des limites de suites convergentes d'\'el\'ements de $A$. \item On suppose maintenant que $E=\R$. D\'eduire de la question pr\'ec\'edente que si $A$ est born\'ee, alors $\sup A\in \bar A$. (Construire une suite de points appropri\'ee.) \end{enumerate} \finenonce{001758} \finexercice \exercice{1759, maillot, 2001/09/01} \enonce{001759}{} Montrer que l'adh\'erence d'une boule ouverte est la boule ferm\'ee de m\^eme centre et m\^eme rayon. \finenonce{001759} \finexercice \exercice{1760, maillot, 2001/09/01} \enonce{001760}{} Soit $E$ un espace vectoriel norm\'e. Soient $A$ et $B$ deux parties de $E$. On pose $A+B= \{z\in E \mid \exists x\in A, \exists y\in B, z=x+y\}$. Montrer que si $A$ est ouvert, $A+B$ est ouvert. (Commencer par le cas o\`u $B$ est un singleton.) \finenonce{001760} \finexercice \exercice{1761, maillot, 2001/09/01} \enonce{001761}{} Soit $E$ un espace vectoriel norm\'e de dimension finie. Montrer que tout sous-espace vectoriel de $E$ est ferm\'e. \finenonce{001761} \finexercice \exercice{1762, maillot, 2001/09/01} \enonce{001762}{} Soit $E$ un espace vectoriel norm\'e. Soit $A$ une partie non vide et born\'ee de $E$. On d\'efinit $\mathrm{diam}(A)=\sup \{\|y-x\|, x,y\in A\}$. \begin{enumerate} \item Montrer que si $A$ est born\'ee, alors $\bar A$ et $\mathrm{Fr}(A)$ sont born\'es. \item Comparer $\mathrm{diam}(A)$, $\mathrm{diam}(\stackrel{\circ}{A})$ et $\mathrm{diam}(\bar A)$ lorsque $\stackrel{\circ}{A}$ est non vide. \item \begin{enumerate} \item Montrer que $\mathrm{diam}(\mathrm{Fr}(A)) \le \mathrm{diam}(A)$. \item Soit $x$ et $u$ des \'el\'ements de $A$ avec $u\neq 0$. On consid\`ere l'ensemble $X=\{t\ge 0 \mid x+tu\in A\}$. Montrer que $\sup X$ existe. \item En d\'eduire que toute demi-droite issue d'un point $x$ de $A$ coupe $\mathrm{Fr}(A)$. \item En d\'eduire que $\mathrm{diam}(\mathrm{Fr}(A)) = \mathrm{diam} (A)$. \end{enumerate} \end{enumerate} \finenonce{001762} \finexercice \exercice{1764, maillot, 2001/09/01} \enonce{001764}{} Soit $E=\R^d$ muni d'une norme $\|\cdot\|$. On d\'efinit la \emph{distance} d'un \'el\'ement $x_0$ de $E$ \`a une partie $A$ de $E$, not\'ee $d(x_0,A)$, par la formule $$d(x_0,A)=\inf_{x\in A}\|x-x_0\|.$$ \begin{enumerate} \item Supposons $A$ compact. Montrer que pour tout $x_0\in E$ il existe $y\in A$ tel que $d(x_0,A)=\|y-x_0\|$. \item Montrer que le r\'esultat est encore vrai si on suppose seulement que $A$ est ferm\'e. (On remarquera que pour toute partie $B$ de $A$ on a $d(x_0,B)\ge d(x_0,A)$.) \item Montrer que l'application qui \`a $x_0$ associe $d(x_0,A)$ est continue sur $E$ (sans aucune hypoth\`ese sur $A$). \item En d\'eduire que si $A$ est un ferm\'e de $E$ et $B$ un compact de $E$ tels que $A$ et $B$ sont disjoints, alors il existe une constante $\delta>0$ telle que $$\|a-b\| \ge \delta \qquad \forall (a,b)\in A\times B.$$ \item Montrer par un contre-exemple que le r\'esultat est faux si on suppose seulement que $A$ et $B$ sont deux ferm\'es disjoints. \end{enumerate} \finenonce{001764} \finexercice \exercice{1766, maillot, 2001/09/01} \enonce{001766}{} Soit $(E,\|\cdot\|)$ un espace vectoriel norm\'e. Pour toutes parties $A$ et $B$ de $E$ on note $$A+B=\{z\in E \mid \exists(x,y)\in A\times B, z=x+y\}.$$ Montrer que si $A$ est compact et $B$ ferm\'e, alors $A+B$ est ferm\'e. \finenonce{001766} \finexercice \exercice{1769, gourio, 2001/09/01} \enonce{001769}{} Soit $X$ une partie de ${\Rr}^{2}$; montrer qu'elle est ferm\'{e}e si et seulement si pour toute partie ferm\'{e}e born\'{e}e $K, K\cap X$ est ferm\'{e}e born\'{e}e. \finenonce{001769} \finexercice \exercice{1770, gourio, 2001/09/01} \enonce{001770}{} Soient $k\in {\Rr}^{+*},$ $$ \omega _{n}=\left\{ \left( x,y\right) \in {\Rr}^{2}|\left( x-\frac{1}{n}% \right) ^{2}+\left( y-\frac{1}{n}\right) ^{2}\leq \frac{k^{2}}{n^{2}}% \right\} , $$ et $$\Omega =\bigcup\limits_{n\in \Nn^{*}}\omega _{n}. $$ $\Omega $ est-il ouvert? ferm\'{e}? ... \finenonce{001770} \finexercice \exercice{1771, gourio, 2001/09/01} \enonce{001771}{} Soit $\left( K_{n}\right) _{n\in \Nn^{*}}$ une suite d'ensembles ferm\'{e}s born\'{e}s de ${\Rr}^{2}$ telle que $\forall n\in \Nn% ,K_{n+1}\subset K_{n},$ et $K_{n}\neq \emptyset .$ Montrer que : $$\bigcap\limits_{n\in \Nn^{*}}K_{n}\neq \emptyset . $$ \finenonce{001771} \finexercice \exercice{1772, gourio, 2001/09/01} \enonce{001772}{} Montrer que l'intersection de deux ensembles ouvert est ouvert, que l'union de deux ensembles ferm\'{e}s est ferm\'{e}e, que cela reste vrai pour un nombre fini d'ensembles, mais que cela peut devenir faux si l'on consid\`{e}re des suites infinies. \finenonce{001772} \finexercice \exercice{1773, gourio, 2001/09/01} \enonce{001773}{} Soit $E\subset {\Rr}^{2} $ un ensemble ; on pose $$\mathrm{Int}(E)=^{c}\overline{^{c}E}. $$ Montrer que $\mathrm{Int}(E)$ est le plus grand ouvert contenu dans $E.$ \finenonce{001773} \finexercice \exercice{1774, gourio, 2001/09/01} \enonce{001774}{} Soit $ A$ une partie born\'{e}e de $ {\Rr}^{2}, $ montrer que $ \overline{A}$ est aussi born\'{e}e et que $$\sup\limits_{x\in A}\left\| x\right\| =\sup\limits_{x\in \overline{A}% }\left\| x\right\| . $$ \finenonce{001774} \finexercice \exercice{1776, gourio, 2001/09/01} \enonce{001776}{} Classer (pour l'inclusion) les parties : $ \overline{A\cap B}, \overline{A} \cap \overline{B} $ et $ \overline{A\cup B}, \overline{A}\cup \overline{B}. $ \finenonce{001776} \finexercice \exercice{1777, gineste, 2001/11/01} \enonce{001777}{} Dans l'espace vectoriel norm\'e $\R$, chacune des parties suivantes est-elle ouverte ? ferm\'ee ? \ \par $ \N, \Z, \Q, \R, [0,1[, [0,+\infty[, ]0,1[ \cup \{2\}, \{ 1/n, \, n \in \N^* \}, \bigcap_{n \geq 1} ]-1/n,1/n[ .$ \finenonce{001777} \finexercice \exercice{1778, gineste, 2001/11/01} \enonce{001778}{} Soit $E$ un evn (espace vectoriel norm\'e). Soit $A$ une partie de $E$. Montrer l'\'egalit\'e $$ E \backslash \overline{A} = \stackrel{\circ}{\stackrel{\frown} {E\backslash A}} \mbox{ et } E \backslash \stackrel{\circ}{A}= \overline{E \backslash A } $$ \finenonce{001778} \finexercice \exercice{1779, gineste, 2001/11/01} \enonce{001779}{} Soit $E$ un evn, $V$ un sous-espace vectoriel de $E$. \begin{enumerate} \item Montrer que $\overline{V}$ est un sous-espace vectoriel de $E$. \item Montrer que si $\stackrel{\circ}{V} \not = \varnothing$ alors $V=E.$ \end{enumerate} \finenonce{001779} \finexercice \exercice{1780, gineste, 2001/11/01} \enonce{001780}{} Représenter graphiquement les parties suivantes de $\R^2$ et dire pour chacune d'elle si c'est un ouvert, un fermé, ou ni l'un ni l'autre. Déterminer leurs adhérences et intérieurs. \begin{enumerate} \item $$ \{ (x,y) \in \R^2 \; , \;|x| \not = 1 \mbox{ et } |y| \not = 1 \} $$ \item $$ \{ (x,y) \in \R^2 \; , \; |x| = 1 \mbox{ et } |y| \not = 1 \} $$ \item $$ \{ (x,y) \in \R^2 \; , \; |x| \not = 1 \mbox{ ou } |y| \not = 1 \} $$ \item $$ \{ (x,y) \in \R^2 \; , \; 1 - xy > 0 \} $$ \item $$ \{ (x,y) \in \R^2 \; , \; 3x+4y=2 \} $$ \item $$ \{ (x,y) \in \R^2 \; , x^2 + y^2 = 1 \} $$ \item $$ \{ (x,y) \in \R^2 \; , xy=1 \} $$ \item $$ \bigcup_{n \in \N^*} \{ 1/n \} \times [0,1] $$ \end{enumerate} \finenonce{001780} \finexercice \exercice{1781, gineste, 2001/11/01} \enonce{001781}{} Déterminer l'adhérence de chacune des parties de $\R$ suivantes : \begin{enumerate} \item $\N, \Z, \Q $ \item $ \{ 1/n, \, n \in \N^* \} $ \item $ \{ \frac{ (-1)^n }{ 1 + 1/n } , \, n \in \N^* \} $ \end{enumerate} \finenonce{001781} \finexercice \exercice{1782, gineste, 2001/11/01} \enonce{001782}{} Soient $A$ et $B$, deux parties d'un evn $E$. \begin{enumerate} \item Montrer que si $O$ est un ouvert de $E$, alors $A+O$ est ouvert. (Indication : Prendre d'abord $A=\{ a \}$ puis $A$ quelconque .... ) \item Etablir que $\overline{A \cup B}=\overline{A} \cup \overline{B}$ et que $\overline{A \cap B} \subset \overline{A} \cap \overline{B}$. (Trouver un exemple o\`u l'inclusion est stricte) \end{enumerate} \finenonce{001782} \finexercice \exercice{2616, debievre, 2009/05/19} \enonce{002616}{} \begin{enumerate} \item Tracer le graphe de la fonction $f\colon \R^2 \longrightarrow\R$ d\'efinie par $f(x,y)= x^2+y^2$ et tracer les lignes de niveau de cette fonction. \item Tracer les graphes des fonctions $f$ et $g$ d\'efinies par $f(x,y)=25-(x^2+y^2)$ et $g(x,y)=5-\sqrt{x^2+y^2}$ sur $D=\{(x,y)\in\R^2\mid x^2+y^2\leq 25\}$. \item Tracer le graphe de la courbe param\'etr\'ee $f\colon \R\longrightarrow \R^2$ d\'efinie par $f(x)= (x\cos x, x\sin x)$. \item Peut-on repr\'esenter graphiquement %et de fa\c con diff\'erente l'application de la question (3.)? Comment? \item D\'ecrire les surfaces de niveau de la fonction $f\colon \R^3\longrightarrow \R$ d\'efinie par $f(x,y,z)= \exp (x+y^2-z^2)$. \item Pourquoi ne peut-t-on pas na\"\i vement repr\'esenter le graphe de l'application \[f\colon\R^2\longrightarrow \R^2,\ f(x,y)= (-y, x), \] sur une feuille de papier. Comment peut-on graphiquement repr\'esenter cette application? \end{enumerate} \finenonce{002616} \finexercice \exercice{2617, debievre, 2009/05/19} \enonce{002617}{} D\'eterminer si chacune des parties suivantes du plan sont ouvertes ou ferm\'ees, ou ni l'un ni l'autre. D\'eterminer chaque fois l'int\'erieur et l'adh\'erence. \begin{enumerate} \item $ A_1=\{ (x, y)\in\R^2 | x^2y^2 > 1\}$, \item $ A_2=\{ (x,y)\in\R^2 | x^2+y^2=1, y>0\}$. \end{enumerate} \finenonce{002617} \finexercice \exercice{2618, debievre, 2009/05/19} \enonce{002618}{} \begin{enumerate} \item Soient $B_1\subset \R^n$ et $B_2\subset \R^m$ des boules ouvertes. Montrer que $B_1\times B_2\subset \R^{n+m}$ est un ouvert. \item Soit $A$ un ouvert de $\R^2$ et $B$ un ouvert de $\R$. Montrer que $A\times B$ est un ouvert de $\R^3$. \end{enumerate} \finenonce{002618} \finexercice \exercice{2619, debievre, 2009/05/19} \enonce{002619}{} \begin{enumerate} \item Soit $(A_n)$ ($n\in\N$) une suite de parties ouvertes de $\R^2$. Est-ce que la r\'eunion des $A_n$ est encore une partie ouverte? Et leur intersection? \item M\^eme question pour une famille de parties ferm\'ees. \end{enumerate} \finenonce{002619} \finexercice \exercice{2620, debievre, 2009/05/19} \enonce{002620}{} Soit $A=\{(t,\sin\frac1t)\in\R^2 ; t>0 \}$. Montrer que $A$ n'est ni ouvert ni ferm\'e. D\'eterminer l'adh\'erence $\overline A$ de $A$. \finenonce{002620} \finexercice\exercice{2647, debievre, 2009/05/19} \enonce{002647}{} Soit $D$ un sous-ensemble de $\R^n$. \begin{enumerate} \item Donner la d\'efinition de ``$D$ est ouvert.'' (Ceci est une question de cours!) \item Donner la d\'efinition de ``$a\in\R^2$ est un point adh\'erent de $D$.'' (Ceci est une question de cours!) On consid\`ere dans la suite de l'exercice l'ensemble $$D=\{(x,y)\in\R^2 \mid |x|\leq |y|, x^2+y^2<1\}\subset \R^2.$$ \item Dessiner $D$. \item Montrer que $D$ n'est pas ouvert. \item D\'eterminer $\overline D$, l'adh\'erence de $D$. On justifiera bri\`evement sa r\'eponse, en s'aidant d'un dessin. \end{enumerate} \finenonce{002647} \finexercice \exercice{5844, rouget, 2010/10/16} \enonce{005844}{**} \label{ex:rou6} Soient $A$ et $B$ des parties d'un espace vectoriel normé $E$. Montrer que \begin{enumerate} \item $\overline{(\overline{A})}=\overline{A}$ et $\overset{\circ}{\overset{\circ}{A}}=\overset{\circ}{A}$. \item $A\subset B\Rightarrow \overline{A}\subset\overline{B}$ et$A\subset B\Rightarrow \overset{\circ}{A}\subset\overset{\circ}{B}$. \item $\overline{A\cup B}=\overline{A}\cup\overline{B}$ et $\overset{\circ}{A\cap B}=\overset{\circ}{A}\cap\overset{\circ}{B}$. \item $\overline{A\cap B}\subset\overline{A}\cap\overline{B}$ et $\overset{\circ}{A\cup B}\subset\overset{\circ}{A}\cup\overset{\circ}{B}$. Trouver un exemple où l'inclusion est stricte. \item $\overset{\circ}{A\setminus B}=\overset{\circ}{A}\setminus\overline{B}$. \item $\overline{\overset{\circ}{\overline{\overset{\circ}{A}}}}=\overline{\overset{\circ}{A}}$ et $\overset{\circ}{\overline{\overset{\circ}{\overline{A}}}}=\overset{\circ}{\overline{A}}$. \end{enumerate} \finenonce{005844} \finexercice \exercice{5845, rouget, 2010/10/16} \enonce{005845}{**} Trouver une partie $A$ de $\Rr$ telle que les sept ensembles $A$, $\overline{A}$, $\overset{\circ}{A}$, $\overline{\overset{\circ}{A}}$, $\overset{\circ}{\overline{A}}$, $\overline{\overset{\circ}{\overline{A}}}$ et $\overset{\circ}{\overline{\overset{\circ}{A}}}$ soient deux à deux distincts. \finenonce{005845} \finexercice \exercice{5846, rouget, 2010/10/16} \enonce{005846}{**} Soit $E$ le $\Rr$-espace vectoriel des fonctions continues sur $[0,1]$ à valeurs dans $\Rr$. On munit $E$ de $\|\;\|_\infty$. $D$ est la partie de $E$ constituée des applications dérivables et $P$ est la partie de $E$ constituée des fonctions polynomiales. Déterminer l'intérieur de $D$ et l'intérieur de $P$. \finenonce{005846} \finexercice \exercice{5848, rouget, 2010/10/16} \enonce{005848}{**} \begin{enumerate} \item Soient $(E,N_E)$ et $(F,N_F)$ deux espaces vectoriels normés. Soient $f$ et $g$ deux applications continues sur $E$ à valeurs dans $F$. Soit $D$ une partie de $E$ dense dans $E$. Montrer que si $f_{/D}= g_{/D}$ alors $f = g$. \item Déterminer tous les morphismes continus de $(\Rr,+)$ dans lui-même. \end{enumerate} \finenonce{005848} \finexercice \exercice{5849, rouget, 2010/10/16} \enonce{005849}{***} Soit $u$ une suite bornée d'un espace vectoriel normé de dimension finie ayant une unique valeur d'adhérence. Montrer que la suite $u$ converge. \finenonce{005849} \finexercice \exercice{7522, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007522}{Intérieur, adhérence} Soit $A$ une partie de l'espace métrique $(\Cc,|~~|)$ et $z$ un nombre complexe. \begin{enumerate} \item Montrer que $z$ appartient $\mathring{A}$ si et seulement si il existe un nombre réel $\epsilon>0$ tel que $B(z,\epsilon)$ soit incluse dans $A$. \item Montrer que $z$ appartient à $\overline{A}$ si et seulement si pour tout réel $\epsilon>0$, la boule $B(z,\epsilon)$ rencontre~$A$. \end{enumerate} \finenonce{007522} \finexercice \section{ 229.02 Compacité } \exercice{1744, maillot, 2001/09/01} \enonce{001744}{partiel 1999} Soit $f:\R^n\rightarrow \R$ une application continue. Montrer que les trois conditions suivantes sont \'equivalentes~: (1) $\forall M>0$, $\exists R>0$ tel que $\|x\|>R \Rightarrow \vert f(x)\vert >M$. (2) Pour toute partie born\'ee $B$ de $\R$, $f^{-1} (B)$ est une partie born\'ee de $\R^n$. (3) Pour toute partie compacte $K$ de $\R$, $f^{-1} (K)$ est une partie compacte de $\R^n$. \finenonce{001744} \finexercice \exercice{1763, maillot, 2001/09/01} \enonce{001763}{} Dans $\R^2$ euclidien, les ensembles suivants sont-ils compacts~? \begin{itemize} \item $A=\{(x,y)\in\R^2 \mid \frac12 \le \| (x,y)\| \le 2\ \text{et} \ xy=1\}$. \item $B=\{(x,y)\in\R^2 \mid \frac12 < \| (x,y)\| \le 2\ \text{et} \ xy=1\}$. \item $C= \{(x,\cos n)\in\R^2 \mid 0\le x \le 18 \ \text{et}\ n\in\N\}$. \end{itemize} \finenonce{001763} \finexercice \exercice{1764, maillot, 2001/09/01} \enonce{001764}{} Soit $E=\R^d$ muni d'une norme $\|\cdot\|$. On d\'efinit la \emph{distance} d'un \'el\'ement $x_0$ de $E$ \`a une partie $A$ de $E$, not\'ee $d(x_0,A)$, par la formule $$d(x_0,A)=\inf_{x\in A}\|x-x_0\|.$$ \begin{enumerate} \item Supposons $A$ compact. Montrer que pour tout $x_0\in E$ il existe $y\in A$ tel que $d(x_0,A)=\|y-x_0\|$. \item Montrer que le r\'esultat est encore vrai si on suppose seulement que $A$ est ferm\'e. (On remarquera que pour toute partie $B$ de $A$ on a $d(x_0,B)\ge d(x_0,A)$.) \item Montrer que l'application qui \`a $x_0$ associe $d(x_0,A)$ est continue sur $E$ (sans aucune hypoth\`ese sur $A$). \item En d\'eduire que si $A$ est un ferm\'e de $E$ et $B$ un compact de $E$ tels que $A$ et $B$ sont disjoints, alors il existe une constante $\delta>0$ telle que $$\|a-b\| \ge \delta \qquad \forall (a,b)\in A\times B.$$ \item Montrer par un contre-exemple que le r\'esultat est faux si on suppose seulement que $A$ et $B$ sont deux ferm\'es disjoints. \end{enumerate} \finenonce{001764} \finexercice \exercice{1767, maillot, 2001/09/01} \enonce{001767}{} Soit $(E,\|\cdot\|)$ un espace vectoriel norm\'e. Soit $(x_n)$ une suite convergente de $E$ et $x$ sa limite. Montrer que l'ensemble $\{x\}\cup \{x_n,n\in\N\}$ est compact. \finenonce{001767} \finexercice \exercice{1783, gineste, 2001/11/01} \enonce{001783}{} Soit $(u_n)_{n \geq 1}$ une suite r\'eelle. $\forall n \geq 1$, on pose $A_n=\{ u_p / \; p\geq n \}.$ D\'emontrer que l'ensemble des valeurs d'adh\'erence de la suite $(u_n)_{n \geq 1}$ est $V= \bigcap_{n \geq 1} \overline{A_n}$, et qu'ainsi $V$ est ferm\'e. En d\'eduire que si la suite est born\'ee, alors l'ensemble $V$ est un compact non vide. \finenonce{001783} \finexercice \exercice{4827, quercia, 2010/03/16} \enonce{004827}{Graphe ferm{\'e}} Soient $E,F$ deux espaces vectoriels norm{\'e}s et $f : E \to {F.}$ On note $Gr(f) = \{(x,y) \in E\times F\text{ tq } y = f(x)\}$. \begin{enumerate} \item Montrer que si $f$ est continue, alors $Gr(f)$ est ferm{\'e} dans $E\times F$. \item Prouver la r{\'e}ciproque lorsque $f(E)$ est inclus dans un compact de~$F$. \item Donner un contre-exemple si $f(E)$ n'est pas inclus dans un compact. \end{enumerate} \finenonce{004827} \finexercice \exercice{4828, quercia, 2010/03/16} \enonce{004828}{Application presque contractante} Soit $A$ une partie compacte d'un evn $E$ et $f : A \to A$ telle que : $\forall\ x,y \in A,\ x\ne y \Rightarrow d(f(x),f(y)) < d(x,y)$. \begin{enumerate} \item Montrer que $f$ admet un point fixe unique, $a$. \item Soit $(x_n)$ une suite d'{\'e}l{\'e}ments de $A$ telle que $x_{n+1} = f(x_n)$. Montrer qu'elle converge vers $a$. \end{enumerate} \finenonce{004828} \finexercice \exercice{4829, quercia, 2010/03/16} \enonce{004829}{Application presque contractante (Mines MP 2003)} Soit $C$ un compact convexe d'un evn $E$. Soit~$f : C \to {C,}$ $1$-lipschitzienne. Montrer que~$f$ admet un point fixe. On pourra utiliser la fonction $f_n$~:~$x \mapsto\frac an + \Bigl(1-\frac1n\Bigr)f(x)$ avec $a\in C$. \finenonce{004829} \finexercice \exercice{4830, quercia, 2010/03/16} \enonce{004830}{Fonction bicontinue sur un compact} Soit $A$ une partie compacte d'un evn $E$ et $f : A \to F$ une fonction continue et injective ($F$ = evn). \begin{enumerate} \item Montrer que ${f^{-1}} : {f(A)} \to A$ est aussi continue. \item Donner un exemple o{\`u} $A$ n'est pas compact et $f^{-1}$ n'est pas continue. \end{enumerate} \finenonce{004830} \finexercice \exercice{4831, quercia, 2010/03/16} \enonce{004831}{Isom{\'e}tries d'un compact} Soit $A$ une partie compacte d'un evn $E$ et $f : A \to A$ telle que : $\forall\ x,y \in A,\ d(f(x),f(y)) \ge d(x,y)$. \begin{enumerate} \item Soit $a \in A$ et $(a_n)$ la suite d{\'e}finie par : $a_0 = a$, $a_{n+1} = f(a_n)$. Montrer que $a$ est valeur d'adh{\'e}rence de la suite $(a_n)$. \item Soient $a,b \in A$. Montrer que $d(f(a),f(b)) = d(a,b)$. \item Montrer que $f(A) = A$. \end{enumerate} \finenonce{004831} \finexercice \exercice{4832, quercia, 2010/03/16} \enonce{004832}{Partie dense dans un compact} Soit $A$ une partie compacte d'un evn $E$. Montrer qu'il existe une suite $(a_k)$ d'{\'e}l{\'e}ments de~$A$ qui est dense dans $A$. \finenonce{004832} \finexercice \exercice{4833, quercia, 2010/03/16} \enonce{004833}{Intersection emboit{\'e}e} Soit $E$ un espace vectoriel norm{\'e}, $(K_n)$ une suite d{\'e}croissante de compacts non vides de $E$ et $K = \bigcap_n K_n$. \begin{enumerate} \item Montrer que $K \ne \varnothing$. \item Soit $U$ un ouvert contenant $K$. Montrer qu'il existe $n$ tel que $K_n \subset U$. \item Montrer que $\delta(K) = \lim_{n\to\infty} \delta(K_n)$ ($\delta$ est le diam{\`e}tre). \end{enumerate} \finenonce{004833} \finexercice \exercice{4834, quercia, 2010/03/16} \enonce{004834}{Image d'une intersection} Soient $E,F$ deux espaces vectoriels norm{\'e}s et $f : E \to F$ continue. Soit $(K_n)$ une suite d{\'e}croissante de compacts de $E$. Montrer que $f(\mathop{\cap}\limits_nK_n) = \bigcap_nf(K_n)$. \finenonce{004834} \finexercice \exercice{4835, quercia, 2010/03/16} \enonce{004835}{Recouvrement ouvert} Soit $A$ une partie compacte d'un evn $E$ et $(O_i)_{i\in I}$ un recouvrement ouvert de $A$. Montrer qu'il existe $r > 0$ tel que toute partie de $A$ de diam{\`e}tre inf{\'e}rieur ou {\'e}gal {\`a} $r$ soit incluse dans l'un des $O_i$. \finenonce{004835} \finexercice \exercice{4836, quercia, 2010/03/16} \enonce{004836}{Ensemble compact de suites} Soit $E = {\cal B}(\N,\R) = \{ \text{suites } u = (u_n) \text{ born{\'e}es}\}$. On munit $E$ de la norme : $\|u\| = \sum_{n=0}^\infty \frac{|u_n|}{2^n}$. Montrer que $A = \{u\in E \text{ tq } \forall\ n\in\N,\ 0\le u_n\le 1\}$ est compact. \finenonce{004836} \finexercice \exercice{4837, quercia, 2010/03/16} \enonce{004837}{Boule unit{\'e} non compacte} Soit $E = {\cal C}([0,2\pi])$ muni de la norme $\|.\|_2$. Pour $n \in \N$, on pose $f_n(x) = \cos(nx)$. \begin{enumerate} \item Calculer $\|f_n-f_p\|_2$ pour $n,p \in \N$. \item En d{\'e}duire que $\overline B(0,1)$ n'est pas compacte. \end{enumerate} \finenonce{004837} \finexercice \exercice{4838, quercia, 2010/03/16} \enonce{004838}{Plus petite boule contenant une partie} Soit $\|.\|$ une norme sur $\R^2$, $A \subset \R^2$ une partie born{\'e}e contenant au moins deux points. \begin{enumerate} \item Montrer qu'il existe une boule ferm{\'e}e de rayon minimum contenant $A$. \item Montrer que cette boule n'est pas n{\'e}cessairement unique (on prendra $\|.\| = \|.\|_\infty$). \item Montrer que si $\|.\|$ est une norme euclidienne, alors la boule pr{\'e}c{\'e}dente est unique. \end{enumerate} \finenonce{004838} \finexercice \exercice{4839, quercia, 2010/03/16} \enonce{004839}{Polytechnique MP$^*$ 2000} Soit~$E$ un espace vectoriel norm{\'e}, $K$ un compact convexe de~$E$, $f$ une application de~$K$ dans~$K$, $1$-lipchitzienne. Montrer que $f$ a un point fixe. \finenonce{004839} \finexercice \exercice{4840, quercia, 2010/03/16} \enonce{004840}{Thm. de Riesz, Stival 2003} Soit $E$ un evn de dimension infinie. \begin{enumerate} \item Soit $F$ un sev de dimension finie et $a\in E\setminus F$. \begin{enumerate} \item Montrer qu'il existe $b\in F$ tel que $\|a-b\| = d(a,F)$. \item En d{\'e}duire qu'il existe $c\in E$ tel que $\|c\| = 1 = d(c,F)$. \end{enumerate} \item Montrer que la boule unit{\'e} de~$E$ n'est pas compacte. \end{enumerate} \finenonce{004840} \finexercice \section{ 229.03 Borne supérieure } \exercice{1750, maillot, 2001/09/01} \enonce{001750}{} Soient $A$ et $B$ deux parties non vides et majorées de $\R$. Montrer les implications suivants : \begin{itemize} \item $\exists M \in\R\;\forall x\in A,\; x 0,\ n^2-2p^2 = 1\}$. Montrer que $A$ est un sous-groupe discret de $\R^{+*}$. \finenonce{004720} \finexercice \exercice{4721, quercia, 2010/03/16} \enonce{004721}{Olympiades 1991} Soit $a > 1$. Montrer qu'il existe une suite r{\'e}elle born{\'e}e, $(x_n)$, telle que : $\forall\ i\ne j,\ |x_i-x_j| \ge \frac 1{|i-j|^a}$. \finenonce{004721} \finexercice \exercice{4722, quercia, 2010/03/16} \enonce{004722}{$u_{n+1} - u_n \to 0$} Soit $(u_n)$ une suite r{\'e}elle born{\'e}e telle que $u_{n+1} - u_n \xrightarrow[n\to\infty]{} 0$. Montrer que l'ensemble des valeurs d'adh{\'e}rence de $(u_n)$ est un intervalle. \finenonce{004722} \finexercice \exercice{4723, quercia, 2010/03/16} \enonce{004723}{$u_{n+1} - u_n \to 0$} Soit $f : {[0,1]} \to {[0,1]}$ continue, $u_0 \in {[0,1]}$ et $(u_n)$ la suite des it{\'e}r{\'e}es de $f$ en $u_0$. On suppose que $u_{n+1} - u_n \xrightarrow[n\to\infty]{} 0$. Montrer que la suite $(u_n)$ converge vers un point fixe de $f$. \finenonce{004723} \finexercice \exercice{4724, quercia, 2010/03/16} \enonce{004724}{$\exp(iu_n)$} Soit $(u_n)$ une suite r{\'e}elle telle que la suite $(\exp(iu_n))$ converge et la suite $(|u_{n+1} - u_n|)$ est major{\'e}e par $\alpha < \pi$. Montrer que $(u_n)$ converge. \finenonce{004724} \finexercice \exercice{4725, quercia, 2010/03/16} \enonce{004725}{$\exp(iu_n)$} Soit $(u_n)$ une suite r{\'e}elle telle que $u_{n+1} - u_n \xrightarrow[n\to\infty]{} 0$ et $u_n \xrightarrow[n\to\infty]{}+\infty$. D{\'e}montrer que la suite $(\exp(iu_n))$ est dense dans $\mathbb{U}$. \finenonce{004725} \finexercice \exercice{4726, quercia, 2010/03/16} \enonce{004726}{$\exp(iu_n)$} Soit $(x_n)$ une suite r{\'e}elle born{\'e}e et $u>0,\,v>0$. On suppose que $\frac{u}{v} \notin \Q$ et que les suites $(e^{iux_n})$ et $(e^{ivx_n})$ convergent. Montrer que la suite $(x_n)$ converge. \finenonce{004726} \finexercice \exercice{4727, quercia, 2010/03/16} \enonce{004727}{$u_{n+p} \le u_n + u_p$} Soit $(u_n)$ une suite r{\'e}elle positive telle que : $\forall\ n,p\in\N,\ u_{n+p} \le u_n + u_p$. Montrer que la suite $\left(\frac {u_n}n\right)$ est convergente. \finenonce{004727} \finexercice \exercice{4728, quercia, 2010/03/16} \enonce{004728}{Fonctions p{\'e}riodiques (Ens Ulm-Lyon-Cachan MP$^*$ 2003)} \begin{enumerate} \item D{\'e}terminer toutes les fonctions~$f : \R \to \R$ continues, p{\'e}riodiques de p{\'e}riodes~$1$ et~$\sqrt2$. \item D{\'e}terminer les fonctions~$f : {\R^2} \to {\R^2}$ continues telles que~:\par pour tout~$X\in\R^2$, $f(X) = f(X+(1,0)) = f(X+(0,1)) = f(AX)$ o{\`u} $A=\left(\begin{smallmatrix}\ 1&1\cr0&1\cr\end{smallmatrix}\right)$. \end{enumerate} \finenonce{004728} \finexercice \exercice{5843, rouget, 2010/10/16} \enonce{005843}{**} Montrer qu'entre deux réels distincts, il existe un rationnel (ou encore montrer que $\Qq$ est dense dans $\Rr$). \finenonce{005843} \finexercice \exercice{5851, rouget, 2010/10/16} \enonce{005851}{*** I} Soit $f~:~\Rr\rightarrow\Rr$ une application uniformément continue sur $\Rr$. Montrer qu'il existe deux réels $a$ et $b$ tels que $\forall x\in\Rr$, $|f(x)|\leqslant a|x| +b$. \finenonce{005851} \finexercice \section{ 229.05 Topologie des espaces métriques } \exercice{4729, quercia, 2010/03/16} \enonce{004729}{Ouverts disjoints} Soient $U,V$ deux ouverts disjoints d'un espace vectoriel norm{\'e}. Montrer que $\mathring{\overline U}$ et $\mathring{\overline V}$ sont disjoints. Donner un contre-exemple lorsque $U$ et $V$ ne sont pas ouverts. \finenonce{004729} \finexercice \exercice{4730, quercia, 2010/03/16} \enonce{004730}{$A$ ouvert disjoint de $B$} Soient $A,B$ deux parties d'un espace vectoriel norm{\'e} disjointes. Si $A$ est ouvert, montrer que $A$ et $\overline B$ sont disjoints. \finenonce{004730} \finexercice \exercice{4731, quercia, 2010/03/16} \enonce{004731}{$\overline{\mathring{\overline U}} = \overline U$.} Soit $U$ un ouvert d'un espace vectoriel norm{\'e}. Montrer que $\overline{\mathring{\overline U}} = \overline U$. \finenonce{004731} \finexercice \exercice{4732, quercia, 2010/03/16} \enonce{004732}{Fronti{\`e}re d'un ouvert} Soit $U$ un ouvert d'un espace vectoriel norm{\'e}. Montrer que la fronti{\`e}re de $U$ est d'int{\'e}rieur vide. \finenonce{004732} \finexercice \exercice{4733, quercia, 2010/03/16} \enonce{004733}{La distance est 1-lipchitzienne} Soit $A$ une partie non vide d'un espace vectoriel norm{\'e} $E$. Pour $x \in E$, on pose $d(x,A) = \inf\{d(x,a)\text{ tq } a\in A\}$. \begin{enumerate} \item Montrer que : $\forall\ x,y \in E,\ |d(x,A) - d(y,A)| \le d(x,y)$. \item Montrer que l'application $x \mapsto d(x,A)$ est continue. \end{enumerate} \finenonce{004733} \finexercice \exercice{4734, quercia, 2010/03/16} \enonce{004734}{Diam{\`e}tre de la fronti{\`e}re} Soit $A$ une partie non vide et born{\'e}e d'un evn $E$. On note $\delta(A) = \sup\{d(x,y) \text{ tq } x,y\in A\}$ ({\it diam{\`e}tre de $A$}). Montrer que $\delta(A) = \delta(\text{Fr}(A))$. \finenonce{004734} \finexercice \exercice{4735, quercia, 2010/03/16} \enonce{004735}{Ensemble d{\'e}riv{\'e}} Soit $A$ une partie d'un espace vectoriel norm{\'e} $E$. Un point $x \in E$ est dit {\it point d'accumulation de $A$} si toute boule de centre $x$ contient une infinit{\'e} de points de $A$. On note $A'$ l'ensemble des points d'accumulation de $A$ ({\it ensemble d{\'e}riv{\'e} de $A$}). Montrer que $A'$ est ferm{\'e}, et comparer $A'$ et $\overline A$. \finenonce{004735} \finexercice \exercice{4736, quercia, 2010/03/16} \enonce{004736}{Caract{\'e}risation des fonctions continues} Soient $E$, $F$ deux espaces vectoriels norm{\'e}s et $f : E \to {F.}$ Montrer que $f$ est continue si et seulement si : $\forall\ A \subset E,\ f(\overline A) \subset \overline{f(A)}$\par si et seulement si : $\forall\ B \subset F,\ f^{-1}(\mathring B) \subset f^{-1}(B)^\circ$.\par \finenonce{004736} \finexercice \section{ 229.06 Topologie des espaces vectoriels normés } \exercice{4737, quercia, 2010/03/16} \enonce{004737}{Unicit{\'e} du centre et du rayon d'une boule} Soit $E$ un evn non nul et $\vec a,\vec a' \in E$, $r,r' > 0$ tels que $B_f(\vec a,r) = B_f(\vec a',r')$. Montrer que $\vec a = \vec a'$ et $r = r'$. \finenonce{004737} \finexercice \exercice{4738, quercia, 2010/03/16} \enonce{004738}{$x+y+z = 0$} \def \xxxx{\vec x}\def\yyyy{\vec y}\def\zzzz{\vec z}% Soient $\xxxx,\yyyy,\zzzz$ trois vecteurs d'un evn $E$ tels que $\xxxx+\yyyy+\zzzz = \vec 0$. Montrer que : $\|\xxxx-\yyyy\,\| + \|\yyyy-\zzzz\,\| + \|\zzzz-\xxxx\,\| \ge \frac32(\|\xxxx\,\|+\|\yyyy\,\|+\|\zzzz\,\|)$. \finenonce{004738} \finexercice\exercice{4739, quercia, 2010/03/16} \enonce{004739}{Une boule est convexe} Soit $E$ un evn, et $\vec a \in E$, $r > 0$. On note $\overline B = \overline B(\vec a,r)$ et $\mathring B = \mathring B(\vec a,r)$. \begin{enumerate} \item Montrer que $\overline B$ et $\mathring B$ sont convexes. \item Si la norme est euclidienne, montrer que si $\vec u,\vec v \in \overline B$ avec $\vec u \ne \vec v$, alors $]\vec u,\vec v\,[ \subset \mathring B$. $(]\vec u,\vec v\,[ = \{ (1-t)\vec u + t\vec v \text{ tq } t \in {]0,1[}\,\})$ \item En d{\'e}duire que si la norme est euclidienne, toute partie $A$ telle que $\mathring B\subset A \subset \overline B$ est convexe. \item Donner un contre-exemple avec une norme non euclidienne. \end{enumerate} \finenonce{004739} \finexercice \exercice{4740, quercia, 2010/03/16} \enonce{004740}{Distance {\`a} un ensemble} Soit $E$ un evn et $A \subset E$ une partie non vide. Pour $\vec x \in E$ on pose : $d(\vec x,A) = \inf\{\|\vec x-\vec a\,\| \text{ tq } \vec a \in A \}$. \begin{enumerate} \item Montrer que : $\forall\ \vec x,\vec y \in E,\ \Bigl|d(\vec x,A) - d(\vec y,A)\Bigr| \le \|\vec x-\vec y\,\|$. (Enlever la valeur absolue et d{\'e}montrer s{\'e}par{\'e}ment chaque in{\'e}galit{\'e}) \item Montrer que l'application $\vec x \mapsto d(\vec x,A)$ est continue. \end{enumerate} \finenonce{004740} \finexercice \exercice{4741, quercia, 2010/03/16} \enonce{004741}{Distance {\`a} un ensemble (ENS Cachan MP 2002)} Soit $A$ une partie de~$\R^n$ non vide. On note pour $x\in\R^n$~: $d_A(x) = \inf\{\|x-y\|\text{ tq }y\in A\}$. \begin{enumerate} \item Montrer que $d_A$ est continue. \item Soient deux parties de $\R^n$ non vides $A,B$. Donner une condition {\'e}quivalente {\`a} $d_A=d_B$. \item On note $\rho(A,B) = \sup\{|d_A(y)-d_B(y)|,\ y\in\R^n\}$, valant {\'e}ventuellement~$+\infty$. Montrer que l'on a $\rho(A,B) = \max\Bigl(\sup\limits_{x\in A} d_B(x),\ \sup\limits_{x\in B} d_A(x)\Bigr)$. \end{enumerate} \finenonce{004741} \finexercice \exercice{4742, quercia, 2010/03/16} \enonce{004742}{Distance entre un ferm{\'e} et un compact} Soient $A,B$ deux parties compactes non vides de $\R^n$. Montrer qu'il existe $a\in A$ et $b \in B$ tels que $\|a-b\| = \min\{\|x-y\| \text{ tq } x\in A,\ y\in B\}$. Montrer que ceci est encore vrai si on suppose $A$ compact et $B$ ferm{\'e}. \finenonce{004742} \finexercice \exercice{4743, quercia, 2010/03/16} \enonce{004743}{Diam{\`e}tre} Soit $E$ un evn de dimension finie et $A \subset E$ born{\'e}, ferm{\'e}, non vide. Montrer qu'il existe $\vec a,\vec b \in A$ tels que $\|\vec a-\vec b\| = \max( \|\vec x-\vec y\,\| \text{ tq } \vec x,\vec y \in A )$. (Consid{\'e}rer l'ensemble $A\times A$ dans l'evn $E\times E$) \finenonce{004743} \finexercice \exercice{4744, quercia, 2010/03/16} \enonce{004744}{Diam{\`e}tres concourants (Ens Ulm MP$^*$ 2003)} \begin{enumerate} \item Soit~$K$ un compact convexe de~$\R^2$ d'int{\'e}rieur non vide. Soit~$O\in\mathring K$. Montrer qu'il existe une fonction $f : \R \to {\R^+}$ continue $2\pi$-p{\'e}riodique telle qu'en coordonn{\'e}es polaires de centre~$O$, $K$ est d{\'e}fini par~$\rho\le f(\theta)$. \item Soit~$g : {[0,1]} \to \R$ continue telle que $ \int_{x=0}^{\pi}g(x)\cos(x)\,d x = \int_{x=0}^{\pi}g(x)\sin(x)\,d x = 0$. Montrer que~$g$ s'annule au moins deux fois sur~$]0,\pi[$. \item Soit~$G$ le centre de gravit{\'e} de~$K$. Montrer que~$G$ est le milieu d'au moins trois "diam{\`e}tres" de~$K$ (trois segments joignant deux points de la fronti{\`e}re). \end{enumerate} \finenonce{004744} \finexercice \exercice{4745, quercia, 2010/03/16} \enonce{004745}{$x/\max(1,\|x\|)$, Centrale MP 2005} Soit $f$ d{\'e}finie par $f(x)=\frac{x}{\max(1,\|x\|)}$. Montrer que $f$ est $2$-lipschitzienne. \finenonce{004745} \finexercice \exercice{4746, quercia, 2010/03/16} \enonce{004746}{$u_n$ colin {\`a} $v_n \Rightarrow \lim u_n$ colin {\`a} $\lim v_n$} Soit $E$ un evn de dimension finie et $({\vec u}_n)$, $({\vec v}_n)$ deux suites de vecteurs telles que : $$\forall\ n \in \N,\ {\vec u}_n \text{ est colin{\'e}aire {\`a} } {\vec v}_n, \qquad {\vec u}_n \xrightarrow[n\to\infty]{} \vec u, \qquad {\vec v}_n \xrightarrow[n\to\infty]{} \vec v.$$ Montrer que $\vec u$ et $\vec v$ sont colin{\'e}aires (raisonner par l'absurde et compl{\'e}ter $(\vec u,\vec v)$ en une base de $E$). \finenonce{004746} \finexercice \exercice{4747, quercia, 2010/03/16} \enonce{004747}{Suites de Cauchy} Soient $(u_n)$, $(v_n)$ deux suites d'un evn $E$ telles que $u_n - v_n \xrightarrow[n\to\infty]{} 0$ et $(u_n)$ est de Cauchy. Montrer que $(v_n)$ est de Cauchy. \finenonce{004747} \finexercice \exercice{4748, quercia, 2010/03/16} \enonce{004748}{Suite de Cauchy non convergente} Soit $E = \R[X]$ muni de la norme : $\|\sum a_kX^k \| = \max(|a_k|,\ k\in \N)$. On note $P_n = 1 + X + \frac{X^2}2 + \dots + \frac{X^n}n$. Montrer que la suite $(P_n)$ est de Cauchy, mais ne converge pas. \finenonce{004748} \finexercice \exercice{4749, quercia, 2010/03/16} \enonce{004749}{Mines PC 1998} Soit $B$ une matrice antisym{\'e}trique. On suppose que la suite $(B^n)$ converge vers une matrice~$C$. Que peut-on dire de $C$~? \finenonce{004749} \finexercice \exercice{4750, quercia, 2010/03/16} \enonce{004750}{Suite de matrices inversibles} Soit $(A_n)$ une suite de matrices de $\mathcal{M}_p(\R)$ v{\'e}rifiant les propri{\'e}t{\'e}s suivantes : $$\begin{cases} 1:\ A_n\xrightarrow[n\to\infty]{} A \in \mathcal{M}_p(\R) \cr 2:\ \text{pour tout $n$, $A_n$ est inversible} \cr 3:\ A_n^{-1}\xrightarrow[n\to\infty]{} B \in \mathcal{M}_p(\R). \cr \end{cases}$$ \begin{enumerate} \item Montrer que $A$ est inversible et $A^{-1} = B$. \item Peut-on retirer la propri{\'e}t{\'e} 3 ? \end{enumerate} \finenonce{004750} \finexercice \exercice{4751, quercia, 2010/03/16} \enonce{004751}{Suite de matrices inversibles} Soit $A \in \mathcal{M}_p(\R)$ quelconque. Montrer qu'il existe une suite de matrices inversibles convergeant vers $A$. \finenonce{004751} \finexercice \exercice{4752, quercia, 2010/03/16} \enonce{004752}{DSE de $I-A$} Soit $A \in \mathcal{M}_p(\R)$. On suppose que la suite de matrices : $A_n = I + A + A^2 + \dots + A^n$ converge vers une matrice $B$. Montrer que $I-A$ est inversible, et $B = (I-A)^{-1}$. Remarque : La r{\'e}ciproque est fausse, c'est {\`a} dire que la suite $(A_n)$ peut diverger m{\^e}me si $I-A$ est inversible. Chercher un contre-exemple. \finenonce{004752} \finexercice \exercice{4753, quercia, 2010/03/16} \enonce{004753}{Ensam PSI 1998} Soit $A\in \mathcal{M}_n(\C)$ telle que la suite $(A^k)$ converge vers une matrice~$P$. Montrer que $P$ est une matrice de projection. \finenonce{004753} \finexercice \exercice{4754, quercia, 2010/03/16} \enonce{004754}{Suites de fonctions} Soient $E = \mathcal{C}([a,b]\to\R)$, $(f_n)$ une suite de fonctions de $E$ et $f \in E$. Comparer les {\'e}nonc{\'e}s : $$1 : \|f_n-f\|_1 \xrightarrow[n\to\infty]{} 0 \qquad 2 : \|f_n-f\|_2 \xrightarrow[n\to\infty]{}0 \qquad 3 : \|f_n-f\|_\infty \xrightarrow[n\to\infty]{} 0.$$ \finenonce{004754} \finexercice \exercice{4755, quercia, 2010/03/16} \enonce{004755}{} On note $E$ l'espace vectoriel des suites r{\'e}elles $(x_n)$ telles que la s{\'e}rie $\sum x_n^2$ converge. On le munit du produit scalaire $(x\mid y)=\sum_{n=0}^\infty x_ny_n$. Soit $(y^s)$ une suite born{\'e}e d'{\'e}l{\'e}ments de $E$. Montrer qu'on peut en extraire une sous-suite convergent faiblement, c'est-{\`a}-dire qu'il existe $z$ telle que pour tout $x$ de $E$ on ait $(x\mid y^{s_k})\xrightarrow[k\to\infty]{}(x\mid z)$. \finenonce{004755} \finexercice \exercice{4756, quercia, 2010/03/16} \enonce{004756}{ENS Lyon MP 2002} Soit $E$ un espace vectoriel norm{\'e} sur $\R$ ou $\C$ de dimension finie, et $u\in\mathcal{L}(E)$ tel que pour tout $x\in E$ la suite $(u^n(x))_{n\in\N}$ est born{\'e}e. \begin{enumerate} \item Montrer que la suite $(\|\hskip-1pt|u^n\|\hskip-1pt|)_{n\in\N}$ est born{\'e}e. \item D{\'e}terminer la limite quand $n\to\infty$ de $\frac1{n+1}\sum_{i=0}^n u^i(x)$. \end{enumerate} \finenonce{004756} \finexercice \exercice{4757, quercia, 2010/03/16} \enonce{004757}{Norme bizarre} Montrer que $(x,y)\mapsto \sup\limits_{t\in \R} \frac{|x+ty|}{1+t+t^2}$ est une norme sur $\R ^2$ ; dessiner la boule unit{\'e}. \finenonce{004757} \finexercice \exercice{4758, quercia, 2010/03/16} \enonce{004758}{Normes de polyn{\^o}mes} Soit $E = \R[X]$. Pour $P = \sum_{k=0}^n a_kX^k$, on pose : $$ \begin{aligned} \|P\|_1 &= \sum_{k=0}^n|a_k|, \\ \|P\|_\infty &= \max\{|a_0|,\dots,|a_n|\}, \\ \|P\|_* &= \max\{|P(t)| \text{ tq } 0 \le t \le 1\}. \end{aligned} $$ Montrer que ce sont des normes, et qu'elles sont deux {\`a} deux non {\'e}quivalentes. (On consid{\`e}rera $P_n(t) = (t-1)^n$ et $Q_n(t) = 1 + t + t^2 + \dots + t^n$) \finenonce{004758} \finexercice \exercice{4759, quercia, 2010/03/16} \enonce{004759}{Norme de polyn{\^o}mes} Soit $E = \R[X]$. Pour $P\in E$ on pose $\|P\| = \sup(|P(t)-P'(t)| \text{ tq } t \in {[0,1]})$. Montrer qu'on d{\'e}finit ainsi une norme sur $E$. \finenonce{004759} \finexercice \exercice{4760, quercia, 2010/03/16} \enonce{004760}{Normes de polyn{\^o}mes} Soit $a\in\R$. On pose pour $P\in\R[X]$~: $N_a(P) = |P(a)| + \int_{t=0}^1 |P'(t)|\,d t$. Montrer que\dots \begin{enumerate} \item $N_a$ est une norme. \item $N_0$ et $N_1$ sont {\'e}quivalentes. \item Si $a,b\in{[0,1]}$, alors $N_a$ et $N_b$ sont {\'e}quivalentes. \item Soit $P_n = (X/2)^n$. D{\'e}terminer pour quelles normes $N_a$ la suite $(P_n)$ est convergente et quelle est sa limite. \item Si $0 \le a < b$ et $b > 1$ alors aucune des normes $N_a$, $N_b$ n'est plus fine que l'autre. \end{enumerate} \finenonce{004760} \finexercice \exercice{4761, quercia, 2010/03/16} \enonce{004761}{Normes sur les polyn{\^o}mes} Soit $(\lambda_n)$ une suite de r{\'e}els strictement positifs. On lui associe la norme sur $\R[x]$ : $N(\sum\limits_i a_ix^i) = \sum\limits_i \lambda_i|a_i|$. Soient $(\lambda_n)$ et $(\lambda'_n)$ deux suites et $N$, $N'$ les normes associ{\'e}es. Montrer que $N$ et $N'$ sont {\'e}quivalentes si et seulement si les suites $\Bigl(\frac{\lambda_n}{\lambda'_n}\Bigr)$ et $\Bigl(\frac{\lambda'_n}{\lambda_n}\Bigr)$ sont born{\'e}es. \finenonce{004761} \finexercice \exercice{4762, quercia, 2010/03/16} \enonce{004762}{Centrale MP 2006} $E$ est l'ensemble des fonctions $f$ de classe $\mathcal{C}^2$ sur $[0,1]$ telles que $f(0) = f'(0) =0$. Pour $f \in E$, on pose : $$ \begin{aligned} N_{\infty}(f) &= \sup_{x\in[0,1]}{|f(x)|}, \\ N(f) &= \sup_{x\in[0,1]}{|f(x) + f''(x)|}, \\ N_{1}(f) &= \sup_{x\in[0,1]}{|f''(x)|} + \sup_{x\in[0,1]}{|f(x)|}. \end{aligned} $$ \begin{enumerate} \item Montrer que $N_{\infty}$, $N$ et $N_{1}$ sont des normes sur $E$. \item Montrer que $N_{\infty}$ n'est {\'e}quivalente ni {\`a} $N_{1}$ ni {\`a} $N$. \item Montrer que $N$ et $N_{1}$ sont {\'e}quivalentes (introduire l'{\'e}quation diff{\'e}rentielle $y'' + y = g$). \end{enumerate} \finenonce{004762} \finexercice \exercice{4763, quercia, 2010/03/16} \enonce{004763}{Norme de Frobenius} Pour $A \in \mathcal{M}_n(\R)$, on pose $\|A\| = \sqrt{\mathrm{tr}({}^tAA)}$. Montrer que c'est une norme et que : $\forall\ A,B \in \mathcal{M}_n(\R),\ \|AB\| \le \|A\|\times\|B\|$. \finenonce{004763} \finexercice \exercice{4764, quercia, 2010/03/16} \enonce{004764}{Semi-norme} Soit $p$ une semi-norme sur $\mathcal{M}_n(\C)$ (ie. il manque juste l'axiome $p(A)=0 \Rightarrow A=0$). On suppose de plus que $\forall\ (A,B)\in(\mathcal{M}_n(\C))^2,\ p(AB)\le p(A)p(B)$. Montrer que $p=0$ ou $p$ est en fait une norme. \finenonce{004764} \finexercice \exercice{4765, quercia, 2010/03/16} \enonce{004765}{Normes produit} Soient $E,F$ deux evn et $G = E \times F$. On pose pour $u = (\vec x,\vec y) \in G$ : $$\|u\|_1 = \|\vec x\,\|_E + \|\vec y\,\|_F,\quad \|u\|_2 = \sqrt{\|\vec x\,\|_E^2 + \|\vec y\,\|_F^2},\quad \|u\|_\infty = \max(\|\vec x\,\|_E , \|\vec y\,\|_F).$$ \begin{enumerate} \item Montrer que ce sont des normes sur $G$ et qu'elles sont deux {\`a} deux {\'e}quivalentes (sans hypoth{\`e}se de dimension finie). \item On prend $E=F$. Montrer que pour chacune de ces normes, l'application $G \to E, {(\vec x,\vec y\,)} \mapsto {\vec x+\vec y}$ est continue. \end{enumerate} \finenonce{004765} \finexercice \exercice{4766, quercia, 2010/03/16} \enonce{004766}{Normes sur les suites} Soit $E$ l'ensemble des suites $u=(u_n)$ r{\'e}elles born{\'e}es. On pose $\begin{cases} \|u\| = \sup(|u_n| \text{ tq } n\in\N) \cr N(u) = \sup(|u_n|+|u_{2n}| \text{ tq } n\in \N). \cr \end{cases}$ Montrer que ce sont des normes sur $E$ et qu'elles sont {\'e}quivalentes. \finenonce{004766} \finexercice \exercice{4767, quercia, 2010/03/16} \enonce{004767}{Norme sur les suites} Soit $E$ l'ensemble des suites r{\'e}elles $u = (u_n)_{n\ge1}$ telles que la suite $(\sqrt[n]{|u_n|}\,)$ est born{\'e}e. Pour $u\in E$, on pose $\|u\| = \sup(\sqrt[n]{|u_n|}\text{ tq } n\in \N^*)$. Montrer que $E$ est un $\R$-ev et que $\|\;.\;\|$ {\it n'est pas\/} une norme sur $E$. \finenonce{004767} \finexercice \exercice{4768, quercia, 2010/03/16} \enonce{004768}{Fonctions lipschitziennes} Soit $E$ l'ensemble des fonctions $\R \to \R$ lipschitziennes. Pour $f \in E$, on pose : $$ \begin{aligned} \|f\| &= |f(0)| + \sup\left( \left|\frac{f(x)-f(y)}{x-y}\right| \text{ tq } x\ne y \right), \\ N(f) &= |f(0)| + \sup\left( \left|\frac{f(x)-f(0)}{x}\right| \text{ tq } x\ne 0 \right). \end{aligned} $$ \begin{enumerate} \item Montrer que $E$ est un $\R$-ev. \item Montrer que $\|\;.\;\|$ et $N$ sont des normes sur $E$. \item Sont-elles {\'e}quivalentes ? \end{enumerate} \finenonce{004768} \finexercice \exercice{4769, quercia, 2010/03/16} \enonce{004769}{Fonctions $\mathcal{C}^1$} Soit $E$ l'ensemble des fonctions $f : {[0,1]} \to \R$ de classe $\mathcal{C}^1$. Pour $f \in E$, on pose : $N_1(f) = \sup(|f| + |f'|)$, $N_2(f) = \sup|f| + \sup|f'|$. Montrer que $N_1$ et $N_2$ sont deux normes {\'e}quivalentes sur $E$. \finenonce{004769} \finexercice \exercice{4770, quercia, 2010/03/16} \enonce{004770}{Norme sur les fonctions continues} $E=C([0,1],\R)$. Soit $g\in E$. Pour tout $f\in E$ on pose $N(f)=\sup\limits_{x\in [0,1]}\{|f(x)g(x)|\}$. \begin{enumerate} \item Donner une condition n{\'e}cessaire et suffisante sur $g$ pour que $N$ soit une norme sur $E$. \item Si pour tout $x\in [0,1]$, $g(x)\ne 0$, montrer qu'alors $N$ et $\|\ \|_{\infty}$ sont des normes sur $E$ {\'e}quivalentes. \item D{\'e}montrer la r{\'e}ciproque de la proposition pr{\'e}c{\'e}dente. \end{enumerate} \finenonce{004770} \finexercice \exercice{4771, quercia, 2010/03/16} \enonce{004771}{Comparaison de normes (ENS MP 2002)} \begin{enumerate} \item Soit $E$ un espace pr{\'e}hilbertien r{\'e}el et $u_1,\dots,u_n$ des {\'e}l{\'e}ments de~$E$. Calculer $\sum_\sigma\bigl\|\sum_{i=1}^n\sigma(i)u_i\bigr\|^2$ o{\`u} $\sigma$ parcourt l'ensemble des fonctions de~$[[1,n]]$ dans $\{-1,1\}$. \item On se place dans l'ensemble des fonctions continues de~$[0,1]$ dans~$\R$. Montrer que la norme infinie n'est {\'e}quivalente {\`a} aucune norme euclidienne. \item M{\^e}me question avec la norme $\|\ \|_p$, $p\in{[1,+\infty[}\setminus\{2\}$. \end{enumerate} \finenonce{004771} \finexercice \exercice{4772, quercia, 2010/03/16} \enonce{004772}{Jauge} Soit $(E,\|\ \|)$ un $\R$-evn et $K\subset E$ une partie convexe, born{\'e}e, sym{\'e}trique par rapport {\`a} l'origine et telle que $0 \in \mathring K$. Pour $x \in E$, on pose $n(x) = \inf\{|\lambda| \text{ tq } x \in \lambda K\}$. Montrer que $n$ est une norme {\'e}quivalente {\`a} $\|\ \|$. \finenonce{004772} \finexercice \exercice{4773, quercia, 2010/03/16} \enonce{004773}{Polytechnique MP$^*$ 2006} Soit $E$ un espace vectoriel r{\'e}el. On consid{\`e}re une application $N : E \to {\R^+}$ telle que~: $$\begin{aligned}(i) \qquad&\forall\ \lambda,x,\ \ N(\lambda x) = |\lambda|N(x)\ ;\cr (ii) \qquad&\forall\ x,\ N(x)=0 \Leftrightarrow x=0.\cr\end{aligned}$$ \begin{enumerate} \item Montrer que $N$ est une norme si et seulement $B = \{x$ tq. $N(x)\le 1\}$ est convexe. \item Montrer que si $N$ v{\'e}rifie aussi $$\begin{aligned} (iii) \qquad&\forall\ x,y,\ N(x+y)^2 \le 2N(x)^2 + 2N(y)^2\cr\end{aligned}$$ alors c'est une norme. \end{enumerate} \finenonce{004773} \finexercice \exercice{4774, quercia, 2010/03/16} \enonce{004774}{Parties de $\R^n$} Les parties suivantes sont-elles ouvertes ? ferm{\'e}es ? born{\'e}es ? \begin{enumerate} \item $A = \{ (x,y) \in \R^2 \text{ tq } xy=1 \}$. \item $B = \{ (x,y) \in \R^2 \text{ tq } x^2+xy+y^2 < 1 \}$. \item $C = \{ z \in \C \text{ tq } \Re(z^2) \le 1 \}$. \end{enumerate} \finenonce{004774} \finexercice \exercice{4775, quercia, 2010/03/16} \enonce{004775}{Addition de parties} Soient $A,B$ deux parties non vides d'un evn $E$. On note $A+B = \{\vec a + \vec b \text{ tq } \vec a \in A,\ \vec b \in B \}$. Montrer que \dots \begin{enumerate} \item Si $A$ ou $B$ est ouvert, alors $A+B$ est ouvert. \item Si $A$ et $B$ sont ferm{\'e}s, alors $A+B$ n'est pas n{\'e}c{\'e}ssairement ferm{\'e}. (Prendre $A = \{(x,y) \in \R^2 \text{ tq } xy=1\}$ et $B = \{(x,0) \text{ tq } x\in \R\}$) \item Si $A$ et $B$ sont compacts, alors $A+B$ est compact. \end{enumerate} \finenonce{004775} \finexercice \exercice{4776, quercia, 2010/03/16} \enonce{004776}{Voisinage ferm{\'e} d'un ferm{\'e}} Soit $F$ un ferm{\'e} de $\R^n$ et $r > 0$. On pose $F' = \bigcup_{\vec x \in F} \overline B(\vec x,r)$. Montrer que $F'$ est ferm{\'e}. \finenonce{004776} \finexercice \exercice{4777, quercia, 2010/03/16} \enonce{004777}{Ev engendr{\'e} par un ouvert} Soit $\cal O$ un ouvert non vide d'un ev norm{\'e} $E$. Montrer que $\text{vect}({\cal O}) = E$. \finenonce{004777} \finexercice \exercice{4778, quercia, 2010/03/16} \enonce{004778}{Adh{\'e}rence et int{\'e}rieur d'un sev} Soit $E$ un evn et $F$ un sev de $E$. \begin{enumerate} \item Montrer que $\overline{F}$ est un sev de $E$. \item Si $E$ est de dimension finie, montrer que $F = \overline F$. \item Dans le cas g{\'e}n{\'e}ral, montrer que $\mathring F = \varnothing$ ou $F = E$. \end{enumerate} \finenonce{004778} \finexercice \exercice{4779, quercia, 2010/03/16} \enonce{004779}{C{\^o}ne convexe engendr{\'e} par un ensemble fini, ENS ULM-Lyon-Cachan MP$^*$ 2005} $E$ est un $\R$-espace vectoriel norm{\'e} et $a_{1},\ldots,a_{n}\in E$. On pose $C=\Bigl\{\sum_{i=1}^{n}\lambda_{i}a_{i},\lambda_{i}\ge 0\Bigr\}$. \begin{enumerate} \item Montrer que, pour tout $x\in E$, il existe $c\in C$ tel que $\|x-c\|=\inf \{\|x-a\|,a\in C\}$. \item En d{\'e}duire que $C$ est ferm{\'e}. \end{enumerate} \finenonce{004779} \finexercice \exercice{4780, quercia, 2010/03/16} \enonce{004780}{Partie convexe dense} Soit $E$ un evn de dimension finie et $C \subset E$ convexe et dense. Montrer que $C=E$. \finenonce{004780} \finexercice \exercice{4781, quercia, 2010/03/16} \enonce{004781}{L'ensemble des projecteurs est ferm{\'e}} Soit $E$ un evn de dimension finie et $\cal P$ l'ensemble des projecteurs de $E$. Montrer que $\cal P$ est ferm{\'e} dans $\mathcal{L}(E)$. \finenonce{004781} \finexercice \exercice{4782, quercia, 2010/03/16} \enonce{004782}{Adh{\'e}rence et int{\'e}rieur dans les fonctions continues} \begin{enumerate} \item Soit $E = \mathcal{C}([0,1],\R)$ muni de la norme de la convergence uniforme. Soit $P$ l'ensemble des fonctions de $E$ positives ou nulles. Chercher $\overline P$ et $\mathring P$. \item M{\^e}mes questions avec la norme : $\|f\| = \int_{t=0}^1 |f(t)|\,dt$. \end{enumerate} \finenonce{004782} \finexercice \exercice{4783, quercia, 2010/03/16} \enonce{004783}{Mines MP 2000} On pose $E=C([0,1],\R)$ et on le munit de la norme $N_{\infty}$. Soit $F=\{f\in E \, | \, f(0)=f(1)\}$. D{\'e}terminer l'adh{\'e}rence et l'int{\'e}rieur de $F$. \finenonce{004783} \finexercice \exercice{4784, quercia, 2010/03/16} \enonce{004784}{Points isol{\'e}s (Ens Ulm MP$^*$ 2003)} Les solutions de l'{\'e}quation $u^2=\mathrm{id}_{\R^n}$ pour~$u\in\mathcal{L}({\R^n})$ sont-elles isol{\'e}es~? \finenonce{004784} \finexercice \exercice{4785, quercia, 2010/03/16} \enonce{004785}{Adh{\'e}rence et int{\'e}rieur d'un convexe} Soit $A$ une partie convexe d'un evn $E$. \begin{enumerate} \item D{\'e}montrer que $\overline A$ et $\mathring A$ sont aussi convexes (pour $\mathring A$ : faire un dessin). \item Montrer que l'application $x \mapsto d(x,A)$ est convexe (c.a.d. $d(tx+(1-t)y,A) \le td(x,A) + (1-t)d(y,A)$). \end{enumerate} \finenonce{004785} \finexercice \exercice{4786, quercia, 2010/03/16} \enonce{004786}{Th{\'e}or{\`e}me des ferm{\'e}s emboit{\'e}s} Soit $E$ un evn de dimension finie, et $(B_n = B(\vec a_n, r_n))$ une suite de boules ferm{\'e}es, d{\'e}croissante pour l'inclusion, tq $r_n\xrightarrow[n\to\infty]{} 0$. \begin{enumerate} \item Montrer que la suite $(\vec a_n)$ admet une sous-suite convergeant vers $\vec a \in E$. \item Montrer que $\vec a_n \xrightarrow[n\to\infty]{} \vec a$. \item Montrer que $\bigcap_{n\in \N} B_n = \{\vec a \}$. \end{enumerate} \finenonce{004786} \finexercice \exercice{4787, quercia, 2010/03/16} \enonce{004787}{X MP$^*$ 2001} On consid{\`e}re l'espace $\mathcal{M}_n(\C)$ muni d'une norme quelconque. \begin{enumerate} \item Montrer que $GL_n(\C)$ est ouvert dense de $\mathcal{M}_n(\C)$. \item Soit $D_n(\C)$ l'ensemble des matrices diagonalisables de $\mathcal{M}_n(\C)$. Montrer que $D_n(\C)$ est dense dans $\mathcal{M}_n(\C)$. \item Quel est l'int{\'e}rieur de $D_n(\C)$~? \end{enumerate} \finenonce{004787} \finexercice \exercice{4788, quercia, 2010/03/16} \enonce{004788}{Matrices nilpotentes, ENS Ulm-Lyon-Cachan MP$^*$ 2006} Soit $N\in\mathcal{M}_n(\C)$. Montrer que $N$ est nilpotente si et seulement si la matrice nulle est adh{\'e}rente {\`a} l'ensemble $\{P^{-1}NP,\ P\in GL_n(\C)\}$. \finenonce{004788} \finexercice \exercice{4789, quercia, 2010/03/16} \enonce{004789}{Polyn{\^o}mes scind{\'e}s (Ens Ulm-Lyon-Cachan MP$^*$ 2003)} Soit~$n\in\N^*$ et~$\sigma\in\R^n$. On note~$P_\sigma = X^n - \sigma_1 X^{n-1} + \dots + (-1)^{n-1}\sigma_{n-1}X + (-1)^n\sigma_n$. Soit~$\Omega = \{\sigma\in\R^n$ tq $P_\sigma$ est {\`a} racines r{\'e}elles, distinctes$\}$. \begin{enumerate} \item $\Omega$ est-il ouvert~? ferm{\'e}~? \item Notons~$f$ : $\sigma \mapsto P_\sigma$. D{\'e}terminer $f(\overline\Omega)$. \end{enumerate} \finenonce{004789} \finexercice \exercice{4790, quercia, 2010/03/16} \enonce{004790}{$(f(x)-f(y))/(x-y)$} Soit $f:\R \to \R$ une fonction de classe $\mathcal{C}^1$ et $g : {\R^2} \to \R$ $\begin{cases}{(x,y)} &{\frac {f(x)-f(y)}{x-y} \text{ si } x \ne y}\cr {(x,x)} &{f'(x)}\cr\end{cases}$ Montrer que $g$ est continue. (Attention : pour une fonction d{\'e}finie par cas, se placer au voisinage d'un point $(x_0,y_0)$ et d{\'e}terminer si un seul ou plusieurs cas sont {\`a} consid{\'e}rer dans ce voisinage) \finenonce{004790} \finexercice \exercice{4791, quercia, 2010/03/16} \enonce{004791}{$\sup(f(x,y))$} Soit $f : {\R^2} \to \R$ continue. On pose $g(x) = \sup(f(x,y) \text{ tq } y \in {[0,1]})$. Montrer que $g$ est continue. \finenonce{004791} \finexercice \exercice{4792, quercia, 2010/03/16} \enonce{004792}{Fonction tendant vers $+\infty$ {\`a} l'infini} Soit $E$ un evn de dimension finie et $f : E \to\R$ continue. On suppose que $f(\vec x\,) \xrightarrow[\|\vec x\,\|\to\infty]{} +\infty$, c'est {\`a} dire : $$\forall\ A\in\R,\ \exists\ B\in\R\text{ tq } \forall\ \vec x\in E,\ \|\vec x\,\| \ge B \Rightarrow f(\vec x\,)\ge A.$$ \begin{enumerate} \item On prend $A = f(\vec 0)$ et $B$ le nombre correspondant.\par Montrer que $\inf\{f(\vec x\,) \text{ tq } \vec x\in E\} = \inf\{f(\vec x\,) \text{ tq } \|\vec x\,\| \le B \}$. \item En d{\'e}duire que $f$ admet un minimum. \item Exemple : soit $E = \R_n[X]$ et $f : {[a,b]} \to \R$ born{\'e}e.\par Montrer qu'il existe $P\in E \text{ tq } \|f-P\|_\infty = \sup\{|f(t)-P(t)| \text{ tq } t\in{[a,b]} \}$ soit minimal ($P$ est appel{\'e} : \emph{un} polyn{\^o}me de meilleure approximation de $f$ sur $[a,b]$). \end{enumerate} \finenonce{004792} \finexercice \exercice{4793, quercia, 2010/03/16} \enonce{004793}{Fonctions homog{\`e}nes} On note $\Omega = \R^2\setminus \{(0,0)\}$ et $D = \{(x,y)\in\R^2 \text{ tq } 0 < x^2+y^2 \le 1 \}$. Soit $f : \Omega \to \R$. On dit que $f$ est {\it positivement homog{\`e}ne de degr{\'e} $\alpha$} si : $$ \forall\ (x,y) \in \Omega, \forall\ t > 0,\ f(tx,ty) = t^\alpha f(x,y). $$ \begin{enumerate} \item Donner des exemples de telles fonctions pour $\alpha = 1,0,-2, \frac 12$. \item Soit $f$ continue, positivement homog{\`e}ne de degr{\'e} $\alpha$. Montrer que si $\alpha \ge 0$, $f$ est born{\'e}e sur $D$ et que si $\alpha > 0$, $f$ admet une limite finie en $(0,0)$. Examiner les cas $\alpha = 0$, $\alpha < 0$. \end{enumerate} \finenonce{004793} \finexercice \exercice{4794, quercia, 2010/03/16} \enonce{004794}{Fonction partiellement continue dans toutes les directions} Trouver une fonction $f : {\R^2} \to \R$ discontinue en $(0,0)$ mais telle que pour tous $\alpha,\beta \in \R$, $f(\alpha t,\beta t) \xrightarrow[t\to0]{} 0$. \finenonce{004794} \finexercice \exercice{4795, quercia, 2010/03/16} \enonce{004795}{Continuit{\'e} du polyn{\^o}me caract{\'e}ristique} Soit $E = \mathcal{M}_n(\R)$, $F = \R_n[X]$, et $\varphi : E \to F, A \mapsto {P_A}$ (polyn{\^o}me caract{\'e}ristique). Montrer que $\varphi$ est continue. \finenonce{004795} \finexercice \exercice{4796, quercia, 2010/03/16} \enonce{004796}{Ouverts et non ouverts} Soit $E = \R[X]$. Pour $P \in E$, on pose : $\begin{cases} N_1(P) = \sup(|P(t)| \text{ tq } 0 \le t \le 1 )\cr N_2(P) = \sup(|P(t)| \text{ tq } 1 \le t \le 2 )\cr \varphi(P) = P(0). \cr \end{cases}$ \begin{enumerate} \item V{\'e}rifier que $N_1$ et $N_2$ sont des normes. \item Montrer que $\varphi$ est continue pour $N_1$. \item Montrer que $\varphi$ est discontinue pour $N_2$. (Consid{\'e}rer $P_n(t) = (1-t/2)^n$) \item $N_1$ et $N_2$ sont-elles {\'e}quivalentes ? \item Soit ${\cal O} = \{ P \in E \text{ tq } P(0) \ne 0 \}$. Montrer que $\cal O$ est ouvert pour $N_1$ mais pas pour $N_2$. \end{enumerate} \finenonce{004796} \finexercice \exercice{4797, quercia, 2010/03/16} \enonce{004797}{Thm du point fixe} Soit $E$ un evn de dimension finie et $f : E \to E$ une fonction $k$-lipchitzienne avec $k < 1$. On choisit ${\vec u}_0 \in E$ arbitrairement, et on consid{\`e}re la suite $({\vec u}_n)$ telle que pour tout $n$ : ${\vec u}_{n+1} = f({\vec u}_n)$. \begin{enumerate} \item Montrer que $\|{\vec u}_{n+1} - {\vec u}_n\| \le k^n \|{\vec u}_1 - {\vec u}_0\|$. \item En d{\'e}duire que la suite $({\vec u}_n)$ est de Cauchy. \item Soit $\vec \ell = \lim({\vec u}_n)$. Montrer que $\vec \ell$ est l'unique solution dans $E$ de l'{\'e}quation $f(\vec x\,) = \vec x$. \end{enumerate} \finenonce{004797} \finexercice \exercice{4798, quercia, 2010/03/16} \enonce{004798}{Points fixes, ULM-Lyon-Cachan MP$^*$ 2005} \begin{enumerate} \item Montrer que les points fixes de $f$, continue sur $[0,1]$, {\`a} valeurs dans $[0,1]$, forment un ensemble ferm{\'e} non vide. \item Montrer que tout ferm{\'e} de $[0,1]$ non vide est l'ensemble des points fixes d'une fonction continue de $[0,1]$ dans~$[0,1]$. \end{enumerate} \finenonce{004798} \finexercice \exercice{4799, quercia, 2010/03/16} \enonce{004799}{Racines de polyn{\^o}mes X MP$^*$ 2004} Soit~$E=\C_d[X]$ norm{\'e} par $\|P\| = \sum|a_i|$, $P\in E$ de degr{\'e}~$d$ {\`a} racines simples et $P_n$ une suite de polyn{\^o}mes de~$E$ convergeant vers~$P$. Soit~$z\in\C$ tel que $P(z) = 0$ et $\delta>0$. \begin{enumerate} \item Montrer que pour~$n$ assez grand, $P_n$ a au moins un z{\'e}ro dans $\overline{B(z,\delta)}$. \item Montrer qu'il existe $\delta_0>0$ tel que pour tout $\delta\in{]0,\delta_0]}$ $P_n$ a exactement une racine dans $\overline{B(z,\delta)}$ si $n$ est assez grand. \item Que peut-on dire si les z{\'e}ros de~$P$ ne sont plus suppos{\'e}s simples~? \end{enumerate} \finenonce{004799} \finexercice \exercice{4800, quercia, 2010/03/16} \enonce{004800}{Une application polynomiale est ferm{\'e}e, ULM-Lyon-Cachan MP$^*$ 2005} Soit $f$ une fonction polynomiale sur~$\C$. Montrer que l'image par $f$ de tout ferm{\'e} est un ferm{\'e}. \finenonce{004800} \finexercice \exercice{4801, quercia, 2010/03/16} \enonce{004801}{Principe du maximum, ULM-Lyon-Cachan MP$^*$ 2005} Soit $P\in\C[X]$ et $U$ un ouvert de~$\C$ born{\'e}. Montrer que $\sup(|P(x)|,\ x\in U) = \sup(|P(x)|,\ x\in \mathrm{Fr}(U))$. \finenonce{004801} \finexercice \exercice{4802, quercia, 2010/03/16} \enonce{004802}{Fonction presque additive, Centrale MP 2001} Soient $E,F$ deux $\R$-espaces vectoriels norm{\'e}s, $F$ {\'e}tant complet. Soit $f$ une application continue de $E$ dans $F$ telle qu'il existe $M\in\R^+$ v{\'e}rifiant~: $$\forall\ x,y\in E,\ \|f(x+y)-f(x)-f(y)\| \le M.$$ \begin{enumerate} \item Dans le cas $M=0$ montrer que $f$ est lin{\'e}aire. Ce r{\'e}sultat subsiste-t-il si $E$ et $F$ sont des $\C$-ev~? \item On suppose $M>0$. Soit pour $x\in E$ et $n\in\N$~: $f_n(x) = 2^{-n}f(2^nx)$. Montrer que la suite $(f_n)$ converge simplement sur~$E$. \item On note $g = \lim_{n\to\infty}f_n$. Montrer que $g$ est une application lin{\'e}aire continue et que c'est l'unique application lin{\'e}aire telle que $f-g$ soit born{\'e}e. \end{enumerate} \finenonce{004802} \finexercice \exercice{4803, quercia, 2010/03/16} \enonce{004803}{$f$ uc $ \Rightarrow f$(born{\'e}) est born{\'e}} Soit $A\subset E$ une partie non vide born{\'e}e et $f : A \to F$ uniform{\'e}ment continue. Montrer que $f$ est born{\'e}e dans les cas suivants~: \begin{enumerate} \item $A$ est convexe. \item $A$ est connexe par arcs. \item $A$ est quelconque et $E$ est de dimension finie. \end{enumerate} \finenonce{004803} \finexercice \exercice{4804, quercia, 2010/03/16} \enonce{004804}{Applications lin{\'e}aires continues} \def\N{|||}% Soit $E$ un $\R$-ev de dimension finie et $u \in \mathcal{L}(E)$. On pose $\N u \N = \sup(\|u(\vec x)\| \text{ tq } \|\vec x\,\| = 1)$. \begin{enumerate} \item Montrer que $\N u \N$ existe et que c'est un maximum. \item Montrer que $\N\;.\;\N$ est une norme sur $\mathcal{L}(E)$ (appel{\'e}e : {\it norme lin{\'e}aire associ{\'e}e {\`a}\/} $\|\;.\;\|$). \item Montrer que : $\forall\ \vec x \in E,\ \|u(\vec x)\| \le \N u \N \times \|\vec x\,\|$. \item En d{\'e}duire que : $\forall\ u,v \in \mathcal{L}(E),\ \N u\circ v \N \le \N u \N \times \N v \N$. \end{enumerate} \finenonce{004804} \finexercice \exercice{4805, quercia, 2010/03/16} \enonce{004805}{Centrale MP 2006} $E$ est l'ensemble des fonctions de $\R$ dans $\R$ continues et born{\'e}es sur $\R$. Pour $p \in \N$ et $f \in E$ on pose : $N_{p}(f) = \sup\{|t^{p} e^{-|t|} f(t)|,\ t\in\R\}$. \begin{enumerate} \item Montrer que $N_{p}$ est une norme sur $E$. \item Soit $c \in \R$ et ${P_{c}} : E \to \R, f \mapsto {f(c).}$ {\'E}tudier la continuit{\'e} de $P_c$ sur $(E,N_p)$. \item Montrer que, pour $p$ et $q$ distincts dans $\N$, les normes $N_p$ et $N_q$ ne sont pas {\'e}quivalentes. \end{enumerate} \finenonce{004805} \finexercice \exercice{4806, quercia, 2010/03/16} \enonce{004806}{Applications lin{\'e}aires continues} Soient $E,F$ deux evn de dimensions finies et $\varphi : E \to F$ lin{\'e}aire. Montrer que $\varphi$ est continue. En d{\'e}duire que tout sev de $E$ est ferm{\'e}. \finenonce{004806} \finexercice \exercice{4807, quercia, 2010/03/16} \enonce{004807}{Continuit{\'e} du polyn{\^o}me de Lagrange} Soient $x_1,\dots,x_n \in \R$ distincts. {\`A} $(y_1,\dots,y_n) \in \R^n$ on fait correspondre le polyn{\^o}me $P \in \R_{n-1}[X]$ tel que pour tout $i$ : $P(x_i) = y_i$. \begin{enumerate} \item Montrer que l'application $(y_1,\dots,y_n) \mapsto P$ est continue. \item Montrer que l'application r{\'e}ciproque est aussi continue. \end{enumerate} \finenonce{004807} \finexercice \exercice{4808, quercia, 2010/03/16} \enonce{004808}{Ensi PSI 1998} Soit $\mathcal{C}(\R)$ l'ensemble des suites r{\'e}elles convergentes muni de la norme~$\|u\| = \sup\{|u_n|, n\in\N\}$. Soit $L : {\mathcal{C}(\R)} \to \R, u \mapsto {\ell = \lim_{n\to\infty} u_n.}$ Montrer que $L$ est une application lin{\'e}aire continue et calculer sa norme. \finenonce{004808} \finexercice \exercice{4809, quercia, 2010/03/16} \enonce{004809}{It{\'e}ration d'un endomorphisme} Soit $E$ un evn de dimension finie et $u \in \mathcal{L}(E)$. On choisit ${\vec x}_0 \in E$, et on consid{\`e}re la suite $({\vec x}_n)$ d{\'e}finie par la relation de r{\'e}currence : ${\vec x}_{n+1} = \frac{u({\vec x}_n)}{\|u({\vec x}_n)\|}$. On suppose que la suite $({\vec x}_n)$ converge. Montrer que la limite est un vecteur propre de $u$. Exemples : {\bf 1)} $E = \R^3$, $\text{mat}(u) = \left(\begin{smallmatrix} 1 &2 &3 \cr 4 &5 &6 \cr 7 &8 &9 \cr\end{smallmatrix}\right)$. {\bf 2)} $E = \R^3$, $\text{mat}(u) = \left(\begin{smallmatrix} 0 &0 &1 \cr 1 &0 &0 \cr 0 &1 &0 \cr\end{smallmatrix}\right)$. \finenonce{004809} \finexercice \exercice{4810, quercia, 2010/03/16} \enonce{004810}{Puissances de $u$} Soit $E$ un evn de dimension finie et $u \in \mathcal{L}(E)$ tel que $\|u\| \le 1$. Montrer que la suite $(u^n)$ contient une sous-suite simplement convergente. \finenonce{004810} \finexercice \exercice{4811, quercia, 2010/03/16} \enonce{004811}{$\mathrm{id} - u$ est bicontinu} Soit $E$ un $\C$-evn et $u \in {\cal L}_c(E)$ tel que $\mathrm{id}_E - u$ est bicontinu. Montrer que pour tout entier $n$, $\mathrm{id}_E - u^n$ est bicontinu et comparer son inverse {\`a} $\sum_{k=0}^{n-1} \bigl(\mathrm{id}_E - e^{2ik\pi/n}u\bigr)^{-1}$. \finenonce{004811} \finexercice \exercice{4812, quercia, 2010/03/16} \enonce{004812}{Norme lin{\'e}aire sur $\R$ = norme lin{\'e}aire sur $\C$} Soit $A \in \mathcal{M}_n(\R)$ et $f \in \mathcal{L}(\R^n)$, $g\in \mathcal{L}({\C^n})$ les endomorphismes canoniquement associ{\'e}s {\`a} $A$. Montrer que si on munit $\R^n$ et $\C^n$ des normes euclidiennes usuelles, alors $\|f\| = \|g\|$. \finenonce{004812} \finexercice \exercice{4813, quercia, 2010/03/16} \enonce{004813}{Applications lin{\'e}aires sur les polyn{\^o}mes} Soit $E = \R[x]$ muni de la norme : $\bigl\|\sum\limits_i a_ix^i\bigr\| = \sum\limits_i|a_i|$. \begin{enumerate} \item Est-ce que $\varphi : P \mapsto P(x+1)$ est continue ? \item Est-ce que $\psi : P \mapsto AP$ est continue ? ($A \in E$ fix{\'e}) \item Reprendre les questions pr{\'e}c{\'e}dentes avec la norme : $\|P\| = \sup\{e^{-|t|}|P(t)|,\ t\in \R\}$. \end{enumerate} \finenonce{004813} \finexercice \exercice{4814, quercia, 2010/03/16} \enonce{004814}{$uv - vu = \mathrm{id}$} Soit $E$ un espace vectoriel norm{\'e} et $u,v \in \mathcal{L}(E)$ tels que $u\circ v - v \circ u = \mathrm{id}_E$. \begin{enumerate} \item Calculer $u\circ v^n - v^n \circ u$ pour $n \in \N^*$. \item Montrer que $u$ ou $v$ est discontinu. \end{enumerate} \finenonce{004814} \finexercice \exercice{4815, quercia, 2010/03/16} \enonce{004815}{La d{\'e}rivation peut-elle {\^e}tre continue~?} On note $E=\mathcal{C}^\infty([0,+\infty[,\R)$ et $D$ l'endomorphisme de $E$ de d{\'e}rivation~: $D(f) = f'$. \begin{enumerate} \item Montrer qu'il n'existe aucune norme sur~$E$ pour laquelle $D$ soit continu (consid{\'e}rer $x \mapsto e^{\alpha x}$). \item Soit $F$ le sous-ev de~$E$ constitu{\'e} des fonctions polynomiales. Trouver une norme sur~$F$ pour laquelle $D_{|F}$ est continu. \end{enumerate} \finenonce{004815} \finexercice \exercice{4816, quercia, 2010/03/16} \enonce{004816}{Mines MP 2002} On munit $E_k = \R_k[X]$ de la norme $\|P\|_k = \sum_{i=0}^k |P(i)|$. Calculer $\|\hskip-1pt|\varphi\|\hskip-1pt|$ avec $\varphi : {E_2} \to {E_3}, P \mapsto {X^2P'.}$ \finenonce{004816} \finexercice \exercice{4817, quercia, 2010/03/16} \enonce{004817}{Normes sur les suites born{\'e}es} Soit $E$ l'ensemble des suites r{\'e}elles $u = (u_n)$ born{\'e}es et $F$ le sev des suites telles que la s{\'e}rie de terme g{\'e}n{\'e}ral $|u_n|$ converge. Pour $u \in E$, on pose $\|u\|_\infty = \sup\limits_n |u_n|$ et pour $u \in F$ : $\|u\|_1 = \sum\limits_n |u_n|$. Soit $a \in E$ et $f : E \to E, u \mapsto {au = (a_nu_n).}$ \begin{enumerate} \item Montrer que $f$ est une application lin{\'e}aire continue de $E$ dans $E$ et calculer sa norme. \item Montrer que $F$ est stable par $f$ et calculer la norme de $f_{|F}$ quand on prend la norme $\|\ \|_1$ sur $F$. \end{enumerate} \finenonce{004817} \finexercice \exercice{4818, quercia, 2010/03/16} \enonce{004818}{Thm de l'hyperplan ferm{\'e}} Soit $E$ un $\R$-evn et $f \in E^*$. \begin{enumerate} \item Montrer que $f$ est continue si et seulement si $\mathrm{Ker} f$ est ferm{\'e} (pour la r{\'e}ciproque : supposer $\mathrm{Ker} f$ ferm{\'e}, montrer que $\{x \text{ tq } f(x) > 0\}$ est ouvert, puis {\'e}tudier $\{ x \text{ tq } -1 < f(x) < 1\}$). \item On suppose $f$ continue. Soit $x \in E$. Montrer que $|f(x)| = \|f\|d(x,\mathrm{Ker} f)$. \end{enumerate} \finenonce{004818} \finexercice \exercice{4819, quercia, 2010/03/16} \enonce{004819}{Th{\'e}or{\`e}me de Hahn-Banach (Polytechnique MP$^*$ 2003)} Soit~$E$ un espace vectoriel norm{\'e} de dimension finie et~$F$ un hyperplan de~$E$. Soit~$\varepsilon\in E$ tel que~$\R\varepsilon$ soit suppl{\'e}mentaire de~$F$. Soit~$f$ une forme lin{\'e}aire sur~$F$. \begin{enumerate} \item Montrer que~: $\forall\ x_1,x_2\in F,\ f(x_1)-\|\kern-1.2pt|f\|\kern-1.2pt|\;\|x_1-\varepsilon\| \le \|\kern-1.2pt|f\|\kern-1.2pt|\;\|x_2+\varepsilon\| - f(x_2)$. \item Montrer qu'il existe~$\alpha\in\R$ tel que~: $\forall\ x_1,x_2\in F,\ f(x_1)-\|\kern-1.2pt|f\|\kern-1.2pt|\;\|x_1-\varepsilon\| \le \alpha \le \|\kern-1.2pt|f\|\kern-1.2pt|\;\|x_2+\varepsilon\| - f(x_2)$. \item On d{\'e}finit $\varphi : E \to \R$ par~$\varphi_{|F} = f$ et $\varphi(\varepsilon) = \alpha$. Montrer que~$\|\kern-1.2pt|\varphi\|\kern-1.2pt| = \|\kern-1.2pt|f\|\kern-1.2pt|$. \item On consid{\`e}re~$E = \{u = (u_n)_{n\in\N}\in\R^\N\text{ tq }\sum_{n\in\N}|u_n|<+\infty\}$ avec la norme d{\'e}finie par~: $\|u\| = \sum_{n\in\N}|u_n|$. Montrer que~$E$ est complet pour cette norme. \item Donner une famille d{\'e}nombrable de sev de~$E$ de dimensions finies dont la r{\'e}union est dense dans~$E$. \item Soit~$F$ un sev de~$E$ de dimension finie et~$f$ une forme lin{\'e}aire sur~$F$. Montrer qu'il existe une forme lin{\'e}aire~$\varphi$ sur~$E$ telle que $\varphi_{|F} = f$ et $\|\kern-1.2pt|\varphi\|\kern-1.2pt| = \|\kern-1.2pt|f\|\kern-1.2pt|$. \end{enumerate} \finenonce{004819} \finexercice \exercice{4820, quercia, 2010/03/16} \enonce{004820}{Rayon spectral} Soit $E$ un evn de dimension finie et $u \in \mathcal{L}(E)$. On pose $x_n = \|u^n\|$. \begin{enumerate} \item Montrer que $\rho = \inf\{\sqrt[n]{x_n},\ n\in \N\}$ est ind{\'e}pendant de la norme choisie sur $E$. \item En utilisant l'in{\'e}galit{\'e} : $x_{p+q} \le x_p x_q$, montrer que la suite $(\sqrt[n] {x_n}\,)$ converge vers $\rho$. \end{enumerate} \finenonce{004820} \finexercice \exercice{4821, quercia, 2010/03/16} \enonce{004821}{Rayon spectral (Centrale MP 2001)} Soit $E$ un espace vectoriel complexe de dimension finie. On consid{\`e}re un endomorphisme $f$ de~$E$ et on note $\rho(f) = \sup\{|\lambda|\text{ tq }\lambda\in\mathrm{Sp}(f)\}$ (rayon spectral de~$f$). Soit $\nu$ une norme sur $\mathcal{L}(E)$. \begin{enumerate} \item Montrer que $\rho(f)\le \lim_{p\to\infty}(\nu(f^p)^{1/p})$. On pourra pour commencer supposer que $\nu$ est la norme subordonn{\'e}e {\`a} une norme sur~$E$. \item Montrer que si $f$ est diagonalisable l'in{\'e}galit{\'e} pr{\'e}c{\'e}dente est une {\'e}galit{\'e}. \item {\'E}tudier le cas g{\'e}n{\'e}ral. \end{enumerate} \finenonce{004821} \finexercice \exercice{4822, quercia, 2010/03/16} \enonce{004822}{Polytechnique MP$^*$ 2000} Soit~$u$ une application lin{\'e}aire de~$\R^n$ dans~$\R^m$. Prouver que $u$ est surjective si et seulement si elle transforme tout ouvert de~$\R^n$ en ouvert de~$\R^m$. \finenonce{004822} \finexercice \exercice{4823, quercia, 2010/03/16} \enonce{004823}{Connexit{\'e} d'un evn} Soit $E$ un evn et $A \subset E$. On suppose que $A$ est {\`a} la fois ouvert et ferm{\'e}. \begin{enumerate} \item Exemples de telles parties ? \item On d{\'e}finit la fonction $f : E \to {\R}$ par $\begin{cases} \vec x &1 \text{ si } \vec x \in A,\cr \vec x &0 \text{ si } \vec x \notin A\cr \end{cases}$ \begin{enumerate} \item Montrer que $f$ est continue. \item On prend $\vec a \in A$ et $\vec b \notin A$. Montrer que $\varphi : {[0,1]} \to {\R}, t \mapsto {f(t\vec a + (1-t)\vec b)}$ est continue. \item Conclure. \end{enumerate} \end{enumerate} \finenonce{004823} \finexercice \exercice{4824, quercia, 2010/03/16} \enonce{004824}{$A \ne E$ et $A \ne \varnothing => \mathrm{Fr}(A) \ne\varnothing$} Soit $E$ un evn et $A$ une partie de $E$ ni vide, ni {\'e}gale {\`a} $E$. Montrer que $\mathrm{Fr}(A) \ne \varnothing$. \finenonce{004824} \finexercice \exercice{4825, quercia, 2010/03/16} \enonce{004825}{$A\cup B$ ferm{\'e} $ \Rightarrow $ $A\cup B =E$.} Soit $E$ un evn de dimension sup{\'e}rieure ou {\'e}gale {\`a} $2$ et $A,B$ deux parties de $E$ telles que $A$ est ouvert non vide, $B$ est fini et $A\cup B$ est ferm{\'e}. Montrer que $A\cup B = E$. \finenonce{004825} \finexercice \exercice{4826, quercia, 2010/03/16} \enonce{004826}{Compl{\'e}mentaire d'un hyperplan (Ens Ulm MP$^*$ 2005)} Soit $E$ un evn r{\'e}el et $H$ un hyperplan de~$E$. Montrer que $E\setminus H$ est connexe par arcs si et seulement si $H$ {\it n'est pas\/} ferm{\'e}. \finenonce{004826} \finexercice \exercice{5839, rouget, 2010/10/16} \enonce{005839}{**} \label{ex:rou1bis} Montrer que la boule unité d'un espace vectoriel normé est un convexe de cet espace. \finenonce{005839} \finexercice \exercice{5840, rouget, 2010/10/16} \enonce{005840}{*** I} \begin{enumerate} \item Inégalités de \textsc{Hölder} et de \textsc{Minkowski}. Soit $(p,q)\in]0,+\infty[^2$ tel que $ \frac{1}{p}+ \frac{1}{q}=1$. \begin{enumerate} \item Montrer que pour $(x,y)\in[0,+\infty[^2$, $xy\leqslant \frac{x^p}{p}+ \frac{x^q}{q}$. \item En déduire que $\forall((a_1,...,a_n),(b_1,...,b_n))\in(\Rr^n)^2$, $\left|\sum_{k=1}^{n}a_kb_k\right|\leqslant\left(\sum_{k=1}^{n}|a_k|^p\right)^{1/p}\left(\sum_{k=1}^{n}|b_k|^q\right)^{1/q}$. \item En déduire que $\forall((a_1,...,a_n),(b_1,...,b_n))\in(\Rr^n)^2$, $\left(\sum_{k=1}^{n}\left|a_k+b_k\right|^p\right)^{1/p}\leqslant\left(\sum_{k=1}^{n}\left|a_k\right|^p\right)^{1/p}+\left(\sum_{k=1}^{n}\left|b_k\right|^p\right)^{1/p}$. \end{enumerate} \item Soit $\alpha$ un réel strictement positif. Pour $x =(x_1,...,x_n)\in\Rr^n$, on définit $N_\alpha(x)=\left(\sum_{k=1}^{n}|x_k|^\alpha\right)^{1/\alpha}$. \begin{enumerate} \item Montrer que $\forall\alpha\geqslant1$, $N_\alpha$ est une norme sur $\Rr^n$. \item Dessiner les \og boules unités \fg~de $\Rr^2$ dans le cas où $\alpha\in\left\{ \frac{2}{3},1, \frac{3}{2},2,+\infty\right\}$. \item Montrer que, pour $x=(x_k)_{1\leqslant k\leqslant n}$ fixé, $\lim_{\alpha \rightarrow +\infty}N_\alpha(x) =\text{Max}\{|x_k|,\;1\leqslant k\leqslant n\}= N_\infty(x)$. \item Montrer que si $0 <\alpha< 1$, $N_\alpha$ n'est pas une norme sur $\Rr^n$ (si $n\geqslant2)$. \end{enumerate} \end{enumerate} \finenonce{005840} \finexercice \exercice{5841, rouget, 2010/10/16} \enonce{005841}{** I} Soit $E = C^2([0,1],\Rr)$. Pour $f$ élément de $E$, on pose $N(f) =\int_{0}^{1}|f(t)|\;dt$, $N'(f) = |f(0)| +\int_{0}^{1}|f'(t)|\;dt$ et $N''(f) =|f(0)|+|f'(0)|+\int_{0}^{1}|f''(t)|\;dt$. Montrer que $N$, $N'$ et $N''$ sont des normes et les comparer. \finenonce{005841} \finexercice \exercice{5847, rouget, 2010/10/16} \enonce{005847}{** I Distance d'un point à une partie} Soit $A$ une partie non vide d'un espace vectoriel normé $(E,\|\;\|)$. Pour $x\in E$, on pose $d_A(x) =d(x,A)$ où $d(x,A) =\text{Inf}\left\{\|x-a\|,\;a\in A\right\}$. \begin{enumerate} \item Justifier l'existence de $d_A(x)$ pour chaque $x$ de $E$. \item \begin{enumerate} \item Montrer que si $A$ est fermée, $\forall x\in E$, $d_A(x) = 0\Leftrightarrow x\in A$. \item Montrer que si $A$ est fermée et $E$ est de dimension finie, $\forall x\in E$, $\exists a\in A/\;d_A(x)=\|x-a\|$. \end{enumerate} \item Si $A$ est quelconque, comparer $d_A(x)$ et $d_{\overline{A}}(x)$. \item Montrer $d_A$ est continue sur $E$. \item A chaque partie fermée non vide $A$, on associe l'application $d_A$ définie ci-dessus. Montrer que l'application $A\mapsto d_A$ est injective. \item Dans l'espace des applications continues sur $[0,1]$ à valeurs dans $\Rr$ muni de la norme de la convergence uniforme, on considère $A =\left\{f\in E/\;f(0)=0\;\text{et}\;\int_{0}^{1}f(t)\;dt\geqslant 1\right\}$. Calculer $d_A(0)$. \end{enumerate} \finenonce{005847} \finexercice \section{ 229.07 Connexité } \exercice{4841, quercia, 2010/03/16} \enonce{004841}{Fronti{\`e}re connexe} Soit $E$ un espace vectoriel norm{\'e} et $A \subset E$ ferm{\'e}. Montrer que si $\text{Fr}(A)$ est connexe, alors $A$ est connexe. \finenonce{004841} \finexercice \exercice{4842, quercia, 2010/03/16} \enonce{004842}{$\mathbb{U}$ et $\R$ ne sont pas hom{\'e}omorphes} Soit $\mathbb{U}$ le cercle unit{\'e} de $\C$ et $f : \mathbb{U} \to \R$ continue. Montrer que $f$ n'est pas injective. \finenonce{004842} \finexercice \exercice{4843, quercia, 2010/03/16} \enonce{004843}{$u_{n+1} - u_n \to 0$} Soit $E$ un evn de dimension finie et $(u_n)$ une suite born{\'e}e d'{\'e}l{\'e}ments de $E$ telle que $u_{n+1} - u_n \xrightarrow[n\to\infty]{} 0$. Montrer que l'ensemble des valeurs d'adh{\'e}rence de la suite est connexe. \finenonce{004843} \finexercice \exercice{4844, quercia, 2010/03/16} \enonce{004844}{Compl{\'e}mentaire d'une partie {\'e}toil{\'e}e} Soit $\Omega$ une partie born{\'e}e {\'e}toil{\'e}e d'un evn r{\'e}el de dimension sup{\'e}rieure ou {\'e}gale {\`a} 2. Montrer que le com\-pl{\'e}\-men\-taire de $\Omega$ est connexe. \finenonce{004844} \finexercice \exercice{4845, quercia, 2010/03/16} \enonce{004845}{Compl{\'e}mentaire d'un sev} Soit $E$ un $\R$-evn de dimension finie et $F$ un sev propre de $E$. Montrer que $E\setminus F$ est connexe si et seulement si codim$(F) \ge 2$. Que peut-on dire dans un $\C$-ev ? \finenonce{004845} \finexercice \exercice{7523, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007523}{Connexité} Le but de cet exercice est de montrer qu'une partie $P$ ouverte de $\Cc$ est connexe si et seulement si pour tout couple $(a,b)$ de points de $P$ il existe une ligne polygonale incluse dans $P$ qui joint $a$ et $b$. \begin{enumerate} \item On suppose d'abord que pour tout couple $(a,b)$ de points de $P$ il existe une ligne polygonale incluse dans $P$ qui joint $a$ et $b$. Supposons que $P$ n'est pas connexe. Montrer qu'il existe deux ouverts disjoints $A$ et $B$, un point $a$ de $A$, un point $b$ de $B$ tel que le segment $[ab]$ soit inclus dans~$P$. \item Noter \begin{eqnarray*} \alpha&:=&\{t\in[0,1]\ \ /\ \ ta+(1-t)b\in A\}\\ \beta&:=&\{t\in[0,1]\ \ /\ \ ta+(1-t)b\in B\}\\ \end{eqnarray*} Montrer que $\alpha$ et $\beta$ sont non vides ouverts et disjoints et utiliser la connexité de $[0,1]$ pour obtenir une contradiction. \item On suppose réciproquement que $P$ est connexe et on fixe un point $o$ de $P$. On considère $$A:=\{b\in P \text{ il y a une ligne polygonale incluse dans } P \text{ qui joint } o \text{ et } b.\}.$$ Montrer que $A$ est ouvert dans $P$, en montrant que pour tout point $b$ de $A$, il existe une boule $B(b,\epsilon)$ incluse dans $A$. \item Avec les notations précédentes, montrer que $P-A$ est ouvert dans $P$, en montrant que pour tout point $z$ de $P-A$ et toute boule $B(z,\epsilon)$ incluse dans $P$, $B(z,\epsilon)$ est incluse dans $P-A$. \item Conclure. \end{enumerate} \finenonce{007523} \finexercice \section{ 229.08 Espaces complets } \exercice{4846, quercia, 2010/03/16} \enonce{004846}{Norme pour les fonctions lipschitziennes} Soit $E = \{ \text{fonctions lipchitziennes } f:\R \to \R \}$. Pour $f \in E$, on pose $\|f\| = |f(0)| + \sup\limits_{x\ne y} \left|\frac{f(x)-f(y)}{x-y}\right|$. Montrer que $E$ est complet. \finenonce{004846} \finexercice \exercice{4847, quercia, 2010/03/16} \enonce{004847}{Image d'une intersection de ferm{\'e}s} Soit $E$ un espace vectoriel norm{\'e} complet, $F$ un espace vectoriel norm{\'e} quelconque, $f : E \to F$ une application continue et $(E_n)$ une suite d{\'e}croissante de ferm{\'e}s de $E$ dont le diam{\`e}tre tend vers~0. Montrer que $f(\mathop{\cap}\limits_n E_n) = \bigcap_n f(E_n)$. \finenonce{004847} \finexercice \exercice{4848, quercia, 2010/03/16} \enonce{004848}{Intersection de boules} Soit $E$ un evn complet et $(B_n(a_n,r_n))$ une suite d{\'e}croissante de boules ferm{\'e}es dont le rayon ne tend pas vers 0. Montrer que $\bigcap_n B_n$ est une boule ferm{\'e}e. \finenonce{004848} \finexercice \exercice{4849, quercia, 2010/03/16} \enonce{004849}{Intersection vide} Soit $E = {\cal B}(\N,\R) = \{ \text{suites } u = (u_n) \text{ born{\'e}es}\}$. On munit $E$ de la norme : $\|u\| = \sup\{|u_n|,\ n\in\N\}$. \begin{enumerate} \item Montrer que $E$ est complet. \item Soit $F_k = \{ u\in E\text{ tq } \|u\| = 1\text{ et }u_0=\dots=u_k=0\}$. V{\'e}rifier que les $F_k$ forment une suite de ferm{\'e}s born{\'e}s embo{\^\i}t{\'e}s dont l'intersection est vide. \end{enumerate} \finenonce{004849} \finexercice \exercice{4850, quercia, 2010/03/16} \enonce{004850}{Th{\'e}or{\`e}me de Baire} Soit $E$ un espace vectoriel norm{\'e} complet et $(F_n)$ une suite de ferm{\'e}s de $E$ d'int{\'e}rieurs vides. On pose $\smash{F = \bigcup_n F_n}$. Montrer que $\mathring F = \varnothing$. \finenonce{004850} \finexercice \exercice{4851, quercia, 2010/03/16} \enonce{004851}{$f\circ f$ est contractante} Soit $E$ un espace vectoriel norm{\'e} complet et $f : E \to E$ telle que $f\circ f$ est contractante. Montrer que $f$ admet un unique point fixe. \finenonce{004851} \finexercice \exercice{4852, quercia, 2010/03/16} \enonce{004852}{Centrale MP 2001} Montrer qu'un plan euclidien n'est pas r{\'e}union de cercles disjoints non r{\'e}duits {\`a} un point. \finenonce{004852} \finexercice \section{ 229.09 Fonctions vectorielles } \exercice{4853, quercia, 2010/03/16} \enonce{004853}{Centre de gravit{\'e} d'une courbe param{\'e}tr{\'e}e} Soit $\varphi : {[a,b]} \to {\R^2}, t \mapsto {M_t}$ une courbe param{\'e}tr{\'e}e de classe $\mathcal{C}^1$ de longueur non nulle. Le centre de gravit{\'e} de la courbe est le point $G$ tel que $ \int_{t=a}^b \vec{GM_t}\|\vec M\,'(t)\|\,dt = \vec 0$. \begin{enumerate} \item Montrer l'existence et l'unicit{\'e} de $G$. \item D{\'e}terminer le centre de gravit{\'e} d'un demi-cercle. (On admet que $G$ est ind{\'e}pendant du param{\'e}trage) \item Montrer que $G$ appartient {\`a} l'enveloppe convexe de la courbe. \item Montrer que si la courbe admet un axe de sym{\'e}trie, $\Delta$, alors $G \in \Delta$. (Si $\sigma$ est la sym{\'e}trie associ{\'e}e, consid{\'e}rer la courbe d{\'e}crite par $N_t = \sigma(M_t)$) \item Soit $\Phi : {\R^2} \to {\R^2}$ une isom{\'e}trie affine. Montrer que si $G$ est le centre de gravit{\'e} de $\mathcal{C}$, alors $\Phi(G)$ est le centre de gravit{\'e} de $\Phi(\mathcal{C})$. \end{enumerate} \finenonce{004853} \finexercice \exercice{4854, quercia, 2010/03/16} \enonce{004854}{D{\'e}riv{\'e}e d'une base orthonorm{\'e}e} Soient ${\vec e_1,\vec e_2,\vec e_3} : {I\subset \R} \to {\R^3}$ de classe $\mathcal{C}^1$ telles que pour tout $t\in I$, ${\cal B}_t = (\vec e_1(t),\vec e_2(t), \vec e_3(t))$ est une base orthonorm{\'e}e de $\R^3$ (base orthonorm{\'e}e mobile). \begin{enumerate} \item Soit $M_t$ la matrice dans ${\cal B}_t$ des vecteurs d{\'e}riv{\'e}s $\vec e_1\,'(t), \vec e_2\,'(t), \vec e_3\,'(t)$. Montrer que $M_t$ est antisym{\'e}trique. \item En d{\'e}duire qu'il existe un vecteur $\vec \Omega(t)$ tel que $\vec e_i\,'(t) = \vec \Omega(t)\wedge\vec e_i(t)$, $i=1,2,3$. \item Si $\vec e_1,\vec e_2,\vec e_3$ sont de classe $\mathcal{C}^2$, montrer que $\vec \Omega$ est de classe $\mathcal{C}^1$ et calculer $\vec e_i\,''$ en fonction de $\vec \Omega$, $\vec \Omega\,'$ et $\vec e_i$. \end{enumerate} \finenonce{004854} \finexercice \exercice{4855, quercia, 2010/03/16} \enonce{004855}{$f'$ est colin{\'e}aire {\`a} $f$} Soit ${\vec f} : {I\subset \R} \to {\R^3}$ une fonction de classe $\mathcal{C}^1$ telle que : $$\forall\ t\in I,\ \vec f(t) \ne \vec 0 \text{ et la famille } (\vec f(t),\vec f\,'(t)) \text{ est li{\'e}e}.$$ On pose $\vec g(t) = \frac{\vec f(t)}{\|\vec f(t)\|}$. \begin{enumerate} \item Montrer que $g$ est de classe $\mathcal{C}^1$ et que $\vec g\,'(t)$ est {\`a} la fois orthogonal et colin{\'e}aire {\`a} $\vec g(t)$. \item En d{\'e}duire que $\vec f(t)$ garde une direction constante. \item Chercher un contre-exemple lorsqu'on retire la propri{\'e}t{\'e} : $\forall\ t\in I,\ \vec f(t) \ne \vec 0$. \end{enumerate} \finenonce{004855} \finexercice \exercice{4856, quercia, 2010/03/16} \enonce{004856}{$f''$ est colin{\'e}aire {\`a} $f$} Soit ${\vec f} : {I\subset \R} \to {\R^3}$ une fonction de classe $\mathcal{C}^2$ telle que pour tout $t\in I$, $\vec f\,''(t)$ est colin{\'e}aire {\`a} $\vec f(t)$. ({\it mouvement {\`a} acc{\'e}l{\'e}ration centrale}) On note $\vec \sigma(t) = \vec f(t)\wedge\vec f\,'(t)$. \begin{enumerate} \item Montrer que $\vec \sigma(t)$ est un vecteur constant. \item S'il existe $t_0\in I$ tel que $(\vec f(t_0),\vec f\,'(t_0))$ est libre, montrer que $\vec f(I)$ est inclus dans un plan. \end{enumerate} \finenonce{004856} \finexercice \exercice{4857, quercia, 2010/03/16} \enonce{004857}{$f$ et $g$ colin{\'e}aires} Soient ${f,g} : {I\subset \R} \to E$ deux fonctions vectorielles de classe $\mathcal{C}^1$. \begin{enumerate} \item On suppose : $\forall\ t \in I,\ f(t)$ et $g(t)$ sont colin{\'e}aires. Est-ce que $f'(t)$ et $g'(t)$ sont colin{\'e}aires ? \item On suppose : $\forall\ t \in I,\ f'(t)$ et $g'(t)$ sont colin{\'e}aires. Existe-t-il $\vec c \in E$ tel que $f-\vec c$ et $g$ soient colin{\'e}aires~? \end{enumerate} \finenonce{004857} \finexercice \exercice{4858, quercia, 2010/03/16} \enonce{004858}{$\R^2\setminus$ une droite n'est pas connexe} Soit $f : {I\subset \R} \to {\R^2}$ une fonction continue, $D$ une droite de $\R^2$ et $P^+$, $P^-$ les demi-plans d{\'e}limit{\'e}s par $D$. Montrer que s'il existe $a,b\in I$ tels que $f(a)\in P^+$ et $f(b)\in P^-$, alors il existe $c$ compris entre $a$ et $b$ tel que $f(c)\in D$. G{\'e}n{\'e}raliser en dimension $n$. \finenonce{004858} \finexercice \section{ 229.10 Application linéaire continue, norme matricielle } \exercice{5854, rouget, 2010/10/16} \enonce{005854}{*} On munit $E=\Rr[X]$ de la norme $\|\;\|_\infty$ définie par : $\forall P\in E$, $\|P\|_\infty=\text{Sup}\left\{\left| \frac{P^{(n)}(0)}{n!}\right|,\;n\in\Nn\right\}$. \begin{enumerate} \item Vérifier brièvement que $\|\;\|_\infty$ est une norme sur $E$. \item Soit $f$ l'endomorphisme de $E$ défini par $\forall P\in E$, $f(P)=XP$. Démontrer que l'application $f$ est continue sur $(E,\|\;\|_\infty)$ et déterminer $|||f|||$. \end{enumerate} \finenonce{005854} \finexercice \exercice{5855, rouget, 2010/10/16} \enonce{005855}{**} On munit $E =\ell^\infty(\Cc)$ le $\Cc$-espace vectoriel des suites bornées de la norme $\|u\|_\infty=\underset{n\in\Nn}{\text{sup}}\;|u_n|$. On considère les endomorphismes $\Delta$ et $C$ de $\ell^\infty(\Cc)$ définis par : \begin{center} $\forall u\in E$, $\Delta(u) = v$ où $\forall n\in\Nn$, $v_n = u_{n+1}-u_n$ et $\forall u\in E$, $C(u)=w$ où $\forall n\in\Nn$, $w_n= \frac{1}{n+1}\sum_{k=0}^{n}u_k$. \end{center} Montrer que $\Delta$ et $C$ sont continus sur $(E,\|\;\|_\infty)$ et calculer leur norme. \finenonce{005855} \finexercice \exercice{5856, rouget, 2010/10/16} \enonce{005856}{*** I} On munit $E=C^0([0,1],\Rr)$ de la norme $1$ définie par $\forall f\in E$, $\|f\|_1=\int_{0}^{1}|f(t)|\;dt$. On pose $\begin{array}[t]{cccl} T~:&E&\rightarrow&\rule{1.5mm}{0mm}E\\ &f&\mapsto&\begin{array}[t]{cccc}Tf~:&[0,1]&\rightarrow&\Rr\\ &x&\mapsto&\int_{0}^{x}f(t)\;dt \end{array} \end{array}$ et on admet que $T$ est un endomorphisme de $E$. \begin{enumerate} \item Démontrer que $T$ est continu sur $(E,\|\;\|_1)$ et déterminer $|||T|||$. \item Vérifier que la borne supérieure n'est pas atteinte. \end{enumerate} \finenonce{005856} \finexercice \exercice{5857, rouget, 2010/10/16} \enonce{005857}{**} On munit $E=\mathcal{M}_n(\Rr)$ de la norme $N$ définie par $\forall A\in E$, $N(A)=\underset{1\leqslant i\leqslant n}{\text{Sup}}\left\{\sum_{j=1}^{n}|a_{i,j}|\right\}$ (on admet que $N$ est une norme sur $E$). Soit $f$ l'application de $E$ dans $\Rr$ définie par $\forall A\in E$, $f(A)=\text{Tr}(A)$. Démontrer que l'application $f$ est continue sur $(E,N)$ et déterminer $|||f|||$. \finenonce{005857} \finexercice \exercice{5858, rouget, 2010/10/16} \enonce{005858}{***} \label{ex:rou5} Déterminer $s=\text{Sup}\left\{ \frac{\|AB\|}{\|A\|\|B\|},\;(A,B)\in(\mathcal{M}_n(\Cc)\setminus\{0\})^2\right\}$ quand $\|\;\|$ est \begin{enumerate} \item $\|\;\|_1$, \item $\|\;\|_2$, \item $\|\;\|_\infty$. \end{enumerate} \finenonce{005858} \finexercice \exercice{5859, rouget, 2010/10/16} \enonce{005859}{*} Une norme sur $\mathcal{M}_n(\Rr)$ ($n\geqslant2$), est-elle nécessairement une \og norme trois barres \fg~? \finenonce{005859} \finexercice \exercice{5860, rouget, 2010/10/16} \enonce{005860}{**} Soit $N$ une norme sur $\mathcal{M}_n(\Rr)$. Montrer qu'il existe $k>0$ tel que $\forall(A,B)\in(\mathcal{M}_n(\Rr))^2$, $N(AB)\leqslant k(A)N(B)$. \finenonce{005860} \finexercice \exercice{5861, rouget, 2010/10/16} \enonce{005861}{**} Existe-t-il une norme $N$ sur $\mathcal{M}_n(\Rr)$ ($n\geqslant2$) telle que $\forall(A,B)\in(\mathcal{M}_n(\Rr))^2$, $N(AB)=N(A)N(B)$. \finenonce{005861} \finexercice \exercice{5862, rouget, 2010/10/16} \enonce{005862}{***} On pose $\forall X=(x_i)_{1\leqslant i\leqslant n}\mathcal{M}_{n,1}(\Rr)$, $\|X\|_1=\sum_{i=1}^{n}|x_i|$ et $\|X\|_\infty=\underset{1\leqslant i\leqslant n}{\text{Max}}|x_i|$. Déterminer les normes sur $\mathcal{M}_n(\Rr)$ respectivement associées aux normes $\|\;\|_1$ et $\|\;\|_\infty$ de $\mathcal{M}_{n,1}(\Rr)$. On notera $|||\;|||_1$ et $|||\;|||_\infty$ ces normes. \finenonce{005862} \finexercice \exercice{5863, rouget, 2010/10/16} \enonce{005863}{**I} Pour $X=(x_i)_{1\leqslant i\leqslant n}\in\mathcal{M}_{n,1}(\Rr)$, on pose $\|X\|_2=\sqrt{\sum_{i=1}^{n}x_i^2}$. Pour $A\in\mathcal{S}_n(\Rr)$, on note $\rho(A)$ le rayon spectral de $A$ c'est-à-dire $\rho(A)=\text{Max}\{|\lambda|,\;\lambda\in\text{Sp}(A)\}$. Montrer que $\forall A\in\mathcal{S}_n(\Rr)$, $|||A|||_2=\rho(A)$ où $|||A|||_2=\text{Sup}\left\{ \frac{\|AX\|_2}{\|X\|_2},\;X\in\mathcal{M}_{n,1}(\Rr)\setminus\{0\}\right\}$. \finenonce{005863} \finexercice \section{ 229.99 Autre } \exercice{1740, drutu, 2003/10/01} \enonce{001740}{} Soit $x = (x_1, \cdots x_n) \in \R^n$. On pose $$ \|x\|_{1} = \sum_{i=1}^n |x_i| \quad ; \quad \|x\|_{2} = \left(\sum_{i=1}^n |x_i|^2\right)^{1/2} $$ et $$ \|x\|_{\infty} = \sup \{ |x_i| : 1 \leq i \leq n\} . $$ \begin{enumerate} \item D\'emontrer que $\|\cdot\|_{1}$ est une norme sur $\R^n$. \item D\'emontrer que $$ \|x\|_{\infty} \leq \|x\|_{2} \leq \|x\|_{1} \leq n \|x\|_{\infty}$$ et $$ \|x\|_{2} \leq \sqrt{n}\|x\|_{\infty},$$ pour tout $x \in \R^n$. Discuter le cas $n = 1$. \item Repr\'esenter dans $\R^2$ la boule unit\'e ferm\'ee $$B_{\|\cdot\|} = \{ x = (x_1,x_2) \in \R^2 \; ;\; \|x\| \leq 1\} $$ pour chacune des normes $\|\cdot\|_{1}, \|\cdot\|_{2}$ et $\|\cdot\|_{\infty}$. \end{enumerate} \finenonce{001740} \finexercice \exercice{1745, maillot, 2001/09/01} \enonce{001745}{} \begin{enumerate} \item Dans $\R^2$ ou $\R^3$ euclidien muni d'une b.o.n., représenter les ensembles suivants : \begin{itemize} \item $\mathcal{A}=\{(x,y)\in\R^2 \ | \ x^2-y^2>1 \mbox{ et } x^2+y^2<4\}$ \item $\mathcal{B}=\{(x,y)\in\R^2 \ | \ (x-1)^2-y^2>1 \mbox{ et } x^2+\frac{y^2}{4}<4\}$ \item $\mathcal{C}=\{(x,y,z)\in\R^3 \ | \ 10 \mbox{ et } y>0 \mbox{ et } z>0\}$ \item $\mathcal{D}=\left\{ \begin{array}{cc} (x,y,z)\in\R^3&\left| \begin{array}{cc} &x+y+z<1\\ \mbox{et }&x-y+z<1\\ \mbox{et }&-x-y+z<1 \end{array} \right. \end{array} \right\}$ \item $\mathcal{E}=\{(x,y,z)\in\R^3 \ | \ x^2+y^2-z^2<0 \mbox{ et } 20\}$ \item $\mathcal{G}=\{(x,y,z)\in\R^3\ | \ x^2+y^2=4 \mbox{ et } z=x-1\}$. \end{itemize} \item Déterminer les projections de $\mathcal{E}$ et $\mathcal{G}$ sur le plan $(xOy)$. \end{enumerate} \finenonce{001745} \finexercice \exercice{1746, maillot, 2001/09/01} \enonce{001746}{Images directes et réciproques} \begin{enumerate} \item Soit $f$ l'application affine par morceaux, de $\R$ dans $\R$, définie par : $$ f(x)=\left\{ \begin{array}{ccc} 0&\mbox{ si }&x\leq -2\\ 1+x&\mbox{ si }&-21. \end{array} \right. $$ Soient $A=[-1,0[$ et $B=[0,2[$. Déterminer $f(A)$, $f^{-1}(B)$, $f(\R\setminus A)$, $f^{-1}(f(A))$, $f(f^{-1}(B))$, $f(A\cap B)$, et $f(A)\cap f(B)$. \item Soient deux ensembles $E$ et $F$, et $f:E\rightarrow F$ une application. Comparer les ensembles $f(A\cap B)$ et $f(A)\cap f(B)$, $f^{-1}(f(A))$ et $A$, $f(f^{-1}(B))$ et $B$, $f(E\setminus A)$ et $F\setminus f(A)$. \end{enumerate} \finenonce{001746} \finexercice \exercice{1747, maillot, 2001/09/01} \enonce{001747}{} Soit l'application $\left(\begin{array}{cccl} G:&\R^2&\longrightarrow&\R^2\\ &(u,v)&\longmapsto&(\frac{u}{u+v},\frac{\sqrt{v(v+2u)}}{u+v}) \end{array}\right)$. On note $\mathcal{D}$ l'ensemble de définition de $G$. Déterminer $G(\mathcal{D})$. \finenonce{001747} \finexercice \exercice{1748, maillot, 2001/09/01} \enonce{001748}{} Soient les applications $f$ et $g$ de $\R^2$ dans $\R^2$ définies par : $$ f(x,y)=(\frac{x+y}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}y) \mbox { et } g(x,y)=(2x,\frac{y}{\sqrt{2}}). $$ Soient les ensembles $$ \mathcal{D}_1=\{(x,y)\in\R^2\ | \ \frac{x^2}{4}+y^2+\frac{xy}{2}=1\}, $$ $$ \mbox{et } \mathcal{D}_2=\{(x,y)\in\R^2\ | \ \frac{x^2}{4}+2y^2=1\}. $$ Déterminer $f(\mathcal{D}_1)$ et $g^{-1}(\mathcal{D}_2)$. \finenonce{001748} \finexercice \exercice{1749, maillot, 2001/09/01} \enonce{001749}{} Simplifier l'écriture des ensembles suivants : $$ I=\bigcup_{n>1}[\frac{1}{n},1-\frac{1}{n}] \mbox{ et } J=\bigcap_{i>0,j>0}]-\frac{1}{i},1+\frac{1}{j}[. $$ \finenonce{001749} \finexercice \exercice{1765, maillot, 2001/09/01} \enonce{001765}{} Soit $f:\R^d\rightarrow \R$ une fonction continue telle que $\lim_{x\rightarrow -\infty} f(x)=\lim_{x\rightarrow +\infty} f(x) = +\infty$. Montrer que $f$ admet un minimum. \finenonce{001765} \finexercice \exercice{1768, maillot, 2001/09/01} \enonce{001768}{} Soit $(E,\|\cdot\|)$ un espace vectoriel norm\'e et $(x_n)_{n\in\N}$ une suite d'\'el\'ements de $E$. On suppose que $(x_n)$ est de Cauchy. Montrer qu'elle converge si et seulement si elle admet une sous-suite convergente. \finenonce{001768} \finexercice \exercice{1775, gourio, 2001/09/01} \enonce{001775}{} Soit $ C$ une partie convexe de $ {\Rr}^{2}, $ montrer que $ \overline{C}$ est aussi convexe. \finenonce{001775} \finexercice \exercice{5842, rouget, 2010/10/16} \enonce{005842}{*** I Topologie dans $\mathcal{M}_n(\Kk)$} \begin{enumerate} \item Montrer que $GL_n(\Rr)$ est un ouvert de $\mathcal{M}_n(\Rr)$, dense dans $\mathcal{M}_n(\Rr)$. \item Montrer que $\mathcal{M}_n(\Rr)\setminus GL_n(\Rr)$ est fermé mais non compact (pour $n\geqslant2$). \item Montrer que $O_n(\Rr)$ est compact. $O_n(\Rr)$ est-il convexe ? \item Montrer que $S_n(\Rr)$ est fermé. \item Soit $p\in\llbracket0,n\rrbracket$. Montrer que l'ensemble des matrices de rang inférieur ou égal à $p$ est un fermé de $\mathcal{M}_n(\Rr)$. \item Montrer que l'ensemble des matrices diagonalisables dans $\mathcal{M}_n(\Cc)$ est dense dans $\mathcal{M}_n(\Cc)$. Peut-on remplacer $\mathcal{M}_n(\Cc)$ par $\mathcal{M}_n(\Rr)$ ? \item Propriétés topologiques de l'ensemble des triplets de réels $(a,b,c)$ tels que la forme quadratique $(x,y)\mapsto ax^2+2bxy+cy^2$ soit définie positive ? \item Montrer que l'ensemble des matrices stochastiques (matrices $(a_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant n}\in\mathcal{M}_n(\Rr)$ telles que $\forall (i,j)\in\llbracket1,n\rrbracket^2$, $a_{i,j}\geqslant0$ et $\forall i\in\llbracket1,n\rrbracket$, $\sum_{j=1}^{n}a_{i,j}= 1$) est un compact convexe de $\mathcal{M}_n(\Rr)$. \item Montrer que l'ensemble des matrices diagonalisables de $\mathcal{M}_n(\Rr)$ est connexe par arcs. \end{enumerate} \finenonce{005842} \finexercice \section{ 240.00 Géométrie affine dans le plan et dans l'espace } \exercice{1956, liousse, 2003/10/01} \video{zrMBUrw-HzU} \enonce{001956}{} Soit $P$ un plan muni d'un repère $\mathcal{R}(O,\vec{i},\vec{j})$, les points et les vecteurs sont exprimés par leurs coordonnées dans $\mathcal{R}$. \begin{enumerate} \item Donner un vecteur directeur, la pente une équation paramétrique et une équation cartésienne des droites $(AB)$ suivantes : \begin{enumerate} \item $A(2,3)$ et $B(-1,4)$ \item $A(-7,-2)$ et $B(-2,-5)$ \item $A(3,3)$ et $B(3,6)$ \end{enumerate} \item Donner des équations paramétriques et cartésiennes des droites passant par $A$ et dirigées par $\vec{v}$ avec : \begin{enumerate} \item $A(2,1)$ et $\vec{v}(-3,-1)$ \item $A(0,1)$ et $\vec{v}(1,2)$ \item $A(-1,1)$ et $\vec{v}(1,0)$ \end{enumerate} \item Donner des équations paramétriques et cartésiennes des droites définies comme suit : \begin{enumerate} \item passant par le point $(0,4)$ et de pente $3$, \item passant par le point $(2,-3)$ et parallèle à l'axe des $x$, \item passant par le point $(-2,5)$ et parallèle à la droite $D : 8x+4y=3$. \end{enumerate} \end{enumerate} \finenonce{001956} \finexercice\exercice{1957, liousse, 2003/10/01} \enonce{001957}{} \begin{enumerate} \item Les trois points $A$, $B$ et $C$ de $P$ sont-ils align\'es ? Si oui donner une \'equation cart\'esienne de la droite qui les contient. \begin{enumerate} \item $A(-3,3)$, $B(5,2)$ et $C(2,1)$, \item $A(1,1)$, $B(-2,2)$ et $C(2,1)$, \item $A(4,-3)$, $B(0,-1)$ et $C(2,-2)$, \item $A(2,-1)$, $B(1,-2)$ et $C(-3,4)$. \end{enumerate} \item Dans les cas suivant, donner un vecteur directeur de $D$ et d\'eterminer si le point $C$ appartient ou non \`a $D$ \begin{enumerate} \item $(D) : 3x + 5y +1= 0$, \hfil $C(3, -2)$. \item $(D) : \left\{ \begin{array}{l} x = 3 + t \\ y = 2 - t \end{array} \right.$, \hfil $C(5,3)$. \end{enumerate} \end{enumerate} \finenonce{001957} \finexercice \exercice{1958, liousse, 2003/10/01} \enonce{001958}{} Dans l'exercice suivant, on consid\`ere des couples de deux droites $D_1$ et $D_2$ : on doit d\'eterminer si elles sont s\'ecantes, parall\`eles ou confondues. Si elles sont s\'ecantes, on d\'eterminera les coordonn\'ees du point d'intersection, et si elles sont parall\`eles ou confondues on d\'eterminera un vecteur directeur. \begin{enumerate} \item $(D_1) : 3x + 5y - 2 = 0$ et $(D_2) : x - 2y + 3 = 0$ \item $(D_1) : 2x - 4y + 1 = 0$ et $(D_2) : -5x + 10y + 3 = 0$ \item $(D_1) : \left\{ \begin{array}{l} x = 3 + 4t \\ y = 2 - t \end{array} \right.$ et $(D_2) : \left\{ \begin{array}{l} x = 5 - s \\ y = 2 + 3s \end{array} \right.$ \item $(D_1) : \left\{ \begin{array}{l} x = 1 + 2t \\ y = 2 - 3t \end{array} \right.$ et $(D_2) : \left\{ \begin{array}{l} x = 3 - 4s \\ y = -1 + 6s \end{array} \right.$ \item $(D_1) : x - 2y + 3 = 0$ et $D_2 :\left\{ \begin{array}{l} x = 2 + t \\ y = 3 - 2t \end{array} \right.$ \item $(D_1) : 3x - 2y + 1 = 0$ et $(D_2) : \left\{ \begin{array}{l} x = 1 - 4t \\ y = 2 - 6t \end{array} \right.$ \end{enumerate} \finenonce{001958} \finexercice \exercice{1959, liousse, 2003/10/01} \enonce{001959}{} On consid\`ere les deux droites du plan $D : 2x-3y+4 = 0$ et $D' : x+3y+1 = 0$. On consid\`ere le point $A$, intersection des deux droites et le point $B$ de coordonn\'ees $(3,8)$. Donner une \'equation de (AB). \finenonce{001959} \finexercice \exercice{1960, liousse, 2003/10/01} \video{tdFJc9r8NSM} \enonce{001960}{} On considère le triangle $ABC$ dont les c\^otés ont pour équations $(AB) : x+2y=3 , (AC) : x+y=2 , (BC) : 2x+3y=4$. \begin{enumerate} \item Donner les coordonnées des points $A, B, C$. \item Donner les coordonnées des milieux $A', B', C'$ des segments $[BC]$, $[AC]$ et $[AB]$ respectivement. \item Donner une équation de chaque médiane et vérifier qu'elles sont concourantes. \end{enumerate} \finenonce{001960} \finexercice \exercice{1961, liousse, 2003/10/01} \enonce{001961}{M\'edianes} On consid\`ere dans $P$ trois points $A$, $B$ et $C$. \begin{enumerate} \item D\'eterminer dans le rep\`ere $(A,\vec{AB},\vec{AC})$ des \'equations pour les m\'edianes du triangle ABC. \item En d\'eduire que les m\'edianes d'un triangle sont concourantes. \end{enumerate} \finenonce{001961} \finexercice \exercice{1962, liousse, 2003/10/01} \enonce{001962}{Th\'eor\`eme de Menela\"us} Dans le triangle $ABC$, on consid\`ere trois points $P, Q, R$, sur les c\^ot\'es $(BC), (AC)$ et $(AB)$ respectivement, ces points n'\'etant pas les points $A,B$ ou $C$. Montrer que $P,Q$ et $R$ sont align\'es si et seulement si $$ {\overline {PB} \over \overline {PC}} = {\overline {QC}\over \overline {QA}} = {\overline {RA} \over \overline {RB}}=1$$ \finenonce{001962} \finexercice \exercice{1963, liousse, 2003/10/01} \enonce{001963}{Th\'eor\`eme de Pappus} Soient $(A_1,A_2,A_3)$ et $(B_1,B_2,B_3)$ deux syst\`emes de trois points align\'es. Montrer que les points $C_1,$ $C_2$ et $C_3,$ intersections des droites $(A_2B_3)$ et $(A_3B_2),$ $(A_3B_1)$ et $(A_1B_3),$ $(A_1B_2)$ et $(A_2B_1)$ (que l'on suppose exister) sont align\'es. \finenonce{001963} \finexercice \exercice{1964, liousse, 2003/10/01} \enonce{001964}{Th\'eor\`eme de Ceva} Dans le triangle $ABC$, on consid\`ere trois points $P, Q, R$, sur les droites $(BC), (AC)$ et $(AB)$ respectivement, ces points n'\'etant pas les points $A,B$ ou $C$. Montrer que les droites $(AP),$ $(BQ)$ et $(CR)$ sont concourantes ou parall\`eles si et seulement si $$ {\overline {PB} \over \overline {PC}}.{\overline {QC}\over \overline {QA}}. {\overline {RA} \over \overline {RB}}=-1$$ \finenonce{001964} \finexercice \exercice{1965, ridde, 1999/11/01} \enonce{001965}{} Montrer que l'intersection de deux parties convexes est convexe. Est-ce vrai pour l'union ? \finenonce{001965} \finexercice \exercice{1966, gourio, 2001/09/01} \enonce{001966}{} Soient $C$ et $C^{\prime }$ deux ensembles convexes d'un espace affine, montrer que $$D=\left\{ \frac{M+M^{\prime }}{2}|\left( M,M^{\prime }\right) \in C\times C^{\prime }\right\} $$ est convexe. \finenonce{001966} \finexercice \exercice{1967, gourio, 2001/09/01} \enonce{001967}{} On appelle enveloppe convexe $co(A) $ d'une partie non vide $A$ d'un espace affine $E $ l'intersection des ensembles convexes contenant $A$ ; c'est le plus petit ensemble convexe contenant $A.$ Montrer que c'est aussi l'ensemble des barycentres \`{a} coefficients positifs de points de $A.$ Que sont $co(\{A,B\}), co(\{A,B,C\}) $ ? \finenonce{001967} \finexercice \exercice{1968, gourio, 2001/09/01} \enonce{001968}{} Un c\^{o}ne d'un espace vectoriel est une partie $K $ telle que : $$\forall x\in K,\forall t\geq 0,tx\in K. $$ Montrer qu'un c\^{o}ne est convexe si et seulement si il est stable par addition. \finenonce{001968} \finexercice \exercice{1969, gourio, 2001/09/01} \enonce{001969}{} Trouver les parties $C$ convexes de ${\Rr}^{2}$ telles que le compl\'{e}mentaire $^{c}C$ soit aussi convexe. \finenonce{001969} \finexercice \exercice{1970, gourio, 2001/09/01} \enonce{001970}{} Soit $E $ un espace affine de dimension $n,$ et $\left( x_{1},...,x_{n}\right)$ des points de $E. $On consid\`{e}re une combinaison convexe de points de $A$, sous ensemble de $E:$ $$x=\sum_{i=1}^{m}t_{i}x_{i} \text{ avec } \forall i\in \{1,...,m\}:t_{i}\geq 0 \text{ et }\sum_{j=1}^{m}t_{j}=1. $$ Montrer qu'on peut \'{e}crire : $$x=\sum_{k=1}^{n+1}g_{k}x_{k} \text{ avec } \forall k\in \{1,...,n+1\}:g_{k}\geq 0 \text{ et } \sum_{k=1}^{n+1}g_{k}=1. $$ Ainsi il suffit de $n+1$ points dans un espace de dimension $n$ pour \'{e}crire une combinaison convexe. \finenonce{001970} \finexercice \exercice{1971, ridde, 1999/11/01} \enonce{001971}{} Une bim\'ediane d'un t\'etra\`edre est une droite qui passe par les milieux de deux arêtes oppos\'ees. Montrer que les trois bim\'edianes sont concourantes. \finenonce{001971} \finexercice \exercice{1972, ridde, 1999/11/01} \enonce{001972}{} Soient $A, B, C$ trois points non align\'es d'un plan affine. D\'eterminer l'ensemble des points ayant mêmes coordonn\'ees dans les rep\`eres $ (A, \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC})$ et $ (B, \overrightarrow{BA}, \overrightarrow{BC})$. \finenonce{001972} \finexercice \exercice{1973, ridde, 1999/11/01} \enonce{001973}{} Soit $R_{1} = (0, e_{1}, e_{2}, e_{3})$ un rep\`ere cart\'esien d'un espace affine. Soient $O^{'} = (1, 0, 0)$, $e_{1}^{'} = e_{1} + e_{2}$, $e_{2}^{'} = e_{1} - e_{2}$, $e_{3}^{'} = e_{3}$ et $R_{2} = (0^{'}, e_{1}^{'}, e_{2}^{'}, e_{3}^{'})$. D\'eterminer les coordonn\'ees d'un point dans $R_{2}$ en fonction de ses coordonn\'ees dans $R_{1}$. \finenonce{001973} \finexercice \exercice{1974, ridde, 1999/11/01} \enonce{001974}{} Soient $ (D_{i})_{i = 1 \ldots 4}$ quatre droites du plan affine s\'ecantes deux \`a deux en six points distincts. Si deux d'entre elles se coupent en $A$ et les deux autres en $B$, on dit que $[AB]$ est une diagonale. Montrer que les milieux des trois diagonales sont align\'es (on \'etudiera le probl\`eme analytiquement en choisissant un bon rep\`ere). \finenonce{001974} \finexercice \exercice{1975, ridde, 1999/11/01} \enonce{001975}{} \begin{enumerate} \item Soient $ (D_{i} : u_{i}x + v_{i}y + h_{i} = 0)_{i = 1 \ldots 3}$ trois droites du plan affine. Montrer qu'elles sont parall\`eles ou concourantes ssi $\begin{vmatrix} u_{1} & v_{1} & h_{1}\\u_{2} & v_{2} & h_{2}\\u_{3} & v_{3} & h_{3}\\ \end{vmatrix} = 0$. \item Soient $ (D_{1} : x + 2y = 1)$, $ (D_{2} : x + y = 2)$, $ (D_{3} : 2x + y = 3)$, $ (D_{4} : 3x + 2y = 1)$. D\'eterminer une \'equation de la droite $D$ qui passe par $D_{1} \cap D_{2}$ et $D_{3} \cap D_{4}$ sans calculer ces points d'intersection. \end{enumerate} \finenonce{001975} \finexercice \exercice{1976, ridde, 1999/11/01} \enonce{001976}{} Soient $A, B, C$ trois points non align\'es d'un plan affine. \begin{enumerate} \item Soit $f$ une application affine telle que $f (A) = A$, $f (B) = B$ et $f (C) = C$. Montrer que $f = id$. \item Soient $f$ et $g$ affines telles que $f (A) = g (A)$, $f (B) = g (B)$ et $f (C) = g (C)$. Que peut-on dire ? \item Soit $f$ affine telle que $f (A) = B$, $f (B) = C$ et $f (C) = A$. Que peut-on dire ? \end{enumerate} \finenonce{001976} \finexercice \exercice{1977, ridde, 1999/11/01} \enonce{001977}{} Soit $E$ un espace affine et f une application affine de $E$ dans $E$. \begin{enumerate} \item Montrer que $f$ est une translation ssi $\vec {f} = id$. \item Montrer que si $\vec {f} = \lambda id$ où $\lambda \neq 1$ alors $f$ est une homoth\'etie (on montrera que $f$ admet un point fixe). \item On note $\mathcal{T}$ l'ensemble des translations. Montrer que $\mathcal{T}$ est un sous-groupe du groupe affine. \item On note $\mathcal{H}$ l'ensemble des homoth\'eties bijectives. Montrer que $\mathcal{T} \cup \mathcal{H}$ est un sous-groupe du groupe affine. \end{enumerate} \finenonce{001977} \finexercice \exercice{1978, ridde, 1999/11/01} \enonce{001978}{} Soient $f$ et $g$ deux applications affines de $E$ dans $E$ telles que $\vec{f} = \vec{g}$. Montrer qu'il existe $u \in \vec{E}$ tel que $f = t_{u}\circ g$ où $t_{u}$ est la translation de vecteur $u$. Que peut-on dire si de plus il existe $M\in E$ tel que $f (M) = g (M)$ ? \finenonce{001978} \finexercice \exercice{1979, ridde, 1999/11/01} \enonce{001979}{} Reconnaître les application affines de $\Rr^{3}$ suivantes : $$\begin{pmatrix} x \\ y\\ z\\ \end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix} -x + 2y-2z-2\\ -3y + 2z + 6\\ -4y + 3z + 6\\ \end{pmatrix} \text{ et }\begin{pmatrix} x \\ y\\ z\\ \end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix} \frac{y}{2}-\frac{z}{2} + \frac{2}{3}\\ -x + \frac{3y}{2}-\frac{z}{2} + \frac{2}{3}\\ -x + \frac{y}{2} + \frac{z}{2} + \frac{2}{3}\\ \end{pmatrix}$$ \finenonce{001979} \finexercice \exercice{1980, ridde, 1999/11/01} \enonce{001980}{} Soit $E$ un espace affine, $f$ une application affine de $E$ dans $E$ et $$F = \left\{M\in E /f (M) = M \right\}.$$ On suppose que $F \neq \emptyset$. \begin{enumerate} \item Montrer que $\vec{F} = \ker (\vec{f}-id)$. \item On suppose que $\vec{f}\circ \vec{f} = \vec{f}$. Soit $s$ la projection affine sur $F$ parall\`element \`a $\ker (\vec{f})$. Montrer que $f = s$. \item Faire la même chose si $\vec{f}\circ \vec{f} = id$. \end{enumerate} \finenonce{001980} \finexercice \exercice{1981, ridde, 1999/11/01} \enonce{001981}{} Soit $E$ un espace affine et $f$ une application affine de $E$ dans $E$. \begin{enumerate} \item Montrer que si $f\circ f = f$ alors $f$ est une projection affine. \item Montrer que si $f\circ f = id$ alors $f$ est une sym\'etrie affine. \end{enumerate} \finenonce{001981} \finexercice \exercice{1991, liousse, 2003/10/01} \enonce{001991}{} On consid\`ere les droites $D : x+2y=5$ et $D' : 3x- y = 1$ et on note $A$ l'intersection des deux droites et $B$ le point de coordonn\'ees $(5,2)$. \begin{enumerate} \item Donner une \'equation cart\'esienne de la droite $(AB)$. \item Donner une \'equation cart\'esienne de la perpendiculaire \`a $D$ passant par $B$. \item Donner une \'equation cart\'esienne de la parall\`ele \`a $D'$ passant par $B$. \item Soit $C$ le point de coordonn\'ees $(2,-7)$). Donner une \'equation cart\'esienne de la m\'ediatrice $\Delta$ du segment $[B,C]$. $\Delta$ est-elle parall\`ele \`a $D$ ? Et \`a $D'$ ? \end{enumerate} \finenonce{001991} \finexercice \exercice{1992, liousse, 2003/10/01} \enonce{001992}{} \begin{enumerate} \item On consid\`ere la famille des droites $D_{\lambda} : x + \lambda y + 1 =0$, o\`u $\lambda \in \Rr$. \begin{enumerate} \item V\'erifier que ces droites passent toutes par un m\^eme point $A$ dont on donnera les coordonn\'ees. \item Parmi toutes ces droites, y en a-t-il une qui est verticale ? Si oui donner une \'equation de cette droite. \item Parmi toutes ces droites, y en a-t-il une qui est horizontale ? Si oui donner une \'equation de cette droite. \item Parmi toutes ces droites, y en a-t-il qui sont parall\`eles, confondues ou perpendiculaires \`a la droite $\Delta$ d'\'equation $2x-3y+1=0$ ? Si oui donner des \'equations de ces droites. \end{enumerate} \item On consid\`ere la famille de droites $D_m$ : $(2m-1)x+(3-m)y+m+1=0$, $m \in \Rr$. Parmi toutes ces droites y en a-t-il une perpendiculaire \`a $(\Delta ): x+y-1=0$? Si oui, laquelle? \end{enumerate} \finenonce{001992} \finexercice \exercice{1993, liousse, 2003/10/01} \enonce{001993}{} On consid\`ere les trois points de $ P$ : $A(2,-3)$, $B(0,-1)$ et $C(-2,-5)$. \begin{enumerate} \item Dessiner le triangle $ABC$ puis calculer son aire. \item Calculer les coordonn\'ees de l'orthocentre $H$, du centre du cercle circonscrit $\Omega$ et du centre de gravit\'e $G$ de $ABC$. \item V\'erifier que $H$, $\Omega$ et $G$ sont align\'es et qu'en particulier $ \overrightarrow{\Omega G} = {1\over 3}\overrightarrow{\Omega H}$. \end{enumerate} \finenonce{001993} \finexercice \exercice{1994, liousse, 2003/10/01} \enonce{001994}{} \begin{enumerate} \item Calculer les angles : \begin{enumerate} \item entre les vecteurs ${\buildrel\rightarrow \over u_1}(\sqrt 3,2)$ et ${\buildrel\rightarrow \over v_1}(1,3\sqrt 3),$ \item entre les vecteurs ${\buildrel\rightarrow \over u_2}(1,\sqrt 2)$ et ${\buildrel\rightarrow \over v_2}(\sqrt 2-2,\sqrt 2+2),$ \item du triangle de sommets $A(-1,0),$ $B(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})$ et $C(\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2}).$ \end{enumerate} \item Calculer la distance du point $A$ \`a la droite $D$ : \begin{enumerate} \item $A(1,1)$ et $D : 2x+y-1 =0$ \item $A(2,-1)$ et $D : 3x-2y+4 =0$ \item $A(3,3)$ et $D : -x+3y+2=0 $. \end{enumerate} \item Trouver les bissectrices de : \begin{enumerate} \item $D : 5x-12y+7 =0$ et $D' : 3x+4y-7 =0$, \item $D : x-3y+5 =0$ et$D' : 3x-y-1 =0$. \end{enumerate} \end{enumerate} \finenonce{001994} \finexercice \exercice{1995, ridde, 1999/11/01} \enonce{001995}{} Soit $ (0, \vec{i}, \vec{j})$ un rep\`ere du plan. D\'eterminer l'expression analytique dans ce rep\`ere de la r\'eflexion d'axe $x + y = 1$. \finenonce{001995} \finexercice \exercice{1996, ridde, 1999/11/01} \enonce{001996}{} Soit $G$ un sous-groupe fini de l'ensemble des isom\'etries du plan. Montrer que $G$ ne peut pas contenir de translation non triviale. \finenonce{001996} \finexercice \exercice{1997, ridde, 1999/11/01} \enonce{001997}{} On consid\`ere dans le plan les deux droites $ (D : 3x + y = 5)$ et \\ $ (D' : x-2y + 3 = 0)$. Quel est l'angle entre ces deux droites ? \finenonce{001997} \finexercice \exercice{1998, ridde, 1999/11/01} \enonce{001998}{} Soit $C$ un cercle de centre $ I = (x_{0}, y_{0})$ et de rayon $R$ et $ (D : ax + by + c = 0)$. En param\'etrant $D$, montrer que $D$ est tangente \`a $C$ (\emph{i.e.} $D\cap C$ est un singleton) ssi $d (I, D) = R$. \finenonce{001998} \finexercice \exercice{1999, ridde, 1999/11/01} \enonce{001999}{} Soient $A$ et $B$ deux points du plan et $\alpha$ un r\'eel. D\'eterminer l'ensemble des points $M$ qui v\'erifient $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB} = \alpha$. \finenonce{001999} \finexercice \exercice{2000, ridde, 1999/11/01} \enonce{002000}{} Soient $A, B, C$ les sommets d'un triangle \'equilat\'eral de cot\'e $1$. D\'eterminer l'ensemble des points $M$ qui v\'erifient $MA^{2} + MB^{2} + MC^{2} = 2$. \finenonce{002000} \finexercice \exercice{2001, ridde, 1999/11/01} \enonce{002001}{} Soient $A$ et $B$ deux points du plan et $k$ un r\'eel strictement positif. D\'eterminer l'ensemble des points $M$ qui v\'erifient $MA = kMB$. \finenonce{002001} \finexercice \exercice{2002, ridde, 1999/11/01} \enonce{002002}{} Quelle est l'application $f : \begin{cases} \Rr^{2} \rightarrow \Rr^{2}\\ \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} \mapsto \frac{1}{5} \begin{pmatrix} -3x-4y\\-4x + 3y-2\end{pmatrix}\end{cases}$ ? \finenonce{002002} \finexercice \exercice{2003, ridde, 1999/11/01} \enonce{002003}{} Soit $X = \left\{ A, B, C, D\right\}$ les sommets d'un carr\'e du plan et $G = \left\{ f\in I_{2}/f (X) = X\right\}$. Montrer que $G$ est un sous-groupe de $I_{2}$. Montrer que si $f\in G$ alors $f (O) = O$ où $O$ est l'isobarycentre de $A, B, C, D$. En d\'eduire les \'el\'ements de $G$. \finenonce{002003} \finexercice \exercice{2004, ridde, 1999/11/01} \enonce{002004}{} D\'eterminer les $z\in \Cc$ tels que $z, z^{2}, z^{4}$ soient align\'es. \finenonce{002004} \finexercice \exercice{2005, ridde, 1999/11/01} \enonce{002005}{} Si $a$ et $b$ sont les affixes de deux sommets oppos\'es d'un carr\'e, calculer les affixes des deux autres. \finenonce{002005} \finexercice \exercice{2006, ridde, 1999/11/01} \enonce{002006}{} Soit $O, A, B$ un triangle rectangle en $O$. A toute droite $D$ issue de $O$ on associe le cercle de diam\`etre $A^{'}B^{'}$ où $A^{'}$ et $B^{'}$ sont les projet\'es orthogonaux de $A$ et $B$ sur $D$. Montrer que tous les cercles passent par un même point fixe (on pourra utiliser une similitude... ). \finenonce{002006} \finexercice \exercice{2007, ridde, 1999/11/01} \enonce{002007}{} Pour $a, b, c$ trois nombres complexes tels que $b\neq c$, on note $V (a, b, c) = \frac{c-a}{c-b}$. Soient $ z_{1}, z_{2}, z_{3}, z_{4}$ quatre nombres complexes distincts. Montrer que les images de ces nombres complexes sont align\'ees ou cocycliques ssi $\frac{V (z_{1}, z_{2}, z_{3})}{V (z_{1}, z_{2}, z_{4})} \in \Rr$. \finenonce{002007} \finexercice \exercice{2008, ridde, 1999/11/01} \enonce{002008}{} Soit $ABCD$ un carr\'e direct et $M$ un point de la droite $ (DC)$. La perpendiculaire \`a $ (AM)$ passant par $A$ coupe $ (BC)$ en $N$. On note I le milieu de $[MN]$. D\'eterminer le lieu des points $I$ lorsque $M$ d\'ecrit la droite $ (DC)$. \finenonce{002008} \finexercice \exercice{2009, ridde, 1999/11/01} \enonce{002009}{} Soient $A, B, C, D$ quatre points distincts du plan tels que $\overrightarrow{AB} \neq \overrightarrow{CD}$. Montrer que le centre de la similitude directe transformant $A$ en $C$ et $B$ en $D$ est aussi le centre de celle transformant $A$ en $B$ et $C$ en $D$. \finenonce{002009} \finexercice \exercice{2010, liousse, 2003/10/01} \enonce{002010}{} Les quatre points $A$, $B$, $C$ et $D$ de l'espace sont-ils coplanaires ? Si oui, donner une \'equation cart\'esienne du plan qui les contient : \begin{enumerate} \item $A(1,2,2)$, $B(-1,-2,-1)$, $C(3,4,4)$ et $D(-2,3,1)$. \item $A(0,1,3)$, $B(1,2,-1)$, $C(1,1,-1)$ et $D(1,2,2)$. \item $A(-1,2,4)$, $B(3,-3,0)$, $C(1,3,4)$ et $D(5,1,-6)$. \item $A(2,-1,0)$, $B(0,-4,5)$, $C(4,-13,13)$ et $D(-4,5,-3)$. \end{enumerate} \finenonce{002010} \finexercice \exercice{2011, liousse, 2003/10/01} \video{UmHg_4CL8x4} \enonce{002011}{} \begin{enumerate} \item Trouver une équation du plan $(P)$ défini par les éléments suivants. \begin{enumerate} \item $A$, $B$ et $C$ sont des points de $(P)$ \begin{enumerate} \item $A(0,0,1)$, $B(1,0,0)$ et $C(0,1,0)$. \item $A(1,1,1)$, $B(2,0,1)$ et $C(-1,2,4)$. \end{enumerate} \item $A$ est un point de $(P)$, $\vec{u}$ et $\vec{v} $ sont des vecteurs directeurs de $(P)$ \begin{enumerate} \item $A(1,2,1)$, $\vec{u} (4,0,3)$ et $\vec{v} (1,3,-1)$. \item $A(1,0,2)$, $\vec u(2,-1,3)$ et $\vec v(-1,4,5)$. \end{enumerate} \item $A$ est un point de $(P)$, $D$ est une droite contenue dans $(P)$ \begin{enumerate} \item $A(0,0,0)$ et $ (D) : \left\{ \begin{array}{l} x + y - z + 3 = 0 \\ 4x - y + 2z = 0 \end{array} \right.$ \item $A(1,1,0)$ et $(D) : \left\{ \begin{array}{l} x = t \\ y = -1 + 2t \\ z = 1 - 3t \end{array} \right.$ \end{enumerate} \item $D$ et $D'$ sont des droites contenues dans $(P)$ \begin{enumerate} \item $(D) :\left\{ \begin{array}{l} x + y - z + 3 = 0\\ x - y - 2 = 0 \end{array} \right.$ et $(D') : \left\{ \begin{array}{l} 3x - y - z + 5 = 0 \\ x + y - z + 1 =0 \end{array} \right.$ \item $(D) :\left\{ \begin{array}{l} x + 2y - z + 1 = 0\\ x + 3y + z - 4 = 0 \end{array} \right.$ et $(D') : \left\{ \begin{array}{l} 2x + y - 3z + 7 = 0 \\ 3x + 2y + z - 1 =0 \end{array} \right.$ \end{enumerate} \end{enumerate} \item Montrer que les représentations paramétriques suivantes définissent le m\^eme plan : $$\left\{ \begin{array}{l}x=2+s+2t \\ y=2+2s+t \\ z=1-s-t \end{array} \right. \quad \text{ et } \quad \left\{ \begin{array}{l} x=1+3s'-t'\\ y=3+3s'+t'\\ z=1-2s' \end{array} \right.$$ \end{enumerate} \finenonce{002011} \finexercice \exercice{2012, liousse, 2003/10/01} \enonce{002012}{} Les plans suivants sont-ils parall\`eles ou s\'ecants? Dans ce dernier cas, donner un vecteur directeur de la droite $(D)=(P) \cap (P')$. \begin{enumerate} \item $(P): 5x-y-1=0$ et $(P'): z=3$. \item $(P): x+y+z+1=0$ et $(P'): 2x-y+3z+2=0$. \item $(P): 2x-z+1=0$ et $(P'): 4x-3y+2z+5=0$. \item $(P): 4x-6y+8z-1=0$ et $(P'): -6x+12y-9z+11=0$. \end{enumerate} \finenonce{002012} \finexercice \exercice{2013, liousse, 2003/10/01} \enonce{002013}{} Quelle est la nature de l'intersection des trois plans suivants? Si c'est un point en donner les coordonn\'ees, si c'est une droite en donner un vecteur directeur. \begin{enumerate} \item $(P): z=1$, $(P'): x-y-2=0$ et $(P"): 4x-2y+z+2=0$. \item $(P): 4x-2y+3z+5=0$, $(P'): 3x+y-z+2=0$ et $(P"): x-y+z+1=0$. \item $(P): 4x-2y+10z-4=0$, $(P'): -10x+5y-25z+13=0$ et $(P"): x+y-z+1=0$. \item $(P): 3x-y+2z-5=0$, $(P'): x-y+3z-7=0$ et $(P"): 4x+2y-z+1=0$. \item $(P): x-y+2z-1=0$, $(P'): 2x+y+z+3=0$ et $(P"): x-4y+5z-6=0$. \item $(P): x-y+2z-1=0$, $(P'): 2x+y-z+1=0$ et $(P"): x+5y-8z+2=0$. \end{enumerate} \finenonce{002013} \finexercice \exercice{2014, liousse, 2003/10/01} \enonce{002014}{} Les droites suivantes sont-elles s\'ecantes, parall\`eles ou non coplanaires ? Si elles sont s\'ecantes donner leur point d'intersection et si elles sont parall\`eles donner un vecteur directeur. \begin{enumerate} \item $(D) : \left\{ \begin{array}{l} x+y-z+2=0\\ x+y+z+1=0 \end{array} \right.$ et $(D') : \left\{ \begin{array}{l} 3x-y+2z-7=0 \\ x-y=0 \end{array} \right.$ \item $(D) :\left\{ \begin{array}{l} x=1-2t \\ y=t+2 \\ z=3t+1 \end{array} \right.$ et $(D') : \left\{ \begin{array}{l} x=3t-1 \\ y=-t+2 \\ z=2t \end{array} \right.$ \end{enumerate} \finenonce{002014} \finexercice \exercice{2015, liousse, 2003/10/01} \enonce{002015}{} Dans chacun des cas suivants dire si la droite $(D)$ et le plan $(P)$ sont parall\`eles ou s\'ecants. Donner alors leur point d'intersection. \begin{enumerate} \item $(D): \left\{ \begin{array}{l} 5x-3y+2z-5=0 \\ 2x-y-z-1=0 \end{array} \right.$ et $(P): 4x-3y+7z-7=0$. \item $(D): \left\{ \begin{array}{l} x=3+2t\\ y=5-3t\\ z=2-2t \end{array} \right.$ et $(P): -3x+2y+3z-5=0$. \end{enumerate} \finenonce{002015} \finexercice \exercice{2016, liousse, 2003/10/01} \enonce{002016}{} On consid\`ere les cinq points suivants: $A(1,2,-1)$, $B(3,2,0)$, $C(2,1,-1)$, $D(1,0,4)$ et $E(-1,1,1)$. \begin{enumerate} \item Ces quatre points sont-ils coplanaires ? \item D\'eterminer la nature du triangle $ABC$. $A$, $B$ et $C$ sont-ils align\'es, si non donner une \'equation cat\'esienne du plan $P$ qui les contient. \item D\'eterminer les coordonn\'ees du barycentre $G$ des points $A$, $B$, $C$ et $D$. \item Montrer que $O$, $D$ et $G$ sont align\'es et que la droite $OD$ est perpendiculaire \`a $P$. \end{enumerate} \finenonce{002016} \finexercice \exercice{2017, liousse, 2003/10/01} \enonce{002017}{} Soient $D_1$, $D_2$ et $D_3$ trois droites concourrantes en $\Omega$ et soient $P$, $P'$ et $P''$ trois plans tels que aucun ne contient aucune des 3 droites ci dessus. On peut alors d\'efinir les 9 points d'intersections : $P$ coupe $D_1$, $D_2$, $D_3$ en $A$, $B$, $C$ ; $P'$ coupe $D_1$, $D_2$, $D_3$ en $A'$, $B'$, $C'$ ; $P'$ coupe $D_1$ $D_2$, $D_3$ en $A''$, $B''$, $C''$ ; On consid\`ere aussi les intersections suivantes : $I=(AB')\cap (A'B)$ , $J=(AC')\cap (A'C)$ ,$K=(BC')\cap (B'C)$. Montrer que les droites $(A''K)$, $B''J)$ et $(C''I)$ sont parall\`elles ou concourrantes. ({\it Indication : utiliser un bon rep\`ere affine}). \finenonce{002017} \finexercice \exercice{2018, liousse, 2003/10/01} \enonce{002018}{} On consid\`ere les quatre points suivants: $A(2,0,0)$, $B(-1,\sqrt{3},0)$, $C(-1,-\sqrt{3},0)$, $D(0,0,4)$. D\'eterminer un vecteur directeur de la droite $(ABC) \cap (ADE)$. \finenonce{002018} \finexercice \exercice{2019, liousse, 2003/10/01} \enonce{002019}{} Donner une condition sur $m$ pour que les trois plans suivants se coupent sur une m\^eme droite. $(P): x+my-z+1=0$, $(P'): (m+1)x+3y+4z-2=0$ et $(P"): y+(2m+4)z-(2m+2)=0$. \finenonce{002019} \finexercice \exercice{2020, liousse, 2003/10/01} \video{0i30Mt7oXdU} \enonce{002020}{} On considère la famille de plans $(P_m)_{m\in \Rr}$ définis par les équations cartésiennes : $$ m^2x+(2m-1)y+mz=3$$ \begin{enumerate} \item Déterminer les plans $P_m$ dans chacun des cas suivants : \begin{enumerate} \item $A(1,1,1)\in P_m$ \item $\vec{n}(2,-\frac 52,-1)$ est normal à $P_m$. \item $\vec{v}(1,1,1)$ est un vecteur directeur de $P_m$ \end{enumerate} \item Montrer qu'il existe un unique point $Q$ appartenant à tous les plans $P_m$. \end{enumerate} \finenonce{002020} \finexercice \exercice{2021, liousse, 2003/10/01} \video{6HAwYKkwS8Y} \enonce{002021}{} \begin{enumerate} \item Déterminer la distance du point $A$ au plan $(P)$ \begin{enumerate} \item $A(1,0,2)$ et $(P): 2x+y+z+4=0$. \item $A(3,2,1)$ et $(P): -x+5y-4z=5$. \end{enumerate} \item Calculer la distance du point $A(1,2,3)$ à la droite $(D): \left\{ \begin{array}{l} -2x+y-3z=1\\ x+z=1 \end{array} \right.$ \end{enumerate} \finenonce{002021} \finexercice \exercice{2022, liousse, 2003/10/01} \enonce{002022}{} On consid\`ere les deux droites $(D): \left\{ \begin{array}{l} y-z=3\\ -x-y+2=0 \end{array} \right. $ et $(\Delta):\left\{ \begin{array}{l} -x+3z=1 \\ -x-3y=2 \end{array} \right. .$ \begin{enumerate} \item Donner un vecteur directeur de $D$ et de $\Delta$. \item Donner une \'equation param\'etrique de $\Delta$. \item On fixe un point $M_{\alpha}$ de $\Delta$ d\'ependant du param\`etre $\alpha$ o\`u $\alpha$ est l'abscisse de point $M_{\alpha}$. Donner une \'equation du plan $P_{\alpha}$ passant par $M_{\alpha}$ et contenant $D$. \item Parmi tous ces plans, y en a-t-il un qui est perpendiculaire \`a $\Delta$ ? Pour quelle valeur $\alpha_0$ de $\alpha $ est il obtenu ? Donner une \'equation de ce plan. Donner les coordonn\'ees de $M_{\alpha_0}$. \end{enumerate} \finenonce{002022} \finexercice \exercice{2023, liousse, 2003/10/01} \enonce{002023}{} On se donne $2$ droites $D_1$ et $D_2$ ayant comme vecteurs directeurs respectifs $ \vec{u_1}$ et $\vec{u_2}$. \begin{enumerate} \item Perpendiculaire commune \`a ces deux droites. \begin{enumerate} \item On suppose que $ \vec{u_1}$ et $\vec{u_2}$ ne sont pas colin\'eaires et on note $ \vec{n}:=\vec{u_1} \wedge \vec{u_2} $. \begin{enumerate} \item Montrer que le plan $P_1$ contenant $D_1$ et admettant $\vec{n}$ comme vecteur directeur et le plan $P_2$ contenant $D_2$ et admettant $\vec{n}$ comme vecteur directeur se coupent en une droite $\Delta$. \item Montrer que $\Delta$ est une perpendiculaire commune \`a $D_1$ et $D_2$ (c'est \`a dire $\Delta$ coupe $D_1$ et $D_2$, et est orthogonale \`a $D_1$ et \`a $D_2$). \item Montrer que $\Delta$ est la seule perpendiculaire commune \`a $D_1$ et $D_2$. \end{enumerate} \item Comment construire $\Delta$ dans le cas o\`u $D_1$ et $D_2$ sont parall\`elles ? \end{enumerate} \item Distance entre ces deux droites. Soit $H_1:= D_1\cap \Delta$ et $H_2:= D_2\cap \Delta$. Montrer que pour tout $A_1\in D_1$ et tout $A_2\in D_2$, on a $d(A_1,A_2)\geq d(H_1,H_2)$. $ d(H_1,H_2)$ est appel\'ee {\it distance entre les deux droites $D_1$ et $D_2$}. \item Donner des \'equations cart\'esiennes pour $\Delta$ et calculer la distance entre les deux droites $D_1$ et $D_2$ dans le cas suivant : \begin{enumerate} \item $(D_1): \left\{\begin{array}{l} x-y-z+4=0 \\ -x-2y-3z+9=0\end{array} \right.$ et $(D_2): \left\{\begin{array}{l} -x+2y+z+2=0 \\-2x+4y-z+1=0\end{array} \right. $ \item $(D_1): \left\{\begin{array}{l} x+y-z+2=0 \\ x+y+z+1=0 \end{array} \right.$ et $(D_2):\left\{\begin{array}{l} 3x-y+2z-7=0 \\ x-y=0 \end{array} \right.$ \item $(D_1):\left\{\begin{array}{l} x=1-2t\\ y=t+2\\ z=3t+1 \end{array} \right.$ et $(D_2):\left\{\begin{array}{l} x=3t-1\\ y=-t+2\\ z=2t \end{array} \right. $ \item $(D_1): \left\{ \begin{array}{l} x-y-z-2=0 \\ x-2y-3z+1=0 \end{array} \right. $ et $(D_2): \left\{\begin{array}{l} x+y+2z-1=0 \\ 2x+y+z+2=0 \end{array} \right.$ \end{enumerate} \end{enumerate} \finenonce{002023} \finexercice \exercice{2024, liousse, 2003/10/01} \enonce{002024}{} \begin{enumerate} \item D\'eterminer les plans bissecteurs de : $P: x+y+z+3=0$ et $P' : 2x + y+2z=1$ $Q : 5x + 3y -4z =8$ et $Q':4x-5y-3z=2$. \item D\'eterminer l'ensemble des points de l'espace \'equidistants des trois axes de coordonn\'ees. \item On consid\`ere la droite $D$ d'\'equation param\'etrique $\left\{\begin{array}{l} x=3t-1 \\ y=1 \\ z=-t-1\end{array} \right.$ Donner une \'equation des deux plans $P$ et $P'$ contenant $D$ \`a une distance de 1 de l'origine (point $O$ de coordonn\'ees $(0,0,0)$). \end{enumerate} \finenonce{002024} \finexercice \exercice{2025, ridde, 1999/11/01} \enonce{002025}{} D\'eterminer l'expression analytique de la r\'eflexion $s$ de plan $x + y-z = 1$. Quelle est l'image par $s$ du plan $x + 2y -3z + 1 = 0$ ? \finenonce{002025} \finexercice \exercice{2026, ridde, 1999/11/01} \enonce{002026}{} D\'eterminer la distance du point $M = (1, 2, 3)$ aux droites $$D\begin{cases}x + y-2z = 1\\2x-y + z + 1 = 0\end{cases} \text{ et } \Delta \begin{cases}x = 1 + 2t\\y = 2-t\\z = 2 + 2t\end{cases}$$ \finenonce{002026} \finexercice \exercice{2027, cousquer, 2003/10/01} \enonce{002027}{} Soit deux plans $\left\{ \begin{array}{lrcl} \pi: & ux+vy+wz+h & = & 0 \\ \pi': & u'x+v'y+w'z+h' & = & 0 \end{array} \right.$. \begin{enumerate} \item Montrer que si $\pi$ et $\pi'$ sont sécants, tout plan passant par leur droite d'intersection~$D$ a une équation du type $$\lambda(ux+vy+wz+h)+\mu(u'x+v'y+w'z+h')=0$$ et réciproquement, tout plan ayant une équation de ce type, (pour un couple $(\lambda, \mu$) donné) passe par~$D$. \item Si $\pi$ et $\pi'$ sont parallèles, que représente l'ensemble des plans d'équation~: $$\lambda(ux+vy+wz+h)+\mu(u'x+v'y+w'z+h')=0$$ \end{enumerate} \finenonce{002027} \finexercice \exercice{2028, cousquer, 2003/10/01} \enonce{002028}{} Écrire l'équation du plan passant par la droite $\left\{ \begin{array}{rcl} 3x+2y+5z+6 & = & 0 \\ x+4y+3z+4 & = & 0 \end{array}\right.$ et parallèle à la droite $\displaystyle\frac{x-1}{3}= \frac{y-5}{2}=\frac{z+1}{-3}$. \finenonce{002028} \finexercice \exercice{2029, cousquer, 2003/10/01} \enonce{002029}{} Soit la droite d'équations $\left\{ \begin{array}{rcl} 3x-2y-z+4 & =& 0 \\ x-4y-3z-2 & = & 0 \end{array}\right.$. Trouver sa projection sur le plan $5x+2y+2z-7=0$. \finenonce{002029} \finexercice \exercice{2030, cousquer, 2003/10/01} \enonce{002030}{} Soit les droites $D$ et $D'$ non coplanaires~: $$(D) \;\left\{ \begin{array}{rcl} x-y+z+1 & = & 0 \\ 2x+y-z & = & 0 \end{array}\right.\quad \mbox{et}\quad (D') \; \left\{ \begin{array}{rcl} x+2y+z & = & 0 \\ 2x-2y-2z-1 & = & 0 \end{array}\right.$$ Trouver des équations de leur perpendiculaire commune. \finenonce{002030} \finexercice \exercice{2698, matexo1, 2002/02/01} \enonce{002698}{} Soit $ABC$ un triangle \'equilat\'eral de c\^ot\'e unit\'e et $T_0$ son int\'erieur. On consid\`ere les figures g\'eom\'etriques $T_n$ obtenues par r\'ecurrence de la mani\`ere suivante\,: sur chaque c\^ot\'e $MN$ de $T_{n-1}$, on ajoute l'int\'erieur d'un triangle \'equilat\'eral $PQR$, o\`u $P$ et $Q$ sont sur le segment $[MN]$, aux tiers de sa longueur, et $R$ est ext\'erieur \`a $T_{n-1}$. Finalement on d\'efinit le sous-ensemble du plan $K$ par $$ K = \bigcup_{n\geq 0} T_n.$$ \begin{enumerate} \item Faire un dessin respr\'esentant $T_0$, $T_1$, $T_2$... \item Donner l'aire de $T_n$ sous forme de s\'erie. Quelle est l'aire de $K$\,? \item M\^emes questions avec le p\'erim\`etre, puis le diam\`etre de $T_n$ et $K$. \end{enumerate} \finenonce{002698} \finexercice \exercice{5195, rouget, 2010/06/30} \enonce{005195}{**I} $(ABC)$ est un vrai triangle. \begin{enumerate} \item Montrer que ses médianes sont concourantes en $G$ l'isobarycentre de $(ABC)$. \item Montrer que ses médiatrices sont concourantes en $O$ le centre du cercle circonscrit à $(ABC)$. \item Montrer que ses hauteurs sont concourantes en $H$ l'orthocentre de $(ABC)$ puis montrer la relation d'\textsc{Euler}~: $\overrightarrow{OH}=3\overrightarrow{OG}$ (considérer l'homothétie de centre $G$ et de rapport $-2$). \item Montrer que ses bissectrices (intérieures) sont concourantes en $I$ le centre du cercle inscrit. \end{enumerate} \finenonce{005195} \finexercice \exercice{5196, rouget, 2010/06/30} \enonce{005196}{**IT} On donne les points $A(1,2)$, $B(-2,1)$ et $C(0,4)$. \begin{enumerate} \item Déterminer $\widehat{BAC}$ au degré près. \item Déterminer l'aire du triangle $(ABC)$. \item Déterminer son isobarycentre, son orthocentre, le centre de son cercle circonscrit puis une équation de ce cercle. \item Déterminer une équation des bissectrices de l'angle $\widehat{BAC}$ puis de la bissectrice intérieure à l'angle $\widehat{A}$. \end{enumerate} \finenonce{005196} \finexercice \exercice{5199, rouget, 2010/06/30} \enonce{005199}{**} Soit $(E)$ l'ensemble d'équation cartésienne $2x^2+5xy+3y^2-3x-2y-5=0$. Montrer que $(E)$ est une réunion de deux droites. Déterminer l'aire du parallélogramme formé par ces deux droites et les parallèles à ces deux droites passant par $O$. \finenonce{005199} \finexercice \exercice{5200, rouget, 2010/06/30} \enonce{005200}{**} Déterminer un cercle tangent aux trois droites d'équations respectives $y=2x+1$, $y=2x+7$ et $y=-\frac{1}{2}x$. \finenonce{005200} \finexercice \exercice{5202, rouget, 2010/06/30} \enonce{005202}{***I} \label{exo:suprou8bis} Soient $n$ un entier supérieur ou égal à $2$, puis $A_1$, $A_2$,..., $A_n$ $n$ points du plan. Existe-t-il $n$ points $B_1$, $B_2$,..., $B_n$ tels que, pour $i\in\{1,...,n\}$, $A_i$ soit le milieu de $[B_i,B_{i+1}]$ (avec la convention $B_{n+1}=B_1$)~? (Utiliser l'exercice précédent.) \finenonce{005202} \finexercice \exercice{5203, rouget, 2010/06/30} \enonce{005203}{*T} Soit $\mathcal{C}$ la courbe d'équation $x^2+y^2-2x+4y+1=0$. \begin{enumerate} \item Déterminer une équation de la tangente au point de $\mathcal{C}$ de coordonnées $(2,-2+\sqrt{3})$. \item Déterminer l'intersection de $\mathcal{C}$ et du cercle de centre $(1,0)$ et de rayon $2$. \end{enumerate} \finenonce{005203} \finexercice \exercice{5204, rouget, 2010/06/30} \enonce{005204}{*** Théorème de \textsc{Ménélaüs}} Soient $A$, $B$ et $C$ trois points non alignés. Soient $M$, $N$ et $P$ trois points appartenant respectivement aux droites $(BC)$, $(CA)$ et $(AB)$ et distincts de $A$, $B$ et $C$. Montrer que~:~ $$(M,\;N,\;\mbox{et}\;P\;\mbox{sont alignés})\Leftrightarrow(\frac{\overline{MB}}{\overline{MC}}.\frac{\overline{NC}}{\overline{NA}}\frac{\overline{PA}} {\overline{PB}}=1).$$ (Trouver une démonstration utilisant le théorème de \textsc{Thalès}, une utilisant la composée de deux homothéties et une utilisant des coordonnées.) \finenonce{005204} \finexercice\exercice{5208, rouget, 2010/06/30} \enonce{005208}{** Faisceaux de droites} \begin{enumerate} \item Soient $(D)$ et $(D')$ deux droites sécantes d'équation respectives $ax+by+c=0$ et $a'x+b'y+c'=0$, $(a,b)\neq(0,0)$, $(a',b')\neq(0,0)$. Soit $(\Delta)$ une droite. Montrer que $(D)$, $(D')$ et $(\Delta)$ sont concourantes si et seulement si il existe $(\Delta)$ a une équation cartésienne de la forme $\lambda(ax+by+c)+\mu(a'x+b'y+c')=0$, $(\lambda,\mu)\neq(0,0)$. \item Equation cartésienne de la droite passant par le point $(1,0)$ et par le point d'intersection des droites d'équations respectives $5x+7y+1=0$ et $-3x+2y+1=0$ \item Pour $m\in\Rr$, on considère $(D_m)$ la droite d'équation $(2m-1)x+(m+1)y-4m-1=0$. Montrer que les droites $(D_m)$ sont concourantes en un point $A$ que l'on précisera. Toute droite passant par $A$ est-elle une droite $(D_m)$~? \end{enumerate} \finenonce{005208} \finexercice\exercice{5510, rouget, 2010/07/15} \enonce{005510}{**} Dans $\Rr^3$, soient $(D)$ $\left\{ \begin{array}{l} x-z-a=0\\ y+3z+1=0 \end{array} \right.$ et $(D')$ $\left\{ \begin{array}{l} x+2y+z-2b=0\\ 3x+3y+2z-7=0 \end{array} \right.$. Vérifier que $(D)$ et $(D')$ ne sont pas parallèles puis trouver $a$ et $b$ pour que $(D)$ et $(D')$ soient sécantes. Former alors une équation cartésienne de leur plan. \finenonce{005510} \finexercice \exercice{5511, rouget, 2010/07/15} \enonce{005511}{**} Système d'équations cartésiennes de la droite $(\Delta)$ parallèle à la droite $(D)$~:~$2x=3y=6z$ et sécante aux droites $(D_1)$~:~$x=z-4=0$ et $(D_2)$~:~$y=z+4=0$. \finenonce{005511} \finexercice \exercice{5512, rouget, 2010/07/15} \enonce{005512}{***} Trouver toutes les droites sécantes aux quatre droites $(D_1)$~$x-1=y=0$, $(D_2)$~:~$y-1=z=0$, $(D_3)$~:~$z-1=x=0$ et $(D_4)$~:~$x=y=-6z$. \finenonce{005512} \finexercice \exercice{5513, rouget, 2010/07/15} \enonce{005513}{**T} Dans $\Rr^3$ euclidien rapporté à un repère orthonormé, on donne $A(2,-2,0)$, $B(4,2,6)$ et $C(-1,-3,0)$. Déterminer l'orthocentre, le centre de gravité, les centres des cercles circonscrits et inscrits au triangle $(A,B,C)$. \finenonce{005513} \finexercice\exercice{5514, rouget, 2010/07/15} \enonce{005514}{**T} Soit $M(x,y,z)$ un point de $\Rr^3$ rapporté à un repère orthonormé. Déterminer la distance de $M$ à la droite $(D)$ $\left\{ \begin{array}{l} x+y+z+1=0\\ 2x+y+5z=2 \end{array} \right.$. En déduire une équation du cylindre de révolution d'axe $(D)$ et de rayon $2$. \finenonce{005514} \finexercice \exercice{5515, rouget, 2010/07/15} \enonce{005515}{**T} Dans $\Rr^3$ rapporté à un repère orthonormé, soient $(D)$ $\left\{ \begin{array}{l} x+y+z+1=0\\ 2x+y+5z=2 \end{array} \right.$ et $(D')$ $\left\{ \begin{array}{l} x+y+z=2\\ 2x+y-5z=3 \end{array} \right.$. Déterminer la distance de $(D)$ à $(D')$ puis la perpendiculaire commune à ces deux droites. \finenonce{005515} \finexercice \exercice{5516, rouget, 2010/07/15} \enonce{005516}{**} Montrer que les plans $(P_1)$~:~$z-2y=5$, $(P_2)$~:~$2x-3z=0$ et $(P_3)~:~3y-x=0$ admettent une parallèle commune. Ils définissent ainsi un prisme. Déterminer l'aire d'une section perpendiculaire. \finenonce{005516} \finexercice \exercice{5517, rouget, 2010/07/15} \enonce{005517}{*T} Angle des plans $x+2y+2z=3$ et $x+y=0$. \finenonce{005517} \finexercice \exercice{5518, rouget, 2010/07/15} \enonce{005518}{**T} Soient $(P_1)~:~4x+4y-7z-1=0$ et $(P_2)~:~8x-4y+z+7=0$. Trouver une équation cartésienne des plans bissecteurs de $(P_1)$ et $(P_2)$. \finenonce{005518} \finexercice \exercice{5519, rouget, 2010/07/15} \enonce{005519}{**T} Déterminer la perpendiculaire commune aux droites $(D)$ et $(D')$~:~$(D)$ $\left\{ \begin{array}{l} x+y-3z+4=0\\ 2x-z+1=0 \end{array} \right.$ et $(D')$ $\left\{ \begin{array}{l} x=z-1\\ y=z-1 \end{array} \right.$. \finenonce{005519} \finexercice \exercice{5521, rouget, 2010/07/15} \enonce{005521}{**I} Déterminer les différents angles d'un tétraèdre régulier (entre deux faces, entre deux arêtes et entre une arête et une face). \finenonce{005521} \finexercice \exercice{5522, rouget, 2010/07/15} \enonce{005522}{**T} Déterminer la distance de l'origine $O$ à la droite $(D)$ dont un système d'équations cartésiennes est $\left\{ \begin{array}{l} x-y-z=0\\ x+2y-z=10 \end{array} \right.$. \finenonce{005522} \finexercice \exercice{6884, rouget, 2012/09/05} \video{CGIhcrD5Jtg} \enonce{006884}{} % Exos de J.-L. Rouget #5197 légèrement modifié Déterminer le projeté orthogonal du point $M_0(x_0,y_0)$ sur la droite $(D)$ d'équation $2x-3y=5$ ainsi que son symétrique orthogonal. \finenonce{006884} \finexercice\exercice{7415, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007415}{Questions de cours} \begin{enumerate} \item Rappeler les définitions du parallélisme et du parallélisme faible. \item Soit $(\lambda_i)$ $p$ nombre réels de somme égale à $1$ et $M_i$ $p$ points d'un espace affine. Rappeler le sens de la notation $\sum_i \lambda_i M_i$. Est-il nécessaire que les points $M_i$ soient distincts ? \end{enumerate} \finenonce{007415} \finexercice \exercice{7416, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007416}{} Donner la liste des sous-espaces affines du plan affine $\Rr^2$ et de l'espace affine $\Rr^3$. \finenonce{007416} \finexercice \exercice{7417, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007417}{Avec le cours} \begin{itemize} \item Deux plans de l'espace affine $\Rr^3$ peuvent-ils avoir un unique point d'intersection ? \item Dans l'espace affine $\Rr^n$, quelle est la dimension d'un sous-espace affine défini par deux équations affines indépendantes ? \end{itemize} \finenonce{007417} \finexercice \exercice{7418, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007418}{Avec le cours} Soit $A,B,C,D$ quatre points d'un plan affine. Soit $I$ le milieu de $[C,D]$. L'isobarycentre des points $A,B,C,D$ est-il le centre de gravité du triangle $A,B,I$? \finenonce{007418} \finexercice \exercice{7419, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007419}{Dans $\Rr^3$, à partir d'équations} Soit l'espace affine $\Rr^3$ muni d'un repère affine $A_0,A_1,A_2,A_3$. \begin{enumerate} \item Montrer que le sous-ensemble $A$ de l'espace affine $\Rr^3$ d'équation $$M\left(\begin{array}{c} x\\y\\z\end{array}\right)\in A\iff \left\{ \begin{array}{c} 2x-y-z-3=0\\x+y-2z=3 \end{array} \right.$$ est un sous-espace affine. Préciser sa dimension, l'espace vectoriel directeur et un repère affine. \item Même question avec $B$ d'équation $$M\left(\begin{array}{c} x\\y\\z\end{array}\right)\in B\iff \left\{ \begin{array}{c} x+y=2\\2x+2y=3z+1\\5x+5y=10z \end{array} \right.$$ \end{enumerate} \finenonce{007419} \finexercice \exercice{7420, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007420}{Dans $\Rr^3$, trouver des équations} Soit l'espace affine $\Rr^3$ muni d'un repère affine $A_0,A_1,A_2,A_3$. \begin{enumerate} \item Trouver un système d'équations pour le sous-espace affine $\mathcal{A}$ passant par le point $\displaystyle A\left(\begin{array}{c} 1\\2\\3\end{array}\right)$ et parallèle au plan d'équation $(2x-y-z=5)$. \item Trouver un système d'équations pour le sous-espace affine $\mathcal{B}$ passant par le point $\displaystyle A\left(\begin{array}{c} 1\\2\\3\end{array}\right)$ de direction $\Rr \vec{u}\oplus \Rr\vec{v}$ o{ù} $\vec{u}$ est le vecteur de coordonées $\left(\begin{array}{c} -1\\0\\3\end{array}\right)$ et $\vec{v}$ le vecteur de coordonées $\left(\begin{array}{c} 2\\1\\3\end{array}\right)$ dans la base $(\vec{A_0A_1},\vec{A_0A_2}\vec{A_0A_3})$. \item Trouver un système d'équations pour le sous-espace affine $\mathcal{C}$ engendré par les points $\displaystyle A\left(\begin{array}{c} 1\\2\\3\end{array}\right)$, $\displaystyle B\left(\begin{array}{c} 4\\0\\-1\end{array}\right)$ et $\displaystyle C\left(\begin{array}{c} 1\\1\\0\end{array}\right)$. \end{enumerate} \finenonce{007420} \finexercice \exercice{7421, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007421}{Dans $\Rr^3$, trouver encore des équations} Soit l'espace affine $\Rr^3$ muni d'un repère affine $A_0,A_1,A_2,A_3$. \begin{enumerate} \item Trouver un système d'équations pour le sous-espace affine $\mathcal{D}$ passant par le point $\displaystyle A\left(\begin{array}{c} 1\\2\\3\end{array}\right)$ et parallèle à la droite d'équation $\left\{\begin{array}{c}2x-y-z=5\\x+y+z=3\end{array}\right.$. \item Trouver un système d'équations pour le sous-espace affine $\mathcal{E}$ passant par le point $\displaystyle A\left(\begin{array}{c} 1\\2\\3\end{array}\right)$ de direction $\Rr \vec{u}$ o{ù} $\vec{u}$ est le vecteur de coordonées $\left(\begin{array}{c} -1\\0\\3\end{array}\right)$ dans la base $(\vec{A_0A_1},\vec{A_0A_2}\vec{A_0A_3})$. \item Trouver un système d'équations pour le sous-espace affine $\mathcal{F}$ engendré par les points $\displaystyle A\left(\begin{array}{c} 1\\2\\3\end{array}\right)$ et $\displaystyle B\left(\begin{array}{c} 4\\0\\-1\end{array}\right)$. \end{enumerate} \finenonce{007421} \finexercice \exercice{7422, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007422}{Calcul en coordonnées cartésiennes dans le plan} Soit $a$ et $b$ deux réels non nuls distincts. Dans un plan affine muni d'un repère, calculer une équation cartésienne de la droite $\Delta$ passant par le point de coordonnées $(a,b)$ et par le point d'intersection des deux droites $D$ d'équation $x/a+y/b=1$ et $D'$ d'équation $x/b+y/a=1$. \finenonce{007422} \finexercice \exercice{7423, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007423}{Deux droites sécantes dans l'espace} Dans un espace affine de dimension $3$ muni d'un repère affine. \begin{enumerate} \item Montrer que les droites $D$ et $D'$ d'équations cartésiennes $$D ~:~x+y-z-2=0\quad \text{ et } \quad 2x-y+3z-1=0$$ et $$D' ~:~x-2y-3\quad \text{ et } \quad 3x+6y-1$$ sont concourantes. \item Trouver une équation cartésienne du plan qu'elles déterminent. \end{enumerate} \finenonce{007423} \finexercice \exercice{7424, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007424}{Sur les médianes} Dans l'espace affine $\Rr^2$, on considère le triangle $ABC$. Choisir un repère affine $A_0,A_1,A_2$ adapté pour montrer simplement que les médianes du triangle $ABC$ sont concourantes. On devra calculer une équation pour chaque médiane et montrer qu'elles sont concourantes. \finenonce{007424} \finexercice \exercice{7425, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007425}{Dessiner} Dans le plan affine $\Rr^2$ muni d'un repère $A_0,A_1,A_2$, représenter l'enveloppe convexe des points donnés en coordonnées cartésiennes $\displaystyle A\left(\begin{array}{c} -2\\ -3\end{array}\right)$, $\displaystyle B\left(\begin{array}{c} 0\\0\end{array}\right)$, $\displaystyle C\left(\begin{array}{c} 0\\4\end{array}\right)$, $\displaystyle D\left(\begin{array}{c} 4\\3\end{array}\right)$, $\displaystyle E\left(\begin{array}{c} 5\\0\end{array}\right)$. \finenonce{007425} \finexercice \exercice{7426, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007426}{Une propriété des tétraèdres} Soient $\mathcal{E}$ un espace affine de dimension 3, et $A,B,C,D$ un tétraèdre de $\mathcal{E}$. Montrer que les droites joignant les milieux des cotés opposés du tétraèdre sont concourantes. \finenonce{007426} \finexercice \exercice{7427, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007427}{Centre de gravité} Dans un plan affine, soit $ABC$ et $A'B'C'$ deux triangles de centre de gravité $G$ et $G'$ respectivement. \begin{enumerate} \item Calculer $\vec{AB'}+\vec{BC'}+\vec{CA'}$ en fonction de $G$ et $G'$. \item Montrer que $ABC$ et $A'B'C'$ ont le même centre de gravité si et seulement s'il existe un point $D$ tel que $DBA'C$ et $DB'AC'$ soient des parallélogrammes. \end{enumerate} \finenonce{007427} \finexercice \exercice{7428, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007428}{Localiser des points en coordonnées barycentriques} \begin{enumerate} \item Soit $(AB)$ une droite dans un espace affine déterminée par deux points distincts $A$ et $B$. Décrire à l'aide des coordonnées barycentriques dans le repère $AB$ les trois régions de la droite découpées par les points $A$ et $B$. \item Soit $ABC$ un triangle non plat dans un plan affine $E$. Décrire à l'aide des coordonnées barycentriques dans le repère $ABC$ les sept régions découpées par les droites qui portent les cotés du triangle $ABC$. \end{enumerate} \finenonce{007428} \finexercice \exercice{7429, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007429}{Exercice de construction} On suppose savoir tracer la parallèle à une droite donnée passant par un point donné. On peut utiliser un compas mais seulement pour reporter des longueurs égales. Partager en sept parties de même longueur un segment donné. \finenonce{007429} \finexercice \exercice{7430, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007430}{Dans un plan affine} On considère dans l'espace affine $\Rr^2$ un triangle non aplati $ABC$. Soit $(a,b)$, $(c,d)$ et $(e,f)$ trois couples de nombre réels de somme non nulle. On désigne par $C'$ le barycentre de $(A,a ;B,b)$, $A'$ le barycentre de $(B,c ;C,d)$ et $B'$ le barycentre de $(C,e ;A,f)$. Montrer que $A', B'$ et $C'$ sont alignés si et seulement si $ace=-bdf$. \finenonce{007430} \finexercice \exercice{7431, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007431}{} Une application affine peut-elle avoir exactement deux points fixes distincts ? Donner un exemple d'application affine sans point fixe, qui n'est pas une translation. \finenonce{007431} \finexercice \exercice{7432, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007432}{} Soit le plan affine $E$ muni du repère cartésien $(A,\vec{u},\vec{v})$. On considère l'application $f$ qui à tout $\displaystyle M\left(\begin{array}{c} x\\y\end{array}\right)$ associe le point $M'\left(\begin{array}{c} 2x-5y+3\\-4x+10y-1\end{array}\right)$. \begin{enumerate} \item Montrer que $f$ est affine et écrire la matrice de son application linéaire associée $\vec{f}$ dans la base $(\vec{u},\vec{v})$. \item Déterminer les points fixes de $f$. \item Montrer que $Im\vec{f}$ et $Ker\vec{f}$ sont supplémentaires dans $\vec{E}$. Donner une base de chacun de ces sous-espaces. \end{enumerate} \finenonce{007432} \finexercice \exercice{7433, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007433}{Les translations} Montrer à l'aide de la règle du parallélogramme que les seules applications affines dont la partie linéaire est l'identité sont les translations. \finenonce{007433} \finexercice \exercice{7434, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007434}{Les homothéties} Soit $E$ un espace affine et $f$ une application affine dont la partie linéaire est multiple de l'identité de $\vec{E}$. On suppose que $\vec{f}=\lambda Id_{\vec{E}}$ avec $\lambda\not =1$. Décrire les valeurs propres de $\vec{f}$. Montrer que $f$ a un unique point fixe. Montrer alors que $f$ est une homothétie. \finenonce{007434} \finexercice \exercice{7435, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007435}{Les projections} Soit $E$ un espace affine et $F$ et $G$ deux sous espaces affines de direction supplémentaire dans $\vec{E}$. Décrire $F\cap G$. \begin{enumerate} \item Soit $M$ un point de $E$. Montrer que le sous-espace affine passant par $M$ et parallèle à $G$ rencontre $F$ en un unique point noté $p(M)$. \item Montrer que l'application $p$ est affine. \item Déterminer les points fixes de $p$. \item Montrer que $p\circ p=p$. \end{enumerate} \finenonce{007435} \finexercice \exercice{7436, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007436}{Les symétries} Soit $E$ un espace affine et $F$ et $G$ deux sous espaces affines de direction supplémentaire dans $\vec{E}$. \begin{enumerate} \item Décrire la symétrie $s$ par rapport à $F$ parallèlement à $G$. Est-elle bijective ? \item Soit $M$ un point de $E$. Quel est le milieu du segment $[M,s(M)] $? \item Déterminer $ker(\vec{s}-Id_{\vec{E}})$ et $ker(\vec{s}+Id_{\vec{E}})$. \item Soit $\vec{u}$ un vecteur de $G$. Déterminer l'application $s\circ t_{\vec{u}}\circ s^{-1}$. \end{enumerate} \finenonce{007436} \finexercice \exercice{7437, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007437}{Les affinités et transvections} Dans l'espace affine $E=\Rr^3_{aff}$, on considère un endomorphisme affine $f$ qui admet un hyperplan de points fixes $F$. Soit $A$ un point de $E$ qui n'est pas dans $F$. \begin{enumerate} \item Que dire de $f$ si $f(A)=A$ ? \item On suppose maintenant que $f(A)$ est différent de $A$. On suppose de plus que la droite $(Af(A))$ coupe le plan $F$ en un point $\Omega$. Expliquer comment construire $f(M)$? On dit alors que l'application $f$ est une affinité. \item On suppose maintenant que $f(A)$ est différent de $A$. On suppose de plus que la droite $(Af(A))$ ne rencontre pas le plan $F$. Expliquer comment construire $f(M)$? On dit alors que l'application $f$ est une transvection. \end{enumerate} \finenonce{007437} \finexercice \exercice{7438, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007438}{Écrire des expressions analytiques} Dans l'espace affine $\Rr^3$ muni d'un repère affine $A_0,A_1,A_2,A_3$, donner l'expression analytique \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item de l'homothétie $h$ de centre $\displaystyle C\left(\begin{array}{c} 1\\2\\3\end{array}\right)$ et de rapport $4$. \item de la symétrie $s$ d'axe $(x+y+z=1)$ parallèlement à $\vec{A_0A_1}$. \item de l'affinité $a$ de base $(x+y+z=1)$ de rapport $3$ parallèlement à $\vec{A_0A_1}$. \item de la transvection $t$ de base $(x+y+z=1)$ qui envoie $A_0$ sur $\displaystyle \left(\begin{array}{c} 1\\1\\ -2\end{array}\right)$ \end{enumerate} \item Donner des expressions analytiques des applications affines précédentes dans des repères mieux adaptés à déterminer. \end{enumerate} \finenonce{007438} \finexercice \exercice{7439, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007439}{Constructions} \begin{enumerate} \item Deux droites se coupent hors de la feuille en un point $I$. Soit $A$ un point de la feuille. Tracer la droite $(AI)$. \item Soit $d$ et $d'$ deux droites parallèles et $M$ un point du plan. Tracer avec une règle (non graduée) la parallèle à $d$ passant par $M$. \end{enumerate} \finenonce{007439} \finexercice \exercice{7440, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007440}{} Dans un plan affine, quel est l'ensemble des milieux des segments dont les extrémités appartiennent respectivement à deux segments donnés. \finenonce{007440} \finexercice \exercice{7441, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007441}{} Soit $x_i$ $n$ nombres réels. Montrer que $\displaystyle\left(\sum_1^n x_i\right)^2\leq n \sum_1^n x_i ^2$. \finenonce{007441} \finexercice \exercice{7442, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007442}{} On suppose que $F$ et $G$ sont deux sous-espaces vectoriels de $E$. Montrer que $(F+G)^{\perp}=F^{\perp}\cap G^{\perp}$ et que $(F\cap G)^{\perp}=F^{\perp}+G^{\perp}$. \finenonce{007442} \finexercice \exercice{7443, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007443}{Procédé d'orthonormalisation de Gram-Schmidt} Dans l'espace vectoriel euclidien $\Rr^3$ muni du produit scalaire standard et de la base canonique, appliquer le procédé d'orthonormalisation de Gram-Schmidt à la base $$v_1=\left( \begin{array}{c} 1\\0\\1\end{array}\right)\ ; \ v_2=\left( \begin{array}{c} 2\\ 1\\ 0 \end{array}\right)\ ; \ v_3=\left( \begin{array}{c} -1\\ -1\\ -1 \end{array}\right) $$ pour obtenir une base orthonormée. \finenonce{007443} \finexercice \exercice{7444, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007444}{} On considère $\Rr^{4}$ muni de son produit scalaire usuel. Soit $F$ le sous espace engendré par $v_{1}=(1,1,0,0)$, $v_{2}=(0,1,-1,1)$. Déterminer une base orthonormée de $F$ et la compléter pour obtenir une base orthonormée de $\Rr^{4}$. \finenonce{007444} \finexercice \exercice{7445, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007445}{Vrai ou faux, Préciser} Soit $(E,<.>)$ un espace vectoriel euclidien. Répondre par vrai ou faux, puis dire sous quelles hypothèses supplémentaires sur la base l'affirmation est vraie. \begin{enumerate} \item La matrice $A$ d'une application linéaire orthogonale $u$ dans une base $\mathcal B$ de $E$ vérifie $\mbox{}^tAA=Id$. \item Dans toute base orthonormée de $\Rr^3$, la matrice d'une rotation est de la forme $ \left(\begin{array}{ccc} 1&0&0\\0&\cos\theta&-\sin\theta\\0&\sin\theta&\cos\theta \end{array}\right) $ \end{enumerate} \finenonce{007445} \finexercice \exercice{7446, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007446}{} Soit $E$ l'espace vectoriel $\Rr^3$ muni du produit scalaire canonique et de la base canonique. Soit $H$ le plan d'équation $x+2y+2z=0$. Soit $\pi$ la projection orthogonale sur $H$ et $s$ la symétrie orthogonale par rapport à $H$. \begin{enumerate} \item Déterminer un vecteur $\epsilon_1$ normal à $H$ et unitaire. \item Pour tout vecteur $V$ de $E$, écrire $V-\pi (V)$, puis $\pi(V)$ à l'aide de $V$ et $\epsilon_1$ seulement. (On pourra utiliser des produits scalaires comme coefficients). \item Déterminer les matrices de $\pi$ et de $s$ dans la base canonique. Sont-elles orthogonales, symétriques ? \end{enumerate} \finenonce{007446} \finexercice \exercice{7447, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007447}{Cours} Démontrer que dans un espace affine euclidien $E$ la fonction $E\times E\to\Rr, (x,y)\mapsto \| x-y\| $ est une fonction distance. \finenonce{007447} \finexercice \exercice{7448, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007448}{Distance entre deux droites de l'espace} Soit $\mathcal{E}$ un espace affine euclidien de dimension $3$. Pour tout couple de droites $(D_1,D_2)$ on appelle $$d(D_1,D_2)=\inf\{ \| y_1-y_2 \| , y_1 \in D_1, y_2\in D_2\}.$$ \begin{enumerate} \item Calculer $d(D_1,D_2)$ quand $D_1$ et $D_2$ sont concourantes. \item Soit $a_1\in D_1$ et $a_2\in D_2$. En décomposant $a_1-a_2$ dans $\vec{D_1} +\vec{D_2}+(\vec{D_1} +\vec{D_2})^\perp$ montrer qu'il existe $x_1\in D_1$ et $x_2\in D_2$ tels que $d(D_1,D_2)=d(x_1,x_2)$. \item Montrer que pour $z_1\in D_1$ et $ z_2\in D_2$, $$d(D_1,D_2)=d(z_1,z_2) _iff z_1-z_2\in \vec{D_1}^\perp \cap \vec{D_2}^\perp.$$ \item Montrer que si $e_i$ est un vecteur directeur de $D_i$ $$d(D_1,D_2)^2=\frac{Gram(a_1-a_2,e_1,e_2)}{Gram(e_1,e_2)}$$ o{ù} $Gram(u_1,u_2,\cdots ,u_r):=det(\langle u_i,u_j\rangle )_{1\leq i,j\leq r}$. \item Calculer la distance entre les deux droites données par les équations cartésiennes dans un repère orthonormé de $\mathcal{E}$~: \begin{eqnarray*} M\left( \begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right)\in D_1 \iff\left\{\begin{array}{c}x+y=1\\x+y+2z=1\end{array}\right.\ \ \ M\left( \begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right)\in D_2 \iff\left\{\begin{array}{c}y+z=1\\x+y-2z=3\end{array}\right. \end{eqnarray*} \end{enumerate} \finenonce{007448} \finexercice \exercice{7449, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007449}{Angle de deux demi-droites de même origine} Dans le plan euclidien orienté $\mathcal{P}$, on considère deux demi-droites $d_1$ et $d_2$ de même origine $\Omega$. \begin{enumerate} \item Rappeler la forme générale d'une matrice de rotation vectorielle dans une base orthonormée directe de $\vec{\mathcal{P}}$. Comment change cette matrice quand on change de base orthonormée ? \item Montrer qu'il existe une unique rotation de centre $\Omega$ qui envoie $d_1$ sur $d_2$. On pourra donc définir l'angle orienté de deux demi-droites comme l'angle de la rotation qui envoie la première sur la seconde. \end{enumerate} \finenonce{007449} \finexercice \exercice{7450, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007450}{} Dans le plan euclidien muni d'un repère orthonormé on considère les points $A\left( \begin{array}{c} 1\\2 \end{array} \right)$ et $B\left( \begin{array}{c} -1\\ -1 \end{array}\right)$. \begin{enumerate} \item Déterminer selon la valeur de $r$ l'ensemble des points $M$ du plan tels que $MA^2-2MB^2=r$. \item Déterminer selon la valeur de $r$ l'ensemble des points $M$ du plan tels que $MA^2-MB^2=r$. \end{enumerate} \finenonce{007450} \finexercice \exercice{7451, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007451}{Sur les homothéties translations} On travaille dans un espace affine euclidien. On rappelle que les homothéties-translations sont caractérisées par le fait qu'elles transforment toute droite en une droite parallèle. On appelle dilatation une application affine dont la partie linéaire est une homothétie vectorielle. \begin{enumerate} \item Montrer que l'ensemble des dilatations coïncide avec l'ensemble des homothéties-translations. \item Montrer que l'ensemble des dilatations est un sous-groupe distingué du groupe des applications affines. \item On travaille maintenant dans le plan affine euclidien $\mathcal{P }$. Montrer qu'il existe exactement deux dilatations qui transforment un cercle donné en un cercle donné. \end{enumerate} \finenonce{007451} \finexercice \exercice{7452, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007452}{Inégalité isopérimétrique} On considère dans le plan euclidien muni d'un repère orthonormé la courbe $C$ d'équation polaire $r=f(\theta )$ où $f$ est une fonction continue positive sur $[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$ avec $f(-\frac{\pi}{2})=f(\frac{\pi}{2})=0$. \begin{enumerate} \item Représenter $C$ dans le cas où $f=cos$. \item On rappelle que l'aire de la surface $S$ délimitée par la courbe $C$ est donnée par $$a(S)=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{2}f^2(\theta )d\theta. $$ Montrer que $$a(S)\leq \frac{\pi}{4}\left(diam (S)\right)^2.$$ \end{enumerate} \finenonce{007452} \finexercice \exercice{7453, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007453}{Cours} Dans un espace vectoriel euclidien, deux sous-espaces vectoriels non nuls orthogonaux sont-ils toujours en somme directe ? \begin{enumerate} \item Montrer en utilisant la forme réduite que le déterminant d'une isométrie est $(-1)^{codim E_1}$ où $E_1$ est l'espace propre de valeur propre $1$. \item Rappeler toutes les isométries du plan euclidien et de l'espace euclidien de dimension 3, en précisant leur partie linéaire, leur point fixe, leur axe, leur composante à point fixe et leur composante de glissement. \item Rappeler la construction de l'axe radical de deux cercles non sécants. \item Déterminer le groupe d'isométries d'un segment dans le plan euclidien. \end{enumerate} \finenonce{007453} \finexercice \exercice{7454, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007454}{} Soit $A$ et $B$ deux points fixés dans un plan affine euclidien. Déterminer le lieu des points $M$ du plan où $MA\perp MB$. \finenonce{007454} \finexercice \exercice{7455, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007455}{} Le but de cet exercice est de démontrer que le symétrique de l'orthocentre $H$ d'un triangle non plat $ABC$ par rapport à un des cotés (par exemple $(AC)$) est sur le cercle circonscrit. Soit $ABC$ un triangle non plat. La hauteur issue de $A$ coupe $(BC)$ en $A'$ et la hauteur issue de $C$ coupe $(AB)$ en $C'$. Démontrer que les points $A',B,C'$ et $H$ sont cocycliques. Démontrer que les angles de droites $((BC'),(BA'))$ et $((HC'),(HA'))$ sont égaux. Conclure. \finenonce{007455} \finexercice \exercice{7456, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007456}{} Deux cercles sont dits orthogonaux si les tangentes aux points d'intersection sont orthogonales. Montrer que les cercles $C$et $C'$ sont orthogonaux si et seulement si la puissance du centre de $C$ par rapport à $C'$ est égale au carré du rayon de $C$. \finenonce{007456} \finexercice \exercice{7457, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007457}{} Soit $A$ et $B$ deux points d'un plan affine euclidien. Déterminer suivant la valeur de la constante~$k$, \begin{enumerate} \item l'ensemble des points $M$ du plan tels que $MA^2+MB^2=k$ \item l'ensemble des points $M$ du plan tels que $MA^2-MB^2=k$ \item et l'ensemble des points $M$ du plan tels que $MA/MB=k$ \item l'ensemble des points $M$ du plan tels que $MA/MB f$ a un point fixe} Soit $f : {\cal E} \to {\cal E}$ affine telle qu'il existe $p \in \N^*$ tel que $f^p = \mathrm{id}_{\cal E}$. Montrer que $f$ admet au moins un point fixe. \finenonce{004870} \finexercice \exercice{4871, quercia, 2010/03/17} \enonce{004871}{$1$ non valeur propre $ \Rightarrow $ un pt fixe unique} Soit ${\cal E}$ un espace affine de dimension finie et $f : {\cal E} \to {\cal E}$ affine. Montrer que $f$ admet un unique point fixe si et seulement si $1$ n'est pas valeur propre de $\vec f$. \finenonce{004871} \finexercice \exercice{4872, quercia, 2010/03/17} \enonce{004872}{Expressions analytiques} On fixe un repère ${\cal R} = (O,\vec e_1, \vec e_2, \vec e_3)$ d'un espace affine de dimension 3. Déterminer les expressions analytiques des applications suivantes : \begin{enumerate} \item Symétrie de base le plan d'équation $x+2y+z = 1$ et de direction vect$(\vec e_1 + \vec e_2 + \vec e_3)$. \item Symétrie de base la droite d'équations $\begin{cases} x+y+1 = 0 \cr 2y+z+2 = 0,\end{cases}$ \par de direction le plan vectoriel d'équation $3x + 3y - 2z = 0$. \end{enumerate} \finenonce{004872} \finexercice \exercice{4873, quercia, 2010/03/17} \enonce{004873}{Expression analytique} On fixe un repère ${\cal R} = (O,\vec e_1, \vec e_2, \vec e_3)$ d'un espace affine de dimension 3. Reconaître l' application ayant l'expression analytique suivante : $$\begin{cases}x' = 3x + 4y + 2z - 4 \cr y' = -2x - 3y - 2z + 4 \cr z' = 4x + 8y + 5z - 8.\cr\end{cases}$$ (chercher les points fixes de $f$ et étudier $\overrightarrow{MM'}$) \finenonce{004873} \finexercice \exercice{4874, quercia, 2010/03/17} \enonce{004874}{Permutation circulaire de 4 points} Dans un espace affine ${\cal E}$, on considère quatre points $A,B,C,D$. \'Etudier l'existence d'une application affine $f$ telle que $f(A) = B$, $f(B) = C$, $f(C) = D$, $f(D) = A$. \finenonce{004874} \finexercice \exercice{4875, quercia, 2010/03/17} \enonce{004875}{$f^3 = \mathrm{id}$} Soit ${\cal P}$ un plan, et $f : {\cal P} \to {\cal P}$ une application affine telle que $f^3 = \mathrm{id}$, avec $f \ne \mathrm{id}$. \begin{enumerate} \item Montrer que si $A \ne f(A)$, alors $A,f(A), f^2(A)$ sont non alignés. \item En déduire que $f$ est le produit de deux symétries. \end{enumerate} \finenonce{004875} \finexercice \exercice{4876, quercia, 2010/03/17} \enonce{004876}{Produit d'affinités} Soit $\cal P$ un plan, $\cal D$ une droite de $\cal P$, et $f,g$ deux affinités de base $\cal D$, de directions $\vec{\Delta}$, $\vec{\Delta'}$ et de rapports $\lambda$, $\mu$. \'Etudier la nature de $f\circ g$. \finenonce{004876} \finexercice \exercice{4877, quercia, 2010/03/17} \enonce{004877}{Barycentre de projections} Soient $\pi,\pi'$ deux projections dans un espace affine ${\cal E}$ ayant même direction $\vec{\cal F}$. Pour $\lambda \in \R$, on note $\pi_\lambda$ l'application~: $M \longmapsto \text{Bar}(\pi(M):\lambda, \pi'(M):1-\lambda)$. Montrer que $\pi_\lambda$ est encore une projection de direction $\vec{\cal F}$. \finenonce{004877} \finexercice \exercice{4878, quercia, 2010/03/17} \enonce{004878}{Symétrie-translation} Soit $f : {\cal E} \to {\cal E}$ affine. On dit que $f$ est une {\it symétrie-translation\/} s'il existe une symétrie $s$ et une translation $t$ telles que $f = s\circ t = t\circ s$. \begin{enumerate} \item Soient $s$ une symétrie de base $\cal B$ de direction $\vec {\cal F}$, et $t$ une translation de vecteur $\vec u$. Montrer que $s\circ t = t\circ s \iff \vec u \in \vec {\cal B}$. \item Soit $f$ une symétrie-translation. Montrer que le couple $(s,t)$ tel que $f = s\circ t = t\circ s$ est unique. \item Soit $f$ affine quelconque. Montrer que $f$ est une symétrie-translation si et seulement si $f\circ f$ est une translation. \item En déduire que le produit d'une symétrie par une translation quelconques est une symétrie-translation. \item AN : décomposer l'application $f$ d'expression analytique dans un repère ${\cal R} = (O,\vec e_1, \vec e_2, \vec e_3)$ : $$\begin{cases}x' = (x-2y-2z+1)/3 \cr y' = (-2x+y-2z+2)/3 \cr z' = (-2x-2y+z-1)/3.\cr\end{cases}$$ \end{enumerate} \finenonce{004878} \finexercice \exercice{4879, quercia, 2010/03/17} \enonce{004879}{Transitivité des homothéties-translations} Dans un espace affine ${\cal E}$ on donne quatre points $P,Q,P',Q'$ avec $P \ne Q$. Existe-t-il une homothétie-translation $f$ telle que $f(P) = P'$ et $f(Q) = Q'$ ? \finenonce{004879} \finexercice \exercice{4880, quercia, 2010/03/17} \enonce{004880}{Usage d'applications affines} On considère dans l'espace deux plans parallèles distincts $\cal P$, ${\cal P}'$, $A,B,C \in \cal P$, $O \notin \cal P$, et on construit les points suivants : -- $A',B',C'$ : les intersections avec ${\cal P}'$ des droites $(OA)$, $(OB)$, $(OC)$. -- $\alpha,\beta,\gamma$ : les milieux des segments $[B,C]$, $[C,A]$, $[A,B]$. Montrer que les droites $(A'\alpha)$, $(B'\beta)$, $(C'\gamma)$ sont parallèles ou concourantes. \finenonce{004880} \finexercice \exercice{4881, quercia, 2010/03/17} \enonce{004881}{Usage d'applications affines} Soient $A_1,\dots,A_n$ $n$ points de ${\cal E}$. \'Etudier l'existence de points $B_1,\dots,B_n$ tels que $A_i = \text{mil}(B_i,B_{i+1})$ ($A_n = \text{mil}(B_n,B_{1}))$. \finenonce{004881} \finexercice \exercice{4882, quercia, 2010/03/17} \enonce{004882}{Projection stéréographique} Dans l'espace, on considère un point $O$ et un plan $\cal P$ ne passant pas par $O$. On définit l'application $f$: $M \longmapsto M'$ où $M'$ est le point intersection de $\cal P$ et $(OM)$. (Projection stéréographique sur $\cal P$ de pôle $O$) \begin{enumerate} \item Est-ce que $f$ est affine ? \item Etudier l'image par $f$ d'une droite, d'un plan, d'une partie convexe. \end{enumerate} \finenonce{004882} \finexercice \exercice{4883, quercia, 2010/03/17} \enonce{004883}{ Caractérisation des produits de symétries} Soit ${\cal E}$ un espace affine de dimension finie et $f : {\cal E} \to {\cal E}$ affine. Montrer que $f$ est un produit de symétries si et seulement si $\det(\vec f) = \pm1$. \finenonce{004883} \finexercice \exercice{4885, quercia, 2010/03/17} \enonce{004885}{Points dans l'espace} Dans l'espace, les droites $(AA')$, $(BB')$, $(CC')$ sont concourantes en $O$, $O \notin (ABC)$ et $A,B,C$ non alignés. Soient $G,G'$ les isobarycentres des triangles $ABC$, $A'B'C'$. CNS pour que $O,G,G'$ soient alignés ? \finenonce{004885} \finexercice \exercice{4886, quercia, 2010/03/17} \enonce{004886}{Polygone des milieux} Soit $P = A_1A_2\dots A_n$ un polygone à $n$ sommets : on lui associe le polygone $P' = A'_1A'_2\dots A'_{n-1}A'_n$ où $A'_i$ est le milieu de $A_i$ et $A_{i+1}$ ($A_{n+1} = A_1$). On définit alors une suite de polygones par récurrence : $\begin{cases} P_0 = P\cr P_{k+1} = (P_k)'.\cr \end{cases}$ Montrer que chaque sommet de $P_k$ converge vers le centre de gravité de $P_0$ lorsque $k$ tend vers l'infini. (\'Ecrire un sommet de $P_k$ comme barycentre de $A_1,\dots,A_n$) \finenonce{004886} \finexercice \exercice{4887, quercia, 2010/03/17} \enonce{004887}{Isobarycentre de tous les points sauf un} Soit $P = A_1A_2\dots A_n$ un polygone à $n$ sommets : on lui associe le polygone $P' = A'_1A'_2\dots A'_n$ où $A'_i$ est l'isobarycentre de tous les sommets sauf $A_i$. On définit alors une suite de polygones par récurrence : $\begin{cases} P_0 = P\cr P_{k+1} = (P_k)'.\cr \end{cases}$ Montrer que chaque sommet de $P_k$ converge vers le centre de gravité de $P_0$ lorsque $k$ tend vers l'infini. \finenonce{004887} \finexercice \exercice{4888, quercia, 2010/03/17} \enonce{004888}{Suite récurente} Soient $A_0,A_1,A_2$ trois points donnés. On considère la suite $(A_k)$ de points vérifiant la relation de récurrence~: $$\forall\ k\ge3,\ A_k = \text{Bar}( A_{k-1}:1, A_{k-2},1, A_{k-3}:2 ).$$ \'Etudier la convergence de cette suite. \finenonce{004888} \finexercice \exercice{4889, quercia, 2010/03/17} \enonce{004889}{Théorème de Ménélaüs} Soit $ABC$ un triangle et trois points $P \in (AB)$, $Q \in (BC)$, $R \in (CA)$, distincts de $A,B,C$. \begin{enumerate} \item Montrer que $P,Q,R$ sont alignés si et seulement si $\frac {\overline{PA}}{\overline{PB}} \times \frac {\overline{QB}}{\overline{QC}} \times \frac {\overline{RC}}{\overline{RA}} = 1$. \item Dans ce cas, montrer que $P' = \text{mil}(P,C)$, $Q' = \text{mil}(Q,A)$, et $R' = \text{mil}(R,B)$ sont aussi alignés. \end{enumerate} \finenonce{004889} \finexercice \exercice{4890, quercia, 2010/03/17} \enonce{004890}{Théorème de Céva} Soit $ABC$ un triangle et trois points $P \in (AB)$, $Q \in (BC)$, $R \in (CA)$, distincts de $A,B,C$. Démontrer que les droites $(AQ)$, $(BR)$, $(CP)$ sont parallèles ou concourantes si et seulement si ${\frac {\overline{PA}}{\overline{PB}} \times \frac {\overline{QB}}{\overline{QC}} \times \frac {\overline{RC}}{\overline{RA}} = -1}$. \finenonce{004890} \finexercice \exercice{4891, quercia, 2010/03/17} \enonce{004891}{Droites parallèles} Soient $ABC$ et $A'B'C'$ deux triangles tels que les parallèles à $(AB)$, $(BC)$, $(CA)$ passant respectivement par $C',A',B'$ soient concourantes. Montrer qu'il en est de même pour les parallèles à $(A'B')$, $(B'C')$, $(C'A')$ passant par $C,A,B$. \finenonce{004891} \finexercice \exercice{4892, quercia, 2010/03/17} \enonce{004892}{Points aux tiers des côtés} Soit $ABC$ un triangle, $A_1 = \text{Bar}(B:2,C:1)$, $B_1 = \text{Bar}(C:2,A:1)$ et $C_1 = \text{Bar}(A:2,B:1)$. On note $A_2,B_2,C_2$ les points d'intersection des droites $(AA_1)$, $(BB_1)$, et $(CC_1)$. \begin{enumerate} \item Montrer que $A_2$ est le milieu de $[B,B_2]$. \item Comparer les surfaces des triangles $ABC$ et $A_2B_2C_2$. \end{enumerate} \finenonce{004892} \finexercice \exercice{4893, quercia, 2010/03/17} \enonce{004893}{Symétriques d'un point par rapport aux milieux des cotés} Soit un triangle $ABC$, $A',B',C'$, les milieux des côtés, et $M$ un point du plan $(ABC)$ de coordonnées barycentriques $(\alpha,\beta,\gamma)$. \begin{enumerate} \item Chercher les coordonnées barycentriques de $P,Q,R$ symétriques de $M$ par rapport aux points $A',B',C'$. \item Montrer que les droites $(AP)$, $(BQ)$, $(CR)$ sont concourantes en un point $N$. \item Montrer que $N$ est le milieu de $[A,P]$, $[B,Q]$, $[C,R]$. \item Reconnaître l'application $M \mapsto N$. \end{enumerate} \finenonce{004893} \finexercice \exercice{4894, quercia, 2010/03/17} \enonce{004894}{Parallélogrammes} Dans le plan, on considère : -- trois points non alignés $A,B,C$.\par -- trois points alignés $P,Q,R$ avec $P \in (AB)$, $Q \in (AC)$, $R \in (BC)$. On construit les points $I,J,K$ de sorte que $BPIR$, $APJQ$, $CQKR$ soient des parallélogrammes. Montrer que $I,J,K$ sont alignés. \finenonce{004894} \finexercice \exercice{4895, quercia, 2010/03/17} \enonce{004895}{Projections en cascade} Soient $A,B,C$ trois points non alignés et $M_1 \in (AB)$. On construit les points $M_2,M_3,M_4$ de la manière suivante~: -- $M_2$ est le projeté de $M_1$ sur $(BC)$ parallèlement à $(AC)$.\par -- $M_3$ est le projeté de $M_2$ sur $(AC)$ parallèlement à $(AB)$.\par -- $M_4$ est le projeté de $M_3$ sur $(AB)$ parallèlement à $(BC)$.\par On recommence ensuite les mêmes constructions à partir de $M_4$, ce qui donne les points $M_5, M_6, M_7$. Montrer que $M_7 = M_1$. \finenonce{004895} \finexercice \exercice{4896, quercia, 2010/03/17} \enonce{004896}{Caractérisation du barycentre par les surfaces} Soit $ABC$ un triangle, et $M \in (ABC)$. On note $\alpha,\beta,\gamma$ les aires des triangles $MBC$, $MCA$, $MAB$. \begin{enumerate} \item On suppose que $M$ est dans l'enveloppe convexe de $\{A,B,C\}$.\par Montrer que : $(\alpha = \beta = \gamma) \iff M = \text{Bar}(A:1,\ B:1,\ C:1)$. \item Quels sont tous les points du plan $(ABC)$ tels que $\alpha = \beta = \gamma$ ? \end{enumerate} \finenonce{004896} \finexercice \exercice{4897, quercia, 2010/03/17} \enonce{004897}{Coord. barycentriques du centre du cercle circonscrit} Soit $ABC$ un triangle. On note : $a = BC$, $b = CA$, $c = AB$, $\alpha \equiv (\overline{ \vec{AB}, \vec{AC}})$, $\beta \equiv (\overline{ \vec{BC}, \vec{BA}})$, $\gamma \equiv (\overline{ \vec{CA}, \vec{CB}})$. \begin{enumerate} \item Montrer que pour tout point $M$ du cercle ($ABC$), on a : $$a\cos\alpha MA^2 + b\cos\beta MB^2 + c\cos\gamma MC^2 = abc.$$ \item En déduire les coordonnées barycentriques du centre du cercle $(ABC)$. \end{enumerate} \finenonce{004897} \finexercice \exercice{4898, quercia, 2010/03/17} \enonce{004898}{Cercle inscrit} Soit $ABC$ un triangle. On note : $a = BC$, $b = CA$, $c = AB$, \begin{enumerate} \item Soit $A'$ le pied de la bissectrice intérieure issue de $A$. Montrer que $\frac{A'B}{A'C} = \frac cb$. \item En déduire les coordonnées barycentriques de $I$, centre du cercle inscrit. \end{enumerate} \finenonce{004898} \finexercice \section{ 240.03 Barycentre } \exercice{4884, quercia, 2010/03/17} \enonce{004884}{\'Equation barycentrique d'une droite} Soit $(A,B,C)$ une base affine de ${\cal E}_2$, et $M,M',M''$ trois points de coordonnées barycentriques $(\alpha, \beta, \gamma)$, $(\alpha', \beta', \gamma')$, $(\alpha'', \beta'', \gamma'')$. Montrer que $M,M',M''$ sont alignés si et seulement si $\begin{vmatrix}\alpha& \beta& \gamma \cr \alpha'& \beta'& \gamma' \cr \alpha''& \beta''& \gamma''\cr\end{vmatrix} = 0$. \finenonce{004884} \finexercice \exercice{4885, quercia, 2010/03/17} \enonce{004885}{Points dans l'espace} Dans l'espace, les droites $(AA')$, $(BB')$, $(CC')$ sont concourantes en $O$, $O \notin (ABC)$ et $A,B,C$ non alignés. Soient $G,G'$ les isobarycentres des triangles $ABC$, $A'B'C'$. CNS pour que $O,G,G'$ soient alignés ? \finenonce{004885} \finexercice \exercice{4886, quercia, 2010/03/17} \enonce{004886}{Polygone des milieux} Soit $P = A_1A_2\dots A_n$ un polygone à $n$ sommets : on lui associe le polygone $P' = A'_1A'_2\dots A'_{n-1}A'_n$ où $A'_i$ est le milieu de $A_i$ et $A_{i+1}$ ($A_{n+1} = A_1$). On définit alors une suite de polygones par récurrence : $\begin{cases} P_0 = P\cr P_{k+1} = (P_k)'.\cr \end{cases}$ Montrer que chaque sommet de $P_k$ converge vers le centre de gravité de $P_0$ lorsque $k$ tend vers l'infini. (\'Ecrire un sommet de $P_k$ comme barycentre de $A_1,\dots,A_n$) \finenonce{004886} \finexercice \exercice{4887, quercia, 2010/03/17} \enonce{004887}{Isobarycentre de tous les points sauf un} Soit $P = A_1A_2\dots A_n$ un polygone à $n$ sommets : on lui associe le polygone $P' = A'_1A'_2\dots A'_n$ où $A'_i$ est l'isobarycentre de tous les sommets sauf $A_i$. On définit alors une suite de polygones par récurrence : $\begin{cases} P_0 = P\cr P_{k+1} = (P_k)'.\cr \end{cases}$ Montrer que chaque sommet de $P_k$ converge vers le centre de gravité de $P_0$ lorsque $k$ tend vers l'infini. \finenonce{004887} \finexercice \exercice{4888, quercia, 2010/03/17} \enonce{004888}{Suite récurente} Soient $A_0,A_1,A_2$ trois points donnés. On considère la suite $(A_k)$ de points vérifiant la relation de récurrence~: $$\forall\ k\ge3,\ A_k = \text{Bar}( A_{k-1}:1, A_{k-2},1, A_{k-3}:2 ).$$ \'Etudier la convergence de cette suite. \finenonce{004888} \finexercice \section{ 240.04 Propriétés des triangles } \exercice{4889, quercia, 2010/03/17} \enonce{004889}{Théorème de Ménélaüs} Soit $ABC$ un triangle et trois points $P \in (AB)$, $Q \in (BC)$, $R \in (CA)$, distincts de $A,B,C$. \begin{enumerate} \item Montrer que $P,Q,R$ sont alignés si et seulement si $\frac {\overline{PA}}{\overline{PB}} \times \frac {\overline{QB}}{\overline{QC}} \times \frac {\overline{RC}}{\overline{RA}} = 1$. \item Dans ce cas, montrer que $P' = \text{mil}(P,C)$, $Q' = \text{mil}(Q,A)$, et $R' = \text{mil}(R,B)$ sont aussi alignés. \end{enumerate} \finenonce{004889} \finexercice \exercice{4890, quercia, 2010/03/17} \enonce{004890}{Théorème de Céva} Soit $ABC$ un triangle et trois points $P \in (AB)$, $Q \in (BC)$, $R \in (CA)$, distincts de $A,B,C$. Démontrer que les droites $(AQ)$, $(BR)$, $(CP)$ sont parallèles ou concourantes si et seulement si ${\frac {\overline{PA}}{\overline{PB}} \times \frac {\overline{QB}}{\overline{QC}} \times \frac {\overline{RC}}{\overline{RA}} = -1}$. \finenonce{004890} \finexercice \exercice{4891, quercia, 2010/03/17} \enonce{004891}{Droites parallèles} Soient $ABC$ et $A'B'C'$ deux triangles tels que les parallèles à $(AB)$, $(BC)$, $(CA)$ passant respectivement par $C',A',B'$ soient concourantes. Montrer qu'il en est de même pour les parallèles à $(A'B')$, $(B'C')$, $(C'A')$ passant par $C,A,B$. \finenonce{004891} \finexercice \exercice{4892, quercia, 2010/03/17} \enonce{004892}{Points aux tiers des côtés} Soit $ABC$ un triangle, $A_1 = \text{Bar}(B:2,C:1)$, $B_1 = \text{Bar}(C:2,A:1)$ et $C_1 = \text{Bar}(A:2,B:1)$. On note $A_2,B_2,C_2$ les points d'intersection des droites $(AA_1)$, $(BB_1)$, et $(CC_1)$. \begin{enumerate} \item Montrer que $A_2$ est le milieu de $[B,B_2]$. \item Comparer les surfaces des triangles $ABC$ et $A_2B_2C_2$. \end{enumerate} \finenonce{004892} \finexercice \exercice{4893, quercia, 2010/03/17} \enonce{004893}{Symétriques d'un point par rapport aux milieux des cotés} Soit un triangle $ABC$, $A',B',C'$, les milieux des côtés, et $M$ un point du plan $(ABC)$ de coordonnées barycentriques $(\alpha,\beta,\gamma)$. \begin{enumerate} \item Chercher les coordonnées barycentriques de $P,Q,R$ symétriques de $M$ par rapport aux points $A',B',C'$. \item Montrer que les droites $(AP)$, $(BQ)$, $(CR)$ sont concourantes en un point $N$. \item Montrer que $N$ est le milieu de $[A,P]$, $[B,Q]$, $[C,R]$. \item Reconnaître l'application $M \mapsto N$. \end{enumerate} \finenonce{004893} \finexercice \exercice{4894, quercia, 2010/03/17} \enonce{004894}{Parallélogrammes} Dans le plan, on considère : -- trois points non alignés $A,B,C$.\par -- trois points alignés $P,Q,R$ avec $P \in (AB)$, $Q \in (AC)$, $R \in (BC)$. On construit les points $I,J,K$ de sorte que $BPIR$, $APJQ$, $CQKR$ soient des parallélogrammes. Montrer que $I,J,K$ sont alignés. \finenonce{004894} \finexercice \exercice{4895, quercia, 2010/03/17} \enonce{004895}{Projections en cascade} Soient $A,B,C$ trois points non alignés et $M_1 \in (AB)$. On construit les points $M_2,M_3,M_4$ de la manière suivante~: -- $M_2$ est le projeté de $M_1$ sur $(BC)$ parallèlement à $(AC)$.\par -- $M_3$ est le projeté de $M_2$ sur $(AC)$ parallèlement à $(AB)$.\par -- $M_4$ est le projeté de $M_3$ sur $(AB)$ parallèlement à $(BC)$.\par On recommence ensuite les mêmes constructions à partir de $M_4$, ce qui donne les points $M_5, M_6, M_7$. Montrer que $M_7 = M_1$. \finenonce{004895} \finexercice \exercice{4896, quercia, 2010/03/17} \enonce{004896}{Caractérisation du barycentre par les surfaces} Soit $ABC$ un triangle, et $M \in (ABC)$. On note $\alpha,\beta,\gamma$ les aires des triangles $MBC$, $MCA$, $MAB$. \begin{enumerate} \item On suppose que $M$ est dans l'enveloppe convexe de $\{A,B,C\}$.\par Montrer que : $(\alpha = \beta = \gamma) \iff M = \text{Bar}(A:1,\ B:1,\ C:1)$. \item Quels sont tous les points du plan $(ABC)$ tels que $\alpha = \beta = \gamma$ ? \end{enumerate} \finenonce{004896} \finexercice \exercice{4897, quercia, 2010/03/17} \enonce{004897}{Coord. barycentriques du centre du cercle circonscrit} Soit $ABC$ un triangle. On note : $a = BC$, $b = CA$, $c = AB$, $\alpha \equiv (\overline{ \vec{AB}, \vec{AC}})$, $\beta \equiv (\overline{ \vec{BC}, \vec{BA}})$, $\gamma \equiv (\overline{ \vec{CA}, \vec{CB}})$. \begin{enumerate} \item Montrer que pour tout point $M$ du cercle ($ABC$), on a : $$a\cos\alpha MA^2 + b\cos\beta MB^2 + c\cos\gamma MC^2 = abc.$$ \item En déduire les coordonnées barycentriques du centre du cercle $(ABC)$. \end{enumerate} \finenonce{004897} \finexercice \exercice{4898, quercia, 2010/03/17} \enonce{004898}{Cercle inscrit} Soit $ABC$ un triangle. On note : $a = BC$, $b = CA$, $c = AB$, \begin{enumerate} \item Soit $A'$ le pied de la bissectrice intérieure issue de $A$. Montrer que $\frac{A'B}{A'C} = \frac cb$. \item En déduire les coordonnées barycentriques de $I$, centre du cercle inscrit. \end{enumerate} \finenonce{004898} \finexercice \exercice{4899, quercia, 2010/03/17} \enonce{004899}{Orthocentre} Soit $ABC$ un triangle. On note : $\alpha \equiv (\overline{ \vec{AB}, \vec{AC}})$, $\beta \equiv (\overline{ \vec{BC}, \vec{BA}})$, $\gamma \equiv (\overline{ \vec{CA}, \vec{CB}})$. \begin{enumerate} \item Soit $A'$ le pied de la hauteur issue de $A$. Calculer $\frac{\overline{A'B}}{\overline{A'C}}$. \item En déduire les coordonnées barycentriques de l'orthocentre $H$. \end{enumerate} \finenonce{004899} \finexercice \exercice{5206, rouget, 2010/06/30} \enonce{005206}{**} Montrer qu'il n'existe pas de triangle équilatéral dont les sommets appartiennent aux points d'intersection des lignes d'une feuille blanche quadrillée usuelle. \finenonce{005206} \finexercice \exercice{7059, megy, 2017/01/11} \enonce{007059}{} % collège % triangle rectangle, cercle circonscrit Soit $ABC$ un triangle et $\mathcal C$ son cercle circonscrit, de centre $O$. Soit $A’$ le point diamétralement opposé à $A$ sur le cercle $\mathcal C$. La hauteur $(AH)$ issue de $A$ du triangle $ABC$ recoupe le cercle $\mathcal C$ au point $D$. Montrer que la droite $(DA’)$ est parallèle à $(BC)$. \finenonce{007059} \finexercice \exercice{7060, megy, 2017/01/11} \enonce{007060}{} % collège % orthocentre, triangle rectangle inscrit % cercle circonscrit, hauteurs Soit $[AB]$ un segment et $M$, $N$ deux points appartenant au cercle $\mathcal C$ de diamètre $[AB]$. On suppose que les droites $(MB)$ et $(AN)$ (respectivement $(NB)$ et $(AM)$ ) s'intersectent en $P$ (respectivement en $Q$). Déterminer l'angle formé par les droites $(AB)$ et $(PQ)$. \finenonce{007060} \finexercice \exercice{7061, megy, 2017/01/11} \enonce{007061}{} % collège % orthocentre, triangle rectangle inscrit % cercle circonscrit, hauteurs Soit $ABC$ un triangle. Le cercle $\mathcal C$ (resp. $\mathcal C'$) de diamètre $[BC]$ (resp. $[CA]$) coupe la droite $(CA)$ (resp. la droite $(BC)$) en $P$ (resp. $Q$). Les cercles $\mathcal C$ et $\mathcal C'$ se recoupent en un second point $R$. Montrer que $(CR)$, $(BP)$ et $(AQ)$ sont concourantes. \begin{center} \includegraphics{../images/img007061-1} \end{center} \finenonce{007061} \finexercice \exercice{7062, megy, 2017/01/11} \enonce{007062}{} % orthocentre, triangle rectangle inscrit % cercle circonscrit, hauteurs On donne un cercle $\mathcal C$, un diamètre $[AB]$ et un troisième point $M$ du cercle. L'objectif est de construire le projeté orthogonal de $M$ sur $(AB)$ à la règle seule. \begin{enumerate} \item Montrer qu'il suffit de construire une droite orthogonale à $(AB)$ coupant le cercle en deux points. \item Construire une telle droite. \end{enumerate} \finenonce{007062} \finexercice \exercice{7063, megy, 2017/01/11} \enonce{007063}{} % triangle rectangle, cercle On donne deux cercles $\mathcal C$ et $\mathcal C'$ de rayons distincts, de centres $O$ et $O'$, tangents extérieurement en un point $A$. On admet qu'il existe trois tangentes communes à $\mathcal C$ et $\mathcal C'$ : la tangente commune en $A$, qui est directement constructible, et deux autres droites. L'objectif de l'exercice est de tracer ces deux dernières tangentes. \begin{enumerate} \item Considérons donc une droite tangente à $\mathcal C$ en $B$ et à $\mathcal C'$ en $C$, avec $B\neq C$. La tangente commune en $A$ aux deux cercles coupe $(BC)$ en $I$. Montrer que $I$ est le milieu de $[BC]$ et que $ABC$ est rectangle en $A$. \item Finir l'exercice (c'est-à-dire construire $B$ et $C$) de l'une des deux façons suivantes: \begin{enumerate} \item Soit $D$ tel que $ABDC$ soit un rectangle. Quels sont les points d'intersection entre $(DB)$, $(DC)$ et $(OO')$ ? En déduire une construction du point $D$. \item Montrer que $OIO'$ est rectangle en $I$ et en déduire une construction du point $I$. \end{enumerate} \end{enumerate} \finenonce{007063} \finexercice \exercice{7064, megy, 2017/01/11} \enonce{007064}{Théorème de Varignon} Soit $ABCD$ un quadrilatère convexe, et $I$, $J$, $K$, $L$ les milieux de ses côtés. Montrer que $IJKL$ est un parallélogramme soit en utilisant des barycentres, soit le théorème de Thalès. Montrer que l'aire de $ABCD$ est le double de celle de $IJKL$ de deux façons différentes. \finenonce{007064} \finexercice \exercice{7065, megy, 2017/01/11} \enonce{007065}{Quadrilatères orthodiagonaux} % aire, hauteur, Un quadrilatère est dit \emph{orthodiagonal} si ses diagonales sont perpendiculaires. Soit $ABCD$ un quadrilatère orthodiagonal non croisé. Montrer que son aire vaut $\frac12 AC\cdot BD$. \finenonce{007065} \finexercice \exercice{7066, megy, 2017/01/11} \enonce{007066}{Somme de distances} Soit $ABC$ un triangle équilatéral. Pour tout point $M$ à l'intérieur du triangle, on note \[d = dist(M,[AB]) + dist(M,[BC]) + dist(M,[AC])\] la somme des distances de $M$ aux trois côtés. Montrer que $d$ ne dépend en fait pas du point $M$. \finenonce{007066} \finexercice \exercice{7067, megy, 2017/01/11} \enonce{007067}{} % collège % triangles isocèles, médiatrices, cercle circonscrit Trois cercles sont tangents extérieurement deux à deux. Montrer que les tangentes communes sont concourantes. \finenonce{007067} \finexercice \exercice{7068, megy, 2017/01/11} \enonce{007068}{*} % joli % médiane, centre de gravité, bissectrice Soit $ABC$ un triangle avec $AB = 2 BC$ et $M$ un point de $[AC]$ tel que $AM = 2 MC$. Comparer les angles $\widehat{ABM}$ et $\widehat{MBC}$. \begin{center} \includegraphics{../images/img007068-1} \end{center} \finenonce{007068} \finexercice \exercice{7069, megy, 2017/01/11} \enonce{007069}{} % triangles rectangles À l'extérieur d'un triangle $BOA$ on construit deux triangles rectangles : \begin{itemize} \item Le triangle $OAC$, ayant pour hypoténuse le côté $[OA]$, tel que le sommet $C$ de l'angle droit soit situé sur la bissectrice extérieure de $OAB$. \item Le triangle $OBE$, ayant pour hypoténuse le côté $[OB]$, tel que le sommet $E$ de l'angle droit soit situé sur la bissectrice extérieure de $OBA$. \end{itemize} Que dire de $[EC]$ et de sa longueur ? \finenonce{007069} \finexercice \exercice{7070, megy, 2017/01/11} \enonce{007070}{} % pythagore, trinôme On considère un carré $ABCD$, et un cercle $\mathcal C$ passant par $A$ et $B$ et tangent à $[CD]$. \begin{enumerate} \item Montrer que le point de tangence est le milieu de $[CD]$. \item Montrer que si le rayon vaut $r=10$ alors $AB=16$, et réciproquement. %\item Montrer que $AB = \frac{8}{5} r$. \end{enumerate} \finenonce{007070} \finexercice \exercice{7071, megy, 2017/01/11} \enonce{007071}{} % triangle isocèle, cercles Soit $A$ un point quelconque du diamètre d'un cercle $\mathcal C$ et $B$ l'extrémité d'un rayon perpendiculaire à ce diamètre. On mène une droite $(BA)$ qui coupe le cercle en $P$, puis la tangente au point $P$ qui coupe en $C$ le diamètre prolongé. Démontrer que $CA = CP$. \finenonce{007071} \finexercice \exercice{7072, megy, 2017/01/11} \enonce{007072}{} % cercle inscrit, somme des angles d'un triangle Soit $ABC$ un triangle et $I$ le centre de son cercle inscrit, dont on note $r$ le rayon. Montrer qu'un des sommets du triangle est à distance $\geq 2r$ de $I$, et qu'un autre est à distance $\leq 2r$. \finenonce{007072} \finexercice \exercice{7073, megy, 2017/01/11} \enonce{007073}{Quadrilatères tangentiels} % cercle inscrit, bissectrice, triangles isocèles Un quadrilatère convexe est dit \emph{tangentiel} ou \emph{circonscriptible} s'il possède un cercle inscrit, c'est-à-dire si ses quatre côtés sont tangents à un même cercle. \begin{enumerate} \item Montrer qu'un quadrilatère est tangentiel ssi ses bissectrices intérieures sont concourantes. \item Montrer le théorème de Pitot (1725) : dans un quadrilatère tangentiel, la somme des longueurs de deux côtés opposés est égale à la somme des deux autres. Réciproque ? \item Montrer qu'un cerf-volant isocèle (ou rhomboïde) est tangentiel. \end{enumerate} \finenonce{007073} \finexercice \exercice{7074, megy, 2017/01/11} \enonce{007074}{Théorème des trois tangentes} % triangle isocèle, tangentes % facile, intersection de deux tangentes => équidistance Soit $ABC$ un triangle. Le cercle exinscrit dans l'angle en $A$ touche les côtés $[BC]$, $[AC)$ et $[AB)$ en $P$, $Q$ et $R$. Montrer que la somme $AR+AQ$ est égale au périmètre du triangle $ABC$. \finenonce{007074} \finexercice \exercice{7075, megy, 2017/01/11} \enonce{007075}{Aire, périmètre et cercle inscrit} Soit $ABC$ un triangle dont on note $a$, $b$ et $c$ les longueurs des côtés. \begin{enumerate} \item Exprimer l'aire $S$ du triangle en fonction du périmètre $a+b+c=2p$ et du rayon $r$ du cercle inscrit. \item Exprimer également $S$ en fonction de $a$ et du rayon $r_A$ du cercle exinscrit en $A$. \item En déduire $\frac{1}{r} = \frac{1}{r_A}+\frac{1}{r_B}+\frac{1}{r_C}$. \end{enumerate} \finenonce{007075} \finexercice \exercice{7076, megy, 2017/01/11} \enonce{007076}{} % Euclide, I prop. 17 % cercles inscrits et exinscrits On donne un cercle $\mathcal C$ (de centre $O$), un point $M$ à l'extérieur du cercle, les deux tangentes $\mathcal D$ et $\mathcal D'$ à $\mathcal C$ passant par $M$. On notera $A$ et $B$ les points de tangence. Le cercle $\mathcal C$ coupe $(MO)$ en deux points $P$ et $Q$. D'autre part, soit $H$ l'intersection de la corde $[AB]$ avec $(OM)$. Montrer que les cercles de centres $P$ et $Q$ et passant par $H$ sont tangents à $\mathcal D$ et $\mathcal D'$. \finenonce{007076} \finexercice \section{ 240.99 Autres } \section{ 241.00 Isométrie vectorielle } \exercice{1982, ridde, 1999/11/01} \enonce{001982}{} Compl\'eter $x_{1} = (1, 2, 1)$ en base orthogonale directe de $\Rr^{3}$ euclidien canonique. \finenonce{001982} \finexercice \exercice{1983, ridde, 1999/11/01} \enonce{001983}{} Montrer que $\forall (x, y, z)\in (\Rr^{3})^{3} \; \; x\wedge (y\wedge z) + y\wedge (z\wedge x) + z\wedge (x\wedge y) = 0$. \finenonce{001983} \finexercice \exercice{1984, ridde, 1999/11/01} \enonce{001984}{} Soit $E$ euclidien orient\'e de dimension 3 et $a\in E$. \\ Soit $f : \begin{cases} E \rightarrow E \\ x \mapsto x\wedge a \end{cases}$. $f$ est-elle lin\'eaire, bijective ? Comparer $f^{3}$ et $f$. \finenonce{001984} \finexercice \exercice{1985, ridde, 1999/11/01} \enonce{001985}{} Soient $a$ et $b$ deux vecteurs de $\Rr^{3}$. Discuter et r\'esoudre l'\'equation $a \wedge x = b$. \finenonce{001985} \finexercice \exercice{1986, ridde, 1999/11/01} \enonce{001986}{} Soit $R$ le rotation vectorielle d'angle $\theta$ et d'axe orient\'e par le vecteur unitaire $k$. Montrer que $\forall x\in \Rr^{3}$ $ R (x) = (\cos\theta)x + (\sin\theta)k\wedge x + 2 (x|k)\sin^{2} (\tfrac{\theta}{2})k$. \finenonce{001986} \finexercice \exercice{1987, ridde, 1999/11/01} \enonce{001987}{} Determiner la matrice dans la base canonique de $\Rr^{3}$ du retournement d'axe $\Rr (1, 2, 1)$. \finenonce{001987} \finexercice \exercice{1988, ridde, 1999/11/01} \enonce{001988}{} Reconnaître les transformations g\'eom\'etriques dont les matrices respectives dans la base canonique de $\Rr^{3}$ sont : \\ $$\frac{1}{3} \begin{pmatrix} 3&1&\sqrt{6}\\1&3&-\sqrt{6}\\-\sqrt{6}&\sqrt{6}&2 \end{pmatrix} \qquad \frac{1}{3} \begin{pmatrix} -2&2&1\\2&1&2\\-1&-2&2 \end{pmatrix}$$ \finenonce{001988} \finexercice \exercice{1989, ridde, 1999/11/01} \enonce{001989}{} Soit $R$ une rotation de $\Rr^{3}$ d'axe $\Rr u$ et d'angle $\theta$ et $r$ une rotation quelconque. D\'eterminer $rRr^{-1}$. En d\'eduire que le centre de $SO_{3} (\Rr)$ est bîîîîîîp (le centre est l'ensemble des rotations qui commutent avec toutes les autres). \finenonce{001989} \finexercice \exercice{1990, ortiz, 1999/04/01} \enonce{001990}{} On consid\`ere l'espace vectoriel euclidien canonique et orient\'e $\Rr^3$. Soient $a,b,c\in\Rr^3$ et $p=\left[a,b,c\right]$ le produit mixte de $a$, $b$ et $c$. Exprimer \`a l'aide de $p$ les quantit\'es suivantes \begin{enumerate} \item $s=\left[a+b,b+c,c+a\right]$, \item $t=\left[a\wedge b,b\wedge c,c\wedge a\right].$ \end{enumerate} \finenonce{001990} \finexercice \exercice{5207, rouget, 2010/06/30} \enonce{005207}{*T} Nature et éléments caractéristiques de la transformation d'expression complexe~: \begin{enumerate} \item $z'=z+3-i$ \item $z'=2z+3$ \item $z'=iz+1$ \item $z'=(1-i)z+2+i$ \end{enumerate} \finenonce{005207} \finexercice\exercice{7480, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007480}{} Construire un segment $[A,B]$ connaissant son milieu $I$ et sachant que $A$ appartient à une droite donnée $d$ et $B$ à un cercle donné $\mathcal{C}$. \finenonce{007480} \finexercice \exercice{7481, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007481}{} Construire un triangle équilatéral $ABC$ connaissant $A$ et sachant que $B$ appartient à un cercle donné $\mathcal{C}$ et $C$ à un autre cercle donné $\mathcal{C}'$. \finenonce{007481} \finexercice \exercice{7482, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007482}{} Soit $\mathcal{C}$ un cercle et $\vec{u}$ un vecteur. Construire une corde $AB$ de $\mathcal{C}$ telle que $\overrightarrow{AB}=\vec{u}$. \finenonce{007482} \finexercice \exercice{7483, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007483}{} Construire un carré $ABCD$ sachant que $A$ et $C$ sont sur une droite $D_1$ donnée, $B$ sur une droite $D_2$ donnée et $D$ sur une droite $D_3$ donnée. \finenonce{007483} \finexercice \exercice{7484, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007484}{} Soit $d$ une droite. Soit $\mathcal{C}$ un cercle et $A$ un point de $\mathcal{C}$. Construire un cercle tangent à la droite $d$ et tangent en $A$ au cercle $\mathcal{C}$. \finenonce{007484} \finexercice \exercice{7485, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007485}{} Dans un triangle $ABC$ rectangle en $A$ trouver la relation entre la longueur de la hauteur $[AH]$ issue de $A$ et la longueur des segments $[BH]$ et $[CH]$. {\'E}tant donné un segment de longueur $a$ construire un segment de longueur $\sqrt{a}$. \finenonce{007485} \finexercice \exercice{7486, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007486}{} Étant donné un segment de longueur $a$ contruire un segment de longueur $a\sqrt{5}$. \finenonce{007486} \finexercice \section{ 242.00 Géométrie affine euclidienne } \section{ 242.01 Géométrie affine euclidienne du plan } \exercice{2035, liousse, 2003/10/01} \enonce{002035}{Transformations affines et Isom\'etries} Soit $P$ un plan muni d'un rep\`ere $(O,{\buildrel\rightarrow \over i}, {\buildrel\rightarrow \over j})$ quelconque. \begin{enumerate} \item On consid\`ere $D$ une droite d'\'equation cart\'esienne $2x-y+3=0$ et ${\buildrel\rightarrow \over u}(3,-2).$ \begin{enumerate} \item Soit $A(4,2).$ Donner une \'equation param\'etrique de $D_A$ droite passant par $A$ de direction ${\buildrel\rightarrow \over u}.$ En d\'eduire les coordonn\'ees de $A'=D_A\cap D$ projet\'e de $A$ sur $D$ selon ${\buildrel\rightarrow \over u}.$ \item D\'efinir plus g\'en\'eralement analytiquement la projection sur $D$ selon ${\buildrel\rightarrow \over u}$ en exprimant les coordonn\'ees $x',$ $y'$ de $M'$ projet\'e de $M(x,y)$ en fonction de $x$ et $y.$\\ \end{enumerate} \item D\'efinir analytiquement les projections sur $D$ selon $\Delta$ dans les cas suivants : \begin{enumerate} \item $\Delta$ d'\'equation $x-2y+1=0.$ \item $\Delta$ d'\'equation $3x+2y+2=0.$ \item $\Delta$ d'\'equation $x+y-1=0.$ \item $\Delta$ d'\'equation $2x-2y+4=0.$ \end{enumerate} \end{enumerate} \finenonce{002035} \finexercice \exercice{2036, liousse, 2003/10/01} \enonce{002036}{} Soit $P$ un plan muni d'un rep\`ere $(O,{\buildrel\rightarrow \over i}, {\buildrel\rightarrow \over j})$ quelconque. \begin{enumerate} \item Donner l'expression analytique de la translation $t_1$ de vecteur $(1,2).$\\ \item Donner l'expression analytique de la translation $t_2$ de vecteur $(-1,2).$\\ \item Donner l'expression analytique de l'homoth\'etie $h_1$ de centre l'origine du rep\`ere et de rapport 2 et de l'homoth\'etie $h_2$ de centre $A(2,-1)$ de rapport 3.\\ \item Donner l'expression analytique de $t_1\circ h_1,$ $t_2\circ h_2,$ $h_1\circ t_1,$ $h_2\circ t_2.$ \item Soit $M(x,y)$ un point de $P$. Donner les coordonn\'ees du sym\'etrique de $M$ par rapport \`a la droite d'\'equation $y=ax+b.$ \end{enumerate} \finenonce{002036} \finexercice \exercice{2037, liousse, 2003/10/01} \enonce{002037}{} \begin{enumerate} \item On consid\`ere $S_1$ la transformation du plan d\'efinie par le syst\`eme d'\'equations suivant : $x'= {\sqrt 3 \over 2} x + {1 \over 2} y -1,\ y'=-{1\over 2}x + {\sqrt 3 \over 2}y +2.$ Reconna\^itre cette transformation. \item De m\^eme avec la transformation $S_2$ d\'efinie par $x'= 5{\sqrt 2} x + 5{\sqrt 2} y,\ y'=-5{\sqrt 2}x + 5{\sqrt 2}y.$ \item On compose $S_1$ avec $S_2$. Donner l'expression de $S_1 \circ S_2$, et trouver la nature de cette transformation. \end{enumerate} \finenonce{002037} \finexercice \exercice{2040, liousse, 2003/10/01} \enonce{002040}{} Dans le plan muni d'un rep\`ere orthonorm\'e direct $(O,\vec{OI},\vec{OJ})$. \begin{enumerate} \item Soit $f$ la transformation du plan d\'efinie analytiquement par $$\left\{\begin{array}{ll}x'=&{1\over \sqrt{5}}(x+2y-1)\\y'=&{1\over \sqrt{5}} (-2x+y+2)\end{array}\right.$$ \begin{enumerate} \item Calculer les coordonn\'ees de $O'$, $I'$, $J'$ les images par $f$ des points $O$, $I$, $J$. \item Montrer que le rep\`ere $(O',\vec{O'I'},\vec{O'J'})$ est orthonorm\'e, est-il direct ? \item En d\'eduire que $f$ est une isom\'etrie, est-elle directe ? \item D\'eterminer l'ensemble des points invariants par $f$ et reconnaitre $f$. \item Donner l'expression analytique de la transformation inverse de $f$. \item Calculer l'image par $f$ la droite d'\'equation $2x-y-1=0$. \end{enumerate} \item Donner l'expression analytique de la rotation de centre $A(1,1)$ et d'angle $\pi\over 3$, calculer l'image de $0$ par cette transformation. \item M\^eme question pour la sym\'etrie d'axe la droite d'\'equation $ x+y+1=0$ \item Donner l'expression analytique de la compos\'ee des deux applications pr\'ec\'edentes. \end{enumerate} \finenonce{002040} \finexercice \exercice{2041, liousse, 2003/10/01} \enonce{002041}{} Dans le plan cart\'esien identifi\'e \`a $\Cc$, un point $M$ est repr\'esent\'e par son affixe $z$. \begin{enumerate} \item Dessiner les ensembles suivants puis les exprimer en fonction de $(x,y)$ ($(z=x+iy)$) : (i) $z+\overline{z}=1$ \hfill (ii) $z-\overline{z}=i$ \hfill (iii) $iz-i\overline{z}=1$ \item Donner l'expression analytique en complexe des transformations suivantes, puis calculer l'image de $i$ par ces transformations : \begin{enumerate} \item la rotation de centre $1+i$ et d'angle $\pi\over 3$, \item la sym\'etrie d'axe la droite d'\'equation $iz-i\overline{z}=1$, \item la compos\'ee des deux applications pr\'ec\'edentes. \end{enumerate} \smallskip \item Soit $f$ la transformation du plan d\'efinie analytiquement par $z'= (1+i)z+ 1$. \begin{enumerate} \item D\'eterminer l'ensemble des points invariants par $f$. \item Donner l'expression analytique de la transformation inverse de $f$. \item Calculer l'image par $f$ de l'ensemble $z+\overline{z}=1$. \item Ecrire $f$ comme la compos\'ee d'une homoth\'etie et d'une isom\'etrie. \end{enumerate} \end{enumerate} \finenonce{002041} \finexercice \exercice{4949, quercia, 2010/03/17} \enonce{004949}{Fonction numérique de Leibniz} Soit $ABC$ un triangle équilatéral de côté $a$. Quels sont les points $M$ du plan $(ABC)$ tels que $MA^2 + a^2 = 2(MB^2 + MC^2)$ ? \finenonce{004949} \finexercice \exercice{4950, quercia, 2010/03/17} \enonce{004950}{Cercle circonscrit à un triangle} Soit $ABC$ un triangle et $\mathcal{C}$ son cercle circonscrit. Soit $M$ un point du plan de coordonnées barycentriques $(x,y,z)$ dans le repère affine $(ABC)$. Montrer que : $M\in\mathcal{C} \Leftrightarrow xAM^2 + yBM^2 + zCM^2 = 0 \Leftrightarrow xyAB^2 + xzAC^2 + yzBC^2 = 0$. \finenonce{004950} \finexercice \exercice{4951, quercia, 2010/03/17} \enonce{004951}{Cercle stable par une application affine} Soit ${\cal C} = {\cal C}(O,r)$ un cercle du plan et $f$ une application affine telle que $f({\cal C}) = {\cal C}$. Montrer que $f$ est une isométrie de point fixe $O$. \finenonce{004951} \finexercice \exercice{4952, quercia, 2010/03/17} \video{zldT8ImfOX8} \enonce{004952}{Point équidistant d'une famille de droites} Pour $\lambda \in \R$ on considère la droite $D_\lambda$ d'équation cartésienne : $(1-\lambda^2)x + 2\lambda y = 4\lambda + 2$. Montrer qu'il existe un point $M_0$ équidistant de toutes les droites $D_\lambda$. \finenonce{004952} \finexercice\exercice{4953, quercia, 2010/03/17} \enonce{004953}{Bissectrice de deux droites} Soient $D,D'$ deux droites distinctes sécantes en $O$. On note ${\cal H} = \{ M$ tq $d(M,D) = d(M,D') \}$. \begin{enumerate} \item Montrer que $\cal H$ est la réunion de deux droites perpendiculaires. (appelées bissectrices de $(D,D')$) \item Soit $s$ une symétrie orthogonale telle que $s(D) = D'$. Montrer que l'axe de $s$ est l'une des droites de $\cal H$ \item Soit $\cal C$ un cercle du plan tangent à $D$. Montrer que $\cal C$ est tangent à $D$ et à $D'$ si et seulement si son centre appartient à $\cal H$. \end{enumerate} \finenonce{004953} \finexercice \exercice{4954, quercia, 2010/03/17} \enonce{004954}{Trois figures isométriques} Trois figures $F_1,F_2,F_3$ se déduisent l'une de l'autre par rotations. Montrer qu'il existe une figure $F$ dont $F_1,F_2,F_3$ se déduisent par symétries axiales. \finenonce{004954} \finexercice \exercice{4955, quercia, 2010/03/17} \enonce{004955}{Produit de 3 rotations} Soit $ABC$ un triangle d'angles $\alpha,\beta,\gamma$. On note $\rho,\rho',\rho''$ les rotations autour de $A,B,C$ d'angles $\alpha,\beta,\gamma$, orientés suivant le dessin : $$ \includegraphics[height=3cm]{../images/img004955-1} $$ Qu'est-ce que $\rho \circ \rho' \circ \rho''$ ? \finenonce{004955} \finexercice \exercice{4956, quercia, 2010/03/17} \enonce{004956}{Sous-groupes finis de déplacements} \begin{enumerate} \item Soit $G$ un sous-groupe fini de déplacements du plan. \begin{enumerate} \item Montrer que $G$ est constitué uniquement de rotations. \item Soient $f,g \in G$. Montrer que $f$ et $g$ ont même centre (étudier $f \circ g \circ f^{-1} \circ g^{-1}$). \item Prouver enfin que $G$ est cyclique. \end{enumerate} \item Soit $G$ un sous groupe fini d'ordre $p$ d'isométries du plan, non toutes positives. \begin{enumerate} \item Montrer que $G$ contient autant d'isométries positives que négatives. \item Montrer que $G$ est un groupe diédral (groupe d'isotropie d'un polygone régulier). \end{enumerate} \end{enumerate} \finenonce{004956} \finexercice \exercice{4957, quercia, 2010/03/17} \enonce{004957}{Centrale MP 2000} Soit~$E$ un plan affine euclidien muni d'un repère orthonormé d'origine~$O$. Soit~$A$ le point de coordonnées~$(a,0)$. Pour tout point~$M$, on définit $M'=f(M)$ de la manière suivante~: $A,M,M'$ sont alignés et $(MO)$ est orthogonale à~$(M'O)$. Expliciter~$f$ en fonction des coordonnées~$(x,y)$ de~$M$. Donner son domaine de définition. Montrer que~$f$ réalise une bijection entre le demi-disque supérieur de diamètre~$[AO]$ et le quart de plan d'équations $x<0, y>0$. \finenonce{004957} \finexercice \exercice{5197, rouget, 2010/06/30} \enonce{005197}{*IT} Déterminer le projeté orthogonal du point $M(x_0,y_0)$ sur la droite $(D)$ d'équation $x+3y-5=0$ ainsi que son symétrique orthogonal. \finenonce{005197} \finexercice \exercice{5198, rouget, 2010/06/30} \enonce{005198}{*} Soit $(ABDC)$ un parallélogramme. Déterminer les coordonnées de $D$ dans le repère $(A,\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})$. \finenonce{005198} \finexercice \exercice{5201, rouget, 2010/06/30} \enonce{005201}{**I} \label{exo:suprou7bis} \begin{enumerate} \item $h$ (resp. $h'$) est l'homothétie de centre $\Omega$ et de rapport $k$ (resp. $k'$) non nul. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de $h'\circ h$. \item $s$ (resp. $s'$) est la symétrie centrale de centre $\Omega$ (resp. $\Omega'$). Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de $s'\circ s$. \item $s$ est la symétrie centrale de centre $\Omega$ et $t$ est la translation de vecteur $\overrightarrow{u}$. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de $t\circ s$. \end{enumerate} \finenonce{005201} \finexercice \exercice{7047, megy, 2017/01/08} \enonce{007047}{Construction de parallèles et de perpendiculaires} % Source : % Tags : On donne une droite $\mathcal D$ et un point $P \not\in \mathcal D$. Tracer la parallèle ainsi que la perpendiculaire à $\mathcal D$ passant par $P$. \finenonce{007047} \finexercice \exercice{7048, megy, 2017/01/08} \enonce{007048}{Construction du centre et de tangentes} % tags : corde, médiatrice, symétrique, milieu, triangle rectangle, cercle circonscrit On donne un cercle $\mathcal C$ (sans son centre). \begin{enumerate} \item Tracer son centre, si possible de plusieurs façons. \item On donne un point $P$ à l'extérieur du cercle. Tracer les tangentes à $\mathcal C$ passant par $P$. \item Même question si $P$ est sur le cercle. \end{enumerate} \finenonce{007048} \finexercice \exercice{7049, megy, 2017/01/08} \enonce{007049}{Triangle de l'écolier, 1} %tags : triangle rectangle, cercle circonscrit On donne deux points $A$ et $B$. Construire un triangle $ABC$ rectangle en $C$ tel que $AB = 2AC$. \finenonce{007049} \finexercice \exercice{7050, megy, 2017/01/08} \enonce{007050}{Triangle de l'écolier, 2} Soit $ADC$ un triangle équilatéral et $B$ le symétrique de $A$ par rapport à $D$. Montrer que $ABC$ est rectangle en $C$ et déterminer également $\widehat A$ et $\widehat B$. \begin{center} \begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,x=1.0cm,y=1.0cm] \clip(-1.38,-0.88) rectangle (9.2,5.2); \fill[fill opacity=0.1] (-0.22,0.26) -- (3.88,0.26) -- (1.83,3.81) -- cycle; \draw (-0.22,0.26)-- (3.88,0.26); \draw (3.88,0.26)-- (1.83,3.81); \draw (1.83,3.81)-- (-0.22,0.26); \draw (7.98,0.26)-- (1.83,3.81); \draw (7.98,0.26)-- (3.88,0.26); \begin{scriptsize} \draw (-0.5,0.62) node {$A$}; \draw (4.02,0.62) node {$D$}; \draw (1.98,4.18) node {$C$}; \draw (8.12,0.62) node {$B$}; \end{scriptsize} \end{tikzpicture} \end{center} \finenonce{007050} \finexercice \exercice{7051, megy, 2017/01/08} \enonce{007051}{Subdivision et barycentres} On donne un segment $[AB]$. \begin{enumerate} \item Diviser le segment en quatre. \item Diviser le segment en trois parties égales sans utiliser le théorème de Thalès. \item Diviser le segment en sept parties égales. \item Construire le barycentre de $(A,3)$ et $(B,4)$. \end{enumerate} \finenonce{007051} \finexercice \exercice{7052, megy, 2017/01/08} \enonce{007052}{Isobarycentre} \begin{enumerate} \item On donne un quadrilatère $ABCD$. Construire l'isobarycentre de ses sommets. Construire le barycentre de $(A,1)$, $(B,1)$, $(C,3)$ et $(D,3)$. \item On donne un pentagone quelconque. Construire l'isobarycentre de ses sommets. \end{enumerate} \finenonce{007052} \finexercice \exercice{7053, megy, 2017/01/08} \enonce{007053}{Introduction aux nombres constructibles} % source : wikipedia, Carrega On donne deux points $O$ et $I$, avec $OI=1$. Un réel $r$ est constructible si on peut construire à la règle et au compas un point $M$ tel que $\overrightarrow{OM}=r\overrightarrow{OI}$. Le but de l'exercice est de montrer que l'ensemble des nombres constructibles est un sous-corps de $\R$ stable par racine carrée. \begin{enumerate} \item Construire sur la droite $(OI)$ des points $A$, $B$ et $C$ tels que $OA = \frac{1}{\sqrt{2}}$, $OB =\sqrt{2}$ et $OC =\sqrt{3}$. \item (Construction du produit et de l'inverse de deux nombres constructibles.) On donne deux points $A$ et $B$ alignés avec $O$. Construire sur la droite $(AB)$ des points $C$ et $D$ tel que $OC = OA\times OB$ et $OD = \frac{OA}{OB}$. \item (Construction de la racine carrée.) Soit $A$ un point sur la demi-droite $[OI)$. Soit $I'$ le symétrique de $I$ par rapport à $O$, soit $\mathcal C$ le cercle de diamètre $I'A$, et soit $F$ l'une des intersections du cercle $\mathcal C$ avec la perpendiculaire à $(OA)$ passant par $O$. Montrer que $OF = \sqrt{OA}$. \end{enumerate} \finenonce{007053} \finexercice \exercice{7054, megy, 2017/01/08} \enonce{007054}{Tangentes communes à deux cercles} % tags triangle rectangle, cercle circonscrit On donne deux cercles $\mathcal C$ et $\mathcal C'$ de rayons $r < r'$, de centres $O$ et $O'$, disjoints et extérieurs l'un à l'autre. On admet qu'il existe quatre tangentes communes à $\mathcal C$ et $\mathcal C'$. L'objectif est de les construire. \begin{enumerate} \item (Analyse) Soit $\mathcal D$ une tangente commune. On note $A$ et $A'$ les points de contact de $\mathcal D$ avec les deux cercles. Que peut-on dire de la parallèle à $(AA')$ passant par $O$ et de son intersection avec $(O'A')$ ? \item (Synthèse) En déduire une construction du point d'intersection de ces deux droites, puis ces deux droites et enfin de $\mathcal D$. Tracer les quatre tangentes communes de cette façon. \end{enumerate} \finenonce{007054} \finexercice \exercice{7055, megy, 2017/01/08} \enonce{007055}{Construction de cercles, 1} % tags : construction de cercles, CDP \begin{enumerate} \item On donne une droite $\mathcal D$ et un point $O$ hors de la droite. Tracer le cercle de centre $O$ et tangent à $\mathcal D$. \item On donne deux droites $\mathcal D$ et $\mathcal D'$ sécantes et un point $O$ d'une bissectrice (et hors des droites). Construire le cercle de centre $O$ et tangent aux deux droites. \end{enumerate} \finenonce{007055} \finexercice \exercice{7056, megy, 2017/01/08} \enonce{007056}{Construction de cercles, 2} \begin{enumerate} \item On donne une droite $\mathcal D$, un point $H$ sur $\mathcal D$ et un point $A$ en-dehors. Tracer le cercle passant par $A$ et tangent à la droite en $H$.% cas particulier de PPP ou PPD \item On donne trois droites dont deux parallèles. Dénombrer et construire les cercles tangents aux trois droites. \end{enumerate} \finenonce{007056} \finexercice \exercice{7057, megy, 2017/01/08} \enonce{007057}{Construction de cercles} % tags : construction de cercles, cas particulier de CCC On donne trois cercles distincts $\mathcal C_1$, $\mathcal C_2$ et $\mathcal C_3$ de même rayon et dont les centres ne sont pas alignés. Construire deux cercles tangents à $\mathcal C_1$, $\mathcal C_2$ et $\mathcal C_3$. \finenonce{007057} \finexercice \exercice{7058, megy, 2017/01/08} \enonce{007058}{Construction de cercles de rayon donné} % tags : construction de cercles, cas particulier de CCC Dans tout l'exercice, on fixe $R>0$. Dénombrer et construire les cercles de rayon $R$ tangents à : \begin{enumerate} \item deux cercles distincts $\mathcal C_1$ et $\mathcal C_2$; \item deux droites sécantes $\mathcal D_1$ et $\mathcal D_2$; \item un cercle $\mathcal C$ et une droite $\mathcal D$. \end{enumerate} \finenonce{007058} \finexercice \exercice{7077, megy, 2017/01/21} \enonce{007077}{} % Source : % Tags : Soit $\mathcal D$ une droite et $\sigma$ la réflexion orthogonale suivant cette droite. Construire l'image par $\sigma$ d'un point, d'un segment, d'un droite, d'un cercle (que ces objets intersectent l'axe de symétrie ou pas).\finenonce{007077} \finexercice \exercice{7078, megy, 2017/01/21} \enonce{007078}{Constructions} \begin{enumerate} \item On donne deux points $A$ et $B$. Soit $\tau$ la translation de vecteur $\overrightarrow{AB}$ et $M$ un point du plan. Construire $\tau(M)$. \item Soit $\mathcal D$ une droite du plan, et $\sigma$ la réflexion orthogonale d'axe $\mathcal D$. Soit $M$ un point du plan. Construire $\sigma(M)$. Réciproquement, soit $\sigma$ une réflexion orthogonale, et supposons donnés un point $A$ et son image $\sigma(A)$. Construire $\mathcal D$. \item On donne un point $O$, et $\phi$ l'homothétie de centre $O$ et de rapport $5/8$. Soit $M$ un point du plan. Construire $\phi(M)$. Remarque : ceci marche pour tout rapport rationnel. \item On donne un triangle auxiliaire $ABC$ et on considère l'angle $\alpha=(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})$. Soit $\rho$ la rotation de centre $O$ et d'angle $\alpha$. Si $M$ est un point du plan, construire $\rho(M)$. \end{enumerate}\finenonce{007078} \finexercice \exercice{7079, megy, 2017/01/21} \enonce{007079}{} \begin{enumerate} \item À quelle condition sur quatre points $P_1, ... P_4$ existe-t-il une homothétie $h$ telle que $h(P_1)=P_2$ et $h(P_3)=P_4$ ? \item Soit $\phi$ une homothétie. On donne deux points $A$ et $B$, ainsi que leurs images $\phi(A)$ et $\phi(B)$. Le centre de l'homothétie n'est pas donné. Le construire, y compris si les quatre points donnés sont alignés. % dans le deuxième cas, tracer un triangle ABC, et tracer son image par l'homthétie en tracant les parallèles. On trouve un point C', et CC' intersecte la droite (AB) en O. \item Soit $\rho$ une rotation du plan. On donne deux points $A$ et $B$, ainsi que leurs images $\rho(A)$ et $\rho(B)$. Construire le centre de la rotation, en distinguant les cas. \end{enumerate}\finenonce{007079} \finexercice \exercice{7080, megy, 2017/01/21} \enonce{007080}{Polygone des milieux} % Source : Dehornoy % tags : symétries centrales On donne un nombre impair de points du plan $M_1$, ...$M_n$. Existe-t-il un polygone $P_1$, $P_2$, ... $P_n$ tel que les $M_i$ soient les milieux des côtés du polygone ? Commencer par $n=3$. Et si $n$ est pair ? En particulier, si $n=4$, trouver une condition nécessaire et suffisante pour que le problème admette une solution et déterminer l'ensemble des solutions. \finenonce{007080} \finexercice \exercice{7081, megy, 2017/01/21} \enonce{007081}{Trapèze rectangle} %tags : isocèle, trapèze, symétrie centrale, projection Soit $\mathcal D$ une droite, $A$ et $B$ deux points hors de cette droite, et $A'$, $B'$ leurs projetés orthogonaux sur $\mathcal D$, supposés distincts. Soit enfin $I$ le milieu de $[AB]$. Montrer que $A'IB'$ est isocèle en $I$. \begin{center} \includegraphics{../images/img007081-1} \end{center} \finenonce{007081} \finexercice \exercice{7082, megy, 2017/01/21} \enonce{007082}{Trapèze isocèle} % tags : symétrie centrale, réflexion orthogonale Soit $ABC$ un triangle, $P$ le pied de la hauteur issue de $A$ et $I$, $J$, $K$ les milieux des côtés $[AB]$, $[BC]$ et $[CA]$. Montrer que le quadrilatère $IPJK$ est un trapèze isocèle. \begin{center} \includegraphics{../images/img007082-1} \end{center} \finenonce{007082} Par le théorème des milieux, on a $(IK) // (PJ)$ donc $IPJK$ est un trapèze. Soit $Q$ le milieu de $[IK]$. La perpendiculaire à $(IK)$ en $Q$ est alors un axe de symétrie de $IPJK$, par le théorème des milieux appliqué à $APJ$. \finexercice \exercice{7083, megy, 2017/01/21} \enonce{007083}{Deux cercles sont homothétiques} %tags : homothéties % source : http://debart.pagesperso-orange.fr/geoplan/construc_probleme_classique.html#ch13 Soient $\mathcal C$ et $\mathcal C'$ deux cercles de rayons distincts. Montrer qu'il existe des homothéties transformant l'un en l'autre. Suivant la position et la taille des cercles, combien y a-t-il de telles homothéties ? Tracer leurs centres. \finenonce{007083} \finexercice \exercice{7084, megy, 2017/01/21} \enonce{007084}{Tangentes communes à deux cercles} % tags: homothéties et translations On donne deux cercles. Déterminer le nombre de tangentes communes aux deux cercles et tracer ces tangentes. \finenonce{007084} \finexercice \exercice{7085, megy, 2017/01/21} \enonce{007085}{Carré inscrit dans un triangle} % homothétie, Thalès Soit $ABC$ un triangle. Construire un carré dont un sommet appartient à $[AB]$, un à $[AC]$ et deux sommets adjacents appartiennent à $[BC]$. \finenonce{007085} \finexercice \exercice{7086, megy, 2017/01/21} \enonce{007086}{Cercle d'Euler} % tags : homothéties, cercle circonscrit, cercle des neuf points % cercle de Feuerbach, cercle de Terquem, cercle médian Soit $ABC$ un triangle. On note $G$, $\Omega$ et $H$ le centre de gravité, le centre du cercle circonscrit $\mathcal C$ et l'orthocentre. Soit $\mathcal C'$ le cercle passant par les milieux $I_A$, $I_B$ et $I_C$ des côtés de $ABC$. \begin{enumerate} \item Montrer que le centre de $\mathcal C'$ appartient à la droite $(G\Omega)$. Calculer son rayon. \item Montrer que $\mathcal C'$ coupe les segments reliant les sommets à l'orthocentre $H$ en leur milieu. \end{enumerate} % il y a beaucoup d'autres choses à montrer, mais c'est plus pratique avec les angles inscrits. \begin{center} \includegraphics{../images/img007086-1} \end{center} \finenonce{007086} \finexercice \exercice{7087, megy, 2017/01/21} \enonce{007087}{Théorème du trapèze} % homothéties Soient $[AB]$ et $[CD]$ deux segments parallèles de longueurs différentes. Montrer qu'il existe des homothéties transformant l'un en l'autre. Combien y a-t-il de telles homothéties ? Tracer leurs centres. Montrer que la droite reliant ces centres coupe les segments en leur moitié. Application : construire à la règle seule le symétrique de $A$ par rapport à $B$. Expliquer comment construire à la règle seule n'importe quel barycentre à coefficients rationnels de $A$ et de $B$. \finenonce{007087} \finexercice \exercice{7088, megy, 2017/01/21} \enonce{007088}{Application du théorème du trapèze} Soit $\mathcal D$ une droite, $A$ et $B$ deux points distincts n'appartenant pas à cette droite, et $A'$ le symétrique de $A$ par rapport à $\mathcal D$. On suppose que $A'B$ n'est pas parallèle à $\mathcal D$. Construire à la règle seule le symétrique $B'$ de $B$ par rapport à $\mathcal D$. \finenonce{007088} \finexercice \exercice{7089, megy, 2017/01/21} \enonce{007089}{Application du théorème du trapèze, bis} Soient deux droites parallèles distinctes $\mathcal D$ et $\mathcal D'$, et $P$ un point non situé sur ces droites. Construire à la règle seule la droite passant par $P$ et parallèle aux deux autres.\finenonce{007089} \finexercice \exercice{7090, megy, 2017/01/21} \enonce{007090}{Où est le centre?} % source : Leitchnam % se fait facilement en coisissant des coordonnées affines, en fait. Soit $ABCD$ un parallélogramme, et $M$ un point sur la diagonale $(BD)$. Soit $I$ le symétrique de $C$ par rapport à $M$. Soit $E$ la projection de $I$ sur $(AB)$ parallèlement à $(AD)$, et $F$ la projection de $I$ sur $(AD)$ parallèlement à $(AB)$. Montrer que $E$, $M$ et $F$ sont alignés. \finenonce{007090} \finexercice \exercice{7091, megy, 2017/01/21} \enonce{007091}{Tangentes communes à plusieurs cercles} % homothéties %(\cite[I, prop. 17]{Euclide}) On donne un cercle $\mathcal C$ (de centre $O$), un point $M$ à l'extérieur du cercle, les deux tangentes $\mathcal D$ et $\mathcal D'$ à $\mathcal C$ passant par $M$. On notera $A$ et $B$ les points de tangence. Le cercle $\mathcal C$ coupe $(MO)$ en deux points $P$ et $Q$. D'autre part, soit $H$ l'intersection de la corde $[AB]$ avec $(OM)$. À l'aide d'homothéties, montrer que les cercles de centres $P$ et $Q$ et passant par $H$ sont tangents à $\mathcal D$ et $\mathcal D'$. \begin{center} \includegraphics{../images/img007091-1} \end{center} \finenonce{007091} \finexercice \exercice{7092, megy, 2017/01/21} \enonce{007092}{} % homothéties On donne trois cercles disjoints, de rayons distincts et à l'extérieur les uns des autres. Chacune des trois paires de cercles fournit deux tangentes communes extérieures qui se croisent en un point. Montrer que ces trois points sont alignés. \finenonce{007092} \finexercice \exercice{7093, megy, 2017/01/21} \enonce{007093}{} % tags : translation Soit $ABCD$ un rectangle et $M$ un point du plan. On note $C’$ le projeté orthogonal de $C$ sur $(AM)$, $D’$ le projeté orthogonal de $D$ sur $(BM)$ et $M’$ le projeté orthogonal de $M$ sur $(AB)$. Enfin, on note $I$ le point d'intersection des droites $(CC’)$ et $(DD’)$. Montrer que les points $M$, $M’$ et $I$ sont alignés. \finenonce{007093} \finexercice \exercice{7094, megy, 2017/01/21} \enonce{007094}{Théorème de Pappus, version affine} % Source : Audin par exemple Soient $D$ et $D'$ deux droites. Soient $A, B, C$ trois points sur $D$, et $A'$, $B'$ et $C'$ trois points sur $D'$. Si $(AB') // (BC')$ et $(BA') // (CB')$, alors $(AA') // (CC')$. \finenonce{007094} \finexercice \exercice{7095, megy, 2017/01/21} \enonce{007095}{Théorème de Desargues, version affine} % tags : homothéties et translations. \begin{enumerate} \item Soient $ABC$ et $A'B'C'$ deux triangles (non aplatis) sans sommet commun. Montrer qu'ils se déduisent l'un de l'autre par homothétie ou translation ssi leurs côtés sont parallèles. \item (Application) On donne deux droites se coupant en un point $O$ hors de la feuille, ainsi qu'un point $M$ hors de ces droites. Tracer la droite $(OM)$. \end{enumerate} \finenonce{007095} \finexercice \exercice{7096, megy, 2017/01/21} \enonce{007096}{} % tags : homothéties, translations Soient $f$ et $g$ deux homothéties de même rapport et de centres distincts. Déterminer la nature de $f\circ g^{-1}$. \finenonce{007096} \finexercice \exercice{7097, megy, 2017/01/21} \enonce{007097}{Corde de longueur fixée} % translations Soit $\mathcal C$ un cercle et $D$ une droite. Construire une droite parallèle à $D$ coupant le cercle $\mathcal C$ en deux points situés à une distance $a$ donnée (inférieure au diamètre). \finenonce{007097} \finexercice \exercice{7098, megy, 2017/01/21} \enonce{007098}{Cercle tangent à deux droites et passant par un point} On donne deux droites parallèles et un point $A$ entre les deux droites. Dénombrer et tracer les cercles passant par $A$ et tangents aux deux droites. %translations sous-jacentes. \finenonce{007098} \finexercice \exercice{7099, megy, 2017/01/21} \enonce{007099}{} % tags : translation, homothétie \begin{enumerate} \item On donne deux droites parallèles et un point $A$ entre les deux droites. Dénombrer et tracer les cercles passant par $A$ et tangents aux deux droites. \item On donne deux droites sécantes et un point $A$ n'appartenant pas aux deux droites. Dénombrer et tracer les cercles passant par $A$ et tangents aux deux droites. \end{enumerate} \finenonce{007099} \finexercice \exercice{7100, megy, 2017/01/21} \enonce{007100}{Permutation cyclique} % variations avec d'autres types permutations Soient $A$, $B$, $C$ et $D$ quatre points du plan tels que trois d'entre eux ne soient jamais alignés. Donner une condition nécessaire et suffisante sur $ABCD$ pour qu'il existe une transformation affine $f$ du plan telle que $f(A)=B$, $f(B)=C$, $f(C)=D$ et $f(D)=A$. Montrer qu'une telle transformation, si elle existe, est nécessairement d'ordre quatre dans le groupe affine. % \finenonce{007100} \finexercice \exercice{7101, megy, 2017/01/21} \enonce{007101}{Minimisation} Soient $C$ et $C'$ deux cercles sécants de centres $O$ et $O'$, et $A$ un de leurs points d'intersection. Une droite $D$ passant par $A$ recoupe les deux cercles en $M$ et $M'$. Déterminer la position de la droite qui maximise la distance $MM'$ et calculer le maximum. \finenonce{007101} \finexercice \exercice{7102, megy, 2017/01/21} \enonce{007102}{Cloître} % Tags : carré, rotation On se donne un carré, et on cherche à construire un carré de même centre, aux côtés parallèles, et d'aire deux fois plus petite, comme ci-dessous: \begin{center} \includegraphics{../images/img007102-1} \end{center} \begin{enumerate} \item (Question préliminaire) Soit $\mathcal C$ un cercle. Montrer qu'un carré circonscrit au cercle a une aire deux fois plus grande qu'un carré inscrit dans le cercle. \item En déduire une solution au problème initial. \end{enumerate} \finenonce{007102} \finexercice \exercice{7103, megy, 2017/01/21} \enonce{007103}{Construction de l'octogone régulier} %rotation, octogone, analyse-synthèse Construire un octogone régulier inscrit dans un carré donné (c'est-à-dire un octogone dont quatre des huit cotés s'appuient sur les cotés du carré). \finenonce{007103} \finexercice \exercice{7104, megy, 2017/01/21} \enonce{007104}{Carré invisible} % tags : rotation, translation, difficile On considère un carré $ABCD$ et on place quatre points $E$, $F$, $G$, et $H$ sur les côtés de ce carré, en-dehors des sommets. Puis, on efface le carré. En considérant une rotation et une translation, reconstruire le carré. \finenonce{007104} \finexercice \exercice{7105, megy, 2017/01/21} \enonce{007105}{} % source : Debart "rotation au collège" % tags: collège, rotation Sur les côtés $[AB]$ et $[BC]$ d'un carré direct $ABCD$, on place des points $M$ et $N$vérifiant $AM = BN$. Soit $H$ le point d'intersection des droites $(AN)$ et $(CM)$. Montrer que $H$ est l'orthocentre du triangle $DMN$.\finenonce{007105} \finexercice \exercice{7106, megy, 2017/01/21} \enonce{007106}{} % source : Debart rotations au collège % tags : rotations, collège Soit $ABCD$ un carré de centre $O$, et $OPQR$ un second carré de même taille. Calculer l'aire de l'intersection de ces deux carrés en fonction de l'aire de $ABCD$. \finenonce{007106} \finexercice \exercice{7107, megy, 2017/01/21} \enonce{007107}{} % source : Debart rotations aux collège % rotations, collège Soit $ABCD$ un carré de centre $O$, et $M$ un point sur $(AB)$. À partir de $M$, on construit le triangle isocèle $OMN$, rectangle en $O$. Montrer que les points $B$, $C$ et $N$ sont alignés. \finenonce{007107} \finexercice \exercice{7108, megy, 2017/01/21} \enonce{007108}{} % tags : rotation, complexes Soit $BOA$ un triangle indirect quelconque, $OAC$ et $OEB$ deux triangles rectangles isocèles en $O$ directs. Montrer que $ACEB$ est un pseudo-carré, c'est-à-dire que les droites $(AE)$ et $(BC)$ sont perpendiculaires et que $BC = AE$. \finenonce{007108} \finexercice \exercice{7109, megy, 2017/01/21} \enonce{007109}{} % tags : rotation, complexes Soit $BOA$ un triangle indirect isocèle en $O$, $OAC$ et $OEB$ deux triangles équilatéraux directs. Montrer que $BC = AE$ et vérifier que l'angle des droites $(BC)$ et $(AE)$ est de $\pi/3$. \finenonce{007109} \finexercice \exercice{7110, megy, 2017/01/21} \enonce{007110}{} % pas génial Soit $ABCD$ un carré, $E$ le symétrique de $C$ par rapport à $D$, $I$ le milieu de $[BC]$ et $J$ le milieu de $[DE]$. Montrer que le triangle $AIJ$ est rectangle isocèle en $A$. \finenonce{007110} \finexercice \exercice{7111, megy, 2017/01/21} \enonce{007111}{} % tags : rotation, dur, utile On considère trois droites parallèles $D_1$, $D_2$ et $D_3$. Construire un triangle équilatéral dont les sommets appartiennent respectivement à $D_1$, $D_2$ et $D_3$. \finenonce{007111} \finexercice \exercice{7112, megy, 2017/01/21} \enonce{007112}{} % tags : similitude Soit $ABCD$ et $A'B'C'D'$ deux carrés du plan inclus l'un dans l'autre. On suppose que ce sont des cartes routières de la même région, tracées à différentes échelles, posées l'une sur l'autre. Montrer qu'il existe un unique point dont les représentations sur les deux cartes coïncident. (Bonus : construire ce point.) \finenonce{007112} \finexercice \exercice{7113, megy, 2017/01/21} \enonce{007113}{} % similitudes, cercles circonscrit, triangle rectangle Soit $ABC$ un triangle et $D$ le projeté orthogonal de $A$ sur $(BC)$. On considère des points $E$ et $F$ appartenant à une droite passant par $D$ tels que $(AE)$ et $(BE)$ sont perpendiculaires ainsi que $(AF)$ et $(CF)$. Enfin, on note $M$ et $N$ sont les milieux respectifs de $[BC]$ et $[EF]$. Montrer que $(AN)$ et $(NM)$ sont perpendiculaires. \finenonce{007113} \finexercice \exercice{7114, megy, 2017/01/21} \enonce{007114}{} % tags : similitude Soit $ABC$ un triangle isocèle en $A$, $A'$ et $B'$ les pieds des hauteurs issues de $A$ et $B$, $I$ le milieu de $[CB']$ et $J$ le milieu de $[A'I]$. Montrer que $(BI)$ et $(AJ)$ sont orthogonales. \begin{center} \includegraphics{../images/img007114-1} \end{center} \finenonce{007114} \finexercice \exercice{7115, megy, 2017/01/21} \enonce{007115}{} % rotations, similitudes, complexes % Von Aubel déguisé (pas très bien) Soit $ABC$ un triangle direct non isocèle rectangle. Soient $ARB$, $BPC$, $CQA$ les triangles isocèles rectangles en $P$, $Q$ et $R$, intérieurs à $ABC$. \begin{enumerate} \item Montrer que $\overrightarrow{AP}$ et $\overrightarrow{QR}$ ont même norme et sont orthogonaux. \item Montrer que $(AP)$, $(BQ)$ et $(CE)$ sont concourantes. \end{enumerate} \finenonce{007115} \finexercice \exercice{7116, megy, 2017/01/21} \enonce{007116}{} % similitudes, translations, ou bien complexes % Ressemble à Van Aubel Soit un quadrilatère convexe $ABCD$. Les points $E$, $F$, $G$, $H$ sont tels que $AEB$, $BFC$, $CGD$, $DHA$ sont rectangles isocèles en respectivement $E$, $F$, $G$, $H$. Les triangles $AEB$ et $CGD$ sont vers l'extérieur de $ABC$ , les triangles $BFC$ et $DHA$ vers l'intérieur. Montrer que $EFGH$ est un parallélogramme. \finenonce{007116} \finexercice \exercice{7117, megy, 2017/01/21} \enonce{007117}{} % similitudes, ou complexes Soient $ABCD$ et $AB'C'D'$ des carrés de même orientation et de centres respectifs $O$ et $O'$. On note $R$ et $S$ sont les milieux respectifs de $[BD']$ et $[B'D]$. Montrer que $OSO'R$ est un carré.\finenonce{007117} \finexercice \exercice{7118, megy, 2017/02/08} \enonce{007118}{Angle inscrit dans le cas limite} % n'utilise que des triangles isocèles et rectangles Soit $\mathcal C$ un cercle de centre $O$, $[AB]$ une corde et $\mathcal T$ la tangente de $A$. Alors $(\mathcal T,AB)=\frac12(OA,OB)$. \begin{center} \includegraphics{../images/img007118-1} \end{center} \finenonce{007118} \finexercice \exercice{7119, megy, 2017/02/08} \enonce{007119}{Construction de l'arc capable} % application directe On donne un segment $[AB]$ et un réel $\alpha \in ]-\pi,\pi[$. On suppose que l'on dispose également d'un triangle auxiliaire $XYZ$ avec $\widehat{(\overrightarrow{XY}, \overrightarrow{XZ})}=\alpha$, de sorte que les angles de mesure $\alpha$ sont constructibles. Construire le lieu des points $M$ tels que $\widehat{(\overrightarrow{MA}, \overrightarrow{MB})}=\alpha$.\finenonce{007119} \finexercice \exercice{7120, megy, 2017/02/08} \enonce{007120}{Octogone appuyé sur un segment} % angle au centre, inscrit. application directe Construire un octogone convexe régulier dont un des côtés est un segment $[AB]$ donné. \finenonce{007120} \finexercice \exercice{7121, megy, 2017/02/08} \enonce{007121}{Trapèzes inscriptibles} % angles inscrits, facile, application directe Montrer qu'un trapèze est isocèle si et seulement s'il est inscriptible. \finenonce{007121} \finexercice \exercice{7122, megy, 2017/02/08} \enonce{007122}{antiparallélogramme} % angles inscrits Un antiparallélogramme est un quadrilatère croisé dont les cotés opposés sont deux à deux de même longueur. Soit $ABCD$ un antiparallélogramme. Montrer les assertion suivantes. \begin{center} \includegraphics{../images/img007122-1} \end{center} \begin{enumerate} \item Les angles opposés ont la même mesure. \item Les diagonales $(AC)$ et $(BD)$ sont parallèles. \item La médiatrice des diagonales est un axe de symétrie de $ABCD$. \item Deux côtés opposés ont leur point d'intersection situé sur cette médiatrice. \item Le quadrilatère convexe $ADBC$ formé par les deux côtés non croisés et les diagonales est un trapèze isocèle. \item $ABCD$ est inscriptible. \end{enumerate}\finenonce{007122} \finexercice \exercice{7123, megy, 2017/02/08} \enonce{007123}{Théorème de Reim} % application directe Soient $\mathcal C_1$ et $\mathcal C_2$ deux cercles sécants en $A$ et $B$, et $\mathcal D_A$ (respectivement $\mathcal D_B$) une droite passant par $A$ (resp. $B$). On note $C$ et $E$ (resp. $D$ et $F$) l'intersection de $\mathcal D_A$ (resp. $\mathcal D_B$) avec les deux cercles. Montrer que $(CD) // (EF)$. \finenonce{007123} \finexercice \exercice{7124, megy, 2017/02/08} \enonce{007124}{Bissectrices et cercle circonscrit} % exercice simple sur les angles inscrits Les bissectrices intérieure et extérieure en $A$ d'un triangle $ABC$ non isocèle en $A$ recoupent le cercle $\Gamma$ circonscrit à ce triangle respectivement en $I$ et $J$. Montrer que $I$ et $J$ appartiennent à la médiatrice de $[BC]$. \finenonce{007124} \finexercice \exercice{7125, megy, 2017/02/08} \enonce{007125}{Cas limite du théorème de Reim} % application directe % angle inscrit et angle au centre, cas limite % ou homothéties Soient $\mathcal C$ et $\mathcal C'$ deux cercles tangents en un point $T$, et $\mathcal D_1$, $\mathcal D_2$ deux droites sécantes en $T$. On note $A$ et $A'$ (resp. $B$ et $B'$) les points d'intersection de $\mathcal D_1$ (resp. $\mathcal D_2$) avec $\mathcal C$ et $\mathcal C'$. Montrer que les droites $(AB)$ et $(A'B')$ sont parallèles. \begin{center} \includegraphics{../images/img007125-1} \end{center} \finenonce{007125} \finexercice \exercice{7126, megy, 2017/02/08} \enonce{007126}{Théorème des trois cercles de Miquel} % Mettre l'autre sens % points cocycliques Soit $ABC$ un triangle direct, et $P$, $Q$ $R$ trois points situés sur $[BC]$, $[CA]$ et $[AB]$ respectivement, et distincts des sommets. Montrer que les cercles circonscrits à $ARQ$, $BPR$ et $CQP$ sont concourants. \begin{center} \includegraphics{../images/img007126-1} \end{center} \finenonce{007126} \finexercice \exercice{7127, megy, 2017/02/08} \enonce{007127}{Ligne brisée} % angle inscrit, aires % plus difficile Une ligne brisée $ABCDE$ formée d'angles de 45 degrés est inscrite dans un cercle. Elle partage le disque en deux régions, chacune d'un côté différent de la ligne. Calculer l'aire de ces deux régions. % la moitié. \begin{center} \includegraphics{../images/img007127-1} \end{center} \finenonce{007127} \finexercice \exercice{7128, megy, 2017/02/08} \enonce{007128}{Pentagramme} % tags : chasse aux angles, un peu plus difficile Soit $\mathcal C$ un cercle, $[BC]$ une corde, et $A \in \mathcal C$ tels que les arcs $AB$ et $AC$ soient égaux. Soient $[AD]$ et $[AE]$ deux autres cordes d'extrémités $A$, qui coupent $[BC]$ en $F$ et en $G$, respectivement. Montrer que $DEFG$ est inscriptible.\finenonce{007128} \finexercice \exercice{7129, megy, 2017/02/08} \enonce{007129}{} Soient $\mathcal C_1$ et $\mathcal C_2$ deux cercles se coupant en $P$ et $Q$, et considérons une droite $\mathcal D$ coupant $\mathcal C_1$ en $A$ et $B$, et coupant $\mathcal C_2$ en $C$ et $D$. Montrer que $(PA,PC)=(DQ,BQ)$. Plus précisément, montrer que les angles $\widehat{APC}$ et $\widehat{DQB}$ sont égaux si $\mathcal D$ coupe le segment $[PQ]$ et que $A$, $C$, $B$ et $D$ sont alignés dans cet ordre. Que peut-on dire dans les autres cas ? \finenonce{007129} \finexercice \exercice{7130, megy, 2017/02/08} \enonce{007130}{} % nom : centre similitude % source : ? voir ausi Audin, p.91-93 On donne deux segments $[AB]$ et $[CD]$ non parallèles et de longueur différente. On admet qu'il existe une similitude directe $\phi$ envoyant $A$ sur $C$ et $B$ sur $D$. Le but de l'exercice est de construire le centre $O$ de cette similitude. \begin{enumerate} \item Montrer que l'angle de la similitude est $\widehat{(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD}}$. \item On note $Q = (AB) \cap (CD)$. Montrer que $AQCO$ est inscriptible. \item Terminer le raisonnement et construire $O$. \item Que faire si les segments sont parallèles ? De même longueur ? Réfléchir à d'autres méthodes pour construire le centre, sans utiliser de cercles. \end{enumerate}\finenonce{007130} \finexercice \exercice{7131, megy, 2017/02/08} \enonce{007131}{Triangle orthique} % joli, points cocycliques Soit $ABC$ un triangle non rectangle et $A'$, $B'$, $C'$ les pieds des hauteurs. Montrer que les hauteurs de $ABC$ sont des bissectrices du triangle $A'B'C'$, dit \emph{triangle orthique}. \finenonce{007131} \finexercice \exercice{7132, megy, 2017/02/08} \enonce{007132}{Ptolémée, preuve géométrique du sens direct} % similitudes On considère l'énoncé suivant : \begin{theoreme}[Ptolémée] Soit $ABCD$ un quadrilatère convexe, direct. Alors $A, B, C, D$ sont cocycliques si et seulement si $ AC\cdot BD = AB\cdot CD + BC\cdot AD$. \end{theoreme} L'objectif de cet exercice est de prouver le sens direct du théorème. On suppose $A, B, C, D$ cocycliques. \begin{enumerate} \item Faire une figure au brouillon et montrer que $\widehat{BAC} = \widehat{BDC}$ et trois relations similaires sur d'autres angles. \item Soit $K$ le point de la diagonale $[AC]$ tel que $\widehat{ABK} = \widehat{DBC}$. Faire une figure et construire $K$ en expliquant (faire la figure de telle sorte que $K$ soit lisible). \item Montrer que les triangles $ABK$ et $DBC$ sont semblables, de même que $ABD$ et $KBC$, par des similitudes dont on précisera les centres et les rapports. Note : il suffit pour cela de montrer qu'ils ont mêmes angles. En déduire des relations sur les côtés de ces triangles. \item Conclure. \end{enumerate} \finenonce{007132} \finexercice \exercice{7133, megy, 2017/02/08} \enonce{007133}{Une application de Ptolémée} % source : Deschamps chap 2 ex 8 Soit $ABC$ un triangle équilatéral et $M$ un point du cercle circonscrit appartenant à l'arc $BC$ ne contenant pas $A$. Montrer que $MA= MB+MC$.\finenonce{007133} \finexercice \exercice{7134, megy, 2017/02/08} \enonce{007134}{Trisection} % cocyclicité \begin{enumerate} \item Soit $\Gamma$ un cercle, $O$ son centre et $M$ un point n'appartenant pas à $\Gamma$. Deux sécantes issues de $M$ coupent $\Gamma$ respectivement en $A$ et $B$, et en $C$ et $D$. Démontrer l'égalité: \[2 (\overrightarrow{MA},\overrightarrow{MC}) = (\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OD}) - (\overrightarrow{OC},\overrightarrow{OA}).\] \item Soient $A$ et $B$ deux points d'un cercle $\Gamma$ de centre $O$ et de rayon $r$. Sur la droite $(OA)$, soit $C$ le point extérieur au cercle tel que la droite $(CB)$ recoupe le cercle en un point $M$ vérifiant $MC=r$. (On ne demande pas de construire ce point, le placer approximativement sur la figure.) Montrer que $\widehat{ACB} = \frac13 \widehat{AOB}$. \end{enumerate} \finenonce{007134} \finexercice \exercice{7135, megy, 2017/02/08} \enonce{007135}{Problème \og DPP\fg } Soit $\mathcal D$ une droite et $A$ et $B$ deux points situés d'un seul côté de $\mathcal D$. L'objectif est de construire un cercle passant par les deux points et tangent à la droite. \begin{enumerate} \item Construire un tel cercle si les droites $(AB)$ et $\mathcal D$ sont parallèles. Dans la suite, on supposera qu'elles sont sécantes. \item (Analyse) Soit $\mathcal C$ un tel cercle et $T$ son point de tangence avec $\mathcal D$. Montrer que $(AB,AT) = (TB,\mathcal D)$. % angle inscrit avec le cas limite. \item (Synthèse) Soit $I$ le point d'intersection de $(AB)$ avec $\mathcal D$, $B'$ le symétrique de $B$ par rapport à $I$, et $B''$ le symétrique de $B$ par rapport à $\mathcal D$. Montrer que le cercle circonscrit à $AB'B''$ (de diamètre $[AB']$ dans le cas où $B'=B''$) coupe $\mathcal D$ en deux points qui conviennent pour le choix de $T$. \end{enumerate} \finenonce{007135} \finexercice \exercice{7136, megy, 2017/02/08} \enonce{007136}{Bissectrices d'un quadrilatère convexe} Soit $ABCD$ un quadrilatère convexe. On note $\mathcal B_A$ (resp. $\mathcal B_B$, $\mathcal B_C$, $\mathcal B_D$) la bissectrice intérieure en $A$ (resp. en $B$, $C$, $D$). Soient $I=\mathcal B_A\cap \mathcal B_B$, $J=\mathcal B_B\cap \mathcal B_C$, $K=\mathcal B_C\cap \mathcal B_D$ et $L=\mathcal B_D\cap \mathcal B_A$. Montrer que $IJKL$ est inscriptible. \begin{center} \includegraphics{../images/img007136-1} \end{center} \finenonce{007136} \finexercice \exercice{7137, megy, 2017/02/08} \enonce{007137}{Médiatrices d'un quadrilatère convexe} Soit $ABCD$ un quadrilatère convexe. Que dire du quadrilatère formé par les intersections des médiatrices des quatre côtés ? En particulier, que dire si $ABCD$ est un parallélogramme ? Un losange ? \finenonce{007137} \finexercice \exercice{7138, megy, 2017/02/08} \enonce{007138}{Carré à retrouver} On considère un carré $ABCD$ et on place quatre points $E$, $F$, $G$, et $H$ sur les côtés de ce carré (en-dehors des sommets). Puis, on efface le carré. L'objectif est de reconstruire le carré en utilisant le théorème de l'angle inscrit. Si $A$ est le sommet entre $E$ et $F$, montrer que la diagonale du carré partant de $A$ passe par l'intersection du cercle de diamètre $[EF]$ avec la médiatrice de $[EF]$. % angle inscrit En déduire une construction des diagonales du carré, puis du carré.\finenonce{007138} \finexercice \exercice{7139, megy, 2017/04/05} \enonce{007139}{Symétrique de l'orthocentre} Soit $ABC$ un triangle, $H$ son orthocentre et $\mathcal C$ son cercle circonscrit. La hauteur issue de $B$ recoupe $\mathcal C$ en $H'$. Montrer que $H'$ est le symétrique de $H$ par rapport à la droite $(AC)$. \begin{center} \includegraphics{../images/img007139-1} \end{center} \finenonce{007139} \finexercice \exercice{7140, megy, 2017/04/05} \enonce{007140}{Un théorème de Brahmagupta} Soit $ABCD$ un quadrilatère convexe inscriptible dont les diagonales sont perpendiculaires, et soit $O$ leur point d'intersection. Soit $H$ le projeté orthogonal de $O$ sur $[CD]$, et $I$ l'intersection de $(OH)$ avec $[AB]$. L'objectif est de montrer que $I$ est le milieu de $[AB]$. \begin{center} \includegraphics{../images/img007140-1} \end{center} \begin{enumerate} \item Montrer qu'il est suffisant d'établir que $IO=IA$. \item Conclure. \end{enumerate} \finenonce{007140} \finexercice \exercice{7141, megy, 2017/04/05} \enonce{007141}{Puissance d'un point par rapport à un cercle} Soit $\mathcal C$ un cercle et $P$ un point du plan. \begin{enumerate} \item Soit $\mathcal D$ une droite passant par $P$ et intersectant le cercle en deux points $A$ et $B$. Montrer que la quantité $\overline{PA}\cdot\overline{PB}:= \overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PB}$ ne dépend pas de la droite choisie. On l'appelle la \emph{puissance du point $P$ par rapport au cercle $\mathcal C$}, et on la note $p_{\mathcal C}(P)$. %Elle est positive si $P$ est à l'extérieur du cercle, négative s'il est à l'intérieur, et nulle si $P$ appartient au cercle. \item Avec les mêmes notations, si $P$ est à l'extérieur du cercle et $\mathcal D$ est tangente au cercle en $T$, montrer que $p_{\mathcal C}(P) = PT^2$. \item Montrer que $p_{\mathcal C}(P)$ vaut $OP^2 - r^2$, où $r$ est le rayon du cercle. \item Soit $\lambda \in \R$. Déterminer l'ensemble des points dont la puissance par rapport au cercle vaut $\lambda$. \item Réciproquement, soient $(AB)$ et $(CD)$ deux droites se coupant en $P$. On suppose que $\overline{PA}\cdot \overline{PB} = \overline{PC}\cdot \overline{PD}$. Montrer que $ABCD$ est inscriptible. \end{enumerate} \finenonce{007141} \finexercice \exercice{7142, megy, 2017/04/05} \enonce{007142}{} Soient deux cercles se coupant en deux points distincts $A$ et $B$, et $\mathcal D$ une tangente commune, touchant les cercles en $C$ et $D$. Montrer que $(AB)$ coupe $[CD]$ en son milieu. \begin{center} \includegraphics{../images/img007142-1} \end{center} \finenonce{007142} \finexercice \exercice{7143, megy, 2017/04/05} \enonce{007143}{} % puissance, triangles rectangles, semblables Soit $ABC$ un triangle rectangle en $A$, et $H$ le pied de la hauteur issue de $A$. Montrer $AH^2 = HB\cdot HC$. \finenonce{007143} \finexercice \exercice{7144, megy, 2017/04/05} \enonce{007144}{} Soit $\mathcal C$ un cercle et $P$ un point du plan. On considère une droite $\mathcal D$ passant par $P$ et intersectant le cercle en au moins un point $E$. Soit $F$ le point diamétralement opposé à $E$. Montrer que $p_\mathcal C(P) = \overrightarrow{PE}\cdot \overrightarrow{PF}$. \begin{center} \includegraphics{../images/img007144-1} \end{center} \finenonce{007144} \finexercice \exercice{7152, megy, 2017/05/13} \enonce{007152}{Nombre d'or} Soit $ABCD$ un carré direct de côté $1$, et soient $E$ et $F$ deux points tels que $AEFD$ soit un rectangle direct, avec $AE > 1$. Dans la suite on note $l=AE$. Montrer que qu'il existe une similitude directe $s$ envoyant $A$ (resp. $E$, $F$ et $D$) sur $C$ (resp. $B$, $E$ et $F$) ssi $l$ est égal au nombre d'or $(1+\sqrt 5)/2$. \finenonce{007152} \finexercice \exercice{7153, megy, 2017/05/13} \enonce{007153}{} Soit $ABC$ un triangle rectangle en $A$ et non isocèle. La médiatrice de $[BC]$ recoupe le demi-cercle circonscrit en $I$. On considère deux points $D\in [AB]$ et $E \in [AC]$ tels que $BD=CE$. Montrer que $IDE$ est rectangle isocèle en $I$. \begin{center} \includegraphics{../images/img007153-1} \end{center} \finenonce{007153} \finexercice \exercice{7154, megy, 2017/05/13} \enonce{007154}{} %[d'après bac Amérique du sud 2004] Soient $A$ et $B_0$ deux points et soit $s$ la similitude directe de centre $A$, de rapport $\frac12$ et d'angle $\frac{3\pi}{4}$. On considère la suite de points $(B_n)_{n\in\N}$ définie par la relation de récurrence $\forall n\in \N,\: B_{n+1}=s(B_n)$. \begin{enumerate} \item Faire une figure avec $AB_0=8$ et placer les points $B_n$ jusqu'à $n=4$. \item Montrer que pour tout $n\in\N$, les triangles $AB_nB_{n+1}$ et $AB_{n+1}B_{n+2}$ sont semblables. \item Dans la suite, on considère le sous-ensemble du plan $S = \bigcup_{n\in \N} [B_nB_{n+1}]$. C'est une spirale polyédrale. Sa longueur est-elle finie ou infinie ? Dans le premier cas, calculer sa longueur. \end{enumerate} \finenonce{007154} \finexercice \exercice{7155, megy, 2017/05/13} \enonce{007155}{Point intérieur de Vecten} % composition de similitudes % hauteurs, orthocentre Soit $ABC$ un triangle direct non rectangle isocèle, et soit $P$ (resp. $Q$, $R$) tel que $BCP$ (resp. $CAQ$, $ABR$) soit direct isocèle rectangle en $P$ (resp. $Q$ et $R$). \begin{center} \includegraphics{../images/img007155-1} \end{center} \begin{enumerate} \item Montrer que $\overrightarrow{AP}$ et $\overrightarrow{QR}$ sont orthogonaux et de même norme. \item Montrer que les droites $(AP)$, $(BQ)$ et $(CE)$ sont concourantes. \end{enumerate} \finenonce{007155} \finexercice \exercice{7156, megy, 2017/05/13} \enonce{007156}{} % concours général 88, cocyclicité, angle d'une similitude directe Soient $M$, $M_1$, $M_2$, $M_3$ et $M_4$ cinq points distincts sur un cercle $\mathcal C$. Montrer que le produit des distances de $M$ aux droites $(M_1M_2)$ et $(M_3M_4)$ est égal au produit des distances de $M$ aux droites $(M_1M_3)$ et $(M_2M_4)$. \begin{center} \includegraphics{../images/img007156-1} \end{center} \finenonce{007156} \finexercice \exercice{7157, megy, 2017/05/13} \enonce{007157}{} % groupes de frises \begin{enumerate} \item Soit $\mathcal S \subset \R^2$ le graphe de la fonction sinus. Décrire les isométries de $\mathcal S$. \item Même question pour le graphe de la fonction tangente. \end{enumerate} \finenonce{007157} \finexercice \exercice{7158, megy, 2017/05/13} \enonce{007158}{Isométries d'un triangle} Soit $\mathcal T=ABC$ un triangle et soit $g$ une isométrie de $\mathcal T$, c'est-à-dire une isométrie du plan telle que $g(\mathcal T)=\mathcal T$. \begin{enumerate} \item Montrer que $g$ envoie les sommets sur les sommets. \item Montrer que $g$ admet au moins un point fixe. \item Montrer que $g$ n'est ni une translation ni une réflexion glissée. \end{enumerate} \finenonce{007158} \finexercice \exercice{7159, megy, 2017/05/13} \enonce{007159}{Isométries d'un triangle équilatéral} Soit $\mathcal T=ABC$ un triangle équilatéral et $G=Isom(\mathcal T)$ son groupe d'isométries. \begin{enumerate} \item Trouver six isométries laissant $\mathcal T$ invariant. \item Montrer qu'une isométrie de $\mathcal T$ doit envoyer un sommet sur un sommet. \item \'Ecrire un morphisme injectif $\phi$ entre $G$ et $\mathfrak S_3$. \item Montrer qu'il est bijectif. \item Décrire le groupe $H=Isom^+(\mathcal T)$ et écrire un isomorphisme entre ce groupe et $\Z/3\Z$. À quel sous-groupe de $\mathfrak S_3$ correspond $H$ ? \end{enumerate} \finenonce{007159} \finexercice \exercice{7160, megy, 2017/05/13} \enonce{007160}{Isométries d'un triangle isocèle} Soit $\mathcal T=ABC$ un triangle isocèle non équilatéral. Déterminer son groupe d'isométries ainsi qu'un isomorphisme entre ce groupe et un groupe classique. \finenonce{007160} \finexercice \exercice{7161, megy, 2017/05/13} \enonce{007161}{Isométries d'un carré} Soit $\mathcal C=ABCD$ un carré plein du plan (c'est-à-dire l'enveloppe convexe de ses sommets) et $O$ son centre. \begin{enumerate} \item Soit $g\in \operatorname{Isom}(\mathcal C)$ une isométrie du carré, c'est-à-dire une isométrie du plan préservant le carré. Montrer qu'elle permute les sommets, puis que c'est une rotation de centre $O$ ou bien une réflexion d'axe contenant $O$. \item Déterminer entièrement le groupe $G=\operatorname{Isom}(\mathcal C)$. \item Décrire le groupe $H=\operatorname{Isom}^+(\mathcal C)$ des isométries directes du carré et écrire un isomorphisme entre ce groupe et $\Z/4\Z$. \end{enumerate} \finenonce{007161} \finexercice \exercice{7162, megy, 2017/05/13} \enonce{007162}{Isométries d'un rectangle} Soit $\mathcal C=ABCD$ un rectangle plein, non carré. Déterminer son groupe d'isométries, et préciser un isomorphisme entre ce groupe et un groupe usuel abstrait. \finenonce{007162} \finexercice \exercice{7165, megy, 2017/06/11} \enonce{007165}{} Soit $ABC$ un triangle équilatéral direct, et $P$ un point n'appartenant pas aux droites $(AB)$, $(BC)$ et $CA)$. La parallèle à $(BC)$ (resp. à $(CA)$ et $(AB)$) passant par $P$ coupe $(AB)$ (resp. $(BC)$ et $(CA)$) en $U$ (resp. $V$, $W$). \begin{center} \includegraphics{../images/img007165-1} \end{center} \begin{enumerate} \item Montrer que $AUPW$ et $PCVW$ sont inscriptibles. \item Dresser une liste d'égalités d'angles (de droites) que l'on peut déduire. \item Faire une (grande) figure dans le cas où $P$ est sur le cercle circonscrit à $ABC$. \item Montrer que les points $U$, $V$ et $W$ sont alignés ssi $ABCP$ est inscriptible. \end{enumerate} \finenonce{007165} \finexercice \exercice{7167, megy, 2017/07/08} \enonce{007167}{} % rotations Soient $AOB$ et $COD$ deux triangles directs, isocèles rectangles en $O$. Soient $I$, $J$, $K$ et $L$ les milieux des segments $[AB]$, $[BC]$, $[CD]$ et $[DA]$. \begin{center} \includegraphics{../images/img007167-1} \end{center} \begin{enumerate} \item Montrer que $(AC)\bot (BD)$ et que $AC=BD$. \item Montrer que $IJKL$ est un carré. \end{enumerate} \finenonce{007167} \finexercice \exercice{7168, megy, 2017/07/08} \enonce{007168}{} % cocyclicité, bissectrice, puissance Soit $ABC$ un triangle non isocèle en $A$. % acutangle? Pas besoin La bissectrice intérieure $\Delta$ de $\widehat{BAC}$ coupe $[BC]$ en $A_1$ et le cercle circonscrit à $ABC$ en $A_2$. \begin{enumerate} \item Soit $D$ le symétrique de $B$ par rapport à $\Delta$. Justifier que $D \in (AC)$. \item Montrer que $A_1A_2CD$ est inscriptible. \item Montrer que $AA_1\cdot AA_2 = AB\cdot AC$. % puissance \end{enumerate} \begin{center} \includegraphics{../images/img007168-1} \end{center} \finenonce{007168} \finexercice \exercice{7249, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007249}{} Soient \(P\), \(Q\), \(R\) trois points du plan. Dans cet exercice, on notera \(\vec{u}\cdot\vec{v}\) le produit scalaire de deux vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\). \begin{enumerate} \item Montrer que, pour tout \( \lambda \in \Rr\), on~a \[ (\vec{QP} + \lambda \vec{QR})^2 = \vec{QP}^2 + 2 \lambda \vec{QP}\cdot\vec{QR} + \lambda^2 \vec{QR}^2. \] \item En considérant le discriminant du polynôme (en la variable \( \lambda\)) de droite dans l'égalité précédente, montrer que \[ \left\lvert\vec{QP}\cdot\vec{QR}\right\rvert \leq QP \times QR. \] \item Montrer que \[ \vec{PR}^2 = \vec{QP}^2 - 2 \vec{QP}\cdot\vec{QR} + \vec{QR}^2. \] \item En déduire que \[ PR \leq PQ + QR. \] \item Montrer que \(PR = PQ + QR\) si et seulement si \(Q \in [PR]\). \item On considère maintenant quatre points \(P\), \(Q\), \(R\) et \(S\). Montrer que \[ PS \leq PQ + QR + RS \] et caractériser les configurations de quatre points \(P\), \(Q\), \(R\) et \(S\) qui vérifient l'égalité \(PS = PQ + QR + RS\). \end{enumerate} \finenonce{007249} \finexercice \exercice{7250, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007250}{Diagramme de Voronoï. Médiatrice, diagramme de 2 points} % cf. 978-0-387-69216-6.pdf page 529 Un \emph{diagramme de Voronoï} est une famille de parties du plan (ou de l'espace, mais dans cet exercice on se limitera au plan) et de points associés telle que: \begin{itemize} \item chaque partie du plan a un unique point associé, qui est contenu dedans; \item chaque partie est exactement égale à l'ensemble des points du plan qui sont plus proches du point associé à cette partie que des points associés aux autres parties. \end{itemize} Autrement dit, c'est une famille \((A_i, P_i)_{i \in I}\), où: \begin{itemize} \item \(I\) est un ensemble; \item pour tout \(i \in I\), \(A_i\) est une partie (i.e. un sous-ensemble) du plan et \(P_i \in A_i\); \item pour tout \(i \in I\), on~a (en notant \( \mathcal{P}\) le plan): \[ A_i = \left\{ \; Q \in \mathcal{P} \; \middle/ \; \forall j \in I \setminus \{i\} \; P_iQ \leq P_jQ \; \right\}. \] \end{itemize} Les parties \(A_i\) sont appelées les \emph{cellules} du diagramme de Voronoï. Le point \(P_i\) associé à la cellule \(A_i\) est appelé le \emph{germe} de la cellule. Les diagrammes de Voronoï sont un outil utile pour représenter les zones de couverture d'antennes radio, ou pour étudier l'implantation d'écoles, d'hôpitaux, de bureaux de poste, etc, dans une région. \begin{enumerate} \item Soient \(A\) et \(B\) deux points du plan. Montrer que l'ensemble des points équidistants de \(A\) et \(B\) (autrement dit, l'ensemble des points \(P\) du plan tels que \(PA = PB\)) est une droite (qu'on notera \( \Delta\), et qui est appelée la \emph{médiatrice} du segment \([AB]\)). \item Montrer que la droite \( \Delta\) est orthogonale à la droite \((AB)\). \item Montrer que l'ensemble des points \(P\) du plan tels que \(PA \leq PB\) est le demi-plan de frontière \( \Delta\) contenant \(A\). \item Quel est le diagramme de Voronoï d'un ensemble de deux points distincts? \end{enumerate} \finenonce{007250} \finexercice \exercice{7251, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007251}{Diagramme de Voronoï} Soit \((A_i, P_i)_{i \in I}\) un diagramme de Voronoï. Si \(i, j \in I\) avec \(i \neq j\), notons \( \Pi_{i,j}\) le demi-plan de frontière la médiatrice du segment \([P_iPj]\) et qui contient le point \(P_i\). \begin{enumerate} \item Montrer que, pour tout \(i \in I\), on~a: \[ A_i = \bigcap_{j \in I \setminus \{i\}} \Pi_{i,j}. \] \item Dessiner le diagramme de Voronoï de trois points formant un triangle équilatéral. \end{enumerate} \finenonce{007251} \finexercice \exercice{7252, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007252}{Diagramme de Voronoï} \begin{enumerate} \item Que dire de la frontière entre deux cellules de Voronoï ? \item Que dire du point commun à trois cellules de Voronoï, appelé sommet de Voronoï? \item Que dire du cercle centré en un sommet de Voronoï et passant par un germe d'une des trois cellules? \item Ajouter un point au triangle équilatéral de l'exercice précédent, et tracer le nouveau diagramme de Voronoï. \item Ajouter un cinquième point très proche d'un sommet de Voronoï et tracer le nouveau diagramme de Voronoï. Toutes les cellules ont-elles changé ? \end{enumerate} \finenonce{007252} \finexercice \exercice{7253, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007253}{Convexité des cellules de Voronoï} On dit qu'une partie \(X\) du plan (ou de l'espace) est \emph{convexe} si elle vérifie: $$ \forall (P,Q) \in X^2 \quad [PQ] \subset X, $$ autrement dit, pour tout couple \((P,Q)\) de points de \(X\), le segment \([PQ]\) tout entier est contenu dans \(X\). \begin{enumerate} \item Montrer qu'une intersection de parties convexes du plan est convexe. \item En déduire que les cellules d'un diagramme de Voronoï sont convexes. \end{enumerate} \finenonce{007253} \finexercice \exercice{7254, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007254}{} On rappelle qu'un quadrilatère d'un espace euclidien \(E\) est un \emph{parallélogramme} si ses diagonales se coupent en leur milieu, appelé centre du parallélogramme. Cette définition est aussi valable en dimension 1 et pour les cas où deux sommets coïncident. (Dans ces cas, le parallélogramme est plat). On dit que deux bipoints \((A,B)\) et \((C,D)\) sont \emph{équipollents} si le quadrilatère \((ABDC)\) est un parallélogramme. \begin{enumerate} \item Vérifier que pour tout couple de points \((A,B)\), les bipoints \((A,B)\) et \((A,B)\) sont équipollents. On dit alors que la relation d'équipollence est \emph{réflexive}. \item Montrer que pour tous bipoints \((A,B)\) et \((C,D)\), si les bipoints \((A,B)\) et \((C,D)\) sont équipollents alors les bipoints \((C,D)\) et \((A,B)\) le sont aussi. On dit alors que la relation d'équipollence est \emph{symétrique}. \item Démontrer que la relation d'équipollence est \emph{transitive}, c'est à dire que pour tous triplets \((A,B)\), \((C,D)\) et \((F,G)\) de bipoints, si les bipoints \((A,B)\) et \((C,D)\) sont équipollents et si les bipoints \((C,D)\) et \((F,G)\) sont équipollents alors les bipoints \((A,B)\) et \((F,G)\) le sont aussi. (Indication : dans le cas où le quadrilatère \((ABGF)\) n'est pas plat, on pourra considérer la droite joignant les centres des parallélogrammes \((ABDC)\) et \((CDGF)\); dans le cas où le quadrilatère \((ABGF)\) est plat, on pourra utiliser le théorème de Thalès.) \item On résume les trois propriétés précédentes en disant que la relation d'équipollence est \emph{une relation d'équivalence}. La \emph{classe d'équipollence} du bipoint \((A,B)\) est par définition l'ensemble des bipoints équipollents à \((A,B)\). Elle est appelée \emph{vecteur} et notée \(\vec{AB}\). Si \((C,D)\) est équipollent à \((A,B)\), on dit que \((C,D)\) est un \emph{représentant} de \(\vec{AB}\). Montrer qu'étant donné un point \(A\) et un vecteur \(\vec{u}\), il existe un unique point \(B\) tel que \(\vec{AB} = \vec{u}\). On notera \(B = t_{\vec{u}}(A)\). \item Étant donnés un point \(A\) et un représentant \((F, G)\) du vecteur \(\vec{u}\), construire à la règle et au compas le point \(t_{\vec{u}}(A)\). \item Montrer que si deux bipoints \((A,B)\) et \((C,D)\) sont équipollents, alors les bipoints \((A,C)\) et \((B,D)\) le sont aussi. \item On définit la somme de deux vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) par le procédé suivant: \begin{itemize} \item On choisit un point \(A\). \item On détermine le point \(B\) tel que \(\vec{AB} = \vec{u}\). \item On détermine le point \(C\) tel que \(\vec{BC} = \vec{v}\). \item On définit \(\vec{u} + \vec{v} := \vec{AC}\). \end{itemize} Montrer que la \emph{somme} ainsi définie est indépendante du choix du point de base \(A\), c'est à dire, montrer que si on choisit un autre point \(A'\) comme point de base, le bipoint \((A',C')\) construit alors est équipollent au bipoint \((A,C)\) construit en partant du point \(A\). (Indication : On pourra montrer que \((A,A')\) est équipollent à \((C,C')\).) \end{enumerate} \finenonce{007254} \finexercice \exercice{7258, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007258}{} Construire à la règle et au compas un angle de mesure $\pi/12$. \finenonce{007258} \finexercice \exercice{7259, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007259}{} \begin{enumerate} \item On dit qu'un angle est inscrit dans un cercle si son sommet appartient à ce cercle. Démontrer le théorème des angles inscrits :\\ Deux angles de vecteurs inscrits dans un cercle interceptant le même arc de cercle sont de même mesure. \item Soient $\mathcal{C}_1$ et $\mathcal{C}_2$ deux cercles ayant deux points d'intersection $I$ et $J$. Soient $A$ et $M$ deux points distincts de $\mathcal{C}_1$ (et différents de $I$ et $J$). On note $B$ le point d'intersection de la droite $(AJ)$ avec $\mathcal{C}_2$ et $N$ le point d'intersection de la droite $(MJ)$ avec $\mathcal{C}_2$.\\ En considérant la somme des mesures des angles des triangles $AIB$ et $MIN$, montrer que $\text{Mes}\widehat{AIB}=\text{Mes}\widehat{MIN}$. \end{enumerate} \finenonce{007259} \finexercice \exercice{7260, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007260}{} Soit $E$ un plan euclidien orienté, muni d'un repère $(O,\vec{\imath},\vec{\jmath})$ orthonormé direct. \begin{enumerate} \item Soit $n$ un entier naturel supérieur à $3$. Exprimer à l'aide des fonctions trigonométriques $\cos$ et $\sin$, le périmètre $p_n$ d'un polygone régulier à $n$ côtés inscrit dans le cercle trigonométrique (c'est à dire le cercle de centre $0$ et de rayon $1$.) \item On rappelle que pour tout $\theta\in ]0,\pi/2[$, $$\theta\cos\theta\leq \sin\theta\leq \theta.$$ Montrer que la suite $(p_n)_{n\in\mathbb{N}}$ admet une limite et déterminer cette limite. \end{enumerate} \finenonce{007260} \finexercice \exercice{7261, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007261}{} \begin{enumerate} \item Soit $\mathcal{C}$ un cercle de centre $O$, $P$ et $Q$ deux points de $\mathcal{C}$ non diamétralement opposés. Calculer $\text{Mes}\widehat{OPQ}$ en fonction de $\text{Mes}\widehat{POQ}$. \item Soit $d$ la droite perpendiculaire à $(OP)$ passant par $P$. En calculant la distance entre $O$ et tout point $M$ de la droite $d$, montrer que $P$ est l'unique point d'intersection entre $d$ et $\mathcal{C}$. La droite $d$ est appelée \emph{tangente au cercle $\mathcal{C}$ en $P$}. \\ \exercice{7262, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007262}{} Soit $E$ un plan et $(0,\vec{\imath},\vec{\jmath})$ un repère. On considère l'application $$ \phi : (\vec{u}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} , \vec{u'}\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix})\mapsto xx'+3yy'. $$ \begin{enumerate} \item Montrer que $\phi$ est un produit scalaire. \item Déterminer un repère $(O,\vec{I},\vec{J})$ du plan orthonormé pour ce produit scalaire. \item Calculer $\phi (X\vec{I}+Y\vec{J}, X'\vec{I}+Y'\vec{J})$. \end{enumerate} \finenonce{007262} \finexercice \exercice{7263, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007263}{} Soit $E$ un plan et $(0,\vec{\imath},\vec{\jmath})$ un repère. Soient $\alpha$ et $\beta$ des nombres réels. On considère l'application $$ \varphi : (\vec{u}\begin{pmatrix}x,y\end{pmatrix} , \vec{u'}\begin{pmatrix}x',y'\end{pmatrix})\mapsto \alpha xx'+\beta yy' $$ \begin{enumerate} \item Montrer que $\varphi$ est un bilinéaire et symétrique. \item Montrer que $\varphi$ est un produit scalaire si, et seulement si, $\alpha$ et $\beta$ sont strictement positifs. \item Montrer que l'application $$ \psi : (\vec{u}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} , \vec{u'}\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix})\mapsto 2xx'+yy' +xy'+x'y $$ est un produit scalaire. \emph{Indication :} Chercher une identité remarquable. \end{enumerate} \finenonce{007263} \finexercice \exercice{7264, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007264}{} Soit $E$ un plan euclidien orienté muni d'un repère orthonormé direct $(0,\vec{I},\vec{J})$. Soit $\vec{u}$ un vecteur de norme $1$ et de coordonnées $\begin{pmatrix}X\\Y\end{pmatrix}$ dans le repère $(0,\vec{I},\vec{J})$. \begin{enumerate} \item Calculer le produit scalaire $\vec{I}\cdot\vec{u}$. \item Calculer, à l'aide de la définition de la fonction cosinus, la quantité $||\vec{I}||\ ||\vec{u}||\cos\widehat{(\vec{I},\vec{u})}$. \item Reprendre les calculs précédents, sans l'hypothèse que $\vec{u}$ est de norme $1$. \end{enumerate} \finenonce{007264} \finexercice \exercice{7265, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007265}{} Montrer que si $A$ est inclus dans une partie $B$ d'un plan euclidien $E$, alors $$\mathcal{A}(A)\leq\mathcal{A}(B).$$ \finenonce{007265} \finexercice \exercice{7266, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007266}{} Soit $ABC$ un triangle dans un plan euclidien orienté $E$. On notera $a=BC, b=CA$ et $c=AB$ et $\hat{A}=\widehat{(BAC)}$. Notons $p$ la moitié de son périmètre. \begin{enumerate} \item Montrer que \begin{eqnarray*} 2p(p-a)=bc+\vec{AB}\cdot\vec{AC}\\ 2(p-b)(p-c)=bc-\vec{AB}\cdot\vec{AC} \end{eqnarray*} \item En déduire que l'aire du triangle $ABC$ est $\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$. \end{enumerate} \finenonce{007266} \finexercice \exercice{7267, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007267}{} Soit \(ABC\) un triangle. Notons \(\Delta_A\), \(\Delta_B\) et \(\Delta_C\) les bissectrices des angles en \(A\), \(B\), \(C\) respectivement. On note aussi \(a\), \(b\), \(c\) les longueurs \(BC\), \(CA\) et \(AB\) respectivement, et \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\) les mesures des angles (non orientés) \(\widehat{CAB}\), \(\widehat{ABC}\) et \(\widehat{BCA}\) respectivement. \begin{enumerate} \item Montrer que si \(\Delta_A\) est parallèle à \(\Delta_B\), alors le triangle \(ABC\) est plat. On supposera dans la suite de l'exercice que ce triangle n'est pas plat. \item Montrer que pour tout point \(P\) de \(\Delta_A\), la distance de \(P\) à la droite \((AB)\) est égale à la distance de \(P\) à la droite \((AC)\). \item En déduire que le point d'intersection de \(\Delta_A\) et de \(\Delta_B\), que l'on notera \(\Omega\), est équidistant de \((AB)\), \((BC)\) et \((CA)\). On admettra que cela permet de démontrer que \(\Omega \in \Delta_C\). \item On note \(A'\) le projeté orthogonal de \(\Omega\) sur la droite \((BC)\), c'est-à-dire l'unique point \(A' \in (BC)\) tel que \((\Omega A') \perp (BC)\). De même, on note \(B'\) le projeté orthogonal de \(\Omega\) sur \((CA)\) et \(C'\) le projeté orthogonal de \(\Omega\) sur \((AB)\). Montrer que \(AB' = AC'\). \item On admet que \(A' \in [BC]\), \(B' \in [CA]\), \(C' \in [AB]\). Montrer que \[ 2 AB' + a = 2 AB' + A'B + A'C = 2 AB' + BC' + CB' = b + c. \] \item On note \(p = \frac{a + b + c}{2}\). Montrer que \(AB' = p - a\). \item On note \(r = \Omega A'\). Montrer que \[ r = (p - a) \tan\frac{\alpha}{2} = (p - b) \tan\frac{\beta}{2} = (p - c) \tan\frac{\gamma}{2}. \] \item En utilisant les formules d'addition pour \(\sin\) et \(\cos\), montrer que \[ \tan\left(\frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2}\right) = \frac{\tan\frac{\alpha}{2} + \tan\frac{\beta}{2}}{1 - \tan\frac{\alpha}{2} \tan\frac{\beta}{2}} \quad\text{et}\quad \tan\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\gamma}{2}\right) = \frac{1}{\tan\frac{\gamma}{2}}. \] \item Montrer que \(\frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2} + \frac{\gamma}{2} = \frac{\pi}{2}\). En déduire que \[ \frac{1}{\tan\frac{\alpha}{2}} + \frac{1}{\tan\frac{\beta}{2}} + \frac{1}{\tan\frac{\gamma}{2}} = \frac{1}{\tan\frac{\alpha}{2} \tan\frac{\beta}{2} \tan\frac{\gamma}{2}}. \] \item En déduire que \((p - a) (p - b) (p - c) = r^2 p\), puis que l'aire du triangle \(ABC\) est \[ \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}. \] \end{enumerate} \finenonce{007267} \finexercice \exercice{7268, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007268}{} Soit $\mathcal{T}$ un triangle rectangle dont les côtés adjacents à l'angle droit mesurent $a$ et $b$, et l'hypoténuse $c$. On construit dans un carré $ABCD$ de côté $a+b$ les points $A'B'C'D'$ sur les côtés aux distances indiquées des extrémités. \begin{center} \setlength{\unitlength}{1657sp}% % \begingroup\makeatletter\ifx\SetFigFont\undefined% \gdef\SetFigFont#1#2#3#4#5{% \reset@font\fontsize{#1}{#2pt}% \fontfamily{#3}\fontseries{#4}\fontshape{#5}% \selectfont}% \fi\endgroup% \begin{picture}(7095,7050)(1021,-7186) \thinlines {\color[rgb]{0,0,0}\put(1351,-6811){\framebox(6300,6300){}} }% {\color[rgb]{0,0,0}\put(1351,-3211){\line( 4, 3){3600}} }% {\color[rgb]{0,0,0}\put(1351,-3211){\line( 3,-4){2700}} }% {\color[rgb]{0,0,0}\put(4051,-6811){\line( 4, 3){3600}} }% {\color[rgb]{0,0,0}\put(4951,-511){\line( 3,-4){2700}} }% \put(1081,-1591){\makebox(0,0)[lb]{\smash{{\SetFigFont{5}{6.0}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}b}% }}}} \put(6346,-286){\makebox(0,0)[lb]{\smash{{\SetFigFont{5}{6.0}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}b}% }}}} \put(7921,-5866){\makebox(0,0)[lb]{\smash{{\SetFigFont{5}{6.0}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}b}% }}}} \put(2431,-7126){\makebox(0,0)[lb]{\smash{{\SetFigFont{5}{6.0}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}b}% }}}} \put(2926,-331){\makebox(0,0)[lb]{\smash{{\SetFigFont{5}{6.0}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}a}% }}}} \put(7966,-1996){\makebox(0,0)[lb]{\smash{{\SetFigFont{5}{6.0}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}a}% }}}} \put(6391,-7171){\makebox(0,0)[lb]{\smash{{\SetFigFont{5}{6.0}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}a}% }}}} \put(1036,-5056){\makebox(0,0)[lb]{\smash{{\SetFigFont{5}{6.0}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}a}% }}}} \put(3331,-2086){\makebox(0,0)[lb]{\smash{{\SetFigFont{5}{6.0}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}c}% }}}} \put(6256,-2626){\makebox(0,0)[lb]{\smash{{\SetFigFont{5}{6.0}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}c}% }}}} \put(5671,-5326){\makebox(0,0)[lb]{\smash{{\SetFigFont{5}{6.0}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}c}% }}}} \put(2926,-4831){\makebox(0,0)[lb]{\smash{{\SetFigFont{5}{6.0}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}c}% }}}} \put(1216,-286){\makebox(0,0)[lb]{\smash{{\SetFigFont{5}{6.0}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}A}% }}}} \put(7876,-286){\makebox(0,0)[lb]{\smash{{\SetFigFont{5}{6.0}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}B}% }}}} \put(7741,-7081){\makebox(0,0)[lb]{\smash{{\SetFigFont{5}{6.0}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}C}% }}}} \put(1171,-7081){\makebox(0,0)[lb]{\smash{{\SetFigFont{5}{6.0}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}D}% }}}} \put(1081,-3211){\makebox(0,0)[lb]{\smash{{\SetFigFont{5}{6.0}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}A'}% }}}} \put(4906,-331){\makebox(0,0)[lb]{\smash{{\SetFigFont{5}{6.0}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}B'}% }}}} \put(8101,-4201){\makebox(0,0)[lb]{\smash{{\SetFigFont{5}{6.0}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}C'}% }}}} \put(4096,-7081){\makebox(0,0)[lb]{\smash{{\SetFigFont{5}{6.0}{\rmdefault}{\mddefault}{\updefault}{\color[rgb]{0,0,0}D'}% }}}} \end{picture}% \end{center} Montrer que $A'B'C'D'$ est un carré. En déduire une démonstration du théorème de Pythagore. \finenonce{007268} \finexercice \exercice{7269, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007269}{} Soit $ABC$ un triangle équilatéral de côté $a$. Soit $B'$ le milieu de $[AC]$. Soit $L$ le point de $[BB']$ tel que $B'L=a/2$. Soit $d$ la droite orthogonale à $(BB')$ qui passe par $L$. Soit $M$ un point d'intersection de $d$ avec le cercle de diamètre $[BB']$. Calculer $BM$. \finenonce{007269} \finexercice \exercice{7270, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007270}{} Le \emph{théorème de Bolyai} affirme que deux polygones de même aire peuvent toujours être obtenus l'un à partir de l'autre par découpage et recollement. On va étudier le découpage d'un triangle équilatéral pour obtenir un carré de même aire. \textit{On considère un triangle équilatéral $ABC$ que l'on souhaite découper de façon à pouvoir le transformer en un rectangle, voire un carré.} \includegraphics[scale=0.6]{images/img-mour-022-1} \begin{enumerate} \item On part du triangle équilatéral $ABC$ et on place un point $D$ sur $[BC]$ tel que $0)$ d'un repère orthonormé $(O,\vec{\imath},\vec{\jmath})$. On considère les points $A(-1,2)$ et $B(5,4)$. \begin{enumerate} \item Déterminer les coordonnées du barycentre $G$ des points massiques $A(-3)$ et $B(1)$. \item Calculer $-3GA^ 2+GB^2$. \item Démontrer que pour tout point $M$ du plan, on a $$-3MA^2+MB^2=-2MG^2 -3GA^ 2+GB^2.$$ \item Déterminer l'ensemble $\mathcal L$ des points $M$ du plan tels que $-3MA^2+MB^2=50$. \end{enumerate} \finenonce{007502} \finexercice \exercice{7503, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007503}{Isométries et constructions} \begin{enumerate} \item On considère dans le plan euclidien orienté un point $A$ et la rotation $r$ de centre $A$ d'angle $+\pi/2$. Soit $M$ un point et $M'=r(M)$ son image par $r$. Soit $d$ une droite passant par $M$. Décrire un point et la direction de l'image $r(d)$ de la droite $d$. \item Soit $d_1$ et $d_2$ deux droites et $B\in d_1$ et $C\in d_2$ tel que $ABC$ soit un triangle rectangle isocèle en $A$ (avec $mes \widehat{(\vec{AB},\vec{AC})}=+\pi/2$). Démontrer que $C$ appartient à l'image de la droite $d_1$ par $r$. \item Soit $\delta_1$ et $\delta_2$ deux droites non perpendiculaires et $E$ un point du plan. Construire un triangle $EFG$ rectangle isocèle en $E$ et tel que $F\in \delta_1$ et $G\in \delta_2$. \end{enumerate} \finenonce{007503} \finexercice \exercice{7504, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007504}{Produits de réflexions et composition} Dans le plan euclidien orienté muni d'un repère orthonormé direct $(O,\vec{\imath},\vec{\jmath})$, on considère la translation $t$ de vecteur $\vec{u}= \vec{\imath}+2\vec{\jmath}$ et la rotation $r$ de centre $A(-3,-1)$ et d'angle $+\pi/2$. \begin{enumerate} \item Montrer que $t\circ r$ a un unique point fixe. \item Décomposer la translation $t$ en produit $s_{d_2}\circ s_{d_1}$ de réflexions par rapport à des droites $d_1$ et $d_2$ que l'on décrira. \item Décomposer la rotation $r$ en produit $s_{d_4}\circ s_{d_3}$ de réflexions par rapport à des droites $d_3$ et $d_4$ que l'on décrira. \item Est-il possible de choisir $d_1=d_4$ dans les questions précédentes ? \item Déterminer par une méthode géométrique la nature et les éléments caractéristiques de la composée $t\circ r$. \end{enumerate} \finenonce{007504} \finexercice \exercice{7505, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007505}{} On munit le plan affine euclidien $(P,<,>)$ d'un repère orthonormé $(O,\vec{\imath},\vec{\jmath})$. On considère les points $A$ de coordonnées $(-2,1)$ et $B$ de coordonnées $(4,4)$. \begin{enumerate} \item Déterminer les coordonnées du barycentre $G$ des points massiques $A(2)$ et $B(1)$. \item Calculer $2GA^ 2+GB^2$. \item Démontrer que pour tout point $M$ du plan, on a $$2MA^2+MB^2=3MG^2 +2GA^ 2+GB^2.$$ \item Déterminer l'ensemble $\mathcal L$ des points $M$ du plan tels que $2MA^2+MB^2=42$. \end{enumerate} \finenonce{007505} \finexercice \exercice{7506, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007506}{} \begin{enumerate} \item On identifie le plan affine $\R^2$ muni du produit scalaire standard à l'espace vectoriel $\C$ muni du produit scalaire $(z,z')=re(z\overline{z'})$ par l'application linéaire $(1,0)\mapsto 1$, $(0,1)\mapsto i$. Parmi les transformations suivantes, lesquelles sont des isométries du plan euclidien \begin{enumerate} \item[a.] $\ z\mapsto 3z+4$ \item[b.] $\ z\mapsto 3\overline{z}+4$ \item[c.] $\ z\mapsto \overline{z}+4$ \item[d.] $\ z\mapsto i\overline{z}+4$ \end{enumerate} \item Pour chacune des isométries, dire s'il s'agit d'une translation, d'une rotation ... (sans préciser les éléments caractéristiques). \end{enumerate} \finenonce{007506} \finexercice \exercice{7507, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007507}{} \begin{enumerate} \item Démontrer que si $A, B, C$ sont trois points distincts d'un plan affine euclidien $\mathcal{P}$ la somme des angles de vecteurs $$((\vec{AB}, \vec{AC}))+((\vec{BC},\vec{BA}))+((\vec{CA},\vec{CB}))$$ est un angle plat. \item Soit $\mathcal{C}$ un cercle de $\mathcal{P}$ et $A$ un point de $\mathcal{C}$. Soit $\mathcal{C}'$ l'image par une rotation $r$ de centre $A$ du cercle $\mathcal{C}$. Soit $B$ l'autre point d'intersection de $\mathcal{C}$ et $\mathcal{C}'$. Soit $D$ le point de $\mathcal{C}$ diamétralement opposé à $A$ sur $\mathcal{C}$. Soit $D'=r(D)$ son image par $r$. Montrer que $D$, $D'$ et $B$ sont alignés. \item Soit $M$ un point quelconque de $\mathcal{C}$. Montrer que $M$, $M'=r(M)$ et $B$ sont alignés. \end{enumerate} \finenonce{007507} \finexercice \exercice{7508, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007508}{} Soit $\R^2$ le plan affine euclidien muni du produit scalaire standard et de la base canonique. \begin{enumerate} \item Ecrire la matrice $A$ de la forme bilinéaire symétrique donnée en coordonnées par $$f(\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix},\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}) =xx'+19yy'+12xy'+12x'y.$$ \item Diagonaliser $A$ dans une base orthonormée. \item Déterminer la nature de la conique d'équation $$x^2+19y^2+24xy+5y=0.$$ \end{enumerate} \finenonce{007508} \finexercice \exercice{7512, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007512}{} Soit $A, B ,C$ un repère affine d'un plan affine $E$. \begin{enumerate} \item Déterminer les équations barycentriques des médianes du triangle $ABC$. \item En utilisant la question précédente, montrer que les médianes du triangle $ABC$ sont concourantes. \end{enumerate} \finenonce{007512} \finexercice \exercice{7513, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007513}{} Soit $P$ un plan euclidien orienté. \begin{enumerate} \item Donner la liste des éléments du groupe des isométries du plan qui conservent un carré. \item Ce groupe est-il commutatif ? \item Le groupe des déplacements du plan qui conservent un carré est-il commutatif ? \end{enumerate} \finenonce{007513} \finexercice \exercice{7514, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007514}{} Construire un point $A$ sur le cercle $\mathcal{C}$ dont le symétrique par rapport à $O$ est sur la droite $d$. \includegraphics[scale=0.5]{images/img-mour-269-1} Justifier votre construction. \finenonce{007514} \finexercice \section{ 242.02 Géométrie affine euclidienne de l'espace } \exercice{2031, liousse, 2003/10/01} \enonce{002031}{} On consid\`ere les 4 points $A$, $B$, $C$, $D$ donn\'es. $(A,\vec{AB},\vec{AC},\vec{AD})$ d\'efinit-il bien un nouveau rep\`ere ? Dans ce cas, trouver les formules de changements de rep\`ere exprimant les coordonn\'ees $(x,y,z)$ dans $(O,\vec i, \vec j,\vec k)$ en fonction de celles $(x',y',z')$ dans $(A, \vec{AB},\vec{AC},\vec{AD})$. \begin{enumerate} \item $A(2,-1,0)$, $B(7,-1,-1)$, $C(-3,0,-2)$, $D(3,-6,-3)$ \item $A(4,1,4)$, $B(7,3,1)$, $C(9,0,0)$, $D(5,2,3)$ \item $A(0,-1,3)$, $B(5,-6,4)$, $C(-4,1,-2)$, $D(-3,3,6)$ \item $A(1,1,0)$, $B(1,5,2)$, $C(0,-1,1)$, $D(3,4,-1)$ \item $A(2,-1,4)$, $B(0,0,1)$, $C(3,2,-1)$, $D(1,3,4)$ \item $A(4,4,2)$, $B(5,3,2)$, $C(4,3,3)$, $D(3,5,2)$ \item $A (1,3,1)$ ,$B (1,2,2)$ ,$C (2,-1,-4)$, $D(0,8,6)$. \end{enumerate} \finenonce{002031} \finexercice \exercice{2032, liousse, 2003/10/01} \enonce{002032}{} Les formules suivantes d\'efinissent-elles bien un changement de rep\`ere ? Dans ce cas, donner le changement de rep\`ere inverse. \begin{enumerate} \item $\left\{ \begin{array}{l} x' = y - z + 1 \\ y' = -x - 4y + 5z + 2 \\ z' = x - 5y + 5z + 1 \end{array} \right. $ \item $\left\{ \begin{array}{l} x' = 5x + 4y + 3z - 2 \\ y' = 2x + 3y + z + 2 \\ z' = 4x - y + 3z + 2 \end{array} \right. $ \item $\left\{ \begin{array}{l} x' = -2x - 4y + 2z - 2 \\ y' = x + y - 5z + 1 \\ z' = -3x - 4y + 4z - 2 \end{array} \right. $ \item $\left\{ \begin{array}{l} x' = 3x - 5y + z + 2 \\ y' = 2x - y + z - 1 \\ z' = -3x - 4y - z - 5 \end{array} \right. $ \item $\left\{ \begin{array}{l} x' = 2x - z + 1 \\ y' = -2x + 2y + 2z - 2 \\ z' = -2x + y - z \end{array} \right. $ \item $\left\{ \begin{array}{l} x' = x - 2y - 3z + 5 \\ y' = -3x + 4y + z - 2 \\ z' = 2x - y + 6z + 3 \end{array} \right. $ \end{enumerate} \finenonce{002032} \finexercice \exercice{2033, liousse, 2003/10/01} \enonce{002033}{} On consid\`ere les droites et les plans suivants dont les \'equations sont donn\'ees dans le rep\`ere $(O,{\buildrel\rightarrow \over i},{\buildrel\rightarrow \over j} ,{\buildrel\rightarrow \over k})$. Donner leurs \'equations dans le nouveau rep\`ere $(A, {\buildrel\rightarrow \over {AB}}, {\buildrel\rightarrow \over {AC}}, {\buildrel\rightarrow \over {AD}})$, sachant que dans $(O,{\buildrel\rightarrow \over i}, {\buildrel\rightarrow \over j},{\buildrel\rightarrow \over k})$ les points $A, B, C$ et $D$ ont pour coordonn\'ees respectives $A (4,-1,2)$, $B (2, -5, 4)$, $C(5, 0, -3)$, $D(1,-5,6)$. \begin{enumerate} \item $ P : x+y=1 $ \item $ P : 2x -3y +4z -1=0$ \item $ P : x-y+z+3=0 $ \item $P : \left\{ \begin{array}{l} x = 2t +3s + 1 \\ y = t -s +2 \\ z = 4t - 2s - 3 \end{array} \right. $ \item $(D):\left\{ \begin{array}{l} x+y+z=1 \\ 2x-y+4z=3 \end{array}\right. $ \item $(D):\left\{ \begin{array}{l} 3x-y-z=-1 \\ 4x-3y-z=-2 \end{array}\right. $ \end{enumerate} \finenonce{002033} \finexercice \exercice{2034, liousse, 2003/10/01} \video{W0w1WraqsVc} \enonce{002034}{} \begin{enumerate} \item On considère le point $A (-2,4,1) $, les vecteurs ${\buildrel\rightarrow \over {u}} (1,1,1), {\buildrel\rightarrow \over {v}} (2,2,-4) $, ${\buildrel\rightarrow \over {w}} (3,-1,1)$ et le repère $(A, {\buildrel\rightarrow \over {u}} , {\buildrel\rightarrow \over {v}} , {\buildrel\rightarrow \over {w}}) $. On note $x',y'$et $z'$ les coordonnées dans ce repère. Donner les formules analytiques du changement de repère exprimant $x,y,z$ en fonction de $x',y',z'$. \item On considère la droite $(D):\left\{\begin{array}{l} y-z=3 \\ x+y=2 \end{array}\right.$. Utiliser le changement de repère pour donner une équation de $D$ dans le repère $(A, {\buildrel\rightarrow \over {u}} , {\buildrel\rightarrow \over {v}} , {\buildrel\rightarrow \over {w}}) $. \item Donner les formules analytiques du changement de repère inverse. \end{enumerate} \finenonce{002034} \finexercice \exercice{2038, liousse, 2003/10/01} \enonce{002038}{} \begin{enumerate} \item Soit $f$ la transformation de l'espace d\'efinie analytiquement par $$\left\{\begin{array}{ll}x'=&-3x+2y-2z+4\\y'=&-8x+5y-4z+8\\z'=&-4x+2y-z+4 \end{array}\right.$$ \begin{enumerate} \item D\'eterminer l'ensemble $P$ des points invariants par $f.$ \item Montrer que pour $M$ d'image $M',$ le milieu de $[MM']$ est dans $P,$ (MM') est parall\`ele \`a une direction fixe. \item En d\'eduire une description simple de $f.$ \end{enumerate} \vskip1mm \item Soit $f$ la transformation de l'espace d\'efinie analytiquement par $$\left\{\begin{array}{ll}x'={1\over 3}(&2x-y-z+1)\\y'={1\over 3}(&-x+2y-z+1)\\z'={1\over 3}(&-x-y+2z+1) \end{array}\right.$$ \begin{enumerate} \item D\'eterminer l'ensemble $P$ des points invariants par $f.$ \item Montrer que pour $M$ d'image $M'$ le vecteur $\vec{MM'}$ est colin\'eaire \`a un vecteur fixe. \item En d\'eduire une description simple de $f.$ \end{enumerate} \end{enumerate} \finenonce{002038} \finexercice \exercice{2039, liousse, 2003/10/01} \video{csVlnEEMcVw} \enonce{002039}{} \begin{enumerate} \item Définir analytiquement la projection orthogonale sur le plan d'équation $2x+2y-z=1$. \item Définir analytiquement la projection orthogonale sur la droite d'équation $\left\{\begin{array}{l}x+y+z=1 \\2x-z=2 \end{array}\right.$. \item Donner l'expression analytique de la projection sur le plan $(P)$ contenant le point $C(2,-1,1)$ et ayant pour vecteurs directeurs $\vec {u}(0,-1,1)$ et $\vec {u'}(-2,0,1)$, selon la droite $(AB)$, où $A(1,-1,0)$ et $B(0,-1,3)$. \end{enumerate} \finenonce{002039} \finexercice \exercice{2042, liousse, 2003/10/01} \enonce{002042}{} Tout ce probl\`eme se situe dans l'espace euclidien tridimensionnel muni d'un rep\`ere orthonorm\'e direct $\mathcal R = (0,\overrightarrow{i}, \overrightarrow{j},\overrightarrow{k})$. \begin{enumerate} \item On consid\`ere les deux droites $d$ et $D$ donn\'ees par les syst\`emes d'\'equations cart\'esiennes suivant : $d \left\lbrace \begin{array}{ll} x +y-3z& = 0\cr y +z& =0 \end{array}\right.$\hfil et \hfil $D\left\lbrace \begin{array}{ll}x -1& = 0 \cr y - z -1& =0 \end{array}\right.$ \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Donner un point et un vecteur directeur de $d$. Donner un point et un vecteur directeur de $D$. \item Dire si les droites $d$ et $D$ sont parall\`eles, s\'ecantes ou non coplanaires. \item Justifier l'existence de deux plans parall\`eles (en donnant pour chacun de ces deux plans un point et deux vecteurs directeurs) tels que $d$ est contenue dans l'un et $D$ est contenue dans l'autre. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Soient $\overrightarrow{u}$ le vecteur de coordonn\'ees $(4,-1,1)$ dans $\mathcal R$, $\overrightarrow{v}$ le vecteur de coordonn\'ees $(0,1,1)$ dans $\mathcal R$ et $\Omega$ le point de coordonn\'ees $(1,1,0)$ dans $\mathcal R$. D\'eterminer une \'equation cart\'esienne pour le plan $P$ de rep\`ere cart\'esien $(O,\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$, en d\'eduire une \'equation cart\'esienne pour le plan $Q$ de rep\`ere cart\'esien $(\Omega,\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$. \item Donner des \'equations param\'etriques pour la droite $\Delta$ normale \`a $P$ passant par $O$. D\'eterminer les deux points $\Delta\cap P$ et $\Delta\cap Q$ puis calculer la distance entre eux. \end{enumerate} \end{enumerate} Interpr\'eter cette distance. \item On consid\`ere les vecteurs de l'espace $ \overrightarrow{a} = ({1\over 3}, {2\over 3}, -{2\over 3})$, $\overrightarrow{b} = ({2\over 3}, {1\over 3}, {2\over 3})$, $\overrightarrow{c} = ({-2\over 3}, {2\over 3}, {1\over 3}).$ \begin{enumerate} \item Montrer que $(0, \overrightarrow{a},\overrightarrow{b}, \overrightarrow{c})$ est un rep\`ere orthonorm\'e. Est-il direct ? \item Ecrire les formules de changement de rep\`eres de $\mathcal R$ \`a $(0, \overrightarrow{a},\overrightarrow{b}, \overrightarrow{c})$. \item Quelle est l'\'equation dans le rep\`ere $(0, \overrightarrow {a},\overrightarrow {b},\overrightarrow {c})$ du plan d'\'equation $x+2y-2z = 0$ dans $\mathcal R$ ? M\^eme question avec le plan d'\'equation $x+2y-2z= 3$ dans $\mathcal R$. \end{enumerate} \end{enumerate} \finenonce{002042} \finexercice \exercice{2043, liousse, 2003/10/01} \enonce{002043}{} Tout ce probl\`eme se situe dans l'espace euclidien tridimensionnel muni d'un rep\`ere orthonorm\'e direct $\mathcal R = (O,\overrightarrow{i}, \overrightarrow{j},\overrightarrow{k})$. On d\'efinit les trois points : $A=(3, \sqrt{6},3)$, $B=(3, -\sqrt{6},3)$ et $C=(4,0,0)$. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que les points $O$, $A$ et $B$ ne sont pas align\'es et donner une \'equation cart\'esienne du plan $P$ contenant $O$, $A$ et $B$. \item Calculer les distances $OA$, $OB$ et $AB$. En d\'eduire la nature du triangle $OAB$. \item Les points $O,A,B$ et $C$ sont-ils coplanaires ? \end{enumerate} \item Soit $G$ le barycentre des points $O$, $A$, $B$ et $C$, c'est \`a dire, par d\'efinition l'unique point $G$ de l'espace tel que : $\overrightarrow{GO}+\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}= \overrightarrow{0}$. \begin{enumerate} \item Montrer que $\overrightarrow{OG}= {1\over 4}( \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}).$ \item En d\'eduire les coordonn\'ees de $G$ dans $\mathcal R$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que la droite $(GC)$ est perpendiculaire au plan $P$. \item Calculer les coordonn\'ees du point d'intersection de la droite $(GC)$ avec le plan $P$. \end{enumerate} \item Montrer que la transformation de l'espace d\'efinie par les formules : $(x'=x, y'=-y, z'=z)$ est une isom\'etrie. Quels sont ses points fixes ? D\'eterminer les images des points $O,A,B,C$ par cette isom\'etrie. Que remarque-t-on~? \end{enumerate} \finenonce{002043} \finexercice \exercice{2044, liousse, 2003/10/01} \enonce{002044}{} L'espace est rapport\'e \`a un rep\`ere orthonorm\'e direct $(0,\vec{\strut\imath},\vec{\strut\jmath},\vec{\strut k})$. On d\'efinit les points $$A :\, (1,2,3) \; ; \quad B :\, (2,3,1) \; ; \quad C :\, (3,1,2) \; ; \quad D :\; (1,1,1)$$ et le plan $$\Pi : 2x-3y+4z=0.$$ \begin{enumerate} \item Montrer que les points $A,B,C$ ne sont pas align\'es. \item Montrer que les points $A,B,C,D$ ne sont pas coplanaires. \item Donner une \'equation cart\'esienne du plan $P$ passant par $A,B,C$. \item Calculer la distance de $D$ au plan $P$. \item Donner une repr\'esentation param\'etrique de la droite $d=P\cap\Pi$. \end{enumerate} \finenonce{002044} \finexercice \exercice{2045, liousse, 2003/10/01} \enonce{002045}{} Soient $A$, $B$ et $C$ trois points distincts et non align\'es de l'espace affine tridimensionnel $\mathcal E$. On note $P$ le plan qui contient $A$, $B$ et $C$. Soit $O$ un point de $\mathcal E$ n'appartenant pas \`a $P$. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Expliquer rapidement pourquoi $\mathcal R = (O,\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}, \overrightarrow{OC})$ est un rep\`ere cart\'esien de $\mathcal E$. \item Dans ce rep\`ere $\mathcal R$, \'ecrire les coordonn\'ees des points $O$, $A$, $B$ et $C$, et d\'eterminer une \'equation cart\'esienne du plan $P$. \end{enumerate} \item Soit $A'$ le point de la droite $(OA)$ tel que $\overrightarrow{OA'}= 2 \overrightarrow{OA}$. On note $P'$ le plan parall\`ele \`a $P$ passant par $A'$. $P'$ coupe $(OB)$ en $B'$ et $(OC)$ en $C'$. Dans $\mathcal R$, \'ecrire les coordonn\'ees des points $A'$, $B'$ et $C'$ et d\'eterminer des \'equations param\'etriques pour les droites $(BC')$ et $(B'C)$, en d\'eduire des \'equations cart\'esiennes de ces droites. Calculer les coordonn\'ees des points $I=(BC')\cap(B'C)$, $J=(AC')\cap(A'C)$ et $K=(AB')\cap(A'B)$. \item Soit $A''$ le point de la droite $(OA)$ tel que $\overrightarrow{OA''}=-{ 2\over 3} \overrightarrow{OA}$. On note $P''$ le plan parall\`ele \`a $P$ passant par $A''$. $P''$ coupe $(OB)$ en $B''$ et $(OC)$ en $C''$. Montrer que les droites $(IA'')$, $(JB'')$, $(KC'')$ sont parall\`eles. \end{enumerate} \finenonce{002045} \finexercice \exercice{4958, quercia, 2010/03/17} \enonce{004958}{\'Equation au produit vectoriel} Soient $A$, $B$, $C$ trois points distincts de l'espace. Déterminer le lieu des points $M$ tels que $\vec{MA}\wedge\vec{MB} + \vec{MB}\wedge\vec{MC} = 2\vec{MC}\wedge\vec{MA}$. \finenonce{004958} \finexercice \exercice{4959, quercia, 2010/03/17} \enonce{004959}{$\| \vec{MA} + 2\vec{MB} + k\vec{MC} \| = \| \vec{MD} + \vec{ME} \|$} Soient $A,B,C,D,E$ cinq points de l'espace et $k \in \R$. Déterminer le lieu des points $M$ de l'espace tels que $\| \vec{MA} + 2\vec{MB} + k\vec{MC} \| = \| \vec{MD} + \vec{ME} \|$. \finenonce{004959} \finexercice \exercice{4960, quercia, 2010/03/17} \enonce{004960}{Ensi Chimie P 93} Trouver les coordonnées des projetés du point $C(3,4,-2)$ sur les droites définies par les équations~: $D_1 : \frac{x-5}{13} = \frac{y-1}6 = \frac{z+3}{-4}$. $D_2 : \frac{x-2}{13} = \frac{y-3}1 = \frac{z-3}{-4}$. \finenonce{004960} \finexercice \exercice{4961, quercia, 2010/03/17} \enonce{004961}{Projections sur 4 plans} Dans un \emph{rond} on donne les plans $\begin{cases} P&x+y=1\cr Q&y+z=1\cr R&x+z=1\cr S&x+3y+z=0 \cr\end{cases}$ et le point $A : (1,1,\lambda)$. Donner une CNS sur $\lambda$ pour que les projections de $A$ sur les quatre plans soient coplanaires. \finenonce{004961} \finexercice \exercice{4962, quercia, 2010/03/17} \enonce{004962}{Calculs de points et plans} Dans un \emph{rond} on donne les points $A:(1,2,3)$, $B:(2,3,1)$, $C:(3,1,2)$, $D:(1,0,-1)$. \begin{enumerate} \item Chercher le centre et le rayon de la sphère circonscrite à $ABCD$. \item Chercher les équations cartésiennes des plans $(ABC)$, $(ABD)$, $(ACD)$, $(BCD)$. \item Chercher le centre et le rayon de la sphère inscrite dans le tétraèdre $ABCD$. \end{enumerate} \finenonce{004962} \finexercice \exercice{4963, quercia, 2010/03/17} \enonce{004963}{Perpendiculaire commune à deux droites} Dans un \emph{rond} on donne les droites $D : \begin{cases}x - y + z = -1 \cr 2x + y - z = 0 \cr\end{cases}$ et $D' : \begin{cases}x +2y + z = 0 \cr x - y - z = \frac 12.\cr\end{cases}$ Chercher la perpendiculaire commune, $\Delta$, à $D$ et $D'$ (On donnera les points $H\in D\cap\Delta$ et $K\in D'\cap \Delta$). \finenonce{004963} \finexercice \exercice{4964, quercia, 2010/03/17} \enonce{004964}{Perpendiculaire commune à deux droites} Dans un \emph{rond} on donne les droites $D : \begin{cases}x +2y - z = 1 \cr 2x - y +2z = 2 \cr\end{cases}$ et $D' : \begin{cases}x + y + z = 3 \cr x - y +2z = 0.\cr\end{cases}$ Calculer $d(D,D')$. \finenonce{004964} \finexercice \exercice{4965, quercia, 2010/03/17} \enonce{004965}{Tétraèdre dont les faces ont même aire} Soit $ABCD$ un tétraèdre dont les quatre faces ont même aire. Montrer que les côtés non coplanaires ont deux à deux mêmes longueurs. \finenonce{004965} \finexercice \exercice{4966, quercia, 2010/03/17} \enonce{004966}{Distance entre les côtés d'un tétraèdre} Soit $ABCD$ un tétraèdre régulier de côté $a$. Chercher la distance entre deux côtés non coplanaires. \finenonce{004966} \finexercice \exercice{4967, quercia, 2010/03/17} \enonce{004967}{Distance d'un point à une droite} Dans un \emph{rond} on donne la droite $D : \begin{cases} x +2y - z = -3 \cr x - y +2z = -4\cr\end{cases}$ et $M(x,y,z)$. Calculer $d(M,D)$. \finenonce{004967} \finexercice \exercice{4968, quercia, 2010/03/17} \enonce{004968}{Projection orthogonale} Dans un \emph{rond} on donne le plan $P : x + 2y + 3z = 4$. Déterminer l'expression analytique de la projection orthogonale sur $P$. \finenonce{004968} \finexercice \exercice{4969, quercia, 2010/03/17} \enonce{004969}{Projection orthogonale} Dans un \emph{rond} on donne les points $A:(1, 0, -1)$, $B:(-1, 1, 1)$, $C:(2, -1, 1)$, $D:(1, 2, -2)$, $E:(-2, -2, 0)$. Déterminer, par un point et un vecteur directeur, la projection de $(DE)$ sur le plan $(ABC)$. \finenonce{004969} \finexercice \exercice{4970, quercia, 2010/03/17} \enonce{004970}{Symétrique d'un plan} Dans un \emph{rond} on donne les plans $P : x+y+z = 1$ et $Q : 2x-y+z=1$. Chercher une équation cartésienne du plan $Q'$ symétrique de $Q$ par rapport à $P$. \finenonce{004970} \finexercice \exercice{4971, quercia, 2010/03/17} \enonce{004971}{Repères orthonormés} Soient $(O,\vec{OA}, \vec{OB}, \vec{OC})$ et $(O,\vec{OA'}, \vec{OB'}, \vec{OC'})$ deux repères orthonormés directs de l'espace. Montrer que $\vec{AA'}$, $\vec{BB'}$, $\vec{CC'}$ sont coplanaires. \finenonce{004971} \finexercice \exercice{4972, quercia, 2010/03/17} \enonce{004972}{Angle d'un plan et d'une droite} Soient $P$ un plan, $D$ une droite tels que $\overline{(P,D)} \equiv \theta (\mathrm{mod}\,\pi)$. Montrer que pour toute droite $\Delta \subset P$, on a $\cos(D,\Delta) \ge \cos \theta$. Quand y a-t-il égalité ? \finenonce{004972} \finexercice \exercice{4973, quercia, 2010/03/17} \enonce{004973}{Angle entre deux faces d'un dodécaèdre} Quel est l'angle entre deux faces d'un dodécaèdre régulier ? (on donne : $4\sin\frac\pi5 = \sqrt{10-2\sqrt5}$) \finenonce{004973} \finexercice \exercice{4974, quercia, 2010/03/17} \enonce{004974}{Ensi P 90} Déterminer l'équation de la sphère contenant les cercles d'équations $\begin{cases} x^2+y^2 = 9\cr z=0\cr \end{cases}$ et $\begin{cases} x^2+y^2 = 25\cr z=2.\cr \end{cases}$ \finenonce{004974} \finexercice \exercice{4975, quercia, 2010/03/17} \enonce{004975}{Sphère définie par ses intersections} Soit $S$ une partie de l'espace contenant au moins deux points et telle que pour tout plan $P$, $P\cap S$ est un cercle, un singleton ou vide. Montrer que $S$ est une sphère. \finenonce{004975} \finexercice \exercice{4976, quercia, 2010/03/17} \enonce{004976}{CNS pour que deux vissages commutent} Soient $f,g$ deux vissages d'angles $\ne \pi$. Trouver une CNS pour que $f\circ g = g \circ f$. (On étudiera $f \circ g \circ f^{-1}$) \finenonce{004976} \finexercice \exercice{4977, quercia, 2010/03/17} \enonce{004977}{Composée de 3 demi-tours} Soient $D_1,D_2,D_3$, trois droites, et $\sigma_1,\sigma_2,\sigma_3$ les $\frac12$-tours correspondants. Démontrer que $\sigma_1 \circ \sigma_2 \circ \sigma_3$ est un $\frac12$-tour si et seulement si $D_1,D_2,D_3$ ont une perpendiculaire commune ou sont parallèles. \finenonce{004977} \finexercice \exercice{4978, quercia, 2010/03/17} \enonce{004978}{Composée de demi-tours par rapport aux arêtes d'un tétraèdre} Soit $ABCD$ un tétraèdre régulier, et $d_{AB},d_{AC},d_{AD}$ les $\frac12$-tours autour des droites $(AB),(AC),(AD)$. Simplifier $f = d_{AB} \circ d_{AC} \circ d_{AD}$. \finenonce{004978} \finexercice \exercice{4979, quercia, 2010/03/17} \enonce{004979}{Isométries transformant un triangle en un triangle donné} Soient $ABC$ et $A'B'C'$ deux triangles tels que $AB = A'B'$, $AC = A'C'$, $BC = B'C'$. Combien y a-t-il d'isométries transformant $ABC$ en $A'B'C'$ ? Indication : si $f$ et $g$ sont deux telles isométries, alors $f\circ g^{-1}$ est une isométrie conservant $ABC$. \finenonce{004979} \finexercice \exercice{4980, quercia, 2010/03/17} \enonce{004980}{Groupes d'isotropie} Déterminer {\it toutes\/} les isométries \begin{enumerate} \item d'un tétraèdre régulier. \item d'un cube. \item de deux droites non coplanaires. \end{enumerate} \finenonce{004980} \finexercice \exercice{4981, quercia, 2010/03/17} \enonce{004981}{Composée de projections} Soient $D_1$, $D_2$, $D_3$ trois droites de l'espace non toutes parallèles. Pour $M_1 \in D_1$ on construit : $M_2$, projeté de $M_1$ sur $D_2$, $M_3$, projeté de $M_2$ sur $D_3$, $M_4$, projeté de $M_3$ sur $D_1$. Montrer qu'il existe un unique point $M_1 \in D_1$ tel que $M_4 = M_1$. \finenonce{004981} \finexercice \exercice{5501, rouget, 2010/07/10} \enonce{005501}{**T} Dans $E_3$ rapporté à un repère $(O,i,j,k)$, on donne les points $A(1,2,-1)$, $B(3,2,0)$, $C(2,1,-1)$ et $D(1,0,4)$. Déterminer l'intersection des plans $(OAB)$ et $(OCD)$. \finenonce{005501} \finexercice \exercice{5502, rouget, 2010/07/10} \enonce{005502}{**T} Dans $E_3$ rapporté à un repère $(O,i,j,k)$, on donne~: la droite $(D)$ dont un système d'équations paramétriques est $\left\{ \begin{array}{l} x=2+3t\\ y=-t\\ z=1+t \end{array} \right. $, le plan $P$ dont un système d'équations paramétriques est $\left\{ \begin{array}{l} x=1+2\lambda+\mu\\ y=-1-3\lambda+2\mu\\ z=1+\lambda \end{array} \right. $, le plan $P'$ dont un système d'équations paramétriques est $\left\{ \begin{array}{l} x=-5-\nu\\ y=3+\nu+3\eta\\ z=\nu+\eta \end{array} \right. $, Etudier $D\cap P$ et $P\cap P'$ \finenonce{005502} \finexercice \exercice{5503, rouget, 2010/07/10} \enonce{005503}{**T} Matrice dans la base canonique orthonormée directe de la rotation vectorielle de $\Rr^3$ autour de $(1,2,2)$ qui transforme $j$ en $k$. \finenonce{005503} \finexercice \exercice{7473, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007473}{Questions de cours} Rappeler toutes les isométries du plan euclidien et de l'espace euclidien de dimension 3, en précisant leur partie linéaire, leur point fixe, leur axe, leur composante à point fixe et leur composante de glissement. \finenonce{007473} \finexercice \exercice{7476, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007476}{Trouver l'isométrie} Soit $E$ un espace affine euclidien de dimension 3 muni d'un repère cartésien orthonormé. On note $v$ la transformation de $E$ dans $E$ qui envoie le point de coordonnées $(x,y,z)$ sur le point de coordonnées $(x',y',z')$ définies par: $$ x' = \frac{2x-2y+z+1}{3}; y' =\frac{2x+y-2z+2}{3} ; z' =\frac{x+2y+2z+5}{3}.$$ Montrer que $v$ est une isométrie de $E$. Préciser de quel type d'isométrie il s'agit. Expliciter son axe et son vecteur de glissement. \finenonce{007476} \finexercice \exercice{7477, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007477}{Composée d'isométries} Soit $E$ un espace affine euclidien de dimension $3$ muni d'un repère cartésien orthonormé $(O,i,j,k)$. On désigne par $D$ la droite d'équation $(x=0,z=1)$ et par $D'$ la droite d'équation $(y=0,z=0)$. On note $S_D$ la symétrie par rapport à la droite $D$ et $R_{\theta}$ la rotation d'axe $D'$ et d'angle $\theta$ (en considérant la base $(j,k)$ comme directe). On pose $\varphi=S_D\circ R_{\theta}$. \begin{enumerate} \item {\'E}crire dans la base $(i,j,k)$ la matrice de $\overrightarrow {S_D}$, celle de $\overrightarrow {R_{\theta}}$ et celle de $\overrightarrow{\varphi}$. {\'E}crire les expressions analytiques de $S_D$ et de $R_{\theta}$ dans le repère $(O,i,j,k)$. \item Montrer que $\varphi$ est une symétrie éventuellement glissée d'axe une droite $\Delta$. \item Pour tout point $M$ de $E$, prouver que les milieux de $\bigl(M,s_\Delta (M)\bigr)$ et de $\bigl(M,\varphi(M)\bigr)$ sont sur $\Delta$. \item En utilisant le point $O$, montrer que $\Delta$ passe par le point de coordonnées $(0,0,1)$. et est contenue dans le plan affine d'équation $x=0$. \item Donner les composantes du vecteur de glissement de $\varphi$ en fonction de $\theta$. \end{enumerate} \finenonce{007477} \finexercice \exercice{7479, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007479}{Groupe laissant stable une partie} Soient $E$ un espace affine euclidien de dimension 3 et $\mathcal{R}$ un repère cartésien orthonormé de $E$. Soit $n$ un entier $\geq 3$. On considère l'ensemble $X$ des points de $E$ dont les coordonnées $(x,y,z)$ dans $\mathcal{R}$ satisfont aux deux conditions suivantes : \begin{enumerate} \item Les nombres $x$, $y$ et $z$ sont dans $\Zz$ ; \item Le nombre $x+y+z$ est divisible par $n$. \end{enumerate} On note $O$ l'origine de $\mathcal{R}$ et $A$, $B$, $C$ et $D$ les points de coordonnées dans $\mathcal{R}$ : $$A=(n,0,0), \quad B=(0,n,0), \quad C=(0,0,n) \quad \text{ et } \quad D=(1,-1,0).$$ Soient $G$ le sous-groupe des isométries affines de $E$ qui conservent globalement l'ensemble $X$ et $G_0$ le sous-groupe de $G$ formé des éléments qui fixent $O$. \begin{enumerate} \item Soient $P$ et $Q$ deux éléments de $X$. Montrer que la translation de vecteur $\overrightarrow{PQ}$ appartient à $G$. En déduire une caractérisation des translations qui appartiennent à $G$. \item Quels sont les centres des symétries par rapport à un point qui appartiennent à $G$ ? \item Décrire l'ensemble des éléments $P$ de $X$ tels que $\|\overrightarrow{OP}\|^2=2$. \item On considère l'ensemble $\mathcal{T}$ des transformations affines qui laissent fixe $O$ et conservent globalement l'ensemble $\lbrace A,B,C\rbrace$. Montrer que les éléments de $\mathcal{T}$ sont des isométries et qu'ils conservent $X$. Montrer que $\mathcal{T}$ est un sous-groupe de $G_0$ isomorphe au groupe de permutations $S_3$. Expliciter la représentation matricielle de des transformations de $\mathcal{T}$. \item Déduire des questions précédentes l'orbite de $D$ sous l'action de $G_0$. Montrer que tout élément de $G_0$ laisse globalement invariant le plan $H$ d'équation $x+y+z=0$. \item Expliciter une représentation matricielle de la symétrie orthogonale par rapport à $H$. Cette symétrie appartient-elle à $G$ ? \item On considère l'ensemble $G'_0$ des restrictions à $H$ des éléments de $G_0$. En étudiant l'action de $G'_0$ sur $H$ montrer que l'ordre de $G'_0$ est 12. Montrer que $G_0$ est d'ordre 12 ou 24 suivant la valeur de $n$. \end{enumerate} \finenonce{007479} \finexercice \exercice{7490, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007490}{} Dans l'espace affine $E$ réel, on considère une homothétie $h$ de centre $\Omega$ et de rapport $1/2$ et une translation $t$ de vecteur $\vec{u}$. Quelle est la nature de $t\circ h$ ? \finenonce{007490} \finexercice \exercice{7491, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007491}{} Dans l'espace affine $E$ réel, muni d'un repère cartésien $(O, \vec{\imath},\vec{\jmath},\vec{k})$, donner un système d'équations pour la droite passant par le point $A(1,2,3)$ et de vecteur directeur $\vec{u}=2\vec{\imath}-\vec{k}$. \finenonce{007491} \finexercice \exercice{7492, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007492}{} Dans l'espace affine $E$ réel, muni d'un repère cartésien $(O, \vec{\imath},\vec{\jmath},\vec{k})$, soit $f$ une application affine dont la partie linéaire a pour matrice $$\begin{pmatrix}-1&0&0\cr 0&2&3\cr 0&2&3\end{pmatrix}.$$ Que peut-on dire de l'ensemble des points fixes de $f$ ? \finenonce{007492} \finexercice \exercice{7493, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007493}{} Dans l'espace affine $E$ réel, muni d'un repère cartésien $(O, \vec{\imath},\vec{\jmath},\vec{k})$, donner un système d'équations pour la droite passant par le point $A(3,2,1)$ et de vecteur directeur $\vec{u}=2\vec{\imath}-\vec{k}$. \finenonce{007493} \finexercice \exercice{7494, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007494}{} Dans l'espace affine $E$ réel, muni d'un repère cartésien $(O, \vec{\imath},\vec{\jmath},\vec{k})$, on considère une application affine $f$ dont la partie linéaire a pour matrice $$\begin{pmatrix}-1&0&0\cr 0&1&2\cr 0&0&3 \end{pmatrix}.$$ Que peut-on dire de l'ensemble des points fixes de $f$ ? \finenonce{007494} \finexercice \exercice{7499, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007499}{Questions de cours} \begin{enumerate} \item Dans un espace affine, quel est le sens de la notation $1/3\ A+1/3\ B+1/3\ C$ où $A,B,C$ sont trois points ? \item Soit $A,B,C,D$ quatre points d'un plan affine. Soit $I$ le milieu de $[C,D]$. L'isobarycentre des points $A,B,C,D$ est-il le centre de gravité du triangle $A,B,I$? \item Une isométrie est-elle caractérisée par sa partie linéaire ? \item Deux isométries d'un espace affine euclidien de dimension trois qui ont exactement le même plan $P$ de points fixes sont-elles égales ? \end{enumerate} \finenonce{007499} \finexercice \exercice{7500, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007500}{Procédé d'orthonormalisation de Gram-Schmidt} Dans l'espace vectoriel euclidien $\Rr^3$ muni du produit scalaire standard et de la base canonique $\mathcal{C}$, appliquer le procédé d'orthonormalisation de Gram-Schmidt à la base $\mathcal{B}$ $$v_1=\left( \begin{array}{c} 3\\1\\1\end{array}\right)\ ; \ v_2=\left( \begin{array}{c} 2\\ 1\\ 0\end{array}\right)\ ; \ v_3=\left( \begin{array}{c} -1\\ -1\\ -1 \end{array}\right) $$ pour obtenir une base orthonormée $\mathcal{B'}$. \finenonce{007500} \finexercice \exercice{7509, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007509}{Une symétrie} Soit $E$ un espace affine euclidien de dimension trois et $(O,\vec{\imath},\vec{\jmath}, \vec{k})$ un repère. Soit $A(1,2,3)$ et $B(3,2,1)$ deux points de $E$. \begin{enumerate} \item Déterminer l'expression analytique dans le repère $(O,\vec{\imath},\vec{\jmath}, \vec{k})$ de la symétrie ortho\-gonale par rapport au plan média\-teur du segment $[AB]$. \item Vérifier votre résultat en déterminant l'image du point $A$. \end{enumerate} \finenonce{007509} \finexercice \exercice{7510, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007510}{Conique} Dans l'espace affine $\mathcal{E}$ muni d'un repère orthonormé $(O,\vec{\imath},\vec{\jmath},\vec{k})$, on considère le cône $\mathcal{C}$ d'équation $y^2+z^2=3(x-2)^2$. \begin{enumerate} \item Déterminer un plan dont l'intersection avec le cône $\mathcal{C}$ soit un cercle. \item Déterminer la nature de l'intersection de $\mathcal{C}$ avec le plan d'équation $z=1$. On précisera (s'ils existent) le centre, les axes de symétrie et les asymptotes . \end{enumerate} \finenonce{007510} \finexercice \exercice{7511, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007511}{} \'Ecrire la table de toutes les isométries d'un espace affine euclidien de dimension $3$. \finenonce{007511} \finexercice \exercice{7515, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007515}{} Démontrer que si $f$ est une application linéaire orthogonale d'un espace vectoriel euclidien $\vec{E}$ de dimension finie, alors $Ker (f-Id_{\vec{E}})$ et $Im (f-Id_{\vec{E}})$ sont supplémentaires orthogonaux. \finenonce{007515} \finexercice \exercice{7516, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007516}{} Soient $E$ un espace affine de dimension 3, et $A,B,C,D$ un tétraèdre de $E$. Montrer que les droites joignant les milieux des cotés opposés du tétraèdre sont concourantes. \finenonce{007516} \finexercice \exercice{7517, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007517}{} Soit $(\R_{ev}^3, standard)$ l'espace euclidien standard muni de la base canonique. Déterminer une base orthonormée du sous-espace $vect(e_1, e_1+e_2+e_3)$. La compléter en une base orthonormée de $\R^3$. \finenonce{007517} \finexercice \section{ 243.00 Conique } \exercice{5540, rouget, 2010/07/15} \enonce{005540}{*IT} Le plan est rapporté à un repère orthonormé $\mathcal{R}=(0,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$. Eléménts caractéristiques de la conique dont une équation cartésienne dans $\mathcal{R}$ est \begin{itemize} \item \begin{enumerate} \item $y^2=x$, \item $y^2=-x$, \item $y=x^2$, \item $y=-x^2$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$, \item $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{25}=1$, \item $x^2+2y^2=1$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$, \item $-\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$, \item $x^2-y^2=1$. \end{enumerate} \end{itemize} \finenonce{005540} \finexercice \exercice{5541, rouget, 2010/07/15} \enonce{005541}{*IT} Le plan est rapporté à un repère orthonormé $\mathcal{R}=\left(0,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}\right)$. Eléménts caractéristiques de la courbe dont une équation dans $\mathcal{R}$ est \begin{itemize} \item \begin{enumerate} \item $y=x^2+x+1$, \item $y^2+y-2x=0$, \item $y=\sqrt{2x+3}$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item $x^2+x+2y^2+y=0$, \item $y=-2\sqrt{-x^2+x}$. \end{enumerate} \item $x^2-y^2+x+y+1=0$. \end{itemize} \finenonce{005541} \finexercice \exercice{5542, rouget, 2010/07/15} \enonce{005542}{**IT} Le plan est rapporté à un repère orthonormé $\mathcal{R}=(0,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$. Nature et éléments caractéristiques de la courbe dont une équation en repère orthonormé est \begin{enumerate} \item $y=\frac{1}{x}$, \item $41x^2-24xy+34y^2-106x+92y+74=0$, \item $x^2+2xy+y^2+3x-2y+1=0$, \item $(x-y+1)^2+(x+y-1)^2=0$, \item $x^2+y^2-3x-y+3=0$, \item $x(x-1)+(y-2)(y-3)=0$, \item $(x+y+1)(x-y+3)=3$, \item $(2x+y-1)^2-3(x+y)=0$. \end{enumerate} \finenonce{005542} \finexercice \exercice{5543, rouget, 2010/07/15} \enonce{005543}{*IT} \label{exo:routhe4} Etudier les courbes dont une équation polaire (en repère orthonormé direct) est \begin{enumerate} \item $r=\frac{1}{1+2\cos\theta}$, \item $r=\frac{1}{1+\cos\theta}$, \item $r=\frac{1}{2+\cos\theta}$, \item $r=\frac{1}{1-\sin\theta}$, \item $r=\frac{1}{2-\cos\theta}$. \end{enumerate} \finenonce{005543} \finexercice \exercice{5544, rouget, 2010/07/15} \enonce{005544}{***} Déterminer l'image du cercle trigonométrique par la fonction $\begin{array}[t]{cccc}f~:&\Cc&\rightarrow&\Cc\\ &z&\mapsto&\frac{1}{1+z+z^2} \end{array}$. \finenonce{005544} \finexercice \exercice{5546, rouget, 2010/07/15} \enonce{005546}{***} \begin{enumerate} \item \textbf{Droite de } \textsc{Simson.} Soit $(A,B,C)$ un triangle et $M$ un point du plan. Montrer que les projetés orthogonaux $P$, $Q$ et $R$ de $M$ sur les cotés $(BC)$, $(CA)$ et $(AB)$ du triangle $(ABC)$ sont alignés si et seulement si $M$ est sur le cercle circonscrit à $(ABC)$. La droite passant par $P$, $Q$ et $R$ s'appelle la droite de \textsc{Simson} du point $M$ relativement au triangle $ABC$ (ou au cercle $(ABC)$). \item \textbf{Parabole tangente aux trois côtés d'un triangle.} Lieu des foyers des paraboles tangentes à trois droites deux à deux non parallèles. En particulier, fournir la construction des points de contacts. \end{enumerate} \finenonce{005546} \finexercice \exercice{5547, rouget, 2010/07/15} \enonce{005547}{**} $(\mathcal{C})$ est le cercle de diamètre $[A,B]$. $(D)$ est la tangente en $A$ à $(\mathcal{C})$. $P$ est un point variable sur $(\mathcal{C})$ et $(T)$ la tangente en $P$ à $(\mathcal{C})$. $(T)$ recoupe $(D)$ en $S$. La perpendiculaire à $(AB)$ passant par $P$ coupe $(BS)$ en $M$. Ensemble des points $M$~? \finenonce{005547} \finexercice \exercice{5815, rouget, 2010/10/16} \enonce{005815}{**} Etudier les courbes dont une équation en repère orthonormé est : \begin{enumerate} \item $2x^2+6xy+5y^2+4x+6y+1 = 0$. \item $x^2+2xy+y^2 +3x-2y+1 = 0$. \item $2x^2-4xy-3x+3y+1 = 0$. \item $-5x^2+6\sqrt{3}xy+y^2-4 = 0$. \item $4x^2+12xy+9y^2-2x+1 = 0$. \item $(x-y+1)^2+(x+y-1)^2 = 0$. \item $x^2+y^2-3x-y+2=0$. \item $x(x-1)+(y-2)(y-3) = 0$. \item $(x+2y-4)(x-y-1)=3$. \item $(2x+y-1)^2-3(x+y) = 0$. \end{enumerate} \finenonce{005815} \finexercice \exercice{5816, rouget, 2010/10/16} \enonce{005816}{**} Etudier les courbes dont une équation polaire (en repère orthonormé direct) est \begin{enumerate} \item $r =\frac{2}{1-2\cos\theta}$, \item $r =\frac{6}{2+\cos\theta}$, \item $r =\frac{2}{1-\sin\theta}$. \end{enumerate} \finenonce{005816} \finexercice \exercice{5817, rouget, 2010/10/16} \enonce{005817}{***} \begin{enumerate} \item Montrer que toute courbe de degré inférieur ou égal à $2$ admet une représentation paramétrique de la forme \begin{center} $\left\{ \begin{array}{l} x(t)=\frac{P(t)}{R(t)}\\ y(t)=\frac{Q(t)}{R(t)} \end{array} \right.$ \end{center} où $P$, $Q$ et $R$ sont des polynômes de degré inférieur ou égal à $2$ et montrer réciproquement que toute courbe paramétrée du type précédent est une courbe de degré inférieur ou égal à $2$. \item Etudier la courbe $\left\{ \begin{array}{l} x=\frac{2t+1}{t^2+2t-1}\\ y=\frac{t^2-1}{t^2+2t-1} \end{array} \right.$. \end{enumerate} \finenonce{005817} \finexercice \section{ 243.01 Ellipse } \exercice{2065, ridde, 1999/11/01} \enonce{002065}{} Soit $\mathcal{E}$ une ellipse de foyers $F$ et $F'$, $M$ un point fixé de $\mathcal {E}$ et $M'$ un point qui se prom\`ene sur $\mathcal{E}$. Soient $\mathcal{C}$ et $\mathcal{C}'$ les cercles de centres $M$ et $M'$ de rayons $MF'$ et $M'F'$. Soient $I$ le point de $(FM) \cap \mathcal{C}$ tel que $M \in [FI]$ et $J$ le deuxi\`eme point d'intersection de $\mathcal{C}$ et $\mathcal{C}'$. \begin{enumerate} \item Montrer que $ (MM')$ est bissectrice de l'angle $F'MJ$. \item Que devient $J$ si $M'$ tend vers $M$ (on ne demande pas de preuve) ? \item Montrer que la tangente \`a $\mathcal{E}$ en $M$ est bissectrice ext\'erieure de l'angle $FMF'$. \end{enumerate} \finenonce{002065} \finexercice \exercice{2071, ridde, 1999/11/01} \enonce{002071}{} Montrer que la courbe param\'etr\'ee $x (t) =\dfrac 1{ t^2 + t + 1}$ et $y (t) = \dfrac t{ t^2 + t + 1}$ est une ellipse et la tracer. \finenonce{002071} \finexercice \exercice{4912, quercia, 2010/03/17} \enonce{004912}{Orthoptique d'une ellipse} Soit ${\cal E}$ une ellipse de foyers $F,F'$, de centre $O$, de dimensions $a$ et $b$. Soient $M,M' \in {\cal E}$ tels que les tangentes à ${\cal E}$ sont perpendiculaires en un point $T$. Montrer que $TF^2 + TF'^2 = 4a^2$. Quel est le lieu de $T$ quand $M$ et $M'$ varient ? \finenonce{004912} \finexercice \exercice{4913, quercia, 2010/03/17} \enonce{004913}{Tangentes à une ellipse} Soient ${\cal E} : \frac {x^2}{4a^2} + \frac {y^2}{4b^2} = 1$, et ${\cal E}' : \frac {x^2}{a^2} + \frac {y^2}{b^2} = 1$. \begin{enumerate} \item CNS sur $u,v,w$ pour que la droite d'équation $ux+vy+w=0$ soit tangente à ${\cal E}'$ ? \item Soient $(MP)$, $(MQ)$ deux tangentes à ${\cal E}'$ avec $M,P,Q \in {\cal E}$. Montrer que $(PQ)$ est aussi tangente à ${\cal E}$. \end{enumerate} \finenonce{004913} \finexercice \exercice{4914, quercia, 2010/03/17} \enonce{004914}{Points mobiles avec $PQ =$ constante} Soient $P$ un point mobile sur $Ox$, et $Q$ un point mobile sur $Oy$ tels que $PQ$ reste constante. \begin{enumerate} \item Pour $\alpha\in \R$, déterminer le lieu, ${\cal C}_\alpha$, de Bar$(P:1-\alpha,Q:\alpha)$. \item Soit $R$ le quatrième point du rectangle $OPQR$. Démontrer que la tangente à ${\cal C}_\alpha$ en un point $M$ est perpendiculaire à $(RM)$. \end{enumerate} \finenonce{004914} \finexercice \exercice{4915, quercia, 2010/03/17} \enonce{004915}{$FMT$ est rectangle en $F$} Soit ${\cal E}$ une ellipse de foyer $F$, directrice $D$. Soit $M \in {\cal E}$ hors de l'axe focal, et $T$ le point d'intersection de la tangente en $M$ et de la directrice $D$. Montrer que $FMT$ est rectangle en $F$. \finenonce{004915} \finexercice \exercice{4916, quercia, 2010/03/17} \enonce{004916}{$1/OM^2 + 1/OP^2$} Soit ${\cal E}$ un ellipse de centre $O$ et de dimensions $a$, $b$. Soient $M,P \in {\cal E}$ tels que $OMP$ soit rectangle en $O$. \begin{enumerate} \item Montrer que $\frac{1}{OM^2} + \frac1{OP^2} = \frac1{a^2} + \frac1{b^2}$. \item En déduire que $(MP)$ reste tangente à un cercle fixe de centre $O$. \end{enumerate} \finenonce{004916} \finexercice \exercice{4917, quercia, 2010/03/17} \enonce{004917}{Cercle sur une tangente} Soit ${\cal E}$ une ellipse de sommets $A,A'$, et $M \in {\cal E}$. La tangente en $M$ coupe les tangentes en $A,A'$ en $P,P'$. Montrer que le cercle de diamètre $[P,P']$ passe par les foyers de ${\cal E}$. \finenonce{004917} \finexercice \exercice{5550, rouget, 2010/07/15} \enonce{005550}{***} Soit $P$ un polynôme de degré $3$ à coefficients réels. Montrer que la courbe d'équation $P(x)=P(y)$ dans un certain repère orthonormé, est en général la réunion d'une droite et d'une ellipse d'excentricité fixe. \finenonce{005550} \finexercice\exercice{5820, rouget, 2010/10/16} \enonce{005820}{***} $(\mathcal{C})$ est le cercle de diamètre $[AB]$. $(\mathcal{D})$ est la tangente en $A$ au cercle $(\mathcal{C})$. $P$ est un point variable sur le cercle $(\mathcal{C})$ et $(\mathcal{T})$ la tangente en $P$ au cercle $(\mathcal{C})$. $(\mathcal{T})$ recoupe $(\mathcal{D})$ en $S$. La perpendiculaire à la droite $(AB)$ passant par $P$ coupe la droite $(BS)$ en $M$. Ensemble des points $M$ ? \finenonce{005820} \finexercice \exercice{5822, rouget, 2010/10/16} \enonce{005822}{**} Soit $P$ un polynôme de degré $3$ à coefficients réels. Montrer que la courbe d'équation $P(x) = P(y)$ dans un certain repère orthonormé, est en général la réunion d'une droite et d'une ellipse d'excentricité fixe. \finenonce{005822} \finexercice \section{ 243.02 Parabole } \exercice{2066, ridde, 1999/11/01} \enonce{002066}{} Soit $\mathcal{P}$ une parabole de foyer $F$, de directrice $\mathcal{D}$, $M$ un point de $\mathcal{P}$ et $H$ son projet\'e orthogonal sur $\mathcal{D}$. Montrer que la tangente \`a $\mathcal{P}$ en $M$ est la m\'ediatrice de $[FH]$. En d\'eduire un proc\'ed\'e de construction d'une parabole. \finenonce{002066} \finexercice \exercice{2067, ridde, 1999/11/01} \enonce{002067}{} D\'eterminer l'ensemble des points d'où l'on peut mener deux tangentes orthogonales \`a une parabole. \finenonce{002067} \finexercice \exercice{2070, ridde, 1999/11/01} \enonce{002070}{} D\'eterminer astucieusement le sommet et l'axe de la parabole $x (t) = t^2 + t + 1$ et $y (t) = t^2-2t + 2$. \finenonce{002070} \finexercice \exercice{4903, quercia, 2010/03/17} \enonce{004903}{Orthoptique d'une parabole} Soit $P$ une parabole de foyer $F$ et de directrice $D$. Soit $M \in P$, et $M'$ le point de $P$ tel que les tangentes en $M$ et $M'$ sont orthogonales. \begin{enumerate} \item Montrer que ces tangentes se coupent au milieu de $[H,H']$. \item Montrer que $M,F,M'$ sont alignés. En déduire dans un repère $(O,\vec i,\vec j)$ donné, toutes les paraboles tangentes aux axes de coordonnées. \end{enumerate} \finenonce{004903} \finexercice \exercice{4904, quercia, 2010/03/17} \enonce{004904}{Cercle circonscrit} Soit ${\cal C}$ un cercle de centre $O$, et $A,B$ deux points distincts de ${\cal C}$. Soit $\Delta$ le diamètre parallèle à $(AB)$. Pour $M \in {\cal C}$, on note $P,Q$ les intersections de $(MA)$ et $(MB)$ avec $\Delta$. Chercher le lieu du centre du cercle circonscrit à $MPQ$. \finenonce{004904} \finexercice \exercice{4905, quercia, 2010/03/17} \enonce{004905}{Projection sur le diamètre d'un cercle} On donne un cercle ${\cal C}$ de centre $O$ et $A \in {\cal C}$. Pour $M \in {\cal C}$, on construit le projeté $N$ sur le diamètre perpendiculaire à $(OA)$, et $I$, le point d'intersection de $(OM)$ et $(AN)$. Quel est le lieu de $I$ ? \finenonce{004905} \finexercice \exercice{4906, quercia, 2010/03/17} \enonce{004906}{$MF + MH = 2a$} Soit $F$ un point, $D$ une droite ne passant pas par $F$, et $a > \frac12d(F,D)$. Trouver l'ensemble des points $M$ tels que $MF + d(M,D) = 2a$. \finenonce{004906} \finexercice \exercice{4907, quercia, 2010/03/17} \enonce{004907}{Paraboles passant par un point} Soient $D$ une droite et $F \in D$. Montrer que pour tout point $M \notin D$, il passe exactement deux paraboles de foyer $F$ et d'axe $D$. Montrer que les tangentes à ces paraboles en $M$ sont orthogonales. \finenonce{004907} \finexercice \exercice{4908, quercia, 2010/03/17} \enonce{004908}{Longueur minimale d'une corde normale, Ensi Physique 93} Soit $\cal P$ une parabole de paramètre $p$ et $A \in \cal P$. Soit $B$ le point où la normale à $\cal P$ en $A$ recoupe $\cal P$. Déterminer la longueur minimale de $AB$. \finenonce{004908} \finexercice \exercice{4909, quercia, 2010/03/17} \enonce{004909}{Cordes perpendiculaires, Centrale P' 1996} On considère une parabole dans le plan euclidien. \begin{enumerate} \item Exprimer l'équation d'une droite passant par deux points $A$ et~$B$ de la parabole à l'aide d'un déterminant d'ordre~3. \item $A,B,C$ étant trois points sur la parabole, exprimer le fait que $(AB)$ et $(AC)$ sont perpendiculaires. \item On fixe $A$ sur la parabole, $B$ et $C$ sont deux points de la parabole variables tels que $(AB)$ et $(AC)$ sont perpendiculaires. Montrer que $(BC)$ passe par un point fixe~$M$. \item Quel est le lieu de $M$ quand $A$ varie~? \end{enumerate} \finenonce{004909} \finexercice \exercice{4910, quercia, 2010/03/17} \enonce{004910}{Normales concourantes, Centrale P' 1996} Soit~${\cal P}$ la parabole d'équation $y^2 = 2px$ et $M_0=(x_0,y_0)\in{\cal P}$. \begin{enumerate} \item Discuter l'existence et le nombre de points $M\in{\cal P}$ distincts de~$M_0$ tels que la normale à~${\cal P}$ en~$M$ passe par~$M_0$. \item Dans le cas où il y a deux solutions, $M_1$ et $M_2$, trouver le lieu géométrique du centre de gravité du triangle $M_0M_1M_2$. \end{enumerate} \finenonce{004910} \finexercice \exercice{4911, quercia, 2010/03/17} \enonce{004911}{Croisillons sur une parabole, Centrale MP 2000} Pour $p>0$ on donne la courbe~$\Gamma$ d'équation $y^2=2px$. Soit un carré $ABCD$ tel que $B,D\in \Gamma$ et $A,C$ appartiennent à l'axe de symétrie de~$\Gamma$. \begin{enumerate} \item Quelle relation lie les abscisses de $A$ et~$C$~? \item On construit une suite $(M_n)$ de points de~$Ox$, $M_n$ d'abscisse~$x_n$, telle que $x_{n+1}>x_n$ et $M_nM_{n+1}$ est la diagonale d'un carré dont les deux autres sommets appartiennent à~$\Gamma$. Déterminer un équivalent de~$x_n$ quand~$n\to\infty$. \end{enumerate} \finenonce{004911} \finexercice \exercice{5545, rouget, 2010/07/15} \enonce{005545}{**} Déterminer l'orthoptique d'une parabole , c'est-à-dire l'ensemble des points du plan par lesquels il passe deux tangentes à la parabole, perpendiculaires l'une à l'autre. \finenonce{005545} \finexercice\exercice{5548, rouget, 2010/07/15} \enonce{005548}{***} Soit, dans $\Rr^3$ rapporté à un repère orthonormé $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})$, la courbe $(\Gamma)$ d'équations $\left\{ \begin{array}{l} y=x^2+x+1\\ x+y+z=1 \end{array}\right.$. Montrer que $(\Gamma)$ est une parabole dont on déterminera le sommet, l'axe, le foyer et la directrice. \finenonce{005548} \finexercice \exercice{5552, rouget, 2010/07/15} \enonce{005552}{***} Equation cartésienne de la parabole tangente à $(0x)$ en $(1,0)$ et à $(0y)$ en $(0,2)$. \finenonce{005552} \finexercice \exercice{5818, rouget, 2010/10/16} \enonce{005818}{**} Déterminer l'orthoptique d'une parabole, c'est-à-dire l'ensemble des points du plan par lesquels il passe deux tangentes à la parabole qui soient perpendiculaires. \finenonce{005818} \finexercice \exercice{5819, rouget, 2010/10/16} \enonce{005819}{***} \begin{enumerate} \item (Droite de \textsc{Simson}) Soient $ABC$ un triangle et $M$ un point du plan. Montrer que les projetés orthogonaux $P$, $Q$ et $R$ du point $M$ sur les côtés $(BC)$, $(CA)$ et $(AB)$ du triangle $ABC$ sont alignés si et seulement si $M$ est sur le cercle circonscrit au triangle $ABC$. La droite passant par les points $P$, $Q$ et $R$ s'appelle la droite de \textsc{Simson} du point $M$ relativement au cercle $(ABC)$. \item (Parabole tangente aux trois côtés d'un triangle) Lieu des foyers des paraboles tangentes à trois droites deux à deux non parallèles. Fournir en particulier la construction des points de contacts. \end{enumerate} \finenonce{005819} \finexercice \exercice{5821, rouget, 2010/10/16} \enonce{005821}{**} L'espace de dimension $3$ est rapporté à un repère orthonormé $(O,i,j,k)$. On note $(\Gamma)$ la courbe d'équations \begin{center} $\left\{ \begin{array}{l} y=x^2+x+1\\ x+y+z-1=0 \end{array} \right.$. \end{center} Montrer que $(\Gamma)$ est une parabole dont on déterminera le sommet, l'axe, le foyer et la directrice. \finenonce{005821} \finexercice \exercice{5824, rouget, 2010/10/16} \enonce{005824}{**} Equation cartésienne de la parabole $(\mathcal{P})$ tangente à $(Ox)$ en $(1,0)$ et à $(Oy)$ en $(0,2)$. \finenonce{005824} \finexercice \section{ 243.03 Hyperbole } \exercice{4918, quercia, 2010/03/17} \enonce{004918}{Projection non orthogonale} Soient $F$ un point, $D$ une droite ne passant pas par $F$, et $\vec{\Delta}$ une direction ni égale ni perpendiculaire à $\vec{D}$. Pour $M \in {\cal P}$, on note $H$ le projeté de $M$ sur $D$ parallèlement à $\vec{\Delta}$. Quel est l'ensemble des points $M$ tels que $MF = MH$ ? \finenonce{004918} \finexercice \exercice{4919, quercia, 2010/03/17} \enonce{004919}{Triangle rectangle sur une hyperbole} Soit ${\cal H}$ une hyperbole équilatère de dimension $a$. On se place dans un ROND $(O,\vec i,\vec j)$ construit sur les asymptotes de ${\cal H}$. \begin{enumerate} \item Déterminer l'équation de ${\cal H}$ dans ce repère. \item Soit $ABC$ un triangle rectangle en $A$ dont les trois sommets sont sur ${\cal H}$. Montrer que la tangente en $A$ est orthogonale à $(BC)$. \item Soit $ABC$ un triangle quelconque dont les sommets sont sur ${\cal H}$. Montrer que l'orthocentre y est aussi. \end{enumerate} \finenonce{004919} \finexercice \exercice{4920, quercia, 2010/03/17} \enonce{004920}{Cercle sur une tangente} Soit ${\cal H}$ une hyperbole de sommets $A,A'$, et $M \in {\cal H}$. La tangente en $M$ coupe les tangentes en $A,A'$ en $P,P'$. Montrer que le cercle de diamètre $[P,P']$ passe par les foyers de ${\cal H}$. \finenonce{004920} \finexercice \exercice{4921, quercia, 2010/03/17} \enonce{004921}{Triangle équilatéral} Soient $A,F$ deux points distincts, $D$ leur médiatrice, ${\cal H}$ l'hyperbole de foyer $F$, directrice $D$, excentricité 2, et ${\cal C}$ un cercle passant par $A$ et $F$, de centre $I$. \begin{enumerate} \item Pour $M \in {\cal C}$, montrer que $M \in {\cal H} \Leftrightarrow 3\overline{(\vec{IM},D)} \equiv \overline{(\vec{IF},D)}\ [2\pi]$. \item En déduire que si $I \notin (AF)$, ${\cal C}$ coupe ${\cal H}$ aux sommets d'un triangle équilatéral. \end{enumerate} \finenonce{004921} \finexercice \exercice{4922, quercia, 2010/03/17} \enonce{004922}{$\overline{(\vec{OA},\vec{OM})} \equiv 2\overline{(\vec{AM},\vec{AO})}$} Soient $O,A$ deux points distincts du plan. Trouver les points $M$ tels que $\overline{(\vec{OA},\vec{OM})} \equiv 2\overline{(\vec{AM},\vec{AO})}$. \finenonce{004922} \finexercice \exercice{4923, quercia, 2010/03/17} \enonce{004923}{Lieu géométrique} Soient $A,A'$ deux points distincts et ${\cal C}$ le cercle de diamètre $[A,A']$. Pour $P \in {\cal C}$, on construit : $P'$ le symétrique de $P$ par rapport à $(AA')$, et $M$ le point d'intersection de $(AP)$ et $(A',P')$. Quel est le lieu de $M$ ? \finenonce{004923} \finexercice \exercice{4924, quercia, 2010/03/17} \enonce{004924}{Triangle sur une hyperbole, Ensi P 91} Soit $\cal H$ une hyperbole équilatère et $ABC$ un triangle dont les sommets appartiennent à $\cal H$. Montrer que l'orthocentre, $H$, du triangle appartient aussi à $\cal H$. Comparer $H$ et le point $Q$ où le cercle circonscrit à $ABC$ recoupe $\cal H$. \finenonce{004924} \finexercice \exercice{5549, rouget, 2010/07/15} \enonce{005549}{*} Que vaut l'excentricité de l'hyperbole équilatère (une hyperbole est équilatère si et seulement si ses asymptotes sont perpendiculaires)~? \finenonce{005549} \finexercice \exercice{5551, rouget, 2010/07/15} \enonce{005551}{***} Soit $(\mathcal{H})$ une hyperbole équilatère de centre $O$ et $P$ et $Q$ deux points de $(\mathcal{H})$ symétriques par rapport à $O$. Montrer que le cercle de centre $P$ et de rayon $PQ$ recoupe $(\mathcal{H})$ en trois points formant un triangle équilatéral de centre $P$. \finenonce{005551} \finexercice \exercice{5823, rouget, 2010/10/16} \enonce{005823}{***} Soit $(\mathcal{H})$ une hyperbole équilatère de centre $O$ et $P$ et $Q$ deux points de $(\mathcal{H})$ symétriques par rapport à $O$. Montrer que le cercle de centre $P$ et de rayon $PQ$ recoupe $(\mathcal{H})$ en trois points formant un triangle équilatéral de centre $P$. \finenonce{005823} \finexercice \section{ 243.04 Quadrique } \exercice{4925, quercia, 2010/03/17} \enonce{004925}{\'Etude d'équations} Déterminer les natures des surfaces d'équation : \begin{enumerate} \item $x^2 + y^2 + z^2 -2xy + 2xz + 3x - y + z + 1 = 0$. \item $(x-y)(y-z) + (y-z)(z-x) + (z-x)(x-y) + (x-y) = 0$. \item $x^2 + 9y^2 + 4z^2 - 6xy - 12yz + 4zx + 4 = 0$. \item $x^2 - 2y^2 - z^2 + 2xz - 4yz + 3 = 0$. \item $2x^2 + 2y^2 + z^2 + 2xz - 2yz + 4x - 2y - z + 3 = 0$. \item $xy + xz + yz + 1 = 0$. \item $2x^2 + 2y^2 - z^2 + 5xy - yz + xz = 0$. \item $xy + yz = 1$. \item $x^2 + 4y^2 + 5z^2 - 4xy - 2x + 4y = 0$. On fera le minimum de calculs nécéssaires pour pouvoir conclure. \end{enumerate} \finenonce{004925} \finexercice \exercice{4926, quercia, 2010/03/17} \enonce{004926}{Repère non orthonormé} Soit ${\cal S}$ une surface d'équation $ax^2 + by^2 + cz^2 + 2dxy + 2exz + 2fyz + 2gx + 2hy + 2iz + j = 0$ dans un repère non orthonormé. Montrer que c'est quand même une quadrique. \finenonce{004926} \finexercice \exercice{4927, quercia, 2010/03/17} \enonce{004927}{Centre de symétrie} Soit ${\cal S}$ une quadrique d'équation $f(x,y,z) = 0$. On note $q$ la forme quadratique associée à $f$. \begin{enumerate} \item Montrer que, pour tout point $A$ et tout vecteur $\vec h$, on a : $f(A+\vec h) = f(A) + (\vec{\nabla f}(A)\mid \vec h) + q(\vec h)$. \item On suppose que ${\cal S}$ n'est pas incluse dans un plan. Montrer qu'un point $\Omega$ est centre de symétrie de ${\cal S}$ si et seulement si $\vec{\nabla f}(\Omega) = \vec 0$. \item En déduire que si $0$ n'est pas valeur propre de la matrice de $q$, alors ${\cal S}$ admet un centre unique. \end{enumerate} \finenonce{004927} \finexercice \exercice{4928, quercia, 2010/03/17} \enonce{004928}{Cône s'appuyant sur une ellipse} Soit ${\cal E}$ l'ellipse d'équations : $\begin{cases}\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \cr z = 0 \cr\end{cases}$ et $\Omega = (x_0,y_0,z_0)$ avec $z_0 \ne 0$. On note $\mathcal{C}$ le cône de sommet $\Omega$ engendré par ${\cal E}$. \begin{enumerate} \item Chercher une équation cartésienne de $\mathcal{C}$. \item Quels sont les points $\Omega$ tels que $\mathcal{C} \cap Oyz$ soit un cercle ? \end{enumerate} \finenonce{004928} \finexercice \exercice{4929, quercia, 2010/03/17} \enonce{004929}{Sections circulaires} \begin{enumerate} \item On considère la forme quadratique $q(x,y,z) = ax^2 + by^2 + cz^2$ avec $a \in {[b,c]}$. \begin{enumerate} \item Montrer qu'il existe $y,z \in \R$ tels que $y^2 + z^2 = 1$ et $by^2 + cz^2 = a$. \item En déduire qu'il existe une base orthonormée de $\R^3$ dans laquelle la matrice de $q$ est de la forme : $M = \begin{pmatrix} a &0 &* \cr 0 &a &* \cr * &* &* \cr\end{pmatrix}$. \end{enumerate} \item Soit ${\cal E}$ un ellipsoïde de centre $O$. Montrer qu'il existe un plan $P$ qui coupe ${\cal E}$ selon un cercle de centre $O$. Montrer que les sections de ${\cal E}$ par des plans parallèles à $P$ sont des cercles. \item Peut-on généraliser à une quadrique quelconque ? \end{enumerate} \finenonce{004929} \finexercice \exercice{4930, quercia, 2010/03/17} \enonce{004930}{Rotation d'une droite} \begin{enumerate} \item Soit $D$ la droite d'équations $\begin{cases} y = 1\cr x = \lambda z\cr\end{cases}$ où $\lambda$ est un réel non nul fixé. Déterminer une équation cartésienne et la nature de la surface ${\cal S}$ engendrée par la rotation de $D$ autour de $Oz$. \item En déduire que tout hyperboloïde de révolution à une nappe est réunion d'une famille de droites ({\it surface réglée\/}). \item Généraliser à un hyperboloïde à une nappe quelconque. \end{enumerate} \finenonce{004930} \finexercice \exercice{4931, quercia, 2010/03/17} \enonce{004931}{Droites sur un paraboloïde hyperbolique} Soit ${\cal P}$ le paraboloïde d'équation $z= xy$. Montrer que par tout point $M \in {\cal P}$, il passe deux droites et deux seulement incluses dans ${\cal P}$. \finenonce{004931} \finexercice \exercice{4932, quercia, 2010/03/17} \enonce{004932}{Hyperbole en rotation} Soit $\mathcal{C}$ la courbe d'équations : $\begin{cases} x^2 - y^2 - 4x + 2 = 0 \cr x + z = 1.\cr\end{cases}$ \begin{enumerate} \item Déterminer la nature et les éléments remarquables de $\mathcal{C}$. \item Chercher une équation cartésienne de la surface ${\cal S}$ engendrée par la rotation de $\mathcal{C}$ autour de $Oz$ et reconnaître~${\cal S}$. \end{enumerate} \finenonce{004932} \finexercice \exercice{4933, quercia, 2010/03/17} \enonce{004933}{Volume d'un ellipsoïde} Soit ${\cal S}$ la surface d'équation $x^2 + \frac{y^2}2 + \frac{3z^2}4 + xz = 1$. Montrer que ${\cal S}$ est un ellipsoïde et en calculer le volume intérieur. \finenonce{004933} \finexercice \exercice{4934, quercia, 2010/03/17} \enonce{004934}{}\'Equation d'un cône Déterminer les réels $\lambda$ tels que la surface d'équation : $x(\lambda-y) + y(\lambda-z) + z(\lambda-x) = \lambda$ soit un cône. Préciser alors le sommet et la nature du cône. \finenonce{004934} \finexercice \exercice{4935, quercia, 2010/03/17} \enonce{004935}{Plan tangent à un ellipsoïde} Soit ${\cal E}$ un ellipsoïde d'équation $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1$ et $P$ un plan d'équation $ux + vy + wz = 1$. Montrer que $P$ est tangent à $E$ si et seulement si $a^2u^2 + b^2v^2 + c^2w^2 = 1$. \finenonce{004935} \finexercice \exercice{4936, quercia, 2010/03/17} \enonce{004936}{Normale à un ellipsoïde} Soit ${\cal E}$ un ellipsoïde d'équation $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1$, $M$ un point de ${\cal E}$, et $P,Q,R$ les intersections de la normale en $M$ à ${\cal E}$ avec les plans $Oyz$, $Oxz$, $Oxy$. Montrer que $\overline{MP}$, $\overline{MQ}$, $\overline{MR}$ sont dans un rapport constant (indépendant de $M$). \finenonce{004936} \finexercice \exercice{4937, quercia, 2010/03/17} \enonce{004937}{Points équidistants de deux droites} Soient $D,D'$ deux droites non coplanaires et ${\cal S}$ l'ensemble des points équidistants de $D$ et $D'$. Montrer que ${\cal S}$ est un paraboloïde hyperbolique. (Utiliser un repère judicieux) \finenonce{004937} \finexercice \exercice{4938, quercia, 2010/03/17} \enonce{004938}{$MF = eMH$} On considère un point $F$, un plan $P$ ne passant pas par $F$ et un réel $e > 0$. Montrer que l'ensemble, ${\cal S}$, des points $M$ tels que $MF = ed(M,P)$ est une quadrique de révolution. Préciser les différents cas possibles. \finenonce{004938} \finexercice \exercice{4939, quercia, 2010/03/17} \enonce{004939}{$MF = ed(M,D)$} Dans l'espace, on considère un point $F$, une droite $D$ ne passant pas par $F$ et un réel $e > 0$. Montrer que l'ensemble, ${\cal S}$, des points $M$ tels que $MF = ed(M,D)$ est une quadrique. Préciser les différents cas possibles. \finenonce{004939} \finexercice \exercice{4940, quercia, 2010/03/17} \enonce{004940}{$d(M,P)^2 + d(M,D)^2 =$ cste} On considère un plan $P$ et une droite $D$ sécants. Déterminer le lieu des points $M$ tels que $d(M,P)^2 + d(M,D)^2 = a$ (constante fixée). \finenonce{004940} \finexercice \exercice{4941, quercia, 2010/03/17} \enonce{004941}{Points équidistants d'un plan et d'une droite} Dans l'espace, soit $P$ le plan d'équation $z=0$ et $D$ la droite d'équations : $\begin{cases} y = 0\cr x\cos\theta - z\sin\theta = 0.\cr\end{cases}$ ($0\le \theta < \frac\pi2$) Quel est le lieu des points $M$ tels que $d(M,P) = d(M,D)$ ? \finenonce{004941} \finexercice \exercice{4942, quercia, 2010/03/17} \enonce{004942}{Sphères équidistantes d'une sphère et d'un plan} Dans l'espace, on considère un plan $P$ et une sphère $S$. Quel est le lieu des centres des sphères tangentes à $S$ et à $P$ ? \finenonce{004942} \finexercice \exercice{4943, quercia, 2010/03/17} \enonce{004943}{Appellations incontrolées} La liste des quadriques semble comporter des oublis : paraboloïde parabolique, cône hyperbolique,\dots Dresser la liste de toutes les surfaces oubliées et constater qu'elles sont connues sous d'autres appellations. \finenonce{004943} \finexercice \exercice{5825, rouget, 2010/10/16} \enonce{005825}{** I} Nature et \og éléments caractéristiques \fg~de la quadrique $(\mathcal{S})$ dont une équation dans un repère orthonormé donné $\mathcal{R}=(O,i,j,k)$ de l'espace de dimension $3$ est : \begin{enumerate} \item $x^2+y^2+z^2-2yz-4x+4y-1=0$. \item $x^2+y^2+z^2+2xy-1=0$. \item $x^2+y^2+z^2-2xy+2xz+3x-y+z+1=0$. \item $x^2+4y^2+5z^2-4xy-2x+4y=0$. \item $x^2-4x-3y-2=0$. \item $7x^2-2y^2+4z^2+4xy+20xz+16yz-36x+72y-108z+36=0$. \item $(x-y)(y-z)+(y-z)(z-x)+(z-x)(x-y)+(x-y) = 0$. \item $xy+yz =1$. \item $xy+yz+zx+2y+1=0$. \end{enumerate} \finenonce{005825} \finexercice \exercice{5826, rouget, 2010/10/16} \enonce{005826}{**} Déterminer la quadrique contenant le point $A(2,3,2)$ et les deux paraboles $(\mathcal{P})$ d'équations $\left\{ \begin{array}{l} z=0\\ y^2=2x \end{array} \right.$ et $(\mathcal{P}')$ d'équations $\left\{ \begin{array}{l} x=0\\ y^2=2z \end{array} \right.$. \finenonce{005826} \finexercice \exercice{5827, rouget, 2010/10/16} \enonce{005827}{***} Démontrer que toute équation du second degré symétrique en $x$, $y$ et $z$ est l'équation d'une surface de révolution (une surface $(\mathcal{S})$ est dite de révolution d'axe $(\mathcal{D})$ si et seulement si $(\mathcal{S})$ est invariante par toute rotation d'axe $(\mathcal{D})$). \finenonce{005827} \finexercice \exercice{5828, rouget, 2010/10/16} \enonce{005828}{***} Former l'équation de la surface de révolution $(\mathcal{S})$ engendrée par la rotation de la droite $(\mathcal{D})$ $\left\{ \begin{array}{l} x=z+2\\ y=2z+1 \end{array} \right.$ autour de la droite $(\Delta)$ d'équations $x = y = z$. Quelle surface obtient-on ? \finenonce{005828} \finexercice \exercice{5829, rouget, 2010/10/16} \enonce{005829}{***} Equation du cône de sommet $S$ et de directrice $(\mathcal{C})$ dans les cas suivants : \begin{enumerate} \item $S(0,0,0)$ et $(\mathcal{C})$ : $x = t$, $y = t^2$, $z = t^3$, $t\in\Rr^*$. \item $S(1,-1,0)$ et $(\mathcal{C})$ : $\left\{ \begin{array}{l} y+z=1\\ x^2+y^2=z \end{array} \right.$. \end{enumerate} \finenonce{005829} \finexercice \exercice{5830, rouget, 2010/10/16} \enonce{005830}{***} Trouver une équation du cône de sommet $S$ circonscrit à la surface $(\mathcal{S})$ quand \begin{enumerate} \item $S(0,5,0)$ et $(\mathcal{S})$ : $x^2+y^2+z^2=9$, \item $S(0,0,0)$ et $(\mathcal{S})$ : $x^2+xy+z-1=0$. (Préciser la courbe de contact.) \end{enumerate} (\textbf{Définitions.} Le cône $(\mathcal{C})$ de sommet $S$ circonscrit à la surface $(\mathcal{S})$ est la réunion des tangentes à $(\mathcal{S})$ passant par $S$. D'autre part, une droite est tangente à la surface $(\mathcal{S})$ en un point $M$ si et seulement si elle passe par $M$ et est contenue dans le plan tangent à $(\mathcal{S})$ en $M$). \finenonce{005830} \finexercice \exercice{5831, rouget, 2010/10/16} \enonce{005831}{***} Pour quelles valeurs de $\lambda$ la surface $(\mathcal{S})$ d'équation $x(\lambda-y)+y(\lambda-z)+z(\lambda-x)-\lambda=0$ est-elle un cône du second degré ? En préciser alors le sommet et une directrice. \finenonce{005831} \finexercice \exercice{5832, rouget, 2010/10/16} \enonce{005832}{*} Montrer que l'arc paramétré $\left\{ \begin{array}{l} x= \frac{1}{2}e^t(\cos t-\sin t)\\ \rule[-4mm]{0mm}{10mm}y= \frac{1}{2}e^t(\cos t+\sin t)\\ z=e^t \end{array} \right.$ est tracé sur un cône du second degré de sommet $O$. \finenonce{005832} \finexercice \exercice{5833, rouget, 2010/10/16} \enonce{005833}{***} Equation cartésienne du cylindre $(\mathcal{C})$ de direction $\overrightarrow{u}$ et de directrice $(C)$ dans les cas suivants : \begin{enumerate} \item $\overrightarrow{u}(1,0,1)$ et $(C)$ : $x = a\cos t$, $y = b\sin t$, $z =a\sin t\cos t$ ($a$ et $b$ tous deux non nuls). \item $\overrightarrow{u}(0,1,1)$ et $(C)$ : $\left\{ \begin{array}{l} y+z=1\\ x^2+y^2=1 \end{array} \right.$. \end{enumerate} \finenonce{005833} \finexercice \exercice{5834, rouget, 2010/10/16} \enonce{005834}{**} Equation du cylindre $(\mathcal{C})$ de section droite la courbe $(C)$ d'équations $\left\{ \begin{array}{l} z=x\\ 2x^2+y^2=1 \end{array} \right.$ \finenonce{005834} \finexercice \exercice{5835, rouget, 2010/10/16} \enonce{005835}{** I} Equation cartésienne du cylindre de révolution $(\mathcal{C})$ de rayon $R$ et d'axe $(\mathcal{D})$ d'équations $\left\{ \begin{array}{l} x=z+2\\ y=z+1 \end{array} \right.$. Déterminer $R$ pour que la droite $(Oz)$ soit tangente au cylindre. \finenonce{005835} \finexercice \exercice{5836, rouget, 2010/10/16} \enonce{005836}{*} Trouver les plans tangents à l'ellipsoïde d'équation $x^2+2y^2+3z^2 = 21$ qui sont parallèles au plan d'équation $x+4y+6z=0$. \finenonce{005836} \finexercice \exercice{5837, rouget, 2010/10/16} \enonce{005837}{**} Trouver les plans tangents à la surface $(\mathcal{S})$ d'équation $x-8yz=0$ et contenant la droite $(\mathcal{D})$ d'équations $\left\{ \begin{array}{l} y=1\\ x+4z+2=0 \end{array} \right.$. \finenonce{005837} \finexercice \exercice{5838, rouget, 2010/10/16} \enonce{005838}{** I} \begin{enumerate} \item Equation du cylindre de révolution $(\mathcal{C})$ d'axe la droite d'équations $x=y+1=3z-6$ et de rayon $3$. \item Equation du cône de révolution $(\mathcal{C})$ d'axe la droite d'équations $x=y+1=3z-6$, de sommet $S(0,-1,2)$ et de demi-angle au sommet $ \frac{\pi}{3}$. \end{enumerate} \finenonce{005838} \finexercice \section{ 243.99 Autre } \exercice{2068, ridde, 1999/11/01} \enonce{002068}{} Soit $\mathcal{E} = \left\{ M (z)/2\left| z\right|^2-\frac i2 (z^2-\bar{z}^2) = 1\right\}$, $R$ la rotation de centre $O$ et d'angle $\frac{\pi}4$ et $\mathcal{E'} = R ( \mathcal{E})$. D\'eterminer une \'equation cart\'esienne de $\mathcal{E'}$ et en d\'eduire le trac\'e de $\mathcal{E}$. \finenonce{002068} \finexercice \exercice{2069, ridde, 1999/11/01} \enonce{002069}{} \begin{enumerate} \item $13x^2 -32xy + 37y^2-2x + 14y-5 = 0$ \item $xy + 3x + 5y-4 = 0$ \item $ (2x + 3y)^2 + 4x + 6y-5 = 0$ \end{enumerate} \finenonce{002069} \finexercice \exercice{4900, quercia, 2010/03/17} \enonce{004900}{\'Equations du second degré} Déterminer la nature et les éléments de la courbe d'équation dans un repère $(O,\vec i,\vec j)$ orthonormé : \begin{enumerate} \item $16x^2 -24xy + 9y^2 + 35x -20y = 0$. \item $5x^2 + 7y^2 + 2xy\sqrt3 -(10+2\sqrt3\,)x - (14+2\sqrt3\,)y - 4+2\sqrt3 = 0$. \item $x^2+xy+y^2 = 1$. \item $x^2+2y^2+4xy\sqrt3 + x + y\sqrt3 + 1 = 0$. \item $mx^2 + 4mx + (m-1)y^2 + 2 = 0$ ($m \in \R$). \end{enumerate} \finenonce{004900} \finexercice \exercice{4901, quercia, 2010/03/17} \enonce{004901}{Courbe paramétrée} Montrer que le support de la courbe paramétrée : $\begin{cases} x = \cos t\cr y = \cos t+\sin t\cr\end{cases}$ est une ellipse, et en préciser les éléments. \finenonce{004901} \finexercice \exercice{4902, quercia, 2010/03/17} \enonce{004902}{Points alignés avec le foyer} Soit $\cal C$ une conique de foyer $F$, directrice $D$, excentricité $e$. On considère deux points de $\cal C$, $M\ne M'$ alignés avec $F$. Montrer que les tangentes à $\cal C$ en $M$ et $M'$ se coupent sur $D$ ou sont parallèles. \finenonce{004902} \finexercice \section{ 244.01 Courbes paramétrées } \exercice{2046, ridde, 1999/11/01} \enonce{002046}{} Tracer les courbes param\'etr\'ees suivantes\\ $$x (t) = \cos^{2} (t) \qquad y (t) = \cos^{3} (t)\sin (t)$$ $$x (t) = \frac{t}{1 + t^{4}} \qquad y (t) = \frac{t^{3}}{1 + t^{4}}$$ $$x (t) =t^{2} + \frac{2}{t} \qquad y (t) = t + \frac{1}{t}$$ $$x (t) = \frac{1-t^{2}}{1 + t^{2}} \qquad y (t) = t\frac{1-t^{2}}{1 + t^{2}}$$ $$x (t) =\tan (t) + \sin (t) \qquad y (t) = \frac{1}{\cos (t)}$$ $$x (t) = \sin (2t) \qquad y (t) = \sin (3t)$$ \finenonce{002046} \finexercice \exercice{2047, ridde, 1999/11/01} \enonce{002047}{} On fait rouler sans glissement un cercle de rayon $1$ sur l'axe $ (Ox)$. D\'eterminer et tracer la courbe d\'ecrite par un point du cercle. \finenonce{002047} \finexercice \exercice{2048, ridde, 1999/11/01} \enonce{002048}{} Tracer la courbe d'\'equation $x^{3} + y^{3} = 3xy$ en la coupant par les droites $y = tx$ où $t \in \Rr$. \finenonce{002048} \finexercice \exercice{2049, gourio, 2001/09/01} \enonce{002049}{} Tracer la courbe param\'{e}tr\'{e}e d\'{e}finie par : $$x(t)=\int_{0}^{t}\cos (2u)\sin (u)du,\quad y(t)=\int_{0}^{t}\sin (2u)\cos(u)du. $$ \finenonce{002049} \finexercice \exercice{2050, gourio, 2001/09/01} \enonce{002050}{} Tracer la courbe param\'{e}tr\'{e}e d\'{e}finie par : $$x(t)=t^{2}+2t, y(t)=\frac{1+2t}{t^{2}}. $$ \finenonce{002050} \finexercice \exercice{2699, matexo1, 2002/02/01} \enonce{002699}{} Dans le plan euclidien $\R^2$, donner des \'equations param\'etriques pour une droite\,; un cercle\,; une ellipse\,; une hyperbole\,; une parabole. \finenonce{002699} \finexercice \exercice{2700, matexo1, 2002/02/01} \enonce{002700}{} Pour chacune des courbes suivantes, d\'eterminer la tangente en tout point, les points d'inflexion et de rebroussement, les branches infinies, les points doubles\,; construire et tracer la courbe. \begin{enumerate} \item $\displaystyle{ x = \sin 4t, \quad y = \cos 3t}$\,; \item $\displaystyle{ x = t - \sin t, \quad y = 1-\cos t}$\,; \item $\displaystyle{ x = \cos^3 t, \quad y = \sin ^3 t}$\,; \item $\displaystyle{ x = \cos t, \quad y = {\sin^2 t \over 2+\sin t}}$\,; \item $\displaystyle{ x = {t^3 \over 1-t^2}, \quad y = {1+t\over (1-t)^2}}$\,; \item $\displaystyle{ x = \cos^3 t+\sin t, \quad y = \sin^3t+\cos t}$\,; \item $\displaystyle{ x = 3 \cos t -2\sin^3 t, \quad y = \cos4t}$. \end{enumerate} \finenonce{002700} \finexercice \exercice{2701, matexo1, 2002/02/01} \enonce{002701}{} On consid\`ere l'ensemble $\Gamma$ des points du plan $(x,y)$ qui v\'erifient $00$ un r\'eel, et $C_R$ le cercle de centre $O$ et de rayon $R$ dans le plan. \begin{enumerate} \item On consid\`ere le cercle $\gamma$ de rayon 1 tangent ext\'erieurement \`a $C_R$ en $A = (R, 0)$\,; on fait rouler $\gamma$ le long de $C_R$ sans glisser. Trouver des \'equations param\'etriques de l'ensemble $\Gamma_R$ des points occup\'es par $A$. Dans quels cas cet ensemble est-il un arc\,? Sinon quel est-il\,? \item On suppose \`a pr\'esent que $R >1$ et que $\gamma$ est tangent int\'erieurement \`a $C_R$\,; m\^emes questions sur l'ensemble $\Gamma'_R$ ainsi construit. \item Tracer $\Gamma_R$ et $\Gamma'_R$ pour $R = 6$ et $R = 8/3$. \end{enumerate} \finenonce{002704} \finexercice \exercice{2705, matexo1, 2002/02/01} \enonce{002705}{} Montrer que les deux droites de l'espace d'\'equations param\'etriques ${x = 2+2t}, {y =2+4t}, {z=2-4t}$ et ${x=4+t}, {y=6+2t}, {z=-2-2t}$ sont identiques. \finenonce{002705} \finexercice \exercice{2706, matexo1, 2002/02/01} \enonce{002706}{} Montrer que la courbe de l'espace d'\'equations param\'etriques $$ x=4 \sqrt2 \cos t,\quad y = t+2\sin t,\quad z =-2\cos t$$ est plane. \finenonce{002706} \finexercice \exercice{2707, matexo1, 2002/02/01} \enonce{002707}{} {\bf H\'elice - } \\ \'Etudier la courbe param\'etr\'ee de l'espace d\'efinie par $$ x = \cos t,\quad y = \sin t,\quad z = t. $$ Tracer ses projections orthogonales sur les trois plans $xOy$, $yOz$, $xOz$. Montrer que la projection de cette courbe sur le plan $xOy$ parall\`element \`a la direction d'une de ses tangentes est une cyclo\"\i de. \finenonce{002707} \finexercice \exercice{2708, matexo1, 2002/02/01} \enonce{002708}{} Trouver en tout point l'\'equation du plan osculateur \`a la courbe $$ x = {t^3 \over t^2+1},\quad y={t^2 \over t^2+1},\quad z = {t \over t^2+1}. $$ \finenonce{002708} \finexercice \exercice{2709, matexo1, 2002/02/01} \enonce{002709}{} On consid\`ere l'arc de l'espace d\'efini en coordonn\'ees param\'etriques par $$ M(t):\qquad x = t^3,\quad y = t^2,\quad z = t. $$ D\'eterminer l'intersection $\mu(t)$ de sa tangente en $M(t)$ avec le plan osculateur en $O = M(0)$, et montrer que la tangente \`a l'arc $t \mapsto \mu(t)$ n'est autre que l'intersection des plans osculateurs en $O$ et en $M(t)$. \finenonce{002709} \finexercice \exercice{2710, matexo1, 2002/02/01} \enonce{002710}{} {\bf Loxodromie de sph\`ere - } \\ On consid\`ere la courbe param\'etrique de l'espace d\'efinie par $$ x = \cos(k\log\sin t) \sin t,\quad y = \sin(k\log\sin t) \sin t,\quad z = \cos t, $$ pour $ 0 < t < \pi $, o\`u $k > 0$ est un r\'eel fix\'e. \begin{enumerate} \item Montrer qu'elle est trac\'ee sur une sph\`ere de centre $O$, et qu'elle est sym\'etrique par rapport \`a $O$. Montrer qu'elle poss\`ede deux points limites que l'on pr\'ecisera. \item Calculer sa tangente en tout point. Montrer qu'elle fait un angle constant avec les m\'eridiens de la sph\`ere, angle que l'on d\'eterminera en fonction de $k$. \item Tracer les projections de la courbe sur les trois plans $xOy$, $yOz$ et $xOz$. Quelle est l'allure de cette courbe dans l'espace\,? \end{enumerate} \finenonce{002710} \finexercice \exercice{2716, matexo1, 2002/02/01} \enonce{002716}{} \'Etudier la courbe d\'efinie par $$ \theta = t-2\sin t, \qquad \rho =\tan t $$ Trouver asymptotes et points doubles. \finenonce{002716} \finexercice \exercice{2717, matexo1, 2002/02/01} \enonce{002717}{} Construire la courbe ayant pour \'equation implicite $(x^2+y^2)^2-ax(x^2+2y^2) = 0, (a>0)$. \finenonce{002717} \finexercice \exercice{4982, quercia, 2010/03/17} \enonce{004982}{Rebroussements} \'Etudier les points stationnaires des courbes paramétrées suivantes : \begin{enumerate} \item $x=\sin t$,\quad $y=\frac{\cos^2t}{2-\cos t}$. (Bicorne) \item $x=(1+\cos^2t)\sin t$,\quad $y=\sin^2t\cos t$. \item $x = (1+\cos t)\sin2t$,\quad $y=\cos2t$. \item $x=2t^3+3t^2$,\quad $y=3t^2+6t$. \item $x=t^3-3t$,\quad $y=t^3-t^2-t+1$. \end{enumerate} \finenonce{004982} \finexercice \exercice{4983, quercia, 2010/03/17} \enonce{004983}{Branches infinies} \'Etudier les branches infinies des courbes paramétrées suivantes : \begin{enumerate} \item $x=t^5-t^3+\frac t4$,\quad $y=\frac{3t}{3t^2+1}$. \item $x=2\cos^2t+\ln|\sin t|$,\quad $y=\sin2t$. \item $x=\sqrt{\frac{t^2-2}{t^4-1}}$,\quad $y=tx$. L'aire comprise entre la courbe et ses asymptotes est-elle finie ? \item $x=\frac{t^3-t}{2t-1}$,\quad $y=tx$. \item $x=\frac1t+\frac1{t+1}$,\quad $y=\frac1t+\frac1{(t+1)^2}$. \item $x=\frac1t+\frac1{t+1}$,\quad $y=\frac1t-\frac1{t+1}$. \item $x=\frac{3t}{1+t^3}$,\quad $y=tx$. \item $x=\frac{te^t}{t+1}$,\quad $y=\frac{e^t}{t+1}$. \item $x=2t^3+3t^2$,\quad $y=3t^2+6t$. \item $x=t^3-3t$,\quad $y=t^3-t^2-t+1$. \item $x=\frac t{t^2-1}$,\quad $y=\frac{t^2}{t-1}$. \end{enumerate} \finenonce{004983} \finexercice \exercice{4984, quercia, 2010/03/17} \enonce{004984}{Inflexions} Déterminer les points d'inflexion des courbes paramétrées suivantes : \begin{enumerate} \item $x=\sin t$,\quad $y=\frac{\cos^2t}{2-\cos t}$. (Bicorne) \item $x=\sin\frac t2$,\quad $y=\tan t$. \item $x=\frac{e^t}t$,\quad $y=te^t$. \item $x=\sin t\cos2t$,\quad $y=\cos t\sin2t$. \end{enumerate} \finenonce{004984} \finexercice \exercice{4985, quercia, 2010/03/17} \enonce{004985}{Matexo} Soit $\mathcal{C}$ la courbe d'équations paramétriques~: $x(t) = \frac{t^2+1}{t^3-1}, y(t) = \frac{2t}{t^3-1}$. \begin{enumerate} \item Montrer que les points de paramètres $t,u,v$ (distincts) sont alignés si et seulement si $tuv = t + u + v + 1$. \item Prouver que $\mathcal{C}$ admet exactement trois points d'inflexion et qu'ils sont alignés. \end{enumerate} \finenonce{004985} \finexercice \exercice{4986, quercia, 2010/03/17} \enonce{004986}{Construction} Construire la courbe d'équations paramétriques : $x=\frac t{t^2-1}$, $y=\frac{t^2}{t-1}$. Déterminer les coordonnées du point double et vérifier que les tangentes en ce \finenonce{004986} \finexercice \exercice{4987, quercia, 2010/03/17} \enonce{004987}{Construction} Dessiner la courbe d'équation cartésienne : $x^3+y^3 = 3xy$ (folium de Descartes) On prendra $t = \frac yx$ comme paramètre. \finenonce{004987} \finexercice \exercice{4988, quercia, 2010/03/17} \enonce{004988}{Construction} Construire les courbes d'équation polaire : \begin{enumerate} \item $\rho = \frac{\cos(\theta/2)}{1+\sin\theta}$. \item $\rho = \frac{\cos2\theta}{\cos\theta}$. (Strophoïde, calculer l'aire limitée par la boucle) \item $\rho = \frac{\sin\theta}{2\cos\theta-1}$. Vérifier que la courbe traverse ses asymptotes au point double. \item $\rho = \frac1{\cos\theta+\sin2\theta}$. \item $\rho = \cos\theta+ \frac1{\cos\theta}$. \item $\rho = \frac{\cos2\theta}{2\cos\theta-1}$. \item $\rho = \cos\frac\theta3$. \item $\rho = 1 + \sin3\theta$. \item $\rho = \frac1{\sqrt\theta}$. \item $\rho = \ln\theta$. \end{enumerate} \finenonce{004988} \finexercice \exercice{4989, quercia, 2010/03/17} \enonce{004989}{Strophoïde} Soit $\Gamma$ un cercle de centre $O$ et de rayon 1, $A \in \Gamma$, et $D$ le diamètre de $\Gamma$ perpendiculaire à $(OA)$. Pour $M \in \Gamma \setminus\{A\}$, on construit le point $N$ intersection de $D$ et $(AM)$, puis le point $P$ tel que $\vec {AP} = \vec {MN}$. \finenonce{004989} \finexercice \exercice{4990, quercia, 2010/03/17} \enonce{004990}{Cochléoïde} \begin{enumerate} \item Tracer la courbe $\mathcal{C}$ d'équation polaire $\rho = \frac{\sin\theta}\theta$ (cochléoïde) \item Une droite passant par $O$ coupe $\mathcal{C}$ en un certain nombre de points. Montrer que les tangentes à $\mathcal{C}$ en ces points sont concourantes. \end{enumerate} \finenonce{004990} \finexercice \exercice{4991, quercia, 2010/03/17} \enonce{004991}{Chimie P 91} Soient $O$ et $A$ deux points distincts dans un plan $\cal P$. Déterminer le lieu des points $M \in \cal P$ tels que $\overline{(\vec{OA},\vec{AM})} \equiv 3\overline{(\vec{OA},\vec{OM})} (\mathrm{mod}\,{\pi})$. \finenonce{004991} \finexercice \exercice{4992, quercia, 2010/03/17} \enonce{004992}{Ensi Chimie P' 93} Déterminer les points doubles de la courbe d'équation polaire $\rho = \frac{\theta}{\theta^2-1}$. \finenonce{004992} \finexercice \exercice{5523, rouget, 2010/07/15} \enonce{005523}{Quelques grands classiques} \label{exo:routhe1} \begin{enumerate} \item (**) \textbf{L'astroïde.} \begin{enumerate} \item $a$ est un réel strictement positif donné. Etudier et construire la courbe de paramétrisation~: $\left\{ \begin{array}{l} x=a\cos^3t\\ y=a\sin^3t \end{array} \right.$. \item Pour $t\in]0,\frac{\pi}{2}[$, on note $A(t)$ et $B(t)$ les points d'intersection de la tangente au point courant $M(t)$ avec respectivement $(Ox)$ et $(Oy)$. Calculer la longueur $A(t)B(t)$. \end{enumerate} \item (**) \textbf{La cycloïde.} \begin{enumerate} \item Un cercle $(\mathcal{C})$, de rayon $R>0$, roule sans glisser sur l'axe $(Ox)$. On note $I$ le point de contact entre $(\mathcal{C})$ et $(Ox)$ et on note $\Omega$ le centre de $(\mathcal{C})$ ($\Omega$ et $I$ sont mobiles). $M$ est un point donné de $(\mathcal{C})$ ($M$ est mobile, mais solidaire de $(\mathcal{C})$). On pose $t=(\widehat{(\overrightarrow{\Omega M},\overrightarrow{\Omega I})}$. $$\includegraphics{../images/img005523-3}$$ Déterminer une paramétrisation de la courbe décrite par le point $M$ (on prendra $t$ pour paramètre). \item Etudier et construire l'arc paramétré~:~$\left\{ \begin{array}{l} x=R(t-\sin t)\\ y=R(1-\cos t) \end{array} \right.$ où $R$ est un réel strictement positif donné. \end{enumerate} \item (**) \textbf{Une courbe de} \textsc{Lissajous}. Etudier et construire l'arc paramétré~:~$\left\{\begin{array}{l}x=\sin(2t)\\ y=\sin(3t) \end{array}\right.$ \item (**) \textbf{La lemniscate de} \textsc{Bernoulli}. Etudier et construire l'arc paramétré~:~$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{t}{1+t^4}\\ y=\frac{t^3}{1+t^4} \end{array}\right.$ \item (***) \textbf{Les tractrices.} \begin{enumerate} \item Trouver les trajectoires orthogonales à la famille des cercles de rayon $R$ ($R>0$ donné) et centrés sur $(Ox)$. \item Etudier et construire l'arc paramétré~:~$\left\{ \begin{array}{l} x=R(\ln|\tan\frac{t}{2}|+\cos t)\\ y=R\sin t \end{array} \right.$ où $R$ est un réel strictement positif donné. \end{enumerate} \end{enumerate} \finenonce{005523} \finexercice \exercice{5524, rouget, 2010/07/15} \enonce{005524}{} Construire les courbes de paramétrisations : \begin{enumerate} \item $\left\{\begin{array}{l} x=\frac{t^3}{(t+1)^2(t-1)}\\ y=\frac{t^2}{t^2-1} \end{array}\right.$ \item $\left\{\begin{array}{l} x=(t+2)e^{1/t}\\ y=(t-2)e^{1/t} \end{array}\right.$ \item $\left\{\begin{array}{l} x=(t-1)\ln(|t|)\\ y=(t+1)\ln(|t|) \end{array}\right.$ \item $\left\{\begin{array}{l} x=\frac{2t}{1+t^2}\\ y=\frac{t+2}{1-t^2} \end{array}\right.$ \item $\left\{\begin{array}{l} x=\frac{t}{t^2-1}\\ y=\frac{t+2}{(t-1)^2} \end{array}\right.$ \item $\left\{\begin{array}{l} x=\frac{t^3}{t^2-9}\\ y=\frac{t(t-2)}{t-3} \end{array}\right.$ \item $\left\{\begin{array}{l} x=\frac{t^3}{1+3t}\\ y=\frac{3t^2}{1+3t} \end{array}\right.$ \item $\left\{\begin{array}{l} x=t^2+t^3\\ y=t^2+t^3-2t^4-2t^5 \end{array}\right.$ \end{enumerate} \finenonce{005524} \finexercice \exercice{5525, rouget, 2010/07/15} \enonce{005525}{} La courbe orthoptique d'une courbe $(\mathcal{C})$ est le lieu des points du plan d'où l'on peut mener (au moins) deux tangentes à $(\mathcal{C})$, orthogonales. Déterminer l'orthoptique de $(\mathcal{C})$ dans chacun des cas suivants~: \begin{enumerate} \item $(\mathcal{C})$ est un astroïde de paramétrisation $\left\{\begin{array}{l} x=a\cos^3t\\ y=a\sin^3t \end{array}\right.$, $a>0$ donné. \item $(\mathcal{C})$ est l'arc paramétré~:~$\left\{ \begin{array}{l} x=t^2-2t\\ y=2t^3-3t^2 \end{array} \right.$. \item $(\mathcal{C})$ est l'ellipse d'équation $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$, $(a,b)\in]0,+\infty[^2$. \end{enumerate} \finenonce{005525} \finexercice \exercice{5526, rouget, 2010/07/15} \enonce{005526}{} Trouver les droites à la fois tangentes et normales à l'arc paramétré~:~$\left\{\begin{array}{l} x=3t^2\\ y=4t^3 \end{array}\right.$ \finenonce{005526} \finexercice \exercice{5527, rouget, 2010/07/15} \enonce{005527}{} Dans chacun des cas suivants, trouver une paramétrisation rationnelle de la courbe proposée puis construire $$\begin{array}{cc} 1)\;x(y^2-x^2)=2y^2-x^2&2)\;x^3-y^3+xy-2x+2y+3=0 \end{array}$$ \finenonce{005527} \finexercice \exercice{5528, rouget, 2010/07/15} \enonce{005528}{} Trouver une équation cartésienne des supports des arcs suivants~: \begin{enumerate} \item $\left\{\begin{array}{l} x=t^2\\ y=-t^2 \end{array}\right.$ \item $\left\{\begin{array}{l} x=t^2\\ y=t^3 \end{array}\right.$ \item $\left\{\begin{array}{l} x=\frac{t}{1+t^4}\\ y=\frac{t^3}{1+t^4} \end{array}\right.$ \end{enumerate} \finenonce{005528} \finexercice\exercice{6981, blanc-centi, 2015/07/04} \video{Lq1AdnlleAw} \enonce{006981}{} Représenter les courbes d'équation cartésienne $y=f(x)$, donner l'équation de leur tangente au point d'abscisse $x=0$ et la position de la courbe par rapport à cette tangente, pour : \begin{enumerate} \item $f(x)=\sin^2x+\cos x$ \item $f(x)=x+\ln(1+e^x)$ \end{enumerate} \finenonce{006981} \finexercice \exercice{6982, blanc-centi, 2015/07/04} \video{tNHUCWICKS8} \enonce{006982}{}\ \begin{enumerate} \item Donner une paramétrisation $(x(t),y(t))$ de la courbe d'équation $$y=\sqrt{-x^2-3x+4}$$ en précisant le domaine de variation du paramètre $t$. \item Montrer que le support de la courbe paramétrée par $$\left\{\begin{array}{l}x(t)=\cos t +3\\ y(t)=\sin t\end{array}\quad(t\in\R)\right.$$ ne peut pas \^etre décrit par une équation de la forme $y=f(x)$. \item Montrer que le support de la courbe paramétrée par $$\left\{\begin{array}{l}x(t)=\cos^2t-2\\ y(t)=\sin^4t+4\sin^2t+4\end{array}\quad(t\in\R)\right.$$ est le graphe d'une fonction $f$ que l'on précisera, ainsi que son domaine de définition. \end{enumerate} \finenonce{006982} \finexercice \exercice{6983, blanc-centi, 2015/07/04} \video{cue85AzsR6Q} \enonce{006983}{} \'Etudier et tracer les courbes paramétrées suivantes: \begin{enumerate} \item $\displaystyle\left\{\begin{array}{l}x(t)=\cos^3t\\ y(t)=\sin^3t\end{array}\right.$ {\it (L'astro\"ide)} \item $\displaystyle\left\{\begin{array}{l}x(t)=t-\tanh t\\ y(t)=\frac{1}{\ch t}\end{array}\right.$ \item $\displaystyle\left\{\begin{array}{l}x(t)=t-\sin t\\ y(t)=1-\cos t\end{array}\right.$ {\it(La cyclo\"ide)} \end{enumerate} \finenonce{006983} \finexercice \exercice{6984, blanc-centi, 2015/07/04} \video{Eq0ELGOAv88} \enonce{006984}{} Soit $\mathcal{C}$ la courbe plane paramétrée par $$\left\{\begin{array}{l}x(t)=t\ln t\\ y(t)=\frac{\ln t}{t}\end{array}\right.\ (t\in]0;+\infty[)$$ \begin{enumerate} \item Comparer les points de paramètres $t$ et $1/t$, en déduire un domaine d'étude de $\mathcal{C}$. \item Représenter $\mathcal{C}$. \end{enumerate} \finenonce{006984} \finexercice \exercice{6985, blanc-centi, 2015/07/04} \video{DO8B1OcGOTE} \enonce{006985}{} Montrer que la courbe paramétrée $$\left\{\begin{array}{l}x(t)=\frac{1}{t^2-t}\\ \ \\ y(t)=\frac{t}{t^2-1}\end{array}\right.$$ possède un point double et que les tangentes en ce point sont perpendiculaires. \finenonce{006985} \finexercice \exercice{6986, blanc-centi, 2015/07/04} \video{-Jx6iFJgAgU} \enonce{006986}{} Montrer que la courbe paramétrée $$\left\{\begin{array}{l}x(t)=\frac{4t-3}{t^2+1}\\ \ \\ y(t)=\frac{2t-1}{t^2+2}\end{array}\right.$$ admet un unique point singulier, et tracer l'allure de la courbe au voisinage de ce point. \finenonce{006986} \finexercice \exercice{6987, blanc-centi, 2015/07/04} \video{xJr2AjXWZto} \enonce{006987}{} On considère la courbe paramétrée définie par $$\left\{\begin{array}{l}x(t)=t+\frac{4}{t}\\ \ \\ y(t)=\frac{t}{3}+2+\frac{3}{t+1}\end{array}\right.$$ \begin{enumerate} \item Dresser le tableau de variations conjointes de $x$ et $y$. \item Calculer les tangentes horizontales, verticales et les asymptotes. \item Trouver le point singulier de la courbe, étudier son type et écrire l'équation de la tangente à la courbe en ces points. \item Tracer la courbe. \end{enumerate} \finenonce{006987} \finexercice \exercice{6988, blanc-centi, 2015/07/04} \video{nXE8OreNJv8} \enonce{006988}{} Trouver les droites à la fois tangentes et orthogonales à la courbe $$\left\{\begin{array}{l}x(t)=3t^2\\ y(t)=4t^3\end{array}\right.$$ \finenonce{006988} \finexercice \section{ 244.02 Coordonnées polaires } \exercice{2051, ridde, 1999/11/01} \enonce{002051}{} Tracer les courbes en polaires suivantes\\ $$\rho (\theta) = \sin (2\theta)$$ $$\rho (\theta) = \frac{\sin (\theta)}{\theta}$$ $$\rho (\theta) = \frac{\theta-1}{\theta + 1}$$ $$\rho (\theta) = \cos (\theta)-\cos (2\theta)$$ $$\rho (\theta) = \frac{\cos (\theta)}{1 + \sin (\theta)}$$ \finenonce{002051} \finexercice \exercice{2052, ridde, 1999/11/01} \enonce{002052}{} Soit $C$ un cercle du plan de centre $ (1, 0)$ et de rayon $a$. D\'eterminer et tracer le lieu des projet\'es orthogonaux de $O$ sur les tangentes de $C$. \finenonce{002052} \finexercice \exercice{2053, ridde, 1999/11/01} \enonce{002053}{} D\'eterminer et tracer les courbes dont la tangente en tout point $M$ fait un angle de $\dfrac{\pi}{4}$ avec $\overrightarrow{OM}$. \finenonce{002053} \finexercice \exercice{2054, ridde, 1999/11/01} \enonce{002054}{} Grâce aux coordonn\'ees polaires, tracer la courbe d\'efinie implicitement par la relation $2xy (x^{2} + y^{2}) = x^{2}-y^{2}$. \finenonce{002054} \finexercice \exercice{2055, gourio, 2001/09/01} \enonce{002055}{} Tracer la courbe d'\'{e}quation polaire : $$r=1+\cos \theta .$$ \finenonce{002055} \finexercice \exercice{2056, gourio, 2001/09/01} \enonce{002056}{} Tracer les courbes d'\'{e}quations polaires : $$r=\frac{\tan \theta }{\cos \theta } \ ;\ r^{2}=\frac{1}{\sin (2\theta )} .$$ \finenonce{002056} \finexercice \exercice{2711, matexo1, 2002/02/01} \enonce{002711}{} \begin{enumerate} \item Montrer qu'un cercle $C$ de diam\`etre $a$ et passant par le p\^ole $O$ peut \^etre repr\'esent\'e en coordonn\'ees polaires par l'\'equation $\rho = a \cos(\theta-\theta_0)$. On consid\`ere un r\'eel $b > 0$ et la concho\"\i de de $C$ de valeur $b$, c'est-\`a-dire la courbe $\Gamma$ d\'efinie comme suit: \`a tout point $P$ de $C$, on associe le point $M$ situ\'e sur la demi-droite $OP$, du c\^ot\'e oppos\'e \`a $O$ par rapport \`a $P$ et tel que $PM = b$; $\Gamma$ est le lieu des points $M$. Donner une \'equation polaire de $\Gamma$. Construire $\Gamma$ en distinguant quatre cas: $a>b$, $a=b$, $a0$ les courbes d'\'equation $\rho = a/(1+b\cos\theta)$ (en particulier branches infinies, position par rapport aux asymptotes). Montrer que ce sont des coniques, et en d\'eterminer les foyers. \finenonce{002712} \finexercice \exercice{2713, matexo1, 2002/02/01} \enonce{002713}{} \'Etudier et tracer les courbes d\'efinies en coordonn\'ees polaires ci-apr\`es; s'il y a des branches infinies, les pr\'eciser, et pr\'eciser la position de la courbe par rapport aux \'eventuelles asymptotes; trouver aussi les points doubles: $$ \begin{array}{cccc} \text{rosace \`a quatre branches} &\rho &=& a \sin2\theta\cr &&&\cr & \rho &=&\sin\theta+\cos{\theta\over2} \cr &&&\cr \text{stropho\"\i de droite} & \rho &=& a{\cos2\theta \over \cos\theta} \cr &&&\cr & \rho &=& 1+2\cos{3\theta\over2}\cr &&&\cr \text{scarab\'ee} & \rho &=& 5\cos2\theta -3\cos\theta \cr &&&\cr \text{courbe du diable} & \rho^2 &=& 49 + {1\over \cos2\theta} \cr &&&\cr \text{spirale d'Archim\`ede} & \rho &=& a \theta \cr &&&\cr & \rho &=& \theta + 1/\theta \text{ (asymptote ?)} \cr &&&\cr \text{spirale parabolique} & \theta &=& (\rho-1)^2 \cr &&&\cr \text{cochl\'eo\"\i de} & \rho &=& a {\sin\theta \over \theta} \cr &&&\cr \text{courbe du spiral} & \rho &=& {a \over 1+e^{\theta/5}}\cr &&&\cr & \rho&=& {1-2\cos\theta \over 1+\sin\theta} \text{ (parabole asymptote)}\cr &&&\cr \text{\'epi} & \rho &=& {a \over \sin(5\theta/3)} \cr \end{array} $$ \finenonce{002713} \finexercice \exercice{2714, matexo1, 2002/02/01} \enonce{002714}{} Une {\em spirale logarithmique} est une courbe d'\'equation en coordonn\'ees polaires $\rho = a e^{k\theta}$. Montrer qu'elle coupe ses rayons vecteurs suivant un angle constant, qu'on d\'eterminera en fonction de $k$. \finenonce{002714} \finexercice \exercice{2715, matexo1, 2002/02/01} \enonce{002715}{} Montrer que la courbe d\'efinie par $$\rho = 1+\tan{\theta\over2}$$ admet une asymptote; pr\'eciser la position de la courbe par rapport \`a elle. \finenonce{002715} \finexercice \exercice{4993, quercia, 2010/03/17} \enonce{004993}{Courbes en polaires} Construire les courbes en polaires suivantes : \begin{enumerate} \item $\rho=\dfrac{\cos\theta/2}{1+\sin\theta}$ \par % \vtop to 7cm{\mapleplot{% img14 % r:=cos(t/2)/(1+sin(t)); % print(plot([r,t,t=0..4*Pi],view=[-2.8..2.8,-2..2],coords=polar));} \par % \vss} \item $\rho=\dfrac{\cos2\theta}\cos\theta$ \par % \vtop to 7cm{\mapleplot{% img15 % r:=cos(2*t)/cos(t); % print(plot([r,t,t=-Pi/2..Pi/2],view=[-2..2,-2..2],coords=polar));} \par % \vss} \item $\rho=\dfrac{\sin\theta}{2\cos\theta-1}$ \par % \vtop to 7cm{\mapleplot{% img16 % r:=sin(t)/(2*cos(t)-1); % print(plot([r,t,t=-Pi..Pi],view=[-2..2,-3..1],coords=polar));} \par % \vss} \item $\rho=\dfrac1{\cos\theta+\sin2\theta}$ \par % \vtop to 7cm{\mapleplot{% img17 % r:=1/(cos(t)+sin(2*t)); % print(plot([r,t,t=-Pi..Pi],view=[-4..4,-3..3],coords=polar));} \par % \vss} \item $\rho=\cos\theta+\dfrac1\cos\theta$ \par % \vtop to 7cm{\mapleplot{% img18 % r:=cos(t)+1/cos(t); % print(plot([r,t,t=-Pi/2..Pi/2],view=[0..3,-5..5],coords=polar));} \par % % \vss} \item $\rho=\dfrac{\cos2\theta}{2\cos\theta-1}$ \par % \vtop to 7cm{\mapleplot{% img19 % r:=cos(2*t)/(2*cos(t)-1); % print(plot([r,t,t=-Pi..Pi],view=[-2..2,-2..2],coords=polar));} \par % \vss} % \item $\rho=\cos\dfrac\theta3$ \par % \vtop to 7cm{\mapleplot{% img20 % r:=cos(t/3); % print(plot([r,t,t=0..6*Pi],scaling=constrained,coords=polar,axes=frame));}\par % \vss} \item $\rho=1+\sin3\theta$ \par % \vtop to 7cm{\mapleplot{% img21 % r:=1+sin(3*t); % print(plot([r,t,t=0..2*Pi],scaling=constrained,coords=polar,axes=frame));}\par % \vss} \item $\rho=\dfrac1{\sqrt\theta}$ \par % \vtop to 7cm{\mapleplot{% img22 % r:=1/sqrt(t); % print(plot([r,t,t=0..6*Pi],view=[-2..2,-1.4..1.4],coords=polar));} \par % \vss} \item $\rho=\ln\theta$ \par % \vtop to 7cm{\mapleplot{% img23 % r:=ln(t); % print(plot([r,t,t=0..20],view=[-4..4,-3..3],coords=polar));} \par % \vss} \item $\rho=\frac{\sin\theta}\theta$ \par % \vtop to 7cm{\mapleplot{% img24 % r:=sin(t)/t; % print(plot([r,t,t=-6*Pi..6*Pi],scaling=constrained,coords=polar,axes=frame));}\par % \vss} % % \end{enumerate} \finenonce{004993} \finexercice \exercice{5205, rouget, 2010/06/30} \enonce{005205}{***} Construire l'ensemble des points $M$ de coordonnées polaires $(r,\theta)\in\Rr^2$ vérifiant $r=\frac{1}{\sqrt{1+\sin(2\theta)}+\sqrt{1-\sin(2\theta)}}$ (commencer par étudier toutes les symétries de l'ensemble considéré). \finenonce{005205} \finexercice \exercice{5530, rouget, 2010/07/15} \enonce{005530}{} Construire les courbes suivantes~: \begin{enumerate} \item $r=\sqrt{\cos(2\theta)}$, \item $r=\sin\left(\frac{2\theta}{3}\right)$, \item $r=ae^{b\theta},\;(a,b)\in]0,+\infty[^2$, \item $r=2\cos(2\theta)+1$, \item $r=\tan\left(\frac{2\theta}{3}\right)$. \end{enumerate} \finenonce{005530} \finexercice \exercice{5531, rouget, 2010/07/15} \enonce{005531}{} Etude complète de la courbe d'équation polaire $r=\frac{2\cos\theta+1}{2\sin\theta+1}$. \finenonce{005531} \finexercice \exercice{5532, rouget, 2010/07/15} \enonce{005532}{La cardioïde} Soit la courbe d'équation polaire $r=a(1+\cos\theta)$, $a>0$. \begin{enumerate} \item Construire la courbe. \item Longueur et développée. \end{enumerate} \finenonce{005532} \finexercice \exercice{5533, rouget, 2010/07/15} \enonce{005533}{} Construire la courbe d'équation cartésienne $x^2(x^2+y^2)-(y-x)^2=0$ après être passé en polaires . \finenonce{005533} \finexercice \exercice{5534, rouget, 2010/07/15} \enonce{005534}{} Développée de la spirale logarithmique d'équation polaire $r=ae^{\theta}$ ($a>0$). \finenonce{005534} \finexercice \exercice{6989, blanc-centi, 2015/07/04} \video{QZhe-OF_d10} \enonce{006989}{} \'Etudier les courbes d'équations polaires suivantes: \begin{enumerate} \item $\displaystyle r(\theta)=\frac{1}{\sqrt{\tan(2\theta)}}$ \quad pour $\theta \in ]0,\frac\pi4[$ \item $\displaystyle r(\theta)=\frac{\sin^2\theta}{\cos\theta}$ \quad pour $\theta \in ]-\frac\pi2,\frac\pi2[$\quad {\it (La cisso\"ide droite)} \item $\displaystyle r(\theta)=\sqrt{\cos(2\theta)}$ \quad {\it (La lemniscate de Bernoulli)} \end{enumerate} \finenonce{006989} \finexercice \exercice{6990, blanc-centi, 2015/07/04} \video{jlbJn2n89PY} \enonce{006990}{} On considère les courbes $\mathcal{C}_1$ et $\mathcal{C}_2$ {\it (des limaçons de Pascal)} respectivement données en polaires par $$r_1(\theta)=1+\cos\theta\quad\quad r_2(\theta)=3+\cos\theta$$ Pour $i=1,2$, on note $N_i(\theta)$ la droite orthogonale au point $M_i(\theta)\in\mathcal{C}_i$. Vérifier que pour tout $\theta\not\equiv 0\ [2\pi]$, les droites $N_1(\theta)$ et $N_2(\theta)$ sont sécantes, en un point $P(\theta)$. Déterminer le lieu du point $P$ quand $\theta$ varie. \finenonce{006990} \finexercice \section{ 244.03 Courbes définies par une condition } \exercice{4994, quercia, 2010/03/17} \enonce{004994}{Sous-tangente, sous-normale} Soit $\mathcal{C}$ une courbe du plan. A un point $M$ un point de $\mathcal{C}$, on associe les points $H$, $T$ et $N$ selon le dessin : $$ \includegraphics[height=3cm]{../images/img004994-1} $$ Déterminer les courbes d'équation $y = f(x)$ vérifiant la condition suivante : \begin{enumerate} \item $\overline{HT} ={}$cste. \item $\overline{HN} ={}$cste. \item $MN = {}$cste. \item $MT = {}$cste. \item $AN=MN$ où $A$ est le point de coordonnées $(0,a)$. \end{enumerate} \finenonce{004994} \finexercice \exercice{4995, quercia, 2010/03/17} \enonce{004995}{Sous-tangente, sous-normale} Soit $\mathcal{C}$ une courbe du plan. A un point $M$ un point de $\mathcal{C}$, on associe les points $T$ et $N$ selon le dessin : $$ \includegraphics[height=4cm]{../images/img004995-1} $$ Déterminer les courbes vérifiant la condition suivante : \begin{enumerate} \item $\overline{OT} = {}$cste. \item $\overline{ON} = {}$cste. \end{enumerate} \finenonce{004995} \finexercice \exercice{4996, quercia, 2010/03/17} \enonce{004996}{Milieu fixe} Soit $D$ une droite du plan et $\mathcal{C}$ une courbe paramétrée. Pour $M \in \mathcal{C}$ on note $T$ et $N$ les points d'intersection de $D$ avec la tangente et la normale à $\mathcal{C}$ en $M$. Déterminer $\mathcal{C}$ telle que le milieu de $[T,N]$ reste fixe. $\Bigl($On paramètrera $\mathcal{C}$ par $t = \frac{y'}{x'}\Bigr)$ \finenonce{004996} \finexercice \exercice{4997, quercia, 2010/03/17} \enonce{004997}{Distance $TN$ constante} Soit $D$ une droite du plan et $\mathcal{C}$ une courbe paramétrée. Pour $M \in \mathcal{C}$ on note $T$ et $N$ les points d'intersection de $D$ avec la tangente et la normale à $\mathcal{C}$ en $M$. Déterminer $\mathcal{C}$ telle que la distance $TN$ reste constante. $\Bigl($On paramètrera $\mathcal{C}$ par $t = \frac{y'}{x'}\Bigr)$ \finenonce{004997} \finexercice \exercice{4998, quercia, 2010/03/17} \enonce{004998}{Ensi Chimie P' 93} $$ \includegraphics[width=4cm]{../images/img004998-1} $$ Trouver les courbes $\mathcal{C}$ telles que $MN = ON$. \finenonce{004998} \finexercice \exercice{4999, quercia, 2010/03/17} \enonce{004999}{Ensi Physique P 94} Trouver les arcs biréguliers du plan dont le cercle osculateur est en tout point tangent à une droite fixe. \finenonce{004999} \finexercice \exercice{5000, quercia, 2010/03/17} \enonce{005000}{L'homothétique du cercle osculateur reste tangent à $Ox$} Déterminer les courbes planes telles que l'image du cercle osculateur en un point $M$ par l'homothétie de centre $M$ et de rapport 2 reste tangente à $Ox$. On prendra $\varphi$ comme paramètre et on cherchera une équation différentielle sur le rayon de courbure $R$. \finenonce{005000} \finexercice \exercice{5001, quercia, 2010/03/17} \enonce{005001}{Ensi P 91} On se place dans un plan affine euclidien rapporté à un repère orthonormé. Donner l'ensemble des trajectoires orthogonales de la famille des cercles de rayon constant $a$ $(a > 0)$ centrés sur $Ox$. \finenonce{005001} \finexercice \exercice{5002, quercia, 2010/03/17} \enonce{005002}{\'Equations intrinsèques} Soit $f:\R \to \R$ une fonction continue. On étudie les courbes planes paramétrées par une abscisse curviligne, $s$, telles que la courbure au point $M_s$ soit $c = f(s)$. \begin{enumerate} \item Montrer que si l'on impose la position de $M_0$ et la tangente en ce point, le problème admet une solution unique. \item Dans le cas général, démontrer que les courbes solutions se déduisent d'une courbe particulière en appliquant un déplacement du plan arbitraire. \item \'Etudier les équations : $c = {}$cste, $c = \frac 1s$ (spirale logarithmique). \end{enumerate} \finenonce{005002} \finexercice \exercice{5003, quercia, 2010/03/17} \enonce{005003}{\'Equations intrinsèques} Chercher les courbes planes vérifiant l'équation intrinsèque : \begin{enumerate} \item $R=s$. \item $Rs = 1$. \item $R^2 = 2as$, $a > 0$ donné. \item $R = 1+s^2$. \item $R^2+s^2 = a^2$. \end{enumerate} \finenonce{005003} \finexercice \exercice{5004, quercia, 2010/03/17} \enonce{005004}{$I$ reste sur un cercle} Trouver les courbes planes $\mathcal{C}$ telles que le centre de courbure reste sur un cercle $\mathcal{C}(O,r)$ fixe. (On prendra $\varphi$ comme paramètre) \finenonce{005004} \finexercice \exercice{5005, quercia, 2010/03/17} \enonce{005005}{$M - s/2M'$ reste sur $Ox$} Soit $\mathcal{C}$ une courbe plane et $s$ une abscisse curviligne sur $\mathcal{C}$. A chaque point $M \in \mathcal{C}$ d'abscisse curviligne $s$, on associe le point $N = M - \frac s2\vec T$. Trouver $\mathcal{C}$ telle que $N$ reste sur $Ox$. \finenonce{005005} \finexercice \exercice{5006, quercia, 2010/03/17} \enonce{005006}{$MC = kMN$} Trouver les courbes $\Gamma$ du plan ayant la propriété suivante : Soit $M \in \Gamma$, $C$ le centre de courbure de $\Gamma$ en $M$ et $N$ le projeté de $O$ sur la normale à $\Gamma$ en $M$. Alors $\vec{MC} = k\vec{MN}$ où $k$ est un réel fixé. \'Etudier les cas particuliers : $k=1$, $k=\frac23$, $k=2$, $k=\frac13$ et $k=-1$. \finenonce{005006} \finexercice \exercice{5529, rouget, 2010/07/15} \enonce{005529}{} Soit $T$ l'intersection de $(Ox)$ et de la tangente en $M$ et $H$ le projeté orthogonal de $M$ sur $(Ox)$. Trouver les courbes telles que \begin{enumerate} \item $MT=a$ ($a>0$ donné) \item $HT=a$ (sans rapport avec 1)) \end{enumerate} \finenonce{005529} \finexercice \section{ 244.04 Branches infinies } \exercice{5007, quercia, 2010/03/17} \enonce{005007}{Branches infinies} Déterminer les branches infinies pour les courbes paramétrées suivantes : \begin{enumerate} \item$x=4t^5-4t^3+t$, $y=\dfrac{t}{3t^4+1}$ \par % %----------------------------------------------------------------------------- % \vtop to 7cm{\mapleplot{% img1 % x:=4*t^5-4*t^3+t; % y:=t/(3*t^4+1); % print(plot([x,y,t=-2..2],-3..3,numpoints=200));} \par % \vss} \item $x=2\cos^2t+\ln|\sin t|$, $y=\sin 2t$ \par % %----------------------------------------------------------------------------- % \vtop to 7cm{\mapleplot{% img2 % x:=2*cos(t)^2+ln(abs(sin(t))); % y:=sin(2*t); % print(plot([x,y,t=0..Pi],-2..2,scaling=constrained));} \par % \vss} \item$x=\sqrt{\dfrac{t^2-2}{t^4-1}}$, $y=tx$ \par % %----------------------------------------------------------------------------- % \vtop to 7cm{\mapleplot{% img3 % x:=sqrt((t^2-2)/(t^4-1)); % u:=sqrt((1-2*t^2)/(1-t^4)); % p1:=plot([x,t*x,t=-1..1],-2..3,-2..2): % p2:=plot([t*u,u,t=0..sqrt(1/2)],-2..3,-2..2): % p3:=plot([t*u,-u,t=0..sqrt(1/2)],-2..3,-2..2): % p4:=plot([abs(t),t,t=-2..2],-2..3,-2..2,color=yellow): % with(plots): % print(display({p1,p2,p3,p4}));} \par % \vss} \item $x=\dfrac{t^3-t}{2t-1}$, $y=tx$ \par % %----------------------------------------------------------------------------- % \vtop to 7cm{\mapleplot{% img4 % x:=(t^3-t)/(2*t-1); % y:=t*x; % print(plot([x,y,t=-2..2],-1..1,-1..1));} \par % \vss} \item$x=\dfrac1t+\dfrac1{t+1}$, $y=\dfrac1t+\dfrac1{(t+1)^2}$ \par % %----------------------------------------------------------------------------- % \vtop to 7cm{\mapleplot{% img5 % x:=1/t+1/(t+1); % y:=1/t+1/(t+1)^2; % print(plot([x,y,t=-10..10],-4..4,-3..3,numpoints=200));} \par % \vss} \item $x=\sin \dfrac t2$, $y=\tan t$ \par % %----------------------------------------------------------------------------- % \vtop to 7cm{\mapleplot{% img6 % x:=sin(t/2); % y:=tan(t); % print(plot([x,y,t=0..4*Pi],-1.5..1.5,-2..2));} \par % \vss}\endmulticolonne % % \vfill\eject % \vphantom{\Gros\bf Branches infinies}\SV\multicolonne 2 \item$x=\dfrac1t+\dfrac1{t+1}$, $y=\dfrac1t-\dfrac1{t+1}$ \par % %----------------------------------------------------------------------------- % \vtop to 7cm{\mapleplot{% img7 % x:=1/t+1/(t+1); % y:=1/t-1/(t+1); % print(plot([x,y,t=-5..5],-7..7,-6..4,numpoints=200));} \par % \vss} \item$x=\dfrac{3t}{1+t^3}$, $y=tx$ \par % %----------------------------------------------------------------------------- % \vtop to 7cm{\mapleplot{% img8 % x:=(3*t)/(1+t^3); % y:=t*x; % print(plot([x,y,t=-10..10],-4..4,-3..3));} \par % \vss} \item$x=\dfrac{te^t}{t+1}$, $y=\dfrac{e^t}{t+1}$ \par % %----------------------------------------------------------------------------- % \vtop to 7cm{\mapleplot{% img9 % y:=exp(t)/(t+1); % x:=t*y; % print(plot([x,y,t=-5..3],-4..4,-3..3));} \par % \vss} \item$x=2t^3+3t^2$, $y=3t^2+6t$ \par % %----------------------------------------------------------------------------- % \vtop to 7cm{\mapleplot{% img10 % x:=2*t^3+3*t^2; % y:=3*t^2+6*t; % print(plot([x,y,t=-5..5],-50..50,-2..50));} \par % \vss} \item$x=t^3-3t$, $y=t^3-t^2-t+1$ \par % %----------------------------------------------------------------------------- % \vtop to 7cm{\mapleplot{% img11 % x:=t^3-3*t; % y:=t^3-t^2-t+1; % print(plot([x,y,t=-3..3],-10..10,-7..7));} \par % \vss} \item$x=\dfrac t{t^2-1}$, $y=\dfrac{t^2}{t-1}$ \par % %----------------------------------------------------------------------------- % \vtop to 7cm{\mapleplot{% img12 % x:=t/(t^2-1); % y:=t^2/(t-1); % print(plot([x,y,t=-5..5],-4..4,-3..5));} \par % \vss} \end{enumerate} \finenonce{005007} \finexercice \section{ 244.05 Points de rebroussement } \exercice{5008, quercia, 2010/03/17} \enonce{005008}{Rebroussements} \begin{enumerate} \item $x=2t^3+3t^2$, $y=3t^2+6t$ % % %----------------------------------------------------------------------------- % \vtop to 7cm{\mapleplot{% img25 % x:=2*t^3+3*t^2; % y:=3*t^2+6*t; % print(plot([x,y,t=-3..3],-6..4,-3..3));} \par % \vss} \item $x=t^3-3t$, $y=t^3-t^2-t+1$ % %----------------------------------------------------------------------------- % \vtop to 7cm{\mapleplot{% img26 % x:=t^3-3*t; % y:=t^3-t^2-t+1; % print(plot([x,y,t=-3..3],-10..10,-7..7));} \par % \vss} \item $x=\sin t$, $y=\dfrac{\cos^2t}{2-\cos t}$ % %----------------------------------------------------------------------------- % \vtop to 7cm{\mapleplot{% img27 % x:=sin(t); % y:=cos(t)^2/(2-cos(t)); % print(plot([x,y,t=0..2*Pi],scaling=constrained));} \par % \vss} \item $x=(1+\cos^2t)\sin t$, $y=\sin^2t\cos t$ % %----------------------------------------------------------------------------- % \vtop to 7cm{\mapleplot{% img28 % x:=(1+cos(t)^2)*sin(t); % y:=sin(t)^2*cos(t); % print(plot([x,y,t=0..2*Pi],scaling=constrained));} \par % \vss} \item $x=(1+\cos t)\sin 2t$, $y=\cos 2t$ % %----------------------------------------------------------------------------- % \vtop to 7cm{\mapleplot{% img29 % x:=(1+cos(t))*sin(2*t); % y:=cos(2*t); % print(plot([x,y,t=0..2*Pi],scaling=constrained));} \par % \vss} % % \end{enumerate} \finenonce{005008} \finexercice \section{ 244.06 Enveloppes } \exercice{5009, quercia, 2010/03/17} \enonce{005009}{Esem 91} Soit $\mathcal{C}$ le cercle : $x^2+y^2=1$. Soit $M$ un point de $\mathcal{C}$ d'angle polaire $\theta$ et $D_\theta$ la droite passant par $M$ d'angle polaire $2\theta$. Trouver l'enveloppe des droites $D_\theta$. \finenonce{005009} \finexercice \exercice{5010, quercia, 2010/03/17} \enonce{005010}{Ensi Physique 93} Soit $\mathcal{C}$ un cercle de centre $O$ et de rayon $R$, et $S$ un point du plan différent de $O$. Donner l'enveloppe des normales en $M$ à $(SM)$ lorsque $M$ décrit $\mathcal{C}$. \finenonce{005010} \finexercice \exercice{5011, quercia, 2010/03/17} \enonce{005011}{Cordes sur une parabole} Soit $\cal P$ la parabole d'équation $y^2 = 2px$. Chercher l'enveloppe des cordes $[A,B]$ de $\cal P$ de hauteur $h > 0$ donnée. \finenonce{005011} \finexercice \exercice{5012, quercia, 2010/03/17} \enonce{005012}{Cordes sur une parabole} Soit $\cal P$ la parabole d'équation $y^2 = 2px$. Pour $A,B \in \cal P$ distincts, on note $C$ le point d'intersection des tangentes en $A$ et $B$. Trouver l'enveloppe des droites $(AB)$ lorsque l'aire du triangle $ABC$ reste constante. \finenonce{005012} \finexercice \exercice{5013, quercia, 2010/03/17} \enonce{005013}{Cordes sur une parabole} Soient $M$, $M'$ deux points d'une parabole $\cal P$ tels que $(MM')$ passe par le foyer $F$. Quels sont : \begin{enumerate} \item L'enveloppe des droites $(MM')$ ? \item Le lieu des milieux des segments $[M,M']$ ? \item L'enveloppe des médiatrices de $[M,M']$ ? \end{enumerate} \finenonce{005013} \finexercice \exercice{5014, quercia, 2010/03/17} \enonce{005014}{Rayons réfléchis sur une parabole} Soit $\cal P$ la parabole d'équation $y^2 = 2px$. \begin{enumerate} \item Un rayon incident arrive suivant une parallèle à $Ox$ et se réfléchit à ``l'intérieur'' de $\cal P$ avec le même angle. Trouver l'enveloppe des rayons réfléchis. \item Même question, mais le rayon incident est parallèle à $Oy$. \end{enumerate} \finenonce{005014} \finexercice \exercice{5015, quercia, 2010/03/17} \enonce{005015}{Cercle osculateur à une parabole} Soit $\cal P$ une parabole, $M \in \cal P$ et $\cal C$ le cercle osculateur à $\cal P$ en $M$. Montrer que, sauf cas particulier, $\cal C$ recoupe $\cal P$ en un deuxième point $P$. Déterminer l'enveloppe des droites $(MP)$. \finenonce{005015} \finexercice \exercice{5016, quercia, 2010/03/17} \enonce{005016}{Cordes d'une hyperbole} Soit $\cal H$ une hyperbole de foyer $F$. Trouver l'enveloppe des cordes $[P,Q]$ de $\cal H$ vues depuis $F$ sous un angle droit. \finenonce{005016} \finexercice \exercice{5017, quercia, 2010/03/17} \enonce{005017}{Cardioïde} Pour $\theta \in \R$, on note $A_\theta = (\cos\theta,\sin\theta)$. Chercher l'enveloppe des droites $D_\theta = (A_\theta\ A_{2\theta})$. \finenonce{005017} \finexercice \exercice{5018, quercia, 2010/03/17} \enonce{005018}{Cycloïde} Chercher l'enveloppe d'un diamètre $\Delta$ d'un cercle $\cal C$ roulant sans glisser sur une droite $D$. Comparer le point caractéristique à la projection orthogonale du point de contact $I$ sur $\Delta$. \finenonce{005018} \finexercice \exercice{5019, quercia, 2010/03/17} \enonce{005019}{Hypocycloïde} Soit $\cal C$ un cercle passant par $O$ centré sur $Ox$. Pour $M \in \cal C$, on note $D_M$ la droite symétrique de $(OM)$ par rapport à l'horizontale passant par $M$. Déterminer l'enveloppe des droites $D_M$ et la construire. \finenonce{005019} \finexercice \exercice{5020, quercia, 2010/03/17} \enonce{005020}{Cordes de $\rho = a/\cos(3\theta)$} Tracer la courbe d'équation polaire $\rho = \frac{a}{\cos 3\theta}$, $a>0$. Chercher l'enveloppe des cordes vues de $O$ sous un angle droit. \finenonce{005020} \finexercice \exercice{5021, quercia, 2010/03/17} \enonce{005021}{Perpendiculaire à $OM$ sur une ellipse} Soit $\cal E$ une ellipse de centre $O$, de paramètres $a$ et $b$. Pour $M \in \cal E$, soit $D$ la perpendiculaire en $M$ à $(OM)$. \begin{enumerate} \item Donner les équations paramétriques de l'enveloppe des droites $D$. \item Tracer les enveloppes sur ordinateur pour différentes valeurs de $a/b$. \item \'Etudier les points stationnaires de l'enveloppe quand il y en a. \end{enumerate} \finenonce{005021} \finexercice \exercice{5022, quercia, 2010/03/17} \enonce{005022}{$AM \perp D$} Soit $D$ une droite du plan et $A$ un point non élément de $D$. Soit $M$ un point variable sur $D$. Trouver l'enveloppe de la normale en $M$ à $(AM)$. \finenonce{005022} \finexercice \exercice{5023, quercia, 2010/03/17} \enonce{005023}{Concavité} Soient $u,v,w$ de classe ${\cal C}^2$, $D_t$ la droite d'équation : $u(t)x + v(t)y + w(t) = 0$, et $\Gamma$ l'enveloppe des droites $D_t$. On note : $\delta = \begin{vmatrix} u &v \cr u' &v' \cr\end{vmatrix}$, $\Delta = \begin{vmatrix} u &v &w \cr u' &v' &w' \cr u'' &v'' &w'' \cr\end{vmatrix}$, et on suppose pour tout $t$ : $\delta\Delta w(t) \ne 0$. Montrer que $\Gamma$ tourne sa concavité vers $O$ si et seulement si pour tout $t$ : $\delta\Delta w(t) > 0$. \finenonce{005023} \finexercice \section{ 244.07 Propriétés métriques : longueur, courbure,... } \exercice{2059, ridde, 1999/11/01} \enonce{002059}{} D\'eterminer la longueur de la courbe $y = \sqrt{x} (1-\dfrac x3)$ pour $0 \leq x \leq 3$. \finenonce{002059} \finexercice \exercice{2060, ridde, 1999/11/01} \enonce{002060}{} D\'eterminer une abscisse curviligne, la longueur et la d\'evelopp\'ee de l'astroïde. \finenonce{002060} \finexercice \exercice{2061, ridde, 1999/11/01} \enonce{002061}{} Calculer le rayon de courbure de $\rho (\theta) = \cos (\dfrac{\theta}3)$ en fonction de $\rho$. \finenonce{002061} \finexercice \exercice{2062, ridde, 1999/11/01} \enonce{002062}{} Soit $\mathcal{P}$ la parabole $y^2 = x$. D\'eterminer une \'equation param\'etr\'ee et une \'equation cart\'esienne de $\Gamma$ la d\'evelopp\'ee de $\mathcal{P}$. Tracer $\Gamma$. \finenonce{002062} \finexercice \exercice{2063, ridde, 1999/11/01} \enonce{002063}{} Soit $\Gamma$ la courbe $\rho (\theta) = \sqrt{\sin (2 \theta)}$. \begin{enumerate} \item Tracer cette courbe. \item Calculer le rayon de courbure. \item Soient $I$ le centre de courbure en $M$ et $H$ le projet\'e orthogonal de $I$ sur $ (OM)$. D\'eterminer $\overrightarrow{MH}$. \item En d\'eduire une construction g\'eom\'etrique de la d\'evelopp\'ee de $\Gamma$. \end{enumerate} \finenonce{002063} \finexercice \exercice{2064, ridde, 1999/11/01} \enonce{002064}{} Soit $M (s)$ un arc $C^2$ bir\'egulier param\'etr\'e par une abscisse curviligne. Soit $\mathcal{R}$ le rep\`ere de Fr\'enet $ (M (0), \vec{t} (0), \vec{n} (0))$. On note $ (X (s), Y (s))$ les coordonn\'ees dans ce rep\`ere d'un point $M (s)$ de la courbe. \begin{enumerate} \item Montrer que si $R_{0}$ est le rayon de courbure en $M (0)$ alors $R_0 = \lim\limits_{s \rightarrow 0} \dfrac{X^2 (s)}{2Y (s)}$. \item En d\'eduire le rayon de courbure au point $\theta = 0$ de la courbe $\rho (\theta) = 1 + 2\cos (\frac{\theta}2)$. \end{enumerate} \finenonce{002064} \finexercice \exercice{5024, quercia, 2010/03/17} \enonce{005024}{Calcul de longueur} \def\arc#1{\mathop{#1}\limits^\frown} Déterminer la longueur d'un arc $\arc{M_0M_t}$ ou $\arc{M_0M_\theta}$ pour les courbes : \begin{enumerate} \item $x = t - \ch t\sh t$,\quad $y = 2\ch t$ \item $\rho = \tanh \frac\theta2$. \end{enumerate} \finenonce{005024} \finexercice \exercice{5025, quercia, 2010/03/17} \enonce{005025}{Calcul de longueur} \def\arc#1{\mathop{#1}\limits^\frown} Soit la courbe paramétrée par : $x = 2t^3+3t^2$,\quad $y = 3t^2+6t$. Calculer la longueur de l'arc $\arc{AO}$ où $A$ est le point de rebroussement. \finenonce{005025} \finexercice \exercice{5026, quercia, 2010/03/17} \enonce{005026}{Calcul de longueur} \def\arc#1{\mathop{#1}\limits^\frown} Calculer la longueur totale des courbes suivantes : \begin{enumerate} \item $x = (1+\cos^2t)\sin t$,\quad $y=\sin^2t\cos t$. \item $\rho = \sin^2\frac\theta2$. \end{enumerate} \finenonce{005026} \finexercice \exercice{5027, quercia, 2010/03/17} \enonce{005027}{TPE MP 2003} Nature, construction et longueur de la courbe d'équation $\sqrt x + \sqrt y = 1$. \finenonce{005027} \finexercice \exercice{5028, quercia, 2010/03/17} \enonce{005028}{Comparaison de longueurs (ENS MP 2002)} Soit $f : {[a,b]} \to \R$ continue concave, $\mathcal{C}^1$ par morceaux, $L_1$ la courbe paramétrée $x \mapsto(x,f(x))$ et $L_2$ un chemin continu $\mathcal{C}^1$ par morceaux joignant les extrémités de $L_1$ et situé au-dessus de $L_1$. Montrer que la longueur de $L_2$ est supérieure ou égale à celle de $L_1$. \finenonce{005028} \finexercice \exercice{5029, quercia, 2010/03/17} \enonce{005029}{Centre de courbure} Déterminer les coordonnées du centre de courbure au point $M$ pour les courbes suivantes : \begin{enumerate} \item $x = 3t-t^3$,\quad $y=3t^2$. \item $x=2\cos t+\cos 2t$,\quad $y=2\sin t-\sin2t$. \item $x=t-\sin t$,\quad $y=1-\cos t$. (Cycloïde, indiquer une relation géométrique simple entre la courbe décrite par $M$ et celle décrite par $I$) \item $x = a\cos^3t$,\quad $y=a\sin^3t$. (Astroïde) Construire le courbe $\mathcal{C}$ et sa développée, puis prouver par le calcul qu'elles sont semblables. \item Hyperbole d'équation $xy=1$. \item Ellipse d'équation $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$. \item $\rho = e^\theta$. (Spirale logarithmique) \item $\rho = 1+\cos\theta$. (Cardioïde) \end{enumerate} \finenonce{005029} \finexercice \exercice{5030, quercia, 2010/03/17} \enonce{005030}{Points sur une hyperbole (Ensi P 91)} Soit la courbe $\Gamma$ définie par : $xy = a^2$, $(a>0)$. Pour chaque point $M$ on définit le point $\Omega$ par : $2\vec{\Omega M} = \vec{MN}$, où $N$ est le point où $\Gamma$ recoupe sa normale en $M$. Montrer que $\Omega$ est le centre de courbure de $\Gamma$ en $M$. \finenonce{005030} \finexercice \exercice{5031, quercia, 2010/03/17} \enonce{005031}{Cercle circonscrit à trois points} Soit $\mathcal{C}$ une courbe plane paramétrée par une abscisse curviligne $s$. Soit $s_0$ fixé. \begin{enumerate} \item Donner le DL à l'ordre 2 de $M_s$ pour $s \to s_0$ dans le repère de Frenet en $M_{s_0}$. \item On suppose $c(s_0) \ne 0$. Montrer que pour $h$ assez petit, les points $M_{s_0-h}$, $M_{s_0}$, $M_{s_0+h}$ ne sont pas alignés. \item Soit $\Gamma_h$ le cercle circonscrit à ces trois points, et $R_h$ son rayon. Chercher $\lim_{h\to 0} R_h$. \end{enumerate} \finenonce{005031} \finexercice \exercice{5032, quercia, 2010/03/17} \enonce{005032}{Propriétés de la cycloïde} Soit $\mathcal{C}$ la courbe d'équations paramétriques $\begin{cases} x = a(t-\sin t) \cr y = a(1-\cos t) \cr \end{cases}$ pour $t \in {]0,2\pi[}$ (arche de cycloïde). On note $S$ le point de paramètre $\pi$, et $D$ la tangente à $\mathcal{C}$ en $S$. Soit $M \in \mathcal{C}\setminus\{S\}$, $I$ le point d'intersection de la normale à $\mathcal{C}$ en $M$ et de $Ox$, et $J$ le point d'intersection de la tangente en $M$ avec $D$. \begin{enumerate} \item Faire un dessin. \item Montrer que $I$ et $J$ ont même abscisse. \item On prend $S$ comme origine des abscisses curvilignes. Trouver une relation entre $s$ et $\vec{MJ}$. \end{enumerate} \finenonce{005032} \finexercice \exercice{5033, quercia, 2010/03/17} \enonce{005033}{Normales à une cardioïde} On considère la courbe $\mathcal{C}$ d'équation polaire $\rho = 1 + \cos\theta$ (cardioïde). \begin{enumerate} \item Dessiner $\mathcal{C}$. \item Une droite $D$ passant par $O$ coupe $\mathcal{C}$ en deux points $M_1$ et $M_2$. Soient $\Delta_1$, $\Delta_2$ les normales à $\mathcal{C}$ en ces points et $P$ le point d'intersection de $\Delta_1$ et $\Delta_2$. Quelle est la courbe décrite par $P$ lorsque $D$ tourne autour de $O$~? \end{enumerate} \finenonce{005033} \finexercice \exercice{5034, quercia, 2010/03/17} \enonce{005034}{Calcul de courbure par TFI} Déterminer le rayon de courbure de la courbe $\mathcal{C}$ d'équation : $2x^2+y^2=1$ aux points intersection de $\mathcal{C}$ et des axes $Ox$ et $Oy$. \finenonce{005034} \finexercice \exercice{5035, quercia, 2010/03/17} \enonce{005035}{Calcul de courbure par TFI} Soit $\mathcal{C}$ la courbe d'équation cartésienne $ x^4+y^4+x^3+y^3=2$. En utilisant le théorème des fonctions implicites, calculer la courbure de $\mathcal{C}$ en $A = (-1,1)$. \finenonce{005035} \finexercice \exercice{5036, quercia, 2010/03/17} \enonce{005036}{Calcul de courbure (Chimie P' 90)} Déterminer l'ensemble des centres de courbure en $O$ aux courbes intégrales de l'équation dif\-fé\-ren\-tielle $(1-x^2)y''-xy'-2y=1$ telles que $y(0)=0$. \finenonce{005036} \finexercice \exercice{5037, quercia, 2010/03/17} \enonce{005037}{Courbe parallèle à une parabole} Soit $\mathcal{C} : t \mapsto M_t$ une courbe plane paramétrée sans point stationnaire. Les courbes parallèles à $\mathcal{C}$ sont les courbes de la forme : $t \mapsto M_t + \lambda \vec N$, ou $\vec N$ est le vecteur normal en $M_t$ et $\lambda$ est constant. \begin{enumerate} \item Montrer que le parallélisme est une relation d'équivalence entre arcs sans points stationnaires. \item Construire les parallèles à la parabole d'équation $y = x^2$ pour $\lambda = \pm 2$. \end{enumerate} \finenonce{005037} \finexercice \exercice{5038, quercia, 2010/03/17} \enonce{005038}{Points équidistants sur la tangente} Soit $\mathcal{C}$ une courbe paramétrée, $(M,\vec t,\vec n)$ le repère de Frenet en un point $M$ de $\mathcal{C}$. Soit $a > 0$ fixé et $P_1 = M + a\vec t$, $P_2 = M - a\vec t$. On note $\mathcal{C}_1$ et $\mathcal{C}_2$ les courbes décrites par $P_1$ et $P_2$ quand $M$ décrit $\mathcal{C}$ et $c_1$, $c_2$ les courbures correspondantes. Soit $C$ le centre de courbure à $\mathcal{C}$ en $M$. Montrer que $c_1 + c_2 = \frac2{CP_1}$ et que les trois normales sont concourantes. \finenonce{005038} \finexercice \exercice{5039, quercia, 2010/03/17} \enonce{005039}{Paraboles de cercle osculateur donné} Soit $\mathcal{C}$ le cercle d'équation $x^2+y^2-2Rx = 0$ et $\Delta$ une droite variable passant par $O$. \begin{enumerate} \item Chercher l'équation de la parabole $\cal P$ d'axe parallèle à $\Delta$, passant par $O$, dont $\mathcal{C}$ est le cercle osculateur en~$O$. \item Quelle est l'enveloppe des paraboles précédentes ? \end{enumerate} \finenonce{005039} \finexercice \exercice{5040, quercia, 2010/03/17} \enonce{005040}{Développante} \begin{enumerate} \item Construire la courbe $\mathcal{C}$ d'équations paramétriques : $x=3t-t^3$,\quad $y=3t^2$. \item Chercher les équations paramétriques des développantes de $\mathcal{C}$. \item Tracer la développante qui rencontre $\mathcal{C}$ à l'origine. \end{enumerate} \finenonce{005040} \finexercice \exercice{5041, quercia, 2010/03/17} \enonce{005041}{Développante} Déterminer la développante de la chainette $\mathcal{C}$ d'équation $y = a\ch(x/a)$ qui rencontre $\mathcal{C}$ pour $x=0$. (Tractrice) Dessiner les deux courbes. \finenonce{005041} \finexercice \exercice{5535, rouget, 2010/07/15} \enonce{005535}{} Longueur $L$ de $(\Gamma)$ dans chacun des cas suivants~: \begin{enumerate} \item $\Gamma$ est l'astroïde de représentation paramétrique $\left\{ \begin{array}{l} x=a\cos^3t\\ y=a\sin^3t \end{array} \right.$ ($a>0$ donné). \item $\Gamma$ est l'arche de cycloïde de représentation paramétrique $\left\{ \begin{array}{l} x=R(t-\sin t)\\ y=R(1-\cos t) \end{array} \right.$, $0\leqslant t\leqslant2\pi$. \item $\Gamma$ est l'arc de parabole d'équation cartésienne $x^2=2py$, $0\leq x\leq a$ ($p>0$ et $a>0$ donnés). \item $\Gamma$ est la cardioïde d'équation polaire $r=a(1+\cos\theta)$ ( $a>0$ donné). \end{enumerate} \finenonce{005535} \finexercice \exercice{5536, rouget, 2010/07/15} \enonce{005536}{} Déterminer et construire la développée \begin{enumerate} \item $\left\{ \begin{array}{l} x=R\left(\cos t+\ln\left|\tan\frac{t}{2}\right|\right)\\ y=R\sin t \end{array} \right.$ \item $\left\{ \begin{array}{l} x=R(t-\sin t)\\ y=R(1-\cos t) \end{array} \right.$. \item $y=x^3$ \end{enumerate} \finenonce{005536} \finexercice \exercice{5537, rouget, 2010/07/15} \enonce{005537}{} Trouver le point de la courbe d'équation $y=\ln x$ en lequel la valeur absolue du rayon de courbure est minimum. \finenonce{005537} \finexercice \exercice{5538, rouget, 2010/07/15} \enonce{005538}{} Soit $(\Gamma)$ la courbe d'équation $y=\ln(\cos x)$, pour $-\frac{\pi}{2}&0,\exists \gamma ^{\prime }\in C([0,1],\Cc) \text{ tel que:} \\ 1 &:&\forall t\in [0,1],\left| \gamma (t)-\gamma ^{\prime }(t)\right| <\epsilon , \\ 2 &:&\forall t\in [0,1],\gamma (t)\neq z. \end{eqnarray*} \finenonce{002058} \finexercice \exercice{2691, matexo1, 2002/02/01} \enonce{002691}{} Un cercle de rayon $R$ roule sans glisser sur l'axe ${\rm O}x$ dans le sens des $x$ croissants. Soit {\cal C} la courbe d{\'e}crite par le point M li{\'e} {\`a} la circonf{\'e}rence qui, dans la position initiale, co\"{\i}ncide avec l'origine O\,(cyclo\"{\i}de). Soit ${\rm M}(\theta)$ la position du point M quand le cercle a tourn{\'e} d'un angle $\theta$ {\`a} partir de la position initiale et $\Omega(\theta)$ le point de contact correspondant entre la circonf{\'e}rence et l'axe ${\rm O}x$. \begin{itemize} \item D{\'e}terminer l'abscisse de $\Omega(\theta)$ et les coordonn{\'e}es $x(\theta)$ et $y(\theta)$ du point ${\rm M}(\theta)$. Montrer que la courbe {\cal C} est p{\'e}riodique et repr{\'e}senter graphiquement la premi{\`e}re p{\'e}riode. \item D{\'e}terminer, en fonction de $\theta$, le vecteur tangent $d\overrightarrow{\rm OM}/d\theta$, le vecteur tangent unitaire $\overrightarrow{\rm T}$, et l'{\'e}l{\'e}ment de longueur $ds$. \item D{\'e}terminer le vecteur normal unitaire $\overrightarrow{\rm N}$ et le rayon de courbure $\rho$ au point param{\'e}tr{\'e} par $\theta$. Montrer que le centre de courbure est situ{\'e} sur la droite d{\'e}finie par ${\rm M}(\theta)$ et $\Omega(\theta)$, et pr{\'e}ciser sa position sur cette droite. \item(facultatif) L'angle de rotation est d{\'e}fini en fonction du temps par la fonction $\theta(t)$. Calculer le vecteur vitesse $\overrightarrow{v}$ du point M {\`a} l'instant $t$. Montrer que $\overrightarrow{v}$ s'exprime en fonction de $\Omega{\rm M}$, $d\theta/dt$ et $\overrightarrow{\rm T}$, et donner un vecteur $\overrightarrow{\omega}$ orthogonal au plan du mouvement tel que $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{\omega}\land \overrightarrow{\Omega {\rm M}}$. Obtenir g{\'e}om{\'e}triquement {\`a} un instant donn{\'e} quelconque le vecteur vitesse d'un point P quelconque de la circonf{\'e}rence. \end{itemize} \finenonce{002691} \finexercice \exercice{2694, matexo1, 2002/02/01} \enonce{002694}{} Un segment AB de longueur $l$ se d{\'e}place dans le plan de fa\c{c}on que le point A reste constamment sur l'axe ${\rm O}x$ et le point B sur l'axe ${\rm O}y$, l'angle $\theta=(\vec{Ox},\vec {AB})$ variant de 0 {\`a} $ 2 \pi$. Soit M le point de AB tel que AM=$\alpha l$, $\alpha=C^{te}$, $0 \leq \alpha \leq 1$. Calculer les coordonn{\'e}es de M en fonction de $\theta$ et d{\'e}terminer la courbe qu'il d{\'e}crit. \begin{itemize} \item A l'instant z{\'e}ro un oiseau s'envole d'un point A d'un mouvement rectiligne uniforme de vitesse $\overrightarrow{v}$. Au m{\^e}me instant un chasseur situ{\'e} au point B tire un coup de fusil en vue d'abattre l'oiseau. La vitesse de la balle de fusil est en valeur absolue {\'e}gale {\`a} $u$. On suppose {\'e}videmment que l'on a $u>\|\overrightarrow{v}\|$. D{\'e}terminer la direction dans laquelle le chasseur doit tirer pour abattre l'oiseau et l'instant $t_0$ de l'impact: on {\'e}crira deux {\'e}quations d{\'e}terminant la vitesse vectorielle $\overrightarrow{u}$ de la balle de fusil et l'instant $t_0$, et on en donnera les solutions. Donner l'expression de la distance $d$ parcourue par l'oiseau entre les instants 0 et $t_0$. Appliquer num{\'e}riquement les r{\'e}sultats pr{\'e}c{\'e}dents aux deux cas d{\'e}finis par $A(0,0,a)$, $B(b,0,0)$, $\overrightarrow{v}=(0,v,0)$ avec~: \item Envol {\`a} partir du repos~: $a$=15m, $b$=10m, $v$=5m/s, $u$=300m/s \item Passage en plein vol~: $a$=20m, $b$=0, $v$=90km/h, $u$=300m/s \end{itemize} \finenonce{002694} \finexercice \exercice{2695, matexo1, 2002/02/01} \enonce{002695}{} Soit $\cal P$ la parabole d'{\'e}quation $y^2=2px, p>0$. \begin{itemize} \item Montrer que la tangente {\`a} $\cal P$ au point ${\rm M}_{0}= (x_{0},y_{0})$ a pour {\'e}quation $yy_{0}=p(x+x_{0})$. \item Un rayon lumineux, port{\'e} par la droite d'{\'e}quation $y=y_{0}$ et se propageant en sens inverse de l'axe des $x$, se r{\'e}fl{\'e}chit au point ${\rm M}_{0}$ sur la tangente {\`a} $\cal P$ selon la loi de Descartes. D{\'e}terminer l'{\'e}quation du rayon r{\'e}fl{\'e}chi. \item V{\'e}rifier que les rayons r{\'e}fl{\'e}chis correspondant aux diverses valeurs de $y_{0}$ passent tous par un m{\^e}me point F situ{\'e} sur l'axe des $x$\,(foyer de la parabole). Citer des applications pratiques de cette propri{\'e}t{\'e}. \end{itemize} \finenonce{002695} \finexercice \exercice{2696, matexo1, 2002/02/01} \enonce{002696}{} On dispose d'un oscilloscope {\`a} deux voies. On applique sur la voie X une tension sinuso\"{\i}dale de pulsation $\omega$, et sur la voie Y une tension de m{\^e}me amplitude et de pulsation $2\omega$. En pla\c{c}ant l'oscilloscope en mode X--Y et pour un choix appropri{\'e} du gain de chaque voie, on observe sur l'{\'e}cran une courbe param{\'e}tr{\'e}e d{\'e}finie en coordonn{\'e}es cart{\'e}siennes par les {\'e}quations: \[\hspace*{-2cm}\left\{\begin{array}{l} x(t)=a\sin \omega t \\ y(t)=a\sin 2\omega t \end{array} \right.\] \begin{itemize} \item D{\'e}terminer la p{\'e}riode du mouvement T. \item Donner le tableau des variations de $x(t)$ et $y(t)$ sur l'intervalle [0,T], et en d{\'e}duire l'allure de la courbe. \item D{\'e}terminer les coordonn{\'e}es des points de la courbe d'abscisse ou d'ordonn{\'e}e maximum. \item D{\'e}terminer les sym{\'e}tries de la courbe et donner les transformations correspondantes du param{\`e}tre $t$. \end{itemize} \finenonce{002696} \finexercice \exercice{2697, matexo1, 2002/02/01} \enonce{002697}{} Sur l'{\'e}cran d'un oscilloscope on observe la courbe dont les {\'e}quations param{\'e}triques sont les suivantes: \[\hspace*{-3cm}\left\{\begin{array}{l} x(t)=a\sin \omega t \\ y(t)=a\sin(\omega t-\varphi) \end{array} \right.\] \begin{itemize} \item Exprimer puis factoriser la somme et la diff{\'e}rence $x+y$ et $x-y$. \item Soient $X$ et $Y$ les coordonn{\'e}es par rapport aux axes d{\'e}duits des axes ${\rm O}x$ et ${\rm O}y$ par une rotation de $\pi/4$. Donner les {\'e}quations param{\'e}triques de la courbe dans ce syst{\`e}me de coordonn{\'e}es. \item Tracer la courbe et discuter de sa forme et du sens de parcours sur celle-ci en fonction du param{\`e}tre $\varphi \in [0,2\pi]\, $ (consid{\'e}rer les valeurs multiples de $\pi/2$ et les r{\'e}gions qu'elles d{\'e}limitent). \item La courbe {\'e}tant suppos{\'e}e donn{\'e}e, en d{\'e}duire g{\'e}om{\'e}triquement la valeur de $\varphi$. \end{itemize} \finenonce{002697} \finexercice \section{ 245.00 Analyse vectorielle : forme différentielle, champ de vecteurs, circulation } \section{ 245.01 Forme différentielle, champ de vecteurs, circulation } \exercice{2072, maillot, 2001/09/01} \enonce{002072}{} On consid\`ere le champ de vecteurs $P:\R^2\rightarrow \R^2$ d\'efini par $$P(x,y)=(2x {\mathrm e}^{x^2-2y};-2 {\mathrm e}^{x^2-2y}).$$ \begin{enumerate} \item V\'erifier que la forme diff\'erentielle associ\'ee \`a $P$ est ferm\'ee. \item En d\'eduire que $P$ est un champ de gradients et en d\'eterminer un potentiel. \item Calculer la circulation de $P$ le long du chemin $$\gamma:[0,1]\rightarrow \R^2;\quad t\mapsto (\ln (1+t);{\mathrm e}^t +1).$$ \end{enumerate} \finenonce{002072} \finexercice \exercice{2073, maillot, 2001/09/01} \enonce{002073}{} Soient $a,b$ des nombres tels que $00\right\}$ et $\omega (x, y, z) = 2xzdx-2yzdy- (x^2-y^2)dz$. \begin{enumerate} \item En utilisant l'exercice pr\'ec\'edent (exercice \ref{exo:diff}), montrer que $\omega$ admet un facteur int\'egrant. \item Chercher un facteur int\'egrant ne d\'ependant que de $z$. \item On suppose qu'un mouvement dans $U$ v\'erifie l'\'equation diff\'erentielle $2x (t)z (t)\dot{x} (t)-2y (t)z (t)\dot{y} (t)- (x^2 (t)-y^2 (t))\dot{z} (t)$. Trouver une int\'egrale premi\`ere du mouvement. \end{enumerate} \finenonce{002079} \finexercice \exercice{2080, ridde, 1999/11/01} \enonce{002080}{} Calculer l'aire d'une astroïde. \finenonce{002080} \finexercice \exercice{2480, matexo1, 2002/02/01} \enonce{002480}{} On rappelle que la formule de Stokes g\'en\'erale affirme que si $\omega $ est une forme diff\'erentielle de degr\'e $p-1$, $\Omega$ une vari\'et\'e de $\R^N$ de dimension $p$ et de bord $\partial \Omega$, alors $$\int_\Omega d\omega = \int_{\partial \Omega} \omega.$$ Dans le cas o\`u $p=1$, $\Omega=[a,b]$ un segnment et $\omega = f$ une fonction r\'eelle, que donne cette formule\,? Et si $\Omega$ est la r\'eunion de plusieurs intervalles\,? Plus g\'en\'eralement, si $\Omega$ est une courbe de $\R^3$, et $g$ une fonction d\'efinie sur $\R^3$, quel est le travail de $g$ le long de $\Omega$\,? Montrer qu'il ne d\'epend pas du chemin parcouru. \finenonce{002480} \finexercice \exercice{2481, matexo1, 2002/02/01} \enonce{002481}{} Soit $\Sigma$ une surface de $\R^3$ de bord $\Gamma = \partial \Sigma $, et $\bf U$ un champ de vecteurs de $\R^3$. En consid\'erant la forme diff\'erentielle $\omega = {\bf U}_1 \,dx + {\bf U}_2 \,dy + {\bf U}_3 \,dz$, montrer la forme vectorielle de la formule de Stokes\,: $$\int_\Sigma \operatorname{rot}{\bf U}\cdot {\bf n} \,d\sigma = \oint_{\Gamma } {\bf U}\cdot d {\bf r},$$ o\`u ${\bf n}$ d\'esigne le vecteur normal \`a $\Sigma$. Expliciter cette formule dans les cas o\`u $\Sigma $ est donn\'ee\,: a) sous la forme directe $z = f(x,y)$, avec $(x,y) \in D \subset \R^2$\,; b) sous la forme intrins\`eque $f(x,y,z) = 0$\,; c) sous la forme param\'etrique $x= x(u,v), y=y(u,v), z=z(u,v)$, avec $(u,v)\in D\subset \R^2$. \finenonce{002481} \finexercice \exercice{2482, matexo1, 2002/02/01} \enonce{002482}{} Calculer $$\oint_\Gamma (2xy^2+\sin z)\,dx + 2x^2y\,dy + x\cos z \,dz$$ le long de la courbe $\Gamma$ donn\'ee par $x=\cos t, y = z = \sin t$, $0\leq t <2\pi$. \finenonce{002482} \finexercice \exercice{2483, matexo1, 2002/02/01} \enonce{002483}{} Montrer que si $\Sigma $ est une surface ferm\'ee de $\R^3$ et ${\bf U}$ un champ de vecteurs $C^1$ sur $\Sigma $, alors $\int_\Sigma \operatorname{rot}{\bf U}\cdot{\bf n} \,d\sigma = 0$. En d\'eduire la valeur de $\int_S \operatorname{rot}{\bf U}\cdot{\bf n} \,ds$, o\`u ${\bf U} = (-y^3, x^3+z, z^3)$ et $S$ l'h\'emisph\`ere $z>0$ de la sph\`ere unit\'e. \finenonce{002483} \finexercice \exercice{2484, matexo1, 2002/02/01} \enonce{002484}{} Soit ${\bf U} = (e^x + y^2, -ye^x, x^2+y^2)$\,; calculer $\div {\bf U}$ et en d\'eduire $\int_\Sigma {\bf U}\cdot{\bf n} \,d\sigma $, o\`u $\Sigma $ est une surface ferm\'ee de $\R^3$. \finenonce{002484} \finexercice \exercice{2485, matexo1, 2002/02/01} \enonce{002485}{} Sous les conditions du th\'eor\`eme de Stokes, montrer les identit\'es suivantes, o\`u $\bf V$ est un champ de vecteur arbitraire, $\Sigma$ une surface de bord $\Gamma$, et $\phi $ et $\psi $ des fonctions $C^1$\,: \begin{eqnarray*} \oint \phi \,d{\bf r} &=& \int_\Sigma d{{\bf\sigma }}\wedge\nabla \varphi, \\ \oint_{\Gamma } \,d{\bf r}\wedge{\bf U} &=& \int_\Sigma \left({\bf n}\wedge\nabla \right)\wedge {\bf U} \,d\sigma, \\ \oint_{\Gamma } \varphi \nabla \psi \cdot d{\bf r} &=& \int_\Sigma \nabla \phi \wedge\nabla \psi \cdot{\bf n} \,d\sigma. \end{eqnarray*} \finenonce{002485} \finexercice \exercice{2486, matexo1, 2002/02/01} \enonce{002486}{} D\'eduire de la formule g\'en\'erale de Stokes la formule de Green en deux dimensions\,: si $\Omega\subset \R^2$ de bord $\partial \Omega$ de classe $C^1$ par morceaux, et si $P$, $Q$ sont deux fonctions de $\R^2$ dans $\R$ de classe $C^1$ dans $\Omega$, alors $$\oint_{\partial \Omega} P(x,y)\,dx+Q(x,y)\,dy = \int_\Omega \left({\partial Q\over \partial x} - {\partial P\over \partial y}\right) \,dxdy.$$ \finenonce{002486} \finexercice \exercice{2487, matexo1, 2002/02/01} \enonce{002487}{} Soit $C$ une courbe ferm\'ee du plan, et $P$ et $Q$ deux polyn\^omes de degr\'e 1 en $x$, $y$\,; montrer que la valeur de $\oint_C P(x,y)\,dx+Q(x,y)\,dy$ ne change pas si l'on effectue une translation sur $C$. En d\'eduire la valeur de $\oint_C (3x+4y)\,dx+(x-3y)\,dy$, o\`u $C$ est un cercle quelconque de rayon $a>0$. \finenonce{002487} \finexercice \exercice{2488, matexo1, 2002/02/01} \enonce{002488}{} Soit $C$ le bord du carr\'e $[-1,1]\times[-1,1]$. Calculer $$\oint_C (e^{x^3}+3y^2)\,dx + \sqrt{\cos y} \,dy.$$ \finenonce{002488} \finexercice \exercice{2489, matexo1, 2002/02/01} \enonce{002489}{} Soit $C$ la cyclo\¨{\i}de d'\'equations $x = t-\sin t, y = 1-\cos t$, et $C_0$ l'arc de $C$ joignant $O=(0,0)$ \`a $A=(\pi ,2)$; calculer $\int_{C_0} (2x^2+3y^2)\,dx+(6xy+4y^2)\,dy$. \finenonce{002489} \finexercice \exercice{2490, matexo1, 2002/02/01} \enonce{002490}{} Soit $C$ une courbe ferm\'ee du plan enclosant une aire $S$, et $a$, $b$ deux r\'eels. \begin{enumerate} \item Calculer $\oint_C ay\,dx+bx\,dy$. En d\'eduire que $$S = \oint_C x\,dy = -\oint_C y\, dx = {1\over2}\oint_C x\,dy-y\,dx. $$ \item En utilisant la formule pr\'ec\'edente, calculer l'aire comprise entre l'axe $Ox$ et l'arche de la cyclo\"{\i}de d'\'equations $x = t-\sin t, y = 1-\cos t$, avec $0\leq t\leq 2\pi$. \item De m\^eme, trouver l'aire int\'erieure \`a la boucle du folium de Descartes d'\'equation $x^3+y^3=3xy$, qui est comprise dans le quadrant $x>0$, $y>0$ (on pourra chercher une repr\'esentation param\'etrique de la boucle du folium en posant $y = tx$). \end{enumerate} \finenonce{002490} \finexercice \exercice{2491, matexo1, 2002/02/01} \enonce{002491}{} D\'eduire de la formule g\'en\'erale de Stokes la formule de Green en trois dimensions\,: si $V$ est un volume de $\R^3$ de bord $\Sigma = \partial V$, et ${\bf U}$ un champ de vecteur $C^1$ dans V, alors $$\int_V div{\bf U} \,dv = \oint_\Sigma {\bf U}\cdot{\bf n} \,d\sigma.$$ En d\'eduire que le volume de $V$ est donn\'e par $$ |V| = \oint_\Sigma x \,dy dz = \oint_\Sigma y \,dz dx = \oint_\Sigma z \,dx dy = {1\over 3} \oint_\Sigma x \,dy dz + y \,dz dx + z \,dx dy. $$ \finenonce{002491} \finexercice \exercice{2492, matexo1, 2002/02/01} \enonce{002492}{} Sous les conditions de la formule de Green, montrer les identit\'es suivantes, o\`u ${\bf U}$ est un champ de vecteur arbitraire, et $\varphi$ une fonction $C^1$\,: \begin{eqnarray*} \int_V \nabla \varphi \,dv &=& \oint_\Sigma \varphi \,{\bf n}\,d\sigma, \\ \int_V \operatorname{rot}{\bf U} \,dv &=& \oint_\Sigma {\bf n}\wedge{\bf U} \,d\sigma. \end{eqnarray*} \finenonce{002492} \finexercice \exercice{2493, matexo1, 2002/02/01} \enonce{002493}{} Soit ${\bf U} = (x/r^3, y/r^3, z/r^3)$\,; calculer directement $I_S = \oint_S {\bf U}\cdot{\bf n} \,ds$ dans le cas o\`u $S$ est une boule de rayon $r$ et de centre $O = (0,0,0)$. Calculer \'egalement $\div{\bf U}$. Que constatez-vous\,? Expliquer pourquoi la formule de Green ne s'applique pas. Calculer $I_S$ respectivement dans le cas o\`u $S$ est une surface ferm\'ee dont l'int\'erieur ne contient pas $O$ (resp. contient $O$). Que se passe-t-il si $O$ se trouve sur $S$\,? \finenonce{002493} \finexercice \exercice{2685, matexo1, 2002/02/01} \enonce{002685}{} Dans $\R^3$, soit ${\bf U}$ un champ vectoriel arbitraire, ${\bf a}$ un vecteur constant, ${\bf r}$ le champ vectoriel de coordonn\'ees $(x, y, z)$ et $r = \sqrt{x^2+y^2+z^2}$. Calculer $\displaystyle\Delta{1\over r}$\,; $\operatorname{div}({\bf r}/r^3)$\,; $\operatorname{div}({\bf U}\wedge{\bf r})$\,; $\operatorname{rot}(\operatorname{rot}{\bf U})$\,; $\operatorname{rot}({\bf a}\wedge{\bf r})$. \finenonce{002685} \finexercice \exercice{2686, matexo1, 2002/02/01} \enonce{002686}{} Soit $a$, $b$, $c$ des constantes et ${\bf U}$ le champ de vecteurs de $\R^3$ de coordonn\'ees $${(x+2y+az,\ bx-3y-z,\ 4x+cy+2z)}.$$ D\'eterminer pour quelles valeurs de $a$, $b$, $c$, ${\bf U}$ est irrotationnel. Dans ce cas, de quel potentiel d\'erive-t-il\,? M\^emes questions avec le champ de coordonn\'ees $$\left({xz r^2\over (ax^2+by^2+c)^{3\over2}},\ {yz r^2\over (ax^2+by^2+c)^{3\over2}},\ {-r^2\over (ax^2+by^2+c)^{3\over2}} \right),$$ o\`u $r^2 = x^2+y^2+z^2$. \finenonce{002686} \finexercice \exercice{2687, matexo1, 2002/02/01} \enonce{002687}{} Un {\em champ \'electromagn\'etique} est caract\'eris\'e par deux champs de vecteurs ${\bf E}$ et ${\bf H}$, \'egalement fonctions du temps $t$, et satisfaisant les {\em \'equations de Maxwell} $$\operatorname{div} {\bf H} = 0,\quad \operatorname{div} {\bf E} = 4\pi \rho ,\quad \operatorname{rot} {\bf H} ={1\over c} {\partial {\bf E}\over\partial t},\quad \operatorname{rot} {\bf E} =-{1\over c} {\partial {\bf H}\over\partial t}. $$ o\`u $c$ est une constante et $\rho$ une fonction scalaire de $(x,y,z,t)$. Montrer qu'il existe un champ de vecteurs ${\bf A}$ tel que $\operatorname{rot} {\bf A} = {\bf H}$, et un champ scalaire $\phi$ tel que ${\bf E}$ s'exprime en fonction de ${\bf A}$ et $\phi$. Calculer $\operatorname{div} {\bf A}$ \`a l'aide de $\phi$, et montrer que ${\bf A}$ et $\phi$ satisfont une \'equation des ondes. \finenonce{002687} \finexercice \exercice{5897, rouget, 2010/10/16} \enonce{005897}{**} Les formes différentielles suivantes sont elles exactes ? Si oui, intégrer et si non chercher un facteur intégrant. \begin{enumerate} \item $\omega= (2x+2y+e^{x+y})(dx+dy)$ sur $\Rr^2$. \item $\omega= \frac{xdy-ydx}{(x-y)^2}$ sur $\Omega=\{(x,y)\in\Rr^2/\;y > x\}$ \item $\omega= \frac{xdx+ydy}{x^2+y^2}- ydy$ \item $\omega= \frac{1}{x^2y}dx - \frac{1}{xy^2}dy$ sur $(]0,+\infty[)^2$ (trouver un facteur intégrant non nul ne dépendant que de $x^2+y^2$). \end{enumerate} \finenonce{005897} \finexercice \exercice{5906, rouget, 2010/10/16} \enonce{005906}{**} Calculer l' intégrale de la forme différentielle $\omega$ le long du contour orienté $C$ dans les cas suivants : \begin{enumerate} \item $\omega= \frac{x}{x^2+y^2}dx+ \frac{y}{x^2+y^2}dy$ et $C$ est l'arc de la parabole d'équation $y^2=2x+1$ joignant les points $(0,-1)$ et $(0,1)$ parcouru une fois dans le sens des $y$ croissants. \item $\omega=(x-y^3)dx+x^3dy$ et $C$ est le cercle de centre $O$ et de rayon $1$ parcouru une fois dans le sens direct. \item $\omega=xyzdx$ et $C$ est l'arc $x=\cos t$, $y=\sin t$, $z=\cos t\sin t$, $t$ variant en croissant de $0$ à $ \frac{\pi}{2}$. \end{enumerate} \finenonce{005906} \finexercice \exercice{5907, rouget, 2010/10/16} \enonce{005907}{**} Soit $\omega=x^2dx+y^2dy$. Calculer l'intégrale de $\omega$ le long de tout cercle du plan parcouru une fois dans le sens trigonométrique. Même question avec $\omega=y^2dx+x^2dy$. \finenonce{005907} \finexercice \exercice{5909, rouget, 2010/10/16} \enonce{005909}{*** I} (Un calcul de $\int_{0}^{+\infty} \frac{\sin x}{x}\;dx$). \begin{enumerate} \item $r$ et $R$ sont deux réels strictement positifs tels que $r 0$) \finenonce{005047} \finexercice \exercice{5048, quercia, 2010/03/17} \enonce{005048}{Ensi Physique 93} Soit la courbe d'équations dans $\R^3$ : $$(\Gamma)\quad \left\{\begin{array}{cc} x^2-y^2-4x+2&=0 \cr x+z&=1.\cr\end{array}\right.$$\par Déterminer la surface engendrée par la rotation de $(\Gamma)$ autour de $Oz$. \finenonce{005048} \finexercice \exercice{5049, quercia, 2010/03/17} \enonce{005049}{Le plan tangent coupe $Oz$ en un point fixe} On considère la surface ${\cal S}$ d'équations paramétriques : $\begin{cases} x = \rho\cos\theta\cr y = \rho\sin\theta\cr z = f(\rho,\theta)\cr \end{cases}$ où $f$ est une fonction de classe $\mathcal{C}^1$. \begin{enumerate} \item Donner l'équation du plan tangent à ${\cal S}$ en un point $M(\rho,\theta)$. \item Déterminer $f$ de sorte que, le long d'une ligne $\theta = \text{cste}$, le plan tangent coupe $Oz$ en un point fixe. \item Exemple : $f(\rho,\theta) = \theta$. Dessiner la surface ${\cal S}$. \end{enumerate} \finenonce{005049} \finexercice \exercice{5050, quercia, 2010/03/17} \enonce{005050}{Pseudo-sphère} Dessiner la surface ${\cal S}$ d'équations paramétriques : $\begin{cases} x = a\cos u/\ch v\cr y = a\sin u/\ch v\cr z = a(v-\tanh v)\cr \end{cases}$ où $a$ est un réel strictement positif (pseudo-sphère). \finenonce{005050} \finexercice \exercice{5051, quercia, 2010/03/17} \enonce{005051}{Les normales coupent $Oz \Leftrightarrow$ révolution} \label{revolution} Soit ${\cal S}$ une surface d'équation $z = f(x,y)$. Montrer que ${\cal S}$ est de révolution si et seulement si en tout point $M$, la normale à ${\cal S}$ en $M$ est parallèle ou sécante à $Oz$. \finenonce{005051} \finexercice \exercice{5052, quercia, 2010/03/17} \enonce{005052}{} Que dire d'une surface ${\cal S}$ telle que toutes les normales sont concourantes ? (cf ex.\ref{revolution}) \finenonce{005052} \finexercice \exercice{5053, quercia, 2010/03/17} \enonce{005053}{Contour apparent} Soit ${\cal S}$ la surface d'équation cartésienne $z^2-x^2-y^2 = 1$. \begin{enumerate} \item Reconnaître ${\cal S}$. \item Soit $D$ la droite d'équations : $2x+y = 0$, $z=0$. Déterminer les points $M$ de ${\cal S}$ tels que le plan tangent à ${\cal S}$ en $M$ est parallèle à $D$. (Contour apparent de ${\cal S}$ dans la direction de $D$) \end{enumerate} \finenonce{005053} \finexercice \exercice{5054, quercia, 2010/03/17} \enonce{005054}{Cylindre circonscrit} Soit ${\cal S}$ la surface d'équations paramétriques : $\begin{cases} x = u/(u^2+v^2)\cr y = v/(u^2+v^2)\cr z = 1/(u^2+v^2).\cr \end{cases}$ \begin{enumerate} \item Donner une équation cartésienne de ${\cal S}$. \item Déterminer l'ensemble $\mathcal{C}$ des points de ${\cal S}$ où le plan tangent est parallèle à la droite $D$ d'équations : ${x=y=z}$. \item Déterminer l'équation cartésienne du cylindre de génératrices parallèles à $D$ s'appuyant sur $\mathcal{C}$. (Cylindre circonscrit à ${\cal S}$) \end{enumerate} \finenonce{005054} \finexercice \exercice{5055, quercia, 2010/03/17} \enonce{005055}{\'Equation de cône} Soit $\mathcal{C}$ le cercle intersection de la sphère d'équation $x^2+y^2+z^2 = 1$ et du plan d'équation $x+y=1$, et $S=(1,1,1)$. Déterminer l'équation cartésienne du cône de sommet $S$ s'appuyant sur $\mathcal{C}$. \finenonce{005055} \finexercice \exercice{5056, quercia, 2010/03/17} \enonce{005056}{Cône $=$ cylindre ?} Soit ${\cal S}$ la surface d'équation cartésienne : $\frac1{(x-y)^2} + \frac1{(y-z)^2} = \frac1{(x-z)^2}$. \begin{enumerate} \item Montrer que ${\cal S}$ est à la fois un cylindre et un cône. \item Comment est-ce possible ? \end{enumerate} \finenonce{005056} \finexercice \exercice{5057, quercia, 2010/03/17} \enonce{005057}{Position d'une surface de révolution par rapport au plan tangent} Soit ${\cal S}$ une surface d'équation cartésienne $z=f(\rho)$ où $\rho = \sqrt{x^2+y^2}$ et $f$ est une fonction de classe $\mathcal{C}^2$. Montrer que la position de ${\cal S}$ par rapport à son plan tangent est donnée par le signe de $f'(\rho)f''(\rho)$. Interpréter géométriquement ce fait. \finenonce{005057} \finexercice \exercice{5058, quercia, 2010/03/17} \enonce{005058}{Intersection de deux cylindres} Soient ${\cal S}_1$, ${\cal S}_2$ les surfaces d'équations $x^2 + y^2 + xy = 1$ et $y^2 + z^2 + yz = 1$, et $\mathcal{C} = {\cal S}_1 \cap {\cal S}_2$. \begin{enumerate} \item Donner en tout point de $\mathcal{C}$ le vecteur tangent à $\mathcal{C}$. \item Montrer que $\mathcal{C}$ est la réunion de deux courbes planes. \item Quelle est la projection de $\mathcal{C}$ sur $Oxz$ ? \end{enumerate} \finenonce{005058} \finexercice \exercice{5059, quercia, 2010/03/17} \enonce{005059}{Conoïde} Soit ${\cal S}$ la sphère de centre $A=(a,0,0)$ et de rayon $r$ ($0 < r < a$) et ${\cal S}'$ la surface constituée des droites horizontales tangentes à ${\cal S}$ et sécantes à $Oz$. Déterminer l'équation cartésienne de ${\cal S}'$. \finenonce{005059} \finexercice \exercice{5060, quercia, 2010/03/17} \enonce{005060}{Surface cerclée} Soit $A=(0,1,0)$ et ${\cal S}$ la surface constituée des cercles verticaux de diamètre $[A,B]$ où $B$ est un point variable sur $Ox$. Chercher une équation cartésienne de ${\cal S}$. \finenonce{005060} \finexercice \exercice{5061, quercia, 2010/03/17} \enonce{005061}{Chimie P' 91} On considère la droite $\Delta$ d'équations : $x=a$, $z=0$. $P$ est un point décrivant $\Delta$ et $\mathcal{C}_P$ le cercle tangent à $Oz$ en $O$ et passant par $P$. Faire un schéma et paramétrer la surface engendrée par les cercles $\mathcal{C}_P$ quand $P$ décrit $\Delta$. \finenonce{005061} \finexercice \exercice{5062, quercia, 2010/03/17} \enonce{005062}{Ensi Chimie P' 93} Soit $(\Gamma)$ : $\begin{cases} x(t) = a\cos(t)/\ch(mt)\cr y(t) = a\sin(t)/\ch(mt)\cr z(t) = a\tanh(mt).\cr\end{cases}$ \begin{enumerate} \item Montrer que $(\Gamma)$ est tracée sur une surface $(\Sigma)$ simple. Montrer que $(\Sigma)$ est de révolution autour de $Oz$ et donner son équation. \item Montrer que $(\Gamma)$ coupe les méridiennes de $(\Sigma)$ suivant un angle constant (loxodromie). \item Réciproquement, déterminer toutes les loxodromies de $(\Sigma)$. \item Dessiner la projection de $(\Gamma)$ sur $xOy$. \end{enumerate} \finenonce{005062} \finexercice \section{ 260.01 Probabilité et dénombrement } \exercice{5983, quinio, 2011/05/18} \enonce{005983}{} Une entreprise décide de classer $20$ personnes susceptibles d'être embauchées; leurs CV étant très proches, le patron décide de recourir au hasard : combien y-a-il de classements possibles : sans ex-aequo; avec exactement $2$ ex-aequo ? \finenonce{005983} \finexercice \exercice{5984, quinio, 2011/05/18} \enonce{005984}{} Un étudiant s'habille très vite le matin et prend, au hasard dans la pile d'habits, un pantalon, un tee-shirt, une paire de chaussettes; il y a ce jour-là dans l'armoire $5$ pantalons dont $2$ noirs, $6$ tee-shirt dont $4$ noirs, $8$ paires de chaussettes, dont $5$ paires noires. Combien y-a-t-il de façons de s'habiller? Quelles sont les probabilités des événements suivants : il est tout en noir; une seule pièce est noire sur les trois. \finenonce{005984} \finexercice \exercice{5985, quinio, 2011/05/18} \enonce{005985}{} Si $30$ personnes sont présentes à un réveillon et si, à minuit, chaque personne fait $2$ bises à toutes les autres, combien de bises se sont-elles échangées en tout ? (On appelle bise un contact entre deux joues...) \finenonce{005985} \finexercice \exercice{5986, quinio, 2011/05/18} \enonce{005986}{} Un QCM comporte $10$ questions, pour chacune desquelles $4$ réponses sont proposées, une seule est exacte. Combien y-a-t-il de grilles-réponses possibles? Quelle est la probabilité de répondre au hasard au moins $6$ fois correctement? \finenonce{005986} \finexercice \exercice{5987, quinio, 2011/05/18} \enonce{005987}{} Amédée, Barnabé, Charles tirent sur un oiseau; si les probabilités de succès sont pour Amédée : $70$\%, Barnabé : $50$\%, Charles : $90$\%, quelle est la probabilité que l'oiseau soit touché? \finenonce{005987} \finexercice \exercice{5988, quinio, 2011/05/18} \enonce{005988}{} Lors d'une loterie de Noël, $300$ billets sont vendus aux enfants de l'école ; $4$ billets sont gagnants. J'achète $10$ billets, quelle est la probabilité pour que je gagne au moins un lot? \finenonce{005988} \finexercice \exercice{5989, quinio, 2011/05/18} \enonce{005989}{} La probabilité pour une population d'être atteinte d'une maladie $A$ est $p$ donné; dans cette même population, un individu peut être atteint par une maladie $B$ avec une probabilité $q$ donnée aussi; on suppose que les maladies sont indépendantes : quelle est la probabilité d'être atteint par l'une et l'autre de ces maladies? Quelle est la probabilité d'être atteint par l'une ou l'autre de ces maladies? \finenonce{005989} \finexercice \exercice{5990, quinio, 2011/05/18} \enonce{005990}{} Dans un jeu de $52$ cartes, on prend une carte au hasard : les événements <> et <> sont-ils indépendants? quelle est la probabilité de <> ? \finenonce{005990} \finexercice \exercice{5991, quinio, 2011/05/18} \enonce{005991}{} La famille Potter comporte $2$ enfants; les événements $A$ : <> et $B$ : <> sont-ils indépendants? Même question si la famille Potter comporte $3$ enfants. Généraliser. \finenonce{005991} \finexercice \exercice{6889, ruette, 2013/01/24} \enonce{006889}{} On lance deux dés à 6 faces. Décrire l'ensemble $\Omega$ des résultats possibles et la probabilité $P$ associée à cette expérience. Donner la probabilité d'obtenir: \begin{enumerate} \item un double, \item au plus un nombre pair, \item exactement un nombre pair, \item deux nombres qui se suivent. \end{enumerate} \finenonce{006889} \finexercice \exercice{6890, ruette, 2013/01/24} \enonce{006890}{} Au loto, on choisit 6 numéros principaux, qui sont 6 nombres différents entre 1 et 49, et un numéro complémentaire, qui est un nombre entre 1 et 49 différent des 6 précédents. Quelle est la probabilité d'avoir : \begin{enumerate} \item les six bons numéros principaux ? \item cinq bons numéros parmi les 6 principaux? \item cinq bons numéros parmi les principaux et le bon numéro complémentaire ? \end{enumerate} \finenonce{006890} \finexercice \exercice{6891, ruette, 2013/01/24} \enonce{006891}{} Une urne contient une boule rouge, trois boules vertes et seize boules blanches. La boule rouge permet de gagner 10 euros, chaque boule verte permet de gagner 5 euros et les boules blanches ne rapportent rien. Un joueur tire simultanément cinq boules. Quelle est la probabilité pour que ce joueur gagne exactement 10 euros ? \finenonce{006891} \finexercice \exercice{6892, ruette, 2013/01/24} \enonce{006892}{} On lance trois dés non pipés. On note le nombre de points (1, 2, 3, 4, 5 ou 6) qui apparaît sur la face supérieure de chaque dé. Calculer la probabilité d'avoir : \begin{enumerate} \item trois 3, \item deux 2 et un 1, \item un 1, un 3, un 5, \item la somme des points égale à 9, \item la somme des points égale à 10. \end{enumerate} \textit{Remarque : Ces calculs ont été effectués à l'origine par Galilée pour expliquer la différence entre 4. et 5.} \finenonce{006892} \finexercice \exercice{6893, ruette, 2013/01/24} \enonce{006893}{} Les trois mousquetaires (donc quatre personnes) ont mélangé leurs bottes dans le couloir de l'auberge. D'Artagnan se lève le premier et prend deux bottes au hasard. Calculer la probabilité pour que : \begin{enumerate} \item Les deux bottes soient les siennes. \item Les deux bottes forment une paire (une paire est la réunion d'un pied droit et d'un pied gauche). \item Les deux bottes soient deux pieds droits. \item Les deux bottes appartiennent à deux personnes différentes. \end{enumerate} \finenonce{006893} \finexercice \exercice{6894, ruette, 2013/01/24} \enonce{006894}{} On tire simultanément 6 cartes dans un jeu de 32 cartes. Quelle est la probabilité d'avoir exactement 2 dames et 3 trèfles ? \finenonce{006894} \finexercice \exercice{6895, ruette, 2013/01/24} \enonce{006895}{} On veut transmettre un message électronique composé des digits 0 et 1. Les conditions imparfaites de transmission font en sorte qu'il y a une probabilité égale à 0,1 qu'un 0 soit changé en un 1 et un 1 en un 0 lors de la réception, et ce de façon indépendante pour chaque digit. Pour améliorer la qualité de la transmission, on propose d'émettre le bloc 00000 au lieu de 0 et le bloc 11111 au lieu de 1 et de traduire une majorité de 0 dans un bloc lors de la réception par 0 et une majorité de 1 par 1. \begin{enumerate} \item Quelle est la probabilité de recevoir une majorité de 1 si 00000 est émis ? \item Quelle est la probabilité de recevoir une majorité de 1 si 11111 est émis ? \end{enumerate} \finenonce{006895} \finexercice \section{ 260.02 Probabilité conditionnelle } \exercice{5992, quinio, 2011/05/11} \enonce{005992}{} Dans la salle des profs $60$\% sont des femmes ; une femme sur trois porte des lunettes et un homme sur deux porte des lunettes : quelle est la probabilité pour qu'un porteur de lunettes pris au hasard soit une femme? \finenonce{005992} \finexercice\exercice{5993, quinio, 2011/05/20} \enonce{005993}{} Une fête réunit $35$ hommes, $40$ femmes, $25$ enfants ; sur une table, il y a $3$ urnes $H$, $F$, $E$ contenant des boules de couleurs dont respectivement $10$\%, $40$\%, $80$\% de boules noires. Un présentateur aux yeux bandés désigne une personne au hasard et lui demande de tirer une boule dans l'urne $H$ si cette personne est un homme, dans l'urne $F$ si cette personne est une femme, dans l'urne $E$ si cette personne est un enfant. La boule tirée est noire : quelle est la probabilité pour que la boule ait été tirée par un homme? une femme? un enfant? Le présentateur n'est pas plus magicien que vous et moi et pronostique le genre de la personne au hasard : que doit-il dire pour avoir le moins de risque d'erreur? \finenonce{005993} \finexercice \exercice{5994, quinio, 2011/05/20} \enonce{005994}{} Un fumeur, après avoir lu une série de statistiques effrayantes sur les risques de cancer, problèmes cardio-vasculaires liés au tabac, décide d'arrêter de fumer; toujours d'après des statistiques, on estime les probabilités suivantes : si cette personne n'a pas fumé un jour $J_{n}$, alors la probabilité pour qu'elle ne fume pas le jour suivant $J_{n+1}$ est $0.3$; mais si elle a fumé un jour $J_{n}$, alors la probabilité pour qu'elle ne fume pas le jour suivant $J_{n+1}$ est $0.9$; quelle est la probabilité $P_{n+1}$ pour qu'elle fume le jour $J_{n+1}$ en fonction de la probabilité $P_{n}$ pour qu'elle fume le jour $J_{n}$ ? Quelle est la limite de $P_{n}$ ? Va-t-il finir par s'arrêter? \finenonce{005994} \finexercice \exercice{5995, quinio, 2011/05/20} \enonce{005995}{} Un professeur oublie fréquemment ses clés. Pour tout $n$, on note : $E_n$ l'événement <>, $P_{n}=P(E_n)$, $Q_n=P(\overline{E_n})$. On suppose que : $P_{1}=a$ est donné et que si le jour $n$ il oublie ses clés, le jour suivant il les oublie avec la probabilité $\frac{1}{10}$ ; si le jour $n$ il n'oublie pas ses clés, le jour suivant il les oublie avec la probabilité $\frac{4}{10}$. Montrer que $P_{n+1}=\frac{1}{10}P_{n}+\frac{4}{10}Q_{n}$. En déduire une relation entre $P_{n+1}$ et $P_{n}$ Quelle est la probabilité de l'événement <> ? \finenonce{005995} \finexercice \exercice{5996, quinio, 2011/05/20} \enonce{005996}{} Dans les barres de chocolat N., on trouve des images équitablement réparties des cinq personnages du dernier Walt Disney, une image par tablette. Ma fille veut avoir le héros Princecharmant : combien dois-je acheter de barres pour que la probabilité d'avoir la figurine attendue dépasse $80$\%? Même question pour être sûr à $90$\%. \finenonce{005996} \finexercice \exercice{5997, quinio, 2011/05/20} \enonce{005997}{} En cas de migraine trois patients sur cinq prennent de l'aspirine (ou équivalent), deux sur cinq prennent un médicament M présentant des effets secondaires : Avec l'aspirine, 75\% des patients sont soulagés. Avec le médicament M, 90\% des patients sont soulagés. \begin{enumerate} \item Quel est le taux global de personnes soulagées? \item Quel est la probabilité pour un patient d'avoir pris de l'aspirine sachant qu'il est soulagé? \end{enumerate} \finenonce{005997} \finexercice \exercice{5998, quinio, 2011/05/20} \enonce{005998}{} Dans une population 40\% des individus ont les yeux bruns, 25\% des individus ont les cheveux blonds, 15\% des individus ont les yeux bruns et les cheveux blonds. On choisit un individu au hasard. Calculez : \begin{enumerate} \item La probabilité de l'événement : si un individu a les yeux bruns d'avoir les cheveux blonds. \item La probabilité de l'événement : si un individu a les cheveux blonds d'avoir les yeux bruns. \item La probabilité de l'événement : si un individu a les cheveux blonds, de ne pas avoir les yeux bruns. \end{enumerate} \finenonce{005998} \finexercice \exercice{5999, quinio, 2011/05/20} \enonce{005999}{} Un constructeur aéronautique équipe ses avions trimoteurs d'un moteur central de type A et de deux moteurs, un par aile, de type B; chaque moteur tombe en panne indépendamment d'un autre, et on estime à $p$ la probabilité pour un moteur de type A de tomber en panne et à $q$ la probabilité pour un moteur de type B de tomber en panne. Le trimoteur peut voler si le moteur central \emph{ou} les deux moteurs d'ailes fonctionnent : quelle est la probabilité pour l'avion de voler? Application numérique : $p = 0.001\%$, $q = 0.02\%$. \finenonce{005999} \finexercice \exercice{6000, quinio, 2011/05/20} \enonce{006000}{} On sait qu'à une date donnée, 3\% d'une population est atteinte d'hépatite On dispose de tests de dépistage de la maladie : \begin{itemize} \item Si la personne est malade, alors le test est positif avec une probabilité de 95\%. \item Si la personne est saine, alors le test est positif avec une probabilité de 10\%. \end{itemize} \begin{enumerate} \item Quelle est la probabilité pour une personne d'être malade si son test est positif ? \item Quelle est la probabilité pour une personne d'être saine si son test est positif ? \item Quelle est la probabilité pour une personne d'être malade si son test est négatif ? \item Quelle est la probabilité pour une personne d'être saine si son test est négatif ? \end{enumerate} \finenonce{006000} \finexercice \exercice{6001, quinio, 2011/05/20} \enonce{006001}{} Dans mon trousseau de clés il y a $8$ clés; elles sont toutes semblables. Pour rentrer chez moi je mets une clé au hasard; je fais ainsi des essais jusqu'à ce que je trouve la bonne; j'écarte au fur et à mesure les mauvaises clés. Quelle est la probabilité pour que j'ouvre la porte : \begin{enumerate} \item du premier coup ? \item au troisième essai ? \item au cinquième essai ? \item au huitième essai? \end{enumerate} \finenonce{006001} \finexercice \exercice{6002, quinio, 2011/05/20} \enonce{006002}{} Six couples sont réunis dans une soirée de réveillon. Une fois les bises de bonne année échangées, on danse, de façon conventionnelle: un homme avec une femme, mais pas forcément la sienne. \begin{enumerate} \item Quelle est la probabilité $P(A)$ pour que chacun des 6 hommes danse avec son épouse légitime ? \item Quelle est la probabilité $P(B)$ pour que André danse avec son épouse ? \item Quelle est la probabilité $P(C)$ pour que André et René dansent avec leur épouse ? \item Quelle est la probabilité $P(D)$ pour que André ou René danse(nt) avec leur épouse ? \end{enumerate} \finenonce{006002} \finexercice \exercice{6003, quinio, 2011/05/20} \enonce{006003}{} Dans l'ancienne formule du Loto il fallait choisir 6 numéros parmi 49. \begin{enumerate} \item Combien y-a-t-il de grilles possibles ? En déduire la probabilité de gagner en jouant une grille. \item Quelle est la probabilité que la grille gagnante comporte 2 nombres consécutifs? \end{enumerate} \finenonce{006003} \finexercice \exercice{6004, quinio, 2011/05/20} \enonce{006004}{} Un débutant à un jeu effectue plusieurs parties successives. Pour la première partie, les probabilités de gagner ou perdre sont les mêmes; puis, on suppose que: \begin{itemize} \item Si une partie est gagnée, la probabilité de gagner la suivante est $0.6$. \item Si une partie est perdue, la probabilité de perdre la suivante est $0.7$. \end{itemize} Soit $G_n$ l'événement <>, et $u_n=P(G_n)$. On note $v_n = P(\overline{G_n})$. \begin{enumerate} \item Ecrire 2 relations entre $u_n$, $u_{n+1}$, $v_n$, $v_{n+1}$. \item A l'aide de la matrice mise en évidence en déduire $u_n$ et $v_n$. Faire un calcul direct à l'aide de $u_n+v_n$. \end{enumerate} \finenonce{006004} \finexercice \exercice{6896, ruette, 2013/01/24} \enonce{006896}{} Aurore arrive en retard en cours avec une probabilité $1/2$. Elle ne va pas en cours avec une probabilité $1/6$. Aujourd'hui, le cours commence sans elle. Quelle est la probabilité qu'elle vienne aujourd'hui ? \finenonce{006896} \finexercice \exercice{6897, ruette, 2013/01/24} \enonce{006897}{} On a décelé dans une certaine population une probabilité de 0,01 pour qu'un enfant soit atteint par une maladie M. La probabilité qu'un enfant qui n'est pas atteint par M ait une réaction négative à un test T est de 0,9. S'il est atteint par M, la probabilité qu'il ait une réaction positive au test est de 0,95.\\ Quelle est la probabilité qu'un enfant pris au hasard ait une réaction positive au test~? Quelle est la probabilité qu'un enfant pris au hasard et ayant une réaction positive soit atteint par M~? \finenonce{006897} \finexercice \exercice{6898, ruette, 2013/01/24} \enonce{006898}{} Les ampoules de la marque X sont fabriquées dans deux usines, A et B. 20$\%$ des ampoules de l'usine A et 5$\%$ de l'usine B sont défectueuses. Chaque semaine l'usine A produit $2n$ ampoules et l'usine B produit $n$ ampoules (où $n\ge 1$ est un entier). On tire une une ampoule au hasard dans la production d'une semaine. \begin{enumerate} \item Quelle est la probabilité que l'ampoule tirée ne soit pas défectueuse~? \item Si l'ampoule tirée est défectueuse, quelle est la probabilité qu'elle vienne de l'usine A~? \end{enumerate} \finenonce{006898} \finexercice \exercice{6899, ruette, 2013/01/24} \enonce{006899}{} Une personne lance deux dés à 6 faces et dit qu'elle a obtenu au moins un nombre pair. Quelle est la probabilité que les deux nombres obtenus soient pairs ? \finenonce{006899} \finexercice \exercice{6900, ruette, 2013/01/24} \enonce{006900}{} Il y a $5\%$ de daltoniens chez les hommes et $0,25\%$ chez les femmes. Il y a $48\%$ d'hommes et $52\%$ de femmes dans la population. Quelle est la probabilité pour qu'un daltonien soit un homme ? \medskip \textit{Remarque : la forme la plus courante du daltonisme est génétique, due à un gène récessif porté par le chromosome X. Un homme (XY) est daltonien dès que le chromosome X porte ce gène. Une femme (XX) n'est daltoniene que si les 2 chromosomes X portent ce gène. Ceci explique les taux très différents chez les hommes et les femmes.} \finenonce{006900} \finexercice \exercice{6901, ruette, 2013/01/24} \enonce{006901}{} Deux urnes sont remplies de boules. La première contient 10 boules noires et 30 boules blanches. La seconde contient 20 boules noires et 20 boules blanches. On tire une des urnes au hasard, de façon équiprobable, et dans cette urne, on tire une boule au hasard. La boule est blanche. Quelle est la probabilité qu'on ait tiré cette boule dans la première urne sachant qu'elle est blanche ? \finenonce{006901} \finexercice \section{ 260.03 Variable aléatoire discrète } \exercice{6005, quinio, 2011/05/20} \enonce{006005}{} Une entreprise pharmaceutique décide de faire des économies sur les tarifs d'affranchissements des courriers publicitaires à envoyer aux clients. Pour cela, elle décide d'affranchir, au hasard, une proportion de 3 lettres sur 5 au tarif urgent, les autres au tarif normal. \begin{enumerate} \item Quatre lettres sont envoyées dans un cabinet médical de quatre médecins: quelle est la probabilité des événements: A : <>. B : <>. \item Soit $X$ la variable aléatoire: <>: Quelle est la loi de probabilité de $X$, quelle est son espérance, quelle est sa variance? \end{enumerate} \finenonce{006005} \finexercice \exercice{6006, quinio, 2011/05/20} \enonce{006006}{} On prend au hasard, en même temps, trois ampoules dans un lot de 15 dont 5 sont défectueuses. Calculer la probabilité des événements: $A$ : au moins une ampoule est défectueuse; $B$ : les 3 ampoules sont défectueuses; $C$ : exactement une ampoule est défectueuse. \finenonce{006006} \finexercice \exercice{6007, quinio, 2011/05/20} \enonce{006007}{} Un avion peut accueillir 20 personnes; des statistiques montrent que 25\% clients ayant réservé ne viennent pas. Soit $X$ la variable aléatoire: <>. Quelle est la loi de $X$ ? (on ne donnera que la forme générale) quelle est son espérance, son écart-type ? Quelle est la probabilité pour que $X$ soit égal à 15 ? \finenonce{006007} \finexercice \exercice{6008, quinio, 2011/05/20} \enonce{006008}{} L'oral d'un concours comporte au total 100 sujets; les candidats tirent au sort trois sujets et choisissent alors le sujet traité parmi ces trois sujets. Un candidat se présente en ayant révisé 60 sujets sur les 100. \begin{enumerate} \item Quelle est la probabilité pour que le candidat ait révisé: \begin{enumerate} \item les trois sujets tirés; \item exactement deux sujets sur les trois sujets; \item aucun des trois sujets. \end{enumerate} \item Définir une variable aléatoire associée à ce problème et donner sa loi de probabilité, son espérance. \end{enumerate} \finenonce{006008} \finexercice \exercice{6009, quinio, 2011/05/20} \enonce{006009}{} Un candidat se présente à un concours où, cette fois, les 20 questions sont données sous forme de QCM. A chaque question, sont proposées 4 réponses, une seule étant exacte. L'examinateur fait le compte des réponses exactes données par les candidats. Certains candidats répondent au hasard à chaque question; pour ceux-la, définir une variable aléatoire associée à ce problème et donner sa loi de probabilité, son espérance. \finenonce{006009} \finexercice \exercice{6010, quinio, 2011/05/20} \enonce{006010}{} Dans une poste d'un petit village, on remarque qu'entre 10 heures et 11 heures, la probabilité pour que deux personnes entrent durant la même minute est considérée comme nulle et que l'arrivée des personnes est indépendante de la minute considérée. On a observé que la probabilité pour qu'une personne se présente entre la minute $n$ et la minute $n+1$ est: $p = 0.1$. On veut calculer la probabilité pour que : 3,4,5,6,7,8... personnes se présentent au guichet entre 10h et 11h. \begin{enumerate} \item Définir une variable aléatoire adaptée, puis répondre au problème considéré. \item Quelle est la probabilité pour que au moins 10 personnes se présentent au guichet entre 10h et 11h? \end{enumerate} \finenonce{006010} \finexercice \exercice{6011, quinio, 2011/05/20} \enonce{006011}{} Si dans une population une personne sur cent est un centenaire, quelle est la probabilité de trouver au moins un centenaire parmi $100$ personnes choisies au hasard ? Et parmi $200$ personnes ? \finenonce{006011} \finexercice \exercice{6012, quinio, 2011/05/20} \enonce{006012}{} Un industriel doit vérifier l'état de marche de ses machines et en remplacer certaines le cas échéant. D'après des statistiques précédentes, il évalue à 30\% la probabilité pour une machine de tomber en panne en 5 ans; parmi ces dernières, la probabilité de devenir hors d'usage suite à une panne plus grave est évaluée à 75\%; cette probabilité est de 40\% pour une machine n'ayant jamais eu de panne. \begin{enumerate} \item Quelle est la probabilité pour une machine donnée de plus de cinq ans d'être hors d'usage ? \item Quelle est la probabilité pour une machine hors d'usage de n'avoir jamais eu de panne auparavant ? \item Soit $X$ la variable aléatoire <>. Quelle est la loi de probabilité de $X$, (on donnera le type de loi et les formules de calcul), son espérance, sa variance et son écart-type ? \item Calculer $P[X=5]$. \end{enumerate} \finenonce{006012} \finexercice \exercice{6013, quinio, 2011/05/20} \enonce{006013}{} Une population comporte en moyenne une personne mesurant plus de 1m90 sur 80 personnes. Sur 100 personnes, calculer la probabilité qu'il y ait au moins une personne mesurant plus de 1.90m (utiliser une loi de Poisson). Sur 300 personnes, calculer la probabilité qu'il y ait au moins une personne mesurant plus de 1.90m. \finenonce{006013} \finexercice \exercice{6902, ruette, 2013/01/24} \enonce{006902}{} Soit $n$ un entier strictement positif. Quelle est la loi du nombre de garçons dans une famille de $n$ enfants ? (Préciser les hypothèses que vous faites) \finenonce{006902} \finexercice \exercice{6903, ruette, 2013/01/24} \enonce{006903}{} Une usine fabrique des transistors. Chaque transistor a une probabilité de 3\% d'être défectueux. Quelle est la loi du nombre de transistors défectueux dans un lot de 100 transistors ? Que vaut son espérance et que représente-t-elle ? \finenonce{006903} \finexercice \exercice{6904, ruette, 2013/01/24} \enonce{006904}{} L'entreprise Luminex fabrique des lampes, dont 80\% durent plus de 3000 heures. Des tests sont effectués sur des échantillons de taille $n = 15$. \begin{enumerate} \item Quelle est le nombre moyen de lampes qui ont une durée de vie inférieure à 3000 heures dans un échantillon de taille 15 ? \item Quelle est la probabilité que toutes les lampes de l'échantillon durent plus de 3000 heures ? \item Quelle est la probabilité que 13 lampes ou plus, dans un échantillon de taille 15, durent plus de 3000 heures ? \end{enumerate} \finenonce{006904} \finexercice \exercice{6905, ruette, 2013/01/24} \enonce{006905}{} Un transporteur aérien a observé que 25\% en moyenne des personnes ayant réservé un siège pour un vol ne se présentent pas au départ. Il décide d'accepter jusqu'à 23 réservations alors qu'il ne dispose que de 20 sièges pour ce vol. \begin{enumerate} \item Soit $X$ la variable aléatoire ``nombre de clients qui viennent après réservation quand 23 places ont été réservées''. Quelle est la loi de $X$ (précisez les hypothèses que vous faites pour modéliser la situation) ? Quelle est son espérance ? \item Si 23 personnes ont réservé, quelle est la probabilité que toutes les personnes qui se présentent au départ aient un siège ? \end{enumerate} \finenonce{006905} \finexercice \exercice{6906, ruette, 2013/01/24} \enonce{006906}{} On lance $10$ fois une pièce supposée bien équilibrée. On désigne par $X$ la fréquence du nombre de fois où pile a été obtenu (c'est-à-dire le nombre de pile divisé par 10). \begin{enumerate} \item Quelle est la loi de $X$ ? \item Avec quelle probabilité $X$ est-elle strictement au dessus de 0,5 ? \item Avec quelle probabilité $X$ est-elle comprise entre 0,4 et 0,6 (bornes incluses) ? \item Déterminer le plus petit entier $a>0$ telle que la probabilité que $X$ soit dans l'intervalle $[0,5-\frac{a}{10},0,5+\frac{a}{10}]$ soit supérieure à $95\%$. \item On lance la pièce $10$ fois. Elle tombe $3$ fois sur pile et $7$ fois sur face. D'après vous la pièce est-elle bien équilibrée (on justifiera sa réponse en utilisant la question 3~? Même question si on obtient 1 fois pile et 9 fois face. \end{enumerate} \finenonce{006906} \finexercice \exercice{6907, ruette, 2013/01/24} \enonce{006907}{} Un standard téléphonique reçoit en moyenne 2 appels par minute. Les appels sont répartis au hasard dans le temps. \begin{enumerate} \item Quelle est la loi de probabilité régissant le nombre d'appels reçus en 3 minutes ? Quelle est la probabilité qu'il n'y ait aucun appel en 3 minutes ? \item Quelle est la probabilité que le nombre d'appels en 2 minutes soit supérieur ou égal à 5 ? \end{enumerate} \finenonce{006907} \finexercice \exercice{6908, ruette, 2013/01/24} \enonce{006908}{} Dans une dictature militaire, le dictateur veut augmenter le nombre de naissances de garçons. Il impose la règle suivante : si une femme donne naissance à une fille, elle doit continuer à faire des enfants ; si elle donne naissance à un garçon, elle doit arrêter d'avoir des enfants. On suppose que chaque femme a au moins un enfant et pas plus de 5 enfants. \begin{enumerate} \item Soit $X$ le nombre de filles par femme. Quelle est la loi de $X$ ? \item Quel est le nombre moyen de filles d'une femme ? Le nombre moyen de garçons ? Cette règle est-elle efficace pour augmenter le nombre de garçons ? \end{enumerate} \finenonce{006908} \finexercice \exercice{6909, ruette, 2013/01/24} \enonce{006909}{Loi multinomiale} On lance quatre dés. Quelle est la probabilité d'obtenir deux 6 et deux 3 ? \finenonce{006909} \finexercice \exercice{6910, ruette, 2013/01/24} \enonce{006910}{} On lance deux dés à 6 faces. Déterminer la loi de la variable aléatoire donnant le maximum des deux chiffres obtenus. \finenonce{006910} \finexercice \exercice{6911, ruette, 2013/01/24} \enonce{006911}{} On considère $\Omega=\{1,2,3,4\}$. Parmi les choix suivants, quels sont ceux qui donnent une probabilité $P$ sur $\Omega$ ? \begin{eqnarray*} a)&&\quad P(1) = 1/4,\quad P(2) = 3/8, \quad P(3) = 1/16,\quad P(4) = 3/16.\\ b)&&\quad P(1) = 0,\quad P(2) = 1/3,\quad P(3) = 1/6,\quad P(4) = 1/2.\\ c)&& \quad P(1) = 1/5,\quad P(2) = 1/4, \quad P(3) = 1/3, \quad P(4) = 1/2.\\ d)&& \quad P(1) =1/4, \quad P(2) = 1/2, \quad P(3) = -1/4, \quad P(4) = 1/2. \end{eqnarray*} \finenonce{006911} \finexercice \exercice{6912, ruette, 2013/01/24} \enonce{006912}{} Le tableau ci-dessous donne la loi d'un couple de variables aléatoires $Z=(X,Y)$, avec $X$ prenant ses valeurs dans $\{-1,1\}$ et $Y$ prenant ses valeurs dans $\{-1,0,1\}$. $$ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline X\ \backslash\ Y & -1 & 0 & 1 \\ \hline -1&1/12 &1/3&1/12\\ \hline 1&1/6&1/6&1/6\\ \hline\end{array} $$ \begin{enumerate} \item Déterminer la probabilité que $X$ et $Y$ soient égales. \item Déterminer les lois de $X$ et de $Y$. \item Déterminer les lois de $X+Y$ et de $XY$. \end{enumerate} \finenonce{006912} \finexercice \exercice{6913, ruette, 2013/01/24} \enonce{006913}{} Le tableau ci-dessous donne la loi d'un couple de variables aléatoires $(X,Y)$, avec $X$ et $Y$ prenant chacune leurs valeurs dans $\{1,2,3\}$. $$ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline X\ \backslash\ Y & 1 & 2 & 3 \\ \hline 1&0&1/9&2/9\\ \hline 2&2/9&0&1/9\\ \hline 3&1/9&2/9&0\\ \hline\end{array} $$ \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité que $X$ et $Y$ soit égales. \item Déterminer les lois de $X$ et de $Y$. \end{enumerate} \finenonce{006913} \finexercice \exercice{6914, ruette, 2013/01/24} \enonce{006914}{} Charles ne supporte pas les chats et Sophie déteste les chiens. Charles n'élève pas plus d'un chien et Sophie pas plus d'un chat. La probabilité pour que Charles ait un chien est de $0,2$. Si Charles n'a pas de chien, la probabilité pour que Sophie ait un chat est de $0,1$. On note $X$ le nombre de chiens de Charles, $Y$ le nombre de chats de Sophie et $Z$ le nombre d'animaux du couple. \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité pour qu'ils n'aient pas d'animaux. \item On suppose de plus que la probabilité que $Z$ soit égal à 1 est de $0,1$. \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité pour que $Z$ soit égal à 2. \item Déterminer l'espérance et l'écart-type de $Z$. \item \'Etablir la loi de probabilité du couple $(X,Y)$. Quelle est la loi de probabilité de $Y$ ? \item Les variables $X$ et $Y$ sont-elles indépendantes ? \end{enumerate}\end{enumerate} \finenonce{006914} \finexercice \exercice{6915, ruette, 2013/01/24} \enonce{006915}{} Dans une pile de $n$ ($n \geq 2$) feuilles dactylographiées, se trouvent les deux lettres que l'on doit envoyer. On enlève une par une les feuilles du paquet jusqu'à ce que l'une des lettres à envoyer se trouve sur le dessus du paquet. On note $X_1$ la variable aléatoire donnant le nombre de feuilles enlevées. On recommence l'opération jusqu'à trouver la deuxième lettre et on note $X_2$ la variable aléatoire donnant le nombre de feuilles qu'il a fallu retirer du paquet après avoir trouvé la première lettre et avant que la deuxième lettre soit sur le dessus du paquet. Sans information supplémentaire, on peut supposer que toutes les positions possibles pour les deux lettres sont équiprobables. \begin{enumerate} \item Décrire l'ensemble $\Omega$ des résultats possibles pour cette expérience aléatoire et la probabilité $P$ mise sur $\Omega$. \item Déterminer la loi du couple $(X_1,X_2)$ puis la loi de $X_1$ et de $X_2$. \item Calculer la probabilité de l'événement ``$X_1=X_2$''. \item On note $Z=X_1+X_2+2$. Que représente la variable aléatoire $Z$~? Déterminer sa loi. \end{enumerate} \finenonce{006915} \finexercice \section{ 260.04 Lois de distributions } \exercice{6014, quinio, 2011/05/20} \enonce{006014}{} Une usine fabrique des billes de diamètre 8mm. Les erreurs d'usinage provoquent des variations de diamètre. On estime, sur les données antérieures, que l'erreur est une variable aléatoire qui obeit à une loi normale les paramètres étant : moyenne: $0$mm, écart-type: $0.02$mm. On rejette les pièces dont le diamètre n'est pas compris entre $7.97$mm et $8.03$mm. Quelle est la proportion de billes rejetées? \finenonce{006014} \finexercice \exercice{6015, quinio, 2011/05/20} \enonce{006015}{} Des machines fabriquent des plaques de tôle destinées à être empilées. \begin{enumerate} \item Soit $X$ la variable aléatoire <<épaisseur de la plaque en mm>> ; on suppose que $X$ suit une loi normale de paramètres $m=0.3$ et $\sigma =0.1$. Calculez la probabilité pour que $X$ soit inférieur à 0.36mm et la probabilité pour que $X$ soit compris entre 0.25 et 0.35mm. \item L'utilisation de ces plaques consiste à en empiler $n$, numérotées de $1$ à $n$ en les prenant au hasard : soit $X_{i}$ la variable aléatoire <<épaisseur de la plaque numéro $i$ en mm>> et $Z$ la variable aléatoire <<épaisseur des $n$ plaques en mm>>. Pour $n = 20$, quelle est la loi de $Z$, son espérance et sa variance? \end{enumerate} \finenonce{006015} \finexercice \exercice{6016, quinio, 2011/05/20} \enonce{006016}{} Des machines fabriquent des plaques de tôle destinées à être empilées; on estime à 0.1\% la proportion de plaques inutilisables. L'utilisation de ces plaques consiste à en empiler $n$, numérotées de $1$ à $n$ en les prenant au hasard. Pour $n = 2000$, quelle est la loi suivie par la variable aléatoire $N$ <> ? (on utilisera une loi de probabilité adaptée); quelle est la probabilité pour que $N$ soit inférieure ou égal à 3 ? Quelle est la probabilité pour que $N$ soit strictement inférieure à 3? \finenonce{006016} \finexercice \exercice{6017, quinio, 2011/05/20} \enonce{006017}{} Des machines fabriquent des crêpes destinées à être empilées dans des paquets de 10. Chaque crêpe a une épaisseur qui suit une loi normale de paramètres $m=0.6$mm et $\sigma =0.1$. Soit $X$ la variable aléatoire <<épaisseur du paquet en mm>>. Calculez la probabilité pour que $X$ soit compris entre 6.3mm et 6.6mm. \finenonce{006017} \finexercice \exercice{6018, quinio, 2011/05/20} \enonce{006018}{} Sur un grand nombre de personnes on a constaté que la répartition du taux de cholestérol suit une loi normale avec les résultats suivants: - $56$\% ont un taux inférieur à $165$ cg; - $34$\% ont un taux compris entre $165$ cg et $180$ cg; - $10$\% ont un taux supérieur à $180$ cg. Quelle est le nombre de personnes qu'il faut prévoir de soigner dans une population de $10\,000$ personnes, si le taux maximum toléré sans traitement est de $182$ cg? \finenonce{006018} \finexercice \exercice{6019, quinio, 2011/05/20} \enonce{006019}{} Pour chacune des variables aléatoires qui sont décrites ci-dessous, indiquez quelle est la loi exacte avec les paramètres éventuels (espérance, variance) et indiquez éventuellement une loi approchée. \begin{enumerate} \item Nombre annuel d'accidents à un carrefour donné où la probabilité d'accident par jour est estimée à $\frac{4}{365}$. \item Nombre de garçons dans une famille de 6 enfants; nombre de filles par jour dans une maternité où naissent en moyenne 30 enfants par jour. \item Dans un groupe de 21 personnes dont 7 femmes, le nombre de femmes dans une délégation de 6 personnes tirées au hasard. \end{enumerate} \finenonce{006019} \finexercice \exercice{6020, quinio, 2011/05/20} \enonce{006020}{} On effectue un contrôle de fabrication sur des pièces dont une proportion $p=0.02$ est défectueuse. \begin{enumerate} \item On contrôle un lot de 1000 pièces : Soit $X$ la variable aléatoire: <>. Quelle est la vraie loi de $X$ ? (on ne donnera que la forme générale); quel est son espérance, son écart-type ? \item En approchant cette loi par celle d'une loi normale adaptée, calculez la probabilité pour que $X$ soit compris entre 18 et 22 ($P[18 \leq X\leq 22]$) ; on fera les calculs avec et sans correction de continuité. On fera également les calculs avec la vraie loi pour comparer. \end{enumerate} \finenonce{006020} \finexercice \exercice{6021, quinio, 2011/05/20} \enonce{006021}{} On effectue un contrôle sur des pièces de un euro dont une proportion $p=0,05$ est fausse et sur des pièces de 2 euros dont une proportion $p'=0,02$ est fausse. Il y a dans un lot $500$ pièces dont $150$ pièces de un euro et $350$ pièces de 2 euros. \begin{enumerate} \item On prend une pièce au hasard dans ce lot: quelle est la probabilité qu'elle soit fausse? \item Sachant que cette pièce est fausse, quelle est la probabilité qu'elle soit de un euro? \item On contrôle à présent un lot de 1000 pièces de un euro. Soit $X$ la variable aléatoire: <>. Quelle est la vraie loi de $X$ ? (on ne donnera que la forme générale); quelle est son espérance, son écart-type? \item En approchant cette loi par celle d'une loi normale adaptée, calculez la probabilité pour que $X$ soit compris entre 48 et 52. \end{enumerate} \finenonce{006021} \finexercice \exercice{6022, quinio, 2011/05/20} \enonce{006022}{} On jette un dé 180 fois. On note $X$ la variable aléatoire : <>. \begin{enumerate} \item Quelle est la loi de $X$ ? \item Calculez la probabilité pour que $X$ soit compris entre 29 et 32. \end{enumerate} \finenonce{006022} \finexercice \exercice{6023, quinio, 2011/05/20} \enonce{006023}{} Aux dernières élections présidentielles en France, le candidat A a obtenu $20$\% des voix. On prend au hasard dans des bureaux de vote de grandes villes des lots de $200$ bulletins: on note $X$ la variable aléatoire <>. \begin{enumerate} \item Quelle est la loi de probabilité de $X$? \item Comment peut-on l'approcher? \item Quelle est alors la probabilité pour que : $X$ soit supérieur à $45$? $X$ compris entre $30$ et $50$? \item Pour un autre candidat B moins heureux le pourcentage des voix est de $2$\%. En notant $Y$ le nombre de voix pour B dans les différents bureaux, sur $100$ bulletins, reprendre les questions 1 et 2. Quelle est alors la probabilité pour que : $Y$ soit supérieur à $5$? $Y$ compris entre $1$ et $4$ ? \end{enumerate} \finenonce{006023} \finexercice \exercice{6024, quinio, 2011/05/20} \enonce{006024}{} On suppose qu'il y a une probabilité égale à $p$ d'être contrôlé lorsqu'on prend le tram. Monsieur A fait $n$ voyages par an sur cette ligne. \begin{enumerate} \item On suppose que $p=0.10$, $n=700$. \begin{enumerate} \item Quelle est la probabilité que Monsieur A soit contrôlé entre 60 et 80 fois dans l'année ? \item Monsieur A voyage en fait toujours sans ticket. Afin de prendre en compte la possibilité de faire plusieurs passages avec le même ticket, on suppose que le prix d'un ticket est de 1,12 euros. Quelle amende minimale la compagnie doit-elle fixer pour que le fraudeur ait, sur une période d'une année, une probabilité supérieure à $0.75$ d'être perdant ? \end{enumerate} \item On suppose que $p=0.50$, $n=300$. Monsieur A voyage toujours sans ticket. Sachant que le prix d'un ticket est de 1,12 euros, quelle amende minimale la compagnie doit-elle fixer pour que le fraudeur ait, sur une période d'une année, une probabilité supérieure à $0.75$ d'être perdant ? \end{enumerate} \finenonce{006024} \finexercice \section{ 260.05 Espérance, variance } \exercice{6916, ruette, 2013/01/24} \enonce{006916}{} On lance deux dés à 6 faces. Soit $X_1$ le résultat du premier dé, $X_2$ le résultat du deuxième dé, et $S=X_1+X_2$. \begin{enumerate} \item Calculer $E(X_1)$ et $Var(X_1)$. \item En déduire $E(S)$ et $\text{Var}(S)$. \end{enumerate} \finenonce{006916} \finexercice \exercice{6917, ruette, 2013/01/24} \enonce{006917}{} Une urne contient 10 boules rouges et 5 boules blanches. \begin{enumerate} \item On effectue des tirages successifs en remettant après chaque tirage la boule sortie dans l'urne. Sur trois tirages, combien de boules rouges va-t-on tirer en moyenne ? En moyenne, combien faudra-t-il effectuer de tirages avec remise avant de tirer une boule rouge ? \item On effectue maintenant 3 tirages sans remise. Combien de boules rouges va-t-on tirer en moyenne ? \end{enumerate} \finenonce{006917} \finexercice \exercice{6918, ruette, 2013/01/24} \enonce{006918}{} Pour une élection, une population de $N$ individus a eu à choisir entre voter pour le candidat $A$ ou le candidat $B$. On note $m$ le nombre de personnes ayant voté pour $A$. On interroge au hasard $k$ individus différents dans cette population ($1\leq k\leq N$). \begin{enumerate} \item On désigne par $a_1,\ldots, a_m$ les $m$ personnes qui ont voté pour $A$. Pour $i\in\{1,\ldots,m\}$, on note $X_i$ l'indicatrice de l'événement ``la personne $a_i$ est interrogée''. Quelle est la loi de $X_i$~? \item Déterminer l'espérance ainsi que la matrice de covariance de $(X_{1},\ldots,X_{m})$. \item On pose $S=\sum_{i=1}^{m}X_i$. Quelle est la loi de $S$~? \item Déterminer le nombre moyen de personnes votant pour $A$ sur $k$ personnes tirées au hasard. \item Déterminer la variance de $S$. \end{enumerate} \finenonce{006918} \finexercice \exercice{6919, ruette, 2013/01/24} \enonce{006919}{} Le tableau ci-dessous donne la loi d'un couple de variables aléatoires $(X,Y)$, avec $X$ prenant ses valeurs dans $\{0,3\}$ et $Y$ prenant ses valeurs dans $\{0,1\}$. Calculer la covariance entre $X$ et $Y$, puis la corrélation entre $X$ et $Y$. $$ \begin{array}{|c|c|c|} \hline X\ \backslash\ Y & 0 & 1 \\ \hline 0&1/3&0\\ \hline 3&1/6&1/2\\ \hline\end{array} $$ \finenonce{006919} \finexercice \exercice{6920, ruette, 2013/01/24} \enonce{006920}{} Soit $U$ et $V$ deux variables aléatoires de même loi, à valeurs dans $\{1,\ldots, N\}$. On pose $X=U-V$ et $Y=U+V$. Déterminer la covariance entre $X$ et $Y$. \finenonce{006920} \finexercice \section{ 260.06 Droite de régression } \section{ 260.07 Fonctions génératrices } \section{ 260.99 Autre } \section{ 261.01 Densité de probabilité } \exercice{6924, ruette, 2013/01/24} \enonce{006924}{} Madame Michel et Monsieur Lustucru vont chaque semaine au marché hebdomadaire de Kerplou. Madame Michel arrive à une heure aléatoire entre 8h et 12h et elle reste 30 minutes ; on suppose que son heure d'arrivée suit une loi uniforme. Monsieur Lustucru arrive à 10h pile et reste également 30 minutes. Quelle est la probabilité pour qu'ils se trouvent ensemble au marché à un certain moment ? \finenonce{006924} \finexercice \exercice{6925, ruette, 2013/01/24} \enonce{006925}{} \def\I1{{ \rm 1\:\!\!\! l}} Soit $X$ et $Y$ des variables aléatoires indépendantes de loi uniforme de densité $\I1_{[0,1]}$ et $Z=X+Y$. Calculer la loi de $Z$. \finenonce{006925} \finexercice \exercice{6926, ruette, 2013/01/24} \enonce{006926}{Fonction de répartition, indépendance} Soit $X_1,\ldots, X_n$ des variables aléatoires indépendantes de même loi exponentielle $\mathcal{E}(1)$ et $Z=\min(X_1,\ldots,X_n)$. Déterminer la loi de $Z$. \finenonce{006926} \finexercice \section{ 261.02 Loi faible des grands nombres } \exercice{6927, ruette, 2013/01/24} \enonce{006927}{} On suppose que le nombre de pièces sortant d'une usine donnée en une journée est une variable aléatoire d'espérance $50$. \begin{enumerate} \item Peut-on estimer la probabilité que la production de demain dépasse 75 pièces~? \item Que peut-on dire de plus sur cette probabilité si on sait que l'écart-type de la production quotidienne est de $5$ pièces~? \end{enumerate} \finenonce{006927} \finexercice \exercice{6928, ruette, 2013/01/24} \enonce{006928}{} Pour étudier les particules émises par une substance radioactive, on dispose d'un détecteur. On note $X$ la variable aléatoire représentant le nombre de particules qui atteignent le détecteur pendant un intervalle de temps $\Delta t$. Le nombre maximal de particules que le détecteur peut compter pendant un intervalle de temps $\Delta t$ est de $10^3$. On suppose que $X$ suit une loi de Poisson de paramètre $\lambda=10^2$. Donner une majoration de la probabilité que $X$ dépasse~$10^3$.\\ \textit{(On rappelle que l'espérance et la variance d'une loi de Poisson $\mathcal{P}(\lambda)$ sont égales à $\lambda$.)} \finenonce{006928} \finexercice \section{ 261.03 Convergence en loi } \section{ 261.04 Loi normale } \exercice{6921, ruette, 2013/01/24} \enonce{006921}{} \begin{enumerate} \item Soit $X$ une variable aléatoire suivant une loi normale $N(m,\sigma^2)$. Quelle est la probabilité que $X$ soit supérieure à $m$ ? \item Soit $Y$ une variable aléatoire suivant une loi normale $N(0,1)$. Quelle est la loi de $-Y$ ? la loi de $\sigma Y+m$ ? \item En utilisant la table de $\mathcal{N}(0,1)$, déterminer $P(0\le Y\le 0,8)$, $P(-0,6\le Y\le 0)$ et $P(Y\le 0,8)$. \end{enumerate} \finenonce{006921} \finexercice \exercice{6922, ruette, 2013/01/24} \enonce{006922}{} Soient $X_1$, $X_2$, $X_3$, trois variables aléatoires de loi normale indépendantes telles que $E(X_1 ) = 100$, $\text{Var}(X_1 ) = 100$, $E(X_2 ) = 20$, $\text{Var}(X_2 ) = 4$, $E(X_3 ) = 50$, $\text{Var}(X_3 ) = 25$. On forme la combinaison linéaire $Y=X_1 +2X_2 -X_3$. Déterminer $E(Y)$ et $\text{Var}(Y)$. Quelle est la loi de $Y$ ? \finenonce{006922} \finexercice \exercice{6923, ruette, 2013/01/24} \enonce{006923}{} Une machine est conçue pour confectionner des paquets d'un poids de 500g, mais ils n'ont pas exactement tous le même poids. On a constaté que la distribution des poids autour de la valeur moyenne de 500g avait un écart-type de 25g. \begin{enumerate} \item Par quelle loi est-il raisonnable de modéliser le poids des paquets ? \item Sur 1000 paquets, quel est le nombre moyen de paquets pesant entre 480g et 520g ? (\textit{utiliser la table de $\mathcal{N}(0,1)$}) \item Combien de paquets pèsent entre 480g et 490g ? \item Sur 1000 paquets, quel est le nombre moyen de paquets pesant plus de 450g ? \item Trouver $a$ tel que les 9/10 de cette production aient un poids compris entre $500-a$ et $500+a$. \end{enumerate} \finenonce{006923} \finexercice \section{ 261.99 Autre } \exercice{6954, ruette, 2013/01/24} \enonce{006954}{Le paradoxe des cordes de Bertrand} On considère un cercle. On choisit une corde au hasard et on cherche la probabilité pour que cette corde passe à l'intérieur d'un triangle équilatéral inscrit dans le cercle dont un des sommets est une des extrémités de la corde (voir la figure) ou, de façon équivalente, pour que cette corde soit plus longue que le côté d'un triangle équilatéral inscrit dans le cercle. \bigskip %\bigskip \centerline{\includegraphics{../images/img006954-1}} \bigskip {\it Cet exercice est volontairement formulé de façon imprécise. Essayez de trouver la solution de façon intuitive (pas de théorème à utiliser ici). Il est fort probable que vous ne trouviez pas tous la même probabilité. Historiquement, ce genre de paradoxe a motivé l'introduction d'une théorie rigoureuse du hasard. } \finenonce{006954} \finexercice \section{ 262.01 Estimation } \exercice{6028, quinio, 2011/05/20} \enonce{006028}{} Le staff médical d'une grande entreprise fait ses petites statistiques sur le taux de cholestérol de ses employés; les observations sur 100 employés tirés au sort sont les suivantes. \begin{tabular}{cc} taux de cholestérol en cg:(centre classe) & effectif d'employés: \\ $120$ & $9$ \\ $160$ & $22$ \\ $200$ & $25$ \\ $240$ & $21$ \\ $280$ & $16$ \\ $320$ & $7$ \end{tabular} \begin{enumerate} \item Calculer la moyenne $m_{e}$ et l'écart-type $\sigma_{e}$ sur l'échantillon. \item Estimer la moyenne et l'écart-type pour le taux de cholestérol dans toute l'entreprise. \item Déterminer un intervalle de confiance pour la moyenne. \item Déterminer la taille minimum d'échantillon pour que l'amplitude de l'intervalle de confiance soit inférieure à 10. \end{enumerate} \finenonce{006028} \finexercice \exercice{6029, quinio, 2011/05/20} \enonce{006029}{} Sur $12\,000$ individus d'une espèce, on a dénombré $13$ albinos. Estimer la proportion d'albinos dans l'espèce. On comparera les méthodes d'approximation des lois réelles par d'autres lois classiques. \finenonce{006029} \finexercice \section{ 262.02 Tests d'hypothèses, intervalle de confiance } \exercice{6025, quinio, 2011/05/20} \enonce{006025}{} Un échantillon de $10\,000$ personnes sur une population étant donné, on sait que le taux moyen de personnes à soigner pour un problème de cholestérol élevé est de $7,5$\%. Donner un intervalle dans lequel on soit <> à $95$\%, de trouver le nombre exact de personnes à soigner sur les $10\,000$. \finenonce{006025} \finexercice \exercice{6026, quinio, 2011/05/20} \enonce{006026}{} Un vol Marseille - Paris est assuré par un Airbus de $150$ places ; pour ce vol des estimations ont montré que la probabilité pour qu'une personne confirme son billet est $p=0.75$. La compagnie vend $n$ billets, $n>150$. Soit $X$ la variable aléatoire <>. \begin{enumerate} \item Quelle est la loi exacte suivie par $X$ ? \item Quel est le nombre maximum de places que la compagnie peut vendre pour que, à au moins $95$\%, elle soit sûre que tout le monde puisse monter dans l'avion, c'est-à-dire $n$ tel que : $P[X>150] \leq 0.05$ ? \item Reprendre le même exercice avec un avion de capacité de $300$ places; faites varier le paramètre $p = 0.5$ ; $p=0.8$. \end{enumerate} \finenonce{006026} \finexercice \exercice{6027, quinio, 2011/05/20} \enonce{006027}{} Un petit avion (liaison Saint Brieuc-Jersey) peut accueillir chaque jour 30 personnes; des statistiques montrent que 20\% des clients ayant réservé ne viennent pas. Soit $X$ la variable aléatoire: <>. \begin{enumerate} \item Quelle est la loi de $X$ ? (on ne donnera que la forme générale); quelle est son espérance, son écart-type ? \item Donner un intervalle de confiance au seuil 95\%, permettant d'estimer le nombre de clients à prévoir. \end{enumerate} \finenonce{006027} \finexercice \exercice{6030, quinio, 2011/05/20} \enonce{006030}{} Une compagnie aérienne a demandé des statistiques afin d'améliorer la sûreté au décollage et définir un poids limite de bagages. Pour l'estimation du poids des voyageurs et du poids des bagages, un échantillon est constitué de 300 passagers qui ont accepté d'être pesés : on a obtenu une moyenne $m_{e}$ de 68kg, avec un écart-type $\sigma_{e}$ de 7 kg. \begin{enumerate} \item Définir un intervalle de confiance pour la moyenne des passagers. (On admet que le poids des passagers suit une loi normale de moyenne $m$, d'écart-type $\sigma $.) \item Montrer que l'on peut considérer que le poids des passagers est une variable aléatoire $X$ de moyenne 70 kg, d'écart-type 8 kg. \item En procédant de même pour le poids des bagages, on admet les résultats : \begin{itemize} \item Si le poids maximum autorisé est de 20 kg, le poids des bagages peut être considéré comme une variable aléatoire $Y$ de moyenne 15 kg, d'écart-type 5 kg. \item La capacité de l'avion est de 300 passagers; l'avion pèse, à vide, 250 tonnes. Le décollage est interdit si le poids total dépasse 276.2 tonnes. Quelle est la probabilité pour que le décollage soit interdit ? \end{itemize} \end{enumerate} \finenonce{006030} \finexercice \exercice{6031, quinio, 2011/05/20} \enonce{006031}{} Afin de mieux satisfaire leurs clients, une grande société fournisseur d'accès internet fait ses statistiques sur le nombre d'appels reçus en \emph{hotline}, elle pourra ainsi évaluer le temps d'attente pour le client et le nombre d'employés à mettre au standard; les résultats de l'enquête portent sur 200 séquences \ consécutives de une minute, durant lesquelles le nombre d'appels moyen a été de 3 appels par minute. On suppose que les appels sont répartis également dans le temps: on partage un intervalle de temps en unités de une seconde; alors dans chaque unité de temps, il y a au plus un appel. \begin{enumerate} \item Quelle est la loi de probabilité du nombre d'appels reçus en 4 minutes? \item Montrer que l'on peut approcher cette loi par une loi de Poisson. \item Donner un intervalle de confiance pour le nombre moyen d'appels en 4 minutes. \end{enumerate} \finenonce{006031} \finexercice \exercice{6032, quinio, 2011/05/20} \enonce{006032}{} On s'intéresse au problème des algues toxiques qui atteignent certaines plages de France; après étude on constate que 10\% des plages sont atteintes par ce type d'algues et on veut tester l'influence de rejets chimiques nouveaux sur l'apparition de ces algues. Pour cela 50 plages proches de zones de rejet chimiques, sont observées; on compte alors le nombre de plages atteintes par l'algue nocive : on constate que 10 plages sont atteintes par l'algue. Pouvez-vous répondre à la question <> \finenonce{006032} \finexercice \exercice{6033, quinio, 2011/05/20} \enonce{006033}{} On veut étudier la liaison entre les caractères : <<être fumeur>> (plus de 20 cigarettes par jour, pendant 10 ans) et <>, sur une population de 1000 personnes, dont 500 sont atteintes d'un cancer de la gorge. Voici les résultats observés: Tableau observé \begin{center} \begin{tabular}{cccc} \emph{Observé} & cancer & non cancer & marge \\ \text{fumeur} & 342 & 258 & 600 \\ \text{non fumeur} & 158 & 242 & 400 \\ \text{marge} & 500 & 500 & 1000 \end{tabular} \end{center} Faire un test d'indépendance pour établir la liaison entre ces caractères. \finenonce{006033} \finexercice\exercice{6929, ruette, 2013/01/24} \enonce{006929}{} On mesure une certaine grandeur physique $G$ avec un appareil dont la précision est caractérisée par l'écart-type $\sigma$. On fait l'hypothèse que les mesures suivent une loi normale. \begin{enumerate} \item On effectue une seule mesure, on trouve $g_{1} = 1,364$. On suppose connue la précision de l'appareil de mesure : $\sigma=4,3.10^{-3}$ (unité arbitraire). %Donner la meilleure estimation possible de $G$. Déterminer un intervalle de confiance contenant, avec une probabilité de 90\%, la valeur $G$. \item On ignore la précision de l'appareil de mesure. On effectue 5 mesures. On trouve : \begin{center} \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|} \hline 1,365&1,371&1,368&1,359&1,362\\\hline %1.366 &1.365&1.367&1.363&1.364\\\hline \end{tabular} \end{center} Donner des estimations de $G$ et de $\sigma$. Déterminer un intervalle de confiance contenant, avec une probabilité de 90\%, la valeur $G$. \end{enumerate} \finenonce{006929} \finexercice \exercice{6930, ruette, 2013/01/24} \enonce{006930}{} On interroge 1000 électeurs, 521 d'entre eux ont déclaré avoir l'intention de voter pour le candidat A. Indiquer avec une probabilité de 0,95 entre quelles limites se situe la proportion du corps électoral favorable à A au moment du sondage. \finenonce{006930} \finexercice \exercice{6931, ruette, 2013/01/24} \enonce{006931}{} La firme Comtec vient de développer un nouveau dispositif électronique. Avant de le mettre en production, on veut en estimer la fiabilité en termes de durée de vie. D'après le bureau de Recherche et Développement de l'entreprise, l'écart-type de la durée de vie de ce dispositif serait de l'ordre de 100 heures. Déterminer le nombre d'essais requis pour estimer, avec un niveau de confiance de 95\%, la durée de vie moyenne d'une grande production de sorte que la marge d'erreur dans l'estimation n'excède pas $\pm$ 50 heures. Même question pour une marge d'erreur n'excédant pas $\pm$ 20 heures. \finenonce{006931} \finexercice \exercice{6932, ruette, 2013/01/24} \enonce{006932}{} On effectue un sondage sur un échantillon de 10\,000 personnes à la veille d'un référendum : 4903 d'entre elles s'apprêtent à voter oui, et 5097 à voter non. Quel risque d'erreur court-on en prédisant la victoire du non ? \finenonce{006932} \finexercice \exercice{6933, ruette, 2013/01/24} \enonce{006933}{} Chaque jour, un train subit un retard aléatoire au départ, évalué en minutes, indépendant des retards des autres jours et dont la loi est approximativement $\mathcal{E}(\lambda)$ (\textit{on rappelle qu'une loi exponentielle $\mathcal{E}(\lambda)$ a pour espérance $1/\lambda$ et pour écart-type $1/\lambda$}). Sur 400 jours, le retard moyen est de 10 minutes. Donner un intervalle de confiance de niveau approximativement 95\% pour $\lambda$. \finenonce{006933} \finexercice \exercice{6934, ruette, 2013/01/24} \enonce{006934}{} Sur un lot de 700 boulons soumis à des essais de rupture, 300 ont résisté. Sur un second lot de 225, 125 ont résisté. Peut-on admettre, au seuil de 5\%, que ces deux lots appartiennent à la même population ? \finenonce{006934} \finexercice \exercice{6935, ruette, 2013/01/24} \enonce{006935}{} A l'issue d'une expérience de 1000 tirages, un générateur de chiffres aléatoires a donné les résultats suivants : \begin{center} \begin{tabular} [c]{|c|llllllllll|}% \hline chiffre & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 0\\ nombre d'apparitions & 87 & 103 & 90 & 110 & 81 & 108 & 85 & 123 & 90 & 123\\ \hline \end{tabular} \end{center} Tester au niveau 5\% l'hypothèse selon laquelle le générateur simule de façon satisfaisante un tirage uniforme sur les entiers $\{0,\ldots, 9\}$. \finenonce{006935} \finexercice \exercice{6936, ruette, 2013/01/24} \enonce{006936}{} Le couvert végétal du domaine vital d'un élan d'Amérique se composait de feuillus ($25,8\%$ de la superficie), de forêts mixtes ($38\%$ de la superficie), de résineux ($25,8\%$ de la superficie) et d'un marécage ($10,4\%$ de la superficie). Dans ce domaine, l'élan fut localisé à $511$ reprises au cours de l'année : $118$ fois dans les feuillus, $201$ fois dans les forêts mixtes, $110$ fois dans les résineux et $82$ fois dans le marécage. [Source~: B. Scherrer ``Biostatistique'', éditeur Gaetan Morin, 1984, page 556] L'élan fréquente-t-il indifféremment les quatre types de végétation de son domaine vital~? \finenonce{006936} \finexercice \exercice{6937, ruette, 2013/01/24} \enonce{006937}{} \label{exBateson} A la suite de la formulation des lois de Mendel, Bateson a effectué des croisements avec des pois de senteur afin d'étudier la couleur (pourpre ou rouge) et la forme du pollen (allongée ou ronde). Ces croisements ont été fait sur des hybrides qui sont de couleur pourpre et ont un pollen de forme allongé ; en supposant que la couleur et la forme du pollen sont chacun controlés par un gène qui a deux formes différentes (appelées allèles) notées $S$ et $s$ pour la couleur et $T$, $t$ pour la forme du pollen, le génotype d'un pois hybride pour ces deux caractères est $(Ss,Tt)$. Les majuscules désignent les allèles dominants (ici la couleur pourpre et la forme allongée du pollen). Les résultats des croisements sont donnés dans le tableau ci-dessous~: \begin{center} \begin{tabular}{|c|cc|} \hline & couleur pourpre & couleur rouge \\ \hline pollen allongé & 1528 & 117 \\ pollen rond & 106 &381\\ \hline \end{tabular} \end{center} En faisant l'hypothèse que les quatre possibilités de transmission des allèles pour chacun de ces deux gènes sont équiprobables, peut-on affirmer que les gènes contrôlant ces deux caractères sont transmis indépendamment l'un de l'autre~?\\ Comment s'assurer que l'hypothèse sur la transmission équiprobable des quatre possibilités de transmission des allèles est valide pour chacun de ces deux gènes~? \finenonce{006937} \finexercice \section{ 262.99 Autre } \section{ 300.00 Groupe quotient, théorème de Lagrange } \exercice{1434, ortiz, 1999/04/01} \enonce{001434}{} Soit $G$ un groupe non r\'eduit \`a un \'el\'ement. Un sous-groupe $M$ de $G$ est dit \textit{maximal} si le seul sous-groupe de $G$, distinct de $G$ et contenant $M,$ est $M$ lui-m\^eme. Les questions sont ind\'ependantes. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que $6\Zz$ n'est pas un sous-groupe maximal de $\Zz$. \item Montrer que $5\Zz$ est un sous-groupe maximal de $\Zz$. \end{enumerate} \item On pose $G:=\Zz/8\Zz.$ Soit $H_1$ le sous-groupe de $G$ engendr\'e par $\overline{4}$ et $H_2$ le sous-groupe de $G$ engendr\'e par $% \overline{2}$. \begin{enumerate} \item Expliciter les \'el\'ements de $H_1$ et $H_2$. \item Montrer que $H_1$ n'est pas un sous-groupe maximal de $G$ et que $% H_2$ est un sous- groupe maximal de $G$. \end{enumerate} \end{enumerate} \finenonce{001434} \finexercice \exercice{1435, ortiz, 1999/04/01} \enonce{001435}{} D\'eterminer tous les sous-groupes de $\Zz/8\Zz.$ \finenonce{001435} \finexercice \exercice{1436, ortiz, 1999/04/01} \enonce{001436}{} Montrer que le groupe-quotient $\Cc/\Rr$ est isomorphe \`a $\Rr.$ \finenonce{001436} \finexercice \exercice{1437, ortiz, 1999/04/01} \enonce{001437}{} Soit $G$ le groupe $\Qq/\Zz$. Si $q\in\Q$, on note $\text{cl}(q)$ la classe de $q$ modulo $~\Zz.$ \begin{enumerate} \item Montrer que $\text{cl}(\frac {35}{6})=\text{cl}(\frac 56)$ et d\'eterminer l'ordre de $\text{cl}(\frac {35}{6})$. \item Montrer que si $x\in G$ il existe un unique $\alpha \in \Qq\cap \left[ 0,1\right[ $ tel que $x=\text{cl}(\alpha ).$ \item Montrer que tout \'el\'ement de $G$ est d'ordre fini et qu'il existe des \'el\'ements d'ordre arbitraire. \end{enumerate} \finenonce{001437} \finexercice \exercice{1438, ortiz, 1999/04/01} \enonce{001438}{} D\'ecrire le groupe-quotient $\Rr^{*}/\Rr_{+}^{*}$ et montrer qu'il est isomorphe \`a $\Zz/2\Zz.$ \finenonce{001438} \finexercice \exercice{1439, ortiz, 1999/04/01} \enonce{001439}{} Montrer que tout quotient d'un groupe monog\`ene est monog\`ene. \finenonce{001439} \finexercice \exercice{1440, ortiz, 1999/04/01} \enonce{001440}{} Soient $G$ le groupe-produit $\left( \Zz/4\Zz\right) \times \left( \Zz/4\Zz\right) $ et $H$ le sous-groupe de $G$ engendr\'e \nolinebreak par $(\overline{3},\overline{2}).$ \'Ecrire la d\'ecomposition de $G$ suivant les classes \`a gauche modulo $H.$ D\'ecrire le groupe-quotient \mbox{$G/H.$} \finenonce{001440} \finexercice \exercice{1441, legall, 1998/09/01} \enonce{001441}{} Soit $ G $ un groupe $ Z(G)=\{ h\in G ; \forall g \in g , gh=hg\} .$ \begin{enumerate} \item Montrer que $ Z(G) $ est un sous-groupe distingu\'e de $ G .$ \item Montrer que si $ G/Z(G) $ est monog\`ene $ G $ est cyclique. \end{enumerate} \finenonce{001441} \finexercice \exercice{1442, legall, 1998/09/01} \enonce{001442}{} Soit $ G $ un groupe ; on note $ D(G) $ le groupe engendr\'e par les \'el\'ements de la forme $ghg^{-1}h^{-1}$ ; $g,h\in G.$ \begin{enumerate} \item Montrer que $ D(G) $ est distingu\'e dans $ G .$ \item Montrer que $ G/D(G) $ est commutatif~; plus g\'en\'eralement montrer qu'un sous-groupe distingu\'e $ H $ de $ G $ contient $ D(G) $ si et seulement si $ G/H $ est commutatif. \end{enumerate} \finenonce{001442} \finexercice \exercice{1443, legall, 1998/09/01} \enonce{001443}{} Soit $ G $ un groupe~; on note, pour tout $ g \in G $ $ \varphi _g $ l'application $ x\mapsto gxg^{-1} $ de $ G $ dans lui-m\^eme et $ \hbox{Int}(G) =\{ \varphi _g ; g \in G \} .$ \begin{enumerate} \item Montrer que $ \hbox{Int}(G) $ est un sous-groupe distingu\'e de $ \hbox{Aut}(G) .$ \item Soit $ f : G\rightarrow \hbox{Int}(G) $ l'application $ g \mapsto \varphi _g .$ Montrer que $ f $ est un homomorphisme de groupe. Calculer $ \hbox{Ker}(f) .$ \item En d\'eduire que $ G/Z(G) $ est isomorphe \`a $ \hbox{Int}(G) .$ \end{enumerate} \finenonce{001443} \finexercice \exercice{1444, legall, 1998/09/01} \enonce{001444}{} Soit $ G $ un groupe, $ H $ et $ K $ deux sous-groupes de $ G .$ On note $ HK=\{ hk ; h\in H , k\in K\} .$ On suppose que $ K $ est distingu\'e dans $ G .$ \begin{enumerate} \item Montrer que $ HK=KH $ et que $ HK $ est un sous-groupe de $ G .$ \item Montrer que $ H $ et $ K $ sont des sous-groupes de $ KH $ et que $ K\cap H $ est un sous-groupe distingu\'e de $ H $ et que $ K $ est distingu\'e dans $ KH .$ \item Soit $ \varphi : H\rightarrow (HK)/K $ la restriction \`a $ H $ de l'application quotient. Calculer le noyau et l'image de $ \varphi .$ En d\'eduire que les groupes $ H/(K\cap H) $ et $ (HK)/K $ sont isomorphes. \end{enumerate} \finenonce{001444} \finexercice \exercice{1445, legall, 1998/09/01} \enonce{001445}{} Soit $ G $ un groupe, $ H $ et $ K $ deux sous-groupes distingu\'es de $ G $ avec $ H\subset K .$ \begin{enumerate} \item Montrer que $ K/H $ est un sous-groupe distingu\'e de $ G/H .$ \item Montrer que le quotient $ (G/H)/(K/H) $ est isomorphe \`a $ G/K .$ \end{enumerate} \finenonce{001445} \finexercice \exercice{1446, legall, 1998/09/01} \enonce{001446}{} Soit $ G $ le sous-groupe de $ Gl(2, \R ) $ engendr\'e par les matrices $ \displaystyle{ A= \frac{1 }{\sqrt 2} \begin{pmatrix}-1 & 1\cr 1 & 1 \cr \end{pmatrix} } $ et $ B= \begin{pmatrix}-1 & 0\cr 0 & 1 \cr \end{pmatrix} .$ \begin{enumerate} \item Soit $ H $ le sous-groupe de $ G $ engendr\'e par $ AB .$ Calculer $ \vert H\vert $ \item Montrer que $ H $ est distingu\'e dans $ G .$ Calculer le quotient $ G/H ;$ en d\'eduire $ \vert G\vert .$ \end{enumerate} \finenonce{001446} \finexercice \exercice{1447, ortiz, 1999/04/01} \enonce{001447}{} Les questions sont ind\'ependantes. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que l'application $f:\Zz^2\to \Zz$, $(x,y)\mapsto3x+6y$ est un morphisme de groupes. \item D\'eterminer le noyau $\ker f$ de $f$ et montrer qu'il n'existe pas $(p,q)\in\Zz^2$ tel que $\ker f=p\Zz\times q\Zz.$ \item Montrer que le groupe-quotient $\Zz^2/\Zz(-2,1)$ est isomorphe au groupe $3\Zz.$ \end{enumerate} \item Soit $G$ le sous-groupe de $\Zz^2$ engendr\'e par $(2,0)$ et $(0,2).$ Montrer que le groupe-quotient $\Zz^2/G$ est isomorphe \`a $\Zz/2\Zz\times\Zz/2\Zz.$ \end{enumerate} \finenonce{001447} \finexercice \exercice{1448, hilion, 2003/10/01} \enonce{001448}{} \begin{enumerate} \item Montrer que les sous-groupes de $\Zz$ sont de la forme $n\Zz$ o\`u $n\in\Nn$. (indication: utiliser la division euclidienne). \item Rappeler pourquoi ces sous-groupes sont distingués. On peut donc considérer les groupes quotients $\Zz/n\Zz$. \item Montrer que $\Zz/n\Zz$ est isomorphe au groupe des racines $n^{\text{i\`eme}}$ de l'unité. \item Montrer que $\Zz/n\Zz$ est isomorphe au groupe engendré par un cycle de longueur $n$ dans $S_N$ ($N\geq n)$. \item Plus généralement, montrer qu'il existe, à isomorphisme près, un seul groupe monogène (ie engendré par un seul élément) d'ordre $n$, appelé groupe cyclique d'ordre $n$. \end{enumerate} \finenonce{001448} \finexercice \exercice{1449, hilion, 2003/10/01} \enonce{001449}{} Rappel: si $A$ est un anneau (en particulier, si $A$ est un corps), on note $GL_n(A)$ l'ensemble des matrices carrées de dimension $n$ à coefficient dans $A$, qui sont inversibles. $GL_n(A)$ forme un groupe pour la loi $\times$ de multiplication des matrices, appelé groupe linéaire. Une matrice carrée de dimension $n$ est dans $GL_n(A)$ ssi son déterminant est un inversible de l'anneau $A$ (ce qui revient à dire, lorsque $A$ est un corps, que son déterminant est non nul). Pour simplifier, on suppose dans l'exercice que $A$ est un corps, noté $\mathbb{K}$. \begin{enumerate} \item Montrer que $\det:GL_n(\mathbb{K})\rightarrow\mathbb{K}^*$ est un morphisme de groupes. \item On note $SL_n(\mathbb{K})=\ker(\det)$. Dire pourquoi $SL_n(\mathbb{K})$ est un sous-groupe distingué de $GL_n(\mathbb{K})$ et montrer que $GL_n(\mathbb{K})/SL_n(\mathbb{K})\cong \mathbb{K}^*$. \item Reconnaître $GL_1(\mathbb{K})$ et $SL_1(\mathbb{K})$. \item Montrer que les matrices diagonales (resp. triangulaires supérieures) de $GL_n(\mathbb{K})$ forment un sous-groupe. Sont-ils distingués? \item Montrer que $Z(GL_n(\mathbb{K}))$ est le sous-groupe formé par les homothéties. \end{enumerate} \finenonce{001449} \finexercice \section{ 301.00 Ordre d'un élément } \exercice{2101, debes, 2008/02/12} \enonce{002101}{} On dispose d'un \'echiquier et de dominos. Les dominos sont pos\'es sur l'\'echiquier soit horizontalement, soit verticalement de fa\c con \`a couvrir deux cases contigu\"es. Est-il possible de couvrir ainsi enti\`erement l'\'echiquier \`a l'exception des deux cases extr\`emes, en haut \`a gauche et en bas \`a droite? Reprendre cette question dans le cas o\`u l'on exclut deux cases quelconques \`a la place des deux cases extr\`emes ci-dessus. \finenonce{002101} \finexercice \exercice{2102, debes, 2008/02/12} \enonce{002102}{} (I) Soit $X$ un ensemble et ${\cal P} (X)$ l'ensemble des parties de $X$ ordonn\'e par l'inclusion. Soit $\varphi$ une application croissante de ${\cal P}(X)$ dans lui-m\^eme. \smallskip (a) Montrer que l'ensemble $E$ des parties $A$ de $X$ qui v\'erifient $\varphi (A)\subset A$ est non vide et admet un plus petit \'el\'ement $A_0$. \smallskip (b) Montrer que $\varphi (A_0)=A_0$. \medskip (II) Soit deux ensembles $X$ et $Y$ munis de deux injections $g$ de $X$ dans $Y$ et $h$ de $Y$ dans $X$. \smallskip (a) Montrer que l'application de ${\cal P}(X)$ dans lui-m\^eme d\'efini par $$\varphi (A)=X-h(Y-g(A))$$ est croissante. \smallskip (b) D\'eduire de ce qui pr\'ec\`ede qu'il existe une bijection de $X$ sur $Y$. \finenonce{002102} \finexercice \exercice{2103, debes, 2008/02/12} \enonce{002103}{} Soit $X$ un ensemble non vide et ordonn\'e. Montrer qu'il existe une partie $Y$ totalement ordonn\'ee de $X$ qui v\'erifie la propri\'et\'e $$\forall x \notin Y \quad \exists y\in X \quad x\ \hbox {\rm et} \ y \ \hbox {non comparables}$$ L'ensemble $Y$ est-il unique? \finenonce{002103} \finexercice \exercice{2104, debes, 2008/02/12} \enonce{002104}{} Un jardinier doit planter $10$ arbres en $5$ rang\'ees de $4$ arbres. Donner une disposition possible. Quel est le nombre minimal d'arbres dont il doit disposer pour planter $6$ rang\'ees de $5$ arbres? G\'en\'eraliser. \finenonce{002104} \finexercice \exercice{2105, debes, 2008/02/12} \enonce{002105}{} Soit $n$ et $p$ deux entiers, $p\leq n$. D\'emontrer, gr\^ace \`a un d\'enombrement, la formule suivante: $$\sum _{ 0\leq k\leq p} C_n ^k C_ {n-k}^{p-k} =2^p C_n^p$$ \finenonce{002105} \finexercice \exercice{2106, debes, 2008/02/12} \enonce{002106}{} Soit $n$ un entier impair non divisible par $3$. Montrer que $24$ divise $n^2-1$. \finenonce{002106} \finexercice \exercice{2107, debes, 2008/02/12} \enonce{002107}{} On consid\`ere sur $\R$ la loi de composition d\'efinie par $x\star y= x+y-xy$. Cette loi est-elle associative, commutative? Admet-elle un \'el\'ement neutre? Un r\'eel $x$ admet-il un inverse pour cette loi? Donner une formule pour la puissance $n$-i\`eme d'un \'el\'ement $x$ pour cette loi. \finenonce{002107} \finexercice \exercice{2108, debes, 2008/02/12} \enonce{002108}{} Soit $E$ un mono\" \i de unitaire. On dit qu'un \'el\'ement $a$ de $E$ admet un {\it inverse \`a gauche} (resp. {\it inverse \`a droite}) s'il existe $b \in E$ tel que $ba=e$ (resp. $ab=e$). \smallskip (a) Supposons qu'un \'el\'ement $a$ admette un inverse \`a gauche $b$ qui lui-m\^eme admet un inverse \`a gauche. Montrer que $a$ est inversible. \smallskip (b) Supposons que tout \'el\'ement de $E$ admette un inverse \`a gauche. Montrer que $E$ est un groupe. \finenonce{002108} \finexercice \exercice{2109, debes, 2008/02/12} \enonce{002109}{} Soit $E$ un ensemble muni d'une loi $\star $ associative (i) admettant un \'el\'ement neutre \`a gauche $e$ (i.e. $\forall x \in E \quad e\star x=x$) et (ii) tel que tout \'el\'ement poss\`ede un inverse \`a gauche (i.e. $\forall x \in E \quad \exists y\in E \quad y\star x =e$). Montrer que $E$ est un groupe pour la loi $\star$. \finenonce{002109} \finexercice \exercice{2110, debes, 2008/02/12} \enonce{002110}{} Les rationnels non nuls forment-ils un sous-groupe multiplicatif de $\R^{\times}$? \finenonce{002110} \finexercice \exercice{2111, debes, 2008/02/12} \enonce{002111}{} Montrer que l'ensemble $\{2^n \hskip 2pt | \hskip 2pt n\in \Z \} $ est un sous-groupe multiplicatif de $\Q^{*}$, ainsi que l'ensemble $\{\frac{1+2m}{1+2n} \hskip 2pt | \hskip 2pt n,m\in \Z \}$. \finenonce{002111} \finexercice \exercice{2112, debes, 2008/02/12} \enonce{002112}{} Montrer que l'ensemble des matrices carr\'ees \`a $n$ lignes et $n$ colonnes de d\'eterminant non nul est un groupe pour la multiplication. \finenonce{002112} \finexercice \exercice{2113, debes, 2008/02/12} \enonce{002113}{} On consid\`ere l'ensemble $E$ des matrices carr\'ees \`a coefficients r\'eels de la forme %$$\pmatrix { a &0 \cr b& 0 \cr },\quad a \in \R ^\times ,\quad b %\in\R$$ $$\left[ \begin{array}{cc} a&0\\ b&0\\ \end{array} \right] ,\quad a \in \R ^\times ,\quad b \in\R$$ muni du produit des matrices. \smallskip (a) Montrer que $E$ est ainsi muni d'une loi de composition interne associative. \smallskip (b) D\'eterminer tous les \'el\'ements neutres \`a droite de $E$. \smallskip (c) Montrer que $E$ n'admet pas d'\'el\'ement neutre \`a gauche. \smallskip (d) Soit $e$ un \'el\'ement neutre \`a droite. Montrer que tout \'el\'ement de $E$ poss\`ede un inverse \`a gauche pour cet \'el\'ement neutre, i.e. $$\forall g\in E\quad \exists h \in E \quad hg=e$$ \finenonce{002113} %correction %(1) Pour $a,a^\prime \in \R^\times$ et $b,b^\prime \in \R$, %on a $\displaystyle\left[\matrix{ %a & 0 \cr %b & 0 \cr %}\right]\ \left[\matrix{ %a^\prime & 0 \cr %b^\prime & 0 \cr %}\right] = \left[\matrix{ %aa^\prime & 0 \cr %ba^\prime & 0 \cr %}\right]$. %fincorrection \finexercice \exercice{2114, debes, 2008/02/12} \enonce{002114}{} \label{ex:deb14} Soit $G$ un groupe v\'erifiant $$\forall x \in G \quad x^2=e$$ Montrer que $G$ est commutatif. D\'eduire que si $G$ est fini, alors l'ordre de $G$ est une puissance de $2$. \finenonce{002114} \finexercice \exercice{2115, debes, 2008/02/12} \enonce{002115}{} Soit $G$ un groupe d'ordre pair. Montrer qu'il existe un \'el\'ement $x\in G$, $x \not= e$ tel que $x^2=e$. \finenonce{002115} \finexercice \exercice{2116, debes, 2008/02/12} \enonce{002116}{} Soit $G$ un groupe d'ordre impair. Montrer que l'application $f$ de $G$ sur lui-m\^eme donn\'ee par $f(x)=x^{2}$ est une bijection. En d\'eduire que l'\'equation $x^2=e$ a une unique solution, \`a savoir $x=e$. \finenonce{002116} \finexercice \exercice{2117, debes, 2008/02/12} \enonce{002117}{} Soient $G$ un groupe fini et $m$ un entier premier \`a l'ordre de $G$. Montrer que pour tout $a\in G$ l'\'equation $x^m=a$ admet une unique solution. \finenonce{002117} \finexercice \exercice{2118, debes, 2008/02/12} \enonce{002118}{} Soit $G$ un groupe et $H$ de $G$ engendr\'e par $x$ est d'ordre $d$. \finenonce{002122} \finexercice \exercice{2123, debes, 2008/02/12} \enonce{002123}{} On pose $SL_2 (\Z )= \{\left[\begin{array}{cc} a&b\\ c&d\\ \end{array} \right] \hskip 2pt | \hskip 2pt a,b,c,d \in \Z, ad-bc=1 \}$. \smallskip (a) Montrer que $SL_2 ( \Z )$ est un sous-groupe du groupe des matrices inversibles \`a coefficients dans $\Z$. \smallskip (b) On consid\`ere les deux matrices $$\left[ \begin{array}{cc} 0&-1\\ 1&0\\ \end{array} \right] \quad \left[ \begin{array}{cc} 0&1\\ -1&-1\\ \end{array} \right]$$ %$$A= \pmatrix { 0&-1 \cr 1&0\cr } \quad B= \pmatrix { 0&1 \cr -1&-1 \cr } $$ D\'emontrer que $A$ et $B$ sont d'ordres finis mais que $AB$ est d'ordre infini. \finenonce{002123} \finexercice \exercice{2124, debes, 2008/02/12} \enonce{002124}{} \label{ex:deb24} Soit $G$ un groupe ab\'elien et $a$ et $b$ deux \'el\'ements d'ordres finis. Montrer que $ab$ est d'ordre fini et que l'ordre de $ab$ divise le ppcm des ordres de $a$ et $b$. Montrer que si les ordres de $a$ et $b$ sont premiers entre eux, l'ordre de $ab$ est \'egal au ppcm des ordres de $a$ et de $b$. \finenonce{002124} \finexercice \exercice{2125, debes, 2008/02/12} \enonce{002125}{} Soit $G$ un groupe commutatif. Montrer que l'ensemble des \'el\'ements d'ordre fini de $G$ forme un sous-groupe de $G$. \finenonce{002125} \finexercice \exercice{2126, debes, 2008/02/12} \enonce{002126}{} D\' eterminer tous les sous-groupes de $\mu_2 \times \mu_2$. \finenonce{002126} \finexercice \exercice{2127, debes, 2008/02/12} \enonce{002127}{} Soient $G$ un groupe fini et commutatif et $\{ G_i\} _{i\in I }$ la famille des sous-groupes propres maximaux de $G$. On pose $F=\bigcap _{i\in I} G_i$. Montrer que $F$ est l'ensemble des \'el\'ements $a$ de $G$ qui sont tels que, pour toute partie $S$ de $G$ contenant $a$ et engendrant $G$, $S-\{ a \}$ engendre encore $G$. \finenonce{002127} \finexercice \exercice{2128, debes, 2008/02/12} \enonce{002128}{} D\'eterminer tous les groupes d'ordre $\leq 5$. En d\'eduire qu'un groupe non commutatif poss\`ede au moins 6 \'el\'ements. Montrer que le groupe sym\'etrique $S_3$ est non commutatif. \finenonce{002128} \finexercice \exercice{2129, debes, 2008/02/12} \enonce{002129}{} Le centre d'un groupe $G$ est l'ensemble $Z(G)$ des \'el\'ements de $G$ qui commutents \`a tous les \'el\'ements de $G$. V\'erifier que $Z(G)$ est un sous-groupe ab\'elien de $G$. Montrer que si $G$ poss\`ede un unique \'el\'ement d'ordre $2$, alors cet \'el\'ement est dans le centre $Z(G)$. \finenonce{002129} \finexercice \exercice{2130, debes, 2008/02/12} \enonce{002130}{} Soient $G$ un groupe et $H$ et $K$ deux sous-groupes de $G$. (a) Montrer que l'ensemble $HK=\{xy \hskip 2pt | \hskip 2pt x\in H, y\in K\}$ est un sous-groupe de $G$ si et seulement si $HK=KH$. (b) Montrer que si $H$ et $K$ sont finis alors $\displaystyle |HK| = \frac{|H|\cdot |K|}{|H\cap K|}$. \finenonce{002130} \finexercice \exercice{2131, debes, 2008/02/12} \enonce{002131}{} D\' eterminer tous les sous-groupes du groupe sym\'etrique $S_3$. \finenonce{002131} \finexercice \exercice{2132, debes, 2008/02/12} \enonce{002132}{} \label{ex:deb32} Montrer que dans un groupe d'ordre $35$, il existe un \'el\'ement d'ordre $5$ et un \'el\'ement d'ordre $7$. \finenonce{002132} \finexercice \exercice{2133, debes, 2008/02/12} \enonce{002133}{} Soit $G$ un groupe d'ordre $2p$ avec $p$ un nombre premier. Montrer qu'il existe un \'el\'ement d'ordre $2$ et un \'el\'ement d'ordre $p$. \finenonce{002133} \finexercice \exercice{2134, debes, 2008/02/12} \enonce{002134}{} Soient $n\geq 0$ un entier et $p$ un nombre premier tels que $p$ divise $2^{2^n}+1$. Montrer que $p$ est de la forme $p= k2^{n+1}+1$ o\`u $k$ est un entier. \finenonce{002134} \finexercice \exercice{2135, debes, 2008/02/12} \enonce{002135}{} Montrer que tout entier $n>0$ divise toujours $\varphi(2^n-1)$ (o\`u $\varphi$ est la fonction indicatrice d'Euler). \finenonce{002135} \finexercice \exercice{2661, matexo1, 2002/02/01} \enonce{002661}{} Soit $G$ un groupe multiplicatif (c'est-{\`a}-dire dont la loi est not{\'e}e multiplicativement). Soient $a$ et $b$ deux {\'e}l{\'e}ments de $G$. Montrer que si $ab$ est d'ordre fini, alors $ba$ l'est {\'e}galement et son ordre est celui de $ab$. \finenonce{002661} \finexercice \exercice{2662, matexo1, 2002/02/01} \enonce{002662}{} Montrer que les {\'e}l{\'e}ments d'ordre fini d'un groupe commutatif $G$ forment un sous-groupe de $G$. En est-il de m{\^e}me si $G$ n'est pas commutatif? \finenonce{002662} \finexercice \exercice{2663, matexo1, 2002/02/01} \enonce{002663}{} Soit $G$ un groupe commutatif multiplicatif, $a$ et $b$ deux {\'e}l{\'e}ments de $G$ d'ordres $n$ et $m$. Que peut-on dire de l'ordre de $ab$? Que peut-on dire de plus si l'intersection des sous-groupes $G_a$ et $G_b$ engendr{\'e}s par $a$ et $b$ est r{\'e}duite {\`a} $\{1_G\}$? \finenonce{002663} \finexercice \exercice{2664, matexo1, 2002/02/01} \enonce{002664}{} Montrer qu'un groupe fini dont l'ordre est un nombre premier est cyclique. \finenonce{002664} \finexercice \exercice{2665, matexo1, 2002/02/01} \enonce{002665}{} Soient $\sigma$ et $\tau$ deux transpositions de $\{1,\dots,n\}$. Montrer que $\sigma \circ \tau$ est d'ordre 1, 2 ou 3. \finenonce{002665} \finexercice \section{ 302.00 Groupe symétrique, décomposition en cycles disjoints, signature } \exercice{2666, matexo1, 2002/02/01} \enonce{002666}{} Pour tout $n\in\N^*$, calculer la signature de la permutation $[n\ n-1\ n-2 \dots\ 3\ 2\ 1]\in S_n$. \finenonce{002666} \finexercice \exercice{2667, matexo1, 2002/02/01} \enonce{002667}{} Soit $n\in\N^*$. Calculer la somme des nombres d'inversions de toutes les permutations de $\{1,2,\ldots,n\}$. \finenonce{002667} \finexercice \exercice{2668, matexo1, 2002/02/01} \enonce{002668}{} Matrices de permutation\par Soit $n\in\N^*$ et $K$ un corps. Montrer que l'application $$\begin{aligned} \phi: S_n&\to M_n(K)\cr \sigma&\mapsto(\delta_{i,\sigma(j)})_{1\leq i,j\leq n} \end{aligned} $$ o{\`u} $\delta_{k,l}=\left\{\begin{matrix}1\hbox{ si }k=l\cr 0\hbox{ si }k\neq l\end{matrix}\right.$ (symbole de Kronecker) induit un morphisme de groupes de $S_n$ dans $GL_n(K)$. \finenonce{002668} \finexercice \exercice{2669, matexo1, 2002/02/01} \enonce{002669}{} Soit $\sigma\in S_n$ et $c=(a_1\ a_2\ \dots\ a_k)$ un cycle. Quelle est la nature de la permutation $\sigma\circ c \circ\sigma^{-1}$? \finenonce{002669} \finexercice \exercice{2670, matexo1, 2002/02/01} \enonce{002670}{} Expliciter les 24 rotations de l'espace laissant un cube de sommets $A_1, A_2, \dots, A_8$ invariant.\par D{\'e}composer en cycles les permutations de $S_8$ correspondantes.\par Ecrire les produits "typiques" de 2 quelconques de ces permutations. \finenonce{002670} \finexercice \exercice{7872, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007872}{Les cycles d'ordre $3$ engendrent $\mathcal{A}_n$} Soit $n$ un entier naturel supérieur à $3$, $\mathcal{S}_n$ le groupe symétrique de $n$ lettres et $\mathcal{A}_n$ le groupe alterné. \begin{enumerate} \item Calculer les produits de transpositions $(a,b)(b,c)$, puis $(a,b)(c,d)$. \item Montrer que les cycles d'ordre $3$ engendrent $\mathcal{A}_n$. \end{enumerate} \finenonce{007872} \finexercice \exercice{7873, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007873}{Groupes symétriques} Soint $n$ un entier naturel supérieur à $3$. \begin{enumerate} \item Montrer que les permutations $(i,j)(j,k)$ et $(i,j)(k,l)$ s'écrivent comme produit de $3$-cycles. \item En déduire que le groupe alterné $\mathcal{A}_n$ est engendré par les $3$-cycles. \item Montrer que si $n\geq 5$, tous les $3$-cycles sont conjugués dans $\mathcal{A}_n$. \end{enumerate} \finenonce{007873} \finexercice \exercice{7874, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007874}{} \begin{enumerate} \item Le groupe $\mathcal{S}_n$ est-il simple ? \item Le groupe $\Z/89\Z$ est-il simple ? \item Le groupe $\Z/221\Z$ est-il simple ? \end{enumerate} \finenonce{007874} \finexercice \exercice{7875, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007875}{Simplicité de $\mathcal{A}_5$} \begin{enumerate} \item Faire la liste des classes de conjugaison de $\mathcal{S}_n$ dans $\mathcal{A}_n$ en les dénombrant. \item Montrer que les $3$-cycles sont conjugués dans $\mathcal{A}_n$. \item Montrer que les éléments d'ordre $2$ sont conjugués dans $\mathcal{A}_n$. \item Montrer que tout sous-groupe distingué $H$ de $\mathcal{A}_n$ qui contient un élément d'ordre $5$ les contient tous. (On remarquera que le groupe engendré par un élément d'ordre $5$ est un Sylow.) \item Montrer que tout sous-groupe distingué $H$ de $\mathcal{A}_n$ non réduit à $\{id\}$ contient au moins deux types d'éléments en plus de l'identité. Montrer alors que $H=\mathcal{A}_n$. \end{enumerate} \finenonce{007875} \finexercice \section{ 303.00 Sous-groupe distingué } \exercice{1428, legall, 1998/09/01} \enonce{001428}{} Soit $ G $ un groupe, $ H $ et $ K $ deux sous-groupes d'ordre fini de $ G $ tels que $ H\cap K= \{ e_G\} .$ \begin{enumerate} \item Montrer que le cardinal de $ HK $ est \'egal $ \vert H\vert \vert K\vert .$ \item En d\'eduire que si $ \vert G\vert =pq $ o\`u $ p $ est premier et $ p>q $ alors $ G $ a au plus un sous-groupe d'ordre $ p .$ Montrer que si ce sous-groupe existe il est distingu\'e dans $ G .$ \end{enumerate} \finenonce{001428} \finexercice \exercice{1429, legall, 1998/09/01} \enonce{001429}{} Soit $ G $ un groupe, $ A $ une partie non vide de $ G .$ On note $ N(A)=\{ g\in G ; gAg^{-1}=A\} $ et $ C(A)=\{ g\in G ; \forall a \in A ; gag^{-1}=a\} .$ Montrer que $ N(A) $ et $ C(A) $ sont des sous-groupes de $ G $ et que $ C(A) $ est un sous-groupe distingu\'e de $ N(A) .$ \finenonce{001429} \finexercice \exercice{1430, legall, 1998/09/01} \enonce{001430}{} Soit $ G $ un groupe, $ H $ et $ K $ deux sous-groupes de $ G .$ On note $ HK=\{ hk ; h\in H , k\in K\} .$ \begin{enumerate} \item Montrer que $ HK $ est un sous-groupe de $ G $ si et seulement si $ HK=KH .$ En d\'eduire que si $ H $ est distingu\'e dans $ G $ alors $ HK $ est un sous-groupe de $ G .$ \item On suppose d\'esormais que $ \forall h\in H , k\in K : hk=kh .$ Montrer que l'application $ f : H\times K\rightarrow G $ d\'efinie par $ \forall h\in H , k\in K : f(h,k)=hk $ est un homomorphisme de groupes. \item Calculer le noyau et l'image de $ f .$ Donner une condition n\'ec\'essaire et suffisante pour que $ f $ soit un isomorphisme de groupes. \end{enumerate} \finenonce{001430} \finexercice \exercice{1431, legall, 1998/09/01} \enonce{001431}{} \begin{enumerate} \item Soit $ G $ un groupe, $ H $ un sous-groupe de $ G .$ Montrer que les propri\'et\'es suivantes sont \'equivalentes~: \vskip1mm \hskip2mm {\em i)} $ \forall g \in G : gHg^{-1}\subset H .$ \vskip1mm \hskip2mm {\em ii)} $ \forall g \in G : gHg^{-1}= H .$ \vskip1mm \hskip2mm {\em iii)} $ \forall g \in G : gH=Hg .$ \item En d\'eduire que tout sous-groupe d'indice $ 2 $ est distingu\'e. \end{enumerate} \finenonce{001431} \finexercice \exercice{1432, ortiz, 1999/04/01} \enonce{001432}{} Soient $T=\left\{\left(\begin{smallmatrix} a&b\\0&c\end{smallmatrix}\right) : a,c\in\Rr\setminus\left\{0\right\},b\in \Rr\right\}$ et $U=\left\{\left(\begin{smallmatrix} 1&b\\0&1\end{smallmatrix}\right) : b\in \Rr\right\}.$\\ \begin{enumerate} \item Montrer que $T$ est un sous-groupe de $\text{GL}_2(\Rr).$ \item Montrer que $U$ est un sous-groupe distingu\'e de $T.$ \end{enumerate} \finenonce{001432} \finexercice \exercice{1433, hilion, 2003/10/01} \enonce{001433}{} Soit $G$ un groupe. \begin{enumerate} \item Un sous-groupe $H$ de $G$ est distingué si: $\forall x\in G, xH=Hx$, ce qui est équivalent à dire que $H$ est le noyau d'un morphisme de $G$ dans un groupe. Rappeler la démonstration de cette équivalence. \item Si $H$ est un sous-groupe d'indice 2 de $G$, montrer que $H$ est distingué. \item Si $G$ est abélien, montrer que tout sous-groupe de $G$ est distingué. \item Le centre de $G$ est l'ensemble $Z(G)=\{z\in G: \forall x\in G, xz=zx\}$. Montrer que $Z(G)$ est un sous-groupe distingué. \end{enumerate} \finenonce{001433} \finexercice \exercice{2136, debes, 2008/02/12} \enonce{002136}{} Soit $G$ un groupe tel que l'application $x\rightarrow x^{-1}$ soit un morphisme. Montrer que $G$ est commutatif. \finenonce{002136} \finexercice \exercice{2137, debes, 2008/02/12} \enonce{002137}{} Soient $G$ un groupe et $n\geq 1$ un entier tels que l'application $x\rightarrow x^n$ soit un automorphisme de $G$. Montrer que pour tout \'el\'ement $x$ de $G$, $x^{n-1}$ appartient au centre de $G$. \finenonce{002137} \finexercice \exercice{2138, debes, 2008/02/12} \enonce{002138}{} Montrer que le groupe des automorphismes du groupe $\Z /2\Z \times \Z /2 \Z$ est isomorphe au groupe sym\'etrique $S_3$. \finenonce{002138} \finexercice \exercice{2139, debes, 2008/02/12} \enonce{002139}{} Montrer qu'un sous-groupe d'indice $2$ dans un groupe $G$ est distingu\'e dans $G$. \finenonce{002139} \finexercice \exercice{2140, debes, 2008/02/12} \enonce{002140}{} Soit $G$ un groupe et $H$ un sous-groupe. On suppose que le produit de deux classes \`a gauche modulo $H$ est une classe \`a gauche modulo $H$. Montrer que $H$ est distingu\'e dans $G$. \finenonce{002140} \finexercice \exercice{2141, debes, 2008/02/12} \enonce{002141}{} Soit $G$ un groupe et $\simeq $ une relation d'\'equivalence sur $G$. On suppose que cette relation est compatible avec la loi de groupe, c'est-\`a-dire que $$\forall x,y \in G \quad \forall x',y' \in G \quad x\simeq x' \quad {\rm et}\quad y\simeq y' \quad {\rm alors} \quad xy\simeq x'y' $$ Montrer que la classe $H$ de l'\'el\'ement neutre $1$ est un sous-groupe distingu\'e de $G$ et que $$\forall x, x' \in G \quad x\simeq x' \quad \hbox{\rm est\quad \'equivalent \quad \`a} \quad x'x^{-1} \in H$$ \finenonce{002141} \finexercice \exercice{2142, debes, 2008/02/12} \enonce{002142}{} \label{ex:le7} Soit $G$ un groupe et $K\subset H\subset G$ deux sous-groupes. On suppose que $H$ est distingu\'e dans $G$ et que $K$ est caract\'eristique dans $H$ (i.e. stable par tout automorphisme de $H$). Montrer qu'alors $K$ est distingu\'e dans $G$. Donner un exemple de groupe $G$ et de deux sous-groupes $K\subset H \subset G$, $H$ \'etant distingu\'e dans $G$ et $K$ \'etant distingu\'e dans $H$, mais $K$ n'\'etant pas distingu\'e dans $G$. \finenonce{002142} \finexercice \exercice{2143, debes, 2008/02/12} \enonce{002143}{} (a) Montrer que pour tous entiers premiers entre eux $m,n>0$, les deux groupes $(\Zz/mn\Zz)^\times$ et $(\Zz/m\Zz)^\times \times (\Zz/n\Zz)^\times$ sont isomorphes. En d\'eduire que $\varphi (mn) = \varphi (m) \varphi (n)$, o\`u $\varphi$ est la fonction indicatrice d'Euler. \smallskip (b) Le groupe multiplicatif $(\Zz/15\Zz)^\times$ est-il cyclique? Montrer que $(\Zz/8\Zz)^\times \simeq (\Zz/2\Zz) \times (\Zz/2\Zz)$, que $(\Zz/16\Zz)^\times \simeq (\Zz/4\Zz)\times (\Zz/2\Zz)$. Etudier le groupe multiplicatif $(\Zz/24\Zz)^\times$. \finenonce{002143} \finexercice \exercice{2144, debes, 2008/02/12} \enonce{002144}{} (a) Montrer que si $m$ et $n$ sont des entiers premiers entre eux et qu'un \'el\'ement $z$ d'un groupe $G$ v\'erifie $z^m=z^n=e$ o\`u $e$ d\'esigne l'\'el\'ement neutre de $G$, alors $z=e$. \smallskip (b) Montrer que si $m$ et $n$ sont deux entiers premiers entre eux, l'application $$\phi: \mu_m \times \mu_n \rightarrow \mu_{mn} $$ qui au couple $(s,t)$ fait correspondre le produit $st$ est un isomorphisme de groupes \finenonce{002144} \finexercice \exercice{2145, debes, 2008/02/12} \enonce{002145}{} Montrer que les groupes $\mu_4$ et $\mu_2 \times \mu_2 $ ne sont pas isomorphes. De fa\c con g\' en\' erale montrer que si $m$ et $n$ sont des entiers qui ne sont pas premiers entre eux, les groupes $\mu_{mn}$ et $\mu_m \times \mu_n$ ne sont pas isomorphes. \finenonce{002145} \finexercice \exercice{2146, debes, 2008/02/12} \enonce{002146}{} Soit $n$ et $d$ deux entiers tels que $d$ divise $n$. On d\' efinit une application $f : \mu_n \rightarrow \mu_{d} $ qui \`a $s$ associe $s^{n/d}$. Montrer que $f$ est un morphisme surjectif de groupes dont le noyau est $\mu_{n/d} $. \finenonce{002146} \finexercice \exercice{2147, debes, 2008/02/12} \enonce{002147}{} \label{ex:le12} Soit $f:G \rightarrow H$ un morphisme de groupes finis. Soit $G^\prime$ un sous-groupe de $G$. Montrer que l'ordre de $f(G^\prime)$ divise les ordres de $G^\prime$ et de $H$. \finenonce{002147} \finexercice \exercice{2148, debes, 2008/02/12} \enonce{002148}{} Soit $f:G \rightarrow H$ un morphisme de groupes finis. Soit $G^\prime$ un sous-groupe de $G$ d'ordre premier \`a l'ordre de $H$. Montrer que $G^\prime\subset \hbox{\rm ker}(f) $. \finenonce{002148} \finexercice \exercice{2149, debes, 2008/02/12} \enonce{002149}{} Soit $G$ un groupe fini et $H$ et $K$ deux sous-groupes de $G$. On suppose que $H$ est distingu\'e dans $G$, que $|H|$ et $|G/H|$ sont premiers entre eux et $|H|=|K|$. Montrer que $H=K$. \finenonce{002149} \finexercice \exercice{2150, debes, 2008/02/12} \enonce{002150}{} Soit $f$ un morphisme de groupes $f : \Q \rightarrow \Q ^{\times} _{>0}$, $\Q$ \'etant muni de l'addition et $\Q ^{\times} _{>0}$ muni de la multiplication. Calculer $f(n)$ en fonction de $f(1)$ pour tout entier $n>0$. Montrer que les deux groupes pr\'ec\'edents ne sont pas isomorphes. \finenonce{002150} \finexercice \exercice{2151, debes, 2008/02/12} \enonce{002151}{} Trouver tous les morphismes du groupe additif $\Q$ dans lui m\^eme. M\^eme question de $\Q $ dans $\Z$. M\^eme question de $\Z /m \Z$ dans $\Z$. \finenonce{002151} \finexercice \exercice{2152, debes, 2008/02/12} \enonce{002152}{} \label{ex:le17} Etant donn\'es deux entiers $m, n>0$, d\' eterminer tous les morphismes de groupe de $\Zz/m\Zz$ dans $\Zz/n\Zz$, puis tous les automorphismes de $\Zz/n\Zz$. \finenonce{002152} \finexercice \exercice{2153, debes, 2008/02/12} \enonce{002153}{} \label{ex:le18} Soit $G$ un groupe et $H$ un sous groupe distingu\'e de $G$ d'indice $n$. Montrer que pour tout $a\in G$, $a^n \in H$. Donner un exemple de sous-groupe $H$ non distingu\'e de $G$ pour lequel la conclusion pr\'ec\'edente est fausse. \finenonce{002153} \finexercice \exercice{2154, debes, 2008/02/12} \enonce{002154}{} \label{ex:le19} Soit $G$ un groupe fini et $H$ un sous-groupe distingu\'e d'ordre $n$ et d'indice $m$. On suppose que $m$ et $n$ sont premiers entre eux. Montrer que $H$ est l'unique sous-groupe de $G$ d'ordre $n$. \finenonce{002154} \finexercice \exercice{2155, debes, 2008/02/12} \enonce{002155}{} Montrer que $\textrm{SL}_n(\Rr)$ est un sous-groupe distingu\'e du groupe $\textrm{GL}_n(\Rr)$ et que le groupe quotient est isomorphe \`a $\Rr^\times$. \finenonce{002155} \finexercice \exercice{2156, debes, 2008/02/12} \enonce{002156}{} On consid\`ere les groupes suivants : $$T= \{z\in\C \hskip 2pt | \hskip 2pt |z|=1\} \quad \mu _n = \{ z \in \C \hskip 2pt | \hskip 2pt z ^n =1 \} \quad \mu _\infty = \{ z \in \C \hskip 2pt | \hskip 2pt \exists n \quad z ^n =1 \}$$ (a) Montrer les isomorphismes suivants : $${\rm } \R /\Z \simeq T \quad {\rm } \C ^\times / \R ^{\times } _{>0}\simeq T \quad {\rm } \C ^{\times } /\R ^{\times } \simeq T \quad {\rm } T/ \mu _n \simeq T \quad {\rm } \C ^{\times } /\mu _n \simeq \C ^{\times } $$ (b) Montrer que $\mu _ \infty \simeq \Q /\Z $. Quels sont les sous-groupes finis de $\mu _\infty $? \smallskip (c) Montrer qu'un sous-groupe de type fini de $\Q $ contenant $\Z$ est de la forme $\frac{1}{q} \Z$. En d\'eduire la forme des sous-groupes de type fini de $\Q /\Z $ et de $\mu _\infty$. \smallskip (d) Soit $p$ un nombre premier. Montrer que $\mu _{p^\infty }= \{ z \in \C \hskip 2pt | \hskip 2pt \exists n \in \N \quad z^{p ^n }=1 \}$ est un sous-groupe de $\mu _\infty $. Est-il de type fini? \finenonce{002156} \finexercice \exercice{2157, debes, 2008/02/12} \enonce{002157}{} Soit $G$ un sous-groupe d'indice fini du groupe multiplicatif $\C ^\times $. Montrer que $G= \C ^\times$. \finenonce{002157} \finexercice \exercice{2158, debes, 2008/02/12} \enonce{002158}{} \label{ex:le23} Soit $G$ un groupe et $H$ un sous-groupe contenu dans le centre $Z(G)$ de $G$. Montrer que $H$ est distingu\'e dans $G$ et que, si le groupe quotient $G/H$ est cyclique, $G=Z(G)$. \finenonce{002158} \finexercice \exercice{2159, debes, 2008/02/12} \enonce{002159}{} \label{ex:le24} Montrer qu'un groupe d'ordre $p^2$ o\`u $p$ est un nombre premier est ab\'elien. (On utilisera que le centre d'un $p$-groupe est non trivial, ce qui est une cons\'equence classique de la ``formule des classes'' (voir chapitre suivant)). \finenonce{002159} \finexercice \exercice{2160, debes, 2008/02/12} \enonce{002160}{} \label{ex:le25} (a) Soit $p$ un nombre premier. Montrer que tout morphisme de groupes entre $\mathbb{F}_p ^n$ et $\mathbb{F}_p^m$ est une application $\mathbb{F}_p$ -lin\'eaire. \smallskip (b) Montrer que le groupe des automorphismes de $\Z/p\Z$ est isomorphe au groupe multiplicatif $\mathbb{F}_p^{\ast}$. \smallskip (c) D\'eterminer le nombre d'automorphismes de $\mathbb{F}_p^n$. \finenonce{002160} \finexercice \exercice{2161, debes, 2008/02/12} \enonce{002161}{} D\'eterminer le centre du groupe $GL_n (\mathbb{F}_p)$ des automorphismes de $(\mathbb{F}_p)^n$. \finenonce{002161} \finexercice \exercice{2162, debes, 2008/02/12} \enonce{002162}{} Soit $p$ un nombre premier. Montrer qu'un groupe ab\'elien fini, dont tous les \'el\'ements diff\'erents de l'\'el\'ement neutre sont d'ordre $p$, est isomorphe \`a $(\Z /p \Z)^n $. \finenonce{002162} \finexercice \exercice{2163, debes, 2008/02/12} \enonce{002163}{} (a) Soit $G$ un groupe et $H$ un sous-groupe distingu\'e de $G$. On note $\varphi $ la surjection canonique $\varphi : G \rightarrow G/H$. Montrer que l'ordre d'un \'el\'ement $x$ de $G$ est un multiple de l'ordre de $\varphi (x)$. \smallskip (b) Pour tout $x\in G$ on pose $\tau _x$ l'application de $G$ dans $G$ d\'efinie par $\tau _x(y)=xyx^{-1}$. Montrer que $\tau _x$ est un automorphisme de $G$ et que l'application $$x\rightarrow \tau _x$$ est un morphisme de groupes de $G$ dans $\hbox{\rm Aut}(G)$. Quel est le noyau de ce morphisme? \smallskip (c) On suppose que $G$ est fini et que $H$ est un sous-groupe distingu\'e dont l'ordre est le plus petit nombre premier $p$ divisant l'ordre de $G$. Montrer que pour tout $x\in G$ l'ordre de la restriction \`a $H$ de $\tau _x$ est un diviseur de $p-1$ et de l'ordre de $G$. En d\'eduire que $\tau _x$ restreint \`a $H$ est l'identit\'e pour tout $x$ et donc que $H$ est contenu dans le centre de $G$. \finenonce{002163} \finexercice \exercice{2164, debes, 2008/02/12} \enonce{002164}{} \label{ex:le29} Soit $G$ un groupe. On appelle groupe des commutateurs de $G$ et l'on note $D(G)$ le sous-groupe de $G$ engendr\'e par les \'el\'ements de la forme $xyx^{-1}y^{-1}$. Montrer que $D(G)$ est distingu\'e dans $G$ et que le quotient $G/D(G)$ est ab\'elien. Montrer que $D(G)$ est le plus petit sous-groupe distingu\'e de $G$ tel que le quotient de $G$ par ce sous-groupe soit ab\'elien. \finenonce{002164} \finexercice \exercice{2165, debes, 2008/02/12} \enonce{002165}{} Soit $G$ un groupe d'ordre $p^3$ o\`u $p$ est un nombre premier. Montrer que si $G$ n'est pas commutatif, $Z(G)=D(G)$ et que ce sous-groupe est d'ordre $p$. \finenonce{002165} \finexercice\exercice{7776, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007776}{} \begin{enumerate} \item Soit $f~: \mathcal{S}_n \to A$ un homomorphisme de groupes de $\mathcal{S}_n$ vers un groupe abélien. Démontrer que les transpositions ont toutes même image. Démontrer que si $A=\{1,-1\}$ $f=signature$ ou $f = \textrm{application constante} 1$. \item Soit $G$ d'indice 2 dans $\mathcal{S}_n$. Démontrer que $G$ est distingué (reprendre la méthode de la feuille 1) puis que $G=\mathcal{A}_n$. \end{enumerate} \finenonce{007776} \finexercice \exercice{7777, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007777}{Les sous-groupes distingués de $\mathcal{S}_n$} Le but de l'exercice est de déterminer les sous-groupes distingués de $\mathcal{S}_n$ (pour $n\geq 5$). \begin{enumerate} \item Soit $H$ un sous-groupe distingué de $\mathcal{S}_n$. Montrer que $H\cap \mathcal{A}_n$ est un sous-groupe distingué de $\mathcal{A}_n$. En déduire que $H$ contient $\mathcal{A}_n$ ou que $H\cap\mathcal{A}_n=\{id\}$ ? \item On suppose que $H\cap \mathcal{A}_n=\{id\}$. Montrer que la restriction à $H$ du morphisme signature est injective. Montrer que dans ce cas que tous les éléments de $H$ sont dans le centre de $\mathcal{S}_n$ et en déduire que $H=\{id\}$. \item On suppose que $H$ contient $\mathcal{A}_n$. Montrer alors que $H=\mathcal{S}_n$ ou $H=\mathcal{A}_n$ suivant l'indice de $H$ dans $\mathcal{S}_n$. \item Conclure~: si $n\geq 5$, les seuls sous-groupes distingués de $\mathcal{S}_n$ sont $\{id\}$, $\mathcal{A}_n$ et $\mathcal{S}_n$.. \end{enumerate} \finenonce{007777} \finexercice \exercice{7778, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007778}{Groupe triangulaire supérieur} \begin{enumerate} \item Montrez que le groupe de Heisenberg $H$ des matrices $3*3$ triangulaires supérieures dont les coefficients diagonaux sont égaux à $1$, est résoluble. \item Montrez que le groupe $B$ des matrices triangulaires supérieures $3*3$ inversibles (coefficients diagonaux non nuls) est résoluble. \end{enumerate} \finenonce{007778} \finexercice \exercice{7779, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007779}{} Le but de l'exercice est de déterminer les groupes dérivés successifs de $\mathcal{S}_4$. On notera $V_4$ le sous-groupe des permutations de profil $(\cdot,\cdot)(\cdot,\cdot)$ (avec l'identité). \begin{enumerate} \item Montrer que $D(\mathcal{S}_4) \subset \mathcal{A}_4$. \item Calculer les commutateurs $(1,2)(1,3)(1,2)^{-1}(1,3)^{-1}$ et $(1,2,3)(1,2,4)(1,2,3)^{-1}(1,2,4)^{-1}$. \item Montrer que $D(\mathcal{S} _4)=A_4$. \item Montrer que $V_4\subset D(\mathcal{A}_4)$. \item Vérifier que $V_4$ est distingué dans $\mathcal{A}_4$ et que le quotient $\mathcal{A}_4/V_4$ est un groupe abélien. En déduire que $D(\mathcal{A}_4)\subset V_4$. \item En déduire $D^2(\mathcal{S}_4)$. \item Calculer les autres groupes dérivés de $\mathcal{S}_4$. \end{enumerate} \finenonce{007779} \finexercice \exercice{7780, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007780}{Groupe dérivé de $GL(3,\mathbb{F}_2)$ et de $SL(3,\mathbb{F}_2)$} \begin{enumerate} \item Soit $$t=\begin{pmatrix}1&0&1\cr 0&1&0\cr 0&0&1\end{pmatrix} \quad \text{ et } \quad s=\begin{pmatrix}0&-1&0\cr 1&0&0\cr 0&0&1\end{pmatrix}.$$ Montrer que le commutateur $tst^{-1}s^{-1}$ est une transvection. \item Rappeler la démonstration du fait que deux transvections de $SL(3,\mathbb{F}_2)$ sont conjuguées dans $SL(3,\mathbb{F}_2)$. \item Déterminer $D(SL(3,\mathbb{F}_2))$ \item Déterminer $D(GL(3,\mathbb{F}_2))$. \end{enumerate} \finenonce{007780} \finexercice \exercice{7781, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007781}{Groupe dérivé de $GL(2,k)$} On travaille dans $GL(2,k)$ pour un corps $k$ qui a au moins $4$ éléments. Soit $g\in GL(2,k)$. On notera $i_g$ l'automorphisme intérieur donné par $g$. \begin{enumerate} \item Démontrer qu'il existe un scalaire non nul $a\in k$ tel que $a^2\not=1$. Que se passe-t-il dans $\mathbb{F}_2$ et dans $\mathbb{F}_3$ ? \item Soit $$t=\begin{pmatrix}1&1\cr 0&1\end{pmatrix} \quad \text{ et } \quad s=\begin{pmatrix}a&0\cr 0& a^{-1}\end{pmatrix}.$$ Montrer que $T=tst^{-1}s^{-1}$ est une transvection. \item Soit $\tau$ une transvection de $SL(2,k)$. Il existe $g\in GL(2,k)$ tel que $\tau = i_g(T):=gTg^{-1}$. Calculer $\tau$ à l'aide de $g$, $s$ et $t$ et montrer que $D(SL(2,k))$ contient toutes les transvections. \item Déterminer $D(SL(2,k))$. \item Déterminer $D(GL(2,k))$. \end{enumerate} \finenonce{007781} \finexercice \exercice{7782, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007782}{Groupe dérivé de $GL(2,\mathbb{F}_3)$} On travaille dans $GL(2,\mathbb{F}_3)$. \begin{enumerate} \item Soit $$t=\begin{pmatrix}1&1\cr 0&1\end{pmatrix} \quad \text{ et } \quad s=\begin{pmatrix}1&0\cr 0&-1\end{pmatrix}.$$ Calculer $tst^{-1}s^{-1}$. \item Déterminer $D(GL(2,k))$. Noter que ce calcul ne suffit pas pour déterminer $D(SL(2,k))$. \end{enumerate} \finenonce{007782} \finexercice \exercice{7783, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007783}{} Montrer qu'un groupe d'ordre 63 n'est pas simple. \finenonce{007783} \finexercice \exercice{7784, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007784}{Simplicité de $\mathcal{A}_5$} \begin{enumerate} \item Faire la liste des classes de conjugaison de $\mathcal{S}_n$ dans $\mathcal{A}_n$ en les dénombrant. \item Montrer que les $3$-cycles sont conjugués dans $\mathcal{A}_n$. \item Montrer que les éléments d'ordre $2$ sont conjugués dans $\mathcal{A}_n$. \item Montrer que tout sous-groupe distingué $H$ de $\mathcal{A}_n$ qui contient un élément d'ordre $5$ les contient tous. (On remarquera que le groupe engendré par un élément d'ordre $5$ est un Sylow.) \item Montrer que tout sous-groupe distingué $H$ de $\mathcal{A}_n$ non réduit à $\{id\}$ contient au moins deux types d'éléments en plus de l'identité. Montrer alors que $H=\mathcal{A}_n$. \end{enumerate} \finenonce{007784} \finexercice \exercice{7786, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007786}{Groupe finis résolubles} \begin{enumerate} \item On rappelle que le centre d'un $p$-groupe n'est jamais réduit à $\{e\}$. Montrer par récurrence qu'un $p$-groupe est toujours résoluble. \item Soient $p,q$ deux nombres premiers distincts. Montrer qu'un groupe de cardinal $pq$ est toujours résoluble. (Supposer $p>q$ et considérer un $p$-Sylow) \item Soit $G$ un groupe d'ordre $12$. Montrez que $G$ est résoluble (En supposant les $3$-Sylow non distingués, comptez le nombre d'éléments d'ordre $3$). \item Soient $p,q$ deux nombres premiers distincts. Montrez qu'un groupe de cardinal $p^2q$ est toujours résoluble. \end{enumerate} \finenonce{007786} \finexercice \exercice{7787, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007787}{Les sous-groupes distingués de $GL(E)$} Le but de l'exercice est de déterminer les sous-groupes distingués de $SL(E)$. On supposera que le corps $k$ est de caractéristique nulle ou que sa caractéristique est différente de $2$ et première avec la dimension $n$ de $E$. On supposera aussi $n\geq 3$. \begin{enumerate} \item Donner l'exemple d'un sous-groupe non distingué de $SL(E)$. \item Soit $\phi~:G\to H$ un morphisme surjectif de groupes. Montrer que l'image par $\phi$ d'un sous-groupe distingué de $G$ est un sous-groupe distingué de $H$. \item Soit $H$ un sous-groupe de $SL(E)$. Déterminer les possibilités pour son image dans $PSL(E)$ pour la projection canonique. \item Montrer que tout sous-groupe du centre de $SL(E)$ est distingué dans $SL(E)$. \item On supposera désormais que $H$ n'est pas un sous-groupe du centre de $SL(E)$. Soit $\tau$ une transvection. Montrer que $\tau^n$ est une transvection de $H$. \item Montrer que $H$ contient toutes les transvections de $E$. \item Conclure. \end{enumerate} \finenonce{007787} \finexercice \exercice{7844, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007844}{} Soit $G$ un groupe et $f~:G\to A$ un morphisme de groupes de $G$ dans un groupe abélien $A$. On suppose de plus que le noyau $N(f)$ de $f$ est résoluble. \begin{enumerate} \item Montrez que le groupe dérivé $D(G)$ de $G$ est inclus dans le noyau de $F$. \item Montrez que $G$ est résoluble. \end{enumerate} \finenonce{007844} \finexercice \exercice{7845, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007845}{Groupe dérivé} Soit $G$ un groupe. On appelle groupe des commutateurs de $G$ et l'on note $D(G)$ le sous-groupe de $G$ engendré par les éléments de la forme $xyx^{-1}y^{-1}$. Montrer que $D(G)$ est distingué dans $G$ et que le quotient $G/D(G)$ est abélien. Montrer que $D(G)$ est le plus petit sous-groupe distingué de $G$ tel que le quotient de $G$ par ce sous-groupe soit abélien. \finenonce{007845} \finexercice \exercice{7857, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007857}{Exemples de sous-groupes caractéristiques} \begin{enumerate} \item Montrer qu'un $p$-Sylow distingué est caractéristique. \item Soit $H$ un sous-groupe distingué d'un groupe fini $G$ tel que son ordre est premier avec son indice. Montrer alors que $H$ est le seul sous-groupe d'ordre $|H|$ et donc que $H$ est caractéristique. \end{enumerate} \finenonce{007857} \finexercice \exercice{7858, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007858}{Produit semi-direct interne} Soit $N$ un sous-groupe distingué d'un groupe $G$ ($N\lhd G$) et $H$ un sous groupe de $G$ tel que $H\cap N=\{e_G\}$. \begin{enumerate} \item Montrer que $NH$ est un sous-groupe de $G$. \item On suppose désormais que $|G|=|N||H|$. Montrer que $\phi : N\times H\to G$, $(n,h)\mapsto nh$ est une bijection. \item Montrer que si on munit $N\times H$ de la loi $$(n,h)\star(n',h')=(n(hn'h^{-1}), hh'),$$ alors $N\times H$ est un groupe et $\phi$ un isomorphisme de groupes. \end{enumerate} \finenonce{007858} \finexercice \exercice{7859, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007859}{Groupes d'automorphismes} \begin{enumerate} \item Montrer que les automorphismes du groupe $(\Z/n\Z,+)$ sont obtenus par multiplication par un inversible de $(\Z/n\Z,\times)$. \item Décrire un isomorphisme de $\Z/10\Z$ sur $(\Z/11\Z)^\star$. \item Montrer que si $G$ et $H$ sont deux groupes d'ordre premiers entre eux, alors $$Aut(G\times H)=Aut(G)\times Aut (H).$$ \item En déduire le groupe des automorphismes de $\Z/133\Z$. \item Soit $p$ un nombre premier et $n$ un entier naturel non nul. Montrer que $$Aut((\Z/p\Z)^n)=GL(n,\mathbb{F}_p).$$ \item Montrer que $Aut(\Z/2\Z\times\Z/2\Z)\to Bij((1,0),(1,1),(0,1))$ est un isomorphisme. \end{enumerate} \finenonce{007859} \finexercice \exercice{7860, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007860}{Exemple de produits semi-directs} \begin{enumerate} \item Montrer que, après avoir fixé un générateur de $(\Z/11\Z)^\star$, la donnée d'un morphisme de groupes de $\Z/5\Z$ dans $Aut(\Z/11\Z)$ revient à la donnée d'un morphisme de groupes de $\Z/5\Z$ dans $\Z/10\Z$. \item En déduire une structure de produit semi-direct sur $\Z/11\Z\rtimes\Z/5\Z$. \item Montrer que toutes les structures de produit semi-direct donnent des groupes isomorphes. \textit{On pourra montrer que si $\phi, \psi\in Hom(\Z/5\Z,Aut(\Z/11\Z)$ alors il existe $\gamma\in Aut(\Z/11\Z)$ tel que $\psi (h) = \gamma\circ\phi (h)\circ \gamma^{-1}$.} \item Montrer que tous les morphismes de $\Z/p\Z\to Aut (\Z/q\Z)$ sont de la forme $t\mapsto \{x\mapsto k^t x\}$ où $k$ est un élément de $(\Z/q\Z)^\star$ d'ordre $p$. \end{enumerate} \finenonce{007860} \finexercice \exercice{7871, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007871}{} Montrer qu'un groupe d'ordre 63 n'est pas simple. \finenonce{007871} \finexercice \exercice{7876, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007876}{Généralités} \begin{enumerate} \item Montrer que le groupe des matrices triangulaires supérieures de diagonale identité est résoluble. \item Montrer que si $H$ est un sous-groupe distingué d'un groupe $G$, alors $G$ est résoluble si et seulement si $H$ et $G/H$ le sont. (On pourra commencer par le cas où $G/H$ est abélien). \item Montrer qu'un $p$-groupe est résoluble. \end{enumerate} \finenonce{007876} \finexercice \exercice{7877, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007877}{} \begin{enumerate} \item L'ensemble des permutations de profil $(\cdot, \cdot)(\cdot, \cdot)$ avec l'identité est-il un sous-groupe distingué de $\mathcal{A}_6$. (Justifier) \item Donner l'exemple d'un groupe résoluble. \item Donner si possible l'exemple d'un groupe simple résoluble. \item Donner si possible l'exemple d'un groupe simple résoluble non abélien. \end{enumerate} \finenonce{007877} \finexercice \exercice{7878, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007878}{Groupe triangulaire supérieur} \begin{enumerate} \item Montrez que le groupe de Heisenberg $H$ des matrices $3*3$ triangulaires supérieures dont les coefficients diagonaux sont égaux à $1$, est résoluble. \item Montrez que le groupe $B$ des matrices triangulaires supérieures $3*3$ inversibles (coefficients diagonaux non nuls) est résoluble. \end{enumerate} \finenonce{007878} \finexercice \exercice{7879, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007879}{Groupes dérivés de $\mathcal{S}_4$} Le but de l'exercice est de déterminer les groupes dérivés successifs de $\mathcal{S}_4$. On notera $V_4$ le sous-groupe des permutations de profil $(\cdot,\cdot)(\cdot,\cdot)$ (avec l'identité). \begin{enumerate} \item Montrer que $D(\mathcal{S}_4) \subset \mathcal{A}_4$. \item Calculer les commutateurs $(1,2)(1,3)(1,2)^{-1}(1,3)^{-1}$ et $(1,2,3)(1,2,4)(1,2,3)^{-1}(1,2,4)^{-1}$. \item Montrer que $D(\S _4)=A_4$. \item Montrer que $V_4\subset D(\mathcal{A}_4)$. \item Vérifier que $V_4$ est distingué dans $\mathcal{A}_4$ et que le quotient $\mathcal{A}_4/V_4$ est un groupe abélien. En déduire que $D(\mathcal{A}_4)\subset V_4$. \item En déduire $D^2(\mathcal{S}_4)$. \item Calculer les autres groupes dérivés de $\mathcal{S}_4$. \end{enumerate} \finenonce{007879} \finexercice \exercice{7880, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007880}{Résolubilité} \begin{enumerate} \item Montrer que $\mathcal{S}_3$ est résoluble. \item Montrer que le groupe $D_4$ des permutations de profil $(.,.)(.,.)$ est un groupe abélien d'ordre $4$ distingué dans $A_4$. En déduire que $\mathcal{A}_4$ et donc $\mathcal{S}_4$ sont résolubles. \item On suppose désormais $n\geq 3$. Soit $c$ un $3$ cycle. En considérant $c^2$, montrer que $c$ est un commutateur dans $\mathcal{S}_n$. En déduire le sous groupe dérivé $D(\mathcal{S}_n)$. \item Montrer que pour $n\geq 5$, $\mathcal{A}_n$ et $\mathcal{S}_n$ ne sont pas résolubles. \end{enumerate} \finenonce{007880} \finexercice \exercice{7881, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007881}{Groupe d'ordre $pqr$} Soit $p>q>r$ trois nombres premiers. Le but de l'exercice est de montrer qu'un groupe d'ordre $pqr$ est résoluble. \begin{enumerate} \item Montrer qu'un groupe d'ordre $pq$ est résoluble. \item Soit $G$ un groupe d'ordre $pqr$. Supposons qu'il n'admette pas de sous-groupe distingué. On note $N_p$ (resp. $N_q$, $N_r$ le nombre de sous-groupes de Sylow d'ordre $p$ (resp. $q$, $r$). Montrer que $m_p=qr$, $m_q\geq p$ et $m_r\geq q$. \item Conclure. \end{enumerate} \finenonce{007881} \finexercice \exercice{7882, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007882}{Groupes linéaires} Soit $E$ un $k$-espace vectoriel. Soit $f$ une forme linéaire sur $E$ et $a$ un élément non nul de $H=ker(f)$. On appelle transvection associée à $f$ et $a$ l'application $u : E\to E$, $x\mapsto x+f(x)a$. On rappelle que les transvections de $E$ engendrent $SL(E)$. \begin{enumerate} \item Soit $u$ une transvection. En considérant une base $(e_i)$ de $E$ avec $e_{n-1}=a$, $(e_j)_{1\leq j\leq n-1}$ base de $H$, et $e_n$ tel que $f(e_n)=1$, écrire la matrice de $u$. \item Montrer que si $u$ est une transvection, $Ker(u-Id)=H$, $\det u=1$, $u$ n'est pas diagonalisable. \item Montrer que si $\dim E\geq 3$, les transvections de $E$ sont conjuguées dans $SL(E)$. \item On suppose $k$ de caractéristique différente de $2$ et $\dim E\geq 3$. Montrer que $$D(GL(E)=D(SL(E))=SL(E)$$ et donc que ni $GL(E)$, ni $SL(E)$ ne sont résolubles. \end{enumerate} \finenonce{007882} \finexercice \exercice{7883, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007883}{Groupe dérivé de $GL(3,\mathbb{F}_2)$ et de $SL(3,\mathbb{F}_2)$} \begin{enumerate} \item Soit $$t=\begin{pmatrix}1&0&1\cr 0&1&0\cr 0&0&1\end{pmatrix} \quad \text{ et } \quad s=\begin{pmatrix}0&-1&0\cr 1&0&0\cr 0&0&1\end{pmatrix}.$$ Montrer que le commutateur $tst^{-1}s^{-1}$ est une transvection. \item Rappeler la démonstration du fait que deux transvections de $SL(3,\mathbb{F}_2)$ sont conjuguées dans $SL(3,\mathbb{F}_2)$. \item Déterminer $D(SL(3,\mathbb{F}_2))$. \item Déterminer $D(GL(3,\mathbb{F}_2))$. \end{enumerate} \finenonce{007883} \finexercice \exercice{7884, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007884}{Groupe dérivé de $GL(2,k)$} On travaille dans $GL(2,k)$ pour un corps $k$ qui a au moins $4$ éléments. Soit $g\in GL(2,k)$. On notera $i_g$ l'automorphisme intérieur donné par $g$. \begin{enumerate} \item Démontrer qu'il existe un scalaire non nul $a\in k$ tel que $a^2\not=1$. Que se passe-t-il dans $\mathbb{F}_2$ et dans $\mathbb{F}_3$ ? \item Soit $$t=\begin{pmatrix}1&1\cr 0&1\end{pmatrix} \quad \text{ et } \quad s=\begin{pmatrix}a&0\cr 0& a^{-1}\end{pmatrix}.$$ Montrer que $T=tst^{-1}s^{-1}$ est une transvection. \item Soit $\tau$ une transvection de $SL(2,k)$. Il existe $g\in GL(2,k)$ tel que $\tau = i_g(T):=gTg^{-1}$. Calculer $\tau$ à l'aide de $g$, $s$ et $t$ et montrer que $D(SL(2,k))$ contient toutes les transvections. \item Déterminer $D(SL(2,k))$. \item Déterminer $D(GL(2,k))$. \end{enumerate} \finenonce{007884} \finexercice \exercice{7885, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007885}{Groupe dérivé de $GL(2,\mathbb{F}_3)$} On travaille dans $GL(2,\mathbb{F}_3)$. \begin{enumerate} \item Soit $$t=\begin{pmatrix}1&1\cr 0&1\end{pmatrix} \quad \text{ et } \quad s=\begin{pmatrix}1&0\cr 0&-1\end{pmatrix}.$$ Calculer $tst^{-1}s^{-1}$. \item Déterminer $D(GL(2,k))$. Noter que ce calcul ne suffit pas pour déterminer $D(SL(2,k))$. \end{enumerate} \finenonce{007885} \finexercice \exercice{7886, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007886}{Des petites questions} \begin{enumerate} \item L'entier $374$ divise-t-il l'ordre du groupe $\Z/374\Z$ ? Le groupe $\Z/374\Z$ a-t-il un élément d'ordre $374$ ? a-t-il un élément d'ordre $187$ ? \item Déterminer tous les diviseurs de $374$ ? Le groupe $\Z/374\Z$ a-t-il un sous-groupe d'ordre chacun des diviseurs de $374$ ? \end{enumerate} \finenonce{007886} \finexercice \section{ 304.00 Action de groupe } \exercice{2166, debes, 2008/02/12} \enonce{002166}{} Soit $\sigma \in S_5$ d\'efini par $$\sigma = \begin{array}{ccccc} 1&2&3&4&5\\ 5&4&1&2&3\\ \end{array}$$ (a) Ecrire la d\'ecomposition de $\sigma $ en produit de cycles de supports disjoints. Quelle est la signature de $\sigma $? \smallskip (b) Donner la liste des \'el\'ements de $<\sigma >$. D\'eterminer $<\sigma > \cap A_5.$ \finenonce{002166} \finexercice \exercice{2167, debes, 2008/02/12} \enonce{002167}{} \label{ex:deb67} (a) Montrer que le produit de deux transpositions distinctes est un $3$-cycle ou un produit de deux $3$-cycles. En d\'eduire que $A_n$ est engendr\'e par les $3$-cycles. \smallskip (b) Montrer que $A_n = <(123), (124), \dots , (12n)>$. \finenonce{002167} \finexercice \exercice{2168, debes, 2008/02/12} \enonce{002168}{} \label{ex:deb68} On appelle cycle une permutation $\sigma $ v\'erifiant la propri\'et\'e suivante: il existe une partition de $\{ 1, \dots , n \} $ en deux sous-ensembles $I$ et $J$ tels que la restriction de $\sigma $ \`a $I$ est l'identit\'e de $I$ et il existe $a\in J$ tel que $J= \{ a, \sigma (a) , \dots , \sigma ^{r-1} (a)\} $ o\`u $r$ est le cardinal de $J$. Le sous-ensemble $J$ est appel\'e le support du cycle $\sigma $. Un tel cycle sera not\'e $(a, \sigma (a), \dots , \sigma ^{r-1} (a) )$ \smallskip (a) Soit $\sigma \in S_n$ une permutation. On consid\`ere le sous-groupe $C$ engendr\'e par $\sigma$ dans $S_n$. Montrer que la restriction de $\sigma$ \`a chacune des orbites de $\{1, \dots ,n\} $ sous l'action de $C $ est un cycle, que ces diff\'erents cycles commutent entre eux, et que $\sigma $ est le produit de ces cycles. \smallskip (b) D\'ecomposer en cycles les permutations suivantes de $\{ 1, \dots , 7\} $ : $\hskip 20mm 1\hskip 2mm 2\hskip 2mm 3\hskip 2mm 4\hskip 2mm 5\hskip 2mm 6\hskip 2mm 7 \hskip 20mm 1\hskip 2mm 2\hskip 2mm 3\hskip 2mm 4\hskip 2mm 5\hskip 2mm 6\hskip 2mm 7\hskip 20mm 1\hskip 2mm 2\hskip 2mm 3\hskip 2mm 4\hskip 2mm 5\hskip 2mm 6\hskip 2mm 7$ $\hskip 20mm 3\hskip 2mm 6\hskip 2mm 7\hskip 2mm 2\hskip 2mm 1\hskip 2mm 4\hskip 2mm 5 \hskip 20mm 7\hskip 2mm 4\hskip 2mm 2\hskip 2mm 3\hskip 2mm 5\hskip 2mm 6\hskip 2mm 1\hskip 20mm 1\hskip 2mm 3\hskip 2mm 7\hskip 2mm 2\hskip 2mm 4\hskip 2mm 5\hskip 2mm 6$ \smallskip (c) Montrer que si $\sigma $ est un cycle, $\sigma =(a, \sigma (a), \dots , \sigma^{r-1}(a)) $, la conjugu\'ee $\tau \sigma \tau ^{-1} $ est un cycle et que $\tau \sigma \tau ^{-1} =(\tau (a), \tau (\sigma (a)), \dots , \tau (\sigma ^{r-1} (a)))$. \smallskip (d) D\'eterminer toutes les classes de conjugaison des permutations dans $S_5$ (on consid\'erera leur d\'ecomposition en cycles). D\'eterminer tous les sous-groupes distingu\'es de $S_5$. \finenonce{002168} \finexercice \exercice{2169, debes, 2008/02/12} \enonce{002169}{} \label{ex:deb69} Montrer que les permutations circulaires engendrent $S_n$ si $n$ est pair, et $A_n$ si $n$ est impair. \finenonce{002169} \finexercice \exercice{2170, debes, 2008/02/12} \enonce{002170}{} Soit $I$ un sous-ensemble de $\{ 1, \dots , n\} $ et $\sigma $ un cycle de support $I$. Soit $\tau $ une autre permutation. Montrer que $\tau $ commute avec $\sigma $ si et seulement si $\tau $ laisse invariant $I$ et la restriction de $\tau $ \`a $I$ est \'egale \`a une puissance de la restriction de $\sigma $ \`a $I$. \finenonce{002170} \finexercice \exercice{2171, debes, 2008/02/12} \enonce{002171}{} Soit $H$ un sous-groupe distingu\'e de $S_n$ contenant une transposition. Montrer que $H=S_n$. \finenonce{002171} \finexercice \exercice{2172, debes, 2008/02/12} \enonce{002172}{} Dans le groupe sym\'etrique $S_4$ on consid\`ere les sous-ensembles suivants : $$H = \{ \sigma \in S_4 \hskip 2pt |\hskip 2pt \sigma ( \{ 1,2\} ) = \{ 1,2\} \} $$ $$K= \{ \sigma \in S_4 \hskip 2pt |\hskip 2pt \forall a,b \quad a\equiv b\ [\hbox{\rm mod}\ 2] \Rightarrow \sigma (a) \equiv \sigma (b)\ [\hbox{\rm mod}\ 2] \} $$ Montrer que $H$ et $K$ sont des sous-groupes de $S_4$. Les d\'ecrire. \finenonce{002172} \finexercice \exercice{2173, debes, 2008/02/12} \enonce{002173}{} Montrer que l'ordre d'une permutation impaire est un nombre pair. \finenonce{002173} \finexercice \exercice{2174, debes, 2008/02/12} \enonce{002174}{} Montrer que toute permutation d'ordre $10$ dans $S_8$ est impaire. \finenonce{002174} \finexercice \exercice{2175, debes, 2008/02/12} \enonce{002175}{} \label{ex:deb75} (a) Montrer que tout $3$-cycle est un carr\'e. En d\'eduire que le groupe altern\'e $A_n$ est engendr\'e par les carr\'es de permutations. \smallskip (b) Montrer que $A_n$ est le seul sous-groupe de $S_n$ d'indice $2$. \finenonce{002175} \finexercice \exercice{2176, debes, 2008/02/12} \enonce{002176}{} Trouver toutes les classes de conjugaison de $S_4$. Donner la liste des sous-groupes distingu\'es de $S_4$. \finenonce{002176} \finexercice \exercice{2177, debes, 2008/02/12} \enonce{002177}{} Etant donn\'es un groupe $G$ et un sous-groupe $H$, on d\'efinit le normalisateur $\textrm{Nor}_G(H)$ de $H$ dans $G$ comme l'ensemble des \'el\'ements $g\in G$ tels que $gHg^{-1} = H$. \smallskip (a) Montrer que $\textrm{Nor}_G(H)$ est le plus grand sous-groupe de $G$ contenant $H$ comme sous-groupe distingu\'e. \smallskip (b) Montrer que le nombre de sous-groupes distincts conjugu\'es de $H$ dans $G$ est \'egal \`a l'indice $[G:\textrm{Nor}_G(H)]$ et qu'en particulier c'est un diviseur de l'ordre de $G$. \finenonce{002177} \finexercice \exercice{2178, debes, 2008/02/12} \enonce{002178}{} Montrer que pour $m\geq 3$, un groupe simple d'ordre $\geq m!$ ne peut avoir de sous-groupe d'indice $m$. \finenonce{002178} \finexercice \exercice{2179, debes, 2008/02/12} \enonce{002179}{} Soit $G$ un groupe et $H$ un sous-groupe d'indice fini $n$. Montrer que l'intersection $H^\prime$ des conjugu\'es de $H$ par les \'el\'ements de $G$ est un sous-groupe distingu\'e de $G$ et d'indice fini dans $G$. Montrer que c'est le plus grand sous-groupe distingu\'e de $G$ contenu dans $H$. \finenonce{002179} \finexercice \exercice{2180, debes, 2008/02/12} \enonce{002180}{} a) Montrer qu'un groupe $G$ v\'erifiant $$\forall a,b \in G \quad a^2b^2=(ab)^2$$ est commutatif. \smallskip (b) Le but de cette question est de donner un exemple de groupe $G$ v\'erifiant la propri\'et\'e $$\forall a,b\in G \quad a^3b^3=(ab)^3$$ et qui n'est pas commutatif. \hskip 5mm (i) montrer qu'il existe un automorphisme $\sigma$ de $\mathbb{F}_3^2$ d'ordre $3$. \hskip 5mm (ii) montrer que le groupe $G$ d\'efini comme le produit semi-direct de $\mathbb{F}_3^2$ par $\Z_3$, $\Z_3$ agissant sur $\mathbb{F}_3^2$ via $\sigma$ r\'epond \`a la question. \finenonce{002180} \finexercice \exercice{2181, debes, 2008/02/12} \enonce{002181}{} Soient $G$ un groupe et $H$ un sous-groupe d'indice fini dans $G$. On d\'efinit sur $G$ la relation $xRy$ si et seulement si $x\in HyH$. \smallskip (a) Montrer que $R$ est une relation d'\'equivalence et que toute classe d'\'equivalence pour la relation $R$ est une union finie disjointe de classes \`a gauche modulo $H$. \smallskip Soit $HxH=\bigcup _{1\leq i\leq d(x)} x_i H$ la partition de la classe $HxH$ en classes \`a gauche distinctes. \smallskip (b) Soit $h\in H$ et $i$ un entier compris entre $1$ et $d(x)$; posons $h\hskip 2pt \ast \hskip 2pt x_iH= hx_iH$. Montrer que cette formule d\'efinit une action transitive de $H$ sur l'ensemble des classes $x_1H, \dots, x_{d(x)} H$ et que le fixateur de $x_i H$ dans cette action est $H\cap x_i Hx_i ^{-1}$. En d\'eduire que $$d(x)=[H:H\cap x Hx ^{-1}]$$ et qu'en particulier $d(x)$ divise l'ordre de $G$. \smallskip (c) Montrer que $H$ est distingu\'e dans $G$ si et seulement si $d(x)=1$ pour tout $x\in G$. \smallskip (d) On suppose que $G$ est fini et que $[G:H]=p$, o\`u $p$ est le plus petit nombre premier divisant l'ordre de $G$. Le but de cette question est de montrer que $H$ est distingu\'e dans $G$. \hskip 5mm (i) Montrer que pour tout $x\in G$ , $d(x)\leq p$. En d\'eduire que $d(x)=1$ ou $d(x)=p$. \hskip 5mm (ii) Montrer que si $H$ n'est pas distingu\'e dans $G$, il existe une unique classe d'\'equivalence pour la relation $R$ et que $G=H$, ce qui contredit l'hypoth\`ese $[G:H ]=p$. \finenonce{002181} \finexercice \exercice{2182, debes, 2008/02/12} \enonce{002182}{} Soit $G$ un groupe fini agissant sur un ensemble fini $X$. \smallskip (a) On suppose que toute orbite contient au moins deux \'el\'ements, que $|G|=15$ et que $\hbox{\rm card}(X)=17$. D\'eterminer le nombre d'orbites et le cardinal de chacune. \smallskip (b) On suppose que $|G|=33$ et $\hbox{\rm card}(X)=19$. Montrer qu'il existe au moins une orbite r\'eduite \`a un \'el\'ement. \finenonce{002182} \finexercice \exercice{2183, debes, 2008/02/12} \enonce{002183}{} \label{ex:deb83} (a) Soit $G$ un groupe et $H$ un sous-groupe. Montrer que la formule $$g. g'H=gg'H$$ d\'efinit une action de $G$ sur l'ensemble quotient $G/H$. D\'eterminer le fixateur d'une classe $gH$. \medskip (b) Soit $G$ un groupe et $X$ et $Y$ deux ensembles sur lesquels $G$ agit (on parlera de $G$-ensembles). Soit $f$ une application de $X$ dans $Y$. On dira que $f$ est compatible \`a l'action de $G$ (ou que $f$ est un morphisme de $G$-ensembles) si pour tout \'el\'ement $x$ de $X$ et tout $g$ dans $G$, $f(g.x)=g.f(x)$. Montrer que si $f$ est bijective et compatible \`a l'action de $G$ il en est de m\^eme de $f^{-1}$. On dira dans ce cas que $f$ est un isomorphisme de $G$-ensembles. \medskip (c) Soit $G$ un groupe agissant transitivement sur un ensemble $X$ (i.e. pour tout couple d'\'el\'ements $x$ et $y$ de $X$ il existe au moins un \'el\'ement $g$ du groupe tel que $g.x=y$). Montrer qu'il existe un sous-groupe $H$ de $G$ tel que $X$ soit isomorphe en tant que $G$-ensemble \`a $G/H$ (on prendra pour $H$ le fixateur d'un point quelconque de $X$). \medskip (d) i) Soit $H$ et $K$ deux sous-groupes de $G$. Montrer qu'il existe une application $f$ de $G/H$ vers $G/K$ compatible avec l'action de $G$ si et seulement si $H$ est contenu dans un conjugu\'e de $K$. Montrer que dans ce cas $f$ est surjective. Montrer que $G/H$ et $G/K$ sont isomorphes en tant que $G$-ensembles si et seulement si $H$ et $K$ sont conjugu\'es dans $G$. \smallskip ii) Soit $X$ et $Y$ deux $G$-ensembles transitifs. Montrer qu'il existe une application de $X$ vers $Y$ compatible avec l'action de $G$ si et seulement si il existe deux \'el\'ements $x$ et $y$ de $X$ et $Y$ tels que le fixateur de $x$ soit contenu dans un conjugu\'e du fixateur de $y$. Montrer que $X$ et $Y$ sont isomorphes si et seulement si les fixateurs de $x$ et de $y$ sont conjugu\'es dans $G$. \finenonce{002183} \finexercice \exercice{2184, debes, 2008/02/12} \enonce{002184}{} \label{ex:deb84} Soit $G$ un groupe fini et $X$ un $G$-ensemble transitif. On dira que $X$ est {\it imprimitif } si $X$ admet une partition $X=\bigcup _{1\leq i\leq r} X_i$ telle que tout \'el\'ement $g$ de $G$ respecte cette partition, i.e. envoie un sous-ensemble $X_i$ sur un sous-ensemble $X_k$ (\'eventuellement $k=i$) et telle que $2\leq r$ et les parties $X_i$ ne sont pas r\'eduites \`a un \'el\'ement. Dans le cas contraire on dit que $X$ est {\it primitif}. \smallskip (a) Montrer que dans la d\'ecomposition pr\'ec\'edente, si elle existe, tous les sous-ensembles $X_i$ ont m\^eme nombre $m$ d'\'el\'ements. \smallskip (b) Soit $H$ un sous-groupe de $G$. Montrer que $G/H$ est imprimitif si et seulement s'il existe un sous-groupe propre $K$ de $G$ diff\'erent de $H$ tel que $H\subset K \subset G$ (on regardera la partition de $G/H$ en classes modulo $K$). \smallskip (c) D\'eduire de ce qui pr\'ec\`ede que $X$ est primitif si et seulement si le fixateur d'un \'el\'ement $x$ de $X$ est maximal parmi les sous-groupes propres de $G$. \smallskip (d) On suppose ici que $X$ est primitif et que $H$ est un sous-groupe distingu\'e de $G$ dont l'action n'est pas triviale sur $X$. Montrer qu'alors $H$ agit transitivement sur $X$. \finenonce{002184} \finexercice \exercice{2185, debes, 2008/02/12} \enonce{002185}{} \label{ex:deb85} Montrer qu'un sous-groupe primitif de $S_n$ qui contient une transposition est $S_n$ tout entier. \finenonce{002185} \finexercice \exercice{2186, debes, 2008/02/12} \enonce{002186}{} \label{ex:deb86} Soit $G$ un groupe fini et $X$ un $G$-ensemble. Si $k$ est un entier ($1\leq k$), on dit que $X$ est $k$-transitif, si pour tout couple de $k$-uplets $(x_1, \dots ,x_k)$ et $(y_1, \dots , y_k)$ d'\'el\'ements de $X$ distincts deux \`a deux, il existe au moins un \'el\'ement $g$ de $G$ tel que pour tout $i$, $1\leq i \leq k$, $g.x_i =y_i$. Un $G$-ensemble $1$-transitif est donc simplement un $G$-ensemble transitif. \smallskip (a) Montrer que si $X$ est $k$-transitif, il est aussi $l$-transitif pour tout $l$, $1\leq l \leq k$. \smallskip (b) Montrer que $X$ est $2$-transitif si et seulement si le fixateur d'un \'el\'ement $x$ de $X$ agit transitivement sur $X\setminus\{x\}$. (c) Montrer que si $X$ est imprimitif, il n'est pas $2$-transitif. \smallskip (d) Montrer qu'un groupe cyclique $C$ d'ordre premier consid\'er\'e comme $C$-ensemble par l'action de translation de $C$ sur lui-m\^eme, est primitif mais n'est pas $2$-transitif. \smallskip (e) Montrer que l'ensemble $\{ 1, \dots ,n \} $ muni de l'action du groupe $S_n$ est $k$-transitif pour tout $k$, $1\leq k\leq n$. En d\'eduire que l'ensemble $\{ 1, \dots ,n \} $ muni de l'action du groupe $S_n$ est primitif. \smallskip (f) Montrer que le fixateur de $1$ dans $S_n$ est isomorphe \`a $S_{n-1}$. Dans la suite on identifie $S_{n-1}$ \`a ce fixateur. D\'eduire de l'exercice 19 que $S_{n-1}$ est un sous-groupe propre maximal de $S_n$. \finenonce{002186} \finexercice \exercice{2187, debes, 2008/02/12} \enonce{002187}{} D\'ecrire le groupe $D_n$ des isom\'etries du plan affine euclidien qui laissent invariant un polygone r\'egulier \`a $n$ c\^ot\'es. Montrer que $D_n$ est engendr\'e par deux \'el\'ements $\sigma $ et $\tau $ qui v\'erifient les relations: $\sigma ^ n =1$, $\tau ^2=1$ et $\tau \sigma \tau ^{-1} =\sigma ^{-1}$. Quel est l'ordre de $D_n$? D\'eterminer le centre de $D_n$. Montrer que $D_3 \simeq S_3$. \finenonce{002187} \finexercice \exercice{2188, debes, 2008/02/12} \enonce{002188}{} Montrer que le groupe des isom\'etries de l'espace affine euclidien de dimension $3$ qui laissent invariant un t\'etra\`edre r\'egulier de sommets $a_1, a_2,a_3,a_4$ est isomorphe \`a $S_4$ et que le sous-groupe des isom\'etries directes qui laissent invariant le t\'etra\`edre est isomorphe \`a $A_4$. \finenonce{002188} \finexercice \exercice{2189, debes, 2008/02/12} \enonce{002189}{} D\'eterminer le groupe des isom\'etries de l'espace affine euclidien de dimension $3$ qui laissent invariant un cube. \finenonce{002189} \finexercice \exercice{6379, potyag, 2011/10/16} \enonce{006379}{} Soit $G$ un groupe, $H$ un sous-groupe d'indice $n$ dans $G$. \begin{enumerate} \item A l'aide des classes à gauche modulo $H$ dans $G$, construire un homomorphisme $\phi: G \mapsto{\mathcal S}_n$. \item Montrer que si $N \subset H$ et $N$ est normal dans $G$, on a $N < {\rm Ker}\ \phi < H$. \item En déduire que tout groupe fini $G$ est isomorphe à un sous-groupe de ${\mathcal S}_n$. \end{enumerate} \finenonce{006379} \finexercice \exercice{6380, potyag, 2011/10/16} \enonce{006380}{} Soit $K$ un corps fini à $q$ éléments, $GL(n,K)$ l'ensemble des matrices $(n,n)$ inversibles à coefficients dans $K$. Montrer par récurrence sur $n$ que $\vert GL(n,K)\vert= (q^n-1) (q^n-q)...(q^n-q^{n-1})$ en considérant l'action de $Aut(K^n)$ sur l'espace vectoriel $K^n$ (de base $\{v_1,...,v_n\}$), l'orbite et le stabilisateur d'un vecteur de base ($v_1$ par exemple). \finenonce{006380} \finexercice \exercice{6381, potyag, 2011/10/16} \enonce{006381}{} Soit $\varphi$ une action d'un groupe $G$ opèrant dans $X$ (notée $G\stackrel{\varphi} {\curvearrowright} X$). \begin{enumerate} \item Montrer que $G_{g(x)}=gG_xg^{-1}$, où $g\in G$ et $G_x$ désigne le stabilisateur du point $x$. \item Si l'action $\varphi$ est transitive et fidèle et $G$ est abélien alors montrer que $\varphi$ est simplement transitive. \end{enumerate} \finenonce{006381} \finexercice \exercice{6382, potyag, 2011/10/16} \enonce{006382}{} Soit $G=<\gamma_1,\gamma_2>$ opère sur le plan complexe $\Cc$ où $\gamma_1 : z\mapsto z+1$ et $\gamma_2 : z\mapsto z+i$. \begin{enumerate} \item Montrer que $G\cong\Z^2$ et $G$ agit isométriquement sur $\Cc$. \item Trouver un ensemble fondamental $F$ pour cette action et l'ensemble d'orbites\quad $\Cc/\!\!\thicksim\ = \Cc/G = \overline{F}/\!\!\thicksim$\quad en identifiant les points équivalents sur le bord de $\overline{F}$. \end{enumerate} \finenonce{006382} \finexercice \exercice{6383, potyag, 2011/10/16} \enonce{006383}{} \begin{enumerate} \item Montrer que la quantité suivante (appelée forme de Killing) est un produit scalaire sur le groupe matriciel $M_n(\R)$. $$ = {\rm tr}\ (X^{T}Y).\quad X, Y\in M_n(\R)$$ \item Montrer que la forme de Killing reste invariante par rapport à l'action de $O(n)$ par conjugaison : $$\ =\ ,\ \ X,Y\in M_n(\R),\ g\in O(n).$$ \end{enumerate} \finenonce{006383} \finexercice \exercice{6384, potyag, 2011/10/16} \enonce{006384}{} Soient $G$ un groupe et $S$ un système de générateurs de $G$ contenant avec chaque élément $s$ son inverse $s^{-1}$. Rappelons la construction du graphe de Cayley $C(G,S)$. L'ensemble $V$ des sommets de $C(G,S)$ est en bijection avec l'ensemble des éléments de $G$. Deux sommets $g_1$ et $g_2$ sont joints par une arête si $g^{-1}_1\cdot g_2 = s\in S$. % %(je ne crois pas que ce soit un bonne idée de "noter" $s$, %car cela donne plusieurs arêtes avec le même nom) % % La longueur de cette arête est déclarée par définition égale à $1$. Un chemin $l\subset C(G,S)$ entre deux sommets $g$ et $h$ est une succession finie d'arêtes $\{e_1,...,e_n\}$ joignant $g$ et $h$. La longueur $|l|$ de $l$ vaut par définition $n$ : le nombre des arêtes qui le constituent. \begin{enumerate} \item Montrer que la fonction $d:G \times G\mapsto \N$ donnée par $$\displaystyle d(g,h)={\rm inf}\{{\rm longueurs\ des\ chemins\ joignant\ } g {\rm\ et\ } h\}$$ est une distance et qu'il existe un chemin $l\subset C(G,S)$ qui la réalise c.-à.-d. $|l|=d(g,h)$. \item Pour chaque $g\in G$ posons $|g|=d(0,g)$. Montrer que $\displaystyle |g|={\rm inf}\{k\ |\ g=s_{i_1}\cdot ... \cdot s_{i_k},\ s_{i_j}\in S\}$. \item Montrer que $G$ agit isométriquement sur les sommets de $C(G,S)$, c.-à.-d. $\ \forall g\in G\ d(g\gamma_1, g\gamma_2)=d(\gamma_1,\gamma_2)\ {\rm o\grave u}\ \gamma_i\in V\ (i=1,2).$ En déduire que $d(f,h)=|f^{-1}\cdot h|\ (f,h\in V)$. \item Soit $F_2=$ un groupe libre sur les générateurs $a$ et $b$ (voir l'exercice \ref{pot:exo9}). Donner un fragment (initial) de son graphe de Cayley $C(F_2, \{a,b\})$. \item Démontrer que le graphe de Cayley d'un groupe libre est toujours un arbre (un graphe sans lacet s'appelle arbre). \end{enumerate} \finenonce{006384} \finexercice \exercice{7729, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007729}{Coloriages} \begin{enumerate} \item Rappeler la formule de Burnside qui calcule le nombre d'orbites de l'action d'un groupe fini sur un ensemble fini. \item Rappeler la liste des éléments du groupe d'isométries directes (déplacements) d'un tétraédre régulier. On fera une figure pour chaque type d'axe de rotation, en indiquant l'ordre des rotations. \item De combien de façons différentes peut-on peindre les faces d'un tétraèdre régulier avec $c$~couleurs ? Chaque face n'est peinte que d'une couleur. On ne distingue pas deux résultats qui se déduisent l'un de l'autre par un déplacement du tétraèdre. \end{enumerate} \finenonce{007729} \finexercice \exercice{7758, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007758}{} On fixe une action d'un groupe $G$ sur un ensemble fini $E$. On suppose que l'ordre de $G$ est 15, que le cardinal de $E$ est 17 et que $E$ n'a pas de point fixé par tous les éléments du groupe $G$. Déterminer le nombre d'orbites et le cardinal de chacune d'elles. \finenonce{007758} \finexercice \exercice{7759, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007759}{Des petites questions} On considère l'action d'un groupe $G$ sur un ensemble $E$. \begin{enumerate} \item Montrer qu'un sous-ensemble de $E$ est globalement stable par $G$ si et seulement s'il est réunion d'orbites. \item Montrer que deux éléments dans la même orbite ont des stabilisateurs conjugués. \item Montrer que deux éléments conjugués dans le groupe $G$ fixent le même nombre d'éléments. \end{enumerate} \finenonce{007759} \finexercice \exercice{7760, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007760}{Le théorème de Cayley} \begin{enumerate} \item Pour tout élément $a$ d'un groupe fini $G$ d'ordre $n$, on définit l'application $$\begin{array}{ccccc} l_a&:&G&\to & G\\ & &g&\mapsto &ag \end{array}$$ Montrer que $l_a$ est une bijection de $G$, produit de $\frac{n}{ordre (a)}$ cycles à support disjoints tous de longueur $ordre (a)$. \item Montrer alors que l'application $$\begin{array}{ccccc} l&:&G&\to & \S(G)\\ & &a&\mapsto &l_a \end{array}$$ est un morphisme de groupes, injectif. Tout groupe fini est donc isomorphe à un sous-groupe du groupe des permutations de ses éléments. \end{enumerate} \finenonce{007760} \finexercice \exercice{7761, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007761}{} \begin{enumerate} \item Soit $p$ un nombre premier. Montrer que le centre d'un $p$-groupe $G$,( i.e. un groupe fini d'ordre une puissance non nulle de $p$), n'est pas réduit à l'élément neutre. \item Montrer que si le quotient d'un groupe par son centre est cyclique alors le groupe est abélien, donc égal à son centre. \item Montrer qu'un groupe d'ordre $p^2$ est abélien. \item Montrer que le centre d'un groupe non abélien d'ordre $p^3$ est d'ordre $p$. En déduire que le nombre de classes de conjugaison est $p^2+p-1$. (On pourra étudier l'action de $G$ sur lui-même par conjugaison~: ses points fixes, l'orbite des éléments, le stabilisateur des éléments...) \end{enumerate} \finenonce{007761} \finexercice \exercice{7762, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007762}{} Soit $G$ un groupe fini. Soit $p$ le plus petit facteur premier de l'ordre de $G$. Soit $H$ un sous-groupe de $G$ d'indice $p>1$. \begin{enumerate} \item Montrer que les orbites de l'action de $H$ sur $G/H$ (l'ensemble quotient $G/H$ des classes à gauche de $G$ modulo $H$) par translation à gauche sont réduites à des points. \item Montrer que $H$ est distingué. \end{enumerate} \finenonce{007762} \finexercice \exercice{7771, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007771}{} Soit $G$ un groupe agissant sur un ensemble $E$. Soit $E_1$ et $E_2$ deux parties non vides et disjointes de $E$. Soit $g_+$ et $g_-$ deux éléments de $G$ tels que toute puissance (positive ou négative) de $g_+$ envoie tout élément de $E_1$ dans $E_2$ et toute puissance $g_-$ envoie tout élément de $E_2$ dans $E_1$. \begin{enumerate} \item Montrer que les mots de la forme $g_+^{k_1}g_-^{l_1}g_+^{k_2}g_-^{l_2}\cdots g_+^{k_d}g_-^{l_d}g_+^{k_{d+1}}$ ne sont pas égaux à l'élément neutre $e_G$. \item En déduire en utilisant une conjugaison qu'aucun mot du groupe engendré par $g_+$ et $g_-$ autre que le mot vide n'est égal à l'élément neutre. On dit alors que le groupe engendré par $g_+$ et $g_-$ est un groupe libre. \item Que dire si on suppose seulement que $E_1$ n'est pas inclus dans $E_2$ ? \item Montrer le sous groupe de $SL(2,\Zz)$ engendré par $$A:=\begin{pmatrix}1&2\\ 0&1\end{pmatrix}\quad \text{ et } \quad B:=\begin{pmatrix}1&0\\ 2&1\end{pmatrix}$$ est libre, en considérant l'action naturelle sur $\Rr^2$ et les domaines $\{(x,y)\in\Rr^2, |x|<|y|\}$ et $\{(x,y)\in\Rr^2, |x|>|y|\}$ délimités par les diagonales. \end{enumerate} \finenonce{007771} \finexercice \exercice{7772, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007772}{Sous-groupes finis de $GL_n(\Zz)$} Si $p$ et $q$ sont deux entiers naturels, on note $p\wedge q$ le plus grand commun diviseur de $p$ et $q$, on note également $p|q$ si $p$ divise $q$. Si $m$ est un entier supérieur ou égal à 1, on note $\Phi_m(X)$ le polynôme cyclotomique d’ordre $m$, $$\Phi_m(X) =\Pi_{\{k\in\{1,..,m\}/k\wedge m=1\}}(X-e^{2ik\pi/m}).$$ On rappelle que $\Phi_m(X)$ est un polynôme unitaire à coefficients entiers, irréductible dans $\Qq[X]$. Le degré de $\Phi_m(X)$ est $\varphi(m)$ où $\varphi$ est la fonction indicatrice d’Euler. On rappelle enfin que $X^m-1 =\Pi_{d|m}\Phi_d(X$). \begin{enumerate} \item Soit $M\in GL_2(\Zz)$, d’ordre fini $m$. \begin{itemize} \item Montrer que si $z$ est une racine complexe du polynôme caractéristique $\chi_M(X)$ alors $z$ est racine du polynôme $X^m-1$. \item Montrer, en résolvant l’équation $\phi(k)=1$, qu’il y a exactement deux polynômes cyclotomiques de degré un. \item Montrer de même qu’il y a exactement trois polynômes cyclotomiques de degré deux dont on donnera les expressions développées. \item En déduire que le polynôme $\chi_M(X)$ appartient à l’ensemble $\{X^2 + X + 1,X^2 + 1,X^2-X + 1,X^2-1, (X-1)^2, (X + 1)^2\}$. \item En déduire que $m\in \{1, 2, 3, 4, 6\}$. \item Donner une matrice compagnon de $GL_2(\Zz)$ d’ordre $6$. \end{itemize} \item Soit $p$ un nombre premier, $p\geq 3$. On note $\mathbb{F}_p$ un corps de cardinal $p$. On rappelle que la surjection naturelle $\Zz\to \mathbb{F}_p$ induit un morphisme de groupes $R_p~:~GL_n(Z)\to GL_n(\mathbb{F}_p)$. Soit $M\in GL_n(\Zz)$ d’ordre $m\geq 2$ et dans le noyau de $R_p$. On suppose que $M$ n'est pas l'identité. La matrice $M$ peut donc s'écrire $M = I_n +p^rN$ avec $r\in\Nn^\star$ et $N\in M_n(\Zz)-pM_n(\Zz)$. \begin{itemize} \item Montrer que $mp^rN\in p^{2r}M_n(\Zz)$. En déduire que $p$ divise $m$. On pose alors $m = pm'$ et $M'= M^p$. \item Montrer que $p$ divise $m'$. \item En déduire une contradiction. \end{itemize} \item Soit $G$ un sous-groupe fini de $GL_n(\Zz)$. Montrer que $G$ est isomorphe à un sous-groupe de $GL_n(\mathbb{F}_p)$. \item Soit $G$ un sous-groupe fini de $GL_2(\Zz)$. \begin{itemize} \item Montrer que le cardinal de $G$ est un diviseur de $48$. \item Montrer que le cardinal de $G$ ne peut pas être égal à $48$. (On pourra, éventuellement, étudier $\Phi_8(X)$ considéré comme un polynôme à coefficients dans $\mathbb{F}_3$.) \end{itemize} \end{enumerate} \finenonce{007772} \finexercice \exercice{7773, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007773}{Classification des groupes d'ordre $8$} Soit $G$ un groupe d'ordre $8$. \begin{enumerate} \item Enumérer quatre groupes d'ordre $8$, deux à deux non isomorphes, et même $5$ si possible. \item On suppose que tous les éléments de $G$ sont d'ordre $2$. Montrer que $G$ est abélien. Soit $a$ et $b$ deux éléments non neutres distincts de $G$. Montrer que $\{e,a,b,ab\}$ est un sous-groupe d'ordre $4$ de $G$. Déterminer un isomorphisme de $G$ avec un groupe connu. \item On suppose que $G$ admet un élément $a$ d'ordre $4$. Soit $b$ un élément hors du sous-groupe engendré par $a$. Montrer que $\langle a\rangle$ est distingué et que $b^2$ appartient à $\langle a\rangle$. \begin{enumerate} \item Quel est l'ordre de $b$ si $b^2=a$ ou si $b^2=a^3$ ? Conclure dans ce cas. \item Si $b^2=e$, montrer que $G$ est un produit semi-direct et en déduire un isomorphisme avec un groupe connu. \item Si tous les éléments hors de $$ ont un carré égal à $a^2$, établir la liste des éléments et la table de multiplication de $G$ à l'aide seulement de $a$ et $b$. \end{enumerate} \end{enumerate} \finenonce{007773} \finexercice \exercice{7785, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007785}{} On considère l'action du groupe $G:=\{-1,+1\}$ sur l'algèbre des polynômes $k[X,Y]$ par $(-1)\cdot X=-X$ et $(-1)\cdot Y=-Y$. Déterminer l'algèbre des polynômes invariants. Est-ce un anneau factoriel ? Est-il une algèbre de polynômes ? \finenonce{007785} \finexercice \section{ 305.00 Groupe cyclique } \exercice{2659, matexo1, 2002/02/01} \enonce{002659}{} Montrer que tout sous-groupe d'un groupe cyclique est cyclique. \finenonce{002659} \finexercice \exercice{2660, matexo1, 2002/02/01} \enonce{002660}{} Montrer qu'un groupe $G$ dont les seuls sous-groupes sont $G$ et $\{e_G\}$ est cyclique et que son ordre est premier. \finenonce{002660} \finexercice \exercice{7730, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007730}{La réciproque du théorème de Lagrange} \begin{enumerate} \item Le groupe symétrique $\mathcal{S}_5$ a-t-il un élément d'ordre $6$ ? \item Chercher dans un groupe symétrique un contre-exemple à la réciproque du théorème de Lagrange sur l'ordre d'un élément dans un groupe. \end{enumerate} \finenonce{007730} \finexercice \exercice{7764, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007764}{} \begin{enumerate} \item Montrer qu'un groupe d'ordre $p^3q$ (avec $p$ premier et $q$ premier avec $p$) admet un sous-groupe d'ordre $p$, un d'ordre $p^2$ et un d'ordre $p^3$. \item Donner la liste des éléments du groupe alterné $\mathcal{A}_4$. Soit $H$ un sous-groupe d'ordre $3$ de $\mathcal{A}_4$ et $\sigma$ un élément de $\mathcal{A}_4$ qui n'est pas dans $H$. Montrer que le sous-groupe engendré par $H$ et $\sigma$ est le groupe $\mathcal{A}_4$. En déduire que $\mathcal{A}_4$ n'a pas de sous-groupe d'ordre $6$. \end{enumerate} \finenonce{007764} \finexercice \exercice{7765, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007765}{Décompositions explicites} \setcounter{MaxMatrixCols}{20} \begin{enumerate} \item On considère l'élément de $\mathcal{S}_8$ : $$\sigma=\begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6&7&8 \\ 5&6&4&1&2&8&3&7\end{pmatrix}.$$ Décomposer $\sigma$ en un produit de transpositions et calculer sa signature. Peut-on écrire $\sigma$ comme produit de douze transpositions ? \item Soit $\sigma$ l'élément de $\mathcal{S}_{11}$ : $$\sigma=\begin{pmatrix} 1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11\\ 10&7&9&11&2&1&3&5&8&4&6 \end{pmatrix}.$$ Décomposer $\sigma$ en un produit de cycles à support disjoints. Préciser l'ordre de $\sigma$, et la signature de $\sigma$. Calculer $\sigma^2$ et $\sigma^3$. \'Ecrire $\sigma^{-1}$ en un produit de cycles à support disjoints. \end{enumerate} \finenonce{007765} \finexercice \exercice{7766, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007766}{} \begin{enumerate} \item Si $c$ est le cycle $(1,2,3,4,5,6)$, $c^2$ est-il un cycle ? \item Si $c$ est un cycle de $\mathcal{S}_n$ d'ordre $l$ et $k$ un entier naturel, calculer l'ordre de $c^k$. \end{enumerate} \finenonce{007766} \finexercice \exercice{7767, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007767}{{\'E}tude de $\mathcal{S}_3$} Donner les structures de cycles possibles dans $\mathcal{S}_3$, le nombre d'éléments de $\mathcal{S}_3$ ayant cette structure, et leur signature. Décrire les sous-groupes de $\mathcal{S}_3$, et ceux qui sont distingués dans $\mathcal{S}_3$. Déterminer les sous-groupes de Sylow de $\mathcal{S}_3$. \finenonce{007767} \finexercice \exercice{7768, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007768}{{\'E}tude de $\mathcal{S}_4$} Donner les structures de cycles possibles dans $\mathcal{S}_4$, le nombre d'éléments de $\mathcal{S}_4$ ayant cette structure, et leur signature. Déterminer les sous-groupes distingués de $\mathcal{S}_4$ (utiliser l'exer\-cice sur les classes de conjugaison). En déduire que $A_4$ n'est pas un groupe simple, i.e. qu'il possède des sous-groupes distingués autres que $\lbrace e\rbrace$ et $A_4$. Déterminer les sous-groupes de Sylow de $\mathcal{S}_4$. \finenonce{007768} \finexercice \exercice{7769, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007769}{} On appelle groupe dihédral $D_{2n}$ le groupe des isométries d'un polygone régulier à $n$ côtés. \begin{enumerate} \item Déterminer (par exemple à l'aide d'une action de groupe) le cardinal puis la liste des éléments de $D_{2n}$. \item On suppose $n$ impair. Déterminer les $2$-Sylow de $D_n$ et vérifier qu'ils sont conjugués. \item On suppose $n=6$. Déterminer un $2$-Sylow de $D_6$. Déterminer deux sous-groupes d'ordre $2$ de $D_6$ non conjugués dans $D_6$. \end{enumerate} \finenonce{007769} \finexercice \exercice{7770, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007770}{} Soit $G$ le sous-groupe de $\mathcal{S}_7$ engendré par $\alpha=(2,4,6)(5,7,1)$ et $\beta=(3,4)(5,6)$. On se propose de déterminer l'ordre de $G$. On considère pour cela les ensembles suivants : $$G_1=\lbrace \varphi\in G \mid \varphi(1)=1\rbrace \quad \quad G_2=\lbrace \varphi\in G_1 \mid \varphi(2)=2\rbrace \quad \quad G_3=\lbrace \varphi\in G_2 \mid \varphi(3)=3\rbrace$$ $$X_1=\lbrace \varphi(1) \mid \varphi\in G\rbrace \quad \quad X_2=\lbrace \varphi(2) \mid \varphi\in G_1\rbrace \quad \quad X_3=\lbrace \varphi(3) \mid \varphi\in G_2\rbrace.$$ {\'E}tant donné un ensemble $Y$, on note $|Y|$ le cardinal de $Y$. \begin{enumerate} \item Montrer que 6 divise $\mid G\mid$. \item Quelle relation existe-t-il entre $|G|$ et $|X_1| \ |X_2| \ |X_3| \ |G_3|$ ? \item Expliciter $X_1$. \item Expliciter $\gamma=\alpha \beta \alpha^{-1}$ et $\delta=\gamma \beta \gamma^{-1}$. En déduire $X_3=\{3,4,5,6\}$ ou $X_3=\{3,4,5,6,7\}$ et $X_2=\{2,7\}$ ou $X_2=\{2,3, 4, 5,6,7\}$. \item On fait agir $G$ sur l'ensemble des parties de $\lbrace 1,2,3,4,5,6,7\rbrace$. Déterminer l'orbite de la partie $\lbrace 1,2,7\rbrace$. En déduire que 7 est fixé par les éléments de $G_2$ et que $G_3$ est réduit à l'identité. \item En déduire $|G|$. \end{enumerate} \finenonce{007770} \finexercice \exercice{7775, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007775}{} \begin{enumerate} \item Soit $G$ un groupe, $a$ et $b$ deux éléments d'ordre fini qui commutent. On suppose que les sous-groupes engendrés $\langle a\rangle$ et $\langle b\rangle$ ont une intersection réduite au singleton élément neutre $\{e\}$. \item Montrer qu'une égalité $(ab)^m=e$ implique $a^m=e$ et $b^m=e$. \item Calculer l'ordre de $ab$. \item Montrer que si deux éléments d'un groupe ont des ordres premiers entre eux, l'intersection des sous-groupes qu'ils engendrent est réduite au singleton élément neutre. \item Montrer que tout groupe abélien d'ordre $77$ est cyclique. \end{enumerate} \finenonce{007775} \finexercice \section{ 306.00 Théorème de Sylow } \exercice{2190, debes, 2008/02/12} \enonce{002190}{} Soient $G$ un groupe fini et $H$ un sous-groupe distingu\'e de $G$. Montrer que si $H$ et $G/H$ sont des $p$-groupes, il en est de m\^eme de $G$. \finenonce{002190} \finexercice \exercice{2191, debes, 2008/02/12} \enonce{002191}{} Soit $G$ un $p$-groupe et $H$ un sous-groupe distingu\'e de $G$. Montrer que $H\cap Z(G)$ n'est pas r\'eduit \`a l'\'el\'ement neutre. \finenonce{002191} \finexercice \exercice{2192, debes, 2008/02/12} \enonce{002192}{} Soit $G$ un $p$-groupe d'ordre $p^r$. \smallskip (a) Montrer que pour tout entier $k\leq r$, $G$ poss\`ede un sous-groupe distingu\'e d'ordre $p^k$. \smallskip (b) Montrer qu'il existe une suite $G_0=\{1\} \subset G_1 \subset \ldots \subset G_r=G$ de sous-groupes $G_i$ distingu\'es d'ordre $p^i$ ($i=1,\ldots,r$). \smallskip (c) Montrer que pour tout sous-groupe $H$ de $G$ d'ordre $p^s$ avec $s$ où $x$ est un élément d'ordre $p$ dans $G$, montrer que $G$ admet un $p$-Sylow. \item Montrer qu'un groupe abélien est simple si et seulement s'il est cyclique, d'ordre un nombre premier. \end{enumerate} \finenonce{007774} \finexercice \exercice{7846, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007846}{Autour de cours} \begin{enumerate} \item Montrez que les morphismes d'un groupe simple vers un groupe quelconque sont constants ou injectifs. \item Quel est le nombre moyen de points fixes d'une permutation de $\mathcal{S}_n$ ? \item Démontrez que si $G$ est un groupe fini, $S$ un $p$-Sylow de $G$, et $H$ un sous-groupe de $G$, il existe un conjugué de $S$ qui rencontre $H$ en un $p$-Sylow de $H$. \end{enumerate} \finenonce{007846} \finexercice \exercice{7847, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007847}{} Soit $G$ un groupe fini. Soit $p$ le plus petit facteur premier de l'ordre de $G$. Soit $H$ un sous-groupe de $G$ d'indice $p>1$. \begin{enumerate} \item Montrez que les orbites de l'action de $H$ sur $G/H$ par translation à gauche sont réduites à des points. \item Montrez que $H$ est distingué. \end{enumerate} \finenonce{007847} \finexercice \exercice{7848, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007848}{} \begin{enumerate} \item Explicitez un $7$-Sylow du groupe symétrique $\mathcal{S}_{9}$ \item Déterminez le nombre d'élements d'ordre $7$ dans $\mathcal{S}_{9}$. \item Déterminez le nombre de $7$-Sylows. \item Vérifiez les congruences données par le théorème de Sylow sur le nombre de $7$-Sylows. \end{enumerate} \finenonce{007848} \finexercice \exercice{7849, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007849}{} On fixe une action d'un groupe $G$ sur un ensemble fini $E$. On suppose que l'ordre de $G$ est 15, que le cardinal de $E$ est 17 et que $E$ n'a pas de point fixé par tous les éléments du groupe $G$. Déterminer le nombre d'orbites et le cardinal de chacune d'elles. \finenonce{007849} \finexercice \exercice{7850, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007850}{} \begin{enumerate} \item Soit $G$ un $p$-groupe agissant sur un ensemble fini $E$. Montrer que le cardinal de l'ensemble des points fixes de l'action est congru, modulo $p$, au cardinal de $E$. \item En considérant une action de $G$ sur lui-même, montrer que le théorème de Burnside : le centre d'un $p$-groupe non réduit à l'élément neutre n'est pas réduit à l'élément neutre. \end{enumerate} \finenonce{007850} \finexercice \exercice{7851, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007851}{Groupe d'ordre $p^3$} Soit $G$ un groupe non abélien d'ordre $p^3$ où $p$ est un nombre premier. \begin{enumerate} \item Montrer que le centre de $G$ est d'ordre $p$ et égal à son sous-groupe dérivé $Z(G)=D(G)$. \item En déduire que le nombre de classes de conjugaison est $p^2+p-1$. (On pourra étudier l'action de $G$ sur lui-même par conjugaison~: ses points fixes, l'orbite des éléments, le stabilisateur des éléments et appliquer la formule de Burnside...) \item Montrer que $G/Z(G)$ est isomorphe à $\Z/p\Z\times \Z/p\Z$. \item Montrer que tout sous-groupe de $G$ d'ordre $p^2$ contient le centre $Z(G)$ de $G$, et que donc $G$ n'est pas un produit semi-direct de son centre par son abélianisé. % \href{https://groupprops.subwiki.org/wiki/Semidirect_product_of_cyclic_group_of_prime-square_order_and_cyclic_group_of_prime_order}{Voir sur les groupes d'ordre $p^3$} \end{enumerate} \finenonce{007851} \finexercice \exercice{7852, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007852}{} \begin{enumerate} \item En comptant le nombre de base de $\mathbb{F}_p^n$ déterminer le cardinal de $GL(n,\mathbb{F}_p)$. \item Montrer que l'ensemble des matrices triangulaires supérieures strictes est un $p$-sous-groupe de Sylow de $GL(n,\mathbb{F}_p)$. \end{enumerate} \finenonce{007852} \finexercice \exercice{7853, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007853}{} \begin{enumerate} \item Vérifier que les $p$-Sylow de $GL(2,\mathbb{F}_p)$ sont monogènes. \item Soit $A$ et $B$ deux matrices de $GL(2,\mathbb{F}_p)$ d'ordre $p$. Montrer que $A$ est conjuguée à une puissance de $B$. \end{enumerate} \finenonce{007853} \finexercice \exercice{7854, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007854}{} Soit $p$ un nombre premier et $m$ un entier non multiple de $p$. Soit $G$ un groupe de cardinal $|G|=p^dm$. \begin{enumerate} \item Montrer que le nombre de $p$-Sylow de $G$ divise $m$. \item Montrer que pour tout $0\leq i\leq d$, $G$ possède un sous groupe d'ordre $p^i$. \end{enumerate} \finenonce{007854} \finexercice \exercice{7855, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007855}{} Déterminer les sous-groupes de Sylow de $\Zz/24\Zz$. \finenonce{007855} \finexercice \exercice{7856, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007856}{Groupes de matrices sur $\mathbb{F}_2$} \begin{enumerate} \item Décrire un $2$-Sylow de $GL_3(\mathbb{F}_2)$. \item Soit $A=\begin{pmatrix}1&1&0\\1&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}$. Montrer que le polynôme minimal de $A$ est irréductible de degré 3. En déduire que $GL_3(\mathbb{F}_2)\cap\mathbb{F}_2[A]$ est un $7$-Sylow de $GL_3(\mathbb{F}_2)$. \item Déterminer un $3$-Sylow de $GL_3(\mathbb{F}_2)$ à l'aide de la matrice $B=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&1\\0&1&0\end{pmatrix}$. \end{enumerate} \finenonce{007856} \finexercice \exercice{7861, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007861}{Des petites questions} \begin{enumerate} \item Soit $p$ un nombre premier. Déterminer à isomorphisme près, tous les groupes d'ordre $p$. \item Soit $p$ un nombre premier. Déterminer à isomorphisme près, tous les groupes d'ordre $p^2$. \item Donner des exemples de groupes d'ordre $6$ non abéliens. \item Déterminer l'ordre des groupes diédraux $D_n$. \item Déterminer l'ordre des groupes alternés $\mathcal{A}_n$. \end{enumerate} \finenonce{007861} \finexercice \exercice{7862, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007862}{{\'E}tude de $\mathcal{S}_3$} Donner les structures de cycles possibles dans $\mathcal{S}_3$, le nombre d'éléments de $\mathcal{S}_3$ ayant cette structure, et leur signature. Décrire les sous-groupes de $\mathcal{S}_3$, et ceux qui sont distingués dans $\mathcal{S}_3$. Déterminer les sous-groupes de Sylow de $\mathcal{S}_3$. \finenonce{007862} \finexercice \exercice{7863, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007863}{Groupes d'ordre 6} Soit $G$ un groupe d'ordre $6$. \begin{enumerate} \item Montrer que $G$ admet un élément $\tau$ d'ordre $2$ et un élément $\sigma$ d'ordre $3$. \item Quelles sont les valeurs possibles de $\tau\sigma\tau$ ? \item Déterminer, dans chacun des cas précédents, la structure de $G$ à isomorphisme près. \end{enumerate} \finenonce{007863} \finexercice \exercice{7864, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007864}{{\'E}tude de $\mathcal{S}_4$} Donner les structures de cycles possibles dans $\mathcal{S}_4$, le nombre d'éléments de $\mathcal{S}_4$ ayant cette structure, et leur signature. Déterminer les sous-groupes distingués de $\mathcal{S}_4$. En déduire que $\mathcal{A}_4$ n'est pas un groupe simple, i.e. qu'il possède des sous-groupes distingués autres que $\lbrace e\rbrace$ et $\mathcal{A}_4$. Déterminer les sous-groupes de Sylow de $\mathcal{S}_4$. \finenonce{007864} \finexercice \exercice{7865, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007865}{} Soit $p$ un nombre premier impair, on se propose de décrire les groupes d'ordre $p^2$ à isomorphisme près. \begin{enumerate} \item Soit $G$ un groupe de cardinal $p^2$, montrer que, ou bien $G$ est cyclique ou bien tous les éléments différents de l’élément neutre sont d’ordre $p$. \item Soit $G$ un groupe non cyclique d’ordre $p^2$, soit $K$ un sous-groupe d’ordre $p$, montrer que $K$ est distingué dans $G$ et qu’il existe $H$ sous-groupe d’ordre $p$ tel que $K\cap H = \{e\}$. En déduire que $G$ est ismorphe à un produit semi-direct de $\Z/p\Z$ par $\Z/p\Z$. \item Montrer que tout groupe de cardinal $p^2$ est isomorphe à $\Z/p^2\Z$ ou $\Z/p\Z \times \Z/p\Z$. \end{enumerate} \finenonce{007865} \finexercice \exercice{7866, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007866}{Groupes d'ordre $pq$} Soit $G$ un groupe d'ordre $pq$, où $p$ et $q$ sont deux nombres premiers distincts. On suppose que $p$ est distingué et que $b^2$ appartient à $$. \begin{enumerate} \item Quel est l'ordre de $b$ si $b^2=a$ ou si $b^2=a^3$ ? Conclure dans ce cas. \item Si $b^2=e$, montrer que $G$ est un produit semi-direct et en déduire un isomorphisme avec un groupe connu. \item Si tous les éléments hors de $$ ont un carré égal à $a^2$, établir la liste des éléments et la table de multiplication de $G$ à l'aide seulement de $a$ et $b$. \end{enumerate} \end{enumerate} \finenonce{007867} \finexercice \exercice{7868, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007868}{Groupe non abélien d'ordre $8$} Soit $G$ un groupe non abélien d'ordre $8$. \begin{enumerate} \item Montrer que $G$ contient un élément d'ordre $4$. Soit $H$ le sous-groupe qu'il engendre. \item Montrer que si $G-H$ contient un élément d'ordre $2$, $G$ est un produit semi-direct. Après avoir vérifié que $Aut(\Z/4\Z)=\Z/2\Z$, montrer qu'il existe une unique structure de tel produit semi-direct non abélien. \item Montrer que si $G-H$ n'a pas d'élément d'ordre $2$, on retrouve la table de $H_8$ en choisissant $i$ l'élément d'ordre $4$ qui engendre $H$ et $j$ un élément d'ordre $4$ dans $G-H$. \textit{On pourra montrer que $i^2$ est le seul élément d'ordre $2$ est qu'il est donc central. On le notera $-1$}. \end{enumerate} \finenonce{007868} \finexercice \exercice{7869, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007869}{Les groupes d'ordre 10} Soit $G$ un groupe d'ordre $10$. \begin{enumerate} \item Montrer que $G$ est un produit semi-direct. \item Déterminer les automorphismes d'ordre $2$ de $\Z/5\Z$. \item En déduire les deux possibilités pour les classes d'isomorphismes de $G$. \end{enumerate} \finenonce{007869} \finexercice \exercice{7870, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007870}{Les groupes d'ordre 33} Déterminer à isomorphisme près tous les groupes d'ordre $33$.(On pourra déterminer le nombre de sous-groupe d'ordre $11$ et le nombre de sous-groupe d'ordre $3$.) \finenonce{007870} \finexercice \section{ 307.00 Autre } \section{ 310.00 Isométrie euclidienne } \exercice{6385, potyag, 2011/10/16} \enonce{006385}{} Soit $E$ un espace vectoriel euclidien de dimension $n$. \begin{enumerate} \item Montrer que $A\in GL(E)$ appartient à $\mathcal{O}(n)$ si et seulement si ${ }^T AA =I$. \item Montrer que si $A\in \mathcal{O}(n)$ alors $\det A = \pm 1$. \item Montrer que $A \in U(n)$ si et seulement si ${}^T A\bar A =I$. \end{enumerate} \finenonce{006385} \finexercice \exercice{6386, potyag, 2011/10/16} \enonce{006386}{} Soit $L$ un espace hermitien. Est-il vrai que $A\in Iso L$ implique $Ax = Ux+b$ avec $U \in U(n)$. \finenonce{006386} \finexercice \exercice{6387, potyag, 2011/10/16} \enonce{006387}{} Soit $E$ est un espace euclidien de dimension $n$. Montrer que $Iso(E) \not\simeq \mathcal{O}(n) \times T(E)$. \finenonce{006387} \finexercice \exercice{6388, potyag, 2011/10/16} \enonce{006388}{} Déterminer la nature des applications suivantes : $\Rr^2 \rightarrow \Rr^2$, $x \mapsto Ax$ et $\Rr^2 \rightarrow \Rr^2$, $x \mapsto Bx$ où $A = \begin{pmatrix} \cos \varphi & -\sin \varphi \\ \sin \varphi & \cos \varphi \end{pmatrix} $ et $B = \begin{pmatrix} \cos \varphi & \sin \varphi \\ \sin \varphi & -\cos \varphi \end{pmatrix}$. \finenonce{006388} \finexercice \exercice{6389, potyag, 2011/10/16} \enonce{006389}{} \begin{enumerate} \item Notons $l \subset \Rr^2$ une droite affine et $ \tau_l$ la réflexion par rapport à $l$. Montrer que si $f \in Iso (\Rr^2)$ vérifie $f_{\vert l}\equiv id$ alors soit $f = id $ soit $ f= \tau _l$. \item Soient $l$ et $m$ deux droites affines dans $\Rr^2$. \begin{enumerate} \item Montrer qu'il existe $\alpha \in Iso (\Rr^2)$ telles que $\alpha \tau_l \alpha^{-1}= \tau_m. $ \item Montrer que $\tau _l .\tau _m $ est une translation si et seulement si $l$ et $m$ sont parallèles. \end{enumerate} \end{enumerate} \finenonce{006389} \finexercice \exercice{6390, potyag, 2011/10/16} \enonce{006390}{} %exo 6 \label{exo:avant} Notons $R(a,\alpha)$ la rotation d'angle $\alpha$ autour du point $a\in\Rr^2$ et $t_b$ la translation $t_b:x\mapsto x+b$. Montrer que \begin{enumerate} \item $\exists\ \beta\in Iso (\Rr^2) :\ \beta R(a,\alpha)\beta^{-1}\in SO(2)$. \item $R(a,\alpha)=\tau_l\cdot\tau_m$ où $m$ est une droite quelconque passant par $a$ et $l$ est une droite passant par $a$ fixée. \item $t_b$ et $t_c$ sont conjuguée ssi $\vert\vert b\vert\vert=\vert\vert c\vert\vert$. \end{enumerate} \finenonce{006390} \finexercice \exercice{6391, potyag, 2011/10/16} \enonce{006391}{} Une application du type $G(l,a)= \tau _l. t_a$ s'appelle {\it réflexion glissée} si le vecteur $a$ est parallèle à la droite $l$ $\subset \Rr^2$. \begin{enumerate} \item Si $G = \tau _l. t_a$ est une réflexion glissée alors montrer que $\tau_l . t_a = t_a .\tau _l$ et $G^2 = t_{2a}$. \item Montrer que $G = \tau _l t_a$ est une réflexion si $ l$ et $a$ sont perpendiculaires et est une réflexion glissée si $l $ et $a$ ne sont pas perpendiculaires. \item En regardant l'ensemble des points fixes $fix(f) := \{ x \in \Rr^2 \vert f(x) =x\}$ d'une isométrie $f \in Iso(\Rr^2)$ montrer que : \begin{enumerate} \item si $fix (f) \not= \emptyset$ alors $f=R(a,\alpha )$ ou $f = \tau_l$ \item si $fix (f) = \emptyset$ alors $f=t_a$ ou $f=G(l,a)$ ({\it indication : utiliser la question 2. et l'exercice \ref{exo:avant}, question 2}). \end{enumerate} \end{enumerate} \finenonce{006391} \finexercice \exercice{6392, potyag, 2011/10/16} \enonce{006392}{} Notons $l \subset \Rr^2$ une droite affine de $\Rr^2$. \begin{enumerate} \item Montrer que l'ensemble $I_l$ des $g \in Iso (\Rr^2)$ telles que $g(l)=l$ est un sous-groupe de $Iso (\Rr)$. \item Déterminer les translations qui appartiennent à $I_l$. \item Montrer que si $g\in I_l$ possède un point fixe alors $g$ a un point fixe sur $l$. \item Soit $g\in I_l$ , montrer qu'il existe une translation $t$ de $I_l$ telle que $g .t$ possède un point fixe. \item Décrire $I_l$. \end{enumerate} \finenonce{006392} \finexercice \exercice{6393, potyag, 2011/10/16} \enonce{006393}{} Soit $E$ un espace euclidien de dimension $n$ et $X=\{ x_1, x_2,...,x_k\}$ un sous-ensemble de $E$. \begin{enumerate} \item Montrer que $\displaystyle Aff(X):= \{ \sum_{i=1}^{k} \lambda_i x_i \vert x_i \in X , \sum_{i=1}^k \lambda _i=1\}$ est le plus petit sous-espace affine de $E$ contenant $X$. \item Soit $S= \{x_0, ..., x_n \}$ un sous-ensemble de $E$, montrer que $S$ est un repère affine de $E$ si et seulement si $S$ n'est contenu dans aucun hyperplan. \end{enumerate} \finenonce{006393} \finexercice \exercice{6394, potyag, 2011/10/16} \enonce{006394}{} Etudier la composée de deux rotations, puis la composée de deux réflexions glissées et finalement la composée d'une rotation et d'une réflexion glissée. \finenonce{006394} \finexercice \exercice{6395, potyag, 2011/10/16} \enonce{006395}{} Soit $f$ une application qui préserve les rapports de longueur : $ \forall x,y,z,t \in \Rr^2$,on a : $\frac{d(f(x),f(y))}{d(f(z), f(t))} = \frac{d(x,y)}{d(z,t)}$. (Par définition une telle application est une {\it similitude}) \begin{enumerate} \item Monter $\exists k \in \Rr^{+*}$ tel que $d(f(x),f(y)) = kd(x,y)$. \item Montrer qu'un similitude s'écrit comme composée d'une homothétie et d'une isométrie. \end{enumerate} \finenonce{006395} \finexercice \exercice{6396, potyag, 2011/10/16} \enonce{006396}{} Soit $A B C$ un triangle isocèle en $A$ non equilatéral, le but de cet exercice est d'étudier l'ensemble des isométries de $\mathcal{P}$ qui préservent globalement $A B C$. \begin{enumerate} \item Montrer que cet ensemble est groupe. \item Montrer que si $f$ préserve $A B C $ alors $f$ fixe le barycentre $G$ de $A B C $. \item En étudiant les distances $GA$, $GB$, $GC$ montrer que $f(A)=A$ \item En déduire (en utilisant la classification des isométries de $\Rr^2$) le groupe de symétries de $ABC$. \end{enumerate} \finenonce{006396} \finexercice \exercice{6397, potyag, 2011/10/16} \enonce{006397}{\'Etude des sous-groupes commutatifs d'isométries} Soient $f$, $g$ deux isométries du plan affine euclidien $\Rr^2$. \begin{enumerate} \item Montrer que si $g$ et $f$ commutent alors $g=f\circ g\circ f^{-1}$ et $f$ conserve (globalement) l'ensemble des points fixes de $g.$ \item Décrire les cas dans lesquels $f$ et $g$ commutent ($f\circ g =g\circ f$). \item En déduire une description des sous-groupes commutatifs d'isométries. \end{enumerate} \finenonce{006397} \finexercice \section{ 311.00 Géométrie différentielle élémentaire de Rn } \exercice{6398, potyag, 2011/10/16} \enonce{006398}{} \begin{enumerate} \item Soient $\xi(t)$ et $\eta(t)$ deux courbes paramétrées de $\Rr^3$ de classe $C^1$, montrer que $ \frac{d}{dt} [\xi, \eta]= [\frac{d\xi}{dt}, \eta] +[ {\xi, \frac{d\eta}{dt}}]$, où $[, ]$ désigne le produit vectoriel. \item Montrer que $\kappa = - \frac{ }{k^2}$, où $ s\mapsto r(s)$ une courbe de classe $C^2$ paramétrée par sa longueur, $\kappa$ et $k$ sont respectivement sa torsion et sa courbure. \end{enumerate} \finenonce{006398} \finexercice \exercice{6399, potyag, 2011/10/16} \enonce{006399}{} Pour la courbe $r = (a \cos t, a\sin t, bt)$, $a>0$, $b>0$ trouver courbure, torsion et repère de Frenet. \finenonce{006399} \finexercice \exercice{6400, potyag, 2011/10/16} \enonce{006400}{} \begin{enumerate} \item Montrer qu'une courbe $s \mapsto r (s)$ est plane ssi $=0$. \item Soit $s \mapsto r (s)$ une courbe de classe $C^2$ paramétrée par sa longueur. On considère la nouvelle courbe $s \mapsto n(s)$ où $n$ est le vecteur normal unitaire. Notons $s^*$ le paramètre naturel de cette courbe. Montrer que $\frac{ds^{*}}{ds}= \sqrt {k^2+\kappa ^2}$. \end{enumerate} \finenonce{006400} \finexercice \exercice{6401, potyag, 2011/10/16} \enonce{006401}{} \begin{enumerate} \item Montrer que si une courbe $s\mapsto r(s)$ est tracée sur une sphère de rayon $R$ et si $ \kappa(s)\not=0, k(s)\not=0\ (\forall s)$ alors $R^2 = = \frac{1}{k^2 }(1+ \frac{(k')^2}{(\kappa k)^2})).$ \item Soit $s \mapsto r (s) $ une courbe à courbure constante qui est tracée sur la sphère $S^2$. Montrer que son image $r $ est un arc de cercle. La propriété d'être à courbure constante dépend-t-elle de la paramétrisation de la courbe ? \end{enumerate} \finenonce{006401} \finexercice \exercice{6402, potyag, 2011/10/16} \enonce{006402}{} \begin{enumerate} \item Montrer que $3$ points $x, y$ et $z$ sont colinéraires dans $\Rr^n$ avec $y$ entre $x$ et $z$ (rappelons que \c{c}a signifie que $y=x+t(z-x)\ t\in[0,1])$ ssi $$\vert\vert x-y\vert\vert + \vert\vert y-z\vert\vert = \vert\vert x-z\vert\vert.$$ \item Montrer que si $\gamma :[a,b]\mapsto {\Rr}^n$ est une courbe alors $\vert\gamma([a,b])\vert\geq\vert\vert\gamma(a)-\gamma(b)\vert\vert$ et que l'égalité a lieu ssi $\gamma$ est une géodésique (où $\vert\cdot\vert$ désigne la longueur d'une courbe). \end{enumerate} \finenonce{006402} \finexercice \section{ 312.00 Géométrie et trigonométrie sphérique } \exercice{6403, potyag, 2011/10/16} \enonce{006403}{} Soit $\alpha:[a,b]\to S^n$ une courbe avec $b-a < \pi.$ Montrer l'équivalence des conditions suivantes : \begin{enumerate} \item $\alpha$ est une courbe géodésique. \item Il existe deux vecteurs orthogonaux $A, B\in S^n$ tels que $\alpha(t)= A\cos (t-a) + B \sin(t-a).$ \item La courbe $\alpha$ vérifie l'équation $\alpha''+\alpha =0.$ \end{enumerate} \finenonce{006403} \finexercice \exercice{6404, potyag, 2011/10/16} \enonce{006404}{} Soit $ S^n$ est la sphère unité dans l'espace linéaire $E$ de dimension $n+1.$ \begin{enumerate} \item Montrer que la distance sphérique induit sur $ S^n$ une topologie équivalente à celle induite de l'espace ambiant $E.$ \item Montrer que l'intersection d'un sous-espace linéaire $L$ de $E$ de dimension $k$ avec $S^n$ est une sphère de dimension $k-1$ (si $k=2$ cette intersection est un cercle appelée grand cercle de $ S^n$). \end{enumerate} \finenonce{006404} \finexercice \exercice{6405, potyag, 2011/10/16} \enonce{006405}{} Nous noterons $[X, Y]$ le produit vectoriel de deux vecteurs $X$ et $Y$ dans $\R^3$. Montrer que trois vecteurs $X,\ Y,\ {\rm et}\ Z$ dans $\R^3$ sont libres ssi les vecteurs $[X, Y]$, $[Y, Z]$ et $[Z, X]$ sont libres. {\it Indication :} Démontrer d'abord l'identité suivante : $$[[X, Y], Z] = Y - X$$ \finenonce{006405} \finexercice \exercice{6406, potyag, 2011/10/16} \enonce{006406}{} \label{exo:prec} Soit $T=\triangle ABC\subset S^2$ un triangle sphérique d'angles intérieurs $\alpha=\angle A,\ \beta=\angle B,\ \gamma=\angle C$ \begin{enumerate} \item Montrer qu'il existe un triangle $T'=\triangle A'B'C'$ dit polaire tel que $$a'=\pi-\alpha,\ b'=\pi-\beta,\ c'=\pi-\gamma,$$\ où comme d'habitude on note $a',\ b',\ c'$ les longueurs des c\^otés opposés aux sommets $A',\ B',\ C'.$ {\it Indication.} Poser : $C'=\frac{[A, B]}{\vert\vert [A, B]\vert\vert}, A'=\frac{[B, C]}{\vert\vert [B, C]\vert\vert}, B'= \frac{[C, A]}{\vert\vert [C,A]\vert\vert}$ \item Montrer que $(T')' = {\rm sign} ()\cdot T.$ En déduire que $$\angle A'=\pi-a,\ \angle B'=\pi-b,\ \angle C'=\pi-c,$$ \end{enumerate} \finenonce{006406} \finexercice \exercice{6407, potyag, 2011/10/16} \enonce{006407}{} \label{exo:apres} En utilisant le résultat et les notations de l'exercice \ref{exo:prec} montrer que : \begin{enumerate} \item $\ \cos\gamma=\cos c\cdot\sin\alpha\cdot\sin\beta -\cos\alpha\cdot\cos\beta$ \item $\ \cos\beta=\cos b\cdot\sin\alpha\cdot\sin\gamma -\cos\alpha\cdot\cos\gamma$ \item $\ \cos\alpha=\cos a\cdot\sin\beta\cdot\sin\gamma -\cos\beta\cdot\cos\gamma$ \end{enumerate} \finenonce{006407} \finexercice \exercice{6408, potyag, 2011/10/16} \enonce{006408}{} Le but de cet exercice est démontrer que pour chaque triplet $\alpha,\ \beta,\ \gamma\in\ ]0,\frac{\pi}{2}[$ tel que $\alpha+\beta+\gamma>\pi$ il existe un triangle sphérique d'angles intérieurs égaux à $\alpha,\ \beta,\ \gamma$. \begin{enumerate} \item Montrer que $\forall\ \alpha\in\ ]0,\frac{\pi}{2}[$\ $\forall\ d\in\ ]0, \alpha]$ il existe un triangle sphérique $\triangle ABC$ tel que $\angle C=\frac{\pi}{2},\ \angle A=\alpha$ et $a=\vert BC\vert=d$ (dans les notations précédentes). \item En utilisant 1. et les formules de l'exercice \ref{exo:apres} démontrer le résultat. \end{enumerate} \finenonce{006408} \finexercice \section{ 313.00 Groupe orthogonal et quaternions } \exercice{6409, potyag, 2011/10/16} \enonce{006409}{} Le but de cet exercice est d'introduire une topologie sur le groupe linéaire $GL(E).$ Soit $A\in GL(E),$ alors on introduit la norme: $$\displaystyle \vert\vert A\vert\vert =\sup_{\vert\vert x\vert\vert=1}\vert\vert Ax\vert\vert\hfill\eqno(1).$$ Montrer que les topologies suivantes sur $GL(E)$ sont équivalentes: \begin{enumerate} \item $A_n\to A$ si la suite $a_{ij}^n$ des coefficients de $A_n$ converge vers $a_{ij}.$ \item $A_n\to A$ si $\vert\vert A_n -A\vert\vert \to 0.$ \item $A_n\to A$ si l'application $A_n:x\to A_n(x)$ converge vers l'application $A(x)$ uniformément sur chaque compact $K\subset E.$ \end{enumerate} \finenonce{006409} \finexercice \exercice{6410, potyag, 2011/10/16} \enonce{006410}{} \begin{enumerate} \item En utilisant la norme (1) démontrer que $O(n)$ est compact dans $GL(E).$ \item En utilisant le résultat du cours qu'une matrice orthogonale est une matrice en blocs démontrer que $O(n)$ contient deux composantes connexes : $SO(n)=\{A\in O(n)\ \vert\ {\rm det} A=+1\}$ et $O^{-}(n)=\{A\in O(n)\ \vert\ {\rm det} A=-1\}.$ $O^{-}(n)$ est-il un sous-groupe de $O(n)$ ? \end{enumerate} \finenonce{006410} \finexercice \exercice{6411, potyag, 2011/10/16} \enonce{006411}{} Rappelons qu'une application $g\in SO(3)$ est dite \emph{retournement} si $g$ est une rotation d'angle $\pi$ autour d'une droite fixée $L\subset \Rr^3\ (g\vert_{L}\equiv {\rm id})$. Soit $g\in SO(3)$ un retournement d'axe la droite $L\in \R^3\ (0\in L).$ Montrer que $g_1\in SO(3)$ est un retournement ssi il existe $f\in SO(3)$ tel que $g_1=fgf^{-1}$ et l'axe de $g_1$ est $f(L).$ \finenonce{006411} \finexercice \exercice{6412, potyag, 2011/10/16} \enonce{006412}{} \begin{enumerate} \item Soit $S=\{z+tj\ \vert\ z\in\C,\ t\in\R\}$ un sous-ensemble $\mathbb{H}$ des quaternions. Montrer que $S$ est invariant par l'application : $$\rho_j\ :\ \to jqj^{-1},\ q\in\mathbb{H}.$$ \item En identifiant $S$ avec $\R^3$ décrire $\rho_j:S \to S.$ \item Montrer que l'application $\rho_k:q\to kqk^{-1}$ laisse $S$ invariant (i.e. $\rho_k(S)=S$). Décrire $\rho_k.$ \end{enumerate} \finenonce{006412} \finexercice \exercice{6413, potyag, 2011/10/16} \enonce{006413}{} \begin{enumerate} \item Montrer que $ S^3$ est un sous-groupe de $\mathbb{H}^*$ considéré comme groupe multiplicatif. Est-il normal ? \item Montrer que si $\exists\ q\in S^3\ :\ \forall\ q_1\in\R^3=\{y\cdot i+u\cdot j + v\cdot k\ \vert\ y,v,u\in\R\}\ : \ qq_1q^{-1}=q_1$ alors $q=\pm {\rm id_{\mathbb{H}}}.$ \end{enumerate} \finenonce{006413} \finexercice \exercice{6414, potyag, 2011/10/16} \enonce{006414}{} Soit $q,r\in(\mathbb{H}\cong \R^4)$ alors montrer que $=\frac{1}{2}({\overline q}r+{\overline r}q)$ où $<\ ,\ >$ est le produit scalaire euclidien de $\R^4,$ et on note $\overline{q}=\overline{z}-wj$ si $q=z+wj.$ \finenonce{006414} \finexercice \exercice{6415, potyag, 2011/10/16} \enonce{006415}{} \begin{enumerate} \item On considère l'application $\xi_s(q)=-sqs^{-1}\ (s\in(\R^3)^*,\ q\in\R^3).$ Montrer que $\xi_s$ est la reflection dans $\R^3$ par rapport au plan $s^\bot.$ \item Démontrer la surjectivité de l'application $\varphi : S^3\to SO(3)$ où $\varphi(s)=\rho_s,$ et $\rho_s(q)=sqs^{-1}$ ($s\in S^3,\ q\in\R^3$). \end{enumerate} \finenonce{006415} \finexercice \exercice{6416, potyag, 2011/10/16} \enonce{006416}{} Si $q\in S^3$ tel que $q=\cos\theta + I\sin\theta,\ I\in S^2,$ alors montrer que $\rho_q\in SO(3)$ est la rotation d'angle $2\theta$ autour de l'axe $OI$. \finenonce{006416} \finexercice \exercice{7801, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007801}{} Montrer sans calcul que la matrice suivante $A$ à coefficients complexes est inversible $$A=\left[ \begin{array}{cccc} 1-i&2&1&3\\ 2&-i&-1&0\\ 1&-1&1-i&-1\\ 3&0&-1&-i \end{array}\right] $$ \finenonce{007801} \finexercice \exercice{7802, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007802}{} Déterminer l'orbite et le stabilisateur d'un vecteur de norme 1 sous l'action du groupe orthogonal du produit scalaire standard dans $\Rr^n$. Montrer que groupe $O(n-1)$ est isomorphe à un sous-groupe $O_{n-1}$ de $O(n)$. Ce sous-groupe est-il distingué ? \finenonce{007802} \finexercice \exercice{7803, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007803}{Décomposition polaire d'un endomorphisme} Soit $H$ un espace hermitien et $a$ un endomorphisme inversible de $H$. Montrer que $a$ s'écrit de fa{\c c}on unique sous la forme $a=hu$ o{ù} $h$ est un endomorphisme auto-adjoint positif et $u$ unitaire. Déterminer $h$ et $u$ pour l'endomorphisme $a$ dont la matrice dans la base canonique de $\Cc^2$ est $\left[ \begin{array}{cc} 1&i\\ i&1 \end{array} \right]$. \finenonce{007803} \finexercice \exercice{7804, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007804}{Involutions} Soit $f$ une forme bilinéaire symétrique non dégénérée sur un espace vectoriel $E$. \begin{enumerate} \item Soit $u\in GL(E)$ une involution. Montrer que $u$ est orthogonale si et seulement si $E_+(u)=E_+:=Ker (u-Id)$ et $E_-:=Ker(u+Id)$ sont orthogonaux. Montrer alors que $(E_+)^\perp = E_-$ et que $E_+$ n'est pas isotrope. \item Soit $F\subset E$ un sous-espace non isotrope. Montrer qu'il existe une unique involution orthogonale telle que $E_+(u)=F$. \item Montrer que $O(f)\equiv SO(f)\ltimes \{-1,1\}$. \end{enumerate} \finenonce{007804} \finexercice \exercice{7805, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007805}{Dilatations} Soit $f$ une forme sesquilinéaire non dégénérée. Déterminer les dilatations orthogonales (resp. unitaires. resp. symplectiques. \finenonce{007805} \finexercice \exercice{7806, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007806}{} Soit $k$ un corps de caractéristique différente de $2$. Soit $E$ un $k$-espace vectoriel de dimension $n\geq 2$ et $\phi$ une forme sesquilinéaire non dégénérée sur $E$ symétrique, hermitienne ou alternée. Soit $\tau$ une transvection de $E$ donnée à l'aide d'une forme linéaire non nulle $f$ sur $E$ et un vecteur $a$ de $Ker f$ par $\forall x\in E, \tau (x)=x+f(x)a$. \begin{enumerate} \item On suppose désormais que $\tau$ est une isométrie relativement à $\phi$. Montrer que $a$ est isotrope. \item Montrer que $f$ et $\phi (\cdot , a)$ sont proportionnelles. On notera $\lambda\in k^\star$ tel que $f=\lambda\phi (\cdot , a)$. \item Montrer que si $\sigma\not =Id$ et $\phi$ est hermitienne ou symétrique, alors $\lambda +\sigma (\lambda)=0$. \item Montrer qu'il n'existe pas de transvections orthogonales, qu'il existe des transvections unitaires si et seulement si l'indice est plus grand que $1$ et qu'il existe toujours des transvections symplectiques. \end{enumerate} \finenonce{007806} \finexercice \exercice{7807, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007807}{Sur les similitudes} Soit $f$ une forme sesquilinéaire non dégénérée symétrique (resp. hermitienne, alternée) sur un $K$-espace vectoriel $E$. On note $GO(f)$ (resp. $GU(f)$, $GSp(f)$) le groupe des similitudes de $f$. On note $\mu$ l'application qui à une similitude associe son multiplicateur dans $K^\star$. \begin{enumerate} \item Déterminer les similitudes de la forme symplectique standard sur $K^2$. \item Montrer que $u$ est une similitude si et seulement si elle conserve l'orthogonalité. \item On suppose $f$ symétrique. Montrer que $Im (\mu)=\{\lambda\in K^\star / q\equiv \lambda q\}\supset (K^\star)^2$. \end{enumerate} \finenonce{007807} \finexercice \exercice{7808, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007808}{Etude du groupe orthogonal $O(1,1)$} \begin{enumerate} \item Montrer que dans un plan d'Artin il y a exactement deux droites isotropes $I$ et $J$. \item Soit $u\in O(1,1)$. Montrer que $u$ envoie $I\cup J$ sur lui-même. \item Soit $u\in O(1,1)$. Montrer que $u$ est directe si et seulement si $u$ laisse fixes chaque droite isotrope. \item En déduire la forme des éléments de $O(1,1)$. \end{enumerate} \finenonce{007808} \finexercice \exercice{7809, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007809}{} On considère la forme symplectique sur $\Rr^{2n}$ donnée par $$f\left(\left({x\atop y}\right),\left({x'\atop y'}\right)\right) =x^t\ y'-y^t\ x'$$ o{ù} $x,y,x',y'$ sont dans $\Rr^n$. \begin{enumerate} \item En décomposant par bloc $n\times n$ une matrique quelconque $g$ de $M_{2n}(\Rr)$ sous la forme $\left({AB\atop CD}\right)$, caractériser les matrices symplectiques en termes de systèmes d'équation pour $A,B,C,D$. \item Déterminer toutes les matrices symplectiques vérifiant de plus $B=C=0$. \item Déterminer toutes les matrices symplectiques vérifiant $A=D=I_n$ et $C=0$. \item Déterminer toutes les matrices symplectiques vérifiant $C=0$. \item Déterminer toutes les matrices $Q$ de $M_{n}(\Rr)$ telles que l'espace $W_Q:=\left\{ \left({Qy\atop y}\right)/ y\in \Rr^n\right\}$ soit totalement isotrope. Quel est le lien avec les questions précédentes ? \end{enumerate} \finenonce{007809} \finexercice \exercice{7893, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007893}{Le groupe $SO(2)$} \begin{enumerate} \item Rappeler un isomorphisme de groupes entre $SO(2)$ et $S^1$. \item L'application $SO(2)\to SO(2), A\mapsto A^2$ est-elle un morphisme de groupes ? Déterminer son image et son noyau. \end{enumerate} \finenonce{007893} \finexercice \exercice{7894, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007894}{L'espace $V$ des matrices anti-hermitiennes de trace nulle} \begin{enumerate} \item Déterminer la nature de l'espace vectoriel $V$ des matrices anti-hermitiennes (i. e. $M^\star:=-M$) de $M(2,\Cc)$ de trace nulle. \item Écrire la forme générale d'une matrice de $V$ à l'aide de trois nombres réels. En déduire une base de $V$. \item Montrer que $\ll P,P'\gg:=-\frac{1}{2}trace(PP')$ définit un produit scalaire sur $V$. \end{enumerate} \finenonce{007894} \finexercice \exercice{7895, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007895}{Le groupe $SU(2)$} \begin{enumerate} \item Soit $P=\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}\in SU(2)$. Montrer que \( c=-\overline{b}, d=\overline{a} \quad \text{ et } \quad \overline{a}a+\overline{b}b=1\) et écrire la forme générale d'une matrice $P$ de $SU(2)$ à l'aide de deux nombres complexes, puis de quatre nombres réels. \item En déduire un homéomorphisme de $SU(2)$ sur la sphère unité $S^3$ de $\Cc^2$. (On munit ici $S^3$ de la topologie induite par celle de $\Cc^2$ et $SU(2)$ de la topologie induite par la topologie d'une norme sur l'espace vectoriel $M(2,\Cc)$.) \item Soit $-1 =P(M_1+...+M_k).$$ \item Soient $p:L^*\to P(L)=L^{*} / _{\bf\tilde{}}\ $ l'application de la projectivisation (qui associe à chaque $x\in L^*$ sa classe $[x]\in P(L)$) et $S$ un sous-ensemble de l'espace $P(L).$ Alors montrer que $= P(D),$ où $D$ est le sous-espace de $L$ engendré par $p^{-1}(S).$ \end{enumerate} \finenonce{006418} \finexercice \exercice{6419, potyag, 2011/10/16} \enonce{006419}{} \begin{enumerate} \item Montrer que le plan projectif $P_1$ et la droite $P_2$ dans $\mathbb{P}^3$ soit se coupent en un point soit $P_2\subset P_1.$ \item Soient $P_i=P(M_i)$ deux sous-espaces projectifs $(i=1,2)$. Montrer que si $P_1\cap P_2=\emptyset$ alors la somme $M_1+M_2$ est directe. \end{enumerate} \finenonce{006419} \finexercice \exercice{6420, potyag, 2011/10/16} \enonce{006420}{} Montrer que la fibration de Hopf $FH:S^3\to S^2$ ( $FH^{-1}(x)$ est un grand cercles de $S^3\ (\forall\ x\in S^2)$) s'écrit comme ceci : $$FH(z,z')=(2z'\overline{z}, \vert z'\vert^2-\vert z\vert^2).$$ \finenonce{006420} \finexercice \exercice{6421, potyag, 2011/10/16} \enonce{006421}{} \begin{enumerate} \item Montrer que tout sous-espace projectif de dimension $k-1$ dans $\mathbb{P}^n$ peut être recouvert par au moins $k$ cartes affines. \item Trouver le nombre d'éléments d'un espace projectif de dimension $n$ sur un corps avec $q$ éléments. \end{enumerate} \finenonce{006421} \finexercice \exercice{6422, potyag, 2011/10/16} \enonce{006422}{} \begin{enumerate} \item Montrer que le groupe projectif $PGL(L)$ agit transitivement sur l'ensemble de sous-espaces projectifs de la dimension $k$ fixée. \item Montrer que $PGL(L)$ agit transitivement sur l'ensemble de couples ordonnés $\{(P_1, P_2)\ \vert\ {\rm dim} P_1= k_1, \ {\rm dim} P_2= k_2,\ {\rm dim} (P_1\cap P_2) = k_3\},$ où $k_1, k_2, k_3$ sont fixés. \item Montrer que $PGL(L)$ agit transitivement sur l'ensemble des drapeaux projectifs ${\cal D}=\{ (P_1,...,P_k)\ \vert P_1\subset ... \subset P_k, \}$ où la longueur $k$ est fixée et $P_i$ est un sous-espace projectif de $P(L)$ de dimension $i$ fixée $(i=1,...,k).$ \end{enumerate} \finenonce{006422} \finexercice \exercice{6423, potyag, 2011/10/16} \enonce{006423}{} \begin{enumerate} \item Montrer que toute homographie $\gamma\in PGL_n\C$ possède au moins un point fixe \item Montrer que toute homographie $\gamma:\R\mathbb{P}^{2n}\to \R\mathbb{P}^{2n}$ a toujours au moins un point fixe. \item Soit $\gamma\in PGL(L)$ tel que ${\rm card}({\rm fix}(\gamma)) < \infty$ et ${\rm dim} P(L)=n$ alors montrer que ${\rm card}({\rm fix}(\gamma))\leq n+1$ où ${\rm fix}(\gamma)=\{x\ \vert \gamma(x)=x\}.$ \end{enumerate} \finenonce{006423} \finexercice \exercice{6424, potyag, 2011/10/16} \enonce{006424}{} Cet exercice ne concerne pas directement la géométrie projective mais sera utilisé par la suite. \begin{enumerate} \item Montrer que chaque réflexion par rapport à un hyperplan dans $\R^n$ est une application conforme dans $\R^n.$ En déduire que chaque isométrie euclidienne et chaque isométrie sphérique sont conformes dans $\R^n$ et sur $ S^n$ respectivement. \item Montrer qu'une application linéaire $A:E\mapsto E$ conserve les angles non-orientés entre les vecteurs non-nuls ssi $A$ est une matrice conforme. \item Montrer qu'une application $f:D\mapsto \R^n$ d'un ouvert $D\subset \R^n$ est conforme dans $D$ ssi elle conserve les angles dans $D$. \end{enumerate} \finenonce{006424} \finexercice \exercice{6425, potyag, 2011/10/16} \enonce{006425}{} Démontrer que toute application de M\"obius $\gamma\in M(2)$ est conforme sur $\overline\C.$ \finenonce{006425} \finexercice \exercice{6426, potyag, 2011/10/16} \enonce{006426}{} Rappelons qu'un cercle généralisé est soit un cercle euclidien $\Sigma(z_o,r)=\{z\in \C\ \vert\ \vert z-z_0\vert=r\}$ soit une droite à laquelle on ajoute le point $\{\infty\}$ (à l'aide la projection stéréographique). On note $M=\{\frac{az+b}{cz+d}\ \vert\ a, b, c, d\in\C,\ ad-bc\not=0\}.$ \begin{enumerate} \item Montrer que le groupe $PGL_2\C$ agit trois fois transitivement sur $\overline{\Cc}.$ \item Vérifier que chaque cercle généralisé dans $\overline{\Cc}$ s'écrit sous la forme : $$A(x^2+y^2)+Bx+Cy+D=0,\ B^2+C^2 > 4 A D$$ \item Soit $C_1\in \C$ un cercle généralisé, alors montrer que un sous-espace $C_2\subset \C$ est un cercle généralisé ssi il existe $\gamma\in M$ telle que $\gamma(C_1)=C_2.$ \item Soit $K\subset \C$ un cercle généralisé et $f\in M(2)$ tel que $\displaystyle f\vert_K\equiv {\rm id_K}$ alors montrer que soit $f\equiv {\rm id}$ soit $f$ est la réflexion par rapport à $K.$ \end{enumerate} \finenonce{006426} \finexercice \exercice{6427, potyag, 2011/10/16} \enonce{006427}{} Montrer que $$\displaystyle M(2)=\Big\{\frac{a_2 \overline z+b_2}{c_2 \overline z+d_2}\ ;\ \frac{a_1 z+b_1}{c_1 z+d_1}\ \Big\vert\ a_i, b_i, c_i, d_i \in\C\ ;\ a_id_i-b_ic_i\not=0\Big\}$$ et en déduire que $\vert M(2) : M\vert=2$ où $M=M_+(2)$ est le groupe des transformations de M\"obius paires. \finenonce{006427} \finexercice \exercice{6428, potyag, 2011/10/16} \enonce{006428}{} Soit $\tau_{\Sigma}$ la réflexion par rapport au cercle euclidien $\Sigma=\{z\in\C\ \vert \vert z-z_0\vert=r\}$ alors montrer que $$\displaystyle \vert \tau_{\Sigma}(z)-\tau_{\Sigma}(w)\vert = r^2\frac{\vert z-w\vert} {\vert z -z_0\vert\vert w-z_0\vert}$$ \finenonce{006428} \finexercice \exercice{6429, potyag, 2011/10/16} \enonce{006429}{} \begin{enumerate} \item Montrer que chaque application $g\in M$ possède soit un point fixe dans $\overline{\Cc}$ soit deux points fixes. Cette affirmation reste-t-elle vraie pour les éléménts de $M(2)$ ? \item Notons ${\rm fix}(g)$ l'ensemble $\{x\in\overline{\Cc}\ \vert\ g(x)=x\}$ des points fixes de $g.$ Montrer que si $\gamma=fgf^{-1}$ alors ${\rm fix} (\gamma)=f({\rm fix} (g).$ \item Soient $C_i\ (i=1,2)$ deux cercles généralisés. Montrer que $\exists\ \gamma\in M\ :\ \tau_{C_1}=\gamma\tau_{C_2}\gamma^{-1},$ où $\tau_{C_i}$ désigne l'inversion par rapport à $C_i.$ \end{enumerate} \finenonce{006429} \finexercice \exercice{6430, potyag, 2011/10/16} \enonce{006430}{} Soient $C_i\ (i=1,2)$ deux cercles généralisés. Montrer que $\tau_{C_1}$ et $\tau_{C_2}$ commutent si et seulement si le cercle $C_1$ est orthogonal à $C_2$ (e.g. si $C_i$ sont deux cercles euclidiens alors ils sont orthogonaux ssi les angles entre deux rayons aux points de l'intersection $C_1$ et $C_2$ sont égaux à $\frac{\pi}{2}$). \finenonce{006430} \finexercice \exercice{7733, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007733}{Homographie} Soit $d$ et $d'$ deux droites d'un plan projectif. Soit $h$ une homographie de $d$ dans $d'$ telle que $A'=h(A)$, $B'=h(B)$, $C'=h(C)$. Construire $h(M)$. \includegraphics[scale=0.5]{images/img-mour-486} \finenonce{007733} \finexercice \exercice{7738, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007738}{Questions de cours} \begin{enumerate} \item L'ensemble des permutations de profil $(\cdot, \cdot)(\cdot, \cdot)$ avec l'identité est-il un sous-groupe distingué de $\mathcal{A}_6$. \item Décrire les différentes possibilités pour la dimension de l'intersection de deux plans projectifs de $\mathbb{P}^3$. Décrire les différentes possibilités pour la dimension de l'intersection de deux plans projectifs de $\mathbb{P}^4$. \item Donner l'exemple de deux quintuplets de points deux à deux distincts d'une droite projective qui ne peuvent pas être l'image l'un de l'autre par une homographie. \end{enumerate} \finenonce{007738} \finexercice \exercice{7742, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007742}{Une homographie} Soit $9$ points $A,B,\ldots, I$ du plan $\R^2$ tels que $ABED$, $BCFE$, $DEHG$ et $EFIH$ soient des carrés. Etant données les images $A'=h(A)$, $B'=h(B)$, $E'=h(E)$ et $D'=h(D)$ par une homographie de $P^2(\R)$ dans lui-même, construire à la règle les images des autres points. \finenonce{007742} \finexercice \exercice{7743, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007743}{} ~ \includegraphics[scale=0.5]{images/img-mour-495} \begin{enumerate} \item Dessiner la configuration correspondante dans le plan affine $P(V)-(AM)$. \item Choisir des coordonnées homogènes telles que l’on ait $A = (1 : 0 : 0), B = (0 : 1 : 0), L = (0 : 0 : 1) $ et $ C = (1 : 1 : 0)$. Déterminer les équations des droites projectives $(BL), (DM), (NA), (LE), (MP)$ et les coordonnées homogènes des points $N = (BL) \cap (DM), P = (NA) \cap (LE)$ et $F = (AB) \cap (MP)$ en termes des coordonnées homogènes des points $D,E$ et $M$. \item Exprimer le birapport $[A,B,C,F]$ en termes de $x = [A,B,C,D]$ et $y = [A,B,C,E]$. \end{enumerate} \finenonce{007743} \finexercice \exercice{7744, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007744}{Homographie plane} \begin{enumerate} \item Etant données les images $A'=h(A)$, $B'=h(B)$, $C'=h(C)$, et $D'=h(D)$ par une homographie $h$ de $P^2(\Rr)$ dans lui-même, construire à la règle les images des autres points. On indiquera l'ordre dans lequel les constructions sont effectuées. \item Suffirait-il de connaître les images $A'=h(A)$, $B'=h(B)$ et $C'=h(C)$ ? \end{enumerate} \finenonce{007744} \finexercice \exercice{7745, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007745}{} Soit $F$ une homographie du plan projectif $P^2$ qui admet une droite $d$ de points fixes. \begin{enumerate} \item Montrer qu'on peut choisir $f\in GL(3,k)$ telle que $F=P(f)$ et $f$ admet un plan de points fixes. \item Montrer alors qu'il existe un point $O$ de $P^2$ (appelé centre de $F$) tel que pour tout point $M$ de $P^2$ non fixé par $F$, la droite $(MF(M))$ passe par $O$. \item Soit $d$ une droite et $O$ un point hors de $d$. Soit $A$ et $A'$ deux points hors de $d$ et $A\not=O$ et $O,A,A'$ alignés. Montrer en choisissant un repère convenable qu'il existe une unique homographie $F$ telle que $d$ soit une droite de points fixes et $O$ le centre et qui envoie $A$ sur $A'$. \item Soit $F$ une homographie du plan projectif $P^2$ qui admet une droite $d$ de points fixes et de centre $O$. Sachant que $F(A)=A'$, construire l'image du point $M$ par $F$ dans les cas suivants. \begin{figure}[!ht] \begin{center}\includegraphics[scale=0.5]{images/img-mour-497-1}\end{center} \caption{} \end{figure} \begin{figure}[!ht] \begin{center}\includegraphics[scale=0.5]{images/img-mour-497-2} \caption{le point $O$ est à l'infini}\end{center} \end{figure} \begin{figure}[!ht] \begin{center}\includegraphics[scale=0.4]{images/img-mour-497-3} \caption{le point $0$ est à l'infini dans la direction de $d$}\end{center} \end{figure} \item Soit $H$ une involution. On considère deux points $P$ et $Q$ tels que avec leur image $P'$ et $Q'$ ils forment un repère projectif (aucun triplet n'est formé de points alignés). On définit $O:=(PP')\cap (QQ')$ et $d$ la droite reliant $(PQ')\cap(QP')$ et $(PQ)\cap(P'Q')$. Montrer que $H$ est l'homographie de droite fixe $d$ de centre $O$ qui envoie $P$ sur $P'$. \end{enumerate} \finenonce{007745} \finexercice \exercice{7746, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007746}{Géométrie projective} Soit $\Delta = P(E)$ une droite projective. Soient $F = P(f)$ et $F' = P(f')$ deux homographies de $\Delta$ dans elle-même telles que $F^2\neq Id_\Delta$, $F'^2\neq Id_\Delta$ et qui possèdent chacune exactement deux points fixes distincts.\newline On se propose de montrer que $F$ et $F'$ commutent si et seulement elles ont les mêmes points fixes. On note $A$ et $B$ les points fixes de $F$ et on note $A'$ et $B'$ les points fixes de $F'$. \begin{enumerate} \item On suppose que $F$ et $F'$ ont les mêmes points fixes. Comment traduire cette hypothèse à l'aide des applications linéaires associées $f$ et $f'$ ? Montrer que $F$ et $F'$ commutent (on pourra considérer un repère projectif de $\Delta$). Dans la suite de l'exercice, on montre l'implication réciproque : on suppose donc que $F$ et $F'$ commutent. \item Rappeler la démonstration du fait qu'une homographie d'une droite projective dans elle-même possédant trois points fixes deux à deux distincts est l'identité. \item En considérant l'image par $F \circ F'$ des points $A,B,A',B'$ montrer que $\{F'(A),F'(B)\} = \{ A,B\}$ et que $\{F(A'),F(B')\} = \{A',B'\}$. \item Supposons que $F(A') = A'$ et $F(B') = B'$, montrer que $\{A',B'\} = \{A,B\}$. \item Supposons que $F(A') = B'$ et $F(B') = A'$, montrer que $\{A',B'\} = \{A,B\}$, et en déduire que ce second cas ne peut pas se produire. \item Conclure. \end{enumerate} \finenonce{007746} \finexercice \exercice{7747, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007747}{Le plan $P(\mathbb{F}^3_2)$} \begin{enumerate} \item Déterminer le nombre de points et de droites du plan projectif $P(\mathbb{F}^3_2)$. Représenter les relations d'incidence. \item Déterminer le nombre de points de l'espace projectif $\mathbb{P}^n_{\mathbb{F}_q}$ de dimension $n$ sur le corps $\mathbb{F}_q$. \end{enumerate} \finenonce{007747} \finexercice \exercice{7748, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007748}{} On rappelle que le nombre de racine $n$ième de l'unité dans $\mathbb{F}_q$ est $pgcd(n,q-1)$. En considérant, le morphisme $SL(E)\to \mathcal{S}(P(E))$ associé à l'action de $SL(E)$ sur les droites de $E$, démontrer l'existence des isomorphismes suivants \begin{itemize} \item $GL(2,\mathbb{F}_2)=SL(2,\mathbb{F}_2)=PSL(2,\mathbb{F}_2)=PGL(2,\mathbb{F}_2)=\mathcal{S}_3$ \item $PGL(2,\mathbb{F}_3)=\mathcal{S}_4$ et $PSL(2,\mathbb{F}_3)=\mathcal{A}_4$. \item $PGL(2,\mathbb{F}_4)=PSL(2,\mathbb{F}_4)=\mathcal{A}_5$. \end{itemize} \finenonce{007748} \finexercice \exercice{7749, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007749}{} Le but de l'exercice est de démontrer le théorème de Pappus affine~: \textit{Soit $d$ et $d'$ deux droites d'un plan affine $E$. Soit $A, B, C$ (resp. $A', B', C'$) trois points sur $d$ (resp. sur $d'$.) Si les droites $(AB')$ et $(BA')$ sont parallèles ainsi que les droites $(BC')$ et $(CB')$, alors les droites $(CA')$ et $(AC')$ le sont aussi.} Dans le cas où $d$ et $d'$ sont sécantes en $I$ \begin{enumerate} \item On considère l'homothétie $h$ de centre $I$ qui envoie $A$ sur $B$. Déterminer l'image de $B'$ par $h$. \item On considère l'homothétie $H$ de centre $I$ qui envoie $B$ sur $C$. Déterminer l'image de $C'$ par $H$. \item Déterminer l'image de $A$ et celle de $C'$ par $H\circ h$. \item Conclure. \end{enumerate} Comment raisonner dans le cas où $d$ et $d'$ sont parallèles ? \finenonce{007749} \finexercice \exercice{7750, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007750}{Avec un repère projectif} Dans un plan projectif réel, on considère le repère projectif $(A, B, C; I)$. Soit $A', B', C'$ respectivement sur $(BC), (CA)$ et $(AB)$ tels que $(AA'), (BB')$ et $(CC')$ soient concourantes en $I$. Montrer analytiquement que les points $P:=(BC)\cap (B'C')$, $Q:=(CA)\cap(C'A')$ et $R:=(AB)\cap(A'B')$ sont alignés. \finenonce{007750} \finexercice \exercice{7751, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007751}{} Soit $F=P(f)$ une homographie d'une droite projective dans elle-même. \`A quoi correspondent en terme de $f$ les points fixes de $F$ ? Montrer que si $F$ admet trois points fixes deux à deux distincts, $F$ est l'identité. \finenonce{007751} \finexercice \exercice{7752, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007752}{Perspective} Soit $\vec{V}$ un espace vectoriel et $P:=P(\vec{V})$. \begin{enumerate} \item Soit $F$ et $G$ deux sous-espaces projectifs disjoints de $P$. Montrer qu'il existe un unique sous-espace projectif $$ de $P$ de dimension $\dim F+\dim G+1$ contenant $F$ et $G$. \item Soit $F$ et $G$ deux sous-espaces projectifs disjoints de $P$ tels que $\dim F+\dim G= \dim P-1 $. Quel est le domaine de définition de l'application (appelée perspective) ? $$\begin{array}{ccccc} P(\vec{V})&\to& G &\subset& P(\vec{V})\\ M&\mapsto & G\cap &=&P (\vec{G}\cap (\vec{M}\oplus\vec{F})) \end{array}$$ Montrer que c'est une application projective. \end{enumerate} \finenonce{007752} \finexercice \exercice{7753, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007753}{Quadrique} Soit $\vec{V}$ un espace vectoriel et $q$ une forme quadratique sur $\vec{V}$. On appelle quadrique projective associée à $q$ le sous ensemble de $P:=P(\vec{V})$ défini par ($p$ est la projection canonique $\vec{V}-\{0\}\to P$) $$Q:=p\left( \{x\in\vec{V}-\{0\}/ q(x)=0\}\right).$$ \begin{enumerate} \item On suppose $\dim P=1$. Montrer que si $Q$ contient trois points distincts, $Q=P$. \item On suppose $\dim P=2$. Montrer que si $Q$ contient une droite $d$, soit $Q=P$, soit il existe une droite $d'$ telle que $Q=d\cup d'$. \item Soit $d$ une droite de $P$. Montrer que si $d$ rencontre $Q$ en au moins trois points, $d$ est incluse dans $Q$. Montrer que si $k=\mathbb{C}$ alors $d$ rencontre $Q$. \end{enumerate} \finenonce{007753} \finexercice \exercice{7754, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007754}{Coordonnées} \begin{enumerate} \item Soit $\vec{V}$ un espace vectoriel de dimension $n+1$ muni d'une base $\mathcal{B}:=(\vec{v_i})$ et $(x_i)$ les coordonnées cartésiennes associées. Soit $\mathcal{R}$ le repère projectif associé de $P(\vec{V})$. Soit $\vec{v}$ un vecteur de $\vec{V}$. Déterminer un système de coordonnées homogènes dans $\mathcal{R}$ pour $vect(\vec{v})$ en fonction des coordonnées cartésiennes de $\vec{v}$ dans $\mathcal{B}$. \item Soit $E$ un espace affine de dimension $n$ et $\widehat{E}$ son complété vectoriel. On identifie $E$ à un ouvert affine de $P(\widehat{E})$ par l'application naturelle $M\mapsto vect\left( (\!( 1,M )\!)\right)$. Soit $\mathcal{A}:=(A_i)_{0\leq i\leq n}$ un repère affine de $E$. \begin{enumerate} \item Considérons d'abord la base $\mathcal{B}_1:=\left( (\!( 1,A_i)\!)\right) $ de $\widehat{E}$ et $\mathcal{R}_1$ le repère projectif associé. Déterminer un sytème de coordonnées homogènes dans $\mathcal{R}_1$ de $M\in E$ considéré dans $P(\widehat{E})$ en fonction de ses coordonnées barycentriques dans $\mathcal{A}$. Donner une équation de l'hyperplan à l'infini. \item Considérons maintenant la base $\mathcal{B}_2:=\left( (\!( 1,A_0)\!) , (\!( 0,\vec{A_0A_i})\!)\right) $ de $\widehat{E}$ et $\mathcal{R}_2$ le repère projectif associé. Déterminer un sytème de coordonnées homogènes dans $\mathcal{R}_2$ de $M\in E$ considéré dans $P(\widehat{E})$ en fonction de ses coordonnées cartésiennes dans $\mathcal{A}$. Donner une équation de l'hyperplan à l'infini. \end{enumerate} \end{enumerate} \finenonce{007754} \finexercice \exercice{7755, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007755}{Cas particulier d'un grand théorème} Soit $E$ un plan affine muni d'un repère affine $\mathcal{A}':=(A_0,A_1, A_3)$ et $\mathcal{C}$ la conique d'équation cartésienne $x^2+y^2=1$. Soit $\mathcal{A}:= (A_1,A_2=s_{A_0}(A_1),A_3)$ un nouveau repère affine de $E$. \begin{enumerate} \item Déterminer une équation barycentrique homogène dans $\mathcal{A}$ de $\mathcal{C}$. \item Soit $B_1, B_2, B_3$ trois points de $\mathcal{C}$ distincts de $A_1, A_2, A_3$. Montrer à l'aide d'un calcul en coordonnées barycentriques que les points d'intersection $P=(A_1B_2)\cap (A_2B_1)$, $Q=(A_2B_3)\cap (A_3B_2)$ et $R=(A_3B_1)\cap (A_1B_3)$ sont alignés. \end{enumerate} \finenonce{007755} \finexercice \exercice{7756, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007756}{} \begin{enumerate} \item Soit $6$ points $A,B,\ldots, F$ du plan $\R^2$ tels que $ABCDEF$ soit un hexagone régulier, Etant données les images $A'=h(A)$, $B'=h(B)$, $D'=h(D)$ et $E'=h(E)$ par une homographie $h$ de $P^2(\R)$ dans lui-même, construire à la règle les images des autres points. \includegraphics[scale=0.5]{images/img-mour-508-1} \item Même question en supposant données cette fois, les images $A'=h(A)$, $B'=h(B)$, $C'=h(C)$ et $D'=h(D)$. \end{enumerate} \finenonce{007756} \finexercice \exercice{7757, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007757}{} \begin{enumerate} \item Soit $d$ et $d'$ deux droites du plan projectif $P^2(\R)$ et $O$ un point hors de $d\cup d'$ (figure~1). Construire l'axe de la projection de $d$ sur $d'$ depuis $O$. \item Deux droites se coupent en dehors de la feuille en un point $I$. Soit $A$ un point de la feuille. Construire la droite $(AI)$. (voir figure 2) \includegraphics[scale=0.5]{images/img-mour-509} %\textit{Justifier votre construction par des arguments de géométrie projective} \end{enumerate} \finenonce{007757} \finexercice \exercice{7799, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007799}{Droites et quadriques} Une quadrique d'un espace projectif $P(V)$ est le lieu des zéros d'une forme quadratique $f$ sur $V$. \begin{enumerate} \item Montrer que toute quadrique qui contient trois points distincts d'une droite $d$ contient toute la droite $d$. \item Déterminer la dimension de l'espace des quadriques de $P^3(K)$. \item Soit $d_1, d_2, d_3$ trois droites de $P^3(K)$. Montrer qu'il existe une quadrique qui les contient. \end{enumerate} \finenonce{007799} \finexercice \exercice{7800, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007800}{Polarité} Soit $\mathcal{Q}$ une quadrique de $P(E)$ (muni d'un repère projectif) d'équation $q(x)=0$ o{ù} $q$ est la forme quadratique d'une forme bilinéaire symétrique non dégénérée $f$ sur un espace vectoriel $E$. Si $\vec{A}$ et $\vec{B}$ sont deux sous-espaces orthogonaux dans $E$, on note $P(\vec{A})\perp P(\vec{B})$. On appelle hyperplan polaire d'un point $A=P(\vec{A})$ de $P(E)$ l'hyperplan projectif $A^\perp:=P(\vec{A}^\perp)$. \begin{enumerate} \item On munit de plan projectif d'un repère. Déterminer une équation de la droite polaire du point $M(x_0,y_0,1)$ par rapport à la quadrique d'équation $x^2+y^2-z^2=0$. La représenter dans l'espace affine d'équation $z\not=0$. \item Soit $F$ un sous-espace non-isotrope de $E$. Soit $A$ et $B$ deux points de $P(F)$. Montrer si $A\perp B$ pour $f$ alors $A\perp B$ pour $f_{|F}$. \item Soit $\mathcal{Q}$ une quadrique de $P^1(K)$ dont l'image est composée des deux points $A$ et $B$. Montrer en utilisant un bon repère que pour tout $M$ in $P^1(K)$, $$M\perp N\iff M \textrm{ et } N \textrm{ sont conjugués harmoniques par rapport à } M \textrm{ et } N.$$ \item En déduire une construction géométrique de la polaire d'un point par rapport à une conique. \end{enumerate} \finenonce{007800} \finexercice \section{ 315.00 Géométrie et trigonométrie hyperbolique } \exercice{6431, potyag, 2011/10/16} \enonce{006431}{} {\it On notera $\mathbb{H}^2$ le plan de Poincaré dans l'un de deux modèles du disque ou du demi-plan, muni de la distance hyperbolique $\rho$.} \begin{enumerate} \item Montrer que $\mathbb{H}^2$ est un espace métrique complet mais pas compact. \item Dans le modèle du demi-plan on suppose que $z, w$ sont deux points distincts dans $\mathbb{H}^2$, montrer que $\rho(z,w)=\vert\ln([z^*, z, w, w^*])\vert$, où $[z^*, z, w, w^*]$ désigne le birapport de quatre points, où $z^*, w^*$ sont les extrémités de la géodésique passant par $z$ et $w$ dans l'ordre indiqué sur le Figure \ref{fig:pot1} : \end{enumerate} \begin{figure}[tbh] \begin{center} \includegraphics[scale=0.5]{../images/img006431-1} \end{center} \caption{\label{fig:pot1}Une géodésique} \end{figure} \finenonce{006431} \finexercice \exercice{6432, potyag, 2011/10/16} \enonce{006432}{} Soit $\triangle abc$ un triangle dans $\mathbb{H}^2$ (c-à-d le sous-ensemble de $\mathbb{H}^2$ bordé par trois géodésiques dont les points de l'intersection sont $a, b, c$) d'angles intérieurs $\alpha, \beta, \gamma$. On suppose que $\gamma=\frac{\pi}{2}$ ; en utilisant les notations indiquées sur le Figure \ref{fig:pot2} démontrer les identités suivantes : \begin{enumerate} \item $ \cosh c = \cosh a \cdot \cosh b$ \item $\tanh b = \sinh a\cdot \tan\beta$ \item $\cosh a\cdot\sin\beta = \cos\alpha$ \end{enumerate} \begin{figure}[tbh] \begin{center} \includegraphics[scale=0.5]{../images/img006432-1} \end{center} \caption{\label{fig:pot2}Triangles géodésiques} \end{figure} \finenonce{006432} \finexercice \exercice{6433, potyag, 2011/10/16} \enonce{006433}{} Soient $\alpha, \beta, \gamma$ trois nombres positifs tels que $0\leq \alpha,\beta,\gamma < \pi ; \ \alpha + \beta + \gamma < \pi$ alors montrer qu'il existe un triangle hyperbolique d'angles intérieurs $\alpha, \beta, \gamma$. \finenonce{006433} \finexercice \exercice{6434, potyag, 2011/10/16} \enonce{006434}{} En utilisant le théorème du cours que la somme d'angles intérieurs d'un polygone convexe à $n$ sommets dans $\mathbb{H}^2$ est inférieure à $(n-2)\pi$ démontrer que : \begin{enumerate} \item Soient $\theta_1, \theta_2, ..., \theta_n$ une collection ordonnée de nombres tels que $0\leq\theta_i < \pi\ (i=1,...,n)$. Pour qu'il existe un polygone convexe d'angles intérieurs $\theta_i$ il faut et il suffit que $\theta_1 +\theta_2 +...+ \theta_n < (n-2)\pi$. \item Un polygone à $n$ c\^otés et d'angles droits existe ssi $n\geq 5$. \end{enumerate} \finenonce{006434} \finexercice \exercice{6435, potyag, 2011/10/16} \enonce{006435}{} \begin{enumerate} \item Démontrer que chaque homographie non-triviale $g\in M^+(2)\setminus\{{\rm id}\}$ possède soit un point fixe soit deux. Un élément $g\in M^+(2)$ est dit {\it parabolique} si son ensemble des points fixes : ${\rm fix}(g)=\{x\in\overline{\C}\ \vert\ f(x)=x\}$ est un singleton. Montrer qu'un élément est parabolique {ssi} il est conjugué dans $M^+(2)$ à la translation $z\mapsto z+1$. \item Un élément $f\in M^+(2)$ est dit {\it elliptique} s'il est conjugué dans $M^+(2)$ à une rotation $z\mapsto k\cdot z$ où $\vert k\vert = 1$ , $k\in\C\setminus \{1\}$. Un élément $g\in M^+(2)$ est dit {\it loxodromique} s'il est conjugué dans $M^+(2)$ à $z\mapsto k\cdot z$ où $\vert k\vert\not=1$. De plus, un élément loxodromique est dit {\it hyperbolique} si $k\in\R^*_+\setminus\{1\}$ ; un élément loxodromique est dit srtictement loxodromique si $k=\lambda\cdot e^{i\theta},\ \lambda > 0\ ,\ \theta\not=2\pi m$. Pour un élément $g\in M^+(2)$ on utilise la même lettre pour une de deux matrices dans $SL_2\C$ qui le représentent (en fait c'est $g$ ou $-g$). Montrer que pour tout élément $g\in M^+(2)$ l'une des possibilités suivantes peut avoir lieu : \begin{enumerate} \item $g$ est parabolique ssi ${\rm tr}^2(g)=4$, où $tr^2$ est la trace carré de la matrice $g$. \item $g$ est elliptique ssi ${\rm tr}^2(g)\in [0,4[.$ \item $g$ est hyperbolique ssi ${\rm tr}^2(g)\in ]4, \infty[.$ \item $g$ est strictement loxodromique {\bf ssi} ${\rm tr}^2(g)\not\in[0,\infty[$. \end{enumerate} \item En utilisant le modèle du demi-plan démontrer que les points fixes d'un élément parabolique ou hyperbolique se trouvent toujours sur le bord $\overline{\R}$ de $\mathbb{H}^2$. En utilisant le modèle du disque démontrer qu'un élément elliptique a exactement un des deux points fixes dans $\mathbb{H}^2$. \end{enumerate} \finenonce{006435} \finexercice \exercice{6436, potyag, 2011/10/16} \enonce{006436}{} Soit $g\in M$ une homographie. Montrer que \begin{enumerate} \item Si $g$ est parabolique ${\rm fix}(g)=\{x\}$ alors $$\displaystyle\forall z\ \in \overline{\Cc}\ :\ \lim_{n\to \pm\infty} g^n(z)=x.$$ \item Si $g$ est loxodromique et ${\rm fix}(g)=\{x, y\}$ alors $$\displaystyle\forall z\ \in \overline{\Cc}\setminus\{y\}\ :\ \lim_{n\to +\infty} g^n(z)=x,$$ et le point $x$ est dit {\it point fixe attractif} de $g.$ $$\displaystyle\forall z\ \in \overline{\Cc}\setminus\{x\}\ :\ \lim_{n\to +\infty} g^{-n}(z)=y,$$ et le point $y$ est dit {\it point fixe répulsif} de $g.$ \end{enumerate} \finenonce{006436} \finexercice \exercice{6437, potyag, 2011/10/16} \enonce{006437}{} Montrer que si un élément $g\in M$ n'est pas strictement loxodromique conjugué à $z\to ke^{i\theta}\ (\theta\not= \pi+\pi m,\ k>0)$ alors il existe deux familles ${\cal C}_i\ (i=1,2)$ de cercles généralisés vérifiant les conditions suivantes : \begin{enumerate} \item $\forall\ C\in {\cal C}_1\ :\ g(C)=C$ \item $\forall\ C\in {\cal C}_2\ :\ g(C)= {\cal C}_2\setminus \{C\}$ \item $\forall\ C_1\in {\cal C}_1,\ \forall\ C_2\in {\cal C}_2\ :\ C_2\ \bot\ C_1.$ \end{enumerate} De plus, si $g\in M$ est strictement loxodromique conjugué à $z\to ke^{i\theta}\ (\theta\not= \pi+\pi m,\ k>0)$ alors montrer que $g$ n'a pas de cercle invariant. \finenonce{006437} \finexercice \section{ 316.00 Autre } \section{ 320.00 Groupe } \exercice{6369, potyag, 2011/10/16} \enonce{006369}{} Soit $G$ un groupe et $S$ une partie de $G$. \begin{enumerate} \item Montrer que $H:= \{ a_{i_1}^{\epsilon_1}... a_{i_n}^{\epsilon _n}, a_i \in S, \epsilon_i \in \{-1,+1\} \}$ est le sous-groupe engendré par $S$ (i.e le plus petit sous-groupe de $G$ contenant $S$), noté $$. \item Soit $A$ une partie de $G$, on appelle {\it centralisateur} de $A$, l'ensemble : $C_A:= \{g\in G : \forall a \in A \ ga=ag\}$. \begin{enumerate} \item Montrer que $C_A$ est un sous-groupe de $G$. \item Montrer que $C_A= C_{}$ \end{enumerate} \item Donner une condition nécessaire et suffisante sur $S$ pour que $$ soit abélien, $$ soit normal dans $G$. \end{enumerate} \finenonce{006369} \finexercice \exercice{6370, potyag, 2011/10/16} \enonce{006370}{} Soit $G$ un groupe et $A$, $B$ deux sous-groupes de $G$, on note $AB:= \{ g=ab : a\in A, b\in B\}$. \begin{enumerate} \item Montrer que $AB$ est un sous-groupe de $G$ si et seulement si $AB=BA$. \item Montrer que si $AB$ est un sous-groupe de $G$ alors $AB= $. \end{enumerate} \finenonce{006370} \finexercice \exercice{6371, potyag, 2011/10/16} \enonce{006371}{} Dans $GL(2,\Rr)$ : le groupe des matrices $(2,2)$ inversibles à coefficients réels. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que $H:=\left( \begin{smallmatrix} 1 & p \cr 0 & 1 \cr \end{smallmatrix}\right), p\in \Zz $ est un sous-groupe abélien. \item Montrer qu'il est cyclique, est-il normal ? \end{enumerate} \item Soient $ A:= \begin{pmatrix} 0 & -1 \cr 1 & 1 \cr \end{pmatrix} $ et $B:= \begin{pmatrix} 0 & 1 \cr -1 \ & 0 \cr \end{pmatrix}$ deux matrices. \begin{enumerate} \item Montrer que $A$ et $B$ appartiennent à $SL(2,\Zz)$, calculer leur ordre et montrer que $H$ est contenu dans $$. Que pensez-vous des assertions suivantes ? \begin{itemize} \item ``un groupe engendré par des éléments d'ordre fini est fini." \item ``tous les éléments d'un groupe engendré par des éléments d'ordre fini sont d'ordre fini." \end{itemize} \item Le groupe engendré par $A$ et $B$ est-il abélien ? \item Calculer l'intersection du groupe cyclique engendré par $A$ et du groupe cyclique engendré par $B$. \end{enumerate} \end{enumerate} \finenonce{006371} \finexercice \exercice{6372, potyag, 2011/10/16} \enonce{006372}{} \begin{enumerate} \item Montrer que tout sous-groupe d'un groupe cyclique (monogène) est cyclique. \item Rappelons qu'un groupe s'appelle localement cyclique si chaque sous-ensemble fini engendre un sous-groupe cyclique . Montrer que $\Qq$ est localement cyclique, mais pas cyclique et en déduire que $\Qq$ n'est pas de type fini. \end{enumerate} \finenonce{006372} \finexercice \exercice{6373, potyag, 2011/10/16} \enonce{006373}{} Soit $G$ un groupe. \begin{enumerate} \item Soient $A$, $B$ deux sous-groupes de $G$. \begin{enumerate} \item On suppose que $A$ est d'indice fini dans $G$, montrer alors que $A\cap B$ est d'indice fini dans $B$. \item On suppose que $A$ et $B$ sont d'indice fini dans $G$, montrer alors que $A\cap B$ est d'indice fini dans $G$, généraliser au cas d'un nombre fini de sous-groupes. \end{enumerate} \item Montrer que $\cap \{A : A$ est d'indice fini dans $\Z\}$ = $\{$id$\}$. (Comparer avec 1.b). \end{enumerate} \finenonce{006373} \finexercice \exercice{6374, potyag, 2011/10/16} \enonce{006374}{} \begin{enumerate} \item Supposons que $H$ est d'indice fini dans $G$ montrer qu'il existe $K<\infty$ tel que $\forall\ g\in G\ \exists n_g\in {\Nn}^*\ :\ g^{n_g}\in H$ et $n_g\leq K$ . \item Montrer que $\Qq$ ne possède pas de sous-groupe d'indice fini (autre que lui-même). \end{enumerate} \finenonce{006374} \finexercice \exercice{6375, potyag, 2011/10/16} \enonce{006375}{} \begin{enumerate} \item Soit $G$ un groupe et $A$ un sous-groupe de $G$ d'indice fini. Montrer qu'il existe un sous-groupe $B$ de $A$ normal dans $G$ et d'indice fini dans $G$. ({\it Indication} : poser $\displaystyle B= \bigcap _{g\in G} gA g^{-1}$.) \item Montrer qu'un groupe infini simple ne contient pas de sous-groupe propre d'indice fini. \end{enumerate} \finenonce{006375} \finexercice \exercice{6376, potyag, 2011/10/16} \enonce{006376}{} Soit $G$ un groupe, $A$ et $B$ deux sous-groupes de $G$ tels que $A\subset B$. On suppose que $A$ est d'indice fini dans $G$. Montrer que $ \vert G : A\vert = \vert G : B\vert \vert B : A\vert $. \finenonce{006376} \finexercice \exercice{6377, potyag, 2011/10/16} \enonce{006377}{} \label{pot:exo9} Le but de cet exercice est de donner la construction d'un groupe libre et d'introduire la notion de présentation d'un groupe. Soit $S=\{s_i\}_{i\in I}$ un ensemble quelconque qu'on appellera alphabet. Un mot dans l'alphabet $S$ est par définition une succession finie (ou vide) : $$w=s^{\epsilon_1}_{i_1}\cdot\cdot\cdot s^{\epsilon_k}_{i_k},\ o\grave u\ \epsilon_i=\pm 1\ et\ s_{i_j}\in S,\ k\in\N\hfill\eqno(1)$$ Notons $W$ l'ensemble de tous les mots. Un mot $w\in W$ est dit réduit si son écriture (1) ne contient pas deux lettres consécutives du type $ s^{\epsilon}_{i}$ et $ s^{-\epsilon}_{i}$. Les mots $w_1$ et $w_2$ sont dits voisins si $w_2=g s_i^{\epsilon} s_i^{-\epsilon} h$ et $w_1=g h$. Deux mots $f$ et $g$ s'appellent équivalents (on note $f\sim g$) s'il existe une succession finie de mots : $f=w_0, w_1, ..., w_n=g$ où les mots $w_i$ et $w_{i-1}$ sont voisins ($i\in\{1,...,n\}$). \begin{enumerate} \item Montrer que $\sim$ est une relation d'équivalence. Etant donné un mot $f=a_1 ... a_t$ (où $a_j= s_{i_j}^{\epsilon_j}$) définissons une suite de transformations appelée $R$-procédé : $R_0=e$ (le mot vide), $R_1=a_1$ et $$R_{i+1}= \begin{cases} R_i a_{i+1} & \text{ si } R_i \text{ n'est pas un mot réduit du type } Xa^{-1}_{i+1} \cr X & \text{ si } R_i \text{ est un mot réduit du type } Xa^{-1}_{i+1} \cr \end{cases}.$$ Autrement dit un $R$-procédé consiste à faire toutes les simplifications de droite à gauche. \item On suppose que $w_1=a_1 ... a_r a_{r+1} ... a_t$ et $w_1=a_1 ... a_r s_j^{\epsilon} s_j^{-\epsilon} a_{r+1} ... a_t$ sont deux mots et que $R^i$ désigne le $R$-procédé appliqué au mot $w_i$. Montrer que $R^1_t=R^2_{t+2}$ c.-à.-d. $R^1(w_1)=R^2(w_2)$. En déduire que chaque classe de $W/\sim$ contient un mot réduit et un seul. Pour deux classes $[w_i]\in W/\sim\ (i=1,2)$ définissons maintenant leur produit comme suit (de gauche à droite) : $$[w_1] [w_2] = [w_1 w_2]\hfill\eqno (2).$$ \item Démontrer que (2) ne dépend pas du choix des représentants des classes $[w_i]$. Montrer que l'ensemble $\displaystyle F=W/\sim$ muni de l'opération (2) est un groupe. Ce groupe s'appelle groupe libre engendré par $S$, on appelle les éléments de $S$ géné\-ra\-teurs libres de $F$. Soit maintenant $G$ un groupe quelconque engendré par un système $X$ où $X=\{x_i\}_{i\in I}$ et $F$ est le groupe libre engendré par $S$. Supposons qu'il existe une bijection $f:S\mapsto X$ telle que $f(s_i)=x_i\ (i\in I)$. \item \begin{enumerate} \item Montrer que $f$ se prolonge en un homomorphisme $f:F\mapsto G$. \item En particulier, en déduire que si ${\text { Card } (S)}= \text { Card } (S') $, alors le groupe libre engendré par $S$ est isomorphe au le groupe libre engendré par $S'$. \end{enumerate} Si de plus $\text { Card } (S) =n$ ce groupe est noté $F_n$. Notons $H= {\text Ker}\ f$, et appelons un sous-ensemble $H'\subset H$ ensemble des relations de $G$ si le plus petit sous-groupe normal de $G$ contenant $H'$ co\"\i ncide avec $H$. La donnée du couple $S$, $H'$ définit le groupe $G$ à un isomorphisme près ($G$ est isomorphe au groupe quotient $X/H$). La donnée d'un tel couple est notée $< S\ \vert\ H'> $ et s'appelle présentation de $G$. \item Montrer que le groupe libre ne contient pas d'élément non-trivial d'ordre fini. \end{enumerate} \finenonce{006377} \finexercice \exercice{6378, potyag, 2011/10/16} \enonce{006378}{} Montrer que le groupe $G$ donné par sa présentation: $$\hfill\eqno(3)$$ \noindent est isomorphe à $\Z^n$. \finenonce{006378} \finexercice \exercice{6438, drutu, 2011/10/16} \enonce{006438}{} \begin{enumerate} \item Soit l'ensemble $E=\Z \times \Z$ muni de l'opération binaire $(x_1,y_1)*(x_2,y_2)=(x_1x_2,\, x_2y_1+y_2)$. Est-ce que $(E,*)$ est un mono\"{\i}de ? Un groupe ? Est-ce que l'opération est commutative ? \item Mêmes questions pour l'ensemble de matrices $$ M:=\left\{ \left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right) ; a,b,c,d\in \Z, a+b=c+d \right\}\; , $$ muni de la multiplication des matrices. \end{enumerate} \finenonce{006438} \finexercice \exercice{6439, drutu, 2011/10/16} \enonce{006439}{} Soit l'ensemble $G=\lbrack 0,1\lbrack $ muni de la loi de composition interne $x*y=\lbrace x+y\rbrace$, où $\lbrace x\rbrace$ represente la partie fractionelle du nombre réel $x$. Montrer que $(G,*)$ est un groupe. Montrer que $\Q\cap G$ est un sous-groupe. \finenonce{006439} \finexercice \exercice{6440, drutu, 2011/10/16} \enonce{006440}{} Soit l'ensemble de matrices $$ K:=\left\{ A(x)= \left( \begin{array}{ccc} 1-x & 0 & x \\ 0 & 0 & 0 \\ x & 0 & 1-x \end{array} \right) ; x\in \R \setminus \{ 1/2 \}\right\}\; , $$ muni de la multiplication des matrices. Montrer que c'est un groupe commutatif (abélien). \finenonce{006440} \finexercice \exercice{6441, drutu, 2011/10/16} \enonce{006441}{} Soient $a,b,c$ les éléments d'un groupe. Montrer que l'équation $xaxba=xbc$ admet une solution et une seule. \finenonce{006441} \finexercice \exercice{6442, drutu, 2011/10/16} \enonce{006442}{} Dans le groupe des entiers modulo $11$ muni de l'opération de multiplication, lesquels parmi les ensembles suivants forment des sous-groupes ? $$ (a) \{ 1,3,4,5,9 \},\hspace{0.5cm} (b) \{ 1,3,5,7,8\},\hspace{0.5cm} (c) \{ 1,8\},\hspace{0.5cm} (d) \{ 1,10\},\hspace{0.5cm} (e) \{ 1,3,10\}. $$ \finenonce{006442} \finexercice \exercice{6443, drutu, 2011/10/16} \enonce{006443}{} Montrer qu'un groupe ayant au plus $4$ éléments est abélien. ({\it{Indication}} : Comparer les éléments $e,a,b,ab,ba$.) \finenonce{006443} \finexercice \exercice{6444, drutu, 2011/10/16} \enonce{006444}{} Lesquels des ensembles de nombres suivants sont des groupes ? \begin{enumerate} \item Les nombres irrationnels munis de l'addition ; de la multiplication ; \item Les nombres complexes de valeur absolue $1$ munis de l'addition ; de la multiplication ; \item Les nombres complexes munis de l'opération binaire $z*z'=|z|\cdot z'$. \end{enumerate} \finenonce{006444} \finexercice \exercice{6445, drutu, 2011/10/16} \enonce{006445}{} Lesquelles parmi les tables de Cayley suivantes décrivent un groupe ? \begin{tabular}{c|c|c|c|c} * & a & b & c & d \\ \hline a & d & c & b & a \\ \hline b & c & d & a & b \\ \hline c & b & a & d & c \\ \hline d & a & b & c & d \end{tabular}\hspace{1cm} \begin{tabular}{r|r|r|r|r|r} * & a & b & c & d & e \\ \hline a & e & d & b & c & a\\ \hline b & c & e & d & a & b \\ \hline c & d & a & e & b & c \\ \hline d & b & c & a & e & d \\ \hline e & a & b & c & d & e \end{tabular} \finenonce{006445} \finexercice \exercice{6446, drutu, 2011/10/16} \enonce{006446}{} Montrer que si un ensemble $E$ est muni d'une opération binaire qui vérifie les propriétés \begin{itemize} \item $(P_1)$ $(ab)c=a(cb)$ ; \item $(P_2)$ il existe $e\in E$ tel que $ea=a,\; \forall a$; \item $(P_3)$ pour tout $a\in E$ il existe $b\in E$ tel que $ba=e$; \end{itemize} alors c'est un groupe abélien. \finenonce{006446} \finexercice \exercice{6447, drutu, 2011/10/16} \enonce{006447}{} Montrer que, dans un groupe $G$, pour tout élément $a\in G$, l'ensemble des $x\in G$ tels que $ax=xa$ est un sous-groupe (apellé le {\it{centralisateur de $a$ dans $G$}}). Montrer que l'ensemble des $x\in G$ tels que $ax=xa,\; \forall a\in G$, est un sous-groupe (apellé le {\it{centre de $G$}}). \finenonce{006447} \finexercice \exercice{6448, drutu, 2011/10/16} \enonce{006448}{} Combien de générateurs différents a un groupe cyclique d'ordre $6$? \finenonce{006448} \finexercice \exercice{6449, drutu, 2011/10/16} \enonce{006449}{} Soit $G$ un un groupe engendré par deux éléments $x$ et $y$ qui vérifient les relations $x^2=y^3=e,\, xy=yx$. Ecriver tous les éléments de $G$ et sa table de multiplication. \finenonce{006449} \finexercice \exercice{6450, drutu, 2011/10/16} \enonce{006450}{} Trouver une décomposition en produit de transpositions des permutations suivantes : \begin{enumerate} \item $$\sigma_1 =\left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{array} \right) \in {\bf{S}}_3\; ;$$ \item $$\sigma_2 =\left( \begin{array}{cccc} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 2 & 3 & 1 \end{array} \right) \in {\bf{S}}_4\; ;$$ \item $$\sigma_3 =\left( \begin{array}{ccccc} 1 & 2 & 3 & 4 & 5\\ 5 & 1 & 4 & 3 & 2 \end{array} \right) \in {\bf{S}}_5\; .$$ \end{enumerate} Quelle est leur signature ? \finenonce{006450} \finexercice \exercice{6451, drutu, 2011/10/16} \enonce{006451}{} Déterminer la signature des permutations : \begin{enumerate} \item $$\sigma =\left( \begin{array}{cccccc} 1 & 2 & \ldots & k & \ldots & n \\ n & n-1 & \ldots & n-k+1 & \ldots & 1 \end{array} \right) \in {\bf{S}}_n\; ;$$ \item $$\sigma =\left( \begin{array}{ccccccc} 1 & 2 & \ldots & n-p & n-p+1 & \ldots & n \\ p+1 &p+2 & \ldots & n & 1 & \ldots & p \end{array} \right) \in {\bf{S}}_n\; ,$$ où $p$ est fixé, $1\leq p\leq n-1$ et $n\geq 2$. \end{enumerate} \finenonce{006451} \finexercice \exercice{6452, drutu, 2011/10/16} \enonce{006452}{} Décomposer en produit de cycles à supports deux à deux disjoints les permutations suivantes $$\sigma_1 =\left( \begin{array}{ccccccc} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ 6 & 4 & 5 & 7 & 3 & 1 & 2 \end{array} \right) \in {\bf{S}}_7\; ,$$ $$\sigma_2 =\left( \begin{array}{ccccccccc} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9\\ 3 & 7 & 8 & 9 & 4 & 5 & 2 & 1 & 6 \end{array} \right) \in {\bf{S}}_9\; .$$ En déduire la signature. \finenonce{006452} \finexercice \exercice{6453, drutu, 2011/10/16} \enonce{006453}{} Ecriver les produits suivants comme produits de cycles disjoints. $$ (a) (1234)(567)(261)(47){\hspace{0.5cm}}(b) (12345)(67)(1357)(163){\hspace{0.5cm}}(c) (14)(123)(45)(14) $$ Trouver la signature de chaque produit. \finenonce{006453} \finexercice \exercice{6454, drutu, 2011/10/16} \enonce{006454}{} \begin{enumerate} \item Vérifier que pour tout cycle $(i_1\, i_2\dots i_p),\; p\geq 2$, dans $S_n$ et toute permutation $\sigma \in S_n$, $$ \sigma (i_1\, i_2\dots i_p)\sigma^{-1}=(\sigma(i_1)\, \sigma(i_2)\dots \sigma(i_p))\, . $$ \item Vérifier que pour tous entiers distincts $i,j\in \lbrace 1,2,\dots n\rbrace$ on a $(i\, j)=(i\, k)(j\, k)(i\, k)$. \item En déduire que les familles de transpositions $\lbrace (1\, i)\mid i\in \lbrace 1,2,\dots n\rbrace \rbrace$ et $\lbrace (i\, i+1)\mid i\in \lbrace 1,2,\dots n-1\rbrace \rbrace$ engendrent $S_n$. \item Soient $\tau =(1\, 2)$ et $c=(1\, 2\, \dots n)$. Calculer $c^{i-1}\tau c^{1-i}$ pour tout $i\in \lbrace 1,2,\dots n-1\rbrace$. Montrer que toute permutation de $S_n$ s'écrit comme un produit de puissances de $\tau$ et $c$. \end{enumerate} \finenonce{006454} \finexercice \exercice{6455, drutu, 2011/10/16} \enonce{006455}{} Dans le groupe symétrique $S_4$ trouver les sous-groupes suivants \begin{enumerate} \item le sous-groupe des éléments $\sigma$ tels que l'image par $\sigma$ de l'ensemble $\{ 1,2 \}$ est $\{ 1,2 \}$. \item le sous-groupe des éléments $\tau $ tels que si $a\equiv b$ mod $2$ alors $\tau(a)\equiv \tau(b)$ mod $2$. ({\it{Indication}} : $(13)(24)$ fait partie de ce sous-groupe). \end{enumerate} \finenonce{006455} \finexercice \exercice{7887, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007887}{Groupe unipotent} \begin{enumerate} \item \`A quel groupe le groupe $U$ des matrices de la forme $\begin{bmatrix}1&x\\0&1\end{bmatrix}$ avec $x\in\Rr$ est-il isomorphe ? \item Est-ce un sous-groupe normal de $SL(2,\Rr)$ ? \item Déterminer l'inverse de $\begin{bmatrix}1&3\\0&1\end{bmatrix}$. \end{enumerate} \finenonce{007887} \finexercice \section{ 321.00 Sous-groupe, morphisme } \exercice{6456, drutu, 2011/10/16} \enonce{006456}{} \begin{enumerate} \item Trouver l'ordre des permutations suivantes $$ (abcdef)(ghij)(klm)\; ;\; \; \; \; (123456)(1234)(123)\, . $$ \item Montrer que toute permutation d'ordre $10$ dans $S_8$ est impaire. \end{enumerate} \finenonce{006456} \finexercice \exercice{6457, drutu, 2011/10/16} \enonce{006457}{} Soit l'ensemble $E=\{ a,b,c,d,e \}$ qui, muni de l'opération binaire $*$, devient un groupe. Trouver la table de multiplication de ce groupe sachant que $a*b=d,\; c*a=e,\; d*c=b$. \finenonce{006457} \finexercice \exercice{6458, drutu, 2011/10/16} \enonce{006458}{} \begin{enumerate} \item Soit $n\geq 2$ un nombre entier. Montrer que $n$ est premier si et seulement si tout groupe d'ordre $n$ a seulement deux sous-groupes. \item Montrer qu'un groupe d'ordre $p^m,\; m\geq 1,$ où $p\in \N$ est nombre premier, contient un sous-groupe d'ordre $p$. \end{enumerate} \finenonce{006458} \finexercice \exercice{6459, drutu, 2011/10/16} \enonce{006459}{} Montrer que les groupes suivants ne sont pas isomorphes : \begin{enumerate} \item $( \Z ,\; +)$ et $(\Z[X],\; +)$ ; \item $(\Q ,\; +)$ et $(\Q[i] ,\; +)$, où $\Q[i]:=\{ a+ib\in \C \mid a,b\in \Q \}$. \end{enumerate} \finenonce{006459} \finexercice \exercice{6460, drutu, 2011/10/16} \enonce{006460}{} Soit $K=\{ e,a,b,c \}$ un groupe d'ordre $4$ tel que $x^2=e, \forall x$. \begin{enumerate} \item Ecrire la table de multiplication de $K$. \item Montrer que $K$ est isomorphe à $(\Z/2 \Z \times \Z/2 \Z ,\; +)$ et n'est pas isomorphe à $\Z /4 \Z$. \item Montrer que tout groupe d'ordre 4 est ou bien isomorphe à $K$ ou bien à $\Z /4 \Z$. \end{enumerate} \finenonce{006460} \finexercice \exercice{6461, drutu, 2011/10/16} \enonce{006461}{} Soit $(G,\cdot)$ un groupe fini d'ordre $n$. Trouver toutes les morphismes de groupe $\phi :(\Q,\; +)\to (G,\cdot)$. \finenonce{006461} \finexercice \exercice{6462, drutu, 2011/10/16} \enonce{006462}{} Soit $(G,\cdot)$ un groupe. On appelle sous-groupe {\it{caractéristique}} de $G$ un sous-groupe invariant par tout automorphisme de $G$. Montrer que tout sous-groupe caractéristique est distingué. \finenonce{006462} \finexercice \exercice{6463, drutu, 2011/10/16} \enonce{006463}{} \begin{enumerate} \item Montrer que $S_3$ contient un sous-groupe $H$ distingué d'ordre $3$ et que $G/H$ est isomorphe à $\Z /2\Z $. \item Montrer que les seuls groupes d'ordre $6$ sont, à isomorphisme près, le groupe cyclique et $S_3$. \end{enumerate} \finenonce{006463} \finexercice \exercice{6464, drutu, 2011/10/16} \enonce{006464}{} Combien d'automorphismes a un groupe cyclique d'ordre $p$, où $p$ est un nombre premier ? Et un groupe cyclique d'ordre $pq$, où $p$ et $q$ sont des nombres premiers distincts ? \finenonce{006464} \finexercice \exercice{6465, drutu, 2011/10/16} \enonce{006465}{} Montrer que les seuls groupes distingués de $S_5$ sont $\{ e\} ,\; S_5,\; A_5$. \finenonce{006465} \finexercice \exercice{6466, drutu, 2011/10/16} \enonce{006466}{} Soit $(G,\cdot )$ un groupe. On appelle {\it commutateur} un élément de la forme $xyx^{-1}y^{-1}$. On note $[x,y]:=xyx^{-1}y^{-1}$. \begin{enumerate} \item Montrer que l'ensemble $G'=[G,G]$ des produits de commutateurs est un sous-groupe distingué de $G$. Montrer que $G/G'$ est un groupe abélien. En particulier cela implique que $G'=\{e \}\Leftrightarrow G$ abélien. \item Soit $N \vartriangleleft G$ tel que $G/N$ est abélien. Montrer que $G'\subset N$. \item Trouver $G'$ pour $G=S_3,\; A_5,\; S_5$. \item Montrer que si $\phi :G\to A$ est un morphisme de $G$ à un groupe abélien $A$, alors il existe un morphisme $\psi :G/G' \to A$ tel que $\phi = \psi \circ \pi $, où $\pi : G \to G/G'$ est la projection canonique. \end{enumerate} \finenonce{006466} \finexercice \exercice{6467, drutu, 2011/10/16} \enonce{006467}{} Soit $V_4:=\{ e,\; (12)(34),\; (13)(24),\; (23)(14) \}\subset S_4$. \begin{enumerate} \item Montrer que c'est un sous-groupe distingué de $S_4$. \item Montrer que $V_4\simeq \Z/2 \Z \times \Z/2 \Z$. \item Soit $H=\{ e,\; (12)(34) \}$. Montrer que $H \vartriangleleft V_4$ mais que $H$ n'est pas un sous-groupe distingué de $S_4$. \item Montrer que $S_4/V_4$ est isomorphe à $S_3$. \end{enumerate} \finenonce{006467} \finexercice \exercice{6468, drutu, 2011/10/16} \enonce{006468}{} \begin{enumerate} \item Montrer que tout sous-groupe d'un groupe cyclique est cyclique. \item Soit $d\in \N^*$ un diviseur de $n\in \N^*$. Montrer qu'il existe un unique sous-groupe d'ordre $d$ dans $\Z /n\Z $. \end{enumerate} \finenonce{006468} \finexercice \exercice{6469, drutu, 2011/10/16} \enonce{006469}{} \begin{enumerate} \item Soit $G$ un groupe fini et $H$ un sous-groupe d'indice $p$, où $p$ est le plus petit facteur premier de $|G|$. Montrer que $H \vartriangleleft G$. \item Soit $H$ est le seul sous-groupe cyclique infini d'indice 2 de $D_\infty $. Montrer que $H$ est un sous-groupe distingué de $D_\infty $. \item Montrer que, pour tout sous-groupe $S$ d'ordre 2 de $D_\infty$, on a $D_\infty = SH$. \item Soit $K< D_\infty$ tel que $K \not\subset H$. Montrer que $D_\infty =HK$. En déduire que $K\cap H$ est d'indice 2 dans $K$. Montrer que $K\cap H \neq (e)$ implique $K\simeq D_\infty$. \item Montrer que tout sous-groupe propre de $D_\infty $ est isomorphe soit à $\Z$, soit à $(\pm 1)$, soit à $D_\infty$. \item On note ${\mathcal S}_n$ l'ensemble des sous-groupes $K$. Prouver que ${\mathcal S}_n$ contient $n$ éléments. \end{enumerate} \finenonce{006474} \finexercice \section{ 322.00 Groupe fini } \exercice{6475, drutu, 2011/10/16} \enonce{006475}{} \begin{enumerate} \item Soit les applications $T:\R \cup\{ \infty \} \to \R \cup\{ \infty \} ,\; T(x)=x+4,\; T(\infty )=\infty $, et $g:\R \cup\{ \infty \} \to \R \cup\{ \infty \}$, $$ g(x)=\left\{ \begin{array}{ccc} \frac{x}{1-2x} & \mbox{ si } & x\in \R\setminus \{ \frac{1}{2}\} \; ; \\ \infty & \mbox{ si } & x= \frac{1}{2} \; ;\\ -\frac{1}{2} & \mbox{ si } & x= \infty \; \end{array}\right. $$ Montrer que $T^k([-2,2])\subset ]-\infty ,\, -2]\cup [2,\, \infty [,\; \forall k\in \Z^* $ et que $g^m(]-\infty ,\, -1]\cup [1,\, \infty [)\subset [-1,\, 1],\; \forall m\in \Z^* $. \item Soit $G$ le groupe des applications bijectives $h:\R\cup \{ \infty \} \to \R\cup \{ \infty \}$, muni de l'opération de composition. Montrer que $G$ a une action naturelle sur $\R \cup\{ \infty \}$. \item Montrer que le sous-groupe $\Gamma $ de $G$ engendré par $T$ et $g$ est un groupe libre. {\it Indication }: Regarder les orbites des nombres dans l'intervalle $]1,2[$. \end{enumerate} \finenonce{006475} \finexercice \exercice{6476, drutu, 2011/10/16} \enonce{006476}{} \begin{enumerate} \item Soit $G$ le groupe engendré par deux éléments $a,b$, défini par les relations $a^m=b^2=e,\; (ab)^2=e$, où $m\in \N^*\cup \{\infty \}$. Montrer que $G\simeq D_m$, où $D_m$ est le groupe diédral de degré $m$. \item Montrer que pour tout groupe $H$ engendré par deux éléments $\alpha,\; \beta$, qui vérifient les relations $\alpha^m=\beta^2=e,\; (\alpha\beta)^2=e$ il existe un epimorphisme de $D_m$ dans $H$. \end{enumerate} \finenonce{006476} \finexercice \exercice{6477, drutu, 2011/10/16} \enonce{006477}{} Soit $H_i$ et $N_i$ deux paires de groupes et $\phi_i :H_i \to Aut\, (N_i)$ deux morphismes, $i=1,2$. Montrer que s'il existe deux isomorphismes $\alpha :H_1 \to H_2$ et $\beta :N_1 \to N_2$ tels que $\phi_2(\alpha(h_1))=\beta \circ \phi_1(h_1)\circ \beta^{-1},\, \forall h_1\in H_1$, alors $N_1 \rtimes_{\phi_1} H_1 \simeq N_2 \rtimes_{\phi_2} H_2$. \finenonce{006477} \finexercice \exercice{6478, drutu, 2011/10/16} \enonce{006478}{} Soit $H$ et $N$ deux groupes et $\phi ,\; \psi :H \to Aut\, (N)$ deux morphismes. Montrer que \begin{enumerate} \item s'il existe $\alpha \in Aut\, (H)$ tel que $\psi =\phi \circ \alpha $, alors $N \rtimes_\phi H \simeq N \rtimes_\psi H$. \item s'il existe $u \in Aut\, (N)$ tel que $\psi(h) =u\phi(h)u^{-1}$, alors $N \rtimes_\phi H \simeq N \rtimes_\psi H$. \end{enumerate} \finenonce{006478} \finexercice \exercice{6479, drutu, 2011/10/16} \enonce{006479}{} \begin{enumerate} \item (Théorème d'Euler) Soit $n\in \N^*$ et $a\in \Z^*$ premier avec $n$. Démontrer que $a^{\phi(n)}\equiv 1$ (mod $n$), où $\phi$ est la fonction d'Euler. \item (Théorème de Fermat) Soit $p$ un nombre premier et $a\in \Z$. Montrer que $a^p\equiv a $(mod $p$). \end{enumerate} \finenonce{006479} \finexercice \exercice{6480, drutu, 2011/10/16} \enonce{006480}{} Soit $\phi $ un automorphisme de $S_n$. Montrer que si $\phi $ transforme toute transposition en une transposition alors $\phi $ est un automorphisme intérieur. {\it Indication} : Utiliser le fait que $S_n$ est engendré par $\{ (12),\; (13),\dots ,\; (1n) \}$. \finenonce{006480} \finexercice \exercice{6481, drutu, 2011/10/16} \enonce{006481}{} \begin{enumerate} \item Montrer que tout groupe d'ordre $pq$ avec $p,q$ premiers distincts, est un produit semi-direct de deux sous-groupes cycliques. \item Déterminer à isomorphisme près tous les groupes d'ordre $pq$. \end{enumerate} \finenonce{006481} \finexercice \exercice{6482, drutu, 2011/10/16} \enonce{006482}{} Soit $G$ un groupe fini opérant sur un ensemble fini $E$. \begin{enumerate} \item On suppose que l'action est telle que toute orbite de $G$ contient au moins 2 points. Si $|G|=15$ et card $E$=17, trouver le nombre d'orbites de $G$ dans $E$ et le cardinal de chacune. \item Montrer que si $|G|=33$ et card $E$=19, il existe au moins une orbite qui contient un unique point. \end{enumerate} \finenonce{006482} \finexercice \exercice{6483, drutu, 2011/10/16} \enonce{006483}{} Soit $G$ un $p$-groupe opérant sur un ensemble fini $X$ et soit $Fix(G):=\{x\in X \mid gx=x,\; \forall g\in G \}$. Montrer que card $X=$ card $Fix(G)$ (mod $p$). En déduire que le centre d'un $p$-groupe est toujours non-trivial. \finenonce{006483} \finexercice \exercice{6484, drutu, 2011/10/16} \enonce{006484}{} Montrer qu'un groupe infini $G$ qui a un sous-groupe propre d'indice fini $H$ n'est pas simple. {\it Indication} : Etudier l'action de $G$ sur $G/H$. \finenonce{006484} \finexercice \exercice{6485, drutu, 2011/10/16} \enonce{006485}{} Soit $V$ un $\R$-espace vectoriel de dimension finie et $GL(V)$ le groupe des automorphismes linéaires. Pour $f\in GL(V)$ et $a\in V$ on considère l'application $A_{f,a}:V\to V,\; A_{f,a}(v)=f(v)+a$. \begin{enumerate} \item Montrer que ${\mathcal{A}}:=\{A_{f,a}\mid f\in GL(V),\; a\in V \}$ muni de l'opération de composition est un groupe. Ce groupe s'appelle {\it le groupe des transformations affines}. \item \label{q:2} Trouver deux sous-groupes de ${\mathcal{A}}$ isomorphes à $(GL(V),\cdot)$ et à $(V,+)$, respectivement. \item Montrer que ${\mathcal{A}}$ est produit semi-direct des deux sous-groupes obtenus dans \ref{q:2}. \end{enumerate} \finenonce{006485} \finexercice \exercice{6486, drutu, 2011/10/16} \enonce{006486}{} Prouver que tout sous-groupe d'ordre 35 est cyclique. \finenonce{006486} \finexercice \exercice{6487, drutu, 2011/10/16} \enonce{006487}{} Soit $G$ un groupe fini avec $|G|=p^2q$, où $p,q$ sont deux nombres premiers distincts tels que $p^2\not\equiv 1$ (mod $q$) et $q\not\equiv 1$ (mod $p$). Montrer que $G$ est abélien. \finenonce{006487} \finexercice \exercice{6488, drutu, 2011/10/16} \enonce{006488}{} \begin{enumerate} \item Prouver qu'un groupe d'ordre $p^2q$ ne peut pas être simple. \item Montrer qu'un groupe d'ordre 63 n'est pas simple. \end{enumerate} \finenonce{006488} \finexercice \exercice{6489, drutu, 2011/10/16} \enonce{006489}{} Déterminer à isomorphisme près tous les groupes d'ordre 12. Reconna\^{\i}tre parmi eux $D_6$ et $A_4$. Même question pour les groupes d'ordre 18. \finenonce{006489} \finexercice \exercice{6490, drutu, 2011/10/16} \enonce{006490}{} Soit $G$ un groupe d'ordre 399. Vérifier que $G$ a un sous-groupe distingué d'ordre 19 et un sous-groupe distingué d'ordre 133. En déduire que $G$ est un produit semi-direct de deux groupes cycliques. \finenonce{006490} \finexercice \exercice{6491, drutu, 2011/10/16} \enonce{006491}{} Soit $G$ un groupe de cardinal 24. Montrer que, si aucun de ses sous-groupes de Sylow n'est distingué, $G\simeq S_4$. {\it Indication} : Faire opérer $G$ sur ses 3-sous-groupes de Sylow. \finenonce{006491} \finexercice \exercice{6492, drutu, 2011/10/16} \enonce{006492}{} Soit $G$ un groupe et $K$ un sous-groupe fini distingué. Montrer que tout $p$-sous-groupe de Sylow distingué de $K$ est distingué dans $G$. \finenonce{006492} \finexercice \exercice{6493, drutu, 2011/10/16} \enonce{006493}{} Soit $G$ un groupe fini, $H$ un sous-groupe distingué et $p$ un nombre premier divisant $[G:H]$. Montrer que $\Sigma $ est un $p$-sous-groupe de Sylow de $G/H$ si et seulement si il existe un $p$-sous-groupe de Sylow $S$ de $G$ tel que $\Sigma = SH/H$. \finenonce{006493} \finexercice \exercice{6494, drutu, 2011/10/16} \enonce{006494}{} Soit $G$ un groupe abélien de type fini. Montrer que si tout élément de $G$ est d'ordre fini, alors $G$ est fini. \finenonce{006494} \finexercice \exercice{6495, drutu, 2011/10/16} \enonce{006495}{} Montrer que $\Q /\Z$ est un groupe abélien infini dont tout élément est d'ordre fini. En déduire qu'il ne peut pas avoir une famille finie de générateurs. \finenonce{006495} \finexercice \exercice{6496, drutu, 2011/10/16} \enonce{006496}{} Soit $G$ un groupe fini abélien. Montrer que pour tout diviseur $d$ de $| G|$ il existe un sous-groupe de $G$ d'ordre $d$. \finenonce{006496} \finexercice \exercice{6497, drutu, 2011/10/16} \enonce{006497}{} \begin{enumerate} \item Trouver les invariants et la décomposition canonique du groupe abélien fini dont les diviseurs élémentaires (appellées aussi {\it invariants primaires}) sont $2^3,\; 2,\; 3^2,\; 3,\; 3$. \item Trouver les diviseurs élémentaires/invariants primaires, les invariants et la décomposition canonique de $G={\mathcal{C}}_{30}\times {\mathcal{C}}_{18}$. \item Trouver les diviseurs élémentaires/invariants primaires, les invariants et la décomposition canonique des groupes abéliens suivants : \begin{enumerate} \item $G_1$ engendré par $a$ et $b$ tels que $10a=9b=0$; \item $G_2$ engendré par $a,\; b$ et $c$ tels que $15a=6b=4c=0$. \end{enumerate} \end{enumerate} \finenonce{006497} \finexercice \exercice{6498, drutu, 2011/10/16} \enonce{006498}{} Soit $\C $ muni des opérations binaires $$ z_1*z_2=z_1+z_2,\; z_1\perp z_2=z_1z_2+Im\; z_1 Im\; z_2 \; . $$ \begin{enumerate} \item Montrer que $(\C , *,\perp )$ est un anneau. Trouver ses éléments inversibles. \item Montrer que l'ensemble de matrices $$ D:=\left\{ \left( \begin{array}{cc} a & b \\ 0 & a \end{array} \right) \; ;\; a\in \R,\; b\in \R \right\}\, . $$ muni de l'addition et la multiplication des matrices est un anneau. \item Montrer que la fonction $f:\C \to D,$ $$ f(x+iy):=\left( \begin{array}{cc} x & y \\ 0 & x \end{array} \right) $$ est un isomorphisme d'anneaux. \end{enumerate} \finenonce{006498} \finexercice \exercice{6499, drutu, 2011/10/16} \enonce{006499}{} Soit $A$ un anneau non nécessairement commutatif. Soit $a,b\in A$ tels que $a,\; b,\; ab-1$ sont inversibles. Montrer que $a-b^{-1}$ et $(a-b^{-1})^{-1}-a^{-1}$ sont inversibles. Montrer qu'on a l'égalité\\ \centerline{$[(a-b^{-1})^{-1}-a^{-1}]^{-1}=aba-a$.} \finenonce{006499} \finexercice \exercice{6500, drutu, 2011/10/16} \enonce{006500}{} Montrer que les anneaux de polyn\^omes $\R[X]$ et $\C[X]$ ne sont pas isomorphes. \finenonce{006500} \finexercice \exercice{6501, drutu, 2011/10/16} \enonce{006501}{} Soit $A$ un anneau non nécessairement commutatif, $A^*$ le groupe des éléments inversibles et $I$ un idéal bilatère de $A$. Soit $U=\{ a\in A^*\mid a\equiv 1\; mod\; I \}$. Montrer que $I$ est un sous-groupe distingué de $A^*$. \finenonce{006501} \finexercice \exercice{7718, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007718}{} \begin{enumerate} \item Montrez que les morphismes d'un groupe simple vers un groupe quelconque sont constants ou injectifs. \item Quel est le nombre moyen de points fixes d'une permutation de $\mathcal{S}_n$ ? \item Démontrez que si $G$ est un groupe fini, $S$ un $p$-Sylow de $G$, et $H$ un sous-groupe de $G$, il existe un conjugué de $S$ qui rencontre $H$ en un $p$-Sylow de $H$. \end{enumerate} \finenonce{007718} \finexercice \exercice{7719, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007719}{} Soit $G$ un groupe fini. Soit $p$ le plus petit facteur premier de l'ordre de $G$. Soit $H$ un sous-groupe de $G$ d'indice $p>1$. \begin{enumerate} \item Montrez que les orbites de l'action de $H$ sur $G/H$ par translation à gauche sont réduites à des points. \item Montrez que $H$ est distingué. \end{enumerate} \finenonce{007719} \finexercice \exercice{7720, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007720}{} \begin{enumerate} \item Explicitez un $7$-Sylow du groupe symétrique $\mathcal{S}_{9}$ \item Déterminez le nombre d'éléments d'ordre $7$ dans $\mathcal{S}_{9}$. \item Déterminez le nombre de $7$-Sylow. \item Vérifiez les congruences données par le théorème de Sylow sur le nombre de $7$-Sylow. \end{enumerate} \finenonce{007720} \finexercice \exercice{7721, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007721}{} Soit $G$ un groupe et $f~:G\to A$ un morphisme de groupes de $G$ dans un groupe abélien $A$. On suppose de plus que le noyau $N(f)$ de $f$ est résoluble. \begin{enumerate} \item Montrez que le groupe dérivé $D(G)$ de $G$ est inclus dans le noyau de $F$. \item Montrez que $G$ est résoluble. \end{enumerate} \finenonce{007721} \finexercice \exercice{7722, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007722}{} Un groupe $G$ de cardinal $169$ agit sur un espace $X$ à $207$ éléments. On suppose qu'il y a exactement $15$ orbites distinctes. Déterminer le nombre d'orbites de chaque cardinal. \finenonce{007722} \finexercice \exercice{7723, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007723}{} Combien le groupe $\mathcal{S}_5$ contient-il de $5$-Sylow ? \finenonce{007723} \finexercice \exercice{7724, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007724}{Le plan $P(\mathbb{F}^3_2)$} Déterminer le nombre de points est de droites du plan projectif $P(\mathbb{F}^3_2)$. Représenter les relations d'incidence. \finenonce{007724} \finexercice \exercice{7725, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007725}{} \begin{enumerate} \item Déterminer le centre de $SL(4,\mathbb{F}_2)$ et calculer l'ordre de $PSL(4,\mathbb{F}_2)$. \item Dans $SL(4,\mathbb{F}_2)$ déterminer l'ordre de $$A=\left[\begin{array}{cccc}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&1\\0&0&0&1 \end{array}\right] \textrm{ et de } B=\left[\begin{array}{cccc}1&1&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&1\\0&0&0&1 \end{array}\right]$$ Ces deux matrices sont-elles conjuguées dans $SL(4,\mathbb{F}_2)$ ? \item Déterminer le centre de $SL(3,\mathbb{F}_4)$ et calculer l'ordre de $PSL(3,\mathbb{F}_4)$. \item Le but de cette question est de montrer que toutes les involutions de $PSL(3,\mathbb{F}_4)$ sont des applications projectives associées à des transvections. Soit $F$ une homographie de $PSL(3,\mathbb{F}_4)$ involutive (i.e. $F^2=Id\in PSL(3,\mathbb{F}_4)$) et $f\in SL(3,\mathbb{F}_4)$ telle que $P(f)=F$. \begin{enumerate} \item Montrer que $P(f^3)=F$ et que $f^3$ est d'ordre $2$ dans $SL(3,\mathbb{F}_4)$. On notera $g=f^3$. \item Quelle est la caractéristique de $\mathbb{F}_4$ ? Montrer que $(g-Id)^2=0$. Déterminer $\dim Ker(g-Id)$ et $\dim Im(g-Id)$. \item Conclure. \end{enumerate} \item En étudiant les classes de conjugaison des éléments d'ordre $2$, déterminer si $PSL(4,\mathbb{F}_2)$ et $PSL(3,\mathbb{F}_4)$ sont isomorphes. \end{enumerate} \finenonce{007725} \finexercice \section{ 323.00 Anneau, corps } \exercice{2240, barraud, 2008/04/24} \enonce{002240}{} \begin{enumerate} \item Trouver $$ 999\cdot 1998\mod 1999, \qquad 136^7 \mod 137, \qquad 1997\cdot 1998\cdot 1999\cdot 2000 \mod 2001. $$ \item Trouver $\quad 2792^{217}\mod 5\quad$ et $\quad 10^{1000} \mod 13$. \end{enumerate} \finenonce{002240} \finexercice \exercice{2241, barraud, 2008/04/24} \enonce{002241}{} \begin{enumerate} \item Examiner les carr\'es $\quad a^2 \mod n$ pour $n=3, \ 4,\ 8$. \item Examiner $\quad a^3 \mod 9\quad$ et $\quad b^4 \mod 16$. \end{enumerate} \finenonce{002241} \finexercice \exercice{2242, barraud, 2008/04/24} \enonce{002242}{} Passer $\mod n\ $ avec un module appropri\'e et montrer que chacune des \'equations suivantes n'a aucune solution dans $\Zz$ : \begin{enumerate} \item $\quad 3x^2+2=y^2$; \item $\quad x^2+y^2=n\quad$ pour $\quad n=2003$, $2004$; \item $\quad x^2+y^2+z^2=1999$; \item $\quad x^3+y^3+z^3=5$; \item $\quad x_1^4+x_2^4+\dots + x_{15}^4=7936$. \end{enumerate} \finenonce{002242} \finexercice \exercice{2243, barraud, 2008/04/24} \enonce{002243}{} On dit que $\quad a \mod n$ est inversible si il existe $b \mod n$ tel que $ab \equiv 1 \mod n$. \begin{enumerate} \item Trouver tous les \'el\'ements inversibles modulo $5$, $6$, $9$, $11$. \item Trouver $\hbox{pgcd} (107, 281)$ et sa representation lin\'eaire en utilisant {\it l'algorithme d'Euclide}. \item Trouver l'inverse de $107\mod 281$ et l'inverse de $281 \mod 107$. \item Montrer que $\quad a \mod n$ est inversible ssi $a$ et $n$ sont premiers entre eux. \end{enumerate} \finenonce{002243} \finexercice \exercice{2244, barraud, 2008/04/24} \enonce{002244}{} Trouver toutes les solutions dans $\Zz$ : \begin{enumerate} \item $\quad 2x+3 \equiv 10 \mod 13$; \item $ \quad \begin{cases} 2x+3y\equiv 5 \mod 7\\ 5x+2y \equiv 2 \mod 7; \end{cases} $ \item $\quad x^2 +2x+14 \equiv 0 \mod 17$. \end{enumerate} \finenonce{002244} \finexercice \exercice{2245, barraud, 2008/04/24} \enonce{002245}{Le petit th\'eor\`eme de Fermat} \label{ptfermat} Soit $p$ un nombre premier et $a$ un nombre premier \`a $p$. Montrer que : \begin{enumerate} \item $am\equiv an \mod p$ ssi $m\equiv n \mod p$; \item La suite $a,\ 2a, \ 3a,\dots , (p-1)a \mod p$ est une permutation de la suite $1,\ 2, \ 3,\dots , (p-1) \mod p$; \item $a^{p-1}\equiv 1 \mod p$. \end{enumerate} \finenonce{002245} \finexercice \exercice{2246, barraud, 2008/04/24} \enonce{002246}{} \begin{enumerate} \item Examiner $7^n+11^n \mod 19$. \item Trouver $2792^{217}\mod 5\quad$ et $\quad 10^{1000} \mod 13$. \item Montrer que $13$ divise $2^{70}+3^{70}$ et $11$ divise $2^{129}+3^{118}$. \end{enumerate} \finenonce{002246} \finexercice \exercice{2247, barraud, 2008/04/24} \enonce{002247}{Th\'eor\`eme de Wilson} Soit $p=2m+1$ un nombre premier. Montrer que : \begin{enumerate} \item $\quad (p-1)!\equiv -1 \mod p$; \item $\quad (m!)^2\equiv (-1)^{m+1} \mod p$. \end{enumerate} \finenonce{002247} \finexercice \exercice{2248, barraud, 2008/04/24} \enonce{002248}{} Soit $p>2$ un nombre premier. \begin{enumerate} \item Soit $a$ premier \`a $p$. Supposons que la congruence $x^2\equiv a\mod p$ poss\`ede une solution. Montrer que $a^{(p-1)/2}\equiv 1 \mod p$. \item La congruence $x^2\equiv -1 \mod p$ a une solution ssi $p\equiv 1 \mod 4$. \end{enumerate} \finenonce{002248} \finexercice \exercice{2249, barraud, 2008/04/24} \enonce{002249}{} Donner la d\'efinition d'un corps. Les op\'erations binaires $+$ et $\cdot$, sont-elles \'equivalentes dans la d\'efinition ? \finenonce{002249} \finexercice \exercice{2250, barraud, 2008/04/24} \enonce{002250}{} Trouver toutes les solutions des \'equations : \begin{enumerate} \item $ax+b=c\ $ ($a,b,c\in K$, $K$ est un corps); \item $2x\equiv 3 \mod 10\ \ $ et $\ 2x\equiv 6 \mod 10$ dans l'anneau $\Zz_{10}=\Zz/10\Zz$. \end{enumerate} \finenonce{002250} \finexercice \exercice{2251, barraud, 2008/04/24} \enonce{002251}{} Soit $A$ un anneau. D\'emontrer que : \begin{enumerate} \item $\forall a\in A\ \ 0_A \cdot a=0_A$; \item $(-1_A)\cdot a=-a$; \item $|A|\geq 2\ \Longleftrightarrow\ 1_A\neq 0_A$ dans $A$. \end{enumerate} \finenonce{002251} \finexercice \exercice{2252, barraud, 2008/04/24} \enonce{002252}{} \begin{enumerate} \item Si $x\cdot y$ est inversible dans un anneau $A$, alors $x$ et $y$ sont inversibles. \item Dans un anneau, un \'el\'ement inversible n'est pas diviseur de z\'ero et un diviseur de z\'ero n'est pas inversible. \end{enumerate} \finenonce{002252} \finexercice \exercice{2253, barraud, 2008/04/24} \enonce{002253}{} \label{ex:bar5} D\'emontrer que tout anneau int\`egre fini est un corps. \finenonce{002253} \finexercice \exercice{2254, barraud, 2008/04/24} \enonce{002254}{} \label{exodessus} Lesquels de ces sous-ensembles donn\'es de $\Cc$ sont des anneaux ? Lesquels sont des corps ? \begin{enumerate} \item $\bigcup\limits_{n\in\Nn}10^{-n}\Zz$ ; \item $\{\frac{m}{n}\mid m\in\Zz,n\in\Nn^*, (m,n)=1, p\nmid n\}$ ($p$ est un nombre premier fix\'e) ; \item $\Zz[\sqrt{-1}]=\Zz +\Zz\sqrt{-1}$, $\ \ \Zz[\sqrt{2}]=\Zz +\Zz\sqrt{2}$; \item $\Qq[\sqrt{-1}]=\Qq +\Qq\sqrt{-1}$, $\ \ \Qq[\sqrt{2}]=\Qq +\Qq\sqrt{2}$. \end{enumerate} \finenonce{002254} \finexercice \exercice{2255, barraud, 2008/04/24} \enonce{002255}{} Les \'el\'ements inversibles d'un anneau $A$ forment le groupe multiplicatif $(A^{\times}, \cdot)$. \begin{enumerate} \item Trouver $A^{\times}$ pour les anneaux 1. et 2. de l'exercice \ref{exodessus}. \item Trouver le groupe $\Zz[\sqrt{-1}]^{\times}$ en utilisant la norme complexe. \item Montrer que le groupe $\Zz[\sqrt{2}]^{\times}$ est infini. \end{enumerate} \finenonce{002255} \finexercice \exercice{2256, barraud, 2008/04/24} \enonce{002256}{} Un \'el\'ement $a$ d'un anneau $A$ s'appelle nilpotent, s'il existe $n\in \Nn$ tel que $a^n=0$. Trouver tous les \'el\'ements inversibles, les diviseurs de z\'ero, les nilpotents des anneaux suivants : \begin{enumerate} \item $\Zz /360\Zz$; \item $\Zz /n\Zz$; \item D\'emontrer que, pour tout nilpotent $x$ de $A$, l'\'el\'ement $1+x$ est inversible. \end{enumerate} \finenonce{002256} \finexercice \exercice{2257, barraud, 2008/04/24} \enonce{002257}{} Soit $I$ un id\'eal d'un anneau $A$. On note par $(a)=a\cdot A$ l'id\'eal principal engendr\'e par $a$. Montrer que : \begin{enumerate} \item $I=A$ si et seulement si $I$ contient une unit\'e; \item $(a)=A$ ssi $a$ est inversible; \item Un anneau $A$ est un corps ssi $(0)$ est le seul id\'eal propre de $A$. \end{enumerate} \finenonce{002257} \finexercice \exercice{2258, barraud, 2008/04/24} \enonce{002258}{} Montrer que les \'el\'ements nilpotents d'un anneau forment un id\'eal. \finenonce{002258} \finexercice \exercice{2259, barraud, 2008/04/24} \enonce{002259}{Sommes et produits d'id\'eaux} \begin{enumerate} \item Soient $I$, $J$ deux id\'eaux d'un anneau $A$. Montrer que $$I\cap J,\qquad I+J=\{x+y\,|\,x\in I, y\in J\}$$ sont des id\'eaux de $A$. \item Montrer que $I+J$ est le plus petit id\'eal de $A$ contenant $I$ et $J$. \item Soit $n,m\in \Zz$, $I=(n)=n\Zz$, $J=(m)=m\Zz$. Trouver $I\cap J$ et $I+J$. \item Montrer que $$ I\cdot J=\{x_1y_1+x_2y_2+\dots x_ny_n\,|\ n\in \Nn,\ x_k\in I,\ y_k\in J\ \text{pour\ }\ 1\le k\le n\} $$ est un id\'eal. Il s'appelle {\it produit des id\'eaux} $I$ et $J$. \item On consid\`ere les id\'eaux $I=(x_1,\dots x_n)= Ax_1+\dots+ Ax_n$ et $J=(y_1,\dots y_m)= Ay_1+\dots+ Ay_m$. D\'ecrire les id\'eaux $I+J$, $I\cdot J$, $I^2$ en fonction de $x_k$, $y_l$. \end{enumerate} \finenonce{002259} \finexercice \exercice{2260, barraud, 2008/04/24} \enonce{002260}{Id\'eaux \'etrangers} \begin{enumerate} \item Montrer que $I\cdot J\subset I\cap J$ et $(I+J)\cdot (I\cap J)\subset I\cdot J$ \item On dit que deux id\'eaux $I$ et $J$ de $A$ sont {\it \'etrangers} si $I+J=A$. Montrer que $I\cap J$=$I\cdot J$ si $I$, $J$ sont \'etrangers. \end{enumerate} \finenonce{002260} \finexercice \exercice{2300, barraud, 2008/04/24} \enonce{002300}{} Soient $A$ un anneau et $I$ et $J$ les idéaux de $A$ tels que $I+J=(1)$. Démontrer que $I^n+J^m=(1)$ quels que soient entiers positifs non-nuls $n$ et $m$. \finenonce{002300} \finexercice \exercice{2301, barraud, 2008/04/24} \enonce{002301}{} Trouver toutes les solutions des syst\`emes suivantes : \begin{enumerate} \item $ \quad \begin{cases} x\equiv 1 \mod 3\\ x \equiv 3 \mod 5\\ x \equiv 4 \mod 7\\ x\equiv 2 \mod 11 \end{cases} $ \item $ \quad \begin{cases} x\equiv 997\mod 2001\\ x \equiv 998 \mod 2002\\ x \equiv 999 \mod 2003 \end{cases}. $ \end{enumerate} \finenonce{002301} \finexercice \exercice{2302, barraud, 2008/04/24} \enonce{002302}{} D\'emontrer que les anneaux suivants sont isomorphes $$ \Zz/72\Zz\times \Zz/84\Zz\cong \Zz/36\Zz\times \Zz/168\Zz. $$ \finenonce{002302} \finexercice \exercice{2303, barraud, 2008/04/24} \enonce{002303}{} \begin{enumerate} \item Montrer que $20^{15}-1$ est divisible par $11\times 31\times 61$. \item Trouver le reste de la division de $2^{6754}$ par $1155$. \end{enumerate} \finenonce{002303} \finexercice \exercice{2304, barraud, 2008/04/24} \enonce{002304}{} \begin{enumerate} \item Quels sont les restes des division de $10^{100}$ par $13$ et par $19$ ? \item Quel est le reste de la division de $10^{100}$ par $247=13\cdot 19$ ? En d\'eduire que $10^{99}+1$ est multiple de $247$. \end{enumerate} \finenonce{002304} \finexercice \exercice{2305, barraud, 2008/04/24} \enonce{002305}{} Soit $C=A\times B$ le produit direct de deux anneaux. D\'ecrire les ensembles des \'el\'ements inversibles, des diviseurs de z\'ero et des \'el\'ements nilpotents de l'anneau $C$. \finenonce{002305} \finexercice \exercice{2306, barraud, 2008/04/24} \enonce{002306}{} \begin{enumerate} \item D\'etermin\'er la structure des anneaux quotients suivants: $$ \Zz_2[x]/(x^3+x^2+x+1),\quad\Zz[x]/(x^2-1),\quad \Qq[x]/(x^8-1). $$ \item Consid\'erons l'anneau quotient $K[x]/(f^ng^m)$ o\`u $f$ et $g$ sont deux polyn\^omes distincts irr\'eductibles sur le corps $K$. D\'ecrirer les diviseurs de z\'ero et les \'el\'ements nilpotents de l'anneau $K[x]/(f^ng^m)$. \item Quels id\'eaux a-t-il cet anneau ? \item Soit $K$ le corps fini \`a $p$ \'el\'ements. Trouver le nombre des \'el\'ements du groupe multiplicatif de l'anneau $K[x]/(f^mg^l)$. \item Donner une g\'en\'eralisation de la question 4) dans le cas du produit de $n$ polyn\^omes irr\'eductibles sur un corps fini $K$ \`a $q$ \'el\'ements. \end{enumerate} \finenonce{002306} \finexercice \exercice{2307, barraud, 2008/04/24} \enonce{002307}{} Trouver les facteurs multiples des polyn\^omes suivants : \begin{enumerate} \item $x^6-15x^4+8x^3+51x^2-72x+27$; \item $x^6-2x^5-x^4-2x^3+5x^2+4x+4$. \end{enumerate} \finenonce{002307} \finexercice \exercice{2308, barraud, 2008/04/24} \enonce{002308}{} Trouver le polyn\^ome $f\in \Zz[x]$ du derg\'e le plus petit tel que $$ \begin{cases} f\equiv 2x \mod (x-1)^2\\ f \equiv 3x\mod (x-2)^3 \end{cases}. $$ \finenonce{002308} \finexercice \exercice{2309, barraud, 2008/04/24} \enonce{002309}{} Soit $\sqrt{d}$ non rationel. Dans l'anneau $$ {\mathbb{Z}}[\sqrt{d}]=\{n+m\sqrt{d}\,|\,n,m\in \mathbb{Z}\} $$ on definit la ``conjugaison" $\bar{z}$ : \medskip \centerline{si $z=n+m\sqrt{d}$, alors $\bar{z}=n-m\sqrt{d}$.} \medskip On peut aussi d\'efinir la norme $N_d:{\mathbb Z}[\sqrt{d}] \rightarrow{\mathbb Z}$ par $N_d(z) = z\bar{z}=(n+m\sqrt{d})(n-m\sqrt{d})$. \medskip 0. Montrer que les aplications $\bar{z}$ et $N(z)$ sont multiplicatives : $$ \overline{z_1\cdot z_2}=\bar{z_1}\cdot \bar{z_2}, \qquad N_d(z_1\cdot z_2)=N_d(z_1)\cdot N_d(z_2). $$ \finenonce{002309} \finexercice \exercice{2310, barraud, 2008/04/24} \enonce{002310}{} \begin{enumerate} \item Montrer que $z \in \mathbb{Z}[\sqrt{d}]$ est inversible ssi $N_d(z) = \pm 1$. D\'eterminer les \'el\'ements inversibles de $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$. \item Montrer que si $N_d(z) = \pm p$, o\`u $p$ est un premier, alors $z$ est irr\'eductible dans $\mathbb Z[\sqrt{d}]$. Donner quelques exemples d'\'el\'ements irreductibles dans $\mathbb{Z}[\sqrt{d}]$ pour $d=-1$, $2$, $-6$, $p$, o\`u $p$ un premier. \item On note $A=\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$. Montrer que $3$ et $2+\sqrt{-5}$ sont irr\'eductibles dans $A$. \item Trouver tous les irr\'eductibles de $A$ de norme $9$. \item Trouver tous les diviseurs de $9$ et de $3(2+\sqrt{-5})$ dans l'anneau $A$ \`a association pr\`es. \item Trouver un $pgcd\,(3, 2+\sqrt{-5})$, et montrer que $3$ et $2+\sqrt{-5}$ n'ont pas de $ppcm$ dans l'anneau $A$. \item Montrer que l'id\'eal $I = (3, 2+\sqrt{-5}) \subset A$ n'est pas principal. Donc l'anneau $A$ n'est pas principal. Est-il factoriel ? \item Montrer que $9$ et $3(2+\sqrt{-5})$ n'ont pas de $pgcd$ dans $A$. Poss\`edent-ils un $ppcm$ ? \end{enumerate} \finenonce{002310} \finexercice \exercice{2311, barraud, 2008/04/24} \enonce{002311}{} Soit $\Zz_{36}=\Zz/36\Zz\ $ l'anneau des entiers modulo $36$. \begin{enumerate} \item D\'ecrire tous les \'el\'ements inversibles, tous les diviseurs de z\'ero et tous les \'el\'ements nilpotents de l'anneau $\Zz_{36}$. ({\it Un \'el\'ement $a$ d'un anneau $A$ est dit nilpotent si il existe $n$ tel que $a^n=0$.}) \item Trouver tous les id\'eaux de l'anneau $\Zz_{36}$. \item Soit $A$ un anneau arbitraire. Montrer que $$ (a\in A^{\times} \hbox{ et } b\in A^{\times}) \Longleftrightarrow (a\cdot b)\in A^{\times}. $$ \item Donner un exemple d'un polyn\^ome inversible de degr\'e $1$ sur $\Zz_{36}$. \item D\'ecrire tous les \'el\'ements inversibles de l'anneau $\Zz_{36}[x]$. \end{enumerate} \finenonce{002311} \finexercice \exercice{2312, barraud, 2008/04/24} \enonce{002312}{} Montrer que les polyn\^omes suivantes sont irr\'eductibles dans $\Zz[x]$ : \begin{enumerate} \item $P=x^{2004}+4x^{2002}+2000x^4+2002$; \item $Q=x^6+6x^5+12x^4+12x^3+3x^2+6x+25$. \end{enumerate} \finenonce{002312} \finexercice \exercice{2313, barraud, 2008/04/24} \enonce{002313}{} Soit $p$ un nombre premier impair. Montrer que la congruence \newline\noindent $x^2\equiv-1 \mod p\ $ a une solution si et seulement si $p\equiv 1 \mod 4$. \finenonce{002313} \finexercice \exercice{2314, barraud, 2008/04/24} \enonce{002314}{} Soient $f=x^6+x^5+x^4+x^3+1\in \Zz_2[x]\ $, $g=x^3+x^2+1 \in \Zz_2[x]$ deux polyn\^omes sur le corps $\Zz_2$. \begin{enumerate} \item En utilisant l'algorithme d'Euclide trouver le p.g.c.d. de $f$ et $g$ et sa repr\'esentation lin\'eaire. \item Les polyn\^omes $f$ et $g$ sont-ils irr\'eductibles ? \item Soit $(g)$ l'id\'eal principal engendr\'e par $g$. Combien d'\'el\'ements contient l'anneau quotient $A=\Zz_2[x]/(g)$ ? \item Soit $\pi\,:\,\Zz_2[x]\to A$ la projection canonique. On pose $\pi(x)=\bar x\in A$. Trouver l'inverse de l'\'el\'ement $\pi(f)$ dans l'anneau quotient $A$. \item L'anneau quotient $B=\Zz_2[x]/(f)$ est-il un corps ? Justifier la r\'eponse, i.e. donner une d\'emonstration si $B$ est un corps ou trouver un \'el\'ement non-inversible dans $B$ dans le cas contraire. \end{enumerate} \finenonce{002314} \finexercice \exercice{6502, drutu, 2011/10/16} \enonce{006502}{} Les ensembles suivants sont-ils des anneaux vis-à-vis des opérations usuelles d'addition et de multiplication? Sont-ils des corps ? $$ (a)\; \left\{ \frac{p}{q}\in \Q \mid q\in \{1,\, 2,\, 4 \} \right\}\; ;\hspace{0.5cm}(b)\; \left\{ \frac{p}{q}\in \Q \mid q\in \{ 2^n\; ; \; n\in \N \} \right\}\; ; \hspace{0.5cm}(c)\; \Z +\sqrt{5}\Z\; ; $$ $$ (d)\; \Z +\sqrt[3]{5}\Z \; ;\hspace{0.5cm}(e)\; \Z +\sqrt[3]{2}\Z +\sqrt[3]{4}\Z; $$ \finenonce{006502} \finexercice \exercice{6503, drutu, 2011/10/16} \enonce{006503}{} \begin{enumerate} \item Montrer qu'il existe un morphisme d'anneaux et un seul de $\Z /4\Z $ à $\Z /2\Z $, de $\Z /12\Z $ à $\Z /3\Z $, de $\Z /12\Z $ à $\Z /4\Z $. \item Montrer qu'il n'existe pas de morphisme d'anneaux de $\Z /3\Z $ à $\Z /4\Z $. \item $m$ et $n$ étant des entiers positifs, trouver des conditions pour qu'il existe un morphisme d'anneaux de $\Z /m\Z $ à $\Z /n\Z $. \end{enumerate} \finenonce{006503} \finexercice \exercice{6504, drutu, 2011/10/16} \enonce{006504}{} Montrer que $\Z /4\Z \times \Z /4\Z $ a exactement trois sous-anneaux. \finenonce{006504} \finexercice \exercice{6505, drutu, 2011/10/16} \enonce{006505}{} Dans $\Z /10\Z $ montrer que les multiples de 5 forment un anneau isomorphe à $\Z /2\Z $ qui n'est pas un sous-anneau de $\Z /10\Z $. \finenonce{006505} \finexercice \exercice{6506, drutu, 2011/10/16} \enonce{006506}{} Soit $M_n(F)$ l'anneau des matrices sur un corps $F$. \begin{enumerate} \item Montrer que si $X$ est une matrice non-dégénérée, alors $XY\neq 0$ et $YX\neq 0,\; \forall Y\neq 0$. \item Soit $X\in M_n(F)$ et soit l'application linéaire $f_X:F^n\to F^n,\; f_X(v):=Xv$. Trouver une écriture de la relation $XY=0,\; X,\; Y\in M_n(F)$ en termes de noyaux et images des applications $f_X,\; f_Y$. Même question pour la relation $YX=0$. En déduire que toute matrice dégénérée non-nulle est un diviseur de 0. \item Montrer que tout idéal bilatère de $M_n(F)$ contient, avec une matrice de rang $r$, toutes les matrices diagonales de rang $r$. \item Montrer qu'un idéal qui contient une matrice non-dégénérée co\"{\i}ncide avec $M_n(F)$. \item Montrer que les seuls idéaux de $M_n(F)$ sont $0$ et $M_n(F)$. \end{enumerate} \finenonce{006506} \finexercice \exercice{6507, drutu, 2011/10/16} \enonce{006507}{} \begin{enumerate} \item Montrer que l'image réciproque d'un idéal par un morphisme d'anneaux est un idéal. \item Montrer par un contre-exemple que l'image d'un idéal par un morphisme d'anneaux n'est pas toujours un idéal. Montrer que l'affirmation précédente est toutefois vraie si le morphisme est surjectif. \item Qu'est-ce qu'on peut dire sur l'image réciproque et l'image d'un idéal premier/maximal par un morphisme d'anneaux eventuellement surjectif ? \end{enumerate} \finenonce{006507} \finexercice \exercice{6508, drutu, 2011/10/16} \enonce{006508}{} Trouver les idéaux maximaux de $\Z /n\Z$. \finenonce{006508} \finexercice \exercice{6509, drutu, 2011/10/16} \enonce{006509}{} Montrer que tout anneau intègre fini est un corps. \finenonce{006509} \finexercice \exercice{6510, drutu, 2011/10/16} \enonce{006510}{} Soit $A$ un anneau principal. Montrer que $(a_1,\dots ,a_n)=(d)$ si et seulement si $d\sim \pgcd (a_1,\dots ,a_n)$. \finenonce{006510} \finexercice \exercice{6511, drutu, 2011/10/16} \enonce{006511}{} Montrer que tout morphisme de corps est injectif. \finenonce{006511} \finexercice \exercice{6512, drutu, 2011/10/16} \enonce{006512}{} Soit $p$ un nombre premier et $A$ un anneau intègre de caractéristique $p$. \begin{enumerate} \item Montrer que $p\cdot a=0$ pour tout $a\in A$. \item Montrer que $p| C^k_p,\; \forall k=1,\dots p-1$, et en déduire que l'application $F_p :A\to A,\; F_p(a)=a^p$, est un endomorphisme d'anneaux. On appelle $F_p$ {\it l'endomorphisme de Frobenius}. \item Montrer que $F_p(a)=a$ pour tout $a$ dans le plus petit sous-anneau $A_0$ de $A$ contenant $1$. \item Montrer que $F_p$ est un automorphisme si $A$ est fini. \item Montrer que $(\Sigma a_ib_i)^{p^k}=\Sigma a_i^{p^k}b_i^{p^k},\; \forall a_i,\; b_i\in A,\; k\in \N^*$. \end{enumerate} \finenonce{006512} \finexercice \exercice{6513, drutu, 2011/10/16} \enonce{006513}{} Soit $A$ un anneau intègre et $a,b,c \in A\setminus \{0 \}$. Montrer que, chaque fois que les pgcd suivants existent, on a les égalités : \begin{enumerate} \item $\pgcd (ca,cb)\sim c \pgcd (a,b)$ \item $\pgcd ( \pgcd (a,b),c)\sim \pgcd (a, \pgcd (b,c))$. \medskip Si $A$ est en plus factoriel, montrer que \item $\pgcd (a,b)\sim 1$ et $\pgcd(a,c)\sim 1$ implique $\pgcd(a,bc)\sim 1$. \item Si $a|bc$ et $\pgcd (a,b)\sim 1$ alors $a|c$. \item Si $b|a$ et $c|a$ et $\pgcd (b,c)\sim 1$ alors $(bc)|a$. \end{enumerate} \finenonce{006513} \finexercice \exercice{6514, drutu, 2011/10/16} \enonce{006514}{} Montrer que dans $\Z[i]$ $3$ est premier et 2 ne l'est pas. \finenonce{006514} \finexercice \exercice{6515, drutu, 2011/10/16} \enonce{006515}{} Montrer que $\Z[i\sqrt{3}]$ et $\Z[i\sqrt{5}]$ ne sont pas des anneaux factoriels. \finenonce{006515} \finexercice \exercice{6516, drutu, 2011/10/16} \enonce{006516}{} \begin{enumerate} \item Montrer que $\Z[X]$ est un anneau factoriel. \item Dans $\Z [X]$ montrer que l'ensemble des polyn\^omes de terme constant un nombre pair est un idéal mais non-principal. En déduire que $\Z[X]$ est un anneau non-principal. \item Montrer que l'idéal $(X)$ est premier mais non maximal dans $\Z[X]$. \end{enumerate} \finenonce{006516} \finexercice \exercice{6517, drutu, 2011/10/16} \enonce{006517}{} Montrer que l'anneau des entiers $\mathfrak{o}_{19}$ du corps quadratique $\Q[i\sqrt{19}]$ est principal mais non-euclidien. \finenonce{006517} \finexercice \exercice{6518, drutu, 2011/10/16} \enonce{006518}{} Soit $A$ un anneau commutatif et soit $$ Nil\; (A):=\{a\in A \mid \exists n\in N,\; a^n=0 \}\; . $$ \begin{enumerate} \item Montrer que $Nil\; (A)$ est un idéal de $A$. \item Montrer que si $P$ est un idéal premier de $A$, alors $Nil\; (A)\subset P$. \item Montrer que pour tout $x\not\in Nil\; (A)$ il existe un idéal premier $P$ tel que $x\not\in P$ ({\it Indication}: Utiliser le théorème de Zorn). \item En déduire que $$ Nil\; (A)=\bigcap_{P\mbox{ premier }}P\; . $$ \end{enumerate} \finenonce{006518} \finexercice \exercice{6519, drutu, 2011/10/16} \enonce{006519}{} \begin{enumerate} \item Montrer que $\Q (\sqrt{d}),\; d=7,\; 11$, est un corps. \item Montrer que $a+b\sqrt{7}\to a+b\sqrt{11}$ n'est pas un isomorphisme de corps entre $\Q (\sqrt{7})$ et $\Q (\sqrt{11})$. \item Montrer que les corps $\Q (\sqrt{7})$ et $\Q (\sqrt{11})$ ne sont pas isomorphes. \end{enumerate} \finenonce{006519} \finexercice \exercice{6520, drutu, 2011/10/16} \enonce{006520}{} $F$ et $F'$ étant deux corps, montrer que $F\times F'$ a seulement deux idéaux non-triviaux, et que c'est un anneau principal. \finenonce{006520} \finexercice \exercice{6521, drutu, 2011/10/16} \enonce{006521}{} Montrer que $\{\frac{p}{q}\in \Q \mid q \mbox { impair }\}$ est un anneau principal. \finenonce{006521} \finexercice \exercice{6522, drutu, 2011/10/16} \enonce{006522}{} Résoudre les congruences simultanées suivantes : \begin{enumerate} \item $x\equiv 2$ (mod 7), $x\equiv 3$ (mod 6) ; \item $3x\equiv 2$ (mod 5), $x\equiv 6$ (mod 7), $x\equiv 1$ (mod 6). \end{enumerate} \finenonce{006522} \finexercice \exercice{6523, drutu, 2011/10/16} \enonce{006523}{} Montrer que deux congruences dans $\Z $ de la forme $$ mx\equiv c\; {\rm{(mod }}\; a{\rm{)}},\; nx\equiv d\; {\rm{(mod }}\; b{\rm{)}} $$ ont une solution commune $x\in \Z$ quand les coefficients vérifient les conditions $\pgcd (a,b)=1$, $\pgcd(a,m)=1$, $\pgcd(n,b)=1$. \finenonce{006523} \finexercice \exercice{6524, drutu, 2011/10/16} \enonce{006524}{} \begin{enumerate} \item Pour les anneaux de polyn\^omes sur un corps $F$ montrer que $F[x]/(x^2-1)\simeq F[x]/(x^2-4),\; \; F[x]/(x^2+1)\simeq F[x]/(x^2+2x+2)\, ,$ $F[x,y]/(x+y)\simeq F[x],\; F[x]/(x+1)\simeq F$. \item Montrer que $\Q[x]/(x^2-2)\simeq \Q[\sqrt{2}],\; \Z[x]/(x^2+1)\simeq \Z[i].$ Déduire du dernier isomorphisme que $(x^2+1)$ est un idéal premier non-maximal. \end{enumerate} \finenonce{006524} \finexercice \exercice{6525, drutu, 2011/10/16} \enonce{006525}{} Si $M$ est un idéal maximal d'un anneau intègre $A$ montrer que l'anneau local $A_M$ a exactement un idéal maximal. \finenonce{006525} \finexercice \exercice{7731, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007731}{Polarisation} \begin{enumerate} \item Montrer que l'anneau quotient $\mathbb{F}_3[X]/X^2+1$ est un corps que l'on notera $\mathbb{F}_{9}$. On notera $\xi:=[X]$ la classe du polynôme $X$. Montrer que $(1,\xi)$ est une base de $\mathbb{F}_{9}$ comme $\mathbb{F}_{3}$-espace vectoriel. On définit les applications $\ell_i : \mathbb{F}_{9} \rightarrow \mathbb{F}_{3}$ pour $i=1,2$ par la condition $$\forall \lambda \in \mathbb{F}_{9},\ \ \ \lambda=\ell_1(\lambda)+\ell_2(\lambda)\xi.$$ \item Soit $\sigma : \mathbb{F}_{9}\mapsto\mathbb{F}_{9}$ défini par $\sigma(x)=x^3$. Montrer que $\sigma$ est un automorphisme de corps de $\mathbb{F}_{9}$ d'ordre $2$. Calculer $\sigma(\xi)$. \item Montrer que, pour tout $\lambda \in \mathbb{F}_{9} $, \begin{eqnarray*} \ell_2(\lambda)&=&-\ell_1(\xi\lambda)\\ 2\ell_1(\lambda)&=&\lambda+\sigma(\lambda) \\ 2\xi \ell_2(\lambda)&=&\lambda-\sigma(\lambda). \end{eqnarray*} \item {\itshape (Polarisation)} Soit $E$ un $\mathbb{F}_{9}$-espace vectoriel. Soit $h$ une forme $\sigma$-hermitienne sur $E$. Soit $q$ la forme quadratique associée (i.e. pour $x\in E$, $q(x)=h(x,x)$). Soit $(x,y)\in E^2$. Calculer $\ell_1(f(x,y))$ en fonction de $q$ et en déduire $f(x,y)$ en fonction de $q$. \item En déduire que les sous-espaces totalement isotropes pour $h$ sont exactement les sous-espaces vectoriels de $E$ contenus dans le cône isotrope de $h$. \end{enumerate} \finenonce{007731} \finexercice \exercice{7736, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007736}{} \begin{enumerate} \item On considère l'application $\sigma~:~\mathbb{F}_{25}\to \mathbb{F}_{25}, \lambda\mapsto\lambda^5$. Montrer que c'est un automorphisme involutif du corps $\mathbb{F}_{25}$. \item Les formes suivantes sur $\mathbb{F}_{25}^3$ sont-elles $\sigma$-sesquilinéaires ? \begin{eqnarray*} f_1( \left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right), \left(\begin{array}{c}x'\\ y'\\ z'\end{array}\right) ) &=&x(x')^5+3z(y')^5+3y(z')^5.\\ f_2( \left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right), \left(\begin{array}{c}x'\\ y'\\ z'\end{array}\right) ) &=&x^5(x')^5+x^5(y')^5+y^5(x')^5.\\ f_3( \left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right), \left(\begin{array}{c}x'\\ y'\\ z'\end{array}\right) ) &=&3x(x')^5+z(y')^5+y(z')^5. \end{eqnarray*} \item Parmi les formes $\sigma$-sesquilinéaires précédentes, lesquelles sont équivalentes ? \end{enumerate} \finenonce{007736} \finexercice \exercice{7737, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007737}{} Soit $E$ un $\mathbb{F}_{3^2}$ espace vectoriel. Soit $\sigma : \mathbb{F}_{3^2} \mapsto \mathbb{F}_{3^2}$ défini par $\sigma(x)=x^3$. \begin{enumerate} \item Montrer que $\sigma$ est un automorphisme de corps de $\mathbb{F}_{3^2}$ d'ordre $2$. Soit $h$ une forme $\sigma$-hermitienne sur $E$. \item Montrer qu'il existe un élément $\xi \in \mathbb{F}_{3^2}$ tel que $\xi^2+1=0$ et $\mathbb{F}_{3^2}=\mathbb{F}_{3}[\xi]$. \item Montrer $\xi^3=-\xi$. On définit les applications $\ell_i : \mathbb{F}_{3^2} \rightarrow \mathbb{F}_{3}$ pour $i=1,2$ par la condition $$\forall x \in \mathbb{F}_{3^2}, x=\ell_1(x)+\ell_2(x)\xi.$$ \item Montrer que, pour tout $x \in \mathbb{F}_{3^2} $, $x+\sigma(x)=\ell_1(x)$ et $x-\sigma(x)=\xi \ell_2(x)$. Soit $W$ un sous-espace vectoriel de $E$. Soient $x, y \in W$. \item {\itshape (Polarisation)} Décrire $h(x,y)$ comme polynôme à coefficients dans $\mathbb{F}_{3^2}$ en les $(h(u,u))_{u \in W}$. \item En déduire que les sous-espaces totalement isotropes pour $h$ sont exactement les sous-espaces vectoriels de $E$ contenus dans le cône isotrope de $h$. \end{enumerate} \finenonce{007737} \finexercice \section{ 324.00 Polynôme } \exercice{2261, barraud, 2008/04/24} \enonce{002261}{} \begin{enumerate} \item Soit $A$ un anneau quelconque. Alors l'anneau de polyn\^omes $A[x]$ n'est pas un corps. \item Montrer que pour un anneau int\`egre $A$, les polyn\^omes unitaires lin\'eaires de $A[x]$ sont irr\'eductibles. \item D\'ecrire tous les polyn\^omes irr\'eductibles de $\Cc[x]$ et de $\Rr[x]$. \item D\'emontrer que pour tout corps $K$, l'anneau de polyn\^omes $K[x]$ a une infinit\'e de polyno\^mes unitaires irr\'eductibles. \end{enumerate} \finenonce{002261} \finexercice \exercice{2262, barraud, 2008/04/24} \enonce{002262}{} \begin{enumerate} \item Montrer que l'id\'eal $(x, n)$ o\`u $n\in \Zz$, $n>1$ de l'anneau $\Zz[x]$ n'est pas principal. \item Soit $A$ un anneau int\`egre. Montrer que $A[x]$ est principal ssi $A$ est un corps. \end{enumerate} \finenonce{002262} \finexercice \exercice{2263, barraud, 2008/04/24} \enonce{002263}{} Soit $f(x)\in A[x]$ un polyn\^ome sur un anneau $A$. Supposons que $(x-1)\,|\,f(x^n)$. Montrer que $(x^n-1)\,|\,f(x^n)$. \finenonce{002263} \finexercice \exercice{2264, barraud, 2008/04/24} \enonce{002264}{} Pour $n,m\ge 2$, d\'eterminer le reste de la division euclidienne du polynôme \mbox{$(x-2)^m+(x-1)^n-1$} par $(x-1)(x-2)$ dans $\Zz[x]$. \finenonce{002264} \finexercice \exercice{2265, barraud, 2008/04/24} \enonce{002265}{} \label{exoprec} \begin{enumerate} \item Si $K$ est un corps, montrer qu'un polyn\^ome $P$ de degr\'e 2 ou 3 dans $K [x]$ est irr\'eductible si et seulement si il n'a pas de z\'ero dans $K$. \item Trouver tous les polyn\^omes irr\'eductibles de degr\'e $2$, $3$ \`a coefficients dans $\Zz/2\Zz$. \item En utilisant la partie pr\'ec\'edente, montrer que les polyn\^omes $5x^3+8x^2+ 3x+ 15$ et $x^5+2x^3+3x^2-6x-5$ sont irr\'eductibles dans $\Zz[x]$. \item D\'ecrire tous les polyn\^omes irr\'eductibles de degr\'e $4$ et $5$ sur $\Zz/2\Zz$. \end{enumerate} \finenonce{002265} \finexercice \exercice{2266, barraud, 2008/04/24} \enonce{002266}{} \begin{enumerate} \item Trouver tous les polyn\^omes irr\'eductibles de degr\'e $2$, $3$ \`a coefficients dans le corps $\mathbb{F}_3=\Zz/3\Zz$. \item D\'ecomposer les polyn\^omes suivants en facteurs irr\'eductibles dans $\mathbb{F}_3[x]$. $$ x^2+x+1,\hspace{1cm}x^3+x+2,\hspace{1cm}x^4+x^3+x+1\; . $$ \end{enumerate} \finenonce{002266} \finexercice \exercice{2267, barraud, 2008/04/24} \enonce{002267}{} En utilisant les r\'eductions $\!\mod 2$ ou $\!\mod 3$ montrer que les polyn\^omes \mbox{$x^5-6x^3+2x^2-4x+5$}, \ \ \mbox{$7x^4+8x^3+11x^2-24x-455$} sont irr\'eductibles dans $\Zz[x]$. \finenonce{002267} \finexercice \exercice{2268, barraud, 2008/04/24} \enonce{002268}{} Soient $$ f(x)=(x-a_1)(x-a_2)\dots (x-a_n)-1,\quad g(x)=(x-a_1)^2(x-a_2)^2\dots (x-a_n)^2+1 $$ o\`u $a_1,\dots a_n\in \Zz$ soient deux \`a deux distincts. Montrer que $f$ et $g$ sont irr\'eductibles dans $\Qq[x]$. \finenonce{002268} \finexercice \exercice{2269, barraud, 2008/04/24} \enonce{002269}{} \label{ex:bar9} Soient $f,g\in \Qq[x]$. Supposons que $f$ soit irr\'eductible et qu'il existe $\alpha \in \Cc$ tel que $f(\alpha)=g(\alpha)=0$. Alors $f$ divise $g$. \finenonce{002269} \finexercice \exercice{2270, barraud, 2008/04/24} \enonce{002270}{} Pour quel $n$, $m$ dans $\Zz$ la fraction $$ \frac{11n+2m}{18n+5m} $$ est r\'eductible ? \finenonce{002270} \finexercice \exercice{2271, barraud, 2008/04/24} \enonce{002271}{} Trouver le $\pgcd(x^n-1,\ x^m-1)$ dans $\Zz[x]$. \finenonce{002271} \finexercice \exercice{2272, barraud, 2008/04/24} \enonce{002272}{} Trouver le $\pgcd(f,g)$ dans $\Zz_2[x]$ et sa repr\'esentation lin\'eaire $fu+gv$ o\`u $d, u,v\in \Zz_2[x]$ : \begin{enumerate} \item $$ f=x^5+x^4+1,\qquad g=x^4+x^2+1; $$ \item $$\quad f=x^5+x^3+x+1,\qquad g=x^4+1. $$ \end{enumerate} \finenonce{002272} \finexercice \exercice{2273, barraud, 2008/04/24} \enonce{002273}{} Trouver le $\pgcd(f,g)$ dans $\Zz_3[x]$ et $\Zz_5[x]$ de $f=x^4+1$, $g=x^3+x+1$. \finenonce{002273} \finexercice \exercice{2274, barraud, 2008/04/24} \enonce{002274}{} Trouver le $\pgcd(f,g)$ dans $\Zz[x]$ de $f=x^4+x^3-3x^2-4x-1$ et $g=x^3+x^2-x-1$. \finenonce{002274} \finexercice \exercice{2275, barraud, 2008/04/24} \enonce{002275}{} Montrer que $f$ est irr\'eductible dans $\Qq[x]$ : \begin{enumerate} \item $f=x^4-8x^3+12x^2-6x+2$; \item $f=x^5-12x^3+36x-12$; \item $f=x^4-x^3+2x+1$; \item $f=x^{p-1}+\dots+x+1$, o\`u $p$ est premier. \end{enumerate} \finenonce{002275} \finexercice \exercice{2276, barraud, 2008/04/24} \enonce{002276}{} Soient $A=\Zz [\sqrt{-3}]$ et $K$ son corps de fractions. Montrer que $x^2-x+1$ est irr\'eductible dans $A[x]$ sans pour autant \^etre irr\'eductible dans $K[x]$. Expliquer la contradiction apparente avec le corollaire du lemme de Gauss. \finenonce{002276} \finexercice \exercice{2277, barraud, 2008/04/24} \enonce{002277}{} Soit $P\in \Zz[x]$. \begin{enumerate} \item Supposons que $P(0)$, $P(1)$ soient impairs. Montrer que $P$ n'a pas de racine dans $\Zz$. (\emph{Indication :} Utiliser la r\'eduction modulo $2$.) \item Soit $n\in \Nn$ tel qu'aucun des entiers $P(0),\dots,P(n-1)$ ne soit divisible par $n$. Montrer que $P$ n'a pas de racine dans $\Zz$. \end{enumerate} \finenonce{002277} \finexercice \exercice{2278, barraud, 2008/04/24} \enonce{002278}{} \begin{enumerate} \item Soit $P\in \Zz[x]$. Soit $\dfrac{a}{b}$ sa racine rationnelle : $P(\dfrac{a}{b})=0$, $\pgcd(a,b)=1$. Montrer que $\forall\,k\in \Zz$ $\ (a-bk)$ divise $P(k)$. \item Quelles racines rationnelles ont les polyn\^omes $f(x)=x^3-6x^2+15x-14$ et $g(x)=2x^3+3x^2+6x-4$ ? \end{enumerate} \finenonce{002278} \finexercice \exercice{2279, barraud, 2008/04/24} \enonce{002279}{} \begin{enumerate} \item Soient $P\in \Zz[x]$, $n\in \Nn$, $m=P(n)$. Montrer que $\forall\, k\in \Zz\ $ $\ m\,|\, P(n+km)$. \item En d\'eduire qu'il n'existe aucun polyn\^ome $P\in \Zz[x]$, non constant, tel que, pour tout $n\in \Zz$, $P(n)$ soit un nombre premier. \end{enumerate} \finenonce{002279} \finexercice \exercice{2280, barraud, 2008/04/24} \enonce{002280}{} Dans le cours nous avons d\'ej\`a montr\'e que le produit de polyn\^omes primitifs est aussi primitif et que $$ c(f\cdot g)=c(f)\cdot c(g)\qquad \forall\ f,g\in \Zz[x]. $$ \begin{enumerate} \item Etant donn\'e $f\in \Qq[x]$, alors $f=\alpha \cdot f_0$ o\`u $f_0\in \Zz[x]$ est un polyn\^ome primitif et $\alpha\in \Qq$. \item Soit $g\in \Zz[x]$ un polyn\^ome primitif, $\alpha\in \Qq$ tel que $\alpha \cdot g\in \Zz[x]$. Alors $\alpha\in \Zz$. \item Consid\`erons deux polyn\^omes $d$, $f$ sur $\Zz$. Si $d$ est primitif et $d$ divise $f$ dans $\Qq[x]$ alors $d$ divise $f$ dans $\Zz[x]$. \item Supposons que $d=\pgcd_{\Qq[x]}(f,g)$ soit le p.g.c.d. dans l'anneau $\Qq[x]$ de deux polyn\^omes primitifs $f$ et $g$ de $\Zz[x]$. Soit $d=\alpha\cdot d_0$ sa repr\'esentation de type 1). Montrer que : $d_0=\pgcd_{\Zz[x]}(f,g)$ dans l'anneau $\Zz[x]$. \item Soient $f$, $g\in \Zz[x]$, $f=c(f)f_0$, $g=c(g)g_0$. Alors $$ \pgcd_{\Zz[x]}(f,g)=\pgcd_{\Zz}(c(f),c(g))\cdot\pgcd_{\Zz[x]}(f_0,g_0). $$ \end{enumerate} \finenonce{002280} \finexercice \exercice{2281, barraud, 2008/04/24} \enonce{002281}{} D\'emontrer que tout morphisme d'un corps dans un anneau non-trivial est injectif. \finenonce{002281} \finexercice \exercice{2282, barraud, 2008/04/24} \enonce{002282}{} Soit $R$ un anneau int\`egre dans lequel toute cha\^{\i}ne d\'ecroissante d'id\'eaux est finie. D\'emontrer que $R$ est un corps. \finenonce{002282} \finexercice \exercice{2283, barraud, 2008/04/24} \enonce{002283}{} Montrer que dans un anneau fini tout id\'eal premier est maximal. \finenonce{002283} \finexercice \exercice{2284, barraud, 2008/04/24} \enonce{002284}{} Montrer que un id\'eal propre $I$ de l'anneau $A$ est premier ssi quand le produit de deux id\'eaux est contenue dans $I$, alors l'un de deux est contenu dans $I$. En d\'eduire que si $M$ est un id\'eal maximal de $A$, alors le seul id\'eal premier de $A$ qui contient $M^n$ est $M$. \finenonce{002284} \finexercice \exercice{2285, barraud, 2008/04/24} \enonce{002285}{} Soit $A$ un anneau. Trouver les anneaux quotients $$ A[x]/(x),\quad A[x,y]/(x),\quad A[x,y]/(x,y),\quad A[x_1,x_2,\dots,x_n]/(x_1,x_2,\dots,x_n) $$ o\`u $(x)$, $(x,y)$, $(x_1,x_2,\dots,x_n)$ sont les id\'eaux engendr\'es r\'espectivement par $x$, $x$ et $y$, $x_1$, $x_2$, ... ,$x_n$. Sous quelle condition sur l'anneau $A$ ces id\'eaux sont-ils premiers (maximaux) ? \finenonce{002285} \finexercice \exercice{2286, barraud, 2008/04/24} \enonce{002286}{} \begin{enumerate} \item Trouver le nombre d'\'el\'ements de l'anneau quotient $\Zz[\sqrt{d}]/(m)$ o\`u $m\in \Zz$ et $m\ne 0$. \item L'id\'eal principal endendr\'e par $2$ est-il premier dans l'anneau $\Zz[\sqrt{d}]$ ? \end{enumerate} \finenonce{002286} \finexercice \exercice{2287, barraud, 2008/04/24} \enonce{002287}{} Soit $A$ un anneau int\`egre. On appelle {\it \'el\'ement premier} de $A$ un \'el\'ement qui engendre un id\'eal principal premier. \begin{enumerate} \item Montrer que un \'el\'ement premier est irr\'eductible. \item D'apr\`es le cours tout \'el\'ement irr\'eductible dans un anneau factoriel est premier. Montrer que dans un anneau factoriel, tout id\'eal premier non nul contient un \'el\'ement irr\'eductible. \item Nous avons vu que l'\'el\'ement $3\in \Zz[\sqrt{-5}]$ est irr\'eductible. Montrer que $3$ n'est pas premier dans $\Zz[\sqrt{-5}]$. \item L'\'el\'ement $2$ est-il irr\'eductible dans l'anneau $\Zz[\sqrt{-5}]$ ? \end{enumerate} \finenonce{002287} \finexercice \exercice{2288, barraud, 2008/04/24} \addcommand{\usepackage[all]{xy}} \enonce{002288}{} \label{ex:bar49} \begin{enumerate} \item Soit $A$ un anneau principal, $I$ un id\'eal de $A$. Montrer que tous les id\'eaux de l'anneau quotient $A/I$ sont principaux. \item Trouver tous les id\'eaux des anneaux suivants: $\Zz/n\Zz$, $\Qq[x]/(f)$ o\`u $(f)$ est l'id\'eal principal engendr\'e par un polyn\^ome $f$. \item Trouver les id\'eaux maximaux de $\Zz /n\Zz$ et de $\Qq[x]/(f)$. \end{enumerate} \finenonce{002288} \finexercice \exercice{2289, barraud, 2008/04/24} \addcommand{\usepackage[all]{xy}} \enonce{002289}{} Soit $I$ et $J$ deux id\'eaux de l'anneau $A$. Consid\'erons la projection canonique \newline $\pi_I : A\to A/I$ et l'image $\bar J=\pi_I(J)$ de l'id\'eal $J$. \begin{enumerate} \item Montrer que $\bar J$ est un id\'eal de l'anneau quotient $A/I$. \item D\'emontrer qu'on a l'isomorphisme suivant : $(A/I)/\bar J\cong A/(I+J)$. ({\it Indication :.} Consid\'erer le morphisme $a+I\mapsto a+(I+J)$ de l'anneau $A/I$ vers l'anneau $A/(I+J)$.) \end{enumerate} \finenonce{002289} \finexercice \exercice{2290, barraud, 2008/04/24} \enonce{002290}{} Soit $f$ un morphisme de l'anneau $A$ vers l'anneau $B$. \begin{enumerate} \item Montrer que l'image r\'eciproque d'un id\'eal premier est aussi un id\'eal premier. Cette proposition est-elle vraie pour id\'eaux maximaux ? \item Montrer par un exemple, que l'image $f(I)$ d'un id\'eal $I$ de $A$ n'est pas forc\'ement un id\'eal de $B$. D\'emontrer cependant que si $f$ est surjectif, alors $f(I)$ est un id\'eal pour tout id\'eal $I$ de $A$. (Voir le cours.) \item Toujours sous l'hypoth\`ese que $f$ est surjective, montrer que l'image d'un id\'eal maximal par $f$ est soit $B$ tout entier, soit un id\'eal maximal de $B$. \item Consid\'erons la reduction de polyn\^omes sur $\Zz$ modulo $m$ : $r_m\,:\,\Zz[x]\to \Zz_m[x]$ et deux id\'eaux premiers principaux $(x)$ et $(x^2+1)$. Les id\'eaux $r_6((x))$ et $r_2((x^2+1))$ sont-ils premiers ? \end{enumerate} \finenonce{002290} \finexercice \exercice{2291, barraud, 2008/04/24} \addcommand{\usepackage[all]{xy}} \enonce{002291}{} Soit $A$ un anneau, $B$ un sous-anneau de $A$, $I$ un id\'eal de $A$. \begin{enumerate} \item Montrer que $B\cap I$ est un id\'eal de $B$, $B+I=\{b+i\,|\, b\in B,\ i\in I\}$ est un sous-anneau de l'anneau $A$ et $I$ est un id\'eal de ce sous-anneau. \item Montrer que l'anneau quotient $B/(B\cap I)$ est isomorphe \`a l'anneau quotient $(B+I)/I$. ({\it Indication :} Consid\'erer le compos\'e de l'inclusion $B\to B+I$ avec la projection canonique $B+I \to (B+I)/I$.) \end{enumerate} \finenonce{002291} \finexercice \exercice{2292, barraud, 2008/04/24} \enonce{002292}{} Soit $(x^3-x+2)$ l'id\'eal principal engendr\'e par $x^3-x+2$ dans l'anneau $\Qq[x]$. \begin{enumerate} \item Montrer que l'anneau quotient $\Qq[x]/(x^3-x+2)$ est un corps. \item Soit $y$ l'image de $x$ dans $\Qq[x]/(x^3-x+2)$ par la surjection canonique. Calculer son inverse. \item Montrer que $1+y+y^2$ est non nul et calculer son inverse. \end{enumerate} \finenonce{002292} \finexercice \exercice{2293, barraud, 2008/04/24} \enonce{002293}{} Soit $f\in A[x]$ un polyn\^ome primitif de degr\'e positif sur l'anneau factoriel $A$. Soit $\pi\in A$ un \'el\'ement irr\'eductible. Supposons que le coefficient dominant de $f$ ne soit pas divisible par $\pi$ et que $f\mod \pi$ soit irr\'eductible dans l'anneau quotient $A/(\pi)$. Montrer que $f$ est irr\'eductible dans $A[x]$. \finenonce{002293} \finexercice \exercice{2294, barraud, 2008/04/24} \enonce{002294}{} Les polynômes suivants sont-ils irréductibles ? \begin{enumerate} \item $X^5+121X^4+1221X^3+12221X^2+122221X+222222$ dans $\Qq [X]$. \item $f(X,Y)=X^2Y^3+X^2Y^2+Y^3-2XY^2+Y^2+X-1$ dans $\Cc [X,Y]$ et $\mathbb{F}_2[X,Y]$. \item $f(X,Y)=Y^7+Y^6+7Y^4+XY^3+3X^2Y^2-5Y+X^2+X+1$ dans $\Qq[X,Y]$. \end{enumerate} \finenonce{002294} \finexercice \exercice{2295, barraud, 2008/04/24} \enonce{002295}{} L'id\'eal principal $(x^2+y^2+1)$ est-il maximal dans les anneaux $\Cc[x,y]$, $\Rr[x,y]$, $\Qq[x,y]$, $\Zz[x]$, $\Zz_2[x,y]$ ? \finenonce{002295} \finexercice \exercice{2296, barraud, 2008/04/24} \enonce{002296}{} \begin{enumerate} \item Soit $f\in \Zz[x]$. Consid\'erons la reduction du polyn\^ome $f$ modulo $m$ : $f\mod m\in \Zz_m[x]$. Montrer que $$ \Zz[x]/(m,f)\cong \Zz_m[x]/(f\hbox{\ mod } m) $$ o\`u $(m,f)$ est l'id\'eal engendr\'e par $m$ et $f$ dans $\Zz[x]$ et $(f\hbox{\ mod } m)$ est l'id\'eal engendr\'e par $f\mod m$ dans $\Zz_m[x]$. ({\it Indication :} Utiliser l'exercice 10 de fiche 4.) \item Si $p$ est un nombre premier et $f$ est un polyn\^ome tel que $f\mod p$ est irr\'eductible sur le corps $\Zz_p$, alors l'id\'eal $(p,f)$ est maximal dans $\Zz[x]$. \end{enumerate} \finenonce{002296} \finexercice \exercice{2297, barraud, 2008/04/24} \enonce{002297}{} Soit $A$ un anneau factoriel. \begin{enumerate} \item Pour $a,b\ne 0$ on a $(a)\cdot (b)= (a)\cap(b)\ \ $ ssi $\ \ \pgcd(a,b)\thicksim 1$. \item Si $(a,b)$ est principal, alors $(a,b)=(\pgcd(a,b))$. \end{enumerate} \finenonce{002297} \finexercice \exercice{2298, barraud, 2008/04/24} \enonce{002298}{} \begin{enumerate} \item Montrer que les id\'eaux $(5, x^2+3)$, $(x^2+1,x+2)$, $(x^3-1,x^4-1)$ ne sont pas principaux dans $\Zz[x]$. \item Les id\'eaux $(x,x+1)$, $(5, x^2+4)$ et $(x^2+1,x+2)$ sont-ils premiers ou maximaux dans $\Zz[x]$ ? \end{enumerate} \finenonce{002298} \finexercice \exercice{2299, barraud, 2008/04/24} \enonce{002299}{} D\'emontrer que si $J$ est un id\'eal premier de l'anneau $\Zz[x]$, alors $$ J=(0), \quad (p), \quad (f)\ \ \text{\ ou\ } \ \ (p,g), $$ o\`u $p$ est premier, $f\in \Zz[x]$ est un polyn\^ome irr\'eductible de degr\'e positif et $g$ est un polyn\^ome, tel que sa r\'eduction modulo $p$ est irr\'eductible sur $\Zz_p$. Le dernier cas, $J=(p,g)$ , nous donne la forme g\'en\'erale d'un id\'eal maximal dans $\Zz[x]$. {\it Le plan de la d\'emonstration est le suivant.} \begin{enumerate} \item Soit $B$ un sous-anneau de l'anneau $A$, $I$ un id\'eal premier de $A$. Montrer que $B\cap I$ est soit un id\'eal premier de $B$, soit l'anneau $B$ lui-m\^eme. \item Soit $J$ un id'eal premier de $\Zz[x]$. Montrer que $\Zz\cap J=(0)$ ou $(p)$ o\`u $p$ est premier. \item Supposons que $\Zz\cap J=(0)$. Montrer que si $J\ne (0)$, alors $J$ est engendr\'e par un polyn\^ome primitif de $J$ de degr\'e minimal. \item Supposons que $\Zz\cap J=(p)$. Soit $r_p\,:\,\Zz[x]\to \Zz_p[x]$ la r\'eduction modulo $p$. Montrer que l'id\'eal $r_p(J)$ est premier et que $J=(p,g)$. \item Montrer que $J$ est maximal ssi $J=(p,g)$ o\`u $p$ est premier et $r_p(g)$ est irr\'eductible dans $\Zz_p[x]$. \end{enumerate} \finenonce{002299} \finexercice \exercice{6526, drutu, 2011/10/16} \enonce{006526}{} Soit $\mathbb{F} $ un corps et $P,\; Q\in \mathbb{F}[X]$ tels que $\pgcd(P,\, Q)=1$. Montrer qu'il existe $U,\; V\in \mathbb{F}[X]$ tels que $UP+VQ=1,\; d^0\; U0$. \begin{enumerate} \item Montrer que \begin{enumerate} \item $X^n-a^n,\; a\in \mathbb{F}^*$, n'a pas de racines multiples ssi $p|n$ ; \item $a$ est l'unique racine de $X^p-a^p$ et sa multiplicité est $p$. \end{enumerate} \item Soit $a\in \mathbb{F}_p$. Ecriver la décomposition en facteurs irréductibles du polyn\^ome $X^p+a\in \mathbb{F}_p[X]$. \end{enumerate} \finenonce{006540} \finexercice \exercice{6541, drutu, 2011/10/16} \enonce{006541}{} Soit $D$ un anneau intègre fini contenant $n$ éléments distincts $c_1,c_2,\dots ,c_n$. Soit le polyn\^ome $P_0:=\Pi_{i=1}^n(X-c_i)$. \begin{enumerate} \item Démontrer que deux polyn\^omes $Q, R$ dans $D[X]$ ont la même fonction polynomiale associée si et seulement si $P_0 | Q-R$. \item Calculer le polyn\^ome $P_0$ pour $D=\mathbb{F}_3,\; \mathbb{F}_5 $. \end{enumerate} \finenonce{006541} \finexercice \exercice{6542, drutu, 2011/10/16} \enonce{006542}{} Soit $A$ un anneau commutatif. Montrer l'équivalence des deux affirmations suivantes : \begin{enumerate} \item[(i)] $A $ est un corps fini ; \item[(ii)] tout polyn\^ome $P\in A[X]$ de degré $n\geq 1$ a au plus $n$ racines dans $A$ et toute fonction $f:A \to A$ est polynomiale. \end{enumerate} \finenonce{006542} \finexercice \exercice{6543, drutu, 2011/10/16} \enonce{006543}{} Calculer la dérivée du polyn\^ome $(3X^2+2X-4)(4X^3-2X+3)\in \mathbb{F}_5 [X] $. \finenonce{006543} \finexercice \exercice{6544, drutu, 2011/10/16} \enonce{006544}{} \begin{enumerate} \item Montrer que si $A[X]$ est principal, alors $A$ est principal. \item Montrer que si $A[X]$ est principal est si $A$ n'est pas un corps, alors il existe un corps $K$ tel que $K[X]$ soit un corps. \item En déduire que $A[X]$ est principal si et seulement si $A$ est un corps. {\it Remarque}: Ceci implique que si $A[X]$ est principal alors $A[X]$ est euclidien. \end{enumerate} \finenonce{006544} \finexercice \exercice{6545, drutu, 2011/10/16} \enonce{006545}{} Soit $K$ un corps et soit $K(X)$ le corps des fractions de l'anneau $K[X]$. Montrer que si $P$ est un élément de $K[X]$ qui admet au moins une racine simple alors, pour tout $n\in \N^*$, $Y^n-P$ est un élément irréductible de $K[X,Y]$ et de $K(X)[Y]$. \finenonce{006545} \finexercice \exercice{6546, drutu, 2011/10/16} \enonce{006546}{} Montrer que si $K$ est un corps de caractéristique différente de $2$ alors $X^2+Y^2-1$ est irréductible dans $K[X,Y]$. \finenonce{006546} \finexercice \exercice{6547, drutu, 2011/10/16} \enonce{006547}{} \begin{enumerate} \item Calculer la somme des carrés des racines de l'équation $x^3+2x-3=0$. \item Calculer $x_1^3x_2+x_1x_2^3+x_2^3x_3+x_2x_3^3+x_3^3x_1+x_3x_1^3$, où $x_1,\; x_2,\; x_3$ sont les racines de l'équation $x^3-x^2-4x+1=0$. \end{enumerate} \finenonce{006547} \finexercice \exercice{6548, drutu, 2011/10/16} \enonce{006548}{} Exprimer à l'aide des polyn\^omes symétriques fondamentaux : \begin{enumerate} \item $(x_1^2+x_2^2)(x_1^2+x_3^2)(x_2^2+x_3^2)$ ; \item $(x_1+x_2)(x_1+x_3)(x_1+x_4)(x_2+x_3)(x_2+x_4)(x_3+x_4)$ ; \item $(x_1+x_2-x_3-x_4)(x_1-x_2+x_3-x_4)(x_1-x_2-x_3+x_4)$. \end{enumerate} \finenonce{006548} \finexercice \exercice{6549, drutu, 2011/10/16} \enonce{006549}{} Soient $x_1,x_2,\dots ,x_n$ les zéros du polyn\^ome $X^n+a_1x_{n-1}+\dots +a_n$. Démontrer que tout polyn\^ome symétrique en $x_2,x_3,\dots ,x_n$ peut être représenté sous forme de polyn\^ome en $x_1$. \finenonce{006549} \finexercice \exercice{6550, drutu, 2011/10/16} \enonce{006550}{} Calculer le résultant des polyn\^omes : \begin{enumerate} \item $2X^3-3X^2-X+2$ et $X^4-2X^2-3X+4$ ; \item $3X^3+2X^2+X+1$ et $2X^3+X^2-X-1$ ; \item $a_0X^2+a_1X+a_2$ et $b_0X^2+b_1X+b_2$. \end{enumerate} \finenonce{006550} \finexercice \exercice{6551, drutu, 2011/10/16} \enonce{006551}{} Pour quelle valeur de $\lambda$ les polyn\^omes suivants ont-ils un zéro en commun ? \begin{enumerate} \item $X^3-\lambda X+2$ et $X^2+\lambda X+2$ ; \item $X^3+\lambda X^2-9$ et $X^3+\lambda X-3$. \end{enumerate} \finenonce{006551} \finexercice \section{ 325.00 Extension de corps } \exercice{6552, drutu, 2011/10/16} \enonce{006552}{} Soit $K$ un corps et $k,\; A,\; B$ des sous-corps tels que $k\subset A$ et $k\subset B$, $[A:k]=m,\; [B:k]=n$. Soit $L$ le plus petit sous-corps de $K$ qui contient $A\cup B$. \begin{enumerate} \item Montrer que $[L:A]\leq n,\; [L:B]\leq m,\; [L:k]\leq mn$. Caractériser le cas $[L:k]= mn$ à l'aide d'une propriété de $A$ par rapport à $B$. \item Si $[K:k]=4,\, m=n=2$ montrer l'équivalence des propriétés suivantes \begin{enumerate} \item[(b$_1$)] $A\neq B$ ; \item[(b$_2$)] $L=K$ ; \item[(b$_3$)] il existe $a\in A$ et $b\in B$ tels que $\{ 1,\, a,\, b,\, ab \}$ soit une base de $L$ sur $k$. \end{enumerate} \end{enumerate} \finenonce{006552} \finexercice \exercice{6553, drutu, 2011/10/16} \enonce{006553}{} Est-ce qu'un extension algébrique est toujours finie ? \finenonce{006553} \finexercice \exercice{6554, drutu, 2011/10/16} \enonce{006554}{} Comparer les corps de décomposition des polyn\^omes $X^2+X+1,\; X^2+3\in \Q [X]$. \finenonce{006554} \finexercice \exercice{6555, drutu, 2011/10/16} \enonce{006555}{} Soit $E$ une extension du corps $k$. On dit que $E$ est une {\it extension quadratique} de $k$ si $[E:k]=2$. \begin{enumerate} \item On suppose $k$ de caractéristique $\neq 2$. Montrer que les extensions quadratiques de $k$ (s'il en existe) sont des corps de rupture des polyn\^omes irréductibles de la forme $X^2-a,\; a\in k$. En déduire toutes les extensions quadratiques de $\Q$ à isomorphisme près. \item On suppose $k$ de caractéristique $2$. Montrer que les extensions quadratiques de $k$ (s'il en existe) sont des corps de rupture des polyn\^omes irréductibles de l'une des deux formes : $X^2-a$ ou $X^2-X-a,\; a\in k$. Une extension quadratique du premier type et une extension quadratique du deuxième type peuvent-elles être isomorphes au dessus de $k$ ? \end{enumerate} \finenonce{006555} \finexercice \exercice{6556, drutu, 2011/10/16} \enonce{006556}{} \begin{enumerate} \item Montrer qu'un corps fini n'est jamais algébriquement clos. \item Quelle est la cl\^oture algébrique du corps fini $\mathbb{F}_{p^n}$ ? \end{enumerate} \finenonce{006556} \finexercice \exercice{6557, drutu, 2011/10/16} \enonce{006557}{} Soit $K$ un corps et $\overline{K}$ une cl\^oture algébrique de $K$. Soient $a,b\in \overline{K}\setminus K$. Etablir l'équivalence des conditions : \begin{enumerate} \item il existe un automorphisme $\phi $ de $\overline{K}$ au dessus de $K$ tel que $\phi (a)=b$ ; \item $a$ et $b$ ont le même polyn\^ome minimal $f(X)\in K[X]$. \end{enumerate} \finenonce{006557} \finexercice \exercice{6558, drutu, 2011/10/16} \enonce{006558}{} Pour quels nombres premiers $p,\; q$ a-t-on $\Q (\sqrt{p}) \subset \Q (\sqrt[3]{q})$ ? \finenonce{006558} \finexercice \exercice{6559, drutu, 2011/10/16} \enonce{006559}{} Soient $K\subset L\subset M$ des extensions. On suppose $K\subset L $ et $L\subset M$ algébriques. Montrer que $K\subset M$ est algébrique. \finenonce{006559} \finexercice \exercice{6560, drutu, 2011/10/16} \enonce{006560}{} Donner les polyn\^omes minimaux sur $\Q $ des éléments suivants de $\C$ : $j\sqrt{2},\; \sqrt{2}+\sqrt[3]{7},\; i+j,\; i+\sqrt{2},\, j+\sqrt{3}$. \finenonce{006560} \finexercice \exercice{6561, drutu, 2011/10/16} \enonce{006561}{} Soit $P\in K[X]$ un polyn\^ome de degré $n$ et $E \supset K$ son corps de décomposition. Montrer que $[E:K]$ divise $n!$. \finenonce{006561} \finexercice \exercice{6562, drutu, 2011/10/16} \enonce{006562}{} \begin{enumerate} \item Soit $P\in K[X]$ un polyn\^ome irréductible de degré $n$ et $E \supset K$ une extension de degré $m$. Montrer que si $(m,n)=1$ alors $P$ est irréductible dans $E[X]$. \item Montrer que $X^3+X+1$ est irréductible sur $\Q [i]$. \end{enumerate} \finenonce{006562} \finexercice \exercice{6563, drutu, 2011/10/16} \enonce{006563}{} Soit $p,\; q\in \N^*$ deux nombres premiers distincts. Montrer que $\Q (\sqrt{p}+\sqrt{q})=\Q (\sqrt{p},\; \sqrt{q})$. Trouver le polyn\^ome minimal de $\sqrt{p}+\sqrt{q}$ sur $\Q$. Déterminer tous les plongements de $\Q (\sqrt{p}+\sqrt{q})$ dans $\C$. \finenonce{006563} \finexercice \exercice{6564, drutu, 2011/10/16} \enonce{006564}{} Soit $p\neq 2$ un nombre premier. Montrer que $-1$ est un carré modulo $p$ ssi $p$ est de la forme $4k+1$. \finenonce{006564} \finexercice \exercice{6565, drutu, 2011/10/16} \enonce{006565}{} \begin{enumerate} \item Est-ce que $2$ et $3$ sont des carrés modulo $7$ ? \item Est-ce que $23$ est un carré modulo 59 ? \end{enumerate} \finenonce{006565} \finexercice \exercice{6566, drutu, 2011/10/16} \enonce{006566}{} Soient $k,\; K$ deux corps finis, $k\subset K$, $[K:k]=m$. Montrer que pour tout $d$ diviseur de $m$ il existe un unique corps intermédiaire $k\subset L\subset K$ tel que $[K:L]=d$. \finenonce{006566} \finexercice \section{ 326.00 Extension d'anneau } \exercice{6567, drutu, 2011/10/16} \enonce{006567}{} Donner un exemple d'extension infinie et d'extension finie de $\C$. \finenonce{006567} \finexercice \exercice{6568, drutu, 2011/10/16} \enonce{006568}{} Soit $p>2$ un nombre premier et soit $\left( \frac{x}{p}\right)$ le symbole de Legendre pour $x\in \mathbb{F}^*_p$. Montrer qu'on a $\sum_{x\in \mathbb{F}^*_p}\left( \frac{x}{p}\right) =0$. \finenonce{006568} \finexercice \exercice{6569, drutu, 2011/10/16} \enonce{006569}{} Soit $p$ un nombre premier. \begin{enumerate} \item Soit $a$ une racine de $X^p-X-1\in \mathbb{F}_p[X]$, $a\in \overline{\mathbb{F} }_p$. Montrer que $a+k$ est aussi une racine de $X^p-X-1$, pour tout $k\in \mathbb{F}_p$. \item Montrer que $X^p-X-1$ est irréductible sur $\mathbb{F}_p$ et sur $\Z $. \end{enumerate} \finenonce{006569} \finexercice \exercice{6570, drutu, 2011/10/16} \enonce{006570}{} \begin{enumerate} \item Soit $K$ un corps et $P\in K[X]$ un polyn\^ome de degré $n$. Montrer que $P$ est irréductible sur $K$ ssi $P$ n'a pas de racines dans les extensions $E$ de $K$ de degré au plus $\frac{n}{2}$. \item Montrer que $X^4+X+1\in \mathbb{F}_2[X]$ est irréductible sur $\mathbb{F}_2$. \item Montrer que $X^4-4X^3+2X^2-13X+1\in \Z[X]$ est irréductible sur $\Z$. \item Montrer que $X^4+1$ est irréductible sur $\Z$ et sur $\Q$ et est réductible sur $\mathbb{F}_p$ pour tout nombre premier $p$. \end{enumerate} \finenonce{006570} \finexercice \exercice{6571, drutu, 2011/10/16} \enonce{006571}{} Soit $K\subset E$ une extension finie. \begin{enumerate} \item Montrer que la trace $Tr^E_K$ est une forme linéaire sur $E$ en tant que $K$-espace vectoriel. \item Calculer la norme $N^E_K(\alpha \beta )$ en fonction de $N^E_K(\alpha )$ et de $N^E_K(\beta )$. Calculer $N^E_K(a)$, où $a\in K$. \end{enumerate} \finenonce{006571} \finexercice \exercice{6572, drutu, 2011/10/16} \enonce{006572}{} \begin{enumerate} \item \'Ecrire une base de $\Q [i,\, \sqrt{2}]$ sur $\Q$. \item Dans cette base, écrire la matrice de l'application $m_\alpha^E$, où $\alpha =i+\sqrt{2}$. Déduire le polyn\^ome minimal de $\alpha $ dans $\Q[X]$ à partir de cette matrice. \item Retrouver le polyn\^ome minimal de $\alpha $ dans $\Q[X]$ par calcul direct. \end{enumerate} \finenonce{006572} \finexercice \exercice{6573, drutu, 2011/10/16} \enonce{006573}{} Soient $A$ un anneau intégralement clos, $K$ son corps de fractions et $P\in A[X]$ un polyn\^ome unitaire. Si $P$ est réductible dans $K[X]$, montrer qu'il est réductible dans $A[X]$. {\it Indication}: Considérer les racines de $P$ dans une extension de $K$. \finenonce{006573} \finexercice \exercice{6574, drutu, 2011/10/16} \enonce{006574}{} Donner un exemple d'anneau intègre qui n'est pas intégralement clos. \finenonce{006574} \finexercice \exercice{6575, drutu, 2011/10/16} \enonce{006575}{} Pour tout $n\geq 1$, on désigne par $f(n)$ le nombre de polyn\^omes unitaires irréductibles de degré $n$ sur $\mathbb{F}_q$. Montrer qu'on a $$ \sum_{d|n}df(d) = q^n\; . $$ En déduire les valeurs de $f(1),\; f(2),\; f(3),\; f(4)$ et $f(p)$ pour $p$ premier. \finenonce{006575} \finexercice \exercice{6576, drutu, 2011/10/16} \enonce{006576}{} Soient $R$ un anneau, $A$ un sous-anneau de $R$ et $x$ un élément inversible de $R$. Montrer que tout $y\in A[x]\cap A[x^{-1}]$ est entier sur $A$. {\it Indication}: On montrera qu'il existe un entier $n$ tel que le $A$-module $M=A+Ax+\cdots +Ax^n$ vérifie $yM\subset M$. \finenonce{006576} \finexercice \exercice{6577, drutu, 2011/10/16} \enonce{006577}{} Combien de solutions rationnelles ont les équations suivantes ? $$ a) \; x^2+2y^2=5\; ;\hspace{1cm} b)\; 19x^2-12xy+2y^2=4\; ;\hspace{1cm} c) \; x^2+y^2=3.$$ \finenonce{006577} \finexercice \exercice{6578, drutu, 2011/10/16} \enonce{006578}{} \'Eliminer $x$ du système d'équations $$ \left\{ \begin{array}{c} x^3-xy-y^3+y=0\\ x^2+x-y^2=1 \end{array}\right. $$ \finenonce{006578} \finexercice \exercice{6579, drutu, 2011/10/16} \enonce{006579}{} Démontrer les formules $$ R(fg,h)=R(f,h)R(g,h),\; \; D(fg)=D(f)D(g)(R(f,g))^2\; . $$ \finenonce{006579} \finexercice \section{ 327.00 Autre } \section{ 328.00 Forme bilinéaire } \exercice{7715, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007715}{} Montrer que toute forme quadratique non-dégénérée d'indice $1$ en dimension $3$ est à un scalaire près, équivalente à la forme de Lorentz $x^2+y^2-y^2$. \finenonce{007715} \finexercice \exercice{7716, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007716}{} Donner l'exemple de deux formes bilinéaires avec même rang, même indice et même discriminant mais non-équivalentes. \finenonce{007716} \finexercice \exercice{7717, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007717}{} Soit $P$ un plan muni d'une forme quadratique. Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes. \begin{itemize} \item $P$ est un plan hyperbolique. \item $q$ est non-dégénérée d'indice $1$. \item le discriminant de $q$ est égal à $-1$, modulo un carré (et donc dans une base orthonormée, l'expression de $q$ est $q(x)=ax_1^2+bx_2^2$, avec des scalaires $a$ et $b$ tels que $-ab$ est un carré). \end{itemize} \finenonce{007717} \finexercice \exercice{7726, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007726}{} \begin{enumerate} \item Montrer que deux formes quadratiques équivalentes sur un espace $E$ prennent les mêmes valeurs dans $k$. \item Soit $(E,f)$ un espace muni d'une forme bilinéaire symétrique non dégénérée de forme quadratique associée $q$. Montrer que si $f$ admet un vecteur non nul isotrope, la forme $q$ prend toutes les valeurs de $k$. \item Montrer que $E$ se décompose comme somme directe orthogonale de plans hyperboliques et d'un sous-espace sur lequel la forme quadratique n'a pas de vecteur isotrope non nul. \item Montrer que le nombre de plans hyperboliques dans une telle décomposition est indépendant de la décomposition. Le décrire à l'aide d'un invariant défini en cours. \end{enumerate} \finenonce{007726} \finexercice \exercice{7727, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007727}{Formes $\sigma$-sesquilinéaires sur $\mathbb{F}_{25}$} \begin{enumerate} \item On considère l'application $\sigma~:~\mathbb{F}_{25}\to \mathbb{F}_{25}, \lambda\mapsto\lambda^5$. Montrer que c'est un automorphisme involutif du corps $\mathbb{F}_{25}$. \item Les formes suivantes sur $E:=\mathbb{F}_{25}^3$ sont-elles $\sigma$-sesquilinéaires ? \begin{eqnarray*} f_1( \left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right), \left(\begin{array}{c}x'\\ y'\\ z'\end{array}\right) ) &=&x(x')^5+3z(y')^5+3y(z')^5.\\ f_2( \left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right), \left(\begin{array}{c}x'\\ y'\\ z'\end{array}\right) ) &=&x^5(x')^5+x^5(y')^5+y^5(x')^5.\\ f_3( \left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right), \left(\begin{array}{c}x'\\ y'\\ z'\end{array}\right) ) &=&3x(x')^5+z(y')^5+y(z')^5. \end{eqnarray*} \item Parmi les formes $\sigma$-sesquilinéaires précédentes, lesquelles sont équivalentes ? \end{enumerate} \finenonce{007727} \finexercice \exercice{7728, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007728}{Action symplectique sur les droites et les plans} \begin{enumerate} \item Soit $E$ un espace muni d'une forme alternée non-dégénérée $f$. Soit $G$ le groupe (dit symplectique) des isométries de $(E,f)$. Combien y a-t-il d'orbites dans l'action du groupe $G$ sur l'ensemble $P(E)$ des droites de $E$ ? \item Soit $E$ un espace muni d'une forme alternée non-dégénérée $f$. Quelles sont les restrictions possibles à équivalence près de $f$ sur les plans de $E$ ? \item Combien y a-t-il d'orbites dans l'action du groupe symplectique d'un espace vectoriel $E$ de dimension~$6$ muni d'une forme alternée non-dégénérée sur l'ensemble des plans de $E$ ? \end{enumerate} \finenonce{007728} \finexercice \exercice{7732, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007732}{Signature d'une restriction} Soit $E$ un espace vectoriel réel de dimension $n$ muni d'une forme bilinéaire symétrique $f$ de signature $(p,q)$. Soit $V$ un sous-espace vectoriel de $E$ de dimension $r$. Montrer la signature $(p',q')$ de $f$ restreinte à $V$ vérifie $p'\leq p$ et $p'\geq p+r-n$. \finenonce{007732} \finexercice \exercice{7734, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007734}{} \item Soit $E$ un espace muni d'une forme sesquilinéaire non dégénérée réflexive. Soit $V$ un sous-espace de $E$. Supposons que le radical $\text{rad}(V)=V\cap V^\perp$ de $V$ est de dimension $2$, $\text{rad}(V)=\vec (N_1,N_2)$. Soit $W$ un supplémentaire de $\text{rad}(V)$ dans $V$. Calculer en détails le radical de $V'=\vec (N_1)\oplus W$. \finenonce{007734} \finexercice \exercice{7735, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007735}{} \begin{enumerate} \item Soit $E$ un espace muni d'une forme sesquilinéaire non dégénérée réflexive. Soit $V$ un sous-espace de $E$. Supposons que le radical $\text{rad}(V)=V\cap V^\perp$ de $V$ est de dimension $2$, $\text{rad}(V)=\vec (N_1,N_2)$. Soit $W$ un supplémentaire de $\text{rad}(V)$ dans $V$. Calculer en détails le radical de $V'=\vec (N_1)\oplus W$. \item Soit $E$ un espace muni d'une forme alternée non-dégénérée $f$. Soit $G$ le groupe (dit symplectique) des isométries de $(E,f)$. Combien y a-t-il d'orbites dans l'action du groupe $G$ sur l'ensemble $P(E)$ des droites de $E$ ? \item Soit $E$ un espace muni d'une forme alternée non-dégénérée $f$. Quelles sont les restrictions possibles à équivalence près de $f$ sur les plans de $E$ ? \item Combien y a-t-il d'orbites dans l'action du groupe symplectique d'un espace vectoriel $E$ de dimension $6$ muni d'une forme alternée non-dégénérée sur l'ensemble des plans de $E$ ? \end{enumerate} \finenonce{007735} \finexercice \exercice{7788, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007788}{Formes très dégénérées} Déterminer toutes les formes sesquilinéaires symétriques, anti-symétriques et hermitiennes $f$ sur un espace $E$ avec $dim E=dim Ker f+1$. \finenonce{007788} \finexercice \exercice{7789, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007789}{Isotropes} \begin{enumerate} \item Montrer que si un sous-espace d'un espace non-singulier $(E,f)$ est totalement isotrope, il est de dimension inférieure à $\dim E/2$. \item Déterminer des vecteurs isotropes et un sous-espace totalement isotrope maximal pour les formes non dégénérées suivantes (données par leur forme quadratique). Dans chaque cas, on donnera l'indice, c'est à dire la dimension des sous-espaces totalement isotropes maximaux. \begin{enumerate} \item $k=\Rr$ : $q=x^2+y^2, x^2-y^2, x^2+y^2-z^2, x^2+y^2+z^2-t^2, x^2+y^2-z^2-t^2$. \item $k=\Cc$ : $q= x^2+y^2, x^2+y^2+z^2$. \end{enumerate} \end{enumerate} \finenonce{007789} \finexercice \exercice{7790, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007790}{} \begin{enumerate} \item Déterminer si possible un plan totalement isotrope pour chacune des formes bilinéaires symétriques données par les formes quadratiques suivantes sur $\mathbb{C}^4$. $$P(x,y,z,t)=xy+zt \textrm{ et } Q(x,y,z)=x^2+y^2+z^2+t^2.$$ \item L'entier $-3$ est-il un carré modulo 7 ? \item Déterminer si possible un vecteur non-nul isotrope pour chacune des formes bilinéaires symétriques données par les formes quadratiques suivantes sur $\mathbb{F}_7^4$. $$R(x,y,z,t)=xy+zt\textrm{ et } S(x,y,z)=x^2+y^2+z^2+t^2.$$ \end{enumerate} \finenonce{007790} \finexercice \exercice{7791, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007791}{} Donner l'exemple de deux formes bilinéaires avec même rang, même indice et même discriminant mais non-équivalentes. \finenonce{007791} \finexercice \exercice{7792, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007792}{} Les formes bilinéaires symétriques données par les formes quadratiques suivantes sur $\mathbb{F}_7^3$ sont-elles équivalentes ? $$q(x,y,z)=x^2+6y^2+2z^2 \textrm{ et } Q(x,y,z)=xy+3z^2.$$ \finenonce{007792} \finexercice \exercice{7793, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007793}{} \begin{enumerate} \item Quels sont les sous-espace propres de la matrice $J$ de taille $n\times n$ dont tous les coefficients sont égaux à $1$ ? \item Diagonaliser dans une base orthonormée pour le produit scalaire standard, la forme bilinéaire symétrique sur $\Rr^n$. Discuter son rang et sa signature. $$f(x,y)=\sum_{{1\leq i,j\leq n\atop i\not = j}}x_iy_j+x_jy_i.$$ \end{enumerate} \finenonce{007793} \finexercice \exercice{7794, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007794}{En caractéristique 2} Soit $g$ la forme bilinéaire symétrique sur $(\Zz/2\Zz)^3$ dont la matrice dans la base canonique est $\left( \begin{array}{ccc} 1&0&0\\ 0&0&1\\0&1&0 \end{array} \right)$. Montrer que $g$ est non dégénérée. Peut-on compléter $e_1$ en une base orthogonale ? \finenonce{007794} \finexercice \exercice{7795, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007795}{Espace de matrices} Soit $E:=M_n(\Rr)$. Déterminer la signature des formes quadratiques \begin{enumerate} \item $q_1 (A)=\operatorname{Tr}(A ^2)$. On cherchera des «grands» sous-espaces où $q_1$ est définie positive ou définie négative. \item $q_2 (A)=\operatorname{Tr}(A ^2)-(\operatorname{Tr}A)^2$. \end{enumerate} \finenonce{007795} \finexercice \exercice{7796, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007796}{} Soit $(E, q(xe_1+ye_2)=2xy)$ un plan hyperbolique orienté. Peut-on prolonger l'application $u$ définie sur $vect (e_1)$ par $u(e_1)=e_2$ en une isométrie de $E$ ? En une isométrie directe de $E$ ? \finenonce{007796} \finexercice \exercice{7797, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007797}{} Démontrer le théorème de Witt dans le cas particulier suivant : Soit $E$ et $E'$ deux espaces symplectiques non-singuliers de dimension $4$. Soit $d\subset E$ et $d'\subset E'$ deux droites et $f$ une application linéaire bijective de $d$ sur $d'$. Montrer qu'il existe une isométrie de $E$ sur $E'$ qui prolonge $f$. \finenonce{007797} \finexercice \exercice{7798, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007798}{Action des groupes orthogonaux} Soit $E=\Rr^2$ muni de la forme quadratique $q(x_1,x_2)=x_1^2-x_2^2$ non dégénérée de signature $(1,1)$. Le groupe $O(1,1)$ est par définition le groupe des isométries de $(E,q)$. \begin{enumerate} \item Le groupe $O(1,1)$ agit-il transitivement sur les droites de $\Rr^2$ ? \item Soit $q$ une forme quadratique réelle non dégénérée. Montrer que si $q$ a la même signature en restriction à $F$ et à $F'$ alors $F$ et $F'$ sont dans la même orbite sous l'action de $O(q)$. \item Décrire les orbites de l'action de $O(2,1)$ sur les droites de $\Rr^3$. \end{enumerate} \finenonce{007798} \finexercice \exercice{7810, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007810}{} Diagonaliser dans une base orthonormée pour le produit scalaire standard, la forme bilinéaire symétrique sur $\R^n$ $$f(x,y)=\sum_{{1\leq i,j\leq n\atop i\not = j}}x_iy_j+x_jy_i.$$ Discuter son rang et sa signature. \finenonce{007810} \finexercice \exercice{7811, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007811}{} On considère dans $\C ^4$ la matrice $$A=\left[ \begin{array}{cccc} 1-i&2&1&3\\ 2&-i&-1&0\\ 1&-1&1-i&-1\\ 3&0&-1&-i \end{array}\right] $$ Montrer sans calcul que $A$ est inversible ? \finenonce{007811} \finexercice \exercice{7812, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007812}{Décomposition polaire d'un endomorphisme} Soit $H$ un espace hermitien et $a$ un endomorphisme de $H$. \begin{enumerate} \item Montrer que $b=a a ^*$ est un endomorphisme auto-adjoint positif. \item Montrer en utilisant une diagonalisation qu'il existe un unique endomorphisme auto-adjoint positif $c$ de $H$ tel que $c^2=b$. \item On suppose désormais que $a$ est inversible. Montrer que $a$ s'écrit de fa{\c c}on unique sous la forme $a=hu$ o{ù} $h$ est un endomorphisme auto-adjoint positif et $u$ un endomorphisme unitaire. \item Déterminer $h$ et $u$ pour l'endomorphisme $a$ dont la matrice dans la base canonique de $\Cc^2$ est $$\left[ \begin{array}{cc} 1&i\\ i&1 \end{array} \right]$$ \end{enumerate} \finenonce{007812} \finexercice \exercice{7813, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007813}{Isotropes} Déterminer l'ensemble des vecteurs isotropes et les sous-espaces totalement isotropes maximaux pour les formes non dégénérées suivantes. Dans chaque cas, on donnera l'indice, c'est à dire la dimension des sous-espaces totalement isotropes maximaux. \begin{enumerate} \item $k=\Rr$ : $q=x^2+y^2, x^2-y^2, x^2+y^2-z^2, x^2+y^2+z^2-t^2, x^2+y^2-z^2-t^2$. \item $k=\Cc$ : $q= x^2+y^2, x^2+y^2+z^2$. \end{enumerate} \finenonce{007813} \finexercice \exercice{7814, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007814}{Formes très dégénérées} Déterminer toutes les formes sesquilinéaires réflexives $f$ sur un espace $E$ avec $dim E=dim Kerf +1$. \finenonce{007814} \finexercice \exercice{7815, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007815}{En caractéristique 2} Soit $g$ la forme bilinéaire symétrique sur $(\Zz/2\Zz)^3$ dont la matrice dans la base canonique $(e_1, e_2, e_3)$ est $$\left( \begin{array}{ccc} 1&0&0\\ 0&0&1\\0&1&0 \end{array} \right)$$ Montrer que $g$ est non dégénérée. Peut-on compléter $e_1$ en une base orthogonale ? \finenonce{007815} \finexercice \exercice{7816, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007816}{Involutions} Soit $f$ une forme bilinéaire symétrique non dégénérée sur un espace vectoriel $E$. \begin{enumerate} \item Soit $u\in GL(E)$ une involution. Montrer que $u$ est orthogonale si et seulement si $E_+(u)=E_+:=Ker (u-Id)$ et $E_-:=Ker(u+Id)$ sont orthogonaux. Montrer alors que $(E_+)^\perp = E_-$ et que $E_+$ n'est pas isotrope. \item Soit $F\subset E$ un sous-espace non isotrope. Montrer qu'il existe une unique involution orthogonale telle que $E_+(u)=F$. \item Montrer que $O(f)\equiv SO(f)\rtimes \{-1,1\}$. \end{enumerate} \finenonce{007816} \finexercice \exercice{7817, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007817}{Dilatations} Soit $f$ une forme sesquilinéaire non dégénérée. Déterminer les dilatations \begin{enumerate} \item orthogonales. \item unitaires. \item symplectiques. \end{enumerate} \finenonce{007817} \finexercice \exercice{7818, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007818}{} Soit $k$ un corps de caractéristique différente de $2$. Soit $E$ un $k$-espace vectoriel de dimension $n\geq 2$ et $\phi$ une forme sesquilinéaire non dégénérée sur $E$ symétrique, hermitienne ou alternée. Soit $\tau$ une transformation de $E$ donnée à l'aide d'une forme linéaire non nulle $f$ sur $E$ et un vecteur $a$ de $Ker f$ par $\forall x\in E, \tau (x)=x+f(x)a$. \begin{enumerate} \item Déterminer la nature de $\tau$. \item On suppose désormais que $\tau$ est une isométrie relativement à $\phi$. Montrer que $a$ est isotrope. \item Montrer que $f$ et $\phi (\cdot , a)$ sont proportionnelles. On notera $\lambda\in k^\star$ tel que $f=\lambda\phi (\cdot , a)$. \item Montrer que si $\sigma\not =Id$ et $\phi$ est hermitienne ou symétrique, alors $\lambda +\sigma (\lambda)=0$. \item Montrer qu'il n'existe pas de transvections orthogonales, qu'il existe des transvections unitaires si et seulement si l'indice est plus grand que $1$ et qu'il existe toujours des transvections symplectiques. \end{enumerate} \finenonce{007818} \finexercice \exercice{7819, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007819}{Espace de matrices} Soit $E:=M_n(\Rr)$. Déterminer la signature des formes quadratiques \begin{enumerate} \item $q_1 (A)=trace(A ^2)$. \item $q_2 (A)=trace(A ^2)-(trace A)^2$. \end{enumerate} \finenonce{007819} \finexercice \exercice{7820, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007820}{Produit de formes linéaires} \begin{enumerate} \item Montrer que le polyn{ô}me quadratique à coefficients complexes avec $a\not =0$ $$ax^2+a'y^2+a''z^2+2byz+2b'zx+2b''xy$$ est le produit de deux polyn{ô}mes linéaires si et seulement si $$aa'-{b''}^2=aa''-{b'}^2=ab-b'b''=0.$$ \item L'analogue à coefficients réels est-il vrai ? \end{enumerate} \finenonce{007820} \finexercice \exercice{7821, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007821}{Espace d'Artin} On appelle espace d'Artin (ou espace hyperbolique) tout espace vectoriel $E$ muni d'une forme quadratique $q$ équivalente à $$x=(x_i)_{1\leq i\leq 2p}\ \ \ \ \ \ \ q(x)=2\sum_{i=1}^p x_ix_{i+p}.$$ \begin{enumerate} \item Montrer que sur $\Cc^{2p}$, toute forme quadratique non dégénérée définit un espace d'Artin. Caractériser à l'aide de la signature les espaces d'Artin sur $\Rr^{2p}$. Les caractériser à l'aide de l'indice en supposant la forme non dégénérée. \item Montrer que tout espace d'Artin est somme directe orthogonale de plans d'Artin orthogonaux. \item Soit $(E,q)$ quelconque, $x$ un vecteur isotrope mais pas dans le noyau de $q$. Montrer qu'il existe un plan $P$ qui contient $x$ et tel que $(P,q_{|P})$ soit un plan d'Artin. \end{enumerate} \finenonce{007821} \finexercice \exercice{7822, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007822}{Complété non singulier} Soit $(E,q)$ un espace vectoriel muni d'une forme quadratique non dégénérée $q$. Un sous-espace vectoriel $F$ de $E$ est dit isotrope (ou singulier) si $F^\perp\cap F\not= \{0\}$. Vérifier que si $F$ et $G$ sont deux sous-espaces orthogonaux avec $G$ non isotropes alors la somme $F+G$ est directe. Soit $F$ un sous espace singulier de $E$. On note $s$ la dimension de $F^\perp\cap F$, $G$ un supplémentaire de $F^\perp\cap F$ dans $F$ et $(x_i)_{1\leq i\leq s}$ une base de $F^\perp\cap F$. \begin{enumerate} \item Montrer que $G$ n'est pas isotrope. \item Montrer que $G^\perp$ contient strictement $F^\perp$. \item On suppose que $s=1$. Montrer qu'il existe un plan d'Artin $P_1$ contenant $x_1$ et tel que $G\oplus ^\perp P_1$ soit non singulier. \item Montrer qu'il existe des plans d'Artin $(P_i,q_{|P_i})$ contenant $x_i$ et tels que $\widehat{F}:=G\oplus^\perp P_1\oplus^\perp P_2\cdots \oplus^\perp P_s$ soit non singulier. (On pourra considérer $G':=G\oplus^\perp Vect(x_1,x_2,\cdots ,x_{s-1}$) \item Soit $F$ un sous espace singulier de $E$. Montrer que si $H$ est un sous espace non singulier qui contient $F$ alors $\dim H\geq \dim F+\dim F^\perp\cap F$. \item Montrer que tout espace quadratique non dégénéré qui contient un sous-espace totalement isotrope de dimension moitié est un espace d'Artin. \item Montrer que toute isométrie $u~:F\to F'$ se prolonge en une isométrie $\widehat{u}~:\widehat{F}\to \widehat{F'}$ pour un bon choix de base de $F^\perp\cap F$ et ${F'}^\perp\cap F'$ \end{enumerate} \finenonce{007822} \finexercice \exercice{7823, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007823}{} Soit $(E, q(xe_1+ye_2)=2xy)$ un plan d'Artin. Peut-on prolonger l'application $u$ définie sur $vect (e_1)$ par $u(e_1)=e_2$ en une isométrie de $E$ ? En une isométrie directe de $E$ ? \finenonce{007823} \finexercice \exercice{7824, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007824}{Le théorème de Witt} Soit $(E,q)$ un espace vectoriel muni d'une forme quadratique $q$ non dégénérée. \begin{enumerate} \item Montrer que si $q(x)=q(y)\not=0$ alors l'un des deux vecteurs $x+y$ et $x-y$ est non isotrope. \item Montrer que si $F$ est non singulier de dimension au moins $2$, on peut écrire $F=F_1\oplus^\perp F_2$ avec $F_i$ non singulier de dimension $\dim F_i<\dim F$. \item Soit $F=F_1\oplus^\perp F_2$ ($F_i$ non singulier) et soit $u~:F\to F'$ une isométrie. Soit $v~: E\to E$ une isométrie qui coïncide avec $u$ sur $F_1$.. Soit $F'_1=u(F_1)$. Montrer que ${F'_1}^\perp $ contient $u(F_2)$ et $v(F_2)$ et que $u\circ v^{-1}~: v(F_2)\to u(F_2)$ est une isométrie. \item Démontrer le théorème de Witt Soit $F$ et $F'$ deux sous espaces de $(E,q)$ ($q$ non dégénérée) et $u~: (F,q_{|F})\to (F',q_{|F'})$ une isométrie. Montrer qu'il existe une isométrie de $E$ qui prolonge $u$. \end{enumerate} \finenonce{007824} \finexercice \exercice{7825, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007825}{Action des groupes orthogonaux} \begin{enumerate} \item Le groupe $O(1,1)$ agit-il transitivement sur les droites de $\Rr^2$ ? \item Soit $q$ une forme quadratique réelle non dégénérée. Montrer que si $q$ a la même signature en restriction à $F$ et à $F'$ alors $F$ et $F'$ sont dans la même orbite sous l'action de $O(q)$. \item Décrire les orbites de l'action de $O(2,1)$ sur les droites de $\Rr^3$. \end{enumerate} \finenonce{007825} \finexercice \exercice{7826, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007826}{Etude du groupe orthogonal $O(1,1)$} \begin{enumerate} \item Montrer que dans un plan d'Artin il y a exactement deux droites isotropes $I$ et $J$. \item Soit $u\in O(1,1)$. Montrer que $u$ envoie $I\cup J$ sur lui-même. \item Soit $u\in O(1,1)$. Montrer que $u$ est directe si et seulement si $u$ laisse fixes chaque droite isotrope. \item En déduire la forme des éléments de $O(1,1)$. \end{enumerate} \finenonce{007826} \finexercice \exercice{7827, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007827}{Sur les similitudes} Soit $f$ une forme sesquilinéaire non dégénérée symétrique (resp. hermitienne, alternée) sur un $K$-espace vectoriel $E$. On note $GO(f)$ (resp. $GU(f)$, $GSp(f)$) le groupe des similitudes de $f$. On note $\mu$ l'application qui à une similitude associe son multiplicateur dans $K^\star$. \begin{enumerate} \item Déterminer les similitudes de la forme symplectique standard sur $K^2$. \item Montrer que $u$ est une similitude si et seulement si elle conserve l'orthogonalité. \item On suppose $f$ symétrique. Montrer que $Im (\mu)=\{\lambda\in K^\star / q\equiv \lambda q\}\supset (K^\star)^2$. \end{enumerate} \finenonce{007827} \finexercice \exercice{7828, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007828}{} Déterminer l'orbite et le stabilisateur d'un vecteur de norme 1 sous l'action du groupe orthogonal du produit scalaire standard dans $\Rr^n$. Montrer que groupe $O(n-1)$ est isomorphe à un sous-groupe $O_{n-1}$ de $O(n)$. Ce sous-groupe est-il distingué ? \finenonce{007828} \finexercice \exercice{7829, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007829}{} \begin{enumerate} \item Montrer que l'application $$\begin{array}{cccc}h : &\Rr^3&\to& H_0\\ &(x_1,x_2, x_3)&\mapsto&\left( \begin{array}{cc} x_3&x_1+ix_2\\x_1-ix_2&-x_3 \end{array}\right)\end{array}$$ est un isomrphisme entre $\Rr^3$ et le $\Rr$-espace vectoriel $H_0$ des matrices hermitiennes de trace nulle. \item Montrer que le groupe $SU(2)$ agit sur $H_0$ par conjuguaison. \item Par l'isomorphisme $h$, cette action permet de définir une action de $SU(2)$sur $\Rr^3$. Montrer que cette action est par isométrie de déterminant $1$. (On pourra utiliser la connexité de $SU(2)$ homéomorphe à $S^3$ sphère unité du corps des quaternions.). En déduire un homomorphisme $\phi$ de $SU(2)$ dans $SO(3)$. \item Montrer que les seules matrices de $SU(2)$ qui commutent à tous les éléments de $H_0$ sont $Id$ et $-Id$. En déduire le noyau de $\phi$. \item En utilisant les formes réduites des matrices de $SO(3)$, montrer que l'application exponentielle de l'espace $so(3)$ des matrices anti-symétriques réelles $3\times 3$ (de trace nulle) sur $SO(3)$ est surjective. \item En utilisant la diagonalisation des matrices unitaires dans une base orthonormée pour le produit scalaire hermitien standard sur $\Cc^2$, montrer que l'application exponentielle de l'espace $su(2)$ des matrices anti-hermitiennes de trace nulle sur $SU(2)$ est surjective. \item Déterminer l'image par $\phi$ des matrices ( avec $a,b,c\in\Rr$) $$\exp \left( \begin{array}{cc} ia&0\\ 0&-ia \end{array}\right) \ ;\ \exp \left( \begin{array}{cc} 0&b\\ -b&0 \end{array}\right) \ ;\ \exp \left( \begin{array}{cc} 0&ic\\ ic&0 \end{array}\right)$$ En déduire que $\phi$ est surjective. \end{enumerate} \finenonce{007829} \finexercice \exercice{7830, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007830}{} Soit $d_1, d_2, d_3$ trois droites de $P^3(K)$. Montrer qu'il existe une quadrique qui les contient. \finenonce{007830} \finexercice \exercice{7831, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007831}{Polarité} Soit $\mathcal{Q}$ une quadrique de $P(E)$ (muni d'un repère projectif) d'équation $q(x)=0$ o{ù} $q$ est la forme quadratique d'une forme bilinéaire symétrique non dégénérée $f$ sur un espace vectoriel $E$. Si $\vec{A}$ et $\vec{B}$ sont deux sous-espaces orthogonaux dans $E$, on note $P(\vec{A})\perp P(\vec{B})$. On appelle hyperplan polaire d'un point $A=P(\vec{A})$ de $P(E)$ l'hyperplan projectif $A^\perp:=P(\vec{A}^\perp)$. \begin{enumerate} \item On munit de plan projectif d'un repère. Déterminer une équation de la droite polaire du point $M(x_0,y_0,1)$ par rapport à la quadrique d'équation $x^2+y^2-z^2=0$. La représenter dans l'espace affine d'équation $z\not=0$. \item Soit $F$ un sous-espace non-isotrope de $E$. Soit $A$ et $B$ deux points de $P(F)$. Montrer si $A\perp B$ pour $f$ alors $A\perp B$ pour $f_{|F}$. \item Soit $\mathcal{Q}$ une quadrique de $P^1(K)$ dont l'image est composée des deux points $A$ et $B$. Montrer en utilisant un bon repère que pour tout $M$ in $P^1(K)$, $$M\perp N\iff M \textrm{ et } N \textrm{ sont conjugués harmoniques par rapport à } M \textrm{ et } N.$$ \item En déduire une construction géométrique de la polaire d'un point par rapport à une conique. \end{enumerate} \finenonce{007831} \finexercice \exercice{7832, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007832}{Classification euclidienne des quadriques} On considère dans l'espace euclidien $E$ de dimension $3$ une quadrique $\mathcal{Q}$ d'équation $q(x,y,z)=0$ o{ù} $q$ est un polyn{ô}me de degré 2. On note $h$ sa partie homogène de degré $2$. C'est une forme quadratique sur $\vec{E}$. On l'appelle forme quadratique à l'infini. On note $Q$ l'homogénéisée de $q$. C'est une forme quadratique sur $\widehat{E}$ qui définit la complétion projective de $\mathcal{Q}$. \begin{enumerate} \item Montrer que chaque argument de la signature de $Q$ est plus grand que l'argument correspondant de la signature de $h$. \item On suppose que la signature de $h$ est $(3,0)$ ou $(0,3)$. Déterminer, suivant la signature de $Q$ une forme réduite (dans un bon repère) pour $q$ et représenter dans chaque cas la quadrique $\mathcal{Q}$. \item Indiquer le résultat pour les autres signatures. \item Affecter aux différents cas les noms suivants : plan double réel, couple de plans imaginaires conjugués parallèles distincts, couple de plans réels parallèles distincts, cylindre à base parabolique, cylindre à base hyperbolique, cylindre à base elliptique, cylindre imaginaire, c{ô}ne imaginaire de sommet réel, c{ô}ne de base une conique propre réelle, ellipsoïde imaginaire, ellipsoïde réel, paraboloïde hyperbolique, paraboloïde elliptique, hyperboloïde à une nappe, hyperboloïde à deux nappes. \end{enumerate} \finenonce{007832} \finexercice \exercice{7833, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007833}{Isométries} \begin{enumerate} \item Soit $(V,f)$ un espace vectoriel muni d'une forme bilinéaire symétrique non dégénérée. Montrer que toute application $f~:V\to V$ qui conserve $f$ est une bijection linéaire. \item Soit $(E,d)$ un espace affine euclidien. Montrer que toute application $f~:E\to E$ qui conserve la distance est une bijection affine dont la partie linéaire est orthogonale. \end{enumerate} \finenonce{007833} \finexercice \exercice{7834, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007834}{Droite et conique plane} \begin{enumerate} \item Soit $(A,B,C;D)$ un repère projectif du plan projectif $P^2$. {\'E}crire en coordonnées homogènes la projection $p$ de centre $A$ sur la droite $(BC)$. \item Soit $\mathcal{Q}$ une quadrique projective non singulière de $P^2$ qui passe par le point $A$. Montrer que la projection $p$ se prolonge en une bijection entre $\mathcal{Q}$ et la droite $(BC)$. \end{enumerate} \finenonce{007834} \finexercice \exercice{7835, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007835}{Système de droites dans une quadrique} Soit l'espace $P^3$ muni d'un système de coordonnées homogènes et $\mathcal{Q}$ la quadrique projective d'équation $X_0^2+X_1^2-X_2^2-X_3^2=0$. \begin{enumerate} \item Déterminer un système de coordonnées homogènes dans lequel $\mathcal{Q}$ a pour équation $Y_0Y_3-Y_1Y_2=0$. \item Montrer alors que l'application $v~:\left((a:b),(c:d)\right)\to (ac:ad:bc:bd)$ réalise une bijection de $P^1\times P^1$ sur $\mathcal{Q}$. \end{enumerate} \finenonce{007835} \finexercice \exercice{7836, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007836}{Avec un théorème connu} Résoudre dans $\Zz^3$ l'équation $a^2+b^2=c^2$. \finenonce{007836} \finexercice \exercice{7837, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007837}{} On considère la forme symplectique sur $\Rr^{2n}$ donnée par $$f\left(\left({x\atop y}\right),\left({x'\atop y'}\right)\right) =x^t\ y'-y^t\ x'$$ o{ù} $x,y,x',y'$ sont dans $\Rr^n$. \begin{enumerate} \item En décomposant par bloc $n\times n$ une matrique quelconque $g$ de $M_{2n}(\Rr)$ sous la forme $\left({AB\atop CD}\right)$, caractériser les matrices symplectiques en termes de systèmes d'équation pour $A,B,C,D$. \item Déterminer toutes les matrices symplectiques vérifiant de plus $B=C=0$. \item Déterminer toutes les matrices symplectiques vérifiant $A=D=I_n$ et $C=0$. \item Déterminer toutes les matrices symplectiques vérifiant $C=0$. \item Déterminer toutes les matrices $Q$ de $M_{n}(\Rr)$ telles que l'espace $W_Q:=\left\{ \left({Qy\atop y}\right)/ y\in \Rr^n\right\}$ soit totalement isotrope. Quel est le lien avec les questions précédentes ? \end{enumerate} \finenonce{007837} \finexercice \exercice{7838, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007838}{} Soit $n$ un entier supérieur à $3$. Le groupe $D_{2n}$ des isométries d'un polygone régulier à $n$ côtés d'un plan euclidien réel est-il résoluble ? \finenonce{007838} \finexercice \exercice{7839, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007839}{} Les formes bilinéaires symétriques données par les formes quadratiques suivantes sur $\mathbb{F}_7^3$ sont-elles équivalentes ? $$q(x,y,z)=x^2+6y^2+2z^2$$ et $$Q(x,y,z)=xy+3z^2.$$ \finenonce{007839} \finexercice \exercice{7840, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007840}{} Démontrer le théorème de Witt dans le cas particulier suivant : Soit $E$ et $E'$ deux espaces symplectiques non-singuliers de dimension $4$. Soit $d\subset E$ et $d'\subset E'$ deux droites et $f$ une application linéaire bijective de $d$ sur $d'$. Montrer qu'il existe une isométrie de $E$ sur $E'$ qui prolonge $f$. \finenonce{007840} \finexercice \exercice{7841, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007841}{} \begin{enumerate} \item Donner la liste des éléments du groupe $D$ des isométries qui conservent un hexagone régulier. \item Donner un $3$-Sylow de ce groupe. \item Quels sont les ordres possibles d'éléments d'un $2$-Sylow de $D$ ? \item Expliciter un $2$-Sylow de $D$. \item Est-il distingué dans $D$ ? \item Combien $D$ a-t-il de $2$-Sylow ? \end{enumerate} \finenonce{007841} \finexercice \exercice{7842, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007842}{} \begin{enumerate} \item Combien le groupe $\mathcal{A}_5$ a-t-il d'éléments d'ordre $3$ ? \item Montrer que les déplacements qui conservent un nombre fini $A_1,A_2,\ldots, A_n$ de points du plan euclidien sont des rotations d'ordre fini dont on précisera le centre. \item Le groupe $\mathcal{A}_5$ peut-il être le groupe des déplacements qui conservent un nombre fini de points du plan euclidien ? \item Le groupe $\mathcal{A}_5$ peut-il être le groupe des isométries qui conservent un nombre fini de points du plan euclidien ? (Indication : Quel serait alors le sous-groupe des déplacements ?) \end{enumerate} \finenonce{007842} \finexercice \exercice{7843, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007843}{} \begin{enumerate} \item Déterminer si possible un plan totalement isotrope pour chacune des formes bilinéaires symétriques données par les formes quadratiques suivantes sur $\mathbb{C}^4$. $$P(x,y,z,t)=xy+zt$$ et $$Q(x,y,z)=x^2+y^2+z^2+t^2.$$ \item L'entier $-3$ est-il un carré modulo 7 ? \item Déterminer si possible un vecteur non-nul isotrope pour chacune des formes bilinéaires symétriques données par les formes quadratiques suivantes sur $\mathbb{F}_7^4$. $$R(x,y,z,t)=xy+zt$$ et $$S(x,y,z)=x^2+y^2+z^2+t^2.$$ \end{enumerate} \finenonce{007843} \finexercice \exercice{7888, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007888}{Décomposition polaire d'un endomorphisme} Soit $H$ un espace hermitien et $a$ un endomorphisme inversible de $H$. Montrer que $a$ s'écrit de fa{\c c}on unique sous la forme $a=hu$ o{ù} $h$ est un endomorphisme auto-adjoint positif et $u$ unitaire. Déterminer $h$ et $u$ pour l'endomorphisme $a$ dont la matrice dans la base canonique de $\Cc^2$ est $\left[ \begin{array}{cc} 1&i\\ i&1 \end{array} \right]$. \finenonce{007888} \finexercice \exercice{7889, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007889}{Forme alternée} Une forme bilinéaire $f$ sur un $k$-espace vectoriel $E$ est dite alternée, si tout vecteur de $E$ est isotrope. Soit $(E,f)$ un $k$-espace vectoriel de dimension finie muni d'une forme bilinéaire alternée. \begin{enumerate} \item Soit $(V,f)$ un $k$-espace vectoriel de dimension $2$, muni d'une forme alternée non-dégénérée. Soit $x$ un vecteur non nul. Montrer qu'il existe un vecteur isotrope $y$ tel que $f(x,y)=1$. On dit alors que $(V,f)$ est un plan symplectique. \item Soit $V$ un sous-espace vectoriel de $E$. Montrer que si $(V,f_{\mid V})$ est un espace non singulier (i.e. $f_{\mid V}$ non dégénérée) alors $E=V\oplus^\perp V^\perp$. \item Montrer que $E $ est somme directe orthogonale de droites isotropes et de plans symplectiques. \item Montrer que tous les sous-espaces isotropes maximaux de $E$ ont même dimension. Déterminer cette dimension en fonction de la dimension de $E$ et du rang de $f$. \item Retrouver ce résultat en utilisant le théorème de Witt symplectique : Soit $(E,f)$ et $(E',f')$ deux $k$-espaces vectoriels de dimension finie muni d'une forme symplectique (i.e. bilinéaire alternée non-dégénérée). On suppose $(E,f)$ et $(E',f')$ isométriques. Alors, toute isométrie d'un sous-espace de $(E,f)$ sur un sous-espace de $(E',f')$ se prolonge en une isométrie de $(E,f)$ sur $(E',f')$. \end{enumerate} \finenonce{007889} \finexercice \exercice{7890, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007890}{} Montrer qu'en dimension $2$ le groupe symplectique d'une forme alternée non dégénérée est isomorphe au groupe spécial linéaire $SL(2,k)$. \finenonce{007890} \finexercice \exercice{7891, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007891}{} \begin{enumerate} \item Les formes bilinéaires symétriques données par les formes quadratiques suivantes sur $\mathbb{F}_7^3$ sont-elles équivalentes ? $$q(x,y,z)=x^2+6y^2+2z^2$$ et $$Q(x,y,z)=xy+4z^2.$$ \item Montrer que deux formes quadratiques équivalentes sur un espace $E$ prennent les mêmes valeurs dans $k$. \item La forme $q$ prend-elle toutes les valeurs de $\mathbb{F}_7$ ? Vérifier qu'elle prend les valeurs $3$ et $5$. \end{enumerate} \finenonce{007891} \finexercice \exercice{7892, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007892}{} \begin{enumerate} \item Montrer que deux formes quadratiques équivalentes sur un espace $E$ prennent les mêmes valeurs dans $k$. \item Soit dans tout l'exercice $(E,f)$ un espace muni d'une forme bilinéaire symétrique non dégénérée de forme quadratique associée $q$. Montrer que si $f$ admet un vecteur non nul isotrope, la forme $q$ prend toutes les valeurs de $k$. \item Montrer que $E$ se décompose comme somme directe orthogonale de plans hyperboliques et d'un sous-espace sur lequel la forme quadratique n'a pas de vecteur isotrope non nul. \item Montrer que le nombre de plans hyperboliques dans une telle décomposition est indépendant de la décomposition. \end{enumerate} \finenonce{007892} \finexercice \exercice{7897, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007897}{} On cherche à décrire le groupe $G$ des isométries d'un plan affine euclidien qui conservent globalement un triangle $\mathcal{T}=ABC$ isocèle en $A$ non équilatéral non aplati. \begin{enumerate} \item Déterminer deux éléments différents du groupe $G$. \item Soit $f$ un élément de $G$. \begin{enumerate} \item Montrer que $f$ a un point fixe. \item Montrer que $f(A)=A$ et que ($f(B)=B$ ou $f(B)=C$). \item Montrer que $f$ est soit l'identité soit une réflexion. \end{enumerate} \item Écrire la table de multiplication du groupe $G$. \end{enumerate} \finenonce{007897} \finexercice \exercice{7898, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007898}{} Soit $D_8$ le groupe des isométries du carré. Déterminer un morphisme injectif de groupes de $D_8$ dans $\mathcal{S}_4$. Les éléments $(1,3)$ et $(1,2,3,4)$ engendrent-ils le groupe symétrique $\mathcal{S}_4$ ? \finenonce{007898} \finexercice \exercice{7899, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007899}{Sylow des groupes diédraux} Soit $\mathcal{P}_n$ un polygone régulier à $n$ côtés dans le plan euclidien orienté. On appelle groupe diédral $D_{n}$ le groupe des isométries de $\mathcal{P}_n$. \begin{enumerate} \item Parmi les translations, les rotations, les symétries orthogonales, et les symétries glissées (composées d'une symétrie orthogonale et d'une translation dans l'axe de la symétrie), décrire des isométries du plan qui conservent le polygone régulier $\mathcal{P}_n$. \item Déterminer, à l'aide de l'action naturelle de $D_{n}$ sur l'ensemble des sommets de $\mathcal{P}_n$, le cardinal de $D_{n}$. En déduire la liste complète des éléments de $D_{n}$. \item On suppose $n$ impair. Déterminer les $2$-Sylow de $D_{n}$ et vérifier (sans référence au cours) qu'ils sont conjugués. \item On suppose $n=6$. Déterminer un $2$-Sylow de $D_{6}$. Déterminer le nombre de $2$-Sylow de $D_{6}$. Déterminer deux sous-groupes d'ordre $2$ de $D_{6}$ non conjugués dans $D_{6}$. Donner un $3$-Sylow de $D_{6}$. \end{enumerate} \finenonce{007899} \finexercice \exercice{7900, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007900}{Sous-groupe fini de $SO(3)$} \begin{enumerate} \item Montrer le \emph{théorème de Burnside} : soit $G$ un groupe fini agissant sur un ensemble fini $E$. Alors le nombre~$N$ d'orbites est la moyenne des cardinaux des points fixes des éléments de $G$ et aussi $$N=\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G}\text{Card} Fix(\phi(g))=\frac{1}{|G|}\sum_{x\in E}\text{Card} stabl(x).$$ On pourra considérer $\{(x,g)\in E\times G / g\cdot x=x\}$. \item Soit $G$ un sous-groupe fini de $SO(3)$. On considère son action sur la sphère unité. Soit $X$ l'ensemble des points fixés par un des éléments de $G$ différents de l'identité. Montrer que $X$ est stable par l'action de $G$. Montrer que le stabilisateur d'un élément de $X$ est un groupe cyclique. On notera $N$ le nombre d'orbites de l'action de $G$ sur $X$ et $n_j$ le cardinal du stabilisateur d'un élément de l'orbite $O_j$. \item Montrer que $$N|G|=2(|G|-1)+\text{Card} X.$$ \item Montrer que $$2-\frac{2}{|G|}=\sum_{j=1}^N(1-\frac{1}{n_j}).$$ \item En déduire que $N=2$ ou $N=3$. \item Montrer que si $N=2$, $G$ est un sous-groupe cyclique de rotations. \item Si $N=3$, déterminer les possibilités pour les $n_j$. \end{enumerate} \finenonce{007900} \finexercice \exercice{7902, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007902}{Droites et quadriques} Une quadrique d'un espace projectif $P(V)$ est le lieu des zéros d'une forme quadratique $f$ sur $V$. \begin{enumerate} \item Montrer que toute quadrique qui contient trois points distincts d'une droite $d$ contient toute la droite $d$. \item Déterminer la dimension de l'espace des quadriques de $P^3(K)$. \item Soit $d_1, d_2, d_3$ trois droites de $P^3(K)$. Montrer qu'il existe une quadrique qui les contient. \end{enumerate} \finenonce{007902} \finexercice \exercice{7903, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007903}{} On considère le plan euclidien muni d'un un repère orthonormé ($O, \overrightarrow {\imath},\overrightarrow{\jmath}$) et la courbe $(C)$ d'équation \begin{center}$4x^{2} - 4xy +y^{2} -3x -y - 1= 0$\end{center} \begin{enumerate} \item Montrer que $(C)$ est une parabole. \item Trouver un repère orthonormé ($S, \overrightarrow {u_{1}},\overrightarrow{u_{2}}$) tel que $(C)$ ait une équation de la forme $ x^{2} = 2py$ dans ce repère. \end{enumerate} \finenonce{007903} \finexercice \exercice{7904, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007904}{} \begin{enumerate} \item Construire à la règle et au compas la tangente à un cercle $\mathcal{C}$ passant par un point $A$ hors du disque délimité par $\mathcal{C}$. \item Soit maintenant $\mathcal{C}$ et $\mathcal{C}'$ deux cercles non concentriques. Construire les centres $\Omega$ et $O$ des homothéties qui envoient $\mathcal{C}$ sur $\mathcal{C}'$. \item Construire deux tangentes communes à $\mathcal{C}$ et à $\mathcal{C}'$. \end{enumerate} \finenonce{007904} \finexercice \section{ 350.00 Variété } \section{ 351.00 Immersion, submersion, plongement } \section{ 352.00 Sous-variété } \exercice{2547, tahani, 2009/04/01} \enonce{002547}{} Pour $\lambda \in \mathbb{R}$, soit $S_\lambda=\{(x_1,x_2,x_3)\in \mathbb{R}^3; x_1^2+x_2^2-x_3^2=\lambda\}$. \begin{enumerate} \item D\'eterminez les $\lambda \in \mathbb{R}$ pour lesquels $S_\lambda$ est une sous-vari\'et\'e de $\mathbb{R}^3$. Dessiner $S_\lambda$ en fonction de $\lambda$. \item Pour $x,y \in \mathbb{R}^3$, soit $B(x,y)=x_1y_1+x_2y_2-x_3y_3$. Soit $x\in S_\lambda$, exprimer $T_x S_\lambda$ \`a l'aide de $B$. \end{enumerate} \finenonce{002547} \finexercice \exercice{2548, tahani, 2009/04/01} \enonce{002548}{} On muni $\mathbb{R}^n$ de la norme $||x||==\sum_{i=1}^n x_i^2$ o\`u $x=(x_1,...,x_n)$ et $=\sum_{i=1}^n x_iy_i$. Soit $u: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n$ lin\'eaire telle que $=$ et soit $Q=\{x \in \mathbb{R}^n; =1\}$ Montrez que $Q$ est une sous-vari\'et\'e et d\'eterminez le plan tangent. \finenonce{002548} \finexercice \exercice{2549, tahani, 2009/04/01} \enonce{002549}{} Soit $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^3$ d\'efinie par $f(\theta,\varphi)=(\cos\theta (1+1/2 \cos\varphi),\sin\theta (1+1/2\cos \varphi), 1/2 \sin \varphi)$ et soit $T=f(\mathbb{R}^2)$. \begin{enumerate} \item Soit $R_\theta$ la rotation d'angle $\theta$ autour de $(0z)$, et soit $C=\{(1+1/2 \cos \varphi, 0, 1/2 \sin \varphi); \varphi \in \mathbb{R}\}$. Montrer que $f(\mathbb{R}^2)=\Cup_{\theta \in \mathbb{R}}R_\theta(C)$. Dessiner $T$. \item Montrer que $f(\theta, \varphi)=f(\theta_0,\varphi_0)$ si et seulement si il existe $(k,l) \in \mathbb{Z}^2$ tels que $\theta=\theta_0+2k\pi$ et $\varphi=\varphi_0+2l\pi$. \item Montrer que pour tout ouvert $U \subset \mathbb{R}^2$, $f(U)$ est un ouvert de $T$. \item Montrer que $T$ est une sous-vari\'et\'e de $\mathbb{R}^3$. \end{enumerate} \finenonce{002549} \finexercice \exercice{2550, tahani, 2009/04/01} \enonce{002550}{} Soit $f:{\cal M}_n(\mathbb{R}) \rightarrow \mathbb{R}$ de classe $C^\infty$ d\'efinie par $f(A)=det(A)$. \begin{enumerate} \item Montrer que $\lim_{\lambda \rightarrow 0} \frac{det(I+\lambda X)-1}{\lambda}=tr(X)$ (penser au polyn\^ome caract\'eristique). En d\'eduire $D_{Id_n}f(X)$. \item En remarquant que $\frac{det(A+\lambda X)-det(A)}{\lambda}$ est \'egal \`a $det(A)\frac{det(I+\lambda A^{-1}X)-1}{\lambda}$, pour $A$ inversible, calculer $D_Af(X)$ lorsque $A$ est inversible. \item Montrer que $Sl_n(\mathbb{R})$ est une sous-vari\'et\'e de ${\cal M}_n(\mathbb{R})$, de dimension $n^2-1$, dont l'espace tangent en $Id$ est $\{X \in M_n(\mathbb{R}); tr(X)=0\}$. \end{enumerate} \finenonce{002550} \finexercice \exercice{2551, tahani, 2009/04/01} \enonce{002551}{} Soit $E$ l'espace vectoriel des matrices sym\'etriques r\'eelles d'ordre $n$. Soit $f: {\cal M}(\mathbb{R}) \rightarrow E$ d\'efinie par $f(A)={\ }^tAA$. \begin{enumerate} \item Montrer que $D_Af(X)={\ }^tAX+{\ }^tXA$. \item Soit $A \in {\cal O}_n(\mathbb{R})$, $S \in E$ et $X=1/2 AS$. Montrer que $D_Af(X)=S$. En d\'eduire que ${\cal O}_n(\mathbb{R})$ est une sous-vari\'et\'e de ${\cal M}_n(\mathbb{R})$ de dimension $n(n-1)/2$, dont l'espace tangent en $Id$ est $\{X \in {\cal M}_n(\mathbb{R}); {\ }^tX=-X\}$. \end{enumerate} \finenonce{002551} \finexercice \exercice{2552, tahani, 2009/04/01} \enonce{002552}{} Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie, $a \in E$ et $f: E \rightarrow E$ un diff\'eomorphisme de classe $C^1$. On suppose que $f^n=Id$ et $f(a)=a$. On pose $A=D_af$ et $u(x)=\sum_{p=1}^n A^{-p}f^p(x)$ pour $x \in E$. \begin{enumerate} \item Montrer que $u$ est un diff\'eomorphisme local en $a$ tel que $u \circ f=A \circ u$. \item Soit $F$ l'ensemble des points fixes de $f$. Montrer que $F$ est une sous-vari\'et\'e de $E$. \item Soit $g: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2$, $g(x,y)=(x,y+y^3-x^2)$. Montrer que $g$ est un diff\'eomorphisme de $\mathbb{R}^2$. En d\'eduire que $2/$ n'est plus n\'ecessairement vrai si on supprime l'hypoth\`ese $f^n=Id$. \end{enumerate} \finenonce{002552} \finexercice \exercice{6280, mayer, 2011/10/16} \enonce{006280}{} Déterminer, parmi les sous-ensembles définis ci-dessous, ceux qui sont des sous-variétés: \begin{enumerate} \item $\{(x,y,z)\in \Rr^3 \; ; \; x^3+y^3+ z^3 -3xyz =1\}$; \item $\{(x,y) \in \Rr^2 \; ; \; xy=0\}$; \item $\{(x,y,z)\in \Rr^3 \; ; \; x^2+y^2+z^2 =1 \; et \; x^2+y^2-x=0\}$; \item $\{(x,y) \in \Rr^2 \; ; \; y^2 = x^3\}$; \item $\{(x,y,z)\in \Rr^3 \; ; \; x^2 + y^2 = \tan (\alpha ) z^2\}$; \end{enumerate} \finenonce{006280} \finexercice \exercice{6281, mayer, 2011/10/16} \enonce{006281}{} Soient $\alpha $ et $\beta $ des fonctions de ${\cal C}^1 (\Rr , \Rr )$. \begin{enumerate} \item On considère l'application $\varphi : \Rr \to \Rr^3$ donnée par $\varphi (x) = (\alpha (x) , 0, \beta (x))$. Donner des conditions à $\alpha , \beta$ pour que ${\cal C} = \varphi (\Rr )$ soit une sous-variété de $\Rr^3$. \item Soit maintenant $f:\Rr^2 \to \Rr^3$ l'application $f(x,y) = (\alpha (x) \cos (y) , \alpha (x) \sin (y) , \beta (x) )$. On cherche encore des conditions pour $\alpha , \beta$ sous lesquelles ${\cal S} =f(\Rr^2 )$ soit une sous-variété de $\Rr^3$. \item Notons $p=f(x,0)$, $x\in \Rr$. Quel est le lien entre les espaces tangents $T_p {\cal S}$ et $T_p {\cal C}$. \end{enumerate} \finenonce{006281} \finexercice \exercice{6282, mayer, 2011/10/16} \enonce{006282}{} \begin{enumerate} \item Montrer que l'équation $xy+xz+yz+2x+2y-z=0$ définit au voisinage de $(0,0,0)$ une surface. Donner l'équation du plan tangent de cette surface à l'origine. \item Montrer que les équations $4xy+2xz+4y-z=0$ et $ xy+xz+yz+2x+2y-z=0$ définissent au voisinage de l'origine une courbe. Déterminer l'espace tangent de cette courbe à l'origine. \end{enumerate} \finenonce{006282} \finexercice \exercice{6283, mayer, 2011/10/16} \enonce{006283}{} Soit $F=(F_1,...,F_k)$ une application $C^1$ d'un ouvert $U$ de $\Rr^m$ dans $\Rr^k$. Notons $M=\{x\in U\; ; \; F(x) =0 \}$ et soit $a\in M$. \begin{enumerate} \item \'Etablir l'équivalence des propriétés suivantes: \begin{itemize} \item $DF(a)$ est surjective. \item Les formes linéaires $DF_1(a), ..., DF_k(a)$ sont linéairement indépendantes. \item $\mathrm{Ker}\, DF(a) = \bigcap_{i=1}^k \mathrm{Ker}\, DF_i(a)$ est de dimension $m-k$. \end{itemize} \item Un point $a\in M$ est dit {\it point régulier} si $DF(a)$ est surjective. Montrer que l'ensemble des points réguliers de $M$ est un ouvert de $M$. \end{enumerate} \finenonce{006283} \finexercice \exercice{6284, mayer, 2011/10/16} \enonce{006284}{} \label{exn14} Soit $f: \Rr^n \to \Rr$ un polyn\^ome homogène de degré $\alpha >0$ à $n$ variables. \begin{enumerate} \item En calculant la dérivée de $\lambda \mapsto f(\lambda x)$ de deux manières différentes, établir l'identité d'Euler: $$ \sum_{i=1}^n x_i \frac{\partial f}{\partial x_i} = \alpha\, f(x) \quad \text{pour tout} \;\; x\in \Rr^n \; .$$ \item Soit $a$ un réel non nul. Montrer que $X_a = f^{-1}(\{a\})$ est une sous-variété de dimension $n-1$ de $\Rr^n$. \'Etablir ensuite que, pour $a_1>a_2>0$, $X_{a_1}$ et $X_{a_2}$ sont difféomorphes. \item Supposons que $\varphi$ est un difféomorphisme de $\Rr^n$ avec $\varphi ( X_{a_1} ) =X_{a_2}$ et soit $p\in X_{a_1}$. Exprimer l'espace tangent $T_{\varphi (p)}X_{a_2}$ en fonction de $T_pX_{a_1}$. \end{enumerate} \finenonce{006284} \finexercice \exercice{6285, mayer, 2011/10/16} \enonce{006285}{} Soit $f:M_n(\Rr ) \to \Rr$ l'application $C^\infty$ donnée par $f(A) = \det(A)$. \begin{enumerate} \item Montrer que $$\lim_{\lambda \to 0} \frac{\det(I+\lambda X) -1}{\lambda} = \mathrm{tr}(X) \quad , \;\; X\in M_n(\Rr )\; .$$ En déduire $Df(I)(X)$. \item En remarquant que $$ \frac{\det(A+\lambda X)-\det(A)}{\lambda} = \det(A) \frac{\det(I+\lambda A^{-1}X -1)}{\lambda}\; ,$$ pour $A$ une matrice inversible, calculer $Df(A)(X)$ lorsque $A$ est inversible. \item Montrer que $Sl_n(\Rr) =\{A\in M_n(\Rr ) \; ; \; \det(A) =1\} $ est une sous-variété de $M_n(\Rr )$ de dimension $n^2-1$ (on pourra faire le lien avec l'exercice \ref{exn14}) dont l'espace tangent en $I$ est $$T_I Sl_n(\Rr) = \{X\in M_n(\Rr ) \; ; \; \mathrm{tr}(X) =0\}\; .$$ \end{enumerate} \finenonce{006285} \finexercice \exercice{6286, mayer, 2011/10/16} \enonce{006286}{} Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie, $a\in E$ et $f:E\to E$ un difféomorphisme de classe $C^1$. On suppose que $f^n =id$ et $f(a)=a$. On pose $A=Df(a)$ et $u(x) = \sum_{p=1}^n A^{-p} f^p(x)$ pour $x\in E$. \begin{enumerate} \item Montrer que $u$ est un difféomorphisme local en $a$ tel que $u\circ f = A\circ u$. \item Soit $F$ l'ensemble des points fixes de $f$. Montrer que $F$ est une sous-variété de $E$. \item Soit $g:\Rr^2\to \Rr^2$, $g(x,y) = (x,y+y^3-x^2)$. Montrer que $g$ est un difféomorphisme de $\Rr^2$. En déduire que $2)$ n'est plus nécessairement vrai si on supprime l'hypothèse $f^n =id$. \end{enumerate} \finenonce{006286} \finexercice \exercice{7642, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007642}{Hélice} \begin{enumerate} \item Soient $r$ et $h$ deux nombres réels strictement positifs. La courbe paramétrée suivante, appelée hélice, est-elle régulière ? $$\begin{array}{cccc} c~:~&\Rr&\to&\Rr^3\\ &t&\mapsto&\left(\begin{array}{c}r\cos t\\r\sin t\\ht\end{array}\right) \end{array} $$ \item Les courbes paramétrées suivantes sont-elle régulières ? $$\begin{array}{cccc} d~:~&\Rr&\to&\Rr^2\\ &t&\mapsto&\left(\begin{array}{c}t^2\\ t^3\end{array}\right) \end{array} \quad \text{ et } \quad \begin{array}{cccc} e~:~&]0,+\infty[&\to&\Rr^2\\ &t&\mapsto&\left(\begin{array}{c}t^2\\ t^3\end{array}\right) \end{array} $$ \end{enumerate} \finenonce{007642} \finexercice \exercice{7643, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007643}{Reparamétrage d'une courbe régulière} \begin{enumerate} \item Montrer que le reparamétrage d'une courbe régulière est encore régulier. \item Peut-on reparamétrer toute courbe paramétrée par sa longueur d'arc ? \item Déterminer un reparamétrage de la courbe $\left\{\begin{array}{cccc} c~:~&[0,2\pi[&\to&\Rr^2\\ &t&\mapsto&\left(\begin{array}{c}\cos t\\ \sin t\end{array}\right) \end{array}\right.$ qui en change l'orientation. \end{enumerate} \finenonce{007643} \finexercice \exercice{7644, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007644}{Equivalence} \begin{enumerate} \item Les courbes paramétrées suivantes sont-elles équivalentes ? $$\begin{array}{cccc} c~:~&[0,2\pi[&\to&\Rr^2\\ &t&\mapsto&\left(\begin{array}{c}\cos t\\ \sin t\end{array}\right) \end{array} \quad \text{ et } \quad \begin{array}{cccc} d~:~&[0,2\pi[&\to&\Rr^2\\ &t&\mapsto&\left(\begin{array}{c}\cos 2t\\ \sin 2t\end{array}\right) \end{array} $$ \item Les courbes paramétrées suivantes sont-elles équivalentes ? $$\begin{array}{cccc} c~:~&\Rr&\to&\Rr^2\\ &t&\mapsto&\left(\begin{array}{c}\cos t\\ \sin t\end{array}\right) \end{array} \quad \text{ et } \quad \begin{array}{cccc} d~:~&\Rr&\to&\Rr^2\\ &t&\mapsto&\left(\begin{array}{c}\cos 2t\\ \sin 2t\end{array}\right) \end{array} $$ \item Deux courbes paramétrées équivalentes ont-elles même image ? La réciproque est-elle vraie ? \item Peut-on retrouver une courbe à partir de son image ? \end{enumerate} \finenonce{007644} \finexercice \exercice{7645, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007645}{Calcul de longueur} \begin{enumerate} \item Calculer la longueur de la portion d'hélice $$\begin{array}{cccc} c~:~&[0,1]&\to&\Rr^3\\ &t&\mapsto&\left(\begin{array}{c}r\cos t\\r\sin t\\ht\end{array}\right) \end{array} $$ \item Déterminer un paramétrage de cette portion d'hélice par sa longueur d'arc. \end{enumerate} \finenonce{007645} \finexercice \exercice{7646, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007646}{Différents paramétrages par longueur d'arc} Montrer que deux paramétrages par longueur d'arc d'une même courbe régulière orientée diffèrent au plus par un changement de paramétrage de la forme $t\mapsto t_0+t.$ \finenonce{007646} \finexercice \exercice{7647, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007647}{Approximation par lignes polygonales} Vérifier l'approximation polygonale pour un cercle de rayon $r$ approché par des polygones réguliers à $n$ côtés. \finenonce{007647} \finexercice \exercice{7648, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007648}{Les cycloïdes} On considère un cercle $\mathcal{C}_1$ de rayon $1$ qui glisse sur l'axe des $x$ du plan euclidien orienté $\Rr ^2$, et pour tout nombre réel $r$ strictement positif le cercle $\mathcal{C}_r$ de rayon $r$, concentrique avec $\mathcal{C}_1$ et solidement attaché à $\mathcal{C}_1$. \begin{enumerate} \item Déterminer par un paramétrage, la trajectoire $T_r$, appelée ``cycloïde`` du point $M$ de coordonnées $(0,1-r)$ de $\mathcal{C}_r$ lorsque $\mathcal{C}_1$ glisse sur l'axe des $x$. \item Faire une ébauche de $T_r$ suivant la position de $r$ par rapport à $1$. \item $T_r$ est-elle une courbe régulière ? \item Calculer la longueur de $T_1$ quand $\mathcal{C}_1$ fait un tour. \end{enumerate} \finenonce{007648} \finexercice \exercice{7649, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007649}{Approximation par lignes polygonales} \begin{enumerate} \item On rappelle qu'une ligne polygonale $P$ de $\Rr^n$ est la donnée d'un uplet $P=(a_0,a_1,\cdots,a_k)$ de points de $\Rr^n$. On supposera aussi que deux points consécutifs sont distincts. Rappeler la formule pour la longueur d'une ligne polygonale $P$. \item On cherche à montrer le théorème suivant. \textbf{Théorème.} \emph{ Soit $c~:~[a,b]\to \Rr^n$ une courbe paramétrée. Alors, pour tout $\epsilon>0$, il existe $\delta>$ tel que pour toute partition $(t_0=a0$, le théorème des sommes de Riemann pour la fonction $[a,b]\to\Rr$, $t\mapsto \| \dot{c} (t)\|$. \item \'Ecrire en termes de quantificateurs en partant d'un $\epsilon_2>0$ la propriété de continuité uniforme des fonctions composantes $[a,b]\to\Rr$, $t\mapsto \dot{c}_j (t)$. \item Soit une partition $(t_0=a0$, il existe $\delta>$ tel que pour toute partition $(t_0=a0$. \item Soit $c~:I\to \Rr^2$ une courbe plane paramétrée par la longueur d'arc. Soit $R$ la rotation de centre $0$ et d'angle $\alpha$, et $S$ la symétrie d'axe $x=y$. Déterminer la fonction courbure de $R\circ c$ et celle de $S\circ c$. \item Calculer la fonction courbure de la courbe de Lissajous $\left\{\begin{array}{cccc} c~:~&\Rr&\to&\Rr^2\\ &t&\mapsto&\left(\begin{array}{c}\cos 3t\\ \sin 2t\end{array}\right) \end{array} \right.$ \item Déterminer une courbe fermée à courbure partout strictement négative. \item Montrer qu'une courbe plane régulière de courbure nulle est un segment de droite. \end{enumerate} \finenonce{007650} \finexercice \exercice{7651, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007651}{Courbure en un point extrémal} Soit $c~:I\to \Rr^2$ une courbe plane paramétrée par la longueur d'arc. On suppose que $c$ reste dans le disque de rayon $r$ et qu'au point de paramètre $\tau$, $\| c(\tau)\|=r$. \begin{enumerate} \item Montrer en dérivant une fois la fonction $t\mapsto \| c(t)\|^2$ que $\ddot{c}(\tau)$ est colinéaire à $c(\tau)$ ? \item Montrer en dérivant à nouveau la fonction $t\mapsto \| c(t)\|^2$ que la courbure en $\tau$ vérifie $|\kappa(\tau)|\geq 1/r$. \end{enumerate} \finenonce{007651} \finexercice \exercice{7652, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007652}{Construction d'une courbe plane à courbure prescrite} Le but de l'exercice est de montrer le théorème suivant. \textbf{Théorème.} \emph{ Soit $I$ un intervalle et $\kappa~:~I\to\Rr$ une fonction de classe $\mathcal{C}^\infty$. Alors, il existe une courbe plane $c~:~I\to\Rr^2$ paramétrée par la longueur d'arc et de fonction courbure $\kappa$. Cette courbe est unique à composition au but par un déplacement près. } \begin{enumerate} \item On considère le système d'équations différentielles linéaire du premier ordre $$\frac{d}{dt}\left(\begin{array}{c}c\\v\\n\end{array}\right) =\left(\begin{array}{ccc}0&1&0\\0&0&\kappa\\0&-\kappa&0\end{array}\right) \left(\begin{array}{c}c\\v\\n\end{array}\right).$$ où les fonctions $c,v,n~:~I\to\Rr^2$ sont les inconnues. Montrer que ce système admet une unique solution $(c(t),v(t),n(t))$ avec pour valeur initiale un vecteur fixé $(c_0,v_0,n_0)$ avec $(v_0,n_0)$ base orthonormée directe. \item \'Ecrire un système d'équations différentielles linéaire du premier ordre satisfait par le vecteur $(,,)$. \item Montrer que pour les solutions obtenues précédemment, $(v(t),n(t))$ reste un repère orthonormé direct. \item En déduire que la courbe $c$ obtenue est paramétrée par la longueur d'arc et que sa fonction courbure est $\kappa$. \item Conclure. \end{enumerate} \finenonce{007652} \finexercice \exercice{7653, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007653}{Nombre de rotation} Calculer le nombre de rotation de la courbe régulière fermée suivante \begin{center} \includegraphics[scale=0.5]{images/img-mour-405} \end{center} \finenonce{007653} \finexercice \exercice{7654, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007654}{Courbure totale} \begin{enumerate} \item Calculer la somme des mesures des angles extérieurs d'un triangle et d'un carré. \item Déterminer la fonction courbure et la courbure totale de l'ovale paramétré par $c~:~[0,2\pi]\to\Rr^2$, $t\mapsto(a\cos(t),b\sin(t))$. \end{enumerate} \finenonce{007654} \finexercice \exercice{7655, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007655}{Formules de Frenet} Démontrer les formules de Frenet pour les courbes paramétrées par la longueur d'arc dans $\Rr^3$. \finenonce{007655} \finexercice \exercice{7656, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007656}{Torsion} \begin{enumerate} \item Calculer la torsion de l'hélice $\left\{\begin{array}{cccc} c~:~&\Rr&\to&\Rr^3\\ &t&\mapsto&\left(\begin{array}{c}r\cos t\\r\sin t\\ht\end{array}\right) \end{array} \right.$. \item Calculer la torsion de la courbe de $\Rr^3$ paramétrée par $t\mapsto (4\cos t,5-5\sin t, -3\cos t)$. \item La courbe précédente est-elle plane ? \end{enumerate} \finenonce{007656} \finexercice \exercice{7657, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007657}{Courbes sur une surface} Soit $C$ la courbe tracée sur la surface d'équation $3z=xy+x^3$ et dont la projection orthogonale sur le plan d'équation $z=0$ est la courbe paramétrée $C'$ définie par $x=t$, $y=t^2$ pour $t$ parcourant $[0,1]$. \begin{enumerate} \item Donner une expression intégrale pour la longueur de $C'$ puis celle de $C$, puis les comparer. \item Calculer la longueur de $C'$ puis celle de $C$. \end{enumerate} \finenonce{007657} \finexercice \exercice{7658, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007658}{Construction des courbes de $\Rr^3$} Énoncer pour les courbes de l'espace $\Rr^3$, le théorème analogue à la caractérisation des courbes planes à déplacements près par leur courbure. \finenonce{007658} \finexercice \exercice{7659, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007659}{Difféomorphisme local, global} \begin{enumerate} \item Soit $U$ le plan $\Rr^2$ privé de l'origine. Montrer que l'application \begin{eqnarray*} f : U&\to& U\\ (x,y)&\mapsto& (x^2-y^2,2xy) \end{eqnarray*} est un difféomorphisme au voisinage de chacun des points de $U$. \item Est-ce un difféomorphisme de $U$ ? \end{enumerate} \finenonce{007659} \finexercice \exercice{7660, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007660}{Sous-variété de $\Rr^2$} Soit $$\mathcal{C}:=\{(x,y)\in\Rr^2, x^3+y^3-3xy=0\}.$$ \begin{enumerate} \item Au voisinage de quels points de $\mathcal{C}$, cette équation définit-elle $y$ comme fonction de $x$ ? Quelle est alors la dérivée de cette fonction ? \item Paramétrer $\mathcal{C}$ à l'aide de $t$ tel que $y=tx$. \item Représenter $\mathcal{C}$ avec ses asymptotes. \item Le sous-ensemble $\mathcal{C}$ est-il une sous-variété différentiable de $\Rr^2$ ? \end{enumerate} \finenonce{007660} \finexercice \exercice{7661, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007661}{Surfaces paramétrées} La surface paramétrée par $(u,v)\mapsto (u+v^2,u^2-v^2,v)$ est-elle régulière au voisinage de $A(1,-1,-1)$ ? \finenonce{007661} \finexercice \exercice{7662, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007662}{Surfaces implicites} \begin{enumerate} \item L'ensemble d'équation $x^2+y^2+z^2=4$ est-il une surface régulière de $\Rr^3$. Le décrire. \item L'ensemble d'équation $(x^2+y^2+z^2-4)^2=0$ est-il une surface régulière de $\Rr^3$. Le décrire. \item L'ensemble d'équation $x^2+y^2-z^2=0$ est-il une surface régulière de $\Rr^3$. Le décrire. Montrer que tous les chemins du point $A(1,0,1)$ au point $B(1,0,-1)$ passent par un même point à déterminer. \item Les ensembles d'équations respectives \begin{eqnarray*} a)x^2+3y^2+z^2+4xy+2z=5 &&b)2x^2+3y^2=1\\ c)\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{3}-\frac{z^2}{4}=1&&d)\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{3}-\frac{z^2}{4}=-1 \end{eqnarray*} sont-ils des surfaces régulières de $\Rr^3$ ? Les décrire. \end{enumerate} \finenonce{007662} \finexercice \exercice{7663, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007663}{Paramétrages de la sphère} On considère la sphère $S$ unité dans $\Rr^3$. \begin{enumerate} \item Déterminer par une expression en coordonnées de la projection stéréographique d'un ouvert $U$ de $S$ (à déterminer) depuis le pôle nord sur le plan d'équation $z=0$. Vérifier qu'il s'agit bien de paramétrage de $U$. \item Fa\^ites de même depuis le pôle sud. \item Montrer que le changement de paramétrage est de classe $\mathcal{C}^\infty$. \item Interpréter les coordonnées sphériques comme un paramétrage de la sphère $S$. \end{enumerate} \finenonce{007663} \finexercice \exercice{7670, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007670}{Paramétrage} On considère l'application $$\begin{array}{ccc} F: \Rr^2&\to&\Rr^3\\ \left(\begin{array}{c}t \\ s\end{array}\right) &\mapsto& \left(\begin{array}{c}1-t^2\\t(1-t^2)\\s\end{array}\right). \end{array}$$ \begin{enumerate} \item Déterminer des déplacements de l'espace $\Rr^3$ qui conservent l'image de $F$. \item Montrer que l'image de $F$ est l'ensemble d'équation $y^2=x^2(1-x)$. \item L'image de $F$ est-elle une sous-surface différentiable de $\Rr^3$ ? \end{enumerate} \finenonce{007670} \finexercice \exercice{7671, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007671}{Applications différentiables entre surfaces} Soit $S_1$ et $S_2$ deux sous-surfaces différentiables de $\Rr^3$. \begin{enumerate} \item Soit $g~:\Rr^3\to\Rr^3$ une application de classe $\mathcal{C}^\infty$. On suppose que $g(S_1)\subset S_2$. On note $f : S_1\to S_2$ la restriction de $g$ à $S_1$. Montrer $f$ est une application différentiable. \item Soit $f : S_1\to S_2$ une application différentiable et $p$ un point de $S_1$. Montrer qu'il existe un voisinage de $p$ dans $\Rr^3$ sur lequel $f$ se prolonge en une application $\mathcal{C}^\infty$ à valeurs dans $\Rr^3$. \item Montrer que la composée de deux applications différentiables entre sous-surfaces différentiables de $\Rr^3$ est différentiable et expliciter la différentielle de la composée. \end{enumerate} \finenonce{007671} \finexercice \exercice{7672, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007672}{Différentielle} Soit $S_1$ d'équation $x^6+y^6+z^6=1$ et $S_ 2$ d'équation $x^2+y^2+z^2=1$. \begin{enumerate} \item Montrer que $S_1$ et $S_2$ sont deux sous-surfaces différentiables de $\Rr^3$. \item On considère l'application $f$ de $S_1$ vers $S_2$, qui à $p$ de coordonnées $(x,y,z)$ associe le point de coordonnées $(x^3, y^3, z^3)$. Montrer que $f$ est bijective de $S_1$ sur $S_2$. \item Montrer que $f$ est différentiable. \item Déterminer la différentielle de $f$. Est-elle inversible ? \item La bijection réciproque $f^{-1}$ est-elle différentiable ? \item Reprenez l'exercice pour l'application $g$ de $S_1$ vers le plan d'équation $z=0$, qui à $p$ de coordonnées $(x,y,z)$ associe le point de coordonnées $(x,x,0)$. \end{enumerate} \finenonce{007672} \finexercice \exercice{7673, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007673}{Théorème d'inversion locale} Énoncer et démontrer le théorème d'inversion locale pour une application entre deux sous-surfaces différentiables de $\Rr^3$. \finenonce{007673} \finexercice \exercice{7674, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007674}{Extrema} \begin{enumerate} \item Trouver les extrema de la fonction $f: (x,y,z)\mapsto xy$ sur la sphère unité. \item Trouver les extrema de la fonction $f: (x,y,z)\mapsto xy$ sur l'ellipsoïde de $\Rr^3$ d'équation $x^2+y^2+3z^2=1$. \end{enumerate} \finenonce{007674} \finexercice \exercice{7675, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007675}{Première forme fondamentale} Calculer la première forme fondamentale du graphe $S$ d'une application $\varphi : \Rr^2\to \Rr$ différentiable. On pourra déterminer d'abord un paramétrage global de $S$. \finenonce{007675} \finexercice \exercice{7676, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007676}{Dépendance en le paramétrage} \begin{enumerate} \item On considère le plan d'équation $z=0$ avec le paramétrage $\left\{\begin{array}{ccc} F: \Rr^2&\to&\Rr^3\\ (x,y)&\mapsto& (x,y,0). \end{array}\right.$\\ Déterminer la matrice de la première forme fondamentale dans la base $\mathcal{B}_F$ correspondante. \item On considère le plan d'équation $z=0$ avec le paramétrage local \begin{eqnarray*} G: ]0,+\infty[\times ]-\pi,\pi[&\to&\Rr^3\\ (r,\theta)&\mapsto& (r\cos\theta,r\sin\theta,0).\end{eqnarray*} Déterminer la matrice de la première forme fondamentale dans la base $\mathcal{B}_G$ correspondante. \item Déterminer la matrice de changement de base au point de coordonnées $(1,0,0)$ de la base $\mathcal{B}_F$ dans la base $\mathcal{B}_G$. Relier les deux matrices obtenues pour la première forme fondamentale. \end{enumerate} \finenonce{007676} \finexercice \exercice{7677, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007677}{Sphère} \begin{enumerate} \item Calculer l'aire de la sphère en coordonnées sphériques. \item Calculer l'aire de l'ellipsoïde $\mathcal{E}$ d'équation $x^2+y^2+5z^2=1$. \end{enumerate} \finenonce{007677} \finexercice \exercice{7678, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007678}{Calcul d'aire} On considère l'application $f$ de la sphère unité $\mathcal{S}$ de $\Rr^3$ à valeurs dans le cylindre $\mathcal{C}$ de $\Rr^3$ d'équation $x^2+y^2=1$ donnée en coordonnées cartésiennes par $$f~: \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}\mapsto \begin{pmatrix}\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\\ \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}\\ z\end{pmatrix}.$$ \begin{enumerate} \item Faire une figure pour décrire géométriquement cette application. \item On considère un paramétrage local de la sphère unité $\mathcal{S}$ en coordonnées polaires $$\begin{array}{ccc} F : (\theta,\phi)\in ]0,2\pi[\times]0,\pi[&\mapsto&\begin{pmatrix}\cos\theta\sin\phi\\ \sin\theta\sin\phi\\ \cos\phi\end{pmatrix}. \end{array}$$ Déterminer la première forme fondamentale de la sphère dans cette paramétrisation. \item On considère l'application $G=f\circ F$. Montrer que c'est un paramétrage local du cylindre $\mathcal{C}$ et calculer la première forme fondamentale du cylindre dans cette paramétrisation. \item L'application $f$ est-elle un difféomorphisme local ? Un difféomorphisme de $\mathcal{S}$ sur $\mathcal{C}$ ? \item L'application $f$ est-elle une isométrie locale ? Conserve-t-elle les aires ? \item En déduire l'aire de la portion de sphère entre deux grands cercles passant par les poles nord et sud et faisant entre eux un angle de mesure $\alpha$. Vérifier en déterminant l'aire de la sphère. \end{enumerate} \finenonce{007678} \finexercice \exercice{7679, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007679}{Applications conformes} Soit $g$ et $g'$ deux produits scalaires euclidiens sur $\Rr^n$. Montrer en utilisant la règle des sinus dans un triangle $a/\sin \hat{A}=b/\sin \hat{B}$ que $g$ et $g'$ définissent les mêmes mesures d'angle non orientés si et seulement s'il existe une constante $c>0$ telle que $g=cg'$. \finenonce{007679} \finexercice \exercice{7680, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007680}{Cartes} On cherche des applications d'un ouvert du plan $\Rr^2$ dans un ouvert de la sphère $S^2$ de $\Rr^3$ qui conservent les longueurs, ou les mesures d'angles, ou les aires. \begin{enumerate} \item Traduire chacune de ces trois propriétés à l'aide des formes fondamentales. \item Les coordonnées sphériques donnent-elles une application qui conserve les longueurs, ou les mesures d'angles, ou les aires ? \item La projection stéréographique depuis le pôle nord conserve-t-elle les longueurs, ou les mesures d'angles, ou les aires ? \item L'application du cylindre dans la sphère $$\begin{array}{ccc} ]0,2\pi[\times ]-1,1[&\to& S^2\\ (\theta, h)&\mapsto& \left( \begin{array}{c}\sqrt{1-h^2} \cos\theta\\ \sqrt{1-h^2} \sin\theta\\ h\end{array}\right) \end{array}$$ conserve-t-elle les longueurs, ou les mesures d'angles, ou les aires ? \item L'application du cylindre dans la sphère $$\begin{array}{ccc} ]0,2\pi[\times ]-\infty,+\infty[&\to& S^2\\ (\theta, x)&\mapsto& \left( \begin{array}{c}\sqrt{1-h^2(x)} \cos\theta\\ \sqrt{1-h^2(x)} \sin\theta\\ h(x)\end{array}\right) \end{array}$$ avec $h(x)=\tanh (x)$ conserve-t-elle les longueurs, ou les mesures d'angles, ou les aires ? \end{enumerate} \finenonce{007680} \finexercice \exercice{7681, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007681}{Sphère} Calculer la seconde forme fondamentale de la sphère. En déduire sa courbure de Gauss et ses directions principales. \finenonce{007681} \finexercice \exercice{7682, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007682}{Cylindre} \begin{enumerate} \item Déterminer les plans tangents et un champs de vecteurs normaux au cylindre $S^1\times \Rr$. \item Déterminer l'application de Weingarten en chaque point $p$ du cylindre. \item En déduire sa courbure de Gauss et ses directions principales. \item Reprendre les questions précédentes pour le paraboloïde hyperbolique d'équation $z=y^2-x^2$ au point $p(0,0,0)$. \end{enumerate} \finenonce{007682} \finexercice \exercice{7683, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007683}{Point hyperbolique/elliptique} Donner l'exemple d'une sous-surface différentiable de $\Rr^3$ avec un point hyperbolique et un point elliptique. \finenonce{007683} \finexercice \exercice{7684, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007684}{Etude jusqu'à l'ordre 2} Soit $\Sigma$ le graphe de la fonction $f(x,y) = xy$ de $\Rr^2$ dans $\Rr$. \begin{enumerate} \item Est-ce une sous-surface différentiable de $\Rr^3$ ? \item Déterminer une paramétrisation de $\Sigma$. \item Dans cette paramétrisation, calculer la première et la seconde forme fondamentale. \item Déterminer la courbure de Gauss et la courbure moyenne. \end{enumerate} \finenonce{007684} \finexercice \exercice{7685, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007685}{Etude jusqu'à l'ordre 2} Soit l'ouvert $W =]0; 1[\times \Rr$ dans $\Rr^2$. On considère la surface $M$ de $\Rr^3$ paramétrée par $$\begin{array}{ccc} F: W&\to&\Rr ^3\\(u, v)&\mapsto& (u \cos v , u \sin v , v) \end{array}$$ \begin{enumerate} \item Faire un dessin donnant l'allure de $M$. \item Calculer l'aire de la partie de $M$ comprise entre les plans d'équations $z = 0$ et $z = 2\pi$. \item Calculer, dans le paramétrage $F$, la courbure de Gauss $K$, la courbure moyenne $H$, les courbures principales de la surface $M$. \end{enumerate} \finenonce{007685} \finexercice \exercice{7686, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007686}{Définition} \begin{enumerate} \item Une surface régulière de $\Rr^3$ est dite réglée si elle admet des paramétrages locaux de la forme $F(t,s)=c(t)+sv(t)$ pour $t,s)\in I\times J$ où $c$ est une courbe régulière de $\Rr^3$ paramétrée sur l'intervalle $I$ de $\Rr$, et $v~:I\to\Rr^3_{ev}$ une application de classe $\mathcal{C}^\infty$ avec $v(t)$ et $\dot{c}(t)$ partout indépendant. Montrer que si $J$ est un petit intervalle autour de $0$, $F$ est alors un paramétrage régulier. \item Montrer que la courbure de Gauss d'une surface réglée est négative en tout point. \end{enumerate} \finenonce{007686} \finexercice \exercice{7687, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007687}{Exemples} \begin{enumerate} \item Montrer qu'un cylindre est une surface réglée. \item Montrer qu'un paraboloïde hyperbolique d'équation $z=xy$ est réglé sur la droite d'équation $y=z=0$. \item Montrer qu'un hyperboloïde à une nappe d'équation $z^2=x^2+y^2-1$ est réglé sur le cercle à l'altitude $0$. \end{enumerate} \finenonce{007687} \finexercice \exercice{7688, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007688}{} Calculer la torsion de la courbe de $\Rr^3$ paramétrée par $c~:~t\mapsto (4\cos t,5-5\sin t, -3\cos t)$. La courbe est-elle plane ? \finenonce{007688} \finexercice \exercice{7689, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007689}{} Soit $C$ la courbe tracée sur la surface d'équation $3z=xy+x^3$ et dont la projection orthogonale sur le plan d'équation $z=0$ est la courbe paramétrée $C'$ définie par $x=t$, $y=t^2$ pour $t$ parcourant $[0,1]$. \begin{enumerate} \item Donner une expression intégrale pour la longueur de $C'$ puis celle de $C$, puis les comparer. \item Calculer la longueur de $C'$ puis celle de $C$. \end{enumerate} \finenonce{007689} \finexercice \exercice{7690, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007690}{} Soit $S$ la surface de $\Rr^3$ d'équation $2(2z^2+y^2)+x=0$. \begin{enumerate} \item La surface $S$ est-elle régulière ? \item Paramétrer la surface $S$ (de manière polynomiale) en prenant les paramètres $u$ et $v$ parmi les variables $x$, $y$ et $z$. \item Déterminer une base de l'espace tangent à la surface $S$ en $A(-6,1,-1)$. \item Calculer un vecteur normal à la surface $S$ en $A(-6,1,-1)$. \item Le vecteur $V = (27,-29,-1)$ appartient-il au plan tangent à $S$ en $A (-6,1,1)$ ? \end{enumerate} \finenonce{007690} \finexercice \exercice{7691, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007691}{} Calculer l'aire de l'ellipsoïde $\mathcal{E}$ d'équation $x^2+y^2+5z^2=1$. \finenonce{007691} \finexercice \exercice{7692, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007692}{Paraboloïde hyperbolique} Calculer une application de Weingarten du paraboloïde hyperbolique $S$ d'équation $z=x^2-y^2$ au point $p(0,0,0)$. En déduire sa courbure de Gauss et ses directions principales. \finenonce{007692} \finexercice \exercice{7693, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007693}{} Soit $C$ une courbe régulière plane fermée simple convexe paramétrée par la longueur d'arc par l'application $[0,\ell]\to\Rr^2, t\mapsto c(t)$. Un coin est un point de la courbe où la fonction courbure a une dérivée nulle. Le but de l'exercice est de montrer que la courbe $C$ a au moins trois coins. On suppose que $C$ n'est pas un cercle. On notera $v(t)=\dot{c}(t)$ et $\gamma(t)=\ddot{c}(t)$ et $\kappa(t)$ la courbure au point de paramètre $t$. \begin{enumerate} \item Montrer que $C$ a au moins deux coins distincts $P$ et $Q$. Faire une figure. \item Montrer à l'aide d'une intégration par partie que $\int_0^\ell \dot{\kappa}(t)c(t)=0$. \item On suppose que $P$ et $Q$ sont sur l'axe des $x$ et qu'il n'y a pas d'autres coins. Aboutir à une contradiction. \item Montrer que la courbe $C$ a au moins quatre coins. \end{enumerate} \finenonce{007693} \finexercice \exercice{7694, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007694}{} On considère dans $\Rr^3$ euclidien le cylindre $\mathcal{C}$ d'équation $x^2+y^2=1$ muni de la métrique riemannienne restriction du produit scalaire de $\Rr^3$. \begin{enumerate} \item Montrer que $\mathcal{C}$ est une surface régulière. \item Montrer que l'application $F: ]-\pi,\pi[\times\Rr\to \Rr^3$, $(\theta,h)\mapsto (\cos\theta,\sin\theta,h)$ donne un paramétrage de $\mathcal{C}$ au voisinage du point $p$ de coordonnées $(1,0,0)$. \item Calculer la matrice $G(u)$ de la première forme fondamentale $I$ dans la base $$(X_\theta(\theta,h):=\frac{\partial F}{\partial \theta}(\theta,h), X_h:=\frac{\partial F}{\partial h}(\theta,h))$$ de $T_{F(\theta,h)}\mathcal{C}$ correspondant à ce paramétrage $F$. \item Déterminer un champs de vecteurs normaux unitaires $N(\theta,h)$ au point $F(\theta,h)$. \item Calculer les symboles de Christoffel de la base $(X_\theta(\theta,h),X_h(\theta,h))$ de $T_{F(\theta,h)}\mathcal{C}$. \item Soit $a$ un nombre réel fixé et $c :\Rr\to S$, $t\mapsto (\cos t,\sin t,at)$ la courbe paramétrée tracée sur le cylindre $\mathcal{C}$. Exprimer le vecteur vitesse au point de paramètre $t$ dans la base $(X_\theta(u), X_h)$ de $T_{F(\theta,h)}\mathcal{C})$. \item Les courbes paramétrées précédentes sont-elles des géodésiques ? \item Les sections planes du cylindre paramétrées par la longueur d'arc sont-elles des géodésiques ? \end{enumerate} \finenonce{007694} \finexercice \exercice{7695, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007695}{} Montrer que l'image d'une géodésique par une isométrie entre deux surfaces munies de métriques riemanniennes est une géodésique. Retrouver les géodésiques du cylindre $\mathcal{C}$ d'équation $x^2+y^2=1$ de l'exercice précédent. \finenonce{007695} \finexercice \exercice{7696, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007696}{Métrique riemannienne} Soit $\kappa\in\Rr^+$. On considère sur le plan affine $\Rr^2$, la métrique riemannienne donnée par $$g_{ij}(x_1,x_2)=\frac{1}{(1+\kappa(x^2+y^2))^2}\begin{pmatrix}1&0\\ 0&1\end{pmatrix}$$ dans la paramétrisation $Id$ de $\Rr^2$. \begin{enumerate} \item Calculer les symboles de Christoffel, par la formule $$\Gamma_{ij}^k=\frac{1}{2}\sum_{m} \left(\frac{\partial g_{im}}{\partial u^j} +\frac{\partial g_{jm}}{\partial u^i}-\frac{\partial g_{ij}}{\partial u^m}\right)g^{mk}.$$ \item On rappelle la formule des coefficients de l'endomorphisme de courbure $$R(X_i,X_j)X_k=\sum_l \left(\frac{\partial\Gamma_{kj}^l}{\partial u^i} -\frac{\partial\Gamma_{ki}^l}{\partial u^j} +\sum_m\left(\Gamma_{mi}^l\Gamma_{kj}^m-\Gamma_{mj}^l\Gamma_{ki}^m\right) \right)X_l$$ Calculer la courbure de Gauss de $(\Rr^2,g)$. \end{enumerate} \finenonce{007696} \finexercice \exercice{7697, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007697}{} \begin{enumerate} \item La courbe paramétrée suivante est-elle régulière ? $$\begin{array}{ccc} c: \Rr &\to&\Rr ^3\\ t&\mapsto& \left(\begin{array}{c}t\cos t \\ t\sin t\\ t\end{array}\right). \end{array}$$ \item On fixe deux nombres réels $a0$ et qu'au point de paramètre $\tau$, $\| c(\tau)\| = r$. \begin{enumerate} \item Rappeler la valeur absolue de la courbure d'un cercle de rayon $r$. \item Montrer en dérivant une fois la fonction $\phi : t\mapsto \| c(t)\|^2$ que $\ddot{c}(\tau)$ est colinéaire à $c(\tau)$. \item Montrer en dérivant à nouveau la fonction $\phi$ que la courbure en $\tau$ vérifie $|\kappa(\tau)|\geq 1/r$. \item Interpréter graphiquement ce résultat. \end{enumerate} \finenonce{007710} \finexercice \exercice{7711, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007711}{} \begin{enumerate} \item Déterminer une équation cartésienne du plan tangent à la surface $\mathcal{S}$ de $\Rr^3$ paramétrée par $F : (u,v)\mapsto (u+v^2,u^2-v^2,v)$ au point $M(u_0,v_0)$ de paramètres $(u_0,v_0)$. \item Déterminer une équation cartésienne du plan tangent à la surface $\Sigma$ de $\Rr^3$ d'équation $x^5+y^5+z^5=1$ au point $M(x_0,y_0,z_0)$ de coordonnées $(x_0,y_0,z_0)$. \item Soit $U$ un ouvert de $\Rr^2$ et $f~:U\to \Rr$ une application de classe $\mathcal{C}^\infty$. Déterminer une équation cartésienne du plan tangent au graphe de $f$ en chacun de ses points. \end{enumerate} \finenonce{007711} \finexercice \exercice{7712, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007712}{} \begin{enumerate} \item Déterminer les plans tangents et un champs de vecteurs normaux unitaires au paraboloïde hyperbolique $\mathcal{P}$ d'équation $z=y^2-x^2$ au voisinage du point $A(0,0,0)$ de coordonnées $(0,0,0)$. \item Déterminer l'application de Weingarten au point $A$ du paraboloïde hyperbolique $\mathcal{P}$. \item En déduire la courbure de Gauss et les directions principales du paraboloïde hyperbolique $\mathcal{P}$ au point $A$. \end{enumerate} \finenonce{007712} \finexercice \exercice{7713, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007713}{} On considère la sphère de centre $0$ et de rayon $1$ de $\Rr^3$. La projection stéréographique de centre le pôle Nord sur le plan de hauteur nulle (d'équation $z=0$) conserve-t-elle les longueurs ? les angles ? les aires ? \finenonce{007713} \finexercice \exercice{7714, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007714}{} L'intersection de deux surfaces régulières de $\Rr^3$ est-elle une courbe régulière de $\Rr^3$ ? \finenonce{007714} \finexercice \section{ 353.00 Espace tangent, application linéaire tangente } \exercice{6793, gijs, 2011/10/16} \enonce{006793}{} Soit $f:\Rr^n \to \Rr^p$ une fonction dérivable et soit $M = f^{-1}(\mathbf{0})$. On suppose que $M$ est une sous-variété de $\Rr^n$ de dimension $k$. \begin{enumerate} \item Donner la définition d'un vecteur tangent à $M$ au point $x \in M$. Donner la définition d'un champ de vecteurs sur $M$. \item Soit $f$ une fonction sur $M$ et $\alpha$ une 1-forme sur $M$. Donner la définition de $df$ sans utiliser une carte de $M$. Donner la définition de $d\alpha$. \item Soit $X$ un vecteur tangent à $M$ au point $x\in M$. Montrer que $\bigl(\ df|_x(X) \equiv\ \bigr)\ Xf = \mathbf{0}$. En déduire que $X \in \operatorname{ker}(J(x))$ (où $J(x)$ est la matrice jacobienne de $f$ en $x$). \item Soit $X$ un vecteur tangent $\underline{ \text{à\ } \Rr^n}$ au point $x\in M$, et supposons que $Xf = \mathbf{0}$, et que $\operatorname{rang}(J(x)) = p$. Montrer que $k=n-p$ et que $X$ est un vecteur tangent $\underline{ \text{à }M}$. \end{enumerate} \finenonce{006793} \finexercice \exercice{7664, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007664}{Applications régulières ?} \begin{enumerate} \item La restriction à la surface d'équation $x^2+y^2+z^2-6x=-5$ de la fonction $(x,y,z)\mapsto 5x^6+7xy^4-2$ est-elle différentiable ? \item La restriction à la surface d'équation $x^2+y^2+z^2-6x=-5$ de la fonction $(x,y,z)\mapsto \sqrt{|x|}$ est-elle différentiable ? \end{enumerate} \finenonce{007664} \finexercice \exercice{7665, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007665}{Difféomorphismes} \begin{enumerate} \item Soit $U$ un ouvert de $\Rr^2$ et $f~:U\to \Rr$ une application de classe $\mathcal{C}^\infty$. Montrer que le graphe de $f$ est difféomorphe à $U$. \item Les surfaces $\mathcal E$ d'équation $2x^2+3y^2+4z^2=1$ et $\mathcal S$ d'équation $x^2+y^2+z^2=4$ sont-elles difféomorphes ? \item Les surfaces $\mathcal C$ d'équation $2x^2+3y^2=1$ et $\mathcal S$ d'équation $x^2+y^2+z^2=4$ sont-elles difféomorphes ? \end{enumerate} \finenonce{007665} \finexercice \exercice{7666, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007666}{Détermination de plan tangent} \begin{enumerate} \item Déterminer le plan tangent en $A(1,-1,-1)$ à la surface paramétrée par $(u,v)\mapsto (u+v^2,u^2-v^2,v)$. \item Déterminer le plan tangent en $A(1,1,-1)$ à la surface d'équation $x^5+y^5+z^5=1$. \item Soit $U$ un ouvert de $\Rr^2$ et $f~:U\to \Rr$ une application de classe $\mathcal{C}^\infty$. Déterminer le plan tangent au graphe de $f$ en chacun de ses points. \end{enumerate} \finenonce{007666} \finexercice \exercice{7667, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007667}{Plan tangent} Soit $S$ la surface de $\Rr^3$ d'équation $2(2z^2+y^2)+x=0$. \begin{enumerate} \item La surface $S$ est-elle régulière ? \item Paramétrer la surface $S$ (de manière polynomiale) en prenant les paramètres $u$ et $v$ parmi les variables $x$, $y$ et $z$. \item Déterminer une base de l'espace tangent à la surface $S$ en $A(-6,1,-1)$. \item Calculer un vecteur normal à la surface $S$ en $A(-6,1,-1)$. \item Le vecteur $V = (27,-29,-1)$ appartient-il au plan tangent à $S$ en $A (-6,1,-1)$ ? \end{enumerate} \finenonce{007667} \finexercice \exercice{7668, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007668}{Plan tangent} \begin{enumerate} \item Déterminer une équation cartésienne du plan tangent à la surface $\mathcal{S}$ de $\Rr^3$ paramétrée par $F : (u,v)\mapsto (u+v^2,u^2-v^2,v)$ au point $M(u_0,v_0)$ de paramètres $(u_0,v_0)$. \item Déterminer une équation cartésienne du plan tangent à la surface $\Sigma$ de $\Rr^3$ d'équation $x^5+y^5+z^5=1$ au point $M(x_0,y_0,z_0)$ de coordonnées $(x_0,y_0,z_0)$. \item Soit $U$ un ouvert de $\Rr^2$ et $f~:U\to \Rr$ une application de classe $\mathcal{C}^\infty$. Déterminer une équation cartésienne du plan tangent au graphe de $f$ en chacun de ses points. \end{enumerate} \finenonce{007668} \finexercice \exercice{7669, mourougane, 2021/08/11} \enonce{007669}{Détermination de minima} Dans tout l'exercice, $r$ et $h$ parcourent $]0,+\infty[$. \begin{enumerate} \item Déterminer le volume $V(r,h)$ d'un cylindre plein de hauteur $h$ et de rayon $r$. \item Déterminer l'aire $A(r,h)$ d'une casserole de hauteur $h$ et de rayon $r$. \item Montrer que le sous-ensemble de $\Rr^3$ avec coordonnées $(r,h,v)$ d'équation $1=V(r,h)$ est une surface régulière. \item Déterminer le gradient de la fonction $\alpha : (r,h,v)\mapsto A(r,h)$ et celui de la fonction $\nu :(r,h,v)\mapsto V(r,h)-1$ \item Soit $(r_0,h_0,v_0)$ un minimum de la fonction $\alpha$ sur la surface d'équation $1=V(r,h)$. Comparer $grad _{(r_0,h_0,v_0)}\alpha$ et $grad _{(r_0,h_0,v_0)}\nu$. \item Déterminer le minimum de $A(r,h)$ sur la surface d'équation $V(r,h)=1$. Interpréter ce résultat. \end{enumerate} \finenonce{007669} \finexercice \section{ 354.00 Champ de vecteurs } \exercice{6776, gijs, 2011/10/16} \enonce{006776}{Questions de cours} \begin{enumerate} \item Donner les définitions de : \begin{enumerate} \item une norme sur un espace vectoriel, \item un espace vectoriel normé complet, \item une sous-variété $M$ de $\Rr^n$ de dimension $k$, \item un champ de vecteurs sur $M$, \item un champ de vecteurs complet sur $M$. \end{enumerate} \item Enoncer le théorème des fonctions implicites. \item Soit $A\subset \Rr^n$ compact, soit $\mathcal{C}^0(A) = \{\,f:A \to \Rr \mid f \text{ continue }\,\}$, et $ ||f||_\infty = \sup_{x\in A} |f(x)|$. Montrer que $(\mathcal{C}^0(A), ||{\ }||_\infty)$ est un espace de Banach. \end{enumerate} \finenonce{006776} \finexercice \exercice{6777, gijs, 2011/10/16} \enonce{006777}{} Soit $M\subset \Rr^n$ une sous-variété de dimension $k$, et soit $X$ un champ de vecteurs sur $M$. On définit $D = \{\,m\in M\mid X(m) \neq 0\,\}$ et $S = \overline D = \text{ fermeture } D$. On vous demande de démontrer l'énoncé : ``si $S$ est compact, alors $X$ est complet''. Les questions suivantes peuvent vous guider. \begin{enumerate} \item Pour $x \notin S$ trouver la courbe intégrale maximale $\gamma : J_x \to M$ passant par $x$. \item Montrer que si $x\in S$, et si $\gamma : J \to M$ est une courbe intégrale passant par $x$, alors $\forall\ t\in J\ :\ \gamma(t) \in S$. \item En utilisant la compacité de $S$, montrer que $X$ est complet (sur $M$ !). \end{enumerate} \finenonce{006777} \finexercice \exercice{6778, gijs, 2011/10/16} \enonce{006778}{} Soient $M\subset \Rr^n$ et $N\subset \Rr^p$ deux sous-variétés de dimension $k$ et $\ell$ respectivement. Soit $F : M \to N$ une application différentiable et soit $X$ un champ de vecteurs sur $M$. Trouver un contre exemple pour l'énoncé : $$F(m) = F(\widehat m) \Longrightarrow TF(m)(X(m)) = TF(\widehat m)(X(\widehat m))\ .$$ Rappel : $TF(m) \equiv F'(m)$ est la ``dérivée'' de $F$ au point $m$. \finenonce{006778} \finexercice \exercice{6779, gijs, 2011/10/16} \enonce{006779}{} Soit $\phi_2 : \Rr^2 \to S^2 \subset \Rr^3$ la carte de la sphère $S^2$ donnée par la projection stéréographique du p\^ole nord. En identifiant $\Rr^2$ avec le plan complex $\Cc$, on définit l'application $F : \Rr^4 \to S^2$ par : $$F(x,y,z,t) = \phi_2(\frac{z+it}{x+iy})\ . $$ \begin{enumerate} \item Calculer l'expression explicite de $F$ et montrer que la restriction de $F$ à la sphère $S^3 \subset \Rr^4$ est une application $F : S^3 \to S^2$ qui est bien définie. \item Sur $\Rr^4$ on définit le champ de vecteurs $$X(x,y,z,t) = x \frac\partial{\partial y} - y \frac\partial{\partial x} + z \frac\partial{\partial t} - t \frac\partial{\partial z}\ . $$ Calculer le flot de $X$; est ce que $X$ est complet ? \item En utilisant le résultat de 2., montrer que si $m\in S^3$, alors $X(m) \in T_m S^3$. \item Pour tout $m\in S^3$ calculer $TF(m)(X(m)) \in T_{F(m)} S^2$. \end{enumerate} \finenonce{006779} \finexercice \exercice{6794, gijs, 2011/10/16} \enonce{006794}{} Soit $f:\Rr^4 \to \Rr^2$ défini par $f(x_1,x_2,x_3,x_4) = (x_1^2 + x_2^2 -1, x_3^2 + x_4^2 -1)$, soit $M = f^{-1}(0,0)$, et soit $X$ le champ de vecteurs sur $\Rr^4$ défini par~: $$ X|_x = x_1 \frac\partial{\partial x_2} - x_2 \frac\partial{\partial x_1} + \alpha ( x_3 \frac\partial{\partial x_4} - x_4 \frac\partial{\partial x_3})\ , $$ où $\alpha\in \Rr$ est un paramètre. \begin{enumerate} \item Montrer que pour tout $(x_1,x_2,x_3,x_4) \equiv x\in M$ le vecteur $X|_x$ est tangent à $M$. \item Exprimer les vecteurs tangents $X|_x$, $x\in M$ dans la carte $$(\theta,\psi) \mapsto (\cos(\theta), \sin(\theta), \cos(\psi), \sin(\psi))\ .$$ \item Calculer le flot $\phi_t$ du champ de vecteurs $X|_x$, $x\in M$ sur $M$ (par exemple en utilisant la carte $(\theta,\psi)$). Est ce que ce champ est complet\,? \item Déterminer les 6-uplets $(\alpha,t,x_1,x_2,x_3,x_4)$, $(x_1,x_2,x_3,x_4) \in M$, tels que $\phi_t(x_1,x_2,x_3,x_4) = (x_1,x_2,x_3,x_4)$. \end{enumerate} \finenonce{006794} \finexercice \exercice{6800, gijs, 2011/10/16} \enonce{006800}{} Soit $M \subset \Rr^3$ le cylindre défini par l'équation $x^2 + y^2 = 1$. Dans la carte $(\theta,z) \mapsto (\cos(\theta), \sin(\theta), z)$ de $M$ on donne le champ de vecteurs $X$ défini par~: $$ X(\theta,z) = \frac{\partial}{\partial\theta}{\Big\vert_{(\theta,z)}} + \tfrac12 z(z^2-1) \frac{\partial}{\partial z}{\Big\vert_{(\theta,z)}}\ . $$ \begin{enumerate} \item Dire pourquoi $X$ définit un champ de vecteurs sur $M$. \item Esquisser le champ $X$ dans la carte et calculer son flot $\phi_t$ sur $M$. \item Le champ $X$ est-il complet~? \item Calculer les points $(t,\theta,z)$ tel que $\phi(t,\theta,z) = (\theta,z)$ {\bf sur le cylindre $M$}. \end{enumerate} \finenonce{006800} \finexercice\exercice{6802, gijs, 2011/10/16} \enonce{006802}{} \begin{enumerate} \item Donner la définition d'une sous-variété $M$ de $\Rr^n$ de dimension $k$. \item Enoncer le théorème des fonctions implicites. \item Soit $M = \{\,(x,y,z)\in \Rr^3 \mid x^2 + y^2 - z^2 +1 = 0\ ,\ z>0\,\}$. Montrer que $M$ est une sous-variété de $\Rr^3$ de dimension 2. \medskip On définit la projection stéréographique $s$ de $\Rr^3 \setminus\{\,(x,y,z)\mid z=-1\,\}$ sur $\Rr^2 \cong \{\,(x,y,z) \mid z=0\,\}$ par la procédure suivante. Pour un point $P=(x,y,z)$ on trace la droite $d=\overline{PS}$ où $S=(0,0,-1)$. L'image $s(P)$ est l'intersection de la droite $d$ avec le plan $z=0$. \item Calculer explicitement l'application $s$. \item Calculer l'image $D= s(M)$. \item Calculer ``l'inverse'' de l'application $s:M \to D$. \medskip Soit $X$ le champ de vecteurs sur $\Rr^3$ donné par $$X_{|(x,y,z)} = x \frac{\partial}{\partial z}_{|(x,y,z)} + z \frac{\partial}{\partial x}_{|(x,y,z)} \ \cong\ (z,0,x)\ . $$ \item Calculer le flot du champ $X$. \item Montrer que $X$ est tangent à $M$, c'est-à-dire que pour tout $(x,y,z)\in M$ le vecteur $X_{|(x,y,z)}$ appartient à l'espace tangent $T_{(x,y,z)}M$. \item Calculer l'expression de $X$ dans la carte $D$ de $M$. \item Calculer le flot du champ sur $D$ obtenu en i). \end{enumerate} \finenonce{006802} \finexercice \exercice{6803, gijs, 2011/10/16} \enonce{006803}{} Pour la sphère $S^2$ on considère la carte $U= \ ]0,\infty[\ \times\ ]0,2\pi[\ $ donnée par~: $$ \varphi : \ U \to S^2 \quad,\quad (r,\theta) \mapsto (\frac{2r}{r^2+1} \cos(\theta), \frac{2r}{r^2+1} \sin(\theta), \frac{r^2-1}{r^2+1} )\ . $$ Dans la carte $U$ on donne le champ de vecteurs $X$ par~: $$ X_{|(r,\theta)} = f(r) \frac{\partial}{\partial r}_{|(r,\theta)} \ \cong\ (f(r),0)\ . $$ \begin{enumerate} \item Calculer le champ sur $S^2$, c'est-à-dire les vecteurs $\varphi'(r,\theta) X_{|(r,\theta)}$. \item Soit $f(r) = r^2$. Existe-t-il un champ de vecteurs continue $Y$ sur la sphère $S^2$ {\bf entière} telle que $Y_{|\varphi(r,\theta)} = \varphi'(r,\theta) X_{|(r,\theta)}$ pour tout $(r,\theta)$ ? \item Même question qu'en 2. dans le cas $f(r) = \dfrac{r^2-1}{r^2+1}$. \item Quelle condition nécessaire et suffisante (la plus simple possible) doit vérifier la fonction continue $f: \ ]0,\infty[\ \to \Rr$ pour qu'il existe un champ de vecteurs continue $Y$ sur la sphère $S^2$ {\bf entière} telle que $Y_{|\varphi(r,\theta)} = \varphi'(r,\theta) X_{|(r,\theta)}$ pour tout $(r,\theta)$ ? \end{enumerate} \finenonce{006803} \finexercice \exercice{6823, gijs, 2011/10/16} \enonce{006823}{} Soit $Y:\Rr^2 \to \Rr^2$ le champ de vecteurs $Y(x,y) = (1,1+y^2)$. \begin{enumerate} \item Trouver les solutions maximales du champ $Y$, y compris leur domaine de définition. \item Esquisser le portrait de phase du champ $Y$. \item Déterminer le flot du champ $Y$, y compris son domaine de définition. \end{enumerate} \finenonce{006823} \finexercice \exercice{6829, gijs, 2011/10/16} \enonce{006829}{} Soit $Y:\Rr^2 \to \Rr^2$ le champ de vecteurs $Y(x,y) = (x^2,xy)$. \begin{enumerate} \item Trouver les solutions maximales du champ $Y$, y compris leur domaine de définition. \item Esquisser le portrait de phase du champ $Y$. \item Déterminer le flot du champ $Y$, y compris son domaine de définition. \end{enumerate} \finenonce{006829} \finexercice \exercice{6840, gijs, 2011/10/16} \enonce{006840}{} Soit $Y:\Rr^2 \to \Rr^2$ le champ de vecteurs $Y(x,y) = (x^2y,xy^2)$. \begin{enumerate} \item Si $\gamma(t) = (x(t), y(t))$ est solution de l'équation $\gamma'(t) = Y(\gamma(t))$, que peut-on dire de la dérivée de $y/x$ par rapport à $t$~? \item Trouver les solutions maximales du champ $Y$ (y compris leur domaine de définition). \item Esquisser le portrait de phase du champ $Y$. \item Déterminer le flot du champ $Y$ (y compris son domaine de définition). \end{enumerate} \finenonce{006840} \finexercice \exercice{6846, gijs, 2011/10/16} \enonce{006846}{} Soit $U = \{(x,y) \in \Rr^2 \mid y\neq0\,\}$ et soit $Y:U \to \Rr^2$ le champ de vecteurs $Y(x,y) = (1, \dfrac{2x}{3y^2})$. \begin{enumerate} \item Trouver les solutions maximales du champ $Y$, y compris leur domaine de définition (n'oubliez pas qu'on est dans $U$). \item Esquisser le portrait de phase du champ $Y$. \item Déterminer le flot du champ $Y$, y compris son domaine de définition. \end{enumerate} \finenonce{006846} \finexercice \section{ 355.00 Forme différentielle } \exercice{6780, gijs, 2011/10/16} \enonce{006780}{} Soit $\alpha(x,y,z,t) = x\,dy - (1+t^2)y\,dx - z^3\,dt$ une 1-forme sur $\Rr^4$, soit $D = \{\,(x,y,z,t) \in S^3 \mid t=0, z\geq 0\,\}$, et soit $C = \partial D$ le bord de $D$. \begin{enumerate} \item Calculer la 2-forme $d\alpha$ sur $\Rr^4$. \item Montrer que $D$ est une demi-sphère de dimension 2 et que $C$ est un cercle. \item En utilisant des coordonnées sphériques, donner une carte $\phi_D : I_1 \times I_2 \to D \subset S^3 \subset \Rr^4$, et une carte $\phi_C : I_3 \to C \subset D \subset \Rr^4$, où les $I_j \subset \Rr$ sont des intervalles ouverts. \item Calculer explicitement $\int_D d\alpha$ et $\int_{\partial D} \alpha$. Est ce que votre résultat confirme le théorème de Stokes ? \end{enumerate} \finenonce{006780} \finexercice\exercice{6785, gijs, 2011/10/16} \enonce{006785}{} Dans tout ce qui suit, on note $(x,y)$ les coordonnées sur $\Rr^2 = \Cc$, $z=x+ iy$, et on sépare systématiquement les parties réelle et imaginaire de tous les objets. Soit $z_o \in \Cc$, et soit $C_r$, $r\in \Rr^+$ la courbe donnée par l'équation $|z-z_o|=r$. \begin{enumerate} \item Soit $f:\Cc\setminus\{z_o\} \to \Cc$ l'application $f(z) = (z-z_o)^n$. Calculer pour tout $n\in \Zz$ l'intégrale $\int_{C_r} f(z)\,dz$ (indication~: utiliser une variante des coordonnées polaires). \medskip Soit $g,h : \Cc\setminus\{z_o\} \to \Rr$ deux applications de classe $C^1$ verifiant les équations~: $$ \frac{\partial g}{\partial x} = \frac{\partial h}{\partial y}\qquad\&\qquad \frac{\partial g}{\partial y} = -\frac{\partial h}{\partial x}\ , $$ et soit $f:\Cc\setminus\{z_o\} \to \Cc$ l'application $f(x,y) = g(x,y) + i h(x,y)$. \item Montrer que la 1-forme $ \frac{f(z)}{z-z_o}\,dz$ sur $\Rr^2\setminus\{z_o\}$ est fermée (ne pas oublier de séparer la partie réelle et imaginaire). En déduire (Stokes!) que $ \int_{C_r} \frac{f(z)}{z-z_o}\,dz$ est indépendant de $r\in \Rr^+$. \item En faisant un développement limité de $g$ et de $h$ d'ordre 1 autour $z_o = (x_o,y_o)$, montrer que $$ \int_{C_r} \frac{f(z)}{z-z_o}\,dz = 2\pi i\,\, f(z_o)\ . $$ Indication : utiliser le résultat de 1.; vous avez le droit d'être un petit peu vague en ce qui concerne les $\varepsilon$ dans le développement limité. \end{enumerate} \finenonce{006785} \finexercice \exercice{6795, gijs, 2011/10/16} \enonce{006795}{} Soit $M \subset \Rr^3$ le cylindre défini par l'équation $x^2 + y^2 = 1$, soit $V\subset \Rr^3$ l'ensemble défini par $V = \{\,(x,y,z)\mid z\ge 0\ \& \ (x/2)^2 + (2y)^2 + z^2 \le 1\,\}$, soit $K = M \cap V$, et soit $\partial K$ le bord de $K$. Soit finalement $\alpha$ la 1-forme sur $\Rr^3$ définie par $\alpha = z^2x\,dy - z^2y\,dx + (xz-yz^3)\,dz$. \begin{enumerate} \item Calculer $d\alpha$. \item Exprimer $\alpha$ et $d\alpha$ dans la carte $(\theta,z) \mapsto (\cos(\theta), \sin(\theta), z)$ de $M$. \item Exprimer $K$ et $\partial K$ dans cette carte. \item Calculer séparément $\int_K d\alpha$ et $\int_{\partial K} \alpha$ sans utiliser le théorème de Stokes. Est ce que votre résultat confirme ce théorème\,? \end{enumerate} \finenonce{006795} \finexercice \exercice{6801, gijs, 2011/10/16} \enonce{006801}{} Soit $\alpha = f(x,y)\,dx + g(x,y)\,dy$ une 1-forme fermée ($d\alpha=0$) sur $\Rr^2$, et soient $(x_0, y_0)$, $(x_1, y_1)$, $(x, y)$ trois points. On définit les courbes $\gamma_0, \gamma_1 : [0,1] \to \Rr^2$ par~: $$ \gamma_i(t) = (1-t) (x_i,y_i) + t(x,y)\ , $$ et les fonctions $h_0, h_1 : \Rr^2 \to \Rr$ par~: $ h_i(x,y) = \int_{\gamma_i} \alpha$. \begin{enumerate} \item Montrer que $dh_i = \alpha$ (indication~: calculer $\tfrac{d}{dt} f(\gamma_i(t))$ et $\tfrac{d}{dt} g(\gamma_i(t))$ et utiliser $d\alpha = 0$). \item Montrer que $h_1 - h_0$ est constante et donner une expression explicite en terme de $\alpha$ pour cette constante (indication~: utiliser le théorème de Stokes). \item Sur $\Rr^2 \setminus \{\mathbf{0}\}$ on donne la 1-forme $\alpha = \dfrac{x\,dy - y\,dx}{\sqrt{x^2+y^2}}$. Montrer que $d\alpha=0$, et dire pourquoi il n'existe pas de fonction $h: \Rr^2 \setminus \{\mathbf{0}\} \to \Rr$ telle que $\alpha = dh$. \item Pourquoi la construction donnée en 1. ne marche-t-elle pas dans le cas de $\Rr^2 \setminus \{\mathbf{0}\}$ (voir 3.)~? \end{enumerate} \finenonce{006801} \finexercice \exercice{6804, gijs, 2011/10/16} \enonce{006804}{} Dans $\Rr^3$ on se donne $M = \{\,(x,y,z) \mid x^2 + y^2 - z^2 -1 = 0\,\}$, avec la carte $\varphi$ définie par~: $$ \varphi\ :\ \ ]0,2\pi[\ \times \Rr \quad ,\quad (\theta,z) \mapsto (\left(\sqrt{z^2+1}\,\right) \cos(\theta), \left(\sqrt{z^2+1}\,\right) \sin(\theta), z)\ . $$ On considère aussi la 2-forme $\alpha = z\,dx\wedge dy$ sur $\Rr^3$. \begin{enumerate} \item Calculer la 3-forme $d\alpha$. \item Calculer la 2-forme $\alpha$ sur $M$ dans la carte $\varphi$. \smallskip Soit $a0$. \'Etudier la diff\'erientiabilit\'e \`a l'origine de l'application $f:\Rr^2 \to \Rr$ qui est d\'efinie par $f(0,0) =0$ et par $$ f(x,y) = \frac{|xy|^\alpha}{\sqrt{x^2+3y^2}} \quad \text{si} \;\; (x,y) \neq (0,0)\; .$$ \finenonce{002510} \finexercice \exercice{2511, mayer, 2009/04/01} \enonce{002511}{} Soit $f:\Rr ^2 \to \Rr$ d\'efinie par $$f(x,y)=\frac{xy^2}{x^2+y^2} \quad \text{si} \quad (x,y)\neq (0,0)$$ et $f(0,0)=0$. Montrer que $f$ est continue sur $\Rr^2$, que pour tout $u\in \Rr^2 \setminus \{0\}$ $\frac{\partial f}{\partial u}(0,0)$ existe, mais que $f$ n'est pas diff\'erentiable en $(0,0)$. \finenonce{002511} \finexercice \exercice{2512, mayer, 2009/04/01} \enonce{002512}{} Soit $X= {\cal C} ([0,1])$ muni de la norme uniforme et soit $f$ une application de ${\cal C}^1 (\Rr , \Rr )$. On note $F$ l'application $\varphi \mapsto f\circ \varphi $ de $X$ dans $X$. Montrer que pour chaque $\varphi \in X$, $DF(\varphi ) $ est l'op\'erateur lin\'eaire de multiplication par $f'\circ \varphi $ dans $X$: $$ DF(\varphi )\cdot ( h ) = h \, f'\circ \varphi \; ,$$ et que $DF$ est continue. \finenonce{002512} \finexercice \exercice{2513, mayer, 2009/04/01} \enonce{002513}{} Soit ${\cal F}$ l'alg\`ebre des matrices carr\'es $p\times p$ munie d'une norme. \begin{enumerate} \item Soit $f:\mathcal{F} \to \Rr$ l'application qui associe \`a une matrice $A$ son determinant $f(A) = \det (A)$. Montrer qu'elle est diff\'erentiable et d\'eterminer $Df$. \item Pour $n\geq 1$, on consid\`ere l'application $\varphi _n (A) =A^n $ de ${\cal F} $ dans ${\cal F}$. Montrer qu'elle est diff\'erentiable en toute matrice $A\in {\cal F}$. \item On d\'esigne par $U$ l'ensemble des matrices inversibles de ${\cal F}$. Montrer que $U$ est un ouvert de ${\cal F}$ et calculer la diff\'erentielle de l'application $A\mapsto A^{-1}$ de $U$ dans $U$. \end{enumerate} \finenonce{002513} \finexercice \exercice{2514, mayer, 2009/04/01} \enonce{002514}{} \begin{enumerate} \item Que peut-on dire de la diff\'erentiabilit\'e de l'application $f:\Rr^2 \to \Rr$ d\'efinie par $f(x_1,x_2) = \|x\| _\infty = \max{(|x_1|, |x_2|)}$? \item G\'en\'eraliser ceci \`a $f:{\cal F} \to \Rr$, $f(x) = \|x\| _\infty$, avec ${\cal F} = \Rr^n$ ou ${\cal F}$ l'ensemble des suites convergentes vers zero. \end{enumerate} \finenonce{002514} \finexercice \exercice{2515, mayer, 2009/04/01} \enonce{002515}{} Soit $f:\Rr^2 \to \Rr$ l'application $x=(x_1,x_2) \mapsto \|x\|_1=|x_1|+ |x_2|$. Est-ce qu'elle est diff\'erentiable? Consid\'erons maintenant $l^1$ l'espace des suites r\'eelles muni de la norme $\|x\|_1=\sum_{j=1}^\infty |x_j|$. \begin{enumerate} \item Montrer que pour toute forme lin\'eaire continue $L$ sur $l^1$ il existe une suite born\'ee $\alpha = (\alpha_1,\alpha_2,....)$ telle que $$ L(x) =\sum _{j=1}^\infty \alpha _j x_j \;\; .$$ \item Montrer que la norme $\|.\|_1 : l^1 \to \Rr$ n'est pas diff\'erentiable en aucun point de $l^1$ (raisonner par l'absurde en utilisant (1.)). \end{enumerate} \finenonce{002515} \finexercice \exercice{2516, mayer, 2009/04/01} \enonce{002516}{} Dans un espace norm\'e $({\cal F} , N)$, on consid\'ere l'application $x \mapsto N(x)$. Rappeler que, lorsque cette application $N$ est diff\'erentiable en $x\in {\cal F}$, alors $$ DN(x) \cdot (h) = \lim _{t\rightarrow 0} \frac{1}{t}\left( N (x +th) -N (x) \right)\; .$$ En d\'eduire que $N$ n'est pas diff\'erentiable en $0\in {\cal F}$. Supposons $N$ diff\'erentiable en $x\in {\cal F}$, alors justifier que $N$ l'est aussi en $\lambda x$, o\`u $\lambda >0$, et que $DN(x) =DN(\lambda x )$. En consid\'erant la d\'eriv\'ee en $\lambda =1$ de l'application $\lambda \mapsto N (\lambda x)$, montrer que $DN(x) \cdot (x)=N(x)$ et en d\'eduire $\|| DN(x) \|| =1$. \finenonce{002516} \finexercice \exercice{2517, mayer, 2009/04/01} \enonce{002517}{} Soit ${\cal E}$ un espace vectoriel r\'eel muni d'un produit scalaire $(x,y) \mapsto \langle x,y \rangle$ et de la norme associ\'ee $\|x\| = \langle x,x \rangle ^\frac{1}{2}$. Soit $u$ un endomorphisme continu de ${\cal E}$ que l'on suppose sym\'etrique, i.e. $$\langle u(x),y\rangle =\langle x,u(y)\rangle \quad \text{pour tout} \;\; x,y\in {\cal E} \; .$$ \begin{enumerate} \item Montrer que l'application $x\in {\cal E} \mapsto \langle u(x),x\rangle $ est diff\'erentiable sur ${\cal E}$ et calculer sa diff\'erentielle. L'application $x\mapsto \|x\|^2$ est donc diff\'erentiable. \item On d\'efinit une application $\varphi : {\cal E} \setminus \{0\} \to \Rr$ en posant $\varphi (x) = \frac{\langle u(x),x\rangle }{\langle x,x\rangle }$. \'Etablir qu'il s'agit d'une application diff\'erentiable. Calculer ensuite $D\varphi$. Montrer que, pour un \'el\'ement non nul $a\in {\cal E}$, on a $D\varphi (a) =0$ si et seulement si $a$ est vecteur propre de $u$. \end{enumerate} \finenonce{002517} \finexercice \exercice{2518, queffelec, 2009/04/01} \enonce{002518}{} \begin{enumerate} \item Soit $f$ une application r\'eelle continue et d\'erivable sur $]a,b[$ telle que $f'(x)$ ait une limite quand $x\buildrel{<}\over{\to}b$; alors $f$ se prolonge en une fonction continue et d\'erivable \`a gauche au point $b$. \item Soit $f$ une application continue et d\'erivable sur un intervalle $I\subset\Rr$, et de d\'eriv\'ee croissante; montrer que $f$ est convexe sur $I$ i.e. $f((1-t)x+ty)\leq (1-t)f(x)+tf(y)$ pour tous $x0$ tel que pour tout $(x,y)\in \overline{B_\rho((0,0))}$ (la boule ferm\'ee de centre $(0,0)$ et de rayon $\rho$) on a $||Dg{(x,y)}||\leq {\frac 1 2}$. \item Montrer que la fonction $g$ admet un unique point fixe dans $\overline{B_\rho((0,0))}$. \end{enumerate} \finenonce{002520} \finexercice \exercice{2521, queffelec, 2009/04/01} \enonce{002521}{} On consid\`ere l'application $F:{\Rr^2}\to{\Rr^2}$ d\'efinie par $F(x,y)=(\cos x-\sin y,\ \sin x-\cos y)$; on note $F^{(k)}$ l'application $F$ compos\'ee $k$-fois \begin{enumerate} \item Montrer que $||DF(x,y)||\leq \sqrt2$ pour tout $(x,y)$. \item En d\'eduire que la suite r\'ecurrente d\'efinie par $x_0,y_0$ et pour $n\geq 1$ $$x_{n+1}= {\frac 1 2}(\cos x_n-\sin y_n),\quad y_{n+1}= {\frac 1 2}(\sin x_n-\cos y_n)$$ converge pour tout $(x_0,y_0)$. Donnez l'\'equation que v\'erifie sa limite ? \end{enumerate} \finenonce{002521} \finexercice \exercice{2522, queffelec, 2009/04/01} \enonce{002522}{} Soit $f$ une application diff\'erentiable de $]a,b[\subset\Rr$ dans $\Rr^n$; on suppose qu'il existe $k>0$ tel que $$||f'(x)||\leq k||f(x)||, \hskip2mm \forall x\in]a,b[.$$ Montrer que si $f$ s'annule en un point $x_0\in ]a,b[$, $f$ est identiquement nulle dans $]a,b[$ (montrer que $E=\{x\in ]a,b[\ ;\ f(x)=0\}$ est ouvert). \finenonce{002522} \finexercice \exercice{2523, queffelec, 2009/04/01} \enonce{002523}{} Soit $E$ un espace de Banach, $U$ un ouvert de $E$ et $f$ une application diff\'eren\-tiable de $U$ dans $\Rr$ telle que l'on ait $||f'(x)||\leq k |f(x)|,\hskip2mm \forall x\in U$. Montrer que pour $x$ assez voisin de $a\in U$, $$|f(x)|\leq e^{k||x-a||}\ |f(a)|.$$ \emph{Indication :} consid\'erer l'application $t\in[0,1]\to f(a+t(x-a))$). \finenonce{002523} \finexercice \exercice{2524, queffelec, 2009/04/01} \enonce{002524}{} On consid\`ere l'application $F:{\Rr^2}\to{\Rr^2}$ d\'efinie par $F(x,y)=(x^2+y^2,y^2)$; on note $F^{(k)}$ l'application $F$ compos\'ee $k$-fois avec elle-m\^eme. On consid\`ere $\Omega=\{(x,y)\in {\Rr^2}\ /\ \lim_{k\to\infty}F^{(k)}(x,y)=(0,0)\}$. \begin{enumerate} \item V\'erifier que $(x,y)\in\Omega\Longleftrightarrow F(x,y)\in\Omega$. \item Montrer qu'il existe $\varepsilon>0$ tel que $||(x,y)||<\varepsilon\Longrightarrow||F'(x,y)||\leq{\frac 1 2}$; en d\'eduire que $0$ est int\'erieur \`a $\Omega$ puis que $\Omega$ est ouvert. \item Montrer que $\Omega$ est connexe. \end{enumerate} \finenonce{002524} \finexercice \exercice{2525, mayer, 2009/04/01} \enonce{002525}{} On consid\`ere l'application $F:\Rr ^2 \to \Rr ^2$ d\'efinie par $$F(x,y) = (x^2+y^2, y^2)\; .$$ Soit $\Omega = \{p\in \Rr^2 \, ; \; \lim _{k\rightarrow \infty } F^k (p) = (0,0)\}$. \begin{enumerate} \item V\'erifier que $p\in \Omega$ si et seulement si $F(p)\in \Omega$. \item Montrer qu'il existe $\delta >0$ tel que $\| | D F(p) \| | <\frac{1}{2}$ si $\|p\|<\delta$. En d\'eduire que $(0,0) $ est dans l'int\'erieur de $\Omega$ puis que $\Omega$ est un ouvert. \item Utiliser l'homog\'en\'eit\'e de $F$ pour montrer que $\Omega $ est connexe. \end{enumerate} \finenonce{002525} \finexercice \exercice{2526, mayer, 2009/04/01} \enonce{002526}{} Soit $\Omega$ un ouvert convexe de $\Rr^n$ et $f:\Omega \to \Rr^n$ une application de classe $C^1$ qui est injective sur $\Omega$ et telle que $Df(x)$ soit injective pour tout $x\in \Omega$. Montrer que, pour tous $a,b \in \Omega$, $$ \| f(b) -f(a)- Df(a) (b-a)\| \leq \| b -a \| \sup _{c\in [a,b]} \| Df(c) -Df(a)\| \; .$$ \finenonce{002526} \finexercice \exercice{6255, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006255}{} Soit $H$ un espace préhilbertien sur $\Rr$, et $f(x)=||x||$ de $H$ dans $\Rr$; montrer que $f$ est différentiable en tout point de $H\backslash\{0\}$, et calculer sa différentielle. (indic. étudier directement $||x+h||$ ou considérer la fonction composée $x\to||x||^2\to\sqrt{||x||^2}$.) Décrire le noyau Ker$f'(x)$ en tout $x\neq0$. \finenonce{006255} \finexercice \exercice{6256, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006256}{} Soit $a\in \Rr^n$ et $f:{\Rr^n}\backslash\{a\}\to {\Rr^n}$ définie par $f(x)={a-x\over ||x-a||^2}$. \begin{enumerate} \item Calculer $f'(x)$ pour tout $x\in{\Rr^n}\backslash\{a\}$. \item Montrer que $f'(x).h={Sh\over ||x-a||^2}$ où $S$ est la symétrie orthogonale d'axe $x-a$. Que peut-on dire de la transformation $f'(x)$ de ${\Rr^n}$ ? \end{enumerate} \finenonce{006256} \finexercice \exercice{6257, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006257}{} Soit $B$ une application bilinéaire de $E\times F$ dans $G$, où $E,F,G$ sont des evn de dimension finie. \begin{enumerate} \item Calculer $B'(a)$ sa différentielle en un point $a=(a_1,a_2)$ de $E\times F$. \item En déduire, pour $f$ et $g$ deux applications différentiables de $I$ intervalle de $\Rr$ dans $\Rr^3$, la différentielle de $t\to f(t)\wedge g(t)$ et de $t\to \langle f(t),g(t)\rangle$ en tout $t\in I$. \item Application : Soit $A$ un opérateur de $\Rr^n$ tel que $Ax\bot x$ pour tout $x$; montrer que $e^{tA}$ est une isométrie pour tout réel $t$. (Dériver $t\to ||e^{tA}x||^2$.) \end{enumerate} \finenonce{006257} \finexercice \exercice{6258, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006258}{} Soit $E$ et $F$ deux evn sur $\Cc$. Une application de $E$ dans $F$ $\Cc$-linéaire est $\Rr$-linéaire, mais la réciproque est fausse. \begin{enumerate} \item Soit $\varphi:E\to F$ une application $\Rr$-linéaire. Montrer que $\varphi$ est $\Cc$-linéaire si et seulement si $\varphi(ix)=i\varphi(x)$ pour tout $x\in E$. En déduire les applications de $\Rr^2$ dans $\Rr^2$ qui sont $\Cc$-linéaires. Soit $U$ un ouvert de $E$ et $f:U\to F$. On suppose $f$ $\Rr$-différentiable en $a\in U$. Il est clair que $f$ est $\Cc$-différentiable en $a$ si et seulement si $f'(a)$ est $\Cc$-linéaire. \item Si $f:{\Cc}\to\Cc$ s'écrit $f(z)=u(z)+iv(z)=f(x+iy)$ avec $u$ et $v$ réelles, qu'on identifie à $f(x,y)=(u(x,y),v(x,y))$, traduire à l'aide de a) ``$f$ est $\Cc$-différentiable en $a=\alpha+i\beta$''. En quels points les applications de $\Cc$ dans $\Cc$ sont-elles $\Cc$-différentiables : $f_1(z)=e^x$;\ $f_2(z)=|z|^2$;\ $f_3(z)=e^{x-iy}$ ? \item (extrait de septembre 99) Soit $U$ un ouvert de ${\Cc}$ et soit $f:U\to\Cc$ $\Cc$-différentiable en $a=\alpha+i\beta\in U$, telle que $f(a)\not=0$. Montrer que si $g=|f|$ est $\Cc$-différentiable en $a=\alpha+i\beta\in U$, alors $f'(a)=0$. \end{enumerate} \finenonce{006258} \finexercice \exercice{6259, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006259}{} \begin{enumerate} \item Montrer que l'identité des accroissements finis n'est pas vraie pour les fonctions vectorielles en considérant $f(x)=e^{ix}$. \item Si $f$ est une fonction continue sur $[a,b]$ et dérivable sur $]a,b[$, on a vu que $f'(]a,b[)$ est connexe. Montrer que ceci est faux pour les fonctions vectorielles en considérant $f(x)=(x^2\cos({1\over x}),x^2\sin({1\over x}))$. \end{enumerate} \finenonce{006259} \finexercice \exercice{6260, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006260}{} Soit $E=C([0,1],\Rr^n)$ et soit $F$ un sous-espace vectoriel de $E$ constitué de fonctions différentiables, telles que $$||f'(x)||\leq M, \hskip2mm \forall x\in[0,1],\hskip2mm \forall f\in F,\ ||f||\leq1$$ où $M$ est une constante fixée à l'avance. Montrer que la boule unité de $F$ est compacte; que peut-on dire de $F$ ? \finenonce{006260} \finexercice \exercice{6261, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006261}{} Soient $E,F$ des espaces normés, $\Omega$ un ouvert de $E$ et $f:\Omega \to F$ une application continue. \begin{enumerate} \item Soit $a$ un point de $\Omega$. Si $f$ est différentiable dans $\Omega \setminus \{a\}$ et si l'application $x\in \Omega \setminus \{a\} \mapsto Df(x)$ admet une limite $T\in {\cal L} (E,F)$ quand $x$ tend vers $a$ dans $\Omega$, montrer que $f$ est différentiable au point $a$ et que $Df(a)=T$ (appliquer le théorème des accroissements finis à la fonction $g: x\mapsto f(x) -T(x)$). \item Supposons $f$ différentiable dans $\Omega$. Montrer que $Df:\Omega \to {\cal L}(E,F) $ est continue en $a\in \Omega$ si et seulement si, pour tout $\epsilon >0$, il existe $\delta >0$ tel que $$ \|f(a+h)-f(a+k) -Df(a) (h-k) \| \leq \epsilon \| h-k \| \quad \text{si} \;\; \|h \| <\delta \; et \; \|k\| <\delta \; .$$ \item Supposons maintenant qu'il existe une application continue $x\in \Omega \mapsto T_x \in {\cal L} (E,F)$ telle que pour tout $x\in \Omega$ et tout $h\in E$ $$ \lim_{t\to 0 , t\neq 0} \frac{f(x+th)-f(x)}{t} =T_x (h) \; .$$ Montrer que $f$ est de classe ${\cal C}^1$ et que $Df(x)=T_x$ pour tout $x\in \Omega$. (On pourra considérer la fonction $g(t) = f(x+th)-tT_x (h)$.) \end{enumerate} \finenonce{006261} \finexercice \exercice{6262, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006262}{} Soient $E,F$ des espaces de Banach, $\Omega$ un ouvert connexe de $E$ et $f_n: \Omega \to F$ une suite d'applications différentiables. On suppose que cette suite vérifie : \begin{enumerate} \item[(i)] Il existe $x_0\in \Omega$ tel que $(f_n (x_0))$ converge dans $F$. \item[(ii)] La suite $(Df_n)$ converge uniformément sur toute boule fermée $B_F (a,r) \subset \Omega$. \end{enumerate} Alors, montrer que $(f_n)$ converge uniformément sur toute boule fermée de $\Omega$ et que, si $f(x) = \lim _{n\to \infty } f_n(x)$ et $L_x = \lim _{n\to \infty } Df_n(x)$, alors $f$ est différentiable avec $Df(a) = L_a$, $a\in \Omega$. \finenonce{006262} \finexercice \exercice{6263, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006263}{} Soit $\Omega$ un ouvert convexe de $\Rr^n$ et $f:\Omega \to \Rr^n$ une application de classe $C^1$ qui est injective sur $\Omega$ et telle que $Df(x)$ soit injective pour tout $x\in \Omega$. \begin{enumerate} \item Montrer que, pour tous $a,b \in \Omega$, $$ \| f(b) -f(a)- Df(a) (b-a)\| \leq \| b -a \| \sup _{c\in [a,b]} \| Df(c) -Df(a)\| \; .$$ \item Soit $(f_n)$ une suite de fonctions de classe $C^1$ telle que $f_n \to f$ et $Df_n \to Df$ uniformément sur tout compact de $\Omega$. On va montrer: {\it pour tout compact $K$ de $\Omega$ il existe $n_0$ tel que $f_n$ soit injective sur $K$ pour $n\geq n_0$.} \begin{itemize} \item En raisonnant par l'absurde, montrer qu'il existerait $K$ compact et, pour une infinité d'entiers $n$, des points $a_n, b_n \in K$ tels que $f_n(a_n) = f_n (b_n)$. \item Quitte à extraire, montrer qu'alors $b_n - a_n \to 0$. \item Utiliser (1.) pour en déduire une contradiction. \end{itemize} \end{enumerate} \finenonce{006263} \finexercice \exercice{6796, gijs, 2011/10/16} \enonce{006796}{} \begin{enumerate} \item Enoncer le théorème des accroissements finis pour une fonction $f:\Rr^n \to \Rr^p$. \item Soit $B_\epsilon(x_o)$ la boule de rayon $\epsilon$ dans $\Rr^n$, et soit $f: \overline{B_\epsilon(x_o)} \to \Rr$ une fonction de classe $C^1$. Montrer que $f$ est Lipschitzienne et donner une expression de son rapport. \end{enumerate} \finenonce{006796} \finexercice \exercice{6832, gijs, 2011/10/16} \enonce{006832}{} Soit $U$ un ouvert de $\Rr^n$ et $f: U \to \Rr^p$ une application dérivable. \begin{enumerate} \item \'Enoncer l'inégalité des accroissements finis. (Pour cette question on peut supposer que $U$ est con{\bf v}exe.) \item Démontrer, à l'aide de 1., la proposition suivante : Si pour tout $x\in U$ la dérivée de $f$ en $x$ est nulle~: $Df(x) = 0$, alors pour tout $x$ dans $U$ il existe un voisinage $V$ de $x$ dans $U$ (par exemple une boule centrée en $x$) tel que $f$ est constante sur $V$. \item \`A l'aide de 2., démontrer que si en plus $U$ est co{\bf nn}exe, alors $f$ est constante sur $U$. \end{enumerate} \finenonce{006832} \finexercice \exercice{6839, gijs, 2011/10/16} \enonce{006839}{} Soit $O \subset \Rr^n$ un ouvert et $f:O \to \Rr^p$ une fonction. Supposons qu'il existe une fonction continue $L:O \times O \to \mathcal{L}(\Rr^n; \Rr^p)$ (l'ensemble des applications linéaires de $\Rr^n$ dans $\Rr^p$ muni de la norme d'opérateurs) telle que pour tout $x, y\in O$ on a $$ f(x) -f(y) = L(x,y)\,(x-y) \ . $$ Démontrer que $f$ est de classe $C^1$ sur $O$ et que $Df(x) = L(x,x)$. \finenonce{006839} \finexercice \section{ 371.00 Différentielle d'ordre supérieur, formule de Taylor } \exercice{2553, tahani, 2009/04/01} \enonce{002553}{} Calculez $D^2f(x)$ dans les cas suivants: \begin{enumerate} \item $f\in L(E,G)$ continue \item $f: E \times F \rightarrow G$, bilinéaire continue. \item $f:M_n(\mathbb{R}) \rightarrow M_n(\mathbb{R})$, $f(A)=A^2$ \end{enumerate} \finenonce{002553} \finexercice \exercice{2554, tahani, 2009/04/01} \enonce{002554}{} Etudier les extrémas locaux et globaux des fonctions suivantes: \begin{enumerate} \item $f(x,y)=x^2+xy+y^2+\frac{1}{4}x^3$ \item $f(x,y)=x^2y-x^2/2-y^2$ \item $f(x,y)=x^4+y^4-2(x-y)^2$ \item $f(x,y)=\sin^2x-\sh^2y$ \item $f(x,y)=x^3+y^3$ \item $f(x,y)=y^2-3x^2y+2x^4$ \end{enumerate} \finenonce{002554} \finexercice \exercice{2555, tahani, 2009/04/01} \enonce{002555}{} Trouver le volume maximum d'une boite rectangulaire inscrite dans la sph\`ere d'\'equation $x^2+y^2+z^2=R^2$. \finenonce{002555} \finexercice \exercice{2556, tahani, 2009/04/01} \enonce{002556}{} D\'eterminez le parall\'elipipède rectangle de volume $V$ donn\'e dont la surface totale est minimale. \finenonce{002556} \finexercice\exercice{6287, mayer, 2011/10/16} \enonce{006287}{Rappel du Cours} Soient $E_1,E_2$ et $F$ des espaces normés et $B: E_1\times E_2 \to F$ une application bilinéaire continue. Montrer que $B$ est de classe $C^\infty$ et déterminer les différentielles $D^k B$. \finenonce{006287} \finexercice \exercice{6288, mayer, 2011/10/16} \enonce{006288}{} Soient $E$ et $F$ des espaces de Banach et $f: E\to F$ une application de classe $C^2$. \begin{enumerate} \item Soit $h\in E$ et $\varphi _h : E\to F$ l'application définie par $\varphi_h (x) = Df(x) (h)$. Justifier que $$D^2 f(a) (k,h) = D\varphi _h(a) (k) \quad \text{pour tout} \;\; k\in E\; .$$ \item Supposons que, pour tous $t\in \Rr$ et $x\in E$, $f(tx) = t^2 f(x)$. Montrer que $D^2f(0) (x,x) =2f(x)$ pour tout $x\in E$. \item Soit $a,h,k\in E$ et soit $\Psi : \Rr ^2 \to F$ définie par $\Psi (t,s) = f(a+th+sk)$. Calculer $\frac{\partial ^2 \Psi}{\partial t \partial s}(0,0)$. \end{enumerate} \finenonce{006288} \finexercice \exercice{6289, mayer, 2011/10/16} \enonce{006289}{} Soit $f:\Rr^n\to\Rr^n$ de classe $C^2$ telle que, pour tout $x\in \Rr^n$, l'application $Df(x)$ est un automorphisme orthogonal, i.e. $Df(x)$ est linéaire bijective et conserve le produit scalaire: $$\langle Df(x)(h), Df(x)(k)\rangle=\langle h,k\rangle \quad \text{pour tout} \;\; h,k\in \Rr^n\; .$$ Montrer que l'application $f$ est elle même un automorphisme orthogonal. Indications: \begin{enumerate} \item Déterminer la différentielle de $x\mapsto \langle Df(x)(h), Df(x)(k)\rangle$. \item Vérifier que $A(h,k,l) = \langle Df(x)(h), D^2f(x)(k,l)\rangle$ est antisymétrique par rapport aux deux premières variables et symétrique par rapport aux deux dernières variables. \item En déduire que $A(h,k,l)=0$ pour tous $h,k,l\in \Rr^n$ puis conclure. \end{enumerate} \finenonce{006289} \finexercice \exercice{6290, mayer, 2011/10/16} \enonce{006290}{} \begin{enumerate} \item Trouver les applications $G: \Rr^2 \to \Rr$ de classe $C^2$ telles que $\frac{\partial ^2 G}{\partial x \partial y}=0$. \item Trouver les applications $F:\Rr^2 \to \Rr$ de classe $C^2$ solutions de $$\frac{\partial ^2 F}{\partial x^2} - \frac{\partial ^2 F}{\partial y^2}=0 \;\; .$$ (Indication: poser $\varphi (u,v) = \frac{1}{2}(u+v,u-v)$ et $G=F\circ \varphi $ ). \end{enumerate} \finenonce{006290} \finexercice \exercice{6291, mayer, 2011/10/16} \enonce{006291}{} Soient $E,F,G$ des Banach et $u:E\to F$, $v:F\to G$ deux applications $C^2$. Calculer, à l'aide de la définition, la différentielle seconde de $w=v\circ u$. \finenonce{006291} \finexercice \exercice{6301, mayer, 2011/10/16} \enonce{006301}{} \begin{enumerate} \item Soit $f:\Rr \to \Rr$ une application $C^\infty$ et soit $n\geq 1$. \'Etablir l'équivalence des propriétés suivantes: \begin{itemize} \item $f(0)=f'(0)=...=f^{(n-1)}(0) =0$. \item $f(x) = x^n g(x)$ avec $g\in C^\infty$. \end{itemize} \item Soit $\Omega$ un ouvert convexe de $\Rr^n$ contenant $0$ et soit $f\in C^\infty (\Omega , \Rr )$. On suppose $f(0)=Df(0)=0$. Montrer qu'il existe $g_{i,j} \in C^\infty (\Omega , \Rr )$ telles que $f(x) = \sum_{i,j=1}^n x_ix_j g_{i,j}(x)$. \end{enumerate} \finenonce{006301} \finexercice \exercice{6302, mayer, 2011/10/16} \enonce{006302}{} Déterminer approximativement la valeur de $1,05^{1,02}$ avec une erreur d'au plus $\epsilon < 10^{-2}$ (Indication: Appliquer Taylor à la fonction $f(x,y) = x^y$). \finenonce{006302} \finexercice \exercice{6303, mayer, 2011/10/16} \enonce{006303}{} Montrer que si $x = 1,32 \pm 10^{-2}$ et $y = 0,45 \pm 10^{-2}$, alors $f(x,y) = e^{-(x^2 + y^2)} = 0,14 \pm 10^{-2}$. \finenonce{006303} \finexercice \exercice{6304, mayer, 2011/10/16} \enonce{006304}{} Ecrire le développement de Taylor-Young à l'ordre 2 au voisinage de (0,0) pour la fonction $f(x,y) = {e^x\over \cos y}$. En déduire la limite ${e^x - (1 + x) \cos y\over (x^2 + y^2) \cos y}$ quand $(x,y)$ tend vers (0,0). \finenonce{006304} \finexercice \exercice{6305, mayer, 2011/10/16} \enonce{006305}{} Soit $f(x,y)$ une fonction de classe $C^2$ au voisinage du cercle $x^2 + y^2 = 1$. On pose ${\partial f\over \partial x} (1,0) = a$ et ${\partial^2 f\over \partial y^2} (1,0) = b$. Pour tout nombre réel $\theta $, soit $F(\theta ) = f(\cos \theta, \sin \theta )$. Calculez $F''(0)$ en fonction de $a$ et $b$. \finenonce{006305} \finexercice \section{ 372.00 Difféomorphisme, théorème d'inversion locale et des fonctions implicites } \exercice{1858, maillot, 2001/09/01} \enonce{001858}{} Soit $f:\R^2\rightarrow \R$ la fonction d\'efinie par $$f(x,y)= ((x-2)^2+y^2-4)((x-1)^2+\frac{y^2}4 -1).$$ \begin{enumerate} \item Tracer rapidement la courbe $C$ d'\'equation $f(x,y)=0$. \item En quels points de $C$ la relation $f(x,y)=0$ permet-elle de d\'efinir une fonction implicite de la forme $y=\phi(x)$~? \end{enumerate} \finenonce{001858} \finexercice \exercice{1859, maillot, 2001/09/01} \enonce{001859}{} Montrer que les relations propos\'ees d\'efinissent au voisinage du couple $(a,b)$ indiqu\'e une fonction implicite $y=\phi(x)$. Donner un d\'eveloppement limit\'e \`a l'ordre 3 de $\phi$ en $a$. \begin{enumerate} \item $f(x,y)=x^3+y^3-3xy-1=0 \qquad \qquad \qquad (a,b)=(0,1)$. \item $f(x,y)=2 e^{x+y-1}+ \ln(x-y) -2x+y^3 \qquad \qquad (a,b)=(1,0)$. \end{enumerate} \finenonce{001859} \finexercice \exercice{1860, maillot, 2001/09/01} \enonce{001860}{} Montrer que la relation $$f(x,y,z)=x^3+y^3+z^3 -2z(x+y)-2x+y-2z-1=0$$ d\'efinit au voisinage de $(0,0,-1)$ une fonction implicite $z= \phi(x,y)$. Donner un d\'eve\-lop\-pe\-ment limit\'e de $\phi$ \`a l'ordre 2 en $(0,0)$. \finenonce{001860} \finexercice \exercice{2527, queffelec, 2009/04/01} \enonce{002527}{} \begin{enumerate} \item Soit $f$ une application de ${\Rr}$ dans ${\Rr}$, d\'erivable en tout point de ${\Rr}$ et telle que, pour tout $x$ de ${\Rr}$, $f'(x)\neq 0$. Montrer que $f$ est un hom\'eomorphisme de ${\Rr}$ sur $f({\Rr})$ et que $f^{-1}$ est diff\'erentiable en tout point de $f({\Rr})$. \item Soit $f$ d\'efinie par $f(x)=x+x^2\sin{\frac \pi x}$ si $x\not=0$ et $f(0)=0$. Montrer que $f'(0)$ existe et est $\not=0$, mais que $f$ n'est inversible sur aucun voisinage de $0$. Expliquer. \end{enumerate} \finenonce{002527} \finexercice \exercice{2528, queffelec, 2009/04/01} \enonce{002528}{} \begin{enumerate} \item Montrer que l'application $\varphi: (r,\theta)\to (x,y)=(r\cos\theta, r\sin\theta)$ est un $C^1$-diff\'eomorphisme de l'ouvert $]0,\infty[\times]-\pi,\pi[$ sur le plan priv\'e de la demi-droite $\Rr^-$. Si $f(x,y)=g(r,\theta)$ donner les formules de passage entre les d\'eriv\'ees partielles de $f$ et celles de $g$. \item Soit $U$ le plan priv\'e de l'origine, et $f(x,y)=(x^2-y^2, 2xy)$. Montrer que $f$ est un diff\'eomorphisme local au voisinage de tout point de $U$ mais n'est pas un diff\'eomorphisme global. \item Soit $g$ l'application de ${\Rr}^2$ dans ${\Rr}^2$ d\'efinie par $g(x,y)= (x+y,xy)$. Trouver un ouvert connexe maximal $U\subset\Rr^2$ tel que $g$ soit un diff\'eomorphisme de $U$ sur $g(U)$. \item Soit $h$ l'application de ${\Rr}^2$ dans ${\Rr}^2$ d\'efinie par $(x,y)\to (e^x\cos y,e^x\sin y)$. Montrer que $h$ est de classe $C^1$ dans ${\Rr}^2$; que $h'(x,y)$ est un \'el\'ement de Isom(${\Rr}^2,{\Rr}^2$) pour tout $(x,y)$ de ${\Rr}^2$; mais que $h$ n'est pas un hom\'eomorphisme de ${\Rr}^2$ sur $h({\Rr}^2)$. \end{enumerate} \finenonce{002528} \finexercice \exercice{2529, tahani, 2009/04/01} \enonce{002529}{} Soit $\varphi$ l'application de $\mathbb{R}^2$ dans $\mathbb{R}^2$ d\'efinie pas $$\varphi(x,y)=(\sin(y/2)-x,\sin(x/2)-y).$$ \begin{enumerate} \item Justifier que $\varphi$ est de classe $C^1$, calculer sa diff\'erentielle et voir que $D\varphi(x,y)$ est inversible pour tout $(x,y) \in \mathbb{R}^2$. \item Montrer que $\varphi$ est un $C^1$-diff\'eomorphisme de $\mathbb{R}^2$ sur $\varphi(\mathbb{R}^2)$ et justifier que $\varphi(\mathbb{R}^2)$ est un ouvert. \item Montrer que $\varphi^{-1}$ est lipschitzienne (on prendra comme norme sur $\mathbb{R}^2$: $\|(x,y)\|=|x|+|y|$). \item En d\'eduire que $\varphi$ est un diff\'eomorphisme de $\mathbb{R}^2$ sur $\mathbb{R}^2$ \item Calculer $D\varphi^{-1}(p)$ o\`u $p=(1-\pi/2, \sqrt{2}/2-\pi)$. \end{enumerate} \finenonce{002529} \finexercice \exercice{2530, tahani, 2009/04/01} \enonce{002530}{} Soit $f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n$ une application $C^1$. On suppose qu'il existe $\alpha >0$ tel que pour tout $h,x \in \mathbb{R}^n$, \[ \langle Df(x)(h),h \rangle \geq \alpha\langle h,h\rangle. \] \begin{enumerate} \item En consid\'erant la fonction $t \rightarrow \varphi(t)= \langle f(a+t(b-a)),b_a) \rangle$, montrez que $$ \langle f(b)-f(a),b-a \rangle \geq \alpha \langle b-a,b-a \rangle \text{ pour tout } a,b \in \mathbb{R}^n.$$ En déduire que $f$ est une application ferm\'ee. \item D\'emontrer que, pour tout $x \in E, Df(x)$ est un isomorphisme de $\mathbb{R}^n$. En déduire que $f$ est une application ouverte. \item Conclure que $f$ est un diff\'eomorphisme de classe $C^1$ de $\mathbb{R}^n$ sur lui même. \end{enumerate} \finenonce{002530} \finexercice\exercice{2531, queffelec, 2009/04/01} \label{gijsexodiff} \enonce{002531}{} Soit $U$ l'ouvert $\Rr^3 \setminus \{0\}$. Soit $(x,y,z) \to (X,Y,Z)$ l'application inversion de p\^ole $0$, de puisssance 1, d\'efinie dans $U$, \`a valeurs dans $\Rr^3$, par les formules $$X = {\frac x{x^2 + y^2 + z^2}}\quad ; \quad Y = {\frac y {x^2 + y^2 + z^2}} \quad ; \quad Z = {\frac z {x^2 + y^2 + z^2}} $$ Calculer la matrice jacobienne de cette transformation (on posera $\rho = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$) et v\'erifier que cette matrice est \'egale \`a son inverse. \finenonce{002531} \finexercice \exercice{2532, queffelec, 2009/04/01} \enonce{002532}{} Reconsid\'erez l'exercice \ref{gijsexodiff} dans l'esprit suivant : ``si $f$ est un diff\'eomorphisme, la matrice inverse de la matrice jacobienne de $f$ est la matrice jacobienne de $f^{-1}$.'' \finenonce{002532} \finexercice \exercice{2533, queffelec, 2009/04/01} \enonce{002533}{} Soit $E=M_n({\Rr})$ et $I$ la matrice unit\'e dans $E$. En consid\`erant $\varphi:E\to E$ telle que $\varphi(A)=A^2$, montrer qu'il existe $\alpha>0$ tel que toute matrice $A$ v\'erifiant $||A-I||<\alpha$ admette une racine carr\'ee. \finenonce{002533} \finexercice \exercice{2534, queffelec, 2009/04/01} \enonce{002534}{} \begin{enumerate} \item Montrer que si $a,b$ sont voisins de $1$, on peut trouver $x,y\in{\Rr}$ tels que $y+e^{xy}=a,\ x+e^{-xy}=b$. \item Soit $f$ l'application de ${\Rr}^2$ dans lui-m\^eme d\'efinie par $f(x,y)=(x\sin(xy)+y, y\cos(xy)+x)$, et soit $(a_n,b_n)$ une suite tendant vers $(0,0)$. Montrer que si $f(a_n,b_n)=0$ pour tout $n$, la suite $(a_n,b_n)$ stationne. \end{enumerate} \finenonce{002534} \finexercice \exercice{2535, queffelec, 2009/04/01} \enonce{002535}{} Soit $U$ un ouvert de $\Rr^2$ et $\varphi : U\to \Rr^2$ une application de classe $C^1$ $\varphi=(f, g)$. On consid\`ere $u,v$ r\'eels et on cherche $x,y$ tels que $$(*)\quad f(x,y)=u,\ g(x,y)=v.$$ \begin{enumerate} \item On suppose que la diff\'erentielle de $\varphi$ est de rang $2$ en tout point de $U$. Montrer que pour tout $(u,v)$ le syst\`eme $(*)$ admet une solution, unique localement. Que peut-on dire si la diff\'erentielle est de rang $2$ en un point de $U$ seulement ? \item A-t-on des solutions si la diff\'erentielle est de rang $0$ ? \item On suppose maintenant que la diff\'erentielle de $\varphi$ est de rang $1$ en tout point de $U$. Si $f'_x$ ne s'annule pas sur $U$, montrer que $\psi:(x,y)\to (f(x,y),y)$ d\'efinit un diff\'eomorphisme d'un ouvert $V\subset U$ sur $\psi(V)$. En d\'eduire $G$ telle que $g(x,y)=G(f(x,y))$ sur $V$. Que peut-on dire des solutions du syst\`eme $(*)$ ? \end{enumerate} \finenonce{002535} \finexercice \exercice{2536, queffelec, 2009/04/01} \enonce{002536}{} Soit $E=\Rr^n$ muni d'une norme quelconque, et $B_r$ la boule ferm\'ee $||x||\leq r$. Soit $f$ un $C^1$-diff\'eomorphisme entre deux ouverts $U$ et $V$ de $E$, contenant $0$, tel que $f(0)=0$. On pose $A=f'(0)\in{\cal L}(E)$. Soit $0<\varepsilon<1$. \begin{enumerate} \item Montrer qu'il existe $R>0$ tel que pour tout $x\in B_R$, $$||A^{-1}(f(x))-x||\leq \varepsilon\ ||x||.$$ \item Montrer qu'il existe $R'>0$ tel que pour $0\leq r\leq R'$, $$(1-\varepsilon)\ A(B_r)\subset f(B_r)\subset (1+\varepsilon)\ A(B_r).$$ \item En d\'eduire que $\lim_{r\to 0}\frac{\hbox{vol}\ f (B_r)}{ \hbox{vol}\ (B_r)}= |\det A|$. \end{enumerate} \finenonce{002536} \finexercice \exercice{2537, queffelec, 2009/04/01} \enonce{002537}{} Soit $a,b\in{\Rr}$ et $f:{\Rr}^2\to{\Rr}^2$ d\'efinie par $f(x,y)=(x+a\sin y, y+b\sin x)$. \begin{enumerate} \item Montrer que si $|ab|<1$, $f$ est un diff\'eomorphisme de ${\Rr}^2$ sur lui-m\^eme. \item Montrer que si $|ab|=1$, $f$ n'est plus un diff\'eomorphisme mais reste un hom\'eomorphisme de ${\Rr}^2$ sur lui-m\^eme. \end{enumerate} \finenonce{002537} \finexercice \exercice{2538, queffelec, 2009/04/01} \enonce{002538}{} Soit $f:{\Rr}^n\to {\Rr}^n$ une application de classe $C^1$ telle que $$||f(x)-f(y)||\geq k||x-y||$$ pour tous $x,h\in {\Rr}^n$, $k$ \'etant une constante $>0$. On va montrer que $f$ est un $C^1$-diff\'eomorphisme de ${\Rr}^n$ sur lui-m\^eme. \begin{enumerate} \item Montrer que $f$ est injective et que $f({\Rr}^n)$ est ferm\'ee dans ${\Rr}^n$. \item Montrer que $f'(x)$ est inversible pour tout $x\in{\Rr}^n$. \item En d\'eduire que $f({\Rr}^n)$ est un ouvert-ferm\'e de ${\Rr}^n$. \end{enumerate} \finenonce{002538} \finexercice\exercice{2539, mayer, 2009/04/01} \enonce{002539}{} Soit $G$ un ouvert born\'e de $\Rr^n$ et soit $f:\overline{G} \to \Rr ^n$ une application continue dans $\overline{G}$ et $C^1$ dans $G$. Pour tout $x\in G$, on suppose $Df(x)$ inversible. D\'emontrer que, sous ces conditions, l'application $x\mapsto \|f(x)\|$ atteint son maximum en un point du bord $\partial G = \overline{G}\setminus G$. \finenonce{002539} \finexercice \exercice{2540, mayer, 2009/04/01} \enonce{002540}{} Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie, $\Omega$ un ouvert connexe de $E$ et soit $f:\Omega \to E$ une application de classe $C^1$ telle que $\| | Df(x)\|| \leq c$, pour tout $x\in \Omega$, o\`u $0\leq c <1$. Montrer que $Id_{|E} -f$ est un diff\'eomorphisme $C^1$ de $\Omega $ sur son image. \finenonce{002540} \finexercice\exercice{2541, tahani, 2009/04/01} \enonce{002541}{} Soit $f:\mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^2$ d\'efinie par $f(x,y,z)=(x^2-y^2+z^2-1, xyz-1)$. Soit $(x_0,y_0,z_0) \in \mathbb{R}^3$ tel que $f(x_0,y_0,z_0)=(0,0)$. Montrez qu'il existe un intervalle $I$ contenant $x_0$ et une application $\varphi: I \rightarrow \mathbb{R}^2$ tels que $\varphi(x_0)=(y_0,z_0)$ et $f(x,\varphi(x))=0$ pour tout $x\in I$. \finenonce{002541} \finexercice \exercice{2542, tahani, 2009/04/01} \enonce{002542}{} Soit $F:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ l'application $F(x,y)=x^2+y^2-1$. D\'emontrer que, pour $x$ suffisamment proche de $0$, il existe un nuique $y=y(x)>0$ tel que $F(x,y)=0$. V\'erifier, sans r\'esolution explicite, que $y'(x)=-x/y$. \finenonce{002542} \finexercice \exercice{2543, tahani, 2009/04/01} \enonce{002543}{} On consid\`ere le syst\`eme d'\'equations: $$\left( \begin{array}{c} x^2+y^2-2z^2=0 \\ x^2+2y^2+z^2=4 \end{array} \right) $$ Montrer que, pour $x$ proche de l'origine, il existe des fonctions positives $y(x)$ et $z(x)$ telles que $(x,y(x),z(x))$ soit solution du syst\`eme. On d\'eterminera $y'$ en fonctionde $x,y$ et $z'$ en fonction de $x,z$. \finenonce{002543} \finexercice \exercice{2544, tahani, 2009/04/01} \enonce{002544}{} Consid\'erons $F(x,y)=y^n+a_{n-1}(x)y^{n-1}+...+a_1(x)y+a_0(x)$ un polyn\^ome \`a coefficients variables. On suppose : \begin{enumerate} \item Les fonctions $x \rightarrow a_j(x)$ sont $C^1$, $j=0,1,...,n-1$. \item pour un certain $x_0 \in \mathbb{R}$, le polyn\^ome $y \rightarrow F(x_0,y)$ a un z\'ero simple $y_0 \in \mathbb{R}$. \end{enumerate} D\'emontrer que, dans ces conditions, $F(x,y)$ poss\`ede, pour $x$ voisin de $x_0$, un z\'ero $y(x)$ qui lui est proche de $y_0$ et que la d\'ependance $x \rightarrow y(x)$ est $C^1$. \finenonce{002544} \finexercice \exercice{2545, tahani, 2009/04/01} \enonce{002545}{} Donner l'allure de $C=\{(x,y) \in \mathbb{R}^2; x^4+y^3-y^2+x-y=0\}$ au voisinage des points $(0,0)$ et $(1,1)$. \finenonce{002545} \finexercice \exercice{2546, tahani, 2009/04/01} \enonce{002546}{} Montrer que l'\'equation $e^x+e^y+x+y-2=0$ d\'efinit, au voisinage de l'origine, une fonction implicite $\varphi$ de $x$ dont on calculera le d\'eveloppement limit\'e d'ordre trois en $0$. \finenonce{002546} \finexercice\exercice{6264, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006264}{} Soit $i = \sqrt{-1}$. Calculer la matrice jacobienne de l'application $(x,y) \to (X,Y)$ de $\Rr^2$ dans $\Rr^2$ définie par $X + iY = (x + iy)^3.$ \finenonce{006264} \finexercice \exercice{6265, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006265}{} Démontrer le résultat suivant (théorème d'inversion globale) : Soit $E$, $F$ deux Banach, $U$ un ouvert de $E$ et $f:U\to F$ une application de classe $C^1$ sur $U$. Alors $f$ est un $C^1$-difféomorphisme de $U$ sur $f(U)$ si et seulement si : (i) $f$ est injective; (ii) $f'(x)\in$ Isom($E,F$) pour tout $x\in U$. \finenonce{006265} \finexercice \exercice{6266, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006266}{} \begin{enumerate} \item On considère l'application $\varphi$ de $\Rr^3$ dans lui-même définie par $(x,y,z)\to (e^{2y}+e^{2z}, e^{2x}-e^{2z}, x-y)$. Montrer que $\varphi$ est un $C^1$-difféomorphisme de $\Rr^3$ sur son image que l'on précisera. \item Soit $\lambda\in \Rr$ et $F$ l'application de $\Rr^3$ dans lui-même définie par $(x,y,z)\to (e^{x-y+2z}+e^{-x+y+2z}, e^{2x}+e^{2y}-2\lambda e^{x-y}, e^{2x}+e^{2y}-2e^{-x+y})$. Montrer que $F$ s'écrit $G\circ \varphi$, $G$ à préciser, et que c'est un $C^1$-difféomorphisme de $\Rr^3$ sur son image si et seulement si $\lambda\geq0$. \end{enumerate} \finenonce{006266} \finexercice \exercice{6267, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006267}{} On va proposer trois démonstrations possibles de l'exercice classique suivant : soit $f$ une application de classe $C^1$ de ${\Rr}$ dans lui-même, telle que $|f'(x)|\leq k$ pour tout $x$ réel, où $k\in ]0,1[$. Alors $F$ définie par $F(x,y)=(x+f(y),y+f(x))$ est un difféomorphisme de classe $C^1$ de ${\Rr}^2$ {\bf sur} lui-même. \begin{enumerate} \item Remarquer que $F$ est injective et $F'(x,y)\in$ Isom(${\Rr}^2,{\Rr}^2$) pour tout $(x,y)$. Reste à établir la surjection. \item 1ère méthode : Montrer que $F$ est propre ($\lim ||F(x,y)||=+\infty$ quand $||(x,y)||\to+\infty$) et que si $(a,b)\in{\Rr}^2$, la fonction $g(x,y)=||F(x,y)-(a,b)||^2$ est différentiable et atteint sa borne inférieure en un point annulant $g'(x,y)$; conclure. \item 2ème méthode : Montrer que $F({\Rr}^2)$ est à la fois ouverte et fermée. Conclure. \item 3ème méthode : Si $(a,b)\in{\Rr}^2$, appliquer le théorème du point fixe à l'application $\phi(x,y)=(a-f(y),b-f(x))$; conclure. \end{enumerate} \finenonce{006267} \finexercice \exercice{6268, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006268}{} Soit $P$ un polyn\^ome de degré $3$ normé, de racines $x_10$ tel que $F(x,y)=0$. Vérifier, sans résolution explicite, que $y'(x) = -\frac{x}{y}$. \finenonce{006275} \finexercice \exercice{6276, mayer, 2011/10/16} \enonce{006276}{} On considère le système d'équations: $$ \left\{ \begin{array}{ccc} x^2 + y^2 -2z^2 &=&0 \\ x^2 +2 y^2 +z^2 & = & 4 \end{array}\right. \;\; .$$ Montrer que, pour $x$ proche de l'origine, il existe des fonctions positives $y(x)$ et $z(x)$ telles que $(x,y(x),z(x))$ soit solution du système. On déterminera $y'$ en fonction de $x,y$ et $z'$ en fonction de $x,z$. \finenonce{006276} \finexercice \exercice{6277, mayer, 2011/10/16} \enonce{006277}{} Considérons $F(x,y)= y^n + a_{n-1}(x)y^{n-1}+...+a_1(x)y+a_0(x)$ un polyn\^ome à coefficients variables. On suppose: \begin{enumerate} \item les fonctions $x\mapsto a_j(x)$ sont $C^1$, $j=0,1,..., n-1$, \item pour un certain $x_0 \in \Rr$, le polyn\^ome $y\mapsto F(x_0,y)$ a un zéro simple $y_0 \in \Rr$. \end{enumerate} Démontrer que, dans ces conditions, $F(x,y)$ possède, pour $x$ voisin de $x_0$, un zéro $y(x)$ qui lui est proche de $y_0$ et que la dépendance $x\mapsto y(x)$ est $C^1$. \finenonce{006277} \finexercice \exercice{6278, mayer, 2011/10/16} \enonce{006278}{} Donner l'allure de ${\cal C} =\{(x,y)\in \Rr^2 \; ; \;\; x^4+y^3 -x^2-y^2 +x-y=0\}$ au voisinage des points $(0,0) $ et $(1,1)$. \finenonce{006278} \finexercice \exercice{6279, mayer, 2011/10/16} \enonce{006279}{} Montrer que l'équation $e^x+e^y+x+y-2=0$ définit, au voisinage de l'origine, une fonction implicite $\varphi$ de $x$ dont on calculera le développement limité d'ordre trois en $0$. \finenonce{006279} \finexercice \exercice{6792, gijs, 2011/10/16} \enonce{006792}{} \label{gijsexo2} \begin{enumerate} \item Donner la définition d'une sous-variété $M$ de $\Rr^n$ de dimension $k$. \item Enoncer le théorème des fonctions implicites. \smallskip Soit $f : \Rr^n \to \Rr^p$ une fonction de classe $C^1$ et soit $M = \{\,x\in \Rr^n \mid f(x) = \mathbf{0}\,\}$. Supposons en plus que $f$ vérifie la condition~: $\forall x\in M : \operatorname{rang}(J(x)) = p\ ,$ où $J(x) = \Bigl(\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(x)\Bigr){}_{j=1,\dots, n}^{i=1,\dots, p}$ est la matrice Jacobienne de $f$ en $x$ de taille $n\times p$. \item Montrer, en utilisant le théorème des fonctions implicites, que $M$ est une sous-variété de $\Rr^n$ de dimension $k = n-p$. \end{enumerate} \finenonce{006792} \finexercice\exercice{6820, gijs, 2011/10/16} \enonce{006820}{} Soit $E=\Rr^n$ muni de la norme euclidienne et $F = M(n,\Rr)$ l'ensemble des matrices $n\times n$ à coefficients réels~; on identifie $F$ avec l'ensemble d'applications linéaires de $E$ dans $E$. Soit $\|\cdot\|_{op}$ la norme d'opérateurs sur $F$. \begin{enumerate} \item Démontrer que $\forall A,B \in F : \|AB\|_{op} \le \|A\|_{op} \cdot \|B\|_{op}$. \item Démontrer que pour $A\in F$, la série $\sum_{n=0}^\infty \frac1{n!} A^n$ est une série normalement convergente sur tout compact de $F$. (Nota Bene~: $A^0 = Id \in F$ désigne la matrice identité.) On note $\exp : F \to F$ l'application $A \mapsto \sum_{n=0}^\infty\frac1{n!} A^n$. \item Calculer $D_{\mathbf{0}} \exp$, où $\mathbf{0}$ est l'application nulle de $E$ dans $E$. Quelle est la taille de la matrice $D_{\mathbf{0}} \exp$~? Déduire qu'il existe un voisinage $U$ de $\mathbf{0} \in F$ et un voisinage $V$ de $Id = \exp(\mathbf{0})$ tels que $\exp$ est un ($C^1$-)difféomorphisme de $U$ sur $V$. Justifier votre réponse~! \end{enumerate} \finenonce{006820} \finexercice \exercice{6821, gijs, 2011/10/16} \enonce{006821}{} Soit $f:O \subset \Rr^3 \to \Rr$ une fonction de classe $C^1$ sur l'ouvert $O$ et $(x_o,y_o,z_o) \in O$ tel que $f(x_o,y_o,z_o) = 0$. \begin{enumerate} \item Donner une condition suffisante pour qu'on puisse résoudre~: et $x$ en fonction de $(y,z)$, et $y$ en fonction de $(x,z)$, et $z$ en fonction de $(x,y)$. Plus précisément, donner une condition suffisante pour qu'il existe $U$ un voisinage de $x_o$, $V$ un voisinage de $y_o$, $W$ un voisinage de $z_o$, $U \times V \times W \subset O$, et $\phi: V \times W \to U$, $\chi : U \times W \to V$ et $\psi : U \times V \to W$ des fonctions de classe $C^1$ telles que $\forall (x,y,z) \in U \times V \times W$~: $$ f(x,y,z) = 0 \Longleftrightarrow x=\phi(y,z) \Longleftrightarrow y = \chi(x,z) \Longleftrightarrow z = \psi(x,y) \ . $$ Justifier votre réponse. \item Si la condition donnée en 1. est satisfaite, démontrer que $\forall (x,y,z) \in U \times V \times W$ tels que $f(x,y,z) = 0$ on a $$ (\partial_1\phi)(y,z) \cdot (\partial_2\chi)(x,z) \cdot (\partial_1\psi)(x,y) = -1 \ . $$ (Remarque, cette relation est beaucoup utilisée en thermodynamique, où elle est écrite comme $(\frac xy)_z \cdot (\frac yz)_x \cdot (\frac zx)_y = -1$, avec l'interprétation que $(\frac xy)_z$ est la dérivée de $x$ par rapport à $y$ en gardant $z$ constant.) \end{enumerate} \finenonce{006821} \finexercice \exercice{6833, gijs, 2011/10/16} \enonce{006833}{} Dans cet exercice, $\mathcal{O}$ désigne un ouvert de $\Rr^n$. \begin{enumerate} \item Quand dit-on qu'une fonction $f:\mathcal{O} \to \Rr$ est de classe $C^k$ ($k\ge1$)~? \item Démontrer par récurrence sur $k$ que si $f : \mathcal{O} \to \Rr$ et $g: \mathcal{O} \to \Rr\setminus\{0\}$ sont de classe $C^k$, alors $h:\mathcal{O} \to \Rr$, $h(x) = f(x)/g(x)$ est aussi de classe $C^k$. \item Démontrer par récurrence sur $k$ que la composée de deux fonctions de classe $C^k$ est aussi de classe $C^k$. \item Soit $Gl(2,\Rr)$ l'ensemble des matrices à coefficients réels $2\times2$ inversibles. Dé\-mon\-trer que l'applica\-tion $I: Gl(2,\Rr) \to Gl(2,\Rr)$, $I(\left(\smallmatrix a&b \\ c&d \endsmallmatrix\right)) = \left(\smallmatrix a&b \\ c&d \endsmallmatrix\right)^{-1}$ est de classe $C^k$ pour tout $k\ge1$. \item \'Enoncer le théorème de l'inversion locale pour une fonction $f:\mathcal{O} \to \Rr^n$. \item On se restreint au cas $n=2$ et on se place dans les conditions du théorème de l'inversion locale. Démontrer que si $f$ est de classe $C^k$, $k>1$, alors la réciproque $f^{-1}$ (donnée par le théorème de l'inversion locale) est de classe $C^k$. \end{enumerate} \finenonce{006833} \finexercice \section{ 373.00 Extremum, extremum lié } \exercice{1823, drutu, 2003/10/01} \enonce{001823}{} Soit $f$ la fonction d\'efinie sur $\R^2$ par $f(x,y)=x^2-xy^2$. Montrer que $(0,0)$ est le seul point critique de $f$, qu'il n'est pas un extremum local, mais que pourtant la restriction de $f$ \`a toute droite passant par $(0,0)$ admet en ce point un minimum local. \finenonce{001823} \finexercice \exercice{1824, drutu, 2003/10/01} \enonce{001824}{} Ecriver la formule de Taylor de second ordre pour chacune des fonctions suivantes au point $(x_0,y_0)$ donn\'e. \begin{enumerate} \item $f(x,y)=\sin (x+2y),\; (x_0,y_0)=(0,0)$ ; \item $f(x,y)=\frac{1}{x^2+y^2+1},\; (x_0,y_0)=(0,0)$ ; \item $f(x,y)=e^{-x^2-y^2}\cos xy,\; (x_0,y_0)=(0,0)$ ; \item $f(x,y)=\sin (xy)+\cos (xy),\; (x_0,y_0)=(0,0)$ ; \item $f(x,y)=e^{(x-1)^2}\cos y,\; (x_0,y_0)=(1,0)$. \end{enumerate} \finenonce{001824} \finexercice \exercice{1825, drutu, 2003/10/01} \enonce{001825}{} Pour chacune des fonctions suivantes etudiez la nature du point critique donn\'e : \begin{enumerate} \item $f(x,y)=x^2-xy+y^2$ au point critique $(0,0)$ ; \item $f(x,y)=x^2+2xy+y^2+6$ au point critique $(0,0)$ ; \item $f(x,y,z)=x^2+y^2+2z^2+xyz$ au point critique $(0,0,0)$ ; \item $f(x,y)=x^3+2xy^2-y^4+x^2+3xy+y^2+10$ au point critique $(0,0)$. \end{enumerate} \finenonce{001825} \finexercice \exercice{1826, drutu, 2003/10/01} \enonce{001826}{} Trouvez les points critiques des fonctions suivantes et d\'eterminez si ce sont des minima locaux, des maxima locaux ou des points selle. \begin{enumerate} \item $f(x,y)=x^3+6x^2+3y^2-12xy+9x$ ; \item $f(x,y)=\sin x+y^2-2y+1$ ; \item $f(x,y,z)=\cos 2x\cdot \sin y+z^2$ ; \item $f(x,y,z)=(x+y+z)^2$. \end{enumerate} \finenonce{001826} \finexercice \exercice{1827, maillot, 2001/09/01} \enonce{001827}{} Soit $f:\R^2\rightarrow \R$ la fonction d\'efinie par $f(x,y)=x^3-3x(1+y^2)$. \begin{enumerate} \item \'Etudier les extremums locaux de $f$. \item Soit $D=\{(x,y)\in\R^2 \mid x^2+y^2 \le 1\}$. Montrer que $f$ a un maximum $M$ et un minimum $m$ sur $D$. \item Soit $(x,y)\in D$. Montrer que si $f(x,y)=M$ ou $f(x,y)=m$, alors $x^2+y^2=1$. \item \'Etudier la fonction $t\mapsto f(\cos t, \sin t)$. En d\'eduire les valeurs de $M$ et $m$. \end{enumerate} \finenonce{001827} \finexercice \exercice{1828, ridde, 1999/11/01} \enonce{001828}{} Trouver le point du plan $ (2x-y + z = 16)$ le plus proche de l'origine. \finenonce{001828} \finexercice \exercice{1829, ridde, 1999/11/01} \enonce{001829}{} D\'eterminer les extremums de $f (x, y) = xy (1-x^{2}-y{2})$ sur $[0, 1]^{2}$. \finenonce{001829} \finexercice \exercice{1830, ridde, 1999/11/01} \enonce{001830}{} Soit $f (x, y) = x^{2} + xy + y^{2}-3x-6y$. Montrer que $f$ admet au plus un extremum. Ecrire $f (x, y) + 9$ comme la somme de deux carr\'es et en d\'eduire que $f$ admet $-9$ comme valeur minimale. \finenonce{001830} \finexercice \exercice{1831, ridde, 1999/11/01} \enonce{001831}{} D\'eterminer un triangle d'aire maximale inscrit dans un cercle donn\'e. \finenonce{001831} \finexercice \exercice{1832, ridde, 1999/11/01} \enonce{001832}{} Soit $f (x, y) = (x^{2}-y) (3x^{2}-y)$. Montrer que $f$ admet un minimum local en $0$ suivant tout vecteur de $\Rr^{2}$ mais n'admet pas de minimum local en $ (0, 0)$. \finenonce{001832} \finexercice \exercice{1833, ridde, 1999/11/01} \enonce{001833}{} Soit ${f}: {\Rr^{2}} \to {\Rr}$, ${ (x, y)}\mapsto {xe^{y} + ye^{x}}$.\\ Montrer que $ (-1, -1)$ est le seul extremum possible. A l'aide d'un d\'eveloppement limit\'e de $\varphi (h) = f (-1 + h, -1 + h)$ et de $\psi (h) = f (-1 + h, -1-h)$, montrer que $f$ n'a pas d'extremum. \finenonce{001833} \finexercice \exercice{1834, gourio, 2001/09/01} \enonce{001834}{} D\'{e}terminer les extr\'{e}mums de $ f:(x,y,z)\rightarrow x^{2}+y^{2}+z^{2}+2xyz.$ \finenonce{001834} \finexercice \exercice{1835, gourio, 2001/09/01} \enonce{001835}{} D\'{e}terminer $ \max\limits_{\left| z\right| \leq 1}\left| \sin z\right| .$ On rappelle que : $\sin z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}. $ \finenonce{001835} \finexercice \exercice{1836, gourio, 2001/09/01} \enonce{001836}{} Si $ f$ est concave sur un ouvert convexe $ U\subset {\Rr}^{2}$ et si : $$\exists a\in U,\frac{\partial f}{\partial x_{1}}(a)=\frac{\partial f}{% \partial x_{2}}(a)=0, $$ alors $ f$ admet un maximum local en $ a.$ \finenonce{001836} \finexercice \exercice{1837, gourio, 2001/09/01} \enonce{001837}{} Soit $ A\subset {\Rr}^{2}, $ on d\'{e}finit $\int(A)$ comme l'ensemble $ \{x\in A |\exists \rho >0,B(x,\rho )\subset A\}. $ On supposera $ A$ ferm\'{e}e born\'{e}e et $ \int(A)\neq \emptyset .$ On suppose que $ f$ est une fonction $ C^{1 }$ sur $ A$ telle que $ f$ est constante sur $ A\setminus \mathrm{Int}(A). $ Montrer qu'il existe $ z\in \mathrm{Int}(A)$ tel que : $$\frac{\partial f}{\partial x_{1}}(z)=\frac{\partial f}{\partial x_{2}}(z)=0. $$ \finenonce{001837} \finexercice \exercice{1838, gourio, 2001/09/01} \enonce{001838}{} Chercher les extr\'{e}mums sur $ {\Rr}^{2}$ des applications : $$(x,y)\rightarrow x^{4}+y^{4}-4xy; $$ $$(x,y)\rightarrow (x-y)e^{xy}; $$ $$(x,y)\rightarrow xe^{y}+ye^{x}; $$ $$(x,y)\rightarrow e^{x\sin y}; $$ $$(x,y)\rightarrow x^{3}+y^{3}. $$ \finenonce{001838} \finexercice \exercice{1839, maillot, 2001/09/01} \enonce{001839}{} Soit $f$ une fonction r\'eelle de classe ${\cal C}^2$ sur un ouvert $\Omega$ de $\R^2$. \begin{enumerate} \item Rappeler une condition n\'ecessaire pour que $f$ pr\'esente un extremum local en $(x_0,y_0)$. Dans la suite de l'exercice, ${\bf a}=(x_0, y_0)$ v\'erifie cette condition, c'est-\`a-dire est un {\em point critique} de $f$. On pose $$A = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}({\bf a}),\quad B = \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}({\bf a}),\quad C = \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}({\bf a}),$$ $$Q(x,y)=A x^2+2Bxy+Cy^2, \quad \Delta=B^2-AC,$$ $$R(t)=At^2+2Bt+C,\quad S(t)=Ct^2+2Bt+A.$$ \item On suppose $\Delta<0$ et $A (\mbox{ou }C) >0$. \begin{enumerate} \item Montrer que $\forall t\in \R,$ $R(t)\geq \delta$ et $S(t)\geq \delta$ pour un certain $\delta>0$. \item On pose $x=r \cos \theta$, $y=r \sin \theta$, avec $\displaystyle r=\sqrt{x^2+y^2}$, et on suppose que $\sin \theta. \cos \theta \neq 0$. Montrer successivement~: $$\begin {array}{l} \displaystyle Q(x,y) \geq r^2 \delta \sin^2 \theta,\\ Q(x,y) \geq r^2 \delta \cos^2 \theta,\\ Q(x,y) \geq \frac{r^2}{2} \delta.\end{array}$$ En d\'eduire que $$\forall (x,y) \quad Q(x,y) \geq \frac{r^2}{2} \mbox{Inf}(\delta, 2A, 2C).$$ \item Montrer que ${\bf a}$ est un point de minimum local strict de $f$. On \'ecrira pour cela la formule de Taylor-Young pour $f$ en ce point. \end{enumerate} \item On suppose $\Delta<0$ et $A (\mbox{ou }C) <0$. Montrer que $(x_0,y_0)$ est un point de maximum local strict de $f$. \item On suppose maintenant $\Delta>0$. \begin{enumerate} \item Montrer qu'il existe $t_1, t_2\in \R$ tels que $S(t_1)>0$ et $S(t_2)<0$. \item Soient $\theta_1, \theta_2 \in \R$ tels que $\mbox{tan}\theta_1= t_1$ et $\mbox{tan}\theta_2=t_2$. En examinant les fonctions $$g(t)~:=f(x_0+t \cos \theta_1, y_0+t \sin \theta_1), \quad h(t)~:=f(x_0+t \cos \theta_2, y_0+t \sin \theta_2)$$ pour $t\in \R$ assez petit, montrer que ${\bf a}$ n'est ni un point de maximum local, ni un point de minimum local de $f$. \end{enumerate} \item Dessiner l'allure du graphe de $f$ au voisinage du point $({\bf a},f({\bf a}))$ dans les trois cas \'etudi\'es ci-dessus (questions 1, 3 et 4). \item Que peut-on dire en g\'en\'eral quand $\Delta=0$~? Pour r\'epondre \`a cette question, on pourra s'appuyer sur l'\'etude des deux cas suivant au voisinage de $(0,0)$~: $$f_1(x,y)=x^2+x^4+y^4 \quad \mbox{et} \quad f_2(x,y)=x^2-y^4.$$ \end{enumerate} \finenonce{001839} \finexercice \exercice{1840, gourio, 2001/09/01} \enonce{001840}{} Existe-t-il un triangle d'aire maximale inscrit dans un cercle donn\'{e}? Le d\'{e}terminer par une m\'{e}thode g\'{e}om\'{e}trique. \finenonce{001840} \finexercice \exercice{1841, gourio, 2001/09/01} \enonce{001841}{} Soit $ f:{\Rr}^{2}\rightarrow {\Rr}$ continue telle que : $$\lim\limits_{\left\| x\right\| \rightarrow \infty }\left| f(x)\right| =+\infty . $$ Montrer que $ f$ est minor\'{e}e et atteint sa borne inf\'{e}rieure. \finenonce{001841} \finexercice \exercice{1842, legall, 2003/10/01} \enonce{001842}{} Soit $f : \Rr ^2\rightarrow \Rr $ l'application $(x,y) \mapsto 6xy+(y-x)^3.$ On note $\Delta =\{ (x,y)\in \Rr^2 , -1\leq x\leq y \leq 1\} .$ \begin{enumerate} \item Dessiner $\Delta $. Montrer que $f$ est born\'ee et atteint ses bornes sur $\Delta .$ \item Calculer les extrema de $f $ sur le bord de $\Delta $ puis dans l'int\'erieur de $\Delta $. \item En d\'eduire les bornes de $f$ sur $\Delta $. \end{enumerate} \finenonce{001842} \finexercice \exercice{1843, legall, 2003/10/01} \enonce{001843}{} $S=\{ z\in \Cc ; \vert z\vert = 1\} .$ Soit $f $ l'application de $D$ dans $\Rr$ d\'efinie par $f(z)=\vert \sin z\vert .$ \begin{enumerate} \item Pour quelle raison $f$ est-elle born\'ee sur $D$~? On note $\displaystyle{ M=\sup_{z\in D}f(z)}$ et $\displaystyle{m=\inf_{z\in D}f(z)}.$ Est-ce que $M$ et $m$ sont atteints~? Donner la valeur de $m$. \item Soit $z= x+iy\in \Cc , x, y \in \Rr.$ Montrer que $\vert \sin z\vert ^2= \frac{1}{2}(\ch 2y-\cos 2x).$ (On rappelle que $\sin z =\frac{e^{i(x+iy)}-e^{-i(x+iy)}}{2i}$ et $\ch y=\frac{e^{y}-e^{-y}}{2}.$) \item En d\'eduire que $M$ est atteint en un point de $S$. \item Montrer que $\displaystyle{M=\frac{e^2-1}{2e}}$. \end{enumerate} \finenonce{001843} \finexercice \exercice{1844, maillot, 2001/09/01} \enonce{001844}{} On pose $\Omega=\R^2\setminus \{(0,0)\}$. Soit $f:\R^2\rightarrow\R$ la fonction d\'efinie par \[f(x,y)=\begin{cases} xy\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2} &\text{si\ } (x,y)\in\Omega\\ 0 &\text{si\ } (x,y)= (0,0). \end{cases}\] \begin{enumerate} \item Montrer que $f$ est diff\'erentiable sur $\Omega$ et calculer sa diff\'erentielle. \item Montrer que $f$ est diff\'erentiable en $(0,0)$ et que sa diff\'erentielle est nulle. \item Montrer que $f$ admet en tout point des d\'eriv\'ees partielles secondes $\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}$ et $\frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}$ et calculer la valeur de ces d\'eriv\'ees en $(0,0)$. Que peut-on en d\'eduire pour la continuit\'e de ces d\'eriv\'ees partielles en $(0,0)$~? \end{enumerate} \finenonce{001844} \finexercice \exercice{6306, mayer, 2011/10/16} \enonce{006306}{} Déterminer les extremums (locaux et/ou globaux) de: \begin{enumerate} \item $f(x,y) = x^2 -y^2$, $(x,y) \in \Rr^2$. \item $f(x,y) = x^3 -y^3$, $(x,y) \in \Rr^2$. \item $f(x,y) = x^3 +y^3-3xy$, $(x,y) \in \Rr^2$. \item $f(x,y) = x^2 +y^2-2xy+1$, $(x,y) \in \Rr^2$. \end{enumerate} \finenonce{006306} \finexercice \exercice{6307, mayer, 2011/10/16} \enonce{006307}{} Discuter, suivant les valeurs du paramètre réel $\lambda $, la nature des extremums de la fonction $f(x,y) = y(x^2+y^2 -2\lambda y)$. \finenonce{006307} \finexercice \exercice{6308, mayer, 2011/10/16} \enonce{006308}{} Soit $f: (t,x,y) \in \Rr^3 \mapsto f(t,x,y) \in \Rr $ une application de classe $C^2$ telle que \begin{itemize} \item $\frac{\partial ^2 f}{\partial (x,y)^2}$ soit une matrice définie positive en tout point et \item $(x,y) \mapsto f(0,x,y)$ atteint son minimum en $(x_0,y_0)$. \end{itemize} Montrer que, si $t$ est voisin de $0$, l'application $(x,y) \mapsto f(t,x,y)$ atteint son minimum en $(x(t),y(t))$, où $t\mapsto (x(t),y(t))$ est une application de classe $C^1$ sur ce voisinage de $0$. \finenonce{006308} \finexercice \exercice{6309, mayer, 2011/10/16} \enonce{006309}{} Soit $g(x,y,z)=xyz -32$, ${\cal S} =\{(x,y,z)\in \Rr^3 \; ;\; g(x,y,z) =0 \}$ et soit $f: \Rr^3 \to \Rr$ l'application $f(x,y,z) = xy+2yz + 2xz$. Déterminer $\min \{f(x,y,z) \; ; (x,y,z) \in S\}$. \finenonce{006309} \finexercice \exercice{6310, mayer, 2011/10/16} \enonce{006310}{} Déterminer le point $p$ du plan $\Sigma = \{(x,y,x+y) \; ; \; x,y\in \Rr\}$ qui réalise la distance $\mathrm{dist} \left( \Sigma \; , \; (1,0,0) \right)$. \finenonce{006310} \finexercice \exercice{6311, mayer, 2011/10/16} \enonce{006311}{} \begin{enumerate} \item Déterminer les extremums de la fonction $f(x,y) =xy$ sur le cercle unité $S= \{(,x,y) \in \Rr^2 \; ; x^2+y^2=1\}$. \item Même question pour la fonction $f(x,y) = xy^2$. \end{enumerate} \finenonce{006311} \finexercice \exercice{6312, mayer, 2011/10/16} \enonce{006312}{} Déterminer le minimum et maximum de la fonction $f(x,y,z) = 5x+y-3z$ sur l'intersection du plan $\Sigma = \{x+y+z=0\}$ avec la sphère unité de $\Rr^3$. \finenonce{006312} \finexercice \exercice{6313, mayer, 2011/10/16} \enonce{006313}{} Déterminer les extremums de la fonction $f(x,y,z) = 2x+3y+2z$ sur l'intersection du plan d'équation $x+z=1$ avec le cylindre ${\cal Z}= \{x^2+y^2 = 2\}\subset \Rr^3$. \finenonce{006313} \finexercice \exercice{6883, romon, 2012/08/30} \enonce{006883}{} \begin{enumerate} \item Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie, $F$ un fermé non vide de $E$ et $x \in E$ un point, appartenant ou non à $F$. Montrer qu'il existe un point $\bar{x} \in F$ tel que \[ \| x - \bar{x} \| = \inf_{z \in F} \| x - z \| . \] (Question subsidiaire: ce point est-il unique?) \item On se place désormais dans l'espace vectoriel $\mathcal{M}_2 ( \mathbb{R})$ des matrices $2 \times 2$ à coefficients réels, muni de la norme \[ \left\| \left(\begin{array}{cc} a & c\\ b & d \end{array} \right) \right\| = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2 + d^2} \] et on considère l'ensemble $\text{SL}_2 (\mathbb{R})$ des matrices $\left(\begin{array}{cc} a & c\\ b & d \end{array} \right)$ de déterminant égal à $1$. \begin{enumerate} \item Montrer que $\text{SL}_2(\mathbb{R})$ est fermé dans $\mathcal{M}_2 (\mathbb{R})$. \item Montrer que $\text{SL}_2(\mathbb{R})$ n'est \emph{pas} bornée. \item Soit $f : \mathcal{M}_2 (\mathbb{R}) \rightarrow \mathbb{R}$ la fonction qui à une matrice $M$ associe $f (M ) = \| M \|$. On cherche la ou les matrices $M$ réalisant l'infimum de la fonction $f$ sur $\text{SL}_2(\mathbb{R})$, autrement dit la ou les matrices les plus proches de la matrice nulle. \begin{enumerate} \item Montrer que $f_{|\text{SL}_2(\mathbb{R})}$ est minorée et atteint son infimum. \item Calculer le gradient de $f$. Est-il toujours défini? \item Trouver le ou les extrema de $f_{|\text{SL}_2(\mathbb{R})}$. Montrer qu'il s'agit du minimum et en déduire \[ \inf_{M \in \text{SL}_2 (\mathbb{R})} \| M \|. \] \end{enumerate} \end{enumerate} \end{enumerate} \finenonce{006883} \finexercice \section{ 374.00 Autre } \exercice{6292, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006292}{} Une fonction $f:U \subset \Rr^n \to \Rr$ est dite \emph{harmonique} si $\sum_{i=1}^n \frac{\partial^2 f}{\partial x_i^2}(x) = 0$ pour tout $x\in U$. Une fonction $f(x,y)$ est dite \emph{radiale} si ses valeurs au point $(x,y)$ ne dépendent que de la distance $r = \sqrt{x^2 + y^2}$ à l'origine, c'est à dire si $f(x,y) = F(r) = F(\sqrt{x^2 + y^2})$, où $F = F(r)$ est une fonction d'une seule variable. Montrez que les seules fonctions radiales et harmoniques, dans $\Rr^2$ privé de l'origine, sont les fonctions $C \ln(r) + D = C \ln( \sqrt{x^2 + y^2}) + D$, où $C$ et $D$ sont des constantes. \finenonce{006292} \finexercice \exercice{6293, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006293}{} Vérifiez que les fonctions suivantes sont harmoniques dans $\Rr^2$ : \item{} \begin{enumerate} \item $e^x \cos y$~; \item $x^3 - 3xy^2$~; \item pour tout entier $k\geq 0$, la fonction $f(x,y) = r^k \cos (k\theta)$, où $r$ et $\theta $ sont les coordonnées polaires de $(x,y)$. \end{enumerate} \finenonce{006293} \finexercice \exercice{6294, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006294}{} Exprimez en coordonnées polaires : $\displaystyle y^2 {\partial^n f\over \partial x^2} - 2xy {\partial^n f\over \partial x \partial y} + x^2 {\partial^n f\over \partial y^2} - x {\partial f\over \partial x} - y {\partial f\over \partial x}.$ \finenonce{006294} \finexercice \exercice{6295, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006295}{} Soit $U$ l'ouvert $\Rr^3$ privé de l'axe des $z$. \begin{enumerate} \item Vérifiez que la fonction $f(x,y,z)$, qui vaut $e^z \cos {\theta\over 2}{\sin r\over \sqrt r}$ en coordonnées cylindriques, est harmonique sur $U$. \item Soit $\lambda $ une constante réelle. Montrer qu'une fonction du type $\displaystyle f(x,y,z) = e^z \cos (\lambda \theta) u(r)$ est harmonique dans $U$ si et seulement si $u = u(r)$ est solution de l'équation différen\-tielle (dite de \emph{Bessel}) : $$r^2 u''(r) + r u'(r) + [r^2 - \lambda^2] u (r) = 0.\eqno (E_\lambda)$$ \item Vérifiez, que pour $\lambda = 3/2$, la fonction $\displaystyle u(r) = {\sin r - r \cos r\over r \sqrt r}$ convient. \end{enumerate} \finenonce{006295} \finexercice \exercice{6296, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006296}{} Dans $\Rr^3$ privé de l'origine, montrez que les seules fonctions harmoniques et \emph{radiales} (c'est-à-dire ne dépendant que de la distance $\rho$ de $(x,y,z)$ à l'origine) sont les fonctions $f(x,y,z) = {C\over \rho} + D = {C\over \sqrt {x^2 + y^2 + z^2}} + D$, où $C$ et $D$ sont des constantes. \finenonce{006296} \finexercice \exercice{6297, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006297}{} Soient $\rho, \theta, \varphi$ les coordonnées sphériques dans $\Rr^3$. On pose $\sin \varphi = t$. Montrer que, pour qu'une fonction de la forme $f(x,y,z) = \rho^n P(t)$, où $n$ est un entier $\geq 0$, soit harmonique, il faut et il suffit que la fonction $t \mapsto P(t)$ soit solution de l'équation différentielle (dite \emph{de Legendre}) : $$(1 - t^2) P''(t) - 2t P'(t) + n(n + 1) P(t) = 0.\eqno (D_n)$$ Pour $n = 0,1,2,3,4,5$, vérifiez, en le calculant par la méthode des coefficients indéter\-minés, qu'il y a un polyn\^ome $P_n(t)$, et un seul, de degré $n$, solution de $(D_n)$, et tel que $P_n(1) = 1$. [Remarque : ce fait vaut pour tout $n$ ; les polyn\^omes $P_n$ s'appellent polyn\^omes de Legendre]. \finenonce{006297} \finexercice \exercice{6298, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006298}{} Dans $\Rr^n$, on pose $\Delta f = {\partial^f\over \partial x^2_1} + \cdots + {\partial^f\over \partial x^2_n}$, et $\rho = \sqrt{x^2_1 +\cdots + x^2_n}$. Soit une fonction \emph{radiale} $f(x_1, x_2, \ldots ,x_n) = F(\rho).$ Montrer que $\Delta f = F''(\rho) + (n-1) F'(\rho)$. Si $n \geq 3$, en déduire que les seules fonctions radiales et harmoniques dans $\Rr^n$ privé de l'origine sont les $f(x,y,z) = {C\over \rho ^{n-2}} + D$, où $C$ et $D$ sont des constantes. \finenonce{006298} \finexercice \exercice{6299, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006299}{} $\Delta(fg) = f\Delta g + g\Delta f + \langle \nabla f \mid \nabla g \rangle$. \finenonce{006299} \finexercice \exercice{6300, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006300}{} Une fonction $f$ de classe $C^4$ (par exemple à 2 variables) est dite \emph{biharmonique} si $$\Delta (\Delta f) = {\partial^4 f\over \partial x^4} + 2 {\partial^4 f\over \partial x^2 \partial y^2} + {\partial^4 f\over \partial y^4} \equiv 0.$$ Ces fonctions interviennent en théorie de l'Elasticité. Bien entendu toute fonction harmonique est biharmonique. Montrez que, si $f$ et $g$ sont deux fonctions harmoniques, alors la fonction $xf + (x^2 + y^2)g$ est biharmonique. \finenonce{006300} \finexercice \section{ 380.00 Solution maximale } \exercice{2557, tahani, 2009/04/01} \enonce{002557}{} \begin{enumerate} \item Pour chacune des équations suivantes o\`u $y=y(x)$ est r\'elle de variable r\'eelle, d\'ecrire les solutions en pr\'ecisant leur intervalle maximal de d\'efinition et dessiner les trajectoires: $$\mbox{ (i) } y'=e-y \mbox{ (ii) } y'-y=e^x \mbox{ (iii) } xy'-2y=0.$$ \item Quelles sont les courbes isoclines de l'\'equation $y'=y^2-x$; en d\'eduire l'allure des trajectoires. \end{enumerate} \finenonce{002557} \finexercice \exercice{2558, tahani, 2009/04/01} \enonce{002558}{} On consid\`ere l'\'equation $$x'=3x^{2/3} \mbox{ :} (1)$$ avec condition initiale $x(0)=0$. \begin{enumerate} \item Soit $\varphi$ une solution de $(1)$ d\'efinie sur $\mathbb{R}$ telle que $\varphi(0)=0$; on pose $\lambda=\inf \{ t \leq 0; \varphi(t)=0\} \leq +\infty$. Montrez que $\varphi$ est identiquement nulle sur $(\lambda,\mu)$. \item Montrer que $\varphi$ vaut $(t-\lambda)^3$ si $t\leq \lambda$, $0$ sur $[\lambda, \mu]$ et $(t-\mu)^3$ si $t \geq \mu$; en d\'eduire toutes les solutions maximales de $(1)$ d\'efinies sur $\mathbb{R}$ avec $x(0)=0$. \end{enumerate} \finenonce{002558} \finexercice \exercice{2559, tahani, 2009/04/01} \enonce{002559}{} On considère l'\'equation diff\'erentielle $x'=|x|+|t|$. \begin {enumerate} \item Montrez que pour tout r\'eel $x_0$, il existe une solution maximale $(\varphi,J)$ telle que $\varphi(0)=x_0$. \item D\'etermner la solution maximale correspondant à $x_0=1$, en distinguant les cas $t \geq 0$ et $t<0$, et v\'erifiez qu'elle est d\'efinie sur $\mathbb{R}$ tout entier. Combien de fois est-elle d\'erivable? \end{enumerate} \finenonce{002559} \finexercice \exercice{2560, tahani, 2009/04/01} \enonce{002560}{} Soit $f:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ donn\'ee par $f(t,x)=4\frac{t^3x}{t^4+x^2}$ si $(t,x)\neq (0,0)$ et $f(0,0)=0$. On s'interesse \`a l'\'equation diff\'erentielle $$x'(t)=f(t,x(t)).$$ \begin{enumerate} \item L'application $f$, est-elle continue ? est-elle localement lipschitzienne par rapport à sa seconde variable ? Que peut-on en d\'eduire pour l'\'equation $(2)$ ? \item Soit $\varphi$ une solution de $(2)$ qui est d\'efinie sur un intervalle $I$ ne contenant pas $0$. On d\'efinit une application $psi$ par $\varphi(t)=t^2\psi(t), t\in I$. D\'eterminer une \'equation diff\'erentielle $(E)$ telle que $\psi$ soit solution de cette \'equation, puis r\'esoudre cette \'equation $(E)$. \item Que peut-on en d\'eduire pour l'existence et l'unicit\'e de l'\'equation diff\'erentielle $(2)$ avec donn\'ee initiale $(t_0,x_0)=(0,0)$ \end{enumerate} \finenonce{002560} \finexercice \exercice{2561, tahani, 2009/04/01} \enonce{002561}{} Soit l'\'equation diff\'erentielle $$x'''-xx''=0$$ o\`u $x$ est une application trois fois d\'erivable, d\'efinie sur un intervalle ouvert de $\mathbb{R}$ et \`a valeurs dans $\mathbb{R}$. \begin{enumerate} \item Mettre cette \'equation diff\'erentielle sous la forme canonique $y'(t)=f(t,y(t))$, o\`u $f$ est une application que l'on d\'eterminera. \item Soient $t_0, a, b, c \in \mathbb{R}$. Montrer qu'il existe une unique solution maximale $\varphi$ de l'\'equation $(3)$ qui satisfasse aux conditions initiales $$\varphi(t_0)=a, \varphi'(t_0) \mbox{ et } \varphi''(t_0)=c.$$ \item Soit $\varphi$ une telle solution maximale. Calculer la d\'eriv\'ee de la fonction $$t \rightarrow \varphi''(t)exp\left(- \int_{t_0}^t \varphi(u)du \right)$$ En d\'eduire que la fonction $\varphi$ est soit convexe, soit concave sur son intervalle de d\'efinition. D\'eterminer $\varphi$ dans le cas o\`u $\varphi''(t_0)=0$. \end{enumerate} \finenonce{002561} \finexercice \exercice{2562, tahani, 2009/04/01} \enonce{002562}{} On consid\`ere l'\'equation $xx''=(x')^2+1$ sur $\mathbb{R}$. \begin{enumerate} \item Montrer que, $x_0\neq 0$ et $x_0'$ \'etant donn\'es dans $\mathbb{R}$, il existe une unique solution $\varphi$ d\'efinie au voisinage de $0$, telle que $\varphi(0)=x_0$ et $\varphi'(0)=x_0'$. \item Si de plus $x_0' \neq 0$, on peut supposer que $\varphi$ est un $C^1$-diff\'eomorphisme d'un voisinage de $0$ sur un voisinage de $x_0$ (pourquoi ?); on note $\psi$ l'application r\'eciproque et on pose $z(x)=\varphi'(\psi(x))$. Calculez $z'(x)$, trouver l'\'equationb satisfaite par $z$ et expliciter $z$; en d\'eduire une expression de $\varphi$. \item Quelle est la solution $\varphi$ de l\'equation telle que $\varphi(0)=x_0\neq 0$ et $\varphi'(0)=0$. \end{enumerate} \finenonce{002562} \finexercice \exercice{6314, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006314}{} \begin{enumerate} \item Pour chacune des équations suivantes où $y=y(x)$ est réelle de variable réelle, décrire les solutions en précisant leur intervalle maximal de définition et dessiner les trajectoires : $$(i)\ y'=e^{-y};\quad (ii)\ y'-y=e^x ;\quad (iii)\ xy'-2y=0; \quad (iv)\ x^2y'-y=x^2-x.$$ \item Quelles sont les courbes isoclines de l'équation $ y'=y^2-x$; en déduire l'allure des trajectoires. \end{enumerate} \finenonce{006314} \finexercice \exercice{6315, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006315}{} Soit $f,g$ deux fonctions réelles continues sur un intervalle $I$ de $\Rr$, $x_0\in I$, et on suppose que $g^{-1}(0)$ est fini ou discret; montrer que la solution de l'équation $y'=f(x)g(y),\ y(x_0)=y_0$ s'obtient sous forme implicite, et préciser son intervalle de définition. Exemples : $f(x)=\displaystyle{1\over\sqrt{1-x^2}},\ g(y)=\sqrt{1-y^2}$; $f(x)=1,\ g(y)=y-y^2$. \finenonce{006315} \finexercice \exercice{6316, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006316}{} On considère l'équation différentielle $$(E)\qquad y''+y'+y=0$$ \begin{enumerate} \item Résoudre l'équation différentielle $(E)$ et étudier le comportement des solu\-tions en $+\infty$ et $-\infty$. \item Soit $f$ une fonction de classe ${\cal C}^2$ sur ${\Rr}$ telle que $f''+f'+f$ soit $T$-périodique. Montrer que $f(x+T)-f(x)$ est solution de $(E)$. En déduire que si $f$ est bornée sur ${\Rr}$, $f$ est elle-même $T$-périodique. \end{enumerate} \finenonce{006316} \finexercice \exercice{6317, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006317}{} On considère les deux équations différentielles du second ordre $$({\cal E}_1)\quad\quad y''=\sin x\qquad({\cal E}_2)\quad\quad y''+ \omega^2y= \sin x$$ où $\omega$ est un nombre réel de module strictement inférieur à $1$. \begin{enumerate} \item Trouver la solution $y$ de l'équation ${\cal E}_1$ vérifiant $y(0)=0,\ y(\pi)=4\pi.$ \item Décrire la solution générale de l'équation ${\cal E}_2$, et prouver ainsi que la solution $y_\omega$ vérifiant $y_\omega(0)=0,\ y_\omega(\pi)=4\pi$, a pour expression $$y_\omega(x)=4\pi{{\sin\omega x}\over{\sin\pi\omega}}- {{\sin x}\over{1-\omega^2}}.$$ \item Trouver, à $x$ fixé, la limite de $y_\omega(x)$ quand $\omega$ tend vers $0$. Interprétation. \item On restreint $x$ à parcourir l'inter\-valle $[0,\pi]$, et on suppose $0\leq\omega\leq{1\over2}$. A l'aide de la formule de Taylor, %à la fonction $f(\omega)=\pi\sin\omega x-x\sin\pi\omega$, montrer que $\vert \pi\sin\omega x-x\sin\pi\omega\vert\leq\pi^3\omega^3$. En déduire : $\vert y_\omega(x)-y(x)\vert \leq A\omega^2$, où $A$ est une constante. \end{enumerate} \finenonce{006317} \finexercice \exercice{6318, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006318}{} On considère l'équation différentielle du second ordre $$({\cal E})\quad\quad y''+ y=f(x)$$ où $f$ est une fonction continue sur ${\Rr}$ tout entier. \begin{enumerate} \item On suppose que $f$ est un polyn\^ome de degré $n$. On note $E$ l'espace vectoriel des polyn\^omes réels de degré $\leq n$. Montrer que l'application $u$, définie sur $E$ par $u(P) = P''+ P$, est une application injective de $E$ dans lui-même. En déduire que l'équation ($\cal E$) a une et une seule solution polyn\^omiale $g$ qui est de même degré que $f$. \item On suppose maintenant que $f$ est une fonction continue quelconque sur ${\Rr}$. Montrer que la fonction $$\int_0^x f(t) \sin(x-t) \ dt $$ est une solution particulière de ($\cal E$); en déduire la solution générale de l'équation. \item Montrer que si $f$ vérifie l'inégalité $f(t) \leq {1\over{1+t^2}}$ pour tout $t\in {\Rr}$, toutes les solutions de ($\cal E$) sont des fonctions bornées. A-t-on la même conclusion si la fonction $f$ est seulement bornée sur ${\Rr}$? \end{enumerate} \finenonce{006318} \finexercice \exercice{6319, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006319}{Méthode de Picard} On construit de proche en proche la suite de fonctions réelles $(y_n)$ par la relation $$y_0(x)=1,\quad y_n(x)=1+\int_0^x (y_{n-1}(t))^2 dt.$$ \begin{enumerate} \item On suppose d'abord $x\in [0,1[$. Montrer que la suite $(y_n)$ est croissante et majorée par ${1\over 1-x}$. En déduire que $y_n$ tend, quand $n\to\infty$, vers une limite qui est la solution de l'équation différentielle $y'=y^2$ valant $1$ en $0$. \item Si $-10$ telle que $\forall x\in \Cc^n$, $\forall t\in [0,\infty[$~: $\|e^{tA}x\| \le K e^{\alpha t} \|x\|$. \item Soit $A\in M(n,\Rr)$ diagonalisable sur $\Cc$ et $\lambda_1, \ldots,\lambda_n $ ses valeurs propres (attention, ici $A$ est à coefficients réels). Soit en plus $\alpha = \max_i \Re \lambda_i$ strictement inférieur à 0. Déduire de ce qui précède que si $\varphi(t)$ est solution de l'équation (*), alors $ \lim_{t\to \infty} \varphi(t) = 0$. \end{enumerate} \item Soit $g:\Rr^n \to \Rr^n$ comme dans l'introduction. \begin{enumerate} \item Démontrer que $\forall \epsilon>0$, $\exists \eta>0$, $\forall x,y\in \Rr^n$~: $\|x\| < \eta$, $\|y\| < \eta$ $\Longrightarrow$ $\|g(x) - g(y)\| \le \epsilon \cdot \|x-y\|$. \item Quelle est la solution de domaine de définition maximal (à préciser) de l'équa\-tion (**) vérifiant la condition initiale $\varphi(0) = 0$~? \item Soit $I\subset \Rr$ un intervalle contenant 0. Démontrer qu'une application continue $\varphi:I \to \Rr^n$ est solution de l'équation (**) avec condition initiale $\varphi(0) = {x_0\in \Rr^n}$ si et seulement si on a sur $I$~: $$ \varphi(t) = e^{tA} x_0 + \int_0^t e^{(t-s)A} g(\varphi(s))\,ds \ . $$ Indication~: pour $\Longrightarrow$ on pourra considérer la fonction $\psi(t) = e^{-tA} \varphi(t)$. \end{enumerate} \item Soit $g:\Rr^n \to \Rr^n$ comme dans l'introduction~; soit $A$ et $\alpha$ comme dans 1.(d) et $K$ comme dans 1.(c) Soit $\beta\in \Rr$ tel que $\alpha < \beta < 0$. En posant $\epsilon = (\beta-\alpha)/K$, la question 2.(a) nous donne un $\eta>0$. Soit finalement $x_0\in \Rr^n$ tel que $\|x_0\| < \eta/K$. On définit une suite de fonction $\varphi_p : [0, \infty[ \ \to \Rr^n$ par les formules ${\varphi_0(t) = e^{tA} x_0}$ et $$ \varphi_{p+1}(t) = e^{tA} x_0 + \int_0^t e^{(t-s)A} g(\varphi_p(s)) \, ds \ . $$ \begin{enumerate} \item Démontrer par récurrence que $\forall p\in \Nn$, $\forall t\in [0,\infty[$~: $\|\varphi_p(t)\| \le K e^{t\beta} \|x_0\|$. \item Démontrer que $\chi(t) = \|\varphi_1(t) - \varphi_0(t)\|$ est une fonction bornée sur $[0,\infty[\,$. \item Démontrer par récurrence que $\forall p\in \Nn$, $\forall t\in [0,\infty[$~: $$ \|\varphi_{p+1}(t) - \varphi_p(t)\|\le \left( \frac{\beta-\alpha}{-\alpha } \right)^p \cdot \sup_{s\in [0,\infty[} \|\varphi_1(s) - \varphi_0(s)\| \ . $$ \item En déduire que $\forall p,q\in \Nn$, $\forall t\in [0,\infty[$~: $$ \|\varphi_{p+q}(t) - \varphi_p(t)\| \le \left(\frac{\beta-\alpha}{-\alpha } \right)^p \cdot \left(1 - \frac{\beta-\alpha}{-\alpha } \right)^{-1} \cdot \sup_{s\in [0,\infty[} \| \varphi_1(s) - \varphi_0(s)\| \ . $$ \item Démontrer que la suite $(\varphi_p)$ converge vers une fonction $\varphi:[0,\infty[\ \to \Rr^n$ et que la convergence est uniforme. \item Démontrer que $\varphi$ est continue et solution de l'équation (**) vérifiant $\varphi(0) = x_0$. \item Démontrer que $\forall t\in [0,\infty[$~: $\| \varphi(t)\| \le K e^{t\beta} \|x_0\|$. \item Déduire de ce qui précède qu'il existe un voisinage $U$ de $0\in \Rr^n$ (à préciser) tel que $\forall x_0\in U$ il existe un intervalle $I\subset \Rr$ et une fonction $\varphi:I \to \Rr^n$ vérifiant \begin{enumerate} \item $\varphi$ est l'unique solution de (**) vérifiant $\varphi(0) = x_0$, \item $[0,\infty[\ \subset I$, \item $\lim_{t\to \infty} \varphi(t) = 0$. \end{enumerate} \end{enumerate} \end{enumerate} \finenonce{006809} \finexercice \exercice{6822, gijs, 2011/10/16} \enonce{006822}{} Pour une fonction réelle $x$ de la variable $t$ on considère le système \begin{equation} x'''' + 2x'' + x = 0\qquad \& \qquad x(0) = 2\ . \tag{*} \end{equation} \begin{enumerate} \item Le système \thetag* a-t-il une solution unique~? Pourquoi~? \medskip Si votre réponse à la question 1. est oui, répondre à la question 2., si votre réponse à la question 1. est non, répondre à la question 3.. \item Trouver la solution unique de \thetag*. Est-elle périodique~? \item Trouver toutes les solutions de \thetag*. Y-a-t-il des solutions périodiques~? Si oui, les expliciter. \end{enumerate} \finenonce{006822} \finexercice \exercice{6828, gijs, 2011/10/16} \enonce{006828}{} Pour une fonction {\bf réelle} $x$ de la variable $t$ on considère le système \begin{equation} \begin{cases} x^{(4)} - 2x^{(3)} + 2x'' - 2x' + x = 0 \\ x(0) = 0 \quad,\quad x''(0) = -2 \quad ,\quad x^{(3)}(0) = 0 \end{cases} \tag{*} \end{equation} \begin{enumerate} \item Le système \thetag* a-t-il une solution unique~? Pourquoi~? \medskip \noindent Si votre réponse à la question 1. est oui, répondre à la question 2., si votre réponse à la question 1. est non, répondre à la question 3.. \item Trouver la solution unique de \thetag*. Est-elle périodique~? \item Trouver toutes les solutions de \thetag*. Y-a-t-il des solutions périodiques~? Si oui, les expliciter. \end{enumerate} \finenonce{006828} \finexercice \exercice{6837, gijs, 2011/10/16} \enonce{006837}{} Soit $f: \ ]0,+\infty[\ \times \ ]0,+\infty[ \ \times \Rr \to \Rr$ la fonction $f(x,t,c) = x- \ln(x) - t + \ln(t) - c$. \begin{enumerate} \item Démonter que si une fonction dérivable de $t$, $x=\gamma_c(t)$ est solution de l'équation $f(\gamma_c(t),t,c)=0$, alors elle est solution de l'équa\-tion différentielle ${t(x-1)x' = (t-1)x}$. \item Existe-t-il une fonction $g(t,c)$ définie dans un voisinage de $(2,0)$ vérifiant $g(2,0)=2$ et $f(g(t,c),t,c)=0$ (justifier)~? Si oui, calculer le développement limité (le polyn\^ome de Taylor) d'ordre 2 de cette solution. \end{enumerate} \finenonce{006837} \finexercice \exercice{6845, gijs, 2011/10/16} \enonce{006845}{} Pour une fonction {\bf réelle} $x$ de la variable $t$ on considère le système \begin{equation} \begin{cases} x^{(4)} - 2x^{(3)} + x'' + 2x' - 2x = 0 \\ x(0) = 0 \qquad,\qquad x''(0) = 0 \end{cases} \tag{*} \end{equation} \begin{enumerate} \item Le système \thetag* a-t-il une solution unique~? Pourquoi~? \noindent Si votre réponse à la question 1. est oui, répondre à la question 2., si votre réponse à la question 1. est non, répondre à la question 3.. \item Trouver la solution unique de \thetag*. Est-elle périodique~? \item Trouver toutes les solutions de \thetag*. Y-a-t-il des solutions périodiques~? Si oui, les expliciter. \end{enumerate} \finenonce{006845} \finexercice \section{ 381.00 Théorème de Cauchy-Lipschitz } \exercice{6326, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006326}{} On considère l'équation différentielle (de Ricatti) sur $\Rr$ : $$({\cal E})\quad\quad x'(t)=a(t)x^2(t)+b(t)x(t)+c(t),$$ où $a,b,c\in C(\Rr,R)$. Soit $x_i, 1\leq i\leq4$, quatre solutions distinctes définies sur $I$. On pose $B=\displaystyle{x_3-x_1\over x_3-x_2} {x_4-x_2\over x_4-x_1}$. \begin{enumerate} \item Montrer que $B$ est bien défini sur $I$. \item Montrer que $B$ est une fonction constante sur $I$ (utiliser la dérivée logarith\-mique). \end{enumerate} \finenonce{006326} \finexercice \exercice{6327, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006327}{} On considère l'équation différentielle (de Bernoulli) sur $\Rr$ : $$({\cal E})\quad\quad y'+y+xy^2=0.$$ \begin{enumerate} \item Recherche des solutions qui ne s'annulent jamais. Transformer l'équation par le difféomorphisme $(x,y)\in{\Rr}\times{\Rr^*}\to (x,{1\over y})$ en une équation $({\cal E'})$ qu'on résoudra. En déduire une famille $(\varphi_\lambda)$ de solutions de $({\cal E})$ avec leur intervalle maximal de définition. \item Montrer que par tout point $(x_0,y_0)$ du plan avec $y_0\not=0$, il passe une solution $\varphi_\lambda$. En déduire toutes les solutions de $({\cal E})$. \end{enumerate} \finenonce{006327} \finexercice \exercice{6328, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006328}{} Soit $f$ un champ de vecteurs de classe $C^1$ sur un ouvert $U$ de $\Rr^n$, et,\break $ (1)\quad x'=f(x)$, l'équation associée. \begin{enumerate} \item Soit $x_0\in U$ tel que $f(x_0)=0$. Si $\varphi : J\to U$ est une solution de $(1)$ telle que $\varphi(t_0)=x_0$ pour un $t_0\in J$, alors $\varphi(t)=x_0$ pour tout $t\in J$. \item Si $f$ est bornée sur $U$ et $\varphi : J\to U$ est une solution de $(1)$ où $J=]a,b[$, $b\in \Rr$, alors $\lim_{t\to b} \varphi(t)$ existe. \item Soit $\varphi : J\to U$ une solution de $(1)$ où $J\supset ]0,+\infty[$, et supposons en outre que $\lim_{t\to\infty}\varphi(t)=a\in U$. Montrer que $f(a)=0$. \end{enumerate} \finenonce{006328} \finexercice \exercice{6329, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006329}{} Soit $f$ un champ de vecteurs de classe $C^1$ de $\Rr^n$ dans $\Rr^n$, et on suppose (pour simplifier) que, pour toute donnée initiale $x$ de $\Rr^n$, il existe une unique solution passant par $x$ au temps $t=0$, définie sur $\Rr$ tout entier. On note $\phi(t, x)$ cette solution (ou $\phi$ le flot du champ). \begin{enumerate} \item Montrer qu'on a $\phi(s,\phi(t,x))=\phi(s+t,x)$ pour tous $s,t\in \Rr$. et la vérifier sur l'équation $x'=x^2, x(0)=\alpha\geq0$ aprés avoir précisé le domaine de définition du flot. \item On fait $n=2$; décrire le flot lorsque $f(x,y)=(-x,y);\quad (y,x);\quad (-y,x)$, et vérifier la relation précédente. \end{enumerate} \finenonce{006329} \finexercice \exercice{6330, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006330}{Fonctions implicites et Cauchy-Lipschitz} Soit $f:\Rr^2\to R$, de classe $C^2$, et $(a,b)$ un point tel que $f(a,b)=0$, et $f'_y(a,b)\not=0$. Montrer que si $y=\varphi(x)$ est la fonction implicite associée à $f(x,y)=0$, $\varphi$ est solution de l'équation différentielle : $$y'=-{f'_x(x,y)\over f'_y(x,y)};\ y(a)=b.$$ Réciproque. \finenonce{006330} \finexercice \exercice{6331, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006331}{Inégalité de Gronwall} Soit $u,v$ deux applications de $[0,\beta]$ dans $\Rr$ continues et positives telles que $$u(t)\leq C+\int_0^t u(s)v(s)\ ds$$ où $C$ est une constante positive ou nulle. Montrer que $u(t)\leq C e^{\int_0^t v(s)\ ds}$. \finenonce{006331} \finexercice \exercice{6332, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006332}{} Soit $f$ une application $K$-lipschitzienne sur un ouvert $U\subset \Rr^n$. On va démon\-trer que le flot de solutions de $x'=f(x)$, supposé défini sur un intervalle $[t_0,t_1]$, dépend continument de la condition initiale $ x(t_0)=x_0$. \begin{enumerate} \item Soit $x_1,\ x_2$ deux telles solutions; montrer que si $t\in[t_0,t_1]$, $$||x_1(t)-x_2(t)||\leq ||x_1(t_0)-x_2(t_0)||e^{K(t-t_0)}$$ \item En déduire le résultat et le vérifier sur l'exemple : $x'=x^2$ sur $\Rr$. \end{enumerate} \finenonce{006332} \finexercice \exercice{6333, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006333}{} Soit $I$ un intervalle ouvert de $\Rr$, $E=\Rr^n$ , $f(t,x)$ une fonction continue de $I\times E$ dans $E$ telle que $||f(t,x_1)-f(t,x_2)||\leq k(t)\ ||x_1-x_2||$, où $k$ est une fonction continue $\geq0$ définie sur $I$. \begin{enumerate} \item On considère $J$ intervalle compact $\subset I$ et l'opérateur $T$ défini sur $C(J,\Rr^n)$ par $$Tx(t)=x_0+\int_{t_0}^tf(s,x(s))\ ds;$$ montrer que pour $p$ assez grand, $T^p$ est contractante; en déduire que l'équation $x'=f(t,x)$ admet une unique solution définie sur $J$ tout entier telle que $x(t_0)=x_0$. \item Montrer que l'équation $x'=f(t,x)$ admet une unique solution telle que $x(t_0)=x_0$, définie sur $I$ tout entier (on pourra écrire $I$ comme union d'intervalles compacts). \item Exemples : Montrer que les solutions maximales des équations $y''=-\sin y,y(0)=a, y'(0)=b$ (qu'on mettra sous forme canonique), et $x'=A(t).x, x(0)=x_0$ où $A(t)\in {\cal L}({\Rr^n})$ est constituée de fonctions continues sur $\Rr$, sont définies sur $\Rr$ tout entier. \end{enumerate} \finenonce{006333} \finexercice \exercice{6334, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006334}{} On considère l'équation $x x'' = (x')^2 +1$ sur $\Rr$. \begin{enumerate} \item Montrer que, $x_0 \neq 0 $ et $x_0'$ étant donnés dans $\Rr$, il existe une unique solution $\varphi$ définie au voisinage de $0$, telle que $\varphi (0) =x_0$ et $\varphi '(0) =x'_0$. \item Si de plus $x'_0 \neq 0$, on peut supposer que $\varphi $ est un $C^1$--difféomorphisme d'un voisinage de $0$ sur un voisinage de $x_0$ (pourquoi?); on note $\psi$ l'application réciproque et on pose $z(x) = \varphi '( \psi (x))$. Calculer $z'(x) $, trouver l'équation satisfaite par $z$ et expliciter $z$; en déduire une expression de $\varphi$. \item Quelle est la solution $\varphi$ de l'équation telle que $\varphi (0) = x_0 \neq 0$ et $\varphi ' (0) =0$. \end{enumerate} \finenonce{006334} \finexercice \exercice{6335, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006335}{} \begin{enumerate} \item On cherche à résoudre le problème $$ x'= t^2 +t x\quad , \quad x(0) = 0 \; . $$ \'Ecrire l'équation intégrale associée et utiliser les cylindres de sécurités pour justifier que le procédé itératif de Picard donne une suite de fonctions $(x_n)$ convergent uniformément sur $[-1/2, 1/2]$ vers une solution du problème. Partant de $x_0 \equiv 0$, déterminer ensuite cette suite $(x_n)$ et la solution du problème donné. \item Résoudre avec ce procédé itératif le problème $$ x' = t x \quad , \quad x(0) =1 \; , $$ puis aussi $$\begin{array}{ll} x'_1= x_2 x_3 \; ,& x_1 (0) = 0 \; , \\ x'_2 = - x_1 x_3\; , & x_2(0) =1 \; ,\\ x'_3 = 2\; , & x_3(0) =0\; , \end{array}$$ en commen\c{c}ant avec $x_0 (t) = (0,1,0)$. \end{enumerate} \finenonce{006335} \finexercice \exercice{6336, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006336}{} Calculer les premiers termes de l'itération de Picard avec les conditions initiales données. Si possible trouver des solutions explicites, y compris leurs domaines de définition. \begin{enumerate} \item $x' = x+2$; $x(0) = 2$. \item $x' = x^{4/3}$; $x(0) = 0$. \item $x' = x^{4/3}$; $x(0) = 1$. \item $x' = 1/(2x)$; $x(1) = 1$. \end{enumerate} \finenonce{006336} \finexercice \section{ 382.00 Système linéaire à coefficients constants } \exercice{6337, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006337}{} On rappelle les différentes méthodes pour résoudre un système différentiel linéaire à coefficients constants $X'(t)= A.X(t)$ sur $E$ de dimension finie: \begin{enumerate} \item On met $A$ sous forme triangulaire et on résout de proche en proche le nou\-veau système obtenu par changement de base avant de revenir au système initial. \item On met $A$ sous forme de Dunford, $P^{-1}AP=D+N$, où $D$ semi-simple et $N$ nilpotente, qui commutent. On calcule ainsi $e^{tA}.X_0$, la solution valant $X_0$ au temps $t=0$. \item On utilise le théorème de Cayley-Hamilton pour établir des relations entre les puissances de $A$ et calculer ainsi $e^{tA}$. \item (cf. Cartan) On décompose $E=\oplus_i E_i$ en sous-espaces caractéris\-tiques, on calcule $e^{tA_i}$ où $A_i=A_{|E_i}$, puis $X(t)=\sum_ie^{tA_i}v_i$, si $X_0=\sum_iv_i$. \item On cherche une base de solutions par identification sous la forme de polyn\^omes-exponentielles, suivant le résultat du cours. \end{enumerate} Résoudre les systèmes différentiels de matrice : $$ \begin{pmatrix}1 & 1\\ 2 & 0\end{pmatrix}; \quad \begin{pmatrix} 0 & 1 & -12 \\ -1 & 2 &-20\\ 1 & 0 & -5 \end{pmatrix};\quad \begin{pmatrix}1 & 0 & -1&1 \\ 0&1 & 1 &0\\ 0&0&1 & 0 \\0&0&1 & 0 \end{pmatrix} $$ \finenonce{006337} \finexercice \exercice{6338, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006338}{} Soit $A$ un opérateur de $\Rr^n$ et $x'=Ax$ le système associé. \begin{enumerate} \item On suppose que $A$ laisse un sous-espace $E$ invariant; montrer que si $\varphi$ est une solution de condition initiale $\varphi(t_0)\in E$ alors $\varphi(t)\in E$ pour tout $t\in \Rr$. \item Que peut-on dire des solutions du système si $A$ est nilpotente;? \item On suppose que $A$ a une valeur propre de partie réelle $<0$; montrer qu'il existe au moins une solution $\varphi$ telle que $\lim_{t\to+\infty}\varphi(t)=0$. \item A quelles conditions le système n'a-t-il que des solutions bornées ? \end{enumerate} \finenonce{006338} \finexercice \exercice{6339, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006339}{} Montrer que $\Big(I+{A\over n}\Big)^n$ converge vers $e^A$ quand $n\to\infty$ en majorant la différence. Retrouver ainsi la valeur de $\det e^A$. \finenonce{006339} \finexercice \exercice{6340, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006340}{} Soit $E=\Cc^n$, $A\in{\cal L}(E,E)$ et le système différentiel $X'=AX$. \begin{enumerate} \item On suppose que $X=e^{r_1t} u_1 + e^{r_2t} u_2$ est solution, où $u_i\in E$ et $r_i\in \Cc$ distincts. Montrer que $e^{r_1t} u_1$ et $e^{r_2t} u_2$ sont solutions. \item On suppose que $e^{rt}(u+tv)$ est solution où $u,v\in E$ et $v\not=0$. Montrer que $u$ n'est pas proportionnel à $v$ et que $\dim\hbox{ Ker} (A-rI_E)^2\geq 2$. \end{enumerate} \finenonce{006340} \finexercice \exercice{6341, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006341}{} Trouver la solution générale de l'équation $y^{(4)}+y=0$ sous forme réelle. On admet que la fonction $\displaystyle f(a)=\int_{\Rr} {\cos(at)\over1+t^4}\ dt$ vérifie cette équation. Sachant que $\int_{\Rr} {dt\over1+t^4}={\pi\over\sqrt2}$, montrer que pour $a\geq0$ $$f(a)={\pi\over\sqrt2}e^{-{a\over\sqrt2}}\Big(\cos({a\over\sqrt2})+ \sin({a\over\sqrt2})\Big).$$ \finenonce{006341} \finexercice \exercice{6342, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006342}{} Résoudre le système \begin{equation*} (S) \quad \left\{ \begin{array}{ccc} x'_1 & = & x_2 \\ x'_2 & = & x_1 \end{array} \right. \end{equation*} en utilisant d'abord les valeurs propres de la matrice $A$ définissant ce système, puis en calculant $A^n$ et $e^{tA}$. \finenonce{006342} \finexercice \exercice{6343, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006343}{} \begin{enumerate} \item Soit le système \begin{equation*} x' = Ax \quad \text{avec} \quad A= \begin{pmatrix} 1 & -2 & 0 \\ 2 & 0 & -1\\ 4 & -2 & -1 \end{pmatrix} \; . \end{equation*} Déterminer les valeurs propres de $A$ puis un système de solutions de $x' = Ax$. \item Même exercice avec \begin{equation*} A= \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 4 & -3 \end{pmatrix} \; \; \text{ou encore} \;\;\; A= \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -1 & 0\\ 1 & 2 & 1& 0\\ -1 & 2 & 2 & 1 \end{pmatrix} \; . \end{equation*} \end{enumerate} \finenonce{006343} \finexercice \exercice{6344, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006344}{} On considère le système linéaire $x'(t) = A(t) x(t)$, où $A\in {\cal C} ([0, \infty ))$. Soit $\varphi $ une solution non-triviale de ce système et soit $$ \gamma = \limsup_{t\to \infty } \frac{1}{t} \log \|\varphi (t) \| \;\; , -\infty \leq \gamma \leq \infty \; .$$ \begin{enumerate} \item Montrer que $\gamma$ ne dépend pas du choix de la norme $\| . \|$ de $\Rr^n$. \item Montrer que $\gamma$ est une valeur finie si on suppose que les coefficients de la matrice $A(t)$ sont des fonctions bornées (on utilisera l'inégalité de Gronwall). \item Dans le cas où $A$ est une matrice constante diagonalisable, montrer que $\gamma$ est forcément la partie réelle d'une valeur propre de $A$. \end{enumerate} \finenonce{006344} \finexercice \exercice{6345, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006345}{} Résoudre le système $x' = 2x - y$, $y' = x+ 2y$. Quelle est la solution vérifiant $x(0) = 1$, $y(0) = -2$~? \finenonce{006345} \finexercice \exercice{6346, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006346}{} Soit $E$ un sous-espace vectoriel de $\Rr^n$ et $A\in M(n,\Rr)$ une matrice préservant $E$. Si $x(t)$ est une solution de l'équation $x' = Ax$ telle que $x(t_0) \in E$, montrer que $\forall t\in \Rr : x(t) \in E$. \finenonce{006346} \finexercice \exercice{6347, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006347}{} Classifier et esquisser les portraits de phase des équations $x' = Ax$ pour $A\in M(2,\Rr)$ ayant zéro comme valeur propre. \finenonce{006347} \finexercice \exercice{6348, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006348}{} Pour quelle(s) valeur(s) de $k$ l'origine est-elle un puits pour l'équation $x' = Ax$~? \begin{enumerate} \item $\begin{pmatrix} a & -k \cr k &2 \cr \end{pmatrix}$, \item $\begin{pmatrix} 3 & 0 \cr k &-4 \cr \end{pmatrix}$, \item $\begin{pmatrix} k^2 & 1 \cr 0 &k \cr \end{pmatrix}$, \item $\begin{pmatrix} 0 & -1 &0 \cr 1&0&0 \cr -1 &0 &k \cr \end{pmatrix}$. \end{enumerate} \finenonce{006348} \finexercice \exercice{6349, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006349}{} Trouver les solutions du système $x' = -y$, $y'' = -x - y + y'$. \finenonce{006349} \finexercice \exercice{6350, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006350}{} Soit $A\in M(n,\Rr)$. Montrer que si toutes les solutions de l'équation $x' = Ax$ sont périodiques de même période, alors $A$ est semi-simple et le polyn\^ome caractéristique est une puissance de $\lambda^2 + b^2$ pour un certain $b\in \Rr$. \finenonce{006350} \finexercice \exercice{6351, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006351}{} Soit $A\in M(4,\Rr)$ semi-simple, et soient $\pm ai$, $\pm bi$, $a>0$, $b>0$ les valeurs propres. \begin{enumerate} \item Montrer que si $a/b$ est rationnelle, alors toutes les solutions de $x' = Ax$ sont périodiques. \item Montrer que si $a/b$ est irrationnelle, alors il existe une solution non-périodique $x(t)$ telle que $M < \vert x(t) \vert < N$ pour certaines constantes $M,N>0$. \end{enumerate} \finenonce{006351} \finexercice \exercice{6352, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006352}{} Si $A$ est nilpotente, quelle est la forme des solutions de l'équation $x'=Ax$~? \finenonce{006352} \finexercice \exercice{6353, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006353}{} Trouver des conditions nécessaires et suffisantes pour que la matrice $\begin{pmatrix} a&b\cr c&d\cr\end{pmatrix}$ soit \begin{enumerate} \item diagonalisable, \quad semi-simple, \quad nilpotente. \end{enumerate} \finenonce{006353} \finexercice \exercice{6354, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006354}{} Trouver toutes les solutions périodiques de l'équation $x^{(4)} + 2x'' + x = 0$. \finenonce{006354} \finexercice \section{ 383.00 Etude qualititative : équilibre, stabilité } \exercice{6841, gijs, 2011/10/16} \enonce{006841}{} Soit $A\in M(n,\Rr)$ une matrice de taille $n\times n$ à coefficients dans $\Rr$. \begin{enumerate} \item Quand dit-on que $0\in \Rr^n$ est une source pour l'équation différentielle linéaire $x'=Ax$~? \item Démontrer que $0\in \Rr^n$ est une source pour l'équation %différentielle linéaire $x'=Ax$ si et seulement si pour toute solution $x(t)$ de l'équation différentielle on a $ \lim_{t\to-\infty} x(t) = 0$. \end{enumerate} \finenonce{006841} \finexercice \section{ 384.00 Equation aux dérivées partielles } \exercice{1845, ridde, 1999/11/01} \enonce{001845}{} R\'esoudre \`a l'aide des coordonn\'ees polaires l'\'equation aux d\'eriv\'ees partielles : $$x\frac{\partial f}{\partial x} (x, y) + y\frac{\partial f}{\partial y} (x, y) = \sqrt{x^{2} + y^{2}} $$ \finenonce{001845} \finexercice \exercice{1846, ridde, 1999/11/01} \enonce{001846}{} R\'esoudre l'\'equation des cordes vibrantes : $\dfrac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}} =\dfrac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}}$ \`a l'aide du changement de variables $u = \frac{x + y}{2}$ et $v = \frac{x-y}{2}$ (on suppose que $f$ est $C^2$). \finenonce{001846} \finexercice \exercice{1847, gourio, 2001/09/01} \enonce{001847}{} R\'{e}soudre l'\'{e}quation aux d\'{e}riv\'{e}es partielles : $$x\frac{\partial f}{\partial y}-y\frac{\partial f}{\partial x}=f $$ en passant en coordonn\'{e}es polaires. \finenonce{001847} \finexercice \exercice{1848, gourio, 2001/09/01} \enonce{001848}{} R\'{e}soudre en utilisant le changement de variable $ x=u,y=uv$ l'\'{e}quation aux d\'{e}riv\'{e}es partielles suivante : $$x^{2}\frac{\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}+2xy\frac{\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}+y^{2}\frac{\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}=0. $$ \finenonce{001848} \finexercice \exercice{1849, gourio, 2001/09/01} \enonce{001849}{} Soit $ f:{\Rr}^{2}\rightarrow {\Rr}$ une application $ C^{1 }$ homog\`{e}ne de degr\'{e} $ s>0$, i.e. telle que : $$\forall \lambda \in {\Rr}^{+*},\forall x\in {\Rr}^{2},f\left( \lambda x\right) =\lambda ^{s}f(x). $$ Montrer que les d\'{e}riv\'{e}es partielles de $ f$ sont homog\`{e}nes de degr\'{e} $ s-1$ et : $$sf(x)=x_{1}\frac{\partial f}{\partial x_{1}}(x)+x_{2}\frac{\partial f}{% \partial x_{2}}(x). $$ \finenonce{001849} \finexercice \exercice{1850, ridde, 1999/11/01} \enonce{001850}{} Soit $f : \Rr^3 \rightarrow \Rr$ d\'erivable. On pose $F (x, y, z) = f (x-y, y-z, z-x)$.\\ Calculer $\frac{\partial F}{\partial x} + \frac{\partial F}{\partial y} + \frac{\partial F}{\partial z}$. \finenonce{001850} \finexercice \exercice{1851, ridde, 1999/11/01} \enonce{001851}{} Soit $f : \Rr^{2} \rightarrow \Rr$ une fonction $C^{2}$. On pose $g (x, y) = f (x^{2} -y^{2}, 2xy)$.\\ Calculer $\triangle (g)$ en fonction de $\triangle (f)$. \finenonce{001851} \finexercice \exercice{1852, maillot, 2001/09/01} \enonce{001852}{} On cherche les fonctions $f:\R^2\rightarrow \R$ telles que: \begin{equation}\label{truc} \frac{\partial f}{\partial u} (u,v) +2u \frac{\partial f}{\partial v} (u,v)=0 \qquad \text{pour tout $(u,v)\in\R^2$}. \end{equation} Soit $\phi:\R^2\rightarrow\R^2$ l'application d\'efinie par $\phi(x,y)=(x,y+x^2)$. \begin{enumerate} \item En calculant l'application r\'eciproque, montrer que $\phi$ est bijective. V\'erifier que $\phi$ et $\phi^{-1}$ sont de classe $\mathcal C^1$. \item Soit $f:\R^2\rightarrow \R$ une fonction de classe $\mathcal C^1$. Posons $g=f\circ \phi$. \begin{enumerate} \item Montrer que $g$ est de classe $\mathcal C^1$. \item Montrer que $f$ est solution de (\ref{truc}) si et seulement si $\frac{\partial g}{\partial x}=0$. \end{enumerate} \item Soit $f:\R^2\rightarrow \R$ une fonction de classe $\mathcal C^1$. Montrer que $f$ v\'erifie~(\ref{truc}) si et seulement s'il existe une fonction $h:\R\rightarrow\R$ de classe $\mathcal C^1$ telle que $f(u,v)=h(v-u^2)$ pour tout $(x,y)\in\R^2$. \end{enumerate} \finenonce{001852} \finexercice \exercice{1853, maillot, 2001/09/01} \enonce{001853}{} Soient $f~:\,\R^2 \to \R$ diff\'erentiable et $g~:\,\R \to \R$ d\'efinie par $\displaystyle g(x)=f\left(e^x \sin x, \ln (1+x^2)\right)$. Montrer que $g$ est d\'erivable sur $\R$ et calculer sa d\'eriv\'ee en fonction des d\'eriv\'ees partielles de $f$. \finenonce{001853} \finexercice \exercice{1854, maillot, 2001/09/01} \enonce{001854}{} Soient $U=\{(x,y)\in \R^2,\, x>0\}$ et $V=]0,+\infty[ \times ]-\frac \pi 2, \frac \pi 2[$. On d\'efinit la fonction $$\begin{array}{lrll} \Psi ~: &V &\to& \R^2\\ &(r,\theta) &\mapsto& (r \cos \theta, r\sin \theta)\end{array}$$ \begin{enumerate} \item Montrer que $U$ et $V$ sont des ouverts de $\R^2$ et que $\Psi$ est de classe ${\cal C}^1$ et bijective de $V$ sur $U$. D\'eterminer $\Psi^{-1}$. \item Soit $f~:\, U \to \R$ de classe ${\cal C}^1$ sur $U$. On pose $$F(r,\theta)=f \circ \Psi (r,\theta) = f(r \cos \theta, r \sin \theta).$$ \begin{enumerate} \item Montrer que $f$ est de classe ${\cal C}^1$ sur $U$ et calculer $\frac{\partial F}{\partial r}$ et $\frac{\partial F}{\partial \theta}$ en fonction de $\frac{\partial f}{\partial x}$ et $\frac{\partial f}{\partial y}$. \item Montrer que $f$ v\'erifie l'\'equation $$(E)\qquad a \frac{\partial f}{\partial x} (a,b) + b \frac{\partial f}{\partial y}(a,b) = \sqrt{a^2+b^2} \,\mbox{arctan} \left(\frac b a\right) \quad \forall (a,b)\in U$$ si et seulement si $F$ v\'erifie l'\'equation $$(E')\qquad \frac{\partial F}{\partial r} (r_0,\theta_0)=\theta_0 \quad \forall (r_0,\theta_0)\in V.$$ \item D\'eterminer toutes les fonctions $f~:\, U\to \R$ de classe ${\cal C}^1$ sur $U$ qui v\'erifient l'\'equation $(E)$. \end{enumerate} \end{enumerate} \finenonce{001854} \finexercice \exercice{1855, maillot, 2001/09/01} \enonce{001855}{} Soit $D=\{(x,y)\in \R^2,\, x>0\}$. On cherche les fonctions $f \in {\cal C}^1(D,\R)$ qui v\'erifient $$(E) \qquad x \frac{\partial f}{\partial x} + y \frac{\partial f}{\partial y} =0 \quad \forall (x,y) \in D.$$ \begin{enumerate} \item V\'erifier que $\varphi(x,y)=y/x$ est solution de (E). \item Soit $g \in {\cal C}^1(\R, \R)$. Montrer que $g \circ \varphi$ est solution de $(E)$. \item Soit $f$ une solution de $(E)$. Montrer que $f(u, uv)$ ne d\'epend que de $v$. \item Donner l'ensemble des solutions de $(E)$. \end{enumerate} \finenonce{001855} \finexercice \exercice{1856, maillot, 2001/09/01} \enonce{001856}{} D\'eterminer les fonctions $f\in {\cal C}^1(\R^2,\R)$ v\'erifiant $$\frac{\partial f}{\partial x} - \frac{\partial f}{\partial y} =0 \quad \forall (x,y) \in \R^2.$$ On pourra effectuer le changement de variables $u=x+y, \, v=x-y$. \finenonce{001856} \finexercice \exercice{1857, drutu, 2003/10/01} \enonce{001857}{} Soient $f:\R^n \to \R$ et $g:\R^n \to \R$ deux fonctions diff\'erentiables. En utilisant des propri\'et\'es de la diff\'erentielle, montrer que $\nabla (fg)=f\cdot \nabla g +g\cdot \nabla f$. \finenonce{001857} \finexercice \section{ 385.00 Autre } \exercice{6355, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006355}{} On considère l'équation différentielle ${d^2x(t)\over dt^2}={dx(t)\over dt}+2x(t)$. Ecrire le système différentiel du premier ordre associé et déterminer le noyau résolvant $R(t,t_0)$ de ce système. En déduire $e^{tA}$ pour la matrice $A=\begin{pmatrix}0 & 1\cr 2 & 1\cr\end{pmatrix}$. \finenonce{006355} \finexercice \exercice{6356, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006356}{} \begin{enumerate} \item Montrer que la matrice $\begin{pmatrix}e^{-2t}\cos t & -\sin t\cr e^{-2t}\sin t & \cos t\cr\end{pmatrix}$ est la résolvante du système linéaire $x'(t)=A(t).x(t)$ où $$A(t)=\begin{pmatrix}-2\cos^2 t & -1-\sin 2t\cr 1-\sin 2t & -2\sin^2 t\cr\end{pmatrix}.$$ En déduire la solution du système $x'(t)=A(t).x(t)+ b(t)$ avec $b(t)=\begin{pmatrix}e^{-t}\cos t \cr e^{-t}\sin t \cr\end{pmatrix}$ \item On considère maintenant l'équation différentielle ${d^2x(t)\over dt^2}+x(t)=f(t)$ où $f$ est une application continue sur $\Rr$. En appliquant la méthode de variation de Lagrange, trouver la solution du système telle que $x(0)=x_0$. \end{enumerate} \finenonce{006356} \finexercice \exercice{6357, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006357}{} On considère les équations $$\quad (1)\quad y''+p(x)y'+q(x)y=0,\quad (2)\quad y''+p(x)y'+q(x)y=r(x)$$ où $p$, $q$ et $r$ sont des fonctions continues d'un intervalle $I\subset\Rr$ dans $\Rr$. Etablir ce qui suit : \begin{enumerate} \item Pour tout $x_0\in I$, et tout $(a,b)\in \Rr^2$, $(1)$ admet une solution maximale définie sur $I$ tout entier, telle que $y(x_0)=a, y'(x_0)=b$. \item Soit $x_0\in I$; les solutions de $(1)$ forment un espace vectoriel $V$ de dimension 2 dont une base est $(y_1,y_2)$ avec $y_1(x_0)=1, y_1'(x_0)=0$, $y_2(x_0)=0, y_2'(x_0)=1$. \item Soit $u$ et $v$ deux solutions de $(1)$ et $W=u'v-uv'$ leur wronskien; trouver une équation différentielle satisfaite par $W$; en déduire que $W$ est soit identiquement nul, soit jamais nul, et que $W\not=0\Longleftrightarrow (u,v)$ est une base de $V$. Quel est le rapport entre $W$ et la résolvante du système associé ? \item La solution $y$ de $(2)$ vérifiant $y(x_0)=0,y'(x_0)=1$, où $x_0$ fixé dans $I$, est $$ y(x)=y(x_0)y_1(x)+y'(x_0)y_2(x)+\int_{x_0}^x {r(t)\Big(y_1(t)y_2(x)-y_1(x)y_2(t)\Big)\over W(t)}\ dt. $$ \item Exemple : Résoudre $y''+4y=\tan x$. \end{enumerate} \finenonce{006357} \finexercice \exercice{6358, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006358}{} On considère l'équation différentielle linéaire sur $\Rr^n$\quad $$(1)\quad y'=A(x).y$$ où $A(x)$ est continue sur un intervalle $I$. \begin{enumerate} \item Montrer que si l'on suppose $A(x)A(x')=A(x')A(x)$ pour tous $x,x'\in I$, la résolvante de $(1)$ est $$R(x,x_0)=\exp\Big(\int_{x_0}^x A(s)\ ds\Big)=:\exp B(x).$$ (Indic. : remarquer que $B(x)B(x')=B(x')B(x)$.) \item Montrer que si $A(x)=\begin{pmatrix}a(x) & b(x)\cr -b(x) & a(x)\cr\end{pmatrix}$, $A$ vérifie l'hypothèse de a) et $B(x)$ est de la forme $\begin{pmatrix}\alpha(x) & \beta(x)\cr -\beta(x) & \alpha(x)\cr\end{pmatrix}$. \item Résoudre l'équation $y'=A(x).y$ lorsque $a(x)=-{x\over2(1+x^2)}$ et $b(x)= {1\over2(1+x^2)}$. \item Résoudre l'équation $y'=A(x).y + C(x)$ lorsque $A(x)=\begin{pmatrix}\sh(x) & 1\cr -1 & \sh(x)\cr\end{pmatrix}$ et $C(x)=\begin{pmatrix}\sin x\ \sh(x) \cr \cos x\ \sh(x) \cr\end{pmatrix}$. \end{enumerate} \finenonce{006358} \finexercice \exercice{6359, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006359}{} Soit $E$ un espace de Banach et $t\to A(t)$ une application continue de $\Rr$ dans ${\cal L}(E,E)$. On suppose que $A$ est périodique de période $\omega$. Cela n'implique pas nécessairement que les solutions de $\quad (1)\quad x'=A(t).x$ soient également $\omega$-périodiques. \begin{enumerate} \item Dans le cas où $E$ est un espace de dimension $2$ et $A$ est une matrice constante, donner une condition nécessaire et suffisante pour que les solutions de $(1)$ soient $\omega$-périodiques. \item Dans le cas général, soit $R(t,a)$ le noyau résolvant associé à $(1)$. \begin{enumerate} \item Montrer que $R(t+\omega,a+\omega)=R(t,a)$ pour tout $t$. \item Montrer que la solution $x(t)$ de $(1)$ telle que $x(0)=x_0$ est $\omega$-périodique si et seulement si $ R(\omega,0)x_0=x_0$. \item A quelle condition l'équation $x'=A(t).x$ a-t-elle une solution $\omega$-périodique ?. \end{enumerate} \item On considère l'équation $(1)\quad x''+f(t)x=0$ où $f$ est une fonction continue, $\omega$-périodique. Calculer $\det R(a+\omega,a)$; $(1)$ a-t-elle toujours une solution $\omega$-périodique ? \end{enumerate} \finenonce{006359} \finexercice \exercice{6360, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006360}{} On considère l'équation du pendule $x''+\sin x=0$. On sait que les solutions maximales sont définies sur $\Rr$ tout entier. \begin{enumerate} \item Soit $\varphi$ la solution maximale de condition initiale $\varphi(0)=a,\varphi(0)=0$; montrer que $\varphi'(t)^2=2(\cos x(t)- \cos a)$ et en déduire que $|x(t)|\leq a$ pour tout $t$. \item Soit $y''=-y,\ y(0)=a,\ y'(0)=0$ le problème linéarisé correspondant. Montrer que $Z$ définie par $Z=(x-y,\ x'-y')$ vérifie un système différentiel du premier ordre de la forme $Z'(t)=AZ(t)+B(t)$, où $A$ est antisymétrique. En déduire, pour tout $t$, $|x(t)-y(t)|\leq {a^3\over6}|t|$. \end{enumerate} \finenonce{006360} \finexercice \exercice{6361, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006361}{} Soit $V$ un champ de vecteurs défini sur $\Omega\subset\Rr^n$. On dit qu'une application $h:\Omega\to\Rr$ de classe $C^1$ est une {\it intégrale première} de $V$, si $h\circ\varphi(t)$ est constante sur $J$ pour toute solution $(\varphi, J)$ de l'équation autonome associée. On suppose le champ de classe $C^1$ sur $\Omega$. \begin{enumerate} \item Montrer que $h$ est une intégrale première de $V$ si et seulement si $h'(x).V(x)=0$ pour tout $x\in\Omega$. \item Donner une intégrale première sur $\Rr^n$ du système différentiel $X'=AX$ où $A$ est une matrice antisymétrique $n\times n$ (commencer avec $n=2$). \item Soit $f$ une application de classe $C^\infty$ de $\Rr$ dans $\Rr$ telle que $f(0)=0$, et on note $F(x)=\int_0^xf(u)\ du$. Montrer que la fonction $(x,y)\to y^2+2F(x)$ est une intégrale première sur $\Rr^2$ du champ de vecteurs $V(x,y)=(y,\ -f(x))$ défini sur $\Rr^2$. On suppose que $F$ tend vers $+\infty$ lorsque $x$ tend vers $\pm\infty$. Montrer que si une solution $(x(t),y(t))$ de $X'=V(X)$ est définie sur un intervalle quelconque $I$, les fonctions $x$ et $y$ sont bornées sur $I$ (remarquer que $F$ est bornée inférieurement). \end{enumerate} \finenonce{006361} \finexercice \exercice{6362, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006362}{Extrait de l'épreuve de septembre 97} Soit $f$ une application de classe $C^1$ d'un ouvert $\Omega$ de ${\Rr}^n$ dans ${\Rr}^n$ telle que $f(0)=0$. On considère l'équation différentielle $$(1)\qquad {dx\over dt}= f(x).$$ \begin{enumerate} \item Soit $F$ un difféomorphisme de classe $C^1$ de $\Omega$ sur un ouvert $\Omega_1$ de ${\Rr}^n$ tel que $F(0)=0$, et on note $G$ le difféomorphisme inverse. Montrer que si $\varphi$ est solution de $(1)$, $\psi=F\circ\varphi$ est solution de l'équation $$(2)\qquad {dy\over dt}= g(y),$$ où $g$ est une application de classe $C^1$ de $\Omega_1$ dans ${\Rr}^n$ que l'on déterminera. On suppose maintenant $n=3$. \item Montrer que l'application $F$ de ${\Rr}^3$ dans ${\Rr}^3$ définie par $F(x_1,x_2,x_3)=(2x_2-x_3, x_1-x_2^2, x_3)$ est un difféomorphisme de ${\Rr}^3$ de classe $C^\infty$ tel que $F(0)=0$. \item Déduire à l'aide de a) et b) les solutions de l'équation différentielle $$ \begin{array}{ccc} {dx_1\over dt} & =&2(x_1-x_2^2)-2x_2+x_3+2x_2(x_1-x_2^2+5x_2-x_3)\\ {dx_2\over dt} & =&x_1-x_2^2+5x_2-x_3\\ {dx_3\over dt} & =&2(x_1-x_2^2)+4x_2+x_3 \end{array}$$ \end{enumerate} \finenonce{006362} \finexercice \exercice{6363, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006363}{Calcul fonctionnel holomorphe} Soit $A\in {\cal L}(\Rr^n)$ et $0<\rho=\sup\{|\lambda|;\ \lambda$ valeur propre de $A\}$. On va montrer sur un exemple que l'on peut calculer $f(A)$ pour toute $f$ somme d'une série entière de rayon $>\rho$. Soit donc $A$ un opérateur de $\Rr^n$ tel que $(A-I)^2(A-2I)=0$. \begin{enumerate} \item On note $E_1=\ker (A-I)^2$, $E_2=\ker (A-2I)$, $p_i$ le projecteur sur $E_i$ (parallèlement à l'autre). Calculer $p_1$ et $p_2$ en fonction de $A$ (Solution : $p_1=-A(A-2I)$ et $p_2=(A_I)^2$.) \item Calculer $A^nx$ pour $x\in E_1$, puis $x\in E_2$. Déduire de a) l'expression de $A^n$ pour tout $n\geq 0$ (Solution : $A^n=(I+n(A-I))A(2I-A)+2^n(A_I)^2$). \item Soit $f$ un polyn\^ome de degré $>2$ et $P$ le polyn\^ome minimal de $A$. Montrer que ${f(x)\over P(x)}=g(x)+{f(2)\over x-2}-{xf(1)\over (x-1)^2}-{f'(1)\over x-1}$ où $g$ est lui-même un polyn\^ome. En déduire $f(A)$ pour $f$ polyn\^ome puis $f$ somme d'une série entière de rayon $>2$. \item Trouver ainsi $e^{tA}$ si $t\in\Rr$ et résoudre le système $x'=A.x$ où $A=${\bf ??} \end{enumerate} \finenonce{006363} \finexercice \exercice{6364, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006364}{} On considère $A$ la matrice $ \begin{pmatrix}0 & 1 & 0 \cr 0 & 0 & 1 \cr 1 & 0 &0 \cr\end{pmatrix}$. \begin{enumerate} \item Calculer $A^3$ et montrer que $e^{tA}=\begin{pmatrix}f & g & h \cr h & f & g \cr g & h &f \cr\end{pmatrix}$, où $f(t)=\sum_0^\infty{t^{3n}\over 3n!},\ g(t)=\sum_0^\infty{t^{3n+1}\over 3n+1!},\ h(t)=\sum_0^\infty{t^{3n+2}\over 3n+2!}$. Montrer que $f(t)={1\over3}(e^t+e^{jt}+e^{j^2t}) $ et donner l'expression de $h$. \item On considère $\varphi:{\Rr}\to {\Rr}$ une application de classe $C^\infty$. Montrer qu'une solution particulière de l'équation\quad $({\cal E})\quad y'''-y=\varphi(t)$\quad est $$y(t)=\int_0^th(t-s)\varphi(s)\ ds.$$ \item On suppose $\varphi$ $1$-périodique (ie $\varphi(t+1)=\varphi(t)\ \forall t\in\Rr$). Soit $y$ une solution de $({\cal E})$ telle que $y(0)=y(1),\ y'(0)=y'(1),\ y''(0)=y''(1)$. Montrer que $y$ est $1$-périodique. Montrer que $({\cal E})$ possède une et une seule solution $1$-périodique. \end{enumerate} \finenonce{006364} \finexercice \exercice{6365, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006365}{} Soit $E=\Rr^n$ et $t\to A(t)$, $t\to B(t)$ deux applications de $J$ dans ${\cal L}(E)$ où $J=]\alpha,+\infty[$. On considère les deux équations $$(1)\ x'=A(t).x\qquad (2)\ x'=\big(A(t)+B(t)\big).x,$$ et $a\in J$. On note $R(t,a)$ la résolvante de $(1)$ telle que $R(a,a)=I_E$. \begin{enumerate} \item Si $y$ est une solution de $(2)$, montrer que la fonction $z$ définie par $y(t)=R(t,a).z(t)$ est solution d'une équation de la forme $(3)\ z'=C(t).z$, où $C(t)=R(a,t)B(t)R(t,a)$. \item On suppose que $||R(t,s)||\leq k$ pour tous $t,s\in J$ où $k$ est une constante et que $||B(t)||\leq \epsilon(t)$ où $\epsilon$ est continue sur $J$. Montrer que $||C(t)||\leq k^2\epsilon(t)$. \item On suppose de plus que $\int_a^\infty \epsilon(t)\ dt$ converge. Montrer (à l'aide de Gronwall) que si $z$ est telle que $z(a)\neq0$, $||z(t)||$ est uniformément bornée sur $[a,+\infty[$, puis que $z$ a une limite lorsque $t\to+\infty$. \end{enumerate} \finenonce{006365} \finexercice \exercice{6366, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006366}{} Soit $f\in C^1 (\Rr \times \Rr^n , \Rr^n )$ une application bornée et soit $\varphi$ la solution maximale du problème $$ x'(t) = f(t,x(t)) \;\; , \;\; x(t_0) =x_0 \;\; ,$$ que l'on suppose définie sur l'intervalle $I\subset \Rr$. (Rappeler pourquoi une telle solution existe). Montrer que $\varphi$ est définie sur $I=\Rr$ tout entier. (Indication: supposer $\beta = \sup \{t\; ; \; t\in I\} <\infty$. \'Etablir que $\varphi$ est bornée sur $[t_0, \beta[$ et que $\lim_{t\to \beta} \varphi (t)$ existe. Conclure). \finenonce{006366} \finexercice \exercice{6367, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006367}{} Soit $f$ une application $ C^1$ et bornée de $ \Rr^n $ dans $\Rr^n$ et soit $x_0, x'_0 \in \Rr^n$. Montrer que le problème $$ x''(t) = f(x(t) ) \;\; , \;\; x(0 ) = x_0 \; , x'(0) = x'_0 $$ admet une unique solution maximale définie sur $\Rr$. Exemple: $x'' + \sin (x) =0$, l'équation du pendule simple . \finenonce{006367} \finexercice \exercice{6368, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006368}{} Soit $a>0$ et soit $f: \Rr \times \Rr^n \to \Rr^n$ une application de classe $C^1$ vérifiant $$ |\langle x , f(t,x)\rangle| \leq a \langle x , x \rangle \quad \text{pour tout} \;\; (t,x)\in \Rr\times \Rr^n \; .$$ Soit $\varphi$ une solution de l'équation différentielle $x'=f(t,x)$ que l'on suppose définie sur l'intervalle $I$. \begin{enumerate} \item On pose $N(t) = \langle \varphi (t) , \varphi (t) \rangle$. Montrer que l'application $N$ est dérivable sur $I$, calculer sa dérivée et montrer qu'elle vérifie $|N'(t)|\leq 2 a N(t)$. \item Soient $t$ et $t_0$ deux points de $I$. Comparer $N(t) $ et $N(t_0)$. \item Montrer que les solutions maximales de l'équation différentielle en considération sont définies sur $\Rr$. \item Montrer que les solutions maximales du système \begin{equation*} (S) \quad \left\{ \begin{array}{ccc} x_1'(t) & = & 2x_1(t) +t x_2(t) +x_2^2(t) \\ x'_2(t) & = & -tx_1(t) +x_2(t) -x_1(t) x_2(t) \end{array}\right. \end{equation*} sont définies sur $\Rr$. \end{enumerate} \finenonce{006368} \finexercice \exercice{6810, gijs, 2011/10/16} \enonce{006810}{} Soit $W = \{\,(x,y) \in \Rr^2 \mid x>0 \,\}$ et $\Omega = \{\,(x,y) \in \Rr^2 \mid x\ne 0 \,\}$. On veut étudier le système d'équations différentielles \begin{equation} % \left\{ \aligned x' &= 1 \\ y' &= \frac{2y}{x} \endaligned % \right. %x' = 1 \qquad \& \qquad y' = \frac{2y}{x}\ . \tag{*} \end{equation} \begin{enumerate} \item Pour chaque condition initiale $(x_0,y_0) \in W$, trouver la solution $(x(t),y(t))$ sur un intervalle maximal $I$ du système $(*)$ (préciser $I$). Tracer quelques courbes intégrales dans $W$ pour des conditions initiales variées dans $W$. \item Pour chaque condition initiale $(x_0,y_0) \in \Omega$, trouver la solution $(x(t),y(t))$ sur un intervalle maximal $I$ du système $(*)$ (préciser $I$). Tracer quelques courbes intégrales dans $\Omega$ pour des conditions initiales variées dans $\Omega$. \item Trouver toutes les courbes $\gamma: \Rr \to \Rr^2$ de classe $C^1$ vérifiant $\gamma(0) = (-1,1)$ et telles que $\gamma$ est solution de $(*)$ partout où $\gamma(t)$ appartient à $\Omega$. \item Même question pour des courbes $\gamma$ de classe $C^2$. \item Même question pour des courbes $\gamma$ de classe $C^3$. \end{enumerate} \finenonce{006810} \finexercice \section{ 400.00 Tribu, fonction mesurable } \exercice{5933, tumpach, 2010/11/11} \enonce{005933}{} Montrer les \'egalit\'es ensemblistes suivantes~: $$ [a, b] =\bigcap_{n=1}^{\infty}\, ]a-\frac{1}{n}, b+\frac{1}{n}[ \quad\quad\text{et}\quad\quad]a, b[ = \bigcup_{n=1}^{\infty}\, [a+ \frac{1}{n}, b-\frac{1}{n}] $$ \finenonce{005933} \finexercice \exercice{5934, tumpach, 2010/11/11} \enonce{005934}{} Soit $(\Omega, \Sigma, \mu)$ un espace mesur\'e et $f~:\Omega \rightarrow \mathbb{R}$ une fonction ($\Sigma$-$\mathcal{B}(\mathbb{R})$)-mesurable. Montrer que la troncature $f_A$ de $f$ d\'efinie par~: $$ f_A(x) = \left\{\begin{array}{ll}-A & \text{si}\quad f(x) < -A\\ f(x) & \text{si}\quad |f(x)| \leq A\\ A & \text{si}\quad f(x)> A \end{array} \right. $$ est ($\Sigma$-$\mathcal{B}(\mathbb{R})$)-mesurable. \finenonce{005934} \finexercice \exercice{5935, tumpach, 2010/11/11} \enonce{005935}{} Soit $\Omega = \mathbb{N}$, $\Sigma = \mathcal{P}(\mathbb{N})$ et $\mu$ la mesure de comptage sur $\mathbb{N}$ d\'efinie par~: $$ \mu(E) = \sharp E = \sum_{k \in E} 1, $$ o\`u $E\in \Sigma$. Soit $f~:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}$ une fonction positive ou nulle. Montrer que $f$ est ($\Sigma$-$\mathcal{B}(\mathbb{R})$)-mesurable et que~: $$ \int_{\Omega} f d\mu = \sum_{n=1}^{\infty} f(n). $$ \finenonce{005935} \finexercice \exercice{5936, tumpach, 2010/11/11} \enonce{005936}{} \label{ex:barb20} Soit $(\Omega, \Sigma)$ un espace mesurable. On dit que $\varphi~:\Omega \rightarrow \mathbb{R}$ est une \emph{fonction simple} ou \emph{\'etag\'ee} si $\varphi$ est mesurable et ne prend qu'un nombre fini de valeurs, i.e. si $\varphi$ s'\'ecrit~: $$ \varphi = \sum_{j \in J} c_{j} \mathbf{1}_{E_{j}}, $$ o\`u $J$ est un ensemble fini, les ensembles $E_{j}$ sont mesurables et o\`u, pour $i\neq j$, $c_{i} \neq c_{j}$ et $E_{i}\cap E_{j} = \emptyset$. Soit $\varphi$ une fonction simple positive. On rappelle que l'int\'egrale de $\varphi$ par rapport \`a une mesure $\mu$ est d\'efinie par~: $$ \int_{\Omega} \varphi \,d\mu = \int_{0}^{\infty} \mu\left(S_{\varphi}(t) \right)\,dt, $$ o\`u $S_{\varphi}(t) = \{x\in \Omega, \varphi(x)>t\}$. \begin{enumerate} \item Montrer que $$\int_{\Omega} \varphi \,d\mu = \sum_{j \in J} c_{j} \mu(E_{j}).$$ \item Montrer que pour toute fonction r\'eelle mesurable positive, $f \in \mathcal{M}^{+}(\Omega, \Sigma)$, il existe une suite $\{\varphi_{n}\}_{n\in\mathbb{N}}$ de fonctions simples positives telle que~: \begin{enumerate} \item[(a)] $0 \leq \varphi_{n}(x) \leq \varphi_{n+1}(x)$ pour tout $x\in\Omega$ et pour tout $n\in\mathbb{N}$~; \item[(b)] $\lim_{n\rightarrow +\infty} \varphi_{n}(x) = f(x)$ pour tout $x\in\Omega$. \end{enumerate} \end{enumerate} \finenonce{005936} \finexercice \exercice{5937, tumpach, 2010/11/11} \enonce{005937}{} Soit $(\Omega, \Sigma, \mu)$ un espace mesur\'e et $f\in\mathcal{M}^+(\Omega, \Sigma)$ (i.e $f$ est une fonction r\'eelle mesurable positive). Pour tout $E\in\Sigma$, on pose~: $$ \lambda(E) = \int_{E} f\,d\mu = \int_{\Omega} \mathbf{1}_{A}\cdot f \,d\mu. $$ Monter que $\lambda$ d\'efinit une mesure sur $(\Omega, \Sigma)$. \finenonce{005937} \finexercice \exercice{5938, tumpach, 2010/11/11} \enonce{005938}{} Soit $p>0$. Soit $f~:\mathbb{R}^n \rightarrow\mathbb{R}^+$ la fonction d\'efinie par $$f(x) = |x|^{-p} \mathbf{1}_{\{|x|<1\}}(x).$$ Calculer l'int\'egrale de $f$ par rapport \`a la mesure de Lebesgue de $\mathbb{R}^n$ de deux mani\`eres diff\'erentes~: \begin{enumerate} \item [(i)] En utilisant les coordonn\'ees polaires et les m\'ethodes standard de calcul d'int\'egrales~; \item[(ii)] En calculant la mesure des ensembles $S_{f}(a) = \{x\in\Omega, f(x)>a\}$ et la d\'efinition de l'int\'egrale de Lebesgue. \end{enumerate} \finenonce{005938} \finexercice \section{ 401.00 Mesure } \exercice{5926, tumpach, 2010/11/11} \enonce{005926}{} Montrer que $\mathcal{A}$ est une $\sigma$-alg\`ebre si et seulement si $\mathcal{A}$ est une alg\`ebre et une classe monotone. \finenonce{005926} \finexercice \exercice{5927, tumpach, 2010/11/11} \enonce{005927}{} Soit $(\Omega, \Sigma)$ un espace mesurable (i.e. un ensemble $\Omega$ muni d'une tribu $\Sigma \subset \mathcal{P}(\Omega)$). Soit $\mu$ une mesure finie sur $(\Omega, \Sigma)$. Montrer les propri\'et\'es suivantes~: ($A,B,A_i$ sont des élements de de $\Sigma$) \begin{enumerate} \item Si $A_{1}, A_{2}, \dots, A_{k}$ sont deux \`a deux disjoints, alors $$ \mu\left(\cup_{i=1}^{k} A_{i}\right) = \sum_{i=1}^{k} \mu(A_{i}). $$ \item Si $B \subset A$ alors $\mu(A\setminus B) = \mu(A) -\mu(B)$. \item \emph{Monotonie~:} Si $B \subset A$ alors $\mu(B) \leq \mu(A)$. \item \emph{Principe inclusion-exclusion~:} $\mu(A\cup B) = \mu(A) + \mu(B) - \mu(A\cap B)$. \item $\mu\left(\cup_{i=1}^{+\infty} A_{i}\right) \leq \sum_{i=1}^{+\infty}\mu(A_{i}).$ \textit{(Rappelons que l'on a \'egalit\'e si l'union est disjointe.)} \end{enumerate} \finenonce{005927} \finexercice \section{ 402.00 Lemme de Fatou, convergence monotone } \exercice{5939, tumpach, 2010/11/11} \enonce{005939}{} \begin{enumerate} \item Soit $\{g_{n}\}_{n\in\mathbb{N}}$ une suite dans $\mathcal{M}^{+}(\Omega, \Sigma)$. Montrer que $$ \int_{\Omega} \left(\sum_{n=1}^{+\infty} g_{n}\right)\,d\mu = \sum_{n=1}^{+\infty}\int_{\Omega} g_{n} \,d\mu. $$ \item Montrer que $$ \int_{0}^{+\infty} \frac{x^{s-1}}{e^x -1}\,dx = \Gamma(s) \zeta(s), $$ o\`u $\Gamma$ est la fonction d'Euler et o\`u $\zeta(s) = \sum_{n=1}^{+\infty} n^{-s}$. (On pourra consid\'erer les fonctions $g_{n}(x) = x^{s-1} e^{-nx} \mathbf{1}_{[0, +\infty)}$.) \end{enumerate} \finenonce{005939} \finexercice \exercice{5940, tumpach, 2010/11/11} \enonce{005940}{} Soit $\Omega = \mathbb{R}$, $\Sigma = \mathcal{B}(\mathbb{R})$ et $\mu$ la mesure de Lebesgue sur $\mathbb{R}$. Si on pose $f_{n} = \mathbf{1}_{[0, n]}$, $n\in\mathbb{N}$, alors la suite $\{f_{n}\}_{n\in\mathbb{N}}$ est monotone croissante vers $f = \mathbf{1}_{[0, +\infty)}$. Bien que les fonctions $f_{n}$ soient uniform\'ement born\'ees par $1$ et que les int\'egrales des $f_{n}$ sont finies, on a~: $$ \int_{\Omega} f\,d\mu = +\infty. $$ Est-ce que le th\'eor\`eme de convergence monotone s'applique dans ce cas ? \finenonce{005940} \finexercice \exercice{5941, tumpach, 2010/11/11} \enonce{005941}{} Soit $\Omega = \mathbb{R}$, $\Sigma = \mathcal{B}(\mathbb{R})$ et $\mu$ la mesure de Lebesgue sur $\mathbb{R}$. Si on pose $f_{n} = \frac{1}{n} \mathbf{1}_{[n, +\infty)}$, $n\in\mathbb{N}$, alors la suite $\{f_{n}\}_{n\in\mathbb{N}}$ est monotone d\'ecroissante et converge uniform\'ement vers $0$, mais $$ 0 = ~\int_{\Omega} f\,d\mu ~\neq~ \lim \int_{\Omega} f_{n}\,d\mu ~= +\infty. $$ Est-ce que cela contredit le th\'eor\`eme de convergence monotone ? \finenonce{005941} \finexercice \exercice{5942, tumpach, 2010/11/11} \enonce{005942}{} Soit $f_{n} = \frac{1}{n} \mathbf{1}_{[0, n]}$, $n\in\mathbb{N}$, et $f = 0$. Montrer que $f_{n}$ converge uniform\'ement vers $f$, mais que $$ \int_{\Omega} f\,d\mu ~\neq ~\lim \int_{\Omega} f_{n}\,d\mu $$ Est-ce que cela contredit le th\'eor\`eme de convergence monotone ? \finenonce{005942} \finexercice \exercice{5943, tumpach, 2010/11/11} \enonce{005943}{} Soit $\Omega = \mathbb{R}$, $\Sigma = \mathcal{B}(\mathbb{R})$ et $\mu$ la mesure de Lebesgue sur $\mathbb{R}$. Soit $f_{n} = -\frac{1}{n} \mathbf{1}_{[0, n]}$, $n\in\mathbb{N}$, et $f = 0$. Montrer que $f_{n}$ converge uniform\'ement vers $f$ sur $\mathbb{R}$ mais que $$\lim \inf_{n\rightarrow+\infty} \int_{\Omega} f_{n}\,d\mu ~<~ \int_{\Omega} f\,d\mu. $$ Est-ce que cela contredit le lemme de Fatou ? \finenonce{005943} \finexercice \exercice{5950, tumpach, 2010/11/11} \enonce{005950}{} \begin{enumerate} \item Montrer que pour tout $x\in \mathbb{R}_+$, $\displaystyle\left\{\left(1+\frac{x}{n}\right)^n\right\}$ est une suite croissante et $$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\left(1+\frac{x}{n}\right)^n = e^x = \sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!}.$$ \item Calculer la limite $$ \lim_{n\to\infty} \int_{\mathbb{R}_+} \left(1+\frac{x}{n}\right)^n\mathrm{e}^{-bx} d\lambda (x)$$ o\`{u} $b>1$. \end{enumerate} \finenonce{005950} \finexercice \section{ 403.00 Théorème de convergence dominée } \exercice{5944, tumpach, 2010/11/11} \enonce{005944}{} Soit $f\in\mathcal{M}^{+}(\Omega, \Sigma)$ tel que $\int_{\Omega} f\,d\mu ~<~+\infty$. Montrer que $$\mu\{ x\in\Omega, ~f(x) = +\infty\} = 0. $$ On pourra consid\'erer les fonctions $f_{n} = n\mathbf{1}_{\{f\geq n\}}$. \finenonce{005944} \finexercice \exercice{5945, tumpach, 2010/11/11} \enonce{005945}{} Soit $(\Omega, \Sigma, \mu)$ un espace mesur\'e avec $\mu(\Omega)~<~+\infty$. Soit $\{ f_{n} \}_{n\in\mathbb{N}}$ une suite de fonctions mesurables convergeant presque partout vers une fonction mesurable $f$. On suppose qu'il existe une constante $C>0$ telle que $|f_{n}| \leq C$ pour tout $n\geq 1$. Montrer que $$ \lim_{n\rightarrow+\infty}\int_{\Omega} f_{n}\,d\mu = \int_{\Omega} f\,d\mu. $$ \finenonce{005945} \finexercice \exercice{5946, tumpach, 2010/11/11} \enonce{005946}{} Soit $f\in \mathcal{L}^1(\mathbb{R})$. Que vaut la limite $$ \lim_{n\to\infty} \int_{\mathbb{R}} f(x)\cos^n(\pi x) d\lambda (x) \ ?$$ \finenonce{005946} \finexercice \exercice{5947, tumpach, 2010/11/11} \enonce{005947}{} On rappelle qu'une fonction $f~:\Omega \rightarrow \mathbb{R}$ est dite int\'egrable si $f_{+} := \max\{f, 0\}$ et $f_{-} = \max\{-f, 0\}$ v\'erifient $\int_{\Omega} f_{+} \,d\mu ~<~+\infty$ et $\int_{\Omega} f_{-} \,d\mu ~<~+\infty$. On note $\mathcal{L}^{1}(\Omega, \Sigma, \mu)$ l'ensemble des fonctions r\'eelles int\'egrables. Pour $f\in \mathcal{L}^{1}(\Omega, \Sigma, \mu)$, on pose $$ \int_{\Omega} f\,d\mu = \int_{\Omega} f_{+}\,d\mu - \int_{\Omega} f_{-}\,d\mu. $$ \begin{enumerate} \item Montrer l'\'equivalence $$ f\in \mathcal{L}^{1}(\Omega, \Sigma, \mu) \Leftrightarrow |f| \in \mathcal{L}^{1}(\Omega, \Sigma, \mu) $$ et \begin{equation}\label{leq} \left|\int_{\Omega} f\,d\mu \right|~\leq~ \int_{\Omega} |f|\,d\mu. \end{equation} \item Montrer que si $f$ est mesurable, $g$ int\'egrable et $|f|~\leq |g|$, alors $f$ est int\'egrable et $$ \int_{\Omega} |f|\,d\mu ~\leq~\int_{\Omega} |g|\,d\mu. $$ \item On rappelle qu'une fonction $f~:\Omega \rightarrow \mathbb{C}$ est dite int\'egrable si la partie r\'eelle $\text{Re} f$ et la partie imaginaire $\text{Im} f$ de $f$ sont int\'egrables. On pose alors $$ \int_{\Omega} f\,d\mu = \int_{\Omega}\text{Re} f\,d\mu + i \int_{\Omega}\text{Im} f\,d\mu. $$ Montrer que l'in\'egalit\'e \eqref{leq} est v\'erifi\'ee. \end{enumerate} \finenonce{005947} \finexercice \exercice{5948, tumpach, 2010/11/11} \enonce{005948}{} Soit $(\Omega, \Sigma, \mu)$ un espace mesur\'e. On dit que $f_{n}$ converge vers $f$ \emph{en mesure} si pour tout $\varepsilon$, $$\lim_{n\rightarrow+\infty} \mu\{x\in\Omega, ~|f_{n}(x) - f(x)| ~> \varepsilon\} ~ = 0. $$ Montrer que si $f_{n}\rightarrow f$ en mesure, alors il existe une sous-suite $\{f_{n_{k}}\}_{k\in\mathbb{N}}$ de $\{f_{n}\}_{n\in\mathbb{N}}$ qui converge vers $f$ $\mu$-presque partout. \finenonce{005948} \finexercice \exercice{5949, tumpach, 2010/11/11} \enonce{005949}{} Donner un exemple de fonction $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ qui est int\'{e}grable au sens de Lebesgue mais pas au sens de Riemann. \finenonce{005949} \finexercice \exercice{5951, tumpach, 2010/11/11} \enonce{005951}{} Montrer que \begin{enumerate} \item $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \int_0^n \left(1-\frac{x}{n}\right)^n x^{m}dx = m !$ \ (pour tout $m\in \mathbf{N}$). \item $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \int_0^n \left(1+\frac{x}{n}\right)^n e^{-2x}dx = 1$. \end{enumerate} \finenonce{005951} \finexercice \exercice{5952, tumpach, 2010/11/11} \enonce{005952}{} \label{derivation} Montrer le th\'eor\`eme suivant, $\Omega$ étant un espace mesurable. (On pourra utiliser le th\'eor\`eme des accroissements finis.) \\ \textbf{Th\'eor\`eme.}(D\'erivation sous le signe $\int$) \\ Soit $f~:\Omega \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{C}$ une fonction telle que \begin{enumerate} \item[(i)] Pour tout $s\in[s_{1}, s_{2}]$, la fonction $x\mapsto f(x, s)$ est int\'egrable~; \item[(ii)] pour presque tout $x$, la fonction $s\mapsto f(x, s) $ est d\'erivable sur $(s_1, s_2)$~; \item[(ii)] il existe $g\in \mathcal{L}^1(\Omega, \mathbb{R}^{+})$ tel que pour tout $s \in [s_1, s_2]$ et pour presque tout $x\in\Omega$ on ait $|\frac{\partial f(x,s)}{\partial s}| \leq g(x)$ . \end{enumerate} Alors la fonction $I(s):= \int_{\Omega} f(x, s)\,d\mu(x)$ est d\'erivable sur $(s_{1}, s_{2})$ et $$ \frac{dI}{ds} = \int_{\Omega} \frac{\partial f(x,s)}{\partial s} \,d\mu(x). $$ \finenonce{005952} \finexercice \exercice{5953, tumpach, 2010/11/11} \enonce{005953}{} Soit \ $f\in \mathcal{L}^{1}(\Rr )$. Sa \emph{transform\'{e}e de Fourier} est la fonction \ $\hat{f}:\Rr \rightarrow \Cc$ \ \ d\'{e}finie par \[ \hat{f}(y):=\int_{\Rr }\text{e}^{-ixy}f(x)dx, \] montrer que \begin{enumerate} \item $\hat{f}$ \ est continue, \item $\hat{f}$ \ est born\'{e}e et \ $\sup |\hat{f}|\leq \left\| f\right\| _{L^{1}}$ \ (=$\int_{\Rr }\left| f(x)\right| dx$), \item Si $x \to xf(x)$ est int\'{e}grable, alors $\hat{f}$ \ est d\'{e}rivable et on a \[ \frac{d}{dy}\ \hat{f}\ =\widehat{-ixf(x)}. \] \end{enumerate} \finenonce{005953} \finexercice \section{ 404.00 Intégrales multiples, théorème de Fubini } \exercice{5957, tumpach, 2010/11/11} \enonce{005957}{} Soit $f(x,y)= \frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}$. Montrer que $$ \int_{-1}^{1} \left(\int_{-1}^{1}f(x,y)dx\right) dy \neq \int_{-1}^{1} \left(\int_{-1}^{1} f(x,y)dy\right) dx. $$ Y a-t-il contradiction avec le th\'{e}or\`{e}me de Fubini ? (on pourra calculer l'int\'egrale de $|f|$ sur l'anneau $S_\varepsilon=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2| \varepsilon\leq x^2+y^2\leq 1\}$.) \finenonce{005957} \finexercice \exercice{5958, tumpach, 2010/11/11} \enonce{005958}{} Montrer que la fonction $(x, y) \mapsto e^{-y} \sin 2xy$ est int\'egrable pour la mesure de Lebesgue sur $[0, 1]\times (0, +\infty)$ ; en d\'eduire la valeur de $$ \int_{0}^{+\infty} \frac{1}{y} (\sin y)^2 e^{-y}\,dy. $$ \finenonce{005958} \finexercice \exercice{5959, tumpach, 2010/11/11} \enonce{005959}{} Soient $f\in L^1(\mathbb{R}^n)$ et $g\in L^p(\mathbb{R}^n)$ avec $1\leq p\leq +\infty$, o\`u $\mathbb{R}^n$ est muni de la mesure de Lebesgue. Montrer que, pour presque tout $x\in \mathbb{R}^n$, la fonction $y\mapsto f(x-y)\, g(y)$ est int\'egrable sur $\mathbb{R}^n$ et que le \emph{ produit de convolution} de $f$ et $g$ d\'efini par $$ f*g(x) = \int_{\mathbb{R}^n} f(x-y) \,g(y)\,dy $$ v\'erifie $f*g(x) = g*f(x)$ et $$ \|f*g\|_{p} \leq \|f\|_{1}\,\|g\|_{p}. $$ \finenonce{005959} \finexercice \exercice{5960, tumpach, 2010/11/11} \enonce{005960}{} Soient $a, b>0$, et $f$ et $g$ les fonctions d\'efinies sur $\mathbb{R}^n$ par $f(x) = e^{-\frac{a |x|^2}{2}}$ et $g(x) = e^{-\frac{b |x|^2}{2}}$. Calculer $f*g(x)$. \finenonce{005960} \finexercice \exercice{5961, tumpach, 2010/11/11} \enonce{005961}{} \begin{enumerate} \item Pour tout $t>0$, on pose~: $$ f_{t}(x) = \left(4\pi t \right)^{-\frac{n}{2}} e^{-\frac{|x|^2}{4t}}. $$ \begin{enumerate} \item Montrer que, pour tout $t>0$, $\int_{\mathbb{R}^n} f_t(x)\,dx = 1$. \item Montrer que, pour tout $\delta>0$, $\lim_{t\rightarrow 0}\int_{\{|x|>\delta\}} f_t(x)\,dx = 0$. \end{enumerate} (On dit que $f_t$ est une \emph{approximation de la distribution de Dirac.}) \item Soit $g$ une fonction continue born\'ee. Montrer que $f_t*g$ est bien d\'efinie et que $$\lim_{t\rightarrow 0} f_t*g(x) = g(x).$$ \end{enumerate} \finenonce{005961} \finexercice \exercice{5962, tumpach, 2010/11/11} \enonce{005962}{} Soient $f, g\in L^1(\mu)$ o\`u $\mu$ est la mesure de Lebesgue sur $\mathbb{R}^n$. On note $\hat{f}$ la transform\'ee de Fourier d\'efinie par $$ \hat{f}(y) = \int_{\mathbb{R}^n} f(x)\,e^{-2\pi i (y, x)} \,dx, $$ o\`u $(\cdot, \cdot)$ d\'esigne le produit scalaire de $\mathbb{R}^n.$ Montrer que \begin{enumerate} \item $\quad \int_{\mathbb{R}^n} f(x)\hat{g}(x)\,dx = \int_{\mathbb{R}^n} \hat{f}(x) g(x)\,dx.$ \item $\quad \widehat{f*g} = \hat{f}\,\hat{g}.$ \end{enumerate} \finenonce{005962} \finexercice \exercice{5963, tumpach, 2010/11/11} \enonce{005963}{} Calculer la transform\'ee de Fourier de la gaussienne d\'efinie, pour $x\in\mathbb{R}^n$, par $f(x) = e^{-\frac{a |x|^2}{2}}$, o\`u $a>0$. \finenonce{005963} \finexercice \section{ 405.00 Intégrale dépendant d'un paramètre } \section{ 406.00 Espace Lp } \exercice{2692, matexo1, 2002/02/01} \enonce{002692}{} Soit $k\in\N$ et $\alpha\in\left]0,1\right]$. On rappelle qu'on note $C^{k,\alpha}(\R)$ l'ensemble des fonctions $g$ de classe $C^k$ sur~$\R$, dont la $k$-i{\`e}me d{\'e}riv{\'e}e est h{\"o}ld{\'e}rienne, c'est-{\`a}-dire v{\'e}rifie $$\exists C>0,\ \forall x,y\in \R,\qquad |g^{(k)}(x)-g^{(k)}(y)|\leq C |x-y|^\alpha.$$ (En particulier, si $\alpha =1$, ce sont les fonctions de $k$-i{\`e}me d{\'e}riv{\'e}e lipschitzienne.) \begin{itemize} \item Soit $f\in L^1(\R)$ {\`a} support compact, et $g \in C^{0,\alpha}(\R)$. Montrer que $f*g \in C^{0,\alpha}(\R)$. En d{\'e}duire que si $g\in C^{k,\alpha}(\R)$, alors $f*g \in C^{k,\alpha}(\R)$. \item Soit $f\in L^1(\R)$ {\`a} support quelconque, et $g \in C^{0,\alpha}(\R)$ {\it born{\'e}e}. Montrer que $f*g \in C^{0,\alpha}(\R)$ et est born{\'e}e. En d{\'e}duire que si $g\in C^{k,\alpha}(\R)$, born{\'e}e ainsi que toutes ses d{\'e}riv{\'e}es, alors $f*g$ aussi. \end{itemize} \finenonce{002692} \finexercice \exercice{5954, tumpach, 2010/11/11} \enonce{005954}{} \begin{enumerate} \item Soit $a, b \geq 0$ et soit $p,q \in (1, +\infty)$ tel que $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$ \emph{(on dit que $p$ et $q$ sont conjugu\'es au sens de Young)}. Montrer l'in\'egalit\'e de Young~: $$ ab \leq \frac{1}{p} a^p + \frac{1}{q} b^q. $$ On pourra consid\'erer la fonction $\theta~:\mathbb{R}^{+}\rightarrow \mathbb{R}$ d\'efinie par $\theta(a) = \frac{1}{p} a^{p} + \frac{1}{q} b^{q} - ab$. \item Soit de nouveau $p,q \in (1, +\infty)$ tel que $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$ et $f\in L^{p}(\mu)$, $g\in L^{q}(\mu)$. En utilisant la question pr\'ec\'edente, montrer que pour tout $\lambda>0$ $$ \int_{\Omega} |fg|\,d\mu \leq \frac{\lambda^{p}}{p}\int_{\Omega} |f|^{p}\,d\mu + \frac{\lambda^{-q}}{q} \int_{\Omega} |g|^{q}\,d\mu. $$ Optimiser cette in\'egalit\'e par rapport \`a $\lambda$ et montrer l'in\'egalit\'e de H\"older~: $$ \| fg\|_{1} \leq \|f\|_{p} \,\|g\|_{q}. $$ Cette in\'egalit\'e est-elle vraie pour $p=1$ et $q=+\infty$ ? \item Soient $p$ et $p'$ dans $[1, +\infty[$ (pas n\'ecessairement conjugu\'es). Montrer que si $f$ appartient \`a $ L^{p}(\mu) \cap L^{p'}(\mu)$, alors $f$ appartient \`a $ L^{r}(\mu)$ pour tout $r$ compris entre $p$ et $p'$. \item Montrer que si $\mu$ est une mesure finie alors $$L^{\infty}(\mu) \subset \bigcap_{p\geq 1} L^{p}(\mu), $$ et, pour tout $f$, $$ \lim_{p\rightarrow+\infty}\|f\|_{p} = \|f\|_{\infty}. $$ \item Montrer que si $f \in L^p(\mu)$ et $g\in L^q(\mu)$ avec $\frac 1p + \frac 1q = \frac 1r$, alors $f\cdot g\in L^r(\mu)$ et $$ \| fg\|_{r} \leq \|f\|_{p}\|g\|_{q}. $$ \end{enumerate} \finenonce{005954} \finexercice \exercice{5955, tumpach, 2010/11/11} \enonce{005955}{} \ \\ \textbf{Th\'eor\`eme 1.}(Th\'eor\`eme de Riesz) Pour tout $1\leq p\leq +\infty$, l'espace $L^{p}(\mu)$ est complet. \bigskip \textbf{Th\'eor\`eme 2.} Soit $p$ tel que $1\leq p \leq +\infty$ et soit $\{f_{n}\}_{n\in\mathbb{N}}$ une suite de Cauchy dans $L^{p}(\mu)$ convergeant vers une fonction $f\in L^{p}(\mu)$. Alors il existe une sous-suite de $\{f_{n}\}_{n\in\mathbb{N}}$ qui converge ponctuellement presque-partout vers $f$. \bigskip \emph{Le but de cet exercice est de d\'emontrer les th\'eor\`emes~1 et 2.} \begin{enumerate} \item \emph{Cas de $L^{\infty}(\mu)$.} \begin{enumerate} \item Soit $\{f_{n}\}_{n\in\mathbb{N}}$ une suite de Cauchy de $L^{\infty}(\mu)$. Pour $k, m, n\geq 1$, consid\'erons les ensembles \begin{eqnarray*} A_{k} := \{ x\in\Omega, |f_{k}(x)| > \|f_{k}\|_{\infty}\}~; & B_{m,n} := \{ x\in\Omega, |f_{m}(x) - f_{n}(x)| > \|f_{m} - f_n\|_{\infty} \}. \end{eqnarray*} Montrer que $E := \bigcup_{k} A_{k} \bigcup_{n,m} B_{m,n}$ est de mesure nulle. \item Montrer que sur le compl\'ementaire de $E$, la suite $\{f_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ converge uniform\'ement vers une fonction $f$. \item En d\'eduire que $L^{\infty}(\mu)$ est complet. \end{enumerate} \item \emph{Cas de $L^{p}(\mu)$.} \begin{enumerate} \item Soit $1\leq p<+\infty$ et $\{f_{n}\}_{n\in\mathbb{N}}$ une suite de Cauchy dans $L^{p}(\mu)$. Montrer qu'il existe une sous-suite $\{f_{n_{k}}\}_{k\in\mathbb{N}}$ de $\{f_{n}\}_{n\in\mathbb{N}}$ telle que $\|f_{n_{k+1}}-f_{n_{k}}\|_{p}\leq 2^{-k}$. \item Posons \begin{eqnarray*} g_{k} = \sum_{i=1}^{k}|f_{n_{i+1}} - f_{n_{i}}|\quad \text{et}\quad g= \sum_{i=1}^{+\infty}|f_{n_{i+1}} - f_{n_{i}}|, \end{eqnarray*} o\`u $g$ est \`a valeurs dans $\mathbb{R}\cup\{+\infty\}$. Montrer que pour tout $k\geq1$, on a $\|g_{k}\|_{p} < 1$, puis que $\|g\|_{p} \leq 1$. \item En d\'eduire que la s\'erie $$f_{n_{1}} + \sum_{i=1}^{\infty} \left(f_{n_{i+1}} - f_{n_{i}}\right)$$ est absolument convergente pour presque tout $x\in\Omega$. Notons $f(x)$ sa somme lorsque celle-ci est finie et posons $f(x)=0$ sinon. V\'erifier que $f$ est la limite ponctuelle des $\{f_{n_{k}}\}_{k\in\mathbb{N}}$ pour presque tout $x\in\Omega$. \item Montrer que $f - f_{m} \in L^{p}(\mu)$, $f\in L^{p}(\mu)$ et que $\|f - f_{m}\|_{p}\rightarrow 0$ quand $m\rightarrow +\infty$. Conclure. \end{enumerate} \end{enumerate} \finenonce{005955} \finexercice \exercice{5956, tumpach, 2010/11/11} \enonce{005956}{} Soient $f$ et $g$ deux fonctions de $L^{p}(\mu)$ avec $12$. \end{enumerate} \finenonce{005967} \finexercice \exercice{5968, tumpach, 2010/11/11} \enonce{005968}{} Soit $\{f_{n}\}_{n\in\mathbb{N}}$ la suite de fonctions d\'efinies par~: $$ f_{n}(x) = \sqrt{n} \mathbf{1}_{[n, n+\frac{1}{n}]}(x). $$ \begin{enumerate} \item Montrer que $f_{n}$ converge faiblement vers $0$ dans $L^{2}([0, +\infty[)$ mais ne converge pas fortement dans $L^2([0, +\infty[)$. \item Montrer que $f_{n}$ converge fortement vers $0$ dans $L^{p}([0, +\infty[)$ pour $p<2$. \end{enumerate} \finenonce{005968} \finexercice \section{ 407.00 Transformée de Fourier } \exercice{5977, tumpach, 2010/11/11} \enonce{005977}{} \emph{Le but de cet exercice est de d\'emontrer le th\'eor\`eme de Plancherel.} \textbf{D\'efinition.} Soient $f, g\in L^1(\mathbb{R}^n)$. On note $\hat{f}$ la transform\'ee de Fourier d\'efinie par $$ \hat{f}(y) = \int_{\mathbb{R}^n} f(x)\,e^{-2\pi i (y, x)} \,dx, $$ o\`u $(\cdot, \cdot)$ d\'esigne le produit scalaire de $\mathbb{R}^n.$ \bigskip \textbf{Th\'eor\`eme de Plancherel.} Si $f \in L^{1}(\mathbb{R}^n)\cap L^2(\mathbb{R}^{n})$, alors $\|\hat{f}\|_{2} = \| f\|_{2}$. \bigskip Soit $f \in L^{1}(\mathbb{R}^n)\cap L^2(\mathbb{R}^{n})$. \begin{enumerate} \item Montrer que $\|\hat{f}\|_{\infty}\leq \|f\|_{1}$. \item Montrer que la fonction $g_{\varepsilon}(k) = |\hat{f}(k)|^2 \,e^{-\varepsilon\pi|k|^2}$ appartient \`a $L^{1}(\mathbb{R}^{n})$. \item Montrer que $$\int_{\mathbb{R}^{n}} g_{\varepsilon}(k)\,dk = \int_{\mathbb{R}^{3n}} \bar{f}(x) f(y) e^{2\pi i (k, x-y)} e^{-\varepsilon \pi |k|^2}\,dx dy dk.$$ \item Sachant que la transform\'ee de Fourier de la gaussienne $h_{\varepsilon}(x) = e^{-\pi \varepsilon |x|^2}$ ($\varepsilon>0$, $x\in\mathbb{R}^n$) est donn\'ee par $\hat{h}_{\varepsilon}(k) = {\varepsilon}^{-\frac{n}{2}} e^{-\frac{\pi|k|^2}{\varepsilon}}$, montrer que $$\int_{\mathbb{R}^{n}} g_{\varepsilon}(k)\,dk = \int_{\mathbb{R}^{2n}}{\varepsilon}^{-\frac{n}{2}} e^{-\frac{\pi|x-y|^2}{\varepsilon}} \bar{f}(x) f(y) \,dx dy.$$ \item Soit $\{s_{\varepsilon}\}_{\varepsilon>0}$ la famille de fonctions d\'efinies par~: $$ s_{\varepsilon} = \int_{\mathbb{R}^n} {\varepsilon}^{-\frac{n}{2}} e^{-\frac{\pi|x-y|^2}{\varepsilon}} \bar{f}(x)\,dx. $$ Quelle est la limite dans $L^{2}(\mathbb{R}^{n})$ de $s_{\varepsilon}$ lorsque $\varepsilon$ tend vers $0$? \item Montrer que $$\lim_{\varepsilon\rightarrow 0} \int_{\mathbb{R}^{n}} g_{\varepsilon}(k)\,dk = \int_{\mathbb{R}^{n}} (\lim_{\varepsilon\rightarrow 0}s_{\varepsilon}) f(y) \,dy.$$ \item Montrer que $\lim_{\varepsilon\rightarrow 0} \int_{\mathbb{R}^{n}} g_{\varepsilon}(k)\,dk = \|\hat{f}\|_{2}^2$. \item En d\'eduire que $\|\hat{f}\|_{2} = \| f\|_{2}$. \end{enumerate} \finenonce{005977} \finexercice \exercice{5978, tumpach, 2010/11/11} \enonce{005978}{} Soit $f~:\mathbb{R}^{3}\rightarrow \mathbb{R}$ une fonction radiale, i.e. telle que $f(x)= h({r})$ o\`u $x=(x_1,x_2,x_3)$ et $r = |x|$ et $h~:\mathbb{R}^{+}\rightarrow \mathbb{R}$. Montrer que la transform\'ee de Fourier $\hat{f}$ de $f$ s'\'ecrit~: $$ \hat{f}(k) = \frac{2}{|k|}\int_{0}^{+\infty} h(r) r \sin(2\pi|k|r)\,dr. $$ \finenonce{005978} \finexercice \section{ 408.00 Autre } \exercice{5928, tumpach, 2010/11/11} \enonce{005928}{} \emph{Le but de cet exercice est de prouver le Th\'eor\`eme de Carath\'eodory.} \textbf{D\'efinition.} Une mesure ext\'erieure sur un ensemble $\Omega$ est une application~$m_*~:\mathcal{P}(\Omega) \rightarrow [0,+\infty]$ telle que \begin{enumerate} \item[(i)] $m_*(\emptyset) = 0~;$ \item[(ii)] (monotonie) $A \subset B \Rightarrow m_*(A) \leq m_*(B)~;$ \item[(iii)] ($\sigma$-sous-additivit\'e) Pour toute suite d'ensembles $\{ A_{i} \}_{i\in\mathbb{N}^*} \subset \mathcal{P}(\Omega)$ on a $$ m_{*}\left(\bigcup_{i=1}^{\infty} A_{i} \right) \leq \sum_{i=1}^{\infty} m_{*}(A_{i}). $$ \end{enumerate} \textbf{Th\'eor\`eme de Carath\'eodory} Soit $m_*$ une mesure ext\'erieure sur $\Omega$. Un ensemble $A\subset\Omega$ est dit $m_*$-mesurable si pour tout $Q\subset \Omega$ on a $$ m_*(Q) \geq m_*(Q \cap A) + m_*(Q\cap A^c). $$ Notons $\mathcal{M}_{m_*} \subset \mathcal{P}(\Omega)$ l'ensemble des parties $m_*$-mesurables. Alors \begin{enumerate} \item $\mathcal{M}_{m_*}$ est une $\sigma$-alg\`ebre. \item $m = m_{*}|_{\mathcal{M}_{m_*}}$ est une mesure sur $(\Omega, \mathcal{M}_{m_*}).$ \item L'espace mesur\'e $(\Omega, \mathcal{M}_{m_*}, m)$ est complet, i.e. si $E \in \mathcal{M}_{m_*}$ et $m(E) = 0$, alors tout sous-ensemble $A\subset E$ appartient \`a $\mathcal{M}_{m_*}$. \end{enumerate} Début de l'exercice : \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Rappeler la d\'efinition d'une $\sigma$-alg\`ebre. \item V\'erifier que $\emptyset$ et $\Omega \in \mathcal{M}_{m_*}$, et $A\in\mathcal{M}_{m_*} \Rightarrow A^c\in\mathcal{M}_{m_*}$. \item Soit $\{A_{i}\}_{i\in \mathbb{N}^*}$ un suite quelconque d'ensembles $m_*$-mesurables. On pose $B_1 = \emptyset$, $B_{2}=A_1$ et $B_{j} = \cup_{i=1}^{j-1} A_{i}$, pour $j\geq 2$. Soit $Q$ un sous-ensemble de $\Omega$. Montrer par r\'ecurrence que l'assertion $(P_k)$ suivante est v\'erifi\'ee pour tout $k\geq 1$~: $$ (P_k)\quad \quad \quad m_*(Q) = m_*(Q \cap B_{k+1}^c) + \sum _{j=1}^{k} m_*(Q \cap B_{j}^c \cap A_j). $$ \item Soit $A = \cup_{j=1}^{\infty} A_{j}$. D\'eduire de la question pr\'ec\'edente que $$m_{*}(Q) \geq m_*(Q\cap A^c) + \sum_{j=1}^{\infty} m_*(Q \cap B_{j}^c\cap A_j).$$ $e)$ En remarquant que $Q\cap A = \bigcup_{j=1}^{\infty}(Q\cap B_{j}^c \cap A_{j})$, montrer~: $$ m_*(Q\cap A^c) + m_*(Q\cap A) \leq m_*(Q), $$ et conclure. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Rappeler la d\'efinition d'une mesure. \item En utilisant la question 1.d), montrer la $\sigma$-additivit\'e de $m$. \end{enumerate} \item Montrer que $m$ est compl\`ete. \end{enumerate} \finenonce{005928} \finexercice \exercice{5929, tumpach, 2010/11/11} \enonce{005929}{} On d\'efinit la mesure ext\'erieure de Lebesgue sur $\mathbb{R}$, $~m_{*}: \mathcal{P}(\mathbb{R}) \rightarrow \mathbb{R},~$ par la formule $$ m_{*}(A) = \inf \left\{\sum_{i-1}^{\infty} (b_{i} - a_{i}) ~|~ A \subset \bigcup_{i=1}^{\infty} ]a_{i}, b_{i}[ \right\}. $$ Montrer qu'il s'agit bien d'une mesure ext\'erieure. \finenonce{005929} \finexercice \exercice{5930, tumpach, 2010/11/11} \enonce{005930}{} On d\'efinit $m_{*}~:\mathcal{P}(\Omega) \rightarrow \mathbb{R}$ par $$ m_{*}(A) = \left\{\begin{array}{ll} 0 & \text{si}~A = \emptyset\\ 1 & \text{sinon}. \end{array}\right. $$ \begin{enumerate} \item Montrer que $m_*$ est une mesure ext\'erieure. \item Quels sont les ensembles $m_*$-mesurables ? \item V\'erifier le th\'eor\`eme de Carath\'eodory sur cet exemple. \end{enumerate} \finenonce{005930} \finexercice \exercice{5931, tumpach, 2010/11/11} \enonce{005931}{} \begin{enumerate} \item Calculer $\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2}\,dx$.\\ \emph{Indication~:} On pourra d'abord calculer $\int_{\mathbb{R}^{2}} e^{-(x^2 + y^2)}\, dx dy$ en passant en coordonn\'ees polaires. \item \emph{Calcul de l'aire de la sph\`ere unit\'e de $\mathbb{R}^{n}$.} Soit $ \mathcal{S}_{n-1} = \{(x_1, \dots, x_n) \in \mathbb{R}^n ,\, \sum_{i=1}^{n} x_{i}^2 = 1 \} $ la sph\`ere unit\'e de $\mathbb{R}^{n}$. On note $\mathcal{A}_{n-1}$ son aire. Calculer $$ \int_{\mathbb{R}^n} e^{-\sum_{i=1}^{n} x_{i}^2} \,dx_{1}\dots dx_{n} $$ en fonction de $\mathcal{A}_{n-1}$. En d\'eduire l'expression de $\mathcal{A}_{n-1}$ en fonction de la fonction $\Gamma$~: $$ \Gamma(s) := \int_{0}^{+\infty} x^{s-1} e^{-x}\,dx. $$ \item \emph{Calcul du volume de la boule unit\'e de $\mathbb{R}^{n}$.} Soit $ \mathcal{B}_{n} = \{(x_1, \dots, x_n) \in \mathbb{R}^n ,\, \sum_{i=1}^{n} x_{i}^2 \leq 1 \} $ la boule ferm\'ee de rayon 1 dans $\mathbb{R}^n$. On note $\mathcal{V}_{n}$ son volume. Montrer que $\mathcal{V}_{n} = \frac{\mathcal{A}_{n-1}}{n}$. En d\'eduire que~: $$ \mathcal{V}_{n} = \frac{{\pi}^{\frac{n}{2}}}{\Gamma\left(\frac{n}{2} + 1 \right)}. $$ \item \emph{Application~:} Que vaut l'aire de la sph\`ere de rayon $R$ dans $\mathbb{R}^2$? $\mathbb{R}^3$? Que vaut le volume de la boule de rayon $R$ dans $\mathbb{R}$? $\mathbb{R}^{2}$? $\mathbb{R}^{3}$? \end{enumerate} \finenonce{005931} \finexercice \exercice{5932, tumpach, 2010/11/11} \enonce{005932}{} \emph{Cet exercice fournit une autre m\'ethode de calcul du volume de la boule unit\'e $\mathcal{B}_{n}$ de $\mathbb{R}^{n}$ et de l'aire de la sph\`ere $\mathcal{S}_{n-1} \subset \mathbb{R}^{n}$.} On conserve les notations de l'exercice pr\'ec\'edent. \begin{enumerate} \item Montrer que $\mathcal{V}_{n} = I_{n} \cdot \mathcal{V}_{n-1}$, o\`u $I_{n} = \int_{0}^{\pi} \left(\sin \theta \right)^{n} \,d\theta.$ \item V\'erifier que $I_{n} = \frac{n-1}{n} I_{n-2}.$ \item Calculer $\mathcal{V}_{n}$ pour $n = 1, 2, \dots, 7$. \item Calculer $\mathcal{A}_{n-1}$ pour $n = 1, 2, \dots, 6$. \end{enumerate} \finenonce{005932} \finexercice \exercice{5969, tumpach, 2010/11/11} \enonce{005969}{} \textbf{D\'efinition.} On dit qu'un espace m\'etrique $E$ est \emph{s\'eparable} s'il existe un sous-ensemble $\mathcal{F} \subset E$ d\'enombrable et dense. \bigskip \textbf{Th\'eor\`eme} L'espace $L^p(\mathbb{R}^{n})$ est s\'eparable pour $1\leq p <+\infty$. \bigskip Le but de cet exercice est de d\'emontrer ce th\'eor\`eme. \begin{enumerate} \item Pour $j = 1, 2, 3, \dots$ et $m = (m_1,\ldots,m_n) \in\mathbb{Z}^{n}$, on consid\`ere les cubes $$ \Gamma_{j, m}~:= \{ x\in\mathbb{R}^n,~ 2^{-j}m_{i} < x_i \leq 2^{-j}(m_i + 1),~ i = 1, \dots, n\}. $$ Montrer que pour tout $j \in \mathbb{N}^*$, $\bigcup_{m\in\mathbb{Z}^n} \Gamma_{j, m} = \mathbb{R}^{n}$. \item Pour $j\in\mathbb{N}^*$, on consid\`ere l'ensemble $\mathcal{F}_{j}$ de fonctions $\varphi$ de la forme~: $$ \varphi(x) = \sum_{m\in\mathbb{Z}^n} c_{j, m}\, \mathbf{1}_{\Gamma_{j, m}}, $$ o\`u les constantes $c_{j, m}\in\mathbb{Q}$ et sont nulles sauf un nombre fini. Montrer que l'ensemble $$ \mathcal{F} = \bigcup_{j = 1}^{\infty} \mathcal{F}_{j} $$ est d\'enombrable. \item Le but de cette question est de montrer que toute fonction continue \`a support compact peut \^etre approch\'ee \`a $\varepsilon$ pr\`es en norme $L^{p}$ par un \'el\'ement de la famille $\mathcal{F}$. Soit $\tilde{f}$ une fonction continue \`a support compact et soit $\varepsilon>0$ fix\'e. \begin{itemize} \item Montrer que pour tout $\varepsilon'>0$, il existe $j \in\mathbb{N}^*$, tel que $\forall m\in\mathbb{Z}^n$, $$ x, y \in \Gamma_{j, m} \Rightarrow |\tilde{f}(x) - \tilde{f}(y)|< \varepsilon'. $$ \item Soit $\varepsilon'>0$ fix\'e et $j$ comme dans la question pr\'ec\'edente. On consid\`ere la fonction $\tilde{f}_{j}$ d\'efinie par~: $$ \tilde{f}_{j}(x) = 2^{nj} \int_{\Gamma_{j, m}}\tilde{f}(y)\,dy \quad\text{lorsque}\quad x\in\Gamma_{j, m}, $$ i.e. la valeur de $\tilde{f}_{j}$ en un point $x\in\mathbb{R}^{n}$ est la valeur moyenne de la fonction $\tilde{f}$ sur le cube $\Gamma_{j, m}$ de cot\'e $2^{-j}$ qui contient $x$. Montrer que $\forall m\in\mathbb{Z}^n$, $$ x \in \Gamma_{j, m} \Rightarrow |\tilde{f}(x) - \tilde{f}_{j}(x)|< \varepsilon', $$ et en d\'eduire que $$ \|\tilde{f} - \tilde{f}_{j}\|_p < \text{Volume}(\gamma)^{\frac{1}{p}}\cdot\varepsilon' $$ o\`u $\gamma$ est un cube de la forme $\{x\in\mathbb{R}^{n}, -2^{J} \leq x_i \leq 2^J\}$ en dehors duquel $\tilde{f}$ est nulle. \item En d\'eduire qu'il existe $f_{j}\in\mathcal{F}_{j}$ telle que $\|\tilde{f} -f_{j}\|_{p} < \varepsilon.$ (On rappelle que les \'el\'ements de $\mathcal{F}_{j}$ ne prennent que des valeurs rationnelles.) \end{itemize} \item Montrer que toute fonction $f\in L^{p}(\mathbb{R}^{n})$, $1\leq p <+\infty$, peut \^etre approch\'ee \`a $\varepsilon$ pr\`es en norme $L^{p}$ par un \'el\'ement de la famille $\mathcal{F}$. Conclure. \end{enumerate} \finenonce{005969} \finexercice \exercice{5970, tumpach, 2010/11/11} \enonce{005970}{} \textbf{Th\'eor\`eme.} L'espace $L^{\infty}(\mathbb{R}^{n})$ n'est pas s\'eparable. \bigskip Le but de cet exercice est de d\'emontrer ce th\'eor\`eme. \begin{enumerate} \item Soit $E$ un espace de Banach. On suppose qu'il existe une famille $(O_{i})_{i\in I}$ telle que \begin{itemize} \item Pour tout $i\in I$, $O_i$ est un ouvert non vide de $E$. \item $O_i \cap O_j = \emptyset $ si $i\neq j$. \item $I$ n'est pas d\'enombrable. \end{itemize} Montrer que $E$ n'est pas s\'eparable. (On pourra raisonner par l'absurde). \item Pour tout $a\in \mathbb{R}^{n}$, on pose $f_{a} = \mathbf{1}_{\mathcal{B}(a, 1)}$ o\`u $\mathcal{B}(a, 1)$ est la boule de $\mathbb{R}^n$ de rayon $1$ centr\'ee en $a$. Montrer que la famille $$ O_a = \{ f\in L^{\infty}(\mathbb{R}^n), ~ \|f - f_a \|_{\infty} < \frac{1}{2}\}, $$ o\`u $a$ parcourt les points de $\mathbb{R}^n$, satisfait (a), (b) et (c). Conclure. \end{enumerate} \finenonce{005970} \finexercice \exercice{5971, tumpach, 2010/11/11} \enonce{005971}{} \textbf{D\'efinition.} Soient $\mu$ et $\nu$ deux mesures sur un espace mesur\'e $(\Omega, \Sigma)$. On dit que $\nu$ est absolument continue par rapport \`a $\mu$ et on \'ecrit $\nu<<\mu$ si $$ \mu(S) = 0 \Rightarrow \nu(S) = 0 $$ pour tout $S\in\Sigma$. \bigskip \textbf{Th\'eor\`eme de Radon-Nikodym.} %\label{t} Soient $\mu$ et $\nu$ deux mesures finies sur un espace mesur\'e $(\Omega, \Sigma)$. Si $\nu$ est absolument continue par rapport \`a $\mu$, alors il existe une fonction positive $h\in L^1(\Omega, \mu)$ telle que pour toute fonction positive mesurable $F$ on a~: \begin{equation}\label{radon} \int_{\Omega} F(x) \,d\nu(x) = \int_{\Omega} F(x) h(x)\,d\mu(x). \end{equation} \bigskip Le but de cet exercice est de d\'emontrer ce th\'eor\`eme de Radon-Nikodym. \begin{enumerate} \item Posons $$ \alpha = \mu + 2\nu, \quad\quad \omega = 2\mu + \nu. $$ On consid\`ere l'espace de Hilbert $L^2(\Omega, \alpha)$ des fonctions de carr\'e int\'egrable par rapport \`a la mesure $\alpha$ et l'application lin\'eaire $\varphi~: L^2(\Omega, \alpha) \rightarrow \mathbb{C}$ donn\'ee par~: $$ \varphi(f) = \int_{\Omega} f(x)\,d\omega(x). $$ Montrer que $\varphi~: L^2(\Omega, \alpha) \rightarrow \mathbb{C}$ est une application lin\'eaire continue. \item En d\'eduire qu'il existe $g\in L^{2}(\Omega, \alpha)$ tel que pour tout $f \in L^2(\Omega, \alpha)$~: $$ \int_{\Omega} f(2g - 1) \,d\nu = \int_{\Omega} f(2 - g) \,d\mu. $$ \item Montrer que les ensembles $S_{1l} := \{x\in\Omega, g(x) < \frac{1}{2} - \frac{1}{l}\}$ et $S_{2l} := \{x\in \Omega, g(x) > 2 + \frac{1}{l}\}$ o\`u $l\in\mathbb{N}^*$ v\'erifient $\mu(S_{jl}) = \nu(S_{jl}) = 0$. En d\'eduire que l'on peut choisir la fonction $g$ de telle mani\`ere que $\frac{1}{2} \leq g \leq 2$. Montrer que l'ensemble $Z = \{ x\in \Omega~: g(x) = \frac{1}{2}\}$ est de $\mu$-mesure $0$. \item Montrer que la fonction $$h(x) = \frac{2 - g(x)}{2g(x) - 1}$$ est bien d\'efinie, positive, appartient \`a $L^{1}(\Omega, \mu)$ et satisfait \eqref{radon}. \end{enumerate} \finenonce{005971} \finexercice \exercice{5972, tumpach, 2010/11/11} \enonce{005972}{} \label{exo:beta} \begin{enumerate} \item On d\'{e}finit la fonction B\^{e}ta par $B(a,b):=\int_{0}^{1}s^{a-1}(1-s)^{b-1}ds$, montrer que \\ $$ B\left(1+\frac{d}{2},\frac{m}{2}\right) = 2\int_{0}^{1}\left( 1-r^{2}\right) ^{d/2}r^{m-1}dr $$ \item D\'{e}montrer que $\displaystyle B(a,b)=\frac{\Gamma (a)\Gamma (b)}{\Gamma (a+b)}$. \item Calculer $\int_{\mathbb{R}^{n}} \frac{1}{\left( 1 + |x|^2\right)^{\alpha}}\,dx $ en fonction de la fonction B\^{e}ta. \end{enumerate} \finenonce{005972} \finexercice \exercice{5973, tumpach, 2010/11/11} \enonce{005973}{Coordonn\'ees sph\'eriques dans $\mathbb{R}^{n}$} Soit $\Omega'$ l'ouvert de $\mathbb{R}^{n}$ d\'efini par $$ \Omega' = \{(r, \theta_1, \dots, \theta_{n-1})\in\mathbb{R}^{n}~|~ 0< r, 0 <\theta_1, \dots, \theta_{n-2} < \pi, 0 < \theta_{n-1} < 2\pi\}. $$ Soit l'application $S$ de $\Omega'$ dans $\mathbb{R}^{n}$ d\'efinie par $$ \begin{array}{lcl} x_1 &= &r \cos \theta_1,\\ x_2 &=& r \sin \theta_1 \cos \theta_2,\\ \vdots & & \\ x_{n-2} &=& r \sin \theta_1 \sin \theta_2 \dots \cos \theta_{n-2}\\ x_{n-1} &=& r \sin \theta_1 \sin\theta_2 \dots \sin \theta_{n-2} \cos \theta_{n-1}\\ x_{n} &=& r \sin \theta_1 \sin \theta_2 \dots \sin\theta_{n-2} \sin \theta_{n-1}, \end{array} $$ o\`u $(x_1, \dots, x_n)$ sont les coordonn\'ees cart\'esiennes de $x\in\mathbb{R}^n$. \begin{enumerate} \item Soit $\Omega = \mathbb{R}^n\setminus\{ x\in\mathbb{R}^n~|~x_{n} = 0~\text{et}~x_{n-1} \geq 0~\}.$ Montrer que $\Omega$ est une partie ouverte de $\mathbb{R}^n$ dont le compl\'ementaire est de mesure nulle, et que $S$ est un diff\'eomorphisme de $\Omega'$ sur $\Omega$. \item Soit $f$ une fonction bor\'elienne positive sur $\mathbb{R}^{n}$. Montrer que $$ \begin{array}{lcl} \int_{\mathbb{R}^n} f(x)\,dx &=& \int_{\Omega'} (f\circ S)(r, \theta_1, \dots, \theta_{n-1})\,r^{n-1} \sin^{n-2}\theta_{1}\,\sin^{n-3}\theta_2 \dots \sin \theta_{n-2}\,dr\,d\theta_1 \dots d\theta_{n-1}\\ & & \\ & =& \int_{\Omega'} (f\circ S)(r, \theta_1, \dots, \theta_{n-1})\,r^{n-1}\,dr\,d\sigma, \end{array} $$ o\`u $d\sigma$ est la mesure uniforme sur la sph\`ere unit\'e de $\mathbb{R}^{n}$. \item En utilisant les coordonn\'ees sph\'eriques, calculer le volume $\mathcal{V}_4$ de la boule unit\'e de $\mathbb{R}^4$ et l'aire $\mathcal{A}_{3}$ de la sph\`ere unit\'e $\mathcal{S}^3$ de $\mathbb{R}^4$. \end{enumerate} \finenonce{005973} \finexercice \exercice{5974, tumpach, 2010/11/11} \enonce{005974}{Th\'eor\`eme de Newton} Soit $g$ une fonction sur $\mathbb{R}^+$ et $f~:\mathbb{R}^3\rightarrow \mathbb{R}$ telle que $f(x) = g(|x|)$, o\`u $|x|$ d\'esigne la norme de $x$ dans $\mathbb{R}^3$. \begin{enumerate} \item Montrer que pour $r = |x|$, on a $$ \int_{\mathbb{R}^3} \frac{f(y)}{|x - y|}\,dy = 4\pi \frac{1}{r}\int_{0}^{r} g(s) s^2\,ds + 4\pi\int_{r}^{+\infty} g(s) s\,ds. $$ \item Que peut-on en d\'eduire pour une distribution de masse $f(x) = g(|x|)$ lorsque $g$ est \`a support dans $[0, R]$ ? \end{enumerate} \finenonce{005974} \finexercice \exercice{5975, tumpach, 2010/11/11} \enonce{005975}{} Soit $x\in\mathbb{R}^{d}$, $d = 1, 2$ et $r = |x|$. On consid\`ere $f~: \mathbb{R}^d\rightarrow \mathbb{R}$ donn\'ee par $$f(x) = h(r) = r^2 (1+r^2)^{-2}.$$ \begin{enumerate} \item Calculer pour $d = 1$ le r\'earrangement \`a sym\'etrie sph\'erique d\'ecroissant $f^*$ de $f$. \item M\^eme question pour $d = 2$. \item Calculer $\|f\|_{2}^{2}$ pour $d = 1$ puis $d = 2$. \end{enumerate} \finenonce{005975} \finexercice \exercice{5976, tumpach, 2010/11/11} \enonce{005976}{} Soit $f~:\mathbb{R}^d \rightarrow \mathbb{R}$ la fonction donn\'ee par $f(x) = e^{-x^2 + ax}$, o\`u $a\in\mathbb{R}$. Calculer le r\'earrangement \`a sym\'etrie sph\'erique d\'ecroissant $f^*$ de $f$. \finenonce{005976} \finexercice \exercice{5979, tumpach, 2010/11/11} \enonce{005979}{} \textbf{D\'efinition.} Soit $h\in \mathbb{R}^{n}$. On d\'efinit l'op\'erateur de translation par $h$, not\'e $\tau_{h}$, agissant sur une fonction $f~:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ par $ \tau_{h}f(x) := f(x-h), \quad \forall x\in\mathbb{R}^n. $ \bigskip \textbf{Th\'eor\`eme.} %\label{th:t1} Si $f\in L^{p}(\mathbb{R}^n)$ avec $1\leq p < +\infty$, alors $ \lim_{h\rightarrow 0}\|\tau_{h}f - f\|_{p} = 0, $ i.e. $\tau_{h}f$ tend vers $f$ dans $L^{p}(\mathbb{R}^n)$ lorsque $h$ tend vers $0$. \bigskip Le but de cet exercice est de d\'emontrer ce th\'eor\`eme. Soit $1 \leq p < +\infty$. \begin{enumerate} \item Montrer que si $f$ est continue \`a support compact dans la boule $\mathcal{B}(0, M)$ centr\'ee en $0$ et de rayon $M$, et si $|h|\leq 1$, alors $$ |f(x - h) - f(x)|^p \leq \mathbf{1}_{B(0, M+1)} 2^p \|f\|_{\infty}^p. $$ o\`u $\mathcal{B}(0, M+1)$ est la boule centr\'ee en $0$ de rayon $M+1$. \item En d\'eduire que pour $f$ continue \`a support compact, on a $$ \lim_{h\rightarrow 0}\|\tau_{h}f - f\|_{p} = 0. $$ \item D\'emontrer le th\'eor\`eme pour une fonction quelconque dans $L^p(\mathbb{R}^n)$, $1\leq p <+\infty$. \item Que se passe-t-il pour $p = \infty$ ? \end{enumerate} \finenonce{005979} \finexercice \exercice{5980, tumpach, 2010/11/11} \enonce{005980}{} \textbf{Th\'eor\`eme} Soit $\{\varphi_{n}\}_{n\in\mathbb{N}}$ une suite de fonctions de $\mathbb{R}^n$ dans $\mathbb{R}$ telles que~: \begin{itemize} \item[(i)] $\int_{\mathbb{R}^n} \varphi_{n} = 1$ \item[(ii)] il existe une constante $K > 0$ telle que $~\sup_{n\in\mathbb{N}} \int_{\mathbb{R}^n} |\varphi_{n}|(x) \,dx \leq K$ \item[(iii)] Pour tout $\varepsilon>0$, on a $\lim_{n\rightarrow +\infty}\int_{\|x\|>\varepsilon} |\varphi_{n}(x)|\,dx = 0$. \end{itemize} Alors pour tout $f\in L^p(\mathbb{R}^n)$, $1\leq p <+\infty$, $\lim_{n\rightarrow+\infty}\|\varphi_{n}*f - f\|_p = 0$. \bigskip Le but de cet exercice est de d\'emontrer ce th\'eor\`eme. Soit $\{\varphi_{n}\}_{n\in\mathbb{N}}$ une suite de fonctions v\'erifiant les hypoth\`eses (i), (ii) et (iii) du th\'eor\`eme, et soit $1\leq p <+\infty$. \begin{enumerate} \item En notant $q$ l'exposant conjugu\'e de $p$ ($\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$), et en utilisant l'in\'egalit\'e de H\"older pour la mesure $d\nu(x) = |\varphi_n|(x)\,dx$, montrer que $$ |\varphi_n * f - f|^p(x) \leq \left(\int_{\mathbb{R}^n} |\varphi_n|(x)\,dx \right)^{\frac{p}{q}} \left(\int_{\mathbb{R}^n} |f(x - y) - f(x)|^p |\varphi_n|(y)\,dy\right). $$ \item En d\'eduire que $$ \|\varphi_n * f - f\|_{p}^{p} \leq K^{\frac{p}{q}} \int_{\mathbb{R}^{n}} \|\tau_{y}f - f\|_{p}^p |\varphi_n(y)|\,dy. $$ \item Soit $\delta>0$, montrer que $$ \|\varphi_n * f - f\|_{p}^{p} \leq K^{\frac{p}{q}}\left(\sup_{|y|\leq\delta}\|\tau_{y}f - f\|_{p}^p + 2^p\|f\|_{p}^{p}\int_{|y|>\delta} |\varphi_{n}(y)|\,dy \right). $$ \item En d\'eduire le th\'eor\`eme cherch\'e. \end{enumerate} \finenonce{005980} \finexercice \exercice{5981, tumpach, 2010/11/11} \enonce{005981}{} Soit $f$ une fonction dans $\mathcal{C}^{\infty}_c(\mathbb{R}^{n})$ et $0< \alpha< n$. Posons $c_{\alpha}~:= \pi^{-\alpha/2} \Gamma(\alpha/2)$. En utilisant l'identit\'e $$ c_{\alpha} |k|^{-\alpha} = \int_{0}^{\infty} e^{-\pi |k|^2\lambda}\,\lambda^{\frac{\alpha}{2}-1}\,d\lambda, $$ montrer que $$ c_{\alpha}\left(|k|^{-\alpha}\hat{f}(k)\right)^{\vee}(x) = c_{n-\alpha}\int_{\mathbb{R}^{n}} |x- y|^{\alpha - n}f(y)dy, $$ o\`u la notation $h^{\vee}$ d\'esigne la transform\'ee de Fourier inverse d'une fonction $h$ donn\'ee par $h^{\vee}(x) := \hat{h}(-x)$. \finenonce{005981} \finexercice \section{ 420.00 Espace topologique, espace métrique } \exercice{1867, roussel, 2001/09/01} \enonce{001867}{} Soit $(E,d)$ un espace m\'etrique. %Soit $f : \mathbb{R}_{+} \longrightarrow \mathbb{R}_{+}$, strictement %\hspace*{5cm}croissante, v\'erifiant : $$f(0)=0 \mbox{~et~} \forall ~(u,v) %\in ~\mathbb{R}^{2}_{+}, ~f(u+v) \leq f(u)+f(v).$$ \begin{enumerate} \item Montrer que $d'(x,y)=\sqrt{d(x,y)}$ est une distance sur $E$. Enoncer des conditions suffisantes sur une fonction $f$, d\'efinie de $\mathbb{R}_{+}$ dans $\mathbb{R}_{+}$ pour que $(x,y) \longrightarrow f(d(x,y))$ soit une distance sur $E$. \item Montrer que l'application $d''$ d\'efinie sur $E\times E$ par $d''(x,y)={\displaystyle d(x,y)\over \displaystyle1+d(x,y)}$ est une distance sur $E$. \emph{Indication} : On utilisera la croissance de la fonction $u \longrightarrow \displaystyle{\frac{u}{1+u}}.$ \item Comparer les distances $d$ et $d''$ . \item Dans le cas o\`u $E$ est l'ensemble des nombres r\'eels et o\`u $d$ est la distance valeur absolue, construire $B_{d''}(0,a)$ o\`u $a$ est un r\'eel. \end{enumerate} \finenonce{001867} \finexercice \exercice{1868, roussel, 2001/09/01} \enonce{001868}{} Soit $(E,d)$ un espace m\'etrique complet, et $f$ une application de $E$ dans $E$ telle qu'il existe \hspace*{18pt}$k\in \mathbb{R},\ 0< k< 1$ tel que $d(f(x),f(y))\leq k\ d(x,y)\ \ \forall x\in E,\ \forall y\in E$. \begin{enumerate} \item Montrer que $f$ est continue sur $(E,d)$. \item Soient $x_0\in E \mbox{ et pour } n\geq 0,\ x_{n+1}=f(x_n)$. Montrer que la suite $(x_n)_{n\geq 0}$ est de Cauchy dans $(E,d)$. \item Montrer que cette suite converge vers un point fixe de $f$, c'est-\`a-dire une solution de $f(l)=l$. Montrer que ce point fixe est unique. \item Application: montrer que le syst\`eme $\displaystyle \left\{ \begin{array}{ll} x_1 &=\frac{1}{5}(2\sin x_1 + \cos x_2 )\\ x_2 &=\frac{1}{5}( \cos x_1 +3 \sin x_2) \end{array} \right. $ admet une solution unique $(x_1,x_2)\in \mathbb{R}^2$. \end{enumerate} \finenonce{001868} \finexercice \exercice{2340, queffelec, 2003/10/01} \enonce{002340}{} \begin{enumerate} \item Rappeler les d\'efinitions d'une borne sup\'erieure (inf\'erieure) d'un ensemble de nombres r\'eels. Si $A$ et $B$ sont deux ensembles born\'es non vides de $\Rr$, comparer avec $\sup A$, $\inf A$, $\sup B$ et $\inf B$ les nombres suivants : \quad (i) $\sup(A+B)$, \quad (ii) $\sup(A\cup B)$, \quad (iii) $\sup(A\cap B)$, \quad (iv) $\inf(A\cup B)$, \quad (v) $\inf(A\cap B)$. \item Pour $x\in\Rr^n$ et $A\subset \Rr^n$ on d\'efinit $d(x,A)=\inf_{a\in A} ||x-a||$. Trouver $d(0,\Rr-\Qq)$, $d(\sqrt2,\Qq)$, $d(M,{\cal D})$ o\`u $M=(x,y,z)\in\Rr^3$ et $\cal D$ est la droite de vecteur unitaire $(a,b,c)$. \item Pour $A, B\subset \Rr^n$ on d\'efinit $d(A,B)=\inf_{a\in A,b\in B} ||a-b||$. Trouver $d(A,B)$ lorsque $A$ est une branche de l'hyperbole $\{(x,y)\in{\Rr^2}\ ;\ xy=1\}$ et $B$ une asymptote. \item On d\'efinit $\hbox {diam} A=\sup_{a,b\in A}||a-b||$. Quel est $\hbox {diam} (]0,1[\cap\Qq)$ ? $\hbox{diam} ([0,1]\cap\Rr-\Qq)$ ? \end{enumerate} \finenonce{002340} \finexercice \exercice{2341, queffelec, 2003/10/01} \enonce{002341}{} Montrer que tout ouvert de $\Rr$ est union d\'enombrable d'intervalles ouverts deux \`a deux disjoints. (\emph{Indication :} si $x\in O$ ouvert, consid\'erer $J_x$ qui est l'union des intervalles ouverts inclus dans $O$ et contenant $x$). \'Enoncer un résultat similaire pour les ouverts de $\Rr^n$. \finenonce{002341} \finexercice \exercice{2342, queffelec, 2003/10/01} \enonce{002342}{} On va montrer que l'ensemble $D$ des r\'eels de la forme $p+q\sqrt 2$ o\`u $p$ et $q$ d\'ecrivent ${\Zz}$, est dense dans ${\Rr}$. \begin{enumerate} \item Remarquer que $D$ est stable par addition et multiplication. \item Posons $u=\sqrt 2 -1$; montrer que pour tous $a0\}$~; montrer que $H$ est un ouvert ; d\'eterminer $\overline H$. \item Quelle est la topologie induite sur une droite vectorielle; sur le cercle unit\'e $\Gamma $~? \item Lesquelles des transformations suivantes sont continues~: homoth\'eties de centre $O$~; rotations de centre $O$~; translations~? \end{enumerate} \finenonce{002348} \finexercice \exercice{2349, queffelec, 2003/10/01} \enonce{002349}{} \begin{enumerate} \item Montrer que $||f||_\infty= \sup_{0\leq x\leq 1}|f(x)|$ et $||f||_1=\int_0^1|f(t)|\ dt$ sont deux normes sur $C([0,1],{\Rr})$. Sont-elles \'equivalentes ? \item Les deux m\'etriques associ\'ees sont-elles topologiquement \'equivalentes ? \end{enumerate} \finenonce{002349} \finexercice \exercice{2350, queffelec, 2003/10/01} \enonce{002350}{} Soit $E=C^1([0,1],{\Rr})$. Comparer les normes $N_1(f)=||f||_\infty,\ N_2(f)=||f||_\infty+||f||_1,\ N_3(f)=||f'||_\infty+||f||_\infty,\ N_4(f)=||f'||_1+||f||_\infty.$ \finenonce{002350} \finexercice \exercice{2351, queffelec, 2003/10/01} \enonce{002351}{} Soit $(x_n)$ une suite d'un espace topologique $X$ séparé; on note $A$ l'ensemble $\{x_1,x_2,\ldots\}$. \begin{enumerate} \item Toute valeur d'adhérence $a$ de la suite est un point de $\overline A$ : donner un exemple où $a$ est un point isolé de $A$; un exemple où $a$ est un point d'accumulation dans $A$; un exemple où $a$ est un point d'accumulation dans $\overline A\backslash A$. \item Montrer que tout point d'accumulation de $A$ est valeur d'adhérence de la suite. \end{enumerate} \finenonce{002351} \finexercice \exercice{2352, queffelec, 2003/10/01} \enonce{002352}{} Soit $\R^n$ considéré comme groupe additif muni de sa topologie usuelle. Soit $G$ un sous-groupe de $\R^n$. \begin{enumerate} \item On suppose que $0$ est isolé dans $G$. Montrer que tout point est isolé, que $G$ est discret et fermé dans $\R^n$. On se restreint maintenant au cas $n=1$. \item Montrer qu'alors, $G$ est soit $\{0\}$, soit de la forme $a\Zz$, $a>0$. \item Montrer que si $0$ est point d'accumulation, $G$ est partout dense dans $\R$. En déduire ainsi les sous-groupes fermés de $\R$. \item On considère $\alpha\notin \Qq$; montrer que ${\Zz}+\alpha{\Zz}$ est un sous-groupe dense de $\Rr$. En déduire les valeurs d'adhérence de la suite $(e^{2i\pi n\alpha})_{n\in \Zz}$. \end{enumerate} \finenonce{002352} \finexercice \exercice{2418, drutu, 2007/10/01} \enonce{002418}{} Soit $X=\{ a,b,c,d \}$. Lesquelles parmi les collections de sous-ensembles suivants d\'eterminent une topologie sur $X$ ? Justifier. \begin{enumerate} \item $\emptyset$, $X$, $\{a\}$, $\{ b\}$, $\{a,c\}$, $\{a,b,c\}$, $\{a,b\}$; \item $\emptyset$, $X$, $\{a\}$, $\{ b\}$, $\{a,b\}$, $\{ b,d\}$; \item $\emptyset$, $X$, $\{a,c,d\}$, $\{b,c,d\}$. \end{enumerate} \finenonce{002418} \finexercice \exercice{2419, drutu, 2007/10/01} \enonce{002419}{} Soit $\R$ et soit $\mathcal{T}$ une collection de sous-ensembles de $\R$ contenant $\emptyset$, $\R$ et tous les complementaires d'ensembles finis. Est-ce une topologie sur $\R$ ? Est-ce une topologie s\'epar\'ee ? \finenonce{002419} \finexercice \exercice{2420, drutu, 2007/10/01} \enonce{002420}{} On appelle \textit{base} d'une topologie $\mathcal{T}$ un sous-ensemble $\mathcal{B}$ de $\mathcal{T}$ tel que tout ouvert $\mathcal{O} \in \mathcal{T}$ s'\'ecrit comme $\mathcal{O}=\bigcup_{i\in I} B_i$, o\`u $B_i \in \mathcal{B}$ pour tout $i\in I$. \begin{enumerate} \item Montrer que $\mathcal{B}$ est une base de $\mathcal{T}$ si et seulement si pour tout ouvert $\mathcal{O}$ et tout point $x\in \mathcal{O}$ il existe un $B\in \mathcal{B}$ tel que $x\in B\subset \mathcal{O}$. \item Soit $\mathcal{T}_n$ la topologie sur $\R^n$ induite par la m\'etrique euclidienne $$\mathrm{dist} (\bar{x}, \bar{y})=\sqrt{(x_1-y_1)^2+...+(x_n-y_n)^2}\, . $$ Montrer que l'ensemble $\mathcal{B}$ de boules ouvertes ayant leur centre dans $\Q^n$et leur rayon dans $\Q$ est une base de $\mathcal{T}_n$. \item Soit $\mathcal{B}'$ l'ensemble de parallelipip\`edes ouverts dans $\R^n$ dont les ar\^etes sont parall\`eles aux axes de coordonn\'ees. Est-ce que $\mathcal{B}'$ est une base de $\mathcal{T}_n$ ? \item Est-ce que $\{ ]-\infty ,a[\; ;\; a\in \R \}\cup \{ ]b, +\infty[\; ;\; b\in \R \}$ est une base pour $\mathcal{T}_1$ ? \item Pour tout $a\in \Q$ on note par $\delta_a$ la droite d'\'equation $y=ax$ dans $\R^2$, et on note par $Y$ la r\'eunion des droites $\delta_a$. Soit $\mathcal{T}$ la topologie sur $Y$ induite par la topologie sur $\R^2$ et soit $\mathcal{T}'$ la topologie de base $\mathcal{B}'$ compos\'ee par tous les segments ouverts $]M,N[\subset \delta_a$, $O\not\in ]M,N[$, et par toutes les reunions $\bigcup_{a\in \Q, O\in ]M_a,N_a[} ]M_a,N_a[$. Les deux topologies $\mathcal{T}$ et $\mathcal{T}'$ sont-elles \'equivalentes ? \end{enumerate} \finenonce{002420} \finexercice \exercice{2421, drutu, 2007/10/01} \enonce{002421}{} Soit $X$ un espace muni d'une m\'etrique $\mathrm{dist} : X\times X \to \R_+$. \begin{enumerate} \item Montrer que si $f:\R_+ \to R_+$ est une fonction croissante telle que $f(0)=0$ et $f(x+y)\leq f(x) +f(y)$ alors $\mathrm{dist}_f (x,y)=f(\mathrm{dist} (x,y))$ est une m\'etrique sur $X$. \item Montrer que $$ \mathrm{dist}'(x,y)=\frac{\mathrm{dist}(x,y)}{1+\mathrm{dist} (x,y)}\, ,\; \forall x,y, $$ est une m\'etrique sur $X$. \item Montrer que les m\'etriques $\mathrm{dist}$ et $\mathrm{dist}'$ sont topologiquement \'equivalentes. \end{enumerate} \finenonce{002421} \finexercice \exercice{2422, bodin, 2007/10/01} \enonce{002422}{} %Abou-Jaoudé, Chevalier p76 Soit $(E,d)$ un espace métrique. On dit que $d$ est \emph{ultramétrique} si elle vérifie: $$\forall (x,y,z)\in E^3 \qquad d(x,z) \le \sup \left( d(x,y), d(y,z)\right).$$ Cette inégalité entraine évidemment l'inégalité triangulaire. \begin{enumerate} \item Montrer que $E$ muni de la distance $d$ définie par $$d(x,y) = 1 \ \text{ si }\ x\neq y, \qquad d(x,x)=0$$ est un espace ultramétrique. \medskip On suppose maintenant que $(E,d)$ est ultramétrique. \item Montrer que si $d(x,y)\neq d(y,z)$, on a $ d(x,z) = \sup \left( d(x,y), d(y,z)\right)$. \item Montrer qu'une boule ouverte (resp. fermée) est une partie à la fois ouverte et fermée. \item Montrer que si deux boules ont un point commun l'une est contenue dans l'autre. Montrer de plus que si ces boules ont même rayon et sont toutes les deux des boules ouvertes (resp. fermées) elles sont confondues. \item Montrer que si deux boules ouvertes distinctes $B_1, B_2$ de rayon $r$ sont contenues dans une boule fermée de même rayon, alors leur distance est égale à $r$: $$d(B_1,B_2) := \inf_{(a,b)\in B_1\times B_2}d(a,b) = r.$$ \end{enumerate} \finenonce{002422} \finexercice \exercice{2423, bodin, 2007/10/01} \enonce{002423}{} %Abou-Jaoudé, Chevalier p75 Soit $p$ un nombre premier. Pour $n\in \Nn$ on définit $\nu(n)$ comme étant l'exposant de $p$ dans la décomposition de $n$ en facteurs premiers. Pour $x = \pm \frac ab$, ($a,b\in \Nn^*$), on définit $\nu(x) = \nu(a)-\nu(b)$. \begin{enumerate} \item Montrer que $\nu(x)$ est indépendant du choix de la représentation $\pm \frac ab$. \item Montrer que $\nu(xy) = \nu(x)+\nu(y)$, $x,y\in \Qq$. \item Montrer que $\nu(x+y) \ge \min (\nu(x),\nu(y))$ pour $x,y\in \Zz$, puis pour $x,y\in \Qq$. \item Montrer que sur $\Qq$, $d$ définie par : $$d(x,y) = p^{-\nu(x-y)} \ \text{ si } \ x\neq y, \qquad d(x,x)=0$$ est une distance ultramétrique. \end{enumerate} \finenonce{002423} \finexercice\exercice{2424, lescure, 2007/10/01} \enonce{002424}{} \begin{enumerate} \item Soit $E$ un espace m\'etrique et $A \subset E$ une de ses parties. On désigne par $\overline A$ l'adhérence de $A$ et par $\mathrm{Fr} (A)$ la frontière de $A$ dans $E.$ On a $\mathrm{Fr} (A) = \overline{A} \cap \overline{A^c}$. \begin{enumerate} \item Montrez que $x \in\mathrm{Fr} (A),$ si et seulement si il existe une suite $(x_n)$ d'éléments de $A$ et une suite $(y_n)$ d'éléments du complémentaire $E \setminus A$ de $A$ dans $E,$ qui convergent l'une et l'autre vers $x.$ \item Soit $E=]-\infty,-1]\cup [0,1[ \cup [2,+\infty[$ muni de la topologie induite par $\Rr.$ Avec $A=[0,\frac 12],$ qu'elle est la frontière de $A$ dans $E.$ Considérée comme sous-partie de $\Rr,$ qu'elle serait la frontière de $A$ dans $\Rr$? \end{enumerate} \item Soient $E$ et $F$ deux espaces métriques respectivement au moyen des distances $d$ et $d'$. \begin{enumerate} \item Précisez ce que l'on entend par la distance $\sup(d,d')$ sur $E \times F.$ Dîtes rapidement pourquoi cette distance définit sur $E \times F$ le produit des topologies métriques sur $E$ et $F.$ \item Soient $A\subset E$ et $B\subset F$. Montrez que l'intérieur $A\times B \setminus \mathrm{Fr} (A\times B)$ de $A\times B$ dans $E \times F$ est le produit cartésien de l'intérieur $A \setminus \mathrm{Fr} (A)$ de $A$ dans $E$ avec l'intérieur $ B \setminus \mathrm{Fr} ( B)$ de $B$ dans $F.$ \end{enumerate} \item $E$ et $F$ sont toujours comme dans la deuxième question \c{c}i dessus. \begin{enumerate} \item Si $( \xi_n, \xi'_n)$ est une suite de points dans le complémentaire $E\times F \setminus A\times B$ de $A\times B$ dans $E \times F,$ montrez qu'au moins une des deux alternatives suivantes (i) ou (ii) est vérifiée: (i) il existe une suite extraite $\xi_{n_k}$ dont tous les termes sont dans $E \setminus A.$ (ii) il existe une suite extraite $\xi'_{n_k}$ dont tous les termes sont dans $F \setminus B.$ \item Déduire, de tout ce qui précède, que la frontière $\mathrm{Fr} (A \times B)$ de $A \times B$ dans $E \times F$ est donnée par la formule: $$\mathrm{Fr} (A \times B)=\bigl( \mathrm{Fr} (A) \times \overline B \bigr) \cup \bigl( \overline A \times\mathrm{Fr} ( B) \bigr)$$ \end{enumerate} \item Supposons $E$ et $F$ comme \c{c}i dessus mais avec l'hypothèse supplémentaire d'être connexes, et avec des inclusions strictes $A \subset E$ et $B \subset F.$ \begin{enumerate} \item Soient, dans $E\times F,$ les points $(x,x')\notin A \times B$ et $(y,y') \notin A \times B.$ Supposons que $x \in A$ et $y \notin A;$ Montrez qu'il existe une partie connexe entièrement contenue dans le complémentaire de $A \times B$ qui contient $(x,x')$ et $(y,y')$. \item En déduire, sous les présentes hypothèses de cette quatrième question, que le complémen\-taire de $A \times B$ dans $E \times F$ est connexe. \end{enumerate} \end{enumerate} \finenonce{002424} \finexercice \exercice{6034, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006034}{} \begin{enumerate} \item Soit $X=\{0,1\}$ muni de la famille d'ouverts $\{\emptyset, \{0\}, X\}$. Cette topologie est-elle séparée? \item Soit $X$ un ensemble non vide. Décrire la topologie dont les singletons forment une base d'ouverts. \item Décrire la topologie sur ${\Rr}$ dont la famille des intervalles fermés forme une base d'ouverts; même question avec les intervalles ouverts symétriques. \item Soit $X$ un ensemble infini. Montrer que la famille d'ensembles constituée de l'ensemble vide et des parties de $X$ de complémentaire fini définit une topologie sur $X$. \end{enumerate} \finenonce{006034} \finexercice\exercice{6035, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006035}{} Soit $X$ un espace topologique, et $f$ une application quelconque de $X$ dans un ensemble $Y$. On dit qu'une partie $A$ de $Y$ est ouverte, si $f^{-1}(A)$ est un ouvert de $X$. Vérifier qu'on a défini ainsi une topologie sur $Y$. \finenonce{006035} \finexercice \exercice{6036, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006036}{} Montrer qu'on peut construire sur ${\Rr}\cup \{\infty\}$ une topologie séparée en prenant comme ouverts, les ouverts de ${\Rr}$ et les ensembles de la forme $\{x/\vert x\vert>a\}\cup \{\infty\}$ où $a$ est réel. Comment construire une topologie séparée sur ${\Rr}\cup \{+\infty\}\cup \{-\infty\}$? \finenonce{006036} \finexercice \exercice{6037, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006037}{} \label{exn7} Soit $X$ un ensemble non vide et $\Sigma$ une famille de parties de $X$ stable par intersection finie et contenant $X$. Montrer que la plus petite topologie $\cal T$ conte\-nant $\Sigma$ (la topologie engendrée par $\Sigma$) est constituée des unions d'ensembles de $\Sigma$, ou, de fa\c con équivalente, $$A\in{\cal T}\Longleftrightarrow \forall x\in A\ \exists S\in \Sigma\ ;\ x\in S\subset A.$$ Montrer que l'on peut affaiblir l'hypothèse de stabilité par intersection finie en : $(*)\qquad\forall S_1, S_2\in\Sigma,\ \forall x\in S_1\cap S_2,\ \exists S_3\in\Sigma\ ;\ x\in S_3\subset S_1\cap S_2.$ \finenonce{006037} \finexercice \exercice{6038, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006038}{} Soit $C$ l'ensemble des fonctions continues réelles sur $[0,1]$. Pour toute $f\in C$ et $\varepsilon>0$ on définit $$M(f,\varepsilon)=\{g/\int_0^1\vert f-g\vert<\varepsilon\}.$$ Montrer que la famille {\cal M} des ensembles $M(f,\varepsilon)$ lorsque $f\in C$ et $\varepsilon>0$ est une base de topologie. Même question avec la famille $$U(f,\varepsilon)=\{g/\sup_x\vert f(x)-g(x)\vert<\varepsilon\}.$$ \finenonce{006038} \finexercice \exercice{6039, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006039}{} $U$ dans ${\Nn}$ est dit ouvert s'il est stable par divisibilité, c.a.d. tout diviseur de $n\in U$ est encore dans $U$. Montrer qu'on a défini ainsi une topologie sur ${\Nn}$ qui n'est pas la topologie discrète. \finenonce{006039} \finexercice \exercice{6040, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006040}{} On considère dans ${\Nn}^*$, la famille de progressions arithmétiques $$P_{a,b}=\{a+bn/n\in {\Nn}^*\},$$ où $a$ et $b$ sont deux entiers premiers entre eux. \begin{enumerate} \item Montrer que l'intersection de deux telles progressions est soit vide, soit une progression arithmétique de même nature, plus précisément, $$P_{a,b}\cap P_{a',b'}=P_{\alpha,\beta}$$ où $\alpha$ est le minimum de l'ensemble $P_{a,b}\cap P_{a',b'}$, et $\beta=\mathrm{ppcm}(b,b')$. \item En déduire que cette famille d'ensembles (en y adjoignant $\emptyset$) forme une base de topologie sur ${\Nn}^*$ dont on décrira les ouverts. \item Montrer que cette topologie est séparée. \end{enumerate} \finenonce{006040} \finexercice \exercice{6041, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006041}{} \begin{enumerate} \item Montrer que si $B$ est un ouvert de l'espace topologique $X$ et $A\cap B=\emptyset$, alors $\overline A\cap B=\emptyset$, mais que $\overline A\cap \overline B$ n'est pas nécessairement vide. \item Montrer à l'aide d'exemples que l'égalité $\overline{\cup_i A_i}=\cup_i\overline{A_i}$ n'a pas lieu en général pour une infinité d'indices. \end{enumerate} \finenonce{006041} \finexercice \exercice{6042, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006042}{} Déterminer l'adhérence et l'intérieur des ensembles suivants : ${\Qq}$;\ \ ${\Rr}\backslash{\Qq}$;\ \ $\{(x,y)\in {\Rr^2}\ /\ 00$, l'ensemble des $x$ vérifiant $\vert f(x)\vert>a$ est fini. Montrer que $\{x/f(x)=0\}$ est dense dans ${\Rr}$. Le vérifier sur l'exemple suivant : on énumère les rationnels $r_1, r_2, r_3,\cdots, r_n,\cdots$ et on pose $f(r_n)={1\over n}$ si $n\geq 1$, $f(x)=0$ ailleurs. \finenonce{006052} \finexercice \exercice{6053, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006053}{} Montrer que $\{\sqrt n - E(\sqrt n), n\geq 1\}$ est dense dans $[0,1]$, où $E(x)$ désigne la partie entière de $x$. \finenonce{006053} \finexercice \exercice{6054, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006054}{} Soit $E$ un ensemble non vide, et $X=E^{\Nn}$ l'ensemble des suites $x=(x_n)$ d'éléments de $E$. Pour $x,y\in X$, on pose $p(x,y)=\min\{n/x_n\neq y_n\}$ si $x\neq y$, et $\infty$ si $x=y$. \begin{enumerate} \item Montrer que $d(x,y)={1\over p(x,y)}$ (avec ${1\over\infty}=0$) est une distance sur $X$ qui vérifie l'inégalité ultramétrique $$d(x,z)\leq\max(d(x,y),d(y,z)).$$ \item Quelles sont les boules ouvertes et les boules fermées pour cette métrique ? \end{enumerate} \finenonce{006054} \finexercice\exercice{6060, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006060}{Espace quasi-séparé} Soit $(X,\cal T)$ un espace topologique. \begin{enumerate} \item Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes : \quad (i) $\forall x,y\in X,\ x\not=y,\ \exists V\ \hbox{voisinage de}\ x\ ; \ y\notin V$. \quad (ii) $\forall x\in X,\ \{x\}$ est fermé. \quad (iii) $\forall x\in X,\ \cap\ \{V\ ; \ V\ \hbox{voisinage de}\ x\}=\{x\}$. \item Soit $(X,\cal T)$ ainsi et $A\subset X$ tel que $\overline A\not=A$. Montrer que si $x\in\overline A\backslash A$, tout voisinage de $x$ coupe $A$ en une infinité de points. \end{enumerate} \finenonce{006060} \finexercice \exercice{6061, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006061}{Exemple de topologie non séparée} Dans $\Cc$, on note $[z_0\rightarrow[$ la demi-droite $\{\rho e^{i\theta_0}\ ;\ \rho\geq\rho_0\}$, si $z_0=\rho_0 e^{i\theta_0}$. On déclare ouvert toute réunion (éventuellement vide) de telles demi-droites. \begin{enumerate} \item Montrer qu'on a ainsi défini sur $\Cc$ une topologie $\cal T$ non séparée. \item Montrer que l'adhérence du point $\{z_0\}$ pour cette topologie est $[0,z_0]$. \item En déduire que les fermés de $\cal T$ sont les ensembles étoilés par rapport à $0$ ($A$ est dit ``étoilé par rapport à $0$" si, pour tout $z\in A$, le segment $[0,z]$ est encore dans $A$). \end{enumerate} \finenonce{006061} \finexercice \exercice{6062, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006062}{} Soit $(X,\cal T)$ un espace topologique séparé. Montrer que la diagonale $\Delta$ de $X\times X$ est fermée dans $X\times X$. \finenonce{006062} \finexercice \exercice{6063, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006063}{} \begin{enumerate} \item Quels sont les ouverts de $[1,2]\cup\{3\}$ induits par ceux de ${\Rr}$? \item Quelle est la topologie induite sur ${\Zz}$ par celle de ${\Rr}$? \item Quels sont les ouverts du cercle $\Gamma=\{z/\vert z\vert=1\}$? du demi-plan $\{z/\Im z >0\}$? du demi-plan $\{z/\Im z \geq0\}$ dans ${\Cc}$? \end{enumerate} \finenonce{006063} \finexercice \exercice{6064, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006064}{} Soit $Y$ un sous-ensemble de l'espace topologique $X$, muni de la topologie induite. Décrire les ouverts (fermés) induits de $Y$ lorsque $Y$ est ouvert (fermé). Soit $A\subset Y$. Montrer que l'adhérence de $A$ dans $Y$, $\overline A^Y=Y\cap \overline A$; a-t-on pour l'intérieur de $A$ dans $Y$, $\stackrel\circ {A^ Y} = Y\cap \stackrel\circ A$? \finenonce{006064} \finexercice \exercice{6065, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006065}{} On dit qu'un espace topologique $X$ a la propriété (P) si la famille de parties de $X$ qui sont à la fois ouvertes et fermées est une base pour les ouverts de $X$. \begin{enumerate} \item Montrer qu'un espace topologique discret a cette propriété. \item Montrer que la topologie induite sur ${\Qq}$ par la topologie usuelle de ${\Rr}$ n'est pas la topologie discrète, mais qu'elle possède aussi la propriété (P). \item Autre exemple ? \end{enumerate} \finenonce{006065} \finexercice \exercice{6082, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006082}{} Si $A$ est une partie bornée d'un espace métrique $(E,d)$, on pose $\hbox{diam} A=\sup_{a,b\in A}d(a,b)$. \begin{enumerate} \item Montrer que $\hbox{diam} A=\hbox{diam} \overline A$. \item Trouver le diamètre de $\{f\in C([0,1])\ ;\ 0\leq f\leq 1\}$; de $\{f\in C([0,1])\ ;\ 0\leq f\leq 1,\ f(0)=0\}$, $C$ étant muni de la métrique $d_1$. \end{enumerate} \finenonce{006082} \finexercice \exercice{6090, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006090}{} Peut-on construire dans ${\Rr}$ un ensemble infini, fermé, constitué uniquement d'irrationnels? \finenonce{006090} \finexercice \exercice{6091, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006091}{} Montrer que sur ${\Rr}^n$, les distances $d$ euclidienne, $d_{\infty}$ et $d_1$ définissent la même topologie. \finenonce{006091} \finexercice \exercice{6092, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006092}{} \begin{enumerate} \item Dans ${\Rr}^2$, on considère $U={\Rr}^2\backslash\{(0,y)\in {\Rr}^2 / y\geq 0\}$. Vérifier qu'il est ouvert et qu'il peut s'écrire comme une union dénombrable de fermés (un tel ensemble est dit de type $F_\sigma$). \item Dans ${\Rr}^n$, on considère le sous-ensemble des points à coordonnées entières, et le sous-ensemble des points à coordonnées rationnelles. Vérifier que le premier est fermé mais que le second n'est ni ouvert ni fermé. \end{enumerate} \finenonce{006092} \finexercice \exercice{6093, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006093}{} Soit $M_n({\Rr})$ l'ensemble des matrices carrées d'ordre $n$, muni de la distance $d(A,B)=\max_{i,j}\vert a_{i,j}-b_{i,j}\vert$ où $A=(a_{i,j})$ et $B=(b_{i,j})$. \begin{enumerate} \item Montrer que l'ensemble des matrices inversibles est un ouvert dense de $M_n({\Rr})$. \item Dans le cas $n=2$, décider si les ensembles suivants sont ouverts, fermés, ni ouverts ni fermés : ${\cal A}$ = matrices ayant deux valeurs propres distinctes et $>0$. ${\cal B}$ = matrices ayant deux valeurs propres $>0$. \end{enumerate} \finenonce{006093} \finexercice \exercice{6094, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006094}{} On note $X$ l'espace des suites réelles $x=(x(n))$ et on le munit de la topologie dont les ouverts élémentaires sont $$V(x;n_1,n_2,\cdots n_k;\varepsilon)=\{y\in X /\vert x(n_i)-y(n_i)\vert<\varepsilon,\ i=1\cdots k\}.$$ Vérifier qu'on a bien défini une base de topologie. Comparer la topologie qu'elle engendre sur $l^{\infty}$ et $c_0$ avec la topologie métrique de l'exercice précédent. \finenonce{006094} \finexercice \exercice{6095, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006095}{} \label{gijsexosep} Soit $X$ un espace topologique. On considère les propriétés suivantes : \begin{itemize} \item[(i)] $X$ contient un dénombrable dense. \item[(ii)] la topologie sur $X$ possède une base dénombrable d'ouverts. \end{itemize} Montrer que (ii) implique (i) et que la réciproque a lieu si $X$ est métrisable. Un espace vérifiant (i) est dit séparable. \finenonce{006095} \finexercice \exercice{6096, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006096}{} Soit $X$ un espace métrique séparable (cf exercice \ref{gijsexosep}), et $A$ une partie quelconque de $X$. Montrer que $A$ est encore séparable. \finenonce{006096} \finexercice \exercice{6097, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006097}{} On considère dans $\Rr$ les trois topologies ${\cal T}_1, \ {\cal T}_2, \ {\cal T}_3$, engendrées respectivement par les intervalles de la forme $]a,b[, \ [a,b[, \ [a,b]$, $a$ et $b$ décrivant $\Rr$. Comparer les topologies, et décrire les fonctions continues de $({\Rr}, {\cal T}_1)$ dans $({\Rr},{\cal T}_2)$; de $({\Rr}, {\cal T}_1)$ dans $({\Rr},{\cal T}_3)$. \finenonce{006097} \finexercice \exercice{6098, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006098}{} Soit $\cal T$ et $\cal T'$ deux topologies sur $X$. Montrer que $\cal T'$ est plus fine que $\cal T$ ssi $(X,{\cal T'})\buildrel \hbox{id}\over{\to} (X,\cal T)$ est continue. Montrer qu'alors $\overline A^{\cal T'}\subset \overline A^{\cal T}$; quelle inclusion a-t-on entre $\stackrel\circ{ A^{\cal T'}}$ et $\stackrel\circ{A^{\cal T}}$ ? \finenonce{006098} \finexercice \exercice{6099, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006099}{} Comparer sur $X=\{0,1\}^{\Nn^*}$, l'espace des suites de $0-1$, les topologies définies par les distances \quad $d(x,y)=\displaystyle{1\over \min\{n/x_n\neq y_n\}}$ si $x\neq y$,\quad $0$ sinon, et \quad $\delta(x,y)=\sup_n|x(n)-y(n)|$. \finenonce{006099} \finexercice \exercice{6100, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006100}{} On se donne une application $f:\Rr\to\Rr^n$, et on note $d$ la distance euclidienne sur $\Rr^n$. A quelles conditions sur $f$, $\delta(x,y)=d(f(x),f(y))$ définit-elle une distance sur $\Rr$ équivalente topologiquement à la distance usuelle (ie définissant la même topologie.)? \finenonce{006100} \finexercice \exercice{6101, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006101}{} Soit $E$ un ensemble non vide, et $X=E^{\Nn}$ l'ensemble des suites $x=(x_n)$ d'éléments de $E$. Pour $x,y\in X$, on pose $p(x,y)=\min\{n/x_n\neq y_n\}$ si $x\neq y$, et $\infty$ si $x=y$. Montrer que $d(x,y)={1\over p(x,y)}$ (avec ${1\over\infty}=0$) est une distance sur $X$ qui vérifie l'inégalité ultramétrique $$d(x,z)\leq\max(d(x,y),d(y,z)).$$ \finenonce{006101} \finexercice \exercice{6102, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006102}{} On dit qu'une distance est \emph{ultramétrique} si elle vérifie l'inégalité triangulaire renforcée : $$d(x,z)\leq\max(d(x,y),d(y,z)).$$ Etablir les assertions suivantes : \begin{enumerate} \item Si $d(x,y)\neq d(y,z)$, alors $d(x,z)=\max(d(x,y),d(y,z)).$ En déduire que tout triangle dans $E$ est isocèle. \item Toute boule ouverte $B(x,r)$ est un ensemble à la fois ouvert et fermé, et $$B(x,r)=B(y,r)\ \ \forall y\in B(x,r).$$ \item Toute boule fermée $B'(x,r)$ est un ensemble à la fois ouvert et fermé, et $$B'(x,r)=B'(y,r)\ \ \forall y\in B'(x,r).$$ \item Si deux boules ont un point commun, elles sont embo\^\i tées. \end{enumerate} \finenonce{006102} \finexercice \exercice{6103, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006103}{} Soit $(X,d)$ un espace métrique, et soit $\varphi$ une fonction réelle définie pour $x\geq0$, vérifiant (i) $\varphi(0)=0$, (ii) $\varphi$ croissante, (iii) $\varphi(u)>0$ si $u>0$, (iv) $\varphi(u+v)\leq\varphi(u)+\varphi(v)$. \begin{enumerate} \item Montrer que $\delta(x,y)=\varphi(d(x,y))$ définit une distance sur $X$. \item Vérifier que les fonctions $\varphi_1(u)=\inf(u,1)$, $\varphi_2(u)={u\over{1+u}}$, $\varphi_3(u)=\log(1+u)$, et $\varphi_4(u)=u^\alpha$ où $0<\alpha<1$ remplissent les conditions (i) (ii) et (iii); plus généralement, montrer que toute fonction $f$ strictement croissante, concave, telle que $f(0)=0$ remplit ces conditions. \item On suppose de plus que la fonction $\varphi$ est continue en $0$. Montrer que les métriques $d$ et $\delta$ sont topologiquement équivalentes. \item Montrer que $\delta_1=\varphi_1(d)$ et $\delta_2=\varphi_2(d)$ sont lipschitz-équivalentes. \end{enumerate} \finenonce{006103} \finexercice \exercice{6104, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006104}{} Soit $(X,d)$ un espace métrique avec métrique bornée. On note $\cal F$ l'ensemble des fermés non vides de $X$, et on définit pour $A$ et $B$ dans $\cal F$, $$\delta (A,B)=\Vert d_A-d_B\Vert_\infty$$ où $d_A$ est la fonction bornée $x\to d(x,A)$. Montrer qu'on a défini ainsi une métrique sur $\cal F$, et que l'application $a\to\{a\}$ est une isométrie de $X$ dans $\cal F$. \finenonce{006104} \finexercice \exercice{6105, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006105}{} Trouver les valeurs d'adhérence de la suite : \quad $0,1,0,{1\over2},1,0,{1\over4},{1\over2},{3\over4},1,\cdots,0,{1\over2^k}, {2\over2^k},\cdots,{2^k-1\over2^k},1,0,...$ \finenonce{006105} \finexercice \exercice{6106, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006106}{} \begin{enumerate} \item Soit $(u_n)$ une suite réelle telle que $e^{iu_n}$ et $e^{i\sqrt2 u_n}$ convergent. Montrer que $(u_n)$ a au plus une valeur d'adhérence. \item Soit $(u_n)$ une suite réelle telle que $e^{itu_n}$ converge pour $t\in T$ où $T$ est non dénombrable. Même conclusion. \end{enumerate} \finenonce{006106} \finexercice \exercice{6107, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006107}{} Soit $(u_n)$ une série positive divergente telle que $u_n$ décroit vers $0$ et on pose $A=\{\pm u_1\pm u_2\pm\cdots\pm u_n,\ n\geq1\}$. Montrer que $\overline A=\R$. \finenonce{006107} \finexercice \exercice{6108, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006108}{} Soit dans un espace métrique $(X,d)$ une suite $(x_n)$ telle que les trois sous-suites $(x_{2n})$, $(x_{2n+1})$, et $(x_{3n})$ convergent. Montrer que la suite elle-même converge. \finenonce{006108} \finexercice \exercice{6109, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006109}{} Soit $(a_{m,n})_{(m,n)\in{\Nn}^2}$ une suite d'un espace métrique $(X,d)$. On suppose que $\lim_{n\to\infty}a_{m,n}=a_m$, et que $\lim_{m\to\infty}a_m=a$. Montrer qu'il existe une sous-suite de la suite initiale $(a_{p,n_p})$ telle que $\lim_{p\to\infty}a_{p,n_p}=a$. \finenonce{006109} \finexercice \exercice{6110, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006110}{} Soit $(F_n)$ une suite décroissante de fermés dans un espace topologique $X$, et soit $(x_n)$ une suite convergente dans $X$ telle que pour chaque $n$, $x_n\in F_n$. Vérifier que $\lim_{x\to\infty} x_n \in \bigcap F_n$. Que peut-on dire si la suite de fermés n'est plus décroissante? \finenonce{006110} \finexercice \exercice{6111, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006111}{} \label{gijsexopol} On va montrer que les polyn\^omes sont denses dans les fonctions continues sur $[-1,1]$. Pour commencer, on approche la fonction $\vert t\vert$. \begin{enumerate} \item Montrer que la suite de polyn\^omes définis par récurrence : $$p_{n+1}(t) = p_n(t) + {1\over 2} (t^2-p_n^2(t)),\ \ p_0(t)=0,$$ converge vers $\vert t\vert$. \item En déduire que toute fonction affine par morceaux sur $[-1,1]$ est limite d'une suite de polyn\^omes. \item Montrer que les polyn\^omes sont denses dans les fonctions continues sur $[-1,1]$. \end{enumerate} \finenonce{006111} \finexercice \exercice{6112, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006112}{} \begin{enumerate} \item Déterminer l'ensemble des valeurs d'adhérence de la suite de réels $x_n=(1+{1\over n})\sin(n{\pi\over6})$; de la suite $({1\over m}+{1\over n})_{m\geq1,n\geq1}$. \item Montrer que l'ensemble ${\Zz}\alpha+{\Zz}$ est dense dans ${\Rr}$ si $\alpha$ est irrationnel. En déduire l'ensemble des valeurs d'adhérence de la suite $x_n=\cos(2\pi n\alpha)$. (\emph{Indication :} on pourra montrer que tout sous-groupe fermé de $\Rr$ est soit $\Rr$, soit discret, de la forme $a\Zz$.) \end{enumerate} \finenonce{006112} \finexercice \exercice{6113, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006113}{} On sait que l'ensemble des valeurs d'adhérence d'une suite réelle est un fermé de $\Rr$. Montrer que tout fermé de $\Rr$ est l'ensemble des valeurs d'adhérence d'une suite réelle : si $F$ est fini, trouver une suite qui prend une infinité de fois chaque valeur de $F$; si $F$ est infini, montrer que $F$ contient un dénombrable dense $D$ et trouver une suite qui prend une infinité de fois chaque valeur de $D$. \finenonce{006113} \finexercice \exercice{6114, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006114}{} Soit $(\epsilon_k)$ une suite à valeurs dans $\{-1,1\}$ et $S_n=\sum_{k=0}^n\epsilon_k$. Montrer que l'ensemble des valeurs d'adhérence de la suite $(S_n)$ est un intervalle de $\Zz$. \finenonce{006114} \finexercice \exercice{6115, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006115}{} On considère une suite $(x_n)$ de $[0,1]$ telle que $x_{n+1}-x_n$ tend vers $0$. \begin{enumerate} \item Montrer que l'ensemble $A$ de ses valeurs d'adhérence est un intervalle fermé de $[0,1]$. \item On suppose de plus que cette suite est une suite récurrente i.e. définie par $ x_{n+1}=f(x_n)$ où $f$ est continue de $[0,1]$ dans lui-même, et un point initial $x_0\in [0,1]$. Montrer alors que la suite converge (on commencera par remarquer que si $x\in A$, alors $x=f(x)$, et que si $x_m\in A$ pour un indice $m$, alors la suite converge.) \item Soit $x=(x_n)$ une suite de $l^{\infty}$; montrer que l'ensemble des valeurs d'adhé\-rence de la suite $y$ de terme général $y_n={{x_1+x_2+\cdots+x_n}\over n}$ est un intervalle. En déduire que l'application $f$ de $l^{\infty}$ dans lui-même qui associe $y$ à $x$, n'est pas bijective. \end{enumerate} \finenonce{006115} \finexercice \exercice{6136, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006136}{} On considère l'espace métrique $E=C([0,1])$ muni de $d_\infty$, et pour $f\in E$, on note $M(f)$ le maximum de $f$ sur $[0,1]$. Montrer que l'application $f\to M(f)$ est $1$-lipschitzienne. \finenonce{006136} \finexercice \exercice{6137, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006137}{} Soit $(f_n)$ une suite de polyn\^omes qui converge uniformément sur $[0,1]$ vers une fonction qui n'est pas un polyn\^ome. Montrer que la suite des degrés tend vers l'infini. \finenonce{006137} \finexercice \exercice{6138, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006138}{} On considère la suite de polyn\^omes sur $[-1,1]$ $$f_n(x)={{\int_0^x(1-t^2)^n\ dt}\over {\int_0^1(1-t^2)^n\ dt}}.$$ \begin{enumerate} \item Montrer que pour tout $\varepsilon$, cette suite converge uniformément vers $1$ sur l'intervalle $[\varepsilon,1]$, et vers $-1$ sur l'intervalle $[-1,-\varepsilon]$. \emph{Indication :} Comparer $\int_0^1(1-t^2)^n\ dt$ à $\int_0^1(1-t)^n\ dt$. \item En déduire que la suite $g_n(x)=\int_0^x f_n(t)\ dt$ converge uniformément vers $\vert x\vert$ sur $[-1,1]$. \item Montrer que dans l'exercice \ref{gijsexopol} la convergence est aussi uniforme sur $[-1,1]$, en établissant une relation de récurrence satisfaite par l'erreur $\epsilon_n(t)=\vert t\vert-p_n(t).$ \end{enumerate} \finenonce{006138} \finexercice \exercice{6139, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006139}{} Une fonction $f:[0,1]\to\Rr$ est dite réglée, si elle a en tout point une limite à droite et une limite à gauche (et bien s\^ur, une limite à droite en $0$, une limite à gauche en $1$.) Montrer qu'une limite uniforme de fonctions en escalier est une fonction réglée (la réciproque sera établie ultérieurement). \finenonce{006139} \finexercice \exercice{6140, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006140}{} Soit $E$ l'espace $C_b(\Rr,C)$ des fonctions continues bornées sur $\Rr$ muni de la métrique de la convergence uniforme $d$. \begin{enumerate} \item On rappelle qu'un espace topologique est séparable s'il contient un dénom\-brable dense. Montrer que dans un espace métrique séparable, toute collection d'ouverts deux à deux disjoints est au plus dénombrable. \item Soit $\lambda$ et $\mu$ deux réels distincts. Montrer que $d(e^{i\lambda x}, e^{i\mu x})\geq 2$. En déduire que $E$ n'est pas séparable. \end{enumerate} \finenonce{006140} \finexercice \exercice{6772, gijs, 2011/10/16} \enonce{006772}{Questions de cours} \begin{enumerate} \item Donner les définitions d'une topologie, d'un espace topologique Hausdorff, d'un espace topologique quasi compact, d'un espace topologique compact, d'un espace topologique connexe, et d'un espace topologique connexe par arcs. \item Donner un exemple d'un espace topologique connexe mais pas connexe par arcs (une démonstration n'est pas demandée !). \item Soit $A\subset \Rr^n$. Montrer que $A$ est quasi compact si et seulement si $A$ est fermé et borné (énoncer clairement les théorèmes utilisés!). \item Soit $X$ un espace topologique. Montrer que si $X$ ne contient qu'un seul élément, alors $X$ est compact. \item Soit $(X,d)$ un espace métrique. Donner la définition d'une suite de Cauchy dans $X$. Sous quelle condition dit-on qu'une suite $x_n$ converge vers $a\in X$ (noté $x_n \to a$)~? \item Soit $(X,d)$ un espace métrique et $x_n$ une suite dans $X$. Montrer que (1) si $x_n$ est une suite de Cauchy, alors $x_n$ est bornée, et (2) si $x_n \to a$, alors $x_n$ est une suite de Cauchy. \end{enumerate} \finenonce{006772} \finexercice\exercice{6774, gijs, 2011/10/16} \enonce{006774}{} Soient $X$ et $Y$ des espaces topologiques, et soit $Y^X = \{\,f:X \to Y \,\}$ l'espace de toutes les fonctions de $X$ dans $Y$. Pour $A\subset X$ et $B \subset Y$ on définit $V(A,B) \subset Y^X$ par $V(A,B) = \{\,f:X \to Y \mid f(A) \subset B\,\}$. La topologie compacte-ouverte sur $Y^X$ a une sous-base constituée des ensembles $V(A,B)$ où $A\subset X$ est compact et $B\subset Y$ est ouvert. Montrer que $Y^X$ avec la topologie compacte-ouverte est Hausdorff si et seulement si $Y$ est Hausdorff. (Indication : pour le ``seulement si'' penser à une fonction constante.) \finenonce{006774} \finexercice \exercice{6786, gijs, 2011/10/16} \enonce{006786}{} \begin{enumerate} \item Donner la définition d'un espace topologique $T_1$. \item Montrer qu'un espace topologique $X$ est $T_1$ si et seulement si~: $\forall x\in X\ :\ \{x\}$ est fermé. \item Soit $X$ un espace topologique contenant un nombre fini de points. Montrer que si $X$ est $T_1$, alors sa toplogie est la topologie discrète. \item Soit $X$ un espace topoogique $T_1$ ayant la propriété~: $\forall x\in X, \forall A\subset X\ : \text{ $A$ fermé et $x\notin A$ } \Longrightarrow \exists U,V\text{ ouverts } : x\in U,\ A\subset V,\ U\cap V = \emptyset$. Montrer que $X$ est $T_2$. \end{enumerate} \finenonce{006786} \finexercice\exercice{6787, gijs, 2011/10/16} \enonce{006787}{} Soit $K \subset \Rr^n$ un fermé tel que $K \subset B(x_0,R)$ (où $B(x_0,R)$ est la boule ouverte de centre $x_0$ et rayon $R$). Montrer qu'il existe un $R' < R$ tel que $K\subset B(x_0,R')$. (indication~: regarder $\sup d(x,x_0)$\,) \finenonce{006787} \finexercice \exercice{6798, gijs, 2011/10/16} \enonce{006798}{} Soit $f:\Rr^2 \to \Rr$ une fonction continue, posons $M = \Rr^2 \setminus \{\, (x,y) \mid f(x,y) = 0 \,\}$ et $V= \{\, g:M \to \Rr \mid g \text{ dérivable, } \forall x\in M\,:\, g'(x) = 0 \,\}$. \begin{enumerate} \item Montrer que $M$ est un ouvert de $\Rr^2$ et que $V$ est un espace vectoriel. \item Calculer la dimension de l'espace $V$ dans les cas suivants~: \begin{itemize} \item $f(x,y) = x^2 + y^2 - 1$, \item $f(x,y) = \sin(x)$, \item $f(x,y) = y^2 - x(x-1)(x-t)$. \end{itemize} Dans le dernier cas on vous demande de calculer la dimension de $V$ en fonction de $t\in [0,1]$ (indication~: esquisser l'ensemble $f(x,y)=0$ et distinguer les cas $t=0$, $t=1$, $00$ tel que pour tout $x\in X$, on ait l'implication: $$d(x,K)0$, il existe $k \geq 1$ tel que $d(a,a_k)<\epsilon$ et $d(b,b_k)< \epsilon$ (Consid\'erer une valeur d'adh\'erence de la suite $z_n=(a_n,b_n)$). \item En d\'eduire que $f(E)$ est dense dans $E$ et que $d(f(a),f(b)) =d(a,b)$ (Consid\'erer la suite $u_n =d(a_n,b_n)$). \end{enumerate} \finenonce{002381} \finexercice \exercice{2382, mayer, 2003/10/01} \enonce{002382}{} On se donne une m\'etrique $d$ sur $X=[0,1]$ telle que l'identit\'e $ i: (X, |.|) \to (X,d)$ soit continue (i.e. la topologie d\'efinie par $d$ est moins fine que la topologie usuelle de $X$). \begin{enumerate} \item Montrer que tout sous-ensemble de $X$ compact pour la topologie usuelle est aussi compact pour la topologie d\'efinie par $d$; puis montrer cette propri\'et\'e pour les ferm\'es. \item En d\'eduire que la topologie d\'efinie par $d$ est la topologie usuelle. \end{enumerate} \finenonce{002382} \finexercice \exercice{6164, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006164}{} \begin{enumerate} \item Soit $X$ un espace topologique séparé. Montrer qu'il est compact et discret si et seulement si il est fini. \item Montrer que dans un espace topologique séparé, l'ensemble constitué d'une suite convergente et de sa limite est compact. \end{enumerate} \finenonce{006164} \finexercice \exercice{6165, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006165}{} Soit $X$ un espace topologique compact et $f_1,f_2,\ldots,f_n$, $n$ fonctions continues réelles qui séparent les points de $X$. Montrer que $X$ est homéomorphe à une partie de $\Rr^n$. \finenonce{006165} \finexercice \exercice{6166, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006166}{} Soit $X, Y$ deux espaces topologiques séparés et $(K_n)$ une suite décroissante de com\-pacts non vides de $X$. Soit $f:X\to Y$ une application continue. Montrer que $f(\cap_n K_n)=\cap_n f(K_n)$. \finenonce{006166} \finexercice \exercice{6167, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006167}{} \label{exn11} Soit $X$ un espace topologique séparé et $A$ et $B$ deux compacts disjoints dans $X$. Montrer qu'ils possèdent des voisinages ouverts disjoints. (Commencer par le cas où $B$ est réduit à un point). \finenonce{006167} \finexercice \exercice{6168, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006168}{} Soit $(f_n)$ une suite croissante de fonctions réelles définies sur un espace topolo\-gique compact $X$, convergeant simplement vers une fonction $f$; on suppose que les fonctions $f_n$ et $f$ sont continues. Montrer que la convergence est uniforme sur $X$. Application : montrer que la suite de fonctions $f_n$ définies sur $[0,1]$ par $f_n(x)=\sum_1^{n-1} x^k(1-x)^{n-k}$ converge vers $0$ uniformément sur $[0,1]$. \finenonce{006168} \finexercice \exercice{6169, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006169}{} Soit $X$ un espace topologique compact et $C(X)$ l'espace des fonctions réelles conti\-nues sur $X$ avec la norme uniforme. Soit $J$ un idéal propre de $C(X)$; on va montrer par l'absurde que toutes les fonctions de $J$ s'annulent en un même point de $X$. \begin{enumerate} \item Sinon, montrer qu'on peut trouver $n$ points de $X$, $x_1,\cdots,x_n$, $V_1,\cdots,V_n$ où $V_i$ voisinage de $x_i$ et $n$ fonctions de $J$, $f_1,\cdots,f_n$ tels que $$X=\cup_i\ V_i, \ \ f_i{}_{|V_i}\not=0.$$ \item Construire alors une fonction $g$ dans $J$ ne s'annulant jamais et en déduire que ${\bf 1}\in J$, d'où la contradiction. \end{enumerate} \finenonce{006169} \finexercice \exercice{6170, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006170}{} Soit $X$ un espace topologique et $f:X\times[0,1]\to\Rr$ continue. Montrer que l'application $g:x\in X\to\int_0^1f(x,y)\, dy$ est continue. \finenonce{006170} \finexercice \exercice{6171, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006171}{} Soit $X=[a,b]$ et on se donne une métrique $d$ sur $X$ telle que la topologie définie par $d$ est moins fine sur $X$ que la topologie usuelle. Montrer que tout sous-ensemble de $X$ compact pour la topologie usuelle est aussi compact pour la topologie définie par $d$; puis montrer cette propriété pour les fermés. En déduire que la topologie définie par $d$ est la topologie usuelle. \finenonce{006171} \finexercice \exercice{6172, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006172}{} Soit $X$ un espace topologique séparé et $(K_n)$ une suite décroissante de com\-pacts non vides de $X$. Montrer que $K=\cap K_n$ est non vide et que si $\Omega$ est un ouvert contenant $K$, il contient tous les $K_n$ à partir d'un certain rang. \finenonce{006172} \finexercice \exercice{6173, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006173}{} Soit $f$ et $g$ deux fonctions réelles continues sur un espace topologique compact $X$, telles que $f\geq0$, et $f(x)>0$ si $g(x)\leq0$. Montrer qu'il existe une constante $A>0$ telle que $$Af(x)+g(x)>0,\; \forall x\in X.$$ (\emph{Indication :} raisonner par l'absurde, et considérer les ensembles $A_n=\{x\in X /nf(x)+g(x)\leq 0\}$). \finenonce{006173} \finexercice \exercice{6174, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006174}{} Soit $X$ un espace topologique compact et $f_1,f_2,\ldots,f_n$, $n$ fonctions continues réelles qui séparent les points de $X$. Montrer que $X$ est homéomorphe à une partie de $\Rr^n$. \finenonce{006174} \finexercice \exercice{6175, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006175}{} Montrer que toute fonction réglée sur $[0,1]$ s'approche uniformément par des fonctions en escalier. \finenonce{006175} \finexercice \exercice{6176, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006176}{} Soit $(f_n)$ une suite croissante de fonctions réelles définies sur un espace topolo\-gique compact $X$, convergeant simplement vers une fonction $f$; on suppose que les fonctions $f_n$ et $f$ sont continues. Montrer que la convergence est uniforme sur $X$. \finenonce{006176} \finexercice \exercice{6177, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006177}{} Soit $X$ un espace topologique compact et $C(X)$ l'espace des fonctions conti\-nues sur $X$ avec la norme uniforme. \begin{enumerate} \item Soit $J$ un idéal propre de $C(X)$ ; montrer que toutes les fonctions de $J$ s'annulent en un même point de $X$. \emph{Indication :} raisonner par l'absurde, utiliser le fait qu'une fonction continue $\neq0$ en $x$, est $\neq0$ sur un voisinage de $x$ et recouvrir $X$ avec de tels voisinages. \medskip Pour $f\in J$, on note $Z_f=f^{-1}(\{0\})$, l'ensemble des zéros de $f$. \item Soit $J$ un idéal de $C(X)$ et $Z=\cap_{f\in J}Z_f$; $Z$ est fermé. \begin{enumerate} \item Soit $K$ un fermé de $X$ disjoint de $Z$. Par un raisonnement analogue à celui du 1., construire $f\in J$, $f\geq 0$ et ne s'annulant pas sur $K$. Etudier la limite $F$ de ${nf\over{1+nf}}$ dans $C(X)$. \item Montrer que si $g\in C(X)$ s'annule sur un ouvert contenant $Z$, alors $g\in J$ et $Z\neq\emptyset$. \item Soit $g\in C(X)$ nulle sur $Z$; par un bon choix de $K$, montrer que $g\in \overline J$. \end{enumerate} En déduire la description des idéaux fermés de $C(X)$. \end{enumerate} \finenonce{006177} \finexercice \exercice{6178, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006178}{} Montrer que les sous-groupes compacts du groupe multiplicatif $\Cc^*$ sont con\-tenus dans $\mathbb{U}$ le sous-groupe des nombres complexes de module $1$. \finenonce{006178} \finexercice \exercice{6179, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006179}{} On rappelle la construction de l'ensemble triadique de Cantor : on part du segment $[0,1]$ dont on supprime l'intervalle médian $]{1\over 3}, {2\over 3}[$; à la deuxième étape, on supprime les intervalles $]{1\over 9}, {2\over 9}[$ et $]{7\over 9}, {8\over 9}[$ etc. On note $K_n$ la réunion des intervalles restants à la $n$-ième étape, et $K=\bigcap K_n$. Montrer que $K$ est un compact d'intérieur vide, sans point isolé. \finenonce{006179} \finexercice \exercice{6180, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006180}{} On considère dans $M_n(\Rr)$ le sous-ensemble des matrices de déterminant égal à $1$. Est-il compact ? On note $O(n)$ le sous-ensemble des matrices orthogonales ($^tA.A=I$); montrer que $O(n)$ est compact. \finenonce{006180} \finexercice \exercice{6181, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006181}{} Montrer que dans un evn, la boule unité fermée est compacte si et seulement si la sphère unité est compacte. \finenonce{006181} \finexercice \exercice{6182, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006182}{} Soit $A$ une partie d'un espace normé $E$. On note co$(A)$, l'enveloppe convexe de $A$ ie l'ensemble $\{\sum_{\text{finie}}\lambda_j a_j,\, \lambda_j\geq0,\, \sum\lambda_j =1\}$ des combinaisons convexes de points de $A$. \begin{enumerate} \item Montrer que si $A$ est fini, co$(A)$ est compacte. \item Montrer que si $E$ est de dimension finie $n$ et $A$ compact, co$(A)$ est compacte (on admettra que tout point de co$(A)$ est combinaison convexe d'au plus $n+1$ points de $A$). \end{enumerate} \finenonce{006182} \finexercice \exercice{6183, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006183}{} Soit $(X,d)$ un espace métrique. \begin{enumerate} \item Soit $A$ une partie compacte de $X$; montrer qu'il existe $x,y\in A$ tels que diam$A=d(x,y)$. \item Soit $A$ et $B$ deux parties compactes disjointes de $X$. Montrer qu'il existe $\delta>0$ tel que $d(a,b)\geq \delta\ \forall {a\in A, b\in B} $. En déduire une démonstration simple de l'exercice 10 dans le cadre métrique. \item Montrer que le résultat est encore vrai si l'une est compacte et l'autre fermée, mais devient faux si les deux parties sont seulement fermées. \end{enumerate} \finenonce{006183} \finexercice \exercice{6184, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006184}{} Soit $f$ une surjection continue de $\Rr^2$ sur $\Rr$. On va montrer que l'image réciproque de tout point est non bornée. On raisonne par l'absurde : Sinon, il existe $a\in \Rr$ et un disque fermé $ D$ du plan tel que $f^{-1}(\{a\})\subset D$; en étudiant $f(D^c)$ et $f(D)$ montrer que $f(\Rr^2)$ ne peut être égal à $\Rr$ tout entier. \finenonce{006184} \finexercice \exercice{6185, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006185}{} Soit $F_1,F_2,...,F_p$, $p$ fermés d'un espace métrique compact $E$, tels que $F_1\cap ...\cap F_p= \emptyset$. Montrer qu'il existe $\varepsilon>0$ tel que toute partie $A$ de $E$ rencontrant tous les $F_i$ ait un diamètre $\geq\varepsilon$ (raisonner par l'absurde). \finenonce{006185} \finexercice \exercice{6186, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006186}{} Soit $X=X_1\times X_2\times\cdots\times X_n$ où les $X_i$ sont $n$ espaces métriques, et on note $p_i$ la projection de $X$ sur $X_i$. Montrer que $A\subset X$ est compact si et seulement si $A$ est fermé dans $X$ et les $p_i(A)$ sont tous compacts. \finenonce{006186} \finexercice \exercice{6187, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006187}{} \begin{enumerate} \item Montrer que la boule unité fermée d'un evn de dimension finie est compacte. \item Soit $E$ un espace vectoriel normé et $F$ un sous-espace de $E$ de dimension finie. Montrer que $d(x,F)=\inf\{d(x,y),\ y\in F,\ ||y||\leq2||x||\}$; en déduire que $F$ est fermé dans $E$. \item Soit $(f_n)$ une suite de polyn\^omes qui converge uniformément sur $[0,1]$ vers une fonction qui n'est pas un polyn\^ome. Montrer que la suite des degrés tend vers l'infini (raisonner par l'absurde). \end{enumerate} \finenonce{006187} \finexercice \exercice{6188, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006188}{Partiel de décembre 1998} Soit $E$ un espace vectoriel normé sur $\Cc$ de boule unité fermée $\overline B$ et $F$ un sous-espace vectoriel fermé de $E$. On a montré dans le liste précédente que si $F\not=E$,\quad $\sup_{x\in\overline B} d(x,F)=1.$ On va montrer qu'un evn dont la boule unité fermée est compacte est nécessaire\-ment de dimension finie. On suppose donc que $\overline B$ est compacte. \begin{enumerate} \item Montrer que pour tout $\varepsilon >0$ on peut trouver un nombre fini de points $x_1,\cdots,x_k\in\overline B$ tels que $\overline B\subset\cup_{j=1}^k B(x_j,\varepsilon)$. \item Montrer que $E$ est de dimension finie : pour cela, considérer le sous-espace vectoriel engendré par $x_1,\cdots,x_k$. \end{enumerate} \finenonce{006188} \finexercice \exercice{6189, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006189}{} Voici quelques applications du fait important suivant : dans un espace mé\-trique compact, toute suite ayant une seule valeur d'adhérence converge. \begin{enumerate} \item Soit $(a_n)$ une suite bornée de réels, telle que $(e^{ita_n})$ converge pour un ensemble non dénombrable de $t\in \Rr$; montrer que la suite $(a_n)$ converge. \item Soit $f$ une application de ${\Rr}$ dans ${\Rr}$ et $G$ son graphe. Montrer que si $G$ est connexe par arcs, $f$ est continue. \item Soit $f$ une application de $X$ dans $Y$, espaces métriques et $G$ le graphe de $f$. Montrer que $G$ est fermé dans $X\times Y$ si $f$ est continue. Montrer que la réciproque est vraie lorsque $Y$ est compact. \item Soit $X$ un espace métrique, $Y$ un espace métrique compact et $f:X\times Y\to \Rr$ une application continue telle que, pour tout $x\in X$, l'équation $f(x,y)=0$ ait une unique solution $y\in Y$. Montrer que l'application $u:x\in X\to y\in Y$ ainsi définie est continue. \end{enumerate} \finenonce{006189} \finexercice \exercice{6190, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006190}{} On considère une suite $(x_n)$ de $[0,1]$ telle que $x_{n+1}-x_n$ tend vers $0$. Soit $A$ l'ensemble de ses valeurs d'adhérence. \begin{enumerate} \item Justifier le fait que $A$ est non vide. Si $\alpha\notin A$, montrer qu'il existe $\varepsilon>0$ et $n_0$ tels que les points $x_n,\ n\geq n_0$, soient en dehors de $[\alpha-\varepsilon,\alpha+\varepsilon]$. Montrer ainsi que $A$ est un intervalle (si $\alpha$ et $\beta \in A$, ${\alpha+\beta\over2}\in A$). \item On suppose de plus que cette suite est une suite récurrente i.e. définie par $ x_{n+1}=f(x_n)$ où $f$ est continue de $[0,1]$ dans lui-même, et un point initial $x_0\in [0,1]$. Montrer alors que la suite converge (on commencera par remarquer que si $x\in A$, alors $x=f(x)$, et que si $x_m\in A$ pour un indice $m$, alors la suite converge.) \item Soit $x=(x_n)$ une suite de $l^{\infty}$; montrer que l'ensemble des valeurs d'adhé\-rence de la suite $y$ de terme général $y_n={{x_1+x_2+\cdots+x_n}\over n}$ est un intervalle. En déduire que l'application $f$ de $l^{\infty}$ dans lui-même qui associe $y$ à $x$, n'est pas bijective. \end{enumerate} \finenonce{006190} \finexercice \exercice{6191, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006191}{} On note ${\mathbb{S}^1}$ le cercle unité dans ${\Rr}^2$, et $h$ l'application de ${\Rr}$ dans ${\mathbb{S}^1}$: $t\to(\cos 2\pi t, \sin 2\pi t)$. \begin{enumerate} \item Montrer que le cercle privé d'un point, ${\mathbb{S}^1}\backslash \{a\}$, est homéomorphe à l'inter\-valle $]0,1[$. \item Montrer que $h$ est une bijection continue de $[0,1[$ sur ${\mathbb{S}^1}$, mais n'est pas un homéomorphisme. \end{enumerate} \finenonce{006191} \finexercice \exercice{6192, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006192}{} Démontrer de plusieurs fa\c cons que le cercle unité $\mathbb{S}^1\subset\Rr^2$ est compact. \finenonce{006192} \finexercice \exercice{6193, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006193}{} Soit $(X,d)$ un espace métrique, $A$ et $B$ deux parties de $X$. On pose $d(A,B)=\inf_{a\in A, b\in B} d(a,b)$. \begin{enumerate} \item Si $A$ et $B$ sont disjointes, l'une compacte et l'autre fermée, montrer que $d(A,B)>0$. \item Montrer, par un contre-exemple, que ceci peut être faux si les deux parties sont seulement fermées. \end{enumerate} \finenonce{006193} \finexercice \exercice{6194, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006194}{} Soit $E$ un espace normé, $X$ et $Y$ deux sous-ensembles de $E$. Montrer que \begin{enumerate} \item $X+Y$ est ouvert si $X$ est ouvert; \item $X+Y$ est compact si $X$ et $Y$ sont compacts; \item $X+Y$ est fermé si $X$ est compact et $Y$ fermé. \end{enumerate} Que peut-on dire de $X+Y$ si $X$ et $Y$ sont seulement fermés ? \finenonce{006194} \finexercice \exercice{6195, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006195}{} Soit $E$ un espace normé, $X$ et $Y$ deux parties compactes de $E$. Montrer que la réunion des segments joignant un point $x\in X$ à un point $y\in Y$ est encore compacte. \finenonce{006195} \finexercice \exercice{6196, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006196}{} Soit $K$ un convexe compact symétrique de $\Rr^n$ contenant $0$ comme point intérieur. Alors $K$ est la boule unité fermée associée à une norme de $\Rr^n$ : considérer pour cela $$p(x)= \inf\{t>0 /{x\over t}\in K\}$$ \finenonce{006196} \finexercice \exercice{6197, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006197}{} Trouver l'ensemble des valeurs d'adhérence quand $x\to 0$ de $f(x)=\sin{1\over x}$; $g(x)={1\over x}\sin{1\over x}$. \finenonce{006197} \finexercice \exercice{6198, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006198}{} \begin{enumerate} \item Soit $X$ un espace métrique compact et $(f_n)$ une suite d'applications continues à valeurs dans un espace métrique $Y$, convergeant vers $f$ uniformément sur $X$. Montrer que si $(x_n)$ est une suite de points de $X$ convergeant vers $x\in X$, alors $f_n(x_n)$ tend vers $f(x)$. \item Application : Soit $X$ un espace métrique compact, et soit $(f_n)$ une suite d'applications de $X$ dans $X$, ayant chacune un point fixe; on suppose que la suite $(f_n)$ converge vers une fonction $f$ uniformément sur $X$. Montrer que $f$ a aussi un point fixe. \item Soit $K$ un convexe compact de $\Rr^n$ et $f$ une application continue de $K$ dans $K$ vérifiant $$\Vert f(x)-f(y)\Vert \leq \Vert x-y\Vert;$$ En considérant les fonctions $f_n$ définies sur $K$ par $f_n(x)={1\over n}f(x_0)+(1-{1\over n})f(x)$, où $x_0\in K$, montrer que $f$ a un point fixe. Est-il unique ? Que se passe-t-il si $K$ n'est plus convexe ? \end{enumerate} \finenonce{006198} \finexercice \exercice{6199, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006199}{} Soit $A$ une partie d'un espace normé $E$. On note co$(A)$, l'enveloppe convexe de $A$ ie l'ensemble $\{\sum_{finie}\lambda_j a_j,\, \lambda_j\geq0,\, \sum\lambda_j =1\}$ des combinaisons convexes de points de $A$. \begin{enumerate} \item Montrer que si $A$ est fini, co$(A)$ est compacte. \item Montrer que si $E$ est de dimension finie et $A$ compact, co$(A)$ est compacte. \end{enumerate} \finenonce{006199} \finexercice \exercice{6200, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006200}{} Soit $E=C_b(\Rr)$ muni de la norme uniforme; pour $f\in E$, on note $f_a$ la translatée de $f$ par $a$, ie la fonction $x\to f(x-a)$, et $O_f$ l'ensemble des translatées de $f$. \begin{enumerate} \item Montrer que si $f$ est périodique, $O_f$ est compact (considérer l'application $a\to f_a$). \item Soit $f$ une limite uniforme sur $\Rr$ de fonctions périodiques; montrer que $O_f$ est précompact. \item On suppose cette fois $O_f$ précompact; on va montrer que $f$ est uniformé\-ment continue. \begin{enumerate} \item De toute suite $(f_{a_n})$ de $O_f$ on peut extraire une sous-suite convergente dans $E$. \item Si $x_n-y_n$ tend vers $0$, montrer que $(f_{x_n-y_n})$ n'a qu'une valeur d'adhé\-rence $f$; en déduire que $f(x_n)-f(y_n)$ tend vers $0$. \item Montrer que $f$ est uniformément continue. \end{enumerate} \end{enumerate} \finenonce{006200} \finexercice \exercice{6201, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006201}{} Soit $E$ l'ensemble des suites infinies de nombres réels $x=(x_1,x_2,\cdots)$ à valeurs $0$ ou $1$. Si $x$ et $y$ sont deux éléments de $E$, on pose $$d(x,y)=\sup_{k\geq1}({1\over k}\vert x_k-y_k\vert)$$ \begin{enumerate} \item Montrer que $d$ est une distance sur $E$. \item Soit $\varepsilon>0$; montrer qu'il existe une partie finie $E_\varepsilon$ de $E$ qui possède la propriété suivante : les boules fermées de rayon $\varepsilon$ centrées en un point de $E_\varepsilon$ recouvrent $E$. \item Montrer que $E$ est compact. \end{enumerate} \finenonce{006201} \finexercice \exercice{6202, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006202}{} Soit $K$ un convexe compact de $\Rr^2$. \begin{enumerate} \item Si $K$ est d'intérieur vide, montrer que $K$ est homéomorphe au segment $[0,1]$. \item Si $K$ n'est pas d'intérieur vide, montrer que $K$ est homéomorphe au disque unité fermé en considérant l'application $p(x)=\inf\{a>0\ ;\ {x\over a}\in K\}$; on montrera que $0$ est un point intérieur, que $\delta ||x||\leq p(x)\leq C||x||$ puis que $p$ est continue. \end{enumerate} \finenonce{006202} \finexercice \exercice{6203, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006203}{} Soit $(A_n)$ une suite décroissante de compacts connexes non vides dans un espace topologique séparé. Montrer que $\cap_n A_n$ est encore un compact connexe non vide. (Pour la connexité on pourra raisonner avec de fermés et utiliser l'exercice \ref{exn11}.) \finenonce{006203} \finexercice \exercice{6783, gijs, 2011/10/16} \enonce{006783}{} Soit $X$ un espace topologique et $A \subset X$ un sous-ensemble de $X$. \begin{enumerate} \item Montere que si $X$ est quasi compact et $A$ est fermé dans $X$, alors $A$ est quasi compact. \item Montrer que si $X$ est Hausdorff et $A$ est quasi compact, alors $A$ est fermé dans $X$. \end{enumerate} \finenonce{006783} \finexercice\exercice{6788, gijs, 2011/10/16} \enonce{006788}{} \label{gijsexo5} Soit $(X,d)$ un espace métrique compact, et soit $f:X \to X$ une application continue verifiant $\forall x\neq y\ :\ d(f(x),f(y)) < d(x,y)$. Montrer qu'il existe un point fixe unique pour $f$. (indication~: regarder $\inf d(x,f(x))$\,) \finenonce{006788} \finexercice\exercice{6797, gijs, 2011/10/16} \enonce{006797}{} Soit $K$ un compact contenu dans $U$ un ouvert de $\Rr^n$, et soit $K_\epsilon$ défini par $K_\epsilon = \{\,x\in \Rr^n \mid d(x,K) \le \epsilon \,\}$. \begin{enumerate} \item Montrer que pour tout $\epsilon>0$ l'ensemble $K_\epsilon$ est compact. \item Montrer qu'il existe un $\epsilon>0$ tel que $K_\epsilon$ soit contenu dans $U$ (indication : regarder la fonction $x \mapsto d(x, \Rr^n \setminus U)$ définie sur $K$). \end{enumerate} \finenonce{006797} \finexercice \exercice{6817, gijs, 2011/10/16} \enonce{006817}{} Soit $(X,d)$ un espace métrique. On suppose que {\it toutes\/} les boules fermées (c'est-à-dire les ensembles de la forme $\{y\in X \mid d(x,y) \le r\}$) sont compactes. \begin{enumerate} \item Démontrer que $X$ est complet. \item Démontrer que si $A \subset X$ est fermé et borné, alors $A$ est compact. \end{enumerate} \finenonce{006817} \finexercice \exercice{6818, gijs, 2011/10/16} \enonce{006818}{} Soit $(X,d)$ un espace métrique compact et $(a_n)_{n\in \Nn}$ une suite dans $X$. Démontrer que si $(a_n)_{n\in \Nn}$ n'a qu'une seule valeur d'adhérence $x\in X$, alors $ \lim_{n\to \infty} a_n = x$. (Indication~: on suppose que la suite ne converge pas vers $x$.) \finenonce{006818} \finexercice \exercice{6827, gijs, 2011/10/16} \enonce{006827}{} Soit $X$ un espace topologique compact. Soit $\mathcal{F}$ une collection de fonctions continues sur $X$ à valeurs dans $\Rr$. La collection $\mathcal{F}$ a les deux propriétés suivantes~: \begin{enumerate} \item Si $f$ et $g$ appartiennent à $\mathcal{F}$, alors leur produit $f\cdot g$ appartient à $\mathcal{F}$. \item Pour tout $x\in X$ il existe un voisinage $U$ de $x$ et une fonction $f\in \mathcal{F}$ tel que $f$ est identiquement nulle sur $U$. \end{enumerate} Démontrer que la fonction qui est identiquement nulle sur $X$ appartient à $\mathcal{F}$. \finenonce{006827} \finexercice \exercice{6835, gijs, 2011/10/16} \enonce{006835}{} Soit $X$ un espace topologique séparé et soit $\infty$ un point qui n'appartient pas à $X$. On pose $X_\infty = X \cup \{\infty\}$ et on définit $\mathcal{T}_\infty \subset \mathcal{P}(X_\infty) $ par~: $A\in \mathcal{T}_\infty$ si et seulement si \begin{align*} \infty \notin A &\Rightarrow \text{ $A$ est un ouvert de $X$~;} \\ \infty\in A &\Rightarrow \text{ $X\setminus A$ est un compact de $X$.} \end{align*} \begin{enumerate} \item Démontrer que si $A$ appartient à $\mathcal{T}_\infty$, alors $A \cap X$ est un ouvert de $X$. \item Démontrer que $\mathcal{T}_\infty$ est une topologie sur $X_\infty$. \item Démontrer que $X$ est dense dans $X_\infty$. \item Démontrer que $X_\infty$ est compact. \end{enumerate} \finenonce{006835} \finexercice \section{ 422.00 Continuité, uniforme continuité } \exercice{2353, queffelec, 2003/10/01} \enonce{002353}{} Soit $X$ un espace topologique et $f:X\to \Rr$. \begin{enumerate} \item Montrer que $f$ est continue si et seulement si pour tout $\lambda\in \Rr$, les ensembles $\{x\ ;\ f(x)<\lambda\}$ et $\{x\ ;\ f(x)>\lambda\}$ sont des ouverts de $X$. \item Montrer que si $f$ est continue, pour tout $\omega$ ouvert de $\Rr$, $f^{-1}(\omega)$ est un $F_\sigma$ ouvert de $X$ ($F_\sigma$= r\'eunion d\'enombrable de ferm\'es). \end{enumerate} \finenonce{002353} \finexercice \exercice{2354, queffelec, 2003/10/01} \enonce{002354}{} \begin{enumerate} \item Soit $C$ l'espace des fonctions continues r\'eelles sur $[0,1]$ muni de la m\'etrique $d_1(f,g)=\int_0^1\vert f-g\vert\ dx$, puis de la m\'etrique $d_\infty(f,g)=\sup_x\vert f(x)-g(x)\vert$. V\'erifier que l'applica\-tion $f\to \int_0^1 |f| dx$ de $C$ dans $\Rr$ est $1$-lipschitzienne dans les deux cas. \item Soit $c$ l'espace des suites r\'eelles convergentes, muni de la m\'etrique $d(x,y)=\sup_n\vert x(n)-y(n)\vert$. Si on d\'esigne par $\ell(x)$ la limite de la suite $x$, montrer que $\ell$ est une application continue de $c$ dans $\Rr$. En d\'eduire que $c_0$ est ferm\'e dans $c$. \end{enumerate} \finenonce{002354} \finexercice \exercice{2355, queffelec, 2003/10/01} \enonce{002355}{} Soit $f,g$ deux applications continues de $X$ dans $Y$, espaces topologiques, $Y$ \'etant s\'epar\'e. Montrer que $\{f=g\}$ est ferm\'e dans $X$; en d\'eduire que si $f$ et $g$ coïncident sur une partie dense de $X$, alors $f=g$. \finenonce{002355} \finexercice \exercice{2356, queffelec, 2003/10/01} \enonce{002356}{} Une application de $X$ dans $Y$ est dite {\it ouverte} si l'image de tout ouvert de $X$ est un ouvert de $Y$; {\it ferm\'ee} si l'image de tout ferm\'e de $X$ est un ferm\'e de $Y$. \begin{enumerate} \item Montrer qu'une fonction polynomiale de ${\Rr}$ dans ${\Rr}$ est une application ferm\'ee. \item Montrer que l'application $(x,y)\in X\times Y \to x\in X$ est ouverte mais pas n\'ecessairement ferm\'ee (consid\'erer l'hyperbole \'equilat\`ere de ${\Rr}^2$). \item Montrer que la fonction indicatrice de l'intervalle $[0, {1\over2}]$, comme application de $\Rr$ dans $\{0,1\}$, est surjective, ou\-verte, ferm\'ee, mais pas continue. \item Montrer que toute application ouverte de $\Rr$ dans $\Rr$ et continue est monotone. \end{enumerate} \finenonce{002356} \finexercice \exercice{2357, queffelec, 2003/10/01} \enonce{002357}{} \begin{enumerate} \item Montrer que $f$ est continue si et seulement si $f(\overline A)\subset \overline{f(A)}$ pour tout $A$ dans $X$. Que peut-on dire alors de l'image par $f$ d'un ensemble dense dans $X$? \item Montrer que $f$ est ferm\'ee si et seulement si $\overline{f(A)}\subset f(\overline A)$, et que $f$ est ouverte si et seulement si ${f(\stackrel\circ A)}\subset \stackrel\circ{f( A)}$. \end{enumerate} \finenonce{002357} \finexercice \exercice{2358, queffelec, 2003/10/01} \enonce{002358}{} \begin{enumerate} \item Soit $f$ une fonction r\'eelle continue sur $[0,1]$; montrer que $f$ est ``presque lipschitzienne'' au sens : $\forall\varepsilon>0 \ \exists C_\varepsilon\ ;\ \forall x,y \in [0,1]\quad \ |f(x)-f(y)|\leq C_\varepsilon|x-y| + \varepsilon.$ \item Montrer qu'une fonction $f$ uniform\'ement continue de $\Rr$ dans $\Rr$ v\'erifie pour tout $x\in\Rr$, $\vert f(x)\vert\leq a\vert x\vert+b$ o\`u $a$ et $b$ sont des constantes. \end{enumerate} \finenonce{002358} \finexercice \exercice{2359, queffelec, 2003/10/01} \enonce{002359}{} Soit $f$ une fonction continue de $]0,1[$ dans $\Rr$. Montrer que, si $f$ est unifor\-m\'ement continue, elle est born\'ee. R\'eciproque ? \finenonce{002359} \finexercice \exercice{2360, queffelec, 2003/10/01} \enonce{002360}{} Soit $f$ une fonction uniform\'ement continue sur $\Rr$ telle que $\int_0^\infty f(t) dt$ con\-verge. Montrer que $f$ tend vers $0$ quand $x\to+\infty$. Retrouver ainsi le fait que la fonction $\sin(x^2)$ n'est pas uniform\'ement continue. \finenonce{002360} \finexercice\exercice{6066, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006066}{} Soit $f$ une isométrie de $\R$ dans $\R$. Montrer qu'on a soit $f(x)=a-x$, soit $f(x)=a+x$, où $a=f(0)$. (Se ramener à $a=0$.) \finenonce{006066} \finexercice \exercice{6067, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006067}{} Soit $f$ une application de $\R$ dans $\R$, telle que $f(x+y)=f(x)+f(y)$ et $f(xy)=f(x)f(y)$ pour tous $x,y\in \R$. On va montrer que $f$ est soit nulle, soit la fonction identité. \begin{enumerate} \item Remarquer que $f(x)\geq0$ si $x\geq0$ et ainsi, que $f$ est croissante. \item Montrer que pour tout $x$ réel on peut construire une suite $(r_k)$ et une suite $(s_k)$ de rationnels telles que $r_k\uparrow x$ et $s_k\downarrow x$. En déduire le résultat. \end{enumerate} \finenonce{006067} \finexercice \exercice{6068, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006068}{} Soit $f$ une application continue de $\R$ dans $\R$. On rappelle que $t$ est une période de $f$ si $f(x+t)=f(x)$ pour tout $x$ réel. Soit $E$ le groupe des périodes de $f$, supposé non vide et $T=\inf \{t\in E\ ;\ t>0,\}$. \begin{enumerate} \item Montrer que si $T=0$ alors $f$ est constante. \item Si $T>0$, $f$ est $T$-périodique et $E={\Zz}.T$. \end{enumerate} \finenonce{006068} \finexercice \exercice{6069, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006069}{} Soit $f$ une application de $\R$ dans $\R$ et $\omega$ sa fonction oscillation définie pour $x_0\in \R$ et $\delta>0$ par $$\omega(x_0,\delta)=\sup_{\{|x_0-y|=\delta,|x_0-z|=\delta\}}|f(y)-f(z)|.$$ \begin{enumerate} \item Remarquer que $f$ est continue en $x_0$ si et seulement si $$\omega(x_0)=\inf_{\delta>0}\omega(x_0,\delta)=0.$$ \item Montrer que pour tout $\varepsilon >0$, $O_\varepsilon=\{x\ ;\ \omega(x)<\varepsilon\}$ est un ouvert. En déduire que $C(f)$, l'ensemble des points de continuité de $f$, est un $G_\delta$. \end{enumerate} \finenonce{006069} \finexercice \exercice{6070, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006070}{} Existe-t-il une application continue $f$ de $[0,1]$ dans $\Rr$, telle que $f(x)$ soit rationnel si $x$ est irrationnel, et $f(x)$ irrationnel si $x$ est rationnel ? \finenonce{006070} \finexercice \exercice{6071, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006071}{} On note pour tout $x\in \Rr, \ \varphi(x)=$ dist$(x,\Zz)$. \begin{enumerate} \item Montrer que la fonction $\varphi$ est continue, $1$-périodique, et étudier la fonction $f$ telle que $$f(x)=\sum_n {\varphi(2^n x)\over{2^n}}.$$ \item On fixe $x_0\in \Rr$, et on considère les deux suites de terme $$z_k={1\over 2^k}E(2^kx_0),\ \ \ y_k=z_k+{1\over 2^k}.$$ Montrer que la suite $(z_k)$ cro\^\i t vers $x_0$ et que la suite $(y_k)$ décro\^\i t vers $x_0$. Calculer ${f(z_k)-f(y_k)\over z_k-y_k}$ et en déduire que $f$ n'est pas dérivable en $x_0$. On a ainsi construit une fonction continue, nulle part dérivable. \end{enumerate} \finenonce{006071} \finexercice \exercice{6072, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006072}{} Soit $X$ un ensemble infini muni de la topologie dont les seuls ouverts sont : l'ensemble vide, et les parties de complémentaire fini. Montrer que si $Y$ est un espace séparé, toute application continue de $X$ dans $Y$ est constante. \finenonce{006072} \finexercice \exercice{6073, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006073}{} Soit $E$ et $F$ deux espaces vectoriels normés et on note $B_E$ la boule unité fermée de $E$. Soit $u$ une application de $E$ dans $F$ telle que \quad (i) $u(x+y)=u(x)+u(y),\ \forall x,y\in E$. \quad (ii) $u(B_E)$ est bornée dans $F$. \begin{enumerate} \item Calculer $u(rx)$, $x\in E$, $r$ rationnel. \item Montrer que $u$ est continue en $0$, plus précisément : $$\exists M>0\ ;\ \forall x\not=0\ \ ||u(x)||\leq M||x||.$$ \item Montrer que $u$ est continue et linéaire. \end{enumerate} \finenonce{006073} \finexercice \exercice{6074, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006074}{} Soit $O$ un ouvert de l'espace topologique produit $X\times Y$. Montrer que pour tout $x\in X$, l'ensemble $A_x=\{y\in Y/(x,y)\in O\}$ est un ouvert de $Y$. Le vérifier sur $\{(x,y)\in {\Rr}^2/ xy>1,\ x+y<4\}$. \finenonce{006074} \finexercice \exercice{6075, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006075}{} Montrer que si $f$ est continue de $X$ dans $Y$, espaces topologiques, $Y$ étant séparé, son graphe $G$ est fermé dans $X\times Y$. Etudier la réciproque en considérant l'hyperbole équilatère. \finenonce{006075} \finexercice \exercice{6076, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006076}{} Soit $f:X\to Y$, espaces topologiques. Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes : \hskip 3mm (i) $f$ est continue. \hskip 3mm (ii) $\overline{f^{-1}(B)}\subset f^{-1}(\overline B)$ pour toute partie $B$ de $Y$. \hskip 3mm (iii) ${f^{-1}(\stackrel\circ B)}\subset \stackrel\circ{f^{-1}( B)}$ pour toute partie $B$ de $Y$. En déduire $\partial f^{-1}(B)\subset f^{-1}(\partial B)$ pour toute partie $B$ de $Y$. \finenonce{006076} \finexercice \exercice{6077, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006077}{} Soit $C$ l'espace des fonctions continues réelles sur $[0,1]$ muni de la métrique $d(f,g)=\int_0^1\vert f-g\vert\ dx$, puis de la métrique $d(f,g)=\sup_x\vert f(x)-g(x)\vert$. Vérifier que l'applica\-tion $f\to \int_0^1 f dx$ de $C$ dans $\Rr$ est continue dans les deux cas. \finenonce{006077} \finexercice \exercice{6078, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006078}{} Soit $c$ l'espace des suites réelles convergentes, muni de la métrique $d(x,y)=\sup_n\vert x(n)-y(n)\vert$. Si on désigne par $l(x)$ la limite de la suite $x$, montrer que $l$ est une application continue de $c$ dans $\Rr$. \finenonce{006078} \finexercice \exercice{6079, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006079}{} Soit $X$ un ensemble infini muni de la topologie dont les seuls ouverts sont : l'ensemble vide, et les parties de complémentaire fini. Montrer que si $Y$ est un espace séparé, toute application continue de $X$ dans $Y$ est constante. \finenonce{006079} \finexercice \exercice{6080, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006080}{} Soit $X$ un espace métrique et $Y$ un sous-ensemble de $X$. Montrer que $Y$ est fermé si et seulement si il existe une application continue $f:X\to \Rr$ telle que $Y=\{x/f(x)=0\}$. \finenonce{006080} \finexercice \exercice{6081, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006081}{} Soit $f$ une application ouverte de $X$ dans ${\Rr}^n$, et $A$ une partie de $X$. Montrer que pour tout $a$ dans l'intérieur de $A$, $$\Vert f(a)\Vert< \sup_{x\in A}\Vert f(x)\Vert.$$ \finenonce{006081} \finexercice \exercice{6083, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006083}{} Soit $(X,d)$ un espace métrique; montrer que l'application $(x,y)\to d(x,y)$ est continue sur le produit $X\times X$. \finenonce{006083} \finexercice \exercice{6084, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006084}{} Soit $(E,d)$ un espace métrique et $A$ une partie de $E$; retrouver les propriétés de la fonction $d_A : x\to d(x,A)$ : \begin{enumerate} \item $d_A$ est $1$-lipschitzienne; $d(x,A)=d(x,\overline A)$ et $d_A(x)=0$ si et seulement si $x\in\overline A$. \item Montrer que $\{x\in E\ ; \ d(x, A)< \varepsilon\}$ est un ouvert contenant $A$. \item Montrer que tout fermé de $E$ est un $G_\delta$ et que tout ouvert est un $F_\sigma$. \end{enumerate} \finenonce{006084} \finexercice \exercice{6085, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006085}{Support d'une fonction continue} Soit $f:E\to\R$ une fonction continue définie sur un espace topologique $E$. On appelle support (fermé) de $f$, $S=S(f)=\overline{\{x\in E\ ;\ f(x)\not=0\}}$. \begin{enumerate} \item Montrer que $S=\overline{\stackrel\circ{S}}$. \item Réciproque. On suppose $E$ métrique et $A\subset E$ fermé vérifiant $A=\overline{\stackrel\circ{A}}$. Montrer qu'il existe $f:E\to\R$ une fonction continue telle que $A=S(f)$. \end{enumerate} \finenonce{006085} \finexercice \exercice{6086, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006086}{} \begin{enumerate} \item Montrer qu'un espace métrique possède une propriété forte de séparation, à savoir : deux fermés disjoints $F_1$ et $F_2$ peuvent être séparés par deux ouverts disjoints, en considérant $\{x/ d(x,F_1)>d(x,F_2) \}$. \item Montrer que la propriété précédente est équivalente à l'existence d'une fonction continue $f$ valant $0$ sur $F_1$ et $1$ sur $F_2$ (considérer $f(x)={d(x,F_1)\over d(x,F_1)+d(x,F_2)}$). \end{enumerate} \finenonce{006086} \finexercice \exercice{6087, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006087}{} Soit $(X,d)$ un espace métrique avec métrique bornée. On note $\cal F$ l'ensemble des fermés non vides de $X$, et on définit pour $A$ et $B$ dans $\cal F$, $$\delta (A,B)=\Vert d_A-d_B\Vert_\infty$$ où $d_A$ est la fonction bornée $x\to d(x,A)$. Montrer qu'on a défini ainsi une métrique sur $\cal F$, et que l'application $a\to\{a\}$ est une isométrie de $X$ dans $\cal F$. \finenonce{006087} \finexercice \exercice{6116, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006116}{} \begin{enumerate} \item Montrer que $\Zz$ et $\Qq$ (munis de la topologie induite par celle de $\Rr$) ne sont pas homéomorphes. On peut par ailleurs montrer que deux sous-ensembles dénombrables denses de $\Rr$ sont toujours homéomorphes. \item Trouver un homéomorphisme de $]-1, 1[$ sur $\Rr$; de $]-1, 1[$ sur $]a, b[$. \item Montrer que si $I$ est un intervalle ouvert de $\Rr$, et $c$ un point n'appartenant pas à $I$, les ensembles $I$ et $I\cup \{c\}$ ne sont pas homéomorphes bien qu'en bijection. \end{enumerate} \finenonce{006116} \finexercice \exercice{6117, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006117}{} Soit $f$ une injection continue de $\Rr$ dans $\Rr$. \begin{enumerate} \item Montrer à l'aide du théorème des valeurs intermédiaires que $f$ est stric\-tement monotone. \item Montrer que l'image par $f$ d'un intervalle ouvert est encore un intervalle ouvert; en déduire que $f$ est ouverte et donc un homéomorphisme de $\Rr$ sur $f(\Rr)$. \end{enumerate} \finenonce{006117} \finexercice \exercice{6118, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006118}{} Soit $f$ une application de $X$ dans $Y$ séparé. Montrer que si $f$ est continue, son graphe $G$ est fermé dans $X\times Y$, et l'application $x\to (x,f(x))$ est un homéomorphisme de $X$ sur le graphe $G$ de $f$. Montrer sur un exemple que la réciproque est fausse en général (mais vraie si $Y$ est compact). \finenonce{006118} \finexercice \exercice{6119, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006119}{} Montrer que le carré unité fermé et le disque fermé dans ${\Rr}^2$ sont homéo\-morphes. \finenonce{006119} \finexercice \exercice{6120, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006120}{} Montrer que la boule unité ouverte de ${\Rr}^n$ est homéomorphe à ${\Rr}^n$ tout entier, et que deux boules ouvertes sont homéomorphes entre elles. \finenonce{006120} \finexercice \exercice{6121, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006121}{} On note $\mathbb{S}^1$ le cercle unité dans ${\Rr}^2$, et $h$ l'application de ${\Rr}$ dans $\mathbb{S}^1$: $t\to(\cos 2\pi t, \sin 2\pi t)$. \begin{enumerate} \item Montrer que le cercle privé d'un point, $\mathbb{S}^1\backslash \{a\}$, est homéomorphe à l'inter\-valle $]0,1[$. \item Montrer que $h$ est une bijection continue de $[0,1[$ sur $\mathbb{S}^1$, mais n'est pas un homéomorphisme. \item Soit $f$ une application continue de $\Rr$ dans $\mathbb{S}^1\backslash \{a\}$, cette fois plongé dans $\Cc$. Montrer que $f$ admet un ``logarithme continu", c'est-à-dire qu'il existe $g$ continue de $\Rr$ dans $\Rr$ telle que $f=e^{ig}$. \end{enumerate} \finenonce{006121} \finexercice \exercice{6122, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006122}{} Soit $F$ l'application de ${\Rr}^+$ dans ${\Cc}^2$ qui à $x$ associe $(\exp(2i\pi x), \exp(2i\pi x\sqrt2))$ dont l'image est la courbe $\gamma$. \begin{enumerate} \item Montrer que $F$ est continue injective. \item Montrer que l'adhérence de $\gamma$ dans ${\Cc}^2$ est $\mathbb{S}^1\times\mathbb{S}^1$. \item Montrer que $F^{-1}$ n'est continue en aucun point de $\gamma$. \end{enumerate} \finenonce{006122} \finexercice \exercice{6123, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006123}{Projection stéréographique} Soit $S^{n-1}=\{x=(x_1,\cdots,x_n)\in {\Rr}^n/ \ \Vert x\Vert^2=\sum_1^nx_i^2=1\}$, la sphère unité de ${\Rr}^n$, $p$ son p\^ole nord i.e. le point $p=(0,\cdots,0,1)$, et $A=S^{n-1}\backslash \{p\}$. \begin{enumerate} \item Montrer que le ``plan" de l'équateur $E$ est homéomorphe à ${\Rr}^{n-1}$. \item A tout point $x$ de $A$ on associe $h(x)$ le point d'intersection de la droite issue de $p$ passant par ce point, avec le plan $E$. Expliciter $h$, puis $h^{-1}$ et montrer ainsi que la sphère est homéomorphe à ${\Rr}^{n-1}$. (On établira $h(x)=p +{{x-p}\over{1-x_n}}$ et $h^{-1}(y)={{2y}\over{1+\Vert y\Vert^2}} + p\ {{1-\Vert y\Vert^2}\over{1+\Vert y\Vert^2}}$). \item En déduire un homéomorphisme de $\mathbb{S}^1$ sur $\overline{\Rr}$. \end{enumerate} \finenonce{006123} \finexercice \exercice{6131, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006131}{} \begin{enumerate} \item Montrer que si deux fonctions continues sur un espace topologique $X$ co\"\i ncident sur un ensemble dense dans $X$, elles sont égales. \item Soit $f$ une fonction réelle définie continue sur $[-1,1]$. Montrer que si pour tout $n$, $\int_{-1}^1f(x)\ x^n\ dx$ est nulle, alors $f$ est nulle. (\emph{Indication :} Considérer l'application $g\to \int_{-1}^1f(x)\ g(x)\ dx$.) \end{enumerate} \finenonce{006131} \finexercice \exercice{6132, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006132}{} Soit $F$ un fermé de $\Rr$, et $f$ une application continue de $F$ dans $\Rr$. Montrer que $f$ se prolonge en une fonction continue sur $\Rr$ tout entier. Peut-on remplacer ``fermé" par ``ouvert"? \finenonce{006132} \finexercice \exercice{6133, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006133}{} Soit $n\to r_n$ une bijection de $\Nn$ sur $\Qq\cap [0,1]$, et $f$ la fonction définie sur $\Qq\cap [0,1]$ par $$f(x) = \sum_{r_nd(x,F_2) \}$. \item Montrer que la propriété précédente est équivalente à l'existence d'une fonction continue $f$ valant $0$ sur $F_1$ et $1$ sur $F_2$. \item Soit $F_1$, $F_2$,...,$F_n$, $n$ fermés disjoints dans $X$, et $c_1$, $c_2$,...$c_n$, $n$ nombres réels. Montrer que la fonction $f$ valant $c_i$ sur $F_i$ peut se prolonger en une fonction continue à $X$ tout entier. \end{enumerate} \finenonce{006134} \finexercice \exercice{6135, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006135}{} Soit $(X,d)$ un espace métrique, et $Y$ un sous-espace non vide de $X$. On va montrer que toute fonction $f:Y\to \Rr$, $k$-lipschitzienne, admet un prolongement $g:X\to\Rr$ qui est aussi $k$-lipschitzien. Soit donc $f$ ainsi; pour tout $x\in X$ et $y\in Y$ , on pose $$f_y(x)=f(y)+kd(x,y).$$ \begin{enumerate} \item Montrer que pour $x$ fixé, l'ensemble $\{f_y(x)\}$ lorsque $y$ parcourt $Y$ est minoré. On pose $g(x) = \inf_{y\in Y}\{f_y(x)\}$. \item Montrer que l'application $g$ ainsi définie sur $X$, réalise un prolongement $k$-lipschitzien de $f$. \item Donner une condition suffisante pour que ce prolongement soit unique. \end{enumerate} \finenonce{006135} \finexercice \exercice{6241, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006241}{} \begin{enumerate} \item Montrer qu'une fonction de $(X,d)$ dans $(Y,\delta)$ n'est pas uniformément continue, si et seulement si on peut trouver $\varepsilon>0$ et deux suites de points de $X$, $(x_n)$ et $(y_n)$ vérifiant (i) $d(x_n,y_n)$ tend vers $0$. (ii) $\delta(f(x_n),f(y_n))\geq\varepsilon$. \item Parmi les fonctions de variable réelle suivantes, lesquelles sont unifor\-mément continues : $\sin(x^2)$, $x\sin x$, $\sin {1\over x},\ x\neq0$ ? \end{enumerate} \finenonce{006241} \finexercice \exercice{6242, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006242}{} Soit $E=C_b(\Rr)$ muni de la norme uniforme; pour $f\in E$, on note $f_a$ la translatée de $f$ par $a$, ie la fonction $x\to f(x-a)$, et $O_f$ l'ensemble des translatées de $f$. Soit $f$ une fonction continue périodique de $\Rr$ dans $\Rr$; \begin{enumerate} \item Montrer que $f$ est uniformément continue sur $\Rr$. \item Montrer que $O_f$ est compact et connexe (considérer l'application $a\to f_a$). \end{enumerate} \finenonce{006242} \finexercice \exercice{6243, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006243}{} Soit $(f_n)$ une suite d'applications croissantes de $[0,1]$ dans $\Rr$, qui converge simplement vers une fonction $f$ continue. Montrer que la convergence est uniforme sur $[0,1]$. \emph{Indication :} $\varepsilon >0$ étant fixé, montrer qu'il existe $0=x_00$ tel que $$ \|B(x) \|\leq M \| x_1\| \| x_2\|\quad \text{pour tout } x=(x_1,x_2) \in E_1\times E_2 \; .$$ \finenonce{002361} \finexercice \exercice{2362, mayer, 2003/10/01} \enonce{002362}{} Soient $E$ et $F$ deux espaces norm\'es et $L:E\to F$ une application lin\'eaire v\'erifiant: \emph{$(L(x_n))_n$ est born\'ee dans $F$ pour toute suite $(x_n)_n$ de $E$ tendant vers $0\in E$.} Montrer que $L$ est continue. \finenonce{002362} \finexercice \exercice{2363, mayer, 2003/10/01} \enonce{002363}{} Soient $E$ et $F$ deux espaces norm\'es r\'eels et $f:E\to F$ une application born\'ee sur la boule unit\'e de $E$ et v\'erifiant $$f(x+y)=f(x) +f(y)\quad \text{pour tout } x, y \in E \; .$$ Montrer que $f$ est lin\'eaire continue. \finenonce{002363} \finexercice \exercice{2364, mayer, 2003/10/01} \enonce{002364}{} Calculer la norme des op\'erateurs suivants: \begin{itemize} \item Le shift sur $l^\infty$ d\'efini par $S(x)_{n+1}= x_n$, $S(x)_0=0$. \item $X={\cal C}([0,1])$ muni de la norme $\|.\|_\infty$ et $Tf(x) = f(x)g(x)$ o\`u $g\in X$. \end{itemize} Calculer la norme des formes lin\'eaires suivantes: \begin{itemize} \item $X={\cal C}([0,1])$ muni de la norme $\|.\|_\infty$ et $u(f) = \int _0^1 f(x)g(x) \; dx$ o\`u $g\in X$ est une fonction qui ne s'annule qu'en $x=1/2$. \item $X= l^2$ et $u(x) = \sum a_nx_n$ o\`u $(a_n)$ est dans $X$. \item $X= l^1$ et $u(x) = \sum a_nx_n$ o\`u $(a_n)$ est dans $l^\infty$. \item $X$ l'espace des suites convergentes muni de la norme sup et $u:X\to \Rr$ l'application $u(x) = \lim_{j\to \infty} x_j$. \end{itemize} \finenonce{002364} \finexercice \exercice{2365, mayer, 2003/10/01} \enonce{002365}{} \label{exopol} Soit $X = \Rr[x]$ l'ensemble des polyn\^omes. Pour $P(x) = \sum _{k=0}^p a_k x^k$ on pose $\|P\|= \sup_k |a_k|$, $U(P)(x) = \sum _{k=1}^n \frac{1}{k} a_k x^k$ et $V(P)(x) = \sum _{k=1}^n k a_k x^k$. \begin{enumerate} \item Montrer que $\|.\|$ d\'efinit une norme et que $U$ et $V$ d\'efinissent des applications lin\'eaires de $X$ dans $X$. \item Examiner si $U$ et $V$ sont continues? \end{enumerate} \finenonce{002365} \finexercice \exercice{2366, mayer, 2003/10/01} \enonce{002366}{} Soit $l^\infty$ l'espace des suites r\'eelles muni avec la norme uniforme, i.e. $\|x\| _\infty = \sup _n |x_n|$. On consid\'ere l'application $A:l^\infty \to l^\infty$ d\'efinie par $$A(x_1,x_2,...,x_n,...) = (x_1, x_2/2,..., x_n/n,...) \; .$$ Montrer que : \begin{enumerate} \item $A$ est injective et continue avec $\|A\| =1$. Par contre, $A$ n'est pas surjective. \item $A$ admet un inverse \`a gauche mais qu'il n'est pas continu. \end{enumerate} \finenonce{002366} \finexercice \exercice{2367, mayer, 2003/10/01} \enonce{002367}{} \label{exoferm} Soit $X$ un espace norm\'e, $L:X\to \Rr$ une forme lin\'eaire non nulle et $H = L^{-1}(\{0\})$ son noyau. \begin{enumerate} \item Montrer que, si $L$ est continue, alors $H$ est un sous-espace ferm\'e dans $X$. \'Etablir la relation $$ \mathrm{dist}(a,H) = \frac{|L(a)|}{\|L\|} \quad \text{pour tout } a\in X \; .$$ \item R\'eciproquement, supposons que le noyau $H$ est un ferm\'e. D\'emontrer alors que $\mathrm{dist}(a,H)>0$ d\`es que $a\in X\setminus H$ et en d\'eduire que $L$ est continue de norme au plus $|L(a)|/\mathrm{dist}(a,H)$. \item Peut-on g\'en\'eraliser ceci a des applications lin\'eaires entre espaces norm\'es? \end{enumerate} \finenonce{002367} \finexercice \exercice{2368, mayer, 2003/10/01} \enonce{002368}{} Soit $X={\cal C}([0,1])$ avec la norme $\| f\| = \int _0^ 1 |f(t)|\, dt$. Montrer que la forme lin\'eaire $f\in X \mapsto f(0)\in \Rr$ n'est pas continue. Que peut-on en d\'eduire pour le sous-espace des fonctions de $X$ nulles en 0? \finenonce{002368} \finexercice \exercice{2369, mayer, 2003/10/01} \enonce{002369}{} Soit $X = \{f\in {\cal C}(\Rr ) \; ; \; (1+x^ 2 ) |f(x)| \text{ soit born\'ee}\}$. On pose $N(f) = \sup_{x\in \Rr}(1+x^ 2 ) |f(x)|$. V\'erifier que $N$ est une norme, puis montrer que la forme lin\'eaire suivante $L$ est continue et calculer sa norme: $$ L:X\to \Rr \quad \mbox{d\'efinie par} \quad L(f) = \int _\Rr f(x) \; dx \; .$$ \finenonce{002369} \finexercice \exercice{6204, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006204}{} On désigne par $E$ l'espace $C([-1,1])$ muni de la norme uniforme et par $T$ la forme linéaire définie par $$Tf=\int_{-1}^1 \sin(\pi t)\ f(t)\ dt $$ pour $f\in E$. Vérifier que $T$ est continue et calculer la norme de $T$. \finenonce{006204} \finexercice \exercice{6205, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006205}{} Soit $E=C([0,1])$, $\mu(x)=\int_0^1 x(t)\ dt$, $\mu_n(x)={1\over n}\sum_{k=1}^n x({k\over n})$. \begin{enumerate} \item Calculer $\Vert\mu\Vert$ et $\Vert\mu_n\Vert$. \item Montrer que $\mu_n(x)$ converge vers $\mu(x)$ pour toute $x$ dans $E$, mais que $\Vert\mu-\mu_n\Vert=2$. \end{enumerate} \finenonce{006205} \finexercice \exercice{6206, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006206}{} On désigne par $E$ l'espace $C([0,1])$ muni de la norme uniforme et l'opérateur $A$ défini par $$Af(x)=\int_0^x tf(t)\ dt + x\int_x^1 f(t)\ dt$$ pour $f\in E$ et $x\in [0,1]$. \begin{enumerate} \item Vérifier que $A$ est continu et calculer sa norme opérateur. \item L'équation $Af=f$ a-t-elle dans $E$ des solutions $f$ non nulles ? \end{enumerate} \finenonce{006206} \finexercice \exercice{6207, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006207}{} Soit $K$ un compact convexe d'un evn $E$. Soit $u$ une application linéaire continue de $E$ dans $E$ telle que $u(K)\subset K$. On va montrer que $u$ a un point fixe dans $K$. \begin{enumerate} \item On peut supposer que $0\notin K$. Pour chaque $n\geq1$, on désigne par $S_n$ l'application définie sur $E$ par $S_n(x)={1\over n}(x+u(x)+\cdots+u^{n-1}(x))$. Montrer que $S_n(K)\subset K$. \item Montrer que pour tous entiers $n_1,n_2,\ldots,n_k$ en nombre fini, $S_{n_1}\circ\cdots\circ S_{n_k}(K)\subset S_{n_1}(K)\cap S_{n_2}(K)\cap\cdots\cap S_{n_k}(K)$. En déduire que $A=\cap_{n\geq1} S_{n}(K)$ est non vide. \item Montrer que tout $x\in A$ est point fixe de $u$. \end{enumerate} \finenonce{006207} \finexercice \exercice{6208, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006208}{} \begin{enumerate} \item Montrer que pour tout $x\in\Rr^n$, $||x||=\sup\{ |\langle x,y \rangle|\ ; \ ||y||\leq1\}$. \item Montrer que l'espace des formes linéaires ${\cal L}(\Rr^n,\Rr)$ sur $\Rr^n$ (plus généra\-lement ${\cal L}(E,\Rr)$ où $\dim E$ finie) est isométriquement isomorphe à $\Rr^n$ (ou $E$). \end{enumerate} \finenonce{006208} \finexercice \exercice{6209, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006209}{} Sur $M_n(\Rr)$ on note $|A|=\sup_{||x||\leq1}||Ax||$ la norme opérateur de la matrice $A$, où $||x||$ désigne la morme euclidienne de $x$. Montrer que $$|A|=\sup_{||x||\leq1,||y||\leq1}|\langle Ax,y \rangle |$$ et en déduire que $|A|\leq \Big(\sum|a_{ij}|^2\Big)^{1\over2}$. \finenonce{006209} \finexercice \exercice{6210, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006210}{} Soit $E=\Rr^n$ muni de sa norme euclidienne et $f$ une application continue de $[0,1]$ dans $\Rr^n$. Montrer que $||\int_{[0,1]}f(t)\ dt||\leq \int_{[0,1]}||f(t)||\ dt$. \finenonce{006210} \finexercice \section{ 424.00 Espace vectoriel normé } \exercice{1865, gineste, 2001/11/01} \enonce{001865}{Normes sur $\R^2$} Pour tout $(x,y) \in \R^2$, on pose $N_1(x,y)=\text{Max} (\sqrt{x^2+y^2},|x-y|)$ et $N_2(x,y)=\sqrt{ x^2/9 + y^2/4 }.$ \begin{enumerate} \item Montrer que $N_1$ et $N_2$ sont des normes sur $\R^2$ et repr\'esenter les boules unit\'es ferm\'ees associ\'ees \`a ces normes. \item Montrer que $N_2 \leq \| . \|_\infty \leq \| . \|_2 \leq N_1 \leq \|.\|_1 \leq 4N_2.$ \item D\'eterminer le plus petit r\'eel $k>0$, tel que $\|.\|_1 \leq kN_2.$ (utiliser Cauchy-Schwarz) \end{enumerate} \finenonce{001865} \finexercice \exercice{1869, roussel, 2001/09/01} \enonce{001869}{} On consid\`ere les trois normes d\'efinies sur $\mathbb{R}^2$ par: $$%\begin{array}{llll} %\mbox{a)} \| {X}\|_{1} = |x_1|+|x_2|~~,~~ %\vspace*{0.3cm} \\ \mbox{b)} \| {X}\|_{2} = (x_1^2+x_2^2)^{1\over 2}~~,~~ %\vspace*{0.3cm}\\ \mbox{c)} \| {X}\|_\infty = \max \{|x_1|,|x_2| \}. %\\ \end{array} $$ Repr\'esenter graphiquement les boules unit\'es de chacune d'entre elles. Peut-on ``comparer" ces trois normes? Ecriver les d\'efinitions des distances $d_1$,$d_2$ et $d_{\infty}$ associ\'ees \`a chacune d'entre elles. \finenonce{001869} \finexercice \exercice{1870, roussel, 2001/09/01} \enonce{001870}{} Soit $E$ l'espace vectoriel des fonctions \`a valeurs dans $\mathbb{R}$, d\'efinies et \hspace*{5cm}continues sur $[ \mbox{-1,1}]$. \begin{enumerate} \item Montrer que les trois applications suivantes sont des normes sur $E$: $$%\begin{array}{lcl} f\longrightarrow \| {f}\|_{1} = \int_{-1}^{+1}|f(x)|dx ,~~~%\vspace*{0.3cm} \\ f\longrightarrow \| {f}\|_{2} = (\int_{-1}^{+1}f^2(x)dx) ^{1\over 2}$$ %\vspace*{0.3cm}\\ $$f\longrightarrow \| {f}\|_\infty = \sup_{x\in [-1,+1]}\{ |f(x)|\} %\end{array} $$ \item On consid\`ere la suite $(f_n)_{n\in N^*}$ de fonctions d\'efinies par {$f_n(x)= \left\{ \begin{array}{lll} -1 &\mbox{ si }x\in [-1,-{1\over n}]\vspace*{0.3cm} \\ nx &\mbox{ si }x\in ]-{1\over n},{1\over n}] \vspace*{0.3cm} \\ 1 &\mbox{ si }x\in ]{1\over n},1] \\ \end{array} \right. $} \\ La suite $f_n$ est-elle de Cauchy dans $(E,\|{.}\|_{1})$, $(E,\|{.}\|_{2})$ et dans $(E,\| {.}\|_\infty)$? Conclusions? \end{enumerate} \finenonce{001870} \finexercice \exercice{1871, roussel, 2001/09/01} \enonce{001871}{} Soit $E$ l'espace vectoriel des fonctions \`a valeurs dans $\mathbb{R}$, d\'efinies, continues et d\'erivables sur $[ \mbox{0,1}]$ et v\'erifiant $f(0)=0$. On d\'efinit sur cet espace les deux normes suivantes : $$N_1(f)= \| {f}\|_\infty \mbox{~et~} N_2(f)= \| {f'}\|_\infty.$$ \begin{enumerate} \item Montrer que $N_1(f) \leq N_2(f)$. En d\'eduire que l'application identique de $(E, N_2)$ vers $(E, N_1)$ est continue. \item A l'aide de la fonction $f_n(x)={x^n \over n}$, montrer que l'application identique de $(E, N_1)$ vers $(E, N_2)$ n'est pas continue. \end{enumerate} \finenonce{001871} \finexercice \exercice{1872, roussel, 2001/09/01} \enonce{001872}{} Lorsqu'un espace vectoriel $E$ est en outre muni d'une multiplication, l'application $\nolinebreak {N:\ E \rightarrow \mathbb{R}}$ est dite norme multiplicative si: \begin{itemize} \item $N$ est une norme, \item pour tous $A$ et $B$ dans $E$, $N(A.B)\leq N(A).N(B)$. \end{itemize} Soit $E=M_n(\mathbb{R})$, l'espace vectoriel des matrices carr\'ees \`a $n$ lignes et $n$ colonnes. $A\in E$ se note $A=(a_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}$ \begin{enumerate} \item Montrer que $\displaystyle N_{\infty }(A)= \max_{1\leq i\leq n}\{\ \sum_{j=1}^n|a_{i,j}|\ \}$ d\'efinit une norme multiplicative sur $E$. \item Montrer que $\displaystyle N_{\infty }(A)=\max_{\{ X\in \mathbb{R}^n,\ \|{X}\|_\infty=1\} } \{\ \| {A.X}\|_\infty \}$. \item Soit $A\in M_n(\mathbb{R})$ telle que $\displaystyle \forall \ 1\leq i \leq n,\ |a_{i,i}|> \sum_{j=1,j\neq i}^n|a_{i,j}|$ et $D$ la matrice diagonale form\'ee avec les \'el\'ements diagonaux de $A$. Soit aussi $F$ un vecteur de $\mathbb{R}^n$. On consid\`ere la suite des $X^{(p)}\in \mathbb{R}^n$ d\'efinie pour $p\geq 0$ par: $$ \left\{ \begin{array}{lll} X^{(0)} &=X_0\in \mathbb{R}^n &\\ X^{(p+1)} &=(I-D^{-1}A)X^{(p)}+D^{-1}F &\mbox{ pour p}\geq 0 \end{array} \right. $$ Montrer qu'elle est convergente et calculer sa limite. \end{enumerate} \finenonce{001872} \finexercice \exercice{1873, maillot, 2001/09/01} \enonce{001873}{partiel 1999} Soit $(E,\|\cdot\|)$ un espace vectoriel norm\'e, $x$ un \'el\'ement de $E$ et $A$ un compact de $E$. \begin{enumerate} \item Montrer que l'application de $E$ dans $\R$ qui \`a $y$ associe $\|y\|$ est continue. \item Montrer que l'application de $E$ dans $\R$ qui \`a $y$ associe $\|y-x\|$ est continue. \item Montrer que la distance de $x$ \`a $A$ est atteinte, c'est-\`a-dire qu'il existe $a\in A$ tel que $$\inf_{y\in A}\|y-x\| = \|a-x\|.$$ \end{enumerate} \finenonce{001873} \finexercice \exercice{1874, maillot, 2001/09/01} \enonce{001874}{} Soient $(E,\|\cdot\|_E)$ et $(F,\|\cdot\|_F)$ deux espaces vectoriels normés. Soit $L$ une application linéaire de $E$ dans $F$. \begin{enumerate} \item Montrer que $L$ est continue en $0$ si et seulement si elle est continue en tout point de $E$. \item On suppose qu'il existe une constante $K>0$ telle que $$\|L(x)\|_F\le K\|x\|_E \qquad \forall x\in E.$$ Montrer que $L$ est continue. \item Dans la suite, on suppose que $L$ est continue et on pose $$K=\sup_{\|x\|_E=1} \|L(x)\|_F.$$ \begin{enumerate} \item Supposons que $K=+\infty$. Montrer qu'alors il existe une suite $(x_n)$ dans $E$ telle que $\|x_n\|=1$ pour tout $n$ et telle que $\|L(x_n)\|_F$ tend vers $+\infty$. En déduire qu'il existe une suite $y_n$ tendant vers $0$ et telle que $\|L(y_n)\|_F=1$. \item En déduire que $K\in \R_+$ et que pour tout $x\in E$ on a $$\|L(x)\|_F\le K\|x\|_E.$$ \end{enumerate} \end{enumerate} \finenonce{001874} \finexercice \exercice{1875, maillot, 2001/09/01} \enonce{001875}{} Soit $E$ l'espace vectoriel des fonctions continues de $[-1,1]$ à valeurs dans $\R$ muni de la norme $$\|f\|_1=\int_0^1 |f(x)| \,dx.$$ On considère l'application $L:E\rightarrow \R$ définie par $L(f)=f(1)$. \begin{enumerate} \item Montrer que $L$ est une application linéaire. \item En considérant les fonctions $f_n:x\mapsto \sqrt n x^n$, montrer que $L$ n'est pas continue. \end{enumerate} \finenonce{001875} \finexercice \exercice{1876, maillot, 2001/09/01} \enonce{001876}{} Soit $(E,\|\cdot\|)$ un espace vectoriel normé et $(x_n)_{n\in\N}$ une suite d'éléments de $E$. On suppose que $(x_n)$ est de Cauchy. Montrer qu'elle converge si et seulement si elle admet une sous-suite convergente. \finenonce{001876} \finexercice \exercice{1877, maillot, 2001/09/01} \enonce{001877}{} Soit $E$ l'espace vectoriel des fonctions continues de $[-1,1]$ à valeurs dans $\R$. On définit une norme sur $E$ en posant $$\|f\|_1=\int_{-1}^1 |f(t)| \,dt.$$ On va montrer que $E$ muni de cette norme n'est pas complet. Pour cela, on définit une suite $(f_n)_{n\in\N^*}$ par \[f_n(t)=\begin{cases} -1 &\text{si\ } -1\le t \le -\frac1n\\ nt &\text{si\ } -\frac1n\le t \le \frac1n\\ 1 &\text{si\ \ \ \ \ } \frac1n \le t\le 1. \end{cases}\] \begin{enumerate} \item Vérifier que $f_n\in E$ pour tout $n\ge 1$. \item Montrer que $$\|f_n-f_p\|\le \sup(\frac2n,\frac2p)$$ et en déduire que $(f_n)$ est de Cauchy. \item Supposons qu'il existe une fonction $f\in E$ telle que $(f_n)$ converge vers $f$ dans $(E,\|\cdot\|_1)$. Montrer qu'alors on a $$\lim_{n\rightarrow+\infty}\int_{-1}^{-\alpha} |f_n(t)-f(t)|\, dt=0 \qquad \text{et} \qquad \lim_{n\rightarrow+\infty}\int_{\alpha}^1 |f_n(t)-f(t)|\, dt=0$$ pour tout $0<\alpha<1$. \item Montrer qu'on a $$\lim_{n\rightarrow+\infty}\int_{-1}^{-\alpha} |f_n(t)+1|\, dt=0 \qquad \text{et} \qquad \lim_{n\rightarrow+\infty}\int_{\alpha}^1 |f_n(t)-1|\, dt=0$$ pour tout $0<\alpha<1$. En déduire que \begin{align*} &f(t)=-1\qquad &\forall t\in[-1,0[\\ &f(t)=1\qquad &\forall t\in ]0,1]. \end{align*} Conclure. \end{enumerate} \finenonce{001877} \finexercice \exercice{1878, maillot, 2001/09/01} \enonce{001878}{} Soit $E=\R^d$ muni d'une norme $\|\cdot\|$. On rappelle qu'une application continue $g$ de $E$ dans $E$ est dite \emph{contractante} s'il existe $K\in ]0,1[$ tel que $$ \|g(x)-g(y)\|\le K \|x-y\| \qquad \forall x,y\in E.$$ On rappelle aussi que toute application contractante admet un unique point fixe. Soit $f$ une application continue de $E$ dans $E$ telle qu'il existe un entier $n$ tel que $f^n$ soit contractante. On note $x_0$ le point fixe de $f^n$. \begin{enumerate} \item Montrer que tout point fixe de $f$ est un point fixe de $f^n$. \item Montrer que si $x$ est un point fixe de $f^n$, il en est de même pour $f(x)$. \item En déduire que $x_0$ est l'unique point fixe de $f$. \end{enumerate} \finenonce{001878} \finexercice \exercice{1879, maillot, 2001/09/01} \enonce{001879}{} Soit $E=\R^d$ muni d'une norme $\|\cdot\|$. On définit la \emph{distance} d'un élément $x_0$ de $E$ à une partie $A$ de $E$, notée $d(x_0,A)$, par la formule $$d(x_0,A)=\inf_{x\in A}\|x-x_0\|.$$ \begin{enumerate} \item Supposons $A$ compact. Montrer que pour tout $x_0\in E$ il existe $y\in A$ tel que $d(x_0,A)=\|y-x_0\|$. \item Montrer que le résultat est encore vrai si on suppose seulement que $A$ est fermé. (On remarquera que pour toute partie $B$ de $A$ on a $d(x_0,B)\ge d(x_0,A)$.) \item Montrer que l'application qui à $x_0$ associe $d(x_0,A)$ est continue sur $E$ (sans aucune hypothèse sur $A$). \item En déduire que si $A$ est un fermé de $E$ et $B$ un compact de $E$ tels que $A$ et $B$ sont disjoints, alors il existe une constante $\delta>0$ telle que $$\|a-b\| \ge \delta \qquad \forall (a,b)\in A\times B.$$ \item Montrer par un contre-exemple que le résultat est faux si on suppose seulement que $A$ et $B$ sont deux fermés disjoints. \end{enumerate} \finenonce{001879} \finexercice \exercice{1881, maillot, 2001/09/01} \enonce{001881}{} \begin{enumerate} \item Montrer que $\forall p\geq 1$, l'application $\left(\begin{array}{cccl} N_p:&\R^n&\longrightarrow&\R\\ &x&\longmapsto &(\sum_{k=1}^n |x_i|^p)^\frac{1}{p} \end{array}\right)$ est une norme (on utilisera la convexité de $x^p$). \item Pour $x\in\R^n$ fixé, montrer que $\lim_{p\rightarrow +\infty} N_p(x)=\max(x_i,1\leq i\leq n)$, et que cela définit une norme, appelée {\bf norme infinie}, et notée $N_\infty$. \item \'Etablir les inégalités suivantes : $$ \forall x \in \R^n,\; N_\infty(x)\leq N_1(x)\leq\sqrt{n}N_2(x)\leq nN_\infty(x). $$ Que peut-on en déduire ? \item Dessiner les boules unités des normes 1,2, et $\infty$ dans $\R^2$. \end{enumerate} \finenonce{001881} \finexercice \exercice{1882, maillot, 2001/09/01} \enonce{001882}{} Soit $\left(\begin{array}{cccl} N:&\R^n&\longrightarrow&\R\\ &x&\longmapsto &\sum_{k=1}^n |\sum_{i=1}^k x_i| \end{array}\right)$. Montrer que $N$ est une norme. \finenonce{001882} \finexercice \exercice{1883, maillot, 2001/09/01} \enonce{001883}{} $A$ est dit {\it convexe} s'il contient tout segment reliant deux quelconques de ses points : $$ \forall (x,y)\in A^2,\;[x,y]=\{x+t(y-x),\,t\in [0,1]\}\subset A. $$ Soit $E$ un espace vectoriel muni d'une norme $N$. Montrer que toute boule fermée (ou ouverte) est convexe et symétrique par rapport à son centre. \finenonce{001883} \finexercice \exercice{1884, maillot, 2001/09/01} \enonce{001884}{} Soit $(E,N)$ un espace vectoriel normé. Montrer : $$ \forall (x,y)\in(E\setminus\{0\})^2,\;N(x-y)\geq\frac{1}{2}\sup(N(x),N(y))\cdot N\left(\frac{x}{N(x)}-\frac{y}{N(y)}\right). $$ \finenonce{001884} \finexercice \exercice{1885, maillot, 2001/09/01} \enonce{001885}{} Soit $E$ un espace vectoriel normé, et $(a,a')\in E^2$, $(r,r')\in(\R_+^*)^2$. Montrer : \begin{enumerate} \item $B(a,r)=\{a\}+B(0,r)$ \item $B(a,r)=B(a',r') \Leftrightarrow a=a' \text{ et } r=r'$ \item $B(a+a',r+r')=B(a,r)+B(a',r')$ \item $B(a,r)\cap B(a',r')\neq\emptyset\Leftrightarrow\|{a'-a}\|{}a\}$ et $B=\{x\in\R\ | \ x\not\in O \text{ et } x 0 $ l'ensemble $A\cap B(x, \epsilon )$ est infini. \vskip1mm {\em ii)} Pour tout $\epsilon > 0 $ il existe un \'el\'ement $y$ distinct de $x$ dans $A\cap B(x, \epsilon )$. \finenonce{001890} \finexercice \exercice{1891, legall, 2003/10/01} \enonce{001891}{} Soit $A$ l'ensemble des fonctions continues sur $[0,1]$ telles que $f(x)\geq 0$ pour tout $x\in [0,1].$ \begin{enumerate} \item On munit $C[0,1]$ de la norme $\displaystyle{\Vert f \Vert _{\infty}=\sup _{x\in [0,1]}\vert f(x)\vert }.$ Montrer que $A$ est ferm\'e et calculer son int\'erieur. \item On munit $C[0,1]$ de la norme $\displaystyle{\Vert f \Vert _{1}=\int _{0}^1\vert f(x)\vert dx}.$ Montrer que l'int\'erieur de $A$ est vide et que $A$ est ferm\'e. \end{enumerate} \finenonce{001891} \finexercice \exercice{1892, legall, 2003/10/01} \enonce{001892}{} Soit $ (E,\Vert \quad \Vert ) $ un espace vectoriel norm\'e sur $\Rr$. On pose $$\mu (E) = \sup _{x,y \in E-(0,0)}\frac{\Vert x+y\Vert ^2+\Vert x-y\Vert ^2}{2(\Vert x\Vert ^2+\Vert y\Vert ^2)}.$$ \begin{enumerate} \item Montrer que $1\leq \mu (E)\leq 2$. \item Calculer $\mu (\Rr ^2)$ lorsque $\R^2$ est muni de la norme euclidienne puis de la norme $\Vert (x,y)\Vert _{\infty}=\max \{\vert x\vert, \vert y\vert \}$. \end{enumerate} \finenonce{001892} \finexercice \exercice{1893, legall, 2003/10/01} \enonce{001893}{} Soit $\Vert \quad \Vert $ une norme sur $\Rr ^n$ et $A=(a_{i,j})_{i,j\in {1,\cdots n}}\in M_n(\Rr ).$ On pose~: $$\Vert A\Vert=\sup_{x\in \Rr^n ;\Vert x\Vert =1}\Vert Ax\Vert .$$ \begin{enumerate} \item Montrer qu'on d\'efinit ainsi une norme sur $M_n(\Rr ).$ \item On munit $\Rr ^n$ de la norme $\Vert \quad \Vert _1.$ Montrer que $\displaystyle{\Vert A\Vert _1= \max _{ 1\leq j \leq n}(\sum _{j=1}^n \vert a_{i,j}\vert ).}$ \end{enumerate} \finenonce{001893} \finexercice \exercice{1895, legall, 2003/10/01} \enonce{001895}{} On munit $C[0,1]$, l'espace vectoriel des fonctions continues sur $[0,1]$ \`a valeurs r\'eelles de la norme $\Vert f\Vert _{\infty }= \displaystyle{ \sup _{x\in [0,1]}\vert f(x)\vert }.$ \begin{enumerate} \item Soit $\varphi : C[0,1]\rightarrow \Rr $ une application lin\'eaire. On pose $N(\varphi ) =\displaystyle{ \sup _{f\in C[0,1]; \Vert f \Vert _{\infty}=1}\vert \varphi (f)\vert } .$ Montrer que $\varphi $ est continue si et seulement si $N(\varphi ) $ est fini. \item Calculer $N(\psi )$ lorsque $\psi (f) = \displaystyle{\int _0 ^1f(t)dt }.$ \item Posons, pour toute fonction $f\in C[0,1]$ : $\varphi (f) = \displaystyle{\int _0 ^\frac{1}{2}f(t)dt -\int _\frac{1}{2}^1f(t)dt}.$ Montrer que $N(\varphi )=1$. \end{enumerate} \finenonce{001895} \finexercice \exercice{1896, legall, 2003/10/01} \enonce{001896}{} On munit $E$, l'espace vectoriel des fonctions continues sur $[0,1]$ \`a valeurs r\'eelles telles que $f(0)=0$ de la norme $\Vert f\Vert _{\infty }= \displaystyle{ \sup _{x\in [0,1]}\vert f(x)\vert }.$ \begin{enumerate} \item Soit $\varphi : E\rightarrow \Rr $ une application lin\'eaire. On pose $N(\varphi ) =\displaystyle{ \sup _{f\in E; \Vert f \Vert _{\infty}=1}\vert \varphi (f)\vert } .$ Montrer que $\varphi $ est continue si et seulement si $N(\varphi ) $ est fini. Montrer que $\varphi \mapsto N(\varphi )$ est une norme sur l'espace vectoriel des formes lin\'eaires continues sur $E$. \item Calculer $\mu =N(\psi )$ lorsque $\psi $ est d\'efinie en posant, pour toute fonction $f\in E$ : $\psi (f) = \displaystyle{\int _0 ^1f(t)dt }.$ \item Peut-on trouver une fonction $f\in E$ telle que $\vert \psi (f)\vert =\mu $ et $ \Vert f \Vert _{\infty}=1$~? \end{enumerate} \finenonce{001896} \finexercice \exercice{1897, legall, 2003/10/01} \enonce{001897}{} On munit $E =C^1[0,1]$ et $F=C [0,1]$ de la norme $\Vert f\Vert _{\infty }= \displaystyle{ \sup _{x\in [0,1]}\vert f(x)\vert }$. \begin{enumerate} \item Soit $\varphi : E\rightarrow F $ une application lin\'eaire. On pose $N(\varphi ) =\displaystyle{ \sup _{f\in E; \Vert f \Vert _{\infty}=1}\vert \varphi (f)\vert } .$ Montrer que $\varphi $ est continue si et seulement si $N(\varphi ) $ est fini. \item Montrer que l'application $f\mapsto f' $ n'est pas continue. \end{enumerate} \finenonce{001897} \finexercice \exercice{1898, legall, 2003/10/01} \enonce{001898}{} Soit $(E, \langle , \rangle )$ un espace euclidien et $S=\{ x \in E ; \Vert x \Vert =1 \} .$ \begin{enumerate} \item Soient $x, y\in E $ et $I$ le segment $[x,y]$. Calculer $S\cap I .$ \item Les normes $\Vert \quad \Vert _{1} $ et $\Vert \quad \Vert _{\infty } $ de $\Rr ^n$ sont-elles euclidiennes ? \end{enumerate} \finenonce{001898} \finexercice \exercice{1899, legall, 2003/10/01} \enonce{001899}{} \begin{enumerate} \item Soit $A\in M_n(\Cc )$. Montrer quil existe une suite de matrices $(A_n)_{n\in \Nn }$ inversibles convergeant vers $A$ (en un sens que l'on pr\'ecisera). \item Soit $N\in M_n(\Cc )$ une matrice nilpotente. Calculer les valeurs propres de $N$. Montrer que $\hbox{det}(I+N)=1.$ \item Soit $A\in M_n(\Cc )$ telle que $AN=NA$. Calculer $\hbox{det}(A+N).$ \end{enumerate} \finenonce{001899} \finexercice \exercice{1900, legall, 2003/10/01} \enonce{001900}{} \ \par \begin{center}{\large \bf I Pr\'eliminaires} \end{center} \begin{enumerate} \item Soit $\mathcal{P} $ l'espace vectoriel des fonctions polynomiales de $[0,1]$ \`a valeurs dans $\Rr .$ Montrer que $\mathcal{P} $ est de dimension infinie. \item Soit $X$ une partie born\'ee de $\Rr .$ Montrer que $\sup (X)=\sup \bar{X}.$ \end{enumerate} \vskip5mm \begin{center}{\large \bf II} \end{center} \vskip5mm On note $\mathcal{L}$ l'ensemble des fonctions {\em lipschitziennes} de $[0,1]$ \`a valeurs dans $\Rr$, c'est \`a dire telles qu'il existe $k\in \R _+$ tel que, pour tout $x,y\in [0,1], $ $ \vert f(x)-f(y)\vert \leq k\vert x-y\vert $. On note $\C ^1$ l'ensemble des fonctions de $[0,1]$ \`a valeurs dans $\Rr$ de classe $C ^1,$ c'est \`a dire d\'erivables \`a d\'eriv\'ee continue. \begin{enumerate} \item Montrer que $\mathcal{L} $ est un sous espace vectoriel de l'espace vectoriel des fonctions de $[0,1]$ \`a valeurs dans $\Rr$, que $\mathcal{L} $ contient $\C ^1$ et est de dimension infinie. \item On pose, pour tout $f\in \mathcal{L} :$ $$\displaystyle{ N_1(f)=\vert f(0)\vert +\sup _{(x,y)\in [0,1]^2, x\not = y}\dfrac {\vert f(x)-f(y)\vert }{\vert x-y\vert }}$$ $$\displaystyle{ N_2(f)=\vert f(0)\vert +\sup _{x\in ]0,1]}\dfrac {\vert f(x)-f(0)\vert }{\vert x\vert }}$$ $$ \Vert f \Vert _{\infty} =\sup _{x\in [0,1]}\vert f(x)\vert $$ $$\displaystyle{ \lambda (f)=\Vert f\Vert _{\infty} +\sup _{(x,y)\in [0,1]^2, x\not = y}\dfrac {\vert f(x)-f(y)\vert }{\vert x-y\vert }}.$$ \begin{enumerate} \item Montrer que $N_1$, $N_2$, $ \Vert \ \Vert _{\infty}$ et $\lambda $ sont des normes sur $\mathcal{L} .$ \item En consid\'erant la suite $f_n(x)=\sin (2\pi n x),$ montrer que $N_2$ n'est pas \'equivalente \`a $ \Vert \ \Vert _{\infty}.$ \item Montrer que $N_1$ n'est \'equivalente ni \`a $ \Vert \ \Vert _{\infty}$, ni \`a $N_2.$ \item Construire une suite $(g_n)_{n\in \Nn }$ d'\'el\'ements de $\mathcal{L} $ qui converge vers $0$ pour $ \Vert \ \Vert _{\infty}$ mais pas pour $N_2$. En d\'eduire (de nouveau) que $N_2$ n'est pas \'equivalente \`a $ \Vert \ \Vert _{\infty}.$ \item Montrer que $\lambda $ et $N_1$ sont \'equivalentes. \end{enumerate} \item On pose, pour tout $f\in \C ^1 :$ $\displaystyle{ \nu _1(f)=\vert f(0)\vert +\Vert f'\Vert _{\infty}}$ et $\displaystyle{ \nu (f)=\Vert f\Vert _{\infty} +\Vert f'\Vert _{\infty}}.$ \begin{enumerate} \item Montrer que $\nu _1$ et $\nu $ sont des normes sur $\C ^1$. \item Montrer que $\nu _1(f)= N_1(f) ,$ pour tout $f\in \C ^1.$ \item Les normes $\nu $ et $\nu _1$ sont-elles \'equivalentes~? \end{enumerate} \item Soit $(E, \Vert \ \Vert )$ un espace vectoriel norm\'e. Une suite $(x_n)_{n\in \Nn }$ d'\'el\'ements de $E$ est dite de {\em Cauchy} si, pour tout $\epsilon >0, $ il existe $N $ tel que, si $m, n\geq N$ alors $\Vert x_n-x_m\Vert \leq \epsilon .$ On dit que $(E, \Vert \ \Vert )$ est {\em complet} si toute suite de Cauchy y est convergente. On rappelle que $\Rr $ muni de la norme $x\mapsto \vert x \vert $ est complet. \begin{enumerate} \item Soit $C^0$ l'espace vectoriel des fonctions continues de $[0,1]$ \`a valeurs dans $\Rr$. Montrer que $(C^0, \Vert \ \Vert _{\infty})$ est complet. \item L'espace vectoriel norm\'e $(\C^1, \nu )$ est-il complet~? Qu'en est-il de $(\C^1, \nu _1)$~? \item Soit $(f_n)_{n\in \Nn }$ une suite de Cauchy dans $(\mathcal{L} , \lambda ).$ Montrer que $(f_n)_{n\in \Nn }$ converge uniform\'ement vers une fonction continue $f.$ \item D\'emontrer que pour $n $ assez grand $f-f_n$ est lipschitzienne. \item En d\'eduire que $(\mathcal{L} , \lambda )$ est complet. \end{enumerate} \end{enumerate} \vskip5mm \begin{center}{\large \bf III} \end{center} \vskip5mm On munit $\C ^1$ d'une norme $N$ et et $C^0$ de la norme $\Vert \ \Vert _{\infty }$. On note $d$ l'application $f\mapsto f'$ de $\C ^1$ \`a valeurs dans $\C ^0.$ \begin{enumerate} \item Soit $\varphi : \C ^1\rightarrow C^0 $ une application lin\'eaire. On pose $N(\varphi ) =\displaystyle{ \sup _{f ; N( f )\leq 1}\Vert \varphi (f)\Vert _{\infty}} .$ D\'emontrer que $\varphi $ est continue si et seulement si $N(\varphi ) $ est fini. V\'erifier que $N$ est une norme sur l'espace vectoriel des applications lin\'eaires continues de $\C ^1$ \`a valeurs dans $\C^0.$ \item Montrer que l'application $d $ n'est pas continue si $N= \Vert \ \Vert _{\infty}$. \item On munit $\C ^1$ de la norme $\nu .$ Montrer que $d$ est continue et calculer $N(d).$ \end{enumerate} \finenonce{001900} \finexercice \exercice{6055, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006055}{} \begin{enumerate} \item Soit $||.||$ une norme sur $\Rr^n$ et $K$ sa boule unité fermée. Montrer que (i) $K$ est symétrique, (ii) $K$ est convexe, fermé, borné, (iii) $0$ est un point intérieur à $K$. \item Réciproquement, montrer que si $K$ possède les trois propriétés ci-dessus, il existe une norme dont $K$ soit la boule unité fermée, en considérant \qquad $p(x)=\inf\{a>0\ ;\ {x\over a}\in K\}$. \end{enumerate} \finenonce{006055} \finexercice \exercice{6056, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006056}{} Montrer que dans un espace normé, la boule unité est convexe. Réciproquement, supposons que l'espace vectoriel soit muni d'une applica\-tion $N$ de $E$ dans $\Rr^+$ telle que $N(\lambda x)=\vert\lambda\vert N(x)$, et telle que $\{y/N(y)\leq1\}$ soit convexe. Montrer que $$N(x+y)\leq 2\sup(N(x), N(y)), \ \ x,y\in E.$$ \finenonce{006056} \finexercice \exercice{6057, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006057}{} On considère dans ${\Rr}^2$, les deux applications $$n((x,y))=\sup_{t\in [0,1]}\vert x+ty\vert,$$ $$m((x,y))=\int_0^1\vert x+ty\vert\ dt.$$ \begin{enumerate} \item Montrer que $n$ et $m$ définissent deux normes sur ${\Rr}^2$. \item Dessiner les boules unités fermées associées, et trouver des constantes effec\-tives $A$,$B$, telles que $A\ n((x,y))\leq m((x,y))\leq B\ n((x,y))$ pour tout $(x,y)\in {\Rr}^2$. \end{enumerate} \finenonce{006057} \finexercice \exercice{6058, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006058}{} \begin{enumerate} \item On considère dans ${\Rr}^2$ les 4 boules euclidiennes fermées de rayon $1$ centrées aux points $(1,0), (-1,0), (0,1), (0,-1)$; $A$ leur réunion contient $0$ comme point intérieur. Trouver le rayon de la plus grande boule ouverte centrée en $0$ et contenue dans $A$. \item On se pose plus généralement le problème dans ${\Rr}^n$ : $A$ désigne l'union $\cup_j\overline B(e_j,1)\cup_j\overline B(-e_j,1)$ où $(e_j)$ est la base canonique de ${\Rr}^n$. Montrer que $x\in A$ si et seulement si $\Vert x\Vert_2^2\leq 2\Vert x\Vert_\infty$. En déduire que le rayon de la plus grande boule ouverte centrée en $0$ et contenue dans $A$ est ${2\over\sqrt n}$. \end{enumerate} \finenonce{006058} \finexercice \exercice{6059, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006059}{} Soit $N$ un entier $\geq1$, et $E$, l'espace des polyn\^omes trigonométriques $p$ de degré $\leq N$, $p(t)=\sum_{-N}^N c_k\exp(ikt).$ On pose, pour $p\in E$, $\Vert p\Vert_{\infty}=\sup_{t\in[0,2\pi]} \vert p(t)\vert$, et $\Vert p\Vert=\sum_{-N}^N \vert c_k\vert$. Montrer, à l'aide de l'identité de Parseval, que ces deux normes vérifient $$\Vert p\Vert_{\infty}\leq \Vert p\Vert\leq\sqrt{2N+1}\Vert p\Vert_{\infty}.$$ \finenonce{006059} \finexercice \exercice{6088, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006088}{} Soit $E$ un espace vectoriel normé sur $\R$ ou $\C$. \begin{enumerate} \item Vérifier que l'application $(\lambda,x)\to \lambda x$ est continue; que $(x,y)\to x+y$ est lipschitzienne ainsi que l'applica\-tion $x\to\Vert x\Vert$; et que les translations et les homothéties sont des homéomor\-phismes de $E$. \item Montrer que la boule unité ouverte est homéomorphe à $E$ tout entier (considérer l'application $x\to {x\over 1-||x||}$). \item Montrer que deux boules ouvertes de $(E,||.||)$ sont homéomorphes entre elles. \item Montrer que le seul sous-espace ouvert de $E$ est $E$ lui-même, et que tout sous-espace propre est d'intérieur vide dans $E$. \item Montrer que l'adhérence d'un sous-espace vectoriel est encore un sous-espace vectoriel; en déduire qu'un hyperplan de $E$ est fermé ou partout dense dans $E$. \end{enumerate} \finenonce{006088} \finexercice \exercice{6089, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006089}{extrait du partiel de décembre 98} Soit $E$ un espace vectoriel normé sur $\C$ de boule unité fermée $\overline B$ et $F$ un sous-espace vectoriel fermé de $E$. On va montrer que si $F\not=E$, $$\sup_{x\in\overline B} d(x,F)=1.$$ \begin{enumerate} \item Etablir les propriétés pour $x,x'\in E, y\in F, \lambda\in\C$ : \quad (i) $d(x,F)\leq ||x||$. \quad (ii) $d(\lambda x,F)=|\lambda| d(x,F)$. \quad (iii) $d(x-y,F)=d(x,F)$ \quad (iv) $d(x+x',F)\leq d(x,F)+d(x',F)$. \item Soit $x\in\overline B$ tel que $\alpha=d(x,F)>0$. Montrer que pour tout $\varepsilon>0$ il existe $y\in F$ tel que : $$\alpha\leq ||x-y||<\alpha(1+\varepsilon).$$ \item Montrer qu'il existe $x'\in\overline B$ tel que : \qquad ${1\over{1+\varepsilon}}=d(x',F)<1$. \item En déduire le résultat. \end{enumerate} \finenonce{006089} \finexercice \section{ 425.00 Espace métrique complet, espace de Banach } \exercice{2395, mayer, 2003/10/01} \enonce{002395}{} L'espace $(\Rr , d)$ est-il complet si $d$ est l'une des m\'etriques suivantes? \begin{enumerate} \item $d(x,y) = |x^3-y^3|$. \item $d(x,y) = |\exp (x) -\exp (y)|$. \item $d(x,y) = \log (1+ |x-y|)$. \end{enumerate} \finenonce{002395} \finexercice \exercice{2396, mayer, 2003/10/01} \enonce{002396}{} On consid\`ere pour $x,y \in \Rr$, $d(x,y) =\|f(x) -f(y)\|$, o\`u $f$ est une application injective de $\Rr$ dans $\Rr ^2$. Montrer que cette distance est compl\`ete si et seulement si $f$ est d'image ferm\'ee dans $\Rr^2$. \finenonce{002396} \finexercice \exercice{2397, mayer, 2003/10/01} \enonce{002397}{} \label{exocomp} On consid\`ere l'espace des fonctions continues $X={\cal C}([a,b])$. \begin{enumerate} \item Soit $\omega \in X$ une fonction qui ne s'annule pas sur $[a,b]$. Posons $$d_\omega (f,g) = \sup_{t\in[a,b]} |\omega (t) (f(t)-g(t))| \; .$$ L'espace $(X,d_\omega)$ est-il complet? \item Montrer que l'espace $(X, \|.\|_1)$ n'est pas complet (o\`u $\|f\|_1 = \int _0^1 |f(t)| \, dt$). \end{enumerate} \finenonce{002397} \finexercice \exercice{2398, mayer, 2003/10/01} \enonce{002398}{} Soit $X={\cal C}^1([a,b])$. \begin{enumerate} \item Est-ce un espace complet si on le muni de la norme uniforme $\| . \| _\infty $? \item Consid\'erons maintenant, pour $f\in X$, la norme $$ N(f) = \sup _{t\in [a,b]} \|f(t)\| + \sup _{t\in [a,b]} \|f'(t)\|\; .$$ L'espace $(X,N)$ est-il complet? \end{enumerate} \finenonce{002398} \finexercice \exercice{2399, mayer, 2003/10/01} \enonce{002399}{} Soit $X$ l'espace des suites r\'eelles nulles \`a partir d'un certain rang, et soit $$\rho (x,y) =\sum _{k=1}^\infty 2^{-k} \frac{|x_k-y_k|}{1+|x_k-y_k|}\quad \text{pour} \; x,y\in X\; .$$ \begin{enumerate} \item Montrer que $X$ n'est pas complet pour la m\'etrique $\rho $. \item Trouver un espace de suites $Y$ tel que $(Y, \rho )$ soit complet et tel que $X$ soit dense dans $Y$. \item Que donne l'exercice si on remplace $\rho$ par la norme uniforme? \end{enumerate} \finenonce{002399} \finexercice \exercice{2400, mayer, 2003/10/01} \enonce{002400}{} Soit $E$ un espace vectoriel norm\'e. On dit qu'une s\'erie $\sum u_k$ est normalement convergente si la s\'erie $\sum \| u_k \|$ est convergente. On veut d\'emontrer que $E$ est complet si et seulement si toute s\'erie normalement convergente est convergente. \begin{enumerate} \item Soit $(x_n)$ une suite de Cauchy de $E$; montrer qu'on peut en extraire une sous-suite $(x_{n_k})$ telle que la s\'erie de terme g\'en\'eral $u_k = x_{n_{k+1}} - x_{n_k}$ soit normalement convergente. En d\'eduire que si toute s\'erie normalement convergente est convergente, alors $E$ est complet. \item Soit $\sum u_k$ une s\'erie normalement convergente. On note $S_n = \sum _{k=0}^nu_k$. Montrer que $S_n$ est une suite de Cauchy. En d\'eduire que si $E$ est complet, alors toute série normalement convergente est convergente. \end{enumerate} \finenonce{002400} \finexercice \exercice{2401, mayer, 2003/10/01} \enonce{002401}{} Soient $E,F$ des espaces norm\'es et $A_n,A \in {\cal L}(E,F)$. Montrer l'\'equivalence entre: \begin{enumerate} \item $A_n \to A$ dans ${\cal L}(E,F)$. \item Pour toute partie born\'ee $M\subset E$, la suite $A_n x$ converge uniform\'ement vers $Ax$, $x\in M$. \end{enumerate} \finenonce{002401} \finexercice \exercice{2402, mayer, 2003/10/01} \enonce{002402}{Cours} Soit $E$ un espace norm\'e et $F$ un espace de Banach. Alors ${\cal L}(E,F)$ est aussi un espace de Banach. \finenonce{002402} \finexercice \exercice{2403, mayer, 2003/10/01} \enonce{002403}{} Soit $\delta$ la m\'etrique sur $\Rr$ d\'efinie par $\delta(x,y)=\vert{x\over{1+\vert x\vert}}-{y\over{1+\vert y\vert}}\vert$. Montrer, \`a l'aide du th\'eor\`eme de prolongement de fonction uniform\'ement continue, que l'identit\'e $i:({\Rr},\delta)\to ({\Rr},\vert.\vert)$ n'est pas uniform\'ement continue. \finenonce{002403} \finexercice \exercice{6211, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006211}{} \begin{enumerate} \item Pour $n,m\in \Nn^*$, on pose $d(n,m)=|{1\over n}-{1\over m}|$. Montrer que $d$ est une distance sur $\Nn^*$ qui induit la topologie discrète sur $\Nn^*$; est-elle complète ? \item Montrer que $\overline{\Rr}$ est un espace métrique complet pour la distance $d(x,y)=\vert \arctan x-\arctan y\vert$. \end{enumerate} \finenonce{006211} \finexercice \exercice{6212, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006212}{} Soit $E$ un espace normé. Montrer qu'il est complet si et seulement si la sphère unité $S=\{x/\Vert x\Vert=1\}$ est complète. \finenonce{006212} \finexercice \exercice{6213, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006213}{} \begin{enumerate} \item Pour $x,y\in\Rr^*$ on pose $d(x,y)=|x-y|+|{1\over x}-{1\over y}|$. Montrer que $d$ définit une distance sur $\Rr^*$ qui induit la topologie usuelle et que $({\Rr^*},d)$ est complet. \item Plus généralement soit $U$ un ouvert d'un espace complet $(X,d)$; comment peut-on définir une métrique $\delta$ sur $U$, équivalente à la métrique initiale, qui fasse de $U$ un espace complet ? \end{enumerate} \finenonce{006213} \finexercice \exercice{6214, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006214}{} Soit $E$ un espace vectoriel normé. \begin{enumerate} \item Soit $(x_n)$ une suite de Cauchy de $E$; montrer qu'on peut en extraire une sous-suite $(x_{n_k})$ telle que la série de terme général $u_k=x_{n_{k+1}}-x_{n_k}$ soit normalement convergente. \item En déduire que $E$ est complet si et seulement si toute série normalement convergente est convergente. \end{enumerate} \finenonce{006214} \finexercice \exercice{6215, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006215}{} \begin{enumerate} \item Montrer que l'espace $C([0,1])$ est complet pour la norme uniforme mais pas pour la norme $||.||_1$. \item Montrer que l'espace $S$ des suites réelles nulles à partir d'un certain rang, muni de la norme uniforme, n'est pas complet. Trouver un espace métrique complet contenant $S$ comme sous-espace dense. \end{enumerate} \finenonce{006215} \finexercice \exercice{6216, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006216}{} \begin{enumerate} \item Soit $f$ un homéomorphisme d'espaces métriques $f:X\to Y$; montrer que $X$ peut être complet sans que $Y$ le soit. \item On suppose de plus que $f$ est uniformément continue. Montrer que si $Y$ est complet, $X$ l'est aussi. \item On considère $E=\{f\in C^1([0,1])\ ;\ f(0)=0\}$, muni de la métrique $d(f,g)=\inf(1,\sup|f'(t)-g'(t)|)$. Montrer que $E$ est complet pour cette métrique. \end{enumerate} \finenonce{006216} \finexercice \exercice{6217, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006217}{} Soit $E$ un Banach, $A$,$B$ deux sous-espaces de $E$ tels que $A\cap B=\{0\}$, $A$ étant fermé et $B$ de dimension finie. \begin{enumerate} \item Pour $b\in B$, on définit $[b]=d(b,A)=\inf_{a\in A}||a+b||$. Vérifier que $[.]$ est une norme sur $B$. \item En déduire qu'il existe $C>0$ telle que $||a+b||\geq C||b||$ pour tous $a\in A$ et $b\in B$. \item Montrer que $A\oplus B$ est encore un sous-espace fermé de $E$. \end{enumerate} \finenonce{006217} \finexercice \exercice{6218, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006218}{} Soit $(X,d)$ un espace métrique, et $(x_n)$ une suite de Cauchy dans $X$. Vérifier : \begin{enumerate} \item La suite $(x_n)$ est bornée même si la métrique est non bornée, mais il existe des suites bornées dont aucune sous-suite n'est de Cauchy. \item Si $(x_n)$ contient une sous-suite convergente, elle est convergente. \item Soit $(\epsilon_k)$ une suite quelconque de réels $>0$; il existe une sous-suite $(x_{n_k})$ de $(x_n)$ telle que $d(x_{n_k},x_{n_{k+1}})\leq \epsilon_k.$ \item Soit $(y_n)$ une suite quelconque de $X$. Si $\sum_1^\infty d(y_n,y_{n+1})<\infty$, la suite $(y_n)$ est de Cauchy. Réciproque ? \item On suppose cette fois la distance $d$ ultramétrique. Dans ce cas $(y_n)$ est de Cauchy si et seulement si $d(y_n,y_{n+1})$ tend vers $0$. \end{enumerate} \finenonce{006218} \finexercice \exercice{6219, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006219}{} Vérifier que $\overline{\Rr}$ est un espace métrique complet pour la distance $d(x,y)=\vert \arctan x-\arctan y\vert$. \finenonce{006219} \finexercice \exercice{6220, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006220}{} Sur l'ensemble $\Nn$ des entiers naturels, définissons \begin{eqnarray*} d(n,m)&=& 0 \ \ {\rm pour}\ m=n\\ &=& 1+{1\over{n+m}}\ \ {\rm pour}\ m\neq n \end{eqnarray*} \begin{enumerate} \item Montrer que $d$ est une métrique sur $\Nn$ pour laquelle il est complet. \item Construire dans $({\Nn},d)$ une suite de boules fermées non vides embo\^\i tées dont les rayons ne tendent pas vers $0$, et d'intersection vide. \end{enumerate} \finenonce{006220} \finexercice \exercice{6221, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006221}{} Soit $U$ un ouvert d'un espace complet $(X,d)$; on note $F=U^c$ et $f(x,y)=\vert{1\over{d(x,F)}}-{1\over{d(y,F)}}\vert$ pour $x,y \in U$. Montrer que $\delta(x,y)=\max(d(x,y),f(x,y))$ définit une distance sur $U$ équiva\-lente (topologiquement) à $d$ et que $(U,\delta)$ est complet. \finenonce{006221} \finexercice \exercice{6222, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006222}{} Soit $X$ un espace métrique et $(a_n)$ une suite de Cauchy dans $X$. \begin{enumerate} \item Montrer que pour tout $x\in X$, la suite de réels $(d(a_n,x))$ a une limite. On note $f(x)$ cette limite; montrer que l'application $x\to f(x)$ est continue de $X$ dans $\Rr$. \item Calculer $\inf_{x\in X} f(x)$. Quand cette borne inférieure est-elle atteinte? \item Déduire de ce qui précède que si $X$ n'est pas complet, il existe une applica\-tion $\phi:X\to\Rr$ continue et non bornée. \end{enumerate} \finenonce{006222} \finexercice \exercice{6223, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006223}{} On considère pour $f$ et $g$ dans $E=C(\Rr,C)$, $$d(f,g)=\sum_n{1\over {2^n}}\min(1,\sup_{\vert x\vert\leq n}\vert f(x)-g(x)\vert).$$ Vérifier que $d$ est une métrique sur $E$ pour laquelle il est complet. Montrer que la convergence pour $d$ n'est autre que la convergence uniforme sur tout compact de $\Rr$. \finenonce{006223} \finexercice \exercice{6224, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006224}{} Soit $(X,d)$ un espace métrique et $Y$ une partie de $X$; on considère $f$ une application surjective de $X$ sur $Y$, et on pose pour $u$ et $v$ dans $Y$ $$D(u,v)=d(f^{-1}(\{u\}),f^{-1}(\{v\}))=\inf_{x\in f^{-1}(\{u\}),y\in f^{-1}(\{v\})} d(x,y).$$ \begin{enumerate} \item Montrer que pour $u$ et $v$ dans $Y$, $D(u,v)\geq0$; que $D(u,u)=0$ et $D(u,v)=D(v,u)$; $D$ vérifie-t-elle l'inégalité triangulaire ? \item On suppose que pour $u$ dans $Y$, $f^{-1}(\{u\})$ est un fermé de $Y$, et que pour $u$ et $v$ dans $Y$ $$d(x,f^{-1}(\{v\}))=d(x',f^{-1}(\{v\}))$$ pour tous $x$ et $x'$ dans $f^{-1}(\{u\})$. Montrer alors que $D$ est une distance. \item On suppose les conditions de 2. vérifiées. Montrer que $Y$ est complet si $X$ est complet. \end{enumerate} \finenonce{006224} \finexercice \exercice{6225, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006225}{} On considère sur $C^1([0,1],\Rr)$ les normes suivantes : \begin{enumerate} \item $\Vert f\Vert=\sup_{[0,1]} \vert f(x)\vert$ \item $\Vert f\Vert=\sup_{[0,1]} \vert f'(x)\vert + \vert f(0)\vert$ \item $\Vert f\Vert=\sup_{[0,1]} \vert f'(x)+f(x)\vert + \vert f(0)\vert$ \end{enumerate} Lesquelles sont complètes sur $C^1([0,1],\Rr)$ ? \finenonce{006225} \finexercice \exercice{6226, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006226}{} Soit $(B,\Vert.\Vert)$ un espace de Banach et $M$, $N$ deux sous-espaces de $B$ tels que $B=M\oplus N$. On met sur $B$ une nouvelle norme $\Vert z\Vert'=\Vert x\Vert+\Vert y\Vert$ si $z=x+y$. \begin{enumerate} \item Vérifier que $\Vert.\Vert'$ est bien une norme sur $B$ et que $(B,\Vert.\Vert')$ est complet si et seulement si $M$ et $N$ sont fermés. \item Montrer que si les projections $P_M$ et $P_N$ sur $M$ et $N$ sont continues, $(B,\Vert.\Vert')$ est encore un Banach. \end{enumerate} \finenonce{006226} \finexercice \exercice{6227, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006227}{} On considère $E=c$, l'espace des suites réelles convergentes; montrer que, muni de la norme uniforme, $E$ est complet et décrire son dual topologique. \finenonce{006227} \finexercice \exercice{6228, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006228}{} On considère $E$ l'espace des séries convergentes, et on pose $$\Vert\xi\Vert=\sup_n\vert\sum_{k=1}^n\xi_k\vert$$ \begin{enumerate} \item Vérifier que ceci définit une norme sur $E$ pour laquelle il est complet. \item L'espace $l^1$ des séries absolument convergentes est un sous-espace de $E$; montrer que les normes $\Vert.\Vert$ et $\Vert.\Vert_1$ ne sont pas équivalentes sur $l^1$ (en considérant une série de terme général $\xi_k={{(-1)^k}\over {k^\alpha}}$.) \item Montrer que $l^1$ est dense dans $(E,\Vert.\Vert)$. \end{enumerate} \finenonce{006228} \finexercice \exercice{6229, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006229}{} Pour tout $k>0$ on note $H_k$ le sous-espace de $C([0,1])$ constitué des fonctions lipschitziennes de constante $k$ ie des fonctions $f$ vérifiant $\vert f(x)-f(y)\vert\leq k\vert x-y\vert$ pour tous $x$ et $y$ dans $[0,1]$. On pose aussi $H=\bigcup_{k>0}H_k$. \begin{enumerate} \item Montrer que $H$ contient les fonctions de classe $C^1$ sur $[0,1]$, mais que la fonction $\sqrt x $ n'est pas dans $H$. \item Montrer que pour tout $k$, $H_k$ est un espace de Banach pour la norme uniforme. \item Montrer qu'il existe une suite de fonction de $H$ qui converge uniformément sur $[0,1]$ vers $\sqrt x$. En déduire que $H$ n'est pas complet pour la norme uniforme. \item Montrer que si on pose $$\Vert f\Vert=\sup_{x\neq y}{{\vert f(x)-f(y)\vert}\over{\vert x-y\vert}} +\vert f(0)\vert,$$ on définit ainsi une norme sur l'espace $E$, pour laquelle l'espace est complet. \end{enumerate} \finenonce{006229} \finexercice \exercice{6230, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006230}{} Soit $E$ un espace de Banach, $A\in{\cal L}(E)$, et $s,t\in\Rr$. \begin{enumerate} \item On rappelle que $e^{tA}=\sum_0^\infty {{t^nA^n}\over{n!}}\in{\cal L}(E)$. Montrer que $\Vert e^{tA}\Vert\leq e^{\vert t\vert\Vert A\Vert}$ et que $e^{(t+s)A}=e^{tA} e^{sA}$. \item Soit $u_0\in E$ et $u$ la fonction vectorielle de variable réelle définie par $u(t)=e^{tA}u_0$. Montrer que $u$ est dérivable sur $\Rr$ et calculer sa dérivée. \end{enumerate} \finenonce{006230} \finexercice \exercice{6231, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006231}{} Soit $E$ un espace de Banach et $F$ un sous-espace fermé de $E$. \begin{enumerate} \item Montrer que $N(\bar x)=\inf_{y\in F} \Vert x+y\Vert=d(x,F)$ définit une norme sur l'espace vectoriel quotient $E/F$. \item Montrer à l'aide du critère sur les séries que $E/F$ muni de $N$ est un espace de Banach. \end{enumerate} \finenonce{006231} \finexercice \exercice{6781, gijs, 2011/10/16} \enonce{006781}{} Soit $A\subset \Rr^n$ compact, soit $\mathcal{C}^0(A) = \{\,f:A \to \Rr \mid f \text{ continue }\,\}$, et $ ||f||_\infty = \sup_{x\in A} |f(x)|$. Montrer que $(\mathcal{C}^0(A), ||{\ }||_\infty)$ est un espace de Banach. \finenonce{006781} \finexercice\exercice{6784, gijs, 2011/10/16} \enonce{006784}{} Soit $M\subset \Rr^n$ une sous-variété de dimension $k$, et soit $X$ un champ de vecteurs sur $M$. On définit $D = \{\,m\in M\mid X(m) \neq 0\,\}$ et $S = \overline D = \text{ fermeture } D$. On vous demande de démontrer l'énoncé : ``si $S$ est compact, alors $X$ est complet''. Les questions suivantes peuvent vous guider. \begin{enumerate} \item Pour $x \notin S$ trouver la courbe intégrale maximale $\gamma : J_x \to M$ passant par $x$. \item Montrer que si $x\in S$, et si $\gamma : J \to M$ est une courbe intégrale passant par $x$, alors $\forall\ t\in J\ :\ \gamma(t) \in S$. \item En utilisant la compacité de $S$, montrer que $X$ est complet (sur $M$ !). \end{enumerate} Nota Bene : $S$ n'est pas un sous-variété d'un $\Rr^m$; montrer le résultat (du cours!) ``si $M$ est compact, alors $X$ est complet'' rapporte moins de points. \finenonce{006784} \finexercice \exercice{6789, gijs, 2011/10/16} \enonce{006789}{} Soit $(X,d)$ un espace métrique et soit $a:\Nn \to X$ une suite dans $X$. \begin{enumerate} \item Quand est-ce que $a$ est une suite de Cauchy, une suite convergente ? \item Donner les définitions d'un point d'accumulation de la suite $a$, et de ``$(X,d)$ est complet''. \item Enoncer le théorème de Bolzano-Weierstrass. \item Montrer que si $a$ est de Cauchy et si $x$ est un point d'accumulation de $a$, alors $a$ converge vers $x$. \item Montrer que si $X$ est compact, alors $X$ est complet. \end{enumerate} \finenonce{006789} \finexercice\exercice{6791, gijs, 2011/10/16} \enonce{006791}{} Soit $B$ et $C$ deux sous-ensembles compacts de $\Rr^n$, et soit $E = \{\, f : B\to C \mid f \text{ continue}\,\}$. On définit $ d(f,g) = \sup_{x\in B} |f(x) - g(x)|$. \begin{enumerate} \item Montrer que $d : E \times E \to \Rr$ est une métrique sur $E$. \item Montrer que $(E,d)$ est un espace métrique complet. \end{enumerate} \finenonce{006791} \finexercice \exercice{6819, gijs, 2011/10/16} \enonce{006819}{} Soit $(E, \|\cdot\|)$ un espace vectoriel normé. Le but de cet exercice est de montrer que $E$ est complet si et seulement si toute série absolument convergente converge. \begin{enumerate} \item Soit $E$ complet et $(a_n)_{n\in \Nn}$ une suite dans $E$ telle que $\sum_{n=0}^\infty \|a_n\|$ converge. Démon\-trer que la suite $s_N = \sum_{n=0}^N a_n$ est une suite de Cauchy~; en déduire que $ \sum_{n=0}^\infty a_n$ converge. \item On suppose que toute série absolument convergente converge, c'est-à-dire si $\sum_{n=0}^\infty \|b_n\|$ converge, alors $\sum_{n=0}^\infty b_n$ converge. Soit $(a_n)_{n\in \Nn}$ une suite de Cauchy dans $E$. Trouver une suite strictement croissante $i\mapsto n_i \in \Nn$ telle que $\forall i : \|a_{n_{i+1}} - a_{n_i}\| < 2^{-i}$. En déduire que $\sum_{i=0}^\infty (a_{n_{i+1}} - a_{n_i})$ converge. Déduire de ce résultat que $E$ est complet. \end{enumerate} \finenonce{006819} \finexercice \section{ 426.00 Théorème du point fixe } \exercice{2404, mayer, 2003/10/01} \enonce{002404}{} \label{exn13} Soit $\alpha _n >0$ tel que la s\'erie $\sum_{n=1}^\infty \alpha _n $ converge. Soit $(X,d)$ un espace m\'etrique complet et $f:X\to X$ une application pour laquelle $$ d(f^n(x),f^n(y))\leq \alpha_n d(x,y) \quad \text{pour tout } x,y\in X \; \text {et }\; n\in \Nn\; .$$ Montrer que, sous ces conditions, $f$ poss\`ede un unique point fixe $p\in X$, que pour tout point initial $x_0 \in X$, la suite des it\'er\'ees $(x_n=f^n (x_0))_{n\geq 0}$ converge vers $p$ et que la vitesse de convergence d'une telle suite est contr\^ol\'ee par $$ d(p,x_n) \leq \left ( \sum_{\nu =n}^\infty \alpha _\nu \right ) d(x_1,x_0) \; .$$ \finenonce{002404} \finexercice \exercice{2405, mayer, 2003/10/01} \enonce{002405}{} \label{exoiter} Soit $(X,d)$ un espace m\'etrique complet et soit $f: X\to X$ une application telle que l'une de ces it\'er\'ees $f^n$ est strictement contractante, i.e. il existe $\rho <1$ tel que $$ d(f^n(x),f^n(y)) \leq \rho d(x,y) \quad \mbox{pour tout} \quad x,y\in X \; .$$ Montrer que $f$ poss\`ede un unique point fixe. Faire le rapprochement avec l'exercice \ref{exn13}. \finenonce{002405} \finexercice \exercice{2406, mayer, 2003/10/01} \enonce{002406}{} Soit $X = ({\cal C}^1([0,1]),N)$ avec $N(f) = \|f\|_\infty+\|f'\|_\infty$. Montrer qu'il existe une fonction $f\in X$ qui est point fixe de l'op\'erateur $T$ donn\'e par $$ Tf(x)= 1 + \int _0^x f(t-t^2)\, dt \; .$$ On pourra commencer par \'etablir que $T\circ T$ est une contraction. Utiliser ceci pour \'etablir l'existence d'une fonction unique $f\in X$ qui v\'erifie $f(0)=1 $ et $f'(x) = f(x-x^2) $. \finenonce{002406} \finexercice \exercice{2407, mayer, 2003/10/01} \enonce{002407}{} Soient $y\in {\cal C}([a,b])$ et $k\in {\cal C}([a,b]\times [a,b])$ des fonctions continues. On se propose de r\'esoudre l'\'equation (int\'egrale de Fredholm) suivante: \begin{equation}\label{eq 11} x(s) -\int _a^b k(s,t) x(t) \, dt =y(s) \quad \text{pour} \; s\in [a,b] \; \end{equation} d'inconnue $x\in{\cal C}([a,b])$. Pour ce faire on suppose que le "noyau" $k$ satisfait l'hypoth\`ese suivante: $$ \lambda := \max _{a\leq s\leq b} \int _a^b |k(s,t)|\, dt <1 \quad \left( \mbox{ou m\^eme} \quad \max_{a\leq s,t\leq b} |k(s,t)| <\frac{1}{b-a} \;\right) .$$ \begin{enumerate} \item Rappeler que $({\cal C}([a,b]),\| .\| _\infty)$ est un espace complet. \item Soit $x\in {\cal C}([a,b]) \mapsto Ax \in {\cal C}([a,b])$ l'application donn\'ee par $$(Ax)(s) :=\int _a^b k(s,t) x(t) \, dt +y(s) \; .$$ Noter que (\ref{eq 11}) \'equivaut \`a $Ax=x$ et qu'on cherche donc un point fixe de $x \mapsto Ax$. D\'eduire des hypoth\`eses faites sur $k$ qu'un tel point fixe $x\in {\cal C}([a,b])$ existe et que toute suite $A^n x_0$, $x_0\in{\cal C}([a,b])$, converge uniform\'ement vers ce point fixe $x$. \item {\it D\'ependance continue de la solution $x = x(y)$}. Soient $y_1,y_2\in{\cal C}([a,b])$ deux fonctions et $x_1, x_2\in{\cal C}([a,b])$ les deux solutions associ\'ees de (\ref{eq 11}) ou, de fa\c{c}on \'equivalente, les points fixes des applications associ\'ees $x\mapsto A_i x$. Montrer que $$ \| x_1 - x_2\|_\infty = \| A_1 x_1 -A_2 x_2\|_\infty\leq \|y_1 -y_2\|_\infty+ \lambda \|x_1 -x_2 \|_\infty \; .$$ En d\'eduire que $$\|x_1 -x_2\|_\infty \leq \frac{1}{1-\lambda}\| y_1 -y_2\|_\infty$$ et donc que la solution $x$ de (\ref{eq 11}) d\'epend continuement de la fonction $y$. \end{enumerate} \finenonce{002407} \finexercice\exercice{6232, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006232}{} \begin{enumerate} \item Soit $X$ un espace métrique et $(f_n)$ une suite d'applications conti\-nues à valeurs dans un espace métrique $Y$, convergeant vers $f$ uniformément sur $X$. Montrer que si $(x_n)$ est une suite de points de $X$ convergeant vers $x\in X$, alors $f_n(x_n)$ tend vers $f(x)$. \item Application : Soit $X$ un espace métrique compact, et soit $(f_n)$ une suite d'applications continues de $X$ dans $X$, ayant chacune un point fixe; on suppose que la suite $(f_n)$ converge vers une fonction $f$ uniformément sur $X$. Montrer que $f$ a aussi un point fixe. \item Soit $K$ un convexe compact de $\Rr^n$ et $f$ une application continue de $K$ dans $K$ vérifiant $$\Vert f(x)-f(y)\Vert \leq \Vert x-y\Vert;$$ En considérant les fonctions $f_n$ définies sur $K$ par $f_n(x)={1\over n}f(x_0)+(1-{1\over n})f(x)$, où $x_0\in K$, montrer que $f$ a un point fixe. Est-il unique ? Que se passe-t-il si $K$ n'est plus convexe ? \end{enumerate} \finenonce{006232} \finexercice \exercice{6233, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006233}{} Soit $E$ un espace métrique compact, $f$ une application continue de $E$ dans $E$ et on note $\Omega$ l'ensemble de ses points fixes. \begin{enumerate} \item Montrer que $\Omega$ est un compact, qui est non vide dans le cas où $E=[a,b]$. \item Si $\Omega=\emptyset$, montrer qu'il existe $r>0$ tel que $d(x,f(x))\geq r$ pour tout $x\in E$. \item On suppose que $d(f(x),f(y))1$, $B_n=\{x\in B_{n-1}/ \Vert x-y\Vert\leq {1\over2}\delta(B_{n-1}),\ \forall y\in B_{n-1}\}$, où $\delta(B)$ désigne le diamètre de l'ensemble $B$. \begin{enumerate} \item Montrer que $\delta(B_{n})\leq {1\over2}\delta(B_{n-1})$, et que $\bigcap_n B_n=\{{{a+b}\over2}\}$. \item Soit $f$ une isométrie de $E$ {\it sur} $F$ evn, telle que $f(0)=0$. Montrer en considérant la suite $(f(B_n))$ que pour tous $a,b\in E$, $$f\Big({{a+b}\over2}\Big)={{f(a)+f(b)}\over2}.$$ En déduire que $f$ est une isométrie linéaire. Que peut-on dire plus généralement d'une isométrie $f$ de $E$ sur $F$ ? \end{enumerate} \finenonce{006237} \finexercice \exercice{6238, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006238}{} On va montrer qu'il existe une et une seule $h$ continue sur $[0,1]$ vérifiant $h(0)=0$ et $h'(t)=\cos (th(t))$ pour tout $t\in[0,1]$. On note $E$ l'espace des fonctions continues sur $[0,1]$ muni de la métrique uniforme. \begin{enumerate} \item $h$ est solution si et seulement si $h$ est continue et $h(s)=\int_0^s \cos (th(t))\ dt$. \item L'opérateur $T:E\to E$ défini par $Tf(s)=\int_0^s \cos (tf(t))\ dt$ est $1/2$-contrac\-tant. Conclure. \end{enumerate} \finenonce{006238} \finexercice \exercice{6239, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006239}{} On désigne par $E$ l'espace $C([0,1])$ muni de la norme uniforme et l'opérateur $A$ défini par $$Af(x)=\int_0^x tf(t)\ dt + x\int_x^1 f(t)\ dt$$ pour $f\in E$ et $x\in [0,1]$. \begin{enumerate} \item Vérifier que $A$ est continu et calculer sa norme opérateur. \item L'équation $Af=f$ a-t-elle dans $E$ des solutions $f$ non nulles ? \end{enumerate} \finenonce{006239} \finexercice \exercice{6240, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006240}{} On considère $T:C([0,1])\to C([0,1])$ qui à $f$ associe $F$ définie par $$F(t)= \left \{\begin{array}{ccc} & 3/4\ f(3t) & {\rm si}\ \ 0\leq t\leq 1/3\\ & 1/4 + 1/2\ f(2-3t) &{\rm si}\ \ 1/3\leq t\leq 2/3\\ &1/4 +3/4\ f(3t-2)&{\rm si}\ \ 2/3\leq t\leq 1 \end{array}\right.$$ \begin{enumerate} \item Vérifier que $F$ est bien continue et que $T$ est $3/4$-contractante. \item On note $h$ le point fixe de $T$. Montrer par récurrence $\vert h({{k-1}\over3^n})-h({k\over3^n})\vert\geq 2^{-n}$. Soit $a\in[0,1]$; montrer qu'il existe une suite $(t_n)$ telle que $\lim t_n =a$ et $\lim \vert {{h(t_n)-h(a)}\over{t_n-a}}\vert = +\infty$. \item En déduire l'existence d'une fonction continue nulle part dérivable. \end{enumerate} \finenonce{006240} \finexercice \exercice{6790, gijs, 2011/10/16} \enonce{006790}{} Soit $I\subset \Rr$ un intervalle fermé borné et soit $f: I \to I$ une application dérivable verifiant $\forall x\in I\ :\ |f'(x)| < 1$. Pour un $x_0 \in I$ on définit la suite récurrente $a : \Nn \to I$ par $a_0 = x_0$, $a_{n+1} = f(a_n)$. On vous demande de montrer qu'il existe un unique $\ell \in I$, indépendant de $x_0$, tel que $ \lim_{n\to \infty} a_n = \ell$. Les questions suivantes peuvent vous guider dans la démonstration. \begin{enumerate} \item Montrer que $f$ admet un point fixe unique $\ell$. \item Montrer que $d(a_n,\ell)$ converge. \item Montrer que la suite $a$ admet une sous-suite convergente $b$. \item Notons $ \lim_{k\to \infty} b_k = \beta$ et $ \lim_{n\to \infty} d(a_n,\ell) = r$. Montrer~: $d(\beta,\ell) = r = d(f(\beta),\ell)$. \end{enumerate} Est-ce-que le résultat est vrai si $I$ n'est pas fermé ? \ Justifier votre réponse. \finenonce{006790} \finexercice \exercice{6805, gijs, 2011/10/16} \enonce{006805}{} Soit $f:\Rr^2 \to \Rr^2$ définie par $f(x,y) = (x^2-y, x^2 + y^2)$. On définit la fonction $g:\Rr^2 \to \Rr^2$ par $g = f \circ f$. \begin{enumerate} \item Montrer que $f$ et $g$ sont de classe $C^1$. \item Calculer pour tout $(x,y) \in \Rr^2$ la matrice Jacobienne de $f$ en $(x,y)$ notée $D_{(x,y)}f$; calculer la matrice Jacobienne de $g$ en $(0,0)$ notée $D_{(0,0)}g$. \item Montrer qu'il existe $\rho>0$ tel que pour tout $(x,y) \in \overline{B_\rho((0,0))}$ (la boule fermée de centre $(0,0)$ et de rayon $\rho$) on a $\Vert D_{(x,y)}g \Vert \le \frac12$. \item Montrer que la fonction $g$ admet un unique point fixe dans $\overline{B_\rho((0,0))}$ avec $\rho$ comme dans 3). \end{enumerate} \finenonce{006805} \finexercice \section{ 427.00 Espace de Hilbert, théorème de projection } \exercice{1894, legall, 2003/10/01} \enonce{001894}{} \begin{enumerate} \item Montrer que l'application $(f,g)\mapsto \langle f,g\rangle =\displaystyle{\int _0 ^1f(t)g(t)dt}$ est un produit scalaire euclidien sur $C[0,1]$, l'espace vectoriel des fonctions continues sur $[0,1]$ \`a valeurs r\'eelles. \item On note $C=\{ f\in C[0,1] ; \displaystyle{\int _0 ^1f(t)dt=1}$. Montrer que $\displaystyle{ \inf _{f\in C} \int _0 ^1f^2(t)dt=1}$ et que cette borne inf\'erieure est atteinte. \end{enumerate} \finenonce{001894} \finexercice \section{ 428.00 Théorème de Baire } \exercice{2392, queffelec, 2003/10/01} \enonce{002392}{} \`A l'aide du th\'eor\`eme de Baire, montrer qu'un ferm\'e d\'enombrable non vide $X$ de $\Rr$ a au moins un point isol\'e. \emph{Indication :} on pourra considérer $\omega_x = X \setminus \{x\}$. Que peut-on dire de l'ensemble de Cantor ? \finenonce{002392} \finexercice \exercice{2393, queffelec, 2003/10/01} \enonce{002393}{} Soit $f$ une application d\'efinie sur un espace m\'etrique complet $(X,d)$, \`a valeurs r\'eelles et semi-continue inf\'erieurement. Montrer qu'il existe un ouvert non vide $O$ sur lequel $f$ est major\'ee. Application : soit $(f_n)$ une suite de formes lin\'eaires continues sur un Banach $B$, v\'erifiant $$\forall {x\in B},\; \sup_n\vert f_n(x)\vert<\infty.$$ En utilisant ce qui pr\'ec\`ede, montrer que $ \sup_n\Vert f_n\Vert<\infty$. \finenonce{002393} \finexercice \exercice{2394, queffelec, 2003/10/01} \enonce{002394}{} On sait que $l^1$ est inclus dans $l^2$ (au fait pourquoi ?) mais n'est pas ferm\'e dans $l^2$ (re-pourquoi ?); on va montrer qu'il est de premi\`ere cat\'egorie dans $l^2$ c.a.d. r\'eunion d\'enombrable de ferm\'es d'int\'erieur vide (dans $l^2$). \begin{enumerate} \item On consid\`ere pour chaque $p\geq1$, $$F_p=\{(a_n)\in l^2\, / \sum\vert a_n\vert \leq p\}$$ Montrer que $F_p$ est ferm\'e dans $l^2$ et d'int\'erieur vide. \item En d\'eduire le r\'esultat. \end{enumerate} \finenonce{002394} \finexercice \exercice{6141, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006141}{} Montrer que $\Qq$ n'est pas un $G_\delta$ c'est-à-dire n'est pas intersection dénombrable d'ouverts de $\Rr$. \emph{Indication :} on pourra raisonner par l'absurde et considérer $\omega_n={\Rr}\backslash\{q_n\}$ si ${\Qq}=\{q_1,\ldots,q_n,\ldots\}$. \finenonce{006141} \finexercice \exercice{6142, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006142}{} Soit $B$ un espace de Banach; on rappelle que tout sous-espace propre de $B$ est d'intérieur vide dans $B$. Montrer que si $B$ est de dimension infinie, $B$ ne possède pas de base algébrique dénombrable. En déduire que l'espace des polyn\^omes n'est complet pour aucune norme. \finenonce{006142} \finexercice \exercice{6143, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006143}{} Soit $(X,{\cal T})$ un espace topologique de Baire, c'est-à-dire pour lequel le théo\-rème de Baire est valide. On va montrer que tout ouvert de $X$ muni de la topologie induite est encore un espace de Baire. \begin{enumerate} \item Soit $(O_n)$ une suite d'ouverts denses dans $O$; montrer que chaque $\omega_n=O_n\cup\overline{O}^c$ est un ouvert dense dans $X$ (on rappelle qu'un ensemble est dense dans $X$ s'il rencontre tout ouvert de $X$). \item Montrer que pour tout ouvert $\omega$ de $O$, $$(\cap_nO_n)\cap\omega\neq\emptyset$$ En déduire le résultat. \end{enumerate} \finenonce{006143} \finexercice \section{ 429.00 Dualité, topologie faible } \exercice{6124, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006124}{} Soit $E$ un evn, $f$ un élément non nul du dual de $E$, et $L$ l'hyperplan affine $\{x\in E/f(x)=1\}$. \begin{enumerate} \item Montrer que $$\inf_{x\in L}\Vert x\Vert\geq {1\over{\Vert f\Vert}}.$$ \item On peut trouver dans la sphère unité une suite $(x_n)$ telle que $\vert f(x_n)\vert\geq {n\over{n+1}}\Vert f\Vert$ (justifier) et, à l'aide de cette suite, montrer que l'on a finalement $$\inf_{x\in L}\Vert x\Vert= {1\over{\Vert f\Vert}}.$$ \end{enumerate} \finenonce{006124} \finexercice \exercice{6125, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006125}{} Soit $E=C([0,1])$, $\mu(x)=\int_0^1 x(t)\ dt$, $\mu_n(x)={1\over n}\sum_{k=1}^n x({k\over n})$. \begin{enumerate} \item Calculer $\Vert\mu\Vert$ et $\Vert\mu_n\Vert$. \item Montrer que $\mu_n(x)$ converge vers $\mu(x)$ pour tout $x$ dans $E$, mais que $\Vert\mu-\mu_n\Vert=2$. \end{enumerate} \finenonce{006125} \finexercice \exercice{6126, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006126}{} Soit $E=C([0,1])$ et $(t_n)$ une suite de points distincts, convergente dans $[0,1]$. Montrer que $f$ définie par $f(x)=\sum_1^\infty {{(-1)^n}\over{2^n}} x(t_n)$ est un élément de $E'$ de norme $1$ qui n'atteint sa norme en aucun point de la boule unité de $E$. \finenonce{006126} \finexercice \exercice{6127, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006127}{} Soit $a,b\in E$ evn, $B_1=\{x\in E/ \Vert x-a\Vert=\Vert x-b\Vert={1\over2}\Vert a-b\Vert\}$, et pour $n>1$, $B_n=\{x\in B_{n-1}/ \Vert x-y\Vert\leq {1\over2}\delta(B_{n-1}),\ \forall y\in B_{n-1}\}$, où $\delta(B)$ désigne le diamètre de l'ensemble $B$. \begin{enumerate} \item Montrer que $\delta(B_{n})\leq {1\over2}\delta(B_{n-1})$, et que $\bigcap_n B_n=\{{{a+b}\over2}\}$. \item Soit $f$ une isométrie de $E$ {\it sur} $F$ evn, telle que $f(0)=0$. Montrer en considérant la suite $(f(B_n))$ que pour tous $a,b\in E$, $$f({{a+b}\over2})={{f(a)+f(b)}\over2}.$$ En déduire que $f$ est une isométrie linéaire. Que peut-on dire plus généralement d'une isométrie $f$ de $E$ sur $F$. \item On note $l^\infty_n$ l'espace $\Rr^n$ muni de la norme $\sup_{1\leq i\leq n}\vert x_i\vert$, et on considère l'application $f: l^\infty_n\to l^\infty_{n+1}$ définie par $f(x_1,\cdots,x_n)=(x_1,\cdots,x_n,\sin x_1)$. Vérifier que $f$ est une isométrie non linéaire entre evn; pourquoi n'a-t-on pas de contra\-diction avec ce qui précède ? \end{enumerate} \finenonce{006127} \finexercice \exercice{6128, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006128}{} \begin{enumerate} \item Soit $(u_n)$ une suite de nombres complexes. On suppose que, pour toute suite bornée de complexes $(v_n)$, la série $\sum u_nv_n$ converge. Montrer que $(u_n)$ est dans l'espace $l^1$. \item Soit $(u_n)$ une suite de nombres complexes. On suppose que, pour toute suite $(v_n)$ dans $l^2$, la série $\sum u_nv_n$ converge. Montrer que $(u_n)$ est dans l'espace $l^2$. \emph{Indication :} Soit $(a_n)$ une série positive divergente. Montrer que la série de terme général ${{a_n}\over{S_n^\alpha}}$, où $S_n=\sum_{k=0}^n a_k$ converge si $\alpha>1$ et diverge sinon. Utiliser ensuite cette remarque pour conduire un raisonnement par l'absurde. \end{enumerate} \finenonce{006128} \finexercice \exercice{6129, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006129}{} \label{gijsexodual} On va montrer que le dual de $l^2$ est isométriquement isomorphe à $l^2$. On note comme d'habitude $e_n$ l'élément de $l^2$ dans toutes les composantes sont nulles, sauf la $n$-ième qui vaut $1$. \begin{enumerate} \item Soit $x\in l^2$. Montrer que la suite d'éléments de $l^2$ $x_n=\sum_1^n x(k)e_k$ converge vers $x$ dans $l^2$ (autrement dit, les suites nulles à partir d'un certain rang sont denses dans $l^2$.) En déduire que si $f\in(l^2)'$, $f(x)=\sum_1^\infty x(n)f(e_n).$ \item Montrer que $\Vert f\Vert \geq (\sum_1^n\vert f(e_k)\vert^2)^{1\over2}$, et que $(f(e_n))_n$ est un élément de $l^2$. \item Montrer alors que pour tout $x\in l^2$, $\vert f(x)\vert\leq \Vert x\Vert_2\Vert (f(e_n))\Vert_2$, et que $\Vert f\Vert=\Vert (f(e_n))\Vert_2$. En déduire que l'application $f\to(f(e_n))$ est un isomorphisme isométrique du dual de $l^2$ sur $l^2$. \end{enumerate} \finenonce{006129} \finexercice \exercice{6130, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006130}{} En suivant la même démarche que l'exercice \ref{gijsexodual}, montrer que le dual topologique de $c_0$ est isométriquement isomorphe à $l^1$. \finenonce{006130} \finexercice \section{ 430.00 Connexité } \exercice{2383, mayer, 2003/10/01} \enonce{002383}{} \label{exocon} Soit $X$ un espace m\'etrique. \begin{enumerate} \item Montrer que $X$ est connexe si et seulement si toute application continue $f:X\to \{0,1\}$ est constante. \item Soit $A$ une partie de $X$ connexe. Montrer que toute partie $B \subset E$ v\'erifiant $A \subset B\subset \overline{A}$ est connexe. \item Si $(A_n)_{n\geq 0}$ est une suite de parties connexes de $X$ telle que $A_n \cap A_{n+1}\neq \emptyset$ pour tout $n\geq 0$. Prouver que $\bigcup _{n\geq 0} A_n $ est connexe. \end{enumerate} \finenonce{002383} \finexercice \exercice{2384, mayer, 2003/10/01} \enonce{002384}{} D\'eterminer les parties connexes de $$\{(x,y)\in \Rr^2 \; ; x\neq y\} \quad \text{et de} \quad \{(z,w) \in \Cc^2 \; ; z\neq w\}\; .$$ \finenonce{002384} \finexercice \exercice{2385, mayer, 2003/10/01} \enonce{002385}{} Soit $A$ et $B$ des parties de $X$. On suppose $B$ connexe et que $B\cap A$ et $B \cap \complement A$ sont non vides. Montrer que $B$ coupe la fronti\`ere de $A$. \finenonce{002385} \finexercice \exercice{2386, mayer, 2003/10/01} \enonce{002386}{} Notons $T=\{0\}\times [-1,1]\cup [-1,1]\times \{0\}$ muni de la topologie induite par celle de $\Rr^2$. \begin{enumerate} \item Montrer que $T$ est compact et connexe et que $f(T)$ est un segment si $f:T\to \Rr$ est une fonction continue. \item D\'eterminer les points $x\in T$ pour lesquels $T\setminus \{x\}$ est connexe. \item Montrer que $T$ n'est hom\'eomorphe \`a aucune partie de $\Rr$. \end{enumerate} \finenonce{002386} \finexercice \exercice{2387, mayer, 2003/10/01} \enonce{002387}{} \begin{enumerate} \item Montrer qu'il existe une surjection continue de $\Rr $ sur $\mathbb{S}^1 =\{z\in \Cc \; ; \;\; |z|=1\}$ et qu'il n'existe pas d'injection continue de $\mathbb{S}^1$ dans $\Rr$. \item Montrer qu'il n'existe pas d'injection continue de $\Rr^2$ dans $\Rr$. \end{enumerate} \finenonce{002387} \finexercice \exercice{2388, mayer, 2003/10/01} \enonce{002388}{} Dans $\Rr^2$, soit $B_a$ l'ensemble $\{a\}\times ]0,1]$ si $a$ est rationnel et $B_a=\{a\}\times [-1,0]$ si $a$ est irrationnel. Montrer que $B = \bigcup _{a\in \Rr } B_a$ est une partie connexe de $\Rr^2$. \finenonce{002388} \finexercice \exercice{2389, mayer, 2003/10/01} \enonce{002389}{} Soit $I$ un intervalle ouvert de $\Rr$ et soit $f:I\to \Rr$ une application d\'erivable. Notons $A=\{(x,y)\in I\times I \; ;\; \; x0 \}$. \begin{enumerate} \item Montrer que $A$ est une partie connexe et connexe par arcs de $\Rr^2$. \item D\'eterminer $\overline{A}$ et justifier que $\overline{A}$ est connexe. \item Montrer que $\overline{A} $ n'est pas connexe par arcs. \end{enumerate} \finenonce{002391} \finexercice\exercice{6144, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006144}{} Montrer que $\Zz$ et $\Qq$ (munis de la topologie induite par celle de $\R$) ne sont pas homéomorphes, mais sont tous les deux ``totalement discontinus" au sens suivant : leurs seuls connexes sont les points. (Remarquer que A connexe dans $Y\Rightarrow A$ connexe dans $X$ si $Y\subset X$). \finenonce{006144} \finexercice \exercice{6145, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006145}{} Soit $A$ une partie du cercle unité ${\mathbb{S}^1}=\partial D$~; montrer que $D\cup A$ est connexe. \finenonce{006145} \finexercice \exercice{6146, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006146}{} \begin{enumerate} \item Montrer qu'il y a équivalence pour $X$ espace topologique entre : \hskip3mm i) Toute application continue $\varphi : X\to {\Zz}$ est constante. \hskip3mm ii) $X$ est connexe. \item Retrouver ainsi différents résultats du cours ($f(C)$ connexe si $C$ connexe et $f$ continue; $B$ connexe si $A$ connexe et $A\subset B\subset \overline A$; un produit de deux connexes est encore connexe; etc) \item Soit $A,B$ connexes de $X$ tels que $\overline A\cap B\not =\emptyset $~; montrer à l'aide de a) que $A\cup B$ est connexe. \end{enumerate} \finenonce{006146} \finexercice \exercice{6147, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006147}{} Existe-t-il une application continue $f:{\R}\to{\R}$ telle que $f(x)\in\Qq$ si $x\notin \Qq$ et $f(x)\notin\Qq$ si $x\in \Qq$ ? (Regarder l'image de $f$.) \finenonce{006147} \finexercice \exercice{6148, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006148}{} Soit $X=\Qq$ muni de la topologie induite par celle de $\Rr$. Montrer que les seuls connexes de $X$ sont les points. ($A$ connexe dans $X\Rightarrow A$ connexe dans $\Rr$) \finenonce{006148} \finexercice \exercice{6149, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006149}{} Soit $X$ un ouvert d'un espace vectoriel normé $E$ ; montrer que $X$ est connexe si et seulement si il est connexe par arcs. (\emph{Indication :} fixer $a\in X$ et considérer $A=\{x\in X, \hbox{relié à}\ a\ \hbox{par un chemin dans}\ X\}$.) \finenonce{006149} \finexercice \exercice{6150, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006150}{} Soit $f$ une surjection continue de $\Rr^2$ sur $\Rr$. Montrer que l'image réciproque de tout point est non bornée (raisonner par l'absurde et utiliser que le complémen\-taire d'un disque dans $\Rr^2$ est connexe). \finenonce{006150} \finexercice \exercice{6151, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006151}{} Soit $P\in{\Cc}[X]$ un polyn\^ome de racines $z_1,\ldots ,z_n$ distinctes ou non, situées dans un convexe $K$ de ${\Cc}$. \begin{enumerate} \item On suppose que $P'(z)=0$ et $z\notin \{z_1,\ldots ,z_n\}$~; montrer qu'il existe des réels $\lambda _1(z),\ldots ,\lambda _n(z)$, inconnus mais $>0$, tels que l'on ait : $\sum^n_{k=1} \lambda _k(z)(z-z_k)=0$. (Indication~: considérer ${P'(z)\over P(z)}$ et son conjugué). \item Montrer que $P'$ a aussi toutes ses racines dans $K$ (théorème de Gauss-Lucas). \end{enumerate} \finenonce{006151} \finexercice \exercice{6152, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006152}{} On dit qu'un espace topologique possède la propriété du point fixe si toute fonction continue de $X$ dans $X$ admet un point fixe. \begin{enumerate} \item Montrer qu'un espace topologique possédant cette propriété est nécessai\-rement connexe. \item Montrer que si $X$ a cette propriété, tout $Y$ homéomorphe à $X$ la possède aussi. \item Montrer ainsi que ${\mathbb{S}^1}$ n'est pas homéomorphe à un segment. \end{enumerate} \finenonce{006152} \finexercice \exercice{6153, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006153}{} Soit $I=[a,b]$ et $f : I\to\R$ dérivable~; soit $A=\big\{(x,y)\in I\times I; y>x\big\}$ et $g : A\to \R$ définie par $g(x,y)={f(y)-f(x)\over y-x}$. \begin{enumerate} \item Montrer que $g(A)\subset f'(I)\subset\overline {g(A)}$. \item Montrer que $f'$ a la propriété de la valeur intermédiaire~: si elle prend les valeurs $\alpha $ et $\beta $, elle prend toute valeur $\gamma \in[\alpha ,\beta ]$. \end{enumerate} \finenonce{006153} \finexercice \exercice{6154, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006154}{} On va démontrer à l'aide de la connexité, le résultat classique: ``$f:{\R}\to{\R}$ continue injective $\Longrightarrow$ $f$ strictement monoton''. \noindent Pour cela, considérons l'application $F$ définie sur $\R^2$ par $F(x,y)=f(x)-f(y)$ et $C=\{(x,y)\in{\R^2}\ /\ x>y\}$ \begin{enumerate} \item Montrer que $F(C)$ est un connexe de $\R$. \item En déduire le résultat. \end{enumerate} \finenonce{006154} \finexercice \exercice{6155, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006155}{} On définit la projection stéréographique $h$ de ${\mathbb{S}^1}$ sur ${\Rr} \cup\{\infty\}$, $h(x,y)$ étant le point d'intersection avec l'axe réel de la droite issue de $(0,1)$ passant par $(x,y)$ si $(x,y)\not=(0,1)$ et $h(0,1)=\infty$. Vérifier qu'il s'agit d'un homéomorphisme. En déduire que ${\R}\cup\{\infty\}$ et ${\R}\cup\{+\infty\}\cup\{-\infty\}$ ne sont pas homéomorphes. \finenonce{006155} \finexercice \exercice{6156, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006156}{} Soit $X$ un espace métrique. \'Etablir l'équivalence des assertions suivantes: \begin{enumerate} \item $X$ est compact connexe. \item Pour tout recouvrement ouvert $(U_i)_{i\in I}$, il existe $n\in \Nn$ et $i_1,...,i_n \in I$ tels que $$\bigcup_{k=1}^n U_{i_k} =X \quad et \quad U_{i_k} \cap U_{i_{k+1}}\neq \emptyset \; \text{pour} \; k=1,...,n-1\; .$$ \end{enumerate} \finenonce{006156} \finexercice \exercice{6157, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006157}{} $A$ et $B$ sont des parties d'un espace topologique $X$. Vrai ou faux ? \begin{enumerate} \item Si $A$ est connexe, $\partial A$ est connexe ? \item Si $\overline A$ est connexe, $A$ est connexe ? \item Si $A$ et $B$ sont connexes et $A\cap B\not=\emptyset$, $A\cap B$ est connexe ? \item Si $X$ est un evn et $A$ et $B$ convexes avec $A\cap B\not=\emptyset$, $A\cap B$ est connexe ? \item Si $A$ et $B$ sont connexes, $A\cup B$ est connexe ? \item Soit $f$ continue de $X$ dans $Y$ espace topologique. Si $A$ est connexe par arcs , $f(A)$ est connexe par arcs ? \item Soit $f$ continue de $X$ dans $Y$ evn. Si $A$ est convexe, $f(A)$ est convexe ? \end{enumerate} \finenonce{006157} \finexercice \exercice{6158, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006158}{} Dans $\Rr^2$ on considère l'ensemble $A$ des points dont une coordonnée au moins est irrationnelle. \begin{enumerate} \item Soit $\alpha\in {\Rr\backslash \Qq}$; décrire l'ensemble $A\cap\{(x,y)\in {\Rr^2}, x=\alpha\}.$ \item Montrer que $A$ est connexe par arcs (plus précisément deux points de $A$ peuvent être reliés par une ligne polygonale). \end{enumerate} \finenonce{006158} \finexercice \exercice{6159, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006159}{} \begin{enumerate} \item Montrer que dans ${\Rr^n}, n\geq 2$, les sous-ensembles suivants sont connexes : $$ B(0,r);\ {\Rr^n}\backslash B(0,r);\ S^{n-1}(0,r)=\{x\in{\Rr^n}\ /\ ||x||=r\}.$$ \item Montrer que $\Rr$ et $\Rr^2$ ne sont pas homéomorphes ( sinon enlever un point à $\Rr$). \end{enumerate} \finenonce{006159} \finexercice \exercice{6160, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006160}{} On rappelle que si $X$ est réunion disjointe de parties non vides $\omega_i$ ouvertes et connexes, les $\omega_i$ sont les composantes connexes de $X$. Trouver les composantes connexes du complémentaire des ensembles sui\-vants : $$\quad \{(x,y)\in{\Rr^2} / y^2-x=0\};\quad \{(x,y,z)\in{\Rr^3} / 00$ et $0\leq\theta(t)<{\pi\over2}$, et $r,\theta$ continues. \item Montrer que $\theta$ ne prend qu'un nombre dénombrable de valeurs et aboutir à une contradiction. \item Dans tous les cas, montrer qu'il existe $t_0\in]0,1[$ tel que $\gamma(t)$ ne passe pas par $0$ pour $t\geq t_0$. En déduire que $C$ n'est pas connexe par arcs. \end{enumerate} \finenonce{006162} \finexercice \exercice{6163, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006163}{} Soit $f$ une application continue de $[a,b]$ dans $\Rr$ vérifiant $$f({x+y\over2})\leq {1\over2}\Big(f(x)+f(y)\Big)\quad \forall x,y\in [a,b].$$ \begin{enumerate} \item On suppose $f(a)=f(b)=0$. On considère $E=\{x\in ]a,b[\ /\ f(x)=\displaystyle\sup_{t\in[a,b]} f(t)\}$. Montrer que $E$ est ouvert et fermé dans $]a,b[$. En déduire que $f$ est $<0$ ou identiquement nulle sur $]a,b[$. \item Montrer dans tous les cas que $f$ est convexe ie $f$ vérifie $f((1-t)x+ty)\leq (1-t)f(x)+tf(y)$ pour tous $x,y\in [a,b]$ et $t\in[0,1]$ (On se ramènera au cas a) en considérant $f$ privée de sa corde sur $[a,b]$). \end{enumerate} \finenonce{006163} \finexercice \exercice{6773, gijs, 2011/10/16} \enonce{006773}{} Soit $A$ un ouvert connexe non-vide de $\Rr^n$ et $a\in A$. Soit $G_a$ l'ensemble des points de $A$ pouvant être reliés à $a$ par un chemin contenu dans $A$. \begin{enumerate} \item Montrer que $G_a$ et $A\setminus G_a$ sont ouverts. \item En déduire que $A$ est connexe par arcs. \end{enumerate} \finenonce{006773} \finexercice\exercice{6782, gijs, 2011/10/16} \enonce{006782}{} \begin{enumerate} \item Donner la {\it définition\/} d'un intervalle dans $\Rr$ et montrer que si $A\subset \Rr$ est connexe, alors $A$ est un intervalle. \item En utilisant la notion de connexité, montrer qu'il n'existe pas un homéo\-mor\-phisme $f: \Rr^2 \to \Rr$. \end{enumerate} \finenonce{006782} \finexercice \exercice{6814, gijs, 2011/10/16} \enonce{006814}{} Soit $X$ un espace topologique, $I$ un ensemble d'indices et pour chaque $\alpha \in I$, soit $A_\alpha \subset X$ une partie connexe de $X$. On suppose que $\forall \alpha,\beta \in I : A_\alpha \cap A_\beta \neq \emptyset$. Démontrer que $ {\cup}_{\alpha\in I} A_\alpha$ est connexe. \finenonce{006814} \finexercice \exercice{6815, gijs, 2011/10/16} \enonce{006815}{} Soit $X$ un espace topologique, $A\subset X$ une partie et $C\subset X$ une partie connexe telle que $C \cap A \neq \emptyset$ et $C \cap (X\setminus A) \neq \emptyset$. \begin{enumerate} \item Démontrer que $C$ contient des points de la frontière de $A$. \item Pourquoi $A = \{(x,y,0) \mid x^2 + y^2 \le 1\} \subset \Rr^3$ et $C = \{(0,0,z) \mid |z|\le1\}$ n'est-il pas un contre-exemple pour la propriété énoncée dans 1. ? \end{enumerate} \finenonce{006815} \finexercice \exercice{6834, gijs, 2011/10/16} \enonce{006834}{} Soit $X$ un espace topologique connexe, soit $\mathcal{U}$ un recouvrement de $X$ par ouverts et soit $x_0 \in X$ un point de $X$. On dit que $x$ est $n$-éloigné de $x_0$ s'il existe $U_0, \dots, U_n \in \mathcal{U}$ tels que $x_0 \in U_0$, $U_{i-1} \cap U_i \neq \emptyset$, $i=1, \dots, n$ et $x\in U_n$. Prenez le temps de dessiner ce que veut dire $n$-éloigné. On définit l'ensemble $A\subset X$ par $$ A = \{ \,x\in X \mid \exists n \in \Nn : \text{$x$ est $n$-éloigné de $x_0$}\,\} \ . $$ Démontrer que $A$ est ouvert et fermé dans $X$. En déduire que $A=X$. \finenonce{006834} \finexercice \section{ 431.00 Autre } \exercice{1864, gineste, 2001/11/01} \enonce{001864}{In\'egalit\'e de Cauchy-Schwarz} \begin{enumerate} \item Montrer que : $ \forall x_1,x_2, \cdots , x_n \in \R \; \; (x_1 + x_2 + \cdots + x_n)^2 \leq n(x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2) $ \item D\'eterminer : $m = \text{Inf} \{ (\sum_{i=1}^n x_i)(\sum_{i=1}^n 1/x_i) \mbox{ tels que } x_1,x_2, \cdots , x_n > 0 \} $ \item D\'eterminer : $M= \sup \{ |x + 2y + 3z + 4t| \mbox{ tels que } (x,y,z,t) \in \R^4 \; , x^2+y^2+z^2+t^2 \leq 1 \} $ \end{enumerate} \finenonce{001864} \finexercice \exercice{1866, roussel, 2001/09/01} \enonce{001866}{} Soient $(a_i)_{1\leq i\leq n}$ et $(b_i)_{1\leq i\leq n}$ deux familles de $n$ nombres r\'eels. Montrer, en \'etudiant le signe du trin\^ome $\displaystyle \lambda \longrightarrow \sum_{i=1}^n (a_i+\lambda b_i)^2$ que $\displaystyle{\sum_{i=1}^n} a_ib_i\leq \left (\sum_{i=1}^n a_i^2 \right )^{1\over 2} \left (\sum_{i=1}^n b_i^2 \right )^{1\over 2}.$ \finenonce{001866} \finexercice \exercice{6807, gijs, 2011/10/16} \enonce{006807}{} Soit $E$ un espace vectoriel normé sur $\Cc$. On désigne par $\overline B = \{x\in E \mid \Vert x\Vert \le1\}$ la boule fermée de centre $0$ et de rayon $1$. Soit $F\subset E$ un sous-espace vectoriel {\bf fermé} de $E$. Pour $x\in E$ on pose~: $$ d(x,F) = \inf_{y\in F} \Vert\, x-y\,\Vert \equiv \inf \{\, \Vert\, x-y\, \Vert \mid y\in F\,\} \ . $$ \begin{enumerate} \item Montrer que pour tout $x\in E$ on a $0\le d(x,F) \le \Vert x\Vert$. \item Montrer que les deux conditions suivantes sont équivalentes. \begin{enumerate} \item $d(x,F) = 0$; \item $x\in F$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que, quels que soient $x,x'\in E$, $\lambda\in \Cc$, $y\in F$, on a~: \begin{align*} %\forall x\in E, \lambda\in \Cc : & d(\lambda x,F) &= \vert\lambda\vert\,d(x,F) \\ %\forall x\in E, y\in F : & d(x-y,F) &= d(x,F) \\ %\forall x,x'\in E : & d(x+x',F) &\le d(x,F) + d(x',F) \end{align*} \item Montrer que l'application $x\mapsto d(x,F)$ est uniformément continue dans $E$. \end{enumerate} \item Soit $x\in \overline B$. On pose $\alpha = d(x,F)$ et on suppose $\alpha>0$. Soit de plus $\epsilon>0$. \begin{enumerate} \item Montrer qu'il existe $y\in F$ tel que $$ \alpha \le \Vert\, x-y\, \Vert < \alpha(1+\epsilon) \ . $$ \item Montrer qu'il existe $x' \in \overline B$ tel que $$ \tfrac{1}{1+\epsilon} = d(x',F) <1 \ . $$ \item Montrer que, si $F\not= E$, ${ \sup_{x\in \overline B}}\ d(x,F) = 1$. \end{enumerate} \item Sachant que tout espace vectoriel normé de dimension finie est complet, dé\-mon\-trer que tout sous-espace vectoriel de dimension finie d'un espace vectoriel normé est fermé. \item On suppose maintenant que $\overline B$ est compact. \begin{enumerate} \item Montrer que, pour tout $\epsilon>0$, il existe un nombre fini $k$ de points de $\overline B$~: $x_1, \dots, x_k \in \overline B$ tels que $$ \overline B \subset \bigcup_{j=1}^k B_{\epsilon}(x_j) \ , $$ où $B_\epsilon(x_j)$ désigne la boule ouverte de centre $x_j$ et de rayon $\epsilon$. \item Déduire de ce qui précède que $E$ est de dimension finie (on pourra considérer le sous-espace vectoriel engendré par les vecteurs $x_1, \dots, x_k$). \end{enumerate} \item On revient au cas général (c'est-à-dire~: on ne suppose plus que $\overline B$ est compact). Soit $u:E \to E$ une application linéaire continue. On suppose que $\overline{u(\overline B)}$ (l'adhérence de l'image de $\overline B$ par $u$) est compacte. Soit $\lambda \not= 0$ une valeur propre de $u$ (c'est-à-dire~: il existe $x_0 \in E$, $x_0\not= 0$ tel que $u(x_0) = \lambda\, x_0$). On pose $V_\lambda = \{\,x\in E \mid u(x) = \lambda x\,\}$. \begin{enumerate} \item Montrer que $V_\lambda$ est un sous-espace vectoriel fermé de $E$. \item Montrer que $\overline B \cap V_\lambda \subset \frac1\lambda \, u(\overline B)$. \item Montrer que $V_\lambda$ est de dimension finie. \end{enumerate} \end{enumerate} \finenonce{006807} \finexercice \section{ 432.00 Théorème de Stone-Weirstrass, théorème d'Ascoli } \exercice{2408, bodin, 2003/10/01} \enonce{002408}{} Soit $f \in \mathcal{C}([a,b],\Rr)$ telle que $$\forall n \in \Nn \quad \int_a^b f(t) t^n \, dt = 0.$$ Montrer que $f$ est la fonction nulle. \finenonce{002408} \finexercice \exercice{2409, bodin, 2003/10/01} \enonce{002409}{} Montrer qu'une fonction de $\mathcal{C}(\Rr,\Rr)$ admettant une limite finie en $+\infty$ n'est pas limite uniforme de polynômes de $\Rr[x]$. \finenonce{002409} \finexercice \exercice{2410, bodin, 2003/10/01} \enonce{002410}{} Soit $E$ un espace compact. Soit $f_i$, $i=1,\ldots,n$ une famille de $n$ élements de $\mathcal{C}(E,\Rr)$ qui sépare les points de $E$. Montrer que $E$ est homéomorphe à une partie de $\Rr^n$. \finenonce{002410} \finexercice \exercice{2411, bodin, 2003/10/01} \enonce{002411}{} Soient $X$ et $Y$ deux espaces métriques compacts. Soit $\mathcal{A}$ l'ensembles des combinaisons linéaires finies $f \in \mathcal{C}(X\times Y,\Rr)$ de la forme : $$f (x,y) = \sum_{i\in I} \lambda_i u_i(x) \cdot v_i(y), \quad \text {avec } u_i \in \mathcal{C}(X,\Rr), v_i \in \mathcal{C}(Y,\Rr), \lambda_i \in \Rr, I \text{ fini}.$$ Montrer que toute fonction de $\mathcal{C}(X\times Y,\Rr)$ est limite uniforme de suites d'éléments de $\mathcal{A}$. \finenonce{002411} \finexercice \exercice{2412, mayer, 2003/10/01} \enonce{002412}{} \begin{enumerate} \item Soit $k>0$ et ${\cal F}$ l'ensemble des fonctions diff\'erentiables $f:[a,b]\to \Rr$ telles que $|f'(t)|\leq k$ pour tout $t \in ]a,b[$. Montrer que ${\cal F}$ est une famille \'equicontinue. \item Si $L>0$ et $f_n: \Rr^n \to \Rr^n $ est une suite d'applications $L$-lipschitziennes avec $\|f_n(0)\| = \sqrt 2$, alors montrer que l'on peut extraire une sous-suite convergente de $(f_n)$. \end{enumerate} \finenonce{002412} \finexercice \exercice{2413, mayer, 2003/10/01} \enonce{002413}{} Soient $E,F$ des espaces norm\'es et $(f_n)$ une suite d'applications de $E$ dans $F$ \'equicontinue en $a\in E$. Montrer que, si la suite $(f_n(a))$ converge vers $b$, alors $(f_n(x_n))$ converge \'egalement vers $b$, si $(x_n)$ est une suite de $E$ telle que $\lim_{n\to \infty} x_n =a$. L'\'equicontinuit\'e est-elle n\'ecessaire ici? \finenonce{002413} \finexercice \exercice{2414, mayer, 2003/10/01} \enonce{002414}{} Soient $E,F$ des espaces norm\'es et $(f_n)$ une suite d'applications \'equi\-continues de $E$ dans $F$. Montrer que l'ensemble des $x\in E$, pour lesquels $(f_n(x))$ est une suite de Cauchy dans $F$, est un ferm\'e. \finenonce{002414} \finexercice \exercice{2415, mayer, 2003/10/01} \enonce{002415}{} Soient $(E,d)$ un espace m\'etrique et ${\cal H}$ une famille \'equicontinue d'appli\-cations de $E$ dans $\Rr$. \'Etablir: \begin{enumerate} \item L'ensemble $A$ des $x\in E$ pour lesquels ${\cal H} (x)$ est born\'e est ouvert et ferm\'e. \item Si $E$ est compact et connexe et si ${\cal H} (x_0)$ est born\'e pour un point quelconque $x_0 \in E$, alors ${\cal H}$ est relativement compact dans ${\cal C} (E, \Rr )$. \end{enumerate} \finenonce{002415} \finexercice \exercice{2416, mayer, 2003/10/01} \enonce{002416}{} On consid\`ere la suite de fonctions $f_n(t) = \sin (\sqrt{t+ 4(n\pi )^2})$, $t\in [0, \infty [$. \begin{enumerate} \item Montrer qu'il s'agit d'une suite de fonctions \'equicontinues convergent simplement vers $f\equiv 0$. \item La suite $(f_n)$ est elle relativement compacte dans $({\cal C}_b ([0, \infty [), \|.\|_\infty )$, l'ensemble des fonctions continues et bornées ? Que dit le th\'eor\`eme d'Ascoli? \end{enumerate} \finenonce{002416} \finexercice\exercice{2417, mayer, 2003/10/01} \enonce{002417}{} Soit $K: {\cal C} ([a,b]) \to {\cal C} ([a,b])$ donn\'e par $(Kf)(s)=\int _a^b k(s,t) f(t) \, dt$, $k \in {\cal C} ([a,b]\times [a,b])$, et soit $(f_n)$ une suite born\'ee de $X= ({\cal C} ([a,b]), \|.\|_\infty )$. \begin{enumerate} \item Rappeler pourquoi $k$ est uniform\'ement continue. \item En d\'eduire l'\'equicontinuit\'e de $(Kf_n)$. \item Montrer que $(Kf_n)$ contient une sous-suite convergente dans $X$. \end{enumerate} \finenonce{002417} \finexercice \exercice{6252, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006252}{} Soit $X=[0,1]$, $Y=[-1,1]$, $f_n(x)={1\over n}\sin(n^2x)$; on note $A$ le sous-ensemble de $C(X,Y)$ constitué des $(f_n)$, $n\geq1$. \begin{enumerate} \item Montrer sans calculs que $A$ est équicontinu. \item Montrer que l'on a plus précisément $|f_n(x)-f_n(y)|\leq\sqrt2|x-y|^{1\over2}$ pour tous n, x, y. En déduire que le module d'équicontinuité de $A$ est $\geq \varepsilon^2/2$. \end{enumerate} \finenonce{006252} \finexercice \exercice{6253, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006253}{} Pour quelles valeurs de $\alpha\geq0$, la fonction $f(x)=\cos x^\alpha$ est -elle uniformément continue ? On suppose cette condition remplie et on définit $f_n$ par $f_n(x)=f(x+n)$. Montrer que l'on peut extraire de $(f_n)$ une suite convergeant uniformément sur tout compact de $\Rr^+$. Peut-on avoir convergence uniforme sur tout $\Rr^+$ ? \finenonce{006253} \finexercice \exercice{6254, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006254}{} Soit $H=\{f\in C^1({\Rr})\ /\ \int_{\Rr}|f(x)|^2 dx + \int_{\Rr}|f'(x)|^2 dx \leq1\}$. \begin{enumerate} \item Montrer que si $f\in H$, $\lim_{|x|\to\infty} f(x)=0$. \item Montrer que $||f||_\infty\leq {1\over\sqrt2}$, pout toute $f\in H$. \item Montrer que $H$ est une partie équicontinue et bornée de $C_0({\Rr})$. \item Soit $\varphi(x)=(x^2-1)^2\ {\bf 1}_{|x|\leq1}$, et $f_n(x)=\varphi(x-n)$; montrer que $\lambda f_n\in H$ pour une constante $\lambda$ bien choisie et que cette suite n'a aucune valeur d'adhérence dans $C(\Rr)$. Conclusion ? \end{enumerate} \finenonce{006254} \finexercice \section{ 440.00 Fonction holomorphe } \exercice{2681, matexo1, 2002/02/01} \enonce{002681}{} Tout complexe $z$ qui n'est pas un r{\'e}el positif ou nul peut s'{\'e}crire sous la forme $z = r e^{i \theta}$, avec $r > 0$ et~$\theta\in\left]0,2\pi \right[$. On d{\'e}finit une fonction $f$ sur $\Omega = \C\setminus[0,+\infty [$ par $$ f(z) = P(r, \theta)+iQ(r,\theta) $$ o{\`u} $P$ et $Q$ sont des fonctions r{\'e}elles donn{\'e}es. Donner des conditions sur les d{\'e}riv{\'e}es partielles de $P$, $Q$ pour que $f$ soit holomorphe sur $\Omega $. En d{\'e}duire que la fonction $$ \log z = \log r + i\theta $$ est holomorphe sur $\Omega $. Quelle est sa d{\'e}riv{\'e}e ? \finenonce{002681} \finexercice \exercice{2682, matexo1, 2002/02/01} \enonce{002682}{} Soit $a$ un r{\'e}el dans $]0,1[$. On souhaite calculer l'int{\'e}grale $$ I_a = \int_0^{+\infty } {x^{a-1} \over 1+x}\,dx $$ Pour cela, on d{\'e}finit une fonction $f$ sur $\Omega =\C\setminus [0,+\infty [$ de la mani{\`e}re suivante: $$ f(z) = {\exp\left((a-1)\log z\right) \over 1+z} $$ o{\`u} la fonction $\log$ est d{\'e}finie comme dans l'exercice pr{\'e}c{\'e}dent. \begin{itemize} \item Montrer que $f$ est m{\'e}romorphe sur $\Omega $. Quels en sont les p{\^o}les ? \item Soit $\varepsilon\in\left]0,1\right[$ et $R>1$ deux r{\'e}els. On consid{\`e}re {\`a} pr{\'e}sent le chemin~$C$ r{\'e}union du segment $[\varepsilon, R]+0i$, du cercle de rayon~$R$, parcouru positivement, du segment $[R, \varepsilon]-0i$ et du cercle de rayon~$\varepsilon$ parcouru n{\'e}gativement. Calculer $ \int_C f(z)\,dz $; en d{\'e}duire la valeur de $I_a$. \end{itemize} \finenonce{002682} \finexercice \exercice{2783, burnol, 2009/12/15} \enonce{002783}{} \label{ex:burnol1.1.1} Montrer que la fonction $f(z) = \frac1z$ est holomorphe sur $\Cc\setminus\{0\}$ et vérifie $f'(z) = -\frac1{z^2}$. \finenonce{002783} \finexercice \exercice{2784, burnol, 2009/12/15} \enonce{002784}{} \label{ex:burnol1.1.2} Si $f$ et $g$ sont deux fonctions dérivables au sens complexe au point $z_0$ ; montrer que $f+g$, $f-g$ et $fg$ le sont et donner la valeur de leurs dérivées au point $z_0$. \finenonce{002784} \finexercice \exercice{2785, burnol, 2009/12/15} \enonce{002785}{} \label{ex:burnol1.1.3} Si $f$ et $g$ sont deux fonctions dérivables au sens complexe au point $z_0$ montrer que $\frac fg$ est dérivable au sens complexe et donner la valeur de la dérivée lorsque $g(z_0)\neq 0$. \finenonce{002785} \finexercice \exercice{2786, burnol, 2009/12/15} \enonce{002786}{} \label{ex:burnol1.1.4} Montrer la formule pour la dérivée d'une composition $g\circ f$. \finenonce{002786} \finexercice \exercice{2787, burnol, 2009/12/15} \enonce{002787}{} \label{ex:burnol1.1.5} Soit $f$ et $g$ deux fonctions $n$-fois dérivables au sens complexe sur un ouvert non vide $U$ (remarque: d'après le cours il suffit qu'elles soient dérivables une fois sur $U$ pour qu'elles le soient un nombre quelconque de fois). Montrer la formule de Leibniz généralisée: \[ \forall z\in U\qquad (fg)^{(n)}(z) = \sum_{j=0}^n \binom{n}{j} f^{(j)}(z)g^{(n-j)}(z)\] \finenonce{002787} \finexercice \exercice{2788, burnol, 2009/12/15} \enonce{002788}{} \label{ex:burnol1.1.6} On se donne deux séries entières $f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_n z^n$ et $g(z) = \sum_{n=0}^\infty b_n z^n$ de rayons de convergences $R_1$ et $R_2$ non nuls. En utilisant le théorème sur les séries doubles prouver $f(z)g(z) = \sum_{n=0}^\infty c_n z^n$ pour $|z|R$ on a $\lim |a_nz^n| = +\infty$? \finenonce{002794} \finexercice \exercice{2795, burnol, 2009/12/15} \enonce{002795}{} Déterminer les séries de Taylor à l'origine de $\frac1{1-z}$, $\frac1{(1-z)^2}$, $\frac1{(1-z)^3}$, $\frac1{(1-z)^4}$. \finenonce{002795} \finexercice \exercice{2796, burnol, 2009/12/15} \enonce{002796}{} Déterminer en tout $z_0\neq1$ la série de Taylor et son rayon de convergence pour la fonction analytique $\frac1{z-1}$. \finenonce{002796} \finexercice \exercice{2797, burnol, 2009/12/15} \enonce{002797}{} Déterminer en tout $z_0\neq 1,\;2$ la série de Taylor et son rayon de convergence pour la fonction analytique $\frac1{(z-1)(z-2)}$. On aura intérêt à réduire en éléments simples. De plus on demande d'indiquer le rayon de convergence \emph{avant} de déterminer explicitement la série de Taylor. \finenonce{002797} \finexercice \exercice{2798, burnol, 2009/12/15} \enonce{002798}{} Déterminer en tout point $z_0$ où elle est définie la série de Taylor de la fonction $\frac1{z^3-1}$. On déterminera son rayon de convergence en fonction de $z_0$. \finenonce{002798} \finexercice \exercice{2799, burnol, 2009/12/15} \enonce{002799}{} On considère la série entière $\sum_{k=0}^\infty z^{2^k}$. Quel est son rayon de convergence? On note $f(z)$ sa somme. Que vaut $\lim_{t\to1} f(t)$? (on prend $00$. Sa somme est notée $f(z)$. \begin{enumerate} \item Montrer que la série $\sum_{n\ge 0}\frac{c_n}{n!}z^n$ a un rayon de convergence infini. Sa somme notée $F(z)$ est appelée transformée de Borel. \item Soit $r$ un réel vérifiant $0n_0$, on ait $\vert c_n\vert \le r^{-n}$. \item Montrer que, pour tout $z$ de $\C$ tel que $\vert z\vert 0$, tous les $u_n$ sauf un nombre fini d'entre eux sont $\leq L+\varepsilon$, et une infinité d'entre eux est $\geq L-\varepsilon$. \item Ecire l'analogue pour la $\liminf$. \end{enumerate} \finenonce{006634} \finexercice \exercice{6635, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006635}{} \begin{enumerate} \item Déterminer à l'aide de la formule de Hadamard le rayon de convergence des séries suivantes : $$(1)\ \sum_{n=0}^\infty e^nz^{n^2}\quad (2)\ \sum_{n=0}^\infty n!z^{n^2}\quad (3)\ \sum_{n=1}^\infty \Big( 1+{(-1)^n\over n}\Big)^{n^2} z^n.$$ \item Trouver le rayon de convergence de la série $\sum a_nz^n$ où $$a_n=q^{n^2} (|q|<1);\quad a_n=C_{kn}^n;\quad a_n=e^{n^\alpha} (0<\alpha<1).$$ \end{enumerate} \finenonce{006635} \finexercice \exercice{6636, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006636}{} \begin{enumerate} \item Trouver le rayon de convergence de la série $\sum a_nz^n$ où $a_{2n+1}=a^{2n+1}$ et $a_{2n}=b^{2n}$ avec $00$, comparer l'inverse du rayon, $R^{-1}$, avec $\limsup {a_{n+1}\over a_n}$. \end{enumerate} \finenonce{006636} \finexercice \exercice{6637, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006637}{} Montrer que si la série $\sum a_nz^n$ a un rayon $0\rho $ et $\vert w\vert >\rho $, et $n$ un entier naturel. Montrer que $$\left\vert {1\over w^n}-{1\over z^n}\right\vert\le \vert z-w\vert {n\over \rho ^{n+1}}$$ et que $$\left\vert {1\over z-w}\left({1\over w^n}-{1\over z^n}\right)-{n\over z^{n+1}}\right\vert = \left\vert\sum_{k=1}^n\left({1\over w^n}-{1\over z^n}\right){1\over z^{n-k+1}}\right\vert \le \vert z-w\vert {n^2\over \rho ^{n+2}}$$ Soient maintenant $\sigma $ et $\phi $ deux fonctions continues à valeurs complexes définies sur un intervalle $I=[a,b]$. On fixe un point $z\in \C\setminus \sigma (I)$ et on pose $\rho ={1\over 2}\inf_{a\le t\le b}\vert \sigma (t)-z\vert $. \item Soit $\displaystyle g(z)=\int_a^b{\phi (t)\over (\sigma (t)-z)^n}dt$. En remplaçant dans a) $z$ par $\sigma (t)-z$ et $w$ par $\sigma (t)-z-h$ avec $\vert h\vert <\rho $, montrer que $$\left\vert {g(z+h)-g(z)\over h}-n\int_a^b{\phi (t)\over (\sigma (t)-z)^{n+1}}dt\right\vert\le {\vert h\vert n^2\over \rho ^{n+2}}\int_a^b\vert \phi (t)\vert dt$$ En déduire que $g(z)$ est holomorphe sur $\C\setminus \sigma (I)$ et que $g'$ est donnée par $$g'(z)=n\int_a^b{\phi (t)\over (\sigma (t)-z)^{n+1}}dt$$ \end{enumerate} \finenonce{006652} \finexercice \exercice{6813, gijs, 2011/10/16} \enonce{006813}{} Soit $f$ une application holomorphe (c'est-à-dire $\Cc$-différentiable) d'un ouvert $\Omega \subset \Cc$ dans $\Cc$. \begin{enumerate} \item Soit $z_0 \in \Omega$ tel que $f'(z_0) = 0$. Démontrer que $z \mapsto \vert f(z) \vert$ est $\Cc$-différentiable en $z_0$. (On pourra utiliser le développement en série entière de $f$ au voisinage de $z_0$.) \item Soit $z_1 = x_1 + iy_1 \in \Omega$ tel que $f(z_1) \neq 0$. Démontrer que $(x,y) \mapsto \vert f(x+iy) \vert$ est $\Rr$-différentiable en $(x_1,y_1)$. \item Soit $z_2 = x_2 + iy_2 \in \Omega$ tel que $f(z_2) \neq 0$ et tel que $z \mapsto \vert f(z) \vert$ soit $\Cc$-différentiable en $z_2$. Démontrer que $f'(z_2) = 0$. (On pourra utiliser les conditions de Cauchy-Riemann.) \item Soit $z_3 = x_3 + iy_3 \in \Omega$ tel que $f(z_3) = 0$ et $f'(z_3) \neq 0$. L'application $(x,y) \mapsto \vert f(x+iy) \vert$ est-elle $\Rr$-différentiable en $(x_3,y_3)$~? L'application $z \mapsto \vert f(z) \vert$ est-elle $\Cc$-différentiable en $z_3$~? \item Donner le domaine où $z \mapsto \vert f(z) \vert$ est continue, puis celui où $z \mapsto \vert f(z) \vert$ est $\Cc$-différentiable, et enfin celui où $(x,y) \mapsto \vert f(x+iy) \vert$ est $\Rr$-différentiable. \end{enumerate} \finenonce{006813} \finexercice \exercice{7214, megy, 2021/02/22} \enonce{007214}{} On considère la fonction $f : \C\to \C, z\mapsto \sqrt{|xy|}$, où l'on a noté $z=x+iy$ la forme algébrique de $z$. Montrer qu'elle vérifie les conditions de Cauchy-Riemann en l'origine, mais qu'elle n'est pas $\C$-dérivable en l'origine. \finenonce{007214} \finexercice \exercice{7215, megy, 2021/02/22} \enonce{007215}{} On considère la fonction $f(z)=|x^2-y^2|+2i|xy|$ où $z=x+iy.$ Déterminer l'ensemble où $f$ est $\C$-dérivable. \finenonce{007215} \finexercice \exercice{7216, megy, 2021/02/22} \enonce{007216}{} Soit $U\subset \C$ un ouvert connexe. Soit \(f:U\to \C\) une fonction holomorphe. On note \(f=u+iv\) l'écriture sous forme algébrique des valeurs de $f$. Montrer que les assertions suivantes sont équivalentes. \begin{enumerate} \item \(f\) est constante. \item \(2u+3v=5\). \item \(v=u^2\). \item \(u^2+3v^2=1\). \end{enumerate} \finenonce{007216} \finexercice \exercice{7217, megy, 2021/02/22} \enonce{007217}{} Soit $U\subset \C$ un ouvert connexe. Soit \(f:U\to \C\) une fonction holomorphe. On note \(f=u+iv\) l'écriture sous forme algébrique des valeurs de $f$. Montrer que les assertions suivantes sont équivalentes. \begin{enumerate} \item \(f\) est constante. \item Il existe une fonction $\phi \in \mathcal C^1(\R,\R)$ telle que $v=\phi(u)$. \item Il existe une fonction $\psi \in \mathcal C^1(\R^2,\R)$ dont la différentielle ne s'annule qu'en un nombre fini de points, et telle que $\psi(u,v)$ est constante. \end{enumerate} \finenonce{007217} \finexercice \exercice{7218, megy, 2021/02/22} \enonce{007218}{} Soit \(U\subset \C\) un ouvert. Soit \(f:U\to \C\) une fonction de classe \(\mathcal{C}^1\). Montrer que \[\overline{\frac{\partial f}{\partial z}}=\frac{\partial \overline{f}}{\partial \bar z} \quad \text{et} \quad \overline{\frac{\partial f}{\partial\bar z}}=\frac{\partial \overline{f}}{\partial z}.\] \finenonce{007218} \finexercice \exercice{7219, megy, 2021/02/22} \enonce{007219}{} Pour chacune des fonctions \(f\), déterminer l'ensemble de définition de \(f\) et calculer \(\frac{\partial f}{\partial z}\) et \(\frac{\partial f}{\partial \bar z}\). \begin{enumerate} \item \(f(z)=z^2\bar z\) \item \(f(z)=e^{\bar z}\) \item \(f(z)=\frac{\bar z-i}{z^2+iz-2}\) \item \(f(z)=\frac{\Re(z)}{\Im(z)}\) \end{enumerate} \finenonce{007219} \finexercice \exercice{7220, megy, 2021/02/22} \enonce{007220}{} Montrer que si $f$ est holomorphe et ne s'annule jamais, alors $\log |f|$ est harmonique. \finenonce{007220} \finexercice \exercice{7221, megy, 2021/02/22} \enonce{007221}{} Soit \(V\subset\C \) un ouvert et soit \(g:V\to \C\) une fonction harmonique. On suppose que \(f\) est holomorphe et que \(f(U)\subset V\). Montrer que \(g\circ f\) est harmonique. \finenonce{007221} \finexercice \exercice{7222, megy, 2021/03/01} \enonce{007222}{} Soit $U\subseteq \C$ un ouvert et $f:U\to \C$ une fonction analytique. Soit $F : U\to \C$ une fonction holomorphe telle que $F'=f$. Montrer que $F$ est analytique. En déduire que le logarithme principal $\mathrm{Log}$ est analytique sur $\C\setminus \R_-$. \finenonce{007222} \finexercice \exercice{7223, megy, 2021/03/01} \enonce{007223}{} Montrer que la fonction \(f:\C\setminus \{1,2\}\to \C\) définie par \[f(z)=\frac{1}{(z-1)(z-2)}\] est analytique, puis pour tout \(z_0\in \C\setminus \{1,2\}\) calculer le développement en série entière de \(f\) centré en \(z_0\). \finenonce{007223} \finexercice \exercice{7224, megy, 2021/03/01} \enonce{007224}{} Soit \(U\subset \C\) un ouvert connexe. On note \(\mathcal{A}(U)\) l'ensemble des fonctions analytiques sur \(U\). Montrer que, muni de l'addition et de la multiplication de fonctions, \(\mathcal{A}(U)\) est un anneau intègre. Que se passe-t-il si l'on retire l'hypothèse de connexité ? \finenonce{007224} \finexercice \exercice{7225, megy, 2021/03/01} \enonce{007225}{} Soit \(\displaystyle{f(z)=\sum_{n=0}^{+\infty}}a_nz^n\) une série entière de rayon de convergence \(R>0\). Un point \(z_0\in \partial B(0,R)\) est un \emph{point régulier} de \(f\) si il existe une extension analytique de \(f\) dans un voisinage de \(B(0,R)\cup\{z_0\}\). Si \(z_0\in \partial B(0,R)\) n'est pas régulier pour \(f\), on dit que c'est un \emph{point singulier} de \(f\). On note \({\rm Sing}(f)\subset \partial B(0,R)\) l'ensemble des points singuliers de \(f\). \begin{enumerate} \item Déterminer les points réguliers et singuliers pour \(\displaystyle{f(z)=\sum_{n=0}^{+\infty}z^n}\) et \(\displaystyle{f(z)=\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^n\frac{z^n}{n}}\). \item Quel est le lien entre la régularité d'un point \(z_0\in \partial B(0,R)\) et la convergence de \(\displaystyle{\sum_{n=0}^{+\infty}a_nz_0^n}\) ? \item Montrer que \({\rm Sing}(f)\) est fermé. \item On considère \(\displaystyle{f(z)=\sum_{n=0}^{+\infty}z^{2^n}}\). \begin{enumerate} \item Montrer que le rayon de convergence de \(f\) est \(1\). \item Montrer que \(1\) est un point singulier de \(f\). (Indication, montrer que \(\lim_{t\to 1^-}\sum_{n=0}^{+\infty}t^{2^n}=+\infty\)). \item Montrer que pour tout \(m\in \N\), toute racine \(2^m\)-ième de \(1\) est un point singulier de \(f\). (Indication, observer que pour tout \(m\in \N\) et pour tout \(z\in B(0,1)\), \(f\big(z^{2^{m+1}}\big)=f\big(z^{2^m}\big)-z^{2^m}\)). \item En déduire que \({\rm Sing}(f)=\partial B(0,1)\). \end{enumerate} \end{enumerate} \finenonce{007225} \finexercice \exercice{7226, megy, 2021/03/01} \enonce{007226}{} Soit \(\displaystyle{f(z)=\sum_{n\geqslant 0}a_nz^n}\) une série entière de rayon de convergence \(R>0\) et telle que \(a_0\neq 0\). L'objectif de cet exercice est de démontrer que la fonction \(\frac{1}{f}\) est développable en série entière en \(0\). \begin{enumerate} \item On suppose que ceci est le cas et que \(\displaystyle{\frac{1}{f(z)}=\sum_{n=0}^{+\infty}b_nz^n}\). Quelle relation de récurrence vérifie la suite \((b_n)_{n\in \N}\)? \item Soit \((b_n)_{n\in \N}\) une suite vérifiant le relation de récurrence précédente. Montrer qu'il existe \(C>0\) tel que pour tout \(n\geqslant 0\), on a \[|b_n|\leqslant \frac{C^n}{|a_0|}.\] \item En déduire que \(\frac{1}{f}\) est développable en série entière en \(0\). \end{enumerate} \finenonce{007226} \finexercice \exercice{7524, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007524}{$\Cc$-dérivabilité} \begin{enumerate} \item \'Ecrire en termes d'$\varepsilon$ et $\delta$ la définition de la $\Cc$-dérivabilité d'une fonction $f : D\to \Cc$ d'un ouvert $D$ de $\Cc$ en un point $a$ de $D$. \item Soit $n$ un entier naturel non nul. Soit $a$ un point de $\Cc$. Déterminer une fonction $f_1 : \Cc\to\Cc$ telle que sur $\Cc$, $$z^n=a^n+(z-a)f_1(z).$$ En déduire que l'application $\Cc\to\Cc$, $z\mapsto z^n$ est $\Cc$-dérivable en $a$ et déterminer sa dérivée en $a$. \item Démontrer que si $f$ et $g$ sont deux applications d'un ouvert $D$ de $\Cc$ dans $\Cc$ qui sont $\Cc$-dérivables en $a$, alors leur produit est $\Cc$-dérivable en $a$. Déterminer alors la dérivée du produit en $a$ à l'aide des dérivées en $a$ de $f$ et de $g$. \item Donner un exemple d'application $f :\Cc\to\Cc$ continue mais nulle part $\Cc$-dérivable. \end{enumerate} \finenonce{007524} \finexercice \exercice{7525, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007525}{\'Equations de Cauchy-Riemann} \begin{enumerate} \item Soit $f : D\to\Cc$ une application $\Cc$-dérivable en un point $a$ de $D$. \'Enoncer les équation de Cauchy-Riemann. \item \'Ecrire les équations de Cauchy-Riemann pour l'application $\Cc\to\Cc$, $z\mapsto z^3$. \item Donner l'exemple d'une application $f :\Rr^2\to\Rr^2$ différentiable en tout point et qui ne vérifie en aucun point les équations de Cauchy-Riemann. \end{enumerate} \finenonce{007525} \finexercice \exercice{7526, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007526}{Holomorphie} \begin{enumerate} \item Donner l'exemple d'une fonction holomorphe $f$ sur $\Cc$. \item Vérifier en calculant $\Delta u$, que sa partie réelle $u$ est harmonique. \end{enumerate} \finenonce{007526} \finexercice \exercice{7527, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007527}{Un exemple} Soit $f : \Cc\to\Cc$, $z=x+iy\mapsto x^3y^2+ix^2y^3$ et $g=f_{\Rr} : \Rr^2\to\Rr^2$ l'application réelle associée. \begin{enumerate} \item En quels points de $\Rr^2$, $g$ est-elle différentiable ? \item En quels points de $\Rr^2$, $g$ vérifie-t-elle les équations de Cauchy-Riemann ? \item En quels points de $\Cc$, $f$ est-elle $\Cc$-dérivable ? \item En quels points de $\Cc$, $f$ est-elle holomorphe ? \end{enumerate} \finenonce{007527} \finexercice \exercice{7528, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007528}{Exponentielle} \begin{enumerate} \item Reprendre l'exercice précédent pour la fonction $\exp : \Cc\to\Cc$, $z=x+iy\mapsto e^x\cos y+ie^x\sin y$. \item Déterminer la dérivée de cette application, là où elle est $\Cc$-dérivable. \item Démontrer ou réfuter~: la fonction $f(z)=\exp(\bar z)$ est holo\-morphe dans $\Cc$. \end{enumerate} \finenonce{007528} \finexercice \exercice{7529, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007529}{Logarithme} On considère $D:=\{z\in\Cc\ /\ \Re(z)\not=0.\}$ et l'application $$\begin{array}{cccc} \ell : &D&\to&\Cc\cr &z=x+iy&\mapsto& \frac{1}{2}\log (x^2+y^2)+i\arctan\frac{y}{x}. \end{array}$$ \begin{enumerate} \item Montrer que $\ell$ est $\Cc$-dérivable sur $D$. \item Déterminer sa dérivée sur $D$. \end{enumerate} \finenonce{007529} \finexercice \exercice{7530, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007530}{En coordonnées polaires} Déterminer les équations de Cauchy Riemann en coordonnées polaires. \finenonce{007530} \finexercice \exercice{7531, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007531}{Exemples} Montrer qu'un polynôme $P(z, \overline{z})$ est holomorphe si et seulement aucun monôme ne contient le facteur~$\overline{z}$. \finenonce{007531} \finexercice \exercice{7532, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007532}{Fonctions localement constantes} \begin{enumerate} \item Montrer qu'une fonction holomorphe sur un ouvert $D$ de $\Cc$ qui ne prend que des valeurs réelles est localement constante. \item Que dire d'une fonction holomorphe sur un ouvert de $\Cc$ dont la partie réelle est constante ? \item Que dire d'une fonction holomorphe $f=u+iv$ sur un ouvert de $\Cc$ dont la conjuguée $\overline{f}:=u-iv$ est aussi holomorphe ? \item Montrer qu'une fonction holomorphe qui ne prend que des valeurs de module $1$ est localement constante. \end{enumerate} \finenonce{007532} \finexercice \exercice{7533, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007533}{Fonctions harmoniques} \begin{enumerate} \item Déterminer, si possible, une fonction holomorphe sur $\Cc$ dont la partie réelle est $u(x,y)=x^2+y^2$. \item Déterminer, si possible, une fonction holomorphe sur $\Cc$ dont la partie réelle est $u(x,y)=x^2-y^2$. \item Montrer sans calcul que la fonction $f : \Rr^2\to\Rr^2$, $(x,y)\mapsto 2xy$ est harmonique sur $\Rr^2$. \end{enumerate} \finenonce{007533} \finexercice \exercice{7534, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007534}{Fonctions holomorphes} \begin{enumerate} \item Déterminer, si possible, une fonction holomorphe sur $\Cc$ dont la partie réelle est $u(x,y)=e^{-y}\sin(x) -e^{y}\cos(x)$. \item Déterminer toutes les fonctions holomorphes sur $\Cc$ dont la partie réelle est $u(x,y)=e^{-y}\sin(x) -e^{y}\cos(x)$. \end{enumerate} \finenonce{007534} \finexercice \exercice{7535, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007535}{Polynômes harmoniques} Soit $u(x,y)\in\Rr[x,y]$ un polynôme harmonique. Montrer que la fonction $$p(z):=2u(\frac{z}{2},\frac{z}{2i})-u(0,0)$$ est holomorphe de partie réelle $u$. \finenonce{007535} \finexercice \exercice{7536, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007536}{Laplacien} Soit une fonction holomorphe $ f $ définie sur un ouvert de $\Cc$. Montrer que $$ \Delta( \arrowvert f \arrowvert ^2 ) = 4 \arrowvert f' \arrowvert ^2 \;\;\; ; \;\;\; \Delta \ln ( 1 + \arrowvert f \arrowvert ^2 ) = \frac{4 \arrowvert f' \arrowvert ^2}{(1 + \arrowvert f' \arrowvert ^2)^2} $$ \finenonce{007536} \finexercice \exercice{7537, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007537}{Conservation des angles} On considère l'application $f :\Cc^\times\to\Cc^\times$, $z\mapsto z^2$. \begin{enumerate} \item Montrer que $f$ conserve les angles. \item Soit $a$ un nombre réel non nul. Montrer que l'image de la droite d'équation $x=a$ est incluse dans la parabole d'équation $v^2=4a^2(a^2-u)$. Représenter cette parabole pour $a=1$ et $a=2$. \item Soit $b$ un nombre réel non nul. Déterminer une parabole contenant l'image de la droite d'équation $y=b$. Représenter cette parabole pour $b=1$ et $b=2$. \item Vérifier l'orthogonalité aux points d'intersection des quatre paraboles. \end{enumerate} \finenonce{007537} \finexercice \exercice{7538, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007538}{Conservation des angles} On considère l'application $f :\Cc^\times\to\Cc^\times$, $z\mapsto \frac{1}{2}(z+\frac{1}{z})$. \begin{enumerate} \item Déterminer le lieu où $f$ préserve les angles. \item Montrer que si on note $r=|z|$, $u=re(f)$ et $v=im(f)$, alors $$u=\frac{1}{2}(r+\frac{1}{r})\frac{x}{r}\quad \text{ et } \quad v=\frac{1}{2}(r-\frac{1}{r})\frac{x}{r}.$$ puis $$\frac{u^2}{\frac{1}{4}(r+\frac{1}{r})^2}+\frac{v^2}{\frac{1}{4}(r-\frac{1}{r})^2}=1 \quad \text{ et } \quad \frac{u^2}{\frac{x^2}{r^2}}-\frac{v^2}{\frac{y^2}{r^2}}=1.$$ \item Déterminer l'image par $f$ des cercles de centre $o$ et de rayon $1$ et $2$. \item Déterminer l'image par $f$ des segments radiaux $z=\frac{1+i}{\sqrt{2}}t$ et $z=\frac{1-i}{\sqrt{2}}t$, quand $t$ varie dans $]0,1[$. \item Montrer que $f$ est surjective. \item Montrer que l'image réciproque d'un point de $\Cc-[-1,1]$ est composée de deux points, l'un dans $\Delta^\times$ l'autre dans $\Cc-\Delta$. \item Montrer que $f$ est une bijection holomorphe de $\Delta^\times$ sur $\Cc-[-1,1]$. \end{enumerate} \finenonce{007538} \finexercice \exercice{7539, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007539}{Applications linéaires fractionnaires} On rappelle qu'à toute matrice $A=\begin{pmatrix} a&b\\c&d\end{pmatrix}$ de $GL(2,\Cc)$, on associe l'application linéaire fractionnaire $$\begin{array}{cccc} f_A :& \Cc-\{-\frac{-d}{c}\}&\longrightarrow&\Cc-\{\frac{a}{c}\}\\&z&\longmapsto& \frac{az+b}{cz+d} \end{array}$$ \begin{enumerate} \item Vérifier que $f_{A^{-1}}=f_A^{-1}$. \item On choisit désormais la matrice $C=\begin{pmatrix} 1&-i\\1&i\end{pmatrix}$. Expliciter le biholomorphisme $h=f_C$ et son inverse~$h^{-1}$. \item Montrer que \begin{eqnarray*} 1-|h(z)|^2=\frac{4 Im(z)}{|z+i|^2}\\ Im(h^{-1}(z))=\frac{1-|z|^2}{|1-z|^2} \end{eqnarray*} \item En déduire l'image du demi-plan de Poincaré $\mathbb{H}$ par $h$. \end{enumerate} \finenonce{007539} \finexercice \exercice{7540, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007540}{Biholomorphismes entre domaines} On rappelle que $\Delta:=\{z\in\Cc / |z|<1\}$, $\mathbb{H}:=\{z\in\Cc / Im(z)>0\}$ et $\Cc^-:=\Cc-\{z\in\Cc / Im(z)=0 \quad \text{ et } \quad Re(z)\leq 0\}$. \begin{enumerate} \item Montrer que l'application $$\begin{array}{cccc} q:& \mathbb{H}&\longrightarrow&\Cc^{-}\\&z&\longmapsto& -z^2 \end{array}$$ est holomorphe et bijective. \item En déduire une application holomorphe et bijective de $\Delta$ sur $\Cc^-$. \end{enumerate} \finenonce{007540} \finexercice \exercice{7541, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007541}{Biholomorphisme de $\mathbb{H}$} On rappelle qu'à toute matrice $A=\begin{pmatrix} a&b\\c&d\end{pmatrix}$ de $SL(2,\Rr)$, on associe l'application linéaire fractionnaire $$\begin{array}{cccc} h_A :& \Cc-\{-\frac{-d}{c}\}&\longrightarrow&\Cc-\{\frac{a}{c}\}\\&z&\longmapsto& \frac{az+b}{cz+d} \end{array}$$ \begin{enumerate} \item Montrer que $h_A$ envoie $\mathbb{H}$ sur $\mathbb{H}$. \item Montrer que pour tout élément $z$ de $\mathbb{H}$, il existe $A\in SL(2,\Rr)$ tel que $h_A(i)=z$. \end{enumerate} \finenonce{007541} \finexercice \exercice{7569, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007569}{Polynômes} Soit $D$ un ouvert de $\Cc$ et $f : D\to\Cc$ une application holomorphe. Montrer qu'il y a équivalence entre \begin{enumerate} \item $f$ est polynomiale. \item Il existe $c\in D$ tel que en dehors d'un nombre fini de $n\in\Nn$, $f^{(n)}(c)=0$. \end{enumerate} \finenonce{007569} \finexercice \exercice{7570, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007570}{Propriétés} Pour chacune des propriétés suivantes, donner un exemple d'application holomorphe au voisinage de $0$ qui la satisfait, ou bien démontrer qu'il n'existe pas de telles applications. \begin{enumerate} \item Pour presque tout $n\in\Nn$, $f(\frac{1}{n})=(-1)^n\frac{1}{n}$. \item Pour presque tout $n\in\Nn$,$f(\frac{1}{n})=\frac{1}{n^2-1}$. \item Pour presque tout $k\in\Nn$,$|f^{(k)}(0)|\geq (n!)^2$. \item Pour presque tout $n\in\Nn$,$|f(\frac{1}{n})|\leq e^{-n}$ et $f$ est non nulle. \end{enumerate} \finenonce{007570} \finexercice \exercice{7571, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007571}{Prolongement} Soit $D$ un ouvert de $\Cc$ $a\in D$ et $f : D-\{a\}\to \Cc$ holomorphe. On suppose que $f'$ admet un prolongement holomorphe à $D$. Est-ce aussi le cas pour $f$ ? \finenonce{007571} \finexercice \exercice{7572, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007572}{Contraintes} \begin{enumerate} \item Soit une fonction holomorphe $f$ entière définie sur le plan complexe tout entier, on suppose que $ Re(f) \leq 0 $. Montrer que $f$ est une fonction constante. On pourrait considérer la fonction $e^{f(z)}$. \item Soit une fonction holomorphe $f$ au voisinage de $0$. Montrer que si $ f \left( \frac{1}{n} \right) = f \left( \frac{1}{2n} \right)$ pour tout $n$ assez grand alors $f$ est une constante. \item Soit $D$ un ouvert de $\Cc$ et $f=u+iv : D\to\Cc$ une application holomorphe. On suppose que sur $D$, $v=u^2$. Montrer que $f$ est une fonction constante. \item Soit une fonction entière $f$ telle que $\arrowvert f \arrowvert $ tend vers l'infini si $\arrowvert z \arrowvert $ tend vers l'infini. Montrer que : \begin{enumerate} \item $f$ n'admet qu'un nombre fini de zéros. \item $f$ est un polynôme. \end{enumerate} \item Soit une fonction entière $f$ non constante, montrer que l'image du plan complexe par $f$ est dense dans $\Cc$. \item Soit une fonction $f$ holomorphe sur le plan complexe en entier, vérifiant $ f(x+1)=f(x)$ pour $ x \in \Rr $. Montrer que $f$ est une fonction périodique de période $1$. \end{enumerate} \finenonce{007572} \finexercice \section{ 441.00 Fonction logarithme et fonction puissance } \exercice{2851, burnol, 2009/12/15} \enonce{002851}{} Montrer qu'il existe une (unique) fonction analytique sur $\Cc\setminus[-1,1]$ qui vaut $\sqrt{a^2-1}$ pour $a>1$. \emph{Indication :} montrer pour commencer que la formule $f(a) = \exp(\frac12 \mathrm{Log}(a-1) + \frac12\mathrm{Log}(a+1))$ donne une solution sur l'ouvert $\Cc\setminus]-\infty,1]$. Puis montrer que $g(a) = -\exp(\frac12 \mathrm{Log}(-a-1) + \frac12\mathrm{Log}(-a+1)) = -f(-a)$ est analytique sur $\Cc\setminus[-1,+\infty[$. Enfin montrer que $g(a) = f(a)$ dans le demi-plan supérieur et aussi dans le demi-plan inférieur en calculant $f(\pm i)$ et donc $g(\pm i)$ et en expliquant pourquoi a priori le quotient $g(a)/f(a)$ est constant dans ces deux demi-plans. \finenonce{002851} \finexercice \exercice{2852, burnol, 2009/12/15} \enonce{002852}{} \begin{enumerate} \item On considère la fonction analytique $\phi(a) = \mathrm{Log}(a-1) - \mathrm{Log}(a+1)$ dans le demi-plan supérieur et la fonction analytique $\psi(a) = \mathrm{Log}(a-1) - \mathrm{Log}(a+1)$ dans le demi-plan inférieur. Montrer que $\phi$ et $\psi$ sont la restriction à leurs demi-plans respectifs d'une fonction analytique sur $\Cc\setminus[-1,+1]$. \emph{Indication :} il y a plusieurs raisonnements possibles et plusieurs indications possibles. Donc, débrouillez vous. \item On considère la fonction $a\mapsto \frac{a-1}{a+1}$. Quelle est l'image par cette fonction de l'intervalle $]-1,1[$? Quelle est l'image par cette fonction de $\Cc\setminus[-1,+1]$? En déduire que la fonction composée $\Phi(a) = \mathrm{Log}\frac{a-1}{a+1}$ existe et est analytique sur $\Cc\setminus[-1,+1]$. Retrouver le résultat de la question précédente (et montrer que $\phi$, $\psi$ et $\Phi$ coïncident dans les intersections deux-à-deux de leurs ouverts de définitions). \item Quel est le développement en série de Laurent de la fonction analytique $\Phi$ dans la couronne $1<|a|<\infty$? Que vaut par exemple $\int_{|a|=2} \Phi(a)a^{18} da$? \end{enumerate} \finenonce{002852} \finexercice\exercice{6653, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006653}{} Montrer qu'il n'existe pas de détermination holomorphe du logarithme de $z$ sur $\Cc\backslash\{0\}$ tout entier. (On raisonnera par l'absurde et on exhibera ainsi une application continue injective du cercle unité dans $\Rr$). \finenonce{006653} \finexercice \exercice{6654, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006654}{} Soit $\hbox{Log} z$ la détermination principale du logarithme dans $\Cc\backslash \Rr^-$, ie $\hbox{Log} z=\hbox{Ln}|z|+i\hbox{Arg} z$ où $|\hbox{Arg}z|<\pi$, et on définit $z^\alpha=e^{\alpha{\rm Log}z}$ \begin{enumerate} \item On considère $z=e^{2i\pi\over3}$; comparer $\hbox{Log} (z^2)$ et $2\hbox{Log} z$. \item On considère $z=e^{3i\pi\over4}$; comparer $z^{2i}$, $(z^2)^i$ et $(z^i)^2$. \end{enumerate} \finenonce{006654} \finexercice \exercice{6655, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006655}{} On se propose de calculer les sommes de séries convergentes pour $00$ si $|\Re z|<{\pi\over2}$. En déduire une détermination holo\-morphe du logarithme de $\cos z$ dans $\{|\Re z|<{\pi\over2}\}$. \item Montrer que l'on peut définir une fonction holomorphe $f(z)=\hbox{Log} {1+iz\over 1-iz}$ sur l'ouvert $U={\Cc}\backslash S$ où $S=\{ix\ ;\ |x|\geq1\}$. \item Montrer que l'on peut définir une fonction holomorphe $f(z)=\hbox{Log} \sqrt{z^3-1}$ sur un ouvert $U$ à déterminer (où $\sqrt{}$ désigne la détermination principale de la racine). \end{enumerate} \finenonce{006658} \finexercice \exercice{6659, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006659}{} \begin{enumerate} \item Soit $\Omega={\Cc}\backslash [-1,1]$; montrer que la fonction $$g(z)=\hbox{exp}({1\over2}\hbox{Log}(z+1)+{1\over2}\hbox{Log}(z-1))$$ se prolonge en une fonction continue sur $\Omega$ et fournit ainsi une racine carrée holomorphe de $z^2-1$ dans $\Omega$, bien que $\hbox{Log}(z^2-1)$ n'ait pas de prolongement continu à $\Omega$. \item Construire de même une racine carrée holomorphe de $z^2+1$ sur l'ouvert connexe $\Omega'{\Cc}\backslash [-i,i]$. \end{enumerate} \finenonce{006659} \finexercice \exercice{6660, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006660}{} Montrer que $$\mathrm{Arg} {(x+iy)} =\left\{ \begin{array}{ll} \arctan{\left({y\over x}\right)}&\mbox{ si }x>0\\ {\pi\over 2}-\arctan{\left({x\over y}\right)}&\mbox{ si }y>0\\ -{\pi\over 2}-\arctan{\left({x\over y}\right)}&\mbox{ si }y<0 \end{array}\right.$$ En déduire que la fonction $\mathrm{Arg}$ est ${\Rr}$-différentiable sur l'ouvert $\Omega$ $$\Omega ={\Rr}^2\setminus \{ (x,y)\vert\ y=0,x\le 0\}$$ et calculer sa différentielle. \finenonce{006660} \finexercice \exercice{6661, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006661}{} Soit $w$ dans $\C$. Déterminer les nombres complexes $z$ tels que $\cos z=\cos w$. Même question avec le sinus. \finenonce{006661} \finexercice \exercice{6662, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006662}{} Si $z=x+iy$ avec $x$ et $y$ réels, montrer que l'on a $$\begin{array}{lll} \vert \sin z\vert^2&=&\sin^2x+\sh^2y\\ \vert \cos z\vert^2&=&\cos^2x+\sh^2y \end{array}$$ En déduire les zéros de $\sin z$ et $\cos z$ dans $\C$. \finenonce{006662} \finexercice \exercice{6663, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006663}{} Montrer que la fonction $f(z)=\tan z$ définie par $\tan z={\sin z\over \cos z}$ réalise une bijection de $T=\{ z\in \C\vert -\pi/2<\Re z\le \pi/2,\ z\ne \pi/2\}$ sur $\C\setminus \{-i,i\}$. On pourra écrire $f=f_4\circ f_3\circ f_2\circ f_1$ avec $f_1(z)=2iz$, $f_2(z)=e^z$, $f_3(z)={1-z\over 1+z}$, $f_4(z)=iz$. \finenonce{006663} \finexercice \exercice{6664, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006664}{} Résoudre les équations $e^z=-3$, $\cos z=2$, $\sin z=2$, $\tan z=2i$, $\ch z=1/2$ de la manière suivante : \begin{enumerate} \item en identifiant les parties réelles et imaginaires \item en utilisant le logarithme \end{enumerate} \finenonce{006664} \finexercice \exercice{6665, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006665}{} \begin{enumerate} \item En utilisant la détermination principale du logarithme, on définit les fonctions $z\mapsto z^{1/2}$, $z\mapsto (1-z)^{1/3}$, $z\mapsto \left( (1-2i)z\right)^{2i/5}$. Donner leur domaine de définition. \item Soit $n\in{\Nn}$. Soit $f$ une détermination continue de $z^{1/n}$. Montrer que $f(z)^n=z$ sur son domaine de définition. \end{enumerate} \finenonce{006665} \finexercice \exercice{6666, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006666}{} On considère $f(z)=\sqrt{z^2}=(z^2)^{1/2}$ définie à l'aide de la détermination principale du logarithme. \begin{enumerate} \item Trouver le domaine de définition et donner une expression explicite de $f$. \item Peut-on prolonger $f$ par continuité sur un ouvert plus grand ? \item Mêmes questions en prenant la détermination ${\rm log}z=\mathrm{Log} z+2i\pi$. \end{enumerate} \finenonce{006666} \finexercice \exercice{6667, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006667}{} On définit à l'aide de la détermination principale du logarithme les fonctions $f_1(z)=(z^3-1)^{1/2}$, $f_2(z)=(z-1)^{1/2}(z-j)^{1/2}(z-j^2)^{1/2}$, et $f_3(z)=(1-z)^{1/2}(iz-ij)^{1/2}(iz-ij^2)^{1/2}$, où $j=e^{i\pi/3}$. \begin{enumerate} \item Trouver les domaines de définition des $f_k$ et montrer que l'on a toujours $f_k(z)^2=z^3-1$. \item Montrer que l'on peut prolonger $f_3$ par continuité sur un ouvert plus grand. \end{enumerate} \finenonce{006667} \finexercice \exercice{6668, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006668}{} On veut démontrer qu'il existe une détermination continue $f$ de $\sqrt{1-z^2}$ sur $U=\C\setminus [-1,1]$ telle que $f(i)=\sqrt 2$. \begin{enumerate} \item Définir $f$ sur $\C\setminus \mathopen]-\infty,1]$ au moyen des fonctions $\mathrm{Arg}{(z+1)}$ et $\mathrm{Arg}{(z-1)}$. \item Soit $x$ un réel strictement inférieur à 1. Etudier $\lim_{y\to 0} f(x+iy)$ quand $y$ tend vers 0 par valeurs positives puis négatives. Conclure. \item Montrer qu'on obtient ainsi une application $f$ telle que $f(U)\subset U$ et $f\circ f=-{\rm Id_{\vert U}}$. En déduire que $f$ est une bijection de $U$ sur lui-même. \end{enumerate} \finenonce{006668} \finexercice \exercice{6806, gijs, 2011/10/16} \enonce{006806}{} On note $\mathrm{Log} : \Cc\setminus\,]-\infty,0] \to \Cc$ la détermination principale du logarithme, qui est réelle pour $z$ réel positif. On pose \begin{align*} f(z) &= \exp\bigl(\tfrac13\mathrm{Log}(z) + \tfrac13\mathrm{Log}(z-1) + \tfrac13\mathrm{Log}(z+1)\bigr) \\ g(z) &= \exp\bigl(\tfrac13\mathrm{Log}(-z) + \tfrac13\mathrm{Log}(1-z^2)\bigr) \ . \end{align*} \begin{enumerate} \item Déterminer les domaines de définition $\Omega_f \subset \Cc$ de $f$ et $\Omega_g \subset \Cc$ de $g$ et montrer que $f$ et $g$ sont des branches continues de $\root3\of {z^3-z}$. \item Est-ce-qu'on peut élargir le domaine de définition de $f$, c'est à dire~: existe-t-il un ouvert $\widehat\Omega_f \subset \Cc$ et une fonction continue $\widehat f : \widehat\Omega_f \to \Cc$ telle que $\Omega_f \subset \widehat\Omega_f$ et pour tout $z\in \Omega_f$ on a $\widehat f(z) = f(z)$~? N'oubliez pas de justifier votre réponse~! \item Est-ce-qu'on peut élargir le domaine de définition de $g$~? \end{enumerate} \finenonce{006806} \finexercice \exercice{6824, gijs, 2011/10/16} \enonce{006824}{} On définit les fonctions $f_1$, $f_2$ et $f_3$ par les formules \begin{align*} f_1(z) &= \exp(\tfrac13[ \mathrm{Log}(z+1) + \mathrm{Log}(z) + \mathrm{Log}(z-1) + \mathrm{Log}(z - \sqrt3)]) \\ f_2(z) &= \exp(\tfrac13[ \mathrm{Log}(z+1) + \mathrm{Log}(-z) + \mathrm{Log}(1-z) + \mathrm{Log}(\sqrt3 - z) +i\pi]) \\ f_3(z) &= \exp(\tfrac13[\mathrm{Log}(-1-z) + \mathrm{Log}(-z) + \mathrm{Log}(1-z) + \mathrm{Log}(z-\sqrt3) + i\pi]) \ , \end{align*} où $\mathrm{Log}$ désigne le logarithme principal. \begin{enumerate} \item Calculer $f_1(\pm i)$, $f_2(\pm i)$ et $f_3(\pm i)$. \item Déterminer les domaines de définition de $f_1$, $f_2$ et $f_3$. \item Démontrer que $f_1$, $f_2$ et $f_3$ sont des déterminations continues de $\root3 \of {z^4 -\sqrt3 z^3 -z^2 + \sqrt3 z}$. \item Peut-on prolonger $f_1$ sur un ouvert plus grand~? Si oui, lequel~? \item Peut-on prolonger $f_2$ sur un ouvert plus grand~? Si oui, lequel~? \item Peut-on prolonger $f_3$ sur un ouvert plus grand~? Si oui, lequel~? \item Y-a-t-il un lien entre $f_1$, $f_2$ et $f_3$~? \end{enumerate} \finenonce{006824} \finexercice \exercice{7548, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007548}{trigonométrie hyperbolique} On définit $\cosh z$ comme la somme de la série $\sum \frac{z^{2n}}{(2n)!}$ et $\sinh z$ comme la somme de la série $\sum \frac{z^{2n+1}}{(2n+1)!}$. \begin{enumerate} \item Déterminer leur rayon de convergence. \item Exprimer $\cosh$ et $\sinh$ à l'aide de la fonction exponentielle. \item Démontrer les formules d'addition pour $\cosh(z+w)$ et $\sinh(z+w)$ pour $z$ et $w$ dans $\Cc$. \item Démontrer que pour tous $x$ et $y$ dans $\Rr$, \begin{eqnarray*} \cos(x+iy)&=&\cos(x)\cosh(y)-i\sin(x)\sinh(y)\\ \sin(x+iy)&=&\sin(x)\cosh(y)+i\cos(x)\sinh(y). \end{eqnarray*} \end{enumerate} \finenonce{007548} \finexercice \exercice{7549, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007549}{Exponentielle} \begin{enumerate} \item Trouver la valeur minimale de $\arrowvert f(z) \arrowvert $ o\` u $ f(z) = e^{z^{2}}$ sur le disque unité. \item Montrer que pour tout $z\in\Cc$, $2i\sin(z)=e^{-iz}(e^{2iz}-1)$. En déduire les zéros de la fonction sinus sur $\Cc$ et en particulier que la fonction sinus ne s'annule que pour des valeurs réelles. \item Résoudre dans $\Cc$, les équations suivantes : $ e^{z} = -5 $ ; $ \sin(z) = 2 $. \end{enumerate} \finenonce{007549} \finexercice \exercice{7550, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007550}{Logarithme} On considère la branche principale du logarithme, toujours notée $\log$. \begin{enumerate} \item Calculer $\log(i)$. \item Calculer $i^i$. \item Démontrer que pour tout $\alpha$ et $\beta$ fixés dans $\Cc$ et $z\in\Cc^-$, $$(z^\alpha)'=\alpha z^{\alpha-1}\quad \text{ et } \quad z^{\alpha+\beta}=z^\alpha z^\beta.$$ \item En utilisant la détermination principale du logarithme, on définit les fonctions suivantes : \begin{enumerate} \item [a.]$ z \longmapsto z^{1/2} $ \item [b.]$ z \longmapsto( 1-z) ^{1/3} $. \end{enumerate} Déterminer leurs domaines de définition. \end{enumerate} \finenonce{007550} \finexercice \exercice{7551, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007551}{Une autre application logarithme ?} On considère l'application $$\begin{array}{cccc} L :& \Cc-\{z\in\Cc, re(z)=0\}&\longrightarrow&\Cc\\ &z=x+iy&\longmapsto& \frac{1}{2}\log_\Rr(x^2+y^2)+i\arctan (\frac{y}{x}). \end{array}$$ \begin{enumerate} \item Montrer que $L$ est holomorphe. \item L'application $L$ coïncide-t-elle avec la branche principale $\log$ du logarithme sur\\ $\{z\in\Cc, re(z)>0\}$ ? \item L'application $L$ est-elle un logarithme sur $\{z\in\Cc, re(z)<0\}$ ? \end{enumerate} \finenonce{007551} \finexercice \exercice{7552, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007552}{Propriétés de la branche principale du logarithme} \begin{enumerate} \item Pour quelles valeurs de $z\in \Cc$ le nombre complexe $\exp (z)$ est-il dans $\Cc-\Cc^-$ ? \item Vérifier que $\exp : B\to \Cc^-$ et $\log : \Cc^-\to B$ sont deux biholomorphismes réciproques. \item A-t-on pour tous $z,w\in\Cc^-$, $$\log (zw)=\log z +\log w ?$$ \item A-t-on pour tous $z,w\in\Cc$ tels que $re (z)>0$ et $re (w)>0$, $$\log (zw)=\log z +\log w ?$$ \end{enumerate} \finenonce{007552} \finexercice \exercice{7553, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007553}{La fonction zeta de Riemann} On rappelle que pour tout entier naturel $n$, et tout nombre complexe $z$, $n^z$ désigne $p_z(n)=\exp(z\log n)$. \begin{enumerate} \item Déterminer le module de $n^z$. \item Montrer que la série $\sum_{n\geq 1} \frac{1}{n^z}$ converge normalement sur l'ouvert $\{z\in\Cc / re(z)>1\}$. \end{enumerate} \finenonce{007553} \finexercice \section{ 442.00 Formule de Cauchy } \exercice{2806, burnol, 2009/12/15} \enonce{002806}{} Le Laplacien $\Delta = \frac{\partial^2}{\partial x^2} +\frac{\partial^2}{\partial y^2}$ est un opérateur différentiel qui joue un rôle important en analyse complexe. Soit $f(z) = u(x,y) + i\, v(x,y)$ une fonction holomorphe sur un ouvert du plan complexe. On sait que $f$, donc $u$ et $v$, admettent des dérivées partielles de tous les ordres. En utilisant les équations de Cauchy-Riemann, montrer que $u$ et $v$ vérifient l'équation de Laplace: \[ \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} +\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} =0 \qquad \frac{\partial^2 v}{\partial x^2} +\frac{\partial^2 v}{\partial y^2} =0\] On dit d'une fonction vérifiant l'équation de Laplace qu'elle est harmonique. La fonction holomorphe $f = u + i v$ est aussi une fonction harmonique puisque $\Delta(f) = \Delta(u) + i \Delta(v) = 0$. \finenonce{002806} \finexercice \exercice{2807, burnol, 2009/12/15} \enonce{002807}{} \label{exo:CRpolaires} On veut exprimer les équations de Cauchy-Riemann avec les coordonnées polaires $r$ et $\theta$. Les équations de Cauchy-Riemann peuvent s'écrire sous la forme: \[ \left(\frac\partial{\partial x} + i\frac\partial{\partial y}\right) F = 0\] donc il s'agit d'exprimer $\frac\partial{\partial x}$ et $\frac\partial{\partial y}$ en fonction de $\frac\partial{\partial r}$ et de $\frac\partial{\partial \theta}$. Lorsque l'on travaille sur un ouvert (ne contenant pas l'origine) sur lequel une détermination continue de l'argument $\theta$ est possible (par exemple sur $\Omega = \Cc\setminus]-\infty,0]$). Montrer: \begin{align*} \frac\partial{\partial r} &= \cos(\theta)\frac\partial{\partial x} + \sin(\theta)\frac\partial{\partial y}\\ \frac\partial{\partial\theta} &= -r\sin(\theta)\frac\partial{\partial x} + r\cos(\theta)\frac\partial{\partial y} \end{align*} En déduire $\frac\partial{\partial x} = \cos(\theta)\frac\partial{\partial r} - \sin(\theta)\frac1r \frac\partial{\partial\theta}$ et $\frac\partial{\partial y} = \sin(\theta)\frac\partial{\partial r} + \cos(\theta)\frac1r \frac\partial{\partial\theta}$. Montrer alors: \[ \frac\partial{\partial x} + i\frac\partial{\partial y} = e^{i\theta}\left(\frac\partial{\partial r} + i\frac1 r\frac\partial{\partial \theta}\right) = e^{i\theta}\frac1 r\left(r\frac\partial{\partial r} + i\frac\partial{\partial \theta}\right)\] En déduire qu'en coordonnées polaires les équations de Cauchy-Riemann peuvent s'écrire (en particulier) sous la forme: \[ \frac{\partial F}{\partial\theta} = i\, r\frac{\partial F}{\partial r}\] \finenonce{002807} \finexercice \exercice{2808, burnol, 2009/12/15} \enonce{002808}{} Il est intéressant que l'équation de l'exercice précédent $\frac{\partial F}{\partial\theta} = i\, r\frac{\partial F}{\partial r}$, peut se réécrire dans le système de coordonnées $(a,b) = (\log(r),\theta)$ sous la forme: \[ \frac{\partial F}{\partial b} = i\, \frac{\partial F}{\partial a}\;,\] autrement dit exactement sous la même forme qu'ont les équations de Cauchy-Riemann originelles dans les coordonnées cartésiennes $(x,y)$.\footnote{$\frac{\partial F}{\partial y} = i \frac{\partial F}{\partial x}$, ou, plus mnémotechnique: $\frac{\phantom{i}\,\partial F}{i\,\partial y} = \frac{\partial F}{\partial x}$ qui dit ``holomorphe $\Leftrightarrow$ $iy$ est comme $x$''.} Or $a$ et $b$ sont les parties réelles et imaginaires de la combinaison $a+ib$ qui est holomorphe comme fonction de $x+iy$: $a+ib = \log(x+iy)$. Montrer que cela est général: dans un système de coordonnées $(a,b)$ telles que $w= a+ib$ est une fonction holomorphe de $z = x+iy$ les équations de Cauchy-Riemann pour l'holomorphie (par rapport à $(x,y)$) d'une fonction $F$ sont $\frac{\partial F}{\partial b} = i \frac{\partial F}{\partial a}$ (ce qui équivaut à l'holomorphie de $F$ comme fonction ``sur le plan de $w=a+ib$''\footnote{autrement dit pour qu'une fonction soit holomorphe comme fonction de $x+iy$ il est nécessaire et suffisant qu'elle soit holomorphe comme fonction de $a+ib$. En particulier $x+iy$ est une fonction holomorphe de $a+ib$: on a donc prouvé que la réciproque d'une bijection holomorphe est aussi holomorphe. Nous reviendrons là-dessus avec d'autres méthodes (dont celle très concrète de l'``inversion'' d'une série entière).}). Indication: prouver l'identité : \[ \frac\partial{\partial x} + i\frac\partial{\partial y} = \left(\frac{\partial a}{\partial x} - i \frac{\partial b}{\partial x}\right)\left(\frac\partial{\partial a} + i\frac\partial{\partial b}\right)\;,\] en exploitant les équations de Cauchy-Riemann $\frac{\partial b}{\partial x} = -\frac{\partial a}{\partial y}$, $\frac{\partial a}{\partial x} = +\frac{\partial b}{\partial y}$ pour $a+ib = g(x+iy)$. \finenonce{002808} \finexercice \exercice{2809, burnol, 2009/12/15} \enonce{002809}{} On veut exprimer le Laplacien avec les coordonnées polaires $r$ et $\theta$: autrement dit pour toute fonction deux fois différentiable $\Phi$ on veut calculer la fonction $\Delta(\Phi)$ à l'aide des opérateurs de dérivées partielles $\frac\partial{\partial r}$ et $\frac\partial{\partial \theta}$, lorsque l'on travaille sur un ouvert (ne contenant pas l'origine) dans lequel une détermination continue de l'argument $\theta$ est possible (par exemple sur $\Omega = \Cc\setminus]-\infty,0]$). Une méthode possible est d'utiliser les expressions obtenues dans l'exercice \ref{exo:CRpolaires} : \[ \frac\partial{\partial x} = \cos(\theta)\frac\partial{\partial r} - \sin(\theta)\frac1r \frac\partial{\partial\theta}\qquad \frac\partial{\partial y} = \sin(\theta)\frac\partial{\partial r} + \cos(\theta)\frac1r \frac\partial{\partial\theta}\;,\] et de calculer ensuite $(\frac\partial{\partial x})^2$ et $(\frac\partial{\partial y})^2$ puis de faire la somme. Mais cela donne des calculs un peu longs. Voici une ruse: en reprenant une formule déjà établie dans l'exercice \ref{exo:CRpolaires} montrer \[ (x-iy)\left(\frac\partial{\partial x} + i\frac\partial{\partial y}\right) = r\frac\partial{\partial r} + i\frac\partial{\partial \theta}\] \[ (x+iy)\left(\frac\partial{\partial x} - i\frac\partial{\partial y}\right) = r\frac\partial{\partial r} - i\frac\partial{\partial \theta}\] On remarquera maintenant que l'opérateur différentiel $\frac\partial{\partial x} + i\frac\partial{\partial y}$ appliqué à la fonction $x+iy$ donne zéro. Donc (expliquer!): \[ (x-iy)\left(\frac\partial{\partial x} + i\frac\partial{\partial y}\right)(x+iy)\left(\frac\partial{\partial x} - i\frac\partial{\partial y}\right) = (x-iy)(x+iy)\left(\frac\partial{\partial x} + i\frac\partial{\partial y}\right)\left(\frac\partial{\partial x} - i\frac\partial{\partial y}\right)\] Prouver alors en conclusion: \[ \frac{\partial^2\Phi}{\partial x^2} +\frac{\partial^2\Phi}{\partial y^2} = \frac{1}{r^2}\left( (r\frac\partial{\partial r})^2 + \frac{\partial^2}{\partial \theta^2}\right)\Phi = \frac{\partial^2\Phi}{\partial r^2} + \frac1r \frac{\partial\Phi}{\partial r} + \frac1{r^2}\frac{\partial^2\Phi}{\partial \theta^2}.\] \finenonce{002809} \finexercice \exercice{2810, burnol, 2009/12/15} \enonce{002810}{} \label{ex:burnol2.2.1} Soit $\gamma = [A,B]+[B,C]+[C,D]+[D,A]$ le bord (parcouru dans le sens direct) du carré de sommets $A = 1-i$, $B = 1+i$, $C=-1+i$, $D=-1-i$. Déterminer les intégrales suivantes: \begin{enumerate} \item $\int_\gamma \,dx$, $\int_\gamma x\,dx$, $\int_\gamma x^2\,dx$, $\int_\gamma y\,dx$, $\int_\gamma y^2\,dx$, $\int_\gamma y^3 \,dx$, \item $\int_\gamma x\,dx+y\,dy$, $\int_\gamma x\,dy+y\,dx$, $\int_\gamma x\,dy-y\,dx$, \item $\int_\gamma \,dz$, $\int_\gamma z\,dz$, $\int_\gamma x\,dz$, $\int_\gamma z\,dx$, \item $\int_\gamma z^{-1} \,dz$, $\int_\gamma z^{-2} \,dz$, $\int_\gamma z^{n} \,dz$, pour $n\in\Zz$. \end{enumerate} \finenonce{002810} \finexercice \exercice{2811, burnol, 2009/12/15} \enonce{002811}{} Avec les mêmes notations on veut évaluer $\int_\gamma \overline{z^{n}} \,dz$, $n\in\Zz$. Justifier les étapes suivantes: \begin{align*} \int_\gamma \overline{z^{n}} \,dz &= \overline{\int_\gamma z^n \,\overline{dz}}\\ \int_\gamma z^n \,\overline{dz}&= \int_{[B,C]} z^n \,dz - \int_{[C,D]} z^n \,dz + \int_{[D,A]} z^n \,dz - \int_{[A,B]}z^n \,dz\;, \end{align*} et compléter le calcul, pour tout $n\in\Zz$. \finenonce{002811} \finexercice \exercice{2812, burnol, 2009/12/15} \enonce{002812}{} \label{ex:burnol2.2.3} On note $C$ le cercle de rayon $1$ parcouru dans le sens direct. Calculer $ \int_C z^n \,dz$ et $\int_\gamma z^n \,dz$ pour tout $n\in\Zz$, et vérifier qu'il y a toujours égalité (ici $\gamma = \partial\mathcal{R}$ est à nouveau le bord du carré qui a été utilisé dans les exercices précédents). Calculer $\int_C \overline{z}^n \,dz$ et $\int_\gamma \overline{z}^n \,dz$ et trouver les cas d'égalités et d'inégalités. \finenonce{002812} \finexercice \exercice{2813, burnol, 2009/12/15} \enonce{002813}{} Soit $C$ un cercle de centre quelconque, parcouru dans le sens direct, et ne passant pas par l'origine. Calculer $\int_C z^n \,dz$ pour tout $n\in\Zz$ dans le cas où $C$ encercle l'origine, et dans le cas où $C$ n'encercle pas l'origine. \emph{Indication} pour $n=-1$: soit $w$ l'affixe du centre du cercle, et $R$ son rayon. Paramétrer le cercle par $z = w(1 + \frac{R}{|w|}e^{i\theta})$, $-\pi<\theta\leq+\pi$, puis utiliser un développement en série en distinguant les cas $R>|w|$ et $R<|w|$. Ou encore invoquer la fonction $\mathrm{Log}(z/w)$. \finenonce{002813} \finexercice \exercice{2814, burnol, 2009/12/15} \enonce{002814}{} Soit $0b \end{cases}\] On pourra réduire la fraction en élément simples, puis se ramener au résultat de l'exercice précédent. Ou encore, on pourra envisager des développements en séries, pour se ramener par étapes aux intégrales $\int_C z^n dz$, $n\in\Zz$. \finenonce{002814} \finexercice \exercice{2815, burnol, 2009/12/15} \enonce{002815}{} Soit $C$ le cercle unité parcouru dans le sens direct. Calculer \[ \int_C \left( z + \frac1z \right)^{n}\frac{dz}z\quad( n\in\Nn)\] en développant par la formule du binôme et en utilisant les valeurs connues de $\int_C z^k dz$, $k\in\Zz$. En déduire $\int_{-\pi}^{+\pi} \cos^{n} t\,dt$. En déduire la valeur de $\int_{0}^{\pi/2} \cos^{n} t\,dt$ pour $n$ pair: \[ I_m = \int_0^{\frac\pi2} \cos^{2m} t\,dt = \frac{1.3.\cdots.(2m-1)}{2.4.\cdots.(2m)}\frac\pi2\] \finenonce{002815} \finexercice \exercice{2816, burnol, 2009/12/15} \enonce{002816}{} On pose $J_m = \int_0^{\pi/2} \cos^{2m+1} t\,dt$, pour $m\in\Nn$. En intégrant par parties $J_{m+1}$ obtenir la relation de récurrence $J_{m+1} = \frac{2m+2}{2m+3}J_m$ et prouver:\footnote{par convention lorsque qu'un produit porte sur un ensemble vide il vaut $1$. Donc la formule est bien compatible avec $J_0 = 1$.} \[ J_m = \frac{2.4.\cdots.(2m)}{3.5.\cdots.(2m+1)}\] \finenonce{002816} \finexercice \exercice{2817, burnol, 2009/12/15} \enonce{002817}{} En utilisant $I_{m+1}\leq J_m\leq I_{m}$, obtenir: \[ \frac{2m+1}{2m+2} \frac{(1.3.\cdots.(2m-1))(3.5.\cdots.(2m+1))}{(2.4.\cdots.(2m))^2}\leq \frac2\pi \leq \frac{(1.3.\cdots.(2m-1))(3.5.\cdots.(2m+1))}{(2.4.\cdots.(2m))^2}\] En déduire la formule de Wallis: \[ \frac2\pi = \lim_{m\to\infty} \frac{1.3}{2.2}\frac{3.5}{4.4}\cdots\frac{(2m-1).(2m+1)}{(2m).(2m)} = \prod_{m=1}^\infty \left( 1 - \frac1{4m^2}\right)\] \finenonce{002817} \finexercice \exercice{2818, burnol, 2009/12/15} \enonce{002818}{} Justifier le réarrangement suivant (qui découle aussi du terme de gauche dans l'inégalité de l'exercice précédent): $ \frac2\pi = \frac12 \frac{3.3.5.5.\dots}{2.4.4.6.\dots} = \frac12\prod_{m=1}^\infty \left( 1 - \frac1{(2m+1)^2}\right)^{-1}$, soit encore: \[ \frac\pi4 = \prod_{m=1}^\infty \left( 1 - \frac1{(2m+1)^2}\right)\;.\] \finenonce{002818} \finexercice \exercice{2819, burnol, 2009/12/15} \enonce{002819}{} Justifier également sur la base des formules précédentes les équivalents asymptotiques: $$\binom{2m}{m} \sim_{m\to\infty} \frac{2^{2m}}{\sqrt{\pi m}}$$ $$\frac{(1+\frac12)(2+\frac12)\cdots(m+\frac12)}{1.2.\cdots.m}\sim 2\sqrt{\frac{m}{\pi}}$$ $$\frac{(\frac12)_m}{m!}\sim \frac1{\sqrt{\pi m}}$$ \finenonce{002819} \finexercice\exercice{6669, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006669}{} Soit $f(z)=\sum_{n\geq0} a_n z^n$ la somme d'une série entière de rayon infini. Montrer que pour $r>0$ et $n\geq 0$ $$a_n={1\over 2\pi r^n}\int_0^{2\pi}f(re^{it})\ e^{-int}\ dt$$. En déduire que si $|f(z)|\leq A+B|z|^k$ pour tout $z$ de module $\geq R$, $f$ est un polyn\^ome. \finenonce{006669} \finexercice \exercice{6670, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006670}{} On se propose de calculer $I=\int_{-\pi}^\pi \ln|re^{i\theta}-a|\ d\theta$, où $01, |\lambda|<1$). \end{enumerate} \finenonce{006671} \finexercice \exercice{6672, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006672}{} Soit $U$ un ouvert de $\Cc$ contenant $\bar D$ et $f\in H(U)$. On note $\gamma$ le paramétrage de $\partial D$ par $t\in [0,2\pi]\to e^{it}$. \begin{enumerate} \item Calculer $I_1=\displaystyle\int_{\gamma} (2+z+{1\over z}){f(z)\over z}\ dz$ et $I_2=\displaystyle\int_{\gamma} (2-z-{1\over z}){f(z)\over z}\ dz$. \item En déduire la valeur de $\displaystyle\int_0^{2\pi} f(e^{i\theta})\cos^2({\theta\over2})\ d\theta$ et $\displaystyle\int_0^{2\pi} f(e^{i\theta})\sin^2({\theta\over2})\ d\theta$. \item Pour $|a|\not=1$, évaluer $I(a)=\displaystyle{1\over 2i\pi}\int_{\gamma} {\overline{f(z)}\over z-a}\ dz.$ \end{enumerate} \finenonce{006672} \finexercice \exercice{6673, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006673}{} \begin{enumerate} \item Soit $\Omega $ un ouvert de $\C$, $F$ et $G$ deux fonctions holomorphes dans $\Omega $ et $\gamma \colon [a,b]\to\C$ un chemin tel que $\gamma ^*\subset \Omega $. Montrer que $$\int_\gamma F(z)G'(z)\ dz=F(\gamma (b))G(\gamma (b))- F(\gamma (a))G(\gamma (a))-\int_\gamma F'(z)G(z)\ dz$$ \item Calculer $\int_\gamma (z+2)e^{iz}\ dz$, où $\gamma $ est l'arc de parabole $\displaystyle\gamma (t)=t+i{t^2\over\pi^2}$ joignant (0,0) à $(\pi,1)$. \end{enumerate} \finenonce{006673} \finexercice \exercice{6674, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006674}{} En évaluant $\int_Ce^z\ dz$ sur le cercle unité, montrer que $$\int_0^{2\pi}e^{\cos\theta }\cos{(\theta +\sin\theta )}\ d\theta = \int_0^{2\pi}e^{\cos\theta }\sin{(\theta +\sin\theta )}\ d\theta = 0$$ \finenonce{006674} \finexercice \exercice{6675, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006675}{} Calculer $$\int_\gamma \left( z+{1\over z}\right)^n \ {dz\over z},$$ où $\gamma (t)=e^{it}$ ($t\in [0,2\pi]$) et $n\in {\Nn}$. En déduire la valeur de $\int_0^{2\pi} \cos^n t\ dt$. \finenonce{006675} \finexercice \exercice{6676, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006676}{} Calculer les intégrales suivantes. \begin{enumerate} \item $\displaystyle\int_\gamma {\cos z\over z}\ dz$ où $\gamma (t)=e^{it}$ ($t\in [0,2\pi]$) \item $\displaystyle\int_\gamma {\sin z\over z}\ dz$ où $\gamma (t)=e^{it}$ ($t\in [0,2\pi]$) \item $\displaystyle\int_\gamma {\cos {z^2}\over z}\ dz$ où $\gamma (t)=e^{it}$ ($t\in [0,2\pi]$) \item $\displaystyle\int_\gamma {e^{\pi z}\over z^3+z}\ dz$ où $\gamma (t) =2e^{it}$ ($t\in [0,2\pi]$) \item $\displaystyle\int_\gamma {dz\over(z-a)^n}$ ($n\in{\Zz}$), où $\gamma $ est un chemin fermé ne passant pas par $a$ \item $\displaystyle\int_{\gamma _r}{3z^2-12z+11\over z^3-6z^2+11z-6}\ dz$, où $\gamma _r(t)=re^{it}$ ($t\in [0,2\pi]$) \item $\displaystyle\int_{\gamma }\left({z\over z-1}\right)^n\ dz$, $n\in{\Nn}^*$, où $\gamma (t)=1+e^{it}$ ($t\in [0,2\pi]$) \end{enumerate} \finenonce{006676} \finexercice \exercice{6677, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006677}{} Soit $I(z)=\int_0^{+\infty}{\ln t\over t^2+z^2}dt$. \begin{enumerate} \item Pour quelles valeurs de $z$ $I(z)$ est-elle définie ? \item Montrer que pour $\Re z>0$, on a $$I(z)={1\over z}\left( {\pi\over 2}\mathrm{Log} z+ \int_0^{+\infty}{\ln t\over 1+t^2}dt\right) ,$$ où $\mathrm{Log}$ est la détermination principale du logarithme. On pourra considérer le chemin fermé $\Gamma_{\varepsilon, R}=[\varepsilon, R]+\gamma_R+[Re^{i\varphi},\varepsilon e^{i\varphi}]-\gamma_{\varepsilon}$, où $\varphi=\mathrm{Arg} z$ et $\gamma_r\colon t\mapsto re^{it}$, $t\in [0,\varphi]$. \item Qu'obtient-on pour $\Re z<0$ ? \end{enumerate} \finenonce{006677} \finexercice \exercice{6678, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006678}{} Soit $a>0$ et $\gamma\colon t\mapsto a+it$, $t\in {\Rr}$. Pour $\alpha\in {\Rr}$, on considère $$J(\alpha)={1\over 2i\pi}\int_\gamma {e^{\alpha z}\over z^2}dz.$$ \begin{enumerate} \item Montrer que cette intégrale converge. \item En considérant les chemins fermés $[a-iR,a+iR]+\gamma_R$, où $\gamma_R^*$ est un demi-cercle de diamètre $[a-iR,a+iR]$, montrer que $J(\alpha)=0$ si $\alpha\le 0$ et $j(\alpha)=\alpha$ si $\alpha\ge 0$. \end{enumerate} \finenonce{006678} \finexercice \exercice{6679, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006679}{} Pour $n\ge 1$ et $0\le k\le n$, on désigne par $C_n^k$ le coefficient binomial. Pour $r>0$, soit $c_r\colon t\mapsto re^{it}$, $t\in [0,2\pi]$. \begin{enumerate} \item Montrer que $$C_n^k={1\over 2i\pi}\int_{c_r}(1+z)^n{dz\over z^{k+1}}.$$ En déduire que $C_{2n}^n\le 4^n$. \item Montrer que $$C_{2n}^n={1\over 2i\pi}\int_{c_r}\left( {1\over z} +2+z\right) ^n{dz\over z}$$ (on pourra utiliser 1.). En déduire que $$\sum_{n=0}^{+\infty}C_{2n}^n{1\over 5^n}={1\over 2i\pi}\int_{c_r}{dz\over 3z-1-z^2)}=\sqrt 5 ,$$ à condition que $r_10$. \item Montrer que $\int_0^{2\pi} \mathrm{Log}{(1-re^{it})}\ dt$ est indépendant de $r\in \mathopen]0,1\mathclose[$ ($\mathrm{Log}$ désigne la branche principale du logarithme sur $\C\setminus \mathopen] -\infty,0]$). \end{enumerate} \finenonce{006680} \finexercice \exercice{6681, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006681}{} Calculer de deux manières $\int_\gamma {dz\over z}$ où $\gamma (t)=a\cos t+ib\sin t$ ($t\in [0,2\pi]$, $a,b\in {\Rr}_+^*$) et en déduire la valeur de l'intégrale $$\int_0^{2\pi}{dt\over a^2\cos ^2t+b^2\sin ^2t}$$ \finenonce{006681} \finexercice \exercice{6682, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006682}{} Soient $f$ et $g$ deux fonctions holomorphes sur un ouvert connexe $\Omega $ contenant le disque unité fermé et $\gamma (t) =e^{it}$ ($t\in [0,2\pi]$). Montrer que $${1\over 2i\pi}\int_\gamma \left({f(z)\over z-a}+{ag(z)\over az-1}\right)\ dz= \left\{\begin{array}{ll} f(a)\ &\ \mbox{ si }\vert a\vert <1\\ g(1/a)\ &\ \mbox{ si }\vert a\vert >1\\ \end{array}\right.$$ \finenonce{006682} \finexercice \exercice{6683, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006683}{} Soit $f$ une fonction holomorphe sur un ouvert $\Omega $ contenant $\overline{D(a,r)}$. Montrer que $$f(a)={1\over 2\pi}\int_0^{2\pi}f(a+re^{i\theta })\ d\theta $$ (propriété de la moyenne). \finenonce{006683} \finexercice \exercice{6684, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006684}{} Soit $f$ une fonction continue dans le secteur $$\{ z\in {\Cc}\vert\ -\alpha \le \mathrm{Arg} z\le \alpha \}$$ On suppose que $zf(z)$ tend vers $A\in{\Cc}$ quand $\vert z\vert$ tend vers l'infini, $z$ restant dans ce secteur. Notons $C_R$ la partie du cercle de centre 0 et de rayon $R$ contenue dans ce secteur. Montrer que $$\lim_{R\to +\infty}\int_{C_R}f(z)dz=2i\alpha A$$ \finenonce{006684} \finexercice \exercice{6685, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006685}{} \begin{enumerate} \item Soit $C\subset{\Cc}$ une courbe orientée $C^1$ et fermée. Soit $\gamma $ un chemin $C^1$ d'origine $a$ et d'extrémité $b$, tels que $a$ et $b$ ne soient pas des points de $C$. On suppose que l'intersection de $C$ et $\gamma $ est constituée d'un nombre fini de points $m_1,\dots,m_n$ et que les tangentes à $C$ et à $\gamma $ sont distinctes en ces points. Soit $\varepsilon _i=1$ si l'angle de la tangente à $\gamma $ avec la tangente à $C$ en $m_i$ est entre 0 et $\pi$, $\varepsilon _i=-1$ sinon. Montrer que $$\sum_i \varepsilon _i=\mathrm{Ind}_C(a)-\mathrm{Ind}_C(b)$$ où $\mathrm{Ind}_C(z)$ désigne l'indice de $z$ par rapport à $C$. \item Calculer l'indice du point $z={3\over 4}$ par rapport à la courbe dont l'équation en coordonnées polaires est $r=\cos {\theta \over 3}$ avec $0\le \theta \le 3\pi$, parcourue dans le sens des $\theta $ croissants. \end{enumerate} \finenonce{006685} \finexercice \exercice{6686, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006686}{} On considère la série entière $$L(z)=\sum_{n\ge 1}{z^n\over n^2}$$ Soit $f(z)={-\mathrm{Log}{(1-z)}\over z}$ où $\mathrm{Log}$ désigne la détermination principale du logarithme complexe. \begin{enumerate} \item On note $U={\Cc}\setminus [1,+\infty\mathclose[$. Montrer que $f$ est définie dans $U$. \item Vérifier que si $D=\{ z\in {\Cc}\vert\ \vert z\vert<1\}$, on a $L'(z)=f(z)$. \item En déduire qu'il existe une primitive de $f$, définie dans $U$ tout entier, dont la restriction à $D$ est égale à $L$. On note cette primitive $L$ par abus de langage. \item Soit $x\in {\Rr}$, $x>1$. Calculer $\lim_{y\to 0}L(x+iy)-L(x-iy)$ comme fonction de $x$. \end{enumerate} \finenonce{006686} \finexercice \exercice{6687, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006687}{} \begin{enumerate} \item Soit $P$ un polynôme qui ne s'annule pas sur le cercle $\vert z\vert=1$. Montrer que le nombre de zéros de $P$ à l'intérieur du cercle unité est $${1\over 2\pi}\left[ \mathrm{Arg}{P(e^{i\theta })}\right] _0^{2\pi}$$ (variation d'une détermination continue de l'argument sur le cercle unité). On utilisera le théorème de d'Alembert pour factoriser $P$ en facteurs de degré 1, puis on considèrera l'indice de chacune des racines par rapport au cercle. \item Soit $P$ un polynôme n'ayant aucun zéro sur le cercle $\vert z\vert=1$ et ayant exatement $k$ racines (comptées avec multiplicité) à l'intérieur du cercle unité. Montrer que la fonction $$\theta \mapsto\Re P(e^{i\theta })$$ s'annule au moins $2k$ fois pour $\theta \in [0,2\pi]$ (indication : étudier les zéros de la fonction $\cos{\mathrm{Arg}{P(e^{i\theta })}}$, où $\mathrm{Arg}$ est une détermination continue de l'argument). \end{enumerate} \finenonce{006687} \finexercice \exercice{6688, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006688}{} \begin{enumerate} \item Montrer qu'il existe sur $\C\setminus [-1,1]$ une détermination holomorphe de $(z^2-1)^{-1/2}$ qui prend la valeur 1 pour $z=\sqrt 2$. Unicité ? On désignera par $f$ cette détermination. \item Pour $z\in \C\setminus{\Rr}$, on désigne par $\gamma _z$ le segment $\mathopen] 0,z]$ orienté de 0 vers $z$ et on pose $$F(z)=\int_{\gamma _z}f(\zeta )\ d\zeta .$$ \begin{enumerate} \item Montrer que $F$ est holomorphe sur $\C\setminus {\Rr}$ (quelle en est la dérivée $F'$ ?). \item Etudier $\lim_{z'\to z}F(z')$ lorsque $z\in {\Rr}\setminus [-1,1]$. \item En déduire que $f$ n'a pas de primitive sur $\C\setminus [-1,1]$. \end{enumerate} \end{enumerate} \finenonce{006688} \finexercice \exercice{6689, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006689}{} \begin{enumerate} \item Soit $f$ une fonction entière telle que $|f(z)|\leq 1+e^{|z|}\sin|z|$ pour tout $z$. Montrer que $f$ est une constante. \item Soit $f\in H(D)$ telle que $|f(z)|(1-|z|)\leq 1$ pour $z\in D$. Montrer que pour tout $n$ $|a_n|< e(n+1)$. \end{enumerate} \finenonce{006689} \finexercice \exercice{6690, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006690}{} Soit $f$ une fonction holomorphe dans $\Cc$ tout entier et soit $\gamma_R$ un paramétrage du cercle $C(0,R)$, $R>0$. Calculer pour $|z|0$, supposé sans zéros dans $\Cc$, et $\gamma_R$ le cercle centré en $0$, de rayon $R$. Calculer $I_R={1\over 2i\pi}\int_{\gamma_R} {nf(z)-zf'(z)\over zf(z)}\ dz$, et trouver sa limite lorsque $R\to+\infty$. Quel théorème retrouve-t-on ? \finenonce{006691} \finexercice \exercice{6692, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006692}{} Soit $f$ une fonction entière telle que $|f(z)|\to+\infty$ quand $|z|\to+\infty$. \begin{enumerate} \item Montrer que $f$ n'a qu'un nombre fini de zéros dans $\Cc$ notés $z_1,\ldots z_k$. \item En déduire que $f$ est un polyn\^ome. (Pour cela considérer $f(z)/P(z)=g(z)$ où $P(z)=(z-z_1)\cdots (z-z_k)$ et montrer que $1/g$ est entière) . \end{enumerate} \finenonce{006692} \finexercice \exercice{6693, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006693}{} Soit $f$ une fonction holomorphe dans un ouvert connexe $\Omega$ contenant $0$. Montrer que : \begin{enumerate} \item Si $f({1\over n})={1\over n+1}$ pour $n$ assez grand alors $f(z)={z\over z+1}$ sur $\Omega\cap D(0,1)$. \item Si $f({1\over n})=f({1\over 2n})$ pour $n$ assez grand alors $f$ est constante sur $\Omega$. \item Si $f({1\over n})=f({1\over n+1})$ pour $n$ assez grand alors $f$ est constante sur $\Omega$. \item $f({1\over n})=2^{-n}$ pour $n$ assez grand est impossible. \end{enumerate} \finenonce{006693} \finexercice \exercice{6694, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006694}{} On considère la série entière $\sum_0^\infty 2^nz^n$. Calculer sa somme $f$ dans son disque de convergence. Trouver le plus grand ouvert connexe de $\Cc$ sur lequel $f$ se prolonge en une fonction holomorphe. Donner le développement en série de $f$ au point $z=-1/4$ et le rayon de convergence de cette série. \finenonce{006694} \finexercice \exercice{6695, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006695}{} Soit $f$ une fonction holomorphe dans un ouvert connexe $\Omega$ sur lequel elle ne s'annule pas. Alors sont équivalentes : (i) Il existe une détermination holomorphe du logarithme de $f$ sur $\Omega$. ii) $\int_\gamma {f'(z)\over f(z)}\ dz=0$ pour toute $\gamma$ une courbe fermée dans $\Omega$ de classe $C^1$ par morceaux. (iii) ${f'\over f}$ admet une primitive sur $\Omega$. \finenonce{006695} \finexercice \exercice{6696, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006696}{} Soit $f$ une fonction holomorphe dans un ouvert connexe $\Omega$. On va montrer l'équivalence entre (i) $f$ admet un logarithme holomorphe dans $\Omega$. (ii) $f$ admet des racines {\bf de tous ordres} holomorphes dans $\Omega$. On a vu que (i) implique (ii). Supposons maintenant que (ii) est vérifié : pour chaque $n$ on note $f_n$ la fonction de $H(\Omega)$ telle que $f_n^n(z)=f(z)$ si $z\in\Omega$. \begin{enumerate} \item Soit $a$ un zéro de $f$; que peut-on dire de la multiplicité de $a$ ? En déduire que $f$ ne s'annule pas sur $\Omega$. \item Soit $\gamma$ une courbe fermée dans $\Omega$ de classe $C^1$ par morceaux. On pose $I={1\over 2\pi i}\int_\gamma {f'(z)\over f(z)}\ dz$, et $I_n={1\over 2\pi i}\int_\gamma {f_n'(z)\over f_n(z)}\ dz$. Montrer que $I$ et $I_n$ sont des entiers, $I=nI_n$, puis que $I=0$. Conclure. \end{enumerate} \finenonce{006696} \finexercice \exercice{6697, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006697}{} Soit $f$ une fonction entière ; on pose, pour $r\in {\Rr}_+^*$, $$M(r)=\sup_{\vert z\vert =r}\vert f(z)\vert$$ \begin{enumerate} \item On suppose qu'il existe $p\in {\Nn}$ tel que $$\lim_{r\to +\infty}{M(r)\over r^{p+1}}=0$$ Montrer qu'alors $f$ est un polynôme de degré au plus $p$. \item On suppose qu'il existe $R\ge 0$, $K>0$ et $p\in {\Nn}$ tels que $$\vert z\vert >R\Longrightarrow \vert f(z)\vert \le K\vert z\vert ^p$$ Montrer qu'alors $f$ est un polynôme de degré au plus $p$. Montrer que si de plus $R=0$ alors $f$ est un monôme de degré $p$. \item En déduire que si $f$ vérifie $$\forall z\in \C,\ \vert f'(z)\vert \le \vert z\vert$$ alors $f$ est de la forme $f(z)=a+bz^2$ avec $\vert b\vert \le 1/2$. \end{enumerate} \finenonce{006697} \finexercice \exercice{6698, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006698}{} Soit $f(z)=\sum_{n\ge 0}a_nz^n$ une série entière de rayon de convergence $R>0$. Pour $r0,\ \forall r>0,\ \exists z\in\C, \vert z\vert >r \mbox{ et }\vert f(z)\vert <\varepsilon$$ Application : tout polynôme non constant admet un zéro dans $\C$ (théorème de d'Alembert). \finenonce{006701} \finexercice \exercice{6702, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006702}{} Déterminer toutes les fonctions $f$ holomorphes dans le disque $D(0,R)=\{ z\in \C\vert \ \vert z\vert 0$ \begin{enumerate} \item $f\left( {1\over 2n}\right) = f\left( {1\over 2n+1}\right)={1\over n}$ ? \item $f\left( {1\over n}\right) = f\left( -{1\over n}\right)={1\over n^2}$ ? \item $f\left( {1\over n}\right) = f\left( -{1\over n}\right)=-{1\over n^3}$ ? \end{enumerate} \finenonce{006705} \finexercice \exercice{6706, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006706}{} Déterminer explicitement pour $a\in {\Rr}$ $$\max_{\vert z\vert \le 1}\vert z^2+2aiz+1\vert.$$ \finenonce{006706} \finexercice \exercice{6707, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006707}{} Soient $P_1$, $P_2, \dots ,P_k$ $k$ points du plan. On désigne par $d(A,B)$ la distance entre deux points $A$ et $B$ du plan. Soit $D$ un ouvert connexe borné du plan. Montrer que le sup de $\prod_{1\le j\le k}d(M,P_j)$ sur $D$ est atteint sur la frontière de $D$. \finenonce{006707} \finexercice \exercice{6708, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006708}{} Soit $f$ une fonction holomorphe sur un ouvert connexe $\Omega $ et ne s'annulant pas sur $\Omega $. On suppose qu'il existe $a\in \Omega $ et $\varepsilon >0$ tels que $\vert f(z)\vert\ge\vert f(a)\vert$ pour $\vert z-a\vert <\varepsilon$. Montrer que $f$ est constante. \finenonce{006708} \finexercice \exercice{6709, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006709}{} Soit $\Omega $ un ouvert connexe borné de $\C$, $f$ une fonction holomorphe sur $\Omega $, continue sur $\overline{\Omega }$, non constante, telle que $\vert f\vert$ est constant sur la frontière de $\Omega $. Montrer que $f$ admet un zéro dans $\Omega $. \finenonce{006709} \finexercice \exercice{6710, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006710}{} Soit $\Omega $ un ouvert connexe de $\C$ contenant le disque fermé $\{ z\in\C\vert \ \vert z-z_0\vert \le r\}$, et $f$ une fonction holomorphe sur $\Omega $ telle que $f(z)\in {\Rr}$ si $\vert z-z_0\vert =r$. Montrer que $f$ est constante (considérer $e^{if}$). \finenonce{006710} \finexercice \exercice{6711, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006711}{} Soient $f$ et $g$ deux fonctions holomorphes et ne s'annulant pas dans un ouvert connexe $\Omega $ contenant le disque unité fermé. On suppose que pour $\vert z\vert =1$, $\vert f(z)\vert=\vert g(z)\vert$ et que $f(0)$ et $g(0)$ appartiennent à ${\Rr}_+^*$. Montrer que $f=g$ sur $\Omega $. \finenonce{006711} \finexercice \exercice{6712, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006712}{} Soit $f$ une fonction holomorphe sur $\{z\in\C\vert\ \vert z\vert 0$ tel que $f'(z)$ ne s'annule pas pour $0<\vert z-z_0\vert <\varepsilon $, et qu'il existe un $\delta >0$ tel que pour tout $a$ avec $\vert a-w_0\vert <\delta $, l'équation $f(z)=a$ a exactement $n$ racines dans le disque $\vert z-z_0\vert <\varepsilon $. \item En déduire le principe du maximum : si $f$ est holomorphe et non constante dans $\Omega $, alors $\vert f\vert$ n'a pas de maximum dans $\Omega $. \end{enumerate} \finenonce{006713} \finexercice \exercice{6714, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006714}{} \label{gijsexophi} Soit $D$ le disque unité ouvert : $$D=\{ z\in \C\vert\ \vert z\vert <1\}$$ et $C$ le cercle unité : $$C=\{ z\in \C\vert\ \vert z\vert =1\} .$$ Pour $a\in D$, on considère l'application homographique $\Phi _a$ : $$\Phi _a(z)={z-a\over 1-\overline{a}z}.$$ \begin{enumerate} \item Montrer que $\Phi _a(C)\subset C$, puis que $\Phi_a$ est une bijection de $D$ sur lui-même, de réciproque $\Phi _{-a}$. \item Soit $f$ un biholomorphisme de $D$, c'est-à-dire une fonction holomorphe de $D$ sur lui-même, bijective, telle que $f^{-1}$ soit aussi holomorphe. Soit $a=f^{-1}(0)$. En considérant $f\circ (\Phi _a)^{-1}$ et sa réciproque, montrer qu'il existe $\varphi\in {\Rr}$ tel que $$\forall z\in D,\ f(z)=e^{i\varphi}\Phi _a(z),$$ c'est-à-dire qu'à rotation près, les seuls biholomorphismes du disque sont les $\Phi _a$. \end{enumerate} \finenonce{006714} \finexercice \exercice{6715, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006715}{} Soit $D$ le disque unité ouvert et $f$ une fonction holomorphe de $D$ dans lui-même. Soit $\Phi _a$ la fonction définie dans l'exercice précédent. Quelle est l'image de 0 par $h=\Phi _{f(a)}\circ f\circ (\Phi _a)^{-1}$ ? En déduire que pour tout $z$ de $D$, $$\left\vert {f(z)-f(a)\over 1-\overline{f(a)}f(z)}\right\vert \le \left\vert {z-a\over 1-\overline{a}z}\right\vert$$ puis $$\vert f'(a)\vert\le {1-\vert f(a)\vert^2\over 1-\vert a\vert^2}$$ (lemme de Schwarz-Pick). \finenonce{006715} \finexercice \exercice{6716, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006716}{} Soit $D$ le disque unité ouvert et $f$ une fonction holomorphe de $D$ dans $D$. On suppose que $f$ admet au moins deux points fixes, c'est-à-dire qu'il existe $a$ et $b$ dans $D$ , $a\ne b $, tels que $f(a)=a$ et $f(b)=b$. Montrer que $f$ est l'identité de $D$. On pourra utiliser l'application $\Phi _a$ définie dans l'exercice \ref{gijsexophi} pour se ramener au cas où l'un des points fixes est $0$. \finenonce{006716} \finexercice \exercice{6717, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006717}{} Soit $D$ le disque unité ouvert. On dira qu'une fonction $E$ est unitaire si elle est holomorphe dans $D$, continue sur $\overline{D}$ et si $\vert f(z)\vert =1$ si $\vert z\vert=1$. \begin{enumerate} \item Montrer qu'une fonction unitaire dans $D$ n'a qu'un nombre fini de zéros. Montrer qu'une fonction unitaire sans zéro est une constante. Montrer qu'une fonction unitaire ayant les points $a_1,a_2,\dots,a_n$ pour zéros (chacun étant compté avec son ordre de multiplicité) s'écrit $$E(z)=c\prod_{j=1}^n{z-a_j\over 1-\overline{a_j}z}.$$ \item Soit $f$ holomorphe sur $D$ et non identiquement nulle et supposons qu'il existe $M>0$ tel que $\vert f(z)\vert \le M$ sur $D$. Soit $E$ une fonction unitaire dans $D$ et telle que $f(z)/E(z)$ soit holomorphe dans $D$. Montrer que l'on a $$\forall z\in D,\ \vert f(z)\vert \le M\vert E(z)\vert .$$ Soit $a_1,a_2,\dots, a_n,\dots $ la suite des zéros de $f$ dans $D$, chacun étant compté avec son ordre de multiplicité. Montrer que $$\forall n\ge 1,\ \vert f(0)\vert \le M\vert a_1\vert\vert a_2\vert\cdots\vert a_n\vert .$$ En déduire que si $f(0)\ne 0$, la série $\sum_{n\ge 1}(1-\vert a_n\vert)$ converge. \end{enumerate} \finenonce{006717} \finexercice \exercice{6718, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006718}{} Soit $f$ une fonction entière telle que $\vert f(z)\vert =1$ si $\vert z\vert =1$. Soit $D$ le disque unité fermé. \begin{enumerate} \item Supposons que $f$ n'a pas de zéros dans $D$. Montrer qu'il existe $k\in\C$ tel que $f(z)=k$ pour tout $z$ de $\C$. \item Soit $a_1,\dots,a_n$ (pourquoi un nombre fini ?) les zéros de $f$ dans $D$ , chacun étant compté avec son ordre de multiplicité. En étudiant la fonction $$g(z)=f(z)\prod_{j=1}^n{1-\overline{a_j}z\over z-a_j}$$ montrer qu'il existe $k\in\C$, $\vert k\vert =1$, et $n\in {\Nn}$ tels que $f(z)=kz^n$. \end{enumerate} \finenonce{006718} \finexercice \exercice{6719, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006719}{Théorème des trois cercles d'Hadamard} Soit $f$ une fonction holomorphe dans un domaine contenant la couronne fermée constituée par les $z\in\C$ tels que $r_1\le\vert z\vert \le r_2$ (où $00\), montrer que \[\int_{\partial B(0,r)}\bar z dz=2i\mathrm{Aire}\big(B(0,r)\big).\] \item Soient \(z_1,z_2,z_3\in \C\) des points non-alignés. On note \(\Delta\) le triangle de sommets \(z_1,z_2,z_3\). Montrer que \[\int_{\partial \Delta}\bar z dz=2i \mathrm{Aire}(\Delta).\] \item De manière générale, soit \(K\) un compact à bord régulier. Montrer que \[\int_{\partial K}\bar z dz=2i\mathrm{Aire}(K).\] \end{enumerate} \finenonce{007231} \finexercice \exercice{7232, megy, 2021/03/06} \enonce{007232}{} Soit \(U\subset \C\) un ouvert contenant \(0\). Soit \(f:U\to \C\) une fonction de classe \(\mathcal{C}^1\). \begin{enumerate} \item Montrer que pour tout \(r>0\) tel que \(\overline{B}(0,r)\subset U\), on a \[\int_{\partial B(0,r)}f(z)dz=2i\int_{B(0,r)} \frac{\partial f}{\partial \bar z}dxdy.\] \item En déduire que \[\lim_{r\to 0^+}\frac{1}{2i\pi r^2}\int_{\partial B(0,r)}f(z)dz=\frac{\partial f}{\partial \bar z}(0).\] \end{enumerate} \finenonce{007232} \finexercice \exercice{7233, megy, 2021/03/06} \enonce{007233}{} Calculer les intégrales suivantes: \begin{enumerate} \item \(\displaystyle{I_1=\int_{C(0,2)}\frac{z^3-iz+1}{z-i}dz}\), \item \(\displaystyle{ I_2=\int_{C(2,2)}\frac{z^3-iz+1}{z-i}dz}\), \item \(\displaystyle{I_3=\int_{C(0,2)}\frac{\sin(z)\cos(z)}{3z-\pi}dz}\), \item \(\displaystyle{ I_4=\int_{C(2i,1)}\frac{e^{z^2}}{z^3(z-2i)}dz}\). \end{enumerate} \finenonce{007233} \finexercice \exercice{7234, megy, 2021/03/06} \enonce{007234}{} Calculer \(\displaystyle{\int_{C(1,\frac{1}{2})}\frac{e^z}{(z-1)(z+1)}dz}\) et \(\displaystyle{ \int_{C(-1,\frac{1}{2})}\frac{e^z}{(z-1)(z+1)}dz}\). En déduire \(\displaystyle{\int_{C(0,2)}\frac{e^z}{z^2-1}dz}\). \finenonce{007234} \finexercice \exercice{7235, megy, 2021/03/06} \enonce{007235}{} Déterminer les racines du polynôme $P(z)=z^2+(1-i)z-i$. En déduire l'intégrale \(\int_{C(0,2)}\frac{z-1}{z^2+(1-i)z-i}dz\). \finenonce{007235} \finexercice \exercice{7236, megy, 2021/03/06} \enonce{007236}{} Pour $r>0$, calculer l'intégrale suivante : $$\int_{C(0,r)}(|z|-e^{\cos(z)}\sin(z)+\bar{z})dz.$$ \finenonce{007236} \finexercice \exercice{7237, megy, 2021/03/06} \enonce{007237}{} Calculer les intégrales suivantes : \begin{enumerate} \item \(\displaystyle{I_1=\int_{C(0,2)}\frac{z^3-i}{(z-1)^2}dz}\), \item \(\displaystyle{ I_2=\int_{C(0,1)}\frac{e^z}{z^3}dz}\), \item \(\displaystyle{ I_3=\int_{C(i,5)}\frac{ze^{iz}}{(1+z)^3}dz}\), \item \(\displaystyle{ I_4=\int_{C(0,1)}\frac{\cos(z)}{z^3(z-2)}dz}\). \end{enumerate} \finenonce{007237} \finexercice \exercice{7238, megy, 2021/03/06} \enonce{007238}{} Calculer les intégrales \(\displaystyle{\int_{C(i,\frac{1}{2})}\frac{iz^3-3}{(z-i)^2(z+i)^2}dz}\) et \(\displaystyle{ \int_{C(-i,\frac{1}{2})}\frac{iz^3-3}{(z-i)^2(z+i)^2}dz}\). En déduire \(\displaystyle{\int_{C(0,2)}\frac{iz^3-3}{(z-i)^2(z+i)^2}dz}\). \finenonce{007238} \finexercice \exercice{7239, megy, 2021/03/06} \enonce{007239}{} Soit \(U\subset \C\) un ouvert contenant \(B(0,1)\). Soit \(f:U\to \C\) une fonction holomorphe. \begin{enumerate} \item Calculer \[\int_{C(0,1)}\left(2+z+\frac{1}{z}\right)\frac{f(z)}{z}dz.\] \item En déduire que \[\frac{2}{\pi}\int_0^{2\pi}f(e^{i\theta})\cos^2\big(\theta/2\big)d\theta=2f(0)+f'(0).\] \item Utiliser une stratégie similaire pour calculer \(\displaystyle{\frac{2}{\pi}\int_0^{2\pi}f(e^{i\theta})\sin^2\big(\theta/2\big)d\theta}.\) \end{enumerate} \finenonce{007239} \finexercice \exercice{7240, megy, 2021/03/06} \enonce{007240}{} (Généralisation de Liouville.) Soit \(f:\C\to \C\) une fonction entière non-constante. Montrer que l'image \(f(\C)\) de \(\C\) par \(f\) est dense dans \(\C\). \finenonce{007240} \finexercice \exercice{7241, megy, 2021/03/06} \enonce{007241}{} Soit \(f:\C\to \C\) une fonction holomorphe telle que \(\Re(f)\) est bornée. Montrer que \(f\) est constante. \finenonce{007241} \finexercice \exercice{7242, megy, 2021/03/06} \enonce{007242}{} Soit $f:\C\to\C$ une fonction holomorphe. Montrer que si elle vérifie \[ \forall z\in \C, \left( |f(z)|\leq |z| \text{ et } |f(z)|\leq |z|^2 \right),\] alors elle est nulle. \finenonce{007242} \finexercice \exercice{7243, megy, 2021/03/06} \enonce{007243}{} (Raffinement de Goursat.) L'objectif de cet exercice est de démontrer la version suivante du lemme de Goursat :\\ \textbf{Lemme. (Raffinement de Goursat)}\\ Soit \(U\) un ouvert. Soit \(\Delta\) un triangle dans \(U\). Soit \(z_0\in \Delta\). Soit \(f:U\to \C\) une fonction continue sur \(U\) holomorphe sur \(U\setminus\{z_0\}\). Alors, \[\int_{\partial \Delta}f(z)dz=0.\] \begin{enumerate} \item On traite d'abord le cas où \(z_0\) est un sommet du triangle. On dénote les deux autres sommets par \(z_1\) et \(z_2\). % AJOUTER FIGURE ? \begin{enumerate} \item Montrer que pour tout \(z_1'\) sur le segment \([z_0,z_1]\) et pour tout \(z_2'\) sur le segment \([z_0,z_2]\), on a \[\int_{\partial \Delta_{z_0z_1z_2}}f(z)dz=\int_{\partial \Delta_{z_0z'_1z'_2}}f(z)dz.\] \item Montrer que quand \(z_1'\to z_0\) et \(z_2'\to z_0\), alors \(\displaystyle{\int_{\partial \Delta_{z_0z'_1z'_2}}f(z)dz\to 0}\). \item Démontrer le lemme dans ce cas. \end{enumerate} \item On suppose dans cette question que \(z_0\in \partial \Delta\). À l'aide de la question précédente, démontrer le lemme dans ce cas. \item On suppose maintenant que \(z_0\in \mathring{\Delta}\). Démontrer le lemme dans ce cas. Conclure. \item Déduire de ce résultat que si \(f:U\to \C\) est une fonction continue, et holomorphe sauf peut-être en un nombre fini de points, alors \(f\) est holomorphe sur \(U\) \end{enumerate} \finenonce{007243} \finexercice \exercice{7244, megy, 2021/03/06} \enonce{007244}{} (Théorème d'extension de Riemann.) Le but de cet exercice est de démontrer le théorème d'extension de Riemann à l'aide du lemme de Goursat raffiné. \\ \textbf{Théorème. (d'extension de Riemann)}\\ Soit \(U\subset \C\) un ouvert. Soit \(z_0\in U\) soit \(f:U\setminus\{z_0\}\to \C\) une fonction holomorphe bornée dans un voisinage de \(z_0\). Alors \(f\) s'étend en une fonction holomorphe sur \(U\). %Ici, «\(f\) bornée dans un voisinage de \(z_0\)» signifie qu'il existe \(\epsilon>0\) tel que \(B(z_0,\epsilon)\subset U\) et tel que \(f\) est bornée sur \(B(z_0,\epsilon)\setminus \{z_0\}\). L'expression «\(f\) s'étend en une fonction holomorphe sur \(U\)» signifie qu'il existe une fonction holomorphe \(\hat{f}:U\to \C\) telle que \(\hat{f}|_{U\setminus \{z_0\}}=f\).\\ Pour démontrer ce théorème, on considère la fonction \(F:U\to \C\) définie par \[F(z)=\left\{\begin{array}{ccc}0&\text{si}& z=z_0\\ (z-z_0)f(z)&\text{si}&z\neq z_0.\end{array}\right.\] \begin{enumerate} \item À l'aide du lemme de Goursat raffiné, démontrer que \(F\) est holomorphe sur \(U\). \item À l'aide de la \(\C\)-dérivabilité de \(F\) en \(z_0\), montrer que \(f\) s'étend en une fonction continue sur \(U\). \item Conclure. \end{enumerate} \finenonce{007244} \finexercice \exercice{7245, megy, 2021/03/06} \enonce{007245}{} Soit \(U\subset \C\) un ouvert. Soit \(L\subset \C\) une droite. Soit \(f:U\to \C\) une fonction continue telle que \(f|_{U\setminus L}\) est holomorphe. Montrer que \(f\) est holomorphe. \finenonce{007245} \finexercice \exercice{7246, megy, 2021/03/06} \enonce{007246}{} [Principe de réflexion de Schwarz] Soit \(U\subset \C\) un ouvert symétrique par rapport à l'axe réel. Notons \(U_+:=U\cap\{\Im(z)>0\}\) et \(U_-:=U\cap \{\Im(z)<0\}\). Soit \(f:\overline{U_+}\to \C\) une fonction continue telle que \(f|_{U_+}\) est holomorphe et telle que \(f(x)\in\R\) pour tout \(x\in \overline{U_+}\cap \R\). \begin{enumerate} \item Montrer que la fonction \(g:\overline{U_-}\to \C\) définie par \(g(z):=\overline{f(\bar z)}\) est continue sur \(\overline{U_-}\) et holomorphe sur \(U_-\). \item Montrer que l'on peut étendre la fonction \(f\) en une fonction continue \(h:\overline{U}\to \C\) en posant \(h(z)=f(z)\) si \(z\in \overline{U_+}\) et \(h(z)=g(z)\) si \(z\in \overline{U_-}\). \item Montrer que \(h|_{U}\) est holomorphe. \end{enumerate} \finenonce{007246} \finexercice \exercice{7247, megy, 2021/03/06} \enonce{007247}{} [Extension de \(\Gamma\)] Notons \(U_{\Re>0}:=\left\{z\in \C\ ; \ \Re(z)>0\right\}\). \begin{enumerate} \item Montrer que pour tout \(z\in U_{\Re>0}\), on a \[\Gamma(z+1)=z\Gamma(z).\] \item En déduire que \(\Gamma(n)=(n-1)!\) pour tout \(n\in \N^*\). \item Utiliser la première question pour montrer que la fonction \(\Gamma\) s'étend en une fonction holomorphe sur \(\C\setminus \mathbb{Z}_-\). \end{enumerate} \finenonce{007247} \finexercice \exercice{7248, megy, 2021/03/06} \enonce{007248}{} Cet exercice a pour but de donner une introduction à la géométrie du disque. Cela donnera aussi une interprétation géométrique du lemme de Schwarz. On note \(\mathbb{D}\) le disque unité. Étant donné un vecteur tangent \(\xi\) en un point \(z\in \mathbb{D}\), on note sa norme euclidienne par \(\|\xi\|_{2}\) et on défini sa norme \emph{hyperbolique} ou sa norme de \emph{Poincaré} par \[\|\xi\|_{\rm hyp}:=\frac{\|\xi\|_2}{1-|z|^2}.\] La \emph{longueur hyperbolique} d'un chemin \(\gamma:[a,b]\to\mathbb D\) est définie par \[\ell_{\rm hyp}(\gamma)=\int_{a}^b\|\gamma'(t)\|_{\rm hyp}dt=\int_a^b\frac{\|\gamma'(t)\|_2}{1-|\gamma(t)|^2}dt.\] La \emph{distance hyperbolique} ou \emph{distance de Poincaré} entre deux points \(z_0,z_1\in \mathbb D\) est définie par \[d_{\rm hyp}(z_0,z_1):=\inf_{\gamma}\ell_{\rm hyp}(\gamma)\] où le \(\inf\) est pris sur tous les chemins \(\mathcal{C}^1\) par morceaux de \(\mathbb D\) allant de \(z_0\) à \(z_1\). L'espace métrique \((\mathbb D,d_{\rm hyp})\) est appelé \emph{disque de Poincaré}. Les courbes de longueur minimale sont appelées \emph{géodésiques} ou \emph{droites hyperboliques}. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item À l'aide du lemme de Schwarz-Pick, montrer que toute application holomorphe \(f:\mathbb D\to \mathbb D\) est décroissante par rapport à la distance de Poincaré, c'est à dire que pour tout \(z_0,z_1\in \mathbb D\), \[d_{\rm hyp}(f(z_1),f(z_1))\leqslant d_{\rm hyp}(z_0,z_1).\] \item En déduire que pour tout automorphisme du disque \(f\in \rm{Aut}(\mathbb D)\) est une isométrie de \((\mathbb D,d_{\rm hyp})\). \end{enumerate} \item On veut maintenant obtenir une expression explicite pour \(d_{\rm hyp}\). \begin{enumerate} \item Soit \(w\in ]0,1[\). Montrer que la géodésique allant de \(0\) à \(w\) est le segment \([0,w]\) et montrer \[d_{\rm hyp}(0,w)=\frac{1}{2}\ln\left(\frac{1+w}{1-w}\right).\] \item Soit \(w\in\mathbb D^*\). À l'aide d'un automorphisme judicieusement choisi, montrer que la géodésique de allant de \(0\) à \(w\) est le segment \([0,w]\) et montrer que \[d_{\rm hyp}(0,w)=\frac{1}{2}\ln\left(\frac{1+|w|}{1-|w|}\right).\] \item Soit \(z_1,z_2\in \mathbb D^*\). À l'aide d'un automorphisme judicieusement choisi, montrer que la géodésique de allant de \(z_1\) à \(z_2\) est une partie du cercle orthogonal à \(\partial \mathbb D\) passant par \(z_1\) et \(z_2\) et que \[d_{\rm hyp}(z_1,z_2)=\frac{1}{2}\ln\left(\frac{|1-z_1\bar z_2|+|z_1-z_2|}{|1-z_1\bar z_2|-|z_1-z_2|}\right)=2{\rm argtanh}\left|\frac{z_1-z_2}{1-z_1\bar z_2}\right|.\] \item Montrer que \(d_{\rm {\rm hyp}}\) est bien une distance sur \(\mathbb D\). Montrer aussi que les \emph{boules hyperboliques} sont des boules euclidiennes (pas nécessairement avec le même centre ou le même rayon). \end{enumerate} \item La géométrie du disque hyperbolique définie ci-dessus est appelée \emph{géométrie hyperbolique}. Vérifier qu'en géométrie hyperbolique, les axiomes d'Euclide sont vérifiés, à l'exception du cinquième postulat. \item Rappelons que \(\mathbb D\) est biholomorphe au demi-plan \(\mathbb{H}:=\left\{z\in \C;\ \Im(z)>0\right\}\) (dit \emph{demi-plan de Poincaré}), via l'application \(\varphi:z\mapsto i\frac{1+z}{1-z}\). Décrire les géodésiques de \((\mathbb{H},d_{\mathbb{H}})\) où \(d_{\mathbb{H}}\) est la métrique induite par \(d_{\rm hyp}\) via \(\varphi\). \item Nous concluons maintenant par une preuve plus <> du théorème de Liouville. Soit \(f:\C\to \C\) une application holomorphe bornée. \begin{enumerate} \item Montrer que l'on peut supposer que \(f(z)\in \mathbb{D}\) pour tout \(z\in \C\) (ce que l'on supposera dans la suite). \item Pour tout \(R\in \R_+^*\) on considère l'application \(f_R:\mathbb D\to \mathbb D\) définie par \(f_R(z)=f(Rz)\) \(\forall z\in \mathbb{D}\). À l'aide la propriété de décroissance de la distance de Poincaré, montrer que pour tout \(R\in \mathbb{R}_+^*\) et pour tout \(z_1,z_2\in B(0,R)\), \[d_{\rm hyp}(f(z_1),f(z_2))=d_{\rm hyp}\big(f_R\big(\frac{z_1}{R}\big),\big(\frac{z_2}{R}\big)\big)\leqslant d_{\rm hyp}\big(\frac{z_1}{R},\frac{z_2}{R}\big)\] \item En déduire que \(f\) est constante. \end{enumerate} \end{enumerate} \finenonce{007248} \finexercice \section{ 443.00 Singularité } \exercice{2680, matexo1, 2002/02/01} \enonce{002680}{} {\`A} l'aide de la formule $$ f^{(n)}(a) = {n!\over 2i\pi } \int_\Gamma {f(z)\over (z-a)^{n+1}} \,dz$$ o{\`u} $f$ est m{\'e}romorphe dans un domaine contenant le contour simple $\Gamma$, et $a$ est un point int{\'e}rieur {\`a} $\Gamma$, montrer que l'on a $$ \left(x^n\over n!\right)^2 = {1\over 2i\pi } \int_C {x^n e^{xz}\over n! z^{n+1}} \,dz$$ o{\`u} $C$ est le cercle unit{\'e} de $\C$. En d{\'e}duire que l'on a $$ \sum_{n=0}^{+\infty } {x^{2n}\over \left(n!\right)^2} = {1\over 2\pi } \int_0^{2\pi } e^{2x\cos \theta}\,d\theta. $$ \finenonce{002680} \finexercice \exercice{6720, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006720}{} Montrer que la fonction $f$ définie sur $\Cc^*$ par $f(z)=\displaystyle{z\over \sin z+i\sinh z}$ se prolonge en une fonction holomorphe en $0$; quel est le rayon de son développement en $0$ ? \finenonce{006720} \finexercice \exercice{6721, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006721}{} \begin{enumerate} \item Déterminer les développements en série de Laurent de $f(z)={1\over 1-z^2}+{1\over 3-z}$ dans les domaines $D=D(0,1)$, $C_1=\{1<|z|<3\}$ puis $C_2= \{|z|>3\}$. \item Déterminer les développements en série de Laurent de $f(z)={z\over z-1}e^z $ dans les domaines $C_1=\{|z|<1\}$ puis $C_2= \{|z|>1\}$. \end{enumerate} \finenonce{006721} \finexercice \exercice{6722, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006722}{} Soit $\alpha\in\Rr$. Montrer que le développement en série de Laurent en $0$ de la fonction $f(z)=\hbox{exp}{\alpha\over2}(z+{1\over z})$ est de la forme $a_0+\sum_{n\geq1}a_n(z^n+{1\over z^n})$, où $$a_0={1\over 2\pi}\int_0^{2\pi}\hbox{exp}(\alpha\cos t)\ dt,\quad a_n={1\over 2\pi}\int_0^{2\pi}\hbox{exp}(\alpha\cos t)\cos(nt)\ dt \ \hbox{si}\ n\geq1.$$ (Calculer $f$ pour $|z|=1$ et conclure avec le prolongement analytique.) \finenonce{006722} \finexercice \exercice{6723, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006723}{} Développer les fonctions suivantes en série de Laurent dans chacun des ouverts donnés \begin{enumerate} \item $\displaystyle f(z)={1\over (z-1)(z-2)}$ dans $\vert z\vert <1$ ; $1<\vert z\vert <2$ ; $2<\vert z\vert $ ; \item $\displaystyle f(z)={1\over (z-a)^k}$ ($k\in {\Nn}^*$) dans $\vert z\vert <\vert a\vert$ et dans $\vert z\vert >\vert a\vert$ ; \item $\displaystyle f(z)={1\over z(z-a)}$ dans $0<\vert z\vert <\vert a\vert$ et dans $\vert a\vert <\vert z\vert$ ; \item $\displaystyle f(z)={1\over (z-a)(z-b)}$ ($0<\vert a\vert <\vert b\vert$) dans $0<\vert z\vert <\vert a\vert$ ; $\vert a\vert<\vert z\vert <\vert b\vert$ ; $\vert b\vert <\vert z\vert$ ; \item une détermination holomorphe $f$ de $[(z-a)(z-b)]^{1\over 2}$ ($0<\vert a\vert =\vert b\vert$) dans $0<\vert z\vert <\vert a\vert$ ; $\vert b\vert <\vert z\vert$ ; \item $f(z)=z^2\exp{(z^{-1})}$ dans $0<\vert z\vert$. \item $f(z)=\exp{(z+z^{-1})}$ dans $0<\vert z\vert$. \item $f(z)=\sin z\cdot\sin{\left(z^{-1}\right)}$ dans $0<\vert z\vert$. \item $f(z)=\mathrm{cotan} z$ dans $k\pi<\vert z\vert<(k+1)\pi$ ($k\in {\Nn}$) on pourra exprimer le résultat en fonction des nombres $B_n$ de Bernoulli, définis par : $${z\over \exp{(z)}-1}=\sum_{n\ge 0}B_n{z^n\over n!}$$ ($B_0=1$, $B_1=-1/2$, et $B_{2n+1}=0$ pour $n\ge 1$). \end{enumerate} \finenonce{006723} \finexercice \exercice{6724, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006724}{} Déterminer la couronne de convergence des séries de Laurent $\sum_{n\in{\Zz}}a^{\vert n\vert}z^n$, $\sum_{n\in{\Zz}}\vert n\vert !z^n$, $\sum_{n\in{\Zz}}R(n)z^n$ ($R$ fonction rationnelle sans pôles dans ${\Zz}$). \finenonce{006724} \finexercice \exercice{6725, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006725}{} Soit un ouvert $U$ de $\C$ et $f$ une fonction définie sur $U$ admettant en tout point $a$ de $U$ un développement de Laurent $$f(z)=\sum_{n\ge r_a}c_n(z-a)^n$$ ($r_a\in{\Zz}$) convergeant dans un disque pointé $0<\vert z-a\vert 0)$$ \finenonce{002672} \finexercice \exercice{2673, matexo1, 2002/02/01} \enonce{002673}{} Calculer les int{\'e}grales $$ I = \int_{-\infty }^{+\infty } {dx\over x^4+x^2+1} \qquad J = \int_{-\infty }^{+\infty } {\sin^2 x\over x^4+x^2+1}\,dx.$$ \finenonce{002673} \finexercice \exercice{2674, matexo1, 2002/02/01} \enonce{002674}{} Calculer par la m{\'e}thode des r{\'e}sidus l'int{\'e}grale de Wallis $$ W_n = \int_0^{\pi \over 2} \cos^{2n} \theta\,d\theta. $$ \finenonce{002674} \finexercice \exercice{2675, matexo1, 2002/02/01} \enonce{002675}{} D{\'e}velopper la fonction $$f(x) = {1\over 2-\cos x} $$ en s{\'e}rie de Fourier, en calculant les coefficients par la m{\'e}thode des r{\'e}sidus. \finenonce{002675} \finexercice \exercice{2676, matexo1, 2002/02/01} \enonce{002676}{} R{\'e}soudre l'{\'e}quation $\cos z = a$, o{\`u} $a$ est un r{\'e}el $>1$. Donner le sinus des solutions. En d{\'e}duire la valeur de $$ I_a = \int_0^{+\infty } {dx\over (1+x^2) (a-\cos x)}.$$ \finenonce{002676} \finexercice \exercice{2677, matexo1, 2002/02/01} \enonce{002677}{} Soit $a\in[0,1[$ un r{\'e}el. En int{\'e}grant $e^{az}/\cosh z$ le long du rectangle de sommets $-R$, $+R$, $R+i\pi $, $-R+i\pi $, montrer que l'on a $$ I= \int_{-\infty }^{+\infty } {e^{ax}\over \cosh x} \,dx = {\pi \over \cos(\pi a/2)}.$$ \finenonce{002677} \finexercice \exercice{2678, matexo1, 2002/02/01} \enonce{002678}{} En int{\'e}grant $e^{2iaz -z^2}$ le long du rectangle de sommets $0$, $R$, $R+ia$, $ia$, et en faisant tendre $R$ vers $+\infty $, montrer que l'on a $$ \int_0^{+\infty } e^{-x^2}\cos 2ax \,dx = {\sqrt \pi \over 2} e^{-a^2}.$$ (On admettra la formule $\int_0^{+\infty }e^{-x^2}\,dx = \sqrt \pi /2$.) \finenonce{002678} \finexercice \exercice{2679, matexo1, 2002/02/01} \enonce{002679}{} Soit $R$ une fraction rationnelle, ou plus g{\'e}n{\'e}ralement une fonction m{\'e}romorphe sur $\C$, sans p{\^o}le r{\'e}el. \begin{itemize} \item On souhaite calculer $$ I = \int_0^{+\infty } x R(x^4)\,dx $$ Montrer que cela peut se faire par la m{\'e}thode des r{\'e}sidus, en int{\'e}grant sur un contour form{\'e} du bord du quart de cercle $\{ 0< \arg z<{\pi \over 2}, |z||f(z_1)|$ pour $|z-z_0| = R$. Montrer que $f$ s'annule au moins une fois dans le disque ouvert $D(z_0,R)$. \emph{Indication :} considérer sinon ce que dit le principe du maximum pour la fonction $\frac1f$. \item \emph{Théorème de Hurwitz.} Soit $f_n$ des fonctions holomorphes sur un voisinage commun $U$ de $\overline{D(0,1)}$ qui convergent uniformément sur $U$. Soit $F$ la fonction limite. On suppose que $F$ n'a aucun zéro sur le cercle $|z|=1$, et qu'elle a au moins un zéro dans le disque ouvert $D(0,1)$. Montrer en appliquant la question précédente à $f_n$ que pour $n\gg1$ la fonction $f_n$ a au moins un zéro dans $D(0,1)$.\footnote{On verra plus tard en cours ou en exercice que pour $n\gg1$ chaque $f_n$ a, comptés avec leurs multiplicités, exactement le même nombre de zéros que $F$ dans $D(0,1)$.} Ce résultat est souvent appliqué sous sa forme réciproque: \emph{si des fonctions holomorphes $f_n$ sans zéro convergent uniformément sur un ouvert connexe vers $F$ alors soit $F$ est identiquement nulle soit $F$ n'a aucun zéro.} Justifier cette dernière reformulation. \end{enumerate} \finenonce{002828} \finexercice \exercice{2829, burnol, 2009/12/15} \enonce{002829}{} Montrer que si une fonction entière $f$ a sa partie réelle bornée supérieurement alors elle est constante (considérer $\exp(f)$). \finenonce{002829} \finexercice \exercice{2830, burnol, 2009/12/15} \enonce{002830}{} Soit $f$ une fonction entière telle que $|f(z)|\leq M\,(1+ |z|)^n$ pour un certain $M$ et un certain $n\in\Nn$. Donner plusieurs démonstrations que $f$ est un polynôme de degré au plus $n$: \begin{itemize} \item en utilisant une formule intégrale de Cauchy pour $f^{(n+1)}(z)$, avec comme contour les cercles de rayon $R$ centrés en l'origine, ou en $z$ si l'on veut, \item en utilisant les formules de Cauchy pour $f^{(m)}(0)$, avec $m\geq n+1$, \item en appliquant le théorème de Liouville à $(f(z) - P(z))/z^{n+1}$ avec $P$ le polynôme de McLaurin-Taylor à l'origine à l'ordre $n$. \end{itemize} \finenonce{002830} \finexercice \exercice{2831, burnol, 2009/12/15} \enonce{002831}{} Soit $f$ une fonction entière vérifiant $\lim_{|z|\to\infty} |f(z)| = +\infty$. Donner plusieurs démonstrations que $f$ est un polynôme: \begin{itemize} \item en montrant, par un théorème du cours, que $w=0$ est une singularité polaire de $g(w) = f(\frac1w)$, et en en déduisant qu'il existe un polynôme $P$ tel que $f(z) - P(z)$ tende vers $0$ pour $|z|\to\infty$, puis Liouville, \item ou en montrant que $f$ n'a qu'un nombre fini de zéros $z_j$, $1\leq j\leq n$, et en appliquant à $(z-z_1)\dots (z- z_n)/f(z)$ le résultat de l'exercice précédent, plus quelques réflexions de conclusion pour achever la preuve. \end{itemize} Montrer que la fonction entière $z+e^z$ tend vers l'infini le long de tout rayon partant de l'origine. D'après ce qui précède $z+e^z$ est donc un polynôme. Commentaires? \finenonce{002831} \finexercice \exercice{2832, burnol, 2009/12/15} \enonce{002832}{} Déterminer les séries de Laurent et les résidus à l'origine des fonctions suivantes: \begin{enumerate} \item $f(z) = \frac1z$ \item $f(z) = \frac1{z^2+1}$ \item $f(z) = \frac1{z(z^2+1)}$ \end{enumerate} \finenonce{002832} \finexercice \exercice{2833, burnol, 2009/12/15} \enonce{002833}{} Déterminer la série de Laurent à l'origine de la fonction analytique $\exp(\frac 1z)$, et son résidu à l'origine. En $z_0\neq0$ quel est le résidu de cette fonction? \finenonce{002833} \finexercice \exercice{2834, burnol, 2009/12/15} \enonce{002834}{} Déterminer la partie singulière, le résidu, et le terme constant des séries de Laurent à l'origine pour les fonctions: \begin{enumerate} \item $f(z) = \frac1{\sin z}$ \item $f(z) = \frac1{\sin z - \sh z}$ \item $f(z) = \frac1{z\sin(z)\sh(z)}$ \end{enumerate} \finenonce{002834} \finexercice \exercice{2835, burnol, 2009/12/15} \enonce{002835}{} Déterminer les séries de Laurent de $f(z) = \frac1{(z-1)(z-2)}$ dans chacune des trois couronnes ouvertes $0<|z|<1$, $1<|z|<2$, $2<|z|<\infty$, ainsi que les séries de Laurent de $f$ aux points $0$, $1$, $2$, et $3$. Quels sont les résidus en $z=0$, $z=1$, $z=2$ et $z=3$? \finenonce{002835} \finexercice \exercice{2836, burnol, 2009/12/15} \enonce{002836}{} Montrer que tout lacet est homotopiquement trivial dans $\Cc$. \finenonce{002836} \finexercice \exercice{2837, burnol, 2009/12/15} \enonce{002837}{} Justifier les affirmations du polycopié relatives à l'invariance de l'indice d'un lacet par rapport à un point, lorsque l'on déforme continûment soit le lacet, soit le point. Montrer que lorsque $\gamma$ est un lacet il existe $R$ tel que $|z|>R\implies \mathrm{Ind}(\gamma,z) = 0$. \finenonce{002837} \finexercice \exercice{2838, burnol, 2009/12/15} \enonce{002838}{} \begin{enumerate} \item Soit $\gamma:[0,1]\to\Cc\setminus\{0\}$ un lacet et soit $N\in \Zz$ son indice par rapport à $0$. En utilisant la notion de variation de l'argument, montrer qu'il existe une fonction continue $g:[0,1]\to\Cc$ telle que $\forall t\quad \gamma(t) = e^{g(t)}$ et $g(1) - g(0) = 2\pi i N$. Montrer que toute autre fonction continue $G$ avec $\forall t\quad \gamma(t) = e^{G(t)}$ est de la forme $g+2\pi i k$ pour un certain $k\in\Zz$. On pose $h(t,u) = (1-u)\;2\pi i N\,t + ug(t)$ puis $H(t,u) = e^{h(t,u)}$. Montrer que pour chaque $u\in[0,1]$ l'application $t\mapsto H(t,u)$ est un lacet. En déduire que le lacet $c_N(t) = e^{2\pi i\; Nt}$ et $\gamma$ sont homotopes dans $\Cc\setminus\{0\}$. \item On considère le lacet obtenu en suivant d'abord $c_N$ puis $c_M$. Montrer que ce lacet est homotope dans $\Cc\setminus\{0\}$ au lacet $c_{N+M}$ (il suffit de calculer son indice!). \end{enumerate} \finenonce{002838} \finexercice \exercice{2839, burnol, 2009/12/15} \enonce{002839}{} On considère un lacet $\gamma:[a,b] \to\Cc\setminus\{0\}$ (donc ne passant pas par l'origine). On suppose qu'il n'existe qu'un nombre fini de $t\in [a,b]$ avec $\gamma(t) \in \Delta = ]-\infty,0[$. On les note $t_00$ suffisamment petit, le signe $\mu_j$ de $\Im(\gamma(t_j-\epsilon))$ ne dépend pas de $\epsilon$, et de même pour le signe $\mu_j'$ de $\Im(\gamma(t_j+\epsilon))$ (préciser ce que l'on fait pour $j=0$ et $j=N$). Si $\mu_j=+$ et $\mu_j' = -$ on dit que $\gamma$ traverse $\Delta$ en $t=t_j$ dans le sens direct, si $\mu_j=-$ et $\mu_j'=+$ on dit que $\gamma$ traverse $\Delta$ en $t=t_j$ dans le sens rétrograde. Sinon on dit que $\gamma$ touche mais ne traverse pas $\Delta$. En utilisant la relation entre la fonction $\mathrm{Log}(\gamma(t))$ et la variation de l'argument de $\gamma(t)$ sur chaque intervalle $]t_j,t_{j+1}[$, prouver $\Delta_{\gamma_j} \arg(z) = \pi(\mu_{j+1} - \mu_j')$ avec $\gamma_j=\gamma$ restreint à $[t_j,t_{j+1}]$. En déduire que $\mathrm{Ind}(\gamma,0)$ est égal au nombre de valeurs de $t$ ($a$ et $b$ ne comptent que pour un seul) pour lesquelles $\gamma$ traverse $\Delta$, comptées positivement si la traversée est directe, négativement si la traversée est rétrograde. Dans la pratique vous pourrez utiliser n'importe quelle demi-droite issue de l'origine à la place de $\Delta$ à partir du moment où elle n'intersecte le lacet $\gamma$ qu'en un nombre fini de points (si on n'impose pas au lacet d'être régulier, c'est-à-dire d'avoir un vecteur vitesse partout non nul, alors il peut rester figé en un même point un certain temps, et donc il faut modifier un petit peu la discussion ci-dessus qui suppose qu'il n'y a qu'un nombre fini de valeurs de $t$ pour lesquels $\gamma(t)$ est sur la demi-droite). \finenonce{002839} \finexercice \exercice{2840, burnol, 2009/12/15} \enonce{002840}{} \label{ex:burnol6.1} Justifier les formules suivantes : lorsque $f$ présente en $z_0$ un pôle simple on a: $$\mathrm{Res}(f,z_0) = \lim_{z\to z_0} (z-z_0)f(z)$$ Lorsque $f$ présente en $z_0$ un pôle d'ordre au plus $N$ on a: $$\mathrm{Res}(f,z_0) = \lim_{z\to z_0} \frac1{(N-1)!}\left(\frac{d}{dz}\right)^{N-1}(z-z_0)^N f(z)$$ \finenonce{002840} \finexercice \exercice{2841, burnol, 2009/12/15} \enonce{002841}{} \begin{enumerate} \item Soit $g$ une fonction analytique ayant un zéro simple en $z_0$, et $f$ une autre fonction analytique définie dans un voisinage de $z_0$. Montrer \[ \mathrm{Res}(\frac fg, z_0) = \frac{f(z_0)}{g'(z_0)}\;.\] \item On suppose que $g$ a un zéro d'ordre $n$: $g(z_0+h) = h^n (c_0 + c_1 h + \dots)$, $c_0\neq0$, et l'on écrit $f(z_0+h) = a_0 + a_1 h +\dots$. Montrer: \[ \mathrm{Res}(\frac fg, z_0) = e_{n-1}\] avec $e_0$, $e_1$, \dots, obtenus par la division suivant les puissances croissantes (comme dans les calculs de développement limités): \[ \frac{a_0 + a_1 h + a_2 h^2 + \dots}{c_0 + c_1 h + c_2 h^2 + \dots} = e_0 + e_1 h + e_2 h^2 +\dots \;.\] \end{enumerate} \finenonce{002841} \finexercice \exercice{2842, burnol, 2009/12/15} \enonce{002842}{} \label{ex:burnol6.4} Soit $00$: \[ \int_{|z| = R} \frac{dz}{2z^2 - 5z + 2}\;?\] On précisera les valeurs exclues de $R$. \finenonce{002845} \finexercice \exercice{2846, burnol, 2009/12/15} \enonce{002846}{} Déterminer, $C$ désignant tour à tour le cercle $|z-i| = 1$, ou le cercle $|z+i|=1$, ou encore $|z|=2$, parcourus dans le sens direct, les valeurs des intégrales: \[ \int_C \frac1{z^2+1}\,dz\] Même question pour: \[ \int_C \frac1{z^3-1}\,dz\qquad\text{et}\qquad\int_C \frac1{z^4-1}\,dz\qquad\text{et}\qquad\int_C \frac1{z^5-1}\,dz \] \finenonce{002846} \finexercice \exercice{2847, burnol, 2009/12/15} \enonce{002847}{} Que vaut $\int_{|z| = N} \tan(\pi z) \,dz$, pour $N\in\Nn$, $N\geq1$? \finenonce{002847} \finexercice \exercice{2848, burnol, 2009/12/15} \enonce{002848}{} Déterminer pour $A, B, C$ réels, avec $A^2 > B^2 + C^2$ la valeur de : \[ \frac1{2\pi}\int_0^{2\pi} \frac{d\theta}{A + B\sin\theta + C\cos\theta}\] On aura intérêt, comme première étape, à poser $B = R\cos\phi$, $C=R\sin\phi$, mais on peut aussi se frotter plus directement au résidu (utiliser bien sûr $z=e^{i\theta}$ ou dans ce genre). \finenonce{002848} \finexercice \exercice{2849, burnol, 2009/12/15} \enonce{002849}{} On considère dans le plan complexe un chemin fermé paramétré $\gamma$ qui parcourt la figure ci-dessus dans le sens indiqué. $$ \centerline{\includegraphics{../images/img002849-1}} $$ Pour $j = 0, 1, 2, 3, 4$ on note \[A_j = \frac1{2\pi i} \int_\gamma \frac{dz}{z -z_j}\quad\text{et}\quad B_j = \frac1{2\pi i} \int_\gamma \frac{dz}{(z - z_j)^2}\] Déterminer, en le justifiant, les valeurs de $A_0$, $A_1$, $A_2$, $A_3$, $A_4$, et de $B_0$, $B_1$, $B_2$, $B_3$, $B_4$. On précisera aussi quel est le nom que l'on donne aux quantités données par les intégrales $A_j$, $j= 0\dots4$. \finenonce{002849} \finexercice \exercice{2850, burnol, 2009/12/15} \enonce{002850}{} Soit $\gamma$ le contour, parcouru dans le sens direct, dessiné ci-contre. $$\centerline{\includegraphics{../images/img002850-1}}$$ Déterminer (avec justification) en fonction de $w_1$, $w_2$, $w_3$ les intégrales suivantes: \begin{align*} A &= \int_\gamma \frac{dz}{(z-w_1)(z-w_2)(z-w_3)}\\ B &= \int_\gamma \sin(z) dz\\ C &= \int_\gamma \frac{dz}{(z-w_1)^2(z-w_3)} \end{align*} \finenonce{002850} \finexercice \exercice{2853, burnol, 2009/12/15} \enonce{002853}{} Prouver pour $a>1$: \[ \frac1{2\pi}\int_0^{2\pi} \frac{\sin\theta}{a+\sin\theta}d\theta = \frac{\sqrt{a^2-1} - a}{\sqrt{a^2 - 1}}\] En utilisant l'un des exercices précédents montrer que la formule a un sens et est valable pour $a\in\Cc\setminus[-1,+1]$. \finenonce{002853} \finexercice \exercice{2854, burnol, 2009/12/15} \enonce{002854}{} Que vaut en fonction de $R>0$ \[ \int_{|z| = R} \frac{z^2+1}{z^3 - z^2 - 4z + 4}dz\;?\] \finenonce{002854} \finexercice \exercice{2855, burnol, 2009/12/15} \enonce{002855}{} Soit $P(z) = A z^4 + \dots$ un polynôme de degré au plus $4$. Montrer que $ \int_{|z| = R} \frac{P(z)}{z^5-1}\,dz$ est indépendant de $R$ pour $R>1$. En faisant tendre $R$ vers l'infini en déduire que cette valeur constante est $2\pi iA$. Prouver alors via le théorème des résidus: $A = \frac15 \sum_{w^5 = 1} wP(w)$. \finenonce{002855} \finexercice \exercice{2856, burnol, 2009/12/15} \enonce{002856}{Résidu à l'infini} \label{exo:residuinfini} Soit $f$ une fonction analytique pour $\{|z|>R\}$. On pose: \[ \mathrm{Res}(f,\infty) = - \frac1{2\pi i}\int_{C_r} f(z)dz\] avec $C_r$ le cercle $\{|z| = r\}$ parcouru dans le sens direct. Montrer que le terme de droite est bien indépendant de $r>R$. On notera le signe $-$. On dit que $\mathrm{Res}(f,\infty)$ est le ``résidu à l'infini'' de $f$. Soit $f$ une fonction holomorphe sur $\Cc$ à l'exception d'un nombre fini de singularités isolées. Montrer le théorème suivant: \emph{la somme de tous les résidus (y compris celui à l'infini) de $f$ est nulle}. \finenonce{002856} \finexercice \exercice{2857, burnol, 2009/12/15} \enonce{002857}{} Soit $f$ une fonction holomorphe sur $\overline\Omega\setminus\{z_1, \dots, z_N\}$, avec $\Omega$ le domaine intérieur à une courbe de Jordan $\gamma$. Soit $g_n(z)$ la partie principale (partie singulière) de $f$ en la singularité isolée $z_n$. Prouver \emph{la formule intégrale générale de Cauchy}: \[\forall z\in \Omega\setminus\{z_1,\dots,z_N\}\qquad f(z) = \sum_{1\leq n\leq N} g_n(z) + \frac1{2\pi i }\int_{\partial\Omega}\frac{f(w)}{w-z}dw\] Pour cela, remarquer d'abord $\mathrm{Res}(\frac{f(w)}{w-z},z_n)= \mathrm{Res}(\frac{g_n(w)}{w-z},z_n)$; puis montrer que le résidu à l'infini de la fonction $\frac{g_n(w)}{w-z}$ de $w \in \Cc\setminus\{z_n\}$, est nul. On pourra utiliser l'exercice \ref{exo:residuinfini}. \finenonce{002857} \finexercice \exercice{2858, burnol, 2009/12/15} \enonce{002858}{Morceaux de Résidus} \label{ex:burnol2.1} Soit $f$ présentant en $z_0$ un \emph{pôle simple}. Soit $C_r(\alpha,\beta)$ l'arc de cercle $w= z_0 + r e^{i\theta}$, $\alpha\leq \theta\leq\beta$, parcouru dans le sens direct des $\theta$ et avec $0<\beta - \alpha\leq 2\pi$. Prouver: \[ \lim_{r\to0} \int_{C_r(\alpha,\beta)} f(z)\,dz = 2\pi i\;\frac{\beta-\alpha}{2\pi}\;\mathrm{Res}(f,z_0)\] Que se passe-t-il si le pôle est d'ordre plus élevé? \finenonce{002858} \finexercice \exercice{2859, burnol, 2009/12/15} \enonce{002859}{Lemme de Jordan} \label{ex:burnol2.2} Soit $f$ une fonction définie et continue sur le domaine $\{\Im(z)>0, |z|>R\}$, ou seulement sur une suite de demi-cercles $\{\Im(z)>0, |z|=R_n\}$ de rayons tendant vers l'infini. On suppose $\lim_{\substack{|z|\to\infty \\ \Im(z)>0}} |f(z)| = 0$ (ou $\displaystyle\lim_{n\to\infty} \sup_{\Im(z)>0,\,|z|=R_n} |f(z)| = 0$.) Montrer (on utilisera $\sin(\theta)\geq \frac2\pi \theta$ pour $0\leq\theta\leq\frac\pi2$): \[ \lim_{R\to\infty} \int_{z = R e^{i\theta},\, 0<\theta<\pi} f(z)e^{iz}\,dz = 0\qquad (\text{ou l'analogue avec les\ }R_n)\] \finenonce{002859} \finexercice \exercice{2860, burnol, 2009/12/15} \enonce{002860}{} En considérant l'intégrale de $\frac{e^{iz}}z$ sur un contour allant de $-R$ à $+R$ le long de l'axe réel en contournant $0$ par un petit demi-cercle, puis qui revient de $+R$ à $-R$ par le demi-cercle dans le demi-plan supérieur, démontrer $\int_0^\infty \frac{\sin x}x\,dx = \frac\pi2$. \finenonce{002860} \finexercice \exercice{2861, burnol, 2009/12/15} \enonce{002861}{} Déterminer les intégrales (semi-convergentes) de Fresnel $\int_0^\infty \cos(x^2)dx$ et $\int_0^\infty \sin(x^2)dx$ en considérant l'intégrale de $\exp(-z^2)$ sur le contour $z=x$, $0\leq x\leq R$, $z = R\exp(i\theta)$, $0\leq \theta\leq\frac\pi4$, $z = xe^{i\frac\pi4}$, $R\geq x\geq0$. On rappelle l'identité $\int_\Rr \exp(-\pi u^2)du =1$. \finenonce{002861} \finexercice \exercice{2862, burnol, 2009/12/15} \enonce{002862}{} Que vaut $\Gamma(\frac12) = \int_0^\infty \frac{e^{-t}}{\sqrt t}dt$? (faire un changement de variable $t=\pi u^2$ pour se ramener à la Gaussienne). En considérant un contour passant par l'axe réel, puis un quart de cercle, puis l'axe imaginaire, puis un petit quart de cercle évitant l'origine prouver: \[ \int_0^\infty \frac{e^{-t}}{\sqrt t}dt = \exp(i\frac\pi4)\int_0^\infty\frac{e^{-ix}}{\sqrt x}dx\] et en déduire les valeurs des intégrales $\int_0^\infty \frac{\cos x}{\sqrt x}dx$ et $\int_0^\infty \frac{\sin x}{\sqrt x}dx$ (qui ne sont que semi-convergentes). Comparer aux intégrales de Fresnel. \finenonce{002862} \finexercice \exercice{2863, burnol, 2009/12/15} \enonce{002863}{} Reprendre l'exercice précédent et déterminer pour $01$: \[ \int_0^\infty \frac{dx}{1+x^n} = \frac{\pi/n}{\sin (\pi/n)}\] en utilisant le secteur angulaire $0\leq \mathrm{Arg} z\leq \frac{2\pi}n$, $0\leq |z|\leq R$, $R\to+\infty$, et en montrant que la contribution de l'arc de cercle tend vers zéro pour $R\to+\infty$. \item Montrer, en utilisant les contours $\epsilon\leq x\leq R$, $z= Re^{i\theta}$ ($0\leq \theta \leq \frac{2\pi}a$), $z=r e^{i\frac{2\pi}a}$ ($R\geq r\geq \epsilon)$, $z = \epsilon e^{i\theta}$ ($\frac{2\pi}a \geq \theta \geq 0$): \[ a\in\Rr,\; a>1\quad\implies\qquad\int_0^\infty \frac{dx}{1+x^a} = \frac{\pi/a}{\sin (\pi/a)}\;.\] Pour définir $z^a $ comme fonction holomorphe sur $\{ z = r e^{i\alpha}\,|\, 01$ et prouver $J(a) = \frac{\pi/a}{\sin (\pi/a)}$. \item On définit maintenant \[ K(p) = \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{e^{pt}}{1+e^t}dt\] pour $00$ et $ \hbox{ Log}z$ la détermination principale du log sur $\Cc\backslash R^-$. En intégrant la fonction $f(z)={1\over (z^2+a^2)\hbox{ Log}z}$ sur un contour $\Gamma_{\varepsilon, R}$ constitué du cercle de rayon $R$ évitant le demi-axe $\Rr^-$, montrer que $$\int_0^\infty {dx\over (x^2+a^2)(\hbox {Ln}^2x+\pi^2)}={\pi\over2a(\hbox {Ln}^2a+\pi^2/4)}-{1\over1+a^2}.$$ \finenonce{006747} \finexercice \exercice{6748, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006748}{Calcul d'intégrales semi-convergentes} \begin{enumerate} \item Calculer $\displaystyle\int_{\Rr}{\sin x\over x}\ dx$ en intégrant $f(z)=\displaystyle{e^{iz}\over z}$ sur un contour bien choisi. \item Calculer de même $\displaystyle\int_{\Rr}{x^2-1\over x^2+1}{\sin x\over x}\ dx$. \end{enumerate} \finenonce{006748} \finexercice \exercice{6749, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006749}{Calcul de transformées de Fourier} \begin{enumerate} \item Calculer la transformée de Fourier de $\displaystyle{1\over1+x^4}$ en intégrant $\displaystyle e^{itz}\over1+z^4$ sur un demi-cercle dans un demi-plan bien choisi. \item Calculer $\displaystyle I(m,a)=\int_0^{+\infty}{\cos mx\over(1+x^2)(x^2+a^2)}\ dx$ en distinguant les cas $a=1, a\not=1$. Vérifier que $I(m,1)=\lim_{a\to1}I(m,a)$. En déduire sans nouveaux calculs la valeur de $\displaystyle\int_0^{+\infty}{x\sin mx\over(1+x^2)^2}\ dx$. \end{enumerate} \finenonce{006749} \finexercice \exercice{6750, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006750}{} Soit $P$ et $Q$ deux polyn\^omes tels que $\deg Q>\deg P$. \begin{enumerate} \item Exprimer $\sum\hbox{Res}({P\over Q})$ à l'aide des coefficients de $P$ et $Q$. \item Soit $P(z)=z^n+\sum_0^{n-1}a_kz^k$ un polyn\^ome dont toutes les racines sont dans $D(0,R)$. Montrer que $f(x)=\displaystyle{1\over 2i\pi}\int_{\Gamma_R}{e^{xz}\over P(z)}\ dz$ est la solution de l'équation différentielle d'ordre $n$, $y^{(n)}+ a_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots+a_0y=0$ de condition initiale $y^{(j)}(0)=0$ si $j1$) ; \item $\displaystyle \int_0^{2\pi}{dt\over (a+b\cos t)^2}$ ($a>b>0$) ; \item $\displaystyle \int_0^{2\pi}{\cos^3{3t}\over 1-2a\cos t+a^2}\ dt$ ($a\in\C\setminus \{\pm 1\}$) ; \item $\displaystyle \int_0^{2\pi}\exp{(\cos t)}\cos{(nt-\sin t)}\ dt$ ($n\in {\Zz}$). \end{enumerate} \finenonce{006751} \finexercice \exercice{6752, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006752}{} Dans cet exercice, on justifiera soigneusement chaque passage à la limite. Calculer les intégrales : \begin{enumerate} \item $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}{1\over 1+x^6}\ dx$ \item $\displaystyle \int_0^{+\infty}{1\over x^\alpha (1+x)}\ dx\ ,\ 0<\alpha <1$ \item $\displaystyle \int_0^{+\infty}{\sin^2x\over x^2}\ dx$ (on pourra considérer la fonction $\displaystyle {1-e^{2ix}\over x^2}$) \item $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}{\cos x\over e^x+e^{-x}}\ dx$ (on pourra utiliser le rectangle de sommets $-R$, $R$, $R+i\pi$, $-R+i\pi$) \item $\displaystyle \int_0^{+\infty}{\mathrm{Log}^2 x\over 1+x^2}\ dx$ \item $\displaystyle \int_0^{+\infty}{\mathrm{Log} x\over (1+x)^3}\ dx$ \end{enumerate} \finenonce{006752} \finexercice \exercice{6753, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006753}{} Soit $f(z) = z^5 +5z^3+z-2$. Montrer que $f$ a trois de ses zéros dans le disque $D(0,1)$ et tous ses zéros dans le disque $D(0,3)$. \finenonce{006753} \finexercice \exercice{6754, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006754}{} Soit $c$ un nombre complexe vérifiant $|c|>e$. Montrer que l'équation $e^z=cz$ a une solution et une seule dans $H = \{\,z\in \Cc\mid \Re\!e z<1\,\}$. (On pourra considérer $D_r = H \cap D(1,r)$ avec $r\ge2$ et les fonctions $e^z-cz$ et $-cz$.) \finenonce{006754} \finexercice \exercice{6755, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006755}{} En utilisant le théorème de Rouché, démontrer le théorème de d'Alembert. \finenonce{006755} \finexercice \exercice{6756, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006756}{} Soit $P(z) = z^n+a_1z^{n-1} + \cdots +a_n$, $n\ge 1$, $a_j\in \Cc$. Montrer qu'il existe un point $c$ de $\partial D(0,1)$ tel que l'on ait $|P(c)| \ge 1$. \finenonce{006756} \finexercice \exercice{6757, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006757}{} Montrer que, si $f$ est holomorphe au voisinage de $\overline{D(0,1)}$ et si $f(\partial D(0,1)) \subset D(0,1)$, alors il existe un $z_0$ et un seul dans $D(0,1)$ tel que l'on ait $f(z_0)=z_0$. \finenonce{006757} \finexercice \exercice{6758, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006758}{} En utilisant le théorème de Rouché, on se propose de donner une preuve du théorème d'inversion local ``holomorphe'' n'utilisant pas le théorème d'inversion local dans $\Rr^2$. Soit donc $f$ une fonction holomorphe au voisinage d'un point $z_0$ de $\Cc$ telle que $f'(z_0)\ne0$. On suppose sans restreindre la généralité que $z_0=0$, $f(z_0)=0$, et $f'(z_0)=1$. \begin{enumerate} \item Montrer qu'il existe un voisinage $V$ de $z_0$ et une constante $K>0$ tel que l'on ait, pour tout $z$ dans $V$, $|f(z) - z|\le K\,|z^2|$. \item Montrer qu'il existe $r>0$ tel que, si l'on a $|\alpha|0$, de centre 0, situé dans le demi-plan $\Im\ z\ge 0$. Démontrer que $ \lim_{\epsilon\downarrow 0} \int_{\gamma_\epsilon} f(z)\,dz = 0$. \item Soit $\gamma_R$ le demi-cercle de rayon $R>0$, de centre 0, situé dans le demi-plan $\Im z\ge 0$. Démontrer que $ \lim_{R\to \infty} \int_{\gamma_R} f(z)\,dz = 0$. \item En intégrant $f$ sur le bord du domaine $\epsilon\le |z| \le R$, $0\le \arg(z) \le \pi$, déduire de ce qui précède que l'intégrale $$I(\alpha) = \int_0^\infty \frac{x^\alpha \cos(x-\frac{\alpha\pi}2)}{1+x^2}\,dx$$ est convergente et en même temps calculer sa valeur. \end{enumerate} \finenonce{006808} \finexercice \exercice{6811, gijs, 2011/10/16} \enonce{006811}{} Soit $a$ un réel tel que $0 \le a < 1$. \begin{enumerate} \item Démontrer que les intégrales $% I(a) = \int_0^{+\infty} \frac{\sinh(ax)}{\sinh x} \,dx$ et $% J(a) = \int_0^{+\infty} \frac{\cosh(ax)}{\cosh x} \,dx$ sont convergentes ($\sinh$ et $\cosh$ désignent les sinus et cosinus hyperboliques). \item Soit $\epsilon$ et $R$ des réels tels que $0<\epsilon < \frac\pi2 < R$, soit $f(z)$ la fonction $f(z) = \frac{e^{az}}{e^z - e^{-z}}$ et soit $K_{\epsilon,R} \subset \Cc$ le compact obtenu en \^otant la demi-boule ouverte de centre 0 et de rayon $\epsilon$ du rectangle de sommets $R$, $R + i\frac\pi2$, $-R + i\frac\pi2$, $-R$. \begin{enumerate} \item Démontrer que ${ \lim_{R\to +\infty}}\int_\gamma f(z)\,dz = 0$ lorsque $\gamma$ est (i) le c\^oté du rectangle joignant $R$ à $R + i\frac\pi2$ et (ii) le c\^oté du rectangle joignant $-R + i\frac\pi2$ à $-R$. \item Calculer le résidu de $f$ en 0. \item Du calcul de l'intégrale de $f$ le long du bord orienté de $K_{\epsilon,R}$ et de sa limite quand $\epsilon \to 0$ et $R \to +\infty$, déduire $J(a)$ et $I(a)$. \end{enumerate} \end{enumerate} \finenonce{006811} \finexercice \exercice{7554, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007554}{Pour apprendre le cours} \begin{enumerate} \item Soit $I=[a,b]$ ($a0$ orienté dans le sens trigonométrique du plan complexe en définissant pour $t\in\Rr$, $\xi(t)$ comme le point d'intersection de la droite d'équation $y=t(x+r)$ avec le cercle $C_r$ différent de $-r$. \begin{enumerate} \item Montrer que $\xi(t)=r\frac{1+it}{1-it}$. \item Vérifier que $\xi$ est dérivable sur $\Rr$ et calculer $\frac{\xi'(t)}{\xi(t)}$. \item En déduire que $$\int_{C_r} \frac{dz}{z}=2i\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{dt}{1+t^2}.$$ \item En déduire que $$\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{dt}{1+t^2}=\pi.$$ \end{enumerate} \finenonce{007555} \finexercice \exercice{7556, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007556}{Calculs} \begin{enumerate} \item On considère le bord $\mathcal{C}$ du triangle de sommet : $ z=0 $, $ z=1$, et $ z=i$, orienté dans le sens direct. Calculer les intégrales $ \int_{\mathcal{C}} xdz \quad \text{ et } \quad \int_{\mathcal{C}} ze^{z}dz.$ \item Soit le cercle unité $\mathcal{C}$ parcouru dans le sens direct. Pour tout entier relatif $n$, calculer l'intégrale $ \int_{\mathcal{C}} z^{n}dz.$ Expliquer le cas particulier où $n=-1$. \item Montrer $\left|\int_\gamma \frac{dz}{z^2+1}\right| \le \frac{\pi}{3}, \mbox{ lorsque }\gamma(t)=2e^{it}, \; 0\le t\le \frac{\pi}{2}.$ \item Montrer $\left|\int_\gamma \frac{e^z}{z} dz\right| \le \pi e, \mbox{ lorsque }\gamma(t)=e^{it}, \; 0\le t\le \pi.$ \end{enumerate} \finenonce{007556} \finexercice \exercice{7557, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007557}{Intégrale elliptique} Soient deux réels strictement positifs $a$ et $b$, on pose $ \gamma = a \cos (t) +ib \sin (t) $ pour $ t \in [ 0, 2 \pi ] $. Calculer l'intégrale $ \int_{\gamma} \frac{dz}{z} $ et en déduire : $ \int_{0}^{2\pi} \frac{ dt }{a^{2} \cos ^{2}(t) + b^{2} \sin ^{2}(t)}. $ \finenonce{007557} \finexercice \exercice{7558, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007558}{Existence de primitive} Soit $D:=\Cc-[0,1]$ et $f : D\to \Cc$, $z\mapsto\frac{1}{z(z-1)}$. \begin{enumerate} \item $D$ est-il un ouvert étoilé ? \item La fonction $F : z\mapsto\log (1-\frac{1}{z})$ est-elle bien définie et continue sur $D$ ? \item Montrer que pour tout chemin orienté $\Gamma$ de $D$, $\int_\Gamma f(\zeta)d\zeta=0.$ \end{enumerate} \finenonce{007558} \finexercice \exercice{7559, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007559}{Lemme de Goursat} Soit $D$ un ouvert de $\Cc$ et $f : D\to\Cc$ une application holomorphe. Soit $T$ un triangle (plein) inclus dans le domaine $D$. On notera $p$ son périmètre. Le but de l'exercice est de montrer que $$\int_{\partial T}f(z)dz=0.$$ \begin{enumerate} \item En considérant les quatre triangles obtenus en traçant les segments entre deux milieux de côtés de $T$, montrer que pour l'un de ces triangles noté $T_1$, $$|\int_{\partial T}f(z)dz|\leq 4|\int_{\partial T_1}f(z)dz|.$$ \item En itérant cette construction, montrer que pour tout $n$, il existe un triangle $T_n\subset T_{n-1}$ de périmètre $\frac{p}{2^n}$ tel que $$|\int_{\partial T}f(z)dz|\leq 4^n|\int_{\partial T_1}f(z)dz|.$$ \item Montrer que l'intersection des $T_n$ est un point $c$ de $D$. \item Montrer qu'un existe une fonction continue $h$ sur $D$ nulle en $c$ telle que pour tout $z\in D$, $$f(z)=f(c)+(z-c)f'(c)+(z-c)h(z).$$ \item Calculer $\int_{\partial T_n}f(c)dz$ et $\int_{\partial T_n}(z-c)f'(c)dz$. \item Montrer que pour tout $\epsilon >0$ il existe $N$ tel que pour $n\geq N$,$$|\int_{\partial T_n}(z-c)h(z)dz|\leq (\frac{p}{2^n})^2\varepsilon.$$ \item Conclure. \item Montrer en choisissant un découpage de $T$ avec un petit triangle autour de $a$ que si $f : D\to\Cc$ est une application continue et holomorphe sur $D-\{a\}$, alors pour tout triangle de sommet $a$ dans $D$, $\int_{\partial T}f(z)dz=0$. \end{enumerate} \finenonce{007559} \finexercice \exercice{7560, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007560}{Calcul d'intégrales par chemin fermé} Soit $a$ un nombre réel tel que $|a|\leq 1$. On considère la fonction $f :\Cc\to\Cc$, $z\mapsto e^{-z^2}$ et pour tout réel strictement positif $r$, les chemins suivants dans le plan complexe $$ \setlength{\unitlength}{.4in} \begin{picture}(7,3.5)(0,-.25) \linethickness{1pt} \put(0,0){\line(1,0){4}} \put(4,0){\line(0,1){3}} \put(0,0){\line(4,3){4}} %\put(2,0){\makebox(0,0){$\to$}} \put(2,-.25){\makebox(0,0){$\gamma_1\to$}} \put(4.5,1.5){\makebox(0,0){$\uparrow\gamma_2$}} \put(2,2){\makebox(0,0){$\gamma_3\nearrow$}} \put(-.25,-.25){\makebox(0,0){$0$}} \put(4.25,-.25){\makebox(0,0){$r$}} \put(4.25,3.25){\makebox(0,0){$r(1+ai)$}} \end{picture} $$ \begin{enumerate} \item Calculer $\int_{\gamma_1}f(z)dz$. \item Montrer que $|\int_{\gamma_2}f(z)dz|\leq \frac{1}{r}.$ \item En déduire $$\int_0^{+\infty}e^{-(1+ai)^2t^2}dt=\frac{\sqrt{\pi}}{2}\frac{1}{1+ia}.$$ \item En déduire les valeurs des intégrales $\int_0^{+\infty}\cos(t^2)dt$ et $\int_0^{+\infty}\sin(t^2)dt$. \end{enumerate} \finenonce{007560} \finexercice \exercice{7561, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007561}{Calcul d'intégrales par la formule intégrale de Cauchy} Calculer $$\int_{\partial \Delta_2} \frac{e^z}{(z-3)^2} dz\ ,\ \int_{\partial \Delta_2} \frac{e^z}{(z+1)} dz\quad \text{ et } \quad \int_{\partial \Delta_2} \frac{e^z}{(z+1)(z-3)^2} dz.$$ \finenonce{007561} \finexercice \exercice{7562, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007562}{Calcul d'intégrales et théorème de Liouville} \begin{enumerate} \item Soit $r>0$ et $D$ un voisinage ouvert de $\overline{\Delta_r}$. Soit $f : D\to\Cc$ une fonction holomorphe. Soit $a$ et $b$ deux points distincts dans $\Delta_r$. Calculer $$\int_{\partial\Delta_r}\frac{f(\zeta)}{(\zeta-a)(\zeta-b)}d\zeta.$$ \item En déduire le théorème de Liouville : Toute fonction holomorphe bornée sur $\Cc$ est constante. \end{enumerate} \finenonce{007562} \finexercice \exercice{7563, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007563}{} \begin{enumerate} \item Déterminer toutes les fonctions holomorphes définies sur le plan complexe tout entier vérifiant : $|f(z)| \geq 1 $ . \item On considère une fonction $f$ holomorphe dans le disque unité, vérifiant $|f(z)| \leq 1 $, que peut on dire de $|f'(0)| $ ? \item Soit $n_0$ un nombre entier naturel et $f$ une fonction holomorphe définie sur le plan complexe tout entier vérifiant $|f(z)|\leq |z|^{n_{0}}$. Montrer que $f$ est un polynôme de degré au plus $n_{0}$. \item Soient $\Omega$ un ouvert connexe et $D$ une droite, $f$ une fonction continue sur $\Omega$, holomorphe sur la restriction $\Omega - \{D\} $. Montrer que $f$ se prolonge en une fonction holomorphe sur $\Omega$ tout entier. \end{enumerate} \finenonce{007563} \finexercice \exercice{7577, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007577}{Propriété} Soient deux fonctions $g$ et $h$ holomorphes sur un ouvert connexe du plan complexe, $a$ un pôle de $g/h$ tel que $h(a)=0$ et $h'(a)$ soit non nul. Montrer que : $$Res(a, \frac{g}{h} ) = \frac{g(a)}{h'(a)}$$ \finenonce{007577} \finexercice \exercice{7578, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007578}{Calculs de résidus} \begin{enumerate} \item L'application $\cot(\pi z):=\frac{\cos (\pi z)}{\sin (\pi z)}$ est-elle méromorphe ? Si oui, déterminer ses résidus. \item Calculer les résidus en tous les pôles de $$f(z)=\frac{z^2}{z^4+1} \quad \text{ et } \quad g(z)=\frac{z^2+z+5}{z(z^2+1)^2}.$$ \end{enumerate} \finenonce{007578} \finexercice \exercice{7579, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007579}{Calcul d'intégrales} \begin{enumerate} \item Montrer que $$\int_{\partial\Delta_2}\frac{dz}{\sin^2z\cos z}=0.$$ \item Calculer les intégrales suivantes, où les chemins fermés simples $\gamma$ sont parcourues dans le sens direct. \begin{enumerate} \item $\displaystyle \int \limits_{\gamma} \frac{z}{(z - 1)(z - 2)} dz $ où $\gamma=\partial\Delta_{1/2}(2)$ est le cercle centré en 2 de rayon 1/2 ; \item $\displaystyle \int \limits_{\gamma} \frac{\exp(z)}{z^{2}(z - 9)^{2}} dz $ où $\gamma=\partial\Delta$ est le cercle centré en l'origine de rayon 1. \end{enumerate} \end{enumerate} \finenonce{007579} \finexercice \exercice{7580, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007580}{Somme de résidus} Soit $f(z)$ une fonction rationnelle, quotient d'un polynôme $P(z)$ par un polynôme $Q(z)$. On suppose que $\deg P +2 < \deg Q$. Montrer que $$\sum_{c\in\Cc}Res_c(f)=0.$$ \finenonce{007580} \finexercice \exercice{7581, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007581}{Calcul d'intégrales trigonométriques} \begin{enumerate} \item Soit $a$ un nombre complexe de module différent de $1$. Montrer que $$i\int_0^{2\pi}\frac{d\theta}{1-2a\cos\theta + a^2}=\int_{\partial\Delta}\frac{dz}{(z-a)(1-az)}.$$ \item Déterminer les résidus des pôles de $\frac{1}{(z-a)(1-az)}$ contenus dans le disque unité ouvert. \item En déduire la valeur de $\int_0^{2\pi}\frac{d\theta}{1-2a\cos\theta + a^2}$. \end{enumerate} \finenonce{007581} \finexercice \exercice{7582, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007582}{Calcul d'intégrales rationnelles} On considère la fonction méromorphe $f(z)=\frac{z^2}{1+z^4}$ sur $\Cc$. \begin{enumerate} \item Montrer que $zf(z)$ a une limite quand $|z|$ tend vers $+\infty$. \item Montrer que $\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{x^2}{1+x^4}dx$ converge. \item Déterminer les pôles de $f$ contenus dans le demi-plan $\mathbb{H}:=\{z\in\Cc, Im(z)>0\}$ et leurs résidus. \item En intégrant sur le chemin $\Gamma$ défini par $$\begin{tikzpicture} \draw[help lines, step=1, very thin] (-6,0) grid (6,4); \draw[shift={(3.4,0)}, thick] (6:0) arc (0:180:3.4); \draw (0,3.4) node[above]{$\leftarrow$} ; \draw[thick] (-3.4,0) -- (3.4,0) ; \draw (0,0) node[below]{$0$} ; \draw (3.5,0) node[below]{$r$} ;\draw (-3.5,0) node[below]{$-r$} ;\draw (-1.5,0) node[below]{$\to$} ; \draw (1,0) node[below]{$1$} ; \end{tikzpicture}$$ montrer que $$\int_{-r}^rf(x)dx+\int_{\partial(\Delta_r\cap\mathbb{H})} f(z)dz=2i\pi\sum_{c\in\mathbb{H}}Res_c(f).$$ \item Montrer que $$\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{x^2}{1+x^4}dx=\frac{\pi}{\sqrt{2}}.$$ \end{enumerate} \finenonce{007582} \finexercice \exercice{7583, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007583}{Contraintes} \begin{enumerate} \item Montrer que le polynôme $f(z)=3+7z+2z^4$ a, comme le polynôme $3+7z$, exactement un zéro dans $\Delta$. \item Déterminer le nombre de zéros (comptés avec multiplicité) de $z^5+\frac{z^3}{3}+\frac{z^2}{4}+\frac{1}{3}$ dans $\Delta$. \item Déterminer le nombre de zéros (comptés avec multiplicité) de $z^5+\frac{z^3}{3}+\frac{z^2}{4}+\frac{1}{3}$ dans $\Delta_{\frac{1}{2}}$. \item Déterminer le nombre de zéros du polynôme $ z^{4} -5z-1 $ dans la couronne $ 1<\arrowvert z \arrowvert < 2 $. \end{enumerate} \finenonce{007583} \finexercice \section{ 445.00 Tranformée de Laplace et de Fourier } \exercice{6602, hueb, 2011/10/16} \enonce{006602}{} Calculer les transformées de Laplace des fonctions suivantes, où $a,b,A,T$ sont des nombres réels positifs. \begin{enumerate} \item $f(t)= \begin{cases} \frac Aa t,&0\leq t \leq a\\ A,&t \geq a \end{cases}$ \item $f(t)= \begin{cases} nA,&\text{pour}\ (n-1) T \leq t < nT,\ \text{où}\ n\in \Nn, n\geq 1, \ \text{c.a.d} \\ A, &0\leq t 0$, on pose $$ F_\varepsilon (t) = \begin{cases} \frac 1 \varepsilon,\quad & 0 \leq t \leq \varepsilon\\ 0,\quad & t > \varepsilon \phantom{ \leq 0} \end{cases}. $$ \begin{enumerate} \item Trouver $\mathcal{L}(F_\varepsilon)$. \item Montrer que $\lim_{\varepsilon \to 0}\mathcal{L}(F_\varepsilon) = 1$. \end{enumerate} \finenonce{006603} \finexercice \exercice{6604, hueb, 2011/10/16} \enonce{006604}{} Calculer la transformée de Laplace de la fonction $F$ où $a,b, \omega, k \in \Rr$, $a,b > 0$: \begin{enumerate} \item $\quad F(t) = a \sin \omega t,$ \item $\quad F(t) = a (1-e^{- bt}),$ \item $\quad F(t) = a \cos (bt-k).$ N.B. Ici la formule qui exprime la transformée de Laplace de la fonction \\ $G(t) = \begin{cases} F(t-a),&t \geq a,\\ 0,\quad &t < a, \end{cases}$ en fonction de celle de $F$ ne s'applique pas à (3). Pourquoi pas? \end{enumerate} \finenonce{006604} \finexercice \exercice{6605, hueb, 2011/10/16} \enonce{006605}{} Vérifier les propriétés suivantes de la transformation de Laplace $\mathcal{L}$ : \begin{enumerate} \item $\mathcal{L}(c_1 F_1 + c_2 F_2) =c_1 \mathcal{L}(F_1) + c_2 \mathcal{L}(F_2)$. \item $\mathcal{L}(e^{at}F(t))(s) =(\mathcal{L} F)(s-a)$. \item Pour $G(t) = \begin{cases} F(t-a),\quad &t \geq a,\\ 0, \quad &t \leq a, \end{cases}$ on a $(\mathcal{L}G)(s) =e^{-as}(\mathcal{L}F)(s)\ (a \geq 0)$. \item Pour $F_a(t) = F(at)$ on a $(\mathcal{L}F_a)(s) = \frac 1a (\mathcal{L}F)(\frac sa)$. \item Pour $G(t) = \int_0^t F(u) du$ on a $(\mathcal{L}G) (s) = \frac {(\mathcal{L} F)(s)} s$. \item $\mathcal{L}(t^n F(t)) = (-1)^n (\mathcal{L} F)^{(n)}$ \item Si $\lim_{t\to 0} \frac {F(t)}t$ existe, $\mathcal{L}(\frac {F(t)}t)(s) = \int_s^{\infty} (\mathcal{L} F)(\zeta) d \zeta$.\ \item Si $F$ est périodique, $F(t+T) = F(t)$, alors $$(\mathcal{L}F)(s) = \frac 1{1-e^{-sT}}\int_0^T F(t) e^{-st} dt$$ \item $\lim_{s \to +\infty} (\mathcal{L} F)(s) = 0$. \item $\lim_{s \to +\infty} (\mathcal{L}F)(s) = 0$. \item $\lim_{t \to 0, t > 0} F(t) = \lim_{s \to \infty} s (\mathcal{L}F)(s)$ si les limites indiquées existent (Théorème de la valeur initiale). \item $\lim_{t \to \infty} F(t) = \lim_{s \to 0} s (\mathcal{L} F)(s)$ si les limites indiquées existent (Théorème de la valeur finale). \end{enumerate} \finenonce{006605} \finexercice \exercice{6606, hueb, 2011/10/16} \enonce{006606}{} Trouver toutes les solutions $Y$ de l'équation différentielle $$tY'' + 2 Y' + tY =0,\quad Y(0) =1,$$ définies sur la droite réelle entière (i.~e. $D_Y= \Rr$). \finenonce{006606} \finexercice \exercice{6607, hueb, 2011/10/16} \enonce{006607}{} Etudier la convergence des séries $$\sum_1^{\infty} \frac{\cos nx} {n^2}, \quad \sum_1^{\infty} \frac{\sin nx} {n^2}, \quad \sum_1^{\infty} \frac{e^{inx}} {n!}. $$ \finenonce{006607} \finexercice \exercice{6608, hueb, 2011/10/16} \enonce{006608}{} Calculer les coefficients de Fourier de la fonction périodique $f$, définie sur $[-\pi,\pi]$ par $$f(x) = \pi - |x|,\quad |x| \leq \pi.$$ Etudier la convergence de la série de Fourier qui en résulte; est-elle absolue ou peut-être uniforme? En déduire la valeur de $\sum_1^{\infty} \frac 1{n^2}$. \finenonce{006608} \finexercice \exercice{6609, hueb, 2011/10/16} \enonce{006609}{} \begin{enumerate} \item Trouver les coefficients de Fourier en $\sin$ et $\cos$ de la fonction périodique $F$, donnée sur $]-5,5[\setminus \{0\}$ par $$F(x)= \begin{cases} 0,\quad &-5 \frac \tau 2 \end{cases}.$$ \item Vérifier que $f$ satisfait aux conditions de Dirichlet. Comment doit $f$ être définie en $x=\pm \frac \tau 2$ pour que l'intégrale de Fourier converge vers $f(x)$ pour tout $x$? \end{enumerate} \finenonce{006611} \finexercice \exercice{6612, hueb, 2011/10/16} \enonce{006612}{} \begin{enumerate} \item Utiliser les résultats de l'exercice \ref{exo43} pour évaluer $$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\sin a \lambda \cos b \lambda}{\lambda} d\lambda.$$ \item En déduire la valeur de $\int_{0}^{\infty} \frac{\sin u} u du$. \end{enumerate} \finenonce{006612} \finexercice \exercice{6613, hueb, 2011/10/16} \enonce{006613}{} \begin{enumerate} \item Trouver la transformée de Fourier en cosinus de $f(x) = e^{-m|x|},\ m>0$. \item Utiliser le résultat de (1) pour montrer que, pour $p>0,\ \beta >0$, $$\int_{0}^{\infty} \frac{\cos pv} {v^2 + \beta^2} dv = \frac \pi {2 \beta} e^{-p \beta}.$$ \end{enumerate} \finenonce{006613} \finexercice \exercice{6614, hueb, 2011/10/16} \enonce{006614}{} Trouver une fonction $f$ de sorte que l'équation intégrale suivante soit vérifiée: $$\int_{0}^{\infty} f(x) \sin \alpha x dx = \begin{cases} 1-\alpha,\quad &0 \leq \alpha \leq 1,\\ 0,\quad &\alpha > 1 . \end{cases} $$ \finenonce{006614} \finexercice \exercice{6615, hueb, 2011/10/16} \enonce{006615}{} Montrer que, pour $x \geq 0$, $$\int_{0}^{\infty} \frac{\cos \lambda x} {\lambda^2 + 1} d\lambda = \frac \pi 2 e^{-x}.$$ \finenonce{006615} \finexercice \exercice{6616, hueb, 2011/10/16} \enonce{006616}{} Evaluer \begin{enumerate} \item $\int_{0}^{\infty} \frac {dx} {(x^2 +1)^2},$ \item $\int_{0}^{\infty} \frac {x^2 dx} {(x^2 +1)^2},$ en appliquant l'identité de Parseval. \end{enumerate} \finenonce{006616} \finexercice \exercice{6617, hueb, 2011/10/16} \enonce{006617}{} Calculer la transformée inverse de Laplace $\mathcal{L}^{-1}(f)$ pour : \begin{enumerate} \item $f(s) = \frac s{(s+1)^3(s-1)^2}$ \item $f(s) = \frac 1{(s^2+1)^2}$ \item $f(s) = \frac {s+1}{(s+2)(s+3)}$ \item $f(s) = \frac {s+1}{(s+2)(s+3)^2(s^2+4s+5)}$ \item $f(s) = \frac {1}{(s+3)(s+4)}$ \item $f(s) = \frac {s+2}{(s+1)^2(s+3)}$ \item $f(s) = \frac {s+1}{s^2 +4s+16}$ \end{enumerate} \finenonce{006617} \finexercice \exercice{6618, hueb, 2011/10/16} \enonce{006618}{} Soient $a,x$ des nombres réels, $0|z|-\frac12$ et ${\cal R}_N$ le carré $\{|x|\leq N+\frac12$, $|y|\leq N+\frac12\}$, et $C_N = \partial {\cal R}_N$ son bord parcouru dans le sens direct. Exprimer $\frac1{2\pi i} \int_{C_N} \frac{f(w)}{w-z}dw$ à l'aide du Théorème des résidus. \item Montrer $\int_{C_N} \frac{f(w)}w dw = 0$ (on notera que $f$ est impaire) et en déduire : \[ \frac1{2\pi i} \int_{C_N} \frac{f(w)}{w-z}dw = \frac1{2\pi i} \int_{C_N} \frac\pi{\sin \pi w}\frac{z}{w(w-z)}dw\] \item On rappelle l'identité $\sin(w) = \sin(x)\ch(y) + i \cos(x)\sh(y)$ pour $w=x+iy$. Montrer $|\sin w|^2 = \sin^2 x + \sh^2 y$ ($x,y\in\Rr\dots$). En déduire $|\sin(\pi w)| = \ch(\pi y)\geq 1$ sur les bords verticaux du carré et $|\sin(\pi w)| \geq \sh(\pi(N+\frac12))\geq \sh(\pi\frac12) = 2.301\dots\geq1$ sur les bords horizontaux. Conclure la preuve de \[ \frac\pi{\sin \pi z} = \frac1z + \sum_{n=1}^\infty (-1)^n\frac{2z}{z^2-n^2}\] avec convergence uniforme pour $|z|$ borné. \item Reprendre la même technique et prouver: \[ \forall z\in\Cc\setminus\Zz\quad\frac{\pi \cos(\pi z)}{\sin(\pi z)} = \lim_{N\to\infty} \sum_{-N\leq n\leq N} \frac1{z-n} = \frac1z + \sum_{n=1}^\infty \frac{2z}{z^2-n^2}\;,\] avec convergence uniforme pour $|z|$ borné. \item On veut maintenant prouver: $\sin(\pi z) = \lim_{N\to\infty} \pi z\prod_{n=1}^N (1 - \frac{z^2}{n^2})$ % On fixe une fois pour toutes $R>0$, et on va montrer la formule pour $|z|R$ et notons $f_N(z) = \frac{\pi z}{\sin(\pi z)}\prod_{n=1}^N (1 - \frac{z^2}{n^2})$, prolongé par continuité en les $n$, $|n|\leq N$. Montrer que $f_N$ est holomorphe et ne s'annule pas sur $D(0,R)$. \item Soit $\gamma:[0,1]\to\Cc^*$ le chemin $\gamma(t) = f_N(tz)$. On a donc $\gamma(0) = 1$, $\gamma(1) = f_N(z)$, et $\gamma(t)\neq0$ pour tout $t$. Par un théorème démontré en cours (lequel?) on a $\gamma(1) = \gamma(0)\exp\left(\int_\gamma \frac{dw}w\right) $. En déduire $f_N(z) = \exp\left(\int_0^1 \frac{f_N'(tz)}{f_N(tz)} zdt\right)$. \item Soit $\epsilon>0$. En utilisant la convergence uniforme pour $|z|$ borné du développement en fractions de $\pi\cotg(\pi z)$, montrer que pour $N$ suffisamment grand, on a $|f_N'(w)|\leq \epsilon |f_N(w)|$ pour tout $w\in D(0,R)$, puis en déduire \[ N\gg0\quad |z|0$ tel que $D(c,r_0)\subset \Omega $, où $D(c,r_0)$ est le disque ouvert de centre $c$ et de rayon $r_0$. On pose $\mu (r)={1\over 2\pi}\int_0^{2\pi}f(c+re^{i\theta })d\theta $ pour $00$ est tel que $D(c,r)\subset \Omega $. \item Soit $V=\{ z\in \Omega \vert \ \vert f(z)\vert =M\}$. Montrer que $V$ est à la fois un ouvert et un fermé de $\Omega $. En déduire le principe du maximum : si $f$ atteint son maximum en un point d'un ouvert connexe $\Omega $, alors $f$ est constante. \end{enumerate} \finenonce{006735} \finexercice \exercice{6736, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006736}{} \begin{enumerate} \item Soit $f(z)={1\over 1+z^4}$. Montrer que $\int_{\gamma _R}f(z)\ dz$ tend vers 0 quand $R$ tend vers $+\infty$, où $\gamma _R (t)=Re^{it}$ ($t\in [0,\pi]$). \item Déduire de 1. la valeur de $$\int_{-\infty}^{+\infty}{dx\over 1+x^4}$$ \end{enumerate} \finenonce{006736} \finexercice \exercice{6737, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006737}{} Si $\gamma $ est l'arc de courbe $\gamma (t)=t+i(t^3-3t^2+4t-1)$ joignant les points (1,1) et (2,3), trouver la valeur de $$\int_\gamma (12z^2-4iz)\ dz$$ \finenonce{006737} \finexercice \exercice{6738, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006738}{} \begin{enumerate} \item Calculer l'intégrale $I=\int_{\gamma} \bar z\ dz$ où $\gamma$ est le chemin joignant le point $(1,1)$ au point $(2,4)$ suivant la parabole $y=x^2$; puis le segment joignant ces points. Qu'obtient-on avec $\int_{\gamma} z\ dz$ ? \item Soit $\gamma=e^{2i\pi t}, t\in [0,1]$ et $f$ continue sur $\gamma^*$ le cercle unité dans $\Cc$. Comparer $\int_\gamma \overline{f(z)}\ {dz\over z^2}$ et $\int_\gamma f(z)\ dz$. \end{enumerate} \finenonce{006738} \finexercice \exercice{6739, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006739}{} Soit $f$ une fonction continue du quart de plan $\{x+iy;\ x,y\geq0\}$ dans $\Cc$ et $C$ le quart de cercle paramétré par $\{re^{it};\ 0\leq t\leq {\pi\over2}\}$ avec $r>0$. On pose $M(r)=\sup_{z\in C} |f(z)|$. Montrer que si $\lim_{r\to\infty} M(r)=0$, alors $\lim_{r\to\infty}\int_{C}f(z)e^{iz}\ dz=0$. \finenonce{006739} \finexercice \exercice{6740, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006740}{} Soit $w=|w|e^{i\theta}$ un nombre complexe. \begin{enumerate} \item Montrer que $e^w-1=\int_{[0,w]}e^z\ dz=\int_0^{|w|} e^{te^{i\theta}}e^{i\theta}\ dt$; montrer ainsi l'inégalité $|e^w-1|\leq|w|e^{|w|}$ (autre démonstration ?). \item Application. On considère $K$ un compact du plan inclus dans $\Cc^*$ et la suite de fonctions $v_n$ définie sur $K$ par $v_n(z)={1\over z(1+{1\over n})^z }$. Montrer que $v_n(z)$ tend vers ${1\over z}$ uniformément sur $K$. \end{enumerate} \finenonce{006740} \finexercice \exercice{6741, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006741}{} Soit $\varphi$ une fonction continue sur le bord orienté $\partial K$ d'un compact $K$; soit $\Omega ={\Cc}\backslash \partial K$ : pour $z\in \Omega$, on définit $$f(z)=\int_{\partial K}{\varphi(u)\over u-z}\ du.$$ On va établir que $f$ est holomorphe dans $\Omega$. Fixons $a\in\Omega$ et posons $r=d(a, \partial K)>0$. \begin{enumerate} \item Soit $0<\rho0\}$. \finenonce{006761} \finexercice \exercice{6762, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006762}{} On se propose de démontrer que pour tout $z$ de $\C$, $$\prod_{n\ge 1}\left( 1-{z^2\over n^2}\right)={\sin{(\pi z)}\over \pi z}$$ \begin{enumerate} \item On pose $$F(z) ={1\over z}+\sum_{n\in {\Zz}, n\ne 0}\left({1\over z-n}+{1\over n}\right)$$ Montrer que $F$ est une fonction méromorphe sur $\C$. En utilisant $$\sum_{n\in{\Zz}}{1\over (z-n)^2}=\left({\pi\over \sin{(\pi z)}}\right)^2$$ montrer que $\displaystyle F(z)-{\pi\over \tan{(\pi z)}}$ est constante sur $\C\setminus {\Zz}$, puis calculer cette constante par un argument de parité. En déduire que $${\pi\over \tan{(\pi z)}}={1\over z}+\sum_{n\ge 1}{2z\over z^2-n^2}$$ \item Pour $n\ge 1$, soit $\displaystyle f_n(z)=1-{z^2\over n^2}$. Montrer que $\prod_{n\ge 1}f_n(z)$ définit une fonction entière $f$. Montrer que $$\sum_{n\ge 1}{f_n'(z)\over f_n(z)}={g'(z)\over g(z)}$$ avec $\displaystyle g(z)={\sin{(\pi z)}\over \pi z}$. En déduire le résultat voulu. \item Déduire de la décomposition de $\displaystyle {\sin{(\pi z)}\over \pi z}$ en produit que \begin{eqnarray*} {\sh z\over z}&=&\prod_{n\ge 1}\left( 1+{z^2\over n^2\pi^2}\right)\\ \ch z&=&\prod_{n\ge 1}\left( 1+{4z^2\over (2n-1)^2\pi^2}\right)\\ \cos z&=&\prod_{n\ge 1}\left( 1-{4z^2\over (2n-1)^2\pi^2}\right)\\ \end{eqnarray*} \end{enumerate} \finenonce{006762} \finexercice \exercice{6763, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006763}{} On pose $\displaystyle F(z)=\int_0^{+\infty} e^{-zx^2}\ dx$. \begin{enumerate} \item Montrer que $F$ est holomorphe sur $\Omega =\{z\in{\Cc}\vert \Re\! ez>0\}$. Calculer $F'(z)$ en fonction de $F(z)$. \item En déduire une autre expression de $F(z)$ pour $z\in \Omega$ (on pourra utiliser $\displaystyle\int_0^{+\infty} e^{-x^2}\ dx =\sqrt\pi/2$). Conclure enfin que la fonction $F$ se prolonge en une fonction holomorphe sur $\C\setminus \mathopen]-\infty, 0]$. \end{enumerate} \finenonce{006763} \finexercice \exercice{6764, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006764}{Fonction $\zeta $ de Riemann} On introduit la fonction ``Zeta'' : $$\zeta (s)=\sum_{n\ge 1}{1\over n^s}$$ \subparagraph{I Produit d'Euler} Montrer que $\zeta $ est holomorphe dans l'ouvert $\Omega =\{ z\in\C\vert \ \Re z>1\}$. Soient $p_1=2,p_2=3,\dots,p_n,\dots$ la suite des nombres premiers. Montrer que dans $\Omega $, on a $$\zeta (s)=\prod_{n\ge 1}{1\over 1-p_n^{-s}}$$ (produit d'Euler). \subparagraph{II Relation de $\zeta $ avec la répartition des nombres premiers} \begin{enumerate} \item Montrer que $${\zeta '(s)\over \zeta (s)}=-\sum_{n\ge1} \lambda (n)n^{-s}$$ où $\lambda (n)=\ln p$ si $n$ est une puissance d'un nombre $p$ premier et $\lambda (n)=0$ si $n$ a au moins deux diviseurs premiers distincts. \item On a le théorème suivant :\\ Théorème des nombres premiers (Hadamard-De la Vallée Poussin 1896) : Lorsque $x$ tend vers $+\infty$, la somme des $\lambda (n)$ pour $n\le x$ est équivalente à $x$. Démontrer que cette assertion est équivalente à dire que le nombre de nombres premiers plus petits que $x$ est équivalent à $x/\ln x$. \end{enumerate} \subparagraph{III Equation fonctionnelle de $\zeta $, démonstration par la formule de Poisson} Soit $$\theta (t)=\sum_{n\in {\Zz}}e^{-\pi n^2t}$$ $\theta $ vérifie l'équation fonctionnelle suivante : $$\forall t>0,\ \theta \left( {1\over t}\right)=\sqrt t\theta (t)$$ On pose $$\psi (t)=\sum_{n\ge 1}e^{-\pi n^2t}$$ On a évidemment $\theta (t)=1+2\psi (t)$. \begin{enumerate} \item Soit $s$ tel que $\Re s>1/2$. Calculer $\int_0^{+\infty}e^{-\pi n^2t}t^{s-1}\ dt$ en fonction de $n$ et $\Gamma (s)$. En déduire que $$\int_0^{+\infty}\psi (t)t^{s-1}\ dt=\pi^{-s}\Gamma (s)\zeta (2s)$$ \item Montrer que $F$ définie par $$F(z)=\int_1^{+\infty}\psi (t)t^z\ dt$$ est une fonction entière. En écrivant $$\int_0^{+\infty}\psi (t)t^z\ dt=\int_0^1\psi (t)t^z\ dt+\int_1^{+\infty}\psi (t)t^z\ dt$$ et en effectuant dans la première partie de la somme le changement de variable $u=1/t$, puis en utilisant l'équation fonctionnelle de $\theta $, montrer que la fonction $L$ : $$L(s)=s(s-1)\pi^{-s/2}\Gamma \left({s\over 2}\right)\zeta (s)$$ se prolonge en une fonction entière, invariante par la transformation $s$ donne $1-s$. Montrer alors que $\zeta $ se prolonge en une fonction méromorphe sur $\C$, ayant 1 pour seule singularité (pôle simple). Montrer enfin que $\mathrm{Res} (\zeta ,1)=1$. \end{enumerate} \subparagraph{IV Equation fonctionnelle de $\zeta $, démonstration par le théorème des résidus} \begin{enumerate} \item Soit $s$ tel que $\Re(s)>1$. Par la même méthode qu'au III.1., montrer que $$\int_0^{+\infty}{t^{s-1}\over e^t-1}\ dt=\Gamma (s)\zeta (s)$$ \item Pour tout $s$ de $\C$, on définit $F_s$ sur $\C\setminus [0,+\infty\mathclose[$ : $$F_s(z)={\exp\left[ (s-1)\mathrm{Log}{(-z)}\right]\over \exp z-1}$$ où $\mathrm{Log}$ est la détermination principale du logarithme. On définit également le contour $A_{\varepsilon ,\varphi }$ : Calculer $$\lim_{\varphi \to 0}\int_{A_{(\varepsilon ,\varphi )}}F_s(z)\ dz$$ Montrer que pour $\Re s>1$ : $$\lim_{\varepsilon \to 0}\left(\lim_{\varphi \to 0}\int_{A_{(\varepsilon ,\varphi )}}F_s(z)\ dz\right)=2i\sin{(\pi z)}\Gamma (s)\zeta (s)$$ Montrer que $\int_{A_{(\varepsilon ,\varphi )}}F_s(z)\ dz$ est en fait indépendant de $\varepsilon \in \mathopen]0,1\mathclose[$, puis que $$s\mapsto \lim_{\varphi \to 0}\int_{A_{(\varepsilon ,\varphi )}}F_s(z)\ dz$$ est une fonction entière. En déduire que $\sin{(\pi s)}\Gamma (s)\zeta (s)$ se prolonge en une fonction entière. \item Soit $C_{n,\varepsilon ,\varphi }$ le chemin fermé : En appliquant la formule des résidus à $F_s$ sur $C_{n,\varepsilon ,\varphi }$ pour $\Re s<0$, montrer que $$\forall s\in\C\setminus\{-{\Nn}\},\ \zeta (1-s)=2^{1-s}\pi^{-s}\Gamma (s)\cos{\left({\pi s\over 2}\right)}\zeta (s) $$ \item Déduire de 3. que $$\forall s\in \C\setminus {\Zz},\ \Gamma (s)\Gamma (1-s)={\pi\over \sin{(\pi s)}}$$ En utilisant l'équation fonctionnelle de {\bf III}, montrer alors que $$\forall s\in \C\setminus {\Zz},\ \Gamma (s)={2^{s-1}\over \sqrt\pi}\Gamma \left({1+s\over 2}\right)\Gamma \left({s\over 2}\right)$$ \end{enumerate} \finenonce{006764} \finexercice \exercice{6765, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006765}{} Soit $f$ holomorphe sur $\C$, réelle sur l'axe réel, imaginaire pure sur l'axe imaginaire. Montrer que $f$ est impaire. \finenonce{006765} \finexercice \exercice{6766, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006766}{} Montrer que toute fonction $f$ holomorphe dans un ouvert connexe $\Omega $ symétrique par rapport à l'axe réel peut s'écrire $f=f_1+if_2$, où $f_1$ et $f_2$ sont holomorphes dans $\Omega $ et réelles sur l'axe réel. \finenonce{006766} \finexercice \exercice{6767, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006767}{} Soit $f$ une fonction holomorphe dans le disque unité $D$, continue sur $\overline{D}$, telle que $\vert f(z)\vert =1$ si $\vert z\vert=1$. Montrer que $f$ est rationnelle. \finenonce{006767} \finexercice \exercice{6768, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006768}{} Donner un biholomorphisme entre les ouverts $$\Omega _1=\{ z\in\C\vert\ \vert z\vert >1,\ \Im\! mz>0\}\mbox{ et } \Omega _2=\{ z\in\C\vert\ \vert z\vert <1,\ \Im\! mz>0\}$$ \finenonce{006768} \finexercice \exercice{6769, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006769}{} Montrer que la transformation $$w=\left({1+z^m\over 1-z^m}\right)^2,$$ où $m\in {\Nn}^*$, définit une représentation conforme de $$\Omega =\left\{ z\in\C\vert\ z=re^{i\theta },\ 00$ privé du disque fermé de centre $i$ et de rayon 1. Trouver l'image de $\Omega $ par la transformation $w=\coth{\left(\pi /z\right)}$. \finenonce{006770} \finexercice \exercice{6771, queffelec, 2011/10/16} \enonce{006771}{} Soit $C$ une couronne circulaire excentrique. Montrer qu'il existe une transformation homographique appliquant $C$ sur une couronne concentrique. \finenonce{006771} \finexercice \exercice{6812, gijs, 2011/10/16} \enonce{006812}{} Soit $f:\Cc \to \Cc$ une fonction entière (c'est-à-dire holomorphe). \begin{enumerate} \item Soit $\alpha$ un réel, $\alpha>0$. On suppose que pour tout $z\in \Cc$ on a $\vert f(z) \vert \ne \alpha$. Démontrer que, ou bien $\forall z\in \Cc : \vert f(z) \vert < \alpha$, ou bien $\forall z\in \Cc : \vert f(z) \vert > \alpha$. En déduire que $f$ est constante. \item On suppose ici que $f$ n'est pas constante. \begin{enumerate} \item Démontrer que $\inf_{z\in \Cc} \vert f(z) \vert = 0$ et $\sup_{z\in \Cc} \vert f(z) \vert = + \infty$. \item Démontrer que $\{ \ \vert f(z) \vert \ ,\ z\in \Cc\,\}$ est soit $]0,+\infty[$, soit $[0,+\infty[$. Donner un exemple dans chacun des deux cas. \end{enumerate} \item On suppose toujours que $f$ n'est pas constante. Démontrer que $\{f(z) \ ,\ z\in \Cc \}$ est partout dense dans $\Cc$. \end{enumerate} \finenonce{006812} \finexercice \exercice{6825, gijs, 2011/10/16} \enonce{006825}{} \begin{enumerate} \item Démontrer que l'intégrale $ \int_0^\infty \dfrac{\ln(x)}{(1+x^2)^2}\,dx$ converge. \item Soit $f(z) = \dfrac{\log(z)}{(1+z^2)^2}$ avec $\log(z) = \mathrm{Log}(-iz) + i\pi/2$ le logarithme défini sur $\Cc\setminus i\,]-\infty,0]$ et tel que $\log(1) = 0$. Déterminer les points singuliers isolés de $f$ et pour chaque point singulier isolé déterminer son résidu. \item Soit $D = \{\,z\in \Cc \mid \epsilon< |z| < R\ \&\ \Im z >0\,\}$. \`A l'aide de $\int_{\partial D} f(z)\,dz$, déterminer la valeur de $ \int_0^\infty \dfrac{\ln(x)}{(1+x^2)^2}\,dx$. N'oubliez pas de justifier les passages à la limite que vous effectuez. \end{enumerate} \finenonce{006825} \finexercice \exercice{6826, gijs, 2011/10/16} \enonce{006826}{} \begin{enumerate} \item \'Enoncer le principe du maximum. \item Soit $a_1, \dots, a_n \in \Cc$ des points sur le cercle unité ($|a_j| = 1$). Démontrer qu'il existe un point $z_o$ sur le cercle unité tel que le produit des distances de $z_o$ à $a_j$ ($j=1,\dots,n$) est supérieur ou égal à 1. \end{enumerate} \finenonce{006826} \finexercice \exercice{6830, gijs, 2011/10/16} \enonce{006830}{} Soit $f$ une fonction holomorphe sur $B_r(0) \subset \Cc$ pour un certain rayon $r>1$. Démontrer les égalités suivantes~: \begin{equation*} \tfrac2\pi \int_0^{2\pi} f(e^{i\theta}) \cos^2(\tfrac\theta2) \, d\theta = 2f(0) + f'(0) \\ \tfrac2\pi \int_0^{2\pi} f(e^{i\theta}) \sin^2(\tfrac\theta2) \, d\theta = 2f(0) - f'(0) \end{equation*} Indication~: contempler les deux intégrales $ \int_{|z|=1} \Bigl(2\pm (z + \dfrac1z)\Bigr) \, \dfrac{f(z)}z\, dz$. \finenonce{006830} \finexercice \exercice{6831, gijs, 2011/10/16} \enonce{006831}{} Soit $a$ un réel, $00\,\}$. \`A l'aide de $\int_{\partial D} f(z)\,dz$, déterminer la valeur de $ \int_0^\infty \dfrac{x^a}{x(1+x^2)}\,dx$. N'oubliez pas de justifier les passages à la limite que vous effectuez. \end{enumerate} \finenonce{006831} \finexercice \exercice{6836, gijs, 2011/10/16} \enonce{006836}{} Soit $P$ et $Q$ deux polyn\^omes à coefficients complexes sans zéro commun et soit $z_1, \dots, z_k \in \Cc$ les zéros de $Q$ (ce qui implique que le degré de $Q$ est supérieur ou égal à $k$). On définit la fonction $f:\Cc \setminus \{z_1, \dots, z_k\} \to \Cc$ par $f(z) = P(z)/Q(z)$. \begin{enumerate} \item Démontrer qu'il existe une fonction continue $g: \Cc_\infty \to \Cc_\infty$ telle que $\forall z\in \Cc\setminus\{z_1, \dots, z_k\}$~: $g(z) = f(z)$. Quelle est la valeur de $g$ en un point $z_i$~? Quelle est la valeur de $g$ en $\infty$~? (N'oubliez pas de démontrer que la fonction $g$ que vous définissez est continue.) \item Le résultat reste-t-il vrai si $P$ et $Q$ ont des zéros communs? Si non, donner un contre exemple~; si oui, esquisser votre raisonnement. \end{enumerate} \finenonce{006836} \finexercice \exercice{6838, gijs, 2011/10/16} \enonce{006838}{} \begin{enumerate} \item \ Quand dit-on qu'une partie $S$ de $\Rr^n$ est discrète~? \item Soit $K\subset \Rr^n$ un compact et soit $S \subset \Rr^n$ une partie discrète et fermée. Dé\-mon\-trer que $K \cap S$ est fini. \item Soit $\Omega\subset \Cc$ un ouvert connexe, $f:\Omega\to \Cc$ une fonction holomorphe non-identiquement nulle et soit $K\subset \Omega$ un compact. Démontrer que $f$ n'a qu'un nombre fini de zéros dans $K$. \end{enumerate} \finenonce{006838} \finexercice \exercice{6842, gijs, 2011/10/16} \enonce{006842}{} Soit $f(z) = \dfrac{1-e^{2iz^2}}{z^3(1+z^4)}$, soit $0<\epsilon<10,}\ {\Im z > 0,}\ |z| a$, ou bien $\forall z\in \Cc : |f(z)| < a$. En déduire que $f$ est constante. \item En utilisant le résultat de 2., démontrer que si $f$ n'est pas constante, alors $ \inf_{z\in \Cc} |f(z)| = 0$ et $ \sup_{z\in \Cc} |f(z)|= +\infty$. \end{enumerate} \finenonce{006844} \finexercice \exercice{6847, gijs, 2011/10/16} \enonce{006847}{} Soit $n$, $p$ deux entiers tels que $n\ge p+2 \ge 2$, soit $f(z) = \dfrac{z^p}{1+z^n}$, soit $R>0$ et soit $D = \{z\in \Cc \mid 0<\mathrm{Arg}(z)<2\pi/n\ ,\ 0<|z|1$ et $\gamma _R$ le chemin fermé de classe $C^1$ : $\gamma _R:[0,2\pi]\to \C$ tel que $\gamma _R(t)=Re^{it}$. On note respectivement $\gamma ^+_R$ et $\gamma ^-_R$ la restriction de $\gamma _R$ à $[0,\pi]$ et à $[\pi,2\pi]$. On rappelle que $[a,b]$ désigne le chemin $\zeta $ de $[0,1]$ dans $\C$ défini par $\zeta (t)=bt+(1-t)a$. On pose $C^+_R=\gamma ^+_R+[-R,R]$ et $C^-_R=\gamma ^-_R+[R,-R]$. Montrer que $\mathrm{Ind}_{C^+_R}(i)+\mathrm{Ind}_{C^-_R}(i)=\mathrm{Ind}_{\gamma _R}(i)$ et en déduire la valeur de $\mathrm{Ind}_{C^+_R}(i)$. Calculer, pour $u>0$ et $R>1$, $$\int_{C^+_R}{e^{iuz}\over 1+z^2}dz.$$ En déduire la valeur de $$\int_{-\infty}^{+\infty}{e^{iux}\over 1+x^2}dx,$$ pour $u>0$, puis pour tout $u$ réel. \finenonce{006848} \finexercice \exercice{6849, gijs, 2011/10/16} \enonce{006849}{} Soit $\alpha $, $0<\alpha <{\pi\over 2}$ et $\Delta =\{ z\in\C, z=re^{i\theta }\vert\ 00$, $\Delta_\eta =\{ z\in\C, z=re^{i\theta }\vert\ \eta 0$, $\displaystyle M_r=\sup_{z\in \Delta,\vert z\vert =r }\vert f(z)\vert$. \begin{enumerate} \item On suppose $$\lim_{z\in \Delta ,\vert z\vert\to\infty}\vert f(z)\vert =0.\leqno{(*)}$$ Soit $R>0$, montrer que l'on a $$\sup_{z\in\overline{\Delta },\vert z\vert \le R}\vert f(z)\vert\le \max{(\tilde M,M_R)}$$ et donc $$\sup_{z\in \overline{\Delta }}\vert f(z)\vert \le \sup_{z\in \partial \Delta }\vert f(z)\vert.$$ \item On ne suppose plus (*). On pose, pour tout $n\in {\Nn}$, $n>0$, et tout $z\ne 0$, $g_n(z)={f(z)^n\over z}$. En majorant, comme dans la question 1. $\sup_{z\in\overline{\Delta _\eta },\vert z\vert\le R}\vert g_n(z)\vert$, montrer que l'on a, pour tout $n>0$, tout $\eta >0$ et tout $z$ de $\Delta _\eta $, $$\left\vert{f(z)^n\over z}\right\vert\le {1\over \eta }\max{\left( (\tilde M)^n,(M_\eta )^n\right) }$$ et de là $$\sup_{z\in \overline{\Delta _\eta }}\vert f(z)\vert \le \max{\left(\tilde M,M_\eta \right) }.$$ En déduire que l'on a encore $$\sup_{z\in \overline{\Delta }}\vert f(z)\vert \le \sup_{z\in \partial \Delta }\vert f(z)\vert.$$ \item On suppose maintenant que l'on a $\lim_{r\to\infty}\vert f(re^{i\alpha })\vert =0$ et $\lim_{r\to\infty}\vert f(re^{-i\alpha })\vert =0$. On se propose de montrer qu'alors $\lim_{z\in \Delta ,\vert z\vert \to\infty}\vert f(z)\vert =0$. En majorant la fonction $z\mapsto \left\vert {z\over z+A}\right\vert$, $A>0$, montrer que, pour tout $\varepsilon >0$, il existe $R>0$ tel que l'on ait, pour tout $A>0$, $$\sup_{z\in\partial \Delta ,\vert z\vert>R}\left\vert{z\over z+A}f(z)\right\vert\le \varepsilon .$$ Montrer qu'alors il existe $A>0$ tel que l'on ait $$\sup_{z\in\partial \Delta }\left\vert{z\over z+A}f(z)\right\vert\le \varepsilon .$$ En utilisant la question 2., en déduire que l'on a $\lim_{z\in \Delta ,\vert z\vert \to\infty}\vert f(z)\vert =0$. \end{enumerate} \finenonce{006849} \finexercice \exercice{6850, gijs, 2011/10/16} \enonce{006850}{} Soit $t$ un réel, $\vert t\vert \le \pi$. \begin{enumerate} \item On considère la série de fonctions holomorphes $$\sum_{k=-\infty}^{+\infty}{(-1)^ke^{ikt}\over k^2-z^2}.$$ Montrer que sa somme $S(z)$ est une fonction méromorphe dans $\C$. \item Soit $\gamma _n$, $n\ge 0$, le chemin parcouru dans le sens positif dont l'image $\gamma _n^*$ dans $\C$ est le carré de sommets $\left(n+{1\over 2}\right)(1+i)$, $\left(n+{1\over 2}\right)(-1+i)$, $\left(n+{1\over 2}\right)(-1-i)$, $\left(n+{1\over 2}\right)(1-i)$. \begin{enumerate} \item Montrer que, quel que soit $z$ vérifiant $z=\left(n+{1\over 2}\right)+iy$, $-\left(n+{1\over 2}\right)\le y\le n+{1\over 2}$, on a $$\left\vert{e^{itz}\over \sin{\pi z}}\right\vert\le 2$$ et que, quel que soit $z$ vérifiant $z=x+i\left(n+{1\over 2}\right)$, $-\left(n+{1\over 2}\right)\le x\le n+{1\over 2}$, on a $$\left\vert{e^{itz}\over \sin{\pi z}}\right\vert\le {2\over 1-e^{-\pi}}.$$ En déduire que $\left\vert{e^{itz}\over \sin{\pi z}}\right\vert$ est bornée sur $\gamma _n^*$. \item Soit $a$ appartenant à $\C\setminus {\Zz}$. On pose $$f(z)={e^{itz}\over (z^2-a^2)\sin{\pi z}}.$$ Montrer que l'on a $$\lim_{n\to +\infty}\int_{\gamma _n}f(z)dz=0.$$ \end{enumerate} \item Calculer le résidu de $f$ en chacun de ses pôles. En déduire la valeur de $$S(a)=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}{(-1)^ke^{ikt}\over k^2-a^2}.$$ \item Calculer de même $$\sum_{k=-\infty}^{+\infty}{(-1)^ke^{ikt}\over (k+a)^2}.$$ \end{enumerate} \finenonce{006850} \finexercice \exercice{6851, gijs, 2011/10/16} \enonce{006851}{} Soit $a$ un réel, $a>1$. On considère la série entière $$\sum_{n=0}^{+\infty}{z^n\over a^{n^2}}.$$ \begin{enumerate} \item Montrer que sa somme, notée $f(z)$, est holomorphe dans $\C$. Montrer qu'il existe $a_0>1$ tel que l'on ait, pour tout $a\ge a_0$, $$\sum_{k=1}^{+\infty}{1\over a^{k^2}}\le {1\over 100}.$$ \item \emph{Dans toute la suite, on supposera $a\ge a_0$.}\\ Soit $p$ entier, $p\ge 1$. Montrer que l'on a, pour tout $z$ vérifiant $\vert z\vert =a^{2p}$, $${1\over a^{p^2}}\left\vert f(z)-{z^p\over a^{p^2}}\right\vert\le {2\over 100}.$$ En déduire que $f(z)$ a $p$ zéros, $z_1, \dots ,z_p$ dans le disque ouvert $D(0,a^{2p})$. Montrer que, quel que soit $p\ge 1$, $z_p$ a les propriétés suivantes : \begin{enumerate} \item $a^{2(p-1)}<\vert z\vert 0\}$. \item On pose $f(z)=zP(z)$. Calculer $f(1)$. On rappelle la formule $$\sin{\pi z}=\pi z\prod_{n=1}^{+\infty}\left(1-{z^2\over n^2}\right) .$$ \item On pose $g=f'/f$. Ecrire $g$ sous forme de série. Montrer que $g(z)+g(z+1)=1/z$ (on travaillera sur les sommes partielles). En déduire que l'on a $f(z)f(z+1)={2\over \pi}z$. \end{enumerate} \finenonce{006854} \finexercice \exercice{6855, gijs, 2011/10/16} \enonce{006855}{} Soit $\alpha $ un nombre réel, $\alpha >0$. \subparagraph{I} Pour tout $z$ dans $\C$ et tout $t$ dans ${\Rr}$, on pose $$f(z,t)={t^{\alpha -1}\over e^t-z}.$$ \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item On note $[1,+\infty\mathclose[=\{x\in{\Rr}\vert \ x\ge 1\}$ et $\Omega =\C\setminus [1,+\infty\mathclose[$. Soit $K$ un compact inclus dans $\Omega $. Démontrer brièvement qu'il existe un réel $c$, $c>0$, tel que l'on ait $\inf_{z\in K}\inf_{x\in [1,+\infty\mathclose[} \vert x-z\vert \ge c$. \item Montrer que la fonction $F$ définie par $$F(z)=\int_0^{+\infty}f(z,t)\ dt$$ est holomorphe dans $\Omega $. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer le rayon de convergence de la série entière $\sum_{k=0}^{+\infty}{z^k\over (k+1)^\alpha }$.\\ \item Montrer que l'on a, pour tout $z$, $\vert z\vert<1$, $$F(z)=F(0)\sum_{k=0}^{+\infty}{z^k\over (k+1)^\alpha }.$$ \item La fonction $F$ admet-elle un prolongement holomorphe au voisinage de 1 ? \end{enumerate} \end{enumerate} \subparagraph{II} Dans toute cette partie, $t$ appartient à $\C$. \begin{enumerate} \item Soit $a$ un réel, $00$. On note $Q(a,R)=\{t\in \C\vert \ 0<\Re t0$, on a $F_{-a}=F(z)$. \item Montrer, en utilisant II.1.(b), que, pour tout $z$ dans $S(a)$, on a $$F_{-a}(z)-F_a(z)=2i\pi{(\mathrm{Log} z)^{\alpha -1}\over z}.$$ En déduire que $F(z)$ n'a pas de limite lorsque $z$ tend vers un point de la demi-droite réelle $\mathopen]1,+\infty\mathclose[$. \end{enumerate} \end{enumerate} \finenonce{006855} \finexercice \exercice{6856, gijs, 2011/10/16} \enonce{006856}{Question de cours} En énonçant avec précision les différentes formes du prin\-ci\-pe du maximum utilisées, démontrer le lemme de Schwarz. \textbf{Application : }Soit $F$ une fonction holomorphe dans $D(0,1)=\{ z\in\C\vert \ \vert z\vert <1\}$, nulle à l'origine et vérifiant $\Re F(z)\le 1$, pour tout $z$ dans $D(0,1)$. Montrer que la fonction $$f={F\over 2-F}$$ est bornée par 1 dans $D(0,1)$. En déduire une majoration de $\vert F(z)\vert$ en fonction de $\vert z\vert$. Déterminer $F$ en supposant de plus que l'on a $F'(0)=2$. \finenonce{006856} \finexercice \exercice{6857, gijs, 2011/10/16} \enonce{006857}{} Calculer, en utilisant le contour (I) ci-contre, l'intégrale $$I_1=\int_0^{+\infty}{x^3\over 1+x^7}dx$$ et, en utilisant le contour (II) ci-contre, l'intégrale $$I_2=\int_{-\infty}^{+\infty}{\cos x\over e^x+e^{-x}}dx.$$ \finenonce{006857} \finexercice \exercice{6858, gijs, 2011/10/16} \enonce{006858}{} Si $\rho $ est un réel strictement positif, on note $D_\rho $ le disque ouvert de centre 0 et de rayon $\rho $ et $\gamma _\rho $ le chemin $t\mapsto \rho e^{it}$, $0\le t\le 2\pi$. On considère une fonction $f$ holomorphe sur $D_1$, telle que l'on ait $f(0)=0$ et $f'(0)\ne 0$. Pour tout $\rho \in\mathopen]0,1\mathclose[$, on pose $\displaystyle m(\rho )=\inf_{\vert z\vert =\rho }\vert f(z)\vert $. \begin{enumerate} \item Montrer qu'il existe un nombre réel $r\in\mathopen]0,1\mathclose[$ tel que, pour tout $\rho \in\mathopen]0,r\mathclose[$, on ait $$m(\rho )>0.$$ Dans toute la suite, on suppose que $r$ et $\rho $ sont fixés et qu'ils vérifient les conclusions de 1. \item Montrer que, pour tout nombre complexe $w$ vérifiant $\vert w\vert 0$), montrer que $$I=\int_{-\infty}^{+\infty}\exp{\left(-\pi(t+ia)^2\right)}\ dt.$$ \medskip On pose : $f(z)=\exp{(i\pi z^2)}\tan{(\pi z)}$. \item Quels sont les pôles de $f$ ? Préciser leur ordre. \medskip Soit $R>0$ ; on considère le parallélogramme $\Gamma _R$ de sommets $A=R+1+iR$, $B=R+iR$, $C=-R-iR$ et $D=-R+1-iR$, orienté dans le sens direct. \item Montrer que $$\int_{\Gamma _R}f(z)\ dz=2e^{-i\pi/4}.$$ \item \begin{enumerate} \item Montrer que $$\forall t\in [0,1],\ \vert \tan{(\pi (R+t+iR))\vert \le \coth{(\pi R)}}.$$ \item En déduire que l'intégrale de $f$ sur le segment orienté $[A,B]$ tend vers 0 quand $R$ tend vers $+\infty$. \item Montrer de même que l'intégrale de $f$ sur $[C,D]$ tend vers 0 quand $R$ tend vers $+\infty$. \end{enumerate} \item On note $J$ et $K$ les intégrales de $f$ sur les segments orientés $[B,C]$ et $[D,A]$. \begin{enumerate} \item Montrer que $$J+K=(-1+i)\int_{-R}^R e^{-2\pi t^2}\left( e^{-2\pi t+2i\pi t}-1\right)\ dt.$$ \item En déduire que, quand $R$ tend vers $+\infty$, $J+K$ tend vers $$L=e^{3i\pi/4}\left(\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\pi (u^2+u\sqrt 2-iu\sqrt 2)}\ du-\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\pi u^2}\ du\right) .$$ \item l'aide de la question 1. et d'un changement de variable, vérifier que $L=2Ie^{-i\pi/4}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \item Conclure. \finenonce{006860} \finexercice \exercice{6861, gijs, 2011/10/16} \enonce{006861}{} Soit $c$ un point singulier essentiel d'une fonction $f$ holomorphe dans un disque pointé $U =\{ z\in {\Cc}\vert\ 0<\vert z-c\vert <\rho \}$. Le but de l'exercice est de démontrer que $f$ n'est injective dans aucun voisinage pointé de $c$. \begin{enumerate} \item Montrer que pour tout $\gamma \in{\Cc}$ et tout $\varepsilon >0$, il existe $z'\in U$ et $\varepsilon '>0$ tels que $$\overline{D (f(z'),\varepsilon ')}\subset f(U) \cap D(\gamma ,\varepsilon ),$$ où $D(a,r)$ désigne le disque ouvert de centre $a$ et de rayon $r$. On pourra utiliser le théorème de Casorati-Weierstrass, puis remarquer que $f(U)$ est ouvert (la fonction $f$ est holomorphe donc ouverte). \item Pour $n\ge 1$, soit $U_n $ le disque pointé $\{ z\in {\Cc}\vert\ 0<\vert z-c\vert <\rho /n \}$. Soient $\gamma _0\in{\Cc}$ et $\varepsilon _0>0$. Construire par récurrence une suite strictement décroissante $(\varepsilon _n)_{n\ge 1}$ de réels strictement positifs et une suite $(z_n)_{n\ge 1}$, $z_n\in U_{n-1}$, vérifiant \begin{eqnarray*} \overline{D (f(z_1),\varepsilon_1 )}&\subset& f(U) \cap D(\gamma_0 ,\varepsilon _0),\\ \overline{D (f(z_{n+1}),\varepsilon_{n+1} )}&\subset& f(U_{n+1}) \cap D(f(z_n) ,\varepsilon _n)\ \ {\rm pour\ }n\ge 1.\\ \end{eqnarray*} En déduire qu'il existe $a\in D(\gamma _0,\varepsilon _0)$ et une suite $(c_n)_{n\ge 0}$ de points de $U$ distincts deux à deux tels que $$\lim_{n\to +\infty}c_n= c{\rm\ \ et\ \ }\forall n,\ \ f(c_n)=a.$$ Conclure. \end{enumerate} \finenonce{006861} \finexercice \exercice{6862, gijs, 2011/10/16} \enonce{006862}{} Les parties I et II sont indépendantes. Les parties III et IV utilisent les résultats établis dans II. \subparagraph{I} \begin{enumerate} \item Déterminer l'ensemble des zéros de la fonction $\sin$ dans $\C$. Quel est leur ordre de multiplicité ? \item On note, pour tout $n\ge 0$, $\gamma_n^*$ le bord du carré dans $\C$ de sommets $(n+{1\over 2})\pi (1+i)$, $(n+{1\over 2})\pi (-1+i)$, $(n+{1\over 2})\pi (-1-i)$, $(n+{1\over 2})\pi (1-i)$. Montrer que, si $z\in \gamma_n^*$, on a $\vert \sin z\vert ^2\ge 1$. \end{enumerate} \subparagraph{II} Soit $f$ une fonction entière dans $\C$. On note $f(z)=\sum_{n=0}^{\infty} a_nz^n$, pour tout $z$ dans $\C$. \begin{enumerate} \item Montrer que, pour tout $n\ge 1$ et tout $r>0$, on a $$a_n={1\over \pi}\int_0^{2\pi}\Re\left( f(re^{i\theta}\right) r^{-n}e^{-in\theta}d\theta .$$ On rappelle que $\Re f={1\over 2}(f+\overline f)$. On note, pour $n\ge 1$, $\varphi_n$ un réel vérifiant $\vert a_n\vert =a_ne^{i\varphi_n}$. En déduire que l'on a, pour tout $n\ge 1$, $$\vert a_n\vert ={1\over \pi}\int_0^{2\pi}\Re\left( f(re^{i(\theta +{1\over n}\varphi_n )}\right) r^{-n}\left( 1+e^{-in\theta}\right) d\theta .$$ \item On suppose $f(0)=0$. Montrer que l'on a, pour tout $n\ge 1$ et tout $r>0$, $$\vert a_n\vert ={1\over \pi}\int_0^{2\pi}\Re\left( f(re^{i(\theta +{1\over n}\varphi_n )}\right) r^{-n}e^{-in\theta}d\theta $$ et donc $$\vert a_n\vert r^n\le 2\sup_{\vert z\vert =r}\Re f(z).$$ \item On note toujours $f$ une fonction entière dans $\C$. On suppose maintenant qu'il existe une suite $(r_j)_{j\ge 0}$ de réels strictement positifs tendant vers $+\infty$ avec $j$ et qu'il existe des constantes $A>0$ et $\beta >0$ telles que l'on ait, pour tout $j\ge 0$ et tout $\theta$ réel, $$\Re f(r_je^{i\theta})\le Ar_j^\beta.$$ En déduire que $f$ est un polynôme de degré au plus $\beta$ (on étudiera d'abord le cas où $f(0)=0$). \end{enumerate} \subparagraph{III} Soit $g$ une fonction entière nulle seulement aux points $k\pi$, $k\in {\Zz}$ et telle que chacun de ces zéros soit simple. On suppose de plus qu'il existe $C>0$ tel que, pour tout $z$ dans $\C$, on ait $\vert g(z)\vert \le \exp{(C\vert z\vert )}$. \begin{enumerate} \item Montrer que ${g\over \sin }$ est une fonction entière qui ne s'annule pas dans $\C$. En déduire, en énonçant avec précision le théorème du cours utilisé, qu'il existe une fonction $h$ entière telle que, pour tout $z$ dans $\C$, on ait $${g(z)\over \sin z}=\exp{h(z)}.$$ \item On note $C_n$ le chemin orienté positivement et défini, pour tout $t\in [0,2\pi]$, par $C_n(t)=(n+{1\over 2})\pi e^{it}$ et $C_n^*$ son image. Montrer que $$\sup_{z\in C_n^*}\left\vert {g(z)\over \sin z}\right\vert \le \sup_{z\in \gamma_n^*}\left\vert {g(z)\over \sin z}\right\vert $$ (où $\gamma_n^*$ a été défini en I.2. En déduire que l'on a, pour tout $z$ de $C_n^*$, $$\Re h(z)\le C\sqrt 2\left( n+{1\over 2}\right)\pi$$ et qu'il existe des nombres complexes $\lambda$ et $\mu$ tels que, pour tout $z$ dans $\C$, on ait $$g(z)=\lambda \sin z\exp{(\mu z)}.$$ \end{enumerate} \subparagraph{IV} Soit $\alpha$ un nombre complexe non nul. On se propose de montrer que l'équation $$\alpha z-\exp z=0$$ a au moins une racine dans $\C$. \begin{enumerate} \item On raisonne par l'absurde. Montrer qu'alors il existe une fonction $\delta$ entière telle que l'on ait, pour tout $z$ dans $\C$, $$\alpha z-\exp z=\exp {\delta (z)}.$$ \item Etablir, pour tout $z$ dans $\C$, $$\vert \alpha z-\exp z\vert \le (\vert \alpha\vert +1)\exp {\vert z\vert }.$$ En déduire qu'il existe des nombres complexes $\rho$ et $\sigma$ tels que, pour tout $z$ dans $\C$, on ait $$\alpha z-\exp z=\rho\exp{(\sigma z)}.$$ Conclure. \end{enumerate} \finenonce{006862} \finexercice \exercice{7576, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007576}{Série de Laurent} Calculer la série de Laurent de $ 1 / (z^{2} +z^{3}) $ au voisinage de l'origine. \finenonce{007576} \finexercice\exercice{7584, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007584}{Questions de cours} \begin{enumerate} \item Rappeler la définition du rayon de convergence de la série entière $\sum a_n z^n$. \item Soit $R$ le rayon de convergence de la série $\sum a_n z^n$. Montrer que la série $\sum a_n z^n$ diverge sur $\Cc-\Delta_R(0)$. \end{enumerate} \finenonce{007584} \finexercice \exercice{7585, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007585}{Une équation} Résoudre dans $\Cc$, l'équation $z^6+2z^3-3=0$. \finenonce{007585} \finexercice \exercice{7586, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007586}{Applications holomorphes} Déterminer toutes les applications holomorphes sur $\Cc$ dont la partie réelle est $u(x,y)=x^2-y^2 +3x^2y-y^3.$ \finenonce{007586} \finexercice \exercice{7587, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007587}{Biholomorphismes} Soit $\mathbb{H}:=\{z\in\Cc / Im(z)>0\}$. Soit $A =\begin{pmatrix} a&b\\c&d\end{pmatrix}$ une matrice de $SL(2,\Rr)$ (i.e. à coefficients réels et de déterminant $1$.) Soit l'application linéaire fractionnaire $\begin{array}{cccc} f_A :& z&\longmapsto& \frac{az+b}{cz+d}. \end{array}$ Montrer que $f_A$ est définie sur $\mathbb{H}$ et réalise un biholomorphisme de $\mathbb{H}$ dans lui-même. \finenonce{007587} \finexercice \exercice{7588, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007588}{Séries entières} \begin{enumerate} \item Soit $\sum_{n\geq 1}a_nz^n$ une série entière convergente (avec un rayon de convergence strictement positif). Déterminer le rayon de convergence de la série $\sum_{n\geq 1}\frac{a_n}{n!}z^n$. \item Soit deux séries entières centrées en $0$ de rayon de convergence $R>0$ et de somme respective $f$ et $g$. On suppose que pour tout $x\in]-R,R[, f(x)=g(x).$ Montrer que pour tout $z\in\Delta_R(0), f(z)=g(z)$. \end{enumerate} \finenonce{007588} \finexercice \exercice{7589, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007589}{Questions de cours} \begin{enumerate} \item Rappeler la définition de la branche principale du logarithme. \item Rappeler la définition d'une primitive d'une fonction continue $f$ sur $\Cc$. \item Donner si possible l'exemple d'une fonction holomorphe sur $\Cc$ qui n'admet pas de primitive. Sinon, appliquer un théorème pour montrer que toute fonction holomorphe sur $\Cc$ admet une primitive. \end{enumerate} \finenonce{007589} \finexercice \exercice{7590, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007590}{Une équation} On fixe la branche principale du logarithme. Résoudre dans $\Cc^-$, l'équation $z^{i}=-1$. \finenonce{007590} \finexercice \exercice{7591, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007591}{Applications holomorphes} Développer $z\mapsto \frac{z^2+z-1}{z+1}$ en éléments simples et calculer $\int_{\partial \Delta_2(0)}\frac{z^2+z-1}{z+1}dz$. \finenonce{007591} \finexercice \exercice{7592, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007592}{Questions de cours} \begin{enumerate} \item L'application $\Cc-\{3\}\to\Cc$, $z\mapsto \frac{1}{z-3}$ admet-elle une primitive sur $\Cc-\{3\}$ ? Justifier. \item Donner l'exemple d'un ouvert non étoilé de $\Cc$. Justifier que l'exemple proposé n'est pas étoilé. \end{enumerate} \finenonce{007592} \finexercice \exercice{7593, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007593}{Calcul d'intégrales} Calculer $$\int_{\partial \Delta_1} \frac{\sin(z)}{(z+2)^2} dz\ ,\ \int_{\partial \Delta_3} \frac{\sin(z)}{(z+2)^2} dz\quad \text{ et } \quad \int_{\partial \Delta_3} \frac{\sin(z)}{(z+1)^2(z+2)^2} dz.$$ \finenonce{007593} \finexercice \exercice{7594, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007594}{Singularités} \begin{enumerate} \item Soit $f:\Cc^\star\to\Cc$ une application holomorphe. On suppose que $\lim_{z\to 0}|f(z)|=+\infty$. Quelle est la nature de la singularité isolée $0$ ? (apparente, polaire ou essentielle) Justifier. \item Donner l'exemple d'une application holomorphe avec une singularité essentielle. Justifier. \end{enumerate} \finenonce{007594} \finexercice \exercice{7595, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007595}{Applications holomorphes} \begin{enumerate} \item Rappeler la définition de l'indice $Ind_\Gamma (a)$ d'un point $a$ de $\Cc$ par rapport à un chemin fermé compact orienté $\Gamma$ de $\Cc$. \item On suppose que $\Gamma$ est paramétré sous la forme $\gamma(t)=r(t)e^{i\theta(t)}$ où $r$ et $\theta$ sont deux fonctions de classe $\mathcal{C}^\infty$ par morceaux sur $[0,1]$, $r$ à valeurs strictement positives et $r(0)=r(1)$, $\theta(0)\equiv\theta(1)\mod{2\pi}$ montrer que $$Ind_\Gamma (a)=\frac{1}{2\pi}\int_0^1 \theta'(t) dt$$ et correspond donc au nombre de tours, comptés positivement dans le sens direct, que fait $\Gamma$ autour de $a$. \end{enumerate} \finenonce{007595} \finexercice \exercice{7596, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007596}{Questions de cours} \begin{enumerate} \item Démontrer que la partie imaginaire d'une fonction holomorphe est harmonique. \item Soit $f$ une fonction holomorphe sur $\Cc$ non identiquement nulle. Montrer qu'il existe $\epsilon >0$ tel que $f$ ne s'annule pas sur $\Delta_\epsilon -\{0\}$. \item Soient $\Omega$ un ouvert connexe et $f$ une fonction holomorphe sur $\Omega$. L'intégrale de $f$ le long de tout chemin fermé contenu dans $\Omega$ est-elle nulle ? \end{enumerate} \finenonce{007596} \finexercice \exercice{7597, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007597}{Deux équations} \begin{enumerate} \item Trouver toutes les solutions complexes de l'équation $\cosh(z)=4i$. \item Trouver toutes les solutions complexes de l'équation $z^i=-1$. \end{enumerate} \finenonce{007597} \finexercice \exercice{7598, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007598}{Logarithmes} \begin{enumerate} \item Peut on définir une détermination de la fonction logarithme sur $ \mathbb{C} \backslash \{ \; x \in \Rr \; / \; x \geq 0 \;\} $ ? Dans le cas affirmatif, donner une définition de cette détermination. %\item Plus généralement peut on définir une détermination du logarithme sur le plan complexe privé d'une demi droite quelconque issue de l'origine ? \item M\^ eme question sur le plan complexe privé de l'ensemble $$ L=[ \; 0,1\; ] \cup \{ \; z \in \mathbb{C} \; / \; \mid z-2 \mid =1 \; {et} \; Im(z) \geq 0 \; \} \cup [\; 3, \infty \; [ .$$ $$\begin{tikzpicture} \draw[help lines, step=1, very thin] (-6,0) grid (6,4); \draw[shift={(3,0)}, thick] (2:0) arc (0:180:1cm); \draw[thick] (0,0) -- (1,0) ;\draw[thick] (3,0) -- (6,0) ; \draw (0,0) node[below]{$0$} ; \draw (3,0) node[below]{$3$} ; \draw (1,0) node[below]{$1$} ; \end{tikzpicture}$$ \end{enumerate} \finenonce{007598} \finexercice \exercice{7599, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007599}{Intégrales} \begin{enumerate} \item Paramétrer le cercle unité parcouru dans le sens trigonométrique. \item Calculer à l'aide du paramétrage précédent $\int_{\partial\Delta} \frac{\cosh z}{z} dz$. \item La fonction $\frac{\cosh(z)}{z}$ admet-elle une primitive sur $\Cc^\times$ ? Si oui, l'expliciter. % \item Reprendre les questions précédentes avec la fonction $\frac{\sinh (z)}{z}$. \end{enumerate} \finenonce{007599} \finexercice \exercice{7600, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007600}{Intégrales} \begin{enumerate} \item Enoncer la formule de Cauchy pour les disques, en précisant les hypothèses. \item Calculer $I_1:=\int_{\partial \Delta}\frac{\sin(z)}{z}dz.$ \item Calculer $I_2:=\int_{\partial \Delta}\frac{\sin(z)}{z^2}dz.$ \item Calculer $I_3:=\int_{\partial \Delta}\frac{\sin(z)}{z^3}dz.$ \item Parmi les applications $\sin(z)$, $\frac{\sin(z)}{z}$, $\frac{\sin(z)}{z^2}$ et $\frac{\sin(z)}{z^3}$ sur $\Cc^\times$, lesquelles ont une primitive holomorphe sur $\Cc^\times$ ? \end{enumerate} \finenonce{007600} \finexercice \exercice{7601, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007601}{Logarithmes} \begin{enumerate} \item Rappeler la définition de la branche principale du logarithme. \item Peut on définir un logarithme sur $\Cc-C$ le plan complexe privé de l'ensemble $$ C:= [ \; 0,1\; ] \cup \{ \; z \in \mathbb{C} \; / \; \mid z-2 \mid =1 \; \mathbb{H}ox{et} \; Im(z) \geq 0 \; \} \cup [\; 3, \infty \; [ ?$$ On appelle $U:=\{z\in\Cc, \mid z-2 \mid < 1, Im(z) \geq 0\}$ la partie grisée, et $V :=\{z\in\Cc, z\not\in C, z\not\in U\}$ le reste de $\Cc-C$. $$\begin{tikzpicture} \draw[white, fill=gray!10] (-6,-2) rectangle (6,4); \draw[shift={(3,0)}, thick, fill=gray!100] (2:0) arc (0:180:1cm); \draw (2,1) node[below]{$U$} ; \draw[thick] (0,0) -- (1,0) ; \draw[thick] (3,0) -- (6,0) ; \draw (0,0) node[below]{$0$} ; \draw (-2,2) node[below]{$V$} ; \draw (3,0) node[below]{$3$} ; \draw (5.5,0) node[above]{$C$} ; \draw (1,0) node[below]{$1$} ; \draw (-4,4) node[below]{$\Cc-C=U\cup V$} ; \end{tikzpicture}$$ On précisera sur $U$ et sur $V$ l'argument choisi dans la définition du logarithme. \end{enumerate} \finenonce{007601} \finexercice \exercice{7602, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007602}{Application entière dans $\mathbb{H}$} \begin{enumerate} \item Soit $f :\Cc\to\Cc$ une application holomorphe non constante. Montrer que l'image du plan complexe par $f$ rencontre tous les disques ouverts non vides $\Delta_r(a)$ de $\mathbb{C}$. \item En déduire que toute application holomorphe de $\Cc$ dans $\mathbb{H}$ est constante. \item On considère $$\begin{array}{cccc} h :& \Cc-\{-i\}&\longrightarrow&\Cc \\&z&\longmapsto& \frac{z-i}{z+i}. \end{array}$$ Montrer que $ \forall z\in\Cc-\{-i\}, \ \ \ 1-|h(z)|^2=\frac{4 Im(z)}{|z+i|^2}. $ \item En déduire que l'image du demi-plan de Poincaré $\mathbb{H}$ par $h$ est une partie bornée de $\Cc$. \item En déduire par une nouvelle démonstration que toute application holomorphe de $\Cc$ dans $\mathbb{H}$ est constante. \end{enumerate} \finenonce{007602} \finexercice \exercice{7603, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007603}{Primitive et résidus} \begin{enumerate} \item Soit $D$ un ouvert de $\Cc$, $c$ un point de $D$ et $f : D-\{c\}\to \Cc$ une application holomorphe. Rappeler la définition du résidu de $f$ en $c$. \item Soit $D$ un ouvert de $\Cc$ et $f : D-\{c\}\to \Cc$ une application holomorphe. On suppose que $f$ admet une primitive sur $D-\{c\}$. Que peut-on dire du résidu de $f$ en $c$ ? \item Soit $c$ un point de $\Delta$ et $f :\Delta-\{c\}\to\Cc$ une application holomorphe qui admet un pôle d'ordre $3$ en $c$. Sous quelle condition $f$ admet-elle une primitive sur $\Delta-\{c\}$ ? \end{enumerate} \finenonce{007603} \finexercice \exercice{7604, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007604}{Résidus et représentation} \begin{enumerate} \item \'Enoncer le théorème des résidus. \item \`A l'aide du théorème des résidus, retrouver la formule de représentation de Cauchy pour les disques : Soit $D$ un ouvert de $\Cc$ et $f : D\to \Cc$ une application holomorphe. Alors, pour tout disque $\Delta_r(a)$ dont l'adhérence est incluse dans $D$, $$\forall b\in\Delta_r(a), \ \ \ \frac{1}{2i\pi}\int_{\partial\Delta_r(a)}\frac{f(z)dz}{z-b}=f(b).$$ \item Montrer plus généralement : Soit $D$ un ouvert de $\Cc$ et $f : D\to \Cc$ une application holomorphe. Alors, pour tout disque $\Delta_r(a)$ dont l'adhérence est incluse dans $D$, $$\forall k\in\Nn,\ \ \ \forall b\in\Delta_r(a), \ \ \ \ \frac{1}{2i\pi}\int_{\partial\Delta_r(a)}\frac{f(z)dz}{(z-b)^{k+1}}=\frac{f^{(k)}(b)}{k!}.$$ \end{enumerate} \finenonce{007604} \finexercice \exercice{7605, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007605}{Racine de polynômes} \begin{enumerate} \item \'Enoncer le théorème de Rouché. \item Montrer que les zéros du polynôme $ p(z) = z^{4}-7z-1 $ sont tous inclus dans le disque $\Delta_2(0)$ centré en l'origine de rayon 2. On vérifiera soigneusement toutes les hypothèses du théorème utilisé. \end{enumerate} \finenonce{007605} \finexercice \exercice{7606, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007606}{Questions de cours} \begin{enumerate} \item Donner l'exemple d'une fonction $f :\Cc\to\Cc$ indéfiniment dérivable au sens réel, mais non holomorphe. On justifiera ces deux propriétés. \item L'application $\Cc-\{3\}\to\Cc$, $z\mapsto \frac{1}{z-3}$ admet-elle une primitive sur $\Cc-\{3\}$ ? Justifier. \item Donner l'exemple d'un ouvert étoilé de $\Cc$. On précisera le point par rapport auquel l'ouvert est étoilé. \item Donner l'exemple d'un ouvert non étoilé de $\Cc$. On justifiera que l'exemple proposé n'est pas étoilé. \end{enumerate} \finenonce{007606} \finexercice \exercice{7607, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007607}{Calcul d'intégrales} On paramètre le cercle $C_r$ privé du point ${-r}$ de centre $0$ et de rayon $r>0$ orienté dans le sens trigonométrique du plan complexe en définissant pour $t\in\Rr$, $\xi(t)$ comme le point d'intersection de la droite d'équation $y=t(x+r)$ avec le cercle $C_r$ différent de $-r$. \begin{enumerate} \item Montrer que $\xi(t)=r\frac{1+it}{1-it}$. \item Vérifier que $\xi$ est dérivable sur $\Rr$ et calculer $\frac{\xi'(t)}{\xi(t)}$. \item En déduire que $$\int_{C_r} \frac{dz}{z}=2i\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{dt}{1+t^2}.$$ \item En déduire la valeur de $\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{dt}{1+t^2}$. \end{enumerate} \finenonce{007607} \finexercice \exercice{7608, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007608}{Biholomorphisme de $\mathbb{H}$} On rappelle qu'à toute matrice $A=\begin{pmatrix} a&b\\c&d\end{pmatrix}$ de $SL(2,\Rr)$, on associe l'application linéaire fractionnaire $$\begin{array}{cccc} h_A :& \Cc-\{-\frac{d}{c}\}&\longrightarrow&\Cc-\{\frac{a}{c}\}\\&z&\longmapsto& \frac{az+b}{cz+d} \end{array}$$ \begin{enumerate} \item Montrer que $h_A$ envoie $\mathbb{H}$ sur $\mathbb{H}$. \item Montrer que pour tout élément $z$ de $\mathbb{H}$, il existe $A\in SL(2,\Rr)$ tel que $h_A(i)=z$. \end{enumerate} \finenonce{007608} \finexercice \exercice{7609, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007609}{Représentation} \begin{enumerate} \item \'Enoncer la formule de représentation de Cauchy pour les disques. % \item \'Enoncer le théorème des résidus. \item \`A l'aide de la formule de représentation de Cauchy, montrer que si une fonction holomorphe sur $\Delta$ ne prend que des valeurs réelles sur le cercle $\partial\Delta_{\frac{1}{2}}$, alors $f$ prend une valeur réelle en $0$. \item \`A l'aide du théorème de représentation de Cauchy et sans le théorème des zéros isolés, montrer que si une fonction holomorphe sur $\Delta$ est constante sur le cercle $\partial\Delta_{\frac{1}{2}}$, alors $f$ est constante sur $\overline{\Delta_{\frac{1}{2}}}$. \end{enumerate} \finenonce{007609} \finexercice \exercice{7610, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007610}{Croissance à l'infini} On rappelle la formule de Gutzmer : soit $f$ la somme de la série entière $\sum_{n\geq 0} a_n z^n$ de rayon de convergence $R$. Alors, pour tout $r0$ et de somme respective $f$ et $g$. On suppose que pour tout $x\in]-R,R[, f(x)=g(x).$ Montrer que pour tout $z\in\Delta_r, f(z)=g(z)$. \item En déduire que pour tout $a\in \Rr$, et pour tout $z\in\Cc$, $\sin(a+z)=\sin(a)\cos (z)+\cos(a)\sin (z).$ \end{enumerate} \finenonce{007611} \finexercice \exercice{7612, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007612}{\'Equations} \begin{enumerate} \item Soit $c\in \Cc$. Montrer que si $z\in\Cc$, alors $\sin z=c\iff (e^{iz})^2-2ic e^{iz}-1=0$. \item Soit $c\in [-1,1]$. Montrer que toutes les solutions dans $\Cc$ de $\sin z=c$ sont réelles. \item Soit $a$ et $b$ deux nombres complexes. Calculer $e^{i(a+b)}$ et $e^{-i(a+b)}$ en fonction de $\sin a$, $\sin b$, $\cos a$ et $\cos b$. \item Soit $a$ et $b$ deux nombres complexes. Démontrer la formule pour $\sin (a+b)$ en fonction de $\sin a$, $\sin b$, $\cos a$ et $\cos b$. \item Résoudre dans $\Cc$, l'équation $\cos z+\sin z=2$. \end{enumerate} \finenonce{007612} \finexercice \exercice{7613, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007613}{Biholomorphisme de $\mathbb{H}$} \textit{On rappelle qu'à toute matrice $A=\begin{pmatrix} a&b\\c&d\end{pmatrix}$ de $SL(2,\Rr)$, on associe l'application linéaire fractionnaire $$\begin{array}{cccc} h_A :& \Cc-\{-\frac{d}{c}\}&\longrightarrow&\Cc-\{\frac{a}{c}\}\\&z&\longmapsto& \frac{az+b}{cz+d} \end{array}$$} \begin{enumerate} \item Montrer que $h_A$ envoie $\mathbb{H}$ sur $\mathbb{H}$. \item Montrer que pour tout élément $z$ de $\mathbb{H}$, il existe $A\in SL(2,\Rr)$ tel que $h_A(i)=z$. \end{enumerate} \finenonce{007613} \finexercice \exercice{7614, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007614}{Logarithmes} \begin{enumerate} \item Déterminer et représenter l'ensemble $D:=\{z\in\Cc, z^3\in \Cc^-\}$. \item Soit $f : D\to \Cc$, $z\mapsto \log (z^3)$. En quels points de $\Cc-D$ peut-on prolonger $f$ par continuité ? \item Comparer les fonctions $f$ et $3\log$ sur l'intersection $D\cap \Cc^-$ de leur domaine de définition. \end{enumerate} \finenonce{007614} \finexercice \exercice{7615, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007615}{À partir des définitions} \begin{enumerate} \item Rappeler la définition de l'holomorphie d'une fonction $f:\Cc\to\Cc$ en un point $a$ de $\Cc$. \item Soit $f : \Cc \to \Cc$ une application holomorphe. Déterminer si l'application $g : \Cc \to \Cc, z\mapsto \overline{f(\overline{z})}$ est holomorphe sur $\Cc$ ou pas. Si oui, déterminer sa $\Cc$-dérivée en fonction de celle de $f$. \end{enumerate} \finenonce{007615} \finexercice \exercice{7616, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007616}{Séries entières} \begin{enumerate} \item Rappeler la définition du rayon de convergence de la série entière $\sum a_n z^n$. \item Soit $R$ le rayon de convergence de la série entière $\sum a_n z^n$. Déterminer le rayon de convergence de la série $\sum (1+\frac{1}{n+1})a_n z^n$. \end{enumerate} \finenonce{007616} \finexercice \exercice{7617, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007617}{Applications holomorphes} On rappelle les équations de Cauchy-Riemann en coordonnées polaires $(r,\theta)$ pour une fonction $f=u+iv$ d'un ouvert $D$ de $\Cc$ dans $\Cc$~: \begin{center} $\displaystyle\frac{\partial u}{\partial r}=\frac{1}{r}\frac{\partial v}{\partial \theta} \quad \text{ et } \quad \frac{1}{r}\frac{\partial u }{\partial \theta}=-\frac{\partial v}{\partial r}$. \end{center} \begin{enumerate} \item L'application $u: \Rr^2-\{(0,0)\}\to\Rr, (x,y)\mapsto \log_\Rr(x^2+y^2)$ est-elle harmonique sur son domaine de définition ? \item En utilisant les équations de Cauchy-Riemann en coordonnées polaires, déterminer s'il existe ou pas une fonction holomorphe $f$ sur $\Cc-\{0\}$ dont la partie réelle est $u$. \end{enumerate} \finenonce{007617} \finexercice \exercice{7618, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007618}{Biholomorphismes} Soit $a$ un nombre complexe de module strictement inférieur à $1$. Montrer que l'application $\begin{array}{cccc} f_a :& z&\longmapsto& \frac{z-a}{\overline{a}z-1} \end{array}$ réalise un biholomorphisme du disque $\Delta$ sur lui-même. \finenonce{007618} \finexercice \exercice{7619, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007619}{Séries entières} \begin{enumerate} \item Soit $\sum_{n\geq 1}a_nz^n$ une série entière convergente (avec un rayon de convergence strictement positif). Déterminer le rayon de convergence de la série $\sum_{n\geq 1}\frac{a_n}{n!}z^n$. \item Soit deux séries entières centrées en $0$ de rayon de convergence $R>0$ et de somme respective $f$ et $g$. On suppose que pour tout $x\in]-R,R[, f(x)=g(x).$ Montrer que pour tout $z\in\Delta_R(0), f(z)=g(z)$. \end{enumerate} \finenonce{007619} \finexercice \exercice{7620, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007620}{Questions de cours} \begin{enumerate} \item Rappeler la définition de la branche principale du logarithme. \item Rappeler la définition d'une primitive d'une fonction continue $f$ sur $\Cc$. \item Donner si possible l'exemple d'une fonction holomorphe sur $\Cc$ qui n'admet pas de primitive. Sinon, appliquer un théorème pour montrer que toute fonction holomorphe sur $\Cc$ admet une primitive. \end{enumerate} \finenonce{007620} \finexercice \exercice{7621, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007621}{Une équation} On fixe la branche principale du logarithme. Résoudre dans $\Cc^-$, l'équation $z^{i}=-1$. \finenonce{007621} \finexercice \exercice{7622, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007622}{Applications holomorphes} Développer $z\mapsto \frac{z^2+z-1}{z+1}$ en éléments simples et calculer $\int_{\partial \Delta_2(0)}\frac{z^2+z-1}{z+1}dz$. \finenonce{007622} \finexercice \exercice{7623, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007623}{Questions de cours} \begin{enumerate} \item L'application $\Cc-\{3\}\to\Cc$, $z\mapsto \frac{1}{z-3}$ admet-elle une primitive sur $\Cc-\{3\}$ ? Justifier. \item Donner l'exemple d'un ouvert non étoilé de $\Cc$. Justifier que l'exemple proposé n'est pas étoilé. \end{enumerate} \finenonce{007623} \finexercice \exercice{7624, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007624}{Calcul d'intégrales} Calculer $$\int_{\partial \Delta_1} \frac{\sin(z)}{(z+2)^2} dz\ ,\ \int_{\partial \Delta_3} \frac{\sin(z)}{(z+2)^2} dz\quad \text{ et } \quad \int_{\partial \Delta_3} \frac{\sin(z)}{(z+1)^2(z+2)^2} dz.$$ \finenonce{007624} \finexercice \exercice{7625, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007625}{Singularités} \begin{enumerate} \item Soit $f:\Cc^\star\to\Cc$ une application holomorphe. On suppose que $\lim_{z\to 0}|f(z)|=+\infty$. Quelle est la nature de la singularité isolée $0$ ? (apparente, polaire ou essentielle) Justifier. \item Donner l'exemple d'une application holomorphe avec une singularité essentielle. Justifier. \end{enumerate} \finenonce{007625} \finexercice \exercice{7626, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007626}{Applications holomorphes} \begin{enumerate} \item Rappeler la définition de l'indice $Ind_\Gamma (a)$ d'un point $a$ de $\Cc$ par rapport à un chemin fermé compact orienté $\Gamma$ de $\Cc$. \item On suppose que $\Gamma$ est paramétré sous la forme $\gamma(t)=r(t)e^{i\theta(t)}$ où $r$ et $\theta$ sont deux fonctions de classe $\mathcal{C}^\infty$ par morceaux sur $[0,1]$, $r$ à valeurs strictement positives et $r(0)=r(1)$, $\theta(0)\equiv\theta(1)\mod{2\pi}$ montrer que $$Ind_\Gamma (a)=\frac{1}{2\pi}\int_0^1 \theta'(t) dt$$ et correspond donc au nombre de tours, comptés positivement dans le sens direct, que fait $\Gamma$ autour de $a$. \end{enumerate} \finenonce{007626} \finexercice \exercice{7627, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007627}{Questions de cours} \begin{enumerate} \item Rappeler la définition de la branche principale du logarithme. \item Rappeler la définition d'une primitive d'une fonction continue $f$ sur $\Cc$. \item Donner si possible l'exemple d'une fonction continue non holomorphe $f$ sur $\Cc$ qui admet une primitive. \item Donner si possible l'exemple d'une fonction holomorphe non constante de $\Delta$ dans $\Cc$. Dans le cas contraire, démontrer la non-existence. \item Donner si possible l'exemple d'une fonction holomorphe non constante de $\Cc$ dans $\Delta$. Dans le cas contraire, démontrer la non-existence. \item Donner si possible l'exemple d'une fonction holomorphe non constante de $\mathbb{H}$ dans $\Delta$. Dans le cas contraire, démontrer la non-existence. \end{enumerate} \finenonce{007627} \finexercice \exercice{7628, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007628}{Calcul d'intégrales} Calculer $$\int_{\partial \Delta_2(1)}\frac{z^2+z-1}{z^2(z^2-4)}dz.$$ \finenonce{007628} \finexercice \exercice{7629, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007629}{Applications entières} Soit $f :\Cc\to\Cc$ une application holomorphe non constante. \begin{enumerate} \item Montrer que le point $0$ est dans l'adhérence de l'image de $f$. \item Déterminer l'adhérence de l'image de $f$. \end{enumerate} \finenonce{007629} \finexercice \exercice{7630, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007630}{Singularités} Soit $D=\Cc^\star$ et $f : D\to \Cc$ l'application définie par $f(z)=\exp(\frac{1}{z})-\frac{1}{z}$. \begin{enumerate} \item Déterminer la nature de la singularité de $f$ en $0$ (apparente, polaire ou essentielle) \item L'application admet-elle une primitive sur $D$ ? \item Calculer $\int_{\partial\Delta}\exp(\frac{1}{z})dz$. \end{enumerate} \finenonce{007630} \finexercice \exercice{7631, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007631}{Applications sur le disque} Soit $f$ une fonction holomorphe sur le disque unité $\Delta$. Le but de l'exercice est de montrer que $|f(z)|$ ne tend pas vers $+\infty$ quand $|z|$ tend vers $1$. \begin{enumerate} \item Vérifier l'énoncé pour l'application $\Delta\to\Cc$, $z\mapsto \frac{1}{z^6-1}$. \item Supposons d'abord que $f$ n'a pas de zéro dans $\Delta$. Soit $r_n$ une suite de réels de $[0,1[$, tels que pour tout entier naturel non nul $n$ et tout $z$ de $\Delta$ de module supérieur à $r_n$, $f(z)$ est de module supérieur à $n$. Montrer alors que pour tout $n$, $|f(0)|\geq n$ et conclure. \item Dans le cas général, supposons que $|f(z)|$ tende vers $+\infty$ quand $|z|$ tend vers $1$. Montrer qu'on peut écrire $f$ comme produit sur $\Delta$ d'un polynôme et d'une application holomorphe $g$ qui n'a pas de zéro dans $\Delta$. Conclure. \end{enumerate} \finenonce{007631} \finexercice \exercice{7632, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007632}{Questions de cours} \begin{enumerate} \item Calculer les intégrales $\int_{\partial \Delta}\frac{dz}{z}$ et $\int_{\partial \Delta}\frac{dz}{z-2}$ à l'aide d'un paramétrage et d'un développement en séries entières, sans utiliser les théorèmes généraux. \item \'Enoncer le lemme de Goursat. \item Soit $D$ un ouvert de $\Cc$ et $f : D\to \Cc$ une application holomorphe. Donner la définition d'un logarithme de $f$. \item Soit $D$ un ouvert de $\Cc$ et $f : D\to \Cc$ une application holomorphe qui admet un logarithme $g$ sur $D$. Donner l'exemple d'un autre logarithme de $f$. Montrer que $f$ n'a pas de zéro dans $D$ et calculer la dérivée complexe de $g$. \item Soit $D$ un ouvert de $\Cc$ et $a$ un point de $D$. Soit $f : D-\{a\}\to \Cc$ une application holomorphe. Définir le résidu de $f$ en $a$. \item Définir l'indice d'un point par rapport à un chemin fermé orienté dans $\Cc$. \end{enumerate} \finenonce{007632} \finexercice \exercice{7633, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007633}{Applications entières} Existe-t-il une application $f :\Cc\to\Cc$ holomorphe non constante et bi-périodique de périodes $1$ et $i$ i.e. $$\forall z\in\Cc,\ \ f(z+1)=f(z+i)=f(z).$$ Si oui, donner un exemple. Si non, démontrer la non-existence d'une telle application. \finenonce{007633} \finexercice \exercice{7634, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007634}{Applications proportionnelles} Soit $D$ un ouvert connexe de $\Cc$ contenant le disque unité fermé. Soient $f$ et $g$ deux applications holomorphes sur $D$ telles que pour tout $z\in\partial\Delta$, $|f(z)|=|g(z)|$. \begin{enumerate} \item On suppose que $f$ et $g$ n'ont pas de zéro dans $D$. Montrer qu'il existe un nombre complexe $\lambda$ de module $1$ tel que $f=\lambda g$ sur $D$. \item La conclusion est-elle encore vraie si on ne suppose plus que $f$ et $g$ n'ont pas de zéro dans $D$ ? \end{enumerate} \finenonce{007634} \finexercice \exercice{7635, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007635}{Singularités} On considère le contour $\Gamma$ et les points $w_1$, $w_2$, $w_3$ comme sur la figure ci-dessous \begin{center} \begin{tikzpicture} %\draw [step=1cm, gray, very thin](-2,-4) grid (8,4); %\draw (-4,0) -- (4,0); \draw (0,-4) -- (0,4); \draw (5,-1) node {$\bullet$}; \draw (5,-1) node[below left] {$w_1$}; \draw (2,1) node {$\bullet$};\draw (2,1) node [below right] {$w_2$}; \draw (-1,-1) node {$\bullet$};\draw (-1,-1) node [below left] {$w_3$}; %\draw (1,0) node {$\bullet$}; \draw (1,0) node [below right] {$C$} circle (2) ; \draw (2.2,2) node[below right] {${\Gamma}$}; %\draw [>=latex] (0,0) -- (1,1) arc (180:0:1) -- (4,0); \draw[thick, draw=black](0,0) -- plot [domain=0:2*pi] (\x, {2*sin(\x r)}) -- cycle; \draw [thick] (0.9,0.1)--(1,0)--(0.9,-0.1); \draw [thick] (4.9,0.1)--(5,0)--(4.9,-0.1); \draw [thick] (0.7,1.1)--(0.5,1)--(0.5,1.2); \draw [thick] (3.85,-1.1)--(3.65,-1)--(3.65,-1.2); \end{tikzpicture} \end{center} Exprimer la valeur des intégrales suivantes à l'aide des nombres complexes $w_1,w_2,w_3$ : \begin{enumerate} \item $A=\int_\Gamma \frac{dz}{(z-w_1)(z-w_2)(z-w_3)}$. \item $B=\int_\Gamma \sin(z)dz$. \item $C=\int_\Gamma \frac{\sin(z) }{(z-w_1)^2}dz$. \end{enumerate} \finenonce{007635} \finexercice \exercice{7636, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007636}{Localisations de racines} On considère le polynôme $P(z)=z^4+6z+3$. \begin{enumerate} \item Démontrer que $P$ a ses quatre racines dans le disque $\Delta_2$. \item Démontrer que $P$ n'admet qu'une racine dans $\Delta$. \item Démontrer que $P$ n'admet pas de racine dans $\Delta_{\frac{1}{3}}$. \item Soit $a$ la racine de $P$ dans le disque $\Delta$. Démontrer que $$ a=\frac{1}{2i\pi}\int_{\partial\Delta} \frac{4z^3+6}{z^4+6z+3}zdz.$$ \end{enumerate} \finenonce{007636} \finexercice \exercice{7637, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007637}{Questions de cours} \begin{enumerate} \item Une application holomorphe sur $\Cc$ de dérivée partout non nulle est-elle nécessairement injective ? \item Rappeler la définition de la branche (ou détermination) principale du logarithme. \item Ayant fixé la détermination principale $\mathbb{H}ox{Log} z$ du logarithme, définir les fonctions puissances $z\mapsto z^\alpha$ pour tout nombre complexe $\alpha$ en précisant leur domaine de définition. \item Montrer à l'aide d'un théorème du cours qu'une application holomorphe sur un ouvert connexe $D$ de $\Cc$ dont toutes les valeurs sont de module $1$ est constante. \item Définir une singularité essentielle pour une application holomorphe définie sur un ouvert de $\Cc$. \item Donner un exemple d'automorphisme du demi-plan de Poincaré qui n'est pas une translation. \end{enumerate} \finenonce{007637} \finexercice \exercice{7638, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007638}{Logarithme} Soit $\mathbb{H}ox{Log} z$ la détermination principale du logarithme dans $\Cc^-$. \begin{enumerate} \item On considère $z=e^{2i\pi\over3}$; les nombres complexes $\mathbb{H}ox{Log} (z^2)$ et $2\mathbb{H}ox{Log} z$ sont-ils égaux ? \item On considère $z=e^{3i\pi\over4}$; les nombres complexes $z^{2i}$, $(z^2)^i$ et $(z^i)^2$ sont-ils égaux ? \end{enumerate} \finenonce{007638} \finexercice \exercice{7639, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007639}{Laplacien} On rappelle que le Laplacien $\Delta\varphi$ d'une fonction $\varphi~: U\to\Rr$ définie sur un ouvert $U$ de $\Rr^2$ est la fonction sur $U$ donnée par $\Delta\varphi (x,y)=\frac{\partial^2}{\partial x^2}\varphi (x,y)+\frac{\partial^2}{\partial y^2}\varphi(x,y)$. \begin{enumerate} \item Soit $D$ un ouvert connexe de $\Cc$ et $f : D\to\Cc$ une application holomorphe. Exprimer $\Delta |f|^2$ à l'aide de $f'$. \item Soit $D$ un ouvert connexe et $(f_i : D\to\Cc)_{i=1}^N$ une famille finie d'applications holomorphes. On suppose que $$\forall z\in D, \ \ \sum_{i=1}^N |f_i(z)|^2=1.$$ Montrer que toutes les $f_i$ sont constantes sur $D$. \end{enumerate} \finenonce{007639} \finexercice \exercice{7640, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007640}{Application bornée} Montrer que pour tout nombre complexe $z$ dans le disque unité $\Delta$, $$\left|\frac{4z+3}{4+3z}\right|\leq 1.$$ \finenonce{007640} \finexercice \exercice{7641, mourougane, 2021/08/10} \enonce{007641}{Singularités} Que vaut, en fonction du nombre réel $r>0$, l'intégrale $$I_r:=\int_{\Delta_r} \frac{dz}{2z^2-5z+2} \ \ ?$$ On précisera les valeurs de $r$ exclues. \finenonce{007641} \finexercice \section{ 450.00 Interpolation polynomiale } \section{ 451.00 Courbe de Bézier, spline } \section{ 452.00 Intégration numérique } \section{ 453.00 Méthode de Newton } \section{ 454.00 Résolution d'équation différentielle } \section{ 455.00 Résolution de systèmes linéaires : méthode directe } \section{ 456.00 Résolution de systèmes linéaires : méthode itérative } \section{ 457.00 Résolution de systèmes linéaires : méthode de gradient } \section{ 458.00 Calcul de valeurs propres et de vecteurs propres } \section{ 459.00 Autre } \exercice{2210, matos, 2008/04/23} \enonce{002210}{Matrices triangulaires \'el\'ementaires} Soit $n \in \Nn$ et on d\'efinit les matrices suivantes dans $\Rr^{n\times n}$: \begin{itemize} \item $E_{ij}$ matrice avec un $1$ dans la position $(i,j)$ et $0$ partout ailleurs; \item $V_{ij}(\lambda )=I + \lambda E_{ij}$ , $\lambda \in\Rr , i>j$; \item $L(l_i) = I+l_ie_i^T$, $l_i\in\Rr^n$ tel que ses premi\`eres $i$ composantes sont nulles. \end{itemize} \begin{enumerate} \item Quels sont les r\'esultats des op\'erations suivantes sur la matrice $A$: $$B=V_{ij}(\lambda )A , C=AV_{ij}(\lambda ) ?$$ \item Quelle est la forme de la matrice $$V_{ij}(\lambda )V_{kj}(\lambda ') , k>i ?$$ \item Repr\'esenter $L(l_i)$ et montrer que $L(l_i)^{-1}=L(-l_i)$. \item D\'ecomposer $L(l_i)$ comme produit de matrices de la forme $V_{km}(\lambda )$. \item Calculer $L=\prod_{i=1}^{n-1}L(l_i)$ et son inverse $L^{-1}$ \item On suppose les $l_i$ stock\'es dans un tableau bidimensionnel $Z$ et $b\in\Rr^n$ stock\'e dans un tableau unidimensionnel $B$. Donner un algorithme permettant de calculer dans $B$ la solution de $Lx=b$: \begin{enumerate} \item en utilisant l'expression de $L^{-1}$; \item en r\'esolvant le syst\`eme triangulaire. \end{enumerate} Quelle est la conclusion? \end{enumerate} \finenonce{002210} \finexercice \exercice{2211, matos, 2008/04/23} \enonce{002211}{Quelques identit\'es pour le calcul d'inverses} D\'emontrer l'identit\'e $$ (A + UBV)^{-1} = A^{-1} -A^{-1} U( I+BVA^{-1}U)^{-1} BVA^{-1}$$ en pr\'ecisant: \begin{itemize} \item son domaine de validit\'e; \item les types des matrices $A, U, B, V$. \end{itemize} Quelques cas particuliers: \begin{enumerate} \item Supposons $B=\beta$ scalaire, $U=u\in\Rr^n$, $V=v^T \in\Rr^n$. Retrouver la formule de Shermann--Morrison qui permet le calcul de l'inverse d'une matrice qui apparait comme perturbation de rang 1 d'une matrice dont on connait l'inverse. \item Soient $A\in\Rr^{n\times n} $ r\'eguli\`ere et $u,v\in\Rr^n$ tels que $1+v^TA^{-1}u=0$. Montrer que $$B=\left(\begin{array}{cc} A+uv^T&u\\ v^T& 0\end{array}\right) \mbox{ est r\'eguli\`ere.}$$ Calculer $B^{-1}$ en remarquant que $$B=\left[\begin{array}{cc} A&0\\ 0&-1\end{array}\right] +\left[\begin{array}{c} u\\ 1\end{array}\right] \left[\begin{array}{cc} v^T&1 \end{array}\right]$$ \item Soit $$D=\left[\begin{array}{cc} P&Q\\ R&S\end{array}\right] \mbox{ matrice inversible avec } P\in\Rr^{p\times p}, Q\in\Rr^{p\times q}, S\in\Rr^{q\times q}$$ Calculer $D^{-1}$ en remarquant que $$D=\left[\begin{array}{cc} P&0\\ R&I\end{array}\right] +\left[\begin{array}{c} Q\\S-I\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc} 0&I\end{array}\right]$$ \item {\it Calcul r\'ecursif de l'inverse}: on pose $$A_n=\left[\begin{array}{cc}A_{n-1}&v\\ u^T&s\end{array}\right] \mbox{ avec } A_{n-1}\in\Rr^{(n-1)\times (n-1)} u,v\in\Rr^{n-1}, s\in\Rr$$ Utiliser la formule pr\'ec\'edente pour calculer $A_n^{-1}$ en fonction de $A_{n-1}^{-1}$. En d\'eduire un algorithme r\'ecursif pour le calcul de l'inverse d'une matrice carr\'ee de taille $n$. \end{enumerate} \finenonce{002211} \finexercice \exercice{2212, matos, 2008/04/23} \enonce{002212}{Quelques propri\'et\'es des normes matricielles} \begin{enumerate} \item Soit $A$ une matrice d'ordre $(m,n)$. D\'emontrer les in\'egalit\'es suivantes pour les normes $p$, $p=1,2, \infty$ et la norme de Frobenius: \begin{enumerate} \item $\|A\|_2 \leq \|A|_F \leq \sqrt{n} \|A|_2$ \item $\max |a_{ij}| \leq \|A\|_2 \leq \sqrt{mn} \max |a_{ij}|$ \item $ \displaystyle{\frac{1}{\sqrt{n}}}\|A\|_\infty \leq \|A\|_2 \leq \sqrt{m} \|A\|_\infty$ \item $\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{m}}}\|A\|_1 \leq \|A\|_2 \leq \sqrt{n} \|A\|_1$ \end{enumerate} \item Soit $u\in\Rr^m$, $v\in\Rr^n$ et $E=uv^T$. Montrer que $$\|E\|_F = \|E\|_2 = \|u\|_2\|v\|_2$$ $$\|E\|_\infty =\|u\|_\infty \|v\|_1$$ \end{enumerate} \finenonce{002212} \finexercice \exercice{2213, matos, 2008/04/23} \enonce{002213}{} Montrer que si $\rho (A) <1$ alors \begin{itemize} \item $I-A$ est r\'eguli\`ere; \item $(I-A)^{-1}=\lim_{k \rightarrow \infty} C_k$ avec $C_k=I+A+\cdots +A^k$. \end{itemize} \finenonce{002213} \finexercice \exercice{2214, matos, 2008/04/23} \enonce{002214}{Estimation de l'erreur dans le calcul de l'inverse} Soit $A$ une matrice carr\'ee d'ordre $n$ inversible et $B$ une approximation de $A^{-1}$ On pose $X=I-AB$ et on suppose que $\|X\|<1$. Montrer que $$\|A^{-1}-B\| \leq \frac{\|BX\|}{1-\|X\|}.$$ \finenonce{002214} \finexercice \exercice{2215, matos, 2008/04/23} \enonce{002215}{Projection orthogonale sur un sous-espace vectoriel de $\Rr^n$} Soient \begin{itemize} \item $H=$span$\{v_1, \cdots , v_r\}$ le sous--espace vectoriel de $\Rr^n$ engendr\'e par les vecteurs $\{v_i\}$ suppos\'es ind\'ependants; \item $V=\left[ \begin{array}{cccc} v_1&v_2 & \cdots & v_r\end{array}\right]$ la matrice de type $n\times r$ dont les colonnes sont les composantes des $v_i$ dans la base canonique $\epsilon = (e_1, \cdots , e_n)$ \end{itemize} Pour tout $x\in \Rr^n$ on d\'esigne par $y$ sa projection orthogonale sur $H$ et par $X$ et $Y$ les matrices colonnnes des composantes de $x$ et $y$ dans la base $\epsilon$. On pose $$y=\sum_{i=1}^r \alpha_i v_i .$$ \begin{enumerate} \item Montrer que la matrice $G=G(v_1, \cdots ,v_r)=V^TV$ est inversible. \item Montrer que les $\alpha_i$ v\'erifient le syst\`eme $$G\left( \begin{array}{c}\alpha_1 \\ \vdots \\ \alpha_r\end{array} \right) = V^TX$$ \item En d\'eduire que $Y=VG^{-1}V^TX= PX$ avec $P=VG^{-1}V^T$ ($P$ est donc la matrice de la projection orthogonale de $\Rr^n$ sur $H$ \item \emph{Application}: on consid\`ere $n=3, v_1=e_1, v_2=e_1+e_2+e_3$. D\'eterminer la projection orthogonale sur $H=$ span $\{v_1, v_2\}$ de $x=2e_1-e_2+e_3$. \item Quelle est la matrice de la projection orthogonale sur $H=$span $\{v\}$? \item Montrer que, pour $x\in\Rr^n$ $$d^2(x,H)= \frac{\mbox{det} G(x,v_1,\cdots ,v_r)}{\mbox{det} G(v_1, \cdots , v_r)}$$ \end{enumerate} \finenonce{002215} \finexercice \exercice{2216, matos, 2008/04/23} \enonce{002216}{} Soit $A\in\Rr^{m\times n}$ de rang $r\leq p=\min (m,n)$. On consid\`ere la d\'ecomposition en valeurs singuli\`eres de $A$ $$U^TAV = \mbox{diag} (\sigma_1, \cdots , \sigma_p )$$ o\`u les $\sigma_i$ sont les valeurs singuli\`eres de $A$ \begin{enumerate} \item Montrer que Im$(A)=$ span$\{u^1, u^2, \cdots , u^r\}$ et Ker$(A)=$ span$\{v^{r+1}, \cdots , v^n\}$. \item Montrer que Im$(^TA)=$ span$\{v^1, u^2, \cdots , v^r\}$ et Ker$(A^T)=$ span$\{u^{r+1}, \cdots , u^m\}$. \item D\'eterminer les matrices des projections orthogonales sur Im$(A)$, Ker$(A)$, Im$(A^T)$, Ker$(A^T)$ \`a l'aide de $U$ et $V$. \item \emph{Application:} calculer la d\'ecomposition en valeurs singuli\`eres de la matrice $$A=\left(\begin{array}{cc}1&1\\ 2&1\\ -1&1\end{array}\right)$$ et les matrices correspondantes aux projections orthogonales de l'exercice pr\'ec\'edent. \end{enumerate} \finenonce{002216} \finexercice \exercice{2217, matos, 2008/04/23} \enonce{002217}{Pseudo--inverse d'une matrice} \emph{D\'efinition}: Soit $\Sigma$ une matrice diagonale de type $(m\times n)$: $$\Sigma =\left( \begin{array}{cccccc} \mu_1&&&&&\\ &\ddots&&&&\\ &&\mu_r&&&\\ &&&0&&\\ &&&&\ddots &\\ &&&&&0\\ &&\bigcirc&&& \end{array}\right)$$ On appelle pseudo--inverse de $\Sigma$ la matrice $\Sigma^\dagger$ de type $(n\times m)$ d\'efinie par $$\Sigma^\dagger=\left(\begin{array}{cccc} \mu_1^{-1}&&0&\\ &\ddots &&\bigcirc\\ 0&&\mu_r^{-1}& \end{array}\right)$$ Soit $A$ une matrice de type $(m\times n)$ dont la d\'ecomposition en valeurs singuli\`eres est $A=U\Sigma V^*$. On appelle {\it pseudo-inverse } de la matrice $A$ la matrice $A^\dagger$ de type $(n\times m)$ d\'efinie par $$A^\dagger = V\Sigma^\dagger U^* .$$ \begin{enumerate} \item Quelle application repr\'esente la restriction de $\Sigma^\dagger \Sigma$ au sous-espace span$\{e_1, \cdots , e_r\}$ ? \item Montrer que si $A$ est carr\'ee r\'eguli\`ere alors $A^\dagger =A^{-1}$. \item Montrer que $$A^\dagger =\sum_{i=1}^r \frac{1}{\mu_i}v_iu_i^*.$$ \item Montrer que \begin{itemize} \item $AA^\dagger $ est la matrice de la projection orthogonale sur Im$(A)$; \item $A^\dagger A $ est la matrice de la projection orthogonale sur Im$(A^*)$ \end{itemize} \item Montrer que la restriction \`a Im$(A^*)=$Ker$(A)^\bot$ de $A^*A$ est une matrice inversible et $$(A^*A)^{-1} = \sum_{i=1}^r \mu_i^{-2} v_iv_i^* .$$ \end{enumerate} \finenonce{002217} \finexercice \exercice{2218, matos, 2008/04/23} \enonce{002218}{} Montrer que, pour $A\in\Cc^{n\times m}$ \begin{enumerate} \item $\|A\|_2=\sigma_1$, la plus grande valeur singuli\`ere de $A$ \item $\|A\|_F=\sqrt{\sigma_1^2 +\sigma_2^2 +\cdots +\sigma_r^2}$ o\`u les $\sigma_i$ sont les valeurs singuli\`eres de $A$. \item Les valeurs singuli\`eres non nulles de $A$ sont les racines carr\'es des valeurs propres non nulles de $A^*A$ et $AA^*$. \item pour $A\in\Cc^{m\times m}$ , $|\det (A)|=\prod_{i=1}^m \sigma_i$. \item Si $A=A^*$ alors les valeurs singuli\`eres de $A$ sont les valeurs absolues des valeurs propres de $A$ \end{enumerate} \finenonce{002218} \finexercice \exercice{2219, matos, 2008/04/23} \enonce{002219}{} Montrer que \begin{enumerate} \item cond$_2 (A) = \mu_n(A)/\mu_1(A)$ avec $\mu_n(A)$ et $\mu_1(A)$ respectivement la plus grande et la plus petite valeur singuli\`ere de $A$; \item si $A$ est normale alors $$\mbox{cond}_2(A) =\frac{\max_i |\lambda_i(A)|}{\min_i |\lambda_i(A)|} ;$$ \item Si $A \in\Rr^{n\times n}$ est inversible, $Q\in\Rr^{n\times n}$ orthogonale alors $$\mbox{cond}_2(A)=\mbox{cond}_2(AQ)=\mbox{cond}_2(QA)$$ \end{enumerate} \finenonce{002219} \finexercice \exercice{2220, matos, 2008/04/23} \enonce{002220}{} Soit $A=\left(\begin{array}{cc} 1&0\\ 0&10^{-6} \end{array}\right)$ \begin{enumerate} \item Calculer $\mbox{cond}_2(A)$, $\mbox{cond}_1(A)$ et $\mbox{cond}_\infty(A)$; \item R\'esoudre: \begin{itemize} \item $Ax=b$ pour $b=\left(\begin{array}{c}1\\10^{-6}\end{array}\right)$ \item $Ay=b+\delta b$ pour $\delta b=\left(\begin{array}{c}10^{-6}\\0\end{array}\right)$ et $Az=b+\Delta b$ pour $\Delta b=\left(\begin{array}{c}0\\10^{-6}\end{array}\right)$ \end{itemize} \item Pour chacune des trois normes consid\'er\'ees, trouver une majoration th\'eorique de $$\frac{\|y-x\|}{\|x\|} \mbox{ et } \frac{\|z-x\|}{\|x\|}$$ et comparer avec les valeurs exactes. Quelle conclusion? \end{enumerate} \finenonce{002220} \finexercice \exercice{2221, matos, 2008/04/23} \enonce{002221}{Conditionnement du probl\`eme de l'inversion d'une matrice} Soit $A$ une matrice inversible donn\'ee. \begin{enumerate} \item si $(A+\delta A)$ est une matrice inversible, d\'emontrer $$\frac{\|(A+\delta A)^{-1}-A^{-1}\|}{\|(A+\delta A)^{-1}\|} \leq \mbox{cond} (A) \frac{\|\delta A\|}{\|A\|}$$ \item D\'emontrer que $$\frac{\|(A+\delta A)^{-1}-A^{-1}\|}{\|A^{-1}\|} \leq \mbox{cond} (A) \frac{\|\delta A\|}{\|A\|} (1+{ \cal O} (\|A\|)) $$ \end{enumerate} \finenonce{002221} \finexercice\exercice{2222, matos, 2008/04/23} \enonce{002222}{Taille des \'el\'ements dans l'\'elimination de Gauss} Notons $\tilde{A}_k$ la matrice carr\'ee d'ordre $(n-k+1)$ form\'ee des \'el\'ements $a_{ij}^k , k\leq i,j \leq n$ de la matrice $A_k=(a_{ij}^k)$ obtenue come r\'esultat de la $(k-1)$--\`eme \'etape de l'\'elimination de Gauss. On suppose $A=A_1$ sym\'etrique d\'efinie positive. \begin{enumerate} \item Notant $(. , .)$ le produit scalaire euclidien et $v'\in\Rr^{n-k}$ le vecteur form\'e par les $(n-k)$ derni\`eres composantes d'un vecteur $v=(v_i)_{i=k}^n \in \Rr^{n-k+1}$ quelconque, \'etablir l'identit\'e $$ (\tilde{A}_k v,v)=(\tilde{A}_{k+1} v', v') + \frac{1}{a_{kk}^k} \left|a_{kk}^k v_k +\sum_{i=k+1}^n a_{ik}^k v_i\right|^2 .$$ \item Montrer que chaque matrice $\tilde{A_k}$ est sym\'etrique d\'efinie positive. \item Etablir les in\'egalit\'es suivantes: $$ 0< a_{ii}^{k+1} \leq a_{ii}^k ,\ \ \ k+1\leq i \leq n$$ $$\max_{k+1\leq i \leq n} a_{ii}^{k+1} = \max_{k+1\leq i,j \leq n}\left|a_{ij}^{k+1}\right| \leq \max_{k \leq i,j \leq n}\left|a_{ij}^k\right| =\max_{k\leq i\leq n}a_{ii}^k$$ \end{enumerate} \finenonce{002222} \finexercice \exercice{2223, matos, 2008/04/23} \enonce{002223}{Strat\'egie de pivotage} \ \\ \begin{enumerate} \item Montrer que pour une matrice quelconque $A=(a_{ij})$ de type $(2\times 2 )$ on a $$\mbox{cond}_2(A) =\sigma + (\sigma^2-1)^{1/2} \mbox{ avec } \sigma =\frac{\sum_{i,j=1}^2 |a_{ij}|^2}{2|\det (A)|}$$ \item Calculer les conditionnements cond$_p(.)$ pour $p=1,2,\infty $ des matrices exactes obtenues \`a la premi\`ere \'etape de la proc\'edure d'\'elimination de Gauss pour r\'esoudre le syst\`eme lin\'eaire $$\left\{\begin{array}{l} 10^{-4} u_1 + u_2 =1\\ u_1 + u_2 =2 \end{array}\right.$$ selon que l'on commence, ou non, par \'echanger les deux \'equations. Conclusion? \end{enumerate} \finenonce{002223} \finexercice \exercice{2224, matos, 2008/04/23} \enonce{002224}{Factorisation LU d'une matrice bande} Montrer que la factorisation LU pr\'eserve la structure des matrices bande au sens suivant : $$a_{ij}=0 \mbox{ pour } |i-j| \geq p \Rightarrow \left\{ \begin{array}{ll} l_{ij}=0 & \mbox{ pour } i-j \geq p\\ u_{ij}=0 & \mbox{ pour } j-i \geq p \end{array}\right.$$ \finenonce{002224} \finexercice \exercice{2225, matos, 2008/04/23} \enonce{002225}{Factorisation d'une matrice sym\'etrique} Soit $A$ une matrice sym\'etrique inversible admettant une factorisation LU. Montrer que l'on peut \'ecrire $A$ sous la forme $$A=B\tilde{B}^T \mbox{ o\`u }$$ \begin{itemize} \item $B$ est une matrice triangulaire inf\'erieure ; \item $\tilde{B}$ est une matrice o\`u chaque colonne est soit \'egale \`a la colonne correspondante de $B$, soit \'egale \`a la colonne correspondante de $B$ chang\'ee de signe. \end{itemize} \emph{Application num\'erique} $$A=\left(\begin{array}{cccc} 1&2&1&1\\ 2&3&4&3\\ 1&4&-4&0\\ 1&3&0&0 \end{array}\right).$$ \finenonce{002225} \finexercice \exercice{2226, matos, 2008/04/23} \enonce{002226}{Quelques factorisations LU} \begin{enumerate} \item Soit $A=LU$ la d\'ecomposition LU d'une matrice $A\in\Rr^{n\times n}$ avec $|l_{ij}|\leq 1$. Soient $a_i^T$ et $ u_i^T$ les lignes {\it i} de $A$ et $U$ respectivement. Montrer que $$u_i^T=a_i^T-\sum_{j=1}^{i-1} l_{ij}u_j^T$$ et que $$ \|U\|_\infty \leq 2^{n-1}\|A\|_\infty$$ \item Soit $A\in\Rr^{n\times n}$ d\'efinie par $$a_{ij}=\left\{\begin{array}{ll} 1& \mbox{ si } i=j \mbox{ ou } j=n\\ -1 & \mbox{ si } i>j\\ 0 & \mbox{ sinon } \end{array}\right.$$ Montrer que $A$ a une d\'ecomposition LU avec $|l_{ij}|\leq 1$ et $u_{nn}=2^{n-1}$. \end{enumerate} \finenonce{002226} \finexercice \exercice{2227, matos, 2008/04/23} \enonce{002227}{} On suppose $A\in\Rr^{n\times n}$ inversible. Montrer que si $PA\Pi =LU$ est obtenue par la m\'ethode de Gauss avec pivotage total, alors $$\begin{array}{l} \forall i,j=1, \cdots ,n \ \ |l_{ij}|\leq 1 \\ \forall i=1, \cdots , n , \forall j=i, \cdots , n ,\ \ \ |u_{ij}| \leq |u_{ii}| \end{array}$$ \finenonce{002227} \finexercice \exercice{2228, matos, 2008/04/23} \enonce{002228}{} Soit $A\in\Rr^{n\times n}$ telle que $A^T$ soit \`a diagonale strictement dominante. Montrer que $A$ admet une d\'ecomposition LU avec $L^T$ \`a diagonale strictement dominante. \finenonce{002228} \finexercice \exercice{2229, matos, 2008/04/23} \enonce{002229}{Matrices de Householder} \begin{enumerate} \item Soit $v$ un vecteur r\'eel v\'erifiant $v^Tv=1$. Montrer que la matrice de Householder $$H(v)=I-2vv^T$$ repr\'esente une sym\'etrie par rapport au sous--espace vectoriel form\'e par les vecteurs orthogonaux aux vecgteurs $v$. En d\'eduire que $\det (H(v))=-1$. \item D\'emontrer que toute matrice orthogonale est le produit de au plus $n$ matrices de Householder. En d\'eduire une interpr\'etation g\'eom\'etrique des matrices orthogonales. \end{enumerate} \finenonce{002229} \finexercice \exercice{2230, matos, 2008/04/23} \enonce{002230}{Algorithme de Gram--Schmidt et Gram--Schmidt modifi\'e} Etant donn\'es $n$ vecteurs lin\'eairement ind\'ependants de $\Rr^m$, $\{a_1, \cdots , a_n\}$, on veut calculer une base orthonormale pour span$\{a_1, \cdots , a_n\}$. On pose $A=[ a_1, a_2, \cdots , a_n] \in \Rr^{m\times n}$ et on consid\`ere la factorisation QR de $A$, $$ A=QR,\ \ \ Q=[q_1, \cdots , q_n] ,\ \ r_i^T, i=1, \cdots , n \mbox{ les lignes de }R$$ \begin{enumerate} \item Montrer que $$\mbox{Im} A= \mbox{span} \{q_1, \cdots , q_n\} .$$ \item Montrer que $$q_k=\frac{1}{r_{kk}} \left( a_k -\sum_{i=1}^{k-1}r_{ik}q_i\right) \ \ \ k=1, \cdots , n$$ \item En d\'eduire un algorithme pour le calcul r\'ecursif des $q_i$ (algorithme de Gram--Schmidt). \item Algorithme de Gram--Schmidt modifi\'e L'algorithme pr\'ec\'edent est instable num\'eriquement d\^u \`a la perte d'orthogonalit\'e dans le calcul des $q_i$. On va reformuler l'algorithme pour le rendre stable. Pour $k=1, \cdots , n-1$, on d\'efinit $A^{(k)}\in\Rr^{m\times (n-k+1)}$ de la fa\c con suivante: $$[0 , A^{(k)}] =A-\sum_{i=1}^{k-1} q_ir_i^T = \sum_{i=k}^n q_ir_i^T$$ et on va d\'ecrire l'\'etape $k$ de l'algorithme. \begin{enumerate} \item Montrer que si on pose $$ A^{(k)} =[z,B] ,\ \ \ z\in\Rr^m , \ \ \ B\in\Rr^{m\times (n-k)}$$ alors $$r_{kk}=\|z\|_2, \ \ \ q_k=z/r_{kk}.$$ \item Comment peut--on calculer la ligne $k$ de $R$ \`a partir de $A^{(k)}$? \item Calculer $A^{(k+1)}$. \item A partir des questions pr\'ec\'edentes, d\'ecrire l'algorithme qui permet le calcul de la factorisation $A=Q_1R_1$, $Q_1\in\Rr^{m \times n}$ orthonormale, $R_1\in\Rr^{n\times n}$ triangulaire sup\'erieure (Gram--Schmidt modifi\'e). Le calcul de $Q_1$ doit se faire sur place. \item Quelle est la complexit\'e de l'algorithme pr\'ec\'edent? \end{enumerate} \end{enumerate} \finenonce{002230} \finexercice \exercice{2231, matos, 2008/04/23} \enonce{002231}{Rotation de Givens} Soient $p,q : $ $1\leq p < q\leq n$, $c,s\in\Rr :$ $c^2+s^2=1$.\\ On consid\`ere les matrices $$G=G_{p,q}(c,s)=\left(\begin{array}{ccccrccc} 1&&&&&&&\\ &\ddots &&&&&&\\ &&1&&&&&\\ &&&c&\cdots &-s&&\\ &&&&\ddots &&&\\ &&&s&\cdots& c&&\\ &&&&&&\ddots &\\ &&\cdots &&&&&1 \end{array}\right)$$ \begin{enumerate} \item Ecrire $G$ comme perturb\'ee de $I$ par des matrices de rang 1. \item Montrer que $G$ est inversible, calculer $G^{-1}$, montrer que $G$ est orthogonale. \item Quelle est l'action de $G$ sur $A\in\Rr^{n\times n}$? \item Soit $A\in\Rr^{n\times n}$ avec $a_{pj}=\alpha , a_{qj}=\beta$. Peut--on trouver $G$ telle que $A'=GA$ v\'erifie: $$a'_{pj}=0 =\alpha ', \ \ \ a'_{qj}=0=\beta ' ?$$ Est--ce que la solution est unique? \end{enumerate} \finenonce{002231} \finexercice \exercice{2232, matos, 2008/04/23} \enonce{002232}{} Soit $Z=\left(\begin{array}{cc} c&s\\ -s&c\end{array}\right)$ avec $c^2 + s^2=1$. On d\'efinit $\rho$ par $$\rho = \left\{\begin{array}{lrr} 1 &\mbox{si} & c=0\\ 1/2\mbox{sign}(c) s &\mbox{si} & |s|< |c|\\ 2\mbox{sign}(s)/c &\mbox{si} & |c| \leq |s| \end{array}\right.$$ \begin{enumerate} \item Comment reconstruire $\pm Z$ \`a partir de $\rho$? \item Soit $Q$ une matrice orthogonale produit de $n$ rotations de Givens: $Q=J_1 \cdots J_n$. Comment peut--on stocker de la fa\c con la plus \'economique $Q$ sous forme factoris\'ee? \item Modifier l'algorithme de Givens pour r\'eduire $A$ \`a la forme triangulaire sup\'erieure ($QA=R$, $Q$ matrice produit de rotations de Givens) en stockant sur place ( donc dans $A$) toute l'information n\'ecessaire \`a reconstruire $Q$. \item Ecrire l'algorithme qui, \`a partir des r\'esultats de l'algorithme pr\'ec\'edent permet de reconstruire $Q$. \end{enumerate} \finenonce{002232} \finexercice \exercice{2233, matos, 2008/04/23} \enonce{002233}{} Soient $x$ et $y$ deux vecteurs unitaires. Donner un algorithme qui utilise les transformations de Givens pour calculer une matrice $Q$ telle que $Qx=y .$ \finenonce{002233} \finexercice \exercice{2234, matos, 2008/04/23} \enonce{002234}{M\'ethode de Givens Rapide} Soit $A\in\Rr^{m\times n}$. On veut construire une matrice $M\in \Rr^{m\times m}$ telle que \begin{itemize} \item $MA=S$ triangulaire sup\'erieure; \item $MM^T=D=$diag$(d_1,\cdots , d_m)$ , $d_i>0$ \end{itemize} et appliquer cette factorisation de $A$ dans la r\'esolution de syst\`emes au sens des moindres carr\'es. \begin{enumerate} \item Donner la factorisation $QR$ de $A$ en termes de $M, D$ et $S$. \item On consid\`ere maintenant $m=2$. Soient $x=(x_1, x_2)^T$ et $D=$diag$(d_1,d_2)$ ($d_i>0$) donn\'es. \begin{enumerate} \item On d\'efinit $$M_1=\left(\begin{array}{cc} \beta_1 & 1\\ 1&\alpha_1\end{array}\right).$$ Supposons $x_2\neq 0$. Calculer $M_1x$ et $M_1DM_1^T$. Comment choisir $\alpha_1$ et $\beta_1$ de fa\c con \`a ce que la deuxi\`eme composante de $M_1x$ soit nulle et que $M_1DM_1^T$ soit diagonale? Pour le choix pr\'ec\'edent d\'eterminer $\gamma_1$ tel que $$M_1x=\left(\begin{array}{c} x_2(1+\gamma_1)\\0\end{array}\right) \mbox{ et } M_1DM_1^T=\left(\begin{array}{cc} d_2(1+\gamma_1)&0\\0 & d_1(1+\gamma_1)\end{array}\right)$$ \item Supposons $x_1\neq 0$. On d\'efinit $$M_2=\left(\begin{array}{cc} 1&\alpha_2\\ \beta_2 &1\end{array}\right).$$ Choisir $\alpha_2$ et $\beta_2$ de fa\c con \`a ce que $$M_2x=\left(\begin{array}{c} x_1(1+\gamma_2)\\0\end{array}\right) \mbox{ et } M_2DM_2^T=\left(\begin{array}{cc} d_1(1+\gamma_2)&0\\0 & d_2(1+\gamma_2)\end{array}\right)$$ et d\'eterminer $\gamma_2$ \item Montrer que l'on peut toujours choisir $M_i$ ($i=1,2$) de fa\c con \`a ce que le ``facteur de croissance'' $(1+\gamma_i)$ soit inf\'erieur \`a 2. \end{enumerate} \item Soit maintenant $m\in\Nn$ quelconque. D\'efinir les matrices $M_1(p,q)$ et $M_2(p,q)$ telles que $$\left(\begin{array}{cc} m_{pp}& m_{pq}\\ m_{qp} & m_{qq} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} \beta_1& 1\\ 1 & \alpha_1 \end{array}\right) \mbox{ ou } =\left(\begin{array}{cc} 1& \alpha_2\\ \beta_2 & 1 \end{array}\right)$$ \begin{itemize} \item $e_q^T M_i(p,q)x = 0$; \item $M_iDM_i^T$ matrice diagonale, avec $D=$diag$(d_1, \cdots ,d_n), d_i>0$ \end{itemize} Ces matrices $M_i$ sont appel\'ees {\it matrice de Givens rapide}. \item D\'ecrire l'algorithme qui utilise les transformations de Givens rapides pour r\'eduire $A\in\Rr^{m\times n}$ \`a la forme triangulaire sup\'erieure ({\it m\'ethode de Givens rapide}): $$MA=R ,\ \ \ \ MM^T =\mbox{diag}(d_1, \cdots , d_m) .$$ Les calculs doivent \^etre faits sur place. Quel est le co\^ut de cet algorithme? Comparer avec le co\^ut de la m\'ethode de Householder pour r\'eduire $A$ \`a la forme triangulaire sup\'erieure. \item Application \`a la r\'esolution d'un syst\`eme lin\'eaire au sens des moindres carr\'es. \begin{enumerate} \item Comment profiter des r\'esultats fournis par l'algorithme pr\'ec\'edent pour r\'esoudre $$\min_{x\in\Rr^n}\|Ax-b\|_2 \mbox{ avec } A\in\Rr^{m\times n} \ \ \ (m>n) ,\ \ \ b\in \Rr^m ?$$ \item Quelles modifications introduire dans l'algorithme de la m\'ethode de Givens rapide pour qu'il r\'esolve le probl\`eme de moindres carr\'es de la question pr\'ec\'edente? \end{enumerate} \item {\it Application num\'erique}: r\'esoudre au sens des moindres carr\'es par la m\'ethode de Givens rapide le syst\`eme $$Ax=b, A=\left(\begin{array}{cc}1&4\\2&5\\3&6\end{array}\right) , b=\left(\begin{array}{c}7\\8\\9\end{array}\right)$$ \item Consid\'erons maintenant le probl\`eme de moindres carr\'es \begin{equation}\label{ls} \min_{x\in\Rr^n}\|D(Ax-b)\|_2 \end{equation} avec $A\in\Rr^{m\times n}$, $b\in\Rr^m$ , $D=$diag$(d_i)$ ($d_i>0$). Cela correspond \`a donner un poids diff\'erent \`a chaque \'equation du syst\`eme. Soit $M$ une matrice produit de matrices de Givens rapide v\'erifiant $$\left\{ \begin{array}{l} MA=R \mbox{ triangulaire sup\'erieure}\\ MD^{-2}M^T =\tilde{D}=\mbox{diag}(\tilde{d}_i) , \ \ \ \tilde{d}_i>0 \end{array}\right.$$ Comment peut--on r\'esoudre le probl\`eme (\ref{ls})? Quelles adaptations faire \`a l'algorithme pr\'ec\'edent? \end{enumerate} \finenonce{002234} \finexercice \exercice{2235, matos, 2008/04/23} \enonce{002235}{} Soit $a\in\Rr$ et $A=\left( \begin{array}{ccc} 1&a&a\\ a&1&a\\ a&a&1\end{array}\right)$ \begin{enumerate} \item Pour qu'elles valeurs de $a$ $A$ est--elle d\'efinie positive? \item Pour qu'elles valeurs de $a$ la m\'ethode de Gauss--Seidel est--elle convergente? \item Ecrire la matrice $J$ de l'it\'eration de Jacobi. \item Pour qu'elles valeurs de $a$ la m\'ethode de Jacobi converge--t--elle? \item Ecrire la matrice ${\cal L}_1$ de l'it\'eration de Gauss--Seidel. Calculer $\rho ({\cal L}_1)$. \item Pour quelles valeurs de $a$ la m\'ethode de Gauss--Seidel converge--t--elle plus vite que celle de Jacobi? \end{enumerate} \finenonce{002235} \finexercice \exercice{2236, matos, 2008/04/23} \enonce{002236}{} Soit $A$ une matrice hermitienne inversible d\'ecompos\'ee en $A=M-N$ o\`u $M$ est inversible. Soit $B=I-M^{-1}A$ la matrice de l'it\'eration: $$x_{n+1}= Bx_n +c .$$ Supposons que $M+M^* -A$ soit d\'efinie positive. \begin{enumerate} \item Soit $x$ un vecteur quelconque et on pose $y=Bx$. Montrer l'identit\'e: $$(x,Ax) - (y,Ay) = ((x-y), (M+M^*-A)(x-y)).$$ \item Supposons que $A$ est d\'efinie positive. Soit $x\neq 0$ un vecteur propre de $B$ associ\'e \`a la valeur propre $\lambda$, $y=Bx=\lambda x$. Utiliser l'identit\'e pr\'ec\'edente pour montrer que $|\lambda|<1$. Que peut--on conclure sur la convergence de la m\'ethode? \item Supposons maintenant que $\rho (B)<1$. montrer que $A$ est d\'efinie positive. \item Supposons $A$ d\'ecompos\'ee par points ou par blocs sous la forme $$A=D-E-F \mbox{ avec } D \mbox{ d\'efinie positive} .$$ Montrer que la m\'ethode de relaxation par points ou par blocs pour $0 & \sum_{j\neq 1}|a_{1j}| \end{array}$$ et sur chaque ligne de $A$ il existe il existe un terme non nul $a_{ij}$ pour $i\geq 2$ et $j0$ $xy \leq \frac{x^p}p + \frac{y^q}q$. \item Soient $x_1, \ldots, x_n, y_1, \ldots, y_n>0$ tels que $\sum\limits_{i = 1} ^n x_i^p =\sum\limits_{i = 1}^n y_i^q = 1$. Montrer que $\sum\limits_{i = 1} ^n x_i y_i \leq 1$. \item Soient $x_1, \ldots, x_n, y_1, \ldots, y_n>0$. Montrer l'in\'egalit\'e de Hölder : $$\sum\limits_{i = 1} ^n x_i y_i \leq (\sum\limits_{i = 1} ^n x_i^p )^{\frac 1p} (\sum\limits_{i = 1} ^n y_i^q )^{\frac 1q}$$ \item Soit $p>1$. En \'ecrivant $ (x_i + y_i)^p = x_i (x_i + y_i)^{p-1} + y_i (x_i + y_i)^{p-1}$, montrer l'in\'egalit\'e de Minkowski : $$(\sum\limits_{i = 1} ^n { (x_i + y_i)}^p )^{\frac 1p} \leq (\sum\limits_{i = 1} ^n x_i^p )^{\frac 1p} + (\sum\limits_{i = 1} ^n y_i^p )^{\frac 1p} $$ \item Soit $ (a_n)$ une suite strictement positive, $u_n = \sum\limits_{k = 1}^n a_k^2$ et $v_n= \sum\limits_{k = 1}^n \frac{a_k}k$. Montrer que si $ (u_n)$ converge alors $ (v_n)$ aussi. \end{enumerate} \finenonce{001731} \finexercice \exercice{1732, ridde, 1999/11/01} \enonce{001732}{} Soit $f \in C^2 (\Rr)$ convexe. \begin{enumerate} \item Montrer que $f'$ admet une limite dans $\bar{\Rr}$ en $ + \infty$. \item En d\'eduire que $\frac{f (x)}x$ admet une limite en $ + \infty$ (on pourra utiliser des $\epsilon$ et une formule de Taylor \`a l'ordre 1). \end{enumerate} \finenonce{001732} \finexercice \exercice{1733, gourio, 2001/09/01} \enonce{001733}{} $I\subset {\Rr}^{+*} $ un intervalle de $ {\Rr},J=\left\{ x;\frac{1}{x}\in I\right\} .$ Montrer que $J$ est un intervalle de ${\Rr}^{+*},$ puis que si $(x,y)\in I^{2},$ alors : $$\forall \lambda \in [0,1],\exists \mu \in [0,1],\frac{1}{\lambda x+(1-\lambda )y}=\mu \frac{1}{x}+(1-\mu )\frac{1}{y}. $$ Soit $f$ continue sur $I,$ et $g$ d\'{e}finie sur $J$ par $g(x)=f(\frac{1}{x}),h$ d\'{e}finie sur $I $ par $h(x)=xf(x). $ Montrer que $g $ est convexe $\Leftrightarrow h$ est convexe. \finenonce{001733} \finexercice \exercice{1734, gourio, 2001/09/01} \enonce{001734}{} Soit $f :{\Rr}\rightarrow {\Rr}$ convexe major\'{e}e.\ Que dire de $f $ ? Et si $f:{\Rr}^{+}\rightarrow {\Rr }$ ? \finenonce{001734} \finexercice \exercice{1735, gourio, 2001/09/01} \enonce{001735}{} Soit $(a_{n})_{n\in \Nn}\in \left( {\Rr}^{+*}\right) ^{\Nn}, u_{n}=\sum\limits_{k=1}^{n}a_{k}^{2},v_{n}=\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{a_{k}}{k}.$ Montrer que si $(u_{n})_{n}$ converge alors $(v_{n})_{n}$ aussi. \finenonce{001735} \finexercice \exercice{1736, gourio, 2001/09/01} \enonce{001736}{} Montrer que : $$\forall n\in \Nn^{*},\forall (x_{1},...,x_{n})\in \left( {\Rr}^{+*}\right)^{n}, 1+\left( \prod\limits_{k=1}^{n}x_{k}\right) ^{\frac{1}{n}}\leq \left( 1+\prod\limits_{k=1}^{n}x_{k}\right) ^{\frac{1}{n}}. $$ \finenonce{001736} \finexercice \exercice{1737, gourio, 2001/09/01} \enonce{001737}{} Soit $f:{\Rr}\rightarrow {\Rr }$ continue telle que : $$\forall (x,y)\in {\Rr}^{2}, f\left( \frac{x+y}{2}\right) \leq \frac{% f(x)+f(y)}{2}. $$ Montrer que $f$ est convexe. \finenonce{001737} \finexercice \exercice{1738, gourio, 2001/09/01} \enonce{001738}{} Soit $f:I\rightarrow {\Rr}$ convexe ou $I$ est un intervalle ouvert de ${\Rr}$, d\'{e}rivable en $x_{0}\in I$ et telle que $f^{\prime}(x_{0})=0.$ Montrer que $x_{0}$ minimise $f$ sur $I.$ \finenonce{001738} \finexercice \exercice{1739, gourio, 2001/09/01} \enonce{001739}{} Soit $g\in C({\Rr},{\Rr})$, montrer que $g$ est convexe si et seulement si : $$\forall h\in CM([0,1],{\Rr}), g\left( \int_{0}^{1}h\right) \leq \int_{0}^{1}g(h). $$ \finenonce{001739} \finexercice \section{ 471.00 Multiplicateurs de Lagrange } \section{ 472.00 Algorithme d'Uzawa } \section{ 473.00 Algorithme du simplexe } \section{ 474.00 Autre } \section{ 480.00 Loi, indépendance, loi conditionnelle } \exercice{6938, ruette, 2013/01/24} \enonce{006938}{Indépendance} Soient $X$ et $Y$ des variables aléatoires réelles indépendantes ayant des lois continues. Montrer que $P(X=Y)=0$. \finenonce{006938} \finexercice \exercice{6939, ruette, 2013/01/24} \enonce{006939}{Calculs de loi} Soient $X$, $Y$ deux variables aléatoires indépendantes de même loi exponentielle $\mathcal{E}(\lambda)$, $\lambda>0$. Déterminer la loi de $|X-Y|$. \finenonce{006939} \finexercice \exercice{6940, ruette, 2013/01/24} \enonce{006940}{Calcul de loi, fonction de répartition} \begin{enumerate} \item Soit $X$ une variable aléatoire de loi normale $\mathcal{N}(0,1)$ et $Z=X^2$. Calculer la fonction de répartition et la densité de $Z$. \textit{Remarque : la loi de $Z$ est appelée loi $\chi_2$ à 1 degré de liberté}. \item Soit $Y$ une variable aléatoire de loi exponentielle $\mathcal{E}(\lambda)$. Déterminer la loi de $Y^3$. \end{enumerate} \finenonce{006940} \finexercice \exercice{6941, ruette, 2013/01/24} \enonce{006941}{Fonction de répartition} Soit $X$ une variable aléatoire réelle positive intégrable. Montrer que $\displaystyle E(X)=\int_0^{+\infty}(1-F(t))\,dt$. \finenonce{006941} \finexercice \exercice{6942, ruette, 2013/01/24} \enonce{006942}{Indépendance d'événements} Soient $A$ et $B$ deux événements indépendants. Montrer que $A\bot B^c$. En déduire que $A^c\bot B$ et $A^c\bot B^c$. \finenonce{006942} \finexercice \exercice{6943, ruette, 2013/01/24} \enonce{006943}{La loi exponentielle est sans mémoire} \begin{enumerate} \item Soit $X$ une variable aléatoire de loi $\mathcal{E}(\lambda)$. Montrer que $P(X> t+s\mid X> t)=P(X> s)$ pour tous $s,t\geq 0$. \item Soit $X$ une variable aléatoire positive avec une densité continue sur $\Rr_+$. Si $P(X> t+s\mid X> t)=P(X> s)$ pour tous $s,t\geq 0$, montrer que $X$ suit une loi exponentielle. \medskip \textit{ Ce résultat montre que la loi exponentielle est une loi sans mémoire, et que c'est la seule sous l'hypothèse du 2. En fait, cette hypothèse n'est pas nécessaire mais le résultat est alors plus difficile à montrer.} \end{enumerate} \finenonce{006943} \finexercice \exercice{6944, ruette, 2013/01/24} \enonce{006944}{Loi d'un temps d'arrêt avec un jeu de pile ou face} Soit $(X_n)_{n\geq 1}$ une suite de variables aléatoires indépendantes de même loi de Bernoulli de paramètre $p$. On définit la variable aléatoire $T_1$ à valeurs dans $\Nn\cup\{+\infty\}$ par $T_1=\inf\{k>0 \mid X_k=1\}$, avec la convention $\inf(\emptyset)=+\infty$.\\ \textit{(si on joue à pile $=0$ ou face $=1$, $T_1$ est le temps nécessaire pour obtenir face une première fois)} \begin{enumerate} \item Montrer que $T_1$ est fini presque sûrement. \item Déterminer la loi et l'espérance de $T_1$ \textit{(cette loi est appelée loi géométrique, $E(T_1)$ est le nombre moyen de lancers qu'il faut effectuer pour obtenir face une première fois)}. \item Pour tout $n\geq 2$, on définit par récurrence $T_n=\inf\{k>T_{n-1}\mid X_k=1\}$.\\ \textit{(si on joue à pile ou face, $T_n$ est le temps nécessaire pour obtenir exactement $n$ fois face)}\\ Montrer que les variables aléatoires $T_1,\ (T_2-T_1), \ldots,\ (T_n-T_{n-1}),\ldots$ sont indépendantes et de même loi. \item Quelle est la loi de $T_n$ ? \end{enumerate} \smallskip \textit{Définition générale d'un temps d'arrêt : une variable aléatoire $T$ à valeurs dans $\Nn$ est un temps d'arrêt relativement à la suite de variable aléatoire $(X_n)_{n\geq 1}$ si pour tout $n$ l'événement $\{T\leq n\}$ appartient à la tribu engendrée par les variables aléatoires $X_1,\ldots, X_n$ (autrement dit, il suffit de connaître les valeurs de $X_1,\ldots, X_n$ pour savoir si $T\leq n$).} \finenonce{006944} \finexercice \exercice{6945, ruette, 2013/01/24} \enonce{006945}{Fonctions génératrices} Soit $X$ une variable aléatoire de loi binomiale $\mathcal{B}(n,p)$. \begin{enumerate} \item Calculer la fonction génératrice de $X$. \item Soit $Y$ une variable aléatoire de loi $\mathcal{B}(m,p)$, indépendante de $X$. Quelle est la fonction génératrice de $X+Y$ ? En déduire que $\mathcal{B}(n,p)*\mathcal{B}(m,p)=\mathcal{B}(n+m,p)$. \end{enumerate} {\it C'est une des façons de démontrer la stabilité des lois binomiales par convolution. La méthode marche aussi pour les lois de Poisson.} \finenonce{006945} \finexercice \exercice{6946, ruette, 2013/01/24} \enonce{006946}{Fonctions génératrices} Soit $N$ et $(X_n)_{n\geq 1}$ des variables aléatoires indépendantes intégrables à valeurs dans $\Nn$, les $X_n$ ayant tous la même loi et $P(N=0)=0$. On pose $Y(\omega)=\sum_{n=1}^{N(\omega)}X_n(\omega)$. Exprimer la fonction génératrice de $Y$ en fonction des fonctions génératrices de $N$ et de $X_1$. Puis exprimer l'espérance de $Y$ en fonction de $E(N)$ et de $E(X_1)$. \finenonce{006946} \finexercice \exercice{6947, ruette, 2013/01/24} \enonce{006947}{Fonction génératrice} Soit $X$ une variable aléatoire de loi de Poisson $\mathcal{P}(\lambda)$. \begin{enumerate} \item Calculer la fonction génératrice de $X$. \item Calculer $E(X)$ et $\text{Var}(X)$. \item Soit $Y$ une variable aléatoire de loi de Poisson $\mathcal{P}(\lambda')$, indépendante de $X$. Quelle est la loi de $X+Y$ ? En déduire que $\mathcal{P}(\lambda) *\mathcal{P}(\lambda')=\mathcal{P}(\lambda+\lambda')$. \end{enumerate} \finenonce{006947} \finexercice \exercice{6948, ruette, 2013/01/24} \enonce{006948}{Fonction caractéristique} Soit $X$ une variable aléatoire de loi exponentielle $\mathcal{E}(\lambda)$. Calculer sa fonction caractéristique. \finenonce{006948} \finexercice \exercice{6949, ruette, 2013/01/24} \enonce{006949}{Fonctions caractéristiques} \begin{enumerate} \item Soit $X$ une variable aléatoire de loi de Poisson $\mathcal{P}(\lambda)$. Calculer sa fonction caractéristique. \item Soit $Y$ une variable aléatoire indépendante de $X$ telle que $P_Y=\mathcal{P}(\lambda')$. Quelle est la fonction caractéristique de $X+Y$ ? En déduire que $\mathcal{P}(\lambda)*\mathcal{P}(\lambda')=\mathcal{P}(\lambda+\lambda')$. \end{enumerate} \finenonce{006949} \finexercice \section{ 481.00 Variance, covariance, fonction génératrice } \exercice{6952, ruette, 2013/01/24} \enonce{006952}{Calcul d'espérance et de variance} \begin{enumerate} \item Soit $X$ une variable aléatoire de loi exponentielle $\mathcal{E}(\lambda)$, $\lambda>0$. Calculer l'espérance de $X$. \item Soit $X$ une variable aléatoire de loi de Poisson $\mathcal{P}(\lambda)$, $\lambda>0$. Calculer la variance de $X$. \end{enumerate} \finenonce{006952} \finexercice \exercice{6953, ruette, 2013/01/24} \enonce{006953}{Variance} Soit $X$ une variable aléatoire réelle dans $L^2$. Montrer que $\displaystyle \text{Var}(X)=\min_{t\in\Rr}E((X-t)^2)$. \finenonce{006953} \finexercice \section{ 482.00 Convergence de variables aléatoires } \exercice{6950, ruette, 2013/01/24} \enonce{006950}{Lemme de Borel-Cantelli **} Soit $(X_n)_{n\geq 1}$ une suite de variables aléatoires indépendantes de même loi exponentielle $\mathcal{E}(1)$. %de densité $\I1_{\Rr_+}(x)e^{-x}$. \begin{enumerate} \item En utilisant le lemme de Borel-Cantelli, montrer que $$ P(X_n>\alpha \ln n\mbox{ pour une infinité de }n)=\left\{ \begin{array}[c]{ll}0 \mbox{ si } \alpha>1\\ 1\mbox{ si }\alpha\leq 1 \end{array}\right. $$ \item En déduire que $\displaystyle\limsup_{n\to+\infty} \frac{X_n}{\ln n}=1$ presque sûrement. \end{enumerate} \finenonce{006950} \finexercice \exercice{6951, ruette, 2013/01/24} \enonce{006951}{Convergence en probabilité **} \begin{enumerate} \item Montrer que pour tout $x>0$, $$ e^{-x^2/2}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x^3}\right)\leq \int_x^{+\infty}e^{-t^2/2}dt\leq e^{-x^2/2}\frac{1}{x}. $$ {\it Indication : on pourra intégrer par parties $t^{-1}te^{-t^2/2}$.} \item Soit $(X_n)_{n\geq 1}$ une suite de variables aléatoires indépendantes de même loi $\mathcal{N}(0,1)$. Montrer que $\displaystyle\frac{\max_{1\leq i\leq n} X_i}{\sqrt{2\ln n}}$ tend vers~$1$ en probabilité. \end{enumerate} \finenonce{006951} \finexercice \section{ 483.00 Lois des grands nombres, théorème central limite } \section{ 484.00 Estimateur } \section{ 485.00 Tests sur la moyenne, test du chi2 } \section{ 486.00 Chaînes de Markov } \section{ 487.00 Autre } \finfiche \finenonces \finindications \noindication \noindication \indication{000106} Attention : la n\'egation d'une in\'egalit\'e stricte est une in\'egalit\'e large (et r\'eci\-pro\-quement). \finindication \noindication \noindication \indication{000109} Faire un dessin de $F_1$ et de $F_2$. Essayer de voir si la difficult\'e pour r\'ealiser les assertions vient de $\epsilon$ ``petit'' (c'est-\`a-dire proche de $0$) ou de $\epsilon$ ``grand'' (quand il tend vers $+\infty$). \finindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \indication{000119} En fait, on a toujours : $\frac{2n+1}{n+2} \leq 2$. Puis chercher une condition sur $n$ pour que l'in\'egalit\'e $$2-\epsilon < \frac{2n + 1}{n + 2}$$ soit vraie. \finindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \indication{000123} Il est plus facile de raisonner en prenant un \'el\'ement $x\in E$. Par exemple, soit $F, G$ des sous-ensembles de $E$. Montrer que $F\subset G$ revient à montrer que pour tout $x\in F$ alors $x\in G$. Et montrer $F=G$ est \'equivalent \`a $x\in F$ si et seulement si $x\in G$, et ce pour tout $x$ de $E$. Remarque : pour montrer $F=G$ on peut aussi montrer $F\subset G$ puis $G\subset F$. Enfin, se rappeler que $x\in \complement F$ si et seulement si $x\notin F$. \finindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \indication{000150} Par l'absurde, supposer qu'il existe $p\in \Nn$ tel que $f=f_p$. Puis pour un tel $p$, \'evaluer $f$ et $f_p$ en une valeur bien choisie. \finindication \indication{000151} Pour la premi\`ere question vous pouvez raisonner par contraposition ou par l'absurde. \finindication \noindication \noindication \noindication \indication{000155} \begin{enumerate} \item R\'ecurrence : calculer $x_{n+1}-3$. \item Calculer $x_{n+1}-3 - \frac{3}{2}(x_n-3)$. \item R\'ecurrence. \end{enumerate} \finindication \noindication \indication{000157} Pour les deux questions, travailler par r\'ecurrence. \finindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \indication{007014} Calculer les premiers termes de la suite. \finindication \indication{007015} Calculer les premiers termes de la suite. \finindication \indication{007016} Récurrence double. \finindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \indication{007024} Procéder par récurrence forte. \finindication \indication{007025} Procéder par récurrence forte. \finindication \noindication \indication{007036} Montrer par récurrence sur $m$ que pour tout $N\geq 2$ et tout $m \in \llbracket 2, N\rrbracket$, \[ \sqrt{m\sqrt{(m+1)\sqrt{...\sqrt{(N-1)\sqrt{N}}}}} < m+1.\] \finindication \noindication \noindication \indication{007039} Considérer le sous-ensemble (sous-monoïde) de $\N$ suivant : \[ \{3k+4l\mid k,l \in \N\}.\] Pour le cas général, considérer le pgcd de $a$ et $b$. \finindication \noindication \noindication \indication{007042} Calculer les premiers termes de la suite. \finindication \noindication \noindication \noindication \indication{007046} Montrer que pour $n>1$, le réel $u_n$ s'écrit comme le quotient d'un entier impair par un entier pair. Pour $n$ pair, exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$. Pour $n$ impair, utiliser le fait que \[ u_{n+1} := \left(1+\frac13 + \frac 15 + ... + \frac1n \right) + \left(\frac12 + \frac 14 + ... + \frac{1}{n+1}\right).\] \finindication \noindication \noindication \indication{000209} Un dessin permettra d'avoir une bonne id\'ee de ce qui se passe... \finindication \indication{000210} Il faut trouver l'erreur dans ce raisonnement, car bien s\^ur s'il y a trois axiomes pour la d\'efinition d'une relation d'\'equivalence, c'est que deux ne suffisent pas ! \finindication \noindication \indication{000212} \begin{enumerate} \item Pour la transitivit\'e on pourra calculer $xye^z$. \item Poser la fonction $t \mapsto \frac t {e^t}$, apr\`es une \'etude de fonction on calculera le nombre d'ant\'ec\'edents possibles. \end{enumerate} \finindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \indication{007191} Regarder par exemple la divisibilité sur $\N$. \finindication \indication{007192} Considérer une certaine relation d'équivalence sur $E$ et écrire que $E$ est réunion disjointe des classes d'équivalence. \finindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \indication{000185} Prouver que l'\'egalit\'e est fausse. \finindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \indication{000190} \begin{enumerate} \item $f$ est injective mais pas surjective. \item $g$ est bijective. \item $h$ aussi. \item $k$ est injective mais par surjective. \end{enumerate} \finindication \indication{000191} \begin{enumerate} \item $f$ n'est ni injective, ni surjective. \item Pour $y\in \Rr$, r\'esoudre l'\'equation $f(x)=y$. \item On pourra exhiber l'inverse. \end{enumerate} \finindication \noindication \indication{000193} Pour la premi\`ere assertion le d\'ebut du raisonnement est : ``supposons que $g\circ f$ est injective, soient $a,a'\in A$ tels que $f(a)=f(a')$'',... \`a vous de travailler, cela se termine par ``...donc $a=a'$, donc $f$ est injective.'' \finindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \indication{000199} $id$ est l'application identité définie par $id(x)=x$ pour tout $x\in[0,1]$. Donc $f \circ f= id$ signifie $f\circ f(c) = x$ pour tout $x\in[0,1]$. \finindication \indication{000200} Montrer que la restriction de $f$ définie par : $[0,2\pi[ \longrightarrow \mathbb{U}$, $t\mapsto e^{it}$ est une bijection. Ici $\mathbb{U}$ est le cercle unit\'e de $\Cc$, c'est-\`a-dire l'ensemble des nombres complexes de module \'egal \`a $1$. \finindication \noindication \indication{000202} Montrer que $f$ est injective et surjective. \finindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \indication{000220} \'Evaluer $(1+x)^n$ en $x=1$, d'une part directement et ensuite avec la formule du bin\^ome de Newton. Pour la deuxi\`eme \'egalit\'e commencer par d\'eriver $x\mapsto(1+x)^n$. \finindication \noindication \indication{000222} Commencer par $2^{n} = (3-1)^{n}$. \finindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \indication{000229} $1+i= \frac{\sqrt2}2e^{\frac{2i\pi}{4}}$ \finindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \indication{000236} Tout d'abord faire un dessin (avec des patates !). Pour $A$ et $B$ deux ensembles finis quelconques, commencer par (re)démontrer la formule : $\text{Card\,} A\cup B = \text{Card\,} A + \text{Card\,} B - \text{Card\,} A\cap B$. \finindication \indication{000237} Combien y-a-t'il de choix pour l'\'el\'ement de $A$ ? Combien y-a-t'il de choix pour le sous-ensemble de $E\setminus A$ ? \finindication \noindication \indication{000239} Petits rappels : dans un jeu de $52$ cartes il y a $4$ ``couleurs'' (pique, c{\oe}ur, carreau, trèfle) et $13$ ``valeurs'' ($1 =$ As, $2,3,\ldots,10$, Valet, Dame, Roi). Une ``main'' c'est juste choisir $5$ cartes parmi les $52$, l'ordre du choix n'important pas. \finindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \indication{002918} Si $\{x_1, \dots, x_p\}$ est une telle partie avec $x_1 < x_2 < \dots < x_p$, consid{\'e}rer l'ensemble $\{ x_1-1, \dots, x_p-p\}$. \finindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \indication{005284} Coder un chemin par un mot : $D$ pour droite, $H$ pour haut. \finindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \indication{000249} Il ne faut surtout pas chercher \`a calculer $15!=1\times2\times3\times4\times\cdots\times15$, mais profiter du fait qu'il est d\'ej\`a ``presque'' factoris\'e. \finindication \indication{000250} Il faut travailler modulo $13$, tout d'abord r\'eduire $100$ modulo $13$. Se souvenir que si $a\equiv b \pmod{13}$ alors $a^k\equiv b^k \pmod{13}$. Enfin calculer ce que cela donne pour les exposants $k=1,2,3,\ldots$ en essayant de trouver une r\`egle g\'en\'erale. \finindication \indication{000251} Attention le reste d'une division euclidienne est plus petit que le quotient ! \finindication \noindication \noindication \indication{000254} Utiliser les modulos (ici modulo $8$), un entier est divisible par $8$ si et seulement si il est \'equivalent \`a $0$ modulo $8$. Ici vous pouvez commencer par calculer $7^n \pmod{8}$. \finindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \indication{000285} \begin{enumerate} \item \'Ecrire $n=2p+1$. \item \'Ecrire $n=2p$ et discuter selon que $p$ est pair ou impair. \item Utiliser la premi\`ere question. \item Par l'absurde supposer que cela s'\'ecrive comme un carr\'e, par exemple $a^2+b^2+c^2=n^2$ puis discuter selon que $n$ est pair ou impair. \end{enumerate} \finindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \indication{000305} Commencer par simplifier l'équation ! Ensuite trouver une solution particulière $(x_0,y_0)$ à l'aide de l'algorithme d'Euclide par exemple. Ensuite trouver un expression pour une solution générale. \finindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \indication{000336} Pour 1. utiliser l'\'egalit\'e $$x^b-1 = (x-1)(x^{b-1}+\cdots+x+1).$$ Pour 2. raisonner par contraposition et utiliser la question 1. La question 3. est difficile ! Supposer $a\ge b$. Commencer par montrer que $\pgcd(2^a-1,2^b-1) = \pgcd(2^a-2^b,2^b-1) = \pgcd(2^{a-b}-1,2^b - 1)$. Cela vour permettra de comparer l'agorithme d'Euclide pour le calcul de $\pgcd(a,b)$ avec l'algorithme d'Euclide pour le calcul de $\pgcd(2^a-1,2^b-1)$. \finindication \indication{000337} Raisonner par l'absurde et utiliser le lemme de Gauss. \finindication \noindication \indication{000339} \begin{enumerate} \item \'Ecrire $$C_p^i = \frac{p(p-1)(p-2)\ldots(p-(i+1))}{i!}$$ et utiliser le lemme de Gauss ou le lemme d'Euclide. \item Raisonner avec les modulos, c'est-\`a-dire prouver $a^p \equiv a \pmod{p}$. \end{enumerate} \finindication \noindication \indication{000341} \begin{enumerate} \item Il faut \^etre tr\`es soigneux : $n$ est fix\'e une fois pour toute, la r\'ecurrence se fait sur $k \ge 1$. \item Utiliser la question pr\'ec\'edente avec $m=n+k$. \item Par l'absurde, supposer qu'il y a seulement $N$ nombres premiers, consid\'erer $N+1$ nombres du type $F_i$. Appliquer le ``principe du tiroir'' : \emph{si vous avez $N+1$ chaussettes rang\'ees dans $N$ tiroirs alors il existe (au moins) un tiroir contenant (plus de) deux chaussettes.} \end{enumerate} \finindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \indication{000349} Raisonner par contraposition (ou par l'absurde) : supposer que $n$ n'est pas de la forme $2^k$, alors $n$ admet un facteur irr\'eductible $p>2$. Utiliser aussi $x^p+1 = (x+1)(1-x+x^2-x^3+\ldots+x^{p-1})$ avec $x$ bien choisi. \finindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \indication{000001} Pour se ``débarrasser'' d'un dénominateur écrivez $\frac{z_1}{z_2} = \frac{z_1}{z_2}\cdot \frac{\bar z_2}{\bar z_2} = \frac{z_1 \bar z_2}{ |z_2|^2}$. \finindication \noindication \indication{000003} Il faut bien connaître ses formules trigonométriques. En particulier si l'on connait $\cos(2\theta)$ ou $\sin(2\theta)$ on sait calculer $\cos \theta$ et $\sin \theta$. \finindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \indication{000011} Passez à la forme trigonométrique. Souvenez-vous des formules sur les produits de puissances : $$e^{ia}e^{ib} = e^{i(a+b)}\text{ et } e^{ia} / e^{ib} = e^{i(a-b)}.$$ \finindication \noindication \indication{000013} Pour calculer un somme du type $e^{iu}+e^{iv}$ il est souvent utile de factoriser par $e^{i\frac{u+v}{2}}$. \finindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \indication{000020} Utiliser la formule d'Euler pour faire appara\^{\i}tre des cosinus. \finindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \indication{007209} Remarquer que la conjugaison est involutive. On peut aussi utiliser la forme algébrique. \finindication \indication{007210} Remarquer que si $z\in\C$ est solution, alors $z^2$ est forcément un nombre réel. \finindication \noindication \noindication \noindication \noindication \indication{000027} Pour $z= a+ib$ on cherche $\omega = \alpha + i \beta$ tel que $(\alpha +i \beta)^2 = a+ib$. Développez et indentifiez. Utilisez aussi que $|\omega|^2 = |z|$. \finindication \noindication \indication{000029} Il s'agit de calculer les racines carrées de $\frac{1+i}{\sqrt{2}} = e^{i\frac{\pi}{4}}$ de deux fa\c{c}ons différentes. \finindication \noindication \indication{000031} Pour les équation du type $az^4+bz^2+c=0$, poser $Z=z^2$. \finindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \indication{000047} Calculer $(1-z)S_n$. \finindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \indication{000060} Le premier ensemble est une droite le second est un cercle. \finindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \indication{000069} Pour l'interprétation géométrique cherchez le parallélogramme. \finindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \indication{007147} Les deux similitudes se déduisent l'une de l'autre par une certaine réflexion. \finindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \indication{000080} Appliquer deux fois la formule de Moivre en remarquant $e^{i5\theta}=(e^{i\theta})^5$. \finindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \indication{000378} Si $P=P'Q$ avec $P\not=0$, regarder le degré de $Q$. \finindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \indication{006957} Le calcul du pgcd se fait par l'algorithme d'Euclide, et la "remontée" de l'algorithme permet d'obtenir $U$ et $V$. \finindication \indication{006958} Calculer $\pgcd(P,P')$. \finindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \indication{003253} Si $X^p-a = PQ$ avec $P,Q\in K[X]$ unitaires non constants, factoriser $P$ dans~$\C$ et consid{\'e}rer $P(0)$. \finindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \indication{006960} Montrer que si $P$ est un polynôme non constant vérifiant la relation, alors ses seules racines possibles sont $0$ et $1$. \finindication \indication{006961} Pour l'existence, preuve par récurrence sur $n$. Pour les racines, montrer que $P(x)=2\cos(n\Arccos(x/2))$. \finindication \noindication \noindication \noindication \noindication \indication{000445} Attention il y a une partie enti\`ere, la fraction s'\'ecrit $$\Phi = x+1+{4x^2-6x+1\over2x^3-x^2}.$$ \finindication \indication{000446} Il y a une partie enti\`ere qui vaut $2$. \finindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \indication{006964} \'Ecrire $F=\frac{P}{Q}$ sous forme irréductible. \finindication \indication{006965} \'Ecrire $G=\frac{A}{B}$ sous forme irréductible (on pourra choisir par exemple $n=\mathrm{max}(\mathrm{deg}A,\mathrm{deg}B)$). \finindication \indication{006966} Considérer $P'/P$ et sa dérivée, et enfin $P''/P$. \finindication \indication{006967} Pour $G$ et $H$, commencer par faire une division euclidienne pour trouver la partie polynomiale. \finindication \indication{006968} Les fractions $F, K$ ont une partie polynomiale, elles s'écrivent $F=X^2+X+1+\frac{X^2+X+1}{X^3-X}$ $K=X+1+\frac{4X^2-6X+1}{2X^3-X^2}$ \finindication \indication{006969} Pour $F$, commencer par écrire $F=\frac{a}{X}+F_1$ où $F_1=\frac{N}{(X^2+1)^3}$ puis diviser $N$ par $X^2+1$. Pour $K$, commencer par obtenir $K=1+\frac{1}{X}+K_1$, puis faire le changement d'indéterminée dans $K_1$. \finindication \noindication \noindication \indication{006972} Pour 1. exprimer $\cos\big((n+2)\theta\big)$ et $\cos(n\theta)$ en fonction de $\cos\big((n+1)\theta\big)$. Pour 3. chercher les racines de $T_n$ : $\omega_k=\cos\left(\frac{(2k+1)\pi}{2n}\right)$ pour $k=0,\ldots,n-1$. \finindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \indication{000886} \begin{enumerate} \item $E_1$ est un sous-espace vectoriel. \item $E_2$ n'est pas un sous-espace vectoriel. \item $E_3$ est un sous-espace vectoriel. \item $E_4$ n'est pas un sous-espace vectoriel. \end{enumerate} \finindication \noindication \indication{000888} \begin{enumerate} \item $E_1$ est un sous-espace vectoriel de $\Rr^3$ si et seulement si $a=0$. \item $E_2$ est un sous-espace vectoriel. \item $E_3$ n'est pas un espace vectoriel. \item $E_4$ n'est pas un espace vectoriel. \end{enumerate} \finindication \noindication \noindication \noindication \noindication \indication{000893} \begin{enumerate} \item Pour le sens $\Rightarrow$ : raisonner par l'absurde et prendre un vecteur de $F\setminus G$ et un de $G\setminus F$. Regarder la somme de ces deux vecteurs. \item Raisonner par double inclusion, revenir aux vecteurs. \end{enumerate} \finindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \indication{006868} On v\'erifiera sur ces exemples la d\'efinition donn\'ee en cours. \finindication \indication{006869} \begin{enumerate} \item Discuter suivant la dimension des sous-espaces. \item Penser aux droites vectorielles. \end{enumerate} \finindication \noindication \noindication \noindication \indication{000900} On ne peut pas pour le premier, mais on peut pour le second. \finindication \indication{000901} $E$ est un sous-espace vectoriel de $\Rr^4$. Une base comporte trois vecteurs. \finindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \indication{000908} Montrer la double inclusion. Utiliser le fait que de mani\`ere g\'en\'erale pour $E=\mathrm{Vect}(v_1,\ldots,v_n)$ alors : $$E\subset F \iff \forall i=1,\ldots,n \quad v_i\in F.$$ \finindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \indication{000916} Supposer qu'il existe des r\'eels $\lambda_1,\ldots, \lambda_n$ et des indices $\alpha_1,\ldots,\alpha_n$ (tout cela en nombre fini !) tels que $$\lambda_1f_{\alpha_1}+\cdots+\lambda_nf_{\alpha_n} = 0.$$ Ici le $0$ est la fonction constante \'egale \`a $0$. \'Evaluer cette expression en des valeurs bien choisies. \finindication \indication{000917} Supposer qu'il existe des r\'eels $\lambda_1,\ldots, \lambda_n$ et des indices $\alpha_1 > \alpha_2 > \cdots > \alpha_n$ (tout cela en nombre fini !) tels que $$\lambda_1f_{\alpha_1}+\cdots+\lambda_nf_{\alpha_n} = 0.$$ Ici le $0$ est la fonction constante \'egale \`a $0$. Regarder quel terme est dominant et factoriser. \finindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \indication{006870} \begin{enumerate} \item On pensera \`a poser un syst\`eme. \item Trouver un vecteur non-nul commun aux deux plans. \end{enumerate} \finindication \noindication \indication{000919} \begin{enumerate} \item Vrai. \item Vrai. \item Faux. \item Faux. \item Vrai. \end{enumerate} \finindication \indication{000920} \begin{enumerate} \item Non. \item Oui. \item Non. \item Non. \end{enumerate} \finindication \noindication \noindication \indication{000923} Soit $$G= \left\lbrace x \mapsto ax+b \mid (a,b) \in \Rr^2 \right\rbrace.$$ Montrer que $G$ est un suppl\'ementaire de $F$ dans $E$. \finindication \noindication \noindication \indication{000926} Pour une suite $(u_n)$ qui converge vers $\ell$ regarder la suite $(u_n-\ell)$. \finindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \indication{006871} \begin{enumerate} \item Jamais. \item Jamais. \item Considérer un vecteur directeur de la droite. \end{enumerate} \finindication \noindication \noindication \noindication \indication{000981} \^Etre une base, c'est être libre et génératrice. Chacune de ces conditions se vérifie par un système linéaire. \finindication \noindication \noindication \noindication \indication{000985} \begin{enumerate} \item Faux. \item Vrai. \end{enumerate} \finindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \indication{000992} Il suffit de montrer que la famille est libre (pourquoi ?). Prendre ensuite une combinaison linéaire nulle et regarder le terme de plus haut degré. \finindication \noindication \noindication \noindication \indication{000996} C'est une base pour $t\neq \pm 1$. \finindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \indication{001006} Il n'y a aucune difficulté. C'est comme dans $\Rr^3$ sauf qu'ici les coefficients sont des nombres complexes. \finindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \indication{001015} Partir d'une base $(e_1,\ldots, e_k)$ de $F\cap G$ et la compl\'eter par des vecteurs $(f_1,\ldots,f_\ell)$ en une base de $F$. Repartir de $(e_1,\ldots, e_k)$ pour la compléter par des vecteurs $(g_1,\ldots,g_m)$ en une base de $G$. Montrer que $(e_1,\ldots, e_k,f_1,\ldots,f_\ell,g_1,\ldots,g_m)$ est une base de $F+G$. \finindication \indication{001016} On peut utiliser des familles libres. \finindication \noindication \noindication \indication{001019} Calculer d'abord les dimensions de $F$ et $G$. Pour celles de $F\cap G$ et $F+G$ servez-vous de la formule $\dim (F+G) = \dim F + \dim G - \dim (F\cap G)$. \finindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \indication{000929} Une seule application n'est pas lin\'eaire. \finindication \indication{000930} Prendre une combinaison lin\'eaire nulle et l'\'evaluer par $\phi^{n-1}$. \finindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \indication{000934} Faire un dessin de l'image et du noyau pour $f: \Rr\times \Rr \longrightarrow \Rr$. Montrer que le noyau est isomorphe à $E_1 \cap E_2$. \finindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \indication{000943} Pour chacune des implications utiliser la formule du rang. \finindication \noindication \noindication \noindication \indication{000947} Dire qu'un sous-espace $F$ est stable par $g$ signifie que $g(F) \subset F$. \finindication \noindication \indication{000949} Montrer la double inclusion. \finindication \noindication \noindication \noindication \noindication \indication{000954} $t=0$ est un cas à part. \finindication \noindication \noindication \noindication \noindication \indication{000959} Résultats utiles d'arithmétique des polynômes : la division euclidienne, le théorème de Bézout, le lemme de Gauss. \finindication \noindication \noindication \noindication \indication{000963} Pour une base $\mathcal{B} =\{ e_1, \ldots , e_n \}$ de $E$ considérer la famille $\{ \phi (e_1), \ldots, \phi (e_n) \} $. \finindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \indication{000974} Pour une fonction $f$ on peut \'ecrire $$f(x)= \frac{f(x)+f(-x)}{2}+\frac{f(x)-f(-x)}{2}.$$ Le projecteur sur $P$ de direction $I$ est l'application $\pi : E \longrightarrow E$ qui vérifie $\pi(f)\in P$, $\pi \circ \pi = \pi$ et $\ker \pi = I$. \finindication \noindication \indication{000976} $P'$ désigne la dérivée de $P$. Pour trouver le noyau, résoudre une équation différentielle. Pour l'image calculer les $f(X^k)$. \finindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \indication{001052} Une fois que l'on a calculé $A^2$ et $A^3$ on peut en déduire $A^{-1}$ sans calculs. \finindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \indication{001061} Il faut connaître les formules de $\cos(\theta+\theta')$ et $\sin(\theta+\theta')$. \finindication \noindication \indication{001063} Essayer avec $X$ la matrice élémentaire $E_{ij}$ (des zéros partout sauf le coefficient $1$ à la $i$-ème ligne et la $j$-ème colonne). \finindication \indication{001064} Appliquer la formule du produit pour calculer les coefficients diagonaux de $A\ {}^{t}\!{A}$ \finindication \noindication \noindication \noindication \noindication \indication{001069} Prendre un vecteur $X=\left( \begin{array}{c} x_1\\ \vdots\\ x_n \end{array} \right)$ tel que $AX=0$, considérer le rang $i_0$ tel $|x_{i_0}|=\max\big\{|x_i| \mid i=1,...,n\big\}$. \finindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \indication{002444} $A$ est \emph{idempotente} s'il existe un $n$ tel que $A^n=I$ (la matrice identité). $A$ est \emph{nilpotente} s'il existe un $n$ tel que $A^n=(0)$ (la matrice nulle). \finindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \indication{001087} $f$ est l'application qui à $\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$ associe $\begin{pmatrix}x-y\\0\end{pmatrix}$. \finindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \indication{003380} $M$ antisymétrique signifie ${}^{t}\!{M}=-M$. \begin{enumerate} \item Si $Y$ est un vecteur alors ${}^t\!Y Y = \| Y\|^2$ est un réel positif ou nul. \item $I-M$ et $(I+M)^{-1}$ commutent. \end{enumerate} \finindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \indication{002475} Il faut trouver les propriétés de l'application linéaire $f$ associée à chacune de ces matrices. Les résultats s'expriment en explicitant une (ou plusieurs) matrice $M'$ qui est la matrice de $f$ dans une base bien choisie et ensuite en montrant que toutes les autres matrices sont de la forme $M=P^{-1}M'P$. Plus en détails pour chacun des cas : \begin{enumerate} \item $\Im f \subset \Ker f$ et discuter suivant la dimension du noyau. \item Utiliser l'exercice \ref{exo1093} : $\Ker f \oplus \Im f$ et il existe une base telle que $f(e_i)=0$ ou $f(e_i)=e_i$. \item Poser $N= \frac{I+M}{2}$ (et donc $M=\cdots$) chercher à quelle condition $M^2=I$. \end{enumerate} \finindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \indication{000451} \begin{enumerate} \item Raisonner par l'absurde. \item Raisonner par l'absurde en \'ecrivant $\sqrt2=\frac pq$ avec $p$ et $q$ premiers entre eux. Ensuite plusieurs méthodes sont possibles par exemple essayer de montrer que $p$ et $q$ sont tous les deux pairs. \item Considérer $r + \frac{\sqrt 2}{2}(r'-r)$ (faites un dessin !) pour deux rationnels $r,r'$. Puis utiliser les deux questions pr\'ec\'edentes. \end{enumerate} \finindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \indication{000457} \begin{enumerate} \item Calculer $\beta^n p(\frac \alpha \beta)$ et utiliser le lemme de Gauss. \item Utiliser la premi\`ere question avec $p(x)=(x^2-5)^2-24$. \end{enumerate} \finindication \noindication \indication{000459} \begin{enumerate} \item Mutiplier $N_n$ par une puissance de $10$ suffisament grande pour obtenir un nombre entier. \item Mutiplier $M$ par une puissance de $10$ suffisament grande (pas trop grande) puis soustraire $M$ pour obtenir un nombre entier. \end{enumerate} \finindication \noindication \indication{000461} Raisonner par l'absurde ! \finindication \noindication \noindication \indication{000506} \'Ecrire la d\'efinition de la convergence d'une suite $(u_n)$ avec les ``$\epsilon$''. Comme on a une proposition qui est vraie pour tout $\epsilon >0$, c'est en particulier vrai pour $\epsilon =1$. Cela nous donne un ``$N$''. Ensuite s\'eparez la suite en deux : regardez les $n 0$, en d\'eduire la d\'ecroissance de $(a_n)$. En calculant $f_n(\frac 12)$ montrer que la suite $(a_n)$ est minor\'ee par $\frac 12$. \item Une fois \'etablie la convergence de $(a_n)$ vers une limite $\ell$, composer l'in\'egalit\'e $ \frac 12 \leqslant \ell < a_n$ par $f_n$. Conclure. \end{enumerate} \finindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \indication{001938} \begin{enumerate} \item Calculer $(1-3^{-1})\sum_{n \geq 0} (n+1)3^{-n}$. \end{enumerate} \finindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \indication{000639} \begin{enumerate} \item On pourra utiliser la variante de l'in\'egalit\'e triangulaire $|x-y|\geq \big| |x|-|y| \big|$. \item Utiliser la premi\`ere question pour montrer que $|f-g|$ est continue. \end{enumerate} \finindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \indication{000645} Ce n'est pas tr\`es dur mais il y a quand m\^eme quelque chose \`a d\'emontrer : ce n'est pas parce que $f(x)$ vaut $+1$ ou $-1$ que la fonction est constante. Raisonner par l'absurde et utiliser le th\'eor\`eme des valeurs interm\'ediaires. \finindication \indication{000646} Il faut raisonner en deux temps : d'abord \'ecrire la d\'efinition de la limite en $+\infty$, en fixant par exemple $\epsilon =1$, cela donne une borne sur $[A,+\infty]$. Puis travailler sur $[0,A]$. \finindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \indication{000653} Un \emph{point fixe} est une valeur $c \in [0,1]$ telle que $f(c)=c$. Montrer que $c = \sup E$ est un point fixe. Pour cela montrer que $f(c) \leqslant c$ puis $f(c) \geqslant c$. \finindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \indication{000662} Non, trouver un contre-exemple. \finindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \indication{000669} \begin{enumerate} \item On pourra montrer que $\sup_{a\leq x \leq b} f(x)$ est un majorant de $f$ sur $]a,b[$. \item Dans le cas $x_0=a$, par exemple, on pourra consid\'erer la suite de r\'eels $a_n=a+1/n$ et \'etudier la suite $(f(a_n))$. \end{enumerate} \finindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \indication{000670} Le ``$\epsilon$'' vous est donné, il ne faut pas y toucher. Par contre c'est à vous de trouver le ``$\delta$''. \finindication \indication{000671} Distinguer trois intervalles pour la formule définissant $f^{-1}$. \finindication \indication{000672} Le seul probl\`eme est en $x=0$. Montrer que la fonction est bien continue en ce point. \finindication \noindication \noindication \noindication \noindication \indication{000677} Oui pour le deux premi\`eres en posant $f(0)=0$, $g(0)=0$, non pour la troisi\`eme. \finindication \noindication \noindication \indication{000680} Pour $x$ fix\'e, \'etudier la suite $f(\frac 1{2^n} x)$. \finindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \indication{000609} Utiliser l'expression conjugu\'ee. \finindication \noindication \noindication \indication{000612} \begin{enumerate} \item Raisonner par l'absurde. \item Montrer que la limite est la borne sup\'erieure de l'ensemble des valeurs atteintes $f(\Rr)$. \end{enumerate} \finindication \noindication \noindication \noindication \indication{000616} Réponses : \begin{enumerate} \item La limite \`a droite vaut $+2$, la limite \`a gauche $-2$ donc il n'y a pas de limite. \item $-\infty$ \item $4$ \item $2$ \item $\frac 12$ \item $0$ \item $\frac 13$ en utilisant par exemple que $a^3-1 = (a-1)(1+a+a^2)$ pour $a = \sqrt[3]{1+x^2}$. \item $\frac 1n$ \end{enumerate} \finindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \indication{000628} \begin{enumerate} \item Calculer d'abord la limite de $f(x) = \frac{x^k-\alpha^k}{x-\alpha}$. \item Utiliser $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$ et faire un changement de variable $u = \cos x$. \item Utiliser l'expression conjugu\'ee. \item Diviser num\'erateur et d\'enominateur par $\sqrt{x-\alpha}$ puis utiliser l'expression conjugu\'ee. \item On a toujours $y-1 \leq E(y) \leq y$, poser $y=1/x$. \item Diviser num\'erateur et d\'enominateur par $x-2$. \item Pour $\alpha \geq 4$ il n'y a pas de limite, pour $\alpha <4$ la limite est $+\infty$. \end{enumerate} \finindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \indication{000635} R\'{e}ponses : $0,\frac{1}{e},e.$ \begin{enumerate} \item Borner $\sin\frac 1x$. \item Utiliser que $\ln(1+t) = t \cdot \mu(t)$, pour une certaine fonction $\mu$ qui vérifie $\mu(t) \to 1$ lorsque $t\to 0$. \item Utiliser que $e^t-1 = t \cdot \mu(t)$, pour une certaine fonction $\mu$ qui vérifie $\mu(t) \to 1$ lorsque $t\to 0$. \end{enumerate} \finindication \noindication \indication{000637} R\'{e}ponse: $\max(a,b)$. \finindication \indication{000638} R\'{e}ponse: $\sqrt{ab}$. \finindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \indication{000698} Les probl\`emes sont seulement en $0$ ou $1$. $f_1$ est d\'erivable en $0$ mais pas $f_2$. $f_3$ n'est dérivable ni en $0$, ni en $1$. \finindication \indication{000699} Vous avez deux conditions : il faut que la fonction soit continue (car on veut qu'elle soit d\'erivable donc elle doit \^etre continue) et ensuite la condition de d\'erivabilit\'e proprement dite. \finindication \indication{000700} $f$ est continue en $0$ en la prolongeant par $f(0)=0$. $f$ est alors d\'erivable en $0$ et $f'(0)=0$. \finindication \indication{000701} On ne cherchera pas \`a utiliser la formule de Leibniz mais \`a lin\'eariser les expressions trigonom\'etriques. \finindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \indication{000715} Il faut appliquer le th\'eor\`eme de Rolle une fois au polyn\^ome $(1-t^2)^n$, puis deux fois \`a sa d\'eriv\'ee premi\`ere, puis trois fois \`a sa d\'eriv\'ee seconde,... \finindication \noindication \indication{000717} On peut appliquer le th\'eor\`eme de Rolle plusieurs fois. \finindication \indication{000718} C'est encore Rolle de nombreuses fois \finindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \indication{000724} \begin{enumerate} \item Utiliser le th\'eor\`eme des accroissements finis avec la fonction $t \mapsto \ln t$ \item Montrer d'abord que $f''$ est n\'egative. Se servir du th\'eor\`eme des valeurs interm\'ediaires pour $f'$. \end{enumerate} \finindication \indication{000725} Une fois le th\'eor\`eme des accroissements finis utilis\'e vous obtenez une somme t\'el\'escopique. \finindication \noindication \indication{000727} Le th\'eor\`eme des accroissements finis donne un r\'esultat proche de celui souhait\'e \`a un facteur pr\`es. Pour obtenir la majoration demand\'ee on peut utiliser le th\'eor\`eme de Rolle avec une fonction bien choisie. \finindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \indication{000734} On distinguera les cas $\lambda \geq 0$ et $\lambda < 0$. Pour le cas $\lambda < 0$ on considerera des sous-cas. \finindication \noindication \noindication \noindication \indication{000738} \begin{enumerate} \item Raisonner par l'absurde et appliquer le th\'eor\`eme de Rolle. \item Calculer $h(a)$ et $h(b)$. \item Appliquer la question 2. sur l'intervalle $[x,b]$. \item Calculer $f'$ et $g'$. \end{enumerate} \finindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \indication{001267} Calculer d'abord le dl puis utiliser une formule de Taylor. \finindication \indication{001268} \begin{enumerate} \item La formule à appliquer est celle de Taylor-Lagrange à l'ordre $2$. \item \'Etudier la fonction $\phi(h) = \frac{h}{2}M_2+\frac{2}{h}M_0$ et trouver $\inf_{h>0} \phi(h)$. \item Il faut choisir un $a>0$ tel que $g(x)$ soit assez petit sur $]a,+\infty[$ ; puis appliquer les questions précédentes à $g$ sur cet intervalle. \end{enumerate} \finindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \indication{001243} Pour la première question vous pouvez appliquer la formule de Taylor ou bien poser $h=x-1$ et considérer un dl au voisinage de $h=0$. \finindication \indication{001244} En $x=0$ c'est le quotient de deux dl. En $x=+\infty$, on pose $h=\frac1x$ et on calcule un dl en $h=0$. \finindication \noindication \noindication \indication{002657} Faites un développement faisant intervenir des $x$ et des $\ln x$. Trouvez $\ell=1$. \finindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \indication{006888} \begin{enumerate} \item $\cos x \cdot \exp x = 1 + x - \frac13 x^3 + o(x^3)$ \item $\left( \ln (1+x) \right)^2= x^2-x^3+\frac{11}{12}x^4+ o(x^4)$ \item $\frac{\sh x-x}{x^3} = \frac{1}{3!}+\frac{1}{5!}x^2+\frac{1}{7!}x^4+\frac{1}{9!}x^6 + o(x^6)$ \item $\exp\big(\sin(x)\big)=1+x + \frac12 x^2 - \frac18 x^4+ o(x^4)$ \item $\sin^6 (x) = x^6-x^8 + o(x^9)$ \item $\ln(\cos x) = - \frac{1}{2} x^2 -\frac{1}{12}x^4 -\frac{1}{45}x^6 + o(x^6)$ \item $\frac{1}{\cos x} = 1+\frac{1}{2}x^2+\frac{5}{24}x^4 + o(x^4)$ \item $\tan x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + \frac{17x^7}{315} + o(x^7)$ \item $(1+x)^{\frac{1}{1+x}} = \exp\left( \frac{1}{1+x} \ln(1+x) \right) = 1+x-x^2 + \frac{x^3}{2} + o(x^3)$ \item $\arcsin \left ( \ln(1+x^2) \right ) = x^2-\frac{x^4}{2}+\frac{x^6}{2}+o(x^6)$ \end{enumerate} \finindication \indication{001247} Il s'agit bien sûr de calculer d'abord des dl afin d'obtenir la limite. On trouve : \begin{enumerate} \item $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^{x^2}-\cos x}{x^2} = \frac32$ \item $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\ln (1+x)-\sin x}{x} = 0$ \item $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\cos x-\sqrt{1-x^2}}{x^4}=\frac16$ \end{enumerate} \finindication \noindication \indication{001249} Faire un dl en $x=0$ à l'ordre $2$ cela donne $f(0)$, $f'(0)$ et la position par rapport à la tangente donc tout ce qu'il faut pour répondre aux questions. Idem en $x=1$. \finindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \indication{001265} Il s'agit de faire un dl afin de trouver la limite. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty} \sqrt {x^2+3x+2} +x = + \infty$ \item $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty} \sqrt {x^2+3x+2} +x = -\frac32$ \end{enumerate} \item $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0^+}(\Arctan x )^{\frac{1}{x^2}}=0$ \item $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \frac{(1+3x)^{\frac{1}{3}}-1-\sin x}{1-\cos x}=-2$ \end{enumerate} \finindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \indication{004045} Identifier les dl de $\cos x$ et $\frac{1+ax^2}{1+bx^2}$ en $x=0$. \finindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \indication{000745} Faire un dessin. Calculer l'angle d'observation $\alpha$ en fonction de la distance $x$ et étudier cette fonction. Pour simplifier l'expression de $\alpha_0$, calculer $\tan\alpha_0$ à l'aide de la formule donnant $\tan(a-b)$. \finindication \indication{000746} On pourra \'etudier les fonctions d\'efinies par la diff\'erence des deux termes de chaque in\'egalit\'e. \finindication \indication{000747} Il faut utiliser les identités trigonométriques classiques. \finindication \noindication \indication{000749} On compose les équations par la bonne fonction (sur le bon domaine de définition), par exemple cosinus pour la premi\`ere. Pour la dernière, commencer par étudier la fonction pour montrer qu'il existe une unique solution. \finindication \noindication \noindication \indication{000752} Faire une étude de fonction. La fonction $\text{sgn}(x)$ est la \emph{fonction signe} : elle vaut $+1$ si $x> 0$, $-1$ si $x < 0$ (et $0$ si $x=0$). \finindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \indication{006973} Dériver la différence des deux expressions. \finindication \noindication \noindication \indication{000758} \begin{enumerate} \item Regarder ce qui se passe en deux valeurs oppos\'ees $x$ et $-x$. \item Poser $X = e^x$. \end{enumerate} \finindication \indication{000759} R\'eponses : \begin{enumerate} \item $\frac 34$ ; \item $\ln 2$. \end{enumerate} \finindication \noindication \noindication \noindication \indication{000764} Pour la première question calculer $\frac{1}{\cos^2t}$. Pour la seconde question, vérifier que $y=\ln \left(\tan\left(\frac{t}{2}+\frac{\pi}{4}\right)\right)$ est bien défini et calculer $\sh y$. \finindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \indication{000776} Montrer que l'\'equation $x^y=y^x$ est \'equivalente \`a $\frac{\ln x}{x}= \frac{\ln y}{y}$, puis \'etudier la fonction $x \mapsto \frac{\ln x}{x}$. \finindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \indication{006975} On trouve $-\frac{1+e^{-2x}}{\ln(1+e^{-2x})}$. \finindication \indication{006976} Commencer par calculer $C_n+S_n$ et $C_n-S_n$ à l'aide des fonctions $\ch$ et $\sh$. \finindication \indication{006977} Poser $X=e^x$ et $Y=e^y$ et se ramener à un système d'équations du type somme-produit. \finindication \noindication \indication{006979} On trouve $f(x)=|\ln x|$ pour tout $x>0$. \finindication \indication{006980} Faire le tableau de variations de $f:x\mapsto\Argsh x+\Argch x$. \finindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \indication{002082} Les fonctions continues ne seraient-elles pas intégrables ? \medskip Il faut se souvenir de ce que vaut la somme des $n$ premiers entiers, la somme des carrés des $n$ premiers entiers et la somme d'une suite géométrique. La formule générale pour les sommes de Riemann est que $\int_a^bf(x)d x$ est la limite (quand $n \to +\infty$) de $$S_n = \frac {b-a}n \sum_{k=0}^{n-1} f\left(a+k\frac {b-a}n\right).$$ \finindication \indication{002083} \begin{enumerate} \item On pourra penser que le cosinus et le sinus sont les parties r\'eelles et imaginaires de la fonction $t \mapsto e^{it}$. On chercha donc d'abord \`a calculer $\int_0^{\frac \pi 2} e^{it}\, dt$. \item On choisira $q$ tel que $q^n = \frac ba$. \end{enumerate} \finindication \noindication \indication{002085} \begin{enumerate} \item Revenir à la définition de la continuité en $x_0$ en prenant $\epsilon = \frac {f(x_0)}{2}$ par exemple. \item Soit $f$ est tout le temps de même signe (et alors utiliser la première question), soit ce n'est pas le cas (et alors utiliser un théorème classique...). \item On remarquera que $\int_0^1 f(x) \, dx - \frac 12 = \int_0^1 (f(x) - x) dx$. \end{enumerate} \finindication \indication{002086} Essayez d'encadrer $\int_a^b \frac{f(t)^n}{m^n}dt.$ \finindication \indication{002087} Il s'agit de montrer que la limite vaut $0$. Pour un $\alpha >0$ fix\'e on s\'eparera l'int\'egrale en deux partie selon que $f$ est plus petit ou plus grand que $1-\alpha$. \finindication \noindication \indication{002092} Se ramener \`a une composition de fonctions ou revenir \`a la d\'efinition de la d\'eriv\'ee avec le taux d'accroissement. \finindication \indication{002093} \begin{enumerate} \item Soit faire comme l'exercice \ref{ex:compint}, soit s\'eparer l'int\'egrale en deux, et pour l'une faire un changement de variable $u=x^2$. \item $H(x)$ se calcule explicitement et montrer qu'en fait $H$ est une fonction constante, ensuite il faut comparer $H(x)$ et $F(x)$. \end{enumerate} \finindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \indication{002100} On pourra essayer de reconnaître des sommes de Riemann, puis calculer des intégrales. Pour le produit composer par la fonction $\ln$, afin de transformer le produit en une somme. \finindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \indication{002099} Un dessin ne fait pas de mal ! Il faut ensuite résoudre l'équation $\frac{x^2}2=\frac 1{x^2+1}$ puis calculer deux intégrales. \finindication \noindication \noindication \noindication \noindication \indication{006863} Il faut se ramener au calcul de $\displaystyle \int_0^a b\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}} dx$. \finindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \indication{006865} \begin{enumerate} \item $\int \cos^{1234} x \sin x \, d x = -\frac 1{1235}\cos^{1235}x+c$ (changement de variable $u = \cos x$) \item $\int \frac 1{x\ln x} \, dx=\ln \left| \ln x\right| +c$ (changement de variable $u=\ln x$) \item $\int \frac 1{3+\exp \left( -x\right) }dx=\frac 13\ln \left( 3\exp x+1\right) +c$ (changement de variable $u=\exp x$) \item $\int \frac{1}{\sqrt{4x-x^2}}dx=\arcsin \left( \frac 12x-1\right) +c$ (changement de variable $u=\frac 12x-1$) \end{enumerate} \finindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \indication{006864} \begin{enumerate} \item Pour $\int x^2 \ln x \, dx$ poser $v'=x^2$, $u=\ln x$. \item Pour $\int x \arctan x \, dx$ poser $v'=x$ et $u= \arctan x$. \item Pour les deux il faut faire une intégration par parties avec $v'=1$. \item Pour $\int \cos x\exp x \,dx$ il faut faire deux intégrations par parties. \end{enumerate} \finindication \noindication \noindication \noindication \indication{002096} \begin{enumerate} \item Faire une intégration par parties afin d'exprimer $I_{n+2}$ en fonction de $I_n$. Pour le calcul explicite on distinguera le cas des $n$ pairs et impairs. \item Rappel : $u_n\sim v_n$ est équivalent à $\frac{u_n}{v_n} \to 1$. Utiliser la décroissance de $I_n$ pour encadrer $\frac{I_{n+1}}{I_n}$. \end{enumerate} \finindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \indication{002097} \begin{enumerate} \item Majorer par $x^n$. \item \item On pourra calculer $(I_0+I_1)-(I_1+I_2)+(I_2+I_3)- \cdots$ \end{enumerate} \finindication \noindication \noindication \noindication \indication{002089} Calculer la somme et la diff\'erence de ces deux int\'egrales. \finindication \indication{002095} $\int_0^{\frac \pi 2}\frac 1{1+\sin x}dx=1$ (changement de variables $t=\tan \frac x2$). $\int_0^{\frac \pi 2}\frac{\sin x}{1+\sin x}dx=\frac \pi 2-1$ (utiliser la précédente). \finindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \indication{006866} \begin{enumerate} \item $\int \frac{x+2}{x^2-3x-4}\,dx=-\frac 15\ln \left| x+1\right| +\frac 65\ln \left| x-4\right| +c$ (décomposition en éléments simples) \item $\int \frac{x-1}{x^2+x+1}\,dx= \frac 12 \ln|x^2+x+1| - \sqrt3 \arctan \left( \frac{2}{\sqrt3}\left(x+\frac 12\right) \right) + c$ \item $\int \sin ^8x\cos ^3x \, dx=\frac 19\sin ^9x-\frac 1{11}\sin ^{11}x+c$ \item $\int \frac 1{\sin x} \, dx=\frac 12\ln \left| \frac{1-\cos x}{1+\cos x}% \right| +c=\ln \left| \tan \frac x2\right| +c$ (changement de variable $u=\cos x$ ou $u=\tan \frac x2$) \item $\int \frac{3-\sin x}{2\cos x+3\tan x}\,dx=-\frac 15\ln |2-\sin x| + \frac 75 \ln |1+2\sin x| + c$ (changement de variable $u=\sin x$) \end{enumerate} \finindication \indication{006867} \begin{enumerate} \item $\int_0^{\frac \pi 2}x\sin x \, dx=1$ (intégration par parties $v'=\sin x$, $u=x$) \item $\int_0^1 \frac{e^x}{\sqrt{e^x+1}} \, dx=2\sqrt{e+1} -2\sqrt 2$ (à l'aide du changement de variable $u=e^x$) \item $\int_0^1\frac 1{\left( 1+x^2\right) ^2} \, dx=\frac \pi 8+\frac 14$ (changement de variable $x=\tan t$, $dx = (1+\tan^2 t) dt$ et $1+\tan^2 t = \frac{1}{\cos^2 t}$) \item $\int_0^1\frac{3x+1}{\left( x+1\right) ^2} \, dx=3\ln 2-1$ (décomposition en éléments simples de la forme $\frac{3x+1}{\left( x+1\right) ^2} = \frac{\alpha}{x+1}+\frac{\beta}{(x+1)^2}$) \item $\int_{\frac 12}^2\left( 1+\frac 1{x^2}\right) \arctan x \, dx=\frac{3\pi }4$ (changement de variables $u=\frac 1x$ et $\arctan x+\arctan \frac 1x= \pm \frac \pi 2$) \end{enumerate} \finindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \indication{001143} Développer par rapport à la dernière colonne. \finindication \noindication \indication{001145} Développer par rapport à la première colonne pour obtenir $\Delta_{n-1}$ et un autre déterminant facile à calculer en développant par rapport à sa première ligne. \finindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \indication{002453} Faire les opérations suivantes sur les colonnes $C_n \leftarrow C_n-t_n C_{n-1}$, puis $C_{n-1} \leftarrow C_{n-1}-t_n C_{n-2}$,..., $C_2 \leftarrow C_2-t_nC_1$. Développer par rapport a la bonne ligne et reconnaître que l'on obtient le déterminant recherché mais au rang $n-1$. \finindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \indication{006886} \begin{enumerate} \item Règle de Sarrus. \item Développer par rapport à la deuxième ligne. \item Faire apparaître des $0$ sur la première colonne. \item Utiliser la linéarité par rapports à chaque ligne et chaque colonne pour simplifier les coefficients. \item Faire apparaître des $0$... \item Faire apparaître des $0$... \item Permuter les lignes et les colonnes pour faire apparaître une matrice triangulaire par blocs. \end{enumerate} \finindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \indication{003424} \'Ecrire les polynômes sous la forme $P(x)=ax^3+bx^2+cx+d$. Calculer $ \int_{2}^4 P(x)\; dx$ d'une part et $\alpha P(2) + \beta P(3) + \gamma P(4)$ d'autre part. L'identification conduit à un système linéaire à quatre équations, d'inconnues $\alpha,\beta,\gamma$. \finindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \indication{007026} Se ramener à des systèmes linéaires soit en éliminant les quotients, soit en effectuant un changement de variable. \finindication \noindication \indication{007028} Penser à $(a+b)^2$ et $(a-b)^2$. \finindication \noindication \indication{007030} Prendre le logarithme des équations. \finindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication 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\noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication 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\noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \indication{002985} Utiliser la formule de B{\'e}zout. \finindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \indication{002988} Montrer que l'ensemble des $x$ tq $x^2 \ne e$ est de cardinal pair. \finindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication 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\noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \indication{003151} \begin{enumerate} \item \item $\dot6^2 = -\dot1$. \end{enumerate} \finindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \indication{001784} \begin{enumerate} \item Raisonner \`a l'aide d'une fonction $f$ de la variable $x$ telle que $x+y=f(x)$ et $\lim_{x \to 0} f(x)=0$. \item Trouver deux courbes dans \[ \R^3 \setminus \{(x,y,z);2x^3+yz^2 =0\} \] qui tendent vers l'origine telle que les limites, calcul\'ees le long de ces courbes, existent mais ont des valeurs distinctes. \item Utiliser le fait que le num\'erateur et le d\'enominateur sont toujours positifs et que l'ordre du d\'enominateur est strictement plus grand que celui du num\'erateur. \item Raisonner \`a l'aide d'une fonction $h$ de la variable $y$ telle que $x^2-y^2=h(y)$ et $\lim_{y \to 0} h(y)=0$. \item Chercher deux courbes dans le domaine de d\'efinition qui tendent vers l'origine telle que les limites, calcul\'ees le long de ces courbes, existent mais ont des valeures distinctes. \end{enumerate} \finindication \indication{001785} Diviser le num\'erateur et le d\'enominateur par $x^2$ resp. $y^2$ pour d\'eterminer $\lim_{y\to 0}f(x,y)$ resp. $\lim_{x\to 0}f(x,y)$. Montrer que, calcul\'ee le long d'une autre courbe convenable, $\lim_{(x,y)\to (0,0)} f(x,y)$ existe et ne vaut pas z\'ero. \finindication \noindication \indication{001787} \begin{enumerate} \item R\'efuter l'existence de la limite \`a l'aide de l'\'etude des limites le long de deux courbes adapt\'ees. \item Utiliser les coordonn\'ees polaires dans le plan. \item Si $\lim_{(x,y) \to (x_0,y_0)}h(x,y)$ existe et est non nul alors \[ \lim_{(x,y) \to (x_0,y_0)}\frac{f(x,y)}{h(x,y)}= \frac{\lim_{(x,y) \to (x_0,y_0)}f(x,y)}{\lim_{(x,y) \to (x_0,y_0)}h(x,y)} . \] \item Chercher deux courbes dans le domaine de d\'efinition qui tendent vers l'origine telles que les limites, calcul\'ees le long de ces courbes, existent mais ont des valeures distinctes. \end{enumerate} \finindication \indication{001788} \begin{enumerate} \item Raisonner \`a l'aide d'une fonction $h$ des variables $x$ et $y$ telle que $x+y+z=h(x,y)$ et $\lim_{(x,y) \to (0,0)} h(x,y)=0$. \item Montrer que, d\'ej\`a sous la contrainte suppl\'ementaire $z=0$, la limite ne peut pas exister. \end{enumerate} \finindication \noindication \noindication \noindication \noindication \indication{002621} Pour \'etablir ou r\'efuter l'existences d'une limite particuli\`ere dans le plan et pour ensuite d\'eterminer une limite pourvu qu'elle existe, utiliser le fait que pour que $\lim_{n \to \infty}(x_n,y_n)$ existe dans le plan $\R^2$ il faut et il suffit que chacune des limites $\lim_{n \to \infty}x_n$ et $\lim_{n \to \infty}y_n$ existe en tant que limite finie. \finindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \indication{001800} Il est \'evident que, en tout point $(x,y)$ distinct de l'origine, la fonction $f$ est continue et que les d\'eriv\'ees partielles y existent et sont continues. Il suffit de montrer que $f$ est continue en $(0,0)$ et que les d\'eriv\'ees partielles y existent et y sont continues. \finindication \indication{001801} Pour calculer les d\'eriv\'ees partielles par rapport \`a une variable, interpr\'eter les autres variables comme param\`etres et utiliser les r\`egles de calcul de la d\'eriv\'ee ordinaires. \finindication \noindication \indication{001803} Distinguer tout de suite la partie triviale et la partie non triviale de l'exercice. \finindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \indication{002628} Le plan tangent \`a la surface d'\'equation $f(x,y,z)=0$ au point $(x_0,y_0,z_0)$ est donn\'e par l'\'equation \begin{equation} \frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0,z_0) (x-x_0) +\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0,z_0) (y-y_0)+\frac{\partial f}{\partial z}(x_0,y_0,z_0) (z-z_0) =0. \label{tang1} \end{equation} Dans le cas (1.), les calculs deviennt plus simples avec l'\'equation \[ z^2=19-x^2-y^2. \] \finindication \indication{002629} Ne pas confondre les variables pour l'\'equation de la surface, les variables pour l'\'equation de la tangente en un point, et les coordonn\'ees du point de contact. \finindication \indication{002630} Le plan tangent \`a la surface d'\'equation $z=f(x,y)$ au point $(x_0,y_0,z_0)$ est donn\'e par l'\'equation \begin{equation} z-z_0=\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0) (x-x_0) +\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0) (y-y_0) . \label{tang3} \end{equation} \finindication \indication{002631} Le vecteur normal de la surface d'\'equation $f(x,y,z)=0$ au point $(x_0,y_0,z_0)$ est le vecteur \begin{equation} \left (\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0,z_0), \frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0,z_0), \frac{\partial f}{\partial z}(x_0,y_0,z_0) \right) . \label{normal} \end{equation} %Utiliser plut\^ot l'\'equation $f(x,y,z)=x^2+y^2-z^2=0$ du c\^one $C$. \finindication \indication{002632} Utiliser la version \eqref{tang3} de l'\'equation d'un plan tangent \`a une surface en un point. \finindication \indication{002633} Pour les majorations, utiliser les coordonn\'ees polaires $(r,\varphi)$ dans le plan. Distinguer tout de suite les parties triviales des parties non triviales de l'exercice. \finindication \indication{002634} Prendre \begin{align*} f(x,y)&=\exp[\sin(\pi+x)\cos y]=\exp[-\sin x \cos y ], \\ h(x,y)&=\arctan[\sqrt{4+x}-2\exp(y)] . \end{align*} \finindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \indication{002622} Pour calculer les d\'eriv\'ees partielles par rapport \`a une variable, interp\'eter les autres variables comme param\`etres et utiliser les r\`egles de calcul de la d\'eriv\'ee ordinaires. \finindication \indication{002623} Interpr\'eter la d\'eriv\'ee directionnelle \`a l'aide de l'intersection du graphe de la fonction avec un plan convenable. \finindication \indication{002624} \begin{enumerate} \item Utiliser les coordonn\'ees polaires $(r,\varphi)$ dans le plan et le fait que $\lim_{\begin{smallmatrix} r \to 0\\ r >0 \end{smallmatrix}} r \log r =0$. \end{enumerate} \finindication \indication{002625} \begin{enumerate} \item Pour r\'efuter la diff\'erentiabilit\'e de $f$ en $(0,0)$, il suffit de trouver une d\'eriv\'ee directionnelle qui n'est pas combinaison lin\'eaire des d\'eriv\'ees partielles (par rapport aux deux variables). \item Le plan tangent au point $(x_0,y_0,f(x_0,y_0))$ du graphe $z=f(x,y)$ de $F$ est donn\'ee par l'\'equation \begin{equation} z-f(x_0,y_0) =\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)(x-x_0)+ \frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)(y-y_0) . \label{eqt} \end{equation} \end{enumerate} \finindication \indication{002626} Calculer m\`ene \`a la v\'erit\'e. \finindication \indication{002627} \'Ecrire $f(x,y)=(\sin (xy), y\cos x, xy\sin(xy)\exp(y^2))=(u,v,w)$. \finindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \indication{002635} Utiliser les r\`egles \begin{align*} d(f+g)&= df+dg , \\ d(fg)&=fdg+gdf ,\\ d(f\circ h)&= (f'\circ h) dh . \end{align*} \finindication \indication{002636} Soient $h$, $u$, $v$ des fonctions des deux variables $x$ et $y$. Rappeler que \begin{align*} \mathrm dh&=\frac{\partial h}{\partial x}\mathrm dx + \frac{\partial h}{\partial y} \mathrm dy , \\ \mathrm d(u\mathrm dx + v \mathrm dy) &= \left(\frac{\partial v}{\partial x} -\frac{\partial u}{\partial y}\right) \mathrm dx \mathrm dy , \\ \mathrm dx \mathrm dy &=-\mathrm dy\mathrm dx . \end{align*} \finindication \indication{002637} On va d\'eterminer une primitive d'une forme diff\'erentielle de degr\'e 1 par un changement de variables tel que, dans les nouvelles variables, la primitive soit presque \'evidente. \finindication \indication{002638} Rappeler que la matrice hessienne est la matrice constitu\'ee des d\'eriv\'ees partielles secondes. \finindication \indication{002639} \begin{enumerate} \item Montrer que $$\frac{\partial^2F}{\partial r^2}+\frac{1}{r}\frac{\partial F}{\partial r}= \frac1r\frac{\partial}{\partial r} r\frac{\partial}{\partial r}F.$$ \item Montrer que $$r\frac{\partial F}{\partial r}=x\frac{\partial f}{\partial x}+y\frac{\partial f}{\partial y}.$$ \item Montrer que $$\frac{\partial F}{\partial \theta}=x\frac{\partial f}{\partial y}-y\frac{\partial f}{\partial x}$$ \item Utiliser ces r\'esultats, puis calculer encore un peu pour obtenir le r\'esultat souhait\'e. \end{enumerate} \finindication \indication{002640} \begin{enumerate} \item Grace au changement de variables \[ \R^2 \longrightarrow \R^2, \ (u,v) \longmapsto (x,y)=\left(\frac{u-v}{2}, \frac{u+v}{2}\right), \] la fonction $f$ s'\'ecrit $F(u,v)=f(\frac{u-v}{2}, \frac{u+v}{2})$. Montrer que pour que $f$ soit solution de (\ref{eq:ondes}) il faut et il suffit que \begin{equation}\label{eq:ondesbis} \frac{\partial^2F}{\partial u\partial v}=0 . \end{equation} \item Montrer que, si $F$ satisfait \`a (\ref{eq:ondesbis}), il existe deux fonctions $g_1,g_2\colon\R\to\R$ telles que \[ F(u,v)=g_1(u)+g_2(v). \] \item \'Ecrire la solution g\'en\'erale de (\ref{eq:ondes}) et expliquer la phrase: ``En une dimension d'espace, toute solution de l'\'equation des ondes s'\'ecrit comme somme d'une onde qui se d\'eplace vers la droite et une qui se d\'eplace vers la gauche.'' \end{enumerate} \finindication \noindication \noindication \noindication \indication{002641} Rappel: Pour qu'un point critique non d\'eg\'en\'er\'e pr\'esente un maximum relatif (resp. minimum relatif) il faut et il suffit que la forme hessienne en ce point soit n\'egative (resp. positive) ; pour qu'un point critique non d\'eg\'en\'er\'e pr\'esente un point selle il faut et il suffit que la forme hessienne en ce point soit (non d\'eg\'en\'er\'ee et) ind\'efinie. \finindication \indication{002642} Voir l'exercice pr\'ec\'edent. \finindication \indication{002643} Voir les exercices pr\'ec\'edents. \finindication \indication{002644} Le plan tangent \`a la surface d'\'equation $f(x,y,z)=0$ au point $(x_0,y_0,z_0)$ est donn\'e par l'\'equation \begin{equation} \frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0,z_0) (x-x_0) +\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0,z_0) (y-y_0)+\frac{\partial f}{\partial z}(x_0,y_0,z_0)(z-z_0) =0. \label{tang4} \end{equation} \finindication \indication{002645} Rappel du th\'eor\`eme des fonctions implicites pour une fonction $f$ de classe $C^1$ de deux variables d\'efinie dans un ouvert du plan: {\em Soit $(x_0,y_0)$ un point tel que $\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)~\ne~0$. Au voisinage de $x_0$, il existe une fonction $h$ de classe $C^1$ de la variable $x$ d\'efinie dans un intervalle ouvert appropri\'e telle que $h(x_0)=y_0$ et telle que, pour qu'au voisinage de $(x_0,y_0)$ les coordonn\'ees $x$ et $y$ du point $(x,y)$ satisfassent \`a l'\'equation $f(x,y)=0$ il faut et il suffit que $y=h(x)$ et, s'il en est ainsi,} \[ h'(x_0)=-\frac{\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)} {\frac {\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)}. \] {\em D\`es que l'intervalle de d\'efinition de la fonction $h$ est fix\'e la fonction $h$ est unique.\/} \finindication \indication{002646} Voir l'exercice pr\'ec\'edent. \finindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \indication{000853} Chercher deux réels $a,b$ tels que, si on pose $u=x+ay$ et $v=x+by$, alors $\dot u(t)=A u(t)$ et $\dot v(t)=B v(t)$, où $A,B$ sont des constantes. \finindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \indication{006992} Une telle fonction $f$ est solution d'une équation différentielle $y'+y=c$. \finindication \indication{006993}\ \begin{enumerate} \item $x$ est solution particulière \item $\cos$ est solution particulière \end{enumerate} \finindication \indication{006994} Solution particulière : \begin{enumerate} \item $-\frac1{2x}$ \item $\frac{x^{k+1}}{k+1} \exp(x)$ \item $\frac{\ln x}{1+\ln^2(x)}$ \end{enumerate} \finindication \indication{006995} 1. C'est une équation à variables séparées. \finindication \indication{006996}\ \begin{enumerate} \item une infinité de solutions \item une solution \end{enumerate} \finindication \indication{007001} \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Se ramener à $\frac{1}{1-n}z'+a(x)z+b(x)=0$. \item $y = \pm\frac{1}{\sqrt{\lambda x^2 + 2x}}$ ou $y=0$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Remplacer $y$ par $u+y_0$. \item $y=\frac1x+\frac1{x\ln|x|+\lambda x}$ ou $y = \frac1x$. \end{enumerate} \end{enumerate} \finindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \indication{006998} Pour la fin: principe de superposition. \finindication \indication{006999} Utiliser la méthode de variation de la constante. \finindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \indication{002616} Utiliser le langage de la g\'eom\'etrie \'el\'ementaire, y compris les notions de surface de r\'evolution, d'axe de r\'evolution, de sommet d'un parabolo\" \i de, de sommet d'un c\^one, de concavit\'e vers le haut ou vers le bas, d'h\'elice, de spirale, etc. \finindication \indication{002617} Exploiter les propri\'et\'es g\'eom\'etriques des parties du plan qui d\'efinissent $A_1$ et $A_2$. Par exemple, une courbe qui est d\'efinie comme \'etant l'image r\'eciproque d'un point relativement \`a une fonction continue est une partie ferm\'ee du plan. \finindication \indication{002618} Raisonner \`a partir de la d\'efinition d'un ouvert dans le plan. \finindication \indication{002619} Exploiter le fait que le compl\'ementaire d'un ouvert est ferm\'e et que le compl\'ementaire d'un ferm\'e est ouvert. \finindication \indication{002620} Distinguer la partie triviale de l'exercice de la partie non triviale. Dans cet exercice, le seul point d\'elicat est pour le param\`etre $t$ proche de $0$. \finindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \indication{004811} D{\'e}composer en {\'e}l{\'e}ments simples la fraction $\frac1{1-X^n}$. \finindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \indication{004852} Consid{\'e}rer les disques ferm{\'e}s associ{\'e}e {\`a} un recouvrement \og circulaire \fg\ du plan et mettre en {\'e}vidence une suite de disques emboit{\'e}s dont les rayons tendent vers z{\'e}ro. \finindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \indication{001960} Les médianes sont les droites $(AA')$, $(BB')$, $(CC')$. \finindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \indication{002009} Utiliser par exemple les nombres complexes. \finindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \indication{007059} Le triangle rectangle $ADA’$ est inscrit dans un demi-cercle. % donc il y a un autre angle droit \finindication \indication{007060} Déterminer les angles $\widehat{AMB}$ et $\widehat{ANB}$. \finindication \indication{007061} Montrer que $(AB) \bot (RC)$. \finindication \indication{007062} \begin{enumerate} \item Penser à un trapèze. \item On peut obtenir une telle droite comme hauteur d'un triangle $ABC$ adéquat. \end{enumerate} \finindication \indication{007063} \begin{enumerate} \item Penser au triangle de l'écolier. \end{enumerate} \finindication \indication{007064} Pour l'aire, considérer l'aire du complémentaire de $IJKL$ par exemple, ou bien utiliser les diagonales de $ABCD$. \finindication \indication{007065} Décomposer l'aire comme la somme des aires de deux triangles. \finindication \indication{007066} \'Ecrire chacune des distances à l'aide d'aires de triangles. \finindication \indication{007067} Utiliser des triangles isocèles. \finindication \indication{007068} Où se trouve le point $M$ sur le segment $[AC]$ ? \finindication \indication{007069} Le segment $[EC]$ est parallèle à $(AC)$, et sa longueur vaut la moitié du périmètre de $OAC$. \finindication \indication{007070} Pythagore. \finindication \indication{007071} Utiliser la caractérisation des triangles isocèles à l'aide d'angles. % Utiliser des angles opposés par le sommet. \finindication \indication{007072} \'Ecrire les distances aux sommets en fonction des angles du triangle. \finindication \indication{007073} Décomposer les longueurs suivant les points de tangence du cercle inscrit. \finindication \indication{007074} Triangles isocèles. \finindication \indication{007075} Partitionner le triangle en plusieurs triangles pour calculer l'aire. \finindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \indication{004952} La distance d'un point $M_0(x_0,y_0)$ à une droite $D$ d'équation $ax+by+c=0$ est donnée par la formule $d(M_0,D) = \frac{|ax_0+by_0+c_0|}{\sqrt{a^2+b^2}}$. \finindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \indication{007047} Pour la parallèle, considérer deux points $A$ et $B$ sur la droite et construire un parallélogramme $ABPQ$. Pour la perpendiculaire, construire un cerf-volant $APBQ$. \finindication \indication{007048} Utiliser une ou plusieurs cordes. \finindication \indication{007049} Tracer le milieu $I$ de $AB$ puis procéder par analyse-synthèse. \finindication \noindication \indication{007051} 2. Penser à l'intersection des médianes. \finindication \indication{007052} Le barycentre est associatif. Donc construire le milieu de deux côtés opposés, puis le milieu de ces milieux, puisque : \[\frac{A+B+C+D}{4} = \frac{\frac{A+B}{2} + \frac{C+D}{2}}{2}.\] Pour les autres questions, utiliser également l'associativité. \finindication \indication{007053} \begin{enumerate} \item Utiliser des triangles particuliers. \item Utiliser le théorème de Thalès. \end{enumerate} \finindication \indication{007054} \begin{enumerate} \item À quelle distance de $O'$ se situe ce point d'intersection ? \item Utiliser le cercle de centre $O'$ et de rayon $r'-r$ pour une tangente \og extérieure\fg{} ou bien $r'+r$ pour une tangente \og intérieure\fg, et un autre cercle. \end{enumerate} \finindication \indication{007055} 1. Commencer par trouver le point de la droite qui va appartenir au cercle.\\ 2. Idem. \finindication \indication{007056} \begin{enumerate} \item Test de méthodologie : quelles droites peut-on tracer à partir de ce qui est donné ? \item Construire la droite équidistante (à distance $r$) des deux parallèles, puis les deux droites parallèles à la troisième et à distance $r$. \end{enumerate} \finindication \indication{007057} Soient $O_1$, $O_2$ et $O_3$ les centres des trois cercles. Considérer le centre le centre du cercle circonscrit à $O_1O_2O_3$. \\ \finindication \noindication \noindication \noindication \noindication \indication{007080} Considérer les symétries centrales $\sigma_i$ en les points $P_i$, puis la composée $\sigma_1\circ \sigma_2\circ ... \circ \sigma_n$. Pour la deuxième partie, penser au théorème de Varignon. %on doit avoir un parallélogramme, et alors tout point de départ est solution. \finindication \indication{007081} De la même façon qu'il est souvent utile de compléter un triangle rectangle en un rectangle, il est souvent utile de compléter un trapèze rectangle en un rectangle. \finindication \noindication \indication{007083} Si $\phi$ est une homothétie envoyant $\mathcal C$ sur $\mathcal C'$, alors $O'=\phi(O)$. Il suffit d'avoir un deuxième couple $(M, \phi(M))$ pour pouvoir tracer le centre de l'homothétie $\phi$. \finindication \indication{007084} Si les cercles ne sont pas confondus, il peut y avoir entre $0$ et $4$ tangentes. Faire des figures pour tous les cas possibles. Puis, déterminer les homothéties (ou les translations) envoyant un cercle sur l'autre et tracer leur centre. \finindication \indication{007085} En faisant une figure avec le carré déjà construit, on voit alors deux segments parallèles, ce qui invite à utiliser une homothétie. \finindication \indication{007086} \begin{enumerate} \item Considérer une homothétie de centre $G$. \item Considérer une homothétie de centre $H$. On rappelle que $\overrightarrow{G\Omega}=-\frac12\overrightarrow{GH}$. \end{enumerate} \finindication \noindication \indication{007088} Considérer le quadrilatère $ABB'A'$ et ses diagonales : elles se croisent sur la droite. \finindication \noindication \indication{007090} Utiliser une homothétie et une symétrie centrale. \finindication \noindication \indication{007092} Utiliser des homothéties. \finindication \indication{007093} Considérer la translation de vecteur $\overrightarrow{CB}$ et l'image de $I$ par cette translation. \finindication \indication{007094} Des homothéties de même centre commutent, de même que des translations. \finindication \indication{007095} Homothéties ou translations. \finindication \indication{007096} Quelle est la partie linéaire de $f\circ g^{-1}$ ? \finindication \indication{007097} Considérer la translation $\tau$ de distance $a$ suivant la direction de la droite. \finindication \indication{007098} Commencer par construire un cercle tangent aux deux droites. \finindication \indication{007099} Sans la condition sur $A$, l'exercice est facile. Tracer n'importe quel cercle tangent aux droites. Ensuite, appliquer la méthodologie classique. % translation dans un cas, homothétie dans l'autre. \finindication \indication{007100} Les images de trois points non alignés déterminent de façon unique une transformation affine. En déduire une condition sur le quatrième point. \finindication \indication{007101} Considérer $I$ et $J$ les milieux de $MA$ et $AM'$ ainsi qu'une projection affine. Une telle projection réduit les distances. \finindication \indication{007102} Faire tourner le carré circonscrit par rapport au carré inscrit. \finindication \indication{007103} Procéder par analyse-synthèse et considérer des rotations. \finindication \indication{007104} Il suffit de construire une des droites d'appui du carré. Pour cela, il suffit de construire un deuxième point sur cette droite. \finindication \noindication \indication{007106} L'aire de l'intersection vaut le quart de l'aire du carré $ABCD$. \finindication \indication{007107} Considérer la rotation de centre $O$ et d'angle $\pi/2$. \finindication \indication{007108} Considérer la rotation de centre $O$ et d'angle $\pi/2$. \finindication \indication{007109} Considérer la rotation de centre $O$ et d'angle $\pi/3$. \finindication \indication{007110} Considérer une rotation de centre $A$. \finindication \indication{007111} Si $ABC$ est un tel triangle, considérer les rotations d'angles $\pm \pi/3$ et centrées sur les sommets. Déterminer les images des différents points et droites par ces rotations. \finindication \indication{007112} Similitude. \finindication \indication{007113} Considérer les cercles de diamètre $[AB]$ et $[AC]$, le second point d'intersection, et une similitude de centre $A$. \finindication \indication{007114} Utiliser une similitude. \finindication \indication{007115} Considérer des similitudes centrées sur $A$, $B$ et $C$ ainsi que leur compositions. (Ou alors, utiliser les nombres complexes.) \finindication \indication{007116} Considérer la similitude de centre $A$, d'angle $\pi/4$ et de rapport $\sqrt 2$, et celle de centre $C$, d'angle $-\pi/4$, et de rapport $1/\sqrt 2$. Ou alors, utiliser les nombres complexes. \finindication \noindication \indication{007118} Triangles isocèles et rectangles \finindication \noindication \indication{007120} Il y a deux tels octogones. En notant $O$ le centre d'un tel octogone, on doit avoir $\widehat{AOB}=\pm \pi/4$. \finindication \noindication \noindication \noindication \indication{007124} Rédiger avec des angles de droites et ne pas faire de distinction entre bissectrice extérieure et intérieure. \finindication \indication{007125} Introduire la tangente commune $\mathcal T$ aux deux cercles. %Utiliser le cas limite du théorème de l'angle au centre. \finindication \indication{007126} Soient $\mathcal C$ et $\mathcal C'$ les cercles circonscrits à $ARQ$ et $BPR$. Ils se coupent en $R$ et en un deuxième point $T$, ou alors ils sont tangents en $R$. Montrer que $T$ (ou $R$ dans le second cas) est sur le cercle circonscrit à $CQP$. \finindication \indication{007127} Les points $A$ et $E$ sont les extrémités d'un diamètre. Ensuite, décomposer en triangles. \finindication \noindication \noindication \noindication \indication{007131} Utiliser les angles droits pour montrer que des points sont cocycliques, puis utiliser le théorème de l'angle inscrit. \finindication \indication{007132} Pour la conclusion, utiliser $AC = AK + KC$. \finindication \noindication \indication{007134} Décomposer $(\overrightarrow{MA},\overrightarrow{MC})$ en $(\overrightarrow{MA},\overrightarrow{AD}) + (\overrightarrow{AD},\overrightarrow{MC})$.% puis angles inscrits / angles au centre. \finindication \noindication \indication{007136} La somme des angles d'un quadrilatère convexe vaut $2\pi$. \finindication \noindication \noindication \indication{007139} Utiliser les différentes caractérisations des triangles isocèles. \finindication \indication{007140} Où se trouve le centre du triangle circonscrit d'un triangle rectangle ? \finindication \noindication \indication{007142} Considérer les puissances par rapport aux deux cercles. \finindication \indication{007143} Utiliser des triangles semblables, ou bien utiliser la puissance d'un point par rapport à un cercle. \finindication \indication{007144} Utiliser le second point d'intersection de la droite avec le cercle, s'il existe. \finindication \noindication \indication{007153} Considérer la similitude directe qui envoie le couple $(B,D)$ sur le couple $(C,E)$. \finindication \noindication \indication{007155} Si on n'utilise pas les nombres complexes, on pourra considérer $C'$ le milieu de $[AB]$, $s_1$ la similitude directe de centre $A$, de rapport $\sqrt 2$ et d'angle $\pi/4$ et $s_2$ la similitude de centre $B$, de rapport $1/\sqrt 2$ et d'angle $\pi/4$. Dans le contexte de cet exercice, les similitudes directes seront utilisées comme dans l'exemple suivant : comme AQC est rectangle isocèle en $Q$, la similitude directe de centre $A$, d'angle $\pi/4$ et de rapport $\sqrt 2$ envoie $Q$ sur $C$. \finindication \indication{007156} Reformuler une égalité de produits en une égalité de quotients. Utiliser des similitudes de centre $M$. \finindication \indication{007157} Pour les translations ou symétries glissées, commencer par montrer que le vecteur doit être horizontal. \finindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \indication{007165} Dans la dernière question, faire apparaître le point $P$ dans la condition d'alignement à l'aide de la relation de Chasles, par exemple. \finindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \indication{006986} Un point $M(t)$ est singulier si $x'(t)=0$ et $y'(t)=0$. \finindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \indication{006990} Utiliser le repère de Frenet $(\vec{u}_\theta,\vec{v}_\theta)$. \finindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \indication{006881} On rappelle la formule de Green-Riemann qui permet de faire le lien entre intégrale double et intégrale curviligne : \textbf{Théorème.} Soit $\mathcal{D}$ un domaine de $\Rr^2$ limité par une courbe fermée $\mathcal{C}$ que l'on suppose coupée par toute parallèle aux axes en deux points au plus. On considère une forme différentielle $\omega=Pdx+Qdy$ définie sur $\mathcal{D}$. Si les fonctions $P$ et $Q$ sont de classe $C^{1}$, on a : $$\int_{\mathcal{ C}^+} Pdx+Qdy=\iint_{\mathcal{D}} ( \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} ) dx dy$$ o\`u l'on a noté $\mathcal{C}^{+}$ la courbe $\mathcal{C}$ que l'on a orientée dans le sens direct. \finindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \indication{002101} Consid\'erer la couleur des cases exclues. \finindication \indication{002102} Pour la question (II) (b) on consid\`erera la partie $A_0$ minimale associ\'ee \`a $\varphi$ et l'on montrera que $A_0$ et $h(Y-g(A_0))$ forment une partition de $X$. La bijection sera d\'efinie par $g$ sur $A_0$ et par $h^{-1} $ sur $h(Y-g(A_0))$. \finindication \noindication \indication{002104} Ne voir dans le mot ``rang\'ee'' qu'une condition d'alignement. \finindication \indication{002105} Compter, dans un ensemble $E$ \`a $n$ \'el\'ements, le nombre de parties \`a $p$ \'el\'ements obtenues en r\'eunissant une partie $X$ \`a $k$ \'el\'ements \`a une partie \`a $p-k$ \'el\'ements du compl\'ementaire de $X$ dans $E$, $k$ d\'ecrivant $\{0,\ldots, p\}$. \finindication \indication{002106} $n^2-1= (n-1)(n+1)$ et $24= 2^3\cdot 3$. \finindication \indication{002107} Les premi\`eres questions ne pr\'esentent aucune difficult\'e. Pour la derni\`ere, le plus difficile (et le plus int\'eressant) est de deviner la formule. Pour cela, calculer la puissance $n$-i\`eme pour $n=1,2,3,4,5\ldots$. (La formule est donn\'ee dans la page ``Corrections''). \finindication \noindication \indication{002109} On pourra montrer les points suivants: (a) $x\star y=e \Rightarrow y\star x =e$ (b) L'\'el\'ement neutre \`a gauche est unique. (c) L'\'el\'ement neutre \`a gauche est un \'el\'ement neutre \`a droite aussi. (d) Tout \'el\'ement est inversible. \finindication \indication{002110} Oui. \finindication \indication{002111} Aucune difficult\'e. \finindication \indication{002112} Pour l'existence d'un inverse pour toute matrice $n\times n$ de d\'eterminant non nul, noter que $\hbox{\rm det}(A)\not=0$ entra\^\i ne que la matrice $A$ est inversible (comme matrice) et que la matrice $A^{-1}$, qui est de d\'eterminant $1/\hbox{\rm det}(A)\not=0$ est alors l'inverse de $A$ pour le groupe en question. \finindication \indication{002113} Aucune difficult\'e. \finindication \noindication \indication{002115} Consid\'erer la partition de $G$ en sous-ensembles du type $\{ x, x^{-1} \}$. \finindication \indication{002116} On commence par montrer que $f$ est surjective, en notant que si $|G|=2m+1$, alors pour tout $y\in G$ on a $y=(y^{m+1})^2$. \finindication \indication{002117} $x^m=a \Leftrightarrow x=a^u$ o\`u $um+v|G|=1$. \finindication \noindication \indication{002119} Standard. \finindication \noindication \noindication \indication{002122} Pour le (c), introduire le morphisme $\Z \rightarrow < x >$ qui associe $nx$ \`a tout entier $n\in \Z$. Ce morphisme est surjectif et de noyau $d\Z$ o\`u $d$ est l'ordre de $x$. \finindication \indication{002123} Aucune difficult\'e. \finindication \noindication \indication{002125} Cons\'equence de l'exercice \ref{ex:deb24}. \finindication \indication{002126} $\{1\}, \mu_2 \times \{1\}, \{1\}\times \mu_2, \{(1,1), (i,i)\}, \mu_2 \times \mu_2$. \finindication \noindication \indication{002128} Standard. \finindication \indication{002129} Pour la seconde question, noter que si $x$ est d'ordre $2$ dans $G$, alors $yxy^{-1}$ l'est aussi, pour tout $y\in G$. \finindication \noindication \noindication \indication{002132} Commencer par analyser l'ordre possible des \'el\'ements de $G$. \finindication \noindication \indication{002134} Trouver l'ordre de $2$ dans $(\Zz/p\Zz)^\times$. \finindication \indication{002135} Trouver l'ordre de $2$ modulo $2^n-1$. \finindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \indication{002136} $(xy)^{-1} = x^{-1} y^{-1} \Rightarrow xy=yx$. \finindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \indication{002143} (a) est standard. En utilisant (a), on obtient $(\Zz/15\Zz)^\times \simeq \Zz/2\Zz \times \Zz/4\Zz$, lequel n'est pas cyclique puisque tous les \'el\'ements sont d'ordre $1$, $2$ ou $4$. Le reste ne pose pas de grandes difficult\'es. \finindication \indication{002144} (a) B\'ezout. (b) $\phi$ est injectif et ensembles de d\'epart et d'arriv\'ee ont m\^eme cardinal. \finindication \noindication \indication{002146} $e^{2ik\pi/d} = \left(e^{2ik\pi/n}\right)^{n/d}\ (k\in \Z)$. \finindication \indication{002147} $f(G^\prime)$ est un sous-groupe de $H$ isomorphe \`a $G^\prime /(\hbox{\rm ker}(f) \cap G^\prime)$. \finindication \indication{002148} R\'esulte de l'exercice \ref{ex:le12}. \finindication \noindication \noindication \indication{002151} Les morphismes du groupe $(\Q,+)$ dans lui-m\^eme sont de la forme $x\rightarrow ax$ avec $a\in \Q$. Les morphismes du groupe $(\Q,+)$ dans $(\Z,+)$ sont, parmi les pr\'ec\'edents, ceux dont l'image est dans $\Z$; il n'y a que le morphisme nul. Les morphismes du groupe $(\Z/m\Z,+)$ dans $(\Z,+)$ sont d\'etermin\'es par l'entier $f(1)$ qui doit v\'erifier $m f(1) = 0$; il n'y a que le morphisme nul, si $m\not=0$. \finindication \indication{002152} L'ensemble $\textrm{Hom}(\Zz/m\Zz,\Zz/n\Zz)$ des morphismes de groupe de $\Zz/m\Zz$ dans $\Zz/n\Zz$ est un groupe ab\'elien pour l'addition naturelle des morphismes. On note $\delta$ le pgcd de $m$ et $n$ et $m^\prime$ et $n^\prime$ les entiers $m/\delta$ et $n/\delta$. Si $p:\Zz\rightarrow \Zz/m\Zz$ d\'esigne la surjection canonique, la correspondance associant \`a tout $f\in \textrm{Hom}(\Zz/m\Zz,\Zz/n\Zz)$ l'\'el\'ement $f\circ p(1)$ induit un isomorphisme de groupe entre $\textrm{Hom}(\Zz/m\Zz,\Zz/n\Zz)$ et le sous-groupe $n^\prime \Zz/n\Zz$ du groupe additif $ \Zz/n\Zz$, lequel est isomorphe \`a $\Zz/\delta \Zz$. L'ensemble $\textrm{Aut}(\Zz/n\Zz)$ des automorphismes de $\Zz/n\Zz$ est un groupe pour la composition. La correspondance pr\'ec\'edente induit un isomorphisme entre $\textrm{Aut}(\Zz/n\Zz)$ et le groupe $(\Zz/n\Zz)^\times$ des inversibles de $\Zz/n\Zz$. \finindication \noindication \noindication \indication{002155} Le morphisme ``d\'eterminant'' de $\textrm{GL}_n(\Rr)$ dans $\Rr^\times$ est surjectif et de noyau $\textrm{SL}_n(\Rr)$. \finindication \noindication \noindication \indication{002158} Si $\zeta$ est un \'el\'ement de $G$ dont la classe modulo $H$ engendre $G/H$, alors tout \'el\'ement de $G$ peut s'\'ecrire $h \zeta^m$ avec $h\in H$ et $m\in \Z$. \finindication \indication{002159} Appliquer l'exercice \ref{ex:le23} avec $H=Z(G)$. \finindication \noindication \indication{002161} Exercice classique d'alg\`ebre lin\'eaire: $Z(\hbox{\rm GL}_n(\mathbb{F}_p)) = \mathbb{F}_p^\times \cdot \hbox{\rm Id}_n$ (o\`u $\hbox{\rm Id}_n$ d\'esigne la matrice identit\'e d'ordre $n$). \finindication \noindication \indication{002163} Les questions (a) et (b) ne pr\'esentent aucune difficult\'e. \smallskip Pour la question (c), noter que, pour tout $x\in G$, on a $(\tau_x)^{|G|}=1$, et que la restriction de $\tau_x$ \`a $H$ appartient \`a $\hbox{\rm Aut}(H)\simeq \hbox{\rm Aut}(\Z/p\Z)$ (et utiliser l'exercice \ref{ex:le25}). \finindication \indication{002164} Aucune difficult\'e. Observer que tout conjugu\'e d'un commutateur est un commutateur et qu'un quotient $G/H$ est ab\'elien si et seulement si pour tous $u,v\in G$, on a $uvu^{-1}v^{-1} \in H$. \finindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \indication{002166} Aucune difficult\'e. \finindication \noindication \indication{002168} (a) est une simple v\'erification. \smallskip (b) Les trois permutations s'\'ecrivent respectivement $(1\hskip 2pt 3\hskip 2pt 7\hskip 2pt 5)\hskip 2pt (2\hskip 2pt 6\hskip 2pt 4)$, $(1\hskip 2pt 7)\hskip 2pt (2\hskip 2pt 4\hskip 2pt 3)$ et $(2\hskip 2pt 3\hskip 2pt 7\hskip 2pt 6\hskip 2pt 5\hskip 2pt 4)$. \smallskip (c) est une simple v\'erification. \smallskip (d) {\bf Rappel:} De fa\c con g\'en\'erale, on dit qu'une permutation $\omega \in S_n$ est de type $1^{r_1}$-$2^{r_2}$-$\cdots$-$d^{r_d}$ o\`u $d, r_1,\ldots,r_d$ sont des entiers $\geq 0$ tels que $r_1+\cdots+r_d=n$, si dans la d\'ecomposition de $\omega$ en cycles \`a support disjoints, figurent $r_1$ $1$-cycles (ou points fixes), $r_2$ $2$-cycles, ... et $r_d$ $d$-cycles. En utilisant la question (c), il n'est pas difficile de montrer que deux permutations sont conjugu\'ees dans $S_n$ si et seulement si elles sont de m\^eme type. Les classes de conjugaison de $S_n$ correspondent donc exactement \`a tous les types possibles. \smallskip On obtient ainsi facilement les classes de conjugaison de $S_5$. Soit maintenant $H$ un sous-groupe distingu\'e non trivial de $S_5$. D\`es que $H$ contient un \'el\'ement de $S_5$, il contient sa classe de conjugaison; $H$ est donc une r\'eunion de classes de conjugaison. En consid\'erant toutes les classes possibles que peut contenir $H$, on montre que $H=A_5$ ou $H=S_5$. Par exemple, si $H$ contient la classe 1-2-2, alors $H$ contient $(1\hskip 2pt 2)\hskip 2pt (3\hskip 2pt 4) \times (1\hskip 2pt 3)\hskip 2pt (2\hskip 2pt 5) = (1\hskip 2pt 4\hskip 2pt 3\hskip 2pt 2\hskip 2pt 5)$ et donc la classe des $5$-cycles. D'apr\`es l'exercice \ref{ex:deb67}, $H$ contient alors $A_5$. Le groupe $H$ est donc $A_5$ ou $S_5$. Les autres cas sont similaires. \finindication \noindication \noindication \noindication \noindication \indication{002173} Une puissance impaire d'une permutation impaire ne peut pas \^etre \'egale \`a $1$. \finindication \noindication \noindication \noindication \indication{002177} (a) Aucune difficult\'e. (b) Le nombre cherch\'e est l'orbite de $H$ sous l'action de $G$ par conjugaison sur ses sous-groupes et $\textrm{Nor}_G(H)$ est le fixateur de $H$ pour cette action. \finindication \indication{002178} Etudier l'action du groupe par translation sur l'ensemble quotient des classes modulo le sous-groupe. \finindication \indication{002179} Le seul point non imm\'ediat est que $H^\prime$ est d'indice fini dans $G$. Pour cela consid\'erer le morphisme de $G$ \`a valeurs dans le groupe des permutations des classes \`a gauche de $G$ modulo $H$, qui \`a $g\in G$ associe la permutation $aH\rightarrow gaH$ et montrer que le noyau de ce morphisme est le groupe $H^\prime$. \finindication \noindication \noindication \noindication \noindication \indication{002184} Question (d): Si $K$ le fixateur d'un \'el\'ement $x\in X$, alors $K$ est un sous-groupe propre maximal de $G$ et $X$ est isomorphe \`a $G/\cdot K$ en tant que $G$-ensemble. D\'eduire du fait que $H$ n'est pas contenu dans $K$ que $HK=G$ et que $H/\cdot H\cap K\simeq G/\cdot K$. \finindication \indication{002185} Soit $H$ un tel sous-groupe. On peut supposer sans perte de g\'en\'eralit\'e que $H$ contient la transposition $(12)$. On pourra ensuite proc\'eder comme suit. - montrer que $H$ est engendr\'e par le fixateur $H_1$ de $1$ et par $(12)$. - montrer que l'orbite de $2$ sous $H$ est l'union de l'orbite de $2$ sous $H_1$ et de $1$. - en d\'eduire que $H_1$ agit transitivement sur l'ensemble $\{ 2, \dots , n \} $ et que $H$ agit $2$-transitivement sur $\{ 1, \dots , n \} $. - d\'eduire du point pr\'ec\'edent que $H$ contient toutes les transpositions. \finindication \indication{002186} (a) est trivial. \smallskip (b): Noter d'abord que la condition sur le fixateur de $x$ est ind\'ependante de $x\in X$: en effet si $g$ est un \'el\'ement de $G$ envoyant $x$ sur un autre \'el\'ement $x^\prime\in X$ (qui existe par transitivit\'e de $G$), alors $G(x^\prime) = g G(x) g^{-1}$ et la correspondance $h\rightarrow g h g^{-1}$ permet d'identifier les actions de $G(x^\prime)$ sur $X\setminus \{x^\prime\}$ et celle de $G(x)$ sur $X\setminus \{x\}$. Supposons maintenant v\'erifi\'ee la condition sur le fixateur de $x$. Si $(x,y)$ et $(x^\prime,y^\prime)$ sont deux couples d'\'el\'ements distincts de $X$, il existe $\sigma\in G$ tel que $\sigma (x)=x^\prime$ (transitivit\'e de $G$) et il existe $\tau \in G$ tel que $\tau (x^\prime)=x^\prime$ et $\tau(\sigma(y)) = y^\prime$ (transitivit\'e de $G(x^\prime)$ sur $X\setminus \{x^\prime\}$ (noter que $\sigma (y) \not=x^\prime$ car $\sigma (x)=x^\prime$)). La permutation $\tau \sigma$ v\'erifie $\tau \sigma (x)=x^\prime$ et $\tau \sigma (y)=y^\prime$. Cela montre que $X$ est $2$-transitif. La r\'eciproque est triviale. \smallskip (c) Si l'action de $G$ sur $X$ est imprimitive et $X=\bigcup_{i=1}^r X_i$ est une partition de $X$ comme dans la d\'efinition, alors il n'existe pas d'\'el\'ement $g\in G$ envoyant un premier \'el\'ement $x_1\in X_1$ dans $X_1$ et un second \'el\'ement $x_1^\prime \in X_1$ dans $X_2$. \smallskip (d) L'action par translation d'un groupe cyclique $C$ sur lui-m\^eme est transitive, elle est primitive si $|C|$ est premier (toute partition de $C$ en sous-ensembles de m\^eme cardinal est forc\'ement triviale) mais elle n'est pas $2$-transitive (le fixateur de tout \'el\'ement est trivial, ce qui contredit le (c) de l'exercice \ref{ex:deb84}). \smallskip (e) et (f) ne pr\'esentent aucune difficult\'e. \finindication \indication{002187} On se ram\`ene \`a la situation o\`u le polygone est inscrit dans le plan complexe et a pour sommets les racines de l'unit\'e $e^{2ik\pi/n}, k=0,1,\ldots,n-1$. Une isom\'etrie laissant invariant le polygone fixe n\'ecessairement l'origine. Elle est donc de la forme $z\rightarrow az$ ou $z\rightarrow a \overline z$ avec $|a|=1$. On voit ensuite que $a$ est n\'ecessairement une racine $n$-i\`eme de $1$. Notons $\sigma$ l'isom\'etrie $z\rightarrow e^{2i\pi/n} z$ et $\tau$ la conjugaison complexe. On a $D_n=\{\sigma^k \tau^\varepsilon \hskip 2pt | \hskip 2pt k=0,\ldots,n-1, \varepsilon = \pm 1\}$. On v\'erifie que $\sigma$ et $\tau$ engendrent le groupe $D_n$ et satisfont les relations $\sigma^n=1$, $\tau^2=1$ et $\tau \sigma \tau^{-1}= \sigma^{-1}$. Autrement dit, $D_n$ est isomorphe au groupe di\'edral d'ordre $2n$. Si $n$ est impair, son centre est trivial et si $n=2m$ est pair, son centre est $\{1,\sigma^m\}$. Le groupe $D_n$ se plonge naturellement dans $S_n$; comme $|D_3|=|S_3|=6$, ce plongement est un isomorphisme pour $n=3$. \finindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \indication{002190} $|G| = |G/H| \hskip 2pt |H|$. \finindication \noindication \indication{002192} Pour les trois \'enonc\'es (a), (b) et (c), raisonner par r\'ecurrence sur $r$ en utilisant le fait que le centre d'un $p$-groupe n'est pas trivial. \finindication \noindication \noindication \indication{002195} On a $$D_6 = \Z/6\Z \times \hskip -6pt {\raise 1.4pt\hbox{${\scriptscriptstyle |}$}} \Z/2\Z \simeq (\Z/2\Z \times \Z/3\Z) \times \hskip -6pt {\raise 1.4pt\hbox{${\scriptscriptstyle |}$}} \Z/2\Z \simeq \Z/2\Z \times (\Z/3\Z \times \hskip -6pt {\raise 1.4pt\hbox{${\scriptscriptstyle |}$}} \Z/2\Z) \simeq \mu_2 \times S_3$$ Le premier isomorphisme est une application standard du lemme chinois. Pour le deuxi\`eme, noter que le premier $\Z/2\Z$ est dans le centre du groupe et donc que l'action sur lui par conjugaison du second $\Z/2\Z$ est triviale. L'isomorphisme $\Z/3\Z \times \hskip -6pt {\raise 1.4pt\hbox{${\scriptscriptstyle |}$}} \Z/2\Z \simeq S_3$ est classique. \finindication \noindication \indication{002197} Pour tout $g\in G$, $gSg^{-1}$ est un $p$-Sylow de $gHg^{-1}=H$ et donc $gSg^{-1}=S$. \finindication \noindication \noindication \noindication \indication{002201} Pour le (c), pour $H\not=\{1\}$ sous-groupe distingu\'e de $A_5$, raisonner sur les \'el\'ements d'ordre $2$, $3$ et $5$ contenus dans $H$. \finindication \indication{002202} L'identification de chacun des $p$-Sylow ne pose pas de difficult\'e. Observer ensuite que les sous-groupes de Sylow sont deux \`a deux d'intersection r\'eduite \`a $\{1\}$ et determiner leur nombre en comptant les \'el\'ements d'ordre $2$, $3$ et $5$. \finindication \noindication \indication{002204} Les th\'eor\`emes de Sylow montrent qu'il n'y a qu'un seul $q$-Sylow, n\'ecessairement distingu\'e. La suite est standard. Pour le dernier point, utiliser que $\hbox{\rm Aut}(\Z/q\Z) \simeq (\Z/q\Z)^\times$ (exercice \ref{ex:le17}) et donc que $\Z/p\Z$ ne peut agir non trivialement sur $\Z/q\Z$ que si $p$ divise $q-1$. \finindication \indication{002205} D'apr\`es l'exercice \ref{ex:deb104}, un groupe d'ordre $35$ est isomorphe \`a $\Z/5\Z \times \Z/7\Z$, lequel est isomorphe au groupe cyclique $\Z/35\Z$ par le lemme chinois. \finindication \noindication \indication{002207} Soit $G$ un groupe d'ordre $p^2q$ qu'on suppose simple. On distinguera deux cas: $p>q$ et $p$ soit d'ordre $2$. Le centralisateur $\hbox{\rm Cen}_G(a)$ de $a$ contient $H$ et $K$, donc $H\cup K$. Son ordre est au moins $6$ et est divisible par $4$. Les seules possibilit\'es sont $12$, $20$, $60$: - $60$ est impossible, car $$ serait distingu\'e dans $G$ - $20$ est impossible, d'apr\`es la question (a) - $12$ est impossible, car $\hbox{\rm Cen}_G(a)$ aurait $4$ $3$-Sylow d'apr\`es la question (b). Il ne resterait de la place que pour un seul $2$-Sylow ce qui contredit $H\cup K \subset \hbox{\rm Cen}_G(a)$. \smallskip (d) Si $H=\hbox{\rm Nor}_G(H)$, il y a $15$ $2$-Sylow, et donc $46$ \'el\'ements d'ordre une puissance de $2$. Or il y a $6$ $5$-Sylow d'intersections deux \`a deux triviales, et donc $24$ \'el\'ements d'ordre $5$. L'in\'egalit\'e $46+24 > 60$ fournit une contradiction. \smallskip (e) Si $H$ est un $2$-Sylow, l'ordre de $\hbox{\rm Nor}_G(H)$ est $12$, $20$ ou $60$. Mais $20$ est exclu (question (a)) de m\^eme que $60$ ($G$ est simple). La seule possibilit\'e est $12$; il y a donc $5$ $2$-Sylow. \smallskip (f) L'action de $G$ par conjugaison sur les $5$-Sylow fournit un morphisme $c:G\rightarrow S_5$ qui est injectif (car $G$ est simple). Le groupe $G$ est donc isomorphe \`a son image $c(G)$ qui est un sous-groupe d'ordre $60$, donc d'indice $2$ dans $S_5$. C'est donc $A_5$. \finindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \indication{002253} Voir la solution de l'exercice \ref{ptfermat}, deuxième question. \finindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication 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\noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \indication{002340} Vérifier que : \begin{enumerate} \item $\sup(A+B)=\sup A+\sup B$ ; \item $\sup(A \cup B)=\max(\sup A,\sup B)$ ; \item $\max(\inf A, \inf B) \leq \sup(A\cap B) \leq \min(\sup A, \sup B)$ si $A\cap B\neq \varnothing$ ; \item $\inf(A \cup B)=\min(\inf A, \inf B)$ ; \item $\max(\inf A, \inf B) \leq \inf(A\cap B) \leq \min(\sup A, \sup B)$ si $A\cap B\neq \varnothing$ ; \end{enumerate} \finindication \indication{002341} Montrer que $J_x$ est un intervalle ouvert ; que $J_x=J_y$ ou $J_x\cap J_y=\varnothing$. Et penser que $\Qq$ est dénombrable. \finindication \indication{002342} Pour trouver $m$, que prendriez-vous si on voulait seulement $m\in \Rr$ ? \finindication \indication{002343} Revenir à la définition de ce qu'est un ``ensemble fermé'' et de ce qu'est une ``boule fermée''. \finindication \noindication \noindication \indication{002346} Une suite de $l^\infty$ est notée $(x^p)_{p\in \Nn}$, pour chaque $p \ge 0$, $x^p$ est elle m\^eme une suite $x^p = (x^p(0), x^p(1), x^p(2), \ldots)$. \finindication \indication{002347} Montrer \begin{itemize} \item $\| f \| \le N(f)$ ; \item $\|f'\|_\infty \le \| f \|_\infty + \|f\|$ ; \item $\|f\|_\infty \le \|f\|$. \end{itemize} \finindication \noindication \indication{002349} \begin{itemize} \item Montrer $\| f \|_1 \le \|f\|_\infty$. \item Par un contre-exemple, montrer qu'il n'existe aucune constante $C>0$ tel que $\|f\|_\infty \le C \| f \|_1$ pour tout $f$. \end{itemize} \finindication \indication{002350} Les seules relations sont : $$N_1 \le N_2 \le 2N_1 \le 2N_4 \le 2N_3.$$ \finindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \indication{002370} \begin{enumerate} \item Remarquer si $U_a$ est un voisinage de $a$, alors $A \subset \bigcup_{a\in A} U_a$. \item Raisonner par l'absurde et construire une suite $(x_n)$ dont aucun élément n'est dans $U$ et une suite $(y_n)$ de $K$. Quitte à extraire une sous-suite se débrouiller pour qu'elle converge vers la m\^eme limite. \end{enumerate} \finindication \indication{002371} Utiliser qu'un ensemble $K$ est compact si et seulement si de toute suite d'éléments de $K$ on peut extraire une sous-suite convergente vers un élément de $K$. \finindication \indication{002372} Extraire des sous-suites... \finindication \noindication \noindication \noindication \indication{002376} On pourra utiliser la caractérisation de la fermeture par des suites. \finindication \indication{002377} \begin{enumerate} \item Utiliser la caractérisation de la fermeture par des suites. \item Remarquer que ``$ \|f(x)\|\to \infty$ quand $\|x\|\to \infty$'' est équivalent à $$ `` \forall M >0\quad \exists m >0 \forall x \in \Rr^n \quad \quad (x \notin B(0,m) \Rightarrow f(x)\notin B(0,M)). ''$$ \end{enumerate} \finindication \noindication \noindication \indication{002380} \begin{enumerate} \item ... \item Utiliser l'exercice \ref{exo 2}. \item Montrer $f(Y) \subset Y$ puis $Y \subset f(Y)$. \item Diamètre zéro implique ensemble réduit à un singleton. \end{enumerate} \finindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \indication{002353} \begin{enumerate} \item Utiliser le fait que tout ouvert de $\Rr$ est l'union dénombrable d'intervalles ouverts. \item \'Ecrire un intervalle fermé comme union dénombrable d'intervalles ouverts, puis utiliser la même remarque que ci-dessus. \end{enumerate} \finindication \indication{002354} \begin{enumerate} \item $\ldots$. \item Pour montrer que $c_0$ est fermé, l'écrire comme image réciproque de quelque chose. \end{enumerate} \finindication \indication{002355} Montrer que le complémentaire est un ouvert. Si vous le souhaitez, placez-vous dans des espaces métriques. \finindication \indication{002356} \begin{enumerate} \item Pour un polynôme $P$, la limite de $P(x)$ ne vaut $\pm \infty$ que lorsque $x$ tend vers $\pm \infty$. \end{enumerate} \finindication \indication{002357} \begin{enumerate} \item Pour le sens direct utiliser la caractérisation de l'adhérence par les suites. Pour le sens réciproque, montrer que l'image réciproque d'un fermé est un fermé. \end{enumerate} \finindication \noindication \noindication \indication{002360} \begin{enumerate} \item Par l'absurde, considérer $I(x) = \int_0^x f$. Trouver une suite $(p_n)$ telle que $(I(p_n))$ ne soit pas une suite de Cauchy. \item Pour montrer que cette intégrale converge utiliser le changement de variable $u=t^2$ puis faire une intégration par partie. \end{enumerate} \finindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \indication{002361} Si la relation est vérifiée montrer que $B$ est continue en $x$ en calculant $B(x+y)-B(x)$. Si $B$ est continue alors en particulier $B$ est continue en $(0,0)$, fixer le $\epsilon$ de cette continuité,... \finindication \indication{002362} La continuité de $L$ sur $E$ équivaut la continuité en $0$. Par l'absurde supposer que $L$ n'est pas continue en $0$ et construire une suite $(x_n)$ qui tend vers $0$ mais avec $(L(x_n))$ non bornée. \finindication \indication{002363} Il faut montrer $f(\lambda x)=\lambda f(x)$ pour $\lambda\in\Rr$. Le faire pour $\lambda \in \Nn$, puis $\lambda \in \Zz$, puis $\lambda \in \Qq$ et enfin $\lambda \in \Rr$. \finindication \indication{002364} \begin{enumerate} \item $\| S \| = 1$ ; \item $\| T \| = \|g \|_\infty$ ; \item $\|u\| = \int_0^1|g|$, on distinguera les cas o\`u $g$ reste de signe constant et $g$ change de signe ; \item $\| u\| = \|a_n \|_2$ ; \item $\| u \| = \|a \|_\infty$ ; \item $\| u \| = 1$. \end{enumerate} \finindication \indication{002365} $U$ est continue et $\| U \|=1$, $V$ n'est pas continue. \finindication \noindication \indication{002367} \begin{enumerate} \item Montrer d'abord que $X$ se décompose sous la forme $H+\Rr.a$. \item ... \item Non ! Chercher un contre-exemple dans les exercices précédents. \end{enumerate} \finindication \noindication \indication{002369} Montrer que $\|L\|=\pi$. \finindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \indication{002395} \begin{enumerate} \item C'est une suite de Cauchy. Essayer de se ramener à une suite de Cauchy de $(\Rr,|.|)$. \item Regarder la suite définie par $u_n=-n$. \item Comme la première question. \end{enumerate} \finindication \indication{002396} $f$ est injective uniquement afin que $d$ soit bien une distance. Raisonner par double implication. Utiliser la caractérisation d'un fermé par les suites. \finindication \indication{002397} \begin{enumerate} \item $(X,d_\omega)$ est complet. La démonstration est presque la m\^eme que pour montrer que $({\cal C}([a,b]), \|.\|_\infty)$ est complet. \item Prendre par exemple, la fonction $f_n$ définie sur $[0,1]$ par $f_n(t) = 1$ pour $t\in[0,\frac 12]$, $f_n(t)=(1-n(t-\frac12))$ pour $t\in[\frac 12,\frac 12+\frac 1n]$ et $f(t)=0$ si $t\ge \frac 12+\frac 1n$. \end{enumerate} \finindication \indication{002398} \begin{enumerate} \item Intégrer l'exemple de l'exercice \ref{exocomp}. \item Oui cet espace est complet, montrer-le ! \end{enumerate} \finindication \indication{002399} \begin{enumerate} \item Prendre la suite $(x^p)$ définie par $x^p= (1,1,\ldots,1,1,0,0,0,\ldots).$ ($(x^p)_{p\in\Nn}$ est donc une suite de suite). \item Prendre $Y$ l'espace de toutes les suites. \item Considérer $x^p= (1,\frac 12,\ldots,\frac1p,0,0,\ldots)$. \end{enumerate} \finindication \indication{002400} \begin{enumerate} \item \'Ecrire ce que donne la définition de ``$(x_n)$ est une suite de Cauchy'' pour $\epsilon=1$, puis $\epsilon = \frac 12$, ..., puis $\epsilon = \frac 1{2^k}$. Faire la somme. Remarquer que si $T_N = \sum _{k=0}^N u_k$ alors $T_N = x_{n_{N+1}}-x_{n_0}$. \item ... \end{enumerate} \finindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \indication{002404} C'est à peu prés la même démonstration que pour le théorème du point fixe d'une fonction contractante. \finindication \indication{002405} Montrer que l'unique point fixe $x$ de $f^n$, est un point fixe de $f$. Pour cela écrire l'égalité $f^n(x)=x$ et composée habilement cette égalité. Pour conclure utiliser l'unicité du point fixe de $f^n$. \finindication \indication{002406} Faire soigneusement le calcul : $(T\circ T f)(x)=1+x+\int_0^x\int_0^{t-t^2}f(u-u^2)dudt$. Se souvenir que $X$ est complet et utiliser l'exercice \ref{exoiter}. \finindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \indication{002392} Raisonner par l'absurde et montrer que $\omega_x$ est un ouvert dense. \finindication \indication{002393} \begin{enumerate} \item Une application $f : X \to \Rr$ est \emph{semi-continue inf\'erieurement} si $$\forall \lambda \in \Rr \qquad \{ x\in X \mid f(x) > \lambda \} \qquad \text{est un ouvert.}$$ De façon équivalente $f$ est \emph{semi-continue inf\'erieurement} si pour tout $x \in X$ $$\forall \epsilon >0 \quad \exists \delta >0 \quad \forall y \in X \quad (d(x,y)< \delta \Rightarrow f(x)-f(y) < \epsilon).$$ Attention il n'y a pas de valeur absolue autour de $f(x)-f(y)$. \item Pour la première question considérer $O_n = \{ x\in X \mid f(x) > n \}$ et utiliser le théorème de Baire. \item Pour l'application utiliser la première question avec la fonction $$\phi : B \to \Rr, \text{ définie par } \phi(x) = \sup_{n\in\Nn} |f_n(x)|.$$ \end{enumerate} \finindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \indication{002383} Utiliser la première question pour les deux suivantes. \finindication \noindication \indication{002385} Utiliser la partition $X = \mathring A \cup \mathrm{Fr}\, A \cup (X \setminus \bar A)$ o\`u $\mathrm{Fr}\, A = \bar A \setminus \mathring A$ est la frontière de $A$. \finindication \indication{002386} Faites un dessin de $T$. Pour la dernière question, raisonner par l'absurde. O\`u peuvent s'envoyer les points de la deuxième question ? \finindication \indication{002387} \begin{enumerate} \item Pour la surjection, pensez à l'exponentielle ou aux sinus et cosinus... Pour l'injection, raisonner par l'absurde et utiliser la connexité du cercle privé d'un point. \item Raisonner par l'absurde et utiliser la connexité de $\Rr^2$ privé d'un point. \end{enumerate} \finindication \indication{002388} Définir $g : \Rr \longrightarrow \{0,1\}$ tel que $g(x)$ prend la valeur qu'a $f$ sur $B_x$. Montrer pour chaque points de $\Rr\setminus \Qq$, $g$ est constante dans un voisinage de ce point, puis faire la m\^eme chose pour un point de $\Qq$. Conclure. \finindication \indication{002389} \begin{enumerate} \item Faire un dessin ! \item Utiliser le théorème des accroissements finis d'une part. La définition de la dérivée d'autre part. \item Utiliser l'exercice \ref{exocon} ou refaire la demonstration. \end{enumerate} \finindication \noindication \indication{002391} \begin{enumerate} \item Faire un dessin !! \item Voir l'exercice \ref{exocon}. \item Raisonner par l'absurde. Prendre un chemin qui relie le point $(0,0)$ au point $(\frac{1}{2\pi},0)$ (par exemple). Ce chemin va quitter à un instant $t_0$ le segment $\{0\}\times [-1,1]$. Chercher une contradiction à ce moment l\`a. \end{enumerate} \finindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \indication{002408} Approcher $f$ par une suite de polynômes, et se rappeler que si l'intégrale d'une fonction positive et continue est nulle alors... \finindication \indication{002409} Raisonner par l'absurde. \finindication \indication{002410} Considérer l'application $\Phi : E \to \Rr^n$ définie par $\Phi = (f_1,\ldots, f_n)$. \finindication \indication{002411} Appliquer le théorème de Stone-Weierstrass. \finindication \indication{002412} Pour la deuxième question : \begin{enumerate} \item Montrer que $\{ f_n \mid n\in \Nn \}$ est équicontinue. \item Montrer que $ \{ f_n(x) \mid n\in \Nn \}$ est borné. \item Applique le théorème d'Acoli sur le compact $\bar B(0,R)$. \item Utiliser le procédé diagonal de Cantor ($R=1,2,3,\ldots$). \end{enumerate} \finindication \indication{002413} Démarrer avec l'inégalité : $$|f_n(x_n)-b| \le |f_n(x_n)-f_n(a)|+|f_n(a)-b|.$$ Si $(f_n)$ n'est pas équicontinue le résultat peut \^etre faux. Prendre $f_n(x) = (1+x)^n$ et $x_n= \frac 1 n$. \finindication \noindication \indication{002415} \begin{enumerate} \item Pour ouvert et fermé, écrire l'\'equicontinuité pour $\epsilon=1$ en un point $x$ (à fixer). \item Ascoli... \end{enumerate} \finindication \indication{002416} \begin{enumerate} \item Pour l'équicontinuité utiliser le théorème des accroissement finis. Pour la convergence simple montrer que pour $t$ fixé : $f_n(t)= \sin (\frac{t}{4n\pi})+o(\frac1n)$. \item Montrer que $(f_n)$ ne converge par vers la fonction nulle pour la norme $\|.\|_\infty$ (c'est-\`a-dire il y a convergence simple mais pas convergence uniforme). Le théorème d'Acoli serait-il faux ? \end{enumerate} \finindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \indication{007224} Sans l'hypothèse de connexité, l'anneau n'est plus intègre. \finindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \indication{007532} Pour la dernière question, on pourra montrer que $u\frac{\partial u}{\partial x}+v\frac{\partial v}{\partial x}=0$ puis que $u(u\frac{\partial u}{\partial x}+v\frac{\partial v}{\partial x})=\frac{\partial u}{\partial x}$. \finindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \indication{007240} Par l'absurde, supposer qu'il existe \(a\in \C\setminus \overline{f(\C)}\) et étudier la fonction \(z\mapsto \frac{1}{f(z)-a}\).) \finindication \noindication \noindication \noindication \noindication \indication{007245} Utiliser le théorème de Morera et faire une disjonction de cas selon la position du triangle par rapport à \(L\). \finindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \noindication \newpage \nocorrection \correction{000105} Il ne faut pas se laisser impressionner par l'allure de cette assertion. En effet $A \Rightarrow B$ est une \'ecriture pour $B \text{ ou } (\text{non} A)$ ; ici $A$ (la proposition $(1=2)$) est fausse, donc $(\text{non} A)$ est vraie et $B \text{ ou } (\text{non} A)$ l'est \'egalement. Donc l'assertion $A \Rightarrow B$ est vraie, quand $A$ est fausse et quelque soit la proposition $B$. \fincorrection \correction{000106} \begin{enumerate} \item (a) est fausse. Car sa n\'egation qui est $\forall x\in \Rr \ \exists y\in \Rr \quad x+y \leq 0$ est vraie. \'Etant donn\'e $x\in \Rr$ il existe toujours un $y\in\Rr$ tel que $x+y \leq 0$, par exemple on peut prendre $y=-(x+1)$ et alors $x+y=x-x-1=-1 \leq 0$. \item (b) est vraie, pour un $x$ donn\'e, on peut prendre (par exemple) $y=-x+1$ et alors $x+y=1>0$. La n\'egation de (b) est $\exists x\in \Rr \ \forall y\in \Rr \quad x+y \leq 0$. \item (c) : $\forall x\in \Rr \ \forall y\in \Rr \quad x+y > 0$ est fausse, par exemple $x=-1$, $y=0$. La n\'egation est $\exists x\in \Rr\ \exists y\in \Rr\ x+y \leq 0$. \item (d) est vraie, on peut prendre $x=-1$. La n\'egation est: $\forall x\in \Rr \ \exists y\in \Rr \quad y^2 \leq x$. \end{enumerate} \fincorrection \correction{000107} Dans ce corrig\'e, nous donnons une justification, ce qui n'\'etait pas demand\'e. \begin{enumerate} \item Cette assertion se d\'ecompose de la mani\`ere suivante : ( Pour tout $x\in {\Rr}$) ($f(x)\leq 1$). La n\'egation de ``( Pour tout $x\in {\Rr}$)" est ``Il existe $x\in {\Rr}$" et la n\'egation de ``($f(x)\leq 1$)" est $ f(x)>1$. Donc la n\'egation de l'assertion compl\`ete est : ``Il existe $x\in {\Rr}, f(x)>1$". \item Rappelons comment se traduit l'assertion ``L'application $f$ est croissante" : ``pour tout couple de r\'eels $(x_1,x_2)$, si $x_1\leq x_2$ alors $f(x_1) \leq f(x_2)$". Cela se d\'ecompose en : ``(pour tout couple de r\'eels $x_1$ et $x_2$) ($x_1\leq x_2$ implique $f(x_1) \leq f(x_2)$)". La n\'egation de la premi\`ere partie est : ``(il existe un couple de r\'eels $(x_1,x_2)$)" et la n\'egation de la deuxi\`eme partie est : ``($x_1\leq x_2$ et $f(x_1) > f(x_2)$)". Donc la n\'egation de l'assertion compl\`ete est : ``Il existe $x_1\in \Rr$ et $x_2\in \Rr$ tels que $x_1 \leq x_2$ et $f(x_1) > f(x_2)$". \item La n\'egation est : ``l'application $f$ n'est pas croissante ou n'est pas positive". On a d\'ej\`a traduit ``l'application $f$ n'est pas croissante", traduisons ``l'application $f$ n'est pas positive" : ``il existe $x \in \Rr, f(x)<0$". Donc la n\'egation de l'assertion compl\`ete est : `` Il existe $x_1\in \Rr$ et $x_2\in \Rr$ tels que $x_1 0$)". Donc la n\'egation de l'assertion compl\`ete est : ``Pour tout $x\in {\Rr}^+$, $f(x)> 0$". \item Cette assertion se d\'ecompose de la mani\`ere suivante : ``($\exists x \in {\Rr}$)($\forall y \in {\Rr}$)($ xf(y)$)". La n\'egation de la premi\`ere partie est ``($\forall x \in {\Rr}$)", celle de la seconde est ``($\exists y \in {\Rr}$)", et celle de la troisi\`eme est ``($ x 0$, d\'efinissons $M_1 = (\frac{2}{\epsilon},0) \in F_1$ et $M_2 = (\frac{2}{\epsilon},\frac{\epsilon}{2}) \in F_2$, alors $M_1M_2=\frac{\epsilon}{2} < \epsilon$. Ceci \'etant vrai quelque soit $\epsilon >0$ la proposition est donc d\'emontr\'ee. \item Soit deux points fix\'es $M_1$, $M_2$ v\'erifiant cette proposition, la distance $d= M_1M_2$ est aussi petite que l'on veut donc elle est nulle, donc $M_1 = M_2$ ; or les ensembles $F_1$ et $F_2$ sont disjoints. Donc la proposition est fausse. La n\'egation de cette proposition est : $$ \forall M_1 \in F_1 \ \ \forall M_2 \in F_2 \quad \exists \epsilon \in ]0,+\infty[ \quad \quad M_1M_2 \geqslant \epsilon $$ et cela exprime le fait que les ensembles $F_1$ et $F_2$ sont disjoints. \item Celle ci est \'egalement fausse, en effet supposons qu'elle soit vraie, soit alors $\epsilon$ correspondant \`a cette proposition. Soit $M_1=(\epsilon +2,0)$ et $M_2 = (1,1)$, on a $M_1M_2 > \epsilon+1$ ce qui est absurde. La n\'egation est : $$\forall \epsilon \in ]0,+\infty[ \quad \exists M_1 \in F_1 \ \ \exists M_2 \in F_2 \quad \quad M_1M_2 \geqslant \epsilon $$ C'est-\`a-dire que l'on peut trouver deux points aussi \'eloign\'es l'un de l'autre que l'on veut. \item Cette proposition est vraie, il suffit de choisir $\epsilon=M_1M_2+1$. Elle signifie que la distance entre deux points donn\'es est un nombre fini ! \end{enumerate} \fincorrection \correction{000110} ``Il existe un habitant de la rue du Havre qui a les yeux bleus, qui ne gagnera pas au loto ou qui prendra sa retraite apr\`es 50 ans.'' \fincorrection \correction{000111} \begin{enumerate} \item $P$ et non $Q$; \item ``non P ou $Q$" ce qui la même chose que ``$P \Rightarrow Q$"; \item (non $P$) ou ((non $Q$) ou (non $R$)) (on peut supprimer les parenthèses); \item non $P$ et (non $Q$ ou non $R$) (ici les parenthèses sont importantes); \item $P$ et $Q$ et $R$ et non $S$; \end{enumerate} \fincorrection \correction{000112} \begin{enumerate} \item ``Il existe un triangle rectangle qui n'a pas d'angle droit." Bien sûr cette dernière phrase est fausse ! \item ``Il existe une \'ecurie dans laquelle il y a (au moins) un cheval dont la couleur n'est pas noire." \item Sachant que la proposition en langage math\'ematique s'\'ecrit $$\forall x\in\Zz \ \ \exists y\in\Zz\ \ \forall z\in\Zz \quad (z0\ \ \forall \alpha>0 \quad (|x-7/5|<\alpha \text{ et } |5x-7|\geq\epsilon).$ \end{enumerate} \fincorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \correction{000119} Remarquons d'abord que pour $n \in \Nn$, $\frac{2n+1}{n+2} \leq 2$ car $2n+1 \leq 2(n+2)$. \'Etant donn\'e $\epsilon > 0$, nous avons donc $$\forall n \in \Nn \quad \frac{2n+1}{n+2} < 2 + \epsilon$$ Maintenant nous cherchons une condition sur $n$ pour que l'in\'egalit\'e $$2-\epsilon < \frac{2n + 1}{n + 2}$$ soit vraie. \begin{align*} 2-\epsilon < \frac{2n + 1}{n + 2} &\Leftrightarrow (2-\epsilon)(n+2) < 2n+1 \\ &\Leftrightarrow 3 < \epsilon (n+2) \\ &\Leftrightarrow n > \frac{3}{\epsilon}-2 \\ \end{align*} Ici $\epsilon$ nous est donn\'e, nous prenons un $N\in \Nn$ tel que $N > \frac{3}{\epsilon}-2$, alors pour tout $n \geq N$ nous avons $n \geq N > \frac{3}{\epsilon}-2$ et par cons\'equent: $2-\epsilon < \frac{2n + 1}{n + 2}$. Conclusion: \'etant donn\'e $\epsilon > 0$, nous avons trouv\'e un $N\in \Nn$ tel que pour tout $n \geq N$ on ait $2-\epsilon < \frac{2n + 1}{n + 2}$ et $\frac{2n+1}{n+2} < 2 + \epsilon$. En fait nous venons de prouver que la suite de terme $(2n+1)/(n+2)$ tend vers $2$ quand $n$ tend vers $+\infty$. \fincorrection \correction{000120} \begin{enumerate} \item $\exists M \in \Rr \quad \forall x \in \Rr \qquad f(x) \leq M$; \item $\exists M \in \Rr\quad \exists m \in \Rr \quad \forall x \in \Rr \qquad m \leq f(x) \leq M$; \item $\forall x \in \Rr \qquad f(x) = f(-x)$; \item $\forall x \in \Rr \qquad f(-x) = -f(x)$; \item $\forall x \in \Rr \qquad f(x) \not= 0$; \item $\exists a \in \Rr^* \quad \forall x \in \Rr \qquad f(x+a) = f(x)$; \item $\forall (x,y) \in \Rr^2 \qquad (x\leq y \Rightarrow f(x) \leq f(y))$; \item $\forall (x,y) \in \Rr^2 \qquad (x < y \Rightarrow f(x) > f(y))$; \item $\exists x \in \Rr \qquad f(x) \not= 0$; \item $\forall (x,y) \in \Rr^2 \qquad (x\not= y \Rightarrow f(x) \not= f(y))$; \item $\forall n\in \Nn \quad \exists x \in \Rr \qquad f(x)=n$; \item $\forall x \in \Rr \qquad f(x) \leq g(x)$; \item $\exists x \in \Rr \qquad f(x) > g(x)$. \end{enumerate} \fincorrection \correction{005103} \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item $(f=Id_{\mathcal{P}}\Leftrightarrow\forall M\in\mathcal{P},\;f(M)=M)$ et $(f\neq Id_{\mathcal{P}}\Leftrightarrow\exists M\in\mathcal{P}/\;f(M)\neq M)$. \item $(f\;\mbox{a au moins un point fixe}\Leftrightarrow \exists M\in\mathcal{P}/\;f(M)=M)$ et $(f\;\mbox{n'a pas de point fixe}\Leftrightarrow \forall M\in\mathcal{P},\;f(M)\neq M)$. \end{enumerate} Constatez que les phrases $f(M)=M$ ou $f(M)\neq M$ \textbf{n'ont aucun sens} si elles ne sont pas accompagnées de quantificateurs. \item \begin{enumerate} \item $(f=0\Leftrightarrow\forall x\in\Rr,\;f(x)=0)$ et $(f\neq0\Leftrightarrow\exists x\in\Rr/\;f(x)\neq0)$. \item (L'équation $f(x)=0$ a (au moins) une solution si et seulement si $\exists x\in\Rr/\;f(x)=0)$ et (l'équation $f(x)=0$ n'a pas de solution si et seulement si $\forall x\in\Rr/\;f(x)\neq0)$. \item (L'équation $f(x)=0$ a exactement une solution si et seulement si $\exists!x\in\Rr/\;f(x)=0)$ et (l'équation $f(x)=0$ n'a pas exactement une solution si et seulement si $\forall x\in\Rr/\;f(x)\neq0$ ou $\exists(x,x')\in\Rr^2/\;(x\neq x'\;\mbox{et}\;f(x)=f(x')=0)$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item $((u_n)_{n\in\Nn}\;\mbox{bornée}\Leftrightarrow\exists M\in\Rr/\;\forall n\in\Nn,\;|u_n|\leq M)$ et $((u_n)_{n\in\Nn}\;\mbox{non bornée}\Leftrightarrow\forall M\in\Rr/\;\exists n\in\Nn,\;|u_n|>M)$. \item $((u_n)_{n\in\Nn}\;\mbox{croissante}\Leftrightarrow\forall n\in\Nn/\;u_{n+1}\geq u_n)$ et $((u_n)_{n\in\Nn}\;\mbox{non croissante}\Leftrightarrow\exists n\in\Nn/\;u_{n+1}u_n))$. \end{enumerate} \end{enumerate} \fincorrection \correction{005104} Le contraire de $x\geq3$ est $x<3$. Le contraire de $02)$. \fincorrection \correction{005105} \begin{enumerate} \item Oui. Dans les deux cas, chaque fois que l'on se donne un réel $x_0$, $f(x_0)$ et $g(x_0)$ sont tous deux nuls. \item Non. La deuxième affirmation implique la première mais la première n'implique pas la deuxième. La première phrase est la traduction avec des quantificateurs de l'égalité $fg=0$. La deuxième phrase est la traduction avec quantificateurs de $(f=0\;\mbox{ou}\;g=0)$. Voici un exemple de fonctions $f$ et $g$ toutes deux non nulles dont le produit est nul. Soient $\begin{array}[t]{cccc} f~:&\Rr&\rightarrow&\Rr\\ &x&\mapsto&\left\{ \begin{array}{l} 0\;\mbox{si}\;x<0\\ x\;\mbox{si}\;x\geq0 \end{array} \right. \end{array}$ et $\begin{array}[t]{cccc} g~:&\Rr&\rightarrow&\Rr\\ &x&\mapsto&\left\{ \begin{array}{l} 0\;\mbox{si}\;x>0\\ x\;\mbox{si}\;x\leq0 \end{array} \right. \end{array}$. Pour chaque valeur de $x$, on a soit $f(x)=0$ (quand $x\leq0$), soit $g(x)=0$ (quand $x\geq0$). On a donc~:~$\forall x\in\Rr,\;(f(x)=0\;\mbox{ou}\;g(x)=0)$ ou encore $\forall x\in\Rr,\;f(x)g(x)=0$ ou enfin, $fg=0$. Cependant, $f(1)=1\neq0$ et donc $f\neq0$, et $g(-1)=-1\neq0$ et donc $g\neq0$. Ainsi, on n'a pas $(f=0\;\mbox{ou}\;g=0)$ ou encore, on n'a pas $((\forall x\in\Rr,\;f(x)=0)\;\mbox{ou}\;(\forall x\in\Rr,\;g(x)=0))$. \end{enumerate} \fincorrection \nocorrection \correction{000122} Nous allons d\'emontrer l'assertion $1.$ de deux mani\`eres diff\'erentes. \begin{enumerate} \item Tout d'abord de fa\c{c}on ``directe". Nous supposons que $A$ et $B$ sont tels que $A\cap B = A \cup B$. Nous devons montrer que $A=B$. Pour cela \'etant donn\'e $x \in A$ montrons qu'il est aussi dans $B$. Comme $x\in A$ alors $x \in A\cup B$ donc $x \in A \cap B$ (car $A\cup B= A \cap B$). Ainsi $x \in B$. Maintenant nous prenons $x\in B$ et le m\^eme raisonnement implique $x \in A$. Donc tout \'el\'ement de $A$ est dans $B$ et tout \'el\'ement de $B$ est dans $A$. Cela veut dire $A=B$. \item Ensuite, comme demand\'e, nous le montrons par contraposition. Nous supposons que $A\not= B$ et nous devons montrer que $A\cap B \not= A\cup B$. Si $A\not= B$ cela veut dire qu'il existe un \'el\'ement $x \in A\setminus B$ ou alors un \'el\'ement $x\in B \setminus A$. Quitte \`a \'echanger $A$ et $B$, nous supposons qu'il existe $x\in A \setminus B$. Alors $x \in A \cup B$ mais $x \notin A\cap B$. Donc $A\cap B \not= A\cup B$. \end{enumerate} \fincorrection \correction{000123} \begin{align*} x\in\complement (A\cup B) & \Leftrightarrow x\notin A\cup B \\ &\Leftrightarrow x\notin A \text{ et } x\notin B\\ &\Leftrightarrow x\in\complement A \text{ et } x\in\complement B\\ &\Leftrightarrow x\in \complement A \cap \complement B.\\ \end{align*} \begin{align*} x\in\complement (A\cap B) & \Leftrightarrow x\notin A\cap B\\ &\Leftrightarrow x\notin A \text{ ou } x\notin B\\ &\Leftrightarrow x\in\complement A \text{ ou } x\in\complement\\ &\Leftrightarrow x\in \complement A \cup \complement B.\\ \end{align*} \fincorrection \correction{000124} Montrons quelques assertions. $f(A\cap B) \subset f(A)\cap f(B)$.\\ Si $y\in f(A\cap B)$, il existe $x\in A\cap B$ tel que $y=f(x)$, or $x\in A$ donc $y=f(x) \in f(A)$ et de m\^eme $x\in B$ donc $y\in f(B)$. D'o\`u $y\in f(A)\cap f(B)$. Tout \'el\'ement de $f(A\cap B)$ est un \'el\'ement de $f(A)\cap f(B)$ donc $f(A\cap B) \subset f(A)\cap f(B)$. Remarque : l'inclusion r\'eciproque est fausse. Exercice : trouver un contre-exemple. \bigskip $f^{-1}(F\setminus A) = E\setminus f^{-1}(A)$.\\ \begin{align*} x\in f^{-1}(F\setminus A) &\Leftrightarrow f(x) \in F\setminus A\\ &\Leftrightarrow f(x) \notin A\\ &\Leftrightarrow x \notin f^{-1}(A) \quad \text{ car } f^{-1}(A) = \{ x\in E \ / \ f(x) \in A \}\\ &\Leftrightarrow x\in E\setminus f^{-1}(A)\\ \end{align*} \fincorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \correction{000136} $I_1=3\;\mbox{ et }\; I_2=\left[-2,5\right].$ \fincorrection \correction{000137} $I=\left[0,2\right]\;\mbox{ et }\;J=\left]1,+\infty\right[.$ \fincorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \correction{000144} \begin{enumerate} \item $B\setminus A \subset X \subset B$. \item $B \subset X \subset B \cup \complement{A}$. \end{enumerate} \fincorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \correction{005112} \begin{enumerate} \item Si $A=B=\varnothing$ alors $A\Delta B=\varnothing=A\cap B$. Si $A\Delta B=A\cap B$, supposons par exemple $A\neq\varnothing$. Soit $x\in A$. Si $x\in B$, $x\in A\cap B=A\Delta B$ ce qui est absurde et si $x\notin B$, $x\in A\Delta B=A\cap B$ ce qui est absurde. Donc $A=B=\varnothing$. Finalement, $A\Delta B=A\cap B\Leftrightarrow A=B=\varnothing$. \item Par distributivité de $\cap$ sur $\cup$, \begin{align*} (A\cup B)\cap(B\cup C)\cap(C\cup A)&=((A\cap B)\cup(A\cap C)\cup(B\cap B)\cup(B\cap C))\cap(C\cup A)\\ &=((A\cap C)\cup B)\cap(C\cup A)\;(\mbox{car}\;B\cap B=B\;\mbox{et}\;A\cap B\subset B\;\mbox{et}\;B\cap C\subset B)\\ &=\left((A\cap C)\cap C\right)\cup\left((A\cap C)\cap A\right)\cup\left(B\cap C\right)\cup\left(B\cap A\right)\\ &=(A\cap C)\cup(A\cap C)\cup(B\cap C)\cup(B\cap A)\\ &=(A\cap B)\cup(B\cap C)\cup(C\cap A) \end{align*} \item $A\Delta B=(A\setminus B)\cup(B\setminus A)=(B\setminus A)\cup(A\setminus B)=B\Delta A$. \item \begin{align*} x\in(A\Delta B)\Delta C&\Leftrightarrow x\;\mbox{est dans}\;A\Delta B\;\mbox{ou dans}\;C\;\mbox{mais pas dans les deux}\\ &\Leftrightarrow((x\in A\;\mbox{et}\;x\notin B\;\mbox{et}\;x\notin C)\;\mbox{ou}\;(x\in B\;\mbox{et}\;x\notin A\;\mbox{et}\;x\notin C)\;\mbox{ou}\;(x\in C\;\mbox{et}\;x\notin A\Delta B)\\ &\Leftrightarrow x\;\mbox{est dans une et une seule des trois parties ou dans les trois}. \end{align*} Par symétrie des rôles de $A$, $B$ et $C$, $A\Delta(B\Delta C)$ est également l'ensemble des éléments qui sont dans une et une seule des trois parties $A$, $B$ ou $C$ ou dans les trois. Donc $(A\Delta B)\Delta C=A\Delta(B\Delta C)$. Ces deux ensembles peuvent donc se noter une bonne fois pour toutes $A\Delta B\Delta C$. \item $A=B\Rightarrow A\setminus B=\varnothing$ et $B\setminus A=\varnothing\Rightarrow A\Delta B =\varnothing$. $A\neq B\Rightarrow\exists x\in E/\;((x\in A\;\mbox{et}\;x\notin B)\;\mbox{ou}\;(x\notin A\;\mbox{et}\; x\in B))\Rightarrow\exists x\in E/\;x\in(A\setminus B)\cup(B\setminus A)=A\Delta B\Rightarrow A\Delta B\neq\varnothing$. \item \begin{itemize} \item[$\Leftarrow$] Immédiat. \item[$\Rightarrow$] Soit $x$ un élément de $A$. Si $x\notin C$ alors $x\in A\Delta C=B\Delta C$ et donc $x\in B$ car $x\notin C$. Si $x\in C$ alors $x\notin A\Delta C=B\Delta C$. Puis $x\notin B\Delta C$ et $x\in C$ et donc $x\in B$. Dans tous les cas, $x$ est dans $B$. Tout élément de $A$ est dans $B$ et donc $A\subset B$. En échangeant les rôles de $A$ et $B$, on a aussi $B\subset A$ et finalement $A=B$. \end{itemize} \end{enumerate} \fincorrection \correction{005113} \begin{enumerate} \item Soit $x\in E$. \begin{align*} x\in f\left(\bigcup_{i\in I}A_i\right)&\Leftrightarrow\exists y\in\bigcup_{i\in I}A_i/\;x=f(y)\Leftrightarrow\exists i\in I,\;\exists y\in A_i/\;x=f(y)\\ &\Leftrightarrow\exists i\in I/\;x\in f(A_i)\Leftrightarrow x\in\bigcup_{i\in I}f(A_i) \end{align*} Donc \begin{center} \shadowbox{ $f\left(\displaystyle\bigcup_{i\in I}A_i\right)=\displaystyle\bigcup_{i\in I}f(A_i)$. } \end{center} \item Soit $x\in E$. \begin{align*} x\in f\left(\bigcap_{i\in I}A_i\right)&\Leftrightarrow\exists y\in\bigcap_{i\in I}A_i/\;x=f(y)\Leftrightarrow\exists y\in E/\;\forall i\in I,\; y\in A_i\;\mbox{et}\;x=f(y)\\ &\Rightarrow\forall i\in I/\;\exists y\in A_i/\;x=f(y)\Leftrightarrow\forall i\in I/\;x\in f(A_i)\\ &\Leftrightarrow x\in\bigcap_{i\in I}f(A_i) \end{align*} Donc \begin{center} \shadowbox{ $f\left(\displaystyle\bigcap_{i\in I}A_i\right)\subset\displaystyle\bigcap_{i\in I}f(A_i)$. } \end{center} L'inclusion contraire n'est pas toujours vraie. Par exemple, pour $x$ réel on pose $f(x)=x^2$ puis $A=\{-1\}$ et $B=\{1\}$. $A\cap B=\varnothing$ et donc $f(A\cap B)=\varnothing$ puis $f(A)=f(B)=\{1\}$ et donc $f(A)\cap f(B)=\{1\}$. \item Il n'y a aucune inclusion vraie entre $f(E\setminus A)$ et $F\setminus f(A)$. Par exemple, soit $\begin{array}[t]{cccc} f~:&\Rr&\rightarrow&\Rr\\ &x&\mapsto&x^2 \end{array}$ et $A=[-1,2]$. $f(A)=[0,4]$ et donc $C_{\Rr}(f(A))=]-\infty,0[\cup]4,+\infty[$ mais $f(C_{\Rr}A)=f(]-\infty,-1[\cup]2,+\infty[) =]1,+\infty[$ et aucune inclusion entre les deux parties n'est vraie. \item Soit $x\in E$. $$x\in f^{-1}\left(\bigcap_{i\in I}B_i\right)\Leftrightarrow f(x)\in\bigcap_{i\in I}B_i\Leftrightarrow\forall i\in I,\;f(x)\in B_i\Leftrightarrow\forall i\in I,\;x\in f^{-1}(B_i)\Leftrightarrow x\in\bigcap_{i\in I}f^{-1}(B_i).$$ Donc, \begin{center} \shadowbox{ $f^{-1}(\displaystyle\bigcap_{i\in I}B_i)=\displaystyle\bigcap_{i\in I}f^{-1}(B_i)$. } \end{center} \item Soit $x\in E$. $$x\in f^{-1}(\bigcup_{i\in I}B_i)\Leftrightarrow f(x)\in\bigcup_{i\in I}B_i\Leftrightarrow\exists i\in I,\;f(x)\in B_i\Leftrightarrow\exists i\in I,\;x\in f^{-1}(B_i)\Leftrightarrow x\in\bigcup_{i\in I}f^{-1}(B_i).$$ Donc, \begin{center} \shadowbox{ $f^{-1}(\displaystyle\bigcup_{i\in I}B_i)=\displaystyle\bigcup_{i\in I}f^{-1}(B_i)$. } \end{center} \item Soit $x\in E$. $$x\in f^{-1}(F\setminus B_i)\Leftrightarrow f(x)\in F\setminus B_i\Leftrightarrow f(x)\notin B_i\Leftrightarrow x\notin f^{-1}(B_i)\Leftrightarrow x\in E\setminus f^{-1}(B_i).$$ Donc, \begin{center} \shadowbox{ $f^{-1}(F\setminus B_i)=E\setminus f^{-1}(B_i)$. } \end{center} \end{enumerate} \fincorrection \correction{005117} \begin{enumerate} \item Il y a l'injection triviale $\begin{array}[t]{cccc} f~:&E&\rightarrow&\mathcal{P}(E)\\ &x&\mapsto&\{x\} \end{array}$. \item Soit $f$ une application quelconque de $E$ dans $\mathcal{P}(E)$. Montrons que $f$ ne peut être surjective. Soit $A=\{x\in E/\;x\notin f(x)\}$. Montrons que $A$ n'a pas d'antécédent par $f$. Supposons par l'absurde que $A$ a un antécédent $a$. Dans ce cas, où est $a$~?~ $$a\in A\Rightarrow a\notin f(a)=A,$$ ce qui est absurde et $$a\notin A\Rightarrow a\in f(a)=A,$$ ce qui est absurde. Finalement, $A$ n'a pas d'antécédent et $f$ n'est pas surjective. On a montré le théorème de \textsc{Cantor}~:~pour tout ensemble $E$ (vide, fini ou infini), il n'existe pas de bijection de $E$ sur $\mathcal{P}(E)$. \end{enumerate} \fincorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \correction{000150} Par l'absurde, supposons qu'il existe $p\in \Nn$ tel que $f=f_p$. Deux applications sont \'egales si et seulement si elles prennent les m\^emes valeurs. $$\forall n\in \Nn\ \ f(n) = f_p(n).$$ En particulier pour $n=p$, $f(p)=f_p(p)$. D'autre part la d\'efinition de $f$ nous donne $f(p) = f_p(p)+1$. Nous obtenons une contradiction car $f(p)$ ne peut prendre deux valeurs distinctes. En conclusion, quelque soit $p\in \Nn$, $f\not= f_p$. \fincorrection \correction{000151} \begin{enumerate} \item Montrons en fait la contrapos\'ee. S'il existe $i$ tel que $p_i$ divise $N=p_1p_2 \ldots p_r +1$ ($i$ est fix\'e) alors il existe $k \in \Zz$ tel que $N = kp_i$ donc $$p_i(k-p_1p_2\ldots p_{i-1}p_{i+1}\ldots p_r) = 1$$ soit $p_iq = 1$ (avec $q = k-p_1p_2\ldots p_{i-1}p_{i+1}\ldots p_r $ un nombre entier). Donc $p_i \in \Zz$ et $1/p_i = q \in \Zz$, alors $p_i$ vaut $1$ ou $-1$. Et donc $p_i$ n'est pas un nombre premier. Conclusion : par contraposition il est vrai que $N$ n'est divisible par aucun des $p_i$ \item Raisonnons par l'absurde : s'il n'existe qu'un nombre fini $r$ de nombres premiers $p_1,\ldots,p_r$ alors $N=p_1p_2 \ldots p_r +1$ est un nombre premier car divisible par aucun nombre premier autre que lui m\^eme (c'est le 1.). Mais $N$ est strictement sup\'erieur \`a tous les $p_i$. Conclusion on a construit un nombre premier $N$ diff\'erent des $p_i$, il y a donc au moins $r+1$ nombres premiers, ce qui est absurde. \end{enumerate} \fincorrection \nocorrection \correction{000153} R\'edigeons la deuxi\`eme \'egalit\'e. Soit $\mathcal{A}_n$, $n\in \Nn^*$ l'assertion suivante: $$(\mathcal{A}_n) \ \ \ \sum_{k=1}^n k^2= \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.$$ \begin{itemize} \item $\mathcal{A}_0$ est vraie ($1=1$). \item \'Etant donn\'e $n\in\Nn^*$ supposons que $\mathcal{A}_n$ soit vraie. Alors \begin{align*} \sum_{k=1}^{n+1} k^2 &= \sum_{k=1}^n k^2 \ \ + (n+1)^2 \\ &= \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + (n+1)^2\\ &= \frac{n(n+1)(2n+1)+6(n+1)^2}{6} \\ &= \frac{(n+1)(n(2n+1)+6(n+1))}{6} \\ &= \frac{(n+1)(n+2)(2(n+1)+1)}{6} \\ \end{align*} Ce qui prouve $\mathcal{A}_{n+1}$. \item Par le principe de r\'ecurrence nous venons de montrer que $\mathcal{A}_n$ est vraie pour tout $n\in\Nn^*$. \end{itemize} \fincorrection \nocorrection \correction{000155} \begin{enumerate} \item Montrons par r\'ecurrence $\forall n \in \Nn\ x_n > 3$. Soit l'hypoth\`ese de r\'ecurrence : $$(\mathcal{H}_n) : \quad x_n >3.$$ \begin{itemize} \item[$\bullet$] La proposition $\mathcal{H}_0$ est vraie car $x_0 = 4 > 3$. \item[$\bullet$] Soit $n\geq 0$, supposons $\mathcal{H}_n$ vraie et montrons que $\mathcal{H}_{n+1}$ est alors vraie. $$x_{n+1}-3 = \frac{2{x_n}^2-3}{x_n+2}-3 = \frac{2{x_n}^2-3x_n-9}{x_n+2}.$$ Par hypoth\`ese de r\'ecurrence $x_n > 3$, donc $x_n+2 > 0$ et $2{x_n}^2-3x_n-9>0$ (ceci par \'etude de la fonction $x \mapsto 2{x}^2-3x-9$ pour $x>3$). Donc $x_{n+1}-3 $ et $\mathcal{H}_{n+1}$ est vraie. \item[$\bullet$] Nous avons montré $$\forall n \in \Nn \quad \mathcal{H}_{n} \Rightarrow \mathcal{H}_{n+1}$$ et comme $\mathcal{H}_{0}$ est vraie alors $\mathcal{H}_{n}$ est vraie quelque soit $n$. Ce qui termine la d\'emonstration. \end{itemize} \item Montrons que $x_{n+1}-3 - \frac{3}{2}(x_n-3)$ est positif. $$x_{n+1}-3 - \frac{3}{2}(x_n-3) = \frac{2{x_n}^2-3}{x_n+2}-\frac{3}{2}(x_n-3) = \frac{1}{2}\frac{{x_n}^2-3x_n}{x_n+2}$$ Ce dernier terme est positif car $x_n >3$. \item Montrons par r\'ecurrence $\forall n \in \Nn\ x_n > \left(\frac{3}{2}\right)^n+3$. Soit notre nouvelle l'hypoth\`ese de r\'ecurrence : $$(\mathcal{H}_n) \quad x_n >\left( \frac{3}{2}\right)^n+3.$$ \begin{itemize} \item[$\bullet$] La proposition $\mathcal{H}_0$ est vraie. \item[$\bullet$] Soit $n\geq 0$, supposons que $\mathcal{H}_n$ vraie et montrons que $\mathcal{H}_{n+1}$ est v\'erifi\'ee. D'apr\`es la question pr\'ec\'edente $ x_{n+1}-3 > \frac{3}{2}(x_n-3)$ et par hypoth\`ese de r\'ecurrence $x_n >\left( \frac{3}{2}\right)^n+3$ ; en r\'eunissant ces deux in\'egalit\'es nous avons $ x_{n+1}-3 > \frac{3}{2}(\left(\frac{3}{2}\right)^n) = \left(\frac{3}{2}\right)^{n+1}$. \item[$\bullet$] Nous concluons en r\'esumant la situation :\\ $\mathcal{H}_{0}$ est vraie, et $\mathcal{H}_{n} \Rightarrow \mathcal{H}_{n+1}$ quelque soit $n$. Donc $\mathcal{H}_{n}$ est toujours vraie. \end{itemize} \item La suite $(x_n)$ tend vers $+\infty$ et n'est donc pas convergente. \end{enumerate} \fincorrection \correction{000156} Montrons par r\'ecurrence sur $n \geqslant 1$ la proposition suivante : $$\mathcal{H}_n : \quad n \text{\ droites en position g\'en\'erale d\'ecoupent le plan en \ } R_n = \frac{n(n+1)}{2}+1 \text{\ r\'egions.}$$ \begin{itemize} \item[$\bullet$] pour $n=1$ alors une droite divise le plan en deux r\'egions. $\mathcal{H}_1$ est vraie. \item[$\bullet$] Soit $n\geqslant 2$ et supposons que $\mathcal{H}_{n-1}$ soit vraie, et montrons $\mathcal{H}_n$. Soient $\Delta_1,\ldots,\Delta_n$ $n$ droites en position g\'en\'erale, la droite $\Delta_n$ rencontre les droites $\Delta_1,\ldots,\Delta_{n-1}$ en $n-1$ points, donc $\Delta_n$ traverse (et d\'ecoupe en deux) $n$ r\'egions du d\'ecoupage $\Delta_1,\ldots,\Delta_{n-1}$. Le d\'ecoupage par $\Delta_n$ donne donc la relation $R_n=R_{n-1}+n$. Or par hypoth\`ese de r\'ecurrence $\mathcal{H}_{n-1}$ : $R_{n-1} = \frac{(n-1)n}{2}+1$ donc $$ R_n = R_{n-1}+n = \frac{(n-1)n}{2}+1+n=\frac{n(n+1)}{2}+1 $$ Et $\mathcal{H}_n$ est vraie.\\ Ainsi $\forall n\in\Nn^* \quad \mathcal{H}_{n-1}\Rightarrow \mathcal{H}_{n}$. \item[$\bullet$] Conclusion : par r\'ecurrence on a montr\'e que $\mathcal{H}_n$ est vraie quelque soit $n \geqslant 1$. \end{itemize} \fincorrection \correction{000157} \begin{enumerate} \item Montrons la proposition demand\'ee par r\'ecurrence: soit $\mathcal{A}_{n}$ l'assertion $f^{n + 1} = f \circ f^n$. Cette assertion est vraie pour $n=0$. Pour $n\in \Nn$ supposons $\mathcal{A}_{n}$ vraie. Alors $$f^{n + 2} = f^{n + 1} \circ f = (f \circ f^n) \circ f = f \circ (f^n \circ f) = f \circ f^{n + 1}.$$ Nous avons utiliser la definition de $f^{n + 2}$, puis la proposition $\mathcal{A}_{n}$, puis l'associativit\'e de la composition, puis la d\'efinition de $f^{n + 1}$. Donc $\mathcal{A}_{n+1}$ est vraie. Par le principe de r\'ecurrence $$\forall \in \Nn \ \ f^n\circ f = f\circ f^n.$$ \item On proc\`ede de m\^eme par r\'ecurrence: soit $\mathcal{A}_{n}$ l'assertion $ (f^{-1})^n = (f^n)^{-1}$. Cette assertion est vraie pour $n=0$. Pour $n\in \Nn$ supposons $\mathcal{A}_{n}$ vraie. Alors $$(f^{-1})^{n+1} = (f^{-1})^{n} \circ f^{-1} = (f^n)^{-1} \circ f^{-1} = (f\circ f^n)^{-1} = ( f^n \circ f)^{-1} = ( f^{n+1})^{-1} .$$ Donc $\mathcal{A}_{n+1}$ est vraie. Par le principe de r\'ecurrence $$\forall \in \Nn \ \ (f^{-1})^n = (f^n)^{-1}.$$ \end{enumerate} \fincorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \correction{000209} \begin{enumerate} \item Soient $z,z',z''$ des complexes quelconques. \begin{itemize} \item[$\bullet$] Reflexivit\'e : $ z\mathcal{R}z$ car $|z|=|z|$. \item[$\bullet$] Sym\'etrie : $z\mathcal{R}z' \Rightarrow z'\mathcal{R}z$ car $|z|=|z'|$ et donc $|z'|=|z|$. \item[$\bullet$] Transitivit\'e : $z\mathcal{R}z'$ et $z'\mathcal{R}z''$ alors $|z|=|z'|=|z''|$ donc $z\mathcal{R}z''$. \end{itemize} En fait, nous avons juste retranscrit que l'\'egalit\'e ``$=$'' est une relation d'\'equivalence. \item La classe d'\'equivalence d'un point $z\in\Cc$ est l'ensemble des complexes qui sont en relation avec $z$, \emph{i.e.} l'ensemble des complexes dont le module est \'egal \`a $|z|$. G\'eom\'etriquement la classe d'\'equivalence de $z$ est le cerlce $\mathcal{C}$ de centre $0$ et de rayon $|z|$ : $$\mathcal{C} = \left\{ |z|e^{i\theta} \ / \ \theta \in \Rr \right\}.$$ \end{enumerate} \fincorrection \correction{000210} Le raisonnement est faux. L'erreur est due au manque de quantification. En effet, rien ne prouve que pout tout $x$ un tel $y$ existe. Il peut exister un \'el\'ement $x$ qui n'est en relation avec personne (m\^eme pas avec lui). \fincorrection \nocorrection \correction{000212} \begin{enumerate} \item \begin{itemize} \item Reflexivit\'e : Pour tout $x\in \Rr$, $xe^x=xe^x$ donc $x\mathcal{R}x$. \item Sym\'etrie : Pour $x,y \in \Rr$, si $x\mathcal{R} y$ alors $xe^y=ye^x$ donc $ye^x=xe^y$ donc $y\mathcal{R} x$. \item Transitivit\'e : Soient $x,y,z \in \Rr$ tels que $x\mathcal{R} y$ et $y\mathcal{R} z$, alors $xe^y=ye^x$ et $ye^z=ze^y$. Calculons $xye^z$ : $$xye^z= x(ye^z) = x(ze^y)= z(xe^y)=z(ye^x)=yze^x.$$ Donc $xye^z=yze^x$. Si $y \neq 0$ alors en divisant par $y$ on vient de montrer que $xe^z=ze^x$ donc $x\mathcal{R} z$ et c'est fini. Pour le cas $y=0$ alors $x=0$ et $z=0$ donc $x\mathcal{R} z$ \'egalement. \end{itemize} \item Soit $x\in \Rr$ fix\'e. On note $\mathcal{C}(x)$ la classe d'\'equivalence de $x$ modulo $\mathcal{R}$ : $$\mathcal{C}(x) := \left\lbrace y \in \Rr \mid y\mathcal{R} x \right\rbrace.$$ Donc $$\mathcal{C}(x) = \left\lbrace y \in \Rr \mid xe^y = ye^x \right\rbrace.$$ Soit la fonction $f : \Rr \to \Rr$ d\'efinie par $$f(t) = \frac t {e^t}.$$ Alors $$\mathcal{C}(x) = \left\lbrace y \in \Rr \mid f(x)=f(y) \right\rbrace.$$ Autrement dit $\mathcal{C}(x)$ est l'ensemble des $y\in \Rr$ qui par $f$ prennent la m\^eme valeur que $f(x)$ ; en raccourci : $$\mathcal{C}(x) = f^{-1}\left( f(x) \right).$$ \'Etudions maintenant la fonction $f$ afin de d\'eterminer le nombre d'ant\'ec\'edents: par un calcul de $f'$ on montrer que $f$ est strictement croissante sur $]-\infty,1]$ puis strictement d\'ecroissante sur $[1,+\infty[$. De plus en $-\infty$ la limite de $f$ est $-\infty$, $f(1) = \frac 1e$, et la limite en $+\infty$ est $0$. C'est le moment de dessiner le graphe de $f$ !! \begin{itemize} \item Pour $x\leqslant 0$ alors $f(x) \in ]-\infty,0]$ et alors $f(x)$ a un seul ant\'ec\'edent. \item Pour $x>0$ avec $x\neq 1$ alors $f(x) \in ]0,\frac 1e[$ et alors $f(x)$ a deux ant\'ec\'edents. \item pour $x=1$, alors $f(x) = 1/e$ n'a qu'un seul antécédent. \end{itemize} Bilan : si $x \in {}]0,1[ \cup ]1,+\infty[$ alors $\text{Card\,} \mathcal{C}(x) = \text{Card\,} f^{-1}\left( f(x) \right) = 2$, si $x\leqslant 0$ ou $x=1$ alors $\text{Card\,} \mathcal{C}(x) = \text{Card\,} f^{-1}\left( f(x) \right) = 1$. \end{enumerate} \fincorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \correction{000217} \begin{itemize} \item Reflexivit\'e : pour tout $X\in\mathcal{P} (E)$ on a $X \prec X$ car $X=X$. \item Anti-sym\'etrie : pour $X,Y\in\mathcal{P} (E)$ tels que $X \prec Y$ et $Y \prec X$, alors par d\'efinition de $\prec$ on a $$\forall x \in X \quad \forall y \in Y \quad x\leqslant y \text{ et } y \leqslant x.$$ Comme la relation $\le$ est une relation d'ordre alors $x\leqslant y$ et $y \leqslant x$ implique $x=y$. Donc $$\forall x \in X \quad \forall y \in Y \quad x = y,$$ ce qui implique que $X=Y$ (dans ce cas en fait $X$ est vide ou un singleton). \item Transitivit\'e : soit $X,Y, Z \in\mathcal{P} (E)$ tels que $X \prec Y$ et $Y \prec Z$. Si $X=Y$ ou $Y=Z$ alors il est clair que $X \prec Z$. Supposons que $X\neq Y$ et $Y\neq Z$ alors $$\forall x \in X \quad \forall y \in Y \quad x\leqslant y \qquad \text{ et } \qquad \forall y \in Y \quad \forall z \in Z \quad y\leqslant z.$$ Donc on a $$\forall x \in X \quad \forall y \in Y \quad \forall z \in Z \quad x \leqslant y \text{ et } y \leqslant z,$$ alors par transitivit\'e de la relation $\le$ on obtient : $$\forall x \in X \quad \forall z \in Z \quad x \leqslant z.$$ Donc $X \prec Z$. \end{itemize} \fincorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \correction{003042} Soit $A$ non vide et minor{\'e}e, et $B = \{$minorants de $A \}$.\par $B$ n'est pas vide et est major{\'e}e par $A$ donc $\beta = \sup(B)$ existe.\par Soit $a \in A$ : $\forall\ b \in B,\ b \le a$ donc $\beta \le a$.\par Par cons{\'e}quent, $\beta$ minore $A$, donc $\beta = \max(B)$. \fincorrection \correction{003043} \begin{enumerate} \item \item \item \item Si $(a,b)$ majore $A$, alors $(a,b) \gg (\pm\frac 1{\sqrt2}, \frac 1{\sqrt2})$ donc $(a,b) \gg (0,\sqrt2)$. \par R{\'e}ciproque : si $x^2+y^2 \le 1$, alors $(x+y)^2 + (x-y)^2 \le 2$, donc $y \pm x \le \sqrt2$, et $(x,y) \ll (0,\sqrt2)$. \par Finalement, $\sup(A) = (0,\sqrt2)$. \end{enumerate} \fincorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \correction{007191} Le contraire de $2|n$ n'est pas que $n$ divise strictement $2$. \fincorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \correction{007197} L'application $f$ est constante sur les classes d'équivalence de $\mathcal R$, donc par définition, elle descend au quotient en une application $[f] : \R/2\pi\Z \to \mathbb U$, qui vérifie $f= [f]\circ p$. Comme $f$ est surjective, $[f]$ aussi. Montrons l'injectivité. Soient $\alpha$ et $\beta$ dans $\R/2\pi\Z$ tels que $[f](\alpha) = [f](\beta)$. Si $x$ et $y$ sont des représentants de $\alpha$ et $\beta$, on a donc $f(x)=f(y)$, c'est-à-dire $e^{ix}=e^{iy}$, d'où par le cours sur l'exponentielle complexe, $x\equiv y \pmod{2\pi}$, d'où $[x]=[y]$, ou encore $\alpha=\beta$. \fincorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \correction{000185} Si $f\circ g=g\circ f$ alors $$\forall x \in \Rr \ \ f\circ g (x) = g\circ f(x).$$ Nous allons montrer que c'est faux, en exhibant un contre-exemple. Prenons $x=0$. Alors $f\circ g (0) = f(-1) = -2$, et $g\circ f(0) = g(1) = 0$ donc $f\circ g (0) \not= g\circ f(0)$. Ainsi $f\circ g \not= g\circ f$. \fincorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \correction{000190} \begin{enumerate} \item $f$ n'est pas surjective car $0$ n'a pas d'antécédent : en effet il n'existe pas de $n\in\Nn$ tel que $f(n)=0$ (si ce $n$ existait ce serait $n=-1$ qui n'est pas un élément de $\Nn$). Par contre $f$ est injective : soient $n,n' \in \Nn$ tels que $f(n)=f(n')$ alors $n+1=n'+1$ donc $n=n'$. Bilan $f$ est injective, non surjective et donc non bijective. \item Pour montrer que $g$ est bijective deux méthodes sont possibles. Première méthode : montrer que $g$ est à la fois injective et surjective. En effet soient $n,n'\in \Zz$ tels que $g(n)=g(n')$ alors $n+1=n'+1$ donc $n=n'$, alors $g$ est injective. Et $g$ est surjective car chaque $m\in \Zz$ admet un antécédent par $g$ : en posant $n=m-1 \in \Zz$ on trouve bien $g(n)=m$. Deuxième méthode : expliciter directement la bijection réciproque. Soit la fonction $g' : \Zz \to \Zz$ définie par $g'(m)=m-1$ alors $g' \circ g(n) = n$ (pour tout $n\in \Zz$) et $g \circ g'(m) = m$ (pour tout $m\in \Zz$). Alors $g'$ est la bijection réciproque de $g$ et donc $g$ est bijective. \item Montrons que $h$ est injective. Soient $(x,y), (x',y') \in \Rr^2$ tels que $h(x,y)=h(x',y')$. Alors $(x + y, x-y)=(x' + y', x'-y')$ donc $$\begin{cases} x+y &= x'+y'\\ x-y &= x'-y'\\ \end{cases}$$ En faisant la somme des lignes de ce système on trouve $2x=2x'$ donc $x=x'$ et avec la différence on obtient $y=y'$. Donc les couples $(x,y)$ et $(x',y')$ sont égaux. Donc $h$ est injective. Montrons que $h$ est surjective. Soit $(X,Y) \in \Rr^2$, cherchons lui un antécédent $(x,y)$ par $h$. Un tel antécédent vérifie $h(x,y)=(X,Y)$, donc $(x+y,x-y)=(X,Y)$ ou encore : $$\begin{cases} x+y &= X\\ x-y &= Y\\ \end{cases}$$ Encore une fois on faisant la somme des lignes on obtient $x=\frac{X+Y}{2}$ et avec la différence $y = \frac{X-Y}{2}$, donc $(x,y) = (\frac{X+Y}{2},\frac{X-Y}{2})$. La partie ``analyse'' de notre raisonnement en finie passons à la ``synthèse'' : il suffit de juste de vérifier que le couple $(x,y)$ que l'on a obtenu est bien solution (on a tout fait pour !). Bilan pour $(X,Y)$ donné, son antécédent par $h$ existe et est $(\frac{X+Y}{2},\frac{X-Y}{2})$. Donc $h$ est surjective. En fait on pourrait montrer directement que $h$ est bijective en exhibant sa bijection réciproque $(X,Y) \mapsto (\frac{X+Y}{2},\frac{X-Y}{2})$. Mais vous devriez vous convaincre qu'il s'agit là d'une différence de rédaction, mais pas vraiment d'un raisonnement différent. \item Montrons d'abord que $k$ est injective : soient $x,x' \in \Rr\setminus \{1\}$ tels que $k(x)=k(x')$ alors $\frac{x + 1}{x - 1}=\frac{x' + 1}{x' - 1}$ donc $(x+1)(x'-1)=(x-1)(x'+1)$. En développant nous obtenons $xx'+x'-x=xx'-x'+x$, soit $2x=2x'$ donc $x=x'$. Au brouillon essayons de montrer que $k$ est surjective : soit $y\in \Rr$ et cherchons $x\in \Rr\setminus \{1\}$ tel que $f(x)=y$. Si un tel $x$ existe alors il vérifie $\frac{x + 1}{x - 1}=y$ donc $x+1=y(x-1)$, autrement dit $x(y-1)=y+1$. Si l'on veut exprimer $x$ en fonction de $y$ cela se fait par la formule $x = \frac{y+1}{y-1}$. Mais attention, il y a un piège ! Pour $y=1$ on ne peut pas trouver d'antécédent $x$ (cela revient à diviser par $0$ dans la fraction précédente). Donc $k$ n'est pas surjective car $y=1$ n'a pas d'antécédent. Par contre on vient de montrer que s'il l'on considérait la restriction $k_| : {\Rr \setminus \left\{ 1\right\}} \to {\Rr \setminus \left\{ 1\right\}}$ qui est définie aussi par $k_|(x) = {\frac{x + 1}{x - 1}}$ (seul l'espace d'arrivée change par rapport à $k$) alors cette fonction $k_|$ est injective et surjective, donc bijective (en fait sa bijection réciproque est elle même). \end{enumerate} \fincorrection \correction{000191} \begin{enumerate} \item $f$ n'est pas injective car $f(2) = \frac 45 = f(\frac12)$. $f$ n'est pas surjective car $y=2$ n'a pas d'ant\'ec\'edent: en effet l'\'equation $f(x)=2$ devient $2x=2(1+x^2)$ soit $x^2-x+1=0$ qui n'a pas de solutions r\'eelles. \item $f(x)=y$ est \'equivalent \`a l'\'equation $yx^2-2x+y=0$. Cette \'equation a des solutions $x$ si et seulement si $\Delta = 4-4y^2 \geq 0$ donc il y a des solutions si et seulement si $y\in[-1,1]$. Nous venons de montrer que $f(\Rr)$ est exactement $[-1,1]$. \item Soit $y\in[-1,1]\setminus\{0\}$ alors les solutions $x$ possibles de l'\'equation $g(x)=y$ sont $x=\frac{1-\sqrt{1-y^2}}{y}$ ou $x=\frac{1+\sqrt{1-y^2}}{y}$. La seule solution $x\in[-1,1]$ est $x=\frac{1-\sqrt{1-y^2}}{y}$ en effet $x=\frac{1-\sqrt{1-y^2}}{y}=\frac{y}{1+\sqrt{1-y^2}} \in[-1,1]$. Pour $y=0$, la seule solution de l'\'equation $g(x)=0$ est $x=0$. Donc pour $g : [-1,1] \longrightarrow [-1,1]$ nous avons trouv\'e un inverse $h : [-1,1] \longrightarrow [-1,1]$ d\'efini par $h(y) = \frac{1-\sqrt{1-y^2}}{y}$ si $y\neq0$ et $h(0)=0$. Donc $g$ est une bijection. \item $f'(x) = \frac{2-2x^2}{1+x^2}$, donc $f'$ est strictement positive sur $]-1,1[$ donc $f$ est strictement croissante sur $[-1,1]$ avec $f(-1)=-1$ et $f(1)=1$. Donc la restriction de $f$, appelée $g : [-1,1] \longrightarrow [-1,1]$, est une bijection. \end{enumerate} \fincorrection \nocorrection \correction{000193} \begin{enumerate} \item Supposons $g\circ f$ injective, et montrons que $f$ est injective : soient $a,\ a' \in A$ avec $f(a)=f(a')$ donc $g\circ f(a)=g\circ f(a')$ or $g\circ f$ est injective donc $a= a'$. Conclusion on a montr\'e : $$\forall a,a' \in A \quad f(a)=f(a') \Rightarrow a=a'$$ c'est la d\'efinition de $f$ injective. \item Supposons $g\circ f$ surjective, et montrons que $g$ est surjective : soit $c \in C$ comme $g\circ f$ est surjective il existe $a \in A$ tel que $g\circ f(a)=c$ ; posons $b = f(a)$, alors $g(b)=c$, ce raisonnement est valide quelque soit $c \in C$ donc $g$ est surjective. \item Un sens est simple $(\Leftarrow)$ si $f$ et $g$ sont bijectives alors $g\circ f$ l'est \'egalement. De m\^eme avec $h\circ g$. \par Pour l'implication directe $(\Rightarrow)$ : si $g\circ f$ est bijective alors en particulier elle est surjective et donc d'apr\`es la question 2. $g$ est surjective. Si $h\circ g$ est bijective, elle est en particulier injective, donc $g$ est injective (c'est le 1.). Par cons\'equent $g$ est \`a la fois injective et surjective donc bijective. Pour finir $f=g^{-1} \circ (g\circ f)$ est bijective comme compos\'ee d'applications bijectives, de m\^eme pour $h$. \end{enumerate} \fincorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \correction{000197} \begin{enumerate} \item Pour $z=x+iy$, le module de $e^z=e^{x+iy}=e^xe^{iy}$ est $e^x$ et son argument est $y$. \item Les r\'esultats : $e^{z+z'} = e^ze^{z'}$, $e^{\overline{z}} = \overline{e^z}$, $e^{-z}= \left( e^{z} \right)^{-1}$, $(e^z)^n=e^{nz}$. \item La fonction $\exp$ n'est pas surjective car $|e^z| = e^x >0$ et donc $e^z$ ne vaut jamais $0$. La fonction $\exp$ n'est pas non plus injective car pour $z\in\Cc$, $e^z=e^{z+2i\pi}$. \end{enumerate} \fincorrection \correction{005110} \begin{enumerate} \item Soit $(x_1,x_2)\in E^2$. \begin{align*} f(x_1)=f(x_2)&\Rightarrow g(f(x_1))=g(f(x_2))\;(\mbox{car}\;g\;\mbox{est une application})\\ &\Rightarrow x_1=x_2\;(\mbox{car}\;g\circ f\;\mbox{est injective}). \end{align*} On a montré que $\forall(x_1,x_2)\in E^2,\;f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow x_1=x_2$, et donc $f$ est injective. \item Soit $y\in H$. Puisque $g\circ f$ est surjective, il existe un élément $x$ dans $E$ tel que $g(f(x))=y$. En posant $z=f(x)\in G$, on a trouvé $z$ dans $G$ tel que $g(z)=y$. On a montré~:~$\forall y\in H,\;\exists z\in G/\;g(z)= y$, et donc $g$ est surjective. \end{enumerate} \fincorrection \correction{005114} \textbf{1) $\Rightarrow$ 2)} Soit $X\in\mathcal{P}(E)$. On a toujours $X\subset f^{-1}(f(X))$. (En effet, pou $x\in E$, $x\in X\Rightarrow f(x)\in f(X)\Rightarrow x\in f^{-1}(f(X))$). Réciproquement, soit $x\in E$. \begin{align*} x\in f^{-1}(f(X))&\Rightarrow f(x)\in f(X)\Rightarrow\exists x'\in X/\;f(x)=f(x')\Rightarrow\exists x'\in X/\;x=x'\;(\mbox{puisque}\;f\;\mbox{est injective})\\ &\Rightarrow x\in X. \end{align*} Finalement, $f^{-1}(f(X))\subset X$ et donc $f^{-1}(f(X))=X$. \textbf{2) $\Rightarrow$ 1)} Soit $x\in X$. Par hypothése, $f^{-1}\{f(x)\}=f^{-1}(f(\{x\}))=\{x\}$ ce qui signifie que $f(x)$ a un et un seul antécédent à savoir $x$. Par suite, tout élément de l'ensemble d'arrivée a au plus un antécédent par $f$ et $f$ est injective. \textbf{1) $\Rightarrow$ 3)} Soit $(X,Y)\in(\mathcal{P}(E))^2$. On a toujours $f(X\cap Y)\subset f(X)\cap f(Y)$ ($X\cap Y\subset X\Rightarrow f(X\cap Y)\subset f(X)$ et de même, $f(X\cap Y)\subset f(Y)$ et finalement, $f(X\cap Y)\subset f(X)\cap f(Y)$). Réciproquement, soit $y\in F$. $y\in f(X)\cap f(Y)\Rightarrow\exists(x,x')\in X\times Y/\;y=f(x)=f(x')$. Mais alors, puisque $f$ est injective, $x=x'\in X\cap Y$ puis $y=f(x)\in f(X\cap Y)$. Finalement, $f(X\cap Y)=f(X)\cap f(Y)$. \textbf{3) $\Rightarrow$ 4)} Soit $(X,Y)\in(\mathcal{P}(E))^2$. $X\cap Y=\varnothing\Rightarrow f(X)\cap f(Y)=f(X\cap Y)=f(\varnothing)=\varnothing$. \textbf{4) $\Rightarrow$ 5)} Soit $(X,Y)\in(\mathcal{P}(E))^2$ tel que $Y\subset X$. Puisque $X\setminus Y\subset X$, on a $f(X\setminus Y)\subset f(X)$. Mais, puisque $Y\cap(X\setminus Y)=\varnothing$, par hypothèse $f(X\setminus Y)\cap f(Y)=\varnothing$. Finalement,$f(X\setminus Y)\subset f(X)\setminus f(Y)$. Inversement, si $f(X)\setminus f(Y)=\varnothing$, l'inclusion contraire est immédiate et si $f(X)\setminus f(Y)\neq\varnothing$, un élémént de $f(X)\setminus f(Y)$ est l'image d'un certain élément de $X$ qui ne peut être dans $Y$ et donc est l'image d'un élément de $X\setminus Y$ ce qui montre que $f(X)\setminus f(Y)\subset f(X\setminus Y)$ et finalement que $f(X)\setminus f(Y)=f(X\setminus Y)$. \textbf{5) $\Rightarrow$ 1)} Soit $(x_1,x_2)\in E^2$ tel que $x_1\neq x_2$. Posons $X=\{x_1,x_2\}$ et $Y=\{x_2\}$. On a donc $Y\subset X$. Par hypothèse $f(X\setminus Y)=f(X)\setminus f(Y)$ ce qui fournit $f(\{x_1\})=f(\{x_1,x_2\})\setminus f(\{x_2\})$ ou encore, $\{f(x_1)\}=\{f(x_1),f(x_2)\}\setminus\{f(x_2)\}$. Maintenant, si $f(x_1)=f(x_2)$ alors $\{f(x_1),f(x_2)\}\setminus\{f(x_2)\}=\varnothing$ (et pas $\{f(x_1)\}$). Donc $f(x_1)\neq f(x_2)$. On a montré que $f$ est injective. \fincorrection \correction{000198} L'inverse de $f_{a,b}$ est $g_{a,b}$ avec $g_{a,b}(y) = \frac1ay-\frac ba$. Autrement dit $f_{a,b}^{-1} = g_{a,b} = f_{\frac 1a, -\frac ba}$. \fincorrection \correction{000199} Soit $x\in [0,1]\cap\Qq$ alors $f(x) = x$ donc $f \circ f (x) = f(x) = x$. Soit $x\notin [0,1]\cap\Qq$ alors $f(x) = 1-x$ donc $f \circ f (x) = f(1-x)$, mais $1-x \notin [0,1]\cap\Qq$ (vérifiez-le !) donc $f \circ f (x) = f(1-x) = 1 - (1-x) = x$. Donc pour tout $x \in [0,1]$ on a $f \circ f (x) = x$. Et donc $f \circ f= id$. \fincorrection \correction{000200} Considérons la restriction suivante de $f$ : $f_|:[0,2\pi[ \longrightarrow \mathbb{U}$, $t\mapsto e^{it}$. Montrons que cette nouvelle application $f_|$ est bijective. Ici $\mathbb{U}$ est le cercle unit\'e de $\Cc$ donn\'e par l'\'equation $(|z|=1)$. \begin{itemize} \item[$\bullet$] $f_|$ est surjective car tout nombre complexe de $\mathbb{U}$ s'\'ecrit sous la forme polaire $e^{i\theta}$, et l'on peut choisir $\theta \in [0,2\pi[$. \item[$\bullet$] $f_|$ est injective : \begin{align*} f_|(t) = f_|(t') &\Leftrightarrow e^{it}=e^{it'}\\ &\Leftrightarrow t=t' +2k\pi \text{ avec } k\in \Zz\\ &\Leftrightarrow t=t' \text{ car } t,t'\in[0,2\pi[ \text{ et donc }k=0.\\ \end{align*} \end{itemize} En conclusion $f_|$ est injective et surjective donc bijective. \fincorrection \nocorrection \correction{000202} \begin{itemize} \item[$\bullet$] $f$ est injective : soient $x,y \in [1,+\infty[$ tels que $f(x)=f(y)$ : \begin{align*} f(x)=f(y) &\Rightarrow x^2-1=y^2-1\\ &\Rightarrow x = \pm y \text{ or $x,y\in [1,+\infty[$ donc $x,y$ sont de m\^eme signe}\\ &\Rightarrow x =y.\\ \end{align*} \item[$\bullet$] $f$ est surjective : soit $y\in [0,+\infty[$. Nous cherchons un \'el\'ement $x\in [1,+\infty[$ tel que $y = f(x) = x^2-1$ . Le r\'eel $x= \sqrt{y+1}$ convient ! \end{itemize} \fincorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \correction{005106} \begin{enumerate} \item $f$ est dérivable sur $I=]-\infty,2]$, et pour $x\in]-\infty,2[$, $f'(x)=2x-4<0$. $f$ est donc continue et strictement décroissante sur $]-\infty,2]$. Par suite, $f$ réalise une bijection de $]-\infty,2]$ sur $f(]-\infty,2])=[f(2),\underset{-\infty}{\mbox{lim}}\;f[=[-1,+\infty[=J$. On note $g$ l'application de $I$ dans $J$ qui, à $x$ associe $x^2-4x+3(=f(x))$. $g$ est bijective et admet donc une réciproque. Déterminons $g^{-1}$. Soit $y\in[-1,+\infty[$ et $x\in]-\infty,2]$. $$y=g(x)\Leftrightarrow y=x^2-4x+3\Leftrightarrow x^2-4x+3-y=0.$$ Or, $\Delta'=4-(3-y)=y+1\geq0$. Donc, $x=2+\sqrt{y+1}$ ou $x=2-\sqrt{y+1}$. Enfin, $x\in]-\infty,2]$ et donc, $x=2-\sqrt{y+1}$. En résumé, $$\forall x\in]-\infty,2],\;\forall y\in[-1,+\infty[,\;y=g(x)\Leftrightarrow x=2-\sqrt{y+1}.$$ On vient de trouver $g^{-1}$~: \begin{center} \shadowbox{$\forall x\in[-1,+\infty[,\;g^{-1}(x)=2-\sqrt{x+1}$.} \end{center} \item On vérifie facilement que $f$ réalise une bijection de $]-2,+\infty[$ sur $]-\infty,2[$, notée $g$. Soient alors $x\in]-2,+\infty[$ et $y\in]-\infty,2[$. $$y=g(x)\Leftrightarrow y=\frac{2x-1}{x+2}\Leftrightarrow x(-y+2)=2y+1\Leftrightarrow x=\frac{2y+1}{-y+2}.$$ (on a ainsi trouvé au plus une valeur pour $x$ à savoir $x=\frac{2y+1}{-y+2}$, mais il n'est pas nécessaire de vérifier que cette expression est bien définie et élément de $]-2,+\infty[$ car on sait à l'avance que $y$ admet au moins un antécédent dans $]-2,+\infty[$, et c'est donc nécessairement le bon). En résumé, $$\forall x\in]-2,+\infty[,\;\forall y\in]-\infty,2[,\;y=g(x)\Leftrightarrow x=\frac{2y+1}{-y+2}.$$ On vient de trouver $g^{-1}$~:~ \begin{center} \shadowbox{$\forall x\in]-\infty,2[,\;g^{-1}(x)=\frac{2x+1}{-x+2}$}. \end{center} \item $f$ est continue et strictement croissante sur $\left[-\frac{3}{2},+\infty\right[$. $f$ est donc bijective de $\left[-\frac{3}{2},+\infty\right[$ sur $f\left(\left[-\frac{3}{2},+\infty\right[\right)=\left[f\left(-\frac{3}{2}\right),\underset{+\infty}{\mbox{lim}}f\right[=[-1,+\infty[$. Notons encore $f$ l'application de $\left[-\frac{3}{2},+\infty\right[$ dans $[-1,+\infty[$ qui à $x$ associe $\sqrt{2x+3}-1$. Soient alors $x\in[-\frac{3}{2},+\infty[$ et $y\in[-1,+\infty[$. $$f(x)=y\Leftrightarrow\sqrt{2x+3}-1=y\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}(-3+(y+1)^2)\Leftrightarrow x=\frac{y^2}{2}+y-1.$$ En résumé, $\forall x\in\left[-\frac{3}{2},+\infty\right[,\;\forall y\in[-1,+\infty[,\;y=g(x)\Leftrightarrow x=\frac{y^2}{2}+y-1$. On vient de trouver $g^{-1}$~:~ \begin{center} \shadowbox{ $\forall x\in[-1,+\infty[,\;g^{-1}(x)=\frac{x^2}{2}+x-1$. } \end{center} \item $f$ est définie sur $\Rr$, impaire. Pour $x\in[0,+\infty[$, $0\leq f(x)=\frac{x}{1+x}<\frac{1+x}{1+x}=1$. Donc, $f([0,+\infty[)\subset[0,1[$. Par parité, $f(]-\infty,0])\subset]-1,0]$ et même $f(]-\infty,0[)\subset]-1,0[$ car l'image par $f$ d'un réel strictement négatif est un réel strictement négatif. Finalement, $f(\Rr)\subset]-1,1[$. Vérifions alors que $f$ réalise une bijection de $\Rr$ sur $]-1,1[$. Soit $y\in[0,1[$ et $x\in\Rr$. L'égalité $f(x)=y$ impose à $x$ d'être dans $[0,+\infty[$. Mais alors $$f(x)=y\Leftrightarrow\frac{x}{1+x}=y\Leftrightarrow x=\frac{y}{1-y}.$$ Le réel $x$ obtenu est bien défini, car $y\neq1$, et positif, car $y\in[0,1[$. On a montré que~: $$\forall y\in[0,1[,\;\exists!x\in\Rr/\;y=f(x)\;(\mbox{à savoir}\;x=\frac{y}{1-y}).$$ Soit $y\in]-1,0[$ et $x\in\Rr$. L'égalité $f(x)=y$ impose à $x$ d'être dans $]-\infty,0[$. Mais alors $$f(x)=y\Leftrightarrow\frac{x}{1-x}=y\Leftrightarrow x=\frac{y}{1+y}.$$ Le réel $x$ obtenu est bien défini, car $y\neq-1$, et strictement négatif, car $y\in]-1,0[$. On a montré que~: $$\forall y\in]-1,0[,\;\exists!x\in\Rr/\;y=f(x)\;(\mbox{à savoir}\;x=\frac{y}{1+y}).$$ Finalement, $$\forall y\in]-1,1[,\;\exists!x\in\Rr/\;y=f(x),$$ ce qui montre que $f$ réalise une bijection de $\Rr$ sur $]-1,1[$. De plus, pour $y\in]-1,1[$ donné, $f^{-1}(y)=\frac{y}{1-y}$ si $y\geq0$ et $f^{-1}(y)=\frac{y}{1+y}$ si $y<0$. Dans tous les cas, on a $f^{-1}(y)=\frac{y}{1-|y|}$. En notant encore $f$ l'application de $\Rr$ dans $]-1,1[$ qui à $x$ associe $\frac{x}{1+|x|}$, on a donc \begin{center} \shadowbox{ $\forall x\in]-1,1[,\;f^{-1}(x)=\frac{x}{1-|x|}.$ } \end{center} \end{enumerate} \fincorrection \correction{005107} \begin{enumerate} \item Montrons que la restriction de $f$ à $D$, notée $g$, est bien une application de $D$ dans $P$. Soit $z\in D$. On a $|z|<1$ et en particulier $z\neq i$. Donc, $f(z)$ existe. De plus, $$\Re(f(z))=\frac{1}{2}(f(z)+\overline{f(z)})=\frac{1}{2}\left(\frac{z+i}{z-i}+\frac{{\bar z}-i}{{\bar z}+i}\right)= \frac{1}{2}\frac{2z{\bar z}-2}{(z-i)(\overline{z-i})}=\frac{|z|^2-1}{|z-i|^2}<0.$$ Donc, $f(z)$ est élément de $P$. $g$ est donc une application de $D$ dans $P$. \item Montrons que $g$ est injective. Soit $(z,z')\in D^2$. $$g(z)=g(z')\Rightarrow\frac{z+i}{z-i}=\frac{z'+i}{z'-i}\Rightarrow iz'-iz=iz-iz'\Rightarrow 2i(z'-z)=0\Rightarrow z=z'.$$ \item Montrons que $g$ est surjective. Soient $z\in D$ et $Z\in P$. $$g(z)=Z\Leftrightarrow\frac{z+i}{z-i}=Z\Leftrightarrow z=\frac{i(Z+1)}{Z-1}\;(\text{car}\;Z\neq1,$$ (ce qui montre que $Z$ admet au plus un antécédent dans $D$, à savoir $z=\frac{i(Z+1)}{Z-1}$ (mais on le sait déjà car $g$ est injective). Il reste cependant à vérifier que $\frac{i(Z+1)}{Z-1}$ est effectivement dans $D$). Réciproquement, puisque $\Re(Z)<0$, \begin{center} $\left|\frac{i(Z+1)}{Z-1}\right|=\frac{|Z+1|}{|Z-1|}<1$ \end{center} ($Z$ étant strictement plus proche de $-1$ que de $1$) et $z\in D$. Finalement $g$ est une bijection de $D$ sur $P$, et~:~ \begin{center} \shadowbox{ $\forall z\in P,\;g^{-1}(z)=\frac{i(z+1)}{z-1}$. } \end{center} \end{enumerate} \fincorrection \correction{005111} On peut supposer sans perte de généralité que $f\circ g\circ h$ et $g\circ h\circ f$ sont injectives et que $h\circ f\circ g$ est surjective. D'après l'exercice \ref{exo:suprou8}, puisque $f\circ g\circ h=(f\circ g)\circ h$ est injective, $h$ est injective et puisque $h\circ f\circ g=h\circ(f\circ g)$ est surjective, $h$ est surjective. Déjà $h$ est bijective. Mais alors, $h^{-1}$ est surjective et donc $f\circ g=h^{-1}\circ(h\circ f\circ g)$ est surjective en tant que composée de surjections. Puis $h^{-1}$ est injective et donc $f\circ g=(f\circ g\circ h)\circ h^{-1}$ est injective. $f\circ g$ est donc bijective. $f\circ g$ est surjective donc $f$ est surjective. $g\circ h\circ f$ est injective donc $f$ est injective. Donc $f$ est bijective. Enfin $g=f^{-1}\circ(f\circ g)$ est bijective en tant que composée de bijections. \fincorrection \correction{005118} $f$ est bien une application de $\Nn^2$ dans $\Nn$ car, pour tout couple $(x,y)$ d'entiers naturels, l'un des deux entiers $x+y$ ou $x+y+1$ est pair et donc, $\frac{(x+y)(x+y+1)}{2}$ est bien un entier naturel (on peut aussi constater que $\frac{(x+y)(x+y+1)}{2}=1+2+...+(x+y)$ est entier pour $x+y\geq1$). \textbf{Remarque.} La numérotation de $\Nn^2$ a été effectuée de la façon suivante~: $$\includegraphics{../images/img005118-1}$$ Sur une parallèle à la droite d'équation $y = -x$, la somme $x+y$ est constante. Il en est de même de l'expression $\frac{(x+y)(x+y+1)}{2}$ et quand on descend de $1$ en $y$, on avance de $1$ dans la numérotation. \textbf{Lemme}. $\forall n\in\Nn,\;\exists!p\in\Nn/\;\frac{p(p+1)}{2}\leq n<\frac{(p+1)(p+2)}{2}$. \textbf{Démonstration}. Pour démontrer ce lemme, on pourrait se contenter de constater que la suite des nombres triangulaires $\left(\frac{p(p+1)}{2}\right)_{p\geq0}$ est strictement croissante. Néanmoins, on va fournir explicitement $p$ en fonction de $n$. Soient $n$ et $p$ deux entiers naturels. \begin{align*} \frac{p(p+1)}{2}\leq n<\frac{(p+1)(p+2)}{2}&\Leftrightarrow p^2+p-2n\leq0\;\mbox{et}\;p^2+3p+2-2n>0\\ &\Leftrightarrow p\leq\frac{-1+\sqrt{8n+1}}{2}\;\mbox{et}\;p>\frac{-3+\sqrt{8n+1}}{2}=-1+\frac{-1+\sqrt{8n+1}}{2}\\ &\Leftrightarrow p\leq\frac{-1+\sqrt{8n+1}}{2}1\Leftrightarrow\frac{n-k}{k+1}\frac{a}{b}>1\Leftrightarrow(n-k)a>(k+1)b\Leftrightarrow k<\frac{na-b}{a+b}.$$ \begin{itemize} \item[1er cas.] Si $\frac{na-b}{a+b}>n-1$ (ce qui équivaut à $n<\frac{a}{b}$), alors la suite $(u_k)_{0\leq k\leq n}$ est strictement croissante et le plus grand terme est le dernier~:~$a^n$. \item[2ème cas.] Si $\frac{na-b}{a+b}\leq0$ (ce qui équivaut à $n\leq\frac{b}{a}$), alors la suite $(u_k)_{0\leq k\leq n}$ est strictement décroissante et le plus grand terme est le premier~:~$b^n$. \item[3ème cas.] Si $0<\frac{na-b}{a+b}\leq n-1$. Dans ce cas, la suite est strictement croissante puis éventuellement momentanément constante, suivant que $\frac{na-b}{a+b}$ soit un entier ou non, puis strictement décroissante (on dit que la suite u est unimodale). Si $\frac{na-b}{a+b}\notin\Nn$, on pose $k=E(\frac{na-b}{a+b})+1$, la suite $u$ croit strictement jusqu'à ce rang puis redécroit strictement. Le plus grand des termes est celui d'indice $k$, atteint une et une seule fois. Si $\frac{na-b}{a+b}\in\Nn$, le plus grand des termes est atteint deux fois à l'indice $k$ et à l'indice $k+1$. \end{itemize} \fincorrection \correction{005141} Pour $n\geq3$, \begin{align*} \binom{n}{1}+\binom{n}{2}+\binom{n}{2}=5n&\Leftrightarrow n+\frac{n(n-1)}{2}+\frac{n(n-1)(n-2)}{6}=5n\\ &\Leftrightarrow n(-24+3(n-1)+(n-1)(n-2))=0\Leftrightarrow n^2-25=0\\ &\Leftrightarrow n=5. \end{align*} \fincorrection \correction{005147} $(1+a)^n=(1+a)\ldots(1+a)=1+na+...\geq1+na$. \fincorrection \correction{005158} Soit $n\in\Nn^*$. \begin{enumerate} \item La formule du binôme de \textsc{Newton} permet d'écrire \begin{align*} (2+\sqrt{3})^n&=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\sqrt{3}^k2^{n-k}=\sum_{k=0}^{E(n/2)}\binom{n}{2k}\sqrt{3}^{2k}2^{n-2k}+ \sum_{k=0}^{E((n-1)/2)}\binom{n}{2k+1}\sqrt{3}^{2k+1}2^{n-2k-1}\\ &=\sum_{k=0}^{E(n/2)}\binom{n}{2k}3^{k}2^{n-2k}+ \sqrt{3}\sum_{k=0}^{E((n-1)/2)}\binom{n}{2k+1}3^k2^{n-2k-1}. \end{align*} Ainsi, en posant $a_n=\sum_{k=0}^{E(n/2)}\binom{n}{2k}3^{k}2^{n-2k}$ et $b_n=\sum_{k=0}^{E((n-1)/2)}\binom{n}{2k+1}3^k2^{n-2k-1}$, $a_n$ et $b_n$ sont des \textbf{entiers} tels que $(2+\sqrt{3})^n=a_n+b_n\sqrt{3}$. En remplaçant $\sqrt{3}$ par $-\sqrt{3}$, on a aussi $(2-\sqrt{3})^n=a_n-b_n\sqrt{3}$. Mais alors, $$a_n^2-3b_n^2=(a_n+b_n\sqrt{3})(a_n-b_n\sqrt{3})=(2+\sqrt{3})^n(2-\sqrt{3})^n=(4-3)^n=1.$$ \item On note que $(2+\sqrt{3})^n+(2-\sqrt{3})^n=(a_n+b_n\sqrt{3})+(a_n-b_n\sqrt{3})=2a_n$. Mais, $$0<(2-\sqrt{3})^n<1.$$ Par suite, $$(2+\sqrt{3})^n<(2+\sqrt{3})^n+(2-\sqrt{3})^n=2a_n<(2+\sqrt{3})^n+1,$$ ou encore $$2a_n-1<(2+\sqrt{3})^n<2a_n.$$ On en déduit que $E((2+\sqrt{3})^n)=2a_n-1$ et donc que$E((2+\sqrt{3})^n)$ est un entier impair. \end{enumerate} \fincorrection \correction{005278} \begin{enumerate} \item Soit $E$ un ensemble à $n$ éléments, $n\geq 1$, et $a$ un élément fixé de $E$. Soit $\begin{array}[t]{cccc} f~:&\mathcal{P}(E)&\rightarrow&\mathcal{P}(E)\\ &A&\mapsto&\left\{ \begin{array}{l} A\setminus\{a\}\;\mbox{si}\;a\in A\\ A\cup\{a\}\;\mbox{si}\;a\notin A \end{array} \right. \end{array}$. Montrons que $f$ est involutive (et donc bijective). Soit $A$ un élément de $\mathcal{P}(E)$. Si $a\notin A$, $f(A)=A\cup\{a\}$ et donc, puisque $a\in A\cup\{a\}$, $f(f(A))=(A\cup\{a\})\setminus\{a\}=A$. Si $a\in A$, $f(A)=A\setminus\{a\}$ et $f(f(A))=(A\setminus\{a\})\cup\{a\}=A$. Ainsi, $\forall A\in\mathcal{P}(E),\;f\circ f(A)=A$ ou encore, $f\circ f=Id_{\mathcal{P}(E)}$. Maintenant clairement, en notant $\mathcal{P}_p(E)$ (resp. $\mathcal{P}_i(E)$) l'ensemble des parties de $E$ de cardinal pair (resp. impair), $f(\mathcal{P}_p(E))\subset\mathcal{P}_i(E)$ et $f(\mathcal{P}_i(E))\subset\mathcal{P}_p(E)$. Donc, puisque $f$ est bijective $$\mbox{card}(\mathcal{P}_p(E))=\mbox{card}(f(P_p(E))\leq\mbox{card}\mathcal{P}_i(E)$$ et de même $\mbox{card}(\mathcal{P}_i(E))\leq\mbox{card}\mathcal{P}_p(E)$. Finalement, $\mbox{card}(\mathcal{P}_i(E))=\mbox{card}\mathcal{P}_p(E)$. \item Soient $E=\{a_1,...,a_n\}$ un ensemble à $n$ éléments et $a$ un élément fixé de $E$. Soit $k\in\{1,...,n-1\}$. Il y a $C_{n-1}^{k-1}$ parties à $k$ éléments qui contiennent $a$. Donc, $nC_{n-1}^{k-1}(=C_{n-1}^{k-1}+...+C_{n-1}^{k-1})$ est donc la somme du nombre de parties à $k$ éléments qui contiennent $a_1$ et du nombre de parties à $k$ éléments qui contiennent $a_2$ ... et du nombre de parties à $k$ éléments qui contiennent $a_n$. Dans cette dernière somme, chaque partie à $k$ éléments de $E$ a été comptée plusieurs fois et toutes les parties à $k$ éléments (en nombre égal à $C_n^k$) ont été comptés un même nombre de fois. Combien de fois a été comptée $\{a_1,a_2...a_k\}$~?~Cette partie a été comptée une fois en tant que partie contenant $a_1$, une fois en tant que partie contenant $a_2$... et une fois comme partie contenant $a_k$ et donc a été comptée $k$ fois. Conclusion~:~$kC_n^k=nC_{n-1}^{k-1}$. \item Soit $E=\{a_1,...,a_n,b_1,...,b_n\}$ un ensemble à $2n$ éléments. Il y a $C_{2n}^n$ parties à $n$ éléments de $E$. Une telle partie a $k$ éléments dans $\{a_1,...,a_n\}$ et $n-k$ dans $\{b_1,...,b_n\}$ pour un certain $k$ de $\{0,...,n\}$. Il y a $C_n^k$ choix possibles de $k$ éléments dans $\{a_1,...,a_n\}$ et $C_n^{n-k}$ choix possibles de $n-k$ éléments dans $\{b_1,...,b_n\}$ pour $k$ donné dans $\{0,...,n\}$ et quand $k$ varie de $0$ à $n$, on obtient~: $$C_{2n}^n=\sum_{k=0}^{n}C_n^kC_n^{n-k}=\sum_{k=0}^{n}(C_n^k)^2.$$ \end{enumerate} \fincorrection \correction{005280} Clairement, $\forall n\in\Nn^*,\;a_{n,0}=1$ (unique solution~:~$0+0+...+0=0$) et $\forall k\in\Nn,\;a_{1,k}=1$ (unique solution~:~$k=k$). Soient $n\geq 1$ et $k\geq 0$ fixés. $a_{n+1,k}$ est le nombre de solutions en nombre entiers positifs $x_i$ de l'équation $x_1+...+x_n+x_{n+1}=k$. Il y a $a_{n,k}$ solutions telles que $x_{n+1}=0$ puis $a_{n,k-1}$ solutions telles que $x_{n+1}=1$ ... puis $a_{n,0}$ solutions telles que $x_{n+1}=k$. Donc, $\forall n\in\Nn^*,\;\forall k\in\Nn,\;a_{n+1,k}=a_{n,k}+a_{n,k-1}+...+a_{n,0}$ (et on rappelle $a_{n,0}=a_{1,k}=1$). Montrons alors par récurrence sur $n$, entier naturel non nul, que~:~$\forall n\in\Nn^*,\;\forall k\in\Nn,\;a_{n,k}=C_{n+k-1}^k$. Pour $n=1$, on a pour tout naturel $k$, $a_{1,k}=1=C_{1+k-1}^k$. Soit $n\geq1$, supposons que $\forall k\in\Nn,\;a_{n,k}=C_{n+k-1}^k$. Soit $k\geq1$. $$a_{n+1,k}=\sum_{i=0}^{k}a_{n,i}=\sum_{i=0}^{k}C_{n+i-1}^i=1+\sum_{i=1}^{k}(C_{n+i}^{i+1}-C_{n+i}^i)=1+C_{n+k}^{k+1}-1= C_{n+k}^{k+1},$$ ce qui reste clair pour $k=0$. On a montré par récurrence que $\forall n\in\Nn^*,\;\forall k\in\Nn,\;a_{n,k}=C_{n+k-1}^k$. \fincorrection \nocorrection \correction{000236} Tout d'abord si deux ensembles finis $A$ et $B$ sont disjoints alors $\text{Card\,} A\cup B = \text{Card\,} A + \text{Card\,} B$. Si maintenant $A$ et $B$ sont deux ensembles finis quelconques : nous décomposons $A\cup B$ en trois ensembles : $$A \cup B = (A \setminus (A\cap B)) \cup (B \setminus (A\cap B)) \cup (A\cap B).$$ Ces trois ensembles sont disjoints deux à deux donc : $\text{Card\,} A\cup B = \text{Card\,} A\setminus (A\cap B) + \text{Card\,} B \setminus (A\cap B) + \text{Card\,} A\cap B$. Mais pour $R \subset S$ nous avons $\text{Card\,} S\setminus R = \text{Card\,} S - \text{Card\,} R$. Donc $\text{Card\,} A\cup B = \text{Card\,} A - \text{Card\,} A\cap B + \text{Card\,}B - \text{Card\,} A\cap B + \text{Card\,} A\cap B$. Donc $\text{Card\,} A\cup B = \text{Card\,} A + \text{Card\,} B - \text{Card\,} A\cap B$. Appliquons ceci à $A \Delta B = (A \cup B) \setminus (A \cap B)$ : $$ \text{Card\,} A \Delta B = \text{Card\,} A\cup B - \text{Card\,} A\cap B = \text{Card\,} A + \text{Card\,} B - 2\text{Card\,} A\cap B.$$ \fincorrection \correction{000237} Fixons un \'el\'ement de $A$ ; dans $E\setminus A$ (de cardinal $n-p$), nous pouvons choisir $C_{n-p}^k$ ensembles \`a $k$ \'el\'ements ($k = 0,1,\ldots,n$). Le nombre d'ensembles dans le compl\'ementaire de $A$ est donc $$ \sum_{k=0}^{n-p} C_{n-p}^{k} = 2^{n-p}.$$ Pour le choix d'un \'el\'ement de $A$ nous avons $p$ choix, donc le nombre total d'ensembles qui v\'erifie la condition est : $$p2^{n-p}.$$ \fincorrection \nocorrection \correction{000239} \begin{enumerate} \item Il s'agit donc de choisir $5$ cartes parmi $52$ : il y a donc $C_{52}^5$ mains différentes. Ceci peut être calculé : $C_{52}^5 = \frac{52\cdot51\cdot50\cdot49\cdot48}{5!} = 2598960$. \item Il y a $4$ choix pour l'as (l'as de pique ou l'as de c{\oe}ur ou ...), puis il faut choisir les $4$ cartes restantes parmi $48$ cartes (on ne peut pas rechoisir un as). Bilan $4 \times C_{48}^4$ mains comprenant exactement un as. \item Il est beaucoup plus facile de compter d'abord les mains qui ne contiennent aucun valet : il faut choisir $5$ cartes parmi $48$ (on exclut les valets) ; il y a donc $C_{48}^5$ mains ne contenant aucun valet. Les autres mains sont les mains qui contiennent au moins un valet : il y en a donc $C_{52}^5 - C_{48}^5$. \item Nous allons d'abord compter le nombre de mains que ne contiennent pas de roi ou pas de dame. Le nombre de mains qui ne contiennent pas de roi est $C_{48}^5$ (comme la question 3.). Le nombre de mains qui ne contiennent pas de dame est aussi $C_{48}^5$. Le nombre de mains ne contenant pas de roi ou pas de dame \emph{n'est pas} $C_{48}^5 + C_{48}^5$, car on aurait compté deux fois les mains ne contenant ni roi, ni dame (il y a $C_{44}^5$ telles mains). Le nombre de mains ne contenant pas de roi ou pas de dame est donc : $2C_{48}^5-C_{44}^5$ (on retire une fois les mains comptées deux fois !). Ce que nous cherchons ce sont toutes les autres mains : celles qui contiennent au moins un roi et au moins une dame. Leur nombre est donc : $C_{52}^5 - 2C_{48}^5 + C_{44}^5$. \end{enumerate} \fincorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \correction{002912} \begin{enumerate} \item $(6!)^2$ \item $4!\times8!$ \item $2!2!4!4!$ \item $6^6\times12^6$, $4^4\times12^8$, $2^2\times4^2\times6^4\times12^4$. \end{enumerate} \fincorrection \correction{002913} \begin{enumerate} \item $(2n)!$. \item $2(n!)^2$. \item $2^{n+1}\times n!$. \item $4\times n!$. \end{enumerate} \fincorrection \correction{002914} \begin{enumerate} \item $n^{n^2}$. \item $n^{n(n+1)/2}$. \item $n\times n^{(n-1)^2}$. \item $n\times n^{n(n-1)/2}$. \end{enumerate} \fincorrection \correction{002915} \begin{enumerate} \item \item \item \begin{enumerate} \item $\sum_{k=1}^n (-1)^kC_n^k(n-k)^p$. \item $\sum_{k=1}^n \frac{(-1)^kn!}{k!}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \fincorrection \correction{002916} \begin{enumerate} \item \item R{\'e}currence. {\'E}galit{\'e} pour $n \le 2$ ou les $A_i$ 3 {\`a} 3 disjoints. \end{enumerate} \fincorrection \correction{002917} $3^n$. \fincorrection \correction{002918} \begin{enumerate} \item Comme $\{ x_1-1, \dots, x_p-p\}$ est une partie quelconque de $\{0, \dots, n-p\}$, on a $N = C_{n-p+1}^p$. \item \begin{enumerate} \item \item 32951280099. \end{enumerate} \end{enumerate} \fincorrection \correction{002919} \begin{enumerate} \item $R_n = \sum_{k=0}^{n-1}C_{n-1}^kR_k$ avec $R_0 = 1$. \item 1,1,2,5,15,52,203. \end{enumerate} \fincorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \correction{002923} \begin{enumerate} \item 1,2,5. \item $t_n = \sum_{k=1}^{n-1}\,t_kt_{n-k}$. \end{enumerate} \fincorrection \correction{005279} Il y a $C_{pq}^q$ choix possibles d'une première classe. Cette première classe étant choisie, il y a $C_{pq-q}^{q}=C_{(p-1)q}^q$ choix possibles de la deuxième classe... et $C_{q}^q$ choix possibles de la $p$-ième classe. Au total, il y a $C_{pq}^qC_{(p-1)q}^q...C_{q}^q$ choix possibles d'une première classe, puis d'une deuxième ...puis d'une $p$-ième. Maintenant dans le nombre $C_{pq}^qC_{(p-1)q}^q...C_{q}^q$, on a compté plusieurs fois chaque partition, chacune ayant été compté un nombre égal de fois. On a compté chaque partition autant de fois qu'il y a de permutations des $p$ classes à savoir $p!$. Le nombre cherché est donc~: $$\frac{1}{p!}C_{pq}^qC_{(p-1)q}^q...C_{q}^q=\frac{1}{p!}\frac{(pq)!}{q!((p-1)q)!}\frac{((p-1)q)!}{q!((p-2)q)!}... \frac{(2q)!}{q!q!}\frac{q!}{q!0!}=\frac{(pq)!}{p!(q!)^p}.$$ \fincorrection \correction{005281} On place le $0$ soit au chiffre des unités, soit au chiffre des dizaines, soit au chiffre des centaines, soit au chiffre des milliers (mais pas au chiffre des dizaines de milliers) et le $0$ étant placé, on n'y a plus droit. Réponse~:~$4.9.9.9.9=4.9^4=4.(80+1)^2=4.6561=26244$. \fincorrection \correction{005284} On pose $H=$ "vers le haut" et $D=$ "vers la droite". Un exemple de chemin de $(0,0)$ à $(p,q)$ est le mot $DD...DHH...H$ où $D$ est écrit $p$ fois et $H$ est écrit $q$ fois. Le nombre de chemins cherché est clairement le nombre d'anagrammes du mot précédent. Le nombre de choix de l'emplacement du $H$ est $C_{p+q}^q$. Une fois que les lettres $H$ sont placées il n'y a plus de choix pour les lettres $D$. Il y a donc $C_{p+q}^q$ chemins possibles. Remarque : si on place d'abord les lettres $D$ alors on a $C_{p+q}^p$ choix possibles. Mais on trouve bien sûr le même nombre de chemins car $C_{p+q}^p = C_{p+q}^{(p+q) - p} = C_{p+q}^q$. \fincorrection \correction{005285} On note respectivement $x$, $y$ et $z$ le nombre de pièces de $10$, $20$ et $50$ centimes. Il s'agit de résoudre dans $\Nn^3$ l'équation $10x+20y+50z=10000$ ou encore $x+2y+5z=1000$. Soit $k\in\Nn$. $x+2y=k\Leftrightarrow x=k-2y$ et le nombre de solutions de cette équation est~: $$\sum_{k=0}^{E(k/2)}1=E(\frac{k}{2})+1.$$ Pour $0\leq z\leq 200$ donné, le nombre de solutions de l'équation $x+2y=1000-5z$ est donc $E(\frac{1000-5z}{2})+1$. Le nombre de solutions en nombres entiers de l'équation $x+2y+5z=1000$ est donc $$\sum_{z=0}^{200}(E(\frac{1000-5z}{2})+1)=\sum_{z=0}^{200}(E(\frac{-5z}{2})+ 501)=201.501+\sum_{z=0}^{200}E(\frac{-5z}{2})=100701+\sum_{z=0}^{200}E(\frac{-5z}{2}).$$ Maintenant $$\sum_{z=0}^{200}E(\frac{-5z}{2})=\sum_{k=1}^{100}(E(\frac{-5(2k-1)}{2})+E(\frac{-5(2k)}{2}))=\sum_{k=1}^{100}(E(-5k+\frac{5}{2})-5k)=\sum_{k=1}^{100}(-10k+2)=200-10\frac{100.101}{2}.$$ Le nombre de solutions cherchés est donc $100701-50300=50401$. Il y a $50401$ façons de payer $100$ euros avec des pièces de $10$, $20$ et $50$ centimes. \fincorrection \correction{005286} \begin{enumerate} \item \begin{align*}\ensuremath \chi_{A_1\cup...\cup A_n}&=1-\chi_{\overline{A_1\cup...\cup A_n}} =1-\chi_{\overline{A_1}\cap...\cap\overline{A_n}}=1-\chi_{\overline{A_1}}\times...\times\chi_{\overline{A_n}}\\ &=1-(1-\chi_{A_1})...(1-\chi_{A_n})=1-(\sum_{k=1}^{n}(-1)^{k-1}(\sum_{1\leq i_1<...n$, il n'y a pas de surjections de $E_n$ dans $E_p$ (où $E_n$ et $E_p$ désignent des ensembles à $n$ et $p$ éléments respectivement). On suppose dorénavant $p\leq n$. La donnée d'une surjection $f$ de $E_n$ sur $E_p$ équivaut à la donnée d'une partition de l'ensemble $E_n$ en $p$ classes (chaque élément d'une même classe ayant même image par $f$) puis d'une bijection de l'ensemble des parties de la partition vers $E_p$. Au total, il y a donc $p!P_n^k$ surjections d'un ensemble à $n$ éléments dans un ensemble à $p$ éléments pour $1\leq p\leq n$. \fincorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \correction{003057} \begin{enumerate} \item $a=33$, $b=-200$. \item \end{enumerate} \fincorrection \nocorrection \nocorrection \correction{003060} \begin{enumerate} \item R{\'e}currence sur $n$. \item Si $a > n$, alors $a = b+1$ avec $b \ge n$, donc $f(b) \ge n$, donc $f(f(b)) \ge f(a)$. Contradiction. \item \end{enumerate} \fincorrection \correction{005282} Si $n\geq366$, on a clairement $p_n=1$ (Principe des tiroirs~:~si $366$ personnes sont à associer à $365$ dates d'anniversaire, alors $2$ personnes au moins sont à associer à la même date d'anniversaire). Si $2\leq n\leq 365$, on a $p_n=1-q_n$ où $q_n$ est la probabilité que les dates d'anniversaire soient deux à deux distinctes. Il y a $(365)^n$ répartitions possibles des dates d'anniversaires (cas possibles) et parmi ces répartitions, il y en a $365.364.363....(365-n+1)$ telles que les dates d'anniversaire soient deux à deux distinctes. Finalement $$p_n=1-\frac{1}{(365)^n}365.364.363....(365-n+1)=1-\prod_{k=1}^{n-1}\frac{365-k}{365}=1-\prod_{k=1}^{n-1}(1-\frac{k}{365}).$$ Ensuite, $$p_n\geq\frac{1}{2}\Leftrightarrow\prod_{k=1}^{n-1}(1-\frac{k}{365})\leq\frac{1}{2}\Leftrightarrow\sum_{k=1}^{n-1}\ln(1-\frac{k}{365}) \leq\ln\frac{1}{2}\Leftrightarrow\sum_{k=1}^{n-1}-\ln(1-\frac{k}{365})\geq\ln2.$$ Maintenant, soit $x\in[0,1[$. On a $$-\ln(1-x)=\int_{0}^{x}\frac{1}{1-t}dt\geq\int_{0}^{x}\frac{1}{1-0}dt=x.$$ Pour $k$ élément de $\{1,...,n-1\}(\subset\{1,...,364\})$, $\frac{k}{365}$ est un réel élément de $[0,1[$. En appliquant l'inégalité précédente, on obtient $$\sum_{k=1}^{n-1}-\ln(1-\frac{k}{365})\geq\sum_{k=1}^{n-1}\frac{k}{365}=\frac{n(n-1)}{730}.$$ Ainsi, $$p_n\geq\frac{1}{2}\Leftarrow\frac{n(n-1)}{730}\geq\ln 2\Leftrightarrow n^2-n-730\ln2\geq0\Leftrightarrow n\geq\frac{1+\sqrt{1+2920\ln2}}{2}=22,99...\Leftrightarrow n\geq23.$$ Finalement, dans un groupe d'au moins $23$ personnes, il y a plus d'une chance sur deux que deux personnes au moins aient la même date d'anniversaire. \fincorrection \correction{005283} \begin{enumerate} \item Notre calendrier est $400$ ans périodique (et presque $4.7=28$ ans périodique). En effet, \begin{enumerate} \item la répartition des années bissextiles est $400$ ans périodique ($1600$ et $2000$ sont bissextiles mais $1700$, $1800$ et $1900$ ne le sont pas (entre autre pour regagner $3$ jours tous les $400$ ans et coller le plus possible au rythme du soleil)) \item il y a un nombre entier de semaines dans une période de $400$ ans. En effet, sur $400$ ans, le quart des années, soit $100$ ans, moins $3$ années sont bissextiles et donc sur toute période de $400$ ans il y a $97$ années bissextiles et $303$ années non bissextiles. Une année non bissextile de $365$ jours est constituée de $52.7+1$ jours ou encore d'un nombre entier de semaines plus un jour et une année bissextile est constituée d'un nombre entier de semaine plus deux jours. Une période de $400$ ans est donc constituée d'un nombre entier de semaines plus~:~$97.2+303.1=194+303=497=7.71$ jours qui fournit encore un nombre entier de semaines. \end{enumerate} \item Deux périodes consécutives de $28$ ans ne contenant pas d'exception (siècles non bissextiles) reproduisent le même calendrier. En effet, les $7$ années bissextiles fournissent un nombre entiers de semaines plus $2.7$ jours $=2$ semaines et les $21$ années non bissextiles fournissent un nombre entier de semaines plus $21.1$ jours $=3$ semaines. \item D'après ce qui précède, il suffit de compter les 1ers de l'an qui tombe un dimanche ou un samedi sur une période de $400$ ans donnée, par exemple de $1900$ à $2299$ (inclus). On décompose cette période comme suit~: $$\begin{array}{c} 1900,\;1901\rightarrow1928,\;1929\rightarrow1956,\;1957\rightarrow1984,\;1985\rightarrow2012,\;2013\rightarrow2040,\; 2041\rightarrow2068,\;2069\rightarrow2096,\\ 2097\rightarrow2100,\;2101\rightarrow2128,\;2129\rightarrow2156,\;2157\rightarrow2184,\;2185\rightarrow2200,\;2201\rightarrow2228\;2229\rightarrow2256,\\ 2257\rightarrow2284,\;2285\rightarrow2299. \end{array}$$ \item On montre ensuite que sur toute période de $28$ ans sans siècle non bissextile, le premier de l'an tombe un même nombre de fois chaque jour de la semaine (Lundi, mardi,..). (La connaissance des congruences modulo $4$ et $7$ seraient bien utile). Quand on passe d'une année non bissextile à l'année suivante, comme une telle année contient un nombre entier de semaines plus un jour, le 1er de l'an tombe un jour plus tard l'année qui suit et deux jours plus tard si l'année est bissextile. Par exemple, 1er janvier 1998~:~jeudi 1999~:~vendredi 2000~:~samedi 2001~:~Lundi 2002~:~Mardi 2003~:~Mercredi 2004~:~Jeudi 2005~:~samedi... Notons A,B,C,D,E,F,G les jours de la semaine. Sur une période de 28 ans sans siècle non bissextile finissant par exemple une année bissextile, on trouve la séquence suivante~: ABCD FGAB DEFG BCDE GABC EFGA CDEF (puis çà redémarre ABCD...) soit 4A, 4B, 4C, 4D, 4E, 4F, et 4G. \item Il reste à étudier les périodes à exception (soulignées dans le 3)). Détermination du 1er janvier 1900. Le 1er janvier 1998 était un jeudi . Il en est donc de même du 1er janvier 1998-28 = 1970 et des premiers janvier 1942 et 1914 puis on remonte~: 1914 Jeudi 1913 Mercredi 1912 Lundi 1911 Dimanche 1910 Samedi 1909 Vendredi 1908 Mercredi 1907 Mardi 1906 Lundi 1905 Dimanche 1904 Vendredi 1903 Jeudi 1902 Mercredi 1901 Mardi 1900 Lundi (1900 n'est pas bissextile) Les premiers de l'an 2000, 2028 , 2056 et 2084 sont des samedis, 2088 un jeudi, 2092 un mardi, 2096 un dimanche et donc 2097 mardi 2098 mercredi 2099 jeudi 2100 vendredi. 2101 est un samedi de même que 2129, 2157, 2185 ce qui donne de 2185 à 2200 inclus la séquence : S D L Ma J V S D Ma Me J V D L Ma Me 2201 est un jeudi de même que 2285 ce qui donne de 2285 à 2299 inclus la séquence : J V S D Ma Me J V D L Ma Me V S D \end{enumerate} Le décompte des Lundis , mardis ... soulignés est : 6D 4L 6Ma 5Me 5J 6V 4S. Dans toute période de 400 ans, le 1er de l'an tombe $2$ fois de plus le dimanche que le samedi et donc plus souvent le dimanche que le samedi. \fincorrection \correction{000249} \'Ecrivons la d\'ecomposition de $15 !=1.2.3.4\ldots15$ en facteurs premiers. $15 ! = 2^{11}.3^6.5^3.7^2 .11.13$. Un diviseur de $15 !$ s'\'ecrit $d = 2^{\alpha}.3^\beta.5^\gamma.7^\delta .11^\epsilon.13^\eta$ avec $0 \leq \alpha \leq 11$, $0 \leq \beta \leq 6$, $0 \leq \gamma \leq 3$, $0 \leq \delta \leq 2$, $0 \leq \epsilon \leq 1$, $0 \leq \eta \leq 1$. De plus tout nombre $d$ de cette forme est un diviseur de $15 !$. Le nombre de diviseurs est donc $(11+1)(6+1)(3+1)(2+1)(1+1)(1+1) = 4032$. \fincorrection \correction{000250} Il sagit de calculer $100^{1000}$ modulo $13$. Tout d'abord $100 \equiv 9 \pmod{13}$ donc $100^{1000} \equiv 9^{1000} \pmod{13}$. Or $9^{2} \equiv 81 \equiv 3 \pmod{13}$, $9^{3} \equiv 9^2.9 \equiv 3.9 \equiv 1 \pmod{13}$, Or $9^{4} \equiv 9^3.9 \equiv 9 \pmod{13}$, $9^{5} \equiv 9^4.9 \equiv 9.9 \equiv 3 \pmod{13}$. Donc $100^{1000} \equiv 9^{1000} \equiv 9^{3.333+1} \equiv (9^3)^{333}.9 \equiv 1^{333}.9 \equiv 9 \pmod{13}$. \fincorrection \correction{000251} La seule chose \`a voir est que pour une division euclidienne le reste doit \^etre plus petit que le quotient. Donc les divisions euclidiennes s'\'ecrivent : $96842 = 256 \times 378 + 74$ et $96842 = 258 \times 375 + 92$. \fincorrection \nocorrection \nocorrection \correction{000254} Raisonnons modulo $8$ : $$7 \equiv -1 \pmod{8}.$$ Donc $$7^n +1 \equiv (-1)^n + 1 \pmod{8}.$$ Le reste de la division euclidienne de $7^n+1$ par $8$ est donc $(-1)^n+1$ donc Si $n$ est impair alors $7^n+1$ est divisible par $8$. Et si $n$ est pair $7^n+1$ n'est pas divisible par $8$. \fincorrection \nocorrection \nocorrection \correction{000257} Il suffit de constater que pour $4$ nombres cons\'ecutifs il y a n\'ecessairement : un multiple de $2$, un multiple de $3$, un multiple de $4$ (distinct du mutliple de $2$). Donc le produit de $4$ nombres cons\'ecutifs est divisible par $2\times 3\times 4 = 24$. \fincorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \correction{000267} Ecrire $n=p^2+q^2$ et \'etudier le reste de la division euclidienne de $n$ par $4$ en distinguant les diff\'erents cas de parit\'e de $p$ et $q$. \fincorrection \nocorrection \nocorrection \correction{000270} Pour \ref{div}. Si $p$ divise $b-a$ alors $p$ divise aussi $b^n-a^n$ d'apr\`es la formule $(*)$. Pour \ref{divv}. On utilise le r\'esultat de la question pr\'ec\'edente avec $n=p-k-1$ pour \'ecrire $b^{p-k-1}$ en fonction de $a^{p-k-1}$ modulo $p$ dans $$\sum_{k=0}^{p-1}a^{k}b^{p-k-1}.$$ On peut alors conclure. \fincorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \correction{000285} \begin{enumerate} \item Soit $n$ un nombre impair, alors il s'\'ecrit $n=2p+1$ avec $p\in \Nn$. Maintenant $n^2 = (2p+1)^2 = 4p^2+4p+1 = 4p(p+1) + 1$. Donc $n^2 \equiv 1 \pmod{8}$. \item Si $n$ est pair alors il existe $p\in \Nn$ tel que $n=2p$. Et $n^2 = 4p^2$. Si $p$ est pair alors $p^2$ est pair et donc $n^2 = 4p^2$ est divisible par $8$, donc $n^2 \equiv 0 \pmod{8}$. Si $p$ est impair alors $p^2$ est impair et donc $n^2 = 4p^2$ est divisible par $4$ mais pas par $8$, donc $n^2 \equiv 4 \pmod{8}$. \item Comme $a$ est impair alors d'apr\`es la premi\`ere question $a^2 \equiv 1 \pmod{8}$, et de m\^eme $c^2 \equiv 1 \pmod{8}$, $c^2 \equiv 1 \pmod{8}$. Donc $a^2+b^2+c^2 \equiv 1+1+1 \equiv 3 \pmod{8}$. Pour l'autre reste, \'ecrivons $a = 2p+1$ et $b=2q+1$, $c=2r+1$, alors $2ab = 2(2p+1)(2q+1) = 8pq + 4(p+q)+2$. Alors $2(ab+bc+ca)= 8pq+8qr+8pr + 8(p+q+r)+6$, donc $2(ab+bc+ca) \equiv 6 \pmod{8}$. \item Montrons par l'absurde que le nombre $a^2+b^2+c^2$ n'est pas le carr\'e d'un nombre entier. Supposons qu'il existe $n\in \Nn$ tel que $a^2+b^2+c^2=n^2$. Nous savons que $a^2+b^2+c^2 \equiv 3 \pmod{8}$. Si $n$ est impair alors $n^2 \equiv 1 \pmod{8}$ et si $n$ est pair alors $n^2 \equiv 0 \pmod{8}$ ou $n^2 \equiv 4 \pmod{8}$. Dans tous les cas $n^2$ n'est pas congru \`a $3$ modulo $8$. Donc il y a une contradiction. La conclusion est que l'hypoth\`ese de d\'epart est fausse donc $a^2+b^2+c^2$ n'est pas un carr\'e. Le m\^eme type de raisonnement est valide pour $2(ab+bc+ca)$. Pour $ab+bc+ca$ l'argument est similaire : d'une part $2(ab+bc+ca)\equiv 6 \pmod{8}$ et d'autre part si, par l'absurde, on suppose $ab+bc+ca=n^2$ alors selon la parit\'e de $n$ nous avons $2(ab+bc+ca)\equiv 2n^2 \equiv 2 \pmod{8}$ ou \`a $0 \pmod{8}$. Dans les deux cas cela aboutit \`a une contradiction. Nous avons montrer que $ab+bc+ca$ n'est pas un carr\'e. \end{enumerate} \fincorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \correction{003095} $7^4\equiv 1(\mathrm{mod}\,{10})$, $7^2\equiv 1(\mathrm{mod}\, 4)$ et $7^{7^{7^{7^7}}}$ est impair donc $7^{7^{7^{7^{7^7}}}}\equiv 7\equiv 3(\mathrm{mod}\, 4)$ et $7^{7^{7^{7^{7^{7^7}}}}}\equiv 7^3 \equiv 3(\mathrm{mod}\,{10})$. \fincorrection \correction{003096} \begin{enumerate} \item \item $x=1,y=1$ ou $x=2,y=3$. \end{enumerate} \fincorrection \nocorrection \correction{003098} reste$=2$. \fincorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \correction{003102} $n^2 + 3n + 5 \equiv (n-59)^2 - 88 (\mathrm{mod}\, {121})$. Si $121$ divise $n^2 + 3n + 5$, alors $11\mid n-59 \Rightarrow $ contradiction. \fincorrection \nocorrection \nocorrection \correction{003105} $x \equiv y (\mathrm{mod}\, 4)$. \fincorrection \correction{003106} \begin{enumerate} \item \item R{\'e}currence : $a^{4\times 10^{k+1}} - 1 = (a^{4\times10^k} - 1) (a^{4\times10^k\times 9} + \dots + a^{4\times10^k\times 0})$. \item $x = 123456789^{800000001/3}$. \end{enumerate} \fincorrection \correction{003107} $56786730 = 2 \times 3 \times 5 \times 7 \times 11 \times 13 \times 31 \times 61$. Pour tous ces facteurs premiers, on a $\varphi(p) \mid 60$. \fincorrection \correction{003108} L'ordre de $\dot 2$ dans $(\Z/q\Z)^*$ divise $p$ donc est {\'e}gal {\`a}~$p$ et cet ordre divise $\varphi(q) = q-1$. \fincorrection \nocorrection \nocorrection \correction{005116} Montrons par récurrence que, pour $n\geq2$, $H_n$ peut s'écrire sous la forme $\frac{p_n}{q_n}$ où $q_n$ est un entier pair et $p_n$ est un entier impair (la fraction précédente n'étant pas nécessairement irréductible mais à coup sûr pas un entier). Pour $n=2$, $H_2=\frac{3}{2}$ et $H_2$ est bien du type annoncé. Soit $n\geq2$. Supposons que pour tout entier $k$ tel que $2\leq k\leq n$, on ait $H_k=\frac{p_k}{q_k}$ où $p_k$ est un entier impair et $q_k$ est un entier pair et montrons que $H_{n+1}=\frac{p_{n+1}}{q_{n+1}}$ où $p_{n+1}$ est un entier impair et $q_{n+1}$ est un entier pair. (Recherche. L'idée $H_{n+1}=\frac{p_n}{q_n}+\frac{1}{n+1}=\frac{(n+1)p_n+q_n}{(n+1)q_n}$ ne marche à coup sur que si $(n+1)p_n+q_n$ est impair ce qui est assuré si $n+1$ est impair et donc $n$ pair) \begin{itemize} \item[\textbf{1er cas.}] Si $n$ est pair, on peut poser $n=2k$ où $k\in\Nn^*$. Dans ce cas, $H_{n+1}=\frac{(2k+1)p_n+q_n}{(2k+1)q_n}$ et $H_{n+1}$ est bien le quotient d'un entier impair par un entier pair. \item[\textbf{2ème cas.}] Si $n$ est impair, on pose $n=2k-1$ où $k\geq2$ (de sorte que $2k-1\geq3$). \begin{align*} H_{n+1}&=\sum_{i=1}^{2k}\frac{1}{i}=\sum_{i=1}^{k}\frac{1}{2i}+\sum_{i=0}^{k-1}\frac{1}{2i+1}\;\\ &(\mbox{en séparant les fractions de dénominateurs pairs des fractions de dénominateurs impairs})\\ &=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{k}\frac{1}{i}+\sum_{i=0}^{k-1}\frac{1}{2i+1}=\frac{1}{2}H_k+\sum_{i=0}^{k-1}\frac{1}{2i+1}. \end{align*} Maintenant, en réduisant au même dénominateur et puisque un produit de nombres impairs est impair, on voit que $\sum_{i=0}^{k-1}\frac{1}{2i+1}$ est du type $\frac{K}{2K'+1}$ où $K$ et $K'$ sont des entiers. Ensuite, puisque $2\leq k\leq2k-1=n$, par hypothèse de récurrence, $H_k=\frac{p_k}{q_k}$ où $p_k$ est un entier impair et $q_k$ un entier pair. Après réduction au même dénominateur, on obtient $$H_{n+1}=\frac{p_k}{2q_k}+\frac{K}{2K'+1}=\frac{(2K'+1)p_k+2Kq_k}{2q_k(2K'+1)}.$$ $2Kq_k$ est un entier pair et $(2K'+1)p_k$ est un entier impair en tant que produit de deux nombres impairs. Donc le numérateur est bien un entier impair et puisque $2qk(2K'+1)$ est un entier pair, $H_{n+1}$ est bien dans tous les cas de la forme désirée. \end{itemize} On a montré par récurrence que pour tout entier naturel $n\geq2$, $H_n$ est le quotient d'un entier impair par un entier pair et donc n'est pas un entier. \fincorrection \correction{005157} Soit $n\in\Nn$. La division euclidienne de $n$ par $25$ fournit un quotient entier $q$ et et un reste $r$ élément de $\{0,1,...,24\}$ tels que $n=25q+r$. On a alors $$E(\frac{1}{3}(n+2-E(\frac{n}{25})))=E(\frac{25q+r+2-q}{3})=E(8q+\frac{r+2}{3})=8q+E(\frac{r+2}{3}),$$ et $$E(\frac{8n+24}{25})=E(\frac{8(25q+r)+24}{25})=8q+E(\frac{8r+24}{25}).$$ Pour montrer l'égalité de l'énoncé, il reste donc à vérifier les $25$ égalités $E(\frac{r+2}{3})=E(\frac{8r+24}{25})$, $0\leq r\leq 24$, $(*)$, ce qui peut déjà se vérifier \og~à la main~\fg. Diminuons encore le nombre de vérifications. La division euclidienne de $r$ par $3$ s'écrit $r=3k+l$ avec $0\leq l\leq2$. Mais alors, $$E(\frac{r+2}{3})=k+E(\frac{l+2}{3})\;\mbox{et}\;E(\frac{8r+24}{25})=E(\frac{25k-k+8l+24}{25})=k+E(\frac{-k+8l+ 24}{25}).$$ Si $l=0$, $k$ varie de $0$ à $8$ et dans ce cas, $0\leq\frac{-k+24}{25}=\frac{-k+8l+24}{25}\leq\frac{24}{25}<1$. Par suite, $$E(\frac{-k+8l+24}{25})=0=E(\frac{2}{3})=E(\frac{l+2}{3}).$$ On a ainsi vérifié $(*)$ quand $r\in\{0,3,6,9,12,15,18,21,24\}$. Si $l=1$ ou $l=2$, $E(\frac{l+2}{3})=1$ et d'autre part, $k$ varie de $0$ à $7$. Dans ce cas, $$1=\frac{-7+8+24}{25}\leq\frac{-k+8l+24}{25}\leq\frac{16+24}{25}<2$$ et donc $$E(\frac{-k+8l+24}{25})=1=E(\frac{l+2}{3}).$$ On a ainsi vérifié $(*)$ pour les autres valeurs de $r$. Finalement, on a montré que \begin{center} \shadowbox{ $\forall n\in\Nn,\;E(\frac{1}{3}(n+2-E(\frac{n}{25})))=E(\frac{8n+24}{25}).$ } \end{center} \fincorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \correction{000290} Il s'agit ici d'utiliser la d\'ecomposition des nombres en facteurs premiers. \begin{enumerate} \item $126 = 2.3^2.7$ et $230 = 2.5.23$ donc le pgcd de $126$ et $230$ est $2$. \item $390 = 2.3.5.13$, $720 = 2^4.3^2.5$, $450 = 2.3^2.5^2$ et donc le pgcd de ces trois nombres est $2.3.5=30$. \item $\pgcd(180,606,750) = 6$. \end{enumerate} \fincorrection \nocorrection \correction{000292} Soient $a,b$ deux entiers de pgcd $18$ et de somme $360$. Soit $a',b'$ tel que $a = 18a'$ et $b=18b'$. Alors $a'$ et $b'$ sont premiers entre eux, et leur somme est $360/18 = 20$. Nous pouvons facilement \'enum\'erer tous les couples d'entiers naturels $(a',b')$ ($a'\leqslant b'$) qui v\'erifient cette condition, ce sont les couples : $$(1,19),(3,17),(7,13),(9,11).$$ Pour obtenir les couples $(a,b)$ recherch\'es ($a\leqslant b$), il suffit de multiplier les couples pr\'ec\'edents par $18$ : $$(18,342),(54,306),(126,234),(162,198).$$ \fincorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \correction{000296} \begin{enumerate} \item $\pgcd(18480,9828) = 84$; \item $25 \times 18480 + (-47) \times 9828 = 84$. \end{enumerate} \fincorrection \nocorrection \correction{000298} Comme le pgcd de $955$ et $183$ est $1$, donc d'après le théorème de Bézout cette équation a des solutions. Par exemple une solution particulière est $(m_0,n_0) = (-32,167)$. Les solutions sont exactement les couples $(m,n) = (m_0 - 83k,n_0+37k)$, pour $k\in \Zz$. \fincorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \correction{000303} \begin{enumerate} \item $a=9b+10$. \item Calculons le pgcd par l'algorithme d'Euclide. $a = 9b+10$, $b = 12345678 \times 10 + 9$, $10 = 1 \times 9 +1$. Donc le pgcd vaut $1$; \item Nous reprenons les \'equations pr\'ec\'edentes en partant de la fin: $1 = 10 - 9$, puis nous rempla\c{c}ons $9$ gr\^{a}ce \`a la deuxi\`eme \'equation de l'algorithme d'Euclide: $1 = 10 - (b - 12345678 \times 10) = -b + 1234679 \times 10$. Maintenant nous rempla\c{c}ons $10$ gr\^{a}ce \`a la premi\`ere \'equation: $1 = -b+12345679 (a-9b) = 12345679a - 111111112b$. \end{enumerate} \fincorrection \nocorrection \correction{000305} En divisant par $45$ (qui est le pgcd de $1665, 1035, 45$) nous obtenons l'\'equation \'equivalente : $$37x+23y=1 \qquad (E)$$ Comme le pgcd de $37$ et $23$ est $1$, alors d'apr\`es le th\'eor\`eme de B\'ezout cette \'equation $(E)$ a des solutions. L'algorithme d'Euclide pour le calcul du pgcd de $37$ et $23$ fourni les coefficients de Bézout: $37\times 5 + 23 \times (-8) = 1$. Une solution particuli\`ere de $(E)$ est donc $(x_0,y_0) = (5,-8)$. Nous allons maintenant trouver l'expression générale pour les solutions de l'équation $(E)$. Soient $(x,y)$ une solution de l'équation $37x+23y=1$. Comme $(x_0,y_0)$ est aussi solution, nous avons $37x_0+23y_0=1$. Faisons la différence de ces deux égalités pour obtenir $37(x-x_0)+23(y-y_0)=0$. Autrement dit $$37(x-x_0)=-23(y-y_0) \quad (*)$$ On en déduit que $37 | 23 (y-y_0)$, or $\pgcd(23,37)=1$ donc par le lemme de Gauss, $37 | (y -y_0)$. (C'est ici qu'il est important d'avoir divisé par $45$ dès le début !) Cela nous permet d'écrire $y-y_0 = 37 k$ pour un $k \in \Zz$. Repartant de l'égalité $(*)$ : nous obtenons $37(x-x_0)=-23 \times 37 \times k$. Ce qui donne $x-x_0 = -23 k$. Donc si $(x,y)$ est solution de $(E)$ alors elle est de la forme : $(x,y)= (x_0 - 23k,y_0+37k)$, avec $k \in \Zz$. Réciproquement pour chaque $k\in\Zz$, si $(x,y)$ est de cette forme alors c'est une solution de $(E)$ (vérifiez-le !). Conclusion : les solutions sont $$\big\lbrace (5 - 23k,-8+37k) \mid k\in \Zz\big\rbrace.$$ \fincorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \correction{003111} $(a+b) \wedge m=d$. \fincorrection \correction{003112} $= |a-b|(a \wedge b)^2$ ou $3|a-b|(a \wedge b)^2$. \fincorrection \correction{003113} $8(n^3 + n) = (2n+1)(4n^2-2n+5) - 5 \Rightarrow d = (2n+1) \wedge 5 \Rightarrow \begin{cases} \text{si } n \equiv 2 (\mathrm{mod}\, 5), &$d = 5$ \cr \text{si } n \not\equiv 2 (\mathrm{mod}\, 5), &$d = 1$.\end{cases}$ \fincorrection \correction{003114} $(15n^2+8n+6) \wedge (30n^2+21n+13)=1$. \fincorrection \correction{003115} $\{a,b\} \in \bigl\{\{50,600\},\{150,200\}\bigr\}$. \fincorrection \correction{003116} $\{a,b\} \in \bigl\{\{1,192\},\{3,32\},\{7,126\},\{14,63\}\bigr\}$. \fincorrection \correction{003117} $\{x,y\} = \{147,252\}$. \fincorrection \correction{003118} $x = 14k,\quad y = 15k$. \fincorrection \correction{003119} $x$ impair, $y = 2-x$. \fincorrection \correction{003120} $x=1$ ou $y=1$. \fincorrection \correction{003121} $(300,150)$, $(150,100)$, $(100,75)$, $(75,60)$, $(60,50)$. \fincorrection \correction{003122} \begin{enumerate} \item $a^m - 1\mid (a^{qm} - 1)a^r = a^n - a^r$. \item $A\wedge(AQ+R) = A\wedge R$. Algorithme d'Euclide sur les exposants de $a$. \item ssi $m\mid n$. \end{enumerate} \fincorrection \nocorrection \correction{003124} \begin{enumerate} \item \item \item $x=1+11k,\quad y=-1+7k$. \end{enumerate} \fincorrection \correction{003125} \begin{enumerate} \item $x = 67-71k,\quad y = -89 + 95k$. \item $x = 24 + 53k,\quad y = 9 + 20k$. \item $x = -49 + 20k - 5m,\quad y = 49 - 20k + 4m,\quad z = -7 + 3k$. \end{enumerate} \fincorrection \nocorrection \correction{003127} \begin{enumerate} \item $x\equiv 7422 (\mathrm{mod}\, {13860})$. \item $x\equiv 7 (\mathrm{mod}\, {60})$. \end{enumerate} \fincorrection \correction{003128} 785. \fincorrection \nocorrection \correction{000336} \begin{enumerate} \item Nous savons que $$x^b-1 = (x-1)(x^{b-1}+\cdots+x+1),$$ pour $x=2^a$ nous obtenons : $$2^{ab}-1 = {(2^{a})}^b -1 = (2^a-1)\left( 2^{a(b-1)}+\cdots+2^{a}+1 \right).$$ Donc $(2^a-1) | (2^{ab}-1)$. \item Montrons la contraposée. Supposons que $p$ ne soit pas premier. Donc $p=ab$ avec $12$ et $q\in\Nn$. Nous utilisons la formule $$x^p+1 = (x+1)(1-x+x^2-x^3+\ldots+x^{p-1})$$ avec $x = a^q$ : $$a^n+1 = a^{pq}+1 = (a^q)^p+1 = (a^q+1)(1-a^q+(a^q)^2+\cdots+(a^q)^{p-1}).$$ Donc $a^q+1$ divise $a^n+1$ et comme $1 < a^q+1 < a^{n}+1$ alors $a^n+1$ n'est pas premier. Par contraposition si $a^n+1$ est premier alor $n = 2^k$. \item Cette conjecture est fausse, mais pas facile \`a v\'erifier sans une bonne calculette ! En effet pour $n=5$ nous obtenons : $$2^{2^5} + 1 = 4294967297 = 641 \times 6700417.$$ \end{enumerate} \fincorrection \nocorrection \nocorrection \correction{003130} $a,b,c$ 2 {\`a} 2 premiers entre eux. \fincorrection \correction{003131} D{\'e}composer en facteurs premiers. \fincorrection \nocorrection \nocorrection \correction{003134} R{\'e}currence. \fincorrection \correction{003135} On suppose $a,r$ entiers sup{\'e}rieurs ou {\'e}gaux {\`a}~$2$. $a-1\mid a^r-1$ donc $a=2$. Si $r=pq$ alors $2^p-1\mid 2^r-1$ donc $r$ est premier. La r{\'e}ciproque est fausse, $2^{11}-1 = 23\times 89$. \fincorrection \correction{003136} \begin{enumerate} \item \item $M_{11} = 23\times 89$. \item \item \end{enumerate} \fincorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \correction{003140} \begin{enumerate} \item $(-1)^{(p-1)/2}\equiv 1(\mathrm{mod}\, p)$. \item \item \item \end{enumerate} \fincorrection \nocorrection \correction{003142} 498. \fincorrection \correction{003143} $H_n \Rightarrow H_{2n} \Rightarrow H_{2n+1}$. \fincorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \correction{000001} Remarquons d'abord que pour $z \in \Cc$, $z \overline{z} = |z|^2$ est un nombre r\'eel, ce qui fait qu'en multipliant le dénominateur par son conjugué nous obtenons un nombre réel. $$ \frac{3+6i}{3-4i} = \frac{(3+6i)(3+4i)}{(3-4i)(3+4i)} = \frac{9-24+12i+18i}{9+16} = \frac{-15+30i}{25} = -\frac{3}{5}+\frac{6}{5}i.$$ \bigskip Calculons $$\frac{1+i}{2-i} = \frac{(1+i)(2+i)}{5} = \frac{1+3i}{5}, $$ et $$ \left( \frac{1+i}{2-i} \right)^2 = \left( \frac{1+3i}{5} \right)^2 = \frac{-8+6i}{25}= -\frac{8}{25}+\frac{6}{25}i. $$ Donc $$ \left( \frac{1+i}{2-i} \right)^2 + \frac{3+6i}{3-4i} = -\frac{8}{25}+\frac{6}{25}i -\frac{3}{5}+\frac{6}{5}i =-\frac{23}{25}+\frac{36}{25}i.$$ \bigskip Soit $z = \frac{2+5i}{1-i}$. Calculons $z + \overline{z}$, nous savons d\'ej\`a que c'est un nombre r\'eel, plus pr\'ecis\'ement : $z = -\frac{3}{2}+\frac{7}{2}i$ et donc $ z + \overline{z} = -3$. \fincorrection \nocorrection \correction{000003} \begin{enumerate} \item $z_1 = 2 e^{i\frac \pi 3} = 2(\cos \frac \pi 3 + i \sin \frac \pi 3) = 2 (\frac 12+ i\frac{\sqrt3}{2}) = 1+i\sqrt 3$. \item $z_2 = 3e^{-i\frac \pi 8} = 3\cos {\pi \over 8}-3i\sin{\pi \over8}={3\sqrt{2+\sqrt2}\over 2}-{3i\sqrt{2-\sqrt2}\over 2}$. Il nous reste à expliquer comment nous avons calculé $\cos \frac \pi 8$ et $\sin \frac\pi 8$: posons $\theta=\frac{\pi}{8}$, alors $2\theta = \frac \pi 4$ et donc $\cos(2\theta)= \frac {\sqrt 2}{2} = \sin(2\theta)$. Mais $\cos(2\theta) = 2\cos^2 \theta - 1$. Donc $\cos^2\theta = \frac{\cos(2\theta) + 1}{2} = \frac 14 (2 + \sqrt 2)$. Et ensuite $\sin^2 \theta = 1- \cos^2 \theta = \frac 14 (2 - \sqrt 2)$. Comme $0 \le \theta = \frac \pi 8 \le \frac \pi 2$, $\cos \theta$ et $\sin \theta$ sont des nombres positifs. Donc $$\cos \frac \pi 8 = \frac 12 \sqrt{2 + \sqrt 2} \quad, \quad \sin \frac \pi 8 = \frac 12 \sqrt{2 - \sqrt 2}.$$ \end{enumerate} \fincorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \correction{000007} $9-7i$; \qquad $-6i$; \qquad $-0{,}3+1{,}1i$; \qquad $-\frac{\sqrt3}{3}-\frac{i}{3}$. \fincorrection \correction{000008} $\rho =\sqrt{4+2\sqrt2}$, $\theta ={3\pi \over8}$; \qquad $\rho =4$, $\theta =-{\pi \over 10}$; \qquad $\rho =1$, $\theta =2\varphi +\pi $. \fincorrection \nocorrection \correction{000010} Il s'agit juste d'appliquer la formule de Moivre : $$e^{i\theta} = \cos \theta +i \sin \theta ;$$ ainsi que les formules sur les produits de puissances : $$e^{ia}e^{ib} = e^{i(a+b)}\text{ et } e^{ia} / e^{ib} = e^{i(a-b)}.$$ \fincorrection \correction{000011} Nous avons $$ u = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}i}{2} = \sqrt{2}\left( \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{i}{2} \right) = \sqrt{2}\left( \cos\frac{\pi}{6} -i\sin\frac{\pi}{6} \right) =\sqrt{2} e^{-i\frac{\pi}{6}}.$$ puis $$v = 1-i = \sqrt{2}e^{-i\frac{\pi}{4}}.$$ Il ne reste plus qu'\`a calculer le quotient : $$ \frac{u}{v} = \frac{\sqrt{2}e^{-i\frac{\pi}{6}}}{\sqrt{2}e^{-i\frac{\pi}{4}}} = e^{-i\frac{\pi}{6}+i\frac{\pi}{4}} = e^{i\frac{\pi}{12}}.$$ \fincorrection \nocorrection \correction{000013} D'apr\`es la formule de Moivre pour $e^{i\alpha}$ nous avons : $$e^{e^{i\alpha}} = e^{\cos \alpha + i\sin \alpha} = e^{\cos \alpha}e^{i\sin \alpha}.$$ Or $e^{\cos \alpha} > 0$ donc l'\'ecriture pr\'ec\'edente est bien de la forme ``module-argument''. \bigskip De fa\c{c}on g\'en\'erale pour calculer une somme du type $e^{iu}+e^{iv}$ il est souvent utile de factoriser par $e^{i\frac{u+v}{2}}$. En effet \begin{align*} e^{iu}+e^{iv} &= e^{i\frac{u+v}{2}}\left( e^{i \frac{u-v}{2}}+ e^{-i \frac{u-v}{2}}\right) \\ &= e^{i\frac{u+v}{2}} 2 \cos \frac{u-v}{2} \\ &= 2 \cos \frac{u-v}{2} e^{i\frac{u+v}{2}}.\\ \end{align*} Ce qui est proche de l'\'ecriture en coordon\'ees polaires. Pour le cas qui nous concerne : $$z = e^{i\theta} + e^{2i\theta} = e^{\frac{3i\theta}{2}} \left[ e^{-\frac{i\theta}{2}} + e^{\frac{i\theta}{2}} \right] = 2\cos \frac{\theta}{2} e^{\frac{3i\theta}{2}}.$$ Attention le module dans une d\'ecomposion en forme polaire doit \^etre positif ! Donc si $\cos \frac{\theta}{2} \geq 0$ alors $2\cos\frac{\theta}{2}$ est le module de $z$ et $3\theta/2$ est son argument ; par contre si $\cos \frac{\theta}{2} < 0$ le module est $2|\cos\frac{\theta}{2}|$ et l'argument $3\theta/2+\pi$ (le $+\pi$ compense le changement de signe car $e^{i\pi} = -1$). \fincorrection \correction{000014} $$\frac{1+i}{1-i} = \frac{\sqrt{2}e^{i\pi/4}}{\sqrt{2}e^{-i\pi/4}} = e^{i\pi/2} = i.$$ On remarque $1 = i^0 = i^4 = i^8 = \cdots = i^{32}$. \fincorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \correction{000020} \'Ecrivons $z = \rho e^{i\theta}$, alors $\overline{z} = \rho e^{-i\theta}$. Donc \begin{align*} P &= \prod_{k=1}^n \left(z^k+{\overline{z}}^k \right)\\ &= \prod_{k=1}^n \rho^k \left( (e^{i\theta})^k + (e^{-i\theta})^k \right)\\ &= \prod_{k=1}^n \rho^k \left( e^{ik\theta} + e^{-ik\theta}) \right)\\ &= \prod_{k=1}^n 2 \rho^k \cos {k\theta}\\ &= 2^n.\rho.\rho^2.\ldots.\rho^n \prod_{k=1}^n \cos {k\theta}\\ &= 2^n\rho^{\frac{n(n+1)}{2}} \prod_{k=1}^n \cos {k\theta}.\\ \end{align*} \fincorrection \correction{000021} Soit $(\alpha,\beta)\in\R^2$ et $z$ le nombre complexe $z=e^{i\alpha}+e^{i\beta}$. Soit $u=\frac{\alpha+\beta}{2}$ et $v=\frac{\alpha-\beta}{2}$. Alors, $\alpha=u+v$ et $\beta=u-v$ et : \begin{align*} z &= e^{i\alpha}+e^{i\beta}\\ &= e^{iu+iv} + e^{iu-iv} \\ &= e^{iu} (e^{iv}+e^{-iv}) \\ &= 2 \cos(v)e^{iu} \\ &= 2 \cos(\frac{\alpha-\beta}{2})e^{i\frac{\alpha+\beta}{2}} \end{align*} On en d\'eduit la forme trigonom\'etrique de $z$ : $$ |z|=2|\cos(\frac{\alpha-\beta}{2})| \quad\text{ et, lorsque $\cos(\frac{\alpha-\beta}{2})\neq0$ :}\quad $$ $$ Arg(z)= \begin{cases} \frac{\alpha+\beta}{2} [2\pi] & \text{ si $\cos\frac{\alpha-\beta}{2}> 0$}\\ \pi+\frac{\alpha+\beta}{2} [2\pi] & \text{ si $\cos\frac{\alpha-\beta}{2}< 0$}\\ \end{cases} $$ (Attention, si $\cos\frac{\alpha-\beta}{2}<0$, $z=2\cos ve^{iu}$ n'est pas la forme trigonom\'etrique de $z$ !). Soit $n\in\N$. Calculons $z^n$ de deux façons diff\'erentes : d'une part $$z^n=(e^{i\alpha}+e^{i\beta})^n = \sum_{p=0}^n{C_{n}^p e^{ip\alpha}e^{i(n-p)\beta}},$$ et d'autre part, en utilisant la forme obtenue plus haut: $z^n=2^n \cos^n{v}\,e^{inu}$. En comparant les parties r\'eelles des expressions obtenues on obtient : $$ \sum_{p=0}^n C_{n}^p \cos[p\alpha+(n-p)\beta] = 2^n\cos^n\frac{\alpha-\beta}{2}\cos(n\frac{\alpha+\beta}{2}). $$ \fincorrection \nocorrection \correction{000023} $$1+e^{i\theta}= e^{\frac{i\theta}{2}}(e^{-\frac{i\theta}{2}}+e^{\frac{i\theta}{2}}) =2\cos \frac{\theta}{2} e^{\frac{i\theta}{2}}.$$ Comme $\theta \in ]-\pi,+\pi[$ alors le module est $2\cos \frac{\theta}{2} \geq 0$ et l'argument est $\frac{\theta}{2}$. Géométriquement, on trace le cercle de centre $1$ et de rayon $1$. L'angle en $0$ du triangle $(0,1,1+e^{i\theta})$ est $\frac{\theta}{2}$ et donc est le double de l'angle en $0$ du triangle $(0,2,1+e^{i\theta})$ qui vaut $\theta$. C'est le résulat géométrique (théorème de l'angle au centre) qui affirme que pour un cercle l'angle au centre est le double de l'angle inscrit. \fincorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \correction{002924} \begin{enumerate} \item $|u+v| + |u-v| \ge 2|u|$ et $|u+v| + |u-v| \ge 2|v|$. Il y a {\'e}galit{\'e} ssi $u = \pm v$. \item $|z_1| + |z_2| + |z_3| + |z_4| \le |z_1+z_2| + |z_1-z_2| + |z_3+z_4| + |z_3-z_4|$, \\ $|z_1-z_2| + |z_3-z_4| \le |z_1-z_2 + z_3-z_4| + |z_1-z_2 - z_3+z_4| \le |z_1+z_3| + |z_2+z_4| + |z_1+z_4| + |z_2+z_3|$. \end{enumerate} \fincorrection \correction{002927} $\overline{u} = -u$. \fincorrection \correction{005119} D'abord on a $1+i=\sqrt{2}e^{i\pi/4}$. Les racines carrées de $1+i$ dans $\Cc$ sont donc $\sqrt[4]{2}e^{i\pi/8}$ et $-\sqrt[4]{2}e^{i\pi/8}$. On a aussi, pour $(x,y)\in\Rr^2$, \begin{align*} (x+iy)^2=1+i&\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} x^2-y^2=1\\ x^2+y^2=\sqrt{2}\\ xy>0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \rule[-4mm]{0mm}{0mm}x^2=\frac{1}{2}(\sqrt{2}+1)\\ y^2=\frac{1}{2}(\sqrt{2}-1)\\ xy>0 \end{array} \right.\Leftrightarrow (x,y)\in\left\{\pm\left(\sqrt{\frac{\sqrt{2}+1}{2}},\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}}\right)\right\}. \end{align*} Les racines carrées de $1+i$ sont donc aussi $\pm\left(\sqrt{\frac{\sqrt{2}+1}{2}}+i\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}}\right)$. Puisque $\Re(e^{i\pi/8})=\cos\frac{\pi}{8}>0$, on obtient $\sqrt[4]{2}e^{i\pi/8}=\sqrt{\frac{\sqrt{2}+1}{2}}+i\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}}$, ou encore $$e^{i\pi/8}=\sqrt{\frac{\sqrt{2}+1}{2\sqrt{2}}}+i\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2\sqrt{2}}}=\frac{1}{2}\left(\sqrt{2+\sqrt{2}}+i \sqrt{2-\sqrt{2}}\right)$$ et donc, par identification des parties réelles et imaginaires, \begin{center} \shadowbox{ $\cos\frac{\pi}{8}=\frac{1}{2}\sqrt{2+\sqrt{2}}\;\mbox{et}\;\sin\frac{\pi}{8} =\frac{1}{2}\sqrt{2-\sqrt{2}}.$ } \end{center} \fincorrection \correction{005127} Soient $z$ un complexe non nul, $M$ le point d'affixe $z$ et $A$ le point d'affixe $1$. $$|z|=\left|\frac{1}{z}\right|\Leftrightarrow|z|=\frac{1}{|z|}\Leftrightarrow|z|^2=1\Leftrightarrow|z|=1,$$ et $$|z|=|z-1|\Leftrightarrow OM=AM\Leftrightarrow M\in\mbox{med}[OA]\Leftrightarrow x_M=\frac{1}{2}\Leftrightarrow\Re(z)=\frac{1}{2}.$$ Donc, $$|z|=\left|\frac{1}{z}\right|=|z-1|\Leftrightarrow|z|=1\;\mbox{et}\;\Re(z)=\frac{1}{2}\Leftrightarrow z=\frac{1}{2}\pm i\frac{\sqrt{3}}{2}\Leftrightarrow z=-j\;\mbox{ou}\;z=-j^2.$$ \fincorrection \correction{005128} Soient $x\in\Rr$ et $z=\frac{1+ix}{1-ix}$. Puisque $1-ix\neq0$, $z$ est bien défini et $|z|=\frac{|1+ix|}{|1-ix|}=\frac{|1+ix|}{|\overline{1+ix}|}=1$. Enfin, $z=\frac{-1+ix+2}{1-ix}=-1+\frac{2}{1-ix}\neq-1$. On a montré que~: $$\forall x\in\Rr,\;\frac{1+ix}{1-ix}\in U\setminus\{-1\}.$$ Réciproquement, soit $z\in U\setminus\{-1\}$. Il existe un réel $\theta\notin\pi+2\pi\Zz$ tel que $z=e^{i\theta}$. Mais alors, $$z=e^{i\theta}=\frac{e^{i\theta/2}}{e^{-i\theta/2}}=\frac{\cos\frac{\theta}{2}+i\sin\frac{\theta}{2}} {\cos\frac{\theta}{2}-i\sin\frac{\theta}{2}}=\frac{\cos\frac{\theta}{2}(1+i\tan\frac{\theta}{2})} {\cos\frac{\theta}{2}(1-i\tan\frac{\theta}{2})}=\frac{1+i\tan\frac{\theta}{2}} {1-i\tan\frac{\theta}{2}}\;(\cos\frac{\theta}{2}\neq0\;\mbox{car}\;\frac{\theta}{2}\notin\frac{\pi}{2}+\pi\Zz), $$ et $z$ est bien sous la forme voulue avec $x=\tan\frac{\theta}{2}$. \fincorrection \correction{005129} \begin{enumerate} \item Soit $\theta\in\Rr$. $$1-\cos\theta+i\sin\theta=0\Leftrightarrow\cos\theta=1\;\mbox{et}\;\sin\theta=0\Leftrightarrow\theta\in0+2\pi\Zz.$$ Donc, $\frac{1+\cos\theta-i\sin\theta}{1-\cos\theta+i\sin\theta}$ existe pour $\theta\notin 2\pi\Zz$. Pour un tel $\theta$, $$\frac{1+\cos\theta-i\sin\theta}{1-\cos\theta+i\sin\theta}=\frac{2\cos^2\frac{\theta}{2}-2i\sin\frac{\theta}{2}\cos \frac{\theta}{2}}{2\sin^2\frac{\theta}{2}+2i\sin\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2}} =\frac{\cos\frac{\theta}{2}}{\sin\frac{\theta}{2}}\frac{\cos(\theta/2)-i\sin(\theta/2)}{\sin(\theta/2)+i\cos(\theta/2)} =\frac{\cos\frac{\theta}{2}}{\sin\frac{\theta}{2}}\frac{e^{-i\theta/2}}{e^{i(\pi-\theta)/2}}=-i\cotan\left(\frac{\theta}{2}\right).$$ \textbf{- 1er cas.} $\cotan\frac{\theta}{2}>0\Leftrightarrow\frac{\theta}{2}\in\displaystyle\bigcup_{k\in\Zz}]k\pi,\frac{\pi}{2}+k\pi[\Leftrightarrow\theta\in \displaystyle\bigcup_{k\in\Zz}]2k\pi,\pi+2k\pi[$. Dans ce cas, la forme trigonométrique de $\frac{1+\cos\theta-i\sin\theta}{1-\cos\theta+i\sin\theta}$ est $\cotan(\frac{\theta}{2})e^{-i\pi/2}$ (module$=\cotan(\frac{\theta}{2})$ et argument$=-\frac{\pi}{2}\;(2\pi)$). $$\frac{1+\cos\theta-i\sin\theta}{1-\cos\theta+i\sin\theta}=\left[\cotan\left(\frac{\theta}{2}\right),-\frac{\pi}{2}\right].$$ \textbf{- 2ème cas.} $\cotan\frac{\theta}{2}<0\Leftrightarrow\theta\in \displaystyle\bigcup_{k\in\Zz}]\pi+2k\pi,2(k+1)\pi[$. Dans ce cas, $$\frac{1+\cos\theta-i\sin\theta}{1-\cos\theta+i\sin\theta}=-\cotan(\frac{\theta}{2}).e^{i\pi/2} =|\cotan(\frac{\theta}{2})|e^{i\pi/2},$$ et donc, $$\frac{1+\cos\theta-i\sin\theta}{1-\cos\theta+i\sin\theta}=\left[-\cotan\left(\frac{\theta}{2}\right),\frac{\pi}{2}\right].$$ \textbf{- 3ème cas.} $\cotan\frac{\theta}{2}=0\Leftrightarrow\theta\in\pi+2\pi\Zz$. Dans ce cas, on a $\frac{1+\cos\theta-i\sin\theta}{1-\cos\theta+i\sin\theta}=0$. \item Pour $\theta\notin2\pi\Zz$, on a $$\frac{1+e^{i\theta}}{1-e^{i\theta}}=\frac{e^{i\theta/2}(e^{-i\theta/2}+e^{i\theta/2})}{e^{i\theta/2}(e^{-i\theta/2}- e^{i\theta/2})}=\frac{2\cos\frac{\theta}{2}}{-2i\sin\frac{\theta}{2}}=i\cotan\frac{\theta}{2}.$$ Si $\theta\in\displaystyle\bigcup_{k\in\Zz}]2k\pi,\pi+2k\pi[$, $\frac{1+e^{i\theta}}{1-e^{i\theta}}=[\cotan\frac{\theta}{2},\frac{\pi}{2}]$. Si $\theta\in\displaystyle\bigcup_{k\in\Zz}]\pi+2k\pi,2(k+1)\pi[$, $\frac{1+e^{i\theta}}{1-e^{i\theta}}=[-\cotan\frac{\theta}{2},-\frac{\pi}{2}]$. Si $\theta\in\pi+2\pi\Zz$, $\frac{1+e^{i\theta}}{1-e^{i\theta}}=0$. \end{enumerate} \fincorrection \correction{005130} $(1+i\sqrt{3})^9=(2e^{i\pi/3})^9=2^9e^{3i\pi}=-512$. \begin{center} \shadowbox{ \begin{tabular}{l} La forme algébrique d'un complexe est particulièrement bien adaptée à l'addition.\\ La forme trigonométrique d'un complexe est particulièrement bien adaptée à la multiplication. \end{tabular} } \end{center} \fincorrection \correction{007209} Soit $z\in\C$. Si $\overline{z}=1-z^2$, alors en conjuguant une deuxième fois on obtient : \[ z=1-\overline{z}^2=1-(1-z^2)^2=2z^2-z^4.\] Donc $z$ est une racine du polynôme $X^4-2X^2+X$. Ce polynôme a deux racines évidentes : $0$ et $1$, et deux autres racines $\frac{-1\pm\sqrt 5}{2}$. Les deux dernières sont les seules à vérifier l'équation d'origine. Autre approche : on écrit l'inconnue $z\in\C$ sous forme cartésienne $z=a+ib$ avec $a$ et $b$ réels. On obtient le système $\begin{cases}a^2-b^2+a&=1\\2ab-b&=0\end{cases}$. La seconde équation équivaut à $b=0$ ou $a=\frac{1}{2}$. Si $b=0$, la première équation devient $a^2+a-1=0$, dont les solutions (réelles) sont $\frac{-1\pm\sqrt 5}{2}$. Si $a=1/2$, la première équation devient $b^2=-\frac{1}{4}$, qui n'a pas de solutions réelles. \fincorrection \correction{007210} Comme $z^2$ doit être réel, on en déduit que $z$ est soit réel, soit imaginaire pur. Dans chacun de ces deux cas, on obtient une équation d'inconnue réelle qui fait intervenir la valeur absolue. En séparant suivant le signe de l'inconnue, on obtient dinalement quatre cas qui correspondent à quatre trinômes réels. \fincorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \correction{000027} \textbf{Racines carr\'ees.} Soit $z= a+ib$ un nombre complexe avec $a,b \in \Rr$ ; nous cherchons les complexes $\omega \in \Cc$ tels que $\omega^2 = z$. \'Ecrivons $\omega = \alpha + i \beta$. Nous raisonnons par \'equivalence : \begin{align*} \omega^2 = z & \Leftrightarrow (\alpha +i \beta)^2 = a+ib \\ & \Leftrightarrow \alpha^2-\beta^2+2i\alpha\beta = a +i b \\ \intertext{Soit en identifiant les parties r\'eelles entre elles ainsi que les parties imaginaires :}\\ & \Leftrightarrow \begin{cases} \alpha^2-\beta^2 = a \\ 2\alpha\beta = b \end{cases} \\ \intertext{Sans changer l'\'equivalence nous rajoutons la condition $|\omega|^2 = |z|$.} & \Leftrightarrow \begin{cases} \alpha^2 + \beta^2 = \sqrt{a^2+b^2} \\ \alpha^2-\beta^2 = a \\ 2\alpha\beta = b \end{cases} \\ \intertext{Par somme et différence des deux premières lignes :} & \Leftrightarrow \begin{cases} \alpha^2 =\frac{a+ \sqrt{a^2+b^2}}{2} \\ \beta^2 = \frac{-a+ \sqrt{a^2+b^2}}{2} \\ 2\alpha\beta = b \end{cases} \\ & \Leftrightarrow \begin{cases} \alpha =\pm \sqrt{\frac{a+ \sqrt{a^2+b^2}}{2}} \\ \beta = \pm \sqrt{ \frac{-a+ \sqrt{a^2+b^2}}{2}} \\ \alpha\beta \text{ est du m\^eme signe que } b \end{cases} \\ \end{align*} Cela donne deux couples $(\alpha,\beta)$ de solutions et donc deux racines carr\'ees (opposées) $\omega = \alpha + i\beta$ de $z$. En pratique on r\'ep\`ete facilement ce raisonnement, par exemple pour $z = 8-6i$, \begin{align*} \omega^2 = z &\Leftrightarrow (\alpha +i \beta)^2 = 8-6i\\ &\Leftrightarrow \alpha^2-\beta^2+2i\alpha\beta = 8-6i\\ &\Leftrightarrow \begin{cases} \alpha^2-\beta^2 = 8\\ 2\alpha\beta = -6 \end{cases} \\ &\Leftrightarrow \begin{cases} \alpha^2 + \beta^2 = \sqrt{8^2+(-6)^2} = 10 \text{ le module de $z$} \\ \alpha^2-\beta^2 = 8 \\ 2\alpha\beta = -6 \end{cases}\\ &\Leftrightarrow \begin{cases} 2\alpha^2 =18 \\ \beta^2 = 1 \\ 2\alpha\beta = -6 \end{cases}\\ &\Leftrightarrow \begin{cases} \alpha =\pm \sqrt{9} = \pm 3 \\ \beta = \pm 1 \\ \alpha \text{ et } \beta \text{ de signes oppos\'es} \end{cases} \\ &\Leftrightarrow \begin{cases} \ \ & \alpha = 3 \text{ et } \beta = - 1\\ \text{ou}&\\ \ \ &\alpha = -3 \text{ et } \beta = +1 \\ \end{cases} \\ \end{align*} Les racines de $ z = 8-6i$ sont donc $\omega_1 = 3-i$ et $\omega_2 = -\omega_1 = -3+i$. Pour les autres : \begin{itemize} \item Les racines carrées de $1$ sont : $+1$ et $-1$. \item Les racines carrées de $i$ sont : $\frac{\sqrt 2}{2}(1+i)$ et $-\frac{\sqrt 2}{2}(1+i)$. \item Les racines carrées de $3+4i$ sont : $2+i$ et $-2-i$. \item Les racines carrées de $7+24i$ sont : $4+3i$ et $-4-3i$. \end{itemize} \fincorrection \correction{000028} $2-i$ et $-2+i$; \qquad $5-i$ et $-5+i$. \fincorrection \correction{000029} Par la m\'ethode usuelle nous calculons les racines carr\'ees $\omega, -\omega$ de $z = \frac{1+i}{\sqrt{2}}$, nous obtenons $$\omega = \sqrt{\frac{\sqrt{2}+1}{2\sqrt{2}}}+i\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2\sqrt{2}}},$$ qui peut aussi s'écrire : $$\omega = \frac 12 \sqrt{2+\sqrt 2} +i \frac 12 \sqrt{2-\sqrt 2}.$$ Mais nous remarquons que $z$ s'\'ecrit \'egalement $$z = e^{i\frac{\pi}{4}}$$ et $e^{i\frac{\pi}{8}}$ v\'erifie $$\left (e^{i\frac{\pi}{8}}\right)^2 = e^{\frac{2i\pi}{8}} = e^{i\frac{\pi}{4}}.$$ Cela signifie que $e^{i\frac{\pi}{8}}$ est une racine carr\'ee de $z$, donc $ e^{i\frac{\pi}{8}} = \cos \frac{\pi}{8}+i\sin\frac{\pi}{8}$ est \'egal \`a $\omega$ ou $-\omega$. Comme $ \cos \frac{\pi}{8} > 0$ alors $ e^{i\frac{\pi}{8}} = \omega$ et donc par identification des parties r\'eelles et imaginaires : $$\cos \frac{\pi}{8} = \frac 12 \sqrt{2+\sqrt 2} \quad \text{ et }\quad \sin \frac{\pi}{8} = \frac 12 \sqrt{2-\sqrt 2}.$$ \fincorrection \correction{000030} Soit $P(z) = az^2+bz+c$, et $\Delta = b^2-4ac$, si $\Delta \geq 0$ alors les racines sont r\'eelles, seul le cas o\`u $\Delta < 0$ nous int\'eresse. Premi\`ere m\'ethode : il suffit de regarder les deux solutions et de v\'erifier qu'elles sont conjugu\'ees... Seconde m\'ethode : si $z$ est une racine de $P$ \emph{i.e.} $P(z) = 0$, alors $$ P(\overline{z}) = a{\overline{z}}^2+b\overline{z}+c = \overline{az^2+b^z+c} = \overline{P(z)} = 0.$$ Donc $\overline{z}$ est aussi une racine de $P$. Or $z$ n'est pas un nombre r\'eel (car $\Delta < 0$ ) donc $\overline{z} \not= z$. Sachant que le polyn\^ome $P$ de degr\'e $2$ a exactement $2$ racines, ce sont $z$ et $\overline{z}$ et elles sont conjugu\'ees. \fincorrection \correction{000031} \textbf{\'Equations du second degr\'e.} La m\'ethode g\'enerale pour r\'esoudre les \'equations du second degr\'e $az^2+bz+c= 0$ (avec $a,b,c \in \Cc$ et $a\not=0$) est la suivante : soit $\Delta = b^2-4ac$ le discriminant complexe et $\delta$ une racine carr\'ee de $\Delta$ ($\delta^2 = \Delta$) alors les solutions sont : $$z_1 = \frac{-b+\delta}{2a} \quad \text{ et } \quad z_2 = \frac{-b-\delta}{2a}.$$ Dans le cas o\`u les coefficients sont r\'eels, on retrouve la m\'ethode bien connue. Le seul travail dans le cas complexe est de calculer une racine $\delta$ de $\Delta$. Exemple : pour $z^2-\sqrt{3}z-i =0$, $\Delta = 3+4i$, dont une racine carr\'ee est $\delta = 2+i$, les solutions sont donc : $$z_1 = \frac{\sqrt{3}+2+i}{2}\quad \text{ et }\quad z_2 = \frac{\sqrt{3}-2-i}{2}.$$ Les solutions des autres équations sont : \begin{itemize} \item L'équation $z^2+z+1=0$ a pour solutions : $\frac12 (-1+i\sqrt{3})$, $\frac12 (-1-i\sqrt{3})$. \item L'équation $z^2-(1+2i)z+i-1=0$ a pour solutions : $1+i$, $i$. \item L'équation $z^2-\sqrt{3}z-i=0$ a pour solutions : $\frac12(2-\sqrt{3}+i)$, $\frac12(-2-\sqrt{3}-i)$ \item L'équation $z^2-(5-14i)z-2(5i+12)=0$ a pour solutions : $5-12i$, $-2i$. \item L'équation $z^2-(3+4i)z-1+5i =0$ a pour solutions : $2+3i$, $1+i$. \item L'équation $4z^2-2z+1=0$ a pour solutions : $\frac 14(1+i\sqrt{3})$, $\frac 14(1-i\sqrt{3})$. \item L'équation $z^4+10z^2 +169=0$ a pour solutions : $2+3i$, $-2-3i$, $2-3i$, $-2+3i$. \item L'équation $z^4+2z^2 +4=0$ a pour solutions : $\frac{\sqrt{2}}{2}(1+i\sqrt{3})$, $\frac{\sqrt{2}}{2}(1-i\sqrt{3})$, $\frac{\sqrt{2}}{2}(-1+i\sqrt{3})$, $\frac{\sqrt{2}}{2}(-1-i\sqrt{3})$. \end{itemize} \fincorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \correction{000036} \begin{enumerate} \item $\Delta =-2i$ dont les racines carr\'ees sont $1-i$ et $-1+i$, d'o\`u les racines $z_1=5-2i$ et $z_2=6-3i$. \item Une racine ``\'evidente'' $z_1=i$, d'o\`u la r\'esolution compl\`ete en effectuant la division par $z-i$. On trouve $z_2=i$ et $z_3=-2i$. \end{enumerate} \fincorrection \nocorrection \nocorrection \correction{002945} Cercle circonscrit $ \Rightarrow $ ssi $|z| = 1$. \fincorrection \correction{002946} $z_1 = -z_2 = 3-2i$, $z_3 = -z_4 = 1-i$. \fincorrection \correction{002947} $z=1\pm2i$, $z=-4\pm2i$. \fincorrection \correction{002948} $m=2i$. \fincorrection \correction{002949} \begin{enumerate} \item \item $\alpha = 0$ ou $\beta = t\alpha^2,\ t \ge \frac 14$. \end{enumerate} \fincorrection \correction{002950} \begin{enumerate} \item \item {\'E}l{\'e}ver au carr{\'e} : $|\alpha|^2 + |\beta|^2 + 2\underbrace{|\alpha\beta|}_{|\mu|^2} = \underbrace{|m-\mu|^2 + |m+\mu|^2}_{2|m|^2 + 2|\mu|^2} + 2\underbrace{|m^2-\mu^2|}_{|\alpha-\beta|^2/4}$. \end{enumerate} \fincorrection \correction{005120} \begin{enumerate} \item $z^2+z+1=0\Leftrightarrow z=-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}=j\;\mbox{ou}\;z=-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}=j^2$. \item $\Delta'=1^2-2=-1=i^2$. L'équation a donc deux solutions non réelles et conjuguées, à savoir $z_1=\frac{1}{2}(-1+i)$ et $z_2=\frac{1}{2}(-1-i)$.\rule[-5mm]{0mm}{0mm} \item Soit $\theta\in\Rr$. Pour tout complexe $z$, on a \begin{align*} z^2-2z\cos\theta+1&=(z-\cos\theta)^2+1-\cos^2\theta=(z-\cos\theta)^2+\sin^2\theta=(z-\cos\theta)^2-(i\sin\theta)^2\\ &=(z-\cos\theta-i\sin\theta)(z-\cos\theta+i\sin\theta)=(z-e^{i\theta})(z-e^{-i\theta}) \end{align*} L'équation proposée a donc deux solutions (pas nécessairement distinctes) $z_1=e^{i\theta}$ et $z_2=e^{-i\theta}$. De plus, $\Delta'=\cos^2\theta-1=-\sin^2\theta$ et ces solutions sont distinctes si et seulement si $\theta\notin\pi\Zz$. \item Soit $(E)$ l'équation $z^2-(6+i)z+(11+3i)=0$. Son discriminant est $\Delta=(6+i)^2-4(11+13i)=-9-40i$. Comme $40=2\times20=2\times(4\times5)$ et que $4^2-5^2=16-25=-9$, on est en droit de deviner que $\Delta=(4-5i)^2$. L'équation $(E)$ a deux solutions distinctes dans $\Cc$ à savoir $z_1=\frac{6+i+4-5i}{2}=5-2i$ et $z_2=\frac{6+i-4+5i}{2}=1+3i$.\rule[-5mm]{0mm}{0mm} \item Soit (E) l'équation $2z^2-(7+3i)z+(2+4i)=0$. Son discriminant est $\Delta=(7+3i)^2-8(2+4i)=24+10i$. Comme $10 =2\times5=2\times(5\times1)$ et que $5^2-1^2=24$, on est en droit de deviner que $\Delta=(5+i)^2$. L'équation proposée a deux solutions distinctes dans $\Cc$ à savoir $z_1=\frac{7+3i+5+i}{4}=3+i$ et $z_2=\frac{7+3i-5-i}{4}=\frac{1}{2}(1+i)$. \end{enumerate} \fincorrection \correction{005125} Le discriminant de l'équation $Z^2-(5-14i)Z-2(5i+12)=0$ vaut \begin{center} $\Delta=(5-14i)^2+8(5i+12)=-75-100i=25(-3-4i)=(5(1-2i))^2$. \end{center} Cette équation admet donc les deux solutions $Z_1=\frac{5-14i+5-10i}{2}=5-12i$ et $Z_2=\frac{5-14i-5+10i}{2}=-2i$. Ensuite, \begin{align*} z\;\mbox{est solution de l'équation proposée}&\Leftrightarrow z^2=5-12i=(3-2i)^2\;\mbox{ou}\;z^2=-2i=(1-i)^2\\ &\Leftrightarrow z = 3-2i\;\mbox{ou}\;z=-3+2i\;\mbox{ou}\;z=1-i\;\mbox{ou}\;z=-1+i. \end{align*} \fincorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \correction{000042} $\frac 14(-1+i) = \frac{1}{(\sqrt 2)^3}e^{\frac{3i\pi}{4}}= (\frac{1}{\sqrt 2}e^{\frac{i\pi}{4}})^3$. Les solutions sont les complexes $z_k=\frac{1}{\sqrt 2}e^{\frac{i\pi}{4}+ \frac{2i k\pi}{3}}$ pour $0\leq k\leq 2$. Et seul $z_0 = \frac{1}{2}(1+i)$ a une puissance quatri\`eme r\'eelle. \fincorrection \correction{000043} \begin{enumerate} \item Les trois racines cubiques ont m\^eme module $\sqrt2$, et leurs arguments sont $-\pi /12$, $7\pi /12$ et $5\pi/4$. Des valeurs approch\'ees sont $1{,}36603-0{,}36603 i$, $-0{,}36603+1{,}36603 i$ et $-1-i$. \item $-1-2i$, $(-1-2i)j$ et $(-1-2i)j^2$ o\`u $j={-1+i\sqrt3\over2}$ (racine cubique de 1). \end{enumerate} \fincorrection \correction{000044} $\cos{\pi \over 12}={1+\sqrt3\over 2\sqrt2}$ ; $\sin{\pi \over 12}={-1+\sqrt3\over 2\sqrt2}$ ; $\tan{\pi \over 12}=2-\sqrt3$ ; $\tan{5\pi \over12}=2+\sqrt3$. Les racines de $z^{24}=1$ sont donn\'ees par $z_k=e^{2ki\pi /24}$ pour $k=0,1,\ldots,23$. Ce sont donc $1$, $\cos{\pi \over 12}+i\sin{\pi \over 12}$, etc. \fincorrection \correction{000045} \begin{enumerate} \item $3$, $3i$, $-3$ et $-3i$. \item ${3\sqrt2\over 2}(1+i)$, ${3\sqrt2\over 2}(-1+i)$, ${3\sqrt2\over 2}(-1-i)$ et ${3\sqrt2\over 2}(1-i)$. \end{enumerate} \fincorrection \correction{000046} Pour 2. Utiliser la formule d'Euler pour $\sin\left(x/2\right)$. Pour 3. Pour $x\neq 2k\pi$, $k\in\mathbb{Z}$, $$Z_n=\frac{\sin\left(\frac{nx}{2}\right)}{\sin\left(\frac{x}{2}\right)}\exp\left(i\left(n-1\right)\frac{x}{2}\right),$$ et pour $x=2k\pi$, $k\in\mathbb{Z}$, $Z_n=n$. Remarquer que $Z_n=X_n+iY_n$ pour en déduire que $$X_n=\frac{\cos\left(\frac{(n-1)x}{2}\right)\sin\left(\frac{nx}{2}\right)}{\sin\left(\frac{x}{2}\right)}\;\mbox{ et }\;Y_n=\frac{\sin\left(\frac{(n-1)x}{2}\right)\sin\left(\frac{nx}{2}\right)}{\sin\left(\frac{x}{2}\right)}.$$ \fincorrection \correction{000047} $$S_n = 1+z+z^2+\cdots+z^n = \sum_{k=0}^{n}z^k.$$ Nous devons retrouver le r\'esultat sur la somme $S_n = \frac{1-z^{n+1}}{1-z}$d'une suite g\'eom\'etrique dans le cas o\`u $z\not=1$ est un r\'eel. Soit maintenant $z \not= 1$ un nombre complexe. Calculons $S_n(1-z)$. \begin{align*} S_n(1-z) & =(1+z+z^2+\cdots+z^n)(1-z) \text{ d\'eveloppons }\\ &= 1+z+z^2+\cdots+z^n - z-z^2-\cdots-z^{n+1} \text{ les termes interm\'ediaires s'annulent }\\ &= 1-z^{n+1}. \end{align*} Donc $$S_n = \frac{1-z^{n+1}}{1-z}, \text{ pour } z\not= 1.$$ \fincorrection \correction{000048} \textbf{Calcul de racine $n$-i\`eme.} Soit $z\in\Cc$ tel que $z^n=1$, d\'ej\`a $|z|^n=1$ et donc $|z|=1$. \'Ecrivons $z = e^{i\theta}$. L'\'equation devient $$e^{in\theta} = e^{0} =1 \Leftrightarrow n\theta = 0 + 2k\pi, \ k\in \Zz \Leftrightarrow \theta = \frac{2k\pi}{n}, \ k\in \Zz.$$ Les solution sont donc $$\mathcal{S} = \left\lbrace e^{\frac{2ik\pi}{n}}, \ k\in \Zz\right\rbrace.$$ Comme le polyn\^ome $z^n-1$ est de degr\'e $n$ il a au plus $n$ racines. Nous choisissons pour repr\'esentants : $$\mathcal{S} = \left\lbrace e^{\frac{2ik\pi}{n}}, \ k= 0,\ldots,n-1\right\rbrace.$$ De plus si $\epsilon = e^{\frac{2i\pi}{n}}$ alors $\mathcal{S} = \left\lbrace \epsilon^k, \ k= 0,\ldots,n-1\right\rbrace.$ Ces racines sont les sommets d'un polygone r\'egulier \`a $n$ c\^ot\'es inscrit dans le cercle unit\'e. Soit $P(z) = \sum_{k=0}^{n-1}z^k=\frac{1-z^{n}}{1-z}$ pour $z\not=1$. Donc quelque soit $z\in\mathcal{S}\setminus\{ 1 \}$ $P(z) = 0$, nous avons ainsi trouver $n-1$ racines pour $P$ de degr\'e $n-1$, donc l'ensemble des racines de $P$ est exactement $\mathcal{S}\setminus\{ 1 \}$. Pour conclure soit $Q_p(z) = \sum_{k=0}^{n-1}\epsilon^{kp}$.\\ Si $p = 0 +\ell n$, $\ell \in \Zz$ alors $\epsilon^{kp}=\epsilon^{k\ell n}=(\epsilon^n)^{k \ell} =1^{k \ell}=1$. Donc $Q_p(z) = \sum_{k=0}^{n-1} 1 = n$. \\ Sinon $Q_p(z)$ est la somme d'une suite g\'eom\'etrique de raison $\epsilon^p$ : $$ Q_p(z) = \frac{1-\left( \epsilon^p \right)^n}{1-\epsilon^p} = \frac{1-\left( \epsilon^n \right)^p}{1-\epsilon^p} = \frac{1-1}{1-\epsilon^p}=0.$$ \fincorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \correction{000056} Soient $z_{1},z_{2},z_{3}$ trois nombres complexes \emph{distincts} ayant le m\^eme cube. \begin{enumerate} \item $z_{1}\neq0$ car sinon on aurait $z_{1}=z_{2}=z_{3}=0$. Ainsi $(\frac{z_{2}}{z_{1}})^3=(\frac{z_{3}}{z_{1}})^3=1$. Comme les trois nombres $1,(\frac{z_{2}}{z_{1}})$ et $(\frac{z_{3}}{z_{1}})$ sont distincts on en d\'eduit que ce sont les trois racines cubiques de 1. Ces racines sont $1, j=e^{\frac{2i\pi}{3}}$ et $ j^2=e^{-\frac{2i\pi}{3}}$. A une permutation pr\`es des indices 2 et 3 on a donc : $$ z_{2}=jz_{1} \qquad\text{ et }\qquad z_{3}=j^2z_{1}. $$ \item Soit $z\in\C$. On a les \'equivalences suivantes : \begin{align*} z^6+(7-i)z^3-8-8i=0 &\Leftrightarrow z^3\text{ est solution de }Z^2+(7-i)Z-8-8i=0\\ \intertext{ Etudions l'\'equation $Z^2+(7-i)Z-8-8i=0$. $\Delta=(7-i)^2+4(8+8i)=80+18i=(9+i)^2$. Les solutions sont donc $-8$ et $1+i$. Nous pouvons reprendre notre suite d'\'equivalences : } z^6+(7-i)z^3-8-8i=0 &\Leftrightarrow z^3\in\{-8,1+i\} \\ &\Leftrightarrow z^3=(-2)^3 \quad\text{ ou }\quad z^3=(\sqrt[6]{2}e^{i\frac{\pi}{12}})^3\\ &\Leftrightarrow z\in\{-2, -2e^{\frac{2i\pi}{3}}, -2e^{-\frac{2i\pi}{3}}\} \text{ ou } z\in\{\sqrt[6]{2}e^{i\frac{\pi}{12}}, \sqrt[6]{2}e^{i\frac{9\pi}{12}}, \sqrt[6]{2}e^{i\frac{17\pi}{12}}\}\\ &\Leftrightarrow z\in\{-2, 2e^{\frac{i\pi}{3}}, 2e^{-\frac{i\pi}{3}}, \sqrt[6]{2}e^{i\frac{\pi}{12}}, \sqrt[6]{2}e^{i\frac{3\pi}{4}}, \sqrt[6]{2}e^{i\frac{17\pi}{12}}\}. \end{align*} L'ensemble des solutions est donc : $$\{-2, 2e^{\frac{i\pi}{3}}, 2e^{-\frac{i\pi}{3}}, \sqrt[6]{2}e^{i\frac{\pi}{12}}, \sqrt[6]{2}e^{i\frac{3\pi}{4}}, \sqrt[6]{2}e^{i\frac{17\pi}{12}}\}.$$ \end{enumerate} \fincorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \correction{002939} \begin{enumerate} \item $z=-i\mathrm{cotan}\frac {k\pi}n$. \item $6\mid n \Rightarrow z = j$ ou $j^2$. Sinon, pas de solution. \item $z = \exp\frac{(2k+1)i\pi}5$, $k = 0,1,3,4$. \item $z = -1$ ou $z = \exp\frac{2ik\pi}n$, $1\le k< n$. \item $x = \tan\left(\frac {a+2k\pi}n\right)$. \item \item $z = \pm i,\ \pm i(2\pm\sqrt3)$. \end{enumerate} \fincorrection \correction{002940} \begin{enumerate} \item D{\'e}velopper. $S=2n$. \item $\frac {1 - (1+\omega)^n}{1 - \omega - \omega^2} = \frac {1 + (2\cos(\pi/n))^n}{1 - \omega - \omega^2}$. \end{enumerate} \fincorrection \correction{002941} \begin{enumerate} \item $\sum=n$ si $p\not\equiv 0 (\mathrm{mod}\, n)$, 0 sinon. \item $a_k = \sum_{x\in\mathbb{U}_n} \frac {P(x)}{nx^k}$ \end{enumerate} \fincorrection \correction{002942} $n$ impair $ \Rightarrow |Z|^2 = n$,\par $n$ pair $ \Rightarrow |Z|^2 = n(1+(-1)^{n/2})$. \fincorrection \correction{002943} \begin{enumerate} \item $u+v = -1$, $u^2 = u+2v = -2-u$. \item $\Sigma = \Im(u) = \frac {\sqrt7}2$. \end{enumerate} \fincorrection \correction{002944} $x = \frac {2(n^2+n+1)}{3n(n+1)}$. \fincorrection \correction{005122} Soit $\alpha\in\left]\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right[$. $\frac{1+i\tan\alpha}{1-i\tan\alpha}=\frac{\cos\alpha+i\sin\alpha}{\cos\alpha-i\sin\alpha}=e^{2i\alpha}$. Donc, $$\left(\frac{1+iz}{1-iz}\right)^3=\frac{1+i\tan\alpha}{1-i\tan\alpha}\Leftrightarrow\exists k\in\{-1,0,1\}/\;\frac{1+iz}{1-iz}=e^{i(\frac{2\alpha}{3}+\frac{2k\pi}{3})}=\omega_k\Leftrightarrow\exists k\in\{-1,0,1\}/\;i(\omega_k+1)z=\omega_k-1.$$ Maintenant, pour $k\in\{-1,0,1\}$, $$\omega_k=-1\Leftrightarrow\frac{2\alpha}{3}+\frac{2k\pi}{3}\in\pi+2\pi\Zz\Leftrightarrow\alpha\in-k\pi+\frac{3\pi}{2}+3\pi\Zz,$$ ce qui est exclu pour $\alpha\in]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}[$. Donc, \begin{align*} \left(\frac{1+iz}{1-iz}\right)^3=\frac{1+i\tan\alpha}{1-i\tan\alpha}&\Leftrightarrow\exists k\in\{-1,0,1\}/\;z=\frac{\omega_k-1}{i(\omega_k+1)}\Leftrightarrow\exists k\in\{-1,0,1\}/\;z=\frac{e^{i(\frac{\alpha}{3}+\frac{k\pi}{3})}}{e^{i(\frac{\alpha}{3}+\frac{k\pi}{3})}} \frac{e^{i(\frac{\alpha}{3}+\frac{k\pi}{3})}-e^{-i(\frac{\alpha}{3}+\frac{k\pi}{3})}}{i(e^{i(\frac{\alpha}{3} +\frac{k\pi}{3})}+e^{-i(\frac{\alpha}{3}+\frac{k\pi}{3})})}\\ &\Leftrightarrow\exists k\in\{-1,0,1\}/\;z=\frac{2i\sin(\frac{\alpha}{3}+\frac{k\pi}{3})}{i(2\cos(\frac{\alpha}{3}+\frac{k\pi}{3}))}\Leftrightarrow \exists k\in\{-1,0,1\}/\;z=\tan(\frac{\alpha}{3}+\frac{k\pi}{3}) \end{align*} \fincorrection \correction{005126} Posons, pour $n$ naturel non nul, $P=(X^2+1)^n-(X-1)^{2n}$. \begin{align*} P&=X^{2n}+\left(\mbox{termes de degré}\leq2n-2\right)-X^{2n}+2nX^{2n-1}+\left(\mbox{termes de degré}\;\leq2n-2\right)\\ &=2nX^{2n-1}+\left(\mbox{termes de degré}\leq2n-2\right). \end{align*} Donc $\mbox{deg}(P)=2n-1$ et $P$ admet dans $\Cc$, $2n-1$ racines, distinctes ou confondues. \begin{align*} (z^2+1)^n=(z-1)^{2n}&\Leftrightarrow\exists k\in\{0,...,n-1\}/\;z^2+1=\omega_k(z-1)^2\;\mbox{où}\;\omega_k=e^{2ik\pi/n}\\ &\Leftrightarrow\exists k\in\{0,...,n-1\}/\;(1-\omega_k)z^2+2\omega_kz+(1-\omega_k)=0 \end{align*} Si $k=0$, l'équation précédente s'écrit $2z=0$ ou encore $z=0$. Si $k$ est élément de $\llbracket1,n-1\rrbracket$, $\Delta_k'=\omega_k^2-(1-\omega_k)^2=2\omega_k-1=2e^{2ik\pi/n}-1$. Soit $d_k$ une racine carrée dans $\Cc$ de $\Delta_k'$ (difficile à expliciter semble-t-il). On a $S=\{0\}\cup\left\{\frac{-e^{2ik\pi/n}\pm d_k}{1-e^{2ik\pi/n}},k\in\llbracket1,n-1\rrbracket\right\}$. \fincorrection \correction{005131} $i=e^{i\pi/2}$ et les racines quatrièmes de $i$ sont donc les $e^{i(\frac{\pi}{8}+\frac{k\pi}{2})}$, $k\in\{0,1,2,3\}$. Ensuite, $\frac{-4}{1+i\sqrt{3}}=\frac{-2}{e^{i\pi/3}}=-2e^{-i\pi/3}=2e^{2i\pi/3}$. Les racines sixièmes de $\frac{-4}{1+i\sqrt{3}}$ sont donc les $\sqrt[6]{2}e^{i(\frac{\pi}{9}+\frac{k\pi}{3})}$, $k\in\{0,1,2,3,4,5\}$. \fincorrection \correction{005135} \begin{enumerate} \item Soit $z\in\Cc$. Soient $M$, $A$ et $B$ les points d'affixes resectives $z$, $1$ et $-1$. \begin{align*} z\;\mbox{solution de}\;(E)&\Rightarrow(z-1)^n=(z+1)^n\Rightarrow|(z-1)^n|=|(z+1)^n|\Rightarrow|z-1|^n=|z+1|^n \Rightarrow|z-1|=|z+1|\\ &\Rightarrow AM=BM\Rightarrow M\in\mbox{med}[AB]\Rightarrow M\in(Oy)\Rightarrow z\in i\Rr. \end{align*} \item Soit $z\in\Cc$. $$(-z-1)^n-(-z+1)^n=(-1)^n((z+1)^n-(z-1)^n)=-(-1)^n((z-1)^n-(z+1)^n).$$ Par suite, $$z\;\mbox{solution de}\;(E)\Leftrightarrow(z-1)^n-(z+1)^n=0\Leftrightarrow(-z-1)^n-(-z+1)^n=0\Leftrightarrow-z\;\mbox{solution de}\;(E).$$ \item Soit $z\in\Cc$. \begin{align*} z\;\mbox{solution de}\;(E)&\Leftrightarrow(z-1)^n=(z+1)^n\Leftrightarrow\exists k\in\llbracket0,n-1\rrbracket/\;z-1=e^{2ik\pi/n}(z+1)\\ &\Leftrightarrow\exists k\in\llbracket1,n-1\rrbracket/\;z=-\frac{e^{2ik\pi/n}+1}{e^{2ik\pi/n}-1} \Leftrightarrow\exists k\in\llbracket1,n-1\rrbracket/\;z=-\frac{e^{ik\pi/n}+e^{-ik\pi/n}}{e^{ik\pi/n}-e^{-ik\pi/n}}\\ &\Leftrightarrow\exists k\in\llbracket1,n-1\rrbracket/\;z=-\frac{2\cos\frac{k\pi}{n}}{2i\sin\frac{k\pi}{n}} \Leftrightarrow\exists k\in\llbracket1,n-1\rrbracket/\;z=i\cotan\frac{k\pi}{n} \end{align*} \end{enumerate} \fincorrection \correction{005313} \begin{enumerate} \item Soit $n\geq2$. On a $$a_n=\prod_{k=1}^{n-1}\frac{1}{2i}(e^{ik\pi/n}-e^{-ik\pi/n})=\frac{1}{(2i)^{n-1}}\prod_{k=1}^{n-1}e^{ik\pi/n}\prod_{k=1}^{n-1}(1-e^{-2ik\pi/n}).$$ Maintenant, $$\prod_{k=1}^{n-1}e^{ik\pi/n}=e^{\frac{i\pi}{n}(1+2+...+(n-1))}=e^{i\pi(n-1)/2}(e^{i\pi/2})^{n-1}=i^{n-1},$$ et donc $\frac{1}{(2i)^{n-1}}\prod_{k=1}^{n-1}e^{ik\pi/n}=\frac{1}{2^{n-1}}$. Il reste à calculer $\prod_{k=1}^{n-1}(1-e^{-2ik\pi/n})$. \begin{itemize} \item[\textbf{1ère solution.}] Les $e^{-2ik\pi/n}$, $1\leq k\leq n-1$, sont les $n-1$ racines $n$-ièmes de $1$ distinctes de $1$ et puisque $X^n-1=(X-1)(1+X+...+X^{n-1})$, ce sont donc les $n-1$ racines deux deux distinctes du polynôme $1+X+...+X^{n-1}$. Par suite, $1+X+...+X^{n-1}=\prod_{k=1}^{n-1}(X-e^{-2ik\pi/n})$, et en particulier $\prod_{k=1}^{n-1}(1-e^{-2ik\pi/n})=1+1...+1=n$. \item[\textbf{2ème solution.}] Pour $1\leq k\leq n-1$, posons $z_k=1-e^{-2ik\pi/n}$. Les $z_k$ sont deux à deux distincts et racines du polynôme $P=(1-X)^n-1=-X+...+(-1)^nX^n=X(-n+X-...+(-1)^nX^{n-1})$. Maintenant, $z_k=0\Leftrightarrow e^{-2ik\pi/n}=1\leq k\in n\Zz$ (ce qui n'est pas pour $1\leq k\leq n-1$). Donc, les $z_k$, $1\leq k\leq n-1$, sont $n-1$ racines deux à deux distinctes du polynôme de degré $n-1$~:~$-n+X-...+(-1)^nX^{n-1}$. Ce sont ainsi toutes les racines de ce polynôme ou encore $$-n+X-...+(-1)^nX^{n-1}=(-1)^n\prod_{k=1}^{n-1}(X-z_k).$$ En particulier, en égalant les coefficients constants, $$(-1)^n.(-1)^{n-1}\prod_{k=1}^{n-1}z_k=-n,$$ et donc encore une fois $\prod_{k=1}^{n-1}(1-e^{-2ik\pi/n})=n$. \end{itemize} Finalement, $$\forall n\geq2,\;\prod_{k=1}^{n-1}\sin\frac{k\pi}{n}=\frac{n}{2^{n-1}}.$$ \item Soit $n$ un entier naturel non nul. $$b_n=\prod_{k=1}^{n}\frac{1}{2}(e^{i(a+\frac{k\pi}{n})}+e^{-i(a+\frac{k\pi}{n})})=\frac{1}{2^n}\prod_{k=1}^{n}e^{-i(a+\frac{k\pi}{n})}\prod_{k=1}^{n}(e^{2i(a+\frac{k\pi}{n})}+1).$$ Ensuite, $$\prod_{k=1}^{n}e^{-i(a+\frac{k\pi}{n})}=e^{-ina}e^{-\frac{i\pi}{n}(1+2+...+n)}=e^{-ina}e^{-i(n+1)\pi/2}.$$ D'autre part, soit $P=\prod_{k=1}^{n}(X+e^{2i(a+\frac{k\pi}{n})})=\prod_{k=1}^{n}(X-(-e^{2i(a+\frac{k\pi}{n})}))$. Pour tout $k$, on a $(-e^{2i(a+\frac{k\pi}{n}})^n=(-1)^ne^{2ina}$. Par suite, les $n$ nombres deux à deux distincts $-e^{2i(a+\frac{k\pi}{n}}$, $1\leq k\leq n$ sont racines du polynôme $X^n-(-1)^ne^{2ina}$, de degré $n$. On en déduit que, $P=X^n-(-1)^ne^{2ina}$. Par suite, $\prod_{k=1}^{n}(e^{2i(a+\frac{k\pi}{n})}+1)=P(1)=1-(-1)^ne^{2ina}=1-e^{2ina+n\pi}$, puis \begin{align*}\ensuremath b_n&=\frac{1}{2^n}e^{-ina}e^{-i(n+1)\pi/2}(1-e^{2ina+n\pi})=\frac{1}{2^n}(e^{-i(na+(n+1)\frac{\pi}{2})}-e^{i(na+(n-1)\frac{\pi}{2})})\\ &=\frac{1}{2^n}(e^{-i(na+(n+1)\frac{\pi}{2})}+e^{i(na+(n+1)\frac{\pi}{2})})=\frac{\cos(na+(n+1)\frac{\pi}{2})}{2^{n-1}}. \end{align*} \item \begin{align*}\ensuremath c_n\;\mbox{est défini}\Leftrightarrow\forall k\in\{1,...,n\},\;a+\frac{k\pi}{n}\notin\frac{\pi}{2}+\pi\Zz\Leftrightarrow\forall k\in\Nn,\;a-\frac{k\pi}{n}+\frac{\pi}{2}+\pi\Zz\Leftrightarrow a\notin\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{n}\Zz \end{align*} Pour les $a$ tels que $c_n$ est défini, on a $c_n=\prod_{k=1}^{n}\frac{1}{i}\frac{e^{2i(a+k\pi/n)}-1}{e^{2i(a+k\pi/n)}+1}$. Pour $1\leq k\leq n$, posons $\omega_k=e^{2i(a+k\pi/n)}$ puis $z_k=\frac{\omega_k-1}{\omega_k+1}$. On a donc $c_n=\frac{1}{i^n}\prod_{k=1}^{n}z_k$. Puisque $z_k=\frac{\omega_k-1}{\omega_k+1}$, on a $\omega_k(1-z_k)=1+z_k$ et donc, pour $1\leq k\leq n$, $\omega_k^n(1-z_k)^n=(1+z_k)^n$ ou encore, les $z_k$ sont racines du polynôme $P=(1+X)^n-e^{2ina}(1-X)^n$. Maintenant, les $a+\frac{k\pi}{n}$ sont dans $[a,a+\pi[$ et donc deux à deux distincts puisque la fonction tangente est injective sur tout intervalle de cette forme. \begin{itemize} \item[1er cas.] Si $e^{2ina}\neq(-1)^n$ alors $P$ est de degré $n$ et $P=(1-(-1)^ne^{2ina})\prod_{k=1}^{n}(X-z_k)$. En évaluant en $0$, on obtient $$(1-(-1)^ne^{2ina})\prod_{k=1}^{n}(-z_k)=1-e^{2ina}.$$ D'où, $$\prod_{k=1}^{n}z_k=\frac{1-e^{2ina}}{(-1)^n-e^{2ina}}=\frac{1-e^{2ina}}{e^{in\pi}-e^{2ina}}=\frac{e^{ina}}{e^{in\pi/2}e^{ina}}\frac{-2i\sin(na)}{-2i\sin n(a-\frac{\pi}{2})}=\frac{1}{i^n} \frac{\sin(na)}{\sin n(a-\frac{\pi}{2})}.$$ Finalement, $c_n=(-1)^n\frac{\sin(na)}{\sin(n(a-\frac{\pi}{2}))}$. Si $n$ est pair, posons $n=2p$, $p\in\Nn^*$. $c_n=c_{2p}=\frac{\sin(2pa)}{\sin (2pa-p\pi)}=(-1)^p$. Si $n$ est impair, posons $n=2p+1$. $c_n=c_{2p+1}=(-1)^p\tan((2p+1)a)$. \item[2ème cas.] Si $e^{2ina}=(-1)^n$, alors $2na\in n\pi+2\pi\Zz$ ou encore $a\in\frac{\pi}{2}+\pi\Zz$. Dans ce cas, $c_n$ n'est pas défini. \end{itemize} \end{enumerate} \fincorrection \nocorrection \correction{000060} Nous identifions $\Cc$ au plan affine et $z=x+iy$ \`a $(x,y) \in \Rr\times \Rr$. Remarquons que pour les deux ensembles $z=5$ n'est pas solution, donc $$\left| \frac{z-3}{z-5} \right| = 1 \Leftrightarrow |z-3| = |z-5|.$$ Ce qui signifie pr\'eci\'sement que les points d'affixe $z$ sont situ\'es \`a \'egale distance des points $A,B$ d'affixes respectives $3 = (3,0)$ et $5=(5,0)$. L'ensemble solution est la m\'ediatrice du segment $[A,B]$. \bigskip Ensuite pour \begin{align*} \left| \frac{z-3}{z-5} \right| = \frac{\sqrt{2}}{2} &\Leftrightarrow |z-3|^2 = \frac{1}{2}|z-5|^2 \\ &\Leftrightarrow (z-3)\overline{(z-3)} = \frac{1}{2}(z-5)\overline{(z-5)}\\ &\Leftrightarrow z\overline{z}-(z+\overline{z})=7\\ &\Leftrightarrow |z-1|^2=8\\ &\Leftrightarrow |z-1|=2\sqrt{2}\\ \end{align*} L'ensemble solution est donc le cercle de centre le point d'affixe $1 = (1,0)$ et de rayon $2\sqrt{2}$. \fincorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \correction{000065} En exprimant qu'un nombre complexe de module 1 peut s'\'ecrire $e^{i\theta }$, on trouve $z={a-be^{i\theta }\over 1-e^{i\theta }}$. On peut encore \'ecrire $z=A+B\cot{\theta \over 2}$, o\`u $A$ et $B$ sont ind\'ependants de $\theta $, ce qui montre que le point d'affixe $z$ d\'ecrit une droite. G\'eom\'etriquement, cette droite est bien entendu la m\'ediatrice du segment qui joint les points d'affixes $a$ et $b$. \fincorrection \correction{000066} M\'ethode analogue \`a celle de l'exercice \ref{exo:compl}. On trouve $z= {a-bke^{i\theta }\over 1-ke^{i\theta }}$. On peut v\'erifier que le point d'affixe $z$ d\'ecrit le cercle dont un diam\`etre joint les points correspondant \`a $\theta =0$ et \`a $\theta =\pi $ (v\'erifier en cherchant le milieu $z_0$ de ce segment et en \'etudiant $\vert z-z_0\vert$). \fincorrection \correction{000067} \begin{enumerate} \item R\'eciproque : $a+jb+j^2c=0$ ou $a+j^2b+jc=0$ (cela d\'epend de l'orientation du triangle). \item $ADOE$ est un parall\'elogramme. Les trois triangles $OBC$, $DBA$ et $EAC$ sont directement isom\'etriques, ce qui d'ailleurs se v\'erifie imm\'ediatement \`a l'aide de rotations. \end{enumerate} \fincorrection \nocorrection \correction{000069} $$|u+v|^2+|u-v|^2=(u+v)(\bar u +\bar v) + (u-v)(\bar u -\bar v) = 2u\bar u+2v\bar v = 2|u|^2+2|v|^2.$$ G\'eom\'etriquement il s'agit de l'identit\'e du parall\'elogramme. Les points d'affixes $0,u,v,u+v$ forment un parall\'elogramme. $|u|$ et $|v|$ sont les longueurs des cot\'es, et $|u+v|, |u-v|$ sont les longueurs des diagonales. Il n'est pas \'evident de montrer ceci sans les nombres complexes !! \fincorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \correction{000077} \begin{enumerate} \item Comme $(A_{0},\ldots,A_{4})$ est un pentagone r\'egulier, on a $OA_{0}=OA_{1}=OA_{2}=OA_{3}=OA_{4}=1$ et $ (\overrightarrow{OA_{0}},\overrightarrow{OA_{1}})=\frac{2\pi}{5}[2\pi], (\overrightarrow{OA_{0}},\overrightarrow{OA_{2}})=\frac{4\pi}{5}[2\pi], (\overrightarrow{OA_{0}},\overrightarrow{OA_{3}})=-\frac{4\pi}{5}[2\pi], (\overrightarrow{OA_{0}},\overrightarrow{OA_{4}})=-\frac{2\pi}{5}[2\pi], $. On en d\'eduit: $ \omega_{0}=1, \omega_{1}=e^{\frac{2i\pi}{5}}, \omega_{2}=e^{\frac{4i\pi}{5}}, \omega_{3}=e^{-\frac{4i\pi}{5}}=e^{\frac{6i\pi}{5}}, \omega_{4}=e^{-\frac{2i\pi}{5}}=e^{\frac{8i\pi}{5}}, $. On a bien $\omega_{i}=\omega_{1}^i$. Enfin, comme $\omega_{1}\neq0$, $1+\omega_{1}+\ldots+\omega_{1}^4= \frac{1-\omega_{1}^5}{1-\omega_{1}}=\frac{1-1}{1-\omega_{1}}=0$. \item $\mathop{\mathrm{Re}}\nolimits(1+\omega_{1}+\ldots+\omega_{1}^4)= 1+2\cos(\frac{2\pi}{5})+2\cos(\frac{4\pi}{5})$. Comme $\cos(\frac{4\pi}{5})=2\cos^2(\frac{2\pi}{5})-1$ on en d\'eduit: $4\cos^2(\frac{2\pi}{5})+2\cos(\frac{2\pi}{5})-1=0$. $\cos(\frac{2\pi}{5})$ est donc bien une solution de l'\'equation $4z^2+2z-1=0$. Etudions cette \'equation: $\Delta=20=2^2.5$. Les solutions sont donc $\frac{-1-\sqrt{5}}{4}$ et $\frac{-1+\sqrt{5}}{4}$. Comme $\cos(\frac{2\pi}{5})>0$, on en d\'eduit que $\cos(\frac{2\pi}{5})=\frac{\sqrt{5}-1}{4}$. \item $ BA_{2}^2=|\omega_{2}+1|^2 =|\cos(\frac{4\pi}{5})+i\sin(\frac{4\pi}{5})+1|^2 =1+2\cos(\frac{4\pi}{5})+\cos^2(\frac{4\pi}{5})+\sin^2(\frac{4\pi}{5}) =4\cos^2(\frac{2\pi}{5}) $. Donc $BA_{2}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$. \item $BI=|i/2+1|=\frac{\sqrt{5}}{2}$. $BJ=BI-1/2=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$. \item Pour tracer un pentagone r\'egulier, on commence par tracer un cercle $C_{1}$ et deux diam\`etres orthogonaux, qui jouent le r\^ole du cercle passant par les sommets et des axes de coordonn\'ees. On trace ensuite le milieu d'un des rayons: on obtient le point I de la question 4. On trace le cercle de centre $I$ passant par le centre de $C_{1}$: c'est le cercle $\mathcal{C}$. On trace le segment $BI$ pour obtenir son point $J$ d'intersection avec $\mathcal{C}$. On trace enfin le cercle de centre $B$ passant par $J$: il coupe $C_{1}$ en $A_{2}$ et $A_{3}$, deux sommets du pentagone. Il suffit pour obtenir tous les sommets de reporter la distance $A_{2}A_{3}$ sur $C_{1}$, une fois depuis $A_{2}$, une fois depuis $A_{3}$. (en fait le cercle de centre $B$ et passant par $J'$, le point de $\mathcal{C}$ diam\'etralement oppos\'e \`a $J$, coupe $C_{1}$ en $A_{1}$ et $A_{4}$, mais nous ne l'avons pas justifi\'e par le calcul : c'est un exercice !) \end{enumerate} % $$ % \includegraphics[65mm,50mm]{penta.eps} % $$ \fincorrection \correction{002925} \begin{enumerate} \item \item si $|a| \ne |b|$ : une solution unique, \\ si $|a| = |b|$ : une droite ou $\varnothing$. \end{enumerate} \fincorrection \correction{002926} \begin{enumerate} \item \item $\mathbb{U}\setminus\{1\}$, $i\R$, $\R\setminus\{1\}$. \end{enumerate} \fincorrection \nocorrection \correction{002929} Les diagonales se coupent en leurs milieux, ont m{\^e}me longueur, et sont perpendiculaires $ \Rightarrow $ carr{\'e}. \fincorrection \correction{002930} \begin{enumerate} \item $z \in \R$ ou $z \in -\frac 12 + i\R$. \item $z \in -1 + i\R$ ou $z \in i\R$ ou $\left|z+\frac 12\right| = \frac 12$. \item $z\in i\R$ ou $|z-i| = \sqrt2$. \end{enumerate} \fincorrection \correction{002931} $(0,a,a+b,a+b+c = 1)$ forme un losange donc l'un des nombres vaut $1$ et les deux autres sont oppos{\'e}s $ \Rightarrow \{a,b,c\} = \{1,i,-i\}$. \fincorrection \nocorrection \correction{002933} $z=x+iy \Rightarrow $ cercles $(\pm i, \sqrt2)$ (laborieux). \fincorrection \correction{002934} On peut exprimer que $(AB)$ est la médiatrice du segment $[MM']$, mais on choisit ici d'utiliser le cours sur les similitudes. Cherchons donc à écrire la réflexion d'axe $(AB)$ en coordonnée complexe. Cette réflexion s'écrit $z\mapsto \alpha \bar z + \beta$, avec $|\alpha|=1$ et $arg(\alpha)=2 arg(b-a)$. On obtient donc $\alpha= \frac{b-a}{\overline b - \overline a}$. Pour déterminer $\beta$, on peut exprimer le fait que $a$ est fixe: \[ a = \frac{b-a}{\overline b - \overline a} \bar a + \beta \Leftrightarrow \beta = \frac{a\overline b - b\overline a }{\overline b - \overline a} \] Finalement, la réflexion s'écrit: \[ z\mapsto \frac{b-a}{\overline b - \overline a} \cdot z + \frac{a\overline b - b\overline a }{\overline b - \overline a}. \] \fincorrection \correction{002935} $d = $ orthocentre de $abc$. \fincorrection \nocorrection \correction{002937} $\omega = \frac {a(c\bar c-b\bar b) + b(a\bar a-c\bar c) + c(b\bar b-a\bar a)} {a(\bar c-\bar b) + b(\bar a-\bar c) + c(\bar b-\bar a)}$. \fincorrection \correction{002938} \begin{enumerate} \item $z\in\R \Leftrightarrow \exists\ \alpha\in\R$ tq $u=\alpha v$.\par $x,y\in\R \Leftrightarrow \alpha = \frac1{|v|^2} \Leftrightarrow u = \frac 1{\bar v}$. \item \item Il manque seulement les deux p{\^o}les. \end{enumerate} \fincorrection \correction{005121} \begin{enumerate} \item On a $a=2\cos\left(\frac{2\pi}{5}\right)$ et $b=2\cos\left(\frac{4\pi}{5}\right)$. $1$, $z$, $z^2$, $z^3$ et $z^4$ sont les cinq racines cinquièmes de $1$ dans $\Cc$. Par suite, $1+z+z^2+z^3+z^4=0$. Mais alors $$a+b=z+z^2+z^3+z^4=-1$$ et $$ab=(z+z^4)(z^2+z^3)=z^3+z^4+z^6+z^7=z+z^2+z^3+z^4=-1\;(\mbox{car}\;z^5=1).$$ $a$ et $b$ sont donc les solutions de l'équation $X^2+X-1=0$ dont les racines sont $\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$ et $\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$. Enfin, puisque $\frac{2\pi}{5}\in\left]0,\frac{\pi}{2}\right[$, on a $a>0$. Par suite, $\cos\left(\frac{2\pi}{5}\right)=\frac{-1+\sqrt{5}}{4}$ et $\cos\left(\frac{4\pi}{5}\right)=\frac{-1-\sqrt{5}}{4}$. D'autre part, $\sin\left(\frac{2\pi}{5}\right)>0$ et donc, $$\sin\left(\frac{2\pi}{5}\right)=+\sqrt{1-\cos^2(\frac{2\pi}{5})}=\sqrt{1-\left(\frac{-1+\sqrt{5}}{4}\right)^2}=\frac{1}{4} \sqrt{10+2\sqrt{5}}.$$ \begin{center} \shadowbox{ $\cos\left(\frac{2\pi}{5}\right)=\frac{\sqrt{5}-1}{4}$ et $\sin\left(\frac{2\pi}{5}\right)=\frac{1}{4} \sqrt{10+2\sqrt{5}}$. } \end{center} De même, en remplaçant $\sqrt{5}$ par $-\sqrt{5}$, $\cos\left(\frac{4\pi}{5}\right)=\frac{-1-\sqrt{5}}{4}$ et $\sin\left(\frac{4\pi}{5}\right)=\frac{1}{4}\sqrt{10-2\sqrt{5}}$. Enfin, $\cos\left(\frac{\pi}{5}\right)=-\cos\left(\pi-\frac{\pi}{5}\right)=-\cos\left(\frac{4\pi}{5}\right)=\frac{1+\sqrt{5}}{4}$ et $\sin\left(\frac{\pi}{5}\right)=\sin\left(\pi-\frac{\pi}{5}\right)=\sin\left(\frac{4\pi}{5}\right)=\frac{1}{4}\sqrt{10-2\sqrt{5}}$.\rule[-5mm]{0mm}{0mm} \item Le rayon du grand cercle vaut, d'après le théorème de \textsc{Pythagore}~: $$R=\sqrt{\Omega O^2+OM^2}=\frac{\sqrt{5}}{2}.$$ Donc $x_I=x_\Omega+R=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$ et $x_J=x_\Omega-R=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$. Par suite, $x_I=2\cos\left(\frac{2\pi}{5}\right)$ et $x_J=2\cos\left(\frac{4\pi}{5}\right)$. Ceci montre que les médiatrices des segments $[O,I]$ et $[O,J]$ coupent le cercle de centre $O$ et de rayon $1$ en quatre des cinq sommets du pentagone. $$\includegraphics{../images/img005121-1}$$ \item Posons $x=\frac{AF}{AC}$. D'après le théorème de \textsc{Thales} (je vous laisse vérifier les parallélismes), $$x=\frac{AF}{AC}=\frac{HK}{HC}=\frac{FG}{FC}=\frac{AC-2AF}{AC-AF}=\frac{1-2x}{1-x}.$$ Donc $x^2-3x+1 = 0$ et puisque $x<1$, $x=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$. Puis $\frac{AG}{AC}=\frac{AC-AF}{AC}=1-x=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$ et $\frac{FG}{AF}=\frac{AC-2AF}{AF}=\frac{1}{x}-2=\frac{2}{3-\sqrt{5}}-2=\frac{3+\sqrt{5}}{2}-2=\frac{-1+\sqrt{5}}{2} $. $$\includegraphics{../images/img005121-2}$$ Définition du \emph{nombre d'or}. $$\includegraphics{../images/img005121-3}$$ On veut que $C$ partage le segment $[A,B]$ de telle sorte que $\frac{BC}{AC}=\frac{AC}{AB}$ (\og~$\frac{\mbox{petit}}{\mbox{moyen}}=\frac{\mbox{moyen}}{\mbox{grand}}$~\fg) c'est-à-dire, en posant $a=AB$ et $x=AC$, $\frac{x}{a}=\frac{a-x}{x}$ ou encore $\left(\frac{x}{a}\right)^2+\frac{x}{a}-1=0$ et donc, puisque $\frac{x}{a}>0$, $\frac{x}{a}=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$. \begin{center} \shadowbox{ Le nombre d'or (ou proportion dorée) est le nombre $\frac{-1+\sqrt{5}}{2}=0,618...$ } \end{center} On peut aussi prendre pour le nombre d'or le rapport $\frac{a}{x}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}=1,618...$ \end{enumerate} \fincorrection \correction{005123} \begin{enumerate} \item On note $I_1$ le point d'intersection de la bissectrice $(\Delta_1)$ de l'angle $\widehat{BAC}$ et de la droite $(BC)$. La parallèle à $(AC)$ passant par $B$ coupe $\Delta_1$ (puisque $(AC)$ n'est pas parallèle à $(\Delta_1)$) en un point $A_1$. Les angles alternes-internes $\widehat{CAA_1}$ et $\widehat{AA_1B}$ sont alors égaux. Puisque d'autre part, $\widehat{CAA_1}=\widehat{A_1AB}$, on en déduit que $\widehat{AA_1B}=\widehat{A_1AB}$ et donc que le triangle $(ABA_1)$ est isocèle en $B$. D'après le théorème de \textsc{Thalès}, on a alors $$\frac{I_1B}{I_1C}=\frac{A_1B}{AC}=\frac{AB}{AC}=\frac{c}{b},$$ et donc puisque $I_1$ est entre $B$ et $C$, $b\overrightarrow{I_1B}+c\overrightarrow{I_1C}=\vec{0}$, ou enfin $I_1=\mbox{bar}\{B(b),C(c)\}$. $$\includegraphics{../images/img005123-1}$$ On a aussi bien sûr les deux autres égalités $I_2=\mbox{bar}\{A(a),C(c)\}$ et $I_3=\mbox{bar}\{A(a),B(b)\}$ où $I_2$ et $I_3$ sont les points d'intersection des deux autres bissectrices avec $(AC)$ et $(AB)$ respectivement. Soit alors $I'=\mbox{bar}\{A(a),B(b),C(c)\}$. D'après le théorème du barycentre partiel, on a $$I'=\mbox{bar}\{A(a),I_1(b+c)\}=\mbox{bar}\{B(b),I_2(a+c)\}=\mbox{bar}\{C(c),I_3(a+b)\},$$ ce qui montre que $I'$ est sur $(AI_1)$, $(BI_2)$ et $(CI_3)$, c'est-à-dire sur les trois bissectrices. Par suite, $I'=I$. \item Soit $z\in\Cc$. $$z,\;z^2\;\mbox{et}\;z^3\;\mbox{ne sont pas deux à deux distincts}\Leftrightarrow z^2=z\;\mbox{ou}\;z^3=z\;\mbox{ou}\;z^3=z^2\Leftrightarrow z\in\{-1,0,1\}.$$ Ensuite, pour $z\notin\{-1,0,1\}$, $$z,\;z^2\;\mbox{et}\;z^3\;\mbox{sont alignés}\Leftrightarrow\exists\lambda\in\Rr/\;z^3-z=\lambda(z^2-z)\Leftrightarrow\frac{z^3-z}{z^2-z}\in\Rr\Leftrightarrow z+1\in\Rr\Leftrightarrow z\in\Rr.$$ Finalement, $(z,z^2,z^3)$ est un \og vrai \fg~triangle si et seulement si $z$ n'est pas réel. Soit alors $z$ un complexe non réel. \begin{align*} O\;\mbox{centre du cercle inscrit au triangle}\;(PQR)&\Leftrightarrow O=\mbox{bar}\{P(QR),Q(PR),R(PQ)\}\\ &\Leftrightarrow z|z^2-z^3|+z^2|z-z^3|+z^3|z-z^2|=0 \Leftrightarrow z.|z|.|1-z|(|z|+z|1+z|+z^2)=0\\ &\Leftrightarrow|z|+z|1+z|+z^2=0\;(E)\;(\mbox{car}\;z\notin\Rr) \end{align*} Ensuite, \begin{align*} |z|+z|1+z|+z^2=0&\Leftrightarrow(z+\frac{|z|}{z})+|1+z|=0\Rightarrow z+\frac{|z|}{z}\in\Rr\Leftrightarrow z+\frac{|z|}{z}={\bar z}+\frac{|z|}{{\bar z}}\\ &\Leftrightarrow z-{\bar z}-|z|\frac{z-{\bar z}}{z{\bar z}}=0\Leftrightarrow(z-{\bar z})(1-\frac{1}{|z|})=0 \Leftrightarrow1-\frac{1}{|z|}=0\;(\mbox{car}\;z\neq{\bar z})\\ &\Leftrightarrow|z|= 1 \end{align*} Posons donc $z=e^{i\theta}$ où $\theta\notin\pi\Zz$. En reportant dans $(E)$, on obtient \begin{align*} z\;\mbox{solution de}\;(E)&\Leftrightarrow e^{i\theta}+e^{-i\theta}+|1+e^{i\theta}|= 0\Leftrightarrow2\cos\theta+|e^{i\theta/2}|.|2\cos\frac{\theta}{2}|=0\\ &\Leftrightarrow\cos\theta+|\cos\frac{\theta}{2}|=0\Leftrightarrow2|\cos\frac{\theta}{2}|^2+|\cos\frac{\theta}{2}|-1=0 \Leftrightarrow|\cos\frac{\theta}{2}|\;\text{est solution de l'équation}\;2X^2+X-1=0\\ &\Leftrightarrow\left|\cos\frac{\theta}{2}\right|\in\left\{\frac{1}{2},-1\right\}\Leftrightarrow\left|\cos\frac{\theta}{2}\right|=\frac{1}{2} \Leftrightarrow2\cos^2\frac{\theta}{2}-1=-\frac{1}{2} \Leftrightarrow\cos\theta=-\frac{1}{2}\Leftrightarrow\theta\in\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi\Zz\\ &\Leftrightarrow z\in\{j,j^2\} \end{align*} Les nombres complexes solutions sont donc $j$ et $j^2$. \end{enumerate} \fincorrection \correction{005124} \begin{align*} (A,B,C)\;\mbox{équilatéral}&\Leftrightarrow C=r_{A,\pi/3}(B)\;\mbox{ou}\;C=r_{A,-\pi/3}(B) \Leftrightarrow c-a=(-j^2)(b-a)\;\mbox{ou}\;c-a=(-j)(b-a)\\ &\Leftrightarrow(-1-j^2)a+j^2b+c=0\;\mbox{ou}\;(-1-j)a+jb+c=0 \Leftrightarrow ja+j^2b+c=0\;\mbox{ou}\;j^2a+jb+c=0\\ &\Leftrightarrow(j^2)^2a+j^2b+c=0\;\mbox{ou}\;j^2a+jb+c=0 \Leftrightarrow j\;\mbox{ou}\;j^2\;\mbox{sont solutions de l'équation}\;az^2+bz+c=0. \end{align*} Ensuite \begin{align*} (A,B,C)\;\mbox{équilatéral}&\Leftrightarrow ja+j^2b+c=0\;\mbox{ou}\;j^2a+jb+c=0\\ &\Leftrightarrow(ja+j^2b+c)(j^2a+jb+c)=0\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+(j+j^2)(ab+ac+bc)=0\\ &\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2=ab+ac+bc, \end{align*} puis \begin{align*} (A,B,C)&\;\mbox{équilatéral}\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc=0\\ &\Leftrightarrow-a^2+ab+ac-bc-b^2+bc+ba-ac-c^2+ca+cb-ab=0\\ &\Leftrightarrow(c-a)(a-b)+(a-b)(b-c)+(b-c)(c-a)=0 \Leftrightarrow\frac{(c-a)(a-b)+(a-b)(b-c)+(b-c)(c-a)}{(b-c)(c-a)(a-b)}=0\\ &\Leftrightarrow\frac{1}{b-c}+\frac{1}{c-a}+\frac{1}{a-b}=0. \end{align*} \fincorrection \correction{005133} \textbf{A- Solutions algébriques.}] Pour $z\in\Cc$, posons $z=x+iy$ où $(x,y)\in\Rr^2$. \begin{enumerate} \item $$|Z|=1\Leftrightarrow\frac{|1+z|^2}{|1-z|^2}=1\Leftrightarrow(1+x)^2+y^2=(1-x)^2+y^2\;\text{et}\;(x,y)\neq(1,0)\Leftrightarrow4x=0\Leftrightarrow x=0.$$ L'ensemble cherché est la droite $(Oy)$. \item \begin{align*} |Z|=2&\Leftrightarrow(1+x)^2+y^2=4((1-x)^2+y^2)\Leftrightarrow3x^2+3y^2-10x+3=0\;\text{et}\;(x,y)\neq(1,0)\\ &\Leftrightarrow x^2+y^2-\frac{10}{3}x+1=0\;\text{et}\;(x,y)\neq(1,0)\\ &\Leftrightarrow\left(x-\frac{5}{3}\right)^2+y^2=\frac{16}{9}\;\text{et}\;(x,y)\neq(1,0)\\ &\Leftrightarrow\left(x-\frac{5}{3}\right)^2+y^2=\frac{16}{9}. \end{align*} L'ensemble cherché est le cercle de centre $\Omega\left(\frac{5}{3},0\right)$ et de rayon $\frac{4}{3}$. \item \begin{align*} Z\in\Rr&\Leftrightarrow Z=\overline{Z}\Leftrightarrow\frac{1+z}{1-z}=\frac{1+{\bar z}}{1-{\bar z}}\\ &\Leftrightarrow(1+z)(1-{\bar z})=(1-z)(1+{\bar z})\;\text{et}\;z\neq1\Leftrightarrow z-{\bar z}={\bar z}-z\;\text{et}\;z\neq1\\ &\Leftrightarrow z={\bar z}\;\text{et}\;z\neq1\Leftrightarrow z\in\Rr\;\text{et}\;z\neq1. \end{align*} L'ensemble cherché est la droite $(Ox)$ privé du point $(1,0)$. \item \begin{align*} Z\in i\Rr&\Leftrightarrow Z=-\overline{Z}\Leftrightarrow\frac{1+z}{1-z}=-\frac{1+{\bar z}}{1-{\bar z}}\Leftrightarrow(1+z)(1-{\bar z})=-(1-z)(1+{\bar z})\;\text{et}\;z\neq1\\ &\Leftrightarrow 1-z{\bar z}=-1+z{\bar z}\;\text{et}\;z\neq1\Leftrightarrow|z|^2=1\;\text{et}\;z\neq1\Leftrightarrow|z|=1\;\text{et}\;z\neq1. \end{align*} L'ensemble cherché est donc le cercle de centre $O$ et de rayon $1$ privé du point $(1,0)$. \end{enumerate} \textbf{B- Solutions géométriques.} Soient $A$ et $B$ les points d'affixes respectives $-1$ et $1$ et $\mathcal{E}$ l'ensemble cherché. Soit $M$ un point du plan distinct de $B$ d'affixe $z$. \begin{enumerate} \item $$M\in\mathcal{E}\Leftrightarrow|z+1|=|z-1|\Leftrightarrow AM=BM\Leftrightarrow M\in\mbox{med}[AB]=(Oy).$$ \item Soit $\Omega=\mbox{bar}(A(1),B(-4))$. On a $x_\Omega=\frac{-1}{5}(x_A-4x_B)=\frac{5}{3}$ et $y_\Omega=\frac{-1}{5}(y_A-4y_B)=0$. \begin{align*} M\in\mathcal{E}&\Leftrightarrow|z+1|^2=4|z-1|^2\Leftrightarrow AM^2=4BM^2\\ &\Leftrightarrow\overrightarrow{AM}^2-4\overrightarrow{BM}^2=0\Leftrightarrow(\overrightarrow{A\Omega}+\overrightarrow{\Omega M})^2-4(\overrightarrow{B\Omega}+\overrightarrow{\Omega M})^2=0\\ &\Leftrightarrow-3\overrightarrow{\Omega M}^2+2(\overrightarrow{A\Omega}-4\overrightarrow{B\Omega}).\overrightarrow{\Omega M}+\overrightarrow{A\Omega}^2-4\overrightarrow{B\Omega}^2=0\\ &\Leftrightarrow\Omega M^2=\frac{1}{3}(\Omega A^2-4\Omega B^2) \end{align*} Or, $\Omega A^2=(\frac{5}{3}+1)^2=\frac{64}{9}$ et $\Omega B^2=(\frac{5}{3}-1)^2=\frac{4}{9}$. Par suite, $$\frac{1}{3}(\Omega A^2-4\Omega B^2)=\frac{1}{3}(\frac{64}{9}-\frac{16}{9})=\frac{16}{9}.$$ Ainsi, $$M\in\mathcal{E}\Leftrightarrow\Omega M^2=\frac{16}{9}\Leftrightarrow\Omega M=\frac{4}{3},$$ et on retrouve le cercle de centre $\Omega(\frac{5}{3},0)$ et de rayon $\frac{4}{3}$. \item \begin{align*} M\in\mathcal{E}&\Leftrightarrow z=-1\;\mbox{ou}\;\mbox{arg}\left(\frac{1+z}{1-z}\right)=0\;(\pi) \Leftrightarrow M=A\;\mbox{ou}\;(\overrightarrow{BM},\overrightarrow{AM})=0\;(\pi)\\ &\Leftrightarrow M\in(AB)\setminus\{B\}. \end{align*} et on retrouve la droite $(Ox)$ privée du point $(1,0)$. \item \begin{align*} M\in\mathcal{E}&\Leftrightarrow z=-1\;\mbox{ou}\;\mbox{arg}\left(\frac{1+z}{1-z}\right)=\frac{\pi}{2}\;(\pi) \Leftrightarrow M=A\;\mbox{ou}\;\left(\overrightarrow{BM},\overrightarrow{AM}\right)=\frac{\pi}{2}\;(\pi)\\ &\Leftrightarrow M\;\mbox{est sur le cercle de diamètre}\;[AB]\;\mbox{privé de}\;B. \end{align*} et on retrouve le cercle de centre $O$ et de rayon $1$ privé du point $(1,0)$. \end{enumerate} \fincorrection \correction{005134} Soit $f$ la transformation considérée. \begin{enumerate} \item $f$ est la translation de vecteur $\overrightarrow{u}(3,-1)$. \item $\omega=2\omega+3\Leftrightarrow\omega=-3$. $f$ est l'homothétie de rapport $2$ et de centre $\Omega(-3,0)$. \item $\omega=i\omega+1\Leftrightarrow\omega=\frac{1}{2}(1+i)$. Comme $i=e^{i\pi/2}$, $f$ est la rotation d'angle $\frac{\pi}{2}$ et de centre $\Omega(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$. \item $\omega=(1-i)\omega+2+i\Leftrightarrow\omega=1-2i$. Comme $1-i=\sqrt{2}e^{-i\pi/4}$, $f$ est la similitude de centre $\Omega(1,-2)$, de rapport $\sqrt{2}$ et d'angle $-\frac{\pi}{4}$. \end{enumerate} \fincorrection \correction{007004} \begin{enumerate} \item L'égalité $p=\frac{a-ib}{1-i}$ est équivalente à deux autres assertions ayant un sens géométrique plus clair. D'une part : \[p=\frac{a-ib}{1-i} \Leftrightarrow p=\frac{a+b}{2}+i\frac{(a-b)}{2}\] (Attention, $a$ et $b$ sont complexes : ceci n'est pas une forme algébrique.) D'autre part, \[p=\frac{a-ib}{1-i} \Leftrightarrow (1-i)p=a-ib.\] Ceci fournit deux façons de prouver le résultat demandé. \begin{enumerate} \item Dans le premier cas, on reconnaît que $(a+b)/2$ est l'affixe du milieu $M$ de $A$ et $B$, que $(a-b)/2$ est l'affixe du vecteur $\frac12 \overrightarrow{BA}$, et que $i(a-b)/2$ correspond à la rotation de $\pi/2$ de ce vecteur. On voit donc que le point d'affixe $\frac{a+b}{2}+i\frac{(a-b)}{2}$ est le point obtenu en translatant $M$ du vecteur $\frac12\overrightarrow{AA'}$ (avec la notation $A'$ introduite plus haut). Ce point est bien le milieu $P$ du carré. \item Dans le second cas, on réécrit l'égalité sous la forme \[a-p=i(b-p).\] Ceci est vrai car cela signifie que $A$ est l'image de $B$ par la rotation de centre $P$ est d'angle $\pi/2$, ce qui est vrai dans un carré. \end{enumerate} \item Il s'agit de montrer que $\frac{s-q}{r-p}=i$. On calcule donc $\frac{s-q}{r-p}$ en utilisant la question précédente: \[ \frac{s-q}{r-p} = \frac{d-ia -(b-ic)}{(c-id)-(a-ib)} = \frac{d-b+i(c-a)}{c-a+i(b-d)} \] Là, on voit directement que le numérateur est égal à $i$ fois le dénominateur et c'est terminé (on le voit d'autant plus facilement que l'on sait que c'est ce que l'on doit montrer : sinon, il faut une étape de simplification supplémentaire). \item Considérer par exemple des rotations de centres $P, Q, R$ ou $S$ et d'angle $\pi/2$. \end{enumerate} Remarque : il existe une version un peu plus générale du théorème pour un quadrilatère $ABCD$ quelconque. \fincorrection \correction{007005} \begin{enumerate} \item Dans chaque carré, les sommets sont obtenus les uns des autres par rotations de $\pi/2$ par rapport aux centres. On a donc $a-p = i(b-p)$, $b-q = i(c-q)$ et $c-r = i(a-r)$. En développant ces expressions on obtient $p=\frac{a-ib}{1-i}$, $q=\frac{b-ic}{1-i}$ et $r=\frac{c-ia}{1-i}$. \item Le centre de gravité de $ABC$ en est l'isobarycentre, donc son affixe est $\frac13(a+b+c)$. Celui de $PQR$ a pour affixe $\frac13(p+q+r)$. Il s'agit donc simplement de montrer que $a+b+c=p+q+r$. Or d'après la question précédente, $p+q+r = \frac{a-ib+b-ic+c-ia}{1-i} = a+b+c$, ce qu'il fallait démontrer. \item Il s'agit de montrer que l'argument de $\frac{q-a}{r-p}$ est $\pm \pi/2$. Pour cela, il suffit de calculer: \[ \frac{q-a}{r-p} =\frac{b-a+i(a-c)}{c-a+i(b-a)} =-i \] On remarque que non seulement les segments sont perpendiculaires, mais ils sont de même longueur (ce qui n'était pas demandé). La question précédente montre que la droite $(AQ)$ est la hauteur de $PQR$ issue de $Q$. Le même raisonnement appliqué aux deux autres carrés permet de montrer que $(AQ)$, $(BR)$ et $(CP)$ sont les hauteurs de $PQR$. Elles sont donc concourantes. \end{enumerate} \fincorrection \correction{007006} %Cet exercice est semblable à celui sur le théorème de Van Aubel. Par construction, $A$ est l'image de $B$ par la rotation de centre $W$ et d'angle $2\pi/3$. En posant $j=e^{2i\pi/3}$, on a donc \[ a-w = j(b-w), \] autrement dit \[ w = \frac{a-jb}{1-j}.\] On obtient de même $u=\frac{b-jc}{1-j}$ et $v=\frac{c-ja}{1-j}$. On en déduit tout d'abord que \[ u+v+w = \frac{1}{1-j}\left(a-jb+b-jc+c-ja\right) = a+b+c. \] Donc $\frac{1}{3} \left(u+v+w\right) = \frac{1}{3} \left(a+b+c\right)$, c'est-à-dire que les triangles $ABC$ et $UVW$ ont même centre de gravité. Ensuite, par la caractérisation des triangles équilatéraux, $UVW$ est équilatéral direct ssi $u+jv+j^2w=0$. Or: \[ u+jv+j^2w = \frac{1}{1-j}\left(b-jc+j(c-ja)+j^2(c-ja)\right)=0.\] Donc $UVW$ est bien équilatéral direct. \fincorrection \correction{007007} \begin{enumerate} \item Développons puis refactorisons $y(z-x)+z(x-y) = x(z-y)$. On en déduit le résultat, par inégalité triangulaire. \item Si deux des points sont égaux, alors le membre de droite n'a qu'un seul terme et l'inégalité est une égalité, et trois points non alignés sont toujours cocycliques. \item On a $(b-a)(d-c) + (d-a)(c-b) =ad-cd-ab+cb=(a-c)(d-b)$. Par inégalité triangulaire, on a donc $|(a-c)(d-b)| \leq |(b-a)(d-c)| + |(d-a)(c-b)|$ c'est-à-dire $AC\cdot BD \leq AB\cdot CD + AD\cdot BC$. \item Rappelons le cas d'égalité de l'inégalité triangulaire : si $z$ et $z'$ sont des complexes non nuls, alors $|z+z'| \leq |z|+|z'|$, avec égalité ssi $\exists \lambda \in \R_+,\: z' = \lambda z$. Ici, on a donc égalité ssi $\exists \lambda \in \R_+$ tel que $(b-a)(d-c)=\lambda (d-a)(c-b)$, autrement dit ssi $[a,b,c,d] \in \R_+$, ce qu'il fallait démontrer. \end{enumerate} \fincorrection \nocorrection \nocorrection \correction{007010} Si $\theta \equiv 0 [\pi]$, c'est la droite $(AB)$. Sinon, c'est un cercle dont $[AB]$ est une corde, par le théorème de l'angle inscrit. Si $\theta \equiv \pi/2 [\pi]$, c'est le cercle de diamètre $[AB]$. Sinon, par le théorème de l'angle au centre, le centre de ce cercle a pour affixe $\frac{a+b}{2} \pm i \frac{b-a}{2 \tan \theta}$, selon si $\theta$ est aigu ou obtus. \fincorrection \correction{007145} \begin{enumerate} \item C'est une similitude directe de rapport $|1+i|=\sqrt 2$, d'angle $-\pi/4$. Son centre $\Omega$ est son (unique) point fixe, son affixe $\omega$ vérifie donc $\omega = (1-i)\omega + i $ c'est-à-dire $\omega=\frac{i}{i}=1$. \item C'est une similitude indirecte de rapport $|i|=1$, donc un antidéplacement. C'est donc une réflexion ou une réflexion glissée. Cherchons d'éventuels points fixes. Un point $z=x+iy$ est fixe ssi $x+iy = i(x-iy)+1-i = y+1+i(x-1)$ autrement dit ssi $x-y=1$. (Rédaction alternative de la recherche de points fixes, sans prendre la partie réelle et imaginaire : un point d'affixe $z$ est fixe ssi: \begin{align*} z=i\bar z +1-i &\Leftrightarrow z - i\bar z -1+i=0\\ &\Leftrightarrow \overline{(1-i)}z +(1-i)\overline z -2=0 \end{align*} On reconnaît l'équation complexe de la même droite.) L'antidéplacement est donc la réflexion d'axe d'équation $x-y-1=0$. \item C'est une similitude indirecte (notons-la $s$) de rapport $2$. Elle admet donc un point fixe d'affixe $\omega$ vérifiant $ \omega = 2i\bar \omega +3$, ce qui donne après calcul $\omega=-1-2i$. Soit $h$ l'homothétie de centre $\Omega$ et de rapport $2$. Alors la similitude $s$ s'écrit $h\circ \sigma$, avec $\sigma$ une réflexion que l'on peut obtenir comme $h^{-1}\circ s$. En coordonnée complexe, $h^{-1}$ s'écrit $z\mapsto \frac12 (z+1+2i)-1-2i = \frac12 z -\frac{1+2i}{2}$. En composant, on trouve que $\sigma$ est représentée par \[z\mapsto \frac12 (2i\bar z+3) -\frac{1+2i}{2} =i\bar z +1-i. \] D'après la question précédente, c'est la réflexion d'axe $y=x-1$. \item C'est la réflexion glissée composée de la translation d'affixe $1$ et de la réflexion suivant l'axe des abscisses. \end{enumerate} \fincorrection \correction{007146} \begin{enumerate} \item Par le cours, la rotation d'angle $\theta$ et de centre d'affixe $\omega$ est représentée par l'application \[\C\to \C, \: z\mapsto e^{i\theta}(z-\omega)+\omega.\] La rotation d'angle $\pi/4$ et de centre d'affixe $2+3i$ est donc représentée par l'application \[ \C\to \C,\: z\mapsto e^{i\pi/4}(z-(2+3i)) + 2+3i = e^{i\pi/4}z +\frac{4 + \sqrt 2 + i(6-5\sqrt 2)}{2}.\] \item La réflexion d'axe d'équation $y=2x+1$ est représentée par une application de la forme \[ \C\to \C, z\mapsto a\overline z+b,\] où $a \in \C^*$ et $b\in \C$ sont des paramètres à déterminer. On sait que $a$ est le nombre complexe de module un dont l'argument est le double de l'angle entre l'axe des abscisses et l'axe de la réflexion. Donc dans ce cas, $a=e^{2i \arctan(2)}$. On peut aussi calculer la forme algébrique de $a$ en écrivant $a=\frac{(1+2i)^2}{|(1+2i)^2|} = \frac{-3+4i}{5}$. Calculons $b$. On peut par exemple injecter un affixe particulier $z$ et son image $z'$ dans l'équation $z'=\frac{-3+4i}{5} \overline z+b$ et obtenir $b$. Le plus simple est de prendre l'affixe d'un point sur l'axe de la réflexion, qui est donc un point fixe de la réflexion. Prenons par exemple $z=i=z'$. On obtient l'égalité $i =\frac{3-4i}{5} i+b$, d'où $b=i\left(1-\frac{3-4i}{5}\right) = i\frac{2+4i}{5} = \frac{-4+2i}{5}$. Finalement, la réflexion d'axe d'équation $y=2x+1$ est représentée par l'application: \[ \C\to \C, z\mapsto \frac{(-3+4i)\overline z-4+2i}{5}.\] \end{enumerate} \fincorrection \correction{007147} Manifestement le rapport est $2$ car le segment donné est envoyé sur un segment deux fois plus long. \begin{enumerate} \item Si la similitude est directe, son angle est $\pi/2$, donc la similitude s'écrit $z\mapsto 2i z+ b$ en coordonnée complexe. Comme $s(2)=i$, on en déduit que $4i+b=i$ c'est-à-dire $b=-3i$. Le point fixe a alors pour affixe $\dfrac{b}{1-2i} = \dfrac{-3i}{1-2i} = \dfrac{6-3i}{5}$. \begin{center} \includegraphics{../images/img007147-1} \end{center} \item La similitude indirecte est obtenue en composant la similitude directe précédente par la symétrie d'axe passant par $i$ et $3i$, c'est-à-dire l'axe des ordonnées. Cette symétrie s'écrit $z\mapsto -\bar z$. On en déduit que la similitude indirecte envoyant les points d'affixes $2$ et $3$ sur ceux d'affixes $i$ et $3i$ s'écrit \[z\mapsto -\overline{(2iz-3i)} = 2i\bar z-3i. \] (Alternativement, et sans utiliser la question précédente, on sait d'après l'énoncé que la similitude indirecte doit s'écrire $z\mapsto 2i \overline z + b$, et comme $s(2)=i$, on en déduit bien $i = 4i+b$ d'où $b=-3i$.) Cette similitude possède un unique point fixe d'affixe $\omega$, solution de l'équation $\omega = 2i\bar\omega -3i$. On remarque que $\omega$ est donc aussi l'unique point fixe de $s\circ s$, ce qui donne l'équation $\omega = 2i\overline{(2i\bar \omega-3i)} -3i = 4\omega-6-3i$ d'où $\omega = 2+i$. Finalement, comme on sait que l'axe est dirigé par le vecteur d'affixe $1+i$ et que cet axe passe par le centre de la similitude, cet axe est la droite d'équation $y=x-1$ \begin{center} \includegraphics{../images/img007147-2} \end{center} \end{enumerate} \fincorrection \correction{007148} La similitude est: \begin{itemize} \item une translation ssi $a^2=1$ c'est-à-dire ssi $a \in \{-1,1\}$. \item une homothétie de rapport $-4$ ssi $a^2=-4$ c'est-à-dire ssi $a\in \{2i,-2i\}$. \item une rotation d'angle $\pi/2$ ssi $a^2=e^{i\pi/2}$ c'est-à-dire ssi $a\in \{e^{i\pi/4},e^{-3i\pi/4}\}$. \end{itemize} \fincorrection \correction{007149} \begin{enumerate} \item Il y a exactement deux similitudes envoyant le couple $(A,B)$ sur le couple $(B,C)$ : une directe et une indirecte, et l'une se déduit de l'autre en composant (à gauche) par la réflexion d'axe $(BC)$. D'après l'énoncé, le triangle $ABC$ est rectangle isocèle en $A$. On a donc $BC = \sqrt 2 AB$ et donc $s$ est de rapport $\sqrt 2$. De plus, une similitude conservant les angles non orientés, on a $(AB)\bot (AC) \Rightarrow (s(A)s(B)) \bot (s(A)s(C))$, c'est-à-dire que $s(C)$ appartient à la perpendiculaire à $(s(A)s(B)) = (BC)$ passant par $s(A)=B$. Comme d'autre part on sait que $Cs(C)=\sqrt 2 BC$, cela donne deux possibilités, suivant que la similitude est directe ou indirecte. \item Si la similitude est directe, son angle est $3\pi/4$ puisque $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC}) = 3\pi/4$.\\ On fixe maintenant un repère orthonormé direct du plan dont l'origine est $A$. On note $a$, $b$ et $c$ les affixes des trois points et on a donc $a=0$ et $c=ib$ d'après l'énoncé.\\ Soit $(\alpha,\beta) \in \C^*\times \C$ tel que $s$ s'écrive $z\mapsto \alpha z+\beta$ en coordonnée complexe. Par ce qui précède, on a $\alpha = \sqrt 2 e^{3i\pi/4} = -1+i$. D'autre part, comme $A$ est envoyé sur $B$, on a $b = \beta$.\\ La similitude s'écrit donc $z\mapsto (i-1)z + b$. Son unique point fixe $\Omega$ a pour affixe \[ \omega = \frac{b}{1-(i-1)} = \frac{b}{2-i} = \frac{2b+ib}{5} = \frac{2b+c}{5}. \] On peut reformuler ceci sous la forme $\omega = \frac{2}{5} a + \frac{2}{5} b + \frac{1}{5} c $, ce qui montre que $\Omega$ est le barycentre de $(A,2/5)$, $(B,2/5)$ et $(C,1/5)$. \item On fixe maintenant un repère orthonormé direct du plan dont l'origine est $A$, et tel que $B$ soit sur l'axe des abscisses (donc son affixe est réel). Soit $(\alpha,\beta) \in \C^*\times \C$ tel que $s$ s'écrive $z\mapsto \alpha \bar z+\beta$ en coordonnée complexe. On a $s(0)=b$ donc $\beta=b$, et $s(b)=c=ib$ donc $\alpha\bar b + b = ib$ ce qui donne $\alpha = i-1$. La transformation s'écrit donc dans ce repère \[ z\mapsto (i-1)\bar z + b,\] et $c$ est envoyé sur $(i+2)b$. Cherchons un point fixe $\omega$ pour $s$ : si $s(\omega)=\omega$, alors en particulier $s(s(\omega))=\omega$, ce qui s'écrit $(i-1)\overline{(i-1)\overline{z}+b}+b=\omega $, autrement dit $2\omega+ib = \omega$ et finalement $\omega=-ib$. Réciproquement, on vérifie que le point d'affixe $-ib$ est bien fixe sous $S$. Comme on peut écrire $\omega = -ib = -c = 2\cdot a - c$, on en déduit que $\Omega$ est le barycentre de $(A,2)$ et $(C,-1)$. Cherchons maintenant l'axe de la similitude indirecte. C'est une droite passant par le centre de la similitude et d'après l'écriture de la similitude, elle est dirigée par un vecteur d'affixe $e^{3i\pi/8}$. Un paramétrage en coordonnée complexe de cette droite est donc : \[\Delta = \{ -c+t.e^{3i\pi/8}\:|\: t\in \R\} \] \end{enumerate} \fincorrection \correction{007150} Soit $z\mapsto \alpha z + \beta$ la représentation complexe d'une similitude directe. En coordonnées cartésiennes, elle s'écrit $\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix} \Re(\alpha) &-\Im(\alpha) \\ \Im(\alpha) & \Re(\alpha)\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}\Re(\beta)\\ \Im(\beta)\end{pmatrix}$. On en déduit que $\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix}ax+cy+e\\ bx+dy+f\end{pmatrix}$ représente une similitude directe ssi : \[ c=-b \text{ et } a=d\] Réciproquement, toute transformation $\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix}ax-by+e\\ bx+ay+f\end{pmatrix}$ peut s'écrire $z\mapsto (a+ib)z+e+if$ et correspond donc à une similitude directe. Pour les similitudes indirectes, on trouve la condition \[ c=b \text{ et } a=-d.\] L'application de $\C$ dans $\C$ qui représente $\phi$ est $z=x+iy \mapsto (-2x-y-1)+i(x-2y+1) = -2x-y + i(x-2y)-1+i = (-2+i)z-1+i$. C'est une similitude directe de rapport $\sqrt 5$, d'angle $arg(-2+i)$ et de centre d'affixe $\frac{-1+i}{3-i}$. La deuxième est la composée d'une réflexion suivant une droite vectorielle et d'une homothétie de rapport $2$ et de centre $O$. \fincorrection \correction{007151} \begin{enumerate} \item L'application $s$ est une similitude directe, de rapport $2/3$, d'angle $arg(i)=\pi/2$, et de centre d'affixe $\frac{\frac{1-5i}{3}}{1-\frac{2}{3i}} = \frac{13-13i}{13}=1-i=z_A$. \item \begin{enumerate} \item On a $AB_{n+1}=s(A)s(B_n) = \frac{2}{3}AB_n$. \item D'après la question précédente, la suite réelle $AB_n$ est géométrique de raison $2/3$ et de terme initial $AB$, donc : \[ \forall n \in \N, AB_{n} = \left(\frac{2}{3}\right)^n AB.\] Soit maintenant $n\in \N$. Le point $B_n$ appartient au disque de centre $A$ et de rayon $10^{-2}$ ssi $AB_n \leq 10^{-2}$. Or, on a \begin{align*} AB_n \leq 10^{-2} & \Leftrightarrow \left(\frac{2}{3}\right)^n AB \leq 10^{-2} \\ & \Leftrightarrow n \ln\left(\frac{2}{3}\right)+\ln(AB) \leq -\ln(100)\\ & \Leftrightarrow n\ln\left(\frac{2}{3}\right) \leq -\ln(AB)-\ln(100)\\ & \Leftrightarrow n \geq \frac{\ln(AB)+\ln(100)}{\ln(3)-\ln(2)} \end{align*} On en déduit que le plus petit entier $N$ tel que $\forall n\geq n, AB_n \leq 10^{-2}$ est $\left \lceil \frac{\ln(AB)+\ln(100)}{\ln(3)-\ln(2)} \right \rceil$ (partie entière supérieure du réel). Comme $AB = 15/2$, on peut calculer explicitement $n$ à l'aide d'une calculatrice et on trouve $N= 17$, mais ce n'était pas demandé. \item Pour tout $n$, les points $A$, $B$ et $B_n$ sont distincts. Ils sont alignés ssi \[ 2\cdot arg\left(\frac{b_n-a}{b-a}\right)=0 \:(\in \R/2\pi\Z).\] Or on a : \begin{align*} b_{n+1}-a &= s(b_n)-s(a)\\ &= \frac23i b_{n}+\frac13 - \frac53i - \left( \frac23i a+\frac13 - \frac53i\right)\\ &= \frac23 i (b_n-a). \end{align*} La suite complexe $(b_n-a)_{n\in\N}$ est donc une suite géométrique de raison $\frac23i$, et donc pour tout $n\in \N$ on a \[ b_n-a = \left(\frac23i\right)^n \cdot (b-a).\] On en déduit que dans $\R/2\pi\Z$, on a : \[ 2\cdot arg\left[\frac{b_n-a}{b-a}\right] = 2\cdot arg \left[\left(\frac23i\right)^n \right] = 2n\cdot arg \left(\frac23i\right) = 2n\cdot \frac{\pi}{2} = n\pi, \] et donc que $A$, $B$ et $B_n$ sont alignés ssi $n\pi\equiv 0 [2\pi] \Leftrightarrow n\equiv 0 [2]$, autrement dit ssi $n$ est pair. \end{enumerate} \end{enumerate} \fincorrection \correction{007163} \begin{enumerate} \item Le triangle $ABC$ est équilatéral direct ssi $C$ est l'image de $B$ par la rotation de centre $A$ et d'angle $\pi/3$. Ceci est équivalent à $c-a = e^{i\pi/3}(b-a) = -j^2(b-a)$. Or, on a : \begin{align*} c-a = -j^2(b-a) &\Leftrightarrow c-a(1+j^2)+bj^2=0\\ &\Leftrightarrow aj+bj^2+c=0\\ &\Leftrightarrow a+bj+cj^2=0. \end{align*} \item Fixons un repère orthonormé direct de centre $O$. \begin{center} \includegraphics{../images/img007163-1} \end{center} D'après l'énoncé, on a $b=-j^2a$, $d=-j^2c$ et $f=-j^2e$. On en déduit: \begin{align*} m+jn+j^2p &= \frac{b+c+j(d+e)+j^2(f+a)}{2}\\ &=\frac{-j^2a+c+j(-j^2c+e)+j^2(-j^2e+a)}{2}\\ &=\frac{a(j^2-j^2)+c(1-j^3)+e(j-j^4)}{2}\\ &=0.\\ \end{align*} D'après la première question, $MNP$ est équilatéral direct. \end{enumerate} \fincorrection \correction{007164} Soit $O$ le centre de gravité de $ABC$. On choisit un repère de centre $O$ tel que l'affixe $a$ de $A$ soit réel. On a alors $b = ja$ et $c=j^2a$. \begin{enumerate} \item On a l'égalité d'angles de droites $(OA,BA)=-\pi/6$ (angle inscrit ou calcul en coordonnées). On en déduit que la réflexion d'axe $(AB)$ s'écrit $z\mapsto \alpha\bar z+\beta$, avec $\alpha=e^{-\pi/3}=-j$. Ensuite, l'image de l'origine $O$ par la réflexion $\sigma_{AB}$ est le point d'affixe $-j^2a$. Finalement, vis-à-vis du repère choisi, la réflexion $\sigma_{AB}$ est représentée en coordonnée complexe par: \[ z\mapsto -j\bar z -j^2.\] \item On calcule de même que les réflexions suivant $(BC)$ et $(CA)$ s'écrivent $z\mapsto -\bar z -1$ et $z\mapsto -j^2 \bar z -j$. Soit $m$ l'affixe de $M$. D'après ce qui précède, ses images par les trois réflexions sont: \[ a'= -\bar m-1,\quad b'=-j^2\bar m-j,\quad c'=-j\bar m-j^2. \] La relation $1+j+j^2=0$ donne alors $\frac{1}{3}(a'+b'+c')=0$, ce qu'il fallait démontrer. \end{enumerate} \fincorrection \correction{007166} \begin{enumerate} \item Le point $E$ est l'image de $A$ par la composée des quatre symétries centrales de centre $M_1$, ... $M_4$. Montrons que cette composée est l'identité. Par le cours, le composée de ces quatre rotations est une translation. Il suffit alors de tester un point particulier pour vérifier que c'est l'identité. Si $A=M_1$ par exemple, on voit que $A=E$ en utilisant le théorème de Thalès. \item On a $2z = (z+z')+(z-z')$, d'où par inégalité triangulaire $2|z| \leq |z+z'|+|z-z'|$. \item On a $a=m_1-m_2+t$, $b=m_1+m_2-t$, $c=-m_1+m_2+t$ et $d=-m_1-m_2-t$. Le périmètre de $ABCD$ est \begin{align*} p&=|b-a|+|c-b|+|d-c|+|a-d|\\ &=|2m_2-2t| + |-2m_1+2t|+|-2m_2-2t|+|2m_1+2t|\\ &=2\left(|m_1+t|+|m_1-t|+|m_2+t|+|m_2-t|\right). \end{align*} \item Le quadrilatère $AM_1OM_4$ est un parallélogramme direct ssi $a=m_1-m_2$ c'est-à-dire ssi $t=0$. Il s'agit de montrer que le périmètre calculé plus haut est minimal lorsque $t=0$. D'après la question 3, on a bien \[ |m_1-t|+|m_1+t| \geq 2|m_1| \text{ et } |m_2-t|+|m_2+t| \geq 2|m_2|, \] ce qu'il fallait démontrer. \end{enumerate} \fincorrection \nocorrection \nocorrection \correction{000080} Nous avons par la formule de Moivre $$\cos5\theta+i\sin5\theta=e^{i5\theta}=(e^{i\theta})^5= (\cos\theta+i\sin\theta)^5.$$ On d\'eveloppe ce dernier produit, puis on identifie parties r\'eelles et parties imaginaires. On obtient : \begin{eqnarray*} \cos 5\theta & = & \cos^5\theta -10\cos^3\theta \sin^2\theta +5\cos\theta \sin^4\theta\\ \sin 5\theta & = & 5\cos^4\theta \sin \theta -10\cos^2\theta \sin^3\theta +\sin^5\theta \end{eqnarray*} Remarque : Gr\^ace \`a la formule $\cos^2\theta +\sin^2\theta =1$, on pourrait continuer les calculs et exprimer $\cos 5\theta $ en fonction de $\cos\theta $, et $\sin 5\theta $ en fonction de $\sin\theta $. \fincorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \correction{000089} \begin{enumerate} \item $\sin\left(5x\right)=\sin\left(\frac{2\pi}{3}+x\right)$ ssi $x=\pi/6+k\pi/2$ ou $x=\pi/18+k\pi/3$, avec $k\in\mathbb{Z}$. \item $ \sin\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)=\cos\left(\frac{x}{3}\right)$ ssi $x=5\pi/14+6k\pi/7$ ou $x=\pi/2+6k\pi/5$, avec $k\in\mathbb{Z}$. \item $\cos\left(3x\right)=\sin\left(x\right)$ ssi $x=\pi/8+k\pi/2$ ou $x=-\pi/4+k\pi$, avec $k\in\mathbb{Z}$. \end{enumerate} \fincorrection \correction{000090} L'équation $\sqrt{3}\cos(x)-\sin(x)=m$ a des solutions ssi $m\in\left[-2,2\right]$ et pour $m=\sqrt{2}$, les solutions sont $x=\pi/12+2k\pi$ ou $x=-5\pi/12+2k\pi$, $k\in\mathbb{Z}$. \fincorrection \correction{000091} $\cos(5x) + \cos(3x) \leq \cos x$ ssi $2\cos(4x)\cos(x)\leq \cos x$ et $2\cos^2(x) -9\cos(x) +4 >0$ ssi $\cos x>1/2$ ssi $x\in\left]-\pi/6+2k\pi,\pi/6+2k\pi\right[$, $k\in\mathbb{Z}$. \fincorrection \correction{000092} \begin{enumerate} \item $\cos^2(x)-\sin^2(x)=\sin(3x)$ ssi $x=\pi/2+2k\pi$ ou $x=-\pi/10+2k\pi/5$, avec $k\in\mathbb{Z}$. \item $\cos^4(x)-\sin^4(x)=1$ ssi $x=k\pi$, avec $k\in\mathbb{Z}$. \end{enumerate} \fincorrection \correction{002951} \begin{enumerate} \item $\frac {2^n+2\cos(n\pi/3)}3$. \item $2^n\cos(n\pi/3)$. \item $\left(2\cos\frac\theta2\right)^n\cos\frac{n\theta}2$. \item $\left(2\cos\frac\theta2\right)^n\sin\frac{(n+2)\theta}2$. \item $\left(2\cos\frac b2\right)^n\cos\left(a+\frac {nb}2\right)$. \end{enumerate} \fincorrection \correction{002952} \begin{enumerate} \item $\frac {n\sin\left(\frac{(2n+1)\theta}2\right)\sin\frac\theta2 -\sin^2\frac{n\theta}2} {2\sin^2\frac\theta2}$ si $\theta\not\equiv 0 (\mathrm{mod}\, {2\pi})$. \item $\frac {3\sin(n\theta/2)\sin\bigl((n+1)\theta/2\bigr)}{4\sin(\theta/2)} -\frac {\sin(3n\theta/2)\sin\bigl(3(n+1)\theta/2\bigr)}{4\sin(3\theta/2)}$. \end{enumerate} \fincorrection \correction{002953} $x \equiv -y \equiv \pm \frac {2\pi}3 (\mathrm{mod}\, {2\pi})$. \fincorrection \correction{002954} \begin{enumerate} \item $= 3/2$. \item $32\cos^6(\theta) = \cos6\theta + 6\cos4\theta + 15\cos2\theta + 10 \Rightarrow \Sigma = \frac {15}8$. \item $\Sigma_p = \frac {pC_{2p}^p}{2^{2p-1}}$. \end{enumerate} \fincorrection \correction{002955} $x \equiv 0 (\mathrm{mod}\, {\frac\pi n})$, $x \not\equiv \frac \pi2 (\mathrm{mod}\, \pi)$. \fincorrection \correction{002956} $\frac 12\Bigl( (x+e^{i\alpha})^n + (x+e^{-i\alpha})^n \Bigr) = 0 \Leftrightarrow x = \mathrm{cotan}\left(\frac{(2k+1)\pi}{2n}\right)\sin\alpha - \cos\alpha$. \fincorrection \correction{002957} $S = \frac {u-u^{-1}}{u^2-u^{-2}} + \frac {u-u^{-1}}{u^4-u^{-4}} + \dots + \frac {u-u^{-1}}{u^{2^n}-u^{-2^n}}$. \par $\frac {u-u^{-1}}{u^2-u^{-2}} + \frac {u-u^{-1}}{u^4-u^{-4}} = \frac {u^3-u^{-3}}{u^4-u^{-4}}$. \par $\frac {u^3-u^{-3}}{u^4-u^{-4}} + \frac {u-u^{-1}}{u^8-u^{-8}} = \frac {u^7-u^{-7}}{u^8-u^{-8}}$ $\ldots$ \par $ \Rightarrow S = \frac {u^{2^n-1}-u^{-2^n+1}}{u^{2^n}-u^{-2^n}} = \frac {\sin\bigl((2^n-1)\theta\bigr)}{\sin(2^n\theta)}$. \fincorrection \correction{002958} $\tan(nx) = \frac {C_n^1\tan x - C_n^3\tan^3 x + \cdots} {C_n^0 - C_n^2\tan^2 x + \cdots}$. \fincorrection \correction{002959} $z = e^{i\theta} \Rightarrow a = \tan\frac\theta2$ pour $\theta \not \equiv \pi (\mathrm{mod}\,{2\pi})$. \fincorrection \correction{005063} \begin{enumerate} \item $\sin x=0\Leftrightarrow x\in\pi\Zz$. De plus, $\mathcal{S}_{[0,2\pi]}=\{0,\pi,2\pi\}$. \item $\sin x=1\Leftrightarrow x\in\frac{\pi}{2}+2\pi\Zz$. De plus, $\mathcal{S}_{[0,2\pi]}=\left\{\frac{\pi}{2}\right\}$. \item $\sin x=-1\Leftrightarrow x\in-\frac{\pi}{2}+2\pi\Zz$. De plus, $\mathcal{S}_{[0,2\pi]}=\left\{\frac{3\pi}{2}\right\}$. \item $\cos x=1\Leftrightarrow x\in2\pi\Zz$. De plus, $\mathcal{S}_{[0,2\pi]}=\{0,2\pi\}$. \item $\cos x=-1\Leftrightarrow x\in\pi+2\pi\Zz$. De plus, $\mathcal{S}_{[0,2\pi]}=\{\pi\}$. \item $\cos x=0\Leftrightarrow x\in\frac{\pi}{2}+\pi\Zz$. De plus, $\mathcal{S}_{[0,2\pi]}=\left\{\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right\}$. \item $\tan x=0\Leftrightarrow x\in\pi\Zz$. De plus, $\mathcal{S}_{[0,2\pi]}=\left\{0,\pi,2\pi\right\}$. \item $\tan x=1\Leftrightarrow x\in\frac{\pi}{4}+\pi\Zz$. De plus, $\mathcal{S}_{[0,2\pi]}=\left\{\frac{\pi}{4},\frac{5\pi}{4}\right\}$. \end{enumerate} \fincorrection \correction{005064} \begin{enumerate} \item $\sin x=\frac{1}{2} \Leftrightarrow x\in\left(\frac{\pi}{6}+2\pi\Zz\right)\cup\left(\frac{5\pi}{6}+2\pi\Zz\right)$. De plus, $\mathcal{S}_{[0,2\pi]}=\left\{\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6}\right\}$. \item $\sin x=-\frac{1}{\sqrt{2}}\Leftrightarrow x\in\left(-\frac{\pi}{4}+2\pi\Zz\right)\cup\left(-\frac{3\pi}{4}+2\pi\Zz\right)$. De plus, $\mathcal{S}_{[0,2\pi]}=\left\{-\frac{\pi}{4},-\frac{3\pi}{4}\right\}$. \item $\tan x=-1\Leftrightarrow x\in-\frac{\pi}{4}+\pi\Zz$. De plus, $\mathcal{S}_{[0,\pi]}=\left\{\frac{3\pi}{4}\right\}$. \item $\tan x=\frac{1}{\sqrt{3}}\Leftrightarrow x\in\frac{\pi}{6}+\pi\Zz$. De plus, $\mathcal{S}_{[0,\pi]}=\left\{\frac{\pi}{6}\right\}$. \item $\cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}\Leftrightarrow x\in\left(-\frac{\pi}{6}+\pi\Zz\right)\cup\left(\frac{\pi}{6}+\pi\Zz\right)$. De plus, $\mathcal{S}_{[0,2\pi]}=\left\{\frac{\pi}{6},\frac{11\pi}{6}\right\}$. \item $\cos x=-\frac{1}{\sqrt{2}}\Leftrightarrow x\in\left(-\frac{3\pi}{4}+\pi\Zz\right)\cup\left(\frac{3\pi}{4}+\pi\Zz\right)$. De plus, $\mathcal{S}_{[0,2\pi]}=\left\{\frac{3\pi}{4},\frac{5\pi}{4}\right\}$. \end{enumerate} \fincorrection \correction{005065} \begin{enumerate} \item $\sin(2x)=\frac{1}{2}\Leftrightarrow2x\in\left(\frac{\pi}{6}+2\pi\Zz\right)\cup\left(\frac{5\pi}{6}+2\pi\Zz\right)\Leftrightarrow x\in\left(\frac{\pi}{12}+\pi\Zz\right)\cup\left(\frac{5\pi}{12}+\pi\Zz\right)$. De plus, $\mathcal{S}_{[0,2\pi]}=\left\{\frac{\pi}{12},\frac{5\pi}{12},\frac{13\pi}{12},\frac{17\pi}{12}\right\}$. \item $\sin\frac{x}{2}=-\frac{1}{\sqrt{2}}\Leftrightarrow\frac{x}{2}\in\left(\frac{5\pi}{4}+2\pi\Zz\right)\cup\left(\frac{7\pi}{4} +2\pi\Zz\right)\Leftrightarrow x\in\left(\frac{5\pi}{2}+4\pi\Zz)\cup(\frac{7\pi}{2}+4\pi\Zz\right)$. De plus, $\mathcal{S}_{[0,4\pi]}=\left\{\frac{5\pi}{2},\frac{7\pi}{2}\right\}$. \item $\tan(5x)=1\Leftrightarrow5x\in\frac{\pi}{4}+\pi\Zz\Leftrightarrow x\in\frac{\pi}{20}+\frac{\pi}{5}\Zz$. De plus, $\mathcal{S}_{[0,\pi]}=\left\{\frac{\pi}{20},\frac{\pi}{4},\frac{9\pi}{20},\frac{13\pi}{20},\frac{17\pi}{20}\right\}$. \item $\cos(2x)=\cos^2x\Leftrightarrow \cos(2x)=\frac{1}{2}(1+\cos(2x))\Leftrightarrow\cos(2x)=1\Leftrightarrow2x\in2\pi\Zz\Leftrightarrow x\in\pi\Zz$. De plus, $\mathcal{S}_{[0,2\pi]}=\{0,\pi,2\pi\}$. \item $2\cos^2x-3\cos x+1=0\Leftrightarrow(2\cos x-1)(\cos x-1)=0\Leftrightarrow\cos x=\frac{1}{2}\;\mbox{ou}\;\cos x=1\Leftrightarrow x\in\left(-\frac{\pi}{3}+2\pi\Zz\right)\cup\left(\frac{\pi}{3}+2\pi\Zz\right)\cup2\pi\Zz$. De plus, $\mathcal{S}_{[0,2\pi]}=\left\{0,\frac{\pi}{3},\frac{5\pi}{3},2\pi\right\}$. \item $\cos(nx)=0\Leftrightarrow nx\in\frac{\pi}{2}+\pi\Zz\Leftrightarrow x\in\frac{\pi}{2n}+\frac{\pi}{n}\Zz$. \item $|\cos(nx)|=1\Leftrightarrow nx\in\pi\Zz\Leftrightarrow x\in\frac{\pi}{n}\Zz$. \item $\sin(nx)=0\Leftrightarrow nx\in\pi\Zz\Leftrightarrow x\in\frac{\pi}{n}\Zz$. \item $|\sin(nx)|=1\Leftrightarrow nx\in\frac{\pi}{2}+\pi\Zz\Leftrightarrow x\in\frac{\pi}{2n}+\frac{\pi}{n}\Zz$. \item $\sin x=\tan x\Leftrightarrow\sin x-\frac{\sin x}{\cos x}=0\Leftrightarrow\sin x\frac{\cos x-1}{\cos x}=0\Leftrightarrow\sin x=0\;\mbox{ou}\;\cos x=1\Leftrightarrow x\in\pi\Zz$. De plus, $\mathcal{S}_{[0,2\pi]}=\{0,\pi,2\pi\}$. \item \begin{align*} \sin(2x)+\sin x=0&\Leftrightarrow\sin(2x)=\sin(x+\pi)\Leftrightarrow(\exists k\in\Zz/\;2x=x+\pi+2k\pi)\;\mbox{ou}\;(\exists k\in\Zz/\;2x=-x+2k\pi)\\ &\Leftrightarrow (\exists k\in\Zz/\;x=\pi+2k\pi)\;\mbox{ou}\;(\exists k\in\Zz/\;x=\frac{2k\pi}{3}) \end{align*} De plus, $\mathcal{S}_{[0,2\pi]}=\{0,\frac{2\pi}{3},\pi,\frac{4\pi}{3},2\pi\}$. \item \begin{align*} 12\cos^2x-8\sin^2x=2&\Leftrightarrow6\cos^2x-4(1-\cos^2x)=1\Leftrightarrow\cos^2x=\frac{1}{2}\Leftrightarrow\cos x=\frac{1}{\sqrt{2}}\;\mbox{ou}\;\cos=-\frac{1}{\sqrt{2}}\\ &\Leftrightarrow x\in\left(-\frac{\pi}{4}+\pi\Zz\right)\cup\left(\frac{\pi}{4}+\pi\Zz\right)\Leftrightarrow x\in\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{2}\Zz. \end{align*} \end{enumerate} \fincorrection \correction{005066} \begin{enumerate} \item Pour $x\in[-\pi,\pi]$, $\cos x\leq\frac{1}{2}\Leftrightarrow x\in\left[-\pi,-\frac{\pi}{3}\right]\cup\left[\frac{\pi}{3},\pi\right]$. \item Pour $x\in\Rr$, $\sin x\geq-\frac{1}{\sqrt{2}}\Leftrightarrow x\in\displaystyle\bigcup_{k\in\Zz}\left[-\frac{\pi}{4}+2k\pi,\frac{5\pi}{4}+2k\pi\right]$. \item Pour $x\in[0,2\pi]$, \begin{align*} \cos x>\cos\frac{x}{2}&\Leftrightarrow2\cos^2\frac{x}{2}-\cos\frac{x}{2}-1>0\Leftrightarrow(2\cos\frac{x}{2}+1)(\cos\frac{x}{2}-1)>0\Leftrightarrow 2\cos\frac{x}{2}+1<0\;\mbox{et}\;\cos\frac{x}{2}\neq1\\ &\Leftrightarrow\cos\frac{x}{2}<-\frac{1}{2}\;\mbox{et}\;\frac{x}{2}\notin2\pi\Zz \Leftrightarrow\frac{x}{2}\in\displaystyle\bigcup_{k\in\Zz}\left]\frac{2\pi}{3}+2k\pi,\frac{4\pi}{3}+2k\pi\right[\;\mbox{et}\; x\notin4\pi\Zz\\ &\Leftrightarrow x\in\displaystyle\bigcup_{k\in\Zz}\left]\frac{4\pi}{3}+4k\pi,\frac{8\pi}{3}+4k\pi\right[\;\mbox{et}\; x\notin4\pi\Zz \Leftrightarrow x\in]\frac{4\pi}{3},2\pi] \end{align*} \item Pour $x\in[-\pi,\pi]$, $\cos^2x\geq\cos(2x)\Leftrightarrow\frac{1}{2}(1+\cos(2x))\geq\cos(2x)\Leftrightarrow\cos(2x)\leq1\Leftrightarrow x\in[-\pi,\pi]$. \item Pour $x\in[0,2\pi]$, $\cos^2x\leq\frac{1}{2}\Leftrightarrow-\frac{1}{\sqrt{2}}\leq\cos x\leq\frac{1}{\sqrt{2}}\Leftrightarrow x\in\left[\frac{\pi}{4},\frac{3\pi}{4}\right]\cup\left[\frac{5\pi}{4},\frac{7\pi}{4}\right]$. \item Pour $x\in[0,2\pi]$, \begin{align*} \cos\frac{x}{3}\leq\sin\frac{x}{3}&\Leftrightarrow\frac{1}{\sqrt{2}}\sin\frac{x}{3}-\frac{1}{\sqrt{2}}\cos\frac{x}{3}\geq0 \Leftrightarrow\sin\left(\frac{x}{3}-\frac{\pi}{4}\right)\geq0\Leftrightarrow\exists k\in\Zz/\;2k\pi\leq\frac{x}{3}-\frac{\pi}{4}\leq\pi+2k\pi\\ &\Leftrightarrow\exists k\in\Zz/\;\frac{3\pi}{4}+6k\pi\leq x\leq3\pi+\frac{3\pi}{4}+6k\pi\Leftrightarrow\frac{3\pi}{4}\leq x\leq2\pi \end{align*} \end{enumerate} \fincorrection \correction{005067} $\cos^2\frac{\pi}{8}=\frac{1}{2}\left(1+\cos(2\times\frac{\pi}{8})\right)=\frac{1}{2}\left(1+\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=\frac{2+\sqrt{2}}{4}$, et puisque $\cos\frac{\pi}{8}>0$, \begin{center} \shadowbox{$\cos\frac{\pi}{8}=\frac{1}{2}\sqrt{2+\sqrt{2}}$.} \end{center} De même, puisque $\sin\frac{\pi}{8}>0$, $\sin\frac{\pi}{8}=\sqrt{\frac{1}{2}\left(1-\cos(2\times\frac{\pi}{8})\right)}$ et \begin{center} \shadowbox{ $\sin\frac{\pi}{8}=\frac{1}{2}\sqrt{2-\sqrt{2}}$. } \end{center} \fincorrection \correction{005068} $$\cos\frac{\pi}{12}=\cos\left(\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{4}\right)=\cos\frac{\pi}{3}\cos\frac{\pi}{4}+\sin\frac{\pi}{3} \sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}.$$ De même, $$\sin\frac{\pi}{12}=\sin\left(\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{4}\right)=\sin\frac{\pi}{3}\cos\frac{\pi}{4}-\sin\frac{\pi}{3} \sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}.$$ \begin{center} \shadowbox{ $\cos\frac{\pi}{12}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$ et $\sin\frac{\pi}{12}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}. $}\end{center} \fincorrection \correction{005069} Pour $n$ naturel non nul, on pose $S_n=\sum_{}^{}e^{i(\pm a_1\pm...\pm a_n)}$. \textbullet~$S_1=e^{ia_1}+e^{-ia_1}=2\cos a_1$ \textbullet~Soit $n\geq1$. Supposons que $S_n=2^n\cos a_1...\cos a_n$ alors \begin{align*} S_{n+1}&=\sum_{}^{}e^{i(\pm a_1\pm...\pm a_{n+1})}=e^{ia_{n+1}}\sum_{}^{}e^{i(\pm a_1\pm...\pm a_n)}+e^{-ia_{n+1}}\sum_{}^{}e^{i(\pm a_1\pm...\pm a_n)}\\ &=2\cos(a_{n+1})S_n=2^{n+1}\cos a_1...\cos a_{n+1}. \end{align*} On a montré par récurrence que : $\forall n\geq1,\;S_n=2^n\cos a_1...\cos a_n$. Ensuite, pour $n\geq1$, $\sum_{}^{}\cos(\pm a_1\pm...\pm a_n)=\Re(S_n)=2^n\cos a_1...\cos a_n$ (et on obtient aussi $\sum_{}^{}\sin(\pm a_1\pm...\pm a_n)=\Im(S_n)=0$). \begin{center} \shadowbox{ $\forall n\in\Nn^*$, $\sum_{}^{}\cos(\pm a_1\pm...\pm a_n)=2^n\cos a_1...\cos a_n$. } \end{center} \fincorrection \correction{005070} \begin{enumerate} \item Soit $n\in\Nn^*$. Puisque $a$ est dans $]0,\pi[$ alors, pour tout entier naturel non nul $k$, $\frac{a}{2^k}$ est dans $]0,\pi[$ et donc $\sin\frac{a}{2^k}\neq0$. De plus, puisque $\sin\left(\frac{a}{2^{k-1}}\right)=\sin\left(2\times\frac{a}{2^k}\right)=2\sin\left(\frac{a}{2^k}\right)\cos\left(\frac{a}{2^k}\right)$, on a~: $$\prod_{k=1}^{n}\cos\left(\frac{a}{2^k}\right)=\prod_{k=1}^{n}\frac{\sin\left(\frac{a}{2^{k-1}}\right)}{2\sin\left(\frac{a}{2^k}\right)}=\frac{1}{2^{ n}} \frac{\sin(a)\sin\left(\frac{a}{2}\right)\ldots\sin\left(\frac{a}{2^{n-1}}\right)} {\sin\left(\frac{a}{2}\right)\ldots\sin\left(\frac{a}{2^{n-1}}\right)\sin\left(\frac{a}{2^{n}}\right)}=\frac{\sin a}{2^{n}\sin\frac{a}{2^n}}.$$ \begin{center} \shadowbox{ $\forall a\in]0,\pi[$, $\forall n\in\Nn^*$, $\prod_{k=1}^{n}\cos\left(\frac{a}{2^k}\right)=\frac{\sin a}{2^{n}\sin\frac{a}{2^n}}$. } \end{center} \item $\forall k\in\Nn^*,\;\cos\left(\frac{a}{2^k}\right)>0$ car $\frac{a}{2^k}$ est dans $]0,\frac{\pi}{2}[$. Puis \begin{align*} \sum_{k=1}^{n}\ln\left(\cos(\frac{a}{2^k})\right)&=\ln\left(\prod_{k=1}^{n}\cos(\frac{a}{2^k})\right)=\ln\left(\frac{\sin a}{2^{n}\sin\frac{a}{2^n}}\right)=\ln\left(\frac{\sin a}{a}\right)-\ln\left(\frac{\sin\frac{a}{2^n}}{\frac{a}{2^n}}\right). \end{align*} Maintenant, $\lim_{n\rightarrow +\infty}\frac{\sin\frac{a}{2^n}}{\frac{a}{2^n}}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=1$ et donc, $$\lim_{n\rightarrow +\infty}\sum_{k=1}^{n}\ln\left(\cos(\frac{a}{2^k})\right)=\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(\ln(\frac{\sin a}{a})-\ln(\frac{\sin\frac{a}{2^n}}{\frac{a}{2^n}})\right)=\ln\left(\frac{\sin a}{a}\right).$$ \begin{center} \shadowbox{ $\forall a\in]0,\pi[$, $\lim_{n\rightarrow +\infty}\sum_{k=1}^{n}\ln\left(\cos(\frac{a}{2^k})\right)=\ln\left(\frac{\sin a}{a}\right)$. } \end{center} \end{enumerate} \fincorrection \correction{005071} Soit $x\in\Rr$. \begin{align*} 2^{4\cos^2x+1}+16.2^{4\sin^2x-3}=20&\Leftrightarrow2^{4\cos^2x+1}+16.2^{1-4\cos^2x}=20\Leftrightarrow2^{4\cos^2x}-10+16\times2^{-4\cos^2x}=0\\ &\Leftrightarrow2^{4\cos^2x}-10+\frac{16}{2^{4\cos^2x}}=0\Leftrightarrow(2^{4\cos^2x})^2-10\times2^{4\cos^2x}+16=0\\ &\Leftrightarrow2^{4\cos^2x}=2\;\mbox{ou}\;2^{4\cos^2x}=8\Leftrightarrow4\cos^2x=1\;\mbox{ou}\;4\cos^2x=3\\ &\Leftrightarrow\cos x=\frac{1}{2}\;\mbox{ou}\;\cos x=-\frac{1}{2}\;\mbox{ou}\;\cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}\;\mbox{ou}\;\cos x=-\frac{\sqrt{3}}{2}\\ &\Leftrightarrow x\in\left(\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{2}\Zz\right)\cup\left(\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{2}\Zz\right). \end{align*} \fincorrection \correction{005072} \begin{enumerate} \item Tout d'abord, d'après la formule de \textsc{Moivre}, $$\cos(3\theta)+i\sin(3\theta)=(\cos\theta+i\sin\theta)^3=(\cos^3\theta-3\cos\theta\sin^2\theta) +i(3\cos^2\theta\sin\theta-\sin^3\theta),$$ et par identification des parties réelles et imaginaires, \begin{center} \shadowbox{ $\forall\theta\in\Rr,\;\cos(3\theta)=\cos^3\theta-3\cos\theta\sin^2\theta\;\mbox{et}\;\sin(3\theta) =3\cos^2\theta\sin\theta-\sin^3\theta.$ } \end{center} Ensuite, $\tan(3\theta)$ et $\tan\theta$ existent $\Leftrightarrow3\theta\notin\frac{\pi}{2}+\pi\Zz$ et $\theta\notin\frac{\pi}{2}+\pi\Zz\Leftrightarrow3\theta\notin\frac{\pi}{2}+\pi\Zz\Leftrightarrow\theta\notin\frac{\pi}{6}+ \frac{\pi}{3}\Zz$. Soit donc $\theta\notin\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{3}\Zz$. $$\tan(3\theta)=\frac{\sin(3\theta)}{\cos(3\theta)} =\frac{3\cos^2\theta\sin\theta-\sin^3\theta}{\cos^3\theta-3\cos\theta\sin^2\theta} =\frac{3\tan\theta-\tan^3\theta}{1-3\tan^2\theta},$$ après division du numérateur et du dénominateur par le réel non nul $\cos^3\theta$. \begin{center} \shadowbox{ $\forall\theta\in\Rr\setminus\left(\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{3}\Zz\right),\;\tan(3\theta) =\frac{3\tan\theta-\tan^3\theta}{1-3\tan^2\theta}.$ }\end{center} \item Soit $a\neq\pm\frac{1}{\sqrt{3}}$. \textbf{1ère méthode.} $a$ est bien sûr racine de l'équation proposée, ce qui permet d'écrire~: \begin{align*} \frac{3x-x^3}{1-3x^2}=\frac{3a-a^3}{1-3a^2}&\Leftrightarrow(3x-x^3)(1-3a^2)=(1-3x^2)(3a-a^3)\;(\mbox{car}\;\pm\frac{1}{\sqrt{3}} \;\mbox{ne sont pas solution de l'équation})\\ &\Leftrightarrow(x-a)((3a^2-1)x^2+8ax-a^2+3)=0. \end{align*} Le discriminant réduit du trinôme $(3a^2-1)x^2+8ax-a^2+3$ vaut~: $$\Delta'=16a^2-(3a^2-1)(-a^2+3)=3a^4+6a^2+3=(\sqrt{3}(a^2+1))^2>0.$$ L'équation proposée a donc trois racines réelles~: \begin{center} \shadowbox{ $\mathcal{S}=\left\{a,\frac{4a-\sqrt{3}(a^2+1)}{1-3a^2},\frac{4a+\sqrt{3}(a^2+1)}{1-3a^2}\right\}.$ } \end{center} \textbf{2ème méthode.} Il existe un unique réel $\alpha\in\left]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right[\setminus\left\{-\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{6}\right\}$ tel que $a=\tan\alpha$. De même, si $x$ est un réel distinct de $\pm\frac{1}{\sqrt{3}}$, il existe un unique réel $\theta\in\left]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right[\setminus\left\{-\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{6}\right\}$ tel que $x=\tan\theta$ (à savoir $\alpha=\Arctan a$ et $\theta=\arctan x$). Comme $\pm\frac{1}{\sqrt{3}}$ ne sont pas solution de l'équation proposée, on a~: \begin{align*} \frac{3x-x^3}{1-3x^2}=\frac{3a-a^3}{1-3a^2}&\Leftrightarrow\frac{3\tan\theta-\tan^3\theta}{1-3\tan^2\theta} =\frac{3\tan\alpha-\tan^3\alpha}{1-3\tan^2\alpha}\Leftrightarrow\tan(3\theta)=\tan(3\alpha)\\ &\Leftrightarrow3\theta\in3\alpha+\pi\Zz\Leftrightarrow\theta\in\alpha+\frac{\pi}{3}\Zz. \end{align*} Ceci refournit les solutions $x=\tan\alpha=a$, puis $$x=\tan\left(\alpha+\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\tan\alpha+\tan\frac{\pi}{3}}{1-\tan\alpha\tan\frac{\pi}{3}}=\frac{a+\sqrt{3}}{1 -\sqrt{3}a}=\frac{(a+\sqrt{3})(1+\sqrt{3}a)}{1-3a^2}=\frac{4a+\sqrt{3}(a^2+1)}{1-3a^2},$$ et $x=\tan\left(\alpha-\frac{\pi}{3}\right)=\frac{4a-\sqrt{3}(a^2+1)}{1-3a^2}$. \end{enumerate} \fincorrection \correction{005073} \begin{enumerate} \item Pour $x\notin\frac{\pi}{10}+\frac{\pi}{5}\Zz$, $$\tan(5x)=\frac{\Im((e^{ix})^5)}{\Re((e^{ix})^5)}=\frac{5\cos^4x\sin x-10\cos^2x\sin^3x+\sin^5x}{\cos^5x-10\cos^3x\sin^2x+5\cos x\sin^4x}=\frac{5\tan x-10\tan^3x+\tan^5x}{1-10\tan^2x+5\tan^4x},$$ après division du numérateur et du dénominateur par le réel non nul $\cos^5x$. \begin{center} \shadowbox{ $\forall x\in\Rr\setminus\left(\frac{\pi}{10}+\frac{\pi}{5}\Zz\right),\;\tan(5x)=\frac{5\tan x-10\tan^3x+\tan^5x}{1-10\tan^2x+5\tan^4x}.$ } \end{center} \item $9^\circ$, $-27^\circ$, $-63^\circ$ et $81^\circ$ vérifient $\tan(5\times9^\circ)=\tan(5\times(-27^\circ))=\tan(5\times(-63^\circ))=\tan(5\times81^\circ)=1$. On résoud donc l'équation~: $$\tan(5x)=1\Leftrightarrow5x\in\left(\frac{\pi}{4}+\pi\Zz\right)\Leftrightarrow x\in\left(\frac{\pi}{20}+\frac{\pi}{5}\Zz\right).$$ Les solutions, exprimées en degrés et éléments de $]-90^\circ,90^\circ[$, sont $-63^\circ$, $-27^\circ$, $9^\circ$, $45^\circ$ et $81^\circ$. Ainsi, les cinq nombres $\tan(-63^\circ)$, $\tan(-27^\circ)$, $\tan(9^\circ)$, $\tan(45^\circ)$ et $\tan(81^\circ)$ sont deux à deux distincts et solutions de l'équation $\frac{5X-10X^3+X^5}{1-10X^2+5X^4}=1$ qui s'écrit encore~: $$X^5-5X^4-10X^3+10X^2+5X-1=0.$$ Le polynôme $X^5-5x^4-10X^3+10X^2+5X-1$ admet déjà $\tan(45^\circ)=1$ pour racine et on a $$X^5-5X^4-10X^3+10X^2+5X-1=(X-1)(X^4-4X^3-14X^2-4X+1).$$ Les quatre nombres $\tan(-63^\circ)$, $\tan(-27^\circ)$, $\tan(9^\circ)$ et $\tan(81^\circ)$ sont ainsi les racines du polynôme $X^4-4X^3-14X^2-4X+1$. Ce dernier peut donc encore s'écrire $(X-\tan(9^\circ))(X+\tan(27^\circ))(X+\tan(63^\circ))(X-\tan(81^\circ))$. L'opposé du coefficient de $X^3$ à savoir $4$ vaut donc également $\tan(9^\circ)-\tan(27^\circ)-\tan(63^\circ)+\tan(81^\circ)$ et on a montré que~: \begin{center} \shadowbox{ $\tan(9^\circ)-\tan(27^\circ)-\tan(63^\circ)+\tan(81^\circ)=4.$ } \end{center} \end{enumerate} \fincorrection \correction{005074} Pour $x\in[0,\pi]$, posons $f(x)=\tan x+\tan(2x)+\tan(3x)+\tan(4x)$. \begin{align*} f(x)\;\mbox{existe}&\Leftrightarrow\tan x,\;\tan(2x),\;\tan(3x)\;\mbox{et}\;\tan(4x)\;\mbox{existent}\\ &\Leftrightarrow(x\notin\frac{\pi}{2}+\pi\Zz),\;(2x\notin\frac{\pi}{2}+\pi\Zz),\;(3x\notin\frac{\pi}{2}+\pi\Zz)\;\mbox{et}\; (4x\notin\frac{\pi}{2}+\pi\Zz)\\ &\Leftrightarrow(x\notin\frac{\pi}{2}+\pi\Zz),\;(x\notin\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{2}\Zz),\;(x\notin\frac{\pi}{6}+ \frac{\pi}{3}\Zz)\;\mbox{et}\;(x\notin\frac{\pi}{8}+\frac{\pi}{4}\Zz)\\ &\Leftrightarrow x\notin\left\{\frac{\pi}{8},\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{4},\frac{3\pi}{8}, \frac{\pi}{2},\frac{5\pi}{8},\frac{3\pi}{4},\frac{5\pi}{6},\frac{7\pi}{8}\right\}. \end{align*} $f$ est définie et continue sur $$\left[0,\frac{\pi}{8}\right[\cup\left]\frac{\pi}{8},\frac{\pi}{6}\right[\cup\left]\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{4}\right[\cup\left]\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{8}\right[\cup\left]\frac{3\pi}{8},\frac{\pi}{2}\right[\cup\left]\frac{\pi}{2},\frac{5\pi}{8}\right[\cup\left]\frac{5\pi}{8}, \frac{3\pi}{4}\right[\cup\left]\frac{3\pi}{4},\frac{5\pi}{6}\right[\cup\left]\frac{5\pi}{6},\frac{7\pi}{8}\right[\cup\left]\frac{7\pi}{8},\pi\right].$$ Sur chacun des dix intervalles précédents, $f$ est définie, continue et strictement croissante en tant que somme de fonctions strictement croissantes. La restriction de $f$ à chacun de ces dix intervalles est donc bijective de l'intervalle considéré sur l'intervalle image, ce qui montre déjà que l'équation proposée, que l'on note dorénavant $(E)$, a au plus une solution par intervalle et donc au plus dix solutions dans $[0,\pi]$. Sur $I=\left[0,\frac{\pi}{8}\right[$ ou $I=\left]\frac{7\pi}{8},\pi\right]$, puisque $f(0)=f(\pi)=0$, $(E)$ a exactement une solution dans $I$. Ensuite, dans l'expression de somme $f$, une et une seule des quatre fonctions est un infiniment grand en chacun des nombres considérés ci-dessus, à l'exception de $\frac{\pi}{2}$. En chacun de ces nombres, $f$ est un infiniment grand. L'image par $f$ de chacun des six intervalles ouverts n'ayant pas $\frac{\pi}{2}$ pour borne est donc $]-\infty,+\infty[$ et $(E)$ admet exactement une solution dans chacun de ces intervalles d'après le théorème des valeurs intermédiaires. Ceci porte le total à $6+2=8$ solutions. En $\frac{\pi}{2}^-$, $\tan x$ et $\tan(3x)$ tendent vers $+\infty$ tandis que $\tan(2x)$ et $\tan(4x)$ tendent vers $0$. $f$ tend donc vers $+\infty$ en $\frac{\pi}{2}^-$, et de même $f$ tend vers $-\infty$ en $\frac{\pi}{2}^+$. L'image par $f$ de chacun des deux derniers intervalles est donc encore une fois $]-\infty,+\infty[$. Finalement, \begin{center} \shadowbox{ $(E)\;\text{admet exactement dix solutions dans}\;[0,\pi].$ } \end{center} \fincorrection \correction{005075} \begin{enumerate} \item D'après les formules d'\textsc{Euler}, $$z+z^4=e^{2i\pi/5}+e^{8i\pi/5}=e^{2i\pi/5}+e^{-2i\pi/5}=2\cos\frac{2\pi}{5}=a.$$ De même, $$z^2+z^3=e^{4i\pi/5}+e^{6i\pi/5}=e^{4i\pi/5}+e^{-4i\pi/5}=2\cos\frac{4\pi}{5}=b.$$ \item Puisque $z\neq1$ et $z^5=e^{2i\pi}=1$, $$1+z+z^2+z^3+z^4=\frac{1-z^5}{1-z}=\frac{1-1}{1-z}=0.$$ \item $a+b=z+z^2+z^3+z^4=-1$ et $ab=(z+z^4)(z^2+z^3)=z^3+z^4+z^6+z^7=z+z^2+z^3+z^4=-1$. Donc, $$a+b=-1\;\mbox{et}\;ab=-1.$$ Ainsi, $a$ et $b$ sont les solutions de l'équation $X^2+X-1=0$ à savoir les nombres $\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}$. Puisque $\frac{2\pi}{5}\in\left]0,\frac{\pi}{2}\right[$ et $\frac{4\pi}{5}\in\left]\frac{\pi}{2},\pi\right[$, on a $a>0$ et $b>0$. Finalement, \begin{center} \shadowbox{ $\cos\frac{2\pi}{5}=\frac{-1+\sqrt{5}}{4}\;\mbox{et}\;\cos\frac{4\pi}{5}=\frac{-1-\sqrt{5}}{4}.$ } \end{center} \end{enumerate} \fincorrection \correction{005076} \begin{enumerate} \item $\cos^2x=\frac{1}{2}(1+\cos(2x))$ et une primitive de $x\mapsto\cos^2x$ est $x\mapsto\frac{1}{2}(x+\frac{1}{2}\sin(2x))$. \item D'après les formules d'\textsc{Euler}, \begin{align*} \cos^4x&=\left(\frac{1}{2}(e^{ix}+e^{-ix})\right)^4=\frac{1}{16}(e^{4ix}+4e^{2ix}+6+4e^{-2ix}+e^{-4ix})\\ &=\frac{1}{16}(2\cos(4x)+8\cos(2x)+6)=\frac{1}{8}(\cos(4x)+4\cos(2x)+3) \end{align*} Donc, une primitive de la fonction $x\mapsto\cos^4x$ est $x\mapsto\frac{1}{8}(\frac{1}{4}\sin(4x)+2\sin(2x)+3x)$. \item \begin{align*} \sin^4x&=\left(\frac{1}{2i}(e^{ix}-e^{-ix})\right)^4=\frac{1}{16}(e^{4ix}-4e^{2ix}+6-4e^{-2ix}+e^{-4ix})\\ &=\frac{1}{16}(2\cos(4x)-8\cos(2x)+6)=\frac{1}{8}(\cos(4x)-4\cos(2x)+3) \end{align*} Donc, une primitive de la fonction $x\mapsto\sin^4x$ est $x\mapsto\frac{1}{8}(\frac{1}{4}\sin(4x)-2\sin(2x)+3x)$. \item $\cos^2x\sin^2x=\frac{1}{4}\sin^2(2x)=\frac{1}{8}(1-\cos(4x))$ et une primitive de la fonction $x\mapsto\cos^2x\sin^2x$ est $x\mapsto\frac{1}{8}(x-\frac{1}{4}\sin(4x))$. \item \begin{align*} \sin^6x&=\left(\frac{1}{2i}(e^{ix}-e^{-ix})\right)^6=-\frac{1}{64}(e^{6ix}-6e^{4ix}+15e^{2ix}-20+15e^{-2ix}-6e^{-4ix}+ e^{-6ix})\\ &=-\frac{1}{64}(2\cos(6x)-12\cos(4x)+30\cos(2x)-20)=\frac{1}{32}(-\cos(6x)+6\cos(4x)-15\cos(2x)+10) \end{align*} Donc, une primitive de la fonction $x\mapsto\sin^6x$ est $x\mapsto\frac{1}{32}(-\frac{1}{6}\sin(6x)+\frac{3}{2}\sin(4x)-\frac{15}{2}\sin(2x)+10x)$. \item $\cos x\sin^6x=\sin'x\sin^6x$ et une primitive de $x\mapsto\cos x\sin^6x$ est $x\mapsto\frac{1}{7}\sin^7x$. \item $\cos^5x\sin^2x=\cos x(1-\sin^2x)^2\sin^2x=\sin'x\sin^2x-2\sin'x\sin^4x+\sin'x\sin^6x$ et une primitive de $x\mapsto\cos^5x\sin^2x$ est $x\mapsto\frac{1}{3}\sin^3x-\frac{2}{5}\sin^5x+\frac{1}{7}\sin^7x$. \item $\cos^3x=\sin'x-\sin'x\sin^2x$ et une primitive de $x\mapsto\cos^3x$ est $x\mapsto\sin x-\frac{1}{3}\sin^3x$. \end{enumerate} \fincorrection \correction{005077} \begin{enumerate} \item Pour $x$ réel , on a~: \begin{align*} \cos^4x\sin^6x&=\left(\frac{1}{2}(e^{ix}+e^{-ix})\right)^4\left(\frac{1}{2i}(e^{ix}-e^{-ix})\right)^6\\ &=-\frac{1}{2^{10}}(e^{4ix}+4e^{2ix}+6+4e^{-2ix}+e^{-4ix}) (e^{6ix}-6e^{4ix}+15e^{2ix}-20+15e^{-2ix}-6e^{-4ix}+e^{-6ix})\\ &= -\frac{1}{2^{10}}(e^{10ix}-2e^{8ix}-3e^{6ix}+8e^{4ix}+2e^{2ix}-12 +2e^{-2ix}+8e^{-4ix}-3e^{-6ix}-2e^{-8ix}+e^{-10ix})\\ &=-\frac{1}{2^9}(\cos10x-2\cos8x-3\cos6x+8\cos4x+2\cos2x-6)\\ &=-\frac{1}{512}(\cos10x-2\cos8x-3\cos6x+8\cos4x+2\cos2x-6) \end{align*} (Remarque. La fonction proposée était paire et l'absence de sinus était donc prévisible. Cette remarque guidait aussi les calculs intermédiaires~:~les coefficients de $e^{-2ix}$, $e^{-4ix}$,... étaient les mêmes que ceux de $e^{2ix}$, $e^{4ix}$,...) Par suite, \begin{align*} I&=-\frac{1}{512}\left(\left[\frac{\sin10x}{10}-\frac{\sin8x}{4}-\frac{\sin6x}{2}+2\sin4x+\sin2x\right]_{\pi/6}^{\pi/3} -6\left(\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{6}\right)\right)\\ &=-\frac{1}{512}\left(\frac{1}{10}(-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2})-\frac{1}{4}(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2})-\frac{1}{2}(0-0)+2(-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2})+(\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2})-\pi\right)\\ &=-\frac{1}{512}\left(-\frac{\sqrt{3}}{4}-2\sqrt{3}-\pi\right)=\frac{9\sqrt{3}+4\pi}{2048}. \end{align*} \item Pour $x$ réel, on a \begin{align*} \cos^4x\sin^7x&=\cos^4x\sin^6x\sin x=\cos^4x(1-\cos^2x)^3\sin x\\ &=\cos^4x\sin x-3\cos^6x\sin x+3\cos^8x\sin x-\cos^{10}x\sin x. \end{align*} Par suite, \begin{align*} J&=\left[-\frac{\cos^5x}{5}+\frac{3\cos^7x}{7}-\frac{\cos^9x}{3}+\frac{\cos^{11}x}{11}\right]_{\pi/6}^{\pi/3}\\ &=-\frac{1}{5}\times\frac{1-9\sqrt{3}}{32}+\frac{3}{7}\times\frac{1-27\sqrt{3}}{128}-\frac{1}{3}\times\frac{1-81\sqrt {3}}{512}+\frac{1}{11}\times\frac{1-243\sqrt{3}}{2048}\\ &=\frac{1}{2^{11}\times3\times5\times7\times11}(-14784(1-9\sqrt{3})+7920(1-27\sqrt{3})-154 0(1-81\sqrt{3})+105(1-243\sqrt{3}))\\ &=\frac{1}{{2365440}}(-{8299}+{18441}\sqrt{3}). \end{align*} \end{enumerate} \fincorrection \correction{005078} \begin{enumerate} \item $\tan\frac{x}{2}$ existe si et seulement si $x\notin\pi+2\pi\Zz$ et $\frac{1-\cos x}{\sin x}$ existe si et seulement si $x\notin\pi\Zz$. Pour $x\notin\pi\Zz$, $$\frac{1-\cos x}{\sin x}=\frac{2\sin^2\frac{x}{2}}{2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}}=\tan\frac{x}{2}.$$ \item \textbf{1 ère solution.} Pour tout réel $x$, $$\sin(x-\frac{2\pi}{3})+\sin x+\sin(x+\frac{2\pi}{3})=-\frac{1}{2}\sin x-\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x+\sin x-\frac{1}{2}\sin x+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x=0,$$ \textbf{2 ème solution.} $$\sin\left(x-\frac{2\pi}{3}\right)+\sin x+\sin(x+\frac{2\pi}{3})=\Im(e^{i(x-\frac{2\pi}{3})}+e^{ix}+e^{i(x+\frac{2\pi}{3})}) =\Im(e^{ix}(j^2+1+j))=0.$$ \item $\tan\left(\frac{\pi}{4}-x\right)$, $\tan\left(\frac{\pi}{4}+x\right)$ et $\frac{2}{\cos(2x)}$ existent si et seulement si $\frac{\pi}{4}-x$, $\frac{\pi}{4}+x$ et $2x$ ne sont pas dans $\frac{\pi}{2}+\pi\Zz$, ce qui équivaut à $x\notin\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{2}\Zz$. Donc, pour $x\notin\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{2}\Zz$, \begin{align*} \tan\left(\frac{\pi}{4}-x\right)+\tan\left(\frac{\pi}{4}+x\right)&=\frac{1-\tan x}{1+\tan x}+\frac{1+\tan x}{1-\tan x}\;(\text{pour}\;x\;\text{vérifiant de plus}\;x\notin\frac{\pi}{2}+\pi\Zz)\\ &=\frac{\cos x-\sin x}{\cos x+\sin x}+\frac{\cos x+\sin x}{\cos x-\sin x}=\frac{(\cos x-\sin x)^2+(\cos x+\sin x)^2}{\cos^2 x-\sin^2x}=\frac{2(\cos^2x+\sin^2x)}{\cos(2x)}\\ &=\frac{2}{\cos(2x)}\;(\text{ce qui reste vrai pour}\;x\in\frac{\pi}{2}+\pi\Zz). \end{align*} \item Pour $x\notin\frac{\pi}{4}\Zz$, $$\frac{1}{\tan x}-\tan x=\frac{\cos x}{\sin x}-\frac{\sin x}{\cos x}=\frac{\cos^2 x-\sin^2x}{\sin x\cos x}=\frac{2\cos(2x)}{\sin(2x)}=\frac{2}{\tan(2x)}.$$ \end{enumerate} \fincorrection \correction{005079} \begin{enumerate} \item \textbullet~Pour tout réel $x$, $1-2k\cos x+k^2=(k-\cos x)^2+\sin^2x\geq0$. De plus, $$1-2k\cos x+k^2=0\Rightarrow k-\cos x=\sin x=0\Rightarrow x\in\pi\Zz\;\mbox{et}\;k=\cos x\Rightarrow k\in\{-1,1\},$$ ce qui est exclu. Donc, $$\forall k\in\Rr\setminus\{-1,1\},\;\forall x\in\Rr,\;1-2k\cos x+k^2>0.$$ \textbullet$f_k$ est donc définie sur $\Rr$, dérivable sur $\Rr$ en vertu de théorèmes généraux, impaire et $2\pi$-périodique. On l'étudie dorénavant sur $[0,\pi]$. Pour $x\in[0,\pi]$, on a~: \begin{align*} f'_k(x)&=\cos x(1-2k\cos x+k^2)^{-1/2}-\frac{1}{2}\sin x(2k\sin x)(1-2k\cos x+k^2)^{-3/2}\\ &=(1-2k\cos x+k^2)^{-3/2}(\cos x(1-2k\cos x+k^2)-k\sin^2x)\\ &=(1-2k\cos x+k^2)^{-3/2}(-k\cos^2x+(1+k^2)\cos x-k)\\ &=(1-2k\cos x+k^2)^{-3/2}(k\cos x-1)(k-\cos x) \end{align*} \begin{center} \shadowbox{ $\forall x\in\Rr,\;f_k'(x)=\frac{(k\cos x-1)(k-\cos x)}{(1-2k\cos x+k^2)^{3/2}}.$ } \end{center} \begin{itemize} \item[\textbf{1er cas}~:~$|k|<1$ et $k\neq0$.] (si $k=0$, $f_k(x)=\sin x$) Pour tout réel $x$, $(1-2k\cos x+k^2)^{-3/2}(k\cos x-1)<0$ et $f_k'(x)$ est du signe de $\cos x-k$. $$\includegraphics{../images/img005079-1}$$ (car $f_k(\Arccos k)=\frac{\sqrt{1-k^2}}{\sqrt{1-2k^2+k^2}}=1$). \item[\textbf{2ème cas}~:~$k>1$.] Pour tout réel $x$, $(1-2k\cos x+k^2)^{-3/2}(k-\cos x)>0$ et $f_k'(x)$ est du signe de $k\cos x-1$. $$\includegraphics{../images/img005079-2}$$ (car $f_k(\Arccos\frac{1}{k})=\frac{\sqrt{1-\frac{1}{k^2}}}{\sqrt{1-2+k^2}}=\frac{1}{k}$). \item[\textbf{3ème cas}~:~$k<-1$.] Pour tout réel $x$, $(1-2k\cos x+k^2)^{-3/2}(k-\cos x)<0$ et $f_k'(x)$ est du signe de $1-k\cos x$. $$\includegraphics{../images/img005079-3}$$ (car $f_k(\Arccos\frac{1}{k})=\frac{\sqrt{1-\frac{1}{k^2}}}{\sqrt{1-2+k^2}}=-\frac{1}{k}$). \end{itemize} \item Pour $k\in\Rr\setminus\{-1,1\}$, posons $I_k=\int_{0}^{\pi}f_k(x)\;dx$. Si $k=0$, $I_k=\int_{0}^{\pi}\sin x\;dx=2$. Sinon, \begin{align*} I_k&=\frac{1}{k}\int_{0}^{\pi}\frac{2k\sin x}{2\sqrt{1-2k\cos x+k^2}}\;dx=\frac{1}{k} \left[\sqrt{1-2k\cos x+k^2}\right]_0^\pi\\ &=\frac{1}{k}(\sqrt{1+2k+k^2}-\sqrt{1-2k+k^2})=\frac{1}{k}(|k+1|-|k-1|). \end{align*} Plus précisément, si $k\in]-1,1[\setminus\{0\}$, $I_k=\frac{1}{k}((1+k)-(1-k))=2$, ce qui reste vrai pour $k=0$. Si $k>1$, $I_k=\frac{1}{k}((1+k)-(k-1))=\frac{2}{k}$, et enfin, si $k<-1$, $I_k=\frac{-2}{k}$. En résumé, \begin{center} \shadowbox{ $\mbox{Si}\;k\in]-1,1[,\;I_k=2\;\mbox{et si}\;k\in]-\infty,-1[\cup]1,+\infty[,\;I_k=\frac{2}{|k|}.$ } \end{center} \end{enumerate} \fincorrection \correction{005080} \begin{enumerate} \item Soient $n\in\Nn$ et $x\in\Rr$. Posons $S_n=\sum_{k=0}^{n}\cos(kx)$ et $S_n'=\sum_{k=0}^{n}\sin(kx)$. \begin{itemize} \item[\textbf{1ère solution.}] $$S_n+iS_n'=\sum_{k=0}^{n}(\cos(kx)+i\sin(kx))=\sum_{k=0}^{n}e^{ikx}=\sum_{k=0}^{n}(e^{ix})^k.$$ Maintenant, $e^{ix}=1\Leftrightarrow x\in2\pi\Zz$. Donc, \begin{itemize} \item[\textbf{1er cas.}] Si $x\in2\pi\Zz$, on a immédiatement $S_n=n+1$ et $S_n'=0$. \item[\textbf{2ème cas.}] Si x$\notin2\pi\Zz$, \begin{align*} S_n+iS_n'&=\frac{1-e^{i(n+1)x}}{1-e^{ix}}=\frac{e^{i(n+1)x/2}}{e^{ix/2}}\frac{e^{-i(n+1)x/2}-e^{i(n+1)x/2}} {e^{-i(n+1)x/2}+e^{i(n+1)x/2}}=e^{inx/2}\frac{-2i\sin\frac{(n+1)x}{2}}{-2i\sin\frac{x}{2}}\\ &=e^{inx/2}\frac{\sin\frac{(n+1)x}{2}}{\sin\frac{x}{2}} \end{align*} Par identification des parties réelles et imaginaires, on obtient \begin{center} \shadowbox{ $ \sum_{k=0}^{n}\cos(kx)= \left\{ \begin{array}{l} \frac{\cos\frac{nx}{2}\sin\frac{(n+1)x}{2}}{\sin\frac{x}{2}}\;\mbox{si}\;x\notin2\pi\Zz\\ n+1\;\mbox{si}\;x\in2\pi\Zz \end{array} \right. \;\mbox{et}\;\sum_{k=0}^{n}\sin(kx)= \left\{ \begin{array}{l} \frac{\sin\frac{nx}{2}\sin\frac{(n+1)x}{2}}{\sin\frac{x}{2}}\;\mbox{si}\;x\notin2\pi\Zz\\ 0\;\mbox{si}\;x\in2\pi\Zz \end{array} \right. $ } \end{center} \end{itemize} \item[\textbf{2ème solution.}] \begin{align*} 2\sin\frac{x}{2}\sum_{k=0}^{n}\cos(kx)&=\sum_{k=0}^{n}2\sin\frac{x}{2}\cos(kx)=\sum_{k=0}^{n}(\sin(k+\frac{1}{2})x-\sin( k-\frac{1}{2})x)\\ &=\left(\sin\frac{x}{2}-\sin\frac{-x}{2}\right)+\left(\sin\frac{3x}{2}-\sin\frac{x}{2}\right)+\ldots+\left(\sin\frac{(2n-1)x}{2}-\sin\frac{(2n-3)x}{2}\right)\\ &+\left(\sin\frac{(2n+1)x}{2}-\sin\frac{(2n-1)x}{2}\right)\\ &=\sin\frac{(2n+1)x}{2}+\sin\frac{x}{2}=2\sin\frac{(n+1)x}{2}\cos\frac{nx}{2} \end{align*} et donc, si $x\notin2\pi\Zz$,... \end{itemize} \item Soient $n\in\Nn$ et $x\in\Rr$. Posons $S_n=\sum_{k=0}^{n}\cos^2(kx)$ et $S_n'=\sum_{k=0}^{n}\sin^2(kx)$. On a~: $$S_n+S_n'=\sum_{k=0}^{n}(\cos^2(kx)+\sin^2(kx))=\sum_{k=0}^{n}1=n+1,$$ et $$S_n-S_n'=\sum_{k=0}^{n}(\cos^2(kx)-\sin^2(kx))=\sum_{k=0}^{n}\cos(2kx).$$ D'après 1), si $x\in\pi\Zz$, on trouve immédiatement, $$\sum_{k=0}^{n}\cos^2(kx)=n+1\;\mbox{et}\;\sum_{k=0}^{n}\sin^2(kx)=0,$$ et si $x\notin\pi\Zz$, $$S_n+S_n'=n+1\;\mbox{et}\;S_n-S_n'=\frac{\cos(nx)\sin(n+1)x}{\sin x},$$ de sorte que $$S_n=\frac{1}{2}\left(n+1+\frac{\cos(nx)\sin(n+1)x}{\sin x}\right)\;\mbox{et}\;S_n'=\frac{1}{2}\left(n+1-\frac{\cos(nx)\sin(n+1)x}{\sin x}\right).$$ \item Soient $n\in\Nn$ et $x\in\Rr$. \begin{align*} \left(\sum_{k=0}^{n}C_n^k\cos(kx)\right)+i\left(\sum_{k=0}^{n}C_n^k\sin(kx)\right)&=\sum_{k=0}^{n}C_n^ke^{ikx} =\sum_{k=0}^{n}C_n^k(e^{ix})^k1^{n-k}\\ &=(1+e^{ix})^n=(e^{ix/2}+e^{-ix/2})^ne^{inx/2}=2^n\cos^n\left(\frac{x}{2}\right)\left(\cos\frac{nx}{2}+i\sin\frac{nx}{2}\right). \end{align*} Par identification des parties réelles et imaginaires, on obtient alors \begin{center} \shadowbox{ $\sum_{k=0}^{n}C_n^k\cos(kx)=2^n\cos^n\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{nx}{2}\right)\;\mbox{et}\;\sum_{k=0}^{n}C_n^k\sin(kx)= 2^n\cos^n\left(\frac{x}{2}\right)\sin\left(\frac{nx}{2}\right).$ } \end{center} \end{enumerate} \fincorrection \correction{005081} \begin{align*} \left\{ \begin{array}{l} \cos a+\cos b+\cos c=0\\ \sin a+\sin b+\sin c=0 \end{array} \right.&\Leftrightarrow(\cos a+\cos b+\cos c)+i(\sin a+\sin b+\sin c)=0\Leftrightarrow e^{ia}+e^{ib}+e^{ic}=0\\ &\Rightarrow|e^{ia}+e^{ib}|=|-e^{ic}|=1\Leftrightarrow|e^{ia/2}e^{ib/2}(e^{i(a-b)/2}+e^{-i(a-b)/2})|=1\\ &\Leftrightarrow|\cos\frac{a-b}{2}|=\frac{1}{2}\\ &\Leftrightarrow\frac{a-b}{2}\in\left(\frac{\pi}{3}+\pi\Zz\right)\cup\left(-\frac{\pi}{3}+\pi\Zz\right)\Leftrightarrow a-b\in\left(\frac{2\pi}{3}+2\pi\Zz\right)\cup\left(-\frac{2\pi}{3}+2\pi\Zz\right)\\ &\Leftrightarrow\exists k\in\Zz,\;\exists\varepsilon\in\{-1,1\}/\;b=a+\varepsilon\frac{2\pi}{3}+2k\pi. \end{align*} Par suite, nécessairement, $e^{ib}=je^{ia}$ ou $e^{ib}=j^2e^{ia}$. Réciproquement, si $e^{ib}=je^{ia}$ ou encore $b=a+\frac{2\pi}{3}+2k\pi$, $$e^{ia}+e^{ib}+e^{ic}=0\Leftrightarrow e^{ic}=-(e^{ia}+e^{ib})=-(1+j)e^{ia}=j^2e^{ia}\Leftrightarrow\exists k'\in\Zz/\;c=a-\frac{2\pi}{3}+2k'\pi,$$ et si $e^{ib}=j^2e^{ia}$ ou encore $b=a-\frac{2\pi}{3}+2k\pi$, $$e^{ia}+e^{ib}+e^{ic}=0\Leftrightarrow e^{ic}=-(e^{ia}+e^{ib})=-(1+j^2)e^{ia}=je^{ia}\Leftrightarrow\exists k'\in\Zz/\;c=a+\frac{2\pi}{3}+2k'\pi.$$ \begin{center} \shadowbox{ $\mathcal{S}=\{(a,a+\varepsilon\frac{2\pi}{3}+2k\pi,a-\varepsilon\frac{2\pi}{3}+2k'\pi),\;a\in\Rr,\; \varepsilon\in\{-1,1\},\;(k,k')\in\Zz^2\}.$ } \end{center} \fincorrection \correction{005082} \begin{align*} \cos^4\frac{\pi}{8}+\cos^4\frac{3\pi}{8}+\cos^4\frac{5\pi}{8}+\cos^4\frac{7\pi}{8}& =2(\cos^4\frac{\pi}{8}+\cos^4\frac{3\pi}{8})=2(\cos^4\frac{\pi}{8}+\sin^4\frac{\pi}{8})\\ &=2\left((\cos^2\frac{\pi}{8}+\sin^2\frac{\pi}{8})^2-2\cos^2\frac{\pi}{8}\sin^2\frac{\pi}{8}\right) =2\left(1-\frac{1}{2}\sin^2\frac{\pi}{4}\right)\\ &=2(1-\frac{1}{4})=\frac{3}{2} \end{align*} \fincorrection \correction{005083} \begin{enumerate} \item \begin{align*} \cos(3x)=\sin(2x)&\Leftrightarrow\cos(3x)=\cos(\frac{\pi}{2}-2x)\Leftrightarrow(\exists k\in\Zz/\;3x=\frac{\pi}{2}-2x+2k\pi)\;\mbox{ou}\; (\exists k\in\Zz/\;3x=-\frac{\pi}{2}+2x+2k\pi)\\ &\Leftrightarrow(\exists k\in\Zz/\;x=\frac{\pi}{10}+\frac{2k\pi}{5})\;\mbox{ou}\;(\exists k\in\Zz/\;x=-\frac{\pi}{2}+2k\pi) \end{align*} \begin{center} \shadowbox{ $\mathcal{S}_{[0,2\pi]}=\left\{\frac{\pi}{10},\frac{\pi}{2},\frac{9\pi}{10},\frac{13\pi}{10},\frac{3\pi}{2}, \frac{17\pi}{10}\right\}.$ } \end{center} \item $\cos(3x)=\Re(e^{3ix})=\Re((\cos x+i\sin x)^3)=\cos^3x-3\cos x\sin^2x=\cos^3x-3\cos x(1-\cos^2x)=4\cos^3x-3\cos x$. \begin{center} \shadowbox{ $\forall x\in\Rr,\;\cos(3x)=4\cos^3x-3\cos x.$ } \end{center} Par suite, \begin{align*} \cos(3x)=\sin(2x)&\Leftrightarrow4\cos^3x-3\cos x=2\sin x\cos x\Leftrightarrow\cos x(4\cos^2x-3-2\sin x)=0\\ &\Leftrightarrow\cos x(-4\sin^2x-2\sin x+1)=0\Leftrightarrow(\cos x=0)\;\mbox{ou}\;(4\sin^2x+2\sin x-1=0). \end{align*} D'après 1), l'équation $4\sin^2x+2\sin x-1=0$ admet entre autre pour solutions $\frac{\pi}{10}$ et $\frac{13\pi}{10}$ (car, dans chacun des deux cas, $\cos x\neq0$), ou encore, l'équation $4X^2+2X-1=0$ admet pour solutions les deux nombres \textbf{distincts} $X_1=\sin\frac{\pi}{10}$ et $X_2=\sin\frac{13\pi}{10}$, qui sont donc les deux solutions de cette équation. Puisque $X_1>0$ et que $X_2<0$, on obtient $$X_1=\frac{-1+\sqrt{5}}{4}\;\mbox{et}\;X_2=\frac{-1-\sqrt{5}}{4}.$$ Donc, (puisque $\sin\frac{13\pi}{10}=-\sin\frac{3\pi}{10}$), \begin{center} \shadowbox{ $\sin\frac{\pi}{10}=\frac{-1+\sqrt{5}}{4}\;\mbox{et}\;\sin\frac{3\pi}{10}=\frac{1+\sqrt{5}}{4}.$ } \end{center} Ensuite, $\sin\frac{3\pi}{10}=\cos\left(\frac{\pi}{2}-\frac{3\pi}{10}\right)=\cos\frac{\pi}{5}$, et donc \begin{center} \shadowbox{ $\cos\frac{\pi}{5}=\frac{1+\sqrt{5}}{4}.$ } \end{center} Puis \begin{center} \shadowbox{$\cos\frac{\pi}{10}=\sqrt{1-\sin^2\frac{\pi}{10}}=\frac{1}{4}\sqrt{10+2\sqrt{5}}$} \end{center} et de même \begin{center} \shadowbox{$\sin\frac{\pi}{5}=\frac{1}{4}\sqrt{10-2\sqrt{5}}=\cos\frac{3\pi}{10}$}. \end{center} \end{enumerate} \fincorrection \correction{005162} Soit $n\in\Nn^*$. Puisque, pour tout entier $k$, $|\cos k\;|\in[0,1]$, on a alors \begin{align*} \sum_{k=1}^{n}|\cos k\;|&\geq\sum_{k=1}^{n}\cos^2k=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{2}(1+\cos(2k))=\frac{n}{2}+\frac{1}{2} \Re(\sum_{k=1}^{n}e^{2ik}) =\frac{n}{2}+\frac{1}{2}\Re(e^{2i}\frac{1-e^{2in}}{1-e^{2i}})\\ &=\frac{n}{2}+\frac{1}{2}\Re(e^{i(n-1+2)} \frac{\sin n}{\sin 1}) =\frac{n}{2}+\frac{\cos(n+1)\sin n}{2\sin 1}\geq\frac{n}{2}-\frac{1}{2\sin1}. \end{align*} Maintenant, $\frac{1}{2\sin1}=0,594...$. Par suite, pour $n\geq3$, $\frac{1}{2\sin1}\leq0,75=\frac{3}{4}\leq\frac{n}{4}$, et donc $$\frac{n}{2}-\frac{1}{2\sin1}\geq\frac{n}{2}-\frac{n}{4}=\frac{n}{4}.$$ Enfin, si $n=1$, $|\cos1|=0.5...\geq0.25=\frac{1}{4}$ et si $n=2$, $|\cos1|+|\cos2|=0.9...\geq0.5=\frac{2}{4}$. Finalement, \begin{center} \shadowbox{ $\forall n\in\Nn^*,\;\sum_{k=1}^{n}|\cos k|\geq\frac{n}{4}.$ } \end{center} \fincorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \correction{000096} \begin{enumerate} \item Soit $\alpha,\beta\in\Z[i]$. Notons $\alpha=a+ib$ et $\beta=c+id$ avec $a,b,c,d\in\Z$. Alors $\alpha+\beta=(a+c)+i(b+d)$ et $a+c\in\Z$, $b+d\in\Z$ donc $\alpha+\beta\in\Z[i]$. De m\^eme, $\alpha\beta=(ac-bd)+i(ad+bc)$ et $ac-bd\in\Z$, $ad+bc\in\Z$ donc $\alpha\beta\in\Z[i]$. \item Soit $\alpha\in\Z[i]$ inversible. Il existe donc $\beta\in\Z[i]$ tel que $\alpha\beta=1$. Ainsi, $\alpha\neq0$ et $\frac{1}{\alpha}\in\Z[i]$. Remarquons que tout \'el\'ement non nul de $\Z[i]$ est de module sup\'erieur ou \'egal \`a 1: en effet $\forall z\in\C, |z|\geq \sup(|\mathop{\mathrm{Re}}\nolimits(z)|,|\mathop{\mathrm{Im}}\nolimits(z)|)$ et si $z\in\Z[i]\setminus\{0\}$, $\sup(|\mathop{\mathrm{Re}}\nolimits(z)|,|\mathop{\mathrm{Im}}\nolimits(z)|)\geq 1$. Si $|\alpha|\neq 1$ alors $|\alpha|>1$ et $|1/\alpha|<1$. On en d\'eduit $1/\alpha=0$ ce qui est impossible. Ainsi $|\alpha|=1$, ce qui implique $\alpha\in\{1,-1,i,-i\}$. R\'eciproquement, $1^{-1}=1\in\Z[i],(-1)^{-1}=-1\in\Z[i],i^{-1}=-i\in\Z[i],(-i)^{-1}=i\in\Z[i]$. Les \'el\'ements inversibles de $\Z[i]$ sont donc $1,-1,i$ et $-i$. \item Soit $\omega\in\C$. Notons $\omega=x+iy$ avec $x,y\in\R$. soit $E(x)$ la partie enti\`ere de $x$, i.e. le plus grand entier inf\'erieur ou \'egal \`a $x$: $E(x)\leq x E(x)+1/2$, notons $n_{x}=E(x)+1$. $n_{x}$ est le, ou l'un des s'il y en a deux, nombre entier le plus proche de $x$: $|x-n_{x}|\leq1/2$. Notons $n_{y}$ l'entier associ\'e de la m\^eme mani\`ere \`a $y$. Soit alors $\alpha=n_{x}+i \cdot n_{y}$. $z\in\Z[i]$ et $|\omega-\alpha|^2=(x-n_{x})^2+(y-n_{y})^2\leq 1/4+1/4=1/2$. Donc $|\omega-\alpha|<1$. % $$ % \includegraphics[64mm,44mm]{gauss.wmf} % $$ \item Soit $\alpha,\beta\in\Z[i]$, avec $\beta\neq0$. Soit alors $q\in\Z[i]$ tel que $|\frac{\alpha}{\beta}-q|<1$. Soit $r=\alpha-\beta q$. Comme $\alpha\in\Z[i]$ et $\beta q\in\Z[i]$, $r\in\Z[i]$. De plus $|\frac{r}{\beta}|=|\frac{\alpha}{\beta}-q|<1$ donc $|r|<|\beta|$. \end{enumerate} \fincorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \correction{000103} \begin{enumerate} \item \`A permutation pr\`es, $x=-2$, $y=-2j$ et $z=-2j^2$ ($j$ d\'esigne la racine cubique de l'unit\'e ${-1+i\sqrt3\over 2}$). \item \`A permutation pr\`es, $x=1$, $y={3+i\sqrt3\over 2}$ et $z={3-i\sqrt3\over 2}$. \end{enumerate} \fincorrection \correction{005132} Soit $z\in\Cc$ tel que $|z|>1$. $$|1+z+...+z^{n-1}|\leq1+|z|+|z|^2+...+|z|^{n-1}<|z|^n+|z|^n+...+|z|^n=n|z|^n=|nz^n|,$$ et en particulier, $1+z+...+z^{n-1}\neq nz^n$. Donc, si $1+z+...+z^{n-1}-nz^n=0$, alors $|z|\leq1$. \fincorrection \correction{005136} \begin{enumerate} \item Soit $z\in\Cc$. $\sh z$ et $\ch z$ sont définis et donc, $\tanh z$ existe si et seulement si $\ch z\neq0$. Or, $$\ch z=0\Leftrightarrow e^z+e^{-z}=0\Leftrightarrow e^{2z}=-1\Leftrightarrow e^{2z}=e^{i\pi}\Leftrightarrow2z\in i\pi+2i\pi\Zz\Leftrightarrow z\in i\left(\frac{\pi}{2}+\pi\Zz\right).$$ $\tanh z$ existe si et seulement si $z\notin i\left(\frac{\pi}{2}+\pi\Zz\right)$. \item Soit $z\notin i\left(\frac{\pi}{2}+\pi\Zz\right)$. $$\tanh z=0\Leftrightarrow\sh z=0\Leftrightarrow e^z=e^{-z}\Leftrightarrow e^{2z}=1\Leftrightarrow 2z\in2i\pi\Zz\Leftrightarrow z\in i\pi\Zz.$$ Comme $i\left(\frac{\pi}{2}+\pi\Zz\right)\cap i\pi\Zz=\varnothing$, $\tanh z=0$ si et seulement si $z\in i\pi\Zz$. \item Soit $z\notin i\left(\frac{\pi}{2}+\pi\Zz\right)$. Posons $z=x+iy$ où $(x,y)\in\Rr^2$. \begin{align*} |\tanh z|<1&\Leftrightarrow|e^z-e^{-z}|^2<|e^z+e^{-z}|^2\Leftrightarrow(e^z-e^{-z})(e^{{\bar z}}-e^{-{\bar z}})<(e^z+e^{-z})(e^{{\bar z}}+e^{-{\bar z}})\\ &\Leftrightarrow-e^{z-{\bar z}}-e^{-(z-{\bar z})}0\\ &\Leftrightarrow\cos(2y)>0 \end{align*} Par suite, $$\left\{ \begin{array}{l} |\Im z|<\frac{\pi}{2}\\ |\tanh z|<1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} |y|<\frac{\pi}{2}\\ \cos(2y)>0 \end{array} \right. \Leftrightarrow |y|<\frac{\pi}{4}\Leftrightarrow z\in\Delta.$$ \item Soit $z\in\Delta$. D'après 1), $\tanh z$ existe et d'après 3), $|\tanh z|<1$. Donc $z\in\Delta\Rightarrow\tanh z\in U$. Ainsi, $\tanh$ est une application de $\Delta$ dans $U$. Soit alors $Z\in U$ et $z\in\Delta$. $$\tanh z=Z\Leftrightarrow\frac{e^{2z}-1}{e^{2z}+1}=Z\Leftrightarrow e^{2z}=\frac{1+Z}{1-Z}.$$ Puisque $Z\neq-1$, $\frac{1+Z}{1-Z}\neq0$ et on peut poser $\frac{1+Z}{1-Z}=re^{i\theta}$ où $r\in\Rr_+^*$ et $\theta\in]-\pi,\pi]$. Par suite, \begin{align*} e^{2z}=\frac{1+Z}{1-Z}&\Leftrightarrow e^{2z}=re^{i\theta}\Leftrightarrow e^{2x}=r\;\mbox{et}\;2y\in\theta+2\pi\Zz\\ &\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}\ln r\;\mbox{et}\;y\in\frac{\theta}{2}+\pi\Zz \end{align*} Maintenant, on ne peut avoir $\theta=\pi$. Dans le cas contraire, on aurait $\frac{1+Z}{1-Z}=-r\in\Rr_-^*$ puis $Z=\frac{r+1}{r-1}\in\Rr$. Par suite, puisque $|Z|<1$, on aurait $Z\in]-1,1[$ et donc $\frac{1+Z}{1-Z}\in\Rr_+^*$ ce qui est une contradiction. Donc, $\theta\in]-\pi,\pi[$ puis $\frac{\theta}{2}\in]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}[$. Mais alors, $$\left\{ \begin{array}{l} \tanh z=Z\\ z\in\Delta \end{array} \right. \Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} x=\frac{1}{2}\ln r\\ y=\frac{\theta}{2}\rule{0mm}{6mm} \end{array} \right..$$ Ainsi, tout élément $Z$ de $U$ a un et un seul antécédent $z$ dans $\Delta$ (à savoir $z=\frac{1}{2}\ln\left|\frac{1+Z}{1-Z}\right|+\frac{i}{2}\mbox{Arg}\left(\frac{1+Z}{1-Z}\right)$ où $\mbox{Arg}\left(\frac{1+Z}{1-Z}\right)$ désigne l'argument de $\frac{1+Z}{1-Z}$ qui est dans $]-\pi,\pi[$). Finalement, $\tanh$ réalise donc une bijection de $\Delta$ sur $U$. \end{enumerate} \fincorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \correction{000364} \begin{enumerate} \item $A = 3X^5+4X^2+1$, $B = X^2+2X+3$, le quotient de $A$ par $B$ est $3{X}^{3}-6{X}^{2}+3X+16$ et le reste $-47-41X$. \item $A = 3X^5+2X^4-X^2+1$, $B = X^3+X+2$ le quotient de $A$ par $B$ est $ 3{X}^{2}+2X-3 $ et le reste est $ 7-9{X}^{2}-X$. \item $ A = X^4-X^3-X-2$, $B = X^2-2X+4$, le quotient de $A$ par $B$ est $ {X}^{2}+X-2$ de reste $ 6-9X$. \end{enumerate} \fincorrection \nocorrection \correction{000366} $X^{4}+X^{3}-2X+1 = (X^{2}+X+1)(2X^{2}-3X+1)+X^{3}(2-X)$. \fincorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \correction{000370} \ \begin{enumerate} \item On remarque que si $P$ est solution, alors $P+1=(X-1)^4A$ et par ailleurs $P-1=(X+1)^4B$, ce qui donne $1=\frac{A}{2}(X-1)^4+\frac{-B}{2}(X+1)^4$. Cherchons des polynômes $A$ et $B$ qui conviennent: pour cela, on écrit la relation de Bézout entre $(X-1)^4$ et $(X+1)^4$ qui sont premiers entre eux, et on obtient $$\frac{A}{2}=\frac{5}{32}X^3+\frac{5}{8}X^2+\frac{29}{32}X+\frac{1}{2}$$ $$\frac{-B}{2}=-\frac{5}{32}X^3+\frac{5}{8}X^2-\frac{29}{32}X+\frac{1}{2}$$ On a alors par construction $$(X-1)^4A-1=2\bigg(1+(X+1)^4\frac{-B}{2}\bigg)=1+(X+1)^4B$$ et $P_0=(X-1)^4A-1$ convient. En remplaçant, on obtient après calculs : $$P_0 = \frac{5}{16}X^7-\frac{21}{16}X^5+\frac{35}{16}X^3-\frac{35}{16}X$$ \item Si $(X-1)^4$ divise $P+1$, alors $1$ est racine de multiplicité au moins $4$ de $P+1$, et donc racine de multiplicité au moins $3$ de $P'$ : alors $(X-1)^3$ divise $P'$. De même $(X+1)^3$ divise $P'$. Comme $(X-1)^3$ et $(X+1)^3$ sont premiers entre eux, nécessairement $(X-1)^3(X+1)^3$ divise $P'$. Cherchons un polynôme de degré minimal : on remarque que les primitives de $$\lambda(X-1)^3(X+1)^3=\lambda(X^2-1)^3=\lambda(X^6-3X^4+3X^2-1)$$ sont de la forme $P(X)=\lambda(\frac{1}{7}X^7-\frac{3}{5}X^5+X^3-X+a)$. Si $P$ convient, nécessairement $1$ est racine de $P+1$ et $-1$ est racine de $P-1$, ce qui donne $\lambda(\frac{-16}{35}+a)=-1$ et $\lambda(\frac{16}{35}+a)=1$. D'où $\lambda a=0$ et comme on cherche $P$ non nul, il faut $a=0$ et $\lambda=\frac{35}{16}$. On vérifie que $$P_0(X)=\frac{35}{16}(\frac{1}{7}X^7-\frac{3}{5}X^5+X^3-X)=\frac{5}{16}X^7-\frac{21}{16}X^5 +\frac{35}{16}X^3-\frac{35}{16}X$$ est bien solution du problème: le polynôme $A=P_0+1$ admet $1$ comme racine, i.e. $A(1)=0$, et sa dérivée admet $1$ comme racine triple donc $A'(1)=A''(1)=A'''(1)=0$, ainsi $1$ est racine de multiplicité au moins $4$ de $A$ et donc $(X-1)^4$ divise $A=P+1$. De même, $(X+1)^4$ divise $P-1$. \end{enumerate} Supposons que $P$ soit une solution du problème. On note toujours $P_0$ la solution particulière obtenue ci-dessus. Alors $P+1$ et $P_0+1$ sont divisibles par $(X-1)^4$, et $P-1$ et $P_0-1$ sont divisibles par $(X+1)^4$. Ainsi $P-P_0=(P+1)-(P_0+1)=(P-1)-(P_0-1)$ est divisible par $(X-1)^4$ et par $(X+1)^4$. Comme $(X-1)^4$ et $(X+1)^4$ sont premiers entre eux, nécessairement $P-P_0$ est divisible par $(X-1)^4(X+1)^4$. Réciproquement, si $P=P_0+(X-1)^4(X+1)^4A$, alors $P+1$ est bien divisible par $(X-1)^4$ et $P-1$ est divisible par $(X+1)^4$. Ainsi les solutions sont exactement les polynômes de la forme $$P_0(X)+(X-1)^4(X+1)^4A(X)$$ où $P_0$ est la solution particulière trouvée précédemment, et $A$ un polynôme quelconque. \fincorrection \correction{000371} \begin{enumerate} \item Quotient $Q=X^3-X^2-X+1$, reste $R=X$. \item Quotient $Q=1-X^2-X^4$, reste $R=X^5(1+2X+X^2)$. \end{enumerate} \fincorrection \nocorrection \nocorrection \correction{000375} Soient $ A = X^5-7 X^4-X^2-9 X+9$, $B = X^2-5 X+4$, le quotient de $A$ par $B$ est $ {X}^{3}-2\,{X}^{2}-14\,X-63$, le reste \'etant $ 261-268\,X$. \fincorrection \nocorrection \nocorrection \correction{000378} Le polynôme nul convient. Dans la suite on suppose que $P$ n'est pas le polynôme nul. Notons $n = \deg P$ son degré. Comme $P'$ divise $P$, alors $P$ est non constant, donc $n\ge 1$. Soit $Q\in\Cc[X]$ tel que $P=P'Q$. Puisque $\deg(P')=\deg(P)-1\ge 0$, alors $Q$ est de degré $1$. Ainsi $Q(X)=aX+b$ avec $a\neq0$, et donc $$P(X)=P'(X)(aX+b)=aP'(X)(X+\frac{b}{a})$$ Donc si $z\not=\frac{-b}{a}$ et si $z$ est racine de $P$ de multiplicité $k \ge 1$, alors $z$ est aussi racine de $P'$ avec la même multiplicité, ce qui est impossible. Ainsi la seule racine possible de $P$ est $\frac{-b}{a}$. Réciproquement, soit $P$ un polynôme avec une seule racine $z_0 \in \Cc$ : il existe $\lambda\not=0$, $n\ge 1$ tels que $P=\lambda(X-z_0)^n$, qui est bien divisible par son polynôme dérivé. \fincorrection \nocorrection \nocorrection \correction{003198} $\Im\varphi = \{ P \in E$ tel que $X-1 \mid P \}$ (B{\'e}zout g{\'e}n{\'e}ralis{\'e}). \par $\mathrm{Ker}\varphi = \text{vect}(X^3+X^2+X)$. \fincorrection \correction{003199} \begin{enumerate} \item $\frac {\alpha(b-X) + \beta(X-a)}{b-a}$. \item $\cos n\theta + X\sin n\theta$. \end{enumerate} \fincorrection \correction{003200} $P = \lambda((X+2)(X+3)(X+4)-6)$. \fincorrection \correction{003201} \begin{enumerate} \item $X+1$ \item $1$ \item $X^2-iX+1$ \end{enumerate} \fincorrection \correction{003202} \begin{enumerate} \item $7U= X+3,\quad 7V= -X^3-3X^2+X+4$ \item $3U= 2X^2-X+1,\quad 3V = -2X^2-X+2$ \end{enumerate} \fincorrection \correction{003203} Substituer $j$ {\`a} $X$ $ \Rightarrow $ $R = \begin{cases}(-1)^n - 2 &\text{ si }n \equiv 0 (\mathrm{mod}\, 3) \hfill\cr ((-1)^{n+1}-1)(X+1) &\text{ si }n \equiv 1 (\mathrm{mod}\, 3) \hfill\cr ((-1)^n+1)X &\text{ si }n \equiv 2 (\mathrm{mod}\, 3).\end{cases}$ \fincorrection \correction{003204} $n\equiv 0(\mathrm{mod}\, 6)$. \fincorrection \correction{003205} \begin{enumerate} \item \item \item Faire le produit. \end{enumerate} \fincorrection \correction{003206} \begin{enumerate} \item $(2^{50}-1)X + 2-2^{50}$. \item $2^{16}\bigl(X-\sqrt3\bigr)$. \item $192\bigl(X-\sqrt2\bigr)^2$. \item \end{enumerate} \fincorrection \correction{003207} $\lambda = \mu = -1$. \fincorrection \correction{003208} $-3X^3 + X^2 - X - 1$. \fincorrection \correction{003209} $n = qm+r \Rightarrow X^n-1 \equiv X^r-1 (\mathrm{mod}\,{X^m-1})$. On applique la m{\'e}thode des divisions euclidiennes entre $n$ et $m$ $ \Rightarrow $ \hbox{pgcd$ {}= X^{n \wedge m} - 1$.} \fincorrection \correction{003210} \begin{enumerate} \item \item R{\'e}currence. \end{enumerate} \fincorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \correction{005323} On prend $n\geq2$ (sinon tout est clair). $Q=(X-e^{ia})(X-e^{-ia})$ est à racines simples si et seulement si $e^{ia}\neq e^{-ia}$ ou encore $e^{2ia}\neq 1$ ou enfin, $a\notin\pi\Zz$. 1er cas. Si $a\in\pi\Zz$ alors, $P=0=0.Q$. 2ème cas. Si $a\notin\pi\Zz$, alors \begin{align*}\ensuremath P(e^{ia})&=\sin a(\cos(na)+i\sin(na))-\sin(na)(\cos a+i\sin a)+\sin((n-1)a)\\ &=\sin((n-1)a)-(\sin(na)\cos a-\cos(na)\sin a)=0. \end{align*} Donc, $e^{ia}$ est racine de $P$ et de même, puisque $P$ est dans $\Rr[X]$, $e^{-ia}$ est racine de $P$. $P$ est donc divisible par $Q$. \begin{align*}\ensuremath P&=P-P(e^{ia})=\sin a(X^n-e^{ina})-\sin(na)(X-e^{ia})=(X-e^{ia})(\sin a\sum_{k=0}^{n-1}X^{n-1-k}e^{ika}-\sin(na))\\ &=(X-e^{ia})S. \end{align*} Puis, \begin{align*}\ensuremath S&=S-S(e^{-ia})=\sin a\sum_{k=0}^{n-1}e^{ika}(X^{n-1-k}-e^{-i(n-1-k)a})=\sin a(X-e^{-ia})\sum_{k=0}^{n-2}e^{ika}(\sum_{j=0}^{n-2-k}X^{n-2-k-j}e^{-ija})\\ &=\sin a(X-e^{-ia})\sum_{k=0}^{n-2}(\sum_{j=0}^{n-2-k}X^{n-2-k-j}e^{i(k-j)a}) =\sin a(X-e^{-ia})\sum_{l=0}^{n-2}(\sum_{k+j=l}^{}e^{i(k-j)a})X^{n-2-l}\\ &=\sin a(X-e^{-ia})\sum_{l=0}^{n-2}(\sum_{k=0}^{l}e^{i(2k-l)a})X^{n-2-l} \end{align*} Maintenant, $$\sum_{k=0}^{l}e^{i(2k-l)}a=e^{-ila}\frac{1-e^{2i(l+1)a}}{1-e^{2ia}}=\frac{\sin((l+1)a)}{\sin a}.$$ Donc $$S=\sin a(X-e^{-ia})\sum_{l=0}^{n-2}\frac{\sin((l+1)a)}{\sin a}X^{n-2-l}=(X-e^{-ia})\sum_{l=0}^{n-2}\sin((l+1)a)X^{n-2-l},$$ et finalement $$P=(X-e^{ia})(X-e^{-ia})\sum_{k=0}^{n-2}\sin((k+1)a)X^{n-2-k}=(X^2-2X\cos a+1)\sum_{k=0}^{n-2}\sin((k+1)a).$$ \fincorrection \correction{006955} \ \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item $3X^5+4X^2+1=(X^2+2X+3)(3X^3-6X^2+3X+16)-41X-47$ \item $3X^5+2X^4-X^2+1=(X^3+X+2)(3X^2+2X-3)-9X^2-X+7$ \item $X^4-X^3+X-2=(X^2-2X+4)(X^2+X-2)-7X+6$ \item $X^5-7X^4-X^2-9X+9$\\ \ \ \ $=(X^2-5X+4)(X^3-2X^2-14X-63)-268X+261$ \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item $1-2X+X^3+X^4=(1+2X+X^2)(1-4X+7X^2)+X^3(-9-6X)$ \item $1+X^3-2X^4+X^6=(1+X^2+X^3)(1-X^2-X^4)+X^5(1+2X+X^2)$ \end{enumerate} \end{enumerate} \fincorrection \correction{006956} La division euclidienne de $A=X^4+aX^2+bX+c$ par $B=X^2+X+1$ donne $$X^4+aX^2+bX+c=(X^2+X+1)(X^2-X+a)+(b-a+1)X+c-a$$ Or $A$ est divisible par $B$ si et seulement si le reste $R=(b-a+1)X+c-a$ est le polynôme nul, c'est-à-dire si et seulement si $b-a+1=0$ et $c-a=0$. \fincorrection \correction{000379} \begin{enumerate} \item $\pgcd(X^3-X^2-X-2,X^5-2 X^4+X^2-X-2) = X-2$. \item $\pgcd(X^4+X^3-2 X+1,X^3+X+1) = 1$. \end{enumerate} \fincorrection \correction{000380} \begin{enumerate} \item $\pgcd(X^5+3 X^4+X^3+X^2+3 X+1,X^4+2 X^3+X+2)=X^3+1$. \item $\pgcd(X^4+X^3-3 X^2-4 X-1,X^3+X^2-X-1)= X+1$ \item $\pgcd(X^5+5 X^4+9 X^3+7 X^2+5 X+1,X^4+2 X^3+2 X^2+X+1)= 1$. \end{enumerate} \fincorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \correction{000387} \begin{enumerate} \item $D = X^2+3X+2 = A ({1\over18} X- {1\over6})+B (-{1\over18} X^2+{1\over9} X+{5\over18})$. \item $D = 1 = A(-X^3)+B(X^5+X^3+X+1)$. \end{enumerate} \fincorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \correction{005317} $X^6-7X^4+8X^3-7X+7=(X^6+8X^3+7)-(7X^4+7X)=(X^3+1)(X^3+7)-7X(X^3+1)=(X^3+1)(X^3-7X+7)$ et $3X^5-7X^3+3X^2-7=3X^2(X^3+1)-7(X^3+1)=(X^3+1)(3X^2-7)$. Donc, $$(X^6-7X^4+8X^3-7X+7)\wedge(3X^5-7X^3+3X^2-7)=(X^3+1)((X^3-7X+7)\wedge(3X^2-7)).$$ Maintenant, pour $\varepsilon\in\{-1,1\}$, $(\varepsilon\sqrt{\frac{7}{3}})^3-7(\varepsilon\sqrt{\frac{7}{3}})+7=-(\varepsilon\frac{14}{3}\sqrt{\frac{7}{3}})+7\neq0$. Les polynômes $(X^3-7X+7)$ et $(3X^2-7)$ n'ont pas de racines communes dans $\Cc$ et sont donc premiers entre eux. Donc, $(X^6-7X^4+8X^3-7X+7)\wedge(3X^5-7X^3+3X^2-7)=X^3+1$. \fincorrection \correction{006957} \ \begin{enumerate} \item L'algorithme d'Euclide permet de calculer le pgcd par une suite de divisions euclidiennes. \begin{enumerate} \item $X^5-2X^4+X^2-X-2=(X^3-X^2-X-2)(X^2-X)+2X^2-3X-2$ puis $X^3-X^2-X-2=(2X^2-3X-2)(\frac{1}{2}X+\frac{1}{4})+\frac{3}{4}X-\frac{3}{2}$ puis $2X^2-3X-2=(\frac{3}{4}X-\frac{3}{2})(\frac{8}{3}X+\frac{4}{3})$ Le pgcd est le dernier reste non nul, divisé par son coefficient dominant: $$\pgcd(X^3-X^2-X-2,X^5-2X^4+X^2-X-2)=X-2$$ \item $X^4+X^3-2X+1=(X^3+X+1)(X+1)-X^2-4X$ puis $X^3+X+1=(-X^2-4X)(-X+4)+17X+1$ $$\begin{array}{rl}\text{donc}\ \pgcd&(X^4+X^3-2X+1,X^3+X+1)\\ &=\pgcd(-X^2-4X,17X+1)=1\end{array}$$ car $-X^2-4X$ et $17X+1$ n'ont pas de racine (même complexe) commune. \item $X^5+3X^4+X^3+X^2+3X+1=(X^4+2X^3+X+2)(X+1)-X^3-1$ puis $X^4+2X^3+X+2=(-X^3-1)(-X-2)+2X^3+2$ $$\pgcd(X^5+3X^4+X^3+X^2+3X+1,X^4+2X^3+X+2)=X^3+1$$ \item $nX^{n+1}-(n+1)X^n+1$ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $=(X^n-nX+n-1)(nX-(n+1))+n^2(X-1)^2$ Si $n=1$ alors $X^n-nX+n-1=0$ et le $\pgcd$ vaut $(X-1)^2$. On constate que $1$ est racine de $X^n-nX+n-1$, et on trouve $X^n-nX+n-1=(X-1)(X^{n-1}+X^{n-2}+\cdots+X^2+X-(n-1))$. Si $n\ge 2$: $1$ est racine de $X^{n-1}+X^{n-2}+\cdots+X^2+X-(n-1)$ et on trouve $X^{n-1}+X^{n-2}+\cdots+X^2+X-(n-1)$ \ \ \ \ \ \ \ $=(X-1)(X^{n-2}+2X^{n-3}+\cdots+(n-1)X^2+nX+(n+1))$, donc finalement $(X-1)^2$ divise $X^n-nX+n-1$ (on pourrait aussi remarquer que $1$ est racine de multiplicité au moins deux de $X^n-nX+n-1$, puisqu'il est racine de ce polynôme et de sa dérivée). Ainsi $$\text{si}\ n\ge 2,\ \pgcd(nX^{n+1}-(n+1)X^n+1,X^n-nX+n-1)=(X-1)^2$$ \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item $A=X^5+3X^4+2X^3-X^2-3X-2$ et $B=X^4+2X^3+2X^2+7X+6$ donc $A=BQ_1+R_1$ avec $Q_1=X+1$, $R_1=-2X^3-10X^2-16X-8$ puis $B=R_1Q_2+R_2$ avec $Q_2=-\frac{1}{2}X+\frac{3}{2}$ et $R_2=9X^2+27X+18$ et enfin $R_1=R_2Q_3$ avec $Q_3=-\frac{2}{9}X-\frac{4}{9}$ Donc $D=X^2+3X+2$, et on obtient $$9D=B-R_1Q_2=B-(A-BQ_1)Q_2=-AQ_2+B(1+Q_1Q_2)$$ soit $$\left\{\begin{array}{l}U=\frac{1}{9}(-Q_2)=\frac{1}{18}X-\frac{1}{6}\\ V=\frac{1}{9}(1+Q_1Q2)=-\frac{1}{18}X^2+\frac{1}{9}X+\frac{5}{18} \end{array}\right.$$ \item On a $A=BQ_1+R_1$ avec $Q_1=X^2+1$, $R_1=X^2-X-1$ puis $B=R_1Q_2+R_2$ avec $Q_2=X^2-X+1$ et $R_2=-X+2$ et enfin $R_1=R_2Q_3+R_3$ avec $Q_3=-X-1$ et $R_3=1$ Donc $D=1$, et on obtient \begin{eqnarray*} 1&=&R_1-R_2Q_3=R_1-(B-R_1Q_2)Q_3=R_1(1+Q_2Q_3)-BQ_3\\ &=&(A-BQ_1)(1+Q_2Q_3)-BQ_3\\ &=&A(1+Q_2Q_3)-B(Q_1(1+Q_2Q_3)+Q_3) \end{eqnarray*} soit $$\left\{\begin{array}{l} U=1+Q_2Q_3=-X^3\\ V=-Q_1(1+Q_2Q_3)-Q_3=1+X+X^3+X^5\end{array}\right.$$ \end{enumerate} \end{enumerate} \fincorrection \correction{006958} \ \begin{enumerate} \item Lorsqu'on effectue la division euclidienne $A=BQ+R$, les coefficients de $Q$ sont obtenus par des opérations élémentaires (multiplication, division, addition) à partir des coefficients de $A$ et $B$ : ils restent donc dans $\Qq$. De plus, $R=A-BQ$ est alors encore à coefficients rationnels. Alors $\pgcd(A,B)=\pgcd(B,R)$ et pour l'obtenir, on fait la division euclidienne de $B$ par $R$ (dont le quotient et le reste sont encore à coefficients dans $\Qq$), puis on recommence... Le pgcd est le dernier reste non nul, c'est donc encore un polynôme à coefficients rationnels. \item Notons $P_1=\pgcd(P,P')$: comme $P$ est à coefficients rationnels, $P'$ aussi et donc $P_1$ aussi. Or $P_1(X)=(X-a)^{p-1}(X-b)^{q-1}(X-c)^{r-1}$. En itérant le processus, on obtient que $P_{r-1}(X)=(X-c)$ est à coefficients rationnels, donc $c\in\Qq$. On remonte alors les étapes: $P_{q-1}(X)=(X-b)(X-c)^{r-q+1}$ est à coefficients rationnels, et $X-b$ aussi en tant que quotient de $P_{q-1}$ par le polynôme à coefficients rationnels $(X-c)^{r-q+1}$, donc $b\in\Qq$. De même, en considérant $P_{p-1}$, on obtient $a\in\Qq$. \end{enumerate} \fincorrection\nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \correction{000401} $$\left ({x}^{2}+\sqrt {2}x+1\right )\left ({x}^{2}-\sqrt {2}x+1\right )$$ \fincorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \correction{000409} L'ordre de multiplicit\'e est~2. \fincorrection \correction{000410} Soit $x\in\R$ ; $x$ est une racine multiple de $P$ si et seulement si $P(x)=0$ et $P'(x)=0$: $$ \begin{array}{rcl} P(x)=P'(x) 0 &\iff& \left\{\begin{array}{l}(x+1)^7-x^7-a=0\\7(x+1)^6-7x^6=0\end{array}\right.\\ &\iff& \left\{\begin{array}{l}(x+1)x^6-x^7-a=0\qquad \text{ en utilisant la deuxième équation}\\(x+1)^6=x^6\end{array}\right.\\ &\iff& \left\{\begin{array}{l}x^6=a\\(x+1)^3=\pm x^3 \qquad \text{ en prenant la racine carrée} \end{array}\right.\\ &\iff& \left\{\begin{array}{l}x^6=a\\x+1=\pm x \qquad \text{ en prenant la racine cubique} \end{array}\right.\\ \end{array}$$ qui admet une solution ($x=-\frac{1}{2}$) si et seulement si $a=\frac{1}{64}$. \fincorrection \nocorrection \correction{000412} \begin{enumerate} \item $\left \lbrace\begin{array}{rcl} X^3-3 & = &(X-\sqrt[3]{3})(X^2+\sqrt[3]{3}\, X+\sqrt[3]{9})\\ & = & (X-\sqrt[3]{3}) (X+{\sqrt[3]{3}\over2}- i{\sqrt3\sqrt[3]{3}\over2}) (X+{\sqrt[3]{3}\over2}+ i{\sqrt3\sqrt[3]{3}\over2}). \end{array}\right.$ \item $\left\lbrace\begin{array}{rcl} X^{12}-1 & = & \textstyle(X-1) (X+1) (X^2+1) (X^2-X+1) (X^2+X+1)\times{}\\ & & \qquad\textstyle(X^2-\sqrt3\,X+1) (X^2+\sqrt3\,X+1)\\ & = & \textstyle(X-1) (X+1) (X- i) (X+ i)\times{}\\ & & \qquad\textstyle\bigl(X-{1+ i\sqrt3\over2}\bigr) \bigl(X-{1- i\sqrt3\over2}\bigr) \bigl(X-{-1+ i\sqrt3\over2}\bigr) \bigl(X-{-1- i\sqrt3\over2}\bigr)\times{}\\ & & \qquad\textstyle\bigl(X-{\sqrt3+ i\over2}\bigr) \bigl(X-{\sqrt3- i\over2}\bigr) \bigl(X-{-\sqrt3+ i\over2}\bigr) \bigl(X-{-\sqrt3- i\over2}\bigr). \end{array}\right.$ \end{enumerate} \fincorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \correction{000423} \begin{enumerate} \item $X^6+1 = -\left( {X}^{2}+1 \right) \left( {X}^{2}+X\sqrt {3}+1 \right) \left(-{X}^{2}+X\sqrt {3}-1 \right)$. \item $X^9+X^6+X^3+1= -\left( {X}^{2}+1 \right) \left({X}^{2}-X+1 \right) \left( {X}^{2}+X \sqrt {3}+1 \right) \left(-{X}^{2}+X\sqrt {3}-1 \right) \left( X+1 \right)$. \end{enumerate} \fincorrection \correction{003214} \begin{enumerate} \item $\frac n{2^{n-1}}$. \item $\frac {\sin(n\theta)}{2^{n-1}}$. \item $-(-n)^n$. \end{enumerate} \fincorrection \correction{003215} $\omega ^{2k}-2\omega ^k \cos \theta +1 = (\omega^k-e^{i\theta})(\omega^k-e^{-i\theta})$ et $\prod_{k=0}^{n-1}(\omega^k-x) = (-1)^n(x^n-1)$. \fincorrection \nocorrection \correction{003217} $X^{2n}-2X^n\cos n\theta+1 = (X^n-e^{in\theta})(X^n-e^{-in\theta})$. $Q$ $=\Bigl(\sum_{k=0}^{n-1} X^ke^{i(n-1-k)\theta}\Bigr) \Bigl(\sum_{\ell=0}^{n-1} X^le^{-i(n-1-\ell)\theta}\Bigr)$ \par $= \sum_{k=0}^{n-1} X^k\Bigl({\sum_{p=0}^k e^{i(k-2p)\theta}}\Bigr) + \sum_{k=n}^{2n-2} X^k\Bigl({\sum_{p=k-n+1}^{n-1} e^{i(k-2p)\theta}}\Bigr)$ \par $= \sum_{k=0}^{n-1} X^k \frac {\sin(k+1)\theta}{\sin\theta} + \sum_{k=n}^{2n-2} X^k \frac {\sin(2n-k-1)\theta}{\sin\theta}$. \par \fincorrection \correction{003218} Division de proche en proche : $Q = \sum_{k=0}^{n-1} X^k\cos k\theta$. \fincorrection \correction{003219} $\iff X^2 + X + 1\ |\ X^{2n} + pX^n + q \iff j^{2n} + pj^n + q = 0$. \fincorrection \correction{003220} $(X+1)(3X-1)(X^2+3X+5)$. \fincorrection \correction{003221} On calcule pgcd$({P(X),Q(X)}) = X^2+5$. $ \Rightarrow x_1 = i\sqrt5$ et $x_2 = -i\sqrt5$. On obtient alors : $P(X) = (X^2+5)(X^2-3X+1)$. Les deux derni{\`e}res racines sont $x_3 = \frac {3+\sqrt5}2$ et $x_4 = \frac {3-\sqrt5}2$. \fincorrection \correction{003222} $P = (X-2)^2(X-3)^3$. \fincorrection \correction{003223} $a = 10i$. Racines : $i,i,i,\frac {-3i+\sqrt{15}}2, \frac {-3i-\sqrt{15}}2$. \fincorrection \correction{003224} $\lambda = 0$, $x=1$. \fincorrection \correction{003225} $P$ doit {\^e}tre divisible par $X^2-X+r$, $ \Rightarrow r^2-3r+p+1 = 2r^2 - r + q = 0$.\par On calcule le pgcd de ces expressions $ \Rightarrow $ CNS : $4p^2 - 4pq + q^2 + 3p + 11q - 1 = 0$. \fincorrection \correction{003226} $ = (-1)^{n+1}\frac {(X-1)\cdots(X-n)\bigl(X-(n+1)\bigr)}{(n+1)!}$. \fincorrection \nocorrection \correction{003228} Pour $x \in \R$, on a $P(x) = \Im\bigl((1+xe^{i\theta})^n\bigr)$. \\ Donc $P(x) = 0 \iff \exists\ k \in \{0,\dots,n-1\}$ et $\lambda \in \R$ tels que : $1+xe^{i\theta} = \lambda e^{ik\pi/n}$. \\ On obtient $x_k = \frac{\sin(k\pi/n)}{\sin(\theta-k\pi/n)}$,\quad $0\le k \le n-1$. \fincorrection \nocorrection \correction{003230} $P = a(X-b)^\alpha$. \fincorrection \correction{003231} \begin{enumerate} \item si $P(x) = 0$, alors $P\bigl((x-1)^2\bigr) = P\bigl((x+1)^2\bigr) = 0$. \\ On a toujours $|x| < \max\{ |x-1|,|x+1| \}$ donc, s'il y a une racine de module $> 1$, il n'y a pas de racine de module maximal $ \Rightarrow P = 0$. \\ Or $\max\{ |x-1|,|x+1| \} \ge 1$ avec {\'e}galit{\'e} ssi $x = 0$. Donc $P = 0$ ou $P = 1$. \item Si $x$ est racine, alors $x^2$ et $(x+1)^2$ le sont aussi. \\ $ \Rightarrow |x| = 0$ ou $1 \Rightarrow |x+1| = 0$ ou $1 \Rightarrow x \in \{0,-1,j,j^2 \}$. \\ $x = 0$ ou $x = -1 \Rightarrow P(1) = 0$ : exclus. \\ Donc $P = a(X-j)^\alpha (X-j^2)^\beta$. On remplace $ \Rightarrow P = (X^2 + X + 1)^\alpha$. \item Seule racine possible : 1 $ \Rightarrow P=-(X-1)^k$. \end{enumerate} \fincorrection \nocorrection \correction{003233} M{\^e}mes racines avec les m{\^e}mes multiplicit{\'e}s. \fincorrection \correction{003234} \begin{enumerate} \item $P = \frac \Phi{X-z_k} \Rightarrow \frac {\Phi(z_0)}{z_0-z_k} = \frac {\Phi'(z_k)}n$. \item Les deux membres sont {\'e}gaux en $z_0,\dots,z_n$. \item D{\'e}composer $\Phi$ sur la base $\bigl((X-z_0)^k\bigr)$. \item $\sum_k e^{2ikp/n} = 0$ pour $p < n \Rightarrow $ OK. \end{enumerate} \fincorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \correction{003238} $x = z + \frac 1z$ avec $z^6 + z^5 + \dots + 1 = 0$. \\ Autres racines : $2\cos\frac{4\pi}7$ et $2\cos\frac{6\pi}7$. \fincorrection \correction{003239} \begin{enumerate} \item Soit $P(x) = a_n\prod_{k=1}^n(x-x_k)$. On a : $\sum_{k=0}^n \frac 1{(x-x_k)^2} = -\frac d{dx}\Bigl(\frac {P'}P\Bigr)(x) = \frac {P'^2 - PP''}{P^2}(x)$. \item Pour $k=1,x=0$, on a : $a_0a_2 \le \frac 12a_1^2$.\\ Pour $k$ quelconque : on applique le cas pr{\'e}c{\'e}dent {\`a} $P^{(k-1)}$ dont les racines sont encore r{\'e}elles simples : \\ $(k-1)!a_{k-1} \times \frac {(k+1)!}2a_{k+1} \le \frac 12(k!a_k)^2 \Rightarrow a_{k-1}a_{k+1} \le \frac {k}{k+1}a_k^2$. \end{enumerate} \fincorrection \correction{003240} $Q = X^2 -3X +1$, $P = \left(X-\frac {5+\sqrt{33}}2\right) \left(X-\frac {5-\sqrt{33}}2\right) (X^2 - X + 4)$. \fincorrection \nocorrection \correction{003242} \begin{enumerate} \item $p$ est premier car $ K$ est int{\`e}gre. On a $1^p = 1$, $(xy)^p = x^py^p$ (un corps est commutatif) et $(x+y)^p = x^p + y^p + \sum_{k=1}^{p-1}C_p^kx^ky^{p-k} = x^p + y^p$ car $p$ divise $C_p^k$ si $1\le k \le p-1$. \item Remarquer que $P'=0 \Leftrightarrow P\in K[X^p]$. On suppose $\sigma$ surjectif. Soit $P(X) = Q(X^p) = a_0 + \dots + a_kX^{kp}$ un polyn{\^o}me non constant {\`a} d{\'e}riv{\'e}e nulle. Il existe $b_0,\dots,b_k$ tels que $b_i^p = a_i$. Alors $P(X) = Q(X)^p$ est r{\'e}ductible. On suppose que tout polyn{\^o}me irr{\'e}ductible a une d{\'e}riv{\'e}e non nulle. Soit $a\in K$ et $P(X) = X^p - a$. $P'=0$ donc $P$ est r{\'e}ductible. Soit $Q$ un facteur unitaire irr{\'e}ductible de $X^p-a$. Alors $Q^p$ et $X^p-a$ ont $Q$ en facteur commun donc leur pgcd, $D$, est non constant. Mais $Q^p$ et $X^p-a$ appartiennent {\`a} $ K[X^p]$ donc $D$, obtenu par l'algorithme d'Euclide aussi, d'o{\`u} $D = X^p-a$ et $X^p-a$ divise $Q^p$. Par unicit{\'e} de la d{\'e}composition de $Q^p$ en facteurs irr{\'e}ductibles, il existe $r\in\N$ tel que $X^p-a = Q^r$. Par examen du degr{\'e} on a $r=p$ donc $\deg Q = 1$, $Q = X-b$ et finalement $b^p=a$. \end{enumerate} \fincorrection \correction{003243} $V(\alpha)$ est pair si et seulement si $P(\alpha)$ et $P^{(n)}(\alpha)$ ont m{\^e}me signe, de m{\^e}me pour $V(\beta)$. Comme $P^{(n)}(\alpha) = P^{(n)}(\beta)$ on en d{\'e}duit que $V(\alpha)-V(\beta)$ est pair si et seulement si $P(\alpha)$ et $P(\beta)$ ont m{\^e}me signe, donc si et seulement si $P$ a un nombre pair de racines dans $[\alpha,\beta]$. D{\'e}croissance de~$V$~: $V$ est constant sur tout intervalle ne contenant aucune racine de $P,P',\dots,P^{(n-1)}$. Consid{\'e}rons $x_0\in{[\alpha,\beta[}$ tel que $P^{(k)}(x_0) \ne 0$, $P^{(k+1)}(x_0) = \dots = P^{(\ell-1)}(x_0) = 0$ et $P^{(\ell)}(x_0) \ne 0$. Alors pour $x$ proche de $x_0$ avec $x>x_0$, $P^{(k)}(x)$ a m{\^e}me signe que $P^{(k)}(x_0)$ et $P^{(k+1)}(x),\dots,P^{(\ell)}(x)$ ont m{\^e}me signe que $P^{(\ell)}(x_0)$ donc les nombres de changements de signe dans les sous-suites $(P^{(k)}(x),\dots,P^{(\ell)}(x))$ et $(P^{(k)}(x_0),\dots,P^{(\ell)}(x_0))$ sont {\'e}gaux. De m{\^e}me si $P(x_0) = \dots = P^{(\ell-1)}(x_0) = 0$ et $P^{(\ell)}(x_0) \ne 0$. Ceci prouve que $V(x_0^+) = V(x_0)$ pour tout $x_0\in{[\alpha,\beta[}$. On consid{\`e}re {\`a} pr{\'e}sent $x_0\in{]\alpha,\beta]}$ tel que $P^{(k)}(x_0) \ne 0$, $P^{(k+1)}(x_0) = \dots = P^{(\ell-1)}(x_0) = 0$ et $P^{(\ell)}(x_0) \ne 0$. Alors pour $x$ proche de $x_0$ avec $x 0 > f((2k+1)\pi/n)$ pour $k\in\Z$ donc $f$ admet $2n$ racines dans $[0,2\pi[$. En posant $z=e^{ix}$, $z^nf(x)$ est un polyn{\^o}me en~$z$ de degr{\'e} $2n$ ayant $2n$ racines sur le cercle unit{\'e}~; il n'en n'a pas ailleurs. \fincorrection \correction{003246} $(X^2-X+1) (X^2+X+1) (X^2-X\sqrt3+1) (X^2+X\sqrt3+1)$. \fincorrection \correction{003247} Racines : $\alpha = 2 + \sqrt{\frac {\sqrt2+1}2} + i\sqrt{\frac {\sqrt2-1}2},\ \overline{\alpha},\ \beta = 2 - \sqrt{\frac {\sqrt2+1}2} - i\sqrt{\frac {\sqrt2-1}2},\ \overline{\beta}$. Factorisation de $P$ sur $\R$ : $P = (X^2 - 2\Re(\alpha)X + |\alpha|^2) (X^2 - 2\Re(\beta)X + |\beta|^2)$ et les facteurs sont irrationnels. \fincorrection \correction{003248} \begin{enumerate} \item $P = |Q+iR|^2$. \item Factoriser $P$. \item Avec Maple~: $P=\frac1{65\strut}Q\overline Q$ avec $Q=65X^2+(49i-67)X+(42+11i)$ et $Q$ est irr{\'e}ductible sur $Q[i]$. \let\l\lambda\def\m{\overline\lambda}% Donc si $P=A^2+B^2 = (A+iB)(A-iB)$ avec $A,B$ polyn{\^o}mes {\`a} coefficients entiers alors, quitte {\`a} changer $B$ en $-B$, il existe $\l\in\Q[i]$ tel que~: $A+iB = \l Q$ et $A-iB=\m\overline Q$ d'o{\`u}~: $$\begin{aligned} 2A &= 65(\l+\m)X^2 + ((49i-67)\l-(49i+67)\m)X + ((42+11i)\l+(42-11i)\m)\cr 2iB &= 65(\l-\m)X^2 + ((49i-67)\l+(49i+67)\m)X + ((42+11i)\l-(42-11i)\m)\cr \l\m &=65.\cr \end{aligned}$$ En particulier $65\l\in \Z[i]$, {\'e}crivons $\l = \frac{u+iv}{\strut 65}$ avec $u,v\in\Z$~: $$\begin{aligned} A &= uX^2 -\frac{67u+49v}{\strut 65}X + \frac{42u-11v}{\strut 65}\cr B &= vX^2 +\frac{49u-67v}{\strut 65}X + \frac{11u+42v}{\strut 65}\cr u^2+v^2 &=65.\cr \end{aligned}$$ $67u+49v$ est divisible par $65$ si et seulement si $u\equiv 8v(\mathrm{mod}\,{65})$ et dans ce cas les autres num{\'e}rateurs sont aussi multiples de~$65$. La condition $u^2+v^2 = 65$ donne alors $v=\pm1, u=\pm8$ d'o{\`u}~: $$A = \pm(8X^2 -9X + 5), \qquad B = \pm(X^2 +5X + 2).$$ \end{enumerate} \fincorrection \nocorrection \nocorrection \correction{003251} \begin{enumerate} \item Si $P = QR$ alors $Q(a_i)R(a_i) = -1 \Rightarrow Q(a_i) = -R(a_i) = \pm1$, donc $Q+R$ a $n$ racines, donc est nul, et $P = -Q^2$~: contradiction pour $x \to \infty$. \item M{\^e}me raisonnement : $P = Q^2$, donc $Q^2-1 = (Q-1)(Q+1) = (X-a_1) \dots (X-a_n)$. \par On r{\'e}partit les facteurs entre $Q-1$ et $Q+1$ : $n = 2p$, contradiction. \end{enumerate} \fincorrection \correction{003252} Soit $P = QR$ avec $Q=X^{n_1}+b_{n_1-1}X^{n_1-1}+\dots+b_0X^0$ et $R=X^{n_2}+c_{n_2-1}X^{n_2-1}+\dots+c_0X^0$. Par hypoth{\`e}se sur $a_0 = b_0c_0$, $p$ divise un et un seul des entiers $b_0$, $c_0$. Supposons que $p$ divise $b_0,b_1,\dots,b_{k-1}$~: alors $a_k \equiv b_kc_0 (\mathrm{mod}\, p)$ donc $p$ divise $b_k$. On aboutit {\`a} \og$p$ divise le coefficient dominant de $Q$\fg, ce qui est absurde. \fincorrection \correction{003253} On suppose $a\ne 0$ et $X^p-a = PQ$ avec $P,Q\in K[X]$ unitaires non constants. Soit $n=\deg(P)\in{[[1,p-1]]}$ et $b=(-1)^nP(0)\in K$. $b$ est le produit de cetraines $p$-{\`e}mes de~$a$, donc $b^p = a^n$. De plus $n\wedge p = 1$~; soit $nu+pv=1$ une relation de B{\'e}zout. On a alors $b^{pu} = a^{nu} = a^{1-pv}$ d'o{\`u} $a = (b^u/a^v)^p$ donc $b^u/a^v\in K$ est racine de $X^p-a$. \fincorrection \correction{005318} Soit $n\in\Nn$. \begin{align*}\ensuremath (X+1)^n-X^n-1\;\mbox{est divisible par}\;X^2+X+1&\Leftrightarrow j\;\mbox{et}\;j^2\;\mbox{sont racines de}\;(X+1)^n-X^n-1\\ &\Leftrightarrow j\;\mbox{est racine de}\;(X+1)^n-X^n-1\\ &(\mbox{car}\;(X+1)^n-X^{n-1}\;\mbox{est dans}\;\Rr[X])\\ &\Leftrightarrow(j+1)^n-j^n-1=0\Leftrightarrow(-j^2)^n-j^n-1=0. \end{align*} Si $n\in6\Zz$, $(-j^2)^n-j^n-1=-3\neq0$. Si $n\in1+6\Zz$, $(-j^2)^n-j^n-1=-j^2-j-1=0$. Si $n\in2+6\Zz$, $(-j^2)^n-j^n-1=j-j^2-1=2j\neq0$. Si $n\in3+6\Zz$, $(-j^2)^n-j^n-1=-3\neq0$. Si $n\in4+6\Zz$, $(-j^2)^n-j^n-1=j^2-j-1=2j^2\neq0$. Si $n\in5+6\Zz$, $(-j^2)^n-j^n-1=-j-j^2-1=0$. En résumé, $(X+1)^n-X^n-1$ est divisible par $X^2+X+1$ si et seulement si $n$ est dans $(1+6\Zz)\cup(5+6\Zz)$. \fincorrection \correction{005319} Soit $P$ un polynôme non nul à coefficients réels. Pour tout réel $x$, on peut écrire $$P(x)=\lambda\prod_{i=1}^{k}(x-a_i)^{\alpha_i}\prod_{j=1}^{l}((x-z_j)(x-\overline{z_j}))^{\beta_j},$$ où $\lambda$ est un réel non nul, $k$ et $l$ sont des entiers naturels, les $a_i$ sont des réels deux à deux distincts, les $\alpha_i$ et les $\beta_i$ des entiers naturels et les $(x-z_j)(x-\overline{z_j})$ des polynômes deux à deux premiers entre eux à racines non réelles. Tout d'abord, pour tout réel $x$, $\prod_{j=1}^{l}((x-z_j)(x-\overline{z_j}))^{\beta_j}>0$ (tous les trinomes du second degré considérés étant unitaires sans racines réelles.) Donc, $(\forall x\in\Rr,\;P(x)\geq0)\Leftrightarrow(\forall x\in\Rr,\;\lambda\prod_{i=1}^{k}(x-a_i)^{\alpha_i}\geq0)$. Ensuite, si $\forall x\in\Rr,\;P(x)\geq0$, alors $\lim_{x\rightarrow +\infty}P(x)\geq0$ ce qui impose $\lambda>0$. Puis, si un exposant $\alpha_i$ est impair, $P$ change de signe en $a_i$, ce qui contredit l'hypothèse faite sur $P$. Donc, $\lambda>0$ et tous les $\alpha_i$ sont pairs. Réciproquement, si $\lambda>0$ et si tous les $\alpha_i$ sont pairs, alors bien sûr, $\forall x\in\Rr,\;P(x)\geq0$. Posons $A=\sqrt{\lambda}\prod_{i=1}^{k}(x-a_i)^{\alpha_i/2}$. $A$ est un élément de $\Rr[X]$ car $\lambda>0$ et car les $\alpha_i$ sont des entiers pairs. Posons ensuite $Q_1=\prod_{j=1}^{l}(x-z_j)^{\beta_j}$ et $Q_2=\prod_{j=1}^{l}(x-\overline{z_j})^{\beta_j}$. $Q_1$ admet après développement une écriture de la forme $Q_1=B+iC$ où $B$ et $C$ sont des polynômes à coefficients réels. Mais alors, $Q_2=B-iC$. Ainsi, $$P=A^2Q_1Q_2=A^2(B+iC)(B-iC)=A^2(B^2+C^2)=(AB)^2+(AC)^2=R^2+S^2,$$ où $R$ et $S$ sont des polynômes à coefficients réels. \fincorrection \correction{005324} Soit $P$ un polynôme de degré $n$ supèrieur ou égal à $2$. Posons $P=\lambda(X-z_1)(X-z_2)...(X-z_n)$ où $\lambda$ est un complexe non nuls et les $z_k$ des complexes pas nécessairement deux à deux distincts. $$P'=\lambda\sum_{i=1}^{n}(\prod_{j\neq i}^{}(X-z_j))=\sum_{i=1}^{n}\frac{P}{X-z_i},$$ et donc $$\frac{P'}{P}=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{X-z_i}.$$ Soit alors $z$ une racine de $P'$ dans $\Cc$. Si z est racine de $P$ (et donc racine de $P$ d'ordre au moins $2$) le résultat est clair. Sinon, $$0=\frac{P'(z)}{P(z)}=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{z-z_i}=\sum_{i=1}^{n}\frac{\overline{z-z_i}}{|z-z_i|^2}.$$ En posant $\lambda_i=\frac{1}{|z-z_i|^2}$, ($\lambda_i$ est un réel strictement positif) et en conjugant, on obtient $\sum_{i=1}^{n}\lambda_i(z-z_i)=0$ et donc $$z=\frac{\sum_{i=1}^{n}\lambda_iz_i}{\sum_{i=1}^{n}\lambda_i}=\mbox{bar}(z_1(\lambda_1),...,z_n(\lambda_n)).$$ \fincorrection \correction{005325} On suppose que $n=\mbox{deg}P\geq1$. On pose $P=\lambda(X-z_1)(X-z_2)...(X-z_n)$ où $\lambda$ est un complexe non nul et les $z_k$ sont des complexes pas nécessairement deux à deux distincts. D'après l'exercice précédent, $\frac{P'}{P}=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{X-z_k}$. Si $P$ est divisible par $P'$, $\exists(a,b)\in\Cc^2\setminus\{(0,0)\}/\;P=(aX+b)P'$ et donc $\exists(a,b)\in\Cc^2\setminus\{(0,0)\}/\;\frac{P'}{P}=\frac{1}{aX+b}$ ce qui montre que la fraction rationelle $\frac{P'}{P}$ a exactement un et un seul pôle complexe et donc que les $z_k$ sont confondus. En résumé, si $P'$ divise $P$, $\exists(a,\lambda)\in\Cc^2/\;P=\lambda(X-a)^n$ et $\lambda\neq0$. Réciproquement, si $P=\lambda(X-a)^n$ avec $\lambda\neq0$, alors $P'=n\lambda(X-a)^{n-1}$ divise $P$. Les polynômes divisibles par leur dérivée sont les polynômes de la forme $\lambda(X-a)^n$, $\lambda\in\Cc\setminus\{0\}$, $n\in\Nn^*$, $a\in\Cc$. \fincorrection \correction{005328} $a$ est solution du problème si et seulement si $X^5-209X+a$ est divisible par un polynôme de la forme $X^2+\alpha X+1$. Mais $$X^5-209X+a=(X^2+\alpha X+1)(X^3-\alpha X^2+(\alpha^2-1)X-(\alpha^3-2\alpha))+(\alpha^4-3\alpha^2-208)X+a+(\alpha^3-2\alpha).$$ Donc a est solution $\Leftrightarrow\exists\alpha\in\Cc/\;\left\{ \begin{array}{l} \alpha^4-3\alpha^2-208=0\\ a=-\alpha^3+2\alpha \end{array} \right.$. Mais, $\alpha^4-3\alpha^2-208=0\Leftrightarrow\alpha^2\in\{-13,16\}\Leftrightarrow\alpha\in\{-4,4,i\sqrt{13},-i\sqrt{13}\}$ et la deuxième équation fournit $a\in\{56,-56,15i\sqrt{13},-15i\sqrt{13}\}$. \fincorrection \correction{005329} On note que $P(1)=1\neq0$ et donc que l'expression proposée a bien un sens. $$\sum_{k=1}^{5}\frac{a_k+2}{a_k-1}=\sum_{k=1}^{5}(1+\frac{3}{a_k-1})=5-3\sum_{k=1}^{5}\frac{1}{1-a_k}=5-3\frac{P'(1)}{P(1)}=5-3\frac{12}{1}=-31.$$ \fincorrection \correction{005342} \begin{align*}\ensuremath P&=X^6-2X^3\cos a+1=(X^3-e^{ia})(X^3-e^{-ia})\\ &=(X-e^{ia/3})(X-je^{ia/3})(X-j^2e^{ia/3})(X-e^{-ia/3})(X-je^{-ia/3})(X-j^2e^{-ia/3})\\ &=(X^2-2X\cos\frac{a}{3}+1)(X^2-2X\cos(\frac{a}{3}+\frac{2\pi}{3})+1)(X^2-2X\cos(\frac{a}{3}-\frac{2\pi}{3})+1) \end{align*} Il reste à se demander 1) si les facteurs précédents sont irréductibles sur $\Rr$ et 2) si ces facteurs sont deux à deux distincts. Les trois facteurs de degré $2$ ont un discriminant réduit du type $\Delta'=\cos^2\alpha-1=-\sin^2\alpha$ et $\Delta'$ est nul si et seulement si $\alpha$ est dans $\pi\Zz$. Les cas particuliers sont donc ($\frac{a}{3}$ est dans $\pi\Zz$ et donc $a=0$) et ($\frac{a+2\pi}{3}$ est dans $\pi\Zz$ et donc $a=\pi$) et ($\frac{a-2\pi}{3}$ est dans $\pi\Zz$ ce qui n'a pas de solution dans $[0,\pi]$). \begin{itemize} \item[1er cas.] Si $a=0$. $$P=(X^2-2X+1)(X^2+X+1)(X^2+X+1)=(X-1)^2(X^2+X+1)^2.$$ \item[2ème cas.] Si $a=\pi$, en remplaçant $X$ par $-X$ on obtient : $$P=(X+1)^2(X^2-X+1)^2.$$ \item[3ème cas.] Si $a$ est dans $]0,\pi[$, les trois facteurs de degré $2$ sont irréductibles sur $\Rr$ et clairement deux à deux distincts. Donc $$P=(X^2-2X\cos\frac{a}{3}+1)(X^2-2X\cos\frac{a+2\pi}{3}+1)(X^2-2X\cos\frac{a-2\pi}{3}+1).$$ \end{itemize} \fincorrection \correction{005345} Pour $k$ élément de $\{-3,-2,-1,1,2,3\}$, posons $x_k=\sin\frac{k\pi}{7}$ (les $x_k$ sont deux à deux opposés). Il faut calculer les coefficients du polynôme \begin{align*}\ensuremath P&=(X-\sin\frac{\pi}{7})(X-\sin\frac{2\pi}{7})(X-\sin\frac{3\pi}{7})(X+\sin\frac{\pi}{7})(X+\sin\frac{2\pi}{7})(X+\sin\frac{3\pi}{7})\\ &=(X^2-\sin^2\frac{\pi}{7})(X^2-\sin^2\frac{2\pi}{7})(X^2-\sin^2\frac{3\pi}{7})\\ &=(X^2-\frac{1}{2}(1-cos\frac{2\pi}{7}))(X^2-\frac{1}{2}(1-cos\frac{4\pi}{7})) (X^2-\frac{1}{2}(1-cos\frac{6\pi}{7}))\\ &=\frac{1}{8}Q(-2X^2+1) \end{align*} où $Q(Y)=(\cos\frac{2\pi}{7}-Y)(\cos\frac{4\pi}{7}-Y)(\cos\frac{8\pi}{7}-Y)$. Posons $\omega=e^{2i\pi/7}$. \begin{align*}\ensuremath \cos\frac{2\pi}{7}\cos\frac{4\pi}{7}\cos\frac{6\pi}{7}&=\frac{1}{8}(\omega+\omega^6)(\omega^2+\omega^5)(\omega^3+\omega^4) =\frac{1}{8}(6+\omega^7+\omega^9+\omega^{10}+\omega^{11}+\omega^{12}+\omega^{14}+\omega^{15})\\ &=\frac{1}{8}(\omega^6+\omega^7+\omega^2+\omega^3+\omega^4+\omega^5+1+\omega)=\frac{1}{8}. \end{align*} Puis, \begin{align*}\ensuremath \cos\frac{2\pi}{7}\cos\frac{4\pi}{7}+\cos\frac{2\pi}{7}\cos\frac{6\pi}{7}+ \cos\frac{6\pi}{7}\cos\frac{4\pi}{7}&=\frac{1}{4}((\omega+\omega^6)(\omega^2+\omega^5)+(\omega+\omega^6)(\omega^3+\omega^4)+(\omega^3+\omega^4)(\omega^2+\omega^5))\\ &=\frac{1}{4}(2\omega+2\omega^2+2\omega^3+2\omega^4+2\omega^5+2\omega^6)=\frac{-2}{4}=-\frac{1}{2}. \end{align*} Enfin, \begin{align*}\ensuremath \cos\frac{2\pi}{7}+\cos\frac{4\pi}{7}+\cos\frac{6\pi}{7}&=\frac{1}{2}(\omega+\omega^2+\omega^3+\omega^4+\omega^5+\omega^6)=-\frac{1}{2} \end{align*} Donc, $Q=\frac{1}{8}-(-\frac{1}{2})Y+(-\frac{1}{2})Y^2-Y^3=\frac{1}{8}(-8Y^3-4Y^2+4Y+1)$ puis, $$P=\frac{1}{64}(-8(-2X^2+1)^3-4(-2X^2+1)^2+4(-2X^2+1)+1)=\frac{1}{64}(64X^6-112X^4+54X^2-7).$$ Une équation du $6$ème degré dont les solutions sont les sin est $64x^6-112x^4+54x^2-7=0$. Maintenant, si $r=$ ($p$ entier relatif non nul, $q$ entier naturel non nul, $p$ et $q$ premiers entre eux) est une racine rationnelle de cette équation, alors, d'après l'exercice \ref{exo:suprou9}, $p$ divise $-7$ et $q$ divise $64$ et donc $p$ est élément de $\{1,-1,7,-7\}$ et $q$ est élément de $\{1,2,4,8,16,32,64\}$. On vérifie aisémént qu'aucun des rationnels $r$ obtenu n'est racine de $P$ et donc les racines de $P$ sont irrationnelles. \fincorrection \correction{005349} Posons $P=X^4-4X^3-36X^2+\lambda X+\mu$. \begin{align*}\ensuremath (\lambda,\mu)\;\mbox{solution}&\Leftrightarrow\exists(z,r)\in\Cc^2/\;\mbox{les racines de}\;P\;\mbox{soient}\;z,z+r,z+2r,z+3r\\ &\Leftrightarrow\exists(z,r)\in\Cc^2/\;\left\{ \begin{array}{l} \sigma_1=4\\ \sigma_2=-36\\ \sigma_3=-\lambda\\ \sigma_4=\mu \end{array} \right. \\ &\Leftrightarrow\exists(z,r)\in\Cc^2/\;\left\{ \begin{array}{l} 4z+6r=4\\ z(3z+6r)+(z+r)(2z+5r)+(z+2r)(z+3r)=-36\\ \sigma_3=-\lambda\\ \sigma_4=\mu \end{array} \right. \\ &\Leftrightarrow\exists(z,r)\in\Cc^2/\;\left\{ \begin{array}{l} 2z+3r=2\\ 6z^2+18rz+11r^2=-36\\ \sigma_3=-\lambda\\ \sigma_4=\mu \end{array} \right. \\ &\Leftrightarrow\exists(z,r)\in\Cc^2/\;\left\{ \begin{array}{l} z=1-\frac{3}{2}r\\ 6(1-\frac{3}{2}r)^2+18(1-\frac{3}{2}r)r+11r^2=-36\\ \sigma_3=-\lambda\\ \sigma_4=\mu \end{array} \right. \\ &\Leftrightarrow\exists(z,r)\in\Cc^2/\;\left\{ \begin{array}{l} -\frac{5}{2}r^2+42=0\\ z=1-\frac{3}{2}r\\ \sigma_3=-\lambda\\ \sigma_4=\mu \end{array} \right. \end{align*} D'où la solution (les deux valeurs opposées de $r$ fournissent évidemment la même progression arithmétique) $r=2\sqrt{\frac{21}{5}}$ puis $z=1-3\sqrt{\frac{21}{5}}$ puis les racines $z_1=1-3\sqrt{\frac{21}{5}}$, $z_2=1-\sqrt{\frac{21}{5}}$, $z_3=1+\sqrt{\frac{21}{5}}$ et $z_4=1+3\sqrt{\frac{21}{5}}$, obtenues pour $$\lambda=z_1z_2z_3z_4=(1-3\sqrt{\frac{21}{5}})(1-\sqrt{\frac{21}{5}})(1+\sqrt{\frac{21}{5}}) (1+3\sqrt{\frac{21}{5}})= (1-9\frac{21}{5})(1-\frac{21}{5})=\frac{2994}{25},$$ et \begin{align*}\ensuremath \mu&=(1-3\sqrt{\frac{21}{5}})(1-\frac{21}{5})+(1-9\frac{21}{5})(1-\sqrt{\frac{21}{5}})+(1-9\frac{21}{5})(1+\sqrt{\frac{21}{5}})+(1-\frac{21}{5})(1+3\sqrt{\frac{21}{5}})\\ &=2(1-\frac{21}{5})+2(1-9\frac{21}{5})=2(2-10\frac{21}{5})=-80 \end{align*} \fincorrection \correction{005350} Pour $i\in\{1,2,3\}$, on a $x_i^3+2x_i-1=0$ et donc $x_i^4+2x_i^2-x_i=0$. En additionnant ces trois égalités, on obtient $S_4+2S_2-S_1=0$ et donc $$S_4=-2((\sigma_1^2-2\sigma_2)+\sigma_1=(-2)(-2.2)=8.$$ \fincorrection \correction{005351} Pour chacun des $8$ numérateurs possibles, il y a $C_7^2=21$ dénominateurs et donc au total, $8\times21=168$ termes. $$\sum_{}^{}\frac{x_1}{x_2x_3}=\sum_{}^{}\frac{x_1^2x_4x_5x_6x_7x_8}{x_1x_2...x_8}=\frac{1}{\sigma_8}\sum_{}^{}x_1^2x_2x_3x_4x_5x_6=\frac{1}{3}\sum_{}^{}x_1^2x_2x_3x_4x_5x_6.$$ Ensuite, $$\sigma_1\sigma_6=(\sum_{}^{}x_1)(\sum_{}^{}x_1x_2x_3x_4x_5x_6)=\sum_{}^{}x_1^2x_2x_3x_4x_5x_6+\sum_{}^{}x_1x_2x_3x_4x_5x_6x_7,$$ et donc, $$\sum_{}^{}x_1^2x_2x_3x_4x_5x_6=\sigma_1\sigma_6-\sigma_7=(-1)(0)-1=-1.$$ Donc, $\sum_{}^{}\frac{x_1}{x_2x_3}=-\frac{1}{3}$. \fincorrection \correction{006959} \ \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item $X^3-3=(X-3^{1/3})(X^2+3^{1/3}X+3^{2/3})$ où $X^2+3^{1/3}X+3^{2/3}$ est irréductible sur $\R$. On cherche ses racines complexes pour obtenir la factorisation sur $\Cc$ : $$X^3-3=(X-3^{1/3})(X+\frac{1}{2}3^{1/3}-\frac{i}{2}3^{5/6})(X+\frac{1}{2}3^{1/3}+\frac{i}{2}3^{5/6})$$ \item Passons à $X^{12}-1$. $z=re^{i\theta}$ vérifie $z^{12}=1$ si et seulement si $r=1$ et $12\theta\equiv 0 [2\pi]$, on obtient donc comme racines complexes les $e^{ik\pi/6}$ ($k=0,\ldots,11$), parmi lesquelles il y en a deux réelles ($-1$ et $1$) et cinq couples de racines complexes conjuguées ($e^{i\pi/6}$ et $e^{11i\pi/6}$, $e^{2i\pi/6}$ et $e^{10i\pi/6}$, $e^{3i\pi/6}$ et $e^{9i\pi/6}$, $e^{4i\pi/6}$ et $e^{8i\pi/6}$, $e^{5i\pi/6}$ et $e^{7i\pi/6}$), d'où la factorisation sur $\Cc[X]$: $$\begin{array}{rl} X^{12}-1=&(X-1)(X+1)(X-e^{i\pi/6})(X-e^{11i\pi/6})(X-e^{2i\pi/6})\\ & \ \ (X-e^{10i\pi/6})(X-e^{3i\pi/6})(X-e^{9i\pi/6})(X-e^{4i\pi/6})\\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (X-e^{8i\pi/6})(X-e^{5i\pi/6})(X-e^{7i\pi/6}) \end{array}$$ Comme $(X-e^{i\theta})(X-e^{-i\theta})=(X^2-2\cos(\theta)X+1)$, on en déduit la factorisation dans $\Rr[X]$ : $$\begin{array}{rl} X^{12}-1&=(X-1)(X+1)(X^2-2\cos(\pi/6)X+1)\\ &\ \ \ (X^2-2\cos(2\pi/6)X+1)(X^2-2\cos(3\pi/6)X+1)\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ (X^2-2\cos(4\pi/6)X+1)(X^2-2\cos(5\pi/6)X+1)\\ &=(X-1)(X+1)(X^2-\sqrt{3}X+1)\\ &\ \ \ \ \ \ (X^2-X+1)(X^2+1)(X^2+X+1)(X^2+\sqrt{3}X+1) \end{array}$$ \item Pour $X^6+1$, $z=re^{i\theta}$ vérifie $z^{6}=-1$ si et seulement si $r=1$ et $6\theta\equiv \pi [2\pi]$, on obtient donc comme racines complexes les $e^{i(\pi+2k\pi)/6}$ ($k=0,\ldots,5$). D'où la factorisation dans $\Cc[X]$ : $$\begin{array}{rl} X^6+1 &=(X-e^{i\pi/6})(X-e^{3i\pi/6})(X-e^{5i\pi/6})(X-e^{7i\pi/6})\\ &\ \ \ \ \ (X-e^{9i\pi/6})(X-e^{11i\pi/6}) \end{array}$$ Pour obtenir la factorisation dans $\Rr[X]$, on regroupe les paires de racines complexes conjuguées : $$X^6+1=(X^2+1)(X^2-\sqrt{3}X+1)(X^2+\sqrt{3}X+1)$$ \item $X^9+X^6+X^3+1=P(X^3)$ où $P(X)=X^3+X^2+X+1=\frac{X^4-1}{X-1}$ : les racines de $P$ sont donc les trois racines quatrièmes de l'unité différentes de $1$ ($i$, $-i$, $-1$) et $$\begin{array}{rcl} X^9+X^6+X^3+1&=&P(X^3)\\ &=&(X^3+1)(X^3-i)(X^3+i)\\ &=&(X^3+1)(X^6+1) \end{array}$$ On sait déjà factoriser $X^6+1$, il reste donc à factoriser le polynôme $X^3+1=(X+1)(X^2-X+1)$, où $X^2-X+1$ n'a pas de racine réelle. Donc $$\begin{array}{rl} X^9+X^6+X^3+1&=(X+1)(X^2-X+1)(X^2+1)\\ & \ \ \ \ \ (X^2-\sqrt{3}X+1)(X^2+\sqrt{3}X+1) \end{array}$$ Pour la factorisation sur $\Cc$ : les racines de $X^2-X+1$ sont $e^{i\pi/3}$ et $e^{5i\pi/3}$, ce qui donne $$\begin{array}{rl} X^9+X^6+X^3+1&=(X+1)(X-e^{i\pi/3})(X-e^{5i\pi/3})\\ &\ \ \ (X-e^{i\pi/6})(X-e^{3i\pi/6})(X-e^{5i\pi/6})\\ &\ \ \ (X-e^{7i\pi/6})(X-e^{9i\pi/6})(X-e^{11i\pi/6}) \end{array}$$ \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Pour $X^2+(3i-1)X-2-i$, on calcule le discriminant $$\Delta=(3i-1)^2-4(-2-i)=-2i$$ et on cherche les racines carrées (complexes!) de $\Delta$: $w=a+ib$ vérifie $w^2=\Delta$ si et seulement si $w=1-i$ ou $w=-1+i$. Les racines du polynômes sont donc $\frac{1}{2}(-(3i-1)\pm(1-i))$ et $P(X)=(X+i)(X-1+2i)$. \item Pour $X^3+(4+i)X^2+(5-2i)X+2-3i$: $-1$ est racine évidente, et $P(X)=(X+1)(X^2+(3+i)X+2-3i)$. Le discriminant du polynôme $X^2+(3+i)X+2-3i$ vaut $\Delta=18i$, ses deux racines carrées complexes sont $\pm(3+3i)$ et finalement on obtient $P(X)=(X+1)(X-i)(X+3+2i)$. \end{enumerate} \end{enumerate} \fincorrection \correction{006960} Si $P$ est constant égal à $c$, il convient si et seulement si $c=c^2$, et alors $c\in\{0;1\}$. Dans la suite on suppose $P$ non constant. Notons $Z$ l'ensemble des racines de $P$. On sait que $Z$ est un ensemble non vide, fini. \emph{Analyse} Si $z\in Z$, alors $P(z)=0$ et la relation $P(X^2)=P(X)P(X+1)$ implique $P(z^2)=0$, donc $z^2\in Z$. En itérant, on obtient $z^{2k}\in Z$ (pour tout $k\in\N^*$). Si $|z|>1$, la suite $(|z^{2k}|)_k$ est strictement croissante donc $Z$ contient une infinité d'éléments, ce qui est impossible. De même si $0<|z|<1$, la suite $(|z^{2k}|)_k$ est strictement décroissante, ce qui est impossible pour la même raison. Donc les éléments de $Z$ sont soit $0$, soit des nombres complexes de module $1$. De plus, si $P(z)=0$, alors toujours par la relation $P(X^2)=P(X)P(X+1)$, on a que $P((z-1)^2)=0$ donc $(z-1)^2\in Z$. Par le même raisonnement que précédemment, alors ou bien $z-1=0$ ou bien $|z-1|=1$. En écrivant $z=a+ib$, on vérifie que $|z|=|z-1|=1$ équivaut à $z=e^{\pm i\pi/3}$. Finalement, $Z\subset\big\{0,1,e^{i\pi/3},e^{-i\pi/3}\big\}$. Or si $e^{\pm i\pi/3}$ était racine de $P$, alors $(e^{\pm i\pi/3})^2$ devrait aussi être dans $Z$, mais ce n'est aucun des quatre nombres complexes listés ci-dessus. Donc ni $e^{i\pi/3}$, ni $e^{-i\pi/3}$ ne sont dans $Z$. Les deux seules racines (complexes) possibles sont donc $0$ et $1$. Conclusion : le polynôme $P$ est nécessairement de la forme $\lambda X^k(X-1)^\ell$. \bigskip \emph{Synthèse} La condition $P(X^2)=P(X)P(X+1)$ devient $$\lambda X^{2k}(X^2-1)^\ell=\lambda^2X^k(X-1)^\ell(X+1)^kX^\ell$$ qui équivaut à $\left\{\begin{array}{l}\lambda^2=\lambda\\2k=k+\ell\\k=\ell\end{array}\right.$. Autrement dit $k=\ell$ et $\lambda=1$ (puisqu'on a supposé $P$ non constant). {\it Conclusion} Finalement, les solutions sont le polynôme nul et les polynômes $(X^2-X)^k$, $k\in\Nn$ ($k=0$ donne le polynôme $1$). \fincorrection \correction{006961} \begin{enumerate} \item Commençons par remarquer que si $P$ et $Q$ sont deux polynômes qui conviennent, alors pour tout $z\in\Cc^*$, $P\left(z+\frac{1}{z}\right)-Q\left(z+\frac{1}{z}\right)=0$. En appliquant cette égalité à $z=e^{i\theta}$, on obtient $(P-Q)(2\cos\theta)=0$. Le polynôme $P-Q$ a une infinité de racines, donc il est nul, ce qui montre $P=Q$. \item Montrons l'existence de $P$ par récurrence forte sur $n$: \begin{itemize} \item Pour $n=0$, $P=2$ convient et pour $n=1$, $P=X$ convient. \item Passage des rangs $k\le n$ au rang $n+1$. Si on note $P_k$ le polynôme construit pour $k\le n$, on a $$z^{n+1}+\frac{1}{z^{n+1}}=(z+\frac{1}{z})(z^n+\frac{1}{z^n})-(z^{n-1}+\frac{1}{z^{n-1}}) =(z+\frac{1}{z})P_n(z+\frac{1}{z})-P_{n-1}(z+\frac{1}{z})$$ donc $P_{n+1}(X)=XP_n(X)-P_{n-1}(X)$ convient. \item On a ainsi construit $P_n$ pour tout $n$ (avec $\deg P_n =n$). \end{itemize} \item Fixons $n$ et notons $P$ le polynôme obtenu. Pour tout $\theta\in\R$, $P(e^{i\theta}+e^{-i\theta})=e^{in\theta}+e^{-in\theta}$ donc $P(2\cos(\theta))=2\cos(n\theta)$. En posant $x=2\cos(\theta)$ et donc $\theta = \Arccos(\frac x2)$ on obtient la relation Ainsi, $$P(x)=2\cos(n\Arccos(\frac x2)) \qquad \forall x\in[-2,2]$$ Le polynôme dérivée est $P'(x)=\frac{n}{\sqrt{1-(\frac{x}{2})^2}}\sin(n\Arccos(\frac x2))$, il s'annule en changeant de signe en chaque $\alpha_k = 2\cos(\frac{k\pi}{n})$, ainsi $P'(\alpha_k)=0$ pour $k = 0,\ldots,n$. On calcule aussi que $P(\alpha_k) = \pm 2$. Le tableau de signe montre que $P$ est alternativement croissante (de $-2$ à $+2$) puis décroissante (de $+2$ à $-2$) sur chaque intervalle $[\alpha_{k+1}, \alpha_k]$, qui forment une partition de $[-2,2]$. D'après le théorème des valeurs intermédiaires, $P$ possède $n$ racines simples (une dans chaque intervalle $[\alpha_{k+1}, \alpha_k]$) dans $[-2,2]$. Puisque $P$ est de degré $n$, on a ainsi obtenu toutes ses racines. \end{enumerate} \fincorrection \correction{006962} \begin{enumerate} \item Si $k\in\Zz$ est racine de $P$, alors $k^n+a_{n-1}k^{n-1}+\cdots+a_1k=-a_0$ ce qui donne $k(k^{n-1}+\cdots+a_1)=-a_0$, donc $k$ divise $a_0$. \item Si $X^3-X^2-109X-11$ a une racine $k\in\Zz$, nécessairement $k$ divise $11$, donc $k$ vaut $-1$, $1$, $-11$ ou $11$. En testant ces quatre valeurs, on trouve que seul $11$ est racine. De même, si $X^{10}+X^5+1$ admettait une racine entière $k$, celle-ci diviserait $1$ donc vaut $k = \pm 1$, or on vérifie que ni $+1$, ni $-1$ ne sont racines. Ainsi $X^{10}+X^5+1$ n'a pas de racine entière. \end{enumerate} \fincorrection \correction{006963} On a $$L_i(a_i)=\prod_{\substack{1\le j\le n \\ j\not= i}}\frac{a_i-a_j}{a_i-a_j}=1 \qquad \text{ et } \quad L_i(a_j)=0 \text{ si } j\not=i$$ puisque le produit contient un facteur qui est nul: $(a_j-a_j)$. Puisque les $L_i$ sont tous de degré $n$, le polynôme $P$ est de degré inférieur ou égal à $n$, et $P(a_j)=\sum_{i=0}^nb_iL_i(a_j)=b_i$. Il reste à montrer qu'un tel polynôme est unique. Supposons que $Q$ convienne aussi, alors $P-Q$ est de degré inférieur ou égal à $n$ et s'annule en $n+1$ points (les $a_i$), donc il est identiquement nul, i.e. $P=Q$. \bigskip Pour l'application on utilise utilise les polynômes interpolateurs de Lagrange avec $a_0=0$, $b_0=1$ ; $a_1=1$, $b_1=0$ ; $a_2=-1$, $b_2=-2$ ; $a_3=2$, $b_3=4$. On sait qu'un tel polynôme $P(X)$ est unique et s'écrit $$P(X)=1\cdot L_0(X)+0\cdot L_1(X)-2\cdot L_2(X)+4L_3(X)$$ où $$L_0(X)=\frac{(X-1)(X+1)(X-2)}{(0-1)(0+1)(0-2)}=\frac{1}{2}(X^3-2X^2-X+2)$$ $$L_1(X)=\frac{(X-0)(X+1)(X-2)}{(1-0)(1+1)(1-2)}=\frac{-1}{2}(X^3-X^2-2X)$$ $$L_2(X)=\frac{(X-0)(X-1)(X-2)}{(-1-0)(-1-1)(-1-2)}=\frac{-1}{6}(X^3-3X^2+2X)$$ $$L_3(X)=\frac{(X-0)(X-1)(X+1)}{(2-0)(2-1)(2+1)}=\frac{1}{6}(X^3-X)$$ Ainsi : $$P(X)=\frac{3}{2}X^3-2X^2-\frac{1}{2}X+1.$$ \fincorrection \nocorrection \correction{000444} \begin{enumerate} \item $\frac{X^3-3X^2+X-4}{X-1} = X^2-2X-1-\frac{5}{X-1}$. \item $\frac{2X^3+X^2-X+1}{X^2-3X+2} = 2X+7-\frac{3}{X-1}+\frac{19}{X-2}$. \item $\frac{2X^3+X^2-X+1}{X^2-2X+1} = 2X+5+\frac{3}{(X-1)^2}+\frac{7}{X-1}$. \item $\frac{X^4+2X^2+1}{X^2-1} = X^2+3+\frac{2}{X-1}-\frac{2}{X+1}$. \item $\frac{X}{X^2-4} = \frac{1/2}{X+2} + \frac{1/2}{X-2}$. \item $\frac{X^5+X^4+1}{X^3-X} = X^2+X+1-\frac{1}{X}+\frac{1/2}{X+1}+\frac{3/2}{X-1}$. \item $\frac{X^5+X^4+1}{X(X-1)^4} = 1 + \frac{1}{X} + \frac{3}{(X-1)^4} + \frac{6}{(X-1)^3} + \frac{10}{(X-1)^2} + \frac{4}{X-1}$. \item $\frac{X^5+X^4+1}{(X-1)^3(X+1)^2} = 1 + \frac{3/4}{(X-1)^3} + \frac{3/2}{(X-1)^2} + \frac{37/16}{X-1} - \frac{1/8}{(X+1)^2} -\frac{5/16}{X+1}$. \item $\frac{X^7+3}{(X^2+X+2)^3} = X-3 + \frac{7X+13}{(X^2+X+2)^3} - \frac{7X+21}{(X^2+X+2)^2} + \frac{14}{X^2+X+2}$. \item $\frac{(3-2 i )X-5+3 i }{X^2+ i X+2} = \frac{2+ i }{X- i }+\frac{1-3 i }{X+2 i }$. \item $\frac{X+ i }{X^2+ i } = \frac{\frac{-\sqrt2+2}{4}+\frac{\sqrt2}{4} i }{X-\frac{\sqrt2-\sqrt2 i }{2}} + \frac{\frac{\sqrt2+2}{4}-\frac{\sqrt2}{4} i }{X-\frac{-\sqrt2+\sqrt2 i }{2}}$. \item $\frac{X}{(X+ i )^2} = \frac{1}{X+ i }-\frac{ i }{(X+ i )^2}$. \item $\frac{X^2+1}{X^4+1} = \frac{1/2}{X^2+\sqrt{2}X+1} + \frac{1/2}{X^2-\sqrt{2}X+1} = \frac{-\frac{\sqrt{2}}{4} i }{X-\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2} i } + \frac{ \frac{\sqrt{2}}{4} i }{X-\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2} i } + \frac{ \frac{\sqrt{2}}{4} i }{X+\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2} i } + \frac{-\frac{\sqrt{2}}{4} i }{X+\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2} i }$. \item $\frac{X}{X^4+1} = - \frac{\sqrt{2}/4}{X^2+\sqrt{2}X+1} + \frac{\sqrt{2}/4}{X^2-\sqrt{2}X+1} = \frac{-\frac{1}{4} i }{X-\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2} i } + \frac{ \frac{1}{4} i }{X-\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2} i } + \frac{-\frac{1}{4} i }{X+\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2} i } + \frac{ \frac{1}{4} i }{X+\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2} i }$. \item $\frac{X^2+X+1}{X^4+1} = \frac{(2-\sqrt{2})/4}{X^2+\sqrt{2}X+1} + \frac{(2+\sqrt{2})/4}{X^2-\sqrt{2}X+1} = \frac{-\frac{1+\sqrt{2}}{4} i }{X-\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2} i } + \frac{ \frac{1+\sqrt{2}}{4} i }{X-\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2} i } + \frac{-\frac{1-\sqrt{2}}{4} i }{X+\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2} i } + \frac{ \frac{1-\sqrt{2}}{4} i }{X+\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2} i }$. \item $\frac{X^5+X+1}{X^4-1} = X + \frac{3/4}{X-1} + \frac{1/4}{X+1} - \frac{X+\frac{1}{2}}{X^2+1} = X + \frac{3/4}{X-1} + \frac{1/4}{X+1} + \frac{-\frac{1}{2}+\frac{1}{4} i }{X- i } + \frac{-\frac{1}{2}-\frac{1}{4} i }{X+ i }$. \item $\frac{X^5+X+1}{X^6-1} = \frac{1/2}{X-1} + \frac{1/6}{X+1} + \frac{\frac{1}{3}X-\frac{2}{3}}{X^2-X+1} = \frac{1/2}{X-1} + \frac{1/6}{X+1} - \frac{\frac{1}{3} j }{X+ j } - \frac{\frac{1}{3} j ^2}{X+ j ^2}$, o\`u on a pos\'e de fa\c con standard $ j =-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2} i $. \item $\frac{X^3-2}{X^4(X^2+X+1)^2} = -\frac{2}{X^4}+\frac{4}{X^3}-\frac{2}{X^2}-\frac{3}{X} + \frac{X+1}{(X^2+X+1)^2} + \frac{3X+5}{X^2+X+1} = \newline -\frac{2}{X^4}+\frac{4}{X^3}-\frac{2}{X^2}-\frac{3}{X} + \frac{\frac{1}{3} j ^2}{(X- j )^2} + \frac{\frac{1}{3} j }{(X- j ^2)^2} + \frac{\frac{3}{2}-\frac{23\sqrt{3}}{18} i }{X- j } + \frac{\frac{3}{2}+\frac{23\sqrt{3}}{18} i }{X- j ^2}$, o\`u on a pos\'e de fa\c con standard $ j =-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2} i $. \item $\frac{X}{(X^2+1)(X^2+4)} = \frac{\frac{1}{3}X}{X^2+1} - \frac{\frac{1}{3}X}{X^2+4} = \frac{1/6}{X- i } + \frac{1/6}{X+ i } - \frac{1/6}{X-2 i } - \frac{1/6}{X+2 i }$. \item $\frac{X^2-3}{(X^2+1)(X^2+4)} = -\frac{4/3}{X^2+1} + \frac{7/3}{X^2+4} = \frac{\frac{2}{3} i }{X- i } + \frac{-\frac{2}{3} i }{X+ i } + \frac{-\frac{7}{12} i }{X-2 i } + \frac{\frac{7}{12} i }{X+2 i }$. \end{enumerate} \fincorrection \correction{000445} Commencer bien s\^ur par la division suivant les puissances d\'ecroissantes (la faire faire par les \'etudiants)~: $\Phi=x+1+\Phi_1$ avec $\Phi_1={4x^2-6x+1\over2x^3-x^2}.$\\ Puis factoriser le d\'enominateur et faire donner le type de d\'ecomposition de $\Phi_1$~: \begin{equation} \label{eq11} \Phi_1={A\over x^2}+{B\over x}+{C\over x-{1\over2}}. \end{equation} Expliquer qu'on obtient alors $A$ en multipliant les deux membres de~(\ref{eq11}) par $x^2$ et en passant \`a la limite quand $x$ tend vers 0 ($A=-1$). On obtient de m\^eme $C$ par multiplication par $x-{1\over2}$ et calcul de la limite quand $x$ tend vers ${1\over2}$ ($C=-2$). Enfin on trouve $B$ en identifiant pour une valeur particuli\`ere non encore utilis\'ee, par exemple $x=1$, ou mieux en multipliant les deux membres de~(\ref{eq11}) par $x$ et en passant \`a la limite pour $x\to\infty$ ($B=4$). Faire remarquer que pour un cas aussi simple, les calculs peuvent se faire \emph{de t\^ete} en \'ecrivant simplement les coefficients $A$, $B$, $C$ au fur et \`a mesure qu'on les obtient. $${2x^4+x^3+3x^2-6x+1\over2x^3-x^2}=x+1-{1\over x^2}+{4\over x}-{2\over x-{1\over2}}.$$ \fincorrection \correction{000446} La division suivant les puissances d\'ecroissantes\linebreak %%%% donne~: $\Phi=2+\Phi_1$ avec $$ \Phi_1={4x^4-10x^3+8x^2-4x+1\over x^3(x-1)^2}= {A\over x^3}+{B\over x^2}+{C\over x}+{D\over(x-1)^2}+{E\over x-1}. $$ Faire remarquer que la m\'ethode de l'exercice pr\'ec\'edent permettrait d'obtenir facilement $A$ et~$D$ par multiplication par $x^3$ et par $(x-1)^2$, mais qu'il resterait encore 3 coefficients \`a d\'eterminer. \\Il y a ici une m\'ethode plus efficace~: effectuer la division suivant les puissances croissantes, \`a l'ordre~3 (qui est l'exposant du facteur $x$) du num\'erateur $1-4x+8x ^2-10x^3+4x^4$ par $(x-1)^2$, ou plut\^ot par $1-2x+x^2$~: \begin{equation} \label{eq22} 1-4x+8x ^2-10x^3+4x^4=(1-2x+x^2)\times(1-2x+3x^2)+(-2x^3+x^4). \end{equation} En divisant les deux membres de~(\ref{eq22}) par $x^3(x-1)^2$, on obtient $A$, $B$ et~$C$ d'un seul coup~: $$ \Phi_1={1\over x^3}-{2\over x^2}+{3\over x}+{x-2\over(x-1)^2}. $$ Le calcul de $D$ et $E$ est alors imm\'ediat par d\'ecomposition de ${x-2\over(x-1)^2}$~: m\'ethode de l'exercice pr\'ec\'edent, ou division suivant les puissances d\'ecroissantes de $x-2$ par $x-1$~: $x-2=(x-1)-1$. $${2x^5-8x^3+8x^2-4 x+1\over x^3(x-1)^2}=2+ {1\over x^3}-{2\over x^2}+{3\over x}-{1\over(x-1)^2}+{1\over x-1}.$$ \smallskip Remarque~: cette m\'ethode est efficace pour un exposant assez grand (en gros \`a partir de~3). Elle peut \^etre utilis\'ee pour une fraction du type ${P(x)\over(x-a)^nQ(x)}$, mais il faut commencer par le changement de variable $u=x-a$ avant de faire la division, puis bien entendu revenir ensuite \`a la variable $x$. \fincorrection \correction{000447} Pas de division pr\'eliminaire dans ce cas\dots{} Forme de la d\'ecomposition~: \begin{equation} \label{eq31} \Phi={A\over x}+{Bx+C\over(x^2+1)^3}+{Dx+E\over(x^2+1)^2}+{Fx+G\over x^2+1}. \end{equation} La m\'ethode du premier exercice permet d'obtenir $A$, puis $B$ et~$C$ (pour ces derniers~: multiplication des deux membres de~(\ref{eq31}) par $x^2+1$, puis limite quand $x$ tend vers $i$ ou vers $-i$, avec s\'eparation des parties r\'eelle et imaginaire), mais c'est bien insuffisant pour conclure~: il faut encore soustraire ${Bx+C\over(x^2+1)^3}$, simplifier par $x^2+1$, calculer $D$ et $E$\dots{} (le faire faire quand m\^eme \`a titre d'entra\^inement). On va ici se contenter de trouver $A$ ($A=3$), puis faire la soustraction $\Phi_1=\Phi-{A\over x}$. Faire faire le calcul aux \'etudiants~; leur faire remarquer que, sauf erreur de calcul, la fraction $\Phi_1$ \emph{doit} se simplifier par $x$. On trouve~: $$ \Phi={3\over x}+{x^5-2x^4+2x^3-x^2+2x+2\over(x^2+1)^3}. $$ La fin de la d\'ecomposition se fait par divisions successives suivant les puissances d\'ecroissantes~: division du num\'erateur $x^5-2x^4+2x^3-x^2+2x+2$ par $x^2+1$, puis du quotient obtenu par $x^2+1$. $${4x^6-2x^5+11x^4-x^3+11x^2+2x+3\over x(x^2+1)^3}= {3\over x}+{x+1\over(x^2+1)^3}+{3\over(x^2+1)^2}+{x-2\over x^2+1}.$$ \smallskip Remarque~: cette m\'ethode des divisions successives est tr\`es pratique quand la fraction \`a d\'ecomposer a un d\'enominateur \emph{simple}, c'est \`a dire comportant un d\'enominateur du type $Q^n$ o\`u $Q$ est du premier degr\'e, ou du second degr\'e sans racine r\'eelle. Faire remarquer aussi comment on peut simplifier petit \`a petit en \'eliminant du d\'enominateur un d\'enominateur \emph{simple} (m\'ethode utilis\'ee dans l'exercice~3 par le calcul de $\Phi-{A\over x}$). \fincorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \correction{003270} \begin{enumerate} \item \item \item ssi $\exists\ G \in { K(X)}$ tel que $G\circ F = X \Rightarrow P\circ F = XQ\circ F$. \par $F = \frac AB,\ A \wedge B = 1 \Rightarrow \begin{cases}A\mid(p_0 - Xq_0)\cr B\mid(p_n - Xq_n)\end{cases} \Rightarrow F$ est homographique. \item $F = \phi(X)$. \end{enumerate} \fincorrection \nocorrection \correction{003272} $F = \frac PQ$. Si $P = \lambda Q$ : $\Im F = \{\lambda\}$.\par Si $P = \lambda Q + \mu$ : $\Im F = \C \setminus \{\lambda\}$.\par Sinon, $\Im F = \C$. \fincorrection \correction{003273} 1) $G = $cste.\par 2) $F$ a un seul p{\^o}le $a$ $ \Rightarrow F = \frac P{(X-a)^k}$ et $G = a + \frac 1Q$ avec $\deg P \le k$.\par 3) $F \in {\C[X]} \Rightarrow G \in {\C[X]}$. \fincorrection \correction{003274} \begin{enumerate} \item \item$n\frac {X^n+1}{X^n-1}$. \end{enumerate} \fincorrection \correction{003275} \begin{enumerate} \item $ \Rightarrow \frac{P(\scriptstyle X)}{Q(\scriptstyle X)} = \frac{P(\frac 1X)}{Q(\frac 1X)} = \frac{P(\scriptstyle X)+P(\frac 1X)}{Q(\scriptstyle X)+Q(\frac 1X)}$. \item \item \end{enumerate} \fincorrection \nocorrection \nocorrection \correction{003278} $I_k = \{ F$ tels que $\deg F \le -k \}$. \fincorrection \nocorrection \correction{003280} $$\begin{aligned}\frac1{(X^2+2X+1)(X^3-1)} &= \frac{-1/2}{(X+1)^2} + \frac{-3/4}{X+1} + \frac{1/12}{X-1} + \frac{1/3}{X-j} + \frac{1/3}{X-j^2}\cr &= \frac{-1/2}{(X+1)^2} + \frac{-3/4}{X+1} + \frac{1/12}{X-1} + \frac13\frac{2X+1}{X^2+X+1}.\cr\end{aligned}$$ \fincorrection \correction{003281} \begin{enumerate} \item $\sum_{k=0}^n \frac {(-1)^{k+p}p!}{k!\,(n-k)!\,(X+k)^{p+1}}$. \item $\frac{(-1)^pp!}{2i\sin\alpha}\Bigl(\frac 1{(X-e^{i\alpha})^{p+1}} - \frac 1{(X-e^{-i\alpha})^{p+1}}\Bigr) = \frac{\sum_{k=0}^p C_{p+1}^kp!\,{(-1)^k}\frac{\sin(p+1-k)\alpha}{\sin\alpha} X^k} {(X^2-2X\cos\alpha+1)^{p+1}}$. \item $\frac{\sum_{k\text{ pair}} C_{p+1}^kp!\,(-1)^{p+1} \frac {\sh k\alpha}{\ch\alpha} X^{p+1-k} +\sum_{k\text{ impair}} C_{p+1}^kp!\,(-1)^p \frac {\ch k\alpha}{\ch\alpha} X^{p+1-k}} {(X^2-2X\sh\alpha-1)^{p+1}}.$ \end{enumerate} \fincorrection \correction{003282} \begin{enumerate} \item $1$. \item $1/4$. \item $1/2$. \end{enumerate} \fincorrection \correction{003283} $\frac 1{Q(a)(X-a)^2} - \frac {Q'(a)}{Q^2(a)(X-a)} = \frac 2{R''(a)(X-a)^2} - \frac {2R'''(a)}{3{R''}^2(a)(X-a)}$. \fincorrection \correction{003284} \begin{enumerate} \item $\sum_{i=1}^n \Bigl( \frac{(1+a_i^2)^n}{P'^2(a_i)(X-a_i)^2} + \frac{2na_i - P''(a_i)(1+a_i^2)/P'(a_i)}{P'^2(a_i)(X-a_i)} \Bigr)$. \item \end{enumerate} \fincorrection \correction{003285} \begin{enumerate} \item D{\'e}composer $1/P$ en {\'e}l{\'e}ments simples, et prendre $x \to \infty$. \item Idem avec $X^k/P \Rightarrow \Sigma = \begin{cases}0 &\text{ si } 0 \le k < n-1 \cr 1 &\text{ si } k = n-1.\end{cases}$ \end{enumerate} \fincorrection \correction{003286} \begin{enumerate} \item $P' = \sum_{i=1}^n \frac {m_iP}{X-x_i} \Rightarrow \frac {P'}P = \sum_{i=1}^n \frac {m_i}{X-x_i}$. \item $P'(z) = 0 \Leftrightarrow \sum_{i=1}^n m_i\frac {\overline{z-x_i}}{|z-x_i|^2} = 0 \Leftrightarrow z = \text{Bar}\biggl( x_i, \frac {m_i}{|z-x_i|^2} \biggr)$. \item \item \end{enumerate} \fincorrection \nocorrection \correction{003288} $F(X+1) - F(X) = \frac 2{X-1} - \frac 3X + \frac 1{X+1} \Rightarrow F(X) = \frac 1X -\frac 2{X-1} + \text{cste}$. \fincorrection \correction{003289} $F = \sum_{j=1}^n \frac {x_j}{X-b_j} - \frac 1{X-c} = \lambda \frac {\prod(X-a_i)}{(X-c)\prod(X-bj)}$ o{\`u} $\lambda = -\prod \frac {c-b_i}{c-a_i}$. \fincorrection \correction{003290} $Q = (XP + P')(XP' + P) = XP^2\Bigl( X + \frac {P'}P \Bigr) \Bigl(\frac 1X + \frac {P'}P \Bigr)$. $\frac {P'}P = \sum \frac 1{X-a_i}$, donc les expressions : $x + \frac {P'(x)}{P(x)}$ et $\frac 1x + \frac {P'(x)}{P(x)}$ changent de signe entre $a_i$ et $a_{i+1}$. Cela fait au moins $2n-3$ racines distinctes ($2n-2$ si 1 n'est pas racine), plus encore une racine pour $\frac 1x + \frac {P'(x)}{P(x)}$ entre $0$ et $a_1$. \fincorrection \correction{003291} $\frac PQ = \sum_{k=0}^n\frac{P(k)}{(X-k)\prod_{i\ne k}(k-i)}$ donc $\sum_{k=0}^n\frac{P(k)}{\prod_{i\ne k}(k-i)} = \lim_{x\to\infty}\frac{xP(x)}{Q(x)}=1$. Si l'on suppose $|P(k)|< \frac{n!}{2^n}$ pour tout $k\in{[[0,n]]}$ alors $\left|\sum_{k=0}^n\frac{P(k)}{\prod_{i\ne k}(k-i)}\right| < \frac{1}{2^n}\sum_{k=0}^n\frac{n!}{k!\,(n-k)\!} = 1$, contradiction. \fincorrection \correction{003292} \begin{enumerate} \item On suppose $P\ne 0$. Soient $\alpha_1,\dots,\alpha_p$ les racines de $P$ de multiplicit{\'e}s $m_1,\dots,m_p$ et $n=m_1+\dots+m_p=\deg(P)$. On a $\frac{P'}P = \sum_i\frac{m_i}{X-\alpha_i}$ et $\sum_i\frac{-m_i}{(X-\alpha_i)^2} = \Bigl(\frac{P'}P\Bigr)' = \frac{P''}P - \Bigl(\frac{P'}P\Bigr)^2 = \frac{n(n-1)}{(X-\alpha)(X-\beta)} - \Bigl(\sum_i\frac{m_i}{X-\alpha_i}\Bigr)^2$ o{\`u} $\alpha,\beta$ sont les deux racines de~$P$ manquant dans~$P''$. Si $\alpha_i\notin\{\alpha,\beta\}$ alors en comparant les termes en $1/(X-\alpha_i)^2$ des membres extr{\^e}mes on trouve $m_i=1$. De m{\^e}me si $\alpha_i=\alpha\ne\beta$ ou l'inverse. Reste le cas $\alpha_i=\alpha=\beta$ qui donne $-m_i = n(n-1) - m_i^2$ donc $m_i = n$ ce qui contredit l'hypoth{\`e}se ``$P$ a deux racines distinctes''. \item Soient $\alpha_i<\alpha_j$ les deux plus petites racines r{\'e}elles de~$P$. Si $\alpha_i$ est aussi racine de $P''$ alors $P$ et $P''$ changent de signe en $\alpha_i$ et, en rempla\c cant au besoin $P$ par $-P$, $P$ est convexe positif sur $]-\infty,\alpha_i[$ et concave n{\'e}gatif sur $]\alpha_i,\alpha_j[$ ce qui est absurde. Donc $\alpha_i\in\{\alpha,\beta\}$. De m{\^e}me pour la plus grande racine r{\'e}elle de~$P$, ce qui prouve que $\alpha$ et $\beta$ sont r{\'e}els. En identifiant les {\'e}l{\'e}ments de premi{\`e}re esp{\`e}ce dans les deux d{\'e}compositions de $P'/P$ on obtient~: $$\forall\ i\in{[[1,n]]},\ \sum_{j\ne i}\frac2{\alpha_i-\alpha_j} = \begin{cases}n(n-1)/(\alpha-\beta) & \text{ si } \alpha_i=\alpha,\cr n(n-1)/(\beta-\alpha) &\text{ si } \alpha_i=\beta,\cr 0 &\text{ sinon.}\cr\end{cases}$$ En particulier pour $\alpha_i\notin\{\alpha,\beta\}$ on a~: $\sum_{j\ne i}\frac{\overline{\alpha_i}-\overline{\alpha_j}}{|\alpha_i-\alpha_j|^2} = 0$ ce qui signifie que $\overline{\alpha_i}$ est barycentre des $\overline{\alpha_j}$ avec des coefficients positifs, donc appartient {\`a} l'enveloppe convexe des $\overline{\alpha_j}$, $j\ne i$. Il en va de m{\^e}me sans les barres, et donc l'ensemble des racines de $P$ n'a pas d'autres points extr{\'e}maux que $\alpha$ et $\beta$~; il est inclus dans $[\alpha,\beta]$ donc dans~$\R$. \end{enumerate} \fincorrection \correction{003293} \begin{enumerate} \item $X^3-1 = (X^2+1)(X^3+X^2-1) - X^4(X+1)$. \item $F(x) = \ln\Bigl(\frac x{\sqrt{x^2+1}}\Bigr) - \arctan x + \frac 1{3x^3} - \frac 1x$. \end{enumerate} \fincorrection \correction{003294} \begin{enumerate} \item $1 = (1-X)^2 (1 + 2X + 3X^2 + \dots + nX^{n-1}) + (n+1)X^n - nX^{n+1}$. \item $=\frac {-n\cos n\theta + (n+1)\cos (n-1)\theta -\cos\theta} {4\sin^2{\textstyle{\frac\theta2}}}.$ \end{enumerate} \fincorrection \correction{003295} \begin{enumerate} \item $1-X^2 = (1-2X\cos\theta+X^2)(1 + 2X\cos\theta + \dots + 2X^n\cos n\theta) + 2X^{n+1}\cos(n+1)\theta - 2X^{n+2}\cos n\theta$. \item $=\frac{\cos n\theta - \cos(n+1)\theta}{1-\cos\theta}$. \end{enumerate} \fincorrection \correction{003296} \begin{enumerate} \item \item Division de 1 par $P \Rightarrow U = 1-2X+X^2+X^3-X^4,\quad V = -1+X^2+X^3+X^4$. \end{enumerate} \fincorrection \correction{005335} \begin{enumerate} \item Soit $F=\frac{X^2+3X+5}{X^2-3X+2}=\frac{X^2+3X+5}{(X-1)(X-2)}$. $1$ et $2$ ne sont pas racines du polynôme $X^2+3X+5$ et donc, $F$ est bien sous forme irréductible. La partie entière de $F$ étant clairement $1$, $F$ s'écrit sous la forme~: $$F=1+\frac{a}{X-1}+\frac{b}{X-2},$$ où $a$ et $b$ sont deux réels. $a=\lim_{x\rightarrow 1}(x-1)F(x)=\frac{1+3+5}{1-2}=-9$ et $b=\lim_{x\rightarrow 2}(x-2)F(x)=\frac{4+6+5}{2-1}=15$. Donc, $$F=1-\frac{9}{X-1}+\frac{15}{X-2}.$$ \item Soit $F=\frac{X^2+1}{(X-1)(X-2)(X-3)}$. La décomposition en éléments simples de $F$ s'écrit sous la forme~: $$F=\frac{a}{X-1}+\frac{b}{X-2}+\frac{c}{X-3},$$ où $a$, $b$ et $c$ sont trois réels. $a=\lim_{x\rightarrow 1}(x-1)F(x)=\frac{1+1}{(1-2)(1-3)}=1$, puis $b=\lim_{x\rightarrow 2}(x-2)F(x)=\frac{4+1}{(2-1)(2-3)}=-5$ et $c=\lim_{x\rightarrow 3}(x-3)F(x)=\frac{9+1}{(3-1)(3-2)}=5$. Donc, $$F=\frac{1}{X-1}-\frac{5}{X-2}+\frac{5}{X-3}.$$ \item Soit $F=\frac{1}{X(X-1)^2}$. $$F=\frac{a}{X}+\frac{b}{X-1}+\frac{c}{(X-1)^2},$$ avec $a=\lim_{x\rightarrow 0}xF(x)=1$ et $c=\lim_{x\rightarrow 1}(x-1)^2F(x)=1$. Enfin, $x=-1$ fournit $-1-\frac{b}{2}+\frac{1}{4}=-\frac{1}{4}$ et donc $b=-1$. Pour trouver $b$, on peut aussi écrire (le meilleur) $0=\lim_{x\rightarrow +\infty}xF(x)=a+b$ et donc que $b=-a=-1$. On peut encore écrire (le moins bon ici) $$\frac{1}{X(X-1)^2}-\frac{1}{X}-\frac{1}{(X-1)^2}=\frac{1-(X-1)^2-X}{X(X-1)^2}=\frac{-X^2+X}{X(X-1)^2} =-\frac{1}{X-1}.$$ Donc, $$F=\frac{1}{X}-\frac{1}{X-1}+\frac{1}{(X-1)^2}.$$ Autre démarche. \begin{align*}\ensuremath \frac{1}{X(X-1)^2}&=\frac{X-1-X}{X(X-1)^2}=\frac{1}{X(X-1)}-\frac{1}{(X-1)^2} =\frac{X-1-X}{X(X-1)}-\frac{1}{(X-1)^2}\\ &=\frac{1}{X}-\frac{1}{X-1}+\frac{1}{(X-1)^2}. \end{align*} \item Soit $F=\frac{X^2+1}{(X-1)^2(X+1)^2}$. Puisque $F$ est paire, la décomposition en éléments simples de $F$ est de la forme~: $$F=\frac{a}{X-1}+\frac{b}{(X-1)^2}-\frac{a}{X+1}+\frac{b}{(X+1)^2}.$$ $b=\lim_{x\rightarrow 1}(x-1)^2F(x)=\frac{1}{2}$ puis, $x=0$ fournit $-2a+2b=1$ et donc $a=0$. $$F=\frac{1}{2}(\frac{1}{(X-1)^2}+\frac{1}{(X+1)^2}).$$ \item Soit $F=\frac{1}{(X-2)^3(X+2)^3}$. Puisque $F$ est paire, la décomposition en éléments simples de $F$ est de la forme~: $$F=\frac{a}{X-2}+\frac{b}{(X-2)^2}+\frac{c}{(X-2)^3}-\frac{a}{X+2}+\frac{b}{(X+2)^2}-\frac{c}{(X+2)^3}.$$ $c=\lim_{x\rightarrow 2}(x-2)^3F(x)=\frac{1}{64}$ puis, \begin{align*}\ensuremath F-\frac{1}{64}(\frac{1}{(X-2)^3}-\frac{1}{(X+2)^3})&=\frac{64-(X+2)^3+(X-2)^3}{64(X-2)^3(X+2)^3}= \frac{-12X^2+48}{64(X-2)^3(X+2)^3}\\ &=-\frac{3}{16}\frac{X^2-4}{(X-2)^3(X+2)^3}=-\frac{3}{16}\frac{1}{(X-2)^2(X+2)^2} \end{align*} Puis, $b=\lim_{x\rightarrow 2}(x-2)^2(F(x)-\frac{1}{64}(\frac{1}{(x-2)^3}-\frac{1}{(x+2)^3})=-\frac{3}{16}\frac{1}{(2+2)^2} =-\frac{3}{256}$. Enfin, $x=0$ fournit $-\frac{1}{64}=-a-\frac{3}{512}-\frac{1}{256}$ et $a=\frac{1}{64}-\frac{5}{512}=\frac{3}{512}$. Donc, $$F=\frac{1}{512}(\frac{3}{X-2}-\frac{6}{(X-2)^2}+\frac{8}{(X-2)^3}-\frac{3}{X+2}-\frac{6}{(X+2)^2}-\frac{8}{(X+2)^3}).$$ \item Soit $F=\frac{X^6}{(X^3-1)^2}$. On a déjà $(X^3-1)^2=(X-1)^2(X-j)^2(X-j^2)^2$. Puisque $F$ est réelle, la décomposition en éléments simples de $F$ s'écrit $$F=1+\frac{a}{X-1}+\frac{b}{(X-1)^2}+\frac{c}{X-j}+\frac{d}{(X-j)^2}+\frac{\overline{c}}{X-j^2}+\frac{\overline{d}}{(X-j^2)^2}.$$ $b=\lim_{z\rightarrow 1}(z-1)^2F(z)=\frac{1}{9}$ et \begin{align*}\ensuremath d&=\lim_{z\rightarrow j}(z-j)^2F(z)=\frac{j^6}{(j-1)^2(j-j^2)^2}=\frac{1}{j^2(j-1)^4}=\frac{1}{j^2(j^2-2j+1)^2}\\ &= \frac{1}{j^2(-3j)^2}=\frac{j^2}{9} \end{align*} Puis, \begin{align*}\ensuremath \frac{1}{(X-1)^2}+\frac{j^2}{(X-j)^2}+\frac{j}{(X-j^2)^2}&=\frac{1}{(X-1)^2}+\frac{(j+j^2)X^2-2(j+j^2)X+2}{(X-j)^2(X-j^2)}\\ &=\frac{1}{(X-1)^2}+\frac{-X^2+2X+2}{(X-j)^2(X-j^2)}=\frac{(X^2+X+1)^2+(X-1)^2(-X^2+2X+2)}{(X^3-1)^2}\\ &=\frac{6X^3+3}{(X^3-1)^2} \end{align*} Par suite, \begin{align*}\ensuremath F-1-\frac{1}{9}( \frac{1}{(X-1)^2}+\frac{j^2}{(X-j)^2}+\frac{j}{(X-j^2)^2})&=\frac{X^6}{(X^3-1)^2}-1-\frac{2X^3+1}{3(X^3-1)^2}\\ &=\frac{3X^6-3(X^3-1)^2-2X^3-1}{3(X^3-1)^2}=\frac{4X^3-4}{3(X^3-1)^2}\\ &=\frac{4}{3}\frac{1}{X^3-1}. \end{align*} Mais alors, $a=\lim_{z\rightarrow 1}(z-1)(F(z)-1-\frac{1}{9}(\frac{1}{(z-1)^2}+\frac{j^2}{(z-j)^2}+\frac{j}{(z-j^2)^2}) =\frac{4}{3}\frac{1}{1+1+1}=\frac{4}{9}$. De même, $$c=\lim_{z\rightarrow j}(z-j)(F(z)-1-\frac{1}{9}(\frac{1}{(z-1)^2}+\frac{j^2}{(z-j)^2}+\frac{j}{(z-j^2)^2}) =\frac{4}{3}\frac{1}{(j-1)(j-j^2)}=\frac{4j^2}{9}.$$ Donc, $$F=1+\frac{1}{9}(\frac{4}{X-1}+\frac{1}{(X-1)^2}+\frac{4j^2}{X-j}+\frac{j^2}{(X-j)^2}+\frac{4j}{X-j^2}+\frac{j}{(X-j^2)^2}).$$ Si on veut la décomposition sur $\Rr$, on peut regrouper les conjugués~: \begin{align*}\ensuremath F&=1+\frac{1}{9}(\frac{4}{X-1}+\frac{1}{(X-1)^2}+\frac{4j^2(X-j^2)+4j(X-j)} {X^2+X+1}+\frac{j^2(X-j^2)^2+j(X-j)^2}{(X^2+X+1)^2})\\ &=1+\frac{1}{9}(\frac{4}{X-1}+\frac{1}{(X-1)^2}+\frac{-4X+4}{X^2+X+1}+\frac{-X^2+2X+2}{(X^2+X+1)^2})\\ &=1+\frac{1}{9}(\frac{4}{X-1}+\frac{1}{(X-1)^2}+\frac{-4X+4}{X^2+X+1}+\frac{-X^2-X-1+3X+3}{(X^2+X+1)^2})\\ &=1+\frac{1}{9}(\frac{4}{X-1}+\frac{1}{(X-1)^2}+\frac{-4X+3}{X^2+X+1}+\frac{3X+3}{(X^2+X+1)^2}) \end{align*} \item Soit $F=\frac{1}{X^6+1}$. $$F=\sum_{k=0}^{5}\frac{\lambda_k}{X-\omega_k},$$ où $\omega_k=e^{i(\frac{\pi}{6}+\frac{2k\pi}{6})}$. Mais, $$\lambda_k=\frac{1}{6\omega_k^5}=\frac{\omega_k}{6\omega_k^6}=-\frac{\omega_k}{6}.$$ Donc, $$\frac{1}{X^6+1}=\frac{1}{6}(-\frac{i}{X-i}+\frac{i}{X+i}-\frac{e^{i\pi/6}}{X-e^{i\pi/6}}-\frac{e^{-i\pi/6}}{X-e^{-i\pi/6}}+ \frac{e^{i\pi/6}}{X+e^{i\pi/6}}+\frac{e^{-i\pi/6}}{X+e^{-i\pi/6}}).$$ \item Soit $F=\frac{X^2+3}{X^5-3X^4+5X^3-7X^2+6X-2}$. \begin{align*}\ensuremath X^5-3X^4+5X^3-7X^2+6X-2&=(X-1)(X^4-2X^3+3X^2-4X+2)=(X-1)^2(X^3-X^2+2X-2)\\ &= (X-1)^2(X^2(X-1)+2(X-1))=(X-1)^3(X^2+2). \end{align*} La décomposition en éléments simples de $F$ est donc de la forme $$F=\frac{a}{X-1}+\frac{b}{(X-1)^2}+\frac{c}{(X-1)^3}+\frac{d}{X-i\sqrt{2}}+\frac{\overline{d}}{X+i\sqrt{2}}.$$ Puis, \begin{align*}\ensuremath d&=\lim_{z \rightarrow i\sqrt{2}}(z-i\sqrt{2})F(z)=\frac{(i\sqrt{2})^2+3}{(i\sqrt{2}-1)^3(i\sqrt{2}+i\sqrt{2})}= \frac{1}{(2i\sqrt{2})(-2i\sqrt{2}+6+3i\sqrt{2}-1)}=\frac{1}{-4+10i\sqrt{2}}\\ &=-\frac{2+5i\sqrt{2}}{108}. \end{align*} Ensuite, $$\frac{d}{X-i\sqrt{2}}+\frac{\overline{d}}{X+i\sqrt{2}}=-\frac{1}{108}\frac{(2+5i\sqrt{2})(X+i\sqrt{2})+ (2-5i\sqrt{2})(X-i\sqrt{2})}{X^2+2}=-\frac{1}{108}\frac{4X-20}{X^2+2}=\frac{-X+5}{27(X^2+2)}.$$ Mais alors, \begin{align*}\ensuremath \frac{a}{X-1}+\frac{b}{(X-1)^2}+\frac{c}{(X-1)^3}&=\frac{X^2+3}{(X-1)^3(X^2+2)}-\frac{-X+5}{27(X^2+2)}\\ &=\frac{27(X^2+3)-(-X+5)(X-1)^3}{27(X-1)^3(X^2+2)}=\frac{X^4-8X^3+45X^2-16X+86}{27(X-1)^3(X^2+2)}\\ &=\frac{(X^2+2)(X^2-8X+43)}{27(X-1)^3(X^2+2)}=\frac{X^2-8X+43}{27(X-1)^3}\\ &=\frac{X^2-2X+1-6X+6+36}{27(X-1)^3}\\ &=\frac{1}{27}(\frac{1}{X-1}-6\frac{1}{(X-1)^2}+\frac{36}{(X-1)^3}). \end{align*} Finalement, $$F=\frac{1}{27}(\frac{1}{X-1}-6\frac{1}{(X-1)^2}+\frac{36}{(X-1)^3})-\frac{1}{108}(\frac{2+5i\sqrt{2}}{X-i\sqrt{2}}+\frac{2-5i\sqrt{2}}{X+i\sqrt{2}}).$$ \item Soit $F=\frac{X}{(X^2+1)^3(X^2-1)}$. Puisque $F$ est réelle et impaire, la décomposition en éléments simples de $F$ est de la forme $$F=\frac{a}{X-1}+\frac{a}{X+1}+\frac{b}{X-i}+\frac{c}{(X-i)^2}+\frac{d}{(X-i)^3}+\frac{\overline{b}}{X+i}+\frac{\overline{c}}{(X+i)^2}+\frac{\overline{d}}{(X+i)^3}.$$ $a=\lim_{x\rightarrow 1}(x-1)F(x)=\frac{1}{(1+1)^3(1+1)}=\frac{1}{16}$. Puis, \begin{align*}\ensuremath F-\frac{1}{16}(\frac{1}{X-1}+\frac{1}{X+1})&=\frac{8X-X(X^2+1)^3}{8(X^2+1)^3(X^2-1)} =\frac{-X^7-3X^5-3X^3+7X}{8(X^2+1)^3(X^2-1)}\\ &=\frac{X(X^2-1)(-X^4-4X^2-7)}{8(X^2+1)^3(X^2-1)}=-\frac{1}{8}\frac{X^4+4X^2+7}{(X^2+1)^3} \end{align*} Mais alors, \begin{align*}\ensuremath d&=\lim_{x\rightarrow i}(x-i)^3F(x)=\lim_{x\rightarrow i}(x-i)^3(F(x)-\frac{1}{16}(\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x+1}))\\ &=-\frac{1}{8}\frac{i^4+4i^2+7}{(i+i)^3}=-\frac{i}{16} \end{align*} Puis, \begin{align*}\ensuremath -\frac{1}{8}\frac{X^4+4X^2+7}{(X^2+1)^3}+\frac{i}{16}\frac{1}{(X-i)^3}-\frac{i}{16}\frac{1}{(X+i)^3}= -\frac{1}{8}\frac{X^4+4X^2+7}{(X^2+1)^3}+\frac{1}{8}\frac{3X^2-1}{(X^2+1)^3}=\frac{X^2+6}{8(X^2+1)^2}. \end{align*} Ensuite, $c=\frac{i^2+6}{8(i+i)^2}=-\frac{5}{32}$. Puis, $$\frac{X^2+6}{8(X^2+1)^2}+\frac{5}{32}(\frac{1}{(X-i)^2}+\frac{1}{(X+i)^2}) =\frac{2(X^2+6)+5(X^2-1)}{16(X^2+1)^2}=\frac{7}{16(X^2+1)}.$$ Enfin, $b=\frac{7}{16(i+i)}=-\frac{7i}{32}$. Finalement, $$F=\frac{1}{16}(\frac{1}{X-1}+\frac{1}{X+1})-\frac{7i}{32}(\frac{1}{X-i}-\frac{1}{X+i})-\frac{5}{32}(\frac{1}{(X-i)^2}+\frac{1}{(X+i)^2})-\frac{i}{16}(\frac{1}{(X-i)^3}-\frac{1}{(X+i)^3}).$$ \item Soit $F=\frac{X^6+1}{X^5-X^4+X^3-X^2+X-1}$. \begin{align*}\ensuremath X^5-X^4+X^3-X^2+X-1&=X^4(X-1)+X^2(X-1)+(X-1)=(X-1)((X^4+2X^2+1)-X^2)\\ &=(X-1)(X^2+X+1)(X^2-X+1)\\ &=(X-1)(X-j)(X-j^2)(X+j)(X+j^2). \end{align*} Püisque $F$ est réelle, la décomposition en éléments simples de $F$ est de la forme $$F=aX+b+\frac{c}{X-1}+\frac{d}{X-j}+\frac{\overline{d}}{X-j^2}+\frac{e}{X+j}+\frac{\overline{e}}{X-j^2}.$$ $a=\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{F(x)}{x}=1$, puis $b=\lim_{x\rightarrow +\infty}(F(x)-x)=\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{x^5...}{x^5...}=1$. Puis, $c=\frac{1^6+1}{5-4+3-2+1}=\frac{2}{3}$, $d=\frac{j^6+1}{5j^4-4j^3+3j^2-2j+1}=\frac{2}{3j^2+3j-3}=\frac{2}{-6}=-\frac{1}{3}$ et $e=\frac{(-j)^6+1}{5j^4+4j^3+3j^2+2j+1}=\frac{2}{3j^2+7j+5}=\frac{1}{2j+1}$. Donc, $$F=X+1+\frac{2}{3}\frac{1}{X-1}-\frac{1}{3}\frac{1}{X-j}-\frac{1}{3}\frac{1}{X-j^2}+\frac{1}{2j+1}\frac{1}{X+j}+\frac{1}{2j^2+1}\frac{1}{X-j^2}.$$ \item Soit $F=\frac{X^7+1}{(X^2+X+1)^3}$. La décomposition sur $\Rr$ (hors programme) s'obtiendrait de la façon suivante \begin{align*}\ensuremath X^7+1&=(X^2+X+1)(X^5-X^4+X^2-X)+X+1\\ &=(X^2+X+1)[(X^2+X+1)(X^3-2X^2+X+2)-4X-2]+X+1\\ &=(X^2+X+1)^2(X^3-2X^2+X+2)-(4X+2)(X^2+X+1)+X+1\\ &=(X^2+X+1)^2[(X^2+X+1)(X-3)+3X+5]-(4X+2)(X^2+X+1)+X+1\\ &=X+1-(4X+2)(X^2+X+1)+(3X+5)(X^2+X+1)^2+(X-3)(X^2+X+1)^3 \end{align*} Donc, $$F=X-3+\frac{3X+5}{X^2+X+1}-\frac{4X+2}{(X^2+X+1)^2}+\frac{X+1}{(X^2+X+1)^3}.$$ \item Soit $F=\frac{X^2+1}{X(X-1)^4(X^2-2)^2}$. La décomposition de $F$ en éléments simples est de la forme $$F=\frac{a}{X}+\frac{b_1}{X-1}+\frac{b_2}{(X-1)^2}+\frac{b_3}{(X-1)^3}+\frac{b_4}{(X-1)^4}+\frac{c_1}{X-\sqrt{2}}+\frac{c_2}{(X-\sqrt{2})^2}+\frac{d_1}{X+\sqrt{2}}+\frac{d_2}{(X+\sqrt{2})^2}.$$ $a=\lim_{x\rightarrow 0}xF(x)=\frac{1}{4}$. Puis, \begin{align*}\ensuremath c_2&=\lim_{x \rightarrow \sqrt{2}}(x-\sqrt{2})^2F(x)=\frac{2+1}{\sqrt{2}(\sqrt{2}-1)^4(\sqrt{2}+\sqrt{2})^2} =\frac{3}{8\sqrt{2}(4-8\sqrt{2}+12-4\sqrt{2}+1)}\\ &=\frac{3}{8\sqrt{2}(17-12\sqrt{2})}=\frac{3}{8(-24+17\sqrt{2})}=\frac{3}{16}(24+17\sqrt{2}). \end{align*} Un calcul conjugué fournit $d_2=\frac{3}{16}(24-17\sqrt{2})$. On a ensuite \begin{align*}\ensuremath \frac{3}{16}(\frac{24+17\sqrt{2}}{(X-\sqrt{2})^2}+\frac{24-17\sqrt{2}}{(X+\sqrt{2})^2})&=\frac{3}{2}\frac{6X^2+17X+12}{(X^2-2)^2}. \end{align*} Puis, \begin{align*}\ensuremath F-\frac{3}{2}\frac{6X^2+17X+12}{(X^2-2)^2}&=\frac{2(X^2+1)-3(6X^2+17X+12)X(X-1)^4}{2X(X-1)^4(X^2-2)^2}\\ &=\frac{-18X^7+21X^6+60X^5-90X^4-30X^3+95X^2-36X+2}{2X(X-1)^4(X^2-2)^2}\\ &=\frac{-18X^5+21X^4+24X^3-48X^2+18X-1}{2X(X-1)^4(X^2-2)} \end{align*} Mais alors, $$c_1=\frac{-18.4\sqrt{2}+21.4+24.2\sqrt{2}-48.2+18\sqrt{2}-1}{2\sqrt{2}(\sqrt{2}-1)^4(\sqrt{2}+\sqrt{2})} =\frac{-13-6\sqrt{2}}{8(17-12\sqrt{2})}=-\frac{1}{8}(365+258\sqrt{2}),$$ et par un calcul conjugué, $d_1=-\frac{1}{8}(365-258\sqrt{2})$. Ensuite, $$-\frac{1}{8}(\frac{365+258\sqrt{2}}{X-\sqrt{2}}+\frac{365-258\sqrt{2}}{X+\sqrt{2}})= -\frac{1}{4}\frac{365X+516}{X^2-2}.$$ Puis, \begin{align*}\ensuremath F-\frac{3}{2}\frac{6X^2+17X+12}{(X^2-2)^2}&+\frac{1}{4}\frac{365X+516}{X^2-2}= \frac{-18X^5+21X^4+24X^3-48X^2+18X-1}{2X(X-1)^4(X^2-2)}+\frac{365X+516}{4(X^2-2)}\\ &=\frac{2(-18X^5+21X^4+24X^3-48X^2+18X-1)+(365X+516)X(X-1)^4}{4X(X-1)^4(X^2-2)}\\ &=\frac{365X^6-980X^5+168X^4+1684X^3-1795X^2+552X-2}{4X(X-1)^4(X^2-2)}\\ &=\frac{365X^4-980X^3+898X^2-276X+1}{4X(X-1)^4} \end{align*} Ensuite, \begin{align*}\ensuremath F&-\frac{3}{2}\frac{6X^2+17X+12}{(X^2-2)^2}+\frac{1}{4}\frac{365X+516}{X^2-2}-\frac{1}{4X}= \frac{365X^4-980X^3+898X^2-276X+1}{4X(X-1)^4}-\frac{1}{4X}\\ &=\frac{(365X^4-980X^3+898X^2-276X+1)-(X-1)^4}{4X(X-1)^4}=\frac{364X^4-976X^3+892X^2-272X}{4X(X-1)^4}\\ &=\frac{182X^3-488X^2+446X-136}{2(X-1)^4} \end{align*} Enfin, $b_4=\lim_{x\rightarrow 1}(x-1)^4\frac{182x^3-488x^2+446x-136}{2(x-1)^4}=2$, puis $$\frac{182X^3-488X^2+446X-136}{2(X-1)^4}-\frac{2}{(X-1)^4}=\frac{91X^3-244X^2+223X-70}{(X-1)^4} =\frac{91X^2-153X+70}{(X-1)^3}.$$ Puis, $b_3=\lim_{x\rightarrow 1}(x-1)^3\frac{91x^2-153x+70}{(x-1)^3}=8$, puis \begin{align*}\ensuremath \frac{91X^2-153X+70}{(X-1)^3}-\frac{8}{(X-1)^3}&=\frac{91X^2-153X+62}{(X-1)^3}=\frac{91X-62}{(X-1)^2}\\ &=\frac{91X-91+29}{(X-1)^2}=\frac{91}{X-1}+\frac{29}{(X-1)^2} \end{align*} ce qui fournit $b_2=29$ et $b_1=91$. \begin{align*}\ensuremath F&=\frac{1}{4X}+\frac{91}{X-1}+\frac{29}{(X-1)^2}+\frac{8}{(X-1)^3}+\frac{2}{(X-1)^4} -\frac{365+258\sqrt{2}}{8}\frac{1}{X-\sqrt{2}}+\frac{3(24+17\sqrt{2})}{16}\frac{1}{(X-\sqrt{2})^2}\\ &-\frac{365-258\sqrt{2}}{8}\frac{1}{X+\sqrt{2}}+\frac{3(24-17\sqrt{2})}{16}\frac{1}{(X+\sqrt{2})^2}. \end{align*} \item Soit $F=\frac{1}{(X+1)^7-X^7-1}$. \begin{align*}\ensuremath (X+1)^7-X^7-1&=7X^6+21X^5+35X^4+35X^3+21X^2+7X=7X(X^5+3X^4+5X^3+5X^2+3X+1)\\ &=7X(X+1)(X^4+2X^3+3X^2+2X+1)=7X(X+1)(X^2+X+1)^2 \end{align*} Si on n'a pas deviné que $X^4+2X^3+3X^2+2X+1=(X^2+X+1)^2$ (par exemple, en repérant que $j$ est racine ou encore en manipulant l'identité $(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+ac+bc)$), on peut pratiquer comme suit \begin{align*}\ensuremath X^4+2X^3+3X^2+2X+1&=X^2(X^2+\frac{1}{X^2}+2(X+\frac{1}{X})+3)=X^2((X+\frac{1}{X})^2+2(X+\frac{1}{X})+1)\\ &=X^2(X+\frac{1}{X}+1)^2=(X^2+X+1)^2 \end{align*} La déccomposition en éléments simples de $7F$ est donc de la forme $$7F=\frac{a}{X}+\frac{b}{X+1}+\frac{c}{X-j}+\frac{d}{(X-j)^2}+\frac{\overline{c}}{X-j^2}+\frac{\overline{d}}{(X-j^2)^2}.$$ $a=\frac{1}{(0+1)(0^2+0+1)^2}=1$ et $b=\frac{1}{(-1)(1-1+1)^2}=-1$. Puis, $$d=\frac{1}{j(j+1)(j-j^2)^2}=\frac{1}{j(-j^2)j^2(1-2j+j^2)}=\frac{1}{-j^2(-3j)}=\frac{1}{3}.$$ Ensuite, $$\frac{1}{3}(\frac{1}{(X-j)^2}+\frac{1}{(X-j^2)^2})=\frac{(X-j^2)^2+(X-j)^2}{3(X^2+X+1)^2} =\frac{2X^2+2X-1}{3(X^2+X+1)^2}.$$ Puis, \begin{align*}\ensuremath 7F-\frac{2X^2+2X-1}{3(X^2+X+1)^2}&=\frac{3-X(X+1)(2X^2+2X-1)}{3X(X+1)(X^2+X+1)^2} =\frac{-2X^4-4X^3-4X^2+X+3}{3X(X+1)(X^2+X+1)^2}\\ &=\frac{-2X^2-2X+3}{3X(X+1)(X^2+X+1)}. \end{align*} Mais alors, $$c=\frac{-2j^2-2j+3}{3j(j+1)(j-j^2)}=\frac{5}{-3(j-j^2)}=\frac{5i}{3\sqrt{3}}.$$ Finalement, $$F=\frac{1}{7}(\frac{1}{X}-\frac{1}{X+1}+\frac{5i}{3\sqrt{3}(X-j)}+\frac{3}{3(X-j)^2}-\frac{5i}{3\sqrt{3}(X-j^2)}+\frac{1}{3(X-j^2)^2}).$$ \end{enumerate} \fincorrection \correction{005336} \begin{enumerate} \item Soit $P=X^n-1$ et $F=\frac{1}{P}$. La partie entière de $F$ est nulle et les pôles de F sont simples (car $P=X^n-1$ et $P'=nX^{n-1}$ n'ont pas de racines communes dans $\Cc$). De plus, $P=\prod_{k=0}^{n-1}(X-\omega_k)$ où $\omega_k=e^{2ik\pi/n}$. Donc, $F=\sum_{k=0}^{n-1}\frac{\lambda_k}{X-\omega_k}$ où $$\lambda_k=\frac{1}{P'(\omega_k)}=\frac{1}{n\omega_k^{n-1}}=\frac{\omega_k}{n\omega_k^n}=\frac{\omega_k}{n}.$$ Ainsi, $$\frac{1}{X^n-1}=\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}\frac{e^{2ik\pi/n}}{X-e^{2ik\pi/n}}.$$ \item Soit $P=(X-1)(X^n-1)=(X-1)^2\prod_{k=1}^{n-1}\omega_k$ où $\omega_k=e^{2ik\pi/n}$. Soit $F=\frac{1}{P}$. La partie entière de $F$ est nulle. D'autre part, F admet un pôle double, à savoir $1$ et $n-1$ pôles simples à savoir les $\omega_k=e^{2ik\pi/n}$, $\leq k\leq n-1$. Donc, $$F=\frac{a}{X-1}+\frac{b}{(X-1)^2}+\sum_{k=1}^{n-1}\frac{\lambda_k}{X-\omega_k}.$$ $\lambda_k=\frac{1}{(n+1)\omega_k^n-n\omega_k^{n-1}-1}=\frac{1}{n(1-\omega_k^{n-1})}=\frac{\omega_k}{n(\omega_k-1)}$. Ensuite, $$b=\lim_{x\rightarrow 1}(x-1)^2F(x)=\frac{1}{1^{n-1}+...+1^1+1}=\frac{1}{n}.$$ Il reste à calculer $a$. \begin{align*}\ensuremath F-\frac{1}{n(X-1)^2}&=\frac{n-(X^{n-1}+X^{n-2}+...+X+1)}{n(X-1)^2(X^{n-1}+...+X+1)} =\frac{-X^{n-2}-2X^{n-3}-...-(n-2)X-(n-1))}{n(X-1)(X^{n-1}+...+X+1)}. \end{align*} Donc, $a=\lim_{x\rightarrow 1}(x-1)(F(x)-\frac{1}{n(x-1)^2})=\frac{-[(n-1)+(n-2)+...+2+1]}{n(1+1...+1)}=-\frac{n-1}{2n}$. Finalement, $$F=\frac{1}{n}(-\frac{n-1}{2n(X-1)}+\frac{1}{(X-1)^2}+\sum_{k=1}^{n-1}\frac{\omega_k}{\omega_k-1}\frac{1}{X-\omega_k}).$$ \item $\frac{n!}{(X-1)...(X-n)}=\sum_{k=1}^{n}\frac{\lambda_k}{X-k}$ avec $$\lambda_k=\lim_{x\rightarrow k}(x-k)F(x)=\frac{n!}{\prod_{j\neq k}^{}(j-k)}=\frac{n!}{(-1)^{n-k}(k-1)!(n-k)!}=n(-1)^{n-k}C_{n-1}^{k-1}.$$ Donc, $$\frac{n!}{(X-1)...(X-n)}=\sum_{k=1}^{n}\frac{(-1)^{n-k}nC_{n-1}^{k-1}}{X-k}.$$ \item Posons $P=X^4-2X^2\cos(2a)+1$. \begin{align*}\ensuremath X^4-2X^2\cos(2a)+1&=(X^2-e^{2ia})(X^2-e^{-2ia})=(X-e^{ia})(X-e^{-ia})(X+e^{ia})(X+e^{-ia})\\ &(=(X^2-2X\cos a+1)(X^2+2X\cos a+1)). \end{align*} $P$ est à racines simples si et seulement si $e^{ia}\neq\pm e^{-ia}$ ce qui équivaut à $a\notin\frac{\pi}{2}\Zz$. \begin{itemize} \item[1er cas.] Si $a\in\pi\Zz$, $$F=\frac{X^2}{(X^2-1)^2}=\frac{a}{X-1}+\frac{b}{(X-1)^2}-\frac{a}{X+1}+\frac{b}{(X+1)^2}.$$ $b=\lim_{x\rightarrow 1}(x-1)^2F(x)=\frac{1}{4}$ puis $x=0$ fournit $0=-2a+2b$ et donc $a=b=\frac{1}{4}$. $$F=\frac{X^2}{(X^2-1)^2}=\frac{1}{4}(\frac{1}{X-1}+\frac{1}{(X-1)^2}-\frac{1}{X+1}+\frac{1}{(X+1)^2}).$$ \item[2ème cas.] Si $a\in\frac{\pi}{2}+\pi\Zz$, $$F=\frac{X^2}{(X^2+1)^2}=\frac{a}{X-i}+\frac{b}{(X-i)^2}-\frac{a}{X+i}+\frac{b}{(X+i)^2}.$$ $b=\lim_{x\rightarrow i}(x-i)^2F(x)=\frac{i^2}{(i+i)^2}=\frac{1}{4}$ puis $x=0$ fournit $0=2ia-2b$ et donc $a=-ib=-\frac{i}{4}$. $$F=\frac{X^2}{(X^2+1)^2}=\frac{1}{4}(-\frac{i}{X-i}+\frac{1}{(X-i)^2}+\frac{i}{X+i}+\frac{1}{(X+i)^2}).$$ \item[3ème cas.] Si $a\notin\frac{\pi}{2}\Zz$, puisque $F$ est réelle et paire, $$F=\frac{A}{X-e^{ia}}+\frac{\overline{A}}{X-e^{-ia}}-\frac{A}{X+e^{ia}}-\frac{\overline{A}}{X+e^{-ia}},$$ avec $$A=\frac{e^{2ia}}{(e^{ia}-e^{-ia})(e^{ia}+e^{ia})(e^{ia}+e^{-ia})}=\frac{e^{2ia}}{8i\sin a\cos ae^{ia}}=\frac{-ie^{ia}}{4\sin(2a)}.$$ Donc, $$F=\frac{1}{4\sin(2a)}(-\frac{ie^{ia}}{X-e^{ia}}+\frac{ie^{-ia}}{X-e^{-ia}}+\frac{ie^{ia}}{X+e^{ia}}+\frac{ie^{-ia}}{X+e^{-ia}}).$$ \end{itemize} \item Le polynôme $X^{2n}+1=\prod_{k=0}^{2n-1}(X-e^{i(\frac{\pi}{2n}+\frac{2k\pi}{2n})})$ est à racines simples car n'a pas de racine commune avec sa dérivée. En posant $\omega_k=e^{i(\frac{\pi}{2n}+\frac{2k\pi}{2n})}$, on a $$\frac{1}{X^{2n}+1}=\sum_{k=0}^{2n-1}\frac{\lambda_k}{X-\omega_k},$$ où $$\lambda_k=\frac{1}{2n\omega_k^{2n-1}}=\frac{\omega_k}{2n\omega_k^{2n}}=-\frac{\omega_k}{2n}.$$ Finalement, $$\frac{1}{X^{2n}+1}=-\frac{1}{2n}\sum_{k=0}^{2n-1}\frac{\omega_k}{X-\omega_k}.$$ \end{enumerate} \fincorrection \correction{005337} Pour $k$ élément de $\{0,...,n-1\}$, posons $\omega_k=e^{2ik\pi/n}$. Décomposons $F$ en éléments simples (sur $\Cc$). $$\frac{\omega X+1}{\omega^2X+\omega X+1}=\frac{\omega X+1}{(\omega X)^2+\omega X+1}=\frac{\omega X+1}{(\omega X-j)(\omega X-j^2)}=\frac{a}{\omega X-j}+\frac{b}{\omega X-j^2},$$ avec $a=\frac{\omega\frac{j}{\omega}}{\omega\frac{j}{\omega}-j^2}=\frac{j+1}{j-j^2}=-\frac{-j^2}{j-j^2}=\frac{j}{j-1}$ et de même $b=\frac{j^2+1}{j^2-j}=-\frac{1}{j-1}$. Donc, \begin{align*}\ensuremath F&=\frac{1}{j-1}\sum_{k=0}^{n-1}(\frac{j}{\omega_k X-j}-\frac{1}{\omega_k X-j^2})=\frac{1}{j-1}\sum_{k=0}^{n-1}(\frac{j\omega_{-k}}{X-j\omega_{-k}}-\frac{\omega_{-k}}{X-j^2\omega_{-k}}) &=\frac{1}{j-1}\sum_{k=0}^{n-1}(\frac{j\omega_{k}}{X-j\omega_{k}}-\frac{\omega_{k}}{X-j^2\omega_{k}}) \end{align*} Maintenant les $n$ nombres $j\omega_k$ sont deux à deux distincts et vérifient $(j\omega_k)^n=j^n$ et donc, $$\prod_{k=0}^{n-1}(X-j\omega_k)=X^n-j^n.$$ $\sum_{k=0}^{n-1}\frac{j\omega_k}{X-j\omega_k}$ est donc la décomposition en éléments simples d'une fraction du type $\frac{P}{X^n-j^n}$ avec $\mbox{deg}P\leq n-1$. De plus, on sait que $j\omega_k=\frac{P(j\omega_k)}{n(j\omega_k)^{n-1}}$ et donc, $\forall k\in\{0,...,n-1\},\;P(j\omega_k)=nj^n$. Le polynôme $P-nj^n$ est de degré inférieur ou égal à $n-1$, admet les $n$ racines deux à deux distinctes $j\omega_k$ et est donc le polynôme nul. Par suite $$\sum_{k=0}^{n-1}\frac{j\omega_{k}}{X-j\omega_{k}}=\frac{nj^n}{X^n-j^n}.$$ De même, $\sum_{k=0}^{n-1}\frac{\omega_{k}}{X-j^2\omega_{k}}=\frac{nj^{2n-2}}{X^n-j^{2n}}$, puis $$F=\frac{n}{j-1}(\frac{j^n}{X^n-j^n}-\frac{j^{2n-2}}{X^n-j^{2n}}).$$ Si $n\in3\Zz$, posons $n=3p$, $p\in\Zz$. Dans ce cas, $$F=\frac{3p}{j-1}(\frac{1}{X^{3p}-1}-\frac{j}{X^{3p}-1})=\frac{3p}{1-X^{3p}}.$$ Si $n\in3\Zz+1$, posons $n=3p+1$, $p\in\Zz$. Dans ce cas, $$F=\frac{3p+1}{j-1}(\frac{j}{X^{3p+1}-j}-\frac{1}{X^{3p+1}-j^2})=\frac{(3p+1)(X^{3p+1}+1)}{X^{6p+2}+X^{3p+1}+1}.$$ Si $n\in3\Zz+2$, posons $n=3p+2$, $p\in\Zz$. Dans ce cas, $$F=\frac{3p+2}{j-1}(\frac{j^2}{X^{3p+2}-j^2}-\frac{j^2}{X^{3p+2}-j})=\frac{3p+2}{X^{6p+4}+X^{3p+2}+1}.$$ \fincorrection \correction{005338} Soient $P$ et $Q$ deux polynômes non nuls et premiers entre eux, puis soit $F=\frac{P}{Q}$. Si $F$ est paire, alors $\frac{P(-X)}{Q(-X)}=\frac{P(X)}{Q(X)}$, ou encore $P(-X)Q(X)=P(X)Q(-X)$ $(*)$. Par suite, $P(X)$ divise $P(X)Q(-X)=Q(X)P(-X)$ et $P(X)$ est premier à $Q(X)$. D'après le théorème de \textsc{Gauss}, $P(X)$ divise $P(-X)$. Donc, il existe $\lambda\in\Cc^*$ tel que $P(-X)=\lambda P(X)$ (car $\mbox{deg}(P(-X))=\mbox{deg}(P)$). L'analyse des coefficients dominants des deux membres fournit $\lambda=(-1)^n$ où $n=\mbox{deg}P$. Ceci s'écrit $P(-X)=(-1)^nP(X)$. En reportant dans $(*)$, on obtient encore $Q(-X)=(-1)^n=Q(X)$. Ainsi, si $F$ est paire, alors $P$ et $Q$ sont ou bien tous deux pairs, ou bien tous deux impairs. Ce dernier cas est exclu, car alors $P$ et $Q$ admettraient tous deux $0$ pour racine contredisant le fait qu'ils sont premiers entre eux. Finalement, si $F$ est paire, alors $P$ et $Q$ sont pairs. La réciproque est claire. $$F\;\mbox{paire}\Leftrightarrow(P\;\mbox{et}\;Q\;\mbox{sont pairs.})$$ Je vous laisse établir que $$F\;\mbox{impaire}\Leftrightarrow(P\;\mbox{est impair et}\;Q\;\mbox{est pair})\;\mbox{ou}(P\;\mbox{est pair et}\;Q\;\mbox{est impair.})$$ \fincorrection \correction{005339} C'est du cours (unicité de la décomposition en éléments simples). \fincorrection \correction{005340} Soit $n\in\Nn^*$. $\frac{1}{X^2+1}=\frac{1}{2i}(\frac{1}{X-i}-\frac{1}{X+i})$. Donc, \begin{align*}\ensuremath \left(\frac{1}{X^2+1}\right)^{(n)}&=\frac{1}{2i}(\left(\frac{1}{X-i}\right)^{(n)}-\left(\frac{1}{X+i}\right)^{(n)})=\frac{1}{2i}(\frac{(-1)(-2)...(-n)}{(X-i)^{n+1}}-\frac{(-1)(-2)...(-n)}{(X+i)^{n+1}})\\ &=(-1)^n.n!\mbox{Im}(\frac{1}{(X-i)^{n+1}})=(-1)^n.n!\mbox{Im}(\frac{(X+i)^{n+1}}{(X^2+1)^{n+1}}) =\frac{(-1)^n.n!\sum_{}^{}C_{n+1}^{2k+1}(-1)^kX^{2n-2k}}{(X^2+1)^{n+1}} \end{align*} \fincorrection \correction{005341} $P'=a\sum_{k=1}^{n}\prod_{j\neq k}(X-x_j)=\sum_{k=1}^{n}\frac{P}{X-x_k}$, et donc $$\frac{P'}{P}=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{X-x_k}.$$ Regroupons maintenant les pôles identiques, ou encore posons $P=a(X-z_1)^{\alpha_1}...(X-z_k)^{\alpha_k}$ où cette fois-ci les $z_j$ sont deux à deux distincts. La formule ci-dessus s'écrit alors $$\frac{P'}{P}=\sum_{j=1}^{k}\frac{\alpha_j}{X-z_j}\quad(*).$$ Déterminons les polynômes divisibles par leur dérivée. Soit $P$ un tel polynôme. Nécessairement $\mbox{deg}P\ge1$ puis, il existe deux complexes $a$ et $b$, $a\neq0$ tel que $P=(aX+b)P'$ ou encore $\frac{P'}{P}=\frac{1}{aX+b}$. $(*)$ montre que $P$ a une et une seule racine. Par suite, $P$ est de la forme $\lambda(X-a)^n$, $\lambda\neq0$, $n\geq1$ et $a$ quelconque. Réciproquement, on a dans ce cas $P=\frac{1}{n}(X-a)n(X-a)^{n-1}=(\frac{1}{n}X-\frac{a}{n})P'$ et $P'$ divise effectivement $P$. Les polynômes divisibles par leur dérivée sont les polynômes de la forme $\lambda(X-a)^n$, $\lambda\in\Cc^*$, $n\in\Nn^*$ et $a\in\Cc$. \fincorrection \correction{006964} \'Ecrivons $F(X)=\frac{P(X)}{Q(X)}$ avec $P$ et $Q$ deux polynômes premiers entre eux, avec $Q$ unitaire. La condition $\big(F(X)\big)^2=(X^2+1)^3$ devient $P^2=(X^2+1)^3Q^2$. Ainsi $Q^2$ divise $P^2$. D'où $Q^2=1$, puisque $P^2$ et $Q^2$ sont premiers entre eux. Donc $Q=1$ (ou $-1$). Ainsi $F=P$ est un polynôme et $P^2=(X^2+1)^3$. En particulier $P^2$ est de degré $6$, donc $P$ doit être de degré 3. \'Ecrivons $P=aX^3+bX^2+cX+d$, on développe l'identité $P^2=(X^2+1)^3$ : {\small $$\begin{array}{c} X^6+3X^4+3X^2+1 = \\ a^2X^6 + 2abX^5 + (2ac+b^2)X^4 + (2ad+2bc)X^3 + (2bd+c^2)X^2 + 2cdX+d^2 \end{array} $$ } On identifie les coefficients : pour le coefficient de $X^6$, on a $a=\pm1$, puis pour le coefficient de $X^5$, on a $b =0$ ; pour le coefficient de $1$, on a $d=\pm 1$, puis pour le coefficient de $X$, on a $c=0$. Mais alors le coefficient de $X^3$ doit vérifier $2ad+2bc=0$, ce qui est faux. Ainsi aucun polynôme ne vérifie l'équation $P^2=(X^2+1)^3$, et par le raisonnement du début, aucune fraction non plus. \fincorrection \correction{006965}\ \begin{enumerate} \item Posons $G=\frac{A}{B}$ et $F = \frac{P}{Q}$ (avec $A,B,P,Q$ des polynômes). On réécrit l'identité $G(F(X))=X$ sous la forme $A(F(X))=XB(F(X))$. Posons $n=\mathrm{max}(\mathrm{deg}A,\mathrm{deg}B)$. Alors $n\ge 1$ car sinon, $A$ et $B$ seraient constants et $G(\frac{P}{Q})=X$ aussi. On a donc $A=\sum_{k=0}^na_kX^k$ et $B=\sum_{k=0}^nb_kX^k$, où $(a_n,b_n)\neq(0,0)$, et l'identité devient $$\sum_{k=0}^na_k\left(\frac{P}{Q}\right)^k=X\sum_{k=0}^nb_k\left(\frac{P}{Q}\right)^k$$ En multipliant par $Q^n$, cela donne $$\sum_{k=0}^n a_kP^kQ^{n-k}= \sum_{k=0}^n b_k X P^kQ^{n-k}.$$ Donc $$(a_0-b_0X)Q^n \quad + \quad (\cdots + (a_k-b_kX) P^kQ^{n-k} + \cdots)\quad + \quad (a_n-b_nX)P^n = 0$$ où les termes dans la parenthèse centrale sont tous divisibles par $P$ et par $Q$. Comme $Q$ divise aussi le premier terme, alors $Q$ divise $(a_n-b_nX)P^n$. D'après le lemme de Gauss, puisque $P$ et $Q$ sont premiers entre eux, alors $Q$ divise $(a_n-b_nX)$. De même, $P$ divise tous les termes de la parenthèse centrale et le dernier, donc $P$ divise aussi $(a_0-b_0X)Q^n$, donc $P$ divise $(a_0-b_0X)$. \item Supposons de plus qu'on a écrit $G=\frac{A}{B}$ sous forme irréductible, c'est-à-dire avec $\pgcd(A,B)=1$. Vu que $a_n$ et $b_n$ ne sont pas tous les deux nuls, alors $a_n-b_nX$ n'est pas le polynôme nul. Comme $Q$ divise $a_n-b_nX$ alors nécessairement $Q$ est de degré au plus $1$ ; on écrit $Q(X)=cX+d$. Par ailleurs, $a_0-b_0X$ n'est pas non plus le polynôme nul, car sinon on aurait $a_0=b_0=0$ et donc $A$ et $B$ seraient tous les deux sans terme constant, donc divisibles par $X$ (ce qui est impossible puisqu'ils sont premiers entre eux). Donc $P$ est aussi de degré au plus $1$ et on écrit $P(X)=aX+b$. Conclusion : $F(X)=\frac{aX+b}{cX+d}$. Notez que $a$ et $b$ ne sont pas tous les deux nuls en même temps (de même pour $b$ et $d$). \item Si $Y = \frac{aX+b}{cX+d}$ avec $(a,b) \neq (0,0)$, alors $X = -\frac{dY-b}{cY-a}$. Autrement dit si on note $\phi(X)= \frac{aX+b}{cX+d}$, alors sa bijection réciproque est $\phi^{-1}(Y) = -\frac{dY-b}{cY-a}$. Nous avons prouvé que $G\left( \frac{aX+b}{cX+d}\right) =X$. Cette identité s'écrit $G\big( \phi(X) \big)=X$. Appliquée en $X = \phi^{-1}(Y)$ elle devient $G\big( \phi( \phi^{-1}(Y) ) \big)=\phi^{-1}(Y)$, c'est-à-dire $G(Y) = \phi^{-1}(Y)$. Ainsi $G(Y) = -\frac{dY-b}{cY-a}$. \end{enumerate} \fincorrection \correction{006966} \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Puisque $P(X)=c(X-a_1)\cdots(X-a_n)$ : \begin{eqnarray*} P'(X)=&c(X-a_2)\cdots(X-a_n)+c(X-a_1)(X-a_3)\cdots(X-a_n)\\ &+\cdots+c(X-a_1)\cdots(X-a_{k-1})(X-a_{k+1})\cdots(X-a_n)\\ &\ \ \ \ \ \ +\cdots+c(X-a_1)\cdots(X-a_{n-1}) \end{eqnarray*} La dérivée est donc la somme des termes de la forme : $\frac{c(X-a_1)\cdots(X-a_n)}{X-a_k} = \frac{P(X)}{X-a_k}$. Ainsi $$P'(X) = \frac{P(X)}{X-a_1}+ \cdots + \frac{P(X)}{X-a_k}+ \cdots + \frac{P(X)}{X-a_n}.$$ Donc : $$\frac{P'}{P}=\sum_{k=1}^n\frac{1}{X-a_k}$$ \item Puisque $\sum_{k=1}^n\frac{1}{(X-a_k)^2}$ est la dérivée de $-\sum_{k=1}^n\frac{1}{X-a_k}$, on obtient par dérivation de $-\frac{P'}{P}$ : $$\frac{P'^2-PP''}{P^2}=\sum_{k=1}^n\frac{1}{(X-a_k)^2}$$ \item On a remarqué que la dérivée de $P'$ est la somme de facteurs $c(X-a_1)\cdots(X-a_n)$ avec un des facteurs en moins, donc de la forme $\frac{c(X-a_1)\cdots(X-a_n)}{X-a_k} = \frac{P}{X-a_k}$. De même $P''$ est la somme de facteurs $c(X-a_1)\cdots(X-a_n)$ avec deux facteurs en moins, c'est-à-dire de la forme $\frac{c(X-a_1)\cdots(X-a_n)}{(X-a_k)(X-a_\ell)} = \frac{P}{(X-a_k)(X-a_\ell)}$ : $$P'' = \sum_{\substack{1\le k,\ell\le n \\ k\not= \ell}}\frac{P}{(X-a_k)(X-a_\ell)} \quad \text{ donc } \quad \frac{P''}{P} = \sum_{\substack{1\le k,\ell\le n \\ k\not= \ell}}\frac{1}{(X-a_k)(X-a_\ell)}$$ % \begin{eqnarray*} % \sum_{k\not=l}\frac{1}{(X-a_k)(X-a_l)}&=&\sum_{k=1}^n\frac{1}{X-a_k}\left(\sum_{l\not= k}\frac{1}{X-a_l}\right)\\ % &=&\sum_{k=1}^n\frac{1}{X-a_k}\left(\sum_{l=1}^n\frac{1}{X-a_l}-\frac{1}{X-a_k}\right)\\ % &=&\sum_{k=1}^n\frac{1}{X-a_k}\frac{P'}{P}-\sum_{k=1}^n\frac{1}{(X-a_k)^2}\\ % &=&\frac{P'^2}{P^2}-\frac{P'^2-PP''}{P^2}=\frac{P''}{P} % \end{eqnarray*} \end{enumerate} \item On applique l'identité $\frac{P'(X)}{P(X)}=\sum_{k=1}^n\frac{1}{X-a_k}$ en $z$ avec les hypothèses $P(z)\not=0$ et $P'(z)=0$. On en déduit $\displaystyle \sum_{k=1}^n\frac{1}{z-a_k} = 0$. L'expression conjuguée est aussi nulle : $$\sum_{k=1}^n\frac{1}{\overline{z-a_k}}=\sum_{k=1}^n\frac{z-a_k}{|z-a_k|^2} = 0$$ Posons $\mu_k = \frac{1}{|z-a_k|^2}$. Alors $$\sum_{k=1}^n \mu_k(z-a_k) = 0 \quad \text{ donc } \left(\sum_{k=1}^n \mu_k \right) z = \sum_{k=1}^n \mu_k a_k$$ Posons $\lambda_k = \mu_k / \left(\sum_{k=1}^n \mu_k \right)$, alors : \begin{itemize} \item Les $\lambda_k$ sont des réels positifs. \item $\sum_{k=1}^n\lambda_k=1$ \item Et $z=\sum_{k=1}^n\lambda_ka_k$. \end{itemize} En particulier si les $a_k$ sont tous des nombres réels, alors $z$ est aussi un nombre réel. On vient de prouver que si un polynôme $P$ a toutes ses racines réelles, alors $P'$ a aussi toutes ses racines réelles. On a même plus : si on ordonne les racines réelles de $P$ en $a_1 \le a_2 \le \cdots \le a_n$ alors une racine $z$ de $P'$ est réelle et vérifie $a_1 \le z \le a_n$. Plus généralement, l'interprétation géométrique de ce que l'on vient de prouver s'appelle le théorème de Gauss-Lucas : <> \end{enumerate} \fincorrection \correction{006967}\ \begin{enumerate} \item $F=\frac{X}{X^2-4}$. Commençons par factoriser le dénominateur : $X^2-4=(X-2)(X+2)$, d'où une décomposition en éléments simples du type $F=\frac{a}{X-2}+\frac{b}{X+2}$. En réduisant au même dénominateur, il vient $\frac{X}{X^2-4}=\frac{(a+b)X+2(a-b)}{X^2-4}$ et en identifiant les coefficients, on obtient le système $\left\{\begin{array}{l}a+b=1\\2(a-b)=0\end{array}\right.$. Ainsi $a=b=\frac{1}{2}$ et $$\frac{X}{X^2-4} = \frac{\frac12}{X-2} + \frac{\frac12}{X+2}$$ \item $G=\frac{X^3-3X^2+X-4}{X-1}$. Lorsque le degré du numérateur (ici $3$) est supérieur ou égal au degré du dénominateur (ici $1$), il faut effectuer la division euclidienne du numérateur par le dénominateur pour faire apparaître la partie polynomiale (ou partie entière). Ici la division euclidienne s'écrit $X^3-3X^2+X-4=(X-1)(X^2-2X-1)-5$. Ainsi en divisant les deux membres par $X-1$ on obtient $$\frac{X^3-3X^2+X-4}{X-1} = X^2-2X-1-\frac{5}{X-1}$$ La fraction est alors déjà décomposée en éléments simples. \item $H=\frac{2X^3+X^2-X+1}{X^2-2X+1}$. Commençons par faire la division euclidienne du numérateur par le dénominateur : $2X^3+X^2-X+1=(X^2-2X+1)(2X+5)+7X-4$, ce qui donne $H=2X+5+\frac{7X-4}{X^2-2X+1}$. Il reste à décomposer en éléments simples la fraction rationnelle $H_1=\frac{7X-4}{X^2-2X+1}$. Puisque le dénominateur se factorise en $(X-1)^2$, elle sera de la forme $H_1=\frac{a}{(X-1)^2}+\frac{b}{X-1}$. En réduisant au même dénominateur, il vient $\frac{7X-4}{X^2-2X+1}=\frac{bX+a-b}{X^2-2X+1}$ et en identifiant les coefficients, on obtient $b=7$ et $a=3$. Finalement, $$\frac{2X^3+X^2-X+1}{X^2-2X+1} = 2X+5+\frac{3}{(X-1)^2}+\frac{7}{X-1}$$ \item $K=\frac{X+1}{X^4+1}$. Ici, il n'y a pas de partie polynomiale puisque le degré du numérateur est strictement inférieur au degré du dénominateur. Le dénominateur admet quatre racines complexes $e^{\frac{i\pi}{4}}$, $e^{\frac{3i\pi}{4}}$, $e^{\frac{5i\pi}{4}}=e^{-\frac{3i\pi}{4}}$ et $e^{\frac{7i\pi}{4}}=e^{-\frac{i\pi}{4}}$. En regroupant les racines complexes conjuguées, on obtient sa factorisation sur $\Rr$: \begin{eqnarray*} X^4+1 &=& \big( (X-e^{\frac{i\pi}{4}})(X-e^{-\frac{i\pi}{4}}) \big)\big( (X-e^{\frac{3i\pi}{4}})(X-e^{-\frac{3i\pi}{4}}) \big) \\ &=&\big(X^2-2\cos\tfrac{\pi}{4}+1\big)\big(X^2-2\cos\tfrac{3\pi}{4}+1\big)\\ &=&(X^2-\sqrt{2}X+1)(X^2+\sqrt{2}X+1) \end{eqnarray*} Puisque les deux facteurs $(X^2-\sqrt{2}X+1)$ et $(X^2+\sqrt{2}X+1)$ sont irréductibles sur $\R$, la décomposition en éléments simples de $K$ est de la forme $K=\frac{aX+b}{X^2-\sqrt{2}X+1}+\frac{cX+d}{X^2+\sqrt{2}X+1}$. En réduisant au même dénominateur et en identifiant les coefficients avec ceux de $K=\frac{X+1}{X^4+1}$, on obtient le système $$\left\{\begin{array}{l} a+c=0\\ \sqrt{2}a+b-\sqrt{2}c+d=0\\ a+\sqrt{2}b+c-\sqrt{2}d=1\\ b+d=1 \end{array}\right.$$ Système que l'on résout en $a=\frac{-\sqrt{2}}{4}$, $c=\frac{\sqrt{2}}{4}$, $b=\frac{2+\sqrt{2}}{4}$ et $d=\frac{2-\sqrt{2}}{4}$. Ainsi $$\frac{X+1}{X^4+1} = \frac{-\frac{\sqrt{2}}{4}X+\frac{2+\sqrt{2}}{4}}{X^2-\sqrt{2}X+1} + \frac{\frac{\sqrt{2}}{4}X+\frac{2-\sqrt{2}}{4}}{X^2+\sqrt{2}X+1}$$ \end{enumerate} \fincorrection \correction{006968}\ \begin{enumerate} \item $F=\frac{X^5+X^4+1}{X^3-X}$. Pour obtenir la partie polynomiale, on fait une division euclidienne : $X^5+X^4+1=(X^3-X)(X^2+X+1)+ X^2+X+1$. Ce qui donne $F=X^2+X+1+F_1$, où $F_1=\frac{X^2+X+1}{X^3-X}$. Puisque $X^3-X=X(X-1)(X+1)$, la décomposition en éléments simples est de la forme $$F_1 = \frac{X^2+X+1}{X(X-1)(X+1)}=\frac{a}{X}+\frac{b}{X-1}+\frac{c}{X+1}$$ Pour obtenir $a$ : \begin{itemize} \item on multiplie l'égalité par $X$ : $\frac{X(X^2+X+1)}{X(X-1)(X+1)}=X \left(\frac{a}{X}+\frac{b}{X-1}+\frac{c}{X+1}\right)$, \item on simplifie $\frac{X^2+X+1}{(X-1)(X+1)}= a+\frac{bX}{X-1}+\frac{cX}{X+1}$, \item on remplace $X$ par $0$ et on obtient $-1= a+0+0$, donc $a=-1$. \end{itemize} De même, en multipliant par $X-1$ et en remplaçant $X$ par $1$, il vient $b=\frac{3}{2}$. Puis en multipliant par $X+1$ et en remplaçant $X$ par $-1$, on trouve $c=\frac{1}{2}$. D'où $$\frac{X^5+X^4+1}{X^3-X} = X^2+X+1-\frac{1}{X}+\frac{\tfrac12}{X+1}+\frac{\tfrac32}{X-1}$$ \item $G=\frac{X^3+X+1}{(X-1)^3(X+1)}$. La partie polynomiale est nulle. La décomposition en éléments simples est de la forme $G=\frac{a}{(X-1)^3}+\frac{b}{(X-1)^2}+\frac{c}{X-1}+\frac{d}{X+1}$. \begin{itemize} \item En multipliant les deux membres de l'égalité par $(X-1)^3$, en simplifiant puis en remplaçant $X$ par $1$, on obtient $a=\frac32$. \item De même, en multipliant par $X+1$, en simplifiant puis en remplaçant $X$ par $-1$, on obtient $d=\frac18$. \item En multipliant par $X$ et en regardant la limite quand $X\to +\infty$, on obtient $1=c+d$. Donc $c=\frac78$. \item En remplaçant $X$ par $0$, il vient $-1=-a+b-c+d$. Donc $b = \frac54$. \end{itemize} Ainsi : $$G = \frac{X^3+X+1}{(X-1)^3(X+1)} = \frac{\tfrac32}{(X-1)^3} + \frac{\tfrac54}{(X-1)^2} + \frac{\tfrac78}{X-1} + \frac{\tfrac18}{X+1}$$ \item $H=\frac{X}{(X^2+1)(X^2+4)}$. Puisque $X^2+1$ et $X^2+4$ sont irréductibles sur $\Rr$, la décomposition en éléments simples sera de la forme $$\frac{X}{(X^2+1)(X^2+4)} = \frac{aX+b}{X^2+1} + \frac{cX+d}{X^2+4}$$ \begin{itemize} \item En remplaçant $X$ par $0$, on obtient $0=b+\frac{1}{4}d$. \item En multipliant les deux membres par $X$, on obtient $\frac{X^2}{(X^2+1)(X^2+4)} = \frac{aX^2+bX}{X^2+1} + \frac{cX^2+dX}{X^2+4}$. En calculant la limite quand $X\to +\infty$, on a $0=a+c$. \item Enfin, en évaluant les fractions en $X=1$ et $X=-1$, on obtient $\frac{1}{10}=\frac{a+b}{2}+\frac{c+d}{5}$ et $\frac{-1}{10}=\frac{-a+b}{2}+\frac{-c+d}{5}$. \end{itemize} La résolution du système donne $b=d=0$, $a=\frac{1}{3}$, $c=-\frac{1}{3}$ et donc $$\frac{X}{(X^2+1)(X^2+4)} = \frac{\frac{1}{3}X}{X^2+1} - \frac{\frac{1}{3}X}{X^2+4}$$ \item $K=\frac{2X^4+X^3+3X^2-6X+1}{2X^3-X^2}$. Pour la partie polynomiale, on fait la division euclidienne: $$2X^4+X^3+3X^2-6X+1=(2X^3-X^2)(X+1)+(4X^2-6X+1)$$ ce qui donne $K=X+1+K_1$ où $K_1=\frac{4X^2-6X+1}{2X^3-X^2}$. Pour trouver la décomposition en éléments simples de $K_1$, on factorise son numérateur: $2X^3-X^2=2X^2(X-\frac{1}{2})$, ce qui donne une décomposition de la forme $K_1=\frac{a}{X^2}+\frac{b}{X}+\frac{c}{X-\frac{1}{2}}$. On obtient alors $a$ en multipliant les deux membres de l'égalité par $X^2$ puis en remplaçant $X$ par 0: $a=-1$. On obtient de m\^eme $c$ en multipliant par $X-\frac{1}{2}$ et en remplaçant $X$ par $\frac{1}{2}$: $c=-2$. Enfin on trouve $b$ en identifiant pour une valeur particuli\`ere non encore utilisée, par exemple $X=1$, ou mieux en multipliant les deux membres par $X$ et en passant \`a la limite pour $X\to+\infty$: $b=4$. Finalement: $$\frac{2X^4+X^3+3X^2-6X+1}{2X^3-X^2}=X+1-\frac{1}{X^2}+\frac{4}{X}-\frac{2}{X-\frac{1}{2}}$$ \end{enumerate} \fincorrection \correction{006969}\ \begin{enumerate} \item $F=\frac{4X^6-2X^5+11X^4-X^3+11X^2+2X+3}{X(X^2+1)^3}$. \begin{enumerate} \item La décomposition en éléments simples de $F$ est de la forme $F=\frac{a}{X}+\frac{bX+c}{(X^2+1)^3}+\frac{dX+e}{(X^2+1)^2}+\frac{fX+g}{X^2+1}$. Il est difficile d'obtenir les coefficients par substitution. % $a,b,c$, (pour ces derniers : multiplication des deux membres par $X^2+1$, simplification, puis remplacement de $X$ par $i$ ou $-i$, avec séparation des parties % réelle et imaginaire), mais c'est insuffisant pour conclure: il faut % encore soustraire $\frac{bX+c}{(X^2+1)^3}$, simplifier par $X^2+1$, calculer $d$ % et $e$,\ldots \item On va ici se contenter de trouver $a$ : on multiplie $F$ par $X$, puis on remplace $X$ par $0$, on obtient $a=3$. \item On fait la soustraction $F_1=F-\frac{a}{X}$. On sait que la fraction $F_1$ \emph{doit} se simplifier par $X$. On trouve $F_1=\frac{X^5-2X^4+2X^3-X^2+2X+2}{(X^2+1)^3}$. \item La fin de la décomposition se fait par divisions euclidiennes successives. Tout d'abord la division du numérateur $X^5-2X^4+2X^3-X^2+2X+2$ par $X^2+1$: $$X^5-2X^4+2X^3-X^2+2X+2=(X^2+1)(X^3-2X^2+X+1)+X+1$$ puis on recommence en divisant le quotient obtenu par $X^2+1$, pour obtenir $$X^5-2X^4+2X^3-X^2+2X+2=(X^2+1)\big((X^2+1)(X-2)+3\big)+X+1$$ On divise cette identité par $(X^2+1)^3$ : $F_1 = \frac{(X^2+1)\big((X^2+1)(X-2)+3\big)+X+1}{(X^2+1)^3} = \frac{X+1}{(X^2+1)^3}+\frac{3}{(X^2+1)^2}+\frac{X-2}{X^2+1}$ Ainsi $$F= \frac{3}{X}+\frac{X+1}{(X^2+1)^3}+\frac{3}{(X^2+1)^2}+\frac{X-2}{X^2+1}$$ \end{enumerate} \smallskip Remarque~: cette méthode des divisions successives est tr\`es pratique quand la fraction \`a décomposer a un dénominateur \emph{simple}, c'est \`a dire comportant un dénominateur du type $Q^n$ o\`u $Q$ est du premier degré, ou du second degré sans racine réelle. \item $G=\frac{4X^4-10X^3+8X^2-4X+1}{X^3(X-1)^2}$. La décomposition en éléments simples de $G$ est de la forme $\frac{a}{X^3}+\frac{b}{X^2}+\frac{c}{X}+\frac{d}{(X-1)^2}+\frac{e}{X-1}$. % On pourrait obtenir facilement $a$ et $d$ par multiplication par $X^3$ et par $(X-1)^2$, % mais qu'il resterait encore trois coefficients à déterminer. Il y a ici une La méthode la plus efficace pour déterminer les coefficients est d'effectuer une division suivant les puissances croissantes, ici à l'ordre $2$ (de sorte que le reste soit divisible par $X^3$ comme le dénominateur). On calcule la division suivant les puissances croissantes, à l'ordre $2$ du numérateur $1-4X+8X ^2-10X^3+4X^4$ par $(X-1)^2$, ou plutôt par $1-2X+X^2$ : $$1-4X+8X^2-10X^3+4X^4=(1-2X+X^2)(1-2X+3X^2)+(-2X^3+X^4)$$ Remarquer que le reste $-2X^3+X^4$ est divisible par $X^3$. En divisant les deux membres de cette identité par $X^3(X-1)^2$, on obtient $a$, $b$ et $c$ d'un seul coup: $$ \begin{array}{rcl} G & = & \frac{4X^4-10X^3+8X^2-4X+1}{X^3(X-1)^2} \\ & = & \frac{(X-1)^2(1-2X+3X^2)+(-2X^3+X^4)}{X^3(X-1)^2} \\ & = & \frac{1}{X^3}-\frac{2}{X^2}+\frac{3}{X}+\frac{X-2}{(X-1)^2} \end{array} $$ Il reste à trouver $d$ et $e$: par exemple en faisant la division euclidienne de $X-2$ par $X-1$: $X-2=(X-1)-1$. $$G=\frac{1}{X^3}-\frac{2}{X^2}+\frac{3}{X}-\frac{1}{(X-1)^2}+\frac{1}{X-1}$$ \item $H=\frac{X^4+2X^2+1}{X^5-X^3} = \frac{X^4+2X^2+1}{X^3(X-1)(X+1)}$. La décomposition sera de la forme $H=\frac{a}{X^3}+\frac{b}{X^2}+\frac{c}{X}+\frac{d}{X-1}+\frac{e}{X+1}$. Pour obtenir $a, b, c$, on fait la division du numérateur par $(X-1)(X+1) = X^2-1$ selon les puissances croissantes, à l'ordre $2$ (de sorte que le reste soit divisible par $X^3$ qui est la puissance de $X$ au dénominateur de $H$, en fait on l'obtient à l'ordre $3$) : $$1+2X^2+X^4=(-1+X^2)(-1-3X^2)+4X^4$$ ce qui donne directement $$ \begin{array}{rcl} H &=& \frac{X^4+2X^2+1}{X^3(X-1)(X+1)} \\ &=& \frac{(X^2-1)(-1-3X^2)+4X^4}{X^3(X^2-1)} \\ &=& -\frac{1}{X^3}-\frac{3}{X}+\frac{4X}{X^2-1} \end{array} $$ Il reste à décomposer $\frac{4X}{X^2-1}=\frac{d}{X-1}+\frac{e}{X+1}$. On trouve $d=e=2$, d'où $$H = \frac{X^4+2X^2+1}{X^5-X^3} =-\frac{1}{X^3}-\frac{3}{X}+\frac{2}{X-1}+\frac{2}{X+1}$$ \medskip Remarque : la méthode de division selon les puissances croissantes est efficace pour un exposant assez grand (en gros à partir de $3$) dans une fraction du type $\frac{P(X)}{X^n Q(X)}$. Elle peut être utilisée pour une fraction du type $\frac{P(X)}{(X-a)^nQ(X)}$, mais il faut commencer par le changement de variable $Y=X-a$ avant de faire la division, puis bien entendu revenir à la variable $X$. \item $K=\frac{X^5+X^4+1}{X(X-1)^4}$. Puisque le degré du numérateur $N$ est supérieur ou égal à celui du dénominateur $D$, il y a une partie polynomiale. $N$ et $D$ étant de même degré, avec le même coefficient dominant, la partie polynomiale vaut $1$ et $K$ se décompose sous la forme $K = 1+\frac{a}{X} + \frac{b}{(X-1)^4} + \frac{c}{(X-1)^3} + \frac{d}{(X-1)^2} + \frac{e}{X-1}$. Le coefficient $a$ s'obtient facilement en multipliant $K$ par $X$ puis en remplaçant $X$ par $0$ : $a=1$. Soit $K_1=K-1-\frac{1}{X}=\frac{4X^3-2X^2-2X+3}{(X-1)^4}$. Le changement d'indéterminée $X=Y+1$ donne $K_1=\frac{4(Y+1)^3-2(Y+1)^2-2(Y+1)+3}{Y^4} $. En développant, on obtient directement $$K_1=\frac{4Y^3+10Y^2+6Y+3}{Y^4}= \frac{3}{Y^4} + \frac{6}{Y^3} + \frac{10}{Y^2} + \frac{4}{Y}$$ et donc (avec $Y=X-1$) : $K_1=\frac{4X^3-2X^2-2X+3}{(X-1)^4}=\frac{3}{(X-1)^4} + \frac{6}{(X-1)^3} + \frac{10}{(X-1)^2} + \frac{4}{X-1}$ . Finalement, $$K = \frac{X^5+X^4+1}{X(X-1)^4} = 1 + \frac{1}{X} + \frac{3}{(X-1)^4} + \frac{6}{(X-1)^3} + \frac{10}{(X-1)^2} + \frac{4}{X-1}$$ \end{enumerate} \fincorrection \correction{006970}\ \begin{enumerate} \item $$\begin{array}{rcl} \frac{(3-2 i )X-5+3 i}{X^2+ i X+2} &=&\frac{2+ i}{X- i}+\frac{1-3 i}{X+2 i}\\ \frac{X+ i }{X^2+ i} &=&\frac{\frac{2-\sqrt2}{4}+\frac{\sqrt2}{4} i}{X-\frac{\sqrt2-\sqrt2 i }{2}} + \frac{\frac{2+\sqrt2}{4}-\frac{\sqrt2}{4} i }{X+\frac{\sqrt2-\sqrt2 i}{2}}\\ \frac{X}{(X+ i)^2} &=&\frac{1}{X+ i}+\frac{-i}{(X+ i)^2} \end{array}$$ \item $$\begin{array}{rcl} \frac{X^5+X+1}{X^4-1} & =& X + \frac{\frac34}{X-1} + \frac{\frac14}{X+1} - \frac{X+\frac{1}{2}}{X^2+1} \\ &=& X + \frac{\frac34}{X-1} + \frac{\frac14}{X+1} + \frac{-\frac{1}{2}+\frac{1}{4} i }{X- i } + \frac{-\frac{1}{2}-\frac{1}{4} i }{X+ i }\\ \frac{X^2-3}{(X^2+1)(X^2+4)} &=& -\frac{\frac43}{X^2+1} + \frac{\frac73}{X^2+4} \\ & =& \frac{\frac{2}{3} i }{X- i } + \frac{-\frac{2}{3} i }{X+ i } + \frac{-\frac{7}{12} i }{X-2 i } + \frac{\frac{7}{12} i }{X+2 i }\\ \frac{X^2+1}{X^4+1} &=&\frac{\frac12}{X^2-\sqrt{2}X+1}+\frac{\frac12}{X^2+\sqrt{2}X+1}\\ & =&\frac{-\frac{\sqrt{2}}{4} i }{X-\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2} i } + \frac{ \frac{\sqrt{2}}{4} i }{X-\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2} i } \\ & &\ \ \ \ \ \ \ \ \ + \frac{ \frac{\sqrt{2}}{4} i }{X+\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2} i } + \frac{-\frac{\sqrt{2}}{4} i }{X+\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2} i } \end{array}$$ \end{enumerate} \fincorrection \correction{006971} La décomposition en élément simple s'écrit : $$\frac{1}{X(X-1)(X-2)^2}=\frac{-\frac14}{X}+\frac{1}{X-1}+\frac{\frac12}{(X-2)^2}+\frac{-\frac34}{X-2}.$$ En multipliant cette identité par le dénominateur $X(X-1)(X-2)^2$, il vient : $$1 =-\tfrac{1}{4}Q_0+Q_1+\left(\tfrac{1}{2}-\tfrac{3}{4}(X-2)\right)Q_2.$$ Ainsi $A_0=-\frac{1}{4}$, $A_1=1$ et $A_1=(2-\frac{3}{4}X)$ conviennent. On a obtenu une relation de Bézout entre $Q_1$, $Q_2$ et $Q_3$ qui prouve que ces trois polynômes sont premiers dans leur ensemble : $\pgcd(Q_1,Q_2,Q_3)=1$. \fincorrection \correction{006972} \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Si on pose $x=\cos \theta$ alors l'égalité $T_n(x)=\cos\big(n \arccos(x)\big)$ devient $T_n(\cos\theta)=\cos(n\theta)$, car $\arccos (\cos \theta) = \theta$ pour $\theta \in [0,\pi]$. \item $T_0(x) = 1$, $T_1(x)=x$. \item En écrivant $(n+2)\theta = (n+1)\theta + \theta$ et $n\theta = (n+1)\theta - \theta$ on obtient : $$\begin{array}{c} \cos\big( (n+2)\theta \big) = \cos\big((n+1)\theta\big)\cos \theta - \sin\big((n+1)\theta\big)\sin \theta \\ \cos\big( n\theta \big) = \cos\big((n+1)\theta\big)\cos \theta + \sin\big((n+1)\theta\big)\sin \theta \\ \end{array}$$ Lorsque l'on fait la somme de ces deux égalités on obtient : $$\cos\big( (n+2)\theta \big) + \cos\big( n\theta \big) = \cos\big((n+1)\theta\big)\cos \theta$$ Avec $x = \cos \theta$ cela donne : $$T_{n+2}(x) + T_n(x) = 2x T_{n+1}(x)$$ \item $T_0$ et $T_1$ étant des polynômes alors, par récurrence, $T_n(x)$ est un polynôme. De plus, toujours par la formule de récurrence, il est facile de voir que le degré de $T_n$ est $n$. \end{enumerate} % Puisque $\arccos (\cos\theta)=\theta$, on a bien $T_n(\cos\theta)=\cos(n\theta)$. D'après la formule de Moivre, % $$\cos(n\theta)=\mathrm{Re}(e^{in\theta)})=\mathrm{Re}((\cos\theta+i\sin\theta)^n)$$ % $$=\mathrm{Re}\left(\sum_{k=0}^nC_n^ki^k(\sin\theta)^k(\cos\theta)^{n-k}\right)$$ % Or $i^k$ est réel si et seulement si $k$ est pair (et dans ce cas, $i^k=(-1)^{k/2}$), donc en faisant le changement d'indice $k=2p$: % \begin{eqnarray*} % \cos(n\theta)&=&\sum_{k\ pair,\ 1\le k\le n}C_n^ki^k(\sin\theta)^k(\cos\theta)^{n-k}\\ % &=&\sum_{p=0}^{E(n/2)}C_n^{2p}(-1)^p(\sin\theta)^{2p}(\cos\theta)^{n-2p}\\ % &=&\sum_{p=0}^{E(n/2)}C_n^{2p}(-1)^p(1-(\cos\theta)^2)^{p}(\cos\theta)^{n-2p} % \end{eqnarray*} % qui est polynomiale en $\cos\theta$. % Comme tout $x\in[-1;1]$ peut s'écrire sous la forme $x=\cos\theta$, on a % $$T_n(x)=\sum_{p=0}^{E(n/2)}C_n^{2p}(-1)^p(1-x^2)^{p}x^{n-2p}$$ % Cette fonction polynomiale (sur $[-1;1]$) est de degré au plus $n$, et le coefficient du terme de degré $n$ vaut % $a_n=\sum_{p=0}^{E(n/2)}C_n^{2p}$ qui est non nul (somme de termes strictement positifs). \item Puisque les racines de $P=\lambda(X-a_1)\cdots(X-a_n)$ sont deux à deux distinctes, la décomposition en éléments simples de $\frac{1}{P}$ est de la forme $\frac{c_1}{X-a_1}+\cdots+\frac{c_n}{X-a_n}$. Expliquons comment calculer le coefficient $c_1$. On multiplie la fraction $\frac{1}{P}$ par $(X-a_1)$ ce qui donne $ \frac{X-a_1}{P} = c_1 + c_2 \frac{X-a_1}{X-a_2}+\cdots+ c_n \frac{X-a_1}{X-a_n} \text{ et } \frac{X-a_1}{P} = \frac{1}{\lambda(X-a_2)\cdots (X-a_n)} $ On évalue ces égalités en $X=a_1$ ce qui donne $$c_1 = \frac{1}{\lambda(a_1-a_2)\cdots (a_1-a_n)} = \frac{1}{\lambda\prod_{j\not= 1}(a_1-a_j)}$$ On obtiendrait de même le coefficient $c_k$ en multipliant $\frac{1}{P}$ par $(X-a_k)$, puis en remplaçant $X$ par $a_k$, ce qui donne: $c_k=\frac{1}{\lambda\prod_{j\not= k}(a_k-a_j)}$. Or la dérivée de $P$ est \begin{eqnarray*} P'(X)=&\lambda(X-a_2)\cdots(X-a_n)+\lambda(X-a_1)(X-a_3)\cdots(X-a_n)\\ &+\cdots+\lambda(X-a_1)\cdots(X-a_{k-1})(X-a_{k+1})\cdots(X-a_n)\\ &\ \ \ \ \ +\cdots+\lambda(X-a_1)\cdots(X-a_{n-1}) \end{eqnarray*} et donc $P'(a_1)=\lambda\prod_{j\not= 1}(a_1-a_j)$ et plus généralement $P'(a_k)=\lambda\prod_{j\not= k}(a_k-a_j)$. On a bien prouvé $c_k = \frac{1}{P'(a_k)}$ et ainsi la décomposition en éléments simple de $1/P$ est : $$\frac{1}{P(X)}=\sum_{k=1}^n\frac{\frac{1}{P'(a_k)}}{X-a_k}$$ \item \begin{enumerate} \item Cherchons d'abord les racines de $T_n(x)$. Soit $x\in[-1,1]$ : \begin{eqnarray*} T_n(x)=0 &\Longleftrightarrow& \cos\big(n \arccos(x)\big) = 0 \\ &\Longleftrightarrow& n\arccos(x) \equiv \frac{\pi}{2} \pmod{\pi}\\ &\Longleftrightarrow& \exists k\in\Zz\ \ \arccos(x)= \frac{\pi}{2n}+\frac{k\pi}{n} \end{eqnarray*} Comme par définition $\arccos(x) \in[0,\pi]$, les entiers $k$ possibles sont $k=0,\ldots,n-1$. Ainsi $$\arccos x=\frac{\pi}{2n}+\frac{k\pi}{n} \quad \Longleftrightarrow \quad x=\cos\left(\frac{\pi}{2n}+\frac{k\pi}{n}\right)$$ Posons donc $\omega_k=\cos\left(\frac{(2k+1)\pi}{2n}\right)$ pour $k=0,\ldots,n-1$. Les $\omega_k$ sont les racines de $T_n$. Finalement $T_n(x)= \lambda \prod_{k=0}^{n-1}(x-\omega_k)$. \item Ainsi $T_n(x)= \lambda \prod_{k=0}^{n-1}(x-\omega_k)$ et les $\omega_k$ sont deux à deux distincts. On sait par la question précédente que la décomposition en éléments simple de $1/T_n$ s'écrit $$\frac{1}{T_n(X)}=\sum_{k=0}^{n-1} \frac{1/T_n'(\omega_k)}{X-\omega_k}$$ Repartant de $T_n(x)=\cos\big(n \arccos(x)\big)$, on calcule $T_n'(x)=\frac{n}{\sqrt{1-x^2}}\sin\big(n\arccos(x)\big)$. En utilisant que $$\sin\big(n \arccos(\omega_k)\big) = \sin \left( n\left(\frac{(2k+1)\pi}{2n}\right)\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2}+k\pi \right) = (-1)^k$$ et $$\sqrt{1-\cos^2 \theta} = \sqrt{\sin^2 \theta} = \sin \theta \qquad \text{ pour } \theta \in [0,\pi]$$ on trouve que $T_n'(\omega_k)=\frac{n(-1)^k}{\sin\left(\frac{(2k+1)\pi}{2n}\right)}$. Ainsi $$\frac{1}{T_n(X)}=\sum_{k=0}^{n-1}\frac{\frac{(-1)^k}{n}\sin\left(\frac{(2k+1)\pi}{2n}\right)}{X-\cos\left(\frac{(2k+1)\pi}{2n}\right)}$$ \end{enumerate} \end{enumerate} \fincorrection \nocorrection \nocorrection \correction{000426} Utiliser la formule d'interpolation de Lagrange~! $P={1\over3}(X^2-4X-3)$. \fincorrection \correction{000427} On cherche $P$ sous la forme $P(X)=aX^3+bX^2+cX+d$, ce qui donne le système linéaire suivant à résoudre: $$\left\{\begin{array}{rcrcrcrcr} &&&&&&d&=&1\\a&+&b&+&c&+&d&=&0\\-a&+&b&-&c&+&d&=&-2\\8a&+&4b&+&2c&+&d&=&4\end{array}\right.$$ Après calculs, on trouve une unique solution : $a=\frac{3}{2}$, $b=-2$, $c=-\frac{1}{2}$, $d=1$ c'est-à-dire $$P(X)=\frac{3}{2}X^3-2X^2-\frac{1}{2}X+1.$$ \fincorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \correction{003167} $P(X) = -1 + Q(X)\times(X-1)^n \Leftrightarrow (X+1)^n \mid Q(X)(X-1)^n-2 \Leftrightarrow X^n \mid Q(X-1)(X-2)^n-2$. Soit $2 = A(X)(X-2)^n + X^nB(X)$ la division suivant les puissances croissantes de $2$ par $(X-2)^n$ {\`a} l'ordre~$n$. On obtient $X^n\mid Q(X-1)-A(X)$ soit $Q(X) = A(X+1) + X^nR(X)$ et $\deg(P)< 2n \Leftrightarrow R=0$. Calcul de $A(X)$ par d{\'e}veloppement limit{\'e}~: $\frac{1}{(1+x)^n} = \sum_{k=0}^{n-1}\binom{-n}{k}x^k + O(x^n)$ donc~: $$ A(X) = \frac{(-1)^n}{2^{n-1}}\sum_{k=0}^{n-1}\binom{-n}{k}\frac{(-1)^kX^k}{2^k} = \sum_{k=0}^{n-1}C_{n+k-1}^k(-1)^n\frac{X^k}{2^{n+k-1}} $$ \fincorrection \nocorrection \correction{003169} vect$(P(X), P(X+1), \dots, P(X+n))$ contient $P$, $\Delta P$, $\Delta^2P$, ..., $\Delta^nP$ donc ${ K_n[X]}$ d'apr{\`e}s le thm des degr{\'e}s {\'e}tag{\'e}s. \fincorrection \correction{003170} D{\'e}j{\`a} il est n{\'e}cessaire que $k=n$. Supposant ceci r{\'e}alis{\'e}, la matrice de~$(P_0,\dots,P_k)$ dans la base canonique de~$\C_n[X]$ est {\'e}quivalente {\`a} la matrice de Vandermonde de $z_0,\dots,z_k$. Donc une CNS est~: $k=n$ et $z_0,\dots,z_k$ sont distincts. \fincorrection \correction{003171} \begin{enumerate} \item $P\circ P - X = (P\circ P - P) + (P - X)$. \item $P(z) = z^2+3z+1 \Rightarrow z=-1,-1,-2\pm i$. \end{enumerate} \fincorrection \nocorrection \correction{003173} $\mathrm{Ker}\Phi = K_0[X]$, $\Im\Phi = (X-a) K_{n-1}[X]$. \fincorrection \nocorrection \correction{003175} Formule de Taylor : $\frac {P^{(k)}}{k!} \in {\Z[X]}$. \fincorrection \correction{003176} \begin{enumerate} \item \item Appliquer le { 1)} {\`a} $P(X+k)$. \end{enumerate} \fincorrection \nocorrection \nocorrection \correction{003179} $\begin{cases}P = a(X^2+1) + bX + c \cr Q = a'(X^2+1) + b'X + c'\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}P = \cos\theta (X^2-1) + 2X\sin\theta \cr Q = \sin\theta (X^2-1) - 2X\cos\theta. \end{cases}$\par $P \wedge Q = 1$ car $\pm i$ ne sont pas racines de $P$ et $Q$. \fincorrection \correction{003180} $\deg P < 2 \Rightarrow P \in \{1,X,X+1\}$. \fincorrection \correction{003181} \begin{enumerate} \item Isomorphisme $P \longmapsto P(X) + P(X+1)$. \item $P_n' = nP_{n-1}$. \item $P_n(X+1) = \sum_{k=0}^n C_n^k P_k$\quad (Taylor). \item $Q_n(X) = P_n(1-X) \Rightarrow Q_n(X) + Q_n(X+1) = 2(-1)^nX^n$. \end{enumerate} \fincorrection \correction{003182} \begin{enumerate} \item Bezout g{\'e}n{\'e}ralis{\'e}. \item $\bigl((1-X)P' - nP\bigr) (1-X)^{n-1} + \bigl(nQ + XQ'\bigr)X^{n-1} = 0$. \item $P^{(k+1)}(0) = (n+k)P^{(k)}(0) \Rightarrow P = \sum_{k=0}^{n-1} C_{n+k-1}^k X^k$. \item \end{enumerate} \fincorrection \nocorrection \correction{003184} $Q = P + P' + P'' + \dots$ : $Q(x)\to+\infty$ lorsque $x\to+\infty$, donc il existe $\alpha \in \R$ tel que $Q(\alpha)$ soit minimal.\par Alors $0 = Q'(\alpha) = Q(\alpha) - P(\alpha) \Rightarrow \min Q \ge 0$. \fincorrection \finexercice \correction{003185} oui ssi $P$ est pair. \fincorrection \correction{003186} \begin{enumerate} \item $P_0(u) = 2$, $P_1(u) = u$, $P_{n+1}(u) = uP_n(u) - P_{n-1}(u)$. \item $u_k = 2\cos\Bigl(\frac {(2k+1)\pi}{2n}\Bigr),\ k = 0, \dots, n-1$. \item \end{enumerate} \fincorrection \correction{003187} \begin{enumerate} \item \item Trivialement vrai ou trivialement faux selon le choix qu'on a fait en {\bf 1}. \item \item Soit $Q\in \C[X]$ et $F_Q = \{\overline{RQ},\ R\in\C_n[X]\}$. On a $F_Q = \{\overline{RQ},\ R\in\C[X]\}$ de mani{\`e}re {\'e}vidente, donc $F_Q$ est stable par la multiplication modulaire par~$X$. Soit r{\'e}ciproquement $F$ un sev de $\C_n[X]$ stable par la multiplication modulaire par $X$. Si $(P_1,\dots,P_k)$ est une famille g{\'e}n{\'e}ratrice de~$F$ alors $Q = \mathrm{pgcd}(P_1,\dots,P_k)\in F$ d'apr{\`e}s la relation de B{\'e}zout et la stabilit{\'e} de~$F$ donc $F_Q\subset F$ et $P_i\in F_Q$ puisque $Q$ divise $P_i$ d'o{\`u} $F\subset F_Q$ et $F=F_Q$. \end{enumerate} \fincorrection \correction{003188} Tout polyn{\^o}me {\`a} coefficients complexes non constant est surjectif sur~$\C$ donc $P(\C)\subset\R \Leftrightarrow P = a$ (constante r{\'e}elle). On a par interpolation de Lagrange~: $P(\Q)\subset\Q \Leftrightarrow P\in\Q[X]$. Montrons que $P(\Q)=\Q \Leftrightarrow P=aX+b$ avec $a\in\Q^*$, $b\in\Q$~: la condition est clairement suffisante. Pour prouver qu'elle est n{\'e}cessaire, consid{\'e}rons un polyn{\^o}me {\'e}ventuel $P$ de degr{\'e} $n\ge 2$ tel que $P(\Q)=\Q$. On sait d{\'e}j{\`a} que $P$ est {\`a} coefficients rationnels, donc on peut l'{\'e}crire sous la forme~: $P = \frac{a_0+a_1X+\dots+a_nX^n}d$ avec $a_i\in\Z$, $a_n\ne 0$ et $d\in\N^*$. Soit $\pi$ un nombre premier ne divisant ni $a_n$ ni $d$, et $x=p/q$ (forme irr{\'e}ductible) un rationnel tel que $P(x) = 1/\pi$. On a donc~: $\pi(a_0q^n+\dots+a_np^n) = dq^n$ ce qui implique que $\pi$ divise $q$. Il vient alors~: $a_np^n = dq^n/\pi - a_0q^n - \dots -a_{n-1}qp^{n-1}$ ce qui est impossible puisque $\pi$ est facteur du second membre ($n\ge 2$) mais pas du premier ($p\wedge q = 1$). \fincorrection \correction{003189} Clairement $E=\varnothing$ si les $y_i$ ne sont pas distincts. Si $y_1,\dots,y_n$ sont distincts, soit $P\in E$, $n=\deg(P)$ et $\lambda$ le coefficient dominant de~$P$ ($P\ne0$ car les $y_i$ ne sont pas tous nuls). Alors $P(X) - y_i$ a pour seule racine $x_i$ donc $P(X) - y_i = \lambda(X-x_i)^n$. Pour $n=1$ on obtient $P(X) = y_1 + \lambda(X-x_1)$ avec $\lambda\in\C^*$. Pour $n\ge2$ on obtient $y_2-y_1 = \lambda(X-x_1)^n - \lambda(X-x_2)^n = n\lambda X^{n-1}(x_2-x_1) + \dots$ ce qui est impossible donc $E=\varnothing$. \fincorrection \correction{003190} \begin{enumerate} \item R{\'e}currence sur $\mathrm{Card}\,(S)$ en mettant le terme de plus bas degr{\'e} en facteur et en d{\'e}rivant le quotient. \item Appliquer la question pr{\'e}c{\'e}dente aux suites $(\Re(a_s))$ et $(\Im(a_s))$. \end{enumerate} \fincorrection \correction{003191} Soit~$f(x) = \sum_{k=1}^{100}\frac k{x-k}$. $f$ est strictement d{\'e}croissante de~$0$ {\`a}~$-\infty$ sur~$]-\infty,0[$, de~$+\infty$ {\`a} $-\infty$ sur chaque intervalle~$]k,k+1[$,~$1\le k\le 100$ et de~$+\infty$ {\`a}~$0$ sur~$]100,+\infty[$. Donc il existe $1<\alpha_1<2<\alpha_2<\dots<\alpha_{99}<100<\alpha_{100}$ tels que $E = \{x\in\R\text{ tq }f(x)\ge 1\} = \bigcup_{k=1}^{100}]k,\alpha_k]$. La somme des longueurs est $L = \sum_{k=1}^{100}\alpha_k-\sum_{k=1}^{100}k$ et $\alpha_1,\dots,\alpha_{100}$ sont les racines du polyn{\^o}me : $$P(X) = \prod_{k=1}^{100}(X-k) - \sum_{k=1}^{100}k\prod_{i\ne k}(X-i) = X^{100}-2X^{99}\sum_{k=1}^{100}k + \dots$$ D'o{\`u} $\sum_{k=1}^{100}\alpha_k = 2\sum_{k=1}^{100}k$ et $L=\sum_{k=1}^{100}k=5050$. \fincorrection \correction{003192} Le sens $\Leftarrow$ est trivial. Pour le sens $ \Rightarrow $, il suffit de v{\'e}rifier la propri{\'e}t{\'e} lorsque $P$ est irr{\'e}ductible, strictement positif sur~$\R^+$, et le seul cas non trivial est celui o{\`u} $P$ est de la forme~: $P = (X-a)^2 + b^2$ avec $a>0$, $b>0$. Dans ce cas, le coefficient de~$X^k$ dans $(X+1)^\ell P(X)$ est~: $C_\ell^k(a^2+b^2) - 2aC_\ell^{k-1} + C_\ell^{k-2}$, en convenant que $C_x^y$ vaut~$0$ si l'on n'a pas $0\le y\le x$. En mettant ce qui peut l'{\^e}tre en facteur et en ordonnant le reste suivant les puissances de~$k$, on est rammen{\'e} {\`a} montrer que la quantit{\'e}~: $$k^2(a^2+b^2+2a+1) - k((a^2+b^2)(2\ell+3) + 2a(\ell+2) + 1) + \ell^2(a^2+b^2)$$ est strictement positive pour tout $k\in[[0,\ell+2]]$ si~$\ell$ est choisi convenablement. Or le discriminant par rapport {\`a}~$k$ est {\'e}quivalent {\`a} $-4\ell^2(2a+1)$ lorsque $\ell$ tend vers $+\infty$ donc un tel choix de~$\ell$ est possible. \fincorrection \correction{003193} On suppose $E$ fini et on montre que~$P$ est constant~: il existe~$a\in\Z$ tel que~$P(a)\ne 0$. Soit $N = \prod_{p\in E}p^{1+v_p(P(a))}$. Alors pour tout~$k\in\Z$, $P(a+kN)\equiv P(a) (\mathrm{mod}\, N)$ (formule de Taylor), donc $v_p(P(a+kN)) = v_p(P(a))$ pour tous~$k\in\Z$ et~$p\in E$. Comme $P(a+kN)$ est produit d'{\'e}l{\'e}ments de~$E$, on en d{\'e}duit que $P(a+kN) = \pm P(a)$ pour tout~$k$, donc $P$ prend une infinit{\'e} de fois la m{\^e}me valeur. \fincorrection \correction{003194} Prendre pour~$P_n$ la partie r{\'e}guli{\`e}re du d{\'e}veloppement limit{\'e} {\`a} l'ordre~$n$ de~$\sqrt{1+x}$. \fincorrection \correction{003195} Analyse~: on pose $P_j = a_0 + a_1X + \dots + a_nX^n$ et on consid{\`e}re la fraction rationnelle $$F(X) = \frac{a_0}{X} + \frac{a_1}{X+1} + \dots + \frac{a_n}{X+n} = \frac{P(X)}{X(X+1)\dots(X+n)}.$$ Alors $ \int_{t=0}^1 t^iP_j(t)\,dt = F(i+1) = \frac{i!\,P(i+1)}{(i+n+1)!}$ donc $P(j+1) = \frac{(j+n+1)!}{j!}$ et $P(k) = 0$ pour $k\in{[[1,n+1]]}\setminus\{j+1\}$, soit $$ \begin{aligned} P(X) &= \frac{(j+n+1)!}{j!}\prod_{k\ne j+1}\frac{X-k}{j+1-k} \\&= (-1)^{n-j}\frac{(j+n+1)!}{(j!)^2(n-j)!}\prod_{k\ne j+1}(X-k) = Q_j(X). \end{aligned} $$ Synth{\`e}se : soit $Q_j$ le polyn{\^o}me ci-dessus et $a_0,\dots,a_n$ les coefficients de la d{\'e}composition en {\'e}l{\'e}ments simples de $\frac{Q_j(X)}{X(X+1)\dots(X+n)}$. On doit juste v{\'e}rifier que les $a_i$ sont entiers. Calcul~: $$ \begin{aligned} a_i &= \frac{Q_j(-i)}{(-1)^ii!\,(n-i)!} = (-1)^{i+j}\frac{(i+j)!\,(i+n+1)!\,(j+n+1)!}{(i+j+1)!\,(i!)^2\,(j!)^2\,(n-i)!\,(n-j)!} \\ &= (-1)^{i+j}C_{i+j}^iC_{i+n+1}^{i+j+1}C_{j+n+1}^{j}C_n^i(n+1) \in\Z. \end{aligned} $$ \fincorrection \correction{003254} $3\Bigl(\frac ab + \frac ac + \frac ba + \frac bc + \frac ca + \frac cb\big) = -9$. \fincorrection \correction{003255} $-\frac 53$. \fincorrection \correction{003256} $\frac 13$. \fincorrection \correction{003257} $x^7 = -2x^2 + 2x - 1 \Rightarrow a^7 + b^7 + c^7 = -7$. \fincorrection \correction{003258} $\{ a,b,c \} = \left\{ 1, -\frac {1+i}2, -\frac {1-i}2 \right\}$. \fincorrection \correction{003259} $\{x,y,z\}=\{-1,1,2\}$. \fincorrection \correction{003260} $d = \frac 23$, $\{ a,b,c \} = \left\{ 0, \pm\frac 1{\sqrt2} \right\}$. \fincorrection \nocorrection \correction{003262} \begin{enumerate} \item $50p^3 = 27q^2$. \item $a^2+b^2+c^2 = 2c^2 + 1 = -2p \Rightarrow $ l'une des racines de l'{\'e}quation aux carr{\'e}s ($-Y^3 -2pY^2 -p^2Y + q^2$) doit {\^e}tre $-p - \frac 12$. CNS $\Leftrightarrow 2p+1 + 8q^2 = 0$. \end{enumerate} \fincorrection \correction{003263} $20p^3 + 27q^2 = 0$. \fincorrection \correction{003264} $b=0,\ c = \frac 9{100}a^2 \Rightarrow $ racines : $-3x,-x,x,3x$ avec $x = \sqrt{\frac {-a}{10}}$. \fincorrection \correction{003265} $-P(-2-X) = X^3 + 4X^2 + 7X + 2$. \fincorrection \correction{003266} $X^3 + (2b-a^2)X^2 + (b^2-2ac)X -c^2$. \fincorrection \correction{003267} racine 1 : $\lambda = -6$.\par racine -1 : $\lambda = -4$.\par racine $\alpha \in \mathbb{U}\setminus\{\pm1\}$ : les autres sont $\frac 1\alpha$ et $-\lambda \Rightarrow \lambda = 6$, $\alpha = \frac{1+i\sqrt{15}}4$. \fincorrection \correction{003268} \begin{enumerate} \item Les coefficients de $P$ sont born{\'e}s. \item $\widetilde P(X^2) = (-1)^nP(X)P(-X) \Rightarrow \widetilde P \in {\Z[X]}$. \item La suite $(\widetilde {\dot{\dot{\widetilde P}}})$ prend un nombre fini de valeurs. \end{enumerate} \fincorrection \correction{003269} Soit $y = \gamma x + \delta$ l'{\'e}quation de la droite en question. On veut que l'{\'e}quation $x^4 + ax^3 + bx^2 + (c-\gamma)x + (d-\delta) = 0$ ait quatre racines distinctes en progression arithm{\'e}tique. Si $r$ est la raison de cette progression alors les racines sont $-\frac a4 -\frac32r$, $-\frac a4 -\frac12r$, $-\frac a4 +\frac12r$ et $-\frac a4 +\frac32r$. On doit donc chercher {\`a} quelle condition sur $a,b,c,d$ il existe $\gamma,\delta,r$ r{\'e}els tels que ~: $$\begin{aligned} &\Bigl(-\frac a4 -\frac32r\Bigr)\Bigl(-\frac a4 -\frac12r\Bigr) + \dots + \Bigl(-\frac a4 +\frac12r\Bigr)\Bigl(-\frac a4 +\frac32r\Bigr) = -b\\ & \Bigl(-\frac a4 -\frac32r\Bigr)\Bigl(-\frac a4 -\frac12r\Bigr)\Bigl(-\frac a4 + \frac12r\Bigr) + \dots \\ &\qquad\qquad\qquad+ \bigl(-\frac a4 - \frac12r\Bigr)\Bigl(-\frac a4 +\frac12r\Bigr)\Bigl(-\frac a4 +\frac32r\Bigr) = c-\gamma\\ &\Bigl(-\frac a4 -\frac32r\Bigr)\Bigl(-\frac a4 -\frac12r\Bigr)\Bigl(-\frac a4 + \frac12r\Bigr)\Bigl(-\frac a4 + \frac32r\Bigr) = \delta - d \end{aligned}$$ Les deux derni{\`e}res {\'e}quations sont satisfaites {\`a} $r$ donn{\'e} en choisissant convenablement $\gamma$ et $\delta$. La premi{\`e}re s'{\'e}crit apr{\`e}s simplifications~: $\frac52r^2 = \frac38a^2 + b$ et la condition demand{\'e}e est $3a^2 + 8b> 0$. \fincorrection \correction{005314} Tout d'abord $$Q=(1+X+...+X^n)'=(\frac{X^{n+1}-1}{X-1})'=\frac{(n+1)X^n(X-1)-X^{n+1}}{(X-1)^2}=\frac{nX^{n+1}-(n+1)X^n+1}{(X-1)^2}.$$ Ensuite, $\omega_0=1$ et donc, $Q(\omega_0)=1+2+...+n=\frac{n(n+1)}{2}$. Puis, pour $1\leq k\leq n-1$, $\omega_k\neq1$ et donc, puisque $\omega_k^n=1$, $$Q(\omega_k)=\frac{n\omega_k^{n+1}-(n+1)\omega_k^n+1}{(\omega_k-1)^2}=\frac{n\omega_k-(n+1)+1}{(\omega_k-1)^2} =\frac{n}{\omega_k-1}.$$ Par suite, $$\prod_{k=0}^{n-1}Q(\omega_k)=\frac{n(n+1)}{2}\prod_{k=1}^{n-1}\frac{n}{\omega_k-1}=\frac{n^n(n+1)}{2\prod_{k=1}^{n-1}(\omega_k-1)}.$$ Mais, $X^n-1=(X-1)(1+X+...+X^{n-1})$ et d'autre part $X^n-1=\prod_{k=0}^{n-1}(X-e^{2ik\pi/n})=(X-1)\prod_{k=1}^{n-1}(X-\omega_k)$. Par intégrité de $\Rr[X]$, $\prod_{k=1}^{n-1}(X-e^{2ik\pi/n})=1+X+...+X^{n-1}$ (Une autre rédaction possible est~:~$\forall z\in\Cc,\;(z-1)\prod_{k=1}^{n-1}(z-\omega_k)=(z-1)(1+z+...+z^{n-1})$ et donc $\forall z\in\Cc\setminus\{1\}$, $\prod_{k=1}^{n-1}(z-\omega_k)=1+z+...+z^{n-1}$ et finalement $\forall z\in\Cc,\;\prod_{k=1}^{n-1}(z-\omega_k)=1+z+...+z^{n-1}$ car les deux polynômes ci-contre coincident en une infinité de valeurs de $z$.) En particulier, $\prod_{k=1}^{n-1}(1-\omega_k)=1+1^2+...+1^{n-1}=n$ ou encore $\prod_{k=1}^{n-1}(\omega_k-1)=(-1)^{n-1}n$. Donc, $$\prod_{k=0}^{n-1}Q(\omega_k)=\frac{n^n(n+1)}{2}\frac{1}{(-1)^{n-1}n}=\frac{(-1)^{n-1}n^{n-1}(n+1)}{2}.$$ \fincorrection \correction{005320} Si $P$ est de degré inférieur ou égal à $0$, c'est clair. Sinon, posons $P=\sum_{k=0}^{n}a_kX^k$ avec $n\in\Nn^*$. \begin{align*}\ensuremath P(P(X))-X&=P(P(X))-P(X)+P(X)-X=\sum_{k=0}^{n}a_k((P(X))^k-X^k)+(P(X)-X)\\ &=\sum_{k=1}^{n}a_k((P(X))^k-X^k)+(P(X)-X). \end{align*} Mais, pour $1\leq k\leq n$, $(P(X))^k-X^k)=(P(X)-X)((P(X))^{k-1}+X(P(X))^{k-2}+...+X^{k-1})$ est divisible par $P(X)-X$ et il en est donc de même de $P(P(X))-X$. \fincorrection \correction{005321} \begin{enumerate} \item Posons $P=\sum_{i=0}^{l}a_iX_i$ où $l\geq1$ et où les $a_i$ sont des entiers relatifs avec $a_l\neq0$. $$P(n+km)=\sum_{i=0}^{l}a_i(n+km)^i=\sum_{i=0}^{l}a_i(n^i+K_im)=\sum_{i=0}^{l}a_in^i+Km=m+Km=m(K+1),$$ où $K$ est un entier relatif. $P(n+km)$ est donc un entier relatif multiple de $m=P(n)$. \item Soit $P\in\Zz[X]$ tel que $\forall n\in\Nn,\;P(n)$ est premier. Soit $n$ un entier naturel donné et $m=P(n)$ (donc, $m\geq2$ et en particulier $m\neq0$). Pour tout entier relatif $k$, $P(n+km)$ est divisible par $m$ mais $P(n+km)$ est un nombre premier ce qui impose $P(n+km)=m$. Par suite, le polynôme $Q=P-m$ admet une infinité de racines deux à deux distinctes (puisque $m\neq0$) et est donc le polynôme nul ou encore $P$ est constant. \end{enumerate} \fincorrection \correction{005322} \begin{enumerate} \item Déjà, $P_0$ est dans $E$. Soit $n$ un naturel non nul. $P_n=\frac{1}{n!}(X+1)...(X+n)$ et donc, si $k$ est élément de $\{-1,...,-n\}$, $P_n(k)=0\in\Zz$. Si $k$ est un entier positif, $P_n(k)=\frac{1}{n!}(k+1)...(k+n)=C_{n+k}^n\in\Zz$. Enfin, si $k$ est un entier strictement plus petit que $-n$, $$P_n(k)=\frac{1}{n!}(k+1)...(k+n)=(-1)^n\frac{1}{n!}(-k-1)...(-k-n)=(-1)^nC_{-k-1}^n\in\Zz.$$ Ainsi, $\forall k\in\Zz,\;P_(k)\in\Zz$, ou encore $P_(\Zz)\subset\Zz$. \item Evident \item Soit $P\in\Cc[X]\setminus\{0\}$ tel que $\forall k\in\Zz,\;P(k)\in\Zz$ (si $P$ est nul, $P$ est combinaison linéaire à coefficients entiers des $P_k$). Puisque $\forall k\in\Nn,\;\mbox{deg}(P_k)=k$, on sait que pour tout entier naturel $n$, $(P_k)_{0\leq k\leq n}$ est une base de $\Cc_n[X]$ et donc, $(P_k)_{k\in\Nn}$ est une base de $\Cc[X]$ (tout polynôme non nul ayant un degré $n$, s'écrit donc de manière unique comme combinaison linéaire des $P_k$). Soit $n=\mbox{deg}P$. Il existe $n+1$ nombres complexes $a_0$,..., $a_n$ tels que $P=a_0P_0+...+a_nP_n$. Il reste à montrer que les $a_i$ sont des entiers relatifs. L'égalité $P(-1)$ est dans $\Zz$, fournit~:~$a_0$ est dans $\Zz$. L'égalité $P(-2)$ est dans $\Zz$, fournit~:~$a_0-a_1$ est dans $\Zz$ et donc $a_1$ est dans $\Zz$. L'égalité $P(-3)$ est dans $\Zz$, fournit~:~$a_0-2a_1+a_2$ est dans $\Zz$ et donc $a_2$ est dans $\Zz$... L'égalité $P(-(k+1))$ est dans $\Zz$, fournit~:~$a_0-a_1+...+(-1)^ka_k$ est dans $\Zz$ et si par hypothèse de récurrence, $a_0$,..., $a_{k-1}$ sont des entiers relatifs alors $a_k$ l'est encore. Tous les coefficients $a_k$ sont des entiers relatifs et $E$ est donc constitué des combinaisons linéaires à coefficients entiers relatifs des $P_k$. \end{enumerate} \fincorrection \correction{005326} Soit $P$ un tel polynôme. $-2$ est racine de $P+10$ d'ordre au moins trois et donc racine de $(P+10)'= P'$ d'ordre au moins deux. De même, $2$ est racine de $P'$ d'ordre au moins deux et puisque $P'$ est de degré $4$, il existe un complexe $\lambda$ tel que $P'=\lambda(X-2)^2(X+2)^2=\lambda(X^2-4)^2=\lambda(X^4-8X^2+16)$ et enfin, nécessairement, $$\exists(\lambda,\mu)\in\Cc^2/\;P=\lambda(\frac{1}{5}X^5-\frac{8}{3}X^3+16X)+\mu\;\mbox{avec}\;\lambda\neq0.$$ Réciproquement, soit $P=\lambda(\frac{1}{5}X^5-\frac{8}{3}X^3+16X)+\mu$ avec $\lambda\neq0$. \begin{align*}\ensuremath P\;\mbox{solution}&\Leftrightarrow P+10\;\mbox{divisible par}\;(X+2)^3\;\mbox{et}\;P-10\;\mbox{est divisible par}\;(X-2)^3\\ &\Leftrightarrow P(-2)+10=0=P'(-2)=P''(-2)\;\mbox{et}\;P(2)+10=0=P'(2)=P''(2)\Leftrightarrow P(-2)=-10\;\mbox{et}\;P(2)=10\\ &\left\{ \begin{array}{l} \lambda(-\frac{32}{5}+\frac{64}{3}-32)+\mu=-10\\ \lambda(\frac{32}{5}-\frac{64}{3}+32)+\mu=10 \end{array} \right. \Leftrightarrow\mu=0\;\mbox{et}\;\lambda(\frac{32}{5}-\frac{64}{3}+32)+\mu=10\\ &\Leftrightarrow\mu=0\;\mbox{et}\;\lambda=\frac{75}{128} \end{align*} On trouve un et un seul polynôme solution à savoir $P=\frac{75}{128}(\frac{1}{5}X^5-\frac{8}{3}X^3+16X)=\frac{15}{128}X^5-\frac{25}{16}X^3+\frac{75}{8}X$. \fincorrection \correction{005327} Les polynômes de degré inférieur ou égal à $0$ solutions sont clairement $0$ et $1$. Soit $P$ un polynôme de degré supérieur ou égal à $1$ tel que $P(X^2)=P(X)P(X+1)$. Soit $a$ une racine de $P$ dans $\Cc$. Alors, $a^2$, $a^4$, $a^8$..., sont encore racines de $P$. Mais, $P$ étant non nul, $P$ ne doit admettre qu'un nombre fini de racines. La suite $(a^{2^n})_{n\in\Nn}$ ne doit donc prendre qu'un nombre fini de valeurs ce qui impose $a=0$ ou $|a|=1$ car si $|a|\in]0,1[\cap]1,+\infty[$, la suite $(|a^{2^n}|)$ est strictement monotone et en particulier les $a^{2^n}$ sont deux à deux distincts. De même, si $a$ est racine de $P$ alors $(a-1)^2$ l'est encore mais aussi $(a-1)^4$, $(a-1)^8$..., ce qui impose $a=1$ ou $|a-1|=1$. En résumé, $$(a\;\mbox{racine de}\;P\;\mbox{dans}\;\Cc)\Rightarrow((a=0\;\mbox{ou}\;|a|=1)\;\mbox{et}\;(a=1\;\mbox{ou}\;|a-1|= 1))\Rightarrow(a=0\;\mbox{ou}\;a=1\;\mbox{ou}\;|a|=|a-1|=1).$$ Maintenant, $|a|=|a-1|=1\Leftrightarrow|a|=1\;\mbox{et}\;|a|=|a-1|\Leftrightarrow a\in\mathcal{C}((0,0),1)\cap\mbox{med}[(0,0),(1,0)]=\{-j,-j^2\}$. Donc, si $P\in\Rr[X]$ est solution, il existe $K$, $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $K$ complexe non nul et $\alpha$, $\beta$ et $\gamma$ entiers naturels tels que $P=KX^\alpha(X-1)^\beta(X+j)^\gamma(X+j^2)^\gamma$ ($-j$ et $-j^2$ devant avoir même ordre de multiplicité). Réciproquement, si $P=KX^\alpha(X-1)^\beta(X+j)^\gamma(X+j^2)^\gamma=KX^\alpha(X-1)^\beta(X^2-X+1)^\gamma$. $$P(X^2)=KX^{2\alpha}(X^2-1)^\beta(X4-X^2+1)^\gamma=KX^{2\alpha}(X-1)^\beta(X+1)^\beta(X^2-\sqrt{3}X+1)^\gamma(X^2+ \sqrt{3}X+1)^\gamma,$$ et \begin{align*}\ensuremath P(X)P(X+1)&=KX^\alpha(X-1)^\beta(X^2-X+1)\gamma K(X+1)^\alpha X^\beta(X^2+X+1)^\gamma\\ &=K^2X^{\alpha+\beta}(X-1)^\beta(X+1)^\alpha(X^2-X+1)^\gamma(X^2+X+1)^\gamma. \end{align*} Par unicité de la décompôsition en produit de facteurs irréductibles d'un polynôme non nul, $P$ est solution si et seulement si $P=0$ ou $K=1$ et $\alpha=\beta$ et $\gamma=0$. Les polynômes solutions sont $0$ et les $(X^2-X)^\alpha$ où $\alpha$ est un entier naturel quelconque. \fincorrection \correction{005330} \begin{enumerate} \item \begin{align*}\ensuremath S&\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} x+y+z=1\\ \frac{xy+xz+yz}{xyz}=1\\ xyz=-4 \end{array}\right.\Leftrightarrow\sigma_1=1,\;\sigma_2=\sigma_3=-4\\ &\Leftrightarrow x,\;y\;\mbox{et}\;z\;\mbox{sont les trois solutions de l'équation}\;X^3-X^2-4X+4=0\\ &\Leftrightarrow x,\;y\;\mbox{et}\;z\;\mbox{sont les trois solutions de l'équation}\;(X-1)(X-2)(X+2)=0\\ &\Leftrightarrow(x,y,z)\in\{(1,2,-2),(1,-2,2),(2,1,-2),(2,-2,1),(-2,1,2),(-2,2,1)\} \end{align*} \item Pour $1\leq k\leq 4$, posons $S_k=x^k+y^k+z^k+t^k$. On a $S_2=\sigma_1^2-2\sigma_2$. Calculons $S_3$ en fonction des $\sigma_k$. On a $\sigma_1^3=S_3+3\sum_{}^{}x^2y+6\sum_{}^{}xyz=S_3+3\sum_{}^{}x^2y+6\sigma_3$ $(*)$. Mais on a aussi $S_1S_2=S_3+\sum_{}^{}x^2y$. Donc, $\sum_{}^{}x^2y=\sigma_1(\sigma_1^2-2\sigma_2)-S_3$. En reportant dans $(*)$, on obtient $\sigma_1^3=S_3+3(\sigma_1^3-2\sigma_1\sigma_2-S_3)+6\sigma_3$ et donc, $$S_3=\frac{1}{2}(-\sigma_1^3+3(\sigma_1^3-2\sigma_1\sigma_2-S_3)+6\sigma_3)=\sigma_1^3-3\sigma_1\sigma_2+3\sigma_3.$$ Calculons $S_3$ en fonction des $\sigma_k$. Soit $P=(X-x)(X-y)(X-z)(X-t)=X^4-\sigma_1X^3+\sigma_2X^2-\sigma_3X+\sigma_4$. \begin{align*}\ensuremath P(x)+P(y)+P(z)+P(t)=0&\Leftrightarrow S_4-\sigma_1S_3+\sigma_2S_2-\sigma_3S_1+4\sigma_4=0\\ &\Leftrightarrow S_4=\sigma_1(\sigma_1^3-3\sigma_1\sigma_2+3\sigma_3)-\sigma_2(\sigma_1^2-2\sigma_2)+\sigma_3\sigma_1-4\sigma_4\\ &\Leftrightarrow S_4=\sigma_1^4-4\sigma_1^2\sigma_2+4\sigma_1\sigma_3+2\sigma_2^2-4\sigma_4. \end{align*} Par suite, \begin{align*}\ensuremath S&\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \sigma_1=0\\ -2\sigma_2=10\\ 3\sigma_3=0\\ 2\sigma_2^2-4\sigma_4=26 \end{array} \right.\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} \sigma_1=0\\ \sigma_2=-5\\ \sigma_3=0\\ \sigma_4=6 \end{array} \right.\\ &\Leftrightarrow x,\;y,\;z,\;\mbox{et}\;t\;\mbox{sont les 4 solutions de l'équation}\;X^4-5X^2+6=0\\ &\Leftrightarrow(x,y,z,t)\;\mbox{est l'une des 24 permutations du quadruplet}\;(\sqrt{2},-\sqrt{2},\sqrt{3},-\sqrt{3}) \end{align*} \end{enumerate} \fincorrection \correction{005331} Le polynôme nul est solution. Soit $P$ un polynôme non nul de degré $n$ solution alors $n=n-1+n-2$ et donc $n=3$. Posons donc $P=aX^3+bX^2+cX+d$ avec $a\neq0$. \begin{align*}\ensuremath P(2X)=P'(X)P''(X)&\Leftrightarrow8aX^3+4bX^2+2cX+d=(3aX^2+2bX+c)(6aX+2b)\\ &\Leftrightarrow(18a^2-8a)X^3+(18ab-4b)X^2+(4b^2+6ac-2c)X+2bc-d=0\\ &\Leftrightarrow18a^2-8a=18ab-4b=4b^2+6ac-2c=2bc-d=0\\ &\Leftrightarrow a=\frac{4}{9}\;\mbox{et}\;b=c=d=0. \end{align*} Les polynômes solutions sont $0$ et $\frac{4}{9}X^3$. \fincorrection \correction{005332} $0$ n'est pas racine de $P$. On rappelle que si $r=\frac{p}{q}$, ($p\in\Zz^*$, $q\in\Nn^*$, $p\wedge q=1$) est racine de $P$, alors $p$ divise le coefficient constant de $P$ et $q$ divise son coefficient dominant. Ici, $p$ divise $4$ et $q$ divise $12$ et donc, $p$ est élément de $\{\pm1,\pm2,\pm4\}$ et $q$ est élément de $\{1,2,3,4,6,12\}$ ou encore $r$ est élément de $\{\pm1,\pm2,\pm4,\pm\frac{1}{2},\pm\frac{1}{3},\pm\frac{2}{3},\pm\frac{4}{3},\pm\frac{1}{4},\pm\frac{1}{6},\pm\frac{1}{12}\}$. Réciproquement, on trouve $P(\frac{2}{3})=P(\frac{1}{4})=0$. $P$ est donc divisible par $$12(X-\frac{2}{3})(X-\frac{1}{4})=(3X-2)(4X-1)=12X^2-11X+2.$$ Plus précisément, $P=(12X^2-11X+2)(X^2+X+2)=(3X-2)(4X-1)(X-\frac{-1+i\sqrt{7}}{2})(X-\frac{-1-i\sqrt{7}}{2})$. \fincorrection \correction{005333} Pour $n\geq0$, posons $P_n=(X-1)^{2n}-X^{2n}+2X-1$. $P_n(0)=P_n(1)=P_n(\frac{1}{2})=0$. $P_n$ admet $0$, $1$ et $\frac{1}{2}$ pour racines et est donc divisible par $X(X-1)(2X-1)=2X^3-3X^2+X$. Si $n=0$ ou $n=1$, le quotient est nul. Si $n=2$, le quotient vaut $-2$. Soit $n\geq 3$. On met succesivement $2X-1$ puis $X-1$ puis $X$ en facteur~: \begin{align*}\ensuremath P_n&=((X-1)^2)^n-(X^2)^n+(2X-1)=((X-1)2-X2)\sum_{k=0}^{n-1}(X-1)^{2k}X^{2(n-1-k)}+(2X-1)\\ &=(2X-1)(-\sum_{k=0}^{n-1}(X-1)^{2k}X^{2(n-1-k)}+1)=(2X-1)(-\sum_{k=1}^{n-1}(X-1)^{2k}X^{2(n-1-k)}+1-X^{2n-2})\\ &=(2X-1)(-(X-1)\sum_{k=1}^{n-1}(X-1)^{2k-1}X^{2(n-1-k)}-(X-1)\sum_{k=0}^{2n-1}X^k)\\ &=(2X-1)(X-1)(-\sum_{k=1}^{n-1}(X-1)^{2k-1}X^{2(n-1-k)}-\sum_{k=0}^{2n-1}X^k)\\ &=(2X-1)(X-1)(-\sum_{k=1}^{n-2}(X-1)^{2k-1}X^{2(n-1-k)}-\sum_{k=1}^{2n-1}X^k-1-(X-1)^{2n-3})\\ &=(2X-1)(X-1)(-\sum_{k=1}^{n-2}(X-1)^{2k-1}X^{2(n-1-k)}-\sum_{k=1}^{2n-3}X^k-\sum_{k=1}^{2n-3}(-1)^{2n-3-k}C_{2n-3}^kX^k)\\ &= X(2X-1)(X-1)(-\sum_{k=1}^{n-2}(X-1)^{2k-1}X^{2n-2k-3}- \sum_{k=1}^{2n-3}X^{k-1}-\sum_{k=1}^{2n-3}(-1)^{2n-3-k}C_{2n-3}^kX^{k-1}) \end{align*} \fincorrection \correction{005334} \begin{align*}\ensuremath 1&=(X+(1-X))^{n+m-1}=\sum_{k=0}^{n+m-1}C_{n+m-1}^{k}X^k(1-X)^{n+m-1-k}\\ &=\sum_{k=0}^{n-1}C_{n+m-1}^{k}X^k(1-X)^{n+m-1-k} +\sum_{k=n}^{n+m-1}C_{n+m-1}^{k}X^k(1-X)^{n+m-1-k}\\ &=(1-X)^m\sum_{k=0}^{n-1}C_{n+m-1}^{k}X^k(1-X)^{n-1-k}+X^n\sum_{k=n}^{n+m-1}C_{n+m-1}^{k}X^{k-n}(1-X)^{n+m-1-k} \end{align*} Soient $U=\sum_{k=n}^{n+m-1}C_{n+m-1}^{k}X^{k-n}(1-X)^{n+m-1-k}$ et $V=\sum_{k=0}^{n-1}C_{n+m-1}^{k}X^k(1-X)^{n-1-k}$. $U$ et $V$ sont des polynômes tels que $UX^n+V(1-X)^m=1$. De plus, pour $n\leq k\leq n+m-1$, $\mbox{deg}(X^{k-n}(1-X)^{n+m-1-k})=k-n+n+m-1-k=m-10$, $f((Y,\frac{\pi}{2}))=(0,Y)$ avec $(Y,\frac{\pi}{2})$ élément de $[0,+\infty[\times[0,2\pi[$. \item[-] Si $X=0$ et $Y<0$, $f((-Y,\frac{3\pi}{2}))=(0,Y)$ avec $(-Y,\frac{3\pi}{2})$ élément de $[0,+\infty[\times[0,2\pi[$. \item[-] Si $X>0$ et $Y\geq0$, $f((\sqrt{X^2+Y^2},\Arctan\frac{Y}{X}))=(X,Y)$ avec $(\sqrt{X^2+Y^2},\Arctan\frac{Y}{X})$ élément de $[0,+\infty[\times[0,2\pi[$. \item[-] Si $X<0$ et $Y\geq0$, $f((\sqrt{X^2+Y^2},\pi+\Arctan\frac{Y}{X}))=(X,Y)$ avec $(\sqrt{X^2+Y^2},\pi+\Arctan\frac{Y}{X})$ élément de $[0,+\infty[\times[0,2\pi[$. \item[-] Si $X>0$ et $Y<0$, $f((\sqrt{X^2+Y^2},2\pi+\Arctan\frac{Y}{X}))=(X,Y)$ avec $(\sqrt{X^2+Y^2}, 2\pi+\Arctan\frac{Y}{X})$ élément de $[0,+\infty[\times[0,2\pi[$. \item[-] Si $X<0$ et $Y<0$, $f((\sqrt{X^2+Y^2},\pi+\Arctan\frac{Y}{X}))=(X,Y)$ avec $(\sqrt{X^2+Y^2},\pi+\Arctan\frac{Y}{X})$ élément de $[0,+\infty[\times[0,2\pi[$. \end{itemize} \item Pour tout réel $x$, on a $a\cos(x-\alpha)+b\cos(x-\beta)=(a\cos\alpha+b\cos\beta)\cos x+(a\sin\alpha+b\sin\beta)\sin x$. D'après 1), $f$ est surjective et il existe $(c,\gamma)$ élément de $[0,+\infty[\times[0,2\pi[$ tel que $a\cos\alpha+b\cos\beta=c\cos\gamma$ et $a\sin\alpha+b\sin\beta=c\sin\gamma$. Donc, $$\exists(c,\gamma)\in[0,+\infty[\times[0,2\pi[/\;\forall x\in\Rr,\;a\cos(x-\alpha)+b\cos(x-\beta)=c(\cos xcos\gamma+\sin x\sin\gamma)=c\cos(x-\gamma).$$ \item $F$ est non vide car contient l'application nulle et est contenu dans $E$. De plus, pour $x$ réel, \begin{align*} a\cos(x-\alpha)+b\cos(2x-\beta)&+a'\cos(x-\alpha')+b'\cos(2x-\beta')\\ &=a\cos(x-\alpha)+a'\cos(x-\alpha')+b\cos(2x-\beta) +b'\cos(2x-\beta')\\ &=a''cos(x-\alpha'')+b''\cos(2x-\beta''), \end{align*} pour un certain $(a',b'',\alpha'',\beta'')$ (d'après 2)). $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$. \item Pour tout réel $x$, $\cos x=1.\cos(x-0)+0.\cos(2x-0)$ et $x\mapsto\cos x$ est élément de $F$. Pour tout réel $x$, $\sin x=1.\cos(x-\frac{\pi}{2})+0.\cos(2x-0)$ et $x\mapsto\sin x$ est élément de $F$. Pour tout réel $x$, $\cos(2x)=0.\cos(x-0)+1.\cos(2x-0)$ et $x\mapsto\cos(2x)$ est élément de $F$. Pour tout réel $x$, $\sin(2x)=0.\cos(x-0)+1.\cos(2x-\frac{\pi}{2})$ et $x\mapsto\sin(2x)$ est élément de $F$. D'autre part, pour tout réel $x$, $\cos(2x)=2\cos^2x-1=1-2\sin^2x$ et donc, $$x\mapsto1\in F\Leftrightarrow x\mapsto\cos^2x\in F\Leftrightarrow x\mapsto\sin^2x\in F.$$ Montrons alors que $1\notin F$. On suppose qu'il existe $(a,b,\alpha,\beta)\in\Rr^4$ tel que $$\forall x\in\Rr,\;a\cos(x-\alpha)+b\cos(2x-\beta)=1.$$ En dérivant deux fois, on obtient~: $$\forall x\in\Rr,\;-a\cos(x-\alpha)-4b\cos(2x-\beta)=0,$$ et donc en additionnant $$\forall x\in\Rr,\;-3b\cos(2x-\beta)=1,$$ ce qui est impossible (pour $x=\frac{\pi}{4}+\frac{\beta}{2}$, on trouve $0$). Donc, aucune des trois dernières fonctions n'est dans $F$. \item On a vu que $(x\mapsto\cos x,\;x\mapsto\sin x,\;x\mapsto\cos(2x),\;x\mapsto\sin(2x))$ est une famille d'éléments de $F$. Montrons que cette famille est libre. Soit $(a,b,c,d)\in\Rr^4$. Supposons que $\forall x\in\Rr,\;a\cos x+b\sin x+c\cos(2x)+d\sin(2x)=0$. En dérivant deux fois, on obtient $\forall x\in\Rr,\;-a\cos x-b\sin x-4c\cos(2x)-4d\sin(2x)=0$ et en additionnant~:~$\forall x\in\Rr,\;-3c\cos(2x)-3d\sin(2x)=0$. Donc, $$\forall x\in\Rr,\;\left\{ \begin{array}{l} a\cos x+b\sin x=0\\ c\cos(2x)+d\sin(2x)=0 \end{array} \right..$$ $x=0$ fournit $a=c=0$ puis $x=\frac{\pi}{4}$ fournit $b=d=0$. Donc, $(x\mapsto\cos x,\;x\mapsto\sin x,\;x\mapsto\cos(2x),\;x\mapsto\sin(2x))$ est une famille libre d'éléments de $F$. \end{enumerate} \fincorrection \correction{005175} \begin{enumerate} \item $C$ contient l'identité de $\Rr$, mais ne contient pas son opposé. Donc, $C$ n'est pas un espace vectoriel. \item Montrons que $V$ est un sous-espace vectoriel de l'espace vectoriel des applications de $\Rr$ dans $\Rr$. $V$ est déjà non vide car contient la fonction nulle $(0=0-0)$. Soit $(f_1,f_2)\in V^2$. Il existe $(g_1,g_2,h_1,h_2)\in C^4$ tel que $f_1=g_1-h_1$ et $f_2=g_2-h_2$. Mais alors, $f_1+f_2=(g_1+g_2)-(h_1+h_2)$. Or, une somme de fonctions croissantes sur $\Rr$ est croissante sur $\Rr$, et donc, $g_1+g_2$ et $h_1+h_2$ sont des éléments de $C$ ou encore $f_1+f_2$ est dans $V$. Soit $f\in V$ et $\lambda\in\Rr$. Il existe $(g,h)\in V^2$ tel que $f=g-h$ et donc $\lambda f=\lambda g-\lambda h$. Si $\lambda\geq 0$, $\lambda g$ et $\lambda h$ sont croissantes sur $\Rr$ et $\lambda f$ est dans $V$. Si $\lambda<0$, on écrit $\lambda f=(-\lambda h)-(-\lambda g)$, et puisque $-\lambda g$ et $-\lambda h$ sont croissantes sur $\Rr$, $\lambda f$ est encore dans $V$. $V$ est donc un sous-espace vectoriel de l'espace vectoriel des applications de $\Rr$ dans $\Rr$. \end{enumerate} \fincorrection \correction{005176} Soit $(x,y)\in E^2$. $(1+1).(x+y)=1.(x+y)+1.(x+y)=(x+y)+(x+y)=x+y+x+y$ mais aussi $(1+1).(x+y)=(1+1).x+(1+1).y=x+x+y+y$. Enfin, $(E,+)$ étant un groupe, tout élément est régulier et en particulier $x$ est régulier à gauche et $y$ est régulier à droite. On a montré que pour tout couple $(x,y)$ élément de $E^2$, $x+y=y+x$. \fincorrection \correction{005177} Soit $F=(A\cap B)+(A\cap C)+(B\cap C)$. $F\subset A+A+B=A+B$ puis $F\subset A+C+C=A+C$ puis $F\subset B+C+C=B+C$ et finalement $F\subset(A+B)\cap(A+C)\cap(B+C)$. \fincorrection \correction{005563} $\Leftarrow)$ Si $F\subset G$ ou $G\subset F$ alors $F\cup G=G$ ou $F\cup G=F$. Dans tous les cas, $F\cup G$ est un sous-espace vectoriel. $\Rightarrow)$ Supposons que $F\not\subset G$ et que $F\cup G$ est un sous-espace vectoriel de $E$ et montrons que $G\subset F$. $F$ n'est pas inclus dans $G$ et donc il existe $x$ élément de $E$ qui est dans $F$ et pas dans $G$. Soit $y$ un élément de $G$. $x+y$ est dans $F\cup G$ car $x$ et $y$ y sont et car $F\cup G$ est un sous-espace vectoriel de $E$. Si $x+y$ est élément de $G$ alors $x=(x+y)-y$ l'est aussi ce qui est exclu. Donc $x+y$ est élément de $F$ et par suite $y=(x+y)-x$ est encore dans $F$. Ainsi, tout élément de $G$ est dans $F$ et donc $G\subset F$. \fincorrection \correction{005564} $\Leftarrow)$ Immédiat . $\Rightarrow)$ On raisonne par récurrence sur $n$. Pour $n=2$, c'est l'exercice \ref{ex:rou1}. Soit $n\geqslant 2$. Supposons que toute réunion de $n$ sous-espaces de $E$ est un sous-espace de $E$ si et seulement si l'un de ces sous-espaces contient tous les autres. Soient $F_1$,..., $F_n$, $F_{n+1}$ $n+1$ sous-espaces vectoriels de $E$ tels que $F_1\cup...\cup F_{n+1}$ soit un sous-espace vectoriel de $E$. Posons $F=F_1\cup...\cup F_n$. \textbullet~Si $F_{n+1}$ contient $F$, c'est fini. \textbullet~Si $F_{n+1}\subset F$, alors $=F_1\cup...\cup F_n=F_1\cup...\cup F_n\cup F_{n+1}$ est un sous-espace vectoriel de $E$. Par hypothèse de récurrence, $F$ est l'un des $F_i$ pour un certain $i$ élément de $\llbracket1,n\rrbracket$. $F_i=F$ contient également $F_{n+1}$ et contient donc tous les $F_j$ pour $j$ élément de $\llbracket1,n+1\rrbracket$. \textbullet~Supposons dorénavant que $F\not\subset F_{n+1}$ et que $F_{n+1}\not\subset F$ et montrons que cette situation est impossible. Il existe un vecteur $x$ qui est dans $F_{n+1}$ et pas dans $F$ et un vecteur $y$ qui est dans $F$ et pas dans $F_{n+1}$. Soit $\lambda$ un élément de $\Kk$. $y-\lambda x$ est un élément de $F\cup F_{n+1}$ (puisque $F\cup F_{n+1}$ est un sous-espace) mais $y-\lambda x$ n'est pas dans $F_{n+1}$ car alors $y=(y -\lambda x)+\lambda x$ y serait ce qui n'est pas. Donc $\forall\lambda\in\Kk$, $y-\lambda x\in F$. On en déduit que pour tout scalaire $\lambda$, il existe un indice $i(\lambda)$ élément de $\llbracket1,n\rrbracket$ tel que $y-\lambda x\in F_{i(\lambda)}$. Remarquons enfin que si $\lambda\neq\mu$ alors $i(\lambda)\neq i(\mu)$. En effet, si pour $\lambda$ et $\mu$ deux scalaires distincts donnés, il existe un indice $i$ élément de $\llbracket1,n\rrbracket$ tel que $y-\lambda x$ et $y-\mu x$ soient dans $F_i$, alors $x=\frac{(y-\mu x)-(y-\lambda x)}{\mu-\lambda}$ est encore dans $F_i$ et donc dans $F$, ce qui n'est pas. Comme l'ensemble des scalaires est infini et que l'ensemble des indices ne l'est pas, on vient de montrer que cette dernière situation n'est pas possible, ce qui achève la démonstration. \fincorrection \correction{006868} Pour qu'un ensemble $E$, muni d'une addition $x+y \in E$ (pour tout $x,y \in E$) et d'une multiplication par un scalaire $\lambda \cdot x \in E$ (pour tout $\lambda \in K$, $x\in E$), soit un $K$-espace vectoriel il faut qu'il vérifie les huit points suivants. \begin{enumerate} \item $x+(y+z)=(x+y)+z$ (pour tout $x,y,z \in E$) \item il existe un vecteur nul $0 \in E$ tel que $x+0=x$ (pour tout $x\in E$) \item il existe un opposé $-x$ tel que $x+(-x)=0$ (pour tout $x\in E$) \item $x+y=y+x$ (pour tout $x,y \in E$) \\ Ces quatre premières propriétés font de $(E,+)$ un groupe abélien. \item $1\cdot x = x$ (pour tout $x\in E$) \item $\lambda \cdot (x+y) = \lambda\cdot x + \lambda \cdot y$ (pour tout $\lambda \in K=$, pour tout $x,y \in E$) \item $(\lambda+\mu) \cdot x = \lambda\cdot x+ \mu \cdot x$ (pour tout $\lambda, \mu \in K$, pour tout $x \in E$) \item $(\lambda\times\mu) \cdot x = \lambda\cdot (\mu\cdot x)$ (pour tout $\lambda, \mu \in K$, pour tout $x \in E$) \end{enumerate} Il faut donc vérifier ces huit points pour chacun des ensembles (ici $K=\Rr$). Commençons par $E_1$. \begin{enumerate} \item $f+(g+h)=(f+g)+h$ ; en effet on bien pour tout $t\in[0,1]$ : $f(t)+\big(g(t)+h(t)\big)=\big(f(t)+g(t)\big)+h(t)$ d'où l'égalité des fonctions $f+(g+h)$ et $(f+g)+h$. Ceci est vrai pour tout $f,g,h \in E_1$. \item le vecteur nul est ici la fonction constante égale à $0$, que l'on note encore $0$, on a bien $f+0=f$ (c'est-à-dire pour tout $x\in[0,1]$, $(f+0)(t)=f(t)$, ceci pour toute fonction $f$). \item il existe un opposé $-f$ définie par $-f(t) = - \big(f(t)\big)$ tel que $f+(-f)=0$ \item $f+g=g+f$ (car $f(t)+g(t)=g(t)+f(t)$ pour tout $t\in[0,1]$). \item $1\cdot f = f$ ; en effet pour tout $t\in[0,1]$, $(1\cdot f)(t) = 1\times f(t) = f(t)$. Et une fois que l'on compris que $\lambda\cdot f$ vérifie par définition $(\lambda\cdot f)(t) = \lambda\times f(t)$ les autres points se vérifient sans peine. \item $\lambda \cdot (f+g) = \lambda\cdot f + \lambda \cdot g$ \item $(\lambda+\mu) \cdot f = \lambda\cdot f+ \mu \cdot f$ \item $(\lambda\times\mu) \cdot f = \lambda\cdot (\mu\cdot f)$ ; en effet pour tout $t\in [0,1]$, $(\lambda\times\mu) f (t) = \lambda (\mu f(t))$ \end{enumerate} \bigskip Voici les huit points à vérifier pour $E_2$ en notant $u$ la suite $(u_n)_{n\in\Nn}$ \begin{enumerate} \item $u+(v+w)=(u+v)+w$ \item le vecteur nul est la suite dont tous les termes sont nuls. \item La suite $-u$ est définie par $(-u_n)_{n\in\Nn}$ \item $u+v=v+u$ \item $1\cdot u = u$ \item $\lambda \cdot (u+v) = \lambda\cdot u + \lambda \cdot v$ : montrons celui-ci en détails par définition $u+v$ est la suite $(u_n+v_n)_{n\in\Nn}$ et par définition de la multiplication par un scalaire $\lambda \cdot (u+v)$ est la suite $\big(\lambda\times (u_n+v_n)\big)_{n\in\Nn}$ qui est bien la suite $\big(\lambda u_n+ \lambda v_n)\big)_{n\in\Nn}$ qui est exactement la suite $\lambda\cdot u + \lambda\cdot v$. \item $(\lambda+\mu) \cdot u = \lambda\cdot u+ \mu \cdot v$ \item $(\lambda\times\mu) \cdot u = \lambda\cdot (\mu\cdot u)$ \end{enumerate} \bigskip Voici ce qu'il faut vérifier pour $E_3$, après avoir remarqué que la somme de deux polynômes de degré $\le n$ est encore un polynôme de degré $\le n$ (même chose pour $\lambda\cdot P$), on vérifie : \begin{enumerate} \item $P+(Q+R)=(P+Q)+R$ \item il existe un vecteur nul $0 \in E_3$ : c'est le polynôme nul \item il existe un opposé $-P$ tel que $P+(-P)=0$ \item $P+Q=Q+P$ \item $1\cdot P = P$ \item $\lambda \cdot (P+Q) = \lambda\cdot P + \lambda \cdot Q$ \item $(\lambda+\mu) \cdot P = \lambda\cdot P+ \mu \cdot P$ \item $(\lambda\times\mu) \cdot P = \lambda\cdot (\mu\cdot P)$ \end{enumerate} \fincorrection \correction{006869} \begin{enumerate} \item L'espace vectoriel $\mathbb{R}$ a deux sous-espaces : celui formé du vecteur nul $\{0\}$ et $\Rr$ lui-m\^eme. \\ L'espace vectoriel $\mathbb{R}^2$ a trois types de sous-espaces: $\{0\}$, une infinit\'e de sous-espaces de dimension $1$ (ce sont les droites vectorielles) et $\Rr^2$ lui-m\^eme. \\ Enfin, l'espace $\mathbb{R}^3$ a quatre types de sous-espaces: le vecteur nul, les droites vectorielles, les plans vectoriels et lui-m\^eme. \item On consid\`ere deux droites vectorielles de $\mathbb{R}^3$ dont des vecteurs directeurs $u$ et $v$ ne sont pas colin\'eaires alors le vecteur $u+v$ n'appartient \`a aucune de ces deux droites, l'union de celles-ci n'est pas un espace vectoriel. \end{enumerate} \fincorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \correction{000900} \begin{enumerate} \item \begin{align*} & (x,1,y,1) \in \text{Vect}\{v_1,v_2\} \\ \iff& \exists \lambda,\mu\in \Rr \qquad (x,1,y,1) = \lambda(1,2,3,4)+\mu(1,-2,3,-4) \\ \iff& \exists \lambda,\mu\in \Rr \qquad (x,1,y,1) = (\lambda,2\lambda,3\lambda,4\lambda)+(\mu,-2\mu,3\mu,-4\mu) \\ \iff& \exists \lambda,\mu\in \Rr \qquad (x,1,y,1) = (\lambda+\mu,2\lambda-2\mu,3\lambda+3\mu,4\lambda-4\mu) \\ \implies& \exists \lambda,\mu\in \Rr \qquad 1 = 2(\lambda-\mu) \text{ et } 1=4(\lambda-\mu) \\ \implies& \exists \lambda,\mu\in \Rr \qquad \lambda-\mu= \frac 12 \text{ et } \lambda-\mu=\frac14 \\ \end{align*} Ce qui est impossible (quelque soient $x,y$). Donc on ne peut pas trouver de tels $x,y$. \item On fait le m\^eme raisonnement : \begin{align*} & (x,1,1,y) \in \text{Vect}\{v_1,v_2\} \\ iff&\ \exists \lambda,\mu\in \Rr \qquad (x,1,1,y) = (\lambda+\mu,2\lambda-2\mu,3\lambda+3\mu,4\lambda-4\mu) \\ \iff& \exists \lambda,\mu\in \Rr \qquad \begin{cases} x &= \lambda + \mu \\ 1 &= 2\lambda -2\mu \\ 1 &= 3\lambda +3\mu \\ y &= 4\lambda -4 \mu \\ \end{cases} \\ \iff& \exists \lambda,\mu\in \Rr \qquad \begin{cases} \lambda &= \frac 5{12} \\ \mu &= -\frac1{12} \\ x &= \frac 13 \\ y &= 2 \\ \end{cases}.\\ \end{align*} Donc le seul vecteur $(x,1,1,y)$ qui convienne est $(\frac13,1,1,2)$. \end{enumerate} \fincorrection \correction{000901} \begin{enumerate} \item On v\'erifie les propri\'et\'es qui font de $E$ un sous-espace vectoriel de $\Rr^4$ : \begin{enumerate} \item l'origine $(0,0,0,0)$ est dans $E$, \item si $v=(x_1,x_2,x_3,x_4) \in E$ et $v'=(x_1',x_2',x_3',x_4')\in E$ alors $v+v'=(x_1+x_1',x_2+x_2',x_3+x_3',x_4+x_4')$ a des coordonnées qui vérifient l'équation et donc $v+v' \in E$. \item si $v=(x_1,x_2,x_3,x_4) \in E$ et $\lambda \in \Rr$ alors les coordonnées de $\lambda\cdot v = (\lambda x_1,\lambda x_2,\lambda x_3,\lambda x_4)$ vérifient l'équation et donc $\lambda \cdot v \in E$. \end{enumerate} \item Il faut trouver une famille libre de vecteurs qui engendrent $E$. Comme $E$ est dans $\Rr^4$, il y aura moins de $4$ vecteurs dans cette famille. On prend un vecteur de $E$ (au hasard), par exemple $v_1 = (1,-1,0,0)$. Il est bien clair que $v_1$ n'engendre pas tout $E$, on cherche donc un vecteur $v_2$ lin\'eairement ind\'ependant de $v_1$, prenons $v_2 = (1,0,-1,0)$. Alors $\{v_1,v_2\}$ n'engendrent pas tout $E$ ; par exemple $v_3 = (1,0,0,-1)$ est dans $E$ mais n'est pas engendr\'e par $v_1$ et $v_2$. Montrons que $(v_1,v_2,v_3)$ est une base de $E$. \begin{enumerate} \item $(v_1,v_2,v_3)$ est une famille libre. En effet soient $\alpha,\beta,\gamma \in \Rr$ tels que $\alpha v_1+\beta v_2+\gamma v_3=0$. Nous obtenons donc : \begin{align*} & \alpha v_1+\beta v_2+\gamma v_3=0 \\ &\Rightarrow \alpha \begin{pmatrix}1 \cr -1 \cr 0 \cr 0 \cr \end{pmatrix} + \beta \begin{pmatrix}1 \cr 0 \cr -1 \cr 0 \cr \end{pmatrix} + \gamma \begin{pmatrix}1 \cr 0 \cr 0 \cr -1 \cr \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}0 \cr 0 \cr 0 \cr 0 \cr \end{pmatrix} \\ &\Rightarrow \begin{cases} \alpha+\beta +\gamma &= 0 \\ -\alpha &= 0 \\ -\beta &= 0 \\ -\gamma &= 0 \\ \end{cases}\\ &\Rightarrow \alpha=0, \beta=0, \gamma = 0 \\ \end{align*} Donc la famille est libre. \item Montrons que la famille est g\'en\'eratrice : soit $v = (x_1,x_2,x_3,x_4) \in E$. Il faut \'ecrire $v$ comme combinaison lin\'eaire de $v_1,v_2,v_3$. On peut r\'esoudre un syst\`eme comme ci-dessus (mais avec second membre) en cherchant $\alpha,\beta,\gamma$ tels que $\alpha v_1+\beta v_2+\gamma v_3=v$. On obtient que $v = -x_2v_1-x_3v_2-x_4v_4$ (on utilise $x_1+x_2+x_3+x_4=0$). \end{enumerate} Bien s\^ur vous pouvez choisir d'autres vecteurs de base (la seule chose qui reste ind\'ependante des choix est le nombre de vecteurs dans une base : ici $3$). \end{enumerate} \fincorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \correction{000908} Montrons d'abord que $E \subset F$. On va d'abord montrer que $v_1 \in F$ et $v_2 \in F$. Tout d'abord $v_1\in F \iff v_1 \in \text{Vect}\{w_1,w_2\} \iff \exists \lambda, \mu \quad v_1 = \lambda w_1+\mu w_2 $. Il s'agit donc de trouver ces $\lambda,\mu$. Cela se fait en résolvant un système (ici on peut même le faire de tête) on trouve la relation $7 (2, 3, -1) = 3(3, 7, 0)-(5, 0, -7)$ ce qui donne la relation $v_1 = \frac37 w_1 -\frac 17 w_2$ et donc $v_1\in F$. De même $7v_2=-w_1+2w_2$ donc $v_2\in F$. Maintenant $v_1$ et $v_2$ sont dans l'espace vectoriel $F$, donc toute combinaison linéaire de $v_1$ et $v_2$ aussi, c'est-à-dire : pour tout $\lambda,\mu$, on a $\lambda v_1+\mu v_2 \in F$. Ce qui implique $E \subset F$. \bigskip Il reste à montrer $F\subset E$. Il s'agit donc d'écrire $w_1$ (puis $w_2$) en fonction de $v_1$ et $v_2$. On trouve $w_1= 2v_1-v_2$ et $w_2=v_1+3v_2$. Encore une fois cela entraîne $w_1 \in E$ et $w_2 \in E$ donc $\text{Vect}\{w_1,w_2\} \subset E$ d'où $F\subset E$. Par double inclusion on a montré $E=F$. \fincorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \correction{000914} $v\in \text{Vect}(e_1,e_2)$ est \'equivalent \`a l'existence de deux r\'eels $\lambda, \mu$ tels que $v = \lambda e_1+\mu e_2$. Alors $(-2,x,y,3)= \lambda (1,-1,1,2) + \mu (-1,2,3,1) $ est \'equivalent \`a $$ \begin{cases} -2 &= \lambda -\mu \\ x &= -\lambda +2\mu \\ y &= \lambda +3\mu \\ 3 &= 2\lambda + \mu \\ \end{cases} \qquad \Leftrightarrow \qquad \begin{cases} \lambda &= 1/3 \\ \mu &= 7/3 \\ x &= 13/3\\ y &= 22/3 \\ \end{cases}. $$ Le couple qui convient est donc $(x,y) = (13/3,22/3)$. \fincorrection \nocorrection \correction{000916} \`A partir de la famille $(f_\alpha)_{\alpha\in \Rr}$ nous consid\'erons une combinaison lin\'eaire (qui ne correspond qu'\`a un nombre \emph{fini} de termes). Soient $\alpha_1,\ldots,\alpha_n$ des r\'eels distincts, consid\'erons la famille (finie) : $(f_{\alpha_i})_{i=1,\ldots,n}$. Supposons qu'il existe des r\'eels $\lambda_1,\ldots, \lambda_n$ tels que $\sum_{i=1}^n \lambda_i f_{\alpha_i}=0$. Cela signifie que, quelque soit $x \in \Rr$, alors $\sum_{i=1}^n \lambda_i f_{\alpha_i}(x) = 0$ ; en particulier pour $x = \alpha_j$ l'\'egalit\'e devient $\lambda_j = 0$ car $f_{\alpha_i}(\alpha_j)$ vaut $0$ si $i\neq j$ et $1$ si $i=j$. En appliquant le raisonnement ci-dessus pour $j=1$ jusqu'\`a $j=n$ on obtient : $\lambda_j = 0$, $j=1,\ldots,n$. Donc la famille $(f_\alpha)_{\alpha}$ est une famille libre. \fincorrection \correction{000917} \`A partir de la famille $(f_\alpha)_{\alpha\in \Rr}$ nous consid\'erons une combinaison lin\'eaire (qui ne correspond qu'\`a un nombre \emph{fini} de termes). Soient $\alpha_1 > \alpha_2 > \ldots > \alpha_n$ des r\'eels distincts que nous avons ordonnés, consid\'erons la famille (finie) : $(f_{\alpha_i})_{i=1,\ldots,n}$. Supposons qu'il existe des r\'eels $\lambda_1,\ldots, \lambda_n$ tels que $\sum_{i=1}^n \lambda_i f_{\alpha_i}=0$. Cela signifie que, quelque soit $x \in \Rr$, alors $\sum_{i=1}^n \lambda_i f_{\alpha_i}(x) = 0$, autrement dit pour tout $x\in \Rr$ : $$\lambda_1 e^{\alpha_1 x} + \lambda_2 e^{\alpha_2 x} + \cdots + \lambda_n e^{\alpha_n x}=0.$$ Le terme qui domine est $e^{\alpha_1 x}$ (car $\alpha_1>\alpha_2>\cdots$). Factorisons par $e^{\alpha_1 x}$ : $$e^{\alpha_1 x} \Big( \lambda_1 + \lambda_2 e^{(\alpha_2-\alpha_1) x} + \cdots + \lambda_n e^{(\alpha_n-\alpha_1) x} \Big) =0.$$ Mais $e^{\alpha_1 x}\neq 0$ donc : $$\lambda_1 + \lambda_2 e^{(\alpha_2-\alpha_1) x} + \cdots + \lambda_n e^{(\alpha_n-\alpha_1) x} =0.$$ Lorsque $x\to +\infty$ alors $e^{(\alpha_i-\alpha_1) x} \to 0$ (pour tout $i\ge 2$, car $\alpha_i-\alpha_1<0$). Donc pour $i\ge 2$, $\lambda_i e^{(\alpha_i-\alpha_1) x} \to 0$ et en passant à la limite dans l'égalité ci-dessus on trouve : $$\lambda_1=0.$$ Le premier coefficients est donc nul. On repart de la combinaison linéaire qui est maintenant $\lambda_2 f_2+\cdots + \lambda_n f_n=0$ et en appliquant le raisonnement ci-dessus on prouve par récurrence $\lambda_1=\lambda_2=\cdots=\lambda_n=0$. Donc la famille $(f_\alpha)_{\alpha\in\Rr}$ est une famille libre. \fincorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \correction{003297} $F = G$. \fincorrection \nocorrection \nocorrection \correction{003303} CNS $\Leftrightarrow \sum_{i=1}^n \alpha_i \ne -1$. \fincorrection \nocorrection \correction{005167} Soit $u'=(\sin(n\theta))_{n\in\Nn}$. On a~:~$u=1.u+0.u'$, puis $v=\cos a.u-\sin a.u'$, puis $w=\cos b.u-\sin b.u'$. Les trois vecteurs $u$, $v$ et $w$ sont donc combinaisons linéaires des deux vecteurs $u$ et $u'$ et constituent par suite une famille liée ($p+1$ combinaisons linéaires de $p$ vecteurs constituent une famille liée). \fincorrection \correction{005180} \begin{enumerate} \item Notons respectivement $g$ et $h$, les fonctions sinus et cosinus. $f_a=\cos a.g+\sin a.h$, $f_b=\cos b.g+\sin b.h$ et $f_c=\cos c.g+\sin c.h$. Donc, $f_a$, $f_b$ et $f_c$ sont trois combinaisons linéaires des deux fonctions $g$ et $h$ et constituent donc une famille liée ($p+1$ combinaisons linéaires de $p$ vecteurs donnés constituent une famille liée). \item $f_0$, $f_1$ et $f_2$ sont trois combinaisons linéaires des deux fonctions $x\mapsto1$ et $x\mapsto x$. Donc, la famille $(f_0,f_1,f_2)$ est une famille liée puis la famille $(f_n)_{n\in\Zz}$ est liée en tant que sur-famille d'une famille liée. \item Pour $\alpha$ réel donné et $x>0$, posons $f_\alpha(x)=x^\alpha$. Soient $n$ un entier naturel supérieur ou égal à $2$, puis $(\alpha_1,...,\alpha_n)\in\Rr^n$ tel que $\alpha_1<...<\alpha_n$. Soit encore $(\lambda_1,...,\lambda_n)\in\Rr^n$. $$\sum_{k=1}^{n}\lambda_kf_{\alpha_k}=0\Rightarrow\forall x\in]0;+\infty[,\;\sum_{k=1}^{n}\lambda_kx^{\alpha_k}=0\Rightarrow\forall x\in]0;+\infty[,\;\sum_{k=1}^{n}\lambda_kx^{\alpha_k-\alpha_n}=0,$$ (en divisant les deux membres par $x^{\alpha_n}$). Dans cette dernière égalité, on fait tendre $x$ vers $+\infty$ et on obtient $\lambda_n=0$. Puis, par récurrence descendante, $\lambda_{n-1}=...=\lambda_1=0$. On a montré que toute sous-famille finie de la famille $(f_\alpha)_{\alpha\in\Rr}$ est libre et donc, la famille $(f_\alpha)_{\alpha\in\Rr}$ est libre. \item Pour $a$ réel donné et $x$ réel, posons $f_a(x)=|x-a|$. Soient $n$ un entier naturel supérieur ou égal à $2$, puis $a_1$,...,$a_n$, $n$ réels deux à deux distincts. Soit $(\lambda_1,...,\lambda_n)\in\Rr^n$ tel que $\sum_{k=1}^{n}\lambda_kf_{a_k}=0$. S'il existe $i\in\{1,...,n\}$ tel que $\lambda_i\neq 0$ alors, $$f_{a_i}=-\frac{1}{\lambda_i}\sum_{k\neq i}^{}\lambda_kf_{a_k}.$$ Mais cette dernière égalité est impossible car $f_{a_i}$ n'est pas dérivable en $a_i$ alors que $-\frac{1}{\lambda_i}\sum_{k\neq i}^{}\lambda_kf_{a_k}$ l'est. Donc, tous les $\lambda_i$ sont nuls. \end{enumerate} \fincorrection \correction{005566} \begin{enumerate} \item La matrice de la famille $(e_1,e_2,e_3)$ dans la base canonique de $\Rr^4$ est $\left( \begin{array}{ccc} 3&1&7\\ 0&5&5\\ 1&0&2\\ -2&-1&1 \end{array} \right)$. Les trois dernières équations du système $\lambda e_1+\mu e_2+\nu e_3=0$ d'inconnues $\lambda$, $\mu$ et $\nu$ forment un sous-système de matrice $A=\left( \begin{array}{ccc} 0&5&5\\ 1&0&2\\ -2&-1&1 \end{array} \right)$ En développant le déterminant de cette matrice suivant sa première colonne, on obtient $\text{det}(A)=-10-2\times10=-30\neq0$. Ce sous-système est de \textsc{Cramer} et admet donc l'unique solution $(\lambda,\mu,\nu)=(0,0,0)$. Par suite, la famille $(e_1,e_2,e_3)$ est libre. \item \begin{align*}\ensuremath \left| \begin{array}{cccc} 1&1&1&1\\ 1&1&1&-1\\ 1&1&-1&1\\ 1&-1&1&1 \end{array} \right| &=\left| \begin{array}{cccc} 1&1&1&1\\ 0&0&0&-2\\ 0&0&-2&0\\ 0&-2&0&0 \end{array} \right|\;(\text{pour}\;2\leqslant i\leqslant4,\;L_i\leftarrow L_i-L_1)\\ &=\left| \begin{array}{ccc} 0&0&-2\\ 0&-2&0\\ -2&0&0 \end{array} \right|=-8\neq0. \end{align*} Donc la famille $(e_1,e_2,e_3,e_4)$ est une famille libre (et donc une base de $E$). \item Notons $(u_1,u_2,u_3,u_4)$ la base canonique de $\Rr^4$. La famille $(e_1,e_2,e_3,e_4)=(u_3,u_4,u_1,u_2)$ a même rang que la famille $(u_1,u_2,u_3,u_4)$ c'est-à-dire $4$. La famille $(e_1,e_2,e_3,e_4)$ est donc une base de $\Rr^4$. \item La matrice de la famille $(e_2,e_1,e_3,e_4)$ dans la base canonique de $\Rr^4$ est $\left( \begin{array}{cccc} 1&2&4&1\\ 1&-1&1&-2\\ 1&3&5&2\\ 1&1&3&0 \end{array} \right)$. Cette matrice a même rang que les matrices suivantes : $\left( \begin{array}{cccc} 1&0&0&0\\ 1&-3&-3&-3\\ 1&1&1&1\\ 1&-1&-1&-1 \end{array} \right)$ ($e_5=e_1-2e_2$, $e_6=e_3-4e_2$ et $e_7=e_4-e_2$) $\left( \begin{array}{cccc} 1&0&0&0\\ 1&-3&0&0\\ 1&1&10&0\\ 1&-1&0&0 \end{array} \right)$ ($e_8=e_6-e_5$ et $e_9=e_7-e_5$). La matrice ci-dessus est de rang $2$. Il en est de même de la famille $(e_1,e_2,e_3,e_4)$ qui est en particulier liée. La nullité de la troisième colonne fournit $0=e_8=e_6-e_5=(e_3-4e_2)-(e_1-2e_2)=-e_1-2e_2+e_3$ et donc $e_3=e_1+2e_2$. La nullité de la quatrième colonne fournit $0=e_9=e_7-e_5=(e_4-e_2)-(e_1-2e_2)=e_4+e_2-e_1$ et donc $e_4=e_1-e_2$. \end{enumerate} \fincorrection \correction{005567} Soit $(a,b,c)\in\Qq^3$. \begin{center} $a+b\sqrt{2}+\sqrt{3}= 0\Rightarrow(a+b\sqrt{2})^2=(-c\sqrt{3})^2\Rightarrow a^2+2b^2+2ab\sqrt{2}=3c^2\Rightarrow2ab\sqrt{2}\in\Qq.$ \end{center} Mais $\sqrt{2}$ est irrationnel donc $ab=0$. Si $b=0$, puisque $a+c=0$ et que $\sqrt{3}$ est irrationnel, on en déduit que $c = 0$ (sinon $\sqrt{3}$ serait rationnel) puis $a=0$ et finalement $a=b=c=0$. Si $a=0$, il reste $2b^2=3c^2$. Mais $\sqrt{\frac{3}{2}}$ est irrationnel (dans le cas contraire, il existe deux entiers $p$ et $q$ non nuls tels que $3q^2 = 2p^2$ et par exemple l'exposant du nombre premier $2$ n'a pas la même parité dans les deux membres de l'égalité ce qui est impossible) et donc $b=c=0$ puis encore une fois $a=b=c=0$. On a montré que $\forall(a,b,c)\in\Qq^3$, $(a+b\sqrt{2}+\sqrt{3}= 0\Rightarrow a=b=c=0)$. Donc la famille $(1,\sqrt{2},\sqrt{3})$ est une famille de réels $\Qq$-libre. \fincorrection \correction{005568} Les fonctions $f_1$, $f_2$ et $f_3$ sont bien définies sur $\Rr^+$. Soient $a$, $b$ et $c$ trois réels tels que $af_1+bf_2 +cf_3=0$. \textbf{Première solution.} Si $a$ est non nul, la fonction $af_1+bf_2+cf_3$ est équivalente au voisinage de $+\infty$ à $a\ln x$ et ne peut donc être égale à la fonction nulle. Donc $a=0$. Puis si $b$ est non nul, la fonction $af_1+bf_2+cf_3=bf_2+cf_3$ est équivalente à $b\ln(\ln x)$ et ne peut être égale à la fonction nulle. Donc $b =0$. Puis $c=0$. \textbf{Deuxième solution.} On effectue un développement limité à un ordre suffisant de la fonction $af_1+bf_2+cf_3$ quand $x$ tend vers $0$ : $f_1(x)=\ln(1+x)\underset{x\rightarrow0}{=}x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+o(x^3)$ puis \begin{align*}\ensuremath f_2(x)&=\ln(1+f_1(x))\underset{x\rightarrow0}{=}\ln\left(1+x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+o(x^3)\right) =\left(x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}\right)-\frac{1}{2}\left(x-\frac{x^2}{2}\right)^2+\frac{1}{3}x^3+o(x^3)\\ &=x-x^2+\frac{7}{6}x^3+o(x^3) \end{align*} puis \begin{align*}\ensuremath f_3(x)&=\ln(1+f_2(x))\underset{x\rightarrow0}{=}\ln\left(1+x-x^2+\frac{7}{6}x^3+o(x^3)\right)=\left(x-x^2+\frac{7}{6}x^3\right)-\frac{1}{2}\left(x-x^2\right)^2+\frac{1}{3}x^3+o(x^3)\\ &=x-\frac{3}{2}x^2+\frac{5}{2}x^3+o(x^3). \end{align*} Par suite, $af_1(x)+bf_2(x)+cf_3(x)\underset{x\rightarrow0}{=}(a+b+c)x+\left(-\frac{a}{2}-b-\frac{3c}{2}\right)x^2+\left(\frac{a}{3}+\frac{7b}{6}+\frac{5c}{2}\right)x^3+o(x^3)$. L'égalité $af_1+bf_2+cf_3=0$ fournit, par identification des parties régulières des développements limités à l'ordre trois en zéro : \begin{center} $\left\{ \begin{array}{l} a+b+c=0\\ -\frac{a}{2}-b-\frac{3c}{2}=0\\ \rule{0mm}{6mm}\frac{a}{3}+\frac{7b}{6}+\frac{5c}{2} \end{array} \right.$ ou encore $\left\{ \begin{array}{l} a+b+c=0\\ a+2b+3c=0\\ 2a+7b+15c=0 \end{array} \right.$. \end{center} Comme $\left| \begin{array}{ccc} 1&1&1\\ 1&2&3\\ 2&7&15 \end{array} \right|=\left| \begin{array}{ccc} 1&0&0\\ 1&1&1\\ 2&5&8 \end{array} \right|=3\neq0$, on a donc $a=b=c=0$. \fincorrection \correction{005569} Soient $n$ un entier naturel non nul puis $a_1$,..., $a_n$ $n$ réels deux à deux distincts et $\lambda_1$,..., $\lambda_n$ $n$ réels. Supposons $\lambda_1f_{a_1}+...+\lambda_nf_{a_n}=0$. Soit $i$ un élément de $\llbracket1,n\rrbracket$. On a $\lambda_if_{a_i}=-\sum_{j\neq i}^{}\lambda_jf_{a_j}$ et on ne peut avoir $\lambda_i\neq0$ car alors le membre de gauche est une fonction non dérivable en $a_i$ tandis que le membre de droite l'est. Par suite, tous les $\lambda_i$ sont nuls et donc la famille $(f_{a_i})_{1\leqslant i\leqslant n}$ est libre. On a montré que toute sous-famille finie de la famille $(f_a)_{a\in\Rr}$ est libre et donc la famille $(f_a)_{a\in\Rr}$ est libre. \fincorrection \correction{005570} Soient $a_1< ... 0$ et donc $H_1\cap...\cap H_{n-1}\neq\{0\}$. \fincorrection \correction{005579} Si $m=n$, c'est immédiat. Supposons $mn=\mbox{dim }E$, ce qui est impossible. Donc, il existe $k$ entier naturel tel que $N_k=N_{k+1}$. Soit $p$ le plus petit de ces entiers $k$ (l'existence de $p$ est démontrée proprement de la façon suivante~:~si $K=\in\{k\in\Nn/\;N_k=N_{k+1}\}$, $K$ est une partie non vide de $\Nn$ et admet donc un plus petit élément). On note que puisque $f$ est non injectif, $\{0\}=N_0\underset{\neq}{\subset}N_1$ et donc $p\in\Nn^*$. Par définition de $p$, pour $k\text{dim}E$ ce qui est exclu. Donc il existe un entier $k$ tel que $N_k=N_{k+1}$. Soit $p$ le plus petit de ces entiers $k$. Par définition de $p$, $N_k$ est strictement inclus dans $N_{k+1}$ pour $k2^{k+1}$ et si $l\leqslant 2^{k+1}$, $f^{2^k}(X^l)=0$ car entre $l$ et $2^{k}+l-1$, il y a une puissance de $2$ (il y a $2^k$ nombres entre $l$ et $2^k+l-1$, ensuite $2^k+l-1 < 2^k+2^{k+1}= 3\times2^k <2^{k+2}$ et enfin l'écart entre deux puissances de $2$ inférieures à $2^{k+1}$ vaut au maximum $2^{k+1}-2^k = 2^k$) . Donc, $I_{2^k}$ contient le polynôme nul ou des polynômes de degré strictement supérieur à $2^{k+1}$ et ne contient donc pas $X^{2^{k+1}}$. Finalement, pour tout entier naturel $k$, $I_{2^k}$ est strictement inclus dans $I_{2^k-1}$ et $B$ est vide. \end{enumerate} \item Pour $k$ entier naturel donné, on note $f_k$ la restriction de $f$ à $I_k$. D'après le théorème du rang, on a \begin{center} $\text{dim}I_k=\text{dim}\text{Ker}f_k+\text{dim}\text{Im}f_k$ avec $\text{Im}f_k=f(I_k)=I_{k+1}$. \end{center} Donc, pour tout entier naturel $k$, $d_k -d_{k+1}=\text{dim}\text{Ker}f_k$. Or, pour tout entier naturel $k$, $\text{Ker}f_{k+1}=\text{Ker}f\cap I_{k+1}\subset\text{Ker}f\cap I_{k}=\text{Ker}f_k$ et donc $d_{k+1}-d_{k+2}=\text{dim}\text{Ker}f_{k+1}\leqslant\text{dim}\text{Ker}f_k=d_k-d_{k+1}$. Finalement, pour tout entier naturel $k$, $d_{k+1}-d_{k+2}\leqslant d_k-d_{k+1}$ et la suite des images itérées décroît de moins en moins vite. \end{enumerate} \fincorrection \correction{005601} \begin{enumerate} \item Si $N=\text{Ker}f\neq\{0\}$, considérons $g$ non nul tel que $\text{Im}g\neq\{0\}$ et $\text{Im}g\subset\text{Ker}f$. Pour un tel $g$, $f\circ g = 0$ puis $f\circ g\circ f = 0$ et donc $g = 0$ par hypothèse, contredisant $g$ non nulle. Donc $\text{Ker}f =\{0\}$. Si $\text{Im}f\neq F$, on choisit $g$ nulle sur $\text{Im}f$ et non nulle sur un supplémentaire de $\text{Im}f$ (dont l'existence est admise en dimension infinie). Alors, $g\circ f = 0$ puis $f\circ g\circ f = 0$ et donc $g = 0$ contredisant $g$ non nulle. Donc $\text{Im}f = F$. Finalement, $f$ est bien un isomorphisme de $E$ sur $F$. \item Soit $A=\{g\in\mathcal{L}(F,E)/\;f\circ g\circ f = 0\}$. Tout d'abord $A$ est bien un sous-espace vectoriel de $\mathcal{L}(F,E)$ car contient l'application nulle et est stable par combinaison linéaire (ou bien $A$ est le noyau de l'application linéaire de $\mathcal{L}(F,E)$ dans $\mathcal{L}(E,F)$ qui à $g$ associe $f\circ g\circ f$). Soit $J$ un supplémentaire de $I=\text{Im}f$ dans $F$. Un élément $g$ de $\mathcal{L}(F,E)$ est entièrement déterminé par ses restrictions à $I$ et $J$. \begin{center} $f\circ g\circ f = 0\Leftrightarrow(f\circ g)_{/I}= 0\;\text{et}\;g_{/J}\;\text{est quelconque}\Leftrightarrow g(I)\subset N$. \end{center} Pour être le plus méticuleux possible, on peut alors considérer l'application $G$ de $\mathcal{L}(I,N)\times\mathcal{L}(J,E)$ dans $\mathcal{L}(F,E)$ qui à un couple $(g_1,g_2)$ associe l'unique application linéaire $g$ de $F$ dans $E$ telle que $g_{/I}= g_1$ et $g_{/J}=g_2$. $G$ est linéaire et injective d'image $A$. Donc \begin{center} $\text{dim}A =\text{dim}\mathcal{L}(I,N)\times\text{dim}\mathcal{L}(J,E)=\text{dim}\mathcal{L}(I,N) + \text{dim}\mathcal{L}(J,E) = r(p - r) + (n - r)p = pn - r^2$. \end{center} \end{enumerate} \fincorrection \correction{005602} \begin{enumerate} \item $u$ est dans L(E) car $u$ est linéaire et si $P$ est un polynôme de degré au plus $n$ alors $u(P)$ est un polynôme de degré au plus $n$. \textbullet~Les polynômes constants sont dans $\text{Ker}u$. Réciproquement , soit $P$un élément de $\text{Ker}u$ puis $Q = P - P(0)$. Par hypothèse, $P(0) = P(1) = P(2) = ...$ et donc $0$, $1$, $2$, ... sont des racines de $Q$. Puisque le polynôme $Q$ admet une infinité de racines, $Q$ est nul et donc $P = P(0)$ et $P\in\Kk_0[X]$. Ainsi, $\text{Ker}u =\Kk_0[X]$. \textbullet~Mais alors, d'après le théorème du rang, $\text{rg}u =(n+1)-1 = n$. D'autre part, si $P$ est dans $\Kk_n[X]$, $P(X+1)-P$ est dans $\Kk_{n-1}[X]$ (si on pose $P=a_nX^n+\ldots$, le coefficient de $X^n$ dans $u(P)$ est $a_n-a_n=0$). En résumé, $\text{Im}u\subset\Kk_{n-1}[X]$ et $\text{dim}\text{Im}u=\text{dim}\Kk_{n-1}[X]<+\infty$ et donc $\text{Im}u=\Rr_{n-1}[X]$. \begin{center} \shadowbox{ $\text{Ker}u=\Kk_0[X]$ et $\text{Im}u=\Kk_{n-1}[X]$. } \end{center} \item On part de $P_0 = 1$ et aussi de $P_1 = X$ qui vérifient bien $u(P_0) = 0$ et $u(P_1) = P_0$. Trouvons $P_2=aX^2 + bX$ tel que $u(P_2) = P_1$ (il est clair que si $\text{deg}(P)\geqslant1$, $\text{deg}(u(P))=\text{deg}(P)-1$ et d'autre part, les constantes sont inutiles car $\text{Ker}u=\Kk_0[X]$). \begin{center} $u(P_2) =P_1\Leftrightarrow a(X+1)^2 +b(X+1) - aX^2 - bX =X\Leftrightarrow (2a-1)X +a+b =0\Leftrightarrow a =\frac{1}{2}\;\text{et}\;b = -a$. \end{center} On prend $P_2=\frac{1}{2}(X^2-X)=\frac{1}{2}X(X-1)$. Trouvons $P_3=aX^3 + bX^2+cX$ tel que $u(P_3) = P_2$. \begin{align*}\ensuremath u(P_3) =P_2&\Leftrightarrow a(X+1)^3 +b(X+1)^2+c(X+1) - aX^3 - bX^2-cX =\frac{1}{2}X^2-\frac{1}{2}X\\ &\Leftrightarrow \left(3a-\frac{1}{2}\right)X^2+\left(3a+2b-\frac{1}{2}\right)X+a+b+c=0\\ &\Leftrightarrow a =\frac{1}{6}\;\text{et}\;b =-\frac{1}{2}\;\text{et}\;c=\frac{1}{3}. \end{align*} On prend $P_3=\frac{1}{6}(X^3-3X^2+2X)=\frac{1}{6}X(X-1)(X-2)$. Essayons, pour $1\leqslant k\leqslant n$, $P_k=\frac{1}{k!}\prod_{i=0}^{k-1}(X-i)$. Pour $1\leqslant k\leqslant n-1$, \begin{align*}\ensuremath u(P_{k+1})&=\frac{1}{(k+1)!}\prod_{i=0}^{k}(X+1-i)-\frac{1}{(k+1)!}\prod_{i=0}^{k}(X-i)=\frac{1}{(k+1)!}((X+1)-(X-k))\prod_{i=0}^{k-1}(X-i)\\ &=\frac{1}{k!}\prod_{i=0}^{k-1}(X-i)=P_k. \end{align*} Enfin, les $P_k$, $0\leqslant k\leqslant n$, constituent une famille de $n+1=\text{dim}\Kk_n[X]$ polynômes de degrés échelonnés de $\Kk_n[X]$ et donc la famille $(P_k)_{0\leqslant k\leqslant n}$ est une base de $\Kk_n[X]$. Dans cette base, la matrice de $u$ a la forme désirée. \end{enumerate} \fincorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \correction{000974} \begin{enumerate} \item La seule fonction qui est \`a la fois paire et impaire est la fonction nulle : $P\cap I = \{0\}$. Montrons qu'une fonction $f:\Rr \longrightarrow \Rr$ se d\'ecompose en une fonction paire et une fonction impaire. En effet : $$f(x)= \frac{f(x)+f(-x)}{2}+\frac{f(x)-f(-x)}{2}.$$ La fonction $x \mapsto \frac{f(x)+f(-x)}{2}$ est paire (le v\'erifier !), la fonction $x \mapsto \frac{f(x)-f(-x)}{2}$ est impaire. Donc $P+I=E$. Bilan : $E=P\oplus I.$ \item Le projecteur sur $P$ de direction $I$ est l'application $\pi : E \longrightarrow E$ qui \`a $f$ associe la fonction $x \mapsto \frac{f(x)+f(-x)}{2}$, c'est-à-dire à $f$ on associe la partie paire de $f$. Nous avons bien \begin{itemize} \item $\pi(f)\in P$. Par définition de $\pi$, $\pi(f)$ est bien une fonction paire. \item $\pi \circ \pi = \pi$. Si $g$ est une fonction paire alors $\pi(g)=g$. Appliquons ceci avec $g=\pi(f)$ (qui est bien est une fonction paire) donc $\pi(\pi(f))=\pi(f)$. \item $\ker \pi = I$. Si $\pi(f)=0$ alors cela signifie exactement que la fonction $x \mapsto \frac{f(x)+f(-x)}{2}$ est la fonction nulle. Donc pour tout $x$ : $\frac{f(x)+f(-x)}{2}=0$ donc $f(x)=-f(-x)$ ; cela implique que $f$ est une fonction impaire. Réciproquement si $f\in I$ est une fonction impaire, sa partie paire est nulle donc $f\in \ker f$. \end{itemize} \end{enumerate} \fincorrection \nocorrection \correction{000976} \begin{enumerate} \item $f$ est bien lin\'eaire... \item Soit $P$ tel que $f(P)=0$. Alors $P$ v\'erifie l'\'equation diff\'erentielle $$P+(1-X)P'=0.$$ Dont la solution est $P = \lambda(X-1)$, $\lambda \in \Rr$. Donc $\ker f$ est de dimension $1$ et une base est donn\'ee par un seul vecteur : $X-1$. \item Par le th\'eor\`eme du rang la dimension de l'image est : $$\dim \Im f = \dim \Rr_n[X]-\dim \ker f = (n+1) - 1 = n.$$ Il faut donc trouver $n$ vecteurs lin\'eairement ind\'ependants dans $\Im f$. \'Evaluons $f(X^k)$, alors $$f(X^k) = (1-k)X^k+kX^{k-1}.$$ Cela donne $f(1)=1, f(X)=1, f(X^2)=-X^2+2X,...$ on remarque que pour $k= 2,\ldots n$, $f(X^k)$ est de degr\'e $k$ sans terme constant. Donc l'ensemble $$\big\{ f(X), f(X^2), \ldots, f(X^n)\big\}$$ est une famille de $n$ vecteurs, appartenant \`a $\Im f$, et libre (car les degr\'es sont distincts). Donc ils forment une base de $\Im f$. \end{enumerate} \fincorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \correction{003342} 2. (c) $g(\vec x) = \vec z$. \fincorrection \correction{003343} 3. (a) $(f+g)(\vec x) = \vec0 \Rightarrow f^k(\vec x) + g\circ f^{k-1}(\vec x) = \vec0$. \par Pour $k = p$ : $f^{k-1}(\vec x) = \vec0$, puis pour $k = p-1$ : $f^{k-2}(\vec x) = \vec 0$, etc, jusqu'à $\vec x = \vec 0$.\\ 3. (b) Même principe sur l'équation : $(f+g)(\vec x) = \vec y$.\par On obtient : $(f+g)^{-1} = g^{-1} \circ \bigl( \mathrm{id} - g^{-1}\circ f + g^{-2}\circ f^2 - \dots + (-1)^{p-1}g^{1-p}\circ f^{p-1} \bigr)$. \fincorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \correction{003348} $f(\vec x) = \alpha\vec x + \beta(\vec x)\vec u$, $\beta \in E^*$. \fincorrection \correction{003354} \begin{enumerate} \item $\psi_{ij} \circ \psi_{k\ell} = \delta_{jk}\psi_{i\ell}$. \item $\psi_{11}$ est un projecteur non trivial. \item Si $\sum \lambda_k\vec u_k = \vec 0$, alors en appliquant $\psi_{1j}$ : $\lambda_j\vec u_1 = \vec 0 \Rightarrow \lambda_j = 0$. \item Décomposer $g$ sur la base $(\varphi_{ij})$. \end{enumerate} \fincorrection \correction{003355} $g =$ une projection sur $\Im f$ et $h=f$. \fincorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \correction{003489} $f^2 = f \circ g\circ f = f\circ g = f$ donc $f$ est une projection. $g$ idem. $f\circ g = f \Rightarrow \mathrm{Ker} g \subset \mathrm{Ker} f$ et donc, par symétrie, $\mathrm{Ker} f = \mathrm{Ker} g$. Réciproquement, si $f,g$ sont deux projections de même direction, alors $f\circ g$ et $f$ coïncident sur la base et la direction de $g$, donc sont égales. De même, $g\circ f = g$. \fincorrection \correction{003490} Direction = $\mathrm{Ker} f$ et Base = $\mathrm{Im} g$. \fincorrection \correction{003491} Direction = $\mathrm{Ker} p \cap \mathrm{Ker} q$ et Base = $\Im p \oplus \Im q$. \fincorrection \correction{003492} Si $\lambda \neq 1$, $(\mathrm{id}-f)^{-1} = \mathrm{id} + \frac1{1-\lambda}f$. \fincorrection \nocorrection \correction{003494} \begin{enumerate} \item \item $\begin{cases} 2x' = x - 2y - z \cr 2y' = -x -z \cr 2z' = -x -2y + z. \cr \end{cases}$ \end{enumerate} \fincorrection \correction{003495} Si $A=\varnothing$ c'est évident.\par Sinon, $A$ est un sous-groupe de $GL(E)$ donc $\frac{u}{\mathrm{Card}\, A}$ est un projecteur et $\mathrm{tr}(u) = \mathrm{Card}\,(A)\mathrm{rg}(u)$. \fincorrection \correction{005193} \begin{enumerate} \item Soit $p(\in\Nn^*)$ l'indice de nilpotence de $u$. Par définition, $u^{p-1}\neq0$ et plus généralement, pour $1\leq k\leq p-1$, $u^k\neq0$ car si $u^k= 0$ alors $u^{p-1}=u^k\circ u^{p-1-k}=0$ ce qui n'est pas. Puisque $u^{p-1}\neq0$, il existe au moins un vecteur $x$ non nul tel que $u^{p-1}(x)\neq0$. Montrons que la famille $(u^k(x))_{0\leq k\leq p-1}$ est libre. Soit $(\lambda_k)_{0\leq k\leq p-1}\in\Kk^p$ tel que $\sum_{k=0}^{p-1}\lambda_ku^k(x)=0$. Supposons qu'au moins un des coefficients $\lambda_k$ ne soit pas nul. Soit $i=\mbox{Min }\{k\in\{0,...,p-1\}/\;\lambda_k\neq0\}$. \begin{align*} \sum_{k=0}^{p-1}\lambda_ku^k(x)=0&\Rightarrow\sum_{k=i}^{p-1}\lambda_ku^k(x)=0 \Rightarrow u^{p-1-i}(\sum_{k=i}^{p-1}\lambda_ku^k(x))=0\Rightarrow\sum_{k=i}^{p-1}\lambda_ku^{p-1-i+k}(x)=0\\ &\Rightarrow\lambda_iu^{p-1}(x)=0\quad(\mbox{car pour}\;k\geq i+1,\;p-1-i+k\geq p\;\mbox{et donc}\;u^{p-1-i+k}=0)\\ &\Rightarrow\lambda_i=0\quad(\mbox{car}\;u^{p-1}(x)\neq0) \end{align*} ce qui contredit la définition de $i$. Donc tous les coefficients $\lambda_k$ sont nuls et on a montré que la famille $(u^k(x))_{0\leq k\leq p-1}$ est libre. \item Le cardinal d'une famille libre est inférieur ou égal à la dimension de l'espace et donc $p\leq n$. Par suite, $u^n=u^p\circ u^{n-p}=0$. \item On applique l'exerice \ref{exo:suprou10}. Puisque $u^{n-1}\neq0$, on a $N_{n-1}\underset{\neq}{\subset}N_n$. Par suite (d'après l'exercice \ref{exo:suprou12}, 2), c)), les inclusions $N_0\subset N_1\subset...\subset N_n=E$ sont toutes strictes et donc $$0<\mbox{dim }N_1<\mbox{dim }N_2 ...<\mbox{dim }N_n=n.$$ Pour $k\in\{0,...,n\}$, notons $d_k$ est la dimension de $N_k$. Pour $k\in\{0,...,n-1\}$, on a $d_{k+1}\geq d_k$ et une récurrence facile montre que, pour $k\in\{0,...,n\}$, on a $d_k\geq k$. Mais si de plus, pour un certain indice $i$ élément de $\{1,...,n-1\}$, on a $d_i=\mbox{dim }N_i>i$, alors, par une récurrence facile, pour $i\leq k\leq n$, on a $d_k>k$ et en particulier $d_n>n$ ce qui n'est pas. Donc, $$\forall k\in\{0,...,n\},\;\mbox{dim }(N_k)=k,$$ ou encore, d'après le théorème du rang, $\forall k\in\{0,...,n\},\;\mbox{rg }(u^k)=n-k$, et en particulier $\mbox{rg }(u)=n-1$. \end{enumerate} \fincorrection \correction{005584} \textbf{1ère solution.} Si $f=0$, c'est immédiat . Sinon, soit $p$ l'indice de nilpotence de $f$ ($p\geqslant2$). Par définition de $p$, il existe un vecteur $x_0$ tel que $f^{p-1}(x_0)\neq 0$ (et $f^p(x_0)=0$). Montrons que la famille $(f^k(x_0))_{0\leqslant k\leqslant p-1}$ est libre. Dans le cas contraire, il existe $a_0$,..., $a_{p-1}$ $p$ scalaires non tous nuls tels que $a_0x_0+...+a_{p-1}f^{p-1}(x_0)=0$. Soit $k=\text{Min}\{i\in\llbracket0,p-1\rrbracket/\;a_i\neq0\}$. \begin{align*}\ensuremath \sum_{i=0}^{p-1}a_if^i(x_0)=0&\Rightarrow\sum_{i=k}^{p-1}a_if^i(x_0)=0\Rightarrow f^{p-1}\left(\sum_{i=k}^{p-1}a_if^i(x_0)\right)=0\\ &\Rightarrow a_kf^{p-1}(x_0)=0\;(\text{car pour}\;i\geqslant p,\;f^i=0\\ &\Rightarrow a_k=0\;(\text{car}\;f^{p-1}(x_0)\neq0). \end{align*} Ceci contredit la définition de $k$ et donc la famille $(f^k(x_0))_{0\leqslant k\leqslant p-1}$ est libre. Puisque le cardinal d'une famille libre est inférieur à la dimension de l'espace, on a montré que $p\leqslant n$ ou, ce qui revient au même, $f^n=0$. \textbf{2ème solution.} (pour les redoublants) Soit $p\in\Nn^*$ l'indice de nilpotence de $f$. Le polynôme $X^p$ est annulateur de $f$. Son polynôme minimal est un diviseur de $X^p$ et donc égal à $X^k$ pour un certain $k\in\llbracket1,p\rrbracket$. Par définition de l'indice de nilpotence, $k=p$ puis $\mu_f=X^p$. D'après le théorème de \textsc{Cayley}-\textsc{Hamilton}, $\mu_f$ divise $\chi_f$ qui est de degré $n$ et en particulier $p\leqslant n$. \fincorrection \correction{005587} On transforme légèrement l'énoncé. Si $x$ est un vecteur non nul tel que $(x,f(x))$ est liée alors il existe un scalaire $\lambda_x$ tel que $f(x) =\lambda_x x$. Si $x = 0$, $f(x)=0=0x$ et encore une fois il existe un scalaire $\lambda_x$ tel que $f(x)=\lambda_x x$. Inversement, si pour tout $x$ de $E$, il existe $\lambda_x\in\Kk$ tel que $f(x)=\lambda_xx$, alors la famille $(x,f(x))$ est liée. Donc \begin{center} $[(\forall x\in E,\;(x,f(x))\;\text{liée})\Leftrightarrow(\forall x\in E,\exists\lambda_x\in\Kk/\;f(x) =\lambda_xx)]$. \end{center} Notons de plus que dans le cas où $x\neq0$, la famille $(x)$ est une base de la droite vectorielle $\text{Vect}(x)$ et en particulier, le nombre $\lambda_x$ est uniquement défini. Montrons maintenant que $f$ est une homothétie c'est à dire montrons que : $\exists\lambda\in\Kk/\;\forall x\in E,\;f(x) =\lambda x$. Soient $x_0$ un vecteur non nul et fixé de $E$ puis $x$ un vecteur quelconque de $E$. \textbf{1er cas.} Supposons la famille $(x_0,x)$ libre. On a $f(x+x_0)=\lambda_{x+x_0}(x+x_0)$ mais aussi $f(x+x_0)=f(x)+f(x_0) =\lambda_xx +\lambda_{x_0}x_0$ et donc \begin{center} $(\lambda_{x+x_0}-\lambda_x)x+ (\lambda_{x+x_0}-\lambda_{x_0})x_0=0$. \end{center} Puisque la famille $(x_0,x)$ est libre, on obtient $\lambda_{x+x_0}-\lambda_x=\lambda_{x+x_0}-\lambda_{x_0}= 0$ et donc $\lambda_x=\lambda_{x+x_0}=\lambda_{x_0}$. Ainsi, pour tout vecteur $x$ tel que $(x,x_0)$ libre, on a $f(x)=\lambda_{x_0}x$. \textbf{2ème cas.} Supposons la famille $(x_0,x)$ liée. Puisque $x_0$ est non nul, il existe un scalaire $\mu$ tel que $x =\mu x_0$. Mais alors \begin{center} $f(x) =\mu f(x_0)=\mu \lambda_{x_0}x_0 =\lambda_{x_0}x$. \end{center} Finalement, il existe un scalaire $k=\lambda_{x_0}$ tel que pour tout vecteur $x$, $f(x) =kx$ et $f$ est une homothétie. La réciproque étant claire, on a montré que \begin{center} \shadowbox{ $\forall f\in\mathcal{L}(E)$, $[(f\;\text{homothétie})\Leftrightarrow(\forall x\in E,\;(x,f(x))\;\text{liée})]$. } \end{center} \fincorrection \correction{005588} Remarques. 1) Soit $(G,*)$ un groupe. Le centre de $G$ est l'ensemble des éléments de $G$ qui commutent avec tous les éléments de $G$. Ce centre, souvent noté $Z$, est un sous-groupe de $(G,*)$. 2) $(\mathcal{L}(E),\circ)$ est un magma associatif et unitaire mais non commutatif (pour $\text{dim}E> 1)$ mais $(\mathcal{L}(E),\circ)$ n'est pas un groupe. Par contre $(\mathcal{GL}(E),\circ)$ est un groupe (groupe des inversibles de $(\mathcal{L}(E),\circ)$). Soit $f$ un endomorphisme (resp. automorphisme) de E commutant avec tous les endomorphismes (resp. les automorphismes) de $E$. $f$ commute en particulier avec toutes les symétries. Soit $x$ un vecteur non nul de $E$ et $s$ la symétrie par rapport à $\text{Vect}(x)$ parallèlement à un supplémentaire donné de $\text{Vect}(x))$. \begin{center} $s(f(x)) =f(s(x))=f(x)$. \end{center} Par suite, $f(x)$ est invariant par $s$ et appartient donc à $Vect(x)$. Ainsi, si $f$ commute avec tout endomorphisme (resp. automorphisme) de $E$, $f$ vérifie nécessairement $\forall x\in E$, $(x,f(x))$ liée et d'après le \ref{ex:rou25}, $f$ est nécessairement une homothétie. Réciproquement , les homothéties de $E$ commutent effectivement avec tout endomorphisme de $E$. \begin{center} \shadowbox{ Les endomorphismes de $E$ qui commutent avec tout endomorphismes de $E$ sont les homothéties. } \end{center} Pour le centre de $\mathcal{GL}(E)$, il faut enlever l'application nulle qui est une homothétie mais qui n'est pas inversible. \fincorrection \correction{005589} $\Rightarrow$/ Si $p+q$ est un projecteur alors l'égalité $(p+q)^2=p+q$ founit $pq+qp=0$. En composant par $p$ à droite ou à gauche , on obtient $pqp+qp=0=pq+pqp$ et donc $pq = qp$. Cette égalité jointe à l'égalité $pq + qp = 0$ fournit $pq = qp = 0$. $\Leftarrow$/ Si $ pq = qp = 0$, alors $(p+q)^2=p^2 + pq + qp + q^2 = p + q$ et $p + q$ est un projecteur. \begin{center} \shadowbox{ Pour tous projecteurs $p$ et $q$, ($p+q$ projecteur$\Leftrightarrow p\circ q=q\circ p=0\Leftrightarrow\text{Im}q\subset\text{Ker}p\;\text{et}\;\text{Im}p\subset\text{Ker}q$). } \end{center} Dorénavant, $p+q$ est un projecteur ou ce qui revient au même $pq=qp=0$. On a $\text{Ker}p\cap\text{Ker}q\subset\text{Ker}(p+q)$. Inversement, pour $x\in E$, \begin{center} $x\in\text{Ker}(p+q)\Rightarrow(p+q)(x)=0\Rightarrow p(p(x)+q(x))=0\Rightarrow p(x)=0$, \end{center} et de même $q(x)=0$. Ainsi, $\text{Ker}(p+q)\subset\text{Ker}p\cap\text{Ker}q$ et donc $\text{Ker}(p+q)=\text{Ker}p\cap\text{Ker}q$. On a $\text{Im}(p+q)\subset\text{Im}p+\text{Im}q$. Inversement, pour $x\in E$, \begin{center} $x\in\text{Im}p+\text{Im}q\Rightarrow\exists(x_1,x_2)\in E^2/\;x=p(x_1)+q(x_2)$. \end{center} Mais alors, $(p+q)(x)=p^2(x_1)+pq(x_1)+qp(x_2)+q^2(x_2)=p(x_1)+q(x_2)=x$ et donc $x\in\text{Im}(p+q)$. Ainsi, $\text{Im}p+\text{Im}q\subset\text{Im}(p+q)$ et donc $\text{Im}(p+q)=\text{Im}p+\text{Im}q$. En résumé, si $p$ et $q$ sont deux projecteurs tels que $p+q$ soit un projecteur, alors \begin{center} \shadowbox{ $\text{Ker}(p+q)=\text{Ker}p\cap\text{Ker}q$ et $\text{Im}(p+q)=\text{Im}p+\text{Im}q$. } \end{center} \fincorrection \correction{005590} Soit $p$ un projecteur de $E$. Si $p=0$, $\text{Tr}(p)=\text{rg}(p)=0$ et si $p=Id_E$, $\text{Tr}(p)=\text{rg}(p)=n$. Dorénavant, $p$ est un projecteur de rang $r\in\llbracket1,n-1\rrbracket$. On choisit une base de $E$ $\mathcal{B}$ adaptée à la décomposition $E=\text{Im}(p)\oplus\text{Ker}(p)$. Dans cette base, la matrice de $p$ s'écrit $\left( \begin{array}{cccccc} 1&0&\ldots& &\ldots&0\\ 0&\ddots&\ddots& & &\vdots\\ \vdots&\ddots&1& & & \\ & & &$0$&\ddots&\vdots\\ \vdots& & &\ddots&\ddots&0\\ 0&\ldots& &\ldots&0&0 \end{array} \right)$ où le nombre de $1$ est $\text{dim}(\text{Im}(p))=r$. Mais alors $\text{Tr}(p)=r$. \begin{center} \shadowbox{ En dimension finie, la trace d'un projecteur est son rang. } \end{center} \fincorrection \correction{005591} $\Leftarrow$/ Si $\forall i\neq j$, $p_i\circ p_j= 0$ alors \begin{center} $(p_1+...+p_n)^2=p_1^2+...+p_n^2+\sum_{i\neq j}^{}p_i\circ p_j = p_1+...+p_n$, \end{center} et $p_1+...+p_n$ est un projecteur. $\Rightarrow$/ Supposons que $p=p_1 + ... + p_n$ soit un projecteur. Posons $F_i=\text{Im}p_i$, $1\leqslant i\leqslant n$, puis $F=F_1 + ... + F_n$ et $G =\text{Im}p$. On sait que la trace d'un projecteur est son rang. Par linéarité de la trace, on obtient \begin{center} $\text{rg}p=\text{Tr}p=\text{Tr}(p_1) + ...+\text{Tr}(p_n)=\text{rg}(p_1)+... +\text{rg}(p_n)$, \end{center} et donc $\text{dim}G=\text{dim}F_1+...+\text{dim}F_n\geqslant\text{dim}F$. D'autre part, $G=\text{Im}(p_1 + ... + p_n)\subset\text{Im}p_1 + ... +\text{Im}p_n=F_1 + ... +F_n =F$. On obtient donc $G = F$ et aussi $\text{dim}(F_1+...+F_n)=\text{dim}F_1+...+\text{dim}F_n$. D'après l'exercice \ref{ex:rou15}, $F=F_1\oplus...\oplus F_n$ c'est-à-dire \begin{center} $\text{Im}p =\text{Im}(p_1)\oplus ...\oplus\text{Im}(p_n)$. \end{center} Il reste à vérifier que pour $i\neq j$ et $x$ dans $E$, $p_i(p_j(x))=0$ ou ce qui revient au même que pour $i\neq j$ et $y$ dans $\text{Im}(p_j)$, $p_i(y)=0$. Soit $y$ dans $\text{Im}(p_j)$ (et donc dans $\text{Im}p$). Les égalités $y=p_j(y)=p(y)$ fournissent $\sum_{i\neq j}^{}p_i(y) = 0$. La somme $\sum_{i}^{}\text{Im}(p_i)$ étant directe, on a donc $p_i(y) = 0$ pour chaque $i\neq j$ ce qu'il fallait démontrer. \begin{center} \shadowbox{ $p_1+\ldots+p_n$ projecteur$\Leftrightarrow\forall i\neq j,\;p_i\circ p_j=0$. } \end{center} \fincorrection \correction{005592} \begin{enumerate} \item D'après le \ref{ex:rou29}, $\text{Im}(p_1 + ... + p_n) =\text{Im}(p_1)+ ... +\text{Im}(p_n)=\text{Im}(p_1)\oplus ... \oplus\text{Im}(p_n)$. Chaque $p_i$ est de rang au moins $1$, mais si l'un des $p_i$ est de rang supérieur ou égal à $2$ alors $n =\text{dim}E\geqslant\text{rg}(p_1+...+p_n) =\text{rg}(p_1)+ ... +\text{rg}(p_n)> n$ ce qui est impossible. Donc chaque $p_i$ est de rang $1$. \item Les images des $p_i$ (resp. $q_i$) sont des droites vectorielles. Pour chaque $i$, notons $e_i$ (resp. $e_i'$) un vecteur non nul de $\text{Im}(p_i)$ (resp. $\text{Im}(q_i)$). D'après 1), $E= \text{Vect}(e_1)\oplus ... \oplus\text{Vect}(e_n)$ ou encore $(e_i)_{1\leqslant i\leqslant n}$ (resp. $(e_i')_{1\leqslant i\leqslant n}$) est une base de $E$. Soit $f$ l'automorphisme de $E$ défini par $f(e_i) =e_i'$ ($f$ est un automorphisme car l'image par $f$ d'une base de $E$ est une base de $E$). Soit $(i,j)\in\llbracket1,n\rrbracket^2$. $f\circ p_i\circ f^{-1}(e_j') = f(p_i(e_j)) =f(\delta_{i,j}e_i)=\delta_{i,j}e_i'=q_i(e_j)$. Ainsi, les endomorphismes $q_i$ et $f\circ p_i\circ f^{-1}$ coïncident sur une base de $E$ et sont donc égaux. \end{enumerate} \fincorrection \correction{005593} Soit $q=\frac{1}{n}\sum_{g\in G}^{}g\circ p\circ g^{-1}$. \begin{center} $q^2=\frac{1}{n}\sum_{(g,h)\in G^2}^{}h\circ p\circ h^{-1}\circ g\circ p\circ g^{-1}$. \end{center} Mais si $g$ et $h$ sont deux éléments de $G$ et $x$ est un vecteur quelconque de $E$, $p(g^{-1}(x))$ est dans $F$ et donc par hypothèse $h^{-1}\circ g\circ p\circ g^{-1}(x)$ est encore dans $F$ ($h^{-1}$ est dans $G$ puisque $G$ est un groupe). On en déduit que \begin{center} $h\circ p\circ h^{-1}\circ g\circ p\circ g^{-1}=h\circ h^{-1}\circ g\circ p\circ g^{-1}=g\circ p\circ g^{-1}$. \end{center} Mais alors \begin{center} $q^2=\frac{1}{n^2}\sum_{(g,h)\in G^2}^{}g\circ p\circ g^{-1}=\frac{1}{n^2}\times n\sum_{g\in G}^{}g\circ p\circ g^{-1}=\frac{1}{n}\sum_{g\in G}^{}g\circ p\circ g^{-1}= q$ \end{center} et $q$ est un projecteur. Montrons que $F\subset\text{Im}q$. Soit $x$ un élément de $F$. Pour chaque $g\in G$, $g^{-1}(x)$ est encore dans $F$ et donc $p(g^{-1}(x))=g^{-1}(x)$ puis $g(p(g^{-1}(x)))=x$. Mais alors \begin{center} $q(x)=\frac{1}{n}\sum_{g\in G}^{}x=x$, \end{center} ou encore $x$ est dans $\text{Im}q$. On a montré que $F\subset\text{Im}q$. Montrons que $\text{Im}q\subset F$. Soit $x$ un élément de $\text{Im}q$. \begin{align*}\ensuremath p(x)&=p(q(x))=\frac{1}{n}\sum_{g\in G}^{}p\circ g\circ p\circ g^{-1}(x)\\ &=\frac{1}{n}\sum_{g\in G}^{}g\circ p\circ g^{-1}(x)\;(\text{car}\;p\circ g^{-1}(x)\in F\;\text{et donc}\;g\circ p\circ g^{-1}(x)\in F)\\ &=q(x) = x, \end{align*} et $x$ est dans $F$. On a montré que $\text{Im}q\subset F$ et finalement que $\text{Im}q=F$. \begin{center} \shadowbox{ $q$ est un projecteur d'image $F$. } \end{center} \fincorrection \correction{005598} Deux cas particuliers se traitent immédiatement. Si $f=0$, on prend $p=0$ et $g=Id_E$ et si $f\in\mathcal{GL}(E)$, on prend $p=Id_E$ et $g=f$. On se place dorénavant dans le cas où $\text{Ker}f$ et $\text{Im}f$ ne sont pas réduit à ${0}$. Soit $F$ un supplémentaire de $\text{Ker}f$ dans $E$ et $G$ un supplémentaire de $\text{Im}f$ dans $E$. On sait que la restriction $f'$ de $f$ à $F$ réalise un isomorphisme de $F$ sur $\text{Im}f$. D'autre part $\text{dim}\text{Ker}f=\text{dim}G<+\infty$ et donc $\text{Ker}f$ et $G$ sont isomorphes. Soit $\varphi$ un isomorphisme de $\text{Ker}f$ sur $G$. On définit une unique application linéaire $g$ en posant $g_{/\text{Ker}f}=\varphi$ et $g_{/F}=f'$. $g$ est un automorphisme de $E$. En effet, \begin{center} $g(E)=g(\text{Ker}f +F)=g(\text{Ker}f) +g(F)=\varphi(\text{Ker}f) + f'(F)=G +\text{Im}f=E$, \end{center} (puisque $\varphi$ et $f'$ sont des isomorphismes) et donc $g$ est surjective. Par suite $g$ est bijective de $E$ sur lui-même puisque $\text{dim}E<+\infty$. Soit $p$ la projection sur $F$ parallèlement à $\text{Ker}f$. On a \begin{center} $(g\circ p)_{/\text{Ker}f}= g\circ0_{/\text{Ker}f}= 0_{/\text{Ker}f}=f_{/\text{Ker}f}$ et $(g\circ p)_{/F}=g\circ Id_{/F}=f'=f_{/F}$. \end{center} Ainsi les endomorphismes $g\circ p$ et $f$ coïncident sur deux sous espaces supplémentaires de $E$ et donc $g\circ p=f$. Finalement, si on note $P(E)$ l'ensemble des projecteurs de $E$, \begin{center} \shadowbox{ $\forall f\in\mathcal{L}(E)$, $\exists g\in\mathcal{GL}(E)$, $\exists p\in P(E)/\;f=g\circ p$. } \end{center} \fincorrection \correction{005599} (Ne pas confondre : ($\forall x\in E,\; \exists p\in\Nn^*/\;f^p(x)=0$) et ($\exists p\in\Nn^*/\;\forall x\in E,\;f^p(x) = 0)$. Dans le deuxième cas, $p$ est indépendant de $x$ alors que dans le premier cas, $p$ peut varier quand $x$ varie). Soit $\mathcal{B}=(e_i)_{1\leqslant i\leqslant n}$ une base de $E$. Pour chaque $i\in\llbracket1,n\rrbracket$, il existe un entier non nul $p_i$ tel que $f^{p_i}(e_i)=0$. Soit $p=\text{Max}\{p_1,...,p_n\}$. $p$ est un entier naturel non nul et pour $i$ dans $\llbracket1,n\rrbracket$, on a \begin{center} $f^{p}(e_i)=f^{p-p_i}(f^{p_i}(e_i))=f^{p-p_i}(0)=0$. \end{center} Ainsi l'endomorphisme $f^p$ s'annule sur une base de $E$ et on sait que $f^p=0$. On a donc trouvé un entier non nul $p$ tel que $f^p=0$ et par suite $f$ est nilpotent. \fincorrection \correction{005600} \begin{enumerate} \item A partir de $fg-gf=af+bg$ $(1)$, on obtient après composition à droite par $g$, $fg-gfg = afg + bg$ ou encore $fg=g\circ\frac{1}{1-a}(fg + bId)$ (puisque $1 - a\neq0$). On en déduit \begin{center} $\text{Im}(fg)\subset\text{Im}g$. \end{center} Mais alors en écrivant $(1)$ sous la forme $f=\frac{1}{a}(fg- gf -bg)$ (puisque $a$ n'est pas nul), on obtient \begin{center} $\text{Im}f\subset\text{Im}g$. \end{center} L'égalité $\text{Im}f\subset\text{Im}g$ montre que tout vecteur de $\text{Im}f$ est invariant par $g$ et fournit donc l'égalité $gf = f$. On compose alors (1) à droite par $f$ et en tenant compte de $gf = f$ et de $f^2 = f$, on obtient $f - f = af + bf$ et donc $(a+b)f = 0$ puis $b=-a$ puisque $f$ n'est pas nul. (1) s'écrit alors $fg - f = a(f-g)$. En composant à droite par $g$, on obtient : $a(fg - g) = 0$ et donc $fg = f$ puisque $a$ n'est pas nul. (1) s'écrit maintenant $g-f = a(f-g)$ ou encore $(a+1)(g - f) = 0$ et donc, puisque $f$ et $g$ sont distincts, $a = -1$. \item (D'après 1), si a est distinct de $0$ et de $1$, nécessairement $a = -1$ et (1) s'écrit $fg - gf =-f +bg$). Soit $x$ un élément de $\text{Ker}g$. $(1)$ fournit $-g(f(x)) = af(x)$ $(*)$ puis en prenant l'image par $g$, $(a+1)g(f(x)) = 0$. Puisque $a$ est distinct de $-1$, on obtient $g(f(x)) = 0$ et $(*)$ fournit $af(x) = 0$ puis $f(x) = 0$. Donc $x$ est élément de $\text{Ker}f$. On a montré que $\text{Ker}g\subset\text{Ker}f$. On en déduit $\text{Im}(g-Id)\subset\text{Ker}f$ et donc $f(g-Id) =0$ ou encore $fg = f$. $(1)$ s'écrit $f - gf = af + bg$ et en composant à gauche par $f$, on obtient $f - fgf = af + bfg$. En tenant compte de $fg = f$, on obtient $(a+b)f = 0$ et donc $b = -a$. $(1)$ s'écrit alors $f - gf = a(f - g)$ et en composant à gauche par $g$, on obtient $0 = a(gf - g)$ et donc $gf = g$. (1) s'écrit enfin $f-g = a(f-g)$ et donc $a = 1$. \item Si $a = 0$, $(1)$ s'écrit $fg - gf = bg$. En composant à gauche ou à droite par $g$, on obtient $gfg - gf = bg$ et $fg - gfg = bg$. En additionnant ces deux égalités, on obtient $fg - gf = 2bg$. D'où, en tenant compte de $(1)$, $bg = 2bg$ et puisque $g$ n'est pas nul, $b = 0$. Par suite $fg - gf = 0$ ce qui est exclu par l'énoncé. Donc, on ne peut avoir $a = 0$. D'après 1) et 2), $(a,b)\in\{(-1,1),(1,-1)\}$. \textbf{1er cas.} $(a,b) = (-1,1)$. C'est le 1) : $fg - gf = -f +g$. On a vu successivement que $gf = f$ puis que $fg = g$ fournissant $(g-Id)f = 0$ et $(f-Id)g = 0$ ou encore $\text{Im}f \subset\text{Ker}(g-Id) =\text{Im}g$ et $\text{Im}g \subset\text{Im}f$ et donc $\text{Im}f =\text{Im}g$. Réciproquement, si $f$ et $g$ sont deux projecteurs de même image alors $gf = f$, $fg = g$ et donc $fg - gf = -f + g$. Le premier cas est donc le cas de deux projecteurs de même image . \textbf{2ème cas.} $(a,b) = (1,-1)$. C'est le cas de deux projecteurs de même noyau. \end{enumerate} \fincorrection \correction{003315} Non, ils n'ont pas même dimension si $E\ne\{\vec 0\}$ ou $F\ne\{\vec 0\}$. \fincorrection \correction{003356} On veut $\Im g \subset\mathrm{Ker} f$ et $\mathrm{Ker} g\supset\Im f$ donc $g$ est entièrement définie par sa restriction à un supplémentaire de~$\Im f$, application linéaire à valeurs dans~$\mathrm{Ker} f$. On en déduit $\dim F = (\mathrm{codim}\Im f)(\dim\mathrm{Ker} f) = (\dim\mathrm{Ker} f)^2$. \fincorrection \correction{003357} Soit $p=\frac1{\mathrm{Card}\, G}\sum_{g\in G}g$. Alors $g\circ p = p$, pour tout $g\in G$ donc $p^2=p$, $F\subset \Im p$ et si $x\in\Im p$, on a $p(x)=x$ d'où $g(x) = x$ pour tout $g\in G$ c'est-à-dire $x\in F$. Donc $F = \Im p$ et $\dim F = \mathrm{rg}(p) = \mathrm{tr}(p)$ (trace d'un projecteur). \fincorrection \correction{001040} Si $C = A \times B$ alors on obtient le coefficient $c_{ij}$ (situé à la $i$-ème ligne et la $j$-ème colonne de $C$) en effectuant le produit scalaire du $i$-ème vecteur-ligne de $A$ avec le $j$-éme vecteur colonne de $B$. On trouve $$\left( \begin{array}{cc} 2 & 1 \\ 3& 2 \end{array} \right)\times \left( \begin{array}{cc}1 & -1 \\ 1& 2 \end{array} \right) = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 5 & 1 \\ \end{pmatrix}$$ $$\left( \begin{array} {ccc} 1 & 2 & 0 \\ 3 & 1 & 4 \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{ccc} -1 &-1& 0 \\ 1 & 4 & -1 \\ 2 & 1 & 2\end{array} \right) = \begin{pmatrix} 1 & 7 & -2 \\ 6 & 5 & 7 \\ \end{pmatrix}$$ $$\left( \begin{array}{ccc} a &b& c \\ c & b & a \\ 1 & 1 & 1\end{array} \right) \times \left( \begin{array}{ccc} 1 &a& c \\ 1 & b & b \\ 1 & c & a\end{array} \right) = \begin{pmatrix} a + b + c & a^2+b^2+c^2 & 2ac + b^2 \\ a + b + c & 2ac + b^2 & a^2+b^2+c^2 \\ 3 & a+b+c & a+b+c \\ \end{pmatrix}$$ \fincorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \correction{001052} On trouve $$A^2 = \begin{pmatrix} 3 & -4 & 2 \cr 1 & -1 & -1 \cr 1 & 2 & 0 \cr \end{pmatrix} \qquad \text{ et } \qquad A^3= \begin{pmatrix} 5 & 0 & 2 \cr 0 & 3 & 1 \cr 1 & -2 & 4 \cr \end{pmatrix} .$$ Un calcul donne $A^3-A = 4 I$. En factorisant par $A$ on obtient $A\times (A^2-I) = 4I$. Donc $A \times \frac 1 4 (A^2-I) = I$, ainsi $A$ est inversible et $$A^{-1} = \frac 1 4 (A^2-I) = \frac 1 4 \begin{pmatrix} 2&-4&2\\ 1&-2&-1\\ 1&2&-1\\ \end{pmatrix}. $$ \fincorrection \correction{001053} $$ A = \begin{pmatrix} 0&1\\ 0&0\\ \end{pmatrix}, \qquad B = \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&0\\ \end{pmatrix}. $$ \fincorrection \nocorrection \nocorrection \correction{001057} $F$ est un sous espace vectoriel de $M_2 ({\R })$ donc $\hbox{dim }(F) \in \{ 0,\ldots , 4\} $. Comme $F\not = M_2 ({\R })$ on a aussi $\hbox{dim }(F) \not = 4$. D'autre part les matrices $M_1=\begin{pmatrix} 0 & 1 \cr 0 & 0 \end{pmatrix} , M_2=\begin{pmatrix} 0 & 0 \cr 1 & 0 \end{pmatrix} , M_3=\begin{pmatrix} 1 & 0 \cr 0 & -1 \end{pmatrix} $ appartiennent \`a $F$ et sont lin\' eairement ind\' ependantes. En effet, si $\alpha M_1 + \beta M_2 + \gamma M_3 =0 $ alors $\begin{pmatrix} \gamma & \alpha \cr \beta & -\gamma \cr \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0 & 0 \cr 0 & 0 \end{pmatrix}$ c'est \`a dire $\alpha = \beta =\gamma =0$. Donc $\hbox{dim }(F)\geq 3 $ c'est \`a dire $\hbox{dim }(F)= 3 $. Enfin $\{ M_1 , M_2 , M_3 \} $ est une famille libre de trois vecteurs dans $F$ qui est un espace de dimension $3$. C'est donc une base de $F$. \fincorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \correction{001061} \begin{align*} A(\theta)\times A(\theta') & = \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} \cos \theta' & -\sin \theta' \\ \sin \theta' & \cos \theta' \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} \cos \theta\cos \theta' -\sin \theta \sin\theta' & - \cos \theta \sin \theta' - \sin \theta \cos \theta' \\ \sin \theta \cos \theta'+\cos \theta \sin \theta' & -\sin \theta \sin\theta'+\cos \theta\cos \theta' \\ \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} \cos (\theta+\theta') & -\sin (\theta+\theta') \\ \sin (\theta+\theta') & \cos (\theta+\theta') \end{pmatrix} \\ & = A(\theta+\theta') \\ \end{align*} Bilan : $A(\theta)\times A(\theta') = A(\theta+\theta')$. \bigskip Nous allons montrer par récurrence sur $n\ge 1$ que $\big(A(\theta)\big)^n = A(n\theta)$. \begin{itemize} \item C'est bien sûr vrai pour $n=1$. \item Fixons $n\ge 1$ et supposons que $\big(A(\theta)\big)^n = A(n\theta)$ alors $$\big(A(\theta)\big)^{n+1} = \big(A(\theta)\big)^n \times A(\theta) = A(n\theta) \times A(\theta) = A(n\theta+\theta) = A((n+1)\theta)$$ \item C'est donc vrai pour tout $n\ge 1$. \end{itemize} Remarques : \begin{itemize} \item On aurait aussi la formule $A(\theta')\times A(\theta) = A(\theta+\theta') = A(\theta)\times A(\theta')$. Les matrices $A(\theta)$ et $A(\theta')$ commutent. \item En fait il n'est pas plus difficile de montrer que $\big(A(\theta)\big)^{-1}=A(-\theta)$. On sait aussi que par définition $\big(A(\theta)\big)^{0}=I$. Et on en déduit que pour $n\in \Zz$ on a $\big(A(\theta)\big)^n = A(n\theta)$. \item En terme géométrique $A(\theta)$ est la matrice de la rotation d'angle $\theta$ (centrée à l'origine). On vient de montrer que si l'on compose un rotation d'angle $\theta$ avec un rotation d'angle $\theta'$ alors on obtient une rotation d'angle $\theta+\theta'$. \end{itemize} \fincorrection \nocorrection \correction{001063} Notons $E_{ij}$ la matrice élémentaire (des zéros partout sauf le coefficient $1$ à la $i$-ème ligne et la $j$-ème colonne). Soit $A = (a_{ij}) \in \mathcal{M}_n(\Rr)$. Alors $$A \times E_{ij} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & \cdots & 0 & a_{1i} & 0 & \cdots \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & a_{2i} & 0 & \cdots \\ \vdots& & \cdots & & \vdots & & \cdots \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & a_{ji} & 0 & \cdots \\ \vdots& & \cdots & & \vdots & & \cdots \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & a_{ni} & 0 & \cdots \\ \end{pmatrix}$$ La seule colonne non nulle est la $j$-ème colonne. La trace est la somme des éléments sur la diagonale. Ici le seul élément non nul de la diagonale est $a_{ji}$, on en déduit donc $$\text{tr} (A \times E_{ij})=a_{ji}$$ (attention à l'inversion des indices). Maintenant prenons deux matrices $A, B$ telles que $\text{tr} (AX) = \text{tr} (BX)$ pour toute matrice $X$. Alors pour $X=E_{ij}$ on en déduit $a_{ji}=b_{ji}$. On fait ceci pour toutes les matrices élémentaires $E_{ij}$ avec $1 \le i,j \le n$ ce qui implique $A=B$. \fincorrection \correction{001064} Notons $A=(a_{ij})$, notons $B = {}^{t}\!{A}$ si les coefficients sont $B=(b_{ij})$ alors par définition de la transposée on a $b_{ij}= a_{ji}$. Ensuite notons $C = A \times B$ alors par définition du produit de matrices le coefficients $c_{ij}$ de $C$ s'obtient par la formule : $$c_{ij} = \sum_{k=1}^n a_{ik}b_{kj}.$$ Appliquons ceci avec $B = {}^{t}\!{A}$ $$c_{ij} = \sum_{k=1}^n a_{ik}b_{kj} = \sum_{k=1}^n a_{ik}a_{jk}.$$ Et pour un coefficient de la diagonale on a $i=j$ donc $$c_{ii} = \sum_{k=1}^n a_{ik}^2.$$ La trace étant la somme des coefficients sur la diagonale on a : $$\text{tr} (A \ {}^{t}\!{A}) = \text{tr} (C) = \sum_{i=1}^n c_{ii} = \sum_{i=1}^n \sum_{k=1}^n a_{ik}^2 = \sum_{1\le i,k \le n} a_{ik}^2.$$ Si on change l'indice $k$ en $j$ on obtient $$\text{tr} (A \ {}^{t}\!{A}) = \sum_{1\le i,j \le n} a_{ij}^2.$$ Donc cette trace vaut la somme des carrés de tous les coefficients. Conséquence : si $\text{tr} (A \ {}^{t}\!{A}) = 0$ alors la somme des carrés $\sum_{1\le i,j \le n} a_{ij}^2$ est nulle donc chaque carré $a_{ij}^2$ est nul. Ainsi $a_{ij}=0$ (pour tout $i,j$) autrement dit $A$ est la matrice nulle. \fincorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \correction{001069} Soit $X=\left( \begin{array}{c} x_1\\ \vdots\\ x_n \end{array} \right)$ un vecteur tel que $AX=0$. Nous allons montrer qu'alors $X$ est le vecteur nul ce qui entraîne que $A$ est inversible. Par l'absurde supposons $X\neq0$. Alors, si $i_0$ est un indice tel que $|x_{i_0}|=\max\big\{|x_i| \mid i=1,\ldots,n\big\}$, on a $|x_{i_0}|>0$. Mais alors comme $AX=0$ on a pour tout $i=1,\ldots,n$ : $$\sum_{j=1}^{n}a_{i,j}x_j=0$$ donc $$|a_{i_0,i_0}x_{i_0}|=\left|-\sum_{j\neq i_0}^{}a_{i_0,j}x_j\right|\leq\sum_{j\neq i_0}^{}|a_{i_0,j}|.|x_j| \leq|x_{i_0}|\sum_{j\neq i_0}^{}|a_{i_0,j}| $$ et, puisque $|x_{i_0}|> 0$, on obtient $|a_{i_0,i_0}|\leq\sum_{j\neq i_0}^{}|a_{i_0,j}|$ contredisant les hypothèses de l'énoncé. Ainsi $X=0$. On a donc prouvé <<$AX=0 \Rightarrow X=0$>> ce qui équivaut à $A$ inversible. \fincorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \correction{001080} \begin{enumerate} \item $A= \begin{pmatrix} -9&-18\\6&12 \end{pmatrix}$ \item $U_n=A^nU_0$ \item C'est la droite engendrée par $ \begin{pmatrix} -2\\1 \end{pmatrix}$. Le rang est 1. \item C'est la droite engendrée par $ \begin{pmatrix} -3\\2 \end{pmatrix}$. \item Ce sont deux vecteurs non colinéaires. On a $$P^{-1}AP=D= \begin{pmatrix} 3&0\\0&0 \end{pmatrix}$$ \item On a $A=PDP^{-1}$ donc $A^n=PD^nP^{-1}= \begin{pmatrix} -3^{n+1} & -2\cdot 3^{n+1} \\ 2\cdot 3^n & 4\cdot 3^n \\ \end{pmatrix} $ \item Donc $$\Big\{ \begin{array}{rcc} x_n &=& -137\cdot 3^{n+1}-36\cdot 3^{n+1}\\ y_n &=& 274(3^n)+72\cdot 3^n \end{array}$$ \end{enumerate} \fincorrection \correction{002442} \begin{enumerate} \item Notons $C=AB$ et $D=BA$. Alors par la définition du produit de matrice : $$c_{ij}=\sum_{1\le k \le n} a_{ik}b_{kj} \quad \text{ donc } c_{ii}=\sum_{1\le k \le n} a_{ik}b_{ki}$$ Ainsi $$\textrm{tr}(AB) = \textrm{tr}\, C = \sum_{1\le i \le n} c_{ii} = \sum_{1\le i \le n} \sum_{1\le k \le n} a_{ik}b_{ki}$$ De même $$\textrm{tr}(BA) = \textrm{tr}\, D = \sum_{1\le i \le n} \sum_{1\le k \le n} b_{ik}a_{ki}$$ Si dans cette dernière formule on renomme l'indice $i$ en $k$ et l'indice $k$ en $i$ (ce sont des variables muettes donc on leur donne le nom qu'on veut) alors on obtient : $$\textrm{tr}(BA) =\sum_{1\le k \le n} \sum_{1\le i \le n} b_{ki}a_{ik} = \sum_{1\le i \le n}\sum_{1\le k \le n} a_{ik}b_{ki} =\textrm{tr}(AB)$$ \item $M$ et $M'$ sont semblables donc il existe une matrice de passage $P$ telle que $M'=P^{-1}MP$ donc $$\textrm{tr}\, M' = \textrm{tr}\big( P^{-1}(MP) \big) = \textrm{tr}\big( (MP)P^{-1} \big) = \textrm{tr} ( M I ) = \textrm{tr}\, M$$ \item La trace a aussi la propriété évidente que $$\textrm{tr}(A+B)=\textrm{tr}\,A+\textrm{tr}\,B.$$ Fixons une base de $E$. Notons $A$ la matrice de $f$ dans cette base et $B$ la matrice de $g$ dans cette même base. Alors $AB$ est la matrice de $f\circ g$ et $BA$ est la matrice de $g\circ f$. Ainsi la matrice de $f\circ g - g\circ f$ est $AB-BA$ Donc $$\textrm{tr}(f\circ g - g\circ f)= \textrm{tr}(AB-BA) = \textrm{tr}(AB)-\textrm{tr}(BA)=0.$$ \end{enumerate} \fincorrection \nocorrection \correction{002444} Soit $A,B$ tel que $B = P^{-1} A P$. \begin{enumerate} \item Supposons $A$ inversible, alors il existe $A'$ tel que $A\times A'=I$ et $A'\times A=I$. Notons alors $B'= P^{-1} A'P$. On a $$B \times B' = \big(P^{-1}A P \big)\times \big(P^{-1} A' P\big)=P^{-1}A \big(P P^{-1}\big)A' P = P^{-1}A A' P=P^{-1} I P=I$$ De même $B' \times B=I$. Donc $B$ est inversible d'inverse $B'$. \item Supposons que $A^n=I$. Alors $$\begin{array}{rcl} B^n &=&\big(P^{-1} A P\big)^n= \big(P^{-1} A P \big)\big(P^{-1} A P \big)\cdots \big(P^{-1} A P \big) \\ &=&P^{-1} A (P P^{-1}) A (P P^{-1}) \cdots A P \\ &=& P^{-1} A^n P \\ &=& P^{-1} I P = I \\ \end{array}$$ Donc $B$ est idempotente. \item Si $A^n=(0)$ alors le même calcul qu'au-dessus conduit à $B^n=(0)$. \item Si $A = \lambda I$ alors $B=P^{-1} (\lambda I) P = \lambda I \times P^{-1}P= \lambda I$ (car la matrice $\lambda I$ commute avec toutes les matrices). \end{enumerate} \fincorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \correction{002774} Avant toute, un coup d'\oe il sur la matrice nous informe de deux choses : (a) $A$ n'est pas la matrice nulle donc $\textrm{rg}(A)\ge 1$ ; (b) il y a $3$ lignes donc $\textrm{rg}(A)\le 3$ (le rang est plus petit que le nombre de colonnes et que le nombre de lignes). \begin{enumerate} \item Montrons de différentes façons que $\textrm{rg}(A)\ge 2$. \begin{itemize} \item \textbf{Première méthode : sous-déterminant non nul.} On trouve une sous-matrice $2\times 2$ dont le déterminant est non nul. Par exemple la sous-matrice extraite du coin en bas à gauche vérifie $\begin{vmatrix}3 & 0\\ 5 & 4\end{vmatrix}= 12 \neq 0$ donc $\textrm{rg}(A)\ge 2$. \item \textbf{Deuxième méthode : espace vectoriel engendré par les colonnes.} On sait que l'image de l'application linéaire associée à la matrice $A$ est engendrée par les vecteurs colonnes. Et le rang est la dimension de cette image. On trouve facilement deux colonnes linéairement indépendantes : la deuxième $\begin{pmatrix}2\\0\\4\end{pmatrix}$ et la troisième $\begin{pmatrix}-1\\1\\-1\end{pmatrix}$ colonne. Donc $\textrm{rg}(A)\ge 2$. \item \textbf{Troisième méthode : espaces vectoriel engendré par les lignes.} Il se trouve que la dimension de l'espace vectoriel engendré par les lignes égal la dimension de l'espace vectoriel engendré par les colonnes (car $\textrm{rg}(A)=\textrm{rg}({}^tA)$). Comme les deuxième et troisième lignes sont linéairement indépendantes alors $\textrm{rg}(A)\ge 2$. Attention : les dimensions des espaces vectoriels engendrés sont égales mais les espaces sont différents ! \end{itemize} \item En utilisant la dernière méthode : le rang est exactement $2$ si la première ligne est dans le sous-espace engendré par les deux autres. Donc \begin{align*} \textrm{rg}(A) = 2 & \iff (a,2,-1,b) \in \textrm{Vect} \big\{ (3,0,1,-4), (5,4,-1,2) \big\} \\ & \iff \exists \lambda,\mu \in \Rr \quad (a,2,-1,b) = \lambda (3,0,1,-4) + \mu(5,4,-1,2) \\ & \iff \exists \lambda,\mu \in \Rr \quad \left\{ \begin{array}{rcl} 3\lambda+5\mu &=& a \\ 4\mu &=& 2 \\ \lambda-\mu &=& -1 \\ -4\lambda+2\mu &=& b \\ \end{array} \right. \iff \left\{ \begin{array}{rcl} \lambda &=& -\frac12 \\ \mu &=& \frac12 \\ a &=& 1 \\ b &=& 3 \\ \end{array} \right.\\ \end{align*} Conclusion la rang de $A$ est $2$ si $(a,b)=(1,3)$. Sinon le rang de $A$ est $3$. \end{enumerate} \fincorrection \nocorrection \nocorrection \correction{003359} 2. Si $A,B \in {\cal D}$ et $AB = I$, alors pour $i \ne j$, $\forall\ k,\ a_{ik}b_{kj} = 0$. Soit $a_{i1} \ne 0$ : alors $b_{1j} = 0$ pour tout $j \ne i$, donc $a_{i1} = b_{1i} = 1$. Donc chaque colonne de $A$ contient $n-1$ fois $0$ et une fois $1$. $A$ est inversible $ \Rightarrow A$ est une matrice de permutation. \fincorrection \nocorrection \correction{003393} \begin{enumerate} \item \item $X = \begin{pmatrix} \alpha & 1 + \beta \cr -2\alpha &1 - 2\beta \cr 1 + \alpha & \beta \cr\end{pmatrix}$. \end{enumerate} \fincorrection \correction{003394} $B = \begin{pmatrix} a&2a-1&a \cr b+2&2b+3&b \cr c+2&2c+1&c \cr \end{pmatrix}$. \fincorrection \correction{003395} $A^n = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \cr C_n^2 & 1 & n \cr n & 0 & 1 \cr\end{pmatrix}$. \fincorrection \nocorrection \correction{003397} \begin{enumerate} \item $\begin{pmatrix} a & &b \cr &\ddots \cr b & &a \cr\end{pmatrix}$ avec $\begin{cases} a = \frac1n\bigl( (2n-1)^k + (n-1)(-1)^k \bigr) \cr b = \frac1n\bigl( (2n-1)^k - (-1)^k \bigr).\cr \end{cases}$ \item $\begin{pmatrix} 1 &2k &2k^2+k &\frac 13(4k^3 + 6k^2 + 2k) \cr 0 &1 &2k &2k^2+k \cr 0 &0 &1 &2k \cr 0 &0 &0 &1 \cr \end{pmatrix}$. \item $\left[{ \begin{pmatrix} x\cr y\cr z \cr\end{pmatrix} \begin{pmatrix} x &y &z \cr\end{pmatrix} }\right]^k = (x^2+y^2+z^2)^{k-1}A$. \end{enumerate} \fincorrection \correction{005258} Soient $x$ et $y$ deux réels. \begin{align*}\ensuremath A(x)A(y)&=\left( \begin{array}{cc} \ch x&\sh x\\ \sh x&\ch x \end{array} \right)\left( \begin{array}{cc} \ch y&\sh y\\ \sh y&\ch y \end{array} \right)=\left( \begin{array}{cc} \ch x\ch y+\sh x\sh y&\sh x\ch y+\ch x\sh y\\ \sh x\ch y+\ch x\sh y&\ch x\ch y+\sh x\sh y \end{array} \right)\\ &=\left( \begin{array}{cc} \ch(x+y)&\sh(x+y)\\ \sh(x+y)&\ch(x+y) \end{array} \right). \end{align*} En particulier, $$A(x)A(-x)=A(-x)A(x)=A(0)=\left( \begin{array}{cc} 1&0\\ 0&1 \end{array} \right)=I_2,$$ et $A(x)$ est inversible d'inverse $A(-x)$. On a aussi, pour $n$ entier naturel non nul donné~: $$(A(x))^n=A(x)A(x)...A(x)=A(x+x...+x)=A(nx),$$ ce qui reste clair pour $n=0$ car $A(x)^0=I_2=A(0)$. Enfin, $(A(x))^{-n}=(A(x)^{-1})^n=A(-x)^n=A(-nx)$. Finalement, $$\forall n\in\Zz,\;(A(x))^n=A(nx)=\left( \begin{array}{cc} \ch(nx)&\sh(nx)\\ \sh(nx)&\ch(nx) \end{array} \right).$$ \fincorrection \correction{005262} Soit $f$ l'endomorphisme de $\Rr^p$ de matrice $A$ dans la base canonique $\mathcal{B}$ de $\Rr^p$. Pour $1\leq k\leq p$, on a $f(e_k)=e_{p+1-k}$ et donc $f^2(e_k)=e_k$. Ainsi, $A^2=I_p$. Mais alors, il est immédiat que, pour $n$ entier naturel donné, $A^n=I_p$ si $n$ est pair et $A^n=A$ si $n$ est impair. \fincorrection \correction{005263} Pour $x\in]-1,1[$, posons $M(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\left( \begin{array}{cc} 1&x\\ x&1 \end{array} \right)$. Posons ensuite $G=\{M(x),\;x\in]-1,1[\}$. Soit alors $x\in]-1,1[$. Posons $a=\Argth x$ de sorte que $x=\mbox{th}a$. On a $$M(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\left( \begin{array}{cc} 1&x\\ x&1 \end{array} \right)=\ch a\left( \begin{array}{cc} 1&\tanh a\\ \tanh a&1 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{cc} \ch a&\sh a\\ \sh a&\ch a \end{array} \right).$$ Posons, pour $a\in\Rr$, $N(a)=\left( \begin{array}{cc} \ch a&\sh a\\ \sh a&\ch a \end{array} \right)$. On a ainsi $\forall x\in]-1,1[,\;M(x)=N(\Argth x)$ ou aussi, $\forall a\in\Rr,\;N(a)=M(\mbox{th}a)$. Par suite, $G=\{N(a),\;a\in\Rr\}$. Soit alors $(a,b)\in\Rr^2$. \begin{align*}\ensuremath N(a)N(b)&=\left( \begin{array}{cc} \ch a&\sh a\\ \sh a&\ch a \end{array} \right)\left( \begin{array}{cc} \ch b&\sh b\\ \sh b&\ch b \end{array} \right)=\left( \begin{array}{cc} \ch a\ch b+\sh a\sh b&\sh a\ch b+\sh b\ch a\\ \sh a\ch b+\sh b\ch a&\ch a\ch b+\sh a\sh b \end{array} \right) \\ &=\left( \begin{array}{cc} \ch(a+b)&\sh(a+b)\\ \sh(a+b)&\ch(a+b) \end{array} \right) =N(a+b). \end{align*} Montrons alors que $G$ est un sous-groupe de $(\mathcal{GL}_2(\Rr),\times)$. $N(0)=I_2\in G$ et donc $G$ est non vide. $\forall a\in\Rr,\;\mbox{det}(N(a))=\ch^2a-\sh^2a=1\neq0$ et donc $G\subset\mathcal{GL}_2(\Rr)$. $\forall(a,b)\in\Rr^2,\;N(a)N(b)=N(a+b)\in G$. $\forall a\in\Rr,\;(N(a))^{-1}=\left( \begin{array}{cc} \ch a&-\sh a\\ -\sh a&\ch a \end{array} \right)=N(-a)\in G$. On a montré que $G$ est un sous-groupe de $(\mathcal{GL}_2(\Rr),\times)$. \fincorrection \correction{005611} Par hypothèse, $a_{i,j}= 0$ pour $j\leqslant i + r - 1$ et $bi,j = 0$ pour $j\leqslant i + s - 1$. Soient $i$ et $j$ deux indices tels que $j\leqslant i + r + s - 1$. Le coefficient ligne $i$, colonne $j$, de $AB$ vaut $\sum_{k=1}^{n}a_{i,k}b_{k,j}$. Dans cette somme, si $k\leqslant i + r -1$, $a_{i,k}= 0$. Sinon $k\geqslant i + r$ et donc $j\leqslant i + r + s - 1\leqslant k + s - 1$ et dans ce cas $b_{k,j}= 0$. Finalement, le coefficient ligne $i$, colonne $j$, de $AB$ est bien nul si $j\leqslant i + r+s-1$. \fincorrection \nocorrection \nocorrection \correction{005257} \begin{enumerate} \item Soit $X=\left( \begin{array}{c} 2\\ -3\\ 5 \end{array} \right)$. $MX=\left( \begin{array}{ccc} 2&1&0\\ -3&-1&1\\ 1&0&-1 \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} 2\\ -3\\ 5 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} 1\\ 2\\ -3 \end{array} \right)$ et $u(2i-3j+5k)=i+2j-3k$. \item Soit $X=\left( \begin{array}{c} x\\ y\\ z \end{array} \right)\in\mathcal{M}_{3,1}(\Rr)$ . $$MX=0\Leftrightarrow\left( \begin{array}{ccc} 2&1&0\\ -3&-1&1\\ 1&0&-1 \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} x\\ y\\ z \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} 0\\ 0\\ 0 \end{array} \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2x+y=0\\ -3x-y+z=0\\ x-z=0 \end{array} \right.\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} y=-2x\\ z=x \end{array} \right..$$ Donc, $\mbox{Ker}u=\mbox{Vect}(i-2j+k)$. En particulier, $\mbox{dim}(\mbox{Ker}u)=1$ et, d'après le théorème du rang, $\mbox{rg}u=2$. Or, $u(j)=i-j$ et $u(k)=j+k$ sont deux vecteurs non colinéaires de $\mbox{Im}u$ qui est un plan vectoriel et donc $\mbox{Im}u=\mbox{Vect}(i-j,j-k)$. \item $$M^2=\left( \begin{array}{ccc} 2&1&0\\ -3&-1&1\\ 1&0&-1 \end{array} \right)\left( \begin{array}{ccc} 2&1&0\\ -3&-1&1\\ 1&0&-1 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{ccc} 1&1&1\\ -2&-2&-2\\ 1&1&1 \end{array} \right)$$ et $$M^3=M^2.M=\left( \begin{array}{ccc} 1&1&1\\ -2&-2&-2\\ 1&1&1 \end{array} \right)\left( \begin{array}{ccc} 2&1&0\\ -3&-1&1\\ 1&0&-1 \end{array} \right)=0.$$ \item $\mbox{Ker}u^2$ est à l'évidence le plan d'équation $x+y+z=0$. Une base de $\mbox{Ker}u^2$ est $(i-j,j-k)$ et donc $\mbox{Ker}u^2=\mbox{Im}u=\mbox{Vect}(i-j,j-k)$. D'après le théorème du rang, $\mbox{Im}u^2$ est une droite vectorielle. Mais $u^3=0$ s'écrit encore $u\circ u^2=0$, et donc $\mbox{Im}u^2$ est contenue dans $\mbox{Ker}u$ qui est une droite vectorielle. Donc, $\mbox{Im}u^2=\mbox{Ker}u=\mbox{Vect}(i-2j+k)$. \item $(I-M)(I+M+M^2)=I-M^3=I$. Par suite, $I-M$ est inversible à droite et donc inversible et $$(I-M)^{-1}=I+M+M^2=\left( \begin{array}{ccc} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end{array} \right)+\left( \begin{array}{ccc} 2&1&0\\ -3&-1&1\\ 1&0&-1 \end{array} \right)+\left( \begin{array}{ccc} 1&1&1\\ -2&-2&-2\\ 1&1&1 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{ccc} 4&2&1\\ -5&-2&-1\\ 2&1&1 \end{array} \right).$$ \end{enumerate} \fincorrection \correction{005260} \begin{enumerate} \item Pour $P$ élément de $\Rr_n[X]$, $$f(P)=e^{X^2}(Pe^{-X^2})'=e^{X^2}(P'e^{-X^2}-2XPe^{-X^2})=P'-2XP.$$ Ainsi, si $P$ est un polynôme de degré infèrieur ou égal à $n$, $f(P)=P'-2XP$ est un polynôme de degré inférieur ou égal à $n+1$, et $f$ est bien une application de $\Rr_n[X]$ dans $\Rr_{n+1}[X]$. De plus, pour $(\lambda,\mu)\in\Rr^2$ et $(P,Q)\in\Rr_n[X]$, on a~: $$f(\lambda P+\mu Q)=(\lambda P+\mu Q)'-2X(\lambda P+\mu Q)=\lambda(P'-2XP)+\mu(Q'-2XQ)=\lambda f(P)+\mu f(Q).$$ $f$ est élément de $\mathcal{L}(\Rr_n[X],\Rr_{n+1}[X])$. \item La matrice $A$ cherchée est élément de $\mathcal{M}_{n+1,n}(\Rr)$. Pour $k=0$, $f(X^k)=f(1)=-2X$ et pour $1\leq k\leq n$, $f(X^k)=kX^{k-1}-2X^{k+1}$. On a donc~: $$A= \left( \begin{array}{cccccc} 0&1&0&\ldots&\ldots&0\\ -2&0&2&0& &\vdots\\ 0&-2&0&\ddots&\ddots&\vdots\\ \vdots&\ddots&\ddots&\ddots&\ddots&0\\ & & &\ddots&\ddots&n\\ \vdots& & &\ddots&-2&0\\ 0&\ldots& &\ldots&0&-2 \end{array} \right).$$ \item Soit $P\in\Rr_n[X]$ tel que $f(P)=0$. Si $P$ n'est pas nul, $-2XP$ a un degré strictement plus grand que $P'$ et donc $f(P)$ n'est pas nul. Par suite, $\mbox{Ker}f=\{0\}$ ($f$ est donc injective) et d'après le théorème du rang, $\mbox{rg}f=\mbox{dim}(\Rr_n[X])-0=n+1$, ce qui montre que $\mbox{Im}f$ n'est pas $\Rr_{n+1}[X]$ ($f$ n'est pas surjective). \end{enumerate} \fincorrection \correction{005269} \begin{enumerate} \item \begin{align*}\ensuremath \mbox{rg}\left( \begin{array}{ccc} 1&1/2&1/3\\ 1/2&1/3&1/4\\ 1/3&1/4&m \end{array} \right)&=\mbox{rg}\left( \begin{array}{ccc} 1&0&0\\ 1/2&1/12&1/12\\ 1/3&1/12&m-\frac{1}{9} \end{array} \right)\quad(\mbox{rg}(C_1,C_2,C_3)=\mbox{rg}(C_1,C_2-\frac{1}{2}C_1,C_3-\frac{1}{3}C_1)) \\ &=\mbox{rg}\left( \begin{array}{ccc} 1&0&0\\ 1/2&1/12&0\\ 1/3&1/12&m-\frac{7}{36} \end{array} \right)\quad(\mbox{rg}(C_1,C_2,C_3)=\mbox{rg}(C_1,C_2,C_3-C_2)) \end{align*} Si $m=\frac{7}{36}$, $\mbox{rg}A=2$ (on note alors que $C_1=6(C_2-C_3)$) et si $m\neq\frac{7}{36}$, $\mbox{rg}A=3$ et $A$ est inversible. \item \begin{align*}\ensuremath \mbox{rg}\left( \begin{array}{ccc} 1&1&1\\ b+c&c+a&a+b\\ bc&ca&ab \end{array} \right)&=\mbox{rg}\left( \begin{array}{ccc} 1&0&0\\ b+c&a-b&a-c\\ bc&c(a-b)&b(a-c) \end{array} \right)\quad(\mbox{rg}(C_1,C_2,C_3)=\mbox{rg}(C_1,C_2-C_1,C_3-C_1)) \end{align*} \begin{itemize} \item[1er cas.] si $a$, $b$ et $c$ sont deux à deux distincts. $$\mbox{rg}\left( \begin{array}{ccc} 1&0&0\\ b+c&1&1\\ bc&c&b \end{array} \right)=\mbox{rg}\left( \begin{array}{ccc} 1&0&0\\ b+c&1&0\\ bc&c&b-c \end{array} \right)=\mbox{rg}\left( \begin{array}{ccc} 1&0&0\\ b+c&1&0\\ bc&c&1 \end{array} \right).$$ Donc, si $a$, $b$ et $c$ sont deux à deux distincts alors $\mbox{rg}A=3$. \item[2ème cas.] Si $b=c\neq a$ (ou $a=c\neq b$ ou $a=b\neq c$). $A$ a même rang que $\left( \begin{array}{ccc} 1&0&0\\ b+c&1&1\\ bc&c&b \end{array} \right)$ puis que $\left( \begin{array}{ccc} 1&0&0\\ b+c&1&0\\ bc&c&0 \end{array} \right)$. Donc, si $b=c\neq a$ ou $a=c\neq b$ ou $a=b\neq c$, $\mbox{rg}A=2$. \item[3ème cas.] Si $a=b=c$, il est clair dès le départ que $A$ est de rang $1$. \end{itemize} \item Puisque $\mbox{rg}(C_1,C_2,C_3,C_4)=\mbox{rg}(C_1,C_2-aC_1,C_3-C_1,C_4-bC_1)$, \begin{align*}\ensuremath \mbox{rg}\left( \begin{array}{cccc} 1&a&1&b\\ a&1&b&1\\ 1&b&1&a\\ b&1&a&1 \end{array} \right)&=\mbox{rg}\left( \begin{array}{cccc} 1&0&0&0\\ a&1-a^2&b-a&1-ab\\ 1&b-a&0&a-b\\ b&1-ab&a-b&1-b^2 \end{array} \right)=1+\mbox{rg}\left( \begin{array}{ccc} 1-a^2&b-a&1-ab\\ b-a&0&a-b\\ 1-ab&a-b&1-b^2 \end{array} \right) \end{align*} \begin{itemize} \item[1er cas.] Si $a\neq b$. \begin{align*}\ensuremath \mbox{rg}A&=1+\mbox{rg}\left( \begin{array}{ccc} 1-a^2&b-a&1-ab\\ b-a&0&a-b\\ 1-ab&a-b&1-b^2 \end{array} \right)=1+\mbox{rg}\left( \begin{array}{ccc} 1-a^2&1&1-ab\\ 1&0&-1\\ 1-ab&-1&1-b^2 \end{array} \right) \\ &=1+\mbox{rg}\left( \begin{array}{ccc} 1&0&-1\\ 1-a^2&1&1-ab\\ 1-ab&-1&1-b^2 \end{array} \right)\quad(\mbox{rg}(L_1,L_2,L_3)=\mbox{rg}(L_2,L_1,L_3)). \\ &=1+\mbox{rg}\left( \begin{array}{ccc} 1&0&0\\ 1-a^2&1&2-a^2-ab\\ 1-ab&-1&2-b^2-ab \end{array} \right)=1+\mbox{rg}\left( \begin{array}{ccc} 1&0&0\\ 1-a^2&1&0\\ 1-ab&-1&(2-b^2-ab)-(2-a^2-ab) \end{array} \right) \\ &=1+\mbox{rg}\left( \begin{array}{ccc} 1&0&0\\ 1-a^2&1&0\\ 1-ab&-1&(a-b)(a+b) \end{array} \right) \end{align*} Si $|a|\neq|b|$, $\mbox{rg}A=4$ et si $a=-b\neq0$, $\mbox{rg}A=3$. \item[2ème cas.] Si $a=b$. \begin{align*}\ensuremath \mbox{rg}A&=1+\mbox{rg}\left( \begin{array}{ccc} 1-a^2&0&1-a^2\\ 0&0&0\\ 1-a^2&0&1-a^2 \end{array} \right)=1+\mbox{rg}\left( \begin{array}{cc} 1-a^2&1-a^2\\ 0&0\\ 1-a^2&1-a^2 \end{array} \right)=1+\mbox{rg}\left( \begin{array}{cc} 1-a^2&1-a^2\\ 1-a^2&1-a^2 \end{array} \right) \end{align*} Si $a=b=\pm1$, $\mbox{rg}A=1$ et si $a=b\neq\pm1$, $\mbox{rg}A=2$. \end{itemize} \item Pour $n\geq2$ et $j\in\{1,...,n\}$, notons $C_j$ la $j$-ème colonne de la matrice proposée. $$C_j=(i+j+ij)_{1\leq i\leq n}=(i)_{1\leq i\leq n}+j(i+1)_{1\leq i\leq n}=jU+V,$$ avec $U=\left(\begin{array}{c} 2\\ 3\\ \vdots\\ i+1\\ \vdots\\ n+1 \end{array} \right)$ et $V=\left(\begin{array}{c} 1\\ 2\\ \vdots\\ i\\ \vdots\\ n \end{array} \right)$. Ainsi, $\forall j\in\{1,...,n\},\;C_j\in\mbox{Vect}(U,V)$ ce qui montre que $\mbox{rg}A\leq2$. De plus, la matrice extraite $\left( \begin{array}{cc} 3&5\\ 5&8 \end{array} \right)$ (lignes et colonnes 1 et 2) est inversible et finalement $\mbox{rg}A=2$. \item On suppose $n\geq2$. La $j$-ème colonne de la matrice s'écrit $$C_j=(\sin i\cos j+\sin j\cos i)_{1\leq i\leq n}=\sin jC+\cos jS\;\mbox{avec}\;C=(\cos i)_{1\leq i\leq n}\;\mbox{et}\;S=(\sin i)_{1\leq i\leq n}.$$ Par suite, $\forall j\in\{1,...,n\}$, $C_j\in\mbox{Vect}(C,S)$ ce qui montre que $\mbox{rg}A\leq2$. De plus, la matrice extraite formée des termes lignes et colonnes 1 et 2 est inversible car son déterminant vaut $\sin2\sin4-\sin^23=-0,7...\neq0$ et finalement $\mbox{rg}A=2$. \item Déterminons $\mbox{Ker}A$. Soit $(x_i)_{1\leq i\leq n}\in\mathcal{M}_{n,1}(\Cc)$. $$(x_i)_{1\leq i\leq n}\in\mbox{Ker}A\Leftrightarrow\forall i\in\{1,...,n-1\},\;ax_i+bx_{i+1}=0\;\mbox{et}bx_1+ax_n=0\;(S).$$ \begin{itemize} \item[1er cas.] Si $a=b=0$, alors clairement $\mbox{rg}A=0$. \item[2ème cas.] Si $a=0$ et $b\neq0$, alors $(S)\Leftrightarrow\forall i\in\{1,...,n\}\;x_i=0$. Dans ce cas, $\mbox{Ker}A=\{0\}$ et donc $\mbox{rg}A=n$. \item[3ème cas.] Si $a\neq0$. Posons $\alpha=-\frac{b}{a}$. \begin{align*}\ensuremath (S)&\Leftrightarrow\forall k\in\{1,...,n-1\},\;x_k=\alpha x_{k+1}\;\mbox{et}\;x_n=\alpha x_1\\ &\Leftrightarrow\forall k\in\{1,...,n\},\;x_k=\alpha^{-(k-1)}x_1\;\mbox{et}\;x_n=\alpha x_1\\ &\Leftrightarrow\forall k\in\{1,...,n\},\;x_k=\alpha^{k-1}x_1\;\mbox{et}\;\alpha^n x_1=x_1 \end{align*} Mais alors, si $\alpha^n\neq1$, le système $(S)$ admet l'unique solution $(0,...,0)$ et $\mbox{rg}A=n$, et si $\alpha^n=1$, $\mbox{Ker}A=\mbox{Vect}((1,\alpha^{n-1},...,\alpha^2,\alpha))$ est de dimension $1$ et $\mbox{rg}A=n-1$. \end{itemize} En résumé, si $a=b=0$, $\mbox{rg}A=0$ et si $a=0$ et $b\neq0$, $\mbox{rg}A=n$. Si $a\neq0$ et $-\frac{b}{a}\in U_n$, $\mbox{rg}A=n-1$ et si $a\neq0$ et $-\frac{b}{a}\notin U_n$, $\mbox{rg}A=n$. \end{enumerate} \fincorrection \correction{005603} (C'est en fait un exercice sur les polynômes de \textsc{Tchebychev} de 1ère espèce et vous pouvez généraliser cet exercice en passant au format $n$ au lieu du format $4$.) Si on note $C_j$, $j\in\{1,2,3,4\}$, la $j$-ème colonne de $A$ alors $C_j= (\cos(i+j-2)a)_{1\leqslant i\leqslant4}$ puis pour $j$ élément de $\{1,2\}$, \begin{center} $C_{j+2}+ C_j =(2\cos(i+j-1)a\cos a)_{1\leqslant i\leqslant4}= 2\cos aC_{j+1}$ \end{center} et donc $C_3 =2\cos aC_2 - C_1\in\text{Vect}(C_1,C_2)$ et $C_4= 2\cos a C_3 -C_2\in\text{Vect}(C_2,C_3)\subset\text{Vect}(C_1,C_2)$. Donc $\text{Vect}(C_1,C_2,C_3,C_4)=\text{Vect}(C_1,C_2)$ et $\text{rg}A=\text{rg}(C_1,C_2)\leqslant 2$. Enfin $\left| \begin{array}{cc} 1&\cos(a)\\ \cos(a)&\cos(2a) \end{array} \right|=\cos(2a) -\cos^2a=\cos^2a - 1= -\sin^2a$. \textbullet~Si $a$ n'est pas dans $\pi\Zz$, ce déterminant n'est pas nul et donc les deux premières colonnes ne sont pas colinéaires. Dans ce cas, $\text{rg}A = 2$. \textbullet~Si $a$ est dans $\pi\Zz$, la première colonne n'est pas nulle et les autres colonnes lui sont colinéaires. Dans ce cas, $\text{rg}A = 1$. \begin{center} \shadowbox{ $\text{rg}(A)=2$ si $a\notin\pi\Zz$ et $\text{rg}(A)=1$ si $a\in\pi\Zz$. } \end{center} \fincorrection \correction{005607} Pour $j\in\llbracket1,n\rrbracket$, notons $C_j$ la $j$-ème colonne de la matrice $A$. Posons encore $U=\left( \begin{array}{c} 1\\ 2\\ \vdots\\ n \end{array} \right)$ et $V=\left( \begin{array}{c} 2\\ 3\\ \vdots\\ n+1 \end{array} \right)$. Pour $j\in\llbracket1,n\rrbracket$, on a \begin{center} $Cj = (i+j(i+1))_{1\leqslant i\leqslant n}= (i)_{1\leqslant i\leqslant n}+j(i+1)_{1\leqslant i\leqslant n}=U+jV$. \end{center} Donc $\text{Vect}(C_1,...,C_n)\subset\text{Vect}(U,V)$ et en particulier, $\text{rg}A\leqslant 2$. Maintenant, si $n\geqslant 2$, les deux premières colonnes de $A$ ne sont pas colinéaires car $\left| \begin{array}{cc} 3&5\\ 5&8 \end{array} \right|=-1\neq0$. Donc, si $n\geqslant2$, $\text{rg}A=2$ et si $n=1$, $\text{rg}A =1$. \begin{center} \shadowbox{ Si $n\geqslant 2$, $\text{rg}(i+j+ij)_{1\leqslant i,j\leqslant n}=2$ et si $n=1$, $\text{rg}(i+j+ij)_{1\leqslant i,j\leqslant n}=1$. } \end{center} \fincorrection \correction{005622} On note $r$ le rang de $A$. Si $r=0$, $A$ est nulle et donc $B$ est nulle. Sinon, il existe deux matrices carrées inversibles $P$ et $Q$ de format $n$ telles que $A=PJ_rQ$ où $J_r=\left( \begin{array}{cc} I_r&0\\ 0&0 \end{array} \right)$. Soient $P'=\left( \begin{array}{cccc} P&0&\ldots&0\\ 0&\ddots&\ddots&\vdots\\ \vdots&\ddots&\ddots&0\\ 0&\ldots&0&P \end{array} \right)\in\mathcal{M}_{np}(\Cc)$ et $Q'=\left( \begin{array}{cccc} P&0&\ldots&0\\ 0&\ddots&\ddots&\vdots\\ \vdots&\ddots&\ddots&0\\ 0&\ldots&0&Q \end{array} \right)\in\mathcal{M}_{np}(\Cc)$. Puisque $\text{det}(P')=(\text{det}(P))^p\neq0$ et $\text{det}(Q')=(\text{det}(Q))^p\neq0$, les matrices $P'$ et $Q'$ sont inversibles. De plus, un calcul par blocs montre que \begin{center} $B=\left( \begin{array}{cccc} PJ_rQ&0&\ldots&0\\ 0&\ddots&\ddots&\vdots\\ \vdots&\ddots&\ddots&0\\ 0&\ldots&0&PJ_rQ \end{array} \right)=P'J_r'Q'$ où $J_r'=\left( \begin{array}{cccc} J_r&0&\ldots&0\\ 0&\ddots&\ddots&\vdots\\ \vdots&\ddots&\ddots&0\\ 0&\ldots&0&J_r \end{array} \right)$. \end{center} La matrice $B$ est équivalente a la matrice $J_r'$ et a donc même rang que $J_r'$. Enfin, en supprimant les lignes nulles et les colonnes nulles, on voit que la matrice $J_r'$ a même rang que la matrice $I_{pr}$ à savoir $pr$. Dans tous les cas, on a montré que \begin{center} \shadowbox{ $\text{rg}B =p\text{rg}A$. } \end{center} \fincorrection \correction{005623} Soit $r$ le rang de $H$. Il existe deux matrices carrées inversibles $P$ et $Q$ de format $n$ telles que $H =PJ_rQ$ où $J_r=\left( \begin{array}{cc} I_r&0\\ 0&0 \end{array} \right)$. L'égalité $HAH =\lambda_AH$ s'écrit après simplifications $J_rQAPJ_r=\lambda_AJ_r$. Maintenant , quand $A$ décrit $\mathcal{M}_n(\Kk)$, la matrice $B=QAP$ décrit également $\mathcal{M}_n(\Kk)$ (par exemple, l'application qui à $A$ associe $QAP$ est une permutation de $\mathcal{M}_n(\Kk)$ de réciproque l'application qui à $A$ associe $Q^{-1}AP^{-1}$). L'énoncé s'écrit maintenant de manière plus simple : montrons que $(\forall B\in\mathcal{M}_n(\Kk),\;\exists\lambda_B\in\Kk/\;J_rBJ_r =\lambda_BJ_r)\Rightarrow r\leqslant 1$. Un calcul par blocs fournit en posant $B=\left( \begin{array}{cc} B_1&B_3\\ B_2&B_4 \end{array} \right)$ \begin{center} $J_rBJ_r=\left( \begin{array}{cc} I_r&0\\ 0&0 \end{array} \right)\left( \begin{array}{cc} B_1&B_3\\ B_2&B_4 \end{array} \right)\left( \begin{array}{cc} I_r&0\\ 0&0 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{cc} B_1&0\\ B_2&0 \end{array} \right)\left( \begin{array}{cc} I_r&0\\ 0&0 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{cc} B_1&0\\ 0&0 \end{array} \right)$ \end{center} Mais si $r\geqslant 2$, il existe des matrices carrées $B_1$ de format $r$ qui ne sont pas des matrices scalaires et donc telles que $B_1$ n'est pas colinéaire à $I_r$. Donc $r\leqslant 1$. \fincorrection \correction{005624} (1) $\Rightarrow$ (2). $M^2 = 0\Rightarrow\text{Im}M\subset\text{Ker}M\Rightarrow\text{rg}M\leqslant\text{dim}(\text{Ker}M)=3 -\text{rg}M$ et donc $\text{rg}M\leqslant1$. Si $\text{rg}M=0$ alors $\text{Tr}M = 0$. On suppose maintenant que $\text{rg}M=1$ et donc $\text{dim}(\text{Ker}M)= 2$. Soit $e_1$ un vecteur non nul de $\text{Im}M$ alors il existe un vecteur $e_3$ (non nul) tel que $Me_3 = e_1$. On complète la famille libre $(e_1)$ de $\text{Im}M\subset\text{Ker}M$ en $(e_1,e_2)$ base de $\text{Ker}M$. La famille $(e_1,e_2,e_3)$ est une base de $\mathcal{M}_{3,1}(\Rr)$ car \begin{center} $ae_1+be_2+ce_3 = 0\Rightarrow M(ae_1+be_2+ce_3) = 0\Rightarrow ce_1 = 0\Rightarrow c = 0$, \end{center} puis $a = b = 0$ car la famille $(e_1,e_2)$ est libre. $M$ est donc semblable à la matrice $\left( \begin{array}{ccc} 0&0&1\\ 0&0&0\\ 0&0&0 \end{array} \right)$ et en particulier $\text{Tr}M = 0$. (2) $\Rightarrow$ (1). Si $\text{rg}M = 0$, $M^2 = 0$. Si $\text{rg}M = 1$, on peut se rappeler de l'écriture générale d'une matrice de rang 1 : il existe trois réels $u_1$, $u_2$ et $u_3$ non tous nuls et trois réels $v_1$, $v_2$ et $v_3$ non tous nuls tels que $M=\left( \begin{array}{ccc} u_1v_1&u_1v_2&u_1v_3\\ u_2v_1&u_2v_2&u_2v_3\\ u_3v_1&u_3v_2&u_3v_3 \end{array} \right)$ ou encore il existe deux vecteurs colonnes, tous deux non nuls $U$ et $V$ tels que $M=U{^t}V$. L'égalité $\text{Tr}M =0$ fournit $u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3= 0$ ou encore ${^t}UV=0$. Mais alors \begin{center} $M^2=U{^t}VU{^t}V=U{^t}({^t}UV){^t}V=0$ \end{center} Cet exercice admet des solutions bien plus brèves avec des connaissances sur la réduction . \fincorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \correction{001087} L'expression de $f$ dans la base $\mathcal{B}$ est la suivante $f(x,y)=(x-y,0)$. Autrement dit à un vecteur $\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$ on associe le vecteur $\begin{pmatrix}x-y\\0\end{pmatrix}$. On note que $f$ est bien une application linéaire. Cette expression nous permet de calculer les matrices demandées. Remarque : comme $\mathcal{B}$ est la base canonique on note $\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$ pour $\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}_\mathcal{B}$ qui est le vecteur $x \vec{i}+y\vec{j}$. \begin{enumerate} \item Calcul de $\textrm{Mat}(f,\mathcal{B},\mathcal{B})$. Comme $\mathcal{B}=(\vec{i}, \vec{j})$, la matrice s'obtient en calculant $f(\vec{i})$ et $f(\vec{j})$ : $$f(\vec{i})=f\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix} = \vec{i} \quad f(\vec{j})=f\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1\\0\end{pmatrix} = -\vec{i}$$ donc $$\textrm{Mat}(f,\mathcal{B},\mathcal{B}) = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$$ \item On garde la même application linéaire mais la base de départ change (la base d'arrivée reste $\mathcal{B}$). Si on note $\vec{u} = \vec{i}-\vec{j}$ et $\vec{v} = -2\vec{i}+3\vec{j}$, on a $\mathcal{B'}=(\vec{i} - \vec{j}, -2\vec{i}+3\vec{j}) = (\vec{u},\vec{v})$. On exprime $f(\vec{u})$ et $f(\vec{v})$ dans la base d'arrivée $\mathcal{B}$. $$f(\vec{u})=f(\vec{i}- \vec{j})=f\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\\0\end{pmatrix} \quad f(\vec{v})=f(-2\vec{i}+3\vec{j})=f\begin{pmatrix}-2\\3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-5\\0\end{pmatrix}$$ donc $$\textrm{Mat}(f,\mathcal{B}',\mathcal{B}) = \begin{pmatrix} 2 & -5 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$$ \item Toujours avec le même $f$ on prend $\mathcal{B}'$ comme base de départ et d'arrivée, il s'agit donc d'exprimer $f(\vec{u})$ et $f(\vec{v})$ dans la base $\mathcal{B}'=(\vec{u},\vec{v})$. Nous venons de calculer que $$f(\vec{u})=f(\vec{i}- \vec{j})=f\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\\0\end{pmatrix}=2\vec{i} \quad f(\vec{v})=f(2\vec{i}+3\vec{j})=f\begin{pmatrix}-2\\3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-5\\0\end{pmatrix}=-5\vec{i}$$ Mais il nous faut obtenir une expression en fonction de la base $\mathcal{B}'$. Remarquons que $$\left\{\begin{array}{lcr} \vec{u} &=& \vec{i}-\vec{j} \\ \vec{v} &=& -2\vec{i}+3\vec{j} \\ \end{array}\right. \implies \left\{\begin{array}{lcr} \vec{i} &=& 3\vec{u}+\vec{v} \\ \vec{j} &=& 2\vec{u}+\vec{v} \\ \end{array}\right.$$ Donc $$f(\vec{u})=f(\vec{i}- \vec{j})=2\vec{i}=6\vec{u}+2\vec{v} = \begin{pmatrix}6\\2\end{pmatrix}_{\mathcal{B}'} \quad f(\vec{v})=f(-2\vec{i}+3\vec{j})=-5\vec{i}=-15\vec{u}-5\vec{v} = \begin{pmatrix}-15\\-5\end{pmatrix}_{\mathcal{B}'}$$ Donc $$\textrm{Mat}(f,\mathcal{B}',\mathcal{B}') = \begin{pmatrix} 6 & -15 \\ 2 & -5 \end{pmatrix}$$ Remarque : $\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}_{\mathcal{B}'}$ désigne le vecteur $x \vec{u}+y\vec{v}$. \end{enumerate} \fincorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \correction{001093} \begin{enumerate} \item Nous devons montrer $\Ker f \cap \Im f = \{0\}$ et $\Ker f + \Im f = E$. \begin{enumerate} \item Si $x \in \Ker f \cap \Im f$ alors d'une part $f(x)=0$ et d'autre part il existe $x'\in E$ tel que $x=f(x')$. Donc $0=f(x)=f\big(f(x')\big)= f(x')=x$ donc $x=0$ (on a utilisé $f\circ f=f$). Donc $\Ker f \cap \Im f = \{0\}$. \item Pour $x\in E$ on le réécrit $x=x-f(x) + f(x)$. Alors $x-f(x) \in \Ker f$ (car $f\big(x-f(x) \big)=f(x)-f\circ f (x)=0$) et $f(x)\in \Im f$. Donc $x \in \Ker f + \Im f$. Donc $\Ker f + \Im f = E$. \item Conclusion : $E= \Ker f \oplus \Im f$. \end{enumerate} \item Notons $r$ le rang de $f$ : $r=\dim \Im f$. Soit $\{e_1,\ldots,e_r\}$ une base de $\Im f$ et soit $\{e_{r+1},\ldots, e_n\}$ une base de $\Ker f$. Comme $E= \Ker f \oplus \Im f$ alors $(e_1,\ldots ,e_n)$ est une base de $E$. Pour $i > r$ alors $e_i \in \Ker f$ donc $f(e_i)=0$. Comme $f\circ f=f$ alors pour n'importe quel $x\in \Im f$ on a $f(x)=x$ : en effet comme $x\in \Im f$, il existe $x'\in E$ tel que $x=f(x')$ ainsi $f(x)=f\big(f(x')\big)=f(x')=x$. En particulier si $i\le r$ alors $f(e_i)=e_i$. \item La matrice de $f$ dans la base $(e_1,\ldots,e_n)$ est donc : $$\begin{pmatrix} I & (0) \\ (0) & (0) \\ \end{pmatrix}$$ où $I$ désigne la matrice identité de taille $r\times r$ et les $(0)$ désignent des matrices nulles. \end{enumerate} \fincorrection \correction{001094} \begin{enumerate} \item Il est facile de voir que $f(\lambda P + \mu Q) = \lambda f(P)+\mu f(Q)$ donc $f$ est linéaire, de plus, $P$ étant un polynôme de degré $\le n$ alors $f(P)$ aussi. \item Pour $n=3$ on calcule l'image de chacun des éléments de la base : $$f(1)=1+1-2=0,\quad f(X)=(X+1)+(X-1)-2X=0,$$ $$f(X^2)=(X+1)^2+(X-1)^2-2X^2=2, \quad f(X^3)=(X+1)^3+(X-1)^3-2X^3=6X.$$ Donc la matrice de $f$ dans la base $(1, X, X^2, X^3)$ est $$\begin{pmatrix} 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix}$$ Pour le cas général on calcule \begin{align*} f(X^p) &=(X+1)^p+(X-1)^p-2X^p \\ &= \sum_{k=1}^p \binom{p}{k}X^k + \sum_{k=1}^p \binom{p}{k}X^k(-1)^{p-k} -2X^p\\ &= \sum_{p-k \text{ pair et } k\sum_{j=1,j\neq i}^{n}|a_{ij}| $$ alors $A$ est inversible. \begin{enumerate} \item {\it Montrons le r\'esultat pour $n=2$.} Dans ce cas, la matrice $A$ s'\'ecrit $$A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12} \\ a_{21}&a_{22}\end{pmatrix}$$ et les hypoth\`eses deviennent $$|a_{11}|>|a_{12}|\ {\hbox{et}}\ |a_{22}|>|a_{21}|.$$ La matrice $A$ est inversible si et seulement si son d\'eterminant est non nul, or $$\det A=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21},$$ et, compte tenu des hypoth\`eses, $$|a_{11}a_{22}|=|a_{11}||a_{22}|>|a_{12}||a_{21}|=|a_{12}a_{21}|,$$ ainsi$|a_{11}a_{22}|>|a_{12}a_{21}|$ donc $a_{12}a_{21}\neq a_{12}a_{21}$ et le d\'eterminant est non nul. \item Soit $B$, la matrice obtenue en rempla\c cant, pour $j\geq 2$, chaque colonne $c_j$ de $A$ par la colonne $$ c_j-{\frac{a_{1j}}{a_{11}}}c_1 ,$$ {\it Calculons les $b_{ij}$ en fonction des $a_{ij}$. Montrons que si les coefficients de $A$ satisfont les in\'egalit\'es ci-dessus, alors pour $i\geq 2$, on a $$|b_{ii}|>\sum_{j=2,j\neq i}^{n}|b_{ij}| .$$} On a $$b_{ij}=a_{ij}-\frac{{a_{1j}}{a_{11}}}a_{i1}\ \ {\hbox{si}}\ \ j\geq2\ \ {\hbox{et}}\ \ b_{i1}=a_{i1}.$$ par l'in\'egalit\'e triangulaire, on a \begin{align*}\sum_{j=2,j\neq i}|b_{ij}|&=\sum_{j=2,j\neq i}|a_{ij}-{\frac{a_{1j}}{a_{11}}}a_{i1}| \\ &\leq \sum_{j=2,j\neq i}|a_{ij}|+\frac{|{a_{1j}|}{|a_{11}|}}|a_{i1}| \\ &= \sum_{j=2,j\neq i}|a_{ij}|+\frac{|{a_{i1}|}{|a_{11}|}} \sum_{j=2,j\neq i}|a_{1j}|. \end{align*} Mais, par hypoth\`ese, pour $i=1$, on a $$\sum_{j=2}^{n}|a_{1j}|<|a_{11}|,$$ donc $$\sum_{j=2,j\neq i}^{n}|a_{1j}|<|a_{11}|-|a_{1i}|.$$ D'o\`u, en rempla\c cant dans l'in\'egalit\'e pr\'ec\'edente \begin{align*}\sum_{j=2,j\neq i}|b_{ij}| &< \sum_{j=2,j\neq i}|a_{ij}|+ |a_{i1}|-\frac{{|a_{i1}|}{|a_{11}|}}|a_{1i}| \\ &= \sum_{j=1,j\neq i}|a_{ij}|-\frac{{|a_{i1}|}{|a_{11}|}}|a_{1i}| \\ &<|a_{ii}|-\frac{{|a_{i1}|}{|a_{11}|}}|a_{1i}| \\ &\leq \left|a_{ii}-\frac{{a_{i1}}{a_{11}}}a_{1i}\right|=|b_{ii}|. \end{align*} \item{\it D\'emontrons le r\'esultat de Hadamard pour $n$ quelconque.} Soit $A=(a_{ij})_{1\leq i,j\leq n}$ une matrice carr\'ee $n\times n$, v\'erifiant pour tout $i\in\{1,\cdots,n\}$, $$|a_{ii}|>\sum_{j=1,j\neq i}^{n}|a_{ij}| $$ On veut d\'emontrer que $A$ est inversible. Le r\'esultat est vrai pour $n=2$, d'apr\`es la question $1)$. Soit $n$ arbitrairement fix\'e, supposons le r\'esultat vrai pour $n-1$ et d\'emontrons le pour $n$. On a $\det A=\det B$ o\`u $B$ est la matrice construite dans la question $2)$ $$B=\begin{pmatrix}a_{11}&0&\cdots&0 \\ \vdots& &({b_{ij}}_{(2\leq i,j\leq n)}) \\ a_{n1}\end{pmatrix}$$ Or, la matrice $({b_{ij}}_{(2\leq i,j\leq n)})$ est une matrice carr\'ee d'ordre $n-1$ qui v\'erifie les hypoth\`eses de Hadamard, d'apr\`es la question $2)$. Elle est donc inversible par hypoth\`ese de r\'ecurrence. Et, par cons\'equent, la matrice $A$ est inversible car $a_{11}\neq 0$. \end{enumerate} \fincorrection \correction{002585} Soient $A$ et $B$ des matrices non nulles de $M_n(\R)$. On suppose que $A.B=0$. \begin{enumerate} \item D\'emontrons que $\Im B\subset \ker A$. Soit $y\in \Im B$, il existe $x\in\R^n$ tel que $y=Bx$, d'o\`u $Ay=ABx=0$, ainsi $y\in\ker A$ ce qui prouve l'inclusion. \item On suppose que le rang de $A$ est \'egal \`a $n-1$, d\'eterminons le rang de $B$. On a $\mathrm{rg} B=\dim \Im B$ et on sait que $\dim\Im A+\dim\ker A=n$ par cons\'equent, si $\mathrm{rg} A=n-1$ on a $\dim\ker A=1$ et l'inclusion $\Im B\subset \ker A$ implique $\dim\Im B\leq 1$ or, $B$ est suppos\'ee non nulle d'o\`u $\dim\Im B=1=\mathrm{rg} B$. \end{enumerate} \fincorrection \nocorrection \nocorrection \correction{003407} \begin{enumerate} \item $\phi(P) = (-X-1)^{n-1}P\left(-\frac 1{X+1}\right)$. \item $I$. \end{enumerate} \fincorrection \correction{005261} $f$ n'est pas nul et donc $\mbox{dim}(\mbox{Ker}f)\leq 2$. Puisque $f^2=0$, $\mbox{Im}f\subset\mbox{Ker}f$. En particulier, $\mbox{dim}(\mbox{Ker}f)\geq\mbox{rg}f=3-\mbox{dim}(\mbox{Ker}f)$ et $\mbox{dim}(\mbox{Ker}f)\geq\frac{3}{2}$. Finalement, $\mbox{dim}(\mbox{Ker}f)=2$. $\mbox{Ker}f$ est un plan vectoriel et $\mbox{Im}f$ est une droite vectorielle contenue dans $\mbox{Ker}f$. $f$ n'est pas nul et donc il existe $e_1$ tel que $f(e_1)\neq0$ (et en particulier $e_1\neq0$). Posons $e_2=f(e_1)$. Puisque $f^2=0$, $f(e_2)=f^2(e_1)=0$ et $e_2$ est un vecteur non nul de $\mbox{Ker}f$. D'après le théorème de la base incomplète, il existe un vecteur $e_3$ de $\mbox{Ker}f$ tel que $(e_2,e_3)$ soit une base de $\mbox{Ker}f$. Montrons que $(e_1,e_2,e_3)$ est une base de $\Rr^3$. Soit $(\alpha,\beta,\gamma)\in\Rr^3$. $$\alpha e_1+\beta e_2+\gamma e_3=0\Rightarrow f(\alpha e_1+\beta e_2+\gamma e_3)=0\Rightarrow\alpha e_2=0\Rightarrow\alpha=0\;(\mbox{car}\;e_2\neq0).$$ Puis, comme $\beta e_2+\gamma e_3=0$, on obtient $\beta=\gamma=0$ (car la famille $(e_2,e_3)$ est libre). Finalement, $\alpha=\beta=\gamma=0$ et on a montré que $(e_1,e_2,e_3)$ est libre. Puisque cette famille est de cardinal $3$, c'est une base de $R^3$. Dans cette base, la matrice $A$ de $f$ s'écrit~:~$A= \left( \begin{array}{ccc} 0&0&0\\ 1&0&0\\ 0&0&0 \end{array} \right)$. \fincorrection \correction{007411} \begin{enumerate} \item $$A = [f]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}} = \left( {\begin{array}{ccc} 4 & 1 & 1 \\ 4 & 7 & 2 \\ -6 & -6 & -1 \\ \end{array} } \right)$$ \item Pour montrer que les vecteurs $v_1$, $v_2$ et $v_3$ forment un système libre de $\Rr^3$, on considère $\lambda_1,~\lambda_2,~\lambda_3 \in \Rr$ tels que $$\lambda_1 v_1 + \lambda_2 v_2 + \lambda_3 v_3 = 0$$ et on veut montrer qu'alors nécessairement $\lambda_1 = \lambda_2 = \lambda_3 = 0$. Cela revient à montrer que le système $$\left( {\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & -1 \\ -2 & 0 & 1 \\ \end{array} } \right) \left( {\begin{array}{c} \lambda_1 \\ \lambda_2 \\ \lambda_3 \end{array} } \right) = \left( {\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array} } \right)$$ possède pour unique solution $\lambda_1 = \lambda_2 = \lambda_3 = 0$. On applique alors l'algorithme de Gauss à la matrice $$\left( {\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & -1 \\ -2 & 0 & 1 \\ \end{array} } \right) $$ Après avoir échelonné complètement cette matrice, on obtient le système équivalent suivant $$\left( {\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array} } \right) \left( {\begin{array}{c} \lambda_1 \\ \lambda_2 \\ \lambda_3 \end{array} } \right) = \left( {\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array} } \right)$$ qui a pour unique solution $\lambda_1 = \lambda_2 = \lambda_3 = 0$. Les vecteurs $v_1$, $v_2$ et $v_3$ forment donc un système libre de $3$ éléments dans l'espace vectoriel $\Rr^3$ qui est de dimension $3$, donc ils forment un système également générateur de $\Rr^3$ et c'est une base de $\Rr^3$. \item La matrice de passage $P := [Id_{R^3}]_{\mathcal{B}'}^{\mathcal{B}}$ de $\mathcal{B}$ à $\mathcal{B}'$ est $$P = \left( {\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & -1 \\ -2 & 0 & 1 \\ \end{array} } \right)$$ La matrice de passage $[Id_{\Rr^3}]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}'}$ de $\mathcal{B}'$ à $\mathcal{B}$ est l'inverse de la matrice de passage $[Id_{\Rr^3}]_{\mathcal{B}'}^{\mathcal{B}}$ de $\mathcal{B}$ à $\mathcal{B}'$ i.e. $[Id_{R^3}]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}'} = P^{-1}$. Pour calculer l'inverse de $P$, on applique l'algorithme de Gauss à la matrice $$\left( {\begin{array}{ccc | ccc} 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ -2 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} } \right)$$ Pour ce faire, on reprend les opérations effectuées sur la matrice $P$ lors de la question précédente pour obtenir $$\left( {\begin{array}{ccc | ccc} 1 & 0 & 0 & -1 & -1 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 2 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -2 & -2 & -1 \\ \end{array} } \right)$$ et ainsi $$[Id_{R^3}]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}'} = P^{-1} = \left( {\begin{array}{ccc} -1 & -1 & -1 \\ 2 & 1 & 1 \\ -2 & -2 & -1 \\ \end{array} } \right)$$ \item On utilise la formule $$[f]_{\mathcal{B}'}^{\mathcal{B}'} = [Id_{\Rr^3}]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}'} [f]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}} [Id_{\Rr^3}]_{\mathcal{B}'}^{\mathcal{B}}$$ et on a alors \begin{equation*} M = P^{-1}A P = \left( {\begin{array}{ccc} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \\ \end{array} } \right)\end{equation*} \item On a $$A = P M P^{-1}$$ donc pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ $$A^n = P M^n P^{-1} = \left( {\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & -1 \\ -2 & 0 & 1 \\ \end{array} } \right) \left( {\begin{array}{ccc} 2^n & 0 & 0 \\ 0 & 3^n & 0 \\ 0 & 0 & 5^n \\ \end{array} } \right) \left( {\begin{array}{ccc} -1 & -1 & -1 \\ 2 & 1 & 1 \\ -2 & -2 & -1 \\ \end{array} } \right) $$ $$= \left( {\begin{array}{ccc} -2^n + 2.3^n & -2^n + 3^n & -2^n + 3^n \\ -2.3^n + 2.5^n & -3^n + 2.5^n & -3^n + 5^n \\ 2.2^n - 2.5^n & 2.2^n - 2.5^n & 2.2^n - 5^n \\ \end{array} } \right)$$ \end{enumerate} \fincorrection \correction{007412} \begin{enumerate} \item Soit $\lambda,\,\mu\in\R$ et $P,\, Q\in \R[X]$. Comme la dérivation est une application linéaire on a bien : \begin{equation*} \Phi(\lambda\,P+\mu\,Q)=\lambda\Phi(P)+\mu\Phi(Q). \end{equation*} $\Phi$ est une application linéaire. Examinons l'image des vecteurs de base $(1,X,X^2)$ par $\Phi$ : \begin{equation*} \Phi(1)(X)=2X+1,\qquad \Phi(X)(X)=X^2+X+1,\qquad \Phi(X^2)(X)=X^2+2X. \end{equation*} donc $\Phi(X^{j})\in\R_{2}[X]$ pour $j\in\{0,1,2\}$. C'est bien un endomorphisme. \item En appliquant la question précédente, on a bien : \begin{equation*} [\Phi]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}}=\left[[\Phi(1)]_{\mathcal{B}}\,|\,[\Phi(X)]_{\mathcal{B}}\,|\,[\Phi(X^2)]_{\mathcal{B}}\right]=A \end{equation*} \item $rg(A)=rg(\Phi)$. On applique une méthode de Gauss à la matrice $A$: \begin{equation*} rg(A)=rg\begin{pmatrix} 1&1&0\\ 2&1&2\\ 0&1&1 \end{pmatrix}=rg\begin{pmatrix} 1&1&0\\ 0&-1&2\\ 0&1&1 \end{pmatrix}=rg\begin{pmatrix} 1&1&0\\ 0&-1&2\\ 0&0&3 \end{pmatrix}=3 \end{equation*} \item Comme $rg\,A=3=dim\R_{2}[X]$, l'application $\Phi$ est surjective. La matrice $A$ est carrée donc en appliquant le théorème du rang, elle est aussi injective donc bijective. \item Le noyau est donnée par : \begin{align*} Ker\, (A-I_{3})&=\left\{(x,y,z)\in\R^3,\ \text{tels que}\, (A-I_{3})^t(x,y,z)=0\right\}. \end{align*} \begin{equation*} (A-I_{3})^t(x,y,z)=0\Leftrightarrow y=0,\quad 2x=-2z. \end{equation*} Ainsi $Ker\, (A-I_{3})=\left\{(x,0,-x),\, x\in\R\right\}=vect\left((1,0,-1)\right)$. $(-1,0,1)$ est une base de $Ker\, (A-I_{3})$. Une base de $Ker\,(\Phi-I_{d})$ est donc : $X^2-1$. \item Par le théorème du rang : $dim\ Im(\Phi-Id)=dim \R_{2}[X]-dim\ Ker\,(\Phi-Id)=3-1=2$. Il reste à déterminer une base de l'image. \begin{align*} Im(A-I_{3})&=\left\{(A-I_{3})^t(x,y,z),\quad (x,y,z)\in\R^3\right\}=\left\{(y,2(x+z),y),\quad (x,y,z)\in\R^3\right\}\\ &=\left\{(y,x,y),\quad (x,y)\in\R^2\right\}=\left\{y(1,0,1)+x(0,1,0),\quad (x,y)\in\R^2\right\}\\ &=vect\left((1,0,1),\, (0,1,0)\right). \end{align*} La famille $((1,0,1),\, (0,1,0))$ est une famille génératrice de l'image qui est de dimension $2$. C'est donc une base. On en déduit qu'une base de $Ker\,(\Phi-Id)$ est $((X^2+1),X)$. \item On a l'égalité ensembliste : \begin{align*} \left\{P\in\R_{2}[X],\, \text{tels que}\ 2X\,P=(X^2-1)\,P'\right\}&=\left\{P\in\R_{2}[X],\ \text{tels que}\, (\Phi-Id)P=0\right\}\\ &=Ker\,(\Phi-Id). \end{align*} Or une base de $Ker\, (\Phi-Id)$ est $X^2-1$. Ainsi on obtient : \begin{equation*} \left\{P\in\R_{2}[X],\, \text{tels que}\ 2X\,P=(X^2-1)\,P'\right\}=\R(X^2-1). \end{equation*} \end{enumerate} \fincorrection \nocorrection \nocorrection \correction{003362} \begin{enumerate} \item \item $M^{-1} = \frac {-a}{b(na+b)}U + \frac 1b I$. \item \item $$M^n = \frac {(na+b)^n-b^n}nU + b^nI \Rightarrow \left\{ \begin{array} {ll} n \text{ pair } &: a = 0, \text{ ou } -\frac{\smash{2b}}n,\ b = \pm1 \cr n \text{ impair} &: a = 0,\ b = 1. \cr \end{array}\right.$$ \end{enumerate} \fincorrection \correction{003365} 2. $M^{-1} = \begin{pmatrix} A^{-1} & -A^{-1}BC^{-1} \cr 0 & C^{-1} \cr\end{pmatrix}$. \fincorrection \nocorrection \correction{003376} \begin{enumerate} \item \item Si $A$ est diagonale : $M = \begin{pmatrix}0 &\dots &0 &1 \cr 1 &\ddots & &0 \cr &\ddots &\ddots &\vdots \cr 0 & &1 &0 \cr \end{pmatrix}$. Si $a_{k\ell} \ne 0$ : $M = I - \frac {\mathrm{tr} A}{a_{k\ell}}E_{\ell k}$. \end{enumerate} \fincorrection \correction{003380} Avant de commencer la résolution nous allons faire une remarque importante : pour $X = \begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}$ un vecteur (considéré comme une matrice à une seule colonne) alors nous allons calculer ${}^t\!X X$ : $${}^t\!X X = (x_1,x_2,\cdots,x_n) \begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} = x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2.$$ On note $ \| X \|^2 = {}^t\!X X$ : $\| X \|$ est la \emph{norme} ou la \emph{longueur} du vecteur $X$. De ce calcul on déduit d'une part que ${}^t\!X X \ge 0$. Et aussi que ${}^t\!X X \ge 0$ si et seulement si $X$ est le vecteur nul. \begin{enumerate} \item Nous allons montrer que $I+M$ est inversible en montrant que si un vecteur $X$ vérifie $(I+M)X = 0$ alors $X=0$. Nous allons estimer ${}^t\!(MX)(MX)$ de deux façons. D'une part c'est un produit de la forme ${}^t\!Y Y = \| Y\|^2$ et donc ${}^t\!(MX)(MX) \ge 0$. D'autre part : \begin{align*} {}^t\!(MX)(MX) & = {}^t\!(MX) (-X) \quad \text{ car } (I+M)X = 0 \text{ donc } MX = -X \\ & = {}^t\!X {}^t\!M (-X) \quad \text{ car } {}^t\!(AB)={}^t\! B {}^t\!A \\ & = {}^t\!X (-M) (-X) \quad \text{ car } {}^t\!M=-M \\ & = {}^t\!X MX \\ & = {}^t\!X (-X) \\ & = -{}^t\!XX \\ & = - \|X\|^2 \\ \end{align*} Qui est donc négatif. Seule possibilité $\|X\|^2=0$ donc $X=0$ (= le vecteur nul) et donc $I+M$ inversible. \item \begin{enumerate} \item Calculons $A^{-1}$. $$A^{-1} =\big( (I-M)\times(I+M)^{-1} \big)^{-1} = \big( (I+M)^{-1} \big)^{-1} \times(I-M)^{-1} = (I+M)\times(I-M)^{-1}$$ (n'oubliez pas que $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$). \item Calculons ${}^t\!A$. \begin{align*} {}^t\!A & = {}^t\!\big( (I-M) \times (I+M)^{-1} \big) \\ & = {}^t\!\big( (I+M)^{-1} \big) \times {}^t\!(I-M) \qquad \text{ car } {}^t\!(AB)={}^t\!B{}^t\!A \\ & = \big( {}^t\!(I+M) \big)^{-1}\times{}^t\!(I-M) \qquad \text{ car } {}^t\!(A^{-1})=\big({}^tA\big)^{-1} \\ & = \big( I+{}^t\!M) \big)^{-1}\times(I-{}^t\!M) \qquad \text{ car } {}^t\!(A+B)={}^t\!A+{}^t\!B \\ & = (I-M) ^{-1}\times (I+M) \qquad \text{ car ici } {}^{t}\!{M} = -M \\ \end{align*} \item Montrons que $I+M$ et $(I-M) ^{-1}$ commutent. Tout d'abord $I+M$ et $I-M$ commutent car $(I+M)(I-M) = I-M^2 = (I-M)(I+M)$. Maintenant nous avons le petit résultat suivant : \textbf{Lemme.} Si $AB=BA$ alors $AB^{-1}=B^{-1}A$. Pour la preuve on écrit : $$AB=BA \Rightarrow B^{-1}(AB)B^{-1}=B^{-1}(BA)B^{-1} \Rightarrow B^{-1}A=AB^{-1}.$$ En appliquant ceci à $I+M$ et $I-M$ on trouve $(I+M)\times (I-M) ^{-1}= (I-M) ^{-1}\times(I+M)$ et donc $A^{-1}={}^t\!A$. \end{enumerate} \end{enumerate} \fincorrection \correction{003381} 3. $X = -A$ ou $X = \frac 12A$ ou $X = A-I$ ou $X = -\frac 12A - I$. \fincorrection \correction{003382} \begin{enumerate} \item $J^2 = J$. \item $JM = MJ$. \item $k$ = $\mathrm{rg} J$. \end{enumerate} \fincorrection \correction{003398} \begin{enumerate} \item $\frac {A + (2-n)I}{n-1}$. \item $\frac 1{(a-b)(a+(n-1)b)} \begin{pmatrix} a+(n-2)b & &(-b) \cr &\ddots \cr (-b) & &a+(n-2)b \cr\end{pmatrix}$. \item $\begin{pmatrix} 1 &-1 &1 &\dots &\pm1 \cr &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \cr & &\ddots &\ddots &1 \cr & & &\ddots &-1 \cr (0)& & & &1 \cr \end{pmatrix}$. \item $\frac 1{1-\alpha\bar\alpha} \begin{pmatrix} 1 &-\bar\alpha &0 \cr -\alpha &1+\alpha\bar\alpha &-\bar\alpha \cr 0 &-\alpha &1 \cr\end{pmatrix}$. \item $\begin{pmatrix} (0) &&1/a_n \cr &\cdots\cr 1/a_1 &&(0) \cr\end{pmatrix}$. \item $\text{diag}(\lambda_i) - \frac 1{1 + \lambda_1 + \dots + \lambda_n}(\lambda_i\lambda_j)$. \end{enumerate} \fincorrection \correction{003399} $A^{-1} = \begin{pmatrix} 9 &-36 &30 \cr -36 &192 &-180 \cr 30 &-180 &180 \cr \end{pmatrix}$, $B^{-1} \approx \begin{pmatrix} 55.6 &-277.8 &255.6 \cr -277.8 &1446.0 &-1349.2 \cr 255.6 &-1349.2 &1269.8 \cr \end{pmatrix}$. \fincorrection \correction{005267} Soit $\mathcal{B}=(e_i)_{1\leq i\leq n}$ la base canonique de $\Cc^n$ et $(e_i')_{1\leq i\leq n}$ la famille d'éléments de $\Cc^n$ de matrice $A$ dans la base $\mathcal{B}$. Par définition, on a $$\forall i\in\{1,...,n-1\},\;e_i'=ie_i+\sum_{j=i+1}^{n}e_j\;\mbox{et}\;e_n'=ne_n.$$ En retranchant membre à membre ces égalités, on obtient $$\forall i\in\{1,...,n-1\},\;e_i'-e_{i+1}'=i(e_i-e_{i+1})\;\mbox{et}\;e_n'=ne_n,$$ ou encore $$\forall i\in\{1,...,n-1\},\;e_i-e_{i+1}=\frac{1}{i}(e_i'-e_{i+1}')\;\mbox{et}\;e_n=\frac{1}{n}e_n'.$$ Mais alors, pour $i\in\{1,...,n-1\}$, on a \begin{align*}\ensuremath e_i&=\sum_{j=i}^{n-1}(e_j-e_{j+1})+e_n=\sum_{j=i}^{n-1}\frac{1}{j}(e_j'-e_{j+1}')+\frac{1}{n}e_n' =\sum_{j=i}^{n-1}\frac{1}{j}e_j'-\sum_{j=i+1}^{n}\frac{1}{j-1}e_j'+\frac{1}{n}e_n'\\ &=\frac{1}{i}e_i'+\sum_{j=i+1}^{n}\frac{1}{j}e_j'-\sum_{j=i+1}^{n}\frac{1}{j-1}e_j'\\ &=\frac{1}{i}e_i'-\sum_{j=i+1}^{n}\frac{1}{j(j-1)}e_j' \end{align*} Mais alors, $\Cc^n=\mbox{Vect}(e_1,...,e_n)\subset\mbox{Vect}(e_1',...,e_n')$, ce qui montre que la famille $\mathcal{B}'=(e_1',...,e_n')$ est génératrice de $\Cc^n$ et donc une base de $\Cc^n$. Par suite, $A$ est inversible et $$A^{-1}=\mbox{Mat}_{\mathcal{B}'}\mathcal{B}=(a_{i,j}')_{1\leq i,j\leq n}\;\mbox{où}\; a_{i,j}'= \left\{ \begin{array}{l} \frac{1}{i}\;\mbox{si}\;i=j\\ -\frac{1}{i(i-1)}\;\mbox{si}\;i>j\\ 0\;\mbox{si}\;i0$. Mais alors, \begin{align*}\ensuremath AX=0&\Rightarrow\forall i\in\{1,...,n\},\;\sum_{j=1}^{n}a_{i,j}x_j=0 \\ &\Rightarrow|a_{i_0,i_0}x_{i_0}|=|-\sum_{j\neq i_0}^{}a_{i_0,j}x_j|\leq\sum_{j\neq i_0}^{}|a_{i_0,j}|.|x_j| \leq|x_{i_0}|\sum_{j\neq i_0}^{}|a_{i_0,j}| \end{align*} et, puisque $|x_{i_0}|> 0$, on obtient $|a_{i_0,i_0}\leq\sum_{j\neq i_0}^{}|a_{i_0,j}|$ contredisant les hypothèses de l'énoncé. Donc, il est absurde de supposer que $\mbox{Ker}A$ contient un vecteur non nul et $A$ est bien inversible. \fincorrection \correction{005274} Soient $k$ et $l$ deux entiers tels que $1\leq k\leq n$ et $1\leq l\leq n$. Le coefficient ligne $k$, colonne $l$ de $A\overline{A}$ vaut~: $$\sum_{j=1}^{n}\omega^{(k-1)(j-1)}\omega^{-(j-1)(l-1)}=\sum_{j=1}^{n}(\omega^{k-l})^{j-1}.$$ \begin{itemize} \item[1er cas.] Si $k=l$, $\omega^{k-l}=1$, et le coefficient vaut $\sum_{j=1}^{n}1=n$. \item[2ème cas.] Si $k\neq l$. On a $-(n-1)\leq k-l\leq n-1$ avec $k-l\neq0$ et donc, $k-l$ n'est pas multiple de $n$. Par suite, $\omega^{k-l}\neq1$ et $$\sum_{j=1}^{n}(\omega^{k-l})^{j-1}=\frac{1-(\omega^{k-l})^n}{1-\omega}=\frac{1-1^{k-l}}{1-\omega}=0.$$ \end{itemize} En résumé, $A\overline{A}=nI_n$. Donc $A$ est inversible à gauche et donc inversible et $A^{-1}=\frac{1}{n}\overline{A}$. \fincorrection \correction{005276} Soit $f$ l'endomorphisme de $\Rr_n[X]$ qui, à un polynôme $P$ de degré inférieur ou égal à $n$, associe le polynôme $P(X+1)$. Par la formule du binôme de \textsc{Newton}, on voit que $A$ est la matrice de $f$ dans la base canonique $(1,X,...,X^n)$ de $\Rr_n[X]$. $f$ est clairement un automorphisme de $\Rr_n[X]$, sa réciproque étant l'application qui, à un polynôme $P$ associe le polynôme $P(X-1)$. $A$ est donc inversible et $A^{-1}=(b_{i,j})_{0\leq i,j\leq n}$ où $b_{i,j}=0$ si $i>j$ et $b_{i,j}=(-1)^{i+j}C_{j}^{i}$ si $i\leq j$. \fincorrection \correction{005597} Soit $H$ un hyperplan de $\mathcal{M}_n(\Rr)$. $H$ est le noyau d'une forme linéaire non nulle $f$. Pour $M=(m_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant n}$, posons $f(M)=\sum_{1\leqslant i,j\leqslant n}^{}a_{i,j}m_{i,j}$ où les $a_{i,j}$ sont $n^2$ scalaires indépendants de $M$ et non tous nuls. \textbf{1er cas.} Supposons qu'il existe deux indices distincts $k$ et $l$ tels que $a_{k,l}\neq0$. Soit $M=I_n-\frac{\sum_{i=1}^{n}a_{i,i}}{a_{k,l}}E_{k,l}$. $M$ est inversible car triangulaire à coefficients diagonaux tous non nuls et $M$ est dans $H$ car $f(M)=\sum_{i=1}^{n}a_{i,i}-a_{k,l}\frac{\sum_{i=1}^{n}a_{i,i}}{a_{k,l}}=0$. \textbf{2ème cas.} Si tous les $a_{k,l}$, $k\neq l$, sont nuls, $H$ contient la matrice inversible $\left( \begin{array}{ccccc} 0&1&0&\ldots&0\\ \vdots&\ddots&\ddots&\ddots&\vdots\\ \vdots& & &\ddots&0\\ 0& & &\ddots&1\\ 1&0&\ldots&\ldots&0 \end{array} \right)$. \fincorrection \correction{005604} $A= \left( \begin{array}{cccccc} 1&2&0&\ldots&\ldots&0\\ 0&1&3&\ddots& &\vdots\\ \vdots&\ddots&\ddots&\ddots&\ddots&\vdots\\ & & & &\ddots&0\\ \vdots& & &\ddots&\ddots&n-1\\ 0&\ldots& &\ldots&0&1 \end{array} \right)= I + N$ où $N=\left( \begin{array}{cccccc} 0&2&0&\ldots&\ldots&0\\ 0&0&3&\ddots& &\vdots\\ \vdots&\ddots&\ddots&\ddots&\ddots&\vdots\\ & & & &\ddots&0\\ \vdots& & &\ddots&\ddots&n-1\\ 0&\ldots& &\ldots&0&0 \end{array} \right)$. $N$ est nilpotente et donc $N^n = 0$. Par suite, \begin{center} $I=I-(-N)^n=(I+N)(I -N + ... +(-N)^{n-1})$. \end{center} Ainsi $A$ est inversible à gauche et donc inversible, d'inverse $I -N + ... +(-N)^{n-1}$. Calcul de $N^p$ pour $1\leqslant p\leqslant n$. \begin{center} $N^2 =\left(\sum_{j=2}^{n}jE_{j-1,j}\right)^2=\sum_{2\leqslant j,k\leqslant n}^{}jkE_{j-1,j}E_{k-1,k}=\sum_{j=2}^{n-1}j(j+1)E_{j-1,j}E_{j,j+1}=\sum_{j=3}^{n}j(j-1)jE_{j-2,j}$. \end{center} c'est-à-dire $N^2=\left( \begin{array}{cccccc} 0&0&2\times3&0&\ldots&0\\ \vdots& &\ddots&3\times4&\ddots&\vdots\\ & & &\ddots&\ddots&0\\ & & & &\ddots&(n-1)n\\ \vdots& & & & &0\\ 0&\ldots& &\ldots&0&0 \end{array} \right)$. Ensuite, $N^3=\left(\sum_{j=3}^{n}(j-1)jE_{j-2,j}\right)\left(\sum_{k=2}^{n}kE_{k-1,k}\right)) =\sum_{j=4}^{n}j(j-1)(j-2)E_{j-3,j}$. Supposons que pour $p$ donné dans $\llbracket1,n-1\rrbracket$, $N^p=\sum_{j=p+1}^{n}j(j-1)...(j-p+1)E_{j-p,j}$. Alors $N^{p+1}=\left(\sum_{j=p+1}^{n}j(j-1)...(j-p+1)E_{j-p,j}\right)\left(\sum_{k=2}^{n}kE_{k-1,k}\right)=\sum_{j=p+2}^{n}j(j-1)...(j-p)E_{j-p-1,j}$. Ainsi \begin{center} \shadowbox{ $A^{-1}= (a_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant n}$ où $a_{i,j}= 0$ si $i > j$, $1$ si $i = j$ et $(-1)^{i+j-2}\prod_{k=0}^{j-i-1}(j-k)$ sinon. } \end{center} \fincorrection \correction{005610} On inverse $A$ en l'interprétant comme une matrice de passage. Soit $\mathcal{B}=(e_1,...,e_n)$ la base canonique de $\Rr^n$ et $(e_1',...,e_n)$ la famille de vecteurs de $\Rr^n$ de matrice $A$ dans la base $\mathcal{B}$. \begin{center} $A\;\text{inversible}\Leftrightarrow(e_1',...,e_n')\;\text{base de}\;E\Leftrightarrow\text{Vect}(e_1,...,e_n)\subset\text{Vect}(e_1',...,e_n')\Leftrightarrow\forall i\in\llbracket1,n\rrbracket,\;e_i\in\text{Vect}(e_1',...,e_n')$. \end{center} Dans ce cas, $A^{-1}$ est la matrice de passage de $\mathcal{B}'$ à $\mathcal{B}$. Soit $u = e_1 + ... + e_n$. Pour tout $i\in\llbracket1,n\rrbracket$, $e_i'=a_ie_i + u$ ce qui fournit $e_i =\frac{1}{a_i}(e_i'-u)$. En additionnant membre à membre ces $n$ égalités, on obtient $u=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{a_i}e_i'-\left(\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{a_i}\right)u$ et donc $\lambda u=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{a_i}e_i'$ où $\lambda=1+\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{a_i}$. \textbf{1er cas.} Si $\lambda\neq0$, on peut exprimer $u$ en fonction des $e_i'$, $1\leqslant i\leqslant n$, et donc les $e_i$ fonction des $e_i'$. Dans ce cas $A$ est inversible. Plus précisément, $ u=\frac{1}{\lambda}\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{a_i}e_i'$ puis, $\forall i\in\llbracket1,n\rrbracket$, $e_i =\frac{1}{a_i}\left(e_i'-\frac{1}{\lambda}\sum_{j=1}^{n}\frac{1}{a_j}e_j'\right)$ et enfin \begin{center} $A^{-1}=\left( \begin{array}{ccccc} \frac{1}{a_1}-\frac{1}{\lambda a_1^2}&-\frac{1}{\lambda a_2a_1}&\ldots&\ldots&-\frac{1}{\lambda a_na_1}\\ -\frac{1}{\lambda a_1a_2}&\frac{1}{a_2}-\frac{1}{\lambda a_2^2}& & &\vdots\\ \vdots&-\frac{1}{\lambda a_2a_3}&\ddots& &\vdots\\ \vdots&\vdots& &\frac{1}{a_{n-1}}-\frac{1}{\lambda a_{n-1}^2}&-\frac{1}{\lambda a_na_{n-1}}\\ -\frac{1}{\lambda a_1a_n}&-\frac{1}{\lambda a_2a_n}&\ldots&-\frac{1}{\lambda a_na_{n-1}}&\frac{1}{a_n}-\frac{1}{\lambda a_n^2} \end{array} \right)$ où $\lambda=1+\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{a_i}$. \end{center} \textbf{2ème cas.} Si $\lambda=0$, on a $\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{a_i}e_i'=0$ ce qui montre que la famille $(e_i')_{1\leqslant i\leqslant n}$ est liée et donc que $A$ n'est pas inversible. \fincorrection \correction{005612} Notons $A$ la matrice de l'énoncé. Soit $f$ l'endomorphisme de $\Rr_n[X]$ de matrice $A$ dans la base canonique $\mathcal{B}$ de $\Rr_n[X]$. D'après la formule du binôme de \textsc{Newton}, $\forall k\in\llbracket0,n\rrbracket$, $f(X^k)=(X+1)^k$. $f$ coïncide donc sur la base $\mathcal{B}$ avec l'endomorphisme de $\Rr_n[X]$ qui à un polynôme $P$ associe $P(X+1)$ et $f$ est donc cet endomorphisme. f est un automorphisme de $\Rr_n[X]$ de réciproque l'application qui à un polynôme $P$ associe $P(X-1)$. Par suite, $A$ est inversible d'inverse la matrice de $f^{-1}$ dans la base $\mathcal{B}$. Le coefficient ligne $i$, colonne $j$, de $A^{-1}$ vaut donc $0$ si $i > j$ et $(-1)^{i+j}\dbinom{j}{i}$ si $i\leqslant j$. \fincorrection \correction{005613} Calculons $A\overline{A}$. Soit $(j,k)\in\llbracket1,n\rrbracket^2$. Le coefficient ligne $j$, colonne $k$ de $A\overline{A}$ vaut \begin{center} $\sum_{u=1}^{n}\omega^{(j-1)(u-1)}\omega^{-(u-1)(k-1)}=\sum_{u=1}^{n}\left(\omega^{j-k}\right)^{u-1}$. \end{center} \textbullet~Si $j=k$, ce coefficient vaut $n$. \textbullet~Si $j\neq k$, puisque $j-k$ est strictement compris entre $-n$ et $n$ et que $j-k$ n'est pas nul, $\omega^{j-k}$ est différent de $1$. Le coefficient ligne $j$, colonne $k$, de $A\overline{A}$ est donc égal à $\frac{1-\left(\omega^{j-k}\right)^{n}}{1-\omega^{j-k}}=\frac{1-1}{1-\omega^{j-k}}= 0$. Finalement, $A\overline{A}=nI_n$. Ainsi, $A$ est inversible à gauche et donc inversible, d'inverse $A^{-1}=\frac{1}{n}\overline{A}$. \fincorrection \correction{005617} Montrons que $\text{Ker}A$ est réduit à $\{0\}$. Dans le cas contraire, on dispose d'un vecteur colonne non nul $X_0$ tel que $AX_0 = 0$. Posons $X_0=(x_i)_{1\leqslant i\leqslant n}$. Pour tout $i\in\llbracket1,n\rrbracket$, \begin{center} $\sum_{j=1}^{n}a_{i,j}x_j= 0\Rightarrow a_{i,i}x_i =-\sum_{j\neq i}^{}a_{i,j}x_j\Rightarrow |a_{i,i}||x_i|\leqslant\sum_{j\neq i}^{}|a_{i,j}||x_j|$. \end{center} On prend alors pour $i$ un indice $i_0$ tel que $|x_{i_0}| =\text{Max}\{|x_1|,...,|x_n|\}$. Puisque $X\neq0$, on a $|x_{i_0}|>0$. De plus, \begin{center} $|a_{i_0,i_0}||x_{i_0}|\leqslant\sum_{j\neq i_0}^{}|a_{i_0,j}||x_j|\leqslant\left(\sum_{j\neq i_0}^{}|a_{i_0,j}|\right)|x_{i_0}|$, \end{center} et puisque $|x_{i_0}|>0$, on obtient après simplification $|a_{i_0,i_0}|\leqslant\sum_{j\neq i_0}^{}|a_{i_0,j}|$ ce qui contredit les hypothèses. Donc $\text{Ker}A=\{0\}$ et $A$ est inversible. \fincorrection \correction{006872} \begin{enumerate} \item si le déterminant $ad-bc$ est non nul l'inverse est $\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \\ \end{pmatrix}$ \item $\frac14 \begin{pmatrix} -4 & 0 & -4 \\ 3 & 1 & 2 \\2 & -2 & 0 \\ \end{pmatrix}$ \item si $|\alpha|\neq 1$ alors l'inverse est $\frac 1{1-\alpha\bar\alpha} \begin{pmatrix} 1 &-\bar\alpha &0 \cr -\alpha &1+\alpha\bar\alpha &-\bar\alpha \cr 0 &-\alpha &1 \cr\end{pmatrix}$ \item $\frac13 \begin{pmatrix} -2 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & -2 \\ \end{pmatrix}$ \item $\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 0 & \cdots\\ & \ddots & \ddots & \ddots & \\ \vdots & & 0 & 1 & -1 \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & 1 \end{pmatrix}$ \item $\begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 & 0 &\cdots & 0 \\ & 1 & -2 & 1 & 0 & \cdots\\ & & 1 & -2 & 1 & 0 \\ & & & \ddots & \ddots & \ddots \\ & & (0) & & 1 & -2 \\ & & & & & 1 \end{pmatrix}$ \end{enumerate} \fincorrection \correction{007413} \begin{enumerate} \item $det(D_2)=x^2-1=(x+1)(x-1)$, $det(D_3)=x^3-3x+2=(x+2)(x-1)^2$ \item Sommer toutes les lignes à la première ligne, on a : \[ det(D_n)= \left | {\begin{array}{ccccc} x+n-1 & x+n-1 & \ldots & \ldots & x+n-1 \\ 1 & x & 1& \ldots & 1 \\ \vdots & \ddots & \ddots &\ddots& \vdots \\ \vdots &\ldots & \ddots & \ddots & 1 \\ 1 & \ldots & \ldots & 1 & x \end{array} } \right |, \] et comme tous les éléments sur la première ligne sont $x+n-1$, donc \[ det(D_n)= (x+n-1)\left | {\begin{array}{cccc} 1 & 1 & \ldots & 1 \\ 1 & x & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & 1 \\ 1 & \ldots & 1 & x \end{array} } \right | \] \item Par la méthode du pivot de Gauss, $L_2-L_1,L_3-L_1 \ldots, L_n-L_1,$, on obtient un détermiant de la forme triangulaire \[ det(D_n)= (x+n-1)\left | {\begin{array}{cccc} 1 & 1 & \ldots & 1 \\ 0 & x-1 & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & 0 \\ 0 & \ldots & 0 & x-1 \end{array} } \right |. \] Donc $det(D_n)= (x+n-1)(x-1)^{n-1}$. \item $D_n$ est inversible si et seulement si $det(D_n) \neq 0$, donc $x \neq 1-n$ et $x \neq 1$. \end{enumerate} \fincorrection \nocorrection \correction{003368} Il n'y a pas de solution. \fincorrection \correction{003400} $M = \begin{pmatrix} 1 &0 &0 &0 \cr 0 &1 &0 &0 \cr 0 &0 &0 &0 \cr \end{pmatrix}$. \fincorrection \correction{003401} $P = \begin{pmatrix} a &b &c &d \cr 0 &2a &3a+2b &4a+3b+2c \cr 0 &0 &4a &12a+4b \cr 0 &0 &0 &8a \cr \end{pmatrix}$est inversible pour $a\ne 0$. \fincorrection \correction{003402} $N = P^{-1}AP$ avec $P = \begin{pmatrix} 1 &1 &1 \cr 1 &-1 &1 \cr 1 &1 &-1 \cr \end{pmatrix}$. \fincorrection \correction{003403} $B-I$ est inversible. \fincorrection \nocorrection \correction{003405} oui, $P = \begin{pmatrix}0&1&0&0\cr 0&0&1&0\cr 0&0&0&1\cr 1&0&0&0\cr\end{pmatrix}$. \fincorrection \nocorrection \nocorrection \correction{005259} \begin{enumerate} \item $\mbox{rg}u=\mbox{rg}(u(i),u(j),u(k))=rg(u(j),u(k),u(i))$. La matrice de cette dernière famille dans la base $(i,j,k)$ est $\left( \begin{array}{ccc} 1&0&0\\ 0&1&0\\ -3&3&1 \end{array} \right)$. Cette dernière famille est de rang $3$. Donc, $\mbox{rg}u=3$ et $u$ est bien un automorphisme de $\Rr^3$. Posons $e_1=u(i)$, $e_2=u(j)$ et $e_3=u(k)$. $$\left\{ \begin{array}{l} e_1=k\\ e_2=i-3k\\ e_3=j+3k \end{array}\right. \Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} k=e_1\\ i=3e_1+e_2\\ j=-3e_1+e_3 \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} u^{-1}(k)=i\\ u^{-1}(i)=3i+j\\ u^{-1}(j)=-3i+k \end{array}\right. $$ et $$A^{-1}=\mbox{Mat}_{\mathcal{B}}(u^{-1})=\left( \begin{array}{ccc} 3&-3&1\\ 1&0&0\\ 0&1&0 \end{array} \right).$$ \item (Questions 2) et 3)). Posons $e_1=xi+yj+zk$ ($e_1$, $e_2$ et $e_3$ désignent d'autres vecteurs que ceux du 1)). $$u(e_1)=e_1\Leftrightarrow(u-Id)(e_1)=0\Leftrightarrow\left( \begin{array}{ccc} -1&1&0\\ 0&-1&1\\ 1&-3&2 \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} x\\ y\\ z \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} 0\\ 0\\ 0 \end{array} \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} -x+y=0\\ -y+z=0\\ x-3y+2z=0 \end{array} \right.\Leftrightarrow x=y=z.$$ On prend $e_1=i+j+k$. Posons $e_2=xi+yj+zk$. $$u(e_2)=e_1+e_2\Leftrightarrow(u-Id)(e_2)=e_1\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} -x+y=1\\ -y+z=1\\ x-3y+2z=1 \end{array} \right.\Leftrightarrow y=x+1\;\mbox{et}\;z=x+2.$$ On prend $e_2=j+2k$. Posons $e_3=xi+yj+zk$. $$u(e_3)=e_2+e_3\Leftrightarrow(u-Id)(e_3)=e_2\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} -x+y=0\\ -y+z=1\\ x-3y+2z=2 \end{array} \right.\Leftrightarrow y=x\;\mbox{et}\;z=x+1.$$ On prend $e_3=k$. La matrice de la famille $(e_1,e_2,e_3)$ dans la base $(i,j,k)$ est $P= \left( \begin{array}{ccc} 1&0&0\\ 1&1&0\\ 1&2&1 \end{array} \right)$. Cette matrice est de rang $3$ et est donc inversible. Par suite $(e_1,e_2,e_3)$ est une base de $\Rr^3$. Enfin, $$\left\{ \begin{array}{l} e_1=i+j+k\\ e_2=j+2k\\ e_3=k \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} k=e_3\\ j=e_2-2e_3\\ i=e_1-e_2+e_3 \end{array} \right. ,$$ et $$P^{-1}=\left( \begin{array}{ccc} 1&0&0\\ -1&1&0\\ 1&-2&1 \end{array} \right).$$ \item Voir question précédente. \item Soit $T$ est la matrice de $u$ dans la base $(e_1,e_2,e_3)$. $T= \left( \begin{array}{ccc} 1&1&0\\ 0&1&1\\ 0&0&1 \end{array} \right)$. Les formules de changement de bases s'écrivent $T=P^{-1}AP$ ou encore $A=PTP^{-1}$. Par suite, pour tout relatif $n$, $A^n=PT^nP^{-1}$. Posons $N=\left( \begin{array}{ccc} 0&1&0\\ 0&0&1\\ 0&0&0 \end{array} \right) $. On a $N^2=\left( \begin{array}{ccc} 0&0&1\\ 0&0&0\\ 0&0&0 \end{array} \right)$ puis $N^3=0$. Donc, pour $n$ entier naturel supérieur ou égal à $2$ donné, puisque $I$ et $N$ commutent, la formule du binôme de \textsc{Newton} fournit $$T^n=(I+N)^n=I+nN+\frac{n(n-1)}{2}N^2=\left( \begin{array}{ccc} 1&n&n(n-1)/2\\ 0&1&n\\ 0&0&1 \end{array} \right).$$ Cette formule reste claire pour $n=0$ et $n=1$. Pour $n=-1$, $(I+N)(I-N+N^2)=I+N^3=I$ et donc $$T^{-1}=(I+N)^{-1}=I-N+N^2=\left( \begin{array}{ccc} 1&-1&1\\ 0&1&-1\\ 0&0&1 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{ccc} 1&-1&\frac{(-1)(-1-1)}{2}\\ 0&1&-1\\ 0&0&1 \end{array} \right),$$ et la formule reste vraie pour $n=-1$. Enfin, pour $n$ entier naturel non nul donné, $T^{-n}=(I+nN+\frac{n(n-1)}{2}N^2)^{-1}$ mais $(I+nN+\frac{n(n-1)}{2}N^2)(I-nN+\frac{-n(-n-1)}{2}N^2)=I$ et donc $T^{-n}=I-nN+\frac{-n(-n-1)}{2}N^2$. Finalement, $$\forall n\in\Zz,\;T^n=I+nN+\frac{n(n-1)}{2}N^2=\left( \begin{array}{ccc} 1&n&n(n-1)/2\\ 0&1&n\\ 0&0&1 \end{array} \right).$$ Puis \begin{align*}\ensuremath A^n&=PT^nP^{-1}=\left( \begin{array}{ccc} 1&0&0\\ 1&1&0\\ 1&2&1 \end{array} \right)\left( \begin{array}{ccc} 1&n&n(n-1)/2\\ 0&1&n\\ 0&0&1 \end{array} \right)\left( \begin{array}{ccc} 1&0&0\\ -1&1&0\\ 1&-2&1 \end{array} \right)\\ &=\left( \begin{array}{ccc} 1&n&n(n-1)/2\\ 1&n+1&n(n+1)/2\\ 1&n+2&(n+1)(n+2)/2 \end{array} \right)\left( \begin{array}{ccc} 1&0&0\\ -1&1&0\\ 1&-2&1 \end{array} \right) \\ &=\left( \begin{array}{ccc} (n-1)(n-2)/2&-n(n-2)&n(n-1)/2\\ n(n-1)/2&-(n-1)(n+1)&n(n+1)/2\\ n(n+1)/2&-n(n+2)&(n+1)(n+2)/2 \end{array} \right) \end{align*} ce qui fournit $u^n(i)$, $u^n(j)$ et $u^n(k)$. \end{enumerate} \fincorrection \correction{005626} Si $M(a)$ et $N(a)$ sont semblables alors nécessairement $\text{Tr}(M(a))=\text{Tr}(N(a))$. Or, pour tout scalaire $a$, $\text{Tr}(M(a))=4-3a =\text{Tr}(N(a))$. La trace ne fournit aucun renseignement. On doit aussi avoir $\text{det}(M(a))=\text{det}(N(a))$. Or, $\text{det}(N(a))=(1-a)^2(2-a)$ et \begin{align*}\ensuremath \text{det}(M(a))&= (4-a)(a^2-1-2)+6(1-a+1)+2(2-1-a) = (4-a)(a^2-3)+14-8a=-a^3+4a^2-5a+2\\ &= (a-1)^2(2-a)=\text{det}(N(a)). \end{align*} Le déterminant ne fournit aucun renseignement. Soit $f$ l'endomorphisme de $\Kk^3$ de matrice $M(a)$ dans la base canonique $\mathcal{B}_0=(i,j,k)$ de $\Kk^3$. Le problème posé équivaut à l'existence d'une base $\mathcal{B}=(e_1,e_2,e_3)$ de $\Kk^3$ telle que $f(e_1)=(1-a)e_1$, $f(e_2) =(1-a)e_2 +e_1$ et $f(e_3)= (2-a)e_3$. Soit $(x,y,z)$ un élément de $\Kk^3$. \textbullet~$f((x,y,z)) =(1-a)(x,y,z)\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} 3x+y-z=0\\ -6x-2y+2z=0\\ 2x+y=0 \end{array} \right.\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} y=-2x\\ z=x \end{array} \right.$. On peut prendre $e_1=(1,-2,1)$. \textbullet~$f((x,y,z)) =(1-a)(x,y,z)+(1,-2,1)\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} 3x+y-z=1\\ -6x-2y+2z=-2\\ 2x+y=1 \end{array} \right.\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} y=-2x-1\\ z=x-2 \end{array} \right.$. On peut prendre $e_2=(0,-1,-2)$. \textbullet~$f((x,y,z)) =(2-a)(x,y,z)\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} 2x+y-z=0\\ -6x-3y+2z=0\\ 2x+y-z=0 \end{array} \right.\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} y=-2x\\ z=0 \end{array} \right.$. On peut prendre $e_3=(1,-2,0)$. La matrice de la famille $\mathcal{B}=(e_1,e_2,e_3)$ dans la base $\mathcal{B}_0$ est $P=\left( \begin{array}{ccc} 1&0&1\\ -2&-1&-2\\ 1&-2&0 \end{array} \right)$. $\text{det}P=-4+4+1 =1\neq 0$ et donc la famille $\mathcal{B}=(e_1,e_2,e_3)$ est une base de $\Kk^3$. Puisque $\text{Mat}_{\mathcal{B}_0}f= M(a)$ et $\text{Mat}_{\mathcal{B}}f=N(a)$, les matrices $M(a)$ et $N(a)$ sont semblables. \fincorrection \correction{005627} Soient $A$ et $B$ deux matrices carrées réelles de format $n$ semblables dans $\mathcal{M}_n(\Cc)$. Il existe $P$ élément de $\mathcal{GL}_n(\Cc)$ telle que $PB =AP$ (bien plus manipulable que $B=P^{-1}AP$). Posons $P=Q+iR$ où $Q$ et $R$ sont des matrices réelles. Par identification des parties réelles et imaginaires, on a $QB=AQ$ et $RB=AR$ mais cet exercice n'en est pas pour autant achevé car $Q$ ou $R$ n'ont aucune raison d'être inversibles. On a $QB=AQ$ et $RB= AR$ et donc plus généralement pour tout réel $x$, $(Q+xR)B=A(Q+xR)$. Maintenant, $\text{det}(Q+xR)$ est un polynôme à coefficients réels en $x$ mais n'est pas le polynôme nul car sa valeur en $i$ (tel que $i^2 = -1$) est $\text{det}P$ qui est non nul. Donc il n'existe qu'un nombre fini de réels $x$, éventuellement nul, tels que $\text{det}(Q+xR) = 0$. En particulier, il existe au moins un réel $x_0$ tel que la matrice $P_0=Q+x_0R$ soit inversible. $P_0$ est une matrice réelle inversible telle que $P_0A=BP_0$ et $A$ et $B$ sont bien semblables dans $\mathcal{M}_n(\Rr)$. \fincorrection \nocorrection \nocorrection \correction{002475} \begin{enumerate} \item Soit $M$ une matrice telle que $M^2=0$ et soit $f$ l'application linéaire associée à $M$. Comme $M^2=0$ alors $f\circ f = 0$. Cela entraîne $\Im f \subset \Ker f$. Discutons suivant la dimension du noyau : \begin{enumerate} \item Si $\dim \Ker f=3$ alors $f=0$ donc $M=0$ (la matrice nulle). \item Si $\dim \Ker f=2$ alors prenons une base de $\Rr^3$ formée de deux vecteurs du noyau et d'un troisième vecteur. Dans cette base la matrice de $f$ est $M'=\begin{pmatrix}0&0&a\\0& 0 & b\\0&0&c\end{pmatrix}$ mais comme $f\circ f=0$ alors $M'^2=0$ ; un petit calcul implique $c=0$. Donc $M$ et $M'$ sont les matrices de la même application linéaire $f$ mais exprimées dans des bases différentes, donc $M$ et $M'$ sont semblables. \item Si $\dim \Ker f=1$ alors comme $\Im f \subset \Ker f$ on a $\dim \Im f \le 1$ mais alors cela contredit le théorème du rang : $\dim \Ker f + \dim \Im f = \dim \Rr^3$. Ce cas n'est pas possible. \item Conclusion : $M$ est une matrice qui vérifie $M^2=0$ si et seulement si il existe une matrice inversible $P$ et des réels $a,b$ tels que $$M=P^{-1} \begin{pmatrix}0&0&a\\0& 0 & b\\0&0&0\end{pmatrix}P$$ \end{enumerate} \item On va s'aider de l'exercice \ref{exo1093}. Si $M^2=M$ et $f$ est l'application linéaire associée alors $f\circ f= f$. On a vu dans l'exercice \ref{exo1093} qu'alors $\Ker f \oplus \Im f$ et que l'on peut choisir une base $(e_1,e_2,e_3)$ telle que $f(e_i)=e_i$ puis $f(e_i)=0$. Suivant la dimension du noyau cela donne que la matrice $M'$ de $f$ dans cette base est $$A_0=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}\quad A_1=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix} \quad A_2=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&0\end{pmatrix} \quad A_3=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}.$$ Maintenant $M$ est semblable à l'une de ces matrices : il existe $P$ inversible telle que $M=P^{-1}M'P$ où $M'$ est l'une des quatre matrices $A_i$ ci-dessus. Géométriquement notre application est une projection (projection sur une droite pour la seconde matrice et sur un plan pour la troisième). \item Posons $N= \frac{I+M}{2}$ et donc $M=2N-I$. Alors $M^2=I \iff (2N-I)^2=I \iff 4N^2-4N-I=I \iff N^2=N$. Donc par la deuxième question $N$ est semblable à l'une des matrice $A_i$ : $N= P^{-1}A_iP$. Donc $M=2P^{-1}A_iP-I = P^{-1}(2A_i-I)P$. Ainsi $M$ est semblable à l'une des matrices $2A_i-I$ suivantes : $$\begin{pmatrix}-1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}\quad \begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\end{pmatrix} \quad \begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{pmatrix} \quad \begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}.$$ Ce sont des matrices de symétrie (par rapport à l'origine pour la première matrice, par rapport à une droite pour la seconde matrice et par rapport à un plan pour la troisième). L'idée de poser $N= \frac{I+M}{2}$ est la suivante : si $M^2=I$ alors géométriquement l'application linéaire $s$ associée à $M$ est une \emph{symétrie}, alors que si $N^2=N$ alors l'application linéaire $p$ associée est une \emph{projection}. Et projection et symétrie sont liées par $p(x) =\frac{x+s(x)}{2}$ (faites un dessin !) c'est-à-dire $p =\frac{\text{id}+s}{2}$ ou encore $N= \frac{I+M}{2}$. \end{enumerate} \fincorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \correction{003371} \begin{enumerate} \item \item Pour $i R(X_0)$ pour $\alpha > 0$ assez petit. \item Si $y_1 > 0$, on pose $X = X_0 + \begin{pmatrix}\alpha\cr0\cr\vdots\cr0\cr\end{pmatrix}$ : $AX - RX = Y + \alpha\begin{pmatrix}a_{11}-R\cr a_{21}\cr\vdots\cr a_{n1}\cr\end{pmatrix}$, donc pour $\alpha > 0$ assez petit, $R(X) > R$. \item Inégalité triangulaire. \end{enumerate} \fincorrection \correction{003390} \begin{enumerate} \item \item La base canonique de $E$ est $(F_{ij} = E_{ij}-E_{ji})_{1\le i 0$ et $\varphi(M) = \varphi(\mathrm{diag}(1,\dots,1,-1)) = x$ si $\det(M) < 0$. Réciproquement, la fonction $\varphi$ ainsi définie est effectivement un morphisme de groupe si et seulement si $2x = \dot 0$, soit $x=\dot 0$ pour $p$ impair, et $x\in\{\dot 0,\dot q\}$ pour $p=2q$. \fincorrection \correction{005264} \begin{enumerate} \item La démonstration la plus simple apparaîtra dans le chapitre suivant~:~le déterminant d'une matrice triangulaire est le produit de ses coefficients diagonaux. Cette matrice est inversible si et seulement si son déterminant est non nul ou encore si et seulement si aucun des coefficients diagonaux n'est nul. Pour l'instant, le plus simple est d'utiliser le rang d'une matrice. Si aucun des coefficients diagonaux n'est nul, on sait que le rang de la matrice est son format et donc que cette matrice est inversible. Réciproquement, notons $(e_1,...,e_n)$ la base canonique de $\mathcal{M}_{n,1}(\Kk)$. Supposons que $A$ soit une matrice triangulaire inférieure dont le coefficient ligne $i$, colonne $i$, est nul. Si $i=n$, la dernière colonne de $A$ est nulle et $A$ n'est pas de rang $n$ et donc n'est pas inversible. Si $i0$ des entiers. On obtient $q\ln 3=p\ln 2$. En prenant l'exponentielle nous obtenons : $\exp (q\ln 3) = \exp(p\ln 2)$ soit $3^q=2^p$. Si $p \ge 1$ alors $2$ divise $3^q$ donc $2$ divise $3$, ce qui est absurde. Donc $p=0$. Ceci nous conduit à l'égalité $3^q=1$, donc $q=0$. La seule solution possible est $p=0$, $q=0$. Ce qui contredit $q\neq 0$. Donc $\frac{\ln 3}{\ln 2}$ est irrationnel. \fincorrection \nocorrection \nocorrection \correction{000506} Soit $(u_n)$ une suite convergeant vers $\ell \in \Rr$. Par d\'efinition $$\forall \epsilon > 0 \quad \exists N \in \Nn \quad \forall n\geqslant N \qquad |u_n-\ell| < \epsilon.$$ Choisissons $\epsilon = 1$, nous obtenons le $N$ correspondant. Alors pour $n\geqslant N$, nous avons $|u_n-\ell| < 1$ ; autrement dit $\ell -1 < u_n < \ell + 1$. Notons $M = \max_{n=0,\ldots,N-1} \{u_n\}$ et puis $ M' = \max (M,\ell+1)$. Alors pour tout $n \in \Nn$ $u_n \leq M'$. De m\^eme en posant $m = \min_{n=0,\ldots,N-1} \{u_n\}$ et $m' = \min(m,\ell -1)$ nous obtenons pour tout $n\in \Nn$, $u_n \geq m'$. \fincorrection \correction{000507} Il est facile de se convaincre que $(u_n)$ n'a pas de limite, mais plus délicat d'en donner une d\'emonstration formelle. En effet, d\`es lors qu'on ne sait pas qu'une suite $(u_n)$ converge, on ne peut pas \'ecrire $\lim u_n$, c'est un nombre qui n'est pas d\'efini. Par exemple l'\'egalit\'e $$\lim_{n \rightarrow \infty}\: (-1)^n+1/n=\lim_{n\rightarrow \infty} (-1)^n$$ n'a pas de sens. Par contre voil\`a ce qu'on peut dire : \emph{Comme la suite $1/n$ tend vers $0$ quand $n \rightarrow \infty$, la suite $u_n$ est convergente si et seulement si la suite $(-1)^n$ l'est. De plus, dans le cas o\`u elles sont toutes les deux convergentes, elles ont m\^eme limite.} Cette affirmation provient tout simplement du th\'eor\`eme suivant \textbf{Th\'eor\`eme} : Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites convergeant vers deux limites $\ell$ et $\ell'$. Alors la suite $(w_n)$ définie par $w_n=u_n+v_n$ est convergente (on peut donc parler de sa limite) et $\lim w_n=\ell+\ell'$. De plus, il n'est pas vrai que toute suite convergente doit forc\'ement \^etre croissante et major\'ee ou d\'ecroissante et minor\'ee. Par exemple, $(-1)^n/n$ est une suite qui converge vers $0$ mais qui n'est ni croissante, ni d\'ecroissante. \bigskip Voici maintenant un exemple de r\'edaction de l'exercice. On veut montrer que la suite $(u_n)$ n'est pas convergente. Supposons donc par l'absurde qu'elle soit convergente et notons $\ell=\lim_{n\rightarrow\infty} u_n$. (Cette expression a un sens puisqu'on suppose que $u_n$ converge). {\bf Rappel.} Une {\em sous-suite} de $(u_n)$ (on dit aussi {\em suite extraite} de $(u_n)$) est une suite $(v_n)$ de la forme $v_n=u_{\phi(n)}$ o\`u $\phi$ est une application strictement croissante de $\N$ dans $\N$. Cette fonction $\phi$ correspond ``au choix des indices qu'on veut garder'' dans notre sous-suite. Par exemple, si on ne veut garder dans la suite $(u_n)$ que les termes pour lesquels $n$ est un multiple de trois, on pourra poser $\phi(n)=3n$, c'est \`a dire $v_n=u_{3n}$. \vspace{0.3cm} Consid\'erons maintenant les sous-suites $v_n=u_{2n}$ et $w_n=u_{2n+1}$ de $(u_n)$. On a que $v_n=1+1/2n\rightarrow1$ et que $w_n=-1+1/(2n+1)\rightarrow -1$. Or on a le th\'eor\`eme suivant sur les sous-suites d'une suite convergente: \textbf{Th\'eor\`eme} : Soit $(u_n)$ une suite convergeant vers la limite $\ell$ (le th\'eor\`eme est encore vrai si $\ell=+\infty$ ou $\ell=-\infty$). Alors, toute sous-suite $(v_n)$ de $(u_n)$ a pour limite $\ell$. Par cons\'equent, ici, on a que $\lim v_n=\ell$ et $\lim w_n=\ell$ donc $\ell=1$ et $\ell=-1$ ce qui est une contradiction. L'hypoth\`ese disant que $(u_n)$ \'etait convergente est donc fausse. Donc $(u_n)$ ne converge pas. \fincorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \correction{003066} Supposons d'abord $\bigl|r-\sqrt a\bigr| \le \frac 1{q^2}$. Cela implique $|r| \le \sqrt a + 1$. Majorons $|r^2-a|$ : $$|r^2-a|=|r-\sqrt a| \times |r+\sqrt a| \le |r-\sqrt a| \times \big( |r|+\sqrt a \big) \le |r-\sqrt a| \times \big( 2\sqrt a+1 \big)$$ Minorons $|r^2-a|$, en posant $r=\frac pq$, $a=\frac mn$. $$|r^2-a|=\left|\left(\frac pq\right)^2-\frac mn \right| =\left| \frac{np^2-mq^2}{nq^2}\right| \ge \frac{1}{nq^2}$$ La dernière inégalité provient que le numérateur $np^2-mq^2$ n'est pas nul (sinon $\sqrt a$ serait rationnel). On déduit de ces deux majorations : $$\frac{1}{nq^2} \le |r^2-a| \le |r-\sqrt a| \times \big( 2\sqrt a+1 \big)$$ Et donc : $$ |r-\sqrt a| \ge \frac{1}{n( 2\sqrt a+1)}\frac{1}{q^2}.$$ Cette inégalité est aussi clairement vérifier si $\bigl|r-\sqrt a\bigr| > \frac 1{q^2}$. La constante $C=\frac{1}{n( 2\sqrt a+1)}$ convient. \fincorrection \correction{003067} $\sqrt x + \sqrt y = \sqrt{a+\sqrt b} \Leftrightarrow x+y+2\sqrt{xy} = a+\sqrt b \Leftrightarrow b+4xy-4\sqrt{bxy} = (x+y-a)^2$.\par $ \Rightarrow $ : $bxy = r^2 \Rightarrow \sqrt b\left(1-\frac{2r}b\right) = x+y-a \Rightarrow r=\frac b2$ et $x+y = a \Rightarrow (x-y)^2 = a^2-b$.\par $\Leftarrow$ : $a^2 - b = u^2$. On prend $x = \frac{a+u}2$ et $y = \frac{a-u}2$ $ \Rightarrow x+y+2\sqrt{xy} = a+\sqrt b$. \fincorrection \correction{003144} $=\frac{q-1}2$. \fincorrection \correction{003145} Si $p \in P$ : $\exists\ n \in\Z$ tel que $\frac np \in A$ avec $n\wedge p=1$. Alors pour tous $x,y \in \Z$, on a $\frac{nx+py}p \in A$, donc $\frac 1p\Z \subset A$. \fincorrection \nocorrection \correction{003147} \begin{enumerate} \item Si $x_n = \frac pq \ne 0$ : $\frac 1{k_n}\le \frac pq < \frac 1{k_n-1}, \Rightarrow x_{n+1} = \frac {k_np-q}{k_nq}$ et $0\le k_np-q < p$. Donc la suite des num{\'e}rateurs est strictement d{\'e}croissante. \item Car $x_{n+1} = \frac pq-\frac1{k_n} < \frac1{k_n-1}-\frac1{k_n}$. \item $n_p > n_{p-1}(n_{p-1}-1) \Rightarrow \frac 1{n_{p-1}} + \frac 1{n_p} < \frac 1{n_{p-1}-1}$.\par $n_{p-1}-1 \ge n_{p-2}(n_{p-2}-1) \Rightarrow \frac 1{n_{p-2}} + \frac 1{n_{p-1}-1} \le \frac 1{n_{p-2}-1}$, etc.\par Finalement, $x < \frac 1{n_0-1} \Rightarrow n_0 = k_0$.\par (cf. INA opt. 1977) \end{enumerate} \fincorrection \correction{003148} \begin{enumerate} \item Pour $x = \frac pq$, on peut prendre : $m = qc-pd$, et $n = pb-qa$. \item $(m,n)$ est unique {\`a} un facteur pr{\`e}s. \item $\frac{ma+nc}{mb+nd} - \frac ab = \frac{n(bc-ad)}{b(mb+nd)}$, et $\frac cd - \frac{ma+nc}{mb+nd} = \frac{m(bc-ad)}{d(mb+nd)}$. \end{enumerate} \fincorrection \correction{003149} \begin{enumerate} \item $x=-\frac 12$. \item $x=\frac 23$. \item Pas de solution. \end{enumerate} \fincorrection \correction{003150} \begin{enumerate} \item $x^y = y^x \Leftrightarrow \frac{p^{p'q}}{q^{p'q}} = \frac{p'^{pq'}}{q'^{pq'}}$ (formes irr{\'e}ductibles) \\ $ \Rightarrow \begin{cases} p^{p'q} = p'^{pq'} \cr q^{p'q} = q'^{pq'}\end{cases} \Rightarrow \begin{cases} p^b = p'^a \cr q^b = q'^a.\end{cases}$\par Comme $a\wedge b = 1$, on d{\'e}compose $p,p',q,q'$ en facteurs premiers $ \Rightarrow $ le r{\'e}sultat. \item $\Bigl( pq' = m^a n^b,\ p'q = m^b n^a,\ m\wedge n = 1,\ a b-a$.\par Donc $b-a=1=m-n$, $a=n$, $x=\Bigl(1+\frac1n\Bigr)^n$ et $y=\Bigl(1+\frac1n\Bigr)^{n+1}$.\par Ces valeurs conviennent. \end{enumerate} \fincorrection \correction{005209} \begin{enumerate} \item Soient $m$ et $n$ deux entiers naturels supérieurs à $2$. $$\sqrt[n]{m}\in\Qq\Leftrightarrow\exists(a,b)\in(\Nn^*)^2/\;\sqrt[n]{m}=\frac{a}{b}\Leftrightarrow\exists(a,b)\in(\Nn^*)^2/\;a^n=m\times b^n.$$ Tout d'abord, si $b=1$, $m=a^n$ et $m$ est une puissance $n$-ième parfaite. Ensuite, $a=1$ est impossible car $m\times b^n\geq2$. Supposons alors que $a$ et $b$ soient des entiers supérieurs à $2$ (et que $a^n=m\times b^n$). L'exposant de tout facteur premier de $a^n$ ou de $b^n$ est un multiple de $n$ et par unicité de la décomposition en facteurs premiers, il en est de même de tout facteur premier de $m$. Ceci montre que, si $\sqrt[n]{m}$ est rationnel, $m$ est une puissance $n$-ième parfaite. Réciproquement, si $m$ est une puissance $n$-ième parfaite, $\sqrt[n]{m}$ est un entier et en particulier un rationnel. En résumé~:~ \begin{center} \shadowbox{ $\forall(m,n)\in(\Nn\setminus\{0,1\})^2,\;\sqrt[n]{m}\in\Qq\Leftrightarrow\sqrt[n]{m}\in\Nn\Leftrightarrow m\;\mbox{est une puissance}\;n\;\mbox{-ième parfaite}.$ } \end{center} Par suite, si $m$ n'est pas une puissance $n$-ième parfaite, $\sqrt[n]{m}$ est irrationnel. \item \begin{align*} \log 2\in\Qq&\Rightarrow\exists(a,b)\in(\Nn^*)^2/\;\log2=\frac{a}{b}\Rightarrow\exists(a,b)\in(\Nn^*)^2/\;10^{a/b}=2 \Rightarrow\exists(a,b)\in(\Nn^*)^2/\;10^a=2^b\\ &\Rightarrow\exists(a,b)\in(\Nn^*)^2/\;5^a=2^{b-a}. \end{align*} Puisque $5^a>1$, ceci impose $b-a\in\Nn^*$. Mais alors, l'égalité ci-dessus est impossible pour $a\neq0$ et $b\neq0$ par unicité de la décomposition en facteurs premiers d'un entier naturel supérieur ou égal à $2$. On a montré par l'absurde que \begin{center} \shadowbox{ $\log2$ est irrationnel. } \end{center} \item Supposons par l'absurde que $\pi$ soit rationnel. Il existe alors deux entiers naturels non nuls $p$ et $q$ tels que $\pi=\frac{p}{q}$. Pour $n$ entier naturel non nul donné, posons $$I_n=\frac{1}{n!}\int_{0}^{\pi}x^n(p-qx)^n\sin x\;dx=\frac{1}{n!}\int_{0}^{p/q}x^n(p-qx)^n\sin x\;dx.$$ \textbullet~Tout d'abord, pour $0\leq x\leq\frac{p}{q}$, on a $0\leq x(p-qx)=\frac{p}{2q}\left(p-\frac{p}{2q}\times q\right)=\frac{p^2}{4q}$, et donc (puisque $0\leq\sin x\leq1$ pour $x\in[0,\pi]$), $$0\leq I_n\leq\frac{1}{n!}\int_{0}^{p/q}\left(\frac{p^2}{4q}\right)^n\;dx=\frac{\pi}{n!}\left(\frac{p^2}{4q}\right)^n.$$ D'après le résultat admis par l'énoncé, $\frac{\pi}{n!}\left(\frac{p^2}{4q}\right)^n$ tend vers $0$ quand $n$ tend vers $+\infty$, et donc d'après le théorème de la limite par encadrement, la suite $(I_n)$ converge et $\lim_{n\rightarrow +\infty}I_n=0$. \textbullet~Ensuite, puisque pour $x$ élément de $[0,\pi]$, on a $x^n(p-qx)^n\sin x\geq0$, pour $n$ entier naturel non nul donné, on a \begin{align*} I_n&=\frac{1}{n!}\int_{0}^{\pi}x^n(p-qx)^n\sin x\;dx\geq\frac{1}{n!}\int_{\pi/4}^{3\pi/4}x^n(p-qx)^n\sin x\;dx\geq \frac{1}{n!}\left(\frac{3\pi}{4}-\frac{\pi}{4}\right)\left(\frac{p}{4q}\left(p-\frac{p}{4q}\times q\right)\right)^n\frac{1}{\sqrt{2}}\\ &=\frac{\pi}{2\sqrt{2}n!}\left(\frac{3p^2}{16q}\right)^n>0. \end{align*} Donc, $\forall n\in\Nn,\;I_n>0$. \textbullet~Vérifions enfin que, pour tout entier naturel non nul $n$, $I_n$ est un entier (relatif). Soit $P_n=\frac{1}{n!}x^n(p-qx)^n$. $P_n$ est un polynôme de degré $2n$ et $0$ et $\frac{p}{q}$ sont racines d'ordre $n$ de $P_n$ et donc, pour $0\leq k\leq n$, racines d'ordre $n-k$ de $P_n^{(k)}$. En particulier, $P_n^{(k)}(0)$ et $P_n^{(k)}\left(\frac{p}{q}\right)$ sont, pour $0\leq k2+3+5=10>6$). Donc \begin{center} \shadowbox{ $\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}$ est irrationnel. } \end{center} \end{enumerate} \fincorrection \correction{005214} Soient $k$ un entier naturel non nul et $n$ un entier naturel supérieur ou égal à $k$. \begin{align*} \binom{n+10\times k!}{k}&=\frac{(n+10\times k!)(n+10\times k!-1)...(n+10\times k!-k+1)}{k!}\\ &=\frac{n(n-1)...(n-k+1)+10\times k!\times K}{k!}\quad(\mbox{pour un certain entier}\;K)\\ &=\frac{n(n-1)...(n-k+1)}{k!}+10K=\binom{n}{k}+10K. \end{align*} La différence $\dbinom{n+10\times k!}{k}-\dbinom{n}{k}$ est donc divisible par $10$. Par suite, $\dbinom{n+10\times k!}{k}$ et $\dbinom{n}{k}$ ont même chiffre des unités en base 10. Ainsi, $\forall n\geq k,\;u_{n+10\times k!}=u_n$ et donc la suite $u$ est donc $10k!$-périodique. On sait alors que \begin{center} \shadowbox{ $0,u_ku_{k+1}u_{k+2}...$ est rationnel. } \end{center} \fincorrection \correction{005243} Soit $x$ un irrationnel et $(\frac{p_n}{q_n})_{n\in\Nn}$ une suite de rationnels tendant vers $x$ ($p_n$ entier relatif et $q_n$ entier naturel non nul, la fraction $\frac{p_n}{q_n}$ n'étant pas nécessairement irréductible). Supposons que la suite $(q_n)_{n\in\Nn}$ ne tende pas vers $+\infty$. Donc~: $$\exists A>0/\;(\forall n_0\in\Nn)(\exists n\geq n_0/\;q_n\geq A)$$ ou encore, il existe une suite extraite $(q_{\varphi}(n))_{n\in\Nn}$ de la suite $(q_n)_{n\in\Nn}$ qui est bornée. La suite $(q_{\varphi}(n))_{n\in\Nn}$ est une suite d'entiers naturels qui est bornée, et donc cette suite ne prend qu'un nombre fini de valeurs. Mais alors, on peut extraire de la suite $(q_{\varphi}(n))_{n\in\Nn}$ et donc de la suite $(q_n)_{n\in\Nn}$ une suite $(q_{\psi(n)})_{n\in\Nn}$ qui est constante et en particulier convergente. La suite $(p_{\psi(n)})_{n\in\Nn}=(\frac{p_{\psi(n)}}{q_{\psi(n)}})_{n\in\Nn}(q_{\psi(n)})_{n\in\Nn}$ est aussi une suite d'entiers relatifs convergente et est donc constante à partir d'un certain rang. Ainsi, on peut extraire de la suite $(p_{\psi(n)})_{n\in\Nn}$ et donc de la suite $(p_n)_{n\in\Nn}$ une suite $(p_{\sigma(n)})_{n\in\Nn}$ constante. La suite $((q_{\sigma(n)})_{n\in\Nn}$ est également constante car extraite de la suite constante $(q_{\psi(n)})_{n\in\Nn}$ et finalement, on a extrait de la suite $(\frac{p_n}{q_n})_{n\in\Nn}$ une sous suite $(\frac{p_{\sigma(n)}}{q_{\sigma(n)}})_{n\in\Nn}$ constante. Mais la suite $(\frac{p_n}{q_n})_{n\in\Nn}$ tend vers $x$ et donc la suite extraite $(\frac{p_{\sigma(n)}}{q_{\sigma(n)}})_{n\in\Nn}$ tend vers $x$. Puisque $(\frac{p_{\sigma(n)}}{q_{\sigma(n)}})_{n\in\Nn}$ est constante, on a $\forall n\in\Nn,\;\frac{p_{\sigma(n)}}{q_{\sigma(n)}}=x$ et donc $x$ est rationnel. Contradiction . Donc la suite $(q_n)_{n\in\Nn}$ tend vers $+\infty$. Enfin si $(|p_n|)_{n\in\Nn}$ ne tend pas vers $+\infty$, on peut extraire de $(p_n)_{n\in\Nn}$ une sous-suite bornée $(p_{\varphi}(n))_{n\in\Nn}$. Mais alors, la suite $(\frac{p_{\varphi(n)}}{q_{\varphi(n)}})_{n\in\Nn}$ tend vers $x=0$ contredisant l'irrationnalité de $x$. Donc, la suite $(|p_n|)_{n\in\Nn}$ tend vers $+_infty$. \fincorrection \correction{000465} $(u_{2k})_k$ tend vers $+\infty$ et donc $A$ ne possède pas de majorant, ainsi $A$ n'a pas de borne supérieure (cependant certains écrivent alors $\sup A = +\infty$). D'autre part toutes les valeurs de $(u_n)$ sont positives et $(u_{2k+1})_k$ tend vers $0$, donc $\inf A =0$. \fincorrection \correction{000466} \begin{enumerate} \item $[0,1]\cap \Qq$. Les majorants : $[1,+\infty[$. Les minorants : $]-\infty,0]$. La borne sup\'erieure : $1$. La borne inf\'erieure : $0$. Le plus grand \'el\'ement : $1$. Le plus petit \'el\'ement $0$. \item $]0,1[\cap \Qq$. Les majorants : $[1,+\infty[$. Les minorants : $]-\infty,0]$. La borne sup\'erieure : $1$. La borne inf\'erieure : $0$. Il nexiste pas de plus grand \'el\'ement ni de plus petit \'el\'ement. \item $\Nn$. Pas de majorants, pas de borne sup\'erieure, ni de plus grand \'el\'ement. Les minorants : $]-\infty,0]$. La borne inf\'erieure : $0$. Le plus petit \'el\'ement : $0$. \item $\Big\lbrace (-1)^n+\frac{1}{n^2} \mid n \in \Nn^* \Big\rbrace$. Les majorants : $[\frac54,+\infty[$. Les minorants : $]-\infty,-1]$. La borne sup\'erieure : $\frac54$. La borne inf\'erieure : $-1$. Le plus grand \'el\'ement : $\frac54$. Pas de plus petit \'el\'ement. \end{enumerate} \fincorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \correction{000476} \begin{enumerate} \item Soient $A$ et $B$ deux parties born\'ees de $\R$. On sait que $\sup A$ est un majorant de $A$, c'est-\`a-dire, pour tout $a\in A$, $a\leqslant \sup A$. De m\^eme, pour tout $b\in B$, $b\le \sup B$. On veut montrer que $\sup A+\sup B$ est un majorant de $A+B$. Soit donc $x\in A+B$. Cela signifie que $x$ est de la forme $a+b$ pour un $a\in A$ et un $b\in B$. Or $a\leqslant \sup A$, et $b \le \sup B$, donc $x=a+b\leqslant \sup A+\sup B$. Comme ce raisonnement est valide pour tout $x\in A+B$ cela signifie que $\sup A+\sup B$ est un majorant de $A+B$. \item On veut montrer que, quel que soit $\epsilon>0$, $\sup A +\sup B-\epsilon$ n'est pas un majorant de $A+B$. On prend donc un $\epsilon >0$ quelconque, et on veut montrer que $\sup A +\sup B-\epsilon$ ne majore pas $A+B$. On s'interdit donc dans la suite de modifier $\epsilon$. Comme $\sup A$ est le plus petit des majorants de $A$, $\sup A-\epsilon/2$ n'est pas un majorant de $A$. Cela signifie qu'il existe un \'el\'ement $a$ de $A$ tel que $a>\sup A-\epsilon/2$. {\em Attention: $\sup A-\epsilon/2$ n'est pas forc\'ement dans $A$ ; $\sup A$ non plus.} De la m\^eme mani\`ere, il existe $b\in B$ tel que $b>\sup B-\epsilon/2$. Or l'\'el\'ement $x$ d\'efini par $x=a+b$ est un \'el\'ement de $A+B$, et il v\'erifie $x>(\sup A-\epsilon/2)+(\sup B-\epsilon/2)=\sup A +\sup B-\epsilon.$ Ceci implique que $\sup A +\sup B-\epsilon$ n'est pas un majorant de $A+B$. \item $\sup A+\sup B$ est un majorant de $A+B$ d'apr\`es la partie 1. Mais, d'apr\`es la partie 2., d\`es qu'on prend un $\epsilon>0$, $\sup A+\sup B -\epsilon$ n'est pas un majorant de $A+B$. Donc $\sup A+\sup B$ est bien le plus petit des majorants de $A+B$, c'est donc la borne supérieure de $A+B$. Autrement dit $\sup (A+B)= \sup A +\sup B$. \end{enumerate} \fincorrection \correction{000477} \begin{enumerate} \item Vrai. \item Faux. C'est vrai avec l'hypothèse $B \subset A$ et non $A \subset B$. \item Vrai. \item Faux. Il y a égalité. \item Vrai. \item Vrai. \end{enumerate} \fincorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \correction{005210} $A$ et $B$ sont deux parties non vides et majorées de $\Rr$ et admettent donc des bornes supérieures notées respectivement $\alpha$ et $\beta$. Pour tout $(a,b)\in A\times B$, on a $a+b\leq\alpha+\beta$. Ceci montre que $A+B$ est une partie non vide et majorée de $\Rr$, et donc que $\mbox{sup}(A+B)$ existe dans $\Rr$. (De plus, puisque $\alpha+\beta$ est un majorant de $A+B$, on a déjà $\mbox{sup}(A+B)\leq\alpha+\beta$). Soit alors $\varepsilon>0$. Il existe $a\in A$ et $b\in B$ tels que $\alpha-\frac{\varepsilon}{2}0,\;\exists(a,b)\in A\times B/\;a+b>\alpha+\beta-\varepsilon$. \end{center} On en déduit que \begin{center} \shadowbox{ $\mbox{sup}(A+B)=\alpha+\beta=\mbox{sup }A+\mbox{sup }B$. } \end{center} Pour les bornes inférieures, on peut refaire le travail précédent en l'adaptant ou appliquer le résultat précédent aux ensembles $-A$ et $-B$ car $\text{Inf}A=-\text{sup}(-A)$. \fincorrection \correction{005211} Posons pour $n$ entier naturel non nul $u_n=\frac{1}{n}+(-1)^n$ de sorte que $A=\{u_n,\;n\in\Nn^*\}=\left\{0,\frac{1}{2}+1,\frac{1}{3}-1,\frac{1}{4}+1,\frac{1}{5}-1,...\right\}$. Pour $n\geq1$, $u_{2n}=1+\frac{1}{2n}$. Donc $\forall n\in\Nn^*$, $10$. Il existe $(x_0,y_0)\in A^2$ tel que $x_0<\mbox{inf }A+\frac{\varepsilon}{2}$ et $y_0>\mbox{sup }A-\frac{\varepsilon}{2}$. Ces deux éléments $x_0$ et $y_0$ vérifient, $$|y_0-x_0|\geq y_0-x_0>\left(\mbox{sup }A-\frac{\varepsilon}{2}\right)-\left(\mbox{inf }A+\frac{\varepsilon}{2}\right)=\mbox{sup }A-\mbox{inf }A-\varepsilon.$$ En résumé, \begin{enumerate} \item $\forall(x,y)\in A^2,\;|y-x|\leq\mbox{sup }A-\mbox{inf }A$ et \item $\forall\varepsilon>0,\;\exists(x,y)\in A^2/\;|y-x|>\mbox{sup }A-\mbox{inf }A-\varepsilon$. \end{enumerate} Donc, $\mbox{sup }B=\mbox{sup }A-\mbox{inf }A$. \begin{center} \shadowbox{ $\mbox{sup }\{|y-x|,\;(x,y)\in A^2\}=\mbox{sup }A-\mbox{inf }A$. } \end{center} \fincorrection \correction{005213} \begin{enumerate} \item $A\cap B$ peut être vide et on n'a rien à dire. Supposons donc $A\cap B$ non vide. Pour $x\in A\cap B$, on a $x\leq\mbox{sup }A$ et $x\leq\mbox{sup }B$ et donc $x\leq\mbox{min}\{\mbox{sup }A,\mbox{sup }B\}$. Dans ce cas, $\mbox{sup}(A\cap B)$ existe et $\mbox{sup}(A\cap B)\leq\mbox{min}\{\mbox{sup }A,\mbox{sup }B\}$. On ne peut pas améliorer. Par exemple, soit $A=[0,1]\cap\Qq$ et $B=([0,1]\cap(\Rr\setminus\Qq))\cup\{0\}$. On a $\mbox{sup }A=1$, $\mbox{sup }B=1$, $A\cap B=\{0\}$ et donc $\mbox{sup}(A\cap B)=0<1=\mbox{min}\{\mbox{sup }A,\mbox{sup }B\}$. \item Pour $x\in A\cup B$, on a $x\leq\mbox{max}\{\mbox{sup }A,\mbox{sup }B\}$. Donc $\mbox{sup}(A\cup B)$ existe dans $\Rr$ et $\mbox{sup}(A\cup B)\leq\mbox{max}\{\mbox{sup }A,\mbox{sup }B\}$. Inversement, supposons par exemple $\mbox{sup }A\geq\mbox{sup }B$ de sorte que $\mbox{max}\{\mbox{sup }A,\mbox{sup }B\}=\mbox{sup }A$. Soit alors $\varepsilon>0$. Il existe $a\in A$ tel que $\mbox{sup }A-\varepsilon0,\;\exists x\in(A\cup B)/\;\mbox{max}\{\mbox{sup }A,\mbox{sup }B\}-\varepsilon0$, $(n+1)g=g+g+...+g\in G$ et si $n+1<0$, $(n+1)g=-(-(n+1)g)\in G$) et d'autre part $$x-\varepsilon<(n+1)g=ng+g0,\;\exists y\in G/\;x-\varepsilon0$, montrons dans ce cas que $G=a\Zz$. Pour cela, montrons tout d'abord que $a$ est dans $G$. Mais si $a$ n'est pas élément de $G$, par définition de $a$, il existe un réel $x$ dans $G\cap]a,2a[$ puis il existe un réel $y$ dans $G\cap]a,x[$. Le réel $x-y$ est alors dans $G\cap]0,a[$ ce qui est impossible. Donc $a$ est élément de $G$. Montrons alors que $G=a\Zz$. Puisque $a$ est dans $G$, $G$ contient encore $a+a=2a$, puis $a+a+a=3a$ et plus généralement tous les $na$, $n\in\Nn^*$. Puisque $G$ contient aussi les opposés de ces nombres et également $0=0\times a$, $G$ contient finalement tous les $na$, $n\in\Zz$. On a ainsi montré que $a\Zz\subset G$. Réciproquement, soit $x$ un élément de $G$ et $n=E\left(\frac{x}{a}\right)(\in\Zz)$. Alors, $n\leq\frac{x}{a}0$, $G=a\Zz$. } \end{center} \item Soit $G=\{a+b\sqrt{2},\;(a,b)\in\Zz^2\}$. On vérifie aisément que $G$ est un sous-groupe de $(\Rr,+)$. Maintenant, la formule du binôme de \textsc{Newton} montre que, pour chaque entier naturel $n$, \begin{center} $(\sqrt{2}-1)^n\in G\cap]0,+\infty[$. \end{center} Or, $0<\sqrt{2}-1<1$ et donc $\lim_{n\rightarrow +\infty}(\sqrt{2}-1)^n=0$. Ceci montre que $\mbox{inf}(G\cap]0;+\infty[)=0$ et donc que $G$ est dense dans $\Rr$. \item \begin{enumerate} \item Soit $f$ une application de $\Rr$ dans $\Rr$ et $G_f=\{T\in\Rr/\;\forall x\in\Rr,\;f(x+T)=f(x)\}$. $0$ est élément de $G_f$ (et c'est même le seul élément de $G_f$ si $f$ n'est pas périodique) et donc $G\neq\varnothing$. De plus, si $T$ et $T'$ sont deux éléments de $G$ alors, pour $x$ réel donné~: $$f(x+(T-T'))=f((x-T')+T)=f(x-T')=f(x-T'+T')=f(x),$$ et $T-T'$ est encore un élément de $G$. On a montré que \begin{center} \shadowbox{ $G_f$ est un sous groupe de $(\Rr,+)$. } \end{center} \item Soit $f$ une application de $\Rr$ dans $\Rr$ admettant $1$ et $\sqrt{2}$ pour périodes. $G_f$ contient encore tous les nombres de la forme $a+b\sqrt{2},\;(a,b)\in\Zz^2$ et est donc dense dans $\Rr$. Montrons que si de plus $f$ est continue sur $\Rr$, $f$ est constante. Soit $x$ un réel quelconque. On va montrer que $f(x)=f(0)$. Remarque préliminaire : soit $T$ une période strictement positive de $f$. Il existe un entier relatif $p$ tel que $pT\leq x<(p+1)T$ à savoir $p=E\left(\frac{x}{T}\right)$. On a alors $f(x)=f(x-pT)$ avec $0\leq x-pT kx - 1$, d'où l'encadrement $kx-1 < E(kx) \le kx$. On somme cet encadrement, $k$ variant de $1$ à $n$, pour obtenir : $$\sum_{k=1}^n (kx-1) < \sum_{k=1}^n E(kx) \le \sum_{k=1}^n kx.$$ Ce qui donne $$ x \cdot \sum_{k=1}^n k \quad - n < n^2 \cdot u_n \le x \cdot \sum_{k=1}^n k.$$ \item On se rappelle que $\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}$ donc nous obtenons l'encadrement : $$ x\cdot \frac{1}{n^2} \cdot \frac{n(n+1)}{2} - \frac{1}{n} < u_n \le x \cdot \frac{1}{n^2} \cdot \frac{n(n+1)}{2}.$$ $\frac{1}{n^2} \cdot \frac{n(n+1)}{2}$ tend vers $\frac 12$, donc par le théorème des gendarmes $(u_n)$ tend vers $\frac x2$. \item Chaque $u_n$ est un rationnel (le numérateur et le dénominateur sont des entiers). Comme la suite $(u_n)$ tend vers $\frac x 2$, alors la suite de rationnels $(2u_n)$ tend vers $x$. Chaque réel $x\in \Rr$ peut être approché d'aussi près que l'on veut par des rationnels, donc $\Qq$ est dense dans $\Rr$. \end{enumerate} \fincorrection \correction{007169} On applique l'inégalité arithmético-géométrique à $\frac{a^2}{4}$ et à $b^2$, ce qui donne \[ \frac{a^2}{4}+ b^2 \geq 2\sqrt{\frac{a^2}{4}\cdot b^2} = |ab| \geq ab. \] On peut généraliser en remplaçant $4$ par un réel strictement positif. Une formulation est la suivante. Pour $a$ et $b$ réels et $\lambda>0$, on a \[ 2|ab| \leq \frac{a^2}{\lambda}+ \lambda b^2. \] \fincorrection \correction{007170} Notons $a$ et $b$ les nombres de l'énoncé. On a $ab=100$. L'inégalité arithmético-géométrique fournit : \[ \frac{a+b}{2}\geq \sqrt{ab}=10\] avec égalité ssi $a=b$, donc la somme est supérieure à $20$, avec égalité ssi $a=b=10$. \fincorrection \correction{007171} Notons $a_1$, ..., $a_n$ les nombres de l'énoncé. On a \[ a_1 a_2 \dots a_n = \prod_{i=1}^n a_i=1.\] L'inégalité arithmético-géométrique fournit : \[ \frac{\sum_{i=1}^n a_i}{n} = \frac{a_1+..+a_n}{n}\geq \sqrt[n]{\prod_{i=1}^n a_i} = \sqrt[n]{1}=1\] avec égalité ssi tous les $a_i$ sont égaux. On en déduit que la somme est supérieure à $n$, avec égalité ssi tous les réels sont égaux (et donc égaux à $1$). \fincorrection \correction{007172} Il s'agit de savoir laquelle des deux quantités \[ a^3+b^3+c^3 \text{ et } 3abc \] est la plus grande. Or, en appliquant l'inégalité arithmético-géométrique à $a^3$, $b^3$ et $c^3$, on obtient directement: \[ \frac13\left( a^3+b^3+c^3\right) \geq \sqrt[3]{a^3b^3c^3} = abc. \] Il est donc préférable d'acheter les trois cubes. \fincorrection \correction{007173} On applique l'inégalité arithmético-géométrique à $\frac{a^2}{bc}$, $\frac{b^2}{ca}$ et $\frac{c^2}{ab}$ ce qui donne \[ \frac{a^2}{bc}+\frac{b^2}{ca}+\frac{c^2}{ab} \geq3\sqrt[3]{\frac{a^2}{bc}\frac{b^2}{ca}\frac{c^2}{ab}} =3 \] \fincorrection \correction{007174} On applique l'inégalité arithmético-géométrique aux réels $\frac{a_i}{b_i}$ ce qui donne \[ \frac{a_1}{b_1} + ... + \frac{a_n}{b_n} \geq n\sqrt[n]{\frac{a_1}{b_1} \cdot ... \cdot \frac{a_n}{b_n}} =n \sqrt[n]{1}=n. \] \fincorrection \correction{007175} On applique l'inégalité arithmético-géométrique à chacun des deux facteurs ce qui donne: \[ (1+a^2)(1+b^2) \geq (2\sqrt{a^2})(2\sqrt{b^2}) = 4|ab| \geq 4ab. \] Remarque : on aurait également pu développer le membre de gauche et minorer par une seule utilisation de l'inégalité arithmético-géométrique à quatre variables: \[ (1+a^2)(1+b^2) =1+a^2+b^2+a^2b^2 \geq 4\sqrt[4]{a^2b^2a^2b^2} =4\sqrt[4]{a^4b^4} = 4|ab| \geq 4ab. \] \fincorrection \correction{007176} On applique l'inégalité arithmético-géométrique à chacun des deux facteurs ce qui donne: \[ a^2b+b^2c+c^2a \geq 3\sqrt[3]{a^2b \cdot b^2c \cdot c^2a} = 3abc \] et \[ ab^2+bc^2+ca^2 \geq 3\sqrt[3]{ab^2 \cdot bc^2 \cdot ca^2} = 3abc. \] En multipliant, on obtient le résultat. \fincorrection \correction{007177} On peut essayer d'appliquer l'inégalité arithmético-géométrique à chaque facteur. Ceci donne \[ \left(1+\frac1a\right)\left(1+\frac1b\right) \geq \left(\frac{2}{\sqrt a}\right)\left(\frac{2}{\sqrt b}\right) = \frac{4}{\sqrt{ab}}, \] ce qui minore la quantité par $1$ après une deuxième utilisation de l'inégalité arithmético-géométrique sur le dénominateur et utilisation de $a+b=8$, mais cette dernière minoration est évidente vu la forme initiale de l'expression : les deux facteurs sont supérieurs à $1$. (Remarque : lors de la première utilisation de l'inégalité arithmético-géométrique, il y avait égalité ssi $a=1$ et $b=1$ ce qui est impossible vu l'énoncé. L'inégalité est donc toujours stricte, ce qui indique que la minoration n'est sans doute pas très précise.) Commençons donc plutôt par développer la quantité à minorer. On a \[ \left(1+\frac1a\right)\left(1+\frac1b\right) = \frac{1+a+b+ab}{ab} = \frac{9+ab}{ab} = 1+\frac{9}{ab}.\] Il s'agit donc de majorer le produit $ab$. L'inégalité arithmético-géométrique donne $\sqrt{ab} \leq \frac{a+b}{2}=4$, donc $ab\leq 16$. On en déduit que $\frac{1}{ab} \geq \frac{1}{16}$ et donc que \[ \left(1+\frac1a\right)\left(1+\frac1b\right) \geq 1+\frac{9}{16} = \frac{25}{16}, \] avec égalité ssi $a=b=4$. Remarque : il est préférable d'utiliser les contraintes (ici $a+b=8$) le plus tôt possible dans les majorations ou minorations successives, pour gagner en précision. \fincorrection \correction{007178} En développant, l'inégalité est équivalente à \[ a^2d^2+b^2c^2 \geq 2abcd. \] En appliquant l'inégalité arithmético-géométrique à $a^2d^2$ et $b^2c^2$, on obtient: \[ a^2d^2+b^2c^2 \geq 2\sqrt{a^2d^2b^2c^2} =2|abcd| \geq 2abcd. \] Deuxième solution : en fait, on a l'identité remarquable \[ (a^2+b^2)(c^2+d^2)= (ac+bd)^2 + (ad-bc)^2.\] Remarque : majorer chacun des deux facteurs dans le membre de gauche donne juste \[ (a^2+b^2)(c^2+d^2) \geq 4|ab|\cdot|cd|,\] ce qui ne permet pas de conclure puisque par ailleurs on a également \[ (ac+bd)^2 \geq 4|acbd|.\] \fincorrection \correction{007179} L'équation est équivalente à \[ 2^x +\frac{1}{2^x} = 2-x^2.\] Or, par inégalité arithmético-géométrique, on a \[ 2^x +\frac{1}{2^x} \geq 2\sqrt{2^x\cdot \frac{1}{2^x}} \geq 2,\] avec égalité ssi $2^x = \frac{1}{2^x}$ c'est-à-dire ssi $x=0$. D'autre part, $2-x^2\geq 2$ avec égalité ssi $x=0$ là aussi. On en déduit que l'équation admet bien une solution, unique, égale à $0$. \fincorrection \correction{007180} Si $(x,y,z)$ est une solution, alors en sommant les trois équation on obtient \[ 4x + \frac{18}{y} +2y + \frac{9}{z} +9z + \frac{16}{x} =14+15+17 = 46. \] D'autre part, par inégalité arithmético-géométrique, on a \[ 4x+\frac{16}{x} \geq 2\sqrt{4x\cdot \frac{16}{x}} = 16,\quad 2y+\frac{18}{y} \geq 12,\quad 9z+\frac{9}{z} \geq 18, \] d'où \[ 4x+\frac{16}{x} + 2y+\frac{18}{y} + 9z+\frac{9}{z} \geq 46, \] avec égalité ssi chacune des trois inégalité sont des égalités donc ssi $(x,y,z)=(2,3,1)$. Le système d'équations admet donc une unique solution, $(2,3,1)$. \fincorrection \correction{007181} Appliquer l'inégalité arithmético-géométrique à $2a^3$ et à $b^3$ ne semble pas donner le résultat. On a $2a^3+b^3 = a^3+a^3+b^3$. Appliquons l'inégalité arithmético-géométrique à trois variables. On obtient: \[ 2a^3+b^3 =a^3+a^3+b^3 \geq 3\sqrt[3]{a^3a^3b^3} = 3a^2b. \] \fincorrection \correction{007182} Partir du membre de gauche et appliquer l'inégalité arithmético-géométrique à trois variables ne donne pas immédiatement le résultat. On peut par contre essayer de majorer séparément chacun des trois termes du membre de droite : \[ a^2b =\sqrt[3]{a^3a^3b^3} \leq \frac{2a^3+b^3}{3},\] \[ b^2c =\sqrt[3]{b^3b^3c^3} \leq \frac{2b^3+c^3}{3},\] \[ c^2a =\sqrt[3]{c^3c^3a^3} \leq \frac{2c^3+a^3}{3},\] ce qui donne le résultat en sommant les trois inégalités. \fincorrection \correction{007183} Partir du membre de gauche et appliquer l'inégalité arithmético-géométrique à trois variables ne donne pas immédiatement le résultat. Si on développe le membre de droite, on obtient \[ a^2bc+b^2ca+c^2ab,\] que l'on peut essayer de minorer par trois utilisations indépendantes de l'inégalité arithmético-géométrique à quatre variables: \[ a^2bc = \sqrt[4]{a^4a^4b^4c^4} \leq \frac14\left(a^4+a^4+b^4+c^4\right) = \frac14\left(2a^4+b^4+c^4\right). \] De même, \[ b^2ac\leq \frac14\left(a^4+2b^4+c^4\right) \text{ et } c^2ab \leq \frac14\left(a^4+b^4+2c^4\right).\] En sommant ces trois inégalités, on obtient le résultat. \fincorrection \correction{007184} L'inégalité arithmético-géométrique appliquée à $\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}$ uniquement donne: \[ \frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2} \geq 2\sqrt{\frac{a^2}{c^2}}=2\left|\frac{a}{c}\right| \geq 2\frac{a}{c}. \] On obtient de même \[ \frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2} \geq \frac{b}{a} \text{ et } \frac{c^2}{a^2}+\frac{a^2}{b^2} \geq \frac{c}{b}. \] En sommant ces trois inégalités, on obtient le résultat. \fincorrection \correction{007185} En appliquant l'inégalité arithmético-géométrique, on voit que les $a$ et $c$ se simplifient mais pas $b$ et $b+c$. L'idée est alors de modifier la forme de l'inégalité pour obtenir la simplification. Or, l'inégalité est équivalente à \[ \frac{c}{a} + \frac{a}{b+c} +\frac{b}{c}+1 \geq 3, \] c'est-à-dire à \[ \frac{c}{a} + \frac{a}{b+c} +\frac{b+c}{c} \geq 3. \] Sous cette forme, l'inégalité arithmético-géométrique donne le résultat: \[ \frac{c}{a} + \frac{a}{b+c} +\frac{b+c}{c} \geq 3\sqrt[3]{\frac{c}{a} \frac{a}{b+c} \frac{b+c}{c}} =3\sqrt[3]{1}=3. \] \fincorrection \nocorrection \correction{000505} \begin{enumerate} \item Vrai. Toute sous-suite d'une suite convergente est convergente et admet la m\^eme limite (c'est un résultat du cours). \item Faux. Un contre-exemple est la suite $(u_n)_n$ d\'efinie par $u_n = (-1)^n$. Alors $(u_{2n})_n$ est la suite constante (donc convergente) de valeur $1$, et $(u_{2n+1})_n$ est constante de valeur $-1$. Cependant la suite $(u_n)_n$ n'est pas convergente. \item Vrai. La convergence de la suite $(u_n)_n$ vers $\ell$, que nous souhaitons d\'emontrer, s'\'ecrit : $$ \forall \epsilon > 0\ \ \exists N \in \Nn \ \text{\ tel que\ \ } (n \geqslant N \Rightarrow |u_n-\ell| < \epsilon).$$ Fixons $\epsilon > 0$. Comme, par hypoth\`ese, la suite $(u_{2p})_p$ converge vers $\ell$ alors il existe $N_1$ tel $$ 2p \geqslant N_1 \Rightarrow |u_{2p}-\ell| < \epsilon.$$ Et de m\^eme, pour la suite $(u_{2p+1})_p$ il existe $N_2$ tel que $$ 2p+1 \geqslant N_2 \Rightarrow |u_{2p+1}-\ell| < \epsilon.$$ Soit $N = \max(N_1,N_2)$, alors $$n \geqslant N\Rightarrow |u_{n}-\ell| < \epsilon.$$ Ce qui prouve la convergence de $(u_n)_n$ vers $\ell$. \end{enumerate} \fincorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \correction{000518} \begin{enumerate} \item Suite non convergente car non bornée. \item Suite convergente vers $0$. \item Suite non convergente car la sous-suite $u_{2p} = 1+\frac {1}{2p}$ est toujours plus grande que $1$. Alors que la sous-suite $u_{2p+1} = -1+\frac {1}{2p+1}$ est toujours plus petite que $0$. \end{enumerate} \fincorrection \correction{000519} Soit $(u_n)$ une suite d'entiers qui converge vers $\ell \in \Rr$. Dans l'intervalle $I = ] \ell - \frac12, \ell +\frac12[$ de longueur $1$, il existe au plus un \'el\'ement de $\Nn$. Donc $I \cap \Nn$ est soit vide soit un singleton $\{a \}$. La convergence de $(u_n)$ s'\'ecrit : $$ \forall \epsilon > 0 \ \ \exists N \in \Nn \text{\ \ tel que\ \ } (n \geqslant N \Rightarrow |u_n-\ell| < \epsilon).$$ Fixons $\epsilon = \frac 12$, nous obtenons un $N$ correspondant. Et pour $n \geqslant N$, $u_n \in I$. Mais de plus $u_n$ est un entier, donc $$ n \geqslant N \Rightarrow u_n \in I \cap \Nn.$$ En cons\'equent, $I\cap \Nn$ n'est pas vide (par exemple $u_N$ en est un \'el\'ement) donc $I \cap \Nn = \{ a \}$. L'implication pr\'ec\'edente s'\'ecrit maintenant : $$ n \geqslant N \Rightarrow u_n = a.$$ Donc la suite $(u_n)$ est stationnaire (au moins) \`a partir de $N$. En prime, elle est bien \'evidemment convergente vers $\ell = a \in \Nn$. \fincorrection \correction{000520} \begin{enumerate} \item La fonction $t \mapsto \frac 1 t$ est d\'ecroissante sur $[n,n+1]$ donc $$\frac{1}{n+1} \leqslant \int_n^{n+1} \frac{dt}{t} \leqslant \frac 1n$$ (C'est un encadrement de l'aire de l'ensemble des points $(x,y)$ du plan tels que $x\in[n,n+1]$ et $0\leqslant y\leqslant 1/x$ par l'aire de deux rectangles.) Par calcul de l'intégrale nous obtenons l'in\'egalit\'e : $$\frac{1}{n+1} \leqslant \ln(n+1)-\ln(n) \leqslant \frac 1n.$$ \item $H_n = \frac1n+\frac{1}{n-1}+\cdots +\frac12+1$, nous majorons chaque terme de cette somme en utilisant l'in\'egalit\'e $\frac1k \leqslant \ln(k)-\ln (k-1)$ obtenue pr\'ec\'edemment : nous obtenons $H_n \leqslant \ln(n)-\ln (n-1) + \ln(n-1)-\ln (n-2)+\cdots-\ln(2) +\ln (2) - \ln (1) + 1$. Cette somme est t\'elescopique (la plupart des termes s'\'eliminent et en plus $\ln (1) =0$) et donne $H_n \leqslant \ln (n) + 1$. L'autre in\'egalit\'e s'obtient de la fa\c{c}on similaire en utilisant l'in\'egalit\'e $ \ln(k+1)-\ln(k) \leqslant \frac{1}{k}$ . \item Comme $H_n \geqslant \ln (n+1)$ et que $\ln(n+1) \rightarrow +\infty$ quand $n\rightarrow +\infty$ alors $H_n \rightarrow +\infty$ quand $n\rightarrow +\infty$. \item $u_{n+1}-u_n = H_{n+1}-H_n - \ln(n+1)+\ln(n) = \frac{1}{n+1}-(\ln (n+1)-\ln (n))\leqslant 0$ d'apr\`es la premi\`ere question. Donc $u_{n+1}-u_n \leqslant 0$. Ainsi $u_{n+1} \leqslant u_n$ et la suite $(u_n)$ est d\'ecroissante. Enfin comme $H_n \geqslant \ln(n+1)$ alors $H_n \geqslant \ln (n)$ et donc $u_n\geqslant 0$. \item La suite $(u_n)$ est d\'ecroissante et minor\'ee (par $0$) donc elle converge vers un r\'eel $\gamma$. Ce r\'eel $\gamma$ s'appelle \emph{la constante d'Euler} (d'après Leonhard Euler, 1707-1783, math\'ematicien d'origine suisse). Cette constante vaut environ $0,5772156649\ldots$ mais on ne sait pas si $\gamma$ est rationnel ou irrationnel. \end{enumerate} \fincorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \correction{000524} \begin{enumerate} \item $u_{n+q} = \cos \left( \frac{2(n+q)\pi}{q} \right) = \cos \left(\frac{2n\pi}{q}+2\pi\right) = \cos \left(\frac{2n\pi}{q}\right) = u_n$. \item $u_{nq} = \cos \left(\frac{2nq\pi}{q}\right) = \cos \left({2n\pi}\right)= 1 = u_0$ et $u_{nq+1} = \cos \left(\frac{2(nq+1)\pi}{q}\right) = \cos \left(\frac{2\pi}{q}\right) = u_1$. Supposons, par l'absurde que $(u_n)$ converge vers $\ell$. Alors la sous-suite $(u_{nq})_n$ converge vers $\ell$ comme $u_{nq}= u_0 = 1$ pour tout $n$ alors $\ell = 1$. D'autre part la sous-suite $(u_{nq+1})_n$ converge aussi vers $\ell$, mais $u_{nq+1}= u_1 = \cos \frac{2\pi}{q}$, donc $\ell = \cos \frac{2\pi}{q}$. Nous obtenons une contradiction car pour $q\geq 2$, nous avons $\cos \frac{2\pi}{q} \not= 1$. Donc la suite $(u_n)$ ne converge pas. \end{enumerate} \fincorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \correction{004672} \begin{enumerate} \item \item $\ell = \pi$. \end{enumerate} \fincorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \correction{004676} $\frac x2$. \fincorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \correction{004680} \begin{enumerate} \item $u_n = \frac {(2n)!}{4^n(n!)^2}$. \item \item \item \end{enumerate} \fincorrection \correction{004681} Si $|a| < 1$, {\`a} partir d'un certain rang, $\left|\frac a{1+a^n} \right|<\alpha < 1$ $ \Rightarrow \lim = 0$. Si $|a| >1$, $\frac{u_{n+1}}{u_n} \to 0 \Rightarrow u_n \to 0$. \fincorrection \nocorrection \nocorrection \correction{004684} $\lim S_n = \lim u_n$.\par Si $u_n = (3i/2)^n$, alors $(u_n)$ diverge, mais $S_n \xrightarrow[n\to\infty]{} 0$. \fincorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \correction{004689} \begin{enumerate} \item $1 \le S(n+1) \le S(n) + 1 \Rightarrow 0 \le \frac {S(n+1)}{S(n)} \le 2$. \item $\inf = 0$ $(99\dots99)$, $\sup = 2$ $(100\dots00)$. \item \end{enumerate} \fincorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \correction{004693} \begin{enumerate} \item Sinon, on construit une sous-suite strictement croissante. \item La suite $(\min(x_0,\dots,x_n))$ converge vers $0$, et prend une infinit{\'e} de valeurs diff{\'e}rentes. \end{enumerate} \fincorrection \nocorrection \nocorrection \correction{004696} $u_{2n}-u_{n} \ge \frac {1 + \dots + n}{4n^2} \ge \frac 18$. \fincorrection \correction{004697} \begin{enumerate} \item Par r{\'e}currence, $\sqrt n \le u_n \le \sqrt{2n}$. \item $\sqrt n \le u_n \le \sqrt{n+\sqrt{2(n-1)}} \Rightarrow \lim = 1$. \item $\sqrt{n+\sqrt{n-1}} \le u_n \le \sqrt{n+\sqrt{n-1+\sqrt{2(n-2)}}} \Rightarrow \lim = \frac 12$. \end{enumerate} \fincorrection \correction{004698} Soit $\ell =\inf \{b_n\,|\, n\in\N^*\}$, $\varepsilon>0$ et $p\in\N^*$ tel que $b_p\le \ell+\varepsilon$. Pour $n\in\N^*$ on effectue la division euclidienne de $n$ par~$p$~: $n=pq+r$ d'o{\`u} $a_n\le a_p^qa_r$ et $b_n\le b_p+\frac{\ln a_r}{\strut n}\le \ell+2\varepsilon$ pour $n$ assez grand. \fincorrection \correction{004699} Si $e^{i\alpha}$ n'est pas valeur d'adh{\'e}rence alors il existe $\delta>0$ tel que $|e^{ih(n)}-e^{i\alpha}|> \delta$ pour tout~$n$ assez grand donc l'ensemble $\bigcup_{k\in\N}[\alpha-\delta+2k\pi,\alpha-\delta+2k\pi]$ ne contient aucun terme de la suite $(h(n))$ pour $n$ assez grand ce qui contredit les hypoth{\`e}ses $h(n)\xrightarrow[n\to\infty]{}+\infty$ et $h(n+1)-h(n)\xrightarrow[n\to\infty]{}0$. \fincorrection \correction{004700} Soit $E$ l'ensemble des valeurs d'adh{\'e}rence de~$(u_n)$. Si $u_{n_k}\xrightarrow[k\to\infty]{}\lambda$ alors $u_{n_k+1}\xrightarrow[k\to\infty]{}\lambda+\lambda^2$ donc $E$ est stable par l'application $f$ : $x \mapsto x+x^2$. En fait $E$ est invariant par cette application car la suite $(u_{n_k-1})$ admet une valeur d'adh{\'e}rence $\mu \in E$ et on a $\mu^2+\mu = \lambda$. En particulier l'intervalle $[\inf(E),\sup(E)]$ est invariant par~$f$ ce qui implique $\sup(E) = \inf(E) = 0$. \fincorrection \correction{004701} Soit $\ell$ une valeur d'adh{\'e}rence de~$(x_n)$. Si l'on suppose que~$(x_n)$ ne converge pas vers~$\ell$ alors il existe un voisinage~$[a,b]$ de~$\ell$ tel qu'il y a une infinit{\'e} de termes dans~$[a,b]$ et une infinit{\'e} hors de~$[a,b]$. Ceci implique que $[c,d] = f([a,b])$ n'est pas inclus dans~$[a,b]$ et que $[c,d]\setminus[a,b]$ contient une infinit{\'e} de termes, donc $(x_n)$ a une deuxi{\`e}me valeur d'adh{\'e}rence dans $[c,d]\setminus]a,b[$. \fincorrection \correction{004702} Les suites $(\ln(u_n)/2^n)$ et $(\ln(1+u_n)/2^n)$ sont adjacentes. \fincorrection \correction{005221} Supposons sans perte de généralité $u$ croissante (quite à remplacer $u$ par $-u$). Dans ce cas, ou bien $u$ converge, ou bien $u$ tend vers $+\infty$. Supposons que $u$ tende vers $+\infty$, et montrons qu'il en est de même pour la suite $v$. Soit $A\in\Rr$. Il existe un rang $n_0$ tel que pour n naturel supérieur ou égal à $n_0$, $u_n\geq2A$. Pour $n\geq n_0+1$, on a alors, \begin{align*} v_n&=\frac{1}{n+1}\left(\sum_{k=0}^{n_0}u_k+\sum_{k=n_0+1}^{n}u_k\right)\geq \frac{1}{n+1}\sum_{k=0}^{n_0}u_k+\frac{(n-n_0)2A}{n+1} \end{align*} Maintenant, quand $n$ tend vers $+\infty$, $\frac{1}{n+1}\sum_{k=0}^{n_0}u_k+\frac{(n-n_0)2A}{n+1}$ tend vers $2A$ et donc, il existe un rang $n_1$ à partir duquel $v_n\geq\frac{1}{n+1}\sum_{k=0}^{n_0}u_k+\frac{(n-n_0)2A}{n+1}>A$. On a montré que~:~$\forall n\in\Nn,\;\exists n_1\in\Nn/\;(\forall n\in\Nn),\;(n\geq n_1\Rightarrow v_n>A)$. Par suite, $\lim_{n\rightarrow +\infty}v_n=+\infty$. Par contraposition, si $v$ ne tend pas vers $+\infty$, la suite $u$ ne tend pas vers $+\infty$ et donc converge, d'après la remarque initiale. \fincorrection \correction{005222} \begin{enumerate} \item La fonction $x\mapsto\frac{1}{x}$ est continue et décroissante sur $]0,+\infty[$ et donc, pour $k\in\Nn^*$, on a~: $$\frac{1}{k+1}=(k+1-k)\frac{1}{k+1}\leq\int_{k}^{k+1}\frac{1}{x}\;dx\leq(k+1-k)\frac{1}{k}=\frac{1}{k}.$$ Donc, pour $k\geq1$, $\frac{1}{k}\geq\int_{k}^{k+1}\frac{1}{x}\;dx$ et, pour $k\geq2$, $\frac{1}{k}\leq\int_{k-1}^{k}\frac{1}{x}\;dx$. En sommant ces inégalités, on obtient pour $n\geq1$, $$H_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}\geq\sum_{k=1}^{n}\int_{k}^{k+1}\frac{1}{x}\;dx=\int_{1}^{n+1}\frac{1}{x}\;dx=\ln(n+1),$$ et pour $n\geq2$, $$H_n=1+\sum_{k=2}^{n}\frac{1}{k}\leq1+\sum_{k=2}^{n}\int_{k-1}^{k}\frac{1}{x}\;dx=1+\int_{1}^{n}\frac{1}{x}\;dx=1+\ln n,$$ cette dernière inégalité restant vraie quand $n=1$. Donc, \begin{center} \shadowbox{ $\forall n\in\Nn^*,\;\ln(n+1)\leq H_n\leq1+\ln n.$ } \end{center} \item Soit $n$ un entier naturel non nul. $$u_{n+1}-u_n=\frac{1}{n+1}-\ln(n+1)+\ln n=\frac{1}{n+1}-\int_{n}^{n+1}\frac{1}{x}\;dx=\int_{n}^{n+1}\left(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{x}\right)\;dx\leq0$$ car la fonction $x\mapsto\frac{1}{x}$ décroit sur $[n,n+1]$. De même, $$v_{n+1}-v_n=\frac{1}{n+1}-\ln(n+2)+\ln(n+1)=\frac{1}{n+1}-\int_{n+1}^{n+2}\frac{1}{x}\;dx=\int_{n+1}^{n+2}\left(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{x}\right)\;dx\geq0$$ car la fonction $x\mapsto\frac{1}{x}$ décroit sur $[n+1,n+2]$. Enfin, $$u_n-v_n=\ln(n+1)-\ln n=\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)$$ et donc la suite $u-v$ tend vers 0 quand $n$ tend vers $+\infty$. Finalement, la suite $u$ décroit, la suite $v$ croit et la suite $u-v$ tend vers $0$. On en déduit que les suites $u$ et $v$ sont adjacentes, et en particulier convergentes et de même limite. Notons $\gamma$ cette limite. Pour tout entier naturel non nul $n$, on a $v_n\leq\gamma\leq u_n$, et en particulier, $v_3\leq\gamma\leq u_1$ avec $v_3=0,5...$ et $u_1=1$. Donc, $\gamma\in\left[\frac{1}{2},1\right]$. Plus précisément, pour $n$ entier naturel non nul donné, on a $$0\leq u_n-v_n\leq\frac{10^{-2}}{2}\Leftrightarrow\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)\leq0,005\Leftrightarrow\frac{1}{n}\leq e^{0,005}-1\Leftrightarrow n\geq\frac{1}{e^{0,005}-1}=199,5...\Leftrightarrow n\geq200.$$ Donc $0\leq\gamma-v_{100}\leq\frac{10^{-2}}{2}$ et une valeur approchée de $v_{200}$ à $\frac{10^{-2}}{2}$ près (c'est-à-dire arrondie à la 3 ème décimale la plus proche) est une valeur approchée de $\gamma$ à $10^{-2}$ près. On trouve $\gamma=0,57$ à $10^{-2}$ près par défaut. Plus précisémént, \begin{center} \shadowbox{ $\gamma=0,5772156649...$ ($\gamma$ est la constante d'\textsc{Euler}). } \end{center} \end{enumerate} \fincorrection \correction{005225} Posons $\alpha=\Arccos\frac{a}{b}$. $\alpha$ existe car $0<\frac{a}{b}<1$ et est élément de $\left]0,\frac{\pi}{2}\right[$. De plus, $a=b\cos\alpha$. Enfin, pour tout entier naturel $n$, $\frac{\alpha}{2^n}\in\left]0,\frac{\pi}{2}\right[$ et donc, $\cos\frac{\alpha}{2^n}>0$. On a $u_0=b\cos\alpha$ et $v_0=b$ puis $u_1=\frac{1}{2}(u_0+v_0)=\frac{b}{2}(1+\cos\alpha)=b\cos^2\frac{\alpha}{2}$ et $v_1=\sqrt{u_1v_0}=\sqrt{b\cos^2\frac{\alpha}{2}\times b}=b\cos\frac{\alpha}{2}$ puis $u_2=\frac{b}{2}\cos\frac{\alpha}{2}(1+\cos\frac{\alpha}{2})=b\cos\frac{\alpha}{2}\cos^2\frac{\alpha}{2^2}$ et $v_2=\sqrt{b\cos\frac{\alpha}{2}\cos^2\frac{\alpha}{2^2}\times b\cos\frac{\alpha}{2}}=b\cos\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2^2}$... Montrons par récurrence que pour tout entier naturel non nul $n$, $v_n=b\prod_{k=1}^{n}\cos\frac{\alpha}{2^k}$ et $u_n=v_n\cos\frac{\alpha}{2^n}$. C'est vrai pour $n=1$ et si pour $n\geq1$ donné, on a $v_n=b\prod_{k=1}^{n}\cos\frac{\alpha}{2^k}$ et $u_n=v_n\cos\frac{\alpha}{2^n}$ alors, $$u_{n+1}=\frac{1}{2}(v_n\cos\frac{\alpha}{2^n}+v_n)=v_n\cos^2\frac{\alpha}{2^{n+1}}$$ puis $$v_{n+1}=\sqrt{u_{n+1}v_n}=v_n\cos\frac{\alpha}{2^{n+1}}\;(\mbox{car}\;\cos\frac{\alpha}{2^{n+1}}>0),$$ et donc, $v_{n+1}=b\prod_{k=1}^{n+1}\cos\frac{\alpha}{2^k}$ puis $u_{n+1}=v_{n+1}\cos\frac{\alpha}{2^{n+1}}$. On a montré par récurrence que \begin{center} \shadowbox{ $\forall n\in\Nn^*,\;v_n=b\prod_{k=1}^{n}\cos\frac{\alpha}{2^k}\;\mbox{et}\;u_n=v_n\cos\frac{\alpha}{2^n}.$ } \end{center} Pour tout entier naturel non nul $n$, on a $v_n>0$ et $\frac{v_{n+1}}{v_n}=\cos\frac{\alpha}{2^{n+1}}<1$. La suite $v$ est donc strictement décroissante. Ensuite, pour tout entier naturel non nul $n$, on a $u_n>0$ et $$\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{v_{n+1}}{v_n}\frac{\cos\frac{\alpha}{2^{n+1}}}{\cos\frac{\alpha}{2^n}} =\frac{\cos^2\frac{\alpha}{2^{n+1}}}{\cos\frac{\alpha}{2^n}} =\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{\cos\frac{\alpha}{2^n}}\right)>\frac{1}{2}(1+1)=1. $$ La suite $u$ est strictement croissante. Maintenant, pour $n\in\Nn^*$, \begin{align*} v_n&=b\prod_{k=1}^{n}\cos\frac{\alpha}{2^k}=b\prod_{k=1}^{n}\frac{\sin\frac{\alpha}{2^{k-1}}} {2\sin\frac{\alpha}{2^k}}\\ &=\frac{\sin\alpha}{2^n\sin\frac{\alpha}{2^n}} \end{align*} Donc, quand $n$ tend vers $+\infty$, $v_n\sim\frac{\sin\alpha}{2^n\frac{\alpha}{2^n}}=\frac{\sin\alpha}{\alpha}$, puis $u_n=v_n\cos\frac{\alpha}{2^n}\sim v_n\sim\frac{\sin\alpha}{\alpha}$. Ainsi, les suites $u$ et $v$ sont adjacentes de limite commune $b\frac{\sin\alpha}{\alpha}=\frac{\sqrt{b^2-a^2}}{\Arccos\left(\frac{a}{b}\right)}$. \fincorrection \correction{005226} \begin{enumerate} \item Pour $n\in\Nn^*$, $\left|\frac{\sin n}{n}\right|\leq\frac{1}{n}$. Comme $\frac{1}{n}\underset{n\rightarrow+\infty}{\longrightarrow}0$, $\frac{\sin n}{n}\underset{n\rightarrow+\infty}{\longrightarrow}0$. \begin{center} \shadowbox{ $\lim_{n\rightarrow +\infty}\frac{\sin n}{n}=0$. } \end{center} \item Quand $n$ tend vers $+\infty$, $\ln\left(\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\right)=n\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)\sim n\times \frac{1}{n}=1$. Donc, $\ln\left(\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\right)$ tend vers $1$ puis, $\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=e^{n\ln(1+1/n)}$ tend vers $e^1=e$. \begin{center} \shadowbox{ $\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=e$. } \end{center} \item Pour $n\in\Nn^*$, posons $u_n=\frac{n!}{n^n}$. Pour $n$ entier naturel non nul, on a $$\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{(n+1)!}{n!}\times\frac{n^n}{(n+1)^{n+1}}=\left(\frac{n}{n+1}\right)^n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{-n}.$$ Donc, quand $n$ tend vers $+\infty$, $\frac{u_{n+1}}{u_n}=e^{-n\ln(1+1/n)}=e^{-n(1/n+o(1/n))}=e^{-1+o(1)}$. Ainsi, $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ tend vers $\frac{1}{e}=0.36...<1$. On sait alors que $\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=0$. \begin{center} \shadowbox{ $\lim_{n\rightarrow +\infty}\frac{n!}{n^n}=0$. } \end{center} \item Pour $n\geq1$, $\frac{(n+\frac{1}{2})^2-1}{(n-\frac{1}{2})^2}\leq u_n\leq\frac{(n+\frac{1}{2})^2}{(n-\frac{1}{2})^2-1}$. Or, $\frac{(n+\frac{1}{2})^2-1}{(n-\frac{1}{2})^2}$ et $\frac{(n+\frac{1}{2})^2}{(n-\frac{1}{2})^2-1}$ tendent vers $1$ quand $n$ tend vers $+\infty$ et donc, d'après le théorème de la limite par encadrement, la suite $u$ converge et a pour limite $1$. \begin{center} \shadowbox{ $\lim_{n\rightarrow +\infty}\frac{E\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)^2\right)}{E\left(\left(n-\frac{1}{2}\right)^2\right)}=1$. } \end{center} \item Quand $n$ tend vers $+\infty$, $\sqrt[n]{n^2}=e^{\frac{1}{n}\ln(n^2)}=e^{2\ln n/n}=e^{o(1)}$, et donc $\sqrt[n]{n^2}$ tend vers $1$. \begin{center} \shadowbox{ $\lim_{n\rightarrow +\infty}\sqrt[n]{n^2}=1$. } \end{center} \item $\sqrt{n+1}-\sqrt{n}=\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\rightarrow0$. \item $\frac{1}{n^3}\sum_{k=1}^{n}k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3}\sim\frac{2n^3}{6n^3}=\frac{1}{6}$. \item $\prod_{k=1}^{n}2^{k/2^k}=2^{\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{n}\frac{k}{2^{k-1}}}$. Pour $x$ réel, posons $f(x)=\sum_{k=1}^{n}kx^{k-1}$. $f$ est dérivable sur $\Rr$ en tant que polynôme et pour tout réel $x$, $$f(x)=\left(\sum_{k=1}^{n}x^k\right)'(x)=\left(\sum_{k=0}^{n}x^k\right)'(x).$$ Pour $x\neq1$, on a donc $$f(x)=\left(\frac{x^{n+1}-1}{x-1}\right)'(x)=\frac{(n+1)x^n(x-1)-(x^{n+1}-1)}{(x-1)^2}=\frac{nx^{n+1}-(n+1)x^n+1}{(x-1)^2}.$$ En particulier, $\sum_{k=1}^{n}\frac{k}{2^{k-1}}=f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{\frac{n}{2^{n+1}}-\frac{n+1}{2^n}+1}{(\frac{1}{2}-1)^2} \rightarrow4$ (d'après un théorème de croissances comparées). Finalement, $$\prod_{k=1}^{n}2^{k/2^k}\rightarrow2^{4/2}=4.$$ \end{enumerate} \fincorrection \correction{005227} Soit $n\in\Nn$. \begin{align*} \frac{1}{2\sqrt{n+u_n}}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}&\Leftrightarrow 2\sqrt{n+u_n}=\frac{1}{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}\Leftrightarrow2\sqrt{n+u_n}=\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\\ &4(n+u_n)=(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})^2\Leftrightarrow u_n=-n+\frac{1}{4}(2n+1+2\sqrt{n(n+1)})\\ &\Leftrightarrow u_n=\frac{1}{4}(-2n+1+2\sqrt{n(n+1)}) \end{align*} Par suite, quand $n$ tend vers $+\infty$, \begin{align*} u_n&=-\frac{n}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{2}\sqrt{n^2+n}= \frac{1}{4}+\frac{n}{2}\left(\sqrt{1+\frac{1}{n}}-1\right)=\frac{1}{4}+\frac{n}{2}\frac{1/n}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}+1}\\ &= \frac{1}{4}+\frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}+1}=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+o(1)=\frac{1}{2}+o(1). \end{align*} La suite $(u_n)$ converge et a pour limite $\frac{1}{2}$. \fincorrection \correction{005232} Supposons que la suite $(\sqrt[n]{v_n})$ tende vers le réel positif $\ell$. \begin{itemize} \item[\textbullet] Supposons que $0\leq\ell<1$. Soit $\varepsilon=\frac{1-\ell}{2}$. $\varepsilon$ est un réel strictement positif et donc, $\exists n_0\in\Nn/\;\forall n\in\Nn,(n\geq n_0\Rightarrow\sqrt[n]{v_n}<\ell+\frac{1-\ell}{2}=\frac{1+\ell}{2})$. Pour $n\geq n_0$, par croissance de la fonction $t\mapsto t^n$ sur $\Rr^+$, on obtient $|u_n|<\left(\frac{1+\ell}{2}\right)^n$. Or, $0<\frac{1+\ell}{2}<\frac{1+1}{2}=1$ et donc $\left(\frac{1+\ell}{2}\right)^n$ tend vers $0$ quand $n$ tend vers $+\infty$. Il en résulte que $u_n$ tend vers $0$ quand $n$ tend vers $+\infty$. \item[\textbullet] Supposons que $\ell>1$. $\exists n_0\in\Nn/\;\forall n\in\Nn,\;(n\geq n_0\Rightarrow\sqrt[n]{v_n}>\ell-\frac{\ell-1}{2}=\frac{1+\ell}{2})$. Mais alors, pour $n\geq n_0$, $|u_n|>\left(\frac{1+\ell}{2}\right)^n$. Or, $\frac{1+\ell}{2}>\frac{1+1}{2}=1$, et donc $\left(\frac{1+\ell}{2}\right)^n$ tend vers $+\infty$ quand $n$ tend vers $+\infty$. Il en résulte que $|u_n|$ tend vers $+\infty$ quand $n$ tend vers $+\infty$. \end{itemize} Soit, pour $\alpha$ réel et $n$ entier naturel non nul, $u_n=n^\alpha$. $\sqrt[n]{u_n}=e^{\alpha\frac{\ln n}{n}}$ tend vers $1$ quand $n$ tend vers $+\infty$, et ceci pour toute valeur de $\alpha$. Mais, si $\alpha<0$, $u_n$ tend vers $0$, si $\alpha=0$, $u_n$ tend vers $1$ et si $\alpha>0$, $u_n$ tend vers $+\infty$. Donc, si $\ell=1$, on ne peut rien conclure. \fincorrection \correction{005233} \begin{enumerate} \item Supposons $\ell>0$. Soit $\varepsilon$ un réel strictement positif, élément de $]0,\ell[$. $\exists n_0\in\Nn/\;\forall n\in\Nn,\;(n\geq n_0\Rightarrow0< \ell-\frac{\varepsilon}{2}<\frac{u_{n+1}}{u_n}<\ell+\frac{\varepsilon}{2})$. Pour $n>n_0$, puisque $u_n=\frac{u_n}{u_{n-1}}\frac{u_{n-1}}{u_{n-2}}\frac{u_{n-2}}{u_{n-3}}...\frac{u_{n_0+1}}{u_{n_0}}u_{n_0}$, on a $u_{n_0}\left(\ell-\frac{\varepsilon}{2}\right)^{n-n_0}\leq u_n\leq u_{n_0}\left(\ell+\frac{\varepsilon}{2}\right)^{n-n_0}$, et donc $$(u_{n_0})^{1/n}\left(\ell-\frac{\varepsilon}{2}\right)^{-n_0/n}\left(\ell-\frac{\varepsilon}{2}\right)\leq \sqrt[n]{u_n}\leq(u_{n_0})^{1/n}\left(\ell+\frac{\varepsilon}{2}\right)^{-n_0/n}\left(\ell+\frac{\varepsilon}{2}\right).$$ Maintenant, le membre de gauche de cet encadrement tend vers $\ell-\frac{\varepsilon}{2}$, et le membre de droite rend vers $\ell+\frac{\varepsilon}{2}$. Par suite, on peut trouver un entier naturel $n_1\geq n_0$ tel que, pour $n\geq n_1$, $(u_{n_0})^{1/n}\left(\ell-\frac{\varepsilon}{2}\right)^{-n_0/n}\left(\ell-\frac{\varepsilon}{2}\right)>\ell-\varepsilon$, et $(u_{n_0})^{1/n}\left(\ell+\frac{\varepsilon}{2}\right)^{-n_0/n}\left(\ell+\frac{\varepsilon}{2}\right)<\ell+\varepsilon$. Pour $n\geq n_1$, on a alors $\ell-\varepsilon<\sqrt[n]{u_n}<\ell+\varepsilon$. On a montré que $\forall\varepsilon>0,\;\exists n_1\in\Nn/\;(\forall n\in\Nn),\;(n\geq n_1\Rightarrow\ell-\varepsilon<\sqrt[n]{u_n}<\ell+\varepsilon)$. Donc, $\sqrt[n]{u_n}$ tend vers $\ell$. On traite de façon analogue le cas $\ell=0$. \item Soient $a$ et $b$ deux réels tels que $00$, \begin{align*} f'(x)&=\frac{x+1}{x+2}+\ln(x+2)+1+\ln x-\frac{2x+1}{x+1}-2\ln(x+1)\\ &=\frac{x+2-1}{x+2}+\ln(x+2)+1+\ln x-\frac{2x+2-1}{x+1}-2\ln(x+1)\\ &=-\frac{1}{x+2}+\frac{1}{x+1}+\ln x+\ln(x+2)-2\ln(x+1). \end{align*} De même, $f'$ est dérivable sur $]0,+\infty[$ et pour $x>0$, \begin{align*} f''(x)&=\frac{1}{(x+2)^2}-\frac{1}{(x+1)^2}+\frac{1}{x}+\frac{1}{x+2}-\frac{2}{x+1}\\ &=\frac{x(x+1)^2-x(x+2)^2+(x+1)^2(x+2)^2+x(x+1)^2(x+2)-2x(x+1)(x+2)^2}{x(x+1)^2(x+2)^2}\\ &=\frac{-2x^2-3x+(x^2+2x+1)(x^2+4x+4)+(x^2+2x)(x^2+2x+1)-2(x^2+x)(x^2+4x+4)}{x(x+1)^2(x+2)^2}\\ &=\frac{3x+4}{x(x+1)^2(x+2)^2}>0. \end{align*} $f'$ est strictement croissante sur $]0,+\infty[$ et donc, pour $x>0$, $$f'(x)<\lim_{t\rightarrow +\infty}f'(t)=\lim_{t\rightarrow +\infty}\left(-\frac{1}{t+2}+\frac{1}{t+1}+\ln\frac{t(t+2)}{(t+1)^2}\right)=0.$$ Donc, $f$ est strictement décroissante sur $]0,+\infty[$. Or, pour $x>0$, \begin{align*} f(x)&=(x+1)\ln(x+2)+x\ln x-(2x+1)\ln(x+1)\\ &=(x+(x+1)-(2x+1))\ln x+(x+1)\ln\left(1+\frac{2}{x}\right)-(2x+1)\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)\\ &=\ln\left(1+\frac{2}{x}\right)-\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)+2\frac{\ln\left(1+\frac{2}{x}\right)}{\frac{2}{x}}-2\frac{\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)}{\frac{1}{x}}. \end{align*} On sait que $\lim_{u\rightarrow 0}\frac{\ln(1+u)}{u}=1$, et donc, quand $x$ tend vers $+\infty$, $f(x)$ tend vers $0+0+2-2=0$. Comme $f$ est strictement décroissante sur $]0,+\infty[$, pour tout réel $x>0$, on a $f(x)>\lim_{t\rightarrow +\infty}f(t)=0$. f est donc strictement positive sur $]0,+\infty[$. Ainsi, $\forall n\in\Nn^*,\;f(n)>0$ et donc $\frac{u_{n+1}}{u_n}=e^{f(n)}>1$. La suite $u$ est strictement croissante. (Remarque. On pouvait aussi étudier directement la fonction $x\mapsto\left(1+\frac{1}{x}\right)^x$ sur $]0,+\infty[$.) On montre de manière analogue que la suite $v$ est strictement décroissante. Enfin, puisque $u_n$ tend vers $e$, et que $v_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)u_n$ tend vers $e$, les suites $u$ et $v$ sont adjacentes. (Remarque. En conséquence, pour tout entier naturel non nul $n$, $\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\frac{1}{\sqrt{n+1}}-\frac{2}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n+1}}=0.$$ De même, $$v_{n+1}-v_n=\frac{1}{\sqrt{n+1}}-2\sqrt{n+1}+2\sqrt{n}=\frac{1}{\sqrt{n+1}}-\frac{2}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}<\frac{1}{\sqrt{n+1}}-\frac{2}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n+1}}=0.$$ La suite $u$ est strictement croissante et la suite $v$ est strictement décroissante. Enfin, $$v_n-u_n=2\sqrt{n+1}-2\sqrt{n}=\frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}},$$ et la suite $v-u$ converge vers $0$. Les suites $u$ et $v$ sont ainsi adjacentes et donc convergentes, de même limite. \fincorrection \correction{005241} L'égalité proposée est vraie pour $n=2$ car $\cos\frac{\pi}{2^2}=\cos\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$. Soit $n\geq2$. Supposons que $\cos(\frac{\pi}{2^{n}})=\frac{1}{2}\sqrt{2+\sqrt{2+...\sqrt{2}}}$ ($n-1$ radicaux). Alors, puisque $\cos(\frac{\pi}{2^{n+1}})>0$ (car $\frac{\pi}{2^{n+1}}$ est dans $]0,\frac{\pi}{2}[$), $$\cos(\frac{\pi}{2^{n+1}})=\sqrt{\frac{1+\cos(\frac{\pi}{2^{n}})}{2}}=\sqrt{\frac{1}{2}(1+\frac{1}{2}\sqrt{2+\sqrt{2+...\sqrt{2}}})}=\frac{1}{2}\sqrt{2+\sqrt{2+...\sqrt{2}}},\;(n\;\mbox{radicaux}).$$ On a montré par récurrence que, pour $n\geq2$, $\cos(\frac{\pi}{2^{n}})=\frac{1}{2}\sqrt{2+\sqrt{2+...\sqrt{2}}}$ ($n-1$ radicaux). Ensuite, pour $n\geq2$, $$\sin(\frac{\pi}{2^{n}})=\sqrt{\frac{1}{2}(1-\cos(\frac{\pi}{2^{n-1}})}=\frac{1}{2}\sqrt{2-\sqrt{2+...\sqrt{2}}}\;(n-1\;\mbox{radicaux})$$ Enfin, $$2^n\sqrt{2-\sqrt{2+...\sqrt{2}}}=2^n.2\sin\frac{\pi}{2^{n+1}}\sim2^{n+1}\frac{\pi}{2^{n+1}}=\pi.$$ Donc, $\lim_{n\rightarrow +\infty}2^n\sqrt{2-\sqrt{2+...\sqrt{2}}}=\pi$. \fincorrection \correction{005242} \begin{enumerate} \item Pour $x$ réel positif, posons $f(x)=x-\ln(1+x)$ et $g(x)=(x+1)\ln(x+1)-x$. $f$ et $g$ sont dérivables sur $[0,+\infty[$ et pour $x>0$, on a $$f'(x)=1-\frac{1}{x+1}=\frac{x}{x+1}>0,$$ et $$g'(x)=\ln(x+1)+1-1=\ln(x+1)>0.$$ $f$ et $g$ sont donc strictement croissantes sur $[0,+\infty[$ et en particulier, pour $x>0$, $f(x)>f(0)=0$ et de même, $g(x)>g(0)=0$. Finalement, $f$ et $g$ sont strictement positives sur $]0,+\infty[$ ou encore, $$\forall x>0,\;\ln(1+x)m>A$. On a montré que $\forall A\in\Rr,\;\exists n_0\in\Nn/\;(\forall n\in\Nn),\;(n\geq n_0\Rightarrow f(n)>A)$ ou encore $\lim_{n\rightarrow +\infty}f(n)=+\infty$. \fincorrection \correction{005247} \begin{enumerate} \item Posons $a=\frac{2p\pi}{q}$ où $p\in\Zz$, $q\in\Nn^*$ et $\mbox{PGCD}(p,q)=1$. Pour tout entier naturel $n$, on a $$u_{n+q}=\cos\left((n+q)\frac{2p\pi}{q}\right)=\cos\left(n\frac{2p\pi}{q}+2p\pi\right)=\cos(na)=u_n.$$ La suite $u$ est donc $q$-périodique et de même la suite $v$ est $q$-périodique. Maintenant, une suite périodique converge si et seulement si elle est constante (en effet, soient $T$ une période strictement positive de $u$ et $\ell$ la limite de $u$. Soit $k\in\{0,...,T-1\}$. $|u_k-u_0|=|u_{k+nT}-u_{nT}|\rightarrow|\ell-\ell|=0$ quand $n$ tend vers l'infini). Or, si $a=\frac{2p\pi}{q}$ où $p\in\Zz$, $q\in\Nn^*$, $\mbox{PGCD}(p,q)=1$ et $\frac{p}{q}\in\Zz$, alors $u_1\neq u_0$ et la suite $u$ n'est pas constante et donc diverge, et si $a\in2\pi\Zz$, la suite $u$ est constante et donc converge. \item (a) et b)) Pour tout entier naturel $n$, $$v_{n+1}=\sin((n+1)a)=\sin(na)\cos a+\cos(na)\sin a=u_n\sin a+v_n\cos a.$$ Puisque $\frac{a}{2\pi}\notin\Zz$, $\sin a\neq0$ et donc $u_n=\frac{v_{n+1}-v_n\cos a}{\sin a}$. Par suite, si $v$ converge alors $u$ converge. De même, à partir de $\cos((n+1)a)=\cos(na)\cos a-\sin(na)\sin a$, on voit que si $u$ converge alors $v$ converge. Les suites $u$ et $v$ sont donc simultanément convergentes ou divergentes. Supposons que la suite $u$ converge, alors la suite $v$ converge. Soient $\ell$ et $\ell'$ les limites respectives de $u$ et $v$. D'après ce qui précède, $\ell$ et $\ell'$ sont solutions du système~: $$\left\{ \begin{array}{l} \ell\sin a+\ell'\cos a=\ell'\\ \ell\cos a-\ell'\sin a=\ell. \end{array} \right.\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} \ell\sin a+\ell'(\cos a-1)=0\\ \ell(\cos a-1)-\ell'\sin a=0. \end{array} \right..$$ Le déterminant de ce système vaut $-\sin^2a-(\cos a-1)^2<0$ car $a\notin2\pi\Zz$. Ce système admet donc l'unique solution $\ell=\ell'=0$ ce qui contredit l'égalité $\ell^2+{\ell'}^2=1$. Donc, les suites $u$ et $v$ divergent. \item \begin{enumerate} \item Soit $E'=\{na+2k\pi,\;n\in\Nn,\;k\in\Zz\}$. Supposons que $E'$ est dense dans $\Rr$ et montrons que $\{u_n,\;n\in\Nn\}$ et $\{v_n,\;n\in\Nn\}$ sont dense dans $[-1,1]$. Soient $x$ un réel de $[-1,1]$ et $b=\Arccos x$, de sorte que $b\in[0,\pi]$ et que $x=\cos b$. Soit $\varepsilon>0$. Pour $n$ entier naturel et $k$ entier relatif donnés, on a~: \begin{align*}\ensuremath |u_n-x|&=|\cos(na)-\cos b|=|\cos(na+2k\pi)-\cos b|=2|\sin(\frac{na+2k\pi-b}{2})\sin(\frac{na+2k\pi+b}{2})|\\ &\leq2\left|\frac{na+2k\pi-b}{2}\right|\;(\mbox{l'inégalité}\;|\sin x|\leq|x|\;\mbox{valable pour tout réel}\;x\;\mbox{est classique})\\ &=|na+2k\pi-b| \end{align*} En résumé, $\forall k\in\Zz,\;\forall n\in\Nn,\;|u_n-x|\leq|na+2k\pi-b|$. Maintenant, si $E'$ est dense dans $\Rr$, on peut trouver $n\in\Nn$ et $k\in\Zz|$ tels que $|na+2k\pi-b|<\varepsilon$ et donc $|u_n-x|<\varepsilon$. Finalement, $\{u_n,\;n\in\Nn\}$ est dense dans $[-1,1]$. De même, on montre que $\{v_n,\;n\in\Nn\}$ est dense dans $[-1,1]$. Il reste donc à démontrer que $E'$ est dense dans $\Rr$. \item Soit $E=\{na+2k\pi,\;n\in\Zz,\;k\in\Zz\}$. $E$ est un sous groupe non nul de $(\Rr,+)$ et donc est soit de la forme $\alpha\Zz$ avec $\alpha=\mbox{inf}(E\cap]0,+\infty[)>0$, soit dense dans $\Rr$ si $\mbox{inf}(E\cap]0,+\infty[)=0$. Supposons par l'absurde que $\mbox{inf}(E\cap]0,+\infty[)>0$. Puisque $E=\alpha\Zz$ et que $2\pi$ est dans $E$, il existe un entier naturel non nul $q$ tel que $2\pi=q\alpha$, et donc tel que $\alpha=\frac{2\pi}{q}$. Mais alors, $a$ étant aussi dans $E$, il existe un entier relatif $p$ tel que $a=p\alpha=\frac{2p\pi}{q}\in2\pi\Qq$. Ceci est exclu et donc, $E$ est dense dans $\Rr$. \item Soit $x$ dans $[-1,1]$. D'après ce qui précède, pour $\varepsilon>0$ donné, il existe $n\in\Zz$ tel que $|\cos(na)-x|<\varepsilon$ et donc $|u_{|n|}-x|<\varepsilon$, ce qui montre que $\{u_n,\;n\in\Nn\}$ est dense dans $[-1,1]$. De même, $\{v_n,\;n\in\Nn\}$ est dense dans $[-1,1]$. \end{enumerate} \end{enumerate} \fincorrection \correction{005250} La suite $u$ n'est pas majorée. Donc, $\forall M\in\Rr,\;\exists n\in\Nn/\;u_n> M$. En particulier, $\exists n_0\in\Nn/\;u_{n_0}\geq0$. Soit $k=0$. Supposons avoir construit des entiers $n_0$, $n_1$,..., $n_k$ tels que $n_0n_k,\;u_nn_k/\;u_{n_{k+1}}\geq k+1$. On vient de construire par récurrence une suite $(u_{n_k})_{k\in\Nn}$ extraite de la suite $u$ telle que $\forall k\in\Nn,\;u_{n_k}\geq k$ et en particulier telle que $\lim_{k\rightarrow +\infty}u_{n_k}=+\infty$. \fincorrection \correction{005251} Si $u$ converge vers un réel $\ell$, alors $\ell\in[0,1]$ puis, par passage à la limite quand $n$ tend vers $+\infty$, $\ell(1-\ell)\geq\frac{1}{4}$, et donc $(\ell-\frac{1}{2})^2\leq0$ et finalement $\ell=\frac{1}{2}$. Par suite, si $u$ converge, $\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=\frac{1}{2}$. De plus, puisque la suite $u$ est à valeurs dans $]0,1[$, pour $n$ naturel donné, on a~: $$u_n(1-u_n)=\frac{1}{4}-(\frac{1}{2}-u_n)^2\leq\frac{1}{4}0$, on a donc $\forall n\in\Nn,\;u_n0,$$ et la suite $(un)$ est strictement croissante. De plus, pour $n\geq2$, $$u_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k^2}=1+\sum_{k=2}^{n}\frac{1}{k^2}<1+\sum_{k=2}^{n}\frac{1}{k(k-1)}=1+\sum_{k=2}^{n}(\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k})=1+1-\frac{1}{n}<2.$$ La suite $(u_n)$ est croissante et est majorée par $2$. Par suite, la suite $(u_n)$ converge vers un réel inférieur ou égal à $2$. \item Pour $x$ élément de $[0,\frac{\pi}{2}]$, posons $f(x)=x-\sin x$ et $g(x)=\tan x-x$. $f$ et $g$ sont dérivables sur $[0,\frac{\pi}{2}]$ et pour $x$ élément de $[0,\frac{\pi}{2}]$, $f'(x)=1-\cos x$ et $g'(x)=\tan^2x$. $f'$ et $g'$ sont strictement positives sur $]0,\frac{\pi}{2}]$ et donc strictement croissantes sur $[0,\frac{\pi}{2}]$. Comme $f(0)=g(0)=0$, on en déduit que $f$ et $g$ sont strictement positives sur $]0,\frac{\pi}{2}[$. Donc, $\forall x\in]0,\frac{\pi}{2}[,\;0<\sin x 0$ et $P (1\slash 2) = - 3 \slash 8 < 0$ il en r\'esulte gr\^ace au th\'eor\`eme des valeurs interm\'ediaires qu'il existe un r\'eel unique $\alpha \in ]0,1\slash 2[$ tel que $P (\alpha) = 0.$ \item Comme $ f (x) - x = (x^{3} - 3 x + 1) \slash 9$ il en r\'esulte que $\alpha$ est l'unique solution de l'\'equation $f (x) = x$ dans $]0,1\slash 2[.$ \item Comme $f' (x) = (x^{2} +2)\slash 3 > 0$ pour tout $x \in \R,$ on en d\'eduit que $f$ est strictement croissante sur $\R.$ Comme $f (0) = 1 \slash 9$ et $\lim_{x \to + \infty} f (x) = + \infty,$ on en d\'eduit que $ f (\R^{+}) = [1\slash 9 , + \infty[.$ Comme $x_{1} = f (x_{0}) = 1 \slash 9 > 0$ alors $x_1 > x_0=0$ ; $f$ étant strictement croissante sur $\R^{+},$ on en d\'eduit par r\'ecurrence que $x_{n + 1} > x_{n}$ pour tout $n \in \N$ ce qui prouve que la suite $(x_{n})$ est croissante. \item Un calcul simple montre que $f (1 \slash 2) < 1 \slash 2.$ Comme $0 = x_{0} < 1 \slash 2$ et que $f$ est croissante on en d\'eduit par r\'ecurrence que $ x_{n} < 1 \slash 2$ pour tout $n \in \N$ (en effet si $x_n < 1/2$ alors $x_{n+1} = f(x_n) < f(1/2) < 1/2$). \item D'apr\`es les questions pr\'ec\'edentes, la suite $(x_{n})$ est croissante et major\'ee, elle converge donc vers un nombre r\'eel $\ell \in ]0, 1 \slash 2].$ De plus comme $x_{n + 1} = f (x_{n})$ pour tout $n \in \N,$ on en d\'eduit par continuit\'e de $f$ que $\ell = f (\ell).$ Comme $f (1 \slash 2) < 1\slash 2,$ On en d\'eduit que $\ell \in ]0, 1 \slash 2[$ et v\'erifie l'\'equation $f (\ell) = \ell.$ D'apr\`es la question 2, on en d\'eduit que $\ell = \alpha$ et donc $(x_{n}) $ converge vers $\alpha.$ \end{enumerate} \fincorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \correction{004703} \begin{enumerate} \item $u_n\searrow\sqrt a$, et $u_n-\sqrt a < \frac{a-\sqrt a}{(2\sqrt a)^{2^n-1}}$. \item $u_{2n}\to0$, $u_{2n+1}\to1$. \item Si $0\le u_0 \le 1$ : $u_n\searrow0$, sinon $u_n\searrow-\infty$. \item \begin{itemize} \item $\frac{1}{4} < \alpha$ : $u_n\to\infty$; \item $- \frac{3}{4} < \alpha \le \frac{1}{4}$: $u_n\to\frac{1-\sqrt{1-4a}}2$, \item $-1 < \alpha \le - \frac{3}{4}$: $1$ point fixe et deux points réciproques. $(u_n)$ ne converge pas. \end{itemize} \item Si $u_0 > {\scriptstyle-}\frac12$, $u_n\to\infty$; si $u_0 < {\scriptstyle-}\frac12$, $u_n\to-1$. \item $u_n\to\frac12$. \item Thm du point fixe sur $]-\infty, \frac74] \Rightarrow u_n\to 1$. \item Si $u_0\ne 1$, $\exists\ n \text{ tq } 4-3u_n < 0 \Rightarrow $ suite finie. \item $u_n\to\alpha \approx 0.39754$. \item 1 est point fixe, il y a deux points réciproques. $(u_n)$ ne converge pas. \item \begin{itemize} \item $1 < \alpha$: $u_n\to0$ si $u_0<1$, $u_n\to\infty$ si $u_0>1$ \item $-1 < \alpha <1$: $u_n\to 1$ \item $\alpha \le -1$: si $u_0 \ne 1$, $(u_n)$ diverge. \end{itemize} \item \begin{itemize} $e^{1/e} < \alpha$: $u_n\to\infty$. $1 < \alpha < e^{1/e}$: 2 pts fixes, $\beta<\gamma$. $u_n\to\beta$ si $u_0<\gamma$, et $u_n\to\infty$ si $u_0>\gamma$. $e^{-e} \le \alpha < 1$: 1 pt fixe, $\beta$, et $u_n\to\beta$. $\alpha < e^{-e}$: 1 point fixe et deux points réciproques. $(u_n)$ ne converge pas. \end{itemize} \end{enumerate} \fincorrection \correction{004704} CV (vers 0) ssi $|ka_0| < 1$. \fincorrection \nocorrection \correction{004706} $\ell = \frac{1+\sqrt5}2$. \fincorrection \correction{004707} $u_{n+1} = \sqrt{ u_n^2 + u_n } \ge u_n$. Il n'y a pas de point fixe. \fincorrection \nocorrection \nocorrection \correction{004710} $y_n-x_n = \text{cste} \Rightarrow x_n \to 0,\ y_n \to y_0-x_0$. \fincorrection \correction{004711} $y_n-x_n = \frac {y_0-x_0}{3^n}$ et $y_n+x_n = y_0 + x_0 \Rightarrow x_n,y_n \longrightarrow \frac {y_0 + x_0}2$. \fincorrection \correction{004712} $x_ny_n = \text{c}^{\text{te}} \Rightarrow x_n,y_n \to \sqrt{x_0y_0}$. \fincorrection \correction{004713} \begin{enumerate} \item \item $\ell = b\frac {\sin\varphi}{\varphi}$. \end{enumerate} \fincorrection \correction{004714} \begin{enumerate} \item $x^3+y^3+z^3 - 3xyz = \frac 12 (x+y+z)\bigl((x-y)^2 + (y-z)^2 + (z-x)^2\bigr)$. \item $3c_{n+1} - 3b_{n+1} = a_n + b_n + c_n - 3\sqrt[3]{a_nb_nc_n} \ge 0 \Rightarrow b_{n+1} \le c_{n+1}$.\par $\frac 3{a_{n+1}} - \frac 3{b_{n+1}} = \frac 1{a_n} + \frac 1{b_n} + \frac 1{c_n} - \frac 3{\sqrt[3]{a_nb_nc_n}} \ge 0 \Rightarrow a_{n+1} \le b_{n+1}$. \par Donc $(a_n)$ cro{\^\i}t et $(c_n)$ d{\'e}cro{\^\i}t : $a_n \longrightarrow a$, $b_n \longrightarrow b$, $c_n \longrightarrow c$ avec $\begin{cases} \frac 2a = \frac 1b + \frac 1c \cr b^2 = ac \cr 2c = a+b\cr\end{cases} \Rightarrow a=b=c$. \end{enumerate} \fincorrection \correction{004715} Pour $u_0>0$ on a $u_n\searrow0$ et pour $u_0<0$ on a $u_n\nearrow0$. $f'(0)=\frac12$ donc $u_{n+1}\sim\frac12u_n$ et la s{\'e}rie $\sum u_n$ converge absolument (d'Alembert). \fincorrection \correction{004716} L'ensemble des valeurs d'adh{\'e}rence de la suite est un intervalle dont tous les {\'e}l{\'e}ments sont points fixes par $f$. S'il y a plusieurs valeurs d'adh{\'e}rence il faut passer de l'une {\`a} l'autre avec une longueur de saut qui tend vers z{\'e}ro, on doit tomber sur point fixe entre les deux, contradiction. \fincorrection \correction{005228} \begin{enumerate} \item Calcul formel de $u_n$. Soit $x\in\Rr$. $\frac{x}{3-2x}=x\Leftrightarrow2x^2-2x=0\Leftrightarrow x=0\;\mbox{ou}\;x=1$. Pour $n$ entier naturel donné, on a alors $$\frac{u_{n+1}-1}{u_{n+1}}=\frac{\frac{u_n}{3-2u_n}-1}{\frac{u_n}{3-2u_n}}=\frac{3u_n-3}{u_n} =3\frac{u_n-1}{u_n}.$$ Par suite, $\frac{u_n-1}{u_n}=3^n\frac{u_0-1}{u_0}$, puis $u_n=\frac{u_0}{u_0-3^n(u_0-1)}$. \item Calcul formel de $u_n$. Soit $x\in\Rr$. $\frac{4(x-1)}{x}=x\Leftrightarrow x^2-4x+4=0\Leftrightarrow x=2$. Pour $n$ entier naturel donné, on a alors $$\frac{1}{u_{n+1}-2}=\frac{1}{\frac{4(u_n-1)}{u_n}-2}=\frac{u_n}{2(u_n-2)}=\frac{u_n-2+2}{2(u_n-2)}=\frac{1}{2}+\frac{1}{u_n-2}.$$ Par suite, $\frac{1}{u_n-2}=\frac{n}{2}+\frac{1}{u_0-2}$, puis $u_n=2+\frac{2(u_0-2)}{(u_0-2)n+2}$. \end{enumerate} \fincorrection \correction{005229} Pour tout entier naturel $n$, on a $\left\{ \begin{array}{l} u_{n+1}-u_n=\frac{1}{3}(v_n-u_n)\\ v_{n+1}-v_n=-\frac{1}{3}(v_n-u_n)\\ v_{n+1}-u_{n+1}=\frac{1}{3}(v_n-u_n) \end{array} \right.$. La dernière relation montre que la suite $v-u$ garde un signe constant puis les deux premières relations montrent que pour tout entier naturel $n$, $\mbox{sgn}(u_{n+1}-u_n)=\mbox{sgn}(v_n-u_n)$ et $\mbox{sgn}(v_{n+1}-v_n)=-\mbox{sgn}(v_n-u_n)$. Les suites $u$ et $v$ sont donc monotones de sens de variation opposés. Si par exemple $u_0\leq v_0$, alors, pour tout naturel $n$, on a~: $$u_0\leq u_n\leq u_{n+1}\leq v_{n+1}\leq v_n\leq v_0.$$ Dans ce cas, la suite $u$ est croissante et majorée par $v_0$ et donc converge vers un certain réel $\ell$. De même, la suite $v$ est décroissante et minorée par $u_0$ et donc converge vers un certain réel $\ell'$. Enfin, puisque pour tout entier naturel $n$, on a $u_{n+1}=\frac{2u_n+v_n}{3}$, on obtient par passage à la limite quand $n$ tend vers l'infini, $\ell=\frac{2\ell+\ell'}{3}$ et donc $\ell=\ell'$. Les suites $u$ et $v$ sont donc adjacentes. Si $u_0>v_0$, il suffit d'échanger les rôles de $u$ et $v$. \textbf{Calcul des suites $u$ et $v$.} Pour $n$ entier naturel donné, on a $v_{n+1}-u_{n+1}=\frac{1}{3}(v_n-u_n)$. La suite $v-u$ est géométrique de raison $\frac{1}{3}$. Pour tout naturel $n$, on a donc $v_n-u_n=\frac{1}{3^n}(v_0-u_0)$. D'autre part, pour $n$ entier naturel donné, $v_{n+1}+u_{n+1}=v_n+u_n$. La suite $v+u$ est constante et donc, pour tout entier naturel $n$, on a $v_n+u_n=v_0+u_0$. En additionnant et en retranchant les deux égalités précédentes, on obtient pour tout entier naturel $n$~: $$u_n=\frac{1}{2}\left(v_0+u_0+\frac{1}{3^n}(v_0-u_0)\right)\;\mbox{et}\;v_n=\frac{1}{2}\left(v_0+u_0-\frac{1}{3^n}(v_0-u_0)\right).$$ En particulier, $\ell=\ell'=\frac{u_0+v_0}{2}$. \fincorrection \correction{005230} Pour tout entier naturel $n$, on a $u_{n+1}-v_{n+1}=-\frac{1}{2}(u_n-v_n)$ et donc, $u_n-v_n=\left(-\frac{1}{2}\right)^n(u_0-v_0)$. De même, en échangeant les rôles de $u$, $v$ et $w$, $v_n-w_n=\left(-\frac{1}{2}\right)^n(v_0-w_0)$ et $w_n-u_n=\left(-\frac{1}{2}\right)^n(w_0-v_0)$ (attention, cette dernière égalité n'est autre que la somme des deux premières et il manque encore une équation). On a aussi, $u_{n+1}+v_{n+1}+w_{n+1}=u_n+v_n+w_n$ et donc, pour tout naturel $n$, $u_n+v_n+w_n=u_0+v_0+w_0$. Ainsi, $u_n$, $v_n$ et $w_n$ sont solutions du système $$\left\{ \begin{array}{l} v_n-u_n=\left(-\frac{1}{2}\right)^n(v_0-u_0)\\ \rule{0mm}{7mm}w_n-u_n=\left(-\frac{1}{2}\right)^n(w_0-u_0)\\ \rule{0mm}{4mm}u_n+v_n+w_n=u_0+v_0+w_0 \end{array} \right..$$ Par suite, pour tout entier naturel $n$, on a $$\left\{ \begin{array}{l} u_n=\frac{1}{3}\left((u_0+v_0+w_0)+\left(-\frac{1}{2}\right)^n(2u_0-v_0-w_0)\right)\\ v_n=\frac{1}{3}\left((u_0+v_0+w_0)+\left(-\frac{1}{2}\right)^n(-u_0+2v_0-w_0)\right)\\ w_n=\frac{1}{3}\left((u_0+v_0+w_0)+\left(-\frac{1}{2}\right)^n(-u_0-v_0+2w_0)\right) \end{array} \right..$$ Les suites $u$, $v$ et $w$ convergent vers $\frac{u_0+v_0+w_0}{3}$. \fincorrection \correction{005231} Montrons tout d'abord que~: $$\forall(x,y,z)\in]0,+\infty[^3,\;(x\leq y\leq z\Rightarrow\frac{3}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}}\leq\sqrt[3]{xyz}\leq\frac{x+y+z}{3}).$$ Posons $m=\frac{x+y+z}{3}$, $g=\sqrt[3]{xyz}$ et $h=\frac{3}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}}$. Soient $y$ et $z$ deux réels strictement positifs tels que $y\leq z$. Pour $x\in]0,y]$, posons \begin{center} $u(x)=\ln m-\ln g=\ln\left(\frac{x+y+z}{3}\right)-\frac{1}{3}\left(\ln x+\ln y+\ln z\right)$. \end{center} $u$ est dérivable sur $]0,y]$ et pour $x\in]0,y]$, $$u'(x)=\frac{1}{x+y+z}-\frac{1}{3x}\leq\frac{1}{x+x+x}-\frac{1}{3x}=0.$$ $u$ est donc décroissante sur $]0,y]$ et pour $x$ dans $]0,y]$, $u(x)\geq u(y)=\ln\left(\frac{2y+z}{3}\right)-\frac{1}{3}(2\ln y+\ln z)$. Soit $z$ un réel strictement positif fixé. Pour $y\in]0,z]$, posons $v(y)=\ln\left(\frac{2y+z}{3}\right)-\frac{1}{3}(2\ln y+\ln z)$. $v$ est dérivable sur $]0,z]$ et pour $y\in]0,z]$, $$v'(y)=\frac{2}{2y+z}-\frac{2}{3z}\leq\frac{2}{3z}-\frac{2}{3z}=0.$$ $v$ est donc décroissante sur $]0,z]$ et pour $y$ dans $]0,z]$, on a $v(y)\geq v(z)=0$. On vient de montrer que $g\leq m$. En appliquant ce résultat à $\frac{1}{x}$, $\frac{1}{y}$ et $\frac{1}{z}$, on obtient $\frac{1}{g}\leq\frac{1}{h}$ et donc $h\leq g$. Enfin, $m\leq\frac{z+z+z}{3}=z$ et $h\geq\frac{3}{\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{x}}=x$. Finalement, \begin{center} \shadowbox{ $x\leq h\leq g\leq m\leq z.$ } \end{center} Ce résultat préliminaire étant établi, puisque $0\alpha$, alors par récurrence, $\forall n\in\Nn,\;u_n>\alpha$. Soit $x\geq-1$. Si $x\in[-1,0]$, $\sqrt{1+x}-x\geq0$ et si $x\geq0$, \begin{align*}\ensuremath \mbox{sgn}(g(x))&=\mbox{sgn}(\sqrt{1+x}-x)\\ &=\mbox{sgn}((1+x)-x^2)\quad(\mbox{par croissance de}\;x\mapsto x^2\;\mbox{sur}\;[0,+\infty[)\\ &=\mbox{sgn}(x+\frac{\sqrt{5}-1}{2})(-x+\frac{1+\sqrt{5}}{2}-x)=\mbox{sgn}(\alpha-x)\;(\mbox{car ici}\;x\geq0). \end{align*} On en déduit que, si $x\in[-1,\alpha[$, $f(x)>x$, et si $x\in]\alpha,+\infty[$, $f(x)u_n.$$ La suite $u$ est donc strictement croissante, majorée par $\alpha$ et donc convergente. On sait de plus que sa limite est nécessairement $\alpha$. Si $u_0>\alpha$, puisque $\forall n\in\Nn,\;u_n>\alpha$, pour $n$ entier naturel donné, on a $$u_{n+1}=f(u_n)0$, alors puisque $f$ est définie sur l'intervalle $I=]0,+\infty[$ et que $I$ est stable par $f$ ($\forall x>0,\;\ln(1+x)>\ln1=0$), la suite $u$ est définie et est strictement positive. Si la suite $u$ converge, sa limite $\ell$ est un réel positif \textbf{ou nul}. Par continuité de $f$ sur $[0,+\infty[$ et donc en $\ell$, $$\ell=\lim_{n\rightarrow +\infty}u_{n+1}=\lim_{n\rightarrow +\infty}f(u_n)=f(\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n)=f(\ell).$$ Pour $x>-1$, posons $g(x)=\ln(1+x)-x$. $g$ est définie et dérivable sur $]-1,+\infty[$ et pour $x>-1$, $$g'(x)=\frac{1}{1+x}-1=-\frac{x}{1+x}.$$ $g'$ est strictement positive sur $]-1,0[$ et strictement négative sur $]0,+\infty[$. $g$ est donc strictement croissante sur $]-1,0]$ et strictement décroissante sur $[0,+\infty[$. Par suite, si $x\in]-1,0[\cup]0,+\infty[$, $g(x)<0$. En particulier, pour $x\in]-1,0[\cup]0,+\infty[$, $f(x)\neq x$. Puisque $f(0)=0$, $f$ admet dans $]-1,+\infty[$ un et un seul point fixe à savoir $0$. En résumé, si $u_0>0$, la suite $u$ est définie, strictement positive, et de plus, si la suite $u$ converge, alors $\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=0$. Mais, pour $n$ entier naturel donné, $$u_{n+1}-u_n=\ln(1+u_n)-u_n<0.$$ Par suite, la suite $u$ est strictement décroissante, minorée par $0$ et donc, d'après ce qui précède, converge vers $0$. Si $u_0=0$, la suite $u$ est constante. Il reste donc à étudier le cas où $u_0\in]-1,0[$. Montrons par l'absurde qu'il existe un rang $n_0$ tel que $u_{n_0}\leq-1$. Dans le cas contraire, $\forall n\in\Nn,\;u_n>-1$. Comme précédemment, par récurrence, la suite $u$ est à valeurs dans $]-1,0[$ et strictement décroissante. Etant minorée par $-1$, la suite $u$ converge vers un certain réel $\ell$. Puisque $\forall n\in\Nn,\;-10$ et $g(1)=\cos1-1<0$. $g$ s'annule donc une et une seule fois sur $[0,1]$ en un certain réel $\alpha$. Ainsi, $f$ admet sur $[0,1]$ un unique point fixe, à savoir $\alpha$. Puisque $f$ est continue sur le segment $[0,1]$, on sait que si la suite $u$ converge, c'est vers $\alpha$. La fonction $f~:~x\mapsto\cos x$ est dérivable sur $[0,1]$ et pour $x\in[0,1]$, $$|f'(x)|=|-\sin x|\leq\sin1<1.$$ L'inégalité des accroissements finis montre alors que $\forall(x,y)\in[0,1]^2,\;|\cos x-\cos y|\leq\sin1|x-y|$. Pour $n$ entier naturel donné, on a alors $$|u_{n+1}-\alpha|=|f(u_n)-f(\alpha)|\leq\sin1|u_n-\alpha|,$$ et donc, pour tout entier naturel $n$, $$|u_n-\alpha|\leq(\sin1)^n|u_0-\alpha|\leq(\sin1)^n.$$ Comme $0\leq\sin1<1$, la suite $(\sin1)^n$ converge vers $0$, et donc la suite $(u_n)_{n\in\Nn}$ converge vers $\alpha$. On peut noter que puisque la fonction $x\mapsto\cos x$ est strictement décroissante sur $[0,1]$, les deux suites $(u_{2n})_{n\in\Nn}$ et $(u_{2n+1})_{n\in\Nn}$ sont strictement monotones, de sens de variations contraires (dans le cas où $u_0\in[0,1]$. On peut noter également que si $n>\frac{\ln(10^{-2})}{\ln(\sin1)}=26,6...$, alors $(\sin1)^n<10^{-2}$. Par suite, $u_{27}$ est une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-2}$ près. La machine fournit $\alpha=0,73...$ (et même $\alpha=0,739087042.....$). $$\includegraphics{../images/img005425-4}$$ \item Si $u_0$ est un réel quelconque, alors $\forall n\in\Nn^*,\;u_n\in[-1,1]$. On supposera sans perte de généralité que $u_0\in[-1,1]$. Si $u_0=0$, la suite $u$ est constante et d'autre part, l'étude du cas $u_0\in[-1,0[$ se ramème, comme en 3), à l'étude du cas $u_0\in]0,1]$. On supposera dorénavant que $u_0\in]0,1]$. Si $x\in]0,1]$, alors $2x\in]0,2]\subset]0,\pi[$ et donc $\sin(2x)\in]0,1]$. L'intervalle $I=]0,1]$ est donc stable par la fonction $f~:~x\mapsto\sin(2x)$. On en déduit que $\forall n\in\Nn,\;u_n\in]0,1]$. Pour $x\in[0,1]$, posons $g(x)=\sin(2x)-x$. $g$ est dérivable sur $[0,1]$ et pour $x\in[0,1]$, $g'(x)=2\cos(2x)-1$. $g$ est donc strictement croissante sur $[0,\frac{\pi}{4}]$ et strictement décroissante sur $[\frac{\pi}{4},1]$. On en déduit que si $x\in]0,\frac{\pi}{4}]$, $g(x)>g(0)=0$. D'autre part, $g$ est continue et strictement décroissante sur $[\frac{\pi}{4},1]$ et vérifie $g(\frac{\pi}{4})=1-\frac{\pi}{4}>0$ et $g(1)=\sin2-1<0$. $g$ s'annule donc une et une seule fois en un certain réel $\alpha\in]\frac{\pi}{4},1[$. En résumé, $g$ s'annule une et une seule fois sur $]0,1]$ en un certain réel $\alpha\in]\frac{\pi}{4},1[$, $g$ est strictement positive sur $]0,\alpha[$ et strictement négative sur $]\alpha,1]$. Supposons que $u_0\in]0,\frac{\pi}{4}[$ et montrons par l'absurde que $\exists n_0\in\Nn/\;u_{n_0}\in[\frac{\pi}{4},1]$. Dans le cas contraire, tous les $u_n$ sont dans $]0,\frac{\pi}{4}[$. Mais alors, pour tout entier naturel $n$, $$u_{n+1}-u_n=f(u_n)-u_n=g(u_n)>0.$$ La suite $u$ est donc strictement croissante. Etant majorée par $\frac{\pi}{4}$, la suite $u$ converge. Comme $g$ est continue sur $[u_0,\frac{\pi}{4}]$ et que $\forall n\in\Nn,\;u_n\in[u_0,\frac{\pi}{4}]$, on sait que la limite de $u$ est un point fixe de $f$ élément de $[u_0,\frac{\pi}{4}]$. Mais l'étude de $g$ a montré que $f$ n'admet pas de point fixe dans cet intervalle ($u_0$ étant strictement positif). On aboutit à une contradiction. Donc, ou bien $u_0\in[\frac{\pi}{4},1]$, ou bien $u_0\in]0,\frac{\pi}{4}[$ et dans ce cas, $\exists n_0\in\Nn/\;u_{n_0}\in[\frac{\pi}{4},1]$. Dans tous les cas, $\exists n_0\in\Nn/\;u_{n_0}\in[\frac{\pi}{4},1]$. Mais alors, puisque $f([\frac{\pi}{4},1])=[\sin2,\sin\frac{\pi}{2}]\subset[\frac{\pi}{4},1]$ (car $\sin2=0,909...>0,785...=\frac{\pi}{4}$), pour tout entier $n\geq n_0$, $u_n\in[\frac{\pi}{4},1]$. Pour $x\in[\frac{\pi}{4},1]$, $|g'(x)|=|2\cos(2x)|\leq|2\cos2|$. L'inégalité des accroissements finis montre alors que $\forall n\geq n_0,\;|u_{n+1}-\alpha|\leq|2\cos2|.|u_n-\alpha|$, puis que $$\forall n\geq n_0,\;|u_n-\alpha|\leq|2\cos2|^{n-n_0}|u_{n_0}-\alpha|.$$ Comme $|2\cos2|=0,83...<1$, on en déduit que la suite $u$ converge vers $\alpha$. La machine donne par ailleurs $\alpha=0,947...$. $$\includegraphics{../images/img005425-5}$$ \item Pour $x\in\Rr$, $$x^2-2x+2=x\Leftrightarrow x^2-3x+2=0\Leftrightarrow(x-1)(x-2)=0\Leftrightarrow x=1\;\mbox{ou}\;x=2.$$ Donc, si la suite $u$ converge, ce ne peut être que vers $1$ ou $2$. Pour $n\in\Nn$, $$\begin{array}{l} u_{n+1}-u_n=(u_n^2-2u_n+2)-u_n=(u_n-1)(u_n-2)\quad(I)\\ u_{n+1}-1=u_n^2-2u_n+1=(u_n-1)^2\quad(II)\\ u_{n+1}-2=u_n^2-2u_n=u_n(u_n-2)\quad(III). \end{array} $$ \begin{itemize} \item[\textbf{1er cas.}] Si $u_0=1$ ou $u_0=2$, la suite $u$ est constante. \item[\textbf{2ème cas.}] Si $u_0\in]1,2[$, $(II)$ et $(III)$ permettent de montrer par récurrence que $\forall n\in\Nn,\;u_n\in]1,2[$. $(I)$ montre alors que la suite $u$ est strictement décroissante. Etant minorée par $1$, elle converge vers un réel $\ell\in[1,u_0]\subset[1,2[$. Dans ce cas, la suite $(u_n)$ converge vers $1$. \item[\textbf{3ème cas.}] Si $u_0\in]2,+\infty[$, $(III)$ permet de montrer par récurrence que $\forall n\in\Nn,\;u_n>2$. Mais alors, $(I)$ montre que la suite $u$ est strictement croissante. Si $u$ converge, c'est vers un réel $\ell\in[u_0,+\infty[\subset]2,+\infty[$. $f$ n'ayant pas de point fixe dans cet intervalle, la suite $u$ diverge et, $u$ étant strictement croissante, on a $\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=+\infty$. \item[\textbf{4ème cas.}] Si $u_0\in]0,1[$, alors $u_1=(u_0-1)^2+1\in]1,2[$ ce qui ramène au deuxième cas. La suite $u$ converge vers $1$. \item[\textbf{5ème cas.}] Si $u_0=0$, alors $u_1=2$ et la suite $u$ est constante à partir du rang $1$. Dans ce cas, la suite $u$ converge vers $2$. \item[\textbf{6ème cas.}] Si $u_0<0$, alors $u_1=u_n^2-2u_n+2>2$, ce qui ramène au troisième cas. La suite $u$ tend vers $+\infty$. \end{itemize} En résumé, si $u_0\in]0,2[$, la suite $u$ converge vers $1$, si $u_0\in\{0,2\}$, la suite $u$ converge vers $2$ et si $u_0\in]-\infty,0[\cup]2,+\infty[$, la suite $u$ tend vers $+\infty$. $$\includegraphics{../images/img005425-6}$$ \end{enumerate} \fincorrection \correction{005435} \begin{enumerate} \item Pour $x\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right]$, posons $f(x)=\sin x$. On a $f\left(\left]0,\frac{\pi}{2}\right]\right)=]0,1]\subset\left]0,\frac{\pi}{2}\right]$. Donc, puisque $u_0\in\left]0,\frac{\pi}{2}\right]$, on en déduit que $\forall n\in\Nn,\;u_n\in\left]0,\frac{\pi}{2}\right]$.\rule[-5mm]{0mm}{10mm} Il est connu que $\forall x\in\left]0,\frac{\pi}{2}\right]$, $\sin x0$. Donc, $\forall n\in\Nn^,\;\frac{u_{n+1}}{u_n}=e^{-u_n}<1$ et donc, puisque la suite $u$ est stritement positive, $u_{n+1} 0$. D'apr\`es l'\'egalit\'e pr\'ec\'edente pour $n\geqslant 0$, $u_{n+1}^2-a \geqslant 0$ et comme $ u_{n+1}$ est positif alors $u_{n+1}\geqslant \sqrt a$. Soit $n\geqslant 1$. Calculons le quotient de $u_{n+1}$ par $u_n$ : $\frac{ u_{n+1}}{ u_n} = \frac12\left(1+\frac{a}{u_n^2}\right)$ or $\frac{a}{u_n^2}\leqslant 1$ car $u_n \geqslant \sqrt a$. Donc $\frac{ u_{n+1}}{ u_n} \leqslant 1$ et donc $u_{n+1} \leqslant u_n $. La suite $(u_n)_{n\geqslant 1}$ est donc d\'ecroissante. \item La suite $(u_n)_{n\geqslant 1}$ est d\'ecroissante et minor\'ee par $\sqrt a$ donc elle converge vers une limite $\ell>0$. D'apr\`es la relation $$u_{n+1} = \frac12\left(u_n+\frac{a}{u_n}\right)$$ quand $n\rightarrow + \infty$ alors $u_n \rightarrow \ell$ et $u_{n+1} \rightarrow \ell$. \`A la limite nous obtenons la relation $$\ell = \frac12\left(\ell+\frac{a}{\ell}\right).$$ La seule solution positive est $\ell = \sqrt a$. Conclusion $(u_n)$ converge vers $\sqrt a$. \item La relation $$ u_{n+1}^2-a = \frac{(u_n^2-a)^2}{4u_n^2}$$ s'\'ecrit aussi $$ (u_{n+1}-\sqrt a)(u_{n+1}+\sqrt a) = \frac{(u_n-\sqrt a)^2(u_n+\sqrt a)^2}{4u_n^2}.$$ Donc \begin{align*} u_{n+1}-\sqrt a &= (u_n-\sqrt a)^2 \frac{1}{4(u_{n+1}+\sqrt a)}\left(\frac{u_n+\sqrt a}{u_n}\right)^2\\ &\leqslant (u_n-\sqrt a)^2 \frac{1}{4(2\sqrt a)}\left(1+\frac{\sqrt a}{u_n}\right)^2\\ &\leqslant (u_n-\sqrt a)^2 \frac{1}{2\sqrt a}\\ \end{align*} \item Par r\'ecurrence pour $n=1$, $u_1-\sqrt a \leqslant k$. Si la proposition est vraie rang $n$, alors \begin{align*} u_{n+1}-\sqrt a &\leqslant \frac{1}{2\sqrt a} (u_n-\sqrt a)^2 \\ &\leqslant \frac{1}{2\sqrt a} (2\sqrt a)^2\left(\left( \frac{k}{2\sqrt a} \right)^{2^{n-1}} \right)^2\\ &\leqslant 2\sqrt a \left( \frac{k}{2\sqrt a} \right)^{2^n}\\ \end{align*} \item Soit $u_0=3$, alors $u_1 = \frac12(3+\frac{10}{3}) = 3,166\ldots$. Comme $3\leqslant \sqrt{10} \leqslant u_1$ donc $u_1-\sqrt{10} \le 0.166\ldots$. Nous pouvons choisir $k=0,17$. Pour que l'erreur $u_n-\sqrt a$ soit inf\'erieure \`a $10^{-8}$ il suffit de calculer le terme $u_4$ car alors l'erreur (calcul\'ee par la formule de la question pr\'ec\'edente) est inf\'erieure \`a $1,53\times 10^{-10}$. Nous obtenons $u_4 = 3,16227766\ldots$ Bilan $\sqrt{10} = 3,16227766\ldots$ avec une précision de $8$ chiffres après la virgule. Le nombre de chiffres exacts double à chaque itération, avec $u_5$ nous aurions (au moins) $16$ chiffres exacts, et avec $u_6$ au moins $32$\ldots \end{enumerate} \fincorrection \correction{000570} \begin{enumerate} \item La suite $(u_n)$ est strictement croissante, en effet $u_{n+1}-u_n = \frac{1}{(n+1)!} > 0$. La suite $(v_n)$ est strictement d\'ecroissante : $$v_{n+1}-v_n = u_{n+1}-u_n + \frac{1}{(n+1)!}-\frac{1}{n!}= \frac{1}{(n+1)!}+ \frac{1}{(n+1)!}-\frac{1}{n!}= \frac{1}{n!}(\frac 2n-1).$$ Donc \`a partir de $n\geq 2$, la suite $(v_n)$ est strictement d\'ecroissante. \item Comme $u_n \leq v_n \leq v_2$, alors $(u_n)$ est une suite croissante et major\'ee. Donc elle converge vers $\ell \in \Rr$. De m\^eme $v_n \geq u_n \geq u_0$, donc $(v_n)$ est une suite d\'ecroissante et minor\'ee. Donc elle converge vers $\ell' \in \Rr$. De plus $v_n -u_n = \frac1{n!}$. Et donc $(v_n-u_n)$ tend vers $0$ ce qui prouve que $\ell=\ell'$. \item Supposons que $\ell \in \Qq$, nous \'ecrivons alors $\ell = \frac pq$ avec $p,q \in \Nn$. Nous obtenons pour $n\geq 2$: $$u_n \leq \frac pq \leq v_n.$$ Ecrivons cette \'egalit\'e pour $n=q$: $u_q \leq \frac pq \leq v_q$ et multiplions par $q!$: $q! u_q \leq q!\frac pq \leq q! v_q$. Dans cette double in\'egalit\'e toutes les termes sont des entiers ! De plus $v_q = u_q +\frac 1{q!}$ donc: $$q! u_q \leq q! \frac pq \leq q! u_q + 1.$$ Donc l'entier $q! \frac pq$ est \'egal \`a l'entier $q! u_q$ ou \`a $q! u_q + 1 = q! v_q$. Nous obtenons que $\ell = \frac pq$ est \'egal \`a $u_q$ ou \`a $v_q$. Supposons par exemple que $\ell = u_q$, comme la suite $(u_n)$ est strictement croissante alors $u_q < u_{q+1} < \cdots < \ell$, ce qui aboutit \`a une contradiction. Le m\^eme raisonnement s'applique en supposant $\ell = v_q$ car la suite $(v_n)$ est strictement d\'ecroissante. Pour conclure nous avons montré que $\ell$ n'est pas un nombre rationnel. \end{enumerate} En fait $\ell$ est le nombre $e = \exp(1)$. \fincorrection \correction{000571} \begin{enumerate} \item Si $u_0 \leqslant u_1$ alors comme $f$ est croissante $f(u_0)\leqslant f(u_1)$ donc $u_1 \leqslant u_2$, ensuite $f(u_1)\leqslant f(u_2)$ soit $u_2 \leqslant u_3$,... Par r\'ecurrence on montre que $(u_n)$ est d\'ecroissante. Comme elle est minor\'ee par $a$ alors elle converge. Si $u_0 \leqslant u_1$ alors la suite $(u_n)$ est croissante et major\'ee par $b$ donc converge. Notons $\ell$ la limite de $(u_n)_n$. Comme $f$ est continue alors $(f(u_n))$ tend vers $f(\ell)$. De plus la limite de $(u_{n+1})_n$ est aussi $\ell$. En passant \`a la limite dans l'expression $u_{n+1}=f(u_n)$ nous obtenons l'\'egalit\'e $\ell = f(\ell)$. \item La fonction $f$ définie par $f(x) = \frac{4x+5}{x+3}$ est continue et d\'erivable sur l'intervalle $[0,4]$ et $f([0,4])\subset [0,4]$. La fonction $f$ est croissante (calculez sa d\'eriv\'ee). Comme $u_0 = 4$ et $u_1= 3$ alors $(u_n)$ est d\'ecroissante. Calculons la valeur de sa limite $\ell$. $\ell$ est solution de l'\'equation $f(x)=x$ soit $4x+5=x(x+3)$. Comme $u_n \geqslant 0$ pour tout $n$ alors $\ell \geqslant 0$. La seule solution positive de l'équation du second degré $4x+5=x(x+3)$ est $\ell = \frac{1+\sqrt{21}}{2}=2,7912\ldots$ \item Si $f$ est d\'ecroissante alors $f\circ f$ est croissante (car $x\leqslant y \Rightarrow f(x)\geqslant f(y) \Rightarrow f\circ f(x)\leqslant f\circ f(y)$). Nous appliquons la premi\`ere question avec la fonction $f\circ f$. La suite $(u_0, u_2 = f\circ f(u_0),u_4 = f\circ f(u_2),\ldots)$ est monotone et convergente. De m\^eme pour la suite $(u_1, u_3 = f\circ f(u_1),u_5 = f\circ f(u_3),\ldots)$. \item La fonction $f$ définie par $f(x) = (1-x)^2$ est continue et d\'erivable de $[0,1]$ dans $[0,1]$. Elle est d\'ecroissante sur cet intervalle. Nous avons $u_0 = \frac12$, $u_1=\frac14$, $u_2=\frac{9}{16}$, $u_3 = 0,19\ldots$,... Donc la suite $(u_{2n})$ est croissante, nous savons qu'elle converge et notons $\ell$ sa limite. La suite $(u_{2n+1})$ et d\'ecroissante, notons $\ell'$ sa limite. Les limites $\ell$ et $\ell'$ sont des solutions de l'\'equation $f\circ f(x)=x$. Cette \'equation s'\'ecrit $(1-f(x))^2=x$, ou encore $(1-(1-x)^2)^2=x$ soit $x^2(2-x)^2=x$. Il y a deux solutions \'evidentes $0$ et $1$. Nous factorisons le polyn\^ome $x^2(2-x)^2-x$ en $x(x-1)(x-\lambda)(x-\mu)$ avec $\lambda$ et $\mu$ les solutions de l'\'equation $x^2-3x+1$ : $\lambda = \frac{3-\sqrt{5}}{2} = 0,3819\ldots$ et $\mu = \frac{3+\sqrt{5}}{2} > 1$. Les solutions de l'\'equation $f\circ f(x)=x$ sont donc $\{ 0,1,\lambda, \mu\}$. Comme $(u_{2n})$ est croissante et que $u_0 = \frac12$ alors $(u_{2n})$ converge vers $\ell=1$ qui est le seul point fixe de $[0,1]$ sup\'erieur \`a $\frac12$. Comme $(u_{2n+1})$ est d\'ecroissante et que $u_1 = \frac14$ alors $(u_{2n+1})$ converge vers $\ell'=0$ qui est le seul point fixe de $[0,1]$ inf\'erieur \`a $\frac14$. \end{enumerate} \fincorrection \correction{000572} \begin{enumerate} \item Soient $a,b >0$. On veut d\'emontrer que $\sqrt{ab}\leqslant \frac{a+b}{2}$. Comme les deux membres de cette in\'egalit\'e sont positifs, cette in\'egalit\'e est \'equivalente \`a $ ab\leqslant (\frac{a+b}{2})^2$. De plus, $$ ab\leqslant \left( \frac{a+b}{2}\right)^2 \Leftrightarrow 4ab\leqslant a^2+2ab+b$$ $$ \Leftrightarrow 0\leqslant a^2-2ab+b^2$$ ce qui est toujours vrai car $a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$ est un carr\'e parfait. On a donc bien l'in\'egalit\'e voulue. \item Quitte \`a \'echanger $a$ et $b$ (ce qui ne change pas les moyennes arithm\'etique et g\'eom\'etrique, et qui pr\'eserve le fait d'\^etre compris entre $a$ et $b$), on peut supposer que $a\leqslant b$. Alors en ajoutant les deux in\'egalit\'es $$a/2 \leqslant a/2 \leqslant b/2$$ $$a/2 \leqslant b/2 \leqslant b/2,$$ on obtient $$a\leqslant \frac{a+b}{2}\leqslant b.$$ De m\^eme, comme tout est positif, en multipliant les deux in\'egalit\'es $$\sqrt{a} \leqslant \sqrt{a} \leqslant \sqrt{b}$$ $$\sqrt{a} \leqslant \sqrt{b} \leqslant \sqrt{b}$$ on obtient $$a\leqslant \sqrt{ab} \leqslant b.$$ \item Il faut avant tout remarquer que pour tout $n$, $u_n$ et $v_n$ sont strictement positifs, ce qui permet de dire que les deux suites sont bien d\'efinies. On le d\'emontre par r\'ecurrence: c'est clair pour $u_0$ et $v_0$, et si $u_n$ et $v_n$ sont strictement positifs alors leurs moyennes g\'eom\'etrique (qui est $u_{n+1}$) et arithm\'etique (qui est $v_{n+1}$) sont strictement positives. \begin{enumerate} \item On veut montrer que pour chaque $n$, $u_n\leqslant v_n$. L'in\'egalit\'e est claire pour $n=0$ gr\^ace aux hypoth\`eses faites sur $u_0$ et $v_0$. Si maintenant $n$ est plus grand que 1, $u_{n}$ est la moyenne g\'eom\'etrique de $u_{n-1}$ et $v_{n-1}$ et $v_{n}$ est la moyenne arithm\'etique de $u_{n-1}$ et $v_{n-1}$, donc, par 1., $u_n\leqslant v_n$. \item On sait d'apr\`es 2. que $u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant v_n$. En particulier, $u_n\leqslant u_{n+1}$ i.e. $(u_n)$ est croissante. De m\^eme, d'apr\`es 2., $u_n\leqslant v_{n+1}\leqslant v_n$. En particulier, $v_{n+1}\leqslant v_n$ i.e. $(v_n)$ est d\'ecroissante. \item Pour tout $n$, on a $u_0\leqslant u_n\leqslant v_n\leqslant v_0$. $(u_n)$ est donc croissante et major\'ee, donc converge vers une limite $\ell$. Et $(v_n)$ est d\'ecroissante et minor\'ee et donc converge vers une limite $\ell'$. Nous savons maintenant que $u_{n} \rightarrow \ell$, donc aussi $u_{n+1} \rightarrow \ell$, et $v_{n} \rightarrow \ell'$ ; la relation $u_{n+1}=\sqrt{u_n v_n}$ s'écrit à la limite : $$\ell=\sqrt{\ell\ell'}.$$ De même la relation $v_{n+1}=\frac{u_n+v_n}{2}$ donnerait à la limite : $$\ell'=\frac{\ell+\ell'}{2}.$$ Un petit calcul avec l'une ou l'autre de ces égalités implique $\ell=\ell'$. \end{enumerate} \end{enumerate} Il y a une autre m\'ethode un peu plus longue mais toute aussi valable. {\bf D\'efinition} Deux suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont dites {\em adjacentes} si \begin{enumerate} \item $u_n\leqslant v_n$, \item $(u_n)$ est croissante et $(v_n)$ est d\'ecroissante, \item $\lim (u_n-v_n)=0$. \end{enumerate} Alors, on a le th\'eor\`eme suivant:\\ \textbf{Th\'eor\`eme} : Si $(u_n)$ et $(v_n)$ sont deux suites adjacentes, elles sont toutes les deux convergentes et ont la m\^eme limite. Pour appliquer ce th\'eor\`eme, vu qu'on sait d\'ej\`a que $(u_n)$ et $(v_n)$ v\'erifient les points 1 et 2 de la d\'efinition, il suffit de d\'emontrer que $\lim (u_n-v_n)=0$. On a d'abord que $v_n-u_n\geqslant 0$. Or, d'apr\`es (a) $$v_{n+1}-u_{n+1}{\le} v_{n+1}-u_n=\frac{v_n-u_n}{2}. $$ Donc, si on note $w_n= v_n-u_n$, on a que $0\leqslant w_{n+1}\leqslant w_n/2$. Donc, on peut d\'emontrer (par r\'ecurrence) que $0\leqslant w_n\le \frac{w_0}{2^n}$, ce qui implique que $\lim_{n\rightarrow\infty}w_n=0$. Donc $v_n-u_n$ tend vers 0, et ceci termine de d\'emontrer que les deux suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont convergentes et ont m\^eme limite en utilisant le th\'eor\`eme sur les suites adjacentes. \fincorrection \nocorrection \correction{000574} Notons $f_n : [0,1] \longrightarrow \Rr$ la fonction d\'efinie par : $$ f_n(x) = \sum_{k=1}^n x^k \ \ - 1.$$ \begin{enumerate} \item La fonction $f_n$ est continue sur $[0,1]$. De plus $f_n(0) = -1 < 0$ et $f_n(1) = n-1\geqslant 0$. D'apr\`es le th\'eor\`eme des valeurs interm\'ediaires, $f_n$, admet un z\'ero dans l'intervalle $[0,1]$. De plus elle strictement croissante (calculez sa d\'eriv\'ee) sur $[0,1]$ donc ce z\'ero est unique. \item Calculons $f_n(a_{n-1})$. \begin{align*} f_n(a_{n-1}) &= \sum_{k=1}^{n} a_{n-1}^k - 1 \\ &= a_{n-1}^n + \sum_{k=1}^{n-1} a_{n-1}^k - 1 \\ &= a_{n-1}^n + f_{n-1}(a_{n-1}) \\ &= a_{n-1}^n \text{\ \ (car $f_{n-1}(a_{n-1})=0$ par d\'efinition de $a_{n-1}$).} \end{align*} Nous obtenons l'in\'egalit\'e $$ 0 = f_n(a_n) < f_n(a_{n-1}) = a_{n-1}^n.$$ Or $f_n$ est strictement croissante, l'in\'egalit\'e ci-dessus implique donc $ a_n < a_{n-1}$. Nous venons de d\'emontrer que la suite $(a_n)_n$ est d\'ecroissante. Remarquons avant d'aller plus loin que $f_n(x)$ est la somme d'une suite g\'eom\'etrique : $$f_n(x) = \frac{1-x^{n+1}}{1-x}-2.$$ \'Evaluons maintenant $f_n(\frac12)$, \`a l'aide de l'expression pr\'ec\'edente $$f_n(\frac12) = \frac{1-(\frac12)^{n+1}}{1-{\frac12}}-2 = -\frac 1 {2^n} < 0.$$ Donc $ f_n(\frac12) < f_n(a_n)=0$ entra\^{\i}ne $\frac12 < a_n$. Pour r\'esumer, nous avons montré que la suite $(a_n)_n$ est strictement d\'ecroissante et minor\'ee par $\frac12$. \item Comme $(a_n)_n$ est d\'ecroissante et minor\'ee par $\frac12$ alors elle converge, nous notons $\ell$ sa limite : $$ \frac 12 \leqslant \ell < a_n.$$ Appliquons $f_n$ (qui est strictement croissante) \`a cette in\'egalit\'e : $$ f_n\left(\frac 12\right) \leqslant f_n(\ell) < f_n(a_n),$$ qui s'\'ecrit aussi : $$ -\frac 1 {2^n} \leqslant f_n(\ell) < 0,$$ et ceci quelque soit $n\geqslant 1$. La suite $(f_n(\ell))_n$ converge donc vers $0$ (th\'eor\`eme des ``gendarmes''). Mais nous savons aussi que $$f_n(\ell) = \frac{1-\ell^{n+1}}{1-\ell}-2 ;$$ donc $(f_n(\ell))_n$ converge vers $\frac{1}{1-\ell}-2$ car $(\ell^n)_n$ converge vers $0$. Donc $$\frac{1}{1-\ell}-2 = 0, \text{ d'o\`u } \ell = \frac12.$$ \end{enumerate} \fincorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \correction{005252} \begin{enumerate} \item Tout d'abord, pour $n\geq1$, $\frac{n-1}{n}$ existe et est élément de $[-1,1]$. Donc, $\Arccos\frac{n-1}{n}$ existe pour tout entier naturel non nul $n$. Quand $n$ tend vers $+\infty$, $\frac{n-1}{n}$ tend vers $1$ et donc $\Arccos\frac{n-1}{n}$ tend vers $0$. Mais alors, $$\Arccos\frac{n-1}{n}\sim\sin(\Arccos\frac{n-1}{n})=\sqrt{1-(\frac{n-1}{n})^2}=\frac{\sqrt{2n-1}}{n}\sim\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{n}}.$$ \item $\Arccos\frac{1}{n}$ tend vers $1$ et donc $\Arccos\frac{1}{n}\sim1$. \item $\ch(\sqrt{n})=\frac{1}{2}(e^{\sqrt{n}}+e^{-\sqrt{n}})\sim\frac{1}{2}e^{\sqrt{n}}$. \item $n\ln(1+\frac{1}{n})\sim n.\frac{1}{n}=1$ et donc, $\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=e^{n\ln(1+1/n)}$ tend vers $e$. Par suite, $\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\sim e$. \item $\Argch n$ existe pour $n\geq1$ et comme, pour $n\geq1$, $n^4+n^2-1\geq n^4>0$, $\frac{\Argch n}{\sqrt{n^4+n^2-1}}$ existe pour $n\geq1$. $$\Argch n=\ln(n+\sqrt{n^2-1})\sim\ln(n+n)=\ln(2n)=\ln n+\ln2\sim\ln n.$$ Donc, $\frac{\Argch n}{\sqrt{n^4+n^2-1}}\sim\frac{\ln n}{\sqrt{n^4}}=\frac{\ln n}{n^2}$. \item $-\sqrt{n}\ln(\sqrt{n}+1)=-\sqrt{n}\ln(\sqrt{n})-\sqrt{n}\ln(1+\frac{1}{\sqrt{n}})=-\sqrt{n}\ln(\sqrt{n})-\sqrt{n}(\frac{1}{\sqrt{n}}+o(\frac{1}{\sqrt{n}}))=-\sqrt{n}\ln(\sqrt{n})-1+o(1)$, et donc $$(1+\sqrt{n})^{-\sqrt{n}}=e^{-\sqrt{n}\ln(\sqrt{n})-1+o(1)}\sim e^{-\sqrt{n}\ln(\sqrt{n})-1}=\frac{1}{e}\frac{1}{\sqrt{n}^{\sqrt{n}}}.$$ \item $$\ln(\cos\frac{1}{n})(\ln\sin\frac{1}{n})\sim(\cos\frac{1}{n}-1)\ln(\frac{1}{n})\sim(-\frac{1}{2n^2})(-\ln n)=\frac{\ln n}{2n^2}.$$ \item $(\Arctan n)^{3/5}=(\frac{\pi}{2}-\Arctan\frac{1}{n})^{3/5}=(\frac{\pi}{2})^{3/5}(1-\frac{2}{\pi}(\frac{1}{n}+o(\frac{1}{n})))^{3/5}=(\frac{\pi}{2})^{3/5}(1-\frac{6}{5n\pi}+o(\frac{1}{n}))$, et donc $$(\frac{\pi}{2})^{3/5}-(\Arctan n)^{3/5}=(\frac{\pi}{2})^{3/5}(1-1+\frac{6}{5n\pi}+o(\frac{1}{n})) \sim(\frac{\pi}{2})^{3/5}\frac{6}{5n\pi}$$ \item Tout d'abord, pour $n\geq1$, $\left|\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}\right|=\frac{1}{\sqrt{n}}\leq 1$, et donc $1+\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}\geq0$, puis $\sqrt{1+\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}}-1$ existe. Ensuite, quand $n$ tend vers $+\infty$, $$\sqrt{1+\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}}-1\sim\frac{(-1)^n}{2\sqrt{n}}.$$ \end{enumerate} \fincorrection \correction{005253} Pour $n\geq2$, on a $$\frac{1}{n!}\sum_{k=0}^{n}k!=1+\frac{1}{n}+\sum_{k=0}^{n-2}\frac{k!}{n!}.$$ Mais, pour $0\leq k\leq n-2$, $\frac{k!}{n!}=\frac{1}{n(n-1)...(k+1)}\leq\frac{1}{n(n-1)}$ (le produit contenant au moins les deux premiers facteurs. Par suite, $$0\leq\sum_{k=0}^{n-2}\frac{k!}{n!}\leq\frac{n-2}{n(n-1)}.$$ On en déduit que $\sum_{k=0}^{n-2}\frac{k!}{n!}$ tend vers $0$ quand $n$ tend vers $+\infty$. Comme $\frac{1}{n}$ tend aussi vers $0$ quand $n$ tend vers $+\infty$, on en déduit que $\frac{1}{n!}\sum_{k=0}^{n}k!$ tend vers $1$ et donc que $$\sum_{k=0}^{n}k!\sim n!.$$ \fincorrection \correction{005254} \begin{enumerate} \item Soit $\varepsilon>0$. Les suites $u$ et $v$ sont équivalentes et la suite $v$ est strictement positive. Donc, il existe un rang $n_0$ tel que, pour $n\geq n_0$, $|u_n-v_n|<\frac{\varepsilon}{2}v_n$. Soit $n>n_0$. \begin{align*}\ensuremath \left|\frac{U_n}{V_n}-1\right|&=\frac{|U_n-V_n|}{V_n}\leq\frac{1}{V_n}\sum_{k=0}^{n}|u_k-v_k|\\ &\leq \frac{1}{V_n}(\sum_{k=0}^{n_0}|u_k-v_k|+\frac{\varepsilon}{2}\sum_{k=n_0+1}^{n}v_k)\\ &\leq\frac{1}{V_n}(\sum_{k=0}^{n_0}|u_k-v_k|+\frac{\varepsilon}{2}V_n)=\frac{1}{V_n}\sum_{k=0}^{n_0}|u_k-v_k|+\frac{\varepsilon}{2} \end{align*} Maintenant, l'expression $\sum_{k=0}^{n_0}|u_k-v_k|$ est constante quand $n$ varie, et d'autre part, $V_n$ tend vers $+\infty$ quand $n$ tend vers $+\infty$. On en déduit que $\frac{1}{V_n}\sum_{k=0}^{n_0}|u_k-v_k|$ tend vers $0$ quand $n$ tend vers $+\infty$. Par suite, il existe un rang $n_1>n_0$ tel que, pour $n\geq n_1$, $\frac{1}{V_n}\sum_{k=0}^{n_0}|u_k-v_k|<\frac{\varepsilon}{2}$. Pour $n\geq n_1$, on a alors $\left|\frac{U_n}{V_n}-1\right|<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon$. On a montré que $$\forall\varepsilon>0,\;\exists n_1\in\Nn/\;\forall n\in\Nn,\;(n\geq n_1\Rightarrow\left|\frac{U_n}{V_n}-1\right|<\varepsilon.$$ Ainsi, la suite $\frac{U_n}{V_n}$ tend vers $1$ quand $n$ tend vers $+\infty$ et donc $U_n\sim V_n$. \item $$2(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})=\frac{2}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\sim\frac{2}{2\sqrt{n}}=\frac{1}{\sqrt{n}}.$$ De plus, $$\sum_{k=1}^{n}2(\sqrt{k+1}-\sqrt{k})=2\sqrt{n+1}-2\sqrt{1}.$$ Cette dernière expression tend vers $+\infty$ quand $n$ tend vers $+\infty$. En résumé, pour $n\geq1$, $\frac{1}{\sqrt{n}}>0$, $2(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})>0$, de plus quand $n$ tend vers $+\infty$, $\frac{1}{\sqrt{n}}\sim2(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})$ et enfin, $\sum_{k=1}^{n}2(\sqrt{k+1}-\sqrt{k})$ tend vers $+\infty$ quand $n$ tend vers $+\infty$. D'après 1), $$\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{k}}\sim\sum_{k=1}^{n}2(\sqrt{k+1}-\sqrt{k})=2\sqrt{n+1}-2\sqrt{1}\sim2\sqrt{n}.$$ $$(n+1)\ln(n+1)-n\ln n=(n+1-n)\ln n+(n+1)\ln(1+\frac{1}{n})=\ln n+1+o(1)\sim\ln n.$$ Comme $\sum_{k=1}^{n}((k+1)\ln(k+1)-k\ln k)=(n+1)\ln(n+1)$ tend vers $+\infty$ et que les suites considéres sont positives, on en déduit que $$\ln(n!)=\sum_{k=1}^{n}\ln k\sim\sum_{k=1}^{n}((k+1)\ln(k+1)-k\ln k)=(n+1)\ln(n+1)\sim n\ln n.$$ \end{enumerate} \fincorrection \correction{005255} Pour $n\geq1$, posons $u_n=\frac{(-1)^n}{\ln n}+\frac{1}{n}$. On a alors \begin{align*} n(u_n+u_{n+1}-\frac{2}{n})&=1+\frac{n}{n+1}-2+n(-1)^n(\frac{1}{\ln n}-\frac{1}{\ln(n+1)})=\frac{(-1)^nn(\ln(n+1)-\ln n)}{\ln n\ln(n+1)}+o(1)\\ &=\frac{(-1)^nn\ln(1+1/n)}{\ln n\ln(n+1)}+o(1)=\frac{(-1)^n(1+o(1))}{\ln n\ln(n+1)}+o(1)=o(1). \end{align*} Donc, $n(u_n+u_{n+1}-\frac{2}{n})=o(1)$, ou encore $u_n+u_{n+1}=\frac{2}{n}+o(\frac{1}{n})$, ou enfin, $u_n+u_{n+1}\sim\frac{2}{n}$. Pourtant, $u_n$ est équivalent à $\frac{(-1)^n}{\ln n}$ et pas du tout à $\frac{1}{n}$ ($|nu_n|=\frac{n}{\ln n}\rightarrow+\infty$). Supposons maintenant que $u_n+u_{2n}\sim\frac{3}{2n}$ et montrons que $u_n\sim\frac{1}{n}$. On pose $v_n=u_n-\frac{1}{n}$. Il s'agit maintenant de montrer que $v_n=o(\frac{1}{n})$ sous l'hypothèse $v_n+v_{2n}=o(\frac{1}{n})$. Soit $\varepsilon>0$. Il existe $n_0\in\Nn$ tel que, pour $n\geq n_0$, $n|v_n+v_{2n}|<\frac{\varepsilon}{4}$. Soient $n\geq n_0$ et $p\in\Nn$. \begin{align*}\ensuremath |v_n|&=|v_n+v_{2n}-v_{2n}-v_{4n}+...+(-1)^p(v_{2^pn}+v_{2^{p+1}n})+(-1)^{p+1}v_{2^{p+1}n}| \leq\sum_{k=0}^{p}|v_{2^kn}+v_{2^{k+1}n}|+|v_{2^{p+1}n}|\\ &\frac{\varepsilon}{4}\sum_{k=0}^{p}\frac{1}{2^kn}+|v_{2^{p+1}n}|=\frac{\varepsilon}{4n}\frac{1-\frac{1}{2^{p+1}}}{1-\frac{1}{2}}+|v_{2^{p+1}n}|\\ &\leq\frac{\varepsilon}{2n}+|v_{2^{p+1}n}| \end{align*} Maintenant, la suite $u$ tend vers $0$, et il en est de même de la suite $v$. Par suite, pour chaque $n\geq n_0$, il est possible de choisir $p$ tel que $|v_{2^{p+1}n}|<\frac{\varepsilon}{2n}$. En résumé, si $n$ est un entier donné supérieur ou égal à $n_0$, $n|v_n|<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon$. On a montré que $$\forall\varepsilon>0,\;\exists n_0\in\Nn/\;\forall n\in\Nn,\;(n\geq n_0\Rightarrow|nv_n|<\varepsilon.$$ Par suite, $v_n=o(\frac{1}{n})$ et donc $u_n=\frac{1}{n}+o(\frac{1}{n})$, ou encore $u_n\sim\frac{1}{n}$. \fincorrection \correction{005256} \begin{enumerate} \item Il est immédiat que la suite $u$ est définie et à valeurs dans $[-1,\frac{\pi}{2}]$. Plus précisément, $u_0\in]0,\frac{\pi}{2}]$, et si pour $n\geq0$, $u_n\in]0,\frac{\pi}{2}]$, alors $u_{n+1}\in]0,1]\subset]0,\frac{\pi}{2}]$. On a montré par récurrence que, $\forall n\in\Nn,\;u_n\in]0,\frac{\pi}{2}]$. Montrons que pour tout réel $x\in]0,\frac{\pi}{2}]$, on a $\sin x>x$. Pour $x\in[0,\frac{\pi}{2}]$, posons $f(x)=x-\sin x$. $f$ est dérivable sur $[0,\frac{\pi}{2}]$ et pour $x\in[0,\frac{\pi}{2}]$, $f'(x)=1-\cos x$. Par suite, $f'$ est strictement positive sur $]0,\frac{\pi}{2}]$ et donc strictement croissante sur $[0,\frac{\pi}{2}]$. Mais alors, pour $x\in]0,\frac{\pi}{2}]$, on a $f(x)>f(0)=0$. Soit $n\in\Nn$. Puisque $u_n\in]0,\frac{\pi}{2}]$, on a $u_{n+1}=\sin(u_n)\frac{(x-1)+(2x-1)+...+(nx-1)}{n^2}=\frac{n(n+1)x/2-n}{n^2} =\frac{(n+1)x}{2n}-\frac{1}{n}.$$ Finalement, pour tout naturel non nul, $$\frac{(n+1)x}{2n}-\frac{1}{n}<\frac{E(x)+E(2x)+...+E(nx)}{n^2}\leq\frac{(n+1)x}{2n}.$$ Les deux membres extrêmes de cet encadrement tendent vers $\frac{x}{2}$ quand $n$ tend vers $+\infty$. D'après le théorème des gendarmes, on peut affirmer que \begin{center} \shadowbox{ $\forall x\in\Rr,\;\lim_{n\rightarrow +\infty}\frac{E(x)+E(2x)+...+E(nx)}{n^2}=\frac{x}{2}.$ } \end{center} \fincorrection \correction{005220} \begin{enumerate} \item Soit $\varepsilon>0$. Il existe un rang $n_0$ tel que, si $n\geq n_0$ alors $|u_n-\ell|<\frac{\varepsilon}{2}$. Soit $n$ un entier naturel strictement supérieur à $n_0$. \begin{align*} |v_n-\ell|&=\left|\frac{1}{n+1}\sum_{k=0}^{n}u_k-\ell\right|=\left|\frac{1}{n+1}\sum_{k=0}^{n}(u_k-\ell)\right|\\ &\leq\frac{1}{n+1}\sum_{k=0}^{n}|u_k-\ell|=\frac{1}{n+1}\sum_{k=0}^{n_0}|u_k-\ell|+\frac{1}{n+1}\sum_{k=n_0+1}^{n}|u_k-\ell|\\ &\leq\frac{1}{n+1}\sum_{k=0}^{n_0}|u_k-\ell|+\frac{1}{n+1}\sum_{k=n_0+1}^{n}\frac{\varepsilon}{2}\leq\frac{1}{n+1}\sum_{k=0}^{n_0}|u_k-\ell|+\frac{1}{n+1}\sum_{k=0}^{n}\frac{\varepsilon}{2}\\ &=\frac{1}{n+1}\sum_{k=0}^{n_0}|u_k-\ell|+\frac{\varepsilon}{2} \end{align*} Maintenant, $\sum_{k=0}^{n_0}|u_k-\ell|$ est une expression constante quand $n$ varie et donc, $\lim_{n\rightarrow +\infty}\frac{1}{n+1}\sum_{k=0}^{n_0}|u_k-\ell|=0$. Par suite, il existe un entier $n_1\geq n_0$ tel que pour $n\geq n_1$, $\frac{1}{n+1}\sum_{k=0}^{n_0}|u_k-\ell|<\frac{\varepsilon}{2}$. Pour $n\geq n_1$, on a alors $|v_n-\ell|<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon$. On a montré que $\forall\varepsilon>0,\;\exists n_1\in\Nn/\;(\forall n\in\Nn)(n\geq n_1\Rightarrow|v_n-\ell|<\varepsilon)$. La suite $(v_n)$ est donc convergente et $\lim_{n\rightarrow +\infty}v_n=\ell$. \begin{center} \shadowbox{ Si la suite $u$ converge vers $\ell$ alors la suite $v$ converge vers $\ell$. } \end{center} La réciproque est fausse. Pour $n$ dans $\Nn$, posons $u_n=(-1)^n$. La suite $(u_n)$ est divergente. D'autre part, pour $n$ dans $\Nn$, $\sum_{k=0}^{n}(-1)^k$ vaut $0$ ou $1$ suivant la parité de $n$ et donc, dans tous les cas, $|v_n|\leq\frac{1}{n+1}$. Par suite, la suite $(v_n)$ converge et $\lim_{n\rightarrow +\infty}v_n=0$. \item Si $u$ est bornée, il existe un réel $M$ tel que, pour tout naturel $n$, $|u_n|\leq M$. Pour $n$ entier naturel donné, on a alors $$|v_n|\leq\frac{1}{n+1}\sum_{k=0}^{n}|u_k|\leq\frac{1}{n+1}\sum_{k=0}^{n}M=\frac{1}{n+1}(n+1)M=M.$$ La suite $v$ est donc bornée. \begin{center} \shadowbox{ Si la suite $u$ est bornée alors la suite $v$ est bornée. } \end{center} La réciproque est fausse. Soit $u$ la suite définie par~:~$\forall n\in\Nn,\;u_n=(-1)^nE\left(\frac{n}{2}\right)= \left\{ \begin{array}{l} p\;\mbox{si}\;n=2p,\;p\in\Nn\\ -p\;\mbox{si}\;n=2p+1,\;p\in\Nn \end{array} \right.$. $u$ n'est pas bornée car la suite extraite $(u_{2p})$ tend vers $+\infty$ quand $p$ tend vers $+\infty$. Mais, si $n$ est impair, $v_n=0$, et si $n$ est pair, $v_n=\frac{1}{n+1}\times u_n=\frac{n}{2(n+1)}$, et dans tous les cas $|v_n|\leq\frac{1}{n+1}\frac{n}{2}\leq\frac{1}{n+1}\frac{n+1}{2}=\frac{1}{2}$ et la suite $v$ est bornée. \item Si $u$ est croissante, pour $n$ entier naturel donné on a~: \begin{align*} v_{n+1}-v_n&=\frac{1}{n+2}\sum_{k=0}^{n+1}u_k-\frac{1}{n+1}\sum_{k=0}^{n}u_k=\frac{1}{(n+1)(n+2)}\left((n+1)\sum_{k=0}^{n+1}u_k-(n+2)\sum_{k=0}^{n}u_k\right)\\ &=\frac{1}{(n+1)(n+2)}\left((n+1)u_{n+1}-\sum_{k=0}^{n}u_k\right)=\frac{1}{(n+1)(n+2)}\sum_{k=0}^{n}(u_{n+1}-u_k)\geq0. \end{align*} La suite $v$ est donc croissante. \begin{center} \shadowbox{ Si la suite $u$ est croissante alors la suite $v$ est croissante. } \end{center} \end{enumerate} \fincorrection \correction{005246} Pour $n$ naturel non nul et $x$ réel positif, posons $f_n(x)=x^n+x-1$. Pour $x\geq0$, $f_1(x)=0\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}$ et donc $u_1=\frac{1}{2}$. Pour $n\geq2$, $f_n$ est dérivable sur $\Rr^+$ et pour $x\geq 0$, $f_n'(x)=nx^{n-1}+1>0$. $f_n$ est ainsi continue et strictemnt croissante sur $\Rr^+$ et donc bijective de $\Rr^+$ sur $f_n(\Rr^+)=[f(0),\lim_{x\rightarrow +\infty}f_n(x)[=[-1,+\infty[$, et en particulier, $$\exists!x\in[0,+\infty[/\;f_n(x)=0.$$ Soit $u_n$ ce nombre. Puisque $f_n(0)=-1<0$ et que $f_n(1)=1>0$, par stricte croissance de $f_n$ sur $[0,+\infty[$, on a~: $$\forall n\in\Nn,\;00$. Soit $\theta=\Arcsin x$ (donc $\theta$ est élément de $[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$ et $x=\sin\theta$). Pour $k$ entier naturel non nul donné, il existe un entier $n_k$ tel que $\ln(n_k)\leq \theta+2k\pi<\ln(n_k+1)$ à savoir $n_k=E(e^{\theta+2k\pi})$. Mais, $$0<\ln(n_k+1)-\ln(n_k)=\ln(1+\frac{1}{n_k})<\frac{1}{n_k}$$ (d'après l'inégalité classique $\ln(1+x)0$, obtenue par exemple par l'étude de la fonction $f~:~x\mapsto\ln(1+x)-x$). Donc, $$0\leq\theta+2k\pi-\ln(n_k)<\ln(n_k+1)-\ln(n_k)<\frac{1}{n_k},$$ puis \begin{align*}\ensuremath |\sin(\theta)-\sin(\ln(n_k))|&=2|\sin(\frac{\theta+2k\pi-\ln(n_k)}{2})\cos(\frac{\theta+2k\pi+\ln(n_k)}{2})|\\ &\leq2\left|\frac{\theta+2k\pi-\ln(n_k)}{2}\right|=|\theta+2k\pi-\ln(n_k)|<\frac{1}{n_k}. \end{align*} Soit alors $\varepsilon$ un réel strictement positif. Puisque $n_k=E(e^{\theta+2k\pi})$ tend vers $+\infty$ quand $k$ tend vers $+\infty$, on peut trouver un entier $k$ tel que $\frac{1}{n_k}<\varepsilon$ et pour cet entier $k$, on a $|\sin\theta-\sin(\ln(n_k))|<\varepsilon$. On a montré que $\forall x\in[-1,1],\;\forall\varepsilon>0,\;\exists n\in\Nn^*/\;|x-\sin(\ln n)|<\varepsilon$, et donc $\{\sin(\ln n),\;n\in\Nn^*\}$ est dense dans $[-1,1]$. \fincorrection \correction{005249} Pour $\alpha\in]0,\pi[$, posons $f(\alpha)=\mbox{sup}_{n\in\Nn}(|\sin(n\alpha)|)$. $\{(\sin(n\alpha),\;n\in\Nn\}$ est une partie non vide et majorée (par $1$) de $\Rr$. Donc, pour tout réel $\alpha$ de $]0,\pi[$, $f(\alpha)$ existe dans $\Rr$. Si $\alpha$ est dans $[\frac{\pi}{3},\frac{2\pi}{3}]$, $$f(\alpha)=\mbox{sup}_{n\in\Nn}(|\sin(n\alpha)|)\geq\sin\alpha\geq\frac{\sqrt{3}}{2}=f(\frac{\pi}{3}).$$ Si $\alpha$ est dans $]0,\frac{\pi}{3}]$. Soit $n_0$ l'entier naturel tel que $(n_0-1)\alpha<\frac{\pi}{3}\leq n_0\alpha$ ($n_0$ existe car la suite $(n\alpha)_{n\in\Nn}$ est strictement croissante). Alors, $$\frac{\pi}{3}\leq n_0\alpha=(n_0-1)\alpha+\alpha<\frac{\pi}{3}+\alpha\leq\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{3}=\frac{2\pi}{3}.$$ Mais alors, $$f(\alpha)=\mbox{sup}_{n\in\Nn}(|\sin(n\alpha)|)\geq|\sin(n_0\alpha)|\geq\frac{\sqrt{3}}{2}=f(\frac{\pi}{3}).$$ Si $\alpha$ est dans $[\frac{2\pi}{3},\pi[$, on note que $$f(\alpha)=\mbox{sup}_{n\in\Nn}(|\sin(n\alpha)|)=\mbox{sup}_{n\in\Nn}(|\sin(n(\pi-\alpha)|)=f(\pi-\alpha)\geq f(\frac{\pi}{3}),$$ car $\pi-\alpha$ est dans $]0,\frac{\pi}{3}]$. On a montré que $\forall\alpha\in]0,\pi[,\;f(\alpha)\geq f(\frac{\pi}{3})=\frac{\sqrt{3}}{2}$. Donc, $\mbox{inf}_{\alpha\in]0,\pi[}(\mbox{sup}_{n\in\Nn}(|\sin(n\alpha)|))$ existe dans $\Rr$ et $$\mbox{inf}_{\alpha\in]0,\pi[}(\mbox{sup}_{n\in\Nn}(|\sin(n\alpha)|))= \mbox{Min}_{\alpha\in]0,\pi[}(\mbox{sup}_{n\in\Nn}(|\sin(n\alpha)|))=f(\frac{\pi}{3})=\frac{\sqrt{3}}{2}.$$ \fincorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \correction{001936} \smallskip \begin{enumerate} \item Pour $n \ge 4$ \[ \frac{n!}{n^n} = \frac{2}{n} \times \frac{3}{n} \times \underbrace{\frac{4}{n} \times \cdots\times\frac{n}{n}}_{\le 1} \le \frac{6}{n^2} . \] Or $\sum \frac{6}{n^2}$ est convergente. Donc $\sum \frac{n!}{n^n}$ est aussi convergente par comparaison. \item Montrons que $(\ch \sqrt{\ln n })^{-2} \ge \left(\sqrt n+\frac{1}{\sqrt{n}}\right)^{-2}$ pour $n$ assez grand. On a : \[ \begin{array}{rcl} 4\ln n & \le & \ln^{2}{n} \quad \text{pour $n$ assez grand} \\ \ln n & \le & \left(\frac{1}{2}\ln n \right)^{2} \\ \sqrt{\ln n} & \le & \frac{1}{2}\ln n = \ln{\sqrt{n}} \\ \mathrm{ch}(\sqrt{\ln n }) & \le & \mathrm{ch}(\ln{\sqrt{n}}) = \frac{1}{2} \left( \sqrt{n} + \frac{1}{\sqrt{n}} \right) \quad \text{car $ x \mapsto \mathrm{ch} x$ est croissante} \\ \mathrm{ch}(\sqrt{\ln n })^{-2} & \ge & 4 \left(\sqrt{n} + \frac{1}{\sqrt{n}} \right)^{-2} \end{array} \] Or $\sqrt{n} \sim \sqrt{n} + \frac{1}{\sqrt{n} }$, et $\left(\sqrt{n} + \frac{1}{\sqrt{n}} \right)^{-2} \sim \frac{1}{n}$, donc $\sum \left(\sqrt{n} + \frac{1}{\sqrt{n}} \right)^{2}$ est divergente. Par comparaison, la série de terme général $(\mathrm{ch}\sqrt{\ln n })^{2}$ est divergente. \item Montrons que $n^{-\left(1+\frac{1}{n}\right) } \sim n^{-1}$. On a : $\displaystyle \frac{ n^{-\left(1+\frac{1}{n}\right) } }{ n^{-1} } = n^{-\frac{1}{n}} = e^{-\frac{\ln n }{n}}$. Or $\lim_{n \to + \infty} \frac{\ln n }{n} = 0$, d'où $\lim_{n \to + \infty} e^{-\frac{\ln n }{n}} = 1$. Par équivalence, la série de terme général $n^{-\left(1+\frac{1}{n}\right) } $ est donc divergente car la série harmonique est divergente. \item Montrons que $\frac{1}{\sqrt{n}}\ln{\left(1+\frac{1}{\sqrt{n}}\right)} \sim \frac{1}{n}$. En utilisant le développement limité de $\ln (1 +x)$ en $0$, on a : $\ln \left(1+\frac{1}{\sqrt{n}}\right) = \frac{1}{\sqrt{n}} + o\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)$. De là on tire que $\frac{1}{\sqrt{n}}\ln{\left(1+\frac{1}{\sqrt{n}}\right)} \sim \frac{1}{\sqrt{n}} \times \frac{1}{\sqrt{n}} = \frac{1}{n}$. Par équivalence, la série de terme général $n^{-\left(1+\frac{1}{n}\right) }$ est donc divergente. \item On sait que : $\ln{(e^n-1)} \le \ln{e^n} = n$. De plus, $ \ln n \ge 1$ pour $n$ assez grand, par conséquent $\frac{\ln n}{\ln (e^n-1)} \ge \frac{1}{n}$. On conclut par comparaison que la série $\sum \frac{\ln n }{\ln{(e^n-1)}}$ est divergente. \item Montrons que $n^{\ln n }e^{-\sqrt{n}} \le n^{-2}$. On remarque que $ n^{\ln n }e^{-\sqrt{n}} = e^{(\ln n)^2}e^{-\sqrt{n}}$. Or pour $u$ assez grand $4u^2 + 4u \le e^u $, soit $4u^2 - e^u \le - 4u$. En posant $u = \ln \sqrt{n} = \frac{1}{2} \ln n$, il vient $\ln^2{n} - \sqrt{n} \le -2\ln n$. D'où \[ \underbrace{e^{\ln^2{n}-\sqrt{n}}}_{n^{\ln n }e^{-\sqrt{n}}} \le \underbrace{e^{-2\ln n }}_{\frac{1}{n^2}} \] Par comparaison, la série de terme général $n^{\ln n }e^{-\sqrt{n} }$ est donc convergente car la série de terme général $\frac{1}{n^2}$ est convergente. \end{enumerate} \medskip (\emph{Corrigé de Lévi Operman}) \fincorrection \correction{001937} \begin{itemize} \item Pour $p = 0$: \[ u_n = \frac{ 1! + 2! + \cdots + n! }{ n! } = 1 + \frac{ 1! + 2! + \cdots + (n-1)! }{ n! } > 1 \] $u_n$ ne tend pas vers $ 0 $ donc, $ \sum u_n $ diverge grossièrement pour $ p=0 $. \item Pour $p = 1$: \[ u_n = \frac{1}{ (n+1)! } + \frac{2!}{ (n+1)! } + \cdots + \frac{ (n-1)! }{ (n+1)! } + \frac{n!}{ (n+1)! } \] \[ u_n \geq \frac{n!}{ (n+1)! } = \frac{1}{ n + 1 } \cdotp \] Or $\sum \frac{1}{n + 1}$ diverge, donc $\sum u_n$ diverge pour $p = 1$ . \item Pour $p = 2$: \[ u_n = \frac{1}{ (n+2)! } + \frac{2!}{ (n+2)! } + \cdots + \frac{ (n-1)! }{ (n+2)! } + \frac{n!}{ (n+2)! } \] On serait tenté de dire que l'on a une somme de séries convergentes, donc $\sum u_n$ converge. Pas de chance, le nombre de terme croît en fonction de $n$, donc à l'infini, on en a une infinité et on ne peut rien conclure. \[ u_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{k!}{ (n + 2)!} = \sum_{k=1}^{n-1} \frac{k!}{(n + 2)!} + \frac{n!}{(n + 2)!} \leq \frac{n (n - 1)!}{(n + 2)!} + \frac{n!}{(n + 2)!} \] \[ u_n \leq 2\frac{n!}{(n + 2)!} = \frac{2}{(n + 1)(n + 2)} \sim \frac{2}{n^2} \] Or $\sum \frac{1}{n^2}$ converge, donc $\sum u_n$ converge pour $p = 2$. \item Pour $p \geq 3$: \[ u_n = \frac{ 1! + 2! + \cdots + n! }{( n + p)! } \leq \frac{ n \, n! }{ (n + p)! } = \frac{ n \, n! }{n! (n+1) \cdots (n+p) } \] En simplifiant par $ n! $ et en posant $ u_n \leq \frac{ n }{ (n+1) \cdots (n+p)}$ et \[ \frac{ n }{ (n+1) \cdots (n+p)} \thicksim \frac{n}{n^p} = \frac{1}{n^{p - 1}} \text{ avec } p \geq 3 \] Or $\sum \frac{1}{n^{p - 1}}$ est une série de Riemann convergente car $p-1 \geq 2$, donc $\sum u_n $ converge pour $p \geq 3$. Note: on peut aussi remarquer que $u_n$ (quand $p\geq3$) est majoré par $u_n$ (quand $p=2$), or ce dernier est convergent. \end{itemize} \medskip (\emph{Corrigé de Eugène Ndiaye}) \fincorrection \correction{001938} \begin{enumerate} \item Posons $S_n = \sum_{k=0}^{n} (k+1)3^{-k}$. L'idée est de calculer la somme de $(1-3^{-1})S_n$. On a ainsi: \begin{eqnarray*} (1-3^{-1})S_n & = & (1-3^{-1})\sum_{k=0}^{n} (k+1)3^{-k} \\ & = & \sum_{k=0}^{n} (k+1)3^{-k}-\sum_{k=0}^{n} (k+1)3^{-(k+1)} \\ & = & \sum_{k=0}^{n} k 3^{-k} + \sum_{k=0}^{n} 3^{-k} - \sum_{k=0}^{n} (k+1)3^{-(k+1)} {}\end{eqnarray*} En réindexant les sommes, on obtient: \begin{eqnarray*} (1-3^{-1})S_n & = & \sum_{k=1}^{n} k3^{-k} + \sum_{k=0}^{n} \left(\frac{1}{3}\right)^{k} - \sum_{k=1}^{n} k3^{-k} - (n+1)3^{-(n+1)}\\ & = & \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{3^k} - \frac{n+1}{3^{n+1}} = \cfrac{1 - \left(\frac{1}{3}\right)^{n+1}}{\frac{2}{3}} - \underbrace{\frac{n+1}{3^{n+1}}}_{\to 0} \end{eqnarray*} somme des termes d'une suite géométrique de raison $\frac{1}{3} \in ]-1,1[$. Et donc, \[ \lim_{n \to +\infty} \left(1-\frac{1}{3}\right)S_n = \cfrac{3}{2} \] d'où \[ \sum_{k=0}^{+\infty}(k+1)3^{-k} = \frac{9}{4} \, \cdotp \] Remarque: On reconnaît la série géométrique dérivée première de raison $\frac{1}{3}$. \item Posons $\displaystyle u_n = \frac{n}{n^4+n^2+1} $ et cherchons à la décomposer en éléments simples. \begin{eqnarray*} n^4 + n^2 + 1 &=& (n^4 + 2n^2 + 1) - n^2 = (n^2 + 1)^2 - n^2 \\ &=& (n^2 + n + 1)(n^2 - n + 1) {}\end{eqnarray*} d'où $ u_n = \frac{n}{ (n^2+n+1)(n^2-n+1) } $~. Trouvons maintenant $A$ et $B \in \mathbb{R}$ tel que $u_n = \frac{A}{n^2+n+1} + \frac{B}{n^2-n+1}$, soit tels que $A(n^2-n+1) + B(n^2+n+1) = n$, ce qui équivaut à $(A+B)n^2 + (B-A)n + (A+B) = n$. Par identification, on a: \[ \left\{ \begin{array}{r c l} A+B = 0\\ B-A = 1\\ A+B = 0 \end{array} \right. \iff \left\{ \begin{array}{r c l} A & = & -\frac{1}{2}\\ & & \\ B & = & \frac{1}{2} \end{array} \right. \] D'où: \[ u_n = \frac{n}{n^4+n^2+1} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{n^2-n+1} - \frac{1}{n^2+n+1} \right ) \] \[ \sum_{n=0}^{N} u_n = \sum_{n = 0}^{N} \frac{1}{2} \left( \frac{1}{n^2-n+1} - \frac{1}{n^2+n+1} \right) = \frac{1}{2} \left(\sum_{n = 0}^{N} \frac{1}{n^2-n+1} - \sum_{n = 0}^{N} \frac{1}{n^2+n+1} \right) \] Or $ n^2+n+1 = (n+1)^2 - (n+1) + 1 $. En réindexant la deuxième somme: \begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{N} u_n & = & \frac{1}{2} \left(\sum_{n = 0}^{N} \frac{1}{n^2-n+1} - \sum_{n = 1}^{N+1} \frac{1}{n^2-n+1} \right) \\ & = & \frac{1}{2} \left( 1 - \frac{1}{(N+1)^2 - (N+1) + 1} \right) \quad \text{par télescopage.} {}\end{eqnarray*} La série est donc convergente et la somme vaut \[ \sum_{n = 0}^{+\infty} \frac{n}{n^4+n^2+1} = \frac{1}{2} \,. \] \item Décomposons $\displaystyle v_n=\frac{2n-1}{n^3-4n}$ en éléments simples. Comme \[ n^3-4n = n(n^2-4) = n (n-2) (n + 2), \] cherchons $\alpha$, $\beta$ et $\gamma \in \mathbb{R}$ tels que: \[ v_n = \frac{\alpha}{n} + \frac{\beta}{n+2} + \frac{\gamma}{n-2} . \] Soit \begin{eqnarray*} 2n-1 & = & \alpha(n-2)(n+2) + \beta n(n-2) + \gamma n(n+2)\\ & = & (\alpha+\beta+\gamma) n^2 + (2\gamma-2\beta)n - 4\alpha {}\end{eqnarray*} Par identification: \[ \left\{ \begin{array}{r c l} \alpha + \beta + \gamma = 0\\ 2(\gamma - \beta) = 2\\ -4 \alpha = - 1 \end{array} \right. \Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{r c l} \alpha & = & \frac{1}{4}\\ \gamma & = & 1 + \beta \\ \alpha + 2\beta + 1 & = & 0 \end{array} \right. \Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{r c l} \alpha & = & \frac{1}{4}\\ \beta & = & - \frac{5}{8}\\ \gamma & = & \frac{3}{8} \end{array} \right. \] D'où \[ \frac{2n-1}{n^3-4n} = \frac{1}{4n} - \frac{5}{8(n+2)} + \frac{3}{8(n-2)} \] et \begin{eqnarray*} \sum_{n = 3}^{N} v_n & = & \sum_{n = 3}^{N} \left(\frac{1}{4n} - \frac{5}{8(n+2)} + \frac{3}{8(n-2)}\right) \\ & = & \sum_{n = 3}^{N}\frac{1}{4n} - \sum_{n = 3}^{N} \frac{5}{8(n+2)} + \sum_{n = 3}^{N} \frac{3}{8(n-2)} \,. {}\end{eqnarray*} Soit en réindexant les 2 dernières sommes: \[ \sum_{n = 3}^{N} v_n = \frac{1}{8} \left[2 \sum_{n=3}^{N} \frac{1}{n} - 5 \sum_{n=5}^{N+2} \frac{1}{n} + 3 \sum_{n=1}^{N-2} \frac{1}{n} \right] \] Puis, par télescopage, \[ \sum_{n = 3}^{N} v_n = \frac{1}{8} \left(\frac{89}{12} - \frac{3}{N-1} - \frac{3}{N} - \frac{5}{N+1} - \frac{5}{N+2}\right) \xrightarrow[n \to +\infty]{} \frac{89}{12} \, . \] Donc, la série converge et $\displaystyle \sum_{n = 3}^{+\infty} \frac{2n-1}{n^3-4n} = \frac{89}{96}$. \end{enumerate} \medskip (\emph{Corrigé d'Antoine Poulain}) \fincorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \correction{001949} Convergence de $W_n = \ln (u_n n^{b-a})$. On remarque que $W_n$ est la somme partielle de la suite de terme général \begin{eqnarray*} w_n &=& W_{n+1} - W_n = \ln \left[ \frac{ u_{n+1} }{ u_n } \left(\frac{n+1}{n}\right)^{b-a} \right] \\ &=& \ln \left[ \frac{ n + a }{ n + b } \left(\frac{n+1}{n}\right)^{b-a} \right] = \ln \left[ \frac{ n( 1+\frac{a}{n}) }{ n( 1+\frac{b}{n}) } \left(1+\frac{1}{n}\right)^{b-a} \right] \\ &=& (b-a) \ln \left( 1 + \frac{1}{n} \right) + \ln \left( 1 + \frac{a}{n} \right) - \ln \left( 1 + \frac{b}{n} \right) {}\end{eqnarray*} Il suffit donc de montrer que cette série converge pour montrer que $(W_n)$ converge. On utilise le développement limité de $\ln{( 1 + x )} $ en 0 , ce qui donne \[ w_n = (b-a)\left( \frac{1}{n} + O\left(\frac{1}{n^2}\right) \right) + \left(\frac{a}{n} + O\left(\frac{1}{n^2}\right)\right) - \left(\frac{b}{n} + O\left(\frac{1}{n^2}\right)\right) = O\left(\frac{1}{n^2}\right) . \] donc $\sum{w_n}$ est une série convergente et $(W_n)$ converge. Soit $\ell$ sa limite. Condition sur $a,b$ pour que $\sum u_n$ converge. On sait que $\lim \ln{u_n n^{b-a}} = \ell$ ; par composée des limites, $\lim u_n n^{b-a} = e^\ell$, donc $u_n \sim \frac{e^\ell}{n^{b-a}}$. Or $\sum \frac{1}{n^{b-a}} $ est une série de Riemann, qui converge si et seulement si $b-a > 1$. Ainsi, par équivalence, $\sum^{\infty}u_n $ converge si et seulement si $b-a > 1$. Calcul somme partielle de $s_n$. Par hypothèse $\frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{n+a}{n+b}$, d'où $[u_{n+1}( n+b )] = [u_n( n+a )]$ et \[ \sum_{j=0}^n[u_{j+1}( ( j+1 )+( b-1 ) )] = \sum_{j=0}^n[u_j( j+a ) ] \, . \] En effectuant un changement d'indice on a : \[ \sum_{j=1}^{n+1}[u_{j}( j+b-1 )] = \sum_{j=0}^n[u_j( j+a ) ] \] \[ \sum_{j=1}^{n}[u_{j}( j+b-1 )] + u_{n+1}( n+b ) = \sum_{j=1}^n[u_j( j+a ) ] + au_0 \] \[ u_{n+1}(n+b)-au_0=\sum_{j=1}^n[u_j(a-b+1)] \] Si $b-a \ne 1$, on obtient donc que $s_n = \frac{u_{n+1}(n+b)-a}{a-b+1}$. Valeur de la somme. On se place dans le cas où la série converge, i.e. $b-a>1$. Alors $\lim u_{n+1}(n+b) = 0$. On sait que $u_n\sim\frac{e^\ell}{n^{b-a}}$, de plus, $n+b\sim n$. Donc $u_{n+1}(n+b)\sim e^ln^{1+a-b}$. Or $1 + a - b < 0$, donc $\lim e^\ell n^{1+a-b} = 0$. Finalement \[ s_n = \frac{u_{n+1}(n+b)-a}{a-b+1} \xrightarrow[n \to +\infty]{} \frac{-a}{a-b+1} \] et on conclut que $\sum_{k=0}^\infty{u_n} = \frac{a}{b-a-1}$. \medskip (\emph{Corrigé de Lévi Operman}) \fincorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \correction{002722} Soit $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$ et $I_{(\alpha,\beta)} = \int_{0}^{\pi} (\alpha t + \beta t^2) \cos(nt) \, dt$. Une intégration par partie nous donne \[ I_{(\alpha,\beta)} = \underbrace{ \left[ (\alpha t + \beta t^2)\frac{\sin(nt)}{n} \right]_{0}^{\pi} }_{ = 0 } - \frac{1}{n} \int_{0}^{\pi} (\alpha + 2\beta t)\sin(nt)\, dt \] En faisant une intégration par partie sur la deuxième intégrale, on a: \begin{eqnarray*} I_{(\alpha,\beta)} &=& \left[ \frac{\alpha + 2\beta t}{n^2}\cos(nt) \right]_{0}^{\pi} + \int_{0}^{\pi} \frac{2\beta \cos(nt)}{n^2}\, dt \\ &=& \left( \frac{\alpha + 2\beta \pi}{n^2}\cos(n\pi) - \frac{\alpha}{n^2} \right) + \underbrace{ \frac{2\beta}{n^2} \left[ \frac{\sin(nt)}{n} \right]_{0}^{\pi} }_{ = 0} \; \cdotp \end{eqnarray*} On obtient $I_{(\alpha,\beta)} = \frac{\alpha + 2 \beta \pi}{n^2}\cos(n \pi) - \frac{\alpha}{n^2}$. \begin{eqnarray*} I_{(\alpha,\beta)} = \frac{1}{n^2} & \Longleftrightarrow & (\alpha + 2 \beta \pi) \underbrace{ \cos(n\pi) }_{ = (-1)^n} - \alpha = 1 \\ & \Longleftrightarrow & (\alpha + 2 \beta \pi)(-1)^n - (1 +\alpha) = 0 {}\end{eqnarray*} Donc pour tout $n\in \mathbb{N}$ \[ \left\{ \begin{array}{rcl} (\alpha + 2 \beta \pi)(-1)^n &=& 0 \\ (1 +\alpha) &=& 0 \end{array} \right. \] Ainsi en prenant $\alpha = -1$ et $\beta = \frac{1}{2\pi}$, on obtient: \[ I_{ (-1,\frac{1}{2\pi}) } = \int_{0}^{\pi} \left(-t + \frac{1}{2\pi} t^2 \right) \cos(nt)\, dt = \frac{1}{n^2} \; \cdotp \] D'où, \[ \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k^2} = \int_{0}^{\pi} \left(-t + \frac{1}{2\pi} t^2 \right) \sum_{k = 1}^{n}\cos(kt)\, dt \qquad \qquad (1) \] Or \begin{eqnarray*} \sum_{k = 1}^{n} \cos(kt) &=& \Re \left(\sum_{k = 0}^{n}e^{ikt}\right) - 1 = \cfrac{ \sin(\frac{n+1}{2}t)} { \sin(\frac{t}{2}) }\text{Re}(e^{i \frac{nt}{2} }) - 1 \\ &=& \cos \left( \frac{nt}{2} \right) \times \cfrac{ \sin( \frac{n}{2}t )\cos( \frac{t}{2} ) + \cos( \frac{n}{2}t )\sin( \frac{t}{2} ) } { \sin(\frac{t}{2}) } - 1 \\ &=& \cos \left( \frac{nt}{2} \right) \sin \left( \frac{nt}{2} \right) \cot \left( \frac{t}{2} \right) + \underbrace{ \cos^2 \left( \frac{nt}{2} \right) - 1 }_{ = -\sin^2(\frac{nt}{2}) } \end{eqnarray*} Donc $\sum_{k = 1}^{n} \cos(kt) = \frac{1}{2}\sin(nt)\cot \left( \frac{t}{2} \right) - \sin^2 \left( \frac{nt}{2} \right)$. En appliquant ce résultat à (1) on obtient: \[ \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k^2} = \int_{0}^{\pi} \frac{1}{2} \left(-t + \frac{t^2}{2\pi} \right) \sin(nt)\cot \left( \frac{t}{2} \right) \, dt - \int_{0}^{\pi} \left(-t + \frac{t^2}{2\pi} \right) \sin^2 \left(\frac{nt}{2} \right) \, dt \] En posant $ \phi (t) = (-t + \frac{1}{2\pi} t^2)\cot(\frac{t}{2}) $, on a: \[ \sum_{k = 1}^{+\infty} \frac{1}{k^2} = \lim_{n \to +\infty} \int_{0}^{\pi} \phi (t)\sin(nt)\, dt - \lim_{n \to +\infty}\int_{0}^{\pi} \left(-t + \frac{1}{2\pi} t^2 \right) \sin^2 \left(\frac{nt}{2} \right) \, dt \] Comme \[ (-t + \frac{1}{2\pi} t^2)\cot \frac{t}{2} = (-t + \frac{1}{2\pi} t^2) \cfrac{\cos \frac{t}{2}}{\sin \frac{t}{2}} \thicksim_{t \to 0} - t \cfrac{\cos \frac{t}{2}} {\frac{t}{2}} = - 2 \cos \frac{t}{2} \thicksim - 2 \] l'application $\phi$ se prolonge par continuité en $0$. Utilisons le résultat classique suivant: si $h$ est une fonction continue sur $[0, \pi]$, alors \[ \lim_{n \to +\infty} \int_{0}^{\pi} h(t)\sin(nt)\, dt = 0 \quad \text{ et } \quad \lim_{n \to +\infty} \int_{0}^{\pi} h(t)\cos(nt)\, dt = 0 \; . \] appliqué à $\phi$: $\lim_{n \to +\infty} \int_{0}^{\pi} \phi (t)\sin(nt)\, dt = 0$. De plus, \[ \int_{0}^{\pi} \left(-t + \frac{t^2}{2\pi} \right) \sin^2 \left(\frac{nt}{2} \right) \, dt = \int_{0}^{\pi} \left(-t + \frac{t^2}{2\pi} \right) \left(\frac{1 - \cos(nt)}{2} \right)\, dt \] par conséquent \[ \lim_{n \to +\infty} \int_{0}^{\pi} \left(-t + \frac{t^2}{2\pi} \right) \sin^2 \left( \frac{nt}{2} \right) \, dt = \int_{0}^{\pi} \frac{1}{2} \left( -t + \frac{t^2}{2\pi} \right) \, dt \; . \] Finalement \[ \sum_{k = 1}^{+\infty} \frac{1}{k^2} = - \int_{0}^{\pi} \frac{1}{2} \left(-t + \frac{t^2}{2\pi} \right) \, dt = -\frac{1}{2} \left( \left[ -\frac{t^2}{2} \right]_{0}^{\pi} + \frac{1}{2\pi} \left[ \frac{1}{3}t^3 \right]_{0}^{\pi} \right) = \frac{\pi^2}{4} - \frac{\pi^2}{12} = \frac{\pi^2}{6} \] \medskip (\emph{Corrigé de Eugène Ndiaye}) \fincorrection \nocorrection \nocorrection \correction{005108} Montrons par récurrence que $\forall n\geq1,\;\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)(k+2)}=\frac{n(n+3)}{4(n+1)(n+2)}$. \textbullet~Pour $n=1$, $\sum_{k=1}^{1}\frac{1}{k(k+1)(k+2)}=\frac{1}{6}=\frac{1\times(1+3)}{4\times(1+1)(1+2)}$ et la formule proposée est vraie pour $n=1$. Soit $n\geq1$. Supposons que $\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)(k+2)}=\frac{n(n+3)}{4(n+1)(n+2)}$ et montrons que $\sum_{k=1}^{n+1}\frac{1}{k(k+1)(k+2)}=\frac{(n+1)(n+4)}{4(n+2)(n+3)}$. \begin{align*} \sum_{k=1}^{n+1}\frac{1}{k(k+1)(k+2)}&=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)(k+2)}+\frac{1}{(n+1)(n+2)(n+3)}\\ &=\frac{n(n+3)}{4(n+1)(n+2)}+\frac{1}{(n+1)(n+2)(n+3)}\;(\mbox{par hypothèse de récurrence})\\ &=\frac{n(n+3)^2+4}{4(n+1)(n+2)(n+3)}=\frac{n^3+6n^2+9n+4}{4(n+1)(n+2)(n+3)}\\ &=\frac{(n+1)(n^2+5n+4)}{4(n+1)(n+2)(n+3)}=\frac{(n+1)(n+4)}{4(n+2)(n+3)} \end{align*} On a montré par récurrence que : \begin{center} \shadowbox{ $\forall n\geq1,\;\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)(k+2)}=\frac{n(n+3)}{4(n+1)(n+2)}.$ } \end{center} Démonstration directe. Pour $k\geq1$, $$\frac{1}{k(k+1)(k+2)}=\frac{1}{2}\frac{(k+2)-k}{k(k+1)(k+2)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{k(k+1)}-\frac{1}{(k+1)(k+2)}\right), $$ et donc, \begin{align*} \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)(k+2)}&=\frac{1}{2}(\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)}-\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{(k+1)(k+2)}) =\frac{1}{2}(\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)}-\sum_{k=2}^{n+1}\frac{1}{k(k+1)})\\ &=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{(n+1)(n+2)}\right)=\frac{n^2+3n}{4(n+1)(n+2)} =\frac{n(n+3)}{4(n+1)(n+2)} \end{align*} \fincorrection \correction{005109} \begin{enumerate} \item Montrons par récurrence que~:~$\forall n\geq1,\;\sum_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}$. Pour $n=1$, $\sum_{k=1}^{1}k=1=\frac{1\times(1+1)}{2}$. Soit $n\geq1$. Supposons que $\sum_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}$ et montrons que $\sum_{k=1}^{n+1}k=\frac{(n+1)(n+2)}{2}$. \begin{align*} \sum_{k=1}^{n+1}k&=\sum_{k=1}^{n}k+(n+1) =\frac{n(n+1)}{2}+(n+1)\;(\mbox{par hypothèse de récurrence})\\ &=(n+1)(\frac{n}{2}+1)=\frac{(n+1)(n+2)}{2} \end{align*} On a montré par récurrence que~: \begin{center} \shadowbox{ $\forall n\geq1,\;\sum_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}$. } \end{center} On peut donner plusieurs démonstrations directes. \begin{itemize} \item[\textbf{1ère demonstration.}] Pour $k\geq1$, $(k+1)^2-k^2=2k+1$ et donc $\sum_{k=1}^{n}((k+1)^2-k^2)=2\sum_{k=1}^{n}k+\sum_{k=1}^{n}1$ ce qui s'écrit $(n+1)^2-1=2\sum_{k=1}^{n}k+n$ ou encore $2\sum_{k=1}^{n}k=n^2+n$ ou enfin $\sum_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}$. \item[\textbf{2ème demonstration.}] On écrit $$\begin{array}{ccccccccccccc} 1&+&2&+&3&+&\ldots&+&(n-1)&+&n&=&S\\ n&+&(n-1)&+&(n-2)&+&\ldots&+&2&+&1&=&S \end{array} $$ et en additionnant (verticalement), on obtient $2S=(n+1)+(n+1)+\ldots+(n+1)=n(n+1)$ d'où le résultat. La même démonstration s'écrit avec le symbole sigma~:~ $$2S=\sum_{k=1}^{n}k+\sum_{k=1}^{n}(n+1-k)=\sum_{k=1}^{n}(k+n+1-k)=\sum_{k=1}^{n}(n+1)=n(n+1).$$ \item[\textbf{3ème demonstration.}] On compte le nombre de points d'un rectangle ayant $n$ points de large et $n+1$ points de long. Il y en a $n(n+1)$. Ce rectangle se décompose en deux triangles isocèles contenant chacun $1+2+...+n$ points. D'où le résultat. $$\begin{array}{ccccccccc} {*}& &{*}&{*}&\ldots& & &\ldots&{*}\\ {*}&{*}& &\ddots& & & & &\vdots\\ {*}&{*}&{*}& & & & & & \\ \vdots& & &\ddots& &\ddots& & &\vdots\\ & & & & & &{*}&{*}&{*}\\ \vdots& & & & &\ddots& &{*}&{*}\\ *&\ldots& & &\ldots&{*}&{*}& &{*} \end{array} $$ \item[\textbf{4ème démonstration.}] Dans le triangle de \textsc{Pascal}, on sait que pour $n$ et $p$ entiers naturels donnés, \begin{center} $C_n^p+C_n^{p+1}=C_{n+1}^{p+1}$. \end{center} Donc, pour $n\geq2$ (le résultat est clair pour $n=1$), $$1+2+...+n=1+\sum_{k=2}^{n}C_k^1=1+\sum_{k=2}^{n}\left(C_{k+1}^2-C_k^2\right)=1+(C_{n+1}^2-1)=\frac{n(n+1)}{2}.$$ \end{itemize} \item Pour $k\geq1$, $(k+1)^3-k^3=3k^2+3k+1$. Donc, pour $n\geq1$~: $$3\sum_{k=1}^{n}k^2+3\sum_{k=1}^{n}k+\sum_{k=1}^{n}1=\sum_{k=1}^{n}((k+1)^3-k^3)=(n+1)^3-1.$$ D'où, $$\sum_{k=1}^{n}k^2=\frac{1}{3}\left((n+1)^3-1-3\frac{n(n+1)}{2}-n\right)=\frac{1}{6}(2(n+1)^3-3n(n+1)-2(n+1))= \frac{1}{6}(n+1)(2n^2+n),$$ et donc \begin{center} \shadowbox{ $\forall n\geq1,\;\sum_{k=1}^{n}k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.$ } \end{center} Pour $k\geq1$, $(k+1)^4-k^4=4k^3+6k^2+4k+1$. Donc, pour $n\geq1$, on a $$4\sum_{k=1}^{n}k^3+6\sum_{k=1}^{n}k^2+4\sum_{k=1}^{n}k+\sum_{k=1}^{n}1=\sum_{k=1}^{n}((k+1)^4-k^4)=(n+1)^4-1.$$ D'où~: \begin{align*} \sum_{k=1}^{n}k^3&=\frac{1}{4}((n+1)^4-1-n(n+1)(2n+1)-2n(n+1)-n)=\frac{1}{4}((n+1)^4-(n+1)(n(2n+1)+2n+1)\\ &=\frac{1}{4}((n+1)^4-(n+1)^2(2n+1))=\frac{(n+1)^2((n+1)^2-(2n+1))}{4}=\frac{n^2(n+1)^2}{4} \end{align*} \begin{center} \shadowbox{ $\forall n\geq1,\;\sum_{k=1}^{n}k^3=\frac{n^2(n+1)^2}{4}=\left( \sum_{k=1}^{n}k\right)^2.$ } \end{center} Pour $k\geq1$, $(k+1)^5-k^5=5k^4+10k^3+10k^2+5k+1$. Donc, pour $n\geq1$, $$5\sum_{k=1}^{n}k^4+10\sum_{k=1}^{n}k^3+10\sum_{k=1}^{n}k^2+5\sum_{k=1}^{n}k+\sum_{k=1}^{n}1=\sum_{k=1}^{n}((k+1)^5-k^5) =(n+1)^5-1.$$ D'où~: \begin{align*} \sum_{k=1}^{n}k^4&=\frac{1}{5}((n+1)^5-1-\frac{5}{2}n^2(n+1)^2-\frac{5}{3}n(n+1)(2n+1)-\frac{5}{2}n(n+1)-n)\\ &=\frac{1}{30}(6(n+1)^5-15n^2(n+1)^2-10n(n+1)(2n+1)-15n(n+1)-6(n+1))\\ &=\frac{1}{30}(n+1)(6n^4+9n^3+n^2-n)=\frac{n(n+1)(6n^3+9n^2+n-1)}{30} \end{align*} Finalement, \begin{center} \shadowbox{ $ \begin{array}{c} \forall n\in\Nn^*,\;\sum_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}\\ \forall n\in\Nn^*,\;\sum_{k=1}^{n}k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\\ \forall n\in\Nn^*,\;\sum_{k=1}^{n}k^3=\frac{n^2(n+1)^2}{4}=\left(\sum_{k=1}^{n}k\right)^2\\ \forall n\in\Nn^*,\;\sum_{k=1}^{n}k^4=\frac{n(n+1)(6n^3+9n^2+n-1)}{30}. \end{array} $ } \end{center} \item Soit $p$ un entier naturel. Pour $k\geq1$, $$(k+1)^{p+1}-k^{p+1}=\sum_{j=0}^{p}C_{p+1}^jk^j.$$ Donc, pour $n\geq1$~: $$\sum_{j=0}^{p}C_{p+1}^j(\sum_{k=1}^{n}k^j)=\sum_{k=1}^{n}(\sum_{j=0}^{p}C_{p+1}^jk^j)=\sum_{k=1}^{n}((k+1)^{p+1}-k^{p+1})=( n+1)^{p+1}-1.$$ D'où la formule de récurrence~: \begin{center} \shadowbox{$\forall p\in\Nn,\;\forall n\in\Nn^*,\sum_{j=0}^{p}C_{p+1}^{j}S_j=(n+1)^{p+1}-1.$} \end{center} \end{enumerate} \fincorrection \correction{005143} \begin{enumerate} \item Pour tout naturel non nul $k$, on a $\frac{1}{k(k+1)}=\frac{(k+1)-k}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}$, et donc $$\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)}=\sum_{k=1}^{n}(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1})=1-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}.$$ Pour tout naturel non nul $k$, on a $\frac{1}{k(k+1)(k+2)}=\frac{1}{2}\frac{(k+2)-k}{k(k+1)(k+2)}=\frac{1}{2}(\frac{1}{k(k+1)}-\frac{1}{(k+1)(k+2)})$, et donc $$\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)(k+2)}=\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{n}(\frac{1}{k(k+1)}-\frac{1}{(k+1)(k+2)})=\frac{1}{2}( \frac{1}{2}-\frac{1}{(n+1)(n+2)})= \frac{n(n+3)}{4(n+1)(n+2)}.$$ \item Soit $n\in\Nn^*$. \begin{itemize} \item[\textbf{- Calcul de} $\bf{S_1}$.] Posons $P_1=aX^2+bX+c$. On a $$P_1(X+1)-P_1(X)=a((X+1)^2-X^2)+b((X+1)-X)=2aX+(a+b).$$ Par suite, \begin{align*} P_1(X+1)-P_1(X)=X&\Leftrightarrow 2a=1\;\mbox{et}\;a+b=0\Leftrightarrow a=\frac{1}{2}\;\mbox{et}\;b=-\frac{1}{2}\\ &\Leftarrow P_1=\frac{X^2}{2}-\frac{X}{2}=\frac{X(X-1)}{2}. \end{align*} Mais alors, $$\sum_{k=1}^{n}k=\sum_{k=1}^{n}(P_1(k+1)-P_1(k))=P_1(n+1)-P_1(1)=\frac{n(n+1)}{2}.$$ \item[\textbf{- Calcul de} $\bf{S_2}$.] Posons $P_2=aX^3+bX^2+cX+d$. On a $$P_2(X+1)-P_2(X)=a((X+1)^3-X^3)+b((X+1)^2-X^2)+c((X+1)-X)=3aX^2+(3a+2b)X+a+b+c.$$ Par suite, \begin{align*} P_2(X+1)-P_2(X)=X^2&\Leftrightarrow 3a=1\;\mbox{et}\;3a+2b=0\;\mbox{et}\;a+b+c=0\Leftrightarrow a=\frac{1}{3}\;\mbox{et}\;b=-\frac{1}{2}\;\mbox{et}\;c=\frac{1}{6}\\ &\Leftarrow P_2=\frac{X^3}{3}-\frac{X^2}{2}+\frac{X}{6}=\frac{X(X-1)(2X-1)}{6}. \end{align*} Mais alors, $$\sum_{k=1}^{n}k^2=\sum_{k=1}^{n}(P_2(k+1)-P_2(k))=P_2(n+1)-P_2(1)=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.$$ \item[\textbf{- Calcul de} $\bf{S_3}$.] Posons $P_3=aX^4+bX^3+cX^2+dX+e$. On a \begin{align*} P_3(X+1)-P_3(X)&=a((X+1)^4-X^4)+b((X+1)^3-X^3)+c((X+1)^2-X^2)+d((X+1)-X)\\ &=4aX^3+(6a+3b)X^2+(4a+3b+2c)X+a+b+c+d. \end{align*} Par suite, \begin{align*} P_3(X+1)-P_3(X)=X^3&\Leftrightarrow4a=1,\;6a+3b=0,\;4a+3b+2c=0\;\mbox{et}\;a+b+c+d=0\\ &\Leftrightarrow a=\frac{1}{4},\;b=-\frac{1}{2},\;c=\frac{1}{4}\;\mbox{et}\;d=0\\ &\Leftarrow P_3=\frac{X^4}{4}-\frac{X^3}{2}+\frac{X^2}{4}=\frac{X^2(X-1)^2}{4}. \end{align*} Mais alors, $$\sum_{k=1}^{n}k^3=\sum_{k=1}^{n}(P_3(k+1)-P_3(k))=P_3(n+1)-P_3(1)=\frac{n^2(n+1)^2}{4}.$$ \item[\textbf{- Calcul de} $\bf{S_4}$.] Posons $P_4=aX^5+bX^4+cX^3+dX^2+eX+f$. On a \begin{align*} P_4(X+1)-P_4(X)&=a((X+1)^5-X^5)+b((X+1)^4-X^4)+c((X+1)^3-X^3)+d((X+1)^2-X^2)\\ &\;+e((X+1)-X)\\ &=5aX^4+(10a+4b)X^3+(10a+6b+3c)X^2+(5a+4b+3c+2d)X+a+b+c+d+e. \end{align*} Par suite, \begin{align*} P_4(X+1)-P_4(X)=X^4&\Leftrightarrow5a=1,\;10a+4b=0,\;10a+6b+3c=0,\;5a+4b+3c+2d=0\\ &\;\;\mbox{et}\;a+b+c+d+e=0\\ &\Leftrightarrow a=\frac{1}{5},\;b=-\frac{1}{2},\;c=\frac{1}{3},\;d=0\;\mbox{et}\;e=-\frac{1}{30}\\ &\Leftarrow P_4=\frac{X^5}{5}-\frac{X^4}{2}+\frac{X^3}{3}-\frac{X}{30}=\frac{X(X-1)(6X^3-9X^2+X+1)}{30}. \end{align*} Mais alors, $$\sum_{k=1}^{n}k^4=\sum_{k=1}^{n}(P_4(k+1)-P_4(k))=P_4(n+1)-P_4(1)=\frac{n(n+1)(6n^3+9n^2+n-1)}{30}.$$ \end{itemize} \begin{center} \shadowbox{ \begin{tabular}{c} $\forall n\in\Nn^*$,\\ $\sum_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2},\;\sum_{k=1}^{n}k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6},\; \sum_{k=1}^{n}k^3=\frac{n^2(n+1)^2}{4}=\left(\sum_{k=1}^{n}k\right)^2$\\ $\text{et}\;\sum_{k=1}^{n}k^4=\frac{n(n+1)(6n^3+9n^2+n-1)}{30}$. \end{tabular} } \end{center} \item Soit $n\in\Nn^*$. On rappelle que \begin{center} \shadowbox{ $\forall(a,b)\in]0,+\infty[^2,\;\Arctan a-\Arctan b=\Arctan\frac{a-b}{1+ab}.$ } \end{center} Soit alors $k$ un entier naturel non nul. On a $$\Arctan\frac{1}{k^2+k+1}=\Arctan\frac{(k+1)-k}{1+k(k+1)}=\Arctan(k+1)-\Arctan k.$$ Par suite, $$\sum_{k=1}^{n}\Arctan\frac{1}{k^2+k+1}=\sum_{k=1}^{n}(\Arctan(k+1)-\Arctan k)=\Arctan(n+1)-\Arctan1=\Arctan(n+1)-\frac{\pi}{4}.$$ \item Soit $n\in\Nn^*$. Pour $k$ entier naturel non nul donné, on a $$\Arctan\frac{2}{k^2}=\Arctan\frac{(k+1)-(k-1)}{1+(k-1)(k+1)}=\Arctan(k+1)-\Arctan(k-1).$$ Par suite, \begin{align*} \sum_{k=1}^{n}\Arctan\frac{2}{k^2}&=\sum_{k=1}^{n}(\Arctan(k+1)-\Arctan (k-1))=\sum_{k=1}^{n}\Arctan(k+1)-\sum_{k=1}^{n}\Arctan(k-1)\\ &=\sum_{k=2}^{n+1}\Arctan k-\sum_{k=0}^{n-1}\Arctan k=\Arctan(n+1)+\Arctan n-\Arctan1-\Arctan0\\ &=\Arctan(n+1)+\Arctan n-\frac{\pi}{4}. \end{align*} \end{enumerate} \fincorrection \correction{005144} \begin{enumerate} \item Soit $n$ un entier supérieur ou égal à $2$. Parmi les $n^2$ couples $(i,j)$ tels que $1\leq i,j\leq n$, il y en a $n$ tels que $i=j$ et donc $n^2-n=n(n-1)$ tels que $1\leq i,j\leq n$ et $i\neq j$. Comme il y a autant de couples $(i,j)$ tels que $i>j$ que de couples $(i,j)$ tels que $i0$, posons alors $f(x)=x+\frac{1}{x}$. $f$ est dérivable sur $]0,+\infty[$ et pour $x>0$, $f'(x)=1-\frac{1}{x^2}=\frac{(x-1)(x+1)}{x^2}$. $f$ est donc strictement décroissante sur $]0,1]$ et strictement croissante sur $[1,+\infty[$. $f$ admet ainsi un minimum en $1$. Par suite, $$\forall x>0,\;f(x)\geq f(1)=1+\frac{1}{1}=2.$$ (\textbf{Remarque.} L'inégalité entre moyenne géométrique et arithmétique permet aussi d'obtenir le résultat~:~ $$\frac{1}{2}(x+\frac{1}{x})\geq\sqrt{x.\frac{1}{x}}=1.)$$ On en déduit alors que $$\sum_{i=1}^{n}a_i\sum_{j=1}^{n}\frac{1}{a_j}\geq n+\sum_{1\leq i 1$, puisque la suite $(S_n)$ est croissante, \begin{center} $0<\frac{u_n}{S_n^\alpha}=\frac{S_n-S_{n-1}}{S_n^\alpha}=\int_{S_{n-1}}^{S_n}\frac{dx}{S_n^\alpha}\leqslant\frac{dx}{x^\alpha}=\frac{1}{\alpha-1}\left(\frac{1}{S_{n-1}^{\alpha-1}}-\frac{1}{S_n^{\alpha-1}}\right)$, \end{center} qui est le terme général d'une série télescopique convergente puisque $\frac{1}{S_n^{\alpha-1}}$ tend vers $0$ quand $n$ tend vers l'infini. Dans ce cas, la série de terme général $\frac{u_n}{S_n^\alpha}$ converge. \begin{center} \shadowbox{ La série de terme général $\frac{u_n}{S_n^\alpha}$ converge si et seulement si $\alpha>1$. } \end{center} \fincorrection \correction{005704} Pour tout entier naturel non nul $n$, $0<\frac{1}{2^pn^{p-1}}=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{(2n)^p}\leqslant\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{(n+k)^p}\leqslant\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{n^p}=\frac{1}{n^{p-1}}$ et la série de terme général $u_n$ converge si et seulement si $p > 2$. \fincorrection \correction{005705} (On applique la règle de \textsc{Raabe}-\textsc{Duhamel} qui n'est pas un résultat de cours.) Pour $n\in\Nn$, posons $u_n=\frac{n!}{(a+1)(a+2)\ldots(a+n)}$. \begin{center} $\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{n+1}{a+n+1}=\left(1+\frac{1}{n}\right)\left(1+\frac{a+1}{n}\right)^{-1}\underset{n\rightarrow+\infty}{=}\left(1+\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{a+1}{n}+O\left(\frac{1}{n^2}\right)\right)\underset{n\rightarrow+\infty}{=}1-\frac{a}{n}+O\left(\frac{1}{n^2}\right)$, \end{center} et \og on sait \fg~qu'il existe un réel strictement positif $K$ tel que $u_n\underset{n\rightarrow+\infty}{\sim}\frac{K}{n^a}$. \fincorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \correction{005710} La suite $\left((-1)^n\frac{1}{3n+1}\right)_{n\in\Nn}$ est alternée en signe et sa valeur absolue tend vers $0$ en décroissant. Donc la série de terme général $(-1)^n\frac{1}{3n+1}$, $n\geqslant 1$, converge en vertu du critère spécial aux séries alternées. Soit $n\in\Nn$. \begin{center} $\sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^k}{3k+1}=\sum_{k=0}^{n}(-1)^k\int_{0}^{1}t^{3k}\;dt=\int_{0}^{1}\frac{1-(-t^3)^{n+1}}{1-(-t^3)}\;dt=\int_{0}^{1}\frac{1}{1+t^3}\;dt+(-1)^n\int_{0}^{1}\frac{t^{3n+3}}{1+t^3}\;dt$. \end{center} Mais $\left|(-1)^n\int_{0}^{1}\frac{t^{3n+3}}{1+t^3}\;dt\right|=\int_{0}^{1}\frac{t^{3n+3}}{1+t^3}\;dt\leqslant\int_{0}^{1}t^{3n+3}\;dt=\frac{1}{3n+4}$. On en déduit que $(-1)^n\int_{0}^{1}\frac{t^{3n+3}}{1+t^3}\;dt$ tend vers $0$ quand $n$ tend vers $+\infty$ et donc que \begin{center} $\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{3n+1}=\int_{0}^{1}\frac{1}{1+t^3}\;dt$. \end{center} Calculons cette dernière intégrale. \begin{align*}\ensuremath \frac{1}{X^3+1}&=\frac{1}{(X+1)(X+j)(X+j^2)}=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{X+1}+\frac{j}{X+j}+\frac{j^2}{X+j^2}\right)=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{X+1}+\frac{-X+2}{X^2-X+1}\right)\\ &\frac{1}{3}\left(\frac{1}{X+1}-\frac{1}{2}\frac{2X-1}{X^2-X+1}+ \frac{3}{2}\frac{1}{\left(X-\frac{1}{2}\right)^2+\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} \right). \end{align*} Donc, \begin{center} $\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{3n+1}=\frac{1}{3}\left[\ln(t+1)-\frac{1}{2}\ln(t^2-t+1)+\sqrt{3}\Arctan\left(\frac{2t-1}{\sqrt{3}}\right)\right]_0^1=\frac{1}{3}\left(\ln2+\sqrt{3}\left(\frac{\pi}{6}-\left(-\frac{\pi}{6}\right)\right)\right)=\frac{3\ln2+\pi\sqrt{3}}{9}$. \end{center} \begin{center} \shadowbox{ $\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{3n+1}=\frac{3\ln2+\pi\sqrt{3}}{9}$. } \end{center} \fincorrection \nocorrection \correction{004488} \begin{enumerate} \item \item \item Soit $(r_n)$ une énumération de~$Q$. On pose $f(x) = \sum_{r_n n}\frac1{(i+1)^2}$ et $f$ est continue en~$x$. \end{enumerate} \fincorrection \correction{004489} Soit $[a,b]$ de longueur supérieure ou égale à $2\zeta(2)$ et $F_n = [a,b]\setminus(I_1\cup\dots\cup I_n)$. Alors $(F_n)$ vérifie le théorème des fermés emboités dans un compact. \fincorrection \correction{004490} \begin{enumerate} \item Regroupement à $i+j$ constant $ \Rightarrow $ CV ssi $\alpha > 2$. \item Pour $\alpha\ge 1$ on a par convexité~: $2^{1-\alpha}(i+j)^\alpha \le i^\alpha+j^\alpha \le (i+j)^\alpha$ donc il y a convergence ssi $\alpha > 2$. \item Il y a une infinité de termes supérieurs à~$1/4$. \item $\frac1{a^p+b^q} \le \frac1{2\sqrt a^p\sqrt b^q} \Rightarrow $ sommable. \end{enumerate} \fincorrection \correction{004491} $\sum_{n=0}^{+\infty}\sum_{k=n}^{+\infty}\frac1{k!}= \sum_{k=0}^{+\infty}\frac{k+1}{k!}=2e$. \fincorrection \correction{004492} $-\frac78\zeta(3)$. \fincorrection \correction{004493} \begin{enumerate} \item $\sum_{n=1}^\infty a_{n,n-1}$ diverge. \item $\sum_{p=0}^\infty a_{n,p} = \frac1{4n^2}$ si $n\ne 0$, $-\frac{\pi^2}6$ si $n=0$. $\sum_{n=0}^\infty\sum_{p=0}^\infty a_{n,p} = -\frac{\pi^2}{8} =-\sum_{p=0}^\infty\sum_{n=0}^\infty a_{n,p}$. \end{enumerate} \fincorrection \correction{004494} $\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{x^{2n+1}}{1-x^{2n+1}}= \sum_{(n,p)\in\N}^{+\infty}x^{(p+1)(2n+1)}=\sum_{p=0}^{+\infty}\frac{x^{p+1}}{1-x^{2p+2}}$. \fincorrection \nocorrection \correction{004496} \begin{enumerate} \item $|t|<1$. \item $S(t) = \sum_{n=1}^\infty \frac{t^n}{1+t^n} = \sum_{n=1}^\infty \sum_{k=1}^\infty (-1)^{k-1}t^{kn}$ et on peut échanger les deux sommes car il y a convergence absolue. \item On suppose $t\in{]0,1[}$. $\frac{d}{d x}\Bigl(\frac{t^x}{1-t^x}\Bigr) = \frac{t^x\ln t}{(1-t^x)^2} < 0$ donc le critère des séries alternées s'applique, le reste est majoré en valeur absolue par le premier terme du reste. $0\le\frac{t^k(1-t)}{1-t^k} = \frac t{1+\frac1t+\dots+\frac1{t^{k-1}}}\le\frac1k$ donc le terme général converge uniformément vers~$0$. Par interversion de limite (puisqu'il y a convergence uniforme) on obtient $\lim_{t\to1^-}(1-t)S(t) = \sum_{k=1}^\infty\frac{(-1)^{k-1}}k=\ln 2$. \item $S(t) = \sum_{n=1}^\infty \sum_{k=1}^\infty (-1)^{k-1}t^{kn} = \sum_{p=1}^\infty \sum_{kn=p} (-1)^{k-1}t^p = \sum_{p=1}^\infty \sigma(p)t^p$ avec $\sigma(p) = (\text{nombre de diviseurs impairs de }p) -(\text{nombre de diviseurs pairs de }p) = \sigma_i(p)-\sigma_p(p)$. Si $p=2^\alpha q$ avec $q$ impair alors $\sigma_p(p) = \alpha\sigma_i(p)= \alpha\sigma_i(q)$ donc $\sigma(p) > 0$ ssi $p$ est impair {\it (très joli exercice)}. \end{enumerate} \fincorrection \correction{004497} \begin{enumerate} \item Il y a convergence si $|z|<1$. On a alors $f(z) = \sum_{(n,p)\in\N^2}z^{anp + bn+cp}$. Il y a aussi convergence pour $|z|>1$ lorsque $a>b$ et on a dans ce cas~: $f(z) = \sum_{(n,p)\in\N\times\N^*}z^{-anp + bn - cp}$ (non symétrique en $b,c$). \item $f(z) = \sum_{n=2}^\infty d_nz^n$ avec $d_n =$ nombre de diviseurs de~$n$ dans~$[[1,n-1]]$. \end{enumerate} \fincorrection \correction{004498} $A=\zeta(2)^2$, $B=\zeta(2)\zeta(4)$, $C=A/\zeta(4) = 5/2$. \fincorrection \correction{004499} $\ln2 + \frac12\ln(p/q)$. \fincorrection \nocorrection \nocorrection \correction{004502} La série converge pour tout $x\notin\{-2,-3,\dots\}$ car le critère des séries alternées s'applique à partir d'un certain rang (fonction de~$x$). Il en va de même pour toutes les séries obtenues par dérivations successives terme à terme, et ces séries convergent localement uniformément (le reste d'une série vérifant le CSA est majoré en valeur absolue par la valeur absolue du premier terme figurant dans le reste) donc $f$ est $\mathcal{C}^\infty$. Pour $|x|<2$ on a $$f(x) = \sum_{k=2}^\infty\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^k}k\Bigl(\frac{-x}k\Bigr)^n = \sum_{k=2}^\infty\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^{k+n}}{k^{n+1}}x^n = (1-\ln2) + \sum_{n=1}^\infty(-1)^n(1-(1-2^{-n})\zeta(n+1))x^n.$$ \fincorrection \correction{004403} $\cos(x+iy) = \cos x \ch y - i\sin x \sh y \Rightarrow \cos z \in {[-1,1]}$ si et seulement si $z \in \R$. \fincorrection \correction{004404} Mettre $1+\frac zn$ sous forme trigonométrique. \fincorrection \correction{004405} Développement en série. \fincorrection \correction{004406} $\Bigl|\frac{e^z-1}z\Bigr|^2 = \frac{e^{2x}+1-2e^x\cos y}{x^2+y^2}$. Après simplifications, on est ramené à prouver que $x^2(1-\cos y)\le y^2(\ch x - 1)$, ce qui est vrai car on peut caser $\frac12x^2y^2$ entre les deux. Il y a égalité si et seulement si $y=0$. \fincorrection \nocorrection \correction{004408} $e^{x+iy} = x+iy \Leftrightarrow \begin{cases}x = y/\tan y \cr e^{-y/\tan y} = \sin y/y.\cr\end{cases}$ Au voisinage de $2k\pi^+$, $e^{-y/\tan y} < \sin y/y$ (point plat) et au voisinage de $(2k+1)\pi^-$, $e^{-y/\tan y} > \sin y/y$ (limite infinie). \fincorrection \correction{004409} \begin{enumerate} \item $z \equiv \pm i\ln(2+\sqrt3\,) (\mathrm{mod}\,{2\pi})$. \item $z \equiv i\pi(\mathrm{mod}\,{2i\pi})$. \item $z \equiv 0 (\mathrm{mod}\, {2\pi})$ ou $z \equiv 0 (\mathrm{mod}\, {2j\pi})$ ou $z \equiv 0 (\mathrm{mod}\, {2j^2\pi})$. \item $\Leftrightarrow 6e^{2iz} -(7+5i)e^{iz} + 2 = 0 \Leftrightarrow \begin{cases} e^{iz} = 1+i\hfill: & z \equiv \pi/4 - i\ln\sqrt2 (\mathrm{mod}\,{2\pi})\cr e^{iz} = (1-i)/6 : & z \equiv -\pi/4 - i\ln(\sqrt2/6) (\mathrm{mod}\,{2\pi}).\cr\end{cases}$ \end{enumerate} \fincorrection \correction{004410} $|\cos(x+iy)|^2 = \cos^2x + \sh^2y = \ch^2y - \sin^2x \Rightarrow \sup = \ch1$. \par $|\sin(x+iy)|^2 = \sin^2x + \sh^2y = \ch^2y - \cos^2x$. \`A $x$ fixé, le module augmente avec $|y|$, donc le maximum est atteint au bord du disque.\par $\varphi(\theta) = \sin^2\cos\theta + \sh^2\sin\theta \Rightarrow \varphi'(\theta) = \sin2\theta\left( \frac{\sh(2\sin\theta)}{2\sin\theta} - \frac{\sin(2\cos\theta)}{2\cos\theta}\right) \Rightarrow \sup = \sh1$. \fincorrection \nocorrection \correction{004412} Si $x$ est vecteur propre de $M$ il l'est aussi de $\exp(M)$ donc $x = ke_1$ et la valeur propre associée est $\alpha\in\C$ tel que $e^\alpha = 2i$ ($\alpha = \ln2 + i(\frac\pi2+2k\pi)$, $k\in\Z$). On a donc $M = \begin{pmatrix}\alpha&\beta\cr0&\alpha\cr\end{pmatrix}$, $\exp(M) = \begin{pmatrix}e^\alpha&e^\alpha\beta\cr0&e^\alpha\cr\end{pmatrix}$ d'où $\beta = \frac{1-i}2$. \fincorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \correction{004413} \begin{enumerate} \item $\sim -\frac e{2n} \Rightarrow $ DV. \item $\sim \frac \alpha{2^{\alpha-1}}e^{n(\alpha-2)} \Rightarrow $ CV ssi $\alpha < 2$. \item $\sim -\frac 3{n^2} \Rightarrow $ CV. \item $\sim \frac 1{n^2} \Rightarrow $ CV. \item $\sim \sqrt{\frac 2{n^3}} \Rightarrow $ CV. \item cv ssi $|a| \ne 1$. \item Série alternée $ \Rightarrow $ CV. \item Série alternée $ \Rightarrow $ CV. \item Harmonique + alternée $ \Rightarrow $ DV. \item d'Alembert $ \Rightarrow $ CV. \item $\le \frac{(n-1)(n-1)!+n!}{(n+2)!} \le \frac 2{(n+1)(n+2)} \Rightarrow $ CV. \item $= \frac{(-1)^{n-1}}{n+1} + O\Bigl(\frac1{n^2}\Bigr) \Rightarrow $ CV. \item Décomposition en 3 séries alternées $ \Rightarrow $ CV. \item $=\frac{(-1)^n}{2\sqrt n} - \frac1{8n} + O(n^{-3/2}) \Rightarrow $ DV. \item Regroupement de termes $ \Rightarrow $ DV. \item Regroupement par paquets + CSI $ \Rightarrow $ CV. \item Terme général ne tend pas vers zéro, DV. \item $= \frac1{n^{\ln\ln n}} \Rightarrow $ CV. \end{enumerate} \fincorrection \correction{004414} $P(n) = n^3+\frac34n+C$. \fincorrection \correction{004415} $=\frac{(-1)^n}{\sqrt{n(n+1)}}+O\Bigl(\frac1{n^2}\Bigr) \Rightarrow $ converge. \fincorrection \correction{004416} $u_n = \frac{(-1)^n}{n^{\alpha/2}}-\frac1{2n^{3\alpha/2}} + o\Bigl(\frac1{n^{3\alpha/2}}\Bigr)$, il y a convergence ssi $\alpha>\frac23$. \fincorrection \correction{004417} Effectuer un développement asymptotique pour les deux premières. Elles convergent si et seulement si $\alpha>\frac12$. La troisième diverge par comparaison série-intégrale. \fincorrection \correction{004418} $\frac{u_{2n+1}}{u_{2n-1}}\to ab$ et $\frac{u_{2n}}{u_{2n-2}}\to ab$ (lorsque $n\to\infty$) donc il y a convergence si $|ab| < 1$. \fincorrection \nocorrection \correction{004420} $n=21$, $S \approx 0.65314389$. \fincorrection \correction{004421} $1 \Rightarrow 2$ par comparaison série-intégrale. Contre-exemple pour $(2)\not\Rightarrow(1)$~: $u_n = e^{(n+1)^2}-e^{n^2}$, $S_n = e^{(n+1)^2}-1$, $f(t)=\frac1{(t+2)\ln(t+2)}$. \fincorrection \correction{004422} $\frac{n^2}{(n^2+1)^2}-\frac{1}{n^2-1} = -\frac{3n^2+1}{(n^2+1)^2(n^2-1)} \ge -\frac{4}{n^4}$ pour $n\ge 3$. Donc $S = \sum_{n=1}^N \frac{n^2}{(n^2+1)^2} + \sum_{n=N+1}^\infty \frac{1}{n^2-1} + R_N$ avec $-\frac{4}{3N^3}\le R_N\le 0$ et $\sum_{n=N+1}^\infty \frac{1}{n^2-1} = \frac{N+\frac12}{N(N+1)}$. Pour $N=25$ on obtient~: $0.76981 < S < 0.76990$. \fincorrection \nocorrection \correction{004424} Si $\sum u_n$ et $\sum v_n$ convergent alors $n^2u_n\to \infty$ (lorsque $n\to\infty$) donc $u_nv_n \sim 1/n^2$. Alors les suites $(\sqrt{u_n})$ et $(\sqrt{v_n})$ sont de carrés sommables tandis que la suite $(\sqrt{u_nv_n})$ n'est pas sommable, c'est absurde. Si $\sum u_n$ diverge on ne peut rien dire~: avec $u_n=1$ on a $\sum v_n$ convergente tandis qu'avec $u_n=\frac1{n}$ on a $\sum v_n$ divergente. \fincorrection \correction{004425} \begin{enumerate} \item $u_1 + \dots + u_n = 1 - \frac1{(1+a_1)\dots(1+a_n)} \le 1$. \item $\ln\bigl((1+a_1)\dots(1+a_n)\bigr) = \sum_{k=1}^n \ln\left(1+\frac1{\sqrt k}\right) \to +\infty \Rightarrow \sum u_n = 1$ lorsque $n\to\infty$. \end{enumerate} \fincorrection \correction{004426} Regroupement de termes par valeur constante de $p_k$ $ \Rightarrow \sum_{k=1}^\infty \frac1{a^{p_k}} = \sum_{p=1}^\infty \frac{10^p-10^{p-1}}{a^p} = \frac{9}{a-10}$. \fincorrection \nocorrection \correction{004428} \begin{enumerate} \item \item $|v_n| = O(n^{-3/2}) \Rightarrow $ CV. \end{enumerate} \fincorrection \correction{004429} Série alternée. \fincorrection \correction{004430} \begin{enumerate} \item $\frac 34$. \item $\frac 14$. \item $S_p - (p+1)S_{p+1} = S_p - \frac 1{(p+1)!} \Rightarrow S_p=\frac 1{pp!}$. \item $\frac{23}{144}$. \item $\ln 3$. \item $-\ln 2$. \item $\ln\left(\frac{\sin2\alpha}{2\alpha}\right)$. \item $\frac1\alpha-2\mathrm{cotan}(2\alpha)$. \item $109 - 40e$. \item $\frac{x^p}{(1-x)^{p+1}}$ pour $|x|<1$ par récurrence. \item $\frac x{(1-x)^2}$ si $|x| <1$, $\frac 1{(1-x)^2}$ si $|x| > 1$. \item $S_n = \sum_{q=0}^\infty\sum_{r=1}^{n-1} \frac r{(qn+r)(qn+r+1)} = \sum_{q=0}^\infty\sum_{r=1}^{n-1} \frac r{qn+r} - \frac r{qn+r+1}$. \par $S_n = \sum_{q=0}^\infty \left(\frac 1{qn+1} + \frac 1{qn+2} + \dots + \frac 1{qn+n} - \frac 1{q+1}\right) = \lim_{N\to\infty}\left(\sum_{k=1}^{(N+1)n} \frac 1k - \sum_{k=1}^{N+1} \frac 1k \right) = \ln n$. \end{enumerate} \fincorrection \correction{004431} Si $n+1$ n'est pas un carré alors $u_n=0$ donc $\sum_{n=1}^\infty u_n = \sum_{k=2}^\infty u_{k^2-1} = \sum_{k=1}^\infty \frac1{k^2-1} = \frac34$. \fincorrection \correction{004432} \begin{enumerate} \item $y = e^{-x}(a\cos x + b\sin x)$, $y = e^{-x}\sin x + e^{-2x}(cx+d)$. \item $u_n = \frac{(-1)^ne^{-n\pi}(e^\pi+1)}2$, $\sum_{n=0}^\infty u_n = \frac12$. \end{enumerate} \fincorrection \correction{004433} $\frac{\pi^2}3 - 3$. \fincorrection \correction{004434} $\frac 1{1^2 + 2^2 + \dots + k^2} = \frac 6k + \frac 6{k+1} - \frac {24}{2k+1} \Rightarrow s_n = 18 - 24\sum_{k=1}^{2n+1} \frac{(-1)^{k+1}}k + \frac 6{n+1} \to 18 - 24\ln 2$ lorsque $n\to\infty$. \fincorrection \correction{004435} $\begin{cases} a+b = -1 \cr a+2b = 0\cr \end{cases} \Leftrightarrow a=-2$, $b=1$, $S = -\ln 2$. \fincorrection \correction{004436} $\tan s_n = n+1$ par récurrence et $s_n \le \sum_{k=0}^\infty \frac 1{k^2+k+1} \le 1 + \sum_{k=0}^\infty \frac1{n(n+1)} = 2$. \fincorrection \correction{004437} \begin{enumerate} \item $\sim \frac a{n^2}$. \item $S(a) \ge \sum_{k=0}^n \Arctan(k+a)-\Arctan k \to \frac\pi2 + \Arctan 1 + \Arctan\frac12 + \dots + \Arctan\frac1n \Rightarrow S(a) \to +\infty$ lorsque $a\to+\infty$ . \end{enumerate} \fincorrection \correction{004438} Le déport maximal entre la première pièce et la dernière pour une pile de $n$ pièces est $\frac 12 + \frac 14 + \dots + \frac 1{2(n-1)}$ (en diamètre d'une pièce). Il dépasse 1 pour $n > 4$. \fincorrection \correction{004439} \begin{enumerate} \item $2(\sqrt 2-1)\sqrt n$. \item $\ln(\ln n)$. \end{enumerate} \fincorrection \correction{004440} $u_n \sim n\ln^2 n \Rightarrow $ CV. \fincorrection \correction{004441} 2997. \fincorrection \correction{004442} $\sqrt{\frac n2}$. \fincorrection \nocorrection \correction{004444} $T_{n+1}-T_n = \frac1{n+1}-\ln\Bigl(\frac{n+1}n\Bigr) = \frac1{n+1} - \int_{t=n}^{n+1}\frac{d t}t < 0$ $S_{n+1}-S_n = \frac2n-\frac1{n+1}-\ln\Bigl(\frac{n+1}n\Bigr) =\frac1n - \int_{t=n}^{n+1}\Bigl(\frac1t-\frac1{t^2}\Bigr)\,d t > 0$. \fincorrection \correction{004445} $\frac{u_{n,k}}k = \frac nk - \bigl[\frac nk\bigr]$, donc $v_n = \frac1n\sum_{k=1}^n\frac{u_{n,k}}k$ est une somme de Riemann pour l'intégrale $I = \int_{t=0}^1 \Bigl(\frac1t - \bigl[\frac1t\bigr]\Bigr)\,d t$. La fonction $\varphi$ : $t \mapsto\frac1t - \bigl[\frac1t\bigr]$ est Riemann-intégrable sur $[0,1]$, donc $v_n\to I$ lorsque $n\to\infty$. Calcul de~$I$~: $I_n = \int_{t=1/n}^1 \Bigl(\frac1t - \bigl[\frac1t\bigr]\Bigr)\,d t = \ln n - \sum_{k=1}^n \int_{t=\frac1{k+1}}^{\frac1k}k\,d t = \ln n - \sum_{k=1}^n\frac1{k+1} \to 1-\gamma = I$ lorsque $n\to\infty$. \fincorrection \correction{004446} \begin{enumerate} \item Comparaison série-intégrale~: $u_n\sim\frac{\ln^2 n}2$. \item Comparaison série-intégrale encore ($v_n$ est la somme des aires entre les rectangles aux points entiers et la courbe de~$t\to\ln(t)/t$). \item $v_n-\ell = -\sum_{k=n}^\infty\Bigl( \int_{t=k}^{k+1}\frac{\ln t}t\,d t - \frac{\ln(k+1)}{k+1}\Bigr) = -\sum_{k=n}^\infty w_k$ avec $w_k\sim\frac{\ln k}{2k^2}$ donc $v_n-\ell\sim- \int_{t=n}^{+\infty}\frac{\ln t}{2t^2}\,d t\sim-\frac{\ln n}{2n}$. \end{enumerate} \fincorrection \correction{004447} $\sum_{k=0}^{n-1}\frac1{n^2-k^2} = \frac1{2n}\sum_{k=0}^{n-1}\Bigl(\frac1{n-k} + \frac1{n+k}\Bigr) = \frac1{2n}\Bigl(\sum_{k=1}^{2n-1}\frac1k +\frac1n\Bigr) \sim \frac{\ln n}{2n}$. \fincorrection \correction{004448} \begin{enumerate} \item \item \item \item \item $S_n + \frac1{\ln(n+1)} \le S \le S_n + \frac1{\ln n}$. Pour $n = 60$ : $2.06857 < S < 2.06956$. \end{enumerate} \fincorrection \correction{004449} La fonction $t \mapsto \frac{1}{t^x}$ étant décroissante sur l'intervalle $[n, n+1]$, $\displaystyle 0 < \frac{1}{t^x} \leq \frac{1}{n^x}$. Donc, \begin{eqnarray*} \int_{n}^{n+1} \frac{dt}{t^x} & \leq & \int_{n}^{n+1} \frac{dt}{n^x} = \frac{1}{n^x} \quad \text{par positivité de l'intégrale} \end{eqnarray*} puis \[ \int_{1}^{N+1} \frac{dt}{t^x} = \sum_{n=1}^{N} \int_{n}^{n+1} \frac{dt}{t^x} \le \sum_{n=1}^{N} \frac{1}{n^x} \quad \text{ par la relation de Chasles.} \] De même sur $[n-1,n]$, $\displaystyle \frac{1}{t^x} \geq \frac{1}{n^x} > 0$ et \[ \int_{n-1}^{n} \frac{dt}{t^x} \ge \int_{n-1}^{n} \frac{dt}{n^x} = \frac{1}{n^x} \] \[ \int_{1}^{N} \frac{dt}{t^x} = \sum_{n=2}^{N} \int_{n-1}^{n} \frac{dt}{t^x} \ge \sum_{n=2}^{N} \frac{1}{n^x} \quad \text{par la relation de Chasles.} \] Finalement \[ 1 + \int_{1}^{N} \frac{dt}{t^x} \ge \sum_{n=1}^{N} \frac{1}{n^x} \, \cdotp \] \begin{equation} \text{Donc, on a:} \qquad \int_{1}^{N+1} \frac{dt}{t^x} \leq \sum_{n=1}^{N} \frac{1}{n^x} \leq 1 + \int_{1}^{N} \frac{dt}{t^x} \, \cdotp \label{I} \end{equation} Calculons dans un premier temps, $ \int_{1}^{N} \frac{dt}{t^x}$: \[ \int_{1}^{N} \frac{dt}{t^x} = \left[\frac{t^{1-x}}{1-x}\right]_{1}^{N} = \frac {N^{1-x}-1}{1-x} \xrightarrow[N \to +\infty]{} \frac{1}{x-1} \] avec la même limite pour $\int_{1}^{N+1} \frac{dt}{t^x}$. Ainsi on a montré que $\sum_{n \geq 0} \frac{1}{n^x}$, série de Riemann avec $x > 1$, est convergente. On déduit alors de \eqref{I}, en faisant tendre $N$ vers $+\infty$: \[ \begin{array}{lrcccl} & \frac{1}{x - 1} & \leq & \sum_{n = 1}^{+\infty} \dfrac{1}{n^x} & \leq & 1 + \frac{1}{x - 1} \\ \text{donc} \quad & \frac{x- 1}{x - 1} & \leq & (x - 1) \zeta (x) & \leq & (x - 1)\left(1 + \frac{1}{x - 1}\right) \\ \text{puis} \qquad & 1 & \leq & (x - 1) \zeta (x) & \leq & x \, . \end{array} \] D'où, par le théorème des gendarmes: \[ \lim_{x \rightarrow 1^{+}} (x - 1) \zeta (x) = 1 \, . \] \medskip (\emph{Corrigé d'Antoine Poulain}) \fincorrection \correction{004450} Si $u_n \to 0$, alors $v_n \sim u_n$; sinon, $v_n$ \hbox to 0pt{\hskip 3mm$/$\hss} $\longrightarrow 0$. \fincorrection \correction{004451} \begin{enumerate} \item \item $\frac r{(1-r)^2}$. \end{enumerate} \fincorrection \correction{004452} On remarque déjà que $\sum u_i$ diverge car $u_n\sim\frac{U_n}{n\alpha}\ge \frac{U_1}{n\alpha}$. On calcule $\sum_{k=0}^n ku_k$ par parties~: $$\sum_{k=0}^n ku_k = \sum_{k=1}^n k(U_k - U_{k-1}) = nU_n -\sum_{k=0}^n U_k$$ Comme $U_n\sim\alpha nu_n$, terme général strictement positif d'une série divergente, on a $\sum_{k=0}^n U_k \sim \alpha\sum_{k=0}^n ku_k$ d'où~: $(1+\alpha)\sum_{k=0}^n ku_k\sim nU_n$ et lorsque $n\to\infty$ : $$\frac1{n^2u_n}\sum_{k=0}^n ku_k\sim \frac{nU_n}{(1+\alpha)n^2u_n} \to \frac\alpha{1+\alpha}.$$ \fincorrection \correction{004453} $S_n = \sum_{k=0}^n ku_k \Rightarrow \sum_{k=0}^n u_k = \sum_{k=1}^{n-1}\frac{S_k}{k(k+1)} - S_0 + \frac{S_n}n$. \fincorrection \correction{004454} \begin{enumerate} \item \item \item $kr^k = k(u_k - u_{k+1})$ avec $u_k = \frac{r^k}{1-r}$ donc $\sum_{k=1}^\infty kr^k = \sum_{k=1}^\infty\frac{r^k}{1-r} = \frac r{(1-r)^2}$. \par De même, $S_n = \sum_{k=n}^\infty kr^k = \frac{(n-1)r^n}{1-r} + \sum_{k=n}^\infty\frac{r^k}{1-r} = \frac{nr^n}{1-r} + \frac{r^{n+1}}{(1-r)^2}$. $k^2r^k = k(S_k - S_{k+1})$ et $(S_k)$ décroît d'où $\sum_{k=1}^\infty k^2r^k = \sum_{k=1}^\infty S(k) = \sum_{k=1}^\infty \Bigl(\frac{kr^k}{1-r}+\frac{r^{k+1}}{(1-r)^2}\Bigr) = \frac{r+r^2}{(1-r)^3}$. \end{enumerate} \fincorrection \correction{004455} \begin{enumerate} \item \item $p_n = \frac{u_0}{S_n} \to 0$ donc la série de terme général $\ln\left(1-\frac{u_n}{S_n}\right)$ diverge. \end{enumerate} \fincorrection \correction{004456} Méthode des rectangles~: $\sum_{k=0}^n\frac{a_k-a_{k+1}}{a_{k+1}}\ge \int_{t=a_{n+1}}^{a_0}\frac{d t}t \to +\infty$ lorsque $k\to\infty$. Si $a_k\sim a_{k+1}$ la série donnée diverge donc. Sinon, elle diverge aussi car son terme général ne tend pas vers~$0$. \fincorrection \correction{004457} $\sum_{n=1}^N v_n = \sum_{k=1}^{2N-1} u_k\sum_{k/2 2$, $u_{n+1} < \frac1n$ donc $u_{n+2} > \frac1{(n+1)e^{1/n}} \sim \frac1n$ donc la série diverge. \fincorrection \nocorrection \nocorrection \correction{004464} \begin{enumerate} \item \item $\ln(v_{n+1})-\ln(v_n) = \ln\left(1+\frac{a-b+1}{n+b-1}\right) \Rightarrow \begin{cases} \text{si } a-b+1 > 0, v_n\to+\infty \cr \text{si } a-b+1 = 0, v_n = \text{cste}\cr \text{si } a-b+1 < 0, v_n\to0.\cr \end{cases}$ \item $(n+b)u_{n+1} - (n+a)u_n = 0 \Rightarrow (n+b)u_{n+1} + (b-a-1)\sum_{k=1}^n u_k - au_0 = 0 \Rightarrow \sum_{k=0}^\infty u_k = \frac{(b-1)u_0}{b-a-1}$. \end{enumerate} \fincorrection \correction{004465} La suite $(u_n)$ est croissante donc tend vers $\ell\in{]0,+\infty]}$. On a $\ell$ fini si et seulement si la série télescopique $\sum(u_{n+1}-u_n) = \sum\frac1{n^au_n}$ est convergente, soit si et seulement si $a>1$. Pour $a< 1$ on a $u_{n+1}^2 = u_n^2 + \frac2{n^a} + o\Bigl(\frac2{n^a}\Bigr)$ donc $u_{n+1}^2-u_n^2\sim \frac2{n^a}$ et $u_n\sim\sqrt{\frac{2n^{1-a}}{1-a}}$ (sommation des relations de comparaison). Pour $a=1$ on a de même $u_n\sim \sqrt{2\ln n}$. \fincorrection \correction{004466} $\alpha > 1 \Rightarrow \sum u_n$ cv et vaut $\zeta(\alpha)^2$.\par $\alpha < 1 \Rightarrow \sum_{n=1}^{2N} u_n \ge \sum_{k=1}^N \frac 1{k^\alpha} \Rightarrow \sum u_n$ dv. \fincorrection \nocorrection \correction{004468} $\frac{a}{(1-a)^2}$ et $\frac{a+a^2}{(1-a)^3}$. \fincorrection \nocorrection \correction{004470} \begin{enumerate} \item Césaro. \item $v_0 + v_1 + \dots + v_n = 2(u_0 + u_1 + \dots + u_n) - v_n$. \end{enumerate} \fincorrection \correction{004471} $|a_n| \le M \Rightarrow \left|\sum_{n=2}^\infty \frac {a_n}{n^p} \right| \le M\sum_{n=2}^\infty \frac 1{n^p} \le M \int_{t=1}^\infty \frac{d t}{t^p} = \frac M{p-1} \Rightarrow a_1 = 0$. \fincorrection \correction{004472} Démonstration pour $x_1$ : $\sum x_n = 0$, $\sum x_{2n} = 0 \Rightarrow \sum_{n\text{ impair}} x_n = 0$. On retire les multiples impairs de 3 ($\sum x_{3n} - \sum x_{6n} = 0$) $ \Rightarrow \sum_{n\not\equiv 0[2] ; n\not\equiv 0[3]} x_n = 0$. On retire les multiples restants de $5,7,\dots$ On obtient ainsi une suite $(s_p)_{p \text{ premier}}$ nulle qui converge vers $x_1$, donc $x_1 = 0$.\par Peut-on se passer de la convergence absolue ? \fincorrection \correction{004473} \begin{enumerate} \item Récurrence sur $p$. \item Transformation d'Abel et interversion de sommations : $\sum_{n=0}^p v_n = \sum_{k=0}^p \frac{C_{p+1}^{k+1}}{2^p}\sum_{n=0}^k u_n$. \par Théorème de Césaro $ \Rightarrow \sum v_n = 2\sum u_n$ . \end{enumerate} \fincorrection \correction{004474} \begin{enumerate} \item $nu_{2n} \le \sum_{k=n+1}^{2n} u_k$, $nu_{2n+1} \le \sum_{k=n+2}^{2n+1} u_k$. \item $\varepsilon > 0$ : Pour $k$ suffisament grand, $u_k \le \frac \varepsilon k$, donc $u_k \ge \frac 1n \Rightarrow k\le n\varepsilon$. Alors $\sum_{u_k \ge 1/n} \frac 1{u_k} \le n^2\varepsilon + Kn$. \end{enumerate} \fincorrection \correction{004475} \begin{enumerate} \item TAF : $\exists\ x_n \in {[R_{n+1},R_n]} \text{ tel que } R_n^{1-p} - R_{n+1}^{1-p} = (1-p) \frac {R_n-R_{n+1}}{x_n^p} \ge (1-p) \frac {a_n}{R_n^p}$. Donc, $\sum_{n=0}^{\infty} \frac {a_n}{R_n^p} \le \frac {A^{1-p}}{1-p}$. \item C'est $\frac 1{1-p}$ : Pour $a_n = k^n$, $A^{p-1}\sum_{n=0}^{\infty} \frac {a_n}{R_n^p} = \frac {1-k}{1-k^{1-p}} \to \frac 1{1-p}$ lorsque $k\to1^-$. \end{enumerate} \fincorrection \correction{004476} $(u_n)$ est croissante. Si la suite $(u_n)$ converge alors $a_n = u_n(u_{n+1} - u_n) \le M(u_{n+1} - u_n)$ donc les sommes partielles de $\sum a_n$ sont bornées.\par Si $\sum a_n$ converge, alors $u_{n+1} - u_n = \frac{a_n}{u_n} \le \frac{a_n}{u_0}$ donc $\sum(u_{n+1}-u_n)$ converge. \fincorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \correction{004481} Transformaton d'Abel. \fincorrection \correction{004482} Transformation d'Abel $+$ découpage, $v_n\to0$ lorsque $n\to\infty$. \fincorrection \correction{004483} $|u_n|+|v_n|\le(|u_1|+|v_1|)\prod_{k=1}^{n-1}\Bigl(1+\frac1{k(k+1)}\Bigr)$ et le produit infini est trivialement convergent. \fincorrection \correction{004484} \begin{enumerate} \item \item \begin{enumerate} \item $1+S_N\le P_N$ n'est plus triviale mais reste vraie par récurrence (la différence est une fonction décroissante de~$a_1$). \item \end{enumerate} \item La suite $(P_Ne^{-S_N})$ est positive décroissante donc converge, ce qui entraîne la convergence de $(P_N)$. On a $P_N \to 0$ ssi $P_Ne^{-S_N} \to 0$ (lorsque $N\to\infty$) soit ssi la série de terme général $\ln(1+a_n)-a_n\sim-\frac{a_n^2}{\strut 2}$ diverge. \item \begin{enumerate} \item Démontrer l'inégalité en développant les deux membres. Sachant que la suite $(P_N)$ est bornée on en déduit qu'elle est de Cauchy donc converge. \item \end{enumerate} \end{enumerate} \fincorrection \correction{004485} On a $f(x) = \sum_{n=2}^\infty \frac{f(x^n)}{2^{n-1}}$. Soit $a\in{[0,1[}$ et $M_a$, $m_a$ le maximum et le minimum de $f$ sur $[0,a]$. D'après la relation précédente, $m_a \ge m_{a^2}$ et $M_a \le M_{a^2}$ donc en fait $m_a = m_{a^2}$ et $M_a = M_{a^2}$. On en déduit $f([0,a]) = f([0,a^2]) = \dots = f([0,a^{2^k}]) = \dots = \{f(0)\}$. Donc $f$ est constante et réciproquement les fonctions constantes conviennent. \fincorrection \correction{004486} Soit $(p_0,p_1,\dots)$ la suite croissante des nombres premiers et $S_k = \sum_{P(n)\le k}\frac1n$. On a $S_k = S_{k-1}\sum_{i=0}^\infty \frac1{p_k^i} = \frac{p_k}{p_k-1}S_{k-1}$, ce qui prouve que $S_k$ est fini. La série demandée est $\frac{S_0}{p_0}+ \sum_{k=1}^\infty \frac{S_k-S_{k-1}}{p_k} = \frac{S_0}{p_0}+ \sum_{k=1}^\infty\frac{S_k}{p_k^2}$. Montrons que $S_k\le2\sqrt{p_k}$, ceci prouvera la convergence. C'est vrai pour $k=0$ et $k=1$, et si c'est vrai pour $k-1$ avec $k\ge 2$ alors on obtient $S_k\le 2\sqrt{p_k}\sqrt{\frac{p_kp_{k-1}}{(p_k-1)^2}} \le 2\sqrt{p_k}\sqrt{\frac{p_k(p_k-2)}{(p_k-1)^2}} \le 2\sqrt{p_k}$. Remarque~: on a en réalité $S_k\sim e^\gamma\ln(p_k)$ où $\gamma$ est la constante d'Euler (formule de Mertens). \fincorrection \correction{005142} \begin{enumerate} \item Soit $n\geq3$. $$\sum_{i=3}^{n}i=\frac{(3+n)(n-2)}{2}=\frac{(n-2)(n+3)}{2}.$$ Soit $n\in\Nn^*$. $$\sum_{i=1}^{n}(2i-1)=\frac{(1+(2n-1))n}{2}=n^2$$ et $$\sum_{k=4}^{n+1}(3k+7)=\frac{(19+3n+10)(n-2)}{2}=\frac{1}{2}(3n+29)(n-2)=\frac{1}{2}(3n^2+23n-58).$$ \item Soit $n\in\Nn^*$. Posons $u_n=1,\underbrace{11...1}_n$. On a $$u_n=1+\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{10^k}=1+\frac{1}{10}\frac{1-\frac{1}{10^n}}{1-\frac{1}{10}} =1+\frac{1}{9}(1-\frac{1}{10^n})=\frac{10}{9}-\frac{1}{9.10^n}.$$ Quand $n$ tend vers $+\infty$, $\frac{1}{9.10^n}$ tend vers $0$, et donc, $u_n$ tend vers $\frac{10}{9}$. \begin{center} \shadowbox{ $1,11111....=\frac{10}{9}.$ } \end{center} Soit $n\in\Nn^*$. Posons $u_n=0,\underbrace{99...9}_n$. On a $$u_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{9}{10^k}=\frac{9}{10}\frac{1-\frac{1}{10^n}}{1-\frac{1}{10}} =1-\frac{1}{10^n}.$$ Quand $n$ tend vers $+\infty$, $\frac{1}{10^n}$ tend vers $0$, et donc, $u_n$ tend vers $1$. \begin{center} \shadowbox{ $0,9999....=1.$ } \end{center} \item Soit $n\in\Nn^*$. Posons $u_n=\underbrace{1-1+1-...+(-1)^{n-1}}_n$. On a $$u_n=\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^k=\frac{1-(-1)^n}{1-(-1)}=\frac{1}{2}(1-(-1)^n)=\left\{ \begin{array}{l} 0\;\mbox{si}\;n\;\mbox{est pair}\\ 1\;\mbox{si}\;n\;\mbox{est impair} \end{array} \right..$$ \item Soit $n\in\Nn^*$. $\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{2^k}=\frac{1}{2}\frac{1-\frac{1}{2^n}}{1-\frac{1}{2}}=1-\frac{1}{2^n}$. Quand $n$ tend vers $+\infty$, on obtient \begin{center} \shadowbox{ $\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+...=1.$ } \end{center} \item Soit $n\in\Nn$. \begin{align*} \sum_{k=0}^{n}\cos\frac{k\pi}{2}&=\Re(\sum_{k=0}^{n}e^{ik\pi/2})(=\Re(\sum_{k=0}^{n}i^k))\\ &=\Re(\frac{1-e^{(n+1)i\pi/2}}{1-e^{i\pi/2}})=\Re(\frac{e^{i(n+1)\pi/4}}{e^{i\pi/4}}\frac{-2i\sin\frac{(n+1)\pi}{4}} {-2i\sin\frac{\pi}{4}})=\sqrt{2}\sin\frac{(n+1)\pi}{4}\cos\frac{n\pi}{4}\\ &=\frac{1}{\sqrt{2}}\sin\frac{(2n+1)\pi}{4}+\frac{1}{2} =\left\{ \begin{array}{l} 1\;\mbox{si}\;n\in4\Nn\cup(4\Nn+1)\\ 0\;\mbox{si}\;n\in(4\Nn+2)\cup(4\Nn+3) \end{array} \right. \end{align*} En fait, on peut constater beaucoup plus simplement que $\cos0+\cos\frac{\pi}{2}+\cos\pi+\cos\frac{3\pi}{2}=1+0-1+0=0$, on a immédiatement $S_{4n}=1$, $S_{4n+1}=S_{4n}+0=1$, $S_{4n+2}=S_{4n+1}-1=0$ et $S_{4n+3}=S_{4n+2}+0=0$. \item Soient $n\in\Nn$ et $\theta\in\Rr$. Posons $C_n=\sum_{k=0}^{n}\cos(k\theta)$ et $S_n=\sum_{k=0}^{n}\sin(k\theta)$. Alors, d'après la formule de \textsc{Moivre}, $$C_n+iS_n=\sum_{k=0}^{n}(\cos(k\theta)+i\sin(k\theta))=\sum_{k=0}^{n}e^{ik\theta}=\sum_{k=0}^{n}(e^{i\theta})^k.$$ \begin{itemize} \item[\textbf{- 1er cas.}] Si $\theta\notin2\pi\Zz$, alors $e^{i\theta}\neq1$. Par suite, $$C_n+iS_n=\frac{1-e^{i(n+1)\theta}}{1-e^{i\theta}}=e^{i\theta(n+1-1)/2}\frac{-2i\sin\frac{(n+1)\theta}{2}}{-2i\sin \frac{\theta}{2}}=e^{in\theta/2}\frac{\sin\frac{(n+1)\theta}{2}}{\sin \frac{\theta}{2}}.$$ Par suite, $$C_n=\Re(C_n+iS_n)=\frac{\cos\frac{n\theta}{2}\sin\frac{(n+1)\theta}{2}}{\sin\frac{\theta}{2}}\;\mbox{et}\;S_n=\Im(C_ n+iS_n)=\frac{\sin\frac{n\theta}{2}\sin\frac{(n+1)\theta}{2}}{\sin\frac{\theta}{2}}.$$ \item[\textbf{- 2ème cas.}] Si $\theta\in2\pi\Zz$, on a immédiatement $C_n=n+1$ et $S_n=0$. \end{itemize} Finalement, \begin{center} \shadowbox{ $\forall n\in\Nn,\;\sum_{k=0}^{n}\cos(k\theta)= \left\{ \begin{array}{l} \frac{\cos\frac{n\theta}{2}\sin\frac{(n+1)\theta}{2}}{\sin\frac{\theta}{2}}\;\mbox{si}\;\theta\notin2\pi\Zz\\ n+1\;\mbox{si}\;\theta\in2\pi\Zz \end{array} \right. \;\text{et}\;\sum_{k=0}^{n}\sin(k\theta)= \left\{ \begin{array}{l} \frac{\sin\frac{n\theta}{2}\sin\frac{(n+1)\theta}{2}}{\sin\frac{\theta}{2}}\;\mbox{si}\;\theta\notin2\pi\Zz\\ 0\;\mbox{si}\;\theta\in2\pi\Zz \end{array} \right. .$ } \end{center} \item Soient $x\in[0,1]$ et $n\in\Nn^*$. Puisque $-x\neq1$, on a \begin{align*} S_n'(x)&=\sum_{k=1}^{n}(-1)^{k-1}x^{k-1}=\sum_{k=0}^{n-1}(-x)^{k}=\frac{1-(-x)^{n}}{1-(-x)}=\frac{1}{1+x}(1-(-x)^{n}). \end{align*} Par suite, $$S_n(x)=S_n(0)+\int_{0}^{x}S_n'(t)\;dt=\int_{0}^{x}\frac{1-(-t)^{n}}{1+t}\;dt=\int_{0}^{x}\frac{1}{1+t}\;dt- \int_{0}^{x}\frac{(-t)^{n}}{1+t}\;dt=\ln(1+x)-\int_{0}^{x}\frac{(-t)^{n}}{1+t}\;dt.$$ Mais alors, $$|S_n(x)-\ln(1+x)|=\left|\int_{0}^{x}\frac{(-t)^{n}}{1+t}\;dt\right|\leq\int_{0}^{x} \left|\frac{(-t)^{n}}{1+t}\right|\;dt=\int_{0}^{x}\frac{t^n}{1+t}\;dt \leq\int_{0}^{x}t^{n}dt=\frac{x^{n+1}}{n+1}\leq\frac{1}{n+1}.$$ Comme $\frac{1}{n+1}$ tend vers $0$ quand $n$ tend vers $+\infty$, on en déduit que \begin{center} \shadowbox{ $\forall x\in[0,1],\;\lim_{n\rightarrow +\infty}\sum_{k=1}^{n}(-1)^{k-1}x^{k-1}=\ln(1+x).$ } \end{center} En particulier, \begin{center} \shadowbox{$\ln2=\lim_{n\rightarrow +\infty}(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-...+\frac{(-1)^{n-1}}{n})$}. \end{center} \item \begin{enumerate} \item Soit $n\in\Nn$. $u_{n+1}-3=2u_n-6=2(u_n-3)$. La suite $(u_n-3)_{n\in\Nn}$ est donc une suite géométrique, de raion $q=2$ et de premier terme $u_0-3=-2$. On en déduit que, pour $n$ enteir naturel donné, $u_n-3=-2.2^n$. Donc, $$\forall n\in\Nn,\;u_n=3-2^{n+1}.$$ \item Soit $n\in\Nn$. $$\sum_{k=0}^{n}u_k=\sum_{k=0}^{n}3-2\sum_{k=0}^{n}2^k=3(n+1)-2\frac{2^{n+1}-1}{2-1}=-2^{n+2}+3n+5.$$ \end{enumerate} \end{enumerate} \fincorrection \correction{005150} Pour $x$ réel, posons $f(x)=\sum_{k=1}^{n}(a_k+b_kx)^2$. On remarque que pour tout réel $x$, $f(x)\geq0$. En développant les $n$ carrés, on obtient, $$f(x)=\sum_{k=1}^{n}(b_k^2x^2+2a_kb_kx+a_k^2)=(\sum_{k=1}^{n}b_k^2)x^2+2(\sum_{k=1}^{n}a_kb_k)x+(\sum_{k=1}^{n}a_k^2).$$ \begin{itemize} \item[\textbf{1er cas.}] Si $\sum_{k=1}^{n}b_k^2\neq0$, $f$ est un trinôme du second degré de signe constant sur $\Rr$. Son discriminant réduit est alors négatif ou nul. Ceci fournit $$0\geq\Delta'=(\sum_{k=1}^{n}a_kb_k)^2-(\sum_{k=1}^{n}b_k^2)(\sum_{k=1}^{n}a_k^2),$$ et donc $$\left|\sum_{k=1}^{n}a_kb_k\right|\leq\sqrt{\sum_{k=1}^{n}a_k^2}\sqrt{\sum_{k=1}^{n}b_k^2}.$$ \item[\textbf{2ème cas.}] Si $\sum_{k=1}^{n}b_k^2=0$, alors tous les $b_k$ sont nuls et l'inégalité est immédiate.\\ Finalement, dans tous les cas, \begin{center} \shadowbox{ $\left|\sum_{k=1}^{n}a_kb_k\right|\leq\sqrt{\sum_{k=1}^{n}a_k^2}\sqrt{\sum_{k=1}^{n}b_k^2}.$ } \end{center} \end{itemize} Cette inégalité est encore valable en remplaçant les $a_k$ et les $b_k$ par leurs valeurs absolues, ce qui fournit les inégalités intermédiaires. Retrouvons alors l'inégalité de l'exercice \ref{exo:suprou4bis}. Puisque les $a_k$ sont strictement positifs, on peut écrire~: $$\left(\sum_{i=1}^{n}a_i\right)\left(\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{a_i}\right)=\left(\sum_{i=1}^{n}\sqrt{a_i}^2\right)\left( \sum_{i=1}^{n}\sqrt{\frac{1}{a_i}}^2\right)\geq\left(\sum_{i=1}^{n}\sqrt{a_i}\sqrt{\frac{1}{a_i}}\right)^2=n^2.$$ \fincorrection \correction{005458} Soit $n\in\Nn^*$. \begin{align*}\ensuremath \sum_{k=1}^{n}\sin\frac{k}{n^2}&=\mbox{Im}(\sum_{k=1}^{n}e^{ik/n^2})=\mbox{Im}\left(e^{i/n^2}\frac{1-e^{ni/n^2}}{1-e^{i/n^2}}\right) =\mbox{Im}\left(e^{i(1+\frac{n}{2}-\frac{1}{2})/n^2}\frac{\sin\frac{1}{2n}}{\sin\frac{1}{2n^2}}\right) =\frac{\sin\frac{n+1}{2n^2}\sin\frac{1}{2n}}{\sin\frac{1}{2n^2}}\\ &\underset{n\rightarrow+\infty}{=}(\frac{1}{2n}+\frac{1}{2n^2}+o(\frac{1}{n^2}))(\frac{1}{2n}+o(\frac{1}{n^2}))(\frac{1}{2n^2}+o(\frac{1}{n^3}))^{-1}\\ &=(1+\frac{1}{n}+o(\frac{1}{n}))(\frac{1}{2}+o(\frac{1}{n}))(1+o(\frac{1}{n}))^{-1}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2n} +o(\frac{1}{n}), \end{align*} (on peut aussi partir de l'encadrement $\frac{k}{n^2}-\frac{k^3}{6n^6}\leq\sin\frac{k}{n^2}\leq\frac{k}{n^2}$). \fincorrection \correction{005688} \begin{enumerate} \item Pour $n\geqslant1$, on pose $u_n =\ln\left(\frac{n^2+n+1}{n^2+n-1}\right)$. $\forall n\geqslant 1$, $u_n$ existe \begin{center} $u_n=\ln\left(1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}\right)-\ln\left(1+\frac{1}{n}-\frac{1}{n^2}\right)\underset{n\rightarrow+\infty}{=}\left(\frac{1}{n}+O\left(\frac{1}{n^2}\right)\right)-\left(\frac{1}{n}+O\left(\frac{1}{n^2}\right)\right)=O\left(\frac{1}{n^2}\right)$. \end{center} Comme la série de terme général $\frac{1}{n^2}$, $n\geqslant1$, converge (série de \textsc{Riemann} d'exposant $\alpha>1$), la série de terme général $u_n$ converge. \item Pour $n\geqslant2$, on pose $u_n =\frac{1}{n+(-1)^n\sqrt{n}}$. $\forall n\geqslant 2$, $u_n$ existe et de plus $u_n\underset{n\rightarrow+\infty}{\sim}\frac{1}{n}$. Comme la série de terme général $\frac{1}{n}$, $n\geqslant 2$, diverge et est positive, la série de terme général $u_n$ diverge. \item Pour $n\geqslant1$, on pose $u_n =\left(\frac{n+3}{2n+1}\right)^{\ln n}$. Pour $n\geqslant1$, $u_n > 0$ et \begin{align*}\ensuremath \ln(u_n)&=\ln(n)\ln\left(\frac{n+3}{2n+1}\right) =\ln(n)\left(\ln\left(\frac{1}{2}\right)+\ln\left(1+\frac{3}{n}\right) -\ln\left(1+\frac{1}{2n}\right)\right)\\ &\underset{n\rightarrow+\infty}{=}\ln(n)\left(-\ln2+O\left(\frac{1}{n}\right)\right)\underset{n\rightarrow+\infty}{=}-\ln2\ln(n)+o(1). \end{align*} Donc $u_n=e^{\ln(u_n)}\underset{n\rightarrow+\infty}{\sim}e^{-\ln2\ln n}=\frac{1}{n^{\ln2}}$. Comme la série de terme général $\frac{1}{n^{\ln 2}}$, $n\geqslant1$, diverge (série de \textsc{Riemann} d'exposant $\alpha\leqslant1$) et est positive, la série de terme général $u_n$ diverge. \item Pour $n\geqslant2$, on pose $u_n=\frac{1}{\ln(n)\ln(\ch n)}$. $u_n$ existe pour $n\geqslant2$. $\ln(\ch n)\underset{n\rightarrow+\infty}{\sim}\ln\left(\frac{e^n}{2}\right)=n -\ln2\underset{n\rightarrow+\infty}{\sim}n$ et $un\underset{n\rightarrow+\infty}{\sim}\frac{1}{n\ln(n)}>0$. Vérifions alors que la série de terme général $\frac{1}{n\ln n}$, $n\geqslant2$, diverge. La fonction $x\rightarrow x\ln x$ est continue, croissante et strictement positive sur $]1,+\infty[$ (produit de deux fonctions strictement positives et croissantes sur $]1,+\infty[$). Par suite, la fonction $x\rightarrow\frac{1}{x\ln x}$ est continue et décroissante sur $]1,+\infty[$ et pour tout entier $k$ supérieur ou égal à $2$, \begin{center} $\frac{1}{k\ln k}\geqslant\int_{k}^{k+1}\frac{1}{x\ln x}\;dx$ \end{center} Par suite, pour $n\geqslant2$, \begin{center} $\sum_{k=2}^{n}\frac{k\ln k}\geqslant\sum_{k=2}^{n}\int_{k}^{k+1}\frac{1}{x\ln x}\;dx=\int_{2}^{n+1}\frac{1}{x\ln x}\;dx=\ln(\ln(n+1)) -\ln(\ln(2)\underset{n\rightarrow+\infty}{\rightarrow}+\infty.$ \end{center} Donc $u_n$ est positif et équivalent au terme général d'une série divergente. La série de terme général $u_n$ diverge. \item Pour $n\geqslant1$, on pose $u_n=\Arccos\sqrt[3]{1-\frac{1}{n^2}}$. $u_n$ existe pour $n\geqslant 1$. De plus $u_n\underset{n\rightarrow+\infty}{\rightarrow}0$. On en déduit que \begin{align*}\ensuremath u_n&\underset{n\rightarrow+\infty}{\sim}\sin(u_n)=\sin\left(\Arccos\sqrt[3]{1-\frac{1}{n^2}}\right) =\sqrt{1-\left(1-\frac{1}{n^2}\right)^{2/3}}\underset{n\rightarrow+\infty}{=}\sqrt{1-1+\frac{2}{3n^2}+o\left(\frac{1}{n^2}\right)}\\ &\underset{n\rightarrow+\infty}{\sim}\sqrt{\frac{2}{3}}\frac{1}{n}>0 \end{align*} terme général d'une série de \textsc{Riemann} divergente. La série de terme général un diverge. \item Pour $n\geqslant1$, on pose $u_n=\frac{n^2}{(n-1)!}$. $u_n$ existe et $u_n \neq0$ pour $n\geqslant1$. De plus, \begin{center} $\left|\frac{u_{n+1}}{u_n}\right|=\frac{(n+1)^2}{n^2}\times\frac{(n-1)!}{n!}=\frac{(n+1)^2}{n^3} \underset{n\rightarrow+\infty}{\sim}\frac{1}{n}\underset{n\rightarrow+\infty}{\rightarrow}0< 1$. \end{center} D'après la règle de d'\textsc{Alembert}, la série de terme général $u_n$ converge. \item Pour $n\geqslant1$, on pose $u_n=\left(\cos\frac{1}{\sqrt{n}}\right)^n-\frac{1}{\sqrt{e}}$. $u_n$ est défini pour $n\geqslant1$ car pour $n\geqslant1$, $\frac{1}{\sqrt{n}}\in\left]0,\frac{\pi}{2}\right[$ et donc $\cos\frac{1}{\sqrt{n}}>0$. Ensuite \begin{align*}\ensuremath \ln\left(\cos\frac{1}{\sqrt{n}}\right)&\underset{n\rightarrow+\infty}{=}\ln\left(1-\frac{1}{2n}+\frac{1}{24n^2}+o\left(\frac{1}{n^2}\right)\right)\underset{n\rightarrow+\infty}{=}-\frac{1}{2n}+\frac{1}{24n^2}-\frac{1}{8n^2}+o\left(\frac{1}{n^2}\right)\\ &\underset{n\rightarrow+\infty}{=}-\frac{1}{2n}-\frac{1}{12n^2}+o\left(\frac{1}{n^2}\right). \end{align*} Puis $n\ln\left(\cos\frac{1}{\sqrt{n}}\right)\underset{n\rightarrow+\infty}{=}-\frac{1}{2}-\frac{1}{12n}+o\left(\frac{1}{n}\right)$ et donc \begin{center} $u_n=e^{n\ln(\cos(1/\sqrt{n})}-\frac{1}{\sqrt{e}}\underset{n\rightarrow+\infty}{=}\frac{1}{\sqrt{e}}\left(e^{-\frac{1}{12n}+o\left(\frac{1}{n}\right)}-1\right)\underset{n\rightarrow+\infty}{\sim}-\frac{1}{12n\sqrt{e}}<0$. \end{center} La série de terme général $-\frac{1}{12n\sqrt{e}}$ est divergente et donc la série de terme général $u_n$ diverge. \item \begin{align*}\ensuremath \ln\left(\frac{2}{\pi}\Arctan\left(\frac{n^2+1}{n}\right)\right)&=\ln\left(1-\frac{2}{\pi}\Arctan\left(\frac{n}{n^2+1}\right)\right)\\ &\underset{n\rightarrow+\infty}{\sim}-\frac{2}{\pi}\Arctan\left(\frac{n}{n^2+1}\right)\underset{n\rightarrow+\infty}{\sim}-\frac{2}{\pi}\frac{n}{n^2+1}\underset{n\rightarrow+\infty}{\sim}-\frac{2}{n\pi}<0. \end{align*} Donc, la série de terme général $u_n$ diverge. \item Pour $n\geqslant1$, on pose $u_n=\int_{0}^{\pi/2}\frac{\cos^2x}{n^2+\cos^2x}\;dx$. Pour $n\geqslant1$, la fonction $x\mapsto\frac{\cos^2x}{n^2+\cos^2x}\;dx$ est continue sur $\left[0,\frac{\pi}{2}\right]$ et positive et donc, $u_n$ existe et est positif. De plus, pour $n\geqslant1$, \begin{center} $0\leqslant u_n\leqslant\int_{0}^{\pi/2}\frac{1}{n^2+0}\;dx=\frac{\pi}{2n^2}$. \end{center} La série de terme général $\frac{\pi}{2n^2}$ converge et donc la série de terme général $u_n$ converge. \item $-\sqrt{2}\sin\left(\frac{\pi}{4}+\frac{1}{n}\right) =-\sin\left(\frac{1}{n}\right)-\cos\left(\frac{1}{n}\right)\underset{n\rightarrow+\infty}{=}-1+O\left(\frac{1}{n}\right)$ puis \begin{center} $-\sqrt{2}\sin\left(\frac{\pi}{4}+\frac{1}{n}\right)\ln n\underset{n\rightarrow+\infty}{=}-\ln(n)+O\left(\frac{\ln n}{n}\right)\underset{n\rightarrow+\infty}{=}-\ln(n)+o(1)$. \end{center} Par suite, \begin{center} $0< u_n=e^{-\sqrt{2}\sin\left(\frac{\pi}{4}+\frac{1}{n}\right)\ln n}\underset{n\rightarrow+\infty}{\sim}e^{-\ln n}=\frac{1}{n}$. \end{center} La série de terme général $\frac{1}{n}$ diverge et la série de terme général $u_n$ diverge. \item $n\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)\underset{n\rightarrow+\infty}{=}1-\frac{1}{2n}+o\left(\frac{1}{n}\right)$ et donc \begin{center} $u_n\underset{n\rightarrow+\infty}{=}e-e^{1-\frac{1}{2n}+o\left(\frac{1}{n}\right)}\underset{n\rightarrow+\infty}{=}e\left(1-1+\frac{1}{2n}+o\left(\frac{1}{n}\right)\right)\underset{n\rightarrow+\infty}{\sim}\frac{e}{2n}>0$. \end{center} La série de terme général $\frac{e}{2n}$ diverge et la série de terme général $u_n$ diverge. \end{enumerate} \fincorrection \correction{005689} \begin{enumerate} \item Si $P$ n'est pas unitaire de degré $3$, $u_n$ ne tend pas vers $0$ et la série de terme général $u_n$ diverge grossièrement. Soit $P$ un polynôme unitaire de degré $3$. Posons $P =X^3+aX^2+bX+c$. \begin{align*}\ensuremath u_n&=n\left(\left(1+\frac{2}{n^2}\right)^{1/4}-\left(1+\frac{a}{n}+\frac{b}{n^2}+\frac{c}{n^3}\right)^{1/3}\right)\\ &\underset{n\rightarrow+\infty}{=}n\left(\left(1+\frac{1}{2n^2}+O\left(\frac{1}{n^3}\right)\right)-\left(1+\frac{a}{3n}+\frac{b}{3n^2}-\frac{a^2}{9n^2}+O\left(\frac{1}{n^3}\right)\right)\right)\\ &\underset{n\rightarrow+\infty}{=}-\frac{a}{3}+\left(\frac{1}{2}-\frac{b}{3}+\frac{a^2}{9}\right)\frac{1}{n}+O\left(\frac{1}{n^2}\right). \end{align*} \textbullet~Si $a\neq0$, $u_n$ ne tend pas vers $0$ et la série de terme général $u_n$ diverge grossièrement. \textbullet~Si $a=0$ et $\frac{1}{2}-\frac{b}{3}\neq0$, $u_n\underset{n\rightarrow+\infty}{\sim}\left(\frac{1}{2}-\frac{b}{3}\right)\frac{1}{n}$. $u_n$ est donc de signe constant pour $n$ grand et est équivalent au terme général d'une série divergente. Donc la série de terme général $u_n$ diverge. \textbullet~Si $a = 0$ et $\frac{1}{2}-\frac{b}{3}= 0$, $u_n\underset{n\rightarrow+\infty}{=}O\left(\frac{1}{n^2}\right)$. Dans ce cas, la série de terme général $u_n$ converge (absolument). En résumé, la série de terme général $u_n$ converge si et seulement si $a = 0$ et $b=\frac{3}{2}$ ou encore la série de terme général $u_n$ converge si et seulement si $P$ est de la forme $X^3+\frac{3}{2}X+c$, $c\in\Rr$. \item Pour $n\geqslant2$, posons $u_n=\frac{1}{n^\alpha}S(n)$. Pour $n\geqslant2$, \begin{center} $0 0$. Par suite, $\forall n\geqslant 2$, $0< u_n<\frac{1}{n}$. On en déduit que $\lim_{n \rightarrow +\infty}u_n=0$ et par suite $u_n\underset{n\rightarrow+\infty}{\sim}\frac{1}{n}>0$. La série de terme général $u_n$ diverge. \item On sait qu'il existe une infinité de nombres premiers. Notons $(p_n)_{n\in\Nn^*}$ la suite croissante des nombres premiers. La suite $(p_n)_{n\in\Nn^*}$ est une suite strictement croissante d'entiers et donc $\lim_{n \rightarrow +\infty}p_n= +\infty$ ou encore $\lim_{n \rightarrow +\infty}\frac{1}{p_n}=0$. Par suite, $0<\frac{1}{p_n}\underset{n\rightarrow+\infty}{\sim}\ln\left(\left(1-\frac{1}{p_n}\right)^{-1}\right)$ et les séries de termes généraux $\frac{1}{p_n}$ et $\ln\left(\left(1-\frac{1}{p_n}\right)^{-1}\right)$ sont de même nature. Il reste donc à étudier la nature de la série de terme général $\ln\left(\left(1-\frac{1}{p_n}\right)^{-1}\right)$. Montrons que $\forall N\in\Nn^*$, $\sum_{n=1}^{+\infty}\ln\left(\left(1-\frac{1}{p_n}\right)^{-1}\right)\geqslant\ln\left(\sum_{k=1}^{N}\frac{1}{k}\right)$. Soit $n\geqslant$. Alors $\frac{1}{p_n}<1$ et la série de terme général $\frac{1}{p_n^k}$, $k\in\Nn$, est une série géométrique convergente de somme : $\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{1}{p_n^k}= \left(1-\frac{1}{p_n}\right)^{-1}$. Soit alors $N$ un entier naturel supérieur ou égal à $2$ et $p_1 < p_2... < p_n$ la liste des nombres premiers inférieurs ou égaux à $N$. Tout entier entre $1$ et $N$ s'écrit de manière unique $p_1^{\beta_1}\ldots p_k^{\beta_k}$ où $\forall i\in\llbracket1,n\rrbracket$, $0\leqslant\beta_i\leqslant\alpha_i=E\left(\frac{\ln(N)}{\ln(p_i)}\right)$ et deux entiers distincts ont des décompositions distinctes. Donc \begin{align*}\ensuremath \sum_{k=1}^{+\infty}\ln\left(\left(1-\frac{1}{p_k}\right)^{-1}\right)&\geqslant\sum_{k=1}^{n}\ln\left(\left(1-\frac{1}{p_k}\right)^{-1}\right)\;(\text{car}\;\forall k\in\Nn^*,\;\left(1-\frac{1}{p_k}\right)^{-1}> 1)\\ &=\sum_{k=1}^{n}\ln\left(\sum_{i=0}^{+\infty}\frac{1}{p_k^i}\right)\geqslant\sum_{k=1}^{n}\ln\left(\sum_{i=0}^{\alpha_k}\frac{1}{p_k^i}\right)\\ &=\ln\left(\prod_{k=1}^{n}\left(\sum_{i=0}^{\alpha_k}\frac{1}{p_k^i}\right)\right)=\ln\left(\sum_{0\leqslant\beta_1\leqslant\alpha_1,\ldots,\ldots0\leqslant\beta_n\leqslant\alpha_n}^{}\frac{1}{p_1^{\beta_1}\ldots,\;p_n^{\beta_n}}\right)\\ &\geqslant\ln\left(\sum_{k=1}^{N}\frac{1}{k}\right). \end{align*} Or $\lim_{N \rightarrow +\infty}\ln\left(\sum_{k=1}^{N}\frac{1}{k}\right)=+\infty$ et donc $\sum_{k=1}^{+\infty}\ln\left(\left(1-\frac{1}{p_k}\right)^{-1}\right)=+\infty$. La série de terme général $\ln\left(1-\frac{1}{p_k}\right)^{-1}$ diverge et il en est de même de la série de terme général $\frac{1}{p_n}$. (Ceci montre qu'il y a beaucoup de nombres premiers et en tout cas beaucoup plus de nombres premiers que de carrés parfaits par exemple). \item Soit $n\in\Nn^*$. Posons $n =a_p\times10^p+\ldots+a_1\times10+a_0$ où $\forall i\in\llbracket0,p\rrbracket$, $a_i\in\{0,1;...,9\}$ et $a_p\neq 0$. Alors $c(n) = p+1$. Déterminons $p$ est en fonction de $n$. On a $10^p\leqslant n <10^{p+1}$ et donc $p=E\left(\log(n)\right)$. Donc \begin{center} $\forall n\in\Nn^*$, $u_n=\frac{1}{n(E(\log n)+1)^\alpha}$. \end{center} Par suite, $u_n\underset{n\rightarrow+\infty}{\sim}\frac{\ln^\alpha(10)}{n\ln^\alpha(n)}$ et la série de terme général $u_n$ converge si et seulement si $\alpha> 1$ (séries de \textsc{Bertrand}). Redémontrons ce résultat qui n'est pas un résultat de cours. La série de terme général $\frac{1}{n\ln n}$ est divergente (voir l'exercice \ref{ex:rou1ter}, 4)). Par suite, si $\alpha\leqslant1$, la série de terme général $\frac{1}{n\ln^\alpha(n)}$ est divergente car $\forall n\geqslant2$, $\frac{1}{n\ln^\alpha(n)}\geqslant\frac{1}{n\ln n}$. Soit $\alpha>1$. Puisque la fonction $x\mapsto\frac{1}{x\ln^\alpha x}$ est continue et strictement décroissante sur $]1,+\infty[$, pour $k\geqslant3$, \begin{center} $\frac{1}{k\ln^\alpha k}\leqslant\int_{k-1}^{k}\frac{1}{x\ln^\alpha x}\;dx$ \end{center} puis, pour $n\geqslant3$, en sommant pour $k\in\llbracket3,n\rrbracket$ \begin{center} $\sum_{k=3}^{n}\frac{1}{k\ln^\alpha k}\leqslant\sum_{k=3}^{n}\int_{k-1}^{k}\frac{1}{x\ln^\alpha x}\;dx=\int_{2}^{n}\frac{1}{x\ln^\alpha x}\;dx=\frac{1}{\alpha-1}\left(\frac{1}{\ln^{\alpha-1}(2)}-\frac{1}{\ln^{\alpha-1}(n)}\right)\leqslant\frac{1}{\alpha-1}\frac{1}{\ln^{\alpha-1}(2)}$. \end{center} Ainsi, la suite des sommes partielles de la série à termes positifs, de terme général $\frac{1}{k\ln^\alpha k}$, est majorée et donc la série de terme général $\frac{1}{k\ln^\alpha k}$ converge. \textbf{6} Soit $n\geqslant2$. \begin{center} $\left|\frac{u_{n+1}}{u_n}\right|=\frac{\ln^a(n+1)}{(n+1)^b}\underset{n\rightarrow+\infty}{\rightarrow}0 < 1$ \end{center} et d'après la règle de d'\textsc{Alembert}, la série de terme général $u_n$ converge. \item $\lim_{n \rightarrow +\infty}u_n=\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{4}= 0$. Donc \begin{align*}\ensuremath u_n&\underset{n\rightarrow+\infty}{\sim}\tan(u_n)\\ &=\frac{\left(1+\frac{1}{n}\right)^a-\left(1-\frac{1}{n}\right)^a}{1+\left(1-\frac{1}{n^2}\right)^a}\underset{n\rightarrow+\infty}{=}\frac{\frac{2a}{n}+O\left(\frac{1}{n^2}\right)}{2+O\left(\frac{1}{n^2}\right)}\underset{n\rightarrow+\infty}{=}\frac{a}{n}+O\left(\frac{1}{n^2}\right). \end{align*} Par suite, la série de terme général $u_n$ converge si et seulement si $a = 0$. \item La fonction $x\mapsto x^{3/2}$ est continue et croissante sur $\Rr^+$. Donc pour $k\geqslant 1$, $\int_{k-1}^{k}x^{3/2}\;dx\leqslant k^{3/2}\leqslant\int_{k}^{k+1}x^{3/2}\;dx$ puis pour $n\in\Nn^*$ : \begin{center} $\int_{0}^{n}x^{3/2}\;dx\sum_{k=1}^{n}\int_{k-1}^{k}x^{3/2}\;dx\leqslant\sum_{k=1}^{n}k^{3/2}\leqslant\sum_{k=1}^{n}\int_{k}^{k+1}x^{3/2}\;dx=\int_{1}^{n+1}x^{3/2}\;dx$ \end{center} ce qui fournit \begin{center} $\frac{2}{5}n^{5/2}\leqslant\sum_{k=1}^{n}k^{3/2}\leqslant\frac{2}{5}((n+1)^{5/2}-1)$ et donc $\sum_{k=1}^{n}k^{3/2}\underset{n\rightarrow+\infty}{\sim}\frac{2n^{5/2}}{5}$. \end{center} Donc $u_n\underset{n\rightarrow+\infty}{\sim}\frac{2n^{\frac{5}{2}-\alpha}}{5}>0$. La série de terme général $u_n$ converge si et seulement si $\alpha>\frac{7}{2}$. \item Pour $n\geqslant1$, \begin{center} $u_n =\left(1+\frac{1}{n^\alpha}\right)\left(1+\frac{2}{n^\alpha}\right)\ldots\left(1+\frac{n}{n^\alpha}\right)-1\geqslant\frac{1}{n^\alpha}+\frac{2}{n^\alpha}+\ldots+\frac{n}{n^\alpha}=\frac{n(n+1)}{2n^\alpha}>0$. \end{center} Comme $\frac{n(n+1)}{2n^\alpha}\underset{n\rightarrow+\infty}{\sim}\frac{1}{2n^{\alpha-2}}$, si $\alpha\leqslant3$, on a $\alpha-2\leqslant1$ et la série de terme général $u_n$ diverge. Si $\alpha> 3$, \begin{align*}\ensuremath 0 < u_n&\leqslant\left(1+\frac{n}{n^\alpha}\right)^n -1= e^{n\ln\left(1+\frac{1}{n^{\alpha-1}}\right)}-1\\ &\underset{n\rightarrow+\infty}{\sim}n\ln\left(1+\frac{1}{n^{\alpha-1}}\right)\\ &\underset{n\rightarrow+\infty}{\sim}\frac{1}{n^{\alpha-2}}\;\text{terme général d'une série de \textsc{Riemann} convergente}, \end{align*} et, puisque $\alpha-2>1$, la série de terme général $u_n$ converge. Finalement, la série de terme général $u_n$ converge si et seulement si $\alpha > 3$. \end{enumerate} \fincorrection \correction{005690} \begin{enumerate} \item Pour $n\in\Nn$, \begin{center} $u_n =\sin\left(\frac{\pi n^2}{n+1}\right)=\sin\left(\frac{\pi(n^2-1+1)}{n+1}\right)=\sin\left(\frac{\pi}{n+1}+(n-1)\pi\right)=(-1)^{n-1}\sin\left(\frac{\pi}{n+1}\right)$. \end{center} La suite $\left((-1)^{n-1}\sin\left(\frac{\pi}{n+1}\right)\right)_{n\in\Nn}$ est alternée en signe et sa valeur absolue tend vers 0 en décroissant. La série de terme général $u_n$ converge donc en vertu du critère spécial aux séries alternées. \item (la suite $\left(\frac{1}{n+(-1)^{n-1}}\right)_{n\in\Nn}$ n'est pas décroisante à partir d'un certain rang). \begin{center} $u_n=\frac{(-1)^n}{n}\frac{1}{1+\frac{(-1)^{n-1}}{n}}\underset{n\rightarrow+\infty}{=}\frac{(-1)^n}{n}\left(1+O\left(\frac{1}{n}\right)\right)\underset{n\rightarrow+\infty}{=}\frac{(-1)^n}{n}+O\left(\frac{1}{n^2}\right)$. \end{center} La série de terme général $\frac{(-1)^n}{n}$ converge en vertu du critère spécial aux séries alternées et la série de terme général $O\left(\frac{1}{n^2}\right)$ est absolument convergente. On en déduit que la série de terme général $u_n$ converge. \item $u_n=\ln\left(1+\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}\right)\underset{n\rightarrow+\infty}{=}\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}-\frac{1}{2n}+ O\left(\frac{1}{n^{3/2}}\right)$. Les séries de termes généraux respectifs $\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$ et $O\left(\frac{1}{n^{3/2}}\right)$ sont convergentes et la série de terme général $-\frac{1}{2n}$ est divergente. Si la série de terme général $u_n$ convergeait alors la série de terme général $-\frac{1}{2n}=u_n-\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}-O\left(\frac{1}{n^{3/2}}\right)$ convergerait ce qui n'est pas. Donc la série de terme général $u_n$ diverge. \textbf{Remarque.} La série de terme général $u_n$ diverge bien que $u_n$ soit équivalent au terme général d'une série convergente. \item Si $\alpha\in2\pi\Zz$, alors les deux premières séries divergent et la dernière converge. Soit $\alpha\notin2\pi\Zz$. Pour $n\in\Nn^*$, posons $v_n=e^{in\alpha}$ et $\varepsilon_n=\frac{1}{n}$ de sorte que $u_n=\varepsilon_nv_n$. Pour $n\in\Nn^*$, posons encore $V_n =\sum_{k=1}^{n}v_k$. Pour $(n ,p)\in(\Nn^*)^2$, posons enfin $R_n^p=\sum_{k=1}^{n+p}u_k-\sum_{k=1}^{n}u_k=\sum_{k=n+1}^{n+p}u_k$. (On effectue alors une transformation d'\textsc{Abel}). \begin{align*}\ensuremath R_n^p&=\sum_{k=n+1}^{n+p}\varepsilon_kv_k =\sum_{k=n+1}^{n+p}\varepsilon_k(V_k-V_{k-1}) =\sum_{k=n+1}^{n+p}\varepsilon_kV_k-\sum_{k=n+1}^{n+p}\varepsilon_kV_{k-1} =\sum_{k=n+1}^{n+p}\varepsilon_kV_k-\sum_{k=n}^{n+p-1}\varepsilon_{k+1}V_{k}\\ &=\varepsilon_{n+p}V_{n+p}-\varepsilon_{n+1}V_n+ \sum_{k=n+1}^{n+p-1}(\varepsilon_k-\varepsilon_{k+1})V_k. \end{align*} Maintenant, pour $n\in\Nn^*$, $V_n=e^{i\alpha}\frac{e^{in\alpha}-1}{e^{i\alpha}-1}=e^{i\alpha}\frac{\sin(n\alpha/2)}{\sin(\alpha/2)}$ et donc $\forall n\in\Nn^*$, $|V_n|\leqslant\frac{1}{|\sin(\alpha/2)|}$. Par suite, pour $(n,p)\in(\Nn^*)^2$ \begin{align*}\ensuremath |R_n^p|&=\left|\frac{1}{n+p}V_{n+p}-\frac{1}{n+1}V_n+ \sum_{k=n+1}^{n+p-1}\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right)V_k\right|&\\ &\leqslant\frac{1}{|\sin(\alpha/2)|}\left(\frac{1}{n+p}+\frac{1}{n+1}+ \sum_{k=n+1}^{n+p-1}\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right)\right)\\ &=\frac{1}{|\sin(\alpha/2)|}\left(\frac{1}{n+p}+\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+p}\right)=\frac{2}{|\sin(\alpha/2)|(n+1)}\\ &\leqslant\frac{2}{n|\sin(\alpha/2)|}. \end{align*} Soit alors $\varepsilon$ un réel strictement positif. Pour $n\geqslant E\left(\frac{2}{\varepsilon|\sin(\alpha/2)|}\right)+ 1$ et p entier naturel non nul quelconque, on a $|R_n^p|<\varepsilon$. On a montré que $\forall\varepsilon>0$, $\exists n_0\in\Nn^*/$ $\forall(n,p)\in\Nn^*$, $(n\geqslant n_0\Rightarrow\left|\sum_{k=1}^{n+p}u_k-\sum_{k=1}^{n}u_k\right|<\varepsilon$. Ainsi, la série de terme général $u_n$ vérifie le critère de \textsc{Cauchy} et est donc convergente. Il en est de même des séries de termes généraux respectifs $\frac{\cos(n\alpha)}{n}=\text{Re}\left(\frac{e^{in\alpha}}{n}\right)$ et $\frac{\sin(n\alpha)}{n}=\text{Im}\left(\frac{e^{in\alpha}}{n}\right)$. \item Pour $x\in]0,+\infty[$, posons $f(x)=\frac{\ln x}{x}$. $f$ est dérivable sur $]0,+\infty[$ et $\forall x>e$, $f'(x)=\frac{1-\ln x}{x}< 0$. Donc, la fonction $f$ est décroissante sur $[e,+\infty[$. On en déduit que la suite $\left(\frac{\ln n}{n}\right)_{n\geqslant3}$ est une suite décroissante. Mais alors la série de terme général $(-1)^n\frac{\ln n}{n}$ converge en vertu du critère spécial aux séries alternées. \item \textbullet~Si $\text{deg}P\geqslant\text{deg}Q$, $u_n$ ne tend pas vers $0$ et la série de terme général $u_n$ est grossièrement divergente. \textbullet~Si $\text{deg}P\leqslant\text{deg}Q - 2$, $u_n=O\left(\frac{1}{n^2}\right)$ et la série de terme général $u_n$ est absolument convergente. \textbullet~Si $\text{deg}P =\text{deg}Q - 1$, $u_n\underset{n\rightarrow+\infty}{=}(-1)^n\frac{\text{dom}P}{n\;\text{dom}Q}+O\left(\frac{1}{n^2}\right)$. $u_n$ est alors somme de deux termes généraux de séries convergentes et la série de terme général $u_n$ converge. En résumé, la série de terme général $u_n$ converge si et seulement si $\text{deg}P <\text{deg}Q$. \item $e=\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{1}{k!}$ puis pour $n\geqslant2$, $n!e=1+ n+\sum_{k=0}^{n-2}\frac{n!}{k!}+\sum_{k=n+1}^{+\infty}\frac{n!}{k!}$. Pour $0\leqslant k\leqslant n-2$, $\frac{n!}{k!}$ est un entier divisible par $n(n-1)$ et est donc un entier pair que l'on note $2K_n$. Pour $n\geqslant2$, on obtient \begin{center} $\sin(n!\pi e)=\sin\left(2K_n\pi+(n+1)\pi+\pi\sum_{k=n+1}^{+\infty}\frac{n!}{k!}\right)=(-1)^{n+1}\sin\left(\pi\sum_{k=n+1}^{+\infty}\frac{n!}{k!}\right)$. \end{center} Déterminons un développement limité à l'ordre $2$ de $\sum_{k=n+1}^{+\infty}\frac{n!}{k!}$ quand $n$ tend vers $+\infty$. \begin{center} $\sum_{k=n+1}^{+\infty}\frac{n!}{k!}=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{(n+1)(n+2)}+\sum_{k=n+3}^{+\infty}\frac{n!}{k!}$. \end{center} Maintenant, pour $k\geqslant n+3$, $\frac{n!}{k!}=\frac{1}{k(k-1)\ldots(n+1)}\leqslant\frac{1}{(n+1)^{k-n}}$ et donc \begin{center} $\sum_{k=n+3}^{+\infty}\frac{n!}{k!}\leqslant\sum_{k=n+3}^{+\infty}\frac{1}{(n+1)^{k-n}}=\frac{1}{(n+1)^3}\times\frac{1}{1-\frac{1}{n+1}}=\frac{1}{n(n+1)^2}\leqslant\frac{1}{n^3}$. \end{center} On en déduit que $\sum_{k=n+3}^{+\infty}\frac{n!}{k!}\underset{n\rightarrow+\infty}{=}o\left(\frac{1}{n^2}\right)$. Il reste \begin{center} $\sum_{k=n+1}^{+\infty}\frac{n!}{k!}\underset{n\rightarrow+\infty}{=} \frac{1}{n+1}+\frac{1}{(n+1)(n+2)}+o\left(\frac{1}{n^2}\right)\underset{n\rightarrow+\infty}{=}\frac{1}{n}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{-1}+\frac{1}{n^2}+o\left(\frac{1}{n^2}\right) \underset{n\rightarrow+\infty}{=}\frac{1}{n}+o\left(\frac{1}{n^2}\right) $. \end{center} Finalement , $\sin(n!\pi e)\underset{n\rightarrow+\infty}{=}(-1)^{n+1}\sin\left(\frac{\pi}{n}+o\left(\frac{1}{n^2}\right)\right)=\frac{(-1)^{n+1}\pi}{n}+\left(\frac{1}{n^2}\right)$. $\sin(n!\pi e)$ est somme de deux termes généraux de séries convergentes et la série de terme général $\sin(n!\pi e)$ converge. Si $p\geqslant2$, $|\sin^p(n!\pi e)|\underset{n\rightarrow+\infty}{\sim}\frac{\pi^p}{n^p}$ et la série de terme général $\sin^p(n!\pi e)$ converge absolument. \end{enumerate} \fincorrection \correction{005691} \begin{enumerate} \item $\frac{n+1}{3^n}\underset{n\rightarrow+\infty}{=}o\left(\frac{1}{n^2}\right)$. Par suite, la série de terme général $\frac{n+1}{3^n}$ converge. \textbf{1er calcul.} Soit $S=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{n+1}{3^n}$. Alors \begin{align*}\ensuremath \frac{1}{3}S&=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{n+1}{3^{n+1}}=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{n}{3^{n}}=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{n+1}{3^{n}}-\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{3^{n}}\\ &=(S-1)-\frac{1}{3}\frac{1}{1-\frac{1}{3}}=S-\frac{3}{2}. \end{align*} On en déduit que $S=\frac{9}{4}$. \begin{center} \shadowbox{ $\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{n+1}{3^n}=\frac{9}{4}$. } \end{center} \textbf{2ème calcul.} Pour $x\in\Rr$ et $n\in\Nn$, on pose $f_n(x)=\sum_{k=0}^{n}x^k$. Soit $n\in\Nn^*$. $f_n$ est dérivable sur $\Rr$ et pour $x\in\Rr$, \begin{center} $f_n'(x)=\sum_{k=1}^{n}kx^{k-1}=\sum_{k=0}^{n-1}(k+1)x^k$. \end{center} Par suite, pour $n\in\Nn^*$ et $x\in\Rr\setminus\{1\}$ \begin{center} $\sum_{k=0}^{n-1}(k+1)x^k=f_n'(x)=\left(\frac{x^n-1}{x-1}\right)'(x)=\frac{nx^{n-1}(x-1)-(x^n-1)}{(x-1)^2}=\frac{(n-1)x^n-nx^{n-1}+1}{(x-1)^2}$. \end{center} Pour $x=\frac{1}{3}$, on obtient $\sum_{k=0}^{n-1}\frac{k+1}{3^k}=\frac{\frac{n-1}{3^n}-\frac{n}{3^{n-1}}+1}{\left(\frac{1}{3}-1\right)^2}$ et quand $n$ tend vers l'infini, on obtient de nouveau $S=\frac{9}{4}$. \item Pour $k\geqslant3$, $\frac{2k-1}{k^3-4k}=\frac{3}{8(k-2)}+\frac{1}{4k}-\frac{5}{8(k+2)}$. Puis \begin{align*}\ensuremath \sum_{k=3}^{n}\frac{2k-1}{k^3-4k}&=\frac{3}{8}\sum_{k=3}^{n}\frac{1}{k-2}+\frac{1}{4}\sum_{k=3}^{n}\frac{1}{k}-\frac{5}{8}\sum_{k=3}^{n}\frac{1}{k+2}=\frac{3}{8}\sum_{k=1}^{n-2}\frac{1}{k}+\frac{1}{4}\sum_{k=3}^{n}\frac{1}{k}-\frac{5}{8}\sum_{k=5}^{n+2}\frac{1}{k}\\ &\underset{n\rightarrow+\infty}{=}\frac{3}{8}\left(1+\frac{1}{2}+\sum_{k=3}^{n}\frac{1}{k}\right)+\frac{1}{4}\sum_{k=3}^{n}\frac{1}{k}-\frac{5}{8}\left(-\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\sum_{k=3}^{n}\frac{1}{k}\right)+o(1)\\ &\underset{n\rightarrow+\infty}{=}\frac{3}{8}\times\frac{3}{2}+\frac{5}{8}\times\frac{7}{12}+o(1)\underset{n\rightarrow+\infty}{=}\frac{89}{96}+ o(1) . \end{align*} La série proposée est donc convergente de somme $\frac{89}{96}$. \begin{center} \shadowbox{ $\sum_{n=3}^{+\infty}\frac{2n-1}{n^3-4n}=\frac{89}{96}$. } \end{center} \item Pour $k\in\Nn$, on a $1^{3k}+j^{3k}+(j^2)^{3k}=3$ puis $1^{3k+1}+j^{3k+1}+(j^2)^{3k+1} =1+j+j^2= 0$ et $1^{3k+2}+j^{3k+2}+(j^2)^{3k+2}=1+j^2 + j^4 = 0$. Par suite, \begin{center} $e+e^j+e^{j^2}=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1^n+j^n+(j^2)^n}{n!}=3\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{(3n)!}$, \end{center} et donc \begin{align*}\ensuremath \sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{(3n)!}&=\frac{1}{3}(e+e^j+e^{j^2})=\frac{1}{3}\left(e+e^{-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}}+e^{-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}}\right) =\frac{1}{3}\left(e + 2e^{-1/2}\text{Re}(e^{-i\sqrt{3}/2})\right)\\ &=\frac{1}{3}\left(e +2e^{-1/2}\cos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\right). \end{align*} \begin{center} \shadowbox{ $\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{(3n)!}=\frac{1}{3}\left(e +\frac{2}{\sqrt{e}}\cos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\right)$. } \end{center} \item \begin{align*}\ensuremath \sum_{k=2}^{n}\left(\frac{1}{\sqrt{k-1}}+\frac{1}{\sqrt{k+1}}-\frac{2}{\sqrt{k}}\right)&=\sum_{k=2}^{n}\left(\left(\frac{1}{\sqrt{k-1}}-\frac{1}{\sqrt{k}}\right)-\left(\frac{1}{\sqrt{k}}-\frac{1}{\sqrt{k+1}}\right)\right)\\ &=\left(1-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)-\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\;(\text{somme télescopique})\\ &\underset{n\rightarrow+\infty}{=}1-\frac{1}{\sqrt{2}}+o(1) \end{align*} \begin{center} \shadowbox{ $\sum_{n=2}^{+\infty}\left(\frac{1}{\sqrt{n-1}}+\frac{1}{\sqrt{n+1}}-\frac{2}{\sqrt{n}}\right)=1-\frac{1}{\sqrt{2}}$. } \end{center} \item $\ln\left(1+\frac{(-1)^n}{n}\right)\underset{n\rightarrow+\infty}{=}\frac{(-1)^n}{n}+O\left(\frac{1}{n^2}\right)$. Donc la série de terme général $\ln\left(1+\frac{(-1)^n}{n}\right)$ converge. Posons $S=\sum_{k=2}^{+\infty}\ln\left(1+\frac{(-1)^k}{k}\right)$ puis pour $n\geqslant2$, $S_n=\sum_{k=2}^{n}\ln\left(1+\frac{(-1)^k}{k}\right)$. Puisque la série converge $S=\lim_{n \rightarrow +\infty}S_n=\lim_{p \rightarrow +\infty}S_{2p+1}$ avec \begin{align*}\ensuremath S_{2p+1}&=\sum_{k=2}^{2p+1}\ln\left(1+\frac{(-1)^k}{k}\right)=\sum_{k=1}^{p}\left(\ln\left(1-\frac{1}{2k+1}\right)+\ln\left(1+\frac{1}{2k}\right)\right)\\ &=\sum_{k=1}^{p}(\ln(2k)-\ln(2k+1)+\ln(2k+1)-\ln(2k))=0 \end{align*} et quand $p$ tend vers $+\infty$, on obtient $S = 0$. \begin{center} \shadowbox{ $\sum_{n=2}^{+\infty}\ln\left(1+\frac{(-1)^n}{n}\right)=0$. } \end{center} \item Si $a\in\left]0,\frac{\pi}{2}\right[$ alors, pour tout entier naturel $n$, $\frac{a}{2^n}\in\left]0,\frac{\pi}{2}\right[$ et donc $\cos\left(\frac{a}{2^n}\right)>0$. Ensuite, $\ln\left(\cos\left(\frac{a}{2^n}\right)\right)\underset{n\rightarrow+\infty}{=}\ln\left(1+O\left(\frac{1}{2^{2n}}\right)\right)\underset{n\rightarrow+\infty}{=}O\left(\frac{1}{2^{2n}}\right)$ et la série converge. Ensuite, \begin{align*}\ensuremath \sum_{k=0}^{n}\ln\left(\cos\left(\frac{a}{2^k}\right)\right)&=\ln\left(\prod_{k=0}^{n}\cos\left(\frac{a}{2^k}\right)\right)=\ln\left(\prod_{k=0}^{n}\frac{\sin\left(2\times\frac{a}{2^k}\right)}{2\sin\left(\frac{a}{2^k}\right)}\right)=\ln\left(\frac{1}{2^{n+1}}\prod_{k=0}^{n}\frac{\sin\left(\frac{a}{2^{k-1}}\right)}{\sin\left(\frac{a}{2^k}\right)}\right)\\ &=\ln\left(\frac{\sin(2a)}{2^{n+1}\sin\left(\frac{a}{2^n}\right)}\right)\;(\text{produit télescopique})\\ &\underset{n\rightarrow+\infty}{\sim}\ln\left(\frac{\sin(2a)}{2^{n+1}\times\frac{a}{2^n}}\right)=\ln\left(\frac{\sin(2a)}{2a}\right). \end{align*} \begin{center} \shadowbox{ $\forall a\in\left]0,\frac{\pi}{2}\right[$, $\sum_{n=0}^{+\infty}\ln\left(\cos\left(\frac{a}{2^n}\right)\right)=\ln\left(\frac{\sin(2a)}{2a}\right)$. } \end{center} \item Vérifions que pour tout réel $x$ on a $\tanh(2x)=\frac{2\tanh x}{1+\tanh^2x}$. Soit $x\in\Rr$. $\ch^2x+\sh^2x=\frac{1}{4}((e^x+e^{-x})^2+(e^x-e^{-x})^2)=\frac{1}{2}(e^{2x}+e^{-2x})=\ch(2x)$ et $2\sh x\ch x=\frac{1}{2}(e^{x}-e^{-x})(e^x+e^{-x})=\frac{1}{2}(e^{2x}-e^{-2x})=\sh(2x)$ puis \begin{center} $\frac{2\tanh x}{1+\tanh^2x}=\frac{2\sh x\ch x}{\ch^2x+\sh^2x}=\frac{\sh(2x)}{\ch(2x)}=\tanh(2x)$. \end{center} Par suite, pour $x\in\Rr^*$, $\tanh x=\frac{2}{\tanh(2x)}-\frac{1}{\tanh x}$. Mais alors, pour $a\in\Rr^*$ et $n\in\Nn$ \begin{align*}\ensuremath \sum_{k=0}^{n}\frac{1}{2^k}\tanh\left(\frac{a}{2^k}\right)&=\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{2^k}\left(\frac{2}{\tanh\frac{a}{2^{k-1}}}-\frac{1}{\tanh\frac{a}{2^{k}}}\right)=\sum_{k=0}^{n}\left(\frac{1}{2^{k-1}\tanh\frac{a}{2^{k-1}}}-\frac{1}{2^k\tanh\frac{a}{2^{k}}}\right)\\ &=\frac{2}{\tanh(2a)}-\frac{1}{2^n\tanh\frac{a}{2^{n}}}\;(\text{somme télescopique})\\ &\underset{n\rightarrow+\infty}{\rightarrow}\frac{2}{\tanh(2a)}-\frac{1}{a}, \end{align*} ce qui reste vrai quand $a=0$. \begin{center} \shadowbox{ $\forall a\in\Rr$, $\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{2^n}\tanh\left(\frac{a}{2^n}\right)=\frac{2}{\tanh(2a)}-\frac{1}{a}$. } \end{center} \end{enumerate} \fincorrection \correction{005692} Il faut vérifier que $nu_n\underset{n\rightarrow+\infty}{\rightarrow}0$. Pour $n\in\Nn$, posons $S_n =\sum_{k=0}^{n}u_k$. Pour $n\in\Nn$, on a \begin{align*}\ensuremath 0<(2n)u_{2n}&=2(\underbrace{u_{2n}+\ldots+u_{2n}}_{n})\leqslant2\sum_{k=n+1}^{2n}u_k\;(\text{car la suite}\;u\;\text{est décroissante})\\ &= 2(S_{2n} - S_n). \end{align*} Puisque la série de terme général $u_n$ converge, $\lim_{n \rightarrow +\infty}2(S_{2n} - S_n)=0$ et donc $\lim_{n \rightarrow +\infty}(2n)u_{2n}=0$. Ensuite, $0 < (2n+1)u_{2n+1}\leqslant(2n+1)u_{2n}=(2n)u_{2n}+u_{2n}\underset{n\rightarrow+\infty}{\rightarrow}0$. Donc les suites des termes de rangs pairs et impairs extraites de la suite $(nu_n)_{n\in\Nn}$ convergent et ont même limite à savoir $0$. On en déduit que $\lim_{n \rightarrow +\infty}nu_n=0$ ou encore que $u_n\underset{n\rightarrow+\infty}{=}o\left(\frac{1}{n}\right)$. Contre exemple avec $u$ non monotone. Pour $n\in\Nn$, on pose $u_n=\left\{ \begin{array}{l} 0\;\text{si}\;n=0\\ \rule[-4mm]{0mm}{10mm}\frac{1}{n}\;\text{si}\;n\;\text{est un carré parfait non nul}\\ 0\;\text{sinon} \end{array} \right.$. La suite $u$ est positive et $\sum_{n=0}^{+\infty}u_n=\sum_{p=1}^{+\infty}\frac{1}{p^2}<+\infty$. Pourtant, $p^2u_{p^2}=1\underset{p\rightarrow+\infty}{\rightarrow}1$ et la suite $(nu_n)$ admet une suite extraite convergeant vers $1$. On a donc pas $\lim_{n \rightarrow +\infty}nu_n=0$. \fincorrection \correction{005693} Soit $\sigma$ une permutation de $\llbracket1,n\rrbracket$. Montrons que la suite $S_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{\sigma(k)}{k^2}$, $n\geqslant1$, ne vérifie pas le critère de \textsc{Cauchy}. Soit $n\in\Nn^*$. \begin{align*}\ensuremath S_{2n}-S_n&=\sum_{k=n+1}^{2n}\frac{\sigma(k)}{k^2}\geqslant\frac{1}{(2n)^2}\sum_{k=n+1}^{2n}\sigma(k)\\ &\geqslant\frac{1}{4n^2}(1+2+...+n)\;(\text{car les}\;n\;\text{entiers}\;\sigma(k),\;1\leqslant k\leqslant n,\;\text{sont strictement positifs et deux à deux distincts})\\ &=\frac{n(n+1)}{8n^2}\geqslant\frac{n^2}{8n^2}=\frac{1}{8}. \end{align*} Si la suite $(S_n)$ converge, on doit avoir $\lim_{n \rightarrow +\infty}(S_{2n}-S_n)=0$ ce qui contredit l'inégalité précédente. Donc la série de terme général $\frac{\sigma(n)}{n^2}$, $n\geqslant1$, diverge. \fincorrection \correction{005694} Pour $n\in\Nn$, posons $v_n=\ln(1+u_n)$, $w_n=\frac{u_n}{1+u_n}$ et $t_n=\int_{0}^{u_n}\frac{dx}{1+x^e}$. \textbullet~Si $u_n\underset{n\rightarrow+\infty}{\rightarrow}0$, alors $0\leqslant u_n\underset{n\rightarrow+\infty}{\sim}v_n\underset{n\rightarrow+\infty}{\sim}w_n$. Dans ce cas, les séries de termes généraux $u_n$, $v_n$ et $w_n$ sont de même nature. D'autre part, pour $n\in\Nn$, $\frac{u_n}{1+u_n^e}\leqslant t_n\leqslant u_n$ puis $\frac{1}{1+u_n^e}\leqslant\frac{t_n}{u_n}\leqslant1$et donc $t_n\underset{n\rightarrow+\infty}{\sim}u_n$. Les séries de termes généraux $u_n$ et $t_n$ sont aussi de même nature. \textbullet~Si $u_n$ ne tend pas vers $0$, la série de terme général $u_n$ est grossièrement divergente. Puisque $u_n =e^{v_n}-1$, $v_n$ ne tend pas vers $0$ et la série de terme général $v_n$ est grossièrement divergente. Dans ce cas aussi, les séries de termes généraux sont de même nature. De même, puisque $w_n=\frac{u_n}{1+u_n}<1$, on a $u_n =\frac{w_n}{1-w_n}$ et $w_n$ ne peut tendre vers $0$. Enfin, puisque $u_n$ ne tend pas vers $0$, il existe $\varepsilon> 0$ tel que pour tout entier naturel $N$, il existe $n = n(N)\geqslant N$ tel que $u_n\geqslant\varepsilon$. Pour cet $\epsilon$ et ces $n$, on a $t_n\geqslant\int_{0}^{\varepsilon}\frac{dx}{1+x^e}>0$ (fonction continue, positive et non nulle) et la suite $t_n$ ne tend pas vers $0$. Dans le cas où $u_n$ ne tend pas vers $0$, les quatre séries sont grossièrement divergentes. \fincorrection \correction{005695} Pour $n\in\Nn$, posons $u_n= (n+1)!\left(e-\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}\right)$. Soit $n\in\Nn$. \begin{align*}\ensuremath u_n&=\sum_{k=n+1}^{+\infty}\frac{(n+1)!}{k!}\\ &=1+\frac{1}{n+2}+\frac{1}{(n+2)(n+3)}+\frac{1}{(n+2)(n+3)(n+4)}+\frac{1}{(n+2)(n+3)(n+4)(n+5)}+\sum_{k=n+6}^{+\infty}\frac{1}{(n+2)(n+3)\ldots k} \end{align*} On a $0 <\sum_{k=n+6}^{+\infty}\frac{1}{(n+2)(n+3)\ldots k}=\sum_{k=n+1}^{+\infty}\frac{1}{(n+2)^{k-(n+1)}}=\frac{1}{(n+2)^5}\frac{1}{1-\frac{1}{n+2}}=\frac{1}{(n+2)^4(n+1)}\leqslant\frac{1}{n^5}$. On en déduit que $\sum_{k=n+6}^{+\infty}\frac{1}{(n+2)(n+3)\ldots k}\underset{n\rightarrow+\infty}{=}o\left(\frac{1}{n^4}\right)$. Donc \begin{align*}\ensuremath u_n&\underset{n\rightarrow+\infty}{=}1+\frac{1}{n+2}+\frac{1}{(n+2)(n+3)}+\frac{1}{(n+2)(n+3)(n+4)}+\frac{1}{(n+2)(n+3)(n+4)(n+5)}+o\left(\frac{1}{n^4}\right)\\ &\underset{n\rightarrow+\infty}{=}1+\frac{1}{n}\left(1+\frac{2}{n}\right)^{-1}+\frac{1}{n^2}\left(1+\frac{2}{n}\right)^{-1}\left(1+\frac{3}{n}\right)^{-1}+\frac{1}{n^3}\left(1+\frac{2}{n}\right)^{-1}\left(1+\frac{3}{n}\right)^{-1}\left(1+\frac{4}{n}\right)^{-1}+\frac{1}{n^4}+o\left(\frac{1}{n^4}\right)\\ &\underset{n\rightarrow+\infty}{=}1+\frac{1}{n}\left(1-\frac{2}{n}+\frac{4}{n^2}-\frac{8}{n^3}\right)+\frac{1}{n^2}\left(1-\frac{2}{n}+\frac{4}{n^2}\right)\left(1-\frac{3}{n}+\frac{9}{n^2}\right)+\frac{1}{n^3}\left(1-\frac{2}{n}\right)\left(1-\frac{3}{n}\right)\left(1-\frac{4}{n}\right)\\ &\;+\frac{1}{n^4}+o\left(\frac{1}{n^4}\right)\\ &\underset{n\rightarrow+\infty}{=}1+\frac{1}{n}\left(1-\frac{2}{n}+\frac{4}{n^2}-\frac{8}{n^3}\right)+\frac{1}{n^2}\left(1-\frac{5}{n}+\frac{19}{n^2}\right)+\frac{1}{n^3}\left(1-\frac{9}{n}\right)+\frac{1}{n^4}+o\left(\frac{1}{n^4}\right)\\ &\underset{n\rightarrow+\infty}{=}1+\frac{1}{n}-\frac{1}{n^2}+\frac{3}{n^4}+o\left(\frac{1}{n^4}\right). \end{align*} Finalement \begin{center} \shadowbox{ $(n+1)!\left(e-\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}\right)\underset{n\rightarrow+\infty}{=}1+\frac{1}{n}-\frac{1}{n^2}+\frac{3}{n^4}+o\left(\frac{1}{n^4}\right)$. } \end{center} \fincorrection \correction{005696} Pour $n\in\Nn$, posons $u_n=\sin\left(\pi(2+\sqrt{3})^n\right)$. D'après la formule du binôme de \textsc{Newton}, $(2+\sqrt{3})^n=A_n +B_n\sqrt{3}$ où $A_n$ et $B_n$ sont des entiers naturels. Un calcul conjugué fournit aussi $(2-\sqrt{3})^n=A_n-B_n\sqrt{3}$. Par suite, $(2+\sqrt{3})^n+(2-\sqrt{3})^n= 2A_n$ est un entier pair. Par suite, pour $n\in\Nn$, \begin{center} $u_n =\sin\left(2A_n\pi-\pi(2-\sqrt{3})^n\right)=-\sin\left(\pi(2-\sqrt{3})^n\right)$. \end{center} Mais $0< 2-\sqrt{3}< 1$ et donc $(2-\sqrt{3})^n\underset{n\rightarrow+\infty}{\rightarrow}0$. On en déduit que $|u_n|\underset{n\rightarrow+\infty}{\sim}\pi(2-\sqrt{3})^n$ terme général d'une série géométrique convergente. Donc la série de terme général $u_n$ converge. \fincorrection \correction{005700} Si $\alpha<0$, $u_n\underset{n\rightarrow+\infty}{\sim}n^{-2\alpha}$ et si $\alpha=0$, $u_n=1+(-1)^n$. Donc si $\alpha\leqslant0$, $u_n$ ne tend pas vers $0$. La série de terme général $u_n$ diverge grossièrement dans ce cas. On suppose dorénavant que $\alpha> 0$. Pour tout entier naturel non nul $n$, $|u_n|\underset{n\rightarrow+\infty}{\sim}\frac{1}{n^\alpha}$ et donc la série de terme général $u_n$ converge absolument si et seulement si $\alpha> 1$. Il reste à étudier le cas où $0 <\alpha\leqslant1$. On a $u_n=\frac{(-1)^n}{n^\alpha}+\frac{1}{n^{2\alpha}}$. La suite $\left(\frac{1}{n^\alpha}\right)_{n\geqslant1}$ tend vers $0$ en décroissant et donc la série de terme général $\frac{(-1)^n}{n^\alpha}$ converge en vertu du critère spécial aux séries alternées. On en déduit que la série de terme général $u_n$ converge si et seulement si la série de terme général $\frac{1}{n^{2\alpha}}$ converge ou encore si et seulement si $\alpha>\frac{1}{2}$. En résumé \begin{center} \shadowbox{ \begin{tabular}{l} Si $\alpha\leqslant0$, la série de terme général $\frac{1+(-1)^nn^\alpha}{n^{2\alpha}}$ diverge grossièrement,\\ \rule[-4mm]{0mm}{10mm}si $0 <\alpha\leqslant\frac{1}{2}$, la série de terme général $\frac{1+(-1)^nn^\alpha}{n^{2\alpha}}$ diverge,\\ \rule[-4mm]{0mm}{10mm}si $\frac{1}{2}<\alpha\leqslant1$, la série de terme général $\frac{1+(-1)^nn^\alpha}{n^{2\alpha}}$ est semi convergente,\\ si $\alpha> 1$, la série de terme général $\frac{1+(-1)^nn^\alpha}{n^{2\alpha}}$ converge absolument. \end{tabular} } \end{center} \fincorrection \correction{005701} Pour $n\in\Nn^*$, on note $S_n$ la somme des $n$ premiers termes de la série considérée et on pose $H_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}$. Il est connu que $H_n\underset{n\rightarrow+\infty}{=}\ln n+\gamma+o(1)$. Soit $m\in\Nn^*$. \begin{align*}\ensuremath S_{m(p+q)}&=\left(1+\frac{1}{3}+\ldots+\frac{1}{2p-1}\right) -\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\ldots+\frac{1}{2q}\right)+\left(\frac{1}{2p+1}+...+\frac{1}{4p-1}\right) -\left(\frac{1}{2q+2}+...+\frac{1}{4q}\right) +...\\ &\;+\left(\frac{1}{2(m-1)p+1}+...+\frac{1}{2mp-1}\right) -\left(\frac{1}{2(m-1)q+2}+...+\frac{1}{2mq}\right)\\ &=\sum_{k=1}^{mp}\frac{1}{2k-1}-\sum_{k=1}^{mq}\frac{1}{2k}=\sum_{k=1}^{2mp}\frac{1}{k}-\sum_{k=1}^{mp}\frac{1}{2k}-\sum_{k=1}^{mq}\frac{1}{2k}= H_{2mp} -\frac{1}{2}(H_{mp}+H_{mq})\\ &\underset{m\rightarrow+\infty}{=}(\ln(2mp)+\gamma) -\frac{1}{2}(\ln(mp) +\gamma+\ln(mq) +\gamma)+ o(1)=\ln2 +\frac{1}{2}\ln\left(\frac{p}{q}\right)+o(1). \end{align*} Ainsi, la suite extraite $(S_{m(p+q)})_{m\in\Nn^*}$ converge vers $\ln2 +\frac{1}{2}\ln\left(\frac{p}{q}\right)$. Montrons alors que la suite $(S_n)_{n\in\Nn^*}$ converge. Soit $n\in\Nn^*$. Il existe un unique entier naturel non nul $m_n$ tel que $m_n(p+q)\leqslant n <(m_n+1)(p+q)$ à savoir $m_n=E\left(\frac{n}{p+q}\right)$. \begin{align*}\ensuremath |S_n-S_{m_n(p+q)}|&\leqslant\frac{1}{2m_np+1}+\ldots+\frac{1}{2(m_n+1)p-1}+\frac{1}{2m_nq+2}+\frac{1}{2(m_n+1)q}\\ &\leqslant\frac{p}{2m_np+1}+\frac{q}{2m_nq+2}\leqslant\frac{1}{2m_n}+\frac{1}{2m_n}=\frac{1}{m_n}. \end{align*} Soit alors $\varepsilon>0$. Puisque $\lim_{n \rightarrow +\infty}m_n=+\infty$, il existe $n_0\in\Nn^*$ tel que pour $n\geqslant n_0$, $\frac{1}{m_n}<\frac{\varepsilon}{2}$ et aussi $\left|S_{m_n(p+q)}-\ln2-\frac{1}{2}\ln\left(\frac{p}{q}\right)\right|<\frac{\varepsilon}{2}$. Pour $n\geqslant n_0$, on a alors \begin{align*}\ensuremath \left|S_{n}-\ln2 -\frac{1}{2}\ln\left(\frac{p}{q}\right)\right|&\leqslant|S_n-S_{m_n(p+q)}|+\left|S_{m_n(p+q)}-\ln2-\frac{1}{2}\ln\left(\frac{p}{q}\right)\right|\leqslant\frac{1}{m_n}+\left|S_{m_n(p+q)}-\ln2-\frac{1}{2}\ln\left(\frac{p}{q}\right)\right|\\ &<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon. \end{align*} On a montré que $\forall \varepsilon>0,\;\exists n_0\in\Nn^*/\;\forall n\in\Nn,\;(n\geqslant n_0\Rightarrow\left|S_{n}-\left(\ln2 +\frac{1}{2}\ln\left(\frac{p}{q}\right)\right)\right|<\varepsilon)$ et donc, la série proposée converge et a pour somme $\ln2 +\frac{1}{2}\ln\left(\frac{p}{q}\right)$. \fincorrection \correction{005702} La série proposée est le produit de \textsc{Cauchy} de la série de terme général $\frac{1}{n^\alpha}$, $n\geqslant1$, par elle même. \textbullet~Si $\alpha>1$, on sait que la série de terme général $\frac{1}{n^\alpha}$ converge absolument et donc que la série proposée converge. \textbullet~Si $0\leqslant\alpha\leqslant1$, pour $0 < k < n$ on a $0 1$, la suite $u$ est strictement positive et la suite des sommes partielles $(S_n)$ est majorée par $\frac{1}{a-1}$. Donc la série de terme général $u_n$ converge. Il en est de même de la suite $((a+n+1)u_{n+1})$. Soit $\ell=\lim_{n \rightarrow +\infty}(a+n+1)u_{n+1}$. Si $\ell\neq0$, $u_{n+1}\underset{n\rightarrow+\infty}{\sim}\frac{\ell}{n+a+1}$ contredisant la convergence de la série de terme général $u_n$. Donc $\ell= 0$ et \begin{center} si $a > 1$, $\sum_{n=1}^{+\infty}u_n=\frac{1}{a-1}$. \end{center} Si $0 2$. \fincorrection \correction{005707} Pour $n\in\Nn^*$, posons $R_n=\sum_{k=n+1}^{+\infty}\frac{1}{k^2}$. Puisque la série de terme général $\frac{1}{k^2}$, $k\geqslant 1$, converge, la suite $(R_n)$ est définie et tend vers $0$ quand $n$ tend vers $+\infty$. $0<\frac{1}{k^2}\underset{k\rightarrow+\infty}{\sim}\frac{1}{k(k-1)}=\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}$ et puisque la série de terme général $\frac{1}{k^2}$ converge, la règle de l'équivalence des restes de séries à termes positifs convergentes permet d'affirmer que \begin{align*}\ensuremath R_n&= \sum_{k=n+1}^{+\infty}\frac{1}{k^2}\underset{n\rightarrow+\infty}{\sim} \sum_{k=n+1}^{+\infty}\left(\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}\right)\\ &=\lim_{N \rightarrow +\infty}\sum_{k=n+1}^{N}\left(\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}\right)\;(\text{surtout ne pas décomposer en deux sommes})\\ &=\lim_{N \rightarrow +\infty}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{N}\right)\;(\text{somme télescopique})\\ &=\frac{1}{n} \end{align*} ou encore $R_n\underset{n\rightarrow+\infty}{=}\frac{1}{n}+o\left(\frac{1}{n}\right)$. Plus précisément, pour $n\in\Nn^*$, $R_n-\frac{1}{n}=\sum_{k=n+1}^{+\infty}\frac{1}{k^2}-\sum_{k=n+1}^{+\infty}\frac{1}{k(k-1)}=-\sum_{k=n+1}^{+\infty}\frac{1}{k^2(k-1)}$. Or $-\frac{1}{k^2(k-1)}+\frac{1}{k(k-1)(k-2)}=\frac{2}{k^2(k-1)(k-2)}$ puis $\frac{2}{k^2(k-1)(k-2)}-\frac{2}{k(k-1)(k-2)(k-3)}=-\frac{6}{k^2(k-1)(k-2)(k-3)}$ et donc \begin{align*}\ensuremath R_n&=\frac{1}{n}-\sum_{k=n+1}^{+\infty}\frac{1}{k^2(k-1)}=\frac{1}{n}-\sum_{k=n+1}^{+\infty}\frac{1}{k(k-1)(k-2)}+\sum_{k=n+1}^{+\infty}\frac{2}{k^2(k-1)(k-2)}\\ &=\frac{1}{n}-\sum_{k=n+1}^{+\infty}\frac{1}{k(k-1)(k-2)}+\sum_{k=n+1}^{+\infty}\frac{2}{k(k-1)(k-2)(k-3)}-\sum_{k=n+1}^{+\infty}\frac{6}{k^2(k-1)(k-2)(k-3)} \end{align*} Ensuite $\sum_{k=n+1}^{+\infty}\frac{1}{k^2(k-1)(k-2)(k-3)}\underset{n\rightarrow+\infty}{\sim}\sum_{k=n+1}^{+\infty}\frac{1}{k^5}\underset{n\rightarrow+\infty}{\sim}\frac{1}{4n^4}$ ou encore $-\sum_{k=n+1}^{+\infty}\frac{6}{k^2(k-1)(k-2)(k-3)}\underset{n\rightarrow+\infty}{=}-\frac{3}{2n^4}+o\left(\frac{1}{n^4}\right)$. Puis \begin{align*}\ensuremath \sum_{k=n+1}^{+\infty}\frac{1}{k(k-1)(k-2)}&=\lim_{N \rightarrow +\infty}\frac{1}{2}\sum_{k=n+1}^{N}\left(\frac{1}{(k-1)(k-2)}-\frac{1}{k(k-1)}\right)=\lim_{N \rightarrow +\infty}\frac{1}{2}\left(\frac{1}{n(n-1)}-\frac{1}{N(N-1)}\right)=\frac{1}{2n(n-1)}\\ &=\frac{1}{2n^2}\left(1-\frac{1}{n}\right)^{-1}\underset{n\rightarrow+\infty}{=}\frac{1}{2n^2}+\frac{1}{2n^3}+\frac{1}{2n^4}+o\left(\frac{1}{n^4}\right) \end{align*} et \begin{align*}\ensuremath \sum_{k=n+1}^{+\infty}\frac{2}{k(k-1)(k-2)(k-3)}&=\lim_{N \rightarrow +\infty}\frac{2}{3}\sum_{k=n+1}^{N}\left(\frac{1}{(k-1)(k-2)(k-3)}-\frac{1}{k(k-1)(k-2)}\right)\\ &=\lim_{N \rightarrow +\infty}\frac{2}{3}\left(\frac{1}{n(n-1)(n-2)}-\frac{1}{N(N-1)(N-2)}\right)=\frac{2}{3n(n-1)(n-2)}\\ &=\frac{2}{3n^3}\left(1-\frac{1}{n}\right)^{-1}\left(1-\frac{2}{n}\right)^{-1}\underset{n\rightarrow+\infty}{=}\frac{2}{3n^3}\left(1+\frac{1}{n}+o\left(\frac{1}{n}\right)\right)\left(1+\frac{2}{n}+o\left(\frac{1}{n}\right)\right)\\ &\underset{n\rightarrow+\infty}{=}\frac{2}{3n^3}+\frac{2}{n^4}+o\left(\frac{1}{n^4}\right) \end{align*} et finalement \begin{center} $R_n\underset{n\rightarrow+\infty}{=}\frac{1}{n}-\left(\frac{1}{2n^2}+\frac{1}{2n^3}+\frac{1}{2n^4}\right)+\left(\frac{2}{3n^3}+\frac{2}{n^4}\right)-\frac{3}{2n^4}+o\left(\frac{1}{n^4}\right)\underset{n\rightarrow+\infty}{=}\frac{1}{n}-\frac{1}{2n^2}+\frac{1}{6n^3}+o\left(\frac{1}{n^4}\right)$. \end{center} \begin{center} \shadowbox{ $\sum_{k=n+1}^{+\infty}\frac{1}{k^2}\underset{n\rightarrow+\infty}{=}\frac{1}{n}-\frac{1}{2n^2}+\frac{1}{6n^3}+o\left(\frac{1}{n^4}\right)$. } \end{center} \fincorrection \correction{005708} \begin{enumerate} \item La suite $\left(\frac{\ln n}{n}\right)_{n\in\Nn^*}$ tend vers $0$, en décroissant à partir du rang $3$ (fourni par l'étude de la fonction $x\mapsto\frac{\ln x}{x}$ sur $[e,+\infty[$) et donc la série de terme général $(-1)^n\frac{\ln n}{n}$, $n\geqslant1$, converge en vertu du critère spécial aux séries alternées. Pour $n\in\Nn^*$, on pose $R_n=\sum_{p=n+1}^{+\infty}(-1)^p\frac{\ln p}{p}$. $(-1)^k\frac{\ln k}{k}$ n'est pas de signe constant à partir d'un certain rang et on ne peut donc lui appliquer la règle de l'équivalence des restes. Par contre, puisque la série de terme général $(-1)^k\frac{\ln k}{k}$ converge, on sait que l'on peut associer les termes à volonté et pour $k\in\Nn^*$, on a \begin{center} $R_{2k-1}=\sum_{p=2k}^{+\infty}(-1)^p\frac{\ln p}{p}=\sum_{p=k}^{+\infty}\left(\frac{\ln(2p)}{2p}-\frac{\ln(2p+1)}{2p+1}\right)$. \end{center} Puisque la fonction $x\mapsto\frac{\ln x}{x}$ est décroissante sur $[e,+\infty[$ et donc sur $[3,+\infty[$, pour $p\geqslant 2$, $\frac{\ln(2p)}{2p}-\frac{\ln(2p+1)}{2p+1}\geqslant0$ et on peut utiliser la règle de l'équivalence des restes de séries à termes positifs convergentes. Cherchons déjà un équivalent plus simple de $\frac{\ln(2p)}{2p}-\frac{\ln(2p+1)}{2p+1}$ quand $p$ tend vers $+\infty$. \begin{align*}\ensuremath \frac{\ln(2p)}{2p}-\frac{\ln(2p+1)}{2p+1}&=\frac{\ln(2p)}{2p}-\frac{1}{2p}\left(\ln(2p)+\ln\left(1+\frac{1}{2p}\right)\right)\left(1+\frac{1}{2p}\right)^{-1}\\ &\underset{p\rightarrow+\infty}{=}\frac{\ln(2p)}{2p}-\frac{1}{2p}\left(\ln(2p)+\frac{1}{2p}+o\left(\frac{1}{p}\right)\right)\left(1-\frac{1}{2p}+o\left(\frac{1}{p}\right)\right)\\ &\underset{p\rightarrow+\infty}{=}\frac{\ln(2p)}{4p^2}+o\left(\frac{\ln p}{p^2}\right)\underset{p\rightarrow+\infty}{=}\frac{\ln p+\ln2}{4p^2}+o\left(\frac{\ln p}{p^2}\right)\\ &\underset{p\rightarrow+\infty}{\sim}\frac{\ln p}{4p^2}. \end{align*} et donc $R_{2k-1}\underset{k\rightarrow+\infty}{\sim}\frac{1}{4}\sum_{p=k}^{+\infty}\frac{\ln p}{p^2}$. Cherchons maintenant un équivalent simple de $\frac{\ln p}{p^2}$ de la forme $v_p - v_{p+1}$. Soit $v_p=\frac{\ln p}{p}-\frac{\ln(p+1)}{p+1}$ (suggéré par $\left(\frac{\ln x}{x}\right)'=\frac{1-\ln x}{x^2}\underset{x\rightarrow+\infty}{\sim}-\frac{\ln x}{x^2}$). Alors \begin{align*}\ensuremath v_p- v_{p+1}&=\frac{\ln p}{p}-\frac{1}{p}\left(\ln p+\ln\left(1+\frac{1}{p}\right)\right)\left(1+\frac{1}{p}\right)^{-1}\underset{p\rightarrow+\infty}{=}\frac{\ln p}{p}-\frac{1}{p}\left(\ln p+\frac{1}{p}+o\left(\frac{1}{p}\right)\right)\left(1-\frac{1}{p}+o\left(\frac{1}{p}\right)\right)\\ &\underset{p\rightarrow+\infty}{\sim}\frac{\ln p}{p^2}. \end{align*} D'après la règle de l'équivalence des restes de séries à termes positifs convergentes, $R_{2k-1}\underset{k\rightarrow+\infty}{\sim}\frac{1}{4}\sum_{p=k}^{+\infty}\left(\frac{\ln p}{p}-\frac{\ln(p+1)}{p+1}\right)=\frac{\ln k}{4k}$ (série télescopique). Puis, $R_{2k}=R_{2k-1}-\frac{\ln(2k)}{2k}\underset{k\rightarrow+\infty}{\sim}\frac{\ln k}{4k}-\frac{\ln(2k)}{2k}+o\left(\frac{\ln k}{k}\right)\underset{k\rightarrow+\infty}{\sim}\frac{\ln k}{4k}-\frac{\ln k}{2k}+o\left(\frac{\ln k}{k}\right)\underset{k\rightarrow+\infty}{\sim}-\frac{\ln k}{4k}+o\left(\frac{\ln k}{k}\right)$. En résumé, $R_{2k-1}\underset{k\rightarrow+\infty}{\sim}\frac{\ln k}{4k}$ et $R_{2k}\underset{k\rightarrow+\infty}{\sim}-\frac{\ln k}{4k}$. On peut unifier : $R_{2k-1}\underset{k\rightarrow+\infty}{\sim}\frac{\ln k}{4k}\underset{k\rightarrow+\infty}{\sim}\frac{\ln(2k-1)}{2(2k-1)}$ et $R_{2k}\underset{k\rightarrow+\infty}{\sim}-\frac{\ln k}{4k}\underset{k\rightarrow+\infty}{\sim}-\frac{\ln(2k)}{2(2k)}$. Finalement, \begin{center} \shadowbox{ $\sum_{p=n+1}^{+\infty}(-1)^p\frac{\ln p}{p}\underset{n\rightarrow+\infty}{\sim}(-1)^{n-1}\frac{\ln n}{2n}$. } \end{center} \item $\sum_{}^{}n^n$ est une série à termes positifs grossièrement divergente. \textbf{1 ère solution.} $0< n^n\underset{n\rightarrow+\infty}{\sim} n^n - (n-1)^{n-1}$ car $\frac{n^n - (n-1)^{n-1}}{n^n}= 1-\frac{1}{n-1}\left(1-\frac{1}{n}\right)^{n}\underset{n\rightarrow+\infty}{=}1-\frac{1}{ne}+o\left(\frac{1}{n}\right)\underset{n\rightarrow+\infty}{\rightarrow}1$. D'après la règle de l'équivalence des sommes partielles de séries à termes positifs divergentes, \begin{center} $\sum_{p=1}^{n}p^p\underset{n\rightarrow+\infty}{\sim}\sum_{p=2}^{n}p^p\underset{n\rightarrow+\infty}{\sim}\sum_{p=2}^{n}(p^p-(p-1)^{p-1}) = n^n-1\underset{n\rightarrow+\infty}{\sim}n^n$. \end{center} (La somme est équivalente à son dermier terme.) \textbf{2 ème solution.} Pour $n\geqslant3$, $0\leqslant\frac{1}{n^n}\sum_{p=1}^{n-2}p^p\leqslant\frac{1}{n^n}\times(n-2)(n-2)^{n-2}\leqslant \frac{n^{n-1}}{n^n}=\frac{1}{n}$. Donc $\frac{1}{n^n}\sum_{p=1}^{n-2}p^p$. On en déduit que $\frac{1}{n^n}\sum_{p=1}^{n}p^p=1+\frac{(n-1)^{n-1}}{n^n}+\frac{1}{n^n}\sum_{p=1}^{n-2}p^p\underset{n\rightarrow+\infty}{=}1+o(1)+o(1)=1+o(1)$. \begin{center} \shadowbox{ $\sum_{p=1}^{n}p^p\underset{n\rightarrow+\infty}{\sim}n^n$. } \end{center} \end{enumerate} \fincorrection \correction{005709} Soit $p\in\Nn^*$. Pour $n\in\Nn^*\setminus\{p\}$, $\frac{1}{n^2-p^2}=\frac{1}{2p}\left(\frac{1}{n-p}-\frac{1}{n+p}\right)$. Donc pour $N > p$, \begin{align*} \sum_{1\leqslant n\leqslant N,\;n\neq p}^{}\frac{1}{n^2-p^2}&=\frac{1}{2p}\sum_{1\leqslant n\leqslant N,\;n\neq p}^{}\left(\frac{1}{n-p}-\frac{1}{n+p}\right)=\frac{1}{2p}\left(\sum_{1-p\leqslant k\leqslant N-p,\;k\neq 0}^{}\frac{1}{k}-\sum_{p+1\leqslant k\leqslant N+p,\;k\neq 2p}^{}\frac{1}{k}\right)\\ &=\frac{1}{2p}\left(-\sum_{k=1}^{p-1}\frac{1}{k}+\sum_{k=1}^{N-p}\frac{1}{k}-\sum_{k=1}^{N+p}\frac{1}{k}+\frac{1}{2p}+\sum_{k=1}^{p}\frac{1}{k}\right)=\frac{1}{2p}\left(\frac{3}{2p}-\sum_{k=N-p+1}^{N+p}\frac{1}{k}\right) \end{align*} Maintenant, $\sum_{k=N-p+1}^{N+p}\frac{1}{k}=\frac{1}{N-p+1}+\ldots+\frac{1}{N+p}$ est une somme de $2p-1$ termes tendant vers $0$ quand $N$ tend vers $+\infty$. Puisque $2p-1$ est constant quand $N$ varie, $\lim_{N \rightarrow +\infty}\sum_{k=N-p+1}^{N+p}\frac{1}{k}=0$ et donc \begin{center} $\sum_{n\in\Nn^*,\;n\neq p}^{}\frac{1}{n^2-p^2}=\frac{1}{2p}\times\frac{3}{2p}=\frac{3}{4p^2}$ puis $\sum_{p\in\Nn^*}^{}\left(\sum_{n\in\Nn^*,\;n\neq p}^{}\frac{1}{n^2-p^2}\right)=\sum_{p=1}^{+\infty}\frac{3}{4p^2}=\frac{\pi^2}{8}$. \end{center} Pour $n\in\Nn^*$ donné, on a aussi $\sum_{p\in\Nn^*,\;p\neq n}^{}\frac{1}{n^2-p^2}=-\sum_{p\in\Nn^*,\;p\neq n}^{}\frac{1}{p^2-n^2}=-\frac{3}{4n^2}$ et donc \begin{center} $\sum_{n\in\Nn^*}^{}\left(\sum_{p\in\Nn^*,\;p\neq n}^{}\frac{1}{n^2-p^2}\right)=-\frac{\pi^2}{8}$. \end{center} On en déduit que la suite double $\left(\frac{1}{n^2-p^2}\right)_{(n,p)\in(\Nn^*)^2,\;n\neq p}$ n'est pas sommable. \fincorrection \correction{005710} La suite $\left((-1)^n\frac{1}{3n+1}\right)_{n\in\Nn}$ est alternée en signe et sa valeur absolue tend vers $0$ en décroissant. Donc la série de terme général $(-1)^n\frac{1}{3n+1}$, $n\geqslant 1$, converge en vertu du critère spécial aux séries alternées. Soit $n\in\Nn$. \begin{center} $\sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^k}{3k+1}=\sum_{k=0}^{n}(-1)^k\int_{0}^{1}t^{3k}\;dt=\int_{0}^{1}\frac{1-(-t^3)^{n+1}}{1-(-t^3)}\;dt=\int_{0}^{1}\frac{1}{1+t^3}\;dt+(-1)^n\int_{0}^{1}\frac{t^{3n+3}}{1+t^3}\;dt$. \end{center} Mais $\left|(-1)^n\int_{0}^{1}\frac{t^{3n+3}}{1+t^3}\;dt\right|=\int_{0}^{1}\frac{t^{3n+3}}{1+t^3}\;dt\leqslant\int_{0}^{1}t^{3n+3}\;dt=\frac{1}{3n+4}$. On en déduit que $(-1)^n\int_{0}^{1}\frac{t^{3n+3}}{1+t^3}\;dt$ tend vers $0$ quand $n$ tend vers $+\infty$ et donc que \begin{center} $\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{3n+1}=\int_{0}^{1}\frac{1}{1+t^3}\;dt$. \end{center} Calculons cette dernière intégrale. \begin{align*}\ensuremath \frac{1}{X^3+1}&=\frac{1}{(X+1)(X+j)(X+j^2)}=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{X+1}+\frac{j}{X+j}+\frac{j^2}{X+j^2}\right)=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{X+1}+\frac{-X+2}{X^2-X+1}\right)\\ &\frac{1}{3}\left(\frac{1}{X+1}-\frac{1}{2}\frac{2X-1}{X^2-X+1}+ \frac{3}{2}\frac{1}{\left(X-\frac{1}{2}\right)^2+\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} \right). \end{align*} Donc, \begin{center} $\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{3n+1}=\frac{1}{3}\left[\ln(t+1)-\frac{1}{2}\ln(t^2-t+1)+\sqrt{3}\Arctan\left(\frac{2t-1}{\sqrt{3}}\right)\right]_0^1=\frac{1}{3}\left(\ln2+\sqrt{3}\left(\frac{\pi}{6}-\left(-\frac{\pi}{6}\right)\right)\right)=\frac{3\ln2+\pi\sqrt{3}}{9}$. \end{center} \begin{center} \shadowbox{ $\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{3n+1}=\frac{3\ln2+\pi\sqrt{3}}{9}$. } \end{center} \fincorrection \correction{005711} Pour tout entier $n\geqslant 2$, on a $nv_n-(n-1)v_{n-1}=u_n$ ce qui reste vrai pour $n = 1$ si on pose de plus $v_0 = 0$. Par suite, pour $n\in\Nn^*$ \begin{align*}\ensuremath v_n^2 -2u_nv_n&=v_n^2 - 2(nv_n - (n-1)v_{n-1})v_n = -(2n-1) v_n^2 + 2(n-1)v_{n-1}v_n\\ &\leqslant -(2n-1) v_n^2 +(n-1)(v_{n-1}2+v_n^2) =(n-1)v_{n-1}^2 - n v_n^2. \end{align*} Mais alors, pour $N\in\Nn^*$, \begin{center} $\sum_{n=1}^{N}(v_n^2 - 2u_nv_n)\leqslant\sum_{n=1}^{N}((n-1)v_{n-1}^2 - n v_n^2)= - nv_n^2\leqslant0$. \end{center} Par suite, \begin{center} $\sum_{n=1}^{N}v_n^2\leqslant\sum_{n=1}^{N}2u_nv_n\leqslant2\left(\sum_{n=1}^{N}u_n^2\right)^{1/2}\left(\sum_{n=1}^{N}v_n^2\right)^{1/2}\;$ (inégalité de \textsc{Cauchy}-\textsc{Schwarz}). \end{center} Si $\left(\sum_{n=1}^{N}v_n^2\right)^{1/2}>0$, on obtient après simplification par $\left(\sum_{n=1}^{N}v_n^2\right)^{1/2}$ puis élévation au carré \begin{center} $\sum_{n=1}^{N}v_n^2\leqslant4\sum_{n=1}^{N}u_n^2$, \end{center} cette inégalité restant claire si $\left(\sum_{n=1}^{N}v_n^2\right)^{1/2}=0$. Finalement, \begin{center} $\sum_{n=1}^{N}v_n^2\leqslant4\sum_{n=1}^{N}u_n^2\leqslant4\sum_{n=1}^{+\infty}u_n^2$. \end{center} La suite des sommes partielles de la série de terme général $v_n^2(\geqslant0)$ est majorée. Donc la série de terme général $v_n^2$ converge et de plus, quand $N$ tend vers l'infini, on obtient \begin{center} $\sum_{n=1}^{+\infty}v_n^2\leqslant 4\sum_{n=1}^{+\infty}u_n^2$. \end{center} \fincorrection \correction{005712} Soit $n\in\Nn$. \begin{align*}\ensuremath u_n&=\frac{\pi}{4}-\sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^k}{2k+1}=\int_{0}^{1}\frac{1}{1+t^2}\;dt-\sum_{k=0}^{n}(-1)^k\int_{0}^{1}t^{2k}\;dt=\int_{0}^{1}\frac{1}{1+t^2}\;dt-\int_{0}^{1}\frac{1-(-t^2)^{n+1}}{1+t^2}\;dt\\ &= (-1)^{n+1}\int_{0}^{1}\frac{t^{2n+2}}{1+t^2}\;dt. \end{align*} Par suite, pour $N\in\Nn$, \begin{align*}\ensuremath \sum_{n=0}^{N}u_n=\int_{0}^{1}\sum_{n=0}^{N}\frac{(-t^2)^{n+1}}{1+t^2}\;dt =\int_{0}^{1}(-t^2)\frac{1-(-t^2)^{N+1}}{(1+t^2)^2}\;dt=-\int_{0}^{1}\frac{t^2}{(1+t^2)^2}\;dt+(-1)^{N+1}\int_{0}^{1}\frac{t^{2N+2}}{(1+t^2)^2}\;dt. \end{align*} Or $\left|(-1)^{N+1}\int_{0}^{1}\frac{t^{2N+2}}{(1+t^2)^2}\;dt\right|=\int_{0}^{1}\frac{t^{2N+2}}{(1+t^2)^2}\;dt\leqslant\int_{0}^{1}t^{2N+2}\;dt=\frac{1}{2N+3}$. Comme $\frac{1}{2N+3}$ tend vers $0$ quand $N$ tend vers $+\infty$, il en est de même de $(-1)^{N+1}\int_{0}^{1}\frac{t^{2N+2}}{(1+t^2)^2}\;dt$. On en déduit que la série de terme général $u_n$, $n\in\Nn$, converge et de plus \begin{align*}\ensuremath \sum_{n=0}^{+\infty}u_n&=-\int_{0}^{1}\frac{t^2}{(1+t^2)^2}\;dt=\int_{0}^{1}\frac{t}{2}\times\frac{-2t}{(1+t^2)^2}\;dt\\ &=\left[\frac{t}{2}\times\frac{1}{1+t^2}\right]_0^1-\int_{0}^{1}\frac{1}{2}\times\frac{1}{1+t^2}\;dt=\frac{1}{4}-\frac{\pi}{8}. \end{align*} \begin{center} \shadowbox{ $\sum_{n=0}^{+\infty}\left(\frac{\pi}{4}-\sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^k}{2k+1}\right)=\frac{1}{4}-\frac{\pi}{8}$. } \end{center} \fincorrection \correction{000639} \begin{enumerate} \item On a pour tout $x,y\in\R$ $|x-y|\geq \big| |x|-|y|\big|$ (c'est la deuxi\`eme formulation de l'in\'egalit\'e triangulaire). Donc pour tout $x\in I$ :$ \big| |f(x)|-|f(a)| \big| \leq |f(x)-f(a)| $. L'implication annonc\'ee r\'esulte alors imm\'ediatement de la d\'efinition de l'assertion $\lim_{x\to a} f(x)=f(a). $ \item Si $f,g$ sont continues alors $\alpha f+\beta g$ est continue sur $I$, pour tout $\alpha,\beta\in\R$. Donc les fonctions $f+g$ et $f-g$ sont continues sur $I$. L'implication de $1.$ prouve alors que $|f-g|$ est continue sur $I$, et finalement on peut conclure :\\ La fonction $\sup (f,g) = \frac{1}{2}(f+g+|f-g|)$ est continue sur $I$. \end{enumerate} \fincorrection \nocorrection \nocorrection \correction{000642} \begin{enumerate} \item $g(a) = f(\frac{a+b}{2})-f(a)$ et $g(\frac{a+b}{2}) = f(b) - f(\frac{a+b}{2})$. Comme $f(a) = f(b)$ alors nous obtenons que $g(a) = -g(\frac{a+b}{2})$. Donc ou bien $g(a) \leq 0$ et $g(\frac{a+b}{2}) \geq 0$ ou bien $g(a) \geq 0$ et $g(\frac{a+b}{2}) \leq 0$. D'après le théorème des valeurs intermédiaires, $g$ s'annule en $c$ pour un $c$ entre $a$ et $\frac{a+b}{2}$. \item Notons $t$ le temps (en heure) et $d(t)$ la distance parcourue (en km) entre les instants $0$ et $t$. Nous supposons que la fonction $t \mapsto d(t)$ est continue. Soit $f(t) = d(t) - 4t$. Alors $f(0) = 0$ et par hypothèse $f(1) = 0$. Appliquons la question précédente avec $a=0$, $b=1$. Il existe $c\in [0,\frac 12]$ tel que $g(c) = 0$, c'est-à-dire $f(c+\frac12)= f(c)$. Donc $d(c+\frac 12)-d(c) = 4(c+\frac12)-4c = 2$. Donc entre $c$ et $c+\frac 12$, (soit 1/2 heure), la personne parcourt exactement $2$ km. \end{enumerate} \fincorrection \correction{000643} Il existe $x < 0$ tel que $f(x) <0$ et $y>0$ tel que $f(y) > 0$, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe $z \in ]x,y[$ tel que $f(z) = 0$. Donc $f$ s'annule. Les polynômes de degré impair vérifient les propriétés des limites, donc s'annulent. Ceci est faux, en général, pour les polynômes de degré pair, par exemple regardez $f(x) = x^2+1$. \fincorrection \nocorrection \correction{000645} Comme $f(x)^2 = 1$ alors $f(x) = \pm 1$. Attention ! Cela ne veut pas dire que la fonction est constante \'egale \`a $1$ ou $-1$. Supposons, par exemple, qu'il existe $x$ tel que $f(x)=+1$. Montrons que $f$ est constante \'egale \`a $+1$. S'il existe $y \not= x$ tel que $f(y) = -1$ alors $f$ est positive en $x$, n\'egative en $y$ et continue sur $I$. Donc, par le th\'eor\`eme des valeurs interm\'ediaires, il existe $z$ entre $x$ et $y$ tel que $f(z) = 0$, ce qui contredit $f(z)^2 = 1$. Donc $f$ est constante \'egale \`a $+1$. \fincorrection \correction{000646} Notons $\ell$ la limite de $f$ en $+\infty$: $$\forall \epsilon > 0 \quad \exists A \in \Rr \quad x>A \Rightarrow \ell - \epsilon \leq f(x) \leq \ell + \epsilon.$$ Fixons $\epsilon = +1$, nous obtenons un $A$ correspondant tel que pour $x>A$, $\ell - 1 \leq f(x) \leq \ell +1$. Nous venons de montrer que $f$ est born\'ee ``\`a l'infini''. La fonction $f$ est continue sur l'intervalle ferm\'e born\'e $[0,A]$, donc $f$ est born\'ee sur cet intervalle: il existe $m,M$ tels que pour tout $x\in [0,A]$, $m \leq f(x) \leq M$. En prenant $M' = \max (M,\ell+1)$, et $m' = \min(m,\ell-1)$ nous avons que pour tout $x\in \Rr$, $m' \leq f(x) \leq M'$. Donc $f$ est born\'ee sur $\Rr$. La fonction n'atteint pas n\'ecessairement ses bornes: regardez $f(x) = \frac{1}{1+x}$. \fincorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \correction{000653} \begin{enumerate} \item Si $f(0) = 0$ et c'est fini, on a trouver le point fixe ! Sinon $f(0)$ n'est pas nul. Donc $f(0) > 0$ et $0 \in E$. Donc $E$ n'est pas vide. \item Maintenant $E$ est un partie de $[0,1]$ non vide donc $\sup E$ existe et est fini. Notons $c = \sup E \in [0,1]$. Nous allons montrer que $c$ est un point fixe. \item Nous approchons ici $c = \sup E$ par des éléments de $E$ : Soit $(x_n)$ une suite de $E$ telle que $x_n \rightarrow c$ et $x_n \leq c$. Une telle suite existe d'apr\`es les propri\'et\'es de $c= \sup E$. Comme $x_n \in E$ alors $x_n < f(x_n)$. Et comme $f$ est croissante $f(x_n) \leq f(c)$. Donc pour tout $n$, $x_n < f(c)$ ; comme $x_n \rightarrow c$ alors \`a la limite nous avons $c \leq f(c)$. \item Si $c=1$ alors $f(1)=1$ et nous avons notre point fixe. Sinon, nous utilisons maintenant le fait que les élements supérieurs à $\sup E$ ne sont pas dans $E$ : Soit $(t_n)$ une suite telle que $t_n \rightarrow c$, $t_n \geq c$ et telle que $f(t_n) \leq t_n$. Une telle suite existe car sinon $c$ ne serait pas \'egal \`a $\sup E$. Nous avons $f(c) \leq f(t_n) \leq t_n$ et donc \`a la limite $f(c) \leq c$. Nous concluons donc que $c \leq f(c) \leq c$, donc $f(c) = c$ et $c$ est un point fixe de $f$. \end{enumerate} \fincorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \correction{000660} \begin{enumerate} \item Soit $x\in[0,1]$ et $y=f(x) \in [0,1]$. Alors $f(y)=y$ car $f(f(x)) = f(x)$. Donc $E_f \not= \varnothing$. Nous venons de montrer que $I = f([0,1])$ est inclus dans $E_f$. \item Montrons r\'eciproquement $E_f$ est inclus dans $I$. Soit $x\in[0,1]$ tel que $f(x)=x$ alors $x \in I=f([0,1])$ (car $x = f(x)$ !). Ainsi $E_f = I = f([0,1])$. Mais l'image de l'intervalle $[0,1]$ par la fonction continue $f$ est un intervalle donc $E_f$ est un intervalle. \item La réciproque est vraie : une fonction continue pour laquelle $E_f = f([0,1])$ v\'erifie aussi $f\circ f = f$. En effet pour $x \in [0,1]$ et $y = f(x)$ alors $y \in f([0,1])$ donc $y \in E_f$. Donc $f(y)=y$, autrement dit $f(f(x))=f(x)$. Les fonctions continues qui vérifient $f \circ = f$ sont donc exactement les fonctions continues telles que $E_f = f([0,1])$. Pour une telle fonction si l'on note $[a,b] = E_f$ alors $f$ est définie sur $[0,a]$ par n'importe qu'elle fonction continue prenant ses valeurs entre $a$ et $b$, et valant $a$ en $a$ : $f([0,a]) \subset [a,b]$ et $f(a)=a$. Elle est ensuite définie par l'identité sur $[a,b]$ : pour tout $x\in [a,b]$, $f(x)=x$. Et enfin sur $[b,1]$ elle est définie par n'importe quelle fonction continue prenant ses valeurs entre $a$ et $b$, et valant $b$ en $b$ : $f([b,1]) \subset [a,b]$ et $f(b)=b$. \end{enumerate} \fincorrection \nocorrection \correction{000662} Non, par exemple $f : \Rr \longrightarrow \Rr$. Avec $f(x) = \sin\frac1x$ pour $x \not=0$ et $f(0) = 0$. $f$ n'est pas continue (en $0$), mais pour tout $a,b$ et pour tout $y \in [f(a),f(b)]$, il existe $x \in [a,b]$ tel que $y=f(x)$. \fincorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \nocorrection \correction{000669} \begin{enumerate} \item Pour tout $x \in ]a,b[$, on a $x \in [a,b]$ donc $f(x) \leq \sup_{a\leq t \leq b} f(t)$. Par cons\'equent $\sup_{a\leq t \leq b} f(t)$ est un majorant de $f$ sur l'intervalle $]a,b[$, donc il est plus grand que le plus petit des majorants : $ \sup_{a